ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN THỊ HUYỀN TRANG
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM MẠNH ĐỊA PHƯƠNG
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số : 8460102
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Thị Thủy
Thái Nguyên, năm 2020
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020
Người viết luận văn
Trần Thị Huyền Trang
i
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Phạm Thị Thủy. Do đây là
những kiến thức khá mới mẻ và khoảng thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn
không tránh khỏi những sai sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của
quý thầy cô và mọi người để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Phạm Thị Thủy đã trực tiếp giao đề
tài, hướng dẫn và giúp đỡ tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận
văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán cùng các quý thầy cô đã
quan tâm, nhiệt tình giảng dạy trong suốt khóa học. Tôi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn
bè đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Trân trọng cảm ơn!
ii
Mục lục
Lời cam đoan ............................................................................................................... i
Lời cảm ơn .................................................................................................................. ii
Mục lục ........................................................................................................................ iii
Lời nói đầu ................................................................................................................... 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị .................................................................................. 2
1.1. Không gian hàm ............................................................................................... 2
1.1.1. Không gian hàm trơn ...................................................................................... 2
1.1.2. Không gian hàm suy rộng .............................................................................. 3
1.1.3. Không gian Sobolev ....................................................................................... 6
1.2. Phương trình Navier – Stokes ......................................................................... 10
Chương 2. Nghiệm mạnh địa phương của hệ phương trình Navier – Stokes .... 15
2.1. Bài toán 1 ......................................................................................................... 15
2.1.1. Định nghĩa nghiệm yếu và nghiệm mạnh của hệ phương trình Navier –
Stokes trong .................................................................................................. 15
2.1.2. Sự tồn tại nghiệm mạnh của hệ phương trình Navier – Stokes trong
................................................................................................................................ 16
2.2. Bài toán 2 ......................................................................................................... 23
2.2.1. Định nghĩa nghiệm yếu và nghiệm mạnh của hệ phương trình Navier –
Stokes trong ............................................................................................. 23
2.2.2. Sự tồn tại nghiệm mạnh của hệ phương trình Navier – Stokes trong
................................................................................................................. 24
Kết luận ...................................................................................................................... 33
Tài liệu tham khảo ...................................................................................................... 3
iii
Lời nói đầu
Phương trình Navier – Stokes lần đầu tiên được Claude – Louis Navier thiết lập
vào năm 1821 cho các chất lỏng không nén được và năm 1822 cho các chất lỏng nhớt.
Nhưng Navier đi đến phương trình Navier – Stokes mà chưa hoàn toàn nhận thức rõ
tầm quan trọng của các yếu tố xuất hiện trong phương trình. Cho đến khi George Stokes
thiết lập lại dựa trên những giả thiết chính xác hơn trong một bài báo tựa đề On the
theories of the internal friction of fluids in motion, xuất bản năm 1845. Cho đến nay
đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về phương trình Navier – Stokes. Tuy nhiên,
những hiểu biết về phương trình Navier – Stokes còn rất khiêm tốn, muốn biết lượng
nhiệt lưu thông khi một chiếc máy bay đang bay, sự hình thành bão, sự chuyển động
của không khí, giải thích hiện tượng sóng đập vào đuôi con tàu đang chạy trên mặt
nước,... ta đều phải tìm cách giải phương trình Navier – Stokes, do nhu cầu của Khoa
học và Công nghệ mà việc nghiên cứu phương trình Navier – Stokes ngày càng trở nên
thời sự và cấp thiết.
Luận văn trình bày một vài kết quả nghiên cứu về nghiệm của bài toán chứa hệ
phương trình Navier – Stokes.
Luận văn được bố cục thành hai chương cùng với Lời nói đầu, Kết luận
và Danh mục các tài liệu tham khảo. Trong đó, Chương 2 là nội dung chính của
luận văn.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các khái niệm và các kết quả cơ sở cần thiết được sử dụng
trong Chương 2.
Chương 2: Nghiệm mạnh địa phương của hệ phương trình Navier – Stokes
Trình bày định nghĩa về nghiệm yếu và nghiệm mạnh, sự tồn tại nghiệm mạnh
địa phương của hệ phương trình Navier – Stokes trong miền và miền bị chặn
với một khoảng .
1
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong Chương 1 trình bày lại một số kiến thức cơ sở làm nền tảng để nghiên
cứu chương 2. Các tài liệu tham khảo được trích dẫn trong [1], [2], [3], [4], [7].
1.1. Không gian hàm
1.1.1. Không gian hàm trơn
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử là một miền với Nếu là một
khoảng mở với
Giả sử , ta kí hiệu là không gian của tất cả các hàm
sao cho tồn tại và liên tục trong với mọi
là không gian của tất cả các hàm
gọi là không gian hàm trơn trong .
Giả sử là bao đóng của tập Ta kí hiệu
là giá của hàm
Nếu hoặc thì ta đặt
Do đó nghĩa là và trong ngoại trừ một tập con
compact nào đó của . Đặc biệt là không gian của tất cả các hàm trơn bằng
không ngoại trừ một tập con compact nào đó phụ thuộc vào
Giả sử là hạn chế của hàm trên tập con M. Với hoặc ta kí
hiệu là không gian của tất cả các hạn chế với sao cho
2
Nếu thì ta thay bởi
Ta xác định chuẩn
Nếu thì ta thay bởi
Ta ký hiệu
Giả sử Ta xác định không gian của trường vectơ không phân kỳ trơn
Ta xét không gian thử
,
trong đó div áp dụng cho các biến số và
.
1.1.2. Không gian hàm suy rộng
Giả sử là một miền bất kỳ với
Trong lý thuyết hàm suy rộng, không gian tuyến tính của hàm trơn trên
gọi là không gian thử và gọi là hàm thử. Cho phiếm hàm tuyến tính
.
Hàm F liên tục khi và chỉ khi với mỗi miền con tồn tại và
sao cho
thỏa mãn với mọi .
Định nghĩa 1.1.2. Không gian tuyến tính của tất cả các phiếm hàm tuyến tính
3
liên tục, được gọi là không gian hàm suy rộng trong . Kí hiệu
là giá trị của F tại .
Mỗi hàm xác định một hàm suy rộng được định nghĩa bởi
Ta kí hiệu hàm suy rộng là hoặc . Do đó ta xác định với hàm suy
rộng và phép nhúng
Mỗi gọi là một hàm suy rộng chính quy.
Xét toán tử vi phân bất kỳ với Với mỗi
hàm suy rộng được định nghĩa bởi
Đặc biệt, với mỗi hàm suy rộng được định
nghĩa bởi
Nếu chính quy thì tồn tại một hàm của biểu thị qua sao cho
với mọi
Kí hiệu là chính quy và coi như một hàm trong .
Giả sử và
(1.1)
là toán tử vi phân bất kỳ. được định nghĩa bởi
(1.2)
4
Đặc biệt, nếu và được định nghĩa bởi (1.2) là hàm suy rộng chính quy
xác định bởi một hàm được biểu thị qua thì ta viết đơn giản Khi đó
với mọi
Giả sử và Nếu chính quy,
thì ta gọi là đạo hàm yếu cấp của Nếu thì ký
hiệu là chính quy và là một hàm trong , khi đó ta viết
Tương tự, với D thỏa mãn (1.1) là chính quy.
Ta xét không gian tương ứng cho trường vectơ. Giả sử và
là không gian hàm thử có giá trị vectơ được trang bị tôpô tương ứng.
ta định nghĩa hàm Với mỗi
bởi
Ta ký hiệu
là không gian suy rộng của không gian thử .
Giả sử và thì xác định hàm suy rộng
trong đó Khi đó ta có phép nhúng
5
Để xác định nghiệm yếu của phương trình Navier – Stokes ta xét không gian con của
hàm thử không phân kỳ
Không gian của hàm tuyến tính liên tục được định nghĩa trên là
không gian của tất cả các hạn chế
Do đó
Xét không gian Hilbert với tích vô hướng
và không gian con
là bao đóng trong chuẩn .
Với mỗi xác định hàm ta được
phép nhúng tự nhiên
Tương tự, với mỗi xác định hàm được
phép nhúng tự nhiên
Sau đó, ta sử dụng phép chiếu trực giao được gọi là phép chiếu
Helmholtz.
1.1.3. Không gian Sobolev
6
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử là một miền với , khi đó là
không gian Banach của tất cả các hàm thực đo được Lebesgue u được định nghĩa trên
có chuẩn hữu hạn
Nếu thì trở thành không gian Hilbert với tích vô hướng
với
Nếu ta giả sử là không gian Banach thông thường của
tất cả các hàm đo được u với cận trên đúng hữu hạn
Giả sử là số mũ liên hợp (đối ngẫu) của q, ta đặt nếu và
nếu . Đặt nếu và nếu , ta luôn có
thì và bất đẳng thức Holder không đổi Nếu
(1.3)
Giả sử sao cho và
thì . Đặt sao cho và áp dụng (1.3) ta
có
(1.4)
và Giả sử sao cho
thì . Đặt và áp dụng (1.4), sau đó sử dụng
bất đẳng thức Young
7
với ta có
(1.5)
Xét không gian Ta nói khi và chỉ khi với
mỗi hình cầu mở Ta nói khi và chỉ khi với
mỗi hình cầu Ta có thể viết đơn giản thay vì hoặc .
Do đó
Nếu bị chặn thì
Giả sử là một dãy trong Ta có trong
khi và chỉ khi và Do đó trong hoặc
trong khi và chỉ khi hoặc không
đổi với mọi hình cầu mở hoặc
Giả sử ta định nghĩa không gian của trường vectơ
là không gian Banach với chuẩn
Khi đó không gian là không gian Hilbert với tích vô hướng
với
Bất đẳng thức (1.3), (1.4) và (1.5) vẫn đúng trong trường hợp vectơ có giá trị.
8
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử là một miền bất kỳ với ,
Không gian bậc k được định nghĩa là không gian của mọi
sao cho với mọi
Khi đó là hàm suy rộng chính quy được định nghĩa bởi một hàm biểu thị
qua .
Chuẩn trong được định nghĩa bởi
, với ,
, với
Do đó, không gian bậc nhất được định nghĩa là không
gian của sao cho
với mọi
Chuẩn trong được định nghĩa bởi
.
Khi đó
và
Định nghĩa 1.1.5. Không gian Bochner trên được ký hiệu bởi
với chuẩn
và cặp
biểu thị sự ghép cặp của các hàm, trường vectơ trên và có nghĩa
ghép cặp tương ứng trên
9
1.2. Phương trình Navier – Stokes
Giả sử miền mở, . Trong phần này, ta giả sử trơn, gồm
các biến số gọi là không gian biến, là khoảng thời gian với
gọi là biến thời gian.
Trong trường hợp và ta giả sử miền được lấp đầy với chất lỏng
như nước, không khí, dầu,...
.
là vận tốc của chất lỏng tại
thể hiện áp suất tại
là ngoại lực đã biết.
Trong mô hình vật lý, ta giả sử rằng chuyển động của chất lỏng được mô tả bằng
phương trình
(1.6)
với . Phương trình này gọi là phương trình Navier – Stokes.
Điều kiện đầu tiên có nghĩa là sự cân bằng các lực theo định luật Newton. Điều
kiện có nghĩa là chất lỏng đồng nhất và không nén được. Hằng số là
độ nhớt của chất lỏng, nó phụ thuộc vào tính chất vật lý và là hằng số cố định.
là đạo hàm theo thời gian, ta viết
Ta có
mô tả gia tốc toàn phần của một phần nhỏ chất lỏng.
Số hạng
10
mô tả ma sát giữa những phần nhỏ của chất lỏng.
là gradient của áp suất p.
Phương trình (1.6) là hệ phương trình vi phân từng phần với biến
và hàm chưa biết.
Ta thêm điều kiện
nếu (1.7)
tức là với mọi .
Ta thêm điều kiện ban đầu
(1.8)
với vận tốc ban đầu tại tức là với mọi Ta kí hiệu
.
Do đó (1.8) có thể viết dưới dạng .
Nếu không bị chặn ta giả sử
khi
Phương trình (1.6) cùng với điều kiện (1.7) và (1.8) là hệ phương trình Navier – Stokes
với điều kiện
Ký hiệu không gian Euclid
với chuẩn
Ta viết
và
là đạo hàm riêng, là gradient.
11
Căn cứ vào chỉ số ta định nghĩa toán tử
trong đó là đồng nhất thức nếu Trong nhiều trường hợp, kí
hiệu I là đồng nhất thức.
là ma trận của đạo hàm cấp hai.
Kí hiệu với Tuy nhiên nếu
thì ta kí hiệu
đối với chuẩn Euclid.
là tích vô hướng.
Giả sử
là một trường vectơ. Ta đặt
và
.
Hơn nữa
trong đó ma trận
12
có nghĩa là tích tenxơ thông thường. Ta kí hiệu đơn giản là . Nếu
là một trường vô hướng, ta đặt
Nếu thì ta nói không phân kỳ hoặc solenoidal. Khi đó
Giả sử
là các trường ma trận. Ta định nghĩa trường vectơ
.
Ngoài ra, ta định nghĩa các lũy thừa
sao cho
với
thỏa mãn bất đẳng thức
(1.9)
và phép nhúng
(1.10)
với hằng số độc lập với Hơn nữa
và
13
(1.11)
và
(1.12)
14
Chương 2
Nghiệm mạnh địa phương của bài toán chứa hệ phương trình
Navier – Stokes
Chương này trình bày định nghĩa về nghiệm yếu và nghiệm mạnh, sự tồn tại
nghiệm mạnh địa phương của hệ phương trình Navier – Stokes trong hai trường hợp:
xét trên miền và xét trên miền bị chặn với một khoảng
Các tài liệu tham khảo được trích dẫn trong [6], [7], [8], [9], [10].
2.1. Bài toán 1
Xét bài toán chứa hệ phương trình Navier – Stokes
div (2.1)
trong miền , biên trên khoảng với điều kiện ban đầu
và ngoại lực bằng không.
Khi đó điều kiện là cần và đủ cho sự tồn tại của một nghiệm
mạnh địa phương duy nhất trong một số khoảng
với thỏa mãn điều kiện Serrin
Ta đi tìm nghiệm yếu và nghiệm mạnh của bài toán chứa hệ phương trình Navier
– Stokes.
2.1.1. Định nghĩa nghiệm yếu và nghiệm mạnh của hệ phương trình Navier
– Stokes trong
Định nghĩa 2.1. Cho Khi đó
(2.2)
được gọi là nghiệm yếu của hệ phương trình Navier – Stokes (2.1) với điều kiện ban
đầu nếu
15
(2.3)
thỏa mãn mỗi hàm thử ngoài ra có bất đẳng thức năng lượng
luôn đúng với
Định nghĩa 2.2. Một nghiệm yếu của (2.1) được gọi là nghiệm mạnh nếu thỏa mãn
điều kiện bổ sung Serrin với số mũ trong
đó
Định nghĩa 2.3. Nghiệm thỏa mãn (2.2) được gọi là nghiệm yếu của hệ phương
trình (tuyến tính) Stokes
div
với div nếu
(2.4)
với mọi hàm
2.1.2. Sự tồn tại nghiệm mạnh của hệ phương trình Navier – Stokes trong
Định lý 2.4. Cho miền ,
i) Điều kiện
(2.5)
là cần và đủ cho sự tồn tại của một nghiệm mạnh duy nhất
(2.6)
của hệ phương trình Navier – Stokes (2.1) với trên khoảng
16
ii) Tồn tại một hằng số tuyệt đối (độc lập với miền) với tính chất sau:
Nếu
với một số (2.7)
thì hệ phương trình Navier – Stokes (2.1) có một nghiệm mạnh duy nhất trên
với thỏa mãn (2.6).
Chú ý
i) Toán tử Stokes → được xác định với miền
và giới hạn Chú ý rằng
với và với Ta
viết nếu Cho → biểu diễn các
khả năng phân số của Khi đó nếu
và trong đó Nửa nhóm được tạo bởi
được ký hiệu bởi →
ii) Điều kiện ban đầu (2.5) không chỉ đủ mà cả cần thiết cho sự tồn tại nghiệm
mạnh của hệ (2.1) trong một số khoảng Do đó, điều
kiện (2.5) mang lại khoảng lớn nhất có thể cho sự tồn tại của nghiệm mạnh địa phương
duy nhất.
iii) Hằng số ở (2.7) được gọi là hằng số tuyết đối. Đặc biệt, không
phụ thuộc vào miền Do đó, với mỗi miền điều kiện ban đầu
được cho trước và thỏa mãn (2.7) với cố định, khi đó
tồn tại nghiệm mạnh với cùng khoảng tồn tại cho tất cả
các miền
iv) Sử dụng (1.10) với và (1.11) ta thấy rằng
17
(2.8)
Do đó, (2.5) là tính khả tích của hàm (liên tục) gần Ngoài ra, từ
(2.7) suy ra (2.8) và (2.5) là thỏa mãn.
v) Sử dụng (1.10) với và (1.12) với ta thấy với
bất kỳ
Do đó, từ suy ra (2.5).
Cho Khi đó, ta được một định nghĩa tổng quát của
tương tự theo định nghĩa của hàm suy rộng
div
Toán tử div: xác định và
div (2.9)
Bổ đề 2.5. Trên miền ta xét hệ phương trình Stokes
div trong (2.10)
i) Giả sử div và Khi đó (2.10) có một
nghiệm yếu duy nhất thỏa mãn (2.2), (2.4) với bất đẳng thức năng lượng
(2.10)
và
div
ii) Giả sử Khi đó, (2.10) có một nghiệm
yếu duy nhất mà
18
và
(2.11)
với hằng số Đặc biệt,
Hơn nữa, với mọi và
(2.12)
Chứng minh ii) Giả sử
không đổi với và bất kì hằng số đủ nhỏ cho trước, chọn .
Giả sử là một nghiệm mạnh cho trước của (2.1) với
Khi đó, ta đặt và (2.1) được biểu diễn dưới dạng hệ phương trình
tuyến tính
div div
Từ bất đẳng thức Hölder
với hằng số ta được
Từ Bổ đề 2.5 ta có
(2.13)
và bất đẳng thức năng lượng (2.10) cho mọi Đặc biệt, cũng là một nghiệm
yếu. Điều này không đổi nếu hữu hạn vì . Hơn nữa, nếu
ta được kết quả tương tự bằng cách áp dụng bổ đề này cho tất cả các khoảng hữu hạn.
Cho là không gian Banach với trường vectơ
19
được trang bị chuẩn
Vì bản đồ là liên tục từ
Đặc biệt, điều kiện ban đầu được xác định và có bất đẳng thức nội suy
Từ (1.9) ta có
Cho nhúng liên tục vào ta được
(2.14)
Rõ ràng là Xét và đặt và
một nghiệm của bài toán
Từ Bổ đề 2.5 ta có
và
với
Để chứng minh điều này ta sử dụng (1.10) với và (2.12) với
Từ (2.13) ta đặt
và .
Vậy
20
Áp dụng (2.11) với và từ (2.9) ta được
với (2.15)
Vậy
(2.16)
Để giải bài toán điểm bất động (2.13) trong ta xác định toán tử phi tuyến tính
bởi
div
div (2.17)
Áp dụng (2.15) với được thay bởi ta kết luận rằng : và
(2.18)
Nghiệm của (2.13) là một điểm bất động của khi xác
định Để tìm điểm bất động của cho (2.18) có dạng
với
Xét phương trình bậc hai
trên
Chọn trong (2.7) sao cho Khi đó suy ra
và phương trình bậc hai ở trên có một nghiệm dương vô cùng bé được cho bởi
Xác định hình cầu đóng , với mọi
div
và
21
Điều này chứng tỏ rằng : là co thắt nghiêm ngặt và từ định lý điểm bất động
Banach tồn tại thỏa mãn Đặt
mà . Vậy
và
Hơn nữa, vì nên Do đó
Vì nên từ (2.17) có
div
Ở đây và từ Bổ đề 2.5 suy ra là nghiệm yếu của hệ
phương trình Stokes với div Do đó thỏa mãn bất đẳng thức năng lượng (2.10)
trên và (2.2) với được thay bởi Mặt khác
.
Khi đó bất đẳng thức năng lượng (2.10) là thỏa mãn ở dạng
Vậy là nghiệm mạnh của hệ (2.1) mà ta đang tìm và ii) được chứng minh.
Chứng minh i) Giả sử (2.5) được thỏa mãn, khi đó ta tìm sao cho (2.7) không
đổi. Từ ii) cho thấy sự tồn tại duy nhất của nghiệm mạnh của hệ
(2.1) với Do đó (2.5) là điều kiện đủ.
22
Ngược lại, giả sử là nghiệm mạnh của hệ (2.1) trên
Khi đó từ (2.13), (2.16) có trong đó
Do đó
Từ (1.12), và thỏa mãn (2.5). Vậy i) được chứng minh.
2.2. Bài toán 2
Cho là miền bị chặn bởi biên của lớp , . Xét bài
toán chứa hệ phương trình Navier – Stokes trong có dạng
(2.19)
với điều kiện ban đầu và ngoại lực
Một hệ phương trình tuyến tính (hệ phương trình Stokes) tương ứng trong
với cùng điều kiện div F có dạng
(2.20)
Ta đi tìm nghiệm yếu và nghiệm mạnh của bài toán có chứa hệ phương trình
Navier – Stokes.
2.2.1. Định nghĩa nghiệm yếu và nghiệm mạnh của hệ phương trình Navier
– Stokes trong
Định nghĩa 2.6. Cho , Khi đó
được gọi là nghiệm yếu trong của hệ phương trình (phi tuyến tính) Navier –
Stokes (2.19) với điều kiện ban đầu nếu
thỏa mãn mỗi hàm thử và bất đẳng thức năng lượng
23
(2.21)
luôn đúng với
Định nghĩa 2.7. Một nghiệm yếu của (2.19) với điều kiện được gọi là nghiệm
mạnh trong nếu có số mũ gọi là số mũ Serrin
sao cho thỏa mãn điều kiện bổ sung Serrin
.
Định nghĩa 2.8. Nghiệm
(2.22)
được gọi là nghiệm yếu trong của hệ phương trình (tuyến tính) Stokes (2.20)
với điều kiện nếu
(2.23)
luôn đúng cho mỗi hàm thử và đẳng thức năng lượng
(2.24)
được thỏa mãn với
2.2.2. Sự tồn tại nghiệm mạnh của hệ phương trình Navier – Stokes trong
Cho là các nghiệm yếu với điều kiện thỏa mãn Định nghĩa 2.6 trong
và cho sao cho là các số mũ Serrin. Khi đó,
điều kiện
là cần và đủ cho sự tồn tại khoảng với . Vậy là
một nghiệm mạnh duy nhất trong
24
Do đó điều kiện Serrin địa phương cho nghiệm của hệ tuyến tính (2.20) là
cần và đủ cho sự tồn tại của nghiệm mạnh địa phương của hệ phi tuyến tính (2.19)
với cùng số mũ Serrin
Chú ý
Với và là các hằng số
(2.25)
(2.26)
Ngoài ra, và các chuẩn là
tương đương. Trong trường hợp ta ký hiệu
Nếu div với một đối số gần đúng chứng tỏ rằng
div được định nghĩa tổng quát bởi
div
và
div (2.27)
Hệ phương trình Stokes
với (2.28)
có một nghiệm duy nhất thỏa mãn và
, (2.29)
và
Áp dụng (2.26) với ta có
với (2.30)
25
và áp dụng đánh giá Hardy – Littlewood với được
với (2.31)
Tiếp đó, đặt ta có Cho áp
dụng (2.25) với và (2.26) với và (2.31) ta có
với (2.32)
Từ (2.28) có
(2.33)
Cuối cùng ta xét hệ phương trình Stokes có dạng
div div (2.34)
như (2.20) với và tổng quát hơn (2.20) với
Khi đó
div (2.35)
được xác định với hơn thế từ (2.23) suy ra
(2.36)
và là nghiệm yếu của (2.34). Ngược lại, nếu thỏa mãn (2.36) và (2.23) ta được
(2.35). Tuy nhiên, nếu và áp dụng (2.9) với thì
được xác định bởi (2.35) thỏa mãn (2.22), (2.23), (2.24) (2.37)
và là nghiệm yếu xác định duy nhất của (2.34) theo Định nghĩa 2.8.
Định lý 2.10. Cho là miền bị chặn với biên của lớp
với và cho sao cho
26
. Giả sử E là một nghiệm yếu của hệ phương trình (tuyến tính) Stokes (2.20)
với điều kiện thỏa mãn Khi đó, tồn tại
không đổi với tính chất sau: Nếu
(2.38)
thì hệ phương trình Navier – Stokes (2.19) có một nghiệm mạnh duy nhất
với điều kiện trong khoảng
Chứng minh. Từ giả thiết của Định lý, ta phải tìm một hằng số trong
(2.38) sao cho (2.19) có một nghiệm mạnh duy nhất với điều kiện
Giả sử đã có một nghiệm và là nghiệm yếu của (2.19)
nên
.
Từ bất đẳng thức Hölder ta có
trong đó ,
Với và
Áp dụng (2.36) với được thay bởi khi đó được cho bởi
div . (2.39)
Mặt khác, thỏa mãn cả (2.36) và (2.23) với được thay bởi Vì là
nghiệm mạnh của (2.19) và thỏa mãn (2.39). Đặt ta được
div (2.40)
Áp dụng (2.32) với được thay bởi div và từ (2.27) ta có
27
(2.41)
Khi đó ta được
div (2.42)
Vậy (2.40) là tương đương với phương trình điểm bất động
(2.43)
Cho không gian Banach
được trang bị chuẩn
và nhận được một nghiệm . Vậy là nghiệm cần tìm trong Định lý
2.10.
Cho áp dụng (2.29) với div
và được thay bởi áp dụng (2.27) và bất đẳng thức
Hölder, áp dụng (2.33) cho ta được
với
Đặt ta được
(2.44)
Chọn trong (2.38) sao cho
(2.45)
Khi đó phương trình bậc hai có một nghiệm dương vô cùng bé được
cho bởi
28
Vì hình cầu đóng . Cụ thể, từ (2.44)
ta có không đổi với mỗi Hơn nữa, từ (2.42) cho ta có
div
tương tự (2.44) có
(2.46)
Do đó : là co thắt nghiêm ngặt, áp dụng định lý điểm bất động Banach
ta có thỏa mãn (2.43). Áp dụng (2.33) với được thay bởi ta được
với
Tiếp theo, ta xác định và chứng minh rằng là nghiệm cần tìm trong
Định lý 2.10.
tức là Vậy, là nghiệm yếu của hệ phương trình (2.19). Ta viết
dưới dạng
div (2.47)
Áp dụng phương pháp làm trơn Yosida như sau:
Ta xác định tính gần đúng Yosida của bởi với
trong đó là đồng nhất thức. Vậy và
là toán tử giới hạn đều trong với Khi đó áp dụng cho cả hai
vế của (2.47) ta được
div (2.48)
Hơn nữa, áp dụng công thức
29
div div
với và từ bất đẳng thức Hölder ta có
div div
với
ta được (2.37), (2.26) và Từ (2.48) ta có
với
Cuối cùng, áp dụng đánh giá Hardy – Littlewood, (2.30) và (2.31) với
và sử dùng bất đẳng thức Hölder ta có
(2.49)
với
Hằng số trong (2.38) được chọn sao cho thỏa mãn (2.45). Dựa
vào trong (2.44) và (2.46) ta thấy rằng có thể được chọn bổ sung thỏa
mãn . Khi đó từ (2.49) ta có
với độc lập với Cho ta có và
Vì nên từ (2.47) được
30
,
ta được Áp dụng (2.25), (2.26) với
trong đó
Khi đó từ đánh giá Hardy – Littlewood ta có
trong đó
trong Ngoài ra, áp dụng bất đẳng thức nội suy tiêu chuẩn
đó ta có
Do đó và
Cuối cùng, từ (2.47) ta được
div
ta thấy rằng thỏa mãn các điều kiện tương Khi
ứng như trong (2.36), (2.37) với được thay bởi Vậy là một nghiệm
yếu của hệ phương trình tuyến tính (2.20) với div được thay bởi div
Áp dụng
từ (2.24) suy ra (2.21) là thỏa mãn và là một nghiệm mạnh của (2.19) theo Định
nghĩa 2.7.
Vậy Định lý 2.10 được chứng minh.
31
Định lý 2.11. Cho là miền bị chặn bởi biên của lớp và cho
div sao cho
. Khi đó:
Tồn tại một nghiệm mạnh của hệ phương trình (phi tuyến
tính) Navier – Stokes (2.19) trong khoảng , với điều kiện nếu
và chỉ nếu tồn tại một nghiệm yếu của hệ phương trình (tuyến tính) Stokes (2.20)
trong khoảng với điều kiện thỏa mãn điều kiện Serrin ,
Chứng minh. Từ giả thiết của Định lý và cho là một nghiệm mạnh
của (2.19) với điều kiện trong khoảng
Xét nghiệm yếu của hệ phương trình (2.20) trong với điều kiện
Khi đó ta thấy rằng không đổi với
Từ (2.38), (2.39) và (2.40) ta có
div
Từ (2.41) ta có
nghĩa là
Ngược lại, nếu tồn tại một nghiệm yếu trong khoảng với
điều kiện thỏa mãn khi đó ta chọn một số thỏa mãn
sao cho thỏa mãn (2.38) và Định lý 2.10 mang lại sự tồn tại nghiệm mạnh
mong muốn
Vậy Định lý 2.11 được chứng minh.
32
Kết luận
Luận văn “Sự tồn tại nghiệm mạnh địa phương của hệ phương trình Navier –
Stokes” đã trình bày các kiến thức cơ bản sau:
Trình bày một số tính chất của các không gian hàm: hàm trơn, hàm suy rộng,
hàm Sobolev và định nghĩa phương trình Navier – Stokes.
Trình bày định nghĩa nghiệm yếu và nghiệm mạnh của bài toán có chứa hệ
phương trình Navier – Stokes.
Trình bày sự tồn tại nghiệm mạnh địa phương của hệ phương trình Navier –
Stokes.
Cuối cùng, một lần nữa, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc
tới TS. Phạm Thị Thủy, người đã tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi
hoàn thành luận văn văn này.
33
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất
bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tiếng Anh
[2] Adams R. A. (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, New York.
[3] Apostol T. M. (1974), Mathematical Analysis, Addison – Wesley, Am – sterdam.
[4] Farwig R., Galdi G. P., Sohr H. (2006), A new class of weak solutions of the Navier
– Stokes equations”, Comptes Rendus Mathematique, Mathematical Problems in
Mechanics (348), 335-339.
[5] Galdi G. P. (1994), An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier –
Stokes equations, Vol. I, Linearized Steady Problems, SpringerVerlag, New York.
[6] Kozono H. (2001), Weak solutions of the Navier – Stokes equations with test
functions in the weak – Ln spaces, Tohoku Math. J (53), 55-79.
[7] Hermann Sohr (2001), The Navier – Stokes Equations, An Elementary Functional
Analytic Approach, Birkhãuser Advanced Texts, Birkhãuser Verlag, Basel.
[8] Reinhard Farwig, Hermann Sohr & Werner Varnhorn (2011), Necessary and
sufficient conditions on local strong solvability of the Navier – Stokes system,
Applicable Analysis: An International Journal, 90:1, 47-58.
[9] Reinhard Farwig (2010), Hermann Sohr, On the existence of local strong solutions
for the Navier – Stokes equations in completely genaral domains, Nonlinear
Analysis 73, 1459-1465.
[10] Sohr H., Farwig R., Kozono H. (2007), Very weak, weak and strong solutions to
the instationary Navier – Stokes system, J. Neeas Center for Mathematical
Modeling, P. Kaplicky, Prague.
34
