BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------
Trịnh Duy Bình
ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội – 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------
Trịnh Duy Bình
ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC
Toán ứng dụng
Chuyên ngành: Mã số: 8 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Bùi Trọng Kiên.
Hà Nội – 2019
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn "Điều kiện cực trị và tính chính quy của các
nhân tử Lagrange cho bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic" là
công trình nghiên cứu của tôi. Mọi kết quả nghiên cứu trước đó của các tác giả
khác được trích dẫn cụ thể. Nội dung luận văn chưa từng được công bố trong
bất kỳ công trình nghiên cứu nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam
đoan trên.
Hà Nội, ngày 1 tháng 4 năm 2019
Người cam đoan
Trịnh Duy Bình
LỜI CẢM ƠN
Sau quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa Toán học, Học viện Khoa học
và Công nghệ, đến nay luận văn đã được hoàn thành. Trước tiên, tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Bùi Trọng Kiên. Thầy là người đã tận
hình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt qua nhiều khó khăn trong quá trình học tập và
nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong seminar Điều khiển
tối ưu - Viện Toán học đã nhiệt tình góp ý, giúp đỡ tôi trong thời gian thực hiện
đề tài. Tôi xin cảm ơn Trung tâm đào tạo sau đại học - Viện Toán học và phòng
Đào tạo - Học viện Khoa học và Công nghệ đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi trong quá trình học cao học tại học viện.
Hơn nữa, tôi xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể bạn bè, gia đình tôi, những người
đã sát cánh bên tôi trong quãng thời gian qua.
Trịnh Duy Bình
1
Mục lục
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT . . . . . . . . . . 2
MỞ ĐẦU 3
1 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO MỘT LỚP BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN
TỐI ƯU TRỪU TƯỢNG 5
1.1 MỘT SỐ CÔNG CỤ VÀ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH BIẾN
PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬC HAI CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH
TOÁN HỌC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI
ƯU TRỪU TƯỢNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Một số kết quả về nghiệm của phương trình elliptic . . . . . . . 9
2 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN
TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMI-
LINEAR ELLIPTIC 11
2.1 MỘT SỐ GIẢ THIẾT VÀ KẾT QUẢ VỀ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH SEMILINEAR ELLIPTIC . . . . . . 11
2.2 ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ BẬC MỘT, BẬC HAI VÀ TÍNH
CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE . . . . . . . 13
2.3 ĐIỀU KIỆN ĐỦ CỰC TRỊ BẬC HAI . . . . . . . . . . . . . . 21
3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 27
2
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
hầu khắp nơi
cone(M )
h.k.n R tập hợp các số thực
int(M ), M BX(x, r) |.|
hình nón sinh bởi tập M lần lượt là phần trong và bao đóng của tập M hình cầu mở tâm x, bán kính r trong không gian X
giá trị tuyệt đối của một số, độ đo Lebesgue của một tập,
ij với X = (aij) ∈ Rm×n a2
(cid:107).(cid:107)p, (cid:107).(cid:107)2,2
(cid:104)f, x(cid:105) f ∗
hợp cụ thể), |X| = (cid:115) m (cid:80) i=1
chuẩn của véc tơ, chuẩn của ma trận (trong từng trường n (cid:80) j=1 lần lượt là chuẩn trong không gian Lp(Ω) và W 2,2(Ω), với 1 ≤ p ≤ ∞ phiếm hàm tuyến tính f tác động vào véc tơ x toán tử tuyến tính liên hợp của f (nếu không có thông
X ∗ xk (cid:42) x D(y,u)f (x, ¯y, ¯u), D2 (y,u)f (x, ¯y, ¯u)
tin giải thích khác) không gian đối ngẫu của không gian X xk hội tụ yếu đến x lần lượt là đạo hàm cấp một và cấp hai của f theo hai biến y, u tại (¯y, ¯u)
3
MỞ ĐẦU
Lý thuyết điều khiển tối ưu có nhiều ứng dụng trong kinh tế, cơ học và khoa
học vũ trụ. Lý thuyết này đã phát triển rực rỡ vào những năm 1960 của thế kỉ
trước khi mà hai nguyên lý cơ bản là nguyên lý cực đại Pontryagin và nguyên
lý Bellman được ra đời. Ngày nay điều khiển tối ưu đã phát triển thành nhiều
nhánh khác nhau như điều khiển tối ưu với phương trình vi phân thường, điều
khiển tối ưu với phương trình đạo hàm riêng, điều khiển tối ưu đa mục tiêu. Gần
đây bài toán điều khiển tối ưu với phương trình đạo hàm riêng được nhiều nhà
toán học quan tâm. Trong luận văn này, chúng ta sẽ quan tâm nghiên cứu các
bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi các phương trình semilinear elliptic sau
đây.
Cho Ω là tập mở, bị chặn trong RN với N = 2, 3 và biên ∂Ω thuộc lớp C 2.
Ta xét bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic:
J(y, u) =
L(x, y(x), u(x)dx → min,
Ω Ay = f (x, y, u)
(cid:90) (1)
y = 0 trên ∂Ω,
a(x) ≤ g(x, y(x), u(x)) ≤ b(x)
trong Ω, (2)
h.k.n x ∈ Ω. (3)
N (cid:88)
Ay = −
Di(aij(x)yxj(x)).
i,j=1
Trong đó A được định nghĩa bởi:
Các ánh xạ L, f, g : Ω×R×R → R là các hàm Carathéodory và a, b ∈ L∞(Ω). Việc thiết lập các điều kiện cực trị bậc nhất và bậc hai cho bài toán điều khiển
tối ưu semilinear elliptic cho đến nay vẫn là một vấn đề thời sự, được quan tâm
bởi nhiều các nhà toán học (như trong các tài liệu tham khảo từ [2] đến [7]).
Đối với lớp các bài toán điều khiển tối ưu này, biến điều khiển thường thuộc không gian Lp(Ω) với 1 ≤ p < ∞ hoặc L∞(Ω) và việc thiết lập các điều kiện tối ưu phụ thuộc vào không gian chứa biến điều khiển. Khi u ∈ Lp(Ω) với 1 ≤ p < ∞, chúng ta có thể nhận thấy sự tồn tại của các nhân tử Lagrange
4
chính quy cho các bài toán điều khiển tối ưu là dễ dàng có được. Trong trường hợp này, các nhân tử Lagrange thuộc không gian Lq(Ω) là không gian đối ngẫu của Lp(Ω). Tuy nhiên trong trường hợp u ∈ Lp(Ω) với 1 ≤ p < ∞, hàm chi phí J cũng như các hàm f, g khó có thể khả vi theo biến u trong không gian Lp(Ω). Để khắc phục khó khăn này, chúng ta có thể giả thiết rằng u ∈ L∞(Ω). Nhưng trong trường hợp này, các nhân tử Lagrange là các độ đo mà không còn
là các hàm số. Điều đó dẫn tới vấn đề phải nghiên cứu tính chính quy của các
nhân tử Lagrange, đó là việc tìm các điều kiện làm cho nhân tử Lagrange thuộc không gian Lp(Ω). Vấn đề này đã được nghiên cứu gần đây bởi một số các nhà toán học (như [6] và [7]). Đặc biệt, trong tài liệu [7], bằng việc sử dụng Định lý
Yosida-Hewitt, A.R¨osch và F. Tr¨oltzsch chứng minh rằng, dưới một số các điều kiện nhất định, các nhân tử Lagrange thuộc vào không gian Lp(Ω).
Mục tiêu của luận văn này là xây dựng các điều kiện cực trị và nghiên cứu
tính chính quy của các nhân tử Lagrange. Cụ thể là chúng ta đưa ra các điều
kiện, tiêu chuẩn, mà dưới đó, các nhân tử Lagrange trong các điều kiện tối ưu của bài toán (1)-(3) thuộc vào không gian Lp(Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm hai chương chính. Chương 1
trình bày một số kiến thức và các sự kiện liên quan đến giải tích biến phân, các
bài toán quy hoạch và phương trình elliptic. Chương 2 trình bày kết quả cơ bản
của luận văn về sự tồn tại và tính chính quy của các nhân tử Lagrange trong các
điều kiện tối ưu bậc hai của bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic. Nội
dung của luận văn được viết dựa trên công trình của tác giả và các cộng sự về
hướng nghiên cứu này. Bài báo hiện đã được gửi đăng.
5
CHƯƠNG 1
ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO MỘT LỚP BÀI TOÁN ĐIỀU
KHIỂN TỐI ƯU TRỪU TƯỢNG
1.1 MỘT SỐ CÔNG CỤ VÀ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH
BIẾN PHÂN
Trong mục này, ta luôn giả thiết X là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.1. Cho M ⊂ X, ¯x ∈ M . Một véc tơ v thuộc X được gọi là một véc tơ tiếp tuyến của M tại ¯x nếu tồn tại các dãy {tk}k∈N , {vk}k∈N sao cho tk → 0+, vk → v, k → ∞ thỏa mãn ¯x + tkvk ∈ M . Ta ký hiệu T (M, ¯x) là tập các véc tơ tiếp tuyến v của M . T (M, ¯x) được gọi là
nón tiếp tuyến hay nón Bouligand.
Mệnh đề 1.1.1. [8] T (M, ¯x) là nón đóng và T (M, ¯x) ⊂ cone(M − ¯x).
T b(M, ¯x) := {v ∈ X|∀tk → 0; ∃vk → v : ¯x + tkvk ∈ M, ∀k ∈ N}.
Định nghĩa 1.1.2. Với M ⊂ X, ta định nghĩa
Ta gọi T b(M, ¯x) là nón tiếp tuyến trung gian hay nón kề của tập M tại điểm ¯x.
Mệnh đề 1.1.2. [8]
(i) T b(M, ¯x) là nón đóng.
(ii) Nếu M là tập lồi, thì T b(M, ¯x) là tập lồi và T b(M, ¯x) = cone(M − ¯x).
Nhận xét 1.1.1. (i) T b(M, ¯x) ⊂ T (M, ¯x).
(ii) Khi M là tập lồi, ta có: T b(M, ¯x) = T (M, ¯x) = cone(M − ¯x).
Ví dụ sau đây cho thấy T b(M, ¯x) (cid:54)= T (M, ¯x).
6
2i : i = 1, 2, ...}, với ¯x ∈ M , ta có:
T (M, ¯x) = R+, T b(M, ¯x) = {0}.
Ví dụ 1.1.1. Cho X = R, M = { 1
Định nghĩa 1.1.3. Với M ⊂ X, ¯x ∈ M, h ∈ X, ta định nghĩa:
kvk ∈
2t2
M, ∀k ∈ N},
(i) T 2b(M, ¯x, h) := {v ∈ X|∀tk → 0+; ∃vk → v : ¯x + tkh + 1
kvk ∈
2t2
M, ∀k ∈ N},
(ii) T 2(M, ¯x, h) := {v ∈ X|∃tk → 0+, ∃vk → v : ¯x + tkh + 1
ta gọi T 2b(M, ¯x, h) và T 2(M, ¯x, h) lần lượt là tập tiếp tuyến trung gian bậc hai và tập tiếp tuyến bậc hai của M theo phương h.
T 2b(M, ¯x, h) ⊂ T 2(M, ¯x, h),
T 2b(M, ¯x, 0) = T b(M, ¯x),
T 2(M, ¯x, 0) = T (M, ¯x).
Nhận xét 1.1.2. (i) T 2b(M, ¯x, h) và T 2(M, ¯x, h) là các tập đóng, và:
(ii) Nếu M là tập lồi thì T 2b(M, ¯x, h) là tập lồi, nhưng T 2(M, ¯x, h) có thể
không lồi (ví dụ có thể xem trong tài liệu tham khảo [9]).
N (M, ¯x) := {x∗ ∈ X ∗|(cid:104)x∗, x − ¯x(cid:105) ≤ 0, ∀x ∈ M },
Định nghĩa 1.1.4. Cho M ⊂ X, M lồi, ta định nghĩa nón pháp tuyến của M tại ¯x là tập
N (M, ¯x) = {x∗ ∈ X ∗|(cid:104)x∗, h(cid:105) ≤ 0, ∀h ∈ T (M, ¯x)}.
hoặc tương đương với
7
1.2 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬC HAI CHO BÀI TOÁN QUY
HOẠCH TOÁN HỌC
Z ∗, E∗, ta xét bài toán
f (z) → min,
Cho Z, E là các không gian Banach với các không gian đối ngẫu lần lượt là
(P1)
G(z) ∈ Q;
Φ = {z ∈ Z|G(z) ∈ Q}.
với f : Z → R, G : Z → E, Q ⊂ E, Q là tập lồi, đóng. Ta đặt
Định nghĩa 1.2.1. Ta gọi ¯z ∈ Φ là nghiệm địa phương của bài toán (P1) nếu tồn tại (cid:15) > 0 sao cho với mọi z ∈ BZ(¯z, (cid:15)) ∩ Φ, f (z) − f (¯z) ≥ 0.
Định nghĩa 1.2.2. Mỗi véc tơ ¯z ∈ Φ được gọi là thỏa mãn điều kiện chính quy
Robinson nếu
0 ∈ int(∇G(¯z)BZ − (Q − G(¯z)) ∩ BE),
(1.1)
với BZ, BE lần lượt là hình cầu đơn vị trong Z và E.
E = ∇G(¯z)Z − cone(Q − G(¯z)).
Định lý 1.2.1. [10] Điều kiện (1.1) tương đương với điều kiện sau
(1.2)
Chú ý: (1.2) xảy ra khi ∇G(¯z) là toàn ánh.
Định lý 1.2.2. [10] Chúng ta sẽ ký hiệu Λ1(¯z) là tập các nhân tử Lagrange của bài toán (P1), cụ thể là Λ1(¯z) = {e∗ ∈ E∗|∇f (¯z) + ∇G(¯z)∗e∗ = 0, e∗ ∈ N (Q, G(¯z))}. Giả sử ¯z thỏa mãn điều kiện chính quy Robinson, khi đó Λ1(¯z) khác rỗng, bị chặn và compact theo topo τ (E∗, E), với τ (E∗, E) là topo yếu* trên E∗.
C1(¯z) := {d ∈ Z|∇f (¯z)d ≤ 0, ∇G(¯z)d ∈ T (Q, G(¯z))},
C01(¯z) := {d ∈ Z|∇f (¯z)d ≤ 0, ∇G(¯z)d ∈ cone(Q − G(¯z))},
C1∗(¯z) := C01(¯z).
Định nghĩa 1.2.3. Ta định nghĩa một số nón tới hạn như sau:
8
Bài toán (P1) có hàm Lagrange: L1(z, e∗) = f (z) + e∗G(z). Ta có điều kiện
cần cực trị bậc hai cho bài toán (P1) như sau:
∇2
zzL1(¯z, e∗) ≥ 0.
Định lý 1.2.3. [10] Giả sử ¯z là nghiệm địa phương của bài toán (P1). Khi đó, với mỗi d ∈ C1∗(¯z), tồn tại e∗ ∈ E∗ sao cho điều kiện sau được thỏa mãn:
Chứng minh. Kết luận của định lý được suy ra từ Định lý 3.5 trong [10] cho trường hợp một mục tiêu m = 1.
1.3 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN
TỐI ƯU TRỪU TƯỢNG
Cho E0, E, Y và U là các không gian Banach và Q là tập con lồi, đóng, khác
I : Y × U → R,
F : Y × U → E0,
G : Y × U → E
(P2)
rỗng của E. Ta đặt Z := Y × U và giả sử rằng
là các ánh xạ cho trước. Ta xét bài toán điều khiển tối ưu với biến điều khiển u ∈ U và biến trạng thái y ∈ Y : I(y, u) → min, F (y, u) = 0, G(y, u) ∈ Q.
D := {(y, u) ∈ Z|F (y, u) = 0}.
Ta ký hiệu Φ là tập chấp nhận được của bài toán (P2) và ta đặt:
0 × E∗ thỏa mãn các điều kiện sau:
∇zL2(z0, v∗, e∗) = 0,
e∗ ∈ N (Q, G(z0));
Với z0 = (y0, u0) ∈ Φ cố định, ta ký hiệu Λ2(z0) là tập hợp các nhân tử (v∗, e∗) ∈ E∗
9
L2(z, v∗, e∗) = I(z) + (cid:104)v∗, F (z)(cid:105) + (cid:104)e∗, G(z)(cid:105).
ở đó L2(z, v∗, e∗) là hàm Lagrange của bài toán (P2) được cho bởi:
C02(z0) := {d ∈ Z|∇I(z0)d ≤ 0, ∇F (z0)d = 0,
∇G(z0)d ∈ cone(Q − G(z0))},
C2(z0) := C02(z0).
Ta ký hiệu:
Định lý sau cho ta điều kiện cần cực trị bậc hai của bài toán (P2):
Định lý 1.3.1. Giả sử z0 ∈ Φ và các giả thiết sau được thỏa mãn:
1 sao cho các ánh xạ I(., .), F (., .) và G(., .) khả
(ii) Tồn tại các số dương r1, r(cid:48)
1).
vi liên tục Fréchet cấp hai trên BY (y0, r1) × BU (u0, r(cid:48)
(ii) Ánh xạ Fy(z0) là song ánh.
(iii) E = ∇G(z0)(T (D, z0)) − cone(Q − G(z0)).
∇2
zzL(z0, v∗, e∗)(d, d) = (cid:104)Izz(z0)d, d(cid:105) + (cid:104)v∗Fzz(z0)d, d(cid:105)
+ (cid:104)e∗Gzz(z0)d, d(cid:105) ≥ 0.
Nếu z0 là nghiệm địa phương của bài toán (P2), thì với mỗi d ∈ C2(z0), tồn tại (v∗, e∗) ∈ Λ2(z0) sao cho
Chứng minh. Kết luận của định lý được suy ra từ Định lý 4.1 trong [10] cho trường hợp một mục tiêu m = 1.
1.4 Một số kết quả về nghiệm của phương trình elliptic
Lu = f
Xét bài toán
u = 0 trên ∂Ω;
trong Ω, (1.3)
10
n (cid:88)
n (cid:88)
Lu = −
ở đó Ω là tập con mở, bị chặn của Rn và u : ¯Ω → R là ẩn hàm cần tìm. Hàm f : Ω → R cho trước và L là toán tử có dạng như sau
(aijuxi)xj +
bi(x)uxi + c(x)u,
i,j=1
i=1
(1.4)
với aij, bi, c (i, j = 1, ..., n) là các hàm cho trước. Ta đưa ra một số các giả thiết như sau: H1) aij = aji (i, j = 1, ..., n). H2) aij, bi, c ∈ L∞(Ω) (i, j = 1, ..., n), f ∈ L2(Ω).
n (cid:88)
aij(x)ξiξj ≥ λ|ξ|2,
i,j=1 với h.k.n x ∈ Ω và mọi ξ ∈ Rn.
Định nghĩa 1.4.1. Ta nói toán tử L là elliptic nếu tồn tại một số λ > 0 sao cho
Định nghĩa 1.4.2. i, Ta gọi dạng bậc hai B[., .] sinh bởi toán tử L định nghĩa
bởi (1.4) được cho bởi công thức sau
n (cid:88)
n (cid:88)
B[u, v] =
aijuxivxj +
biuxiv + cuvdx,
Ω
i,j=1
i=1
(cid:90)
0 (Ω).
với u, v ∈ H 1
0 (Ω) là nghiệm (hoặc nghiệm yếu) của bài toán (1.3) nếu
B[u, v] = (cid:104)f, v(cid:105),
ii, Ta nói u ∈ H 1
0 (Ω).
với mọi v ∈ H 1
Định lý sau nói về tính duy nhất nghiệm của phương trình (1.3)
0 (Ω):
Lu + µu = f
Định lý 1.4.1. [11] Giả sử có một số γ ≥ 0, với mỗi µ ≥ γ và hàm f ∈ L2(Ω), phương trình sau có nghiệm duy nhất u ∈ H 1
u = 0 trên ∂Ω.
trong Ω, (1.5)
11
CHƯƠNG 2
ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC
NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN
TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC
2.1 MỘT SỐ GIẢ THIẾT VÀ KẾT QUẢ VỀ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH SEMILINEAR ELLIPTIC
Cho Ω là tập mở, bị chặn trong RN với N = 2, 3 và biên ∂Ω thuộc lớp C 2. Trong cả chương này, ta xét bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic với biến điều khiển u ∈ L∞(Ω) và biến trạng thái tương ứng y ∈ W 2,2(Ω) ∩ W 1,2 0 (Ω):
J(y, u) =
L(x, y(x), u(x)dx → min,
Ω Ay = f (x, y, u)
(cid:90) (2.1)
y = 0 trên ∂Ω,
a(x) ≤ g(x, y, u) ≤ b(x)
trong Ω, (2.2)
h.k.n x ∈ Ω; (2.3)
N (cid:88)
Ay = −
Di(aij(x)yxj(x)).
i,j=1
với a(x), b(x) ∈ L∞(Ω) và toán tử A định nghĩa bởi
0 (Ω) là nghiệm (hoặc nghiệm yếu) của phương
Từ Định nghĩa 1.4.2, ta định nghĩa nghiệm của phương trình (2.2) như sau:
Định nghĩa 2.1.1. Ta nói y ∈ H 1 trình (2.2) nếu
B[y, v] :=
aij(x)yxj(x)vxi(x)dx = (cid:104)f, v(cid:105),
Ω
(cid:90)
0 (Ω).
với mọi v ∈ H 1
12
Y := W 1,2
0 (Ω) ∩ W 2,2(Ω), U := L∞(Ω), Z := Y × U
Ta đặt:
Q∞ = {v ∈ L∞(Ω)|a(x) ≤ v(x) ≤ b(x)}.
và
Φ := {(y, u) ∈ Y × U |(y, u)
Ta ký hiệu Φ là tập chấp nhận được của bài toán (2.1)-(2.3):
thỏa mãn (2.2) − (2.3)}.
Ta ký hiệu ϕ : Ω × R × R → R thay thế cho L, f và g. Với mỗi (¯y, ¯u) cố định trong Φ, ta ký hiệu ϕ[x], ϕy[x], ϕu[x], ϕyu[x] và ϕuu[x] lần lượt thay thế cho ϕ(x, ¯y(x),¯u(x)), ϕy(x, ¯y(x), ¯u(x)), ϕu(x, ¯y(x), ¯u(x)), ϕyu(x, ¯y(x), ¯u(x)), ϕuu(x, ¯y(x), ¯u(x)).
Ta đưa ra một số các giả thiết như sau:
N (cid:88)
N (cid:88)
aij(x)ξiξj ≥ λ
|ξi|2 ∀x ∈ Ω, (ξ1, ξ2, ..., ξN ) ∈ RN .
i,j=1
i=1
(A1) Các hàm aij ∈ C 1( ¯Ω), aij = aji và tồn tại một số λ > 0 sao cho:
(A2) fy(x, y, u) ≤ 0 ∀(x, y, u) ∈ Ω × R × R.
(A3) ϕ(x, ., .) thuộc lớp C 2 thỏa mãn |ϕ(x, 0, 0)| và |D(y,u)ϕ(x, 0, 0)| bị chặn,
|ϕ(x, y1, u1) − ϕ(x, y2, u2)| + |D(y,u)ϕ(x, y1, u1) − D(y,u)ϕ(x, y2, u2)| + |D2
(y,u)ϕ(x, y2, u2)| ≤ kϕM (|y1 − y2| + |u1 − u2|),
(y,u)ϕ(x, y1, u1) − D2
và với mỗi M > 0, tồn tại kϕM > 0 sao cho
với mọi x ∈ Ω, yi, ui ∈ R, thỏa mãn |yi| ≤ M, |ui| ≤ M , i = 1, 2.
(A4) Tồn tại hằng số γ > 0 sao cho:
|gu(x, ¯y(x), ¯u(x))| > γ
h.k.n x ∈ Ω (2.4)
≥ 0,
và
− fy[x] +
fu[x]gy[x] gu[x]
h.k.n x ∈ Ω. (2.5)
13
Trước khi trình bày các nội dung tiếp theo, ta có các nhận xét sau về các giả thiết
ˆf (y, u)(x) = f (x, y(x), u(x)), ˆg(y, u)(x) = g(x, y(x), u(x)).
trên. Giả thiết (A1) và (A2) đảm bảo cho phương trình (2.2) có nghiệm duy nhất y ∈ W 1,2 0 (Ω) ∩ W 2,2(Ω) với mỗi u ∈ L∞(Ω). Giả thiết (A3) đảm bảo cho hàm mục tiêu J, các hàm ˆf và ˆg khả vi trên (W 1,2 0 (Ω) ∩ W 2,2(Ω)) × L∞(Ω), với ˆf và ˆg định nghĩa bởi:
(2.6)
Giả thiết (A4) là giả thiết quan trọng trong chứng minh tính chính quy của
các nhân tử Lagrange. Bên cạnh đó, điều kiện (2.5) đảm bảo cho điều kiện chính quy Robinson được thỏa mãn. Sau đây là một số các ví dụ về các hàm f và g
thỏa mãn giả thiết (A4):
g(x, y, u) = u
f (x, y, u) = −y3 + u3, f (x, y, u) = −yu2, f (x, y, u) = x2u2,
g(x, y, u) = u3 − u2 + 2u g(x, y, u) = ψ(x) + y2u3 + u
Ví dụ 2.1.1. Các hàm f và g có các công thức như sau thỏa mãn giả thiết (A4):
với ψ là làm liên tục trên Ω
Bổ đề sau đây nói về tính duy nhất nghiệm của phương trình (2.2), ta có thể
tìm thấy chứng minh của bổ đề trong [5] và [3].
∀u ∈ L∞(Ω).
(cid:107)y(cid:107)∞ + (cid:107)y(cid:107)2,2 ≤ C2,
Bổ đề 2.1.1. Giả sử rằng các hàm aij và f thỏa mãn các điều kiện (A1) và (A2). Với mỗi u ∈ L∞(Ω), phương trình (2.2) có nghiệm duy nhất y ∈ W 1,2 0 (Ω) ∩ W 2,2(Ω). Hơn nữa, tồn tại hằng số C2 > 0 sao cho:
2.2 ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ BẬC MỘT, BẬC HAI VÀ
TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE
Định nghĩa 2.2.1.
(i) Một cặp (¯y, ¯u) ∈ Φ được gọi là nghiệm địa phương của bài toán (2.1)-(2.3) nếu tồn tại một số (cid:15) > 0 sao cho nếu (y, u) ∈ Φ thỏa mãn (cid:107)y − ¯y(cid:107)2,2 + (cid:107)u − ¯u(cid:107)∞ < (cid:15) thì J(y, u) ≥ J(¯y, ¯u).
14
(ii) Một cặp (¯y, ¯u) ∈ Φ được gọi là nghiệm mạnh địa phương của bài toán (2.1)-(2.3) nếu tồn tại một số (cid:15) > 0 và α > 0 sao cho nếu (y, u) ∈ Φ thỏa mãn (cid:107)y − ¯y(cid:107)2,2 + (cid:107)u − ¯u(cid:107)∞ < (cid:15) thì J(y, u) ≥ J(¯y, ¯u) + α(cid:107)u − ¯u(cid:107)2 2.
Ta ký hiệu C0[(¯y, ¯u)] là tập hợp của các cặp (y, u) ∈ Y × U thỏa mãn các
điều kiện sau:
Ω(Ly[x]y(x) + Lu[x]u(x))dx ≤ 0,
(c1) (cid:104)∇J(¯y, ¯u), (y, u)(cid:105) = (cid:82)
(c2) Ay = fy[.]y + fu[.]u,
(c3) gy[.]y + gu[.]u ∈ cone(Q∞ − g[.]).
Ta gọi bao đóng của C0[(¯y, ¯u)] trong Y × U là tập hợp các phương tới hạn của bài toán (2.1)-(2.3) và ký hiệu là C[(¯y, ¯u)].
Định nghĩa 2.2.2. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục e∗ ∈ L∞(Ω)∗ được gọi là biểu diễn được bằng một hàm trong không gian L1(Ω) nếu tồn tại một hàm φ ∈ L1(Ω) sao cho:
(cid:104)e∗, v(cid:105) =
φ(x)v(x)dx ∀v ∈ L∞(Ω).
Ω
(cid:90)
x ∈ B,
1 với
Với B ⊂ Ω, ta ký hiệu χB là hàm đặc trưng của B:
χB(x) =
0 với x /∈ B.
Bổ đề sau đây đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh tính chính quy
của các nhân tử Lagrange.
, v(cid:105) = (cid:104)e∗, χ∆kv(cid:105) ∀v ∈ L∞(Ω).
(cid:104)e∗ ∆k
định nghĩa bởi: Bổ đề 2.2.1 ([12], Mệnh đề 5, Chương 8). Một phiếm hàm tuyến tính liên tục e∗ ∈ L∞(Ω)∗ biểu diễn được bằng một hàm trong không gian L1(Ω) khi và chỉ khi với mọi dãy {∆k} các tập con đo được của Ω, |∆k| → 0, ta có (cid:107)e∗ (cid:107) → 0 ∆k khi k → ∞. Ở đây e∗ ∆k
15
Sau đây là kết quả quan trọng của luận văn về điều kiện cần cực trị:
Định lý 2.2.1. Giả sử (¯y, ¯u) ∈ Φ là nghiệm địa phương của bài toán (2.1)- (2.3) và các giả thiết (A1)-(A4) được thỏa mãn. Khi đó tồn tại các hàm ϑ ∈ W 1,2 0 (Ω) ∩ W 2,2(Ω) và e ∈ L2(Ω) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) (Phương trình liên hợp)
A∗ϑ − fy[.]ϑ = −Ly[.] − gy[.]e
trong Ω, ϑ = 0 trên ∂Ω; (2.7)
(ii) (Điều kiện dừng theo u)
Lu[.] − fu[.]ϑ + gu[.]e = 0 h.k.n;
(2.8)
g[x] = max (a(x), min(e(x) + g[x], b(x)))
h.k.n x ∈ Ω;
(iii) (Điều kiện bù)
(2.9)
(iv) (Điều kiện không âm bậc hai)
Ω
(Lyy[x]y(x)2 + 2Lyu[x]y(x)u(x) + Luu[x]u(x)2)dx (cid:90)
−
ϑ(x)(fyy(x)y(x)2 + 2fyu[x]y(x)u(x) + fuu[x]u(x)2)dx
Ω
(cid:90)
+
e(x)(gyy[x]y(x)2 + 2gyu[x]y(x)u(x) + guu[x]u(x)2)dx ≥ 0
Ω
(cid:90)
với mọi (y, u) ∈ C[(¯y, ¯u)]. Hơn nữa ta có e ∈ L∞(Ω).
Chứng minh. Ta chia chứng minh ra thành các bước:
F : Y × U → E0, F (y, u) = Ay − ˆf (y, u); G : Y × U → E, G(y, u) = ˆg(y, u);
Bước 1. Đưa bài toán về bài toán điều khiển tối ưu trừu tượng. Ta ký hiệu E0 = L2(Ω), E = L∞(Ω) và ta định nghĩa một số ánh xạ:
D = {(y, u) ∈ Y × U |F (y, u) = 0}.
với ˆf , ˆg định nghĩa bởi (2.6). Ta đặt:
(2.10)
16
J(y, u) → min
Khi đó (¯y, ¯u) là nghiệm địa phương của bài toán:
(2.11)
F (y, u) = 0,
thỏa mãn
(2.12)
G(y, u) ∈ Q∞.
(2.13)
Bên cạnh đó, C[(¯y, ¯u)] là bao đóng của C0[(¯y, ¯u)] trong Y × U và C0 là tập hợp của các cặp (y, u) ∈ Y × U sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
1) (cid:104)∇J(¯y, ¯u), (y, u)(cid:105) ≤ 0;
(c(cid:48)
2) (cid:104)∇F (¯y, ¯u), (y, u)(cid:105) = 0;
(c(cid:48)
3) (cid:104)∇G(¯y, ¯u), (y, u)(cid:105) ∈ cone(Q∞ − G(¯y, ¯u));
(c(cid:48)
L(y, u, v∗, e∗) := J(y, u) + (cid:104)v∗, F (y, u)(cid:105) + (cid:104)e∗, G(y, u)(cid:105),
Bài toán (2.11)-(2.13) có hàm Lagrange được cho bởi:
0 và e ∈ E∗ với E∗
0 = L2(Ω) và E∗ = L∞(Ω)∗ lần lượt là không ở đó v∗ ∈ E∗ gian đối ngẫu của E0 và E. Bổ đề sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.3.1.
(2.14)
Bổ đề 2.2.2. Giả sử (¯y, ¯u) là nghiệm địa phương của bài toán (2.11)-(2.13) và
các giả thiết sau được thỏa mãn:
(H1) J, F và G thuộc lớp C 2 trong lân cận của (¯y, ¯u).
(H2) Ánh xạ Fy(y, u) là song ánh.
E = ∇G(¯y, ¯u)(T (D, (¯y, ¯u))) − cone(Q∞ − G(¯y, ¯u)).
(H3) Điều kiện chính quy Robinson được thỏa mãn:
Thì với mỗi phương tới hạn d = (y, u) ∈ C[(¯y, ¯u)], tồn tại các véc tơ ϑ ∈ E∗ 0 và e∗ ∈ E∗ sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
17
(i) (Phương trình liên hợp)
Jy(¯y, ¯u) + Fy(¯y, ¯u)∗ϑ + Gy(¯y, ¯u)∗e∗ = 0;
(2.15)
(ii) (Điều kiện dừng theo u)
Ju(¯y, ¯u) + Fu(¯y, ¯u)∗ϑ + Gu(¯y, ¯u)∗e∗ = 0;
(2.16)
(iii) (Điều kiện bù )
e∗ ∈ N (Q∞, G(¯y, ¯u));
(2.17)
D2
(iv) (Điều kiện không âm bậc hai)
(y,u)L(¯y, ¯u, ϑ, e∗)[(y, u), (y, u)] ≥ 0.
(2.18)
Bước 2. Suy ra các điều kiện cần cực trị.
Ta kiểm tra các giả thiết (H1)-(H3) của Bổ đề 2.2.2. Từ giả thiết (A3), ta có
thể chỉ ra rằng J, F và G thuộc lớp C 2 trong lân cận của (¯y, ¯u). Ta có:
∇J(¯y, ¯u) = (Ly[.], Lu[.]),
(2.19)
Fy(¯y, ¯u) = A − fy[.], Fu(¯y, ¯u) = −fu[.],
(2.20)
Gy(¯y, ¯u) = gy[.], Gu(¯y, ¯u) = gu[.],
(2.21)
và
D2
,
(y,u)L(y, u, ϑ, e∗) =
Lyy[.] − ϑfyy[.] + e∗gyy[.] Lyu[.] − ϑfyu[.] + e∗gyu[.] Luy[.] − ϑfuy[.] + e∗guy[.] Luu[.] − ϑfuu[.] + e∗guu[.] (2.22) do đó (H1) thỏa mãn. Ta kiểm tra (H2). Ta lấy bất kỳ u ∈ E0 = L2(Ω) và xét phương trình:
(cid:32) (cid:33)
Ay − fy(x, ¯y(x), ¯u(x))y = u trong Ω, y = 0 trên ∂Ω.
(2.23)
Bởi (A2), ta có −fy(x, ¯y(x), ¯u(x)) ≥ 0 h.k.n x ∈ Ω. Theo định lý Lax-Milram, phương trình (2.23) có duy nhất nghiệm y ∈ W 1,2 0 (Ω). Áp dụng [Định lý 4, mục
18
Fy(¯y, ¯u)y = u.
6.3, [11]] về tính chính quy của nghiệm của phương trình elliptic trên miền có biên thuộc lớp C 2, ta có y ∈ W 2,2(Ω). Do đó, y ∈ Y là nghiệm duy nhất của phương trình:
T (D, (¯y, ¯u)) = {(y, u) ∈ Y × U |Fy(¯y, ¯u)y + Fu(¯y, ¯u)u = 0}
= {(y, u) ∈ Y × U |Ay − fy[.]y = fu[.]u}.
Vậy (H2) thỏa mãn. Cuối cùng, ta kiểm tra giả thiết (H3). Vì Fy(y, u) là song ánh, nên ∇F (¯y, ¯u) là toàn ánh. Bởi [[13], Bổ đề 2.2], ta có:
e = gy[.]y + gu[.]u.
Vì vậy, để kiểm tra giả thiết (H3), ta sẽ chỉ ra rằng, với mọi e ∈ E, tồn tại (y, u) ∈ T (D, (¯y, ¯u)) sao cho:
)y =
e.
Xét phương trình:
Ay + (−fy[x] +
fu[x]gy[x] gu[x]
fu[x] gu[x]
(2.24)
Từ giả thiết (A4), áp dụng Định lý Lax-Milgram và [Định lý 4, mục 6.3, [11]], phương trình (2.24) có nghiệm duy nhất y ∈ Y . Ta viết lại phương trình (2.24)
.
Ay − fy[x]y = fu[x]
e − gy[x]y gu[x]
về dạng:
Ay − fy[x]y = fu[x]u,
e = gy[x]y + gu[x]u.
, ta có: Bằng cách đặt u = e−gy[x]y gu[x]
Do đó (H3) thỏa mãn. Chúng ta đã chứng minh tất cả các giả thiết của Bổ đề 2.2.2 được thỏa mãn. Vì vậy, với mỗi d = (y, u) ∈ C[(¯y, ¯u)], tồn tại các véc tơ ϑ ∈ L2(Ω) và e∗ ∈ L∞(Ω)∗ thỏa mãn các điều kiện (i)-(iv) của Bổ đề 2.2.2. Chú ý rằng e∗ là độ đo có dấu, hữu hạn cộng tính trên Ω. Các điều kiện (2.15) và (2.16) có thể viết lại thành:
A∗ϑ − fy[.]ϑ = −Ly[.] − gy[.]∗e∗
(2.25)
19
và
gu[.]∗e∗ = −Lu[.] + fu[.]ϑ,
(2.26)
|(cid:104)e∗, v(cid:105)| = |(cid:104)e∗, gu[.]u(cid:105)| = |(cid:104)gu[.]∗e∗, u(cid:105)|
≤ |(cid:104)Lu[.], u(cid:105)| + |(cid:104)fu[.]ϑ, u(cid:105)|
ở đó A∗ là toán tử liên hợp của A. Bước 3. Chứng minh tính chính quy của các nhân tử Lagrange. Lấy v ∈ L∞(Ω) bất kỳ, bởi (2.4), tồn tại u ∈ L∞(Ω) sao cho v = gu[.]u, kết hợp với (2.26) ta có:
=
+
Lu[x]u(x)dx
(cid:90) (cid:90)
Ω
Ω (cid:90)
dx
dx
+
=
fu[x]ϑ(x)
Lu[x]
(cid:12) (cid:12) fu[x]ϑ(x)u(x)dx (cid:12) (cid:12) (cid:90)
v(x) gu[x]
v(x) gu[x]
Ω
Ω (cid:90)
≤
(|Lu[x]| + |fu[x]ϑ(x)|)|v(x)|dx.
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Ω
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 γ
, ta có: Với ∆k là một dãy tập con đo được của Ω, |∆k| → 0 khi k → ∞. Từ kết quả trên và định nghĩa của e∗ ∆k
, v(cid:105)| = |(cid:104)e∗, χ∆kv(cid:105)| ≤
(|Lu[x]| + |fu[x]ϑ(x)|)χ∆k(x)|v(x)|dx
|(cid:104)e∗ ∆k
Ω
(cid:90)
≤
(cid:107)v(cid:107)∞
(|Lu[x]| + |fu[x]ϑ(x)|)dx.
1 γ 1 γ
∆k
(cid:90)
(cid:107) ≤
(|Lu[x]| + |fu[x]ϑ(x)|)dx.
(cid:107)e∗ ∆k
1 γ
∆k
Ta suy ra: (cid:90)
(|Lu[x]| + |fu[x]ϑ(x)|)dx → 0 khi (cid:107) → 0 khi k → ∞. Theo Bổ đề 2.2.2, e∗ có thể biểu
(cid:82) ∆k
Vì |Lu[x]| + |fu[x]ϑ(x)| ∈ L2(Ω) nên 1 γ k → ∞ và vì vậy, (cid:107)e∗ ∆k diễn bằng một hàm e ∈ L1(Ω). Từ (2.26), ta có:
gu[x]e(x) = −Lu[x] + fu[x]ϑ(x) h.k.n x ∈ Ω.
(2.27)
Từ (2.27) và điều kiện |gu[x]| ≥ γ, ta suy ra e ∈ L2(Ω). Vì vậy từ (2.25), ta có:
A∗ϑ − fy[.]ϑ = −Ly[.] − gy[.]e.
(2.28)
20
e ∈ N (Q∞, g[.]) ∩ L1(Ω) = {θ ∈ L1(Ω)|θ(x) ∈ N (Q(x), g[x])
Ta định nghĩa ánh xạ Q : Ω → 2R bởi Q(x) = [a(x), b(x)]. Từ (2.17) và áp dụng [Hệ quả 4, [14]], ta có:
h.k.n x ∈ Ω}. (2.29)
(cid:104)e(x), η − g[x](cid:105) ≤ 0 ∀η ∈ Q(x),
Do đó
(cid:104)(e(x) + g[x]) − g[x], η − g[x](cid:105) ≤ 0 ∀η ∈ Q(x).
hay
D(A∗) = {v ∈ L2(Ω)|∃v∗ ∈ L2(Ω), (cid:104)Ay, v(cid:105) = (cid:104)y, v∗(cid:105)}.
Theo [Định lý 5.2, [15]] g[x] = PQ(x)(e(x) + g[x]) là hình chiếu của (e(x) + g[x]) lên Q(x). Ta suy ra khẳng định (iii) của Định lý 2.2.1. Ta chứng minh ϑ ∈ Y . Ta nhắc lại rằng: A : D(A) ⊂ L2(Ω) → L2(Ω) là toán tử xác định trù mật với D(A) = Y và A∗ : D(A∗) ⊂ L2(Ω) → L2(Ω) là ánh xạ liên hợp của A. Theo định nghĩa của A∗, ta có:
(cid:104)Ay, ˜y(cid:105) = (cid:104)y, A˜y(cid:105) ∀y, ˜y ∈ D(A).
Từ (2.28), ta có ϑ ∈ D(A∗). Ta chứng minh rằng D(A∗) = D(A) = Y . Thật vậy, ta có A là ánh xạ tuyến tính đối xứng. Do đó:
(2.30)
(cid:104)h, ϑ(cid:48) − y1(cid:105) = (cid:104)Ay, ϑ(cid:48)(cid:105) − (cid:104)Ay, y1(cid:105) = (cid:104)y, h1(cid:105) − (cid:104)y, Ay1(cid:105)
Do đó D(A) ⊂ D(A∗). Ta chứng minh rằng D(A∗) ⊆ D(A). Lấy ϑ(cid:48) ∈ D(A∗), theo định nghĩa của D(A∗), tồn tại h1 ∈ L2(Ω) sao cho (cid:104)Ay, ϑ(cid:48)(cid:105) = (cid:104)y, h1(cid:105) với mọi y ∈ D(A). Vì h1 ∈ L2(Ω), theo [Định lý 4,[11]], tồn tại y1 ∈ Y = D(A) sao cho Ay1 = h1. Tương tự, lấy bất kỳ h ∈ L2(Ω), tồn tại y ∈ D(A) sao cho Ay = h, kết hợp với (2.30) ta có:
= (cid:104)y, h1(cid:105) − (cid:104)y, h1(cid:105) = 0.
(2.31)
0 (Ω).
Vì ở (2.31), ta lấy h ∈ L2(Ω) bất kỳ. Do đó ϑ(cid:48) = y1 ∈ D(A). Vậy D(A∗) ⊆ D(A). Ta suy ra D(A∗) = D(A), do đó ϑ ∈ Y = W 2,2(Ω) ∩ W 1,2
21
Theo Định lý Rellich-Kondrachov (Định lý 6.2 trong [16]), ta có phép nhúng W 2,2(Ω) (cid:44)→ C( ¯Ω), ta có ϑ ∈ C( ¯Ω). Kết hợp với (2.27) và giả thiết (A4), ta suy ra e ∈ L∞(Ω). Bước 4. Chứng minh tính duy nhất của (ϑ, e).
Giả sử rằng với mỗi phương tới hạn d ∈ C[(¯y, ¯u)], có hai cặp (ϑ1, e1) và (ϑ2, e2) sao cho các khẳng định (i) và (ii) của Định lý 2.2.1 được thỏa mãn. Khi đó ta có:
A(ϑ1 − ϑ2) − fy[.](ϑ1 − ϑ2) = gy[.](e1 − e2)
(2.32)
−fu[.](ϑ1 − ϑ2) + gu[.](e1 − e2) = 0.
và
fu[.](ϑ1 − ϑ2) gu[.]
. Thế e1 − e2 vào (2.32), ta có: Do đó e1 − e2 =
A(ϑ1 − ϑ2) + (−fy[.] +
)(ϑ1 − ϑ2) = 0.
gy[.]fu[.] gu[.]
≥ 0. Lấy tích vô hướng hai vế của (2.33) và
(2.33)
gy[.]fu[.] gu[.]
2 ≤ 0. Do đó ϑ1 = ϑ2 và ta suy
Từ (A4) ta có −fy[.] +
sử dụng giả thiết (A1), ta thu được λ(cid:107)ϑ1 − ϑ2(cid:107)2 ra e1 = e2.
D2
Cuối cùng, từ tính duy nhất của (ϑ, e), ta thu được từ (2.18) rằng:
(y,u)L(¯y, ¯u, ϑ, e)[(y, u), (y, u)] ≥ 0 ∀(y, u) ∈ C[(¯y, ¯u)].
(2.34)
Từ (2.34) và (2.22), ta thu được khẳng định (iv) của Định lý 2.2.1. Định lý 2.2.1
được chứng minh.
2.3 ĐIỀU KIỆN ĐỦ CỰC TRỊ BẬC HAI
Để xây dựng điều kiện đủ cực trị bậc hai, trước tiên, ta cần phải mở rộng nón tới hạn. Ta ký hiệu C(cid:48)[(¯y, ¯u)] là tập các phương tới hạn d = (y, u) ∈ Y × L2(Ω) thỏa mãn các điều kiện sau:
22
(c1)(cid:48)(cid:48) (cid:104)∇J(¯y, ¯u), (y, u)(cid:105) = (cid:82)
Ω(Ly[x]y(x) + Lu[x]u(x) ≤ 0;
(c2)(cid:48)(cid:48) Ay − fy[.]y − fu[.]u = 0;
(c3)(cid:48)(cid:48) gy[x]y(x) + gu[x]u(x) ∈ T (Q(x), g[x]) h.k.n x ∈ Ω, ở đó Q(x) =
[a(x), b(x)].
Sau đây là kết quả chính của phần này.
D2
(y,u)L(¯y, ¯u, ϑ, e)[(y, u), (y, u)] > 0 ∀(y, u) ∈ C(cid:48)[(¯y, ¯u)]\{(0, 0)}. (2.35)
Định lý 2.3.1. Giả sử rằng (¯y, ¯u) ∈ Φ và các giả thiết (A1)-(A4) được thỏa mãn. Giả sử rằng tồn tại (ϑ, e) ∈ Y × L2(Ω) thỏa mãn các điều kiện (i)-(iii) của Định lý 2.2.1 và
Hơn nữa, tồn tại một số γ0 > 0 thỏa mãn
Luu[x] − v(x)fuu[x] + e(x)guu[x] ≥ γ0
h.k.n x ∈ Ω.
Khi đó (¯y, ¯u) là nghiệm mạnh địa phương của bài toán (2.1)-(2.3).
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử rằng (¯y, ¯u) không là nghiệm mạnh địa phương của bài toán (2.1)-(2.3). Khi đó, tồn tại dãy (yk, uk) ∈ Φ sao cho (yk, uk) → (¯y, ¯u) và
J(yk, uk) < J(¯y, ¯u) + o(t2
k),
(2.36)
và ˆuk = uk−¯u tk
Ayk = f (., yk, uk).
với tk = (cid:107)uk − ¯uk(cid:107)2 → 0 khi k → ∞. Ta đặt ˆyk = yk−¯y . Khi đó tk (cid:107)ˆuk(cid:107)2 = 1. Vì L2(Ω) là không gian phản xạ, ta có thể giả sử rằng ˆuk (cid:42) ˆu. Ta chia phần còn lại của chứng minh thành các bước: Bước 1. Chứng minh rằng ˆyk → ˆy trong C( ¯Ω). Từ (yk, uk) ∈ Φ, ta có
A(yk − ¯y) = f (x, yk, uk) − f (x, ¯y, ¯u).
Do đó
23
A(yk − ¯y) = fy(x, ¯y + ξ1(x)(yk − ¯y), uk)(yk − ¯y)
Áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có:
+ fu(x, ¯y, ¯u + ξ2(x)(uk − ¯u))(uk − ¯u);
(2.37)
Aˆyk − fy(x, ¯y + ξ1(x)(yk − ¯y), uk)ˆyk = fu(x, ¯y, ¯u + ξ2(x)(uk − ¯u)ˆuk. (2.38)
với 0 ≤ ξ1(x), ξ2(x) ≤ 1. Chia cả hai vế của (2.37) cho tk, ta có:
|fu(x, ¯y, ¯u + ξ2(x)(uk − ¯u)| ≤ |f (x, 0, 0)| + kf M (|¯y(x)| + |¯u(x)| + 1).
Theo giả thiết (A2), −fy(x, ¯y + ξ(x)(yk − ¯y), uk) ≥ 0. Theo giả thiết (A3), fu(x, ¯y, ¯u+ξ2(x)(uk − ¯u) bị chặn. Thật vậy, ta đặt M = (cid:107)¯u(cid:107)∞ +(cid:107)¯y(cid:107)∞ +1 (chú ý rằng (cid:107)¯y(cid:107)∞ < ∞ theo Bổ đề 2.1.1). Khi đó |¯y(x)| ≤ M, |¯u+ξ2(x)(uk−¯u)| ≤ M khi k đủ lớn, và tồn tại số kf M > 0 sao cho:
(cid:107)ˆyk(cid:107)2,2 ≤ C((cid:107)fu(., ¯y, ¯u + ξ2(uk − ¯u))ˆuk(cid:107)2)
≤ C(cid:107)fu(., ¯y, ¯u + ξ2(uk − ¯u))(cid:107)∞(cid:107)ˆuk(cid:107)2
≤ C((cid:107)fu(., 0, 0)(cid:107)∞ + kf M ((cid:107)¯y(cid:107)∞ + (cid:107)¯u(cid:107)∞ + 1)),
Áp dụng [Định lý 4, trang 317, [11]] cho phương trình (2.38), tồn tại một số C > 0 phụ thuộc vào Ω sao cho:
≤
.
với k đủ lớn. Vì vậy, ta có thể giả sử rằng ˆyk (cid:42) ˆy với ˆy ∈ Y . Áp dụng Định lý Rellich-Kondrachov (Định lý 6.2, [16]), ta có phép nhúng compact Y (cid:44)→ C( ¯Ω). Do đó ˆyk → ˆy trong C( ¯Ω). Bước 2. Chứng minh rằng (ˆy, ˆu) ∈ C(cid:48)[(¯y, ¯u)]. Từ (2.36) và sử dụng khai triển Taylor, ta có:
(cid:104)∇J(¯y, ¯u), (ˆyk, ˆuk)(cid:105) +
o(tk) tk
o(t2 k) tk
(2.39)
Aˆy − fy[.]ˆy = fu[.]ˆu.
Cho k → ∞, ta có (cid:104)J(¯y, ¯u), (ˆy, ˆu)(cid:105) ≤ 0, ta thu được (ˆy, ˆu) thỏa mãn (c1)(cid:48)(cid:48). Cho k → ∞ ở (2.38), ta có:
24
∈
Ta suy ra (c2)(cid:48)(cid:48) thỏa mãn. Ta sử dụng G(yk, uk) − G(¯y, ¯u) ∈ Q∞ − G(¯y, ¯u), Q∞ là tập lồi trong L∞(Ω) và khai triển Taylor, ta có:
(cid:104)∇G(¯y, ¯u), (ˆyk, ˆuk)(cid:105) +
(Q∞ − G(¯y, ¯u))
o(tk) tk
1 tk
∈ cone(Q∞ − G(¯y, ¯u))
⊂ cone(Q∞ − G(¯y, ¯u))
= T (Q∞, G(¯y, ¯u)).
(2.40)
T (Q∞, G(¯y, ¯u)) ⊂ {v ∈ L∞(Ω)|v(x) ∈ T (Q(x), g[x]) h.k.n x ∈ Ω} ⊂ {v ∈ L2(Ω)|v(x) ∈ T (Q(x), g[x]) h.k.n x ∈ Ω}
= TL2(Ω)(Q∞, G(¯y, ¯u)),
Với T (Q∞, G(¯y, ¯u)) là nón tiếp tuyến của Q∞ trong không L∞(Ω). Ta có:
(cid:104)∇G(¯y, ¯u), (ˆy, ˆu)(cid:105) = gy[.]ˆy + gu[.]ˆu
∈ TL2(Ω)(Q∞, G(¯y, ¯u)) = {v ∈ L2(Ω)|v(x) ∈ T (Q(x), g[x]) h.k.n x ∈ Ω}.
với TL2(Ω)(Q∞, G(¯y, ¯u)) là nón tiếp tuyến của Q∞ tại G(¯y, ¯u) trong L2(Ω). Vì TL2(Ω)(Q∞, G(¯y, ¯u)) là tập lồi, đóng trong L2(Ω) nên TL2(Ω)(Q∞, G(¯y, ¯u)) là tập đóng yếu trong L2(Ω). Cho k → ∞ ở (2.40) ta có:
Ta suy ra (ˆy, ˆu) thỏa mãn điều kiện (c3)(cid:48)(cid:48). Ta chứng minh xong (ˆy, ˆu) ∈ C(cid:48)[(¯y, ¯u)]. Bước 3. Ta chứng minh (ˆy, ˆu) = (0, 0).
Chú ý rằng điều kiện (i) và (ii) của Định lý 2.2.1 tương đương với:
D(y,u)L(¯y, ¯u, ϑ, e) = 0.
(2.41)
Theo (2.29), điều kiện (iii) của Định lý 2.2.1 tương đương với:
e ∈ N (Q∞, g[.]) ∩ L1(Ω).
(2.42)
25
L(yk, uk, ϑ, e) − L(¯y, ¯u, ϑ, e)
D2
= tkD(y,u)L(¯y, ¯u, ϑ, e)(ˆyk, ˆuk) +
(y,u)L(¯y, ¯u, ϑ, e)[(ˆyk, ˆuk), (ˆyk, ˆuk)] + o(t2 k)
t2 k 2
D2
=
k).
(y,u)L(¯y, ¯u, ϑ, e)[(ˆyk, ˆuk), (ˆyk, ˆuk)] + o(t2
t2 k 2
Từ (2.41) và sử dụng khai triển Taylor, ta có:
L(yk, uk, ϑ, e) − L(¯y, ¯u, ϑ, e)
= J(yk, uk) − J(y, u) + (cid:104)ϑ, F (yk, uk) − F (¯y, ¯u)(cid:105) + (cid:104)e, G(yk, uk) − G(¯y, ¯u)(cid:105) ≤ J(yk, uk) − J(¯y, ¯u) ≤ o(tk)2.
Mặt khác, sử dụng (2.42), ta có:
D2
.
Do đó
(y,u)L(¯y, ¯u, ϑ, e)[(ˆyk, ˆuk), (ˆyk, ˆuk)] ≤
o(t2 k) t2 k
(2.43)
D2
Cho k → ∞, ta thu được:
(y,u)L(¯y, ¯u, ϑ, e)[(ˆy, ˆu), (ˆy, ˆu)] ≤ 0.
(2.44)
Kết hợp (2.44) và (2.35), ta có (ˆy, ˆu) = (0, 0).
Bước 4. Chỉ ra sự mâu thuẫn.
≥ D2
(y,u)L(¯y, ¯u, ϑ, e)[(ˆyk, ˆuk), (ˆyk, ˆuk)]
o(t2 k) t2 k
Từ (2.43) và (2.22) và giả thiết của định lý, ta có:
=
(Lyy[x]ˆyk(x)2 + 2Lyu[x]ˆyk(x)ˆuk(x) + Luu[x]ˆuk(x)2)dx
Ω
(cid:90)
−
ϑ(x)(fyy[x]ˆyk(x)2 + 2fyu[x]ˆyk(x)ˆuk(x) + fuu[x]ˆuk(x)2)dx
Ω
(cid:90)
+
e(x)(gyy[x]ˆyk(x)2 + 2gyu ˆyk(x)ˆuk(x) + guu[x]ˆuk(x)2)dx
Ω (cid:90)
≥
(Lyy[x]ˆyk(x)2 + 2Lyu[x]ˆyk(x)ˆuk(x))dx + γ0
Ω
(cid:90)
−
ϑ(x)(fyy[x]ˆyk(x)2 + 2fyu[x]ˆyk(x)ˆuk(x))dx
Ω
(cid:90)
+
e(x)(gyy[x]ˆyk(x)2 + 2gyu[x]ˆyk(x)ˆuk(x))dx.
Ω
(cid:90)
26
Cho k → ∞, chú ý rằng ˆyk → 0 trong C( ¯Ω) và ˆuk (cid:42) 0 trong L2(Ω), ta thu được 0 ≥ γ0, vô lý. Định lý 2.3.1 được chứng minh.
27
CHƯƠNG 3
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
• KẾT LUẬN
Luận văn đã đưa ra được các kết quả chính như sau:
- Chương 1 trình bày một số kết quả và các công cụ trong giải tích biến
phân thường được sử dụng trong bài toán tối ưu. Các kết quả quan trọng
của phần này là: Định lý 1.2.2 chỉ ra sự tồn tại của các nhân tử Lagrange,
các Định lý 1.2.3 là Định lý 1.3.1 lần lượt chỉ ra điều kiện cần cực trị bậc
hai trong bài toán quy hoạch toán học trừu tượng và bài toán điều khiển tối
ưu trừu tượng. Ngoài ra cũng trong Chương 1, luận văn đã nêu một số định
nghĩa và kết quả về nghiệm của phương trình elliptic.
- Chương 2 chứng minh điều kiện cần cực trị bậc một, bậc hai và tính chính quy của các nhân tử Lagrange (ϑ ∈ W 2,2(Ω) ∩ W 1,2 0 (Ω), e ∈ L2(Ω), hơn nữa, e ∈ L∞(Ω)) của bài toán (2.1)-(2.3). Đây cũng là kết quả quan trọng nhất của luận văn. Cũng trong Chương 2, bằng cách sử dụng kết quả về
phép nhúng compact (Định lý Rellich-Kondrachov, tr.144, [16]) luận văn
đã đưa ra và chứng minh điều kiện đủ cực trị bậc hai cho bài toán (2.1)-
• KIẾN NGHỊ
(2.3).
Từ các kết quả thu được, tác giả đưa ra kiến nghị về hướng nghiên cứu tiếp theo là xây dựng phương pháp số để tìm nghiệm của bài toán (2.1) − (2.3).
28
Tài liệu tham khảo
[1] T. D. Binh, B. T. Kien, X. Qin and C.-F. Wen, 2019, Regularity of multi-
pliers in second-order optimality conditions for semilinear elliptic control
problems, submitted.
[2] J. F. Bonnans and E. Casas, 1995, An extension of Pontryagin’s principle for
state-contrained optimal control of semilinear elliptic equations and varia-
tional inequalities, SIAM Journal on Control and Optimization, 33, (1), pp.
274-298.
[3] T. Bayen, J. F. Bonnans and F. J. Silva, 2014, Characterization of local
quadratic growth for strong minima in the optimal control of semi-linear
elliptic equations, Transactions of the American Mathematical Society, 366,
pp. 2063-2087.
[4] E. Casas and F. Tr¨oltzsch, 2010, Recent advances in the analysis of point-
wise state-constrained elliptic optimal control problems, ESAIM: Control,
Optimisation and Calculus of Variations, 16, (3), pp. 581-600.
[5] X. Li and J. Yong, 1995, Optimal Control Theory for Infinite Dimensional
Systems, Birkh¨auser, Boston.
[6] A. R¨osch and F. Tr¨oltzsch, 2006, Existence of regular Lagrange multiplier
for a nonlinear elliptic optimal control problem with pointwise control-state
contraints, SIAM Journal on Control and Optimization, 45, (2), pp. 548-
564.
[7] A. R¨osch and F. Tr¨oltzsch, 2007, On regularity of solutions and Lagrange
multipliers of optimal control problems for semi-linear elliptic equations
with pointwise control-state constraints, SIAM Journal on Control and Op-
timization, 46, (3), pp. 1198-1115.
29
[8] Nguyễn Đông Yên, 2007, Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự
nhiên và Công nghệ, Hà Nội.
[9] J. F. Bonnans and A. Shapiro, 2000, Perturbation Analysis of Optimization
Problem, Springer, New York.
[10] B. T. Kien, N. V. Tuyen and J. -C. Yao, 2018, Second-order KKT optimal-
ity condition for multi-opjective optimal control problem, SIAM Journal on
Control and Optimization, 56, (6), pp. 4069-4097.
[11] L. C. Evans, 2010, Partial Differential Equations, American Mathematical
Society, Providence.
[12] A. D. Ioffe and V. M. Tihomirov, 1979, Theory of Extremal Problems,
North-Holland Publishing Company, Amsterdam.
[13] B. T. Kien and V. H. Nhu, 2014, Second-order necessary optimality condi-
tions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with mixed
pointwise contraints, SIAM Journal on Control and Optimization, 52, (2),
pp. 1162-1202.
[14] Z. Páles, 1999, Characterization of L1-closed decomposable sets in L∞, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 238, pp. 491-515.
[15] H. Bresis, 2011, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differ-
ential Equations, Springer, New York.
[16] R. A. Adams, 1975, Sobolev Space, Academic Press, New York.
