Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về một lớp con các MD5-đại số và phân lá tạo bởi các K quỹ đạo chiều cực đại của các MD5 nhóm liên thông tương ứng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

--------------------------------

Dương Minh Thành

VỀ MỘT LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ

VÀ PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ

ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC

MD5-NHÓM LIÊN THÔNG TƯƠNG ỨNG

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

Mã số: 60 46 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. LÊ ANH VŨ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2006

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng cá nhân tôi dưới

sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lê Anh Vũ. Những kết quả trong luận văn này mà

không được trích dẫn là những kết quả tôi đã nghiên cứu được.

Tác giả

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa ...................................................................................................... 1

Lời cam đoan ....................................................................................................... 2

Mục lục ................................................................................................................ 3

Danh mục các ký hiệu ......................................................................................... 5

MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 6

Chương 1 – LỚP CÁC MD-NHÓM VÀ MD-ĐẠI SỐ

1.1. Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie..................................................... 13

1.2. Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie .................................................... 14

1.3. Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie...................................................... 19

1.4. Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số .............. 22

Chương 2 – LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ CÓ IDEAL DẪN XUẤT GIAO

HOÁN 3 CHIỀU VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K-

QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN

LIÊN TƯƠNG ỨNG

2.1. Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo ........................................... 26

2.2. Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều................ 29

2.3. Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn

liên tương ứng với các MD5-đại số đã xét .............................................. 37

Chương 3 – KHÔNG GIAN PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO

CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD-NHÓM ĐÃ XÉT

3.1. Phân lá – Phân lá đo được........................................................................ 48

3.2. Các MD5-phân lá liên kết với các MD5-nhóm đã xét............................. 53

KẾT LUẬN ....................................................................................................... 57

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ................................................. 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 60

PHỤ LỤC .......................................................................................................... 63

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

Aut (V): nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ V

AutG : nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G

B: tập hoành Borel

C : trường số phức

C V∞ (

)

: không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp V

End(V) : không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V

exp : ánh xạ mũ exp

G* : không gian đối ngẫu của đại số Lie G

GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực

( J F : ideal các dạng vi phân ngoài triệt tiêu trên F

)

Lie(G) : đại số Lie của nhóm Lie G

Mat(n; R) : tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thực

R : trường số thực

eT G là không gian tiếp xúc của G tạo điểm đơn vị e

/V F : không gian lá của phân lá

FΩ : quỹ đạo Kirillov qua F

∧ : độ đo hoành (đối với phân lá)

MỞ ĐẦU

Lý thuyết biểu diễn là một trong những lĩnh vực quan trọng, đóng vai trò cốt

yếu trong nhiều hướng nghiên cứu của toán học và vật lý học hiện đại: giải tích

điều hòa trừu tượng, lý thuyết số, nhóm đại số, cơ học lượng tử, vật lý hạt cơ

bản, lý thuyết trường lượng tử, hình học đại số, nhóm lượng tử, … Một cách tự

nhiên, bài toán quan trọng nhất của lý thuyết biểu diễn chính là bài toán phân

loại biểu diễn hay còn gọi là bài toán về đối ngẫu unita. Tức là cho trước một

nhóm G, hãy phân loại tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của G (sai khác một

đẳng cấu).

Đối tượng quan trọng của lý thuyết biểu diễn chính là nhóm Lie và đại số

Lie. Nghiên cứu và phân loại biểu diễn của nhóm Lie và đại số Lie cho ta những

thông tin về chính nhóm đó và của các đại số nhóm tương ứng. Để giải quyết bài

toán này, A.A.Kirillov (xem [Ki]) đã phát minh ra phương pháp quỹ đạo và

nhanh chóng trở thành một công cụ đắc lực của lý thuyết biểu diễn. Phương pháp

này cho phép ta nhận được tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của mỗi nhóm

Lie liên thông, đơn liên, giải được từ các K-quỹ đạo nguyên của nó. Trong

khoảng thập niên 60 và 70 của thế kỷ trước, phương pháp quỹ đạo Kirillov được

nhiều nhà toán học trên thế giới như L.Auslander, B. Kostant, Đỗ Ngọc Diệp, …

nghiên cứu, cải tiến, mở rộng và áp dụng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie.

Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ đạo Kirillov chính là các K-

quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp (hay còn gọi là K-biểu diễn). Do đó, việc mô

tả các K-quỹ đạo của mỗi nhóm Lie, nhất là các nhóm Lie liên thông giải được,

có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie.

Nhờ phương pháp quỹ đạo của Kirillov, năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp (xem

[Di]) đã đề nghị xét một lớp con các nhóm Lie và đại số Lie thực giải được đơn

giản về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo (tức là quỹ đạo Kirillov). Đó là

lớp các MD-nhóm và MD-đại số. Một nhóm Lie thực giải được mà các K-quỹ

đạo của nó hoặc là 0-chiều hoặc là có chiều cực đại được gọi là MD-nhóm. Khi

số chiều cực đại bằng số chiều của nhóm thì nhóm đó được gọi là MD -nhóm.

Đại số Lie của một MD-nhóm (tương ứng, MD -nhóm) được gọi là MD-đại số

(tương ứng, MD -đại số).

Năm 1982, Hồ Hữu Việt (xem [So-Vi]) đã liệt kê và phân loại triệt để lớp

các MD -đại số. Lớp này chỉ bao gồm các đại số Lie giao hoán n-chiều

n(cid:92) (

1n ≥ ),

đại số Lie 2-chiều aff (cid:92) và đại số Lie 4-chiều aff (cid:94) .

Việc phân loại các MD-đại số đến nay vẫn là một bài toán mở. Để đơn giản,

ta phân nhỏ lớp các MD-nhóm và MD-đại số theo số chiều. Khi đó ta có thể kí

hiệu MDn-nhóm và MDn-đại số là các MD-nhóm và MD-đại số có số chiều là n.

Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tra]) đã liệt kê, nhưng chưa phân loại, toàn

bộ lớp các MD4-đại số. Phải đến năm 1990, trong các bài báo và luận án tiến sĩ

của mình, Lê Anh Vũ ((xem [Vu2], [Vu6], [Vu7]) đã phân loại triệt để (chính

xác đến đẳng cấu đại số Lie) các MD4-đại số này. Chú ý rằng, trong các công

trình đó, Lê Anh Vũ còn chứng minh được rằng họ các K-quỹ đạo chiều cực đại

của tất cả các MD4-nhóm liên thông bất khả phân đều tạo thành phân lá đo được

theo nghĩa của Connes. Và tác giả gọi các phân lá này là MD4-phân lá. Thêm

vào đó, Lê Anh Vũ còn phân loại tôpô triệt để, cho thêm một phép mô tả chúng bởi tác động của nhóm Lie giao hoán R2, đồng thời đặc trưng các C*- đại số

tương ứng với các MD4-phân lá đó bằng phương pháp KK-song hàm tử. Với

những kết quả sâu sắc như vậy, ta có thể coi lớp các MDn-nhóm và MDn-đại số

đã được giải quyết triệt để trong trường hợp

n ≤ . Do đó ta chỉ xét bài toán này

5n ≥ . Cụ thể là hiện nay với n = 5 thì bài toán vẫn chưa được

trong trường hợp

giải quyết trọn vẹn.

Về phương diện hình học, không gian các K-quỹ đạo của mỗi MD-nhóm

khá đơn giản. Theo số chiều, mỗi MD-nhóm chỉ gồm 2 tầng các K-quỹ đạo: tầng

các quỹ đạo 0-chiều và tầng các quỹ đạo chiều cực đại. Xét riêng tầng các quỹ

đạo chiều cực đại của một MD-nhóm liên thông thì ta thu được các quỹ đạo là

các đa tạp liên thông đôi một rời nhau cùng số chiều, điều này cho ta một liên

tưởng đến một phân lá.

Các phân lá đầu tiên xuất hiện khi khảo sát các lời giải của hệ khả tích các

phương trình vi phân thường. Tuy nhiên, phải đến khi các công trình của Reeb

(xem [Re]) ra đời năm 1952 thì các phân lá mới thực sự trở thành đối tượng

nghiên cứu mang tính chất hình học và nhanh chóng phát triển thành một ngành

mạnh của hình học vi phân, đó là lý thuyết tôpô phân lá.

Năm 1982, Connes (xem [Co]) đưa ra khái niệm độ đo hoành đặc biệt thích

hợp với việc nghiên cứu các phân lá, nhất là các phân lá định hướng được. Khi

trang bị một độ đo hoành, phân lá được gọi là phân lá đo được.

Trong những năm gần đây, Lê Anh Vũ tiếp tục nghiên cứu bài toán với n=5.

Mặc dù phương pháp và công cụ nghiên cứu cho trường hợp MD5 về cơ bản vẫn

như trường hợp MD4 nhưng vì số chiều tăng lên 1 đơn vị nên mọi tính toán đều

trở nên phức tạp hơn rất nhiều. Do đó, trong một khoảng thời gian khá dài từ

năm 1990 đến năm 2003, không một MD5-đại số bất khả phân nào được biết

đến.

Thật ra có rất nhiều các MD5-nhóm và MD5-đại số khả phân, nhưng việc

xét chúng được quy về xét các MDn-nhóm và MDn-đại số với

n ≤ . Điều này

được khẳng định và minh họa trong [Vu7]. Do đó ta chỉ xét các MD5-đại số bất

khả phân. Nếu không sợ lầm lẫn thì ta dùng thuật ngữ MD-đại số thay cho MD-

đại số bất khả phân.

Để đơn giản thì Lê Anh Vũ chỉ xét lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn

xuất giao hoán k chiều (với k<5) và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng. Trong

các năm 2003 và 2004, Lê Anh Vũ cùng học trò của mình là Nguyễn Công Trí

(xem [Vu8] và [Vu-Tri]) đã liệt kê và phân loại triệt để lớp con các MD5-đại số

có ideal dẫn xuất giao hoán không quá 2 chiều. Đồng thời các tác giả cũng chứng

minh được rằng, họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên thông

tương ứng với các MD5-đại số đó đều tạo thành phân lá đo được theo nghĩa của

Connes và gọi đó là các MD5-phân lá, tôpô của các MD5-phân lá này cũng đã

được mô tả chi tiết. Những kết quả này ngay lập tức đã được mời báo cáo tại các

hội nghị quốc tế về toán học như Hội nghị quốc tế về Đại số - Tôpô - Hình học ở

Bangkok, Thái Lan tháng 12/2003, Hội nghị Toán học quốc tế ở Trùng Khánh,

Trung Quốc tháng 10/2004, Hội nghị Toán học toàn Châu Á lần thứ 4 ở

Singapore tháng 7/2005.

Cuối năm 2005, Lê Anh Vũ (xem [Vu9] ở phụ lục 1) tiếp tục liệt kê và phân

loại lớp con các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều.

Lớp này bao gồm 2 đại số Lie và 6 họ vô hạn các đại số Lie không đẳng cấu với

nhau. Dựa trên kết quả này, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu và đạt được những kết

quả sau đây:

1) Mô tả bức tranh các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên

thông đơn liên tương ứng với các MD5-đại số đã liệt kê.

2) Chứng minh họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm đó tạo

thành phân lá đo được theo nghĩa của Connes.

Các kết quả thu được là nội dung chính của bản luận văn. Bởi thế, luận văn

này được mang tên “Về một lớp con các MD5-đại số và phân lá tạo bởi các

K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên thông tương ứng”

Nội dung của luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết

luận và phần phụ lục. Cụ thể:

Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu.

Chương 1: Giới thiệu các khái niệm cơ bản về nhóm Lie, đại số Lie, K-biểu

diễn của nhóm Lie và lớp các MD-nhóm, MD-đại số. Phần này

chỉ trình bày những kiến thức cần thiết liên quan đến bài toán

đang xét.

Chương 2 và Chương 3: Trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu với đầy

đủ những chứng minh chặt chẽ. Bao gồm việc mô tả chi tiết bức

tranh hình học các K-quỹ đạo của tất cả các MD5-đại số có ideal

dẫn xuất giao hoán 3 chiều đã được Lê Anh Vũ liệt kê, đồng thời

chứng minh họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm

liên thông đơn liên tương ứng lập thành phân lá đo được theo

nghĩa của Connes.

Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần phải tiếp tục

nghiên cứu.

Phần phụ lục: Trích dẫn bài báo “On a Subclass of 5-dimensional

Solvable Lie Algebras Which Have

3-dimensional

Commutative Derived Ideal” của Lê Anh Vũ đăng trên tạp chí

East – West Journal of Mathematics, Vol. 7 (1), pp. 13 – 22,

Bangkok, Thailand liên quan trực tiếp đến kết quả của luận văn

và bài báo “The Geometry of K-orbits of a Subclass of MD5-

Groups and Foliations Formed by Their Generic K-orbits”

của tác giả chung với Lê Anh Vũ đăng trên tạp chí Contributions

in Mathematics and Applications

(Proceedings of

the

International Conference in Mathematics and Applications,

December 2005, Bangkok, Thailand), pp. 1-16, bài báo thứ 2

chính là các kết quả được trình bày trong luận văn này. Cả hai

bài báo đều được đăng vào năm 2006.

Các nghiên cứu đạt được dựa trên các tính toán thuần túy đại số và giải tích

với sự trợ giúp của máy tính. Nhiều kết quả nêu ra nhưng không chứng minh vì

phương pháp chứng minh đã được trình bày trong các tài liệu trích dẫn. Nội dung

chính của luận văn này cũng đã được mời báo cáo tại Hội nghị Đại số - Hình học

- Tôpô, Tp.HCM tháng 11/2005 và Hội nghị quốc tế về Toán học và Ứng dụng

tại Bangkok, Thái Lan tháng 12/2005.

Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thông

dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu). Để

trích dẫn một kết quả, chúng tôi dùng cách trích dẫn quen thuộc. Chẳng hạn, xem

[So-Vi, Theorem 4] nghĩa là xem định lý 4 trong tài liệu [So-Vi].

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Lê Anh

Vũ, người thầy vô cùng tận tâm và nghiêm khắc. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn

sâu sắc tới người thầy kính yêu đã từng bước hướng dẫn tác giả làm quen với lý

thuyết biểu diễn nhóm Lie, lý thuyết tôpô phân lá để tiến tới nắm vững các lý

thuyết đó và tự giải quyết bài toán của mình. Xin gửi lời cảm ơn đến Tiến sĩ

Nguyễn Văn Sanh, Đại học Mahidol, Bangkok, Thái Lan đã có những lời động

viên và góp ý quý báu cho tác giả. Xin chân thành cám ơn các thầy trong Tổ

Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp

đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả

trong quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ Chức

Hành chính, Phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, Phòng Kế hoạch – Tài

chính Trường Đại học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh đã động viên, giúp đỡ, tạo điều

kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này.

Chương 1. LỚP CÁC MD-NHÓM VÀ MD-ĐẠI SỐ

Chương này chủ yếu đưa ra những cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên

cứu ở các chương sau, trong đó giới thiệu đối tượng nghiên cứu là lớp các MD-

nhóm và lớp các MD-đại số mà chúng ta quan tâm. Trước hết, ta sẽ nhắc lại các

khái niệm và những tính chất cơ bản nhất về nhóm Lie và đại số Lie (thực).

Nhiều mệnh đề được phát biểu nhưng không chứng minh. Độc giả nào

quan tâm đến các chứng mình hoặc muốn tìm hiểu sâu về các khái niệm xin xem

các tài liệu [Bo], [Ki], [Ha-Sch].

1.1. Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie

1.1.1. Định nghĩa

Tập hợp G được gọi là l nhóm Lie (thực) nếu các điều kiện sau thỏa mãn:

(i) G là một nhóm.

(ii) G là đa tạp thực khả vi.

(iii) Phép toán nhóm G x G → G , (x,y) (cid:54) xy 1− khả vi.

Ta không cần chú ý đến lớp khả vi của đa tạp G, vì rằng theo định lý

0C (tức là đa tạp tôpô) có

Gleason-Montgomery-Zippin, trên mọi nhóm Lie lớp

thể đưa vào cấu trúc đa tạp lớp C ∞ tương thích với cấu trúc nhóm.

Nhóm Lie G được gọi là giao hoán nếu phép toán nhóm giao hoán.

Chiều của nhóm Lie G chính là chiều của đa tạp khả vi G.

Vì nhóm Lie vừa có cấu trúc nhóm, vừa là đa tạp khả vi nên ta có thể đưa

nhiều công cụ của đại số, giải tích, tôpô, hình học vi phân, ... để nghiên cứu cấu

trúc của nhóm Lie.

1.1.2. Các ví dụ

a. Đường thẳng thực (cid:92) với phép toán (+) thông thường là một đại số Lie

giao hoán.

b. Đường tròn đơn vị

1S với phép toán (.) (có thể xem

1S là tập hợp các số

phức có mođun bằng 1) là một nhóm Lie giao hoán.

( ,

)

c. Tập hợp

GL n (cid:92) các ma trận vuông cấp n không suy biến với phép toán

nhân ma trận cũng là một nhóm Lie (không giao hoán khi

n ≥ ). Đặc biệt,

(1,

)

khi

1n = thì

=(cid:92) (cid:92) .

d. Nếu

,G G là các nhóm Lie thì tích

cũng là một nhóm Lie. Tương tự

G G× 1 2

cho tích của nhiều nhóm Lie. Những trường hợp đặc biệt thường gặp là

(cid:92)

...

n = × × × (cid:92) (cid:92)

(cid:92) , xuyến n-chiều

các nhóm Lie với phép cộng

... × ×

e. Nhóm các phép biến đổi affine của đường thẳng thực (cid:92) với tôpô tự nhiên

chính là một nhóm Lie. Nhóm này được ký hiệu là aff(cid:92) . Cụ thể nhóm

(cid:92)

aff

∈

{ a b a ( , ) /

} (cid:92) .

1.2. Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie

1.2.1. Định nghĩa

Giả sử K là một trường đặc số khác 2. Một đại số Lie G trên trường K hay

K-đại số Lie là một không gian vectơ trên trường K được bổ sung một phép

toán, kí hiệu là [. , .] (được gọi là móc Lie hay hoán tử) có tính chất song tuyến

tính, phản xứng và thoả mãn đồng nhất thức Jacobi:

,y,z

x∀

∈ G

[[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0 ,

Số chiều của đại số Lie G chính là số chiều của không gian vectơ G.

Cho G là một không gian hữu hạn chiều trên trường K. Giả sử số chiều của

G là n. Cấu trúc đại số Lie trên G có thể được cho bởi móc Lie của từng cặp

đã chọn trước trên G như sau:

vectơ thuộc cơ sở {

}

e e 2, 1

e ,..., n

, 1 i

≤

e e , i

k c ij

⎡ ⎣

⎦ ∑ ⎤ =

1 =

Các hệ số

≤ được gọi là các hằng số cấu trúc của đại số Lie G.

ij , 1 i

Khi trường K là trường số thực (cid:92) thì G được gọi là đại số Lie thực. Nội

dung của luận văn chỉ đề cập và nghiên cứu các đại số Lie thực nên nếu không

sợ nhầm lẫn thì ta vẫn dùng thuật ngữ đại số Lie để chỉ đại số Lie thực.

1.2.2. Các ví dụ

a. Không gian

x y ≡ (tầm thường) hiển nhiên là một đại ,

n(cid:92) với móc Lie [

]

số Lie. Đại số Lie mà móc Lie tầm thường thì được gọi là đại số Lie giao

hoán.

b. Không gian

3(cid:92) với tích có hướng thông thường là một đại số Lie thực 3-

chiều.

,x y ∈ A , ta

c. Cho A là một đại số kết hợp trên trường K. Với mọi cặp (

)

,x y

−

, khi đó A trở thành một đại số Lie. Nói riêng ta

định nghĩa [

]

có đại số Lie Mat(n,K) các ma trận vuông cấp n trên K là một đại số Lie

A B ,

;

A B Mat n K

( ,

)

AB BA −

∀

∈

với móc Lie [

]

d. Đặc biệt, xét đại số các toán tử tuyến tính End(V) trên K-không gian vectơ

V. Khi đó, End(V) trở thành đại số Lie với móc Lie được xác định như

(cid:68)

,A B

A B B A

−(cid:68)

sau: [

]

e. Cho A là một đại số (không nhất thiết kết hợp) trên trường K. Toán tử

D : A

→

tuyến tính

A được gọi là toán tử vi phân trên A nếu:

x y ( ,

)

x y ( )

D x

y ( )

−

)

(

Der A là tập hợp tất cả các toán tử vi phân trên A . Khi đó

Kí hiệu

(

)

(

)

Der A trở thành 1 đại số kết hợp trên K.

Der A sẽ trở thành một đại số

(cid:68)

D D D D −

Lie trên K với móc Lie được định nghĩa là: [

]

D D , 1

1.2.3. Đồng cấu đại số Lie

Cho G1 và G2 là hai K-đại số Lie. Đồng cấu đại số Lie là ánh xạ K-tuyến

tính

x y

([ ,

])

( )] ( y

, x y

[ ( ), x ϕ ϕ

∀

∈G1 )

Nếu ϕ là đẳng cấu tuyến tính thì ϕ được gọi là đẳng cấu đại số Lie.

Các đại số Lie trên trường K lập thành một phạm trù với các cấu xạ chính

là các đồng cấu đại số Lie.

Mỗi đồng cấu đại số Lie

:ϕ G1 ⎯⎯→ G2 còn được gọi là biểu diễn của G1

trong G2. Nói riêng, nếu G2 = End(V) là đại số Lie các toán tử tuyến tính trên

không gian vectơ V thì đồng cấu đại số Lie

:ϕ G1 ⎯⎯→ G2 sao cho ϕ bảo toàn móc Lie, tức là :

diễn tuyến tính của G1 trong không gian vectơ V. Để đơn giản thì đôi khi người ta

dùng thuật ngữ "biểu diễn" thay cho thuật ngữ "biểu diễn tuyến tính".

Khi ϕ là một đơn cấu thì ϕ được gọi là biểu diễn khớp.

Định lý 1.1 (định lý Ado)

Mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có ít nhất một biểu diễn tuyến tính khớp

hữu hạn chiều.

:ϕ G1 ⎯⎯→ End(V) được gọi là biểu

Định lý quan trọng này nói lên rằng, có thể quy tất cả các phép chứng

minh của đại số Lie về trường hợp đại số Lie ma trận,

1.2.4. Biểu diễn chính quy của đại số Lie

Cho G là đại số Lie. Với mỗi x ∈ G , kí hiệu

xad là toán tử trong L được

xác định bởi:

x y ,

;

∀ ∈ G

[

]

xad y ( )

Khi đó

xad là một ánh xạ tuyến tính từ →G G và ta thu được biểu diễn

tuyến tính của G trong chính G như sau:

End

(

)

→ (cid:54)

Biểu diễn này được gọi là biểu diễn chính quy của G . Hạt nhân của biểu

( Ker ad

)

chính là tâm của G .

diễn này là

≡

{ x = ∈

} 0

3= (cid:92)G

Ví dụ: Xét đại số Lie

với móc Lie là tích có hướng thông thường.

Khi đó biểu diễn chính quy của G được cho bởi ma trận như sau:

b − a

−

0 ⎛ ⎜ = −⎜ ⎜ b ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Dể thấy rằng, tâm của G là tầm thường, do đó biểu diễn ad ở đây là khớp.

Nói cách khác, đại số Lie

với móc Lie là tích có hướng thông thường

3= (cid:92)G

đẳng cấu với đại số Lie các ma trận thực phản xứng cấp 3.

1.2.5. Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh

Cho G là một đại số Lie và M là một không gian con của G . Ta bảo

M M ,

M .

⊂

M là đại số con của G nếu [

]

G M ,

M .

⊂

Ta bảo M là ideal của G nếu [

]

Trong đó ký hiệu:

M M ,

x y ,

G ,

x y ,

G ,

∈

[

]

{ [

} [ ,

{ [

}

Khi M là một ideal thì không gian thương G/M trở thành một đại số Lie

với móc Lie được định nghĩa một cách tự nhiên.

Cho G là K-đại số Lie. Đặt : G1 = [ G ,G ] , G2 = [ G1, G1] , …, Gn = [ Gn-1, Gn-1]

G1 = [ G , G ] = G1, G2 = [ G1 , G ], ..., Gn = [ Gn-1 , G ] ( n ≥ 2 )

Mệnh đề 1.2: (i) Gk, Gk là các ideal của G ( k = 1,2,3,………) (ii) G ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ …… ⊃ Gn ⊃ ……

⎢⎢ ∩ ∩

G ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ …… ⊃ Gn ⊃ ……

(iii) Nếu dim G < +∞ thì ∃ n∈ Ν sao cho:

k.h

Gn = Gn+1 = ……

= G∞

k.h

Gn = Gn+1 = ……

= G∞

Đại số Lie G được gọi là giải được nếu G∞ = {0}, G được gọi là lũy linh nếu

G∞ = {0}. Chỉ số n nhỏ nhất để các đẳng thức xảy ra được gọi là hạng của đại số

Lie giải được (tương ứng, lũy linh) G.

Ví dụ:

T n K ( ,

)

) /

0,1

(đại số các ma trận tam

∈

≤ < ≤

a ij

Mat n K a ( , ij

(

)

{

} i n

) /

)

0,1

(đại số các ma trận

∈

≤ ≤ ≤

T n K 0( ,

Mat n K a ( , ij

a ij

giác trên) là một đại số Lie giải được. (

)

{

} i n

tam giác trên mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 0) là một đại số Lie lũy

linh.

Định lý 1.3 (Định lý Lie)

Cho ϕ là biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số Lie giải được G

trong không gian vectơ V trên trường đóng đại số K. Khi đó ϕ tương đương với

biểu diễn tam giác trên, tức là

( , T n K

( ) x ϕ =

∀ ∈ G

Hệ quả 1.4

Nếu G là đại số Lie giải được thì G1=[ G, G] là đại số Lie lũy linh.

Định lý 1.5 (Định lý Engel)

là toán tử lũy

∈ G

Đại số Lie G là lũy linh khi và chỉ khi với mọi

linh (tức là tồn tại

= . 0

n ∈ (cid:96) sao cho (

)

xad

Đại số Lie giải được mặc dù có cấu trúc không quá phức tạp nhưng cho

đến nay thì việc phân loại chúng vẫn là một bài toán mở.

1.3. Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie

1.3.1. Đại số Lie tương ứng với một nhóm Lie đã cho

Cho G là một nhóm Lie. Ta ký hiệu

eT G là không gian tiếp xúc của G tạo

điểm đơn vị e G∈ . Không gian này thường được ký hiệu là G. Khi đó G trở

thành một đại số Lie với móc Lie được xác định bởi toán tử như sau:

X Y ,

XY YX −

∀

∈ G

[

]

X Y ,

f C G∞

−

∀

∈

∀ ∈

( X Yf

)

( Y Xf

)

(

)

Tức là: [

] X Y f ,

là đại số các hàm trơn trên G nhận giá trị thực.

Trong đó

( C G∞

)

Như vậy, mỗi nhóm G sẽ xác định duy nhất một đại số Lie G và G được

gọi là đại số Lie của (hay tương ứng với) G.

Ngoài cách định nghĩa trên, ta còn có thể xem đại số G như là đại số Lie

con các trường vectơ bất biến trái trên G. Cách xây dựng đại số G như sau

Gọi X(G) : đại số Lie các trường vectơ khả vi trên G. Khi đó :

(X + Y)g = Xg + Yg , ∀g ∈ G

(λX)g = λXg , λ ∈ R , ∀g ∈ G

C G∞

)

[X,Y](f) = X(Yf) - Y(Xf) ∀f ∈ (

, ∀X,Y ∈ X(G)

Với mọi g ∈ G . Đặt Lg : G → G, x (cid:54) gx là phép tịnh tiến trái theo g, Rg :

G → G, x (cid:54) xg tịnh tiến phải theo g, thì Lg và Rg là các vi phôi trên G, đồng thời

cảm sinh thành các ánh xạ: Lg* : T(G) → T(G), Rg* : T(G) → T(G) trên không

gian tiếp xúc T(G) của G.

Trường vectơ X được gọi bất biến trái nếu Lg* (X) = X , ∀g ∈ G. Điều này

đồng nghĩa với biểu thức : Lg* (X)x = Xgx

Tương tự, trường vectơ X được gọi là bất biến phải nếu Rg* (X) = X , ∀g

∈ G, tức là : Rg* (X)x = Xxg

Gọi G = { X ∈ X(G) / X là trường vectơ bất biến trái }, thì G là đại số Lie

con của X(G) và gọi là đại số Lie của nhóm Lie G, G ≅ Te(G) (như không gian

vectơ) (lẫn đại số Lie ).

1.3.2. Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie

Với cách xây dựng như trên thì ta thấy, mỗi nhóm Lie sẽ xác định một đại

số Lie duy nhất. Ngược lại thì ta có định lý sau:

Định lý 1.6:

(i)

Cho G là đại số Lie thực bất kì. Khi đó luôn tồn tại duy nhất nhóm Lie

~ sao cho đại số Lie của G

liên thông đơn liên G

~ chính là G .

(ii) Nếu G là một nhóm Lie liên thông nhận G làm đại số Lie thì tồn tại

~ G

nhóm con chuẩn tắc rời rạc D của G

~ sao cho G = D

Nhóm Lie G được gọi là giải được (tương ứng, lũy linh) nếu đại số Lie G

của nó là giải được (tương ứng, lũy linh).

1.3.3. Ánh xạ mũ exponent

Cho G là nhóm Lie, G = Lie(G) là đại số Lie của G .

Mệnh đề 1.7 :

Với mỗi X ∈ G , tồn tại duy nhất nhóm con {x(t) / t∈R} ⊂ G sao cho :

(i)

x(0) = eG .

x(t+s) = x(t).x(s) ; ∀t,s∈ R.

(ii) (iii) x/(0) = X (= Xe)

và được gọi là nhóm con 1-tham số xác định trên G.

d.n

= x(1)∈ G, exp (tX)

= x(t)∈ G

• exp (X)

• exp : G → G, X (cid:54) exp(X)

Định lý 1.8: (về tính chất của ánh xạ exp)

(i)

Ánh xạ exp là vi phôi địa phương

(ii) Ánh xạ exp có tính tự nhiên :

f (dong cau nhom Lie) ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯

→

(cid:68)

(cid:68) f exp exp f =

exp exp

⎯

→

G 1

G 2

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ f

Nếu exp vi phôi (toàn cục) thì G gọi là nhóm exponential.

Hệ quả 1.9:

Có một song ánh giữa tập các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của các

các đại số Lie và các nhóm liên thông đơn liên.

1.4. Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số

1.4.1. K-biểu diễn của một nhóm Lie

G là một nhóm Lie tuỳ ý và G là đại số Lie của nó. Giả sử G tác động lên

Aut

G bởi

⎯⎯→ G được định nghĩa như sau:

:Ad G

Ad g ( )

∀ ∈ G ⎯⎯→ G, g G

L R − . g g

R − ) là phép tịnh tiến trái (tương ứng, phải) của G

Trong đó

gL (tương ứng

G− ∈ ). Tác động Ad còn gọi là biểu diễn phụ

theo phần tử g G∈ (tương ứng,

hợp của G trong G.

Ký hiệu G* là không gian đối ngẫu của đại số Lie G. Khi đó biểu diễn Ad

( ) : 1 *

Aut

cảm sinh ra tác động

⎯⎯→ G* của G lên G* theo cách sau đây:

1 −

:K G

K g F X

F Ad g X (

>=<

∀ ∈ > ∀ ∈G, F∀ ∈G*, g G ,

( ) , ) ,

Ở đây ta ký hiệu

> , F ∈G* , X ∈G là chỉ giá trị của dạng tuyến

tính F ∈G* tại trường vectơ (bất biến trái) X ∈G . Tác động K được gọi là K-

biểu diễn hay biểu diễn đối phụ hợp của G trong G* . Mỗi quỹ đạo ứng với K-

biểu diễn được gọi là K-quỹ đạo hay quỹ đạo Kirillov của G (trong G* ).

Mỗi K-quỹ đạo của G luôn là một G-đa tạp vi phân thuần nhất với số

chiều chẵn và trên đó có thể đưa vào một cấu trúc symplectric tự nhiên tương

thích với tác động của G.

Ký hiệu O(G) là tập hợp các K-quỹ đạo của G và trang bị trên đó tôpô

thương của tôpô tự nhiên trong G* . Nói chung thì tôpô thu được khá “xấu”: nó

có thể không tách, thậm chí không nửa tách.

,F X

1.4.2. Các MD-nhóm và MD-đại số

Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được. G là đại số Lie của G và G* là

không gian đối ngẫu của G .

Nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD-nhóm nếu các K-quỹ đạo

của nó hoặc là không chiều hoặc là có số chiều cực đại. Trường hợp số chiều cực

đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm G được gọi là có tính chất MD hay

còn gọi là MD -nhóm. Đại số Lie thực giải được G ứng với MD-nhóm (tương

ứng, MD -nhóm) được gọi là MD-đại số (tương ứng, MD -đại số).

Thuật ngữ MD-nhóm, MD-đại số, MD -nhóm, MD -đại số được dùng đầu

tiên bởi Đỗ Ngọc Diệp năm 1980. Ngay sau đó lớp các MD-đại số và MD -đại số

đã được Vương Mạnh Sơn và Hồ Hữu Việt xem xét năm 1982. Hồ Hữu Việt đã

phân loại triệt để lớp MD -đại số: các MD -đại số không giao hoán là và chỉ là các

đại số Lie của các nhóm biến đổi affine của đường thẳng thực hoặc phức (xem

[So-Vi, Théorème 1]). Vương Mạnh Sơn đã đưa ra một điều kiện cần để một đại

số Lie thực giải được là MD-đại số.

Mệnh đề 1.10 (xem [So-Vi, Théorème 4]):

Giả sử G là một MD-đại số. Khi đó G2 = [[G, G], [G, G]] là một

đại số con giao hoán trong G .

Như đã nói ở phần mở đầu, toàn bộ lớp các MD4-đại số đã được liệt kê đầy

đủ vào năm 1984 bởi Đào Văn Trà (xem[Tra]), tuy nhiên tác giả mới chỉ dừng

lại ở liệt kê thô mà không xét đến tính đẳng cấu giữa các đại số Lie. Phải đến

năm 1990, Lê Anh Vũ mới phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie)

các MD4-đại số đó (xem [Vu2], [Vu6], [Vu7]). Nói một cách vắn tắt là bài toán

liệt kê và phân loại các MD4-đại số coi như đã giải quyết trọn vẹn.

Tuy nhiên khi n = 5 thì mọi tính toán đều trở nên phức tạp hơn rất nhiều. Để

đơn giản thì Lê Anh Vũ chỉ xét lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao

hoán k chiều (với k<5) và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng. Năm 2003, Lê

Anh Vũ và học trò của mình là Nguyễn Công Trí (xem [Vu8] và [Vu-Tri]) đã liệt

kê và sau đó năm 2005, Lê Anh Vũ [xem Vu9] cũng đã phân loại triệt để lớp con

các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán không quá 2 chiều. Đồng thời các

tác giả cũng chứng minh được rằng, họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các

MD5-nhóm liên thông tương ứng với các MD5-đại số đó đều tạo thành phân lá

đo được theo nghĩa của Connes và gọi đó là các MD5-phân lá, tôpô của các

MD5-phân lá này cũng đã được mô tả chi tiết.

Cuối năm 2005, Lê Anh Vũ (xem [Vu9] ở phụ lục 1) tiếp tục liệt kê và phân

loại lớp con các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều.

Trong các chương sau, chúng ta sẽ giới thiệu kết quả này đồng thời mô tả bức

tranh các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng và xem

xét không gian phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm

này.

Chương 2. LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ CÓ IDEAL DẪN XUẤT GIAO

HOÁN 3 CHIỀU VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K-QUỸ

ĐẠO CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN

TƯƠNG ỨNG

Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại định lý phân loại các MD5-đại số

có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều của Lê Anh Vũ, đồng thời mô tả bức tranh

hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với

các MD-đại số đó. Nhưng trước hết chúng ta sẽ nhắc lại phương pháp mô tả các

K-quỹ đạo của nhóm Lie đã được đưa ra trong [Vu2].

2.1. Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo

2.1.1. Nhắc lại khái niệm K-quỹ đạo của nhóm Lie

Cho G là nhóm Lie có đại số Lie G và G* là không gian đối ngẫu của G

thì K-biểu diễn của G trong G được cho bởi:

F Ad ,

g G X ,

G *

>=<

> ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈

−

K F X )

(

Khi đó, ứng với mỗi F trong G* , K-quỹ đạo

FΩ của G qua F được xác

định bởi:

∈

(2.1.1)

Ω = F

(

)

{

} gK F g G /

Đối với mỗi nhóm Lie G, chúng ta quan tâm đến bài toán mô tả các K-quỹ

đạo

FΩ của G, với mỗi F ∈G* . Khi nghiên cứu về nhóm Lie thì thông tin

chúng ta thu được rất ít và khó nghiên cứu bởi vì luật nhóm của G chưa được

cho một cách tường minh. Lý thuyết biểu diễn cho phép ta chuyển từ nghiên cứu

nhóm sang nghiên cứu đại số thông qua một công cụ là ánh xạ mũ exp.

Ký hiệu expG : G ⎯⎯→ G là ánh xạ mũ của G và exp: EndRG ⎯⎯→ AutRG là

ánh xạ mũ của nhóm Lie AutRG các tự đẳng cấu (cid:92) -tuyến tính của G.

Nhắc lại rằng vi phân Ad* = ad: G ⎯⎯→ EndRG của biểu diễn phụ hợp của

G trong G được xác định bởi công thức:

)

[U,X], U,X

∀

∈G.

Uad X = (

Tính tự nhiên của ánh xạ mũ được thể hiện bởi hình chữ nhật giao hoán

⎯⎯⎯⎯⎯→ AutRG

exp

expG

⎯⎯⎯⎯⎯→ EndRG

Tức là ta có đẳng thức: Ad.expG = exp.ad

Với mỗi U ∈G, mỗi F ∈G* , ta xác định phần tử FU trong G* như sau:

, exp(

>=<

> ∀ ∈G. , X

F X , U

ad X ) U

2.1.2. Bổ đề 2.1

Nếu gọi

FΩ là K-quỹ đạo của G qua F thì ta luôn có bao hàm thức

/UF U ∈G} (2.1.2)

FΩ ⊃ {

Hơn nữa nếu expG là toàn ánh thì đẳng thức xảy ra

Chứng minh:

Với mỗi U ∈ G , đặt

− ∈ . Khi đó ta có: ) U G

exp ( G

F Ad ,

U X ))

>=<

,exp(ad ) U

1 −

UF X ,

F Ad g X (

)

K g F X

( )

>=<

(exp ( G > ∀ ∈ G X

Do đó,

K g F ( )

F ∈ Ω (theo công thức 2.1.1)

và U

Tức là

/UF U ∈G}.

FΩ ⊃ {

Nếu giả thiết thêm expG là toàn ánh thì khi đó với mỗi g G∈ , luôn tồn tại

. Khi đó ta có:

1 g − =

( exp U

)

0U ∈ G để

1 −

K g F X

( )

F Ad g X (

)

F Ad ,

>=<

,exp(ad )

(exp ( G ,

>=<

U X )) 0 > ∀ ∈ G X

F X , U

Do đó

K g F ( )

và

/UF U ∈G}.

FΩ ⊂ {

Nghĩa là ta có đẳng thức:

/UF U ∈G} □

FΩ = {

Để tiện cho việc sử dụng trong phần sau, ta sẽ ký hiệu tập {

/UF U ∈G} là

)

Ω G . Như thế, bao hàm thức 2.1.2 có thể được viết là:

F (

(

)

, F

⊂ Ω ∀ ∈ F

Một điều kiện đủ để đẳng thức trên xảy ra là ánh xạ expG là toàn ánh.

Thực ra trong nhiều trường hợp thì có một điều kiện yếu hơn tính toàn ánh

(

)

⊂ Ω

. Cụ thể ta có khẳng định dưới đây:

của expG cũng đủ để có đẳng thức

2.1.3. Bổ đề 2.2

Giả sử G liên thông. Nếu họ các

FΩ (G), F ∈G* lập thành một phân

hoạch của G* và mọi

'F∀ ∈G* đều cùng mở hoặc cùng đóng (tương

'FΩ (G),

đối) trong

FΩ , F ∈G*. Khi đó:

FΩ (G)

F= Ω , F∀ ∈G*.

Chứng minh:

Vì G liên thông nên mỗi K-quỹ đạo

FΩ cũng liên thông (trong G*). Chú

rằng, các K-quỹ đạo lập thành một phân hoạch trong G* . Giả thiết rằng có

(

≠ ΩG )

F ∈G* để

các phiếm hàm trong G* chứa F

. Khi đó tồn tại họ { }i F

i I ∈

G . Vì hợp này gồm các tập

và có nhiều hơn một phần tử sao cho

(

)

F i

Ω = Ω∪

i I∈

cùng mở (hoặc cùng đóng) khác ∅ rời nhau trong

FΩ nên không thể liên thông.

Mâu thuẩn này chứng tỏ

FΩ (G)

F= Ω , F∀ ∈G*. □

2.1.4. Mệnh đề 2.3

Giả sử G là nhóm Lie thực giải được, đơn liên, hữu hạn chiều và G là đại

số Lie của nó. Khi đó các khẳng định sau đây tương đương:

(i)

Ánh xạ expG : G ⎯⎯→ G là vi phôi giải tích (hay G là nhóm

exponential).

(ii)

X∀ ∈G,

Xad không có giá trị riêng (trong (cid:94) ) thuần ảo nào.

2.1.5. Hệ quả 2.4

Nếu G là nhóm Lie thực giải được, liên thông hữu hạn chiều với đại số Lie

G của nó có tính chất (ii) trong mệnh đề 2.3 thì ánh xạ mũ expG : G ⎯⎯→ G là

toàn ánh.

2.2. Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều

Từ đây về sau, G luôn là ký hiệu để chỉ nhóm Lie liên thông 5 chiều và G

5R≡

là đại số Lie của G. Lúc đó với tư cách là một không gian vectơ 5 chiều, G

(

)

Ta chọn trước một cơ sở

X X X X X cố định trong G. Không gian đối

5R≡

và có cơ sở đối ngẫu

ngẫu của G được ký hiệu là G* . Và ta cũng có G*

(

)

(

)

tương ứng

X X X X X với cơ sở ,

X X X X X trong G. ,

* 2

2.2.1. Định lý 2.5 (xem [Vu9, Theorem 2.1] trong phụ lục 1)

3R≅

(đại số

Cho đại số Lie: G

> là một MD5-đại số và G1

X X X X X 3

Lie giao hoán 3 chiều):

• Nếu G khả phân thì nó có dạng G = h R⊕ , ở đó h là một MD4-đại

số.

• Nếu G bất khả phân thì ta luôn có thể chọn được một cơ sở thích hợp

)

(

X X X

>≅

= , 0

X X X X X trong G sao cho G1

Xad

Mat

≅

(cid:92) [ X1, X2 ] = X3 và G đẳng cấu với một và

2Xad ∈End(G1)

chỉ một trong các đại số Lie dưới đây:

= GG

5,3,1(

)λ λ ,

(cid:92)

∈

{ } \ 0,1 ,

Xad

, λ λ 1 2

λ λ ≠ 2

λ 2 0

λ ⎡ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎣

⎤ ⎥ 0 ; ⎥ ⎥ 1 ⎦

G = G

5,3,2(

)λ

1 0 0

(cid:92)

0 1 0 ;

∈

{ } \ 0,1 .

Xad

0 0

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ λ ⎦

G = G

5,3,3(

)λ

0 0

(cid:92)

\{1}.

∈

Xad

0 0 1

λ ⎡ ⎢ 0 1 0 ; ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

G = G

5,3,4

1 0 0

Xad

⎡ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 0 1 0 . ⎥ ⎥ 0 0 1 ⎦

G = G

5,3,5(

)λ

0 0

(cid:92)

\{1}.

∈

Xad

λ ⎡ ⎢ 0 1 1 ; ⎢ ⎢ 0 0 1 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

G = G

5,3,6(

)λ

1 1 0

(cid:92)

∈

{ } \ 0,1 .

Xad

0 1 0 ; 0 0

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ λ ⎦

G = G

5,3,7

1 1 0

Xad

0 0 1

⎡ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 0 1 1 . ⎥ ⎥ ⎦

G = G

5,3,8(

)λϕ ,

cos

sin

(cid:92)

sin

− cos

\{0},

) (0, ϕ π

∈

Xad

ϕ 0

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 0 ; ⎥ ⎥ λ ⎦

2.2.2. Chứng minh định lý 2.5

Để chứng minh định lý 2.5, ta cần có một số bổ đề sau đây :

Bổ đề 2.6

(cid:68)

Đối với các đại số liệt kê như trên thì ta có :

Chứng minh :

3, 4,5)

,X X và

, ta có :

Sử dụng đồng nhất thức Jacobi đối với

( iX i =

]

, X X 1

, X X 2

, X X i

[ ⎡ ⎣

⎤ ⎦

[ ⎡ ⎣

⎤ ⎦

[ ⎡ ⎣

⎤ ⎦

⇔

−

[ X X X

]

[

]

, X X 1

⎡ ⎣

⎤ ⎦

⎡ ⎣

⎤ ⎦

(cid:68)

;

3, 4,5

⇔

(

)

(

)

(cid:68)

⇔

□

Bổ đề 2.7 (xem [Di] và [So-Vi])

Nếu G là một MD-đại số và F ∈G* không triệt tiêu hoàn toàn trên G. Khi

đó K-quỹ đạo

FΩ qua F có chiều cực đại.

Chứng minh :

Giả sử

FΩ không có chiều cực đại, tức là dim

FΩ = . Suy ra :

dim

−

Ω = F

KerB =

= ⊃

G G và F không triệt tiêu hoàn toàn trên

1G . Vô lý.

Do đó

Vậy

FΩ phải có chiều cực đại. □

Chứng minh định lý 2.5 :

(

Đầu tiên ta luôn có thể chọn một cơ sở

X X X X X của G sao cho )

(cid:92) .

⊕

(cid:92) ,

Mat

(cid:92) . )

≅

1Xad ,

2Xad ∈End(G1)

3≅ (cid:92) . Do đó,

Ta có

không thể đồng thời triệt tiêu vì G1

1Xad và

2Xad

≠ , bằng cách đổi cơ sở thích hợp

không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

Xad

1 0 0

(cid:92)

∈

;

ta có thể biểu diễn

như sau:

{ } \ 0,1 ,

, λ λ 1 2

≠ λ λ 2

2Xad

λ 2 0

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 0 1 0 , ⎥ ⎥ 0 0 λ ⎦

λ ⎡ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎣

⎤ ⎥ 0 , ⎥ ⎥ 1 ⎦

0 0

1 0 0

0 0

1 1 0

(cid:92)

\{1}

0 1 0

\{1}

λ∈ (cid:92)

∈

;

{ } \ 0,1 ;

0 0 1

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 0 1 0 , ⎥ ⎥ 0 0 λ ⎦

λ ⎡ ⎢ 0 1 0 , ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

λ ⎡ ⎢ 0 1 1 , ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1 1 0

cos

sin

(cid:92)

λ∈ (cid:92)

\{0},

) (0, ϕ π

∈

;

{ } \ 0,1

sin ϕ 0

− cos 0

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ∈ 0 , λ ⎥ ⎥ λ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 0 1 1 ; ⎥ ⎥ 0 0 1 ⎦

pX m n p

;

∈ (cid:92) . Ta luôn luôn có thể đổi cơ sở

Giả sử [

]

X X , 1

mX=

. Thật vậy, nếu:

thích hợp sao cho [

]

,X X 1

(cid:92)

∈

{ } \ 0,1 ,

, λ λ 1 2

≠ λ λ 2

Xad

λ 2 0

λ ⎡ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎣

⎤ ⎥ 0 ; ⎥ ⎥ 1 ⎦

' X X ,

;

∈

Thì ta thay

thì ta sẽ có

(cid:92) .

' 1

mX m 3

1X bởi

⎡ ⎣

⎤ = ⎦

n λ 2

Với cách đổi cơ sở tương tự, ta sẽ thu được các kết quả như thế đối với các đại

số còn lại. Và do đó, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử ngay lúc đầu là

X X ,

;

∈

(cid:92) .

mX m 3

⎡ ⎣

⎤ = ⎦

Khi đó có 3 trường hợp sau đây:

X X = (tức là m = 0) và

(1) [

]

Xad = . Thì G = h ⊕(cid:92) , trong đó h là

(

)

đại số con của G sinh bởi

X X X X , tức là G khả phân.

(2) [

] X X = và

Xad ≠ .

(cid:92)

∈

(2a) Giả sử

{ } \ 0,1 ,

, λ λ 1 2

≠ λ λ 2

Xad

λ 2 0

λ ⎡ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 0 ; ⎥ ⎥ ⎦

Theo bổ đề 2.6, bằng tính toán trực tiếp ta có:

0 0

(cid:92)

, , μν ξ

2 2 μ ν ξ

∈

≠

Xad

ν 0

μ ⎡ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 0 ; ⎥ ⎥ ξ ⎦

−

Xξ

Nếu

0ξ≠

thì

đặt

có:

' 1

ν 0

' μ ⎡ ⎢ 0 = ⎢ ⎢ 0 ⎣

⎤ ⎥ ' 0 ; ⎥ ⎥ 0 ⎦

= −

, μ μ ξλ ν ν ξλ 1 2

0 0

(cid:92)

, μν

∈

2 2 + μ ν

≠

Do đó ta lại có thể giả sử rằng

Xad

ν 0 0

μ ⎡ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 0 ; ⎥ ⎥ ⎦

U aX =

* α β

* δ σ

Đặt

∈ G* ,

∈ G

* 2

a b c d f ,

, , , α β γ δσ

∈ (cid:92) . Ta có:

với

∈

[ F U X

]

KerB F

{ U

} 1, 2,3, 4,5

Bằng tính toán đơn giản, ta có :

G ∈ ⇔ F

a ⎛ ⎜ b ⎜ ⎜ M c ⎜ d ⎜ ⎜ f ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎝ ⎠

0 0

−

: =

trong đó

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ μγ λγ ⎜ νδ λδ ⎜ 2 ⎜ 0 σ ⎝

G -

dim

rank M

(

)

Suy ra dim

Ω = F

≠

, tức là

Theo bổ đề 2.7,

FΩ là K-quỹ đạo có chiều cực đại nếu

(

)

2 2 γ δ σ

≠ . Đặc biệt,

rank M sẽ là hằng số nếu

γ δ σ không đồng thời

(

= = ≠

γ δ

bằng 0. Dể dàng chỉ ra rằng

rank M = nếu )

nhưng

rank M = nếu )

γ δ σ đều khác 0. Như vậy trường hợp (2a) không thể xảy ra.

(2b) Giả sử

2Xad rơi vào 1 trong 7 trường hợp còn lại, bằng lập luận tương

tự ta suy ra trường hợp (2) cũng không thể xảy ra.

X X ≠ (tức là 0

0m ≠ ). Bằng cách đặt

, ta có ngay đẳng

' 1

(3) [

]

1 m

' ,X X

. Do đó, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử ngay từ đầu

thức

⎡ ⎣

⎤ = ⎦

,X X

là

⎡ ⎣

⎤ = ⎦

Lập luận tương tự trường hợp (2a), ta cũng chỉ ra rằng

Xad ≠ là không

thể xảy ra. Do đó,

Xad = . Như vậy, G phải đẳng cấu với một trong các đại số

μγ νδ ⎞ ⎟ λγ λδ σ − − ⎟ 2 1 ⎟ 0 0 0 ⎟ 0 0 0 ⎟ ⎟ 0 0 0 ⎠

đã được liệt kê như trên định lý. Dể thấy, các đại số này không đẳng cấu với

nhau.

Cuối cùng, ta phải chứng minh các đại số đã được liệt kê chính là các MD-

đại số. Để làm được điều đó ta chỉ cần chứng minh đối với trường hợp

= GG

, các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.

5,3,1(

)λ λ ,

= GG

, xét dạng

tuyến

tính bất kỳ

Thật vậy, giả sử

5,3,1(

)λ λ ,

* α β

* δ σ

∈ G* ;

* 2

G -

dim

G là 0-chiều hoặc có chiều cực đại.

Ω = F

U aX =

∈ G với

a b c d f ∈ (cid:92) . Bằng cách tính ,

Gọi

toán như trường hợp (2a), ta có:

G ∈ ⇔ F

a ⎛ ⎜ b ⎜ ⎜ N c ⎜ d ⎜ ⎜ f ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎝ ⎠

γ − 0

−

: =

trong đó

γ 0 0 0

λγ 1 λδ 2 σ

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ λγ λδ σ − − ⎟ 2 1 ⎟ 0 0 0 ⎟ 0 0 0 ⎟ ⎟ 0 0 0 ⎠

G -

dim

rank N

(

)

Suy ra dim

Ω = F

rank N

(

)

Dể thấy rằng :

0 ; 2 ;

0 0

= +

= ≠

γ δ σ 2 2 2 γ δ σ

⎧ = ⎨ ⎩

α β γ δσ∈ (cid:92) . Ta cần chứng minh

Do đó,

FΩ là quỹ đạo 0 chiều hoặc 2 chiều (chiều cực đại) với F ∈ G* , tức

= GG

là một MD5-đại số. Định lý được chứng minh hoàn toàn. □

là

5,3,1(

)λ λ ,

Nhắc lại rằng, một đại số Lie thực G xác định duy nhất một nhóm Lie liên

thông đơn liên G sao cho Lie(G) = G. Do đó ta cũng có lớp gồm 8 họ MD5-

nhóm liên thông đơn liên tương ứng với các MD5-đại số được liệt kê trong định

là MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với

lý 2.5. Ví dụ,

5,3,1(

)

G G λ λ

= GG

MD5-đại số

. Các họ MD5-nhóm này đều bất khả phân.

5,3,1(

)λ λ ,

2.3. Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn

liên tương ứng với các MD5-đại số đã xét

G G=

,

Gọi G là nhóm tuỳ ý thuộc

5,3,1(

)

5,3,2(

)

5,3,3(

)

5,3,4

G G λ λ

G G λ

G G=

,

và G là đại số Lie tương ứng của G.

5,3,5(

)

5,3,6(

)

5,3,7

5,3,8(

)

G G λ

G G λϕ

Gọi G* là không gian đối ngẫu của đại số Lie G của G. Mỗi X ∈G có toạ độ

a b c d f ( , ,

)

(

)

trong cơ sở

α β γ δ σ ) ,

X X X X X , mỗi F ∈G* có toạ độ (

(

)

(

)

X X X X X của

X X X X X . ,

trong cơ sở đối ngẫu

FΩ là K-quỹ đạo

* 2

của G trong G* chứa F.

2.3.1. Mệnh đề 2.3.1

K-quỹ đạo

được mô tả như sau:

FΩ chứa F của nhóm

5,3,1(

)

G G λ λ

(

F α β ,

γ δ σ= =

= thì

: quỹ đạo là 0-chiều

(i)

Nếu

{

} , 0, 0, 0)

Ω = F

= = γ δ σ

, 0, 0, ) :

( , α

s σ

≠ thì

: nửa mặt phẳng 2-

(ii) Nếu

{

} 0

Ω = F

chiều.

γ δ σ

≠

t , 0, , 0) :

( , α

t δ

(iii) Nếu

= thì

: nửa mặt phẳng 2-

{

} 0

Ω = F

chiều.

, 0, , ) : t s

( , α

; s σ

≠

≠ thì

: mặt trụ

(iv) Nếu

Ω = F

s σ

⎛ δ ⎜ ⎝

λ 2 ⎞ ⎟ ⎠

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

2-chiều.

0, γ δ σ

≠

F x y z ( ,

, 0, 0) :

; z γ

+ −

= thì

: nửa

(v) Nếu

{

} 0

Ω = F

λ λα γ 1

mặt phẳng 2-chiều.

γ δ σ

≠

≠ thì

(vi) Nếu

;

( , F x y z

, 0, ) : s

z λ λα γ λ λα γ

; s σ

+ −

−

: mặt

Ω = F

s σ

⎛ ⎜ ⎝

λ 1 ⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

trụ 2-chiều.

γ δ σ

≠

= thì

(vii) Nếu

λ 1 λ 2

( ,

, , 0) :

;

F x y z t

z λ λα γ λ λα γ

; t δ

+ −

−

: mặt

Ω = F

t δ

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

trụ 2-chiều

γ δ σ

≠

(viii) Nếu

≠ thì

, , ) :

( ,

;

, F x y z t s

z λ λα γ λ λα γ

, s σ

+ −

−

Ω = F

s σ

⎛ ⎜ ⎝

λ 1 ⎞ ⎟ ⎠

⎛ δ ⎜ ⎝

λ 2 ⎞ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

mặt trụ 2-chiều.

Chứng minh :

γ δ σ

)

Với mỗi X có tọa độ ( ,

a b c d f ∈G thì ma trận của ánh xạ

Xad là:

0 0

Xad

0 0 b c λ λ 1 1 0 d 0

0 0 0 b λ 2 0

0 0 0 0 b

− − λ 2 f −

0 ⎡ ⎢ 0 ⎢ ⎢ = − b a ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Giá trị riêng : t = 0 (bội 2), t= b, t =

1bλ , t= 2bλ

1 0

0 1

0 0

)

b λ e 1

( 1 − +

−

c λ 1

b λ e 1

b λ e − 1 λ 1

exp(

)

λ e 2

−

)

−

)( b λ 1 ( 1 − + b ( 1 e − + b

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Toạ độ

XF ∈ G như sau:

= + α

b λ e 1

)

λ e 2

)

b λ e − 1 λ 1 ( 1 − +

−

c λ 1

β = +

−

( 1 − + b

( 1 e − + b

)( b λ 1

b λ e γ 1 b λ δe 2

σe

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = z ⎪ ⎪ = t ⎪ s =⎩

Theo hệ quả 2.4 và mệnh đề 2.1, ta suy ra điều phải chứng minh. □

Bằng tính toán và lập luận tương tự, ta có bức tranh các K-quỹ đạo của các

MD5-nhóm còn lại như sau:

2.3.2. Mệnh đề 2.3.2

K-quỹ đạo

được mô tả như sau:

FΩ chứa F của nhóm

5,3,2(

)

G G λ

(

F α β ,

γ δ σ= =

= thì

: quỹ đạo là 0-chiều

(i)

Nếu

{

} , 0, 0, 0)

Ω = F

, 0, 0, ) :

( , α

s σ

= = γ δ σ

≠ thì

: nửa mặt phẳng 2-

(ii) Nếu

{

} 0

Ω = F

chiều.

t , 0, , 0) :

( , α

t δ

γ δ σ

≠

= thì

: nửa mặt phẳng 2-

(iii) Nếu

{

} 0

Ω = F

chiều.

, 0, , ) : t s

γ δ σ

≠

( , α

, t δ

(iv) Nếu

≠ thì

: mặt trụ

Ω = F

t δ

⎛ σ ⎜ ⎝

λ ⎞ ⎟ ⎠

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

2-chiều.

0, γ δ σ

≠

F x y z ( ,

, 0, 0) :

= + − α γ

; z γ

= thì

: nửa mặt

(v) Nếu

{

} 0

Ω = F

phẳng 2-chiều.

γ δ σ

≠

≠ thì

(vi) Nếu

( , F x y z

, 0, ) : s

; z s

; z γ

α γ = + −

: mặt trụ 2-chiều.

Ω = F

z γ

⎛ σ ⎜ ⎝

λ ⎞ ⎟ ⎠

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

γ δ σ

≠

(vii) Nếu

= thì

F x y z t

( ,

, , 0) :

z x ;

t ) ; γ δ

α γ = + −

= + −

Ω = F

t δ

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

nửa mặt phẳng 2-chiều.

γ δ σ

≠

≠ thì

(viii) Nếu

F x y z t s ,

, , ) :

( ,

z x ;

t , δ

α γ = + −

= + −

Ω = F

t δ

⎛ s ) ; γ σ = ⎜ ⎝

λ ⎞ ⎟ ⎠

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

mặt trụ 2-chiều.

2.3.3. Mệnh đề 2.3.3

K-quỹ đạo

được mô tả như sau:

FΩ chứa F của nhóm

5,3,3(

)

G G λ

(

F α β ,

γ δ σ= =

= thì

: quỹ đạo là 0-chiều

(i)

Nếu

{

} , 0, 0, 0)

Ω = F

, 0, 0, ) :

( , α

s σ

= = γ δ σ

≠ thì

: nửa mặt phẳng 2-

(ii) Nếu

{

} 0

Ω = F

chiều.

t , 0, , 0) :

( , α

t δ

γ δ σ

≠

= thì

: nửa mặt phẳng 2-

(iii) Nếu

{

} 0

Ω = F

chiều.

γ δ σ

≠

t s , 0, , ) :

( , α

t = δ σ δ

≠ thì

: nửa mặt

(iv) Nếu

{

} 0

Ω = F

phẳng 2-chiều.

F x y z ( ,

, 0, 0) :

λ λα γ

+ −

z γ

0, γ δ σ

≠

= thì

: nửa

(v) Nếu

{

} 0

Ω = F

mặt phẳng 2-chiều.

γ δ σ

≠

≠ thì

(vi) Nếu

F x y z ( ,

s , 0, ) :

;

z λ λα γ λ λα γ

s , σ

+ −

−

: mặt trụ

Ω = F

s σ

⎛ ⎜ ⎝

λ ⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

2-chiều.

γ δ σ

≠

= thì

(vii) Nếu

: mặt trụ 2-chiều.

λ ⎞ ⎟ ⎠

F x y z t x ( , , , 0) : , z z ; 0 λ λα γ γ t , δ + − = = > Ω = F t δ ⎛ ⎜ ⎝ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

(viii) Nếu

0, 0, 0 γ δ σ ≠ ≠ ≠ thì

λ ⎞ ⎟ ⎠

mặt trụ 2-chiều.

x x s t F x y z t s , , , ) : ( , ; 1 , 0 + − = + = − > z λ λα γ λ λα γ t ; = δ σ δ Ω = F s σ ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

2.3.4. Mệnh đề 2.3.4

K-quỹ đạo

được mô tả như sau:

FΩ chứa F của nhóm

5,3,4

G G=

(

F α β ,

: quỹ đạo là 0-chiều

(i)

Nếu

{

} , 0, 0, 0)

Ω = F

, 0, 0, ) :

0 γ δ σ= = = thì

( , α

s σ

: nửa mặt phẳng 2-

(ii) Nếu

{

} 0

Ω = F

chiều.

0, 0 = = γ δ σ ≠ thì

t , 0, , 0) :

( , α

t δ

: nửa mặt phẳng 2-

(iii) Nếu

{

} 0

Ω = F

chiều.

t s , 0, , ) :

( , α

t = δ σ δ

γ δ σ

≠

≠ thì

: nửa mặt

(iv) Nếu

{

} 0

Ω = F

phẳng 2-chiều.

0, γ δ σ

≠

F x y z ( ,

, 0, 0) :

= + − α γ

z γ

= thì

: nửa mặt

(v) Nếu

{

} 0

Ω = F

phẳng 2-chiều

0, 0, 0 γ δ σ ≠ = = thì

(vi) Nếu

0, 0, 0 γ δ σ ≠ = ≠ thì

: nửa mặt phẳng

2-chiều.

γ δ σ

≠

= thì

(vii) Nếu

x F x y z ( , , s , 0, ) : z x ; 1 0 = + − > = + − α γ α γ s , σ Ω = F s σ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⎫ ⎬ ⎭ ⎧ ⎨ ⎩

: nửa mặt phẳng 2-chiều.

F x y z t x ( , , , 0) : , z z ; 0 α γ = + − = > Ω = F t t , γ δ δ ⎫ ⎬ ⎭ ⎧ ⎨ ⎩

(viii) Nếu

0, 0, 0 γ δ σ ≠ ≠ ≠ thì

: nửa mặt

phẳng 2-chiều.

x s t F x y z t s , , , ) : ( , z x ; 1 , 0 = + − > = + − α γ α γ t ; = δ σ δ Ω = F s σ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⎫ ⎬ ⎭ ⎧ ⎨ ⎩

2.3.5. Mệnh đề 2.3.5

K-quỹ đạo

được mô tả như sau:

FΩ chứa F của nhóm

5,3,5(

)

= G G λ

(

F α β ,

: quỹ đạo là 0-chiều

(i)

Nếu

{

} , 0, 0, 0)

Ω = F

, 0, 0, ) :

0 γ δ σ= = = thì

( , α

s σ

: nửa mặt phẳng 2-

(ii) Nếu

{

} 0

Ω = F

chiều.

0, 0 = = γ δ σ ≠ thì

γ δ σ

≠

= thì

: mặt trụ 2-

(iii) Nếu

chiều.

F y s t t s , 0, , ) : ln 0 ( , α = t , δ > Ω = F t δ ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

: mặt

(iv) Nếu

trụ 2-chiều.

0, γ δ σ

≠

F x y z ( ,

, 0, 0) :

λ λα γ

+ −

z γ

= thì

: nửa

(v) Nếu

{

} 0

Ω = F

mặt phẳng 2-chiều

F y s t 0, 0, 0 t s , 0, , ) : ln 0 γ δ σ ≠ = ( , α = σ + t , δ > ≠ thì Ω = F t δ t δ ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

(vi) Nếu

0, 0, 0 γ δ σ = ≠ ≠ thì

: mặt trụ

λ ⎞ ⎟ ⎠

2-chiều.

γ δ σ

≠

= thì

(vii) Nếu

x x F x y z ( , , s , 0, ) : ; 1 0 + − + = = − > z λ λα γ λ λα γ s , σ Ω = F s σ ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

: mặt trụ 2-

λ ⎞ ⎟ ⎠

chiều.

γ δ σ

≠

≠ thì

(viii) Nếu

x s t F x y z t s , , , ) : ( , z z ; ; ln 0 + − = = = > λ λα γ γ t , δ Ω = F t δ t δ ⎛ ⎜ ⎝ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

λ ⎞ ⎟ ⎠

mặt trụ 2-chiều.

x x s t F x y z t s , , , ) : ( , ; 1 ; ln 0 + − + = = − = + > z λ λα γ λ λα γ σ t , δ Ω = F t δ t δ t δ ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

2.3.6. Mệnh đề 2.3.6

K-quỹ đạo

được mô tả như sau:

FΩ chứa F của nhóm

5,3,6(

)

γ δ σ= =

(

F α β ,

= thì

: quỹ đạo là 0-chiều

(i)

Nếu

{

} , 0, 0, 0)

Ω = F

, 0, 0, ) :

( , α

s σ

= = γ δ σ

≠ thì

: nửa mặt phẳng 2-

(ii) Nếu

{

} 0

Ω = F

chiều.

γ δ σ

≠

t , 0, , 0) :

( , α

t δ

= thì

: nửa mặt phẳng 2-

(iii) Nếu

{

} 0

Ω = F

chiều.

= G G λ

(iv) Nếu

: mặt trụ

λ ⎞ ⎟ ⎠

2-chiều.

0, γ δ σ

≠

= thì

(v) Nếu

F y s 0, 0, 0 t s , 0, , ) : 0 γ δ σ ≠ = ( , α = t , δ > ≠ thì Ω = F t δ ⎛ σ ⎜ ⎝ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

: mặt trụ 2-chiều.

γ δ σ

≠

(vi) Nếu

≠ thì

F x y z t x z ( , , , 0) : , z t ; 0 = > = + − α γ z γ Ω = F z ln , γ ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

, , ) :

( ,

, F x y z t s

; z t

, s σ

α γ = + −

Ω = F

z ln , γ

z γ

⎛ σ ⎜ ⎝

λ ⎞ ⎟ ⎠

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

mặt trụ 2-chiều.

(vii) Nếu

0, 0, 0 γ δ σ ≠ ≠ = thì

: mặt trụ 2-chiều.

F x y z t x z ( , , , 0) : , z t ; ln 0 = > + = + − α γ Ω = F z γ z z , δ γ γ ⎫ ⎬ ⎭ ⎧ ⎨ ⎩

(viii) Nếu

, , ) :

( ,

, F x y z t s

; z t

z γ

α γ = + −

Ω = F

z γ

⎛ σ ⎜ ⎝

λ ⎞ ⎟ ⎠

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

mặt trụ 2-chiều.

0, 0, 0 γ δ σ ≠ ≠ ≠ thì

2.3.7. Mệnh đề 2.3.7

K-quỹ đạo

được mô tả như sau:

FΩ chứa F của nhóm

5,3,7

G G=

(

F α β ,

: quỹ đạo là 0-chiều

(i)

Nếu

{

} , 0, 0, 0)

Ω = F

, 0, 0, ) :

0 γ δ σ= = = thì

( , α

s σ

: nửa mặt phẳng 2-

(ii) Nếu

{

} 0

Ω = F

chiều.

0, 0 = = γ δ σ ≠ thì

γ δ σ

≠

= thì

: nửa mặt

(iii) Nếu

phẳng 2-chiều.

F y s t t s , 0, , ) : ln 0 ( , α = t , δ > Ω = F t δ ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

(iv) Nếu

: mặt

trụ 2-chiều.

0, γ δ σ

≠

= thì

(v) Nếu

F y s t 0, 0, 0 t s , 0, , ) : ln 0 γ δ σ ≠ = ( , α = > ≠ thì Ω = F t t t , + σ δ δ δ ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

: mặt trụ 2-

chiều.

x z s F x y z t s , , , ) : ( , z t ; ln , 0 = = > = + − α γ z γ Ω = F z 2 z ln , γ z γ ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

(vi) Nếu

0, 0, 0 γ δ σ = ≠ ≠ thì

: mặt trụ

2-chiều.

x t z F x y z t s , , , ) : ( , z s ; ln ; 0 = + = > = + − α γ σ z γ Ω = F z 2 z γ z γ z ln , γ ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

(vii) Nếu

0, 0, 0 γ δ σ ≠ ≠ = thì

mặt trụ 2-chiều.

γ δ σ

≠

≠ thì

(viii) Nếu

x z s z F x y z t s , , , ) : ( , z t ; ln ; ln 0 δ z γ α γ = + − = + = > Ω = F z 2 z γ z γ z δ + γ γ z ln , γ ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

mặt trụ 2-chiều.

x z s z F x y z t s , , , ) : ( , z t ; ln ; ln ln , 0 δ α γ = + − = + = + > Ω = F z 2 z γ z γ z δ + γ γ z γ z z σ γ γ ⎫ ⎬ ⎭ ⎧ ⎨ ⎩

2.3.8. Mệnh đề 2.3.8

(

F α β γ δ σ ) ,

2R C R

K-quỹ đạo

∈G*

FΩ chứa

≡ × × của nhóm

được mô tả như sau:

5,3,8(

)

γ δ σ= =

(

F α β ,

= thì

: quỹ đạo là 0-chiều

(i)

Nếu

{

} , 0, 0, 0)

Ω = F

= G G λϕ

= = γ δ σ

, 0, 0, ) :

( , α

y s R s ; , ∈ σ

(ii) Nếu

≠ thì

: nửa mặt

{

} 0

Ω = F

phẳng 2-chiều.

−

i ϕ

F x y z ( ,

it s , )

F x y ( ,

e γ

be b λ e δ σ

2 γ δ+

: mặt

(iii) Nếu

Ω = F

0 ≠ thì

{

} )

trụ 2-chiều.

2.3.9. Hệ quả 2.3.9

Nhờ bức tranh quỹ đạo, ta có khẳng định sau đây :

Các đại số Lie

5,3,1(

5,3,2(

5,3,3(

5,3,4

5,3,5(

)λ λ ,

)λ

G = G

= GG = GG = GG = GG = GG

đều là MD5-đại số. Do đó các nhóm Lie

5,3,7(

5,3,8(

5,3,1(

)

)λ

)λϕ ,

= GG = G G λ λ

đều

5,3,2(

)

5,3,3(

)

5,3,4

5,3,5(

)

5,3,6(

)

5,3,7

5,3,8(

)

là MD5-nhóm.

= = G G= = = G G= = G G λ G G λ G G λ G G λ G G λϕ

Chương 3. KHÔNG GIAN PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO CHIỀU

CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD-NHÓM ĐÃ XÉT

Phần đầu của chương này chủ yếu trình bày một số khái niệm cơ bản về

phân lá và phân lá đo được, tôpô trên các phân lá, ….Nhiều kết quả được nêu ra

nhưng không chứng minh, độc giả nào muốn quan tâm nhiều hơn đến các khái

niệm và việc chứng minh các mệnh đề thì có thể tham khảo trong các tài liệu

[Co], [Mi]. Phần cuối của chương này là phát biểu và chứng minh định lý về

không gian phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD-nhóm liên

thông đơn liên tương ứng với các MD-đại số đã liệt kê ở chương 2.

3.1. Phân lá – Phân lá đo được

3.1.1. Phân bố khả tích trên đa tạp vi phân

Cho V là một đa tạp trơn và TV là phân thớ tiếp xúc của V. Một phân thớ

(trơn) con F của TV được gọi là một phân bố khả tích trên V nếu mỗi x∈V đều

chứa trong một đa tạp con W của V sao cho

với mọi y∈W. Ở đây ta

( T W F= ) y

ký hiệu

yT W chỉ không gian tiếp xúc của W tại y,

yF là thớ tại y của F. Đa tạp

như thế được gọi là đa tạp con tích phân của F.

Mệnh đề 3.1:

Các khẳng định sau đây là tương đương

(i) F là phân bố khả tích của V.

( )

(ii)

, x V∀ ∈ ∃ đa tạp con mở U trong V chứa x và một phép ngập

q R q (

sao cho

∞ C F (

p U : co dim F dim V F dim ) ker( ⎯⎯→ = = − = ∀ ∈ y U F y p * ) , y

∞ X C TV X (

(iii)

{

}

) ) / F x V , = ∈ ∈ ∈ là đại số Lie con của đại số Lie

các trường vectơ trơn trên V.

C TV∞ ( )

(iv)

Ideal

J F các dạng vi phân ngoài triệt tiêu trên F là ổn định đối với

(

)

phép lấy vi phân ngoài.

Như vậy, mọi phân thớ con 1-chiều F của TV đều khả tích, nhưng trong

trường hợp dim

2F ≥ thì điều kiện khả tích là không tầm thường.

3.1.2. Phân lá

Một phân là (V,F) là một cặp gồm đa tạp trơn V cùng một phân bố khả

tích F trên nó. Đa tạp V được gọi là đa tạp phân lá, còn F gọi là phân bố xác định

F co

dim )

F cũng được gọi là số chiều (đối

phân lá. Số chiều (đối chiều) dim (

chiều) của phân lá của phân lá (V,F). Mỗi đa tạp con tích phân liên thông tối đại

L của F được gọi là một lá của phân lá (V, F). Ta có dimL = dimF.

Họ các lá của một phân lá có các tính chất đặc trưng sau:

Mệnh đề 3.2:

(i) Họ các lá của phân lá lập thành một phân hoạch của đa tạp phân lá.

1 U x x ,

quanh x

(ii)

x V∀ ∈ , tồn tại hệ tọa độ địa phương {

}

sao cho nếu lá L giao với U thì mỗi thành phần liên thông L U∩ (mà

được gọi là một tấm) đều được cho bởi các phương trình dạng:

k+1

n k −

, ,..., x / n dim V =

1 c

1 c c ,

trong đó

thuộc vào từng tấm).

Về mặt địa phương thì đa tạp phân lá bị chia thành nhiều tấm “rời” nhau,

mỗi tấm được xem như là 1 phẳng k-chiều trong

nR .

Bản đồ địa phương ứng với hệ tọa độ địa phương nêu trên được gọi là bản

đồ phân lá của phân lá (V, F). Như vậy đa tạp phân lá V luôn có thể được phủ

bởi một tập bản đồ gồm các bản đồ phân lá.

x ,..., x c ; k dim F ,..., = = = c − là các hằng số (phụ n k

Giả sử có một họ C các đa tạp con của đa tạp trơn V tạo thành phân hoạch

của V sao cho mỗi đều là đa tạp con tích phân liên thông tối đại của cùng một

phân bố khả tích F trên V. Khi đó C chính là họ các lá của phân lá (V, F). Ta

thường đồng nhất C với chính phân bố khả tích F và (cid:31)ung cùng một kí hiệu F để

chỉ họ C. Ta cũng bảo họ C (các đa tạp con như trên của V) lập thành một phân lá

trên V.

Nếu có một phân thớ (với thớ liên thông)

nó là và chỉ là một lá của phân lá (V, F) thì ta bảo rằng phân lá (V, F) được cho

:p V B⎯⎯→ sao cho mỗi thớ của

bởi phân thớ

Tương tự nếu có nhóm Lie tác động (liên tục) trên V sao cho mỗi quỹ đạo

của G là và chỉ là một lá của phân lá (V, F) thì ta cũng bảo (V, F) được cho bởi

tác động của nhóm G lên đa tạp phân lá V.

:p V B⎯⎯→ .

3.1.3. Tôpô phân lá

Theo kết quả trực tiếp của mệnh đề 2.1, tất cả các phân lá cùng chiều trên

cùng một đa tạp vi phân đều có cùng cấu trúc địa phương. Tuy nhiên nếu xét trên

quan điểm toàn cục thì có thể rất khác nhau. Bài toán “tôpô phân lá” là bài toán

nghiên cứu quan điểm tôpô các vấn đề toàn cục trên phân lá. Chẳng hạn sự tồn

tại lá compact, lá trù mật, điều kiện đồng phôi của các lá, …

Một vấn đề toàn cục khác về các phân lá là việc xét không gian các lá của

một phân lá. Không gian các lá của một phân lá V

không gian thương của không gian tôpô V khi thu mỗi lá về một điểm.

F của một phân lá (V, F) là

Nếu phân lá (V, F) được cho bởi phân thớ

lá V

:p V B⎯⎯→ thì không gian các

được cho bởi tác động của nhóm G thì V

F chính là không gian đáy B của phân thớ xác định phân lá. Còn khi (V, F)

,V F được gọi là tương đương (tôpô) hay là cùng

Hai phân lá (

,V F và ( )

)

kiểu tôpô phân lá nếu có một đồng phôi

F lại là không gian V G các G-quỹ đạo.

1F lên mỗi lá của

2F .

Theo quan điểm tôpô thì ta không phân biệt hai phân lá cùng kiểu tôpô về

mặt địa phương cũng như toàn cục.

V⎯⎯→ sao cho h chuyển mỗi lá của :h V 1

3.1.4. Phân lá đo được

Có những ví dụ cho thấy, không gian phân lá thì compact nhưng bản thân

các lá thì có thể không compact. Vì vậy, khi nghiên cứu tôpô phân lá, một trong

những điều người ta quan tâm là tìm cách “đếm số lượng” các lá không compact

trong không gian phân lá. Để làm được điều này thì cần phải trang bị cho không

gian các lá một độ đo thích hợp. Alain Connes (xem [Co]) đã đưa ra khái niệm

độ đo hoành đặc biệt thích hợp với các không gian lá của các phân lá mà sau đây

chúng ta sẽ giới thiệu.

,V F là một phân lá. Đa tạp con N của V được gọi là hoành nếu

Giả sử (

)

chẻ ra thành tổng trực tiếp

dimN=codimF. Hơn nữa, cũng từ kết quả của mệnh đề 2.1, có thể chọn một bản

,U ϕ quanh mỗi điểm p N∈ sao cho các tấm của U tương ứng 1 :1

đồ phân lá (

)

với các điểm của N U∩ , tức là mỗi tấm trong U cắt N tại một điểm duy nhất.

p N T V , ( ) ) ∀ ∈ F⊕ . Khi đó hiển nhiên T N ( p

Tập con Borel B của đa tạp phân lá V được gọi là tập hoành Borel nếu

B N∩ đếm được, với mỗi lá L của phân lá.

Một chú ý quan trọng là mỗi tập hoành Borel đều là hợp đếm được của các

tập hoành Borel B có kiểu như sau : tồn tại đơn ánh

con hoành N sao cho

( )xψ thuộc lá chứa x, với mỗi x B∈ .

,V F là một ánh xạ σ-cộng tính

Một độ đo hoành đối với phân lá (

)

: B N ψ ⎯⎯→ từ B vào đa tạp

0, +∞ sao cho các tiêu đề

từ họ các tập con hoành Borel của V đến [

]

sau đây được thỏa:

∀ ∈

ψ ⎯⎯→ là song ánh Borel và

(

B ( ) BΛ(cid:54)

1Λ ) Nếu

)1 x B

( )xψ thuộc lá chứa x ( : B 1 B 2

(tính đẳng biến Borel).

thì

)KΛ (

< +∞ nếu K là tập con compact của một đa tạp con hoành.

(

2Λ )

Phân lá (V, F) đã trang bị một độ đo hoành được gọi là phân lá đo được.

( ) ( ) Λ = Λ B 1 B 2

3.1.5. Sự liên hệ giữa độ đo hoành và độ đo thông thường

Đối với các phân lá (V, F) xác định bởi phân bố khả tích định hướng được

F có một sự liên hệ giữa độ đo hoành và các độ đo thông thường khác trên đa tạp

phân lá V.

k FΛ chẻ ra thành hai

Chọn cho F một hướng xác định, khi đó phân thớ

k F + )

k F − )

và

nhờ nhát cắt zero, cố định một trường véctơ

phần

∞

( ( Λ Λ

,U ϕ là một

và một độ đo μ nào đó đó trên đa tạp phân lá V. Nếu (

)

bản đồ phân lá thì U có thể đồng nhất với tích trực tiếp N π× của một đa tạp con

μ của trên U chẻ ra thành

hoành N nào đó với một tấm mẫu π. Khi đó hạn chế

( F ) X C ∈ Λ

tích hai độ đo

Xμ là độ đo dọc theo mỗi lá xác

Nμ trên N và πμ trên π. Kí hiệu

định bởi phần tử thể tích X.

Ta bảo rằng độ đo μ là X-bất biến nếu

Xμ và πμ tỷ lệ với mọi bản đồ

,U ϕ của phân lá.

phân lá (

)

∞

+ F μ ) ,

là X-bất biến , ν là Y-bất

Hai cặp (

,X μ và ( )

) ,Y ν (

X Y C , ( ∈ Λ

ϕ ∞∈

,Y ν nếu có hàm trơn

)

biến) được gọi là tương đương, ký hiệu (

) ,X μ ∼ (

Xϕ μ ϕν

sao cho

Mệnh đề 3.3:

Nếu phân lá (V, F) cho bởi F định hướng thì ta có một song ánh giữa các

∞

C V ( )

+ ) , d imF=k

,X μ (gồm

và độ đo X-bất

lớp tương đương của các cặp (

)

biến μ trên V) với tập các độ đo hoành trên phân lá đó.

Giả sử đã cho cặp (

,X μ , khi đó độ đo hoành ứng với lớp của (

)

) ,X μ có

thể được xác định như sau: nếu B là tập con hoành trong miền U của một bản đồ

phân lá thì

( F X C ∈ Λ

( ard B

)

∫

Còn đối với tập con hoành tùy ý, Λ được xác định nhờ tính σ-cộng tính.

Sau đó, để cho một độ đo hoành trên một phân lá (V, F), ta thường chỉ ra một

,X μ thích hợp.

cặp (

)

( B ) C Λ = ∩ dπ μ π ( ).

3.2. Các MD5-phân lá liên kết với các MD5-nhóm đã xét

Các MD-nhóm (không giao hoán) về phương diện phân tầng các K-quỹ

đạo là khá đơn giản. Theo số chiều thì mỗi nhóm chỉ gồm hai tầng các K-quỹ

đạo : tầng các K-quỹ đạo 0 chiều và tầng các K-quỹ đạo chiều cực đại. Xét riêng

tầng các K-quỹ đạo chiều cực đại của một nhóm liên thông ta thấy : các quỹ đạo

là các đa tạp liên thông, đôi một rời nhau và có cùng số chiều. Điều này gợi cho

ta nghĩ đến một phân lá.

Trong [Vu2], [Vu6] và [Vu7], Lê Anh Vũ đã chứng minh được rằng, đối

với các MD4-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân thì họ các K-quỹ đạo

chiều cực đại luôn tạo thành một phân lá đo được. Trong [Vu8], một khẳng định

tương tự cũng được Lê Anh Vũ chứng minh cho ba ví dụ đầu tiên về MD5-nhóm

liên thông đơn liên. Đối với các MD5-nhóm đã xét, ta cũng có định lý sau :

3.2.1. Định lý 3

Giả sử G là một MD5-nhóm liên thông đơn liên bất kỳ trong các nhóm

5,3,1(

)

5,3,2(

5,3,3(

5,3,4

5,3,5(

5,3,6(

5,3,7

5,3,8(

)

) λ

λϕ đã liệt kê, GF các K-

, λ λ 1 2

G , G , G , G , G , G , G , G

. Khi đó, (

quỹ đạo chiều cực đại của nó và

{ / Ω Ω ∈

}

V G

F G

∪

lá đo được. Chúng ta sẽ gọi phân lá này là các MD5-phân lá liên kết với G.

) , V F là một phân

3.2.2. Chứng minh

Phương pháp chứng minh được trình bày chi tiết trong [Vu1], [Vu2],

[Vu4] bao gồm các bước sau :

Bước 1 : Chỉ ra phân bố khả tích (cũng kí hiệu là GF ) trên GV sao cho mỗi

K-quỹ đạo là một đa tạp liên thông tối đại của nó.

Bước 2 : Trang bị cho (

Đối với bước 1, ta sẽ chỉ ra hệ vi phân GS hạng 2 gồm các trường vectơ

trên GV sinh ra phân bố GF . Khi đó mỗi K-quỹ đạo luôn là đa tạp con tích phân

) , V F một độ đo hoành

liên thông tối đại của phân bố sinh bởi hệ GS tương ứng. Bởi vậy (

lá đối với mỗi MD5-nhóm liên thông, đơn liên G đã xét.

Để tiến hành bước 2, trước hết ta chứng tỏ các lá định hướng được, tức là

chỉ ra trường vectơ không triệt tiêu trên G. Sau đó ta sẽ chỉ ra rằng độ đo

Lebegues μ bất biến đối với các trường vectơ bằng cách tính toán ma trận Jacobi

UJ của phép biến đổi K(expU) trong G*, với U ∈ G luôn đồng nhất bằng 1. Suy

) , V F là phân

ra (

Vấn đề là cần phải chỉ ra vi phân GS hạng 2 gồm các trường vectơ trên GV

) , V F là phân lá đo được theo nghĩa của Connes.

. Các họ

sinh ra phân bố GF . Chúng ta sẽ làm chi tiết với họ nhóm

5,3,1(

)

nhóm còn lại thì tính toán tương tự.

= G G λ λ

Đối với

, ta ký hiệu GS bằng

5,3,1(

)

5,3,1(

λ λ . Bằng tính toán cụ thể, hệ

S = G G λ λ

5,3,1(

)

5,3,1(

)

λ λ đối với

S G λ λ được mô tả như sau :

5,3,1(

)

, λ λ 1 2

( (

) x y z t s , , , , ) , , , , x y z t s

( (

) )

(cid:92)

x y z t s , ,

, ,

2 (cid:92) ∈ ×

∈

với mọi (

)

{ } \ 0,1 ,

; , λ λ 1 2

≠ λ λ 2

S : , 0 s = = t , z λ − 2 , t z λ − 2 , t , z s λ λ − 1 2 , 0, , z s λ − − 1 X ⎧⎪ 1 ⎨ X ⎪⎩ 2

(

)

Dể dàng kiểm chứng được rằng hệ

)

5,3,1(

λ λ có hạng 2 và mỗi K-quỹ đạo

của

5,3,1(

)

G λ λ luôn là đa tạp con tích phân liên thông tối đại của phân bố sinh bởi

hệ

)

5,3,1(

λ λ . Do đó, (

S ) , V F là phân lá đối với MD5-nhóm liên thông đơn liên

5,3,1(

)

Để chứng tỏ

GF định hướng được, ta sẽ chỉ ra trường vectơ

dim

∞∈ C

= G G λ λ

không triệt tiêu khắp nơi đối với

. Thật vậy,

5,3,1(

)

X G

(

)

∧ = F G G G λ λ

xét

X =X X . Khi đó, hiển nhiên

2∧

GX khác không khắp nơi. Tính toán trực

tiếp cho ta độ đo Lebegues μ bất biến đối với

GX . Do đó, theo mệnh đề 3.3,

nhóm còn lại. Định lý được chứng minh hoàn toàn. □

) , V F là phân lá đo được theo nghĩa của Connes. Làm tương tự với các họ (

KẾT LUẬN

1. Trước hết ta khẳng định rằng, các mệnh đề 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3, 2.3.4, 2.3.5,

2.3.6, 2.3.7, 2.3.8 vẫn còn đúng đối với các MD5-nhóm liên thông (không nhất

= GG = GG

,

thiết đơn liên) tương ứng với các MD5-đại số

5,3,1(

5,3,2(

)λ λ ,

)λ

G = G

= GG = GG = GG = GG

,

đã liệt kê. Nói chi tiết

5,3,3(

5,3,4

5,3,5(

5,3,7(

5,3,8(

)λ

)λϕ ,

hơn, nếu G là một MD5-nhóm liên thông (không nhất thiết đơn liên) tương ứng

với một trong các MD-đại số nói trên thì bức tranh các K-quỹ đạo của G hoàn

toàn trùng với bức tranh các K-quỹ đạo của các phủ đơn liên G(cid:4) của nó. Họ các

K-quỹ đạo chiều cực đại của G khi đó cũng lập thành cùng một MD5-phân lá

như phủ đơn liên G(cid:4) của nó.

2. Các MD5-nhóm và MD5-đại số được liệt kê và nghiên cứu ở trên đều khác

với các MD5-nhóm và MD5-đại số mà Lê Anh Vũ đã liệt kê trước đây trong

[Vu8]. Hơn nữa chúng đều là các MD5-nhóm và MD5-đại sô bất khả phân.Bức

tranh quỹ đạo của chúng phức tạp hơn nhiều và khó nghiên cứu hơn về mặt tôpô

và hình học.

3. Thật ra có rất nhiều các MD5-nhóm và MD5-đại số khả phân, nhưng việc xét

chúng được quy về xét các MDn-nhóm và MDn-đại số với

n ≤ . Điều này được

khẳng định và minh họa trong [Vu7].

4. Các hướng mở cần tiếp tục nghiên cứu :

4.1. Dựa trên các phương pháp đã được sử dụng, hi vọng hoàn toàn có thể liệt

kê, phân loại triệt để và mô tả bức tranh K-quỹ đạo của tất cả các MD5-đại số,

mà gần nhất là những MD5-đại số có ideal dẫn xuất là đại số Lie giao hoán 4

chiều.

4.2. Nghiên cứu sâu hơn các MD5-phân lá về phương diện tôpô. Mô tả kiểu tôpô

phân lá và các C*-đại số liên kết với các MD5-phân lá.

4.3. Xây dựng lượng tử hóa biến dạng trên các K-quỹ đạo của tất cả các MD5-

nhóm.

4.4. Cũng với các hướng nghiên cứu trên nhưng với những MDn-nhóm và MDn-

đại số với

6n ≥ .

Đối với chúng tôi thì các kết quả của luận văn mới là sự khởi đầu, đòi hỏi

phải tiếp tục đi sâu nghiên cứu. Điều này cần nhiều thời gian và công sức. Trong

quá trình soạn thảo luận văn khó tránh được những thiếu sót, rất mong được sự

góp ý của độc giả. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn những độc giả đã, đang và

sẽ quan tâm đóng góp ý kiến cho bản luận văn này.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2006

Tác giả

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ

Le Anh Vu, Duong Minh Thanh (2006), “The Geometry of K-orbits of a

Subclass of MD5-Groups and Foliations Formed by Their Generic K-orbits”,

Contributions

in Mathematics and Applications

(Proceedings of

the

International Conference in Mathematics and Applications, December 2005,

Bangkok, Thailand), pp. 1-16, Bangkok, Thailand.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. [Tra] Đào Văn Trà (1984), “Về một lớp các đại số Lie số chiều thấp”,

Tuyển tập các báo cáo tại Hội thảo Khoa học Viện Toán học Việt

Nam lần thứ 12 tại Hà Nội.

2. [Vu1] Lê Anh Vũ (1987), “Phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại

của nhóm kim cương thực”, Tạp chí Toán học, số 3, tr. 7 – 10.

3. [Vu2] Lê Anh Vũ (1990), Không gian phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo

chiều cực đại của lớp nhóm Lie MD4, Luận án phó tiến sĩ khoa học

Toán Lý, Viện Toán học Việt Nam, Hà Nội.

4. [Vu3]Lê Anh Vũ (2004), Không gian phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều

cực đại của một lớp các nhóm Lie giải được 5 chiều, Báo cáo tổng

kết đề tài khoa học công nghệ cấp cơ sở , MS: CS2004.23.54,

Tp.HCM.

5. [Tri] Nguyễn Công Trí (2004), “Không gian phân lá tạo bởi các K-quỹ

đạo chiều cực đại của một vài MD5-nhóm liên thông đơn liên”, Luận

văn thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Sư Phạm Tp.HCM, Tp.HCM.

6. [Vu-Tri] Lê Anh Vũ, Nguyễn Công Trí (2005), “Vài ví dụ về các MD5-

đại số và các MD5-phân lá đo được liên kết với các MD5-nhóm

tương ứng”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư Phạm Tp.HCM, số

8 (42), Tp.HCM.

7. [Vu4]Lê Anh Vũ (2006), Về một lớp con các MD5-đại số và phân lá tạo

bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm tương ứng, Đề

tài nghiên cứu khoa học cấp Bộ, MS: B2005.23.70, Tp.HCM.

Tiếng Anh

8. [Co]Alain Connes (1982), A Survey of Foliations and Operator Algebras,

Proc. Symp, Pure Math.

9. [Di] Do Ngoc Diep (1999), Method of Nocommutative Geometry for

Group C*-algebras, Chapman and Hall/ CRC Press Research Notes

in Mathematics Series, #416.

10. [Ha-Sch] M. Hausner and J. T. Schwartz (1968), Lie Group – Lie Algebra,

Gordon and Breach, Sci. Publisher, New York – London – Paris.

11. [Ki] A. A. Kirillov (1976), Elements of the Theory of Representations,

Springer – Verlag, Berlin – Heidenberg – New York.

12. [Mi]John Milnor (1969), Foliation and Foliated Vector Bundles, M.I.T.

13. [Vu5] Le Anh Vu (1990) “On the Structure of the C*-algebra of the

Foliation Formed by the K-obits of Maximal Dimension of the Real

Diamond Group”, J. Operator 24, p.p. 227 – 238.

14. [Vu6] Le Anh Vu (1990), “On the Foliations Formed by the Generic K-

orbits of the MD4-Groups”, Acta Math. Vietnam, (2), pp. 39 – 55.

15. [Vu7] Le Anh Vu (1993), “Foliations Formed by Orbits of Maximal

Dimension in the Co-adjoint Representation of a Class of Solvable

Lie Groups, Vest. Moscow Uni., Math. Bullentin, Vol. 48 (3), p.p. 24

– 27.

16. [Vu8] Le Anh Vu (2003) “Foliation Formed by K – orbits of Maximal

Dimension of Some MD5 – Groups”, East – West Journal of

Mathematics, Vol. 5 (2), pp. 159 – 168, Bangkok, Thailand.

17. [Vu9] Le Anh Vu (2006), “On a Subclass of 5-dimensional Solvable Lie

Algebras Which Have 3-dimensional Commutative Derived Ideal”,

East – West Journal of Mathematics, Vol. 7 (1), pp. 13 – 22,

Bangkok, Thailand.

18. [Vu-Th]Le Anh Vu, Duong Minh Thanh (2006), “The Geometry of K-

orbits of a Subclass of MD5-Groups and Foliations Formed by Their

Generic K-orbits”, Contributions in Mathematics and Applications

(Proceedings of the International Conference in Mathematics and

Applications, December 2005, Bangkok, Thailand), pp. 1-16,

Bangkok, Thailand.

Tiếng Pháp

19. [Bo] N.Bourbaki (1972), Groupes et Algégres de Lie, Hermann Paris.

20. [Re] G.Reeb (1952), Sur certains propriétés topologiques de variétés

feuilletées, Actualité Sci. Indust. 1183, Hermann, Paris.

21. [Sa] M. Saito, “Sur Certains Groupes de Lie Resolubles”, Sci. Papers of

the College of General Education, Uni. Of Tokyo (7), p.p. 1 – 11, 157

– 168.

22. [So-Vi] V. M. Son et H. H. Viet, “Sur la Structure des C*-algebres d’une

Classe de Groupes de Lie”, J. Operator (11), p.p. 77 – 90.

PHỤ LỤC

Phụ lục 1: Le Anh Vu (2006), “On a Subclass of 5-dimensional Solvable Lie

Algebras Which Have 3-dimensional Commutative Derived Ideal”, East –

West Journal of Mathematics, Vol. 7 (1), pp. 13 – 22, Bangkok, Thailand.

Phụ lục 2: Le Anh Vu, Duong Minh Thanh (2006), “The Geometry of K-

orbits of a Subclass of MD5-Groups and Foliations Formed by Their Generic

K-orbits”, Contributions in Mathematics and Applications (Proceedings of

the International Conference in Mathematics and Applications, December

2005, Bangkok, Thailand), pp. 1-16, Bangkok, Thailand.

THÔNG TIN VỀ TÁC GIẢ VÀ BẢN LUẬN VĂN

- Tên luận văn: Về một lớp con các MD5-đại số và phân lá tạo bởi các K-

quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm tương ứng

- Chuyên ngành: Hình học và tôpô

- Ngành: TOÁN HỌC

- Hệ: Chính quy không tập trung

- Thời gian hoàn thành: tháng 8 năm 2006

- Cơ sở dào tạo: Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh

- Người thực hiện: Dương Minh Thành, học viên cao học khóa 14.

+ Ngày sinh: 04 – 12 -1980

+ Nơi sinh: Huế

+ Quê quán: Đồng Sơn, Đồng Hới, Quảng Bình

+ Địa chỉ thường trú: 162/23 Nguyễn Sinh Cung, Vĩ Dạ, Tp. Huế, Thừa

Thiên Huế

+ Địa chỉ tạm trú: 217/90 Bùi Đình Túy, Phường 24, Bình Thạnh, Tp.

HCM.

+ Số đt: 0908.453.764

+ email: mthanhmath@yahoo.com

- Cơ quan công tác: Khoa Vật Lý, Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí

Minh.