BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH ----------------------------------
Nguyeãn Hoaøng Nguyeân
NGHIEÄM CHÆNH HOÙA RÔØI RAÏC CHO PHÖÔNG TRÌNH TÍCH CHAÄP
Chuyeân ngaønh: Toaùn giaûi tích Maõ soá: 60 46 01 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC
NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC :
TS. TRAÀN LÖU CÖÔØNG
Thaønh phoá Hoà Chí Minh – 2005
LÔØI CAÛM ÔN
Taùc giaû xin chaân thaønh baøy toû söï kính troïng vaø loøng bieát ôn cuûa mình ñoái vôùi thaày Tieán Só
Traàn Löu Cöôøng, ngöôøi ñaõ taän tình höôùng daãn chæ baûo cho taùc giaû trong suoát quaù trình thöïc hieän.
Taùc giaû xin chaân thaønh caùm ôn Quyù Thaày tham gia giaûng daïy lôùp Cao Hoïc khoùa 13, chuyeân
ngaønh Giaûi tích cuûa Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm TPHCM, nhöõng ngöôøi ñaõ taän tình truyeàn ñaït kieán
thöùc cho taùc giaû.
Taùc giaû voâ cuøng bieát ôn Quyù Thaày Coâ phoøng Sau Ñaïi Hoïc Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm
TPHCM ñaõ taïo moïi ñieàu kieän thuaän lôïi cho taùc giaû hoaøn thaønh luaän vaên naøy.
Cuoái cuøng, taùc giaû xin baøy toû loøng bieát ôn vôùi gia ñình, baïn beø vaø ngöôøi thaân ñaõ hoã trôï, ñoäng
vieân taùc giaû trong suoát thôøi gian qua.
Chöông 1
MOÄT SOÁ COÂNG CUÏ
1.1 Boå ñeà Fatou
,
vaø thoûa Neáu f1, f2 , ... laø daõy haøm khoâng aâm, khaû tích xaùc ñònh treân
dxxf )(
lim
inf
f
dxx . )(
,
n
, thì lim inf fn(x)=f(x) h.k.n, trong ñoù f laø haøm khaû tích treân
1.2 Ñònh lyù hoäi tuï bò chaën
,
)x(F
,Nn
vaø toàn taïi haøm khaû tích F sao cho Neáu f1 , f2 , ... laø daõy haøm khaû tích treân
)x(f n
h.k.n
x )(
dx
dxxf . )(
f n
lim
n
thì f laø haøm khaû tích vaø
1.3 Ñònh lyù Fubini
)y,x(f
dxdy
dy)y,x(f
toàn taïi haàu khaép nôi vaø laø haøm khaû tích Neáu hoäi tuï tuyeät ñoái thì
dx
yxf ,(
)
dy
yxf ,(
)
dxdy .
theo bieán x. Hôn nöõa
dy
yxf ,(
)
dx
yxf ,(
)
dxdy .
Töông töï
1.4 Ñònh lyù Tonelli-Hobson
dy
dx)y,x(f
dx
yxf ,(
)
dy
,
Neáu moät trong hai tích phaân hoäi tuï tuyeät ñoái thì
)y,x(f
dxdy
hoäi tuï tuyeät ñoái vaø
dx
)y,x(f
dxdy
dy)y,x(f
dy
yxf ,(
)
dx .
= =
1.5 Ñònh lyù
0R
R,R
h
, thì Neáu f laø haøm khaû tích treân
x(f
)t
dt)x(f
0
x
lim 0 h
1 h
0
. h.k.n
Taäp hôïp caùc x thoûa maõn ñieàu kieän treân ñöôïc goïi laø taäp Lesbegue cuûa f. Roõ raøng taäp Lesbegue
cuûa f chöùa caùc ñieåm x maø taïi ñoù f lieân tuïc.
p1
1.6 Ñònh nghóa
,
p
)x(f
dx
Cho ñöôïc goïi laø thuoäc Lp neáu . Haøm f xaùc ñònh treân
.
/1 p
p
f
xf )(
dx
.
p
Khi ñoù, ta ñaët
p
pL thì
1.7 Ñònh lyù
xf (
t )
xf )(
dx
.0
0
lim t
Neáu f
1.8 Ñònh lyù
pL thì
f
g
f
g
Neáu f, g
p
p
p
,
f
g
f
g
p
p
p
.
f
f
0
1.9 Ñònh lyù
pL sao cho
n
pm
lim n,m
f
f
0
thì toàn taïi f Cho f1 , f2 ,... thuoäc Lp. Neáu
n
p
lim n
.
)x(f
)x(g
f
f
0
1.10 Ñònh lyù
x
n
lim n
p
n
lim n
vaø thì f(x) = h.k.n Cho f1, f2 ,... thuoäc Lp. Neáu
x
. g(x) h.k.n
1
1
pp ,
'
1.11 Baát ñaúng thöùc Hölder
pLf vaø
'pLg vôùi
1L vaø
1 p
1 p '
xgxf )()(
dx
f
g
.
'p
p
Cho vaø . Khi ñoù fg
f
f
0
thì vôùi g baát kì thuoäc L2, ta coù
1.12 Ñònh lyù
n
2
lim n
f
x g x dx ( ) ( )
f x g x dx ( ) ( ) .
n
lim n
Cho f, f1, f2,...thuoäc L2 vaø
Chöông 2
TOÅNG QUAN VEÀ BIEÁN ÑOÅI FOURIER TREÂN KHOÂNG
GIAN L1, L2
2.1 BIEÁN ÑOÅI FOURIER TREÂN KHOÂNG GIAN L1
Rx
1L
dt)t(feixt
e ixt
f
)( t
dt
f
t dt ( )
f
2.1.1 Ñònh nghóa
1
Do ñoù . x R
f . Ta coù
, toàn taïi vaø Cho
1Lf bôûiø
)x(fˆ
dt)t(feixt
ta ñònh nghóa bieán ñoåi Fourier fˆ cuûa
sup
)(ˆ xf
f
.
,
1
vaø . Khi ñoù fˆ bò chaën treân
, .
2.1.2 Tính chaát
f lieân tuïc treân
a)
ixt
iht
x(fˆ
)h
)x(fˆ
e
Do ñònh nghóa, ta coù
e
dt)t(f1
.
iht
x(fˆ
)h
)x(fˆ
e
dt)t(f1
neân
)t(f1
0
eiht
)t(f1
)t(f2
.
lim iht e h 0
Maø , vaø , vôùi moïi t . Vì vaäy, theo ñònh lyù hoäi tuï bò
chaën, ta coù
iht
e
dt)t(f1
0
lim h 0
x(fˆ
)h
)x(fˆ
0
.
lim h 0
, nghóa laø f lieân tuïc treân . Do ñoù
. 0
( ) lim f x x
ixt
)x(fˆ
dt)t(fe
0x
b)
ix
t
x
)x(fˆ
dt)t(f
e
dt
Theo ñònh nghóa , neân vôùi , ta coù
x
ixt tfe
.
ixt
)x(fˆ2
)t(f
f
t
Töø ñoù suy ra
x
e
)(2 xf
f
)( t
f
t
dt
dt,
x
vaø (1) .
1Lf neân theo ñònh lyù 1.7,
)t(f
f
t
dt
0
Nhöng vì
lim x
x
)x(fˆ
0
(2) .
lim x
Töø (1) vaø (2) suy ra .
0
2.1.3 Chuù yù
. Nhưng ngược lại
ˆ f x lim ( ) x
0
f x lieân tuïc treân (-, ) vaø lim ( ) ( ) f x
thì chưa thể kết luận f laø bieán ñoåi Fourier của một haøm
x
Ta biết nếu f L1 thì ˆf lieân tuïc treân (-, ) vaø
thuộc L1.
, (
x
e
)
x
g x ( )
x
e
)
, (0
x
1 ln x e g x - (- ), (
0)
Thaät vaäy, ta xeùt ví duï sau
lim g(x) = 0 x
N
N
dx
N
)
Dễ thấy g(x) lieân tuïc treân R vaø . Ñoàng thôøi, haøm g coù tính chaát sau ñaây
e
e
lim N
lim N
lim ln(ln N
g x ( ) x
dx ln
x
x
g
f thì
. (1)
g x ( )
ixt e
f
t dt ( )
,
x R .
-
Giả sử tồn tại f L1 sao cho
-
ixt
g x ( )
e
f
t dt ( )
Maø g(x) = -g(-x) neân ta coù
-
-
.
g x 2 ( )
f
t ( )sin
xtdt
Suy ra
-
2 i
.
0
g x ( )
i
f
t ( ) sin
xtdt
i
f
t ( ) sin
xtdt
Nhö vaäy
0
f
t ( ) sin
xtdt
-
i
f
(- ) sin
t
xtdt
,
0
0
i
F t
( ) sin
xtdt
.
,
0
=
f
|
F t
( ) |
dt
trong ñoù, F(t) = i[f(t) – f(-t)],
1 L ).
0
(vì vaø ta ñöôïc
N
N
dx
F t
xtdt
( )sin
Baây giôø, vôùi N=3, 4, 5,...thì
e
e
0
g x ( ) x
dx x
( )F t dt
.
0
Nt
N
N
xt
x
dx
dx
F t dt ( )
( ) F t dt
dx
Vì neân theo ñònh lyù1.4, ta ñöôïc
0
e
e
sin x
( ) g x x
sin x
0
et
Nt
x
dx
dx
= . (2)
a
et
lim N
sinx x
sin x
N
dx
Maø hội tụ neân tồn tại . Töø (2), ta suy ra
e
lim N
g x ( ) x
.
Điều naøy maâu thuaãn với (1). Vậy g khoâng phaûi laø bieán ñoåi Fourier cuûa moät haøm thuoäc L1.
2.2 BIEÁN ÑOÅI FOURIER TREÂN KHOÂNG GIAN L2
2.2.1 Boå ñeà
0 vaø , ta coù
2
2
i t t ee
dt
4/
Vôùi moïi soá thöïc
2/1 e
.
2ze
Chöùng minh
Vôùi vaø R > 0 baát kì, laáy tích phaân haøm giaûi tích doïc theo ñöôøng laø bieân cuûa hình
2
ze
dz
0
chöõ nhaät taïo bôûi boán ñænh : R, -R , R+iβ, -R+iβ, ta coù
0
R
R
2
2
2
2
(
)
(
)
x
iyR
( ix
iyR
)
e
dx
dy
e
dx
e
dy
0
e
.
0
R
R
R
R
2
2
2
2
2
2
x
R
y
Riy
R
y
Riy
ix (
)
2
2
e
dx
e
dx
e
dy
e
dy
, neân
R
R
0
0
. hay
R
R
2
2
2
2
( x i
)
x
R
y
e
[
dx
e
dx
e
e
2 sin 2
i
]
Töø ñaúng thöùc treân, ta ñöôïc
Ry dy
0
R
R
. (*)
2
2
y
y
e
( 2 sin 2 i
Ry dy )
2
e
dy
Vì
0
0
,
2
2
R
y
e
2(
i
2sin
Ry
)
dy
0
neân
e
lim R
0
2
2/1
e x
dx
.
R ta coù ,
( xem 3.3.4.2 ) Maët khaùc
2
ix (
2/1
dx )
Do ñoù, töø ñaúng thöùc (*), khi cho
e
,
2
2
2
i x
x
e
e
dx
1/ 2 e
hay .
2/12
2/1
2
x
x
i
e
dx
2 2/1 4
e
Choïn . Ta ñöôïc
e
t
2/1
x
.
2
2
i t t e e
dt
e
/ 4 ,
1/ 2
Ñoåi bieán thì
vaø boå ñeà ñöôïc chöùng minh.
f
1 L
2 L
f
2L
2.2.2 Ñònh lyù
2 f x dx ( )
2
2 t dt ( )
f
Cho . Ta coù ,
2/1
)2(
f
f
vaø ,
2
2
. hay
Chöùng minh
2
ixt
ixu
f x ( )
f x f x ( )
( ).
e
f
t dt ( )
e
f u du ( )
Xuaát phaùt töø bieåu thöùc
,
2
2
2
x
/
n
x
/
n
ixt
.
e
)( xf
dx
dx
e
f
)( t
dt
e ixu
)( duuf
e
ta suy ra
1L neân theo ñònh lyù 1.4, ta coù
2
2
2
x
/
n
ix
(
ut
)
x
/
n
e
)( xf
dx
)( duuf
f
)( t
dt
e
dx
e
Vì f
.
2
ix
(
ut
)
2 x
/
n
n(t-u) 4
=
1/ 2 e ( )n
e
e
dx
Maët khaùc, theo boå ñeà 2.2.1
2
2
)
2
/
x
n
( n t u 4
e
f x ( )
dx
( n
1/ 2 )
( )
f
t dt ( )
Do ñoù,
f u du e
2
nt 4
( n
1 / 2 )
f u du e
( )
f
(
t u dt )
,
2
nt 4
( n
1 / 2 )
e
dt
f
(
t u f u du
( )
)
,
2
nt 4
( n
1 / 2 )
e
F t dt ( )
,
f
(
t
)( duufu
)
,
. vôùi F(t)=
2
2
2
t 2
/
x
n
e
dx
t e F
dt
Ñoåi bieán, ta ñöôïc
f x ( )
2
n
. (1)
)0(F)t(F
t(f[
)u
du)u(f)]u(f
t(f
)u
du)u(f)u(f
Maët khaùc
.
2
2
2
)( tF
F
)0(
f
( t
u
)
)( uf
du
)( uf
du
Theo baát ñaúng thöùc Hölder, ta ñöôïc
,
2
f
(
ut
)
uf )(
ud
0
vaø theo ñònh lyù 1.7 thì
lim t 0
,
tF )(
F
)0(
neân
lim t 0
.
Do ñoù F lieân tuïc taïi t = 0.
2
2
2
4
tF )(
f
(
t
u
)
du
uf )(
du
f
2
Vôùi t baát kì, theo baát ñaúng thöùc Hölder, ta coù .
Suy ra
2
2
4
t
t Fe
f
e
2
t 2 n
2
2
t 2
t Fe
t Fe
)0(
.
lim n
n
( vì F lieân tuïc taïi 0 ). Ta laïi coù
2
2
2
t
t
dt
F
)0(
dt
F
)0(
t Fe
Do ñoù theo ñònh lyù hoäi tuï bò chaën
lim n
n
e
,
2
2
2 t
dt
f
Fe t
nghóa laø,
2
lim n
n
. (2)
2
2
2
x n
e
f x ( )
dx
f 2
Töø (1) vaø (2), ta ñöôïc
2
lim n
2
2
x n
f
x )(
e
xf )(
.
n
2
2
2
x
/
n
e
xf )(
xf )(
Baây giôø, ta xeùt laø daõy haøm khaû tích, khoâng aâm vaø thoûa
lim n
.
2
2
2
2
/
x
n
xf )(
dx
xf )(
dx
2
f
Theo boå ñeà Fatou, ta coù
2
lim n
e
f
2L
.
Do ñoù .
2
2
2
x
n
/
e
xf )(
xf )(
Hôn nöõa
2f
,
1L neân theo ñònh lyù hoäi tuï bò chaën,
2
2
2
2
x n
f x ( )
dx
e
f x dx ( )
f 2
vaø
2
lim n
.
Chöùng minh ñöôïc hoaøn taát.
2.2.3 Ñònh lyù
2L
f . Vôùi N=1,2,...
Cho
t
N
t )(
f
t )(
Ñaët
)
f N
)( t
0
(
f N
2L
1 L
2 L
( t > N )
N
f N
Nf
f N
vaø . Hôn nöõa khi , hoäi tuï trong L2 veà moät haøm thuoäc L2. thì
Chöùng minh
N
N
N
2
f
t dt ( )
f
t dt ( )
f
t ( )
dt
dt
,
N
N
N
N
1/ 2
Theo baát ñaúng thöùc Hölder, ta coù
2
1/ 2
t dt ( )
f
N (2 )
.
Nf
2
1L
neân
f N .
)( t
f
,)( t
Rt
2L
Vaäy
2L f neân
f N
f N
1 L
2 L
, vaø Maët khaùc, vì
f N
Nhö vaäy, .
Nf
2L
Baây giôø, ta seõ chöùng minh hoäi tuï trong L2 veà moät haøm thuoäc L2. Thaät vaäy, aùp duïng ñònh
f N
f
f
1 L
2 L
f
f
lyù 2.2.2 thì .
M
N
M
N
Vôùi M 2 2
f
f
2 f f lyù 2.2.2 N M M N 2 2 . 2 2 f f ( f f )( t ) dt Maø M N M N 2 , N M 2 2 2 f f f )(
t dt f )(
t dt töùc laø, M N 2 M N . 2 2 f 0 NM , 1
f neân
L khi 2Lg sao cho M f
N 2 g Vì . Vaäy theo ñònh lyù 1.9 toàn taïi f N . f 2.
L 2.2.4 Ñònh nghóa N
f x
( ) ixt
e f t dt
( )
f x
( ). N lim
N lim
N N 0
f Cho Ta ñònh nghóa bieán ñoåi Fourier cuûa f laø N f N
2 Löu yù raèng lim ôû ñaây hieåu döôùi daïng hình thöùc nghóa laø khi . 2L 1L
f 2L 2.2.5 Chuù yù f ta ñònh nghóa f ta coù ñònh nghóa ixt x
)(
xf e f )(
t dt Vôùi nhö vöøa neâu ôû treân. Nhöng neáu )(
t f ,)(
t Rt ( - ) f N ixt ixt e f t
)( dt e f t
)( dt )(ˆ
xf Vì neân theo ñònh lyù hoäi tuï bò chaën, ta coù N lim
N . N ixt )(ˆ
xf e f t
)( dt )(ˆ
f
x Suy ra N N lim
N lim
N . Vì vaäy neáu f L1 L2 , ta coù hai ñònh nghóa phuø hôïp vôùi nhau. 1/ 2 ˆ
f f
(2 ) 2.2.6 Ñònh lyù ( Ñaúng thöùc Parseval ) 2 2 . Neáu f L2 thì Chöùng minh ˆ
f 0 Vôùi fN nhö trong 2.2.3 thì ˆ
f N lim
N 2 . 0 ˆ
f ˆ
f Maët khaùc, theo ñònh lyù 1.8 ˆ
f
N ˆ
f
N 2 2 2 . ˆ
f neân ˆ
f N lim
N 2 2 (1) . f Nhöng do ñònh nghóa fN , ta coù f N 2 2 lim
N (2) . 1/ 2 f
(2 ) Vì fN L1 L2 neân theo ñònh lyù 2.2.2, ˆ
f
N N 2 2 . (3) 1/ 2 1/ 2 ˆ
f f (2 )
f Töø (1), (2), (3) suy ra ˆ
f
N N 2 2 lim
N lim (2 )
N 2 2 . Vaäy ñònh lyù ñöôïc chöùng minh xong.
2.2.7 Định lyù ˆ
ˆ
f x g x dx
( ) ( ) f x g x dx
( ) ( ) - -
2 . Nếu f, g L2 thì f x dx
( ) Chứng minh f - 2 2 ˆ
f ˆ
g 2
f g Ñeå ñôn giaûn, ta viết thay thế cho . Theo đñịnh lyù 2.2.6, ta ñöôïc 2 2 , ˆ
f ( ˆ
g ) ˆ
f ˆ
g ( f g ) f g .
2 neân 2 2 2 2 ˆ
f ˆ
g
ˆ
f g
g f f g fg fg Khai trieån, ta coù
2
. 2 2 2 2 ˆ
g 2 ˆ
f 2 , Vẫn theo đñịnh lyù 2.2.6 thì
g
f .
ˆ
f g
ˆ
f g fg f g Suy ra
2 . (1) Vì (1) ñuùng vôùi bất kì haøm g thuộc L2, neân khi thay g, ˆg bằng ig vaø i ˆg vaøo ñẳng thức (1), ta
f ˆ
ig
( ) ˆ
f ˆ
ig
( ) f ig
( ) f ( ig ) đñược
2 ,
i ˆ
ˆ
f g i
ˆ
f g i f g i f g .
2 hay ˆ
ˆ
f g ˆ
ˆ
fg f g f g neân
2
ˆ
ˆ
f x g x dx
( ) ( ) f x g x dx
( ) ( ) (2) - -
2 Từ (1) vaø (2) ta coù . 2.2.8 Định lyù ˆ
f x g x dx
( ) ( ) ˆ
f x g x dx
( ) ( ) - - . Nếu f, g L2 thì Chứng minh ixt ˆ ( )
x
f e f t dt
( ) M M - ˆ
g x
( ) ixt
e g t dt
( ) N N - ixt ˆ ( )
x g
f x dx
( ) g x dx
( ) e f t dt
( ) Với fM, gN như trong 2.2.3 ta coù M N N M - - - . Do ñoù, ˆ ( )
x g
f x dx
( ) f t dt
( ) ixt
e g x dx
( ) Theo đñịnh lyù 2.2.3, fM, gN đñều thuộc L1 neân aùp duïngđñịnh lyù 1.4, M N M N - - - , x g
( ) x dx
( ) f ˆ
t g
( ) t dt
( ) hay ˆ
f
M N M N - - . (1) g g ˆ
g ˆ
g .
0 N N 2 2 lim
N lim
N Vì x g x dx
( ) ( ) f ˆ
t g t dt
( ) ( ) . neân theo đñịnh lyù 1.12, cho N thì từ (1) ta đñược ˆ
f
M M - - . ˆ ( ) ( )
f x g x dx
t g t dt
( ) ( ) . f - - Töông töï, cho M thì Vậy đñịnh lyù đñược chứng minh xong. f ˆ
g g ˆ
f 2.2.9 Định lyù 1
2 thì . Nếu f L2 vaø Chứng minh 2 f - ˆ
g f - ˆ
g f - ˆ
g Ta coù 1
2 1
2 1
2
2 , 2 2 2 f - f ˆ
g
f g
f g ˆ
g neân 2 2 1
2 1
2 1
2 1
2
4 2 ˆf . (1) g neân theo đñịnh lyù 2.2.8 vaø 2.2.6, suy ra 2 2 2 ˆ
f g ˆ
fg ˆ ˆ
f f ˆ
f f Vì 2 2 2 ˆ
fg f
2 . (2) 2 2 2 2 2 ˆ
g 2 g 2 4 2
f ˆ
f Töø ñoù ta cuõng coù (3) . 2 2 2 2 ˆ
g f - Cuoái cuøng, . (4) .
0 1
2 2 f ˆ
g Từ (1), (2), (3) vaø (4) suy ra 1
2 Vậy . N ixt - f t
( ) e ˆ
f x dx
( ) 2.2.10 Định lyù ( Biến ñổi Fourier ngược treân L2 ) N - 1
lim
2
N . Löu yù laø kí hieäu lim ñöôïc hieåu töông töï nhö trong Nếu f L2 thì ñònh nghóa 2.2.4. Chứng minh ˆ Kí hieäu lim trong phaàn naøy ñöôïc hieåu theo nghóa giôùi haïn trong L2. g = f . Theo ñịnh lyù 2.2.9, f ˆ
g Đặt 1
2 , N f t
( ) ixt
e g x dx
( ) neân N - lim
N 1
2 N -
ixt f t
( ) e f x dx
( )
. . N - lim
N 1
2 Suy ra 2.2.11 Ñònh lyù Mọi f L2 ñều laø biến ñổi Fourier của một phần tử duy nhất thuộc L2. Chứng minh h f Laáy f bất kỳ thuộc L2. Đặt g
h , f
h f g vaø . 1
g
2 1
g
2 1
2π Theo đñịnh lyù 2.2.9 thì , neân , nghĩa laø f laø biến đñổi Fourier của . Tính duy nhất đñuợc suy ra từ đñịnh lyù 2.2.6. Chöông 3 PHÖÔNG TRÌNH TÍCH CHAÄP VAØ BAØI TOAÙN KHOÂNG CHÆNH 3.1 TÍCH CHAÄP Cho hai haøm soá f vaø g xaùc ñònh treân R. Tích chaäp cuûa f vaø g, kí hieäu laø f*g ñöôïc xaùc ñònh bôûi f * (
xf )()
tgt dt 3.1.1 Ñònh nghóa
)(
xg , vôùi giaû thieát laø tích phaân treân toàn taïi. f (1 RL ) p
(RLg ) t xf
( tgt
)() 3.1.2 Ñònh lyù p1
f p
L R
( ) vaø . Khi ñoù, vôùi moãi x R , haøm soá khaû tích Cho f * g f g treân R vaø ( * )
g . Hôn nöõa, p p 1 Chöùng minh . xf
( tgt
)() dx tg
)( xf
)( tg
)( f Xeùt p =1. Ta coù 1 dt xf
( tgt
)() dx tg
)( dt xf
)( dx f g , 1 1 (
xf )()
tgt dxdt . vaø (
xf )()
tgt dt AÙp duïng ñònh lyù Tonelli, ta coù toàn taïi, vaø theo ñònh lyù Fubini suy ra dx xf
( tgt
)() dt f g toàn taïi vaø 1 1 . p t xf ( )
tgt
)( Rx thì haøm Nhö vaäy baát ñaúng thöùc ñuùng vôùi p = 1. /1 p t xf
( t ) tg
)( laø khaû Tieáp theo, xeùt 1 < p < . Do keát quaû treân, vôùi moãi 1/ p ' t f x
( t ) (' RLp ) tích töùc laø laø haøm thuoäc Lp(R). /1 p /1 p ' xf
( tgt
)(
) xf
( t ) tg
)( xf
( t ) Maët khaùc, ( p’ laø soá lieân hôïp cuûa p ). Theo baát ñaúng thöùc Hölder, ta /1 p p /1 p ' xf
( tgt
)() dt xf
( tgt
)
)( dt f ñöôïc laø khaû tích vaø 1
p p pp
/ ' f
*( xg
)( ) f * g f 1 (
L R ) .
fx
)( 1 pg 1(
L R ) . (*) Vì , Do ñoù p f * g 1
L R ( ) f p
L R
( ) neân aùp duïng keát quaû trong tröôøng hôïp p =1, ta coù p p pp
/ ' f * g f g f . Keát hôïp vôùi keát quaû töø (*), ta coù ( * )
g vaø p 1 p 1 f * g f g , p p 1 töùc laø . f ,1L
h
f g
. 3.1.3 Ñònh lyù 1L vaø h = f*g thì Neáu g . 1L neân theo ñònh lyù Fubini Chöùng minh ixt ixt ( )
h x e ( * )( ) g t dt f f ( t u g u du e dt ) ( )
ixt )(
duug f (
dtut
) e
ix ( ) ut
)(
duug f )(
t dt e
ixt ixu
)(
duuge f )(
t dt e
xfxg
)( )( Vì f, g . Nhö vaäy
h
gf . 1
L 2 ,
L
h
f g
. 3.1.4 Ñònh lyù 2L vaø h = f*g thì g . Neáu f Chöùng minh 2L . Theo ñònh lyù 3.1.2 thì f*g f x
( t g t dt
) ( ) , x N ( * ) ( )
x
g f Ñaët N
0 , x N
hN(x)= N ixt g f ( t u g u du dt
) ( ) e Theo ñònh nghóa, ta coù
Nh (x) =( * ) ( )
x
f N N
1L neân theo ñònh lyù Tonelli, ta ñöôïc . N ixt e f ( t u dt
) g u du
( )
Nh (x) N N ixu ixt
e e f t dt
( ) g u du
( ) N N ixt e f t dt
( ) ixu
e g u du
( ) N
( )
f x g x
( ) Vì (f*g)N N . (1) 2 2
f g
f g
g
f x
( )
g x
( )
g x
( ) dx Maët khaùc N N N
f g 2 2
1/ 2
1 f x
( ) f , x R f L neân vaø töø ñoù, ta ñöôïc . 1
f g
f g f
g
g Nhöng vì N N 1 2 2 0 g khi N neân suy ra trong L2, khi N , ta ñöôïc . 2 Theo ñònh lyù 2.2.3, ta coù
Ng
f g
.
f g
N (2) h . Nh
f g (3) Maët khaùc , trong L2, Töø (1), (2) vaø (3) suy ra
h . 3.2 PHÖÔNG TRÌNH TÍCH CHAÄP VAØ BAØI TOAÙN KHOÂNG CHÆNH 3.2.1 Baøi toaùn chænh X Y X, Y laø hai khoâng gian ñònh chuaån. Xeùt phöông trình Av = u vôùi u Y . Cho aùnh xaï A : cho tröôùc coøn v X laø aån caàn tìm. Baøi toaùn vöøa neâu ñöôïc goïi laø baøi toaùn chænh neáu noù thoûa ba yeáu toá sau 1. Phöông trình luoân coù nghieäm. u 2. Nghieäm cuûa phöông trình laø duy nhaát. u
1 Y v Nghieäm cuûa baøi toaùn phuï thuoäc lieân tuïc vaøo döõ kieän. Ñieàu naøy coù nghóa laø vôùi khaù 3. v
1 X khaù nhoû. nhoû thì nghieäm v1 töông öùng vôùi u1 vaø v töông öùng vôùi u cuõng seõ thoûa Baøi toaùn ñöôïc goïi laø khoâng chænh khi moät trong ba ñieàu kieän neâu treân bò vi phaïm. Tuy nhieân, ñoái vôùi baøi toaùn khoâng chænh, caùc ñieàu kieän cho baøi toaùn chænh bò vi phaïm coù yù nghóa khaùc nhau. Söï toàn taïi nghieäm bò vi phaïm khoâng coù yù nghóa quan troïng baèng söï duy nhaát cuûa nghieäm bò vi phaïm. Nhöng ñieåm quan troïng nhaát cuûa baøi toaùn khoâng chænh laø tính phuï thuoäc lieân tuïc vaøo döõ kieän cuûa nghieäm bò vi phaïm. Khi ñoù, moät thay ñoåi nhoû treân döõ kieän cuõng seõ keùo theo moät söï thay ñoåi khaù lôùn treân nghieäm. Maët khaùc, treân thöïc teá, döõ kieän coù ñöôïc cuûa baøi toaùn laø do ño ñaïc maø ra. Vì vaäy döõ kieän naøy coù theå bò nhieãu vì nhieàu lyù do khaùc nhau nhö sai soá cuûa thieát bò ño ñaïc, quaù trình ño ñaïc chæ thöïc hieän taïi caùc ñieåm rôøi raïc roài sau ñoù ñöôïc noäi, ngoaïi suy thaønh döõ kieän lieân tuïc hay do yeâu caàu cuûa maùy tính maø ta buoäc phaûi rôøi raïc hoùa döõ kieän nhaäp vaøo. Do ñoù, ta coøn coù theå coù theâm nhöõng sai soá do bieåu dieãn döõ lieäu cuûa maùy tính. 3.2.2 Baøi toaùn khoâng chænh Vì vaäy, neáu ta duøng döõ kieän naøy ñeå tìm nghieäm thì nghieäm seõ khoâng ñaïi dieän cho nghieäm chính xaùc vì sai soá cuûa chuùng laø khoâng theå kieåm soaùt ñöôïc. Chính vì vaäy moät baøi toaùn coù chænh hay khoâng laø raát quan troïng, hoaëc neáu baøi toaùn khoâng chænh thì cuõng phaûi xeùt xem nghieäm cuûa noù coù phuï thuoäc lieân tuïc vaøo döõ kieän hay khoâng. Neáu baøi toaùn khoâng chænh, ngöôøi ta seõ tìm caùch chænh hoùa noù sao cho nghieäm chænh hoùa ñuû gaàn nghieäm cuûa baøi toaùn khoâng chænh ban ñaàu. 3.2.3 Tính khoâng chænh cuûa phöông trình tích chaäp K x
( t v t dt
) ( ) u x
( ) Trong phaàn naøy, ta xeùt phöông trình 1 K L R ( ) 2
L R
( ), 2
)R(Lu 2 (
L R ) . trong ñoù, cho tröôùc coøn v laø aån caàn tìm. 2 2
)R(L )R(L Ñeå chuyeån baøi toaùn veà phöông trình toaùn töû daïng Av=u, ta xeùt x(K dt)t(v)t ñöôïc xaùc ñònh bôûi A : 1 )R(L2 RLK ( ) 2
RL
( ). , Av(x) = , Do ñònh lyù 3.1.2 neân tích phaân treân laø hoaøn toaøn xaùc ñònh. Baây giôø, vôùi v ta seõ laàn löôït xeùt xem baøi toaùn naøy coù thoûa caùc yeâu caàu cuûa moät baøi toaùn chænh khoâng. Meänh ñeà 1 X laø aùnh xaï tuyeán tính, lieân tuïc ñôn aùnh. Neáu Y Im YF Cho X, Y laø khoâng gian Banach. F : ImF Y vaø thì F 1 khoâng lieân tuïc. FIm y FIm\Yy Chöùng minh n y n y n ImF , ! X y y sao cho sao cho . Töø giaû thieát veà ImF suy ra toàn taïi vaø toàn taïi n
y
n x
n n )x(F
n )x(F n 0M . Ta coù . ( 1 ) 1F lieân tuïc. Khi ñoù, 1
x yM)y(F Giaû söû sao cho n n n . n Xx thoûa Do ny laø daõy hoäi tuï trong Y neân ny laø daõy Cauchy trong Y. Töø baát ñaúng thöùc treân suy ra nx laø daõy Cauchy trong khoâng gian Banach X neân toàn taïi x n khi
x . Vì F lieân ) F x ( ). tuïc neân F x
n lim (
n ( 2 )
y Y F
\ Im . FImy 1F Töø (1) vaø (2), ta coù y = F(x) töùc laø . Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi Vaäy khoâng lieân tuïc vaø meänh ñeà ñaõ ñöôïc chöùng minh. Meänh ñeà 2 A laø aùnh xaï tuyeán tính, lieân tuïc Chöùng minh x
( ) K x
( t ) rv t dt
( ) rv
2 sv t
( )
1 2
A sv
1 ( ( t v t dt
)
( )
1 t v t dt
)
( )
2
s K x
r K x
sAv )x( rAv )x( Vôùi moïi v1, v2 thuoäc L2(R) vaø r, s thuoäc R thì 1 2 Av v*K . 2 2 vK
1 2 neân A laø aùnh xaï tuyeán tính Vaäy A laø aùnh xaï tuyeán tính. Maët khaùc, lieân tuïc. Meänh ñeà 3 Phöông trình Av = u khoâng luoân toàn taïi nghieäm. 2 1 )R(K)R(LK )R(L2
K Chöùng minh Vì neân . Töø phöông trình Av = u, thöïc hieän bieán ñoåi Fourier caû
uK.v hai veá, ta ñöôïc 2
)R(Lu )R(L2 2
)R(Lv
u
K2
v 2 . Laáy sao cho . Suy ra neân vˆ . Do ñoù . Vaäy phöông trình voâ nghieäm öùng vôùi u ñöôïc choïn nhö treân.
K t
( ) E
t : 0 . Meänh ñeà 4 Neáu m(E) = 0, vôùi m laø ñoä ño Lesbegue, thì phöông trình Av = u neâu Cho treân coù quaù laém laø moät nghieäm. Chöùng minh Ta seõ chöùng minh KerA = 0. Thaät vaäy, giaû söû Av = 0, ta ñöôïc . (K*v)(x) = 0, x R
K x v x
( ) ( ) 0, .
x R
xK
)(
xv
)( 0 0 Theo ñònh lyù 3.1.4, Maø h.k.n neân h.k.n. Do ñoù, theo ñònh lyù Parseval ta coù v = 0. 0, x R. x Khi ñoù, phöông trình Av = u neáu coù nghieäm thì nghieäm khoâng phuï thuoäc Meänh ñeà 5 Cho K( ) lieân tuïc vaøo döõ kieän. 1A khoâng lieân tuïc, töùc laø nghieäm baøi toaùn Av = u Chöùng minh Ta seõ aùp duïng meänh ñeà 1 ñeå chöùng minh 2
)R(LAIm neáu coù seõ khoâng phuï thuoäc lieân tuïc vaøo döõ kieän. ÔÛ phaàn treân, ta ñaõ chöùng minh A laø tuyeán tính, lieân tuïc, ñôn aùnh vaø ImA L2(R). Ñeå aùp duïng meänh ñeà 1, ta seõ chöùng minh . 2 )}R(Cuˆ\)R(Lu{B Ñaët Cc(R) laø khoâng gian caùc haøm lieân tuïc coù giaù compact treân R vaø c . )R(CKˆ )R(C Tröôùc heát ta chöùng minh B ImA. c )R(Cuˆ
c uˆ
Kˆ Laáy u tuøy yù thuoäc B thì . Vì KL1(R) neân . Suy ra ( tích cuûa moät haøm lieân tuïc coù giaù compact treân R vôùi moät haøm lieân tuïc treân R laø moät haøm lieân tuïc coù giaù 2 )R(L compact treân R ). )R(C
c
v neân toàn taïi v L2(R) thoûa Ta coù uˆ
Kˆ ,
ˆ
.
v K K v
* ˆ
u hay . Suy ra u = K* v. 2 (
L R ) 2
)R(Luˆ Vaäy toàn taïi v thoûa K*v = u neân u ImA. . Do Nhö vaäy ta ñaõ chöùng minh B ImA. Baây giôø laáy u tuyø yù thuoäc L2(R), ta coù || 0
. n
khi
nu 2ˆ
u
|| Cc(R) truø maät trong L2(R) neân toàn taïi daõy trong Cc(R) hoäi tuï veà uˆ töùc laø toàn taïi daõy {un} B thoûa 1/ 2
(2 ) || u 0 khi n
. nu
||
2 u Theo ñònh lyù Parseval, ta ñöôïc u n trong L2(R). u khi n , töùc laø Nhö vaäy, vôùi u tuøy yù trong L2(R), ta coù daõy {un} ImA thoûa nu 2
)R(LAIm . Vaäy theo meänh ñeà 1 thì A-1 khoâng lieân tuïc. Keát luaän Do A-1 khoâng lieân tuïc neân toàn taïi u1, u2 L2(R) vaø v1, v2 laø nghieäm öùng vôùi u1, u2 thoûa nhoû nhöng khaù lôùn. u|| v|| 1 ||u
2
2 ||v
2
2 1 Nhö vaäy phöông trình tích chaäp K*v = u vöøa neâu ôû treân ñaõ vi phaïm vaøo hai yeâu caàu (1) vaø (3) cuûa baøi toaùn chænh neân ta keát luaän phöông trình tích chaäp vôùi nhöõng ñieàu kieän neâu treân laø baøi toaùn khoâng chænh. 3.3 NGHIEÄM CHÆNH HOÙA RÔØI RAÏC CHO PHÖÔNG TRÌNH TÍCH CHAÄP nghóa laø Trong muïc naøy, chuùng toâi seõ giôùi thieäu moät phöông phaùp chænh hoùa nghieäm cuûa phöông trình tích chaäp neâu ôû 3.2.3 döïa treân phöông phaùp chaët cuït tích phaân vaø xaáp xæ baèng toång Riemann. 3.3.1 Ñònh nghóa
Cho h > 0. Ñaët W
h
2 )t(f dt laø khoâng gian caùc haøm giaûi tích f treân sao cho , )z(f h/zKe vaø toàn taïi haèng soá döông K sao cho . vôùi moïi z . sin x kh h
) / S k h x
( , )( ) Neáu h > 0 vaø k laø soá nguyeân, ta coù ñònh nghóa sau x
(
( kh h
) / . 3.3.2 Ñònh lyù Ta goïi noù laø haøm sinc thöù k, böôùc h taïi x.
n
v W
a
)ka sin
, ( n > 0, a > 0 ) thì v coù theå bieåu dieãn bôûi chuoãi Cardinal sau ñaây Neáu )ka
a
n k
kv
nx(
a
nx(
a . v(x) = 2
F L Chöùng minh
,
h h
Theo ñònh lyù Paley- Wiener ( phuï luïc [1] ), vôùi v W
h
/ h ixt v(t) e F(x)dx thì toàn taïi thoûa 1
2 / h . ( 1 ) ihkx F(x) , -
x c e
k
h
h k F coù theå ñöôïc bieåu dieãn bôûi chuoãi Fourier sau / h ihkx c F(x)e dx hv(kh) vôùi k h
2 / h . ihkx h v(kh)e , x k F(x) Nhö vaäy 0 , x
h
h ( 2 ) / h sin x ikht ixt
he dt S(k, h)(x) Maët khaùc,
1
2
(x
kh / h
kh) / h / h . ( 3 ) v kh S k h x
(
) ( , )( ) Do ñoù töø (1), (2) vaø (3) ta ñöôïc k . v(x) = a
n
n
v W
a
)ka sin
Neáu h = vaø thì )ka
a
n k
kv
nx(
a
nx(
a . v(x) = Ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh. a
n
v k
Nhö vaäy ta coù theå tìm ñöôïc v khi bieát caùc giaù trò . Chuùng toâi seõ ñöa ra moät phöông 3.3.3 Phöông phaùp chænh hoùa Xeùt phöông trình tích chaäp phaùp tìm caùc giaù trò naøy trong muïc 3.3.3. 1 K L R ( ) 2
L R
( ), 2
)R(Lu 2 (
L R ) K*v = u, cho tröôùc coøn v laø aån caàn tìm. trong ñoù, v M 2
)R(Lv 0M Ta seõ xeùt baøi toaùn vôùi caùc ñieàu kieän sau sao cho 2 L R
( ) 2
L R
( ) (i) vaø , (ii) K 1 . K(x) , x a K '(x) 0 , x a
Ñaët v'*K 'KM Ta coù 2 v'K
1 2 1 K ' , . neân
) 1 Nhaän xeùt raèng vì K khaû tích treân ( seõ nhoû neáu ta choïn a ñuû lôùn. Ñaây laø cô sôû ñeå ta chænh hoùa baøi toaùn baèng phöông phaùp chaët cuït tích phaân. Nhö vaäy thay vì tìm nghieäm v cuûa (
K K ') * v ,
u phöông trình K*v = u, ta seõ tìm nghieäm cuûa phöông trình a K x
( t v t dt
) ( ) u x
( ) a k n,n hay . a
n a Thay x = ( k = ), ta ñöôïc a a
n a
n
K k
t v t dt
( )
u k
. n u - k' v k' k Ta xaáp xæ tích phaân ôû veá traùi baèng toång Riemann a
n a
n a
n k'=-n
K k
a a
n n
n K (k k ') v k ' , a
n a
n n
a a
n k ' n
u k
g x
( ) u x
( ) hay n
a n k ') v(k ' ) , ta coù Nhö vaäy, neáu ñaët a
n a
g(k )
n a
n k n
K (k
v(k ' ) ( k n, n ) , a
n vaø nhö vaäy, laø nghieäm cuûa hệ phương trình tuyến tính 2n +1 ẩn sau AX = G 2 (0) ... K K K K a
n 2
a
n na
n
a
1)
( 2
K K K K (0) ... a
n a
n n
n
A trong ñoù, a
( 2 2) K K K K (0) ...
a
2
n
... a
n
... ... ...
n
n
... n a n a 2 (2 1) (2 2) K K K K ... (0)
n na
n
n
, v g na
n na
n (
1)
a (
1)
a v g
n
n
n
n X G 2) a 2) a ( ( v g
n
n
...
n
n
... v g na
n na
n
n, n , . a
n
v k '
Wv
Giaûi heä naøy ta tìm ñöôïc , k ' .
h
v kh S k h x
(
) ( , )( ) Neáu thì k , v(x) = x kh
sin h
v kh
( ) töùc laø x kh k
h v(x) = . a
n )ka sin
Choïn h = , ta ñöôïc )ka
a
n k
kv
nx(
a
nx(
a . v(x) = )ka sin n
Do ñoù, vôùi n ñuû lôùn, ta coù pheùp tính gaàn ñuùng )ka
a
n k n
kv
nx(
a
nx(
a n, n . v(x) a
n
kv
3.3.4 Baøi toaùn minh hoïa , k ñöôïc xaùc ñònh töø heä phöông trình treân. trong ñoù 3.3.4.1 Baøi toaùn 1 Xeùt phöông trình tích chaäp 1 K L R ( ) 2
L R
( ), 2
)R(Lu 2 (
L R ) K*v = u, trong ñoù, cho tröôùc coøn v laø aån caàn tìm. v M 2
)R(Lv Ta seõ xeùt baøi toaùn vôùi caùc ñieàu kieän sau 0M thoûa 2 x K x
( ) e vaø , (i) x , x a K x
'( ) (ii) ( α > 0 ). 0, x a
e
Xeùt '*K v nhoû neáu ta choïn a ñuû lôùn. 2 Ta seõ chöùng minh v'*K 'KM Thaät vaäy, theo ñònh lyù 3.1.2, ta coù 2 v'K
1 2 1 . a x x
K ' e dx e dx Maët khaùc 1 a x . e
x
a
' 2 K e dx e Vì laø haøm chaün neân 1 2
a K v
'* . 2 2
aM
e
v'*K Nhö vaäy, . 2 nhoû. Nhö vaäy nhaân K ñaõ thoûa caùc ñieàu kieän cuûa Roõ raøng, ta thaáy khi choïn a ñuû lôùn thì baøi toaùn 3.3.3. Do ñoù, thay vì tìm nghieäm v cuûa phöông trình K*v=u, ta seõ tìm nghieäm cuûa phöông (
K K ') * v ,
u a K x
( t v t dt
) ( ) u x
( ) trình a (k n, n) g x
( ) u x
( ) hay . n
a a
v(k ),
n Ñaët . Theo 3.3.3, ta seõ tìm caùc giaù trò baèng caùch giaûi heä phöông trình tuyeán tính 2n+1 aån sau K(0).v( )v ... K( )v( ) g( ) ) K(
na
n a
n ( n 1)a
n 2na
n na
n na
n
K( ).v( ) K(0)v ... K v( ) g na
n a
n
( n 1)a
n ( 2n 1)a
n na
n ( n 1)a
n
)v ... K v( ) g K( ).v( ) K( a
n
( n 1)a
n
( 2n 2)a
n na
n
( n 2)a
n na
n 2a
n
K( ).v( v K(0)v( ) =g( ) ) K
...
2na
n na
n (2n 1)a
n ( n 1)a
n na
n na
n
...
a
n 2na
n v( ) e v ... e v( ) g( ) na
n
( n 1)a
n na
n na
n
a
n
( 2n 1)a
n e v( ) v ... e v( ) g na
n
( n 1)a
n na
n
( n 1)a
n
2)a
(2n 2)a
n 2a
n
a
n ... e v( ) g e v( ) e v
( n 1)a
n na
n
( n
n na
n
2na
n
(2n 1)a
n e v( ) e v ... v( ) g( ) na
n ( n 1)a
n na
n na
n
...
a
ne Với K(x) = e-α|x|, ta có hệ
2 2
n 1
x x ... x g na
n (
a
1) (2 n 1)
x
x x g 1 ...
n
n a ( 2)
2 (2 n 2) x
x x g 1 ...
... ... ... ... ...
n
n
... 2
n (2 n
1) (2 n 2) g x x x ... 1 na
n
d x d (i=2,2n+1) Ñaët x = , ta coù ma traän cuûa heä phöông trình tuyeán tính treân nhö sau i
i 1 Thực hiện phép biến đổi sơ cấp , ta ñöôïc
2 2
n 1
x x ... x g na
n
1)
a (
2
2 (2 n
1)
2 0 1 x
x x ... x (1 x )
x g g
1 n
n na
n
a ( 2)
a
1)
2 (2 n 2)
2 x x x g
x g 0 0 1 (1 ) ...
n
n
n
(
n
... ... ... ... ... ... n a (
2 x g
x g 0 0 ... 0 1 na
n
1)
n
n (i k ) 1 a
n
a
n v v e g e g Nhö vaäy ta giaûi ñöôïc nghieäm cuûa heä phöông trình nhö sau ka
n ia
n ka
n
(k 1)a
n i k 1
2a
n 1 e
, n (i k ) a
n v v e g vôùi k = - n +1, n , vaø
na
n ia
n
na
n
i k 1
( * ) )ka sin n
Theo 3.3.2, vôùi n ñuû lôùn ta coù pheùp tính gaàn ñuùng )ka
a
n k n
kv
nx(
a
nx(
a , v(x) a
n
kv
vôùi ñöôïc xaùc ñònh töø ( * ) . Xeùt phöông trình tích chaäp 3.3.4.2 Baøi toaùn 2 2 1 )R(L)R(LK )R(L2 2
)R(Lu K*v = u, , v laø aån caàn tìm, cho tröôùc trong ñoù, v M 2
)R(Lv 0M Ta seõ xeùt baøi toaùn vôùi caùc ñieàu kieän sau thoûa 2 vaø , (i) )x(K 2xe
0 2 , x a '( )
K x (ii) , . x a
xe
0 ,
Xeùt '*K v nhoû neáu ta choïn a ñuû lôùn. Thaät vaäy, theo ñònh lyù 3.1.2, ta coù 2 v'*K 'KM Ta seõ chöùng minh 2 v'K
1 2 1 a 2 2
x
x e dx e dx K ' . 1 a Maø , a 2x 2x 'K dx e dx neân 1 e
a . 2 2 2 2 x y )
x
y
(
e e dx e dy dxdy
2 2 r
e rdr Maët khaùc,
0
d
0 2 1/ 2 dx
xe
. .
/ Vaäy (1) 2/1 2/1 a a a a a 2x 2x 2y )2y2x(
e dx e dx e dy dxdy e a a a a a
2 2 rdr Töông töï 0 2
a
r
d
e
0 1 / 2
= . a 2x 2a2
e dx
e1 Vaäy . (2)
2/1
a 2/1 2a2
'K 1 e1
Töø (1) vaø (2) ta ñöôïc 1
v'*K 'KM . 2 v'K
1 2 1 Vì neân 2a2
v'*K M 1 e1
2
2/1
v'*K . 2 Roõ raøng ta thaáy khi choïn a ñuû lôùn thì nhoû. Nhö vaäy nhaân K ñaõ thoûa ñieàu kieän cuûa baøi (
K K ') * v ,
u a K x
( t v t dt
) ( ) u x
( ) toaùn 3.3.3. Do ñoù, thay vì tìm nghieäm v cuûa phöông trình K*v =u, ta seõ tìm nghieäm cuûa phöông trình a n, n) g x
( ) u x
( ) hay . a
v(k )
n n
a , (k Ñaët . Theo 3.3.3, ta seõ tìm caùc giaù trò baèng caùch giaûi heä phöông trình tuyeán tính 2n+1 aån AX = G, 2 2 2 2 a
2
n na
n a
n
e ... e 1 e 2 2 2 (2 1) a a
n
n
n a
n
e ... e e 1 2 2 2 (2 n 2) a vôùi A .
n 2
a
n a
n
1 ... e e e ... ... ... ... ... 2 2 2 n a n a 2 (2 1) (2 2) na
n
n
n
1 e e e ...
v g na
n na
n (
1)
a (
1)
a v g
n
n
n
n X G , a a ( ( 2) 2) v g
n
n
... n
n
... v g na
n na
n
2a
, .
-
ne
, xeùt ñònh thöùc cuûa ma traän A Ñaët x = 2
4
9 n
(2 ) 1
x x x ... x 2 ( 2 n 4
1)
x 1
x x ... x 2
4 (2 n 2) D
2 n 1
x x
...
x
... 1
...
x
... ...
... ... 2 2 2 2 n
(2 ) (2 n (2 n 2) (2 n 3) 1)
x x x x ... 1
2
4 4 x )(1 x )...(1 x
)n Ta seõ chöùng minh D
2 n
(1 1 D
2 n i
( 2 3) d x d . i 1, (i = 2,2n+1) i 2
4
9 n
(2 ) x x
x x ... 1 2
2
4
4
6 (2 n 4
n 1)
1 (1 ) (1 ) (1 ) ... 0 x
x x x x x x 2
2
4
6 (2 n 2) 4
n D
2 n 1
(1 ) 1 (1 ) )
x x
x x x x
x
...
...
... (1
... ...
... 0
... 2 2 2 (2 n
1)
2 ( 2 n 2)
4 (2 n 3)
6 4
n ... (1 ) (1 ) (1 ) 1 0 x x x x x x x Thöïc hieän pheùp bieán ñoåi , ta ñöôïc
2
4
6 4 (1 x )(1 x )(1 x )...(1 x
)n Khai trieån ñònh thöùc theo coät moät, ta ñöôïc D
2 n 1 D
2 n .
2
4
6 ( 4 n
2) (1 x )(1 x )(1 x )...(1 x ) Baây giôø, ta seõ chöùng minh D
2 n D
2 n
1 2
4
9 (2 n 1) 1
x x x ... x 2 (2 n 2)
4
x 1
x x ... x 2 ( 2 n 3) 4
D
2 n x x
...
x
... 1
...
x
... ...
... ... 2 2 2 2 (2 n 1) (2 n 2) (2 n 3) (2 n 4) x x x x ... 1 i
( 2 3) d x d . i 1, (i = 2,2n) i Thöïc hieän pheùp bieán ñoåi , ta ñöôïc 2
4
9 (2 n
1) x x
x 1 ... x 2
2
4
4
6 (2 n 2) (4 n 2) 1 x
x (1 x ) x (1 x ) (1 x 0 x ... ) 2
2
4
6 (2 n 3) (4 n 2) D
2 n
x (1 x ) 1
x (1 x ) x x )
... 0
...
x
...
... ...
...
(1
... 2 2 2 (2 n 2)
2 ( 2 n 3)
4 (2 n 4)
6 4
n x x x x x x x 0 (1 ) (1 ) (1 ) ... 1
2
4
6 ( 4 n
2) (1 x )(1 x )(1 x )...(1 x ) Khai trieån ñònh thöùc theo coät moät, ta ñöôïc D
2 n D
2 n
1 . 1D 1
2
1 x (1 D
2
2
x D
)
1 Maët khaùc xα ≠ 1 vì a>0, n>0 . Do ñoù, theo coâng thöùc truy hoài D2n+1≠ 0. a
n
v k
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát . Nhö vaäy nghieäm chænh hoùa cuûa baøi toaùn seõ a
n
v k
xaùc ñònh döïa vaøo caùc giaù trò ñöôïc xaùc ñònh duy nhaát. KEÁT LUAÄN Luaän vaên goàm coù 3 chöông vôùi noäi dung chính laø chænh hoùa nghieäm cuûa phöông trình tích chaäp coù daïng Av = u, x(K dt)t(v)t vôùi 1 2 (
L R ), K L R ( ) 2
L R
( ), 2
)R(Lu . Av(x) = trong ñoù v . Ñaây laø baøi toaùn khoâng chænh vaø ñaõ ñöôïc chöùng minh trong chöông 3. Ñeå chænh hoùa baøi toaùn naøy, chuùng toâi söû duïng caùc coâng cuï nhö chaët cuït tích phaân, lyù thuyeát veà haøm sinc vaø chuoãi Cardinal. Trong vieäc xaây döïng nghieäm chænh hoùa v baèng caùch chaët cuït tích phaân neâu treân, giaù trò cuûa v ñöôïc xaùc ñònh taïi moät daõy caùc ñieåm rôøi raïc trong khoaûng chaët cuït cuûa tích phaân. Ñieàu naøy coù yù nghóa quan troïng trong vieäc tính toaùn baèng maùy tính khi maø döõ kieän nhaän ñöôïc laø pheùp ño taïi caùc ñieåm rôøi raïc. Khi ñoù baèng caùch söû duïng caùc thuaät toaùn thích hôïp, ngöôøi ta coù theå tính ñöôïc giaù trò cuûa v taïi caùc ñieåm rôøi raïc vaø thöïc hieän noäi, ngoaïi suy giaù trò cuûa v taïi caùc ñieåm khaùc. Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi ñaõ neâu ra moät phöông phaùp chænh hoùa baøi toaùn phöông trình tích chaäp vôùi nhaân K thoûa moät soá ñieàu kieän nhaát ñònh. Sau ñoù chuùng toâi aùp duïng phöông phaùp chænh hoùa naøy vaøo caùc baøi toaùn vôùi nhaân K cuï theå. Höôùng phaùt trieån saép tôùi cuûa ñeà taøi laø seõ nghieân cöùu nhöõng thuaät giaûi thích hôïp nhaèm tính toaùn caùc giaù trò rôøi raïc cuûa nghieäm chænh hoùa döïa vaøo caùc döõ kieän rôøi raïc do ño ñaïc. TAØI LIEÄU THAM KHAÛO Tieáng Vieät 1. Ñaëng Ñình AÙng, Traàn Löu Cöôøng, Huyønh Baù Laân, Nguyeãn Vaên Nhaân (2001), “Bieán ñoåi tích phaân”, Nhaø xuaát baûn giaùo duïc. 2. Nguyeãn Hoaøng Nguyeân (2002), “Bieán ñoåi Fourier treân khoâng gian L1, L2 vaø phöông trình tích chaäp”, Luaän vaên cöû nhaân Toaùn, Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm TPHCM. 3. Phaïm Hoaøng Uyeân (2003), “Nghieäm chænh hoùa baèng haøm sinc cho phöông trình nhieät”, Luaän vaên thaïc syõ toaùn hoïc, Tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân TPHCM. Tieáng Anh 4. R. R. Goldberg (1960), “Fourier transforms”, Air Force office of scientific Research. 5. W. Rudin (1966), “Functional analysis”, Mc Grow-Hill. 6. F. Stenger (1993), “Numerical methods based on Sinc and analytic functions”, Springer- Verlag, NewYork.
