Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm tử Tor và hàm tử Ext trên miền Dedekind

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Cao Văn Hoàng

HÀM TỬ TOR VÀ HÀM TỬ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành Phố HỒ CHÍ MINH - 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Cao Văn Hoàng

HÀM TỬ TOR VÀ HÀM TỬ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND

Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số Mã số

: 8460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. MỴ VINH QUANG

Thành Phố Hồ Chí Minh - Năm 2019

Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn

của PGS.TS. Mỵ Vinh Quang. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng

một số kết quả, nội dung từ các sách được liệt kê trong danh mục tài liệu tham

khảo. Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về luận văn của mình.

LỜI CAM ĐOAN

Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn, tôi đã nhận được sự

giúp đỡ cũng như hướng dẫn nhiệt tình của các thầy cô và các bạn cao học toán

K28.

Đầu tiên, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc, chân thành đến PGS.TS Mỵ Vinh

Quang, người thầy tâm huyết trong giảng dạy và cũng là người tận tình, giúp

đỡ, hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn, có thể nói luận văn này

sẽ không được hoàn thành nếu không có sự chỉ bảo của thầy.

Ngoài ra, với lòng kính trọng và biết ơn, tôi cũng xin được gởi lời cảm ơn chân

thành đến:

Các thầy cô khoa Toán của trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh cùng

GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường đã trực tiếp trang bị cho tôi kiến thức cơ bản làm

nền tảng cho quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Ban giám hiệu, phòng Đào tạo sau đại học, khoa Toán trường Đại học Sư phạm

TP. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập,

hoàn thành và bảo vệ luận văn.

Các thầy cô trong Hội đồng Bảo vệ luận văn thạc sĩ đã đọc, đóng góp ý kiến,

nhận xét và đánh giá luận văn.

Cuối cùng tôi xin dành lời cảm ơn đến gia đình đã luôn động viên, giúp đỡ tôi

trong quá trình hoàn thành luận văn.

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2019 Cao Văn Hoàng

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Danh mục các kí hiệu

Mở đầu

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

3

1.1 Hàm tử Hom .

1.2 Hàm tử Tenxơ .

1.3 Môđun tự do .

1.4 Môđun xạ ảnh .

1.5 Môđun nội xạ .

1.6 Hàm tử đồng điều .

. 10

1.7 Đồng luân .

. 12

Chương 2 HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ

ĐƠN VỊ

14

2.1 Phép giải xạ ảnh .

. 14

2.2 Xây dựng hàm tử Tor

. 20

. 22

2.3 Hai dãy khớp đối với hàm tử Tor

. 24

2.4 Ứng dụng của dãy khớp đối với Tor .

. 28

2.5 Xây dựng hàm tử Ext

. 30

2.6 Hai dãy khớp dài đối với Ext

. 32

2.7 Ứng dụng của dãy khớp đối với hàm tử Ext

38 Chương 3 HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND

. 38

3.1 Môđun trên miền Dedekind .

. 43

3.2 Hàm tử Tor trên miền Dedekind .

. 46

3.3 Hàm tử Ext trên miền Dedekind .

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Hom(X, Y ) M od f ⊗ g X ⊗ Y Hom(f, g) X ⊕ Y L (cid:54) K f (cid:39) g Hn(K) H n(L) T orn(X, Y ) T orn(h, g) Extn(X, Y ) Extn(h, g) X = (cid:104)x1, x2, ..., xn(cid:105)

: Tập tất cả các đồng cấu từ X tới Y . : Tập các môđun trên vành. : Tích tenxơ của hai đồng cấu f và g. : Tích tenxơ của hai môđun X và Y . : Hom của hai đồng cấu. : Tổng trực tiếp trong của hai môđun X và Y . : L là môđun con của K. : Hai ánh xạ dây chuyền f và g đồng luân. : môđun đồng điều chiều n của phức K. : môđun đối đồng điều chiều n của phức L. : Tích xoắn n- chiều của các môđun X và Y . : Tích xoắn n- chiều của các đồng cấu h và g. : Tích mở rộng n- chiều của các môđun X và Y . : Tích mở rộng n- chiều của các đồng cấu h và g. : X là môđun hữu hạn sinh được sinh bởi các phần tử x1, x2, ..., xn.

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

MỞ ĐẦU

Hàm tử T or và hàm tử Ext cùng với các hàm tử Tenxơ và hàm tử Hom được xem

như bốn cột trụ của Đại số đồng điều, chính vì vậy các hàm tử T or và Ext đóng vai

trò quan trọng trong nhiều chuyên ngành khác nhau của Toán học như Đại số đồng

điều, Đại số giao hoán, Hình học đại số, tô pô hình học... Chính bởi vậy, tôi chọn đề

tài : "Hàm tử T or và hàm tử Ext trên miền Dedekind" làm đề tài cho luận văn Thạc

sĩ Toán của mình với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn, được tiếp cận nhiều hơn với

một hướng nghiên cứu đang phát triển và có nhiều ứng dụng của Toán học hiện đại.

Với đối tượng, phạm vi nghiên cứu là miền Dedekind, hàm tử T or và hàm tử

là tìm hiểu sâu hơn, toàn diện và hệ thống hơn về hàm tử T or và Ext trên một miền

nguyên bất kỳ. Sau đó dựa trên một số tính chất của miền Dedekind và môđun trên

miền Dedekind để chứng minh một số tính chất sâu sắc và thú vị của hàm tử T or và

hàm tử Ext trên miền Dedekind. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được trình

bày thành ba chương.

Chương 1: Các kiến thức cơ bản.

Nội dung chính của chương 1 trình bày các định nghĩa, tính chất về hàm tử Hom, hàm

tử Tenxơ, môđun tự do, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, hàm tử đồng điều, đồng luân.

Chương 2. Hàm tử T or và Ext trên vành giao hoán có đơn vị.

Chương này trình bày cách xây dựng hàm tử T or và Ext như là dẫn xuất của các hàm

tử Tenxơ và hàm tử Hom. Chương này cũng trình bày và chứng minh một số kết quả

về các tính chất của T or và Ext.

Ext trên vành giao hoán có đơn vị và trên miền Dedekind, mục đích của luận văn

Chương 3. Hàm tử T or và Ext trên miền Dedekind.

Chương này trình bày một số tính chất của miền Dedekind, môđun trên miền Dedekind

và ứng dụng chúng để nghiên cứu các hàm tử T or và Ext trên miền Dedekind.

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong suốt luận văn này, môđun đều được xét trên vành cơ sở là vành R giao

hoán có đơn vị.

1.1 Hàm tử Hom

Định nghĩa 1.1.1. Cho X, Y là các R- môđun. Tập tất cả các đồng cấu từ X tới Y , ký

hiệu là Hom(X, Y ). Trên Hom(X, Y ) ta định nghĩa: ∀f, g ∈ Hom(X, Y ) : f + g :X −→Y

x (cid:55)−→(f + g)(x) = f (x) + g(x)

∀r ∈ R, ∀f ∈ Hom(X, Y ) : rf :X −→Y

Khi đó Hom(X, Y ) là một môđun trên R.

x (cid:55)−→(rf )(x) = r · f (x).

Định nghĩa 1.1.2. Cho đồng cấu α : A −→ B và X là môđun cố định. Xét các ánh xạ

cảm sinh: α∗ : Hom(X, A) −→Hom(X, B)

f (cid:55)−→α∗(f ) = αf

α∗ : Hom(B, X) −→Hom(A, X)

g (cid:55)−→α∗(g) = gα

α∗, α∗ là các đồng cấu môđun.

Định nghĩa 1.1.3. Xét môđun X thuộc phạm trù các R- môđun (ký hiệu là M od)

* Hàm tử Hom(X, −) : M od −→ M od

• Mỗi môđun A ∈ M od tương ứng với Hom(X, A).

• Mỗi R- đồng cấu α : A −→ B với đồng cấu môđun

α∗ : Hom(X, A) −→Hom(X, B)

* Phản hàm tử Hom(−, X) : M od −→ M od.

(cid:55)−→α∗(β) = αβ Hom(X, −) là hàm tử hiệp biến.

• Mỗi môđun A ∈ M od tương ứng với Hom(A, X).

• Mỗi R- đồng cấu α : A −→ B với đồng cấu môđun

α∗ : Hom(B, X) −→Hom(A, X)

Định lí dưới đây cho thấy tính khớp trái của hàm tử Hom.

(cid:55)−→α∗(β) = βα Hom(−, X) là hàm tử phản biến.

Định lí 1.1.4. Với mỗi môđun X và với bất kỳ dãy khớp ngắn

Các dãy sau đây là khớp

0 −→ A −→ B −→ C −→ 0

0 −→ Hom(X, A)

χ∗−→ Hom(X, B) σ∗ −→ Hom(B, X)

σ∗−→ Hom(X, C) χ∗ −→ Hom(A, X)

0 −→ Hom(C, X)

Định lí 1.1.5. Với mỗi môđun X và với bất kỳ dãy khớp ngắn

là chẻ thì các dãy sau đây là khớp và chẻ

0 −→ A −→ B −→ C −→ 0

0 −→ Hom(X, A)

χ∗−→ Hom(X, B) σ∗ −→ Hom(B, X)

σ∗−→ Hom(X, C) −→ 0 χ∗ −→ Hom(A, X) −→ 0

0 −→ Hom(C, X)

1.2 Hàm tử Tenxơ

Định nghĩa 1.2.1. Cho X, Y, G là các R- môđun. Ánh xạ ϕ : X × Y −→ G gọi là ánh

xạ song tuyến tính nếu thỏa:

a) ϕ là song cộng tính, tức là:

ϕ(x1 + x2, y) = ϕ(x1, y) + ϕ(x2, y)

ϕ(x, y1 + y2) = ϕ(x, y1) + ϕ(x, y2)

b) ϕ là kết hợp trong đối với phép nhân ngoài trên X và Y , tức là ϕ(xr, y) = ϕ(x, ry),

∀x, x1, x2 ∈ X và ∀y, y1, y2 ∈ Y .

∀r ∈ R, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y .

Định nghĩa 1.2.2. Ta gọi tích tenxơ trên R của các môđun A và B là một môđun T

trên R cùng với một hàm song tuyến tính f : A × B −→ T sao cho, với mọi hàm song

tuyến tính g : A × B −→ X từ A × B vào một môđun X trên R, tồn tại một đồng

cấu duy nhất h : T −→ X của môđun T vào môđun X, thỏa mãn quan hệ giao hoán

h ◦ f = g trong tam giác sau:

f A × B T

g h

Ánh xạ song tuyến tính f gọi là ánh xạ tenxơ.

Tích tenxơ của hai môđun bất kỳ luôn luôn tồn tại và duy nhất (sai khác một đẳng

cấu).

Định nghĩa 1.2.3. Cho f : X −→ X (cid:48) và g : Y −→ Y (cid:48) là các đồng cấu R- môđun.

Xét biểu đồ

ϕ X × Y X (cid:48) × Y (cid:48)

τ τ (cid:48)

h X ⊗ Y X (cid:48) ⊗ Y (cid:48)

trong đó τ, τ (cid:48) là các ánh xạ tenxơ và ánh xạ ϕ :X × Y −→X (cid:48) × Y (cid:48)

Dễ thấy τ (cid:48)ϕ là ánh xạ song tuyến tính. Theo định nghĩa của ánh xạ tenxơ τ , tồn tại và

duy nhất đồng cấu h : X ⊗ Y −→ X (cid:48) ⊗ Y (cid:48) thỏa hτ = τ (cid:48)ϕ.

Đồng cấu h được gọi là tích tenxơ của hai đồng cấu f và g , ký hiệu là h = f ⊗ g.

Với mỗi phần tử sinh x ⊗ y ∈ X ⊗ Y , ta có:

(x, y) (cid:55)−→ϕ(x, y) = (f (x), g(y))

f ⊗ g(x ⊗ y) = hτ (x, y) = τ (cid:48)ϕ(x, y) = τ (cid:48)(f (x), g(y)) = f (x) ⊗ g(y)

Nhận xét 1.2.4. τ 1

A = A ⊗ − là hàm tử hiệp biến, nghĩa là

•τ 1

A(α), ∀α, β.

A(1X ) = 1A⊗X , ∀X ∈ M od. A(β).τ 1 A(βα) = τ 1 Tương tự τ 2 B = − ⊗ B là hàm tử hiệp biến.

•τ 1

Định lí 1.2.5. Các hàm tử (A ⊗ −) và (− ⊗ A) là các hàm tử khớp về bên phải. Nghĩa

là cho A là R-môđun và dãy khớp

χ −→ Y

Khi đó dãy sau là khớp

0 −→ X −→ Z −→ 0

A ⊗ X

1A⊗χ −→ A ⊗ Y χ⊗1A−→ Y ⊗ A

1A⊗σ −→ A ⊗ Z −→ 0 σ⊗1A−→ Z ⊗ A −→ 0

X ⊗ A

Định lí 1.2.6. Các hàm tử tenxơ (A ⊗ −) và (− ⊗ A) bảo toàn tính khớp chẻ cho các

dãy khớp ngắn và chẻ.

χ −→ Y

Nghĩa là, nếu dãy khớp ngắn 0 −→ X

dãy 0 −→ A ⊗ X

1A⊗χ −→ A ⊗ Y χ⊗1A−→ Y ⊗ A

dãy 0 −→ X ⊗ A

1A⊗σ −→ A ⊗ Z −→ 0 khớp chẻ và σ⊗1A−→ Z ⊗ A −→ 0 khớp chẻ.

−→ Z −→ 0 chẻ thì

1.3 Môđun tự do

Định nghĩa 1.3.1. Cho môđun X. Tập S ⊂ X được gọi là hệ sinh của X nếu X = (cid:104)S(cid:105)

hay ∀x ∈ X thì x = r1s1 + r2s2 + · · · + rnsn với r1, r2, ..., rn ∈ R và s1, s2, ..., sn ∈ S

tức x biểu thị được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của S.

Định nghĩa 1.3.2. Tập S ⊂ X được gọi là độc lập tuyến tính nếu

n (cid:80) i=1

risi = 0 thì

r1 = r2 = ... = rn = 0 với r1, r2, ..., rn ∈ R và s1, s2, ..., sn ∈ S.

Định nghĩa 1.3.3. Một hệ sinh S của môđun X đồng thời là hệ độc lập tuyến tính

được gọi là cơ sở của môđun X.

Định nghĩa 1.3.4. Môđun X có cơ sở được gọi là môđun tự do.

Định lí 1.3.5. Mỗi môđun X đẳng cấu với môđun thương của môđun tự do nào đó.

Hệ quả 1.3.6. Mỗi môđun X nhúng được vào dãy khớp 0 −→ A −→ F −→ X −→ 0

trong đó F là môđun tự do.

1.4 Môđun xạ ảnh

Định nghĩa 1.4.1. Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu σ :

B −→ C, mỗi đồng cấu f : P −→ C, tồn tại một đồng cấu ϕ : P −→ B sao cho

f = σϕ

P ∃ϕ f

B C σ

Mệnh đề 1.4.2. Cho biểu đồ các đồng cấu R- môđun

k h

Trong đó dòng là khớp, gh = 0 và P là môđun xạ ảnh. Khi đó tồn tại đồng cấu

B A C g f

k : P −→ A thỏa f k = h.

Mệnh đề 1.4.3. Mỗi môđun tự do X đều là môđun xạ ảnh.

Pi là xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi

Mệnh đề 1.4.4. Tổng trực tiếp của họ môđun P = ⊕ i∈I

môđun thành phần Pi là xạ ảnh.

Định lí 1.4.5. Với một môđun tùy ý P trên R và tự đồng cấu đồng nhất của nó 1P :

a) P là xạ ảnh.

f −→ V

b) Mọi dãy khớp ngắn 0 −→ U

P −→ P , các phát biểu sau là tương đương:

c) P đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một môđun tự do trên R.

d) Với mọi toàn cấu g : A −→ B, g∗ = Hom(1P , g) : Hom(P, A) −→ Hom(P, B) cũng

là một toàn cấu.

−→ P −→ 0 những môđun trên R đều chẻ ra.

e) Với mọi dãy khớp ngắn 0 −→ A

−→ B −→ C −→ 0 những môđun trên R, dãy

f∗−→ Hom(P, B)

g∗−→ Hom(P, C) −→ 0

với f∗ = Hom(1P , f ) và g∗ = Hom(1P , g) cũng là một dãy khớp ngắn.

0 −→ Hom(P, A)

Mệnh đề 1.4.6. Gọi 1P : P −→ P là tự đồng cấu đồng nhất của một môđun xạ ảnh

bất kỳ P trên R. Khi đó mọi dãy khớp ngắn

những môđun trên R đều gây ra một dãy khớp ngắn

0 −→ A −→ B −→ C −→ 0

f ⊗1P−→ B ⊗ P

g⊗1P−→ C ⊗ P −→ 0

0 −→ A ⊗ P

1.5 Môđun nội xạ

Định nghĩa 1.5.1. Môđun J được gọi là môđun nội xạ khi và chỉ khi với mỗi đơn cấu

thỏa sơ đồ

χ : A −→ B, mỗi đồng cấu f : A −→ J, tồn tại đồng cấu (cid:101)f : B −→ J sao cho f = (cid:101)f χ

χ B A

(cid:101)f

Mệnh đề 1.5.2. Cho biểu đồ các đồng cấu R- môdun

g f B A C

h k

Trong đó J là nội xạ, hf = 0, và dòng là khớp. Khi đó tồn tại một đồng cấu k : C −→ J

thỏa mãn kg = h.

Định lí 1.5.3 (Tiêu chuẩn Baer).

R- môđun J là nội xạ khi và chỉ khi và bất kỳ iđêan trái I của R và bất kỳ đồng cấu

f : I −→ J luôn luôn tồn tại phần tử q ∈ J sao cho ∀λ ∈ I, ta có f (λ) = λq.

Jk là nội xạ khi và chỉ khi mỗi

Mệnh đề 1.5.4. Tích trực tiếp họ môđun J = (cid:81) k∈K

môđun thành phần Jk là nội xạ.

Mệnh đề 1.5.5. Mỗi môđun X có thể nhúng vào một môđun nội xạ J nào đó, xem

như là môđun con của J.

Hệ quả 1.5.6. Mỗi môđun X có thể nhúng vào dãy khớp ngắn

với J là môđun nội xạ.

0 −→ X −→ J −→ A −→ 0

Định lí 1.5.7. Với một môđun tùy ý J trên R và tự đồng cấu đồng nhất của nó 1J :

a) J là nội xạ.

b) Mọi dãy khớp ngắn

J −→ J, các phát biểu sau là tương đương:

những môđun trên R đều chẻ ra.

c) J đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ trên R.

d) Với mọi đơn cấu g : A −→ B, g∗ = Hom(g, 1J ) : Hom(B, J) −→ Hom(A, J) là một

toàn cấu.

0 −→ J −→ U −→ V −→ 0

−→ B −→ C −→ 0 những môđun trên R, dãy

g∗ −→ Hom(B, J)

e) Với mọi dãy khớp ngắn 0 −→ A f ∗ −→ Hom(A, J) −→ 0

với f ∗ = Hom(f, 1J ) và g∗ = Hom(g, 1J ) cũng là một dãy khớp ngắn.

0 −→ Hom(C, J)

1.6 Hàm tử đồng điều

Định nghĩa 1.6.1. Phức dưới là dãy các môđun và đồng cấu môđun dạng

∂n−1−→ · · ·

∂n+1−→ Kn

∂n−→ Kn−1

thỏa ∂n∂n+1 = 0 ⇔ Im∂n+1 ⊂ Ker∂n.

∂

(n ∈ Z) (K) · · · −→ Kn+1

−→ Kn −→ Kn−1 −→ · · ·

Định nghĩa 1.6.2. Cho phức K : · · · −→ Kn+1 với mỗi n ∈ Z : Ln (cid:54) Kn đồng thời ∂(Ln) ⊂ Ln−1.

∂

Khi đó phức L : · · · −→ Ln+1

với ∂ = ∂K |L là phức con của K.

−→ Ln −→ Ln−1 −→ · · ·

Định nghĩa 1.6.3. Cho L là phức con của K (Ln (cid:54) Kn, ∀n).

∂

Khi đó K/L : · · · −→ Kn+1/Ln+1

với ∂(k) = ∂(k) là phức thương của phức K theo phức con L.

−→ Kn/Ln −→ Kn−1/Ln−1 −→ · · ·

Định nghĩa 1.6.4. Cho các phức K và K(cid:48) như sơ đồ sau:

∂n+1 ∂n · · · (K) : · · · Kn+1 Kn−1 Kn

fn+1 fn−1 fn

n+1

n−1

Ánh xạ dây chuyền f : K −→ K(cid:48) là họ các đồng cấu môđun

∂(cid:48) n+1 ∂(cid:48) n K(cid:48) K(cid:48) · · · (K(cid:48)) : · · · K(cid:48) n

n} thỏa ∂(cid:48)

n+1fn+1 = fn∂n+1, ∀n ∈ Z hay ∂(cid:48)f = f ∂.

Khi đó ta định nghĩa f (cid:48)f = {f (cid:48)

f = {fn : Kn −→ K(cid:48)

Định nghĩa 1.6.5. Cho f : K −→ K(cid:48), f (cid:48) : K(cid:48) −→ K(cid:48)(cid:48) là các ánh xạ dây chuyền. nfn}, n ∈ Z dễ thấy f (cid:48)f là các ánh xạ dây chuyền từ

∂n−1−→ · · ·

K −→ K(cid:48)(cid:48).

Định nghĩa 1.6.6. Cho phức (K) : · · · −→ Kn+1

∂n+1−→ Kn

∂n−→ Kn−1

Ta định nghĩa

• Zn(K) = Ker∂n ⊂ Kn hay Z(K) = Ker∂.

• Bn(K) = Im∂n+1 ⊂ Zn(K) hay B(K) = Im∂ ⊂ Z(K).

• Đặt môđun thương: Hn(K) = Zn(K)/Bn(K) = Ker∂n/Im∂n+1

Hn(K) gọi là môđun đồng điều chiều n của phức K.

• x ∈ Hn(K) (x ∈ Zn(K)) gọi là lớp đồng điều n- chiều của K.

• x ∈ Zn(K) gọi là xích (chu trình) n- chiều.

• y ∈ Bn(K) gọi là biên (bờ) n- chiều.

Định nghĩa 1.6.7. Cho phức K, K(cid:48); f : K −→ K(cid:48) là ánh xạ dây chuyền

∂n+1 ∂n · · · (K) : · · · Kn+1 Kn−1 Kn

fn+1 fn−1 fn

n+1

n−1

Ta định nghĩa (f∗)n = Hn(f ) : Hn(K) −→Hn(K(cid:48))

∂(cid:48) n+1 ∂(cid:48) n K(cid:48) K(cid:48) · · · (K(cid:48)) : · · · K(cid:48) n

(cid:55)−→Hn(f )(c) = fn(c)

c Hay H(f )(c) = f (c) hay f∗(c) = f (c).

Mệnh đề 1.6.8. Cho f : K −→ K(cid:48), f (cid:48) : K(cid:48) −→ K(cid:48)(cid:48), f (cid:48)f : K −→ K(cid:48)(cid:48) ta có các hệ thức:

Hn(f (cid:48)f ) = Hn(f (cid:48)) · Hn(f )

Hn(1K) = 1Hn(K) Do vậy với mỗi n ∈ Z, Hn là một hàm tử hiệp biến ta gọi là hàm tử đồng điều.

−→ B

Định lí 1.6.9. Cho 0 −→ A

Khi đó ta có dãy khớp đồng điều:

∂

−→ C −→ 0 là dãy khớp ngắn các phức.

f∗−→ Hn(B)

g∗−→ Hn(C)

· · · −→ Hn(A) −→ Hn−1(A) −→ Hn−1(B) −→ Hn−1(C) −→

· · · −→ H1(A) −→ H1(B) −→ H1(C) −→ 0. Trong đó ∂ :Hn(C) −→ Hn−1(A)

∂(c) = f −1∂Bg−1(C)

Tương tự như trên ta có định nghĩa dãy phức tiến

Định nghĩa 1.6.10. Phức tiến là dãy các môđun và đồng cấu môđun dạng

δn+1−→ · · · (n ∈ Z)

δn−1−→ Ln

δn−→ Ln+1

thỏa δnδn−1 = 0.

(L) : · · · −→ L0 −→ L1 −→ · · · −→ Ln−1

Định nghĩa 1.6.11. Đặt môđun thương

H n(L) = Kerδn/Imδn−1 = Kerδ/Imδ

H n(L) gọi là môđun đối đồng điều chiều n của phức L

−→ B

Định lí 1.6.12. Cho 0 −→ A

đó ta có dãy khớp dài sau:

−→ C −→ 0 là dãy khớp ngắn các phức tiến. Khi

f ∗ −→ H 0(B)

f ∗ −→ H 1(B) f ∗ −→ H n(B)

−→ H 1(A)

g∗ −→ H 0(C) g∗ −→ H n−1(C)

g∗ −→ H 1(C) −→ · · · −→ g∗ −→ H n(C).

−→ H n(A)

0 −→ H 0(A) f ∗ −→ H n−1(B) H n−1(A) Trong đó δ :H n−1(C) −→ H n(A)

δ(c) = f −1δg−1(c)

1.7 Đồng luân

Định nghĩa 1.7.1. Cho f, g : K −→ K(cid:48) là hai ánh xạ dây chuyền. Ta nói f đồng luân

với g bởi s = {sn : Kn −→ K(cid:48)

n+1 đồng cấu môđun}n∈Z

Ký hiệu f (cid:39) g (hoặc s : f (cid:39) g) nếu thỏa ∂(cid:48)

n+1sn+sn−1∂n = fn−gn (hay ∂(cid:48)s+s∂ = f −g)

∂n+1 ∂n−1 ∂n Kn+1 Kn−1 Kn−2 Kn sn−1 sn−2 sn gn+1 gn−1 gn fn+1 fn−1 fn

n+1

n−1

n−2

K(cid:48) K(cid:48) K(cid:48) K(cid:48) n ∂(cid:48) n+1 ∂(cid:48) n−1 ∂(cid:48) n

Tính chất 1.7.2.

a) Quan hệ đồng luân là quan hệ tương đương

• Phản xạ: Cho f : K −→ K là ánh xạ dây chuyền thì

0 = {0 : Kn −→ Kn+1} : f (cid:39) f.

• Đối xứng: Nếu s = {sn} : f (cid:39) g thì −s = {−sn} : g (cid:39) f

• Bắc cầu: Nếu s = {sn} : f (cid:39) g và t = {tn} : g (cid:39) h thì

b) Quan hệ đồng luân bảo toàn qua phép nhân ánh xạ

Nếu f, g : K −→ K(cid:48) và f (cid:48), g(cid:48) : K(cid:48) −→ K(cid:48)(cid:48) là các ánh xạ dây chuyền và

s + t = {sn + tn} : f (cid:39) h

c) Quan hệ đồng luân bảo toàn hàm tử đồng điều

Nếu f (cid:39) g thì Hn(f ) = Hn(g).

f (cid:39) g, f (cid:48) (cid:39) g(cid:48) thì f (cid:48)f (cid:39) g(cid:48)g với f (cid:48)f, g(cid:48)g : K −→ K(cid:48)(cid:48).

Định nghĩa 1.7.3.

Cho f : K −→ K(cid:48) là ánh xạ dây chuyền. Ta nói f là tương đương đồng luân nếu tồn

tại ánh xạ dây chuyền g : K(cid:48) −→ K sao cho gf (cid:39) 1K, f g (cid:39) 1K (cid:48).

Mệnh đề 1.7.4. Nếu f : K −→ K(cid:48) tương đương đồng luân thì

H(f ) : H(K) −→ H(K(cid:48)) là đẳng cấu.

Chương 2

HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN VÀNH

GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ

2.1 Phép giải xạ ảnh

Trong phần này, chúng tôi trình bày phép giải xạ ảnh trên một môđun và các tính

chất của nó. Phép giải xạ ảnh là công cụ quan trọng để xây dựng các hàm tử Tor và

Ext như là các hàm tử dẫn xuất của các hàm tử Tenxơ và hàm tử Hom.

Định nghĩa 2.1.1. Cho X là R- môđun. Phép giải xạ ảnh C trên X là dãy khớp các

môđun có dạng:

∂0−→ X −→ 0 −→ 0 −→ · · ·

∂n+1−→ Cn

∂n−→ Cn−1 −→ · · · −→ C1

∂1−→ C0

trong đó:

C : · · · −→ Cn+1

• Cn là các môđun xạ ảnh, ∀n (cid:62) 0

• C−1 = X

Nếu tất cả các môđun Cn đều là môđun tự do ∀n (cid:62) 0 thì C được gọi là phép giải tự

do của X.

Sự tồn tại của phép giải xạ ảnh trên môđun thể hiện qua mệnh đề sau:

• Cn = 0, ∀n (cid:54) −2

Mệnh đề 2.1.2. Cho X là môđun tùy ý. Khi đó luôn tồn tại phép giải tự do trên X.

Chứng minh. Ta có X ∼= F0/A0 với F0 là môđun tự do.

Do đó tồn tại dãy khớp ngắn

g0−→ X −→ 0

f0−→ F0

Tương tự A0 có thể nhúng vào dãy khớp

0 −→ A0

f1−→ F1

g1−→ A0 −→ 0 với F1 tự do

−→ A1

0 ... Tương tự với An−1 ta có dãy khớp ngắn

fn−→ Fn

gn−→ An−1 −→ 0 với Fn tự do

g0−→ X −→ 0 −→ · · · (∗)

0 −→ An

fn−1gn−→ Fn−1 −→ · · · −→ F2

Nối lại ta có dãy fngn+1−→ Fn

f1g2−→ F1

f0g1−→ F0

Chứng minh dãy (*) khớp

Khớp tại Fn với n (cid:62) 1:

· · ·

Khớp tại F0:

Imfngn+1 = Imfn (gn+1 toàn cấu) = Kergn = Kerfn−1gn (fn−1 đơn cấu).

Khớp tại X:

Do g0 toàn cấu nên khớp tại X.

Vậy dãy (*) là phép giải tự do của X.

Mỗi đồng cấu môđun f : X −→ Y có thể "nâng" lên thành ánh xạ dây chuyền từ phép

giải xạ ảnh của X đến phép giải xạ ảnh của Y , cụ thể ta có mệnh đề sau:

Imf0g1 = Imf0 (g1 toàn cấu) = Kerg0.

Mệnh đề 2.1.3. Cho X, Y là hai môđun và h : X −→ Y là đồng cấu. Giả sử C, D lần

lượt là phép giải xạ ảnh trên X, Y . Khi đó tồn tại ánh xạ dây chuyền f : C −→ D thỏa

f−1 = h.

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ · · · 0 Cn−1 X Cn C1 C0

k fn−1 h = f−1 fn f1 f0

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ · · · 0 Dn−1 Y Dn D1 D0

Chứng minh.

• Xây dựng f0:

Do ∂ : D0 −→ Y toàn cấu nên theo định nghĩa môđun xạ ảnh C0 tồn tại f0 : C0 −→ D0

thỏa ∂f0 = h∂.

Giả sử đã xây dựng được f0, f1, ..., fn−1 thỏa định lí ta xây dựng fn.

Ta có dãy dưới khớp và fn−1∂ : Cn −→ Dn−1.

Do Cn là môđun xạ ảnh, dòng khớp tại Dn−1, đặt k = fn−1∂.

Ta có: ∂k = ∂fn−1∂ = 0.

Theo mệnh đề 1.4.2, tồn tại đồng cấu fn : Cn −→ Dn thỏa fn−1∂ = ∂fn.

Vậy định lí đã được chứng minh.

Mệnh đề dưới đây cho thấy phép "nâng" trong mệnh đề 2.1.3 là duy nhất.

• Quy nạp:

Mệnh đề 2.1.4. Cho X, Y là hai môđun, C, D lần lượt là phép giải xạ ảnh của X và

Y . Nếu f, g : C −→ D là hai ánh xạ dây chuyền thỏa f−1 = g−1 thì f đồng luân g.

Chứng minh.

Xét sơ đồ

∂n−1

∂n+1

∂1

∂0

∂n

· · ·

Cn+1

Cn−1

sn−1

sn−2

s−1

s−2

fn−1 gn−1

f−1 g−1

∂n+1

∂n−1

∂n

∂1

∂0

· · ·

Dn+1

Dn−1

Chọn s−1 = 0. Xây dựng s0 thỏa ∂s0 = f0 − g0 (0)

Áp dụng mệnh đề 1.4.2 với X = C0, h = f0 − g0, tồn tại s0 : C0 −→ D1 thỏa điều kiện

(0). Giả sử đã xây đựng được s0, s1, ..., sn−1 thỏa định lí.

Ta xây dựng sn thỏa sn−1∂n + ∂n+1sn = fn − gn (n).

Đặt h = fn − gn − sn−1∂ : Cn −→ Dn.

Ta có ∂h = ∂fn − ∂gn − ∂sn−1∂ = fn−1∂ − gn−1∂ − [fn−1 − gn−1 − sn−2∂]∂ = 0

Áp dụng mệnh đề 1.4.2 với X = Cn, tồn tại sn : Cn −→ Dn+1 thỏa

∂n+1sn = h = fn − gn − sn−1∂. Suy ra sn thỏa điều kiện (n).

Hệ quả 2.1.5. Hai phép giải xạ ảnh của cùng môđun X thì tương đương đồng luân.

Chứng minh.

Giả sử C, D là hai phép giải xạ ảnh của cùng môđun X và ta có sơ đồ sau:

∂ ∂ ∂ ∂ · · · 0 X Cn C1 C0

f−1 fn f1 f0 1X

∂ ∂ ∂ ∂ · · · 0 X Dn D1 D0

g−1 gn g1 g0 1X

Áp dụng mệnh đề 2.1.3, ta có:

Tồn tại ánh xạ dây chuyền f : C −→ D thỏa f−1 = 1X.

Tồn tại ánh xạ dây chuyền g : D −→ C thỏa g−1 = 1X.

Khi đó gf là ánh xạ dây chuyền C −→ C thỏa (gf )−1 = g−1f−1 = 1X.

Mặt khác 1C là ánh xạ dây chuyền từ C −→ C thỏa (1C)−1 = 1X = (gf )−1.

Do đó theo mệnh đề 2.1.4 ta có gf (cid:39) 1C. Tương tự f g (cid:39) 1D.

Vậy f là tương đương đồng luân.

Ta kết thúc phần này bằng bổ đề quan trọng sau:

∂ ∂ ∂ ∂ · · · 0 X Cn C1 C0

Bổ đề 2.1.6. Với một dãy khớp ngắn tùy ý cho trước

h −→ Y

tùy ý cho trước C và E của các môđun X và Z theo thứ tự, tồn tại một phép giải xạ

ảnh D của môđun Y và hai ánh xạ dây chuyền f : C −→ D, g : D −→ E sao cho

0 −→ X −→ Z −→ 0 những môđun trên R cùng với những phép giải xạ ảnh

fn−→ Dn

gn−→ En −→ 0 là một dãy khớp ngắn chẻ ra.

∀n (cid:62) 0, 0 −→ Cn

Chứng minh.

α0

∂0

∂(cid:48) 0

∂(cid:48)(cid:48) 0

C0 ⊕ E0

∂(cid:48) 1

∂(cid:48)(cid:48) 1

∂1

α1

C1 ⊕ E1

C2 ⊕ E2

Cn−2

Cn−2 ⊕ En−2

En−2

∂n−1

∂(cid:48) n−1

∂(cid:48)(cid:48) n−1

αn−1

Cn−1

Cn−1 ⊕ En−1

En−1

∂n

∂(cid:48) n

∂(cid:48)(cid:48) n

αn

Cn ⊕ En

1) Xây dựng ∂0 : C0 ⊕ E0 −→ Y

Vì E0 là xạ ảnh và g là toàn cấu nên ∃α0 : E0 −→ Y thỏa gα0 = ∂(cid:48)(cid:48)

0 . Ta định nghĩa

0(c) + α0(d). Khi đó ∂0 làm hai hình vuông giao hoán.

2) Xây dựng ∂n : Cn ⊕ En −→ Cn−1 ⊕ En−1

a) Tìm dạng ∂n để các hình vuông giao hoán ∂n(c, d) = ∂n(c, 0) + ∂n(0, d) = (∂(cid:48)

n(c); 0) + (αn(d); ∂(cid:48)(cid:48)

n(d))

n(d)).

n(c) + αn(d); ∂(cid:48)(cid:48)

∂0(c, d) = f ∂(cid:48)

b) Chọn αn để dãy giữa nửa khớp.

= (∂(cid:48) Với αn : En −→ Cn−1

• Chọn α1:

1 (d))

1(c) + α1(d)) + α0(∂(cid:48)(cid:48)

0(∂(cid:48)

1 (d)) = f ∂(cid:48)

1(c) + α1(d); ∂(cid:48)(cid:48)

∂0∂1(c, d) = ∂0(∂(cid:48)

0α1(d) + α0∂(cid:48)(cid:48) 1 (d). 0α1 = −α0∂(cid:48)(cid:48) 1 .

= f ∂(cid:48) ∂0∂1 = 0 ⇔ f ∂(cid:48)

α1

Ta có

−α0∂(cid:48)(cid:48) 1 g f ∂(cid:48) 0 Y Z C0

0 toàn ánh) = Imf = Kerg

0 = f ∂(cid:48) và g(−α0∂(cid:48)(cid:48)

0(C0) = f (X) (∂(cid:48) 0 ∂(cid:48)(cid:48)

1 = 0

1 ) = −∂(cid:48)(cid:48)

Áp dụng mệnh đề 1.4.2 suy ra tồn tại đồng cấu α1 : E1 −→ C0 thỏa

Imf ∂(cid:48)

0α1 = −α0∂(cid:48)(cid:48)

1 . Giả sử chọn α0, α1, ..., αn−1 thỏa ∂k−1∂k = 0 ∀k < n

n(c) + αn(d), ∂(cid:48)(cid:48)

n(d)) = (∂(cid:48)

n(d); 0)

n−1αn(d) + αn−1∂(cid:48)(cid:48)

Ta có: ∂n−1∂n(c, d) = ∂n−1(∂(cid:48) Với n (cid:62) 2: ta có ∂n−1∂n = 0 ⇔ ∂(cid:48)

n−1αn = −αn−1∂(cid:48)(cid:48).

Ta đã có ∂n−2∂n−1 = 0 ⇔ ∂(cid:48)

n−2αn−1 = −αn−2∂(cid:48)(cid:48).

f ∂(cid:48)

αn

Ta có ∂(cid:48)

n−2(−αn−1∂(cid:48)(cid:48)) = −(∂(cid:48)

n−2αn−1)∂(cid:48)(cid:48) = (αn−2∂(cid:48)(cid:48))∂(cid:48)(cid:48) = 0

Áp dụng mệnh đề 1.4.2 tồn tại αn : En −→ Cn−1 thỏa ∂(cid:48)

n−1αn = −αn−1∂(cid:48)(cid:48)

Vậy ta đã xây dựng được dãy α0, ..., αn.

3) Chứng minh dãy (E) khớp

Xét dãy khớp 0 −→ C −→ E −→ D −→ 0

Ta có dãy khớp Hn+1(D) −→ Hn(C) −→ Hn(E) −→ Hn(D) −→ Hn−1(C)

Mà Hn(C) = Hn(D) = 0 nên Hn(E) = 0 ⇒ (E) khớp.

∂(cid:48) n−1 −αn−1∂(cid:48)(cid:48) ∂(cid:48) n−2 Cn−1 Cn−2 Cn−3

2.2 Xây dựng hàm tử Tor

Phần này ta sẽ xây dựng hàm tử Tor như là hàm tử dẫn xuất của hàm tử Tenxơ

dựa vào phép giải xạ ảnh.

∂

Trước hết, cho X là môđun và C :−→ Cn

phép giải xạ ảnh trên X, Y là môđun bất kỳ, ta định nghĩa C ⊗ Y là phức (dãy nửa

khớp) như sau:

∂∗−→ · · ·

−→ · · · −→ X −→ 0 là −→ Cn−1 −→ C0

∂∗−→ Cn−1 ⊗ Y

∂∗−→ C0 ⊗ Y

∂∗−→ X ⊗ Y −→ 0 (∂∗ = ∂ ⊗ 1Y )

Khi đó ta có mệnh đề sau:

C ⊗ Y : Cn ⊗ Y

Mệnh đề 2.2.1. Cho X, Y là các môđun, C, D là hai phép giải xạ ảnh trên X.

Khi đó: Hn(C ⊗ Y ) ∼= Hn(D ⊗ Y ) ∀n.

Chứng minh.

Theo hệ quả 2.1.5, tồn tại f : C −→ D, g : D −→ C là các ánh xạ dây chuyền để

s (cid:39) 1C và f g

t (cid:39) 1D.

Khi đó f∗ = f ⊗ 1Y : C ⊗ Y −→ D ⊗ Y, g∗ = g ⊗ 1Y : D ⊗ Y −→ C ⊗ Y .

Suy ra g∗f∗

t∗(cid:39) 1D ⊗ 1Y = 1D⊗Y .

s∗(cid:39) 1C ⊗ 1Y = 1C⊗Y , f∗g∗

⇒ f∗ là tương đương đồng luân

Từ mệnh đề trên, ta có thể định nghĩa môđun T orn(X, Y ) (sai khác một đẳng cấu) như

⇒ Hn(f∗) : Hn(C ⊗ Y ) −→ Hn(D ⊗ Y ) là đẳng cấu. Vậy Hn(C ⊗ Y ) ∼= Hn(D ⊗ Y ) ∀n.

Định nghĩa 2.2.2. Cho X, Y là hai môđun, C là phép giải xạ ảnh của X.

Với mọi n (cid:62) 1, ta định nghĩa T orn(X, Y ) = Hn(C ⊗ Y ) là tích xoắn n- chiều của X

và Y .

Quy ước 2.2.3.

T or0(X, Y ) = X ⊗ Y

T or1(X, Y ) = T or(X, Y )

Mệnh đề 2.2.4. Nếu Y là môđun xạ ảnh thì T orn(X, Y ) = 0 ∀n (cid:62) 1, ∀X.

Chứng minh.

Giả sử C là phép giải xạ ảnh trên X.

∂

∂ −→ 0.

Vì Y là xạ ảnh nên theo mệnh đề 1.4.6 ta có C ⊗ Y là khớp.

∂∗−→ · · ·

∂∗−→ X ⊗ Y −→ 0.

−→ · · · −→ X C : Cn −→ Cn−1 −→ C1 −→ C0

∂∗−→ Cn−1 ⊗ Y

∂∗−→ C1 ⊗ Y

∂∗−→ C0 ⊗ Y

Do đó ∀X : T orn(X, Y ) = Hn(C ⊗ Y ) = 0, ∀n ≥ 1.

C ⊗ Y : Cn ⊗ Y

Mệnh đề 2.2.5. Nếu X là môđun xạ ảnh thì T orn(X, Y ) = 0 ∀n (cid:62) 1, ∀Y .

Chứng minh.

Vì X xạ ảnh nên dãy khớp

Khi đó C ⊗ Y : · · · 0 −→ X ⊗ Y

1X−→ X −→ 0 −→ là một phép giải xạ ảnh của X. 1X ⊗1Y−→ X ⊗ Y −→ 0 cũng khớp.

Do đó Hn(C ⊗ Y ) = 0 ∀n, ∀Y . Bởi vậy: T orn(X, Y ) = 0 ∀n (cid:62) 1.

C : 0 −→ 0 −→ 0 −→ X

Định nghĩa 2.2.6. Cho h : X −→ X (cid:48), g : Y −→ Y (cid:48) là hai đồng cấu môđun. C, C(cid:48) lần

lượt là phép giải xạ ảnh trên X và X (cid:48). Theo mệnh đề 2.1.3, tồn tại ánh xạ dây chuyền

0 X f : C −→ C(cid:48) thỏa f−1 = h. · · · Cn C : C1 C0

f−1 = h fn f1 f0

Ta có f ⊗ g = {fn ⊗ g : Cn ⊗ Y −→ C(cid:48)

n ⊗ Y (cid:48)} : C ⊗ Y −→ C(cid:48) ⊗ Y (cid:48) là ánh xạ dây

· · ·

chuyền. C ⊗ Y :

X ⊗ Y

Cn ⊗ Y

C1 ⊗ Y

C0 ⊗ Y

f−1 ⊗ g

fn ⊗ g

f1 ⊗ g

f0 ⊗ g

· · ·

C(cid:48)

C(cid:48) ⊗ Y (cid:48) :

X (cid:48) ⊗ Y (cid:48)

n ⊗ Y (cid:48)

1 ⊗ Y (cid:48) C(cid:48)

0 ⊗ Y (cid:48) C(cid:48)

Ánh xạ dây chuyền f ⊗ g cảm sinh ánh xạ đồng điều.

· · · 0 C(cid:48) : X (cid:48) C(cid:48) n C(cid:48) 1 C(cid:48) 0

Hn(f ⊗ g) : Hn(C ⊗ Y ) −→ Hn(C(cid:48) ⊗ Y (cid:48)) (n (cid:62) 1) Ta định nghĩa: T orn(h, g) = Hn(f ⊗ g) : T orn(X, Y ) −→ T orn(X (cid:48), Y (cid:48))

T or0(h, g) = h ⊗ g

Mệnh đề 2.2.7. Cho các đồng cấu môđun h : X −→ X (cid:48), h(cid:48) : X (cid:48) −→ X (cid:48)(cid:48),

i) T orn(h(cid:48)h, g(cid:48)g) = T orn(h(cid:48), g(cid:48)).T orn(h, g)

ii) T orn(1X , 1Y ) = 1T or(X,Y ).

g : Y −→ Y (cid:48), g(cid:48) : Y (cid:48) −→ Y (cid:48)(cid:48). Ta có

Chứng minh. Suy ra từ định nghĩa.

2.3 Hai dãy khớp đối với hàm tử Tor

Để trình bày hai dãy khớp đối với hàm tử Tor, trước hết ta cần định nghĩa sau:

Định nghĩa 2.3.1. Cho X là môđun và C là phép giải xạ ảnh của X.

∂

Khi đó, phép giải xạ ảnh thu gọn của X là dãy nửa khớp

∂

−→ · · · −→ X −→ 0−→ · · · C :−→ Cn −→ Cn−1 −→ C1 −→ C0

Ý nghĩa quan trọng của phép giải xạ ảnh thu gọn được cho trong mệnh đề sau:

−→ · · · C :−→ Cn −→ Cn−1 −→ C1 −→ C0 −→ 0 −→ · · ·

Mệnh đề 2.3.2. Cho X, Y là các môđun, C là phép giải xạ ảnh thu gọn trên X. Khi

đó ta có: Hn(C ⊗ Y ) = T orn(X, Y ) ∀n (cid:62) 0.

Chứng minh.

C :−→ Cn −→ Cn−1 −→ · · · −→ C1 −→ C0 −→ X −→ 0 −→ · · ·

C ⊗ Y :−→ Cn ⊗ Y −→ Cn−1 ⊗ Y −→ · · · −→ C1 ⊗ Y −→ C0 ⊗ Y −→ X ⊗ Y −→

∂

0 −→ · · ·

C :−→ Cn −→ Cn−1 −→ C1

∂∗−→ C0 ⊗ Y −→ 0 −→ · · ·

−→ · · · ∂∗−→ Cn−1 ⊗ Y −→ C0 −→ 0 −→ · · · ∂∗−→ C1 ⊗ Y ∂∗−→ · · ·

C ⊗ Y :−→ Cn ⊗ Y Với n (cid:62) 1, ta có: Hn(C ⊗ Y ) = Ker(∂n)∗/Im(∂n+1)∗ = Hn(C ⊗ Y )

Với n = 0, ta có: H0(C ⊗ Y ) = C0 ⊗ Y /Im(∂1)∗

= T orn(X, Y ).

(∂0)∗−→ X ⊗ Y −→ 0 khớp.

Do C1

∂1−→ C0

∂0−→ X −→ 0 khớp nên C1 ⊗ Y

(∂1)∗−→ C0 ⊗ Y

Suy ra: Im(∂1)∗ = Ker(∂0)∗.

Do đó: H0(C ⊗ Y ) = C0 ⊗ Y /Ker(∂0)∗

∼= Im(∂0)∗( định lí Noether, (∂0)∗ toàn cấu)

Vậy Hn(C ⊗ Y ) = T orn(X, Y ) ∀n (cid:62) 0.

f −→ Y

= X ⊗ Y = T or0(X, Y )

Định lí 2.3.3. Cho 0 −→ X

môđun bất kỳ. Khi đó ta có dãy khớp:

∂

g∗−→

−→ Z −→ 0 là dãy khớp ngắn các môđun. M là

f∗−→ T orn(M, Y )

f∗−→ T orn−1(M, Y )

g∗−→ T orn(M, Z) f∗−→ M ⊗ Y

T orn(M, X)

Trong đó f∗ = T orn(1M , f ), g∗ = T orn(1M , g).

−→ T orn−1(M, X) g∗−→ M ⊗ Z −→ 0 T orn−1(M, Z) −→ · · · −→ M ⊗ X

Chứng minh.

Xét phép giải xạ ảnh thu gọn của M:

Vì Cn xạ ảnh ∀n nên theo mệnh đề 1.4.6 ta có dãy khớp:

C : Cn −→ Cn−1 −→ · · · −→ C0 −→ 0 −→ · · ·

Do đó ta có dãy khớp ngắn các phức:

0 −→ Cn ⊗ X −→ Cn ⊗ Y −→ Cn ⊗ Z −→ 0.

Áp dụng định lí 1.6.9, lấy dãy khớp đồng điều của dãy khớp ngắn này ta có dãy khớp:

∂

0 −→ C ⊗ X −→ C ⊗ Y −→ C ⊗ Z −→ 0

Hn(C ⊗ X) −→ Hn(C ⊗ Y ) −→ Hn(C ⊗ Z) −→ Hn−1(C ⊗ X) −→ Hn−1(C ⊗ Y ) −→

∂

Hay T orn(M, X) −→ T orn(M, Y ) −→ T orn(M, Z)

· · · −→ H1(C ⊗ Z) −→ H0(C ⊗ X) −→ H0(C ⊗ Y ) −→ H0(C ⊗ Z) −→ 0 −→ · · ·

−→ T orn−1(M, X) −→ T orn−1(M, Y )

−→ T orn−1(M, Z) −→ · · · −→ T or1(M, Z) −→ M ⊗ X −→ M ⊗ Y −→ M ⊗ Z −→ 0

−→ Y

Định lí 2.3.4. Cho dãy khớp các môđun 0 −→ X

∂

g∗−→

bất kỳ. Khi đó ta có dãy khớp: f∗−→ T orn(Y, M )

−→ Z −→ 0. M là môđun

f∗−→ T orn−1(Y, M )

g∗−→ T orn(Z, M ) f∗−→ Y ⊗ M

T orn(X, M )

trong đó f∗ = T orn(f, 1M ), g∗ = T orn(g, 1M )

−→ T orn−1(X, M ) g∗−→ Z ⊗ M −→ 0 T orn−1(Z, M ) −→ · · · −→ X ⊗ M

Chứng minh.

Áp dụng bổ đề 2.1.6, tồn tại các phép giải xạ ảnh C, D, E của X, Y, Z và các ánh xạ

dây chuyền f : C −→ D, g : D −→ E sao cho với mọi n (cid:62) 0 ta có

Do đó, theo định lí 1.2.6 ta có dãy khớp:

0 −→ Cn −→ Dn −→ En −→ 0 là dãy khớp ngắn chẻ ra.

Do đó, nếu C, D, E là các phép giải xạ ảnh thu gọn tương ứng của C, D, E thì ta có

dãy khớp ngắn các phức:

0 −→ Cn ⊗ M −→ Dn ⊗ M −→ En ⊗ M −→ 0

Áp dụng định lí 1.6.9, lấy dãy khớp đồng điều của dãy khớp ngắn này ta có dãy khớp:

0 −→ C ⊗ M −→ D ⊗ M −→ E ⊗ M −→ 0

Hn(C ⊗ M ) −→ Hn(D ⊗ M ) −→ Hn(E ⊗ M ) −→ Hn−1(C ⊗ M ) −→ · · · −→

Do đó, ta có dãy khớp:

H1(E ⊗ M ) −→ H0(C ⊗ M ) −→ H0(D ⊗ M ) −→ H0(E ⊗ M ) −→ 0.

T orn(X, M ) −→ T orn(Y, M ) −→ T orn(Z, M ) −→ T orn−1(X, M ) −→ T orn−1(Y, M ) −→

T orn−1(Z, M ) −→ · · · −→ X ⊗ M −→ Y ⊗ M −→ Z ⊗ M −→ 0.

2.4 Ứng dụng của dãy khớp đối với Tor

Phần này giới thiệu một số ứng dụng của dãy khớp đối với hàm tử Tor.

Mệnh đề 2.4.1.

Nếu X, Y là các môđun trên vành chính thì T orn(X, Y ) = 0 ∀X, Y ; ∀n (cid:62) 2.

f −→ P

Ngoài ra, nếu nhúng X vào dãy khớp ngắn 0 −→ A

thì T or(X, Y ) ∼= Kerf∗ (f∗ = f ⊗ 1Y ).

−→ X −→ 0 với P xạ ảnh

Chứng minh.

Theo định lí 2.3.4, ta có dãy khớp:

∂

T orn(A, Y ) −→ T orn(P, Y ) −→ T orn(X, Y ) −→ T orn−1(A, Y ) −→ T orn−1(P, Y ) −→

f∗−→ P ⊗ Y

g∗−→ X ⊗ Y −→ 0.

Trên vành chính, vì P xạ ảnh nên P là môđun tự do. Mặt khác, trên vành chính, mỗi

−→ A ⊗ Y T orn−1(X, Y ) −→ · · · −→ T or1(X, Y )

môđun con của môđun tự do là môđun tự do. Vậy A là môđun tự do.

Theo mệnh đề 1.4.3, ta có A là môđun xạ ảnh.

Theo mệnh đề 2.2.4, ta có T orn(P, Y ) = T orn−1(A, Y ) = 0 ∀n (cid:62) 2. Suy ra T orn(X, Y ) = 0, ∀n (cid:62) 2.

Vì T or1(A, Y ) = T or1(P, Y ) = 0 (mệnh đề 2.2.4) nên T or1(X, Y ) = 0 ⇒ ∂ đơn cấu ⇒ T or1(X, Y ) ∼= Im∂ = Kerf∗ = Ker(f ⊗ 1Y ).

Mệnh đề 2.4.2. Với những môđun tùy ý cho trước X, Y trên R và mọi dãy khớp ngắn

f −→ P

a) T orn(X, Y ) ∼= T orn−1(A, Y ) ∀n (cid:62) 2. b) T or(X, Y ) ∼= Kerf∗ (f∗ = f ⊗ 1Y ).

0 −→ A −→ X −→ 0 trong đó P là một môđun xạ ảnh trên R, ta có:

Chứng minh.

a) Theo định lí 2.3.4 ta có dãy khớp:

Vì P là môđun xạ ảnh nên theo mệnh đề 2.2.4 ta có:

T orn(P, Y ) −→ T orn(X, Y ) −→ T orn−1(A, Y ) −→ T orn−1(P, Y ) −→ ...

∂

b) Theo định lí 2.3.4 ta có dãy khớp: g∗−→ T or(X, Y )

T orn(P, Y ) = T orn−1(P, Y ) = 0 Suy ra: T orn(X, Y ) ∼= T orn−1(A, Y ), ∀n (cid:62) 2.

f∗−→ P ⊗ Y

g∗−→ X ⊗ Y −→ 0

Vì P là môđun xạ ảnh nên theo mệnh đề 2.2.4 ta có T or(P, Y ) = 0

−→ A ⊗ Y T or(P, Y )

⇒ Img∗ = 0 ⇒ Ker∂ = 0 ⇒ ∂ đơn cấu ⇒ T or(X, Y ) ∼= Im∂ = Kerf∗.

Mệnh đề 2.4.3. Với những dãy khớp ngắn tùy ý:

0 −→ A −→ P −→ X −→ 0

những môđun trên R, trong đó P và Q là những môđun xạ ảnh, ta có:

a) T orn(X, Y ) ∼= T orn−2(A, B) ∀n > 2. b) T or2(X, Y ) ∼= Ker(α ⊗ β).

0 −→ B −→ Q −→ Y −→ 0

Chứng minh.

a) Với n > 2, áp dụng mệnh đề 2.4.2 a, ta có:

Vì Q xạ ảnh nên theo mệnh đề 1.4.6 ta có dãy sau khớp: α⊗1Q−→ P ⊗ Q −→ X ⊗ Q −→ 0

(2) T orn(X, Y ) ∼= T orn−1(A, Y ) ∼= T orn−2(A, B). b) Với n = 2, áp dụng mệnh đề 2.4.2 a, ta có: T or2(X, Y ) ∼= T or(A, Y ) (1) Áp dụng mệnh đề 2.4.2 b, ta có: T or(A, Y ) ∼= Ker(1A ⊗ β)

Suy ra α ⊗ 1Q là đơn cấu. Mặt khác α ⊗ β = (α ⊗ 1Q)(1A ⊗ β).

0 −→ A ⊗ Q

Do đó: Ker(α ⊗ β) = Ker(α ⊗ 1Q)(1A ⊗ β) = Ker(1A ⊗ β) Từ (1), (2), (3), ta có: T or2(X, Y ) ∼= Ker(α ⊗ β).

(3)

Mệnh đề 2.4.4. Cho X là môđun bất kỳ trên R. Khi đó, các phát biểu sau là tương

đương:

a) T or(X, Y ) = 0 với mọi môđun Y trên R.

b) T orn(X, Y ) = 0 ∀n (cid:62) 1, ∀ môđun Y trên R.

c) Nếu f : A −→ B là một đơn cấu những môđun trên R thì

d) Với mọi môđun Y trên R và mọi dãy khớp ngắn

1X ⊗ f : X ⊗ A −→ X ⊗ B cũng đơn cấu.

dãy sau bao giờ cũng khớp:

0 −→ U −→ V −→ X −→ 0

0 −→ U ⊗ Y −→ V ⊗ Y −→ X ⊗ Y −→ 0

Chứng minh.

a) ⇒ b)

Chứng minh quy nạp T orn(X, Y ) = 0 ∀n (cid:62) 1.

• Với n = 1, ta có T or(X, Y ) = 0 (giả thiết).

• Giả sử kết luận đúng với n − 1 nghĩa là T orn−1(X, Y ) = 0, ∀Y .

• Khi đó ta chứng minh: T orn(X, Y ) = 0, ∀Y .

• Thật vậy, nhúng Y vào dãy khớp:

Áp dụng định lí 2.3.3, ta có dãy khớp:

0 −→ A −→ F −→ Y −→ 0 trong đó F là tự do

Ta có: T orn(X, F ) = 0 vì F tự do (Mệnh đề 2.2.4)

T orn(X, F ) −→ T orn(X, Y ) −→ T orn−1(X, A) −→ T orn−1(X, F ).

Do đó T orn(X, Y ) = 0 ∀Y

b) ⇒ c)

Nếu f : A −→ B đơn cấu thì ta có dãy khớp các môđun:

T orn−1(X, A) = 0 do giả thiết quy nạp.

Khi đó áp dụng định lí 2.3.3 ta có dãy khớp:

∂

0 −→ A −→ B −→ C −→ 0 với C = B/A.

Theo giả thiết b): T or1(X, C) = 0 do đó ta có dãy khớp:

−→ X ⊗ A −→ X ⊗ B −→ X ⊗ C −→ 0. −→ T or1(X, B) −→ T or1(X, C)

f∗−→ X ⊗ B −→ X ⊗ C −→ 0

Vậy f∗ = 1X ⊗ f là đơn cấu.

c) ⇒ a)

f −→ F

Nhúng Y vào dãy khớp ngắn 0 −→ A

0 −→ X ⊗ A

Khi đó áp dụng định lí 2.3.3 ta có dãy khớp:

∂

−→ Y −→ 0 trong đó F là tự do.

f∗−→ X ⊗ F −→ X ⊗ Y −→ 0.

g∗−→ T or1(X, Y )

Vì F tự do nên T or1(X, F ) = 0 (mệnh đề 2.2.4). Do đó 0 = Img∗ = Ker∂ nên ∂ là đơn cấu. Do đó T or1(X, Y ) ∼= Im∂ (1). Mặt khác f : A −→ F đơn cấu nên f∗ là đơn

cấu. Do đó 0 = Kerf∗ = Im∂ (2).

Từ (1), (2) suy ra T or(X, Y ) = 0.

a) ⇒ d)

Vì 0 −→ U −→ V −→ X −→ 0 khớp nên theo định lí 2.3.4 ta có dãy khớp:

−→ X ⊗ A T or1(X, F )

−→ T or1(X, Y ) −→ U ⊗ Y −→ V ⊗ Y −→ X ⊗ Y −→ 0

Theo giả thiết a), ta có T or1(X, Y ) = 0 do đó ta có dãy khớp:

d) ⇒ a)

f −→ F

Nhúng X vào dãy khớp ngắn: 0 −→ A

0 −→ U ⊗ Y −→ V ⊗ Y −→ X ⊗ Y −→ 0

∂

−→ X −→ 0 với F tự do.

f∗−→ F ⊗ Y −→ X ⊗ Y −→ 0.

Khi đó theo định lí 2.3.4 ta có dãy khớp: g∗−→ T or1(X, Y )

−→ A ⊗ Y T or1(F, Y )

Vì F tự do nên theo mệnh đề 2.2.4 ta có T or1(F, Y ) = 0 nên Ker∂ = Img∗ = 0 do đó ∂ là đơn cấu, suy ra T or1(X, Y ) ∼= Im∂

Mặt khác, theo giả thiết d) ta có dãy khớp:

(1).

f∗−→ F ⊗ Y

g∗−→ X ⊗ Y −→ 0 do đó f∗ là đơn cấu.

0 −→ A ⊗ Y

Khi đó Im∂ = Kerf∗ = 0

Từ (1) và (2) ta có: T or1(X, Y ) = 0.

(2).

2.5 Xây dựng hàm tử Ext

∂

Cho X là môđun và C :−→ Cn

trên X, Y là môđun bất kỳ, ta định nghĩa Hom(C, Y ) là dãy phức (nửa khớp) tiến như

−→ · · · −→ X −→ 0 là phép giải xạ ảnh −→ C0

với δ = Hom(∂, 1Y ).

Khi đó ta có mệnh đề sau:

Hom(C, Y ) : 0 −→ Hom(X, Y ) −→ Hom(C0, Y ) −→ Hom(C1, Y ) −→ · · ·

Mệnh đề 2.5.1. Cho X, Y là các môđun; C, D là hai phép giải xạ ảnh trên X. Khi đó

H n(Hom(C, Y )) = H n(Hom(D, Y )), ∀n.

Chứng minh.

Theo hệ quả 2.1.5 ta có C, D tương đương đồng luân, tức là ∃f : C −→ D thỏa

Ta có gf : C −→ C thỏa (gf )−1 = g−1f−1 = 1X và 1C : C −→ C thỏa (1C)−1 = 1X.

f−1 = 1X và ∃g : D −→ C thỏa g−1 = 1X.

Suy ra gf = 1C, tương tự f g = 1D. Khi đó f ∗ = Hom(f, 1Y ) = {Hom(fn, 1Y ) : Hom(Dn, Y ) −→ Hom(Cn, Y )}

f ∗ : Hom(D, Y ) −→ Hom(C, Y )

g∗ = Hom(g, 1Y ) = {Hom(gn, 1Y ) : Hom(Cn, Y ) −→ Hom(Dn, Y )}

Suy ra f ∗g∗ = (gf )∗ = (1C)∗ = 1Hom(C,Y ), g∗f ∗ = (f g)∗ = (1D)∗ = 1Hom(D,Y ) ⇒ f ∗ là tương đương đồng luân.

g∗ : Hom(C, Y ) −→ Hom(D, Y )

Vậy H n(Hom(C, Y )) = H n(Hom(D, Y )), ∀n

Từ mệnh đề trên, ta có thể định nghĩa Extn(X, Y ) (sai khác một đẳng cấu) như sau:

⇒ H n(f ∗) : H n(Hom(D, Y )) −→ H n(Hom(C, Y )) là đẳng cấu

Định nghĩa 2.5.2. Cho X, Y là hai môđun, C là phép giải xạ ảnh của X. Với mọi

n (cid:62) 1, ta định nghĩa Extn(X, Y ) = H n(Hom(C, Y )).

Quy ước 2.5.3.

Ext0(X, Y ) = Hom(X, Y )

Ext1(X, Y ) = Ext(X, Y )

Mệnh đề 2.5.4. Nếu X xạ ảnh thì Extn(X, Y ) = 0 ∀n (cid:62) 1, ∀Y .

Chứng minh.

Vì X xạ ảnh nên ta có phép giải xạ ảnh của X

1X−→ X −→ 0

Theo định lí 1.1.4, ta có Hom(C, Y ) khớp

C : 0 −→ 0 −→ X

⇒ H n(Hom(C, Y )) = 0 ∀n (cid:62) 1, ∀Y

⇒ Extn(X, Y ) = 0 ∀n (cid:62) 1, ∀Y .

Mệnh đề 2.5.5. Nếu Y nội xạ thì Extn(X, Y ) = 0 ∀n (cid:62) 1, ∀X.

Chứng minh.

Giả sử C : Cn −→ · · · −→ C1 −→ C0 −→ X −→ 0 là phép giải xạ ảnh bất kỳ của X.

Do Y nội xạ nên theo định lí 1.5.7, ta có Hom(C, Y ) khớp

⇒ H n(Hom(C, Y )) = 0 ∀n (cid:62) 1

⇒ Extn(X, Y ) = 0 ∀n (cid:62) 1, ∀X.

Định nghĩa 2.5.6.

Cho h : X (cid:48) −→ X, g : Y −→ Y (cid:48) là các đồng cấu môđun. Gọi C(cid:48), C lần lượt là phép

giải xạ ảnh của X (cid:48), X. Theo mệnh đề 2.1.3 tồn tại f : C(cid:48) −→ C là ánh xạ dây chuyền

thỏa f−1 = h.

Khi đó Hom(f, g) = {Hom(fn, g) : Hom(Cn, Y ) −→ Hom(C(cid:48)

n, Y (cid:48))} là ánh xạ dây

chuyền từ Hom(C, Y ) vào Hom(C(cid:48), Y (cid:48)) cảm sinh ánh xạ đối đồng điều chiều n:

Ta định nghĩa:

H n(Hom(f, g)) : H n(Hom(C, Y )) −→ H n(Hom(C(cid:48), Y (cid:48))).

Extn(h, g) = H n(Hom(f, g)) : Extn(X, Y ) −→ Extn(X (cid:48), Y (cid:48)).

Ext0(h, g) = Hom(h, g).

Mệnh đề 2.5.7. Cho các đồng cấu môđun h : X (cid:48) −→ X, h(cid:48) : X (cid:48)(cid:48) −→ X (cid:48),

i) Extn(hh(cid:48), g(cid:48)g) = Extn(h(cid:48), g(cid:48)).Extn(h, g)

ii) Extn (1X , 1Y ) = 1Extn(X,Y ).

g : Y −→ Y (cid:48), g(cid:48) : Y (cid:48) −→ Y (cid:48)(cid:48). Ta có:

Chứng minh. Sử dụng định nghĩa.

2.6 Hai dãy khớp dài đối với Ext

Mệnh đề 2.6.1. Cho X, Y là hai môđun, C là phép giải xạ ảnh thu gọn trên X. Khi

đó, ta có: H n(Hom(C, Y )) = Extn(X, Y ) ∀n (cid:62) 0.

Chứng minh.

∂0−→ X −→ 0.

∂n−→ Cn−1

∂n−1−→ · · · −→ C1

∂1−→ C0

C : −→ Cn

Hom(C, Y ) : 0 −→ Hom(X, Y ) −→ Hom(C0, Y ) −→ · · · −→ Hom(Cn−1, Y ) −→

Hom(Cn, Y ) −→ · · · .

∂n−→ Cn−1

∂1−→ C0 −→ 0.

∂∗ n−→

∂n−1−→ · · · −→ C1 ∂∗ 1−→ Hom(C1, Y ) −→ · · · −→ Hom(Cn−1, Y )

C : −→ Cn

∂∗ n+1−→ · · ·

Hom(C, Y ) : 0 −→ Hom(C0, Y )

n = H n( Hom(C, Y )) = Extn(X, Y ).

Với n = 0, ta có : H 0( Hom(C, Y )) = Ker∂∗

n+1/Im∂∗ 1/0 = Ker∂∗ 1

∂∗ 1−→

Hom(Cn, Y ) Với n (cid:62) 1, ta có : H n( Hom(C, Y )) = Ker∂∗

Do C1

∂1−→ C0

∂∗ 0−→ Hom (C0, Y )

(1). ∂0−→ X −→ 0 khớp nên 0 −→ Hom (X, Y )

Hom (C1, Y ) khớp.

Suy ra Im ∂∗

(2).

0 = Ker ∂∗ 1 0 đơn cấu nên Hom(X, Y ) ∼= Im ∂∗

Mặt khác ∂∗ Từ (1), (2), (3) ta có: H 0 (cid:0)Hom (C, Y )(cid:1) = Hom (X, Y ) = Ext0(X, Y ).

f −→ Y

(3).

Định lí 2.6.2. Cho 0 −→ X

một môđun bất kỳ. Khi đó ta có dãy khớp:

−→ Z −→ 0 là dãy khớp ngắn các môđun, M là

g∗−→ Hom (M, Z) g∗−→ Extn(M, Z)

0 −→ Hom (M, X) −→ Ext1(M, X) −→ Ext1(M, Y ) −→

f∗−→ Hom (M, Y ) f∗−→ Extn(M, Y )

−→ Extn+1(M, X) −→ · · · . · · · −→ Extn(M, X)

Chứng minh.

Xét phép giải xạ ảnh thu gọn của M:

C : Cn −→ Cn−1 −→ · · · −→ C0 −→ 0. Vì Cn xạ ảnh ∀n (cid:62) 0 nên theo định lý 1.4.5 ta có dãy khớp ngắn:

Do đó ta có dãy khớp ngắn các phức tiến:

0 −→ Hom (Cn, X) −→ Hom (Cn, Y ) −→ Hom (Cn, Z) −→ 0.

Áp dụng định lý 1.6.12, lấy dãy khớp đối đồng điều của dãy khớp ngắn trên ta có dãy

0 −→ Hom (C, X) −→ Hom (C, Y ) −→ Hom (C, Z) −→ 0.

khớp: 0 −→ H 0 (cid:0)Hom (C, X)(cid:1) −→ H 0 (cid:0)Hom (C, Y )(cid:1) −→ H 0 (cid:0)Hom (C, Z)(cid:1) δ H 1 (cid:0)Hom (C, Y )(cid:1) −→ H 1 (cid:0)Hom (C, Z)(cid:1) δ

−→ H 1 (cid:0)Hom (C, X)(cid:1) −→

Hay

−→ · · · −→ H n (cid:0)Hom (C, X)(cid:1) −→ · · · .

0 −→ Hom (M, X) −→ Hom (M, Y ) −→ Hom (M, Z) −→ Ext1(M, X) −→ Ext1(M, Y ) −→

· · · −→ Extn(M, X) −→ Extn(M, Y ) −→ Extn(M, Z) −→ Extn+1(M, X) −→ · · ·

Định lí 2.6.3.

f −→ Y

Cho 0 −→ X

Khi đó ta có dãy khớp:

−→ Z −→ 0 là dãy khớp ngắn các môđun, M là môđun bất kỳ.

g∗ −→ Hom(Y, M )

f ∗ −→ Hom(X, M )

g∗ −→ Ext1(Y, M )

f ∗ −→

0 −→ Hom(Z, M ) −→ Ext1(Z, M )

δ −→

Ext1(X, M ) −→ Ext2(Z, M ) −→ · · · −→ Extn(Z, M ) −→ Extn(Y, M ) −→ Extn(X, M )

Extn+1(Z, M ) −→ · · ·

Chứng minh.

Áp dụng bổ đề 2.1.6 tồn tại các phép giải xạ ảnh C, D, E của X, Y, Z và các phép biến

đổi dây chuyền f : C −→ D, g : D −→ E sao cho ∀n (cid:62) 0 ta có

Do đó theo định lí 1.1.5 ta có dãy khớp:

0 −→ Cn −→ Dn −→ En −→ 0 là dãy khớp ngắn chẻ ra.

Do đó nếu C, D, E lần lượt là phép giải xạ ảnh thu gọn tương ứng của C, D, E ta có

dãy khớp ngắn các phức:

0 −→ Hom(En, M ) −→ Hom(Dn, M ) −→ Hom(Cn, M ) −→ 0

Áp dụng định lí 1.6.12, lấy dãy khớp đối đồng điều của dãy khớp ngắn trên ta có dãy

khớp:

0 −→ Hom(E, M ) −→ Hom(D, M ) −→ Hom(C, M ) −→ 0

0 −→ H 0(Hom(E, M )) −→ H 0(Hom(D, M )) −→ H 0(Hom(C, M )) −→ H 1(Hom(E, M )) −→

Hay ta có:

· · · −→ H n(Hom(E, M )) −→ H n(Hom(D, M )) −→ · · ·

0 −→ Hom(Z, M ) −→ Hom(Y, M ) −→ Hom(X, M ) −→ Ext(Z, M ) −→ Ext(Y, M ) −→

Ext(X, M ) −→ · · · −→ Extn(Z, M ) −→ Extn(Y, M ) −→ Extn(X, M ) −→ · · ·

2.7 Ứng dụng của dãy khớp đối với hàm tử Ext

Mệnh đề 2.7.1.

Nếu X, Y là môđun trên vành chính thì Extn(X, Y ) = 0 với mọi số tự nhiên n (cid:62) 2.

Ngoài ra, nếu nhúng X vào dãy khớp ngắn 0 −→ A

thì Ext(X, Y ) ∼= Cokerf ∗ với f ∗ = Hom(f, 1Y ).

−→ F −→ X −→ 0 với F tự do

Chứng minh.

Theo định lí 2.6.3 ta có dãy khớp:

g∗ −→ Hom(F, Y )

f ∗ −→ Hom(A, Y )

g∗ −→ Ext(F, Y )

f ∗ −→

0 −→ Hom(X, Y ) −→ Ext(X, Y )

g∗ −→ Extn(F, Y )

f ∗ −→ Extn(A, Y ) −→

Ext(A, Y ) −→ · · · −→ Extn−1(A, Y ) −→ Extn(X, Y )

Vì môđun con của môđun tự do trên vành chính là môđun tự do nên ta có A, F là các

môđun tự do do đó theo mệnh đề 2.5.4 ta có:

· · ·

Mặt khác vì Ext(F, Y ) = 0 nên Imδ = Kerg∗ = Ext(X, Y ). Do đó: Cokerf ∗ = Hom(A, Y )/Imf ∗ = Hom(A, Y )/Kerδ

Extn−1(A, Y ) = 0, Extn(F, Y ) = 0 ∀n (cid:62) 2. Suy ra Extn(X, Y ) = 0 ∀n (cid:62) 2.

∼= Imδ = Ext(X, Y ).

Mệnh đề 2.7.2. Cho X, Y là những môđun và dãy khớp ngắn

f −→ P

a) Extn(X, Y ) ∼= Extn−1(A, Y ), ∀n (cid:62) 2 b) Ext(X, Y ) ∼= Cokerf ∗ (f ∗ = Hom(f, 1Y ) : Hom(P, Y ) −→ Hom(A, Y ))

0 −→ A −→ X −→ 0 trong đó P là môđun xạ ảnh, khi đó ta có:

Chứng minh.

Theo định lí 2.6.3, ta có dãy khớp:

g∗ −→ Hom(P, Y )

g∗ −→ Ext(P, Y )

f ∗ −→

f ∗ −→ Extn−1(A, Y )

δ −→

f ∗ −→ Hom(A, Y ) g∗ −→ Extn−1(P, Y )

0 −→ Hom(X, Y ) −→ Ext(X, Y )

Ext(A, Y ) −→ · · · −→ Extn−1(X, Y )

g∗ −→ Extn(P, Y )

f ∗ −→ Extn(A, Y )

Vì P xạ ảnh nên Extn−1(P, Y ) = 0, Extn(P, Y ) = 0 (theo mệnh đề 2.5.4).

Do đó δ : Extn−1(A, Y ) −→ Extn(X, Y ) là đẳng cấu.

Vậy Extn(X, Y ) ∼= Extn−1(A, Y ), ∀n (cid:62) 2.

Ta có Ext(P, Y ) = 0 nên Imδ = Kerg∗ = Ext(X, Y ).

Extn(X, Y ) −→ · · ·

Cokerf ∗ = Hom(A, Y )/Imf ∗ = Hom(A, Y )/Kerδ ∼= Imδ = Ext(X, Y ).

Mệnh đề 2.7.3. Cho X, Y là hai môđun và dãy khớp ngắn

f −→ J

trong đó J là môđun nội xạ. Khi đó ta có:

0 −→ Y −→ B−→0

Extn(X, Y ) ∼= Extn−1(X, B), ∀n ≥ 2 Ext(X, Y ) ∼= Coker [Hom (1X , g)] = Cokerg∗.

Chứng minh.

Theo định lí 2.6.2 ta có dãy khớp:

Theo mệnh đề 2.5.5 ta có: Extn−1(X, J) = 0, Extn(X, J) = 0.

Do đó δ : Extn−1(X, B)−→Extn(X, Y ) là đẳng cấu.

Vậy Extn(X, Y ) ∼= Extn−1(X, B), ∀n ≥ 2.

g∗−→ Hom(X, B)

−→ Extn−1(X, J)−→Extn−1(X, B) −→ Extn(X, Y )−→Extn(X, J)−→...

Theo định lí 2.6.2 ta có dãy khớp: f∗−→ Hom(X, J)

−→ Ext(X, Y ) −→ Ext(X, J) −→ 0 −→ Hom(X, Y )

Theo mệnh đề 2.5.5 ta có Ext(X, J) = 0.

· · ·

cấu).

Cokerg∗ = Hom(X, B)/Img∗ = Hom(X, B)/Kerδ ∼= Imδ = Ext(X, Y ) (vì δ toàn

Mệnh đề 2.7.4. Với những dãy khớp ngắn tùy ý những môđun trên R:

0 −→ A −→ P −→X −→ 0

Trong đó P là môđun xạ ảnh và J là môđun nội xạ, ta có:

a) Extn(X, Y ) ∼= Extn−2(A, B), ∀n > 2

b) Ext2(X, Y ) ∼= Coker [Hom (α, β)].

0 −→ Y −→J −→ B −→ 0

Chứng minh.

a) Theo mệnh đề 2.7.2 a ta có Extn(X, Y ) ∼= Extn−1(A, Y ), ∀n ≥ 2.

Theo mệnh đề 2.7.3 ta có Extn−1(A, Y ) ∼= Extn−2(A, B), ∀n > 2.

Vậy Extn(X, Y ) ∼= Extn−2(A, B), ∀n > 2.

b) Theo mệnh đề 2.7.2 a ta có Ext2(X, Y ) ∼= Ext(A, Y ). Theo mệnh đề 2.7.3 ta có Ext(A, Y ) ∼= Cokerβ∗ với β∗ = Hom (1A, β).

Ta lại có Hom (α, β) = Hom (1A, β) · Hom (α, 1J ) = β∗ · α∗.

Vì J nội xạ nên theo định lí 1.5.7 ta có dãy khớp:

α∗ −→ Hom(A, J) −→ 0

Do đó α∗ là toàn cấu.

0 −→ Hom(X, J) −→ Hom(P, J)

Vậy Coker [Hom (α, β)] = Cokerβ∗α∗ = Cokerβ∗

∼= Ext(A, Y ) ∼= Ext2(X, Y ).

Mệnh đề 2.7.5. Với môđun bất kỳ X trên R, các phát biểu sau đây tương đương:

a) X là xạ ảnh.

b) Ext(X, Y ) = 0, với mọi môđun Y trên R.

c) Extn(X, Y ) = 0, ∀n > 0, với mọi môđun Y trên R.

Chứng minh.

a)⇒ b) Áp dụng mệnh đề 2.5.4. với n = 1.

b)⇒ c)

Ta chứng minh quy nạp theo n.

Với n = 1, ta có Ext(X, Y ) = 0, ∀Y (theo giả thiết b).

Giả sử đúng với n − 1. Khi đó với môđun Y bất kỳ, nhúng Y vào dãy khớp:

Theo mệnh đề 2.7.3, ta có:

0 −→ Y −→J−→B −→ 0 với J nội xạ.

Vậy Extn(X, Y ) = 0, ∀n > 0, ∀Y .

c)⇒ a)

Xét dãy khớp ngắn 0 −→ A−→B−→C −→ 0 bất kỳ.

Extn(X, Y ) ∼= Extn−1(X, B) = 0 (theo giả thiết quy nạp).

Theo định lí 2.6.2, ta có dãy khớp:

Theo giả thiết Ext(X, A) = 0 nên ta có dãy khớp ngắn:

0 −→ Hom(X, A)−→Hom(X, B)−→Hom(X, C) −→ Ext(X, A) −→ ...

Theo định lí 1.4.5, ta có X là xạ ảnh.

0 −→ Hom(X, A)−→Hom(X, B)−→Hom(X, C) −→ 0.

Mệnh đề 2.7.6. Với môđun bất kỳ Y trên R, các phát biểu sau đây tương đương:

a) Y là nội xạ.

b) Ext(X, Y ) = 0, với mọi môđun X trên R.

c) Extn(X, Y ) = 0, ∀n > 0, với mọi môđun X trên R.

Chứng minh.

a)⇒ b) Áp dụng mệnh đề 2.5.5 với n = 1.

b)⇒ c)

Ta chứng minh quy nạp theo n.

Với n = 1, ta có Ext(X, Y ) = 0, ∀X (theo giả thiết b).

Giả sử đúng với n − 1. Khi đó với môđun X bất kỳ, nhúng X vào dãy khớp:

Theo mệnh đề 2.7.2, ta có:

0 −→ A−→P −→X −→ 0 với P xạ ảnh.

Vậy Extn(X, Y ) = 0, ∀n > 0, ∀X.

c)⇒ a)

Xét dãy khớp ngắn 0 −→ A−→B−→C −→ 0 bất kỳ.

Theo định lí 2.6.3, ta có dãy khớp:

Extn(X, Y ) ∼= Extn−1(A, Y ) = 0 (theo giả thiết quy nạp).

0 −→ Hom(C, Y )−→Hom(B, Y )−→Hom(A, Y ) −→ Ext(C, Y ) −→ ...

Theo giả thiết, ta có Ext(C, Y ) = 0.

Do đó ta có dãy khớp ngắn:

Theo định lí 1.5.7, ta có Y là nội xạ.

0 −→ Hom(C, Y )−→Hom(B, Y )−→Hom(A, Y ) −→ 0.

Chương 3

HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN MIỀN

DEDEKIND

3.1 Môđun trên miền Dedekind

Mục này chứng minh một số kết quả thú vị về môđun trên miền Dedekind, các

kết quả này có thể được xem là mở rộng của các kết quả đã biết về môđun trên miền

iđêan chính, tuy nhiên các chứng minh thì hoàn toàn khác.

Đầu tiên ta có định nghĩa miền Dedekind như sau:

Định nghĩa 3.1.1. Miền Dedekind là miền nguyên mà mọi iđêan của nó đều là môđun

xạ ảnh.

Ta biết rằng trong miền các iđêan chính mỗi iđêan của nó đều là môđun tự do. Do đó

miền Dedekind có thể xem là mở rộng của miền iđêan chính.

Ta đã biết, môđun con của môđun tự do trên miền iđêan chính là môđun tự do. Vậy

môđun con của môđun tự do trên miền Dedekind có là môđun tự do hay không? Câu

trả lời là không, sau đây là ví dụ:

√ −5|a, b ∈ Z}. Khi đó D là vành các số nguyên đại số

Ví dụ 3.1.2. Xét D = {a + b √

của trường Q( Dedekind. Xét iđêan I = (cid:10)3, 1 +

√ −5) = {a + b

tự do trên D. Ta chứng minh I không là môđun tự do trên D. Giả sử I là môđun tự do.

−5|a, b ∈ Q} do đó theo [6, Theorem 8.1.1] D là miền √ −5(cid:11) ta có I là môđun con của D xem như là môđun

√

Vì D là vành giao hoán hai phần tử bất kỳ của D đều phụ thuộc tuyến tính trên D do −5(cid:11) = (cid:104)α(cid:105) với α ∈ I. đó cơ sở của I chỉ gồm một phần tử là α, nghĩa là: I = (cid:10)3, 1 + −5 trong D nên |α|2|9 và |α|2|26 trong vành Z. Do đó |α|2 = 1

Khi đó α|3 và α|1 +

hay α · α = 1 suy ra α khả nghịch trong D. Vậy I = D. √

√

Khi đó 1 ∈ I nên 1 = 3(a + b

Do đó 3a + c − 5d = 1, 3b + c + d = 0 bởi vậy 3(a − b) − 6d = 1 (mâu thuẫn). Mâu

thuẫn này chứng tỏ I không là môđun tự do.

Tuy nhiên ta có kết quả sau xem như là một mở rộng của kết quả trên miền iđêan

chính.

√ √ −5) + (1 + −5)(c + d −5) √ = (3a + c − 5d) + (3b + c + d) −5.

Định lí 3.1.3. Môđun con của môđun xạ ảnh trên miền Dedekind là môđun xạ ảnh.

Chứng minh.

Để chứng minh định lý này ta cần bổ đề quan trọng sau:

Bổ đề 3.1.4. Nếu R là miền Dedekind thì mỗi môđun con của một R- môđun tự do là

tổng trực tiếp của các môđun mà mỗi môđun của tổng trực tiếp này đẳng cấu với một

iđêan của R.

Chứng minh. Lấy F là một môđun tự do với cơ sở {xi}i∈I trong đó I là tập chỉ số

được sắp thứ tự tốt. Ta ký hiệu:

(cid:40)

(cid:41)

(cid:88)

i<α

(cid:40)

(cid:41)

(cid:88)

Fα = cixi|ci ∈ R, xi ∈ F

i(cid:54)α

Ta có Fα = Fα ⊕ (cid:104)xα(cid:105) với α ∈ I. Lấy A là một R- môđun con của F .

(cid:9).

Mỗi phần tử a ∈ A ∩ Fα có dạng a = b + λaxα với b ∈ Fα, λa ∈ R. Đặt Iα = (cid:8)λa|a ∈ A ∩ Fα

Ta có:

Fα = cixi|ci ∈ R, xi ∈ F

∀λa1, λa2 ∈ Iα, tồn tại a1, a2 ∈ A ∩ Fα sao cho

(b1 ∈ Fα) a1 = b1 + λa1xα

(b2 ∈ Fα) a2 = b2 + λa2xα

Do đó (λa1 − λa2) ∈ Iα. Mặt khác: ∀r ∈ R, ∀λa ∈ Iα

⇒ a1 − a2 = b1 − b2 + (λa1 − λa2)xα. Mà (a1 − a2) ∈ A ∩ Fα, (b1 − b2) ∈ Fα.

⇒ ∃a ∈ A ∩ Fα sao cho a = b + λaxα

 



(b ∈ Fα) (ra ∈ (A ∩ Fα), rb ∈ Fα) ra = rb + rλaxα rλa ∈ Iα ⇒ ⇒

(ar ∈ (A ∩ Fα), br ∈ Fα) λar ∈ Iα

ar = br + λarxα Vậy Iα là iđêan của R. Xét ánh xạ p : A∩Fα −→Iα

Ta có p là toàn cấu và Kerp = A ∩ Fα.

Từ đó ta có dãy khớp 0 −→ Kerp −→ A ∩ Fα −→ Iα −→ 0.

Vì Iα là iđêan của R nên Iα xạ ảnh ⇒ dãy khớp chẻ ra.

a (cid:55)−→λa

⇒ A ∩ Fα = (A ∩ Fα) ⊕ Cα với Cα ∼= Iα.

Ta chứng minh A = ⊕ α∈I

Thứ nhất nếu cα1 + · · · + cαn = 0 với cαi ∈ Cαi và α1 < α2 < . . . < αn

Cα.

⇒ cα1 + · · · + cαn−1 = −cαn

Mà (A ∩ Fαn) ∩ Cαn = {0}. Suy ra cα1 + · · · + cαn−1 = cαn = 0.

Quy nạp, ta có cαi = 0, ∀i. Thứ hai, ta chứng minh A = (cid:80) Cα. Giả sử A (cid:54)= (cid:80) Cα. Khi đó tồn tại phần tử thuộc A mà không thuộc (cid:80) Cα. Gọi β là chỉ số bé nhất sao cho tồn tại a ∈ A ∩ Fβ nhưng a /∈ (cid:80) Cα. Vì a ∈ A ∩ Fβ = (A ∩ Fβ) ⊕ Cβ nên a = b + c với b ∈ A ∩ Fβ, c ∈ Cβ, a /∈ (cid:80) Cα ⇒ b /∈ (cid:80) Cα. Do b ∈ A ∩ Fβ ⇒ b = cγ1xγ1 + · · · + cγnxγn với γ1 < . . . < γn < β. Do đó b ∈ Fγn ⇒ b ∈ A ∩ Fγn, b /∈ (cid:80) Cα (trái với cách chọn β bé nhất).

Sau đây ta chứng minh định lí 3.1.3.

∀i (cid:54) n − 1, ta có cαi ∈ A ∩ Fαi ⊂ A ∩ Fαn−1 ⊂ A ∩ Fαn và cαn ∈ Cαn

Giả sử R là miền Dedekind và A là một môđun con của môđun P xạ ảnh.

Ta có P là môđun con của một môđun tự do. Do đó theo bổ đề 3.1.4 A là tổng trực

tiếp của các môđun mà mỗi môđun đẳng cấu với iđêan của R. Do R là Dedekind nên

mỗi iđêan là xạ ảnh. Vậy A là xạ ảnh.

Trên miền iđêan chính mọi môđun không xoắn hữu hạn sinh đều là môđun xạ ảnh. Ta

cũng có thể mở rộng kết quả đó trên miền Dedekind với kỹ thuật chứng minh khác

hẳn. Cụ thể ta có định lí sau:

Định lí 3.1.5. Môđun không xoắn hữu hạn sinh trên miền Dedekind là môđun xạ ảnh.

Chứng minh.

Trước hết ta có kết quả sau: Giả sử R là miền Dedekind, X là R- môđun không xoắn và x1 ∈ X. Đặt H = (cid:8)x ∈ X, ∃a ∈ R, a (cid:54)= 0 để ax ∈ (cid:104)x1(cid:105)(cid:9).

Khi đó H là môđun con của X và X/H không xoắn.

Thật vậy:

với phép cộng và nhân vô hướng của X. H (cid:54)= ∅ vì x1 ∈ H do 1R · x1 ∈ (cid:104)x1(cid:105).

Xét x, y ∈ H thì ∃a, b ∈ R, a (cid:54)= 0, b (cid:54)= 0 sao cho ax ∈ (cid:104)x1(cid:105) , by ∈ (cid:104)x1(cid:105)

• Để chứng minh H là R- môđun con của X ta chứng minh H (cid:54)= ∅ và H đóng kín

 



ax = r1x1; r1 ∈ R b · ax = b · r1x1 ⇒ ⇒

by = r2x1; r2 ∈ R a · by = a · r2x1

Xét r ∈ R và x ∈ H ⇒ ∃a ∈ R, a (cid:54)= 0 : ax ∈ (cid:104)x1(cid:105)

⇒ ab(x + y) ∈ (cid:104)x1(cid:105) ⇒ x + y ∈ H.

Vậy H là R- môđun con của X.

⇒ ax = r1x1; r1 ∈ R ⇒ a · rx = r1 · rx1 ⇒ arx ∈ (cid:104)x1(cid:105) ⇒ rx ∈ H

Xét x ∈ X/H ⇒ x = x + H với x ∈ X và λ · x = 0 với λ ∈ R, λ (cid:54)= 0

• Chứng minh X/H không xoắn.

⇒ λ · x ∈ H. Theo định nghĩa H, ∃a ∈ R, a (cid:54)= 0 sao cho a · (λx) ∈ (cid:104)x1(cid:105)

⇒ (a · λ) · x ∈ (cid:104)x1(cid:105). Vì a · λ (cid:54)= 0 nên x ∈ H ⇒ x = 0

Vậy ta đã chứng minh được λ · x = 0 với λ (cid:54)= 0, λ ∈ R

Tiếp theo ta chứng minh định lí 3.1.5 bằng cách quy nạp theo n.

⇒ x = 0. Hay X/H không xoắn.

với cơ sở {x1} nên X là R- môđun xạ ảnh.

Vậy khi n = 1 thì định lí đúng.

• Khi n = 1: Giả sử X = (cid:104)x1(cid:105) là R- môđun không xoắn. Vì X là R- môđun tự do

xoắn hữu hạn sinh thì X xạ ảnh.

Ta chứng minh định lí đúng với n tức là nếu X = (cid:104)x1, . . . , xn(cid:105) là R- môđun không

xoắn hữu hạn sinh thì X là R- môđun xạ ảnh.

Với X = (cid:104)x1, . . . , xn(cid:105) , xi ∈ X, i = 1, . . . , n và H = (cid:8)x ∈ X, ∃a ∈ R, a (cid:54)= 0 để ax ∈ (cid:104)x1(cid:105)(cid:9)

thì ta có X/H = (cid:104)x2, . . . , xn(cid:105).

Thật vậy, xét x ∈ X/H ⇒ x = x + H với x ∈ X, x =

• Giả sử định lí đúng cho n − 1 tức là nếu X = (cid:104)x1, . . . , xn−1(cid:105) là R- môđun không

n (cid:80) i=1

λixi

⇒ x = λ2x2 + λ3x3 + · · · + λnxn + H ⇒ x ∈ (cid:104)x2, . . . , xn(cid:105)

Rõ ràng xi ∈ X/H với i = 2, . . . , n.

Vậy X/H = (cid:104)x2, . . . , xn(cid:105) là R- môđun hữu hạn sinh.

Theo chứng minh trên X/H không xoắn, do đó theo giả thiết quy nạp X/H xạ ảnh.

Xét dãy khớp 0 −→ H −→ X −→ X/H −→ 0 chẻ ra nên X ∼= H ⊕ X/H

Vì H đẳng cấu với môđun thương X và X hữu hạn sinh nên H hữu hạn sinh nghĩa là

⇒ X/H ⊂ (cid:104)x2, . . . , xn(cid:105).

Theo định nghĩa H/ (cid:104)x1(cid:105) là môđun xoắn nên tồn tại ai ∈ R, ai (cid:54)= 0 để aiyi ∈ (cid:104)x1(cid:105).

Đặt a = a1 · · · ak (cid:54)= 0 thì aH ∈ (cid:104)x1(cid:105). Vì H không xoắn nên ánh xạ f :H −→ (cid:104)x1(cid:105)

H = (cid:104)y1, . . . , yk(cid:105).

Vì (cid:104)x1(cid:105) tự do và R là vành Dedekind nên theo định lí 3.1.3 H là xạ ảnh. Do đó

(cid:55)−→ ah là đơn cấu do đó H là nhóm con của (cid:104)x1(cid:105).

Trong vành chính, ta biết rằng mọi môđun chia được đều nội xạ. Trên miền Dedekind,

ta có kết quả tương tự với kỹ thuật chứng minh khác hẳn.

X = H ⊕ X/H xạ ảnh.

Định lí 3.1.6. Mọi môđun chia được trên miền Dedekind đều nội xạ.

Chứng minh.

Giả sử R là miền Dedekind.

Đầu tiên ta chứng minh nếu A là iđêan của R thì tồn tại t1, . . . , tn ∈ A và q1, . . . , qn ∈ Q

sao cho qiA ⊂ R và

n (cid:80) i=1

Thật vậy, vì A là môđun xạ ảnh nên có thể nhúng A vào dãy khớp ngắn chẻ ra 0 −→

tiqi = 1.

Vì dãy khớp chẻ ra nên tồn tại đồng cấu môđun f : A −→ F sao cho pf = 1A. Với mỗi x ∈ A, ta có f (x) = (cid:80) xiei, xi ∈ R. Đặt fi : A −→ R, fi(x) = xi.

Khi đó fi là đồng cấu và fi(x) = 0 với hầu hết i trừ ra một số hữu hạn i. Cố định a ∈ A, a (cid:54)= 0. Ta có f (a) = (cid:80) aiei do đó a = pf (a) = (cid:80) aip(ei) với ai ∈ R do

(cid:17)

đó

B −→ F −→ A −→ 0 trong đó F là môđun tự do cơ sở {ei}i∈I.

(cid:88) (cid:16)ai a

∈ Q, ti = p(ei) ∈ A. Ta có (cid:80) tiqi = 1 p(ei) = 1. Đặt qi =

và ∀x ∈ A, qix =

Bây giờ ta chứng minh nếu X là môđun chia được thì X là nội xạ dựa vào tiêu chuẩn

Baer. Giả sử A (cid:47) R và f : A −→ X là đồng cấu môđun. Theo chứng minh trên tồn tại q1, . . . , qn ∈ Q; t1, . . . , tn ∈ A để qiA ⊂ R và (cid:80) qiti = 1.

Vì X chia được nên tồn tại xi ∈ X để f (ti) = tixi, i = 1, . . . , n. Khi đó ∀a ∈ A ta có:

(cid:32)

(cid:33)

(cid:88)

= = = = fi(x) ∈ R. Vậy qiA ⊂ R. ai a fi(a) · x a ai · x a fi(ax) a a · fi(x) a

(cid:88)

f (a) = f = qitia (qia)f (ti) = (qiati) xi

Vậy X là nội xạ.

= a (qiti)xi = ax với x = (qiti)xi ∈ X

3.2 Hàm tử Tor trên miền Dedekind

Định lí 3.2.1. Cho R là miền nguyên, nếu X hoặc Y xoắn thì T orn(X, Y ) xoắn ∀n (cid:62) 1.

Chứng minh.

Giả sử Y xoắn, ta chứng minh T orn(X, Y ) xoắn với mọi n (cid:62) 1, với mọi X bằng quy

nạp.

• Với n = 1: Để chứng minh T or(X, Y ) xoắn ta nhúng X vào sơ đồ

f −→ F

Khi đó theo mệnh đề 2.4.1 ta có T or(X, Y ) ∼= Ker(f ⊗ 1Y )

với f ⊗ 1Y : A ⊗ Y −→ F ⊗ Y .

Vì Y xoắn nên A ⊗ Y xoắn ⇒ T or(X, Y ) xoắn.

0 −→ A −→ X −→ 0 Với F là môđun tự do

• Giả sử T orn−1(X, Y ) xoắn ∀X. Khi đó theo mệnh đề 2.4.2 ta có:

Do đó T orn(X, Y ) xoắn.

Vậy T orn(X, Y ) xoắn với mọi n.

Tương tự nếu X xoắn thì T orn(X, Y ) xoắn với mọi Y .

Bây giờ ta có thể phát biểu và chứng minh định lí cơ bản của mục này như sau:

T orn(X, Y ) ∼= T orn−1(A, Y ). Mà T orn−1(A, Y ) xoắn theo giả thiết quy nạp.

Định lí 3.2.2. Cho R là miền Dedekind. Khi đó ta có

a) X không xoắn ⇔ T or(X, Y ) = 0 với mọi Y .

b) X, Y không xoắn thì X ⊗ Y không xoắn.

c) T orn(X, Y ) luôn xoắn ∀n (cid:62) 1.

Chứng minh.

a) xuống dòng

(⇒)

Ta chứng minh nếu X không xoắn thì T or(X, Y ) = 0, ∀Y

Nếu X hữu hạn sinh thì theo định lí 3.1.5 ta có X là môđun xạ ảnh do đó

Nếu X là môđun không xoắn tùy ý, ta chứng minh với mỗi đơn cấu f : A −→ B,

T or(X, Y ) = 0 (theo mệnh đề 2.2.5).

ánh xạ f∗ = 1X ⊗ f : X ⊗ A −→ X ⊗ B cũng đơn cấu. Thật vậy, lấy u = (cid:80) xi ⊗ ai ∈ X ⊗ A sao cho f∗(u) = (cid:80) xi ⊗ f (ai) = 0 trong X ⊗B. Khi đó tồn tại môđun con hữu hạn sinh X0 của X sao cho (cid:80) x0⊗f (ai) = 0

trong X0 ⊗ B.

Vì X0 không xoắn, hữu hạn sinh nên X0 xạ ảnh do đó

và f0(u) = xi ⊗ f (ai) = 0 trong X0 ⊗ B nên u = 0 trong X0 ⊗ A suy ra u = 0

trong X ⊗ A.

Vậy f∗ = 1X ⊗ flà đơn cấu do đó T or(X, Y ) = 0, ∀Y (theo mệnh đề 2.4.4).

(⇐)

Ngược lại: giả sử T or(X, Y ) = 0 với mọi Y , ta chứng minh X là không xoắn (chú

ý chứng minh này đúng cho R là miền nguyên bất kỳ, không cần Dedekind). Với mỗi a ∈ R, a (cid:54)= 0, xét ánh xạ ga :X −→X

T or(X0, Y ) = 0, ∀Y . Bởi vậy ánh xạ f0 : 1X0 ⊗ f : X0 ⊗ A −→ X0 ⊗ B là đơn cấu

(cid:55)−→ax

x Để chứng minh X không xoắn ta chứng minh ga là đơn cấu ∀a ∈ R, a (cid:54)= 0. Thật vậy, ta có fa :R −→R là đơn cấu

và do T or(X, Y ) = 0, ∀Y nên ánh xạ 1X ⊗ fa : X ⊗ R −→ X ⊗ R là đơn cấu (theo

mệnh đề 2.4.4). Mặt khác, sơ đồ

d (cid:55)−→ad

ga X X

giao hoán, các cột đẳng cấu, 1X ⊗ fa đơn cấu nên ga đơn cấu. Vậy X không xoắn.

b) Với mọi đơn cấu f : A −→ B, nếu Y không xoắn thì theo a) ta có T or(Y, Z) =

X ⊗ R X ⊗ R 1X ⊗ fa

0, ∀Z do đó theo mệnh đề 2.4.4 với mọi đơn cấu f : A −→ B, ánh xạ 1Y ⊗ f :

và mệnh đề 2.4.4 ta có ánh xạ

Y ⊗ A −→ Y ⊗ B đơn cấu. Lại vì X không xoắn nên kết hợp ý a của định lí 3.2.2

Do đó ánh xạ 1X⊗Y ⊗ f : (X ⊗ Y ) ⊗ A −→ (X ⊗ Y ) ⊗ B là đơn cấu.

Theo mệnh đề 2.4.4 T or(X ⊗ Y, Z) = 0, ∀Z. Theo a) ta có X ⊗ Y không xoắn.

c) Chứng minh T orn(X, Y ) luôn xoắn ∀n (cid:62) 1.

1X ⊗ (1Y ⊗ f ) : X ⊗ (Y ⊗ A) −→ X ⊗ (Y ⊗ B) là đơn cấu.

Thật vậy, giả sử Y xoắn ta chứng minh T orn(X, Y ) xoắn ∀X, ∀n bằng qui nạp.

• Nếu X xoắn hoặc Y xoắn thì T orn(X, Y ) xoắn.

f −→ F

• Với n = 1:

Khi đó xét dãy khớp 0 −→ A Ta có T or(X, Y ) ∼= Ker(f ⊗ 1Y ), trong đó f ⊗ 1Y : A ⊗ Y (cid:55)−→ F ⊗ Y

Vì Y xoắn nên A ⊗ Y xoắn nên Ker(f ⊗ 1Y ) xoắn ⇒ T or(X, Y ) xoắn.

−→ X −→ 0 với F tự do.

Ta có T orn(X, Y ) ∼= T orn−1(A, Y ), ∀n (cid:62) 2.

Do T orn−1(A, Y ) xoắn nên T orn(X, Y ) xoắn ∀X.

• Giả sử đúng với n − 1.

Vì X không xoắn nên theo a) ta có T or(X, Y ) = 0

Do đó T orn(X, Y ) = 0, ∀n (cid:62) 1 ⇒ T orn(X, Y ) xoắn.

• Nếu X, Y không xoắn, ta chứng minh T orn(X, Y ) xoắn.

3.3 Hàm tử Ext trên miền Dedekind

Định lí 3.3.1.

Nếu X, Y là môđun trên miền Dedekind thì Extn(X, Y ) = 0 với mọi số tự nhiên n (cid:62) 2.

Ngoài ra, nếu nhúng X vào dãy khớp ngắn 0 −→ A

thì Ext(X, Y ) ∼= Cokerf ∗ với f ∗ = Hom(f, 1Y ).

−→ F −→ X −→ 0 với F tự do

Chứng minh.

Theo định lí 2.6.3 ta có dãy khớp:

g∗ −→ Hom(F, Y )

f ∗ −→ Hom(A, Y )

g∗ −→ Ext(F, Y )

f ∗ −→

0 −→ Hom(X, Y ) −→ Ext(X, Y )

g∗ −→ Extn(F, Y )

f ∗ −→ Extn(A, Y ) −→

Ext(A, Y ) −→ · · · −→ Extn−1(A, Y ) −→ Extn(X, Y )

Vì môđun con của môđun xạ ảnh trên miền Dedekind là môđun xạ ảnh nên ta có A, F

là các môđun xạ ảnh do đó theo mệnh đề 2.5.4 ta có:

· · ·

Mặt khác vì Ext(F, Y ) = 0 nên Imδ = Kerg∗ = Ext(X, Y ). Do đó: Cokerf ∗ = Hom(A, Y )/Imf ∗ = Hom(A, Y )/Kerδ

Extn−1(A, Y ) = 0, Extn(F, Y ) = 0 ∀n (cid:62) 2. Suy ra Extn(X, Y ) = 0 ∀n (cid:62) 2.

∼= Imδ = Ext(X, Y ).

Định lí 3.3.2. Cho R là miền Dedekind. X, Y là hai môđun trên R.

Khi đó Ext(1X , p) : Ext(X, Y ) −→ Ext(X, Y /δ(Y )) là đẳng cấu với

p : Y −→ Y /δ(Y ) là phép chiếu tự nhiên.

Chứng minh.

Xét dãy khớp 0 −→ δ(Y ) −→ Y

Theo định lí 2.6.2 ta có dãy khớp:

−→ Y /δ(Y ) −→ 0

0 −→ Hom(X, δ(Y )) −→ Hom(X, Y ) −→ Hom(X, Y /δ(Y )) −→ Ext(X, δ(Y ))

Vì δ(Y ) chia được nên theo định lí 3.1.6 ta có δ(Y ) nội xạ.

Theo mệnh đề 2.5.5 ta có Ext(X, δ(Y )) = 0, Ext2(X, δ(Y )) = 0.

Ext(1X ,p)

−→ Ext(X, Y ) −→ Ext(X, Y /δ(Y )) −→ Ext2(X, δ(Y )) −→ . . .

Do đó ta có dãy khớp 0 −→ Ext(X, Y )

Vậy Ext(1X , p) là đẳng cấu.

−→ Ext(X, Y /δ(Y )) −→ 0

Định lí 3.3.3. Cho R là miền Dedekind. Môđun X trên R là không xoắn nếu và chỉ

nếu Ext(X, Y ) là chia được với mọi môđun Y .

Chứng minh.

⇒) Với mỗi a ∈ R, a (cid:54)= 0 ký hiệu đồng cấu a :X −→X

Khi đó nếu X không xoắn thì a là đơn cấu với mọi a ∈ R, a (cid:54)= 0.

x (cid:55)−→ax

Ta có dãy khớp ngắn: 0 −→ X

−→ X −→ X/aX −→ 0

Áp dụng định lí 2.6.3 ta có dãy khớp:

a∗ −→ Ext1(X, Y ) −→ Ext2(X/aX, Y ) −→ Ext2(X, Y )

Theo định lí 3.3.1 vì R là Dedekind nên Ext2(X/aX, Y ) = 0 do đó ta có dãy khớp

Ext1(X, Y )

a∗ −→ Ext1(X, Y ) −→ 0 ∀Y, ∀a ∈ R, a (cid:54)= 0

trong đó a∗ = Ext1(a, 1Y ) Từ định nghĩa của a∗ ta có a∗ : Ext1(X, Y ) −→ Ext1(X, Y )

Ext1(X, Y )

Vì a∗ toàn cấu nên ∀a ∈ R, a (cid:54)= 0, ∀β ∈ Ext1(X, Y ) tồn tại α ∈ Ext1(X, Y ) để

α (cid:55)−→ aα

Vậy Ext1(X, Y ) chia được.

a∗(α) = β hay aα = β.

Ngược lại với mọi môđun Z ta có đẳng cấu

⇐)

Vì Ext1(X, Y ) chia được trên miền Dedekind nên Ext1(X, Y ) là nội xạ (theo định lý

3.1.6), do đó Ext1(Z, Ext1(X, Y )) = 0 ∀Z (theo mệnh đề 2.5.5).

Suy ra Ext1(T or1(Z, X), Y ) = 0 ∀Z, ∀Y

Do đó T or1(Z, X) là xạ ảnh với mọi Z (theo mệnh đề 2.7.5).

Vì môđun xạ ảnh thì không xoắn nên T or1(Z, X) là môđun không xoắn với mọi Z.

Mặt khác vì R là miền Dedekind nên theo định lí 3.2.2c) ta có T or1(Z, X) là môđun

xoắn với mọi Z. Do đó T or1(Z, X) = 0, ∀Z.

Do Z bất kỳ, R là vành Dedekind nên theo định lí 3.2.2.a) ta có X là môđun không

xoắn.

Ext1(Z, Ext1(X, Y )) ∼= Ext1(T or1(Z, X), Y )

Luận văn đã trình bày cách xây dựng hàm tử T or và Ext như là dẫn xuất của các hàm

tử Tenxơ và hàm tử Hom dựa vào các phép giải xạ ảnh cùng với các tính chất của

chúng.

Luận văn cũng đã trình bày khá nhiều các tính chất thú vị của hàm tử T or và Ext. Đặc

biệt là các tính chất của hàm tử T or và Ext trên miền Dedekind.

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]: Nguyễn Viết Đông - Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nxb ĐHQG TP. HCM.

[2]: Sze-Tsen Hu (1973), Nhập môn Đại số đồng điều, Nxb ĐH và THCN.

[3]: Mac Lane S. (1975), Homology, Springer, Verlag, NewYork.

[4]: Rotman J.J. (2009), An Introduction to Homological Algebra, Springer, New York.

Jersey, Princeton University Press.

[5]: Henri Cartan and Samuel Eilenberg (1956), Homological Algebra, Princeton, New

Cambridge University Press.

[6]: Saban Alaca Kenneth S.Williams (2004), Introductory Algebraic Number Theory,