Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một định lí mới về ổn định lũy thừa của họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian Banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

LÊ XUÂN HẬU MỘT ĐỊNH LÍ MỚI VỀ ỔN ĐỊNH LŨY THỪA CỦA HỌ TIẾN HÓA TUẦN HOÀN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010

LỜI CẢM ƠN

Để có thể hoàn thành được luận văn này. Người đầu tiên mà tôi tỏ lòng biết ơn sâu sắc đó là

PGS. TS Lê Hoàn Hóa, người thầy đã tận tâm hướng dẫn chỉ bảo từng bước cho tôi trong suốt quá

trình học tập.

Xin trân trọng cảm ơn TS……………….và TS………………đã đọc góp ý cho luận văn của tôi.

Xin trân tọng cảm ơn quý thầy cô thuộc khoa Toán – Tin học trường Đại Học Sư Phạm

TPHCM, cùng quý thầy cô giảng dạy cho lớp cao học khóa 18 chuyên nghành Giải Tích đã nhiệt

tình giảng dạy và giúp đỡ cho tôi trong suốt khóa học.

Tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cô phòng KHCN - SĐH trường Đại Học Sư Phạm TPHCM đã

tạo điều kiện và giúp đỡ cho tôi hoàn thành chương trình học.

Xin gửi lời cảm ơn đến Lãnh Đạo Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Phú Yên, Ban Giám Hiệu, cùng

toàn thể giáo viên công nhân viên của trường THPT Trần Bình Trọng – Phú Hòa – Phú Yên đã tạo

điều kiện thuận lợi, và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học.

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, các bạn bè đồng nghiệp đã động viên và nhiệt

tình giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2010

Lê Xuân Hậu

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan chỉ sư dụng nội dung một số bài báo, và tài liệu liên quan để hoàn thành tốt

luận văn của mình và không sao chép bất kì luận văn nào khác đã có trước đây.

Học viên

Lê Xuân Hậu

MỞ ĐẦU

1. Lý do và mục đích chọn đề tài:

Lý thuyết ổn định lũy thừa của họ tiến hóa tuần hoàn trong lĩnh vực phương trình đạo hàm

riêng đã ra đời từ rất sớm và có nhiều ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học. Cùng

với nhiều nhà toán học khác, hai nhà toán học Constantin và Jitianu đặt vấn đề tìm nghiệm yếu

(., 0)

của phương trình Cauchy không thuần nhất:

 ( ) v t A t v t ( ) ( ) f t ( )   dựa trên lý thuyết phổ v (0) 0    

của nửa nhóm tiến hóa. Đến năm 2003 hai tác giả này đã đưa ra những kết quả quan trọng cùng

với nhiều ứng dụng mới đã đem đến cho lĩnh vực này thêm sự đa dạng và đặc sắc.

Với sự tâm đắc, và với mục đích tìm hiểu nhiều hơn nữa về phương pháp trên cùng với các

ứng dụng của nó để học tập, và bước đầu làm quen công việc nghiên cứu khoa học, tôi đã chọn đề

tài trên cho luận văn thạc sĩ của mình.

2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Nghiên cứu lý thuyết về ổn định lũy thừa của họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian Banch

và các ứng dụng của nó.

Trong luận văn tôi xin đề cập đến một trong những kết của hai tác giả nói trên, đó là:

“MỘT ĐỊNH LÍ MỚI VỀ ỔN ĐỊNH LŨY THỪA CỦA HỌ TIẾN HÓA TUẦN HOÀN TRÊN

KHÔNG GIAN BANACH”.

Cụ thể Chúng ta xem xét một nghiệm yếu của bài toán Cauchy không thuần nhất

= A t v t ( ) ( ) + f t ( )

(0) = 0 ì ¢ï v t ( ) ïïí ï v ïïî

)

trên không gian Banach phức X , với A (.) là toán tử tuần hoàn chu kì 1.

AP R X+ 0(

0( AP R X+

x thuộc X nghiệm của bài toán Cauchy

(., 0) thuộc tập với mỗi f thuộc thì với mỗi Ta chứng minh rằng nếu

= A t u t ( ) ( )

= (0) x ì ¢ï u t ( ) ïïí ï u ïïî

)

là ổn định đều theo lũy thừa và ngược lại.

AP R X+ 0(

được trình bày trong mục 2.1 của chương II dưới đây. Phương Chi tiết về không gian

pháp nghiên cứu dựa trên lý thuyết phổ của nửa nhóm tiến hóa. Nội dung của luận văn trình bày

lại kết quả của bài báo:

“A new theorem on exponential stability of periodic evolution families on Banach spaces”

của hai tác giả Constantin Buse & Oprea Jitianu nhưng được trình bày chi tiết

hơn.

Nội dung của luận văn được chia làm ba chương

Chương I: Các kiến thức cơ bản

Trong chương này nhắc lại định nghĩa và tính chất của nửa nhóm, nửa nhóm liên tục đều, nửa

nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm tiến hóa, họ tiến hóa, cũng như các khái niệm và tính chất liên

quan làm cơ sở cho các kiến thức của chương II.

Chương II: Lời giới thiệu và các kết quả

Trong chương này giới thiệu các kí hiệu sử dụng trong luận văn và các kết quả của luận văn.

Chương III: Ứng dụng

Giới thiệu một số ứng dụng quan trọng của các kết quả trong chương II.

Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế nên chắc chắn có những thiếu xót trong quá trình

trình bày luận văn. Rất mong nhận được sự phê bình và đóng góp ý kiến của Quý Thầy cô cùng

bạn bè quan tâm.

CHƯƠNG I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bị chặn.

Định nghĩa 1.1.1

T t

( ), 0

t£ < ¥ , các toán tử tuyến tính bị

Cho X là không gian Banach. Họ một tham số

I I= ,(

T i) (0)

chặn từ X vào X được gọi là một nửa nhóm các toán tử tuyến tính bị chặn trên X nếu

+ = s )

T t T s ( ). ( )

là ánh xạ đồng nhất trênX )

t s ³ .

T t ii) (

với mọi ,

- = .

Một nửa nhóm các toán tử tuyến tính bị chặn ( )T t được gọi là liên tục đều nếu

T t lim ( )  t

(1.1)

T t Nếu ( ), 0

t£ < ¥ là một nửa nhóm liên tục đều các toán tử tuyến tính bị chặn thì

- T t T s ( )

= . 0

Từ định nghĩa ta có:

lim ( )  s t

T t ( )

(1.2)

là nửa nhóm các toán tử tuyến tính bị chặn, xác định trên X . Với h > 0, ta định

Định nghĩa 1.1.2 } 0 Cho {

hA x xác định như sau

Î x X

nghĩa toán tử

A x h

( ) T h x h

(1.3)

( )D A là tập tất cả các x XÎ sao cho giới hạn

A x tồn tại.

lim h

0

( )D A như sau:

Kí hiệu

x D AÎ ( )

Ta xác định toán tử A trên

A x lim ,h



( ),T t

. (1.4)

( )D A là tập xác định

và Ta gọi toán tử A xác định như trên là toán tử sinh của nửa nhóm

của A .

Định lí 1.1.3. Một toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục đều nếu và chỉ

nếu A là một toán tử tuyến tính bị chặn.

Chứng minh:

,X và đặt

T t ( )

Cho A là một toán tử tuyến tính bị chặn trên

= å

n tA ( ) n !

. (1.5)

và xác định với mỗi t là một toán tử tuyến tính bị Vế phải (1.5) hội tụ theo chuẩn với mọi ³ 0,

=(0)

, I và với cách tính trực tiếp trên chuỗi lũy thừa, ta có:

chặn ( )T t .

( T t

+ = ) s

( ). ( ) T t T s

Rõ ràng

t A

T t ( )

- £ I

t A e

A - £

A T t ( )

Tiến hành đánh giá chuỗi lũy thừa trên, ta có:

T t ( ) t

và

( )T t là nửa nhóm liên tục đều các toán tử tuyến tính bị chặn trên

,X và A là toán tử sinh

Suy ra

của ( )T t .

T s d ( ) s

Mặt khác, cho ( )T t là một nửa nhóm liên tục đều các toán tử tuyến tính bị chặn trên

T s d ( ) s

r-- Cố định r > 0 đủ nhỏ sao cho < 1.

r- ò

Suy ra là khả nghịch và vì vậy là khả nghịch.

T s d ( ) s

T s (

h ds )

T s ds ( )

( T h ( )

)

1 h

æ ç ç ç ç çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

( ) T s ds

ò -

æ 1 ç ç= ç ç h çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

Mặt khác

( ) s-

- ( ) s)

T s d

Vì vậy

( ( )T h

) - = I

1 h

æ ç ç ç ç çè

ö÷ ÷ ( ) s ( ÷ ÷ ÷ ø

(1.6)

h  ta có 0

- hội tụ theo chuẩn. Do đó toán tử tuyến tính bị chặn

( ( )T h

)

1 h

r ( )

T s d

- ( ) s)

Trong (1.6), cho

( T

) - ò ( I

là toán tử sinh của ( )T t .

Toán tử sinh của nửa nhóm ( )T t là duy nhất. Định lí sau sẽ chứng minh cho khẳng định trên.

Định lí 1.1.4. Cho ( )T t và ( )S t là nửa nhóm liên tục đều các toán tử tuyến tính bị chặn trên

S t

Nếu

thì ( )T t = ( ),

với mọi

t ³ . (1.7)

lim  t 0

( ) T t t

( ) S t t

Chứng minh:

t =S( )

T t

( ),

£ £ . t T

T t

S t ( )

Cho T > 0, chúng ta chứng minh rằng với 0

T t S t ( )

( )

,t s T

C£ với 0 ,

£ .

và liên tục nên tồn tại hằng số C sao cho: Cố định T > 0, vì hàm  ( ) ,

e > do (1.7) nên tồn tại số

d > sao cho:

T h ( )

S h ( )

Cho

£ £ .

1 h

e TC

t T và chọn

n ³ sao cho

d< .

0 Cho £ £

t n

, với 0 (1.8)

T t ( )

S t- ( )

T n (

)

S n (

)

Từ tính chất của nửa nhóm và từ (1.8), ta có:

t n

- 1

k (

t 1)

)

(

)

- - k

(

)

t n

kt n

t n

+ n

æ ç T n ( ç ç ç è

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø

æ ç ( T n ç ç ç è

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø

- 1

(

)

- - k

t n

t ( ) n

kt n

æ ç ( T n ç ç çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ø

e£ .

e t TC n

T t=

( ),

£ £ . t T

t Vậy S( )

với mọi 0

Do hai định lí trên ta có kết quả sau:

Cho ( )T t là nửa nhóm liên tục đều các toán tử tuyến tính bị chặn, ta có:

T t ( )

e w£ . t

T t ( )

,A sao cho

a) Tồn tại hằng số w ³ 0, sao cho

. b) Tồn tại toán tử bị chặn duy nhất

AT t ( )

T t A ( )

T t ( )

c) Toán tử A trong phần b) là toán tử sinh của ( )T t .

dT t ( ) dt

khả vi theo chuẩn, và . d)

1.2. Nửa nhóm liên tục mạnh các toán tử tuyến tính bị chặn

Trong phần này ta kí hiệu X là không gian Banach.

Định nghĩa 1.2.1

T t

( ), 0

t£ < ¥ các toán tử tuyến tính bị chặn trên X là nửa nhóm liên tục

Một nửa nhóm

x XÎ

= với mọi

mạnh nếu

T t x lim ( )  t

(1.9)

Một nửa nhóm liên tục mạnh các toán tử tuyến tính bị chặn trên X được gọi là một nửa nhóm của

0C hay gọi tắt là nửa nhóm _ 0C .

w ³ và ³ 1,M

sao cho:

lớp

Định lí 1.2.2. Cho ( )T t là nửa nhóm _ 0C , khi đó tồn tại hằng số

T t ( )

,t M e w .

t£ < ¥ .

với 0 (1.10)

Chứng minh:

( )T t

h ,

£ £ vì nếu trái lại thì

Trước hết ta thấy tồn tại số h > 0, sao cho là bị chặn trong 0

n³ .

t n

nT t ( )

0, lim n ¥

thõa và có dãy { }nt

( )nT t x là không bị chặn. Điều này mâu thuẫn

T t

£( )

t £ £

h .

M với mọi

Áp dụng định lí bị chặn đều, tồn tại x XÎ sao cho

M T³

(0)

= 1.

với (1.9). Vì vậy

log

Do đó

t ³ ta có t

+ , với 0

£ < .

1 h

Cho w và

+ 1

t h

M M .

M e w t .

T t ( )

T Td

( ) ( )n

Áp dụng tính chất của nửa nhóm, ta thu được

T t x ( )

là một hàm liên tục từ

Hệ quả 1.2.3. Nếu

( )T t là nửa nhóm _ 0C thì với mọi x XÎ ,

+ (đường thẳng thực không âm) vào X .

Chứng minh:

t h ³ ta có: 0,

T t (

- h x T t x ( )

)

T t T h x ( )

£ ( )

tM e w

( )T h x

Cho ,

x- .

£ .

h³ ³ ta có: 0,

( T t

- ( ) h x T t x

)

£ ( T t

)

( ) x T h x

x T h x ( )

tM e w

£ .

và cho

( ),T t

T t x ( )

+ vào X .

Cho  0, h áp dụng tính chất liên tục mạnh của nửa nhóm suy ra hàm là liên

tục từ

Định lí 1.2.4. Cho ( )T t là nửa nhóm _ 0C và cho A là toán tử sinh của nó, ta có:

+ t h

( )

( ) . T s xds T t x

a) Với x XÎ ,

lim  h 0

1 h

T s xds D AÎ ( )

( )

b) Cho x XÎ ,

A T s xds

( )

T t x ( )

và

(1.12)

æ ç ç ç ç çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

x D AÎ

( ),

T t x D AÎ ( ) ( )

c) Cho

T t x AT t x T t Ax ( )

( )

và

(1.11)

d dt

- T t x T s x ( )

( )

T r Axdr

( )

AT r xdr ( )

x D AÎ

( ),

d) Cho

(1.13)

(1.14)

Chứng minh:

T t x ( )

a) Phần này được suy ra trực tiếp từ tính liên tục của .

b) Cho x XÎ , và > 0, ta có:

T s x

( ) ds

( )

)

( T s (

) h x T s x d

( ) T h h

1 h

t h +

T s xd ( )

1 h

T t x

-( )

x ta có điều phải chứng minh. ,

h Cho  0,

x D AÎ ( )

h và > 0,

vế phải tiến đến

T t ( )

T t Ax ( )

T t x ( )

ta có: c) Cho

h  .

( ) T h h

æ T h ( ) ç ç ç çè h

ö- ÷ I ÷  x ÷ ÷ ø

T t x D AÎ ( )

= AT t x T t Ax

( )

= khi (1.15)

T t x AT t x T t Ax ( )

( )

và . vì vậy ( )

( )T t x là

d dt

( )T t Ax . Chứng minh (1.13) ta chứng minh rằng với

t > , đạo hàm bên trái của

( )T t x tồn tại, và

Từ (1.15), suy ra . Nghĩa là đạo hàm bên phải của

( )

h x )

T t Ax ( )

bằng ( )T t Ax .

lim  h 0

é T t x T t ( ê ê ë

ù ú ú û

)

( )

)

h Ax T t Ax -

Ta có

)

T t lim (  h 0

( T t lim (  h 0

ù ú ú û

é T h x ( ) ê ê h ë

. =

T t (

)

và cả hai giới hạn bên phải đều bằng 0.

x D A và

h- bị chặn trên 0

£ £ , giới hạn thứ hai là

Giới hạn thứ nhất bằng 0 do Î ( ),

do tính liên tục mạnh của ( )T t .

Kết thúc chứng minh kết quả (c).

( )T t và

d) Chứng minh phần này ta lấy tích phân từ s đến t cho 2 vế của (1.13).

Hệ quả 1.2.5. Nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm

( )T t là nửa nhóm _ 0C thì tập xác

( )D A của A trù mật trong

,X hơn nữa A là toán tử tuyến tính đóng.

định

Chứng minh:

( ) s T s d

1 = ò t

Với x XÎ , xét tập . Do kết quả b)

t > và do kết quả a) của định lí 1.2.4 nên

x khi

tx D A với

( )D A

t  . Vì vậy

X= .

của định lí 1.2.4 nên Î ( ),

D AÎ ( )

x và

y khi n  ¥ .

Tính chất tuyến tính của A là rõ ràng, vì vậy ta chỉ cần chứng minh A là ánh xạ đóng.

nAx

Cho , nx

T t x ( )

( )

Từ kết quả d) của định lí 1.2.4, ta có:

T s Ax d n

- = = ò x

( )

(1.16)

T s Ax hội tụ đều đến

( )T s y trên một khoảng bị chặn, do vậy trong (1.16) khi

n  ¥ , ta có:

T t x ( )

T s yd ( )

Ta có hàm

- = ò x

x D AÎ ( )

(1.17)

t  , ta có

y= , (do kết quả a) của định lí

và cho và Ax Chia (1.17) cho > 0,

1.2.4).

Định lí 1.2.6. Cho

( )T t và ( )S t là nửa nhóm _ 0C của các toán tử tuyến tính bị chặn với hai toán

T t

=( )

S t

( ),

.B Nếu A B= thì

với mọi

tử sinh tương ứng là A và

t ³ 0

Chứng minh:

x D A ( )

D B ( )

 - T t (

s S s x ) ( )

Cho . Từ kết quả c) của định lí 1.2.4, ta có hàm khả vi

T t (

s S s x ) ( )

AT t (

s S s x T t ) ( ) (

s BS s x ) ( )

và

d d s

- - ( T t

s AS s x T t ) ( ( )

s BS s x ) ( )

= 0

T t  - (

s S s x ) ( )

s = và 0

T t x ( )

S t x ( )

t= là giống nhau , tức là

là hàm hằng. Trong trường hợp đặc biệt giá trị của nó ở Vì vậy hàm

x D AÎ ( )

với mọi x XÎ . Do đó điều này cũng đúng cho mọi

( ),

( )

T t x

=( )

( ) ,

( )D A trù mật trong

,X và

T t S t bị chặn nên

S t x với mọi

x XÎ .

Do hệ quả 1.2.5,

1.3.Định lí Hille-Yosida

w ³ và 0

1M ³ , Sao cho:

0_C . Từ định lí 1.2.2, ta có hằng số

( )T t

,tM e w .

Cho ( )T t là một nửa nhóm

t£ < ¥ .

với 0

w = thì ( )T t được gọi là bị chặn đều.

Nếu

1M = thì ( )T t được gọi là nửa nhóm

0_C rút gọn.

Nếu

- I A

Nếu A là toán tử tuyến tính (không nhất thiết bị chặn) trong X , tập giải ( )Ar của tập A là tập

l - có ánh xạ ngược, tức là ( l

) 1

hợp gồm tất cả các số phức l sao cho I A là toán tử tuyến

l ( , R A )

- I A

rÎ

( )A

tính bị chặn trong X .

( l

) 1

, được gọi là giải thức của A . Họ

Định lí 1.3.1.(Hille – Yosida)

0_C rút gọn

( )T t ,

t ³ nếu và chỉ nếu

( )D A

Một toán tử tuyến tính (có thể không bị chặn ) A là toán tử sinh của nửa nhóm

a) A là đóng và

+ , và cho l > 0, ta có:

R Al ( , )

của A là tập chứa b) Tập giải ( )Ar

1 £ l

(1.18)

Định lí 1.3.2. Cho

( )T t là nửa nhóm liên tục mạnh xác định trên

,X và A là toán tử sinh của nó

thõa hai điều kiện của định lí 1.3.1. Khi đó ta có kết quả sau

" Î

x X

lim ( , ) R A x l l ¥ l

Chứng minh:

x D A thì

)

R A Ax

l l R A x ( , )

l AR A x ( , )

l ( ,

- = x

0 khi l  ¥ .

1 l

Đầu tiên giả sử rằng Î ( ),

( )D A

l l R A ( , )

X= , (

( )D A trù mật trong X và

1 £ ).

" Î

x X

l l

R A x Vì vậy lim ( , ) ¥

Nhưng

1.4. Nửa nhóm các toán tử tuyến tính và bài toán Cauchy.

Chúng ta xét một phương trình vi phân và quan hệ của nó với nửa nhóm các toán tử tuyến

( )D A

tính.

Ì  . Cho x XÎ , bài

Cho X là không gian Banach, và A là toán tử tuyến tính từ

Au t

( ),

toán Cauchy của A với giá trị đầu x là:

(0)

ìïï du t ( ) ïïí dt ïï u ïïî

(1.19)

,X sao cho ( )u t liên tục với mọi

t ³ ,

u t

Î( )

( ),

D A với mọi

t > , đồng thời thõa (1.19).

Nghiệm của bài toán là một hàm ( )u t có giá trị trong

( )

khả vi liên tục và

C T t thì bài toán Cauchy theo A có nghiệm

( ) ,

( ).

u t

=( )

x D AÎ

T t x với mọi

Rõ ràng nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm

T t x AT t x T t Ax ( )

( )

d dt

Thật vậy theo định lí 1.2.4, ta có:

(0)T x

x= .

và

Au t ( )

f t ( ),

Bây giờ ta xét bài toán giá trị đầu không thuần nhất

(0)

( )

(1.20)

X và A là toán tử sinh của nửa nhóm

C T t sao cho phương trình thuần nhất

ìïï du t ( ) ïïí dt ïï u ïïî é  ê ë

é : 0, ê ë

x D AÎ ( )

với

f º ) có nghiệm duy nhất với mọi giá trị đầu

tương ứng (tức là phương trình với .

Định nghĩa 1.4.2

ê ë

é ë nếu u liên tục ê

é : 0, ê ë

D AÎ ( )

0 với < <

t T đồng thời thõa mãn (1.20) trên

é  ê ë ë , khả vi liên tục trên 0,Tù é ê

ú û

é u t ë , ( ) ê

Một hàm được gọi là một nghiệm mạnh của (1.20) trên 0,Té

0,Té ê ë

é ë . ê

( )T t là nửa nhóm

,A và u là một nghiệm của (1.20). Khi đó hàm có

trên 0,Té ê ë

0_C với toán tử sinh

T t (

s u s ) ( )

Cho

g s ,X ( )

< < .

AT t (

s u s ) ( )

T t (

s u s¢ ) ( )

giá trị trong khả vi với mọi 0

dg d s

AT t (

s u s T t ) ( ) (

s Au s T t ) ( ( )

s f s ) ( )

= và

s f s ) ( )

(1.21) =

T t = (

1(0, L T X

)

T t (

s f s ) ( )

thì khả tích, và lấy tích phân hai vế của (1.21) từ 0 đến t , ta Nếu

T t (

s f s d ) ( ) s

có:

) ( ) |t s u s 0

T t (

s f s d ) ( ) s

( )

- u s T t x ( )

T t x ( )

T t (

s f s d ) ( ) s

( )u t

= Do đó

1(0, L T X

)

= (1.22) Hay

x X bài toán giá trị đầu (1.20) có

thì với mọi Î , Từ định nghĩa trên suy ra nếu

nhiều nhất một nghiệm. Trong trường hợp nó có nghiệm thì nghiệm này được xác định bởi (1.22).

Định nghĩa 1.4.3

( )

)

1(0, L T X

C T t . Cho x XÎ và

Î u C

Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm . Hàm

(

)

é ê ë

ù T X : ú û

T t x ( )

T t (

s f s d ) ( ) s

( )u t =

được cho bởi:

£ £ . t T

, 0

ê ë

ù û . ú

là một nghiệm yếu (mild solution) của bài toán giá trị đầu (1.20) trên 0,Té

Định lí 1.4.4.

)

1(0, L T X

Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm

C T t Cho ( )

liên tục trên 0,Té

ê ë

ù û và cho ú

T t (

s f s d ) ( ) s,

( )v t =

£ £ . t T

x D AÎ ( )

nếu một trong hai điều kiện sau

Bài toán (1.20) có nghiệm mạnh u trên 0,Té

ê ë

é ë với mọi ê

được thõa mãn

i) ( )v t khả vi liên tục trên 0,Tù

é ë . ê

ú û

D AÎ ( )

v t ii) ( )

với < < 0

t T và ,

( )Av t liên tục trên 0,Tù

ú û

é ë . ê

x D AÎ ( )

é ë vơi một ê

ê ë

Nếu (1.20) có nghiệm u trên 0,Té nào đó thì ( )v t sẽ thõa cả

( )

hai điều kiện i) và ii).

Hệ quả 1.4.5. Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm

C T t . Nếu ( )

f s khả vi liên tục trên 0,Té

ê ë

ù û ú

x D AÎ ( )

,T với mọi

thì bài toán (1.20) có nghiệm mạnh u trên é ê ë

é ê ë

( ),

A t D A t

) ( ( ))

, t Î  là toán tử tuyến tính trên không gian , t Î  cho (

Định nghĩa 1.4.6 Cho (

) ( ( ))

( ( ))

x D A s

Banach X , cho s Î  và . Một nghiệm (cổ điển) của bài toán Cauchy non –

A t u t ( ) ( )

Î t s X t ,

autonomous:

³ s .

ì ¢ï u t ( ) ïïí ï u s ( ) ïïî

u s x (., , )

= Î

u t

D A t

( ( )),

Î( )

X sao cho

, với , (1.23)

( ¥1 u C s [ ,

)

và thõa mãn là một hàm

s³ .

bài toán với mọi t

tY nếu có một không gian con

D A s

( ( ))

Bài toán Cauchy (1.23) được gọi là đặt - đúng trên không gian

x Y bài toán có duy nhất một

( , , )

x (

)

 Î



, s Î  của X sao cho với Î , trù mật và Î ,s

s và

x Y ,

u t s x YÎ t

Y x ; sn

 ( , u t s x

)

 ( , , ) u t s x



. Đồng thời nếu ta có nghiệm

. Với

( , , ),

 ( , , ) : u t s x

ìï u t s x ïï= í ï x ïïî

1.5.Hàm hầu như tuần hoàn.(almost periodic functions).

1.5.1 Định nghĩa (tiêu chuẩn Bochner).

f t (

Một hàm f bị chặn và liên tục được gọi là hầu như tuần hoàn ( almost Perio

t kn

t n n

dic functions) nếu với mỗi dãy số { }¥ sao cho dãy hàm { tồn tại dãy con { } 1

} 1

hội tụ đều trên  .

- i

l f ( , ) :

x d ( )

Nếu f là hàm hầu như tuần hoàn thì tồn tại giới hạn

lim ¥ t

1 t 2

R a

0},

l { = Î

l | ( , )

b f ( )

Ta chứng minh được rằng tập hợp s tồn tại và được gọi là phổ

Bochner của f .

1.6. Phổ, tập giải của ánh xạ tuyến tính liên tục.

)

) :

L X

L X X ( ,

A L X A (

Cho X là không gian Banach trên trường 

Kí hiệu ( , IsomX ={ là song ánh}.

A < thì I A- thuộc IsomX và

1.6.1 Định lí

n A

2 = + + + I A A

...

( - I A

) 1

(

)

A L XÎ

và

thõa mãn điều kiện

Î thì A IsomX

. Từ

i) Nếu

- A A 0

0A IsomX

1 1 A- 0

đó suy ra IsomX là tập mở trong (

L X ).

ii) Nếu

1.6.2 Định nghĩa

A L XÎ

(

)

IsomX

l- Î I

Cho X là không gian Banach trên trường  , và .

i) Số l Î  gọi là giá trị chính qui của A nếu

Tập tất cả các giá trị chính qui của A gọi là tập giải của A , kí hiệu là ( )Ar .

r \ ( ) A

= 

A ii) Tập ( )

( )A

sÎ

gọi là phổ của A .

Il- không là đơn ánh hoặc A

Il- không là toàn ánh.

Il- không là đơn ánh thì l được gọi là giá trị riêng của A .

khi và chỉ khi A Như vậy

N A (

)

K A er(

)

l I

Nếu A

x xl=

(

) \ {0},

x N A

Khi đó gọi là không gian riêng của A .

¹ ) gọi là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng l .

X ¹

{0}

Mỗi ( hay

Định lí 1.6.3. Cho

là không gian Banach trên trường  . Khi đó ( )As

là tập compact,

không rỗng, chứa trong hình tròn đóng tâm O, bán kính A của  .

Định nghĩa 1.6.4

(

)

sup{|

l l |:

A L XÎ

A ( )}

Cho

r A , số ( )

gọi là bán kính phổ của A .

Định lí 1.6.5

n A

r A Bán kính phổ của A được tính bởi công thức ( )

lim ¥ n

Chứng minh những định lí trên chúng ta tham khảo tài liệu:

“Bổ sung về giải tích hàm” của PGS.TS Nguyễn Bích Huy mục 1.1, 1.2, và 1.3 trang 12, 13,14”.

1.7. Phổ của nửa nhóm và hàm sinh.

Định nghĩa 1.7.1

s A ( )

l l :

A D A ( )

Ì  là toán tử đóng,

{ sup Re

} A ( )

Cho được gọi là biên phổ

(spectral bound) của A .

s A có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào bao gồm -¥ (nếu ( )As

f= ), và +¥ .

Á =

Chú ý rằng ( )

s A luôn luôn bị chặn bởi:

( T t ( )

) 0

w t

= :

Á = ( ) :

inf



c M : ó

1 s

aocho T t ( )

" ³ t

M e w

{ w

} 0

T t ( )

Nếu A là hàm sinh của nửa nhóm liên tục mạnh , thì ( )

Mệnh đề 1.7.2. Cho biên phổ ( ),

s A và

ta có:

) ³0

log

( ) T t

-¥ £

s A ( )

£ := w 0

inf t > 0

1 lim log t t ¥

1 t

r T t log ( ( ))

< ¥ .

của nửa nhóm (xem định nghĩa I.5.6 và mệnh đề II.1.13). 0w của nửa nhóm (

1 t

t > .

T t r( ( ))

e w=

T t ( )

cho mỗi 0

t ³ 0.

) ³0

T t ( )

là nửa nhóm liên tục đều với hàm sinh ( bị chặn ) là A . ta có:

với mọi Đặc biệt bán kính phổ của nửa nhóm (

) 0

s A ( )

w= 0

Chứng minh của mệnh đề trên chúng ta tham khảo: “One-Parameter-Semigroups for Linear -Evolution Equations chương IV mệnh đề 2.2”. Hệ quả 1.7.3. Cho (

Chứng minh:

s A t ( )

T t r( ( ))

s A ( )

Từ định lí phổ ánh xạ cho nửa nhóm liên tục (xem bổ đề I.3.13), ta có:

w= (mệnh đề 2.2).

T t ( )

là nửa nhóm liên tục mạnh với hàm sinh là A và

w = -¥ ta có:

Do đó

Hệ quả 1.7.4. Cho (

) 0

T t = với mọi 0,

t > và ( )As

f= .

r( ( )) 1.8. Họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian Banach.

Định nghĩa 1.8.1

)L X là đại số Banach gồm các toán tử tuyến tính bị

Cho X là không gian Banach phức, và (

)L X .

chặn trên X .

³ ³ Ì

( , ) :

L X (

)

Kí hiệu . là chuẩn của các véc tơ trong X và các toán tử trong (

{ U t s

} 0

+ của các toán tử tuyến

được gọi là họ tiến hóa trên Họ

U t r ( , )

U t s U s r ( , ) ( , )

( , )U t t

tính bị chặn trên X nếu và chỉ nếu

³ ³ ³ và r

I= với mọi

t ³ (I là 0.

với mọi

(e1)

)L X ).

t s ( , ) :

toán tử đồng nhất trong (

(e2) Ánh xạ {

} s³ ³  X 0

( , )

t s  ( , )

U t s x , là liên tục với mỗi x XÎ .

M w > sao cho

( t

)

- s

U t s ( , )

t với mọi ³ ³ 0.

Một họ tiến hóa là bị chặn lũy thừa nếu tồn tại w Î , và

M e w w

(1.24)

và được gọi là ổn định lũy thừa nếu (1.24) đúng với số w < 0 .

U t s ( , )

U t (

s , 0)

Nếu họ tiến hóa thõa mãn điều kiện

s³ ³ , thì họ 0

với mọi

(e3)

( , 0) :

L X (

)

{ U t

} ³ Ì 0

là nửa nhóm liên tục mạnh trên X .

U t (

q s ,

+ = ) q

U t s ( , )

Họ tiến hóa tương ứng U là tuần hoàn chu kỳ q nếu

s³ ³ .

với mọi

(e4)

m i k e T

< ¥

(

T L XÎ

Bổ đề1.8.2. Cho

Nếu

, m" Î  , thì ( )

r T < 1.

sup  Î n

Chứng minh:

i k m

i n m + (

+ 1

i e T e T I (

- = )

1) T

Ta có đồng nhất thức

. (1.25)

m i n (

1) T

+ £ + 1

)

Từ (1.25), ta có:

, n" Î  . (1.26)

r T £ .

x (

- I T x )

( ).TsÎ

Suy ra ( )

= , (xem [9], mệnh

Giả sử 1 Suy ra tồn tại dãy sao cho lim ( ¥

T I T x- )

(

đề 2.2, p.64).

 ,

M và m Î  sao cho 2

N Cho Î

(

0,1,2,...,

) - T I T x

Từ (1.26) suy ra hội tụ đều về 0 khi m  ¥ cho mỗi k Î  .

1 2 N

- 1

T T I x )

(

0M ³

= 1

æ ç x ç ç çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ø

N k

- 1

N (

x 1)

T T I x )

(

thì

å å

= 1

N (

1) + -

N N ( N 4

N > > 2

( )TsÏ

, (mâu thuẫn). ³

T ( )

sÏ

. Suy ra 1

r T < .

, với m Î  . Do đó ( ) Mặt khác ta cũng có

Bổ đề 1.8.3. Một họ U tiến hóa tuần hoàn chu kỳ q là ổn định lũy thừa nếu và chỉ nếu ( )

r V < 1,

U q

( , 0)

L XÎ (

với V =

³ ³ Ì

( , ) :

L X (

)

là họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ q trên không

{ U t s

} 0

gian Banach X .

- i



mx e U t

x ( , ) ( ) d f

< ¥

" Î m

, 

" Î

(

Nếu

Chứng minh bổ đề 1.5.4 ta tham khảo: “Bus¸e C., Asymptotic stability and Perron condition for periodic evolution families on the half line, Evolution Equations and Semigroups(preprint), http://ma1serv.mathematik.uni-karlsruhe.de/evolve-l/index.html.” t Định lí 1.8.4. Cho

f P q

sup 0 > t

thì U ổn định lũy thừa.

(1.27)

Chứng minh:

x X n

0,1,...



(

)

( , 0)

)

U q

L XÎ (

Î g P q

X+ ,

x ( )

[0,q]

q x (

x U x ) ( , 0)

x" Î

Cho V = , , và sao cho

n (

= + , ta có: q 1)

, .

( k

1) q

- i

U n ((

x 1) , ) e q

x ( ) d

< ¥

Từ (1.27), cho

å ò

sup Î  n

, m" Î  . (1.28)

p " Î

 ,

U pq (

q pq ,

+ = ) u

U q u ( , )

Do U là họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ q nên ta có:

qé u 0, " Î ê ë

ù ú û

U pq jq

(

)

U p ((

j q ) , 0)

p j V -

" Î p

, 

" Î j

, 

, .

k =

0,1,...,

Và , .

( k

1) q

- i

U n ((

x 1) , ) e q

x ( ) d

( k

1) q

- i

U n ((

q k 1) ,(

q U k 1) ) ((

x 1) , ) e q

x ( ) d

ta có: Bây giờ cho

m i u kq

- n k

(

U k ((

1) ,

q u

kq e )

) g u (

kq du )

n k -

i u m

i kq m e V

u q (

u U q u U u

) ( , ) ( , 0)

xdu

n k

i kq m

i u m

u q (

1 - + x

)

ö÷ ÷ u du V ÷ ÷ ÷ ø

æ ç ç ç ç çè

- +

m i n (

n k

m ( , ) M q e

m q i n k ( e

q 1) V

1 - + x

m i u

( , ) M q m

u q (

u du )

với .

+ 1

e Vm i jq

< ¥

sup Î  n

r V < .

Trở lại (1.28) ta thu được

Áp dụng bổ đề 1.8.2 ta thu được ( )

Áp dụng bổ đề 1.8.3 suy ra U ổn định lũy thừa.

Chú ý:

Qua chứng minh trên ta thấy chiều ngược lại của định lí 1.8.4 cũng đúng.

CHƯƠNG II

LỜI GIỚI THIỆU VÀ CÁC KẾT QUẢ

2.1. Lời giới thiệu

(

)L X là đại số Banach gồm các toán tử tuyến tính, bị

Cho X là không gian Banach phức,

chặn trên X .

,X và các toán tử trong (

L X ).

+ là tập hợp các số thực

Kí hiệu . là chuẩn của các véc tơ trong

+ .

không âm, J là tập  hay

)

BUC J X . ( ,

Không gian Banach gồm các hàm nhận giá trị trên X , bị chặn và liên tục đều trên J kí hiệu là

)

AP J X . ( ,

( ,

)

AP J X là không gian con đóng nhỏ nhất của không gian

BUC J X ( , )

Không gian Banach gồm các hàm nhận giá trị trên X , hầu như tuần hoàn trên J kí hiệu là

Ta chứng minh được

X

:xfm

e xm i t



m Î

Î

, x X

chứa các hàm có dạng

t , ( ) :



(

)

, , (Xem mục [14]).

+ mà tồn tại ³ 0,

X+ ,

Tập hợp các hàm nhận giá trị trên X , xác định trên và

f t ( )

[0,

]

f t ( )

( ),

F t f

ìï ïïí ï ïïî

)

sao cho:

A 0(

X+ ,

)

BUC

(

)

. kí hiệu là

AP 0(

X+ ,

A 0(

X+ ,

( ,

)

BUC J X gồm các các hàm nhận giá trị trênX , liên tục, tuần hoàn chu kỳ

là không gian con đóng nhỏ nhất trong chứa được .

)

= kí hiệu là

Không gian con của

P J X . 1 ( ,

1, và thõa mãn (0)

P :   X

Một hàm đa thức lượng giác nhận giá trị trên X được cho bởi:

 ,

 ,

t  ( )P t =

c k

m k

c e k

+ mà tồn tại ³ 0,

X là

fp sao cho:

f t ( )

[0,

]

f t ( )

( ),

p t f

ìï ïïí ï ïïî

)

Tập hợp các hàm f xác định trên và một tổng lượng giác nhận giá trị trên

TP R X+ 0(

)

. được kí hiệu là

X và ),

TP 0(

X+ ,

+0(

X+ ,

TP 0(

X+ ,

P 1 (

BUC

(

)

là tập con của là bao đóng của trong Ta có

X+ ,

T t { ( ) :

³ Ì 0}

L X (

)

không gian .

,X và

( )D A

A :

Ì  là hàm sinh của nửa nhóm ( )T t .

là nửa nhóm liên tục mạnh trên Cho

Au t ( )

x X

Ta biết rằng bài toán Cauchy

Î .

(0)

ì ¢ï u t ( ) ïïí ï u ïïî

, với (2.1.1)

(xem [22, 23, 15] và trong phần tóm tắt các phương trình đạo hàm riêng ) có

u t ( )

T t x

t ( ) , (

³ 0).

nghiệm yếu đặt đúng là:

+ 

Tuy nhiên nếu là hàm khả tích địa phương thì nghiệm yếu của

Au t ( )

f t ( )

y X

bài toán Cauchy không thuần nhất

Î .

(0)

ì ¢ï u t ( ) ïïí ï u ïïî

, với

T t y ( )

T t (

) ( ) d f z

có dạng:

t ³ .

fu t y ( , )

Với bài toán Cauchy đặc biệt

m i t e x

Au t ( )

x X m

Î 

(0)

ìï ¢ = u t ( ) ïïí ï u ïïî

với

( , 0)

t ( )

T t (

e xdmz i )

thì nghiệm có dạng:

t ³ .

u t f

, m

T t { ( ) :

³ Ì 0}

L X (

)

là Theo định lí Datko-Neven ([8, 18]) thì nửa nhóm liên tục mạnh

T t

-£( ) Ne

,vt

ổn định lũy thừa, tức là tồn tại các hằng số N > 0, và n > 0 sao cho:

t ³ 0

)

với mọi

X hay

+(

X+ ,

)

X hoặc

khi và chỉ khi nó bị chặn trên một không gian của bởi phép biến đổi

+(

X+ ,

thì tích chập. Hay với một cách phát biểu khác nếu c là không gian

(., 0)

cÎ nghiệm

cÎ .

nửa nhóm liên tục mạnh T là ổn định lũy

)

thừa khi và chỉ khi với mỗi hàm f

X+ ,

(

)

là không gian các hàm nhận giá trị trên X , liên tục và triệt tiêu tại vô cực với Ở đây

X+ ,

+  ,X

là không gian Lebesgue – Bochner chứa các hàm đo được f : chuẩn sup,

1 p

f s ( )

bằng nhau hầu khắp nơi và thỏa mãn:

¥æ ç ç= ò ç ç çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

< ¥ .

Khi X là không gian Hilbert phức, định lí Neerven – Vu ([19, 20, 24]) chỉ ra rằng nửa nhóm liên

t ( )

M x ( )

< ¥

tục mạnh T trên X là ổn định lũy thừa nếu và chỉ nếu

m ,

sup sup  mÎ t 0

( , R A l

) :

, với mỗi x XÎ . (2.1.2)

( = - l

) 1 A



: Re( ) l

Mặt khác Neerven và Vu đã chứng minh được nếu (2.1.2) đúng thì giải thức

} 0

. Hơn nữa kết quả này cũng đúng cho nửa nhóm tồn tại và bị chặn đều trong { l

xác định trên không gian Banach. Định lí Gearhart – Pruss-Herbst – Howland (xem [10, 11, 12,

13, 21, 25]) cho thấy, nếu giải thức của nửa nhóm trên không gian Hilbert là bị chặn đều trong



: Re( ) l

{ l

} 0

thì nó ổn định lũy thừa. Nhiều chi tiết hơn về các kết quả trên chúng ta tham

khảo phương trình đạo hàm riêng trong các mục [2,4, 24].

A t u t ( ) ( )

Cho bài toán Cauchy non – autonomous

(0)

ì ¢ï u t ( ) ïïí ï u ïïî Î0,

t với ³

x X , ( )A t là toán tử tuyến tính (có thể không bị chặn). Nghiệm yếu

( , ) :

³ ³ Ì

(

(2.1.3)

L X đó là:

{ U t s

} 0

+ ,

U t r ( , )

( , ) ( , ),

U t t ( , )

U t s U s r với mọi

³ ³ ³ và r

I với mọi ,

t ³ (I là 0,

của bài toán dẫn tới họ tiến hóa trên

(e1)

)L X ).

t s ( , ) :

toán tử đồng nhất trong (

(e2)

} s³ ³  X 0

( , )

x XÎ

t s  ( , )

U t s x , là liên tục với mỗi

Ánh xạ {

M w > sao cho:

t (

s -

U t s ( , )

) ,

Một họ tiến hóa là bị chặn lũy thừa nếu tồn tại w Î , và

s³ ³ .

M e w

với mọi (2.1.4)

và được gọi là ổn định lũy thừa nếu có số w < 0, sao cho (2.1.4) đúng.

U t s ( , )

U t (

s , 0)

Nếu họ tiến hóa thõa mãn điều kiện

s³ ³ , thì họ 0

với mọi

(e3)

( , 0) :

L X (

)

{ U t

} ³ Ì 0

là nửa nhóm liên tục mạnh trên X .

A t (

+ = 1)

A t ( )

Trong trường hợp đánh giá (2.1.4) thõa mãn. Nếu bài toán Cauchy (2.1.3) là tuần hoàn chu kỳ 1,

t ³ , thì họ tiến hóa tương ứng U cũng tuần hoàn chu kỳ 1, tức

với mỗi tức là

( , ),

U t (

+ + =

U t s với mọi

s³ ³ .

là:

(e4)

Mỗi họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ 1 là bị chặn lũy thừa, tham khảo ([5], bổ đề 4.1).

+  X , nghiệm yếu đặt đúng bài toán Cauchy

Cho hàm khả tích địa phương Bochner

không thuần nhất

A t u t ( ) ( )

f t ( ),

(0)

ì ¢ï u t ( ) ïïí ï u ïïî được cho bởi:

( , ) :

U t

x ( , 0)

U t

d ( , ) ( ) f t t

t ³ ). 0

fv t x

+ ò

, (

+ ,

Ta xét họ tiến hóa trên đường thẳng, ta sử dụng lại các kí hiệu như trong trường hợp trên

ngoại trừ các tham số s , và t có thể nhận giá trị bất kỳ trong  .

Định lí Datko – Neerven có thể được mở rộng cho họ tiến hóa trong cả hai trường hợp trên

đường thẳng, và trên nửa đường thẳng. xem ([8, định lí 6], [17, định lí 2.2], [7] hay tài liệu chuyên

khảo [6]. Nhưng có lẽ định lí Neerven – Vu không thể mở rộng được cho họ tiến hóa tuần hoàn.

Tuy vậy vài kết quả yếu hơn được mô tả sau đây cũng vẫn còn đúng.

Ta sử dụng lại khái niệm về nửa nhóm tiến hóa. Chi tiết chúng ta tham khảo [6, 7], và các tài

( , ) :

Î G AP

( , 

)

liệu liên quan của chúng.

³ Î  là họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ 1,

t ³ và 0,

{ U t s

}

( )

( ) :

U s s ( ,

t G s ) (

) :







Cho .

( ) :

( ,

X và họ một tham số

³ là một nửa nhóm liên tục mạnh

(2.1.5) Hàm được cho bởi: ( ) S t G s

{ S t

} 0

)

X ( ,

thuộc vào

trên , xem ví dụ [16]. S được gọi là nửa nhóm tiến hóa trên .

2.2. Các kết quả

X t ),



( , ) :

³ Î s

L X (

)

và

là họ tiến hóa

Bổ đề 2.2.1. Cho

{ U t s

} Ì

Î f AP 0(

ft tuần hoàn chu kỳ 1, gồm các toán tử tuyến tính bị chặn trên X . Khi đó hàm ( )S

được cho bởi

công thức

f s ) (

( ) t

s ( ) :

é S ê ë

ù ú û

£ < s

ìï U s s ( , ïï = í ï 0, ïïî

)

thuộc vào không gian

AP 0(

X+ ,

(2.2.1)

Chứng minh:

( ) t

(

)



Î g A 0

A 0(

X+ ,



)

(

)

Trước hết ta chứng minh với bất kỳ trong .

Î g A 0(

X+ ,

gt ³ và 0,

Î gF AP

X+ ,

é ê ë

ù ú û

( ),

F s g

ì ï g s ( ) ï ïí ï g s ( ) ïïî

= :

(.,.

Thật vậy, vì nên tồn tại sao cho:

t= + và : t

t - . )

F S

g t ( )

F ) g

g t ( )

Đặt

t ( )

[0,

]

t S

t ( ) g

t ( )

s ( ),

F S

t ( ) g

t S

t ( ) g

ù g s ( ) ú û ù = g s ( ) ú û

ìé ï S ïê ë ïí ïé S ïê ïë î

- = ) t

)



Ta cần chứng minh

- (vì ),

X+ ,

Î g A 0(

t t³

g ( )

g s t- ³ Do đó ( .g

F s ( g

t³ .

Thật vậy, nếu , thì ).

t t³ ( ) S

nên Mặt khác, vì

( ) t

U s s ( ,

g s ) (

)

U s s ( ,

)

Do đó

F s ) ( g

t= gF

s ( ) ( )

é S ê ë

ù = g s ( ) ú û

= .

t t 0, S

g ( )

é Î ê ë

ù ú û

Trường hợp 1:

Nếu

£ - £ và

t³ .

t t , S

g ( )

té Î ê ë

ù ú û

g s (

)



Với . Điều này dẫn đến 0

t- = , (vì

X+ ,

Î g A 0(

Do đó ).

( ) t

U s s ( ,

g s ) (

và

- ) t

é S ê ë

ù g s ( ) ú û

)(0)

)

U s s ( ,

t- Î )

L X (

= (vì 0,

Trường hợp 2:

£ < , ta có: t

( ) t

Với 0

é S ê ë

ù g s ( ) ú û

é S ê ë

ù g s ( ) ú û

= 0, ( theo định nghĩa hàm ).

( ) t

Từ hai trường hợp trên ta có:

t t 0, S

g ( )

é S ê ë

ù g s ( ) ú û

é Î ê ë

ù ú û

= 0, với mọi .

t ( )

t 0, S

t ( ) g

é Î ê ë

ù ú û

t ( )

s ( ),

F S

t ( ) g

ù g s ( ) ú û ù = g s ( ) ú û

ìé ï S ïê ë ïí ïé S ïê ïë î

( ) t

(

" Î

(



Vậy

Î g A 0

g A 0

Hay

e> tùy ý

(

)

(

)



Bây giờ cho 0,

X+ ,

Î f AP 0(

A 0

AP 0

Î g A 0(

. e

BUC

(

)

và nên tồn tại sao cho: Vì

( ) t

g A Î

X ),

0 (

( ) f t

( ) g t

U s s ( ,

)

f s (

g s (

t - - )

Theo chứng minh trên ta có:



BUC

(

)

ù ) û ú

é ê ë

= sup t s

U s s ( ,

)

f s (

g s (

)

t ) - -

và

(

)

sup t s ³

s (

( s

U s s ( ,

)

) ) - - =

Vì U tuần hoàn chu kỳ 1 nên U bị chặn lũy thừa, tức là tồn tại > 0, và w Î  sao cho:

( ) f t

( ) g t

f s (

g s (

t - - )



BUC

(

)

é ê ë

ù ) û ú

sup t ³ s



BUC

(

)

Do đó

< Me wte .

gt e  ta suy ra ( )S

ft hội tụ về ( ) .

)



ft là tập đóng nên ( )S

Cho

X+ ,

X+ ,

AP 0(

. Vì

Hoàn thành chứng minh bổ đề 2.2.1 ■

S t

( ) :

t ³ là một nửa nhóm các toán tử tuyến tính, bị chặn trên

} 0

)

Ta cũng thấy rằng họ {

X+ ,

AP 0(

(

X a b



 ,

Î f g AP , 0

t³ ta có:

Thật vậy, với

Nếu

t a ( )(

)( t a

)

U s s ( ,

g s )(

é S ê ë

ù s ) ( ) ú û

)( t a

))

U s s ( ,

f s (

- + ) t

g s (

)

U s s a ( ,

f s ) (

- + ) t

U s s b ( ,

g s ) (

a t S

g s = [ ( ) ](s)+ [ ( ) ]( )

= [

a t S

b t g s ( ) + ( ) ]( ). S

Mặt khác

)

0(

S ( )( t a f + b g ) - [ S a t g ( ) + ( ) ] S b t f

{

}

= S ( )( t a f + b g s )( ) - [ S a t S b t ( ) + ( ) ( )] g s f = 0. sup s t ³

( )( t a

)

S a t

g ( ) + ( ) ,

S b t

s " ³

S ( )( t a f + b g ) - S a t [ g ( ) + ( ) ] S b t f = 0. Do đó

Hay

£ < thì t

+ = S S f f g 0. g ( ) ](s)= ( ) ](s)= ( )( t t t a b Nếu 0 é S ê ë ù s ) ( ) ú û

( ) t

L AP (

)),

" ³ t

S ( )( t a f + b g ) = [ S a t f Do đó g ( ) + ( ) ]. S b t

0 (

Vậy

Mặt khác

( , ) ( )

U s s f s = (

)( )

I f s = f s ( ), s (0) = " Î  . é S ê ë ù f s ( ) ú û

( với I là ánh xạ đồng nhất trên X ).

{

}



)

S (0) f - f = U s s f s ( , ) ( ) - f s ( ) = 0. sup 0 ³ s

= 0.

(0)S f f- Do đó

Điều này tương đương với

= 0.

S ( (0) I f- )

= .I (I là ánh xạ đồng nhất trên



(0)S ) ). Suy ra AP 0( X+ ,

)

S t (

t+ = ) 2

St t ). ( ( 1

³ 0, ( , X ), Với ta kiểm tra . t t , 1 Î f AP 0

( t

f S ) ,

( t

)

(

)



Î f AP 0

Từ bổ đề 2.2.1, ta có:

và

³ + t t 1

( t

)

s ( )

é S ê ë

ù ú û

£ < + t

t f s ) ( t ), s - - t 1 - - t 1 = s

³ +1 t t

2 ,

- ³1 t

ta có : . Với ìï U s s ( , ïïí ïïïî 0, t³ và 1

t (

t ). ( S

t (

)

t (

)

( ) s

) )

( S

é ( S ê ë

ù ( ) f s ú û

é S ê ë

ù ) ú û

)

U s s ( ,

S )[ ( t

f s ) ](

U s s ( ,

U s ) (

f s ) (

- - )

, 1

- - t 1

U s s ( ,

f s ) (

f = Do đó

- - t 1

( t

)

s ( ).

é S ê ë

ù ú û

( t

)

( ( S t

). ( S t

))

(U là họ tiến hóa )



(

)

AP 0

t ). ( S

Suy ra

) ( ) f s ]

t ( ( S [

)) ( ) f s ]

= 0.

t ( 1

{

}

sup ³ + t t 1

S [

)

t ( ( S

t ). ( S

))

t ( 1



S f f Do đó

t (

t ). ( S

" Î

(

( S

) )

+ - ) 2

S f X Hay f AP 0

)

t ). ( St ( 1

S S t ( . Suy ra

£ < + t 2

s Nếu

Trường hợp 1:

£ < s

Với ta có:

t (

t ). ( S

t (

)

t (

)

( ) s

) )

( S

é ( S ê ë

ù ( ) f s ú û

é S ê ë

ù ) ú û

t (

)

( ).

f = 0

)

t (

t ). ( S

é S ê ë = ( S

ù f s ú û ) )

t ( 1

S f f Suy ra



Điều này dẫn đến

t (

)

t (

t ). ( S

" Î

(

( S

) ) ( ) f

)

S t (

S X f AP 0

t+ ) 2

St t ). ( ( 1

= . Hay

Trường hợp2:

£ < + ta có: t

2 ,

£ - < t . 1

Với

t (

t ). ( S

( , U s s

)

t (

)

( s

)

t 1

é S ê ë

ù ) ( )( ) s f ú û

é S ê ë

ù ú û

)(0)

U s s ( ,

f Do đó =

( t

)

s ( )

= 0 =

( t

). ( S t

= .

)

é S ê ë = ( S

ù ú û ) )

t ( 1

S f Suy ra

)

t ). ( St ( 1

t+ . 2

S S t ( = Hay

)

t+ 2

t ). ( St ( 1

S t

( ) :

)

t ³ là một nửa nhóm các toán tử tuyến tính, bị chặn trên

S S t ( = . Vậy ta có

} 0

0( AP

, X+

. Suy ra họ {

Bổ đề 2.2.2. Cho U là họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ 1 gồm các toán tử tuyến tính bị chặn trên X .

)

( ) :

Nửa nhóm

³ liên kết tới U trên

, xác định trong (2.2.1) là nửa nhóm

{ S t

} 0

AP 0(

X+ ,

liên tục mạnh.

S t

Chứng minh:

)



Î f AP 0(

X+ ,

Cho và t ³ 0, tùy ý.

( ) t

(



Î f AP 0



(

)

Từ bổ đề 2.2.1, ta có:

Î 0( f AP

, X+

ft ³ và 0,

Î fF AP

, X+

Vì nên tồn tại sao cho:

= Î f s ( ) 0, s 0, t [ ]

= ³ f s ( ) ( ), s t F s f ìï ïï í ï ïïî

t ( )

)



)

f s ( )

t [ ( ) ]( ) f s S

f s ( ) .

S f - f = - f s ( ) Ta có f s sup [ ( ) ]( ) S [0, Î ¥

]

)

f s sup [ ( ) ]( ) S [ t Î

t +

sup t t [ , Î + ¥

t 0,

f s sup [ ( ) ]( ) S é s Îê ë

ù ú û

f s ( )

f s

t 0,

t sup [ ( ) ]( ) . s Î

f s sup [ ( ) ]( ) S é s Î ê ë

ù ú û

é ê ë

ù ú û

Mặt khác

tÎ [0,

f s t< . Do đó [ ( ) ]( )

= 0.

Với ].

thì s Nếu t > ,ft

f s ( )

= 0.

t 0,

f s sup [ ( ) ]( ) S s Î

f s sup [ ( ) ]( ) S é s Î ê ë

ù ú û

é ê ë

ù ú û

Suy ra

= 0.

f s £ < ta có [ ( ) ]( )

Nếu t £ .ft

Trường hợp

f s < - £ - £ Do đó ( t

t- = ) 0.

t £ £ ta có 0 t ,f

U s s ( ,

f s ) (

- = ) t

U s s ( ,

)(0)

= 0.

f s Suy ra [ ( ) ]( ) S

t [ ( ) ]( ) f s S

= 0.

Do đó

Vậy ta luôn có

= 0.

t 0,

f s sup [ ( ) ]( ) S é s Îê ë

ù ú û

f s ( )

= 0.

Hay

t 0,

f s sup [ ( ) ]( ) S s Î

f s sup [ ( ) ]( ) S é s Î ê ë

ù ú û

é ê ë

ù ú û

s Với

é t ê ë

ù ú û

£ - £

f s Do đó (

t- = ) 0.

Nếu t £ ft thì

= 0.

f s Điều này dẫn tới [ ( ) ]( )

, t t

Nếu t > ft thì

é t ê ë

ù t + = ú û f

é t ê ë

ù ú û

é ê ë

ù ú û

Trường hợp

f s ta có: [ ( ) ]( ) S

= 0.

é t Î ê ë

ù ú û

£ - £

Trường hợp

ta có:

t té , ê ë

ù ,f ú û

f s Do đó (

t- = 0. )

f s S Suy ra [ ( ) ]( )

= 0.

Vậy với

f s ta có: [ ( ) ]( ) S

= Điều này dẫn đến:

é t ê ë

ù ú û

f s ( )

f s ( ) .

s sup ( ( ) )( ) S t [ Î

t +

]

sup t + t [ Î , t

]

tÎ

( ).

Với

ta có

f s s ³ Do đó ( )

[ +t , f

t .f

F s= f

s ( ( ) )( ) f S

f s ( )

s ( ( ) )( ) f S

Suy ra

F s ( ) f

sup Î + ¥ t [ , t

)

sup t t Î + ¥ [ ,

t ( )

f s ( )

s ( ( ) )( ) f S

Vậy

F s ( ) f

)



0 (

]

)

sup + Î [ t , t t

sup Î + ¥ t [ , t

Trường hợp 0

f s ( )

t ( ( ) S F f

f AP

(

)



sup é t t t , + ê ë

ù ú û

Suy ra

f s ( )



)

f AP

(

)

t lim ( ) f S  t

S F lim ( ( ) t f  t

0 (

lim sup  t é + Î t t s t ê ë

ù ú û

vì nửa nhóm S ( xác định trrong 2.1.5 ) là nửa nhóm liên tục mạnh, và f là hàm liên tục đều trên

f t = 0 nên ta có:

+ , và ( )f

= 0



)

t lim ( ) S t 

0 (

Hay

t lim ( )S f t 

)

( ) :

Suy ra nửa nhóm

³ liên kết tới U trên

, xác định trong (2.2.1) là nửa

{ S t

} 0

X+ ,

AP 0(

nhóm liên tục mạnh, và được gọi là nửa nhóm tiến hóa liên kết tới U trên không gian

)

X+ ,

AP 0(

Hoàn thành chứng minh của bổ đề 2.2.2■

Kết quả chính của luận văn được trình bày trong định lý sau

( , ) :

Định lý 2.2.3. Cho

³ Î  là họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ 1, gồm các toán tử

{ U t s

}

tuyến tính bị chặn trên X. Hai khẳng định sau là tương đương

i) U là ổn định lũy thừa.

)



(., 0)

(

)

cho mỗi

ii)

X+ ,

AP 0

Î f AP 0(

Bổ đề sau là chìa khóa để chúng ta chứng minh (i) kéo theo (ii) của định lý 2.2.3

( , ) :

Bổ đề 2.2.4. Cho

³ Î  là họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ 1 các toán tử tuyến

{ U t s

}

)

( ) :

tính bị chặn trênX ,

³ là nửa nhóm tiến hóa liên kết tới U trên

, xác

{ S t

} 0

X+ ,

AP 0(

)



G D G là toán tử sinh của

,S u và

. Hai khẳng định sau là

định trong (2.2.1), (

) ( )

X+ ,

Î f AP 0(

tương đương

u D G và Gu

f= - .

j) Î ( ),

u t ( )

( , ) ( )

U t s f s ds với mọi

t ³ .

jj)

= ò

Chứng minh:

( )j kéo theo ( ).

u D GÎ ( )

Với mỗi

t ³ , vì 0

nên theo kết quả d) của định lí 1.2.4, ta có:

S Gud

x ( )

S t u ( )

u (0)

Điều này tương đương với

( )S t u

S Gud

x ( )

S t u t [ ( ) ]( )

S Gud

x ( )

t )( )

( )u t

Suy ra

- ò (

U t

u ( , 0) (0)

U t t ( ,

)(

Gu t )(

d )

U t t ( ,

f t ) (

x x ) d

t = - , x

Bằng phương pháp đổi biến t

ta thu được:

U t

t t d ( , ) ( ) f

( )u t =

( )jj kéo theo ( ).j

(

)



Giả sử

. Cố định t > 0. Ta chứng minh

X+ ,

Î u f AP 0

- (

S t u ( )

t ( )

+ = ) u

(2.2.2)

1 t

Nếu s

t³ , ta có:

- (

S t u ( )

u s )( )

- ( [ ( ) ]( ) S t u s

u s

( ))

1 t

U s s ( ,

t u s ) (

- + ) t

ù ( ) u s û ú

é ê ë

1 = - t

U s

[

t t d f ( , ) ( )

U s s ( ,

t t d t f , ) ( )

]

s t - ò t U s ) (

1 t

- t

U s

t t d f ( , ) ( )

]

[

1 t

U s

t t d f ( , ) ( )

1 = ò t

- t

Bằng phương pháp đổi biến

t = - ta thu được:

- (

S t u ( )

u s )( )

U s s ( ,

r f s ) (

r dr )

1 t

S r f s dr [ ( ) ]( )

)

t ( )

s )( )

1 = ò ( t

Nếu 0

£ < , ta có: t

u s

( ))

([

S t u s ( ) ( ) ]

- (

S t u ( )

u s )( )

1 t

U s

u s ( )

t t d f ( , ) ( )

1 = ò t

1 t

U s s ( ,

f s ) (

t t d )

1 t

t f s d S [ ( ) ]( )

)

(

1 t

(

t f s d S [ ( ) ]( )

)

1 t

" Î s

t [0, ).

t =

Do đó

f s (ta có [ ( ) ]( ) S

S [

t ( ) ( ) f s d ]

t ( )

s )( )

1 = ò ( t

- (

S t u ( )

t ( )

+ = )

Vì vậy

1 t

S t u ( )

+ = u )

t ( )

Suy ra

lim t  0

1 t

1 lim ( t 0 t

= (0) ,

f (do kết quả (a) định lí 1.2.4).

= If = f .

)

G D G là hàm sinh của nửa nhóm tiến hóa S trên không gian

. Do đó

Mặt khác (

) ( )

X+ ,

AP 0(

Î ( ),

u D G và Gu

f= - .

Hoàn thành chứng minh của định lí 2.2.4■

Gọi ( )Ls

là phổ của các toán tử tuyến tính L trên X .

r L ( ) :

= 

s L \ ( )

là tập giải của L .

sup

l l :

sÎ

r(L ):=

là bán kính phổ của L .

{

} ( )L

l l

sÎ

là biên phổ của L (spectral bound) .

s(L ):=

{ sup Re( ) :

} ( )L

( , ) :

Định lí 2.2.5. Cho

³ Î  là họ tiến hóa tuần hoàn chu kì 1 trên không gian

{ U t s

}

Banach X , V := U (1,0) là toán tử đơn, và S là nửa nhóm tiến hóa liên kết với U trên không gian

)

X ( ,

được cho trong (2.1.5). Bốn khẳng định sau là tương đương.

(i) U là ổn định lũy thừa.

r V < 1.

(ii) ( )

sup

i k m e V

< ¥

(iii)

, với mọi m Î  .

n N Î

i s m-



Î f P

)

U t s e ( , )

f s ds ( )

và với mỗi m Î  hàm

là bị chặn trên

iv) Với mỗi

X+ ,

1 (

ò

+ .

Chứng minh:

Áp dụng bổ đề 1.8.3 ta có (i)  (ii).

Từ chứng minh của định lí 1.8.4 và định lí 1.8.4 ta có (i)  (iii) và (i)  (iv).

Bây giờ ta chứng minh định lí 2.2.3

( )i kéo theo ( )ii .

Giả sử U ổn định lũy thừa.

)

Gọi S là nửa nhóm tiến hóa liên kết với U trên không gian

, và (

) G D G là hàm ( )

X+ ,

AP 0(

sinh của nó.

Vì U ổn định lũy thừa nên tồn tại số thực w < 0, và

0M e > sao cho:

s -

( t

)

U t s ( , )

, với mọi t

s³ .

M e e e

Ta có:

U s s ( ,

f s ) (

) :

S t ( )

(

))

(



)

( L AP 0

+

AP 0

ì ï ï sup sup í ï ï î t

ü ï ï 1  ï ï 

) .

f s (

) :

(



)

U s s sup sup ( , ³ t s

AP 0

ì ï ï í ï ï î

ü ï ï 1  ï ï 

" ³ 0.

M e et e

Mặt khác

S t ln ( )



(

))

S ( ):

lim ¥ t

L AP ( 0 t

t w

M e e

lim ¥ t

M t

ln e t

£ < w

( )GrÎ

Theo lí thuyết hàm sinh của nửa nhóm tuyến tính [26, p.4-5], ta có 0

Suy ra G là song ánh. Do đó G khả nghịch.

f AP Î

u D G ( )

(

)



Suy ra với mỗi

X tồn tại

sao cho Gu

f= - .

0(

AP 0

X+ ,

Theo bổ đề 2.2.4, ta có:

( , ) ( )

U t s f s ds với mọi

t ³ .

( )u t = ò

Ta lại có

U t

x ( , 0)

U t

t t d ( , ) ( ) f

, (

t ³ ). 0,

fv t x := ( , )

+ ò

(., 0)

Suy ra

(., 0)

(

)



Vậy

AP 0

X+ ,

( )ii kéo theo ( ).i

)



(., 0)

X với mỗi

Giả sử

Î f AP 0(

X+ ,

0 (

Î f P

)



Cho m Î , và

1 (

X+ ,

)

m-= i t e

f t ( ),

g t Đặt ( )

³ Ta chứng minh hàm g Î

AP 0(

X+ ,

f TP Î

)

Đầu tiên ta chứng minh với mỗi

X thì g Î

X ).

0(

+0(

)

( ) :



Thật vậy, vì

nên

tồn

tại

với

Î f TP 0(

X+ ,

ft ³ , và 0

p t f

c e k

= å k

XÎ

sao cho:

kc Î  ,

m Î k R ,

f t ( )

[0,

]

f t ( )

( ),

p t f

ìï ïïí ï ïïî

i t m-

( ),

Đặt

và

³ 0.

p t f

gp t = ( )

tÎ [0,

m-= i t e

f t ( )

ta có ( )

g t f t = . Do đó ( )

= 0.

Nếu

],f

i t m

f t ( )

f t ta có ( )

g t . Do đó ( )

p t ( ) f

p t ( ) g

t Nếu ³ ,f

p t= ( ) f

[0,

]

Vậy

( ),

p t g

ìï g t ( ) ïïí ï g t ( ) ïïî



Suy ra

Î g TP 0(

X+ ,

)

(

)

(

)



Mặt khác ta lại có

TP 0(

A 0

AP 0

X+ ,

)



Do đó

Î g AP 0(

X+ ,



(

)

(

)

Nếu

thì tồn tại

sao cho:

0 Î f P 1

TP 0

Î h TP 0(

X+ ,

< " >

e ,



(

)

BUC

Ta có:

i t m

f t ( )

h t ( )

f t ( )

h t ( )

£ - h



(

)

BUC

e m- i t

c os

m t

sin

m t

= ). 1

( do

)



g t ( )

m-= i t e

f t ( )

Suy ra

thuộc vào

TP 0(

X+ ,

(

)

(

)

(



Mặt khác

TP 0

A 0

AP 0

)

Î f P

)





g t ( )

m-= i t e

f t ( )

thuộc vào

, với

Do đó hàm

1 (

AP 0(

X+ ,

X+ ,

Î f P



với

Hay g Î

1 (

AP 0(

X+ ,

X+ ,

i t m-

m- i t

f t ( )

)

( , 0)

U t s e ( , )

f t ds ( )

Vì

thuộc vào

nên nghiệm

AP 0(

X+ ,

fv t

= ò

m- i s

)

U t s e ( , )

(



. Tức là hàm

với

thuộc vào

AP 0(

X+ ,

f s ds AP ( ) 0

ò

)



Î f AP 0(

X+ ,

i s m-



)

BUC

(

)

U t s e ( , )

f s ds ( )

Hơn nữa

, do đó hàm

là bị chặn trên

AP 0(

+ .

ò

Theo định lí 2.2.5 (iv)

( )i ta suy ra U là ổn định lũy thừa.

Chú ý

Từ các điều kiện tương đương (i) và (iv) của định lí 2.2.5 và với kết quả của định

lí 2.2.3 chúng ta thấy rằng họ tiến hóa U trong định lí 2.2.3 là ổn định lũy thừa nếu và chỉ nếu với

)

(., 0)



nghiệm

bị chặn trên

mỗi

Î f AP 0(

X+ ,

+ .

(., 0)

X với mỗi

Thật vậy, nếu U là ổn định lũy thừa thì theo định lí 2.2.3 ta suy ra

0 (



)

(., 0)

. Tức là nghiệm

bị chặn trên

Î f AP 0(

X+ ,

+ .Trái lại với mỗi

X+ ,

(., 0)

bị chặn trên

nghiệm

+ thì theo chứng minh (ii) (i) của định lí 2.2.3 ta suy ra U là ổn

định lũy thừa.

CHƯƠNG III

ỨNG DỤNG

Một hệ quả trực tiếp của định lí 2.2.3 là định lí về phổ ánh xạ cho nửa nhóm tiến hóa S trên

)

không gian

. Kết quả tương tự có thể được tìm thấy trong ([13], định lí 2.2) cho nửa

AP 0(

X+ ,

nhóm tiến hóa trên

X và trong [14, định lí 5] cho nửa nhóm tiến hóa trên

+00(

)

AAP 0(

X+ ,

)

Ở đây

là không gian các hàm nhận giá trị trên

,X xác định trên

00(

X+ ,

+ sao cho:

(0)

= 0.

f t lim ( ) ¥ t

)

là không gian chứa các hàm h nhận giá trị trênX , xác định trên

AAP 0(

X+ ,

+ sao cho h (0) =

Î f C

Î g AP

(

)



, sao cho:

0, và tồn tại

X+ ,

= + .

Định lí 3.3.1. Cho U là họ tiến hóa tuần hoàn chu kì 1 các toán tử tuyến tính bị chặn trên X . Nửa

)

thõa mãn định lí về phổ ánh xạ, tức là

nhóm tiến hóa S liên kết tới U trên

AP 0(

X+ ,

)

t Ge s (

S t = ( ( )) \ {0},

³ 0.

: Re( ) l



( )Gs

Mặt khác

= { l

} s G ( ) .

và



S t ( ( ))

với mọi t > 0.

= { l

} r S t ( ( )) ,

Chứng minh:

Theo bổ đề 2.2.2, S là nửa nhóm liên tục mạnh trên

Do đó theo định lí về phổ của

AP 0(

X+ ,

ánh xạ, ta có:

)

t Ge s (

S t ( ( )) \ {0},

= s

l³ . Re

Cho l

rÎ ( ),G và m Î  sao cho

- - s t ( l

Đặt

U ,

S t ( ) l

( ) U t s ( , ) l

( t l e S t ( )

( e

) ) U t s ( , )

³ ³ s

) 0

³ ³ s

+ các toán tử tuyến tính, bị chặn trên

Ta chứng minh U l là họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ 1 trên

X .

x y X a b ,

Î  ta có:

Thật vậy, với

- - ( l s t

) U t s

( e

) ( , ) (

- - ( l s t

)

( , )( a x + b y ) = a x + b y ) U t s l

) )

- - ( l s t

)

= e ( , )( a x + b y

( U t s ( a U t s x ( , )

)

- - ( l s t

= e + b U t s y ( , )

) U t s x ( , )

) U t s y ( , ) ,

= a e + b e

Mặt khác

s - - t ( l

= a U t s x ( , ) + b U t s y ( , ) , " ³ ³ s t 0.

) U t s ( , )

t .(

s -

)

= e U t s ( , ) l

£ e U t s ( , )

t .(

s -

)

U t s ( , ) = . e

Vì

nên U bị chặn, tức là tồn tại

U t s ( , ) L XÎ ( ) 0M > sao cho:

t Với mỗi ³ ³ 0

, tồn tại

N > sao cho:

1 e (

)

e l - £ . N

Từ đó suy ra

M N với mỗi ³ ³ 0.

U t s ( , ) l

U t s ( , ) £ M t , " ³ ³ s 0.

Vậy

hay họ

( ) U t s ( , ) l

s ³ ³

Với

³ ³ ³ ta có:

- - ( t t l

Î L X ( ), U = Ì L X ( ). U t s ( , ) l

) U t t ( , )

= e I , = (I là ánh xạ đồng nhất trên X ). U t t ( , ) l

- - r t ( l

- - s r (

U t r U r s ( , )

( , )

) U t r e ( , )(

) U r s

( , ))

l - - r t (

- - s r (

) e

) U t r U r s ( , ) ( , )

l - - s t (

) U t s ( , )

( , ).

U t s l



U t s x ( , )

x XÎ

t s Hơn nữa vì ánh xạ ( , )

là

liên

tục với mỗi

nên ánh xạ

l- - s t (

t s ( , )

) U t s x ( , )

x XÎ



cũng liên tục với mỗi

x XÎ

U t s x ( , )

t s Suy ra ánh xạ ( , )

liên tục với mỗi

l

Vậy U l là họ tiến hóa tuần hoàn các toán tử tuyến tính bị chặn trênX .

Mặt khác

- + - +

s 1 (

t (

1))

+ + =

U t (

+ + s 1,

U t ( l

- - l ( s t

) U t s

( , ),

" ³ ³

Vậy U l tuần hoàn chu kì 1.

Tương tự ta cũng kiểm tra được Sl là nửa nhóm tiến hóa các toán tử tuyến tính, bị chặn trên

AP 0(

X+ ,

Ta gọi Sl là nửa nhóm tiến hóa cảm sinh bởi họ tiến hóa U l trên không gian

)

AP 0(

X+ ,

( )G

nên G

Il- là song ánh.

Vì

Suy ra G

Il- là toán tử khả nghịch.

Ta lại có G

Il- là toán tử sinh của nửa nhóm tiến hóa

trên

( l t e S t ( )

- - ( l s t

không gian

X cảm sinh bởi họ tiên hóa

+0(

) 0 ) ) U t s ( , )

( e

³ ³ s



)

, ta có:

Thật vậy, với

Î f AP 0(

X+ ,

l t

l rÎ

l t

e - f - e æ ç S t f ( ) ç ç çè ö÷ ÷ ÷ ÷ ø

lim  t 0

l- t ( ) e S t f t

lim 0  t t

f f - + - f l- t e æ ç S t f ( ) ç ç çè ö÷ ÷ ÷ ÷ ø

lim  0 t t

( S t f ( )

)

t l

f l- t f - æ ç f -ç ç çè ö÷ ÷ ÷ ÷ ø + lim  0 t lim  0 t t e t

(

)

= Gf +

f - fe

t l

lim  0 t t

( f e

) 1

= Gf

l t

( e

) 1

= Gf

- l

lim  0 t

t l

- = -

( G

) . I f

- - lim  0 t t

( Với I là ánh xạ đồng nhất trên không gian

Do đó G

) AP 0( X+ ,

trên không gian

( l t ( ) e S t

) 0

- - l s t (

Il- là toán tử sinh của nửa nhóm tiến hóa

+0(

( e

) ) U t s ( , )

³ ³ s

Theo chứng minh của định lí 2.2.3, ta có U l ổn định lũy thừa. Do đó tồn tại

AP , ), U = X cảm sinh bởi họ tiên hóa

, w Î 

M w > , 0

s -( t

0 w < sao cho:

với mọi t

( , ) U t s l

Điều này tương đương với

l- - ( s t

s -( t

£ s³ . M e w

) ( , ) U t s

với mọi t

t (

)

e £ s³ . M e w

Hay

- với mọi t s

M e w w

)

Ta cũng có

m- - ( s t

£ s³ . U t s ( , ) )( ( l - Re s t e

) ( , ) U t s

- s

)

( m- Re

)( t

e = U t s ( , ) m

e U t s ( , )

)

t (

U t s ( , ) )( ( m - Re s t e

- . ) s

M e w w

)

Suy ra U m ổn định lũy thừa.

Theo chứng minh của định lí 2.2.3, suy ra G

£ £ U t s ( , ) )( ( l - Re s t e

Hay

m Î ( )Gr



( ) G

Do đó

{ l

} ( ) s G

Im- khả nghịch.

thì

. Do đó

Nếu Re

Suy luận tương tự như trên ta có U l ổn định lũy thừa. Vì vậy nửa nhóm tiến hóa

l l l > s G ( ) sÏ ( )G rÎ ( )G

là ổn định lũy thừa.

( l t e S t ( )

) 0

= S t ( ) l

Trường hợp đặc biệt: (

)( ) l- t r e S t

r S t ( ( ))

1 < . Điều này dẫn đến

s G t ( ).

e£

Do đó

e l , với t > 0. .Re t

( ) ( ) r S t

Mặt khác theo định lí phổ bao hàm, ta có:

( ). G t

sÍ

S t ( ( ))

t ³ 0.

Suy ra ( ( )) s

là một đĩa và thõa mãn định lí ánh xạ phổ.

Một ứng dụng khác của định lí 2.2.3 là bất đẳng thức Landau – kallman – Rota. Chi tiết về các

kết quả này có thể xem “C. Buse, S. S. Dragomir, A Kallman-Rota Inequality for Evolution Semi-

groups, submitted” và “C. Buse, The spectral mapping theorem for evolution semigroups on the

space of asymptotically almost periodic functions defined on the half-line, Electronic Journal of

Differential Equations, Vol. 2002(2002), No. 70, pp.1-11”.

S t

Kí hiệu Y là một trong các không gian

, hay

00(

( , ) :

³ ³ là họ tiến hóa tuần hoàn với chu kỳ

C ) ) ) X+ , AAP 0( X+ , AP 0( X+ ,

Định lí 3.3.2. Cho

{ U t s

} 0

1 các toán tử tuyến tính bị chặn trên

,X và f YÎ thõa mãn các điều kiện sau

thuộc vào Y .

(., 0) U s f s ds (., ) ( ) = ò

thuộc vào Y .

ii)

w (.) = s U s f s ds ) (., ) ( ) -ò (.

Nếu

{

}

(., 0)

2 M f 4

(.)

Để chứng minh định lí trên ta sử dụng kết quả sau:

( ) :

A D A ( )

Cho

³ là nửa nhóm liên tục mạnh và

Ì  là hàm sinh của

{ T t

} 0

nửa nhóm T . Nếu T ổn định đều, tức là tồn tại hằng số dương M sao cho

= < ¥ ,

T t sup ( ) t ³

thì

2 M A x x 4

, với mọi x thuộc

2( D A ).

sup U t s ( , ) : t ³ ³ s 0 M = < ¥ thì

Chứng minh:

Sử dụng kết quả d) của định lí 1.2.4 ta dễ dàng kiểm tra rằng với Î

x D A ta có: ),

T t x ( )

- = x

tAx

s T s A xds ) ( )

-ò ( t

Thật vậy, với Î

2( x D A ta có:

T s Axds

s T s A xds ) ( )

)

( )

-ò ( t

-ò t (

d d s

T s Axds ,

( )

)

ta thu được:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần cho tích phân

-ò t (

d d s

T s Axds

)

( )

T s Axds

( )

( = - t

) ( ) s T s Ax

|t 0

-ò t (

+ò

d d s

= -

tT Ax (0)

T s Axds

( )

+ò

= -

tAx

T s xds ( )

+ò

t d ds

= -

+ tAx T s x

( ) |t 0

= -

+ tAx T t x ( )

- x .

( )T t x

tAx

s T s A xds ) ( )

x- =

Vậy

-ò ( t

( t

) ( ) s T s A xds

x - -

Do đó

æ 1 ç ç= ( ) T t x ç ç t çè

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

Điều này dẫn đến

( t

) ( ) s T s A xds

x - -

Ax =

1 t

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

æ ç ç ( ) T t x ç ç çè

( ) T t x

( t

) ( ) s T s A xds

x + +

1 t

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ø

æ ç ç ç ç çè

( ) T t x

( t

) ( ) s T s A x ds

x + +

1 t

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

æ ç ç ç ç çè

( )

( ) T t x

2 T s A x

( t

) s ds

x + +

1 t

ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

æ ç ç ç ç çè

2 A x

M 2 t

Mt 2

(0)

Ta có thể giả sử

1M ³ , ( vì

1) = .

= 0,

A x = thì

do đó bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.

Nếu

1 2

A x

¹2

2 x A x

Nếu

chọn

ta có:

1 2

2 x A x

2 A x

Ax £

M 2

1 2

2 M 1 2

2 x A x

Điều này tương đương với

1 2

Ax £

1 2 2M x A x 2

Hay

2 M A x x 4

(Ngoài ra chúng ta cũng có thể tham khảo chứng minh của kết quả trên trong R.R. Kallman and G.

¢¢

, Inequality II, O.Shiha, Ed., Academic Press, New-

C. Rota, on the inequality

York 1970, pp. 187-192).

Chứng minh định lí 3.3.2

)

Trường hợp Y =

X+ ,

AP 0(

)

, và ( ,

G D G là ( ))

Gọi S là nửa nhóm tiến hóa liên kết với U trên không gian Y =

, X+

0( AP

hàm sinh của nó.

(., 0)

U s f s ds (., ) ( )

)



Vì

và

nên theo bổ đề 2.2.4, ta có:

X+ ,

f AAP 0(

= ò

(., 0)

D GÎ ( )

(., 0)

và

f= - .

fGv

Mặt khác

s U t s f s ds ) ( , ) ( )

f tw ( )

-ò ( t

dr U t s f s ds ) ( , ) ( )

ò ò (

ds U t s f s dr

( , ) ( )

ds U t r U r s f s dr ( , ) ( , ) ( ) ,

" ³ ³ ³ r

dr U t r U r s f s ds ( , ) ( , ) ( ) ,

" ³ ³ ³ r

U t r dr U r s f s ds ( , ) ( ) ,

( , )

" ³ ³ ³ r

U t r v r

" ³ ³ ³ r

dr ( , ) ( , 0) , f

(., 0)

(

)



Vì

nên theo bổ đề 2.2.4, ta có:

X+ ,

AP 0

(.)

D G (

)

(.)

= . f

w fG ,

(.)

(., 0).

và

S t f ( )

t f s ) (

)

Ta lại có



)

0 (

U s s sup ( , s

t ³

U s s ( ,

)

f s (

)

(

sup ³ t s

M f

)

+

S t ( )

M t ,

Suy ra

" ³ 0.

)

+

Do đó

£ < ¥ .



)

S t sup ( ) t ³

2 M A x x 4

Sử dụng bất đẳng thức

, với mọi x thuộc

)D A bằng cách chọn º ,

A G và

(.)

(

D G ta thu được

(., 0)

2 M f 4

(.)

Chứng minh của định lí 3.3.2 trong các trường hợp còn lại được suy ra tương tự.

Giả thiết của định lí Neerven – Vu có thể được viết lại như sau

Tồn tại hằng số dương K sao cho:

- i

i . K e x

x XÎ

x T e ( )

với mọi

BUC

(

)



sup ³ t 0

thì kết quả sau là hiển nhiên.

( , ) :

Định lí 3.3.3. Cho

³ Î  là họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ 1,

{ U t s

}

gồm các toán tử tuyến tính bị chặn trên X . Hai khẳng định sau là tương đương

(1). U là ổn định lũy thừa.



)

(., 0)

nghiệm

thuộc vào

X và tồn tại hằng số

(2). Với mỗi

0( Î p TP

, X+

+0(

K dương sao cho:

(., 0)

K p

(3.3.1)

(

)



(

)



AP 0

Chứng minh:

(1) kéo theo (2).

)



Giả sử U ổn định lũy thừa và

Î p TP 0(

X+ ,

(

)

(

)



nên

Vì

TP 0

AP 0

Î p AP 0(

X+ ,

(., 0)

)

Áp dụng định lí 2.2.3 ta có

thuộc vào

AP 0(

X+ ,



)

(., 0)

nên tồn tại

0 M N > sao cho

0( Î p AP

0( AP

, X+

M v ,

(., 0)



(

)



(

)

AP 0

Chọn

, ta có:

N M

(



)

AP 0

v (., 0) £ N

£ K M .

(



)

AP 0

(2) kéo theo (1).

£ K p .



Cho

và

với (

. Tức là

) Î ) ) Î f AP 0( TP 0( AP 0( X+ , X+ , X+ , )np là dãy hội tụ tới f trong



)

Từ giả thiết (3.1), ta có:

- f = 0 p n lim ¥ n

(



)

(



)

n AP 0

AP 0

(., 0) v £ K p

hội tụ trong

Suy ra (

) AP 0( X+ ,

) (., 0)

npv

t ³ ta có

Mặt khác với

p n

t ( , 0) v U t s p s ds ( , ) ( ) = ò

Do đó

U t s p s ds

( , )

( )

U t s f s ds ( , ) ( )



)

(

)



AP 0

( , )

( U t s p s ( )

) f s ds ( )

(

)



AP 0

( , )

( U t s p s ( )

) f s ( )

U t s ( , )

(

) f s ( )

p s ( ) n

U t s ( , )

p n



)

U t s ( , )

L XÌ (

Vì

nên bị chặn. Tức là tồn tại > 0,

sao cho:

( , ) U t s

, M t

. " ³

Do đó

t ( , 0)

( , 0)

(3.3.2)

v t f

M p n

p n

(

)



(

)



AP 0

( , 0),

hội tụ về

0. t" ³ Hay

fv t

v t ( , 0) - ( , 0) v t f

) t ( , 0)

npv

(, 0).

hội tụ từng điểm về

) (, 0)

Cho n  ¥ trong (3.3.2) ta được ( ( npv

(., 0)

)

thuộc

Vì vậy

AP 0(

X+ ,

Theo định lí 2.2.3 ta suy ra U ổn định lũy thừa.

Hoàn thành chứng minh của định lí 3.3.3■

KẾT LUẬN

Luận văn trình bày lại một cách có hệ thống một số kết quả về ổn định lũy thừa của họ tiến

hóa tuần hoàn, và mối quan hệ của nó với nghiệm của bài toán Cauchy. Đồng thời tác giả cũng

đưa ra một số ứng dụng quan trọng của các kết quả đó.

Tác giả đã trình bày một cách chi tiết hoặc đề nghị phép chứng minh cho các định lí. Các kết

quả chính của luận văn bao gồm:

)

1. Bổ đề về nửa nhóm liên tục mạnh sinh bỡi một hàm trong không gian

X (Bổ đề

+0(

2.2.1 và bổ đề 2.2.2).

2. Định lí về mối liên hệ giữa tính chất của nghiệm của bài toán Cauchy với tính ổn định lũy

thừa của họ tiến hóa tuần hoàn (định lí 2.2.3, bổ đề 2.2.4, và định lí 2.2.5).

3. Một số ứng dụng của định lí 2.2.3 (Định lí 3.3.1, định lí 3.3.2, và định lí 3.3.3).

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] A.Abbondandolo and P.Majer, Ordinary differential operators in Hilbert spaces Fredholm

pairs, Math.Z. 243 (and 2003), 525- 562.

[2] A.G. Baskakov, semigroups of differential operators in the spectral analysis of linear

differential operators, Funct. Anal. Appl. 30 (1996), 149- 157.

[3] A.G. Baskakov, on correct linear differential operators, Math. Sbornik 190(1999), 323-348.

[4] A.G. Baskakov, Spectral analysis of linear differential operators and simigroups of

difference operators I, Diff. Eqns. 33 (1997), 1305-1312.

[5] A. Ben – Artzi and I. Gohberg, Dichotomy of systems and invertibility of linear ordinary

differential operators, Oper. Theory Adv . Appl.56, 1992, 91119.

[6] C. Buse (2001), “Exponential stability for periodic evolution family of bounded linear

operators”, Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. TorinoVol. 59, 1 (2001).

[7] Constantin Buse (2002) “A spectral mapping theorem for evolution semigroups on

asymptotically almost periodic functions defined on the half line”, Electronic Journal of

Differential Equations, Vol, (2002).

[8] NVM “Exponential stability, exponential expansiveness, and exponential dichotomy of

evolution equations on the half-line”, Frank Rabiger and Roland Schnaubelt Department of

Mathematics University of Tubingen D-72076-Tubingen, Germany.

[9] NVMinh(2006) “Almost periodic solution of C – Well – Posed evolution equation”, Math.

J. Okayama Univ. 48 (2006), 145–157.

[10] Klaus, Jochen Engel, Rainer Nagel (2000), One-Parameter Semigroups for Linear

Evolution Equations, Springer.

[11] VQP(2001), “ On stability of

0C - Semigroups”, Proceedings of The American

Mathematical SocietyVolume 129, Number 10, Pages 2871–2879, S 0002-9939(01)05614-3.

[12] A.Pazy, (1973), Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential

Equations, Springer-Verlag.

[13] [17] Nguyen Van Minh, Frank Rabiger and Roland Schnaubelt, Exponential stability,

exponential expansiveness, and exponential chotomy of evolution equations on the half-line,

Integral Equations Operator Theory, 32,(1998), 332-353.

[14] [2] C. Buse, The spectral mapping theorem for evolution semigroups on the space of

asymptotically almost periodic functions defined on the half-line, Electronic Journal of

Differential Equations, Vol. 2002(2002), No. 70, pp.1-11.