TRIỆU VIỆT THỊNH
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————–
MA TRẬN ĐỐI XỨNG LỆCH VÀ
GIÁ TRỊ RIÊNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2020
TRIỆU VIỆT THỊNH
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————–
MA TRẬN ĐỐI XỨNG LỆCH VÀ
GIÁ TRỊ RIÊNG
Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 8 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
TS. HỒ MINH TOÀN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2020
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học độc lập của
riêng bản thân tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Hồ Minh Toàn.
Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong luận văn này là trung thực, không
sao chép của bất cứ ai và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào
trước đây.
Ngoài ra, trong luận văn tôi có sử dụng tài liệu, thông tin được đăng
tải trên các tạp trí và một số kết quả của các tác giả khác đều có trích dẫn
và chú thích nguồn gốc. Nếu phát hiện bất kỳ sự gian lận nào tôi xin chịu
Thái Nguyên, ngày 15 tháng 06 năm 2020
Tác giả
Triệu Việt Thịnh
Xác nhận của khoa chuyên môn
Xác nhận của người hướng dẫn
TS. Hồ Minh Toàn
i
trách nhiệm về nội dung luận văn của mình.
Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn tôi
đã nhận được sự giúp sức và hướng dẫn chỉ bảo nhiệt tình của người hướng
dẫn khoa học, TS. Hồ Minh Toàn.
Ngoài ra, trong quá trình học tập và làm luận văn, từ các bài giảng
của các Giáo sư, Phó Giáo sư đang công tác tại Viện Toán học, các Thầy
Cô trong Trường Đại học Sư Phạm Thái Nguyên, tôi đã trau dồi thêm rất
nhiều kiến thức, kỹ năng phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản
thân. Từ đáy lòng mình, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy
Cô.
Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn bộ môn Giải tích, Khoa Toán Trường
Đại Học Sư Phạm Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, hướng dẫn,
phản biện để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này. Do thời gian có hạn,
bản thân tôi còn hạn chế nên luận văn có thể có những thiếu sót. Tôi mong
muốn nhận được ý kiến phản hồi, đóng góp và xây dựng của các thầy cô,
và các bạn.
Thái Nguyên, ngày 15 tháng 06 năm 2020
Tác giả
Triệu Việt Thịnh
ii
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Mục lục
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Mục lục iv
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt v
Lời mở đầu 1
1 Giới thiệu về không gian véc tơ đối xứng lệch 3
1.1 Một số khái niệm và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Cơ sở đối xứng lệnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Trực giao Gram-Schmidt đối xứng lệnh . . . . . . . . . . . 7
2 Ma trận Đối xứng lệnh và giá trị riêng 14
2.1 Ma trận đối xứng lệnh, một số tính chất cơ bản và ví dụ . . 14
2.1.1 Giới thiệu về ma trận đối xứng lệnh . . . . . . . . . 14
2.1.2 Đa thức Pfaffian của ma trận phản xứng. . . . . . . 15
2.1.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Một số kết quả về giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Giá trị riêng của ma trận đối xứng lệch . . . . . . . 18
iii
19 2.2.2 Nhóm Unita U(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Định lý chéo hóa Williamson và ứng dụng . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Định lý chéo hóa Williamson . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Kết luận 33
iv
Tài liệu tham khảo 34
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết
tắt
R2n không gian véctơ 2n− chiều
E1 ⊕ E2
dim A
tổng trực tiếp của hai không gian véc tơ
số chiều của không gian A
∅
det A
tập rỗng
AT
định thức của ma trận A
ma trận chuyển vị của A
Pf(A)
Sp(n) tập tất cả các ma trận symplectic cấp 2n
đa thức Pfaffian của ma trận A
U(n) tập tất cả các ma trận unita cấp n
Specσ(M )
phổ symplectic của M
|| · ||
chuẩn toán tử thông thường
||| · |||
(cid:50)
chuẩn bất biến unita
v
kết thúc chứng minh
Lời mở đầu
Ngày nay, tầm quan trọng của lý thuyết ma trận được biết đến rộng
rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Có thể thấy ứng dụng của lý thuyết ma
trận trong hầu hết các lĩnh vực khoa học. Trong vật lý, bao gồm quang học,
điện từ học, cơ học lượng tử, cơ học cổ điển và điện động lực học lượng tử,
chúng được sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng vật lý, như chuyển động
của vật rắn và nghiên cứu các quỹ đạo tuần hoàn Hamilton. Trong kỹ thuật
đồ họa máy tính ma trận được sử dụng để chiếu một ảnh 3 chiều lên màn
hình 2 chiều. Trong lý thuyết xác suất và thống kê, các ma trận ngẫu nhiên
được sử dụng để miêu tả tập hợp. Lý thuyết ma trận giúp tìm nghiệm của
các hệ phương trình tuyến tính. Trong giải tích số ma trận được dùng để
phát triển các thuật toán hữu hiệu cho các tính toán ma trận, phương pháp
khai triển ma trận làm đơn giản hóa các tính toán cả về mặt lý thuyết lẫn
thực hành. Những thuật toán dựa trên những cấu trúc của các ma trận đặc
biệt, như ma trận sparse và ma trận chéo, giúp giải quyết những bài toán
phức tạp và những tính toán khác. Phép tính ma trận tổng quát hóa các
khái niệm trong giải tích như đạo hàm và hàm mũ đối với số chiều lớn hơn.
Đặc biệt, giải tích ma trận trở thành một chủ đề độc lập trong toán học bởi
một số lượng lớn các ứng dụng của nó. Một trong các công cụ chính trong
giải tích ma trận là định lý chéo hóa Williamson và một số kết quả về giá
trị riêng.
Trong toán học, giải tích ma trận nghiên cứu về các cấu trúc tô-pô
1
trên ma trận, hàm ma trận và các bất đẳng thức toán tử. Chính vì một số
lượng lớn các ứng dụng của lý thuyết ma trận mà các chủ đề của giải tích
ma trận luôn được chọn làm các đề tài nghiên cứu khoa học. Trong luận văn
này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian véc tơ đối
xứng lệch, tiếp theo là định lý Gram-Schmidt trực giao hóa đối xứng lệch,
định lý chéo hóa Williamson và phổ đối xứng lệch. Phần này được trích dẫn
trong tài liệu số [1] và [2]. Ứng dụng các kết quả nghiên cứu về ma trận đối
xứng lệch, tôi trình bày một số kết quả về chuẩn bất biến unita qua giá trị
riêng đối xứng lệch. Nội dung phần này được trích dẫn trong tài liệu số [3]
và [4].
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận
văn gồm hai chương cụ thể như sau:
Chương 1. Giới thiệu về không gian véc tơ đối xứng lệch
Trong chương này tôi giới thiệu tổng quan về một số khái niệm cơ bản
và ví dụ được trích dẫn trong cuốn sách “Symplectic geometry and quantum
mechanics”. Và các bài giảng “Introduction to symplectic mechanics: lectures
I-II-III, lecture notes (2006)” của tác giả Maurice de Gosson.
Chương 2. Ma trận đối xứng lệch và giá trị riêng
Đây là phần chính của luận văn, trong chương này tôi giới thiệu về
ma trận đối xứng lệch, một số tính chất cơ bản và ví dụ minh họa. Tiếp
theo tôi trình bày một số tính chất của ma trận đối xứng lệch, định lý chéo
hóa Williamson, phổ đối xứng lệch. Phần cuối của chương chúng tôi trình
bày về chuẩn bất biến unita liên quan tới phổ đối xứng lệch.
Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2020
Tác giả
Triệu Việt Thịnh
2
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Chương 1
Giới thiệu về không gian véc tơ đối
xứng lệch
Trong toàn bộ luận văn, từ khóa symplectic tạm dịch là đối xứng lệch.
1.1 Một số khái niệm và ví dụ
1.1.1 Một số khái niệm
Định nghĩa 1.1.1. Cho E là một không gian véc tơ thực. Một dạng dạng
ω : E × E → R nếu thỏa mãn ba điều kiện sau.
• Tuyến tính đối với từng biến:
ω (α1z1 + α2z2, z(cid:48)) = α1ω (z1, z(cid:48)) + α2ω (z2, z(cid:48))
ω (z, α1z(cid:48)
1 + α2z(cid:48)
2) = α1ω (z, z(cid:48)
1) + α2ω (z, z(cid:48) 2)
đối xứng lệnh (a symplectic form hay skew-product) trên E là một ánh xạ
1, z2, z(cid:48)
2 ∈ E và α1, α2, α(cid:48)
1, α(cid:48)
2 ∈ R.
• Đối xứng lệch (nói cách khác là phản xứng):
ω (z, z(cid:48)) = −ω (z(cid:48), z) với mọi z, z(cid:48) ∈ E.
3
với mọi z, z(cid:48), z1, z(cid:48)
• Không suy biến:
ω (z, z(cid:48)) = 0 với mọi z ∈ E nếu và chỉ nếu z(cid:48) = 0.
Nhận xét 1.1.2. Từ tính đối xứng lệch ta suy ra ω(z, z) = 0 với mọi z ∈ E.
(E, ω) trong đó E là một không gian véc tơ thực và ω là một dạng đối xứng
Định nghĩa 1.1.3. Một không gian véc tơ đối xứng lệnh thực là một cặp
lệnh trên E. Số chiều của (E, ω) được hiểu là số chiều của E.
Trong toàn bộ luận văn về sau ta nói không gian đối xứng lệnh nghĩa
là không gian véc tơ đối xứng lệnh thực.
Định nghĩa 1.1.4. Cho (E, ω) và (E(cid:48), ω(cid:48)) là hai không gian đối xứng lệnh.
Ta nói (E, ω) và (E(cid:48), ω(cid:48)) là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một đẳng cấu
ω(cid:48) (s (z) , s (z(cid:48))) = ω (z, z(cid:48)) ,
∀z, z(cid:48) ∈ E.
giữa hai không gian véc tơ s : E → E(cid:48) sao cho
Vì vậy hai không gian đối xứng lệnh đẳng cấu tuyến tính với nhau thì
có cùng số chiều. Ở mục sau, chúng ta sẽ chứng minh rằng hai không gian
đối xứng lệnh hữu hạn chiều luôn luôn đẳng cấu theo nghĩa trên nếu chúng
có cùng số chiều.
Định nghĩa 1.1.5. Tổng trực tiếp của hai không gian đối xứng lệnh
E1 ⊕ E2 = {a ⊕ b : a ∈ E1, b ∈ E2}
Cho (E1, ω1) và (E2, ω2) là hai không gian đối xứng lệnh tùy ý.
Với a ⊕ b, x ⊕ y ∈ E1 ⊕ E2 sao cho a, x ∈ E1, b, y ∈ E2, ta nói a ⊕ b = (a, b)
a ⊕ b + x ⊕ y = (a + x) ⊕ (b + y)
∀λ ∈ R : λ (a ⊕ b) = λa ⊕ λb
4
và x ⊕ y = (x, y). Khi đó ta định nghĩa phép toán trên E1 ⊕ E2 như sau:
Khi đó E1 ⊕ E2 là một không gain véc tơ thực.
ω = ω1 ⊕ ω2 : E1 ⊕ E2 → R
Xét ánh xạ
ω (z1 ⊕ z2; z(cid:48)
1 ⊕ z(cid:48)
2) = ω1 (z1, z(cid:48)
1) + ω2 (z2, z(cid:48)
2) ,
được định nghĩa bởi:
1 ⊕ z(cid:48)
2 ∈ E1 ⊕ E2.
với z1 ⊕ z2, z(cid:48)
Ta dễ dàng chứng minh được ω thỏa mãn các điều kiện: Tuyến tính
đối với từng biến và phản xứng. Hơn nữa ω có tính không suy biến.
1 ⊕ z(cid:48) z(cid:48)
2. Hay
Thật vậy, giả sử ω (z, z(cid:48)) = 0 với mọi z, trong đó z = z1 ⊕ z2, z’ =
(cid:48)) = 0
(cid:48)) + ω2(z2, z2
ω1(z1, z1
(cid:48)) =
(1.1)
(cid:48)) + ω2(0, z2
ω1(z1, z1
(cid:48)). Nên từ (1.1) ta thu được ω1(z1, z1
(cid:48)) = 0 với mọi z1. Vì ω1 không
(cid:48) = 0. Vậy ω
Nếu chọn z = z1 ⊕ 0 với z1 ∈ E1, tùy ý thì ω1(z1, z1
(cid:48) = 0. Tương tự ta cũng chứng minh được z2
suy biến nên z1
không suy biến. Do đó ω là một dạng đối xứng lệnh trên E1 ⊕ E2.
Không gian đối xứng lệnh (E, ω) = (E1 ⊕ E2, ω1 ⊕ ω2) được gọi là
tổng trực tiếp của (E1, ω1) và (E2, ω2) .
Nhận xét 1.1.6. Nếu E là một không gian đối xứng lệnh hữu hạn chiều
1.1.2 Ví dụ
thì số chiều của E là chẵn.
Ví dụ 1.1.7. Không gian đối xứng lệnh chính tắc
Ví dụ cơ bản và quan trọng nhất của một không gian đối xứng lệnh hữu hạn chiều là không gian đối xứng lệnh chính tắc (cid:0)R2n, σ(cid:1) trong đó σ
5
được xác định như sau:
σ (z, z(cid:48)) =
pjx(cid:48)
j − p(cid:48)
jxj
n (cid:80) j=1
1, . . . , x(cid:48)
n; p(cid:48)
1, . . . , p(cid:48)
n). Trong trường
với z = (x1, . . . , xn; p1, . . . , pn) và z(cid:48) = (x(cid:48)
σ (z, z(cid:48)) = − det (z, z(cid:48)) .
hợp đặc biệt khi n = 1
Ví dụ 1.1.8. Cho (cid:0)R2n, σ(cid:1) là không gian đối xứng lệnh chính tắc. Ta có
thể xác định trên R2n ⊕ R2n hai dạng đối xứng lệnh σ⊕ và σ(cid:9) xác định như
σ⊕ (z1, z2; z(cid:48)
1, z(cid:48)
2) = σ (z1, z(cid:48)
1) + σ (z2, z(cid:48) 2)
σ(cid:9) (z1, z2; z(cid:48)
1, z(cid:48)
2) = σ (z1, z(cid:48)
1) − σ (z2, z(cid:48) 2)
sau.
Ta có các không gian đối xứng lệnh tương ứng là (cid:0)R2n ⊕ R2n, σ⊕(cid:1) và
(cid:0)R2n⊕ R2n, σ(cid:9)).
Ví dụ 1.1.9. Không gian đối xứng lệnh không chính tắc
Cho B là ma trận phản đối xứng thực cấp n (tức là BT = −B). Đặt
−B I
JB =
−I
0
.
Ta có
B2 − I −B
J 2 B =
B
−I
.
B (cid:54)= −I nếu B (cid:54)= 0. Nhờ tính chất này ta suy ra dạng đối
Do đó J 2
σB (z, z(cid:48)) = σ (z, z(cid:48)) − (cid:104)Bx, x(cid:48)(cid:105)
xứng lệnh σB được định nghĩa như sau.
không phải là dạng đối xứng lệnh chính tắc.
Dạng đối xứng lệnh này được sử dụng trong nghiên cứu của điện từ
6
trường (tổng quát hơn trong các nghiên cứu hệ động lực Hamitonian).
1.2 Cơ sở đối xứng lệnh
2n. Tập hợp B = {e1, . . . , en} ∪ {f1, . . . , fn} các véc tơ của E được gọi là
Định nghĩa 1.2.1. Cho E là một không gian đối xứng lệnh có số chiều là
• ω (ei, ej) = ω (fi, fj) = 0 với 1 (cid:54) i, j (cid:54) n.
• ω (fi, ej) = δij với 1 (cid:54) i, j (cid:54) n, trong đó δij là chỉ số Kronecker, δij = 1
một cơ sở đối xứng lệnh của (E, ω) nếu thỏa mãn hai điều kiện sau.
nếu i = j và δij = 0 nếu i (cid:54)= j.
Từ định nghĩa trên, một cơ sở đối xứng lệnh nhất thiết phải độc lập
tuyến tính và do đó là một cơ sở của E.
Ví dụ 1.2.2. Gọi (ci) là cơ sở chính tắc của Rn. Ta định nghĩa các véc tơ e1, . . . , en và f1, . . . , fn trong R2n xác định bởi ei = (ci, 0) , fi = (0, ci) . Khi đó, họ B := {e1, . . . , en} ∪ {f1, . . . , fn} là một cơ sở chính tắc của R2n.
Hơn nữa, ta dễ kiểm tra rằng B là cơ sở đối xứng lệnh của không gian đối xứng lệnh chính tắc (cid:0)R2n, σ(cid:1) , và cơ sở này còn được gọi là cơ sở đối xứng
lệnh chính tắc.
1.3 Trực giao Gram-Schmidt đối xứng lệnh
Định nghĩa 1.3.1. Cho M là một tập con khác rỗng của không gian đối
xứng lệnh (E, ω). Phần bù trực giao đối xứng lệnh (skew-orthogonal set)
của M (hay phần bù trực giao theo dạng đối xứng lệnh ω) được định nghĩa
M ω = {z ∈ E : ω (z, z(cid:48)) = 0, ∀z(cid:48) ∈ M } .
7
như sau:
Ta quy ước phần bù trực giao đối xứng lệnh của tập rỗng là E. Từ
M ⊂ N ⇒ N ω ⊂ M ω và (M ω)ω ⊂ M.
định nghĩa phần bù, ta dễ dàng thu được các tính chất sau:
Mệnh đề sau đây mô tả một số tính chất đơn giản nhưng hữu ích của
phần bù trực giao – đối xứng lệnh của một không gian con tuyến tính của
không gian đối xứng lệnh.
Mệnh đề 1.3.2.
(i) Nếu M là không gian con tuyến tính của E thì M ω cũng là một không
dim M + dim M ω = dim E và (M ω)ω = M.
gian con tuyến tính của E và
(ii) Nếu M1, M2 là các không gian con tuyến tính của không gian đối xứng
(M1 + M2)ω = M ω
1 ∩ M ω 2
(M1 ∩ M2)ω = M ω
1 + M ω 2 .
lệnh (E, ω) thì
Chứng minh.
(i) Thật vậy M ω là một không gian con tuyến tính của E là hiển nhiên.
Φ(z) (z(cid:48)) = ω (z, z(cid:48)) .
Với mỗi z ∈ E, ta đặt Φ(z) : E → E∗ xác định bởi:
Khi đó Φ(z) là một ánh xạ tuyến tính. Từ tính chất số chiều của E là
{e1, . . . , ek} là cơ sở của M, ta có: k (cid:92)
M ω =
ker (Φ (ej)) .
j=1
hữa hạn và tính không suy biến của ω ta suy ra được Φ(z) đẳng cấu. Gọi
8
Do đó
dim M ω = dim E − k = dim E − dim M.
Từ đó suy ra đẳng thức đầu tiên trong (i). Bây giờ ta áp dụng công
dim (M ω)ω = dim E − dim M ω
= dim E − (dim E − dim M )
= dim M.
thức này cho không gian (M ω)ω thay cho M, ta được
Kết hợp với tính chất (M ω)ω ⊂ M ở trên, ta thu được M = (M ω)ω.
(ii) Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức đầu của (ii) vì đẳng thức sau thu
được từ đẳng thức đầu bằng cách lấy đối ngẫu.
M2. Do đó, nếu chọn z2 = 0, ω (z, z1) = 0 với mọi z1 ∈ M1. Vậy z ∈ M ω 1 .
Giả sử z ∈ (M1 + M2)ω thì ω (z, z1 + z2) = 0 với mọi z1 ∈ M1, z2 ∈
2 . Do đó
(M1 + M2)ω ⊂ M ω
1 ∩ M ω 2 .
Tương tự ta cũng chứng minh được z ∈ M ω
1 ∩ M ω
Ngược lại lấy z ∈ M ω
2 thì ω (z, z1) = ω (z, z2) = 0 với mọi z1 ∈ M1, z2 ∈ M2. Do đó ω (z, z(cid:48)) = 0 với mọi z(cid:48) = z1 + z2 ∈ M1 + M2. Ta 2 ⊂ (M1 + M2)ω. Bao hàm thức này cùng với bao hàm thức
1 ∩ M ω
suy ra M ω
ngược lại được chứng minh ở trên suy ra điều cần chứng minh.
Định lý 1.3.3. Định lý Gram-Schmidt đối xứng lệnh
Cho A và B là hai tập hợp con (có thể rỗng) của {1, 2, ..., n} . Với hai
tập con bất kì E = {ei : i ∈ A} , F = {fj : j ∈ B} của không gian đối xứng
lệnh (E, ω) (dim E = 2n) sao cho các phần tử của E và F thỏa mãn các
ω (ei, ej) = ω (fi, fj) = 0 và ω (fi, ej) = δij Với (i, j) ∈ A × B,
9
điều kiện sau:
khi đó tồn tại một cơ sở đối xứng lệnh B của (E, ω) chứa E ∪ F.
Chứng minh. Ta sẽ chia làm ba trường hợp như sau.
Trường hợp 1: A = B = ∅
Chọn một véc tơ e1 (cid:54)= 0 trong E và đặt f1 là một véc tơ khác với e1
ω ) các véc tơ này là độc lập tuyến tính, định lý được chứng minh trong
sao cho ω (f1, e1) (cid:54)= 0 (sự tồn tại của f1 xuất phát từ sự không suy biến của
trường hợp n = 1.
Giả sử n > 1 và cho M là không gian con của E, sinh bởi tập {f1, e1} và đặt E1 = M ω; theo công thức dim M +dim M ω = dim E và (M ω)ω = M
ta có dim M + dim E1 = 2n.
Từ ω (f1, e1) (cid:54)= 0 ta có E1 ∩ M = 0 do đó E = E1 ⊕ M và hạn chế ω1
1 = M và do đó z1 = 0 ) do đó cặp (E1, ω1) là một
của ω trên E1 là không suy biến (vì nếu z1 ∈ E1 sao cho ω1 (z1, z) = 0 với mọi z1 ∈ E1 thì z1 ∈ E ω
không gian đối xứng lệnh 2(n − 1) chiều. Lặp lại quá trình trên (n − 1) lần
(E, ω) ⊃ (E1, ω1) ⊃ ... ⊃ (En−1, ωn−1)
ta được một dãy giảm
{e1, f1} ⊂ {e1, e2; f1; f2} ⊂ · · · ⊂ {e1, . . . , en; f1, . . . , fn}
của không gian đối xứng lệnh với dim Ek = 2(n − k) và là một dãy tăng
của tập hợp các véc tơ độc lập tuyến tính trong E, mỗi tập hợp thỏa mãn
ω (ei, ej) = ω (fi, fj) = 0 và ω (fi, ej) = δij với (i, j) ∈ A × B.
điều kiện:
Trường hợp 2: A = B (cid:54)= ∅
Ta có thể giả sử rằng A = B = {1, 2, ..., k} . Đặt M là không gian con
10
sinh bởi {e1, . . . , ek; f1, . . . , fk}. Tương tự như trường hợp đầu tiên ta nhận
thấy E = M ⊕ M ω và những hạn chế ωM và ωM ω của ω trên M và M ω là
dạng đối xứng lệnh. Đặt {ek+1, . . . , en; fk+1, . . . , fn} là cơ sở đối xứng lệnh
B = {e1, . . . , en; f1, . . . , fn} ,
của M ω thì
là một cơ sở đối xứng lệnh của E.
Trường hợp 3: B\A (cid:54)= ∅ (trường hợp A\B (cid:54)= ∅ chứng minh tương
tự).
ω (fj, ek) = δjk với j ∈ B. Khi đó E ∪ F ∪ {ek} là một hệ véc tơ độc lập
Giả sử k ∈ B\A và chọn ek ∈ E sao cho ω (ei, ek) = 0 với i ∈ A và
tuyến tính. Thật vậy, giả sử
λkek +
λiei +
µjej = 0.
i∈A
j∈B
(cid:88) (cid:88)
Nhân hai vể của đẳng thức trên với fk, ta thu được
µjω (fk, ej) = λk = 0
λiω (fk, ei) +
λkω (fk, ek) +
j∈B
i∈A
(cid:88) (cid:88)
Tương thự ta cũng suy ra được λi = µj = 0. với mọi i ∈ A và mọi j ∈ B.
Lặp lại quá trình trên nhiều lần sẽ quay trở lại trường hợp A = B (cid:54)= ∅.
Cho (E, ω) là không gian véc tơ đối xứng lệnh, F là không gian véc tơ
đối xứng lệnh và là không gian con của E. Khi đó phép hạn chế của ω trên (cid:1) F sinh ra dạng đối xứng lệnh trên F và được kí hiệu là ω|F . Cặp (cid:0)F, ω|F là không gian đối xứng lệnh và được gọi là không gian con của E. Do đó ta
có mệnh đề sau:
(cid:1) là hai không gian đối xứng lệnh
(cid:1) và (cid:0)F (cid:48), ω|F (cid:48) Mệnh đề 1.3.4. Cho (cid:0)F, ω|F của (E, ω), nếu dim F = dim F (cid:48) thì tồn tại một tự đẳng cấu đối xứng lệnh
của (E, ω) sao cho phép hạn chế ϕ|F là một đẳng cấu đối xứng lệnh
ϕ|F : (cid:0)F, ω|F
11
(cid:1) . (cid:1) → (cid:0)F (cid:48), ω|F (cid:48)
B(k) = {e1, . . . , ek} ∪ {f1, . . . , fk}
1, . . . , e(cid:48)
k} ∪ {f (cid:48)
1, . . . , f (cid:48) k}
(k) = {e(cid:48) B(cid:48)
Chứng minh. Giả sử rằng F và F (cid:48) có cùng số chiều là 2k và đặt
là các cơ sở đối xứng lệnh tương ứng với F và F (cid:48).
Theo định lý trực giao hóa Gram-Schmidt đối xứng lệnh ta có thể
(E, ω). Khi đó xác định một tự đẳng cấu đối xứng lệnh Φ của E thỏa mãn
Φ (ei) = e(cid:48)
i và Φ (fj) = f (cid:48)
j. Do đó phép hạn chế ϕ = Φ|F là một tự đẳng cấu
F → F (cid:48).
bổ sung B(k) và B(k(cid:48)) thành các cơ sở đối xứng lệnh đầy đủ B và B(cid:48) của
Định nghĩa 1.3.5. Một cơ sở của (cid:0)R2n, σ(cid:1) vừa là dạng đối xứng lệnh vừa
có tính trực giao với tích vô hướng (cid:104)z, z(cid:48)(cid:105) = σ (Jz, z(cid:48)) còn được gọi là cơ sở
orthosymplectic (cở sở trực chuẩn đối xứng lệnh). Rõ ràng cơ sở chính tắc
là cơ sở orthosymplectic.
n} thỏa mãn điều kiện σ (cid:0)e(cid:48)
1, . . . , e(cid:48)
i, e(cid:48) j
Nhận xét 1.3.6. Thuật toán xây dựng các cơ sở orthosymplectic bắt đầu (cid:1) = 0 từ một tập các véc tơ tùy ý {e(cid:48)
như sau:
1, . . . , e(cid:48)
n} . Bằng phương pháp trực chuẩn hóa Gram-Schmidt, ta xây đựng một cơ sở
Bước 1. Đặt (cid:96) là không gian véc tơ sinh bởi các véc tơ {e(cid:48)
trực chuẩn (theo nghĩa thông thường) {e1, . . . , en} của (cid:96).
f1 = −Je1, . . . , fn = −Jen.
Bước 2. Đặt:
σ (fi, fj) = σ (ei, ej) = 0, σ (fi, ej) = (cid:104)ei, ej(cid:105) = δij.
12
Các véc tơ fi trực giao với các véc tơ ei và trực giao với nhau; ngoài ra
B = {e1, . . . , en} ∪ {f1, . . . , fn}
Do đó cơ sở
13
vừa là đối xứng lệnh vừa có tính trực giao (theo dạng ω)
Chương 2
Ma trận Đối xứng lệnh và giá trị
riêng
2.1 Ma trận đối xứng lệnh, một số tính chất cơ bản
và ví dụ
2.1.1 Giới thiệu về ma trận đối xứng lệnh
Định nghĩa 2.1.1. Ma trận vuông S cấp 2n với hệ số thực được gọi là ma
trận đối xứng lệnh nếu
ST JS = J,
(2.1)
trong đó ST là ma trận chuyển vị của S và
0
I
J =
−I 0
.
Ta ký hiệu Sp(n) là tập hợp tất cả các ma trận đối xứng lệnh cấp 2n. (Một
số tài liệu sử dụng ký hiệu Sp(2n) cho tập hợp này).
Lấy định thức 2 vế của (2.1), ta suy ra det S = ±1. Vì vậy S là ma
(S1S2)T J(S1S2) = ST
1 JS1)S2 = J.
2 (ST
14
trận khả nghịch. Hơn nữa, nếu S1, S2 là các ma trận đối xứng lệnh thì
Vì vậy S1S2 cũng là ma trận đối xứng lệnh. Lấy nghịch đảo 2 vế của (2.1), ta suy ra S−1 cũng là đối xứng lệnh. Do đó Sp(n) là một nhóm con của
nhóm các ma trận khả nghịch.
Chú ý J T = −J và J 2 = −I. Với S ∈ Sp(n), ta có thể xây dựng một đẳng cấu tuyến tính s : R2n → R2n với ma trận đối với cớ sở chính tắc là S. Khi đó σ (z, z(cid:48)) = (z(cid:48))T Jz = (cid:104)Jz, z(cid:48)(cid:105) nên s là một tự đẳng cấu đối xứng
lệnh. Vì vậy ta có phép đồng nhất Sp(n) với nhóm các tự đẳng cấu đối xứng
2.1.2 Đa thức Pfaffian của ma trận phản xứng.
lệnh.
Một ma trận thực A, vuông cấp n được gọi là ma trận phản xứng
nếu AT = −A. Ta biết rằng, định thức của A có thể biểu diễn thành bình
phương của một đa thức mà các hệ số của ma trận A là các biến. Ta gọi đa
thức này là đa thức Pfaffian của A và ký hiệu là Pf(A). Một số tính chất
• Nếu A là ma trận phản xứng thì
Pf(A)2 = det A.
• Pf(J) = 1.
• Nếu A là ma trận phản xứng cấp lẻ thì det A = 0 nên Pf(A) = 0.
• Nếu A là ma trận phản xứng cấp 2n và B là ma trận vuông cấp 2n thì
Pf(BT AB) = det B Pf(A).
cơ bản của đa thức Pfaffian dưới đây được trích ra từ [3].
Nhận xét 2.1.2. Nếu S ∈ Sp(n) thì det S = 1.
Chứng minh. Thật vậy, từ đẳng thức (2.1) và tính chất của đa thức Pfaffian
Pf(ST JS) = det(S) Pf(J) = det S = 1.
15
nêu trên, ta có
Nhận xét 2.1.3. Một cơ sở đối xứng lệnh của (cid:0)R2n, σ(cid:1), với S ∈ Sp(n) luôn
A B
S =
có thể viết dưới dạng ma trận khối
C D
,
trong đó A, B, C, D là ma trận cấp n × n.
Các điều kiện S ∈ Sp(n) ⇔ ST JS = J ⇔ SJST = J, dễ dàng được nhìn
AT C, BT D đối xứng và AT D − C T B = I
ABT , CDT đối xứng và ADT − BC T = I.
thấy bằng cách tính trực tiếp, hoặc tương đương với hai bộ điều kiện sau:
Xuất phát từ điều kiện thứ hai này mà khả nghịch của S là
DT −BT
S−1 =
−C T AT
2.1.3 Một số ví dụ
.
Ví dụ 2.1.4. Cho P là một ma trận đối xứng, vuông cấp n và L là ma trận
I
0
−P I
L−1
0
VP =
vuông khả nghịch cấp n. Ta đặt
−P I
−I 0
0 LT
, UP = , ML = .
Khi đó các ma trận VP , UP , ML là ma trận đối xứng lệnh và đôi khi
còn được gọi là “symplectic shears”.
Ví dụ 2.1.5. Nếu X và Y là các ma trận đối xứng, vuông cấp n và X khả
nghịch thì
X + Y X −1Y Y X −1
S =
X −1Y
X −1
16
,
là một ma trận đối xứng lệnh.
Chúng ta có thể hình thành các tổng trực tiếp của nhóm đối xứng
lệnh qua ví dụ sau đây.
(cid:1) là các không gian đối xứng lệnh Ví dụ 2.1.6. Xét (cid:0)R2n1, σ1 (cid:1) và (cid:0)R2n2, σ2
chính tắc có số chiều là 2n1 và 2n2, đặt Sp (n1) và Sp (n2) là các nhóm đối
xứng lệnh tương ứng. Tổng trực tiếp Sp (n1) ⊕ Sp (n2) là nhóm tự đẳng cấu
của
(cid:1) (cid:0)R2n, σ(cid:1) = (cid:0)R2n1 ⊕ R2n2, σ1 ⊕ σ2
(s1 ⊕ s2) (z1 ⊕ z2) = s1z1 ⊕ s2z2.
xác định với z1 ∈ R2n1 và z2 ∈ R2n2 bởi
Nó hiển nhiên là một nhóm con của Sp(n):
Sp (n1) ⊕ Sp (n2) ⊂ Sp(n).
Ta có thể biểu diễn S1, S2 dưới dạng ma trận khối như sau: đặt
A1 B1
A2 B2
S1 =
C1 D1
C2 D2
, S2 =
là phần tử tương ứng của Sp (n1) và Sp (n2) . Khi đó
0
A1
0 B1
0 A2
0 B2
S1 ⊕ S2 =
∈ Sp (n1 + n2) .
0
C1
0 D1
0 C2
0 D2
Vì vậy, ta thu được ánh xạ
(S1, S2) (cid:55)→ S1 ⊕ S2
Sp (n1) ⊕ Sp (n2) → Sp(n)
17
là một đơn cấu nhóm.
2.2 Một số kết quả về giá trị riêng
2.2.1 Giá trị riêng của ma trận đối xứng lệch
Bây giời chúng ta sẽ bàn về giá trị riêng của ma trận đối xứng lệnh. Từ
lâu người ta đã biết rằng các giá trị riêng của ma trận đối xứng lệnh đóng
một vai trò cơ bản trong việc nghiên cứu các quỹ đạo tuần hoàn Hamilton,
điều này là do tính ổn định của các quỹ đạo này phụ thuộc một cách quan
trọng vào cấu trúc của hệ thống tuyến tính hóa liên quan. Đầu tiên ta sẽ
chứng minh các kết quả sau đây:
Mệnh đề 2.2.1. Cho S ∈ Sp(n)
1 λ
cũng là giá trị riêng của S (i) Nếu λ là một giá trị riêng của S thì ¯λ và
1 ¯λ
và do đó cũng là một giá trị riêng của S.
1 λ
cũng là một giá trị (ii) Nếu λ là một giá trị riêng của S có số bội k thì
riêng của S có số bội k.
(iii) S và S−1 có cùng các giá trị riêng.
Chứng minh.
PS(λ) = det(S − λI) (cid:19)
.
= λ2nPS
(i) Gọi PS(λ) là đa thức đặc trưng của S. Với λ (cid:54)= 0, ta có
(cid:18) 1 λ
1 λ
S, Hơn nữa đa thức đặc trưng là đa thức thực nên λ là giá trị riêng của S
cũng là một giá trị riêng của Vì vậy nếu λ là giá trị riêng của S thì
18
thì λ cũng là giá trị riêng của S.
S (λ0) (cid:54)= 0. Mà theo trên ta có PS(λ) =
là đạo hàm j − th của đa thức PS. Nếu λ0 có bội số k thì
(cid:54)= 0.
= 0 với 0 (cid:54) j (cid:54) k − 1 và P (k) S
(cid:19) (cid:19) (cid:19)
(ii) Đặt P (j) S S (λ0) = 0 với 0 (cid:54) j (cid:54) k −1 và P (k) P (j) . Do đó, P (j) λ2nPS S (cid:18) 1 λ (cid:18) 1 λ0 (cid:18) 1 λ0
2.2.2 Nhóm Unita U(n)
(iii) Theo (i) và (ii), ta thu được (iii).
Một ma trận vuông U, cấp n được gọi là ma trận unita nếu U ∗U = I = U U ∗. Trong đó U∗ là ma trận liên hợp của U, ta gọi U(n) là tập tất cả
ma trận unita cấp n. Khi đó tích hai ma trận unita cũng là một ma trận
unita, nghịch đảo của ma trận unita cũng là một ma trận unita. Nên U(n)
là một nhóm với phép nhân ma trận.
Mệnh đề 2.2.2. Phép đơn cấu µ : M (n, C) → M (2n, R) được định nghĩa
bởi u = A + iB (cid:55)→ µ(u) với
A −B
µ(u) =
B A
,
(trong đó A và B là ma trận thực) đồng nhất nhóm unita U(n, C) với nhóm
con
U(n) = Sp(n) ∩ O(2n, R)
của Sp(n).
Chứng minh. Từ Nhận xét 2.1.3 ta có
DT −BT
S−1 =
−C T AT
nên suy ra nghịch đảo của U = µ(u), u ∈ U (n, C), là
AT BT
U −1 =
−BT AT
19
= U T .
Do đó U ∈ O(2n, R), điều này chứng minh U(n) ⊂ Sp(n) ∩ O(2n, R).
JU = (cid:0)U T (cid:1)−1
J = U J.
Chứng minh chiều ngược lại: giả sử rằng U ∈ Sp(n) ∩ O(2n, R) thì
Điều đó có nghĩa là U ∈ U(n). Vì vậy Sp(n) ∩ O(2n, R) ⊂ U(n).
Tương tự ta cũng có thể chéo hoá ma trận đối xứng lệnh như sau:
Mệnh đề 2.2.3. Cho S là một ma trận đối xứng và là ma trận đối xứng
lệnh cấp 2n. Đặt λ1 (cid:54) · · · (cid:54) λn (cid:54) 1 là n giá trị riêng nhỏ nhất của S và
tập hợp
Λ = diag
, . . . ,
.
(cid:21)
1 λ1
1 λn
(cid:20) λ1, . . . , λn;
Khi đó tồn tại U ∈ U(n) sao cho S = U T ΛU.
λ,
1 λ
, . . . ,
Chứng minh. Do S > 0 nên theo Mệnh đề 2.1.7 suy ra giá trị riêng của S (cid:18) (cid:19) xuất hiện theo cặp là số dương.
1 λ1
1 λn
cũng là n giá trị Nếu λ1 (cid:54) · · · (cid:54) λn là n giá trị riêng thì
, . . . ,
.
1 λn
(cid:21) bởi công thức Λ = diag (cid:20) λ1, . . . , λn; riêng khác. Đặt U là ma trận trực giao sao cho S = U T ΛU với Λ xác định 1 λ1
Chọn U ∈ U(n) nên U có thể viết dưới dạng
A −B
B A
U =
ABT = BT A, AAT + BBT = I.
với
Đặt e1, . . . , en là n véc tơ riêng trực giao của U tương ứng với các giá
20
trị riêng λ1, · · · , λn. Do SJ = JS−1 (vì S vừa là đối xứng lệnh vừa là đối
SJek = JS−1ek =
Jek
1 λj
xứng) với 1 (cid:54) k (cid:54) n, ta có
do đó ±Je1, . . . , ±Jen là các véc tơ riêng trực giao của U tương ứng với n
, . . . ,
. Ta có thể viết ma trận cấp 2n × n tương ứng với
1 λ1
1 λn
giá trị riêng
các véc tơ riêng trực giao (e1, . . . , en) là
A
[e1, . . . , en] =
B
trong đó A, B là các ma trận cấp n × n; ta có
A
−B
[−Je1, . . . , −Jen] = −J
B
A
=
do đó U được viết dưới dạng
A −B
B A
U = [e1, . . . , en; −Je1, . . . , −Jen] = .
Khi đó ABT = BT A, AAT + BBT = I do U T U = I.
Từ Mệnh đề 2.1.9 ta suy ra được một số hệ quả sau đây:
Hệ quả 2.2.4.
S = Rα.
(i) Với mọi α ∈ Z tồn tại duy nhất một R ∈ Sp(n), R > 0, R = RT sao cho
α ∈ Z.
(ii) Ngược lại, nếu R ∈ Sp(n) là xác định dương thì Rα ∈ Sp(n) với mọi
21
Chứng minh.
1 α := diag
Λ
1 α ;
, . . . ,
.
1 α , . . . , λn
λ1
(i) Kí hiệu
1 1 α λ n
1 1 α λ 1
1 α U thì Rα = U T ΛU = S.
Đặt R := U T Λ
(ii) Ta có Rα = (cid:0)U T ΛU (cid:1)α = U T ΛαU ∈ Sp(n).
2.3 Định lý chéo hóa Williamson và ứng dụng
2.3.1 Định lý chéo hóa Williamson
Nội dung của định lý Williamson là ta có thể chéo hóa bất kì một ma
trận đối xứng xác định dương M nào bằng cách sử dụng ma trận đối xứng
D =
,
0 0 Λσ
(cid:21) lệnh và ma trận chéo có dạng đơn giản (cid:20) Λσ
trong đó các phần tử đường chéo Λσ là các moduli của giá trị riêng của JM.
Đây là một kết quả rất quan trọng trong máy tính lượng tử, tô-pô đối xứng
lệnh. Williamson đã chứng minh kết quả này vào năm 1963 và nó đã được
chứng minh lại nhiều lần với các phương pháp khác nhau.
M T . Từ Đại số tuyến tính cho chúng ta biết rằng tất cả các giá trị riêng
λ1, λ2, . . . , λm của M là thực có thể chéo hóa được bằng cách phép biến đổi trực giao M = RT DR với R ∈ O(m) và D = diag [λ1, λ2, . . . , λnm] . Định lí
Cho M là một ma trận thực đối xứng cấp m × m sao cho M =
Williamson đã cung cấp cho chúng ta dạng đối xứng lệnh của kết quả này.
Nội dung của định lý cho ta biết mọi ma trận đối xứng M xác định dương
22
có thể chéo hóa được bằng ma trận đối xứng lệnh và nó theo một cách rất
riêng. Do tầm quan trọng và mọi thứ nó kéo theo, ta sẽ mô tả chi tiết quy
trình chéo hóa của Williamson như sau.
Định lý 2.3.1 (Định lý Williamson). Cho M là ma trận thực, đối xứng có
kích cỡ 2n × 2n. Khi đó
(i) Tồn tại S ∈ Sp(n) sao cho
Λ 0
ST M S =
0 Λ
,
trong đó Λ là ma trận đường chéo, các phần tử λj của Λ được xác định bởi
±iλj là giá trị riêng của JM.
điều kiện sau:
(ii) Dãy λ1, . . . , λn (không kể thứ tự) không phụ thuộc vào sự lựa chọn của
ma trận chéo hóa S.
Chứng minh. Ta sẽ tiến hành chứng minh như sau:
(i) Kiểm tra nhanh trong trường hợp M = I thấy rằng giá trị riêng là ±i.
Kí hiệu (cid:104)·, ·(cid:105)M là tích vô hướng liên kết với M được định nghĩa như
(cid:104)z, z(cid:48)(cid:105)M = (cid:104)M z, z(cid:105).
sau:
Do đó ta có thể tìm thấy duy nhất một ma trận khả nghịch K cấp 2n sao
(cid:104)z, Kz(cid:48)(cid:105)M = σ (z, z(cid:48))
cho
K T M = J = −M K.
23
với mọi z, z(cid:48), ma trận đó thỏa mãn
−K M trong đó K M = −M −1K T M là chuyển vị của K đối với (cid:104)·, ·(cid:105)M . Kéo
Do dạng đối xứng lệnh (skew-product) có tính phản xứng nên ta có K =
theo các giá trị riêng của K = −M −1 có dạng ±iλj, λj > 0 và do đó giá trị
.
j
của JM −1 là ±iλ−1
j ± if (cid:48)
j. Do đó (cid:8)e(cid:48)
i và
i, f (cid:48) j 1(cid:54)i,j(cid:54)n cơ sở chuẩn tắc của R2n với tích vô hướng (cid:104)·, ·(cid:105)M sao cho Ke(cid:48) i = λif (cid:48)
Kf (cid:48)
j = −λje(cid:48)
j. Điều này kéo theo
K 2e(cid:48)
, K 2f (cid:48)
i = −λ2
i e(cid:48) i
j = −λ2
jf (cid:48) j.
(cid:9) là Gọi các véc tơ riêng tương ứng là e(cid:48)
i, f (cid:48) j
1(cid:54)i,j(cid:54)n
(cid:9) thỏa mãn Khi đó các véc tơ của cơ sở (cid:8)e(cid:48)
σ (cid:0)e(cid:48)
= 0
= λj
i, e(cid:48) j
i, Ke(cid:48) j
σ (cid:0)f (cid:48)
(cid:11) (cid:1) = (cid:10)e(cid:48) (cid:10)e(cid:48)
= 0
i, f (cid:48) j (cid:10)f (cid:48)
i, f (cid:48) j
i, Kf (cid:48) j
M
M (cid:11) M
(cid:1) = (cid:10)f (cid:48)
σ (cid:0)f (cid:48)
= −λj (cid:10)e(cid:48)
= −λiδij.
= λi
i, e(cid:48) j
i, Ke(cid:48) j
i, f (cid:48) j
M
(cid:11) M (cid:11) i, e(cid:48) j (cid:11) (cid:1) = (cid:10)f (cid:48) (cid:11) M
i và fj = λ−1/2 e(cid:48)
j, cơ sở (cid:8)e(cid:48) f (cid:48)
i, f (cid:48) j
i
j
1(cid:54)i,j(cid:54)n
(cid:9) là đối xứng Đặt ei = λ−1/2
S thành cơ sở {ei, fj}1(cid:54)i,j(cid:54)n. Khi đó ta có
lệnh. Gọi S ∈ Sp(n) sao cho ảnh của cơ sở chính tắc qua ánh xạ tuyến tính
Λ 0
ST M S =
0 Λ
với Λ = diag [λ1, . . . , λn] .
(ii) Để chứng minh tính duy nhất (ii) ta cần chỉ ra rằng nếu tồn tại S ∈
Sp(n) sao cho ST LS = L(cid:48) với L = diag[Λ, Λ], L(cid:48) = diag [Λ(cid:48), Λ(cid:48)] thì Λ = Λ(cid:48).
Vì S là đối xứng lệnh ta có ST JS = J và do đó ST LS = L(cid:48) là tương
đương với S−1JLS = JL(cid:48) điều này kéo theo JL và JL(cid:48) có cùng giá trị riêng.
24
Các giá trị riêng này chính là các số phức ±i/λj.
M = (S(cid:48))T DS(cid:48) = ST DS,
Mệnh đề 2.3.2. Giả sử S và S(cid:48) là các phần tử của Sp(n) sao cho
S(S(cid:48))−1 thuộc U(n).
trong đó D là dạng đường chéo trong Định lý Williamson ở trên. Khi đó
Chứng minh. Đặt U = S(S(cid:48))−1 ta có U −T DU = D.
R = D1/2U D−1/2 ta có
RT R = D−1/2 (cid:0)U T DU (cid:1) D−1/2
= D−1/2DD−1/2
= I.
Để chứng minh rằng U thuộc U(n) ta cần chứng minh U J = JU. Đặt
Do đó R ∈ O(2n). Vì J giao hoán với lũy thừa của D và JU = (cid:0)U T (cid:1)−1J
JR = D1/2JU D−1/2
= D1/2(cid:0)U T (cid:1)−1
JD−1/2
= D1/2(cid:0)U T (cid:1)−1
D−1/2J
= (cid:0)RT (cid:1)−1
J.
nên ta có
Do R ∈ Sp(n) ∩ O(2n) vậy nên JR = RJ. Bây giờ đặt U = D−1/2RD1/2
JU = JD−1/2RD1/2 = D−1/2JRD1/2
.
= D−1/2RJD1/2 = D−1/2RD1/2J
= U J
suy ra
25
Vậy mệnh đề được chứng minh.
Từ mệnh đề trên ta suy ra nhận xét sau đây:
Nhận xét 2.3.3. Đặt M là ma trận thực xác định dương: M > 0. Theo
Định lý Williamson, các giá trị riêng của JM thỏa ±iλσ,j với λσ,j > 0. Ta
λσ,1 (cid:62) λσ,2 (cid:62) . . . (cid:62) λσ,n > 0.
luôn có thể sắp xếp các số dương λσ,j theo thứ giảm
Định nghĩa 2.3.4. Với quy ước đặt bên trên (λσ,1, . . . .λσ,n) được gọi là
Specσ(M ) = (λσ,1, . . . , λσ,n)
“phổ đối xứng lệnh” của M và được kí hiệu là Specσ(M ).
M. Khi đó ta có:
Mệnh đề 2.3.5. Cho Specσ(M ) = (λσ,1, . . . , λσ,n) là phổ đối xứng lệnh của
Specσ
(i) Specσ(M ) là một bất biến đối xứng lệnh
(cid:0)ST M S(cid:1) = Specσ(M ),
với mọi S ∈ Sp(n).
σ,n, . . . , λ−1 σ,1
Specσ
(cid:1) là phổ đối xứng lệnh của M −1 : (ii) Dãy (có thứ tự) (cid:0)λ−1
(cid:0)M −1(cid:1) = (Specσ(M ))−1.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh cụ thể như sau.
(i) Là hệ quả tức thời của định nghĩa Specσ(M ).
(ii) Các giá trị riêng của JM cũng giống như M 1/2JM 1/2; các giá trị riêng
M 1/2JM 1/2(cid:17)−1
.
của JM −1 cũng là giá trị riêng của M −1/2JM −1/2. Đặt
26
(cid:16) M −1/2JM −1/2 = −
1 t nên phổ đối xứng lệnh thu được bằng cách lấy các modun của các giá trị
Do các giá trị riêng của JM và JM −1 được lấy từ mỗi phép biến đổi t → −
riêng này.
Dưới đây là kết quả cho phép chúng ta so sánh phổ đối xứng lệnh của
hai ma trận đối xứng.
Định lý 2.3.6. Cho M và M (cid:48) là hai ma trận đối xứng xác định dương và
M (cid:54) M (cid:48) ⇒ Specσ(M ) (cid:54) Specσ (M (cid:48)) .
có cùng kích cỡ. Khi đó ta có
A (cid:39) B. Khi các ma trận của A nhỏ hơn hoặc bằng B (đối với một thứ tự
Chứng minh. Khi hai ma trận A và B có cùng các giá trị riêng ta sẽ viết
nhất định) ta sẽ viết A (cid:54) B. Lưu ý rằng khi ma trận A hoặc B là nghịch
đảo ta có AB (cid:39) BA, với các kí hiệu này các phát biểu trên tương đương
M (cid:54) M (cid:48) ⇒ (JM (cid:48))2 (cid:54) (JM )2
với:
λ(cid:48) là các số thực. Mối quan hệ M (cid:54) M (cid:48) là tương đương với zT M z (cid:54) zT M (cid:48)z với mọi z ∈ R2n. Thay thế z liên tiếp bởi (cid:0)JM 1/2(cid:1) z và (cid:0)JM (cid:48)1/2(cid:1) z trong
zT M z (cid:54) zT M (cid:48)z ta có kể tới trường hợp J T = −J, đó là do J T = −J ta có:
M 1/2JM (cid:48)JM 1/2 (cid:54) M 1/2JM JM 1/2.
M (cid:48)1/2JM (cid:48)JM (cid:48)1/2 (cid:54) M (cid:48)1/2JM JM (cid:48)1/2.
vì các giá trị riêng của JM và JM (cid:48) xuất hiện theo cặp ±iλ, ±iλ(cid:48) với λ và
M 1/2JM (cid:48)JM 1/2 (cid:39) M JM (cid:48)J
M (cid:48)1/2JM JM (cid:48)1/2 (cid:39) M (cid:48)JM J (cid:39) M JM (cid:48)J
27
Chú ý rằng ta có
M JM (cid:48) (cid:54) JM 1/2JM (cid:48)JM 1/2
.
M (cid:48)1/2JM (cid:48)JM (cid:48)1/2 (cid:54) M JM (cid:48)J
ta có thể viết lại các quan hệ
M (cid:48)1/2JM (cid:48)JM (cid:48)1/2 (cid:54) M 1/2JM JM 1/2.
và vì vậy, bằng tính bắc cầu ta có
M 1/2JM JM 1/2 (cid:39) (M J)2
M (cid:48)1/2JM (cid:48)JM (cid:48)1/2 (cid:39) (M (cid:48)J)2.
Do đó ta có
(M J)2.
Mối quan hệ M 1/2JM (cid:48)JM 1/2 (cid:54) M 1/2JM JM 1/2 là tương đương với (M (cid:48)J)2 (cid:54)
Định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.3.7. Đặt M là ma trận thực đối xứng xác định dương cỡ 2n × 2n
biểu thị M là ellipsoid trong R2n được xác định bởi (cid:104)M z, z(cid:105) (cid:54) 1 :
M : (cid:104)M z, z(cid:105) (cid:54) 1
D = diag[Λ, Λ] và Λ = diag [λ1,σ, . . . , λn,σ] trong đó (λ1,σ, . . . , λn,σ) là phổ
Theo Định lý Williamson tồn tại S ∈ Sp(n) sao cho ST M S = D với
đối xứng lệnh của M. Nó kéo theo
S−1(M) :
λj,σ
j + p2 j
n (cid:80) j=1
(cid:0)x2 (cid:1) (cid:54) 1.
được gọi là bán kính đối xứng Định nghĩa 2.3.8. Số Rσ(M) =
1 (cid:112)λ1,σ π σ = λ1,σ
là diện tích đối xứng lệnh của lệnh của ellipsoid M, cσ(M) = πR2
ellipsoid. Các tính chất của diện tích đối xứng lệnh được tóm tắt trong hệ
28
quả sau đây rút ra từ Định lý 2.2.6
Hệ quả 2.3.9. Cho M và M(cid:48) là hai ellipsoid trên (cid:0)R2n, σ(cid:1)
(i) Nếu M ⊂ M(cid:48) thì cσ(M) (cid:54) cσ (M(cid:48)) .
(ii) Với mọi S ∈ Sp(n) ta có cσ(S(M)) = cσ(M).
(iii) Với mọi λ > 0 ta có cσ(λM) = λ2cσ(M).
Chứng minh.
1,σ.
(i) Giả sử M : (cid:104)M z, z(cid:105) (cid:54) 1 và M(cid:48) : (cid:104)M (cid:48)z, z(cid:105) (cid:54) 1. Nếu M ⊂ M(cid:48) thì M (cid:62) M (cid:48)
và do đó Specσ(M ) (cid:62) Specσ (M (cid:48)) theo Định lý 2.2.6 ta có M (cid:54) M (cid:48) ⇒ Specσ(M ) (cid:54) Specσ (M (cid:48)) và vì vậy λ1,σ (cid:54) λ(cid:48) (ii) Ta có S(M) : (cid:104)M (cid:48)z, z(cid:105) (cid:54) 1 với S(cid:48) = (cid:0)S−1(cid:1)T M S−1 do đó ta có M (cid:48) là
phổ đối xứng lệnh tương tự như M theo Mệnh đề 2.2.5.
(iii) Hiển nhiên với mọi λ > 0 ta có cσ(λM) = λ2cσ(M).
2.3.2 Ứng dụng
Mệnh đề hoàn toàn được chứng minh.
Trong mục này, một số ứng dụng phổ đối xứng lệnh trong việc nghiên
cứu các chuẩn bất biến unita sẽ được trình bày. Các kết quả này được trích
trong tài liệu [4].
Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức cơ sở. Một chuẩn ||| · ||| trên
không gian các ma trận vuông cấp n (kí hiệu là M (n)) được gọi là bất biến
|||V AU ||| = |||A|||,
unita nếu thỏa
|| · || là chuẩn toán tử thông thường, tức là
với mọi ma trận A ∈ M (n) và mọi ma trận unita U, V ∈ M (n). Ta kí hiệu
||Ax|| =
λm(A∗A),
||A|| = sup ||x||=1
29
(cid:113)
trong đó A∗ là ma trận liên hợp của A (tức A∗ thu được từ A bằng phép lấy liên hợp các phần tử và phép chuyển vị) và λm(A∗A) là giá trị riêng lớn nhất của A∗A. Khi đó || · || là một chuẩn bất biến unita. Ngoài ra, ta kí hiệu
chuẩn || · ||2 là chuẩn Frobenius như sau:
||A||2 =
(cid:113) tr(A∗A),
trong đó tr(X) là phép toán lấy vết của X. Khi đó || · ||2 cũng là ma trận
||U AV ||2
2 = tr((U AV )∗U AV ) = tr(V ∗A∗U ∗U AV ) = tr(A∗A) = ||A||2.
bất biến unita. Thật vậy
Kí hiệu P(2n) là tập hợp các ma trận xác định dương cấp 2n. Với A ∈ P(2n),
d1(A) ≤ d2(A) ≤ · · · ≤ dn(A).
gọi dãy d1(A), . . . , dn(A) là phổ đối xứng lệnh của A. Như vậy
Ta kí hiệu
(cid:98)d(A) := ( (cid:98)d1(A), (cid:98)d2(A), . . . , (cid:98)d2n−1(A), (cid:98)d2n(A))
trong đó (cid:98)d1(A) = (cid:98)d2(A) = dn(A, . . . , (cid:98)d2n−1(A) = (cid:98)d2n(A) = d1(A).
Định lý 2.3.10. Cho A, B là hai phần tử của P(2n). Đặt (cid:98)D (A) , (cid:98)D (B) là
các ma trận chéo như sau:
(cid:98)D (A) = diag( (cid:98)d1(A), (cid:98)d2(A), . . . , (cid:98)d2n−1(A), (cid:98)d2n(A))
(cid:98)D (B) = diag( (cid:98)d1(B), (cid:98)d2(B), . . . , (cid:98)d2n−1(B), (cid:98)d2n(B))
(cid:16) (cid:54) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) . Khi đó, với mọi chuẩn bất biến unita ||| · ||| ta có: ||A||1/2 + ||B||1/2(cid:17) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:98)D (A) − (cid:98)D (B) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)|A − B|1/2(cid:12)
Trường hợp đặc biệt với chuẩn toán tử và chuẩn Frobenius, ta có
||A||1/2 + ||B||1/2(cid:17)
||A − B||1/2,
|dj(A) − dj(B)| (cid:54)
max 1(cid:54)j(cid:54)n
1/2
(cid:16)
√
n (cid:88)
||A||1/2 + ||B||1/2(cid:17)
(tr |A − B|)1/2.
|dj(A) − dj(B)|2
2
j=1
30
(cid:16) (cid:54)
Chứng minh. Đặt A là một ma trận Hermitian và Eig↓(A) là ma trận chéo
mà các phần từ nằm trên đường chéo là các giá trị riêng theo thứ tự giảm
dần của A, Theo Định lý “Lidskii-Wielandt” ta có
(cid:54) |||A − B|||. (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)Eig↓(A) − Eig↓(B) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Nếu A ∈ P(2n) thì các giá trị riêng dj(A) cùng với các số đối của nó
là các giá trị riêng của ma trận Hermitian iA1/2JA1/2. Vì vậy, theo Định lý
(cid:54) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:98)D(A) − (cid:98)D(B) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:54) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
=
(cid:16)
(cid:12) (cid:12) (cid:12)
JB1/2(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)JB1/2(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:54) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) + (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
=
A1/2 − B1/2(cid:17)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A1/2 − B1/2(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)B1/2(cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) “Lidskii-Wielandt”, với bất kì A, B ∈ P(2n), ta có: (cid:12) (cid:12) (cid:12)A1/2JA1/2 − B1/2JB1/2(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A1/2JA1/2 − A1/2JB1/2(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A1/2J (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) + (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A1/2J (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) + (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A1/2 − B1/2(cid:12) (cid:12)A1/2(cid:12) (cid:16)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) + (cid:12) (cid:17) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A1/2JB1/2 − B1/2JB1/2(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) A1/2 − B1/2(cid:17) (cid:16) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A1/2 − B1/2(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) . (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Theo [5, Định lý X.1.3], ta có
1/2(cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:54) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)A1/2 − B1/2(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)|A − B| (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) .
Kết hợp với bất đẳng thức trên ta thu được
||A||1/2 + ||B||1/2(cid:17) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:16) (cid:54) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:98)D (A) − (cid:98)D (B) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)|A − B|1/2(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) .
Áp dụng trường hợp đặc biệt khi chuẩn ||| · ||| là chuẩn toán tử || · ||
hay chuẩn Frobenius || · ||2, ta suy ra
|dj(A) − dj(B)| (cid:54)
||A||1/2 + ||B||1/2(cid:17) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
max 1(cid:54)j(cid:54)n
1/2
(cid:16) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) , (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)|A − B|1/2(cid:12)
√
n (cid:88)
||A||1/2 + ||B||1/2(cid:17)
(tr |A − B|)1/2.
|dj(A) − dj(B)|2
2
j=1
(cid:16) (cid:54)
31
Vậy định lý được chứng minh hoàn toàn.
Ví dụ 2.3.11. Cho γ là một số dương, đặt
I O
γI O
A =
O I
O I
. , B =
Khi đó ta có:
γ1/2I O
I O
O γ1/2I
O I
(cid:98)D(A) = (cid:98)D(B) = ,
cho nên, nếu γ ≥ 1, thì (cid:12) (cid:12) (cid:12)
điều đó chỉ ra rằng với số γ đủ lớn, thì (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = γ1/2 − 1, và (cid:107)A − B(cid:107) = γ − 1 (cid:12) (cid:98)D(A) − (cid:98)D(B) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) và (cid:107)A − B(cid:107)1/2 gần (cid:12) (cid:98)D(A) − (cid:98)D(B) (cid:12) (cid:12)
32
bằng γ1/2. Vậy các điều kiện của Định lý 2.3.10 được thảo mãn.
Kết luận
Trong luận văn này chúng tôi đã thu được những kết quả cụ thể sau:
1. Trình bày các kiến thức cơ sở và giới thiệu tổng quan về không gian véc
tơ đối xứng lệch bao gồm dạng đối xứng lệnh, tổng trực tiếp của hai không
gian đối xứng lệnh, cơ sở đối xứng lệnh, tích trực giao-đối xứng lệnh và một
số ví dụ minh họa cho các định nghĩa này. Tiếp theo đó là trình bày Định
lý Gram-Schmidt trực giao hóa đối xứng lệnh và một số hệ quả và chú ý
theo sau định lý này.
• Giới thiệu về ma trận đối xứng lệnh, một số tính chất cơ bản và ví dụ
2. Trình bày về ma trận đối xứng lệnh và giá trị riêng.
• Một số kết quả về giá trị riêng của ma trận đối xứng lệnh. Tiếp theo
minh họa.
đó là nhóm unita và một số kết quả về chuẩn bất biến unita qua giá
• Định lý chéo hóa Williamson, phổ đối xứng lệnh, một số kết quả kèm
trị riêng đối xứng lệnh.
33
theo của định lý này.
Tài liệu tham khảo
[1] M. de Gosson, 2006. Symplectic Geometry and Quantum Mechanics,
Birkh¨auser Basel.
[2] Introduction to symplectic mechanics, 2006: Lectures I-II-III. Lecture
Notes from a course at the University of St-Paulo, May-June.
[3] Bruijn, de, N. G, (1955). On some multiple integrals involving de-
terminants, Journal of the Indian Mathematical Society. New Series,
19, 133-151.
[4] Rajendra Bhatia and Tanvi Jain, (2015). On symplectic eigenval-
ues of positive definite matrices, J. Math. Phsy. 56, 112-201.
34
[5] Rajendra Bhatia, 1997. Matrix Analysis, Springer.
