ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————
SẦM THỊ HẰNG
GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————
SẦM THỊ HẰNG
GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học TS.NGUYỄN THỊ NGÂN
Thái Nguyên - Năm 2017
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin
trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
i
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS.Nguyễn Thị Ngân, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn cho tôi những nhận xét quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên cùng các Phòng- Ban chức năng của trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, các Quý Thầy Cô giảng dạy lớp cao học K23 (2015-2017) trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và thức hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn!
ii
Mục lục
Lời cam đoan
i
Lời cảm ơn
ii
Mục lục
iii
Mở đầu
1
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Toán tử tích phân kì dị trong không gian L2 ρ
1.1.1 Không gian L2 1.1.2 Toán tử tích phân kì dị
3 3 3 3 4 4 5 6 6 8 10 11 11 12
12 12 12 13
. . . . . . . . . ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Định nghĩa phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Phương trình tích phân kì dị loại một 1.3 Các đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Đa thức Chebyshev loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Đa thức Chebyshev loại hai 1.4 Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . 1.5 Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh . . . . . . . . . 1.5.1 Không gian S của các hàm cơ bản giảm nhanh . . . . 1.5.2 Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh . . . . . 1.5.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không gian S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm . . . . . . . . 1.6.1 Không gian S(cid:48) của các hàm suy rộng tăng chậm . . . . 1.6.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm . . . . .
iii
1.6.4
o,o(Ω), H s(Ω)
1.6.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không gian S(cid:48) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Biến đổi Fourier của tích chập . . . . . . . . . . . . . 1.7 Các không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Không gian H s(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o (Ω), H s 1.7.2 Các không gian H s . . . . . . . . 1.8 Các không gian Sobolev vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Phiếm hàm tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Toán tử giả vi phân vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 14 15 15 15 16 17 18
21 21 21 22
Fourier (2.10)
23
25
27 30
31
2 Giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân Fourier 2.1 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân Fourier . . 2.1.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Đưa về hệ phương trình cặp tích phân Fourier . . . . . 2.1.3 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier về hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy . . . . . . . . . . . 2.1.5 Đưa hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính . . . . . 2.2 Giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân Fourier . . 2.2.1 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier về dạng không thứ nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Tính gần đúng nghiệm của một hệ phương trình cặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
tích phân Fourier
33
Kết luận
53
Tài liệu tham khảo
54
iv
Mở đầu
Phương trình cặp và hệ phương trình cặp xuất hiện khi giải bài toán hỗn hợp của Vật lý toán như các bài toán về khe hở, vết nứt, về dị tật môi trường, về tiếp xúc của lý thuyết đàn hồi. . . Trong khoảng một vài thập niên gần đây, nhiều nhà Toán học trên thế giới quan tâm đến vấn đề tính giải được của phương trình cặp. Gần đây Nguyễn Văn Ngọc và Nguyễn Thị Ngân cũng đã nghiên cứu về tính giải được của một số hệ phương trình cặp tích phân Fourier xuất hiện khi giải bài toán biên hỗn hợp của phương trình điều hòa và phương trình song điều hòa.
Khi nghiên cứu tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân Fourier người ta đã biến đổi về hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy. Lý thuyết các phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy đã được hoàn thiện ở nửa đầu thế kỉ 20. Các phương pháp giải gần đúng bao gồm các phương pháp cầu phương trực tiếp, phương pháp nội suy bằng phương pháp Lagrange, phương pháp sắp xếp thứ tự, phương pháp đa thức trực giao.
Với mong muốn được giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân Fourier, chúng tôi chọn đề tài "Giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân Fourier". Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo gồm có hai chương nội dung.
Chương một trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về toán tử tích phân, phương trình tích phân, các đa thức Chebyshev, hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính, biến đổi Fourier của các hàm cơ bản giảm nhanh, biến đổi Fourier của các hàm suy rộng tăng chậm, các không gian Sobolev, các không gian Sobolev vectơ, phiếm hàm tuyến tính liên tục, toán tử giả vi phân vectơ.
Chương hai trình bày về tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân với phép biến đổi Fourier và giải gần đúng hệ phương trình cặp tích phân Fourier. Mục 2.1 trình bày về tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân với phép biến đổi Fourier xuất hiện khi giải bài toán biên hỗn
1
hợp của phương trình điều hòa, các Định lí 2.1.1, Định lý 2.1.3 trình bày về tính tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình cặp tích phân Fourier, đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier về hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy, sau đó đưa hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính. Mục 2.2 thực hiện giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân Fourier với các bước: Đưa hệ phương trình tích phân Fourier về dạng không thứ nguyên; tính gần đúng ma trận hạch của hệ phương trình tích phân Fourier; thực hiện giải gần đúng hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính đã được chặt cụt đến N=6, sau đó tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình tích phân Fourier.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thị Ngân. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành được khóa học của mình.
2
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1.1 Không gian L2 ρ
Định nghĩa 1.1.1. [3]. Với a < x < b xét hàm trọng
1.1 Toán tử tích phân kì dị trong không gian L2 ρ
ρ(a, b) là tập của tất cả các hàm u(x) bình phương khả tích với
Kí hiệu L2 trọng ρ, nghĩa là
(cid:19)
(cid:18) b (cid:90)
(1.1)
ρ(x) = (x − a)α(b − x)β, α, β > −1.
a
Tích vô hướng trong L2
ρ(a, b) được xác định bởi công thức
b (cid:90)
(1.2)
ρ(x)|u(x)|2 dx ||u|| := 1 2 < ∞.
a
Rõ ràng với chuẩn (1.1) và tích vô hướng (1.2) thì L2
ρ(a, b) là một không
gian Hilbert.
1.1.2 Toán tử tích phân kì dị
Trong không gian L2
ρ(a, b), xét toán tử
b (cid:90)
(1.3)
ρ(x)u(x)v(x)dx. (u, v)ρ :=
a
3
, x ∈ J := (a, b), SJ [u](x) = 1 iπ u(y)dy y − x
trong đó tích phân được hiểu theo giá trị chính Cauchy.
Định lý 1.1.2. [3].Với ρ(x) = (x − a)α(b − x)β, −1 < α, β < 1, −∞ < a < b < ∞ thì toán tử SJ bị chặn, do đó là liên tục trong L2
ρ(a, b).
1.2.1 Định nghĩa phương trình tích phân
Định nghĩa 1.2.1. Phương trình tích phân là phương trình mà ẩn hàm chưa biết nằm trong dấu tích phân.
Ví dụ 1. Với a ≤ s, t ≤ b ta có các phương trình tích phân:
b
(cid:90)
(1.4)
1.2 Phương trình tích phân
a
b
(cid:90)
(1.5)
K(t, s)g(s)ds, f (t) = λ
a
b
(cid:90)
(1.6)
K(t, s)g(s)ds, g(t) = λ
a
b
(cid:90)
(1.7)
(K(t, s))2ds, g(t) = λ
a
Thấy rằng:
+ Hàm ẩn g(t) phải tìm có thể chỉ nằm trong dấu tích phân có thể nằm ngoài dấu tích phân. + Một phương trình tích phân được gọi là tuyến tính nếu hàm phải tìm là bậc 1 (ví dụ các phương trình (1.4) và (1.5) là tuyến tính còn (1.6) là không phải). + Bằng biến đổi thích hợp, một phương trình tích phân bao giờ cũng đưa được về dạng (A − λI)g = f, trong đó A là toán tử tích phân, khi đó nếu A là toán tử tuyến tính thì phương trình tích phân đó là tuyến tính.
4
g(t) = f (t) + λ K(t, s)g(s)ds.
Định nghĩa 1.2.2. Phương trình có dạng:
b
(cid:90)
a
được gọi là phương trình Fredhom loại 2, trong đó g(t) là hàm chưa biết, f (t) và K(t, s) là những hàm cho trước, λ là hàm số.
Phương trình có dạng:
b
(cid:90)
g(t) = f (t) + λ K(t, s)g(s)ds
a
được gọi là phương trình Fredhom loại 1, trong đó g(t) là hàm chưa biết, f (t) và K(t, s) là những hàm cho trước, λ là hàm số.
1.2.2 Phương trình tích phân kì dị loại một
Xét phương trình tích phân kì dị sau
b
(cid:90)
(1.8)
f (t) = λ K(t, s)g(s)ds
a
Phương trình (1.8) là một trường hợp riêng quan trọng của các phương trình tích phân kì dị thường gặp trong nhiều bài toán cơ học và Vật lý toán. Trong phương trình trên ta giả thiết rằng hàm f (ξ) thỏa mãn điều kiện Holder. Tùy thuộc vào dáng điệu của ẩn hàm ở các đầu mút của đoạn [a, b], ta có các công thức nghiệm sau đây của phương trình: a. Nghiệm không bị chặn ở hai đầu mút:
b
(cid:90)
(cid:21) ,
dτ = f (ξ), a < ξ < b. 1 π ϕ(τ ) τ − ξ
(cid:112)(τ − a)(b − τ )f (τ ) τ − ξ
(cid:20) 1 π
a
(1.9)
ϕ(ξ) = − dτ + a0 1 (cid:112)(ξ − a)(b − ξ)
trong đó a0 là hằng số tùy ý. b. Nghiệm bị chặn tại đầu mút ξ = a và không bị chặn tại đầu mút ξ = b :
b
(cid:115)
(cid:90)
(1.10)
a <ξ< b,
(cid:114) b − τ τ − a
a
5
ϕ(ξ) = − dτ . ξ − a b − ξ 1 π f (τ ) τ − ξ
c. Nghiệm không bị chặn tại t = a và bị chặn tại t = b :
b
(cid:115)
(cid:90)
(1.11)
(cid:114)τ − a b − τ
a
d. Nghiệm bị chặn tại hai đầu mút:
b
(cid:90)
(cid:113)
(1.12)
ϕ(ξ) = − dτ . b − ξ ξ − a 1 π f (τ ) τ − ξ
a
với điều kiện
b
(cid:90)
(1.13)
ϕ(ξ) = − (ξ − a)(b − ξ) , 1 π dτ τ − ξ f (τ ) (cid:112)(τ − a)(b − τ )
a
= 0. f (τ )dτ (cid:112)(τ − a)(b − τ )
1.3.1 Đa thức Chebyshev loại một
Định nghĩa 1.3.1. [12]. Đa thức Chebyshev bậc n loại một Tn(x) được xác định như nghiệm của phương trình sai phân
1.3 Các đa thức Chebyshev
Nghiệm của phương trình sai phân trên là
Tn+1(x) − 2xTn(x) + Tn−1(x) = 0, T0(x) = 1, T1(x) = x.
Ta có một số công thức của đa thức Chebyshev loại một như sau:
a. Biểu thức hiển
[ n 2 ] (cid:88)
Tn(x) = cos(n arccos x), Tn(cos θ) = cos(nθ), (n = 0, 1, 2, ...).
m=0
b. Các đa thức bậc thấp
(2x)n−m. Tn(x) = n 2 (−1)m(n − m − 1)! m!(n − 2m)!
6
T0(x) = 1, T1(x) = x, T2(x) = 2x2 − 1, T3(x) = 4x3 − 3x,
c. Một số hệ thức
T4(x) = 8x4 − 8x2 + 1, T5(x) = 16x5 − 20x3 + 5x, T6(x) = 32x6 − 48x4 + 18x2 − 1.
Tn(−x) = (−1)nTn(x), Tn(1) = 1, Tn(−1) = (−1)n,
d. Trực giao
, Tn+m(x) + Tn−m(x) 2 Tn(x)Tm(x) = Tn(Tm(x)) = Tnm(x).
1 (cid:90)
0, m (cid:54)= n,
−1
√ dx = Tm(x)Tn(x) 1 − x2
e. Các hệ thức phổ
1 (cid:90)
π, m = n = 0, π 2 , m = n (cid:54)= 0.
−1
1 (cid:90)
= πUn−1(x), Tn(y)dy (y − x)(cid:112)1 − y2
−1
trong đó Un(x) là đa thức Chebyshev loại hai, còn
ln =σnTk(x), (n = 0, 1, 2, ...), 1 π 1 |x − y| Tn(y)dy (cid:112)1 − y2
f. Nghiệm của Tn(x)
Tất cả các nghiệm của Tn(x) đều thuộc đoạn [-1,1] và được xác định theo
công thức:
σn = , n = 1, 2, ... ln 2, n = 0, 1 n
g. Phương trình vi phân
, k = 1, 2... xk = cos θk = cos (2k − 1)π 2n
7
(1 − x)y(cid:48)(cid:48) − xy(cid:48) + n2y = 0, y = Tn(x).
1.3.2 Đa thức Chebyshev loại hai
1. Định nghĩa [12]. Đa thức Chebyshev bậc n loại hai Un(x) được xác định
như nghiệm của phương trình sai phân
Nghiệm của phương trình sai phân trên là
Un+1(x) − 2xUn(x) + Un−1(x) = 0, U0(x) = 1, U1(x) = 2x.
2. Biểu thức hiển
. x = cos θ, Un(cos θ) = sin[(n + 1)θ] sin θ
m=0
3. Các đa thức bậc thấp
π [ ] 2 (cid:88) (2x)n−m, n = 1, 2, ... Un(x) = (−1)m(n − m)! m!(n − 2m)!
4. Một số hệ thức giữa Tn(x) và Un(x)
U0(x) = 1, U1(x) = 2x, U2(x) = 4x2 − 1, U3(x) = 8x3 − 4x, U4(x) = 16x4 − 12x2 + 1, U5(x) = 32x5 − 32x3 + 6x. U6(x) = 64x6 − 80x4 + 24x2 − 1.
Un(−x) = (−1)nUn(x), Un(1) = n + 1, Un(−1) = (−1)n(n + 1),
, Un(x)Um(x) = Tn−m(x) − Tn+m+2(x) 2(1 − x2)
[Un−m(x) + Un+m(x)],
1 2 Tn(x) = nUn−1(x),
8
TmUn(x) = d dx xTn(x) − Tn+1(x) = (1 − x2)Un−1(x), Tn(x) = Un(x) − xUn−1(x).
5. Trực giao
1 (cid:90)
(cid:112)
−1
6. Các hệ thức phổ
1 (cid:90)
1 − x2dx = Um(x)Un(x) , m = n. 0, m (cid:54)= n, π 2
(cid:112)1 − y2Un−1(y)dy y − x
−1
trong đó Tn(x) là đa thức Chebyshev loại một.
7. Nghiệm của Un(x) Tất cả các nghiệm của Un(x) đều thuộc đoạn [-1,1] và được xác định theo
công thức sau:
= −πTn(x), (n = 1, 2, ...),
8. Phương trình vi phân
, k = 1, 2..., n. xk = cos θk = cos kπ n + 1
Ta có một số công thức sau [12] :
(1.14)
(1 + x)y(cid:48)(cid:48) − 3xy(cid:48) + n(n + 2)y = 0, y = Un(x).
b
(cid:90)
(1.15)
, Tn(cos θ) = cos(nθ), Un(cosθ) = sin(n + 1)θ sin θ
a
b
(cid:90)
(1.16)
dx = αkδkj, Tk[η(x)]Tj[η(x)] ρ(x)
a
b
(cid:90)
(1.17)
Uk[η(x)]Uj[η(x)]ρ(x)dx = βδkj,
a
b
(cid:90)
(1.18)
dx = Um−1[η(x)], k = 0, 1, ..., Tk[η(x)]dy (x − y)ρ(y) −2π b − a
a
= Tk[η(x)], k = 1, 2, ..., ρ(y)Uk−1[η(y)]dy x − y π(b − a) 2
với δkj là kí hiệu Kronecker và α =
k = 0,
k = 1, 2, ... , π, π 2
9
, η(x) = . β = π(b − a)2 8 2x − (a − b) b − a
Xét hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính sau
∞ (cid:88)
(1.19)
1.4 Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính
k=1
trong đó xi là các số cần xác định, ci,k và bi là các hệ số đã biết.
Định nghĩa 1.4.1. [5]. Tập hợp những số x1, x2,... được gọi là nghiệm của hệ (1.19) nếu khi thay những số đó vào vế phải của (1.19) ta có các chuỗi hội tụ và tất cả những đẳng thức được thỏa mãn. Nghiệm được gọi là chính nếu nó tìm được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với giá trị ban đầu bằng không.
Định nghĩa 1.4.2. [5]. Hệ vô hạn (1.19) được gọi là chính quy nếu
∞ (cid:88)
(1.20)
ci,kxk + bi, (i = 1, 2, ...), xi =
k=1
Nếu có thêm điều kiện
∞ (cid:88)
(1.21)
|ci,k| < 1, (i = 1, 2, ...).
k=1
thì hệ này được gọi là hoàn toàn chính quy. Nếu có thêm bất đẳng thức (1.20) (tương ứng (1.21)) đúng với i = N + 1, N + 2, ..., thì hệ (1.19) được gọi là tựa chính quy (tương ứng, tựa hoàn toàn chính quy).
Ta kí hiệu
∞ (cid:88)
|ci,k| ≤ 1 − θ < 1, 0 < θ < 1, (i = 1, 2, ...),
k=1 Hệ chính quy cho ρi > 0, hệ hoàn toàn chính quy cho ρi ≥ θ > 0.
Giả sử hệ (1.19) là hệ chính quy và các hệ số tự do bi thỏa mãn điều kiện
(1.22)
ρi = 1 − |ci,k|, (i = 1, 2, ...).
Định lý 1.4.3. [5]. (Sự tồn tại của nghiệm bị chặn). Nếu các hệ số tự do của hệ vô hạn chính quy thỏa mãn điều kiện (1.22) thì nó có nghiệm bị chặn |xi| ≤ K và nghiệm này có thể tìm được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp.
10
|bi| ≤ Kρi, (K = const > 0).
Định lý 1.4.4. [5]. (Sự "chặt cụt"). Nghiệm chính x∗ của hệ chính quy
∞ (cid:88)
k=1
là nghiệm của hệ hữu hạn
cùng với các hệ số tự do thỏa mãn điều kiện |bi| ≤ Kρi có thể tìm được bằng phương pháp "chặt cụt", nghĩa là nếu xN i
N (cid:88)
cikxk + bi, (i = 1, 2, 3, ...), xi =
k=1
thì
cikxk + bi, (i = 1, 2, 3, ..., N ), xi =
Định lý 1.4.5. [5]. (Bondarenko P.S). Hệ chính quy có thể có không quá một nghiệm tiến đến không, nghĩa là
xN i . x∗ i = lim N →∞
xi = 0. lim i→∞
1.5.1 Không gian S của các hàm cơ bản giảm nhanh
Định nghĩa 1.5.1. [4], [13], [14]. Kí hiệu S = S(R) là tập hợp của các hàm khả vi vô hạn ϕ ∈ C ∞(R), thỏa mãn điều kiện
p (cid:88)
1.5 Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh
0
trong đó kí hiệu D =
(1 + |x|)p |Dkϕ| < ∞, p = 0, 1, 2, ..., m, |[ϕ]|p = sup x∈R
. Dãy {|[ϕ]|p}k là một họ các nửa chuẩn. Dãy {ϕk} ⊂ S được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ S, nếu |[ϕk − ϕ]|p → 0, khi k → ∞; p = 0, 1, 2, ..., m. Tập hợp S với hội tụ trên đây được gọi là không gian các hàm cơ bản giảm nhanh.
Ví dụ 1.5.2. Hàm ϕ(x) = e−x2 ∈ C ∞(R) là hàm giảm nhanh.
0 (R) của các hàm khả vi vô hạn có
Định lý 1.5.3. [4], [13], [14] Tập hợp C ∞ giá compact trong R là trù mật trong S theo tô pô của S.
11
d dx
1.5.2 Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh
Vì hàm cơ bản trong không gian S là những hàm khả tổng trong R nên
biến đổi Fourier được xác định theo công thức
∞ (cid:90)
−∞
1.5.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không gian
S
1. Đạo hàm số lần tùy ý dưới dấu tích phân Fourier
F [ϕ](ξ) = ϕ(x)eix ξdx, ϕ ∈ S.
2. Biến đổi Fourier của đạo hàm
DαF [ϕ](ξ) = F [(ix )αϕ](ξ).
3. Đẳng thức Parseval Giả sử f ∈ L1(R). Khi đó ta có đẳng thức
+∞ (cid:90)
+∞ (cid:90)
(1.23)
F [Dαϕ](ξ) = (−iξ)αF [ϕ](ξ).
−∞
−∞
4. Công thức biến đổi Fourier ngược
F [f ](ξ)ϕ(ξ)dξ = f (x)F [ϕ](x)dx, ϕ ∈ S.
Định lý 1.5.4. [10], [11]. Biến đổi Fourier F từ S vào S là ánh xạ tương ứng một- một và liên tục vào chính nó, nghĩa là một đẳng cấu tuyến tính.
1 ϕ = F −1[F [ϕ]] = F [F −1[ϕ]], F −1[ϕ(ξ)](x) = (2π)n F [ϕ(−ξ)](x ).
1.6.1 Không gian S(cid:48) của các hàm suy rộng tăng chậm
Định nghĩa 1.6.1. [4], [13], [14]. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S được gọi là hàm suy rộng tăng chậm. Tập hợp các hàm suy rộng tăng chậm ký hiệu là S(cid:48). Giá trị của f ∈ S(cid:48) trên phần tử ϕ ∈ S được kí hiệu là (cid:104)f, ϕ(cid:105) ,
12
1.6 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm
còn trên phần tử liên hợp phức ϕ, kí hiệu là (f, ϕ). Dãy{fk} ∈ S(cid:48) hội tụ đến f ∈ S(cid:48), nếu (cid:104)fk, ϕ(cid:105) → (cid:104)f, ϕ(cid:105) , ϕ ∈ S.
Giả sử f là hàm khả tích địa phương, ngoài ra đối với N>0 nào đó:
+∞ (cid:90)
−∞
Khi đó hàm f tương ứng với một phiếm hàm trên S(cid:48) theo công thức:
+∞ (cid:90)
|f (x)|(1 + |x|)−N dx < ∞.
−∞
Phiếm hàm trên được gọi là hàm suy rộng chính quy. Dễ thấy rằng phiếm hàm trên đây là tuyến tính và liên tục trên S.
Định lý 1.6.2. [13]. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S(cid:48) là không gian đầy đủ.
1.6.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm
Công thức (1.23) có thể viết lại dưới dạng
(f, ϕ) = f (x)ϕ(x)dx.
Công thức này là cơ sở của định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.6.3. [13], [14] Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm f là hàm suy rộng tăng chậm F [f ] được xác định theo công thức
(1.24)
(cid:104)F [f ], ϕ(cid:105) = (cid:104)f, F [ϕ](cid:105) , ϕ ∈ S.
Vì phép toán ϕ → F (ϕ) là đẳng cấu và liên tục từ S vào S, nên phiếm hàm F [f ] xác định theo công thức (1.24) được hiểu theo nghĩa S(cid:48), hơn nữa, phép toán f → F [f ] là tuyến tính và liên tục từ S(cid:48) vào S(cid:48).
Định nghĩa 1.6.4. [13], [14]. Phép biến đổi Fourier F −1 được xác định trong S(cid:48) theo công thức
(1.25)
(cid:104)F [f ], ϕ(cid:105) = (cid:104)f, F [ϕ](cid:105) , f ∈ S(cid:48), ϕ ∈ S.
trong đó f (−x) là hàm suy rộng phản xạ của hàm suy rộng f (x) :
F −1[f ] = F [f (−x)], f ∈ S(cid:48), 1 2π
13
(cid:104)f (−x), ϕ(x)(cid:105) = (cid:104)f, ϕ(−x)(cid:105) , ϕ ∈ S.
Rõ ràng F −1 là toán tử tuyến tính liên tục từ S(cid:48) vào S(cid:48). Ta sẽ chứng tỏ
rằng, toán tử F −1 là biến đổi Fourier ngược của F, nghĩa là
(1.26)
Thật vậy, theo tính chất của biến đổi Fourier trong S, thì các công thức trong (1.25) đúng trong S trù mật trong S(cid:48), do đó (1.26) cũng đúng trong S(cid:48).
1.6.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không gian
F −1[F [f ]] = f, F [F −1[f ]] = f, f ∈ S(cid:48).
1. Đạo hàm của biến đổi Fourier
(1.27)
S(cid:48)
2. Biến đổi Fourier của đạo hàm
(1.28)
DαF [f ] = F [(ix )αf ], f ∈ S(cid:48).
3. Đẳng thức Parseval
(1.29)
F [Dαf ] = (−iξ)αF [f ], f ∈ S(cid:48).
4. Biến đổi Fourier của dịch chuyển
(1.30)
(cid:104)F [f ], F [ϕ](cid:105) = 2π (cid:104)f (−x), ϕ(x)(cid:105) , f ∈ S(cid:48), ϕ ∈ S.
5. Biến đổi Fourier của hàm suy rộng có giá compact
Nếu f ∈ S(cid:48) và có giá compact, thì F [f ] ∈ C ∞, và tăng chậm ở vô cùng,
nghĩa là
F [f (x − x0] = eiξx0F [f ], f ∈ S(cid:48).
1.6.4 Biến đổi Fourier của tích chập
Định nghĩa 1.6.5. [4], [13], [14]. i) Nếu f ∈ S(cid:48), η ∈ S, thì f ∗ η được xác định theo công thức
mα 2 . |DαF [f ](ξ)| ≤ Cmα(1 + |ξ|2)
Khi đó
f ∗ η = (cid:104)f (y), η(x − y)(cid:105) .
14
F [f ∗ η](ξ) = F [f ](ξ)F [η](ξ).
ii) Nếu f, g ∈ S(cid:48), supp g là tập compact thì f ∗ g ∈ S(cid:48) và được xác định theo công thức
Khi đó
(cid:104)f ∗ g, ϕ(cid:105) = (cid:104)f (y), (cid:104)g(x), ϕ(x + y)(cid:105)(cid:105) .
F [f ∗ g] = F [f ].F [g].
1.7.1 Không gian H s(R)
Định nghĩa 1.7.1. [4], [13], [14]. Giả sử s ∈ R. Kí hiệu Hs(R) là không gian của các hàm suy rộng u ∈ S(cid:48), có biến đổi Fourier (cid:98)u(ξ) thỏa mãn điều kiện:
+∞ (cid:90)
(1.31)
1.7 Các không gian
s =
−∞
Kí hiệu (cid:98)H s là không gian của các hàm (cid:98)u = F [u], với u ∈ H s(R). Công thức (1.31) xác định chuẩn trong H s và trong (cid:98)H s. Nhận xét rằng, (cid:98)H s và H s là không gian Hilbert với tích vô hướng
+∞ (cid:90)
(1.32)
||u||2 |(cid:98)u(ξ)|2(1 + |ξ|2s)dξ < ∞.
−∞
Định lý 1.7.2. [4], [13], [14]. Đối ngẫu của không gian H s(R) là không gian 0 (R) của các hàm khả vi vô hạn có giá compact H −s(R). Ngoài ra tập hợp C ∞ trù mật trong H s(R), s ∈ R.
1.7.2 Các không gian H s
o (Ω), H s
o,o(Ω), H s(Ω)
Định nghĩa 1.7.3. [14]. Giả sử Ω là một khoảng hoặc hệ các khoảng không giao nhau trong R . Kí hiệu H s o (Ω) là không gian con của không gian H s(R) 0 (Ω) theo chuẩn của H s(R). Tập hợp được định nghĩa như bao đóng của C ∞ của các hàm trong H s(R) có giá trong Ω được kí hiệu là H s
o,o(Ω).
Chuẩn trong H s
o (Ω) có supp u ⊂ Ω. Thật vậy, giả sử u ∈ H s
(u, v)s = (1 + |ξ|2s)(cid:98)u(ξ)(cid:98)v(ξ)dξ.
o (Ω) cũng được xác định bởi công thức (1.31) và mọi hàm o (Ω). Khi đó tồn tại 0 (Ω) hội tụ đến u theo chuẩn của H s(R). Kí hiệu Ω(cid:48) = R/Ω. 0 (Ω(cid:48)). Do tính liên tục suy ra
15
u ∈ H s dãy {uk} ∈ C ∞ Như vậy, ta có (cid:104)uk, ϕ(cid:105) = 0 với mọi ϕ ∈ C ∞
0 (Ω(cid:48)). Điều đó chứng tỏ supp u ⊂ Ω. Như vậy
o (Ω) ⊂ H s
(cid:104)u, ϕ(cid:105) = 0 với mọi ϕ = C ∞ H s o,o(Ω). Định nghĩa 1.7.4. [4].Giả sử f = H s(R) . Kí hiệu fΩ là hạn chế của f trên Ω , nghĩa là
o (Ω).
Kí hiệu p, (cid:96) tương ứng là các toán tử bị hạn chế trên Ω và toán tử thác triển ra R. Tập hợp các hạn chế của các hàm thuộc H s(R) trên Ω kí hiệu H s(Ω). Chuẩn trong H s(Ω) được xác định theo công thức
(1.33)
(cid:104)fΩ, ϕ(cid:105) = (cid:104)f, ϕ(cid:105) với mọi ϕ ∈ C ∞
trong đó inf lấy theo tất cả các thác triển (cid:96)f ∈ H s(R) của f ∈ H s(Ω).
(cid:107)(cid:96)f (cid:107)s, (cid:107)f (cid:107)H s(Ω) = inf (cid:96)
Giả sử X là không gian tôpô tuyến tính. Ta kí hiệu tích trực tiếp của hai không gian X là X 2 . Tôpô trong X 2 là tôpô thông thường của tích trực tiếp. Ta dùng chữ in đậm để kí hiệu hàm vectơ ma trận. Kí hiệu u là vectơ có dạng u = (u1, u2) và
S2 = S × S,
S(cid:48)2 = S(cid:48) × S(cid:48).
Cho hàm vectơ u ∈ (S(cid:48))2, w ∈ (S)2, đặt
2 (cid:88)
1.8 Các không gian Sobolev vectơ
j=1
Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier ngược của hàm vectơ u ∈ (S(cid:48))2 là hàm vectơ F ±1 [u] = (F ±1 [u1] , F ±1 [u2]) được xác định bằng công thức
(1.34)
(cid:104)u, w(cid:105) = (cid:104)uj, wj(cid:105).
(cid:104)F [u](ξ), w(ξ)(cid:105) = (cid:104)u(x), F [w] (x)(cid:105) ,
(cid:10)F −1[u](ξ), w(ξ)(cid:11) =
trong đó w ∈ S2.
16
(cid:104)u(x), F [w](−x)(cid:105) , 1 2π
Giả sử H sj(R), H sj
o,o(Ω), H sj(Ω) là các không gian Sobolev, trong
o (Ω), H sj
đó j = 1, 2; Ω là một khoảng hoặc hệ khoảng không giao nhau trong R . Ta đặt
o (Ω) × H s2 o,o (Ω) × H s2
Tích vô hướng và chuẩn trong H−→s (R) và H−→s
o (R) được xác định bởi các
công thức
1 2
2 (cid:88)
2 (cid:88)
(1.35)
−→s = (s1, s2)T , H−→s (R) = H s1(R) × H s2(R), H−→s o (Ω) = H s1 o (Ω), H−→s o,o (Ω) = H s1 o,o(Ω), H−→s (Ω) = H s1 (Ω) × H s2(Ω).
j=1
j=1
được xác định tương ứng theo các công thức (1.31) và
, (u, v)−→s = , (cid:107) u(cid:107)−→s = (cid:107)uj(cid:107)2 sj (uj, vj)sj
với (cid:107)uj(cid:107)sj (1.32).
Chuẩn trong H−→s (Ω) được xác định bởi công thức 1 2
2 (cid:88)
(1.36)
, (uj, vj)sj
H sj (Ω)
j=1
trong đó −→s = (s1, s2), sj ∈ R, (j = 1, 2).
o (Ω) là không gian con đóng của
o (Ω) trù mật trong H−→s
o (Ω) theo chuẩn
Mệnh đề 1.8.1. [10], [11]. Không gian H−→s không gian H−→s (R) . Mệnh đề 1.8.2. [10], [11]. Tập hợp C ∞ của H−→s
o (Ω) .
, (cid:107)uj(cid:107)2 (cid:107)u(cid:107)H−→s (Ω) =
Định nghĩa 1.9.1. Cho X và Y là hai không gian tuyến tính trên một trường K, một ánh xạ A : X → Y gọi là một toán tử tuyến tính nếu:
1.9 Phiếm hàm tuyến tính liên tục
17
A(x + y) = A(x) + A(y) với mọi x, y ∈ X; A(λx) = λA(x) với mọi x ∈ X, λ ∈ K.
Các toán tử tuyến tính thường kí hiệu là A, B, C, ...
(cid:17)∗
(cid:16)
Định nghĩa 1.9.2. Cho X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn trên cùng một trường K. Ánh xạ A : X → Y gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi dãy (xn) ⊂ X mà xn → x0 thì Axn → Ax0. A được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X. H−→s (R) (cid:17)∗
(cid:16)
H−→s (R)
Định lý 1.9.3. [10], [11]. Giả sử là không gian đối ngẫu của đẳng cấu với H−−→s (R). Ngoài ra, giá không gian H−→s (R). Khi đó trị của phiếm hàm f ∈ H−−→s (R) trên phần tử u ∈ H−→s (R) được cho bởi công thức
+∞ (cid:90)
2 (cid:88)
(1.37)
(cid:98)fj(ξ) (cid:98)uj(ξ)dξ,
j=1
−∞
trong đó (cid:98)uj(ξ) = F [uj] (ξ), (cid:98)fj(ξ) = F [fj] (ξ). Định lý 1.9.4. [10], [11]. Giả sử Ω ⊂ R, u = (u1, u2)T ∈ H−→s (Ω), f ∈ H−−→s (Ω) và (cid:96)f = ((cid:96)1f1, (cid:96)2f2)T ∈ H−−→s (R) là một thác triển của f từ Ω vào R, khi đó công thức
+∞ (cid:90)
2 (cid:88)
(1.38)
((f, u)o) =
(cid:100)(cid:96)jfj(ξ) (cid:98)uj(ξ)dξ,
j=1
−∞
không phụ thuộc vào cách chọn thác triển (cid:96)f . Do đó, công thức này xác định một hàm tuyến tính liên tục trên H−→s o (Ω) . Hơn nữa, mọi phiếm hàm tuyến o (Ω) đều tồn tại một phần tử f ∈ H−−→s (Ω) sao tính liên tục Φ(u) trên H−→s cho Φ(u) = [f , u] và (cid:107)Φ(cid:107) = (cid:107)f (cid:107)H−−→s (Ω).
[f , u] =
Định nghĩa 1.10.1. [8]. Giả sử α ∈ R, ta nói hàm số a(ξ) thuộc vào lớp σα ∈ (R) nếu
1.10 Toán tử giả vi phân vectơ
và nó thuộc vào lớp σα
+(R) nếu
|a(ξ)| ≤ C1(1 + |ξ|)α, ξ ∈ R,
trong đó C1, C2 là các hằng số dương nào đó.
18
C2(1 + ξ)α ≤ |a(ξ)| ≤ C1(1 + |ξ|)α, ξ ∈ R,
Mệnh đề 1.10.2. [8].Giả sử a(ξ) > 0 và (1 + |ξ|)−αa(ξ) là hàm liên tục, bị chặn trên R và lim (1 + |ξ|)−αa(ξ) = (cid:96) > 0. Khi đó ξ→±∞
+(R).
(cid:13)aij
(cid:13) (cid:13)2×2, ξ ∈ R là ma trận
+(R), u(x) ∈ H s(R). Khi đó Mệnh đề 1.10.3. [10], [11]. Giả sử a(ξ) ∈ σα toán tử giả vi phân (toán tử tích chập) F −1 [a(ξ)(cid:98)u(ξ)] (x) là toán tử tuyến tính bị chặn từ H s(R) vào H s−α(R). Định nghĩa 1.10.4. [10], [11]. Giả sử A(ξ) ∈ (cid:80) −→α (R), u ∈ H−→s , (cid:98)u(ξ) = F[u](ξ). Toán tử A được xác định bởi công thức: (Au)(x) := F −1 [A(ξ)(cid:98)u(ξ)] (x), x ∈ R, (1.39) trong đó A(ξ) = (cid:107)aj(ξ)(cid:107)2×2 là ma trận vuông cấp 2, u = (u1, u2)T là vectơ chuyển vị của vectơ dòng (u1, u2) và (cid:98)u(ξ) := F −1(ξ) = (F [u1] , F [u2])T được gọi là toán tử giả vi phân vectơ và ma trận A(ξ) được gọi là biểu trưng của toán tử A. Định nghĩa 1.10.5. [10], [11]. Giả sử A(ξ) = (cid:13) vuông cấp 2, trong đó aij(ξ) là hàm liên tục trên R, αj ∈ R, (j = 1, 2), −→α = (α1, α2)T . Ta nói rằng A(ξ) = (cid:13)
(cid:13)aij(ξ)(cid:13)
(cid:13)2×2 thuộc vào lớp (cid:80) −→α (R) nếu
(1.40)
a(ξ) ∈ σα
(αi + αj). aij(ξ) ∈ σαi(R), aij(ξ) ∈ σβij(R), βij ≤
Ma trận A(ξ) thuộc lớp (cid:80)−→α −−−−→ (A(ξ))T = A(ξ) và thỏa mãn điều kiện: trận Hermite, nghĩa là
2 (cid:88)
(1.41)
wTAw ≥ C1
1 2 + (R)., nếu ma trận A(ξ) ∈ (cid:80) −→α (R) và nó là ma
j=1
trong đó C1 là hằng số dương và w là liên hợp phức của w . Cuối cùng ma trận A(ξ) ∈ (cid:80) −→α (R) thuộc vào lớp (cid:80)−→α
0 (R) , nếu
(1.42)
(1 + |ξ|)αj|wj|2, w = (w1, w2)T ∈ C2,
+∞ (cid:90)
(1.43)
RewT Aω ≥ 0, ω = (ω1, ω2)T ∈ C2. Ngoài ra RewT Aw = 0 chỉ có thể tại một số điểm hữu hạn của trục thực. Mệnh đề 1.10.6. Giả sử ma trận A(ξ) = A+(ξ) thuộc vào lớp (cid:80)−→α + (R). Khi đó tích vô hướng và chuẩn trong H−→α /2(R) được xác định bởi các công thức:
−∞
19
(u, v)A+,−→α /2 = F [vT] (ξ)A+(ξ)F [u] (ξ)dξ,
1/2
+∞ (cid:90)
(1.44)
−∞
(1.45)
Mệnh đề 1.10.7. [10], [11]. Giả sử A(ξ) ∈ (cid:80) −→α (R), u ∈ H−→α /2(R), −→α = (α1, α2)T. Khi đó toán tử giả vi phân Au được xác định bởi công thức (Au)(x) := F −1 [A(ξ)(cid:98)u(ξ)] (x),
là toán tử tuyến tính và bị chặn từ H−→α /2(R) vào H−−→α /2(R) .
Mệnh đề 1.10.8. [10], [11]. Giả sử Ω là một khoảng hoặc hệ khoảng bị chặn trong R. Khi đó phép nhúng từ H−→s (Ω) lên H−→s −−→ε (Ω) là hoàn toàn liên tục, trong đó −→ε = (ε1, ε2)T > 0 (⇔ εj > 0, j = 1, 2).
20
= . F [uT] (ξ)A+(ξ)F [u] (ξ)dξ (cid:107)u(cid:107)A+,˜α/2
Chương 2
Giải gần đúng một hệ phương trình
cặp tích phân Fourier
Trong chương này thực hiện giải gần đúng hệ phương trình cặp tích phân Fourier xuất hiện khi giải bài toán biên hỗn hợp của phương trình điều hòa.
2.1.1 Phát biểu bài toán
Xét bài toán sau: Tìm nghiệm của phương trình điều hòa
(2.1)
2.1 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân Fourier
với điều kiện biên
(2.2)
∂2Φ ∂x2 + ∂2Φ ∂y2 = 0 (−∞ < x < +∞, 0 < y < h) ,
−Φ(x, 0) = f1(x), x ∈ (a, b), ∂Φ(x, 0) = 0, x ∈ R\(a, b), ∂y
(2.3)
= f2(x), x ∈ (a, b), ∂Φ(x, h) ∂y
trong đó f1, f2 là các hàm số cho trước.
21
Φ(x, h) = 0, x ∈ R\(a, b),
2.1.2 Đưa về hệ phương trình cặp tích phân Fourier
Ta sẽ giải phương trình (2.1)–(2.3) bằng phương pháp biến đổi Fourier. Tác động biến đổi Fourier theo biến x vào phương trình điều hòa (2.1), ta thu được
(2.4)
d2 (cid:98)Φ(ξ, y)
(2.5)
(cid:98)Φ(ξ, y) = A(ξ) cosh(|ξ|y) + B(ξ) sinh(|ξ|)y,
(cid:98)Φ(ξ, y).
trong đó A(ξ) và B(ξ) là các hàm cần tìm. Giá trị của hàm (cid:98)Φ(0, y) được hiểu dưới dạng (cid:98)Φ(0, y) = lim ξ→0
(2.6)
Để thuận tiện, ta đặt (cid:98)u1(ξ) = (cid:98)Φy(ξ, 0),
(cid:98)u2(ξ) = (cid:98)Φ(ξ, h).
Sử dụng (2.5) và (2.6) ta biểu diễn hàm (cid:98)Φ(ξ, y) theo (cid:98)u1(ξ), (cid:98)u2(ξ) dưới dạng sau
(2.7)
(cid:98)Φ(ξ, y) = −
dy2 − ξ2 (cid:98)Φ(ξ, y) = 0, (−∞ < ξ < +∞, 0 < y < h) , trong đó (cid:98)Φ(ξ, y) = Fx [Φ(x, y)] (ξ) là biến đổi Fourier theo biến x của hàm Φ(ξ, y). Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (2.4) với ξ (cid:54)= 0 được tìm dưới dạng
Từ (2.7) ta suy ra
sinh(|ξ| (h − y)) |ξ| cosh(|ξ| h) (cid:98)u1(ξ) + cosh(|ξ| y) cosh(|ξ| h) (cid:98)u2(ξ).
(2.8)
(2.9)
sinh(|ξ| h) , −(cid:98)Φy(ξ, 0) = |ξ| cosh(|ξ| h) (cid:98)u1(ξ) − (cid:98)u2(ξ) cosh(|ξ| h)
(cid:98)Φy(ξ, h) = (cid:98)u1(ξ)
(cid:21)
+ cosh(|ξ| h) |ξ| sinh(|ξ| h) cosh(|ξ| h) (cid:98)u2(ξ).
(cid:20)
F −1 (x) = f1(x), x ∈ (a, b),
(cid:20) sinh(|ξ| h) |ξ| cosh(|ξ| h) (cid:98)u1(ξ) − (cid:98)u2(ξ) (cid:98)u1(ξ) cosh(|ξ| h)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Sử dụng (2.6), (2.8) và (2.9) từ các điều kiện biên hỗn hợp (2.2) và (2.3) ta thu được hệ phương trình cặp tích phân Fourier đối với các ẩn hàm (cid:98)u1(ξ), (cid:98)u2(ξ) :
x ∈ (a, b), F −1 + (x) = f2(x), cosh(|ξ| h) (cid:21) |ξ| sinh(|ξ| h) cosh(|ξ| h) (cid:98)u2(ξ)
(2.10)
trong đó u1(x) = F −1 [ (cid:98)u1(ξ)] (x) = Φ(x, 0), u2(x) = F −1 [(cid:98)u2(ξ)] (x) = Φ(x, h).
22
u1(x) = 0, u2(x) = 0, x ∈ R\(a, b),
2.1.3 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân Fourier
(2.10)
Hệ phương trình cặp tích phân được viết lại dưới dạng sau đây:
(cid:40)
(2.11)
pF −1 [A(ξ)(cid:98)u(ξ)] (x) = f (x), x ∈ (a, b), p(cid:48)F −1 [(cid:98)u(ξ)] (x) = 0, x ∈ R\(a, b), trong đó f (x) = (f1(x), f2(x))T , (cid:98)u(ξ) = F [u] (ξ) = ((cid:98)u1(ξ), (cid:98)u2(ξ))T , ma trận
) − 1 cosh(|ξ| h) A(ξ) = ,
|ξ| tanh(|ξ| h) tanh(|ξ| h) |ξ| 1 cosh(|ξ| h)
với p và p(cid:48) lần lượt là các toán tử hạn chế tương ứng trên (a, b) và R\(a, b). Đặt −→α = (−1, 1)T . Ta có kết quả sau: Định lý 2.1.1. (Sự tồn tại nghiệm).[1], [10], [11]. Nếu f ∈ H−−→α /2(a, b) thì −→α /2 hệ phương trình (2.11) có nghiệm duy nhất u ∈ H 0
Chứng minh. Ta biểu diễn toán tử A xác định bởi phương trình (2.16) dưới dạng
(2.12)
(a, b).
Chú ý rằng, hệ phương trình trên
−−→α /2(a, b)
A+u = pF−1 [A+(cid:98)u] , Bu = pF−1 [Bu] , (cid:98)u = F |u| .
+ là bị chặn từ H−−→α /2(a, b) → H
−→α /2 0
(A+u)(x) = k(x), u(x) ∈ H0
−→α /2 0
Phân rã thành hai phương trình cặp phân biệt. Vì A−1 xác định bởi (2.12) là hoàn toàn bị chặn trong H Trong trường hợp này ta biểu diễn hệ phương trình cặp (2.16) dưới dạng
(a, b) và theo bổ đề (2.1) ta có Bu (a, b) → H−−→α /2(a, b).
Hơn nữa ta có kết quả sau
(2.13)
A+u + Bu = f .
+ Bu = A−1
+ f .
Vì toán tử A−1 + B là hoàn toàn bị chặn nên hệ phương trình (2.13) là hệ phương trình Fredhom và từ tính duy nhất nghiệm của hệ phương trình Fredhom ta suy ra hệ phương trình cặp này có duy nhất nghiệm. Do đó (2.11) có nghiệm duy nhất u ∈ H−→α /2(a, b) .
23
u + A−1
Bổ đề 2.1.2. [1], [10], [11]. Hệ phương trình cặp (2.11) tương đương với hệ phương trình cặp sau
(cid:105) A(ξ)(cid:99)l(cid:48)g(ξ)
(x), x ∈ (a, b), (2.14)
(a, b) thỏa mãn: v + l(cid:48)g = u ∈ H−→α /2(R),
Kí hiệu
(cid:104)
(2.15)
pF −1 [A(ξ)(cid:98)v(ξ)] (x) = f (x) − pF −1 (cid:104) −→α /2 trong đó (cid:98)v = F −1 [v] ∈ H 0 với l(cid:48)g là thác triển tùy ý của g từ R\(a, b) → R.
(cid:105) A(ξ)(cid:99)l(cid:48)g(ξ)
Sử dụng (2.18), (2.15) ta có thể viết lại công thức (2.14)
(2.16)
h (x) = f (x) − pF (x) .
(Av) (x) = h (x) , x ∈ (a, b).
−→α /2 Ta thiết lập sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình cặp (2.11) trong H 0 Ta đặt
(a, b).
,
0 A+(ξ) =
tanh(|ξ| h) |ξ| 0 |ξ| coth(|ξ| h)
0 −
B(ξ) = .
− − 1 cosh(|ξ| h) 1 cosh(|ξ| h) |ξ| cosh(|ξ| h) sinh(|ξ| h)
+ , B (ξ) ∈ (cid:80)−
Khi đó ta biểu diễn ma trận A(ξ) dưới dạng A(ξ) = A+(ξ) + B(ξ). Rõ ràng −→ là A+(ξ) ∈ (cid:80)−→α β , Tích vô hướng và chuẩn trong H−→α /2(R) xác định bởi công thức
+∞ (cid:90)
−→ β = (β1, β2), βj (cid:29) 1.
−∞
1/2
+∞ (cid:90)
F [wT ]A+(t)F [v] (t)dt, (v , w)A+,−→α /2 =
−∞
Ta viết A+v thay cho Av. Định lý 2.1.3. (Sự duy nhất nghiệm). [1], [10], [11]. Giả sử f ∈ H−−→α /2(a, b). Khi đó nghiệm u ∈ H−→α /2(a, b) của hệ phương trình (2.11) nếu tồn tại, là duy nhất.
24
. F [vT (t)]A+(t)F [v] (t)dt (cid:107)v(cid:107)A+,−→α /2 =
Chứng minh. Để chứng minh định lý, ta chứng minh hệ phương trình thuần nhất của hệ phương trình (2.11) chỉ có nghiệm tầm thường
(cid:40)
x ∈ (a, b), x ∈ R\(a, b).
(2.17)
pF −1 [A(ξ)(cid:98)u(ξ)] (x) = 0, p(cid:48)F −1 [(cid:98)u(ξ)] (x) = 0, Từ u(x) ∈ H−→α /2(a, b) , hệ trên viết lại
trong đó
(2.18)
(Au)(x) = 0, x ∈ (a, b),
Vì Au ∈ H−−→α /2(a, b) (cid:39) (H
(Au)(x) = pF −1 [A(ξ)(cid:98)u(ξ)] (x), x ∈ (a, b).
−→α /2 0
+∞ (cid:90)
(a, b))1/2, từ (2.13) ta có
(cid:98)uT (ξ)F
(cid:111) (cid:110) lpF −1 [A(cid:98)u]
−∞
Vì tích phân trên không phụ thuộc vào cách chọn lpF −1 [A(cid:98)u] , có thể viết
thác triển ở dạng lpF −1 [A(cid:98)u] = F −1 [A(cid:98)u] . Từ đây ta có:
+∞ (cid:90)
(2.19)
(ξ)dξ. [Au, u] =
(cid:98)uT (ξ)A(ξ)(cid:98)u(ξ)dξ.
−∞
+∞ (cid:82)
Khi đó từ (2.17) và (2.19) ta có: [Au, u] =
(cid:98)uT (ξ)A(ξ)(cid:98)u(ξ)dξ = 0. Vì
−∞
(cid:110)
(cid:98)uT (ξ)A(ξ) (cid:98)u(ξ)} ≥ 0,
[Au, u] =
2.1.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier về hệ phương
trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy
Định nghĩa 2.1.4. Giả sử ρ(x) = (cid:112)(x − a)(b − a), (a < x < b) . Ta gọi L2 ρ±1(a, b) là không gian Hilbert của các hàm tích vô hướng và chuẩn được
b (cid:82)
Re suy ra (cid:98)u(ξ) = 0, u(x) = 0. Do hệ phương trình thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường. Vậy hệ phương trình cặp (2.11) có nghiệm duy nhất.
xác định bởi công thức (u, v)L2
ρ±1
a
(cid:113)
= ρ±1(x)u(x)v(x)dx,
ρ±1
ρ±1
25
= < +∞. (cid:107)u(cid:107)L2 (u, u)L2
ρ(a, b). Kí hiệu ϕ0 là thác triển – không của
2
0 (a, b).
Bổ đề 2.1.5. [9]. Giả sử ϕ ∈ L2 ϕ trên R. Khi đó ϕ0 ∈ H− 1 Trong không gian L2
ρ±1(a, b) ta xét toán tử tích phân kỳ dị
b
(cid:90)
a
với tích phân được hiểu theo nghĩa giá trị chính Cauchy.
dt, x ∈ Ω = (a, b), S(a,b) [ϕ] (x) = 1 πi ϕ(t) x − t
Định lý 2.1.6. [3]. Toán tử tích phân S(a,b) [ϕ] bị chặn trong không gian ρ±1(a, b) : (cid:13) L2
(cid:13)S(a,b) [ϕ](cid:13) (cid:13)L2
ρ±1
ρ±1
Định lý 2.1.7. [1], [10], [11]. Hệ phương trình cặp tích phân (2.10) đối với ((cid:98)u1(ξ) , (cid:98)u2 (ξ)) tương đương với hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy sau đây trên (a,b):
b
b
b
(cid:90)
(cid:90)
(cid:90)
(a, b). (a, b) ≤ C(cid:107)ϕ(cid:107)L2
b
b
b
a (cid:90)
a (cid:90)
a (cid:90)
dt + v1(t)k11(x − t)dt + v2(t)k12(x − t)dt = if1(x) 1 πi v1(t) x − t
a
a
a
o
o
dt + v1(t)k21(x − t)dt + v2(t)k22(x − t)dt = −if2(x) 1 πi v2(t) x − t
p(a, b) ⊂ H −1/2
p−1(a, b) ∩ H 1/2
v1(x) ∈ L2 (a, b), v2(x) ∈ L2
với điều kiện v2 ∈ O1(a, b), nghĩa là
b
(cid:90)
(2.21)
(a, b), a < x < b, (2.20)
a
b
(cid:90)
(2.22)
trong đó u1(x) =
v2(x)dx = 0,
a
∞ (cid:90)
, u2(x) = v2(t)sign(x − t)dt, x ∈ R, dv1(x) dx 1 2
0
∞ (cid:90)
∞ (cid:90)
e−2ξh k11(x) = k22(x) = 2i π 1 + e−2ξh sin(ξx)dξ,
0
0
Chứng minh: Xem trong [1]
26
dξ. k12(x) = dξ, k21(x) = −i π sin(ξx) ξ cosh(ξh) i π ξ sin(ξx) cosh(ξh)
2.1.5 Đưa hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy về hệ vô
hạn các phương trình đại số tuyến tính
Trong hệ phương trình tích phân (2.20) thay các hàm v1(t) = ρ(t)χ1(t) và ρ(a, b), χ2 ∈ L2
ρ−1(a, b) ta thu được hệ phương
trình sau
b
b
b
(cid:90)
(cid:90)
(cid:90)
, trong đó χ1 ∈ L2 v2(t) = χ2(t) ρ(t)
a
a
b
b
(cid:90)
a = if1(x), a < x < b, b (cid:90)
(cid:90)
dt + ρ(t)χ1(t)k11(x − t)dt + k12(x − t)dt 1 πi ρ(t)χ1(t) x − t χ2(t) ρ(t)
a
a
a = −if2(x), a < x < b.
(2.23)
Biểu diễn các hàm χ1(t) và hàm χ2(t) dưới dạng các chuỗi sau đây:
∞ (cid:88)
(2.24)
dt + ρ(t)χ1(t)k21(x − t)dt + k22(x − t)dt 1 πi χ2(t) ρ(t)(x − t) χ2(t) ρ(t)
j=0
∞ (cid:88)
(2.25)
χ1(t) = AjUj [η(t)] ,
j=1 ∈ (cid:96)2 j=1 ∈ (cid:96)2.Thế (2.24) và (2.25) vào (2.23), thay đổi thứ tự lấy tích
j=1 trong đó Aj và Bj là các hằng số chưa biết, ngoài ra ta còn có {Aj}∞ và {Bj}∞ phân và tổng ta thu được
b
b
(cid:90)
(cid:90)
∞ (cid:88)
∞ (cid:88)
χ2(t) = BjTj [η(t)] ,
j=0
j−0
a
a
b
(cid:90)
∞ (cid:88)
+ Aj Aj ρ(t)Uj [η(t)] k11(x − t)dt 1 πi ρ(t)Uj [η(t)] dt x − t
j−0
b
b
(cid:90)
a (cid:90)
∞ (cid:88)
∞ (cid:88)
+ Bj k12(x − t)dt = if1(x), Tj [η(t)] ρ(t)
j=0
j−0
a
a b (cid:90)
∞ (cid:88)
+ ρ(t)Uj [η(t)] k21(x − t)dt Bj Aj 1 πi Tj [η(t)] dt ρ(t)(x − t)
j−0
a
(2.26)
27
+ Bj k22(x − t)dt = −if2(x). Tj [η(t)] ρ(t)
Sử dụng (1.17) và (1.18), từ (2.26) ta có
b
(cid:90)
∞ (cid:88)
∞ (cid:88)
j=0
j=0
b
a (cid:90)
∞ (cid:88)
AjTj+1 [η(x)] + Aj ρ(t)Uj [η(t)] k11(x − t)dt b − a 2π
j−0
a
b
(cid:90)
∞ (cid:88)
∞ (cid:88)
+ k12(x − t)dt = if1(x), Bj Tj [η(t)] ρ(t)
j=0
j=0
a
b
(cid:90)
∞ (cid:88)
BjUj−1 [η(x)] + Aj ρ(t)Uj [η(t)] k21(x − t)dt −2 i(b − a)
j=0
a
(2.27)
Do có công thức (1.15) và (1.16), từ (2.27) ta có kết quả sau
b
b
(cid:90)
(cid:90)
+ k22(x − t)dt = −if2(x). Bj Tj [η(t)] ρ(t)
dx
j=0
b
b
a (cid:90)
a (cid:90)
∞ (cid:88)
b − a 2i ∞ (cid:88) + ρ(t)Uj [η(t)] k11(x − t)dt Aj An−1αn ρ(x)Tn [η(x)]
ρ(x)Tn [η(x)]
dx
a
a
j=1 b
(cid:90)
+ k12(x − t)dt Bj Tj [η(t)] ρ(t)
(2.28)
b
b
(cid:90)
(cid:90)
a −2 i(b − a) ∞ (cid:88)
= i ρ(x)Tn [η(x)] f1(x)dx,
dx
j=0
b
a (cid:90)
a b (cid:90)
∞ (cid:88)
+ ρ(t)Uj [η(t)]k21(x − t)dt Aj Bn+1βn ρ(x)Un [η(x)]
ρ(x)Un [η(t)]
dx
j=0
a
a
b
(cid:90)
+ Bj k22(x − t)dt Tj [η(t)] ρ(t)
a
28
= −i ρ(x)Un [η(x)] f2(x)dx.
b
b
(cid:90)
(cid:90)
Kí hiệu Pnj =
a
a
(2.29)
b
b
(cid:90)
(cid:90)
(ρ(x)Tn [η(x)]) ρ (t) Uj [η(t)]k11(x − t)dt)dx, 2i (b − a)αn
dx,
ρ(x)Tn [η(x)]
a b
(cid:90)
(cid:90)
k12(x − t)dt Qnj = Tj [η(t)] ρ(t) 2i (b − a)αn
a b ρ(x)Un [η(x)]
dx,
a
a
b
b
(cid:90)
(cid:90)
Rnj = ρ(t)Uj [η(t)] k21(x − t)dt i(b − a) −2βn
dx,
ρ(x)Un [η(x)]
a
a
b
(cid:90)
(2.30)
Snj = k22(x − t)dt Tj [η(t)] ρ(t) i(b − a) −2βn
a
b
(cid:90)
(2.31)
F1n = ρ(x)Tn [η(x)] f1(x)dx, −2 (b − a)αn
a
Khi đó hệ phương trình (2.28) được biểu diễn dưới dạng
ρ(x)Un [η(x)] f2(x)dx. F2n = b − a −2βn
(2.32)
An−1 + AjPnj + BjQnj = F1n(n = 1, 2, ...),
∞ (cid:80) j=0 ∞ (cid:80) j=0
∞ (cid:80) j=1 ∞ (cid:80) j=1
Định lý 2.1.8. [1], [5]. Hệ phương trình tích phân kỳ dị (2.23) và hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính (2.32) là tương đương. Nếu
∞ (cid:88)
Bn+1 + AjRnj + BjSnj = F2n(n = 0, 1, 2, ...),
o
j=0
thì hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính (2.32) sẽ tương đương với hệ phương trình tích phân kì dị (2.20).
Chứng minh: Xem trong [1]
Ta kí hiệu
(2.33)
ρ(t) (a, b) AjUj [η(t)] ∈ H 1/2
29
Y2j+1 = Aj(j = 0, 1, 2, ...), Y2j = Bj(j = 1, 2, 3, ...), G2n−1 = F1n(n = 1, 2...), G2n+2 = F2n, (n = 0, 1, 2, ...),
(2.34)
(2.35)
Khi đó hệ phương trình (2.32) viết được dưới dạng
D2n−1,2j+1 = Pnj, D2n−1,2j = Qnj(n = 1, 2, ...; j = 0, 1, ...), D2n+2,2j+1 = Rnj, D2n+2,2j = Snj, (n = 0, 1, ....; j = 0, 1, ...).
(2.36)
∞ (cid:80) j=1 n = 1, 2, 3, ...
Bổ đề 2.1.9. [1], [10], [11]. Bất đẳng thức sau đây luôn là bất đẳng thức đúng
(2.37)
Dn,jYj = Gn, Yn +
m (x), m = 1, 2. là
trong đó L là hằng số dương nào đó. Nếu các hàm số f (k) các hàm liên tục trên [a,b] thì bất đẳng thức sau cũng luôn đúng.
(2.38)
|Dn,j| ≤ L n2j2 , (n ≥ 2, j ≥ 2),
Định lý 2.1.10. [1], [10], [11]. Giả sử f1(x) và f2(x) là các hàm số đã cho, giả thiết rằng {Gn}∞ n=1 được xác định bởi (2.30), (2.31) và (2.33) thuộc không gian (cid:96)2 . Khi đó hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính (2.36) có nghiệm duy nhất {Yn}∞ n=1 ∈ (cid:96)2 . Hệ phương trình này là hệ tựa hoàn toàn chính quy.
lớn, ta có
Chứng minh. Kí hiệu H là ma trận vô hạn ở vế trái của phương trình (2.36). Từ bất đẳng thức (2.37) ta suy ra hệ cặp chuỗi trong thành phần của H là hội tụ, do đó H là toán từ hoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert (cid:96)2 . Do vậy, hệ vô hạn (2.36) là hệ phương trình Fredhom trong (cid:96)2 . Tính duy nhất nghiệm của hệ phương trình này được suy ra từ tính duy nhất nghiệm của hệ phương trình (2.10). Như vậy hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính (2.36) có duy nhất nghiệm thuộc không gian (cid:96)2 . Với mỗi số n=N đủ 1 j2 ≤ 1 − θ < 1(n = N + 1, N + 2, ...). Do đó hệ
|Gn| ≤ L nk (n = 1, 2, ...; k = 0, 1, ...).
∞ (cid:80) j=1
∞ (cid:80) j=1
vô hạn các phương trình đại số tuyến tính (2.36) là hệ tựa hoàn toàn chính quy.
|Dn,j| ≤ L n2
Trong mục này chúng tôi thực hiện giải gần đúng một hệ phương cặp tích
phân Fourier đã xét ở mục 2.1.
30
2.2 Giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân Fourier
2.2.1 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier về dạng không
thứ nguyên
Ta xét hệ phương trình cặp tích phân (2.20)
b
b
b
(cid:90)
(cid:90)
(cid:90)
b
b
b
a (cid:90)
a (cid:90)
a (cid:90)
dt + v1(t)k11(x − t)dt + v2(t)k12(x − t)dt = if1(x) 1 πi v1(t) x − t
a
a
a
o
o
dt + v1(t)k21(x − t)dt + v2(t)k22(x − t)dt = −if2(x) 1 πi v2(t) x − t
p−1(a, b) ∩ H 1/2
p(a, b) ⊂ H −1/2
v1(x) ∈ L2 (a, b), v2(x) ∈ L2
trong đó
∞ (cid:90)
(a, b), a < x < b, (2.39)
(2.40)
0
∞ (cid:90)
(2.41)
e−2ξh k11(x) = k22(x) = 1 + e−2ξh sin(ξx)dξ, 2i π
0 ∞ (cid:90)
(2.42)
dξ, k12(x) = −i π sin(ξx) ξ cosh(ξh)
0
Ta biến đổi hệ phương trình (2.39) về hệ phương trình sau:
b
b
b
(cid:90)
(cid:90)
(cid:90)
dξ. k21(x) = i π ξ sin(ξx) cosh(ξh)
11(x − t)dt +
12(x − t)dt = f1(x)
a b
a b
a b
(cid:90)
(cid:90)
(cid:90)
dt + v1(t)k∗ v2(t)k∗ v1(t) x − t −1 π
21(x − t)dt +
22(x − t)dt = f2(x)
a
a
a
o
o
dt + v1(t)k∗ v2(t)k∗ v2(t) x − t 1 π
p−1(a, b) ∩ H 1/2
p(a, b) ⊂ H −1/2
v1(x) ∈ L2 (a, b), v2(x) ∈ L2
trong đó
∞ (cid:90)
(a, b), a < x < b, (2.43)
11(x) = −k∗ k∗
22(x) =
e−2ξh
0
31
1 + e−2ξh sin(ξx)dξ, 2 π
∞ (cid:90)
∞ (cid:90)
(2.44)
21(x) =
0
0
Thực hiện một số phép biến đổi sau đây để đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier về dạng không thứ nguyên
dξ, k∗ dξ. k∗ 12(x) = −1 π sin(ξx) ξ cosh(ξh) −1 π ξ sin(ξx) cosh(ξh)
(cid:19)
x = , t = , ξh = z, λ = , (b − a)y + b + a 2 (b − a)τ + b + a 2
m(τ ) = fm
(cid:18)(b − a)τ + b + a 2
(cid:18)(b − a)τ + b + a 2
1 (cid:90)
(cid:90) b
Ta có
b − a 2 (cid:19) , f ∗ , m = 1, 2. v∗ m(τ ) = vm
a
−1
b
b
∞ (cid:90)
(cid:90)
(cid:90)
dt = dτ , m = 1, 2, 1 π vm(t) x − t 1 π v∗ m(τ ) y − τ
v1(t)
dt
11(x − t)dt =
a
a
0
1 (cid:90)
∞ (cid:90)
e−2z v1(t)k∗ 2 π 1 + e−2z sin[zλ(y − τ )] dz h
v∗
dτ
1(t)
0
−1 1 (cid:90)
e−2z = (b − a)2 2hπ 1 + e−2z sin[zλ(y − τ )]dz
11(y − τ )v∗
1(τ )dτ ,
−1
b
(cid:90)
1 (cid:90)
= K ∗
12(x − t)dt =
12(y − τ )v∗
2(τ )dτ ,
a
b
(cid:90)
−1 1 (cid:90)
K ∗ v2(t)k∗
21(x − t)dt =
21(y − τ )v∗
1(τ )dτ ,
a
b
(cid:90)
−1 1 (cid:90)
K ∗ v1(t)k∗
22(x − t)dt =
22(y − τ )v∗
2(τ )dτ ,
a
−1
với
∞ (cid:90)
K ∗ v2(t)k∗
11(y − τ ) = −K ∗
22(y − τ ) =
0
32
e−2z K ∗ 2λ π 1 + e−2z sin[zλ(y − τ )]dz,
∞ (cid:90)
12(y − τ ) =
0
∞ (cid:90)
K ∗ sin[zλ(y − τ )]dz, −1 π 1 z. cosh z
21(y − τ ) =
0
Như vậy ta biến đổi hệ phương trình (2.43) về hệ phương trình tích phân dạng không thứ nguyên sau đây:
1 (cid:90)
1 (cid:90)
1 (cid:90)
K ∗ sin[zλ(y − τ )]dz. −λ2 π z cosh z
11(y − τ )v∗
1(t)dτ +
12(y − τ )v∗
2(t)dτ = f ∗
1 (y),
−1 1 (cid:90)
−1 1 (cid:90)
−1 1 (cid:90)
dτ + K ∗ K ∗ v∗ 1(τ ) y − τ −1 π
21(y − τ )v∗
1(t)dτ +
22(y − τ )v∗
2(t)dτ = f ∗
2 (y),
−1
−1
−1
K ∗ K ∗ dτ + v∗ 2(τ ) y − τ 1 π
(2.45)
trong đó
∞ (cid:90)
−1 < x < 1,
11(y − τ ) = −K ∗
22(y − τ ) =
0
∞ (cid:90)
e−2z K ∗ 2λ π 1 + e−2z sin[zλ(y − τ )]dz,
12(y − τ ) =
0
∞ (cid:90)
sin[zλ(y − τ )]dz, K ∗ −1 π 1 z. cosh z
21(y − τ ) =
0
2.2.2 Tính gần đúng nghiệm của một hệ phương trình cặp tích
phân Fourier
Tính gần đúng ma trận hạch của một hệ phương trình cặp tích
phân Fourier
Trước hết tính gần đúng biểu thức dưới dấu tích phân trong ma trận hạch
33
K ∗ sin[zλ(y − τ )]dz. −λ2 π z cosh z
11(y − τ ), K ∗
12(y − τ ), K ∗
22(y − τ ). Xét các hàm số:
21(y − τ ) và K ∗ e−2z
(2.46)
K ∗
(2.47)
E11(z) =
(2.48)
1 + e−2z sin[zλ(y − τ )], sin[zλ(y − τ )], E12(z) =
Ta tính được các giới hạn sau:
sin[zλ(y − τ )]. E21(z) = 1 z. cosh z z cosh z
e−2z
lim z→0 E11(z) = lim z→0 1 + e−2z sin[zλ(y − τ )] = 0,
sin[zλ(y − τ )] = λ(y − τ ), lim z→0
Biến đổi E11(z), E12(z) và E21(z) về dạng
sin[zλ(y − τ )] = 0. lim z→0 E12(z) = lim z→0 E21(z) = lim z→0 1 z. cosh z z cosh z
E11(z) = e−2z 1 + e−2z sin[zλ(y − τ )] = e−zϕ11(z),
E12(z) = sin[zλ(y − τ )] = e−zϕ12(z),
trong đó
E21(z) = 2e−z z(1 + e−2z) 2e−zz 1 + e−2z sin[zλ(y − τ )] = e−zϕ21(z),
0, nếu z = 0
ϕ11(z) = e−z
1 + e−2z sin[zλ(y − τ )], nếu z (cid:54)= 0,
λ(y − τ ), nếu z = 0
ϕ12(z) = sin[zλ(y − τ )], nếu z (cid:54)= 0, 2 z(1 + e−2z)
. ϕ21(z) = 2z
Tính gần đúng K ∗
11(y − τ ), K ∗
12(y − τ ), K ∗
21(y − τ ) và K ∗
22(y − τ ) trong (2.45)
34
0, nếu z = 0 1 + e−2z sin[zλ(y − τ )], nếu z (cid:54)= 0.
bằng cách sử dụng công thức cầu phương Chebyshev – Laguerre
∞ (cid:90)
n (cid:88)
1k ϕ11(zk),
k=1
0 ∞ (cid:90)
n (cid:88)
B(n) e−zϕ11(z)dz ≈
2k ϕ12(zk),
k=1
0 ∞ (cid:90)
n (cid:88)
B(n) e−zϕ12(z)dz ≈
3k ϕ21(zk).
k=1
0
Với n=4 ta có (xem)[6]
B(n) e−zϕ21(z)dz ≈
11 = B(4) 12 = B(4) 13 = B(4) 14 = B(4)
21 = 0, 603154, 22 = 0.357419, 23 = 0.038888, 24 = 0.000539.
Ta tính được
z1 = 0, 322548; B(4) z2 = 1.745761; B(4) z3 = 4.536620; B(4) z4 = 9.395071; B(4)
11(y − τ ) ≈
K ∗ {0.286542 sin(0.322548λ(y − τ ))
12(y − τ ) ≈
{2.453039 sin(0.322548λ(y − τ )) K ∗
2λ π + 0.060531 sin(1.745761λ(y − τ )) + 4.164250.10−4 sin(4.536620λ(y − τ )) + 4.480859.10−8 sin(9.395071λ (y − τ ))} , −1 π + 0.397369 sin(1.745761λ(y − τ ))
21(y − τ ) ≈
{0.255207 sin(0.322548λ(y − τ )) K ∗
+ 0.017142 sin(4.536620λ(y − τ )) + 1.147410.10−4 sin(9.395071λ (y − τ ))} , −λ2 π + 1.211054 sin(1.745761λ(y − τ ))
+ 0.35280 sin(4.536620λ(y − τ ))
35
+ 0.010128 sin(9.395071λ (y − τ ))} ,
22(y − τ ) ≈
K ∗ {0.286542 sin(0.322548λ(y − τ )) −2λ π
2 của hệ phương trình cặp tích phân Fourier
1 và v∗
Tính nghiệm gần đúng của một hệ phương trình cặp tích phân Fourier Bài toán: Tìm nghiệm v∗ không thứ nguyên
1 (cid:90)
1 (cid:90)
1 (cid:90)
+ 0.060531 sin(1.745761λ(y − τ )) + 4.164250.10−4 sin(4.536620λ(y − τ )) + 4.480859.10−8 sin(9.395071λ (y − τ ))} .
11(y − τ )v∗
1(t)dτ +
12(y − τ )v∗
2(t)dτ = f ∗
1 (y)
−1 1 (cid:90)
−1 1 (cid:90)
−1 1 (cid:90)
dτ + K ∗ K ∗ v∗ 1(τ ) y − τ −1 π
21(y − τ )v∗
1(t)dτ +
22(y − τ )v∗
2(t)dτ = f ∗
2 (y)
−1
−1
−1
K ∗ K ∗ dτ + v∗ 2(τ ) y − τ 1 π
(2.49)
với điều kiện
(cid:90) 1
(cid:90) 1
(2.50)
−1 < x < 1
12(y − τ ), K ∗
−1 11(y − τ ), K ∗
22(y − τ ) đã được tính trong 2 (y) = b0 +
−1 21(y − τ ) và K ∗ 1 (y) = a0 + a1y + a2y2 + a3y3 + a4y4 + a5y5, f ∗
j=0 , {bj}5
j=0
Các hàm K ∗ trường hợp n=4 và f ∗ b1y + b2y2 + b3y3 + b4y4 + b5y5 là các đa thức với hệ số thực {aj}5 cho trước. Lời giải: Xấp xỉ v∗
2(τ ) bởi v∗
1(τ ) và v∗
2,N (τ ) như sau [6]:
(cid:112)
1,N (τ ) và v∗ N (cid:88)
(2.51)
v∗ 1(τ )dτ = 0, v∗ 2(τ )dτ = 0.
j Uj(τ ),
j=0
N (cid:88)
1 − τ 2 A(1) v∗ 1,N (τ ) =
(2.52)
j Tj(τ ).
j=0
2(τ ) được xác định theo các công thức
√ A(2) v∗ 2,N (τ ) = 1 1 − τ 2
1(τ ) và v∗ ρ∗(−1, 1), ρ∗ =
2(τ ) được xác định như trên thì điều kiện (2.50) trở thành
(cid:90) 1
Có thể chỉ ra rằng hàm v∗ (2.51) và (2.52) thuộc lớp L2 Với hàm v∗ 1(τ ) và v∗ (cid:90) 1
(cid:112)
(cid:112)
N (cid:88)
N (cid:88)
√ 1 − τ 2.
j Uj(τ )dτ =
−1
−1
j=0
j=0
36
A(1) 1 − τ 2 0 = 1 − τ 2Uj(τ )dτ, A(1) j
hay
(cid:90) 1
(cid:90) 1
(cid:112)
(cid:112)
N (cid:88)
−1
−1
j=1
1 − τ 2U0(τ )U0(τ )dτ + 1 − τ 2U0(τ )Uj(τ )dτ = 0 A(1) 0 A(1) j
0 = 0 ⇒ A(1)
0 = 0)
và
(cid:90) 1
(cid:90) 1
N (cid:88)
N (cid:88)
⇔ (πA(1)
j Tj(τ )dτ =
−1
−1
j=0
j=0
hay
(cid:90) 1
(cid:90) 1
N (cid:88)
√ √ 0 = A(2) Tj(τ )dτ, A(2) j 1 1 − τ 2 1 1 − τ 2
−1
−1
j=1
√ √ T0(τ )T0(τ )dτ + T0(τ )Tj(τ )dτ = 0 A(2) 0 A(2) j 1 1 − τ 2 1 1 − τ 2
Khi đó, công thức nghiệm xấp xỉ v∗
0 = 0 ⇒ A(2) 1(τ ) và v∗
0 = 0). 2(τ ) là
(cid:112)
N (cid:88)
(2.53)
⇔ (πA(2)
j Uj(τ ),
j=1
N (cid:88)
1 − τ 2 A(1) v∗ 1,N (τ ) =
(2.54)
j Tj(τ ).
j=1
√ A(2) v∗ 2,N (τ ) = 1 1 − τ 2
Vì
[T0(y) + T2(y)] , y3 = [3T1(y) + T3(y)] , 1 2
(2.55)
y4 = [3T0(y) + 4T2(y) + T4(y)] , y5 = [10T1(y) + 5T3(y) + T5(y)] , y = T1(y), y2 = 1 8 1 4 1 16
và
y = [U0(y) + U2(y)] , y3 = [2U1(y) + U3(y)] , 1 4
(2.56)
37
1 2 y4 = [2U0(y) + 3U2(y) + U4(y)] , y5 = [5U1(y) + 4U3(y) + U5(y)] , U1(y), y2 = 1 16 1 8 1 32
nên f ∗
1 (y) và f ∗ (cid:18)
(cid:19)
(cid:18)
(cid:19)
2 (y) có thể biểu diễn như sau: 3a3 4
(cid:17)
(cid:17)
(cid:17)
(cid:16)a2 2
(cid:16) a5 16
(2.57)
và
(cid:18)
(cid:19)
(cid:19)
+ + a0 + T1(y) f ∗ 1 (y) = 3a4 8 a1 + (cid:19) + + + T2(y) + T3(y) + T4(y) + T5(y), a2 2 a4 2 T0(y) + (cid:18)a3 4 5a5 16 5a5 8 (cid:16)a4 8
(cid:19)
(cid:18)b2 4
(cid:18)b1 2 b5 8
(cid:18) b4 16
(cid:18) b5 32
(2.58)
Nếu ta xấp xỉ f ∗
1 (y) và f ∗
2 (y) bởi
N (cid:88)
(2.59)
(1)Tk(y),
+ b0 + f ∗ 2 (y) = b4 8 b3 4 5b5 32 + (cid:19) + (cid:19) U1(y) (cid:19) + + + U2(y) + U3(y) + U4(y) + U5(y). b2 4 3b4 16 U0(y) + (cid:18)b3 8
k=0
N (cid:88)
(2.60)
(2)Uk(y),
f ∗ k f ∗ 1 (y) =
k=0
trong đó
(cid:90) 1
(1) =
f ∗ 2 (y) = f ∗ k
−1 (cid:90) 1
(cid:112)
f ∗ 1 (y)Tk(y)dy, f ∗ k 2 π 1 (cid:112)1 − y2
(2) =
2 (y)Uk(y)dy,
−1
với chú ý
1 − y2f ∗ f ∗ k 2 π
1 (cid:90)
(2.61)
i (cid:54)= j,
−1
0,
dy = i = j = 0, Ti(y)Tj(y) (cid:112)1 − y2
π, π 2 ,
(cid:90) 1
(cid:112)
(2.62)
i = j (cid:54)= 0. (cid:40)
−1
và từ (2.57), (2.58) ta suy ra
1 − y2Ui(y)Uj(y)dy = i (cid:54)= j 0, π 2 , i = j
, , + , f ∗(1) 2 = 5a5 8 a2 2 a4 2
(2.63)
38
+ , , ; f ∗(1) 0 = a0 + f ∗(1) 3 = 3a4 8 f ∗(1) 4 = f ∗(1) 6 = 0, a3 4 a2 + 2 5a5 16 3a3 f ∗(1) 1 = a1 + 4 a4 f ∗(1) 5 = 8 + a5 16
và
+ , , + + + , f ∗(2) 2 = b2 4 3b4 16
(2.64) 2(τ ) được xấp xỉ dưới công thức (2.53) và công thức (2.54)
1(τ ) và v∗
Thay v∗ vào hệ phương trình (2.49) ta thu được
+ , , 5b5 32 ; f ∗(2) 0 = b0 + f ∗(2) 3 = b4 8 f ∗(2) 4 = b1 b3 2 4 f ∗(2) 5 = f ∗(2) 6 = 0. b3 8 b2 4 b5 8 f ∗(2) 1 = b4 16 b5 32
(cid:90) 1
1 (cid:90)
(cid:112)
N (cid:88)
N (cid:88)
√
11(y − τ )Uj(τ )
−1
j=1
j=1
−1
1 (cid:90)
dτ + K ∗ 1 − τ 2dτ A(1) j A(1) j −1 π 1 − τ 2Uj(τ ) (y − τ )
N (cid:88)
1 (y),
12(y − τ )Tj(τ ) 1 − τ 2
j=1
−1 (cid:90) 1
1 (cid:90)
(cid:112)
N (cid:88)
N (cid:88)
K ∗ √ dτ = f ∗ + A(2) j
21(y − τ )Uj(τ )
−1
j=1
j=1
−1
1 (cid:90)
√ dτ + 1 − τ 2dτ K ∗ A(2) j A(1) j 1 π Tj(τ ) 1 − τ 2(y − τ )
N (cid:88)
2 (y).
22(y − τ )Tj(τ ) 1 − τ 2
j=1
−1
(2.65)
Do
K ∗ √ + dτ = f ∗ A(2) j
(cid:90) 1
(cid:90) 1
−1
−1
nên hệ phương trình (2.65) trở thành
1 (cid:90)
(cid:112)
N (cid:88)
N (cid:88)
√ 1 − τ 2 Uj(τ ) √ dτ = πTj+1(y), dτ = −πUj−1(y), (y − τ ) Tj(τ ) 1 − τ 2(y − τ )
11(y − τ )Uj(τ )dτ
j Tj+1(y) +
j=1
j=1
−1
1 (cid:90)
1 − τ 2K ∗ − A(1) A(1) j
N (cid:88)
1 (y),
12(y − τ )Tj(τ ) 1 − τ 2
−1
(2.66)
(cid:90) 1
(cid:112)
j=1 N (cid:88)
N (cid:88)
K ∗ √ + dτ = f ∗ A(2) j
21(y − τ )Uj(τ )
j Uj−1(y) +
−1
j=1
j=1
1 (cid:90)
− 1 − τ 2dτ A(2) K ∗ A(1) j
N (cid:88)
2 (y).
22(y − τ )Tj(τ ) 1 − τ 2
j=1
−1
39
K ∗ √ + dτ = f ∗ A(2) j
Ta viết lại hệ phương trình (2.66) dưới dạng
N (cid:88)
N (cid:88)
N (cid:88)
1 (y),
j Tj+1(y) +
j χ(1) A(1)
j (y) +
j χ(2) A(2)
j (y) = f ∗
(2.67)
j=1 N (cid:88)
j=1 N (cid:88)
j=1 N (cid:88)
− A(1)
2 (y),
j Uj−1(y) +
j γ(1) A(1)
j (y) +
j γ(2) A(2)
j (y) = f ∗
j=1
j=1
j=1
trong đó
(cid:90) 1
(cid:112)
(2.68)
− A(2)
11(y − τ )Uj(τ )
−1
1 (cid:90)
1 − τ 2dτ, K ∗ χ(1) j (y) =
(2.69)
12(y − τ )Tj(τ ) 1 − τ 2
−1 (cid:90) 1
(cid:112)
(2.70)
K ∗ √ dτ , χ(2) j (y) =
21(y − τ )Uj(τ )
−1 1 (cid:90)
K ∗ 1 − τ 2dτ , γ(1) j (y) =
(2.71)
22(y − τ )Tj(τ ) 1 − τ 2
−1
j (y) bởi hệ trực giao
j (y), χ(2)
j (y), γ(1)
Xấp xỉ χ(1) j (y), và γ(2) {U0(y), U1(y), ..., UN −1(y)} và {T0(y), T1(y), ..., TN −1(y)}
N −1 (cid:88)
(2.72)
K ∗ √ dτ. γ(2) j (y) =
k=0
N −1 (cid:88)
(2.73)
χ(1) j (y) = α(1) j,kTk(y),
k=0
N −1 (cid:88)
(2.74)
χ(2) j (y) = α(2) j,kTk(y),
k=0
N −1 (cid:88)
(2.75)
γ(1) j (y) = β(1) j,k Uk(y),
k=0
trong đó
(cid:90) 1
(2.76)
γ(2) j (y) = β(2) j,k Uk(y),
−1
40
χ(1) j (y)Tk(y), α(1) j,k = 2 π 1 (cid:112)1 − y2
(cid:90) 1
(2.77)
−1 (cid:90) 1
χ(2) j (y)Tk(y), α(2) j,k = 2 π
(2.78)
j (y)Uk(y),
−1 (cid:90) 1
(cid:112)
(2.79)
1 (cid:112)1 − y2 (cid:112) 1 − y2γ1 β(1) j,k =
j (y)Uk(y) , k = 0, 1, ..., N − 1.
−1
Sử dụng (2.72), (2.73), (2.74) và (2.75) ta có
N (cid:88)
N (cid:88)
N −1 (cid:88)
(2.80)
j α(1) A(1)
j χ(1) A(1)
j (y) =
j,kTk(y),
j=1
j=1
k=0
N (cid:88)
N (cid:88)
N −1 (cid:88)
(2.81)
j α(2) A(2)
j χ(2) A(2)
j (y) =
j,kTk(y),
j=1
j=1
k=0
N (cid:88)
N −1 (cid:88)
N (cid:88)
(2.82)
j γ(1) A(1)
j (y) =
j β(1) A(1)
j,k Uk(y),
j=1
j=1
k=0
N (cid:88)
N −1 (cid:88)
N (cid:88)
(2.83)
j γ(2) A(2)
j (y) =
j β(2) A(2)
j,k Uk(y).
j=1
j=1
k=0
Từ (2.59), (2.60), (2.80), (2.81), (2.82) và (2.83) ta thu được
N (cid:88)
N −1 (cid:88)
N (cid:88)
1 − y2γ2 β(2) j,k = 2 π 2 π
j Tj+1(y) +
j α(1) A(1)
j,kTk(y)
j=1
j=1
k=0
N −1 (cid:88)
N (cid:88)
N −1 (cid:88)
A(1) −
j α(2) A(2)
j,kTk(y) =
j=1
k=0
k=0
(2.84)
N (cid:88)
N −1 (cid:88)
N (cid:88)
+ f ∗(1) k Tk(y),
j Uj−1(y) +
j β(1) A(1)
j,k Uk(y)
j=1
j=1
k=o
N −1 (cid:88)
N −1 (cid:88)
N (cid:88)
A(2) −
j β(2) A(2)
j,k Uk(y) =
j=1
k=0
k=0
Từ (2.84) ta có hệ phương trình đại số tuyến tính xác định hệ số A(1) j
+ f ∗(2) k Uk(y),
41
, A(2) j
của v∗
2(τ )
1(τ ) và v∗
N (cid:88)
N (cid:88)
0
j α(1) A(1)
j,0 +
j α(2) A(2)
j,0 = f ∗(1)
j=1
j=1
1 + ...
...
... N (cid:88)
N (cid:88)
−A(1) ,
j α(1) A(1)
j α(2) A(2)
j,N −1 +
j,N −1 = f ∗(1) N −1,
j=1
j=1
(2.85)
N + ... ...
...
N (cid:88)
N (cid:88)
−A(1)
0
j β(1) A(1)
j,0 +
j β(2) A(2)
j,0 = f ∗(2)
j=1
j=1
1 + ... ...
...
N (cid:88)
N (cid:88)
−A(2) ,
j β(1) A(1)
j β(2) A(2)
N +
j,N −1 +
j,N −1 = f ∗(2) N −1.
j=1
j=1
Ta sẽ giải hệ phương trình (2.85) với N=0. Sử dụng (2.63) và (2.64) với N=6 ta thu được hệ phương trình sau
6 (cid:88)
6 (cid:88)
−A(2)
1 +
j α(1) A(1)
j,0 +
j α(2) A(2)
j,0 =
j=1 6 (cid:88)
j=1 6 (cid:88)
−A(1) , 8a0 + 4a2 + 3a4 8
2 +
j α(1) A(1)
j,1 +
j α(2) A(2)
j,1 =
j=1 6 (cid:88)
j=1 6 (cid:88)
, −A(1) 8a1 + 6a3 + 5a5 8
3 +
j α(1) A(1)
j,2 +
j α(2) A(2)
j,2 =
j=1 6 (cid:88)
j=1 6 (cid:88)
−A(1) , a2 + a4 2
4 +
j α(2) A(2)
j,3 =
j α(1) A(1)
j,3 +
j=1 6 (cid:88)
j=1 6 (cid:88)
−A(1) , 4a3 + 5a5 16
5 +
j,4 +
j,4 =
j=1 6 (cid:88)
j=1 6 (cid:88)
, −A(1) A(1) j α(1) A(2) j α(2) a4 8
6 +
j,5 +
j,5 =
j=1 6 (cid:88)
j=1 6 (cid:88)
−A(1) , A(1) j α(1) A(2) j α(2) a5 16
1 +
j,0 +
j,0 =
j=1 6 (cid:88)
j=1 6 (cid:88)
−A(2) , A(1) j β(1) A(2) j β(2) 8b0 + 2b2 + b4 8
2 +
j β(1) A(1)
j,1 +
j β(2) A(2)
j,1 =
j=1
j=1
42
−A(2) , 16b1 + 8b3 + 5b5 32
và
6 (cid:88)
6 (cid:88)
3 +
j β(1) A(1)
j,2 +
j β(1) A(2)
j,2 =
j=1 6 (cid:88)
j=1 6 (cid:88)
−A(2) , 4b2 + 3b4 16
4 +
j β(1) A(1)
j,3 +
j β(2) A(2)
j,3 =
(2.86)
j=1 6 (cid:88)
j=1 6 (cid:88)
−A(2) , b3 + b5 8
5 +
j β(1) A(1)
j,4 +
j β(2) A(2)
j,4 =
j=1 6 (cid:88)
j=1 6 (cid:88)
−A(2) , b4 16
6 +
j β(1) A(1)
j,5 +
j β(2) A(2)
j,5 =
j=1
j=1
j,k, α(2)
j,k, β(1)
j,k và β(2) j,k .
Bây giờ, ta tính các hệ số α(1) Đặt
(cid:90) 1
(cid:112)
(2.87)
−A(2) . b5 32
11(y − τ )Uj(τ )
−1
1 (cid:90)
K ∗ 1 − τ 2dτ, J (1) j (y) =
(2.88)
12(y − τ )Tj(τ ) 1 − τ 2
−1 (cid:90) 1
(cid:112)
(2.89)
K ∗ √ dτ , J (2) j (y) =
21(y − τ )Uj(τ )
−1 1 (cid:90)
K ∗ 1 − τ 2dτ, I (1) j (y) =
(2.90)
22(y − τ )Tj(τ ) 1 − τ 2
−1
ta tính được
Trường hợp λ =
K ∗ √ dτ . I (2) j (y) =
1 10
43
J (1) 0 (y) = 0.0286505 sin(0.0322548y) + 0.00603007 sin(0.174576y) +0.0000405821 sin(0.453662y) + 4.00432 × 10−9 sin(0.939507y), J (1) 1 (y) = −0.000462078 cos(0.0322548y) − 0.000527023 cos(0.174576y J (1) 2 (y) = −3.72614 × 10−6 sin(0.0322548y) − 0.00002302 sin(0.174576y) −1.05764 × 10−6 sin(0.453662y) − 4.67712 × 10−10 sin(0.939507y), J (1) 3 (y) = 2.00312 × 10−8 cos(0.0322548y) + 6.69929 × 10−7 cos(0.174576y) +8.01748 × 10−8 cos(0.453662y) + 7.40597 × 10−11 cos(0.939507y), J (1) 4 (y) = 2.41579 × 10−20 cos(0.0322548y) +4.83157 × 10−20 cos(0.174576y) − 7.54933 × 10−22 cos(0.453662y)
44
+8.07636 × 10−11 sin(0.0322548y) + 1.46229 × 10−8 sin(0.174576y) +4.55436 × 10−9 sin(0.453662y) + 8.76225 × 10−12 sin(0.939507y), J (1) 5 (y) = −2.60503 × 10−13 cos(0.0322548y) −2.55328 × 10−10 cos(0.174576y) − 2.06867 × 10−10 cos(0.453662y) −8.27585 × 10−13 cos(0.939507y), J (1) 6 (y) = 1.94988 × 10−19 cos(0.0322548y) +1.48398 × 10−19 cos(0.174576y) + 7.50404 × 10−25 cos(0.939507y) −7.26596 × 10−16 sin(0.0322548y) − 3.71501 × 10−12 sin(0.174576y) −7.82786 × 10−12 sin(0.453662y) − 6.50506 × 10−14 sin(0.939507y), J (2) 0 (y) = −2.44967 sin(0.0322548y) − 0.394315 sin(0.174576y) −0.0162713 sin(0.453662y) − 0.0000907843 × 10−9 sin(0.939507y), J (2) 1 (y) = 0.0395119 cos(0.0322548y) + 0.0345508 cos(0.174576y) +0.00378916 cos(0.453662y) − 0.0000481677 cos(0.939507y), J (2) 2 (y) = 0.000318626 sin(0.0322548y) + 0.00150985 sin(0.174576y) +0.000433483 sin(0.453662y) + 0.000011754 sin(0.939507y), J (2) 3 (y) = −1.71291 cos(0.0322548y) − 0.000439587 cos(0.174576y) −0.0000329173 cos(0.453662y) − 1.87536 × 10−6 cos(0.939507y), J (2) 4 (y) = 3.86526 × 10−18 cos(0.0322548y) −3.86526 × 10−18 cos(0.174576y) + 3.77467 × 10−21 cos(0.939507y) −6.90627 × 10−9 sin(0.0322548y) − 9.59632 × 10−7 sin(0.174576y) −1.87149 × 10−6 sin(0.453662y) − 2.22715 × 10−7 sin(0.939507y), J (2) 5 (y) = 2.22763 × 10−11 cos(0.0322548y) +1.67571 × 10−8 cos(0.174576y) + 8.50483 × 10−8 cos(0.453662y) +2.10801 × 10−8 cos(0.939507y) − 5.12423 × 10−16 sin(0.0322548y) +3.86526 × 10−18 sin(0.453662y), J (2) 6 (y) = 7.86856 × 10−18 cos(0.0322548y) +7.86856 × 10−18 cos(0.174576y) + 4.83157 × 10−19 cos(0.453662y) −1.53683 × 10−20 cos(0.939507y) + 4.83562 × 10−14 sin(0.0322548y) +2.43826 × 10−10 sin(0.174576y) + 3.21921 × 10−9 sin(0.453662y) +1.65916 × 10−9 sin(0.939507), I (1) 0 (y) = −0.00127587 sin(0.0322548y) − 0.00603223 sin(0.174576y) −0.00171901 sin(0.453662y) − 0.0000452544 sin(0.939507y), I (1) 1 (y) = 0.0000205773 cos(0.0322548y) + 0.000527212 cos y(0.174576) +0.000393311 cos(0.453662y) + 0.0000220861 cos(0.939507y), I (1) 2 (y) = 1.65933 × 10−7 sin(0.0322548y) + 0.0000230243 sin(0.174576y) +0.0000448002 sin(0.453662y) + 5.28581 × 10−6 sin(0.939507y),
45
I (1) 3 (y) = −8.9203 × 10−10 cos(0.0322548y) − 6.7017 × 10−7 cos(0.174576y) −3.39611 × 10−6 cos(0.453662y) − 8.36979 × 10−7 cos(0.939507y), I (1) 4 (y) = −1.93263 × 10−20 cos(0.453662y) +2.41579 × 10−21 cos(0.939507y) − 3.59658 × 10−12 sin(0.0322548y) −1.46282 × 10−8 sin(0.174576y) − 1.92917 × 10−7 sin(0.453662y) −9.90257 × 10−8 sin(0.939507y), I (1) 5 (y) = 1.16008 × 10−14 cos(0.0322548y) +2.55419 × 10−10 cos(0.174576y) + 8.76265 × 10−9 cos(0.453662y) +9.35287 × 10−9 cos(0.939507y), I (1) 6 (y) = −1.29417 × 10−21 cos(0.0322548y) −1.15958 × 10−19 cos(0.174576y) + 3.86526 × 10−20 cos(0.453662y) −1.20789 × 10−21 cos(0.939507y) + 3.11622 × 10−17 sin(0.0322548y) +3.71634 × 10−12 sin(0.174576y) + 3.31578 × 10−10 sin(0.453662y) +7.35163 × 10−10 sin(0.939507y), I (2) 0 (y) = −0.0572935 sin(0.0322548y) − 0.0120141 sin(0.174576y) −0.0000790546 sin(0.453662y) − 7.09061 × 10−9 sin(0.939507y), I (2) 1 (y) = 0.000924115 cos(0.0322548y) + 0.00105271 cos(0.174576y) +0.0000184098 × 10−6 cos(0.453662y) + 3.76209 × 10−9 cos(0.939507y), I (2) 2 (y) = 7.45211 × 10−6 sin(0.0322548y) + 0.0000460028 sin(0.174576y) +2.10609 × 10−6 sin(0.453662y) + 9.1803 × 10−10 sin(0.939507y), I (2) 3 (y) = −4.00619 × 10−8 cos(0.0322548y) −1.33935 × 10−6 cos(0.174576y) − 1.5993 × 10−7 cos(0.453662y) −1.46473 × 10−10 cos(0.939507y), I (2) 4 (y) = 9.66314 × 10−20 cos(0.174576y) −7.63569 × 10−25 cos 0.939507y − 1.61526 × 10−10 sin(0.0322548y) −2.92384 × 10−8 sin(0.174576y) − 9.09269 × 10−9 sin(0.453662y) −1.73949 × 10−11 sin(0.939507y), I (2) 5 (y) = 5.21003 × 10−13 cos(0.0322548y) +5.10563 × 10−10 cos(0.174576y) + 4.1321 × 10−10 cos(0.453662y) +1.64644 × 10−12 cos(0.939507y) + 1.28106 × 10−17 sin(0.0322548y) −1.5798 × 10−24 sin(0.939507y), I (2) 6 (y) = −5.86691 × 10−19 cos(0.0322548y) −7.83405 × 10−19 cos(0.174576y) + 1.56379 × 10−21 cos(0.453662y) −3.6862 × 10−25 cos(0.939507y) + 1.17759 × 10−15 sin(0.0322548y) +7.42897 × 10−12 sin(0.174576y) + 1.56407 × 10−11 sin(0.453662y) +1.29587 × 10−13 sin(0.939507).
Để tính các tích phân
(cid:90) 1
(2.91)
j (y)dy,
−1
(cid:90) 1
(2.92)
Tk(y)J (1) α(1) j,k = 2 π 1 (cid:112)1 − y2
j (y)dy,
−1
(cid:90) 1
(cid:112)
(2.93)
Tk(y)J (2) α(2) j,k = 2 π 1 (cid:112)1 − y2
j (y)dy,
−1
(cid:90) 1
(cid:112)
(2.94)
1 − y2Uk(y)I (1) β(1) j,k = 2 π
j (y)dy.
−1
j (y) và I (2)
j (y) vừa tính vào (2.91),(2.92),
1 − y2Uk(y)I (2) β(2) j,k =
j (y), J (2)
0,2 = 0, α(1)
0,3 = −1.5303 × 10−6, 1,0 = −0.00198758,
0,1 = 0.00199064, α(1) 0,5 = 9.133 × 10−10, α(1) 1,2 = 4.59549 × 10−6, α(1)
0,6 = 0, α(1) 1,3 = 0,
2,3 = 9.17508 × 10−9,
1,5 = 0, α(1) 2,1 = −4.59089 × 10−6, α(1) 2,5 = −1.2608 × 10−11, α(1) 3,1 = 0, α(1) 3,4 = 2.10298 × 10−11, α(1)
1,6 = 4.19084 × 10−12, 2,2 = 0, α(1) 2,6 = 0, 3,2 = −9.16664 × 10−9, 3,5 = 0, α(1)
3,6 = −3.30772 × 10−14,
4,2 = −3.35312 × 10−22,
4,1 = 4.5665 × 10−9, α(1) 4,4 = 9.87374 × 10−26, 4,6 = −1.64562 × 10−26,
5,1 = 0, α(1) 5,4 = −4.96157 × 10−14, α(1)
5,2 = 1.25725 × 10−11, 5,5 = 0, α(1)
5,6 = 1.01945 × 10−16,
6,2 = −1.17867 × 10−21,
Ta thay các J (1) (2.93) và (2.94) ta nhận được 0,0 = 0, α(1) α(1) 0,4 = 0, α(1) α(1) α(1) 1,1 = 0, α(1) α(1) 1,4 = −4.58332 × 10−9, α(1) α(1) 2,0 = 0, α(1) 2,4 = 0, α(1) α(1) α(1) 3,0 = 1.52204 × 10−6, α(1) 3,3 = 0, α(1) α(1) 4,0 = 1.42766 × 10−19, α(1) α(1) 4,3 = −2.10133 × 10−11, α(1) α(1) α(1) 4,5 = 4.9645 × 10−14, α(1) 5,0 = −9.01322 × 10−10, α(1) α(1) α(1) 5,3 = 0, α(1) 6,0 = 6.84415 × 10−19, α(1) α(1) α(1) 6,3 = 3.30116 × 10−14, α(1) 6,5 = −1.0189 × 10−16, α(1) α(1) 0,0 = 0, α(2) α(2)
0,1 = −0.154773, α(2)
6,1 = −4.16135 × 10−12, α(1) 6,4 = 7.20796 × 10−25, 6,6 = 1.92847 × 10−28, 0,2 = 0, α(2)
0,3 = 0.000153164,
46
2 π j (y), I (1)
0,5 = −1.94761 × 10−7, α(2)
0,6 = 0,
1,1 = 0, α(2)
1,2 = −0.000454628,
1,5 = 0, α(2)
1,6 = −7.25752 × 10−11,
1,4 = 8.07492 × 10−7, α(2) 2,1 = 0.000474364, α(2)
2,2 = 0, 2,4 = 0, α(2)
2,5 = 8.74759 × 10−9, α(2)
2,6 = 0,
3,1 = 0, α(2) 3,4 = −2.62469 × 10−8, α(2)
3,2 = 0.000450867, 3,5 = 0, α(2)
3,6 = 6.72389 × 10−11,
4,1 = −1.18147 × 10−6, α(2) 4,4 = −8.42559 × 10−24, α(2)
4,2 = 2.76022 × 10−20, 4,5 = −1.00485 × 10−10,
5,0 = 2.28118 × 10−7, α(2)
5,1 = −1.48172 × 10−17,
5,4 = 1.00485 × 10−10,
6,2 = −8.31337 × 10−20,
5,3 = −1.41297 × 10−20, α(2) 5,6 = −6.41603 × 10−13, 6,1 = 2.8586 × 10−9, α(2) 6,4 = 8.38939 × 10−23,
6,6 = 2.46844 × 10−25,
0,2 = 0, β(1)
0,3 = 0, β(1)
0,4 = 0,
0,1 = −0.000948798, β(1) 0,6 = 0, 1,1 = 0, β(1)
1,6 = −3.94888 × 10−10, 2,3 = −1.76163 × 10−7,
1,4 = 8.74765 × 10−8, β(1) 2,1 = 0.0000143016, β(1) 2,5 = 1.19977 × 10−9, β(1)
1,2 = −0.0000143016, 1,5 = 0, β(1) 2,2 = 0, β(1) 2,6 = 0,
3,1 = 0, β(1) 3,4 = −2.00973 × 10−9, β(1)
3,2 = 1.76163 × 10−7, 3,5 = 0, β(1)
3,6 = 1.27896 × 10−11,
4,4 = 2.1064 × 10−24,
4,1 = −8.62029 × 10−8, 4,3 = 2.00811 × 10−9, β(1) 4,6 = 1.0532 × 10−24,
0,4 = 0, α(2) α(2) α(2) 1,0 = −0.00330998, α(2) 1,3 = 0, α(2) α(2) α(2) 2,0 = 0, α(2) 2,3 = −2.38356 × 10−6, α(2) α(2) α(2) 3,0 = −3.42587, α(2) 3,3 = 0, α(2) α(2) α(2) 4,0 = 6.26804 × 10−20, α(2) 4,3 = 1.46801 × 10−8, α(2) α(2) α(2) 4,6 = 0, α(2) 5,2 = −8.74757 × 10−9, α(2) α(2) 5,5 = 3.79152 × 10−23, α(2) α(2) 6,0 = 3.22434 × 10−17, α(2) α(2) α(2) 6,3 = −6.66531 × 10−11, α(2) 6,5 = 6.41603 × 10−13, α(2) α(2) 0,0 = 0, β(1) β(1) 0,5 = −1.71518 × 10−8, β(1) β(1) β(1) 1,0 = 0.000948797, β(1) 1,3 = 0, β(1) β(1) β(1) 2,0 = 0, β(1) 2,4 = 0, β(1) β(1) β(1) 3,0 = −4.72597 × 10−6, β(1) 3,3 = 0, β(1) β(1) β(1) 4,0 = −2.54078 × 10−9, β(1) 4,2 = 2.40129 × 10−22, β(1) β(1) β(1) 4,5 = −1.92477 × 10−11, β(1) 5,0 = 1.71518 × 10−8, β(1) β(1) 5,3 = 0, β(1) β(1)
5,1 = 0, β(1) 5,4 = 1.92483 × 10−11, β(1)
5,2 = −1.19977 × 10−9, 5,5 = 0, β(1)
5,6 = −1.37427 × 10−13,
47
6,2 = −4.14483 × 10−22,
0,4 = 0,
0,3 = 1.8825 × 10−6, β(2)
6,1 = 3.94564 × 10−10, β(1) 6,4 = 1.5798 × 10−24, 6,6 = 1.23422 × 10−26, 0,2 = 0, β(2)
0,1 = −0.0103028, β(2) 0,6 = 0,
1,1 = 0, β(2)
1,6 = −7.00721 × 10−13, 2,3 = −9.16647 × 10−9,
1,4 = 2.55307 × 10−9, β(2) 2,1 = 4.59546 × 10−6, β(2) 2,5 = 1.25721 × 10−11, β(2) 3,1 = 0, β(2) 3,4 = −2.58441 × 10−11, β(2)
1,2 = −4.12334 × 10−6, 1,5 = 0, β(2) 2,2 = 0, β(2) 2,6 = 0, 3,2 = 1.67796 × 10−8, 3,5 = 0, β(2)
3,6 = 3.42379 × 10−14,
4,4 = 2.30387 × 10−25, 5,0 = 9.13283 × 10−10, 5,3 = −8.91928 × 10−24,
5,6 = −1.01886 × 10−16,
6,2 = 1.72176 × 10−12,
4,1 = −4.57565 × 10−9, 4,3 = 2.07416 × 10−11, β(2) 4,6 = 3.29125 × 10−26, β(2) 5,2 = −1.26075 × 10−11, β(2) 5,5 = 0, β(2) 6,1 = 5.65174 × 10−14, β(2) 6,4 = −8.05194 × 10−14,
6,6 = 1.29782 × 10−15,
j,k và β(2)
j,k, β(1)
j,k tính được ở trên vào hệ phương trình (2.86) 2 với
1 và A(j)
6,0 = 6.45494 × 10−13, β(1) β(1) β(1) 6,3 = −1.27892 × 10−11, β(1) 6,5 = 1.37427 × 10−13, β(1) β(1) β(2) 0,0 = 0, β(2) 0,5 = −9.05992 × 10−10, β(2) β(2) β(2) 1,0 = 0.0019727, β(2) 1,3 = 0, β(2) β(2) β(2) 2,0 = 0, β(2) 2,4 = 0, β(2) β(2) β(2) 3,0 = −3.52268 × 10−6, β(2) 3,3 = 0, β(2) β(2) 4,0 = −1.40423 × 10−11, β(2) β(2) 4,2 = −3.67303 × 10−22, β(2) β(2) β(2) 4,5 = −4.64012 × 10−14, β(2) 5,1 = 2.06583 × 10−19, β(2) β(2) 5,4 = 4.9643 × 10−14, β(2) β(2) 6,0 = 1.80359 × 10−12, β(2) β(2) β(2) 6,3 = −2.14179 × 10−15, β(2) 6,5 = 2.39336 × 10−17, β(2) β(2) j,k, α(2) Thay các α(1) ta thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với các ẩn là A(j) j = 1, ..., 6. Giải hệ phương trình đó ta tìm được nghiệm như sau:
2 = 1.29354 × 10−24a0 − 0.999995a1 + 6.31881 × 10−25a2
48
A(1) 1 = −0.997964a0 − 6.13198 × 10−20a1 − 0.498983a2 −2.09338 × 10−12a3 − 0.374237a4 − 2.61659 × 10−12a5 +0.00329565b0 + 9.97968 × 10−18b1 + 0.856372b2 −5.77984 × 10−15b3 + 0.641455b4 + 1.78357 × 10−13b5, A(1) −0.749997a3 + 4.70224 × 10−25a4 − 0.624997a5
3 = −4.16125 × 10−6a0 − 9.45306 × 10−21a1 − 0.500002a2
4 = 1.23359 × 10−27a0 − 9.14095 × 10−9a1 + 6.02596 × 10−28a2
5 = 3.80827 × 10−9a0 + 1.67883 × 10−23a1 + 1.89553 × 10−9a2
6 = −3.3102 × 10−30a0 + 1.24828 × 10−11a1 − 1.617 × 10−30a2
2 = −1.80165 × 10−26a0 − 0.0000143016a1 − 8.80086 × 10−27a2
3 = −0.0000142686a0 − 2.15231 × 10−21a1 − 7.22239 × 10−6a2
4 = 5.50955 × 10−31a0 + 1.76162 × 10−7a1 + 2.69136 × 10−31a2
5 = −8.73009 × 10−8a0 + 9.66521 × 10−23a1 − 4.26456 × 10−8a2
49
+3.36455 × 10−26b0 − 0.000237182b1 − 1.09115 × 10−24b2 −0.000118443b3 + 9.26064 × 10−19b4 − 0.0000739718b5, A(1) −2.89358 × 10−13a3 − 0.500002a4 − 3.61679 × 10−13a5 +0.000455542b0 + 1.37944 × 10−18b1 + 0.000118618b2 −7.98923 × 10−16b3 − 0.0000249216b4 − 7.96996 × 10−16b5, A(1) −0.25a3 + 4.48432 × 10−28a4 − 0.3125a5 +3.20862 × 10−29b0 + 1.19178 × 10−6b1 − 1.04058 × 10−27b2 +5.94057 × 10−7b3 + 8.83145 × 10−22b4 + 3.70599 × 10−7b5, A(1) +5.13937 × 10−16a3 − 0.125a4 + 6.42388 × 10−16a5 −8.09101 × 10−7b0 − 2.45006 × 10−21b1 − 4.0125 × 10−7b2 +1.41898 × 10−18b3 − 9.86683 × 10−8b4 + 1.37455 × 10−18b5, A(1) +9.34989 × 10−12a3 − 1.20332 × 10−30a4 − 0.0625a5 −8.60998 × 10−32b0 − 4.37381 × 10−9b1 + 2.79229 × 10−30b2 −2.17435 × 10−9b3 − 2.36982 × 10−24b4 − 1.35428 × 10−9b5, A(2) 1 = −0.000948737a0 + 2.07902 × 10−17a1 − 0.000472001a2 +6.36449 × 10−10a3 − 0.000353411a4 + 7.9552 × 10−10a5 −1.00197b0 − 3.0341 × 10−15b1 − 0.500173b2 +1.75724 × 10−12b3 − 0.124637b4 + 1.70151 × 10−12b5, A(2) −0.0000107046a3 − 6.5493 × 10−27a4 − 8.91159 × 10−6a5 −4.68616 × 10−28b0 − 0.500002b1 + 1.51976 × 10−26b2 −0.250001b3 − 1.28982 × 10−20b4 − 0.156251b5, A(2) −2.65429 × 10−15a3 − 5.43866 × 10−6a4 − 3.31769 × 10−15a5 +4.17869 × 10−6b0 + 1.26423 × 10−20b1 − 0.249986b2 −7.32846 × 10−18b3 − 0.18749b4 − 5.38095 × 10−14b5, A(2) +1.3162 × 10−7a3 + 2.00282 × 10−31a4 + 1.09475 × 10−7a5 +1.43306 × 10−32b0 + 4.62504 × 10−9b1 − 4.64752 × 10−31b2 −0.125b3 + 3.94436 × 10−25b4 − 0.125b5, A(2) +1.44243 × 10−18a3 − 3.17354 × 10−8a4 + 1.80291 × 10−18a5
6 = 1.5517 × 10−33a0 − 1.19976 × 10−9a1 + 7.5799 × 10−34a2
(2.95)
Bây giờ ta tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình (2.39) với N = 6.
Ta có
(cid:112)
N (cid:88)
−2.27073 × 10−9b0 − 6.34699 × 10−24b1 + 7.36417 × 10−8b2 +3.9826 × 10−21b3 − 0.0624999b4 + 2.51625 × 10−15b5, A(2) −8.95012 × 10−10a3 + 5.6407 × 10−34a4 − 7.43847 × 10−10a5 +4.03604 × 10−35b0 − 6.57067 × 10−12b1 − 1.30892 × 10−33b2 −3.27936 × 10−12b3 + 1.11088 × 10−27b4 − 0.03125b5.
j Uj(τ ),
j=0
N (cid:88)
1 − τ 2 A(1) v∗ 1,6(τ ) =
j Tj(τ ),
j=0
và A(2)
j được tính trong (2.95) và Uj(τ ), Tj(τ ) là các đa
trong đó, các A(1) j thức Chebyshev loại một và loại hai.
Rút gọn ta được
√ A(2) v∗ 2,6(τ ) = 1 1 − τ 2
(cid:105)
6 ) + (2A(1)
1 − 4A(1)
√
6 )τ 2 + (8A(1)
(cid:104)
(cid:105)
v∗ 1,6(τ ) = √ 1 − τ 2 (cid:104) 1 − τ 2 + √ +
(cid:104) (−A(1) 2 + A(1) 2 − 12A(1) 4 − 80A(1) 2 + A(2)
4 − A(1) 4 + 24A(1) 6 )τ 4 + 32A(1) 4 − A(2)
5 τ 5 + 64A(1) 1 − 3A(2)
6 ) + (A(2)
√ (4A(1) (16A(1) (cid:104) (−A(2) v∗ 2,6(τ ) =
2 − 8A(2)
4 + 18A(2)
6 )τ 2 + (4A(2)
3 + 6A(1) 5 )τ 5 )τ 3(cid:105) 3 − 32A(1) 6 τ 6(cid:105) , 3 + 5A(2) 5 )τ 5 )τ 3(cid:105)
(cid:104)
√ + (2A(2)
4 − 48A(2)
6 )τ 4 + 16A(2)
5 τ 5 + (32A(2)
3 − 20A(2) 6 )τ 6(cid:105)
Bây giờ ta tính u1,6 và u2,6 :
Do
√ (8A(2) . + 1 − τ 2 1 1 − τ 2 1 (cid:104) 1 − τ 2 1 1 − τ 2
), v∗ 1(τ ) = v1(
), v∗ 2(τ ) = v2( (b − a)τ + b + a 2 (b − a)τ + b + a 2
50
t = , (b − a)τ + b + a 2
nên ta có
1(τ ) = v1(t), v∗ v∗
2(τ ) = v2(t).
Mặt khác ta có
1 (cid:90)
−1
y (cid:90)
1 (cid:90)
(y − τ )] dτ u∗ 1,6(y) = v∗ 1(τ )sign [ b − a 2 b − a 2 1 2
−y
−1 1 (cid:90)
= v∗ 1(τ )dτ − v∗ 1(τ )dτ, y ∈ (−1, 1), b − a 4 b − a 4
−1
y (cid:90)
1 (cid:90)
(y − τ )] dτ u∗ 2,6(y) = v∗ 2(τ )sign [ 1 2 b − a 2 b − a 2
−y
−1
Tính và rút gọn tích phân trên ta được
(cid:113)
(cid:105)
= v∗ 2(τ )dτ − v∗ 2(τ )dτ, y ∈ (−1, 1). b − a 4 b − a 4
1 − 28A(1)
3 + 18A(1)
5
(cid:113)
4 + 105A(1)
6 )y
2 − 105A(1)
70A(1)
6 )y5(cid:105)
+ ,
(cid:112)(1 − y2)
6 )y3 + 480A(1) 5 y4 + 840A(1) (cid:105) 3 + 3A(2)
5
1 − 5A(2)
(1 − y2)3 (cid:104) (105A(1) 5 )y2(cid:105) 4 − 700A(1) (280A(1) (cid:104) 15A(2)
6 )y + (20A(2)
5 )y2(cid:105)
+
(cid:104) (15A(2) (cid:104) (30A(2)
2 − 15A(2) 4 − 80A(2)
4 + 15A(2) 6 )y3 + 48A(2)
5 y4 + 80A(2)
3 − 36A(2) 6 y5(cid:105)
(2.96)
Ta có
+ . a − b u∗ 1,6(y) = 210 a − b (1 − y2)3 (cid:104) + 210 +(168A(1) 3 − 288A(1) (cid:113) a − b (1 − y2)3 (cid:104) 210 a − b u∗ 2,6(y) = 30 a − b (cid:112)(1 − y2) 30 a − b (cid:112)(1 − y2) 30
j,6(
) với j = 1, 2. uj,6(x) = u∗
51
2x − b − a b − a Ta tính được nghiệm gần đúng của hệ phương trình cặp tích phân Fourier
(2.10) là:
(cid:21)3 (cid:26)−105(2x − a − b)
1 +
u1,6(x) = b − a
A(1) 2 (cid:35) +70A(1) (cid:34)
(cid:115)(cid:20)(x − a)(b − x) −32 b − a 105 105(2x − a − b) b − a 168(2x − a − b)2 (b − a)2
− 28 + A(1) 3
(cid:34)
(cid:35)
+ A(1) 4 280(2x − a − b)3 (b − a)3
(cid:34)
(cid:35)
(cid:41)
+ 18 − + A(1) 5
(cid:26)
(cid:112)(x − a)(b − x)
− + + , A(1) 6 16800(2x − a − b)4 (b − a)4 24500(2x − a − b)3 (b − a)3
3
15A(2) 29400(2x − a − b)5 (b − a)5 2 − 5A(2) A(2) 10080(2x − a − b)2 (b − a)2 3675(2x − a − b) b − a 1 15 15(a + b) a − b
4 +
4 + 3A(2)
5
+ A(2)
1 + 30(a + b)3 (a − b)3 A(2) A(2) 6 −
6
(cid:20)
−
3 +
+ − A(2) 15(a + b) a − b 48(a + b)4 (a − b)4 A(2) 5 + A(2) 2 − 80(a + b)3 (a − b)3 A(2) A(2) 4 30 a − b
5
(cid:35)
30 a − b 144(a + b) − 15(a + b) a − b 80(a + b) a − b 384(a + b)3 (a − b)4 A(2)
6
5
3 +
(cid:34)
(cid:35)
x − u2,6(x) = − 20(a + b)2 (a − b)2 A(2) 3 − 36(a + b)2 (a − b)2 A(2) 5 + 80(a + b)5 (a − b)5 A(2) 6 + 180(a + b)2 (a − b)3 A(2) 4 + A(2) 6 + (a − b)2 A(2) 5 − 480(a + b)2 (a − b)3 A(2) 6 − 30 a − b (cid:34) 144 360(a + b) 80 + 1152(a + b)2 (a − b)4 A(2)
4
6
(cid:35)
−240 960(a + b) 800(a + b)4 (a − b)5 A(2) (a − b)2 A(2) 5 + x2 + −
6
(cid:34)
(cid:35)
(cid:41)
640 1536(a + b) (a − b)3 A(2) x3 −
6
5 +
768 + , 6400(a + b)2 (a − b)5 A(2) 2560 (a − b)5 x5 x4 − (a − b)3 A(2) 4 − 3200(a + b)3 (a − b)5 A(2) (a − b)3 A(2) 6 − 6400(a + b)2 (a − b)5 A(2)
với các A(1) j
52
, j = 1, 6 được cho bởi công thức (2.95). (a − b)2 A(2) (a − b)3 A(2) 6 + (a − b)4 A(2) 5 + (a − b)4 A(2) , A(2) j
Kết luận
Luận văn đã trình bày một số kết quả sau đây: 1. Trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về toán tử tích phân kì dị trong không gian L2 ρ, phương trình tích phân, các đa thức Chebyshev, hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính, biến đổi Fourier của các hàm cơ bản giảm nhanh, biến đổi Fourier của các hàm suy rộng tăng chậm, các không gian Sobolev, các không gian Sobolev vevtơ, phiếm hàm tuyến tính liên tục, toán tử giả vi phân vevtơ
2. Trình bày tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân Fourier. 3. Thực hiện việc giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân Fourier gặp trong bài toán biên hỗn hợp của phương trình điều hòa với các bước sau đây:
+ Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier về dạng không thứ nguyên. + Thực hiện giải gần đúng hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính đã được "chặt cụt" đến N = 6 và sau đó tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình tích phân kì dị.
53
Tài liệu tham khảo
[1] Lê Thị Tuyết Nhung, (2016), "Tính giải được của một hệ phương trình
cặp tích phân Fourier". Luận văn thạc sĩ.
Tài liệu Tiếng Việt
[2] Brychkov U. A. and Prudnikov A. P. (1997), Generalized Integral Tran-
formations, Nauka, Moscow.
[3] Duduchava R. (1979), Intergral Equations with Fixed Singlarites, Teub-
ner Verlagsgesellscohaft, Leipzig.
[4] Eskin G.I. (1973), Boundary Value Problems for Elliptic Pseudodifferen-
tial Equations, Nauka, Moscow, (in Russia).
[5] Kantorovich L.V. Krylov Yu.A. (1962), Approximate Methods in Higher
Analysis, Fizmatgiz, Moscow, (in Russia).
[6] Krylov V.I. (2006), Approximate Calculation of Integrals, Dover Publi -
cation INC.
[7] Lions J.L. Magens E. (1968), Problems aux limites non homogenes et
applications, Volume 1, Dunod - Pris.
[8] Ngoc N.V (1988), "On the solvability of dual Integral equations involving
Fourier Transforms", Acta Math. Vietnamica, 13(2), pp. 21-23.
[9] Ngoc N.V (2009), "Dual Integral equations involving Fourier tranforma- tions with increasing symbol" Acta Math. Vietnamica, 24(3), pp. 305 - 318.
54
Tài liệu Tiếng Anh
[10] Ngan N.T and Minh N.T (2012), "Solvability of a system of dual Integral equations of mixed boundary value problem for the Laplace equation", Journal of Science and Technology, Thai Nguyen University, 93(5), pp. 117 - 122.
[11] Ngoc N.V and Ngan N.T (2009), "On some systems of dual Integral equations involving Fourier Transforms", Algebraic Structures in Par- tial Differential Equations Related to Complex and Clifford Analysis, Ho Chi Minh City University of Education Press, pp. 225 - 248, (Based on the selected lectures of the 17th International Conference on Finite and Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications, Ho Chi Minh City, August 1-3, 2009).
[12] Popov G. Ia. (1982), Comtact Problems for a Linearly Deformed Base,
Víhcha Shkola, Kiev (in Russia).
[13] Vladimirov V.S. (1979), Generalized Functions in Mathematical Physics,
Moscow, Mir (in Russia).
[14] Volevich L.R. and Panekh B.P. (1965), "Some spaces of generalized func- tions and imbedding theroem" Uspekhii Matt. Nauk, 20(1), pp. 3-74 (in Russia).
55
