ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––
PHÙNG THỊ KIM OANH
CÁC LỚP CEGRELL CỦA HÀM ĐIỀU HOÀ DƢỚI VÀ PHƢƠNG TRÌNH
HESSIAN TRONG CÁC LỚP CEGRELL
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2016
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ
công trình nào.
Tác giả
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Phùng Thị Kim Oanh
ii
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân
dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo, bộ phận sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2016
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Tác giả
iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................. ii
MỤC LỤC ....................................................................................................... iii
MỞ ĐẦU ......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................ 1
3. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................. 2
4. Bố cục của luận văn ...................................................................................... 2
Chƣơng 1: HÀM ĐIỀU HÒA DƢỚI VÀ ĐIỀU HÒA DƢỚI............. 3
1.1. Hàm điều hòa dưới..................................................................................... 3
1.2. Hàm đối xứng sơ cấp ................................................................................. 4
1.3. Hàm m-điều hòa dưới và toán tử Hessian ................................................. 5
1.4. dung lượng tương đối. ....................................................................... 8
1.5. Hàm cực trị tương đối ..................................................................... 10
Chƣơng 2: CÁC LỚP NĂNG LƢỢNG HỮU HẠN KIỂU CEGRELL ..... 13
2.1. Các định nghĩa và tính chất ...................................................................... 13
2.2. Toán tử Hessian phức .............................................................................. 21
2.3. Tích phân từng phần ................................................................................ 25
2.4. Nguyên lý so sánh .................................................................................... 26
Chƣơng 3: PHƢƠNG TRÌNH HESSIAN TRONG CÁC LỚP CEGRELL .... 32
3.1. Các hàm năng lượng ................................................................................ 32
3.2. Sự tồn tại nghiệm của phương trình Hessian trong các lớp Cegrell .......... 37
KẾT LUẬN ................................................................................................... 47
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 48
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cho là một miền bị chặn và là số nguyên sao cho
Hesian phức có dạng . Xét phương trình
(1.1)
trong đó là dạng K¨ahler chuẩn trong và µ là độ đo Radon
dương.
Phương trình Hessian phức được nghiên cứu lần đầu tiên bởi
S.Y. Li năm 2004. Ông đã sử dụng phương pháp liên tục để giải bài
toán Dirichlet không suy biến cho phương trình (1.1) trong các miền
giả lồi mạnh. Một trong những vấn đề suy biến tương tự được
nghiên cứu bởi Blocki năm 2005. Ông đã giải phương trình thuần nhất
với điều kiện biên liên tục và trình bày những bước đầu tiên của lý
thuyết thế vị đối với phương trình này. Gần đây, Abdullaev và
Sadullaev đã quan tâm đến các tập cực và dung lượng của các
hàm điều hòa dưới. Khi trù mật trong , Dinew
và Kolodziej đã chứng minh rằng với điều kiện biên liên tục đã cho,
bài toán Dirichlet của phương trình (1.1) có một nghiệm liên tục duy
nhất. Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: “ Các lớp Cegrell
của hàm điều hoà dưới và Phương trình Hessian trong các lớp Cegrell“.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu các lớp năng lượng hữu hạn của
hàm điều hòa dưới là tổng quát hóa các lớp Cegrell đối với hàm đa điều
hòa dưới. Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình Hessian phức suy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
, trong đó µ là độ đo Radon dương suy biến. biến
2
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
+ Nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hoà dưới, hàm điều
hoà dưới và toán tử Hessian, dung lượng tương đối và hàm cực trị
tương đối.
+ Nghiên cứu và trình bày các kết quả gần đây của L.H. Chinh về một số
tính chất của các lớp năng lượng U.Cegrell của hàm điều hoà dưới và sự
tồn tại nghiệm của phương trình Hessian trong các lớp kiểu Cegrell.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 49 trang, trong đó có phần mở đầu, ba chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất
của hàm điều hoà dưới, hàm điều hoà dưới và toán tử Hessian, dung
lượng tương đối và hàm cực trị tương đối.
Chương 2: Trình bày một số kết quả về các lớp Cegrell của hàm
điều hoà dưới.
Chương 3: Trình bày các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm của
phương trình Hessian trong các lớp Cegrell.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
3
Chƣơng 1
HÀM ĐIỀU HÒA DƢỚI VÀ ĐIỀU HÒA DƢỚI
1.1. Hàm điều hòa dƣới
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử là tập mở trong . Hàm gọi
là điều hòa dưới trên nếu nó nửa liên tục trên trên và thỏa mãn bất đẳng
thức dưới trung bình trên , nghĩa là với mọi tồn tại sao cho với
mọi ta có
Kí hiệu tập hợp các hàm điều hòa dưới trên là .
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử là tập mở trong . Khi đó: ,
là hàm điều hòa dưới trên .
Tập các hàm điều hòa dưới trên là một nón lồi, nghĩa là nếu
và thì cũng thuộc .
Định lý 1.1.3 Giả sử là miền bị chặn trong . Khi đó: ,
Nếu đạt cực đại toàn thể tại một điểm trên thì là hằng số trên .
Nếu thì trên .
Định lý 1.1.4. Giả sử là tập mở trong và là hàm nửa liên tục trên trên
. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương.
là hàm điều hòa dưới trên .
Với mọi , tồn tại sao cho và với mọi
ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
là đĩa đóng tâm bán kính ở đó
4
Với mọi miền D compact tương đối trong và h là hàm điều hòa trên trên
D, liên tục trên thỏa mãn
ta có trên D.
Định lý 1.1.5. Giả sử là dãy giảm các hàm điều hòa dưới trên tập mở
trên và Khi đó là hàm điều hòa dưới trên .
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh nửa liên tục trên trên . Với mỗi
tập
Do đó nó là tập mở. Vậy nửa liên tục trên trên . Do mỗi thỏa mãn bất đẳng
thức dưới trung bình nên dùng định lý hội tụ đơn điệu suy ra cũng thỏa mãn bất
đẳng thức dưới trung bình trên . Do đó là hàm điều hòa dưới trên .
Hệ quả 1.1.6. Giả sử là hàm điều hòa dưới trên miền sao cho
không đồng nhất trên . Khi đó tập
có độ đo Lebesgue bằng 0.
Tập mà trên đó có hàm điều hòa dưới, không đồng nhất ,
nhận giá trị bằng trên đó gọi là các tập cực. Sau này trong trường hợp
, tập như vậy gọi là tập đa cực. Đó là các tập kỳ dị đối với lớp hàm điều hòa
dưới( tương ứng đa điều hòa dưới).
1.2. Hàm đối xứng sơ cấp
Cho là một hàm đối xứng sơ cấp với
và . Đặt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
nếu hoặc Ta có đồng nhất thức
5
Kí hiệu là bao đóng của các thành phần liên thông của tập hợp
chứa . Ta có
.
suy ra Từ
k
Ký hiệu là không gian vectơ trên gồm các ma trận Hermitian
phức cấp , ký hiệu là các giá . Với
trị riêng của . Đặt Từ đẳngthức
suy ra hàm là tổng của tất cả các định thức con chính bậc ,
Do đó, là một đa thức thuần nhất bậc trên
mà nó là hyperbolic đối với ma trận đồng nhất . Như trong [3],
ta địnhnghĩa . Ta có
là nón lồi và hàm lõm trên .
1.3. Hàm m-điều hòa dƣới và toán tử Hessian
Ký hiệu là dạng Kahler chuẩn trong và là một miền
siêu lồi bị chặn trong , tức là tồn tại một hàm điều hòa dưới liên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
tục sao cho với mỗi .
6
Ta kết hợp dạng thực trong với các ma trận Hermitian
bởi Khi đó dạng K¨ahler chính tắc được kết
hợp với ma trận đồng nhất . Ta có
Định nghĩa 1.3.1. C ho là dạng thực trên . Ta nói rằng là
dương tại một điểm cho trước nếu tại điểm này ta có:
gọi là dương nếu nó là dương tại mọi điểm thuộc .
Cho là một dòng song bậc . Khi đó
được gọi là dương nếu , với mọi dạng
dương .
Định nghĩa 1.3.2. Hàm được gọi là điều hòa
dưới nếu nó là hà m điều hòa dưới và
với mỗi dạng dương .
Lớp tất cả hàm điều hòa dưới trên được ký hiệu là
Mệnh đề 1.3.3 [3] Nếu là tr ơ n thì là điều hòa dưới khi
và chỉ khi là dương tại mọi điểm thuộc .
Nếu thì
Nếu là điều hòa dưới trong thì cũng là điều hòa
dưới trong
Nếu bị chặn đều địa phương thì
t r o n g đ ó là chính qui nửa liên tục trên của .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
.
7
. là tập mở sao cho Cho compact tương đối trong
Nếu , và với mọi
thì hàm số được xác định bởi
là điều hòa dưới trong .
Đối với các hàm điều hòa dưới bị chặn địa phương
ta có thể định nghĩa bằng quy nạp -dòng dương đóng (theo Bedford and
Taylor [2]).
Bổ đề 1.3.4. [14] Cho là hàm điều hòa dưới bị chặn địa
phương trong và T là dòng dương đóng song bậc
. Khi đó ta có thể định nghĩa bằng qui nạp -dòng dương đóng
,
và tích đối xứng, nghĩa là
đối với mỗi hoán vị .
Nói riêng, độ đo Hessian của được xác định bởi
.
Mệnh đề 1.3.5. Cho T là dòng dương đóng song bậc trên
. là các hàm điều hòa dưới bị chặn trong sao cho và
Khi đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
(1.2).
8
Hơn nữa nếu giả sử thì trong (1.2) xảy ra đẳng thức
Chứng minh. Dễ chứng minh dựa theo trường hợp cổ điển (xem [12]).
Mệnh đề 1.3.6 (Bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg). Cho với
compact, mở. Khi đó tồn tại sao cho
và
với mỗi hàm điều hòa dưới khả tích đối với dòng dương đóng
song bậc , và tất cả các hàm điều hòa dưới bị chặn
địa phương .
Định lý 1.3.7. Cho là dãy giảm các hàm điều hòa dưới trong
tương ứng. là dòng dương hội tụ đến
trên . Khi đó đóng song bậc
yếu theo nghĩa dòng.
1.4. dung lƣợng tƣơng đối.
Định nghĩa 1.4.1. Cho là tập Borel. dung lượng của đối với
được định nghĩa như sau
dung lượng có các tính chất cơ bản như
Mệnh đề 1.4.2. nếu
nếu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
đối với .
9
Mệnh đề 1.4.3. Cho . Khi đó tồn tại hằng số phụ thuộc vào các
tập đó sao cho tuỳ ý , ta có
.
Chứng minh. Cố định với . Khi đó theo bất đẳng thức
Chern-Levine-Nirenberg ta có
Định nghĩa 1.4.4. Dãy các hàm xác định trong hội tụ theo dung
lượng tới nếu với và ta có
.
Các kết quả sau đây có thể chứng minh nhờ lập luận tương tự trong [10].
Mệnh đề 1.4.5. Dãy với trong hội tụ tới
đối với dung lượng.
Định lý 1.4.6. Đối với hàm điều hòa dưới xác định trong và một số
có thể tìm được tập mở với và sao cho hạn
chế trên là liên tục
Định lý 1.4.7. Cho dãy bị chặn đều địa phương các hàm điều hòa
dưới trong đối với và hầu
khắp nơi khi với . Khi đó
Hệ quả 1.4.8. Cho là một dãy đơn điệu bị chặn địa phương của hàm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
điều hòa dưới trong và là hội tụ hầu khắp nơi tới
10
dãy đơn điệu bị chặn địa phương của hàm nửa liên tục hội tụ hầu khắp
nơi tới hàm nửa liên tục bị chặn địa phương. Khi đó
.
Mệnh đề 1.4.9. (Nguyên lý cực đại ). Cho . Khi
đó
Hệ quả 1.4.10. (Nguyên lý so sánh). Giả sử sao cho
Khi đó
Hệ quả 1.4.11. Cho là miền bị chặn trong và sao
cho trên và . Khi đó trong .
1.5. Hàm cực trị tƣơng đối
Định nghĩa 1.5.1. Cho tập con của miền , ta định nghĩa hàm
cực trị tương đối là hàm được xác định bởi
Dễ thấy rằng là hàm -điều hòa dưới trong . Để không bị nhầm lẫn
ta dùng kí hiệu và thay cho và theo thứ tự .
Mệnh đề 1.5.2. Nếu thì
Nếu thì .
Nếu , với compact trong thì .
Bổ đề 1.5.3. Giả sử và đặt Khi đó hàm -cực trị
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
được cho bởi
11
.
Mệnh đề 1.5.4. Nếu là tập con compact tương đối của , thì tại một điểm
tuỳ ý ta có
Mệnh đề 1.5.5. Nếu tập compact là hợp của các hình cầu đóng, thì
là liên tục. Nói riêng, nếu là tập compact tùy ý và
, thì là liên tục, trong đó
.
Định nghĩa 1.5.6. Hàm điều hòa dưới là cực đại nếu
với tập con compact tương đối mở tuỳ ý và hàm nửa liên tục trên
trong và trên thì trong .
Từ nguyên lý so sánh suy ra rằng mỗi hàm điều hòa dưới bị chặn địa
phương thỏa mãn trong là cực đại. Ngược lại, mọi hàm
cực đại trong đều thỏa mãn .
Mệnh đề 1.5.7 [3] Cho là tập con mở của và là hàm cực đại
trong . Khi đó .
Mệnh đề 1.5.8. Nếu là tập compact, thì là cực đại trong
.
Định lý 1.5.9. Cho là tập compact và là hàm cực trị
tương đối. Khi đó .
Ngoài ra, nếu trên thì .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Hệ quả 1.5.10. Nếu là tập con compact tương đối mở của , thì
12
.
Định nghĩa 1.5.11. Cho là tập mở trong và cho là họ các
hàm bị chặn địa phương ở trên. Đặt Các tập có
dạng và tất cả các tập con của nó được gọi là
bỏ được.
Định nghĩa 1.5.12. Tập được gọi là cực nếu với tuỳ ý đều
tồn tại lân cận của và sao cho . Nếu
đối với thì được gọi là cực toàn cục.
Định lý 1.5.13. Tập gọi là bỏ được khi và chỉ khi nó là cực.
Mệnh đề 1.5.14. Nếu là tập mở và thì với tập con
cực tuỳ ý ta có
Định lý 1.5.15. Tập là cực khi và chỉ khi tồn tại sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
trên .
13
Chƣơng 2
CÁC LỚP NĂNG LƢỢNG HỮU HẠN KIỂU CEGRELL
Trong chương này chúng ta nghiên cứu về các lớp năng lượng hữu hạn của
các hàm điều hòa dưới trong các miền siêu lồi. Chúng là tổng quát
hoá của các lớp Cegrell (xem [4],[5]).
2.1. Các định nghĩa và tính chất
Trong lý thuyết đa thế vị đây là một trong những bước quan trọng để
chính qui hóa các hàm điều hòa dưới suy biến. Điều này dễ thực hiện nột cách
địa phương bởi tích chập với hạch trơn. Định lý sau sẽ giải thích cho việc thực
hiện nó một cách toàn cục như thế nào trong miền -siêu lồi. Ký hiệu
là lớp con của gồm các hàm không dương.
Định lý 2.1.1. Với mỗi tồn tại dãy các hàm -điều hòa dưới
thỏa mãn các điều kiện sau:
liên tục trên và trên ;
mỗi đều có khối lượng hữu hạn, tức là
trên .
Chứng minh. Nếu là hình cầu đóng trong thì theo Mệnh đề 1.5.5 hàm
cực trị liên tục trên và . Ta sẽ dựa theo
Định lý 2.1 [5]. Lấy một dãy giảm các số dương sao cho
Gọi là dãy chính quy hóa của bởi tích chập với các hạch trơn. Dãy này
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
được xác định trên .
14
Đặt
và
Dễ kiểm tra rằng với mỗi , và trên . Khi
đó là nửa liên tục dưới với mỗi . Hơn nữa bằng cách đặt
Ta thấy khi . Vì mỗi là hàm liên tục nên là nửa liên
tục trên do đó liên tục . Suy ra trên .
Định nghĩa 2.1.2.
.
trên và
.
Ngoài ra, nếu thì theo định nghĩa
Định nghĩa 2.1.3.
với mỗi đều lân cận của và
, trong và .
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Chú ý 2.1.4. Thật vậy, giả sử và
15
Xét hàm . Ta biết và trong
. Với mỗi đủ lớn, ta có và
trong .
Định lý 2.1.5. Lớp là lớp con lớn nhất của thỏa mãn:
Nếu thì
Nếu thì hội tụ yếu.
Chứng minh. Dễ kiểm tra thỏa mãn điều kiện .
Giả sử Cố định hàm kiểm tra
với giá compact và . Với mỗi ta lấy sao cho
trong một lân cận của . Đặt , ta thấy
và là hội tụ yếu đến theo định nghĩa của
Chú ý gần , kéo theo .
Bây giờ, giả sử thử lại (i) và (ii). Lấy . Ta cần chứng minh
. Lấy dãy sao cho trên . Điều này có
thể thực hiện được nhờ áp dụng định lý chính quy hóa toàn cục. Xét tập
compact tương đối và với mỗi đặt
.
Khi đó, và với . Hơn nữa trên và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
vì hội tụ yếu theo (ii) .
16
Chú ý 2.1.6. Theo Định lý 2.1.5 mỗi là địa phương trong
tức là với mỗi tồn tại sao cho trên .
Định nghĩa 2.1.7. năng lượng của được xác định bởi
.
Ta tổng quát bất đẳng thức Holder trong bổ đề sau đây. Khi nó là kết
quả của Persson [13].
Bổ đề 2.1.8. Giả sử và . Khi đó ta có
(2.1),
ở đó và với mỗi , ta có , ở đó
.
Chứng minh. Với , đặt
Theo Định lý 4.1 [13] chỉ cần chứng minh
(2.2)
trong đó nếu và nếu
Đặt Khi , (2.2) trở thành
đây là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Trong trường hợp , lặp lại phép
chứng minh của Mệnh đề 1.3.5, để nhận được
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Theo bất đẳng thức Holder ta nhận được
17
(2.3)
Bằng cách thay đổi và ta được
(2.4)
Kết hợp (2.3) và (2.4) ta có điều phải chứng minh.
Từ Bổ đề 2.1.8 có thể làm trội bởi
, nếu Để có các đánh giá tương tự khi có thể
tham khảo trong [8].
Bổ đề 2.1.9. Cho và Nếu T là dòng dương đóng
có dạng , ở đó , thì
.
Chứng minh. Ta sẽ dựa theo chứng minh Mệnh đề 2.5 trong [8].
và chú ý rằng . Khi đó Đặt
nên ta được Vì
Theo nguyên lý so sánh ta nhận được
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Từ đó và chú ý suy ra điều phải chứng minh.
18
Mệnh đề 2.1.10. Giả sử . Khi đó tồn tại sao cho
với mọi .
Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 2.1.9 với và
ta có đánh giá sau đây
(2.5)
Tiếp theo, ta giả sử . Đặt , trong đó khá bé.
Chú ý rằng
(2.6)
. Một lần nữa sử Điều này là đủ để điều chỉnh
dụng Bổ đề 2.1.9 ta được
,
trong đó .
Do tính chất dưới cộng tính và tính thuần nhất của , ta có
từ đó
(2.7)
Từ (2.5), (2.6) và (2.7) ta nhận được
từ đó suy ra kết quả cần chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Từ Bổ đề 2.1.8 và Mệnh đề 2.1.10 suy ra kết quả sau đây
19
Hệ quả 2.1.11. Cho dãy và . Nếu thì
.
Bây giờ ta có thể chứng minh tính lồi của các lớp Cegrell.
Định lý 2.1.12. Ký hiệu là một trong các lớp , , ,
Khi đó chúng là lồi và hơn nữa nếu ,
thì .
Chứng minh. Xét lớp . Giả sử . Ta sẽ chứng minh
đối với hầu khắp nơi.
Thật vậy, hàm là giảm và liên tục phải, vì
là độ đo Borel. Thực tế là suy ra từ
nguyên lý so sánh như sau
Do đó, kéo theo tập
trùng với tập các điểm gián đoạn của . Vì hàm sau cùng là giảm, nên ta suy ra
là không quá đếm được. Vậy
đối với hầu khắp nơi.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Bây giờ cố định và áp dụng nguyên lý so sánh một lần nữa ta có
20
Như vậy, , từ đó là lồi.
Bây giờ, giả sử và . Đặt ta sẽ
chứng minh rằng có khối lượng hữu hạn. Cố định sao cho
. Lấy tích phân từng phần ta nhận được
Cho ta được
Lập luận tương tự có thể được sử dụng để chứng minh kết quả đối với các lớp
.
Bây giờ xét các lớp . Giả sử và là hai dãy trong
giảm đến tương ứng và thỏa mãn :
Ta chứng minh
.
Theo bất đẳng thức Holder vấn đề còn lại là điều chỉnh các số hạng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
và
21
Tích phân sau cùng suy ra từ Bổ đề 2.1.8 và Mệnh đề 2.1.10
Bây giờ giả sử và . Lấy dãy và
sao cho và
.
Nếu , thì theo Mệnh đề 2.1.8 ta có
Khi đó ta kết luận và .
Nếu với mỗi , đặt . Khi đó bị chặn, điều hoà
dưới và triệt tiêu trên biên. Lấy tích phân từng phần ta được
Kết hợp hai bước ở trên ta nhận được các kết quả đối với lớp .
2.2. Toán tử Hessian phức
Trong phần này ta chứng minh toán tử Hessian phức được xác
định tốt với mọi . Trước tiên ta chứng minh rằng các hàm
liên tục trong có thể được sử dụng như là hàm test.
Bổ đề 2.2.1. .
Chứng minh. Cố định và . Chọn đủ lớn sao
cho là hàm đa điều hòa dưới. Lấy sao cho
Xét và , ở đó đủ
lớn sao cho trong . Dễ kiểm tra và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
. Suy ra điều phải chứng minh.
22
Định lý 2.2.2. Giả sử và sao cho
. Khi đó dãy các độ đo hội tụ
yếu đến độ đo Radon dương , giới hạn yếu này
không phụ thuộc vào việc chọn dãy
Chứng minh. Trước tiên, giả sử . Khi đó với mỗi
là dãy giảm. Hơn nữa
Như vậy ta thấy rằng
tồn tại với mọi .
Như là hệ quả, là dãy hội tụ yếu. Bây giờ
giả sử là dãy khác cũng giảm tới Ta có
Từ điều này ta kết luận tồn tại và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
giới hạn này không bé hơn .
23
Bằng cách hoán vị và ta nhận được đẳng thức.
Vấn đề còn lại là bỏ đi giả thiết . Không mất tính tổng
quát ta giả sử liên tục. Cho . Phủ bởi , là tập con compact của
và cố định là dãy hội tụ tới
trong như trong định nghĩa của
Đặt Ta có thể xắp xếp lại dãy sao cho trên
Dễ thấy và . Đặt ,
ta được và gần .
Hệ quả 2.2.3. Giả sử và
giảm tới tương ứng sao cho
.
Khi đó với mỗi ta có
Chứng minh: Ta có
(2.8).
Cố định đủ bé và xét Hàm là liên tục với giá
compact trong . Từ Định lý 2.2.2 suy ra
Chú ý rằng Sử dụng (2.8) ta được kết quả cần chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Hệ quả 2.2.4. Giả sử giảm tới sao cho
24
Khi đó với mỗi ta có
Chứng minh. Với mỗi hàm test , hàm là nửa liên tục trên. Như vậy,
Cho là điểm tụ tuỳ ý của dãy Theo bất đẳng thức trên suy ra
Hơn nữa, từ Hệ quả 2.2.3 suy ra dãy tăng tới
Điều này kéo theo khối lượng toàn phần của bé hơn hoặc
bằng khối lượng toàn phần của do đó các độ đo này bằng nhau.
Các lập luận tương tự có thể sử dụng cho các lớp . Ta có:
Định lý 2.2.5. Cho sao cho và
và
Khi đó dãy độ đo hội tụ yếu đến một độ đo
Radon dương mà không phụ thuộc vào cách chọn dãy Khi đó ta định
nghĩa là giới hạn yếu đó.
Chứng minh. Cố định . Khi đó
là giảm. Từ Bổ đề 2.1.8 và Mệnh đề 2.1.10 ta nhận được
Như vậy giới hạn tồn tại với mỗi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
. Điều này kéo theo sự hội tụ của dãy
25
theo Bổ đề 2.2.1. Để chứng minh phần còn lại ta lặp lại phép chứng minh của
Định lý 2.2.2.
Hệ quả 2.2.6. Cho và là các dãy
hàm giảm tới tương ứng sao cho
Khi đó với mỗi ta có
Chứng minh. Như trong chứng minh của Hệ quả 2.2.3, ta có
Do đó chỉ cần chứng minh rằng
trong đó Số hạng ở vế trái bị trội bởi
Ta biết gần biên của Như vậy
Áp dụng Bổ đề 2.1.8 và Mệnh đề 2.1.10, ta có điều phải chứng minh.
2.3. Tích phân từng phần
Từ Định lý 2.2.2 và Hệ quả 2.2.3 ta chứng minh công thức tích phân từng
phần của hàm trong các lớp và
Định lý 2.3.1.Giả sử và
Khi đó
Chứng minh. Cho là các dãy trong giảm tới
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
tương ứng sao cho khối lượng toàn phần bị chặn đều:
26
trong đó
Từ Định lý 2.2.2 suy ra . Với mỗi cố định và
tuỳ ý ta có
Khi đó dãy các số thực giảm tới nào đó. Cho
ta nhận được từ đó ta thu được
Với mỗi cố định ta cũng có
Suy ra ta có điều phải chứng minh.
Ta có kết quả sau đối với các lớp nhờ lập luận tương tự.
Định lý 2.3.2. Tích phân từng phần thực hiện được trong . Chính
xác hơn, giả sử và là dòng dương đóng có dạng
trong đó . Khi đó
2.4. Nguyên lý so sánh
Trong phần này ta chứng minh nguyên lý so sánh có hiệu lực trong lớp
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
là tập mở và Khi đó Bổ đề 2.4.1. Cho
27
Chứng minh. Giả sử là tập compact tương đối trong . Kí hiệu
là hàm cực trị của trong . Khi đó và trong . Từ
Bổ đề 2.1.8 ta có
Bổ đề 2.4.2. Cho là tập mở và và . Khi đó với
mỗi đủ bé ta có
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thế giả sử . Cho là hàm
cực trị của đối với Đặt . Nếu ta có
đẳng thức xảy ra. Như vậy, ta giả sử . Áp dụng Bổ đề 2.1.9 ta được
Định lý 2.4.3. Cho và đặt . Khi đó
Chứng minh. Lấy giảm tới như trong định nghĩa của .
Từ Mệnh đề 1.4.9 ta thu được
(2.9),
ở đó Đặt Khi đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
, tất cả các hàm ở đó đều là hàm tựa liên tục.
28
Cố định và đặt . Nhân (2.9) với ta thu được
(2.10)
Bây giờ, giả sử là hàm test và cố định . Khi đó tồn tại
tập mở sao cho và tồn tại các hàm số liên tục trong
mà nó trùng với tương ứng trên Sự hội tụ đơn điệu
kéo theo hội tụ đều tới trên , điều này kéo theo sự
hội tụ đều của đến trên .
Trong các lập luận tiếp theo, ta lấy là hằng số dương không phụ thuộc
vào Vì bị chặn đều, nên theo Bổ đề 2.4.1 và Bổ đề 2.4.2 ta có
(2.11)
Ta cũng thu được
(2.12)
Hơn nữa, do liên tục trên và nên ta có
Từ đó, ta được
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Vì hội tụ đều tới trên , nên ta có
29
Từ hai bất đẳng thức trên ta thu được
(2.13)
Từ (2.11), (2.12) và (2.13) suy ra
Theo cách tương tự, ta nhận được Ta chứng tỏ
và do đó
.
Cho thì , từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 2.4.4. Giả sử sao cho trên . Khi đó
Chứng minh. Cho là hai dãy trong giảm tới tương ứng,
Giả sử Tích phân từng phần ta được
Khi đó theo Hệ quả 2.2.6 ta có
và
Từ đó suy ra
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Cho ta có điều phải chứng minh
30
Định lý 2.4.5. Nếu thì Nếu
thì
Chứng minh. Từ Định lý 2.2.5 suy ra
Hơn nữa, vì và các hàm đều nửa liên tục dưới, nên ta có
Như vậy, điều này là đủ để chứng minh rằng
Giả sử : Tích phân từng phần và áp dụng Hệ quả
2.2.6 ta được , suy ra điều phải chứng minh. □
và thì Định lý 2.4.6. Nếu
Chứng minh. Cố định . Độ đo triệt tiêu trên các tập
cực. Như trong chứng minh của Mệnh đề 2.1.12 với hầu khắp , ta có thể
chỉ ra rằng
Từ đó suy ra . Từ Định lý 2.4.3 ta nhận được
và
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Hơn nữa, như trong chứng minh của Định lý 2.4.4, ta có thể chứng minh
31
Từ đó ta nhận được
Cho ta được điều phải chứng minh.
Định lý 2.4.7. Cho sao cho . Khi đó
trong .
Chứng minh. (Phản chứng) Giả sử tồn tại sao cho Lấy
là hàm vét cạn của sao cho Cố định và chọn
đủ bé sao cho Hàm vét cạn
là liên tục trong gần Lấy đủ nhỏ sao và thoả mãn
cho Độ đo Lebesgue của tập
là dương với mọi Điều
này suy ra Như vậy, Định lý 2.4.6 cho ta
Hơn nữa,
Suy ra
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Mâu thuẫn với giả thiết . Vậy trong .
32
Chƣơng 3
PHƢƠNG TRÌNH HESSIAN TRONG CÁC LỚP CEGRELL
3.1. Các hàm năng lƣợng
Ta nhắc lại một số kết quả đã trình bày ở trên.
● Nếu và thì theo Định lý 2.4.5, ta có
● Nếu và thì
Nếu thì . Bổ đề 3.1.1.
Nếu sao cho và thì .
Với mỗi là tập con lồi
compact của
Chứng minh. Giả sử là dãy các hàm liên tục trong giảm tới
. Vì nên ta có suy ra .
Giả sử là dãy giảm tới . Đặt .
Khi đó và Như vậy
Giả sử Vì nên không thể tiến đều
đến trong ) hội tụ tới Do vậy, tồn tại dãy con (vẫn được kí hiệu là
trong . Đặt
Khi đó và Theo ta có và vì
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
và tất cả đều là hàm nửa liên tục dưới nên ta có
33
Điều này có nghĩa là
Bổ đề 3.1.2 . Giả sử là độ đo Radon dương sao cho và triệt
tiêu trên các tập -cực. Giả sử là dãy trong hội tụ trong
đến hàm và . Khi đó
Chứng minh . Vì bị chặn nên điều đó là đủ để chứng tỏ mỗi điểm tụ là
. Không mất tính tổng quát ta giả sử hội tụ. Vì dãy bị
chặn trong , nên theo Banach-Saks ta có thể trích ra một dãy con (cũng kí
hiệu là ) sao cho
hội tụ trong , và - hầu khắp nơi tới . Chú ý rằng trong .
Với mọi đặt Khi đó trong . Nhưng triệt
tiêu trên tập - cực
Như vậy ta nhận được hầu khắp nơi. Do đó, hội tụ
hầu khắp nơi tới nên hầu khắp nơi. Suy ra
Bổ đề 3.1.3. Hàm là nửa liên tục dưới.
Chứng minh. Giả sử và hội tụ tới trong Ta chứng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
minh Với mỗi , hàm
34
và . Do đó Ngoài ra . Từ đó ta suy ra điều
phải chứng minh. □
Định nghĩa 3.1.4. Độ đo Radon dương thuộc nếu tồn tại sao cho
Hàm được xác định bởi
Bổ đề 3.1.5 Nếu thì
Hơn nữa, là lồi nếu . Trong trường hợp này là thích hợp, nghĩa
là nếu
Chứng minh. Từ Bổ đề 2.1.8 suy ra
suy ra và là lồi. Từ định nghĩa của tồn tại sao cho
, với mỗi
Như vậy, ta được
□
Cho là hàm nửa liên tục trên. Giả sử tồn tại
sao cho Ta định nghĩa phép chiếu của trên xác
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
định bởi
35
Bổ đề 3.1.6. Cho và giả sử liên tục. Cho mọi hàm
thuộc với mọi
Chứng minh. Chọn Hàm là nửa liên tục trên.
Mà kéo theo Với mọi ta có
và
Do đó,
Bổ đề 3.1.7. Cho là hàm liên tục. Giả sử tồn tại sao
cho Khi đó
(3.1)
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta giả sử bị chặn. Theo Bổ đề Cho-
quet, tồn tại dãy tăng sao cho
.
Cho Từ đó là liên tục, tồn tại sao cho
Với mỗi cố định, bằng cách xấp xỉ bởi dãy các hàm liên tục trên
và áp dụng Định lý 2.10 [7], ta tìm được hàm sao cho
trên và trong . Nguyên lý so sánh cho ta trong ,
hàm xác định bởi trong và trong thuộc
vào . Với mỗi ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
.
36
Vậy trong vì là hằng số và là điều hoà
dưới. Do đó trong . Suy ra
Từ Định lý 1.4.7 suy ra Do đó ta có
Bổ đề 3.1.8 Giả sử và là một hàm số liên tục. Với mỗi ,
đặt Khi đó với mỗi ta có
(3.2)
Đặc biệt,
(3.3)
Chứng minh. Dễ chứng minh là hàm giảm theo và Với mỗi
cố định ta có
Giả sử là một dãy giảm tới sao cho
Theo Bổ đề 3.1.7 ta có thể kết luận
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
khi
37
trong đó là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào và
Bất đẳng thức (3.3) suy ra từ bất đẳng thức (3.2).
Bổ đề 3.1.9. Giả sử và là hàm số liên tục. Hàm
là khả vi tại và
Chứng minh. Nếu . Dễ thấy rằng
Lấy đạo hàm trái ta được
Áp dụng Bổ đề 3.1.8 ta có điều phải chứng minh.
3.2. Sự tồn tại nghiệm của phƣơng trình Hessian trong các lớp Cegrell
Bổ đề 3.2.1. Giả sử là độ đo Radon dương sao cho Giả sử tồn
tại sao cho
với mỗi (3.4).
Khi đó . Hơn nữa, nếu thì ta sao cho
có thể trích được dãy con sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Cuối cùng, tồn tại duy nhất hàm sao cho
38
Chứng minh. Cố định . Từ (3.4) ta có thể tìm được hằng số
sao cho
Suy ra
Bây giờ giả sử thỏa mãn . Tính compact
của (Bổ đề 3.1.1) cho phép ta lấy dãy con (cũng kí hiệu là ) hội tụ
theo nghĩa phân bố tới . Bất đẳng thức (3.4) cho ta
Theo Bổ đề 3.1.2 ta có .
Bây giờ ta chứng minh phát biểu cuối cùng. Giả sử sao cho
Theo Bổ đề 3.1.5, ta có Theo chứng minh ở trên suy ra tồn
tại dãy con (cũng kí hiệu là ) sao cho hội tụ tới và
Từ Bổ đề 3.1.3 ta thấy là nửa liên tục dưới . Như vậy
Khi đó ta kết luận là điểm cực tiểu của trên .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Bây giờ lấy . Hàm
39
là khả vi tại và
Vì nên ta có
Do đó suy ra
.
Định lý 3.2.2. Nếu thì tồn tại duy nhất sao cho
.
Chứng minh. Tính duy nhất suy ra từ nguyên lý so sánh.
Ta chứng minh sự tồn tại. Trước tiên, giả sử có giá compact và ký
hiệu là hàm cực trị của đối với . Đặt
,
trong đó là hằng số cố định sao cho Với mỗi compact
, ta có . Suy ra . Do đó
,
với mỗi . Suy ra với mỗi compact .
Đặt . Ta sẽ chứng minh (3.5).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Thật vậy, vì siêu lồi, nên tồn tại sao cho là
40
Với mỗi , ta có
Từ đó suy ra (3.5).
Cố định sao cho . Đặt
Khi đó mỗi và ta có
.
Từ đó ta kết luận
, với mỗi .
Ta kết luận là (không rỗng) lồi, compact yếu trong không gian các độ đo
xác xuất. Theo Định lý Radon-Nykodim tổng quát suy ra tồn tại độ đo dương
sao cho trong đó trực và hàm dương
giao với . Chú ý rằng mỗi độ đo trực giao với có giá trong một tập
cực nào đó vì với mỗi . Khi đó ta kết luận
vì triệt tiêu trên các tập cực.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Theo Bổ đề 3.2.1, với mỗi , tồn tại duy nhất hàm sao cho
41
Với mỗi , đặt . Khi đó thỏa mãn
(3.4) vì . Vì thế, tồn tại sao cho . Rõ ràng
giảm tới hàm thoả mãn .
Trường hợp còn lại khi không có giá compact. Giả sử là dãy vét cạn
các tập compact của và xét . Chú ý rằng giảm tới
Điều đó là đủ để chứng minh rằng
Vì , nên ta có
.
Điều này kéo theo bị chặn đều. Điều phải chứng minh
Bổ đề 3.2.3. Cho là độ đo Radon dương có khối lượng hữu hạn
Giả sử điều hoà dưới bị , trong đó là hàm
sao cho chặn trong . Khi đó tồn tại duy nhất hàm
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta giả sử . Xét
, trong đó là hàm vét cạn của . Lấy
. Theo Định lý 3.2.2, tồn tại sao cho
Như vậy,
và
Bây giờ ta chứng minh định lý phân tích kiểu Cegrell.
Định lý 3.2.4. Giả sử là độ đo dương trong , triệt tiêu trên các tập -cực.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Khi đó và sao cho
42
Chứng minh. Trước tiên giả sử có giá compact. Theo Định lý 3.2.2 ta có thể
tìm được và sao cho và
. Xét
.
Khi đó Vì có giá compact trong , nên ta
có thể điều chỉnh sao cho . trong lân cận của
Theo Bổ đề 3.2.3 ta có
.
Suy ra .
Vấn đề còn lại là xét trường hợp không có giá compact. Giả sử là dãy
vét cạn gồm các tập con compact của . Theo chứng minh trên tồn tại
và sao cho Lấy dãy các số
dương thoả mãn Độ đo là liên tục tuyệt đối đối
với và . Như vậy
Mệnh đề 3.2.5. Cho . Khi đó là độ đo Radon dương trên và
khi và chỉ khi tồn tại hằng số sao cho
Chứng minh. Giả sử thỏa mãn và tồn tại dãy
sao cho . Để đơn giản, giả sử
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Theo Hệ quả 2.1.11, . Nhưng
43
,
suy ra . Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Điều ngược lại là rõ ràng.
Chú ý 3.2.6. Nếu và giảm tới tương ứng,
thì theo Bổ đề 2.1.8 và Mệnh đề 2.1.10, ta có
Như vậy, và theo Mệnh đề 3.2.5 tồn tại sao cho
.
là độ đo Radon dương trên sao cho Định lý 3.2.7. Giả sử
. Khi đó tồn tại duy nhất sao cho
.
Chứng minh. Tính duy nhất suy ra từ nguyên lý so sánh. Ta sẽ chứng minh sự
tồn tại của thoả mãn định lý. Vì triệt tiêu trên các tập cực, nên áp
dụng định lý phân tích (Định lý 3.2.4) ta được
Với mỗi , sử dụng Bổ đề 3.2.3 ta tìm được sao cho
Theo Mệnh đề 3.2.5, ta có Theo nguyên lý so sánh ta được
và thoả mãn .
Định lý 3.2.8. Giả sử là độ đo Radon dương trên với khối lượng tổng
cộng hữu hạn Nếu triệt tiêu trên các tập cực thì tồn tại
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
duy nhất sao cho .
44
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh sự tồn tại. Vì triệt tiêu trên các tập
cực nên theo định lý phân tích ta có
Với mỗi sử dụng Bổ đề 3.2.3 để tìm sao cho
Bên cạnh đó, Do vậy, theo
nguyên lý so sánh. Hàm giới hạn thỏa mãn điều kiện đòi hỏi .
Để chứng minh tính duy nhất chúng ta tiến hành theo cách như trong Bổ đề
5.14 [5]. Giả sử thỏa mãn . Ta chứng minh .
Giả sử là dãy vét các tập con compact của sao cho là liên
tục. Với mỗi , hàm và Đặt
. Khi đó và
Với , theo nguyên lý so sánh ta có
.
Cho và sử dụng Hệ quả 2.2.4 ta nhận được
(3.6)
Theo trên ta có
với mỗi . Với mỗi ta có thể tìm được và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
sao cho .
45
Sử dụng (3.6) ta nhận được
(3.7)
Điều này kết hợp với nguyên lý so sánh cho ta .
Cho ta thu được trong đó thỏa mãn
.
Vì triệt tiêu trên các tập cực, nên theo định lý hội tụ đơn điệu khối
lượng toàn phần của dần tới khi . Điều này suy ra
và do đó
Bây giờ, ta chứng minh . Giả sử sao cho
và .
Vì tăng đến , nên áp dụng nguyên lý so sánh cho và ta
được . Nhưng áp dụng lại nguyên lý so sánh cho và ta
được Ngoài ra khối lượng toàn phần của có thể được
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
đánh giá như sau
46
Điều này kéo theo theo dung lượng. Thật vậy, với mọi và
hàm điều hòa dưới , theo nguyên lý so sánh ta có
Như vậy, ta có . Suy ra .
Khi đó tồn tại hai dãy Mệnh đề 3.2.9. Giả sử
giảm tới tương ứng sao cho
Nói riêng, nếu khi đó tồn tại giảm tới sao cho
Chứng minh. Giả sử dãy giảm tới sao cho
.
Vì triệt tiêu trên các tập cực nên theo Định lý 3.2.4 ta có
Với mỗi , sử dụng Bổ đề 3.2.3 ta tìm được sao cho
.
Theo nguyên lý so sánh thỏa mãn . Điều này
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
kéo theo . Ta có
47
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày:
+ Tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm điều hoà
dưới, hàm điều hoà dưới và toán tử Hessian, dung lượng tương đối và
hàm cực trị tương đối.
+ Các kết quả gần đây của L.H. Chinh về một số tính chất của các lớp
năng lượng kiểu U. Cegrell của hàm điều hoà dưới và một số kết quả
nghiên cứu về sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình Hessian trong các
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
lớp kiểu Cegrell.
48
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TIẾNG VIỆT
[1] Nguyễn Quang Diệu và Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa thế vị, Nxb
Đại học sư phạm Hà Nội.
TIẾNG ANH
[2] Bedford.E, Taylor.B.A (1976), “ The Dirichlet problem for a
complex Monge-Ampère equation”, Invent. Math. 37, no. 1, 1-44.
[3] Blocki.Z (2005), “Weak solutions to the complex Hessian equation”,
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 55, no. 5, 1735-1756.
[4] Cegrell.U (1998), “Pluricomplex energy”, Acta Math. 180, no.
2,187-217.
[5] Cegrell.U (2004), „The general definition of the complex Monge-
Ampère operator”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 54, no. 1, 159-179.
[6] Chinh. L.H (2013),”On Cegrell‟s classes of subharmonic functions”,
arXiv:1301.6502 [math.CV].
[7] Dinew.S and Kolodziej.S (2014), “A priori estimates for complex Hessian
equations”, arXiv:1112.3063 [math.CV], Anal. Vol 7, No1, 227-244.
[8] Guedj. V, Zeriahi. A (2007), “The weighted Monge-Amp`ere energy
of quasiplurisubharmonic functions”, J. Funct. Anal. 250, no. 2,
442482.
[9] Klimek. M (1991), Pluripotential theory, The Clarendon Press,
Oxford University Press, New York.
[10] Kolodziej. S (2005), “The complex Monge-Amp`ere equation and
pluripotential theory”, Memoirs Amer. Math. Soc. 178, 64p.
[11] Li. S.Y (2004), “ On the Dirichlet problems for symmetric function
equations of the eigenvalues of the complex Hessian”, Asian J.Math.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
8, No.1, 87-106.
49
[12] Nguyen. N. C (2014), “H¨older continuous solutions to complex
Hessian equations”, Pot Anal. 41, no. 3, 887-902
[13] Persson. L (1999), “ A Dirichlet principle for the complex
Monge-Amp`ere operator”, Ark. Mat. 37, no. 2, 345-356.
[14] Sadullaev.A.S, Abdullaev. B.I (2012), “ Potential theory in the
class of m-subharmonic functions”, Trudy Matematicheskogo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn
Instituta imeni V.A. Steklova, Vol. 279, pp. 166-192.
