BOÄ GIAÙO DUÏC – ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH ---oOo--- VUÕ THÒ HOÀNG HAÏNH
PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC
: TOAÙN GIAÛI TÍCH : 1.01.01
CHUYEÂN NGAØNH MAÕ SOÁ
Thaønh phoá Hoà Chí Minh Thaùng 09 naêm 2003
LÔØI CAÛM ÔN. Lôøi ñaàu tieân trong luaän vaên naøy, toâi xin kính göûi ñeán Thaày TS. Nguyeãn Cam–Khoa Toaùn Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Thaønh Phoá Hoà Chí Minh - ngöôøi ñaõ taän tình höôùng daãn, giuùp ñôõ toâi hoaøn thaønh luaän vaên, loøng bieát ôn chaân thaønh vaø saâu saéc nhaát. Chaân thaønh caûm ôn Quyù Thaày, Coâ thuoäc Khoa Toaùn,Khoa Taâm Lyù–Giaùo Duïc, Khoa Trieát, Khoa Phaùp, Phoøng Khoa hoïc–Coâng Ngheä–Sau Ñaïi Hoïc thuoäc Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Thaønh Phoá Hoà Chí Minh, caùc Thaày thuoäc Khoa Toaùn-Tin Tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Thaønh Phoá Hoà Chí Minh, ñaõ taän tình truyeàn ñaït kieán thöùc cuõng nhö hoã trôï veà tö lieäu,thuû tuïc haønh chaùnh cho toâi trong suoát quaù trình hoïc taäp vaø laøm vieäc. Xin chaân thaønh caûm ôn TS.Chu Ñöùc Khaùnh-Tröôøng Döï Bò Ñaïi Hoïc Tp.Hoà Chí Minh, TS.Ñinh Ngoïc Thanh-Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp.Hoà Chí Minh, ñaõ ñoïc vaø ñoùng goùp nhieàu yù kieán quí baùu cho luaän vaên ñöôïc hoaøn chænh. Xin caûm ôn caùc baïn cuøng khoùa Cao Hoïc Giaûi Tích 11 Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Thaønh Phoá Hoà Chí Minh, caùc baïn trong Toå Toaùn tröôøng THPT Baø Ñieåm vaø Coâ Nguyeãn Leâ Thuùy Hoa, tröôøng THPT Chuyeân Leâ Hoàng Phong, ñaõ quan taâm, giuùp ñôõ toâi trong suoát thôøi gian toâi hoïc taäp vaø laøm luaän vaên. Moät laàn nöõa xin ñöôïc kính göûi ñeán Quyù Thaày, Coâ vaø caùc Baïn Höõu lôøi caûm ôn chaân thaønh,saâu saéc .
Thaønh Phoá Hoà Chí Minh thaùng 09 naêm 2003. Vuõ Thò Hoàng Haïnh.
MUÏC LUÏC.
7
7 7 11 14
17
17 20 20 22 29 35 42 43
45
45
45
1. CHÖÔNG I: Caùc kieán thöùc caàn duøng 1 1 I.Nhöõng nhaän xeùt sô boä 1 II.Caùc khoâng gian haøm thöû 1 III.Söï hoäi tuï trong khoâng gian caùc haøm thöû 2 IV.Caùc phieám haøm tuyeán tính 2 V.Söï phaân boá VI.Ña thöùc Hermite Hl(x) 5 6 VII.Bieán ñoåi Fourier VIII.Coâng thöùc Courant vaø Hilbert 6 2. CHÖÔNG II : Giôùi thieäu pheùp bieán ñoåi Radon I.Giôùi thieäu II.Bieán ñoåi Radon treân khoâng gian Euclide hai chieàu III.Bieán ñoåi Radon treân khoâng gian Euclide ba chieàu IV.Vaøi ví duï 3. CHÖÔNG III : Bieán ñoåi Radon vaø caùc tính chaát cô baûn I.Tính thuaàn nhaát II.Tính tuyeán tính III.Bieán ñoåi Radon cuûa pheùp bieán ñoåi tuyeán tính IV.Bieán ñoåi Radon cuûa ñaïo haøm V.Bieán ñoåi Radon cuûa ña thöùc Hermite VI.Ñaïo haøm cuûa bieán ñoåi Radon VII.Bieán ñoåi cuûa tích chaäp VIII.Lieân heä giöõa bieán ñoåi Radon vaø bieán ñoåi Fourier 4. CHÖÔNG IV : Bieán ñoåi ngöôïc cuûa bieán ñoåi Radon I.Giôùi thieäu II.Bieán ñoåi ngöôïc cuûa bieán ñoåi Radon treân khoâng gian Euclide hai chieàu
III.Söï thoáng nhaát vaø lieân hôïp giöõa bieán ñoåi Radon
47
vaø bieán ñoåi ngöôïc cuûa noù treân khoâng gian Euclide hai chieàu IV.Bieán ñoåi ngöôïc cuûa bieán ñoåi Radon treân
48
ℜ
khoâng gian Euclide ba chieàu V.Söï thoáng nhaát vaø lieân hôïp giöõa bieán ñoåi Radon vaø bieán ñoåi ngöôïc cuûa noù treân khoâng gian vectô ba chieàu 51 +ℜ 55 VI.Söï lieân hôïp giöõa
vaø
CHÖÔNG I:MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CAÀN DUØNG
CHÖÔNG I:
MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CAÀN DUØNG
I.NHÖÕNG NHAÄN XEÙT SÔ BOÄ: Cho X = (x1,x2,…,xn)∈ Rn.Tích voâ höôùng cuûa hai vectô X,Y∈ Rn ñöôïc cho
Y,XY.X =
=
bôûi coâng thöùc :
jyx
j
n ∑ 1j =
Vaø ñoä lôùn cuûa vectô X laø
X,X
X =
1 2
F(x1,x2,…,xn) hay F(X) laø haøm cuûa n bieán soá thöïc. Trong haàu heát caùc tröôøng hôïp, F(X) coù giaù trò thöïc . Cho K laø bao ñoùng cuûa taäp hôïp caùc ñieåm X∈ Rn sao cho F(X) ≠ 0,ta goïi K laø giaù cuûa F. Neáu giaù K bò chaën, thì noù laø taäp compact (theo ñònh lí Heine-Borel trong khoâng gian Euclide Rn,ta coù : tính ñoùng vaø bò chaën cuûa moät taäp hôïp töông ñöông vôùi tính compact cuûa taäp hôïp ñoù). Giaù cuûa moät haøm trong Rn laø taäp con ñoùng beù nhaát trong Rn,maø beân ngoaøi noù, haøm bò trieät tieâu. Neáu F(X) khaû vi voâ haïn thì noù ñöôïc goïi laø thuoäc lôùp C∞. II.CAÙC KHOÂNG GIAN HAØM THÖÛ: 1)Khoâng gian DK :
Khoâng gian caùc haøm C∞ treân Rn vôùi giaù compact K⊂Rn ñöôïc kí hieäu DK.
2)Khoâng gian D:
Khoâng gian lôùp caùc haøm C∞ treân Rn vôùi giaù compact ñöôïc kí hieäu bôûi D.
m
0
=
,∀k.
3)Khoâng gian ϕ : Cho f: R (cid:198)R goïi laø haøm giaûm nhanh veà 0 neáu ∀m∈N thì
k x).x(fDlim x ∞→ Khoâng gian caùc haøm C∞ giaûm nhanh treân Rn ñöôïc kí hieäu laø ϕ.
Fj = F
III.SÖÏ HOÄI TUÏ TRONG KHOÂNG GIAN CAÙC HAØM THÖÛ: 1)Khoâng gian DK : Cho { Fj} laø daõy caùc haøm trong DK :Fj→F ∈ DK hay
lim ∞→j
Nghóa laø : daõy {Fj-F} hoäi tuï ñeàu veà 0 treân taäp compact K⊂ Rn.
1
CHÖÔNG I:MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CAÀN DUØNG
Hôn nöõa, daõy ñaïo haøm caáp baát kì cuûa Fj cuõng hoäi tuï ñeàu treân K, töông öùng vôùi ñaïo haøm caáp ñoù cuûa F,
(DmFj – DmF) → 0 ,vôùi moãi soá coá ñònh m ≥ 0.
2)Khoâng gian D: Söï hoäi tuï theo nghóa trong D ñöôïc ñònh nghóa nhö trong DK nhöng ñaëc bieät taát caû caùc giaù cuûa caùc haøm soá trong daõy {Fj } ôû trong moät soá taäp compact coá ñònh K⊂ Rn . 3)Khoâng gian ϕ : Cho {Fj} laø daõy caùc haøm trong ϕ.Daõy naøy hoäi tuï veà 0 khi vaø chæ khi: i)Fj vaø DmFj hoäi tuï ñeàu veà 0 treân moãi taäp hôïp con compact K cuûa Rn. ii)Haèng soá C(l,m) trong bieåu thöùc⏐Xl Dm Fj⏐< C (l,m) ñoäc laäp ñoái vôùi j,∀j. Daõy {Fj} ñöôïc goïi laø hoäi tuï veà F∈ϕ neáu {Fj - F} hoäi tuï veà 0.Ta coù theå vieát : Fj → F hay
Fj = F vaø ta goïi laø söï hoäi tuï theo nghóa cuûa ϕ.
lim ∞→j
IV. PHIEÁM HAØM TUYEÁN TÍNH: Moät phieám haøm tuyeán tính T treân khoâng gian tuyeán tính L thoaû maõn:
vôùi F1,F2 baát kì ∈ L vaø 2 soá phöùc α,β. Taäp hôïp caùc phieám haøm tuyeán tính treân khoâng gian tuyeán tính L hình thaønh neân moät khoâng gian tuyeán tính goïi laø khoâng gian ñoái ngaãu L’. Xeùt daõy caùc haøm soá {Fj} trong khoâng gian tuyeán tính L, moät phieám haøm tuyeán tính laø lieân tuïc neáu vaø chæ neáu :
< T,Fj > = < T,
Fj >
lim ∞→j
lim ∞→j
V.SÖÏ PHAÂN BOÁ: 1)Ñònh nghóa 1: Moät phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc treân khoâng gian D ñöôïc goïi laø moät phaân boá. 2)Ñònh nghóa 2: Khoâng gian caùc phaân boá ñöôïc kí hieäu laø D’. 3)Ñònh nghóa 3: Moät phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc treân khoâng gian ϕ ñöôïc goïi laø phaân boá tempered. 4)Ñònh nghóa 4: Khoâng gian cuûa caùc phaân boá tempered ñöôïc kí hieäu laø ϕ’.
2
CHÖÔNG I:MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CAÀN DUØNG
LÖU YÙ : Ñaúng thöùc, pheùp coâïng, pheùp nhaân voâ höôùng treân nhöõng khoâng gian L’ ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: (i)T1∈L’ vaø T2∈L’,ta coù: T1 = T2 ⇔ 〈T1,F〉 = 〈T2,F〉,∀F∈L (ii)(T1+T2)∈L’,ta coù: 〈T1+T2,F〉 = 〈T1,F〉 + 〈T2,F〉, ∀F∈L (iii)αT∈L’,α∈C,ta coù: 〈αT,F〉 = α*〈T,F〉, ∀F∈L Daõy caùc haøm suy roäng {Tj}∈L’ ñöôïc goïi laø hoäi tuï veà haøm suy roäng T∈L’khi:
F,T
F,F,T
=
L∈∀
lim j j ∞→
0x,0 <
x0,k
≤≤
∈∀
=
( ) xS,Nk
k
1 k
x,0
>
Baây giôø ta xeùt daõy caùc haøm soá sau : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1 k
Roõ raøng, daõy {Sk} khoâng coù moät giôùi haïn xaùc ñònh roõ (k→∞) trong pheùp tính giôùi haïn sô caáp.Xeùt daïng tích phaân sau :
( ) ( ) dxxFxS
( ) dxxF.k
k
vôùi F laø haøm thuoäc D.
1 k ∫ 0
∞+ ∫ ∞−
j
∞→ F , D∈→
Cho moãi daõy {Fj}⊂D sao cho :
F j
= = F,S k
ta coù:
j
= F,S k F,S k lim j ∞→
Vì vaäy 〈Sk,F〉 ∀F∈D laø moät phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc treân D. Khi ta noùi Sk laø moät phaân boá thì phaûi hieåu laø ñaõ ñoàng nhaát Sk vôùi phieám .Vôùi T(x) khaû tích treân moïi ñoaïn [a,b] haøm tuyeán tính lieân tuïc:
k(cid:54)
F,T:
∈∀
=
thì T laø moät phaân boá xaùc ñònh bôûi :
( ) ( ) dxxFxT
F D
∞+ ∫ ∞−
Caùc phaân boá ñöôïc xaùc ñònh nhö trong ví duï 2 ñöôïc goïi laø phaân boá chính qui . Caùc phaân boá khoâng chính qui ñöôïc goïi laø phaân boá kì dò.
3
F,S F
CHÖÔNG I:MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CAÀN DUØNG
.k
0
< η
=
.
( F η
),
F,S k
k <
1 k
=
=
Vì vaäy :
.
k ( )0F
Ta nhaän thaáy raèng daõy {Sk} khoâng coù giôùi haïn theo nghóa thoâng thöôøng. Nhöng 〈Sk,F〉 ,vôùi F∈D, coù moät giôùi haïn. Theo ñònh lí giaù trò trung bình: ) ( F η = k ( ) F η
k
F,S k
1 k lim k ∞→
lim k ∞→
Xeùt phaân boá δ xaùc ñònh bôûi :
( )0F
, ∀F∈D.
F, δ
=
Vaø ta thöôøng vieát:
( )0F
=
Löu yù raèng caùch vieát :
( ) ( ) dxxFxδ
∞+ ∫ ∞−
F, δ ∞+ ( ) ( ) = ∫ dxxFx δ ∞−
hoaøn toaøn mang tính hình thöùc maø thoâi.Vaø ta xem nhö phaân boá δ xaùc ñònh bôûi :
theo nghóa giôùi haïn cuûa phaân boá.
k
S =δ lim k ∞→
Ñònh nghóa:Haøm Dirac δ ñöôïc vieát vôùi x∈R1 ,ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:
,0
1
δ
x,0 ≠∀=
=
( ) x
( ) dxx
∞+ δ ∫ ∞−
x,0 a <
Ñaët :
)
( xSk
a a,k − = ax +≤≤ 1 k
a
a
+
+
.k
1 k dxxF.k
=
−
=
=
≤
η
a +≤
thì:
) ( ) dxxFa
( F η
) a,
( )
F,S k
1 k ( xS k
k
k
∫
∫
1 k
1 k
a
a
x
−
=
x,0 a +> ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1 k
(
) ( ) dxxFa
(aF
)
( F η
)
( )aF
k
∞+ ⇒ ∫ δ ∞−
x
−
=
Nhö vaäy:
( ) ( xF δ
) dxa
( )aF
∞+ ∫ ∞−
= = F,S k lim k ∞→ lim k ∞→
***Haøm Dirac δ laø haøm soá chaün, nghóa laø δ(-x) = δ(x), ∀x∈R.
4
CHÖÔNG I:MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CAÀN DUØNG
l
2
xt2
t
−
e
=
VI.ÑA THÖÙC HERMITE Hl(x) : a) Haøm soá toång quaùt: ( ) txH l !l
∞ ∑ 0l =
b) Caùc giaù trò ñaëc bieät: ( ) x −=
( ) xH l
l
H
l ) H1 ) ( 1
( ) 0
( −=
l2
( − l ) !l2 !l
H
( ) 0 0 =
1l2 +
xH2
lH2
H
c) Coâng thöùc truy hoài vaø ñaïo haøm: −
=
l
1l −
lH2
=
H
H
xH2
lH2
0
+
=
1l + ' l " l
1l − ' l
l
− d) Tính tröïc giao:
2
x
−
dx
π=
l !l2 δ
.
( ) exHxH
( )
m
l
lm
+∞ ∫ ∞−
e) Coâng thöùc Rodrigues : l
2
2
x
−
e
( −=
xl ) e1
( ) xH l
d dx
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
m
2
2
x
x
−
−
e
e
H
−
=
( )x
( ) xH n
nm +
d dx
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
f) Vaøi giaù trò ñaàu tieân cuûa coâng thöùc Rodrigues:
H
1
=
0
H
x2
=
1
2
H
x4
2
=
−
2
3
x12
x8H =
− 4
2
3 H
x16
x48
12
=
−
+
4
5
3
H
x32
160
x
120
x
=
−
+
5
g) Moät soá daïng khai trieån:
0
x
H
=
0
1 x
=
H 1
1 2
5
CHÖÔNG I:MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CAÀN DUØNG
2
x
H
=
+
( H2
0
)2
3
x
H6
=
+
( H
3
)1
4
x
H12
H12
=
+
+
( H
4
2
)0
5
x
H20
H60
=
+
+
( H
5
3
)1
1 4 1 8 1 16 1 32
VII.BIEÁN ÑOÅI FOURIER : Cho haøm thöû F∈ϕ a)Bieán ñoåi Fourier :
i2
xt
π
−
dt
=
~ ( ) xF
( ) tF
+∞ ∫ e ∞−
xt
2i π
e
=
b)Bieán ñoåi ngöôïc cuûa bieán ñoåi Fourier : ~ ( ) dxxF
( ) tF
∞+ ∫ ∞−
VIII.COÂNG THÖÙC COURANT VAØ HILBERT : Xeùt X,Y ∈ Rn ,ξ laø vecto ñôn vò, p laø moät voâ höôùng, vaø ΔX laø toaùn töû Laplacian. 1)n leû vaø n ≥ 3:
dYf
π
=
Δ
−
ξ
1n − 2
( 24
1n − )
( −
) 1
( Xf
)
( ( XY.Y
)
)
1n + 2 X
∫
∫ d ξ 1 =
ξ
2)n chaün vaø n ≥ 2:
dYf
π
=
Δ
2n − 2
( 2
n ) ( −
) 1
( Xf
)
( ) lnY
( XY. ξ −
)
n 2 X
∫
∫ d ξ 1 =
ξ
6
CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON
CHÖÔNG II: GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON.
I.GIÔÙI THIEÄU: Trong chöông naøy, pheùp bieán ñoåi Radon cuûa haøm f treân khoâng gian Euclide ñöôïc ñònh nghóa cho nhöõng haøm treân R2,R3, vaø ta laøm vieäc treân nhöõng lôùp haøm toát nhö lôùp ϕ cuûa nhöõng haøm giaûm nhanh khaû vi moïi caáp C∞ hay lôùp haøm D cuûa nhöõng haøm khaû vi moïi caáp C∞ vaø coù giaù compact. II.BIEÁN ÑOÅI RADON TREÂN KHOÂNG GIAN EUCLIDE HAI CHIEÀU: Cho (x,y) toaï ñoä cuûa nhöõng ñieåm trong maët phaúng , xeùt haøm f xaùc ñònh treân D ⊂ R2.Haøm f trieät tieâu beân ngoaøi mieàn D. Neáu L laø moät ñöôøng thaúng baát kyø trong maët phaúng , thì pheùp bieán ñoåi Radon cuûa f ñöôïc xaùc ñònh bôûi :
∨ f
f =ℜ=
(2.1)
( dsy,xf
)
∫
L
trong ñoù ds laø soá gia cuûa chieàu daøi doïc theo L.Mieàn D coù theå laø toaøn boä R2 hoaëc moät boä phaän cuûa R2 nhö trong hình :
L
y
D
O
x
Hình 2.1
Pheùp bieán ñoåi Radon xaùc ñònh bôûi (2.1) vaø pheùp bieán ñoåi ngöôïc cuûa noù ñaõ ñöôïc nghieân cöùu laàn ñaàu tieân bôûi Johann Radon (1917).Radon ñaõ chæ ra raèng neáu f lieân tuïc vaø coù giaù compact, thì ℜf ñöôïc xaùc ñònh duy nhaát bôûi tích phaân doïc theo moïi ñöôøng thaúng L.
7
CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON
y
y
I
M
P
x
ϕ
x
O
Hình 2.2
L Xeùt phöông trình cuûa ñöôøng L ñöôïc cho nhö sau: p = x.cosφ + y.sinφ (2.2) Thaät vaäy, p = d(O,(L))=OM
→ n =
φ sin,
( cos
)φ
L coù phaùp vectô Cho I(x,y). Toaï ñoä M laø : M(p.cosφ,p.sinφ)
→ IM
.p
sin.p,x
−
φ
−
⇒
)y
( = → IM
cos φ → n
⊥
sin.y
+
φ
Ta coù: →→ IM = n. 0 ⇔ .x p cos =⇔ φ Tích phaân ñöôøng (2.1) phuï thuoäc vaøo giaù trò cuûa p,φ . Ñieàu naøy ñöôïc xaùc ñònh bôûi bieåu thöùc sau:
φ
p,
=ℜ= f
(2.3)
∨ f
( dsy,xf
)
)
(
∫ L
xaùc ñònh vôùi moïi p vaø φ , thì
laø PHEÙP BIEÁN ÑOÅI
∨ ( φ,pf
)
∨ ( φ,pf
)
Neáu RADON HAI CHIEÀU cuûa f(x,y) .
∨ f
chæ ñöôïc xaùc ñònh vôùi moät soá giaù trò φ , ta noùi ta coù MOÄT MAÃU
Khi cuûa pheùp bieán ñoåi Radon. Baây giôø giaû söû moät heä truïc toaï ñoäï môùi ñöôïc giôùi thieäu vôùi truïc quay goùc φ . Neáu heä truïc môùi ñöôïc kyù hieäu bôûi p vaø s nhö hình sau:
8
CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON
y
S
I
N
P
M
x
φ
O
φ
Ta coù:
φ
⎞ ⎟⎟ ⎠
Hình 2.3 sin p φ − ⎛ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . cos s ⎝ ⎠
⎛ ⎜⎜ ⎝ =
φ
−
φ
laø coâng thöùc ñoåi truïc toaï ñoä.
cos sin
φ sin.s cos .s
φ
+
φ
⎧ ⎨ ⎩
x ⎛ ⎞ ⎜⎜ =⎟⎟ y ⎝ ⎠ .p cos sin.p
cos
sin.s
sin.p,
.s
cos
−φ
φ
+φ
φ
Vaäy:
(2.4)
( .pf
) ds
Hieån nhieân, giôùi haïn coù theå höõu haïn neáu f trieät tieâu beân ngoaøi mieàn D. Cho X=(x,y) laø vectô vôùi thaønh phaàn x vaø y, thì : f(X)=f(x,y). Ngoaøi ra , ta coù caùc vectô ñôn vò sau : ξ = (cosφ, sinφ) vaø ξ⊥ = (-sinφ, cosφ) Nhö vaäy , seõ toàn taïi tham soá voâ höôùng t sao cho :
X = p.ξ + t.ξ⊥
y
(x, y) ξ
Pξ
x
φ
O
L
Hình 2.4
9
x y = ∞+ ∫ ∞−
CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON
⊥+ ξ .t
(2.5)
Theo bieán soá môùi thì (2.4) coù daïng : ∨ ( ξ,pf
) =
⎞ dt ⎟ ⎠
∞+ ⎛ .pf∫ ξ ⎜ ⎝ ∞−
Ta coù theâm moät daïng bieåu dieãn nöõa. Ñaàu tieân , xeùt phöông trình (2.2) coù theå ñöôïc vieát nhö sau : p = ξ.X = x.cosφ + y.sinφ Pheùp bieán ñoåi coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng tích phaân treân R2 bôûi haøm delta Dirac , choïn ñöôøng p = ξ.X trong R2 .
dxdy
p(
)X. ξ
∨ ),p(f ξ
=
−
).X(f δ
Ta seõ chöùng minh :
x y
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ ⎠
⇔
φ φ φ cos
φ
⇔
u v u v x y
φ φ
⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩ −
Ta coù :
∫∫ 2R Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán soá : cos sin φ ⎛ ⎞ ⎜⎜ =⎟⎟ sin cos − φ ⎝ ⎠ .x cos sin.y φ + = sin.x .y −= + φ .u cos sin.v φ − = sin.u .v cos φ + = ) dxdy
) ( ( pXf δ
−
X. ξ
( y,xf
) ( p δ
) dxdy
cos
sin.v
.v
cos
u
φ
−
sin.u, φ
φ
+
−
=
( .uf
) ( p. δφ
) dudv
cos
sin.v
.v
cos
p
=
φ
−
sin.u, φ
φ
+
−
( .uf
) ( u. δφ
) dudv
cos
sin.v
.v
cos
φ
−
sin.p, φ
φ
+
φ
=
( .pf
) dv
φ
=
∫∫ 2R ∫∫ = 2R ∫∫ 2R ∫∫ 2R ∫ ∨ ( ,pf
)
=
∨ ( ,pf
)ξ
X. ξ
X.
(2.6)
∨ Vaäy: ( ,pf
) =ξ
( ( ) p.Xf ξ−δ
) dxdy
∫∫ 2R
Ñeå ñôn giaûn hôn ta coù theå vieát:
(2.7)
∨ ( ,pf
) =ξ
( ( ) p.Xf ξ−δ
) dXX.
∫
10
CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON
III.BIEÁN ÑOÅI RADON TREÂN KHOÂNG GIAN EUCLIDE BA CHIEÀU: Cho (x,y,z) laø toaï ñoä nhöõng ñieåm trong khoâng gian R3 . Xeùt haøm f xaùc ñònh treân D ⊂ R3 vaø trieät tieâu beân ngoaøi mieàn D. Neáu (P) laø moät maët phaúng baát kyø trong khoâng gian, thì pheùp bieán ñoåi Radon cuûa f ñöôïc xaùc ñònh bôûi :
∨ f
(2.8)
)
P
f ∫=ℜ= (
( dsz,y,xf )
→ n
,
,
1=ξ
=
(P) coù phaùp vectô
vôùi
Mieàn D coù theå laø toaøn boä R3 hoaëc moät boä phaän cuûa R3 . Ta xeùt p = d(O,(P))=OM ( ξξξ 1 2
.p, ξ
.p, ξ
) ξ = ( .pM ξ 1
)3
2
z
I
M
ξ
p
y
O
x
Hình 3.1
3 Cho I(x,y,z),toïa ñoä ñieåm M laø :
→ IM
−
.p,y ξ
−
=
)z
3
2
Ta coù :
⇔
( .p .p,x ξ ξ − 1 →→ IM ⊥ n →→ IM = n. p =⇔
.y ξ
.z ξ
+
+
(2.9)
0 .x ξ 1
3
2
Tích phaân maët (2.8) phuï thuoäc vaøo giaù trò cuûa p,ξ . Ñieàu naøy ñöôïc xaùc ñònh bôûi bieåu thöùc sau :
ξ
(2.10)
( dsz,y,xf
)
∨ ( ,pf
)
∫=ℜ= f ( ) P
11
CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON
Neáu
laø PHEÙP BIEÁN ÑOÅI
∨ ( ξ,pf
)
∨ ( ξ,pf
)
xaùc ñònh vôùi moïi p,ξ , thì RADON BA CHIEÀU cuûa f(x,y,z) (vôùi ⏐ξ⏐=1). Giaû söû ta coù moät heä truïc toïa ñoä môùi vôùi moät truïc Ox vuoâng goùc vôùi (P). Ta kyù hieäu heä truïc môùi laø Opvw.
−
−
3
ξ 1
x
p
ξ
y
v
=
Ta coù :
2
−
z
w
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
ξ
3
ξξ 21 q q ξξ 32 q
ξ q 0 ξ 1 q
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎛ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠
2
q
=
ξ
1
ξ
=
+
ξ
+
ξ
=
Vôùi :
,
2 ξ 1
2 2
2 3
2 ξ + 1
2 3
+∞
+∞
f
p
v
v
w
dvdw
ξ
−
−
p,w ξ
+
p,qv ξ
−
+
Vaäy : ∨ ( ,pf
) =ξ
1
3
2
∫ ∫
ξξ 21 q
ξ 3 q
ξξ 32 q
ξ 1 q
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
∞−
∞−
(2.11) Giôùi haïn coù theå höõu haïn neáu f trieät tieâu beân ngoaøi mieàn D. Cho X = (x,y,z) laø vectô vôùi thaønh phaàn x,y,z thì : f(X) = f(x,y,z)
,
q
,
,
=
ξ
ξ =
Ngoaøi ra, ta coù caùc vectô ñôn vò sau vôùi
( ξξξ 2 1
)3
2 ξ + 1
2 3
,q,
−
ξ
v
ξξ 21 q
ξξ 32 q
⎞ ⎟⎟ ⎠
,0,
ξ
w
ξ 3 q
⎛ ⎜⎜ −= ⎝ ⎛ ⎜⎜ −= ⎝
ñoâi moät vuoâng goùc.
⎞ ξ 1 ⎟⎟ q ⎠ , wv , ξξξ
+
.v ξ
.pX = ξ
.w ξ
w
v
.w ξ
.v ξ
+
=
+
ξ
(2.12)
Caùc vectô Nhö vaäy seõ toàn taïi tham soá voâ höôùng v,w sao cho : + Theo bieán soá môùi thì (2.11) coù daïng : ∨ ( ,pf
) dvdw
( .pf ξ
)
v
w
∞+ ∫ ∞−
∞+ ∫ ∞−
p
.y ξ
.z ξ
+
=
+
Phöông trình (2.9) coù theå ñöôïc vieát nhö sau : .xX. = ξ ξ 1
3
2
12
CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON
Pheùp bieán ñoåi radon coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng tích phaân treân R3 bôûi haøm delta Dirac.
p(
dxdydz
).X(f δ
−
)X. ξ
∨ ),p(f ξ
=
Ta seõ chöùng minh :
∫∫∫ 3R Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán soá :
ξ
2
u v
q
x y
−
ξ 3 ξξ 32 q
w
z
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ . ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
0
−
ξ 1 ξξ 21 q ξ 3 q
ξ 1 q
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ −= ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
u
=
+
+
.y ξ
.z ξ
2
v
x.
y.q
z.
⇔
−=
+
−
3 ξξ 32 q
w
x
z
−=
+
.x ξ 1 ξξ 21 q ξ 3 q
ξ 1 q
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x
v
w
=
−
−
u ξ 1
ξ 3 q
ξξ 21 q qv
y
u
⇔
=
+
ξ
2
z
u
v
w
=
−
+
ξ
3
ξξ 32 q
ξ 1 q
⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
−
X. ξ
Ta coù : ( ) ( pXf δ
) dxdydz
−
X. ξ
=
( z,y,xf
) ( p δ
) dxdydz
∫∫∫ 3R ∫∫∫ 3R
f
v
,w
u
,qv
u
v
u
=
−
−
ξ
+
ξ
−
+
−
) dudvdw
u ξ 1
2
3
ξξ 32 q
ξ 1 q
ξξ 21 q
ξ 3 q
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ( ⎟⎟ p.w δ ⎠
∫∫∫ 3R
f
v
,w
p
,qv
p
v
w
dvdw
ξ
ξ
=
=
−
−
+
−
+
∨ ( f p,
) ξ
p ξ 1
2
3
ξξ 32 q
ξ 1 q
ξξ 21 q
ξ 3 q
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
∫∫ 2R
13
CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON
=
−
X. ξ
Vaäy :
(2.13)
∨ ( ,pf
)ξ
) ( ( pXf δ
) dxdydz
∫∫∫ 3R Ñeå ñôn giaûn,ta thay
baèng
ta coù :
∫
∫∫∫ 3R
(2.14)
) =ξ
( ) ( pXf ξ−δ
) dXX.
∨ ( ,pf
∫
IV.VAØI VÍ DUÏ : 1.Ví duï 1 :
2
2 y −
Cho
( y,xf
2
2
x
y
−
−
∨ f
e
y
f =ℜ=
δ
−
−
ξ
( p
) dxdy
x ξ 1
2
2
1
ξ
=
=
+
ξ
=
vôùi
xe −= ) ∞+ ∞+ ∫ ∫ ∞− ∞− ) , ξ
2
( , ξξ 1
2 ξ 1
2 2
Baèng pheùp bieán ñoåi tuyeán tính tröïc giao, ta coù :
x
ξ
u
y
ξ 1 ξ
v
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎞ ⎛ ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
u
⎞ =⎟ ⎠ =
⇒
v
−=
⎛ ⎜ ⎜ − ⎝ x1 ξ ξ
⎧ ⎨ ⎩
2 ξ 1 y2 y1 ξ
det
vôùi
=1 , x2+y2 = u2+v2
2 + ξ x2 ⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
+ ξ 1 ξ − 2
ξ 2 ξ 1
2
u
−
2 v −
u
e
∨ ξ,pf
Nhö vaäy:
( p. δ
) − dudv
(
)=
∞+ ∫ ∞−
∞+ ∫ ∞−
2
p
−
2 v −
dv
e
=
∞+ ∫ ∞−
2
2
p
v
−
e
dv
−= e
∞+ ∫ ∞− 2pe. −
= π
Vì vaäy, ta coù keát quaû quan troïng:
2
2
2
x
y
p
−
−
−
e.
e
π=
(2.15)
⎫ ⎬ ⎭
⎧ℜ ⎨ ⎩
14
CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON
2.Ví duï 2 : Keát quaû ôû ví duï 1 coù theå ñöôïc môû roäng theo giaù trò cuûa n. Neáu n=3, ta
2
2
2
x
y
−
−
)y,x(f
xe −= coù : Thöïc hieän ñoåi bieán soá :
ξ
2
x
u
−
−
y
v
q
=
z
w
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
−
3
0
ξ 1 ξξ 21 q ξ q
ξ 3 ξξ 32 q ξ 1 q
⎞ ⎟ ⎟ ⎛ ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
q
=
ξ
vôùi
2 ξ + 1
2 3
ξ
2
−
−
=1 ,
q
det
−
3
0
ξ 3 ξξ 32 q ξ 1 q
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
2
1
+
ξ
ξ
=
+
ξ
=
ξ 1 ξξ 21 q ξ q 2 ξ 1
2 2
2 3
u
y
=
+
+
ξ
ξ
2
z 3
v
x
qy
z
⇒
−=
+
−
ξξ 32 q
w
x
z
−=
+
x ξ 1 ξξ 21 q ξ 3 q
ξ 1 q
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
2
u
2
xy
2
yz
zx
=
+
+
+
+
+
ξ
ξ
22 x ξ 1
22 y 2
22 z 3
ξξ 21
ξξ 32
2 ξξ 13
2
2
2
2
x
y
z
xy
v
+
+
+
−
=
ξ
(
)
2 ξ 1
2 3
2 ξξ 21
2 2 ξ
2 3 ξ
2 ξξ 2 2 + ξ 1
2 3
2 ξξ 1 2 + ξ 1
2 3
⇒
2
yz
zx
−
+
ξξ 32
2 2 ξξξ 21 3 2 2 + ξ ξ 1 3
ξ
2
2
2
w
x
z
xz
=
+
−
2 3 +
2 ξ 1 +
ξ
ξ
2 ξ 1
2 3
2 ξ 1
2 3
2 ξξ 31 2 2 + ξ ξ 1 3
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
15
CHÖÔNG II:GIÔÙI THIEÄU PHEÙP BIEÁN ÑOÅI RADON
2
2
2
2
2
v
y
z
2 u +⇒
+
+
2
2
2
x
y
z
−
−
−
∨ f
e
x
y
z
f =ℜ=
δ
−
−
ξ
−
ξ
( p
) dxdydz
ξ 1
2
3
+ ∞+ ∫ ∞−
w ∞+ ∫ ∞−
x = ∞+ ∫ ∞−
2
2
u
−
2 wv −
−
e
u
ξ
=
δ
−
∨ ( ,pf
)
( p
) dudvdw
∞+ ∫ ∞−
∞+ ∫ ∞−
∞+ ∫ ∞−
2
2
p
−
2 wv −
−
e
dvdw
=
∞+ ∫ ∞−
∞+ ∫ ∞−
2
2
p
2 wv −
−
e
dvdw
−= e
∞+ ∫ ∞−
2
2
p
w
−
e
dw
−= e
π
∞+ ∫ ∞− ∞+ ∫ ∞−
2
p
−
e
=
ππ
2
p
−
e.
=
π
2
2
2
2
x
y
z
p
−
−
−
−
e
e.
ℜ
π=
(2.16)
Vaäy: {
}
16
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
CHÖÔNG III: BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN. Chuùng ta seõ xem xeùt vaøi tính chaát cô baûn cuûa bieán ñoåi Radon cuûa haøm soá f,ñaõ ñöôïc ñònh nghóa:
f
∨ ( ,pf
) =ℜ=ξ
( ( ) p.Xf ξ−δ
) dXX.
∫
I.TÍNH THUAÀN NHAÁT:
1
−
s
s,Rs
0
∈∀
≠
,
(3.1)
∨ ( s,spf
) =ξ
∨ ( ,pf
)ξ
sp
X.s ξ
=
−
ξ
Chöùng minh: 1)Treân khoâng gian Euclide hai chieàu: Theo chöùng minh (2.6)treân, ta coù: ∨ ( s,spf
) ( ( .Xf δ
) dxdy
)
sp
X.s ξ
=
−
) ( ( .y,xf δ
) dxdy
2
cos
sinv
sinu,
v
cos
su
φ
φ
φ
=
−
+
−
( uf
) . δφ
( sp
) dudv
2
cos
sinv
sinu,
v
cos
sp
φ
φ
φ
=
−
+
−
( uf
) . δφ
( su
) dudv
2
∫∫ 2R ∫∫ R ∫∫ R ∫∫ R
cos
f
sinv
sin
v
cos
dv'du
=
φ
−
, φ
φ
+
a)s > 0: Ñaët u’=s.u ⇒ du’=s.du Ta coù: ∨ ( s,spf ξ
)
(
)
'u s
'u s
1 s
⎛ ⎜ ⎝
⎞ sp'u. δφ − ⎟ ⎠
∫∫ 2R 1 −
sin
v
cos
cos
sinv
s
f
=
φ
−
, φ
φ
+
(
) dv'du
'u s
'u s
⎛ ⎜ ⎝
⎞ sp'u. δφ − ⎟ ⎠
2
− 1
s
cos
sinv
v
cos
=
φ
−
sinp, φ
φ
+
φ
( pf
) dv
s 1 −=
(3.2)
∫∫ R ∫ ∨ ( ξ,pf.
)
b)s < 0: Ñaët s’= -s , ñaët u’= -s.u=s’.u ⇒ du’=-s.du=s’du
17
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
cos
sinv
v
cos
u's
p's
ξ
=
φ
−
sinu, φ
φ
+
+
Ta coù: ∨ ( s,spf
)
( uf
) ( . δφ −
) dudv
( uf
) ( p'su's. δφ
) dudv
2
∫∫ 2R ∫∫ R
cos sinv sinu, v cos = − + − φ φ φ
(
)
2
∫∫ R
f cos sinv sin v cos dv'du = − + φ , φ φ 'u 's 'u 's 1 's ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ p's'u. δφ − ⎟ ⎠
1 − ( ) 's
2
f cos sinv sin v cos = φ − , φ φ + − 'u 's 'u 's ⎞ ( ) dv'dup's'u. δφ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝
1 − ( ) 's
) dv
( pf
cos sinv v cos = φ − sinp, φ φ + φ
(3.3)
∫∫ R ∫ ∨ ( ,pf.
ξ
1
−
s
ξ
=
∨ ( ,pf.
)ξ
)
sp
X.s ξ
−
=
ξ
s 1 −−= ) ). ( Töø (3.2) vaø (3.3),ta coù:
∨ ( s,spf 2)Treân khoâng gian Euclide ba chieàu: Theo chöùng minh (2.13) ta coù: ∨ ( s,spf
) dxdydz
) ( ( .Xf δ
)
sp
−
X.s ξ
=
∫∫∫ 3R ) ( ( .z,y,xf δ
) dxdydz
∫∫∫ 3R
( sp
) dudvdw
2
3
∫∫∫ 3R
a)s>0: Ñaët u’=s.u ⇒ du’=s.du
f v ,w u ,qv u v su = − − + − + − ξ ξ u ξ 1 ξξ 21 q ξ 3 q ξξ 32 q ξ 1 q ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎞ ⎟⎟ .w δ ⎠
.
ξξ 21 q
∨ ( )ξs,spf Ta coù: ⎛ ξ 1 ⎜⎜ s ⎝
∫∫∫ 3R
18
'u f v ,w 'u ,qv 'u v w = − − + − + ξ 3 s ξξ 32 q ξ 1 q ξ 3 q ξ 2 s ⎞ ⎟⎟ ⎠
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
.
'u
dvdw
'du
δ
.
( sp −
)
.
1 s ξξ 32 q
∫∫∫ 3R
.
.
'du
dvdw
( sp'u −δ
)
1 s
'u f v ,w 'u ,qv 'u v w − = − + − + ξ 1 s ξξ 21 q ξ 3 q ξ 2 s ξ 3 s ξ 1 q ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠
2
3
). (3.4)
1 ∫∫ 2R ∨ ( ξ,pf.
v ,w p ,qv p v dvdw.w f ξ ξ − − + − + = − s p ξ 1 ξξ 21 q ξ 3 q ξξ 32 q ξ 1 q ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜⎜ ⎝
∫∫∫ 3R
'du
dvdw
.
( sp'u +δ
)
.
,qv ,w 'u 'u 'u v f v = − + − − + ξξ 21 q ξ 2 's ξ 3 q ξ 3 's ξξ 32 q ξ 1 q s 1 −= b)s<0: Ñaët s’= -s, ñaët u’= -s.u=s’.u ⇒ du’=-s.du=s’du Ta coù: ∨ )ξs,spf ( ⎛ ξ 1 ⎜⎜ 's ⎝ ⎞ ⎟⎟ .w ⎠
1 's ξ 3 's
∫∫∫ 3R
'du
dvdw
.
( p's'u −δ
)
1 's
−
f 'u v ,w 'u ,qv 'u v w = − − + − + ξ 1 's ξξ 21 q ξ 3 q ξ 2 's ξξ 32 q ξ 1 q ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜⎜ ⎝
2
3
1
(3.5)
)
.
s
=
1 ∫∫ 2R ∨ −−= ( ξ,pf. )s( Töø (3.4) vaø (3.5), vaäy: ∨ ( s,spf ξ
)
∨ 1 − ( ,pf.
)ξ
Neáu s= -1, ta coù tính chaát ñoái xöùng:
,w p ,qv p v dvdw.w f v )'s( ξ ξ + − + − = − p ξ 1 ξξ 32 q ξ 1 q ξ 3 q ξξ 21 q ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜⎜ ⎝
∨ f
,p
(3.6)
( =ξ−−
)
∨ ( ξ ,pf
)
19
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
1
−
∨ f.
s
,
.s, ξ
ζ
ξ
=
∨ ( ,pf
)
⎞ ⎟ ⎠
⎞ =⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
∨ ⎛ .sf ⎜ ⎝
1
−
MOÄT SOÁ VÍ DUÏ : i)Ví duï 1: Cho ζ=s.ξ , ⏐ζ⏐=s > 0, ta coù: p p s s ∨ f.
,
ζ
ζ
=
(3.7)
∨ ( ,pf
)
p ζ
ζ ζ
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
ii)Ví duï 2 : Theo ví duï 1 (IV) cuûa chöông II :
−
2p 2 ζ
2pe. −
e.
=
ζ
∨ ( ,pf
)
∨ ⇒ ( ,pf
)
π ζ
ξ = π
iii)Ví duï 3 : Theo ví duï 2 (IV) cuûa chöông II :
−
2p 2 ζ
⇒
2pe. −
e.
=
ζ
∨ ( ,pf
)
∨ ( ,pf
)
π ζ
ξ = π
g
c
f ℜ+ℜ=
+
(3.8)
II.TÍNH TUYEÁN TÍNH: Cho hai haøm soá f vaø g, hai haèng soá c1, c2 , ta coù: { ℜ
} gc 2
fc 1
c 1
2
Chöùng minh: { fc ℜ 1 + =
}gc 2
−
+
−
=
−
−
+
) dXX. ξ ) dXX. ξ
)dXX. ξ ) ( ( ∫ p.Xg.c δ 2 ) ( ( ∫ p.Xg.c δ 2
) ( )( ( ) ∫ p.Xgc fc dXX. δ − ξ + 2 1 ] ( [ ) ) ( ( = ∫ p.Xg.cXf.c δ − + 1 2 ) ( ( ) ∫ dXX. p.Xf.c δ ξ = 1 ) ( ) ( ∫ dXX. p.Xf.c δ ξ 1 .c f g.c ℜ+ℜ= 2 1 Vaäy:Bieán ñoåi Radon laø moät bieán ñoåi tuyeán tính. III.BIEÁN ÑOÅI RADON CUÛA PHEÙP BIEÁN ÑOÅI TUYEÁN TÍNH: Baây giôø, baèng caùch ñoåi bieán laáy tích phaân, ta coù ñöôïc moät bieán ñoåi Radon moät haøm cuûa pheùp bieán ñoåi tuyeán tính toaï ñoä. Xeùt trong Rn vôùi n=2 hay n=3 .
20
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
ξ =
,... ξ
,
( , ξξ 1
2
)n
i x.
i
n ∑ ξ 1i =
T
X. ξ =
( , ξξ 1
2
n
i x.ξ
i
n ∑ 1i =
x 1 (cid:35) X = ξ ,... ξ =
n
laø ma traän chuyeån vò cuûa ma traän ξ
Tξ vôùi ⇒ ξ.X=ξTX
x ⎛ ⎜ ) ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
Ta kí hieäu
iX
i
n ∑ ξ 1i =
Cho A laø ma traän khoâng suy bieán vôùi nhöõng phaàn töû thöïc nhö Y=AX vôùi X,Y ∈Rn . Ta coù theå vieát 〈ξ,Y〉 = 〈ξ,AX〉 = 〈ATξ,X〉 T
T
Y
AX
ξ
=
ξ
=
hay
) X TT ξ
=
=
( A Tξ X.A
Y. AX. ξ ξ , ta coù : A 11 (cid:35)
X, ξ =
(3.9)
A n1 (cid:35) x 1 (cid:35) =
n
1n
nn
n
({ AXfℜ y ⎛ 1 ⎜ (cid:35) ⎜ ⎜ ⎝
hay )} Xeùt ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
y A ... ... A... x ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
vôùi k = 1,2,...n
k
i
n ∑ 1i =
y = xA ki
**Ví duï :
x
2 1 x −
2 2
thì :
+
)
Giaû söû X∈Rn vaø f(X)= ( AXf
1
21
( x,xf 1 xA,xA + 2 2
+
−
−= ) e 2 )2 xA 22 )2
(
)
2
12
11
xAxA + 1
22
21
2
( xAf = 11 1 12 ( xAxAe −=
=
−
} )
=
−
1 Ñaët B = A-1, ta coù : X = A-1Y = BY ) ( ( ( { AXf p.AXf δ ℜ ( ) ( p.Yf δ
) dXX. ξ ) ( BYdBY. ξ
)
T
∫ ∫ dYY.Bp.Yf.Bdet δ
=
−
ξ
(
)
T
∫ ∨ B,pf.Bdet
=
. (3.10)
{
=
) ( )ξ ( ∨ ( TB,pf.Bdet
)ξ
}AXfℜ ) ( Vaäy : B = A-1 ⇒ AB = AA-1 = I
21
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
1
T
− XBf
∨ B,pfBdet
Do ñoù:
(3.11)
⇒ A = B-1. } ) { (
ℜ =
(
)ξ
IV. BIEÁN ÑOÅI RADON CUÛA ÑAÏO HAØM: Cho haøm soá f(X)= f(x1,x2,…,xn), xeùt treân khoâng gian Rn, vôùi n=2 ;3.
1)Pheùp bieán ñoåi cuûa
(k = n,1 ).
+
( Xf
)
ε ξ
⎛ ⎜⎜ Xf ⎝
=
lim 0 → ε
f ∂ x ∂
k
k ε ξ
k
,...,
x
,...,
x
+
+
vôùi
vaø ξk laø thaønh phaàn thöù k cuûa ξ.
1
k
n
ε ξ
ε ξ
k
k
⎛ ⎜⎜ Xf ⎝
⎛ ⎜⎜ xf ⎝
+
( Xf
)
ε ξ
⎛ ⎜⎜ Xf ⎝
⎞ −⎟⎟ ⎠
ξ
ℜ
ℜ=
k
lim. 0 ε →
k ε
f ∂ x ∂
k
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
⎞ =⎟⎟ ⎠ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
ℜ
+
{ ( Xf ℜ−
} )
ε ξ
k
⎛ ⎜⎜ Xf ⎝
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
ξ
=
(3.12)
k
⎞ ⎟⎟ ⎠ ε
,...,0,0
0,...,
+
, ta coù:
Ñaët a=
)aXf ( +
ε ξ
lim. 0 → ε ε kξ
k
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ Xf ⎝
⎞ =⎟⎟ ⎠
f ∂ kx ∂ ⎞ −⎟⎟ ⎠
.
**
( { aXf ℜ=
} )
) ( ( p.aXf δ +
) dXX. ξ
∫
k
Thöïc hieän ñoåi bieán soá: u=X+a ⇒ du=dX.
ℜ + + = − ε ξ ⎛ ⎜⎜ Xf ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎫ ⎬ ⎭ ⎧ ⎨ ⎩
( ( ) p.uf δ
( u
) ) du
∫
k
a ℜ + = − ξ − ε ξ ⎛ ⎜⎜ Xf ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭
+ a ξ − =
( ) ( p.uf δ ( ) ( p.uf δ
) duu ξ )duu
−+ ξε =
(3.13)
∫ ∫ ∨ ( pf
) .
22
= , ξε+
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
(3.14)
∨ ( ξ,pf
} )
{ ( Xf ℜ
=
) ** Thay (3.13) vaø (3.14) vaøo (3.12), ta coù : ∨ ( pf
∨ ( ,pf
)
k
) , ξε ε
k
,p
ξ
=
(
)ξ
∨ f p
∂ .k ∂
ℜ
ξ − + ℜ ξ = lim 0 → ε f ∂ x ∂ ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭
Vaäy :
(3.15)
ξ=
( ξ ,p
)
.k
∨ f p
∂ ∂
f ∂ kx ∂
⎫ ⎬ ⎭
⎧ ⎨ ⎩
a
,...,
,...,
,...,
,...,
=
ξ
ξ
2
( a,a 1
Vôùi ak (k=1,2,…,n) laø moät voâ höôùng baát kì, ) )n a ,a ξ = n
2
k
k
)
( ,p
k
( , ξξ 1 theo tính chaát tuyeán tính cuûa pheùp bieán ñoåi Radon , ta coù: ∨ f p
k
n ∑ a 1k =
n ∑ a 1k =
.a ξ
=
(3.16)
Vaäy :
( ξ ,p
)
∨ f p
∂ ∂
f ∂ k x ∂
k
n ⎧ ⎪ ℜ ∑ a ⎨ ⎪⎩ 1k =
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
ξ ℜ = ξ kk f ∂ x ∂ ∂ ∂ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
**Ví duï :
,
,
. Ta coù :
Cho n=3, ∇ laø toaùn töû Gradient
∂ x
∂ x
∂
∂
2
3
1
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ ⎝
f
.a ξ
=∇ℜ
{ .a
}
( ξ ,p
) (3.17)
∂ x ∂ ∨ f p
∂ ∂
2
2
2
∂
ξ
)
2)Baây giôø ta xeùt
, thì coù :
=
ℜ
ℜ
ξξ kl
∂ x
∂ x
f x ∂
∂
f x ∂
∂
( ,pf 2 p
∂
k
l
k
l
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
=
Chöùng minh : Ta coù : 2 ∂ x
f x ∂
∂ x ∂
∂
f ∂ x ∂
k
l
l
k
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
23
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
'
X
X
+
(
)
f ∂ x ∂
f ∂ x ∂
k
k
⎛ ⎜⎜ ⎝
=
⎞ −⎟⎟ ⎠ '
lim ' 0 → ε
ε ξ l ε ξ
'
X
X
+
(
)
f ∂ x ∂
f ∂ x ∂
k
k
⎛ ⎜⎜ ⎝
=
ξ
(3.18)
l
⎞ −⎟⎟ ⎠ '
l ε ξ l ε
'
X
+
ℜ
Xeùt
f ∂ x ∂
ε ξ
k
l
lim ' 0 → ε ⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎫ ⎬ ⎭
'
'
+
+
+
ε ξ
ε ξ
ε ξ
l
l
⎛ ⎜⎜ Xf ⎝
⎞ −⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ Xf ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
ℜ=
lim 0 ε →
k ε ξ
k
⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
'
'
ℜ
+
+
+
ε ξ
ε ξ
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ε ξ
l
l
⎛ ⎜⎜ Xf ⎝
⎞ ℜ−⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ Xf ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
=
ξ
(3.19)
k
k ε
a
,...,0,0
0,...,
b
,...,0,0
0,...,
=
=
,
, ta coù:
Ñaët
ε lξ
lim 0 ε → ⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
'
**
ℜ
+
+
++
}b )
ε ξ
ε kξ ε ξ
l
k
⎛ ⎜⎜ Xf ⎝
⎞ { ( ℜ=⎟⎟ aXf ⎠
++
−
=
( aXf
) ( p.b δ
) dXX. ξ
'
b
ℜ
+
+
−
a −−
( ) ( p.uf δ
( u ξ
) ) du
∫
ε ξ
∫ Thöïc hieän ñoåi bieán soá: u = X+a+b ⇒ du = dX. ε ξ
k
l
⎛ ⎜⎜ Xf ⎝
⎞ =⎟⎟ ⎠
−++
' ξε
ε
=
( ) ( p.uf δ
) duu.
=
++ ε
,' ξε
(3.20)
∫ ∨ ( pf
)
'
**
+
,' ξε
ℜ
+
(3.21)
∨ ( pf
)
ε ξ
l
⎛ ⎜⎜ Xf ⎝
⎞ =⎟⎟ ⎠
Thay (3.20) vaø (3.21) vaøo (3.19) , tacoù:
'
−
+
++ ε
,' ξε
∨ ( pf
∨ ( pf
)
X
ℜ
+
=
ξ
k
lim 0 ε →
f ∂ x ∂
ε ξ
) ,' ξε ε
k
l
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
24
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
p
=
ξ
+
,' ξε
(
) (3.22)
.k
∨ f p
∂ ∂
Töø (3.15) ,(3.22) vaø (3.18), ta coù:
'
X
X
ℜ
+
ℜ−
(
2
f ∂ x ∂
f ∂ x ∂
ε ξ
k
l
k
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ) ⎬ ⎭
⎧ ⎨ ⎩
=
ℜ
ξ
l
lim. ' 0 → ε
∂ x
⎫ ⎬ ⎭ '
f x ∂
∂
⎞ ⎟⎟ ⎠ ε
k
l
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
.
.
ξ
,' ξε
ξ
ξ
+
−
( p
)
( ,p
)
k
k
∨ f p
∨ f p
∂ ∂
∂ ∂
ξ
=
l
'
ε
lim. ' 0 → ε
,' ξε
ξ
+
−
( p
)
( ,p
)
2
∂
∨ f p
∨ f p
∂ ∂
∂ ∂
,p
=
=
(
)ξ
ξξ kl
ξξ kl
∨ f 2
'
ε
lim. ' 0 → ε
p
∂
Vaäy trong tröôøng hôïp toång quaùt , ta coù:
2
2
∂
ℜ
( ξ ,p
) (3.23)
ξξ= kl
∨ f 2
∂ x
f ∂ x
∂
p
∂
k
l
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
2
2
ℜ
ℜ
=
ba kl
ba kl
∂ x
∂ x ∂
f x ∂
f x ∂
∂
k
k
l
l
n n ∑ ∑ 1k 1l = =
n n ∑ ∑ 1k 1l = =
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
Vaø cuõng vôùi hai vecto a,b baát kyø thuoäc Rn, tacoù: ⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
2
∂
ba
ξξ klkl
∨ f 2
p
n n = ∑ ∑ 1k 1l = =
2
∂
ξ
=
( .b ξ
) .
l
l
∂ ∨ f 2
n ∑ a 1l =
2
∂
=
.b ξ
( .a ξ
)(
) .
p ∂ ∨ f 2
p
∂
2
2
∂
=
ba
Vaäy:
(3.24)
( )( .b.a ξ ξ
) .
kl
∨ f 2
∂ x
f x ∂
∂
k
l
p
∂
n n ℜ ∑ ∑ 1k 1l = =
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
3)Toång quaùt hoaù: Ta seõ söû duïng phöông phaùp qui naïp ñeå chöùng minh.
25
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
m
m
∂
ℜ
ξξ=
(3.25)
... ξ m21
∨ f m
f x... ∂
∂ xx ∂∂ 1
2
m
p
∂
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
Chöùng minh: a)Ta ñaõ kieåm tra ñöôïc coâng thöùc treân vôùi m = 1, m = 2. b)Giaû söû ñaúng thöùc treân ñuùng vôùi m = k (vôùi k∈N, k ≥ 2).Nghóa laø:
k
k
∂
ℜ
=
... ξ
ξξ 21
k
∨ f k
f ∂ x...
p
∂
∂ ∂∂ xx 1
2
k
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
c)Ta seõ chöùng minh ñaúng thöùc treân ñuùng vôùi m = k+1
k
ℜ=
ℜ
x
∂ x
∂
f x... ∂
1k + f ∂ x... ∂
∂
xx ∂∂ 1
2
k
∂ xx ∂∂ 1
2
k
1k +
1k +
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
k
k
ε
X
+
( X
)
f x... ∂
f x... ∂
ξ
∂ xx ∂∂ 1
2
k
∂ xx ∂∂ 1
2
k
⎞ −⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ ⎝
ℜ=
1k + ε
lim 0 ε →
ξ
1k +
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
k
k
ε
X
X
+
ℜ
ℜ−
(
f x... ∂
f x... ∂
ξ
∂ xx ∂∂ 1
2
k
∂ xx ∂∂ 1
2
k
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎧ ⎛ ⎪ ⎜⎜ ⎨ ⎪⎩ ⎝
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
⎫ ⎪ ) ⎬ ⎪⎭
=
ξ
(3.26)
1k +
1k + ε
lim. 0 ε → Thöïc hieän ñoåi bieán soá:
ε
ε
Xu =
+
uX −=⇒
Ñaët
ξ
ξ
1k +
1k +
ε
u.(p
)
p −=
−
ξ
−
ε
ξ
1k +
⎞ −=⎟⎟ ⎠
p
u.
Ta coù: p - ξ.X ⎛ ⎜⎜ u. ξ ⎝ ξε −+=
Theo phöông phaùp chöùng minh (3.23) suy ra:
k
k
∂
∂
,p
p
+
−
, ξε
ξ
(
)
(
)
∨ f k
∨ f k
p
p
∂
∂
=
ξ
... ξ
(3.26)
. ξξ 21
k
1k +
lim 0 ε →
ε
1k +
∂
...
=
ξξ
( ξ ,p
) (3.27)
ξξ 21
1kk
+
∨ f 1k +
p
∂
26
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
Theo nguyeân lí qui naïp ta suy ra ñieàu phaûi chöùng minh. **Ví duï 1 :
3
∂
b
a
=
+
laø toaùn töû tuyeán tính.
Giaû söû L
∂ x ∂
x
∂
∂
1
2
ℜ
=
+
2 x 3 ∨ ( ξ ,pf
{ } Lf
) (3.28)
a ξ 1
2 b ξξ 32
∂ p ∂
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
**Ví duï 2 : Ta coù theå xem ví duï naøy laø moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa(3.24).
=
=
δ
Giaû söû n=3 vaø
ba kl
kl
khi khi
kl = kl ≠
2
2
∂
=
(3.29)
Khi ñoù
ba kl
∂
3 3 ∑ ∑ 1k 1l = =
1 ⎧ ⎨ 0 ⎩ 3 ∑ 1k =
x
∂
∂ xx kl
2 k
2
∂
ℜ
ℜ
{ ( XfΔ X
3 } ∑ ) = 1k =
x
∂
2 k
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
2
∂
,p
=
ξ
(
)
ξξ kk
laø toaùn töû Laplace , kí hieäu XΔ hay Δ. Töø (3.29), ta coù theå vieát : ⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭ ∨ f 2
3 ∑ 1k =
2
∂
,p
=
ξ
ξ
)
(
2 k
p ∂ ∨ f 2
3 ∑ 1k =
p
2
∂
2
,p
=
ξ
(
)ξ
∂ ∨ f 2
p
2
∂
=
1=ξ
( ξ,p
) vôùi
∂ ∨ f 2
p
∂
2
2
∂
∂
2
,p
=
=
ξ
ξ
Vaäy :
( Xf
(
)
( ξ ,p
) (3.30)
{ ℜ Δ
} )
X
∨ f 2
∨ f 2
p
p
∂
∂
**Ví duï 3 : Cho n= 3 Giaû söû f=f(x,y,z ;t) Xeùt phöông trình soùng ba chieàu :
27
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
2
2
2
2
∂
∂
∂
∂
=
+
+
f 2
f 2
f 2
f 2
t
x
y
∂
∂
∂
z ∂ Ta aùp duïng pheùp bieán ñoåi Radon leân hai veá :
2
2
2
2
2
∂
∂
∂
∂
∂
ℜ
ℜ=
+
+
=
(3.31)
f 2
f 2
f 2
f 2
∨ f 2
∂
t
x
y
z
p
∂
∂
∂
∂
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
2
∂
ℜ
ℜ=
Thaät vaäy :
f 2
∂ t ∂
f ∂ t ∂
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
t
∂
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
t;z,y,x
t;z,y,x
+
−
ε
(
)
(
)
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭ f ∂ t ∂
f ∂ t ∂
ℜ=
lim 0 → ε
ε
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
t;z,y,x
t;z,y,x
ℜ
+
−
ε
(
)
(
f ∂ t ∂
f ∂ t ∂
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ ⎫ ) ⎬ ⎭
=
lim 0 ε →
ε
t;z,y,x
t;z,y,x
ℜ
+
ℜ−
ε
(
(
f ∂ t ∂
f ∂ t ∂
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ) ⎬ ⎭
⎧ ⎨ ⎩
=
(3.32)
lim 0 ε →
⎫ ) ⎬ ⎭ ε
+
ε
ℜ
i)
(
−
+
ε
⎫ ) t;z,y,x ⎬ ⎭ ( t;z,y,xf ++ ε
( t;z,y,xf
)
f ∂ ⎧ ⎨ t ∂ ⎩ ⎧ ℜ= ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
++ ε
−
+
ε
lim ' 0 → ε { ( t;z,y,xf ℜ
( t;z,y,xf
} )
) ' ε ' ε )
=
lim ' 0 ε →
ℜ−
+
++ ε
ε
' ε ' ε ' ε
{ ( t;z,y,xf ℜ
({ t;z,y,xf
})
=
lim ' 0 ε →
) } ' ε
−
+
ξ
++ ε
ξ
ε
∨ ( t;,pf
∨ ( t;,pf
)
=
) ' ε ' ε
,p
=
t; ξ +
ε
(3.33)
(
)
lim ' 0 ε → ∨ f t
∂ ∂
ii)Chöùng minh töông töï ta cuõng coù :
t;z,y,x
ℜ
t;,p ξ
=
(
(
) (3.34)
f ∂ t ∂
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ) ⎬ ⎭
∨ f ∂ t ∂ Thay (3.33) vaø (3.34) vaøo (3.32), ta coù:
28
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
+
−
t;,p ξ
ε
t;,p ξ
2
(
)
(
)
∂
∨ f ∂ t ∂
∨ f ∂ t ∂
ℜ
=
f 2
lim 0 ε →
ε
t
∂
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
2
∂
=
t;,p ξ
(
) (3.35)
∨ f 2
t
∂
2
2
∂
∂
=
Hay ta coù :
(3.36)
∨ f 2
∨ f 2
t
∂
p ∂
**Ví duï 4 :
3
3
3
∂
∂
∂
,
+
+
Cho f = f(x,y), L laø toaùn töû L = L
3
2
3
∂ x ∂
∂ y ∂
x
yx
y
∂
∂∂
∂
⎞ =⎟⎟ ⎠
3
∂
+
+
ξ
( ξ ,p
) (3.37)
)
Thì : { } ( 3 Lf ℜ = ξ 1
2 ξξ 21
3 2
⎛ ⎜⎜ ⎝ ∨ f 3
p
∂
2
∂
,p
,p ξΨ
=
Ta kí hieäu toaùn töû vi phaân (cid:0) (
)
(
)ξ
Ψ 2
p
∂
Vôùi haøm soá ψ baát kì theo voâ höôùng p vaø vecto ξ.
∨ f
Neáu ψ laø
∨ f
, theo (3.30), ta coù : ∨ fΔ
fℜ
hay
(cid:0) (3.38)
{ } =
) =
(
ℜ fΔ(cid:0) V.BIEÁN ÑOÅI RADON CUÛA ÑA THÖÙC HERMITE :
2
2
2
x
y
p
−
−
−
e.
e
ℜ
π
=
Theo (2.15), chuùng ta ñaõ coù :
.
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
2
x
2 y −
−
( )
( ) e.yH.xH
( k,l ∈ Z+ ) vôùi Hk(x) laø ña thöùc Hermite baäc k
l
k
k
2
2
x
x
−
e.
.
(3.39)
k ) e.1
( −=
( ) xH k
Xeùt aån x, vaø Hl(y) laø ña thöùc Hermite baäc l aån y. d dx
⎛ . ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠ l
2
2
y
y
−
e.
(3.40)
( −=
l ) e.1
( ) yH l
d dy
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ . ⎝
k
2
2
k
t
t
−
−
e
e.
⇒
(3.41)
( −=
) 1
( ) tH. k
∂ t ∂
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
29
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
l
k
2
2
2
2
lk +
x
y
x
y
−
−
−
−
e.
⇒
(3.42)
( ) e.yH.xH
( )
( −=
) 1
k
l
∂ y ∂
∂ x ∂
⎛ . ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ . ⎝
Ta ñaõ bieát :
l
k
lk +
∂
ℜ
ℜ=
( y,xf
( y,xf
k
l
∂ x ∂
∂ y ∂
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
x
y
∂
∂
⎛ ⎜⎜ . ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎫ ⎪ ) ⎬ ⎪⎭
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
⎫ ⎪ ) ⎬ ⎪⎭
lk +
∂
=
(3.43)
∨ ( ξ ,pf
)
k ξξ 1
l 2
lk +
p
∂
2
2 y −
xe −=
Vì vaäy, khi
, ta coù :
( y,xf
)
l
k
2
2
2
2
lk +
x
y
x
y
−
−
−
−
e.
ℜ
( ) e.yH.xH
( )
( −=
) 1
k
l
⎧ℜ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
∂ x ∂
∂ y ∂
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎛ ⎜⎜ . ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
lk ∨+
lk +
( −=
) 1
( ,pf.
)ξ
k ξξ 1
l 2
∂ p ∂
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ ⎝
lk +
lk +
2p
−
.
e.
π
(3.44)
( −=
) 1
k ξξ 1
l 2
∂ p ∂
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ ⎝
Tuy nhieân :
lk +
2
2
lk +
p
p
−
−
e.
e
H.
=
−
(3.45)
(
) 1
( )p
lk +
∂ p ∂
⎛ ⎜⎜ ⎝
2
2
2
x
y
k
l
p
−
−
−
⇒
cos
H.
=
π
sin. φ
e. φ
(3.46)
( ) e.yHxH
( )p
⎞ ⎟⎟ ⎠ ( )
lk +
=
sin, φ
⎧ℜ ⎨ ⎩ = ξ
.
⎫ ⎬ ⎭ )φ
( cos
l )
k ( , 2 ξξ 1
vôùi **Ví duï 1 :
2
y
2 −λ
+
( x
Xeùt bieán ñoåi Radon cuûa
)2 l
k
2
2
2
2
−
( ) ) ( e.yH.x λ λ l lk + (
y
y
2 λ
2 λ
−
+
−
+
( x
H k )
( x
e.
H
=
) (3.47)
( λ
k
( ) ) e.yH.x λ l
∂ y ∂
∂ x ∂
⎛ . ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ . ⎝
2
y
2 λ
−
+
( x
) 1 lk + λ ) 2
H
( λ
k
( ) ) e.yH.x λ l
⎧ℜ⇒ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
lk +
lk +
2
2
−
(
y
2 λ
−
+
( x
)
e
=
(3.48)
k . ξξ 1
l 2
⎫ ⎬ ⎭
∂ p ∂
) 1 lk + λ
⎞ ⎧ℜ⎟⎟ . ⎨ ⎩ ⎠
⎛ ⎜⎜ ⎝
30
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
2
2
2
2
y
y
2 λ
2 λ
−
+
−
+
( x
)
( x
y
e
e
p. δ
−
−
ξ
=
ℜ
(3.49)
) (
) dxdy
x ξ 1
2
⎫ ⎬ ⎭
=
∞+ ∫ ∞− sin, φ
( cos
, 2 ξξ 1
sin cos
u v
φ φ
−
⎞ ⎟⎟ ⎠
∞+ ⎧ ∫ ⎨ ⎩ ∞− ) vôùi ( )φ . Thöïc hieän ñoåi bieán soá : x cos φ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎜⎜ =⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ . y sin φ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Ta coù :
2
2
v
u
−
+
2 λ
(
)49.3(
e
u
=
p. δ
−
) (
) dudv
∞+ ∫ ∞−
∞+ ∫ ∞−
22 p
22 v
λ
λ
−
−
e
e.
dv
=
∞+ ∫ ∞−
22 p
22 v
λ
λ
−
−
e
e
dv
=
λ 22p
e−=
(3.50)
∞+ ∫ ∞− π λ
lk +
lk +
2
2
−
(
y
2 λ
+
−
λ 22p
Thay (3.50) vaøo (3.48),ta coù : )
( x
.
=
H
e−
( λ
k . ξξ 1
l 2
( ) ) e.yH.x λ l
k
) 1 lk +
⎧ℜ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
∂ p ∂
π λ
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠ 22 p
k
l
−
λ
cos
H.
=
sin. φ
e. φ
(3.51)
( p λ
)
lk +
λ π λ
Ñònh nghóa :
H
( λ
) (3.52)
Hkl = Hkl (λx,λy) =
k
( yH.x ) λ l
λ π
2
2
y
2 λ
−
+
( x
)
) e.y,x
( λλklH
Ta coù : ⎧ℜ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
2
2
y
2 λ
−
+
( x
)
H
ℜ=
( λ
k
( ) ) e.yH.x λ l
⎫ ⎬ ⎭
2
2
y
2 λ
−
+
( x
)
H
=
( λ
k
( ) ) e.yH.x λ l
⎫ ⎬ ⎭
k
l
22 p
−
λ
=
cos
H.
.
sin. φ
e. φ
( λ
)p
lk +
⎧ ⎨ ⎩ λ π π λ
λ π ⎧ℜ ⎨ ⎩ λ π
31
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
k
l
22 p
−
λ
cos
H.
=
sin. φ
e. φ
(3.53)
( p λ
)
lk +
m
2
2
y
2 λ
−
+
( x
)
Xeùt :
( λλ
) e.y,x
klH
⎫ ⎬ ⎭
∂ p ∂
1 m λ
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎧ℜ⎟⎟ . ⎨ ⎩ ⎠
⎛ ⎞ ⎜⎜ . −⎟ ⎠ ⎝
m
22 p
k
l
−
λ
.
cos
H.
p
sin. φ
e. φ
( −=
m ) .1
( λ
)
lk +
1 m
∂ p ∂
λ
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
m
lk +
lk +
k
l
22 p
−
λ
.
cos
.
sin. φ
e. φ
( ) 1. −
( −=
m ) .1
1 m
1 lk +
∂ p ∂
∂ p ∂
λ
λ
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎛ ⎜⎜ . ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
mlk ++
mlk ++
22 p
k
l
−
λ
.
e.
.
cos
sin. φ
φ
( −=
) 1
1 mlk ++
∂ p ∂
⎛ ⎜⎜ . ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠ k
l
22− p λ
.
cos
H
φ
=
Vaäy :
λ ) e.p
( λ mlk ++ m
2
2
y
2 λ
−
+
sin. φ ( x
)
( λλ
) ey,x
klH
1 m
⎫ ⎬ ⎭
∂ p ∂
λ
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎛ −⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠
k
l
⎞ ⎧ℜ⎟⎟ ⎨ ⎩ ⎠ 22− p λ
.
H
cos
sin. φ
φ
( λ
) e.p
mlk ++
= (3.54) Cho chuoãi caùc ñôn thöùc :1,x,y,x2,xy,y2,x3,x2y,... laø caùc soá haïng cuûa ña thöùc Hermite. **Ví duï 2:
2
x
−
2 y −
lk eyx
1)Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Radon leân daïng
l
2
2
x
−
e.
(3.55)
Theo coâng thöùc Rodrigues :
( −=
xl ) e.1
( ) xH l
∂ x ∂
⎛ . ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
2 yx
=
( )
Cho k=2,l=1, ta coù : ( ) ( ) .xHxH2 +
2
0
( )yH 1
=
+
( ) ( ) yHxH
1 2 ( )yHxH ( )
2
1
0
1
1 4 1 8
y,x
=
+
(
)
(
)y,x
H
H
21
01
π 8
2
2
x
−
2 y −
2 y −
2 e.yx
y,x
2
=
ℜ
+
(
)
(
] xe.y,x − )
H
21
01
⎫ ⎬ ⎭
⎫ ⎬ ⎭
1 4 π 4 π 8
⎧ [ H ⎨ ⎩ 2
2
2
2
x
y
x
y
−
−
−
−
2
=
(
) e.y,x
(
) e.y,x
H
H
21
01
⎧ℜ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
⎧ℜ+ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
⎧ℜ ⎨ ⎩ π 8
⎡ ⎢⎣
⎤ ⎥⎦
2
2
2
p
p
−
−
cos
sin2
sin. φ
e. φ
e. φ
=
+
( ) pH. 3
⎡ ⎢⎣
⎤ ( )⎥⎦ pH. 1
π 8
32
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
2
2
2
p
p
−
−
cos
sin
sin. φ
e. φ
+
e. φ
=
( ) pH. 3
( )pH. 1
π 4
π 8
3
p8
p12
=
−
Maø:
p2
=
2
x
−
2 y −
( ) pH 3 ( ) pH 1 2 e.yx
⎫ ⎬ ⎭
2
2
2
p
3
p
−
−
cos
sin
p12
sin
p2.
=
φ
e. φ
−
+
e. φ
( p8
)
⎧ℜ⇒ ⎨ ⎩ π 8
π 4
2
2
p
2
p
2
−
−
3 e.p
.
cos
e.p
sin.
cos
π
sin. φ
φ
+
=
( 31. − φ
)φ
π 2
2
2
2
x
−
2 y −
p
2
p
2
−
−
2 e.yx
3 e.p
.
cos
e.p
sin.
cos
=
π
sin. φ
φ
+
( 31. − φ
)φ
⎫ ⎬ ⎭
Vaäy : ⎧ℜ ⎨ ⎩
π 2
(3.56) 2
2 y −
xe.x −
x
=
2)Xeùt bieán ñoåi Radon cuûa ( )yH.xH
( )
1
0
1 2
2
2
2
2
x
y
x
y
−
−
−
−
e.x
ℜ=
( ) e.yH.xH
( )
0
1
⎫ ⎬ ⎭
⎧ℜ ⎨ ⎩
2 y −
(
xe.y,x − )
. 10Hπ
⎫ ⎬ ⎭ 2 ⎫ ⎬ ⎭
2
2
x
y
−
−
(
) e.y,x
10H
1 ⎧ ⎨ 2 ⎩ 1 ⎧ℜ= ⎨ ⎩ 2 ⎧ℜ ⎨ ⎩
2
p
−
= ⎫ ⎬ ⎭ π 2
( ) pH. 1
2
p
−
cos = e. φ
2p−
cos p2. = e. φ π 2 π 2
e.p. . cos
xe.x −
Vaäy :
(3.57)
⎧ℜ ⎨ ⎩
2
x
−
2 y −
2 e.x
2
x
=
π 2 = 2 y − φ 2p− e.p. . cos = π φ ⎫ ⎬ ⎭
3)Xeùt bieán ñoåi Radon cuûa ( )
]xHxH2 [ ( ) +
2
0
1 4
33
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
2
2
2
2
x
y
x
y
−
−
−
−
2 e.x
( )
[ ] ( ) e.xHxH2 +
2
0
2
2
2
2
x
y
x
y
−
−
−
−
ℜ= ⎫ ⎬ ⎭ ⎧ℜ ⎨ ⎩ 1 4 ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭
(
) e.y,x
(
) e.y,x
00
20
2
2
p
2
p
−
−
e.
.
cos
2
π
+
π
e. φ
=
( ) pH. 0
( )pH. 2
2 π π + . H .H ⎫ ⎬ ⎭ ⎧ ⎨ ⎩
2
2
p
p
2
2
−
−
e.
e.
cos
=
+
−
φ
) .2
1 4 ( p4.
π 4
2
2
2
p
p
2
p
2
−
−
−
e.
e.
2 .p.
cos
e.
.
cos
=
+
π
φ
−
φ
π 2
2
2
p
2
p
2
−
−
e.
sin.
e.
2 .p.
cos
=
φ
+
π
φ
π 2 π 2 π 2
2
2
p 2
−
1 ℜ= 4 1 4
2 .p
2
x
−
2 y −
2
2
e. sin cos p π φ = + ⎛ . ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
−
2 e.x
2 .p
(3.58)
Vaäy :
2
x
−
2 y −
1 2 p2 e. sin cos p π φ = + ⎫ ⎬ ⎭ ⎧ℜ ⎨ ⎩ 1 2 ⎛ . ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
4)Xeùt bieán ñoåi Radon cuûa
22 yx
=
( )
( )
2
2
0
0
22 e.yx 1 ]yHyH2 [ [ ] ( ) ( ) xHxH2 + + 4
=
+
+
( ) ( ) yH.xH2
( )
( )
( )
[ ( ) ( ) yH.xH4
]yH.xHyH.xH2 ( ) +
0
0
2
0
2
2
0
2
1 4 1 16
0
0
0
2
2
0
)y,x ( )y,x ( )y,x ( )y,x (
2
2
2
2
2
x
y
p
p
−
−
) e.y,x
(
( ) pH. 0
. 00Hπ= . 02Hπ= . 20Hπ= . 22Hπ= 2 ⎫ − − ⎬ ⎭
2
2
2
2
x
y
2
p
2
p
2
−
−
−
−
e e = =
) e.y,x
(
( ) pH. 2
02H
2
2
2
2
x
y
2
p
2
p
2
−
−
−
−
sin sin = e. φ = e. φ −
) e.y,x
(
( p4. ( p4.
)2 )2
( ) pH. 2
20H
2
2
2
x
y
2
2
p
−
−
−
cos cos = e. φ = e. φ −
) e.y,x
)
(
22H
( ) ( ) yH.xH ( ) ( ) yH.xH ( ) ( ) yH.xH ( ) ( ) yH.xH ⎧ℜ 00H ⎨ ⎩ ⎧ℜ ⎨ ⎩ ⎧ℜ ⎨ ⎩ ⎧ℜ ⎨ ⎩
2
2
2
p
4
2
sin cos = . φ e. φ ⎫ ⎬ ⎭ ⎫ ⎬ ⎭ ⎫ ⎬ ⎭
−φ e.
(pH. 4 ( p16.
)12
34
sin cos p48 = . φ − +
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
2
x
−
2 y −
22 e.yx
2
2
p
p
2
2
2
p
4
2
−
−
−
( p4
)
( p16.
)⎥⎦
2
2
2
x
y
p
2
2
4
2
2
−
−
−
22 e.yx
sin
cos
p3
p
=
−
+
e π
. φ
(3.59)
Vaäy: ⎧ℜ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
3 4
1 2
⎛ p. φ ⎜ ⎝
⎞ +⎟ ⎠
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
⎧ℜ⇒ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 2 ⎤ e2 e4 2 sin cos p48 12 π . φ e. φ = + − + − + ⎡ ⎢⎣ 1 16
VI.ÑAÏO HAØM CUÛA BIEÁN ÑOÅI RADON : Trong phaàn tröôùc, ta ñaõ laøm vieäc vôùi bieán ñoåi Radon cuûa ñaïo haøm haøm
∨ f
theo bieán p. Baây giôø ta seõ xeùt khi
khaû vi theo moät trong caùc thaønh phaàn cuûa ξ.
soá f. Caùc keát quaû cho ta ñaïo haøm cuûa ∨ ( φ,pf
)
∨ f
1)Xeùt ñaïo haøm cuûa
theo
n,1k =
kξ , vôùi:
−
ξ
=
Ta coù :
) ( ( p.Xf δ
) dXX. ξ
∨ ( ,pf
)
( ξ
) ( ( p.Xf δ
) dXX. ξ
∫ [ ( ) p.Xf δ
k
∫
∫
∨ f ∂ ξ ∂
,...,
,...,
ξ
ξ
+
ε
ξ
( , ξξ 1
k
k
ε − + − − =
lim 0 → ε k + k = ε
( ξ
( p
) } dXX. ξ
) X.
2 [ ( { ) pXf δ
] ) dXX ε k )n ]
∫
k ε
k vôùi ∨ f ∂ ξ ∂
0
ε
k
ε δ − + − − = lim → k
( ξ
( p
)
[ p δ
]
k
( Xf
∫
k ) X. ε
0
ε
ε δ X. ξ − + − − dX = lim → k ⎫ ⎬ ⎭
( ξ
( p
)
k
∫
ε δ X. ξ − + − − ⎧ ) ⎨ ⎩ [ p δ Xd =
k ] ) X. ε k ( p
0 ( ξ
)
) ( limXf → ε k [ p − δ
]
k
**
0
ε
− + ε − δ X. ξ
x
p
δ
−
−
−
−
X. ξ
( δ
)
( p
)
ε kk
=
) X. ε k X. ξ ε
lim ε k 0 →
k
p
x
p
−
−
−
δ
δ
X. ξ
(
(
ε kk
x
=
) ( . −
k
0
ε
− −
lim → k
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ) ⎬ ⎭
x
p
δ
−
−
δ
−
X. ξ
(
)
( p
( −=
k
0
) lim.x → ε
) X. ξ x ε kk − ε kk −
k
) X. ξ x ε kk
35
lim → k
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
p
ξ−
(
)X.
( −=
) .x k
∂ p ∂
∫
Nhö vaäy : f ∂ ξ ∂
k
x)X(f
p(
−=
δ
−
dX)X ξ
k
∫
∂ p ∂
p( δ − dX)X ξ = )x)(X(f − k ∂ p ∂
hay
−=
{ ( Xf ℜ
} )
( { Xfx ℜ
} (3.60) )
k
∂ ξ∂ ∂ p ∂
k
2
2 y −
Chuù yù : Khi ta xeùt ñaïo haøm theo moät thaønh phaàn cuûa ξ , vectô ξ khoâng ñöôïc xeùt nhö 1 vectô ñôn vò goác . xe −=
∨ f
,
=
ξ
ξ
ξ
)y,x(f
a)Ví duï 1 : Giaû söû f = ∨ ( ,pf
)
p ξ
ξ ξ
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
−
∨ f.1
,
=
ξ
⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
2
−
ξ ξ 1 2
,
p ξ )
( 2 ξ 1
2 2
2 2
2
2
2
2
x
y
x
y
−
−
−
−
p . ξ π 1=ξ = + ξ + − 2 ξ 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ exp. ⎜ ⎝
( p. δ
) dxdy
2
∫∫
e.x e.x y ℜ = − − ξ x ξ 1 ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭
Thöïc hieän ñoåi bieán soá : ξ x 1 − ξ y
2
u
x
y
x
y
x
v
=
+
=
−
=
+
ξ
ξ
u ξ 1
2 ξ 1
ξξ 21
⇒
⇒
⇒
v
x
y
y
u
v
+
=
+
ξ 1 −= ξ
u ξ 1 ξ
2
2 ξ 1
2
2 ξ 1
⎧ ⎨ ⎩
⎧ ⎨ ⎩
v
y
x
−
=
ξ
ξ
2
2 2
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
− 2
ξξ 21 2
2
2
u
v
x
y
−
−
−
−
u v ξ 2 ξ 1 ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎞ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎛ ⎟⎟ ⎜⎜ . ⎝ ⎠ ⎛ ⎜⎜ ⎝
) e.v
( up. δ
) dudv
( u ξ 1
2
∫∫
2
p
−
2 v −
dv
=
−
ξ
) e.v
2
∫
( p ξ 1 2
2
p
v
−
−
e
dv
=
−
ξ
) e.v
( p ξ 1
2
2
2
2
p
v
v
−
−
−
e.x ℜ = − ξ − ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭
2
∫
∫
∫ ⎛ ⎜ ⎝
36
e dv e.v dv ξ = − e.p ξ 1 ⎞ ⎟ ⎠
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
2
2
p
v
−
−
e
e
=
+
π
. ξ
.p ξ 1
2
∞+ ∞−
1 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎡ . ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
.
xe.x −
π
(3.61)
Vaäy:
⎧ℜ ⎨ ⎩
p 2−= e 2 y 2 ⎫ − ⎬ ⎭ Theo (3.60), ta coù:
2
x
−
2 y −
e.x
−=
⎧ℜ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
∨ f ∂ ∂ ξ 1
p 2
−
e
π
−=
ξ .p. 1
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
∂ p ∂ ∂ p ∂
− 2p
.
e.p
−=
.ξπ 1
⎞ ⎟ ⎠
∂ p ∂
⎛ ⎜ ⎝ 2
2
p
p
−
−
π ξ .p. 1 p2−= e ξ .p. 1
2
p
2
−
e. e.p2.p. −= + . ξπ 1
( p2.
2
2p
−
.
cos
=
π
−
Vaäy:
( p2. φ
) e.1
2
p4
2
=
−
Maø:
2p
−
.
cos
=
Neân:
(3.62)
( ) e.pH. φ 2
π 2
e. − = . ξπ 1 )1
2
2 y −
xe −
. ξπ 1 ∨ f ∂ ξ ∂ 1 ( ) pH 2 ∨ f ∂ ξ ∂ 1
b)Ví duï 2: Cho f(x,y) =
.
theo phöông phaùp söû duïng ña thöùc Hermite.
Tính
∨ f ∂ ξ∂ 1
2
x
−
2 y −
e.x
−=
⎧ℜ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
∂ p ∂
Ta coù : ∨ f ∂ ∂ ξ 1
x
=
=
=
( ) ( ) yH.xH
(
)y,x
( ) xH 1
1
. 10H
0
1 2
2
2
2
x
y
p
−
−
−
cos
.
ℜ
e. φ
=
(
) e.y,x
( )pH. 1
10H
1 2 π 2
π 2 π 2
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
Vì vaäy :
37
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
2
2
2
x
y
p
−
−
−
−
e.x
.
cos
e
−=
. φ
⎧ℜ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ( ) pH. ⎬ 1 ⎭
π 2
∂ ∂ p
∂ p ∂
2p
−
.
cos
e
p2.
−=
. φ
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
π 2
∂ p ∂
2
2
p
p
−
−
2 e.p4
2
2p
−
.
cos
=
−
( p4. φ
) e.2
2p
−
.
cos
=
( ) e.pH. φ 2
. cos −= − ⎛ e2. φ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
2
x
2p
−
2 y −
−
e.x
−=
cos
.
=
( ) e.pH. φ 2
⎧ℜ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
π 2
∂ p ∂
∨ f ∂ ∂ ξ 1 Giaû söû a∈Rn laø moät vectô khoâng ñoåi baát kì
ξ
−=
( ,p
)
(
} )
k
{ Xf.x.a ℜ k
k
∨ f ∂ ξ ∂
∂ p ∂
k
n ∑ a 1k =
−=
n ∑ 1k = { }Xf.X.a ( ) ) ( ℜ
∂ p ∂
π 2 π 2 π 2
Kí hieäu:
, ta seõ ñöôïc:
k .a
k
n ∑ 1k =
.a
−=
{ }XfX.a ( ) ) ( ℜ
} )
∂ ξ ∂
∂ p ∂
⎞ ( { ℜ⎟ . Xf ⎠
.a = ∂ ξ ∂ ξ ∂ ∂
⎛ ⎜ ⎝ 2)Xeùt ñaïo haøm caáp hai, ta coù :
2
2
∂
( ,p
) =ξ
(
} (3.63) )
{ Xf.x.x ℜ l
k
2
∨ f ∂ ξξ∂ lk
p
∂
Chöùng minh :
2
,p
(
)ξ
=
−
−
) ( ( p.Xfx δ
) dXX. ξ
k
∫
∂ p ∂
∨ f ∂ ξξ ∂ lk ∂ ∂ ξ
l
⎫ ⎬ ⎭
⎧ ⎨ ⎩
38
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
−=
−
) ( ( p.Xfx δ
) dXX. ξ
k
∫
∂ p ∂
∂ ∂ ξ
l
⎧ ⎨ ⎩
) ( ( p.Xfx δ
) dXX. ξ
) ( (p.Xfx δ
(
k
k
l
∫
∫
ξ ε − − − + −= lim 0 →
⎫ ⎬ ⎭ ) dXX). ε l ) −
( p
( p
)
l
l
k
∫
) ( limXfx 0 →
ε
l
l
δ
−
−=
)( ( .Xfx −
( p
) dXX. ξ
k
) .x l
∫
∂ p ∂
x δ − ε − δ − X. ξ dX. −= X. ξ ε
∂
−
=
) ( ( p.Xf.x.x δ
) dXX. ξ
k
l
∫
2
p ∂ 2
∂
=
(
} )
{ Xf.x.x ℜ l
k
2
p
∂
Vôùi a,b laø hai vectô baát kì, a,b ∈ Rn, ta coù:
∂ p l ∂ ε ∂ p ∂ ∂ p ∂ 2
2
2
∂
( ,p
) =ξ
{ ( XfX.bX.a ℜ
) (
)(
)} (3.64)
.b.a k
l
2
∨ f ∂ ξξ∂
kl
p ∂
n n ∑ ∑ 1k 1l = =
Chöùng minh :
2
ξ
( ,p
)
.b.a kl
∨ f ∂ ξξ ∂ kl 2
∂
=
(
} )
.b.a kl
{ Xf.x.x ℜ l
k
2
p
2
∂
=
{ Xf.x.x.b ℜ
(
} )
k
l
k
.a l
2
∂
∂ n ∑ 1k =
p 2
∂
=
(
} )
( { ) Xf.x.X.b ℜ l
l
2
p
∂ 2
∂
=
) (
)(
} )
( { Xf.x.a.X.b ℜ l
l
2
p
=
{ ( Xf.x.bx.a ℜ
) (
)(
} )
n n ∑ ∑ 1k 1l = = n n ∑ ∑ 1k 1l = = n ∑ 1l = n ∑ a 1l = n ∑ ∂ 1l = 2 ∂ p2
∂
c)Ví duï 3: Cho f = f(x,y) treân
. 2ℜ
39
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
lk +
lk
Toång quaùt, ta coù: ∨ ),p(f
(3.65)
∂ p ∂
lk + })y,x(fyx { ⎞ ℜ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ −=ξ ⎝
∂ k ξ∂ξ∂ 1
k
k
∂
l 2 Chöùng minh : ∨ ),p(f ξ
i)
(3.66)
})y,x(fx {
k ξ 1
k ⎞ ℜ⎟⎟ ⎠ Ta chöùng minh baèng phöông phaùp qui naïp :
∂ p ∂ ∂ ⎛ ⎜⎜ −= ⎝
*k = 1 : ∂ ∨ ∂ ξ 1
n
),p(f ξ ∂ p ∂ ⎞ { })y,x(xf ℜ⎟⎟ ⎠
n
∨ ),p(f ξ
n ξ 1
1n +
∂ ⎛ ⎜⎜ −= ⎝ *Giaû söû vôùi k = n ta coù : })y,x(fx { ∂ p ∂ ∂ ⎛ ⎜⎜ −= ⎝
1n +
∨ ),p(f ξ
n ⎞ ℜ⎟⎟ ⎠ Ta chöùng minh vôùi k = n+1, ta cuõng coù : })y,x(f
{ x
∂
1n + ⎞ ℜ⎟⎟ ⎠
1n + ξ 1
Thaät vaäy :
1n +
∂ p ∂ ∂ ⎛ ⎜⎜ −= ⎝
n
∨ ),p(f ξ
})y,x(fx {
n ⎞ ℜ⎟⎟ ⎠
1n + ξ 1
n
n
p()y,x(fx
x
y
dxdy
−
−
δ
ξ
ξ 1
2
∫
∂ p ∂
∂ ∂ ξ 1
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
⎛ ⎜⎜ −= ⎝
n
⎞ ⎟⎟ ⎠ n
(p()y,x(fx
x)
)y
dxdy
−
+
−
δ
ξ
ε 1
2
∫
−
∂ p ∂
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ −= ⎝
ξ 1 ε 1
lim 0 ε → 1
x
y
ξ
−
−
⎡ ⎢ ⎢ ⎣ nx
) ( p.y,xf. δ
(
) dxdy
ξ 1
2
∫
ε 1
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
n
p(
x
x
)y
δ
ξ
−
−
n
ε 1
ξ 1
2
∫
∂ p ∂
lim)y,x(fx 0 →
⎛ ⎜⎜ −= ⎝
− ε 1
ε 1
⎡ ⎢ ⎣
)y
⎞ ⎟⎟ ⎠ p( −
δ
−
ξ
2
dxdy
−
x ξ 1 ε 1
⎤ ⎥ ⎦
40
∂ = − ∂ p ∂ ∂ ∂ ∂ ξ 1 ⎛ ⎜⎜ ⎝
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
n
1n +
p(
)y
dxdy
)y,x(f
x
δ
−
−
ξ
−
x ξ 1
2
∫
∂ p ∂
∂ p ∂
⎛ ⎜⎜ −= ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
1n +
1n +
x
p()y,x(f
)y
dxdy
δ
−
−
ξ
x ξ 1
2
∫
∂ p ∂
⎛ ⎜⎜ −= ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
1n +
{ x
})y,x(f
∂ p ∂
1n + ⎞ ℜ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ −= ⎝
Theo nguyeân lyù qui naïp, ta coù (3.66).
1k +
k
∨ ),p(f ξ
ii)
{ x
})y,x(yf
∂
1k + ⎞ ℜ⎟⎟ ⎠
k ξ 1
2
Duøng phöông phaùp söû duïng ñònh nghóa ñaïo haøm nhö treân ta coù ñieàu phaûi chöùng minh. 1k +
∂ p ∂ ∂ ∂ ξ ⎛ ⎜⎜ −= ⎝
k
l
∨ ),p(f ξ
iii)
})y,x(fy.x {
∂
lk + ⎞ ℜ⎟⎟ ⎠
k ξ 1
l 2
∂ p ∂ ξ ∂ ∂ ⎛ ⎜⎜ −= ⎝
Söû duïng phöông phaùp qui naïp nhö phaàn i) ta seõ coù (3.65) d)Ví duï 4 : Thöû laïi ví duï 3 vôùi tröôøng hôïp ñaëc bieät :
2
2 y x −
−
2p
−
f(x,y) = x.e vôùi k = 1 vaø l = 1. ∨ ),p(f ξ
, ξ laø vectô ñôn vò.
1 e.p. ξπ
2
2
2
=
x
2
−
2 y −
*
2
2
x
=
2 ))x(H)x(H2 ( +
0
2
Ta coù : ∨ f ∂ ∂∂ ξξ 1 1 4
y
=
)y(H 1
2
2
2
2
1 2 2
x
y
x
y
−
−
−
−
x
ye
⇒
=
+
] e
0
2
1
)y(1
2
2
2
2
2
2
x
y
2
x
y
x
y
−
−
−
−
−
−
∂ x ye = ⎧ℜ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ p ∂
0
1
2
1
2
2
p
2
p
−
−
sin
.
cos
sin
e φ
π
+
=
π
φ
e φ
)p(H 1
)p(H 3
1 8
2
2
p
p
3
2
−
−
sinp
e.
p8(
)p12
cos
sin
e π
π
+
φ
=
−
φ
φ
1 [ H).x(H)y(H).x(H2 8 1 ⎧ℜ= ⎨ ⎩ 4 1 4 1 2
1 8
41
x ye e)y(H).x(H e)y(H).x(H ⎫ ⎬ ⎭ ⎫ ⎬ ⎭ ⎫ ⎬ ⎭ ⎧ℜ ⎨ ⎩ 1 ⎧ℜ+ ⎨ ⎩ 8
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
2
2
p
p
3
2
−
−
sinp
p2(
)p3
cos
sin
=
e π
φ
+
e π
−
φ
φ
1 2
2
2
p
p
3
−
−
p
e
e
p2(
)p3
=
+
ξπ
−
2
2 ξξπ 1
2
1 2
2
2
2
2
2
x
y
2
p
p
p
2
−
−
−
−
−
x
ye
e
e
p6(
)3
−
=
ξπ
ξπ
−
+
2
2 ep. 2
2 ξξπ 1
2
⎧ℜ ⎨ ⎩
1 2 1 2 ⎫ ⎬ ⎭
1 2
1 2
∂ p ∂
2
p
3
−
2 ξξπ 1
2
2
p
2
−
p
4
2
p2( )p3 − −
p6
)
+
p2( −
+
−
2
2 −ξξπ e 2 1
3 2
2 ⎛ ⎜ ⎝
2
2
2
−
∂
p
5
3
p
3
−
−
2
2y2x
−
e p ξπ = − pe 1 2 ⎞ ⎟ ⎠
x
ye
ℜ
2 ξξπ 1
2
2
2
p
∂
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
2
2
2
p
5
2
p
3
−
−
e
p4(
p20
)p15
e
p2(
)p3
=
−
+
+
ξπ
−
Vaäy:
2 ξξπ 1
2
2
∨ f ∂ ξξ ∂∂ 1
2
e p4( p20 )p15 p2( )p3 e − + + − ξπ =
g h
VII.BIEÁN ÑOÅI CUÛA TÍCH CHAÄP ∨ h ℜ=
∨ g ℜ=
Giaû söû
vaø
nR∈
dY)YX(h)Y(g
−
Cho f laø tích chaäp 2 haøm soá g vaø h; X, Y f(X) = g * h = ∫ Xeùt bieán ñoåi Radon cuûa f: ∨ ),p(f ξ
=
−
−
=
−
)
)X. ξ )dXX. ξ
}h*g { f ℜ=ℜ= ∫ ∫ p( dX dY)YX(h)Y(g δ ( ( ( ) dYYg∫ dYYXh p δ −
YXZ
=
−
∫ , ta coù:
dY)Y(g
ξ
=
−
Y. ξ
−
Ñaët ∨ ( ,pf
)
( ) ( pZh δ
) dZZ. ξ
∫
∫ ∨
=
−
ξ ,Y.
ξ
( ) ( ph.dYYg
)
∫
−
,Y. ξ
ξ
=
−
Aùp duïng haøm Dirac ta coù:
∨ ( ph
)
∨ ( ,sph −
) ( s δξ
) dsY. ξ
∞+ ∫ ∞−
⇒
ξ
=
−
∨ ( ,pf
)
) ( dYYg
∨ ( ,sph −
) ( s δξ
) dsY. ξ
∫
∞+ ∫ ∞−
42
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
ξ
−
∨ ( ,sph −
) ( ) ( sYgds δ
) dYY. ξ
∫
∞+ ∫ ∞−
=
∨ ( ,sg
∨ ) ,sph. −
(
) ds
∞+ ∫ ∞− ∨∨ h*g
ξ ξ =
=
(theo ñònh nghóa tích chaäp) ∨∨ h*g
=
Vaäy
(3.67)
{ h*g ℜ
}
X.K2i π
−
e)x(f
dX
=
(3.68)
VIII.LIEÂN HEÄ GIÖÕA BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ BIEÁN ÑOÅI FOURIER: Ta chæ xeùt treân khoâng gian hai chieàu (n=2) vaø ba chieàu (n=3). Cho X = (x1,x2,…,xn) , K = (k1,k2,…kn). Bieán ñoåi Fourier cuûa f(X) laø: ~ fF)K(f = n
∫
Bieán ñoåi ngöôïc cuûa bieán ñoåi Fourier laø:
X.K2i π
dK
(3.69)
~ ( ) eKf
∫=
t2i π
t2i π
−
−
dtX.Kt
X.Kt
dXf
dt
−
−
=
=
~ 1 = − ( ) fFXf n Söû duïng haøm Dirac δ cho bieán ñoåi Fourier cuûa f(X), vôùi t∈R, ta coù: ~ ( Kf
) ( dXXf
( ) eX
( δ
( δ
)
)
)
∫
∫
∞+ ∫ e ∞−
∞+ ∫ ∞−
−
p.s2i π
dps
ξ
=
Cho K=s.ξ , s∈R , ξ laø vectô ñôn vò , ξ∈Rn, ⎜ξ⎜=1, t=s.p Khi ñoù : ~ ( .sf ξ
( X..sp.s δ −
) ( e.Xf.dX
)
)
∫
−
dp
=
p.s2i δπ
−
X. ξ
) ( eXf.dX
( p
)
∫
−
p.s2i π
e.dp
=
−
) ( ( pXf δ
) dXX. ξ
∫
−
p.s2i π
e.dp
∨ ( ,pf.
)ξ
∞+ ∫ ∞− ∞+ ∫ ∞− ∞+ ∫ ∞− ∞+ ∫= ∞−
43
CHÖÔNG III:BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT CÔ BAÛN
∨∞+
p.s2i π
dp
(*)
( ,pf
ξ − ) e.
∫= ∞− ∨ fF1
=
Nhö vaäy:
=
~ ∨ fFfFf ℜ= 1
1
ℜ
∨ f f Fn F1
~ f
n
fFfF ℜ= 1
Duøng ñònh nghóa bieán ñoåi ngöôïc cuûa bieán ñoåi Fourier vôùi n=1 vaø bieán ñoåi (*), ta coù :
p.s2i π
ds
ξ
=
)
) e.
∨ ( ,pf
~ ( .sf ξ
1 −= fFF 1 n
1
Nhö vaäy :
∞+ ∫ ∞− −=ℜ fFFf n 1 ℜ
∨ f -1
f Fn F1
~ f
44
CHÖÔNG IV:BIEÁN ÑOÅI NGÖÔÏC CUÛA BIEÁN ÑOÅI RADON
CHÖÔNG IV: BIEÁN ÑOÅI NGÖÔÏC CUÛA BIEÁN ÑOÅI RADON
I.GIÔÙI THIEÄU: Trong chöông naøy, chuùng ta khaûo saùt bieán ñoåi ngöôïc cuûa bieán ñoåi
∨ f
Radon, nghóa laø vôùi ñaõ bieát, chuùng ta seõ phuïc hoài laïi f. Chuùng ta laàn löôït xem xeùt ôû hai tröôøng hôïp, phuï thuoäc vaøo soá chieàu cuûa Rn,n = 2 vaø n=3. Chuùng ta coù theå xaây döïng ñöôïc coâng thöùc cho caû hai tröôøng hôïp. ÔÛ
∨ f
ñaây,ta chæ giôùi haïn xeùt nhöõng haøm
thoûa ñieàu kieän cho tröôùc:
∨ f.p
0
=
),p( ξ
.
p
lim p ∞→
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
2
dYf
4
Δ
π
=
(4.1)
( XY. ξ −
( ) lnY
( ) xf.
)
X
II.BIEÁN ÑOÅI NGÖÔÏC CUÛA BIEÁN ÑOÅI RADON TREÂN KHOÂNG GIAN EUCLIDE HAI CHIEÀU : Theo Courant vaø Hilbert (1962), ta coù: ∫
d ∫ ξ 1 =
ξ
1=ξ
Ta xeùt tích phaân sau vôùi X, Y
, ξ laø vectô ñôn vò,
dYf
dYf
=
−
−
ξ
( ) lnY
( XY. ξ −
)
( ppln δ
( ) ) dpXY
( Y
∫
∫
∫
2ℜ∈ +∞ ) ∞−
plndp
dYf
=
−
) ( ( pY δ
( )XY ) ξ −
∫
plndp
dYf
=
+
X. ξ
−
Y. ξ
) ( ( pY δ
)
∫
∨
=
+
ξ ,X.
ξ
(4.2)
( pf.plndp
)
∞+ ∫ ∞− ∞+ ∫ ∞− ∞+ ∫ ∞−
Töø (4.1) vaø (4.2) ,ta coù :
∨
2
4
π
=
Δ
+
,X. ξ
ξ
(4.3)
( Xf
)
( pf.plndp
)
X
∞+ ∫ ∫ d ξ 1 ∞−=
ξ
XI
=
+
,X. ξ
ξ
(4.4)
∨ ( pfpln
Ñaët : (
)
) dp
∞+ ∫ ∞−
45
CHÖÔNG IV:BIEÁN ÑOÅI NGÖÔÏC CUÛA BIEÁN ÑOÅI RADON
p
X.
t ξ−=
Thöïc hieän ñoåi bieán :
XI
ln
t
=
ξ
−
(4.5)
(
)
∨ ( ,tfX. ξ
) dt
2
2
∂
∂
Δ
,X. ξ
ξ
+
,X. ξ
+
=
+
Ta coù:
)
∞+ ∫ ∞− ∨ ( pf
∨ ( pf
)ξ
X
x
∂
∂
2 2
2 x 1
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
2
∂
∂
=
+
ξ
∨ ( ,tf
)ξ
2 2
2 ξ 1
2
2
t.
t
∂
∂
⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
+
=
ξ
∨ ( ,tf
)ξ
(
)
2 ξ 1
2 2
∂ t. 2
2
2
=
ξ
∂ ∨ ( ξ ,tf
)
∂ t. 2
∂
2
∂
∨ f
Δ
+
,X. ξ
ξ
=
∨ f
=
Ta kí hieäu:
, thì
∨ ( pf
)
( ξ ,t
)
tt
tt
X
∨ f 2
t
∂
Δ
=
Δ
+
,X. ξ
ξ
Nhö vaäy:
( XI
)
) dp
∨ ( pfpln
X
x
∞+ ∫ ∞−
.pln
=
+
Δ
,X. ξ
ξ
∨ ( pf
) dp
X
ln
,t
t
∨ f.X. ξ
−
=
ξ
) dt
(
tt
∞+ ∫ ∞− ∞+ ∫ ∞− Baèng caùch thay ñoåi kí hieäu bieán soá ,ta coù :
)X(I
pln
Δ
=
−
dp),p( ξ
∨ f.X. ξ
pp
X
∞+ ∫ ∞−
∨ f
du
∨ f
=
dp),p( ξ
u =⇒
pp
p
v
pln
X.
=
ξ−
dp
dv =⇒
X.
p
),p( ξ 1 ξ−
ξ
∨ f
,p(
pln).
dp
ξ
X. ξ
−
−
⇒ (
p
) =XIXΔ
∞+ ∞−
∨ ( ,pf p p −
) X. ξ
∞+ ∫ ∞−
∨ f.p
p
0
),p( ξ
∨ f.X. ξ
−
),p( ξ
Vì
p
p
lim p ∞→
lim p ∞→
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ 0 ⇒=⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ =⎟ ⎠
46
CHÖÔNG IV:BIEÁN ÑOÅI NGÖÔÏC CUÛA BIEÁN ÑOÅI RADON
pln
pln
0
−
∞→p
−
pX. ξ
−≤
X. ξ
∨ f.X. ξ
),p( ξ
Khi
thi`
neân
p
lim p ∞→
⎡ ⎢ ⎣
⎤ =⎥ ⎦
ξ
dp
−
Vaäy:
(4.6)
) =XIXΔ (
∨ ( ) ,pfp X. p ξ −
∞+ ∫ ∞−
Thay (4.6) vaøo (4.3), ta coù:
2
dp
4
π
−=
d ξ
(4.7)
( Xf.
)
∫
∨ ( ) f ,p ξ p X. p − ξ
∞+ ∫ ∞−
,p
ξ
=
dp
−=
vôùi
(
)
( ξ ,p
) (4.8)
∨ f p
( Xf
)
∨ f p
∂ ∂
∨ ) ( f ,p ξ p X. p − ξ
4
∞+ ∫ ∫ d ξ 1 ∞−=
1 2 π ξ
sin,
φ
)φ
cos
φ
Cho X = (x, y), .xX = + ξ
( cos = ξ siny φ
Khi ñoù (4.8) ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng :
1
dp
φ
−=
( y,xf
)
2
∨ ( ) f ,p ξ p X. p − ξ
4
π
2 π ∫ d 0
∞+ ∫ ∞−
1
d
dp
−=
φ
(4.9)
( y,xf
)
2
) ξ X.
∨ ( f ,p p p ξ−
2
π
π ∫ 0
1
dp
−=
φ
hay
(4.10)
( y,xf
)
2
) ξ X.
∨ ( ,pf p p ξ−
2
π
∞+ ∫ ∞−
∞+ ∫ ∞− π 2 ∫ d π − 2
2
,
ξ
X.ξ
, cho moät haøm soá tuøy yù cuûa ξ vaø p =
thoûa:
,p
,p −−
=
(4.11)
X, ξ ) ψξψ
Cho (
ℜ∈ (
+ℜ vaø moät haøm soá cuûa X bôûi phöông
+ =ℜ=
∧ ψ
ψ
(4.12)
trình:
III. SÖÏ THOÁNG NHAÁT VAØ LIEÂN HÔÏP GIÖÕA BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ BIEÁN ÑOÅI NGÖÔÏC CUÛA NOÙ TREÂN KHOÂNG GIAN EUCLIDE HAI CHIEÀU : 1 = )ξ Ta ñònh nghóa toaùn töû tích phaân ) d,X. ξξ
( X
)
∫
( ξψ 1 =
ξ
47
CHÖÔNG IV:BIEÁN ÑOÅI NGÖÔÏC CUÛA BIEÁN ÑOÅI RADON
+ℜ laø toaùn töû lieân hôïp cuûa pheùp bieán ñoåi
Chuùng ta seõ chöùng toû raèng Radon. Tröôùc tieân, ta xeùt coâng thöùc (4.9):
dp
−=
( y,xf
)
∨ ( ) f ,p ξ p X. p − ξ
4
∞+ ∫ ∫ d φ 1 ∞−=
1 2 π ξ
Theo ñònh nghóa veà pheùp bieán ñoåi Hilbert (Bracewell (1978)), haøm g(p) ñöôïc bieán ñoåi veà haøm theo t:
dp
Hg
=
=
(4.13)
( ) t
gH
1 π
( ) pg p t −
∞+ ∫ ∞−
Xf
ξ
ξ
−=
(4.14)
Nhö vaäy: (
)
( ,p
( ,X. ξ
)
p
1 4 π
⎫ ) ⎬ ⎭
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
ξ
∨ ⎡ ⎧ ∫ fHd ξ ⎢ ⎨ ⎢ ⎩ ⎣ 1 =
H
−=
=
(4.15)
( ) tg
( )t
( ) pgT e
1 4 π
∂ p ∂
⎫ ( ) pg ⎬ ⎭
⎧ ⎨ ⎩
Ta ñònh nghóa moät toaùn töû Te taùc ñoäng leân haøm baát kyø g(p) nhö sau: ⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣ Khi ñoù f(X) ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng:
)ξ
( Xf
)
( ,X. ξ
+ℜ=
+ℜ=
(4.16)
)
∨ ∫= fd ξ 1 = ξ ∨ )ξ,pf ( ∨ ( ξ,pfTe
+
+
+
∨ f
∧ ∨ f
f
f
=
ℜ=
ℜ=ℜ
ℜ=
Nhö vaäy:
(4.17)
∨ fT e
∨ fT e
IV. BIEÁN ÑOÅI NGÖÔÏC CUÛA BIEÁN ÑOÅI RADON TREÂN KHOÂNG
GIAN EUCLIDE BA CHIEÀU :
2
16
=
π
−
−
(4.18)
) ( )XYYfdY ξ
( Xf
(
)
2 Δ X
Cuõng theo Courant vaø Hilbert (1962), ta coù: ∫
d ∫ ξ 1 =
ξ
Y,X
3ℜ∈
ξ,
tích phaân
sau vôùi
laø vectô ñôn vò,
1
=
ξ
ξ
+
ξ
+
ξ
=
Ta xeùt 2 1
2 2
2 3
48
CHÖÔNG IV:BIEÁN ÑOÅI NGÖÔÏC CUÛA BIEÁN ÑOÅI RADON
dYf
−
ξ
=
−
ξ
( dY)XY(.Yf
)
( Y
[ ppdp δ
]XY ( ) −
∫
∫
∞+ ) ∫ ∞−
pdp
dYf
−
ξ
=
[ ) ( pY δ
]XY ( ) −
∫
∞+ ∫ ∞− +∞
+
X ξ
−
=
) [ ( pYfpdp δ
] dYY ξ
∫
∫
∨
+
ξ ,X.
=
(4.19)
( pf.pdp
)ξ
∞− ∞+ ∫ ∞−
Töø (4.18) vaø (4.19), ta coù:
∨
2
16
−
π
=
+
,X. ξ
(4.20)
( Xf
)
( pf.pdp
)ξ
2 Δ X
∞+ ∫ ∫ d ξ 1 ∞−=
ξ
X.
t ξ−=
, (4.19) ñöôïc bieåu dieãn thaønh :
∨
,X. ξ
+
ξ
=
+
,X. ξ
ξ
( pf.pdp
)
∨ ( pf.p
) dp
Thöïc hieän ñoåi bieán : ∞+ ∫ ∞−
t
=
−
ξ
∨ ( ,tfX ξ
) dt
p ∞+ ∫ ∞− ∞+ ∫ ∞− 2
2
2
∂
∂
∂
=
+
+
ξ
Δ
∨ ( ,tf.
)
∨ ( ,tf
)ξ
X
x
x
∂
∂
∂
2 x 1
2 2
2 3
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
2
2
∂
∂
∂
ξ
ξ
=
+
+
∨ ( ,tf
)ξ
2 3
2 2
2 ξ 1
2
2
2
t
t
t
∂
∂
∂
⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
=
+
+
ξ
ξ
∨ ( ,tf
)ξ
)
(
2 ξ 1
2 2
2 3
∂ t 2
∂
2
2
=
ξ
∨ ( ,tf
)ξ
∂ t 2
∂
2
∂
∨ f
=
Ta cuõng kí hieäu :
tt
∨ f 2
t
∂ ∨ f
Δ
+
,X. ξ
ξ
=
∨ ( pf
)
( ξ ,t
)
tt
X
Thì: Nhö vaäy:
49
CHÖÔNG IV:BIEÁN ÑOÅI NGÖÔÏC CUÛA BIEÁN ÑOÅI RADON
.pdp
Δ
ξ
=
+
,X. ξ
Δ
+
,X. ξ
ξ
∨ ( pf.p
) dp
∨ ( pf
)
X
X
∞+ ∫ ∞−
t
,t
−
=
∨ f.X. ξ
ξ
(
) dt
tt
t
,t
t
,t
−
ξ
−
−
ξ
=
(
∨ ) fX ξ
(
) dt
∨ ) fX ξ
(
(
) dt
tt
tt
X ξ ∫ ∞−
dt
X.
u
∞+ ∫ ∞− ∞+ ∫ ∞− ∞+ ∫ X ξ du =⇒ ∨ f
t ξ−= ∨ f
,t
ξ
)dt
(
(
)ξ,t
t
Δ
+
,X. ξ
ξ
,t
,t
−
ξ
ξ
tt ∨ ( pf.p
) dp
v =⇒ ∨ ) fX. ξ
( t −=
(
)
(
) dt
t
t
X
∞+ X. ξ
∞+ ∨ ∫ f X. ξ
dv = ∞+ ∫ ∞−
,t
∨ f
,t
ξ
+
ξ
( t −−
∨ ) fX. ξ
(
)
(
) dt
t
t
X. ξ ∞−
X. ξ ∫ ∞−
0
),p( ξ
Do
p
lim p ∞→
⎛ ∨ ⎜ f.p ⎜ ⎝
⎞ ⎟ =⎟ ⎠
X. ξ
t
,t
t
,t
ξ
−
ξ
−
Neân:
= 0 vaø
= 0
(
∨ ) fX. ξ
(
)
(
∨ ) fX. ξ
(
)
t
t
∞+ X. ξ
∞−
Thay ñoåi kí hieäu bieán soá ,ta coù:
X. ξ
+
,X. ξ
ξ
Δ
ξ
ξ
=
+
) dp
∨ ( pf.p
∨ ( ,pf
)
∨ ( ,pf
)
X
∞+ X. ξ
∞−
∨ f.2
Δ
+
,X. ξ
ξ
=
ξ
(4.21)
) dp
( ,X. ξ
)
X
∞+ ∫ ∞− Nhö vaäy: ∞+ ∨ ( ∫ pfp ∞−
Thay (4.21) vaøo (4.20) ta coù:
2
16
−
π
=
Δ
( Xf
)
( ) d,X. ξ ξξ
X
∨ ∫ f2 1 =
ξ
1
Xf
−=
⇔ (
)
( ) d,X. ξ ξξ
Δ X2
8
π
ξ
1
∨ ∫ f 1 = ∨ f
−=
( Xf
)
( ) d,X. ξ ξξ
X
2
∫
8
π
Δ 1 =
ξ
50
CHÖÔNG IV:BIEÁN ÑOÅI NGÖÔÏC CUÛA BIEÁN ÑOÅI RADON
2
2
2
1
∂
∂
∂
∨ f
−=
+
+
( ) d,X. ξ ξξ
2
∫
8
x
x
x
∂
∂
∂
π
2 1
2 2
2 3
1
ξ
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
p
ξ=
Ñaët:
X.
2
1
∂
−=
+
+
ξ
ξ
Thì:
( Xf
)
) ( d,p ξξ
)
( 2 ξ 1
2 2
2 3
∨ f 2
2
∫
p
∂
8 π
ξ
1 =
2
1
∂
−=
(4.22)
( Xf
)
) ( d,p ξξ
2
∨ f 2
∫
p
∂
8 π
1
ξ
=
2
1
∂
−=
(4.23)
( Xf
)
( ) d,X. ξ ξξ
2
∨ f 2
8
p
π
∂
∫ 1 =
ξ
2
∂
1
∨ f
−=
=
vôùi
(4.24)
pp
( Xf
)
( ξ
) d,X. ξξ
pp
∨ f 2
2
p
∂
8
π
∨ ∫ f 1 =ξ
3
.1
,
+
+
=
=
ξ
ξ
ξ
X, ξ
ℜ∈
Cho
V. SÖÏ THOÁNG NHAÁT VAØ LIEÂN HÔÏP GIÖÕA BIEÁN ÑOÅI RADON VAØ BIEÁN ÑOÅI NGÖÔÏC CUÛA NOÙ TREÂN KHOÂNG GIAN EUCLIDE BA CHIEÀU : 2 2
2 3
2
1
∂
∨ f
−=
( Xf
)
( ) d,X. ξ ξξ
2 ξ 1 Xeùt coâng thöùc (4.23): ∨ f 2
2
p
8
π
∂
∫ 1 =
ξ
Ta cuõng ñònh nghóa toaùn töû T0 taùc ñoäng leân haøm soá bieán soá thöïc p, cho ta haøm g bieán soá thöïc t. 2
1
∂
.
=
−=
(4.25)
( ) tg
( ) pg
( ) pgT 0
2
2
p
t
=
p
∂
8 π Khi ñoù f(X) ñöôïc bieåu dieãn nhö sau:
=
(4.26)
( Xf
)
( ) d,X. ξ ξξ
∨ ∫ f 1 =
ξ
+ℜ
Theo ñònh nghóa
ôû (4.12), ta coù:
51
CHÖÔNG IV:BIEÁN ÑOÅI NGÖÔÏC CUÛA BIEÁN ÑOÅI RADON
∨ f
+ℜ=
+ℜ=
( Xf
)
( ξ ,X.
)ξ
+
+
f
∨ ) (4.27) ( ξ,pfT0 ∧ ∨ f
∨ f
ℜ=
ℜ=ℜ
Nhö vaäy:
(4.28)
fT 0
f
= ∧ ∨ = f
(4.29)
∨
Töø (4.27) vaø (4.28), ta coù: Maët khaùc neáu ta goïi chung Te vaø T0 laø T, ta coù : ( Xf
)
f
f
+ℜ= ∨ fT Maø : Do ñoù :
I
)ξ,pfT ( ∨ ∨ f ℜ= = f vaø + fT ℜℜ= T =ℜℜ+
(4.30)
Vaäy: VI. SÖÏ LIEÂN HÔÏP GIÖÕA
VAØ
:
ℜ
+ℜ
n
.,.
∞C
laø
Cho f(X) vaø h(X) laø caùc haøm soá thuoäc lôùp
treân ℜ
n
2;3
1 ×ℜ
=
=
laø tích trong treân
.
tích trong treân
, )3;2
].,. [
() 3 2; n = S 1n − ( laø toaùn töû lieân hôïp theo ñònh nghóa sau:
Ta chöùng minh
,p
,h
,h
ℜ +
ψ
vôùi
) ℜ=ξψ
(
)Xf (
nn ℜ () +ℜ ]ψ
[ ℜ=
Chöùng minh:
+
,h
ℜ
ψ
∧ ψ
=
( Xh
)
( ) dXX
=
) ( dXXh
) d,X. ξξ
∫ ∫
( ∫ ξψ 1 =
ξ
dp
−
=
( ) ( ,p p δξψ
)X. ξ
) ( dXXh
∫
+∞ ∫ ∫ d ξ 1 ∞−=
ξ
+∞
dp
−
=
ξ
) ( ( pXhdX δ
) ( )ξψξ ,pX.
∫
∫
∫
d 1 =
∞−
ξ
+∞
ξ
∨ ( ,phdp
)ξψξ ) ( ,p
∫
∫=
d 1 = ∞− ]ψ,hℜ=
ξ [
,h
,h
Nhö vaäy:
(4.31)
ψℜ=ψℜ+ [
]
52
CHÖÔNG IV:BIEÁN ÑOÅI NGÖÔÏC CUÛA BIEÁN ÑOÅI RADON
,h
∨ ,h
=
ψ
∧ ψ
Hay
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
+
ψ
Ta coù:
) ℜ=X
+
+
+
T
∧ ( ψ + ψ
ψ
ℜℜ
ψ
(theo 4.30)
I ℜ=ℜ=ℜ +ℜℜ
= T
ψ
ψ
⇒
T
I
ℜℜ+
=
Do ñoù:
(4.32)
53
KEÁT LUAÄN. Trong luaän vaên naøy chuùng toâi ñaõ coá gaéng tìm hieåu ñònh nghóa vaø chöùng minh chi tieát caùc coâng thöùc cuûa pheùp bieán ñoåi Radon trong chöông II, beân caïnh ñoù cuõng laøm saùng toû moät soá tính chaát cô baûn cuûa pheùp bieán ñoåi Radon ôû chöông III. Vaø ôû chöông IV ñaõ giôùi thieäu laïi moät caùch tieáp caän vôùi bieán ñoåi ngöôïc cuûa bieán ñoåi
∨ f
Radon, chæ giôùi haïn xeùt nhöõng haøm
thoûa ñieàu kieän
0
∨ f.p
),p( ξ
=
, tuy nhieân ñaây chöa phaûi laø caùch tieáp caän tieâu
p
lim p ∞→
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
bieåu vaø coù nhieàu öu ñieåm nhaát, thôøi gian tôùi chuùng toâi seõ coá gaéng nghieân cöùu vaø laøm saùng toû caùc phöông phaùp tieáp caän khaùc.
TAØI LIEÄU THAM KHAÛO.
1.The Radon Transform and Some of Its Applications Stanley R . Deans Department of Physics University of South Florida 2.Taøi lieäu hoïc phaàn “BAØI TOAÙN NGÖÔÏC” – Cao hoïc Giaûi Tích 11 TS. Nguyeãn Cam. Khoa Toaùn – ÑHSP Tp. Hoà Chí Minh 3.Pheùp tính vi tích phaân trong khoâng gian höõu haïn chieàu TS. Leâ Hoaøn Hoùa. Khoa Toaùn – ÑHSP Tp. Hoà Chí Minh 4.Chuyeân ñeà Giaûi Tích Soá – Cao hoïc Giaûi Tích TS. Nguyeãn Thaønh Long. Khoa Toaùn – Tin – ÑH Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh
