ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
SENGDAO SOULIYAVONG
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC
VỚI
KHOẢNG CÁCH
Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng
THÁI NGUYÊN-2019
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung
thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận
văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã
được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả
Sengdao SOULIYAVONG
i
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này
tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 4 năm 2019
Tác giả
Sengdao SOULIYAVONG
ii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii
MỤC LỤC .......................................................................................................... iii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
Chƣơng 1 KHÔNG GIAN METRIC ........................................................ 3
1.1. Không gian metric .............................................................................. 3
1.2 Định lí Banach trong không gian b- metric………...……..……………..5
Chƣơng 2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
METRIC VỚI KHOẢNG CÁCH ........................................................... 8
2.1. khoảng cách và khoảng cách trong không gian metric ...... 8
2.2. Một số định lí điểm bất động trong không gian metric với
khoảng cách ................................................................................................... 10
2.3. Các lớp hàm ................................................................................... 21
2.4. Một số định lí điểm bất động đối với hàm trong không gian
metric với khoảng cách ......................................................................... 23
KẾT LUẬN ....................................................................................................... 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 32
iii
MỞ ĐẦU
Định lí điểm bất động Banach (hay nguyên lí co Banach) đã được
Banach chứng minh vào năm 1922. Từ đó đã có nhiều người tổng quát hóa kết
quả này theo nhiều hướng khác nhau. Năm 1989, Bakhtin [2] đã giới thiệu khái
niệm không gian metric và chứng minh Định lí điểm bất động đối với ánh
xạ co trong không gian metric, là tổng quát hóa của nguyên lí co Banach
trong không gian metric. Năm 1996, Kada [6] đã giới thiệu khoảng cách và
chứng minh Định lí điểm bất động Caristi. Năm 2014, Hussian [4] đã giới thiệu
khái niệm khoảng cách trong không gian metric tổng quát, là tổng
quát của khoảng cách và chứng minh định lí điểm bất động trong không
gian metric được sắp thứ tự bộ phận bằng cách sử dụng khoảng cách.
Năm 2015, Khojasteh [7] đã giới thiệu khái niệm hàm mô phỏng để tổng quát
hóa nguyên lí co Banach.
Mục đích của luận văn là giới thiệu về không gian metric, một trong
các mở rộng của không gian metric và trình bày một số kết quả về điểm bất
động trên các không gian metric với khoảng cách.
Với mục đích đó, chúng tôi chọn đề tài: “Định lí điểm bất động trong
không gian metric với khoảng cách”.
Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [8] và [9],
gồm 32 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và
danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Giới thiệu khái niệm và một vài tính chất của không gian
metric và một số định lí điểm bất động trên không gian metric.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại các kết quả
nghiên cứu gần đây của S.K Mohanta về điểm bất động trong không gian
1
metric với khoảng cách và kết quả của C. Mongkolkehaa, Y.J. Chob và P.
Kumam về điểm bất động trong không gian metric đối với hàm với
khoảng cách.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
2
Chƣơng 1
KHÔNG GIAN METRIC
1.1. Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. Cho là tập không rỗng và là số thực. Hàm
được gọi là metric trên nếu
với mọi
với mọi
Cặp được gọi là không gian metric với hệ số .
, Ví dụ 1.1.2. Cho xác định bởi
với và
. Khi đó là không gian metric với ,
nhưng không là không gian metric vì
.
Ví dụ 1.1.3. Cho và thỏa mãn
với .
Khi đó là không gian metric với nhưng không là
không gian metric.
Định nghĩa 1.1.4. Cho là không gian metric, và là một
dãy trong . Khi đó
hội tụ đến .
Kí hiệu hoặc khi .
3
là dãy Cauchy .
là đầy đủ mọi dãy Cauchy trong đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.5. Cho là không gian metric và ánh xạ .
Ta nói rằng liên tục tại nếu với mọi dãy trong , khi
thì khi . Nếu liên tục tại mỗi điểm
thì ta nói liên tục trên .
Định lí 1.1.6 ([1]). Cho là không gian metric, giả sử và
hội tụ đến , tương ứng. Khi đó
.
Đặc biệt, nếu thì . Ngoài ra, với mỗi , ta có
.
Bổ đề 1.1.7. Cho là không gian metric với hệ số và sao
cho và . Khi đó .
Bổ đề 1.1.8. Cho là không gian metric với hệ số và .
Khi đó:
.
Chứng minh. Ta có
…
.
4
Bổ đề 1.1.9. Cho là dãy trong không gian metric với hệ số
sao cho
với và mỗi . Khi đó là dãy Cauchy trong .
1.2. Định lí Banach trong không gian -metric
Định lí 1.2.1. Cho là không gian metric đầy đủ với hệ số , và
là ánh xạ sao cho với ,
với mọi . Khi đó có điểm bất động duy nhất , và với mỗi ,
dãy hội tụ đến .
Chứng minh. Lấy bất kì và kí hiệu . Khi đó
Với mỗi Bổ đề 1.1.9 kéo theo là dãy Cauchy, và vì đầy
đủ, nên sao cho khi . Khi đó
. Do đó, và . khi
Nếu , thì ta có .
Định lí 1.2.2. Cho là không gian metric đầy đủ với hệ số . Cho
là ánh xạ sao cho với mỗi tồn tại sao cho
và với mọi . Khi đó có điểm bất
động duy nhất .
5
Chứng minh. Lấy sao cho . Vì khi , nên
tồn tại . Khi đó khi
. Nói cách khác, với tùy ý, thỏa mãn
.
Theo Định lí 1.2.2 . Khi đó , kéo theo
và là điểm bất động của . Vì điểm bất động
của là duy nhất, nên .
Định lí 1.2.3. Cho là không gian -metric đầy đủ với hằng số , và
giả sử thỏa mãn , trong đó
là hàm tăng và thỏa mãn với mỗi . Khi đó
và
Chứng minh. Trước tiên theo giả thiết về suy ra
,
do đó liên tục. Bây giờ, cho và tùy ý. Chọn sao cho
. Đặt và với mỗi . Khi đó
.
Do đó, .
Bây giờ chọn sao cho và lấy Khi đó
và
6
.
Do đó ta có
.
Vì vậy . Từ đó suy ra rằng nếu , thì
.
Do đó là dãy Cauchy, vì vậy . Vì liên tục
nên liên tục, do đó
.
Vì
nếu , suy ra có đúng một điểm bất động. Hơn nữa, vì
khi ,
. Mặt khác, vì liên tục, nên nên
.
Cuối cùng, với bất kỳ và
khi ,
suy ra .
7
Chƣơng 2
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
METRIC VỚI KHOẢNG CÁCH
2.1. khoảng cách và khoảng cách trong không gian metric
Định nghĩa 2.1.1. Cho là không gian metric. Hàm
được gọi là khoảng cách trên nếu:
(1) với mọi ;
(2) với bất kì, là hàm nửa liên tục dưới (tức là, nếu
và , thì );
(3) với và kéo theo .
Ví dụ 2.1.2. Cho là không gian metric. Hàm xác định
bởi với mọi là khoảng cách trên , trong đó là số
thực dương. Nhưng không là metric vì với mọi .
Ví dụ 2.1.3. Cho là tập số thực và phiếm hàm xác định bởi
với mọi . là không gian metric với hệ số Tuy nhiên,
ta biết rằng không là metric trên vì bất đẳng thức tam giác không thỏa
mãn. Thật vậy,
Định nghĩa 2.1.4. Hàm giá trị thực xác định trên không gian metric
gọi là nửa liên tục dưới tại điểm nếu hoặc
, với mọi và .
Năm 2014 , Hussian [4] đã giới thiệu khái niệm khoảng cách như sau:
8
Định nghĩa 2.1.5. Cho là không gian metric với hằng số .
Một hàm số được gọi là khoảng cách trên nếu nó
thỏa mãn các điều kiện sau:
với mọi ;
với mỗi là hàm nửa liên tục dưới.
với và kéo theo .
Ví dụ 2.1.6. Cho là không gian metric. Khi đó là một
khoảng cách trên .
Ví dụ 2.1.7. Cho và . Khi đó hàm xác
định bởi với mọi là khoảng cách trên .
Bổ đề 2.1.8. ([4]). Cho là không gian metric với hằng số và
là khoảng cách trên . và là các dãy trong , và
là các dãy trong hội tụ đến 0 và . Khi đó:
nếu và với bất kỳ, thì .
Đặc biệt, nếu và thì ;
nếu và với , thì hội tụ đến ;
nếu với bất kỳ, , thì là dãy Cauchy.
nếu với bất kỳ, thì là dãy Cauchy.
Định nghĩa 2.1.9. Cho là một tập được sắp thứ tự bộ phận. Hai phần tử
gọi là so sánh được đối với quan hệ thứ tự nếu hoặc .
Ta kí hiệu là tập con của được xác định bởi
hoặc
9
Định nghĩa 2.1.10. Cho là một tập được sắp thứ tự bộ phận và ánh xạ
. Ta nói rằng
(1) là tăng ngược, nếu với mọi kéo theo , .
(2) là không giảm, nếu với mọi kéo theo , .
2.2. Một số định lí điểm bất động trong không gian metric với
khoảng cách
Định lí 2.2.1. Cho là khoảng cách trên không gian metric đầy đủ
với hằng số và , . Giả sử sao cho
(2.1)
với mỗi và
(2.2)
với mỗi với không là điểm bất động chung của và . Khi đó
và có điểm bất động chung trong . Ngoài ra, nếu thì
.
Chứng minh. Cho tùy ý và định nghĩa dãy bởi
nếu lẻ và
nếu chẵn.
Nếu lẻ thì theo (2.1) ta có
10
.
Nếu chẵn thì theo (2.1), ta có
.
Do đó
(2.3)
Áp dụng (2.3) liên tiếp ta được
(2.4)
, từ (2.4) suy ra Với
.
Theo Bổ đề 2.1.8 (iii), là dãy Cauchy trong . Vì đầy đủ, nên
hội tụ đến . Cố định . Khi đó vì hội tụ đến và
là nửa liên tục dưới, nên ta có
.
11
Giả sử không là điểm bất động chung của và . Khi đó theo giả
thiết ta có
Điều này mâu thuẫn. Do đó, . Nếu
với thì
Từ đó suy ra .
Hệ quả 2.2.2. Cho là không gian metric đầy đủ với hằng số ,
là khoảng cách trên và . Giả sử tồn tại sao cho
với mỗi và
với mỗi với . Khi đó .
Chứng minh. Kết quả được suy ra từ Định lí 2.2.1 bằng cách lấy
.
12
Định lí 2.2.3. Cho là không gian metric đầy đủ với hằng số ,
là khoảng cách trên và là ánh xạ liên tục. Giả sử tồn tại
sao cho
với mỗi . Khi đó .
Chứng minh. Giả sử và
.
Khi đó :
.
Suy ra và . Theo Bổ đề 2.1.8, suy ra
. Ta có
.
Do đó, hội tụ đến . Nhưng liên tục, nên
Điều này mâu thuẫn với . Do đó, nếu , thì
.
Theo Hệ quả 2.2.2, .
Định lí 2.2.4. Cho là không gian metric đầy đủ với hằng số ,
và ánh xạ sao cho
(2.5)
với mỗi , trong đó với .
13
Khi đó .
Chứng minh. Ta xét metric là khoảng cách trên . Từ (2.5), ta có
.
Suy ra
(2.6)
Đặt khi đó vì .
Do đó, (2.6) trở thành
với mỗi .
Giả sử và
.
Khi đó :
.
Từ đó và . Theo Bổ đề 2.1.8, .
Ta có
với mỗi và từ đó
.
Do đó, , tức là là mâu thuẫn. Như vậy, nếu
thì
.
Áp dụng Hệ quả 2.2.2, ta có điều phải chứng minh
14
Định lí 2.2.5. Giả sử là không gian metric đầy đủ với hằng số
và ánh xạ thỏa mãn
(2.7)
với mọi trong đó với hoặc . Khi
đó có một điểm bất động trong . Hơn nữa, nếu , thì có điểm
bất động duy nhất trong .
Chứng minh. Ta xét metric là khoảng cách trên . Từ (2.7),
ta có
.
Suy ra
(2.8).
Đặt . Khi đó . Do đó, (2.8) trở thành
với mọi . Giả sử với và
.
Khi đó
.
Từ đó và . Theo Bổ đề 2.1.8, suy ra .
Ta cũng có
15
với . Cho ta được
.
Suy ra , tức là . Điều này là mâu thuẫn. Do đó,
nếu thì
.
Áp dụng Hệ quả 2.2.2, ta nhận được điểm bất động của trong .
Bây giờ giả sử và và . Khi đó
.
Điều này kéo theo , suy ra . Do đó có điểm bất động duy
nhất trong .
Định lí 2.2.6. Cho là không gian metric đầy đủ với hằng số
và . Giả sử tồn tại sao cho
(2.9)
với mọi . Khi đó .
Chứng minh. Ta xét metric là khoảng cách trên . Từ (2.9), ta có
(2.10)
.
Nếu thì rõ ràng có điểm bất động. Giả sử . Vì
, nên từ (2.10) ta nhận được
16
với mọi . Giả sử và
.
Khi đó
.
và . Theo Bổ đề 2.1.8, . Ta cũng có
với . Cho ta được
.
Do đó tức là . Điều này là mâu thuẫn. Do đó nếu
thì
.
Theo Hệ quả 2.2.2, tồn tại điểm bất động duy nhất của trong .
Định lí 2.2.7. Cho là khoảng cách trên không gian metric đầy đủ
với hằng số . Cho là toàn ánh. Giả sử tồn tại
sao cho
(2.11)
với mọi và
(2.12)
đối với mỗi với không là điểm bất động chung của và . Khi đó
và có điểm bất động chung trong .
17
Chứng minh. Lấy tùy ý, vì là toàn ánh nên tồn tại sao cho
. Vì cũng là toàn ánh, nên : .
Tiếp tục lập luận như trên, ta tìm được và
. Do đó và với . với
thì do (2.11) ta có Nếu
.
Nếu thì theo (2.11) ta có
.
Như vậy, với mỗi nguyên dương bất kỳ ta được
.
Từ đó suy ra
(2.13)
Đặt , thì vì . Khi đó (2.13) trở thành
18
.
Do đó, nếu thì
.
Theo Bổ đề 2.1.8 (iii), là dãy Cauchy trong . Vì đầy đủ, nên hội
tụ đến điểm . Cố định . Vì là nửa liên tục dưới, nên
(2.14)
Giả sử không là điểm bất động chung của và . Khi đó theo giả thiết ta có
.
Mâu thuẫn này dẫn đến .
Lấy , ta có:
Hệ quả 2.2.8. Cho là khoảng cách trên không gian metric đầy đủ
với hằng số và là toàn ánh. Giả sử
19
(2.15)
với mọi và
(2.16)
với mọi với . Khi đó có điểm bất động trong .
Áp dụng Hệ quả 2.2.8, ta có các kết quả sau.
Định lí 2.2.9. Cho là không gian metric đầy đủ với hằng số
và là toàn ánh liên tục. Giả sử
với mọi . Khi đó .
Chứng minh. Xét là khoảng cách trên . Giả sử tồn tại với
và
.
Khi đó :
.
Suy ra và khi . Mặt khác ta có
khi .
Suy ra . Vì là liên tục, nên
.
Mâu thuẫn này kéo theo , từ đó
.
Theo Hệ quả 2.2.8, .
Định lí 2.2.10. Cho là không gian metric đầy đủ với hằng số
và cho là toàn ánh liên tục. Giả sử
20
(2.17)
với mọi . Khi đó .
Chứng minh. Xét là khoảng cách trên . Thay bởi trong (2.17),
ta có
(2.18)
với . Nếu thì rõ ràng có điểm bất động. Không mất tính
tổng quát, ta giả sử . Vì , nên từ (2.18) suy ra
với mọi . Bằng cách tương tự như trong chứng minh Định lí 2.2.9, ta có
thể khẳng định rằng nếu thì
.
Từ đó, theo Hệ quả 2.2.8, .
2.3. Các lớp hàm
Năm 2015, Khojasteh [7] đã giới thiệu khái niệm hàm mô phỏng, gọi tắt
là hàm, là tổng quát điều kiện co Banach như sau:
Định nghĩa 2.3.1 ([7]). hàm là một ánh xạ thỏa
mãn các điều kiện sau:
;
với mọi .
nếu và là các dãy số dương sao cho thì
.
Ví dụ 2.3.2 Cho với xác định bởi
21
(1) với , ở đó là
hai hàm liên tục sao cho và
với mọi ;
(2) với mọi , trong đó
là hai hàm liên tục theo từng biến sao cho
với .
(3) với mọi , trong đó
là hàm liên tục sao cho .
Khi đó với là hàm.
hàm như sau: Roldaùn- Loùpez-de-Hierro đã sửa đổi khái niệm
Định nghĩa 2.3.3. hàm là một ánh xạ thỏa mãn
các điều kiện sau:
;
với ;
Nếu và là hai dãy số dương sao cho
và với mọi thì .
Lớp tất cả các hàm được kí hiệu bởi và mỗi
hàm theo nghĩa của Khojasteh [7] cũng là hàm theo nghĩa của
Roldaùn- Loùpez-de-Hierro, nhưng ngược lại không đúng như trong ví dụ sau:
Ví dụ 2.3.4. Lấy sao cho và là hàm xác định bởi
Khi đó là hàm theo nghĩa của Định nghĩa 2.3.3, nhưng không
thỏa mãn điều kiện của Định nghĩa 2.3.1.
22
Định nghĩa 2.3.5. Cho là không gian metric đầy đủ. Ánh xạ
gọi là - co nếu tồn tại sao cho
(2.19)
với mọi .
Chú ý 2.3.6. Nếu lấy với mọi , ở đó trong
Định nghĩa 2.3.5 thì co trở thành co Banach.
2.4. Một số định lí điểm bất động đối với hàm trong không gian
metric với khoảng cách
Trong mục này, ta xét khái niệm của hàm và chỉ ra sự tồn tại của
điểm bất động cho ánh xạ như thế trong các không gian metric đầy đủ có
khoảng cách. Trước tiên C. Mongkolkehaa, Y. J. Chob and P. Kumam [9]
đã cải tiến khái niệm hàm như sau:
Định nghĩa 2.4.1. Cho là số thực sao cho . hàm là một ánh xạ
thỏa mãn các điều kiện sau:
; ) (
với mọi ; ) (
( ) Nếu và là các dãy số dương sao cho
và với mọi thì
.
Ví dụ 2.4.2. Lấy sao cho và . Xét ánh xạ
xác định bởi
Rõ ràng nên thỏa mãn ( ) và thỏa mãn . Thật vậy,
23
Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng thỏa mãn ( ). Nếu và là các dãy
số dương sao cho và với mọi thì
.
Khi đó là hàm theo nghĩa của Định nghĩa 2.4.1, nhưng không thỏa
mãn điều kiện của Định nghĩa 2.3.1. Thật vậy, nếu lấy ,
và ,với mọi thì và
Định lí 2.4.3. Cho là tập được sắp thứ tự bộ phận, là không gian
metric đầy đủ với hằng số và là khoảng cách trên . Giả sử
là ánh xạ không giảm thỏa mãn:
(2.20)
với mọi ;
với mọi mà ,
24
với mọi với
tồn tại sao cho .
Khi đó . Ngoài ra, nếu thì
Chứng minh. Nếu thì định lí được chứng minh. Giả sử kết luận
không đúng. Khi đó : . Vì không giảm, nên ta có
. Tiếp tục quá trình này, ta được với mọi
. Ta sẽ chứng minh
. (2.21)
Theo giả thiết (i) và tính chất của , ta có
(2.22)
với mọi . Vì nên từ (2.22), suy ra
. (2.23)
Điều này có nghĩa là dãy là dãy giảm các số thực không âm
nên hội tụ đến nào đó. Giả sử .
Trƣờng hợp 1. Nếu , cho trong (2.23), ta được .
điều này là mâu thuẫn.
Trƣờng hợp 2. Nếu , đặt và ,
thì các dãy và có cùng giới hạn dương. Đồng thời, các dãy
và có cùng giới hạn trên dương, do đó với mọi . Theo điều
kiện ( ) trong Định nghĩa 2.4.1. ta có
.
25
Điều này là mâu thuẫn. Suy ra , và khẳng định (2.21) được chứng minh.
Tiếp theo, ta chứng minh
. (2.24)
Giả sử điều này không đúng. Khi đó ta tìm đối với các dãy
sao cho với
. (2.25)
. Giả sử là chỉ số nhỏ nhất sao cho (2.21) xảy ra. Khi với mọi
đó
. (2.26)
Mặt khác
.
Cho trong bất đẳng thức trên và dùng (2.21), ta có
. (2.27)
Bây giờ, ta chứng minh
.
Nếu
,
thì tồn tại và sao cho
. (2.28)
Theo giả thiết (i) và tính chất của , ta có
26
(2.29)
Từ đó ta có
, (2.30)
Từ (2.27), (2.28) và (2.30), ta được
Vì vậy, dãy và có cùng
giới hạn trên dương và với mọi . Theo tính chất , ta kết
luận
.
Điều này là mâu thuẫn, do đó (2.24) xảy ra. Theo Bổ đề 2.1.8 (iii), là
dãy Cauchy. Vì là không gian metric đầy đủ, nên dãy hội tụ đến
phần tử . Từ suy ra với mỗi , tồn tại
sao cho kéo theo
.
là nửa liên tục dưới và dãy hội tụ đến , nên ta có Vì
(2.31)
Đặt và . Theo (2.31), ta có
(2.32)
27
Bây giờ, ta chứng minh là điểm bất động của . Giả sử . Vì
với mỗi , nên theo giả thiết (ii), (2.21) và (2.32), ta có
khi , điều này mâu thuẫn. Do đó .
Xét hai trường hợp phân biệt.
Trƣờng hợp 1. Nếu thì .
.
Do đó
.
Theo , ta được .
Trƣờng hợp 2. Nếu thì
.
Suy ra . Do đó ta phải có .
Ví dụ 2.4.4. Cho và với khoảng cách trên
xác định bởi . Xét tập hợp sau:
hoặc
với thứ tự thông thường. Cho là ánh xạ xác định bởi
với mọi . Hiển nhiên, không giảm và thỏa mãn điều kiện (ii). Thật
vậy, với tùy ý, ta có . Với mỗi , ta có
28
.
Lấy hàm xác định bởi
với mọi .
Tương tự, trong Ví dụ 2.4.2, hàm xác định như trên là hàm theo nghĩa của
Định nghĩa 2.4.1. Bây giờ ta sẽ chỉ ra thỏa mãn điều kiện (i). Lấy
với . Khi đó ta có
Do đó, mọi giả thiết của Định lí 2.4.3 đều được thỏa mãn, và là điểm bất
động của .
Định lí 2.4.5 Cho là tập được sắp thứ tự bộ phận và là không
gian metric đầy đủ với hằng số và là khoảng cách trên .
Giả sử là ánh xạ không giảm và tồn tại sao cho
với mọi . Giả sử một trong các điều kiện sau xảy ra:
29
với mọi : ,
với mọi mà .
nếu cả hai dãy và đều hội tụ đến , thì
liên tục trên .
Nếu tồn tại sao cho , thì có điểm bất động trong .
Chứng minh. Trường hợp thỏa mãn điều kiện (i), kết luận đã được chứng
minh trong Định lí 2.4.3. Ta chứng minh (ii) (i). Giả sử điều kiện (ii) xảy ra.
Lấy với sao cho
.
Khi đó, tồn tại dãy sao cho và
.
Do đó, ta có
.
Theo Bổ đề 2.1.8 , ta có . Hơn nữa, . Mặt khác
(2.33)
Từ (2.33) và , suy ra
.
Đặt , ta được các dãy và cùng hội tụ đến . Do đó, theo giả
thiết (ii), ta có . Vậy (ii) (i). Hiển nhiên, (iii) (ii).
30
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày:
Tổng quan và hệ thống một vài kết quả về không gian metric và một
số định lý điểm bất động trên không gian metric.
Một số kết quả nghiên cứu của S.K Mohanta về điểm bất động trong
không gian metric với khoảng cách. Các kết quả được trình bày trong
Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.3, Định lí 2.2.4, Định lí 2.2.5, Định lí 2.2.6, Định lí
2.2.7, Định lí 2.2.9 và Định lí 2.2.10.
Một số kết quả gần đây của C. Mongkolkehaa, Y.J. Chob và P. Kumam
về điểm bất động trong không gian metric đối với hàm với
khoảng cách. Các kết quả được trình bày trong Định lí 2.4.3, Định lí 2.4.5.
31
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Aghajani A., Abbas M., Roshan J.R.(2012), Common Fixed Point of
Generalized Weak Contractive Mappings in Partially Ordered b-Metric
Spaces, Math. Slovaca.
[2]. Bakhtin A. (1989), “The contraction mapping principle in quasimetric
spaces”, Funct. Anal. Unianowsk Gos. Ped. Inst. 30, 26–37.
[3]. Czerwik S. (1993), “Contraction mappings in b- metric spaces”, Acta
Math. Inform. Univ. Ostrav. 1, 5-11.
[4]. Hussian N., Saadati R and Agrawal R.P. (2014), On the topology and
wt-distance on metric type spaces, fixed Point Theory Appl.
[5]. Ili D., Rako evi V. (2008), “Common fixed points for maps on
metric space with - distance”, Appl. Math. Comput., 199, 599-610.
[6]. Kada O., Suzuki T and Takahashi W. (1996), “Nonconvex minimization
theorems and fixed point theorems in complete metric spaces”, Math.
Japon. 44, 381-391.
[7]. Khojasteh F., Shukla S and Radenovic S. (2015)ù, “A new approach to
the study of fixed point theorems via simulation functions”, Filomat 96,
1189-1194.
[8]. Mohanta S.K. (2015), “Some fixed point theorems using wt-distance in
b-metric spaces”, Fasc Math. Nr 54, 125-140.
[9]. Mongkolkehaa C., Chob Y.J., and Kumam P. (2017), “Fixed point
theorems for simulation functions in b-metric spaces via the wt-
distance”, Appl. Gen. Topol. 18, no. 1, 91-105
32
