ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN THỊ CẨM VÂN
NGUYÊN LÝ IĐÊAN NGUYÊN TỐ
TRONG ĐẠI SỐ GIAO HOÁN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN THỊ CẨM VÂN
NGUYÊN LÝ IĐÊAN NGUYÊN TỐ
TRONG ĐẠI SỐ GIAO HOÁN
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. ĐOÀN TRUNG CƯỜNG
THÁI NGUYÊN - 2016
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, ngày 14 tháng 06 năm 2016
Người viết luận văn
i
Trần Thị Cẩm Vân
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm - Đại học
Thái Nguyên. Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin
gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Đoàn Trung Cường (Viện Toán
học Việt Nam), thầy là người trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, giúp
đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận
văn.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quý
thầy cô trong khoa Toán, các bạn học viên lớp cao học Toán k21b và k22
đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học
tập và nghiên cứu tại trường.
Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân trong gia
đình, bạn bè đã luôn động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình hoàn
thành khóa học
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 14 tháng 06 năm 2016
Người viết luận văn
ii
Trần Thị Cẩm Vân
Mục lục
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Mở đầu 2
3 1 Kiến thức chuẩn bị
3 1.1 Iđêan nguyên tố và iđêan cực đại . . . . . . . . . . . . . . .
3 1.1.1 Mối quan hệ giữa iđêan nguyên tố và iđêan cực đại .
5 1.1.2 Sự tồn tại iđêan nguyên tố . . . . . . . . . . . . . .
6 1.2 Phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 2 Nguyên lý iđêan nguyên tố
8 2.1 Họ iđêan và nguyên lý iđêan nguyên tố . . . . . . . . . . .
2.2 Ứng dụng của nguyên lý iđêan nguyên tố . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Iđêan linh hóa tử điểm . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Iđêan cốt yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Iđêan khả nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Phạm trù của môđun xyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
37 Kết luận
1
38 Tài liệu tham khảo
Mở đầu
Trong đại số giao hoán, về sự tồn tại iđêan nguyên tố có một số kết
quả cơ bản thường gặp trong quá trình học đại số giáo hoán. Ví dụ.
Định lý Cohen: Tồn tại iđêan nguyên tố trong vành giao hoán.
Định lý [Ka2, p.1].Cho S là tập đóng nhân trong vành giao hoán R, I là tập các iđêan không giao với S. Khi đó iđêan cực đại trong I luôn là
nguyên tố.
Ngoài ra có các kết quả khác của Herstein, Isaacs...
Mặc dù rất quan trọng nhưng các kết quả này xuất hiện một cách rời
rạc không hệ thống. Đó là lí do các tác giả Lam và Reyes tiến hành nghiên
cứu một cách hệ thống các nguyên lý iđêan nguyên tố trong bài báo " A
prime ideal in commutative algebra ", J.Algebra 319, (2008), 3006-3027.
Mục đích của luận văn này là trình bày lại bài báo.
Luận văn gồm 2 chương .
Chương 1 được dành để trình bày các kiến thức cho Chương 2. Cụ
thể hơn, chúng tôi trình bày các đặc trưng của iđêan nguyên tố, các kết
quả liên quan đến sự tồn tại iđêan nguyên tố của Cohen, Herstein, Isaacs.
Phần cuối của chương được dành để nhắc lại một vài kiến thức cơ sở về
phạm trù.
Nội dung chính của luận văn này trong Chương 2, nguyên lý iđêan
nguyên tố. Cụ thể, đầu tiên chúng tôi trình bày họ iđêan và nguyên lý
iđêan nguyên tố. Tiếp theo dựa và đó chúng tôi nêu ứng dụng nguyên lý
iđêan nguyên tố trong iđêan linh hóa tử điểm, iđêan cốt yếu và iđêan khả
2
nghịch. Cuối chương là phạm trù môđun xyclic.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong toàn bộ luận văn, ta luôn xét R là vành giao hoán có đơn vị.
Ở chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về iđêan nguyên tố
trong vành giao hoán.
1.1
Iđêan nguyên tố và iđêan cực đại
Trong tiết này chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa và một số đặc trưng
1.1.1 Mối quan hệ giữa iđêan nguyên tố và iđêan cực đại
của iđêan nguyên tố và iđêan cực đại.
I (cid:54)= R. Khi đó I là iđêan nguyên tố nếu xy ∈ I thì x ∈ I hoặc y ∈ I với
Định nghĩa 1.1.1. Cho R là vành giao hoán và I là iđêan, I ⊆ Rvà
mọi x, y ∈ R.Tập các iđêan nguyên tố được kí hiệu là Spec(R) được gọi
là phổ iđêan nguyên tố của vành R.
Ví dụ 1.1.2. 1. Trong Z, nZ là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi n = 0
hoặc n là số nguyên tố.
2. 0 là i đêan nguyên tố của vành Z.
Định lý 1.1.3. (Định lý đặc trưng) Cho I là một iđêan của vành R.
Khi đó I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi R/I là miền nguyên.
{x + I | x ∈ R} là vành thương của R trên I. Vì I là iđêan nguyên tố
3
Chứng minh. (⇒) Giả sử I là iđêan nguyên tố của R. Khi đó, R/I =
nên I (cid:54)= R và R/I có nhiều hơn một phần tử. Phần tử đơn vị của R/I
x + I, y + I ∈ R/I mà (x + I)(y + I) = 0 + I, do đó xy + I = 0 + I, khi
là 1 + I. Do R/I là vành giao hoán nên R/I là vành giao hoán. Giả sử
y + I = I. Vì vậy R/I là vành giao hoán không có ước của 0 hay R/I là
đó xy ∈ I. Do I nguyên tố nên x ∈ I hoặc y ∈ I. Suy ra x + I = I hoặc
(⇐) Giả sử R/I là miền nguyên, khi đó R/I có nhiều hơn một phần
miền nguyên.
(x + I)(y + I) = I = 0 + I. Vì R/I không có ước của 0 nên x + I = I
tử suy ra R (cid:54)= I. Giả sử x, y ∈ R và xy ∈ I suy ra xy + I = I hay
hoặc y + I = I, do đó x ∈ I hoặc y ∈ I. Vậy I là iđêan nguyên tố.
Định nghĩa 1.1.4. Cho R là một vành giao hoán, I là iđêan, I ⊆ R, I (cid:54)= R. Khi đó, I là iđêan cực đại của vành R nếu tồn tại iđêan J và I (cid:36) J thì J = R.
Ví dụ 1.1.5. Vành Z6 có hai iđêan cực đại là 2Z6 = {0, 2, 4} và 3Z6 = {0, 3}
Định lý 1.1.6. (Định lý đặc trưng) Cho I là một iđêan của vành R.
0 + I)(x0 + I) = x(cid:48)
0 + I sao cho (x(cid:48)
0x0 + I = 1 + I hay 1 = x(cid:48)
Khi đó, I là iđêan cực đại khi và chỉ khi R/I là một trường.
(⇐) Giả sử I là iđêan cực đại của R suy ra R (cid:54)= I. Do đó, R/I (cid:54)= 0.
Chứng minh. (⇒) Giả sử R/I là một trường, do đó R/I có nhiều hơn một phần tử vì vậy R (cid:54)= I. Giả sử, J là một iđêan của R và J (cid:37) I, khi đó tồn tại x0 ∈ J/I. Xét x0 + I ∈ R/I, vì x0 /∈ I nên x0 + I khả nghịch tức là tồn tại x(cid:48) 0x0 + y với y ∈ I mà x0 ∈ I nên 1 ∈ I ⊆ J. Do đó, 1 ∈ J, suy ra J = R. Vậy I là iđêan cực đại.
Vì R là vành giao hoán có đơn vị nên R/I cũng là vành giao hoán và có
đơn vị là 1 + I.
J = I + xR suy ra I ⊆ J và x ∈ J. Do I là cực đại nên 1R = y + xx1 ∈ J
4
Giả sử, x + I ∈ R/I và x + I (cid:54)= I suy ra x /∈ I. Xét iđêan J của R mà
suy ra 1 + I = (y + xx1) + I = xx1 + y + I = (x + I)(x1 + I). Suy ra x + I khả nghịch. Vậy R/I là một trường.
Định lý 1.1.7. Trong một vành giao hoán R, mọi iđêan cực đại đều là
iđêan nguyên tố.
Chứng minh. Giả sử I là iđêan cực đại của R. Với mọi a, b ∈ R, giả sử ab ∈ I và a /∈ I. Khi đó I + (a) cũng là một iđêan của R và I (cid:40) I + (a). Vì I là cực đại nên I + (a) = R. Khi đó, tồn tai các phần tử u ∈ I, v ∈ R
sao cho 1 = u + va suy rb = bu + v(ba) ∈ I. Vậy I là iđêan nguyên tố.
Điều ngược lại không đúng.
Ví dụ 1.1.8. Trong vành Z, iđêan {0} là iđêan nguyên tố nhưng không phải iđêan cực đại vì 2Z là iđêan của Z và {0} ⊆ 2Z (cid:54)= Z.
1.1.2 Sự tồn tại iđêan nguyên tố
Định nghĩa 1.1.9. Cho F là họ các iđêan của R với R ∈ F. Khi đó: i) F (cid:48) là phần bù của F ( gồm tất cả các iđêan của R /∈ F ) và Max(F (cid:48)) là tập các phần tử cực đại của F (cid:48). ii) F (cid:48) là họ M P (cực đại nên nguyên tố) nếu Max(F (cid:48)) ⊆ Spec(R)
Các kết quả về sự tồn tại iđêan nguyên tố trong vành giao hoán đều
là kết quả quan trọng và cơ bản trong Đại số giao hoán. Trong phần này
chúng tôi trình bày lại một số kết quả quan trọng trong số đó.
Định lý 1.1.10. Trong một vành giao hoán iđêan nguyên tố luôn tồn tại.
Định lý 1.1.11. (Định lý Cohen.) Cho S là tập đóng nhân. Luôn tồn tại iđêan nguyên tố sao cho P ∩ S (cid:54)= ∅
Định lý 1.1.12. (Định lý Herstein.) Cho R− môđun M khác 0. Giả
sử I là iđêan tối đại trong các iđêan có dạng Ann(x) với x (cid:54)= 0 ∈ M. Khi
đó I là nguyên tố.
Định lý 1.1.13. (Định lý Isaacs.) Giả sử I là iđêan cực đại trong các
5
iđêan không chính của vành R. Khi đó I là nguyên tố.
1.2 Phạm trù
Lý thuyết phạm trù ra đời vào khoảng năm 1945. Có rất nhiều cách
để định nghĩa một phạm trù. Định nghĩa mà ta đưa ra sau đây nhằm thích
hợp cho những loại phạm trù quen biết như phạm trù các nhóm, các nhóm
Abel và đặc biệt là các phạm trù môđun, loại phạm trù sau cùng này chính
là động lực cho sự phát triển của lý thuyết phạm trù
(K1) Một lớp các vật Ob(K) mà mỗi phần tử của Ob(K) được gọi là một vật của phạm trù K.)
(K2) Hai vật A, B tùy ý của Ob(K) luôn xác định một tập hợp M orK(A, B) gọi là tập hợp các cấu xạ từ vật A đến vật B sao cho với hai cặp khác
Định nghĩa 1.2.1. Một phạm trù K được cho bởi:
M orK(A, B) ∩ M orK(C, D) = (cid:11)
(K3) Với mỗi bộ ba (A, B, C) tùy ý các vật của Ob(K) luôn có một ánh xạ
M orK(B, C) × M orK(A, B) (cid:51) (a, b) → ba ∈ M orK(A, C).
nhau của các vật (A, B) (cid:54)= (C, D) thì:
• Tính chất kết hợp: Với mọi a ∈ M orK(A, B), b ∈ M orK(B, C), c ∈
M orK(C, D) thì (ab)c = a(bc).
• Có đồng nhất: Với mỗi vật A ∈ Ob(K) tùy ý luôn tồn tại một cấu xạ
1A ∈ M orK(A, A) gọi là phần tử đồng nhất sao cho a1A = 1Ba = a, với mọi a ∈ M orK(A, B).
gọi là phép nhân , sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
Khi phạm trù K đã xác định trước thì để cho tiện ta viết M or(A, B) thay
cho M orK(A, B) và kí hiệu M or(K) = ∪A, B ∈ Ob(K)M or(A, B). Ngoài ra ta cũng viết A ∈ K thay cho A ∈ Ob(K),
Định nghĩa 1.2.2. Cho K là một phạm trù và G ⊆ K, G được gọi là
6
phạm trù con của phạm trù K nếu G là phạm trù.
Ví dụ 1.2.3. 1) Phạm trù các nhóm Abel với Ob(A) là lớp tất cả các
nhóm Abel và M or(A, B) = Hom(A, B) là tập hợp tất cả các đồng cấu
nhóm từ nhóm Abel A vào nhóm Abel B. Tích các cấu xạ bằng ánh xạ
hợp thành.
Hom(M, N ) là tập các R- đồng cấu môđun. Tích các cấu xạ là hợp thành
2) Phạm trù các R- môđun với Ob(M) là lớp các R-môđun và M or(M, N ) =
các R-đồng cấu. Ký hiệu là M(R).
3) Phạm trù các R-môđun xyclic với Ob(M) Là lớp các R-môđun
xyclic và M or(M, N ) = Hom(M, N ) là tập các R- đồng cấu môđun xyclic.
Tích các cấu xạ là hợp thành các R-đồng cấu môđun xyclix. Ký hiệu là
7
Mc(R).
Chương 2
Nguyên lý iđêan nguyên tố
2.1 Họ iđêan và nguyên lý iđêan nguyên tố
Chúng ta sẽ bắt đầu với hai định ngĩa rất quan trọng cần thiết cho
luận văn này.
Trong suốt các phần tiếp theo, chúng ta sử dụng các kí hiệu I (cid:1) R để chỉ ra I là iđêan của vành (giao hoán) R. Với các tập con I, J, · · · ⊆ R,
iđêan sinh bởi hợp của I, J, · · · được kí hiệu bởi (I, J, · · · ). Ví dụ, nếu a ∈ R và I, J (cid:1) R , chúng ta có (I, J) = I + J và (I, a) = I + (a). Với I (cid:1) R và A ⊆ R, chúng ta định nghĩa (I : A) là iđêan {r ∈ R : rA ⊆ I}. Kí hiệu Spec(R) và Max(R) kí hiệu cho tập các iđêan nguyên tố và tập
các iđêan tối đại của vành R.
F là một tập hợp gồm các iđêan của R.
Cho R là một vành giao hoán và F là một họ iđêan trong R, nghĩa là
Định nghĩa 2.1.1. Một họ iđêan F trong vành R chứa R được gọi là Oka
I ∈ F.
nếu với mỗi iđêan I ⊆ R và phần tử a ∈ R sao cho (I, a), (I : a) ∈ F thì
Định nghĩa 2.1.2. Một họ iđêan F trong vành R chứa R được gọi là Oka
mạnh nếu với các iđêan I, A ⊆ R sao cho (I, A), (I : A) ∈ F thì I ∈ F.
Từ các định nghĩa trên ta sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa hai họ Oka và Oka
8
mạnh thông qua Bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.3. Cho F là họ iđêan của R. Khi đó các phát biểu sau là đúng:
1. Nếu F là Oka mạnh thì F là Oka.
2. Nếu R là vành chính và F là Oka thì F là Oka mạnh.
Chứng minh. 1. Giả sử F là họ iđêan Oka mạnh. Khi đó, theo định nghĩa
2.1.2 thì R ∈ F. Vậy để chứng minh F là Oka, ta cần chứng minh với mỗi
iđêan I ⊆ R, nếu tồn tại a ∈ R sao cho (I, a), (I : a) ∈ F thì I ∈ F. Điều
này là dễ dàng vì ta chỉ cần chọn A = (a) là iđêan chính.
2. Vì F là Oka nên R ∈ F. Theo giả thiết R là vành chính nên
(I, a) = (I, A) ∈ F và (I : a) = (I : A) ∈ F thì do tính Oka của F nên
I ∈ F. Vậy F là Oka mạnh.
với mỗi iđêan A tồn tại phần tử a ∈ R sao cho aR = A. Do đó, nếu
Từ Bổ đề trên ta suy ra trong trường hợp tổng quát thì điều ngược
lại trong phát biểu 1 là không đúng. Tiếp theo ta trình bày các khái niệm
sau.
Định nghĩa 2.1.4. Một họ iđêan F trong vành R chứa R được gọi là Ako
nếu với mỗi iđêan I ⊆ R và các phần tử a, b ∈ R sao cho (I, a), (I, b) ∈ F
thì (I, ab) ∈ F.
Định nghĩa 2.1.5. Một họ iđêan F trong vành R chứa R được gọi là Ako
F thì (I, aB) ∈ F.
mạnh nếu với các iđêan I, B ⊆ R và phần tử a ∈ R sao cho (I, a), (I, B) ∈
Bổ đề sau đây chỉ ra mối liên hệ giữa họ Ako và Ako mạnh.
Bổ đề 2.1.6. Cho F là họ iđêan của R. Khi đó các phát biểu sau là đúng:
1. Nếu F là Ako mạnh thì F là Ako.
9
2. Nếu R là vành chính và F là Ako thì F là Ako mạnh.
Chứng minh. 1. Vì F là một họ Ako mạnh nên R ∈ F. Để chứng minh F là
F thì (I, ab) ∈ F. Điều này là hiển nhiên từ định nghĩa họ Ako mạnh và
Ako, ta cần chứng minh: với I ⊆ R, nếu a, b ∈ R thỏa mãn (I, a), (I, b) ∈
chọn B = bR.
2. Vì F là Ako nên R ∈ F. Ta cần chứng minh với mỗi iđêan I ⊆ R,
F. Thật vậy vì R là vành chính nên tồn tại b ∈ R sao cho B = bR. Do
nếu tồn tại a ∈ R và iđêan B ⊆ R sao cho (I, a), (I, B) ∈ F thì (I, aB) ∈
đó, từ định nghĩa họ Ako ta suy ra F là Ako mạnh.
Tiếp theo, từ định nghĩa họ Oka và họ Ako ta có thể xây dựng một
họ các iđêan nguyên tố trong vành R thông qua Định lý sau:
J /∈ F}.
Định lý 2.1.7. (Nguyên lý iđêan nguyên tố.) Cho một họ iđêan F, giả sử F là Oka hoặc Ako. Khi đó, mọi phần tử cực đại của F (cid:48) đều là iđêan nguyên tố tức là Max(F (cid:48)) ⊆ Spec(R). Trong đó F (cid:48) = {J ⊆ R là iđêan |
Chứng minh. Giả sử F là Oka hoặc Ako và I ∈ Max F (cid:48). Ta cần chứng
minh I là iđêan nguyên tố. Giả sử ngược lại I không là iđêan nguyên tố.
(I, a) (cid:37) I (I : a) (cid:37) I (I, b) (cid:37) I.
Khi đó tồn tại a, b ∈ R sao cho ab ∈ I và a, b /∈ I. Từ đó suy ra
Do tính tối đại của I trong F (cid:48) nên (I, a), (I : a), (I, b) ∈ F. Theo giả thiết F là Oka hoặc Ako nên I ∈ F (mâu thuẫn với I ∈ M axF (cid:48)). Vậy I là
iđêan nguyên tố.
Ký hiệu P.I.P là họ thỏa mãn nguyên lý iđêan nguyên tố.
10
Tiếp theo là các định nghĩa về bán lọc, lọc và monoid
Định nghĩa 2.1.8. Cho F là họ các iđêan của R với R ∈ F. Ta nói i) F là bán lọc nếu với mọi I, J (cid:1) R, I ⊇ J ∈ F thì I ∈ F. ii) F là một lọc nếu F là bán lọc và I, J ∈ F thì I ∩ J ∈ F.
iii) F là monoid nếu với mọi I, J ∈ F thì IJ ∈ F.
Định lý 2.1.9. Cho F là họ Oka hoặc Ako. Giả sử mọi dãy lồng nhau trong F (cid:48) đều có chặn trên trong F (cid:48). Khi đó các phát biểu sau là đúng:
F thì F0 ⊆ F.
1) Giả sử F0 là một bán lọc của iđêan trong R sao cho F0 ∩Spec(R) ⊆
2) Giả sử J ⊆ R là iđêan sao cho nếu P (cid:37) J với P là iđêan nguyên
tố thì P ∈ F. Khi đó, mọi iđêan chứa thực sự J đều nằm trong F.
3) Nếu Spec(R) ⊆ F thì mọi iđêan của R đều nằm trong F.
Chứng minh. 1) Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử, F0 (cid:42) F. Khi đó tồn tại I ∈ F0 và I /∈ F. Xét Σ = {I (cid:48) | I ⊆ I (cid:48), I (cid:48) ∈ F}. Khi đó, Σ ⊂ F (cid:48) và Σ thỏa mãn " Mọi dãy lồng nhau trong Σ đều có phần tử bị chặn trên
trong Σ." Theo bổ đề Zorn ta có Σ có phần tử cực đại P nào đó. Vì vậy, P là phần tử cực đại của F (cid:48) (Max(F (cid:48)) ⊂ Spec(R).) Theo nguyên lý iđêan
nguyên tố ta có P là nguyên tố. Vì P ⊃ I và I ∈ F0 nên P ∈ F0 (do F0 là bán lọc). Theo giả thiết F0 ∩ Spec(R) ⊆ F nên P ∈ F. Điều này mâu thuẫn. Vậy F0 ⊆ F. 2) Đặt F0 = {J (cid:48) | J (cid:48) là iđêan chứa J}. Khi đó, F0 là bán lọc. Theo giả thiết F0 ∩ Spec(R) ⊂ F. Do đó theo 1), ta luôn có F0 ⊆ F. Vậy mọi iđêan chứa thực sự J đều nằm trong F.
3) Ta áp dụng phần chứng minh 2) trong trường hợp J = 0.
Khi đó ta có Định lý quan trọng sau.
Định lý 2.1.10. Cho một họ các iđêan F của R với R ∈ F và A, B, I, J
(P1) F là một lọc monoid. (P2) F là monoid và thỏa mãn với J ⊆ F và I ⊇ J ⊇ I 2 thì I ∈ F.
11
là các iđêan tùy ý của vành R. Xét các phát biểu sau:
(P3) Nếu I + A, I + B ∈ F thì I + AB ∈ F. (Q1) F là bán lọc monoid. (Q2) F là monoid và thỏa mãn với J ∈ F và I ⊇ J ⊇ I n (n > 1 bất kì) thì I ∈ F.
(Q3) Với A, B ∈ F và AB ⊆ I ⊆ A ∩ B thì I ∈ F. (Q4) Cho A, B ∈ F và AB ⊆ I ⊆ A ∩ B với A/I là xyclic thì I ∈ F. (Q5) Cho A, B ∈ F và AB ⊆ I ⊆ A ∩ B với A/I, B/I là xyclic thì I ∈ F. (O4) Với I ⊆ J và J, (I : J) ∈ F thì I ∈ F. (O5) Với I ⊆ J và nếu J, (I : J) ∈ F và J/I là xyclic thì I ∈ F. Khi đó ta có biểu đồ sau đây
(Q1) ⇒ (Q2) ⇒ (Q3) ⇒ (Q4) ⇒ (Q5)
(cid:109)
(cid:109)
(cid:109)
(cid:109)
(cid:109) (P1) ⇒ (P2) ⇒ (P3) ⇒ Ako mạnh ⇒ Ako ⇓
⇓
⇓
(cid:109)
(cid:109)
(O4) ⇒ (O5)
Oka mạnh ⇒ Oka ⇒ P.I.P
Hơn nữa, nếu F thỏa mãn (P3) thì F đóng với phép lấy tích và phép giao hữu hạn. Nghĩa là với mọi I1, I2, · · · , Ir ∈ F thì I1I2 · · · Ir ∈ F và I1 ∩ I2 ∩ · · · ∩ Ir ∈ F.
• Q1 ⇒ Q2 : Giả sử F là bán lọc monoid khi đó F là monoid. Xét J ∈ F và I là iđêan của R sao cho I ⊇ J ⊇ I n với n > 0. Vì F là
Chứng minh. 1) Trước tiên ta chứng minh Q1 ⇒ Q2 ⇒ Q3 ⇒ Q4 ⇒ Q5.
• Q2 ⇒ Q3 : Xét A, B ∈ F và I là iđêan của R sao cho AB ⊆ I ⊆ A ∩ B. Vì F là monoid nên AB ∈ F. Đặt J = AB ∈ F, khi đó I ⊇ J. Ta có, I 2 ⊆ (A ∩ B)(A ∩ B.) Mà A ∩ B ⊆ A và A ∩ B ⊆ B do đó I 2 ⊆ AB = J. Vì vậy, I 2 ⊆ J ⊆ I. Theo giả thiết Q2 ta có I ∈ F.
12
bán lọc nên từ J ∈ F và I ⊇ J ta có I ∈ F.
• Q3 ⇒ Q4 : Xét A, B ∈ F và I là iđêan của R sao cho AB ⊆ I ⊆ A∩B
• Q4 ⇒ Q5 : Xét A, B ∈ F và I là iđêan của R sao cho AB ⊆ I ⊆ A∩B và A/I, B/I là xyclic. Vì AB ⊆ I ⊆ AB và A/I là xyclic nên theo
Q4 ta có I ∈ F.
và A/I là xyclic. Vì có AB ⊆ B ⊆ A ∩ B nên I ∈ F.
• P1 ⇒ P2 : Giả sử F là một lọc monoid. Xét J ∈ F và I là iđêan của R thỏa mãn I ⊇ J ⊇ I 2. Do F là lọc và J ⊆ I, J ∈ F nên I ∈ F.
• P2 ⇒ P3 : Xét A, B, I là các iđêan của R sao cho I + A, I + B ∈ F. Do F là monoid nên (I + A)(I + B) ∈ F. Đặt (I + A)(I + B) = J,
2) Ta chứng minh P1 ⇒ P2 ⇒ P3 ⇒ Ako mạnh ⇒ Ako ⇒ P.I.P .
khi đó J ∈ F và I + AB ⊆ J = (I + A)(I + B) ⊇ (I + AB)(I + AB).
• P3 ⇒ Ako mạnh : Xét I, B là các iđêan của R và a ∈ R. Giả sử A = aR thì I + A, I + B ∈ F. Tù P3 ta có I + AB ∈ F do đó I + aB ∈ F.
• Ako mạnh ⇒ Ako ⇒ P.I.P theo Định lý 2.1.7 và Bổ đề 2.1.6.
• O4 ⇒ O5: Xét I, J là các iđêan của R sao cho I ⊆ J và nếu J, (I : J) ∈ F và I/J là xyclic thì cần chứng minh I ∈ F. Theo O4 ta có J, (I : J) ∈ F và J = I + aR nên J/I là xyclic. Do vậy, I ∈ F.
Từ giả thiết của P2 nên suy ra I + AB ∈ F.
• P1 ⇔ Q1: Vì F là một lọc monoid nên F là một bán lọc monoid. Ngược lại, giả sử F là bán lọc monoid. Ta cần chứng minh F là lọc.
3) Tiếp theo ta đi chứng minh hàng 1 ⇔ hàng 2 :
Cho A, B ∈ F. Do F là monoid nên AB ∈ F. Vì AB ⊆ A ∩ B và F
• Q2 ⇔ P2: Cho F là monoid thỏa mãn J ∈ F và I là iđêan của R sao cho I ⊇ J ⊇ I 2. Cần chứng minh I ∈ F. Thật vậy, theo Q2 ta có
13
là bán lọc nên A ∩ B ∈ F.
I ⊇ J ⊇ I n. Cho n = 2 thì I ∈ F. Ngược lại, xét J ∈ F, và I là iđêan của R thỏa mãn I ⊇ J ⊇ I n. Giả sử I /∈ F. Vì J + I = I /∈ F và J +I n = J ∈ F nên tồn tại k lớn nhất để J +I k /∈ F và J +I k+1 ∈ F. Mặt khác, J + I k ⊇ J + I k+1 ⊇ (J + I k)2. Từ P2, ta có J + I k ∈ F mâu thuẫn với J + I k /∈ F. Vậy I ∈ F.
• Q3 ⇔ P3: Giả sử A, B ∈ F và I là iđêan của R sao cho AB ⊂ I ⊂ A ∩ B. Từ P3 ta có A = 0 + A ∈ F, B = 0 + B ∈ F. Do đó, AB = 0 + AB ∈ F. Hơn nữa, I + A = A ∈ F vàI + B = B ∈ F.
I +A, I +B ∈ F. Ta có (I +A)(I +B) ⊆ I +AB ⊆ (I +A)∩(I +B.)
Do đó I + AB ∈ F. Ngược lại, xét I, A, B là các iđêan của R sao cho
• Q4 ⇔ Ako mạnh : Xét I, B là các iđêan của R, a ∈ R thỏa mãn I + aR, B(cid:48) = I + B và A/I là xyclic. Ta có A, B(cid:48) ∈ F. Mà AB(cid:48) ⊂ I +aB ⊂ A∩B(cid:48). Từ giả thiết Q4 ta có I +aB ∈ F. Do đó Ako mạnh. Ngược lại, xét A, B ∈ F, I là iđêan của R thỏa mãn AB ⊆ I ⊆ A∩B
Theo giả thiết Q3 nên I + AB ∈ F.
và A/I là xyclic. Khi đóA = I + aR. Ta có AB = IB + aB ⊆ I do
đóAB ⊆ I. Từ I + aR = A ∈ F và I + B = B ∈ F , vì Ako mạnh
• Q5 ⇔ Ako: Xét a, b ∈ R và I là iđêan của R thỏa mãn I + aR, I + bR ∈ F. Đặt A = I + aR và B = I + bR thì A/I, B/I là xyclic.Ta có
A, B ∈ F mà AB = (I +aR)(I +bR) ⊆ I +abR ⊆ (I +aR)∩(I +bR).
nên I + aB ∈ F.Vậy I ∈ F.
(I + aR)(I + bR) ⊆ I + abR ⊆ (I + aR) ∩ (I + bR). Theo định nghĩa
Theo Q5 suy ra I + abR ∈ F. Ngược lại, xét A, B ∈ F và I là iđêan của R thỏa mãn A = aR + I và B = bR + I. Khi đó, AB =
họ Ako suy ra (I, ab) ∈ F.
• P3 ⇒ Oka mạnh : Xét I, A là các iđêan của R thỏa mãn I +A ∈ F và I : A ∈ F. Đặt B = I : A thì B ⊃ I. Do vậy, I +B = B = I : A ∈ F.
14
4) Tiếp theo ta chứng minh dòng 2 ⇒ 3.
I + AB = I + A(I : A) = I nên I ∈ F.
• Ako ⇒ O4: Xét a ∈ R và I là iđêan của R sao cho I + aR ∈ F và I : a ∈ F. Đặt B = I : a thì B ⊃ I và aB = a(I : a) ⊆ I. Mặt
Ta có I + A ∈ F và I + B ∈ F nên I + AB ∈ F. Mặt khác,
I + aB ∈ F. Vậy I ∈ F.
khác I + aR ∈ F và I + B = B = I : a ∈ F. Vì Ako mạnh nên
• Oka mạnh ⇔ O4 : Xét I, J là iđêan của R, I ⊆ J thỏa mãn J, (I : J) ∈ F. Đặt J = (I, A) khi đó ta có (I, A) ∈ F. Mà (I : J) = (I :
(I, A)) ∈ F. Do đó I ∈ F. Ngược lại, xét I, A là iđêan của R thỏa
5) Chứng minh dòng 3 ⇔ 4.
(I, A) = (I : (I, A)) = (I : J) ∈ F, do đó I ∈ F.
• Oka ⇔ O5: Xét I, J là iđêan của R sao cho I ⊆ J thỏa mãn J, (I : J) ∈ F và J = I + aR là xyclic. Đặt J = I + aR khi đó I + aR ∈ F.
mãn (I, A) và (I : A) ∈ F. Đặt J = (I : A) khi đó ta có J ∈ F. Mà
Mà I : J = I : (I + aR) = I : aR = (I : a) ∈ F. Do đó I ∈ F.
Ngược lại, xét a ∈ R và I là iđêan của R thỏa mãn (I, a), (I : a) ∈ F.
(I + aR) = (I : J) ∈ F. Vì vậy, I ∈ F.
Đặt J = aR thì J/I là xyclic và J ∈ F. Mặt khác, (I : aR) = I :
λ∈Λ Fλ ∈ ΣP.
Mệnh đề 2.1.11. Gọi P là một trong các tính chất P1→3, Q1→5, O4→5 và ΣP = { các họ iđêan thỏa mãn P}. Khi đó, P đóng với phép giao, nghĩa là với họ các họ {Fλ}λ∈Λ ⊂ ΣP thì (cid:84)
Chứng minh. Từ Định lý trên ta chỉ cần xét P =(cid:48)(cid:48) Oka(cid:48) nghĩa là họ thỏa
15
mãn tính chất O5. Nhắc lai rằng, họ Fλ thỏa mãn O5 khi và chỉ khi với mọi I ⊂ J sao cho I, I : J ∈ Fλ và J/I là xyclic thì I ∈ F. Đặt F = (cid:84) λ∈Λ Fλ và ta cần chứng minh F thỏa mãn O5. Để chứng minh F thỏa mãn tính chất O5 ta cần xét I ⊂ J sao cho J/I là xyclic và I, I : J ∈ Fλ. Vì
λ∈Λ Fλ nên J/I là xyclic và I, I : J ∈ Fλ với mọi λ. Mặt khác, Fλ
F = (cid:84) thỏa mãn O5 nên ta có I ∈ Fλ với mọi λ. Do vậy, I ∈ (cid:84)
λ∈Λ Fλ = F.
Hệ quả 2.1.12. Mọi họ iđêan trong R đều nằm trong một họ nhỏ nhất có
tính chất P.
G∈X G.
Chứng minh. Xét một họ X = { họ các iđêan chứa F và có tính chất P}.
Khi đó, các iđêan của R đều nằm trong X . Gọi F = (cid:84) Do G có tính chất P nên theo mệnh đề trên ta có F có tính chất P.
Ngoài ra ta còn có X ⊇ F và là họ nhỏ nhất có tính chất P.
Mệnh đề 2.1.13. Cho tập X ⊂ Spec(R). Đặt F = {I là iđêan của R | I (cid:42) P, với mọi P ∈ X }. Khi đó, F thỏa mãn P1. Nói riêng, F là lọc Oka mạnh và lọc Ako mạnh.
Chứng minh. Ta cần chứng minh F là bán lọc, tức là với I ⊂ J là các iđêan của R. Nếu I ∈ F thì J ∈ F. Thật vậy, I ∈ F khi và chỉ khi I (cid:42) P với mọi P ∈ X . Do đó, J (cid:42) P với mọi P ∈ X . Vì vậy, J ∈ F
IJ ∈ F. Giả sử, IJ /∈ F, khi đó tồn tại P ∈ X sao cho IJ ⊆ P. Theo
Tiếp theo, ta cần chứng minh F là monoid, tức là nếu I, J ∈ F thì
J /∈ F. Điều này mâu thuẫn vì I, J ∈ F. Vậy F là monoid.
định lý tránh nguyên tố ta có, I ⊆ P hoặc I ∈ P. Khi đó, I /∈ F hoặc
Nhận xét 2.1.14. Cho F = {I là iđêan của R | I (cid:42) P, với mọi P ∈ X }.Do đó F (cid:48) = {I là iđêan của R với một P nào đó trong X }. Khi đó, X ⊂ F (cid:48). Ngoài ra, Max X = Max F (cid:48).
Y }. Khi đó, F có tính chất (P3.) Đặc biệt, F là Ako và Oka mạnh.
Mệnh đề 2.1.15. Cho Y ⊂ Max(R). Đặt F = {I là iđêan của R | I /∈
Chứng minh. Ta cần chứng minh nếu I + A, I + B ∈ F thì I + AB ∈ F.
16
Giả sử, I +AB /∈ F thì I +AB = m với m ∈ Y nào đó. Mà I +AB ⊆ I +A
nên I + A = m, điều này trái với giả thiết I + A ∈ F. Vậy I + AB ∈ F
hay F thỏa mãn tính chất (P3.)
Hệ quả 2.1.16. Giả sử R là một trường khi đó với F trong 2.1.15 ta có F (cid:48) = {I | I ∈ Y } = Y (cid:54)= 0. Ngoài ra 0 ∈ F nên F không là bán lọc.
Mệnh đề 2.1.17. Cho S, T là các iđêan của R thỏa mãn S đóng với phép
nhân (tức là với mọi I, J ∈ F thì IJ ∈ S) và T đóng với phép giao (tức
∃H ∈ S, K ∈ T | H ⊆ J ⊆ K}. Khi đó, F thỏa mãn tính chất P3. Đặc biệt, F là Ako và Oka mạnh.
là với mọi I, J ∈ T thì I ∩ J ∈ T ). Đặt F = {R} ∩ {J là iđêan của R :
H1, H2 ∈ S và K1, K2 ∈ T sao cho H1 ⊆ A ⊆ K1, H2 ⊆ B ⊆ K2. Do đó, H1H2 ⊆ AB và A ∩ B ⊆ K1 ∩ K2. Suy ra H1H2 ⊆ I ⊆ K1 ∩ K2. Vì S là đóng nhân nên H1H2 ∈ S và vì T là đóng giao nên K1 ∩ K2 ∈ T . Vậy I ∈ F hay F thỏa mãn Q3.
Chứng minh. Vì P3 ⇔ Q3 nên ta chỉ cần chứng minh F thỏa mãn Q3, tức là với A, B ∈ F và AB ⊂ I ⊂ A ∩ B thì I ∈ F. Do A, B ∈ F nên tồn tại
2.2 Ứng dụng của nguyên lý iđêan nguyên tố
Chúng ta bắt đầu phần này với một số ứng dụng của nguyên lý iđêan
nguyên tố trong trường hợp họ iđêan có tính chất mạnh nhất (P1). Một
trong những kết luận chúng ta rút ra ở đây là những trường hợp quen
thuộc trong đại số giao hoán. Mặc dù một số những kết luận này đã được
biết đến, nhưng không được công nhận trước đây như là kết quả chung.
Ở đây, tất cả các kết quả đều có nguồn gốc đơn giản và thống nhất. Công
việc này khá dễ dàng vì chỉ kiểm tra các tính chất Oka của họ các iđêan
phù hợp.
Đầu tiên chúng ta áp dụng Nguyên lý iđêan nguyên tố (P.I.P ) trong
Spec(R).
17
trường hợp F = R thỏa mãn tính chất (P1). Khi đó ta có Max(R) ⊆
Trước tiên trình bày một số mệnh đề cần cho các chứng minh ở phần
sau.
Mệnh đề 2.2.1. Cho S ⊆ R là tập đóng với phép nhân trong R, 0 /∈ S. Xét F = {I ∈ iđêan của R : I ∩ S (cid:54)= ∅}. Khi đó F thỏa mãn tính chất (P1). Theo P.I.P ta có iđêan lớn nhất trong các iđêan không có giao với tập đóng nhân S là iđêan nguyên tố. Tức là Max(F (cid:48)) ⊆ Spec(R).
Chứng minh. Để chứng minh F là một lọc monoid ta nhận xét: Nếu I ⊂ J và J ∈ F thì I ∈ F . Ngoài ra giả sử I, J ∈ F nghĩa là I ∩ S (cid:54)= ∅ và J ∩ S (cid:54)= ∅.Xét x ∈ I ∩ S, y ∈ J ∩ S ⇒ xy ∈ IJ. Vì S đóng với phép nhân nên xy ∈ S. Từ đó ta có xy ∈ IJ ∩ S. Vì vậy IJ ∈ F.
Như một trường hợp đặc biệt, chúng ta có thể lấy S là tập của tất cả
các ước khác 0 của R. Trong trường hợp này, F là họ của các iđêan thông
thường. Trong trường hợp này theo 2.2.1 (với J = 0) cho chúng ta các kết
luận quen thuộc sau:
Hệ quả 2.2.2. Các phát biểu sau là đúng:
1) Iđêan lớn nhất trong các iđêan chỉ chứa ước của 0 là iđêan nguyên
tố.
2) Nếu mọi iđêan nguyên tố khác 0 đều là chính quy thì R là miền
nguyên.
Chứng minh. 1) Xét tập S = {a ∈ R với a không là ước của 0}. Nếu a, b ∈ S thì ab ∈ S. Vì vậy S đóng với phép nhân. Đặt F = {I | I∩J (cid:54)= ∅}. Theo 2.2.1 thì F có tính chất (P1). Từ P.I.P ta có Max(F (cid:48)) ⊆ Spec(R). Thật vậy Max(F (cid:48)) = Max{I | I∩S = ∅} ⊆ Spec(R). 2) Từ (1) và giả thiết ta suy ra R không có iđêan nào chứa ước của 0.
Do đó mọi phần tử khác 0 của R đều không là ước của 0. Hay R là miền
nguyên.
18
Đối với ứng dụng thứ hai, chúng ta bắt đầu với tập các iđêan {Ij} trong R và cho F là họ các iđêan chứa một tích ( hữu hạn )của các Iλ,
nghĩa là F là lọc monoid (họ có tính chất (P1)) sinh bởi Iλ. Từ 2.1.10 , F là Ako hoặc Oka (mạnh). Vì vậy từ 2.1.7 và 2.1.9 có thể đưa ra các kết
quả sau:
Mệnh đề 2.2.3. Cho một họ iđêan {Iλ}λ∈Λ của R. Đặt (cid:80) = {Iđêan J | J không chứa một tích hữu hạn nào các iđêan trong họ trên}. Khi đó Max((cid:80)) ⊆ Spec(R).
Chứng minh. Xét F = {Iđêan J | J chứa một tích hữu hạn các iđêan Iλ1, . . . , Iλn nào đó } thì F là một lọc monoid. Theo P.I.P ta có Max(F (cid:48)) ⊆ Spec(R). Mà F (cid:48) = (cid:80) nên Max((cid:80)) ⊆ Spec(R).
Iλ1, Iλ2, . . . , Iλn = 0.
Hệ quả 2.2.4. Nếu Iλ hữu hạn sinh với λ ∈ Λ và mọi iđêan nguyên tố trong R đều chứa một iđêan Iλ nào đó thì tồn tại Iλ1, . . . , Iλn, sao cho
Chứng minh. Nếu mọi iđêan nguyên tố trong R đều chưa một tích iđêan trong họ {Iλ}λ∈Λ thì ta suy ra (cid:80) = ∅. Nói riêng, 0 không thuộc (cid:80) hay 0 là tích các iđêan trong họ {Iλ}λ∈Λ.
Hệ quả 2.2.5. Giả sử mọi iđêan nguyên tố cực tiểu của R đều là hữu hạn
sinh. Khi đó số iđêan nguyên tố cực tiểu của R là hữu hạn.
Chứng minh. Đặt S = Min Spec(R). Khi đó họ S thỏa mãn các điều kiện
trong phần sau của mệnh đề 2.2.3. Do đó tồn tại P1, . . . , Pr ∈ S sao cho P1...Pr = 0. Nếu p ∈ S thì P ⊇ 0 = P1...Pr. Theo định lí tránh iđêan nguyên tố ta có P ⊇ Pi nào đó. Vì P là cực tiểu nên P = Pi. Vì vậy S = {P1, . . . , Pr}, hữu hạn.
M .
19
Tiếp theo, chúng ta cùng xem xét các linh hóa tử điểm của R-môđun
2.2.1
Iđêan linh hóa tử điểm
Định nghĩa 2.2.6. Một linh hóa tử điểm của R-môđun M là một iđêan
Ann(x) = {a ∈ R | ax = 0},
có dạng
với một phần tử x ∈ M nào đó
Mệnh đề 2.2.7. Cho M là một R-môđun và S ⊂R là một tập đóng nhân
F = {I ∈ Iđêan của R| nếu I.x=0 với x ∈ M nào thì Ann(x) ∩ S (cid:54)= ∅}.
= {I ∈ Iđêan của R| nếu I ⊆ J với J là linh hóa tử điểm thì J ∩ S (cid:54)= ∅}.
chứa 1, không chứa 0. Xét họ
Khi đó F là bán lọc Ako mạnh. Nói riêng F là Oka và Ako.
Chứng minh. Từ định nghĩa tập F thì F là bán lọc. Ta cần chứng minh F
là Ako mạnh. Cho I + aR, I + B ∈ F, cần chứng minh I + aB ∈ F. Thật
rsx = 0. Vì vậy rs ∈ Ann(x). Mà rs ∈ S nên I + aB ∈ F. Vì thế F là
vậy, giả sử (I +aB)x = 0. Ta có Ix = 0 và aBx = 0. Do đó (I +B)ax = 0. Vì I +B ∈ F nên Ann(ax)∩S = ∅. Lấy s ∈ Ann(ax)∩S. Ta có asx = 0. Do đó (I + aR)sx = 0. Vì I + aR ∈ F nên r ∈ Ann(sx) ∩ S. Suy ra
Ako mạnh.
Hệ quả 2.2.8. Nếu (cid:80) = {Ann(x) sao cho x ∈ M và Ann(x) ∩ S = ∅} thì M ax (cid:80) ⊆ Spec(R).
Chứng minh. Đặt F (cid:48) = {I ∈ Iđêan của (R) | tồn tại x sao cho Ix = 0 và Ann(x) ∩ S = ∅}. Suy ra
M ax(F (cid:48)) ⊆ Spec(R).
(cid:80) ⊆ F (cid:48), và M ax(F (cid:48)) = M ax (cid:80) . Theo P.I.P, suy ra M ax (cid:80) =
Hệ quả 2.2.9. (Hệ quả Hertein) Mọi iđêan linh hóa tử điểm cực đại ((cid:54)= R)
20
đều là nguyên tố.
Chứng minh. Ta có
= {Ann(x) với x ∈ M sao cho Ann(x) ∩ S = ∅}.
= {Ann(x) với x ∈ M sao cho 1 /∈ Ann(x)}.
= {Ann(x) với x ∈ M sao cho x (cid:54)= 0}.
(cid:88)
Theo Mệnh đề 2.2.7 ta có Max (cid:80) ⊆ Spec(R).
Chúng ta cũng áp dụng nguyên lý iđêan nguyên tố vào họ iđêan cốt
2.2.2
Iđêan cốt yếu
yếu thể hiện trong phần sau đây.
J khác không thì I ∩ J (cid:54)= 0.
Định nghĩa 2.2.10. i) Ta gọi iđêan I ⊂ R là cốt yếu nếu với mọi iđêan
nil(R) = {a ∈ R sao cho tồn tại an = 0} = 0.
ii) Ta gọi R là rút gọn nếu căn lũy linh
J (cid:54)= 0 thì I ∩ J (cid:54)= 0.
Nhận xét 2.2.11. I ⊂ R là cốt yếu khi và chỉ khi với mọi iđêan chính
Chứng minh. Từ định nghĩa ta suy ra hiển nhiên. Ngược lại xét J (cid:54)= 0 bất
kì. Lấy x ∈ J và x (cid:54)= 0. Đặt J0 = xR.Ta có J0 ⊆ J là iđêan chính khác 0. Suy ra J0 ∩ J (cid:54)= 0. Vì vậy J ∩ I (cid:54)= 0.
Sau đây là một đặc trưng của iđêan cốt yếu trong vành rút gọn.
Bổ đề 2.2.12. Trong một vành rút gọn, tích hai iđêan cốt yếu là cốt yếu.
(m(cid:48)mx)2 = m(cid:48)mxm(cid:48)mx ∈ I1I2 ∩ J. Vì vậy I1I2 ∩ J (cid:54)= 0.
21
Chứng minh. Xét I1, I2 là hai iđêan cốt yếu trong R. Giả sử J = xR (cid:54)= 0 là một iđêan chính. Ta có J ∩ I1 (cid:54)= 0. Do đó tồn tại phần tử mx ∈ I1 sao cho mx (cid:54)= 0. Đặt J (cid:48) = mxR (cid:54)= 0 là một iđêan chính. Vì R là rút gọn nên (m(cid:48)mx)2 (cid:54)= 0. Mà
R (cid:54)= K[x]/x2,
Ví dụ 2.2.13. Xét vành
không là vành rút gọn. Đặt I1 = I2 = (x). Vì R là vành địa phương với iđêan cực đại x nên I1, I2 là cốt yếu. Tuy nhiên I1I2 = (0) không là cốt yếu.
Mệnh đề 2.2.14. Trong một vành rút gọn R, họ F các iđêan cốt yếu có
tính chất (P1). Nói riêng những iđêan lớn nhất trong các iđêan không là
cốt yếu là nguyên tố.
Chứng minh. Ta suy ra trực tiếp từ định nghĩa, tính chất (P1) và Bổ đề
2.2.12.
Từ các tính chất trên ta suy ra một Hệ quả quan trọng sau.
Hệ quả 2.2.15. Cho R là một vành Noether rút gọn. Khi đó R là miền
nguyên khi và chỉ khi mọi iđêan nguyên tố khác 0 đều là cốt yếu.
Chứng minh. Vì trong miền nguyên mọi iđêan khác không đều là cốt yếu.
Ngược lại theo mệnh đề 2.2.14 ta có họ F các iđêan cốt yếu có tính chất
(P1). Hơn nữa, vì R là Noether nên F thỏa mãn các yêu cầu trong 2.1.9.
Từ 2.1.9 ta có mọi iđêan I (cid:54)= 0. Vì mọi iđêan nguyên tố chứa I đều là cốt
F = {I ∈ Iđêan(R)|I (cid:54)= 0}.
yếu (∈ F ) nên I là cốt yếu. Suy ra
Max(F (cid:48)) = 0 ⊆ Spec(R).
Theo P.I.P ta có
2.2.3
Iđêan khả nghịch
Vì vậy R là miền nguyên.
Định nghĩa 2.2.16. Xét S = {a ∈ R không là ước của 0} thì S là đóng
F rac(R) = T = S−1R = {
|với a ∈ R, s ∈ S không là ước của 0}
a s
22
nhân.Khi đó vành
được gọi là vành phân thức của R.
Ví dụ 2.2.17. Cho R = Z, S = Z\{0}. Ta có F rac(R) = Q.
J ⊆ T sao cho có s ∈ S thỏa mãn s.J ⊆ R.
Định nghĩa 2.2.18. Một iđêan phân thức của R là một R- môđun con
n (cid:88)
J.J (cid:48) = {
aibi, ai ∈ J, bi ∈ J (cid:48)} = R
i=1
Định nghĩa 2.2.19. Một iđêan phân thức J ⊆ F rac(R) là iđêan khả nghịch nếu có một iđêan phân thức J (cid:48) ⊆ F rac(R) sao cho
Nhận xét 2.2.20.
⊆ F rac(R) với I ⊆ R là một iđêan
I s
(i) Mọi iđêan phân thức đều dạng
phân thức và s ∈ R không là ước của 0.
(ii) Mọi iđêan khả nghịch đều là hữu hạn sinh.
(iii) J (cid:48) là duy nhất và kí hiệu J −1.
Định lý 2.2.21. (Định lý phân tích) Cho các iđêan I ⊆ J ⊂ R. Khi đó
đẳng thức I = J(I : J) xảy ra một trong các trường hợp sau:
(1) J = R hoặc J = I hoặc I = 0.
(2) J là các iđêan khả nghịch.
(3) J là iđêan chính.
R.I = I. Nếu J = I thì I : J = I : I = R. Vì thế J(I : J) = I.R = I.
Chứng minh. 1) Nếu J = R thì I : J = I : R = I. Vì vậy J(I : J) =
Nếu I = 0 thì J(I : J) ⊆ I = 0. Do đó J(I : J) = 0 = I. 2) Theo giả thiết ta có J −1.J = R là iđêan. Vì I ⊂ J nên J −1I ⊂ R, là iđêan.Suy ra (J −1I)J = (J −1J)I = I. Do đó (J −1I) ⊆ I : J. Vì thế J(J −1I) ⊆ J(I : J). Do đó I ⊆ J(I : J) ⊆ I. Suy ra I = J(I : J).
23
3) Đặt J = Rx với x ∈ R nào đó. Vì I ⊆ J nên mọi phần tử của I có
dạng ax, a ∈ R nào đó.
H = I : J = {a ∈ R : ax ∈ I}.
Đặt
I = xH = JH = J(I : J)
Suy ra
Nhận xét 2.2.22. Đẳng thức I = J(I : J) nói chung không đúng trong
R = K[X, Y ], I = (x), J = (x, y).
trường hợp tổng quát. Thật vậy xét
J.(I : J) = J.I = (x, y)(x) = (x2, xy) (cid:36) (x) = I.
Suy ra I là iđêan nguyên tố. Do đó I : J = I. Vì vậy
Tiếp theo chúng ta có thể nêu các kết quả trên cho những iđêan khả nghịch. Kết quả Max(F (cid:48)) ⊆ Spec(R) là do Mc Adam đưa ra trong trường
hợp đặc biệt của miền nguyên. Sử dụng định lý phân tích, chúng ta nghiên
cứu họ monoid của các iđêan khả nghịch và chứng minh giả thiết tổng
quát hơn với mọi vành giáo hoán.
R. Khi đó F là Oka mạnh và do đó F là họ M P .
Mệnh đề 2.2.23. Cho F là một họ monoid các iđêan khả nghịch trong
Chứng minh. Ta sẽ đi kiểm tra tính chất O4. Lấy I, J là các iđêan của (R) sao cho I ⊆ J và thỏa mãn J, (I : J) ∈ F. Cần chứng minh I ∈ F. Thật
vậy vì J là khả nghịch nên J ∈ F. Theo định lý phân tích có I = J(I : J)
√
√
vìJ, (I : J) ∈ F. Mặt khác F là monoid nên I = J(I : J) ∈ F.
5) = {n + m
24
Nhận xét 2.2.24. Họ F nói chung không là Ako. Do đó Oka mạnh không 5; m, n ∈ Z}, và F = là Ako. Thật vậy, xét R = Z(
√
√
{ tất cả các iđêan khả nghịch trong Z[
5]}. Xét I = (2 + 2
5), a = 2.
√
I + aR = (2 + 2
5, 2) = 2R.
Ta có
2 = R. Vì vậy I + aR ∈ F. Mặt khác ta có
√
√
I + a2R = (2 + 2
5, 4) = 2(1 +
5, 2).
√
Suy ra (I + aR). R
5, 2) không khả nghịch nên I + a2R /∈ F. Vì vậy F không là
Vì (1 +
Ako.
Hệ quả 2.2.25. Vành R là vành Dedekind khi và chỉ khi mọi iđêan nguyên
tố khác 0 là khả nghịch.
Chứng minh. Cho F là họ tất cả các iđêan khả nghịch của R. Theo 2.2.23
n (cid:88)
1 =
aibi, ai ∈ I, bi ∈ I −1.
i=1
thì F là Oka mạnh. Ta chỉ cần chứng minh I là hữu hạn sinh. Ta có II −1 = R nên 1 = II −1. Do đó,
n (cid:88)
a =
ai(abi).
i=1
ai(abi) ∈ I (cid:48). Vì vậy, I ⊆ I (cid:48).
Đặt I (cid:48) = (a1, . . . , an)R ⊆ I. Với mọi a ∈ I, ta có
n (cid:80) i=1 Tiếp theo, ta chứng minh I là khả nghịch. Với mọi a ∈ I \ {0}, giả sử 0 :R a (cid:54)= (0). Theo 2.1.9, ta có J := 0 :R a ∈ F, vì JJ −1 = R nên 1 ∈ JJ −1. Lại có
n (cid:88)
1 =
uivi, uia = 0,
i=1
Vì II −1 = R nên abi ∈ R. Suy ra a =
n (cid:88)
a =
(aui)vi = 0,
i=1
với mọi vi ∈ J −1. Lấy
25
mâu thuẫn.
Bây giờ chúng ta tập trung nghiên cứu họ iđêan thông qua số phần tử
sinh ra chúng. Tổng quát hơn, cho R - môđun M , cho µ(M ) ký hiệu cho
các µ chính lớn nhất sao cho M có thể sinh bởi µ phần tử.
Max(F (cid:48)
α) ⊆ Spec(R)( tương ứng Max(F (cid:48)
<α) ⊆ Spec(R)).
Mệnh đề 2.2.26. Cho một tập hữu hạn cố định α và Fα ( tương ứng là F<α) là họ các iđêan I ⊆ R sao cho µ(I, a) ≤ α (tương ứng µ(I) < α). Khi đó Fα ( tương ứng F<α) là một họ Oka monoid và ta có
Chứng minh.
Một trường hợp nữa có thể được chứng minh bằng phương pháp tương
tự với α = 1. Dưới đây từ 2.2.26 chúng ta xem F1 như là một họ của các iđêan chính của vành R.
0) và F là họ iđêan chính với s ∈ S. Khi đó F là họ Oka mạnh monoid.
Mệnh đề 2.2.27. Cho S ⊆ R là tập đóng nhân chứa 1 ( có thể chứa cả
Max(F (cid:48)) ⊆ Spec(R).
Vì vậy ta có
xy ∈ S. Tiếp theo cho F là họ Oka mạnh. Cho I ⊆ J là iđêan sao cho J
Chứng minh. Rõ ràng F là monoid vì (x)(y) = (xy) và x, y ∈ S thì
I = J.(I.J) ∈ F.
và (I : J) đều thuộc F. Vì J là iđêan nên theo định lý phân tích ta có
Điều này thỏa mãn các tính chất trong (O4) vì thế F là Oka mạnh. Theo P.I.P ta có Max(F (cid:48)) ⊆ Spec(R).
Nhận xét 2.2.28. Họ được nghiên cứu trong mệnh đề 2.2.26 và mệnh đề
2.2.27 đều là họ Oka, tuy nhiên nói chung không là họ Ako. Ví dụ cho R
là một vành với hai phần tử a, b sao cho I = (a) ∩ (b) không hữu hạn sinh
và F là các iđêan chính ( tương ứng là họ các iđêan) hữu hạn sinh của R.
26
Theo 2.2.26 và 2.2.27 ta thấy F là Oka vì (I, a) = (a) và (I, b) = b đều
thuộc F. Tuy nhiên (I, ab) = I /∈ F . Vì thế F không là Ako. Trong trường
hợp F là họ các iđêan chính thì từ 2.2.27 ta thấy F là họ Ako mạnh. Do
đó có ví dụ thứ hai về họ Oka mạnh nhưng không phải là Ako vì không
có tính chất (P3). Để hoàn thành phần này chúng ta sẽ đưa ra một số ví dụ về họ Oka xuất phát từ việc xem xét các chuỗi lũy thừa giảm của các
iđêan của vành R.
F = {C ⊆ R : ∩C n ∈ F0},
Mệnh đề 2.2.29. Cho F0 là lọc monoid của R ( tức là F0 là họ các iđêan có tính chất P1). Khi đó họ
là lọc monoid. Đặc biệt iđêan tối đại bất kì với tính chất ∩J n /∈ F0 là nguyên tố.
Chứng minh. Trước tiên ta sẽ chứng minh F là lọc. Thật vậy, với mọi J ⊆ I, J ∈ F thì ta có (∩J n) ∈ F0. Do đó (∩J n) ⊆ (∩I n) ∈ F0 vì F0 là lọc. Vì vậy I ∈ F. Giả sử I, J ∈ F thì ∩I n, ∩J n ∈ F0. Khi đó ∩(I ∩ J)n ⊇ ∩(IJ)n ∈ F0. Do đó I ∩ J ∈ F. Tiếp theo ta đi chứng minh F là monoid. Với I, J ∈ F ta cần chứng minh IJ ∈ F . Giả sử ∩I n, ∩J n đều thuộc F0. Khi đó (∩I n)(∩J n) ⊆ ∩(IJ)n. Vì vậy IJ ∈ F.
Ví dụ 2.2.30. Nếu S là tập đóng nhân bất kì của R thì theo mệnh đề
F0 = {I ⊆ R : I ∩ S (cid:54)= ∅}.
2.2.29 ta có
Do đó, iđêan tối đại J bất kì với S ∩ (∩J n) = ∅ là nguyên tố. Đặc biệt nếu R là miền nguyên lấy S = R\{0}. Khi đó ta thấy iđêan tối đại J bất kì với ∩J n = 0 là nguyên tố.
Định nghĩa 2.2.31. Họ F = {I ⊆ R | I ⊇ I 2 ⊇ . . . } được gọi là ổn định nếu tồn tại một số n0 sao cho I n0 = I n0+1, với mọi n ≥ n0.
Mệnh đề 2.2.32. Họ F = {I ⊆ R | I ⊇ I 2 ⊇ . . . } là ổn định đều thỏa
27
mãn tính chất (Q2). Khi đó mọi phần tử tối đại m thỏa mãn tính chất
m (cid:41) m2 (cid:41) . . . đều là iđêan tối đại trong R. Hơn nữa vành Noether R là Artin nếu và chỉ nếu I ⊇ I 2 ⊇ . . . là ổn định với mọi I ∈ M ax(R).
Chứng minh. Vì 1.1 = 1 ∈ R2 nên R = R2. Do đó R ∈ F. Tiếp theo ta
(IJ)m = I m.J m = J m+1.J m+1 = (I.J)m+1.
đi chứng minh F là monoid. Cho I, J ∈ F . Vì F là ổn định nên tồn tại m sao cho I m = I m+1, J m = J m+1. Khi đó
Do đó I.J ∈ F.
Tiếp theo ta chứng minh tính chất Q2. Cho J ∈ F và I ⊇ J ⊇ I n, trong đó I ⊆ R và n > .1 Ta cần chứng minh I ∈ F. Vì J ∈ F nên tồn tại m sao cho J m = J m+1. Khi đó J m ⊇ (I n)m ⊇ (J n)m = J m. Suy ra (I n)m = J m. Do đó (I nm)2 = J 2m = J m = J nm. Vì vậy I ∈ F.
Cho m là phần tử tối đại thỏa mãn tính chất như trong Mệnh đề. Áp
dụng P.I.P có m là iđêan nguyên tố. Cần chứng minh m là tối đại. Vì m
là nguyên tố nên R = R/m, là miền nguyên. Lấy a (cid:54)= 0 là phần tử tùy ý trong R. Khi đó (a) ⊇ (a2) ⊇ . . . , là ổn định với mọi a, nghĩa là tồn tại n sao cho (an) = (an+1). Suy ra an = u.an+1, trong đó u là khả nghịch. Do đó an(1 − u.a) = 0. Vì R là miền nguyên và a (cid:54)= 0 nên 1 − u.a = 0. Vì
vậy u.a = 1. Do đó R là trường.
Giả sử R là vành Noether và có Max(R) ⊆ F. Cần chứng minh R là vành Artin. Vì F (cid:48) = 0 nên F là tập tất cả các iđêan của R. Nghĩa là mọi
R là vành Noether và Artin thì dim R = 0, nghĩa là mọi iđêan nguyên tố
dãy giảm các iđêan đều ổn định. Do đó R là vành Artin. Ngược lại, giả sử
đều tối đại.
.
28
Mệnh đề 2.2.33. Cho F là họ monoid lũy đẳng. Khi đó F là họ Oka và F (cid:48) là họ M P. Hơn nữa, nếu m là phần tử tối đại thỏa mãn tính chất m (cid:54)= m2 thì m ∈ Max(R).
Chứng minh. Để chứng minh F là Oka ta chứng minh theo (O5.) Cho I, J là các iđêan của (R), I ⊆ J và J, (I : J) cùng thuộc F . Cần chứng minh I ∈ F với J/I là xyclic. Ta có J = J 2 và (I : J)2 = (I : J). Do đó ta có (J.(I : J))2 = J 2(I : J)2 = J(I : J) nên J.(I : J) cũng là
I = J.(I : J) ∈ F,
lũy đẳng. Theo nguyên lý phân tích ta có
suy ra F là Oka nên F (cid:48) là họ M P.
Tiếp theo ta đi chứng minh m ∈ Max(R). Cho m ∈ Max(F (cid:48)) thì m là
nguyên tố nên R/m là miền nguyên. Vì mọi iđêan trong R/m là lũy đẳng.
R/m. Suy ra a(1 − u.a) = 0. Vì R là miền nguyên, a (cid:54)= 0 nên 1 − u.a = 0.
Thật vây, lấy K (cid:54)= 0 là iđêan tùy ý của R/m. Suy ra K = J/M, trong đó m (cid:40) .J Do đó J /∈ F (cid:48). Nên J ∈ F. Vậy J = J 2, dẫn đến K = K 2. Ta chứng minh R/m là trường. Với mọi a (cid:54)= 0 là phần tử tùy ý của R/m. Ta có (a) = (a2). Do đó a = u.a2, trong đó u là phần tử khả nghịch trong
Dẫn đến u.a = 1. Vì vậy R/m là trường. Do đó m ∈ Max(R).
Bằng cách lấy giao các họ của các iđêan lũy đẳng với họ của các iđêan
hữu hạn sinh, chúng ta được họ của các iđêan của R mà được sinh bởi các
phần tử lũy đẳng. Khi đó các iđêan là tổng trực tiếp của các iđêan. Do đó
từ Mệnh đề 2.2.27 (với S được lựa chọn là tập tất cả các iđêan lũy đẳng)
suy ra họ của các tổng trực tiếp là Oka mạnh. Từ đó ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 2.2.34. Cho F = {I ⊕ A : I, Alà iđêan củaR} thỏa mãn tính chất (P3). Khi đó mọi m ⊆ R là phần tử tối đại của F (cid:48) đều là iđêan tối đại của R.
Chứng minh. Cho A, B ∈ F với A = aR, B = bR, trong đó a, b là phần
29
tử lũy đẳng thì ta có A ∩ b = A.B = abR ∈ F. Rõ ràng F thỏa mãn tích chất (Q3). Cho m ∈ Max(F (cid:48)). Theo P.I.P ta có m là nguyên tố. Ta đi chứng minh mọi iđêan của R/m là tổng trực tiếp. Giả sử J/m (cid:54)= 0 là iđêan tùy ý trong R/m. Suy ra J (cid:41) m. Do tính cực đại của m ta có J
không thuộc F (cid:48). Suy ra J ∈ F. Vì vậy J/m là tổng trực tiếp. Do đó R/m
là vành nửa đơn. Kết hợp R/m là miền nguyên nên R/m là trường. Vì vậy
m ∈ Max(R).
2.3 Phạm trù của môđun xyclic
Với một vành giao hoán R, chúng ta viết M(R) cho phạm trù của R
- môđun và Mc(R) với phạm trù con đầy đủ R - môđun xyclic. Có một phép tương ứng tự nhiên 1 − 1 giữa các iđêan của R và lớp đẳng cấu của
các phần tử của Mc(R). Với một iđêan I ⊆ R chúng ta kết hợp lớp đẳng cấu của R - môđun R/I. Với một môđun xyclic M trong Mc(R), chúng ta kết hợp iđêan Ann(M ) ⊆ R chỉ phụ thuộc vào lớp đẳng cấu của M . Sử
dụng tương ứng 1 − 1, về cơ bản chúng ta có thể xác định họ các iđêan
của R với họ các lớp đẳng cấu của M với họ của các lớp đẳng cấu của các
phần tử của phạm trù Mc(R).
Trong phần nay, chúng ta thấy rằng quan điểm này sẽ dẫn đến sự giải
thích của họ các iđêan Oka và Ako trong vành R về phạm trù con của
Mc(R). Sử dụng trường hợp Oka đầu tiên, chúng ta thấy rằng phạm trù con C của Mc(R), là đóng với phép mở rộng nếu C chứa môđun không và dãy khớp bất kì 0 → L → M → N → 0 của Mc(R) với L, N trong C kéo theo M trong C. Từ điều kiện này, ta thấy bất cứ khi nào L(cid:48) ∼= L, L ∈ C thì L(cid:48) ∈ C (vì tồn tại dãy khớp 0 → L → L(cid:48) → 0 → 0).
Định nghĩa 2.3.1. Ta nói phạm trù C của Mc(R) là đóng dưới phép mở rộng nếu nó chứa môđun 0 và với mọi dãy khớp 0 → L → M → N → 0
trong Mc(R), sao cho L, N ∈ C thì M ∈ C.
Fc = {I ⊂ R : R/I ∈ C},
Định lý 2.3.2. Cho C là phạm trù con của Mc(R) là đóng với phép mở rộng. Khi đó
30
là Oka.
CF = {M ∈ Mc(R) : M ∼= R/I với I ∈ F},
Ngược lại, cho F là họ Oka của các iđêan trong R, khi đó
là phạm trù con của Mc(R) đóng với phép mở rộng.
0 → J/I → R/I → R/J → 0,
Chứng minh. Vì C đóng với phép mở rộng nên 0 ∈ C, do đó R ∈ Fc. Ta đi chứng minh Fc là Oka bằng cách kiểm tra tính chất (O5). Cho I, J ⊂ R thỏa mãn J = (I, a), với a ∈ R và J, (I : J) ∈ Fc. Nghĩa là R/J, R/(I : J) ∈ C. Xét dãy khớp
CF = {M ∈ Mc(R) : M ∼= R/I, I ∈ F},
trong M . Ta có (I : J) = (I : a). Mặt khác ta có đẳng cấu R/(I : J) ∼= J/I cho bởi f (1) = a. Do đó J/I ∈ C. Vì Mc đóng dưới phép mở rộng nên theo định nghĩa ta có R/J ∈ C. Vì vậy I ∈ Fc. Ngược lại nếu F là Oka cần chứng minh
0 → L → M → N → 0,
là phạm trù con của Mc đóng với phép mở rộng. Thật vậy, vì F là Oka nên R ∈ F . Do đó 0 = R/R ∈ CF . Xét dãy khớp ngắn
R/(I : J) ∼= J/I = L ∈ CF .
trong đó Mc(R) trong đó L, N ∈ CF . Ta cần chỉ ra M ∈ CF , nghĩa là M ∼= R/I với I ⊆ F. Chọn L = J/I, trong đó J = (I, a), với a nào đó thuộc R. Khi đó R/I ∼= N ∈ CF . Suy ra J ∈ F. Khi đó ta có
Suy ra (I : J) ∈ F. Do F là Oka và J ∈ F , (I : J) ∈ F nên I ∈ F . Vì
M ∼= R/I ∈ CF .
31
vậy ta có
0 → L1 → M → N1 → 0,
Định nghĩa 2.3.3. Cho phạm trù con C của Mc(R) chứa môđun 0 với hai dãy khớp
0 → L2 → M → N2 → 0,
và
trong Mc(R) thỏa mãn tồn tại các toàn cấu N2 → L1 và N1 → L2, C được gọi là Ako nếu N1, N2 ∈ C thì M ∈ C.
CF = {M ∈ Mc(R) : M ∼= R/I, I ∈ F} ⊆ Mc(R),
Định lý 2.3.4. Nếu C là Ako thì Fc là họ Ako. Ngược lại, nếu họ các iđêan F trong R là Ako thì phạm trù con liên kết
cũng là Ako.
0 → A/I → R/I → R/A → 0,
Chứng minh. Giả sử C là Ako ta cần chỉ ra Fc là Ako bằng cách kiểm tra tính chất (Q5). Thật vậy cho A, B ∈ Fc, I ⊆ R, thỏa mãn AB ⊆ I ⊆ A ∩ N, và A/I, B/I ∈ Mc(R). Khi đó xét hai dãy khớp
0 → B/I → R/I → R/B → 0.
g −→ B/I,
và
Vì A/I là xyclic nên tồn tại a sao cho A/I = (a). Khi đó ta có toàn cấu R/B f−→ A/I, xác định bởi f (1) = a. Tương tự có toàn cấu R/A xác định bởi f (1) = b, trong đó (b) = B/I. Vì A, B ∈ Fc nên R/A, R/B ∈ C. Do tính chất Ako của C nên R/I ∈ C. Vì vậy I ∈ Fc.
Ngược lại cho F là họ Ako ta cần chứng minh C = CF ⊆ Mc(R). Ta
0 → L1 → M → N1 → 0,
kiểm tra C = CF có tính chất Ako. Thật vậy, xét hai dãy khớp
0 → L2 → M → N2 → 0,
32
và
0 → A/I → R/I → R/A → 0,
với các toàn cấu từ L2 → N1 và N2 → L1. Trong đó N1, N2 ∈ C. Cần chứng minh M ∈ C. Vì M ∈ Mc(R), nếu M ∼= R/I. I là iđêan nào đó của R thì tồn tại các iđêan A, B ⊇ I sao cho các dãy khớp.
0 → B/I → R/I → R/B → 0.
và
Vì N1, N2 ∈ C nên A, B ∈ F. Khi đó toàn ánh N2 → L1 là toàn cấu R/B → A/I. Suy ra A/I là xyclic và AB ⊆ I. Tương tự ta có B/I là
M ∼= R/I ∈ CF = C.
xyclic. Theo tính chất Q5 ta có I ∈ F. Vì vậy
Từ giả thiết của Định lý 2.3.4 nhưng sử dụng các chứng minh giống
nhau, chúng ta có thể xây dựng các đặc trưng tương tự của phạm trù với
tính chất Ako mạnh đối với họ các iđêan. Tuy nhiên, chúng ta không thể
dành quá nhiều thời gian cho các phạm trù Mc(R), mà phải làm việc với các môđun đầy đủ phạm trù M(R). Điều này là do trong điều kiện (Q4) của (2.1.7) đặc trưng cho tính chất Ako mạnh, môđun B/I không có giả
thiết là xyclic. Tuy nhiên cần chú ý rằng, trong phần thứ hai trong chứng
A/I là xyclic và AB ⊆ I. Do đó, viết lại chứng minh của 2.3.4 dẫn đến
minh Định lý 2.3.4, sự tồn tại của một toàn ánh R/B → A/I là đủ để có
các đặc trưng của họ các iđêa Ako mạnh của R, song song với Định lý
2.3.4.
0 → L1 → M → N1 → 0,
Định nghĩa 2.3.5. Cho phạm trù con C chứa (0) và nằm trong Mc(R) với hai dãy khớp
0 → L2 → M → N2 → 0,
33
và
trong đó L2 là xyclic và tồn tại toàn cấu N2 → L1, C được gọi là Ako mạnh nếu N1, N2 ∈ C thì M ∈ C.
Định lý 2.3.6. Tính chất Ako mạnh của họ iđêan F tương ứng với tính
chất Ako mạnh của phạm trù C ⊆ Mc(R).
Chứng minh. Tương tự giống chứng minh Định lý 2.3.4.
Từ Định lý 2.3.6 suy ra hệ quả.
Hệ quả 2.3.7. Cho F là bán lọc các iđêan trong R. Khi đó F là Oka khi
và chỉ khi F là Ako mạnh.
0 → L1 → M → N1 → 0,
Chứng minh. Cho F là bán lọc thì C = CF cũng là bán lọc Oka. Ta đi kiểm tra tính chất Ako của C. Xét hai dãy khớp
0 → L2 → M → N2 → 0,
và
trong đó L2 là xyclic và tồn tại toàn cấu N2 → L1. Giả sử N1, N2 ∈ C. Vì F là Ako mạnh nên L1 ∈ C. Từ dãy khớp đầu và theo Đinh lý 2.3.2 ta có F là Oka nếu C đóng dưới phép mở rộng trong Mc(R). Từ đó có M ∈ C. Vì vậy F là Ako mạnh.
Tất nhiên, chúng ta cũng có thể chứng minh Hệ quả 2.3.7 một cách
trực tiếp từ các định nghĩa của Oka và Ako mạnh. Tuy nhiên, các phạm
trù đặc trưng của các tính chất này để chứng minh Hệ quả 2.3.7 là một
kết quả rất tự nhiên.
Trường hợp họ các iđêan với tính chât Q3 (hoặc tương đương P3 đã cho một phạm trù đặc trưng tốt. Tuy nhiên, trong các đặc trưng này sẽ không
34
có toàn ánh N2 → L1 hoặc N1 → L2. Vì thế chúng ta phải chứng minh điều kiện AB ⊆ I của Q3 một cách cẩn thận hơn. Tuy nhiên, cùng một lý lẽ như vậy để chứng minh Định lý 2.3.4 có thể đưa ra các kết quả đặc
trưng sau với Ann(N ) được kí hiệu cho các R - linh hóa tử của một R -
môđun N.
Ann(N1) Ann(N2) ⊆ Ann(M ),
Định nghĩa 2.3.8. Cho phạm trù C chứa môđun (O) và nằm trong Mc(R) với toàn cấu M → Ni(i = 1, 2) trong Mc(R). Khi đó C được gọi thỏa mãn tính chất (Q3), nếu
và N1, N2 ∈ C, thì M ∈ C.
Định lý 2.3.9. Tính chất Q3 của họ iđêan F tương ứng với tính chất Q3 của phạm trù CF .
Chứng minh. Tương tự giống Định lý 3.1.4.
Cuối cùng, chúng ta có thể kết thúc với đặc trưng phạm trù của họ
các iđêan Oka mạnh.
Định nghĩa 2.3.10. Cho phạm trù C chứa môđun (0) và nằm trong
Mc(R) với dãy khớp 0 → L → M → N → 0, trong đó, M ∈ Mc(R). Khi đó, C được gọi là Oka mạnh nếu N ∈ C và Ann(L) ∈ FC thì M ∈ C.
C ⊆ Mc(R) là Oka mạnh.
Định lý 2.3.11. Họ các iđêan F là Oka mạnh nếu và chỉ nếu phạm trù
J). Thật vậy, lấy a ∈ (I : J). Từ đây suy ra a.J ∈ I hay a(J/I) = 0, nên
a ∈ Ann(J/I).
Chứng minh. Ta có I ⊆ J là các iđêan của R). Khi đó, Ann(J/I) = (I :
Ngược lại, lấy a ∈ Ann(J/I). Do đó, aJ ⊆ I. Vì vậy, a ∈ (I : J).
Hệ quả 2.3.12. Cho F là bán lọc của R. Khi đó, F là Oka mạnh nếu nó
thỏa mãn tính chất (Q3).
35
Chứng minh. Theo Định lý 3.3.11 cần chứng minh CF thỏa mãn tính chất (Q3).
M → R/A và M → R/B.
Xét môđun xyclic M = R/I và các toàn cấu là
36
Khi đó suy ra A, B ⊇ I và A, B ∈ I. Giả sử R/A, R/B ∈ C. Suy ra A, B ∈ F . Đặt R/I f−→ R/B. Suy ra L = ker f = B/I. Do đó, Ann(L) ∈ F . Thế nên M ∈ C.
Kết luận
• Trình bày lại một số kiên thức cơ sở về vành giao hoán, iđêan nguyên
Như vậy trong đề tài chúng tôi thu được các kết quả chính sau:
• Trình bày các khái niệm và tính chất của họ Oka, Oka mạnh và mối
tố, iêan cực đại và mối quan hệ giữa iđêan nguyên tố và iêan cực đại.
• Trình bày các khái niệm và tính chất của họ Ako, Ako mạnh và mối
liên hệ giữa chúng.
• Trình bày lại chi tiết nguyên lý iđêan nguyên tố và áp dụng nguyên lý
liện hệ giữa chúng.
• Trình bày chi tiết áp dụng nguyên lý iđêan nguyên tố trọng phạm trù
trong họ các iđêan linh hóa tử điểm, iđêan cốt yếu, iđêan khả nghịch.
37
các môđun xyclic.
Tài liệu tham khảo
[1] N. T. Cuong, Đại số hiện đại, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, (2003).
[2] I. Kaplansky, Elementary divisors and modules, Trans. Amer. Math.
Soc, 66 (1949), 464-491.
[3] I. Kaplansky, Commutative Rings, University of Chicago Press,
(1974).
[4] T. Y. Lam, M. L. Reyes, A prime ideal principal in commutative
algebra, J. Algebra, 319 (2008), 3006-30027.
[5] H. Matsumura,Commutative Ring Theory, Cambridge University
38
Press, 1986.
