Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH --------------------- Phạm Lương Quý NGHIÊN CỨU SINH THÁI CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp giảng dạy Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài

Phép tính tích phân là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Giải tích lớp 12 và

luôn xuất hiện trong đề thi tú tài cũng như đề thi đại học. Những chướng ngại mà học sinh gặp phải khi

tính tích phân bắt nguồn từ bản chất khoa học luận của khái niệm tích phân hay từ việc xây dựng

những khái niệm có liên quan?

Câu hỏi này khiến chúng tôi chọn đề tài Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân trong giảng dạy

Toán ở trung học phổ thông.

2. Khung lý thuyết tham chiếu

Mục đích của luận văn là đi tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi nói trên. Để làm việc này, chúng

tôi đặt mình trong lý thuyết nhân chủng học didactic và sử dụng cách tiếp cận sinh thái. Với khung lý

thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi phát biểu lại câu hỏi ban đầu như sau:

Những điều kiện sinh thái của phép tính tích phân được xây dựng như thế nào trong chương trình

trung học phổ thông? Trong thực hành giải toán, những điều kiện trên vận hành như thế nào? Điều này

đem đến những hệ quả gì?

2.1. Lý thuyết nhân chủng học

Lý thuyết nhân chủng học với tư tưởng chủ đạo là xem một đối tượng tri thức toán học như là một

sinh vật sống nghĩa là có nảy sinh, tồn tại, tiến triển, mất đi, có những mối quan hệ ràng buộc với các

đối tượng khác.

Quá trình lý thuyết hoá nhân chủng học toán học gắn liền với việc “đặt vấn đề sinh thái học”

(Problématique écologique). Theo Chevallard (1989), trong một thể chế đã cho, một tri thức O không

tồn tại một cách tách rời mà trong tác động qua lại với các đối tượng thể chế khác. Những đối tượng

này đặt điều kiện và ràng buộc cho sự tồn tại và hoạt động của tri thức O trong thể chế. Nói cách khác

chúng hình thành nên môi trường sinh thái của O.

Theo Boch và Chevallard (1999) thì “cách đặt vấn đề sinh thái học cho phép mở rộng phạm vi

phân tích và đề cập đến những đòi hỏi được tạo ra giữa các đối tượng tri thức khác nhau cần dạy. Sự

mô tả tri thức toán học do đó không phải bao giờ cũng đòi hỏi một cấu trúc làm sẵn mà luôn được diễn

đạt nhờ những đối tượng hình thành nên nó. Nhưng những đối tượng này, bây giờ duy trì những mối

quan hệ qua lại theo thứ bậc cho phép nhận ra những cấu trúc sinh thái khách thể.

2.2. Quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân

Theo Chevallard (1989), “một tri thức không thể tồn tại trong một xã hội trống rỗng, bất kỳ một

tri thức nào cũng xuất hiện ở một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định và được gắn với ít

nhất một thể chế nhất định nào đó”. Nói một cách khác, mỗi tri thức là một tri thức của một thể chế.

Ngoài ra, cùng một đối tượng tri thức có thể sống trong những thể chế khác nhau, và để một tri thức có

thể tồn tại trong một thể chế thì nó cần phải tuân thủ một số đòi hỏi nhất định của thể chế. Điều này

kéo theo rằng nó phải tự thay đổi, nếu không nó không thể duy trì trong thể chế bởi vì thể chế là một

cộng đồng, thực hiện một công việc nào đó.

Lý thuyết nhân chủng học về các tri thức, chủ yếu dựa vào 3 thuật ngữ : đối tượng, cá thể và thể

chế trong đó khái niệm cơ bản là thể chế vì nó chỉ rõ hệ thống thực tiển xã hội. Trong phạm vi của sự

lý thuyết hoá này, một đối tượng tri thức O được coi là tồn tại ngay khi mà một cá nhân hay một thể

chế nhận biết nó như đã tồn tại. Chính xác hơn, người ta nói rằng đối tượng O tồn tại đối với một thể

chế I nếu như có một mối quan hệ thể chế R(I,O) từ I đến O là tập hợp tất cả các tác động qua lại mà I

có với O nghĩa là : nói về O, mơ về O, thao tác O, mô tả O, sử dụng O …

Quan hệ thể chế R(I,O) từ I đến O, nói chung phản ảnh những gì diễn ra trong I liên quan đến số

phận của O, cho biết O xuất hiện ở đâu trong I, O hoạt động như thế nào và giữ vai trò gì trong I. Cũng

như thế, đối tượng O tồn tại với một cá nhân X nếu như có một quan hệ cá nhân từ X đến O mà ta gọi

là quan hệ R(X,O), như vậy quan hệ cá nhân R(X,O) là toàn bộ những tác động qua lại mà X có thể

thực hiện với O, thể hiện cách mà X biết O, như vậy có thể nói rằng việc học của cá nhân X đối với tri

thức O nếu như quan hệ R(X,O) thay đổi : hoặc là nó bắt đầu được thiết lập (nếu chưa tồn tại) hoặc là

nó được thay đổi (nếu đã tồn tại).

Trong một thể chế nhất định, quan hệ thể chế đối với một tri thức gắn liền với vị trí của các thành

tố trong thể chế. Nếu là thể chế dạy học, người ta phải xét đến ít nhất là : quan hệ thể chế đối với thầy

giáo và quan hệ thể chế đối với học sinh. Quan hệ thể chế đối với thầy giáo xác định cái mà thể chế đòi

hỏi người thầy phải thực hiện và quan hệ thể chế đối với học sinh xác định cái mà thể chế đòi hỏi

người học sinh phải thực hiện.

Số phận của một đối tượng tri thức được đặt dưới sự vận động nhất thời của thể chế. Khi một đối

tượng tri thức cần dạy O được đưa vào thì mối quan hệ thể chế với đối tượng này sẽ được thiết lập.

Quan hệ đó sẽ tồn tại suốt thời gian mà đối tượng O còn là mục đích được thua của việc dạy học. Quan

hệ thể chế này được gọi là quan hệ thể chế chính thức với đối tượng O.

Như vậy, việc nghiên cứu mối quan hệ của một thể chế I đối với đối tượng tri thức O cho phép

hiểu O xuất hiện ở đâu và bằng cách nào trong thể chế I, O tồn tại ra sao và được sử dụng như thế nào

trong I. Nó cũng cho phép chúng ta nắm bắt tốt hơn những quan hệ thể chế của thầy giáo và của học

sinh đối với O, bởi vì quan hệ cá nhân của thầy giáo và của học sinh với tri thức O không hoàn toàn

độc lập với quan hệ thể chế.

Trong một thể chế dạy học, cái được thua của việc dạy học là một tri thức được tiếp nhận như thế

nào với cá nhân X. Ý định của thể chế là làm thay đổi quan hệ cá nhân của học sinh với tri thức này để

nó trở nên phù hợp với quan hệ thể chế. Điều này dẫn đến chỗ phải thiết lập một sự phân định, trong

bất kỳ một thể chế dạy học nào, ở một thời điểm nhất định, giữa những đối tượng thực sự là cái được

thua của việc dạy học với những đối tượng khác (đã từng có ích và bây giờ không còn ích lợi nữa, hay

những đối tượng không hề là cái được thua của việc dạy học nhưng vẫn có sự hiện diện của nó ở đó).

Theo quan niệm này, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế giữ một vai trò rất quan trọng trong các thể

chế dạy học.Về mặt này,Chevallard cũng đã chỉ rõ :

“vấn đề trung tâm của việc dạy học là nghiên cứu quan hệ thể chế, những điều kiện và những hệ

quả của nó. Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân là vấn đề cơ bản về mặt thực tiễn, và là thứ yếu về

mặt khoa học luận của việc dạy học” (1989).

Với lý thuyết nhân chủng học, chúng ta có những công cụ làm việc để nghiên cứu các ràng buộc

thể chế có ảnh hưởng đồng thời đến cuộc sống của tri thức cũng như đến quan hệ của các chủ thể của

thể chế đối với tri thức này.

2.3. Hợp đồng Didactic

Hợp đồng didactic : quy tắc địa phương và nghĩa của tri thức.

Theo quan điểm didactic, sự được thua chung của giáo viên và học sinh trong lớp là tri thức,

nhưng kế hoạch của mỗi bên đối với tri thức này là rất khác nhau Điều đó trước hết là vị trí không đối

xứng của họ trong quan hệ didactic : giáo viên khác với học sinh ở chỗ giáo viên được “giả định là

biết”, và cũng còn ở chỗ được “giả định là có khả năng” đoán trước những gì học sinh sắp phải học.

Trách nhiệm của mỗi bên đối tác của tình huống giảng dạy không giống nhau : giáo viên phải

giảng dạy cái gì đó, bằng cách nào đó; học sinh phải học để biết cái gì đó và biết như thế nào.

Những gì mỗi bên có quyền làm hay không làm đối với một tri thức được chi phối bởi một tập

hợp các qui tắc có khi tường minh nhưng chủ yếu là ngầm ẩn. Ta đã thấy một thí dụ về kết quả các

phép tính căn số học, có lời giải chấp nhận được hay không chấp nhận được tuỳ từng trường hợp và tuỳ

từng nước.

Hợp đồng didactic là một sự mô hình hoá các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên và học

sinh đối với các đối tượng tri thức toán học đem giảng dạy. Sự mô hình hoá này do nhà nghiên cứu lập

ra. G. Brousseau (1980) đã trình bày khái niệm này như sau : “Trong một buổi học có mục đích là dạy

cho học sinh một kiến thức nhất định, học sinh hiểu tình huống được giới thiệu, những câu được hỏi

đặt ra, những thông tin được cung cấp, những ràng buộc áp đặt, tuỳ theo những gì giáo viên thực hiện,

có ý thức hay không, một cách lặp đi lặp lại trong thực tiễn giảng dạy của mình. Trong các thói quen

này, ta quan tâm đặc biệt hơn đến những gì là đặc thù cho kiến thức giảng dạy : ta gọi hợp đồng

didactic là tập hợp những cách ứng xử (chuyên biệt) của thầy được học sinh trông đợi và tập hợp

những ứng xử của học sinh mà thầy trông đợi”

Ta nói hợp đồng didactic là tập hợp những quy tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi

bên, học sinh và giáo viên, đối với một tri thức toán được giảng dạy.

Những điều khoản của hợp đồng – không bao giờ được công bố hoặc nếu có thì cũng không phải

dưới dạng toàn văn, vì thực tế chúng không thuộc loại công bố được – tổ chức nên các mối quan hệ mà

Thầy và trò nuôi dưỡng đối mặt với tri thức.

Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các

hoạt động và đánh giá sư phạm. Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối

với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các

phát biểu hoặc những lời giải thích. Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập

trong nhà trường phải trải qua.

Phải làm gì đây? Nhìn vào đâu để biết mình đã thành công? Phải làm gì nếu ta không thành công?

Đã cần phải biết cái gì để thành công ? Phải nói cái gì đây? Vừa qua đáng ra phải làm gì khác? ... Có

biết bao nhiêu câu hỏi mà câu trả lời phụ thuộc vào hợp đồng didactic.

Ta chỉ có thể nắm được ý nghĩa của những lối chỉ đạo cách ứng xử của giáo viên và học sinh, rất

cần cho phân tích didactic, nếu biết gắn những sự kiện được quan sát vào trong khuôn khổ hợp đồng

didactic để giải thích.

Chẳng hạn, ta có thể gắn sự kiện “học sinh không mấy khi kiểm tra lại mình phát biểu những gì”

với sự tồn tại của một hợp đồng didactic, theo đó “giáo viên luôn luôn có nhiệm vụ kiểm tra và hợp

thức hoá những câu trả lời của học sinh”. Như vậy, học sinh có thể đưa ra một câu trả lời sai, một phép

chứng minh sai, dĩ nhiên là có nguy cơ bị thầy cho điểm kém. Hợp đồng didactic ngầm ẩn nói trên cho

phép học sinh không quan tâm kiểm tra mình đã trả lời thế nào cho các câu hỏi đặt ra mà khoán việc đó

cho giáo viên. (Theo Comiti – 2000 – Hợp đồng Didactic – bài giảng cho lớp Thạc sỹ - ĐHSP Tp

HCM và Đại học Joseph Foutier)

Vấn đề là làm sao để thấy được hiệu ứng của hợp đồng didactic? trong một tình huống nhất định?

tại một thời điểm nhất định? Người ta có thể làm theo một trong những cách tiến hành như sau :

D1: tạo một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt những thành viên chủ chốt

(giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ (ta sẽ gọi tình huống đó là tình huống phá vỡ hợp

đồng).

D2: phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy trong thực tế.

Làm sao để đặt những thành viên chủ chốt vào một tình huống không quen thuộc?

Người ta có thể tiến hành theo nhiều cách:

1. Thay đổi những điều kiện sử dụng tri thức. Việc sử dụng tri thức toán nổi bật nhất khi giải các

bài toán, do đó người ta có thể biến đổi các đặc trưng của bài toán.

2. Lợi dụng khi học sinh chưa biết cách vận dụng một số tri thức nào đó. Có nhiều trường hợp:

i) trong quá trình học, nhằm lúc học sinh chưa nắm được một số cách vận dụng tri thức.

ii) lợi dụng những thay đổi về thể chế (như chương trình học, trình độ học sinh), làm thay đổi

cách vận dụng tri thức.

3. Đặt mình ra ngoài phạm vi của tri thức đang bàn đến hoặc sử dụng những tình huống mà tri

thức đó không giải quyết được. Đó là trường hợp những vấn đề đòi hỏi một sự mô hình hoá bằng từ

ngữ toán học (những vấn đề được gọi là cụ thể). Các tiêu chí cho phép chọn một cách mô hình hoá và

phán xét giá trị của cách mô hình hoá đã chọn nằm ngoài phạm vi toán học và do đó đã không được

phát biểu trong việc dạy tri thức.

4. Đặt giáo viên trước những ứng xử của học sinh không phù hợp với những điều giáo viên mong

đợi. Chẳng hạn đó là những câu trả lời khác lạ cho một bài toán.

Thông qua việc phân tích những thành phần của hệ giáo dục thực tế, chúng ta sẽ xác định những

quy tắc của hợo đồng didactic. Có nhiều cách để xác định các qui tắc của hợp đồng didactic và ta có thể

phối hợp chúng với nhau. Sau đây là một vài ví dụ :

 Nghiên cứu các câu trả lời của học sinh trong một lớp học.

 Phân tích những ước định. Nhờ vậy ta sẽ thấy rõ hơn trách nhiệm của học sinh trong việc sử

dụng tri thức.

Phân tích những bài tập được giải hoặc được giảng dạy ưu tiên trong sách giáo khoa và sách bài

tập qua đó ta sẽ thấy rõ hơn những quy tắc ngầm ẩn mà học sinh sử dụng.

3. Phương pháp nghiên cứu

Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi chọn ra 3 điều kiện sinh thái của phép tính tích phân là

phép tính diện tích, khái niệm hàm số hợp và phép tính đạo hàm. Với mỗi điều kiện sinh thái, chúng tôi

thực hiện các điều tra khoa học luận và đối chiếu với việc phân tích chương trình, sách giáo khoa Việt

Nam để rút ra đặc trưng của mỗi điều kiện trong thể chế Việt Nam. Từ đó, chúng tôi hình thành giả

thuyết nghiên cứu và tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết.

4. Tổ chức luận văn

Ngoại trừ phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương nghiên cứu lần lượt về phép tính

diện tích, khái niệm hàm số hợp và phép tính nguyên hàm. Cấu trúc của các chương giống nhau: điều

tra khoa học luận, phân tích chương trình và sách giáo khoa, đặc điểm của khái niệm, thực nghiệm.

Sau đây là một số tổ chức toán học mà chúng tôi sẽ đề cập đến trong luận văn

4.1. Tổ chức toán học

Hoạt động toán học là trường hợp đặc biệt của hoạt động xã hội. Vấn đề đặt ra là làm sao mô tả,

giải thích được thực tế của xã hội này ? Cái gì cho phép mô hình hoá các thực tế này.

Một trong những cách mô tả, giải thích là dựa vào khái niệm “tổ chức toán học” (Organismes

mathématiques hay praxéologies mathematiques) mà chúng ta sẽ xem xét đưới đây

4.1.1. Praxéologie

Theo Chevallard, quá trình lý thuyết hoá bao gồm các định đề về nhân chủng học được phát biểu

như sau :

Định đề 1 : Toàn bộ thực tiễn của chủ thể được đưa vào phân tích, theo những quan điểm khác

nhau và theo những phương pháp khác nhau, bằng một hệ thống những nhiệm vụ tương đối giới hạn

được tách ra từ những dòng chảy của thực tiễn.

Định đề 2 : Việc thực hiện một nhiệm vụ nào đó là do vận dụng một kỹ thuật.

Định đề 3 : Để có thể tồn tại trong một thể chế, một kỹ thuật phải xuất hiện sao cho có thể hiểu

được, có thể thấy được và phải lý giải được.

Tương ứng với các định đề này, Chevallard đưa vào khái niệm praxéologie. Đó là một bộ gồm 4

thành phần như sau :

1- T : kiểu nhiệm vụ, gồm ít nhất một nhiệm vụ t

2- τ: kỹ thuật để hoàn thành nhiệm vụ t

3-  : Công nghệ để lý giải cho kỹ thuật τ

4-  : lý thuyết để giải thích  còn gọi là công nghệ của công nghệ 

Khi T là một kiểu nhiệm vụ toán học thì tổ chức [ T, τ, ,] được gọi là một tổ chức toán học.

Sự xuất hiện của một praxéologies sẽ cho phép thiết lập mối liên hệ với khái niệm quan hệ thể

chế.

Cách tiếp cận chương trình và sách giáo khoa theo quan điểm các praxéologies toán học sẽ cho

phép ta thấy được và có thể giải thích được mối liên hệ giữa phần lý thuyết và phần bài tập, đồng thời

sẽ giúp chúng ta làm rõ quan hệ của thể chế I đối với tri thức O mà ta đang xem xét, cụ thể O xuất hiện

như thế nào, giữ vai trò gì trong I. Thực vậy, khi phân tích, chúng ta sẽ phải trả lời những câu hỏi sau :

* Về kiểu nhiệm vụ T : có được nêu lên một cách rõ ràng không ? ở đâu ? các lý do đưa T vào có

được làm rõ không ? Hay là T chỉ xuất hiện một cách ngẫu nhiên, thiếu gợi động cơ ? T có mối liên hệ

nào với các phần toán học khác

Giả sử T là một kiểu nhiệm vụ nào đó, ta được đặt trước câu hỏi Q : làm thế nào để thực hiện

nhiệm vụ t thuộc kiểu nhiệm vụ T ? Vấn đề là tìm một câu trả lời R cho câu hỏi Q này. Như vậy để tìm

câu trả lời cho Q trước hết là tìm một cách làm, nghĩa là tìm cái mà ta gọi là một kỹ thuật  (technique)

* Về kỹ thuật τ : có được nêu lên một cách rõ ràng không ? hay chỉ mới được phát thảo ?  có dễ

sử dụng không ? phạm vi sử dụng của  như thế nào, tương lai của  ra sao ?

T và  tạo thành “khối” [T , ] mà ta gọi là khối thực hành kỹ thuật (pratico-technique), và thường

đồng nhất nó với cách làm, kỹ năng (savoir – faire). Ở đây cần lưu ý ba điểm :

Thứ nhất : một kỹ thuật  - một cách làm chỉ cho phép thành công trên một phần của T. Ta ký hiệu

phần đó là P() và gọi đây là tầm ảnh hưởng của kỹ thuật, nó dẫn đến thất bại trên phần T \ P(), như thế,

sẽ có một kỹ thuật vượt lên một kỹ thuật khác.

Thứ hai : một kỹ thuật  không nhất thiết là một algorit hay gần như một algorit, thậm chí rất

hiếm khi như vậy. Nhưng đúng là dường như tồn tại khuynh hướng algorit hoá các kỹ thuật, và quá

trình hoàn thiện các kỹ thuật này đôi khi khó mà dừng lại trong một thể chế nào đó, về một kiểu nhiệm

vụ nào đó.

Thứ ba : trong cùng một thể chế I, đối với một kiểu nhiệm vụ T xác định, nói chung chỉ tồn tại một

kỹ thuật duy nhất, hay cùng lắm là một số ít kỹ thuật, được thể chế thừa nhận, dù thực ra có thể tồn tại

những kỹ thuật khác, nhưng ở trong những thể chế khác. Cần phải phân biệt rõ thuật toán chỉ là trường

hợp đặc biệt của kỹ thuật.

* Về yếu tố công nghệ - lý thuyết : Việc mô tả, giải thích cho kỹ thuật  có được đặt ra không ?

hay kỹ thuật  tự nó đã rõ ràng, tự nhiên ? Hình thức giải thích có gần với hình thức chuẩn của toán học

không ?

Khi quan sát hoạt động của con người trong những thể chế khác nhau, ta thấy thường xuất hiện

một “bài giảng” về kỹ thuật cho phép thực hiện T. “bài giảng” đó có mục đích hợp thức hoá, giải thích,

biện minh cho cách làm . Đó là thành phần thứ ba của praxéologie, mà ta gọi là công nghệ .Công

nghệ cũng có thể khác nhau tùy theo thể chế và cũng có thể chẳng quan hệ với một yếu tố lý thuyết nào

cả.

Công nghệ có 3 chức năng : biện minh, giải thích, và tạo ra kỹ thuật.

 biện minh : nhằm mục đích bảo đảm rằng kỹ thuật sẽ đưa lại kết quả chắc chắn đúng

 giải thích : làm cho người ta hiểu được vì sao lại làm như vậy.

 tạo ra kỹ thuật.

Đến lượt mình, trong công nghệ chứa đựng những khẳng định mà người ta có thể yêu cầu giải

thích. đó là lý thuyết  để giải thích cho công nghệ  mà ta gọi là công nghệ của công nghệ, thành

phần thứ tư của một praxéologie.

Như vậy  và  tạo thành khối công nghệ- lý thuyết [,]. Khối này thường được xác định như

một tri thức (savoir), còn khối [T , ] tạo thành một kỹ năng (savoir – faire). Với cách hiểu khái niệm

praxéologie đã trình bày ở trên thì :

- Kiểu nhiệm vụ T là có trước khối công nghệ- lý thuyết [,]. Như vậy một tổ chức toán học là

một câu trả lời cho một câu hỏi Q, đó là : làm thế nào để thực hiện một nhiệm vụ t  T ?

4.1.2. – Tổ chức toán học tham chiếu

Trong luận văn, chúng tôi khảo sát 3 vấn đề liên quan đến điều kiện sinh thái của tích phân, đó là

Phép tính diện tích - đạo hàm, hàm số hợp – phép tính nguyên hàm. Để làm sáng tỏ các vấn đề

này, chúng tôi đưa ra các tổ chức toán học cần phân tích và được trình bày dưới đây : cụ thể là làm rõ

và đánh giá các thành phần của nó.

OM1 : Đạo hàm

Trong Chương Đạo hàm, của sách giáo khoa lớp 11–Đại số và Giải tích Nâng Cao (NXBGD –

tháng 06 năm 2007) chúng tôi thấy có những kiểu nhiệm vụ sau đây :

T1: Đạo hàm của hàm số tại một điểm (định nghĩa và đưa ra quy tắc tính đạo hàm theo định

nghĩa, ý nghĩa hình học của đạo hàm là bài toán tiếp tuyến, ý nghĩa cơ học của đạo hàm là bài toán vận

tốc tức thời)

T2 : Đạo hàm của hàm số trên một khoảng J (định nghĩa và ví dụ)

T3 : Tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp.

Các hàm số thường gặp là : y = C (hằng số) ; y = x ; y = xn ; y =

x kỹ thuật 1 : Dùng định

nghĩa đạo hàm tại một điểm để chứng minh định nghĩa được phát biểu như sau : Cho hàm số y = f(x)

xác định trên khoảng (a;b) và điểm x0 thuộc khoảng đó. Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số :

khi x dần tới x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0, kí hiệu là f’(x0) hoặc x f(x) - f(x ) 0 x 0

y’(x0), nghĩa là

) f’(x0) = lim x x  0 ( ) f x x   f x ( 0 x 0

công nghệ 1 : định nghĩa đạo hàm trên một khoảng. Nghĩa là hàm số f gọi là có đạo hàm trên khoảng J

nếu nó có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc J

T4 : Các quy tắc tính đạo hàm (tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số có đạo hàm trên khoảng J).

T5 : Đạo hàm của hàm số hàm hợp

(khái niệm về hàm số hợp và định lý tính đạo hàm của hàm số hợp)

Trong kiểu nhiệm vụ này gồm hai kiểu nhiệm vụ sau :

T51 : khái niệm về hàm số hợp

 51 : nhận biết và tìm được hàm số hợp là hợp của hai hay ba hàm số khác đã cho công nghệ 51:

Định lý về hàm số hợp được trình bày như sau :

Giả sử u = g(x) là hàm số của x, xác định trên khoảng (a;b) và lấy giá trị trên khoảng (c;d) ; y =

f(u) là hàm số của u, xác định trên (c;d) và lấy giá trị trên . khi đó, ta lập một hàm số xác định trên

(a;b) và lấy giá trị trên  theo quy tắc sau : x → f(g(x)). Ta gọi y = f(g(x)) là hàm hợp của hàm y =

f(u) với u = g(x)

T52 : Đạo hàm của hàm số hợp

 52 : tính được đạo hàm của hàm số hợp 

công nghệ 52: Định lý về đạo hàm của hàm số hợp

“Nếu hàm số u=u(x) có đạo hàm là u’(x) và hàm số y = f(u) có đạo hàm theo biến x là y’x thì hàm

số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là y’x = y’u. u’x ” T6 : Đạo hàm của các hàm số lượng giác

(y = sinx , y = cosx ; y = tanx ; y = cotx)

T7 : khái niệm vi phân tại một điểm

T8 : Đạo hàm cấp cao (đạo hàm cấp 2 và đạo hàm cấp n)

Chương đạo hàm ở lớp 11 nâng cao được dạy đến kiểu nhiệm vụ T8 thì tạm ngưng. Lên lớp 12,

học sinh được học tiếp. Sách Giải tích 12 ban khoa học tự nhiên trình bày thêm các kiểu nhiệm vụ sau :

T9 : Đạo hàm của hàm số lũy thừa được nêu ra trong bài hàm số lũy thừa (số mũ hữu tỷ y = n x ,

n   , n 2 và hàm số vô tỷ y = x ,   )

T10 : Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarít được nêu ra trong bài hàm số mũ. hàm số

lôgarít.

Trong vấn đề nghiên cứu, chúng tôi chỉ quan tâm đến điều kiện sinh thái của phép tính tích phân

do đó chỉ quan tâm đến kiểu nhiệm vụ T3 và T5

OM2 : Điều kiện khả tích.

Kiểu nhiệm vụ T : khảo sát sự khả tích của một hàm số f(x) trên đoạn [a;b]

kỹ thuật  : xét tính liên tục của một hàm số đã cho trên đoạn [a;b]

công nghệ  : thừa nhận định lý : “ Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] đều có nguyên hàm

trên đoạn đó” (Sgk do Ngô Thúc Lanh – Ngô Xuân Sơn – Vũ Tuấn. Sách chỉnh lý hợp nhất năm

2000).

Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao cũng phát biểu tương tự, chỉ có khác là thay đoạn [a;b] bằng

f x dx ( )

khoảng K.

OM3 : Tính nguyên hàm



Kiểu nhiệm vụ T : Tính nguyên hàm của một số hàm số

Để tính nguyên hàm của một hàm số, người ta đưa ra các kỹ thuật sau

1-kỹ thuật 1 : Dùng bảng các nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm

công nghệ 1 : Áp dụng định nghĩa nguyên hàm (Sgk 2000)

“Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x  (a;b), ta có F’(x) = f(x). Nếu thay cho khoảng (a;b) là đoạn [a;b] thì ta phải có thêm F’(a+ ) = f(a) và F’(b-)

= f(b)”.

Với sách gk 2007 thì định nghĩa ngắn gọn như sau :

“Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi

x thuộc K”

Tuy nhiên có kèm theo chú ý là khi K = [a;b] thì các tác giả ghi là các đẳng thức F’(a) = f(a) ,

F x ( )

F a ( )

F x ( )

F b ( )

f a ( )

f b ( )



F’(b) = f(b) được hiểu là :

lim  a x

lim  b x

 x b 

 x a 

f x dx ( )

và



f x dx ( )

) '

f x ( )

(





để chỉ một nguyên hàm bất kì của hàm f, vậy Sách gk 2007 cũng dùng ký hiệu

x 3

là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 trên đoạn [a;b] tùy ý vì  Ví dụ : Hàm số F(x) =

F’(x) = x2 , x  (a;b)

2-kỹ thuật 2 : Dùng đạo hàm của hàm số hợp

công nghệ 2 : Bảng các nguyên hàm

4 x dx

Ví dụ 3- trg 139



x C 

54 5

 a/



1 

1 2

xdx

1 x dx 2











2 3



x 1 2

sin

x 2

cos

2sin





 b/



x 2

1 2

 c/

Phần nguyên hàm, các tác giả trình bày đơn giản, dễ tiếp thu.

3-kỹ thuật 3 : Dùng phương pháp đổi biến số - chỉ có trong sgk 2007

công nghệ 3 : Dùng định lý sau đây :

f u du ( )

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác



= F(u) + C thì định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là

f u x u x dx F u x [ ( )] '( ) [ ( )] C  



Công thức đổi biến số này là cách giải tổng quát của kỹ thuật 2



Ví dụ 1 – trg 142 : tính

(2x + 1)4d(2x+1)

 (2x + 1)4(2x + 1)’dx =

1 2

Giải : Ta có (2x + 1)4 dx =

4 u du



1)  



Đặt u = u(x) = 2x+1. áp dụng công thức, ta có :





1 2



u C 





5 ) 1

1 1 . 2 5

1 10

f u u dx ( ) '

Chúng tôi nhận thấy hàm số hợp xuất hiện trong ví dụ như là một biến, do cách gọi tên là đổi biến



số. Các ví dụ kế tiếp bám sát với định lý, cùng có dạng , học sinh dễ dàng nhận ra. Không

yêu cầu cao

4-kỹ thuật 4 : Dùng phương pháp tính nguyên hàm từng phần

công nghệ 4 : Dùng định lý sau đây (Sgk 2000)

Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên một khoảng hay đoạn nào đó, thì trên

khoảng hay đoạn đó

u x v x dx u x v x ( ) ( ) ( ) '( ) u x v x dx '( ) ( )  



vdu



udv uv 

hay



 Với Sgk 2007 thì viết gọn hơn là : “Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì ….”

xxe dx

Ví dụ : tính



x xe dx

(

)

x e dx













f x dx ( )

Đặt u(x) = x và v’(x) = ex , ta được u’(x) = 1 và v(x) = ex. Do đó

OM4 : Tính tích phân



Kiểu nhiệm vụ T1 : Dùng phương pháp đổi biến số

kỹ thuật 1 : Đặt biến số phù hợp với đề bài, kỹ năng tính đạo hàm

1-công nghệ 11 : Định lý (về đổi biến số dạng 1) Sgk-ncao – trg 158

Nếu hàm số u = u(x) và có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên tục và sao cho hàm hợp

u b ( )

f x dx ( )

g u du ( )





( ) u a

f[u(x)] xác định trên K; a,b là hai số thuộc K thì

xxe

Ví dụ 1 – trg 158 : Tính bằng cách đặt u =x2

Chỉ có 1 ví dụ, khá dễ hiểu.

2-công nghệ 12 : Định lý (về đổi biến số dạng 2)



f x dx ( )





. Giả sử cần tính



( ) f x dx

[ ( )] '( ) f x t x t dt







 2

2 1 x dx



Đặt x =x(t) (t  K) và a,b  K thoả  = x(a),  = x(b) thì



Ví dụ 2 – trg 159 : Tính , sau đây là lời giải của sgk

 2

cos

2 1 x dx

1 sin tdt

1 sin 





Đặt x = sint. ta có dx = d(sint) = costdt , 0 = sin0 và 1 = sin



 2

(1 cos 2 )

)

2 1 x dx

2 cos tdt

t dt

( t











= ] nên , do đó : Vậy costdt, vì t [0;



1 2

s in2 2

 4

 2 0

= =

Cách đặt này có thể dẫn đến câu hỏi, đó là tại sao lại đặt như vậy, có cách đặt nào khác không?. Ở

đây hàm hợp không còn xuất hiện như dạng đổi biến số 1. Tuy nhiên nó vẫn được hiểu là một biến. Như

vậy, hàm số hợp có ảnh hưởng đến kỹ thuật tính tích phân của học sinh. Vai trò đạo hàm xuất hiện ngầm

ẩn nhưng vô cùng quan trọng.

Kiểu nhiệm vụ T2 : Dùng phương pháp tích phân từng phần

kỹ thuật 2 : Kỹ năng về đạo hàm và nguyên hàm

công nghệ 2: Định lý về tích phân từng phần

( ) '( ) u x v x dx

( ( ) ( )) u x v x

'( ) ( ) u x v x dx





b a



vdu

udv uv 



Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K và a,b  K thì :

b a



xxe dx

hay

 Chọn u(x) = x và v’(x) = ex. Khi đó u’(x) = 1, v(x) = ex. Do đó

(

xxxe )

xxe dx

Ví dụ 3 – trg 160 : tính



1  e 0

= = e – (e – 1) = 1

OM5 : Tính diện tích

Kiểu nhiệm vụ T1 : Tính diện tích hình phẳng

1-kỹ thuật 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.

công nghệ 1 : Dùng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục

( ) f x dx

trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là :



S =

Với công thức này, học sinh cần dựa vào đồ thị của hàm số f(x) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối hoặc

tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành sau đó xét dấu biểu thức f(x) trên đoạn tính tích phân.

2-kỹ thuật 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

công nghệ 2 : Dùng công thức

( ) f x

( ) g x d







Trong đó f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên đoạn [a;b]

Với kỹ thuật này, học sinh cần tìm giao điểm của hai đường cong trên đoạn [a;b] hoặc để xác định

hai cận tích phân nếu đề bài chưa cho hai cận này sau đó hoặc là xét dấu biểu thức hoặc dựa vào vị trí

đồ thị của hai hàm f(x), g(x) để gở bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Nhận xét : Việc tính đạo hàm của một hàm số thông thường là dễ thực hiện hơn tính tích phân,

bởi vì trong định nghĩa đạo hàm ta dùng phép lấy giới hạn từ đó thiết lập nhiều công thức tính đạo hàm

của các hàm số sơ cấp, hàm lượng giác, mũ và lôgarít, với hệ thống công thức này, giúp học sinh tính

đạo hàm của hàm số được dễ dàng. Trái lại định nghĩa nguyên hàm của một hàm số không cho ta một

công cụ như vậy vì theo định nghĩa, phải tìm hàm F sao cho F’(x) = f(x). Công cụ chủ yếu là dựa vào

hai phương pháp đổi biến số và từng phần, mà đổi biến số thì liên quan đến hàm hợp, kiến thức này

được học hết sức đơn giản, vì vậy đối với học sinh, việc tính tích phân thì khó hơn tính đạo hàm.

OM6 : Tính thể tích

Kiểu nhiệm vụ T1 : Tính thể tích vật thể

kỹ thuật 1 : Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng song song.

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng song song (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a

và x = b (a < b). Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox tại điểm x (a  x  b) cắt theo thiết diện có

S x dx ( )

diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a;b].



công nghệ 1 : Dùng công thức V =

nhờ công thức này, học sinh chứng minh được thể thích của lăng trụ, khối chóp và khối chóp cụt đã

dùng ở môn hình học lớp 12 mà chưa được chứng minh.

Kiểu nhiệm vụ T2 : Tính thể tích vật thể tròn xoay :

kỹ thuật 2 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm

2 ( )

x dx

số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a , x = b (a < b) quay quanh trục Ox.



công nghệ 1 : Dùng công thức V =

nhờ công thức này, học sinh chứng minh được thể tích hình cầu, hình nón, hình nón cụt đã dùng ở môn

hình học lớp 12 mà chưa được chứng minh. Dưới đây là phần phân tích các tổ chức toán học trong

sách bài tập

OM Sách bài tập CT hợp nhất năm 2000

Sách bài tập CT Phân ban 2007

T5 xuất hiện ở các bài tập 2.68 OM1 T5 xuất hiện ở các bài tập 1.12 a,c,e – trg

b,c,d – trg 81; 2.75 a,d – trg 82 ;

2.83 c,d –trg 83. Các hàm số 7,8 ; 1.14 e,h,i,k,l,m,n – trg 8. hợp của 3 hàm. Ví dụ y = sin2(cos3x)

hợp cho theo dạng hợp của ba

2ln 2x

hàm số. ví dụ y = 3

OM2 Không có bài tập về điều kiện khả tích.

Tương tự như chương trình OM3 a- Xuất hiện dạng tìm nguyên hàm

hợp nhất của hàm f mà không trình bày bằng kí

hiệu - kĩ thuật 1 , 2 , thường xuất hiện

b- Các bài tập tính f(x)dx , kĩ thuật

3, 4

Tìm hàm f(x) biết f’(x) -

OM4 Các kỹ thuật về đổi biến số và từng phần xuất hiện

OM Sách bài tập CT hợp nhất năm 2000

Sách bài tập CT Phân ban 2007

OM5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Tương tự

- đường cong và trục hoành

- đường cong, trục hoành và đường thẳng

- đường cong, trục hoàng, trục tung và

đường thẳng

- đường cong, trục hoành và 2 đường

thẳng

- đường cong, và 2 đường thẳng

- hai đường cong cắt nhau

Ngoài ra còn tính thể tích vật giới Tương tự

hạn bởi đường cong, trục hoành. đường

cong, trục hoành và hai đường thẳng

Chương 1.

Phép tính diện tích hình phẳng với tư cách là một điều kiện sinh thái của phép

tính tích phân

Chương này gồm bốn phần chính. Trong phần đầu, chúng tôi thực hiện một nghiên cứu khoa học

luận về phép tính diện tích hình phẳng bằng cách đặc biệt quan tâm đến mối liên hệ của nó với phép

tính tích phân trong lịch sử toán học. Trong phần hai, sau khi lướt qua quá trình đưa phép tính diện tích

vào chương trình từ tiểu học đến trung học phổ thông, chúng tôi tập trung vào mối quan hệ thể chế đối

với phép tính diện tích trong chương trình hiện hành (áp dụng chính thức cho lớp 12 từ năm học 2008-

2009). Hai phần đầu này cho phép chúng tôi hình thành trong phần ba đặc trưng về kênh dinh dưỡng

“diện tích – tích phân” mà chúng tôi sẽ kiểm chứng trong phần bốn.

1.1. Nghiên cứu khoa học luận về phép tính diện tích hình phẳng

Các ý tưởng giúp hình thành môn vi tích phân phát triển qua một thời gian dài. Các nhà toán học

Hi Lạp là những người đã đi những bước tiên phong. Leucippe (thế kỷ V trước công nguyên),

Démocrite (460-370 trước công nguyên) và Antiphon (480-411 trước công nguyên) đã có những đóng

góp vào phương pháp "vét cạn" của Hi Lạp, và sau này được Euxode (408-355 trước công nguyên)

nâng lên thành lí luận khoa học. Ý tưởng của

phương pháp “vét cạn” là dựng hai hình phẳng U,

V chặn dưới và chặn trên cả hình phẳng có diện

tích A cần tính lẫn hình phẳng S cho trước sao

cho hiệu V – U bé tùy ý. Sau đó, ta chứng minh A

= S bằng phản chứng.

Đặc biệt, Archimède (287-212 trước công

nguyên) đã áp dụng phương pháp vét cạn để giải

các bài toán về độ dài, diện tích, thể tích. Trong tác phẩm Về phép cầu phương parabole, ông chứng

minh chặt chẽ rằng “một hình viên phân giới hạn bởi một đường thẳng và một parabole có diện tích

bằng 4/3 diện tích của tam giác có cùng đáy và chiều cao với viên phân”.

Giả sử BAC là viên phân parabole đã cho, A là điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến

BC ; Bb, Cc là hai đường thẳng song song với AM (M là trung điểm BC). Archimède chứng minh rằng

diện tích tam giác ABC bằng một nửa diện tích hình bình hành bBCc và lớn hơn một nửa diện tích viên

phân. Ông tiếp tục dựng một tam giác nằm trong viên phân giới hạn bởi cát tuyến AC và parabole. Dễ

dàng chứng minh rằng diện tích tam giác AHC bằng 1/8 diện tích tam giác ABC. Hơn nữa, mỗi một

tam giác trong hai tam giác này phủ kín hơn một nửa diện tích viên phân ngoại tiếp nó. Archimède có

thể lập lại tiến trình này và dựng một đa giác có diện tích xấp xỉ viên phân parabole với sai số bé tùy ý.

Tuy nhiên, phương pháp vét cạn không giúp ta phát hiện kết quả mới. Nó chỉ cho phép chứng

minh một cách chặt chẽ bằng một cách khác những kết quả cảm nhận được. Bức thư của Archimède

gửi Eratosthène (chỉ mới được phát hiện vào đầu thế kỷ 20) cho phép hiểu được tốt hơn phương pháp

khám phá của Archimède. Dựa trên ý tưởng hình phẳng được tạo từ các “đường”, phương pháp của

Archimède cho phép so sánh diện tích của viên phân với diện tích của tam giác nhờ các xem xét cơ

học, chẳng hạn “cân” các đoạn thẳng tạo thành viên phân và tam giác. Phương pháp này sử dụng

nguyên lý đòn bẩy: khối lượng tỷ lệ nghịch với cánh tay đòn. Các cánh tay đòn này cho phép thiết lập

tỷ số của các diện tích mà người ta chứng minh một cách hình học bằng phương pháp vét cạn.

Johannes Kepler (1571 – 1630) đồng nhất đường tròn với một đa giác đều vô hạn cạnh nội tiếp đường

tròn và tính diện tích hình tròn bằng cách lấy tổng vô hạn diện tích các tam giác vô cùng bé có đáy là



tam( giac)

S(hình tròn) =

= R2



cạnh đa giác đều và đỉnh là tâm hình tròn. Theo cách viết hiện đại, ông thu được kết quả sau:

Năm 1635, Cavalieri (1598 – 1647) đề xuất phương pháp những cái không thể phân chia được.

Theo ông, bề mặt được tạo thành bởi việc sắp xếp sát nhau những “đường” song song. “Đường” ở đây

được hiểu là đoạn thẳng hoặc cung tròn đồng tâm. Mỗi “đường” được gọi là một cái không thể phân

chia được của bề mặt cần tính diện tích. Hai hình phẳng cùng tạo thành bởi những “đường” cùng độ

dài thì có diện tích bằng nhau. Nguyên lý tương tự cho thể tích phát biểu rằng thể tích của hai vật thể

bằng nhau nếu các thiết diện thẳng tương đương của chúng luôn bằng nhau (Hai thiết diện thẳng gọi là

tương đương nếu chúng cùng là giao của vật thể với một mặt phẳng cách đều mặt phẳng đáy cho

trước).

Tính diện tích hình tròn bán kính R theo Cavalieri

Hình tròn được phủ kín bởi những đường tròn đồng tâm có độ dài 2r với r biến thiên từ 0 đến R.

Các đường tròn này là những cái không thể phân chia được của hình tròn. Tam giác có đáy 2πR và

chiều cao R được phủ kín bởi các đoạn thẳng có độ dài 2πr với r biến thiên từ 0 đến R. Các đoạn

thẳng này là những cái không thể phân chia được của tam giác. Hai hình phẳng đang xét được tạo

thành từ những cái không thể phân chia được có cùng độ dài nên có cùng diện tích. Diện tích của

chúng là 2πR.R/2 = πR².

Độc lập với Cavalieri, trong khi xác định diện tích giới hạn bởi một cung cycloïde, Roberval

(1602-1775) phát triển một phương pháp những cái không thể phân chia được, dựa trên quan điểm gần

như số học với các cấp số cộng vô hạn thay cho cách tiếp cận hình học của Cavalieri. Trái với

Cavalieri xem hình phẳng được tạo từ các đường, Roberval cho rằng nó được tạo từ các mặt.

Khi thiết lập một phương thức chung để tính diện tích giới hạn bởi các parabol và hyperbol nhờ

cấp số nhân, Fermat (1601-1665) tìm cách phát biểu bài toán diện tích dưới dạng đại số. Điều này

khiến các lời giải của Fermat mang tính tổng quát và cho phép phát triển khía cạnh thuật toán của giải

tích các vô cùng bé.

Pascal (1623-1662) thay thế các lập luận trực giác của Cavalieri bằng những lập luận số học về chuỗi.

Khi tính diện tích hình phẳng nằm dưới parabol y = x2, tại các điểm trên trục hoành có hoành độ lập

thành cấp số cộng công sai d, ông dựng các hình chữ nhật có hai kích thước là d và (id)2 (i = 1, 2, ...,

n), tính diện tích và xác định tổng S của chúng:



S = d.d2 + d.(2d)2 + ... + d.(nd)2 = d3 + 4d3 + ... + n2d3 = d3(1 + 22 + ... + n2) = d3[n(n + 1)(2n +

n 3

n 2

n 6

  

  

1)/6] = d3

Nếu số hình chữ nhật tăng lên vô hạn, Pascal loại các số hạng n2/2 và n/6, giữ lại số hạng n3/6.

Khi đó, tổng diện tích các hình chữ nhật bằng S = d3n3/3 = (nd)3/3 = x3/3.

Trong tác phẩm Philosophiae naturalis principia mathematica của Newton (1642-1727) xuất bản

năm 1687, ta tìm thấy ba quan niệm khác nhau về phép tính vi tích phân: quan niệm về vô cùng bé chịu

ảnh hưởng của Barrow và Wallis, phương pháp dòng chảy, phương pháp tỷ số đầu và tỷ số cuối.

Newton cũng thu được kết quả về mối liên hệ giữa diện tích và hàm số được phát biểu bằng ngôn ngữ

hiện đại như sau: S’(x) = f(x).

Độc lập với Newton, Leibniz (1646-1716) cho rằng việc tìm tiếp tuyến với đường cong phụ thuộc

vào tỷ số giữa hiệu tung độ và hiệu hoành độ khi các hiệu này trở thành vô cùng bé. Ông cũng cho rằng

việc tính diện tích phụ thuộc vào tổng các hình chữ nhật vô cùng bé dựng trên các khoảng vô cùng bé

của trục hoành. Sau năm 1673, Leibniz đồng nhất bài toán ngược của tiếp tuyến với bài toán diện tích.

Ông xây dựng phương pháp tính của mình dựa trên khái niệm vi phân (không hoàn toàn giống khái

niệm vi phân hiện đại). Phép tính hiệu là phép toán cơ bản của Leibniz. Việc lấy tổng là phép toán

ngược. Trái với Newton luôn xét tích phân bất định và tính diện tích, thể tích từ tỷ số biến thiên,

Leibniz đưa vào tích phân xác định. Năm 1673, ông tìm được định lý về biến hình cho phép thực hiện

phép cầu phương một đường cong thông qua một đường cong phụ. Dưới đây là ví dụ minh họa mối

liên hệ giữa việc đổi tung độ z = x2 và phép biến hình do Leibniz thực hiện trong một phép cầu phương

z = x2 biến hàm số

thành

. Các điểm x và x + Δx được biến thành z = x2 và z + Δz = x2 + 2xΔx +

2 z1

x x

4 

5,1

x 4 2 x

Δx2. Khi Δx tiến đến 0, các hình chữ nhật màu đen có cùng diện tích và do đó, hai tích phân   1

25,2

có cùng giá trị.

2   2 1

1.2. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế về phép tính diện tích trong chương trình và sách giáo

khoa Việt Nam

đặc biệt.

Trong phần này, chúng tôi tìm hiểu phép tính diện tích hình phẳng được dạy từ tiểu học đến trung

học phổ thông.

1.2.1. Trong chương trình và sách giáo khoa tiểu học

Từ lớp 3, diện tích một hình (phẳng) được trình bày nhờ các ví dụ về so sánh diện tích nhưng

không định nghĩa. Thông qua các ví dụ này, khái niệm diện tích lấy một cách ngầm ẩn các ý nghĩa

khác nhau:

- Diện tích là chỗ bị chiếm bởi một bề mặt;

- Diện tích là số ô vuông cần thiết để lát một bề mặt;

- Diện tích là số nhận được khi áp dụng một công thức.

Ở lớp 3, thông qua hình vẽ và phép đếm các hình vuông đơn vị, sách Toán 3 trình bày các ví dụ sau:

- Diện tích của hình này nhỏ hơn diện tích hình kia.

- Hai hình khác nhau nhưng có diện tích bằng nhau.

- Diện tích của một hình bằng tổng diện tích của hai hình khác.

- Công thức tính diện tích hình chữ nhật.

- Công thức tính diện tích hình vuông.

Như vậy, ở lớp 3, học sinh học công thức tính diện tích hình chữ nhật, hình vuông, so sánh diện tích

của hai hình và tính chất cộng tính của diện tích.

Ở lớp 5, học sinh học công thức diện tích hình tam giác, hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình

tròn. Trong phần bài tập, xuất hiện các kiểu nhiệm vụ sau:

T1. Tính diện tích tam giác, hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông.

T2. Tính diện tích một đa giác ghép bởi tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vuông có hình vẽ và

kích thước cho trước.

T3. Tính một kích thước của hình chữ nhật biết diện tích và kích thước kia

1.2.2. Trong chương trình và sách giáo khoa trung học cơ sở :

Ở các lớp 6 và 7, việc tính diện tích không được nhắc đến. Ở lớp 8, các công thức tính diện tích đã học

ở tiểu học được phát biểu lại dưới dạng định lý và thừa nhận, không chứng minh.

1.2.3. Trong chương trình và sách giáo khoa trung học phổ thông :

sin



1 2

Sách Hình học 10 (ban cơ bản) trình bày thêm 4 công thức diện tích tam giác:

S  abc R 4

p p a p b p c

)(

(



 )



S = pr

với BC = a, CA = b; AB = c; R và r lần lựợt là bán kính đường tròn ngọai tiếp, nội tiếp tam giác; p là

nửa chu vi tam giác. Diện tích của hình tròn không được nhắc đến trong sách này vì chương trình chỉ

quan tâm đến phương trình của đường tròn.

Sách Hình học 11 (ban cơ bản) viết về hình học không gian, trong đó thừa nhận, không chứng minh

các công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối tròn xoay. Sách Giải tích 12 (ban

cơ bản) phát biểu bài tóan diện tích hình thang cong và đưa vào khái niệm tích phân. Trong phần lý

thuyết, tích phân được dùng để chứng minh một số công thức diện tích như diện tích hình tròn, hình

elíp.

Như vậy, việc tính diện tích được dạy cho học sinh từ lớp 3 nhưng mãi đến lớp 12 thì công cụ tích

phân mới cho phép tính diện tích của những “đa giác cong” và do đó hoàn chỉnh việc tính diện tích một

hình phẳng bất kỳ.

1.3. Đặc trưng của phép tính diện tích trong thể chế dạy học Việt Nam

Đối chiếu với nghiên cứu khoa học luận, phép tính diện tích trong thể chế Việt Nam có đặc trưng

sau đây:

- Việc tính diện tích ở Việt nam chủ yếu là vận dụng các công thức đã học để tính diện tích một

hình cho trước. Ứng dụng của tích phân là để tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi giới hạn một

số hữu hạn đường, cụ thể là :

 Giới hạn bởi đường cong y = f(x) , y = 0 , x = a , x = b

 Giới hạn bởi đường cong y = f(x) và đường thẳng y = ax + b cắt nhau.

 Giới hạn bởi 2 đường cong y = f(x) , y = g(x) cắt nhau.

Giới hạn bởi đường cong y = f(x) và 2 đường thẳng cắt nhau đôi một.

- Khái niệm tích phân được đưa vào sau khi đã xây dựng các khái niệm hàm số và giới hạn. Sách

giáo khoa trình bày phép lấy tích phân như sự tổng quát hóa của bài toán diện tích hình thang cong.

Phép tính diện tích được ưu tiên trong số các ứng dụng của tích phân được giảng dạy trong chương

trình. Tuy nhiên, việc biểu diễn hình học tích phân hoàn toàn vắng bóng trong sách giáo khoa. Trong

phần lý thuyết, các tính chất của tích phân được phát biểu một cách đại số, không được xem là tính

chất của diện tích (đại số hoặc số học). Trong phần bài tập, không có bài tập nào liên quan đến biểu

diễn hình học tích phân.

- Phương pháp đổi biến số, một trong hai phương pháp tính tích phân được chính thức giảng dạy,

cho phép thực hiện phép tính không cần đến phép biến hình.

Chúng tôi hình thành giả thuyết sau: Ở lớp 12, việc tính diện tích hình phẳng (giới hạn bởi các đường

thẳng hoặc đường cong) được giải về mặt thể chế nhờ việc tính tích phân bằng các phương pháp đã

học, ngay cả khi các công thức diện tích sơ cấp hoặc việc biểu diễn hình học tích phân là tối ưu trong

một số trường hợp.

1.4. Thực nghiệm

Thực nghiệm được tiến hành trên 80 học sinh lớp 12 của hai trường trung học phổ thông tại thành

phố Hồ Chí Minh. Vào thời điểm thực nghiệm, các học sinh này đã học xong chương Nguyên hàm, tích

phân và ứng dụng theo quy định của chương trình phân ban hiện hành. Mỗi học sinh được phát một

phiếu câu hỏi và phải độc lập soạn thảo lời giải trong thời gian 20 phút dưới sự giám sát của người làm

thực nghiệm. Toàn văn phiếu câu hỏi được trình bày ở phần phụ lục. Dưới đây là các bài tập nêu ra

trong phiếu câu hỏi:

Bài 1. Trên đoạn [0, 2], cho hàm số f xác định bởi:

khi x

0 khi

x  1



1  x  

2   3 

f(x) =

y

)( dxxf

a) Vẽ đồ thị của hàm số đã cho



b) Tính tích phân: I =

Bài 2.

2 4 x dx





a) Tính tích phân: J = .

x

b) Em có thể tính J bằng một cách khác với cách em đã

làm không?

1.4.1. Phân tích a priori

Hàm số f trong bài 1 được xác định bằng hai công thức trên đoạn [0, 2]. Đây là một sự phá vỡ hợp

đồng vì các hàm số phải tính tích phân trong sách giáo khoa đều được cho bằng một công thức. Biểu

thức giải tích của f trên mỗi đoạn [0, 1] và [1, 2] đều là đa thức có bậc không vượt quá 1. Do đó, có thể

dùng các công thức tính diện tích đa giác để tính tích phân I.

Mục đích của bài 1 không phải là đánh giá kỹ năng tính tích phân của học sinh mà là kiểm chứng

học sinh có dùng phép tính diện tích để phục vụ cho phép tính tích phân không, nhất là khi đề bài có

yêu cầu vẽ đồ thị hàm số, nghĩa là có sự xuất hiện của phạm vi hình học và đồ thị trở thành một ngôn

ngữ biểu đạt tạo thuận lợi cho sự chuyển đổi tích phân-diện tích.

Bài 2 nhằm kiểm chứng sự sống của việc tính diện tích trong việc tính tích phân. Phần b của bài

này khuyến khích một cách giải khác với phương pháp đổi biến số.

Chúng tôi nêu ra dưới đây các chiến lược có thể quan sát được đối với bài 1:

Chiến lược S1. Phân tích thành tổng và áp dụng công thức Newton-Leibniz

)( dxxf

) dxx



)( dxxf

2dx



x 2

3 2

7 2

  

  

= + = + = 2 + = =  + 

Chiến lược S2. Công thức diện tích sơ cấp

S2a. Tổng hai diện tích

I là tổng diện tích (tính bằng đvdt) của hình chữ nhật (2 đvdt) và hình thang (3/2 đvdt). I = 2 + 3/2 =

7/2.

S2b. Hiệu hai diện tích

I là hiệu diện tích (tính bằng đvdt) của hình vuông (4 đvdt) và hình tam giác (1/2 đvdt). I = 4 – 1/2 =

7/2.

S2 (a hoặc b) là chiến lược tối ưu của bài tập 1.

Với bài tập 2, các chiến lược có thể quan sát là:

S1. Đổi biến số

S1a. Đổi biến số x = 2sint (hoặc x = 2cost) với 0  t  /2

4 x

S1b. Đổi biến số u =

(chiến lược sai)

S2. Biểu diễn hình học tích phân

4 x

Đặt y = , (0  x  2) (*) thì (*)  x2 + y2 = 4, y  0. Như thế, đồ thị của hàm số đang xét là nửa

đường tròn tâm O, bán kính 2, nằm phía trên trục hoành. J là diện tích của nửa hình tròn tương ứng nên

J = 2.

S2 là chiến lược tối ưu của bài tập 2.

1.4.2. Phân tích a posteriori

)( dx

Đối với bài tập 1b, chỉ có 2 trong số 80 học sinh không trả lời. Điều này cho thấy bất chấp việc



hàm số f được cho bằng 2 công thức trên đoạn [0, 2], việc tính tích phân là quen thuộc đối với

học sinh. Tuy nhiên, dù đã vẽ được đồ thị của hàm số đã cho, toàn bộ 78 học sinh tham gia giải bài này

đều chọn chiến lược S1 (phân tích thành tổng và áp dụng công thức Newton-Leibniz) thay vì chọn

chiến lược tối ưu S2a hoặc S2b (công thức diện tích sơ cấp). Như vậy, học sinh sử dụng tích phân xác

định để tính diện tích nhưng không sử dụng diện tích để tính tích phân.

Đối với bài tập 2a, chỉ có 1 học sinh không trả lời. Điều này chứng tỏ một lần nữa tính chất quen

4 x

thuộc của kiểu bài tập này. Trong số 79 học sinh tham gia giải bài này, không học sinh nào chọn chiến

lược tối ưu S2 (biểu diễn hình học tích phân) mà đều chọn S1a (x = 2sint) hoặc S1b (u = ). Hơn

nữa, trong phần b của bài tập 2, không học sinh nào nêu ra cách giải khác phương pháp đổi biến số.

Chúng tôi tổng hợp kết quả thực nghiệm trong bảng sau:

ố lượng Không trả lời

S1

Bài

S2a

1b

S2b

S1a

Bài

S1b

2a

S2

1.4.3. Kết luận

Kết quả thực nghiệm đã chứng minh giả thuyết mà chúng tôi nêu ra ở phần trên. Quan hệ giữa

tích phân và diện tích trong chương trình hiện hành vẫn là quan hệ một chiều như Trần Lương Công

Khanh (2006) đã chỉ ra khi nghiên cứu các chương trình trước 2006: tích phân phục vụ cho việc tính

diện tích nhưng diện tích không phục vụ cho việc tính tích phân. Hơn nữa, dù phép tính diện tích được

ưu tiên trong số các ứng dụng của tích phân, việc sử dụng biểu diễn hình học để minh họa cho các tính

chất tích phân và để giải bài tập hoàn toàn vắng bóng. Nguồn gốc khoa học luận của tích phân trở nên

khá mờ nhạt.

Chương 2.

Khái niệm hàm số hợp với tư cách là một điều kiện sinh thái của công thức đổi

biến số trong phép tính tích phân

2.1. Nghiên cứu khoa học luận khái niệm hàm số hợp

Thời cổ đại: Từ 1000 năm trước công nguyên, những nhà toán học Babilon đã biết lập những

bảng tỉ số thực nghiệm trong thiên văn, các bảng bình phương, bảng căn bậc hai, bảng lập phương hay

bảng căn bậc ba trong hệ thập lục phân. Còn người Hylạp thì thiết lập các bảng sin.Các bảng này xuất

hiện để giải quyết các vấn đề về hình học đo đạc, nghiên cứu các đường cong, vật lý, thiên văn học….

Thuật ngữ hàm số chưa xuất hiện trong thời kỳ này, tuy nhiên họ đã có khái niệm sơ khai về hàm số.

Nó có cơ chế của một đối tượng “protomathématique” : không có tên và cũng không có định nghĩa. Nó

chỉ xuất hiện ngầm ẩn. yếu tố tính “phụ thuộc” không xuất hiện tường minh, cũng như yếu tố “biến”

cũng không xuất hiện.

Khái niệm này đến đầu thế kỷ XVII mới được hình thành rõ ràng và có hệ thống nhờ các công

trình của Fermat và Descartes. Giữa thế kỷ XVII do bài toán về sự giao động của sợi dây mà xuất hiện

định nghĩa tổng quát của hàm số. Danh từ hàm số (Function) được Leibnitz dùng lần đầu tiên vào năm

1694. Khái niệm hàm số gắn liền với biểu diễn hình học của hàm số bằng một đường.

Thế kỷ XVII là giai đoạn chuyển biến việc biểu diễn tương quan hàm số từ trực giác hình học sang

biểu thức giải tích. Năm 1718, Johann Bernoulli nhà toán học người Thụy Điển đã định nghĩa : “Hàm số

của một biến lượng là một biểu thức giải tích gồm biến lượng đó và các đại lượng không đổi.” Năm

1748, D’Alembert cũng định nghĩa “Hàm số là một biểu thức giải tích”. Trong thế kỷ XVIII biểu thức

giải tích đóng vai trò cơ bản trong việc xác định tương quan hàm số. Tuy nhiên cũng có những định

nghĩa tổng quát hơn nảy nở trong thế kỷ này, coi hàm số như một đại lượng phụ thuộc. Năm 1755, Eule

định nghĩa : “Khi một đại lương phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho sự thay đổi của các đại lượng

thứ hai kéo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất thì đại lượng thứ nhất gọi là hàm số của các đại

lượng thứ hai”.

Liên quan đến kí hiệu hàm số, J.Bernoulli đề nghị dùng chữ Hylạp  được viết không có dấu

ngoặc cho biến số x, được viết là : x. Dấu ngoặc và kí hiệu f cũng như từ hàm số (function) về sau

được dùng bởi Leonhard Euler trong bài báo của ông, thông báo năm 1734 và công bố năm 1740, trong

suốt giữa thế kỉ thứ XVIII để mô tả một diễn đạt hay một công thức liên quan đến nhiều đối số.

Ví dụ : hàm số f(x) = sinx + x3.

Trong thế kỷ XIX sự phát triển của giải tích toán học đòi hỏi mở rộng khái niệm hàm số, xây

dựng khái niệm này dựa vào sự tương ứng giữa các giá trị của hai đại lượng chứ không nhất thiết là

biểu thức giải tích cho phép xác định nó. Năm 1837 Dirichle định nghĩa : “y là hàm số của x nếu với

mỗi giá trị của x thì tương ứng một giá trị hoàn toàn xác định của y còn sự tương ứng đó được thiết

y D x ( )

lập bằng cách nào thì điều này không quan trọng”. Ông đưa ra một hàm số mà ta thường gọi là hàm



1 neáu x höõu tyû 0 neáu x voâ tyû

   

Dirichle

Định nghĩa này được các nhà toán học thời bấy giờ chấp nhận. Ta thấy rằng định nghĩa này nêu rõ

yếu tố “tương ứng”, các yếu tố phụ thuộc và biến thiên hiện diện ngầm ẩn, không bị loại bỏ.

Vào cuối thế kỷ thứ XIX với sự ra đời của “lý thuyết tập hợp” của George.Kanto, người Đức (1845-

1918), các nhà toán học đã bắt đầu chính thức hoá tất cả các khái niệm toán học bằng lý thuyết tập hợp

và họ có vẻ như định nghĩa mỗi đối tượng toán học như là một tập hợp. Nhà toán học Hardy (1904) đã

định nghĩa hàm số là một sự liên hệ giữa hai biến x và y như sau : “với một vài giá trị của x trong bất cứ

trường nào tương ứng các giá trị của y” ( to some values of x at any rate correspond values of y). Ông ta

cũng không đòi hỏi hàm số được xác định cho tất cả giá trị của x cũng không liên kết mỗi giá trị của x

với một giá trị duy nhất của y. Người ta dựa vào lý thuyết này để định nghĩa hàm số. Như vậy trong toán

học có hai khuynh hướng cơ bản : định nghĩa hàm số dựa vào đại lượng biến thiên và định nghĩa hàm

dựa vào lý thuyết tập hợp. Theo “lý thuyết tập hợp” coi hàm số như một quy tắc tương ứng hay quan hệ

giữa cá phần tử của hai tập hợp thoả mãn một số điều kiện nào đó, hay một bộ các tập hợp. Sau đây là

một vài trích dẫn định nghĩa theo lý thuyết này.

2.1.1 Định nghĩa trong từ điển toán học “- bản dịch tiếng Việt của Hoàng Hữu Như và Lê Đình

Thịnh – NXB Khoa học và kĩ thuật 1993.

“Phần tử của một tập hợp Ey (bản chất bất kỳ) được gọi là hàm của phần tử x xác định trên một tập hợp Ex (bản chất bất kỳ), nếu mỗi phần tử x của tập hợp Ex được đặt tương ứng với một phần tử duy nhất y thuộc Ey.

Tùy theo bản chất các tập hợp Ex , Ey ta có các loại hàm khác nhau. Nếu Ex và Ey là những tập hợp số thực nào đó, nghĩa là x và y nhận các giá trị là những số thực, thì ta có hàm số biến số thực hay

đơn giản là hàm số.[…]

2.1.2 Định nghĩa của Schwartz (sinh ở Paris 1915) cho bài giảng giải tích

“Giả sử E và F là hai tập hợp, ta gọi là một ánh xạ từ E vào F hay một hàm xác định trên E và

lấy giá trị trong F, tất cả các tương ứng f theo đó mỗi phần tử x của E được đặt tương ứng với một

F có nghĩa : f là ánh xạ từ E vào F. E được gọi là tập nguồn, F là tập đích của

phần tử, kí hiệu f(x) của F.

Kí hiệu

ánh xạ.

Hai định nghĩa này nhấn mạnh yếu tố : “tương ứng” của khái niệm hàm, các yếu tồ phụ thuộc và

biến thiên hiện diện ngầm ẩn.

2.1.3 Định nghĩa của Bourbaki :

“Giả sử E và F là hai tập hợp khác rỗng. Quan hệ giữa một biến của x thuộc E và một biến y của

F được gọi là quan hệ hàm, nếu với mỗi x thuộc E, tồn tại một và chỉ một phần tử y thuộc F có quan hệ

với x.

Ta gán từ “hàm” cho thao tác kết hợp mỗi phần tử x thuộc E với phần tử y thuộc F có quan hệ

với x. Ta nói y là giá trị của hàm số đối với phần tử x và hàm được xác định bởi quan hệ hàm đã cho.

Định nghĩa này nhấn mạnh trên quan hệ hàm. Thuật ngữ “tương ứng” không có mặt mà thể hiện

ngầm ẩn qua “thao tác kết hợp mỗi phần tử”…

Ý tưởng về quan hệ giữa các đại lượng hình thành từ buổi đầu của toán học: thời kỳ Cổ đại. Tuy

nhiên, cách xác định và tính các giới hạn đặc biệt, ngay cả ở Archimède, không đưa đến việc hình

thành tường minh các khái niệm giới hạn, biến số, ... Ta có thể nói rằng ý tưởng tổng quát về hàm số

không tồn tại ở thời Cổ đại.

Đầu thế kỷ 17, việc phát biểu 3 định luật Kepler về quỹ đạo ellip của các hành tinh đã hướng các

nhà toán học đến việc nghiên cứu và tính toán các quỹ đạo. Phần lớn các hàm số xuất hiện ở thế kỷ 17

đều được nghiên cứu như các đường và bản thân các đường lại được xem là quỹ đạo của những chất

điểm chuyển động. Để đơn giản hóa các phép tính lượng giác, Napier (1550-1617) so sánh hai chuyển

động thẳng: một điểm M xuất phát từ điểm cố định Z, có vận tốc tỷ lệ với khoảng cách ZM; một điểm

M’ chuyển động thẳng đều. Trong trường hợp này, quãng đường đi được của M’ là lôgarit (theo nghĩa

của Napier) của đoạn ZM. Trong giai đoạn đầu, lôgarit chỉ nhận giá trị nguyên hoặc phân số vì các

phép tính chỉ thực hiện trên các số này. Hàm số Log x không xuất hiện như bản thân nó vốn có.

Phải đợi đến khi Fermat và Descartes (1596-1650) áp dụng các phương pháp đại số vào hình học

thì các phương pháp giải tích để khảo sát hàm mới được hình thành và mở ra một kỷ nguyên mới trong

toán học. Việc nghiên cứu hàm số thông qua phương trình (đường, mặt) là bước phát triển quan trọng

của toán học. Phương pháp này nhanh chóng thoát khỏi lĩnh vực hình học giải tích và mở rộng sang

các ngành toán học khác, trước tiên là giải tích các vô cùng bé. Từ đó, hàm số thường được định nghĩa

bằng biểu thức giải tích, không phân biệt rõ ràng hàm số hợp trong số các hàm số đang xét.

Trong số thư từ trao đổi giữa Leibniz và Jean Bernoulli (1667-1748), người ta tìm thấy một bức thư

trong đó Jean Bernoulli viết: “Ta gọi hàm số của một đại lượng biến thiên là một lượng tạo thành bằng

phương thức tùy ý từ đại lượng biến thiên này và các hằng số”. Dù Jean Bernoulli đưa ra ký hiệu x để

chỉ hàm số của biến số x, x có thể là một biến số phụ thuộc. Trong tác phẩm Introductio in analysin

infinitorum (Nhập môn giải tích vô hạn) xuất bản 1748, Euler (1707-1783) xem các thao tác đại số trên

các biểu thức như là một công việc hình thức, tuân theo các quy tắc thông thường của đại số.

Sau Fourier (1772-1837), Cauchy (1789-1857), Dirichlet (1805-1859), Riemann (1826-1866), ta

có thể nói rằng khái niệm tổng quát nhất của hàm số (đơn trị) y của biến số độc lập x mới được quan

niệm như một tương ứng trừu tượng.

Từ nghiên cứu khoa học luận, ta rút ra các nhận xét sau:

- Quan niệm trực giác về hàm số trước hết gắn với các phép tính và các đường. Khái niệm tường minh

về hàm số với tư cách là sự tương ứng giữa hai đại lượng xuất hiện sau quan niệm trực giác và các thao

tác trên các hàm số.

- Các khái niệm hàm số và hàm số hợp, trước khi được lý thuyết tập hợp hình thức hóa, không được

phân biệt một cách tường minh mà được hiểu chung là một đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng

khác. Nói cách khác, người ta không quan tâm phân biệt biến độc lập và biến phụ thuộc.

2.2- Nghiên cứu mối quan hệ thể chế về khái niệm hàm số hợp trong chương trình và sách

giáo khoa

Trong phần này, chúng tôi sẽ nghiên cứu mục đích đưa hàm số hợp vào chương trình, thời điểm

xuất hiện và kiểu bài tập đặc trưng. Chúng tôi sẽ phân tích có so sánh chương trình và sách giáo khoa

trước 2006, chương trình và sách giáo khoa hiện hành (áp dụng từ 2006), sách hướng dẫn giáo viên của

Bộ Giáo dục và Đào tạo.

2.2.1. Khái niệm hàm số hợp

Khái niệm hàm là khái niệm chủ đạo trong toàn bộ chương trình toán học ở trường phổ thông, với

khái niệm này, người ta nghiên cứu sự vật trong trạng thái biến đổi sinh động của nó chứ không phải

trong trạng thái tĩnh, trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải tách rời nhau. Khái niệm hàm phản

ảnh sâu sắc hiện thực kháchquan và thể hiện rõ nét tư duy biện chứng chính ở chỗ đó. Chính vì vậy,

khái niệm hàm chiếm vị trí trung tâm của toán học hiện đại và giữ vai trò chủ đạo. Toàn bộ việc dạy

học môn toán ở phổ thông xoay quanh khái niệm này.

Đứng trên quan điểm hàm mà xem xét chương trình toán học ở trường phổ thông, chúng ta sẽ

nhận thấy rõ tính hệ thống cùng sự liên quan các phần đại số và giải tích với nhau, giữa đại số và số

học, giữa lượng giác-hình học-giải tích. Thật vậy, việc lập phương trình chẳng qua chỉ là sự thành lập

biểu thức của một hàm số và so sánh nó với một số cho trước hoặc là so sánh hai biểu thức của hai hàm

số với nhau. Giải một phương trình thực chất là đi tìm các giá trị của đối số để tìm cho hàm số nhận

một giá trị cho trước.

Như vậy việc nghiên cứu phương trình và việc dạy học Đại số xem là một nhiệm vụ quan trọng về

thực chất chỉ là việc nghiên cứu hàm số. Việc rèn cho học sinh kỹ năng thực hiện các phép biến đổi

đồng nhất là cơ sở tốt để tiến hành giải phương trình và nghiên cứu hàm số.

Môn lượng giác ở trường phổ thông mà nội dung chủ yếu là nghiên cứu một loại hàm số siêu việt

là hàm số lượng giác. Việc học các phép biến hình trong hình học chính là việc nghiên cứu tương quan

hàm giữa các tập hợp điểm với nhau. Việc vẽ đồ thị hàm số, giải phương trình bằng đồ thị, lập phương

trình của các đường…. đã nối liền hình học và đại số và giải tích theo quan điểm hàm. Với các khái

niệm như giới hạn, liên tục, vi phân, tích phân của giải tích …. Làm cho việc nghiên cứu khái niệm

hàm một mặt vừa hết sức tổng quát, mặt khác vừa hết sức cụ thể và chính xác về sự biến thiên của các

hàm số.

Ngoài ra, việc vận dụng toán học để giải các bài toán thuộc các bộ môn khác ở trường phổ thông

như vật lý, hoá học …. về căn bản có thể quy về các công thức chỉ rõ sự tương quan giữa các đại lượng

khác nhau, nghĩa là quy về việc nghiên cứu hàm số.

Ví dụ : công thức tính quãng đường S = v.t là hàm số mà đối số là thời gian t trong chuyển động



đều.

M V

0, 24. I



, với M : khối lượng , D : khối lượng riêng, V : thể tích

Định luật Jun-Lenxo7 :

Q : nhiệt lượng , R là điện trở, I là cường độ dòng điện, t là thời gian

2.2.1.1. Khái niệm hàm số hợp trong các chương trình trước 2006

Trong chương trình 1975-1990, khái niệm hàm số hợp được trình bày trong chương Hàm số ở lớp

g 

11 bằng ngôn ngữ ánh xạ hợp đã học ở lớp 10. Kí hiệu dùng trong thời kỳ này là . Sự hiện diện

của khái niệm hàm số hợp cho phép:

- hợp thức hóa sự tồn tại trong phần bài tập của nhiều hàm số không phải là hàm sơ cấp cơ bản (ví dụ y

= xx), một số phương trình mũ và lôgarit (ví dụ log2(x2 – 1) = log4(x – 1))

- tính đạo hàm của hàm hợp, tính tích phân bằng công thức đổi biến số.

Trong chương trình 1990-2000, khái niệm hàm số hợp được giảng dạy trong chương Bổ sung về

hàm số và giới hạn ở lớp 12 bằng ngôn ngữ ánh xạ hợp với mục đích là phục vụ cho các chương Đạo

hàm, Tích phân.

Trong chương trình 2000-2006, khái niệm hàm số hợp được trình bày ngay trong chương Đạo

hàm ở lớp 12 để phục vụ trực tiếp cho việc tính đạo hàm của hàm số hợp và sau đó cho công thức đổi

biến số.

2.2.1.2. Khái niệm hàm số hợp trong chương trình hiện hành

Từ năm học 2006 -2007, khái niệm hàm số hợp trở lại giảng dạy ở lớp 11 trong chương Đạo hàm.

Đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarít được dạy ở lớp 12.

Theo sách giáo viên của lớp 11 ban cơ bản: “Trong sách giáo khoa đã đưa ra khái niệm y = f(g(x))

là hàm hợp của hàm số y = f(u) với u = g(x). Ta cũng có thể nói y = f(g(x)) là hàm hợp của hai hàm số u

 x

= g(x) và y = f(u). Khái niệm hàm hợp và định lý về đạo hàm của hàm hợp là khó, cho nên trong sách

giáo khoa không trình bày chứng minh của định lý này. Ví dụ hàm số y = là hàm hợp của

các hàm số y = u và u = x2 + x + 1”.

Sách giáo viên của lớp 11 ban nâng cao thì viết rằng: “Một cách chính xác, khái niệm hàm số hợp

phải được định nghĩa như là tích của hai ánh xạ. Cụ thể, cho hàm số u: D →  và f: Df →  sao cho

(

)

u(D)  Df. Khi đó hàm số g: D →  xác định bởi g(x) = f[u(x)] gọi là hàm số hợp của hàm số f và hàm

uf 

(x) = f[u(x)]. Rõ ràng định nghĩa trên là rất khó số u, kí hiệu là g = f  u. Như vậy ta có g(x) = (

hiểu đối với học sinh”.

Sách Đại số và giải tích 11 – Nâng cao do Đoàn Quỳnh tổng chủ biên (NXB Giáo dục, 2006,

trang 201) đưa vào khái niệm hàm số hợp như sau:

“Cho hai hàm số y = f(u) và u = u(x). Thay thế biến u trong biểu thức f(u) bởi biểu thức u(x), ta được

biểu thức f[u(x)] với biến x. Khi đó, hàm số y = g(x) với g(x) = f[u(x)] được gọi là hàm số hợp của hai

hàm số f và u ; hàm số u gọi là hàm số trung gian”.

Ta nhận thấy:

- Các sách giáo khoa hiện hành tránh dùng từ “định nghĩa hàm số hợp” mà dùng từ “lập hàm số hợp”

hoặc “khái niệm hàm số hợp”. Thật ra, các tác giả đã trình bày một “định nghĩa” hàm số hợp “ngây

thơ” hơn so với sách giáo khoa thời kỳ trước.

g 

- Ký hiệu không được đưa vào. Khi nói hàm hợp của hai hàm số y = f(u) và u = g(x), ta chỉ thực

hiện một phép thay chữ hình thức y = f(g(x)). Hàm số u = g(x) chỉ được xem được là hàm số trung gian,

thậm chí là một biến.

- Khái niệm hàm số hợp được đưa vào ngay sau phần Các quy tắc tính đạo hàm để chuẩn bị kiến thức

tính đạo hàm của hàm số hợp.

- Được trình bày đơn giản, hàm số hợp không phải là trọng tâm của chương Đạo hàm mà là một công

cụ để giải thích và nghiên cứu các hàm số có dạng: y = un, y = u , y = logau... Trong phần bài tập,

không xuất hiện các dạng bài tập: tìm hàm số hợp của 2 hàm số cho trước, tìm tập xác định của hàm số

hợp, phân tích hàm h cho trước thành hợp của hai hàm số f và g.

2.2.2. Hàm số hợp trong phép tính đạo hàm

Công thức tính đạo hàm hàm hợp được sách giáo khoa trình bày dưới dạng y’x = y’u. u’x. Sau đó,

sách giáo khoa áp dụng công thức này để tính đạo hàm của các hàm y = un, y = u , y = 1/u, y = sinu, y

= cosu, y = tanu, y = cotu trong đó u là hàm số có đạo hàm theo biến x. Đạo hàm của các hàm u, eu,

logau được khảo sát sau khi học xong hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm số lôgarit.

Trong thực hành tính đạo hàm hàm hợp, “biến trung gian” không phải lúc nào cũng xuất hiện tường

minh. Dưới đây là hai minh chứng.

Ví dụ 6, trang 162, sách giáo khoa ban cơ bản. Tìm đạo hàm của hàm số y = (1 – 2x)3.

Giải. Đặt u = 1 – 2x thì u’ = -2. Theo công thức tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có: y’x = y’u. u’x = 3u2(-2) = -6u2. Vậy y’x = -6(1 – 2x)2.

Các bài tập 3a, 3e, 4b, 4c, 4d trong sách cũng thuộc dạng này.

Ví dụ 2a, trang 200, sách Bài tập Đại số và Giải tích 11 (ban cơ bản) do Vũ Tuấn chủ biên. Tính

1 đạo hàm của hàm số y = sin 2 x



sin

cos



Giải. y’ =

1 2 x

2 3 x

1 2 x

  

  

= = .

Dù phần lý thuyết chỉ trình bày hàm hợp của hai hàm số, phần bài tập lại yêu cầu tính đạo hàm của

hàm hợp của 3 hàm số, chẳng hạn bài 3.15 sách Bài tập Đại số và Giải tích 11 (ban cơ bản) do Vũ

tan

(

)

Tuấn chủ biên:

x ]



)

(



y = [y = với f(x) = tanx, g(x) = x3, h(x) =

x , h(x) = x ]



y = [y = với f(x) = g(x) = x +

hay hàm hợp của 4 hàm số trong sách Bài tập Đại số và Giải tích 11 (ban nâng cao) do Nguyễn Huy

(

))

Đoan chủ biên:



y = sin2(cos3x) [y = với f(x) = 3x, g(x) = cosx, h(x) = sinx, i(x) = x2]

Trong thực hành dạy học, giáo viên cũng thường trình bày phép tính đạo hàm hàm hợp mà không viết

tường minh các biến trung gian. Các biến trung gian này chỉ được sử dụng trong ngôn ngữ nói để giải

thích cho học sinh). Dưới đây là lời giải trên bảng của một giáo viên mà chúng tôi ghi được khi dự giờ:

Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số y = sin2(cos3x)

Giải.

y’ = [sin2(cos3x)]’ = 2sin(cos3x).[sin(cos3x)]’ (dạng (un)’)

= 2sin(cos3x) cos(cos3x) (cos3x)’ (dạng (sinu)’)

= 2sin(cos3x) cos(cos3x) (-3sin3x) (dạng (cosu)’)

= -3.2sin(cos3x) cos(cos3x) sin3x

= -3sin2(cos3x) sin3x (2sina cosa = sin 2a)

g 

Như vậy, khi tính đạo hàm của một hàm hợp h, người ta không phân tích h = , không tìm miền

xác định và miền giá trị của các hàm số f, g. Người ta chỉ áp dụng một cách hình thức công thức y’x =

y’u. u’x trong đó u được xem như một biến trung gian.

2.2.3. Hàm số hợp trong phép tính tích phân

 Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm liên tục trên đọan [; ] sao

cho () = a, () = b và a  (t)  b với mọi t  [; ]. Khi đó



dxxf )(

t t )(')(( 





 Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và u(x)  [; ]. Giả sử có thể viết f(x) =

g(u(x))u’(x), x  [a; b] với g(u) liên tục trên đoạn [; ] thì:

u b ( )

f x dx ( )

g u du ( )





u a ( )

Sách Giải tích 12 (ban cơ bản) trình bày hai công thức đổi biến số trong tích phân xác định như sau:

Chúng tôi chọn ra dưới đây hai trong số các ví dụ của sách giáo khoa minh họa cho hai công thức trên.

1 Ví dụ 5 ( trang 108). Tính   x 1



t 

Giải. Đặt x = tant,

 2

1 cos

. Ta có x’(t) = .

 4

. Các giả thiết của định lí trên được thỏa mãn. Do đó Khi x = 0 thì t = 0, khi x = 1 thì t =  4



dt 2



 4

1 x

2 1 tan t cos t



 2

sin

cos

xdx

Ví dụ 6. Tính



 2

sin

cos

sin

xdx

x (sin )



Sách giáo khoa đặt u = sinx để tính tích phân này nhưng cũng chấp nhận cách giải



sin 3

1  . 3

 2 0

(t) hay u = (x) cho phù hợp. Chúng tôi giả định rằng học sinh thực hiện phép đổi biến dựa theo bài

Vấn đề đặt ra đối với ví dụ 6 ở trên (và những bài tập tương tự) là làm thế nào để chọn biến số x =

tập mẫu được giáo viên hướng dẫn. Lẽ ra, bằng ngôn ngữ hàm số hợp, sin2x cosx nên được xem là u2 u’

với u = sinx. Chúng tôi sẽ tiếp tục làm rõ vấn đề này trong chương 3.

2.3. Đặc trưng của khái niệm hàm số hợp trong thể chế Việt Nam

Hàm số hợp trong thể chế Việt nam có những đặc trưng sau:

a) Được sử dụng một cách ngầm ẩn trước đó ở lớp 9, lớp 10 trong giải phương trình, bất phương trình

(

x 2 )

2 ) 2



  0

và được hiểu như một biến số phụ. Chẳng hạn, ở lớp 9, khi giải phương trình

  

  4 , học sinh đặt u = x2+ x +4 để đưa về bất phương trình

, học sinh đặt t = x2 – 2x và đưa về phương trình t2 – 3t + 2 = 0. Ở lớp 10,

2u

khi giải bất phương trình

 u

b) Hàm số hợp được định nghĩa không dùng đến ánh xạ như các chương trình trước và có thể sơ đồ hóa

a x

a b a

u = g(x)

y = f(u)

như sau:.

c) Hàm số hợp được xem như là hàm số của biến trung gian thay vì được xem là hàm của hàm.

d) Không có bài tập liên quan trực tiếp đến hàm số hợp so với chương trình trước 1990.

e) Hàm số hợp được đưa vào với mong muốn cung cấp yếu tố công nghệ của phép tính đạo hàm hàm

hợp, phép đổi biến trong tích phân xác định. Tuy nhiên, trong thực hành, yếu tố công nghệ này nhanh

chóng biến thành một phép thay chữ hình thức.

Chúng tôi hình thành giả thuyết sau đây: Việc phân tích một hàm số hợp thành các hàm số cấu

thành để giải bài tập là nằm ngoài mối quan hệ thể chế. Học sinh tính đạo hàm hàm hợp bằng cách thực

hiện phép thay chữ hình thức và thực hiện phép đổi biến u = (x) nhờ các kiểu bài tập được dạy.

2.4. Thực nghiệm

Thực nghiệm được tiến hành trên 85 học sinh lớp 11 ban khoa học tự nhiên của hai trường trung

học phổ thông ở Thành phố Hồ Chí Minh. Vào thời điểm thực nghiệm, các học sinh này đã học xong

chương Đạo hàm theo quy định của chương trình phân ban hiện hành. Mỗi học sinh được phát một

phiếu câu hỏi và phải độc lập soạn thảo lời giải trong thời gian 20 phút dưới sự giám sát của người làm

thực nghiệm. Toàn văn phiếu câu hỏi được trình bày ở phần phụ lục. Dưới đây là bài tập nêu ra trong

phiếu câu hỏi:

Cho hàm số y = sin (2x -1)3

1. Tính y’.

2. Hàm số đã cho là hàm số hợp của những hàm số nào? Hãy khoanh tròn câu trả lời mà em cho là

đúng nhất trong số những câu trả lời dưới đây (Chỉ được phép khoanh một lần):

a. y = sin u với u = (2x – 1)3

b. y = u3 với u = sin (2x – 1)

c. y = sin u với u = v3 và v = 2x – 1

d. Em không biết

e. Em có kết quả khác:

2.4.1. Phân tích a priori

Bài tập có 2 phần. Phần đầu yêu cầu tính đạo hàm của hàm số hợp y = sin (2x – 1)3. Phần thứ hai

yêu cầu phân tích hàm số đã cho thành các hàm số đã hợp thành nó. Nếu phần đầu là bài tập quen

thuộc đối với học sinh thì phần hai không được đặt ra một cách tường minh trong chương trình và sách

giáo khoa hiện hành. Do đó, phần hai được cho dưới dạng câu hỏi nhiều lựa chọn nhằm thay thế việc

tìm và trình trình bày lời giải bằng việc chọn lựa lời giải đúng trong số những lời giải đề nghị. Hơn

nữa, trong số các lựa chọn, chúng tôi còn đưa ra 2 lựa chọn d (Em không biết) và e (Em có kết quả

khác) nhằm thu thập thêm nhiều thông tin hơn. Mục tiêu của bài tập không phải là kiểm tra kỹ năng

tính đạo hàm của hàm hợp hay kiểm tra việc phân tích một hàm hợp thành các hàm cấu thành. Mục

tiêu của bài tập là kiểm chứng giả thuyết: học sinh có thể lấy đạo hàm của hàm hợp mà không cần quan

tâm đến việc phân tích hàm hợp đó. Các chiến lược có thể quan sát được của bài 1a là:

S1. y = sinu, u = v3, v = 2x – 1 (chiến lược mong đợi)

y’ = [sin (2x – 1)3]’ = cos (2x – 1)3. [(2x – 1)3]’

= cos (2x – 1)3. 3(2x – 1)2. (2x – 1)’

= cos (2x – 1)3. 3(2x – 1)2. 2

= 6(2x – 1)2 cos (2x – 1)3

S2. y = u3, u = sinv, v = 2x – 1 (chiến lược sai)

y’ = (sin (2x – 1)3)’ = 3(sin (2x – 1)’.sin (2x – 1)2.

= 3 cos (2x – 1). (2x – 1)’.sin (2x – 1)2.

= 3 cos (2x – 1). sin (2x – 1)2. 2

= 6 cos (2x – 1).sin (2x – 1)2.

Việc đọc các phiếu câu hỏi sau thực nghiệm khiến chúng tôi phải bổ sung chiến lược S3 sau đây:

S3. Khai triển lũy thừa (chiến lược đúng)

y = sin(2x – 1)3 = sin(8x3 – 12x2 + 6x – 1)

y’ = (24x2 – 24x + 6) cos(8x3 – 12x2 + 6x – 1)

Đối với bài 1b, câu trả lời đúng về mặt toán học là c. Tuy nhiên, chúng tôi dự đoán rằng a vẫn được

học sinh lựa chọn vì trong thể chế đang xét, việc phân tích hàm số hợp được đồng nhất với việc nhận

dạng đạo hàm.

2.4.2. Phân tích a posteriori

Có 83/85 học sinh tính đúng đạo hàm của hàm số y = sin(2x – 1)3 trong số đó có 80/85 học sinh

huy động chiến lược S1 (chiến lược mong đợi) là sử dụng đạo hàm của hàm hợp. Tuy nhiên chỉ có

39/84 học sinh phân tích đúng hàm số hợp. Kết quả này khẳng định giả thuyết của chúng tôi.

ố lượng Không trả lời

Kết quả chi tiết được tổng hợp trong bảng sau:

Phần 1

S1

S2

S3

a

Phần 2

b

c

d

e

2.4.3. Kết luận

Trong chương trình hiện hành, khái niệm hàm số hợp được đơn giản hóa và được định nghĩa

không cần ngôn ngữ ánh xạ. Mục tiêu của các nhà soạn chương trình là cung cấp một yếu tố công

nghệ-lý thuyết cho kiểu nhiệm vụ tính đạo hàm hàm hợp và đổi biến số trong tích phân xác định. Trên

thực tế, việc tính đạo hàm hàm hợp được thực hiện như một phép thay chữ hình thức mà không cần sự

can thiệp của hàm hợp. Điều này một mặt cho phép tính đạo hàm một cách máy móc và nhanh chóng,

mặt khác làm lu mờ ý nghĩa của hàm hợp và làm cách chọn biến mới u = (x) trong tích phân xác định

trở nên khó giải thích.

Chương 3.

Phép tính nguyên hàm với tư cách là một điều kiện sinh thái của phép tính tích

phân

3.1. Nghiên cứu khoa học luận về phép tính nguyên hàm

Năm 1669, khi tính diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số y = axm/n, trục hoành, đường thẳng x = 0

và đường thẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x, Newton sáng tạo một phương pháp

tổng quát cho phép không những thu được diện tích cần tìm mà còn có thể tính được diện tích hình

phẳng bất kỳ nhờ việc thực hiện phép toán ngược của phép tính tỷ số biến thiên tức thời (Pier, 1996,

trang 39).

Newton gọi các đại lượng vô cùng bé tương đương với số gia vô cùng bé của chúng ta ngày nay

là mômăng. Ông xét bài toán tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f, các trục tọa

độ và đường thẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x. Khi x tăng một lượng vô cùng bé

o (số gia x của x), diện tích S nhận mômăng oS (số gia S của diện tích). Ông tính tỷ số biến thiên tức

oS tại điểm x và nhận thấy tỷ số này bằng giá trị của hàm số tại x. Theo thuật ngữ hiện đại, kết quả o

thời

này có thể viết thành S’(x) = f(x).

y

x

x + o

Như thế, công trình nói trên của Newton đã thiết lập mối liên hệ giữa phép cầu phương và phép

tính tỷ số biến thiên tức thời, mầm mống của phép tính nguyên hàm. Newton dựa vào mối liên hệ này

để cầu phương các hàm đa thức mà ông có thể dễ dàng đảo ngược quá trình tính tỷ số biến thiên tức

thời. Đối với các hàm khác, ông khai triển chúng thành chuỗi lũy thừa rồi cầu phương từng số hạng của

chuỗi với một trực giác rất tốt về tính hội tụ. Ông luôn luôn đặt phép tính tỷ số biến thiên tức thời vào

trung tâm của phương pháp. Tuy nhiên, ông không nêu ra khái niệm nguyên hàm, ký hiệu  hay bảng

các nguyên hàm thông dụng.

Trong luận án của mình (1666), Leibniz (1646-1716) nghiên cứu dãy các số chính phương

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, … Ông lập dãy số mới có các số hạng là hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy đang xét

1, 3, 5, 7, 9, 11, … Ông nhận thấy rằng tổng n số hạng đầu tiên của dãy thứ hai bằng số hạng thứ n+1 của dãy thứ

y = f(x) = x2

l = f(x)-f(x-1)

Omn. l = y

1 = 1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

nhất.

Trong những ghi chép riêng năm 1675, Leibniz bắt đầu phát triển một cách hệ thống các ý tưởng

của mình để hình thành mối liên hệ với phép tính các vô cùng bé. Ông xem dãy số đầu tiên như dãy các

giá trị của một hàm số và dãy thứ hai như dãy hiệu hai giá trị lân cận của hàm số đó. Ông dùng l để ký

hiệu hiệu số này và omn. (từ tiếng La tinh omnia) để ký hiệu tổng các hiệu l. Tính chất nói trên được viết

 y

thành omn. l = y. Sau đó ít lâu, Leibniz thích dùng dy thay cho l và  (cách điệu hoá chữ S trong từ

. Ký hiệu tao nhã và tiện lợi này (được dùng cho đến

summa) thay cho omn. Hệ thức trở thành  tận ngày nay) đã cho phép ông hình thành phương pháp hình thức tính tổng và hiệu các vô cùng bé. Trái

với Newton đã sử dụng tích phân bất định và đã tính diện tích và thể tích từ tỷ số biến thiên của chúng,

Leibniz đưa vào sử dụng tích phân xác định và xem diện tích lẫn thể tích như tổng các phần tử vô cùng

bé.



lim x 0  

dy dx

y  x 

Leibniz định nghĩa vi phân là :

y

Từ những nghiên cứu trước đó của Cavalieri, Leibniz

đã gần gũi với những kỹ thuật tìm diện tích của hình bên dưới một

đường cong. Leibniz đã khám phá mối liên hệ ngược giữa diện tích

và nguyên hàm bằng cách dùng định nghĩa của ông về vi phân.

Xem đồ thị có phương trình : y = x2 + 1

x

Ý tưởng của ông là dùng định nghĩa vi phân của mình vào

area

dưới hàm diện tích của đồ thị. Gọi là phần diện tích nằm

x ) và một

area

(

)

là diện tích được xác định bởi hình chữ nhật PQSR có diện tích là y( đường cong.

  . Nói một cách khác diện tích

area

phần của hình chữ nhật SRUT có diện tích bằng là phần

x )y

. Leibniz nằm đâu đó giữa y( x ) và tổng hình chữ nhật PQUT bao quanh mà diện tích là (y +

x ) và (y +

  tỉ số sẽ ở giữa y và (y + y ).

area

 area x 

xem tỷ số và thấy rằng khi là ở giữa y(

y

x tiến về 0 thì

có quan hệ mật thiết với nhau. Đó là khi Từ biểu đồ, nó có thể thấy rằng x và

y

 area x 

nằm giữa y và một giá trị gần y. Định nghĩa đạo hàm của Leibniz cũng vậy. Có nghĩa là tỉ số

được viết là (theo ngôn ngữ ngày nay) :



dy dx

y  x 

= y = x2 + 1. lim x 0  

Leibniz đã chỉ ra mối liên hệ ngược giữa vi phân và hàm diện tích. Có tên gọi là vi phân của hàm

diện tích của một hàm số y là bằng chính hàm số đó. trong trường hợp này đạo hàm của hàm diện tích của y = x2 + 1 là hiển nhiên là y = x2 + 1.

Leibniz đã dùng ký hiệu (cách ngữ điệu hoá từ “S” đã được viết vào thời đó) để chỉ tổng vô



)

hạn. Điều này liên hệ gần gũi cái mà ông ta gọi là “tích phân” hay là tổng của vô hạn các vô cùng bé.

y dx (

Diện tích nằm bên dưới của hàm số y hay tích phân của y được diễn đạt là .



Tích phân của loại này cũng được biết đến là tích phân bất định hay nguyên hàm do bởi mối liên

hệ ngược được tìm ra bởi Leibniz.Đó là đạo hàm của một tích phân bất định của một hàm số chính là

hàm số đó. Ngày nay ta thường viết là :

f x dx ( )

f x ( )



) . (



( )

f x dx A b ( )

A a ( )

Leibniz cũng đã phát triển hệ thống kí hiệu về tích phân xác định như sau :





. Ở đây A là hàm diện tích được sinh ra bởi nguyên hàm.



 ydx

)( dxxf

xf )(

Ký hiệu do Leibniz đề xuất trong thời gian đầu được dùng để chỉ tích phân xác định với các



cận được diễn đạt bằng lời. Sau khi Fourier (1768-1830) đưa ra ký hiệu , ký hiệu

mới được dùng để chỉ một nguyên hàm bất kỳ của f.

Phép tính nguyên hàm can thiệp mạnh mẽ trong việc giải các phương trình vi phân. Trong một số

“[...] sự tồn tại của các nguyên hàm (nghiệm của phương trình y’ = f(x)) hoặc phương pháp đa giác của

Euler thì dễ hơn là xấp xỉ các hàm liên tục bằng hàm bậc thang!” (Thierry Guitard, 2003).

trường hợp, phép tính nguyên hàm hiệu quả hơn phép tính tích phân.

Ngược lại, tồn tại những hàm số không có nguyên hàm sơ cấp nhưng có thể tính được tích phân của nó

trên một đoạn mà hàm số liên tục, ví dụ hàm số y = sinx/x.

dxxf )(

Như thế, phép tính nguyên hàm và phép tính tích phân là không đồng nhất, bất chấp công thức



Newton-Leibniz mà Cauchy là người đầu tiên chứng minh: = F(b) – F(a).

Xem việc lấy tích phân như phép toán ngược của việc lấy đạo hàm, Leonhard Euler (1707-1783)

sử dụng các kỹ thuật lấy tích phân của Newton trong việc khai triển các hàm số thành chuỗi vô hạn và

lấy tích phân từng số hạng của chuỗi.

Cả hai nhà toán học Newton và Leibniz đã đóng góp để hoàn thành ba quy luật chính trong việc

Thứ nhất : là với kỹ thuật tính vi phân và tích phân đã được nghiên cứu trước đó, họ là những

phát triển phép tính vi tích phân (Calculus).

Thứ hai : mặc dù sự thật là vi phân và tích phân đã được khám phá bởi Fermat, nhưng Newton và

người đầu tiên giải thích một quy trình thực hành tính toán (algorithmic process) cho mỗi phép tính.

Leibniz nhận ra sự ích lợi của chúng như là một tiến trình chung. Đó là trước Newton và Leibniz đã có

những giải pháp xem xét những bài toán tiếp tuyến và diện tích như là những giải pháp đặc biệt cho

từng bài toán. Không một ai trước họ nhận ra sự hữu dụng của phép tính vi tích phân như là công cụ

Thứ ba : mặc dù phép tính tích phân là một tiến trình đảo ngược của phép tính đạo hàm trong các

toán học tổng quát.

nghiên cứu trước đó, Newton và Leibniz là người đầu tiên phát biểu rõ ràng và chứng minh việc đó

một cách chặt chẽ.

(History of the Differential from the 17th Century).

Như vậy, Cavalieri đã thiết lập được tỉ số tính diện tích của phần nằm dưới đường thẳng và

đường cong, dựa vào kỹ thuật này Wallis đã tính và trình bày một cách tổng quát cách tính đạo hàm

của hàm diện tích cho một số hàm đa thức. Fermat đã dùng chuổi để làm diễn tả cách tính điện tích của

phần nằm bên dưới đường và cuối cùng Newton, Leibniz đã hoàn thiện kết quả này và chứng minh

đạo hàm của hàm diện tích bằng đúng biểu thức của hàm số đã cho, và đặt tên cho kết quả này là

nguyên hàm. Hai ông đã tạo ra một phép tính mới gọi là phép tính vi tích phân.

thiên để tích phân bất định, diện tích và thể tích còn Leibniz đã dùng tổng các vô cùng bé (các vi phân)

Điểm khác nhau nổi bật giữa công trình nghiên cứu của hai Ông ở chỗ : Newton đã sử dụng tỉ số biến

để thực hiện. So với các công trình trước đây của Fermat hay Pascal về tính diện tích thì có thể nói

phương pháp của Leibniz tỏ ra rõ ràng và tổng quát hơn nhiều.

3.2. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế về phép tính nguyên hàm trong chương trình và sách

giáo khoa Việt Nam

Trong các chương trình đã được áp dụng ở Việt Nam từ 1975 đến nay, phép tính nguyên hàm

được đưa vào ở lớp 12. Trừ giai đoạn 1990-2000 trong đó nguyên hàm được đưa vào như một khái

)( dxxf

niệm trung gian để phục vụ cho định nghĩa tích phân bằng công thức Newton-Leibniz, phép tính

và được thực hiện bằng phương nguyên hàm trong các giai đoạn còn lại đều gắn với ký hiệu 

pháp đổi biến số hoặc/và phương pháp tích phân từng phần.

Như Trần Lương Công Khanh đã viết (2006) khi nghiên cứu các chương trình trước 2006: Trong

thể chế Việt Nam, nguyên hàm trở thành tích phân không cận, còn tích phân trở thành nguyên hàm có

cận. Điều này vẫn còn đúng cho chương trình hiện hành.

Trong chương trình, học sinh được học đạo hàm và nguyên hàm - tích phân ở lớp 12 đối với

chương trình cải cách từ năm 1992 cho đến năm 2007. Riêng đối với chương trình phân ban thì Đạo hàm

được học từ lớp 11 và một phần ở lớp 12 còn nguyên hàm - tích phân thì vẫn dạy ở lớp 12. Nội dung

 Định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học của đạo hàm và ý nghĩa vật lý của đạo hàm. Đạo hàm các

kiến thức gồm các vấn đề sau :

 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số : tính đơn điệu, cực trị của hàm số. giá trị lớn nhất. giá

hàm số sơ cấp cơ bản. Đạo hàm cấp cao. Vi phân

trị nhỏ nhất của một hàm số trên một tập xác định, tính lồi lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số.

 Định nghĩa nguyên hàm. Các tính chất của nguyên hàm. Bảng các nguyên hàm cơ bản.

 Định nghĩa tích phân. Các tính chất của tích phân. Các phương pháp tính tích phân. Ứng dụng

Khảo sát một số hàm số.

 Về kỹ năng, yêu cầu học sinh thành thạo việc tính tích phân của một số hàm số, vận dụng tích

của tích phân để tính diện tích và thể tích.

phân để tính diện tích, tính thể tích. Chương trình chú trọng đến công thức Newton-Leibniz,

phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần.

3.2.1 Định nghĩa tích phân thời kỳ 1992-2000

Thời kỳ này có 3 bộ sách Giải tích lớp 12, giáo viên tùy ý lựa chọn để dạy

Sách giáo khoa do các tác giả : GS. Phan Đức Chính – GS. Ngô Hữu Dũng – Hàn Liên Hải, xuất

bản năm 1992, định nghĩa tích phân được trình bày như sau (bộ sách M1) :

Trước hết các tác giả đưa ra khái niệm diện tích hình thang cong

* Giả sử y = f(x) là một hàm số liên tục và có giá trị không âm trên đoạn [a;b]. Hình chắn về phía

trên bởi đồ thị hàm số y = f(x), về phía dưới bởi Ox, về hai bên bởi các đường thẳng x = a , x = b ,

được gọi là một hình thang cong (h.45) .

o b a x

Để tính diện tích hình thang cong đó, ta hãy xem phương pháp sau đây

Chia đoạn [a;b] ra n phần bằng nhau bởi các điểm chia

x0 = a < x1 < x2 < …..< xn-1 < xn = b

 b a n

(i = 1,2,…,n) và đặt xi = xi – xi-1 =

Trên mỗi đoạn [xi-1 ; xi] ta có một hình thang cong nhỏ với điện tích Si xấp xỉ bằng diện tích hình

chữ nhật có một cạnh là đoạn [xi-1 ; xi], cạnh kia có độ dài f(xi)

tức là Si  f(xi) xi , i=1,2,...,n Diện tích hình thang cong lớn là tổng các diện tích Si của các hình



thang cong nhỏ S = S1 + S2 +…+ Sn mà ta kí hiệu vắn tắt là :

f(x ). x i

S i



 vậy S 

 i 1

S =

 i 1  b a n

Với n càng lớn, hiệu xi = xi – xi-1 = càng nhỏ, diện tích Si của mỗi hình thang cong nhỏ càng



gần diện tích hình chữ nhật nhỏ tương ứng, vì thế ta có thể coi rằng

f(x ). x i



lim  n

 i 1

f(x)dx

(1) S =



Giới hạn ở vế phải của (1) được kí hiệu bởi

Như vậy các tác giả đã dùng phương pháp tương tự như ở lớp 4 để chuẩn bị cho việc định nghĩa

và tính tích phân. Nói một cách khác tích phân đã được xây dựng dựa và diện tích của các hình chữ

nhật và tổng vô hạn các vô cùng bé. Vô cùng bé ở đây là diện tích các hình chữ nhật khi chiều rộng

ngày càng bé

Từ đó các tác giả đã định nghĩa tích phân như sau :

Định nghĩa : Giả sử y=f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Chia đoạn [a;b] ra n phần bằng nhau bởi các điểm x0 = a < x1 < x2 < …..< xn-1 < xn = b

 b a n

f(x)dx

(i = 1,2,,,n ) và đặt xi = xi – xi-1 =





Tích phân của f(x) , lấy từ a đến b , kí hiệu bởi (2)

f(x ). x i



 i 1 n

f(x)dx

i f(x ). x i

(3) là giới hạn khi n  +  của tổng





lim  n

 i 1

Nói cách khác : = (4)

các vô cùng bé.

Định nghĩa này có ưu điểm là nêu lên được bản chất của tích phân là giới hạn của tổng vô hạn

Sau khi định nghĩa xong các tác giả có ghi chú quan trọng là :

Nếu f(x) có giá trị không âm trên đoạn [a;b] thì tích phân (2) là diện tích S của hình thang cong

đã xét trên .

* Sau khi xây dựng định nghĩa xong, các tác giả nhận thấy việc tính tích phân bằng định nghĩa

đối với một số hàm số là quá phức tạp.

 (1 2 )x dx

Ví dụ : để tính bằng định nghĩa là khó, nếu không nói rằng là không thể tính được, vì

vậy hàm hợp xuất hiện để giải quyết bài toán có dạng này và các dạng tương tự. Do đó về mặt sư

phạm, tác giả đã đưa ra công thức Newton – Leibniz như sau :

f(x)dx

Giả sử y = f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [ a;b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn đó, thế thì :



= F(b) – F(a)

Công thức này thể hiện rõ mối quan hệ giữa nguyên hàm và tích phân.Ở đây ta nhận thấy với các

hàm số liên tục trên đoạn [ a;b] thì phần diện tích nằm bên dưới hiển nhiên là tồn tại, nó chính là hàm

diện tích theo nghĩa của Leibniz nên nó có nguyên hàm. Đạo hàm của hàm diện tích này bằng đúng

hàm số y = f(x) đã cho trên đoạn [a;b].

Sách giáo khoa do các tác giả Trần Văn Hạo – Phan Trương Dần – Nguyễn Văn Dự – Cam Duy

Lễ. (NXBGD-1992, bộ sách M2)

- Trước hết các tác giả giới thiệu sơ qua về bài toán diện tích, sau đó đưa ra khái niệm hình thang

cong và diện tích hình thang cong như sau :

Cho hàm số y = f(x) liên tục trong khoảng ( ; ) và f(x) > 0 với mọi x  ( ; ). ta có thể chia

khoảng ( ; ) thành nhiều khoảng nhỏ trên đó f(x) tăng hoặc giảm, do đó giả sử a , b  ( ; ) sao

cho trên [a ; b] , f(x) liên tục tăng và dương.

Với mỗi x  ( ; ), ta ký hiệu dx là đường thẳng qua x và song song với Oy. Ký hiệu S(x) là diện

tích hình thang cong giới hạn bởi trục Ox, đường cong y = f(x) và hai đường thẳng da ; dx với giả thiết S(a) = 0.

Đến đây thì các tác giả đi chứng minh S(x) là một nguyên hàm của f(x). Thực chất đây là công

trình của Newton, được diễn đạt phù hợp với kiến thức của học sinh. Sau khi chứng minh xong, đưa ra

nhận xét diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi 2 đường thẳng x = a , x = b, trục Ox và đường

cong y = f(x) là S = S(b) – S(a) trong đó S(x) là một nguyên hàm của f(x).

Như vậy thông qua bài toán điện tích của hình thang cong để xây dựng định nghĩa tích phân và

không nhắc đến công thức Newton-Leibniz

Sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000 do các tác giả Ngô Thúc Lanh – Ngô Xuân Sơn – Vũ

Tuấn (NXBGD-2000 bộ sách M3)

Việc xây dựng định nghĩa tích phân hoàn toàn giống như sách M2 của nhóm tác giả Trần Văn

Hạo – Phan Trương Dần – Nguyễn Văn Dự – Cam Duy Lễ

Ứng dụng của tích phân thì 3 bộ sách trình bày có khác nhau như sau. nhóm các tác giả :

1/ Sách M1

Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và thoả mãn điều kiện g(x)  f(x)

với mọi x  [a;b] thì diện tích S của hình phẳng bị chắn về phía trên bởi đồ thị hàm y = f(x), về phía



[f(x) g(x)]dx

dưới bởi đồ thị hàm y = g(x), về hai bên bởi các đường x = a , x = b là



f(x) dx

S = (1)



cho hàm f(x) nhận giá âm trên đoạn [a;b] không thấy đưa ra công thức S =

2/ Sách M2, phân chia làm 3 công thức sau :

2.1 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(x)  0 với mọi x  [a;b] thì diện tích hình

f(x)dx

thang cong giới hạn bởi đường cong y = f(x), hai đường thẳng x = a, x = b và trục hoành là



S = (2)

2.2 Nếu f(x) có thể nhận giá âm trên đoạn [a;b] thì diện tích giới hạn bởi các đường y = f(x) , x =

f(x) dx

a, x = b , y = 0 là



(3) S =

2.3 Diện tích một hình phẳng : giống như cách trình bày của các tác giả thuộc sách M1, nghĩa là



[f(x) g(x)]dx

cũng đưa ra công thức



S = (4)

3.2.2 Định nghĩa tích phân thời kỳ 2000-2007

Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 do nhóm tác giả Ngô Thúc Lanh – Ngô Xuân Sơn – Vũ Tuấn

(bộ sách M3)

Cũng trình bày công thức tính diện tích như công thức (2), (3), (4), tuy nhiên với công thức (4)

các tác giả đưa ra nhận xét là : tìm nghiệm của phương trình f(x)  g(x) = 0 thuộc đoạn [a;b]. Giả sử đó

là ,  và a   <   b thì ta có : f(x)  g(x)  0 và do f(x), g(x) liên trục trên khoảng ( ; ), f(x) –









f(x) g(x) dx

[f(x) g(x) dx

g(x) giữ nguyên một dấu nên :





(5)

Nhờ nhận xét này, giúp học sinh khi tính tích phân không phải xét dấu biểu thức dưới dấu tích

phân.

Nhận xét rằng cả 3 loại sách viết trong 3 thời kỳ này không thấy xuất hiện một bài tính tích phân

nào bằng cách sử dụng diện tích của một hình đã biết, phải chăng đây là một hạn chế của sách giáo

khoa hay là do một thể chế đã có từ trước, mà xuất phát là lần biên soạn sách giáo khoa lần đầu tiên ở

Việt Nam đã không đề cập đến.

Cả 3 cuốn sách đều dùng diện tích của hình thang cong, chứng minh đạo hàm của hàm diện tích

trên đoạn [a;b] là nguyên hàm của hàm số f trên đoạn đó. Đây là công việc mà Newton đã làm vào cuối

thế kỷ thứ XVII, đồng thời kết hợp với công thức Newton-Leibniz để đi xây dựng định nghĩa tích

phân, tuy nhiên không thấy các tác giả làm bài toán nguợc lại, đó là dùng diện tích để tính tích phân.

3.2.3 Định nghĩa tích phân thời kỳ phân ban –năm 2007

Trước hết là sách giải tích 12 – nâng cao (bộ sách PB1) đưa ra bài toán tính diện tích của hình

thang cong, có trình bày chứng minh như bộ sách M2 với mục đích là chứng minh kết quả : S’(x) =

f(x) với mọi x thuộc (a ; b) do nhóm tác giả : Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) –Nguyễn Huy Đoan- Trần

Phương Dung - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng. (Được soạn theo chương trình Trung học

phổ thông được Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành kèm theo Quyết định số 47/2002/QĐ-BGD&ĐT

ngày 19/11/2002 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo)

Các tác giả xây dựng định nghĩa tích phân bắt đầu bài toán diện tích hình thang cong và quãng

đường đi được của một vật. Sau đó chứng minh hàm diện tích S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên

đoạn [a;b] và hàm quãng đường là một nguyên hàm của hàm vận tốc : s’(t) = f(t) = v, cách làm tương

Định nghĩa : Cho f(x) là hàm số liên tục trên K và a,b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F(b)

f(x)dx

tự như bộ sách M2, sau đó đưa ra định nghĩa như sau



F(x)

– F(a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

f(x)dx

F(x)

để ỉ hiệu số F(b) – F(a). Vậy Ta còn dùng kí hiệu : b



= F(b) – F(a) =

Tuy nhiên không thấy nói kết quả trên là công thức Newton – Leibniz – mà bộ sách M1 đã nói rõ.

f x dx ( )

“ vì

là một nguyên hàm bất kỳ của f nên ta có :



f x dx ( )

(

f x dx ( )

)



Ngoài ra, ta thấy xuất hiện cái mới là :



b a

f x dx ( )

”

là một hàm số. Các tác giả cũng đưa ra kết quả :



Nếu f(x) là hàm số liên tục và không âm trên đoạn [a;b], khi đó diện tích S của hình thang cong

f(x)dx

giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b là S =



Như vậy, xem

t dt ( )

.”

đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời điểm b là



Và “Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian v = f(t). Chứng minh rằng quãng

trong phần ứng dụng tích phân sách cũng đưa ra các công thức tương tự như các sách trên. Phần bài

đọc thêm sách có giới thiệu tổng tích phân bằng phép phân hoạch và điều kiện khả, tính bị chặn của

f(x) với mục đích giúp học sinh tìm hiểu thêm về tích phân.

Sách giải tích 12 – ban cơ bản (CB1) do Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) – Vũ Tuấn - Lê Thị Thiên

Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất thì cũng trình bày tương tự. Tuy nhiên do là ban cơ bản nên

Sách trình bày chứng minh : S’(x) = x 2 , x  [0;1]. Sau đó kết luận S(x) là một nguyên hàm của

cũng là một nguyên hàm của hàm

hàm số f(x) = x2 trên đoạn [0;1]. Mặt khác trên đoạn đó F(x) =

x 3

số f(x) = x 2 nên :

S(x) =

+ C

x 3

Từ giả thiết S(o) = 0 nên C = 0 vậy S(x) =

x 3

Thay x = 1 vào ta có diện tích cần tìm là S(1) =

1 3

các tác giả đưa ra một ví dụ cụ thể là : ví dụ 1 (trg 102) : “Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = x2 , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x = 1”

Từ ví dụ ban đầu, các tác giả đưa ra bài toán tổng quát cho hàm số f, sau đó đưa đến định nghĩa

f x dx ( )

tích phân. Phần này giống sách nâng cao.

chỉ một họ nguyên hàm của hàm f và bằng



F(x) + C. Ý nghĩa hình học của tích phân được nêu ra ngay sau định nghĩa, đó là diện tích của hình

Đặc biệt sách cơ bản thì nói rằng : kí hiệu

thang cong mà các tác giả đã giới thiệu khi mở đầu.

3.3. Đặc trưng của phép tính nguyên hàm trong chương trình hiện hành

)( dxxf

 Phép tính nguyên hàm được giảng dạy tường minh với ký hiệu 

và các phương pháp tính

 Việc tính nguyên hàm luôn được thực hiện với sự có mặt của ostensif .

dxxf )(

giống như phương pháp tính tích phân. Nguyên hàm trở thành tích phân không cận.

 Việc tính tích phân



luôn đưa về việc tìm nguyên hàm bằng các phương pháp tích phân dù

nguyên hàm đã được cho dưới dạng này hay dạng khác.

Chúng tôi cho rằng trong thể chế hiện hành, không tồn tại việc đọc ngược kết quả đạo hàm để tính

3.4. Thực nghiệm

nguyên hàm, ngay cả khi có mặt hay vắng mặt ostensif .

Thực nghiệm được tiến hành trên 85 học sinh lớp 12 ban khoa học tự nhiên của hai trường trung

học phổ thông ở Thành phố Hồ Chí Minh. Vào thời điểm thực nghiệm, các học sinh này đã học xong

chương Tích phân theo quy định của chương trình phân ban hiện hành. Mỗi học sinh được phát một

phiếu câu hỏi và phải độc lập soạn thảo lời giải trong thời gian 30 phút dưới sự giám sát của người làm

thực nghiệm. Toàn văn phiếu câu hỏi được trình bày ở phần phụ lục. Dưới đây là bài tập nêu ra trong

phiếu câu hỏi:

Bài 1. Cho hàm số y = xlnx (x > 0)

x dx

a/ Tính y’

 (1 ln )

b/ Tính

Bài 2. Cho hàm số f(x) =

x 12 x

1) Một học sinh muốn tìm một nguyên hàm F của f trên R bằng cách biến đổi f(x) thành dạng đạo

với mục đích của bạn (Chỉ được phép khoanh một lần):

12 x

hàm của một hàm số hợp, từ đó suy ra F(x). Hãy khoanh tròn biến đổi mà em cho là phù hợp nhất

u v

a) y = với u = x và v =

1 2 x

b) y = u.v với u = x và v =

c) y = với u = x2 + 1

d) Em không biết

e) Em có kết quả khác

2) Em có thể nêu cách tìm một nguyên hàm F của f trên R được không?

3.4.1. Phân tích a priori

Mục đích của bài 1 không phải là đánh giá khả năng tính tích phân từng phần của học sinh mà là

.

kiểm tra việc tính nguyên hàm bằng cách đọc ngược kết quả đạo hàm trong trường hợp có mặt ostensif

x 12 x

Bài tập 2 có 2 phần. Phần đầu là một câu hỏi nhiều lựa chọn yêu cầu biểu diễn hàm số f(x) =

dưới dạng f(x) = F’(x) với mọi x  R. Phần thứ hai của bài tập đề nghị học sinh nêu một cách khác tìm

hàm số F. Mục tiêu của bài tập là kiểm chứng sự sống của phép tính nguyên hàm không có .

Dưới đây, chúng tôi nêu ra các chiến lược có thể quan sát được đối với bài 1b:

S1. Tích phân từng phần



1 ln   dv dx 

u   

1 x x



     

x dx

x (1 ln )

e 2









e

 (1 ln )



S2. Phân tích thành tổng và nguyên hàm của lnx là 1/x (chiến lược sai)

dxx )

xdx

  1(



= +

1 x 1

= e +

1 e

- 1 = e +

S3. Đọc ngược kết quả đạo hàm (chiến lược tối ưu)

x dx

Vì (xlnx)’ = 1 + lnx nên một nguyên hàm của 1 = lnx là xlnx.

 (1 ln )

= = e

Đối với bài 2, câu trả lời đúng là a. Tuy nhiên chúng tôi cho rằng các câu trả lời khác vẫn được học

sinh chọn vì việc tính nguyên hàm không có  là một sự phá vỡ hợp đồng.

3.4.2 Phân tích a posteriori

Với bài 1a, 85 học sinh tham gia thực nghiệm đều tính đúng đạo hàm của hàm số y = xlnx. Tuy

nhiên, chỉ có 34 học sinh nhận ra xlnx là một nguyên hàm của 1 + lnx và huy động chiến lược tối ưu

S3. 51 học sinh còn lại huy động chiến lược S1 và S2 (tích phân từng phần hoặc phân tích thành tổng).

ố lượng Không trả lời

Kết quả cụ thể được cho trong bảng sau:

S1

Chiến

S2

lược

S3

Kết quả trên cho thấy việc tìm nguyên hàm gắn chặt với tích phân đến nỗi 51/85 học sinh đã đi

tìm nguyên hàm của 1 + lnx trong khi nguyên hàm này có thể suy trực tiếp từ câu a.

Với bài 2a, 36/85 chọn câu trả lời c. 49 học sinh còn lại chọn câu trả lời khác hoặc không biết câu trả

lời. Điều đáng lưu ý là dù có 36 học sinh chọn câu trả lời c (dạng viết mong đợi) nhưng chỉ có 12 học

ố lượng Không trả lời

sinh nêu được một nguyên hàm F của hàm số f đã cho. Kết quả được cho trong bảng sau:

a

Câu trả

b

lời

c

d

e

Kết quả này cho thấy phép tính nguyên hàm khi không có ký hiệu  trở thành một phá vỡ hợp đồng và

việc đọc ngược kết quả đạo hàm là nằm ngoài quan hệ thể chế.

3.4.3. Kết luận

Kết quả thực nghiệm đã chứng minh ngay cả khi nguyên hàm được cho dưới dạng này hay dạng

khác, học sinh vẫn huy động các phương pháp tính tích phân đã học để tìm nguyên hàm. Hơn nữa, việc

tìm nguyên hàm luôn gắn chặt với ký hiệu .

KẾT LUẬN

1. Về những điều kiện sinh thái của phép tính tích phân trong thể chế Việt Nam

Việc tính diện tích hình phẳng được xem như một ứng dụng chủ yếu của phép tính tích phân

nhưng ý nghĩa khoa học luận của bài toán diện tích đã trở nên khá mờ nhạt và với sự xuất hiện của các

phương pháp tính tích phân, phép tính diện tích không phục vụ cho phép tính tích phân, ngay cả khi

việc sử dụng công thức tính diện tích là chiến lược tối ưu trong một số phép tính.

Khái niệm hàm số hợp được đưa vào nhằm phục vụ cho việc lấy đạo hàm của hàm hợp và trình

bày công thức đổi biến số trong tích phân xác định. Việc phân tích một hàm số thành hợp của các hàm

số sơ cấp cơ bản không được giảng dạy tường minh. Điều này khiến nhiều cách đổi biến trở thành khó

hiểu.

Việc tính nguyên hàm gắn liền với ostensif  và sử dụng các phương pháp của phép tính tích phân.

Điều này dẫn đến một nghịch lý giống như Trần Lương Công Khanh đã chỉ ra trong luận án (2006) đối

với các chương trình và sách giáo khoa trước 2008: một mặt, giai đoạn tìm nguyên hàm trong một phép

tính tích phân được coi trọng hơn giai đoạn tính số; mặt khác, việc tìm nguyên hàm này trở nên thừa

khi nguyên hàm được cho dưới dạng này hay dạng khác.

Những điều kiện sinh thái được chương trình và sách giáo khoa xây dựng là chưa đủ cho sự sống

của phép tính tích phân.

2. Những hạn chế và hướng mở ra của đề tài

Luận văn chưa đề cập đến khái niệm vi phân vốn được sách giáo khoa huy động để tính tích phân

bằng phương pháp đổi biến số hay phương pháp tích phân từng phần. Điều này mở ra hai hướng mới

cho việc nghiên cứu những điều kiện sinh thái của phép tính tích phân trong chương trình trung học

phổ thông Việt Nam:

- Phân tích sinh thái khái niệm vi phân và ostensi dx trong các phương pháp tính tích phân.

- Xây dựng một đồ án didactic về dạy phép tính tích phân trong một môi trường sinh thái thuận lợi hơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt 1. Trần Bình, Phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến, Nxb Khoa học và kỹ thuật -2006

2. Nguyễn Văn Đòanh – Nguyễn Dõan Tuấn, Bài tập phép tính vi phân và phép tính tích phân – Nxb

Đại học quốc gia Hà nội,1999

3. Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Giáo dục-1994

khái niệm tích phân, luận văn thạc sĩ, Trường ĐH Sư phạm TP HCM, 2002.

4. Trần Lương Công Khanh, Nghiên cứu didactic về những khó khăn chính của học sinh khi tiếp thu

une étude comparative entre la France et le Vietnam, thèse de doctorat, Université Joseph

5. Trần Lương Công Khanh, La notion d’intégrale dans l’enseignement des mathématiques au lycée:

Fourier, 2006.

6. Vũ Tuấn – Phan Đức Thành – Ngô Xuân Sơn, Giải tích tóan học – tập 1 Nxb Giáo dục - 1987

7. Nguyễn Văn Vĩnh, Về tuyến hàm trong chương trình cải cách giáo dục môn toán – Hội thảo giáo

dục toán và tin học 1992

Tiếng Anh , tiếng Pháp

8. Adler I., Các phát minh toán học, NXB Giáo dục, 2001.

mathématiques et didactiques.

9. Artaud M., Introduction à l’approche écologique du didactique. L’écologie des organisations

10. Fichtengôn G.M, Cơ sở giải tích toán học, tập 1, Nxb Đại học và trung học chuyên nghiệp, Hà Nội,

1977

11. Howard Anton, Irl C.Bivens, Stephen L.Davis, Calculus –

de l’acquisition des relations entre les longueurs et les aires au collège, thèse de doctorat,

12. Moreira Baltar P., Enseignement et apprentissage de la notion d’aire de surfaces planes: une étude

Université Joseph Fourier, 1996.

PHỤ LỤC

Phụ lục 1. Phiếu câu hỏi dành cho học sinh trong thực nghiệm 1

Các em thân mến!

Phiếu này gồm 2 bài toán. Các em có 20 phút để trình bày lời giải ngay phía dưới bài tập đã cho. Lời

giải không nhằm để đánh giá các em mà để góp phần cải thiện việc dạy và học Toán. Các em được sử

dụng máy tính bỏ túi và bảng các nguyên hàm thông dụng. Xin cám ơn sự tham gia của các em.

Bài toán 1. Trên đoạn [0, 2], cho hàm số f xác định bởi:

f(x) =

khi x

0 khi



x 1   x 1 



2   3 

a) Vẽ đồ thị của hàm số đã cho

...............................................................................................................................................

)( dxxf

...............................................................................................................................................



b) Tính tích phân: I =

...............................................................................................................................................

Bài toán 2.

2 4 x dx





. a) Tính tích phân: J =

...............................................................................................................................................

b) Em có thể tính J bằng một cách khác với cách em đã làm không? Nếu có, hãy nêu ra cách đó.

...............................................................................................................................................

Phụ lục 2. Phiếu câu hỏi dành cho học sinh trong thực nghiệm 2

Các em thân mến!

Phiếu này gồm 2 bài toán. Các em có 20 phút để trình bày lời giải ngay phía dưới bài tập đã cho. Lời

giải không nhằm để đánh giá các em mà để góp phần cải thiện việc dạy và học Toán. Các em được sử

dụng máy tính bỏ túi và bảng các đạo hàm thông dụng. Xin cám ơn sự tham gia của các em. Bài 1. Cho hàm số y = sin (2x -1)3 1) Tính y’ ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... 2) Hàm số đã cho là hàm số hợp của những hàm số nào? Hãy khoanh tròn câu trả lời mà em cho là đúng nhất trong số những câu trả lời dưới đây: (Chỉ được phép khoanh một lần) a) y = sin u với u = (2x – 1)3 b) y = u3 với u = sin (2x – 1) c) y = sin u với u = v3 và v = 2x – 1

d) Em không biết

e) Em có kết quả khác:

Phụ lục 3. Phiếu câu hỏi dành cho học sinh trong thực nghiệm 3

Các em thân mến!

Phiếu này gồm 2 bài toán. Các em có 30 phút để trình bày lời giải ngay phía dưới bài tập đã cho. Lời

giải không nhằm để đánh giá các em mà để góp phần cải thiện việc dạy và học Toán. Các em được sử

dụng máy tính bỏ túi và bảng các nguyên hàm thông dụng. Xin cám ơn sự tham gia của các em.

Bài tóan 1. Cho hàm số y = xlnx (x > 0 ) a/ Tính y’.

x dx

 (1 ln )

b/ Tính

Bài 2. Cho hàm số f(x) =

x 12 x

12 x

với u = x và v = a) y = 1) Một học sinh muốn tìm một hàm số F thỏa F’(x) = f(x) với mọi x  R bằng cách biến đổi f(x) thành dạng đạo hàm của một hàm số hợp, từ đó suy ra F(x). Hãy khoanh tròn biến đổi mà em cho là phù hợp nhất với mục đích của bạn: (Chỉ được phép khoanh một lần) u v

1 2 x

b) y = u.v với u = x và v =

c) y = với u = x2 + 1

d) Em không biết

e) Em có kết quả khác

2) Em có thể nêu cách tìm một hàm số F thỏa F’(x) = f(x) với mọi x  R được không?

............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................