ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------------------------------
SHERLOR NENGZE
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -------------------------------
SHERLOR NENGZE
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2017
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài
liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất
cứ công trình nào.
Tác giả
Sherlor Nengze
i
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Việt Nam dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng.
Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán,
các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán
học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Lào - Việt nam
(Thủ đô Viêng Chăn) cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về
mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 05 năm 2017
Tác giả
ii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN
i
LỜI CẢM ƠN
ii
MỤC LỤC
iii
1
MỞ ĐẦU
4
Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hòa dưới
4
1.2. Hàm đa điều hòa dưới cực đại
8
1.3. Toán tử Monge-Ampère phức
14
1.4. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor
16
1.5. Các lớp năng lượng Cegrell
18
22
Chương 2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-
AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG
22
2.1. Các lớp năng lượng và các lớp năng lượng có trọng trong
25
2.2. Sự tồn tại nghiệm trong lớp
28
2.3. Sự tồn tại nghiệm trong lớp
32
2.4. Sự tồn tại nghiệm trong lớp
38
KẾT LUẬN
39
TÀI LIỆU THAM KHẢO
iii
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán tử Monge-Ampère phức cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa
phương, một khái niệm đóng vai trò quan trọng trung tâm trong lý thuyết đa thế
vị đã được E. Berfod và B.A. Taylor xây dựng năm 1982. Từ đó trở đi lý thuyết
này liên tục phát triển và đạt được nhiều kết quả quan trọng, đồng thời tìm thấy
nhiều ứng dụng vào các lĩnh vực khác nhau của toán học.
Năm 1998, Cegrell đã định nghĩa các lớp năng lượng
trên đó toán tử Monge-Ampère phức là xác định. Năm 2004, Cegrell đã định
nghĩa các lớp và chỉ ra rằng lớp là lớp hàm định nghĩa tự
nhiên của toán tử Monge-Ampère phức. Đó là lớp hàm lớn nhất trên đó toán tử
Monge-Ampère xác định, liên tục dưới dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới. Tiếp
tục mở rộng lớp năng lượng , năm 2009, S. Benelkourchi đã đưa ra lớp
năng lượng có trọng và nghiên cứu toán tử Monge-Ampère trên lớp năng
lượng đa phức hữu hạn trong trường hợp tổng quát. Đồng thời giải thích các lớp
này theo nghĩa tốc độ giảm của dung lượng của tập mức dưới và mô tả đầy đủ
miền giá trị của toán tử Monge-Ampère trong các lớp . Nghiên
cứu các lớp này dẫn đến nhiều kết quả như nguyên lý so sánh, giải bài toán
Dirichlet,…
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về toán tử Monge-Ampère và áp dụng
các kết quả đạt được trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp năng lượng có
trọng, chúng tôi chọn “Sự tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức
trong các lớp năng lượng đa phức có trọng” làm đề tài nghiên cứu của mình.
4
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các lớp năng lượng đa phức có trọng và sự tồn tại nghiệm của
phương trình Monge-Ampère phức trong các lớp đó
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
+ Trình bày tổng quan và hệ thống một số kết quả cơ bản của lý thuyết đa
thế vị phức.
+ Trình bày lại một cách chi tiết một số kết quả của S. Benelkourchi về sự
tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong các lớp năng lượng
đa phức có trọng.
3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 43 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Nội dung của luận văn
được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [1] và [5].
Chương 1. Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm
đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère và
nguyên lý so sánh.
Chương 2. Là nội dung chính của luận văn. Phần đầu của chương trình bày một
số khái niệm và kết quả về các lớp năng lượng và các lớp năng lượng có trọng
trong . Tiếp theo trong mục 2.2 nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương
trình Monge-Ampère phức trong lớp (Định lý 2.2.1). Mục 2.3 trình bày
5
kết quả về sự tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong lớp
(Định lý 2.3.6 và Hệ quả 2.3.7). Cuối cùng mục 2.4. trình bày sự tồn tại
nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong lớp (Định lý 2.4.1 và
Hệ quả 2.4.2).
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
6
Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hoà dưới
Địng nghĩa 1.1.1. Giả sử là tập mở, là hàm nửa
liên tục trên, không đồng nhất bằng trên moi thành phần liên thông của .
Hàm gọi là đa điều hoà dưới trên (viết ) nếu với mọi
và , hàm là điều hoà dưới hoặc bằng trên mọi
thành phần liên thông của tập .
Định lý sau đây cho một đặc trưng của tính đa điều hoà dưới đối với các
hàm lớp trên tập mở .
Định lý 1.1.2. Giả sử là tập mở và . Khi đó khi
và chỉ khi Hessian của u tại z xác định dương, nghĩa là với
mọi ,
Định nghĩa 1.1.3. Tập hợp được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm
đều có một lân cận của và một hàm sao cho
.
7
Hệ quả 1.1.4. Các tập đa cực có độ đo (Lebesgue) không.
Dưới đây là một số kết quả liên quan tới tính đa điều hoà dưới khi qua giới
hạn và tính lồi của họ các hàm đa điều hoà dưới.
Định lý 1.1.5. Giả sử là tập mở trong .
Nếu thì và nếu thì
. Nghĩa là là nón lồi.
Nếu là dãy giảm thì hoặc là hàm đa điều hoà
dưới trên hoặc .
Nếu dãy là dãy hội tụ đều trên mọi tập compact của tới
hàm thì .
Giả sử sao cho là bị chặn trên
địa phương. Khi đó chính quy hoá nửa liên tục trên .
Chứng minh. Các khẳng định , , suy ra từ định nghĩa 1.1.1. và định lý
hội tụ đơn điệu hay định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân trong trường hợp dãy
hội tụ đều. Ta chứng minh . Chỉ cần chứng tỏ sao cho
thì
Dễ thấy với mọi sao cho ta có
8
Với , chọn dãy sao cho và . Từ
nên với n đủ lớn . Khi đó
Bổ đề Fatou cho ta
Sau đây là kết quả về dán hai hàm đa điều hoà dưới tương tự như hàm điều hoà
dưới.
Mệnh đề 1.1.6. Giả sử là tập mở, là tập con mở thực sự, khác
rỗng của . Giả sử và với
mọi . Khi đó hàm
là hàm đa điều hoà dưới trên .
Chứng minh. Rõ ràng là nửa liên tục trên trên . Chỉ cần chứng tỏ nếu
sao cho thì
Với , chọn đủ bé để
Khi đó
9
Từ đó .
Chứng minh tương tự cho trường hợp , ở đó là bao đóng của
lấy trong . Chỉ cần xét trường hợp . Khi đó .
Vậy
và mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.1.7. Giả sử , là tập mở và là
hàm lồi, tăng lớp . Khi đó .
. Với mọi
Chứng minh. Lại có thể coi và , do là
hàm lồi tăng ta có
Suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.1.8. Nếu thì . Nếu , và
thì .
Hệ quả 1.1.9 . Nếu là các hàm không âm trên tập mở và
thì và .
10
Mệnh đề 1.1.10. (Nguyên lý cực đại) Giả sử D là một miền trong và
, không đồng nhất hàm hằng. Khi đó không đạt cực đại toàn
thể trên D. Hơn nữa nếu là bị chặn thì với mọi ta có
Chứng minh. Giả sử sao cho . Đặt
. Khi đó . Giả sử . Khi đó
Vậy và đóng trong . Nếu , với mọi , chọn
sao cho . Khi đó
Từ đó, do tính nửa liên tục trên của suy ra trên một lân cận của .
Vậy là mở và do đó . Điều này kéo theo trên và mâu
thuẫn với giả thiết.
1.2. Hàm đa điều hòa dưới cực đại
Định nghĩa 1.2.1. Cho là tập mở và . Ta nói là hàm đa
điều hòa dưới cực đại trên và viết nếu với mọi tập mở,
compact tương đối và mọi hàm nửa liên tục trên trên ,
và trên thì trên .
Trường hợp thì tập trùng với tập các hàm điều hòa trên .
Mệnh đề sau nói về các cách nhận biết một hàm là đa điều hoà dưới cực đại.
11
Mệnh đề 1.2.2. Giả sử là tập mở và . Khi đó các khẳng
định sau là tương đương.
Với mọi tập mở, compact tương đối và mọi hàm , nếu
với mọi thì trên .
Nếu và với tồn tại tập compact sao cho
trên thì trên .
Nếu , là tập mở, compact tương đối trong và trên
thì trên .
Nếu , là tập mở, compact tương đối trong và với mỗi
, thì trên .
là hàm cực đại.
Chứng minh. . Giả sử thỏa mãn giả thiết của và giả
sử sao cho . Đặt
Theo giả thiết có compact sao cho với mọi thì
. Vậy và do đó là tập compact trong . Tồn tại tập mở,
compact tương đối chứa . Trên
12
Bởi giả thiết , trên và ta gặp mâu thuẫn vì mà
.
. Giả sử , là tập mở, compact tương đối trong và
trên . Đặt
Mệnh đề 1.1.6. cho . Với , lấy là tập compact trong
và với . Do đó bởi giả thiết trên .
. Giả sử và sao cho
đúng cho mọi . Khi đó . Đặt
Khi đó theo mệnh đề 1.1.6, ta có . Dễ thấy trên thì . Vậy
trên và do đó trên
. Giả sử là tập mở, compact tương đối và là hàm nửa liên
tục trên trên và trên .
Do tính compact tương đối của , ta có thể coi là liên tục trên và
trên . Thật vậy nếu trái lại ta xét họ
với . Nếu ta chứng tỏ trên , thì
13
trên vì trên ta có . Từ giả thiết trên nên
với . Do đó hàm
là đa điều hoà dưới trên . Ta thấy với mọi . Thật
vậy nếu không có và dãy mà
với mọi . Từ đó
Cho ta có và gặp mâu
thuẫn. Vậy từ giả thiết trên và chứng minh hoàn thành.
. Giả sử , và với mọi
. Lại có thể coi liên tục trên . Khi đó xét
Khi đó và nửa liên tục trên trên . Mặt khác từ
kéo theo tại mọi . Từ đó suy ra
trên và vậy thì trên .
Giả sử là miền bị chặn và . Ta kí hiệu là lớp
các hàm đa điều hòa dưới sao cho , ở đó
14
. Với , ta xác định với mọi
Hàm gọi là bao Perron – Bremermann của trong .
Định lý 1.2.3. Giả sử là miền bị chặn và sao cho
trên , ở đó . Khi đó là hàm liên tục trong .
Chứng minh. Từ trên nên . Vậy và do đó
là nửa liên tục trên trên . Vậy chỉ cần chứng minh là nửa liên tục
dưới trên . Cố định và . Do với mọi .
nên . Từ đó do là
compact suy ra có sao cho
(1.1)
Lấy với và đặt . Xác định hàm
Dùng (1.1) ta chứng tỏ trên một lân cận của trong và do đó
. Nếu thì rõ ràng . Lấy và hàm
với . Khi đó và xét
. Vậy theo (1.1)
15
hay . Mặt khác do và
nên
Từ đó
Như vậy cho thay đổi trên ta được một lân cận của trong sao
cho . Vậy trên lân cận đó. Hơn nữa nếu
và sao cho thì và lại từ
(1.1), ta có
Do đó nếu và như vậy trên . Ta có:
Như vậy nửa liên tục dưới trên và định lý được chứng minh.
Sau đây là một số tính chất của các hàm đa điều hòa dưới cực đại.
Mệnh đề 1.2.4. Giả sử là một miền trong . Khi đó
Giới hạn của dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới cực đại trong hoặc
bằng hoặc là hàm đa điều hòa dưới cực đại trong .
Nếu thì với mọi tồn tại một dãy giảm các hàm đa
điều hòa dưới cực đại trong hội tụ giảm tới trên .
16
Chứng minh. Giả sử và trên . Giả sử không
đồng nhất trên . Lấy là tập mở, compact tương đối trong . Giả
sử là hàm nửa liên tục trên và , trên . Khi đó
trên và do đó trên .
Do nên có thể chọn dãy hàm đa điều hòa dưới liên tục trên một
lân cận của giảm tới . Đặt . Khi đó theo định lý 1.2.3. là
dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới liên tục trên và sử dụng định lý dán có thể
chứng minh chúng đạt cực đại trên . Từ suy ra .
1.3. Toán tử Monge-Ampère phức
Cho là đa điều hoà dưới trên miền . Nếu thì toán tử:
,
với là yếu tố thể tích trong gọi là toán tử Monge-Ampère. Toán tử này
có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian các hàm liên tục với giá compact trên
.
Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu là đa điều hoà dưới bị chặn
địa phương trên thì tồn tại dãy sao cho
và hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là:
17
.
Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy như trên, ta ký hiệu:
và gọi là toán tử Monge-Ampère của .
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampère.
Mệnh đề 1.3.1. Nếu là -dạng lớp trên tập mở và
là -dòng với thì
.
Mệnh đề 1.3.2. Giả sử là dãy các độ đo Radon trên tập mở hội
tụ yếu tới độ đo Radon . Khi đó
a) Nếu là tập mở thì .
b) Nếu là tập compact thì .
c) Nếu compact tương đối trong sao cho thì
.
Chứng minh. a) Ta có . Giả sử là tập
compact. Lấy , và trên . Khi đó
.
Từ đó .
18
b) Ta có . Giả sử là một lân
cận mở của và , và trên . Khi đó
.
Từ đó .
c) Viết . Khi đó
.
Mặt khác
.
Từ đó .
Mệnh đề 1.3.3. Giả sử là miền bị chặn và
sao cho trên và . Giả sử là -dòng
dương, đóng trên . Khi đó
.
Đặc biệt, nếu thì .
1.4. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor.
Định lý 1.4.1. (Nguyên lý so sánh) Giả sử là miền bị chặn và
sao cho . Khi đó
19
. (1.2)
Chứng minh. Theo giả thiết có . Tức là với mọi
tồn tại sao cho thì . Hơn nữa khi thay
bởi , thì
khi .
Nếu bất đẳng thức (1.2) đúng trên thì cho suy ra (1.2) đúng
trên . Vì vậy có thể giả sử . Vậy
.
Giả sử là các hàm liên tục. Khi đó là tập mở, liên
tục trên và trên . Với , đặt .
Từ giả thiết
suy ra hay
với gần biên .
gần biên và trên . Theo công thức Stokes ta Vậy
có
hay
.
Vì nên . Vậy
20
.
Giả sử tùy ý và là miền sao cho . Tồn tại
hai dãy và các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của giảm tới
và sao cho trên với mọi . Có thể coi . Lấy
và giả sử là tập mở sao cho , là các hàm liên
tục trên . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm liên tục trên sao cho
trên . Ta có
.
Nhưng và vì là tập mở nên
,
vì và hội tụ yếu tới .
Từ
và
suy ra
.
Áp dụng vào các hàm liên tục và ta thu được
.
21
Do đó
.
Hơn nữa
và do là tập compact và nên ta có
.
Do tùy ý nên ta được
.
Từ đó với mọi ta có
.
Nhưng
và
khi . Do đó
.
Hệ quả 1.4.2. Giả sử là miền bị chặn và sao
cho và . Khi đó
22
.
Chứng minh. Từ nguyên lí cực đại suy ra trên (nếu ngược lại thì
và kết luận là hiển nhiên). Khi đó nếu thì trên .
Vậy trên . Từ đó
.
Cho ta được điều cần chứng minh.
Hệ quả 1.4.3. (Nguyên lý so sánh). Giả sử là miền bị chặn và
sao cho . Giả sử
trên . Khi đó trên .
Chứng minh. Đặt , với được chọn đủ lớn sao cho
trên . Giả sử khác rỗng. Khi đó có sao cho
khác rỗng và do đó nó có độ đo Lebesgue dương. Do Định lí 1.5.1 ta có
và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy trên .
23
Hệ quả 1.4.4. Giả sử là miền bị chặn và sao
và . Khi đó . cho
Hệ quả 1.4.5. Giả sử là miền bị chặn và sao
và . Khi đó trên . cho
Chứng minh. Tương tự như trong Hệ quả 1.4.3. Giả sử . Khi đó có
sao cho và do đó có độ đo Lebesgue dương. Chú ý
rằng do nên . Khi đó như chứng minh của Hệ
quả 1.4.3 ta có
và ta gặp mâu thuẫn.
24
CHƯƠNG 2
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE
PHỨC TRONG CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG
2.1. Các lớp năng lượng và các lớp năng lượng có trọng trong
Cho là một miền siêu lồi bị chặn, tức là tập con mở liên thông, bị
chặn trong sao cho tồn tại một hàm đa điều hòa dưới âm sao cho
gọi là hàm vét cạn. Sau đây chúng ta nhắc
lại một vài lớp năng lượng Cegrell trong (xem [8], [9]).
Định nghĩa 2.1.1.
.
.
triệt tiêu trên các tập đa cực của .
tồn tại lân cận ,
, trên sao cho .
U.Cegrell [9] đã chỉ ra rằng toán tử được xác định trên , liên tục
dưới các giới hạn giảm và lớp là ổn định dưới phép toán max có nghĩa là
nếu và thì là lớp lớn nhất có
các tính chất đó (Mệnh đề 2.1.6 và Định lý 4.5 [9]).
25
Giả sử là một dãy tăng của các miền giả lồi chặt sao cho
Giả sử là một hàm đa điều hòa dưới và đặt
trên .
Khi đó ta có và là một dãy tăng. Giả sử . Khi đó
do các tính chất của suy ra . Chú ý rằng định nghĩa của là độc
lập với việc chọn dãy và nó là hàm cực đại, nghĩa là . là hàm
đa điều hòa dưới cực đại nhỏ nhất trên .
Đặt Trong thực tế, lớp này là tương tự của các thế
vị đối với các hàm điều hòa dưới.
Định nghĩa 2.1.2. Giả sử là một hàm không giảm. Ta ký hiệu
là tập hợp tất cả các hàm sao cho tồn tại một dãy
giảm đến trong và thỏa mãn
Như vậy
Nói riêng, với hàm túy ý, các toán tử Monge-Ampère phức
được xác định tốt. Hơn nữa, nếu với mọi thì
Định nghĩa 2.1.3. Cho là một tập con Borel, dung lượng Monge-Ampère
của đối với được định nghĩa là
26
Dung lượng Monge-Ampère đã được giới thiệu và nghiên cứu bởi
E.Bedford và A.Taylor trong [2].
Định nghĩa 2.1.4. Giả sử là một hàm không giảm. Khi đó
Bổ đề 2.1.5. Cho
được định nghĩa là
. Khi đó với mọi và ta có:
Nói riêng,
.
Các lớp và có mối quan hệ mật thiết với nhau:
Mệnh đề 2.1.6. Các lớp là lồi và ổn định theo nghĩa nếu và
thì . Hơn nữa luôn có ,
trong khi , ở đó .
Chứng minh. Tính lồi của được suy ra từ khẳng định sau:
nếu và thì
.
Tính ổn định là hiển nhiên.
27
. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử và Giả sử
. Đặt . Theo Bổ đề 2.1.5 ta có
.
Suy ra . Bao hàm thức còn lại được chứng minh
tương tự, sử dụng bất đẳng thức thứ hai trong Bổ đề 2.1.5.
Chú ý rằng , khi , suy ra bằng cách áp dụng các
bất đẳng thức của Bổ đề 2.1.5 với .
Khi ta có . Như vậy ta nhận được đặc
trưng của các lớp U. Cegrell theo nghĩa tốc độ giảm của dung lượng của
các tập mức dưới.
2.2. Sự tồn tại nghiệm trong lớp
Định lý 2.2.1. Giả sử là một hàm lồi tăng. Khi đó
các khẳng định sau là tương đương:
(1) tồn tại duy nhất một hàm sao cho ;
(2) tồn tại một hằng số sao cho
với mọi (2.1)
(3) tồn tại một hằng số sao cho
(2.2)
28
(4) tồn tại một hàm bị chặn địa phương sao cho
và (2.3)
trong đó và
ký hiệu là -năng lượng của .
Các chứng minh có thể tìm thấy trong [4]. Các chứng minh
đã được chứng minh trong [6].
Chứng minh. Ta bắt đầu bằng chứng minh . Giả sử , . Chú ý
rằng với tùy ý ta có :
.
Từ đó ta có
(2.4)
Tính lồi của kéo theo
. (2.5)
Theo nguyên lý so sánh điều đó kéo theo
(2.6)
với mọi .
Từ (2.4), (2.5) và (2.6) suy ra tồn tại một hằng số C độc lập với sao cho
29
Đặt ta nhận được ước lượng (2.1),
Bây giờ, Ta chứng minh (3) (4). Giả sử theo trên ta có
Nếu nghĩa là , thì
.
Nếu . Hàm được xác định bởi
.
Thật vậy, từ tính đơn điệu của , ta có
.
Từ (2.1) và tính lồi của suy ra
.
Từ đó ta nhận được (2.2) với
Đối với chứng minh ta xét
30
Điều đó suy ra từ [6] rằng lớp đặc trưng các tập đa cực. Khi
đó, khẳng định (2.3) kéo theo triệt tiêu trên các tập đa cực. Từ [9] điều này
suy ra tồn tại và sao cho
Xét . Đó là một độ đo hữu hạn bị chặn trên bởi độ đo
Monge-Ampère phức của một hàm bị chặn. Do đó, từ [11] suy ra tồn tại
sao cho:
.
Theo nguyên lý so sánh là một dãy giảm. Đặt . Từ (2.3) suy ra
.
Do đó:
.
Suy ra
,
Điều này kéo theo
.
Khi đó và do đó .
Bây giờ do tính liên tục của toán tử Monge-Ampère phức cùng các dãy giảm,
ta kết luận rằng . Tính duy nhất của suy ra từ nguyên lý so sánh.
31
2.3. Sự tồn tại nghiệm trong lớp
Giả sử là một hàm không giảm và là một hàm
đa điều hòa dưới cực đại.
Định nghĩa 2.3.1. (tương ứng , ) là lớp các , ,
hàm đa điều hòa dưới sao cho tồn tại một hàm (tương ứng ,
, , ) thỏa mãn
Định lý 2.3.2. ([10]) Giả sử là hàm cực đại bị chặn, và
sao cho . Khi đó
Hệ quả 2.3.3. Giả sử và sao cho và
. Khi đó
Đặc biệt, nếu với thì .
Bổ đề sau đây cho một ước lượng độ lớn của tập mức dưới theo nghĩa của khối
lượng Monge-Ampère, sẽ sử dụng về sau.
Bổ đề 2.3.4. Giả sử là một hàm không giảm sao cho và
. Khi đó với mọi và , ta có
. (2.7)
Chứng minh. Cố định . Lấy là tập compact con.
Khi đó
32
ở đó là hàm cực trị tương đối của compact và .
Khi đó từ Định lý 2.3.2 suy ra
Lấy supremum theo ta được bất đẳng thức cần chứng minh □
Mệnh đề 2.3.5. Giả sử là một hàm tăng. Khi đó ta có
Đặc biệt, nếu , lúc đó với mọi
và .
Chứng minh. Giả sử Khi đó tồn tại một hàm sao cho
. Do đó . Từ Bổ đề 2.3.4 suy ra
Định lý 2.3.6. Giả sử là độ đo không âm trong , là một hàm
lồi tăng sao cho và là một hàm cực đại bị chặn. Khi
33
đó, tồn tại duy nhất hàm sao cho thỏa mãn một nếu
trong những điều kiện của Định lý 2.2.1.
Chứng minh. Giả sử . là một dãy cơ bản các tập với
con giả lồi chặt của và là một dãy các hàm cực đại
giảm đến . Từ [9] suy ra tồn tại một hàm và một hàm
sao cho .
Với , đặt , ở đó ký hiệu là hàm đặc trưng của
tập . Bây giờ xét bài toán Dirichlet trong các miền giả lồi chặt , giả sử tồn
tại các hàm sao cho
trên .
Theo nguyên lý so sánh, ta tìm được các dãy giảm và sao cho
trên .
Cho , ta được Cuối cùng, từ tính liên tục của
toán tử Monge-Ampère phức dưới các dãy đơn điệu, ta có . Hàm
là duy nhất suy từ nguyên lý so sánh trong lớp và Hệ quả 2.3.3. □
Hệ quả 2.3.7. Giả sử là một độ đo không âm trong với khối lượng tổng
cộng hữu hạn và là một hàm cực đại bị chặn. Khi đó tồn tại duy nhất
một hàm sao cho khi và chỉ khi triệt tiêu trên tất cả
các tập đa cực.
34
Chứng minh. Từ [9] suy ra tồn tại một hàm và một hàm không
âm sao cho . Do [11], tồn tại duy nhất một hàm
sao cho . Nguyên lý so sánh cho các hàm bị
chặn (xem [2]) kéo theo là dãy giảm. Đặt . Từ Bổ đề 2.3.4 suy ra
. Do đó . Do tính liên tục của toán tử Monge-Ampère phức dưới
dãy giảm, ta có Bây giờ, vì (xem [6])
lồi;
nên tồn tại một hàm lồi với sao cho
. Bây giờ theo Định lý 2.3.6, tồn tại một hàm sao cho
. Tính duy nhất suy ra từ Định lý 2.3.2. □
2.4. Sự tồn tại nghiệm trong lớp
Trong suốt phần này, ta ký hiệu là độ đo Borel dương cố định có khối
lượng tổng cộng hữu hạn . Xét bài toán Dirichlet
, với và
và độ đo là bị chặn, do giả thiết bị trội bởi dung lượng Monge-Ampère, dù
khoảng cách giữa nghiệm và dữ liệu biên đã cho của như thế nào,.
Các độ đo bị trội bởi dung lượng Monge-Ampère đã được nghiên cứu bởi
S.Kolodziej trong [11,12,13]. Kết quả chính trong nghiên cứu của S.Kolodziej,
đạt được trong [12], có thể phát biểu như sau. Cố định là một
hàm liên tục giảm và đặt . Nếu với tất cả các tập con
compact
35
và
thì đối với một hàm liên tục với .
Điều kiện nghĩa là giảm đủ nhanh đến không tại vô
cùng. Điều này đã cho ước lượng định lượng về , do đó
khi .
Khi vẫn có thể xảy ra với nào đó
nhưng nói chung không bị chặn.
Định lý 2.4.1. Cho là một độ đo không âm với khối lượng tổng cộng hữu hạn.
Giả sử
. (2.8)
với mọi tập con compact . Khi đó tồn tại duy nhất một hàm sao
cho và
với mọi
trong đó là hàm nghịch đảo của
Nói riêng với
Chứng minh. Từ Hệ quả 2.3.7 suy ra tồn tại một hàm sao cho
.
Đặt
36
tăng và , vì triệt tiêu trên các tập đa cực. Từ Bổ đề Hàm
2.3.4 và (5.1) suy ra
với mọi và Do đó
. (2.9)
Ta xác định một dãy tăng bằng quy nạp. Đặt
với mọi .
Lựa chọn . Ta chọn đủ lớn sao cho . Ta cần bảo đảm
có thể được chọn độc lập với . Từ Bổ đề 2.3.4 suy ra
Từ đó . Vì thế nếu .
Độ tăng của . Bây giờ áp dụng (2.9) ta nhận được
Suy ra Xét hai trường hợp sau:
Trường hợp thứ nhất: khi đó với , tức là
Do đó bị chặn dưới bởi , nói riêng với mọi .
Trường hợp thứ hai: Giả sử Với mọi , tồn tại sao
cho Ta có thể ước lượng
37
trong đó Vì thế , Từ đó
Đặt . Khi đó ta có
Từ đó suy ra , trong đó . □
Bây giờ xét trường hợp là liên tục tuyệt đối đối với độ đo
Lebesgue. Ký hiệu là không gian con thực của sao cho
, ở đó là cấu trúc phức thông thường trên . được trang bị
cấu trúc Euclid cảm sinh và độ đo Lebesgue tương ứng được ký hiệu là .
Xét không gian Orlicz , gồm các hàm đo
được xác định trên sao cho
với nào đó.
Trên không gian ta định nghĩa chuẩn
38
.
Không gian đối ngẫu với : đó là không gian là lớp mũ
vectơ của các hàm đo được.
được trang bị chuẩn
Khi đó, ta có bất đẳng thức Hölder sau
(2.10)
với và , trong đó là hằng số dương chỉ
phụ thuộc vào và Khi đó ta có
(2.11)
Hệ quả 2.4.2. Giả sử là một độ đo với mật độ
ở đó độ đo Lebesgue. Khi đó tồn tại duy nhất một
hàm bị chặn sao cho và
,
trong đó chỉ phụ thuộc vào và .
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh tồn tại một hằng số sao cho
39
với mọi compact . (2.12)
Thật vậy, từ các bất đẳng thức Hölder (2.10) và (2.11) suy ra
(2.13)
Theo [7] ta có
với mọi compact (2.14)
trong đó là hằng số chỉ phụ thuộc vào và .
Suy ra bất đẳng thức (2.12) nhờ kết hợp (2.13) và (2.14). Khi đó áp dụng Định lý
2.4.1 với
,
Ta được
□
40
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày:
- Tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà
dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère và nguyên lý so sánh.
- Một số kết quả của S. Benelkourchi về sự tồn tại nghiệm của phương
trình Monge-Ampère phức trong các lớp năng lượng đa phức có trọng. Cụ thể là
đã trình bày:
+ Một số khái niệm và kết quả về các lớp năng lượng và các lớp năng
lượng có trọng trong .
+ Sự tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong lớp
(Định lý 2.2.1).
+ Sự tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong lớp
(Định lý 2.3.6 và Hệ quả 2.3.7). + Sự tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong lớp
(Định lý 2.4.1 và Hệ quả 2.4.2).
41
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1]. Nguyễn Quang Diệu và Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa thế vị.
Nxb Đại học sư phạm Hà Nội.
Tiếng Anh Anh
[2]. Bedford.E and Taylor. B.A (1982), “A new capacity for
plurisubharmonic functions”, Acta Math. 149 , no. .
[3]. Benelkourchi.S , Jennane. B and Zeriahi. A (2005), ”Polia’s inequalities,
global uniform intergrability and the size of plurisubharmonic
lemniscates”, Arkiv for Matematik. Vol. 43. No.1, pp.85-112.
[4]. Benelkourchi.S (2009), “Weighted Pluricomplex Energy”, Potential
Analysis: Volume Issuel 1-20.
[5]. Benelkourchi.S (2015), “Weighted Pluricomplex Energy II”, Hindawi
Publishing Corporation International Journal of partial Differential
Equations Volume 2015, Article ID 947819, 8 pages.
[6]. Benelkourchi.S, Guedj.V and Zeriahi.A (2006), “Plurisubharmonic
functions with weak singularities”, In proceedings of the conference in
honour of C. Kiselman, Acta Univ. Upsaliensis. 86, 57-74.
[7]. Benelkourchi.S, Guedj.V and Zeriahi.A (2005), “Polya’s inequalities,
global uniform integrability and the size of plurisubharmonic
lemniscates”, Ark. Mat. 43, No. 1, 85-112.
[8]. Cegrell. U (1998), “Pluricomplex energy”, Acta Math. 180, no. 2, 187-217.
[9]. Cegrell.U (2004), “The general definition of the complex Monge-
Ampère operator”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 54, No.1,159-179.
42
[10]. Cegrell.U (2008), “A general Dirichlet problem for of the complex
Monge-Ampère operator”, Ann. Polon. Math. 94 No. 2,131-147.
[11]. Kolodziej.S (1994), “The range of the complex Monge-Ampère
operator”, Indiana Univ. Math. J. 43, No.4, 1321-1338.
[12]. Kolodziej.S (1998), “The complex Monge-Ampère equation”, Acta
Math. 180, No.1, 69-117.
[13]. Kolodziej.S (2005), “The complex Monge-Ampère equation and
pluripotential theory”, Mem. Amer. Math. Soc. 178, No.840, x+64pp.
43
