Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số dạng bài tập về thiết diện dành cho học sinh giỏi

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:102

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là hệ thống hóa để chọn lọc một số dạng bài tập về thiết diện thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi; đưa ra lời giải tường minh cho một số bài tập dành cho học sinh giỏi, một số bài tập khó mà tài liệu tham khảo chưa đưa ra lời giải chi tiết. Mời các bạ cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số dạng bài tập về thiết diện dành cho học sinh giỏi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM KHÁNH TÙNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ THIẾT DIỆN DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM KHÁNH TÙNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ THIẾT DIỆN DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN - 2016
i Mục lục Mở đầu 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1 Khái niệm thiết diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Thiết diện của một số hình thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Thiết diện của hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Thiết diện của hình nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.3 Thiết diện của hình trụ tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.4 Thiết diện của hình đa diện lồi . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Các định lý, tính chất thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Một số bài toán cơ bản về xác định thiết diện . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Mặt phẳng cắt qua ba điểm cho trước . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Mặt phẳng cắt qua một điểm và song song với một mặt phẳng (hoặc hai đường thẳng cắt nhau) . . . . . . . . . . . 10 1.4.3 Mặt phẳng cắt qua hai điểm (chứa một đường thẳng cho trước) và song song với một đường thẳng . . . . . . . . . . 12 1.4.4 Mặt phẳng cắt qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.5 Mặt phẳng cắt qua hai điểm (chứa một đường thẳng cho trước) và vuông góc với một mặt phẳng . . . . . . . . . . . 15 1.4.6 Mặt phẳng cắt qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
ii Chương 2. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ THIẾT DIỆN 19 2.1 Dạng bài tập liên quan đến diện tích của thiết diện . . . . . . . . 19 2.1.1 Tính diện tích thiết diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Tìm điều kiện để diện tích thiết diện đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2 Dạng bài tập về xác định hình dạng thiết diện . . . . . . . . . . . 61 2.3 Dạng bài tập thiết diện phụ thuộc vào điểm di động . . . . . . . . 78 Kết luận 96 Tài liệu tham khảo 97
1 MỞ ĐẦU Trong chương trình Toán phổ thông nói chung, trong các dạng bài tập, đề thi học sinh giỏi nói riêng thì các bài tập về thiết diện rất phong phú, đa dạng. Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi và tích lũy thêm kinh nghiệm chuyên môn, tôi chọn hướng nghiên cứu của luận văn Thạc sĩ với đề tài: "Một số dạng bài tập về thiết diện dành cho học sinh giỏi" với nhiệm vụ: 1. Hệ thống hóa để chọn lọc một số dạng bài tập về thiết diện thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi. 2. Đưa ra lời giải tường minh cho một số bài tập dành cho học sinh giỏi, một số bài tập khó mà tài liệu tham khảo chưa đưa ra lời giải chi tiết. Cấu trúc phần nội dung của luận văn: - Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương này đề cập, trình bày các kiến thức cơ sở về mặt phẳng, giao tuyến, thiết diện và những kiến thức nền tảng áp dụng trong việc giải các bài tập của chương 2. - Chương 2. Một số dạng bài tập về thiết diện Đây là nội dung trọng tâm của luận văn. Các bài tập dành cho học sinh giỏi về thiết diện được trình bày có hệ thống với những bài tập khó theo từng dạng. Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của PGS.TS. Trịnh Thanh Hải cùng sự giúp đỡ, tạo điều kiện của các thầy giáo, cô giáo khoa Toán- Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và các thầy cô giáo tham gia giảng dạy lớp Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp (Khóa 8). Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô Lãnh đạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Sở GDĐT tỉnh Yên Bái, Phòng GDĐT thành
2 phố Yên Bái cùng tập thể lớp Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp đã động viên, giúp đỡ tác giả trong khóa học và quá trình hoàn thành luận văn. Thực hiện luận văn này, tác giả đã đầu tư nhiều thời gian, tham khảo nhiều tài liệu, cẩn thận trong trình bày để thực hiện luận văn này nhưng không thể tránh khỏi những hạn chế. Tác giả kính mong được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn ! Thái Nguyên, tháng 6 năm 2016 Tác giả Phạm Khánh Tùng
3 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm thiết diện Hình phẳng có được do cắt một hình khối T bằng một mặt phẳng (P ) gọi là thiết diện của hình khối T cắt bởi mặt phẳng (P ). 1.2 Thiết diện của một số hình thường gặp 1.2.1 Thiết diện của hình cầu Mặt phẳng (P ) cắt hình cầu T luôn cho ta một thiết √ diện là một hình tròn bán kính r = R2 − k 2 . Trong đó R là bán kính hình cầu; k là khoảng cách từ mặt phẳng tới tâm hình cầu (0 ≤ k < R). (Hình 1.1) 1.2.2 Thiết diện của hình nón Hình 1.1. Hình 1.2.
4 - Mặt phẳng qua đỉnh, cắt hình nón theo hai đường sinh ta được thiết diện là một tam giác cân. (Hình 1.2) - Cắt hình nón bởi mặt phẳng không qua đỉnh: + Nếu mặt phẳng cắt tất cả các đường sinh của hình nón thì ta được thiết diện là một hình elip (Hình 1.3). Đặc biệt trong trường hợp này, mặt phẳng vuông góc với trục hình nón thì thiết diện thu được là một hình tròn có tâm nằm trên trục hình nón. (Hình 1.4) + Nếu mặt phẳng song song với hai đường sinh của hình nón thì thiết diện thu được là một hình phẳng giới hạn bởi các giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt đáy của hình nón (là một đoạn thẳng) và mặt bên của hình nón (là một đường cong thuộc một nhánh của một hypebol). (Hình 1.5) Hình 1.3. Hình 1.4. Hình 1.5. Hình 1.6. + Nếu mặt phẳng song song với một đường sinh của hình nón thì thiết diện thu được là một hình phẳng giới hạn bởi các giao tuyến của mặt phẳng đó với
5 mặt đáy của hình nón (là một đoạn thẳng) và mặt bên của hình nón (là một phần đường cong parabol). (Hình 1.6) 1.2.3 Thiết diện của hình trụ tròn xoay - Thiết diện của hình trụ tròn xoay (bán kính r) bị cắt bởi một mặt phẳng vuông góc với trục hình trụ là một hình tròn có tâm nằm trên trục hình trụ, có bán kính bằng r. (Hình 1.7) - Thiết diện của hình trụ tròn xoay (bán kính r) bị cắt bởi mặt phẳng hợp với trục hình trụ một góc α 0 < α < 900 cắt tất cả các đường sinh của hình 2r trụ là một hình elip có trục nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng . (Hình 1.8) sin α - Thiết diện của hình trụ tròn xoay (bán kính r) bị cắt bởi mặt phẳng song song với trục hình trụ, cách trục hình trụ một khoảng k (0 ≤ k < r) là một hình chữ nhật có hai cạnh có độ dài bằng chiều cao hình trụ, hai cạnh còn lại có độ √ dài bằng 2 r2 − k 2 . (Hình 1.9) Hình 1.7. Hình 1.8. Hình 1.9. 1.2.4 Thiết diện của hình đa diện lồi Để xác định thiết diện của khối đa diện lồi T (gọi tắt là hình T ) cắt bởi mặt phẳng (P ) ta thường thực hiện qua các bước sau: Bước 1. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P ) với một mặt nào đó của hình T gọi là giao tuyến gốc (giao tuyến này thường dễ dàng xác định được dựa vào giả thiết của đề bài). Bước 2. Xác định giao điểm của giao tuyến gốc với các cạnh của hình T.
6 Bước 3. Từ các giao điểm trên, xác định các giao tuyến còn lại của mặt phẳng (P ) với các mặt của hình T. Bước 4. Chỉ ra phần hình phẳng trong mặt phẳng (P ) giới hạn bởi các giao tuyến trên là thiết diện cần xác định. Thực chất quy trình trên là tìm giao của mặt phẳng (P ) với các mặt của hình T (Mặt phẳng (P ) có thể không cắt hết các mặt của hình T ). Hình dạng của thiết diện là đa giác lồi có các đỉnh là giao điểm của mặt phẳng (P ) với các cạnh của hình T . 1.3 Các định lý, tính chất thường dùng * Quan hệ song song, quan hệ vuông góc: Định lí 1.1. [9] Trong không gian, cho đường thẳng d và điểm A ngoài d. Lúc đó tồn tại duy nhất một đường thẳng a đi qua A và song song với đường thẳng d. Mệnh đề 1.1. [9] Nếu hai mặt phẳng chứa lần lượt hai đường thẳng song song với nhau và hai mặt phẳng đó cắt nhau theo một đường thẳng thì đường thẳng này song song với cả hai đường thẳng trên hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. Mệnh đề 1.2. [9] Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Định lí 1.2. [9] Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng d không thuộc (α). Khi đó, d và (α) song song với nhau khi và chỉ khi tồn tại một đường thẳng a thuộc (α) sao cho d và a song song với nhau. Mệnh đề 1.3. [9] Nếu hai mặt phẳng cùng song song hoặc chứa một đường thẳng và chúng cắt nhau theo giao tuyến là một đường thẳng thì giao tuyến này song song hoặc trùng với đường thẳng trên. Định lí 1.3. [9] Cho điểm P và hai đường thẳng a, b chéo nhau. Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng (α) đi qua điểm P sao cho (α) song song hoặc chứa a và song song hoặc chứa b. Mệnh đề 1.4. [9] Cho điểm P và hai đường thẳng a, b chéo nhau sao cho P không thuộc a và b. Giả sử đường thẳng a không song song với mặt phẳng (P ; b)
7 và đường thẳng b không song song với mặt phẳng (P ; a) . Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng (α) đi qua P sao cho (α) song song với a và b. Hệ quả 1.1. [9] Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng (α) đi qua a và song song với b. Mệnh đề 1.5. [9] Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) . Nếu đường thẳng b song song với đường thẳng a thì b song song hoặc thuộc (α). Hệ quả 1.2. [9] Cho một đường thẳng và một mặt phẳng song song với nhau. Nếu một đường thẳng đi qua một điểm thuộc mặt phẳng đã cho và song song với đường thẳng đã cho thì nó phải thuộc mặt phẳng này. Định lí 1.4. [9] Cho hai mặt phẳng (α) và (β). Khi đó (α) và (β) song song với nhau khi và chỉ khi trong mặt phẳng (β) tồn tại hai đường thẳng a1 , a2 cắt nhau sau cho cùng cùng song song với (α). Định lí 1.5. [9] Cho một điểm P nằm ngoài mặt phẳng (α) . Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng đi qua P và song song với (α). Mặt phẳng (α) chứa mọi đường thẳng qua P và song song với (α). Mệnh đề 1.6. [9] Cho một đường thẳng d song song với (α) . Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng đi qua d và song song với (α). Mệnh đề 1.7. [9] Cho (α) và (β) là hai mặt phẳng song song với nhau. Nếu mặt phẳng (γ) cắt (α) theo một đường thẳng thì (γ) cũng cắt (β) theo một đường thẳng và các đường thẳng này song song với nhau. Mệnh đề 1.8. [9] Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Định lí 1.6. [9] Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng thì đường thẳng ấy vuông góc với mặt phẳng đó. Mệnh đề 1.9. [9] - Mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. - Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song hoặc trùng nhau. Mệnh đề 1.10. [9] - Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Đường thẳng vuông góc
8 với mặt phẳng (P) thì đường thẳng đó cũng vuông góc với đường thẳng a. - Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì đường thẳng và mặt phẳng ấy song song với nhau hoặc đường thẳng nằm trong mặt phẳng. Mệnh đề 1.11. [9] - Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại. - Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song hoặc trùng nhau. Định lí 1.7. [9] - Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua điểm O cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước. - Có duy nhất một đường thẳng ∆ đi qua điểm O cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước. Định lí 1.8. [9] Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P). * Định lý Ta-lét: Định lí 1.9. [Định lý Ta-lét trong tam giác] Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Định lí 1.10. [Định lý Ta-lét đảo trong tam giác] Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. Định lí 1.11. [Định lý Ta-lét trong không gian] Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Định lí 1.12. [Định lý Ta-lét đảo trong không gian] Cho hai đường thẳng d1 , d2 chéo nhau và các điểm A1 , B1 , C1 trên d1 ( B1 nằm giữa A1 và C1 ) các điểm A2 , B2 , C2 trên d2 ( B2 nằm giữa A2 và C2 ) sao cho A1 B1 A2 B2 = . B1 C1 B1 C2 Khi đó, các đường thẳng A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 cùng song song với một mặt phẳng.
9 1.4 Một số bài toán cơ bản về xác định thiết diện Để giải các bài tập về thiết diện (đặc biêt là các bài tập dành cho học sinh giỏi) thì việc xác định thiết diện là công đoạn quan trọng trước khi thực hiện các yêu cầu khác của bài toán. Xác định thiết diện là bài toán dựng hình nhưng chỉ cần nêu phần dựng và phần biện luận nếu có. Dưới đây là một số ví dụ cụ thể: 1.4.1 Mặt phẳng cắt qua ba điểm cho trước Phương pháp. Trong trường hợp này ta đã xác định được mặt phẳng (P ) qua 3 điểm cho trước. Ta chỉ cần dựa vào giả thiết để tìm giao tuyến gốc từ đó xác định giao của mặt phẳng (P ) với các mặt của hình khối. Ví dụ 1.4.1. [13] Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC , N và P lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tìm thiết diện của mặt phẳng (M N P ) với hình chóp đã cho. Lời giải. Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E , F lần lượt là giao của N P với EF. Ta có M E , M F lần lượt là giao tuyến của mặt phẳng (M N P ) với các mặt phẳng (SBC) và (SCD), gọi I , J lần lượt là giao của M F , M E với SD và SB. Suy ra: (M N P ) ∩ (SBC) = M J; (M N P ) ∩ (SAB) = JN ; Hình 1.10. (M N P ) ∩ (ABCD) = N P ; (M N P ) ∩ (SAD) = P I;(M N P ) ∩ (SCD) = IM. Ta được thiết diện của mặt phẳng (M N P ) với hình chóp là ngũ giác JM IP N (Hình 1.10). Ví dụ 1.4.2. [13] Cho hình chóp S.ABCD, gọi M là một điểm ở trong tam giác SBC, N là một điểm ở trong tam giác SCD. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AM N ) với hình chóp đã cho.
10 Lời giải. Gọi E và F lần lượt là giao của SM với BC và SN với DC. O là giao của EF với AC ; I là giao của M N với SO; Gọi H là giao của AI với SC. Dựng các đường thẳng HM và HN. Có 4 trường hợp xảy ra: - Trường hợp 1. HM cắt cạnh SB tại P , HN cắt cạnh SD tại Q. Nối QA, P A ta được thiết diện là tứ giác AP HQ (Hình 1.12). - Trường hợp 2. HM cắt cạnh CB tại P , HN cắt cạnh SD tại Q. Nối QA, P A ta được thiết diện là tứ giác AP HQ (Hình 1.13). Các trường hợp còn lại được xét tương tự: - Trường hợp 3. HM cắt cạnh SB tại P , HN cắt Hình 1.11. cạnh CD tại Q. - Trường hợp 4. HM cắt BC tại P , HN cắt CD tại Q. Hình 1.12. Hình 1.13. 1.4.2 Mặt phẳng cắt qua một điểm và song song với một mặt phẳng (hoặc hai đường thẳng cắt nhau) Phương pháp. Áp dụng các Định lí 1.1, 1.2, Mệnh đề 1.3 và Định lý "Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P ) thì mọi mặt phẳng chứa d mà cắt (P ) thì cắt theo giao tuyến song song với d" để xác định giao tuyến của (P ) với
11 các mặt của hình khối. Ví dụ 1.4.3. [13] Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang có các cạnh đáy AB, CD với CD < AB. α là một mặt phẳng qua điểm M trên cạnh AD và song song với mặt phẳng (SAB). Xác định thiết diện của S.ABCD cắt bởi mặt phẳng α, chứng tỏ thiết diện là hình thang. Lời giải. Vì (α) song song với SAB nên (α) song song với các cạnh AB , BS và SA. Gọi N , P , Q lần lượt là giao của (α) với BC , SC , SD. Ta có M N//AB , N P//SB , M Q//SA và QP//DC. Ta thực hiện vẽ lần lượt M N//AB , N P//SB , M Q//SA, nối P Q ta được thiết diện là tứ giác M N P Q (Hình 1.14). ABCD là hình thang nên CD//AB nên DC// (α) Hình 1.14. ⇒ DC//P Q và DC//M N ⇒ P Q//M N suy ra M N P Q là hình thang. Ví dụ 1.4.4. [13] Cho hình chóp S.ABCD đáy là nửa lục giác đều ABCD. Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD, SD vuông góc với AC. Gọi (α) là mặt phẳng qua điểm M trên cạnh BD (M không trùng với B, D) và song song với SD, AC. Xác định thiết diện của S.ABCD cắt bởi (α). Lời giải. Nhận xét: Nếu M trùng với O thì thiết diện là tam giác SAC. Khi M khác điểm O thì các giao tuyến của (α) với các mặt bên thay đổi, do đó hình dạng của thiết diện cũng khác nhau. * Trường hợp 1. M thuộc đoạn BO, M khác B. Ta có M ∈ (α) ∩ (ABCD) và (α) //AC suy ra giao tuyến của (α) với (ABCD) là đường thẳng qua M song song với AC , giao tuyến này cắt các cạnh BA và BC của hình chóp. Gọi Q là giao của (α) với SB. (α) //SD ⇒ M Q//SD. Ta dựng đường thẳng qua M song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại N và P. Dựng đường thẳng qua M song song với SD, cắt SB tại Q. Nối P Q, N Q ta được tam giác N P Q (Hình 1.15) là thiết diện của S.ABCD cắt bởi (α).
12 Hình 1.15. Hình 1.16. * Trường hợp 2. M thuộc đoạn DO, M khác O và D. Khi đó giao tuyến của (α) với (ABCD) song song với AC và cắt các cạnh AD và DC của hình chóp. Gọi E , F , H , Q, K lần lượt là giao của (α) với AD, CD, SC , SB và SA. Ta có EK//SD, F H//SD, M Q//SD (vì (α) //SD). Dựng các đường thẳng qua M song song với AC cắt AD và DC lần lượt tại E và C. Qua E và F dựng các đường thẳng song song với SD và lần lượt cắt các cạnh SA và SC tại K và H. Đường thẳng qua M song song với SD, cắt SB tại Q. Nối KQ, QH ta được thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) là ngũ giác EF HQK (Hình 1.16). 1.4.3 Mặt phẳng cắt qua hai điểm (chứa một đường thẳng cho trước) và song song với một đường thẳng Phương pháp. Giả sử mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d, (P )//d0 . Ta dựng đường thẳng a cắt đường thẳng d và a//d0 để xác định mặt phẳng (P ). Áp dụng Mệnh đề 1.1 và các quan hệ song song, vuông góc trong không gian để tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình khối. Ví dụ 1.4.5. [11] Cho hình chóp S.ABCD. và ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC, (P ) là mặt phẳng qua AM và song song với BD. Xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (P ). Lời giải. Gọi O là giao của AC và BD; I là giao của AM và SO. Vì (P ) //DB suy ra giao tuyến của (P ) với (SDB) song song với DB.
13 Qua I dựng đường thẳng song song với DB , cắt SD và SB lần lượt tại F và E. Nối M E , M F , AE , AF ta được thiết diện của hình chóp cắt bởi (P ) là tứ giác AEM F (Hình 1.17). Hình 1.17. Ví dụ 1.4.6. [11] Cho hình chóp S.ABCD có G là trọng tâm tam giác ABC. Gọi N, P, Q lần lượt là trung điểm của SC, CB, BA, G0 là trọng tâm tam giác SBC. Xác định thiết diện của S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (α) qua GG0 và song song với BC. Lời giải. Vì (α) //BC nên (α) cắt (ABCD) và (SBC) theo các giao tuyến qua G, qua G0 và song song với BC. Dựng đường thẳng qua G song song với BC , cắt AB và AD lần lượt tại F và L. Dựng đường thẳng qua G0 song song với BC , cắt SB và SC lần lượt tại T và I. Trong tam giác SAP có P G0 PG 1 = = PS PA 3 Hình 1.18. (vì Gvà G0 là trọng tâm của các tam giác ABC và tam giác SBC ). Suy ra GG0 //SA, GG0 ∈ (α) ⇒ SA// (α). Gọi K là giao của (α) với SD suy ra KL//SA (vì trong tam giác SAP có GG0 //SA). Dựng LK//SA, K thuộc SD và nối T F , IK ta được thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi (α) là ngũ giác F LKST (Hình 1.18).
14 1.4.4 Mặt phẳng cắt qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp. Áp dụng Định lí 1.3, các Mệnh đề 1.4, 1.5 và các Hệ quả 1.1, 1.2 để xác định giao tuyến của (P ) với các mặt của hình khối. Ví dụ 1.4.7. [13] Cho hình lập phương ABCD.A0 B 0 C 0 D0 . (α) là mặt phẳng qua tâm O của mặt ABCD và song song với B 0 D và BC. Xác định thiết diện của hình lập phương cắt bởi (α). Lời giải. Gọi R là giao của (α) với BB 0 , (α) //B 0 D nên OR//B 0 D. Gọi Q là giao của (α) với B 0 C 0 . Vì (α) //BC 0 nên RQ//BC 0 . Dựng các đường thẳng qua O song song với B 0 D, cắt B 0 B tại R; Đường thẳng qua R song song với BC 0 và lần lượt cắt B 0 C 0 , BC , CC 0 tại Q, I , K ; Đường thẳng IO lần lượt cắt AB và DC tại M và N ; Đường thẳng KN cắt D0 C 0 tại P. Ta được thiết diện của hình lập phương cắt bởi Hình 1.19. (α) là ngũ giác M N P QR (Hình 1.19). Ví dụ 1.4.8. [13] Cho hình lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 . Gọi M là trung điểm của trung tuyến AI của đáy BC. (α) là mặt phẳng qua M và song song với AC 0 và B 0 C. Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi α. Lời giải. Gọi M N là giao tuyến của (α) với (AIC 0 ), N thuộc IC 0 suy ra M N//AC 0 (vì (α) //AC 0 ). M là trung điểm của AI nên N là trung điểm của IC 0 . Gọi K , H lần lượt là giao của (α) với B 0 C 0 và CC 0 , suy ra KH qua N và KH//CB 0 (vì KH thuộc (BCC 0 B 0 ) và (α) //CB 0 ). Gọi R là giao của (α) với AC suy ra trong mặt phẳng (ACC’) có RH//AC’ (vì (α)//AC’).
15 Gọi Q là giao của (α) với AB , suy ra Q thuộc đường thẳng M R (Đường thẳng M R là giao tuyến của (α) với (ABC)). Gọi P là giao của (α) với A0 B 0 suy ra P K//QR. P Q là giao của (α) với (ABB 0 A0 ). Dựng đường thẳng qua M song song với AC 0 , cắt C 0 I tại N. Qua N dựng đường thẳng song song với B 0 C cắt B 0 C 0 và CC 0 lần lượt tại K và H. Qua H dựng đường thẳng song song với AC 0 cắt AC tại R. Hình 1.20. Đường thẳng RM cắt AB tại Q. Dựng đường thẳng qua K song song với QR, cắt A0 B 0 tại P. Nối P Q ta được thiết diện của (α) với lăng trụ là ngũ giác P QRHK (Hình 1.20). 1.4.5 Mặt phẳng cắt qua hai điểm (chứa một đường thẳng cho trước) và vuông góc với một mặt phẳng Phương pháp. Áp dụng tính chất "Nếu d vuông góc với (P ) thì d vuông góc với mọi đường thẳng trong (P )" để xác định đường thẳng d0 cắt d và nằm trong (P ) từ đó xác định được mặt phẳng (P ). Sau đó áp dụng các quan hệ song song, vuông góc trong không gian để xác định giao tuyến của (P ) với các mặt của hình khối. Hoặc ta xác định đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng đã cho sau đó áp dụng các xác định thiết diện qua hai điểm (chứa một đường thẳng cho trước) và song song với đường thẳng a để xác định thiết diện cần tìm. Ví dụ 1.4.9. [13] Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B; SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi E là trung điểm của SC; M là một điểm trên cạnh AB. Gọi (P) là mặt phẳng chứa EM và vuông góc với mặt phẳng (SAB). Xác định thiết diện của hình chóp S.ABC cắt bởi (P). Lời giải. Ta có SA⊥ (ABC) ⇒ BC⊥SA; BC⊥AB (theo đề bài) suy ra BC⊥ (SAB); BC và M E chéo nhau nên BC//(P ). Gọi F là giao của (P ) với SB , suy ra F E//BC. E là trung điểm của SC suy ra F là trung điểm của SB. Gọi N là giao của (P ) với AC , suy ra M N//BC.
16 Dựng đường thẳng qua M song song vớiBC , cắt AC tại N. Nối N E , M F , EF (F là trung điểm của SB ) ta được thiết diện của hình chóp cắt bởi (P ) là tứ giác M N EF (Hình 1.21). Ví dụ 1.4.10. [13] Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD). Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD bị cắt bởi mặt phẳng (P) qua tâm O của đáy ABCD, trung điểm M của SD và vuông góc với (ABCD). Hình 1.21. Lời giải. Gọi E là giao của (P ) với AD suy ra EM//SA (vì (P ) ⊥ (ABCD) và SA⊥ (ABCD)). M là trung điểm của SD suy ra E là trung điểm của AD. O là tâm của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC , do đó đường thẳng EO đi qua trung điểm F của BC. Gọi I là giao điểm của (P ) với SC suy ra OI//SA (vì (P ) ⊥ (ABCD) và SA⊥ (ABCD)). Trong tam giác SAC , OI//AS , O là trung điểm của AC nên I là trung điểm của SC. Hình 1.22. Ta được thiết diện của hình chóp cắt bởi (P ) là tứ giác M IF E (Hình 1.22), trong đó M , I , F , E lần lượt là trung điểm của SD, SC , BC , AD. 1.4.6 Mặt phẳng cắt qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng Phương pháp. Ta xác định hai đường thẳng a và a0 cùng song song với đường thẳng đã cho, sau đó áp dụng cách xác định thiết diện qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc song song với một mặt phẳng để xác định thiết diện cần tìm. Ví dụ 1.4.11. [13] Cho hình tứ diện SABC có ABC là tam giác đều, SA vuông góc với (ABC). Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α) qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB.