ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
SOULADDA PONGPANYA
MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES
KHÔNG THUẦN NHẤT TRONG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2020
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
SOULADDA PONGPANYA
MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES
KHÔNG THUẦN NHẤT TRONG
Ngành: Toán Giải tích Mã số: 8460102
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Thị Thủy
THÁI NGUYÊN - 2020
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và
không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc
thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã
được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2020
Người viết luận văn
Souladda PONGPANYA
i
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Phạm Thị Thủy. Do
đây là những kiến thức khá mới mẻ và khoảng thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên
luận văn không tránh khỏi những sai sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp của quý thầy cô và mọi người để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Phạm Thị Thủy đã trực tiếp giao
đề tài, hướng dẫn và giúp đỡ tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành
luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán cùng các quý thầy cô
đã quan tâm, nhiệt tình giảng dạy trong suốt khóa học. Tôi cũng xin cảm ơn gia đình,
bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2020
Người viết luận văn
Souladda PONGPANYA
ii
MỤC LỤC
Lời cam đoan ................................................................................................................ i
Lời cảm ơn ................................................................................................................... ii
Mục lục ....................................................................................................................... iii
Lời nói đầu ................................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................................... 2
1.1. Không gian hàm ............................................................................................. 2
1.1.1. Không gian hàm trơn ................................................................................... 2
1.1.2. Không gian hàm suy rộng ........................................................................... 3
1.1.3. Không gian Sobolev .................................................................................... 6
1.2. Phương trình Navier – Stokes ....................................................................... 15
Chương 2. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
NAVIER – STOKES KHÔNG THUẦN NHẤT TRONG .............................. 20
2.1. Định nghĩa nghiệm yếu ................................................................................. 20
2.2. Sự tồn tại và tính chất của nghiệm. ............................................................... 21
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 33
iii
LỜI NÓI ĐẦU
Việc nghiên cứu phương trình Navier – Stokes đã được đặt ra từ khá sớm ở đầu
thế kỳ XIX và lần đầu tiên được Claude – Louis Navier thiết lập vào năm 1821 cho các
chất lỏng không nén được và năm 1822 cho các chất lỏng nhớt. Nhưng Navier đi đến
phương trình Navier – Stokes mà chưa hoàn toàn nhận thức rõ tầm quan trọng của các
yếu tố xuất hiện trong phương trình. Cho đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên
cứu về loại phương trình Navier – Stokes. Tuy nhiên, vấn đề tồn tại nghiệm mạnh toàn
cục và tính duy nhất của nghiệm yếu trong trường hợp ba chiều vẫn là thách thức lớn.
Vì nhu cầu của Khoa học và Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ Navier-Stokes nói riêng
và các phương trình, hệ phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung ngày càng trở
nên thời sự và cấp thiết. Như được đề cập đến trong các cuốn chuyên khảo của
R.Temam [16], J. Frehse & M. R ̊užička [6], [7], [8], [9], G. P. Galdi [11], [12] và các
bài báo tổng quan gần đây của C. Bardos & B. Nicolaenko [14] và R. Farwig,
Darmstadt & H. Sohr, Paderborn [10] những vấn đề cơ bản đặt ra khi nghiên cứu các
phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng là: Sự tồn tại, tính duy nhất và
tính chính quy của nghiệm. Tính chính quy ở đây có thể là tính chính quy theo biến
thời gian hoặc tính chính quy theo biến không gian.
Mục đích của luận văn “ Một số tính chất về nghiệm của hệ phương trình
Navier-Stokes không thuần nhất trong ” là trình bày một số kết quả nghiên cứu về
nghiệm của hệ phương trình Navier – Stokes không thuần nhất.
Các kết quả nghiên cứu được trình bày trong phạm vi của 34 trang, trong đó gồm
phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị của các không gian hàm: không
gian các hàm trơn, không gian các hàm suy rộng, không gian Sobolev và hệ phương
trình Navier – Stokes.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Trình bày định nghĩa nghiệm yếu,
sự tồn tại, tính duy nhất, tính chính quy về nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes
không thuần nhất trong .
1
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong Chương 1 trình bày lại một số kiến thức cơ sở làm nền tảng để nghiên
cứu Chương 2. Các tài liệu tham khảo được trích dẫn trong [1], [2], [3], [5], [15].
1.1. Không gian hàm
1.1.1. Không gian hàm trơn
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử là một miền với Nếu là một
khoảng mở với
Giả sử , ta kí hiệu là không gian của tất cả các hàm
sao cho tồn tại và liên tục trong với mọi
là không gian của tất cả các hàm
gọi là không gian hàm trơn trong .
Giả sử là bao đóng của tập Ta kí hiệu
là giá của hàm
Nếu hoặc thì ta đặt
Do đó nghĩa là và trong ngoại trừ một tập con
compact nào đó của . Đặc biệt là không gian của tất cả các hàm trơn bằng
không ngoại trừ một tập con compact nào đó phụ thuộc vào
Giả sử là hạn chế của hàm trên tập con M. Với hoặc , ta kí
hiệu là không gian của tất cả các hạn chế với sao cho
2
Nếu thì ta thay bởi
Ta xác định chuẩn
Nếu thì ta thay bởi
Ta ký hiệu
Giả sử Ta xác định không gian của trường vectơ không phân kỳ trơn
Ta xét không gian thử
,
trong đó div áp dụng cho các biến số và
.
1.1.2. Không gian hàm suy rộng
Giả sử là một miền bất kỳ với
Trong lý thuyết hàm suy rộng, không gian tuyến tính của hàm trơn trên
gọi là không gian thử và gọi là hàm thử. Cho phiếm hàm tuyến tính
.
Hàm F liên tục khi và chỉ khi với mỗi miền con tồn tại và
sao cho
thỏa mãn với mọi .
Định nghĩa 1.1.2. Không gian tuyến tính của tất cả các phiếm hàm tuyến tính
3
liên tục, được gọi là không gian hàm suy rộng trong . Kí hiệu
là giá trị của F tại .
Mỗi hàm xác định một hàm suy rộng được định nghĩa bởi
Ta kí hiệu hàm suy rộng là hoặc . Do đó ta xác định với hàm suy
rộng và phép nhúng
Mỗi gọi là một hàm suy rộng chính quy.
Xét toán tử vi phân bất kỳ với Với mỗi
hàm suy rộng được định nghĩa bởi
Đặc biệt, với mỗi hàm suy rộng được định
nghĩa bởi
Nếu chính quy thì tồn tại một hàm của biểu thị qua sao cho
với mọi
Kí hiệu là chính quy và coi như một hàm trong .
Giả sử và
(1.1)
là toán tử vi phân bất kỳ. được định nghĩa bởi
(1.2)
4
Đặc biệt, nếu và được định nghĩa bởi (1.2) là hàm suy rộng chính quy
xác định bởi một hàm được biểu thị qua thì ta viết đơn giản Khi đó
với mọi
Giả sử và Nếu chính quy,
thì ta gọi là đạo hàm yếu cấp của Nếu thì ký
hiệu là chính quy và là một hàm trong , khi đó ta viết
Tương tự, với D thỏa mãn (1.1) là chính quy.
Ta xét không gian tương ứng cho trường vectơ. Giả sử và
là không gian hàm thử có giá trị vectơ được trang bị tôpô tương ứng.
ta định nghĩa hàm Với mỗi
bởi
Ta ký hiệu
là không gian suy rộng của không gian thử .
Giả sử và thì xác định hàm suy rộng
trong đó Khi đó ta có phép nhúng
Để xác định nghiệm yếu của phương trình Navier – Stokes ta xét không gian con của
hàm thử không phân kỳ
5
Không gian của hàm tuyến tính liên tục được định nghĩa trên là
không gian của tất cả các hạn chế
Do đó
Xét không gian Hilbert với tích vô hướng
và không gian con
là bao đóng trong chuẩn .
Với mỗi xác định hàm ta được
phép nhúng tự nhiên
Tương tự, với mỗi xác định hàm được
phép nhúng tự nhiên
Sau đó, ta sử dụng phép chiếu trực giao được gọi là phép chiếu
Helmholtz.
1.1.3. Không gian Sobolev
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử là một miền với , khi đó là
không gian Banach của tất cả các hàm thực đo được Lebesgue u được định nghĩa trên
có chuẩn hữu hạn
6
Nếu thì trở thành không gian Hilbert với tích vô hướng
với
Nếu ta giả sử là không gian Banach thông thường của tất cả
các hàm đo được u với cận trên đúng hữu hạn
Giả sử là số mũ liên hợp (đối ngẫu) của q, ta đặt nếu và
nếu . Đặt nếu và nếu , ta luôn có
thì và bất đẳng thức Holder không đổi Nếu
(1.3)
sao cho và Giả sử
thì . Đặt sao cho và áp dụng (1.3) ta có
(1.4)
Giả sử sao cho và
thì . Đặt và áp dụng (1.4), sau đó sử dụng bất đẳng thức
Young, ta có
với ta có
(1.5)
Xét không gian Ta nói khi và chỉ khi với
mỗi hình cầu mở Ta nói khi và chỉ khi với
mỗi hình cầu Ta có thể viết đơn giản thay vì hoặc .
7
Do đó
Nếu bị chặn thì
Giả sử là một dãy trong Ta có trong
khi và chỉ khi và Do đó trong hoặc
trong khi và chỉ khi hoặc không
đổi với mọi hình cầu mở hoặc
Giả sử ta định nghĩa không gian của trường vectơ
là không gian Banach với chuẩn
Khi đó không gian là không gian Hilbert với tích vô hướng
với
Bất đẳng thức (1.3), (1.4) và (1.5) vẫn đúng trong trường hợp vectơ có giá trị.
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử là một miền bất kỳ với ,
Không gian bậc k được định nghĩa là không gian của mọi
sao cho với mọi
Khi đó là hàm suy rộng chính quy được định nghĩa bởi một hàm biểu thị
qua .
Chuẩn trong được định nghĩa bởi
8
với ,
với
Do đó, không gian bậc nhất được định nghĩa là không
gian của sao cho
với mọi
Chuẩn trong được định nghĩa bởi
.
Khi đó
và
❖ Một số tính chất
Vết của ánh xạ theo định nghĩa một toán tử tuyến tính bị chặn từ
sang . Ngược lại, tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn
E1 : với
và một toán tử tuyến tính bị chặn
thỏa mãn
Cho và Khi
đó, sử dụng với được thay bằng , từ các ước lượng phép nhúng
9
và đồng nhất thức của Green với
, ta nhận được và ước lượng với
(1.6)
với
Ngược lại, đó là một toán tử tuyến tính
thỏa mãn và ước lượng
với . Từ (1.6) vậy cũng được xác định và thỏa
mãn các ước lượng
với
Xét trong (1.9) và bài toán Neumann yếu
(1.7)
trong đó được coi là một nghiệm. Khi đó ta sử dụng với
và chọn một nghiệm của phương trình
Từ đó
.
Vậy tồn tại một nghiệm thỏa mãn
10
với Viết (1.7) dưới dạng
(1.8)
ta thấy rằng là một nghiệm duy nhất thỏa mãn
và do đó
(1.9)
với
Đối với các chứng minh của đồng nhất thức (1.10) dưới đây ta sẽ xấp xỉ
trong (1.7) bằng hàm số trơn như vậy
và
Để chứng minh sự tồn tại, ta sử dụng (1.8), và hàm
số trơn , thoả mãn
và .
Thiết lập và sử dụng (1.6) với 𝑓 được thay thế bởi
ta nhận được các tính chất mong muốn. Cho là các nghiệm trơn tương
ứng của (1.7). Sử dụng (1.8), (1.9) với bị thay thế bởi
ta thấy rằng
11
và .
Khi đó, sử dụng các toán tử Stokes và phép nghịch đảo một dưới đây, ta
được đồng nhất thức quan trọng
(1.10)
đối với mọi từ đó và .
Cho . Khi đó trong (1.8) bài toán Neumann yếu
có một nghiệm duy nhất , thoả mãn
với . Thiết lập ta nhận được phép chiếu Helmholtz là
một toán tử tuyến tính bị chặn từ lên , thỏa mãn và trong
đó là toán tử đối ngẫu.
Các toán tử Stokes với miền
và
được xác định bởi
12
là trù mật xác định toán tử đóng thỏa mãn
sao cho và với
Phân số bậc
với
được xác định và song ánh, nghịch đảo của nó bị chặn từ lên
.
Hơn nữa, nó cố định . Ta lưu ý rằng chuẩn và là
tương đương cho , cũng như chuẩn và là tương đương
cho . Có ước lượng phép nhúng
, , (1.11)
cố định với
Sử dụng ta xác định các toán tử Yosida cho .
Biết rằng trong đó có tồn tại sao cho
, (1.12)
trong các toán tử tiêu chuẩn trên và trong như là liên
quan đến các toán tử Stokes.
Sử dụng (1.11) ta nhận được cho , và tùy ý
ước lượng
13
với . Điều này chứng minh sự tồn tại duy nhất của
thỏa mãn với mọi và ước lượng
Tương tự trong lý thuyết của sự phân phối, ta đặt theo định nghĩa
Khi đó được xác định rõ bởi mối quan hệ
.
Tổng quát hơn, cho là phân phối bất kỳ nào đó, vậy cũng
được định nghĩa (bởi bất kỳ phần mở rộng liên tục naò đó) cho mọi hàm số tiêu chuẩn
và thỏa mãn ước lượng
khi đó cũng được xác định bởi mối quan hệ
cho theo nghĩa suy rộng và nó cố định
.
Ta nói đến các ước lượng
với .
14
Cho và . Khi đó, sử dụng (1.11) và các ước lượng vết,
ta được
với . Từ có một duy nhất thỏa
mãn
với .
Cuối cùng ta cần tính chất trù mật
. (1.13)
Thật vậy, xét , chọn với
và cho . Các tính chất tính chính quy cho thấy rằng cho và
ta thấy rằng trong như . Điều này được chứng minh (1.13).
Hơn nữa, chứng minh này cho thấy rằng là một lõi của .
1.2. Phương trình Navier – Stokes
Giả sử miền mở, . Trong phần này, ta giả sử trơn, gồm
các biến số gọi là không gian biến, là khoảng thời gian với
gọi là biến thời gian.
Trong trường hợp và ta giả sử miền được lấp đầy với chất lỏng
như nước, không khí, dầu,...
là vận tốc của chất lỏng tại
.
15
thể hiện áp suất tại
là ngoại lực đã biết.
Trong mô hình vật lý, ta giả sử rằng chuyển động của chất lỏng được mô tả bằng
phương trình
(1.14)
với . Phương trình này gọi là phương trình Navier – Stokes.
Điều kiện đầu tiên có nghĩa là sự cân bằng các lực theo định luật Newton. Điều
kiện có nghĩa là chất lỏng đồng nhất và không nén được. Hằng số là
độ nhớt của chất lỏng, nó phụ thuộc vào tính chất vật lý và là hằng số cố định.
là đạo hàm theo thời gian, ta viết
Ta có
mô tả gia tốc toàn phần của một phần nhỏ chất lỏng.
Số hạng
mô tả ma sát giữa những phần nhỏ của chất lỏng.
là gradient của áp suất p.
Phương trình (1.14) là hệ phương trình vi phân từng phần với biến
và hàm chưa biết.
Ta thêm điều kiện
nếu (1.15)
tức là với mọi .
16
Ta thêm điều kiện ban đầu
(1.16)
với vận tốc ban đầu tại tức là với mọi Ta kí hiệu
.
Do đó (1.16) có thể viết dưới dạng .
Nếu không bị chặn ta giả sử
khi
Phương trình (1.14) cùng với điều kiện (1.15) và (1.16) là hệ phương trình
Navier – Stokes với điều kiện
Ký hiệu không gian Euclid
với chuẩn
Ta viết
và
là đạo hàm riêng.
là gradient.
Căn cứ vào chỉ số ta định nghĩa toán tử
trong đó là đồng nhất thức nếu Trong nhiều trường hợp, kí
hiệu I là đồng nhất thức.
là ma trận của đạo hàm cấp hai.
17
Kí hiệu với Tuy nhiên nếu
thì ta kí hiệu
đối với chuẩn Euclid.
là tích vô hướng.
Giả sử
là một trường vectơ. Ta đặt
và
.
Hơn nữa
trong đó ma trận
có nghĩa là tích tenxơ thông thường. Ta kí hiệu đơn giản là . Nếu
là một trường vô hướng, ta đặt
Nếu thì ta nói không phân kỳ hoặc solenoidal. Khi đó
18
Giả sử
là các trường ma trận. Ta định nghĩa trường vectơ
.
Ngoài ra, ta định nghĩa các lũy thừa
sao cho
với
thỏa mãn bất đẳng thức
và phép nhúng
với hằng số độc lập với Hơn nữa
,
và
19
Chương 2
SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT NGHIỆM
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES
KHÔNG THUẦN NHẤT TRONG
Chương này trình bày sự tồn tại, tính duy nhất, tính chính quy về nghiệm của
hệ phương trình Navier – Stokes không thuần nhất trong . Các tài liệu tham khảo
được trích dẫn trong [4], [7], [10], [13], [16].
2.1. Định nghĩa nghiệm yếu
Xét hệ phương trình Navier – Stokes
trong một miền giới nội , với biên trơn ∂Ω của lớp C 2,1 và với giá trị
thỏa mãn
, (2.2)
với
ở đây với .
Định nghĩa tích phân trên biên là
với biên trơn .
Ta sẽ chỉ ra sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất, tính chính quy về nghiệm
của Bài toán (2.1) với điều kiện (2.2).
Định nghĩa 2.1. Giả sử được xác định trong (2.2), được gọi là
nghiệm yếu của hệ (2.1) nếu thỏa mãn
, (2.3)
20
và trong trên . (2.4)
Với hệ phương trình tuyến tính
(2.5)
ta có thể bỏ điều kiện trong (2.2) thì số hạng phi tuyến là thể hiện ở và
giả sử thỏa mãn
, (2.6)
với .
được gọi là
Định nghĩa 2.2. Giả sử
thoả mãn (2.6). Khi đó
nghiệm yếu của (2.5) nếu
với mọi (2.7)
và thỏa mãn điều kiện .
2.2. Sự tồn tại và tính chất của nghiệm
Định lý 2.3. Giả sử thỏa mãn (2.2). Khi đó, tồn tại một hằng số
sao cho trong trường hợp
, (2.8)
thì có duy nhất một nghiệm yếu của hệ (2.1) thoả mãn ước lượng
(2.9)
với . Hơn nữa, tồn tại một áp suất sao cho
thỏa mãn theo nghĩa suy rộng.
21
Chứng minh. Xét trường hợp phi tuyến, ta giả sử thỏa mãn điều kiện
(2.2). Trước tiên giả thiết là nghiệm yếu của Bài toán (2.1). Đặt
ta được được xác định
.
Do đó là nghiệm yếu của hệ tuyến tính
(2.10)
và áp dụng
, (2.11)
ta được biểu diễn
. (2.12)
Tiếp theo ta thấy rằng có nghiệm sử dụng nguyên lí điểm
bất động trong không gian Banach.
Thật vậy áp dụng
và
, , ,
ta được tương tự như trong
.
Mà
22
và
và với thuộc trên . Vì thỏa mãn với
. Điều này cho thấy rằng và
tức là xác định được , hơn nữa từ
(2.12), (2.13) và , ta được ước với
lượng
(2.15)
với , có thể viết dưới dạng
với .
23
Bằng cách tương tự ta được
, với .
Ở đây là nghiệm yếu của Bài tóan (2.1). Để chứng minh sự tồn tại
ta phải giải bài toán điểm bất động . Giả sử
(2.16)
và xét hình cầu đóng , trong đó
là căn nhỏ nhất của phương trình .
Đặt với từ (2.14) ta thấy (2.8) là đủ cho (2.16)
được thỏa mãn. Nếu ta nhận được và .
Do đó, nguyên lí điểm bất động Banach mang lại một với là nghiệm
yếu của (2.10) và do đó cũng là nghiệm của (2.1). Ngoài ra ta thấy rằng
được chứng minh.
Vậy Định lý 2.3 được chứng minh.
Định lý 2.4. Giả sử thỏa mãn (2.2) và là nghiệm yếu của
hệ (2.1). Khi đó, tồn tại một hằng số sao cho nếu
(2.17)
thì không tồn tại nghiậm yếu khác của (2.1) với cùng điều kiện của
Chứng minh. Cho các nghiệm yếu , trong đó thỏa mãn Định lý 2.4, ta
thấy là nghiệm yếu của hệ tuyến tính
24
với . Khi đó, công thức biểu diễn (2.11) xác định mối quan hệ
. (2.18)
Trước tiên cho . Khi đó, ta kết thúc bằng cách sử dụng ước lượng như trong chứng
minh trước đó
.
Trong (2.18), ta thấy rằng mang lại , trong đó
. Từ và do đó , ta có thể lặp lại và đạt được một số bước
hữu hạn . Khi đó lấy trong (2.18) tích vô hướng với , viết
và sử dụng . Bây giờ giả thiết nhỏ nhất (2.17) và một lí luận thu hút
cho thấy rằng do đó và .
Nếu ta cần một bước làm trơn bổ sung bằng cách sử dụng toán tử Yosida
. Hơn nữa, ta chọn -hàm số và , thỏa
mãn và như . Khi đó (2.18) sẽ được viết
lại, sử dụng ở vế bên phải, dưới dạng
. (2.19)
Tiếp theo chọn và như vậy và
Nếu , thì có thể là . Trong trường hợp và do đó ta tìm
25
để hoàn thành cả hai điều kiện. Hơn nữa quan sát có thể được chọn
rất lớn . Áp dụng
(2.20)
và
(2.22)
trong (2.19) được
.
Liên quan đến cho được xác định bởi . Khi đó,
từ (2.20), (2.21), (2.22) ta được
.
Hơn nữa
.
Tiếp theo từ
26
Nhìn vào ước lượng của và (2.21), ta nhận được cho với được xác
định bởi , trong dó
Cuối cùng
.
Tóm tắt -ước lượng của từ (2.18) ta có
(2.23)
với hằng số độc lập của . Bây giờ chọn đủ lớn sao cho
. Do đó, cho cố định và cho mỗi
Từ đồ thị của là đóng yếu và từ đó trong , ta kết luận rằng
. Do đó , trong đó .
Từ , ta kết luận rằng và đối số tương tự như trong phần đầu
tiên của chứng minh cho thấy
Vậy Định lý 2.4 được chứng minh.
27
Định lý 2.5. Giả sử là nghiệm yếu của (2.1) với và thỏa
mãn (2.2).
(i) Giả sử thỏa mãn thêm điều kiện và
Khi đó , hệ phương trình vẫn đúng theo nghĩa suy
rộng với áp suất và đúng theo nghĩa định lý của vết thông thường.
(ii) Giả sử thỏa mãn thêm điều kiện và
Khi đó , hệ phương trình vẫn đúng trong
với áp suất và đúng theo nghĩa vết.
Chứng minh. (i) Ta sử dụng giá trị vector của thỏa mãn
và nghiệm của phương trình
,
. chú ý rằng
, ta thấy rằng là nghiệm yếu của hệ tuyến Đặt
tính
khi đó
.
Công thức biểu diễn tuyến tính (2.11) mang lại
(2.24)
Ta lập luận như trong chứng minh của Định lý 2.4. Nếu ta được một số bước hữu
hạn và cũng vì vậy .
28
Nếu , ta sử dụng phương pháp làm trơn tương tự như trong chứng minh
của Định lý 2.4. Trước tiên viết (2.24) dưới dạng
(2.25)
và chọn , thỏa mãn như . Khi đó sử dụng
toán tử Yosida ta nhận được từ (2.24) mà
(2.26)
chọn và xác định bởi . Các hàm số và
được ước lượng tương tự như trong chứng minh Định lý 2.4 ta được :
.
Dễ thấy ba hàm số cuối cùng để thỏa mãn
chọn đủ lớn, nguyên lí thu hút và (2.26) cho thấy rằng
,
trong đó là độc lập của . Do đó
và , trong đó . Bây giờ ta chọn
từ (2.25) mà do đó .
29
(ii) Ta có từ giả thiết tồn tại với . Khi đó, ta kết luận (i)
mà . Hơn nữa ta sử dụng có giá trị vectơ của toán tử mở rộng
với một hàm số được lựa chọn phù hợp như
. Từ vậy
và
,
ta tìm thấy một nghiệm của phương trình
.
Đặt ta thấy rằng là nghiệm yếu của hệ tuyến tính
. trong đó
Nếu , các ước lượng tiêu chuẩn trực tiếp cho thấy
Do đó các nghiệm biểu diễn
(2.27)
Vậy và .
Nếu , ta tìm thấy một số và với ; số mũ có
thể được chọn như vậy mà . Từ (i), ta được
Vậy ta kết luận rằng dẫn đến như trong trường hợp
Định lý 2.5 được chứng minh .
30
Hệ qủa 2.6. Kết quả tính chính quy trong Định lý 2.5 (ii) có thể được mở rộng như
sau:
Giả sử là nghiệm yếu của (2.1) với thỏa mãn (2.2) và
ngoài ra
và ,
trong trường hợp . Khi đó , trong đó là miền
của toán tử Stokes, hệ phương trình cố định trong mà
với một số hàm áp suất và được hiểu theo nghĩa
vết.
Chứng minh
Trước hết cho . Khi đó và sử dụng (2.27)
với thay bằng ta thấy rằng
.
Nếu và , ta tìm thấy sử dụng Định lý phép nhúng Sobolev một
số và . Như vậy
, .
Điều này cho thấy rằng , và do đó
.
Cuối cùng, trong trường hợp giới hạn , ta trực tiếp được ,
cho mỗi và (2.27) cố định với số hạng cuối cùng được thay
bằng
.
Chọn , ta được . Ta được điều cần chứng
minh.
31
KẾT LUẬN
Luận văn “Một số tính chất về nghiệm của hệ phương trình Navier-stokes
không thần nhất trong ” đã trình bày các kiến thức cơ bản sau:
• Trình bày một số tính chất của các không gian hàm: hàm trơn, hàm suy rộng,
hàm Sobolev và định nghĩa phương trình Navier – Stokes.
• Xây dựng được Bài toán (2.1) với điều kiện (2.2), trình bày định nghĩa nghiệm
yếu của Bài toán (2.1).
• Chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của Bài toán (2.1) với điều kiện
(2.2) (Định lí 2.3). Chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của Bài toán (2.1) với
điều kiện (2.2) nếu thỏa mãn (2.17) (Định lí 2.4).
• Chứng minh tính chính quy của nghiệm trong Định lí 2.5 và Hệ quả 2.6.
32
TÀI LIỆU THAM KHẢO
I. Tiếng Việt
[1] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất
bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
II. Tiếng Anh
[2] Adams R. A. (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, New York.
[3] Apostol T. M. (1974), Mathematical Analysis, Addison – Wesley, Am sterdam.
[4] C. Bardos (2002), Solution of the Stokes problem as an inverse problem.
Computional methods in applied mathematics 2 (3), 213-232.
[5] Farwig R., Galdi G. P., Sohr H. (2006), A new class of weak solutions of the Navier
– Stokes equations”, Comptes Rendus Mathematique, Mathematical Problems in
Mechanics (348), 335-339.
[6] J.Frehse and M.R ̊užička (1994), On the regularity of the stationary Navier-Stokes
equations, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (IV) 21, 63–95.
[7] J.Frehse and M. R˚užička (1994), Regularity for the stationary Navier-Stokes
equations in bounded domains, Arch. Rational Mech. Anal. 128, 361–380.
[8] J.Frehse and M. R˚užička (1996), Existence of regular solutions to the steady
Navier-Stokes equations in bounded six-dimensional domains, Ann. Sc. Norm.
Super. Pisa Cl. Sci. (IV) 23, 701–719.
[9] J. Frehse and M. R˚užička (1998), Regularity for steady solutions of the Navier-
Stokes equations, J. G. Heywood, et al. (eds.), Theory of the Navier-Stokes
equations. Proc. 3rd Intern. Conf. Navier-Stokes Equations: theory and numerical
methods. World Scientific Ser. Adv. Math. Appl. Sci., Singapore 47, 159–178.
[10] R. Farwig, Darmstadt, and H. Sohr, Paderborn (2009), Existence uniqueness and
regularity of stationary solutions to inhomogeneous Navier-Stokes equations in
Rn , Czechoslovak Mathematical Journal, 59 (134), 61-79 .
33
[11] G. P. Galdi (1998), An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-
Stokes Equations, Linearized Steady Problems. Springer Tracts in Natural
Philosophy, Vol. 38, Springer-Verlag, New York.
[12] G. P. Galdi (1998), An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-
Stokes Equations, Nonlinear Steady Problems. Springer Tracts in Natural
Philosophy, Vol. 39, New York.
[13] G. P. Galdi, C. G. Simader and H. Sohr (2005), A class of solutions to stationary
Stokes and Navier-Stokes equations with boundary data in W−1/q,q(∂Ω), Math.
Ann. 331, 41–74.
[14] B. Nicolaenko (2002), Navier-Stokes equations and dynamical systems. Handbook
of dynamical systems. Vol. 2, Amsterdam: Elsevier. 503-597
[15] H. Sohr (2001), The Navier – Stokes Equations, An Elementary Functional
Analytic Approach, Birkhãuser Advanced Texts, Birkhãuser Verlag, Basel.
[16] R. Temam (1984) : Navier-Stokes Equations. Theory and numerical analysis.
North-Holland, Amsterdam, New York, Tokyo,.
34
