ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
NGẠC NGỌC KHÔI
DƢỚI THÁC TRIỂN CỰC ĐẠI
CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƢỚI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN-2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
NGẠC NGỌC KHÔI
DƢỚI THÁC TRIỂN CỰC ĐẠI
CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƢỚI
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng
THÁI NGUYÊN-2016
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ
công trình nào.
Tác giả
Ngạc Ngọc Khôi
ii
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân
dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán,
các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán
học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Ban giám đốc TTGDTX Tỉnh Hà Giang cùng các
đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và
hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên
để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2016
Tác giả
iii
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii
MỤC LỤC............................................................................................................ iii
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 2
3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 2
4. Bố cục của luận văn ......................................................................................... 2
Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................... 4
1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị ........................................... 4
1.2. Hàm đa điều hoà dưới ................................................................................... 7
1.3. Hàm đa điều hoà dưới cực đại ............................................................... 9
1.4. Toán tử Monge-Ampère phức .................................................................... 10
1.5. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor ............................................................ 13
1.6. Các lớp năng lượng và các lớp năng lượng có trọng trong ................. 17
Chƣơng 2: DƯỚI THÁ C TRIỂ N CỰ C ĐẠ I CỦ A HÀ M ĐA ĐIỀ U HÒ A DƯỚ I
....... 19
2.1. Độ đo Monge - Ampère của dưới thá c triể n cự c đạ i .................................. 19
2.2. Thế vị trên miền Kahler .............................................................................. 21
2.3. Dưới thác triển của các hàm tựa đa điều hòa dưới ..................................... 30
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 45
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cho là một miền giả lồi. Ký hiệu là lớp các hàm đa điều
hoà dưới âm trên với giá trị biên và độ đo Monge-Ampere hữu hạn trên
. là lớp các hàm đa điều hoà dưới âm trên sao cho tồn tại dãy
giảm các hàm đa điều hoà dưới trong hội tụ đến thỏa mãn
. Nếu và là các miền siêu lồi với và
thì có thể chỉ ra rằng tồn tại một hàm đa điều hòa dưới
sao cho trên và . Hàm như thế được gọi là dưới
thác triển của tới .
El Mir, năm 1980, đã cho một ví dụ về một hàm đa điều hòa dưới trên
song đĩa đơn vị trong mà hạn chế lên một song đĩa bé hơn không có dưới
thác triển lên toàn bộ không gian. Đồng thời chỉ ra rằng, sau khi làm yếu đi tính
kỳ dị của hàm đa điều hòa dưới đã cho bằng sự hợp thành với hàm lồi tăng
thích hợp, có thể đạt được dưới thác triển toàn cục. Kết quả này được tổng quát
bởi Alexander và Taylor, năm 1984.
U. Cegrell và A. Zeriahi, năm 2003 đã chứng minh rằng hàm đa điều hòa
dưới với độ đo Monge – Ampere bị chặn đều trên một miền siêu lồi bị chặn
luôn có dưới thác triển đa điều hòa dưới đến một miền siêu lồi lớn hơn. U.
Cegrell, S. Kolodziej và A. Zeriahi, năm 2005 đã chỉ ra rằng hàm đa điều hòa
dưới với độ đo Monge – Ampere trên một miền siêu lồi bị chặn luôn có dưới
thác triển đa điều hòa dưới toàn cục với cấp tăng lôga ở vô cùng.
2
Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài “Dưới thác triển cực
đại của hàm đa điều hoà dưới”. Đề tài có tính thời sự, đã và đang được nhiều
nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là trình bày các kết quả gần đây của U. Cegrell, S.
Kolodziej và A. Zeriahi về dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hoà dưới.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
+ trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả của lý thuyết đa thế vị.
+ Nghiên cứu độ đo Monge - Ampère của dư ới thá c triể n cự c đạ i , thế vị
trên miền Kahler và dưới thác triển của các hàm tựa đa điều hòa dưới.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương
pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 46 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về dạng vi phân
và dòng trong lý thuyết đa thế vị, các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm
đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford-
Taylor, các lớp năng lượng và năng lượng có trọng trong .
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả gần đây
của U. Cegrell, S. Kolodziej và A. Zeriahi về dưới thác triển cực đại của hàm
đa điều hoà dưới. Trong đó đề cập đến bài toán dưới thác triển địa phương và
3
toàn cục của hàm (quasi-) đa điều hoà dưới từ miền con “chính qui” của đa tạp
Kahle compact. Chứ ng minh c ận đúng trên khố i lư ợng Monge - Ampère phức
của một hàm cho trướ c ké o theo sự tồ n tạ i củ a mộ t dư ới thá c triể n tớ i mộ t miề n
con chí nh quy lớ n hơn hoặ c tớ i toà n bộ đa tạ p compact . Trong mộ t vài trườ ng
hợ p sẽ chỉ ra rằng dư ới thá c triể n cự c đạ i có mộ t độ đo Monge - Ampère phức
hoàn toàn xác định và thu được đánh giá chính xác trên độ đo này. Cuố i cù ng là
mộ t ví dụ củ a hà m đa điề u hò a dướ i vớ i độ đo Monge - Ampère phức hoàn toàn
xác định và cận phải trên khố i lượng Monge - Ampère của nó trên hình cầ u đơn
vị trong mà dưới thá c triể n cự c đạ i tớ i không gian xạ ả nh phứ c không
có độ đo Monge - Ampère phức hoàn toàn xác định toàn cục.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
4
Chƣơng 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị
Giả sử là không gian vectơ chiều với cơ sở chính tắc
, ở đó 1 ở vị trí thứ . Giả sử với mỗi kí hiệu
là hàm tọa độ thứ : . Một ánh xạ gọi
là tuyến tính nếu nó là tuyến tính theo từng biến khi các biến khác cố định.
Một ánh xạ tuyến tính sao cho khi
gọi là ánh xạ tuyến tính thay dấu. Tập các ánh xạ tuyến tính thay dấu
từ tới kí hiệu .
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử là tập mở. Một dạng vi phân trên là
ánh xạ .
Nếu đặt thì ta có thể viết mỗi dạng vi phân
trên dưới dạng:
ở đó là các
hàm trên .
5
Giả sử là dạng và là dạng, ở đó
và khi đó tích ngoài là
dạng cho bởi công thức , ở đó nếu
với và ,
với là hoán vị của dãy và
trong tập hợp để tạo thành dãy tăng
.
Nếu là một hàm thì và .
Mọi dạng với đều bằng 0. Các dạng có bậc cực đại là các dạng
bậc . Cho là dạng lớp . Vi phân ngoài (đạo hàm ngoài) của là
dạng cho bởi:
Nếu ta nói là dạng đóng. Mọi dạng có bậc cực đại là đóng.
Giả sử . Khi đó
,
là độ đo Lebesgue trên .
Định nghĩa 1.1.2. Một dòng bậc hay có chiều trên tập mở
là dạng tuyến tính liên tục . Nếu là dạng trong
, giá trị của tại , kí hiệu bởi hay .
6
Bây giờ giả sử . Ta kí hiệu là tập các dạng phức song
bậc hệ số hằng trên . Khi đó nếu thì có thể biểu diễn:
ở đó tổng lấy theo các
bộ đa chỉ số với ,
.
Dạng K hler chính tắc trên cho bởi:
Khi đó dạng thể tích trên cho bởi:
Nếu có thể biểu diễn
với thì gọi là dạng dương sơ cấp.
Giả sử là tập mở. Tập các dạng vi phân song bậc với hệ số
thuộc (tương ứng ) được kí hiệu (tương ứng
).
7
Định nghĩa 1.1.3. Mỗi phần tử gọi là một dòng song
bậc hay dòng (tương ứng song chiều ). Những
phần tử của gọi là dòng cấp , song bậc (hay
dòng cấp ).
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử là dòng trên tập mở . được gọi
là dương nếu với mỗi dạng sơ cấp
ta có là phân bố dương, nghĩa là một độ đo Borel trên .
1.2. Hàm đa điều hoà dƣới
Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một không gian tôpô, hàm
được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi tập hợp
là mở trong X.
Định nghĩa 1.2.2. Cho là một tập con mở của và là
một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần liên
thông nào của . Hàm được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi và
, hàm là điều hoà dưới hoặc trùng trên mỗi thành
phần của tập hợp . Trong trường hợp này, ta viết
. (ở đây kí hiệu là lớp hàm đa điều hoà dưới trong ).
Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới:
Mệnh đề 1.2.3. Nếu và hầu khắp nơi trong , thì
.
8
Mệnh đề 1.2.4. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền
và
bị chặn, tức là nếu là một tập con mở liên thông bị chặn của
, thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi ,
.
Định nghĩa 1.2.5. Tập hợp được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm
đều có một lân cận của và một hàm sao cho
.
Định lý 1.2.6. Cho là một tập con mở trong . Khi đó
Họ là nón lồi, tức là nếu là các số không âm và
, thì .
Nếu là liên thông và là dãy giảm, thì
hoặc .
Nếu , và nếu hội tụ đều tới trên các
tập con compact của , thì .
Giả sử sao cho bao trên của nó là bị
chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên là đa điều
hoà dưới trong .
Định lý 1.2.7. Cho là một tập con mở của .
Cho là các hàm đa điều hoà dưới trong và . Nếu
là lồi, thì là đa điều hoà dưới trong .
9
Cho , , và trong . Nếu là
lồi và tăng dần, thì là đa điều hoà dưới trong .
Cho , trong , và trong . Nếu
là lồi và , thì .
Định nghĩa 1.2.8. Một miền bị chặn được gọi là miền siêu lồi nếu tồn
tại một hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục sao cho với
.
1.3. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại
Định nghĩa 1.3.1. Cho là một tập con mở của và là hàm
đa điều hoà dưới. Ta nói rằng là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact
tương đối G của , và với mỗi hàm nửa liên tục trên trên sao cho
và trên , đều có trong G.
Sau đây là một số tính chất của hàm đa điều hoà dưới cực đại:
Mệnh đề 1.3.2. Cho là mở và là hàm đa điều hoà dưới.
Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
Với mỗi tập con mở compact tương đối G của và mỗi hàm ,
nếu với mọi , thì trong G ;
Nếu và với mỗi tồn tại một tập compact sao
cho trong , thì trong .
10
Nếu , G là một tập con mở compact tương đối của , và
trên thì trong G ;
Nếu , G là một tập con mở compact tương đối của , và
với mỗi , thì trong G ;
là hàm cực đại.
1.4. Toán tử Monge-Ampère phức
Cho là đa điều hoà dưới trên miền . Nếu thì
toán tử:
,
với là yếu tố thể tích trong gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này
có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian các hàm liên tục với giá compact trên
.
Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu là đa điều hoà dưới bị chặn
địa phương trên thì tồn tại dãy sao cho
và hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là:
.
11
Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy như trên, ta ký hiệu:
và gọi là toán tử Monge-Ampe của .
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe.
Mệnh đề 1.4.1. Giả sử là dãy các độ đo Radon trên tập mở hội
tụ yếu tới độ đo Radon . Khi đó
Nếu là tập mở thì .
Nếu là tập compact thì .
Nếu compact tương đối trong : thì .
Chứng minh. Ta có . Giả sử là tập
compact. Lấy , và trên . Khi đó
.
Từ đó .
. Giả sử là một lân Ta có
cận mở của và , và trên . Khi đó
.
Từ đó .
12
Viết . Khi đó
.
Mặt khác .
Từ đó .
Vậy .
Mệnh đề 1.4.2. Giả sử là miền bị chặn và
sao cho trên và . Giả sử là dòng
dương, đóng trên . Khi đó
.
Đặc biệt, nếu thì .
Chứng minh. Chú ý rằng và là các độ đo Borel dương
trên . Với , đặt . Khi đó và là hàm đa điều
hòa dưới trên và tăng tới 0 khi giảm về 0. Từ định lí hội tụ đơn điệu
Lebesgue ta có
và
.
13
Do nên là tập compact tương đối trong . Lấy
miền sao cho . Khi đó với đủ lớn,
và do giả thiết là dòng dương,
đóng trên nên là dòng dương, đóng với mọi
, suy ra
.
Nhưng hội tụ yếu tới . Khi đó
hội tụ yếu tới . Vậy
.
Từ đó cho suy ra . Cho ta được
bất đẳng thức cần chứng minh.
1.5. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor
Định lý 1.5.1. Giả sử là miền bị chặn và sao
cho . Khi đó
14
. (1.1)
Chứng minh. Trước tiên, theo giả thiết có . Điều này
có nghĩa là với mọi tồn tại sao cho thì
. Hơn nữa khi thay bởi , thì
khi . Nếu bất đẳng thức (1.1) đúng trên
thì cho suy ra (1.1) đúng trên . Vì vậy có thể giả
sử . Vậy .
Giả sử là các hàm liên tục. Khi đó là tập mở, liên
tục trên và trên . Với , đặt .
Từ giả thiết nên hay
với gần biên . Vậy gần biên
và trên . Theo công thức Stokes ta có
hay
.
Vì nên . Vậy
.
15
Giả sử tùy ý và là miền sao cho . Tồn tại
hai dãy và các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của giảm tới
và sao cho trên với mọi . Có thể coi . Lấy
và giả sử là tập mở sao cho , là các hàm
liên tục trên . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm liên tục trên sao cho
trên . Ta có
.
Nhưng và vì là tập mở nên
,
vì và hội tụ yếu tới .
Từ và suy ra
.
Áp dụng vào các hàm liên tục và ta thu được
.
16
Do đó
.
Hơn nữa
và do là tập compact và nên ta có
.
Do tùy ý nên ta được
.
Từ đó với mọi ta có
.
Nhưng
và
khi . Do đó
.
17
Hệ quả 1.5.2. Giả sử là miền bị chặn và sao
cho và . Khi đó
.
Hệ quả 1.5.3. Giả sử là miền bị chặn và sao
. Giả sử trên . Khi đó cho
trên .
Hệ quả 1.5.4. Giả sử là miền bị chặn và sao
cho và . Khi đó .
1.6. Các lớp năng lƣợng và các lớp năng lƣợng có trọng trong
Định nghĩa 1.6.1. Miền bị chặn gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một
hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục sao cho với
.
Kí hiệu là lớp các hàm điều hòa dưới âm trên .
Dưới đây giả sử . Ta có các định nghĩa sau
Định nghĩa 1.6.2.
.
. ,
18
Định nghĩa 1.6.3. Cho là hàm tăng.
trong và thoả mãn
Định lí 1.6.4. Cho là hàm tăng thỏa mãn và
. Cố định và đặt . Khi đó với mỗi tập
Borel , ta có .
Hơn nữa nếu là một dãy giảm bất kì trong hội tụ tới sao cho
thì
.
Định lý 1.6.5. Cho là hàm không giảm sao cho . Khi
đó Nói riêng, với tuỳ ý, toán tử Monge-Ampere
phức hoàn toàn xác định và
Mệnh đề 1.6.6. Cho là hàm không giảm sao cho .
Khi đó nếu tồn tại dãy sao cho
thì hàm và do đó .
19
Chƣơng 2
DƢỚI THÁC TRIỂN CỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI
2.1. Độ đo Monge - Ampère của dƣới thác triển cực đại
Trướ c khi xét dưới thác triển từ một miền siêu lồi đến , chúng ta cần
đến một k ết quả về dưới thác triển tới một tập siêu lồi lớn hơn . Cho
là hai miền siêu lồi bị chặn (mở và liên thông ) và là
mộ t hà m cho trướ c . Khi đó , có mộ t dưới thác triển , nghĩa là
trên (xem [10]). Do đó , ta có thể đị nh nghĩ a dưới thác triển cực đại
của bở i
(2.1).
Từ [6] suy ra rằ ng . Đị nh lý dướ i đây đưa ra mộ t sự mô tả độ đo
Monge - Ampère của dưới thá c triể n cự c đạ i . Trước tiên ta cần Bổ đề cơ
bản sau
Bổ đề 2.1.1.([4]) Giả sử là một dãy độ đo dương xác định trên vớ i khố i
lượ ng bị chặ n đề u và vớ i m ỗi tồn tại mộ t số sao cho vớ i mọ i
vớ i ta có vớ i mọ i . Nế u và
thì
.
Đị nh lý 2.1.2. Cho . Vớ i mọ i ta có
và .
Chứ ng minh. Phát biểu thứ nhấ t của định lý đã đượ c chứ ng minh trong [7].
Lưu ý rằ ng hà m đượ c xá c đị nh bở i (2.1) là hàm đa điều hòa dưới nế u
là một hà m liên tụ c trên . Từ đó, dễ dà ng chỉ ra trong trường hợp này ta có
20
.
Bây giờ, giả sử và lấy một dãy hàm liên tục trên
giảm dần về . Khi đó giảm đến và dãy bị chặn đều trên vì
trên . Do đó , độ đo Monge - Ampère đượ c là m trộ i đề u
bở i dung lượ ng Monge - Ampère.
Vì vậy, nế u đặ t thì có thể áp dụng Bổ đề 2.1.1 để khẳng
đị nh rằ ng vớ i mọ i ta có
,
do lưu ý ở phần đầ u chứ ng minh nà y . Để kế t thú c chứ ng
minh trong trườ ng hợ p nà y ta chỉ cầ n cho .
Nế u ta xé t . Khi đó , vớ i mỗ i cố đị nh ta có
khi .
Chú ý rằng hàm triệt tiêu trên và bị chặn trên
bởi 1. Hơn nữa, với bất kỳ ta có và dãy độ đo
tăng tới độ đo (xem [3]).
Do đó với ta nhận được
.
Từ đó suy ra với mỗi cố định, dãy độ đo
21
và do đó thỏa mãn đòi hỏi của Bổ đề 2.1.1, vì
thế với mỗi và cố định ta nhận được
.
Cho . Khi đó vì khi nên
từ bất đẳng thức trước suy ra .
Cho ta có điều phải chứng minh
Chú ý 2.1.3. Ta có .
Thật vậy, bất đẳng thức suy ra từ Định lý 2.1.2 và ngược lại suy từ bất
đẳng thức Demailly [2].
2.2. Thế vị trên miền Kahler
Trong phần này trình bày việc thiết lập một vài kết quả cơ bản trong lý
thuyết đa thế vị trên các đa tạp Kahler compact cùng với biên, nghĩa là trên các
miền thuộc một đa tạp Kahler compact.
2.2.1. Nguyên lý so sánh
Mục đích của phần này là trình bày một dạng nửa toàn cục của nguyên lý
so sánh bao gồm dạng địa phương từ lý thuyết đa thế vị trên các miền siêu lồi
bị chặn trong cũng như một dạng toàn cục từ lý thuyết về các đa tạp Kahler
compact (xem [12]).
22
Cho là một đa tạp Kahler chiều và là dạng Kahler trên . Xét
các hàm - đa điều hòa dưới bị chặn trên các miền Kahler trong cùng với
biên. Với miền tùy ý, ký hiệu là tập các hàm - đa điều
hòa dưới trên .
Theo định nghĩa, nếu là đa điều hòa dưới trên thì hàm
là hàm đa điều hòa dưới địa phương trên , ở đó là thế vị đa
điều hòa dưới địa phương của , nghĩa là . Do đó dòng
kết hợp với là một dòng dương đóng xác định toàn cục trên
có thể được viết một cách địa phương là . Do vậy theo Bedford
và Taylor [4], hoàn toàn xác định một dòng dương đóng song bậc
trên . Tổng quát hơn, nếu là các hàm - đa điều hòa dưới bị
chặn trên thì theo qui nạp ta có thể định nghĩa tích
(2.2)
là một dòng dương đóng song chiều trên . Hơn nữa các dòng
này triệt tiêu trên các tập đa cực.
Chúng ta bắt đầu từ “phiên bản địa phương” của nguyên lý so sánh suy
ra từ tính tựa liên tục của các hàm đa điều hòa dưới (xem [4]).
Mệnh đề 2.2.1.1. Cho là dòng dương đóng song chiều
dạng (2.2) và . Khi đó
theo nghĩa yếu của độ đo Borel trên . Nói riêng
theo nghĩa yếu của độ đo Borel trên .
Để biểu diễn công thức tích phân từng phần, ta cần xét các miền đặc biệt.
23
Định nghĩa 2.2.1.2 Ta nói rằng một miền là tựa siêu lồi nếu có một
hàm vét cạn đa điều hòa dưới âm, liên tục .
Chú ý rằng một miền bất kỳ với biên trơn được cho bởi ,
ở đó là trơn trong một lân cận của , là miền tựa siêu lồi bởi vì với
đủ nhỏ, hàm là - đa điều hòa dưới trên một lân cận của và là hàm
vét cạn bị chặn đối với . Để ý rằng một miền như vậy có thể là giả lõm.
Ở đây chúng ta sẽ chỉ xét các miền tựa siêu lồi thỏa mãn
(2.3)
Định nghĩa 2.2.1.3. Cho một miền tựa siêu lồi , ta định nghĩa lớp các hàm
thử là lớp các hàm sao cho
và .
Chú ý rằng với hàm trơn âm tùy ý có giá compact trong , thì
với đủ nhỏ. Hơn nữa, nếu là một hàm đa điều hòa
dưới xác định đối với thì với tùy ý, .
Bổ đề 2.2.1.4. Cho là dòng dương đóng song chiều kiểu
(2.2) và sao cho trên . Khi đó
và nếu trên thì
.
Nói riêng, nếu và tại biên, thì
.
24
Chứng minh: Nhắc lại điều kiện nghĩa là với tùy ý ,
. Vì thế thay bởi và cho , ta có thể giả sử
rằng . Khi đó hàm trùng
với ở gần biên của . Điều này suy ra
(2.4).
Thật vậy, sử dụng phép chính qui hóa địa phương của hàm đa điều hòa
dưới ta được
,
theo nghĩa dòng trên , ở đó
xác định một dòng có các hệ số đo được và với giá compact trong . Do đó
theo định nghĩa vi phân của dòng , ta có với hàm thử tùy ý mà
trong lân cận của giá của . Điều này suy ra đẳng thức (2.4).
Bây giờ theo Mệnh đề 2.2.1.1, ta nhận được
.
Khi đó sử dụng đẳng thức (2.4) và Mệnh đề 2.2.1.1 lần nữa, ta được
.
25
Suy ra
.
Áp dụng kết quả này cho và và cho , ta nhận được bất đẳng
thức cần chứng minh.
Để nhận được bất đẳng thức thứ 2, ta có thể giả sử trên
. Áp dụng bất đẳng thức trên đối với và với và chú ý
rằng . Khi đó cho ta được bất đẳng thức cần
chứng minh.
Nếu ta đặt và với ta đặt trong đó
. Như vậy là dòng dương đóng trên . Khi đó ta có
kết quả sau đây:
Hệ quả 2.2.1.5. Lớp là lồi và thỏa mãn điều kiện
.
Cho là các số nguyên sao cho và ký hiệu
. Khi đó với tùy ý ta có
(2.5).
Nếu thì
.
Chứng minh. Giả sử và và ký hiệu
.
26
Vì nên từ Bổ đề 2.2.1.4 suy ra
.
Do đó .
Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức (2.5). Thật vậy, theo Bổ đề 2.2.1.4 ta có
.
Áp dụng kết quả này với ta được
.
Tương tự ta được
.
Do đó nếu chọn sao cho và cho giảm về 0
thì ta được
.
Tính lồi của được suy trực tiếp từ bất đẳng thức cuối cùng vì với
và ta có
.
Theo bất đẳng thức ở trên, với ta suy ra
.
27
Để nhận được bất đẳng thức cuối cùng chúng ta thực hiện phép qui nạp áp dụng
bất đẳng thức ở trên.
2.2.2. Công thức tích phân từng phần
Để chứng minh công thức tích phân từng phần, ta cần dạng nửa toàn cục
của định lý hội tụ cổ điển của Bedfod và Taylor đối với lớp .
Mệnh đề 2.2.2.1. Cho là dãy các hàm đa điều hòa dưới bị
chặn đều địa phương trong lớp , hội tụ đơn điệu đến
tương ứng. khi đó các dòng dương
,
có các khối lượng toàn phần bị chặn đều trong và
.
Chứng minh. Trước tiên theo Bedfod và Taylor ta có trên
(xem [4]). Từ giả thiết suy ra với cho trước, tồn tại một tập mở
sao cho và trên . Khi đó
đều theo .
Ở đây chúng ta sử dụng giả thiết các dòng có khối lượng bị chặn đều trên
theo Bổ đề 2.2.1.4.
Bây giờ, để ý rằng ta luôn có thể chọn miền sao cho độ đo dương
triệt tiêu trên biên của nó. Khi đó vì các độ đo dương
hội tụ yếu đến trong nên suy ra
28
,
điều này chứng tỏ rằng tích phân thứ nhất ở vế phải hội tụ đến 0 và mệnh đề
được chứng minh.
Bây giờ, chúng ta chứng minh công thức tích phân từng phần dưới đây
được sử dụng trong phần tiếp theo.
Bổ đề 2.2.2.2. Cho trong đó
. Giả sử Khi đó
và
.
Chứng minh. Ký hiệu . Khi đó theo Mệnh đề
2.2.1.1 dòng có khối lượng toàn phần hữu hạn trong . Từ công thức
Stokes suy ra rằng nếu là các hàm - đa điều hòa dưới bị chặn trên
sao cho và ở gần biên thì
.
Thật vậy, để ý rằng vì là các hàm tựa đa điều hòa dưới bị chặn
trên , nên từ lý thuyết địa phương suy ra các dòng
và được xác định với
hệ số đo được trên sao cho
và
theo nghĩa yếu của dòng trên .
29
Vì có giá compact trong , nên suy ra . Khi đó
.
Bây giờ với đủ bé, đặt và và
chú ý gần . Do đó theo chú ý ở trên, với đủ bé ta có
.
Vì , nên trên , suy ra trên .
Bây giờ với đủ bé, ta có
.
Vì và nên theo Mệnh đề 2.2.1.1 suy ra
.
Từ đó suy ra công thức tích phân từng phần:
.
Bây giờ áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có
.
30
2.3. Dƣới thác triển của các hàm tựa đa điều hòa dƣới
2.3.1. Các lớp năng lượng Monge-Ampère có trọng
Định nghĩa 2.3.1.1. Ta nói rằng nếu tồn tại một dãy giảm ,
hội tụ đến trên sao cho
.
Để ý rằng là tập lồi và . Lớp là tương tự
lớp được định nghĩa bởi Cegrell trong [6]. Cho là một miền siêu lồi, ở đó
dạng có một thế vị đa điều hòa dưới trên với giá trị biên bằng 0 và giả
sử là lớp được định nghĩa trong [6]. Khi đó nếu thì
.
Hiện nay chúng ta không biết khi nào toán tử Monge-Ampère hoàn toàn xác
định trên lớp nhưng ta có thể xác định khối lượng Monge-Ampère của
hàm nhờ bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.1.2. Giả sử là một hàm cố định. Khi đó hằng số
không phụ thuộc vào dãy giảm , hội tụ đến .
Hơn nữa nếu và thì .
Chứng minh. Lấy một dãy xác định đối với . Theo Bổ đề 2.2.1.4 ta có
là dãy tăng và theo định nghĩa nó bị chặn, vì vậy giới hạn
là tồn tại. Ta chỉ cần chỉ ra rằng nó không phụ thuộc vào dãy . Giả
sử là dãy giảm khác gồm các hàm trong lớp hội tụ tới trong
. Cố định và . Theo định lý liên tục Bedford-Taylor ([4]), ta có
31
yếu trên khi .
Suy ra tồn tại sao cho
.
Theo Bổ đề 2.2.1.4, ta có
.
Từ đó suy ra , kéo theo
.
và phần thứ nhất của bổ đề được chứng minh.
Bây giờ, đặt . Khi đó theo Bổ đề 2.2.1.4 , và
.
Vì giảm tới nên suy ra và từ phần thứ nhất của chứng
minh ta kết luận rằng
Bây giờ chúng ta xét lớp năng lượng Monge-Ampère có trọng hữu hạn
(Xem [12]). Một hàm trọng là hàm tăng sao cho với
và . Đối với một hàm trọng tuỳ ý ta kết hợp với lớp
các hàm đa điều hòa dưới mà đối với nó tồn tại
một dãy , , sao cho
.
32
Trong trường hợp của chúng ta hàm trọng là lồi. Từ công thức (IBP), ta có
thể suy ra bất đẳng thức cơ bản dưới đây (Xem [12]).
Mệnh đề 2.3.1.3. Cho là hàm trọng lồi. Khi đó với
tùy ý, , ta có
.
Ta có thể chỉ ra rằng toán tử Monge-Ampère phức là hoàn toàn xác định
và liên tục trên các dãy giảm thuộc lớp , ở đó là một hàm
lồi tăng (Xem [12], [11]).
Mệnh đề 2.3.1.4. Toán tử Monge-Ampère phức là hoàn toàn xác định trên lớp
. Hơn nữa, nếu là dãy giảm hội tụ đến ,
thì dãy độ đo Monge-Ampère hội tụ yếu đến trên . Hơn nữa với
bất kỳ , ta có
.
Sử dụng công thức tích phân từng phần, bất đẳng thức cơ bản và lập luận
tương tự như [12] dưới đây, ta có kết quả sau
Mệnh đề 2.3.1.5. Cho . Giả sử tồn tại dãy
giảm đến và thỏa mãn
.
Khi đó và
.
33
2.3.2. Định lý dưới thác triển tổng quát
Định lý 2.3.2.1. Cho là miền tựa siêu lồi thỏa mãn điều kiện (2.3). Giả
sử sao cho . Khi đó tồn tại một hàm
sao cho trên .
Chứng minh : Giả sử là một dãy giảm hội tụ đến trên .
Theo Bổ đề 2.3.1.2 ta có
.
Trước hết giả sử rằng . Khi đó, theo [12] tồn tại
với sao cho
trên ,
ở đó được chọn sao cho khối lượng tổng cộng ở cả hai phía là bằng
nhau. Cố định . Vì và là bị chặn,
nên suy ra
với đủ lớn,
ở đó . Khi đó theo nguyên lý so sánh (Bổ đề 2.2.1.4) suy ra
.
Nhắc lại rằng (Xem [12]).
34
Do đó
.
Suy ra và khi đó trên . Do sự chuẩn hóa của
, hàm và thỏa mãn trên .
Bây giờ, giả sử với và xét một dãy giảm
hội tụ đến với các khối lượng Monge-Ampère bị chặn đều.
Khi đó với tùy ý, ta có và
.
Theo Bổ đề 2.2.1.4 ta có . Do đó, vì nên
.
Theo phần thứ nhất ta có thể tìm được một dưới thác triển
của thỏa mãn . Do đó hàm là dưới thác
triển đa điều hòa dưới của tới với . Bây giờ chú ý rằng
là dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới trên hội tụ đến hàm đa điều hòa
dưới trên sao cho và trên
35
Từ định lý trên suy ra với sao cho , hàm
trên
là hàm đa điều hòa dưới xác định trên và được gọi là dưới thác triển cực
đại của từ vào .
Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng nói chung dưới thác triển cực đại không thuộc
miền xác định toàn cục của toán tử Monge-Ampère phức trên vì nó có thể
có số Lelong dương dọc theo một siêu mặt.
Tuy nhiên nếu hàm đã cho có năng lượng Monge-Ampère có trọng hữu
hạn theo nghĩa của [12] thì ta sẽ chứng minh rằng dưới thác triển cực đại thỏa
mãn tính chất tương tự.
Chúng ta cần bổ đề sau mà việc chứng minh có thể sử dụng lập luận từ
phần đầu tiên của chứng minh Định lý 2.1.2.
Bổ đề 2.3.2.2. Cho như trên và sao cho . Khi
đó và theo nghĩa
độ đo trên . Hơn nữa độ đo được mang bởi tập Borel
.
Định lý 2.3.2.3. Cho là miền tựa siêu lồi thỏa mãn điều kiện (2.3)
và sao cho , ở đó là hàm trọng lồi.
Khi đó dưới thác triển cực đại của từ vào tồn tại và có các tính
chất sau:
và .
xảy ra theo nghĩa độ đo trên
36
độ đo được mang bởi tập Borel .
Chứng minh. Giả sử là một dãy giảm về trên và là
dưới thác triển cực đại của từ vào . Khi đó theo Bổ đề 2.3.2.2
và có giá trên tập
.
Do đó
theo nghĩa độ đo trên . Do đó tồn tại sao cho với bất kỳ
.
Vì trên , nên từ [12] suy ra . Hơn nữa theo định lý
hội tụ ([12]) suy ra
theo nghĩa độ đo trên .
Phần thứ 3 của định lý được chứng minh tương tự như phần cuối cùng
của chứng minh Định lý 2.1.2 sử dụng Bổ đề 2.3.2.2 và Bổ đề 2.3.1.2
Mệnh đề 2.3.2.4. Giả sử . Khi đó nếu là một dãy
giảm hội tụ đến thì dãy giảm về trên . Hơn nữa độ đo Borel tùy
ý trên là một điểm giới hạn của dãy độ đo trên thỏa mãn
bất đẳng thức theo nghĩa độ đo trên .
Chứng minh. Chú ý rằng với mỗi , là một thác triển dưới toàn cục của
tới và khi đó trên . Do đó rõ ràng dãy giảm đến một hàm
đa điều hòa dưới trên thỏa mãn bất đẳng thức trên . Suy ra
37
. Mặt khác vì trên , nên suy ra trên ,
điều này chứng tỏ rằng là dưới thác triển của tới và khi đó trên
. Như vậy trên . Theo Bổ đề 2.3.2.2 ta có
theo nghĩa độ đo trên ,
điều này suy ra phát biểu cuối cùng của mệnh đề.
2.3.3. Dưới thác triển trong
Bây giờ chúng ta xét các dưới thác triển từ một miền siêu lồi
vào , được xét như một tập con mở của . Nhắc lại rằng lớp Lelong được
định nghĩa bởi
.
Giả sử là Metric Fubini-Study được chuẩn hóa trên được xác định
theo tọa độ Afin bởi , trong đó là các tọa độ
thuần nhất trên . Như thông thường ta xét với các tọa độ
afin được xác định bởi . Với các ký hiệu này ta có
, trong đó . Do đó với tùy ý,
hàm xác định bởi
là đa điều hòa dưới trên và bị chặn trên địa phương trong lân
cận của siêu phẳng tại vô cùng . Do đó nó thác triển đến một
hàm đa điều hòa dưới trên mà ta cũng ký hiệu bởi . Điều đó suy ra
38
rằng phép tương ứng là một song ánh giữa và sao
cho trên .
Định lý 2.3.3.1. Cho là miền siêu lồi và sao cho
triệt tiêu trên các tập đa cực trong và . Khi đó dưới thác triển
cực đại của nó từ vào thuộc và xác định một độ đo Monge-
Ampère toàn cục được mang bởi tập và thỏa mãn bất
đẳng thức .
Chứng minh. Giả sử là hình cầu Euclid có tâm tại gốc và bán kinh
. Khi đó hàm là thế vị của dạng
Fubini-Study được chuẩn hóa trên triệt tiêu trên . Trong trường hợp
này . Từ giả thiết
.
Từ lập luận tiêu chuẩn trong lý thuyết độ đo suy ra tồn tại một hàm lồi tăng
sao cho (Xem [12]).
Dễ dàng chỉ ra rằng và khi đó ta có thể áp dụng kết quả cuối
cùng để tìm một dưới thác triển của tới . Khi đó
là dưới thác triển cực đại của tới .
Bây giờ trong trường hợp tổng quát ta xét một hình cầu Euclid sao
cho và sử dụng Định lý 2.1.2 để thiết lập dưới thác triển của
. Khi đó theo trường hợp trước có dưới thác triển sao cho là
một hàm thuộc , nó là dưới thác triển của từ vào . Do
39
đó dưới thác triển cực đại của tồn tại và vì nên suy ra
. Như vậy là thác triển cực đại của tới .
Các tính chất khác suy ra tương tự như trong chứng minh Bổ đề 2.3.2.2.
Bây giờ xét một hàm tuỳ ý và một số thỏa mãn
.
Khi đó theo Định lý 2.3.2.1, tập hợp các dưới thác triển nguyên với độ tăng
logarit
là khác rỗng. Do đó, sử dụng ký hiệu
ta có thể chọn dưới thác triển cực đại của với độ tăng logarit liên kết với
.
Như đã thấy độ đo Monge-Ampère của dưới thác triển này có thể không tồn tại.
Tuy nhiên nếu nó tồn tại thì ta có thể khẳng định một số thông tin về giá của độ
đo như vậy.
Đặt , ta có kết quả sau:
Mệnh đề 2.3.3.2. Giả sử và . Khi đó đối với dãy
, giảm về nếu là điểm tụ của thì
, trong đó là hàm triệt tiêu ngoài và là độ
đo dương sao cho .
Chứng minh. Trước tiên giả sử . Khi đó là liên tục và tập
mức dưới 0 của và là siêu lồi. Theo định nghĩa, và theo Định
40
lý 5.1 trong [8], không là tập compact tương đối trong . Có hai trường
hợp xảy ra:
1) .
2) .
Nếu 1) xảy ra thì thác triển đến một hàm thuộc và
.
Nói riêng, nếu thì trên .
Một cách tổng quát ta có 2). Khi đó trên , bằng , là dưới thác triển cực
đại địa phương của từ vào . Xét là dãy vét cạn
của . Tương ứng với ta ký hiệu là dưới thác triển cực đại địa phương
của nghiệm đối với . Khi đó
và trên
theo Định lý 2.1.2 và do vậy
trên .
Do đó
,
trong đó là một hàm triệt tiêu ngoài và là một độ đo dương
sao cho .
Bây giờ xét trường hợp tổng quát. Chọn một dãy , giảm
về . Khi đó giảm về và
,
41
trong đó là hàm triệt tiêu bên ngoài và là độ đo dương sao
cho . Ta cũng có . Vì vậy nếu là giới hạn
yếu tùy ý của thì , trong đó là hàm
triệt tiêu bên ngoài và là độ đo dương được mang bởi .
Hệ quả 2.3.3.3. Nếu với , tập hợp bị chặn thì độ đo Monge-
Ampère của hoàn toàn xác định và bằng giới hạn của .
Nếu không là tập siêu lồi bị chặn thì không cần thuộc miền xác
định của toán tử Monge-Ampère. Điều này được chỉ ra trong ví dụ dưới đây.
Ví dụ 2.3.3.4. Dưới thác triển cực đại nguyên của một hàm thuộc lớp
không thể có độ đo Monge-Ampère toàn cục hoàn toàn xác định trên .
Xét hàm Green với hai cực tại và có trọng
. Khi đó .
Do vậy tồn tại dưới thác triển cực đại nguyên thuộc lớp Lelong ,
. Chú ý rằng là một dưới thác triển. Theo định nghĩa
hàm Green, với , ta có các bất đẳng thức sau:
trong ,
trong .
Lấy và cố định với . Xét .
42
Nếu hoặc thì . Vì vậy trên
và .
Nếu thì ta suy ra rằng khối lượng toàn phần của
không vượt quá . Do tính đối xứng nên ta có thể giả sử
(2.6)
(trái lại, xét thay cho ).
Nếu thì ta có :
(2.7)
Giả sử là một điểm tùy ý trên . Ký hiệu
và . Khi đó . Nếu ký hiệu là giá trị trung
bình của trên một tập thì ta có
.
Vì bị trội bởi trung bình của trên biên của nên từ công thức
biểu diễn Riesz, sử dụng và (2.6), (2.7) ta được
.
43
Do đó
.
với . Vì toán tử Monge-Ampère không xác định với
nên suy ra tương tự với hàm .
44
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày:
- Tổng quan và hệ thống các kết quả của lý thuyết đa thế vị như: dạng vi
phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị, các tính chất của hàm đa điều hoà dưới,
hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh
Bedford-Taylor, các lớp năng lượng và năng lượng có trọng.
- Các kết quả gần đây của U. Cegrell, S. Kolodziej và A. Zeriahi về dưới
thác triển cực đại của hàm đa điều hoà dưới. Trong đó đề cập đến bài toán dưới
thác triển địa phương và toàn cục của hàm (quasi-) đa điều hoà dưới từ miền
con “chính qui” của đa tạp Kahle compact.
Chứ ng minh c ận đúng trên khố i lư ợng Monge - Ampère phức của một
hàm cho trước kéo theo sự tồn tại của một dư ới thá c triể n tớ i mộ t miề n con
chính quy lớn hơn hoặc tới toàn bộ đa tạp compact.
Trong mộ t vài trườ ng hợ p s ẽ chỉ ra rằng dư ới thá c triể n cự c đạ i có mộ t
độ đo Monge - Ampère phức hoàn toàn xác định.
Cuố i cù ng trình bày mộ t ví dụ củ a hà m đa điề u hò a dướ i vớ i độ đo
Monge - Ampère phức hoàn toàn xác đị nh và cận phải trên khố i lượng Monge -
Ampère của nó trên hình cầu đơn vị trong mà dưới thá c triể n cự c đạ i tớ i
không gian xạ ả nh phứ c không có độ đo Monge - Ampère phức hoàn to àn
xác định toàn cục.
45
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Quang Diệu và Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa thế vị,
Nxb Đại học sư phạm Hà Nội.
Tiếng Anh
[2] P. ˚Ahag, U. Cegrell, R. Czyz, R. and H. H. Pham (2009), “Monge-
Amp`ere measures on pluripolar sets”. J. Math. Pures Appl. 92, 613–627.
[3] S.Benelkourchi, V. Guedj, A. Zeriahi (2009), “Plurisubharmonic
functions with weak singularities”, Acta Universitatis Upsaliensis,
Proceedings of the conference in honor of C.Kiselman (Kiselmanfest,
Uppsala, May 2006).
[4] E. Bedford and B.A. Taylor (1982), “A new capacity for
plurisubharmonic functions”, Acta Math., 149, 1-40 .
[5] U. Cegrell (1998), “Pluricomplex energy”, Acta Math., 180 (1998), 187-217.
[6] U. Cegrell (2004), “The general definition of the complex Monge-
Ampere operator”, Ann. Inst. Fourier. 51, 159-179.
[7] U. Cegrell, L. Hed (2008), “Subextension and approximation of negative
plurisubharmonic functions”, Michigan Math. J. Vol 56:3, 593-601.
[8] U. Cegrell, S. Kolodziej and A. Zeriahi (2005), “Subextension of
plurisubharmonic functions with weak singularities”, Math. Z. 250, 7-22.
[9] U. Cegrell, S. Kolodziej and A. Zeriahi (2010), “Maximal subextension
of plurisubharmonic functions”, arXiv: 1009.4605vl [math. CV], 1-20.
[10] U. Cegrell and A. Zeriahi (2003), “Subextension of plurisubharmonic
functions with bounded Monge-Amp`ere mass”. C. R. Acad. Sci. Paris
336, no.4, 305-308.
46
[11] D. Coman, V. Guedj, A. Zeriahi (2008), “Domains of definition
of Monge- Amp`ere operators on compact Kahler manifolds”,
Math. Z. 259, 393-418.
[12] V. Guedj, A. Zeriahi (2007), “The weighted Monge-Ampere energy of
quasi- plurisubharmonic functions”. J. Funct. Anal. 250 (2007), 442-482.
