Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định giá quyền chọn trong Toán học tài chính

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

(cid:70)(cid:70)(cid:70)

Đặng Thị Kiêm Hồng

ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN

TRONG TOÁN HỌC TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

(cid:70)(cid:70)(cid:70)

Đặng Thị Kiêm Hồng

ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN

TRONG TOÁN HỌC TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN CHÍ LONG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Nguyễn Chí Long - người thầy đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Toán-Tin học, phòng Sau đại học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại trường.

Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học Giải tích khóa 19, chuyên ngành Giải tích đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp. Tôi cũng xin cảm ơn các tác giả đã viết sách giúp tôi có nguồn tài liệu tham khảo quý giá trong quá trình tìm hiểu về Toán học tài chính.

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 7 năm 2011

Học viên

Đặng Thị Kiêm Hồng

Mục lục

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Chương 1. Một số kiến thức về giải tích ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1. Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Các khái niệm hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6

1.2. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ - đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Mac-tin-gan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6. Quá trình Wiener (chuyển động Brown) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 7 8 9 10 14

1.3. Tích phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Nhắc lại một số kiến thức Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Một số khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 16 17

1.4. Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Vi phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Biến phân bậc hai của hai quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4. Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 26 27 28 29

1.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Chương 2. Mô hình tài chính cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1. Giới thiệu mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Phương án đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Phương án đầu tư tự điều chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Phương án đầu tư chênh lệch thị giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Sản phẩm phái sinh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 34 34 37 38

2.2.5. Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3. Biến đổi độ đo xác suất và định lí Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Các độ đo xác suất tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Định lí Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 41 42

2.4. Định lí biểu diễn Mac-tin-gan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.5. Sự đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.6. Công thức Black-Scholes định giá và bảo hộ quyền chọn kiểu Châu Âu

54 56 58

52 2.6.1. Định giá quyền chọn mua và bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Bảo hộ quyền chọn mua và bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3. Phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7. Định lí cơ bản trong toán tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 62

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

LỜI NÓI ĐẦU

Toán học tài chính là lý thuyết toán học của thị trường tài chính, nghiên cứu các thành phần, đặc điểm, cấu trúc của thị trường tài chính, nhằm xây dựng các mô hình toán học và ứng dụng chúng vào việc tính toán các sản phẩm tài chính trong thị trường thực tế. Đây là một lĩnh vực mới, được quan tâm nghiên cứu trong những năm gần đây ở Việt Nam.

Sự phát triển vượt bậc trong lý thuyết phái sinh tài chính được đánh dấu bởi bài báo của Black và Scholes năm 1973. Hai ông đã tìm ra công thức nổi tiếng để tính số tiền mà người mua cần phải trả cho người bán để có được quyền mua hoặc bán một loại cổ phiếu tại một thời điểm ở tương lai với giá trị đã định trước và ngay lập tức được áp dụng rộng rãi trong thực tế. Ngày nay, trên thế giới, thị trường phái sinh tài chính phát triển rộng lớn hơn thị trường cổ phiếu chứng khoán. Nói cách khác, lượng tiền đầu tư vào các Quyền Chọn dựa trên các cổ phiếu nhiều hơn lượng tiền đầu tư vào chính các cổ phiếu đó.

Nội dung của luận văn này nói về việc định giá các Quyền Chọn và giới hạn trong phạm vi mô hình tài chính cơ bản với thời gian liên tục. Luận văn được chia thành 2 chương:

Chương 1: Một số vấn đề về giải tích ngẫu nhiên

Chương 2: Mô hình tài chính cơ bản

Chương 1 là các kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên nhằm chuẩn bị cho việc thực hiện đề tài. Ở đây, chúng tôi diễn giải cụ thể các khái niệm về quá trình ngẫu nhiên, đặc biệt là mac-tin-gan và quá trình Wiener. Chúng tôi cũng đưa ra cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô, đây là một trong những khái niệm quan trọng trong quá trình làm việc với mô hình tài chính thời gian liên tục.

Nội dung chính của luận văn được trình bày chi tiết trong chương 2. Ở đây chúng tôi chỉ đề cập đến việc định giá các Quyền Chọn với thời gian liên tục trong mô hình thị trường tài chính cơ bản gồm hai tài sản cơ sở để đầu tư là một trái phiếu không rủi ro và một chứng khoán có rủi ro. Việc hiểu rõ hoạt động của thị trường trong mô hình đơn giản này là nền tảng để mở rộng nghiên cứu lên những mô hình thị trường tổng quát hơn.

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn luận văn vẫn không thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự góp ý xây dựng của quý thầy cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

Một số kiến thức về giải tích ngẫu nhiên

1.1. Không gian xác suất

1.1.1. Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Cho Ω là một tập cho trước, một σ -đại số F trên Ω là một họ các tập con của Ω có những tính chất sau

(i) /0 ∈ F , Ω ∈ F .

(ii) A ∈ F ⇒ A ∈ F .

∞ (cid:83) i=1 Bộ (Ω, F ) được gọi là một không gian đo được.

Ai ∈ F . (iii) A1, A2, ... ∈ F ⇒

Một độ đo xác suất P trên một không gian đo được (Ω, F ) là một hàm

P : F → [0, 1] sao cho

(a) P( /0) = 0, P(Ω) = 1.

i=1 rời nhau (Ai ∩ A j = /0, nếu i (cid:54)= j) thì

∞ (cid:91)

(b) Nếu A1, A2, ... ∈ F và {Ai}∞

∞ ∑ i=1

i=1

P( Ai) = P(Ai)

Bộ ba (Ω, F , P) được gọi là một không gian xác suất.

Định nghĩa 1.2. Nếu (Ω, F , P) là một không gian xác suất thì hàm X : Ω → Rn được gọi là F -đo được nếu X −1(U) = {ω ∈ Ω, X(ω) ∈ U} ∈ F . Một biến ngẫu nhiên X là một hàm F -đo được, X : Ω → Rn.

1.1.2. Các khái niệm hội tụ

Cho (Ω, F , P) là không gian xác suất cơ bản, P là độ đo đủ.

Định nghĩa 1.3. Hội tụ hầu chắc chắn (hay với xác suất 1) Giả sử {Xn, n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên xác định trên cùng một không gian xác suất (Ω, F , P). Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn} được gọi là hội tụ hầu chắc chắn (hay với xác suất h.c.c−−→ X, nếu 1) đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu Xn

P −→ X, nếu

Xn(ω) = X(ω)} = 1. P{ω : lim n→∞

Định nghĩa 1.4. Hội tụ theo xác suất Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn} hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu Xn

P −→ X.

P {ω : |Xn(ω) − X(ω)| ≥ ε} = 0, với mọi ε > 0. lim n→∞

h.c.c−−→ X.

• Xn

h.c.c−−→ X ⇒ Xn P −→ X ⇒ ∃{Xnk } ⊂ {Xn} : Xnk

• Xn

Lp−→ X, nếu

Định nghĩa 1.5. Hội tụ trung bình Giả sử {Xn} ⊂ Lp, p ∈ (0, +∞).

Dãy {Xn} hội tụ trung bình cấp p đến X, kí hiệu Xn

P −→ X.

E |Xn − X|p = 0. lim n→∞

Lp−→ X, p ∈ (0, +∞) ⇒ Xn

• Xn

1.2. Quá trình ngẫu nhiên

1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên

Ta muốn diễn tả một quá trình mà sự tiến triển theo thời gian là ngẫu nhiên. Một

đối tượng như vậy là một quá trình ngẫu nhiên.

Định nghĩa 1.6. Xét không gian xác suất (Ω, F , P) và một tập hợp chỉ số I (vô hạn đếm được hay không đếm được). Ta xem I như một tập hợp các chỉ số thời gian; I có thể là tập N, (−∞, +∞); (0, +∞) hay [0, T ]. Xét một họ các biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F , P) và lấy chỉ số trong I.

- Họ không đếm được các biến ngẫu nhiên {X(t)}t∈I được gọi là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục.

- Họ đếm được {X(t)}t∈I (I đếm được) các biến ngẫu nhiên được gọi là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc.

(cid:12) Một cách tổng quát hơn, cho hai không gian đo được (Ω, F ), (E, ξ ) và I là

tập hợp chỉ số.

Một quá trình ngẫu nhiên xác định trên Ω, lấy giá trị trong E là một ánh xạ:

X : I × Ω → E đo được đối với độ đo tích trên I × Ω.

(cid:12) Quá trình ngẫu nhiên X, đôi khi được viết là X(t, •) hay X(t) hay Xt ,t ∈ I.

Định nghĩa 1.7. Nếu cố định ω ∈ Ω, thì {X(t, ω)}t∈I được gọi là quỹ đạo mẫu hay sự thể hiện hay hàm mẫu của quá trình ngẫu nhiên (liên kết với ω).

Định nghĩa 1.8. Nếu X lấy giá trị trong không gian Rn(n ≥ 1) thì ta có một quá trình ngẫu nhiên n chiều.

1.2.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc

Định nghĩa 1.9. Một họ các σ - đại số con (Ft ,t ≥ 0) của F , Ft ⊂ F , được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu:

• Đó là một họ tăng theo t, tức là Fs ⊂ Ft nếu s < t,

Ft+ε , • Họ đó là liên tục phải, tức là Ft = ∩ ε>0

• Với A ∈ F và P(A) = 0 thì A ∈ F0 (và do đó A nằm trong mọi Ft ).

Định nghĩa 1.10. Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt ,t ≥ 0). Xét σ - đại số F X t sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t : F X t = σ (Xs, s ≤ t), σ - đại số này chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t. Ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X, hay là lịch sử của X, hay cũng còn gọi là trường thông tin về X.

Định nghĩa 1.11. Cho một bộ lọc bất kì (Ft ,t ≥ 0) trên (Ω, F ). Một quá trình ngẫu nhiên X được gọi là thích nghi với bộ lọc này nếu: mọi Xt là đo được đối với

t ,t ≥ 0).

σ -đại số Ft . Mọi quá trình X = (Xt ,t ≥ 0) là thích nghi với lịch sử của nó (F X

Định nghĩa 1.12. Một không gian xác suất (Ω, F , P) trên đó có một bộ lọc (Ft )t≥0 được gọi là một không gian xác suất được lọc, kí hiệu là (Ω, F , (Ft ), P).

1.2.3. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ - đại số

Định nghĩa 1.13. Cho (Ω, F , P) là một không gian xác suất, X : Ω → Rn là biến ngẫu nhiên sao cho E(X) < ∞ và G là một σ - đại số con của F , G ⊂ F .

Khi đó, một biến ngẫu nhiên Z sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối

với σ - đại số G , nếu:

• Z là biến ngẫu nhiên đo được đối với G .

(cid:90)

• Với mọi tập A ∈ G thì ta có

ZdP = XdP.

Biến ngẫu nhiên Z được ký hiệu là E (X|G ).

Nếu ta chọn σ - đại số G là σ - đại số σ (Y ) sinh ra bởi một biến ngẫu nhiên Y nào đó, thì khi đó kỳ vọng có điều kiện của X lấy đối với σ (Y ) cũng được ký hiệu là E (X|Y ).

Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện

Giả sử X,Y : Ω → Rn là hai biến ngẫu nhiên với E(X) < ∞, E(Y ) < ∞. Tất cả

các hệ thức phát biểu dưới đây đều theo nghĩa hầu chắc chắn:

1. Nếu G là σ - đại số tầm thường { /0, Ω} thì E (X|G ) = EX.

2. E (X +Y |G ) = E (X|G ) + E (Y |G ).

3. Nếu X đo được đối với G thì E (XY |G ) = XE (Y |G ).

Nói riêng, nếu c là một hằng số thì E (cY |G ) = cE (Y |G ).

4. Nếu G1 ⊂ G2 thì

E (E (X|G2) |G1) = E (X|G1) .

Nói riêng, E (E (X|G )) = EX.

5. Nếu X độc lập với G thì E (X|G ) = EX.

6. Nếu G và H là hai σ - đại số con của F và độc lập với nhau, và X là biến

ngẫu nhiên độc lập đối với G thì

E (X|σ (G , H )) = E (X|H ) ,

trong đó σ (G , H ) là σ - đại số nhỏ nhất chứa cả G lẫn H .

7. Nếu g là một hàm lồi trên tập I ⊂ R và X là một biến ngẫu nhiên lấy giá trị

trên I thì

g (E (X|G )) ≤ E (g(X)|G ) .

Nói riêng,

(i) Với g(x) = |x| thì |E (X|G )| ≤ E (|X| |G ) . (ii) Với g(x) = x2 thì (E(X|G ))2 ≤ E((X)2 |G ).

8. Sự hội tụ đơn điệu đối với kỳ vọng có điều kiện

Nếu Xn ≥ 0 và Xn ↑ X (Xn đơn điệu tăng dần tới X khi n → ∞) với E|X| < ∞ thì

E (Xn|G ) ↑ E (X|G ) .

9. Bổ đề Fatou đối với kỳ vọng có điều kiện

(cid:16) (cid:17) ≤ lim inf Nếu Xn ≥ 0 thì E Xn |G E (Xn |G ) . lim inf n

10. Sự hội tụ bị chặn đối với kỳ vọng có điều kiện

Xn = X hầu chắc chắn và |Xn| ≤ Y với EY < ∞ thì Nếu lim n→∞

E (Xn |G ) = E (X |G ) . lim n→∞

11. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và φ (x, y) là một hàm hai biến sao

cho E |φ (X,Y )| < ∞. Khi đó thì

E (φ (X,Y ) |Y ) = E (φ (X,Y )) .

1.2.4. Xác suất có điều kiện

Định nghĩa 1.14. Xác suất có điều kiện P(A|F ) của một biến cố A ∈ F là một biến ngẫu nhiên xác định bởi

P(A|F ) = E(IA|F ),

trong đó IA là hàm đặc trưng của biến cố A, tức là

IA (ω) = (cid:26) 1 nếu ω ∈ A, 0 nếu ω /∈ A.

Tính chất

(1) P(Ω|F ) = 1 (h.c.c).

(2) ∀A ∈ F : P(A|F ) = 1 − P(A|F ) (h.c.c).

(3) ∀A1, A2, ... ∈ F rời nhau từng đôi một thì

∞ ∑ n=1

n=1

(cid:33) (cid:32) ∞ (cid:91) P = An |F P (An |F ).

1.2.5. Mac-tin-gan

Định nghĩa 1.15. Cho không gian xác suất được lọc (Ω, F , (Ft ), P). Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt ,t ≥ 0) được gọi là một mac-tin-gan đối với bộ lọc (Ft ,t ≥ 0) nếu

(i) Xt khả tích với mọi t ≥ 0, tức là E |Xt | < ∞, ∀t ≥ 0.

(ii) X thích nghi với bộ lọc (Ft ).

(iii) Với mọi s,t ≥ 0 và s ≤ t, hầu chắc chắn có

Xs = E(Xt |Fs),

(cid:90)

hay có thể viết dưới dạng tích phân

Xt dP Xs dP =

với mọi s,t ≥ 0, s ≤ t, A ∈ Fs.

• Quá trình ngẫu nhiên Xt ,t ≥ 0 được gọi là mac-tin-gan dưới đối với bộ lọc

(Ft ) nếu thực hiện điều kiện (i), (ii) và (iv) Với mọi s,t ≥ 0, s ≤ t hầu chắc chắn có

Xs ≤ E(Xt |Fs),

(cid:90)

hay có thể viết dưới dạng tích phân

Xs dP ≤ Xt dP

với s,t ≥ 0, s ≤ t, A ∈ Fs.

• Quá trình ngẫu nhiên Xt ,t ≥ 0 được gọi là mac-tin-gan trên đối với bộ lọc

(Ft ) nếu thực hiện điều kiện (i), (ii) và (v) Với mọi s,t ≥ 0, s ≤ t hầu chắc chắn có

Xs ≥ E(Xt |Fs),

(cid:90)

hay có thể viết dưới dạng tích phân

Xs dP ≥ Xt dP

với s,t ≥ 0, s ≤ t, A ∈ Fs.

Ví dụ 1.1. Cho X là một biến ngẫu nhiên bất kỳ sao cho EX < ∞ và cho (Ft ) là một bộ lọc bất kỳ trên (Ω, F , P). Đặt Mt = E[X|Ft ]. Khi đó quá trình ngẫu nhiên (Mt )t≥0 là một mac-tin-gan đối với (Ft ). Thật vậy, - Theo định nghĩa của kỳ vọng có điều kiện ta có Mt thích nghi với lọc (Ft ) . - Với mỗi t ta có

E|Mt | ≤ E [E [|X||Ft ]] = E|X| < ∞

nên Mt khả tích. - Với mọi s < t ta có

E[Mt |Fs] = E [E [X|Ft ]|Fs] = E[X|Fs] = Ms,

(vì (Ft ) là bộ lọc nên Fs ⊂ Ft ). Vậy Mt là một mac-tin-gan đối với lọc (Ft ) .

Ví dụ 1.2. Quá trình ngẫu nhiên (Wt ,t ≥ 0) khả tích, thích nghi với lọc (Ft ) và thỏa mãn:

Với mọi s,t ≥ 0 sao cho s < t thì Wt −Ws độc lập đối với Fs. Tính chất này được gọi là tính chất có số gia độc lập với quá khứ.

(cid:1) của nó, ở đây

). Khi đó (Wt ,t ≥ 0) là mac-tin-gan đối với bộ lọc tự nhiên (cid:0)F W t = σ {Xs, s ≤ t} (để cho gọn, ta viết Ft = F W t ta viết F W Thật vậy, hiển nhiên nó thích nghi với Ft và với 0 ≤ s ≤ t, hầu chắc chắn có

E (Wt |Ft ) = E (Ws +Wt −Ws|Fs)

= E (Ws|Fs) + E (Wt −Ws|Fs) = Ws + E(Wt −Ws) = Ws,

vì đại lượng ngẫu nhiên Wt − Ws độc lập với tất cả các biến cố của σ -đại số F W . t Điều này có được là do Wt − Ws không phụ thuộc vào số hữu hạn bất kì các đại lượng ngẫu nhiên Wt1, ...,Wtn ( 0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn ≤ s) sinh ra σ -đại số này.

Ví dụ 1.3. Giả sử Xt , 0 ≤ t < ∞, X0 = 0, EX = 0 là quá trình có gia số độc lập, E(Xt − Xs)2 = F(t) − F(s), với 0 ≤ s ≤ t. Khi đó, X 2 t − F(t) là mac-tin-gan đối với bộ lọc tự nhiên Ft . Thật vậy,

t − F(t)|Fs) = E[X 2

E(X 2

s + 2Xs(Xt − Xs) + (Xt − Xs)2 − F(t)|Fs] s + 2XsE(Xt − Xs|Fs) + E[(Xt − Xs)2|Fs] − F(t) s + E(Xt − Xs)2 − F(t) s − F(s) hầu chắc chắn với 0 ≤ s ≤ t.

t − t,t ≥ 0 là mac-

= X 2 = X 2 = X 2

s , s ≤ t (vì rằng E(Wt −Ws)2 = t − s).

Đặc biệt, đối với quá trình Wiener Wt , 0 ≤ t ≤ ∞,W0 = 0 thì W 2 tin-gan đối với F W

Định lí 1.4. (Phân tích Doob-Meyer)

Nếu X = (Xt ,t ≥ 0) là một mac-tin-gan dưới đối với (Ft ), khả tích (tức E|Xt | < ∞,t ≥ 0) và liên tục phải theo t, thì X có một biểu thức phân tích như sau:

Xt = Mt + At ,

trong đó Mt là một mac-tin-gan đối với (Ft ) liên tục phải và At là một quá trình tăng thích nghi với (Ft ).

Ứng dụng của lý thuyết Mac-tin-gan trong Toán học tài chính

Ý tưởng chính là như sau: Trong Toán học tài chính, giá của các tài sản tài chính cơ bản (như giá cổ phiếu St , giá trái phiếu Bt ) cũng như giá của các sản phẩm phái sinh (như giá các quyền chọn Vt ) đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên. Nói chung, chúng không phải là những mac-tin-gan đối với một trường thông tin (Ft ) đang xét.

Giả sử Xt là giá của một tài sản tại thời điểm mà ta cần xác định. Nói chung Xt không phải là một mac-tin-gan. Nếu bằng một cách nào đó, ta biến đổi được Xt thành một quá trình Zt = φ (Xt ) là một mac-tin-gan và giả thử ta biết giá trị đáo hạn ZT . Khi đó, vì (t < T ) E(ZT |Ft ) = Zt

nên có thể tính được giá Xt tại thời điểm t < T bởi

Xt = φ −1 [E (ZT |Ft )] ,t < T.

Đặc biệt,

X0 = φ −1 [E (ZT |F0)] .

Nghĩa là ta có thể tính được giá của tài sản tại thời điểm cần đầu tư dựa vào giá của tài sản đó tại thời điểm đáo hạn.

Có hai cách để thực hiện sự biến đổi nói trên:

(a) Áp dụng phân tích Doob-Meyer:

Giả sử Xt là một mac-tin-gan dưới. Ta có phân tích

Xt = mac-tin-gan Mt + quá trình tăng At .

Nếu tìm được cụ thể quá trình tăng At thì ta biến đổi được Xt thành một mac-tin- gan cụ thể Mt = Xt − At . Nếu Xt là một mac-tin-gan trên thì −Xt là một mac-tin-gan dưới, do đó ta cũng có kết quả tương tự.

(b) Thực hiện một phép biến đổi độ đo xác suất:

Khi ta nói Xt nói chung không phải là một mac-tin-gan, ấy là ta xét dưới độ đo xác suất ban đầu P đã cho. Bây giờ giả sử ta tìm được một độ đo xác suất mới là Q tương đương với độ đo xác suất P và một phép biến đổi quá trình Xt thành một quá trình ˆXt sao cho dưới xác suất Q mới này thì ˆXt trở thành một mac-tin-gan.

Giả sử bằng cách nào đó ta biết được giá trị đáo hạn Xt , tức là biết ˆXT . Khi đó

do tính chất mac-tin-gan của ˆXt ta có

EQ( ˆXT |Ft ) = ˆXt , ∀t < T.

Gọi φ là phép biến đổi từ Xt sang ˆXt , vậy Xt = φ −1( ˆXt ) và ta định giá được tài sản Xt tại thời điểm t bởi công thức

(cid:1)(cid:3) . Xt = φ −1 (cid:2)EQ (cid:0) ˆXT |Ft

Ta lưu ý hai điều quan trọng:

• Thông thường phép biến đổi đó là một phép chiết khấu không rủi ro, sao cho

ˆXT = e−r(T −t)XT ,t < T

với hằng số r > 0 là lãi suất không rủi ro, còn T là thời điểm đáo hạn. Vì

EQ( ˆXT |Ft ) = ˆXt = e0.Xt

nên cuối cùng ta có công thức định giá tài sản X tại thời điểm t < T là

Xt = e−r(T −t)EQ(XT )

• Xác suất Q ở đây sẽ gọi là xác suất rủi ro trung tính hay còn gọi là độ đo

mac-tin-gan.

1.2.6. Quá trình Wiener (chuyển động Brown)

Định nghĩa 1.16. Một quá trình ngẫu nhiên W = (Wt ,t ≥ 0) là quá trình Wiener hay một chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu:

(a) W0 = 0 hầu chắc chắn. (b) Hiệu Wt −Ws là một biến ngẫu nhiên chuẩn với kỳ vọng 0 và phương sai là t − s, (s < t).

ngẫu nhiên Wtr −Wtr−1, r = 0, n là các biến ngẫu nhiên độc lập.

(d) W là quá trình liên tục, tức là hầu hết các quỹ đạo của W là liên tục. • Trường hợp tổng quát, trong điều kiện (b), phương sai của Xt − Xs là σ 2(t − s). Khi đó W là một chuyển động Brown.

Vài tính chất quan trọng

(cid:1) của nó.

(a) Wt là một mac-tin-gan đối với bộ lọc tự nhiên (cid:0)F W (b) Hầu chắc chắn là Wt không khả vi theo t. (c) Hầu chắc chắn là Wt không có biến phân bị chặn trên bất cứ khoảng hữu hạn nào của t.

(d) W tuân theo luật lôgarit - lặp như sau:

Wt√ = 1. lim sup t→∞ 2t ln lnt

t ) = t, ∀t ≥ 0.

(e) E(Wt ) = 0, E(W 2

Các mac-tin-gan quen biết tạo thành từ W

. Khi đó, ta có 3

Mệnh đề 1.1. Cho (Wt ) là một chuyển động Brown và Ft = F W t mac-tin-gan quen biết là:

2 t là một mac-tin-gan đối với (Ft ).

(a) Bản thân Wt là một mac-tin-gan đối với (Ft ), t − t là một mac-tin-gan đối với (Ft ), (b) W 2 (c) Với mọi u ∈ R thì euWt − u2

Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown

Định lí 1.5. Cho W = (Wt ,t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục. Điều kiện cần và đủ để cho (Wt ) là một quá trình Wiener là

(cid:40)

t − t

(∗) Wt W 2 là một martingale đối với (Ft ) với Ft = F W t là một martingale đối với Ft = F W t

Điều kiện (*) được gọi là đặc trưng Levy của quá trình Wiener.

1.3. Tích phân ngẫu nhiên Itô

1.3.1. Nhắc lại một số kiến thức Giải tích

a. Hàm với biến phân giới nội

• Một hàm thực f được gọi là có biến phân giới nội trên [a, b] nếu tồn tại hằng

số C sao cho với mọi phân hoạch của đoạn ấy

D : a = x0 < x1 < ... < xn = b

thì ta có bất đẳng thức

n ∑ k=1

| f (xk) − f (xk−1)| ≤ C.

Ví dụ: Mọi hàm đơn điệu bị chặn đều có biến phân giới nội.

• Một số kết quả quan trọng

– Mọi hàm có biến phân giới nội đều có thể biểu diễn thành hiệu của hai

(cid:48)

hàm đơn điệu không giảm.

– Nếu f : [a, b] → R là một hàm có đạo hàm giới nội (cid:12) (cid:12) (cid:12) f (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ C thì f là (x) một hàm có biến phân giới nội.

– Mọi hàm f : [a, b] → R liên tục tuyệt đối trên [a, b] là hàm có biến phân

giới nội.

b. Tích phân Lebesgue và tích phân Stieltjes

A f (x) dµ đối với độ đo µ, A ⊂ Ω trong A f dµ đối với hàm đặc

(i) Tích phân Lebesgue

n ∑ k=1

(cid:90)

n (cid:91)

Để xây dựng tích phân Lebesgue (cid:82) không gian xác suất (Ω, F , P), người ta định nghĩa (cid:82) trưng f = IA, A ∈ F . Sau đó, định nghĩa tích phân đối với hàm đơn giản f = akIAk bởi

n ∑ k=1

k=1

f dµ = akµ(Ak), Ak = A, Ak ∈ F , Ak rời nhau với mọi 1 ≤ k ≤ n.

(cid:90)

Cuối cùng, với một hàm f bất kì, f là giới hạn của một dãy fn các hàm đơn giản khả tích trên A. Khi đó, người ta định nghĩa

fn dµ. f dµ = lim n→∞

(ii) Tích phân Stieltjes

• Tích phân Riemann-Stieltjes của hàm f lấy đối với một hàm φ liên tục

(cid:90) b

phải có biến phân giới nội được định nghĩa bởi

n ∑ i=1

(R − S) f (x) dφ (x) = f (ξi)[φ (xi) − φ (xi−1)] lim max(xi−xi−1)→0

với mọi phân hoạch D : a = x0 < x1 < ... < xn = b, nếu giới hạn trên tồn tại.

(cid:90) b

• Tích phân Lebesgue-Stieltjes của hàm f lấy đối với một hàm φ có biến phân giới nội thường đưa về tích phân Lebesgue-Stieltjes của f đối với một hàm không giảm (vì φ bằng hiệu của hai hàm không giảm). Khi đó, ta định nghĩa

(L − S) f (x)dF(x) = (L) f dµF

trong đó µF : độ đo sinh bởi F (F(b) − F(a) = µ[a, b]).

* Như vậy, điều cần chú ý ở đây là, đối với việc xây dựng các tích phân Stieltjes (cid:82) b a f dφ , việc quan trọng là phải giả thiết φ là một hàm có biến phân giới nội trên [a, b].

1.3.2. Một số khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên

a. Quá trình đo được lũy tiến

Cho không gian xác suất được lọc (Ω, F , (Ft )t≥0, P).

Định nghĩa 1.17. Giả sử T là tập con Borel của R, kí hiệu Bt là σ -đại số tất cả các tập con Borel của tập T (cid:84)(−∞,t]. Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt ) được gọi là đo được lũy tiến đối với bộ lọc (Ft ) nếu với mỗi t ∈ T, Xs(ω) trên tập (T (cid:84)(−∞,t]) × Ω đo được theo (s, ω) đối với σ -đại số Bt × Ft .

Định nghĩa 1.18. Giả sử T là tập Borel. Ta đưa vào không gian T × Ω, σ -đại số BF gồm tất cả các tập con A ⊆ T ×Ω, sao cho với mọi t ∈ T , tập con A (cid:84) ((−∞,t] × Ω) là đo được đối với Bt × Ft . Khi đó, các quá trình đo được lũy tiến đều đo được đối với BF .

b. Quá trình khả đoán

Định nghĩa 1.19. σ - đại số khả đoán Đó là σ -đại số nhỏ nhất các tập con của R+ × Ω (kí hiệu là P) mà đối với nó, mọi quá trình liên tục trái đều đo được.

Định nghĩa 1.20. Quá trình khả đoán Cho quá trình ngẫu nhiên X = (X(t, ω)) thích nghi với (Ft ). Nếu X(t, ω) là P-đo được thì ta nói X là quá trình khả đoán đối với (Ft ).

1.3.3. Tích phân ngẫu nhiên Ito

a. Đặt vấn đề

(cid:90) b

Nhiều bài toán đưa đến yêu cầu phải tính toán một loại tích phân có dạng

I = (1.1) f (t, ω)dWt

trong đó f (t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên nào đó, Wt là một quá trình Wiener. Ta biết rằng mỗi quỹ đạo t (cid:55)→ Wt là một hàm liên tục của t. Tuy nhiên, hầu hết mọi quỹ đạo đó lại là những hàm không có biến phân giới nội trên bất cứ khoảng hữu hạn nào. Như vậy, ta không thể định nghĩa tích phân (1.1) như một tích phân Stieltjes, mà phải tìm một cách xây dựng khác. Vào khoảng 1940-1941, một nhà toán học người Nhật Kyoshi Ito đã đưa ra cách xây dựng tích phân (1.1) dựa trên nguyên tắc "ánh xạ đẳng cự" và tích phân này được gọi là tích phân Ito.

b. Định nghĩa cấu trúc

(cid:90) T

Cho không gian xác suất được lọc (Ω, F , (Ft )t≥0, P) và quá trình Wiener Wt ,t ≥ 0,W0 = 0 với quỹ đạo liên tục, thích nghi với họ (Ft ) sao cho gia số Wu −Wt sau thời điểm t độc lập với σ -đại số Ft (u > t). Giả sử T là số không âm hoặc +∞. Ta sẽ định nghĩa tích phân ngẫu nhiên

0 | f (t, ω)|2 dt <

I(t) = f (t, ω)dWt

đối với hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo được lũy tiến đối với họ (Ft ) và E (cid:82) T ∞, tức là đối với các hàm f ∈ L2([0, T ] × Ω, BF , µ × P).

Định lí 1.6. Giả sử Wt và Ft là quá trình Wiener và họ σ -đại số liên hệ với nhau như đã mô tả ở trên. Khi đó, tồn tại duy nhất ánh xạ f (cid:55)→ I( f ) từ không gian L2(BF ) = L2([0, T ] × Ω, BF , µ × P) vào không gian L2(Ω, F , P) sao cho

(a) I là ánh xạ tuyến tính: I(c1 f1 + c2 f2) = c1I( f1) + c2I( f2) hầu chắc chắn, trong

đó c1, c2 là những hằng số, f1, f2 ∈ L2(BF ).

0 | f (t, ω)|2 dt.

(b) I là ánh xạ đẳng cự: E |I( f )|2 = E (cid:82) T

0 f (t, ω)dWt là tích phân Ito của hàm

(c) I(ηI[t1,t2]) = η(Wt2 − Wt1) hầu chắc chắn, trong đó η là biến ngẫu nhiên tùy ý đo được đối với Ft1, bình phương khả tích (tức là η ∈ L2(Ft1)), 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ T . Ta gọi tích phân ngẫu nhiên I( f ) = (cid:82) T ngẫu nhiên f lấy đối với quá trình Wiener.

Chứng minh. 1. Trước hết, ta xét tích phân ngẫu nhiên đối với hàm ngẫu nhiên

bậc thang trên [0, T ]. Hàm ngẫu nhiên f (t, ω) được gọi là hàm bậc thang, nếu tồn tại các điểm 0 = t0 < t1 < t2 < ... < tn trên đoạn [0, T ] (tn = T nếu đoạn hữu hạn, tn < ∞ nếu T = ∞), sao cho



với mọi t ∈ [0,t1) với mọi t ∈ [t1,t2)

f (t, ω) =

  f (0, ω) f (t1, ω) ... f (tn−1, ω) với mọi t ∈ [tn−1,tn) 0 với mọi t ≥ tn(nếu T = ∞)

Hàm ngẫu nhiên bậc thang đo được lũy tiến có dạng

(1.2) η0I[0,t1)(t) + η1I[t1,t2)(t) + ... + ηn−1I[tn−1,tn)(t)

(cid:90) T

trong đó η0 = η0(ω) là hàm ngẫu nhiên F0-đo được, η1 là hàm Ft1-đo được,..., ηn−1 là hàm Ftn−1-đo được (ηi(ω) = f (ti, ω)). Ngược lại, một hàm bất kì có dạng (1.2) là hàm bậc thang đo được lũy tiến, trong đó ηi ∈ L2(Ω). * Theo đòi hỏi (c), đối với hàm ηi.I[ti,ti+1)(t) có thể đặt tích phân ngẫu nhiên bằng ηi(Wti+1 − Wti) (hoặc bằng tích phân này hầu chắc chắn). Vì vậy, đối với hàm bậc thang, ta định nghĩa

n−1 ∑ i=0

f (t, ω)dWt = I( f ) = f (ti, ω)(Wti+1 −Wti).

* Dễ dàng kiểm tra được ánh xạ I trên các hàm bậc thang là tuyến tính. * Bây giờ, ta kiểm tra điều kiện (b) đối với hàm bậc thang thuộc L2(BF ).

Ta có

E |I( f )|2 = E (cid:12) 2 (cid:12) (cid:12) f (ti, ω)(Wti+1 −Wti) (cid:12) (cid:12)

= E | f (ti, ω)|2 (Wti+1 −Wti)2+ (cid:12) n−1 (cid:12) (cid:12) ∑ (cid:12) (cid:12) i=0 (cid:34)n−1 ∑ i=0

. (cid:35) f (t j, ω)(Wt j+1 −Wt j ) f (ti, ω)(Wti+1 −Wti) 2Re ∑ j

(cid:17) E = (cid:1)2 |Fti Ta biểu diễn kì vọng toán của số hạng thứ i trong tổng thứ nhất ở dạng kì vọng toán của kì vọng toán có điều kiện đối với σ -đại số Fti: (cid:16) | f (ti, ω)|2 (cid:0)Wti+1 −Wti

E | f (ti, ω)|2 dt.

(do | f (ti, ω)|2 đo được đối với Fti). Tổng các kì vọng này cho ta (cid:82) T 0 Tương tự, ta cũng làm như thế đối với số hạng thứ (i, j) của tổng thứ hai, ta nhận được

(cid:105) (cid:104) 2ReE = 0. Fti f (t j, ω)(Wt j+1 −Wt j ) f (ti, ω).E (cid:0)Wti+1 −Wti (cid:1)(cid:12) (cid:12) (cid:12)

Như vậy, điều kiện (b) đã được kiểm tra đối với các hàm bậc thang thuộc L2(BF ).

2. Xét hàm ngẫu nhiên bất kì f ∈ L2(BF ).

• Ta hãy xét bổ đề sau

kh (cid:82)

(k−1)h

khi 0 ≤ t < h và t ≥ h−1 Bổ đề 1.1. Xét không gian L2 = L2(0, T ) các hàm bình phương khả tích đối với độ đo Lebesgue trên đoạn [0, T ]. Đối với f ∈ L2 và h > 0, ta xác định hàm bậc thang fh như sau  0  fh(t) = f (s) ds h−1. khi kh ≤ t < (k + 1)h ∧ h−1 

trong đó a ∧ b = min{a, b}.

h→0−−→ f theo nghĩa hội tụ bình phương trung bình trên [0, T ], 0 | fh(t)|2 dt ≤ (cid:82) T 0 | f (t)|2 dt, với mọi h.

Khi đó fh đồng thời (cid:82) T

(cid:90) T

Thật vậy, ta có

(k−1)h

[T /h] ∑ k=1

h−1 f (s) ds | fh(t)|2 dt ≤ (cid:12) 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:90) kh (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:90) kh

( nếu T chia hết cho h hay T = +∞ thì đó là đẳng thức). Theo bất đẳng thức Cauchy

(k−1)h

f (s) ds ≤ h | f (s)|2 ds. (cid:12) 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:90) kh (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:90) T

(cid:90) [T /h]h

(cid:90) T

Vì vậy,

| f (t)|2 dt ≤ | f (t)|2 dt. | fh(t)|2 dt ≤

h − f ε (cid:13) h→0+ −−−→ 0 và (cid:13)

h − f ε (cid:13)

h→0−−→ f theo nghĩa hội tụ bình phương trung bình trên [0, T ].

(cid:13) + (cid:107) f − f ε (cid:107) + (cid:107)( f − f ε )h(cid:107),

Ta còn phải chứng minh fh → f với mọi f ∈ L2. Dễ dàng kiểm tra được, điều đó được thực hiện trong trường hợp f là hàm bậc thang. Với hàm f ∈ L2 tùy ý và với mọi ε > 0, tồn tại hàm bậc thang f ε sao cho (cid:107) f − f ε (cid:107) < ε. Ta có (cid:107) fh − f (cid:107) ≤ (cid:13) (cid:13) f ε trong đó (cid:13) h − f ε (cid:13) (cid:13) f ε (cid:13) f ε (cid:13) < ε khi h > 0 đủ nhỏ, (cid:13) (cid:107) f − f ε (cid:107) < ε; (cid:107)( f − f ε )h(cid:107) ≤ (cid:107) f − f ε (cid:107) ( theo chứng minh trên ). Do đó, fh Bổ đề đã được chứng minh xong.

k/n (cid:82)

• Tiếp theo, ta chứng minh bao đóng của tập các hàm ngẫu nhiên bậc thang trong L2([0, T ] × Ω, BF , µ × P) trùng với cả không gian này. Thật vậy, đối với hàm ngẫu nhiên f ∈ L2(BF ), ta xét dãy hàm bậc thang fn(t, ω) như sau

(k−1)/n

n.   nếu k/n ≤ t < (k + 1)/n, f (s, ω) ds fn(t, ω) =

 0 nếu tích phân này phân kì.

(cid:90) T

Theo định lí Fubini, trường hợp sau này có thể có chỉ với xác suất 0, ngoài ra tích phân là hàm của ω, đo được đối với σ -đại số Fk/n. Điều này có nghĩa là, fn là hàm ngẫu nhiên bậc thang thuộc L2(BF ). Do bổ đề vừa chứng minh ở trên, ta có

| f (t, ω)|2 dt | fn(t, ω)|2 dt ≤

0 | fn(t, ω) − f (t, ω)|2 dt n→∞−−−→ 0 với mọi ω sao cho hàm f (., ω)

0 | fn(t, ω) − f (t, ω)|2 dt → 0, từ đó ta có điều cần chứng

và (cid:82) T bình phương khả tích. Do đó, E (cid:82) T minh.

• Bây giờ, ánh xạ tuyến tính đẳng cự I từ tập các hàm ngẫu nhiên bậc thang f ∈ L2([0, T ] × Ω, BF , µ × P) vào L2(Ω) sẽ được thác triển theo tính liên tục lên bao kín của tập các hàm bậc thang trong L2([0, T ]×Ω), cũng chính là không gian này (theo chứng minh trên), và ta nhận được ánh xạ tuyến tính đẳng cự từ L2 ([0, T ] × Ω) vào L2(Ω). Điều này có nghĩa là, nếu hàm ngẫu nhiên f là giới hạn trong L2 ([0, T ] × Ω) của các hàm bậc thang đo được lũy tiến fn thì fn là dãy cơ bản trong L2 ([0, T ] × Ω), tức là I( fn) cũng là dãy cơ bản trong L2(Ω), nhưng vì L2(Ω) là không gian đầy đủ nên tồn tại giới hạn

I( fn). I( f ) = l.i.m. n→∞

0 Wt dWt , trong đó Wt , với t ≥ 0,W0 = 0 là quá

Như vậy, tích phân ngẫu nhiên Ito đã được xây dựng.

Ví dụ 1.7. Dùng định nghĩa để tính (cid:82) T trình Wiener.

(cid:90) T

Giải. Hàm Wt đo được lũy tiến và bình phương khả tích trên [0, T ) × Ω, T < ∞:

t dt =

0 Wt dWt là cái gì.

EW 2 . t dt = E(Wt −W0)2 dt = T 2 2

(cid:90) T

(cid:90) ti+1

Ta xác định (cid:82) T Chọn phân hoạch 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T và chọn hàm bậc thang f (t, ω) = Wti khi ti ≤ t < ti+1. Ta có

(cid:90) ti+1

E ( f (t, ω) −Wt )2 dt = E(Wt −Wti)2 dt

n−1 ∑ i=0 n−1 ∑ i=0

= (t − ti) dt

n−1 ∑ i=0

= (ti+1 − ti)2. 1 2

(cid:90) T

Khi làm mịn phân hoạch, tổng này hội tụ theo nghĩa trung bình phương đến 0. Vì vậy,

n−1 ∑ i=0

Wti(Wti+1 −Wti) Wt dWt = l.i.m. n→∞

(giới hạn khi max(ti+1 − ti) → 0). Xét đồng nhất thức sau

T =

(cid:35)2 (cid:1) W 2 (cid:0)Wti+1 −Wti (cid:34)n−1 ∑ i=0

∑ j

n−1 ∑ i=0

(cid:17) (cid:1) (cid:16) = (cid:1)2 + 2 (cid:0)Wti+1 −Wti (cid:0)Wti+1 −Wti Wt j+1 −Wt j

n−1 ∑ i=0

= (cid:1)2 + 2 (cid:1)Wti. (cid:0)Wti+1 −Wti (cid:0)Wti+1 −Wti

(cid:90) T

Nhận thấy, vế trái không phụ thuộc vào phân hoạch; tổng thứ nhất ở vế phải hội tụ theo bình phương trung bình đến T (do tính chất (e) của quá trình Wiener). Từ đó, suy ra

T − T 2

W 2 . Wt dWt =

(cid:3)

c. Định nghĩa mô tả

(cid:90) T

Mệnh đề 1.2. Giả sử hàm f (t, ω), 0 ≤ t ≤ T < ∞ đo được lũy tiến, liên tục theo t theo bình phương trung bình. Khi đó, ta có

n−1 ∑ i=0

(cid:1) (1.3) f (ti, ω) (cid:0)Wti+1 −Wti f (t, ω) dWt = l.i.m. n→∞

khi làm mịn phân hoạch 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T .

Nhận xét 1.8. Trong tổng tích phân của (1.3), không thể thay f (ti, ω) bằng f (si, ω), trong đó si là điểm tùy ý của [ti,ti+1], chẳng hạn ta có

T + T 2

n−1 ∑ i=0

W 2 (cid:1) = l.i.m. (cid:0)Wti+1 −Wti Wti+1

n−1 ∑ i=0

(cid:54)= l.i.m. (cid:1) . Wti (cid:0)Wti+1 −Wti

0 f ∗(t, ω) dWt .

Chứng minh. Chọn phân hoạch 0 = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = T và chọn f ∗(t, ω) = f (ti, ω) khi ti ≤ t ≤ ti+1. Khi đó, tổng tích phân của (1.3) chính là (cid:82) T

(cid:90) T

Mặt khác,

E = E [ f (t, ω) − f ∗(t, ω)] dWt f (t, ω) dWt − f ∗(t, ω) dWt (cid:12) 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:90) T (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:90) T (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:90) T = | f (t, ω) − f ∗(t, ω)|2 dt

0 ≤ T. max t∈[0,T ]

| f (t, ω) − f ∗(t, ω)|

0≤i≤n−1

≤ T. max | f (t, ω) − f (ti, ω)| .

(1.4)

Khi làm mịn phân hoạch thì vế phải của (1.4) dần về 0. Do đó, ta nhận được (1.3).

d. Các tính chất quan trọng của tích phân Itô

(i) E ( I( f )| Fs) = 0 hầu chắc chắn, nếu hàm f ∈ L2(BF ) bằng 0 với t < s; EI( f ) = 0 với mọi f ∈ L2(BF ).

s f (t, ω)g(t, ω) dt |Fs những hàm thuộc L2(BF ) bằng 0 với t < s.

(cid:1) hầu chắc chắn, nếu f và g là (ii) E (I( f )I(g) |Fs ) = E (cid:0)(cid:82) t

0 | f (t, ω)|2 dt.

= E (cid:82) T (iii) E (cid:12) (cid:82) T (cid:12) 0 f (t, ω)dWt (cid:12) (cid:12) 2 (cid:12) (cid:12)

0 f (s, ω)dWs, 0 ≤ t ≤ T là mac-tin-gan đối với họ

(iv) Quá trình ngẫu nhiên Xt = (cid:82) t

σ -đại số Ft .

Chứng minh. * Chứng minh (i)

• Trước hết, ta kiểm tra tính chất (i) đối với hàm bậc thang thuộc L2(BF ).

Giả sử s = ti, khi đó

(cid:33) (cid:19) (cid:18) (cid:90) T E = E f (t, ω)dWt Fs Fs f (ti, ω) (cid:0)Wti+1 −Wti (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:32) n−1 ∑ i=0 (cid:12) (cid:12) (cid:1) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

n−1 ∑ i=0

(cid:1) . = (cid:1)(cid:12) (cid:12) Fs E (cid:0) f (ti, ω) (cid:0)Wti+1 −Wti

Biểu diễn số hạng thứ i ở dạng trung bình có điều kiện của trung bình có điều kiện đối với σ -đại số Fti ⊇ Fs, ta nhận được

(cid:3)

(cid:3) = 0 (hầu chắc chắn). (cid:1)(cid:12) (cid:12) Fs (cid:1)(cid:12) (cid:12) Fs (cid:1)(cid:12) E (cid:2) E (cid:0) f (ti, ω) (cid:0)Wti+1 −Wti (cid:12) Fti (cid:12) = E (cid:2) f (ti, ω).E (cid:0)Wti+1 −Wti (cid:12) Fti

Ngoài ra, với mọi hàm bậc thang f ∈ L2(BF ), ta có

n−1 ∑ i=0

(cid:33) (cid:1) EI( f ) = E = (cid:1) = 0. f (ti, ω) (cid:0)Wti+1 −Wti f (ti, ω)E (cid:0)Wti+1 −Wti (cid:32)n−1 ∑ i=0

• Bây giờ, ta chứng minh rằng tính chất (i) vẫn đúng đối với hàm ngẫu

(cid:90)

nhiên f bất kì thuộc L2(BF ). Tức là, ta cần kiểm tra

(1.5) I( f ) P(dω) = 0, với mọi A ∈ Fs, nếu f ≡ 0 khi t < s

(cid:90)

Điều này đúng với các hàm bậc thang. Tiếp theo, ta xác định fn như đã chỉ ra ở trên, fn = 0 khi t < s, ta nhận được

I( fn) P(dω) = 0.

(cid:90)

Ta có

≤ I( f ) P(dω) − |I( f ) − I( fn)| dP (cid:12) (cid:12) I( fn) P(dω) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:90) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

≤ (cid:107)I( f − fn)(cid:107) ≤ (cid:107) f − fn(cid:107) n→∞−−−→ 0

Từ đó, ta nhận được (1.5).

* Chứng minh (ii)

• Ta kiểm tra tính chất (ii) đối với hàm bậc thang.

Giả sử 0 ≤ s = t1 < t1 < t2 < ... < tn ≤ T,tn < ∞, f (t, ω) = g(t, ω) = 0 khi t < s và khi t ≥ tn f (t, ω) = f (ti, ω), g(t, ω) = g(ti, ω) khi ti ≤ t < ti+1.

Khi đó,

(cid:35)

n−1 ∑ j=1

(cid:1) . g(t j, ω) Fs E ( I( f )I(g)| Fs) = E f (ti, ω) (cid:0)Wti+1 −Wti (cid:16) Wt j+1 −Wt j (cid:34) n−1 ∑ i=1 (cid:12) (cid:12) (cid:17) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

n−1 ∑ i, j=1

(cid:105) (cid:104) (cid:1) (cid:16) E . = Fs Wt j+1 −Wt j f (ti, ω)g(ti, ω) (cid:0)Wti+1 −Wti (cid:17)(cid:12) (cid:12) (cid:12)

Ta biểu diễn các số hạng với i < j dưới dạng trung bình có điều kiện của trung bình có điều kiện đối với σ -đại số Fti, chúng bằng 0; ta cũng làm như vậy cho các số hạng với i > j. Các số hạng i = j cho ta E (cid:17) . f (t, ω)g(t, ω) dt Fs (cid:16) (cid:82) T s (cid:12) (cid:12) (cid:12)

• Bây giờ, đối với hàm ngẫu nhiên f bất kì thuộc L2(BF ), ta cần kiểm

tra

(cid:90)

(cid:21) (cid:20)(cid:90) T (1.6) I( f )I(g) P(dω) = f (t, ω)g(t, ω) P(dω)

(cid:90)

với mọi A ∈ Fs, nếu f , g ≡ 0 khi t < s. Ta vừa chứng minh được điều này đúng với các hàm bậc thang. Bây giờ, ta xét fn, gn như đã chỉ ra ở trên, fn = gn = 0 khi t < s, ta nhận được

(cid:20)(cid:90) T (1.7) P(dω) I( fn)I(gn) P(dω) = (cid:21) fn(t, ω)gn(t, ω)

(cid:90)

(cid:90) T

(cid:90)

(cid:90) T

Vế phải của (1.7) khác vế phải của (1.6) không nhiều hơn

0 (cid:90) T

(cid:90)

| f | . |gn − g| dPdt + |g| . | fn − f | dPdt

+ (1.8) | fn − f | . |gn − g| dPdt.

(cid:82) T 0 không vượt quá (cid:82)

(cid:82) T 0 , và (1.8) không vượt quá

Ω

Các tích phân (cid:82) A

(1.9) (cid:107) f (cid:107) . (cid:107)gn − g(cid:107) + (cid:107)g(cid:107) . (cid:107) fn − f (cid:107) + (cid:107) fn − f (cid:107) . (cid:107)gn − g(cid:107) n→∞−−−→ 0

(cid:90)

((cid:107).(cid:107) là chuẩn trong L2([0, T ] × Ω)). Các vế trái của (1.6) và (1.7) không khác nhau nhiều hơn đại lượng

A ≤ (cid:107)I( f )(cid:107) . (cid:107)I(gn − g)(cid:107) + (cid:107)I(g)(cid:107) . (cid:107)I( fn − f )(cid:107) + (cid:107)I( fn − f )(cid:107) . (cid:107)I(gn − g)(cid:107) .

[|I( f )| . |I(gn − g)| + |I(g)| . |I( fn − f )| + |I( fn − f )| . |I(gn − g)|] dP

(1.10)

Do tính đẳng cự của I, vế phải của (1.10) bằng vế trái của (1.9) và dần đến 0 khi n → ∞. Từ đó, phép chuyển giới hạn trong (1.7) cho ta (1.6).

* Chứng minh (iii) : Đây chính là tính chất đẳng cự của tích phân Ito. Tính chất

này đã được kiểm tra trong phần chứng minh định lí (1.6)

* Chứng minh (iv): Theo cách chứng minh định lí (1.6), ta chỉ cần kiểm tra tính

chất (iv) đối với hàm bậc thang. Ta có

(cid:90) t

s (cid:18) (cid:90) t

(cid:90) s

(cid:19) (cid:19) (cid:18) (cid:90) s (cid:18) (cid:90) t E = E Fs Fs f (u, ω)dWu + f (u, ω)dWu f (u, ω)dWu (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:19) = f (u, ω)dWu + E Fs f (u, ω)dWu (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:33)

s (cid:32) n−1 ∑ i=0

0 (cid:90) s

= f (u, ω)dWu + E Fs f (ui, ω) (cid:0)Wui+1 −Wui (cid:12) (cid:12) (cid:1) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= f (u, ω)dWu.

Ta có điều cần chứng minh.

1.4. Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô

1.4.1. Vi phân Itô

(cid:90)

Giả sử rằng X = (Xt ,t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên sao cho: (a) Hầu hết các quỹ đạo t → Xt là liên tục, (b) Hầu chắc chắn Xt có biểu diễn:

(1.11) h(t, ω)ds + f (s, ω)dWs Xt = X0 +

trong đó h và f là các quá trình ngẫu nhiên đo được sao cho các tích phân trong biểu diễn tồn tại thì ta nói rằng X là một quá trình Itô và có vi phân Itô dX.

Định nghĩa 1.21. Vi phân Itô dX là một biểu thức hình thức được viết như sau:

(1.12) dXt = h(t, ω)dt + f (t, ω)dWt

hay

dX = hdt + f dW.

Khi ta viết ra một vi phân có dạng (1.12), ta hiểu rằng điều đó có nghĩa là ta có

hệ thức (1.11) hầu chắc chắn.

1.4.2. Công thức Itô

Công thức Itô thực chất là một công thức đổi biến trong giải tích ngẫu nhiên: Từ một quá trình ngẫu nhiên Itô (Xt ) nếu ta biến đổi thành (Yt ) với Yt = g(t, Xt ) thì vi phân dY sẽ tính ra sao? Công thức này rất cần thiết để tính tích phân ngẫu nhiên, để thực hiện các phép biến đổi ngẫu nhiên và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên.

Định lí 1.9. Cho X là một quá trình Itô với dX = hdt + f dW. Giả sử

g(t, x) : R2 → R

là một hàm hai biến khả vi liên tục theo biến thứ nhất t, hai lần khả vi liên tục theo biến thứ hai x.

Khi đó quá trình ngẫu nhiên Yt = g(t, Xt ) là một quá trình Itô có vi phân Itô cho bởi:

(1.13) (t, Xt )dt + (t, Xt )dXt + dYt = 1 2 ∂ g ∂t ∂ g ∂ x ∂ 2g ∂ x2 (t, Xt ) f 2(t, ω)dt.

(cid:90)

Đó là công thức Itô, có dạng tương đương sau:

(s, Xs)ds + (s, Xs)dXs + Yt = g(0, X0) + 1 2 ∂ g ∂ s ∂ g ∂ x ∂ 2g ∂ x2 (s, Xs) f 2(s, ω)ds.

(1.14)

0 WsdWs.

Ví dụ 1.10. Tính tích phân I = (cid:82) t

(cid:90) t

Giải. Chọn Xt = Wt và g(t, x) = x2. Khi đó, Yt = g(t,Wt ) = W 2 t . Ta có dXt = dWt = 0.dt + 1.dWt . Do đó, h(t, ω) = 0 và f (t, ω) = 1. Áp dụng công thức Itô (1.14), ta có

t =

W 2 2 ds + WsdWs. 2WsdWs = t + 2 1 2

(cid:90) t

Do đó,

t − t).

(W 2 WsdWs = 1 2

0 v(s)dWs, trong đó Wt là một quá trình Wiener, hàm v

(cid:3) Đây là kết quả mà ta đã biết khi tính trực tiếp bằng định nghĩa.

Ví dụ 1.11. Tính tích phân (cid:82) t chỉ phụ thuộc vào s và có biến phân giới nội trong [0,t].

Giải. Chọn Xt = Wt , g(t, x) = v(t).x. Khi đó, Yt = g(t,Wt ) = v(t).Wt . Ta có dXt = dWt = 0.dt + 1.dWt . Do đó, h(t, ω) = 0 và f (t, ω) = 1.

(cid:90) t

Theo công thức Itô (1.14), ta có

(cid:90) t

v(t)Wt = v(cid:48)(s)Ws ds + v(s)dWs

0 v(s)dWs.

W dv(s). hay v(s)dWs = v(t)Wt −

Đây là công thức tích phân từng phần đối với tích phân ngẫu nhiên Ito (cid:82) t (cid:3)

1.4.3. Biến phân bậc hai của hai quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.22. Cho (Xt ) và (Yt ) là hai quá trình liên tục, xác định với t ≥ 0. Ta gọi biến phân bậc hai của hai quá trình ấy, kí hiệu là (cid:104)X,Y (cid:105), là một quá trình ngẫu nhiên xác định bởi một giới hạn hầu chắc chắn sau đây, nếu nó tồn tại:

h.c.c=

n−1 ∑ k=0

(cid:1) (cid:104)X,Y (cid:105)t (cid:0)Xtk+1 − Xtk (cid:1) (cid:0)Ytk+1 −Ytk lim max|tk+1−tk|→0

với mọi phân hoạch 0 = t0 < t1 < ... < tn = t.

Nếu X = Y thì ta dùng ký hiệu (cid:104)X, X(cid:105) = (cid:104)X(cid:105).

Tính chất

(a) (cid:104)X(cid:105) ≥ 0; (cid:104)X,Y (cid:105)0 = 0 (b) (cid:104)X,Y (cid:105) = (cid:104)Y, X(cid:105) (c) (cid:104)a1X1 + a2X2,Y (cid:105) = a1(cid:104)X1,Y (cid:105) + a2(cid:104)X2,Y (cid:105). Biến phân bậc hai của một số quá trình

(cid:90)

(a) Nếu Wt là một chuyển động Brown tiêu chuẩn thì (cid:104)W (cid:105)t = t. (b) Nếu Xt và Yt là hai quá trình Itô cho bởi:

(cid:90)

Xt = X0 + h1(s, ω)ds + f1(s, ω)dWs,

f2(s, ω)dWs h2(s, ω)ds + Yt = Y0 +

(cid:90)

thì

(cid:104)X,Y (cid:105)t = f1(s, ω) f2(s, ω)ds.

(cid:90) t

Khi đó,

(cid:104)X(cid:105)t = f 2 1 (s, ω)ds.

(cid:90)

và công thức Itô có thể được viết dưới dạng:

(s, Xs)ds + (s, Xs)dXs + Yt = g(0, X0) + 1 2 ∂ g ∂ s ∂ g ∂ x ∂ 2g ∂ x2 (s, Xs)d(cid:104)X(cid:105)s.

1.4.4. Công thức tích phân từng phần

(cid:90)

Mệnh đề 1.3. Giả sử Xt và Yt là hai quá trình Itô cho bởi:

(cid:90)

Xt = X0 + h1(s, ω)ds + f1(s, ω)dWs,

Yt = Y0 + h2(s, ω)ds + f2(s, ω)dWs

(cid:90) t

thì

XsdYs + YsdXs + (cid:104)X,Y (cid:105)t . XtYt = X0Y0 +

(cid:90) t

ta có: Chứng minh. Lần lượt áp dụng công thức Itô cho các quá trình Itô (Xt +Yt )2, X 2 t , Y 2 t

(cid:90) t

(Xs +Ys) d (Xs +Ys) + (Xt +Yt )2 = (X0 +Y0)2 + 2 ( f1(s, ω) + f2(s, ω))2 ds,

t = X 2 X 2

0 + 2

0 (cid:90) t

XsdXs + f 2 1 (s, ω)ds,

t = Y 2 Y 2

0 + 2

YsdYs + f 2 2 (s, ω)ds.

Trừ đẳng thức trên với hai đẳng thức dưới ta được công thức cần chứng minh. (cid:3)

1.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên

Xét một hệ thức vi phân ngẫu nhiên

(1.15) dXt = b(t, Xt )dt + σ (t, Xt )dWt

trong đó b(t, x) và σ (t, x) là những hàm hai biến đo được: [0, T ] × R → R, Wt là một chuyển động Brown tiêu chuẩn. Nếu xem Xt là một quá trình ngẫu nhiên phải tìm, thì hệ thức (1.15) được gọi là một phương trình vi phân ngẫu nhiên.

♣ Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt (ω),t ∈ [0, T ]) được gọi là một lời giải của phương trình (1.15) với điều kiện ban đầu

(1.16) X0 = Z

trong đó Z là một quá trình ngẫu nhiên cho trước, độc lập với W = (Wt ,t ≥ 0) sao cho E(Z2) < ∞, nếu X thỏa mãn các giả thiết sau:

t = σ (Ws, s ≤ t), và là đo được đối với σ - đại

(i) Xt là thích nghi với Ft = F W

số tích B[0,T ] × Ft . t (cid:82) (ii) E X 2 t dt < ∞, ∀t ∈ [0, T ].

(iii) Xt thỏa mãn các hệ thức (1.15) và (1.16).

♣ Giả sử X = (Xt (ω),t ∈ [0, T ]) là một lời giải của phương trình (1.15)- (1.16). Ta nói rằng lời giải đó là duy nhất nếu điều sau đây được thực hiện:

Giả sử có một quá trình ngẫu nhiên Y = (Yt (ω),t ∈ [0, T ]) cũng là một lời giải của quá trình trên thì khi đó

(cid:18) (cid:19) P = 1. (1.17) |Xt −Yt | = 0 sup 0≤t≤T

Định lí 1.12. Định lí tồn tại và duy nhất

Nếu tồn tại một hằng số K > 0 sao cho với mọi t ∈ [0, T ] và mọi x, y ∈ R sao cho

|b(t, x) − b(t, y)| + |σ (t, x) − σ (t, y)| ≤ K|x − y|

|b(t, x)|2 + |σ (t, x)|2 ≤ K (cid:0)1 + |x|2(cid:1)

thì khi đó tồn tại một lời giải X = (Xt (ω),t ∈ [0, T ]) của phương trình (1.15) với điều kiện ban đầu (1.16) và lời giải đó là duy nhất theo nghĩa (1.17).

Chương 2

Mô hình tài chính cơ bản

Trong chương này ta làm việc trong mô hình thị trường đơn giản chỉ gồm hai loại tài sản để đầu tư là trái phiếu không có rủi ro và chứng khoán có rủi ro. Sau khi nêu một số khái niệm và công cụ cần thiết, chúng tôi đưa ra công thức định giá Quyền Chọn trong thời gian liên tục. Việc nghiên cứu thị trường trong thời gian liên tục là cần thiết vì hai lí do: thứ nhất là với sự phát triển của hệ thống thông tin liên lạc hiện nay mọi thông tin và diễn biến trên thị trường đều được thể hiện một cách liên tục, thứ hai là với các mô hình thời gian liên tục ta có thể có những công cụ hữu hiệu (chẳng hạn các phương pháp của giải tích ngẫu nhiên) và tránh được các khó khăn gặp phải khi nghiên cứu thị trường với thời gian rời rạc (chẳng hạn thị trường đối với thời gian rời rạc thường là không đầy đủ).

2.1. Giới thiệu mô hình

Xét một thị trường tài chính hoạt động trong khoảng thời gian hữu hạn [0, T ]; thời điểm t = 0 là thời điểm hiện tại bắt đầu giao dịch; thời điểm t = T là thời điểm đáo hạn, kết thúc giao dịch. Giả thiết thị trường là hoạt động liên tục, không chia cổ tức trước khi đáo hạn, không có phí giao dịch và thuế, không trao đổi chứng khoán. Thị trường tài chính gồm có hai tài sản nền tảng để đầu tư: đó là một trái phiếu không rủi ro (hay một tài khoản tín dụng ngân hàng) B, với lãi suất cố định là r và một chứng khoán có rủi ro S.

Gọi Ω là tập hợp tất cả các yếu tố ngẫu nhiên ảnh hưởng đến giá chứng khoán trên thị trường như các biến động về giá của các sản phẩm khác, các xu hướng tăng trưởng hoặc suy thoái của nền kinh tế thế giới, các diễn biến về tiêu dùng trong và ngoài nước, tiềm lực sản xuất, các diễn biến chính trị, các chính sách kinh tế vĩ mô của nhà nước, các diễn biến tâm lý của nhà đầu tư,.... Mỗi phần tử ω của Ω biểu thị một yếu tố ngẫu nhiên nào đó. Mỗi sự kiện xảy ra trong thị trường là một tập hợp nào đó gồm một số các yếu tố ngẫu nhiên trong Ω, tức là một tập con của Ω. Gọi

F là σ -đại số gồm các tập con của Ω, P là độ đo xác suất xác định trên F . Khi đó, giá của các chứng khoán là các biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (Ω, F , P). ♣ Ký hiệu Bt là giá của trái phiếu không rủi ro tại thời điểm t, 0 ≤ t ≤ T . Để đơn giản mô hình ta giả thiết B0 = 1. Gọi dBt là lượng giá trái phiếu không rủi ro thay đổi trong khoảng thời gian nhỏ dt = ti+1 − ti. Vì lãi suất là cố định nên ta có thể giả

tỉ lệ thuận với độ dài thời gian dt theo hệ số thiết độ thay đổi tương đối về giá dBt Bt tỉ lệ r:

= rdt (2.1) dBt Bt

hay

dBt = rBt dt.

Như vậy, giá của chứng khoán không rủi ro Bt tại thời điểm t thỏa mãn phương trình:

(2.2) dBt = rBt dt, B0 = 1.

(cid:90) t

Lấy tích phân hai vế (2.1) trên đoạn [0,t] ta được

0 0 ⇔ ln Bt − ln B0 = rt ⇔ Bt = ert .

rds = dBs Bs

Vậy nghiệm của phương trình (2.2) là

Bt = ert , t ≥ 0.

♣ Ký hiệu St là giá cổ phiếu tại thời điểm t, dSt là lượng giá cổ phiếu thay đổi trong khoảng thời gian nhỏ dt = ti+1 − ti. Một cách tự nhiên, ta có thể giả thiết độ thay

đổi tương đối về giá tỉ lệ thuận với độ dài thời gian dt theo một hệ số tỉ lệ µ dSt St nào đó:

≈ µdt. dSt St

Ngoài ra, còn có tác động của các yếu tố ngẫu nhiên trong thị trường lên tỉ lệ đó nữa. Các yếu tố ngẫu nhiên ấy tạo nên một loại “nhiễu” ngẫu nhiên. Nhiễu ngẫu nhiên phổ biến nhất là nhiễu có phân phối chuẩn, thể hiện qua vi phân ngẫu nhiên dWt của một chuyển động Brown Wt với một hệ số tỉ lệ σ nào đó. Do đó, ta đặt

≈ µdt + σ dWt . dSt St

Qua hệ thức này, ta nhận thấy σ càng lớn thì tác động ngẫu nhiên càng lớn, cho

nên σ cũng được gọi là độ biến động của giá cổ phiếu St .

Như vậy, giá chứng khoán St được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính như sau:

(2.3) dSt = µSt dt + σ St dWt , S0 đã cho,

trong đó µ và σ là các hằng số, còn Wt là chuyển động Brown (hay quá trình Wiener).

Mệnh đề 2.1. (Công thức tính giá cổ phiếu)

(cid:16)

(cid:17) t

µ− σ 2 2

Nghiệm của phương trình (2.3) là một quá trình ngẫu nhiên St = S(t, ω) có dạng

. (2.4) St = S0eσWt −

Quá trình St này được gọi là một chuyển động Brown hình học. Trong (2.4), S0 là giá cổ phiếu được quan sát tại thời điểm t = 0.

(cid:90) t

Chứng minh. Theo định lí (1.12), nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính (2.3) là duy nhất. Do đó, ta chỉ cần chứng minh (2.4) thỏa mãn phương trình (2.3). (cid:18) (cid:19) t. Xét hàm số f (x) = ex và µ − Trước hết, giả sử S0 = 1. Đặt Xt = σWt + σ 2 2 áp dụng công thức Itô, ta được

St = eXt = eX0 +

(cid:90) t

0 (cid:90) t

eXs σ 2ds (cid:19) 1 eXsdXs + 2 (cid:18) ds + = 1 + σ 2 µ − Ssσ dWs + Ss Ssσ 2ds 1 2 1 2

= 1 + Ssσ dWs + Ssµds,

Suy ra St thỏa mãn phương trình (2.3).

Nếu S0 (cid:54)= 0 thì ta nhân cả hai vế của đẳng thức trên cho S0 ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét 2.1.

(cid:17) (cid:16) t. Do đó, ln St có phân bố chuẩn và là một

- Bằng quan sát thống kê, ta có thể ước lượng được các tham số µ và σ của chuyển động Brown hình học, điều đó có nghĩa là ta ước lượng được giá St của cổ phiếu. µ − σ 2 - Ta có ln St = ln S0 + σWt − 2 chuyển động Brown không tiêu chuẩn, tức là St có các tính chất sau:

+ Có quỹ đạo liên tục. + Có gia số dừng: luật phân bố của (St − Su) (cid:14)Su chính là luật phân bố của

(St−u − S0) (cid:14)S0 .

2.2. Các khái niệm cơ bản

2.2.1. Phương án đầu tư

t , φt

Định nghĩa 2.1. 1. Một phương án đầu tư (viết tắt là PA) là một cặp (x, Φ) trong đó x là tổng số tiền đầu tư ban đầu và Φ là danh mục chứng khoán đầu tư, nó là một vectơ gồm 2 thành phần Φ := (cid:0)φ 0 t≥0 tương thích với lọc tự nhiên (cid:0)F W (cid:1) (cid:1) t≥0 của chuyển động Brown (Wt )t≥0, φ 0 t , φt lần lượt là lượng trái phiếu không rủi ro và lượng chứng khoán có rủi ro mà nhà đầu tư nắm giữ tại thời điểm t.

2. Quá trình giá của phương án đầu tư (x, Φ) là cặp (V0 (Φ) ,Vt (Φ))0≤t≤T trong đó V0 (Φ) = x và

t Bt + φt St .

0 = x − φ0S0.

Vt (Φ) = φ 0

Ta có: φ 0 Vì các giá chứng khoán Bt , St là các quá trình ngẫu nhiên nên quá trình giá của phương án đầu tư cũng là một quá trình ngẫu nhiên.

2.2.2. Phương án đầu tư tự điều chỉnh

Định nghĩa 2.2. Một phương án đầu tư (x, Φ) được gọi là phương án đầu tư tự điều chỉnh nếu giá trị của phương án đầu tư không thay đổi sau một sự điều chỉnh đầu tư nào đó. Nghĩa là, ta muốn tăng đầu tư vào chứng khoán này thì phải giảm đầu tư vào chứng khoán kia.

Về mặt toán học, phương án đầu tư (x, Φ) được gọi là phương án đầu tư tự điều

chỉnh nếu

t dBt + φt dSt ,

(2.5) dVt (Φ) = φ 0

(cid:90) T

với điều kiện

t dt < +∞ P − h.c.c. φ 2

t |dt < +∞,

(2.6) |φ 0

t , ψt

t , φt

Ở đây ta giải thích rõ hơn về các biểu thức (2.5) và (2.6). Giả sử ta thay đổi danh (cid:1). Giá trị của phương án đầu tư (cid:1) thành danh mục đầu tư (cid:0)ψ 0

t Bt + ψt St .

t Bt + φt St = ψ 0 φ 0

mục đầu tư (cid:0)φ 0 không thay đổi nghĩa là:

Suy ra

t − ψ 0 t

(cid:0)φ 0 (cid:1) Bt + (φt − ψt ) St = 0.

t − ψ 0

t = ∆φ 0

t , φt − ψt = ∆φt , ta có

Đặt φ 0

t + St ∆φt = 0.

Bt ∆φ 0

t , φt khả vi, ta có thể viết đẳng thức trên dưới dạng vi phân:

Nếu các hàm φ 0

t + St dφt = 0.

Bt dφ 0

t Bt + φt St , suy ra

t + φt dSt + St dφt

Từ Vt (Φ) = φ 0

t dBt + Bt dφ 0 t dBt + φt dSt .

dVt (Φ) = φ 0 = φ 0

(cid:90) T

Điều kiện (2.6) để đảm bảo (2.5) có nghĩa. Khi đó, ta có

t rert dt φ 0

φ 0 t dBt =

(cid:90) T

và

φt dSt = φt µSt dt + φt σ St dWt

(cid:90) t

đều có nghĩa, vì St là hàm liên tục nên bị chặn hầu chắc chắn. Điều kiện (2.5) có thể viết dưới dạng:

t Bt + φt St = φ 0 φ 0

0 B0 + φ0S0 +

φudSu φ 0 u dBu +

với mọi t ∈ [0, T ].

Trong trường hợp trong mọi hàng hóa trong thị trường phải chiết khấu, ta định

nghĩa:

Định nghĩa 2.3. 1. Quá trình giá chứng khoán đã chiết khấu tại thời điểm t là:

St = e−rt St . ˆBt = 1, ˆSt =

1 Bt 2. Quá trình giá đã chiết khấu của phương án đầu tư là (cid:0) ˆV0 (Φ) , ˆVt (Φ)(cid:1) trong đó ˆV0 (Φ) = V0 (Φ) và

t + φt ˆSt .

Vt (Φ) = φ 0 ˆVt (Φ) = 1 Bt

(cid:90) T

Mệnh đề 2.2. Giả sử (x, Φ) là phương án đầu tư thỏa mãn

t |dt < +∞,

t dt < +∞ P − h.c.c. φ 2

|φ 0

(cid:90) t

Khi đó, (x, Φ) là phương án đầu tư tự điều chỉnh tài chính khi và chỉ khi:

(2.7) φud ˆSu P − h.c.c ∀t ∈ [0, T ]. ˆVt (Φ) = V0 (Φ) +

= Chứng minh. Giả sử (x, Φ) là phương án đầu tư tự điều chỉnh tài chính. Ta có 1 Bt

e−rt nên từ ˆVt (Φ) = Vt (Φ) suy ra: 1 Bt

d ˆVt (Φ) = −re−rtVt (Φ) dt + e−rt dVt (Φ)

(cid:1)

t dBt + φt dSt t rBt dt + φt dSt

(cid:1) (cid:1) dt + e−rt (cid:0)φ 0 (cid:1) dt + e−rt (cid:0)φ 0

t Bt + φt St t Bt + φt St (cid:0)−re−rt St dt + e−rt dSt

(cid:1)

= −re−rt (cid:0)φ 0 = −re−rt (cid:0)φ 0 = φt = φt d ˆSt .

Từ đó ta có (2.7) vì ˆV0 (Φ) = V0 (Φ) . Ngược lại, giả sử ta có (2.7). Khi đó:

t Bt + φt St

d ˆVt (Φ) = φt d ˆSt −re−rtVt (Φ) dt + e−rt dVt (Φ) = φt (−re−rt St dt + e−rt dSt ) (cid:1) dt + e−rt dVt (Φ) = φt (−re−rt St dt + e−rt dSt )

t Bt dt + φt dSt t dBt + φt dSt .

⇔ ⇔ −re−rt (cid:0)φ 0 ⇔ ⇔ dVt (Φ) = rφ 0 dVt (Φ) = φ 0

Mệnh đề được chứng minh.

♣ Bây giờ ta xét chi tiết hơn giá trị tài sản của phương án đầu tư (x, Φ):

- Giả sử rằng vào thời điểm hiện tại lãi suất r = 0. Tại thời điểm t0 ta có một tài sản gốc là Xt0, ta mua Φ0 cổ phiếu và chi phí hết φ0St0. Tại thời điểm t1 ta bán φ0 cổ phiếu đã mua với giá St1 mỗi cổ phiếu, do đó giá trị tài sản tại thời điểm t1 là:

(cid:1) . Xt0 + φ0 (cid:0)St1 − St0

(cid:1) + φ1 (St2 − St1) Cùng lúc đó, ta đầu tư φ1St1 để mua φ1 cổ phiếu. Đến thời điểm t2 ta bán φ1 cổ phiếu đã mua với giá St2 mỗi cổ phiếu. Khi đó giá trị tài sản ta có tại thời điểm t2 là: (cid:0)St1 − St0 Xt0 + φ0

Tiếp tục như thế, giá trị tài sản ta có được tại thời điểm ti+1 sẽ là

(cid:1) . (cid:1) + φ1 (St2 − St1) + ... + φi (cid:0)Sti+1 − Sti (cid:0)St1 − St0 Xt0 + φ0

(cid:90) t

Hay viết dưới dạng tương đương là

φ (u)dSu, Xt0 +

trong đó ta có t > ti+1 và φ (u) = φi với ti ≤ u < ti+1. Nói một cách khác, tài sản của chúng ta có thể được biểu diễn bởi một tích phân ngẫu nhiên lấy theo giá cổ

phiếu. Việc yêu cầu hàm dưới dấu tích phân phải tương thích là rất tự nhiên: chúng ta không thể căn cứ vào số lượng cổ phiếu nắm giữ tại thời điểm s dựa trên thông tin không có giá trị đến tương lai.

- Trường hợp lãi suất r (cid:54)= 0: Đặt Pt là giá trị hiện tại của cổ phiếu. Khi đó

Pt = e−rt St .

Pt còn được gọi là giá đã chiết khấu của St , Pt = ˆSt . Chú ý rằng P0 = S0. Khi ta giữ φi cổ phiếu từ thời điểm ti đến ti+1, lợi nhuận ta có được tại thời điểm này sẽ là

(cid:1) . φi (cid:0)Pti+1 − Pti

(cid:90) t

Khi đó, công thức về tài sản của ta trở thành

φ (u)dPu. Xt0 +

Sử dụng công thức Itô, ta có

dPt = e−rt dSt − re−rt St dt

= e−rt σ St dWt + e−rt µSt dt − re−rt St dt = σ Pt dWt + (µ − r) Pt dt.

Tương tự (2.4), ta có nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên trên là

Pt = P0eσWt +(µ−r−σ 2/2)t .

Từ các phân tích trên, ta có định nghĩa sau:

0 φudSu. 0 φud ˆSu.

Định nghĩa 2.4. - Quá trình lời của phương án đầu tư (x, Φ) là G (x, Φ) = (cid:82) T - Quá trình lời đã chiết khấu của phương án đầu tư (x, Φ) là ˆG (x, Φ) = (cid:82) T

2.2.3. Phương án đầu tư chênh lệch thị giá

Định nghĩa 2.5. Một phương án đầu tư chênh lệch thị giá (arbitrage) là một phương án đầu tư mà lúc bắt đầu kinh doanh không có tiền, xác suất để mất tiền thì bằng không và xác suất để kiếm lời được là dương.

Nói chính xác về mặt toán học, một phương án đầu tư (x, Φ) trong khoảng thời gian [0, T ] được gọi là một phương án đầu tư chênh lệch thị giá nếu nó là phương án tự điều chỉnh tài chính và hàm giá trị tương ứng của nó có tính chất:

(1) V0(x, Φ) = 0, nghĩa là (n.l.) phương án đầu tư không cần bỏ vốn ban đầu.

(2) VT (x, Φ) ≥ 0, n.l. không có rủi ro mất tiền.

(3) P{VT (x, Φ) > 0} > 0, n.l. khả năng kiếm lời tại thời điểm đáo hạn là một số dương.

Điều kiện (2) và (3) ở trên có thể thay bởi hai điều kiện tương đương:

(2’) ˆG (x, Φ) ≥ 0, (3’) P{ ˆG (x, Φ)} > 0.

Như vậy, một phương án đầu tư (x, Φ) là chênh lệch thị giá nếu tồn tại một quá

0 φsdSs > b

(cid:17) (cid:16)(cid:82) T trình φs tương thích với Fs và thỏa mãn các điều kiện: (i) (cid:82) T 0 φsdSs ≥ 0 h.k.n (ii) Tồn tại b, ε > 0 sao cho P > ε.

Định nghĩa 2.6. Một mô hình (còn được gọi là một trị trường) được gọi là thị trường không có chênh lệch thị giá nếu không tồn tại một phương án đầu tư có chênh lệch thị giá. Thị trường như vậy còn được gọi là thị trường lành mạnh.

2.2.4. Sản phẩm phái sinh

Định nghĩa 2.7. Một sản phẩm phái sinh (hay một quyền phái sinh) hay một quyền tài chính (a contigent claim) là một sản phẩm có dạng f (ST ), trong đó f : R → R là hàm số sao cho f (ST ) cũng là một biến ngẫu nhiên trên (Ω, F , P). Một cách tổng quát, quyền tài chính là một biến ngẫu nhiên X xác định trên

không gian xác định (Ω, F , P) biểu diễn một thu hoạch tại thời điểm đáo hạn T .

Ví dụ 2.2.

1. Quyền chọn mua kiểu Châu Âu: Đây là một hợp đồng mà người giữ nó có quyền, nhưng không bắt buộc, mua một chứng khoán với giá thực thi K tại thời điểm đáo hạn T . Thật dễ dàng để xác định được giá trị của quyền chọn tại thời điểm T . Nếu giá chứng khoán ST tại thời điểm T cao hơn giá thực thi K thì ta sẽ thực thi quyền chọn, mua một chứng khoán với giá K, sau đó bán ra thị trường với giá ST và kiếm được khoản lời là ST − K. Nếu giá chứng khoán ST thấp hơn giá thực thi K thì ta sẽ không thực thi quyền chọn vì thực thi sẽ bị lỗ. Kết hợp hai trường hợp trên, giá trị của quyền chọn mua kiểu Châu Âu tại thời điểm T là

(ST − K)+ = max (ST − K, 0) .

Nói cách khác, quyền chọn mua kiểu Châu Âu là một quyền tài chính có dạng f (ST ) = (ST − K)+ . Trong luận văn này ta quan tâm chủ yếu đến việc: Làm thế nào xác định giá trị của quyền tài chính này tại thời điểm hiện tại t = 0?. 2. Quyền chọn bán kiểu Châu Âu: Đây là một hợp đồng mà người giữ nó có quyền, nhưng không bắt buộc, bán một chứng khoán với giá thực thi K tại thời điểm đáo hạn T . Lập luận tương tự như trên, đây là một quyền tài chính có dạng

f (ST ) = (K − ST )+ .

3. Quyền chọn mua Châu Á: Đây là một quyền chọn được viết trên một cổ phiếu S với giá đáo hạn K, được xác định bởi một dãy các thời điểm cố định T1, T2, ..., Tn và giá trị biểu diễn thu hoạch của nó tại thời điểm đáo hạn T là

(cid:19)+ (cid:18)(cid:90) T . f (ST ) = St dt − K

4. Quyền chọn mua "Nhìn lại" (Look - black call options): là một quyền chọn mua kiểu Châu Âu viết trên một tài sản S mà thu hoạch tại thời điểm đáo hạn T là

St . f (ST ) = ST − min 0≤t≤T

2.2.5. Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ

Với một số vốn ban đầu, có rất nhiều phương án đầu tư khác nhau. Nguyên lý

đáp ứng để bảo hộ được phát biểu như sau:

Nếu có thể tìm được phương án đầu tư mà nó đáp ứng để bảo hộ hoàn toàn sản phẩm phái sinh theo nghĩa là phương án đầu tư này đảm bảo lợi nhuận chính xác như lợi nhuận của sản phẩm phái sinh tại thời điểm đáo hạn, thì giá của phương án đầu tư này phải trùng với giá của sản phẩm phái sinh.

Về mặt toán học, nguyên lý đáp ứng để bảo hộ có thể phát biểu như sau:

Định nghĩa 2.8. Một phương án đầu tư đáp ứng (a replicating strategy) hay một bảo hộ (hedge) đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn K tại thời điểm đáo hạn T là một phương án đầu tư tự điều chỉnh (x, Φ) sao cho

(2.8) VT (x, Φ) = K

tức là sao cho giá trị lúc đáo hạn của phương án đầu tư ấy bằng đúng với giá trị đáo hạn K đã định trước và đã ghi trong hợp đồng.

Quá trình giá VT (x, Φ) của phương án đáp ứng gọi là quá trình đáp ứng. Ký

hiệu ΦX là tập hợp tất cả các phương án đầu tư (x, Φ) đáp ứng cho phái sinh X.

Ý nghĩa của thuật ngữ đáp ứng cũng ở chỗ đó: Trong hợp đồng phái sinh người ta đã định trước giá đáo hạn K rồi, phương án đầu tư phải được lựa chọn thế nào để giá trị cuối cùng phải đáp ứng được điều kiện (2.8) . Điều kiện (2.8) gọi là điều kiện đáp ứng. Ghi chú. Trong mô hình tài chính lành mạnh, nếu X là một quyền tài chính và (x, Φ) là phương án đáp ứng cho X thì x là giá của quyền tài chính X tại thời điểm hiện tại t = 0.

Định nghĩa 2.9. Một quyền tài chính X được gọi là đạt được (attainable) hay mua bán được nếu có ít nhất một phương án đầu tư đáp ứng cho nó.

Định nghĩa 2.10. Một thị trường tài chính được gọi là thị trường đầy đủ nếu mọi quyền tài chính X đều đạt được. Hay nói một cách tương đương, nếu mọi biến ngẫu nhiên X đo được đối với FT thì tồn tại ít nhất một phương án đầu tư (x, Φ) sao cho VT (x, Φ) = K. Mô hình tài chính không có tính chất này được gọi là mô hình tài chính không đầy đủ.

Định nghĩa 2.11. Ta nói rằng một quyền tài chính X được đáp ứng một cách duy nhất trong thị trường nếu tồn tại một quá trình đáp ứng duy nhất đối với X, tức là nếu ta có hệ thức

Vt (x, Φ) = Vt (x, Ψ), ∀t ≤ T

với hai phương án đầu tư bất kỳ (x, Φ) và (x, Ψ) thuộc về ΦX . Trong trường hợp này quá trình Vt (x, Φ) được gọi là quá trình sở hữu của X.

Định lí 2.3. Giả sử M là một thị trường không có cơ hội chênh lệch thị giá. Khi đó mọi quyền tài chính đạt được X đều được đáp ứng duy nhất trong M .

Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử quyền tài chính X có hai phương án đầu tư đáp ứng (x, Φ) và (y, Ψ) sao cho với một t < T nào đó, ta có:

Vs (Φ) = Vs (Ψ) với mọi s < t, và Vt (Φ) (cid:54)= Vt (Ψ) .

• Nếu t = 0, không mất tính tổng quát ta giả sử V0 (Φ) > V0 (Ψ). Xét phương án đầu tư (z, ς ) được xác định như sau:

0 .IA,

ς 0 s − φ 0 s = ψ 0 s ςs = ψs − φs + v0S−1

trong đó v0 = V0 (Φ) −V0 (Ψ) > 0 và IA là hàm chỉ tiêu của một biến cố A = {ω : v0 (ω) > 0} nào đó. Khi đó,

0 .IA (cid:1) + v0

(cid:1) S0 (cid:1) − (cid:0)φ 0 (cid:1) B0 + (cid:0)ψ0 − φ0 + v0S−1 0 B0 + φ0S0 V0(ς ) = ς 0 0 .B0 + ς0.S0 = (cid:0)ψ 0 0 − φ 0 0 = (cid:0)ψ 0 0 B0 + ψ0S0 = −v0 + v0 = 0.

và tương tự,

0 ST > 0

VT (ς ) = v0S−1

với mọi ω.

Vậy, ς là một cơ hội chênh lệch thị giá.

• Nếu t > 0, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng P(A) > 0 với A là biến ngẫu nhiên sau đây:

A = {ω : Vt (Φ) > Vt (Ψ)}.

Gọi ξ là biến ngẫu nhiên xác định bởi

ξ = Vt (Φ) −Vt (Ψ).

Xét phương án đầu tư η sau đây:

s − ψ 0 s , s − ψ 0 s

ηs = φs − ψs với mọi s < t, (cid:1) IAc, ηs = (φs − ψs) IAc + ξ S−1 IA với u ≥ t,

η 0 s = φ 0 s = (cid:0)φ 0 η 0 trong đó Ac là phần bù của tập A.

Rõ ràng η là phương án đầu tư tự tài trợ và V0(η) = 0. Hơn nữa, giá trị đáo hạn của quá trình sở hữu là

IA. VT (η) = ξ S−1 T

Suy ra

VT (η) ≥ 0 và P{VT (η) > 0} = P(A) > 0. Vậy η là phương án đầu tư chênh lệch thị giá. Mâu thuẫn với giả thiết thị trường không có chênh lệch thị giá. Định lí được chứng minh.

2.3. Biến đổi độ đo xác suất và định lí Girsanov

2.3.1. Các độ đo xác suất tương đương

Cho không gian xác suất (Ω, F , P).

Định nghĩa 2.12. Độ đo Q trên (Ω, F ) gọi là liên tục tuyệt đối với độ đo P nếu

∀A ∈ F : P(A) = 0 ⇒ Q(A) = 0.

Kí hiệu: Q (cid:28) P.

Nếu Q (cid:28) P và P (cid:28) Q thì ta nói rằng P và Q là tương đương và ta kí hiệu P ∼ Q.

Định lí 2.4. (Định lí Radon-Nikodym)

Độ đo Q (cid:28) P khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên P - khả tích Z ≥ 0 sao cho (cid:90) ∀A ∈ F : Q(A) = Z(ω)P(dω).

Ta gọi Z(ω) là đạo hàm Radon-Nikodym của Q đối với P và kí hiệu Z(ω) =

dQ dP . dQ dP được gọi là mật độ của Q đối với Nếu Q cũng là độ đo xác suất thì Z(ω) = P. Z(ω) được xác định duy nhất hầu chắc chắn.

Nhận xét 2.5. Nếu Q (cid:28) P và Z(ω) = dQ dP thỏa mãn P(Z > 0) = 1 thì P ∼ Q.

2.3.2. Định lí Girsanov

F W t

Cho (cid:0)Ω, F , (Ft )0≤t≤T , P(cid:1) là một không gian xác suất có lọc, trong đó Ft = là lọc tự nhiên sinh bởi quá trình chuyển động Brown tiêu chuẩn (Wt )0≤t≤T . Định lí Girsanov cung cấp cho chúng ta một phương tiện để thực hiện một phép biến đổi độ đo xác suất, từ một độ đo P đã cho sang một độ đo mới Q (tương đương với P) sao cho dưới độ đo mới này thì một quá trình nào đó sẽ trở thành một mac-tin-gan.

Điều đó có lợi gì? Trong Toán học tài chính, điều đó cho phép ta tìm ra được một độ đo xác suất rủi ro trung tính Q (còn gọi là độ đo mac-tin-gan) biến đổi một quá trình tài sản Xt không phải mac-tin-gan theo xác suất P trở thành một quá trình ˆXt là mac-tin-gan theo xác suất Q. Vì là Q - mac-tin-gan rồi nên ˆXt sẽ được tính dễ dàng hơn, từ đó suy ra X.

(cid:90) T

(cid:20) (cid:19)(cid:21) E exp < ∞. θ 2 t dt Định lí 2.6. Giả sử (Wt )t≥0 là một P - chuyển động Brown tương thích với bộ lọc tự nhiên (Ft )t≥0 và (θt )t≥0 là một quá trình Ft - tương thích thỏa mãn (cid:18) 1 2

(cid:90) t

Định nghĩa (cid:18) (cid:19) − θ 2ds Lt = exp θsdWs − 1 2

(cid:90)

và gọi Q là độ đo xác suất được định nghĩa bởi

Q (A) = Lt (ω)P(dω), ∀A ∈ Ft .

(cid:90) t

Khi đó, dưới độ đo xác suất Q, quá trình (cid:0) ˆWt (cid:1) 0≤t≤T được định nghĩa bởi

θsds ˆWt = Wt +

là một chuyển động Brown chuẩn.

(cid:1) - mac-tin-gan:

(cid:90) t

Chứng minh. (cid:63) Trước hết, ta chứng minh (Lt )t≥0 là một (cid:0)P, (Ft )t≥0 Đặt

Yt = − θsdWs − θ 2 s ds. 1 2

Khi đó,

dYt = −θt dWt − θ 2 t dt. 1 2

(cid:90) t

Ta áp dụng công thức Itô cho hàm số f (x) = ex. Lưu ý rằng biến phân bậc hai của Y là

0 Hơn nữa, f (cid:48)(x) = ex, f (cid:48)(cid:48)(x) = ex. Do đó

(cid:90) t

(cid:104)Y (cid:105)t = (−θs)2 ds.

(cid:90) t

eYs d(cid:104)Y (cid:105)s Lt = eYt = eY0 + eYt dYs +

0 (cid:90) t

= 1 + Ls (θs)2 ds Ls(−θs)dWs − 1 2 0 (cid:90) t 1 Ls (θs)2 ds + 2 1 2

= 1 − LsθsdWs.

Vì tích phân ngẫu nhiên ứng với một chuyển động Brown là mac-tin-gan nên Lt là một mac-tin-gan. Ta quan sát thấy L0 = 1. (cid:63) Kiểm tra độ đo Q được định nghĩa tốt: Ta có

Q (A) = E [Lt |A] , ∀A ∈ Ft .

Nếu A ∈ Fs ⊂ Ft thì

E [Lt |A] = E [Ls|A]

bởi vì Lt là một mac-tin-gan. Hơn nữa,

Q (Ω) = E [Lt |Ω] = ELt = EL0 = 1

vì Lt là một mac-tin-gan.

Vậy Q là một độ đo xác suất xác định trên (Ω, F ). Hơn nữa, với định nghĩa độ đo Q, ta thấy Q chính là đạo hàm Radon - Nikodym

của P với mật độ là Lt :

= Lt . dQ dP

(cid:90) t

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)Ft Theo định lí Radon - Nikodym, Q (cid:28) P. Vì Lt > 0 ∀t ≥ 0 nên P(Lt > 0) = 1. Do đó Q ∼ P. (cid:63) Chứng minh ˆWt là mac-tin-gan dưới độ đo xác suất Q: Theo chứng minh trên, ta có

θrLrdWr. Lt = 1 −

(cid:90) t

Do đó

(cid:104)W, L(cid:105)t = − θrLrdr.

Vì Q(A) = EP [Lt |A] nên ta có

EQ [Wt |A] = EP [LtWt |A] .

Bằng cách sử dụng công thức tích phân từng phần ta có

0 LrdWr và (cid:82) t

(cid:21) (cid:21) (cid:20) (cid:90) t (cid:20) (cid:90) t A A + EP EP [LtWt |A] = EP + EP [(cid:104)W, M(cid:105)t |A] . LrdWr WrdLr (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Vì (cid:82) t 0 WrdLr là các tích phân ngẫu nhiên của các mac-tin-gan nên bản thân chúng cũng là các mac-tin-gan. Vì vậy, vế phải đẳng thức trên tương đương với

(cid:21) (cid:21) (cid:20) (cid:90) s (cid:20) (cid:90) s EP A A + EP + EP [(cid:104)W, M(cid:105)t |A] . WrdLr LrdWr (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Sử dụng công thức Itô tích một lần nữa, ta được

EP [LsWs|A] + EP [ (cid:104)W, L(cid:105)t − (cid:104)W, L(cid:105)s| A] = EQ [Ws|A] + EP [ (cid:104)W, L(cid:105)t − (cid:104)W, L(cid:105)s| A]

Mà (cid:21) (cid:20) (cid:90) t A EP [ (cid:104)W, L(cid:105)t − (cid:104)W, L(cid:105)s| A] = EP d(cid:104)W, L(cid:105)r

(cid:90) t

s (cid:90) t

s (cid:20) (cid:90) t

(cid:21) (cid:21) (cid:20) (cid:20) A A = EP − = EP − Lrθrdr EP [Lt |Fr] θrdr (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:21) (cid:21) (cid:20) (cid:20) A A = EQ − = EP − θrdr Lt θrdr (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:21) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:21) (cid:20) (cid:90) s A A + EQ = −EQ θrdr θrdr (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:90) s

(cid:90) t

0 0 Điều này chứng tỏ ˆWt là một mac-tin-gan theo độ đo Q.

Do đó, (cid:21) (cid:21) (cid:20) (cid:20) EQ A A . = EQ Ws + θrdr Wt + θrdr (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:1)2 − t cũng là mac-tin-gan theo độ đo Q. Sử dụng định lí Lévy, ta Tương tự, (cid:0) ˆWt

(cid:90) T

0 được gọi là điều kiện Novikov, là đủ để đảm bảo rằng (Lt )t≥0 là một P - mac-tin-gan tương thích với lọc (Ft )t≥0. 2. Nếu ta tính kỳ vọng tương ứng với độ đo Q thì ta có

được ˆWt là một chuyển động Brown. Lưu ý. 1. Điều kiện (cid:20) (cid:19)(cid:21) E exp < ∞, θ 2 t dt (cid:18) 1 2

EQ [φt ] = E [φt Lt ] .

Một cách tổng quát, (cid:20) (cid:21) . φt EQ [φt |Fs] = EP Fs (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Lt Ls

Đây là một vấn đề nền tảng trong định giá Quyền Chọn.

2.4. Định lí biểu diễn Mac-tin-gan

Trong mục này ta sẽ chứng minh rằng mọi biến ngẫu nhiên Ft - đo được đều có thể viết dưới dạng một tích phân ngẫu nhiên của chuyển động Brown. Trong mục tiếp theo, ta sẽ sử dụng điều này để chứng minh rằng dưới mô hình của chuyển động Brown hình học thì thị trường là đầy đủ.

(cid:90)

Ta gọi Ft là σ - đại số sinh bởi chuyển động Brown Ws, s ≤ t. Từ (2.4) ta thấy rằng Ft cũng là σ - đại số sinh bởi Ss, s ≤ t. Ta muốn chứng minh rằng nếu V là Ft - đo được thì tồn tại Hs tương thích thỏa mãn

(2.9) HsdWs, V = V0 +

trong đó V0 là một hằng số. Mục đích của chúng ta là chứng minh:

s ds < ∞ sao cho

0 H2

(cid:90) t

Định lí 2.7. Nếu V là Ft - đo được và EV 2 < ∞, thì tồn tại một hằng số c và một quá trình tương thích Hs với E (cid:82) t

V = c + HsdWs.

(cid:90) t

Trước khi chứng minh định lí này, ta lí giải một chút vì sao gọi là định lí biểu diễn mac-tin-gan. Giả sử Ms là một mac-tin-gan tương thích với Fs, trong đó Fs là σ - đại số sinh bởi một chuyển động Brown. Ta cũng giả sử rằng EM2 t < ∞. Đặt V = Mt . Sử dụng định lí (2.7), ta có thể viết

HsdWs. Mt = V = c +

Tích phân ngẫu nhiên là một mac-tin-gan, vì thế với r ≤ t,

(cid:90) r

(cid:21) (cid:20)(cid:90) t = c + HsdWs. Mr = E [Mt |Ft ] = c + E HsdWs |Fr

Ta đã biết các tích phân ngẫu nhiên ứng với chuyển động Brown là các mac-tin-gan. Định lí này cho ta điều ngược lại: mọi mac-tin-gan đều có thể biểu diễn như một tích phân ngẫu nhiên. Lưu ý là ta cần có giả thiết EM2 t < ∞ và Ms là tương thích với σ - đại số của một chuyển động Brown.

t < ∞ có 0 HsdWs với một Hs tương thích. Nếu V là biến ngẫu nhiên

Ta cũng có thể chứng minh được rằng: nếu mọi mac-tin-gan có thể biểu diễn như một tích phân ngẫu nhiên thì mọi biến ngẫu nhiên V là Ft - đo được và EV 2 < ∞ cũng được biểu diễn như thế. Thật vậy: Giả sử rằng mọi mac-tin-gan Ms tương thích với Fs thỏa EM2 biểu diễn là Mr = c + (cid:82) r

(cid:90) r

Ft - đo được với EV 2 < ∞, đặt Mr = E [V |Fr ]. Theo tính chất của tích phân ngẫu nhiên ta có Mr là một mac-tin-gan. Do đó:

Mr = c + HsdWs

(cid:90) t

với hàm Hs tương thích. Áp dụng cho r = t,

V = E [V |Ft ] = Mt = c + HsdWs.

Để chứng minh định lí (2.7) ta cần một số mệnh đề sau:

(cid:90) t

Mệnh đề 2.3. Giả sử

s dWs, cn → c, E |V n −V |2 → 0, Hn

s )2 ds < ∞. Khi đó sẽ tồn tại

0 (Hn

V n = cn +

s ds < ∞ sao cho

0 H2

(cid:90) t

và với mỗi n quá trình Hn là tương thích với E (cid:82) t một hằng số c và một Hs tương thích với E (cid:82) t

Vt = c + HsdWs.

Mệnh đề này ý nói rằng nếu ta có thể biểu diễn được một dãy các biến ngẫu

nhiên Vn và Vn → V thì ta sẽ biểu diễn được V .

Chứng minh. Với các giả thiết đã cho, ta có

E |(V n − cn) − (V m − cm)|2 → 0

khi n, m → ∞. Do đó

s − Hm

s ) dWs

E (Hn → 0. (cid:12) 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:90) t (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:90) t

Từ các tính chất về tích phân ngẫu nhiên, điều này tương đương với

s |2 ds → 0.

s − Hm

s là dãy Cauchy trong không gian L2 (với chuẩn tương ứng là (cid:107).(cid:107)2 cho ). Theo lý thuyết độ đo, không gian L2 là đầy đủ. Do đó

s ds(cid:1)1/2

0 Y 2

E |Hn

(cid:90) t

Suy ra Hn bởi (cid:107)Y (cid:107)2 = (cid:0)E (cid:82) t tồn tại Hs sao cho

s − Hs|2 ds → 0.

s → Hs và điều này kéo theo Hs là tương thích. Dựa vào bổ đề Fatou, ta

E |Hn

s ds < +∞.

0 H2

Đặc biệt, Hn có E (cid:82) t

0 HsdWs. Khi đó,

(cid:90) t

Đặt Ut = (cid:82) t

s − Hs)2 ds → 0.

(Hn E |(V n − cn) −Ut |2 = E

Do đó Ut = V − c và U có dạng như mong muốn.

Gọi R là tập hợp các biến ngẫu nhiên có thể biểu diễn như tích phân ngẫu nhiên.

(cid:90) t

Nghĩa là

0 (cid:90) t

R = {V : EV 2 < ∞,V là Ft − đo được ,V = c + HsdWs

s ds < ∞}.

H2 với mọi H tương thích thỏa E

Tiếp theo ta sẽ chứng minh R chứa một tập hợp các biến ngẫu nhiên đặc biệt.

Mệnh đề 2.4. Nếu g là hàm bị chặn thì biến ngẫu nhiên g (Wt ) thuộc tập R.

(cid:90) t

Tổng quát hơn, ta có kết quả: nếu f là hàm bị chặn thì

f (Wt −Ws) = c + HrdWr

với c là hằng số và Hr là một quá trình tương thích.

(cid:90) t

Chứng minh. Sử dụng công thức Itô với Xs = −iuWs + u2s/2 và f (x) = ex, ta được

(cid:90) t

eXs(−iu)2ds eXt = 1 + eXs (cid:0)u2/2(cid:1) ds + eXs(−iu)dWs + 1 2

= 1 − iu eXs dWs.

(cid:90) t

Nhân cả hai vế cho e−u2t/2, đó là một hằng số và do đó tương thích, ta được

s dWs

Hu (2.10) e−iuWt = cu +

u là hàm dưới dấu tích phân.

(cid:82) ∞ −∞ e−iux ˆf (u)du.

trong đó cu = e−u2t/2 là một hằng số thích hợp và Hs

Nếu f là một hàm trơn (chẳng hạn thuộc C∞ với giá compắc), thì ta có thể lấy biến đổi Fourier ˆf của f . Có nhiều dạng công thức biến đổi Fourier, ở đây ta sử dụng ˆf (u) = (cid:82) ∞ −∞ eiux f (x)dx và biến đổi Fourier ngược để tìm f theo công thức f (x) = 1 2π Vì thế, nếu ta nhân 2 vế (2.10) cho ˆf (u) và lấy tích phân theo biến u với u từ

(cid:90) t

−∞ đến ∞, ta được

(2.11) f (Wt ) = c + HsdWs

trong đó c là hằng số và hàm dưới dấu tích phân Hs tương thích.

Ta có kết quả: tất cả các hàm bị chặn đều có thể xấp xỉ bởi một dãy các hàm trơn. Do đó, ta có thể xấp xỉ g bởi một dãy các hàm fn thỏa mãn (2.11). Sử dụng mệnh đề (2.3) , lấy giới hạn và đạt được mệnh đề cần chứng minh.

Mệnh đề 2.5. Nếu t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn ≤ t và f1, ..., fn là các hàm bị chặn thì

(cid:1) f1 (cid:0)Wt1 −Wt0 (cid:1) f2 (Wt2 −Wt1) ... fn (cid:0)Wtn −Wtn−1

thuộc vào tập R.

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp. Trước hết ta chứng minh mệnh đề đúng với n = 2. Giả sử

V = f (Wt ) g (Wu −Wt ) .

(cid:90) u

(cid:90) t

Từ mệnh đề (2.4) ta có

f (Wt ) = c + HsdWs, g (Wu −Wt ) = d + KsdWs.

(cid:90) s

¯KrdWr. Khi đó Đặt ¯Hr = Hr nếu r ≤ s < t và bằng 0 trong trường hợp còn lại. Đặt ¯Kr = Kr nếu s ≤ r < t và bằng 0 trong trường hợp còn lại. Đặt Xs = c + (cid:82) t 0 ¯HrdWr và Ys = d + (cid:82) s 0

(cid:104)X,Y (cid:105)s = ¯Hr ¯Krdr = 0.

(cid:90) s

Khi đó sử dụng công thức Itô tích phân từng phần ta được

(cid:90) s

YrdXr + (cid:104)X,Y (cid:105)s XrdYr + XsYs = X0Y0 +

0 [Xr ¯Kr +Yr ¯Hr] dWr.

= cd +

Cho s = u ta sẽ có điều cần chứng minh. Lưu ý rằng Xr ¯Kr + Yr ¯Hr = 0 nếu r > u. Đây là bước cần thiết để thực hiện bước quy nạp tổng quát.

(cid:1) ∈ R. h (Wt ) = f1 Giả sử mệnh đề đúng với n = k, nghĩa là ta có (cid:0)Wt1 −Wt0 (cid:1) f2 (Wt2 −Wt1) ... fn (cid:0)Wtk −Wtk−1

Tương tự chứng minh trường hợp n = 2, ta được

(cid:1) ∈ R. V = h (Wt ) . f (cid:0)Wtk+1 −Wtk

Mệnh đề được chứng minh.

Chứng minh định lí (2.7). Ta vừa chứng minh được các biến ngẫu nhiên dạng

(cid:1) (2.12) f1 (cid:0)Wt1 −Wt0 (cid:1) f2 (Wt2 −Wt1) ... fn (cid:0)Wtn −Wtn−1

thuộc vào tập R. Rõ ràng là nếu Vi ∈ R với i = 1, 2, ..., m và ai là các hằng số, thì a1V1 + ... + amVm cũng thuộc vào R.

Theo lý thuyết độ đo, ta biết rằng nếu EV 2 < ∞ và V là Ft đo được thì ta có thể tìm một dãy Vk sao cho E|Vk −V |2 → 0 và mỗi Vk là một tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên có dạng (2.12). Áp dụng mệnh đề (2.3) ta có điều cần chứng minh. (cid:3)

2.5. Sự đầy đủ

Trong mục này ta sẽ chứng minh thị trường tài chính cơ bản đang xét là đầy đủ. Nghĩa là, mọi quyền tài chính X đều tồn tại một phương án đầu tư đáp ứng cho nó.

Bổ đề 2.1. Tồn tại một độ đo xác suất Q, tương đương với P, dưới độ đo đó quá (cid:1) trình giá chứng khoán đã chiết khấu (cid:0) ˆSt t≥0 là một mac-tin-gan. Hơn nữa, đạo hàm Radon - Nikodym của Q đối với P được cho bởi

(cid:18) (cid:19) = exp θ 2t θWt − Lt = dQ dP 1 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)Ft

trong đó θ = (µ − r)/σ .

Chứng minh. Ta có

dSt = µSt dt + σ St dWt

Do đó

d ˆSt = e−rt dSt − re−rt St dt

= e−rt σ St dWt + e−rt µSt dt − re−rt St dt = σ ˆSt dWt + (µ − r) ˆSt dt.

Đặt ˆWt = Wt + (µ − r)t/σ , ta được

(2.13) d ˆSt = ˆSt σ d ˆWt .

Áp dụng định lí Girsanov, với θ = (µ − r)/σ là một hằng số, tồn tại một độ đo xác suất Q tương đương với P có mật độ là

(cid:18) (cid:19) = exp θ 2t θWt − Lt = dQ dP 1 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)Ft

và dưới độ đo Q, (cid:0) ˆWt

t≥0. Do đó, theo tính chất của tích phân ngẫu nhiên, (cid:0) ˆSt (cid:1)

(cid:1) t≥0 là một chuyển động Brown tiêu chuẩn. Từ (2.13) suy ra ˆSt là một tích phân ngẫu nhiên theo chuyển động Brown tiêu (cid:1) t≥0 là một mac- chuẩn (cid:0) ˆWt tin-gan. Hơn nữa,

ˆSt = ˆS0 exp (cid:0)σ ˆWt − σ 2t/2(cid:1) .

EQ (cid:3) < ∞, Định lí 2.8. Gọi Q là độ đo được cho bởi bổ đề (2.1). Giả sử rằng một quyền tài chính tại thời điểm T được cho bởi một biến ngẫu nhiên không âm CT ∈ FT . Nếu (cid:2)C2 T

thì quyền tài chính là đạt được và giá trị tại thời điểm t của một phương án đầu tư đáp ứng bất kỳ được cho bởi

(cid:104) (cid:105) . Vt = EQ e−r(T −t)CT Ft (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Đặc biệt, giá hợp lí của quyền tài chính tại thời điểm 0 là

(cid:3) = EQ (cid:3) . (cid:2)e−rTCT (cid:2) ˆCT V0 = EQ

(cid:90) T

Chứng minh. Giả sử ta có thể tìm được một quá trình tương thích (φt )0≤t≤T sao cho giá của quyền tài chính đã chiết khấu thỏa mãn

t đơn vị trái phiếu tại thời điểm t, với φ 0

φud ˆSu. ˆCT = e−rTCT = φ0 +

(cid:90) t

Khi đó ta có thể đáp ứng quyền tài chính bởi một phương án đầu tư (x, Φ) trong đó ta nắm giữ φt đơn vị cổ phiếu và φ 0 t được chọn sao cho

t e−rt = φ0 +

(2.14) φud ˆSu. ˆVt (Φ) = φt ˆSt + φ 0

Sử dụng mệnh đề (2.2), phương án đầu tư là tự điều chỉnh tài chính. Sử dụng tính chất mac-tin-gan của tích phân ngẫu nhiên, ta được

(cid:90) T

(cid:20) (cid:21) = EQ (cid:3) = EQ (cid:3) . φud ˆSu (cid:2) ˆCT (cid:2) e−rTCT Ft ˆVt (Φ) = EQ φ0 + (cid:12) (cid:12) Ft (cid:12) (cid:12) Ft (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Suy ra (cid:105) (cid:104) . Vt (Φ) = EQ e−r(T −t)CT Ft (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Giá trên là duy nhất. Thật vậy, giả sử ta có một phương án đầu tư đáp ứng khác, (cid:0) ˆΦ(cid:1) = CT . Vì nó là phương án đầu tư tự điều chỉnh nên theo mệnh (cid:0)x, ˆΦ(cid:1), thỏa VT

đề (2.2), nó phải thỏa đẳng thức (2.14). Lặp lại lập luận giống như trên ta sẽ có cùng một giá trị của quyền tài chính cho bất kỳ một phương án đầu tư tự điều chỉnh.

(cid:90) T

Để hoàn thành chứng minh, ta cần chỉ ra tồn tại một quá trình tương thích (θt )t≥0 sao cho

θud ˆSu. ˆCT = φ0 +

Đặt

(cid:3) . Mt = EQ (cid:2) e−rTCT (cid:12) (cid:12) Ft

Ta có

EQ (cid:3) = EQ (cid:3)(cid:3) = EQ (cid:3) < ∞ (cid:2)E2 Q (cid:2) e−rTCT (cid:12) (cid:12) Ft (cid:2)M2 t (cid:2)e−2rTC2 T

vì CT là bình phương khả tích. Hơn nữa, với mọi s < t ta có:

(cid:3)

(cid:2)EQ (cid:2) e−rTCT (cid:3)(cid:12) (cid:12) (cid:12) Fs (cid:12) Ft (cid:3) ( vì Fs ⊂ Ft ) (cid:2) e−rTCT (cid:12) (cid:12) Fs

EQ [Mt |Fs] = EQ = EQ = Ms.

Vậy Mt là một mac-tin-gan bình phương khả tích dưới độ đo Q.

(cid:90) t

Với định nghĩa quá trình ˆWt như trong bổ đề (2.1) thì bộ lọc tự nhiên sinh bởi chuyển động Brown Wt cũng chính là bộ lọc tự nhiên sinh bởi ˆWt . Áp dụng định lí biểu diễn mac-tin-gan, tồn tại một quá trình (θt )0≤t≤T tương thích với bộ lọc (Ft )0≤t≤T và hằng số c sao cho

Mt = c + θsd ˆWs.

(cid:90) t

Cho t = 0 ta có M0 = c. Vậy,

θsd ˆWs. Mt = M0 +

Vì d ˆSs = σ ˆSsd ˆWs, ta đặt

t = Mt − φt ˆSt .

và φ 0 φt = θt σ ˆSt

t , φt

Điều kiện (2.6) của định nghĩa (2.2) dễ dàng được thỏa mãn. Vậy, phương án đầu tư (x, Φ) với Φ = (cid:0)φ 0 (cid:1) 0≤t≤T là phương án đầu tư đáp ứng cho quyền tài chính.

Nhận xét 2.9.

1. Định lí đã chứng minh được với bất kỳ một quyền tài chính trong mô hình đang xét đều tồn tại một phương án đầu tư đáp ứng cho nó. Do đó, thị trường đang xét là đầy đủ. 2. Ba bước để đáp ứng bảo hộ cho một quyền tài chính là:

- Tìm một độ đo Q mà dưới nó quá trình giá cổ phiếu đã chiết khấu(cid:0) ˆSt (cid:1) t≥0 là một mac-tin-gan.

(cid:3). - Thiết lập quá trình Mt = EQ (cid:2) e−rTCT (cid:12) (cid:12) Ft

- Tìm một quá trình tương thích (θt )t≥0 sao cho dMt = φt d ˆSt .

0 , φ0

t , φt

T , φT

3. Định lí đã cho ta công thức tính giá quyền tài chính tại thời điểm hiện tại và một phương án đầu tư đáp ứng cho quyền tài chính đó. Do vậy, ta có thể sử dụng quyền chọn như một công cụ để kinh doanh tạo lợi nhuận:

t , −φt

- Giả sử tại thời điểm hiện tại, giá của quyền tài chính là U0 cao hơn V0. Khi đó, thay vì mua quyền chọn ta sẽ mua một danh mục đầu tư (cid:0)φ 0 (cid:1) như trong định lí (2.8). Khi đó ta sẽ có một khoản tiền lời là U0 −V0. Tiếp theo, trong suốt khoảng thời gian [0, T ], ta thực hiện quá trình đầu tư (cid:0)φ 0 (cid:1) 0≤t≤T và do đó, theo định lí trên, giá trị của danh mục đầu tư (cid:0)φ 0 (cid:1) tại thời điểm đáo hạn T sẽ là VT = CT , đó là giá trị của quyền chọn tại thời điểm đáo hạn. Vậy, ta có thể thu được lợi nhuận mà không cần phải mua quyền chọn.

- Ngược lại, nếu giá U0 của quyền tài chính thấp hơn V0 thì bất cứ người nào (cid:1), có giá trị là V0, đều có thể bán nó đang sở hữu một danh mục đầu tư là (cid:0)φ 0 0 , φ0 đi và mua một quyền chọn với giá U0. Khi đó ta sẽ được một khoản là V0 − U0 bỏ vào tài khoản. Trong suốt thời gian quyền chọn còn hiệu lực, ta thực hiện theo danh (cid:1) mục đầu tư (cid:0)−φ 0 0≤t≤T , dấu "−" thể hiện cho việc "bán". Đến thời điểm đáo hạn T , giá trị của quá trình đầu tư đó sẽ là −VT . Do đó, giá trị của quyền chọn tại thời điểm đáo hạn đủ để đáp ứng phương án đầu tư trên. Vậy, V0 − U0 có được tại thời điểm 0 sẽ là khoản tiền lời mà không cần nắm giữ một cổ phiếu nào.

(cid:2)e−rTCT Đó là những tình huống có chênh lệch thị giá và là cơ hội kiếm lời của các nhà đầu tư. Trong thực tế, nếu giá quyền chọn thay đổi nhiều thì các nhà đầu tư hay các nhà kinh doanh chênh lệch giá sẽ điều khiển cho nó trở lại ổn định. 4. Trong trường hợp tổng quát, ta có thể hoặc không thể tính được một cách rõ ràng (cid:3), vì giá trị CT còn phụ thuộc vào toàn bộ quá trình diễn giá trị kỳ vọng EQ biến lịch sử của giá chứng khoán.

2.6. Công thức Black-Scholes định giá và bảo hộ quyền

chọn kiểu Châu Âu

Trong mục này ta xét một quyền tài chính đặc biệt là quyền chọn kiểu Châu Âu. Lợi nhuận của quyền chọn phụ thuộc vào giá của chứng khoán tại thời điểm đáo hạn. Chúng ta có thể đưa ra được biểu thức tính rõ ràng cho giá của quyền chọn và phương án đầu tư đáp ứng.

(cid:90) ∞

Mệnh đề 2.6. Giá trị tại thời điểm t của một quyền chọn Châu Âu có lợi nhuận tại thời điểm đáo hạn CT = f (ST ) là Vt = F (t, St ), trong đó

−∞

√ T − t(cid:1)(cid:1)× dy. F(t, x) = e−r(T −t) f (cid:0)x exp (cid:0)(cid:0)r − σ 2/2(cid:1) (T − t) + σ y exp (cid:0)−y2/2(cid:1) √ 2π

Chứng minh. Từ định lí (2.8) ta biết giá trị tại thời điểm t là

(cid:104) (cid:105) , (2.15) Vt = EQ Ft (cid:12) e−r(T −t) f (ST ) (cid:12) (cid:12)

trong đó Q là độ đo mac-tin-gan có được từ bổ đề (2.1). Dưới độ đo này,

ˆWt = Wt + (µ − r)t/σ

là một chuyển động Brown và

d ˆSt = σ ˆSt d ˆWt .

Nghiệm của phương trình này là

(cid:19) (cid:1) − . σ 2(T − t) ˆST = ˆSt exp (cid:18) σ (cid:0) ˆWT − ˆWt 1 2

Thế vào trong (2.15) ta được

(cid:18) (cid:21) (cid:20) e−r(T −t) f (cid:1) − . σ 2(T − t) Vt = EQ St er(T −t) exp (cid:18) σ (cid:0) ˆWT − ˆWt Ft 1 2 (cid:19)(cid:19)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Vì dưới độ đo Q, dưới điều kiện Ft , ˆWT − ˆWt là một biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với giá trị trung bình bằng 0 và phương sai là (T − t). Do đó

−∞

(cid:18) (cid:18) (cid:19)(cid:19) Vt = F (t, St ) (cid:90) ∞ e−r(T −t) f × = σ z − σ 2(T − t) St er(T −t) exp 1 2

(cid:18) (cid:19) dz × − exp

−∞ (cid:18)

(cid:18) z2 2(T − t) (cid:18)(cid:18) (cid:19) (cid:19)(cid:19) 1 (cid:112)2π(T − t) (cid:90) ∞ √ f = e−r(T −t) r − T − t × σ 2 (T − t) + σ y St exp 1 2

(cid:19) − dy. × exp y2 2 1 √ 2π

Mệnh đề được chứng minh.

2.6.1. Định giá quyền chọn mua và bán

a. Giá quyền chọn mua

Đối với quyền chọn mua kiểu Châu Âu có giá trị đáo hạn K, ta có f (ST ) =

(ST − K)+. Đặt θ = T − t. Khi đó: Hệ quả 2.1. Giá trị của quyền mua kiểu Châu Âu tại thời điểm t là

(2.16) Vt = St N (d1) − Ke−rθ N (d2)

y (cid:90)

trong đó N(.) là kí hiệu cho hàm phân phối chuẩn

2 du

−∞

e− u2 N (y) = (2.17) 1 √ 2π

và d1, d2 là hai giá trị cho bởi

(cid:20) (cid:18) (cid:19) (cid:21) 1 √ + r + (2.18) θ d1 = St K σ 2 2 ln √ (2.19) θ . θ σ d2 = d1 − σ

√

θ Z−σ 2θ /2 − Ke−rθ (cid:17)+(cid:21)

Chứng minh. Thay f và x vào trong công thức đã chứng minh ở mệnh đề (2.6) ta có (cid:20)(cid:16) , (2.20) F(t, St ) = E St eσ

trong đó Z ∼ N(0, 1). Ta có:

√ θ Z−σ 2θ /2 > Ke−rθ ⇔ Z >

√

(cid:19) (cid:20) (cid:21) 1 √ + . ln θ − rθ St eσ σ 2 2 (cid:18) K St σ θ

√

(cid:90) ∞

(cid:104)(cid:16) Do đó tích phân trong (2.20) là khác 0 khi Z + d2 ≥ 0. Vì vậy: (cid:105) F(t, St ) = E St eσ

√

−d2 (cid:90) d2

√ dy = (cid:16) St eσ

−∞

θ Z−σ 2θ /2 − Ke−rθ (cid:17) 1Z+d2≥0 θ y−σ 2θ /2 − Ke−rθ (cid:17) e−y2/2 2π θ y−σ 2θ /2 − Ke−rθ (cid:17) e−y2/2 2π

√

(cid:90) d2

√ dy = (cid:16) St e−σ

−∞

θ y−σ 2θ /2 e−y2/2 2π

√ e−σ = St dy − Ke−rθ N (d2) .

√ Thay z = y + σ θ trong tích phân ở dòng cuối ta được

Vt = F(t, St ) = St N(d1) − Ke−rθ N(d2).

b. Giá của quyền chọn bán

Đối với quyền chọn bán kiểu Châu Âu có giá trị đáo hạn K, ta có f (ST ) =

(K − ST )+. Đặt θ = T − t. Khi đó:

Hệ quả 2.2. Giá trị của quyền bán kiểu Châu Âu tại thời điểm t là

(2.21) Vt = Ke−rθ N (−d2) − St N (−d1)

y (cid:90)

2 du

trong đó Φ(.) là kí hiệu cho hàm phân phối chuẩn

−∞

e− u2 N (y) = (2.22) 1 √ 2π

và d1, d2 là hai giá trị cho bởi

(cid:20) (cid:18) (cid:19) (cid:21) 1 √ + r + (2.23) θ d1 = St K σ 2 2 ln √ (2.24) θ . θ σ d2 = d1 − σ

√

Chứng minh. Tương tự chứng minh công thức định giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu, áp dụng mệnh đề (2.6) ta có

θ Z−σ 2θ /2(cid:17)+(cid:21)

(cid:20)(cid:16) , (2.25) Ke−rθ − St eσ F(t, St ) = E

trong đó Z ∼ N(0, 1). Ta có:

√ θ Z−σ 2θ /2 ⇔ Z <

(cid:20) (cid:19) (cid:21) 1 √ + . ln θ − rθ Ke−rθ > St eσ σ 2 2 (cid:18) K St σ θ

Do đó tích phân trong (2.25) là khác 0 khi Z + d2 ≤ 0. Vì vậy:

√ θ Z−σ 2θ /2(cid:17)

Z+d2≤0

√

(cid:90) −d2

(cid:21) (cid:20)(cid:16) F(t, St ) = E Ke−rθ − St eσ

−∞

√

(cid:90) −d2

√ dy = (cid:16) Ke−rθ − St eσ

−∞

θ y−σ 2θ /2(cid:17) e−y2/2 2π θ y−σ 2θ /2 e−y2/2 2π

√ e−σ dy. = Ke−rθ N (−d2) − St

√ θ trong tích phân ở dòng cuối ta được Thay z = y + σ

Vt = F(t, St ) = St N(d1) − Ke−rθ N(d2).

2.6.2. Bảo hộ quyền chọn mua và bán

Trước hết ta sẽ đưa ra một phương án đầu tư đáp ứng cho một quyền chọn kiểu

Châu Âu.

Mệnh đề 2.7. Đối với quyền chọn kiểu Châu Âu, quá trình (φt )0≤t≤T để xác định số cổ phiếu nắm giữ trong phương án đầu tư ở định lí (2.8) được cho bởi

. φt = ∂ F ∂ x (cid:12) (cid:12) (t, x) (cid:12) (cid:12)x=St

Ở đây, F(t, x) là hàm số được định nghĩa trong mệnh đề (2.6).

Chứng minh. Từ kết quả của định lí (2.8) ta có

ˆVt = e−rt F(t, St ).

Ta thấy hàm F thuộc lớp C∞ trên [0, T ] × R. Đặt

ˆF(t, x) = e−rt F (cid:0)t, xert (cid:1) (cid:1) . Theo công thức vi phân Itô ta có: ta có ˆVt = ˆF (cid:0)t, ˆSt

(cid:1) = (cid:1) + d ˆVt = d ˆF (cid:0)t, ˆSt (cid:0)t, ˆSt (cid:0)t, ˆSt (cid:1) d ˆSt + (cid:0)t, ˆSt (cid:1) d(cid:104) ˆS(cid:105)t , 1 2 ∂ ˆF ∂t ∂ ˆF ∂ x ∂ 2 ˆF ∂ x2

với

d ˆSt = ˆSt σ dWt

và

t dt.

(cid:104) ˆS(cid:105)t = σ ˆS2

(cid:90) t

Vì vậy:

(cid:1) + σ Kudu + ˆVt = ˆF (cid:0)t, ˆSt (cid:0)u, ˆSu (cid:1) ˆSudWu. (cid:1) = ˆF (cid:0)0, ˆS0 ∂ ˆF ∂ x

(cid:90) t

(cid:1) là một mac-tin-gan đối với Q nên quá trình Ku = 0 Q − h.c.c. Từ Vì ˆVt = ˆF (cid:0)t, ˆSt đó ta có:

0 (cid:90) t

(cid:1) + σ (cid:1) ˆSudWu (cid:0)u, ˆSu ˆF (cid:0)t, ˆSt (cid:1) = ˆF (cid:0)0, ˆS0

(cid:1) + ∂ ˆF ∂ x (cid:0)u, ˆSu (cid:1) d ˆSu. = ˆF (cid:0)0, ˆS0 ∂ ˆF ∂ x

Vì vậy, ta có thể xác định φt bởi:

(cid:1) = (2.26) (cid:0)t, ˆSt φt = (t, St ) ∂ F ∂ x

(2.27)

(cid:1) là tự điều chỉnh tài chính và đạt mục tiêu. ∂ ˆFt ∂ x t = ˆF (cid:0)t, ˆS(cid:1) − φt ˆSt . φ 0 Và chiến lược (x, Φ) với Φ = (cid:0)φ 0 t , φt

a. Bảo hộ cho quyền chọn mua:

Hệ quả 2.3. Sử dụng kí hiệu như trong hệ quả (2.1), đối với quyền chọn mua kiểu Châu Âu ta có

(t, x) = N (d1) . ∂ F ∂ x

Chứng minh. Theo hệ quả (2.1) ta có

√ (cid:20)(cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:17)+(cid:21) F(t, x) = E − K , x exp σ θ Z − σ 2θ /2

trong đó Z ∼ N(0, 1) và θ = T − t. Khi đó

(cid:90) ∞

√ (cid:16) (cid:17) (cid:105) (t, x) = E (cid:104) exp σ 1Z+d2≥0 ∂ F ∂ x θ Z − σ 2θ /2 √ (cid:16) (cid:17) 2 √ = dy. exp θ y − σ 2θ /2 − y2/2 σ 2π

√ Trước tiên thay u = −y và sau đó thay z = u + σ θ và rút gọn ta được

(t, x) = N(d1). ∂ F ∂ x

b. Bảo hộ cho quyền chọn bán:

Hệ quả 2.4. Sử dụng lí hiệu như trong hệ quả (2.2), đối với quyền chọn bán kiểu Châu Âu ta có

(t, x) = −N (−d1) . ∂ F ∂ x

Chứng minh. Tương tự hệ quả (2.3).

Nhận xét 2.10.

Đại lượng thường được gọi là "Đen-ta" của quyền lựa chọn. Tổng quát ∂ F ∂ x

hơn, nếu hàm giá trị tại thời điểm t của danh mục đầu tư là Π(t, St ) thì đại lượng ∂ Π (t, St ) đo độ nhạy của danh mục đầu tư trước sự thay đổi của giá chứng khoán ∂ x tại thời điểm t và đại lượng đó được gọi là "Đen-ta" của danh mục đầu tư. Người ta còn gọi "Ga-ma", "Tê-ta", "Vê-ga" lần lượt cho các đại lượng sau:

. , V = Γ = ∂ 2Π ∂ x2 , Θ = ∂ Π ∂t ∂ Π ∂ σ

2.6.3. Phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes

Giá của Quyền Chọn có thể xem như là nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng. Với cách này, ta có thể sử dụng các công cụ toán học hiện đại để dễ dàng tính toán xấp xỉ giá của Quyền Chọn trong thực tế.

a. Thiết lập phương trình

∂t (0, 0)t + 1

∂ S∂t (0, 0) St + 1

∂ 2V ∂ S2 (0, 0) S2 + ∂ 2V

∂ 2V ∂t2 (0, 0)t2+

Gọi V là giá của một QMKCA dựa trên chứng khoán S tại thời điểm t. Khi đó V là một hàm theo hai biến S,t và ta viết là V (S,t). Giả thiết V (S,t) khả vi đến một cấp nào đó. Ta sẽ xây dựng một phương trình đạo hàm riêng đối với V , gọi là phương trình Black – Scholes, qua 4 bước sau đây:

i. Khai triển chuỗi Taylor đối với hàm hai biến V (S,t): ∂ S (0, 0) S+ ∂V V (S,t) = V (0, 0)+ ∂V các số hạng bậc cao. Ta cũng có thể viết

dV = dS+ dt + dSdt + 1 2 1 2 ∂V ∂ S ∂V ∂t ∂ 2V ∂ S2 (dS)2 + ∂ 2V ∂ S∂t ∂ 2V ∂t2 (dt)2 +các số hạng bậc cao.

(2.28) ii. Thay thế dS bằng biểu thức của nó trong mô hình Black - Scholes và bỏ qua các số hạng bậc cao: Ta có dS = µSdt + σ SdW nên

(dS)2 = µ 2S2 (dt)2 + 2µσ S2dtdW + σ 2S2 (dW )2 , dSdt = (µSdt + σ SdW ) dt = µS (dt)2 + σ SdW dt.

√ dt ,

Ta biết rằng vi phân dW của chuyển động Brown có thể xấp xỉ bởi dW ≈ Z trong đó Z là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Φ(0, 1) , cho nên

dW dt ≈ Z (dt)3/2 , (dW )2 ≈ Z2dt.

Thay các giá trị trên vào phương trình (2.28) và lược bỏ các vi phân bậc cao, ta được

dV = dt + (µSdt + σ SdW ) + σ 2S2Z2 ∂ 2V 1 2 ∂V ∂t ∂ S2 dt ∂V ∂ S

hay (cid:19) dV = + dW. (2.29) dt + σ S µS + 1 2 (cid:18) ∂V ∂t ∂V ∂ S σ 2S2Z2 ∂ 2V ∂ S2 ∂V ∂ S

Ta cũng có thể thay thế Z2 bằng giá trị kỳ vọng của nó là E (cid:0)Z2(cid:1) = 1 , cho nên cuối cùng ta có thể viết

(cid:19) dV = + dW. (2.30) µS + dt + σ S 1 2 (cid:18) ∂V ∂t ∂V ∂ S σ 2S2 ∂ 2V ∂ S2 ∂V ∂ S

iii. Cân bằng V với giá của một phương án đầu tư tự tài trợ bảo hộ cho QMKCA:

Do thị trường là đầy đủ nên tồn tại phương án đầu tư tự tài trợ bảo hộ cho QMKCA. Gọi phương án đầu tư tự tài trợ này là (x, Φ) với Φ = (φ , ψ) gồm φ cổ phiếu và ψ trái phiếu. Ta có phương trình :

(2.31) V (St ,t) = φ St + ψBt với t ∈ [0, T ].

trong đó St là giá một cổ phiếu và Bt là giá một trái phiếu tại thời điểm t.

Ta đã biết giá cổ phiếu S thỏa mãn phương trình dS = µSdt + σ SdW . Còn giá trái phiếu B chỉ chịu ảnh hưởng của lãi suất không rủi ro r nên ta có thể giả thiết độ

tỉ lệ thuận với độ dài thời gian dt theo một hệ số tỉ lệ dB B

thay đổi tương đối về giá r . Nói cách khác, ta có dB = rBdt. Phương trình (2.31) trở thành

(2.32) dV = (µφ S + rψB) dt + σ φ SdW.

Cân bằng biểu thức của dV theo (2.29) và (2.31), ta được:

(S,t) φ (t) = ∂V ∂ S

và

+ (2.33) rψB = 1 2 ∂V ∂t σ 2S2 ∂ 2V ∂ S2 . Nhưng theo (2.30) thì

. (2.34) ψB = V − φ S = V − S. ∂V ∂ S (cid:18) (cid:19) V − S = + Thay (2.34) vào (2.33) ta được r σ 2S2 ∂ 2V 1 2 ∂V ∂ S ∂V ∂t ∂ S2 hay

+ − rV = 0. (2.35) σ 2S2 ∂ 2V 1 2 ∂ S2 + rS ∂V ∂ S

∂V ∂t Đó là phương trình đạo hàm riêng Black – Scholes.

iv. Tìm điều kiện biên cho phương trình Black - Scholes: Để tính được giá của một Quyền Chọn, chẳng hạn QMKCA thì phương trình (2.35) phải kết hợp với điều kiện biên sau:

Tại thời điểm đáo hạn T , nếu ST > K thì nhà đầu tư thực thi hợp đồng và thu về lợi nhuận là St − K ; nếu ST < K thì người giữ không thực thi hợp đồng vì thực thi sẽ bị lỗ. Do đó lợi nhuận của nhà đầu tư tại thời điểm đáo hạn là

(cid:26) ST − K nếu ST > K, (ST − K)+ = 0 nếu ST < K.

Vì vậy, giá quyền chọn mua tại thời điểm đáo hạn là

(2.36) V (S, T ) = (ST − K)+ .

b. Giải phương trình

Sau một số phép biến đổi sơ cấp, chúng ta có thể đưa phương trình Black- Scholes về phương trình truyền nhiệt. Cách giải chi tiết chúng tôi đã đề cập trong [1]. Trong tính toán kỹ thuật, ta đã có nhiều phương pháp khác nhau để giải gần đúng nghiệm của phương trình đạo hàm riêng nói chung và phương trình truyền nhiệt nói riêng. Do vậy, có thể nói đây là một hướng tư duy hiện đại mà Black-Scholes là người đầu tiên đề cập đến.

2.7. Định lí cơ bản trong toán tài chính

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu một định lí cơ bản trong lý thuyết định giá tài sản. Việc chứng minh định lí trong trường hợp tổng quát hơn cần nhiều công cụ toán học phức tạp nên chúng tôi không đề cập ở đây.

Định nghĩa 2.13. Cho không gian xác suất (Ω, F , Ft , P). Một quá trình ngẫu nhiên St được gọi là một nửa mac-tin-gan nếu nó có thể viết dưới dạng St = Mt + At , trong đó Mt là một mac-tin-gan liên tục phải và At là một quá trình tăng thích nghi với lọc Ft .

Định lí 2.11. Nếu St là một nửa mac-tin-gan liên tục và thị trường không có độ chênh thị giá thì tồn tại một độ đo mac-tin-gan tương đương Q.

Chứng minh. Giả sử ta có phân tích

St = Wt + f (t),

trong đó Wt là một mac-tin-gan liên tục phải và f (t) là một hàm liên tục tăng xác định. Để đạt được một độ đo mac-tin-gan tương đương ta đặt

(cid:90) t

(cid:27) (cid:26) ( f (cid:48)(s))2ds . − Mt = exp f (cid:48)(s)dWs − 1 2

(cid:90) t

Để Mt có nghĩa ta cần f khả vi. Một kết quả từ lý thuyết độ đo nói rằng nếu f không khả vi thì ta có thể tìm một tập con A của [0, ∞) sao cho (cid:82) t IA(s)ds = 0 nhưng tổng 0 giá trị tăng của f trên tập A là số dương(∗). Nghĩa là ta có

IA(s)d f (s) > 0,

(cid:90) t

trong đó tích phân theo nghĩa Riemann-Stieljes. Khi đó nếu ta giữ Hs = IA(s) cổ phiếu tại thời điểm s, lợi nhuận của chúng ta là

HsdSs = IA(s)dWs + IA(s)d f (s).

IA(s)dWs (cid:1)2 = (cid:82) t 0

Số hạng thứ 2 dương vì đây là tổng giá trị tăng của f trên tập A. Số hạng đầu tiên bằng 0, vì E (cid:0)(cid:82) t IA(s)2ds = 0. Vì thế lợi nhuận của chúng ta là 0 không ngẫu nhiên và dương, hoặc nói một cách khác ta có thể tạo ra một khoản lợi không rủi ro. Điều này mâu thuẫn với việc không có độ chênh thị giá.

(cid:90)

Vậy, Mt có nghĩa. Gọi Q là độ đo xác suất xác định bởi

Q(A) = Mt (ω)dP, ∀A ∈ Ft .

3 , 2 3

Áp dụng định lí Girsanov, ta có St là một mac-tin-gan dưới độ đo xác suất Q. Nói cách khác, Q là độ đo xác suất tương đương cần tìm.

Một ví dụ minh họa cho (*): Trước hết ta sử dụng tập Cantor: Đặt E1 = [0, 1], E2 là tập có được từ tập E1 bằng cách bỏ đi khoảng mở (cid:0) 1 (cid:1), chia mỗi đoạn trong E2 thành ba phần rồi bỏ đi khoảng chính giữa mỗi phần ta được E3 và tiếp tục như vậy. Tập hợp giao E = ∩∞ n=1En là tập Cantor và là tập đóng, khác rỗng, không đếm được và không chứa một khoảng nào. Ta có độ đo Lebesgue của tập E bằng 0.

2 trên đoạn (cid:2) 1

4 trên (cid:2) 1

4 trên (cid:2) 7

9 , 8 9

9 , 2 9

3 , 2 3

(cid:3), bằng 3

Ta thiết lập tập A = E. Gọi f là hàm Lebesgue-Cantor. Đây là hàm có giá trị bằng 0 trên (−∞, 0], bằng (cid:3) và định (cid:3), bằng 1 1 trên [1, ∞), bằng 1 nghĩa tương tự trên mỗi đoạn thành phần trong tập A. Như vậy ta có thể định nghĩa hàm f trên tập A sao cho nó liên tục tăng nhưng không khả vi và (cid:82) 1 IA(s)d f (s) = 1. 0 Vì vậy A và f là một ví dụ rõ ràng cho những gì ta đã đề cập ở (*).

PHỤ LỤC:

MỘT SỐ CÔNG CỤ TÍNH TOÁN TRONG TOÁN TÀI CHÍNH

A. Sử dụng maple trong tính toán Toán tài chính

Maple là một phần mềm khá quen thuộc đối với các nhà toán học và khoa học - kỹ thuật. Trong tài chính, nó hỗ trợ nhiều công cụ tính toán như: lập các hàm tài chính theo yêu cầu một cách linh hoạt, vẽ đồ thị và sử dụng một số thủ tục có sẵn. Đây là một công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc giảng dạy và nghiên cứu Toán tài chính. Ở đây, chúng tôi giới thiệu hai nội dung điển hình là hàm định giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu theo công thức Black-Scholes và cách sử dụng mô hình Black- Scholes có sẵn trong Maple.

A.1. Định giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu

Sử dụng gói thủ tục (package) finance bằng cách gọi lệnh:

> with(finance): Hàm blackscholes để định giá quyền chọn mua có cấu trúc như sau: blackscholes(S, K, r, n, σ ) Trong đó:

365 với T là số ngày đến thời

- S là giá cổ phiếu tại thời điểm tính. - K là giá thực thi của quyền chọn. - r là lãi suất không rủi ro. - n là số năm tính đến thời điểm đáo hạn ( n = T

điểm đáo hạn).

- σ là căn bậc hai của phương sai giá cổ phiếu.

√ 0.09) :

Ví dụ: Giả sử một quyền chọn có giá thực hiện là 49U (đơn vị tiền tệ) và còn 199 ngày là đến ngày đáo hạn. Giá cổ phiếu hiện tại là 50U. Giả sử phương sai của giá trái phiếu là 0.09 và lãi suất phi rủi ro là 7%/năm. Lệnh tính giá quyền chọn như sau: > B := blackscholes(50, 49, 0.07, 199 365 , > eval f (B) :

5.849179520.

Ở đây lệnh eval f (B) dùng để lấy giá trị của B. Như vậy, giá của quyền chọn thời điểm hiện tại là gần 5.85U.

Ta cũng có thể kiểm tra xem giá quyền chọn thay đổi như thế nào khi các tham

0.09)) : số khác thay đổi. Chẳng hạn, tăng giá cổ phiếu √ > eval f (blackscholes(50 + 1, 49, 0.07, 199 365 ,

6.511554996

√ 0.09)) : thì giá quyền chọn tăng. Tăng giá thực thi > eval f (blackscholes(50, 49 + 1, 0.07, 199 365 ,

5.326914003

√ 0.09)) : thì giá quyền chọn giảm. Tăng lãi suất không rủi ro > eval f (blackscholes(50, 49, 0.07 + 0.01, 199 365 ,

5.994210290

√ 0.09)) : thì giá quyền chọn tăng. Tăng thời gian đáo hạn > eval f (blackscholes(50, 49, 0.07, 199+1 365 ,

5.864587748

√ 0.09 + 0.01)) : thì giá quyền chọn tăng. Tăng độ biến động giá cổ phiếu > eval f (blackscholes(50, 49, 0.07, 199 365 ,

6.072347530

thì giá quyền chọn tăng.

0.09) :

Ta cũng có thể coi giá quyền chọn là một hàm của giá cổ phiếu. Khi đó ta có thể sử dụng chức năng giải phương trình hoặc vẽ đồ thị của maple để có được những minh họa trực quan hơn. Gán hàm f như sau: √ > f := x− > blackscholes(x, 49, 0.07, 199 365 , Muốn giá quyền chọn đạt mức 6.5 thì phải đợi giá cổ phiếu đạt mức: > solve( f (x) = 6.5, x);

50.98296423

Ta vẽ đồ thị liên hệ giữa giá cổ phiếu và giá quyền chọn khi giá cổ phiếu biến thiên từ 20 đến 100 như sau: > plot((cid:48) f (x)(cid:48), x = 20..80, labels = [‘giacophieu‘, ‘giaquyenchon‘])

A.2. Sử dụng mô hình Black-Scholes có sẵn trong maple

Bấm ctrl+F1 để vào maple help, sau đó vào thư mục Application and Example worksheet, chọn Black-Scholes model. Khi đó, ứng dụng mô hình Black-scholes sẽ hiện ra.

Trong ứng dụng này, ta có thể tính giá quyền chọn bằng ba phương pháp khác nhau. Phương pháp đầu tiên là đưa ra giá quyền chọn dựa trên công thức Black- Scholes, bạn chỉ cần điền đầy đủ 5 thông tin giống như phần A.1 vào các ô có sẵn và bấm nút Calculate Option price thì sẽ có ngay kết quả. Điểm hay là ta có thể minh họa được sự thay đổi của giá quyền chọn thông qua giá cổ phiếu và độ biến động. Phương pháp thứ hai là tính giá quyền chọn thông qua mô phỏng Monte Carlo dựa trên mô hình Black-Scholes để ước lượng giá cổ phiếu. Phương pháp thứ ba là giải phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes để tính giá quyền chọn. Điểm hay là chúng ta có được những hình ảnh minh họa sự biến động của giá quyền chọn thông qua sự biến động của giá cổ phiếu một cách rõ nét và sống động.

B. Sử dụng phần mềm "The Hoadley Finance Add-in for Excel"

Đây là một phần mềm tập trung khá đầy đủ các hàm định giá quyền chọn khác nhau và tính toán các phương án đầu tư bảo hộ cho các quyền chọn một cách chi tiết. Vì vậy nó rất hữu ích trong tính toán và kinh doanh. Tham khảo chi tiết trong http://www.hoaley.net/options.

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày được những vấn đề cơ bản nhất của việc định giá Quyền Chọn với thời gian liên tục trong mô hình tài chính đơn giản gồm hai tài sản cơ sở để đầu tư là một trái phiếu không rủi ro (hay một tài khoản ngân hàng) và một chứng khoán có rủi ro (cổ phiếu). Trong đó, luận văn đã đưa ra công thức định giá và phương án đầu tư bảo hộ cho một Quyền Chọn tổng quát. Bên cạnh đó, luận văn cũng đã chứng minh được thị trường tài chính đang xét là đầy đủ, giới thiệu được một định lí cơ bản trong mô hình tài chính này. Điều quan trọng là luận văn đã trình bày một cách hệ thống quá trình xây dựng các khái niệm và làm rõ các công cụ toán học cần thiết cho việc tìm hiểu nội dung chính là định giá Quyền Chọn. Việc hiểu rõ mô hình tài chính cơ bản này tạo nền tảng vững chắc cho việc nghiên cứu mở rộng lên những mô hình tài chính tổng quát hơn.

Ngày nay, vấn đề này được mở rộng khá nhiều khía cạnh để mô tả thực chất hơn thị trường trên thực tế. Chẳng hạn như vận dụng vào các bài toán định giá Quyền Chọn có tiêu dùng, Quyền Chọn trao đổi chứng khoán, Quyền Chọn chuyển đổi tiền tệ, mô hình lãi suất, mô hình trái phiếu, bài toán ngăn ngừa rủi ro và bảo hộ, sự mở rộng ra không gian nhiều chiều,... Hơn nữa, thị trường thực tế thường có chi phí giao dịch, không đầy đủ và diễn biến phức tạp do tác động của một số yếu tố mới. Do đó việc nghiên cứu không có điểm dừng và ngày càng phức tạp hơn.

Tài liệu tham khảo

[1] Đặng Thị Kiêm Hồng - Nguyễn Chí Long (2011), "Giải phương trình Black- Scholes bằng cách đưa về phương trình truyền nhiệt", Tập san hội thảo khoa học quốc tế về Giải tích và Toán ứng dụng, Trường Đại học Sài Gòn.

[2] Nguyễn Văn Hữu - Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp toán học

trong tài chính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

[3] Nguyễn Chí Long (2008), Xác suất thống kê và quá trình ngẫu nhiên, NXB

Đại học Quốc gia TP HCM.

[4] Nguyễn Chí Long (2010), “ Nguyên lý căn bản định giá tài sản trong thị trường Tài chính”, Tạp chí khoa học Trường Đại học Sư phạm Tp HCM, 21(55), tr. 38-51.

[5] Nguyễn Chí Long (2011), “ Bổ đề Farkas và ứng dụng trong thị trường tài chính”, Tạp chí khoa học Trường Đại học Sư phạm Tp HCM, 21(55), tr. 38- 51.

[6] Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn Toán học tài chính, NXB Khoa học Kỹ

thuật Hà Nội.

[7] Nguyễn Đặng Thiên Thư (2010), Phương trình vi phân ngẫu nhiên, Luận văn

tốt nghiệp đại học, Đại học Sư Phạm Qui Nhơn.

[8] A.W. van der Vaart (2005), Financial Stochastic, Wiley.

[9] Alison Etheridge (2002), A course in Financial Calculus, Cambridge univer-

sity press.

[10] Freddy Delbaen, Walter Schachermayer (1994), "A general version of the fun- damental theorem of asset pricing", Mathematlsche Annalen, 300, tr 463-520.

[11] Lawrence C. Evans (2003), An introduction to Stochastic Differential Equa-

tions, version 1.2, UC Berkeley.

[12] Richard F. Bass (2003), The basics of financial mathematics, University of

Connecticut, Spring.

[13] http://www.hoadley.net/options

[14] http://www.mat.univie.ac.at/ schachermayer/pubs/

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định giá quyền chọn trong Toán học tài chính

Đặng Thị Kiêm Hồng

ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN

TRONG TOÁN HỌC TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

Đặng Thị Kiêm Hồng

ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN

TRONG TOÁN HỌC TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

LỜI CẢM ƠN

Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU

Chương 1

Một số kiến thức về giải tích ngẫu nhiên

1.1. Không gian xác suất

1.1.1. Định nghĩa

1.1.2. Các khái niệm hội tụ

1.2. Quá trình ngẫu nhiên

1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên

1.2.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc

1.2.3. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ - đại số

1.2.4. Xác suất có điều kiện

1.2.5. Mac-tin-gan

1.2.6. Quá trình Wiener (chuyển động Brown)

1.3. Tích phân ngẫu nhiên Itô

1.3.1. Nhắc lại một số kiến thức Giải tích

1.3.2. Một số khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên

1.3.3. Tích phân ngẫu nhiên Ito

1.4. Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô

1.4.1. Vi phân Itô

1.4.2. Công thức Itô

1.4.3. Biến phân bậc hai của hai quá trình ngẫu nhiên

1.4.4. Công thức tích phân từng phần

1.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên

Chương 2

Mô hình tài chính cơ bản

2.1. Giới thiệu mô hình

2.2. Các khái niệm cơ bản

2.2.1. Phương án đầu tư

2.2.2. Phương án đầu tư tự điều chỉnh

2.2.3. Phương án đầu tư chênh lệch thị giá

2.2.4. Sản phẩm phái sinh

2.2.5. Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ

2.3. Biến đổi độ đo xác suất và định lí Girsanov

2.3.1. Các độ đo xác suất tương đương

2.3.2. Định lí Girsanov

2.4. Định lí biểu diễn Mac-tin-gan

2.5. Sự đầy đủ

2.6. Công thức Black-Scholes định giá và bảo hộ quyền

chọn kiểu Châu Âu

2.6.1. Định giá quyền chọn mua và bán

2.6.2. Bảo hộ quyền chọn mua và bán

2.6.3. Phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes

2.7. Định lí cơ bản trong toán tài chính

PHỤ LỤC:

MỘT SỐ CÔNG CỤ TÍNH TOÁN TRONG TOÁN TÀI CHÍNH

A. Sử dụng maple trong tính toán Toán tài chính

A.1. Định giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu

A.2. Sử dụng mô hình Black-Scholes có sẵn trong maple

B. Sử dụng phần mềm "The Hoadley Finance Add-in for Excel"

KẾT LUẬN

Tài liệu tham khảo

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật