Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

LA HỒNG NGỌC CÁC ĐIỂM HỮU TỶ TRÊN CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN.

Chuyên ngành: Hình học và tôpô. Mã số: 604610

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Tiến sĩ Phan Dân

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010

LỜI CẢM ƠN

Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới

Thầy - TS. Phan Dân - người đã nhiệt tình từng bước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đề

tài: từ việc gợi ý, cung cấp các tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp thực hiện, truyền

đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn đến việc chỉnh sửa và hoàn

chỉnh nội dung của bài luận.

Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình Học, khoa Toán - Tin của

Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi hoàn thành tất cả các học phần của

Khóa học giúp tôi nâng cao được trình độ kiến thức chuyên môn và các phương pháp học tập hữu

ích, giúp tôi hoàn thành các học trình, đặc biệt là luận văn tốt nghiệp.

Chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Khoa học Công Nghệ Sau Đại học, phòng Tổ

chức Hành chính, phòng Kế hoạch-Tài chính Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh;

Cảm ơn Sở Giáo Dục-Đào Tạo Tiền Giang, Ban Giám Hiệu trường THPT Bình Đông thị xã Gò

Công tỉnh Tiền Giang cùng toàn thể quý đồng nghiệp, các bạn cùng khóa học, gia đình đã động

viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp.

Chân thành cảm ơn!

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2010.

Tác giả

La Hồng Ngọc.

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

Không gian afin n-chiều.

D Biệt thức của đa thức bậc 3.

deg Bậc của đường cong phẳng.

E(k) Tập điểm hữu tỷ của đường cong elliptic E trên trường k.

Tập hợp các điểm hữu tỷ của E trên trường Fq. E(Fp)

#E(Fp) Cấp của E(Fp).

C

Số các điểm chung của đường cong elliptic và họ đường tròn.

q

Trường hữu hạn q phần tử.

Nhóm cộng tính. Nhóm nhân.

G a G m G ( )a m

Nhóm xoắn.

G(k) Nhóm các điểm hữu tỷ.

gcd( ) Ước số chung lớn nhất.

(X) Ideal triệt tiêu của X.

k[x1, …, xn] Vành đa thức trên k với n biến.

k X [ ]

Trường các hàm hữu tỷ trên X.



p f x ( ) 0(mod )

Số nghiệm của phương trình đồng dư . Np(f(x))

Số cặp của các thặng dư bậc 2 modulo p liên tiếp trong Fp.

N(p) N(p)* Số cặp của các số nguyên liên tiếp trong Fp.

(X) Vành các hàm chính quy trên X.

P n Không gian xạ ảnh n-chiều (trên trường k đóng đại số).

Tập hợp các thặng dư bậc 2 modulo p. Qp

T(A) Nhóm con xoắn của A..

Tổng trực tiếp. 

X(k) Tập tất cả các điểm k-hữu tỷ trên X.

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong lý thuyết các đường cong Elliptic, vấn đề về số các điểm hữu tỷ trên các đường cong

và cách xác định các điểm đó là một trong những vấn đề hết sức quan trọng. Đối với cấu trúc của

nhóm các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic trên Q cũng như tính chất của các điểm xoắn

trên chúng (được mô tả qua các Định lý Mordell-Weil, Mazur và Nagell-Lutz) là những kết quả rất

đẹp nhưng chủ yếu mang ý nghĩa về mặt lý thuyết, bởi vì trong thực tế việc xác định các đối tượng

đã được mô tả cũng không đơn giản (đối với trường hợp tổng quát), thậm chí ngay cả trường hợp

chỉ xét các đường cong trên trường hữu hạn thì tập các điểm hữu tỷ như vậy cũng chỉ có lực lượng

hữu hạn và có cấu trúc nhóm nhưng việc tính toán cũng không dễ dàng. Một mặt khác, trong thời

gian gần đây lý thuyết về các đường cong Elliptic không còn là lĩnh vực nghiên cứu riêng của các

nhà Hình học hay các nhà nghiên cứu thuộc lĩnh vực Hình học Đại số. Một trong những ứng dụng

được quan tâm phát triển rất mạnh hiện nay là “sử dụng các kết quả nghiên cứu về đường cong

elliptic trên trường hữu hạn vào lĩnh vực bảo mật, mã hoá thông tin”. Vì vậy, có một vấn đề tiếp

theo được đặt ra rất tự nhiên là thử tìm hướng tiếp cận đến một số thuật toán tính toán để xác định

các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn.

Chúng tôi lựa chọn đề tài này thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tiếp cận và giới

thiệu một số kiến thức chuyên môn về “Lý thuyết về các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn”

cùng với việc xét tính chất của một số họ đường cong cụ thể để thực hiện việc mô tả cấu trúc của

nhóm các điểm hữu tỷ trên chúng và xây dựng thuật toán tính toán tương ứng.

Trong phạm vi đề tài, chúng tôi sẽ xét các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn được mô

tả dưới dạng Weierstrass.

Vì vậy, luận văn có tên gọi là:

“Các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn”.

2. Lịch sử của vấn đề

Cơ sở lý thuyết và công cụ nghiên cứu cũng như phương pháp giải quyết vấn đề trong Luận

văn dựa trên một số kết quả sau đây:

a) Định lý Hasse mô tả cận trên của lực lượng nhóm E(Fq) của đường cong elliptic trên

trường hữu hạn Fq.

b) Các kết quả và phương pháp mô tả luật nhóm trên nhóm các điểm hữu tỷ trên các đường

cong Elliptic trên trường hữu hạn .

c) Các kết quả mô tả về các nhóm abel hữu hạn sinh.

Luận văn của chúng tôi tập trung giải quyết một số vấn đề về: xác định nhóm các điểm hữu

y = x + Ax + B . Trong trường hợp đường cong được xét trên trường Zp thì vấn đề được xét

tỷ trên một số họ đường cong trên trường Fq được cho dưới dạng Weierstrass:

sẽ là các thuật toán xác định nhóm các điểm hữu tỷ và tập các điểm trên đường cong. Một số kết quả

nghiên cứu thuộc các hướng này đã và đang được tiếp tục phát triển trong thời gian gần đây bởi

nhiều tác giả, và là đề tài thường trực trong các Hội nghị Khoa học về “Lý thuyết trường hữu hạn và

ứng dụng” – một trong các vấn đề rất được chú trọng trong Lý thuyết mã hóa thông tin.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ trên một số họ đường cong elliptic dưới

dạng Weirstrass trên trường hữu hạn.

3 y =x +kx ,

y =x + b với

k b F ,

qF có q phần tử và có đặc số p, nhằm mục đích là mô tả nhóm các điểm hữu tỷ trên

- Xét một số họ các đường cong có phương trình dạng:

Đề tài chỉ giới hạn trong phạm vi xét các đường cong Elliptic E không kỳ dị trên trường hữu

chúng.

hạn F với ý tưởng là mô tả cấu trúc nhóm của tập các điểm hữu tỷ E(F) và mô tả các thuật toán

tính toán đã nêu (với F như đã mô tả ở trên).

4. Mục đích nghiên cứu

- Mô tả cấu trúc nhóm của tập các điểm hữu tỷ E(F) của đường cong Elliptic không kỳ dị E

trên F.



3 x





 b

- Mô tả các điểm hữu tỷ trên một số lớp đường cong Elliptic: ,

qF .

trên trường

Trình bày phương pháp chứng minh một số Định lý mô tả cách xác định các đối tượng đã

liệt kê ở trên đối với các họ đường cong được xét.

5. Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các kết quả tổng quát đã biết về tính chất của các đường cong Elliptic trên trường

hữu hạn để mô tả và xác định nhóm các điểm hữu tỷ trên các họ đường cong được xét.

- Sử dụng các phương pháp, công cụ của Đại số và Lý thuyết số để giải quyết bài toán xác định

nghiệm của phương trình đồng dư trên trường hữu hạn, cùng với kết quả của Định lý Hasse về

khoảng giới nội của lực lượng của nhóm E(F) để xây dựng các thuật toán tính toán. Đây là một số

hướng nghiên cứu và các phương pháp được dùng khá phổ biến trong việc nghiên cứu các đường

cong elliptic trên trường hữu hạn. Các phương pháp nghiên cứu và các kỹ thuật cũng như các thuật

toán được dùng trong Luận văn này dựa trên những công cụ nghiên cứu đã được sử dụng trong [6],

[24], [30].

6. Cấu trúc luận văn

Luận văn bao gồm: phần mở đầu, 2 chương: nội dung, và phần kết luận.

Phần mở đầu: Nêu xuất sứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu.

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản.

Chương này trình bày một số khái niệm và các kết quả nghiên cứu đã được công bố

Cụ thể như sau:

trong nhiều tài liệu về các chuyên ngành Toán:

- Các định lý cơ bản về các nhóm abel hữu hạn sinh.

- Một số kết quả quen biết về lĩnh vực Lý thuyết số và Trường hữu hạn.

- Các đa tạp xạ ảnh, afin.

- Các khái niệm, các kết quả nghiên cứu đã được công bố về đường cong elliptic. Các

đường cong trên trường hữu hạn. Các định lý cơ bản mô tả về cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ

trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn.

Chương 2: Các đường cong Elliptic dạng Weierstrass trên trường hữu hạn.

- Tổng quan về các đường cong dạng Weierstrass trên trường hữu hạn.

- Các điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic trên trường hữu hạn

- Mô tả chung về luật nhóm.







 , với

k b F .

, - Nhóm con các điểm hữu tỷ của các họ đường cong

Phần kết luận: Mô tả tóm tắt và nêu kết luận về các vấn đề, nội dung đã thực hiện trong Luận

văn..

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

§1. CÁC BƯỚC MỞ ĐẦU

Trong chương này, ta xem lại một số định nghĩa và các kết quả cơ bản trong Đại số giao

hoán và Lý thuyết phạm trù, và ta suy ra một số thuật toán cho việc nghiên cứu trong các vành đa

thức.

B . Phép đồng cấu

1.1. ĐẠI SỐ

:Bi A

: B

  sao cho C

( ))



  ( ), a A.

Cho A là một vành. Một A-đại số là một vành B với một phép đồng cấu

C là một phép đồng cấu vành

 ( i a B

i a C

của A-đại số từ B

Một A-đại số B sinh ra các phần tử x1, x2, ... , xn nêú như mọi phần tử của B có thể được biểu

diễn như một đa thức trong xi với tọa độ trong iB(A). Nghĩa là, nếu phép đồng cấu của A-đại số

,...,

[

]

A X X 1

A[X1, X2, … , Xn]  B biến Xi thành xi là một song ánh.

n 2 X

  

B     x i

là song ánh.

Khi đó ta viết: B = (iBA)[x1, … , xn]

Một A-đại số B được gọi là hữu hạn sinh (hoặc của một loại hữu hạn trên A) nếu nó được sinh ra

bởi một tập hữu hạn các phần tử.

B là hữu hạn, và B là một A-đại số hữu hạn, nếu B hữu hạn

Một phép đồng cấu vành A

sinh như một A-module.

Cho k là một trường, và cho A là một k-đại số. Khi l 0 trong A, ánh xạ k  A là đơn

ánh, và ta có thể đồng nhất k với ảnh của nó. Ta có thể xem k như một vành con của A. Khi l = 0

trong vành A, thì A là vành 0, A = {0}.

Cho A[X] là vành đa thức ký hiệu X với các hệ số trong A. Nếu A là một miền xác định

nguyên, thì deg(fg) = deg(f) + deg(g), và suy ra A[X] cũng là một miền xác định nguyên; hơn nữa A[X]X = AX. 1.2. IDEALS.

Cho A là một vành. A vành con của A là một tập con chứa l mà bị đóng dưới phép cộng, phép nhân,

và sự cấu thành của các đại lượng âm. Một ideal a trong A là một tập con sao cho:

(a) a là một nhóm con của A được xem như một nhóm có phép cộng.

(b) a a, rA  r a  a.

Ideal được sinh ra bởi một tập con S của A là tập giao của tất cả các ideal a chứa trong A-

 r A s

 S .

ir s với

thực chất đây là một ideal, và nó bao gồm tất cả các tổng hữu hạn của dạng

Khi đó, S ={s1, s2, … }, ta viết là: (s1, s2, …).

o Cho a và b là hai ideal trong A.

Tập {a + b | aa, bb} là một ideal, kí hiệu: a + b.

Ideal sinh bởi: {ab | aa, bb}, ký hiệu: ab.

ia b

ia  a và bi b, và nếu a =

(

,...,

Rõ ràng, ab bao gồm tất cả các tổng hữu hạn với

a b 1 1

a b i

a b m n

a 1(

và b = (b1,, …, bn), thì ab =

Chú ý rằng: ab  a  b.

1 (b) là một sự tương ứng một-một

a  a là một phép đồng cấu  : A  A/a. Ánh xạ b

o Cho a là một ideal của A. Tập hợp của các lớp của a trong A hình thành một vành A/a, và

giữa các ideal của A/a và các ideal của A đang chứa a.

o Một ideal p là nguyên tố nếu p  A và ab  p  a  p hoặc b  p. Do đó p là số nguyên tố

nếu và chỉ nếu A/p khác 0 và có tính chất:

ab = 0, b  0  a = 0, nghĩa là: A/p là một miền nguyên.

o Một ideal m là tối đại nếu m  A và không tồn tại ideal n chứa một cách nghiêm ngặt giữa m

và A. Do đó m là tối đại nếu và chỉ nếu A/m khác 0 và không có các ideal khác 0 thích hợp, và do

đó nó là một trường. Chú ý rằng:

m tối đại  m nguyên tố.

Các ideal của A x B là tập tất cả các dạng a x b với a và b là các ideal trong A và B. Chú ý

rằng, nếu c là một ideal trong A x B và (a, b)c, thì:

(a, 0) = (1, 0)(a, b)  c và (0, b) = (0, 1)(a, b)  c.

Vì thế, c = a x b với

a = {a | (a, 0)  c}, b = {b | (0, b)  c}.

Định lý 1.2.1: ( Định lý số dư Trung hoa).

Cho a1, a2, … , an là các ideal trong một vành A. Nếu ai là số nguyên tố cùng nhau với aj

(nghĩa là: ai + aj = A), với bất kỳ i  j, khi đó ánh xạ:

(1) A  A/ a1 x . . . x A/an

là song ánh, với hạt nhân: ker  ai =  ai.

Chứng minh: Đầu tiên giả sử rằng n = 2. Khi a1 + a2 = A, tồn tại ai  ai sao cho: a1 + a2 = 1.

Khi đó x = a1x2 + a2x1 ánh xạ vào (x1 mod a1, x2 mod a2), sao cho chứng tỏ rằng (1) là song ánh.

i  . 2

Với mỗi i, tồn tại các phần tử ai  a1 và bi  ai sao cho:

ai + bi = 1, với mọi



 b ) 1



2(a

2i ai, và do đó:

Tích và nằm trong a1 +

 ai = A. 2i

a1 +



0 mod

Áp dụng định lý trong trường hợp n = 2 để thu được một phần tử y1 của A sao cho:

y 1

a1 , a1.



0mod

 2 i  aj , với mọi j >1.

y 1 1mod 1 y

y 1 1mod

Suy ra a1 ,

1mod

0mod

Tương tự, tồn tại các phần tử y2, … , yn sao cho:

iy

i

ai , y aj , j  i.

x y i i

  ánh xạ vào (x1 mod a1, … , xn mod an), để chứng tỏ rằng (1) là song ánh.

Phần tử

Điều đó chứng minh rằng:  ai =  ai. Ta chú ý rằng:  ai   ai.

Đầu tiên giả sử rằng: n = 2, và cho a1 + a2 = 1, như trước. Vì c  a1  a2, ta có:

c = a1c + a2c  a1.a2

Ta chứng minh: a1  a2 = a1a2.

Việc chứng minh dựa vào phương pháp quy nạp toán học. Điều này cho phép chúng ta giả sử rằng:

 2i

2i ai.

ai =

2i

Ta đã chứng minh ở trên: a1 và ai là nguyên tố cùng nhau, và do đó:

 ai) =  ai.

( i 2

 i 2

a1.( ai) = a1

1.3. Các vành Noether

Mệnh đề 1.3.1: Các điều kiện sau trên vành A là tương đương:

(a) Mọi ideal trong A đều là hữu hạn sinh;

a  dần dần trở thành hằng số, nghĩa là với một số m,

...

a 1



...,

a 

(b) Mọi dãy tăng của các ideal

tương thích chứa trong bất kỳ ideal nào đó trong một tập).

...

a  là một dãy tăng, khi đó a =  ai là một ideal

a (a)  (b): Nếu 1

 tồn tại một tập hữu hạn

a các phần tử sinh.

a 1{ ,..., }n

Chứng minh:

am = am + 1 = … = a. Với mọi m,  ia  am ta suy ra:

(b)  (c): Cho S là một tập khác rỗng của các ideal trong A. Cho a1  S, nếu a1 không lớn nhất

trong S, khi đó tồn tại một ideal a2  S thích hợp chứa a1. Tương tự, nếu a2 không lớn nhất

trong S, thì tồn tại một ideal a3S thích hợp chứa a2, vân vân…Trong cách này, ta thu được

một dãy tăng các ideal a1  a2  a3  ... trong S và xác định được giới hạn trong một

ideal là ideal lớn nhất trong S.

,...,

a a , 2

a . Nếu c  a, thì tồn )r

(

,...,

a a sẽ là một ideal hữu hạn sinh trong a thích hợp

, )

một tập khác rỗng, do đó nó chứa một phần tử lớn nhất c = ( 1

a a , 1 2

tại một phần tử a  a\c, và

chứa c. Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của (c)  (điều phải chứng minh).

Một vành A là Noether nếu nó thỏa mãn các điều kiện của mệnh đề. Ta lưu ý trong một vành

Noether, mọi ideal thích hợp được chứa trong một ideal lớn nhất (áp dụng (c) đối với tất cả các ideal

thích hợp của A chứa các ideal đã cho).

Thực tế, điều này đúng với mọi vành, nhưng việc chứng minh các vành không Noether phải sử

dụng các tiên đề lựa chọn.

Một vành A được xem là địa phương nếu nó có chính xác một ideal m tối đại. Bởi vì mọi vành

Mệnh đề 1.3.2: (Bổ đề Nakayama’s).

không đơn vị được chứa trong một ideal lớn nhất, vì một vành địa phương AX = A \ m.

Cho A là một vành noether địa phương với ideal tối đại m, và cho M là một A-module hữu

hạn sinh.

(a) Nếu M = mM, thì M = 0.

(b) Nếu N là một module con của M sao cho M = N + mM, thì M = N.

Chứng minh:

x i

ija  m.

  , với a x ij

(a) Cho x1, x2, … ,xn sinh ra M, và viết:





Kronecker delta.

 ( ij

a x ) ij

 ij



Khi đó x1, x2, … , xn là nghiệm của hệ n phương trình với n biến sau:

Do đó, theo quy luật của Cramer cho ta: det(ij – aij)xj = 0, với mọi i.

Nhưng det(ij – aij) m, do đó nó là một đơn vị. Suy ra, mọi xi = 0, do đó M = 0.

(b) Giả thuyết rằng M/N = m(M/N), và do đó M/N = 0, nghĩa là: M = N.

Do đó, cho A là một vành Noether địa phương với ideal tối đại m. Khi ta xem m như một A-

module, tác động của A trên các thừa số m/m2 với k = A/m.

Hệ quả 1.3.3:

a 1,...,

a của m sinh ra m như một ideal nếu và chỉ nếu các thặng dư module m2 n

Các phần tử

sinh ra m/m2 như một không gian vectơ trên k. Đặt biệt, số nhỏ nhất của các phần tử sinh vì ideal tối đại bằng số chiều của không gian vectơ m/m2.

Chứng minh:

a 1,...,

a sinh ra m, các thặng dư sinh ra m/m2. Ngược lại, giả sử rằng các thặng dư của n

Nếu

a ) + m2. Vì A là noether và do đó m là hữu hạn sinh. n

chúng sinh ra m/m2, sao cho m = ( 1,...,

a ), chứng minh rằng: m = ( 1,...,

a ). n

Định nghĩa 1.3.4: Cho A là một vành Noether.

Áp dụng bổ đề Nakayama với M = m và N = ( 1,...,

(a) Độ cao ht(p) của một ideal nguyên tố p  A là chiều dài lớn nhất của một dãy các ideal

(2). nguyên tố: p = pd  pd-1 … p0.

(b) Số chiều Krull của A là sup{ht(p) | p A, p nguyên tố}.

Do đó, số chiều Krull của một vành A là cận trên đúng của chiều dài của dãy các ideal

nguyên tố trong A (chiều dài của một chuỗi là số các kẻ hở, do đó chiều dài của (2) là d).

Ví dụ, một trường có số chiều Krull là 0, và ngược lại một miền nguyên của số chiều Krull

bằng 0 là một trường. Chiều cao của mỗi ideal nguyên tố khác 0 trong miền xác định ideal chính là

1, do đó một vành có số chiều Krull bằng 1.

Chiều cao của bất kỳ ideal nguyên tố nào trong một vành noether là hữu hạn, nhưng số chiều

Krull của vành có thể vô hạn. (Ví dụ: xét Nagata, các vành địa phương, 1962, appendix; phụ lục

A1). Trong một ví dụ của Nagata, có các ideal tối đại p1, p2, p3, … trong A sao cho dãy ht(pi) hướng

tới vô hạn.

Định nghĩa 1.3.5: Một vành noether địa phương của số chiều Krull d được xem là chính quy nếu

ideal tối đại của nó có thể được sinh ra bởi các phần tử d.

Nó suy ra từ hệ quả (1.3.3) mà một vành noether địa phương là chính quy nếu và chỉ nếu số

chiều Krull của nó bằng với số chiều của không gian vectơ m/m2.

Bổ đề 1.3.6: Cho A là một vành Noether. Tập bất kỳ của các phần tử sinh cho một ideal trong A

chứa một tập con hữu hạn sinh.

Chứng minh:

a ) với n

ia  A. Mỗi

ia nằm trong ideal được sinh bởi một tập con hữu hạn Si của S. Bây giờ

iS là hữu hạn và sinh ra

Cho a là một ideal được sinh bởi một tập con S của A. Khi đó a = ( 1,...,

Định lý 1.3.7: (Định lý tương giao Krull). Trong bất kỳ vành địa phương noether A nào với ideal



{0}.



 1

tối đại m, thì

Chứng minh:

a 1,...,

a sinh ra m. Khi đó mn được sinh bởi các đơn thức bậc n trong r

ia . Mặt khác, mn

Cho

a ) cho một số đa thức thuần nhất g(X1, . . . , Xr) r

bao gồm tất cả các phần tử của A mà bằng g( 1,...,

 A[X1, . . . , Xr] bậc n. Cho Sm là tập tất cả các đa thức thuần nhất f có bậc m sao cho

a f( 1,...,

a ) r



, và cho a là một ideal được sinh bởi tất cả các Sm. Theo bổ đề 1.3.6, tồn tại

mS mà sinh ra a.

một tập hữu hạn f1, f2, . . ., fs các phần tử của



 1

a f( 1,...,

a ) với một số đa thức thuần nhất f bậc d + 1. Từ định nghĩa, f Sd +1  a, và do đó: f = r

; đặc biệt b md+1, và do đó b = Cho di = degfi , và cho d = maxdi. Cho

g1f1 + . . . + gsfs, với gi  A.

Khi f và fi là thuần nhất, từ mỗi gi ta có thể bỏ qua tất cả các số hạng không có bậc degf – degfi, vì

các số hạng này triệt tiêu lẫn nhau. Do đó, ta có thể chọn gi thuần nhất bậc degf - degfi = d + 1 – di >



(

,...,

)



,...,

)

,...,

)



 m m .

f a a 1 2

a r

g a a ( 1 2

a f a a ( i

a r





Khi đó:

m m m



Do đó, ,



nm 

1.4. Nhân tử hóa duy nhất

và từ bổ đề của Nakayama ta suy ra: .

Cho A là một miền xác định nguyên. Một phần tử a của A là một phần tử tối giản nếu nó

a bc

  hoặc c là một đơn vị.

khác 0, không là một đơn vị, và chỉ cho các nhân tử hóa tầm thường, nghĩa là:

Nếu mọi phần tử không đơn vị khác không trong A có thể được viết như một tích hữu hạn của các

phần tử tối giản được một cách chính xác trong một cách nào đó (đối với các đơn vị và bậc của các

nhân tử), khi đó A được gọi là một miền tầm thường hóa địa phương. Như trong một vành, một

phần tử tối giản a chỉ có thể chia tích bc nếu nó là một nhân tử tối giản của b hoặc c (viết bc = aq và

Mệnh đề 1.4.1:

biểu diễn b, c, q như tích của các phần tử rút gọn).

Cho (a) là một ideal chính thích hợp khác 0 trong một miền nguyên A. Nếu (a) là một ideal

nguyên tố, khi đó a là tối giản, và ngược lại khi A là một miền nhân tử hóa duy nhất.

Chứng minh:

Giả sử (a) là số nguyên tố. Bởi vì (a) không là (0) cũng không phải là A, a khác 0 mà cũng

không là đơn vị. Nếu a = bc thì bc  (a), bởi vì (a) là số nguyên tố, nghĩa là b hoặc c thuộc (a), ta

nói b = aq. Bây giờ a = bc = aqc, nghĩa là qc = 1, và khi đó c là một đơn vị.

Ngược lại, giả sử rằng a tối giản. Nếu bc  (a), khi đó a|bc (mà ta đã chú ý ở trên) nghĩa là

Mệnh đề 1.4.2: (Bổ đề Gauss)

a|b hoặc a|c, nghĩa là: b hoặc c  (a).

Cho A là một miền nhân tử hóa duy nhất với trường của các phân số F. Nếu các thừa số f(X)

 A[X] là tích của hai đa thức không hằng số trong F[X], khi đó là tích của hai đa thức không hằng

số trong A[X].

Chứng minh: Cho f = gh trong F[X]. Cho c, d A, các đa thức g1 = cg và h1 = dh có các hệ số

trong A, và vì thế ta có một nhân tử hóa

cdf = g1h1 trong A[X].

Nếu một phần tử tối giản p của A chia cho cd, khi đó, tìm modulo (p), ta thấy rằng:

1.g h trong (A/(p))[X].

0 =

Theo mệnh đề 1.4.1, (p) là số nguyên tố, và do đó (A/(p))[X] là một miền xác định nguyên. Do vậy,

p chia hết cho tất cả các hệ số của một trong các đa thức nhỏ nhất g1, h1, giả sử g1, để cho g1 = pg2

với g2  A[X]. Do đó, ta có một nhân tử hóa

(cd/p)f = g2h1 trong A[X].

Tiếp tục phương pháp này, ta có thể di chuyển lại toàn bộ các thừa số tối giản của cd, và vì thế ta

thu được một nhân tử hóa của f trong A[X].





  ...

a 0

a X 1

a X m

Cho A là một miền nhân tử hóa duy nhất. Một đa thức khác 0

ia không có nhân tử chung (khác hơn những đơn vị). Mỗi

trong A[X] được nói là nguyên hàm nếu

đa thức f trong A[X] có thể được viết f = c(f).f1 với c(f)  A và f1 nguyên hàm, và sự phân tích này

là duy nhất đến các đơn vị trong A. Phần tử c(f), được định nghĩa tốt đối với phép nhân bởi một đơn

Bổ đề 1.4.3. Tích của hai đa thức nguyên hàm là nguyên hàm.

vị, được gọi là dung lượng của f.





  ...

a 0

Chứng minh:

....





b 0

a X 1 b X 1

a X m b X n

Cho là các đa thức nguyên hàm, và cho p là một phần

0ia là hệ số đầu tiên của f không thể chia được bởi p và

0jb là hệ số đầu tiên

tử tối giản của A. Cho

a b i

  

j 0

của g không thể chia được bởi p. Khi đó tất cả các số hạng trong có thể chia được

ja b , là không thể chia được bởi p. Do đó, p không thể chia hệ số thứ-(i0 + j0) của

i 0

bởi p, ngoại trừ

fg. Ta chứng minh rằng không có phần tử tối giản của A chia tất cả các hệ số của fg, vì thế phải là

Bổ đề 1.4.4:

nguyên hàm.

Cho các đa thức f, g  A[X], c(fg) = c(f). Khi đó, mọi nhân tử trong A[X] của một đa thức

nguyên hàm là nguyên hàm.

Chứng minh: Lấy f = c(f)f1 và g = c(g)g1 với f1, g1 là nguyên hàm.

Mệnh đề 1.4.5:

Khi đó fg = c(f)c(g)f1g1 với f1g1 là nguyên hàm, và do đó: c(fg) = c(f)c(g).

Nếu A là một miền nhân tử hóa duy nhất, thì A[X] cũng là miền nhân tử hóa duy nhất.

Chứng minh: Đầu tiên ta chứng minh rằng mọi phần tử f của A[X] là tích của các phần tử tối giản.

Từ nhân tử hóa f = c(f)f1 với f1 nguyên hàm, ta thấy rằng đủ để làm được điều này vì f nguyên

hàm.

Nếu f không thể tối giản trong A[X], thì nó có các thừa số như f = gh với g, h là các đa thức

nguyên hàm trong A[X] của bậc thấp hơn. Thực hiện tiếp tục ta thu được nhân tử hóa cần tìm.

Từ nhân tử hóa f = c(f)f1 với f1 nguyên hàm, ta thấy rằng các phần tử tối giản của A[X] được

tìm ra giữa các đa thức hằng số và các đa thức nguyên hàm.



...



...

c 1

c f 1 m

d 1

d g 1 r

Lấy là hai nhân tử hóa của một phần tử f của A[X] vào

các phần tử tối giản với các hằng số ci, dj và các đa thức nguyên hàm fi, gj. Khi đó:

c f (

)



d ...

c 1

c ... m

d 1

(tùy vào các đơn vị trong A)

Tiếp tục sử dụng A là một miền nhân tử hóa duy nhất, ta thấy m = r và sự phân biệt của ci chỉ từ di

bởi các đơn vị và sự sắp xếp thứ tự.

...



...

f 1

g 1

Do đó (tùy vào các đơn vị trong A).

Bổ đề Gauss chứng minh fi, gj là các đa thức tối giản trong F[X] và, sử dụng F[X] là một

miền xác định nhân tử hóa duy nhất, ta thấy n = s và sự khác nhau của fi chỉ từ gi bởi các đơn vị

trong F và bởi sự sắp xếp thứ tự của chúng.



a b

Nhưng nếu với a và b là các phần tử khác 0 của A, khi đó:

bfi = a gj.

Khi fi và gj là nguyên hàm, ta suy ra b = a (tùy vào một đơn vị trong A).

a b

CÁC NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH.

§2.

Do đó là một đơn vị trong A.

Phần này giới thiệu một số kết quả quen biết về các nhóm abel hữu hạn sinh.

,...,

A sao

a a , 1 2

a n

Định nghĩa 2.1: Một nhóm abel A là hữu hạn sinh nếu có hữu hạn phần tử

k a i i

 1

 

cho với bất kỳ x A , có các số nguyên k1, k2, … , kn sao cho:

Định nghĩa 2.2: Cho A là một nhóm abel. Nhóm con xoắn của A, ký hiệu T(A), là tập:



a A n

   |



. T(A) = {

Định nghĩa 2.3: Một nhóm abel A được gọi là không có xoắn nếu T(A) = {0}.

Bổ đề 2.4: Cho A là một nhóm abel. Khi đó A/T(A) là không có xoắn.



 tổng của n bản được gọi là nhóm abel không có hạng n.

n   

...

Định nghĩa 2.5:

Định lý 2.6: Nếu A là một nhóm abel không có xoắn hữu hạn sinh mà có một tập hợp các phần tử

sinh có lực lượng bé nhất với n phần tử, khi đó A đẳng cấu với nhóm abel tự do hạng n.

Chứng minh:

Bằng phương pháp quy nạp trên số các phần tử sinh cực tiểu của A. Nếu A là cyclic (nghĩa là

được sinh bởi một phần tử khác 0), thì khi đó A   .

Giả sử rằng mệnh đề đúng với cho thấy tất cả các nhóm abel không có xoắn hữu hạn sinh với

,...,

một tập hợp các phần tử sinh cực tiểu có ít hơn n phần tử. Giả sử A là không có xoắn và

a a , 2

a } là một tập các phần tử sinh cực tiểu của A. n

{ 1

Nếu T(A/< 1a >)={0} khi đó A/< 1a > là không có xoắn và được sinh bởi n - 1 phần tử, thì kết

.  Nếu T(A/< 1a >) không là nhóm tầm thường thì có

quả được suy ra từ phép quy nạp và < 1a >

A sao cho:

một nhóm con B

T(A/< 1a >)  B/< 1a >.

  tồn tại một số nguyên 0 i  sao cho ib< 1a >.

Như vậy với bất kỳ phần tử 0 b B

ja 1

Nhưng, vậy thì với số nguyên j   .

  

:f B b

f(b) = j/i

Định nghĩa một ánh xạ (và f(0) = 0). Ta có thể kiểm tra ánh xạ này là một

phép đồng cấu của các nhóm abel, và dễ dàng kiểm tra rằng ánh xạ này có hạt nhân tầm thường, và

B f B



(

)

do đó là đơn ánh suy ra .

Vì vậy, nếu B là hữu hạn sinh (vì  là một vành Noether) thì B là cyclic.

Thật vậy, giả sử B = . Khi đó:

f(B) = < f(b1), … , f(bm) > = là một nhóm con của nhóm cyclic

<1/i1…im>, do đó là cyclic.

A B /



,...,



,...,



a 1

a 2

Nếu B = A thì A tự do sinh bởi một phần tử. Nếu không, khi đó:

A B /



(





) / (



  )

(





) /

T A (



 ).

a 1

và

Do đó, A/B là không có xoắn và được sinh bởi nhiều nhất n – 1 phần tử, do đó là abel tự do hạng m

< n bằng phương pháp quy nạp.

 và là hữu hạn sinh.

m A B   sao cho:

B A

Suy ra:

Do trên, B là cyclic nên suy ra kết quả. Chú ý, m = n – 1 vì n là cực tiểu.

Định nghĩa 2.7: Cho A là một nhóm abel, và cho B và C là các nhóm con của A. Ta nói rằng A là

  , nếu

tổng trực tiếp trong của B và C, ký hiệu A B C

B C 

{0}

A = B + C và , với B + C = { b + c | bB và cC}.

Định nghĩa 2.8: Cho P là một phạm trù và cho X và Y là các vật của P. Một cấu xạ f : X  Y

 i

 j

được gọi là đơn xạ khi với bất kỳ vật Z của P và bất kỳ cặp cấu xạ: i, j : Z  X, nếu f

thì i = j.

Định nghĩa 2.9: Cho P là một phạm trù và cho X và Y là các vật của P. Một cấu

xạ f : X  Y được gọi là toàn xạ khi với bất kỳ vật Z của P và bất kỳ cặp cấu xạ: i, j : Y  Z,



 f

thì i = j. nếu i

Định nghĩa 2.10: Cho A và B là các nhóm abel. Tổng trực tiếp ngoài của A và B trong phạm trù

của các nhóm abel, ký hiệu A B là một nhóm abel A B với các phép đồng cấu chính tắc i : A

 A B và j: B  A B thỏa mãn điều kiện với bất kỳ nhóm abel C và các cấu xạ f : A  C

   B

A B

và g : B  C, tồn tại một ánh xạ duy nhất k : A B  C sao cho biểu đồ sau giao hoán:

f k g

Suy ra i, j là các phép đơn cấu.

Định lý 2.11:

Cho A là một nhóm abel hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại một phép đẳng cấu:

 f A T A )

(



A T A )

(



 .

a 1,....,

Chứng minh: Giả sử

A T A )

(



,...,

 nên A/T(A) là hữu hạn sinh.

a 1

Khi đó



 là một tập hợp cực tiểu các phần tử sinh của A/T(A).

x 1,..., m x

Giả sử

a A T A ) /



(

k x i

ik   .

 1

 

thì với các số nguyên Nếu



(

 k x T A ) i

 1

Suy ra: .



 

T A ( )

x 1,...,

 x m

Do đó, A = .







T A (

 ) {0}

x 1,...,

x m

Hơn nữa, vì A/T(A) là không có xoắn, nó suy ra và do đó:



 

T A ( )

x 1,...,

x m

A = .

  A

A T A )

(



A T A )

(

 được cho bởi (

  )i x x i

Chú ý: Nếu: là đồng cấu thương và

thì   là một phép đồng cấu đồng nhất của A/T(A) và  là một phép đơn cấu.

Hệ quả 2.12: Mỗi nhóm abel hữu hạn sinh là tổng trực tiếp của một nhóm hữu hạn và một nhóm

abel tự do của hạng n với số nguyên n   .

Chứng minh: Ta có thể kiểm tra rằng: T(A) là một nhóm hữu hạn, và

A/T(A) hữu hạn sinh và không có xoắn.

§3. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUEN BIẾT VỀ LĨNH VỰC

LÝ THUYẾT SỐ VÀ TRƯỜNG HỮU HẠN.

Và vì thế, do định lý 2.6, A/T(A) là một nhóm abel tự do hạng n với số nguyên n   .

Trong phần này chúng tôi giới thiệu đến một số khía cạnh về số học của các đường cong

elliptic, nhằm nêu lại một ít kiến thức nền trong Lý thuyết số và Hình học Đại số.

3.1. Các đường cong phẳng.

Cho k là một trường. Ví dụ chẳng hạn, k có thể là trường  của các số hữu tỷ, trường  của

p của số p – adic, hoặc trường hữu hạn q của q

các số thực, trường  của các số phức, trường

phần tử.

Cho k là một bao đóng đại số của k.

f x y  , ở đây

) 0

( ,



k x y [ ,

]

f x y ( ,

)



Một đường cong phẳng X trên k được xác định bởi phương trình

i a x y ij



là bất khả qui trên k . Ta định nghĩa bậc của X và f như sau:

ija  0}.

deg X = deg f = max{i + j :

Một điểm k-hữu tỷ (hoặc đơn giản là k-điểm) trên X là một điểm ( , )a b với tọa độ thuộc k sao

f x y  .

) 0

( ,

cho

Tập tất cả các điểm k- hữu tỷ trên X được ký hiệu: X(k).

2 x y

26 y



11 0

 xác định một đường cong phẳng X trên  bậc 3 và

Ví dụ: Phương trình

1 2

(5, )  X(  ).

Tại điểm này ta có thể phát biểu một bài toán mở, mà trong nhiều thế kỷ đã được dùng như một

động lực thúc đẩy cho sự phát triển của nhiều ngành toán học.

Câu hỏi: Cho một đường cong phẳng X trên  , tồn tại hay không một thuật toán xác định

X( ) (liệu X( ) có khác rỗng hay không)?

Mặc dù X( ) không nhất thiết hữu hạn, nhưng ta sẽ thấy rằng, nó luôn luôn thừa nhận một sự

mô tả hữu hạn, vì thế vấn đề xác định X() có thể được chính xác hóa bằng cách sử dụng khái

niệm của máy Turing; xem [8] để tiếp cận định nghĩa. Vì có mối quan hệ của câu hỏi này với bài

toán thứ 10 của Hilbert, xin xem tổng quan trong [16].

Hiện nay có tồn tại các phương pháp tính toán trả lời câu hỏi cho một X đặc biệt, mặc dù nó

chưa từng được chứng minh rằng các phương pháp này làm việc chung nhau. Thậm chí các vấn đề

sau đây còn bỏ ngỏ :

(1) Có hay không một thuật toán khi cho một đa thức bậc bốn f(x) [x], liệu có xác định



f x ( )

được có một điểm hữu tỷ?

f x y ( ,

)



x y [ ,

]

(2) Có hay không một thuật toán khi cho một đa thức bậc 3, liệu có

f x y  có một điểm hữu tỷ?

) 0

( ,

biết

Thực ra, ta có thể nhận thấy rằng các vấn đề (1) và (2) là tương đương.

3.2. Các đường cong trên trường hữu hạn.

Cách xác định X(): sự phân chia nhỏ theo bậc. Ta trở lại vấn đề xác định tập hợp các điểm hữu

f x y  trên hoặc bao đóng xạ ảnh của nó.

) 0

( ,

tỷ X() ở đây X là một đường cong phẳng afin

Cho d = deg f . Ta xét bài toán khi tăng dần giá trị của d.

Bậc d = 1: X là các đường thẳng.

 ax by

  với 0

Ta có thể tham số hóa các điểm hữu tỷ trên đường thẳng

a b c , ,



 ;

a b c , ,



Bậc d = 2: X là các đường conic.

Legendre đã chứng minh rằng các đường conic thỏa mãn nguyên lý Hasse. Điều này nghĩa là:

X có một -điểm nếu và chỉ nếu X có  điểm và một  p- điểm với mỗi số nguyên tố p.

Vì một đường conic xạ ảnh được mô tả bởi một dạng bậc hai có 3 biến, kết quả của Legendre

có thể được xem như một trường hợp đặc biệt của định lý Hasse-Minkowski [21, Chương IV, bài

3.2].

Định lý Legendre dẫn đến một thuật toán để xác định sự tồn tại của một  -điểm trên

đường conic X.

Đây là một thuật toán: bổ sung bình phương, nhân với một hằng số, và tập trung các bình



 trong 2, ở đây

a b c  ,

phương vào các biến, để cảm sinh trường hợp

không chính phương, đôi một nguyên tố. Khi đó ta có thể chứng minh rằng tồn tại một - điểm nếu

,a b c đều không cùng dấu và các phương trình đồng dư:

  b

(mod c)

(mod a)

c  

(mod b)

a  

và chỉ nếu



 có 0

có thể giải được trong tập các số nguyên. Hơn nữa, trong trường hợp này,

một nghiệm không tầm thường trong tập các số nguyên X, Y, Z thỏa mãn

 | |

1/2 |

Y |

 | |

1/2 |

ab | |

1/2 |

và . Xem [22].

 -điểm. Vì có một cách làm hợp lý là: với mỗi điểm P  X( ) vẽ một đường qua P0 và P,, và giả sử

t là hệ số góc của nó trong  (hoặc có thể là  ). Ngược lại, cho t   , từ định lý Bézout suy ra rằng

Trong trường hợp đường conic X có một -điểm P0, vấn đề là mô tả tập hợp của tất cả các

đường qua P0 với hệ số góc t sẽ cắt đường conic tại một điểm khác (miễn là đường này không

tiếp xúc với conic tại P0), và đây sẽ là một điểm hữu tỷ.

y

2 1

 và P0(-1, 0), thì:

1 1

 

t t

t 2  t

   

  



)

( , x y

y 

Ví dụ: nếu X là đường tròn

Hình 1.1: Tham số hóa hữu tỷ của một đường tròn.

Định nghĩa các ánh xạ song hữu tỷ từ 1 đến X và ngược lại, nghĩa là bỏ qua hữu hạn các tập

con có số chiều nhỏ hơn (một vài điểm), chúng là các ánh xạ được cho bởi các hàm hữu tỷ của các

; các hệ số của các hàm hữu tỷ thuộc  , vì thế chúng cũng cảm sinh một song ánh giữa các -

biến mà cảm sinh một song ánh giữa các  -điểm. Những ánh xạ song hữu tỷ được định nghĩa trên

điểm (bỏ qua các tập con như trước). Đặc biệt, tập hợp đầy đủ các nghiệm hữu tỷ của phương trình

y

2 1

 là:

{( 1,0)}.





 

1 1

t t

2 t  t

  

     

    

đường tròn

Bậc d = 3: X các đường bậc 3 phẳng.

Lind [11] và Reichardt [17] đã khám phá ra nguyên lý Hasse có thể không đúng với các đường

cong phẳng bậc 3. Ở đây là một ví dụ thích hợp thuộc về Selmer [20]:

Đường cong 3X3 + 4Y3 + 5Z3 = 0 trong 2 có một -điểm ((( -4/3)1/3:1:0) là một) và một  p-

điểm với mỗi số nguyên tố p, nhưng nó không có  -điểm. Vì p > 5, sự tồn tại các  p-điểm có thể

được chứng minh bằng cách dùng bổ đề của Hensel [10, định lý 3] với một biến biến thiên để chứng

minh sự tồn tại của các nghiệm modulo p. Vì p = 2, 3, 5, một dạng tổng quát hơn của của bổ đề

Hensel có thể được sử dụng [10, chương I, bài tập 6]. Sự không tồn tại của các  -điểm khó xây

dựng hơn.

§4.

CÁC ĐA TẠP AFIN - ĐA TẠP XẠ ẢNH

4.1. Các đa tạp afin.

Cho k là một trường. Nếu không có giải thích gì thêm thì trường k luôn là đóng đại số.

Định nghĩa 4.1.1. Không gian afin n-chiều An (hoặc An(k)) trên trường k là tập hợp các bộ n-thành

nA được gọi là một điểm, các pi là các

phần là các phần tử của k. Một phần tử p = (p1, p2, …, pn)

tọa độ afin của p.

Ta ký hiệu k[x1, …, xn] là vành đa thức trên k với n biến. Các phần tử của k[x1, …, kn] thường

thể hiện như các hàm kn  k.

A là một đa tạp đại số afin, nếu nó là một tập zero của một

Định nghĩa 4.1.2: Một tập con

tập hữu hạn của các đa thức trong k[x1, …, xn]:

n p A f p |



(

) 0,

  i }.

cho f1, …, fk  k[x1, …, xn] thì:

X = Z(f1, …, fk) = {

A là bất khả quy nếu nó không là hợp hữu hạn của các đa tạp

nA sao cho:

Định nghĩa 4.1.3. Một đa tạp

con thực sự, nghĩa là nếu với mỗi đa tạp X1, X2

  cố định X = X1 hoặc X = X2.

Mệnh đề 4.1.4. Bất kỳ đa tạp X có thể được giải phân tích như một hợp hữu hạn của các đa tạp con



  X 1

X ... m

bất khả quy

j .

iX  Xj với mọi i Vì thế phép phân tích trên là duy nhất sai khác một phép hoán vị.

ở đây,

Ví dụ 1: Một đa tạp tuyến tính là một tập nghiệm của một hệ tuyến tính l1, …, lk. Nếu X = Z(l1,…,

lk) khác rỗng và các phương trình tuyến tính xác định là độc lập, khi đó số chiều của X là n – k và

số đối chiều của X là:

codimX = dimAn - dim X = k.

Việc định nghĩa về số chiều của các đa tạp tuyến tính có thể được lấy từ đại số tuyến tính.

Trong trường hợp các đa tạp không tuyến tính ta dựa vào một khái niệm trực giác về số chiều.

A là một đa tạp được cho bởi phương trình, X = Z(f). Nó là một đa

Ví dụ 2: Một siêu mặt

tạp có đối chiều 1. Nếu n = 3, siêu mặt được gọi là một mặt.



k x y z [ ,

, ].

Z f (

)

A là khả quy bao gồm hai thành

Cho f = (x2 + y2 - z2)(z – 1) Khi đó,

phần: một hình nón qua O và một mặt phẳng.

Đối với một siêu mặt, dễ dàng tìm được sự phân tích thành các thành phần bất khả quy:

người ta chỉ cần tìm thừa số trong phương trình định nghĩa.

Nhìn chung, đối với các đa tạp có đối chiều cao hơn, nó là một bài toán khó. Có các thuật

toán giải quyết bài toán này dựa trên việc tìm một cơ sở Grobner, chúng đòi hỏi một sự tính toán

mất nhiều thời gian.

Ví dụ 3: Một siêu mặt trong A2 là một đường cong đại số phẳng. Một parabol có thể được cho bởi

t t ( ,

)

2   x

k x y [ ; ].

tham số hóa hoặc hoàn toàn bởi Không phải mọi đường cong phẳng

đều có một tham số hóa.



t t ( ,

Ví dụ 4: Cubic xoắn là một đường cong trong A3 được cho bởi tham số hóa Nó

hoàn toàn được cho bởi hai phương trình:

  y

  

k x y z [ ; ; ]

và .

X Y .

A với X = Z(f1,

Ví dụ 5: Hợp và giao hữu hạn các đa tạp afin lại là một đa tạp afin. Nếu

 

X Y

,...,

)

Z f ( 1

f g , 1 k

 



X Y

(

1,...,

k j .

l ,..., ).

…, fk) và Y = Z(g1, …, gl), thì :

Z f g i | i

và

A cho bởi



,...,

A được xác định bởi f1, …, fk

k x 1[

x ]n



,...,

Ví dụ 6: Cho và

g 1

k y [ 1

Khi đó tích của X và Y là một đa tạp trong Am + n và là một tập zero của f1,

…, fk, g1, …, gl với fi, gj được hiểu như các đa thức trong k[x1, …, xn, y1, …, ym].

4.2. Định lý cơ bản của Hilbert:

A được xác định như sau:



,...,

Nếu một đa tạp afin

k x 1[

x ]n

p X .

X = Z(f1, …, fk), fi

thì với mỗi f có dạng ideal I = (f1, …, fk) ta có f(p) = 0, với mọi

Hơn nữa, nếu hai tập hợp của các phương trình sinh ra cùng ideal,

(f1, …, fk) = (g1, …, gl) thì dễ dàng chứng minh rằng: Z(f1, …, fk) = Z(g1, …, gl).

Do đó ta có thể thay đổi định nghĩa của một đa tạp afin sao cho thay vì nói các phương trình

A là một đa tạp afin nếu nó là một tập không của một

định nghĩa ta nói về ideal định nghĩa:

ideal hữu hạn sinh trong k[x1, …, xn].

Cho R là một vành giao hoán với 1. (Trường hợp được xét: R là một trường hoặc một vành

đa thức trên một trường).

Định nghĩa 4.2.1. Vành R là Noether nếu mọi ideal của R đều hữu hạn sinh.

Định lý 4.2.2. ( Định lý cơ bản của Hilbert).

Nếu R là một vành Noether thì R[x] cũng là vành Noether.

Hệ quả 4.2.3. Mọi ideal trong k[x1, …, xn] là hữu hạn sinh.

Từ định lý cơ bản Hilbert kéo theo giao của các đa tạp đại số lại là một đa tạp, vì nó là một

tập zero của một ideal được sinh bởi tất cả các phần tử sinh của các ideal định nghĩa.

Hơn thế nữa, tập rỗng  và toàn bộ An cũng là các đa tạp trong An. Do đó ta luôn có định

nghĩa sau đây:

Định nghĩa 4.2.4: Trong tôpô Zariski các tập mở là các phần bù cho các đa tạp đại số. Các tập mở trong hình học tôpô Zariski là rất lớn. Mỗi tập mở khác rỗng là trù mật trong An. Hơn nữa bất kỳ hai

tập mở khác rỗng đều giao nhau, vì thế nó không phải là hình học tôpô Hausdorff.

4.3. Nullstellensatz của Hilbert.

Ví dụ 7: Ideal định nghĩa của một đa tạp là không duy nhất.

Trong k[x, y] ta xét:

I1 = (f1).

f1 = x2 – y2 f2 = (x – y)2(x + y) I2 = (f2).

Rõ ràng, I1  I2 nhưng Z(I1) = Z(I2).



,...,

k x 1[

x ]n



  { f

,...,

] |

I m ,

  }.

k x [ 1

x n

Định nghĩa 4.3.1. Cho là một ideal. Căn của I là:

I , thì ideal I được gọi là một ideal căn.

Nếu

Một số tính chất về căn bậc hai của một ideal:

I cũng là một ideal.

(i) Với mỗi ideal I, căn

I

(ii)

I

I 1

= (x2 – y2). Từ Ví dụ 7 trên ta có:

A là một tập bất kỳ. Ideal triệt tiêu của X là:



  

Định nghĩa 4.3.2. Cho

,...,

] |

f p (

)

p X

}

k x 1[

x n

(X) = {f .

A , (X) là một ideal căn.

Bổ đề 4.3.3. Với mỗi

Định lý 4.3.4. (Nullstellensatz của Hilbert, HNS). Cho An là một không gian afin trên một trường k



,...,

k x 1[

x ]n

đóng đại số. Khi đó với bất kỳ iđêan ta có:

Z I

( ))

I .

 (

Do đó, có một song ánh X  (X) của tập các đa tạp đại số trong An và tập của các ideal căn



,...,

trong k[x1, …, xn]. Định lý 4.3.5. (HNS, phiên bản thứ 2). Cho An là một không gian afin trên một trường k đóng đại

)I , thì Z(I)   .

k x 1[

x ]n

(nghĩa là, nếu 1 số và cho I là một ideal trong k[x1, …, xn]. Nếu

Giả thiết: k trở thành đóng đại số thực chất được minh họa trong các ví dụ sau:

Ví dụ 8: Cho k = C.



  





(

k x y [ , ]

Z I   .

( )

I I ,

k x y [ ,

]

Nếu thì , nhưng

I nhưng

)

Z I (

I Khi đó cả hai ideal đều là ideal căn. 1

Z I ( 1

Ví dụ 9: Cho k = C. Trong k[x, y] lấy I1 = (x2 + y2) và I2 = (x, y).

Nhờ định lý Hilbert’s Nullstellensatz, ta có thể tạo được một loại “từ điển” giữa các khái niệm đại

số và hình học như sau:

(X) X

X 2

(X1)  (X2)

(X) là số nguyên tố X bất khả quy

  là một phép giao của

....

I 1

...

   1

(X) = là một phép phân

tích vào các đa tạp con bất khả quy. các ideal nguyên tố, ở đây Ii = (Xi)

Bảng 1.1

k x [ ]

4.4. Các đa tạp xạ ảnh:

Nhìn chung, nó không thể phân tích một ideal đã cho như một phép giao của các ideal được sinh bởi x2), trừ khi ideal đã cho là một ideal căn. nguyên tố (ví dụ:

Mặt phẳng xạ ảnh:

a b a b k với trường k bất

}

Mặt phẳng afin 2 là mặt phẳng thông thường, với 2(k) = {( , ) :

kỳ. Một compact hóa 2 bằng cách nối một số điểm “tại vô cùng” để sinh ra mặt phẳng xạ ảnh 2.

Một trong những lý do chính cho việc làm này là làm cho lý thuyết tương giao tốt hơn: xem định lý của Bézout trong phần 4.5.9.

Tập hợp của các k-điểm trên mặt phẳng xạ ảnh 2 có thể được định nghĩa một cách trực tiếp

như: 2(k) := (k3 – 0)/ k*.

a b c với , )

,a b c ,

k và không đồng thời bằng 0, qua mối quan hệ tương đương ~.

Nói cách khác, một điểm k-hữu tỷ trên 2 là một lớp tương đương của bộ ba ( ,



a b c ( , , )

   (

a b c ,

 

. Ở đây:

a b c được ký hiệu (

, )

a b c . Ta cũng có thể đồng nhất thức 2(k)

: )

Lớp tương đương của ( ,

x y z . , )

với tập hợp của các đường qua O trong không gian ( ,

a b :

:1)

hầu như là một song ánh: các điểm Phép đơn ánh 2(k)2(k) ánh xạ ( , )a b vào (

a b :

: 0)

hình thành một đường xạ ảnh 1(k) của “các điểm tại của 2(k) không có tạo ảnh, có dạng (

x y z , 2(k) là tập hợp các đường như

, )

vô cùng”. Xem 2(k) như đường qua O trong không gian ( ,

a b

,1)

,a b k , và phần bù 1(k) là tập hợp các đường qua O trong mặt phẳng

x y . ( , )

với thế đi qua ( ,

2 cũng có thể được bao phủ bởi 3 bản sao của 2, tên là:

{( :

x y z

: ) |

x 

x y z

: ) |

y 

x y z

: ) |

z 

. , {( : , và {( :

Không gian xạ ảnh:

Cho k là một trường.

Định nghĩa mối quan hệ tương đương:



x y z ( , , )

x y z ( ',

  



: ( ,

x y z , )



   ( z

').

Ta định nghĩa mối quan hệ tương đương  như sau trên tập k3\(0,0,0):

x y z là lớp tương đương của nó đối với quan hệ này.

, ]

x y z ( , , )

k

\ (0,0,0)

Với , ta kí hiệu [ ,

Do đó, hai điểm trong không gian k3 là tương đương nhau khi cả hai điểm đó cùng nằm trên

một đường đi qua điểm (0,0,0).

Định nghĩa không gian xạ ảnh:

Không gian xạ ảnh P2(k) được định nghĩa như sau:

x y z ( , , )

k

\ (0,0,0)

} P2(k) = {[x, y, z] |

Do đó không gian xạ ảnh P2(k) là tập hợp các đường trong k3 đí qua điểm (0,0,0).

Định nghĩa 4.4.1. Không gian xạ ảnh n-chiều Pn (hoặc Pn(k)) trên k là tập hợp các lớp tương đương





của các bộ (n + 1)-phần tử của k, tất cả không đồng thời bằng 0, với mối quan hệ tương đương  , ở

(

,...,

)

,...,

)

i = 0, ..., n.

kl  sao cho

a 0

a n

b ( 1

b n

b i

al i

đây nếu có một hằng số khác 0,



:...:

)

 được gọi là một điểm. Các pi là các tọa độ thuần nhất

p 0(

p n

Một phần tử

của p.



,...,

k x 0[

x ]n

Một tập zero trong Pn của một đa thức bất kỳ f nhìn chung không được định

l

nghĩa tốt. Nhưng nó được định nghĩa tốt nếu f là một đa thức thuần nhất, vì khi đó

l (

,...,

)

,...,

p 0

f a ( 0

a n

d là bậc của f.



,...,

k x 0[

x ]n

Định nghĩa 4.4.2. Ideal là thuần nhất, nếu nó được sinh ra bởi các đa thức thuần

nhất.

P là một đa tạp đại số xạ ảnh, nếu nó là một tập-zero của

Định nghĩa 4.4.3. Một tập con

,...,

k x 0[

x ].n

một ideal thuần nhất trong

Tổng, tích và giao của các ideal thuần nhất lại là một iđêan thuần nhất, giống như căn của

một ideal. Hơn thế nữa, nếu một ideal thuần nhất I không là một số nguyên tố thì tồn tại các đa thức

I nhưng

,f g

I . Do đó tương tự như trong trường hợp afin, ta có

thuần nhất f, g sao cho fg

tôpô Zariski trên Pn.

Ta luôn có thể nhúng một không gian afin vào không gian xạ ảnh có cùng số chiều với ví dụ



nA  n ,

:...:

,...,

(1:

(

)

p n

p 1

p n Nói một cách khác, một không gian xạ ảnh có số chiều n có thể bị phủ bởi n + 1 biểu đồ

như sau:



    với ...

  { p

(

:...:

)

 0}.

p 0

p n

n P p | i

afin.

A được mô tả như sau:



:...:

)

:...:

p 0(

  .   

    

p  1 i p i

p  1 i p i

p n p i

p 0 p i

Khi đó, một phép đẳng cấu

(

,...,

 

x x , 0 1

x )n

k x 0[

x ].n

Có một ideal thuần nhất đặc biệt trong được gọi là một ideal

không thích hợp. Nó là một ideal căn không tầm thường, nhưng không có đa tạp trong n tương ứng

(

(0,...,0)

Z I  )

với nó, như , nhưng nó không thể hiện là một điểm bất kỳ trong n. Vì thế, với

không gian xạ ảnh Nullstellensatz của Hilbert cần phải có một cải tiến.

Định lý 4.4.4 (HNS, phiên bản 1).

nP là một không gian xạ ảnh trên trường k đóng đại số. Khi đó, có một song ánh từ:

nP và tập hợp các ideal căn thuần nhất trong

X  (X) giữa tập hợp các đa tạp đại số trong

Cho

,...,

k x 0[

x , ngoại trừ I ]n



Định lý 4.4.5 (HNS, phiên bản 2).

nP là một không gian xạ ảnh trên một trường k đóng đại số và I là một iđêan thuần

Cho

,...,

k x 0[

x . ]n

nhất trong

Z I ( )

P là tập rỗng thì I chứa mI với một số giá trị m N .

Nếu

Ví dụ 10:

nP của số đối chiều k là một tập zero của các k dạng tuyến tính

Một đa tạp tuyến tính trong

độc lập.

Ví dụ 11:



3P được cho bởi tham số hóa:

s t ( : )

(

2 s t st :

)

Cubic xoắn trong và được biểu

diễn bằng ba đa thức:



x x 0 2

2 x 1

x x 1 3

2 x 2

x x 0 3

x x 1 2

Nếu ta bỏ một trong ba phương trình xác định thì tập-zero sẽ bao gồm cubic xoắn và một

đường thẳng cắt cubic tại hai điểm. Hơn nữa, các cubic xoắn có thể được tìm thấy trong [7].

Trong trường hợp siêu mặt, ta có thể dễ dàng tìm được bao đóng xạ ảnh của đa tạp: ta phải

 X Z f (

)

 , trong đó:





  ...

f 1

nP là

thuần nhất phương trình định nghĩa: Nếu với

  ...

)



,...,

]

k x 1[

x n

d Z x f ( 0

 1 d x 0

f 1

. có bậc là i , thì bao đóng của nó trong

Ví dụ minh họa của cubic xoắn trong đa tạp afin của số đối chiều cao hơn thì không dễ dàng

tìm được các phương trình của bao đóng xạ ảnh. Trong trường hợp này ta có thể thực hiện như sau:

,...,

k x 0[

x . ]n

(i) chọn một số hạng có bậc thích hợp được sắp thứ tự trong

(ii) tìm cơ sở Grobner g của iđêan xác định X .

(iii) thuần nhất mỗi đa thức trong g.

Ideal thuần nhất thu được bằng cách này là ideal định nghĩa của bao đóng xạ ảnh X  n

của X .

Ví dụ 12:

Đường cong chuẩn tắc hữu tỷ bậc d , C d là tham số hóa cho bởi:



s t ( : )

(

 1 t

:...:

)

...

x d

 1

...

x x x 0 1 2 x x x 1 2 3

x d

  

  

Ta có thể mô tả nó bằng một tập hợp các phương trình bậc hai sao cho ma trận:



,...

x x 0 2

2 x 1

x x 0 3

x x 1 2

có hạng là 1. Nghĩa là đường cong là tập zero của các đa thức:

Ví dụ 13: Hình chiếu của một đa tạp xạ ảnh từ một điểm nằm ngoài đa tạp cũng là một đa tạp xạ

ảnh.

Để chứng minh điều đó, ta dựa trên các kết quả đã biết và dùng lý thuyết loại trừ. Nhưng ta

không thể làm được điều đó với các đa tạp afin.

4.5. Các hàm và các ánh xạ.

4.5.1. Các hàm chính quy trên các đa tạp afin.

A là một đa tạp afin trên trường đóng đại số k , cho (X) là ideal triệt tiêu của

X .

Cho

Định nghĩa 4.5.1.1.

Vành tọa độ (afin) của X là vành thương

k X [

]



,...,

] /

k x [ 1

x n

(X).

k X như là các hàm thì ta xây dựng bằng cách

]

,...,

k x 1[

x và [ ]n

Nếu ta xem các phần tử của

,...,

[

,...,

k x 1[

x vào trong X: với ]n

 F G k x 1

x ]n

đồng nhất tất cả các đa thức trong

 F x G x ( )

( )

Ta có F ~ G (mod(X)), chính xác là nếu: với mọi x X .

Mệnh đề 4.5.1.2.

k X của một số đa tạp X nếu

]

Một đại số giao hoán A trên trường k đẳng cấu với vành tọa độ [

và chỉ nếu A không có lũy linh và là hữu hạn sinh như một đại số trên k .

Định nghĩa 4.5.1.3.

,..,

:f X

k là chính quy, nếu có một đa thức

 F k x 1[

x ]n

  . Vành các hàm chính quy trên X, ký hiệu là : (X). , x X

f x ( )



F x ( )

Một hàm số sao cho

k X [

]

. Từ định nghĩa này ta có: (X)

Ví dụ 14:

k X [

]



,...,

k x [ 1

x ]n

. Khi đó: (X) = 0. Nếu X  n thì

Ví dụ 15:

k X

]

k .

Nếu X là điểm đơn thì [

k X được “thừa hưởng" từ vành đa thức [

]

,...,

k x 1[

x : ]n

Định lý cơ bản của Hilbert đối với



I ( )



,...,

k X [

]

k x [ 1

x ]n

thì cũng là ideal. với một ideal

,...,

]

k X [

]

k x 1[

x n

là phép chiếu tự nhiên. Trong đó, :

F thì I được sinh bởi



),...,

(

1  được sinh bởi

F 1,...,

F 1(

 . F )k

Nếu

Do đó, ta có thể định nghĩa hình học tôpô Zariski trên X bằng cách lấy đa tạp con của X

k X ). ]

như là các tập đóng (các tập zero của các ideal trong [

I Y ( )

k X , do đó ta có song ánh

]

giữa Tương tự, Nullstellensatz Hilbert cũng thỏa mãn trong [

k X .

]

các đa tạp con của X và các ideal căn trong [

Bổ đề 4.5.1.4.

Các phát biểu sau là tương đương:

A là bất khả quy,

(ii một tập con mở khác rỗng của X là trù mật trong X ,

,U U là các tập con mở khác rỗng của X thì

U U   . 2

(iii ) nếu

4.5.2. Các ánh xạ chính quy của các đa tạp afin.

Định nghĩa 4.5.2.1.

  là chính quy (một cấu xạ), nếu có m hàm chính quy

: X

f (X)

1,..., m

Một ánh xạ

  x ( )

(

( ),...,

x ( ))

f x 1

sao cho .

Định nghĩa 4.5.2.2.

  là phép đẳng cấu, nếu tồn tại một ánh xạ nghịch đảo chính quy

: X

Ánh xạ chính quy

,X Y được gọi là đẳng cấu.

thì các đa tạp

Ví dụ 16:

 P Z y

(



)

1   P : A

t t ( ,

)

đẳng cấu với đường afin: Parabol

1   A

: P

x y ( ,

)

x

có ánh xạ ngược:

1A .

là ánh xạ đồng nhất trên Rõ ràng,   là ánh xạ đồng nhất trên P và  

k Y   cảm sinh một đồng cấu của các k-đại số [ ]

: X

k X [

]

Một cấu xạ của các đa tạp

f Y [ ]

từ vào f  . Thật vậy, nếu f là một hàm chính quy thì nó được mô tả bởi đa thức

,...,



,...,

]



,...,

 F k y 1[

F 1

F m

k x [ 1

x n

F 1(

F )m



. Vì  là một cấu xạ nên có sao cho . Do

  X

  ( ) x

( ),...,

( ))

F F x ( 1

F x m

đó, nếu có thì ta có: và nó thật sự là một hàm chính

quy trên X .



* : [ ] k Y



k X [

]

* là đồng cấu

được gọi là cái níu lại của  thì Ánh xạ từ f đến f 

k-đại số.



k Y : [ ]



k X [

]

  sao

: X

Mặt khác, với mỗi đồng cấu k-đại số thì tồn tại một cấu xạ

*  .

cho

Định lý 4.5.2.3.

k X và [ ]

k Y là đẳng cấu như các

]

Các đa tạp afin X và Y là đẳng cấu nhau nếu và chỉ nếu [

k-đại số.

4.5.3. Các hàm hữu tỷ trên các đa tạp afin.

A là một đa tạp bất khả quy. Thì vành tọa độ [

k X của nó không có ước số 0 và

]

Cho

k X . Nói cách khác, [

]

k X là tập các lớp tương đương [

]

do đó có thể được nhúng vào trường các thương của nó mà ta ký hiệu là



[

,..,

(X)} |~,

G H G H k x , 1

x H ],n

{

G H G H nếu ~ '/

GH HG '

(X) và phép “+”, “.” được định nghĩa theo nghĩa

Trong đó,

thông thường.

]

k X được gọi là trường các hàm hữu tỷ trên X hay là trường hàm của X .

Định nghĩa 4.5.3.1.

Trường [

k X [

]

Định nghĩa 4.5.3.2. Hàm được gọi là chính quy tại x X nếu có



H x  . ( ) 0

[

,...,

 G H k x 1

x ]n

G H

sao cho và

Định lý 4.5.3.3.

k X [

]

Nếu một hàm hữu tỷ là chính quy tại mọi điểm x X thì nó chính quy (theo định

nghĩa 4.5.3.1 ).

4.5.4. Các ánh xạ hữu tỉ của các đa tạp afin.



,n A Y



Cho là các đa tạp afin bất khả quy.

Định nghĩa 4.5.4.1.

  là một m-bộ các hàm hữu tỷ

: X

k X [

]

1,...,

Một ánh xạ hữu tỷ



,...,

f 1(

if là chính quy tại x với mọi x X thì ánh xạ  là chính quy tại x .

. Nếu sao cho

Định nghĩa 4.5.4.2.

  được gọi là trội, nếu ảnh của X qua  là trù mật trong Y .

: X

Một ánh xạ hữu tỷ

Định nghĩa 4.5.4.3.

  là song hữu tỷ (tương đương song hữu tỷ) nếu nó có ánh xạ

: X

Một ánh xạ hữu tỷ

  sao cho: X

ngược hữu tỷ, nghĩa là nếu có

 Cả  và  đều trội,

   

 

 và , tại mọi nơi các phép hợp thành là xác định.

Khi đó, X và Y được gọi là tương đương song hữu tỷ (song hữu tỷ).

Ví dụ 17:

1A :

 C Z y

(



)

1   A

Cubic lùi là song hữu tỷ vào trong



(

)

Ánh xạ

  : C

1 A



x y ( ,

)

y x

có ánh xạ ngược hữu tỷ

  là trội thì cái níu lại

: X



* : [ ] k Y



k X [

]

được xác định. Khi đó, với Nếu ánh xạ hữu tỷ

*(   f

)

k X [

]

k Y [ ]

k Y .

ta có: mỗi . Ánh xạ này được mở rộng một cách duy nhất đến [ ]

* là một song ánh giữa các ánh xạ hữu tỷ

k Y  k(X).

Tương tự như trường hợp các ánh xạ chính quy,

Y và các phép nhúng k-đại số ( )

trội X

Định lý 4.5.4.4.

k X

)

k Y ( )

. Các đa tạp X và Y là song hữu tỷ nếu và chỉ nếu (

4.5.5. Các hàm trên các đa tạp tựa xạ ảnh.

P , vành tọa độ của X được xác định tương tự như trong trường

Với mỗi đa tạp xạ ảnh

hợp afin:

k X [

]



,...,

] /

I X (

)

k x [ 0

x n

nhưng bây giờ nó có một cấu trúc cộng của một vành phân bậc, nghĩa là nó là tổng trực tiếp của các

k X [

]

    ,

...

R 2

R 0

R 1

không gian vectơ:

iR là các lớp tương đương của các dạng

R R i

R 

x 0,...,

x có bậc là n

i .

trong đó, . Các phần tử của

Ví dụ 18:

(





)

 là đường tròn đơn vị. Thì

k X là tổng trực tiếp của các [

]

2  X Z x 1

2 x 2

2 x 0

Cho

  



 

, (

)

 







R 0 R 1 R 2

1 , k x x x , 0 1 2 k 2 x x x x x x x x , 0 0 2 1 2

0 1

2 1

2 x 2

2 x 0

2 x 1

không gian vectơ:

------

Định nghĩa 4.5.5.1:

Một đa tạp tựa xạ ảnh X  n là một tập con mở của một đa tạp xạ ảnh.

Sau đây ta chỉ xét các đa tạp tựa xạ ảnh. Định nghĩa 4.5.5.2: Cho một đa tạp bất khả quy X   n, trường của các hàm hữu tỷ trên X (trường

hàm của X) là một tập hợp các lớp tương đương





{ g / h g,h R mà d , h 0(mod (X))}|~.

với g/h ~ g’/h’ nếu gh’ – hg’ = 0 (mod(X)) Các phần tử trên k(X) được gọi là các hàm hữu tỷ trên

Định nghĩa 4.5.5.3: Hàm hữu tỷ f : X k là chính quy tại x X nếu tồn tại một tập con mở



U X chứa x và với g,h k X



 

thuần nhất cùng bậc sao cho h không bị triệt tiêu trên U và f =

g/h.

Hàm f : X k là chính quy nếu nó chính quy tại mọi điểm x X .

Vành các hàm chính quy trên X được ký hiệu là: (X).

Định lý 4.5.5.4:

Nếu X  n là đóng (nghĩa là nó là một đa tạp xạ ảnh) thì (X)  k.

4.5.6. Các ánh xạ trên những đa tạp tựa xạ ảnh :

Cho X  n và Y  m là những đa tạp tựa xạ ảnh.

  của những đa tạp tựa xạ ảnh là chính quy (một cấu xạ)

: X Y

Định nghĩa 4.5.6.1: Một ánh xạ



nếu với mọi tập con mở V Y và với mỗi hàm số f : V k chính quy trên V thì hàm số

  1 :







cũng là chính quy.

  là chính quy nếu với mỗi

: X Y

Sự giải thích sau đây có thể là hữu ích hơn. Ánh xạ



x X thì tồn tại các dạng





f ;...;f 0

k x ,..., x 0

có cùng bậc sao cho:

 

f :...: f 0





+ xác định trên một tập mở U X chứa x và

0 tại ít nhất một giá trị i.



 if x

  là một phép đẳng cấu nếu nó có ánh xạ ngược chính

: X Y

Định nghĩa 4.5.6.2: Một cấu xạ

  được gọi là phép nhúng nếu nó là

: X Y

quy. Khi đó X và Y được gọi là đẳng cấu. Một ánh xạ

X 

một đẳng cấu của X và ảnh của nó là .

 

x x



s : t là tọa





2

x : x : x là tọa độ thuần nhất trên 2 thì ánh xạ chính quy:

Ví dụ 19: Một conic trên 2 đẳng cấu với đường thẳng xạ ảnh. Nếu 



: 1  C



s : t

s : st : t

độ thuần nhất trên 1 và 











0 )

có ánh xạ ngược chính quy:

: C  1 



x : x 0

x : x : x 1

0 )

x : x trên U2 (

trên U0 ( 





C U

   C C U



  



Khi đó , ta có thể mô tả ánh xạ  tại mọi điểm. Định nghĩa  là một



 ta luôn có:

x : x



x x : x



x x : x x



x : x













2 1





định nghĩa tốt kể cả trong trường hợp

Lưu ý rằng, vành tọa độ của các đa tạp xạ ảnh chứa nhiều thông tin hơn vành afin tương ứng.

Trong ví dụ 19 trên, conic C là một đẳng cấu của 1, tuy nhiên các vành tọa độ của chúng không



 không những phụ thuộc vào lớp các 

 được sinh ra bởi 2 phần tử. Vành k X 



đẳng cấu, vì k C

phép đẳng cấu của các đa tạp mà còn phụ thuộc vào phép nhúng của X vào không gian xạ ảnh.

Trên thực tế, nếu các vành tọa độ của hai đa tạp là đẳng cấu thì những đa tạp này là tương

đương xạ ảnh, có nghĩa là tồn tại một phép biến đổi tuyến tính của không gian xạ ảnh ambient từ

một đa tạp này đến một đa tạp khác.

  là hữu tỷ nếu nó được xác định ít nhất trên một tập con mở

: X Y

Định nghĩa 4.5.6.3: Ánh xạ

trù mật của X và nó chính quy trên những miền xác định của nó. Hơn nữa, ánh xạ đó còn là song

hữu tỷ nếu nó có ánh xạ ngược hữu tỷ, khi đó X và Y được gọi là tương đương song hữu tỷ.

Định nghĩa 4.5.6.4:

Một đa tạp X được gọi là hữu tỷ nếu nó tương đương song hữu tỷ với d.

Do đó, tương đương song hữu tỷ này được gọi là một tham số hóa của X.

Đa tạp X được gọi là đơn hữu tỷ nếu nó là ảnh hữu tỷ của một d.

 k X k Y





Định lý 4.5.6.5: Đa tạp X và Y là song hữu tỷ khi và chỉ khi .

Định lý 4.5.6.6:

Mọi đa tạp đại số bất kỳ đều là song hữu tỷ với một siêu mặt trên  m.

Chứng minh: Vì k(X) là mở rộng hữu hạn sinh của một trường đóng đại số, do đó:



y ,..., y là độc lập siêu việt trên k và ym mang tính chất đại số

 k(X) k y ,......, y





 m 1

với

trên k(y1,....,ym – 1).



 p ' k y ,..., y





 m 1

Gọi là đa thức nhỏ nhất của ym. Bằng phép nhân thích hợp ta có thể xóa



,...,

x , ]

k y [ 1

. bỏ y1, …, ym – 1 từ các mẫu thức, thu được

Khi đó X là song hữu tỷ với bao đóng xạ ảnh của Z(p) là một siêu phẳng trong m.

4.5.7. Một vài ví dụ:

Ví dụ 20: Ta gọi “đa tạp afin” với ý nghĩa là một đa tạp tựa xạ ảnh đẳng cấu với một đa tạp afin.

Một “tập con mở chính” trên n là phần bù của một siêu mặt, nghĩa là tập hợp {p n f (p) 0 }



k x ,..., x





. với các đa thức đơn

Ta thấy rằng một tập con mở chính là một đa tạp afin.



p ,...,p

p ,...,p ,1 / f (p)

: (n\Z(f))  n+1 xác định bởi 







Cho thì  là chính quy với ảnh

 

 1 k x ,...., x



 n 1



Y = Z(g) với g = .









 : p ,...,p 1

 n 1

p ,...,p 1

. Ánh xạ ngược là phép chiếu

Ví dụ 21: Ta gọi “một đa tạp xạ ảnh” là một vật thể bất kỳ mà có thể được nhúng vào trong một

không gian xạ ảnh như là một đa tạp xạ ảnh.

Đặc biệt, tích  n  m là một đa tạp xạ ảnh vì nó có thể được nhúng vào N với: N = (n +





1)(m + 1) - 1 như sau:











x :...: x ; y :...: y n

x y : x y :...: x y 1 n m

z : z :...: z 00 01







z z

, ,

i k

j l 0, ..., ; , n

0, ...,

m .

Ảnh là tập-zero của các đa thức:

Ánh xạ nói trên được gọi là phép nhúng Segre.

4.5.8. Bao đóng xạ ảnh của các đường cong:

f x y bậc d là

( ,

)

F X Y Z ,

(

) :



d Z f

X Y , Z Z

  

  

Hàm thuần nhất của một đa thức . Bằng cách

khác, ta thay đổi x bởi X, y bởi Y, và thêm vào đủ các thành phần của Z để mỗi đơn thức mang bậc

f x y ( , )



F x y ( ,

,1)

tổng của của mỗi đơn thức là d. Ta có thể thu lại f như sau: .

f x y  là một đường cong phẳng C trong 2, bao đóng xạ ảnh của nó là đường cong C ( ,

) 0

Nếu

trong 2 được định nghĩa bởi phương trình thuần nhất:

F(X, Y, Z) = 0.

Đường cong C bằng với C cộng với một số điểm “tại vô cực”.

f x y ( ,

)





  , thì: 7

Ví dụ 22: Nếu

{

F(X, Y, Z) = Y2 Z – X3 + X Z2 – 7 Z3

  ( C

)



zeros of F } * 

{

 } 0



= zeros of F(X, Y, 1) }

{

zeros of F(X, Y, Z) * 

= C(

  )

P { },

Và

ở đây P là điểm (0 : 1: 0) “tại vô cực”.

4.5.9. Định lý Bézout:

Một trong những lý do chủ yếu sớm được đề cập đến việc nghiên cứu trong mặt phẳng xạ

ảnh là thu được một lý thuyết tương giao tốt.

Cho F(X, Y, Z) = 0 và G(X, Y, Z) = 0 là những đường cong trong 2 trên k, với bậc m và n

tương ứng.

Định lý Bézout nói chính xác rằng: chúng giao nhau tại mn điểm của 2, với điều kiện là:

(1) F và G không có các thừa số chung không tầm thường.

(2) Nghiên cứu trên một trường đóng đại số, và

4.5.10. Các đa tạp nhóm afin 1-chiều trên trường k.

(3) Đếm các điểm bội tương giao (trong trường hợp kỳ dị, hoặc các điểm tiếp xúc).

Các đa tạp nhóm afin 1-chiều G trên k có thể được phân lớp. Một cách đơn giản, ta có thể

giả sử k là 1 trường hoàn chỉnh của các phần tử khác 2.

( )G k

Ta có bảng :

Đa tạp Luật nhóm

 a 1 k, đối với phép + x1, x2  x1 + x2



(

),(

)

(

)

x y , 1 1

x y , 2

x x y y , 1 2 1 2

chuaån 

( )a



(

), (

)

(



)

k a

ker

* )

ay

2 1 

x y , 1 1

x x 1 2

ay y x y , 1 2 1 2

x y 2 1

m



 * k

 m k*, đối với phép * xy = 1

Bảng 1.2

m với

a k .

- Cột 1: Đa tạp nhóm G , là nhóm cộng tính G a hoặc nhóm nhân G m hoặc nhóm xoắn G ( )a

*2 k ,

* /k

m xem như là một đa tạp nhóm được xác định bởi ảnh của a trên

+ Loại đẳng cấu của G ( )a

a k thì G ( )a

m  G m .

và nếu

- Cột 2: Mô tả G như là một đa tạp, ở mỗi trường hợp G cũng là A 1 hoặc là một đường cong

phẳng trong A 2 .

  theo các tọa độ .

- Cột 3: Biểu diễn cấu xạ luật nhóm: G G G

( )G k .

§5. CÁC KHÁI NIỆM, CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ

ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC.

- Cột 4: Mô tả nhóm các điểm hữu tỉ

5.1. Các định nghĩa tương đương về đường cong elliptic:

Cho k là một trường hoàn chỉnh. Một đường cong elliptic trên k có thể được định nghĩa như

một trong ba cách bất kỳ sau:

(1) Bao đóng xạ ảnh của một đường cong không kỳ dị được định nghĩa bởi một “phương

trình Weierstrass”







 a xy a y 1

a x 2

 a x a 4 6

k Nếu đặc số của k khác 2 hoặc 3, người ta có thể hạn chế việc xét tới các bao

a a a a a 3 6

với 1, 2





Ax B

 .

đóng xạ ảnh của các đường cong

Ta có thể chứng minh rằng đường cong không kỳ dị nếu và chỉ nếu:

x3 + Ax + B có các nghiệm khác biệt trong k , và điều này tồn tại nếu và chỉ nếu biệt thức

   :

16(4

3 A



)

 0.

(2) Một xạ ảnh không kỳ dị giống như đường cong trên k được trang bị với một điểm k-hữu

tỷ 0.

(3) Một đa tạp nhóm xạ ảnh một chiều trên k.

5.2. Các điểm kỳ dị:

f x y  trên k, khi đó:

) 0

( ,

 f

Nếu (0, 0) là một điểm trên đường cong afin

 triệt tiêu tại (0, 0). y

 x

(0, 0) là một điểm kỳ dị nếu cả hai và

Một cách tương đương, (0, 0) là điểm kỳ dị nếu f = f2 + f3 + . . . + fd, ở đây mỗi fi  k[x, y] là một đa thức thuần nhất bậc i. Chẳng hạn (0, 0) là kỳ dị trên y2 = x3 và trên y2 = x3 + x2, nhưng không kỳ dị trên đường y2 = x3 – x (xem Hình: 1.2, 1.3, 1.4).

f X a Y b



(

) 0

 .

Tổng quát hơn, ( , )a b là kỳ dị trên f(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu (0, 0) là kỳ dị trên

Hình 1.2: Đồ thị của y2 = x3 + x2. Hình 1.3: Đồ thị của y2 = x3.

Hình 1.4: Đồ thị của y2 = x3 – x.

Một đường cong afin là không kỳ dị nếu nó không có các điểm kỳ dị. Một đường cong xạ

ảnh F(X, Y, Z) = 0 là không kỳ dị nếu “các mảnh afin” của nó F(x, y, 1) = 0, F(x, 1, z) = 0, F(1, y,

z) = 0 là không kỳ dị.

Sự trơn là một từ đồng nghĩa với không kỳ dị, ít nhất là đối với các đường cong trên một

trường k hoàn chỉnh.

5.3. Giống (Loại):

Cho X là đường cong xạ ảnh không kỳ dị trên một trường k hoàn chỉnh. Loại của X là một số

nguyên không âm g để đo sự phức tạp hình học của X. Nó có các định nghĩa tương đương sau:

g 

 , ở đây  là không gian véctơ của các vi phân chính qui trên X. (Chính quy

dimk

(A)

mang nghĩa: “không cực điểm”. Nếu k = , thì chính quy tương đương với chỉnh hình.)

(B) g là loại hình học tôpô (số các quai) của mặt Riemann compact X(). (Định nghĩa này

(



chỉ tồn tại nếu k có thể được nhúng vào .)



1)( 2

d song hữu tỷ với X (có thể là một kỳ dị). Ví dụ: một đường cong phẳng bậc 3 không kỳ dị có loại

5.4. Cấu trúc của E(k) đối với các trường k hữu hạn.

là 1.

5.4.1. Đường cong eliptic trên trường hữu hạn.

Cho E là một đường cong eliptic trên trường hữu hạn q có q phần tử. Vì E(q) là một tập

con của  2 (q), E(q) là một nhóm abel hữu hạn. Hass đã chứng minh được: # E(q) = q + 1 – a,



trong đó, .

(1)

Đây là một trường hợp đặc biệt của “giả thuyết Wiel”. Hơn nữa, một thuật toán của Schoof

(log )Oq

như sau: một thuật toán mà ta sẽ không giải thích sự xác đã tính # E(q) với độ phức tạp

định # (q) mod  với mỗi số nguyên tố  ta có log q , khi đó định lý số dư Trung hoa đã tìm lại

được: #E(q).



  trên trường  3 .

Ví dụ 1: Cho E là đường cong eliptic

1  # E(3) 7 .

Định lý Hass chỉ ra :

Thật ra, E(3) = {(0;1), (0;-1), (1;1), (1;-1), (2;1), (2;-1), O},

và E(3)  /7.

Đây là một bài tập cho người đọc, một ví dụ về cái mà được gọi là bài toán logarit elliptic rời

rạc: bội của (0;1) có bằng (1;1) không ?



 (xem hình 1.4) trên trường 3 thì:

Ví dụ 2: Cho E là đường cong elliptic

E(3) = {(0;0), (1;0), (2;0), O}

và E(3)  /2/2.

Ví dụ 3: Cho E là đường cong elliptic có dạng: y2 = x3 + x trên trường 23, khi đó điểm (9, 5) thỏa









25 729 9(mod 23) . Các phần tử của đồ thị đường

x (mod23)

mãn phương trình: hay

cong elliptic này được cho bởi hình 1.5 sau:

Hình 1.5.

5.4.2. Đường cong elliptic trên trường hữu tỷ .

Định lý Mordell:

Cho E là đường cong eliptic trên . Mordell đã chứng minh rằng: E() là một nhóm abel

hữu hạn sinh:

E( )   r T

với r  0 được gọi là hạng, và T = E( ) tors là nhóm abel hữu hạn được gọi là nhóm con xoắn.

(Đôi khi định lý Mordell còn được gọi là định lý Mordell-Wiel, vì Wiel đã tổng quát hóa đối với các

đa tạp abel trên các trường số. Các đa tạp abel là các đa tạp nhóm xạ ảnh với số chiều tùy ý).





. Ví dụ 1: Cho E là đường cong eliptic trên trường :

Ta có thể chỉ ra rằng: E()  /2 /2.

Trong đó: E()/E() tors được sinh bởi (-4; 6).

  y



Ví dụ 2: Cho E là đường cong eliptic trên có dạng: . Ta còn xem như là “đường

1(11)

cong modular ”. Khi đó:

E(  ) = {(0;0), (0;-1), (1;0), (1;-1), O}  /5.

1063



 (không thuộc dạng Weiers-trass nhưng nó

x .

Ví dụ 3: Cho E là đường cong eliptic:





2 1063

đẳng cấu với ). Sử dụng “các điểm Heegner trên các đường cong modular”,

Elkies [5] đã tính được rằng:

E()  /2/2.

2 / 1063

q 

. Trong đó, E()/E() tors được sinh bởi 1 điểm với hoành độ x =

11091863741829769675047021635712281767382339667434645 317342657544772180735207977320900012522807936777887

với



  y



 ax b

Ví dụ 4: Cho E là đường cong eliptic:

Trong đó:

a  

120039822036992245303534619191166796374,

b 

504224992484910670010801799168082726759443756222911415116.

r 

và

. Martin và McMillen [12] đã chỉ ra rằng E( )   r trong đó

Giả sử xem E biến thiên trên tất cả các đường cong eliptic trên trường với hạng r lớn tùy

ý. 5.5. Các cubic Weierstrass kỳ dị.





 thì E có nhiều nhất một điểm kỳ dị.

- Nếu E là một đường cong kỳ dị được xác định như là bao đóng xạ ảnh của:

(0;0)

0P là điểm kỳ dị. Bằng cách đổi biến số ta có thể giả sử:

P  0

- Cho . Khi đó phương

(



)



 . 0

trình dạng:

Hình 1.6. Đồ thị minh họa phương trình x3 + x2 – y2 = 0 (hay (y2 – x2) – x3 = 0).

 

. - Đường thẳng tiếp xúc với các nhánh tại (0, 0) là: y

0a  hoặc

0a  .

- Điểm kỳ dị được gọi là điểm nút hoặc điểm lùi khi

 :



nsE

P { } 0

- Trong trường hợp: trở thành đa tạp nhóm afin 1-chiều sử dụng cấu trúc

hình học giống như trường hợp không kỳ dị. (Một đường thẳng L đi qua 2 điểm không kỳ dị không

0P , vì giao của các bội tại

0P ít nhất là 2, trái với kết quả của định lý Bézout.)

khi a



0 (ñieåm luøi)



khi a k

thể xuyên qua



(ñieåm nuùt)

khi a khoâng chính phöông

(ñieåm nuùt)

a ( ) m

    

- Thật vậy,

x

Ví dụ 5: Nếu E là bao đóng xạ ảnh của : (xem hình 1.3), có điểm lùi tại (0;0) thì phép



 a

x y ( ,

)



x y /

 2

 3

t ( :1:

)



t (

)



đẳng cấu được cho bởi:

t ( :1:

u ),( :1:

v ),( :1:

3 v là cộng tuyến trong  2 với :

)

t u v

   .

- Ta có thể kiểm tra được rằng:

5.6. Sự rút gọn theo mod p .

:E y





Ax B

 trên  đẳng

Với bất kỳ u   *, đường cong eliptic





 u AX u B

cấu với:

Y u y X u x ;



6u ; đặt:

(nhân các phương trình với ).

,A B .

Do đó ta có thể giả sử:

Khi đó, ta có thể rút gọn các phương trình theo mod p (nguyên tố) để được đường cong bậc

ba E trên p. Nhưng E có thể kỳ dị. Điều này xảy ra nếu và chỉ nếu p ước của  .

Ta nói rằng E có rút gọn tốt tại p nếu có một số phương trình Weierstrass cho E (thu được

bằng cách đổi tọa độ) mà sự rút gọn theo mod p là không kỳ dị. Tương tự, nếu có một phương trình

Weierstrass cho E mà sự rút gọn theo mod p là một đường cong bậc ba có một điểm nút thì ta nói

rằng E có sự rút gọn với phép nhân tại p . Khi đó, ta nói rằng E có sự rút gọn tốt nhân tách hoặc rút

nsE là  m hoặc là một xoắn .

gọn nhân không tách tùy theo

Mặt khác, nếu E không có rút gọn tốt hoặc rút gọn nhân thì tất cả các phương trình

Weierstrass đối với E là rút gọn theo mod p để có một đường cong bậc ba với một điểm lùi và ta nói

E có sự rút gọn cộng. Ta có bảng tóm tắt:

nsE

Điểm kỳ dị Thuật ngữ

Rút gọn tốt Không có điểm nào

a

Điểm lùi Rút gọn cộng

 m hoặc

( ) d m Rút gọn nhân.

Điểm nút

Bảng 1.3

E () tors .

5.7. Sự hữu hạn của nhóm xoắn:

; ;a b c  sao cho:

,a b c có thể được rút gọn

- Giả sử một đường cong eliptic E trên  có sự rút gọn tốt tại p . Bất kỳ 1 điểm trên E() có thể

a b c với : )

gdc a b c  thì

, ) 1

( ,

được viết dưới dạng (

theo mod p cho ta một điểm trên E ( p ). Điều này xác định một phép đồng cấu: E()  E ( p ). Kí hiệu: gcd(a,b,c) là ước số chung lớn nhất của a, b, c.

2p  thì nhóm con xoắn T của E() nhúng được vào

E ( p ) .

Định lý 5.7.1: Nếu E có sự rút gọn tốt tại

Hệ quả 5.7.2: T là hữu hạn.



3 4 

 trên . Khi đó:

  

16(4( 4)





2 27.4 )

 

8 2 .11,

Ví dụ 6: Cho đường cong eliptic E:

p 

2,11

. Vì thế E là rút gọn tốt tại p ít nhất là với

# E ( 3 ) = 7 và # E ( 5 ) = 9 .

Ta tính được:

Nhóm duy nhất được nhúng đơn ánh vào các nhóm cấp 7 và 9 là nhóm tầm thường, nên

T 

{0}

Đặt biệt, (0;2) E(): là có cấp vô hạn và E() có hạng dương.

5.8. Các định lý khác về nhóm con xoắn T.

:E y





Ax B

 là một đường cong eliptic. Nếu P T và

,A B  sao cho:

Định lý 5.8.1. (Định lý Luzt, Nagell): 2 Cho

3 A





(

)

P O , thì

x y , 0 0

,x y  và 0

y 0 | 4

trong đó: .

Điều này cho ta một phương pháp để xác định T.

Định lý 5.8.2. (Định lý Mazur):

Nếu E là một đường cong eliptic trên  thì:

, N 11 T /N với N 12 , hoặc T  /2/2N với N 4 .

T 

[ ]x mà các nghiệm

1m  , ta có thể sử dụng luật nhóm để tính các đa thức

m x ( )

Đặc biệt : # Với mỗi

của đa thức là các hoành độ x của các điểm có cấp là m trong E().

m và kiểm tra lại để

Việc xác định các điểm có cấp m trong E() là tìm các nghiệm hữu tỷ của

ta có một tung độ y hữu tỷ.

Theo định lý Mazur chỉ có hữu hạn m được xét từ đó cho ta thuật toán thời gian đa để tính T.

5.9. Các hàm độ cao.

Tiếp sau đây ta mô tả một số bước để chứng minh định lý Mordell:



(

a b c : : )

 2 (), thì ta có thể giả sử:

gdc a b c  .

, ) 1

( ,

,a b c  và

H P (

) : max(



a b c

)

Nếu

h P

) :



log

H P (

)

Khi đó ta định nghĩa: . và (

h P là độ cao (logarit) của P.

)

Ta gọi (

Đại khái, h(P) là chiều rộng của một tờ giấy được cần để viết xuống P.

H P (

)



 } (2





0, #{

  2 ():

Dễ thấy, với bất kỳ

Vì vậy:

h P

)

B }

là hữu hạn . (1) {P   2 (): (

Đây là trường hợp đặc biệt của định lý Northcott [28, §2.4]. Nếu E   2 là một đường cong eliptic

,P Q E(),

trên  thì ta có thể chỉ ra rằng:

 h P Q h P Q )





(

) 2 (

h P



) 2 (

h Q O )



(1)

(2) (

Ở đây O(1) phụ thuộc vào E nhưng không phụ thuộc vào P hoặc Q.

P E  bởi :

(

)

 h P (

) :



lim

n ) / 4 .



Định nghĩa độ cao chính tắc hay độ cao Néron-Tate của

,P Q  E(), và n,

Sau đây là các hệ quả của (1) và (2): với

h P

 (2 ) 4 (

h P O  (1)

)

(a)

h P là tồn tại .

)

(b) Định nghĩa giới hạn (

)



h P O  (1).

)

(



 h P Q h P Q )





(

 h P ) 2 (



 h Q ) 2 (



)

(d)  .

h nP (

)



2 n h P (

)

(e)  .

) 0

h P  . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: P E() tors .

(f) (

Đặc biệt : h là dạng toàn phương bậc 2 trên E()/ E() tors .

Hơn nữa, theo (1) và (2) với “định lý Mordell-Weil yếu” khẳng định sự hữu hạn của

E()/2E() thì E() là hữu hạn sinh.

Nếu các phần tử sinh của E()/2E() được tìm một cách hiệu quả thì hạng của E() và các

phần tử sinh của E() cũng tìm được một cách hiệu quả. 5.10. Phương pháp phân tích đường cong elliptic.

,p q là hai số nguyên tố lớn chưa biết và

5.10.1. Một sự giải thích về sự phân tích:

N p q .

. Ta tìm cách để xác định một số Giả sử

nguyên m sao cho m  0( mod p ) nhưng m không đồng dư với 0( mod q ).

gdc m N có thể được tính toán một cách nhanh chóng.

)

(

Khi đó:

5.10.2. Một số phương pháp phân tích.

Ta có thể tìm ra các phương pháp phân tích khác nhau từ quan điểm vừa trình bày ở mục

trước (ta xem /N như là cách viết gọn của vành thương /N).



5...

Thử chia với:

i (





)

Pollard p: Cho hàm /N  /N, xét dãy các phần tử x1, x2, x3, … của /N sao

)

x i

f x ( i

 m x i

  Sàng toàn phương, sàng trường số: tìm nghiệm không tầm thường với:

cho: , và thử với: .



2 (mod ) n

và

  .

thử với m x

N , lấy

K k với !

1k  và thử:

Pollard p - 1: Chọn ngẫu nhiên một số mod

m a 

K

Ka với

  (

* )

, xét Phương pháp đường cong elliptic của Lenstra (ECM): thay cho

K.P với P E (/N), với đường cong eliptic E nào đó.

K P P P

   

...

 trong một nhóm abel E(/N) đã được xác định.

K laàn

Trong đó:

5.10.3. Phương pháp Pollard p -1:

Phương pháp đường cong elliptic có thể được xem tương tự như phương pháp Pollard p – 1.

Với phương pháp đương cong elliptic ở đây ta mô tả phương pháp p – 1 một cách đầy đủ hơn,

nhưng vẫn bỏ qua các chi tiết và những cải tiến thực tiễn.

Để phân tích N, ta:

1. Chọn một số nguyên K > 1 với nhiều nhân tử, ví dụ, K = k! với k  1.

 

a N

 . 1

2. Chọn một số nguyên bất kỳ a thỏa mãn: 1

a N  , thì ta dừng lại. Nếu ngược lại thì tiếp tục.

) 1

3. Nếu gcd ( ,

4. Sử dụng phép khai triển nhị phân của K để tính Ka modN .



gcd a

(

K

N ).

5. Tính

o Nếu 1

o Nếu g = N, thử lại với một giá trị khác với a , hoặc với K được thay thế bởi một ước số.

o Nếu g = 1, ta thử lại với một số K lớn hơn.

p-1

Nếu K là một bội số của p – 1, với số nguyên tố p chia hết cho N, Khi đó ở bước 4,

K(a mod p) là một lũy thừa của

(a mod p), nó là (1 mod p) do định lý nhỏ Fermat. Khi đó ở bước

(

1Ka  chia hết cho p, vì thế g = p.

Điều khó khăn trong phương pháp này là không dễ để sắp xếp K là bội của p-1, vì ta không

biết được p.

Cách tốt nhất là ta có thể chọn một K có nhiều nhân tử, và hy vọng có chứa nhân tử p -1. Ví

5.10.4. Những phương án của phương pháp p – 1:

*  2 p

dụ, ta chọn K = k!

p , ta có thể nhận thấy rằng mọi phẩn tử của

*  p

Thay vì dùng định lý Fermat nhỏ trên *





* A

có bậc chia hết cho p + 1, có thể phát triển một phương pháp p + 1 bởi việc thực hiện trên



N .

  tN 2  b

  N /

* 

mà với bất kỳ b

 với số r đủ nhỏ để phát triển các phương

Tương tự, ta có thể dùng các nhóm con của * rp

(p)

(z)

r

pháp đang thực hiện tốt khi p2 + p + 1 là trơn, khi p2 + 1 là trơn, …, khi là trơn với là

đa thức chia vòng tròn bậc r.

Điều đó trở nên không thỏa đáng, bởi vì p2 + p + 1 là quá lớn hơn p – 1 và do đó trở nên khó

trơn.

p bởi nhóm

 E  mà E là đường cong Elliptic. Có nhiều E

p

Ý tưởng của Lenstra: thay thế *

khác nhau để thực hiện.

5.10.5. Đường cong Elliptic trên /N :

Cho N là số nguyên dương. Để cho việc giải thích đơn giản, ta xem như: gcd(N, 6) = 1. Định





 a b c a b c





 

 1

 :

2  



  

gcd a b c N , , * 

nghĩa :



3 A

AXZ



Một đường cong elliptic E trên Z đươc cho bởi một công thức thuần nhất:

*  . Khi

N sao cho:

với A,B





Y Z X    là tập con của những điểm (a : b : c )

:     2  

 

16 4 

đó, thuộc  thỏa mãn phương trình bậc ba. Với

bất kỳ số nguyên tố p chia hết N, thỏa mãn phương

  là tập hợp những điểm trong



 2 



trình quy gọn theo mod p. Để đơn giản, giả sử N = pq với p, q là những số nguyên tố phân biệt lớn hơn 3. Định lý số dư

trung Hoa dẫn đến:





( như là những vành )

  

*   

2 





( như là những nhóm )    N  p  q

 N

 q

  

      p 

  

( như là những tập hợp )





   q p N * *           p

    N

 q

  

  

     

( như là những nhóm )

    

   



Do đó tập hợp thừa hưởng cấu trúc của một nhóm abel. Phần lớn những cặp điểm





 là 0(mod p) và khác 0(mod q) hay

có thể được cộng bởi việc sử dụng công thức của phần 2.2 của chương II. Thực tế, trên

những công thức đó chỉ sai nếu có một vài phép tính trên N ngược lại. Khi đó N được phân tích.

5.10.6. Phương pháp đường cong Elliptic:

rn

 2.

với mọi số nguyên n, r Giả sử rằng số nguyên N là thừa số thỏa mãn gcd(N ,6) = 1 và N

Để tìm ra những thừa số của N nhỏ hơn P ta thực hiện như sau:

1. Cố định một “giới hạn trơn” y nhỏ hơn P và cho K là LCM của tất cả các số nguyên y-trơn

nhỏ hơn hay bằng P.

 1; N



2. Chọn một số nguyên bất kỳ A, x1 ; y1

N và cho E là

 sao cho:



 :

;

2 3 y - x - Ax 1 1 



P 1

y 1

x 1



3. Đặt B =



1    x Ax B  E N . Nếu gcd(4A3 + 27B2 , N) 1 , trở lại bước 2.   4. Dùng sự mở rộng nhị nguyên của những nhân tử của K để tìm ra K.P1

ZE N 

dùng

công thức của luật nhóm.

5. Nếu tại một vài điểm không thỏa mãn công thức, thì chúng ta tìm ra một thừa số của N.

Cách khác, trở lại bước 2 và thực hiện trên một đường elliptic khác.

Chú ý rằng, trong bước 2 và bước 3 khi ta chọn điểm đầu tiên và đường cong elliptic đi qua

điểm đó. Do những phức tạp về mặt thuật toán để tìm ra một điểm ngẫu nhiên trên đường cong

elliptic, ta sẽ thực hiện bằng cách đơn giản hơn: trước tiên chọn tọa độ x, sau đó lấy căn bậc hai của

N .

các phần tử của 

p chia hết K, thì K.P1 sẽ rút gọn thành 0(mod p). Trong trường hợp đó có thể

5.10.7. Những phân tích đặc trưng của phương pháp đường cong elliptic:

Nếu # 

E

K.P1 có thể không chỉ O(mod N), hay tối thiểu tại một vài điểm của phép tính K.P1, thu được K’ sao

cho K’.P1 là 0(mod N).

p chia hết K.

Do đó điều cần thiết của sự phân tích thành thừa số N đòi hỏi một ít may

mắn để chọn E sao cho # 

E

 

 . Chọn s là xác suất xây

Giả sử rằng N có một thừa số nguyên tố p sao cho p 1 2 p P

p là y – trơn.

dựng nên E ngẫu nhiên bởi thuật toán, cấp của

E 

p là y- trơn , thì

p | K, do định nghĩa của K và do định lý Hasse rằng

Nếu

E 

1 2

  

 E

 Do đó, số đường cong elliptic cần thiết phải thử trong suốt thuật toán là O 

1 s .

log N

0(1)

toán tử bit Mỗi phép thử dẫn đến O(logN) phép toán luật nhóm, đòi hỏi mỗi 

0(1)



thực hiện trong thời gian tổng cộng là:

 R 0 s

(logK)(log N)







 khi x   . Đặt



L(x)

a y L(P)

exp

x (log )(log log )





Đặt L(x) = , sao cho log x

với a > 0. Để diễn tả thời gian chạy R trong giới hạn những tham số của thuật toán, gọi tên là N, P,

log P

  

  



 P P



  1 y

a O(1)

log K y log P L(P) 





và a, trước tiên ta tính K:

1/(2 )

a O

(1)

Kế đó, ta cần ước lượng về xác suất trơn s. Đinh lý của Canfield, Erdos, và Pomerance [2]

( ) L x



 để L(x)a–trơn là 

x   . Dùng thuật toán Deuring số đường cong elliptic trơn được cho trên  p , ta có thể chỉ ra

khi chỉ ra rằng xác suất để một số nguyên bất kỳ thuộc 1,x

là gần với phân bố đều trên hầu hết các khoảng biến thiên Hasse rằng # 

E p

 

1 2

p p ;

 

1 2

p .

 

 

 1/(2a) O(1)

Để tiếp tục, ta giả sử rằng kết quả của định lý Canfield – Erdos – Pomerance cho số nguyên

L(P)

bất kỳ là nhỏ hơn nhiều. Thì s = .

a+1/(2a)+0(1)

(1)

Theo giả thiết, tổng thời gian cần thiết của phương pháp đường cong elliptic là:

R L P 

(

)

N (log )

1 2

a 

L(P)

1 2

 2 0(1)

0(1)



, y = và Đẳng thức đó sẽ đạt tối ưu hóa khi

R L(P)

(log N)

1 0(1)

N

L(N) 

, và tính thời gian chạy của . Một thuận Để hoàn thành phân tích N, ta đặt P

lợi của phương pháp đường cong elliptic so với phần lớn các phương pháp phân tích thành thừa số

khác là thời gian thực hiện chỉ phụ thuộc vào kích cỡ của phần tử được tìm thấy, nó có khả năng tìm

thấy những phần tử nhỏ mà nhanh hơn.

Trong thực tế, việc thực hiện phương pháp đường cong Elliptic là hợp lý do tối hóa cách

chọn y và K phụ thuộc vào P. Hơn nữa, nếu không tìm được thừa số ta có thể thực hiện lại bằng

cách gia tăng dãy các giá trị của P. Cuối cùng nếu không tìm được những phần tử nào đủ nhỏ thì

chuyển sang sàng trường số, nó sẽ tiếp cận nhanh hơn nếu những nhân tử là lớn.

5.10.8. Những kết quả của phương pháp đường cong Elliptic:

Thừa số lớn nhất được tìm thấy bởi phương pháp đường cong elliptic là một nhân tử nguyên

tố gồm 54 chữ số:



 . Richard Bent đã suy ra rằng những kết quả của phương pháp đường cong

436

42

484061254276878368125726870789180231995964870094916937

của 





elliptic là một con số gồm D chữ số trong năm:

Y(D) : 9,3. D 1932,3

Ví dụ: như Y(54) = 2000,6 và Y(60) = 2004, 3

CHƯƠNG II

CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC DẠNG WEIERSTRASS

TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN

Trong lý thuyết đường cong elliptic, số các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic và việc

xác định các điểm này rõ ràng là một vấn đề quan trọng. Cho p là một số nguyên tố và Fp là một trường hữu hạn, kFp. Chúng ta biết rõ về các điểm mà đường cong y2 = x3 + kx có và số các điểm hữu tỷ của nó trên trường Fp. Ta cũng chú ý đến họ đường tròn x2 + y2 = r2. Điều đó có thể làm cho

chúng ta quan tâm đến việc xác định các điểm chung của hai họ đường cong này và tìm ra số các

điểm chung của chúng. Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu về vấn đề này.

Ta đã biết, Mordell đã mở đầu với bài báo [13] nổi tiếng của ông với câu nói “Các nhà toán

học đã từng quen thuộc với rất ít các câu hỏi trong suốt một giai đoạn dài với thành tựu quá nhỏ

trong các kết quả tổng quát, chẳng hạn như việc tìm ra các điểm hữu tỷ trên các đường cong

elliptic”. Lý thuyết toán học của các đường cong elliptic cũng đóng vai trò quan trọng trong việc

§1. TỔNG QUAN VỀ CÁC ĐƯỜNG CONG DẠNG WEIERSTRASS

TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN

chứng minh định lý cuối cùng của Fermat trong [33].

1.1. Các đường cong elliptic dạng Weierstrass trên các trường hữu hạn.

Xét f trong k[x, y], ở đây k là một trường và f là một đường bậc 3 dưới dạng Weierstrass

tổng quát được cho bởi:







 a xy a y 1

a x 3

 a x a 6. 4

(1)

Nếu k là một trường, ta ký hiệu k là bao đóng đại số của k. Nếu đặc số của k là khác 2 hoặc

3, ta biến đổi f thành hàm E mà được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.1.1: Một đường cong E trong k[x, y] được gọi là một đường cong elliptic nếu nó

được cho bởi dạng:

E = y2 – x3 – Ax – B (2)

với char(k)  2, 3, trong đó E không kỳ dị, nghĩa là các đạo hàm riêng không đồng thời bằng 0 với



Ax B

  không có nghiệm bội. Từ đó ta có bổ đề sau.

bất kỳ ( , )a b trên E. Thật dễ dàng chứng minh rằng điều này tương đương với phương trình

Bổ đề 1.1.2: E không kỳ dị nếu và chỉ nếu 4A3 + 27B2  0 trong k.

Chú ý: Đường cong elliptic có dạng (2) ở trên còn được gọi là đường cong elliptic được cho

bởi dạng Weierstrass ngắn, với A, B k[x, y].

5p  , (1) có thể cảm sinh ra phương trình dạng Weierstrass ngắn

(

)

2 a 1

a 2

Thật vậy, vì ta giả sử



4  3

a 1 x 2

a 3 2

bằng cách thế y bởi và x bởi .

\ {0}

* F p

F p

char F  (

)

2,3

pF ký hiệu là bao đóng đại số của Fp với

và Định nghĩa 1.1.3: Cho p là một số nguyên dương, Fp là một trường hữu hạn,

. Một đường cong elliptic E trên Fp được

xác định bởi một phương trình dưới dạng Weierstrass:

:E y





ax b

 ,

(2a)

a b F và



b 27

 . Biệt thức và j-bất biến của E được xác định theo thứ tự bởi:

  

16(4



2 b 27 )



với



a 1728(4 ) 

và

1.2. Luật tiếp xúc Chord của hợp thành:

Từ phương trình (2a), người ta có thể thấy rằng đồ thị của đường cong sẽ đối xứng nhau qua

trục x. Thật vậy, đó là một trong hai dạng đồ thị được chỉ ra trong hình 2.1 (được cho là không kỳ

dị).

Hình a) 2.1: Hai loại đường cong elliptic không kỳ dị trên R2.

Ta xét đường trong R2 được cho bởi phương trình y = mx + b với m, bQ.

Bổ đề 1.2.1 : Nếu y ≠ 0 và y = mx + b giao với (2) tại P1 và P2, với P1, P2  Q2, khi đó y = mx + b sẽ giao với (2) tại một điểm thứ 3 P3  Q2.

Nói một cách khác, cho hai điểm hữu tỷ trên E, có thể được nối bởi một đường không thẳng

đứng, khi đó có một điểm cắt thứ 3 trên đường E này và cũng là điểm hữu tỷ.

Việc chứng minh bổ đề này suy ra từ đại số tuyến tính và giả thiết mọi hệ số thuộc Q. Ta có thể thấy rằng, có một cách kết hợp hai điểm đã cho trong Q2 với điểm khác trong Q2 cho tất cả các

trường hợp, ngoại trừ hai điểm này nằm trên một đường x = c, cQ.

Ta có thể xem một đường cong elliptic E như một đường cong trên mặt phẳng xạ ảnh P2. Từ



y   c ;





2 A x B 



3 

đó ta thu được hệ các phương trình như sau:

Hệ này có hai nghiệm tương ứng với các điểm trong Q2 trừ điểm tại vô cực được cho bởi 0 :1 :0.

Với phương pháp này, mỗi đường thẳng đứng cắt đồ thị của E tại ba điểm. Để sáng tỏ điều này, ta

Định nghĩa 1.2.2: Cho k là một trường và định nghĩa :



a b







{ O}

 E k



 { ,



 k E a b



có định nghĩa sau:

ở đây O kí hiệu điểm tại vô cực, thuộc mỗi đường dạng x = c, c  k.

Cho bất kỳ hai điểm trong E(k), chúng ta có một cách để kết hợp hai điểm này thành một

điểm thứ ba, như sau :

Định nghĩa 1.2.3 : Cho P, Q  E(k). Ta định nghĩa PQ là điểm thứ ba của đường thẳng xác định bởi

P và Q với đường cong elliptic E(k).

Ta cũng quy ước là: OO = O.

Sau đây là định nghĩa về luật tiếp xúc Chord của hợp thành trên đường cong elliptic.

Định nghĩa 1.2.4: Cho P, Q  E(k) với k là một trường. Khi đó ta định nghĩa :

P + Q = O(PQ)

Từ điểm này, khi ta nói cộng thêm hai điểm vào E(k), nghĩa là theo ý của Định nghĩa 1.2.4.

Quá trình này được mô tả trong hình 2.2 (luật tiếp xúc Chord của tổng trong R2).

Hình 2.2: Luật tiếp xúc chord của tổng trong R2.

1.3 Các phương trình tổng quát đối với phép cộng các điểm trên E(k) : Khi cộng hai điểm P = (x1, y1) và Q = (x2, y2) trong E(k) chúng ta phải xét ba trường hợp

1. Nếu x1 = x2 và y1  y2

2. Nếu x1 = x2 và y1 = y2

3. Nếu x1  x2

Trường hợp 1 tương ứng với hai điểm trên một đường có dạng x = c, và trong trường hợp

này P + Q = O.

Kiểm tra trường hợp này cũng thấy rằng nếu P = (a, b), thì:

-P = (a, -b).

Kết quả cả trường hợp 2 và trường hợp 3 nhận được từ việc xét tương giao giữa đường y =

mx + b với E = 0. Trong trường hợp 2 đường thẳng là tiếp tuyến với E và hệ số góc được cho bởi





2 x 1

y ) / 2 . 1

(3)

 m y

) / (



(

y 1

x 2

x 1

(4) Trong trường hợp 3, hệ số góc được xác định bằng cách sử dụng P và Q và được cho bởi : ) .

3 2 2  x m x



mB A x B )



  0

Nếu chúng ta thay thế mx + b cho y trong E = 0 ta thu được như sau :

2x là các nghiệm của phương trình này, và từ đây suy ra rằng

Ta biết rằng cả hai 1x và

3x được cho bởi

nghiệm thứ ba

x 3

   x 1

 x m 2

(5)



 sử dụng P như sau :



(



)

 y m x 1

x 1

Chúng ta có thể viết lại y mx b

Sử dụng phương trình này và luật tiếp xúc chord của tổng chúng ta suy ra phương trình sau

đối với y3 :

  

(



)

y 3

y m x 1 1

x 3

(6)

Do đó, phép cộng hai điểm trong E(k) có thể được cho bởi phương trình (5) và (6). Và hệ số

góc sẽ là phương trình (3) trong trường hợp 2 và phương trình (4) trong trường hợp 3.

Từ các định nghĩa trước ta suy ra rằng :

 Nếu P, Q  E(k) khi đó PQ  E(k).

 O + O = O.

 P + Q = Q + P

 P + O = P

 Cho P = (a, b)  E(k), - P sẽ là điểm cắt nhau của đường x = a và E = 0 mà

không phải O.

Có vài cách để chứng minh tính kết hợp: một trong những cách này là thiết lập một song ánh giữa

một nhóm con của nhóm Abel tự do được sinh bởi E(k) và các điểm thực trên E(k). Việc chứng

minh tính kết hợp trong E(k) khá dài và có thể được tìm trong phần 4 và 5 của [3].

Định lý: E(k) hình thành một nhóm Abel dưới luật tiếp xúc chord của tổng O là đơn vị.

MÔ TẢ CHUNG VỀ LUẬT NHÓM

§2.

Từ những khái niệm và chú ý ở trên ta có thể chứng minh được định lý này.

2.1. Định nghĩa luật nhóm.

Một đường cong elliptic E trên k là một đa tạp nhóm nghĩa đại thể là có một ánh xạ “phép

cộng” E x E  E được cho bởi các hàm hữu tỷ, cảm sinh ra một cấu trúc nhóm trên E(L) đối với

trường mở rộng bất kỳ L của k.

Luật nhóm được đặc trưng bởi hai quy luật sau:

(1) Điểm O = (0 : 1 : 0) tại vô cực là đơn vị của nhóm.

(2) Nếu một đường L cắt E tại 3 k-điểm P, Q, R  E(k), khi đó:

P + Q + R = 0 theo luật nhóm.

Hình 2.3:

Phép toán cộng nhóm trên đường cong elliptic.

Từ những điều này ta suy ra:

a) Cho P  E(k), P  O, đường thẳng đứng qua P cắt E tại P, O, và một điểm thứ 3 là : - P.

b) Cho P, Q  E(k) khác O, đường qua P và Q (lấy tiếp tuyến với E tại P nếu P = Q) cắt E

tại P, Q và điểm thứ 3 là R  E(k).

Nếu R = O, thì P + Q = 0, mặt khác P + Q = -R., ở đây - R có thể được xây dựng như trong

a).

Chú ý rằng: E(k) là một nhóm abel.

2.2. Các công thức của luật nhóm

Một cách tổng quát, tọa độ của P + Q có thể được biểu diễn như các hàm hữu tỷ theo tọa độ

của P và Q. Ở đây ta trình bày các công thức chi tiết cho một thuật toán để tính P + Q. Sự tồn tại

/ N

) khi ta của các công thức này rất quan trọng trong phần (5.10.5: các đường cong elliptic trên

thực hiện phương pháp phân tích đường cong elliptic.

Để tính tổng R của các điểm P, Q  E(k) trên y2 = x3 + Ax + B trên k:

1. Nếu P = O, đặt R = Q và dừng lại.

2. Nếu Q = O, đặt R = P và dừng lại.

3. Mặt khác cho P = (x1 : y1 : 1) và Q = (x2 : y2 : 0).

Nếu x1  x2, đặt:  = (y1 – y2) (x1 – x2)-1,

x3 = 2 – x1 – x2,

y3 = (x1 – x3) – y1,

R = (x3 : y3 : 1)

và dừng lại.

4. Nếu x1 = x2 và y1 = -y2, đặt R = O và ngừng.

5. Nếu x1 = x2 và y1  -y2 (như vậy P = Q), đặt:



2 x 1

A y )( 1

y  ) 2

 =

x3 =  2 - x1 – x2,

y3 = (x1 – x3) – y1,

R = (x3 : y3 : 1)

2.3. Các ví dụ về luật nhóm.

và dừng lại.

Ví dụ 1 : Cho đường cong elliptic E : y2 = x3 – 25x là một phương trình không thuần nhất,

nó được hiểu là bao đóng xạ ảnh của đường cong afin này.

Vì x3 – 25x có các nghiệm khác nhau, E không kỳ dị, vì thế E thật sự là một đường cong

elliptic.

Đường thẳng L đi qua P := (-4, 6) và Q := (0, 0) có phương trình: y = (-3/2)x. Ta

tính L E bằng cách thay thế:

((-3/2)x)2 = x3 – 25x



0 = (x + 4) x (x – 25/4)

L E



P Q R { , , }

và tìm ra , với R := (25/4, - 75/8).

Do đó: P + Q + R = O theo luật nhóm, và P + Q = - R = (25/4, 75/8).

Giao của đường X = 0 trong 2 với E: Y2Z = X3 – 25XZ2 là X = 0 = Y2Z, mà (0 : 1 : 0) = O

và (0 : 0 : 1) = Q, có bội 2. (Về mặt hình học, điều này tương ứng với đường x = 0 tiếp xúc với E tại

Q).

Do đó Q + Q + O = O, và 2Q = O; nghĩa là Q là một điểm có cấp 2 và một điểm 2-xoắn.

(Nhìn chung, các điểm 2-xoắn khác không trên y2 = x3 + Ax + B là (, 0) ở đây  là một nghiệm

( )E k đẳng cấu với

 2

 .) 2

của x3 + Ax + B: chúng hình thành một nhóm con của

Ví dụ 2 : Minh họa phép cộng hai điểm trên một đường cong elliptic.

Hình 2.4 :Đồ thị của đường y2 =x3- 7x Hình 2.5 :Đồ thị của đường y2 =x3- 3x + 5

§3. CÁC HÀM HỮU TỶ VÀ CẤU TRÚC NHÓM E(k)

Trong mục này ta xem xét một số khái niệm và kết quả liên quan tới các đường cong elliptic

và cấu trúc nhóm các điểm hữu tỷ của chúng.

3.1. Các hàm hữu tỷ:

Chú ý rằng, vì E = 0 thỏa mãn đối với các điểm trong E(k), và vì chúng ta chỉ xét xem các đa

thức trên E(k), chúng ta xem các đa thức như các phần tử trong

k[x, y]/

Định nghĩa 3.1.1: Nếu f là một phần tử của k[x, y]/ , chúng ta gọi f là một đa thức trên E. Đôi

khi ta ký hiệu k[x, y]/ là k[E].

Có một vài sự mở rộng của các khái niệm mà liên quan đến các đa thức trong R[x] (nghĩa là:

bậc, phép lấy vi phân, các nghiệm bội và cực bội) mà tương tự cho các đa thức trong k[E]; tuy

nhiên, tất cả các khái niệm này phải tính đến E = 0 với các điểm trong E(k).

Sử dụng khái niệm của một hàm tiêu chuẩn (tương tự với chuẩn đối với C), chúng ta có thể

chứng minh rằng k[E] là một miền nguyên. Do đó, chúng ta cũng xây dựng trường các phân số, mà

chúng ta sẽ ký hiệu là k(E).

Định nghĩa 3.1.2: Nếu r  k(E) và P là một điểm hữu hạn của E(k), nghĩa là, P O , khi đó ta nói

g P  . Hơn thế nữa, các hàm

(

)

rằng r là hữu hạn tại P nếu tồn tại f, g  k[E], sao cho f/g = r và

hữu tỷ mà hữu hạn tại P tạo thành một vành.

Định nghĩa 3.1.3: Cho r  k(E), chúng ta nói rằng r = 0 tại P  E(k) nếu r(P) = 0, và ta nói rằng r =

 tại P nếu r(P) = .

3.2. Các nhóm xoắn trong E(k): Định nghĩa 3.2.1: Cho n  Z, ta định nghĩa E[n] = {P  E(k) | nP = O}. Dễ dàng thấy rằng E[n]   , vì nO =O  E[n], với mọi n. Các nhóm xoắn này cũng có các

tính chất quan trọng sau:

Định lý 3.2.2: E[n] chứa một số hữu hạn điểm đối với mọi n. Định lý 3.2.3:: Cho k là đóng đại số.

    .

Nếu (n, p) = 1 thì |E[n]| = n2 và E[n]

Các kết quả này chứng tỏ rằng, các nhóm E[n] sẽ rất hữu ích trong việc kiểm tra cấp của

E(k), đặc biệt trên các trường hữu hạn. Trong các nội dung đề cập ở đây chúng ta sẽ thấy rằng có

§4. CÁC ĐIỂM HỮU TỶ TRÊN CÁC ĐƯỜNG CONG

ELLIPTIC TRÊN CÁC TRƯỜNG HỮU HẠN.

các đa thức trong k[E] có quan hệ rất mật thiết đến các nhóm xoắn này.

4.1. Cách xác định điểm hữu tỷ của đường cong elliptic trên trường hữu hạn.

Ta có thể xem một đường cong elliptic E như một đường cong trong mặt phẳng xạ ảnh P2,

2 y z





axz



với một phương trình thuần nhất , với một điểm tại vô cực. Điểm  này là

điểm mà tại đó các đường thẳng đứng gặp nhau. Ta ký hiệu điểm này là O. Tập hợp tất cả các điểm

) {( ,

x y



)





ax b

 

O } { }

hữu tỷ (x, y) trên E cùng với điểm O là:

E F ( p

  F p

F y : p

(7)

là một nhóm con của E (về số học của các đường cong elliptic và các điểm hữu tỷ trên chúng xem

[18], [23], [24]). Cấp của E(Fp), được ký hiệu bởi #E(Fp), và được định nghĩa như là số các điểm



# (

) 1

 



E F p



x F 

ax b  F p

   

   

   

   



trên E, và được cho bởi công thức:

= p + 1 +



 x F

 ax b F p

   

   

(8)

)

.( pF

ở đây biểu thị ký hiệu Legendre.

pF là một số không đổi. Trong trường hợp này, ở

Cho p > 3 là một số nguyên tố và lấy k *

phần [23] và [32], số của các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic

(9) Ek : y2 = x3 + kx

trên Fp được cho như sau:

)

p  1.

p 

3(mod 4)

pE F

1. Nếu thì # (

p 

1(mod 4)

,a b là các số nguyên với b là số chẵn và

 p a



2. Nếu , viết với

a b 

1(mod 4)

 

1 2

 

1 2

 

1 2

b nếu k không phải là

nếu k là , khi đó #E(Fp) = nếu k là bậc 4 mod p, #E(Fp) =

một bình phương mod p nhưng không là bậc 4 mod p và #E(Fp) =

một bình phương mod p.

Trong [6] và [30], ta xét số các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic

và y2 = x3 – t2x trên Fp, theo thứ tự. Trong bài này, ta xét các điểm giao nhau của các

y2 = x3 + b2

đường cong elliptic





Ek : y2 = x3 + kx

C x : r

và các đường tròn trên Fp.

Thật dễ để đoán được rằng mỗi đường cong elliptic không thể giao nhau với mỗi đường tròn theo tập hợp các điểm hữu tỷ. Vì thế, chúng ta sẽ lấy k = p – r2 và trong trường hợp này ta sẽ xác

định các đường cong elliptic và các đường tròn xem có các điểm hữu tỷ chung nào hay không, và

những điểm này là gì, số giao điểm của chúng và số của các đường cong và đường tròn mà chúng có

các điểm hữu tỷ chung.

Bằng cách sử dụng các phương trình của đường cong elliptic y2 = x3 + kx với phương trình

đường tròn x2 + y2 = r2, ta có phương trình bậc ba:

x3 + x2 + kx – r2 = 0.

Giải phương trình bậc 3 trên Fp là cơ sở của việc nghiên cứu này.

4.2. Số các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic y2 = x3 + kx và các đường tròn x2 + y2 = r2 trên Fp.

f x ( )





 , với 1

a a a 2 3

F . p

a x 1

a x a 2 3

Cho p > 3 là một số nguyên tố và đặt:

f x

p ( ) 0(mod )



Ký hiệu số nghiệm của phương trình đồng dư bởi Np(f(x)).

  2





a a 1 2

a 3

3 a 1 

(

2  Q a 1 P

 

a 3 ) 2  Q 4 27

Đặt



a x 1

 . a x a 3 2

Ở đây, D ký hiệu là biệt thức của đa thức bậc ba:

Theo Tignol [31], [27], Sun [28], [29], Dickson [4], và Skolem [25], [26], ta có định lý sau:

F và p không chia hết D, khi đó:

a a a 2 3



D p

N f x (

( ))

D p



0 , neáu

D p

 hoaëc 3, neáu  

  = -1 

     1 , neáu  

Định lý 4.2.1: Nếu p > 3 là một số nguyên tố, 1

Đối với phương trình đồng dư bậc 3:







p 0(mod )

(10)

  4







2 r 4 .

27 Nếu ta lấy k và r sao cho k = p – r2, khi đó biệt thức của phương trình đồng dư bậc 3 trở thành:

Ta có:

D = -4k(k + 1)2 – p(36k + 27p +4).

 

k k 4 (



1) (mod ).

Trong trường hợp này ta có:

p 

1(mod 4)

p 

3(mod 4)

Bây giờ ta sẽ xét hai trường hợp, hoặc là: hoặc . Ta ký hiệu Qp là tập

hợp các thặng dư bậc hai modulo p.

p 

1(mod 4)

 

2 (mod ) p

Trường hợp 1: Lấy . Vì -1Qp và , ta có kQp. Do đó, -4k  Qp,

p  . Từ định lý 4.2.1 ta biết rằng phương trình đồng dư bậc ba (10) không có nghiệm

và vì vậy ( ) 1



hoặc có 3 nghiệm.

p 

3(mod 4)

* \p k F Q

pQ  , và

Trường hợp 2: Lấy . Vì 1

 

2 (mod ) p

 

k k 4 (

2   1)

Và , ta có - 4kQp.

p  . Cũng trong trường hợp này phương trình đồng dư

Do đó, nghĩa là ( ) 1

bậc ba (10) không có nghiệm hoặc có 3 nghiệm. Vì vậy ta có hệ quả sau:

Hệ quả 4.2.2: Cho p > 3 là một số nguyên tố, phương trình đồng dư bậc 3 sau đây: x3 + x2 + kx – r2  0 (mod p) không có nghiệm hoặc có 3 nghiệm.

Bây giờ ta sẽ chứng minh phương trình đồng dư bậc 3 này có 3 nghiệm.

Bổ đề 4.2.3: Cho k + r2 = p. Khi đó các nghiệm của phương trình đồng dư bậc ba: x3 + x2 + kx – r2  0 (mod p) là r, -r, p – 1. Chứng minh: Nếu ta lấy k = p – r2 thì, từ phương trình (10) ta có: x3 + x2 – r2x – r2 = (x + 1)(x + r)(x – r)



. 0(mod )p

Điều này chứng tỏ rằng các nghiệm của phương trình đồng dư này chỉ là r, - r, và p - 1.

Vì vậy, phương trình đồng dư bậc ba: x3 + x2 + kx – r2  0 (mod p) có 3 nghiệm với k + r2

= p. Nhưng những điểm từ phương trình đồng dư cấp 3 này không thể là những điểm như mong đợi,

đó là những điểm không thể thuộc trên cả đường cong elliptic và họ đường tròn. Các nghiệm của phương trình đồng dư này cũng xác nhận phương trình đường tròn x2 + y 2 = r2. Với phương pháp này, với mỗi x, r2 – x2 phải là một bình phương trong Fp.

x

 , nên rõ ràng cả hai điểm (r, 0) và (-r, 0) phải

Mặt khác, chỉ có các nghiệm làm cho r2 – x2 là một bình phương sẽ cho chúng ta đối tượng

r  ,

mà chúng ta mong muốn có. Vì x

thuộc trên hai họ đường cong.

Nếu r2 – (p - 1)2 không là một bình phương trong Fp, thì x = p – 1 không thể là điểm trên cả

hai họ đường cong. Bây giờ, ta sẽ xác định điều đó khi điểm này là một điểm chung của hai họ

đường cong. Để làm điều này ta phải xét cả hai trường hợp:

p 

1(mod 4)

Trường hợp 1: Cho .

Nếu ta viết x = p – 1 thuộc vào đường cong y2 = x3 + kx thì ta có:



(





k p (

   

(

p 1)(mod )

Vì -(k + 1)  Qp  (k + 1)  Qp

(

  1,

 là những điểm cần thiết nếu và chỉ nếu : k, k + 1 

Điều đó suy ra rằng,

Qp. Mà k  Qp . Do đó, có 2 khả năng:

i) Nếu k + 1  Qp, thì các điểm chung của đường cong elliptic và họ đường tròn là: (r, 0),

(- r, 0).

ii) Nếu k + 1  Qp, thì các điểm chung của đường cong elliptic và họ đường tròn là : (r, 0),

(

  1,

 . 1)

(- r, 0),

p 

3(mod 4)

Trường hợp 2: Cho . Trong trường hợp này ta biết rằng:

* \p F Q .

F Q .

k 

Do đó: -(k + 1)  Qp  (k + 1)  * \p

(

  1,

 là những điểm cần thiết nếu và chỉ nếu:

Nghĩa là,

* \p F Q . Mà k 

* \p F Q . Do đó, ta cũng có 2 khả năng:

F Q , thì các điểm chung của đường cong elliptic và họ đường tròn là: (r,

k, k + 1 

i) Nếu k + 1  * \p

F Q , thì các điểm chung của đường cong elliptic và họ đường tròn là: (r,

0), và (- r, 0).

ii) Nếu k + 1  * \p

(

  1,

 . 1)

0), (- r, 0),

Vì thế ta đã chứng minh được định lý sau:

Định lý 4.2.4: Cho p > 3 là một số nguyên tố và cho k + r2 = p.





Khi đó, cho họ đường cong elliptic Ek : y2 = x3 + kx

C x : r

và họ đường tròn

2 , (

) = 0

 F p



E k

C r

4 , (

) = 1,

 F

       

C

với mỗi x là một nghiệm của phương trình (10), và

ở đây có nghĩa là số các điểm chung.

)

(

 F

Bằng cách tổng quát hóa ký hiệu Legendre đến trường bất kỳ, có nghĩa là:

(

)

(

)

pF ;

 F p

= 1 nếu t2 = r2 – x2 có một nghiệm t  * = -1 nếu t2 = r2 – x2 không có

(

)

pF và

 F p

r

2 1

 ) nếu



nghiệm t  * = 0 nếu r2 = x2. Vì thế, các điểm chung của đường cong elliptic và họ



( p F p

   

đường tròn là (r, 0), (-r, 0) và bổ sung vào những điểm này, ta có (p – 1,    

Trong Fp, họ đường cong elliptic y2 = x3 + kx và họ đường tròn x2 + y2 = r2 có thể không

có các điểm chung. Chúng ta hãy xem ví dụ sau:

Ví dụ 4.2.1:

1) Cho E2 : y2 = x3 + 2x là một đường cong elliptic và C1 : x2 + y2 = 1 là một đường tròn trên

F7. Khi đó, phương trình đồng dư bậc 3 có dạng: x3 + x2 + 2x – 1  0(mod 7)

không có nghiệm. Do đó, E2 và C1 không có các điểm chung trong F7.

2) Cho E4 : y2 = x3 + 4x là đường cong elliptic và C2 : x2 + y2 = 2 là đường tròn trên F7. Khi đó,

phương trình đồng dư bậc 3 có dạng:

x3 + x2 + 4x – 2  0(mod 7) 5x  (mod 7). Khi đó từ phương trình đường tròn chúng ta có, 4 + y2 ≡ 2(mod chỉ có một nghiệm 7) hoặc y2 ≡ 5(mod 7). Không có giá trị y thỏa mãn phương trình này. Do đó, E2 và C4 không có các

điểm chung trên F7.

Bây giờ chúng ta sẽ xác định có bao nhiêu đường tròn và đường cong elliptic giao nhau đối

với một số nguyên tố p. Chúng ta phải xem hai trường hợp sau.

p 

1(mod 4)

Trường hợp 1: Cho . Khi đó k  Qp và k + r2 = p. Vì thế đường cong elliptic

và họ đường tròn có giao nhau. Do đó, số các giao điểm của hai họ đường cong này là |Qp|, cụ thể là

p  2

đường tròn và họ đường cong elliptic có giao điểm.

* \p F Q .

Trường hợp 2: Cho p ≡ 3(mod 4). Khi đó k 

  1



 2

Vì thế có đường tròn và các họ đường cong elliptic có giao điểm, trong trường

p  2

hợp này số các giao điểm của hai họ đường cong này cũng là .

Hệ quả 4.2.5: Với số nguyên tố p > 3, số các đường giao điểm của họ đường cong elliptic y2 = x3 +

p  2

. kx và họ đường tròn x2+ y2= r2 trong Fp là





Ví dụ 4.2.2:

C x : r

. Cho Ek : y2 = x3 + kx và

1) Nếu p = 13, thì ta có bảng sau:

k r2 Các giao điểm

1 12 (5, 0), (8, 0)

3 10 (6, 0), (7, 0), (12, 3), (12, 10)

4 9 (3, 0), (10, 0)

9 4 (2, 0), (11, 0), (12, 4), (12, 9)

10 3 (4, 0), (9, 0)

12 1 (1, 0), (12, 0)

2) Nếu p = 19, thì ta có bảng sau:

k r2 Các giao điểm

2 17 (6, 0), (13, 0), (18, 4), (18, 15)

3 16 (4, 0), (15, 0)

8 11 (7, 0), (12, 0)

10 9 (3, 0), (16, 0)

12 7 (11, 0), (8, 0), (18, 5), (18, 14)

13 6 (5, 0), (14, 0), (18, 9), (18, 10)

14 5 (9, 0), (10, 0), (18, 2), (18, 17)

15 4 (2, 0), (17, 0)

18 1 (1, 0), (18, 0)

4.3. Một số kết quả khác về tương giao giữa các đường cong:

Bây giờ ta sẽ xác định số đường giao điểm của đường cong elliptic và họ đường tròn mà có

(

  1,

 . Ta phải xét hai trường hợp như đã làm

các điểm (r, 0), (-r, 0) và (r, 0), (-r, 0),

trước đó. Nhưng chúng ta cần phải biết định lý sau và cùng với các ví dụ trên để điền vào bảng số

liệu trong ví dụ trên. Trong [1] đã chứng minh rằng:

 1 p 2

(

)

Định lý 4.3.1: Cho N(p) biểu thị số cặp của các thặng dư bậc 2 modulo p liên tiếp trong Fp. Khi đó:

N p (

)



   4 ( 1) 4

Cho N(p)* biểu thị số cặp của các số nguyên liên tiếp trong Fp, ở đây cặp thứ nhất không còn

 1 p 2

(

)



N p (

)

   2 ( 1) 4

là thặng dư bậc 2 và cặp thứ hai không là một thặng dư bậc 2 modulo p và:

Khi đó ta có hai trường hợp:

(

  1,

 là các điểm đòi hỏi nếu và chỉ nếu k,

Trường hợp 1: Cho p ≡ 1( mod 4). Khi đó

k + 1  Qp bởi sự chứng minh của định lý 4.2.4. Do đó, từ định lý 4.3.1, số các trường hợp mà giao

r

,0)

(

  1,

 và (

 1 p 2

(

)

N p (

)



   4 ( 1) 4

của đường cong elliptic và đường tròn có bốn điểm là là

r

,0)

 2



( 1)

là và số các trường hợp mà giao của đường cong elliptic và đường tròn có 2 điểm là (

)



( N p



 2

  ( 1) 4

  4

Ví dụ 4.3.1: Cho p = 13. Khi đó số các trường hợp mà giao của đường cong elliptic và đường tròn

r

,0)

(

  1,

 và (

 13 1 2

có 4 điểm là

 2

   13 4 ( 1) 4

N(13) =

r

,0)



(13) 6 2 4

   .

 13 1 2

là Và số các trường hợp mà giao của các đường cong elliptic và đường tròn có 2 điểm là (

Các đường cong này có thể được thấy trong ví dụ 2.2.2.

(

  1,

 là các điểm đòi hỏi nếu và chỉ nếu k,

Trường hợp 2: Cho p ≡ 3(mod 4). Khi đó,

* \pF Qp bởi sự chứng minh của định lý 4.2.4. Do đó từ định lý 4.3.1, số các trường hợp mà

k + 1 

r

,0)

(

  1,

 và (

 p 1 2

(

)

N p ( )



   2 ( 1) 4

giao của đường cong elliptic và đường tròn có bốn điểm là là

r

,0)

 2

(



)

( 1)







N p (

)

 2

  4

 2



  ( 1) 4

là và số các trường hợp mà giao của đường cong elliptic và đường tròn có 2 điểm (

Ví dụ 4.3.2: Cho p = 19. Khi đó số các trường hợp nơi mà giao của đường cong elliptic và đường

r

,0)

(

  1,

 và (

 19 1 2

)

* (19)



 4

   (19 2 ( 1) 4

tròn có 4 điểm là:

r

,0)



(19)

   9 4 5.

 19 1 2

là: và số các trường hợp nơi mà giao của đường cong elliptic và đường tròn có 2 điểm (

Các đường cong này có thể được xem trong ví dụ 4.2.2.

Bởi vậy ta có kết quả sau.

Định lý 4.3.2: Số các trường hợp mà giao của đường cong elliptic và đường tròn có 4 điểm

r

,0)

(

  1,

 và (

p  1 2

(

)



N p ( )

 , neáu p 1(mod 4)

   4 ( 1) 4

p  1 2

(

)



* N p ( )

 , neáu p 3(mod 4)

     

   2 ( 1) 4

là:

r

,0)

p  1 2

mod







N p ( )

, neáu

   2 ( 1) 4

p  1 2

mod







* N p ( )

p , neáu

  p   2    p  2

  ( 1) 4

là và số các trường hợp mà giao của đường cong elliptic và đường tròn có 2 điểm (

Ta cũng có thể xác định có bao nhiêu điểm thuộc giao của đường cong elliptic y2 = x3 + kx

r

,0)

p họ đường cong. Vì thế 2

, và biết có và đường tròn x2 + y2 = r2. Ta biết rằng có các điểm (

  . p

1 )

 2

số của các điểm này là:

(

  1,

 . Vì thế nếu p ≡ 1(mod 4), thì số của những

Thêm vào đó, có các điểm

điểm này là:

2N(p)

và nếu p ≡ 3 (mod 4) thì số những điểm này là:

2N(p)*.

Vì thế ta có hệ quả sau:

 p 1 2

 





p 1 2N(p)

, neáu p 1(mod 4)

 p 1 2

 



p 1 2N(p)

 , neáu p 3(mod 4)

     

   3p 6 ( 1) 2    3p 4 ( 1) 2

Hệ quả 4.3.3: Số các điểm chung của họ đường cong elliptic y2 = x3 + kx cùng với họ đường tròn x2 + y2 = r2 là:

Ví dụ 4.3.3:

1) Cho p = 13. Khi đó số các điểm chung của họ đường cong elliptic cùng với họ đường tròn

là:

13 – 1 + 2N(13) = 16

2) Cho p = 19. Khi đó số các điểm chung của họ đường cong elliptic cùng với họ đường tròn

là:

19 – 1 + 2N(19)* = 26

Sau đây là thuật toán xác định số liệu trong các bảng của ví dụ 4.2.2 ở trên:



C : x

 . r





và đường tròn Cho đường cong: Ek:



Ta xét hai trường hợp như sau:

Trường hợp 1 : p 1(mod 4) , khi đó k  Qp và k + r2 = p.

Với p = 13, ta có :







Vì k  Qp nên :

 p 1 2k

 13 1 2k

6k  

1(mod13)



1(mod13) 1(mod13)   1,3,4,9,10,12

. Khi đó : k 

p 1 13 1 

 . 6

 2

Số các đường giao nhau của hai họ đường cong elliptic và đường tròn là :

 



(p 1,

Số trường hợp giao nhau giữa đường cong elliptic và đường tròn có 4 điểm : và

 ( r,0)

 p 1 2

   (p 4 ( 1)

)



N(p)

 13 1 2

)





N(13)=

   (13 4 ( 1) 4

là :

Vì k +1Qp ta có 4 điểm chung giữa 2 họ đường cong nên : k = 3, và k = 9. Khi đó, dựa vào

phương trình đồng dư sau ta tìm ra nghiệm x là hoành độ giao điểm của các đường cong.



2 r = 13 - 3 = 10

. k = 3 , ta có phương trình :

   x x  3x 10 0(mod13)

  x 6    7 x   x 12



2 r = 13 - 9 = 4

, ta có phương trình : . k = 9

    x x 9x 4 0(mod13)

  x 2    x 11   x 12





   N(13) 6 2 4.

 13 1 2

là : Số trường hợp giao nhau giữa đường cong elliptic và đường tròn có 2 điểm: ( r,0)

Vì k + 1Qp ta có 2 điểm chung giữa 2 họ đường cong nên : k = 1, 4, 10 và k = 12. Khi

đó, dựa vào phương trình đồng dư sau ta tìm ra nghiệm x là hoành độ giao điểm của các đường

cong.

2 r  

  13 1 12



 



x 12 0(mod13)

 

  x 5  x 8

. k = 1 , ta có phương trình:

  , ta có phương trình:

2 r  

13 4 9



 

4x 9 0(mod13)

 

  x 3  x 10

. k = 4

 , ta có phương trình:



2 r  

13 10 3



 

10x 3 0(mod13)

 

  x 4  x 9

. k = 10

 , ta có phương trình:



2 r  

13 12 1



 

12x 1 0(mod13)

 

  x 1  x 12

. k = 12

Do đó, số điểm chung của họ đường cong elliptic và họ đường tròn là :

p – 1 + 2N(p) = 13 – 1 + 2*N(13) = 12 + 2*2 = 16.

Khi đó, với k + r2 = p ta có bảng các giao điểm sau :

Các giao điểm K r2

1 12 (5, 0), (8, 0)

(6, 0), (7, 0), (12, 3), (12, 10) 3 10

4 9 (3, 0), (10, 0)

(2, 0), (11, 0), (12, 4), (12, 9) 9 4

10 3 (4, 0), (9, 0)

12 1 (1, 0), (12, 0)



p 3(mod 4)

F \ Q và k + r2 = p. * p

Trường hợp 2: , khi đó k 

Với p = 19, ta có :

* F \ Q nên : p p







Vì k 

 p 1 2k

1(mod19)

 19 1 2k

9k  

1(mod19)



  1,4,5,6,7,9,11,16,17

 k 

* F \ Q = {2, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 18}. p

Khi đó :

p 1 19 1 

 . 9

 2

Số các đường giao nhau của hai họ đường cong elliptic và đường tròn là :

 



(p 1,

Số trường hợp giao nhau giữa đường cong elliptic và đường tròn có 4 điểm : và

 ( r,0)

 p 1 2

   (p 2 ( 1)

)



 N(p)

 19 1 2

)







N(19) =

   (19 2 ( 1) 4

là :

F \ Q ta có 4 điểm chung giữa 2 họ đường cong nên : k = 2, 12, 13 và k = 14.

* p

Vì k + 1 

Khi đó, dựa vào phương trình đồng dư sau ta tìm ra nghiệm x là hoành độ giao điểm của các đường

cong.



2 r = 19 - 2 = 17







2x 17 0(mod19)

  x 6    x 13   x 18

. k = 2 , ta có phương trình :



2 r = 19 - 12 = 7



 

12x 7 0(mod19)

. k = 12 , ta có phương trình :



2 r = 19 - 13 = 6



 

13x 6 0(mod19)

  x 8    x 11   x 18 , ta có phương trình :   x 5    x 14   x 18

. k = 13



2 r = 19 - 14 = 5

. k = 14 , ta có phương trình :



 

14x 5 0(mod19)

  x 9    x 10   x 18





   N(19) 9 4 5.

 19 1 2

F \ Q ta có 2 điểm chung giữa 2 họ đường cong nên : k = 3, 8, 10, 15 và k = 18.

là : Số trường hợp giao nhau giữa đường cong elliptic và đường tròn có 2 điểm : ( r,0)

Vì k + 1 * p

Khi đó, dựa vào phương trình đồng dư sau ta tìm ra nghiệm x là hoành độ giao điểm của các đường

cong.

2 r  

  19 3 16







3x 16 0(mod19)

 

  x 4  x 15

, ta có phương trình: . k = 3

2 r  

  19 8 11







8x 11 0(mod19)

 

  x 7  x 12

. k = 8 , ta có phương trình:

 , ta có phương trình:



2 r  

19 10 9



 

10x 9 0(mod19)

 

  x 3  x 16

. k = 10

 , ta có phương trình:



2 r  

19 15 4



 

15x 4 0(mod19)

 

  x 2  x 17

. k = 15

 , ta có phương trình:



2 r  

19 18 1

. k = 18

Do đó, số điểm chung của họ đường cong elliptic và họ đường tròn là :

p – 1 + 2N(p)* = 19 – 1 + 2*N(19)* = 18 + 2*4 = 26.

Khi đó, với k + r2 = p ta có bảng các giao điểm sau :

k r2 Các giao điểm

2 17 (3, 0), (13, 0), (18, 14), (18, 15)

3 16 (4, 0), (15, 0)

8 11 (7, 0), (12, 0)

10 9 (3, 0), (16, 0)

12 7 (8, 0), (11, 0), (18, 5), (18, 14)

13 6 (5, 0), (14, 0), (18, 9), (18, 10)

14 5 (9, 0), (10, 0), (18, 2), (18, 17)

15 4 (2, 0), (17, 0)

18 1 (1, 0), (18, 0)

p  thì phương trình (10) đồng dư bậc 3 cũng không có nghiệm

Với k và r bất kỳ, nếu ( ) 1

hoặc có 3 nghiệm. Nếu phương trình (10) đồng dư bậc 3 không có nghiệm thì họ đường cong

elliptic và họ đường tròn có các điểm chung bất kỳ.

Cho phương trình đồng dư bậc ba (10) có 3 nghiệm. Trong trường hợp này, nếu với mỗi 3 nghiệm x, và r2 – x2 là một bình phương trong Fp, thì đường cong elliptic và đường tròn có 6 điểm chung. Nếu với 2 nghiệm r2 – x2 là một bình phương trong Fp, thì chúng có 4 điểm chung và nếu với một nghiệm r2 – x2 là một bình phương trong Fp thì chúng có 2 điểm chung.

(

 nghĩa là r2 – x2 = 0 thì có 2 hoặc 4 điểm chung như chúng ta đã ) 0

 F p

Hơn nữa, nếu

thấy trước đó. Vì vậy trong trường hợp tổng quát, chúng có thể có 0, 2, 4, hoặc 6 điểm chung.

Ví dụ 4.3.4:

1) Cho E1 : y2 = x3 + x và C4 : x2 + y2 = 4 trên F13. Khi đó phương trình đồng dư bậc 3 có

dạng:

x3 + x2 + x – 4 ≡ 0 (mod 13)

không có nghiệm. Do đó, E1 và C4 không có điểm chung.

2) Cho E6 : y2 = x3 + 6x và C9 : x2 + y2 = 9 trên F19. Khi đó phương trình đồng dư bậc 3 có

dạng:

x3 + x2 + 6x – 9 ≡ 0 (mod 19)

có 3 nghiệm là: x1 = 4, x2 = 5 và x3 = 9. Từ đó thấy rằng chỉ có một nghiệm làm r2 – x2 là một





mod





hoặc y2 ≡ 12(mod 19), bình phương trong F19. Sự thực, với x1 = 4 ta có

19Q . Vì thế không có giá trị y thỏa mãn phương trình này và ta không có điểm nào. Với

nhưng 12

19Q

. x2 = 5 ta có 6 + y2 ≡ 9(mod 19) suy ra y2 = 3(mod 19), nhưng 3

Vì thế không có giá trị y thỏa mãn phương trình này và ta không có điểm chung nào. Và với x3 = 9, từ phương trình đường tròn ta có: 5 + y2 ≡ 9(mod 19) suy ra y2 ≡ 4(mod 19). Do đó ta

có các điểm (9, 2), (9, 17).

Vì vậy đường cong elliptic E6 và đường tròn C9 có 2 điểm chung.

3) Cho E1 : y2 = x3 + x và C1 : x2 + y2 = 1 trên F11. Khi đó phương trình đồng dư bậc 3 có

dạng:

x3 + x2 + x – 1 ≡ 0(mod 11)

có 3 nghiệm là x1 = 5 và x2,3 = 8. Dễ dàng nhận thấy rằng các nghiệm này làm cho r2 – x2 trở thành bình phương trong F11. Thực tế, với x1 = 5 thì từ phương trình đường tròn ta có 3 + y2 ≡ 1(mod 11) hoặc y2 ≡ 9(mod 11). Vì thế ta có các điểm (5, 5), (5, 12) và với x2,3 = 8 ta có 9 + y2 ≡ 1(mod 11) hoặc y2 ≡ 3(mod 11).

Vì thế ta có các điểm (8, 5), (8, 6). Do đó, đường cong elliptic E1 và đường tròn C1 có 4 điểm

chung.

4) Cho E14 : y2 = x3 + 14x và C16 : x2 + y2 = 16 trên F17. Khi đó phương trình đồng dư bậc 3

có dạng:

x3 + x2 + 14x – 16 ≡ 0(mod 17)

có 3 nghiệm là x1 = 1, x2 = 5 và x3 = 10. Dễ dàng nhận thấy rằng các nghiệm này làm cho r2 – x2 trở

thành một bình phương trong F17.

Thực tế, với x1 = 1 thì từ phương trình đường tròn ta có 1 + y2 ≡ 16(mod 17) suy ra y2 ≡ 15(mod 17). Vì thế ta có các điểm (1, 7), (1, 10) và với x2 = 5 ta có : 8 + y2 ≡ 16(mod 17)



mod





suy ra . Vì thế ta có các điểm (5, 5), (5, 12) ; và với x3 = 10 thì từ phương trình

đường tròn ta có 15 + y2 ≡ 16(mod 17) suy ra y2 ≡ 1(mod 17). Vì thế ta có các điểm (10, 1),

(10, 16). Do đó, đường cong elliptic E14 và đường tròn C16 có 6 điểm chung.

p   thì phương trình đồng dư bậc ba

Trong trường hợp thứ 2, với bất kỳ số k và r nếu ( ) D

(10) chỉ có một nghiệm x và nếu với nghiệm này ta có r2 – x2 là một bình phương trong Fp, thì

đường cong elliptic và đường tròn có 2 điểm chung trên Fp. Do đó trong trường hợp này, chúng có

thể có 0 hoặc 2 điểm chung.

Chúng ta hãy xét các tình huống này trong ví dụ sau.

Ví dụ 4.3.5:

1) Giả sử E1 : y2 = x3 + x và C1 : x2 + y2 = 1 được cho trên F7. Khi đó phương trình đồng

dư bậc 3 có dạng:

x3 + x2 + x – 1 ≡ 0(mod 7)

chỉ có một nghiệm là x = 5. Ta dễ dàng thấy được nghiệm này làm cho r2 – x2 trở thành một bình

phương trong F7.

Trên thực tế, với x = 5 thì từ phương trình đường tròn ta có: 4 + y2 ≡ 1(mod 7) suy ra y2 ≡

4(mod 7). Vì thế ta có các điểm (5, 2), (5, 5). Do đó đường cong elliptic E1 và đường tròn C1 có 2

điểm chung.

2) Giả sử E3 : y2 = x3 + 3x và C1 : x2 + y2 = 1 được cho trên F7. Khi đó phương trình đồng

dư bậc 3 có dạng:

x3 + x2 + 3x – 1 ≡ 0(mod 7)

chỉ có một nghiệm là x = 4. Ta dễ dàng thấy được nghiệm này không làm cho r2 – x2 trở thành một

bình phương trong F7.

Trên thực tế, với x = 4 thì từ phương trình đường tròn ta có: 2 + y2 ≡ 1(mod7) suy ra y2 ≡

7Q . Vì thế không có giá trị y thỏa mãn phương trình này. Do đó đường cong

6(mod 7), nhưng 6

elliptic E3 và đường tròn C1 không có điểm chung.

PHẦN KẾT LUẬN

Luận văn bao gồm một số nội dung chính sau:

1. Phần cơ sở: Trình bày lại một số kiến thức cơ bản về Đại số giao hoán, Lý thuyết số, một

số kết quả nghiên cứu về bản chất số học của các điểm hữu tỷ của các đường cong elliptic – nghĩa là

một số kiến thức nền trong Hình học đại số trong đó có các định lý quan trọng mô tả cấu trúc đại số

của tập các điểm hữu tỷ liên quan đến nội dung của luận văn này.

2. Phần tiếp theo nhắc lại các khái niệm về đa tạp afin và đa tạp xạ ảnh, cùng với các kết

quả nghiên cứu đã biết về đường cong elliptic, trong đó có bàn luận về các điểm kỳ dị của một đa

thức thuần nhất bậc i. Trong phần này có minh họa một số đồ thị, tập hợp các điểm hữu tỷ của các

đường cong elliptic trên trường hữu hạn so sánh với trường hữu tỷ (dựa theo công thức của luật

nhóm và phép cộng hai điểm trên một đường cong elliptic – minh họa bởi các đồ thị).

3. Phần cuối cùng là phần nội dung chính của Luận văn này. Trong phần này đã mô tả

tường minh và diễn đạt lại nội dung của bài báo nói về “Các điểm hữu tỷ trên các đường cong

elliptic trên các trường hữu hạn” của Bet¨ul Gezer, Ahmet Tekcan, và Osman Bizim. Cụ thể là các

nội dung sau:

- Cách xác định điểm hữu tỷ của đường cong elliptic trên trường hữu hạn.

- Số các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic y2 = x3 + kx và các đường tròn x2 + y2 = r2

trên trường Fp.

- Điều đặc biệt là các thuật toán tính toán của bài báo đã được sử dụng để xác định được các số

liệu trong các bảng của ví dụ 4.2.2.

Vì sự hạn chế về mặt thời gian và điều kiện tiếp cận các kết quả nghiên cứu của chuyên

ngành Hình học Đại số, tác giả cũng chỉ mới thực hiện được một phần trong số các ý tưởng bước

đầu tìm hiểu và tham gia tập dượt nghiên cứu về lĩnh vực này. Hy vọng trong tương lai sẽ có điều kiện tiếp tục quan tâm chi tiết và để có thể thu được các kết quả tốt hơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] G. E. Andrews. Number Theory. Dover Pub., 1971.

[2] E. R. Canﬁeld, P. Erd¨os, and C. Pomerance, On a problem of Oppenheim concerning”

factorisatio numerorum”, J. Number Theory 17 (1983), no. 1, 1–28.

[3] L. S. Charlap and D.P.Robbins: An Elementary Introduction to Elliptic Curves, CDR

Expository Report No. 31, Institute for Defense Analysis, Princeton, December 1988.

[4] L. E. Dickson. Criteria for irreducibility of functions in a ﬁnite ﬁeld. Bull, Amer. Math. Soc.

13 (1906), 1–8.

[5] N. D. Elkies, Heegner point computations, Algorithmic number theory (Ithaca, NY, 1994),

122–133, Lecture Notes in Comput. Sci. 877, Springer, Berlin, 1994.

[6] Gezer B., Ozden H., Tekcan E and O. Bizim. The number of Rational Points on Elliptic

2 y = x +b over finite fields. International Journal of Mathematics Sciences 1(3),

Curves

(2007), 178-184.

[7] Joe Harris. Algebraic geometry, volume 133 of Graduate Tests in Mathematics. Springer-

Verlag, New York, 1995. A first course, Corrected reprint of the 1992 original.

[8] J. E. Hopcroft and J. D. Ullman, Formal languages and their relation to automata. Addison-

Wesley PublishingCo., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969.

[9] D. Husemoller: Elliptic Curves, Springer-Verlag, N. Y., 1987.

[10] N. Koblitz, p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions. Second edition. Graduate

Texts in Mathematics 58, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1984.

[11] C.-E. Lind, Untersuchungen ¨uber die rationalen Punkte der ebenen kubischen Kurven vom

Geschlecht Eins, Thesis, University of Uppsala, 1940.

[12] R. Martin and W. McMillen, An elliptic curve over Q with rank at least 24, January 2000,

electronic announcement on the NMBRTHRY list server (posted May 2, 2000).

[13] L. J. Mordell, On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth

degrees, Proc. Cambridge Phil. Soc. 21 (1922), 179–192.

[14] L. J. Mordell, On the magnitude of the integer solutions of the equation ax2 + by2 + cz2 = 0.

J. Number Theory 1 (1969), 1–3.

[15] V.Muller and J.Buchmann: Computing the number of points of ellippic curves over finite

fields, Proceeding of ISSAC '91, S.M.Watteditor, ACMPress 1991, pp 179-182.

[16] B. Poonen, Computing rational points on curves, to appear in the Proceedings of the

Millennial Con-ference on Number Theory, May 21–26, 2000, held at the University of

Illinois at Urbana-Champaign.

[17] H. Reichardt, Einigeim Kleinen ¨uberall l¨osbare, im Grossen unl¨osbare diophantische

Gleichungen, J. Reine Angew. Math. 184 (1942), 12–18.

[18] R. Schoof. Counting Points on Elliptic Curves Over Finite Fields. Journal de Theorie des

Nombres de Bordeaux, 7(1995), 219–254.

[19] R. Sedgewick: Algorithms, Addison-Wesley, N.Y., 1988. [20] E. Selmer, The diophantine equation ax3 + by3 + cz3 = 0, Acta Math. 85 (1951), 203–362 and

92 (1954), 191–197.

[21] J.-P. Serre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in

Mathematics 7, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.

[22] J.-P. Serre, Lectures on the Mordell-Weil theorem. Translated from the French and edited by

Martin Brown from notes by Michel Wald schmidt. Aspects of Mathematics, E15. Friedr.

Vieweg & Sohn, Braunschweig,1989.

[23] J. H. Silverman, The arithmetic of elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics 106,

Spring-Verlag, New York-Berlin, 1986.

[24] J. H. Silverman and J. Tate, Rational points on elliptic curves. Undergraduate Texts in

Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1992.

[25] T. Skolem. Zwei S¨atze ¨uber kubische Kongruenzen. NorskeVid. Selsk. Forhdl. 10(1937)

89–92.

[26] T. Skolem. On a certain connection between the discriminant of a polynomial and the

number of its irreducible factors mod p. Norsk Math. Tidsskr. 34(1952) 81–85.

[27] L. Stickelberger. ¨ Uber eine neue Eigenschaft der Diskriminanten alge-braischer

Zahlk¨orper. Verhand. I, Internat. Math. KongressZ¨ urich, 1897, pp. 182–193.

[28] Z. H. Sun. Cubic and quartic congruences modulo a prime. Journal of Number Theory 102

(2003), 41–89.

[29] Z. H. Sun. Cubic residues and binary quadratic forms. Journal of Number Theory, to be

printed.

2 y = x - t x over Fp. International Journal of Mathematics

[30] Tekcan A. The Elliptic curves

Sciences 1(3), (2007), 165-171.

[31] J. P. Tignol. Galois Theory of Algebraic Equations. World Scientiﬁc Publishing Co.,

Singapore, NewJersey, 2001, pp. 38–107.

[32] L. C. Washington. Elliptic Curves, Number Theory and Cryptography. Chapman &

Hall/CRC, Boca London, New York, Washington DC, 2003.

[33] A.Wiles. Modular Elliptic Curves and Fermat’s Last Theorem. Ann. of Math. 141(3) (1995),

443–551.

DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ TRONG BÀI LUẬN

Hình 1.1: Tham số hóa hữu tỷ của một đường tròn.

Hình 1.2: Đồ thị của y2 = x3 + x2. Hình 1.3: Đồ thị của y2 = x3.

Hình 1.4: Đồ thị của y2 = x3 – x.

Hình 1.5.

Hình 2.11: Hai

loại đường

Hình 2.4 :Đồ thị của đường y2 =x3- 7x Hình 2.5 :Đồ thị của đường y2 =x3- 3x + 5

cong elliptic không kỳ dị trên R2.

BẢNG TRA CỨU CÁC THUẬT NGỮ

11 22 44 60

Ánh xạ chính quy Ánh xạ hữu tỷ Ánh xạ hữu tỷ trội Ánh xạ ngược chính quy Ánh xạ song hữu tỷ 34, 38 36, 39 36, 37 39 22, 36

Độ cao ht(p) Đường bậc 3 phẳng Đường cong afin Đường cong elliptic Đường cong elliptic dạng Weierstrass Đường cong afin không kỳ dị Đường cong không kỳ dị Đường cong kỳ dị Đường cong phẳng Đường conic 59, 60 44 60 48 19 21 Bao đóng xạ ảnh Bổ đề Gauss Bổ đề Nakayama’s 41 13 10

E Elliptic không kỳ dị G

Giống (loại) 45

Cái níu lại Cấp của E(Fp) Cấu xạ Cubic lùi Cubic xoắn 35 69 39 36 25

Hàm chính quy Hàm độ cao Hàm hữu tỷ Hàm thuần nhất 33, 38 51 36 41

Ideal Ideal căn Ideal căn không tầm thường Ideal không thích hợp Ideal nguyên tố Ideal tối đại Ideal thuần nhất Ideal triệt tiêu 6 27 31 31 7 7 30 27

j-bất biến 60

Không gian afin n-chiều Không gian xạ ảnh 22 29, 30

40 24 24 30 40 37, 40 38 24 41 14 44 68 19 44 48 48 42 26 50 50 46 7

45 Loại (giống) 29 Lớp tương đương Luật nhóm 64 Luật tiếp xúc Chord của hợp thành 60, 62 M

Mặt phẳng afin Mặt phẳng xạ ảnh Miền nhân tử hóa duy nhất Miền tầm thường hóa địa phương 28 28 13, 14 12, 13 11 37 17

Đa tạp afin Đa tạp bất khả quy Đa tạp đại số afin Đa tạp đại số xạ ảnh Đa tạp hữu tỷ Đa tạp song hữu tỷ Đa tạp tựa xạ ảnh Đa tạp tuyến tính Đa tạp xạ ảnh Đa thức nguyên hàm Đa thức thuần nhất Điểm hữu hạn Điểm k-hữu tỷ Điểm kỳ dị Điểm lùi Điểm nút Định lý Bézout Định lý cơ bản của Hilbert Định lý Luzt, Nagell Định lý Mazur Định lý Mordell Định lý số dư Trung hoa Định lý tương giao Krull Đơn hữu tỷ Đơn xạ Độ cao chính tắc – độ cao Néron Tate 51 Nguyên hàm Nhóm abel 14 16

Nhóm abel hữu hạn sinh Nhóm abel không xoắn Nhóm con xoắn của nhóm abel A 16, 19 16 16

63 Phép cộng điểm Phép đẳng cấu 34 Phương pháp đường cong elliptic 53, 55 71 Phương trình đồng dư bậc 3 69 Phương trình thuần nhất 41 Phép nhúng Segre

Q Quan hệ tương đương S

52 52 25 29

Sàng toàn phương Sàng trường số Siêu mặt Song ánh Số điểm chung của họ đường cong 79 elliptic và họ đường tròn Số chiều Krull của A 11 Số nghiệm của phương trình đồng dư70, 71 44 Sự trơn

Tọa độ thuần nhất Toàn xạ Tôpô Zariski Tổng trực tiếp ngoài Tổng trực tiếp trong Tương đương song hữu tỉ Trường hàm 39 18 34 18 17 36 35

33 9 33 8 33

Vành afin Vành địa phương (noether) Vành các hàm chính quy trên X Vành Noether Vành thương, vành tọa độ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn





  là tập hợp những điểm trong



 2 



E

E

E 

E 

E 

 E

 Do đó, số đường cong elliptic cần thiết phải thử trong suốt thuật toán là O 

E p

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn





  là tập hợp những điểm trong



 2 



E

E

E 

E 

E 

 E

 Do đó, số đường cong elliptic cần thiết phải thử trong suốt thuật toán là O 

E p

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok