BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Hà Thị Ngọc Phượng
ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA ĐẠI SỐ LIE
TOÀN PHƯƠNG THẤP CHIỀU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Hà Thị Ngọc Phượng
ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA ĐẠI SỐ LIE
TOÀN PHƯƠNG THẤP CHIỀU
Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số
Mã số
: 8460104
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. DƯƠNG MINH THÀNH
Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu độc lập của riêng tôi. Mọi sự
kế thừa và phát huy các kết quả của các nhà khoa học đều được trích dẫn rõ
ràng và đúng quy định. Các kết quả nghiên cứu trong luận văn do tôi tự tìm
hiểu, phân tích một cách trung thực, khách quan, phù hợp với nội dung và yêu
cầu của đề tài cần nghiên cứu.
Học viên
Hà Thị Ngọc Phượng
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành chương trình cao học và viết luận văn này, tôi đã nhận
được sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô trường Đại học Sư Phạm Thành
phố Hồ Chí Minh, sự động viên và giúp đỡ từ gia đình và bạn bè.
Trước hết, Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến TS. Dương Minh Thành.
Thầy đã luôn quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn
để giúp tôi hoàn thành luận văn thạc sĩ của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã dạy bảo tôi trong suốt quá
trình học tập. Xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi
Tường Trí, thầy Bùi Xuân Hải, thầy Nguyễn Tự Cường, thầy Trần Tuấn Nam,
cô Phạm Thị Thu Thủy, quý thầy cô đã tận tình dạy bảo và mở mang cho tôi
nhiều kiến thức về Toán học, đặc biệt là kiến thức về chuyên ngành Đại số,
làm nền tảng vững chắc để tôi học tập và nghiên cứu.
Xin cảm ơn các bạn học trong lớp Đại số và Lý thuyết số Khóa 27 cũng
như bạn bè và người thân đã hết lòng động viên giúp đỡ tôi trong quá trình
học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tôi. Gia đình tôi luôn là nguồn động viên
tinh thần to lớn giúp tôi hoàn thành khóa học và luận văn này.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2019
Hà Thị Ngọc Phượng
BẢNG KÍ HIỆU
Trường số phức
Không gian các đồng cấu trên không gian vector
Đại số Lie các ma trận vuông cấp trên trường
Đại số Lie các ma trận vuông cấp có vết bằng trên trường
Không gian các ánh xạ - tuyến tính phản xứng từ vào
Không gian sinh bởi cơ sở
Số chiều của không gian vector
Không gian đối ngẫu của đại số Lie
Tổng trực tiếp
Tổng trực tiếp trực giao
Không gian các 3 - dạng phản xứng trên
MỤC LỤC
Trang
LỜI CAM ĐOAN
LỜI CẢM ƠN
BẢNG KÍ HIỆU
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chương 1. Đại số Lie và đại số Lie toàn phương, đối đồng điều của đại số
Lie và đại số Lie toàn phương ........................................................................ 4
1.1 Đại số Lie ..................................................................................................... 4
1.2 Đại số Lie toàn phương .............................................................................. 7
1.3 Đối đồng điều đại số Lie .......................................................................... 12
Chương 2. Đại số Lie toàn phương thấp chiều ........................................... 15
2.1. Phân loại các đại số Lie toàn phương đến 4 chiều ................................ 15
2.2. Đại số Lie toàn phương cơ bản và đại số Lie toàn phương giải được 7
chiều ............................................................................................................ 17
Chương 3. Tính toán về họ đối đồng điều đại số Lie ................................. 24
3.1. Mô tả không gian các đạo hàm phản xứng của đại số Lie ................... 24
3.2. Tính toán trực tiếp nhờ toán tử đối bờ .................................................... 40
KẾT LUẬN .................................................................................................... 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 50
1
MỞ ĐẦU
Các không gian vectơ được xét trên trường số phức và hữu hạn chiều.
Trong Lý thuyết đại số Lie, bài toán nghiên cứu đối đồng điều của các
đại số Lie là một bài toán lý thú nhưng mức độ giải quyết cho đến nay vẫn
còn khá hạn chế. Cụ thể, một bài toán đơn giản trong lĩnh vực này là mô tả
các nhóm đối đồng điều của một đại số Lie cho trước cũng mới chỉ giải quyết
được trên một số ít các họ đại số Lie hoặc chỉ mới dừng lại ở việc mô tả số
chiều của các nhóm đối đồng điều trong một số trường hợp đơn lẻ nào đó. Đối
với trường hợp đơn giản nhất là các nhóm đối đồng điều 𝐻𝑘(𝔤, ℂ) với 𝔤 là
một đại số Lie cho trước và số chiều của các nhóm này hiện vẫn tồn tại nhiều
câu hỏi.
Một trong những kết quả đầu tiên được nhiều người nhắc đến là công
thức số Betti, tức số chiều của nhóm đối đồng điều 𝐻𝑘(𝔤, ℂ), của đại số đại số
Lie Heisenberg 2n+1 chiều được L. J. Santharoubane tìm ra năm 1983:
[1]. Gần đây, H. Pouseele [2] đã chứng minh được kết
quả sau: giả sử là một mở rộng của đại số Lie 1 chiều bởi đại số Lie
Heisenberg bởi dãy khớp
sao cho tác động tầm thường trên tâm của . Đặt . Khi
đó:
2
và đã dùng kết quả này để tìm ra công thức tính số Betti cho hai họ đại số Lie:
sinh bởi cơ sở , , , .
sinh bởi cơ sở , , với ,
, với .
Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm nhiều hơn đến một bài toán cụ
thể là tính toán đối đồng điều nhưng là cho một lớp đại số Lie khá đặc biệt,
lớp các đại số Lie toàn phương. Đây là lớp các đại số Lie được trang bị thêm
một dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến, không suy biến và chúng được
coi là lớp đại số Lie tổng quát của các đại số Lie nửa đơn với dạng song tuyến
tính đối xứng được khái quát từ dạng Killing. Lớp các đại số Lie toàn phương
được đề cập trong cuốn sách chuyên khảo của V. Kac (1985) [3] và sau đó
được một số nhà toán học quan tâm nghiên cứu [trích dẫn công trình của
Medina, Bordemann, Benayadi]. Một trong những bài toán được đưa là phân
loại các đại số Lie toàn phương ở chiều thấp. Công trình đầu tiên phải kể đến
là kết quả phân loại trường hợp lũy linh đến 7 chiều của G. Favre và L. J.
Santharoubane [4], sau đó là những công trình khác như [5] đối với các đại số
Lie toàn phương giải được đến 6 chiều trên trường số thực, [6] đối với trường
hợp lũy linh đến 10 chiều. Điều này dẫn tới câu hỏi: liệu có thể mô tả tường
minh các nhóm đối đồng điều của các đại số Lie toàn phương thấp chiều hay
không? Và câu hỏi này đưa chúng tôi đến việc thực hiện đề tài luận văn.
Một trong lý do chúng tôi quan tâm đến việc tính toán đối đồng điều của
các đại số Lie toàn phương là trong trường hợp 𝔤 là một đại số Lie toàn
3
phương, thì việc tính toán 𝐻2(𝔤, ℂ) và số chiều của nó sẽ trở nên đơn giản
hơn và có nhiều cách hơn nhờ các kết quả được đưa ra trong [7] “New
Application of Graded Lie Algebras to Lie Algebras, Generalized Lie
Algebras, and Cohomology” của tác giả G. Pinczon và R. Ushirobira năm
2007 (J. of Lie Theory). Cụ thể hơn, ta sẽ thu được nhóm 𝐻2(𝔤, ℂ) và số
chiều của nó thông qua hai cách: mô tả không gian các đạo hàm phản xứng
bây giờ của 𝔤 hoặc tính toán trực tiếp nhóm 𝐻2(𝔤, ℂ) nhờ toán tử đối bờ
chỉ đơn giản là với là tích Super là 3- dạng liên kết với 𝔤 và
– Poisson được định nghĩa trên không gian Λ(𝔤∗) chứa các dạng đa tuyến tính
phản xứng trên 𝔤. Việc mô tả tường minh các nhóm đối đồng điều giúp cung
cấp thêm các thông tin về các đại số Lie toàn phương, từ đó giúp hiểu biết
thêm về lớp đại số này.
Phần nội dung chính của luận văn được chia thành ba chương. Chương
đầu tiên dành chủ yếu để giới thiệu những định nghĩa và một số kết quả cơ
bản trên đại số Lie và đại số Lie toàn phương. Chương hai chủ yếu dành để
khảo sát các đại số Lie toàn phương cơ bản và phân loại đại số Lie toàn
phương đến 7 chiều dựa trên kết quả của bài báo khoa học [8]. Chương ba sẽ
trình bày lại một cách rõ ràng và chi tiết hơn các kết quả của bài báo khoa học
[9] của tác giả Dương Minh Thành. Trong đó tập trung tính toán về họ đối
đồng điều của đại số Lie, mô tả nhóm đối đồng điều 𝐻2(𝔤, ℂ) và số chiều của
nó bằng hai phương pháp chính. Đối với đại số Lie thông thường ta sẽ mô tả
không gian các đạo hàm phản xứng từ đó tính số chiều của 𝐻2(𝔤, ℂ). Đối với
đại số Lie toàn phương cơ bản ta tính toán trực tiếp nhờ toán tử đối bờ.
Mặc dù có rất nhiều cố gắng trong việc hoàn thành luận văn nhưng do sự
hạn hẹp trong kiến thức cũng như thời gian nên chắc chắn luận văn vẫn còn
có những sai sót không mong muốn. Rất mong nhận được sự đánh giá, nhận
xét và phản hồi từ quý thầy cô và các bạn.
4
Chương 1. Đại số Lie và đại số Lie toàn phương, đối đồng điều
của đại số Lie và đại số Lie toàn phương
1.1 Đại số Lie
Định nghĩa 1.1.1 Cho là một không gian vector trên trường . Khi đó,
được gọi là một đại số Lie nếu trên được trang bị một phép toán (gọi là tích
Lie hay móc Lie).
thỏa mãn tính chất sau:
i. Phép toán là một ánh xạ song tuyến tính;
ii. Phép toán là phản xứng, tức là , với mọi ;
iii. .
(Đồng nhất thức Jacobi).
Số chiều của đại số Lie chính là số chiều của không gian vector .
Ví dụ: Cho là một không gian vector trên trường . Kí hiệu là
tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính . Khi đó cũng là một
không gian vector trên trường . Ta xác định tích Lie trên như sau:
với trong đó kí hiệu cho tích hai ánh xạ.
Định nghĩa 1.1.2 Cho là một đại số Lie. Một không gian vector con của
được gọi là một đại số Lie con của nếu với mọi .
Định nghĩa 1.1.3 Cho là một đại số Lie. Một không gian vector con của
được gọi là ideal của nếu với mọi (tính hút).
5
Ví dụ: Cho đại số Lie ta kí hiệu thì là
một ideal của và được gọi là ideal dẫn xuất của đại số Lie .
Định nghĩa 1.1.4 Cho là một đại số Lie. Một ideal con của được gọi là
. ideal thuộc tâm của 𝔤 nếu
Kí hiệu là một ideal của và được gọi là
ideal tâm của .
Định nghĩa 1.1.5 Cho là một đại số Lie và là ideal của . Khi đó không
gian thương là một đại số Lie thương. Trong đó tích Lie trong ideal
thương được cho bởi với .
Định nghĩa 1.1.6 Cho một đại số Lie trên trường . Ta kí hiệu:
. Khi đó đại số Lie được
gọi là giải được nếu tồn tại sao cho .
.
Ta kí hiệu là ideal giải được lớn nhất của
Định nghĩa 1.1.7 Cho một đại số Lie trên trường . Ta kí hiệu:
. Khi đó đại số Lie được gọi là lũy
linh nếu tồn tại sao cho . Từ đây có thể nhận xét được
giải được.
rằng nếu là một đại số Lie lũy linh thì hiển nhiên
Định nghĩa 1.1.8 Cho là hai đại số Lie trên trường . Khi đó ánh xạ
tuyến tính được gọi là một đồng cấu đại số Lie nếu nó bảo toàn
tích Lie, tức là .
Nếu là đẳng cấu thì ta nói là đẳng cấu đại số Lie, đồng thời và là
hai đại số Lie đẳng cấu. Trong bài toán phân loại các đại số Lie, người ta chú
ý đến tính đẳng cấu giữa các đại số Lie. Cụ thể hơn, người ta không phân biệt
6
hai đại số Lie đẳng cấu với nhau mà coi chúng là một (sai khác nhau bởi một
đẳng cấu đại số Lie).
Định nghĩa 1.1.9 Một đại số Lie gọi là nửa đơn nếu nó không có một
ideal giải được nào khác (hay ).
Định nghĩa 1.1.10 Một đại số Lie không giao hoán là đơn nếu nó không có
một ideal nào ngoài và .
Định nghĩa 1.1.11 Cho là một đại số Lie và là không gian vector. Kí
hiệu là không gian các đồng cấu đi từ vào . Khi đó
cũng là một đại số Lie với tích Lie với mọi .
Ta nói là một biểu diễn của trong nếu là đồng cấu đại số Lie
đi từ vào , tức là:
.
Trong trường hợp này, được gọi là một . Với mỗi số
nguyên , kí hiệu là không gian các ánh xạ tuyến tính phản
xứng từ vào nếu và .
Ví dụ: Đối với một đại số Lie và một . Kí hiệu ánh xạ tuyến tính:
Khi đó biểu diễn phụ hợp (adjoint representation) của trong được
định nghĩa bởi:
Để hiểu rõ hơn về biểu diễn phụ hợp của một đại số Lie, ta xét một
trường hợp cụ thể với (xem như tác động vào
được ).
7
Khi đó ánh xạ được tính toán như sau: ,
, và .
Từ đó ta suy ra: .
Xét tích Lie:
Thật ra ta có thể chứng minh được kết quả tổng quát rằng
đúng với mọi đại số Lie. Do đó ánh xạ
thỏa mãn tính chất của một đồng cấu đại số
Lie.
Định nghĩa 1.1.12 Cho là một đại số Lie và là không
gian đối ngẫu . Khi đó, ánh xạ:
trong đó với được gọi là biểu diễn đối
phụ hợp (coadjoint representation) của trong .
1.2 Đại số Lie toàn phương
Định nghĩa 1.2.1 Cho một không gian vector phức . Một dạng song tuyến
tính , được gọi là:
i. Đối xứng nếu với mọi .
ii. Không suy biến nếu với mọi thì .
iii. Bất biến (hay còn gọi là kết hợp) nếu:
.
8
Một đại số Lie trên đó tồn tại một dạng song tuyến tính đối xứng,
không suy biến và bất biến được gọi là một đại số Lie toàn phương. Đại số
Lie toàn phương thường được kí hiệu là .
Ta có một số ví dụ về đại số Lie toàn phương:
Ví dụ 1.2.2 Trong với tích Lie là tích có hướng, dạng toàn phương là tích
vô hướng.
Ví dụ 1.2.3 Cho trong đó tích Lie cho bởi . Dạng
song tuyến tính đối xứng cho bởi , các trường hợp còn lại bằng
0.
Ví dụ 1.2.4 Cho trong đó tích Lie cho bởi ,
, , các trường hợp còn lại bằng 0. Khi đó được gọi là
đại số Lie kim cương. Đại số này cũng là một đại số Lie toàn phương với
dạng song tuyến tính được cho bởi: , các trường hợp
còn lại bằng 0.
Định nghĩa 1.2.5 Cho là một đại số Lie toàn phương và là một
không gian vector con của . Khi đó ta định nghĩa thành phần trực giao của
là .
Cho là các không gian vector con của . Khi đó ta có các tính chất sau:
a) ;
b) Nếu thì ;
c) và ;
d) và .
Một phần tử được gọi là tự đẳng hướng nếu . Một
không gian con của được gọi là tự đẳng hướng hoàn toàn nếu
9
với mọi . Trong trường hợp này, hiển nhiên ta có
.
Ta có một số tính chất khá lí thú của các đại số Lie toàn phương như sau:
Mệnh đề 1.2.6 Cho là một đại số Lie toàn phương. Định nghĩa ánh xạ
, với là không gian đối ngẫu của . Khi đó
là một đẳng cấu, đồng thời biểu diễn phụ hợp và đối phụ hợp của tương
đương với nhau bởi .
Chứng minh. Giả sử là một đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến
tính đối xứng bất biến và không suy biến . Nhắc lại ở đây các biểu diễn phụ
hợp và đối phụ hợp được định nghĩa như sau:
với
với
Cho là ánh xạ được xác định bởi . Do không suy
biến nên là đẳng cấu. Hơn nữa ta có
, nghĩa là và
tương đương.
Nghiên cứu các đại số Lie toàn phương có thể quy về nghiên cứu các đại
số Lie toàn phương bất khả phân nhờ phân tích sau:
Mệnh đề 1.2.7 Cho là một đại số Lie toàn phương.
a) Nếu là một ideal của . Khi đó cũng là một ideal của . Hơn
nữa, nếu thu hẹp của trên không suy biến thì thu hẹp của trên
cũng không suy biến, và .
b) Nếu là tâm của thì và
.
10
Chứng minh.
a) Nếu là ideal của . Lấy ta có:
với mọi (do là ideal của ). Do
đó: . Suy ra là ideal của .
Giả sử không suy biến. Lấy thỏa mãn thì
và . Do không suy biến nên . Suy ra
không suy biến.
Nếu là các ideal của thì với
và do không suy biến trên nên . mọi
thì . Do không suy biến trên nên Nếu
. Do đó .
Ta có: .
Suy ra hay .
b) Nếu .
.
. Nên và
Nếu thu hẹp của trên không suy biến thì ta gọi là một ideal
không suy biến của và . Vì tổng trực tiếp này là tổng trực
tiếp trực giao nên ta dùng kí hiệu sau: .
Định nghĩa 1.2.8 Một đại số Lie toàn phương là bất khả phân nếu phân
tích thành hai ideal thì hoặc .
11
Định nghĩa 1.2.9 Cho và là hai đại số Lie toàn phương. Ta nói
và đẳng cấu đẳng cự nếu tồn tại một đẳng cấu đại số Lie
thỏa mãn:
.
Trong trường hợp này ta cũng nói là một đẳng cấu đẳng cự. Như vậy,
là một đẳng cấu đẳng cự nếu và chỉ nếu vừa là đẳng cấu vừa là đẳng cự.
Chú ý rằng, tính chất đẳng cấu và tính chất đẳng cấu đẳng cự không tương
đương nhau.
Mệnh đề 1.2.10 Cho là một đại số Lie toàn phương không giao hoán.
Khi đó tồn tại một ideal tâm và một ideal sao cho:
i. , ở đây và là các đại số Lie toàn phương. Hơn
nữa, không giao hoán.
ii. Tâm của tự đẳng hướng hoàn toàn, tức là , và
.
iii. Cho là một đại số Lie toàn phương và là một đẳng cấu
đại số Lie. Khi đó:
.
ở đây thuộc tâm, , tự đẳng hướng hoàn toàn, và
đẳng cấu với nhau. Hơn nữa, nếu là một đẳng cấu đẳng cự thì và đẳng
cấu đẳng cự.
Định nghĩa 1.2.11 Một đại số Lie toàn phương khác được gọi là một
đại số Lie rút gọn nếu nó có tâm tự đẳng hướng hoàn toàn.
12
Theo như Mệnh đề 1.2.7, từ tính chất bất biến và không suy biến của
dạng song tuyến tính xác định trên , ta dễ dàng chứng minh được
. Do đó, tự đẳng hướng hoàn toàn khi và chỉ khi
.
1.3 Đối đồng điều đại số Lie
Cho là một đại số Lie, là một không gian vector và
là một biểu diễn của trong , tức là
.
Nói một cách khác, là một đồng cấu đại số Lie từ vào đại số
chứa các tự đồng cấu trên . Trong trường hợp này, là một
. Với mỗi số nguyên , kí hiệu là không gian các
ánh xạ tuyến tính phản xứng từ vào nếu và
.
Định nghĩa 1.3.1
Định nghĩa toán tử đối bờ như sau:
với mọi , ở đây kí hiệu để chỉ không có
trong công thức.
Ta có thể kiểm tra được rằng . Thông thường ta kí hiệu
nếu không quan tâm đến chỉ số. Khi đó thỏa mãn tính chất .
13
Định nghĩa 1.3.2 Ta nói rằng là một đối chu trình nếu
và là một đối bờ nếu có sao cho .
Kí hiệu là tập hợp các đối chu trình và là tập hợp
các đối bờ, tức là và . Công thức
chứng tỏ và do đó ta có không gian thương
. Không gian thương này được kí hiệu là và
được gọi là nhóm đối đồng điều thứ k của trong . Mỗi phần tử thuộc
cũng được gọi là một đối chu trình.
Hiện nay sự hiểu biết về nhóm đối đồng điều của các đại số Lie vẫn chưa
nhiều. Bài toán chúng tôi đặt ra ở đây là tìm cách mô tả tường minh các nhóm
đối đồng điều của một đại số Lie cho trước hoặc ít nhất tính được chiều của
. Một công thức thường được sử dụng để tính số chiều
như sau:
,
. ở đây và
Định nghĩa 1.3.3 được gọi là số Betti thứ k của .
Ví dụ 1.3.4 Với mỗi , kí hiệu là đại số Lie Heisenberg chiều,
khi đó, J. Santharoubane đã chứng minh được trong [1] rằng:
, với mọi .
Định nghĩa 1.3.5 Cho không gian vector phức hữu hạn chiều được trang bị
một dạng song tuyến tính đối xứng (ta còn gọi là một không gian
14
vector toàn phương). Năm 2007, G. Pinczon và R. Ushirobira đã giới thiệu
khái niệm tích super-Poisson trên không gian chứa các dạng song
tuyến tính phản xứng trên như sau:
và ,
ở đây là một cơ sở trực chuẩn của .
Với một đại số Lie toàn phương ta định nghĩa 3 - dạng liên kết
với xác định bởi:
.
Khi đó ta có đẳng thức , hơn nữa (xem [7]).
15
Chương 2. Đại số Lie toàn phương thấp chiều
2.1. Phân loại các đại số Lie toàn phương đến 4 chiều
Sau đây chúng ta nhắc lại các kết quả phân loại các đại số Lie toàn
phương giải được có số chiều bé hơn hoặc bằng 4 trong [8].
Mệnh đề 2.1.1 (Phân tích Witt)
Cho là một không gian vector phức hữu hạn chiều được trang bị một
dạng song tuyến tính không suy biến . Giả sử là một không gian con tự
đẳng hướng hoàn toàn của . Khi đó tồn tại một không gian con tự đẳng
hướng hoàn toàn và một không gian con không suy biến của sao cho
, và .
Một hệ quả trực tiếp của mệnh đề trên là nếu là một cơ sở
của thì ta có thể tìm được một cơ sở của sao cho
, với .
Mệnh đề 2.1.2 Cho là một đại số Lie toàn phương giải được có số
chiều bé hơn hoặc bằng 4. Khi đó ta có các trường hợp sau:
i. Nếu thì giao hoán.
ii. Nếu và không giao hoán thì đẳng cấu đẳng cự với đại
số Lie kim cương.
Chứng minh: Vì giải được nên . Do đó nếu thì
phải giao hoán và ta nhận được khẳng định (i). Nếu và không
giao hoán, ta sẽ chứng minh rút gọn. Thật vậy, nếu không rút gọn thì tồn
tại một vector nằm trong tâm của để . Điều này chứng tỏ
là một ideal không suy biến của và do đó:
16
.
Theo mệnh đề 1.2.7 chú ý rằng là một đại số Lie toàn phương giải
được 3 chiều nên phải giao hoán. Do đó giao hoán. Mâu thuẫn này
chứng tỏ phải rút gọn, tức là .
Vì và nên . Do đó, . Ta
giả sử sinh bởi vector . Vì tự đẳng hướng hoàn toàn nên theo
phân tích Witt tồn tại một không gian con một chiều tự đẳng hướng hoàn toàn
và một không gian con 2 chiều không suy biến của sao cho:
.
Hơn nữa, ta có thể chọn một vector cơ sở của và một cơ sở
của sao cho và .
. Vì nên
Do nên ta có thể giả sử:
với
Ta có . Suy ra và
do đó ta được .
Tính toán tương tự, suy ra , tức là .
Từ tính bất biến của và cách làm giống như trên, ta cũng thu được
và .
Hơn nữa từ nên ta có
.
17
Đổi cơ sở bằng cách đặt và ta được
, và . Chú ý rằng phép đổi cơ sở này là một
phép đẳng cấu đẳng cự nên đẳng cấu đẳng cự với đại số Lie kim cương.
Trong trường hợp không giải được thì chỉ có 2 trường hợp
(đại số Lie đơn 3 chiều) hoặc (trường hợp này không rút
gọn).
2.2. Đại số Lie toàn phương cơ bản và đại số Lie toàn phương giải được
7 chiều
Mệnh đề 2.2.1 Cho là một đại số Lie toàn phương giải được 5 chiều
bất khả phân. Khi đó tồn tại một cơ sở của sao cho
, , , các trường hợp còn lại bằng 0 và tích
Lie được xác định bởi , và , các trường
hợp còn lại bằng 0.
Chứng minh: Giả sử là đại số Lie toàn phương giải được 5 chiều
bất khả phân. Hiển nhiên, phải là một đại số Lie toàn phương rút gọn. Khi
đó, chỉ có 2 trường hợp: và . Ta sẽ lần lượt
xem xét hai trường hợp này:
i. Giả sử . Khi đó, tồn tại một vector tự đẳng
hướng và một không gian con của sao cho và
, ở đây . Ta có thể chọn một cơ sở
của không gian sao cho , các trường hợp
còn lại bằng 0.
18
Vì nên . Hơn nữa, từ
nên ta có thể giả sử với
. Tương tự ta thu được các tích Lie sau:
, , ,
. và
ở đây .
, Từ tính chất bất biến của ta thu được ,
và . Do đó ta viết lại như sau:
, , ,
, , và , ở đây
.
, Nếu , đặt các vector và . Khi đó
ta có , và . Điều này
chứng tỏ không gian vector trở thành một đại số con của
và đại số này không giải được. Điều này mâu thuẫn với giải được.
Do đó .
Dễ dàng kiểm tra được rằng vector . Hơn nữa 3 số
không đồng thời triệt tiêu. Điều này dẫn tới và do đó
trường hợp này không xảy ra.
ii. . Ta giả sử . Theo phân tích Witt,
tồn tại các vector và thỏa mãn các điều kiện:
, không gian tự đẳng hướng
19
hoàn toàn, dạng song tuyến tính đối xứng được xác định bởi
, , , các trường hợp còn lại bằng 0.
Vì nên . Do đó ta có thể giả sử rằng:
, ,
với . , và
, Do bất biến nên ta có thể dễ dàng suy ra
và và , ở đây . Đổi cơ sở bằng cách đặt
và , ta được tích Lie xác định bởi
.
Định nghĩa 2.2.2 là một đại số Lie toàn phương cơ bản nếu 3 - dạng
phản xứng liên kết với nó khả phân.
Mệnh đề 2.2.3
a) là một đại số Lie toàn phương cơ bản không giao hoán nếu và
chỉ nếu .
b) Nếu là một đại số Lie toàn phương cơ bản thì quỹ đạo đối phụ
hợp của có số chiều lớn nhất bằng 2.
Mệnh đề 2.2.4 Cho là một đại số Lie toàn phương cơ bản không giao
hoán. Khi đó là tổng trực tiếp trực giao của các ideal và , ở đây là
ideal thuộc tâm và đẳng cấu đẳng cự với một trong các đại số Lie sau:
a) .
b) là đại số Lie kim cương. Đây là một đại số Lie toàn
phương với dạng song tuyến tính đối xứng bất biến được cho bởi
, các trường hợp khác bằng 0.
20
c) , dạng song tuyến tính đối
xứng được xác định bởi , ,
các trường hợp còn lại bằng 0 và tích Lie cho bởi
và , các trường hợp còn lại
tầm thường.
d) dạng song tuyến
tính đối xứng được xác định bởi , các
trường hợp còn lại bằng 0 và tích Lie cho bởi ,
và , các trường hợp còn lại tầm thường.
Chứng minh:
Giả sử là một đại số Lie toàn phương cơ bản không giao hoán. Khi đó
là tổng trực tiếp trực giao của các ideal và , ở đây là ideal thuộc tâm
và là một đại số Lie toàn phương rút gọn. Hơn nữa .
Ta có: và nên ta được
. Từ đó ta có thể xét các trường hợp sau:
a) , tức là . Trong trường hợp này là một đại số Lie
đơn và phân loại của chúng đã biết trong lí thuyết Lie, đó là
b) . Ta có nên tồn tại không gian con hai
chiều tự đẳng hướng hoàn toàn thỏa mãn . Nên , ta có
. Ngoài ra tồn tại không gian con tự đẳng hướng hoàn toàn thỏa
mãn với và . Cho
, . Ngoài ra:
21
.
Do khả phân nên , . Thay bằng
bằng và có thể chọn . Khi đó:
với mọi .
Từ đó ta tính được:
Tính tương tự ta có .
c) . Ta có nên tồn tại một không gian con tự
đẳng hướng hoàn toàn và không gian con một chiều thỏa mãn
và . Khi đó, ta có thể tìm được cơ sở
của , cơ sở của và cơ sở của thỏa mãn
, với và . Ngoài ra:
Do khả phân nên , . Thay bằng ,
bằng và có thể chọn . Khi đó:
, nên
22
, với mọi
. Từ đó ta tính được , và , các
trường hợp còn lại bằng 0.
d) . Ta có , nên . Từ đó ta có
không gian con tự đẳng hướng hoàn toàn thỏa mãn . Do là
một đẳng cấu từ vào , ta có thể chọn cơ sở của và
cơ sở của thỏa mãn , với . Khi đó:
.
Do , với mọi . Từ , do
khả phân nên , . Thay bằng , bằng
và có thể chọn . Khi đó:
, với mọi .
Từ đó ta tính được , và , các
trường hợp còn lại bằng 0.
Mệnh đề 2.2.5 [8] Cho là đại số Lie toàn phương giải được 6 chiều.
Giả sử bất khả phân và , dạng song tuyến
tính đối xứng được xác định bởi . Khi đó đẳng
cấu với một trong các đại số Lie sau đây:
i. , và .
23
, , , ii. ,
và . với
Trong trường hợp này, đẳng cấu nếu và chỉ nếu và
hoặc .
iii.
và .
Mệnh đề 2.2.6 [8] Cho là đại số Lie toàn phương giải được 7 chiều.
1) Nếu khả phân thì đẳng cấu đẳng cự với trong đó là
đại số Lie toàn phương giải được 6 chiều trong mệnh đề 2.2.4.
2) Nếu bất khả phân thì tồn tại cơ sở của
sao cho dạng song tuyến tính được xác định .
Khi đó đẳng cấu đẳng cự với các đại số Lie sau:
, , , i. : ,
, .
, , , ii. : ,
, .
, , , iii. : ,
, , . , ,
24
Chương 3. Tính toán về họ đối đồng điều đại số Lie
3.1. Mô tả không gian các đạo hàm phản xứng của đại số Lie
Định nghĩa 3.1.1 Cho là một đại số Lie toàn phương. Ánh xạ tuyến
tính được gọi là một đạo hàm của nếu:
.
Nhận xét:
Ta có:
Do đó từ đồng nhất thức Jacobi ta thu được
. Điều đó chứng tỏ rằng là ánh xạ
đạo hàm ứng với mỗi thường gọi là đạo hàm trong.
Kí hiệu là không gian các ánh xạ đạo hàm và là không
gian các đạo hàm trong. Khi đó hiển nhiên .
Nếu thỏa thì
được gọi là đạo hàm phản xứng của .
Ta kí hiệu là không gian các đạo hàm phản xứng của , hiển
nhiên nó là đại số con của đại số chứa các đạo hàm của .
Dễ thấy nên các đạo hàm trong của một
đại số Lie toàn phương đều là đạo hàm phản xứng.
Ta kí hiệu là không gian các đạo hàm phản xứng của , hiển
nhiên nó là đại số con của đại số chứa các đạo hàm của .
Nên: .
25
Ví dụ 3.1.1 Trong trường hợp đơn giản nhất thì
. Nếu thì:
.
Ví dụ 3.1.2 Giả sử là một 2-đối chu trình. Khi đó
là một ánh xạ song tuyến tính phản xứng, đồng thời với :
Một cách tương tự, ta có:
Trường hợp .
Trong thực tế, người ta thường xét cho từng trường hợp cụ thể của và
. Chẳng hạn, nếu là biểu diễn phụ hợp của trong , tức là
. Theo như Ví dụ 1.3.3, nếu là một ánh xạ tuyến
tính thì .
Do đó là 1- đối chu trình nếu và chỉ nếu:
.
tức là một đạo hàm của . Bây giờ ta sẽ xem trong trường hợp nào thì
sẽ là 1 - đối bờ. Giả sử có sao cho .
Điều này có nghĩa là một 1 - đối bờ nếu và chỉ nếu là một đạo hàm
26
trong. Do đó nhóm đối đồng điều chính là dùng để
mô tả không gian các đạo hàm ngoài của .
Ví dụ 3.1.3 Xét đại số Lie giải được 2 chiều , với tích Lie
, ta vẫn giữ nguyên điều kiện . Ta tính toán các 1- đối
chu trình và 1- đối bờ tương đương với tính toán các đạo hàm ngoài và đạo
hàm trong của . Gọi . là đạo hàm phản xứng của
Giả sử , với . Nói cách
khác, ta có ma trận đối với cơ sở .
Dễ dàng thấy được ma trận của các đạo hàm trong là:
và .
Từ ta có
suy ra . Khi đó:
.
Suy ra mọi đạo hàm phản xứng của đều là đạo hàm trong do đó
.
Ví dụ 3.1.4 Xét là đại số . Ta chứng minh .
Thật vậy, gọi là cơ sở của thỏa mãn
. Ta có ma trận của các đạo hàm trong
là:
.
27
Giả sử là ma trận của đạo hàm phản xứng đối với
cơ sở .
dẫn tới Khi đó,
, suy ra
và .
. Tính toán tương tự, ta có và
. Suy ra
Do đó, mọi đạo hàm phản xứng của đều là đạo hàm trong nên
.
Ví dụ 3.1.5 Xét đại số Lie là đại số Lie filiform 4 chiều sinh bởi
cơ sở sao cho . Dễ dàng thấy được ma trận
của các đạo hàm trong là:
Ta sẽ mô tả chi tiết đạo hàm phản xứng của như sau:
Gỉả sử là ma trận của đạo hàm phản xứng của .
28
Khi đó dẫn tới ,
.
Tính toán tương tự, ta có .
Suy ra .
Vậy không gian các đạo hàm của có 8 chiều và sinh bởi cơ sở
và . Trong đó .
Do đó đồng thời
.
Trường hợp và
là không gian đối ngẫu của và là biểu diễn đối phụ hợp của
trong , tức là . Giả sử là một 2 -
đối chu trình. Khi đó ta có:
Ví dụ 3.1.6 Xét là đại số Lie giải được 2 chiều với tích Lie
.
Giả sử là một 2-đối chu trình cyclic. Vì phản xứng nên
. Chú ý rằng là một ánh xạ đi từ vào nên ta
có thể giả sử với .
29
nên , tương tự . Do đó Ta có
. Điều này chứng tỏ rằng mọi 2-đối chu trình cyclic của đều
tầm thường.
Ví dụ 3.1.7 Xét đại số Lie Heisenberg 3 chiều : . Nếu là một
2-đối chu trình cyclic không tầm thường., ta giả sử:
với .
Từ nên . Ta cũng có . Do đó ta được
.
Cách làm tương tự cho ta và với .
Từ tính chất cyclic của ta có: nên ta thu
được và do đó , và
. Dễ dàng kiểm tra được rằng được xác định như thế sẽ là
một 2-đối chu trình.
Trường hợp
Một trong những trường hợp đáng chú ý nhất của đối đồng điều đại số
Lie là khi một chiều, tức là . Khi đó và là
không gian các ánh xạ k-tuyến tính phản xứng từ vào tức là
. Ta cũng có với mọi và do đó:
Ttrong trường hợp này, việc mô tả nhóm đối đồng điều cũng như
tính toán số chiều là một bài toán hết sức lí thú.
Ví dụ 3.1.8 và với mọi . Do đó:
30
Ví dụ 3.1.9
.
Tức là:
và .
thì Ví dụ 3.1.10 Với đại số . Lấy , nếu
, ở đây nhận các giá trị
1, 2 và 3. Dễ dàng nhận ra rằng chỉ có trường hợp là đáng để
xem xét. Khi đó ta có:
.
Điều này dẫn đến . Vì biểu thức
cuối hiển nhiên đúng nên ta có mọi đều thuộc . Vì
, và tạo thành một cơ sở của nên với mọi
. ta luôn tìm được để
Điều này chứng tỏ và do đó .
Ví dụ 3.1.11
Xét là đại số Lie Filifrom 4 chiều sinh bởi cơ sở
sao cho , . Ta sẽ chứng minh . Từ đẳng
thức ta suy ra được
. Tương tự lấy ta được . Do đó
, ở đây , các trường
31
hợp còn lại bằng 0. Mặt khác nếu lấy thì ta nhận
thấy:
, .
và do đó . Điều này chứng tỏ .
Mệnh đề 3.1.12 Có một đẳng cấu giữa và
cảm sinh đẳng cấu giữa và . Do đó
.
Nhận xét 3.1.13 Kết quả trong Mệnh đề
3.1.12 đã được đề cập trong [10]. Từ kết quả này, cho một đại số Lie toàn
phương , khi đó chiều của có thể suy ra từ việc mô tả các đạo
hàm phản xứng của .
Ví dụ 3.1.14 Xét đại số Lie kim cương với tích Lie
được xác định , dạng song tuyến tính cho
bởi , các trường hợp khác bằng 0.
Gọi là đạo hàm phản xứng của . Vì là không gian con
ổn định đối với tức . Do đó ta có thể giả sử
với .
Vì phản xứng nên ta có:
.
Suy ra: với .
Tương tự, ta có và .
Khi đó dẫn tới:
.
32
Suy ra . Tính toán tương tự với ta có và
.
Do là đạo hàm phản xứng nên kéo theo ,
tương tự dẫn tới .
Khi đó và ta thấy được .
Vậy nên là đạo hàm trong của nên .
Ví dụ 3.1.15 Xét đại số Lie với
. Dạng song tuyến tính được xác
, các trường hợp còn lại bằng 0. định
Gọi là đạo hàm phản xứng của . Tìm ma trận của D đối với cơ sở đã
là không gian con ổn định đối với tức cho:
.
Do đó, ta có thể giả sử: với
Vì phản xứng nên ta có:
Suy ra với .
Khi đó: với .
33
Do phản xứng nên:
Do đó ta có với .
So sánh với các đạo hàm trong:
và ,
.
Từ đó, ta thấy được rằng các đạo hàm trong được đại diện bởi các tham
số trong khi các đạo hàm ngoài được đại diện bởi các tham số , chứng
tỏ .
34
Ví dụ 3.1.16 Xét đại số Lie lũy linh với
, , . Dạng song tuyến tính được xác
định là , các trường hợp khác bằng 0.
là không gian con ổn định đối với tức
.
Do đó ta có thể giả sử:
với
Vì phản xứng nên ta có:
Nên với
Tương tự, ta có:
với .
Vì phản xứng nên ta có:
Khi đó: kéo theo
dẫn tới .
Tính toán tương tự ta có: và .
35
Do phản xứng nên ta có:
Suy ra .
So sánh với các đạo hàm trong:
,
,
.
36
Từ đó, ta thấy được rằng các đạo hàm trong được đại diện bởi các tham
số trong khi các đạo hàm ngoài được đại diện bởi các tham số , chứng
tỏ .
Ví dụ 3.1.17 Xét với ,
, , , , . Dạng
song tuyến tính được xác định , với .
Gọi là đạo hàm phản xứng của . là không gian con
ổn định đối với tức .
Do đó, ta có thể giả sử: với .
Khi đó, ta có ma trận của D đối với cơ sở đã cho:
.
Vì phản xứng nên ta có:
với .
Từ đó, ta suy ra: .
37
38
Suy ra
Vì là đạo hàm phản xứng của nên ta có:
dẫn tới và
. Từ đó tính toán tương tự ta thu được:
, với .
So sánh kết quả trên với các đạo hàm trong của :
,
39
,
,
,
.
40
Từ đó, ta thấy được rằng các đạo hàm trong được đại diện bởi các tham
số trong khi các đạo hàm ngoài được đại diện bởi các tham số , chứng
. tỏ
3.2. Tính toán trực tiếp nhờ toán tử đối bờ
Trong phần này, bằng cách áp dụng các kết quả của bài báo [7] ta sẽ đi trình
bày việc mô tả nhóm đối đồng điều của các đại số Lie toàn phương
cơ bản.
Mệnh đề 3.2.1 Cho là không gian vector và là k - dạng trên .
Khi đó và nếu thì khả phân khi và chỉ khi . Nếu
có cơ sở là thì có dạng với .
Đại số Lie toàn phương cơ bản có một số tính chất đáng chú ý sau:
Định nghĩa 3.2.2 Cho là một không gian vector toàn phương. Khi đó:
1) là đạo hàm của được định nghĩa bởi
trong đó
,
2) Trên chọn một cơ sở trực chuẩn cố định . Khi đó tích
Super-Poisson trên được định nghĩa:
.
Bằng cách áp dụng tính chất của tính Super-Poisson được định nghĩa
trên đại số các dạng đa tuyến tính phản xứng trên một đại số Lie toàn phương,
G. Pinczon và R. Ushirobira đã phân loại hoàn toàn các đại số Lie toàn
phương cơ bản trong [7] gồm , (đại số Lie kim cương), , .
41
Ví dụ 3.2.3 Xét đại số Lie , từ định nghĩa dạng song tuyến tính
ta có thể tính được 3-dạng liên kết:
. Từ đó suy ra .
Vì: .
, ,
.
Nên ta tính được .
Trong khi đó: .
Áp dụng công thức tích Super – Poisson trong [7] ta có:
Do đó .
Tương tự ta có được: .
Từ đó suy ra .
Ví dụ 3.2.4 Xét đại số Lie kim cương .
Ta tính 3-dạng liên kết như sau:
,
,
.
Suy ra: .
42
Tương tự ta tính , , .
Suy ra nên .
, ,
.
Nên .
Áp dụng công thức tính tích Super – Poisson trong [7], ta có:
Bằng các tính toán tương tự, ta suy ra:
.
Từ đó ta được .
Ví dụ 3.2.5 Xét đại số Lie , từ định nghĩa
dạng song tuyến tính , ta có thể tính được 3 - dạng liên kết như sau:
, các trường hợp khác bằng 0.
Nên ta tìm được .
, , ,
43
Suy ra nên
,
,
.
Do đó .
Áp dụng công thức tính tích Super – Poisson trong [7] ta được:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Nhận xét: .
. Nên
Từ đó ta thu được:
.
Suy ra:
44
và hiển nhiên
.
Ví dụ 3.2.6 Xét đại số Lie , từ định nghĩa
dạng song tuyến tính , ta xác định 3 - dạng liên kết như sau:
, các trường hợp khác bằng 0.
Suy ra .
Áp dụng công thức tính tích super-Poision trong [7], ta thu được:
, , , ,
và .
Do đó và .
.
.
.
Từ đó ta suy ra
Áp dụng công thức tính tích Super – Poisson trong [7], ta thu được:
Từ đó ta suy ra .
Tính toán tương tự ta thu được:
45
, với
.
Điều đó chứng tỏ:
với
.
Suy ra .
Ví dụ 3.2.7 Xét đại số Lie với
, , , , ,
. Dạng song tuyến tính được xác định ,
với .
Từ định nghĩa dạng song tuyến tính , ta có thể xác định 3 - dạng liên kết
như sau:
.
Tính toán hoàn toàn tương tự, ta có:
và các trường hợp khác bằng 0.
Suy ra .
Áp dụng công thức tính tích Supper-Poision trong [7], ta tính được:
, , , ,
, và .
Điều này chứng tỏ và .
,
,
46
,
,
.
Từ đó, ta có thể thấy:
.
Áp dụng công thức tính tích Super – Poisson trong [7], ta thu được:
điều này chứng tỏ .
Tính toán một cách tương tự, ta có:
.
So sánh với:
Từ đó ta kết luận được:
và
.
Nhận xét: Với hai phương pháp trên ta có thể mô tả và đồng thời tính được số
chiều của nhóm đối đồng điều của đại số Lie toàn phương thấp chiều .
Cụ thể ta có thể kiểm tra các kết quả sau trong [11]:
0
, , , , ,
47
, ,
, ,
, , , , , , , , , , , , ,
, ,
,
.
,
, , , , ,
, , , , ,
, ,
, , , , ,
, , , ,
48
,
0
49
KẾT LUẬN
Nghiên cứu và mô tả các đối đồng điều của đại số Lie toàn phương là
một hướng nghiên cứu mới và còn nhiều vấn đề chưa giải quyết được. Các kết
quả của luận văn mới chỉ dừng lại ở những tính toán cụ thể đầu tiên là mô tả
và tính số chiều của các nhóm đối đồng điều đại số Lie toàn phương thấp
chiều. Từ các kết quả của luận văn, chúng ta có thêm nhiều ví dụ, hiểu thêm
một số phương pháp tính toán để từ đó hy vọng sẽ giải quyết được những vấn
đề sâu hơn, tổng quát hơn trong nghiên cứu đối đồng điều đại số Lie toàn
phương và đại số Lie giải được. Đồng thời, luận văn cũng cho chúng tôi một
số ý tưởng nghiên cứu trong thời gian tới như sau:
i. Xem xét và nghiên cứu một số họ các đại số Lie toàn phương tổng
quát có thể mô tả được đối đồng điều của chúng như A. Medina đã
làm trong [10].
ii. Áp dụng các tính toán cho những lớp đại số Lie toàn phương đã
được phân loại khác như lớp các đại số Lie toàn phương lũy linh
(đã phân loại đến 10 chiều), lớp các đại số Lie toàn phương kì dị
(ứng với 3-dạng liên kết có dạng tích của một 1-dạng với một 2-
dạng), lớp các đại số Lie symplectic (thay vì tồn tại dạng song
tuyến tính đối xứng để trở thành đại số Lie toàn phương thì tồn
tại một dạng symplectic) hay cho các họ các siêu đại số Lie như
trong [12] (lớp các siêu đại số Lie là lớp tổng quát hơn lớp các đại
số Lie).
50
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] L. J. Santharoubane, “Cohomology of Heisenberg Lie algebras”,
Proc. Amer. Math. Soc. 87 (1983), 23-28.
[2] H. Pouseele (2005), “On the cohomology of extensions by a
Heisenberg Lie algebra”, Bull. Austral. Math. Soc. 71, 459-470
[3] V. Kac (1985), Infinite dimensional Lie algebras, Cambridge
University Press, 1985.
[4] G. Favre and L.J. Santharoubane (1987), Symmetric, invariant, non-
degenarate bilinear form on a Lie algebra, J. of Algebra 105, 465-
483.
[5] H. Baum and I. Kath (2003), Doubly extended Lie groups curvature,
holonomy and parallel spinors, Differential Geom. Appl. 19(3), 253-
280.
[6] I. Kath (2007), Nilpotent metric Lie algebras and small dimension, J.
Lie Theory 17(1), 41-61.
[7] G. Pinczon and R. Ushirobira (2007), New Applications of Graded Lie
Algebras to Lie Algebras, Generalized Lie Algebras, and
Cohomology, J. Lie Theory 17, pp. 633-667.
[8] P. T. Dat, D.M. Thanh and L.A. Vu (2012), “Solvable quadratic Lie
algebras in low dimensions”, East – West J. of Math. 14(2), pp. 208-
218.
[9] M. T. Dương (2013), “The cohomology group of the
elementaryquadratic Lie algebras”, J. of Science, Ho Chi Minh city
University of Education, No. 47 (81), pp. 25-36.
[10] A. Medina and P. Revoy (1985), “Algèbres de Lie et produit scalaire
invariant”, Ann. Sci. Éc. Norm. Sup., 4ème sér. T.18, 553-561.
51
[11] T. T. H. Cao, M. T. Duong (2015), “The Betti numbers and the vector
space of skew-symmetric derivations of solvable quadratic Lie
algebras with demension ”, J. of Sceince, Ho Chi Minh city Univ.
of Education, No. 5 (70), pp. 100-110.
[12] Cao Trần Tứ Hải, Dương Minh Thành (2016), “Phân loại các siêu đại
số Lie toàn phương giải được 8 chiều với phần chẵn bất khả phân 6
chiều”, Tạp chí khoa học ĐHSP TP.HCM, Số 12(90).
