Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp chỉnh lặp song song giải hệ phương trình toán tử đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------

TRẦN THANH HUYỀN

PHƯƠNG PHÁP CHỈNH LẶP SONG SONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------

TRẦN THANH HUYỀN

PHƯƠNG PHÁP CHỈNH LẶP SONG SONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy

THÁI NGUYÊN - 2019

iii

M(cid:246)c l(cid:246)c

B£ng k(cid:254) hi»u 1

M(cid:240) (cid:31)ƒu 2

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1. Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß trong kh(cid:230)ng gian Banach 5

1.1 Kh(cid:230)ng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Kh(cid:230)ng gian Banach l(cid:231)i, tr(cid:236)n . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 (cid:129)nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u. Ph†p chi‚u m¶tric . . . . . . . . . . 7

1.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 To¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u trong kh(cid:230)ng gian Banach . . . . . . . 10

1.2.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh . . . . . . . . . 14 1.3 Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 To¡n tß J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u . . . . . . . . . . . . 17

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2. Mºt sŁ ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß 19

2.1 H» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 H» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p . . 19

2.1.2

S(cid:252) hºi t(cid:246) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p . . . . . . . . . . 24 2.2 H» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p song song 'n . . . . . . . . . . 29

2.2.3 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p song song hi»n . . . . . . . . . 36

K‚t lu“n 41

T(cid:160)i li»u tham kh£o 42

B£ng k(cid:254) hi»u

H kh(cid:230)ng gian Hilbert th(cid:252)c

E E∗ SE R kh(cid:230)ng gian Banach kh(cid:230)ng gian (cid:31)Łi ng¤u cıa E m(cid:176)t cƒu (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) cıa E t“p c¡c sŁ th(cid:252)c

R+ t“p c¡c sŁ th(cid:252)c kh(cid:230)ng ¥m

∅

∀x

D(A)

R(A) A−1 I

C[a, b] lp, 1 ≤ p < ∞ l∞ Lp[a, b], 1 ≤ p < ∞

d(x, C) lim supn→∞ xn lim infn→∞ xn xn → x0 xn (cid:42) x0 J t“p rØng v(cid:238)i m(cid:229)i x mi•n x¡c (cid:31)(cid:224)nh cıa to¡n tß A mi•n £nh cıa to¡n tß A to¡n tß ng(cid:247)æc cıa to¡n tß A to¡n tß (cid:31)(cid:231)ng nh§t kh(cid:230)ng gian c¡c h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c tr¶n (cid:31)o⁄n [a, b] kh(cid:230)ng gian c¡c d¢y sŁ kh£ tŒng b“c p kh(cid:230)ng gian c¡c d¢y sŁ b(cid:224) ch(cid:176)n kh(cid:230)ng gian c¡c h(cid:160)m kh£ t‰ch b“c p tr¶n (cid:31)o⁄n [a, b] kho£ng c¡ch tł phƒn tß x (cid:31)‚n t“p hæp C gi(cid:238)i h⁄n tr¶n cıa d¢y sŁ {xn} gi(cid:238)i h⁄n d(cid:247)(cid:238)i cıa d¢y sŁ {xn} d¢y {xn} hºi t(cid:246) m⁄nh v• x0 d¢y {xn} hºi t(cid:246) y‚u v• x0 ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c

M(cid:240) (cid:31)ƒu

Kh¡i ni»m b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh (cid:31)(cid:247)æc nh(cid:160) To¡n h(cid:229)c Jacques Hadamard

ng(cid:247)(cid:237)i Ph¡p (cid:31)(cid:247)a ra v(cid:160)o n«m 1932 khi nghi¶n cøu £nh h(cid:247)(cid:240)ng cıa b(cid:160)i to¡n gi¡

tr(cid:224) bi¶n v(cid:238)i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh vi ph¥n. ˘ng l(cid:160) ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)¢ ch¿ ra nhœng b(cid:160)i to¡n kh(cid:230)ng

Œn (cid:31)(cid:224)nh l(cid:160) "b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh" (xem wikipedia.org/wiki/Jacques

Hadamard.)

i ∈ F th(cid:228)a m¢n

X†t b(cid:160)i to¡n ng(cid:247)æc: t…m mºt (cid:31)⁄i l(cid:247)æng v“t l(cid:254) x ∈ E ch(cid:247)a bi‚t tł bº dœ ki»n (f0, f1, . . . , fN ) ∈ F N +1, (cid:240) (cid:31)¥y E v(cid:160) F l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian Banach, N ≥ 0. Tr¶n th(cid:252)c t‚, c¡c dœ ki»n n(cid:160)y th(cid:247)(cid:237)ng kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:247)æc bi‚t ch‰nh x¡c, m(cid:160) th(cid:247)(cid:237)ng ch¿ (cid:31)(cid:247)æc bi‚t x§p x¿ b(cid:240)i f δ

i − fi(cid:107) ≤ δi,

(cid:107)f δ i = 0, 1, . . . , N, (1)

v(cid:238)i δi > 0 (sai sŁ cho tr(cid:247)(cid:238)c). Bº hœu h⁄n dœ ki»n (f0, f1, . . . , fN ) nh“n (cid:31)(cid:247)æc

b‹ng vi»c (cid:31)o (cid:31)⁄c tr(cid:252)c ti‚p tr¶n c¡c tham sŁ. B(cid:160)i to¡n n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc m(cid:230) h…nh h(cid:226)a

to¡n h(cid:229)c b(cid:240)i

i = 0, 1, . . . , N, (2) Ai(x) = fi,

(cid:240) (cid:31)¥y Ai : D(Ai) ⊂ E → F v(cid:160) D(Ai) l(cid:160) k(cid:254) hi»u mi•n x¡c (cid:31)(cid:224)nh cıa c¡c to¡n tß Ai t(cid:247)(cid:236)ng øng, i = 0, 1, . . . , N .

B(cid:160)i to¡n (2), n(cid:226)i chung, l(cid:160) mºt b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh theo ngh(cid:190)a nghi»m

cıa b(cid:160)i to¡n kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c v(cid:160)o dœ ki»n ban (cid:31)ƒu. Do (cid:31)(cid:226), ng(cid:247)(cid:237)i ta

ph£i sß d(cid:246)ng c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p gi£i Œn (cid:31)(cid:224)nh b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y sao cho khi sai sŁ

cıa dœ ki»n (cid:31)ƒu v(cid:160)o c(cid:160)ng nh(cid:228) th… nghi»m t(cid:247)(cid:236)ng øng ph£i x§p x¿ nghi»m cıa

b(cid:160)i to¡n ban (cid:31)ƒu. Mºt trong c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)(cid:247)æc sß d(cid:246)ng kh¡ rºng r¢i v(cid:160)

hi»u qu£ l(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p.

M(cid:246)c ti¶u cıa (cid:31)• t(cid:160)i lu“n v«n l(cid:160) tr…nh b(cid:160)y l⁄i mºt sŁ ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh

l(cid:176)p gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (2) trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp to¡n tß A0 (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, h-li¶n t(cid:246)c (hemi-continuous), cÆn c¡c to¡n tß Ai, i = 1, . . . , N kh¡c c(cid:226) t‰nh ch§t (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u ng(cid:247)æc m⁄nh trong kh(cid:230)ng gian Banach th(cid:252)c ph£n x⁄ E trong

c¡c b(cid:160)i b¡o [7] v(cid:160) [16] c(cid:230)ng bŁ n«m 2014 v(cid:160) 2018.

Nºi dung cıa lu“n v«n (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong hai ch(cid:247)(cid:236)ng. Ch(cid:247)(cid:236)ng 1 "Ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh to¡n tß trong kh(cid:230)ng gian Banach" gi(cid:238)i thi»u v• kh(cid:230)ng gian Banach l(cid:231)i,

tr(cid:236)n, ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u, ph†p chi‚u m¶tric; tr…nh b(cid:160)y kh¡i ni»m ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh trong kh(cid:230)ng gian Banach, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

to¡n tß j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u trong kh(cid:230)ng gian Banach c(cid:242)ng v‰ d(cid:246) v• ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh t‰ch

ph¥n Fredlhom (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 "Mºt sŁ ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß" tr…nh b(cid:160)y

ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:242)ng

s(cid:252) hºi t(cid:246) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p; tr…nh b(cid:160)y ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p song song 'n,

ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p song song hi»n gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß j-(cid:31)(cid:236)n

(cid:31)i»u trong kh(cid:230)ng gian Banach c(cid:242)ng s(cid:252) hºi t(cid:246) cıa c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p n(cid:160)y.

Lu“n v«n (cid:31)(cid:247)æc ho(cid:160)n th(cid:160)nh t⁄i Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c Khoa h(cid:229)c - (cid:30)⁄i h(cid:229)c Th¡i

Nguy¶n. Trong qu¡ tr…nh h(cid:229)c t“p v(cid:160) th(cid:252)c hi»n lu“n v«n n(cid:160)y, Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c

Khoa h(cid:229)c (cid:31)¢ t⁄o m(cid:229)i (cid:31)i•u ki»n tŁt nh§t (cid:31)” t(cid:230)i (cid:31)(cid:247)æc tham gia h(cid:229)c t“p, nghi¶n

cøu. T(cid:230)i xin ch¥n th(cid:160)nh c£m (cid:236)n Ban gi¡m hi»u, PhÆng (cid:30)(cid:160)o t⁄o, Khoa To¡n -

Tin, xin (cid:31)(cid:247)æc b(cid:160)y t(cid:228) lÆng bi‚t (cid:236)n ch¥n th(cid:160)nh (cid:31)‚n c¡c qu(cid:254) thƒy, c(cid:230) trong khoa

To¡n - Tin, Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c Khoa h(cid:229)c - (cid:30)⁄i h(cid:229)c Th¡i Nguy¶n n(cid:226)i chung v(cid:160)

qu(cid:254) thƒy c(cid:230) tr(cid:252)c ti‚p gi£ng d⁄y l(cid:238)p Cao h(cid:229)c To¡n K11A (kh(cid:226)a 2017 - 2019)

(cid:31)¢ t“n t…nh truy•n (cid:31)⁄t nhœng ki‚n thøc qu(cid:254) b¡u c(cid:244)ng nh(cid:247) t⁄o (cid:31)i•u ki»n cho

t(cid:230)i ho(cid:160)n th(cid:160)nh kh(cid:226)a h(cid:229)c.

(cid:30)” ho(cid:160)n th(cid:160)nh lu“n v«n mºt c¡ch ho(cid:160)n ch¿nh, t(cid:230)i lu(cid:230)n nh“n (cid:31)(cid:247)æc s(cid:252) h(cid:247)(cid:238)ng

d¤n v(cid:160) gi(cid:243)p (cid:31)(cid:239) nhi»t t…nh cıa PGS.TS. NGUY(cid:153)N TH(cid:192) THU TH(cid:213)Y. T(cid:230)i xin

t(cid:228) lÆng bi‚t (cid:236)n s¥u s›c (cid:31)‚n c(cid:230) v(cid:160) xin gßi l(cid:237)i tri ¥n cıa t(cid:230)i (cid:31)Łi v(cid:238)i nhœng (cid:31)i•u

c(cid:230) (cid:31)¢ d(cid:160)nh cho t(cid:230)i.

T(cid:230)i xin gßi l(cid:237)i c£m (cid:236)n ch¥n th(cid:160)nh nh§t t(cid:238)i gia (cid:31)…nh, b⁄n b–, nhœng ng(cid:247)(cid:237)i

(cid:31)¢ lu(cid:230)n (cid:31)ºng vi¶n, hØ træ v(cid:160) t⁄o (cid:31)i•u ki»n cho t(cid:230)i trong suŁt qu¡ tr…nh h(cid:229)c

t“p v(cid:160) th(cid:252)c hi»n lu“n v«n.

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 5 n«m 2019

T¡c gi£ lu“n v«n

Trƒn Thanh Huy•n

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß trong kh(cid:230)ng

gian Banach

Ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y gi(cid:238)i thi»u mºt sŁ ki‚n thøc c(cid:236) b£n v• kh(cid:230)ng gian Banach

l(cid:231)i v(cid:160) tr(cid:236)n, ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u, ph†p chi‚u m¶tric; tr…nh b(cid:160)y kh¡i ni»m v• ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:242)ng v‰ d(cid:246) v• ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh t‰ch ph¥n Fredlhom (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh trong kh(cid:230)ng gian

Hilbert. Nºi dung cıa ch(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)æc vi‚t tr¶n c(cid:236) s(cid:240) tŒng hæp ki‚n thøc tł c¡c

1.1 Kh(cid:230)ng gian Banach

t(cid:160)i li»u [1], [2], [3] v(cid:160) [5].

Cho E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach v(cid:160) k(cid:254) hi»u E∗ l(cid:160) kh(cid:230)ng gian (cid:31)Łi ng¤u cıa E. Trong lu“n v«n n(cid:160)y ta sß d(cid:246)ng k(cid:254) hi»u (cid:107).(cid:107) cho chu'n cıa c£ hai kh(cid:230)ng gian E v(cid:160) E∗. V(cid:238)i mØi x ∈ E v(cid:160) x∗ ∈ E∗ ta vi‚t x∗(x) b(cid:240)i (cid:104)x∗, x(cid:105) ho(cid:176)c (cid:104)x, x∗(cid:105) (t‰ch (cid:31)Łi ng¤u). N‚u E = H l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Hilbert th… t‰ch (cid:31)Łi ng¤u ch‰nh l(cid:160) t‰ch v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng (cid:104)., .(cid:105) v(cid:160) c£m sinh chu'n t(cid:247)(cid:236)ng øng (cid:107).(cid:107).

1.1.1 Kh(cid:230)ng gian Banach l(cid:231)i, tr(cid:236)n

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.1 (xem [2, 3]) Kh(cid:230)ng gian Banach E (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ph£n x⁄ n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i phƒn tß x∗∗ ∈ E∗∗, kh(cid:230)ng gian li¶n hæp thø hai cıa E, (cid:31)•u t(cid:231)n t⁄i phƒn tß x ∈ E sao cho

x∗(x) = x∗∗(x∗) ∀x∗ ∈ E∗.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.2 (xem [2, 3]) Gi£ sß E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach. Khi (cid:31)(cid:226), c¡c m»nh (cid:31)• sau l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng:

(i) E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian ph£n x⁄.

(ii) M(cid:229)i d¢y b(cid:224) ch(cid:176)n trong E (cid:31)•u c(cid:226) d¢y con hºi t(cid:246) y‚u.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.3 (xem [3]) Kh(cid:230)ng gian Banach E (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)

(i) l(cid:231)i ch(cid:176)t n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i x, y thuºc m(cid:176)t cƒu (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) SE := {x ∈ E : (cid:107)x(cid:107) = 1}

cıa kh(cid:230)ng gian Banach E, x (cid:54)= y, th…

(cid:107)(1 − λ)x + λy(cid:107) < 1, λ ∈ (0, 1);

(ii) l(cid:231)i (cid:31)•u n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i 0 < (cid:15) ≤ 2, (cid:107)x(cid:107) ≤ 1, (cid:107)y(cid:107) ≤ 1 v(cid:160) (cid:107)x − y(cid:107) ≥ (cid:15) th… t(cid:231)n

t⁄i δ = δ((cid:15)) > 0 sao cho

< 1 − δ; x + y 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

(iii) tr(cid:236)n n‚u gi(cid:238)i h⁄n

lim t→0 (cid:107)x + ty(cid:107) − (cid:107)x(cid:107) t

t(cid:231)n t⁄i v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ SE.

M(cid:230)-(cid:31)un tr(cid:236)n cıa E x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

− 1 : (cid:107)x(cid:107) = 1, (cid:107)y(cid:107) = τ (cid:111) . ρE(τ ) = sup (cid:110)(cid:107)x + y(cid:107) + (cid:107)x − y(cid:107) 2

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.4 (xem [3]) Kh(cid:230)ng gian Banach E (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) tr(cid:236)n (cid:31)•u n‚u

= 0. lim τ →0 hE(τ ) = lim τ →0 ρE(τ ) τ

V‰ d(cid:246) 1.1.5 (xem [3, V‰ d(cid:246) 2.1.2, 2.1.3, 2.2.3])

(i) Kh(cid:230)ng gian Rn, n ≥ 2 v(cid:238)i chu'n (cid:107)x(cid:107)2 (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

i=1

(cid:19)1/2 (cid:18) n (cid:88) , x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, (cid:107)x(cid:107)2 = x2 i

l(cid:160) kh(cid:230)ng gian l(cid:231)i ch(cid:176)t.

(ii) Kh(cid:230)ng gian Rn, n ≥ 2 v(cid:238)i chu'n (cid:107)x(cid:107)1 x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

(cid:107)x(cid:107)1 = |x1| + |x2| + . . . + |xn|, x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn,

kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) kh(cid:230)ng gian l(cid:231)i ch(cid:176)t.

(iii) Kh(cid:230)ng gian lp, Lp[a, b] v(cid:238)i 1 < p < ∞ l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian l(cid:231)i (cid:31)•u.

1.1.2 (cid:129)nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u. Ph†p chi‚u m¶tric

, s > 1

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.6 (xem [13, (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 3.3]) (cid:129)nh x⁄ J s : E → 2E∗ (n(cid:226)i chung l(cid:160) (cid:31)a tr(cid:224)) x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

J s(x) = , x ∈ E us ∈ E∗ : (cid:104)x, us(cid:105) = (cid:107)x(cid:107)(cid:107)us(cid:107), (cid:107)us(cid:107) = (cid:107)x(cid:107)s−1(cid:111) (cid:110)

(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u tŒng qu¡t cıa kh(cid:230)ng gian Banach E. Khi s = 2, ¡nh x⁄ J 2 (cid:31)(cid:247)æc k(cid:254) hi»u l(cid:160) J v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c cıa E. Tøc l(cid:160)

(cid:110) u ∈ E∗ : (cid:104)x, u(cid:105) = (cid:107)x(cid:107)(cid:107)u(cid:107), (cid:107)u(cid:107) = (cid:107)x(cid:107) x ∈ E. (cid:111) , J(x) =

V‰ d(cid:246) 1.1.7 (xem [13, M»nh (cid:31)• 3.6, M»nh (cid:31)• 3.14 ], [3, V‰ d(cid:246) 2.4.11])

(i) Trong kh(cid:230)ng gian Hilbert H, ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:236)n

v(cid:224) I.

(ii) Trong kh(cid:230)ng gian lp (1 < p < ∞) v(cid:160) Lp[0, 1] (1 < p < ∞), ¡nh x⁄ (cid:31)Łi

ng¤u chu'n t›c (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh t(cid:247)(cid:236)ng øng nh(cid:247) sau:

i=1 ∈ lp

i=1

(cid:18) (cid:19)∞ Jx = ∀x = (xi)∞ |xi|p−1sgn (xi)

v(cid:160)

Jx = |x|p−1 (cid:107)x(cid:107)p−1 sgn (x) ∀x ∈ Lp[0, 1],

−1, n‚u x < 0,

sgn(x) = 1, n‚u x > 0,

0, (cid:240) (cid:31)¥y sgn(x) l(cid:160) h(cid:160)m d§u cıa x (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i c(cid:230)ng thøc:    n‚u x = 0.

Sau (cid:31)¥y l(cid:160) mºt sŁ t‰nh ch§t cıa ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c cıa kh(cid:230)ng gian

Banach E.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.8 (xem [3])

(i) N‚u E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach tr(cid:236)n th… ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c J l(cid:160)

¡nh x⁄ (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224).

(ii) N‚u E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach tr(cid:236)n (cid:31)•u th… ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c J

li¶n t(cid:246)c tr¶n mØi t“p con b(cid:224) ch(cid:176)n cıa E.

Trong lu“n v«n n(cid:160)y ta lu(cid:230)n gi£ thi‚t ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c J th(cid:228)a

m¢n (cid:31)i•u ki»n

(cid:104)x, J(x)(cid:105) = (cid:107)x(cid:107)2 = (cid:107)J(x)(cid:107)2 ∀x ∈ E

l(cid:160) (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224). Gi£ thi‚t n(cid:160)y th(cid:228)a m¢n n‚u E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach tr(cid:236)n.

C¡c bŒ (cid:31)• sau (cid:31)¥y (cid:31)(cid:247)æc sß d(cid:246)ng (cid:31)” chøng minh s(cid:252) hºi t(cid:246) cıa c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng

ph¡p ch¿nh l(cid:176)p song song hi»n v(cid:160) 'n trong Ch(cid:247)(cid:236)ng 2.

BŒ (cid:31)• 1.1.9 (xem [5]) Gi£ sß E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach th(cid:252)c tr(cid:236)n (cid:31)•u. Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ E sao cho (cid:107)x(cid:107) ≤ R, (cid:107)y(cid:107) ≤ R ta c(cid:226)

(cid:17) , (cid:107)J(x) − J(y)(cid:107) ≤ 8RhE (cid:16)16L(cid:107)x − y(cid:107) R

trong (cid:31)(cid:226) L l(cid:160) h‹ng sŁ Figiel, (1 < L < 1.7).

BŒ (cid:31)• 1.1.10 (xem [5]) Gi£ sß E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach th(cid:252)c tr(cid:236)n (cid:31)•u. Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ E, ta c(cid:226)

(cid:107)x(cid:107)2 ≤ (cid:107)y(cid:107)2 + 2(cid:104)x − y, J(x)(cid:105)

= (cid:107)y(cid:107)2 + 2(cid:104)x − y, J(y)(cid:105) + 2(cid:104)x − y, J(x) − J(y)(cid:105).

BŒ (cid:31)• 1.1.11 (xem [5]) Gi£ sß E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach tr(cid:236)n (cid:31)•u. Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ E, ta c(cid:226)

(cid:104)x − y, J(x) − J(y)(cid:105) ≤ 8(cid:107)x − y(cid:107)2 + C((cid:107)x(cid:107), (cid:107)y(cid:107))ρE((cid:107)x − y(cid:107)),

trong (cid:31)(cid:226) C((cid:107)x(cid:107), (cid:107)y(cid:107)) ≤ 4 max{2L, (cid:107)x(cid:107) + (cid:107)y(cid:107)}.

BŒ (cid:31)• 1.1.12 (xem [5]) Gi£ sß E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach tr(cid:236)n (cid:31)•u. Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ E, ta c(cid:226)

(cid:17) (cid:16) 4(cid:107)x − y(cid:107) , (cid:104)x − y, J(x) − J(y)(cid:105) ≤ R2((cid:107)x(cid:107), (cid:107)y(cid:107))ρE R((cid:107)x(cid:107), (cid:107)y(cid:107))

trong (cid:31)(cid:226) R((cid:107)x(cid:107), (cid:107)y(cid:107)) = (cid:112)2−1((cid:107)x(cid:107)2 + (cid:107)y(cid:107)2). H(cid:236)n nœa n‚u (cid:107)x(cid:107) ≤ R, (cid:107)y(cid:107) ≤ R th… (cid:17) . (cid:104)x − y, J(x) − J(y)(cid:105) ≤ 2LR2ρE (cid:16)4(cid:107)x − y(cid:107) R

M»nh (cid:31)• 1.1.13 (xem [3]) Cho C l(cid:160) t“p con l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng kh¡c rØng cıa kh(cid:230)ng gian Banach ph£n x⁄ v(cid:160) l(cid:231)i ch(cid:176)t E. Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i mØi x ∈ E t(cid:231)n t⁄i duy nh§t mºt phƒn tß y ∈ C th(cid:228)a m¢n

(cid:107)x − y(cid:107) = d(x, C),

v(cid:238)i d(x, C) = inf z∈C (cid:107)x − z(cid:107).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.14 (xem [3]) Cho C l(cid:160) t“p con l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng kh¡c rØng cıa kh(cid:230)ng gian Banach E. (cid:129)nh x⁄ PC : E → 2C x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

(cid:26) (cid:27) y ∈ C : (cid:107)x − y(cid:107) = d(x, C) ∀x ∈ E PC(x) =

(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ph†p chi‚u m¶tric tł E l¶n C.

Sau (cid:31)¥y l(cid:160) mºt v‰ d(cid:246) v• ph†p chi‚u m¶tric trong kh(cid:230)ng gian Rn.

V‰ d(cid:246) 1.1.15 Gi£ sß a, b ∈ Rn, a (cid:54)= 0. X†t nßa kh(cid:230)ng gian C ⊂ Rn v(cid:160) m(cid:176)t phﬂng Q ⊂ Rn cho b(cid:240)i

(cid:110) (cid:111) x ∈ Rn : (cid:104)a, x − b(cid:105) ≤ 0 C =

(cid:110) (cid:111) Q = x ∈ Rn : (cid:104)a, x − b(cid:105) = 0 .

Khi (cid:31)(cid:226) to¡n tß chi‚u l¶n C v(cid:160) P lƒn l(cid:247)æt cho b(cid:240)i

x, n‚u (cid:104)a, x − b(cid:105) ≤ 0   PC(x) = , x − n‚u (cid:104)a, x − b(cid:105) > 0. (cid:104)a, x − b(cid:105)a (cid:107)a(cid:107)2

x, n‚u (cid:104)a, x − b(cid:105) = 0    PQ(x) = x − , n‚u (cid:104)a, x − b(cid:105) (cid:54)= 0.  (cid:104)a, x − b(cid:105)a (cid:107)a(cid:107)2

1.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u

1.2.1 To¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u trong kh(cid:230)ng gian Banach

Cho E v(cid:160) F l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian Banach. Trong lu“n v«n n(cid:160)y ta x†t to¡n tß

(cid:31)(cid:236)n tr(cid:224) A : E → F v(cid:238)i

Mi•n x¡c (cid:31)(cid:224)nh: D(A) := (cid:8)x ∈ E | A(x) (cid:54)= ∅(cid:9). Mi•n gi¡ tr(cid:224): R(A) := (cid:8)A(x) : x ∈ D(A)(cid:9). (cid:30)(cid:231) th(cid:224): Gr(A) := (cid:8)(x, y) ∈ E × F : x ∈ D(A), y = A(x)(cid:9).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.1 (xem [2]) To¡n tß A : E → F (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) to¡n tß tuy‚n t‰nh n‚u

(a) A(x + y) = A(x) + A(y) v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ D(A);

(b) A(αx) = αA(x) v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ D(A), α ∈ R.

Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp A l(cid:160) to¡n tß tuy‚n t‰nh ta s‡ vi‚t Ax thay cho A(x).

Sau (cid:31)¥y l(cid:160) kh¡i ni»m v• to¡n tß li¶n t(cid:246)c.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.2 (xem [2, 3]) To¡n tß A : E → F (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)

(i) li¶n t(cid:246)c t⁄i x0 ∈ D(A) n‚u m(cid:229)i d¢y {xn} ⊂ D(A) v(cid:160) xn → x0 th…

A(xn) → A(x0);

(ii) li¶n t(cid:246)c theo tia hay h-li¶n t(cid:246)c (hemi-continuous) t⁄i x0 ∈ D(A) n‚u v(cid:238)i

m(cid:229)i y ∈ E, tn ∈ R sao cho x0 + tny ∈ D(A) th…

A(x0 + tny) (cid:42) A(x0) khi tn → 0+;

(iii) b¡n li¶n t(cid:246)c hay d-li¶n t(cid:246)c (demi-continuous) t⁄i x0 ∈ D(A) n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i d¢y {xn} ⊂ D(A) v(cid:160) xn → x khi n → ∞ th… A(xn) (cid:42) A(x) khi n → ∞;

(iv) li¶n t(cid:246)c Lipschitz tr¶n D(A) n‚u t(cid:231)n t⁄i h‹ng sŁ L ≥ 0 sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i

x, y ∈ D(A) ta c(cid:226) (cid:107)A(x) − A(y)(cid:107) ≤ L(cid:107)x − y(cid:107);

(v) ho(cid:160)n to(cid:160)n li¶n t(cid:246)c tr¶n t“p ω ⊂ D(A) n‚u A li¶n t(cid:246)c v(cid:160) compact tr¶n ω;

(vi) li¶n t(cid:246)c y‚u theo d¢y (sequentially weakly continuous) t⁄i x0 ∈ D(A) n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i d¢y {xn} ⊂ D(A) sao cho xn (cid:42) x) th… A(xn) (cid:42) A(x0) khi n → ∞.

Ta n(cid:226)i to¡n tß A c(cid:226) t‰nh ch§t n¶u trong (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.2 n‚u n(cid:226) th(cid:228)a m¢n t‰nh ch§t n(cid:160)y t⁄i m(cid:229)i x0 ∈ D(A).

Nh“n x†t 1.2.3 (a) Hi”n nhi¶n, n‚u A li¶n t(cid:246)c Lipschitz th… n(cid:226) li¶n t(cid:246)c, n‚u A li¶n t(cid:246)c th… b¡n li¶n t(cid:246)c, n‚u A b¡n li¶n t(cid:246)c th… li¶n t(cid:246)c theo tia. Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng (cid:31)i•u ng(cid:247)æc l⁄i n(cid:226)i chung l(cid:160) kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng.

(b) To¡n tß A (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) to¡n tß kh(cid:230)ng gi¢n n‚u n(cid:226) li¶n t(cid:246)c Lipschitz v(cid:238)i h‹ng sŁ L = 1. N‚u A li¶n t(cid:246)c Lipschitz v(cid:238)i h‹ng sŁ L ∈ (0, 1) th… ta n(cid:226)i A l(cid:160) to¡n tß (¡nh x⁄) co.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.4 (xem [5]) To¡n tß A : E → F (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)

(i) (cid:31)(cid:226)ng tr¶n D(A) n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i d¢y {xn} ⊂ D(A) sao cho xn → x,

A(xn) → y khi n → ∞ th… x ∈ D(A) v(cid:160) y = A(x);

(ii) (cid:31)(cid:226)ng y‚u tr¶n D(A) n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i d¢y {xn} ⊂ D(A) sao cho xn (cid:42) x,

A(xn) (cid:42) y khi n → ∞ th… x ∈ D(A) v(cid:160) y = A(x);

(iii) b¡n (cid:31)(cid:226)ng y‚u tr¶n D(A) n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i d¢y {xn} ⊂ D(A) sao cho xn (cid:42) x, A(xn) → y ho(cid:176)c xn → x, A(xn) (cid:42) y khi n → ∞ th… x ∈ D(A) v(cid:160) y = A(x).

D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a v• to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.5 (xem [5]) To¡n tß A : E → E∗ (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)

(i) (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u n‚u (cid:104)A(x) − A(y), x − y(cid:105) ≥ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ E; (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u ch(cid:176)t

n‚u d§u "=" cıa b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n ch¿ x£y ra khi x = y;

(ii) d-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:160)m kh(cid:230)ng ¥m d(t), kh(cid:230)ng gi£m v(cid:238)i t ≥ 0,

d(0) = 0 v(cid:160) th(cid:228)a m¢n t‰nh ch§t

(cid:104)A(x) − A(y), x − y(cid:105) ≥ (cid:0)d((cid:107)x(cid:107)) − d((cid:107)y(cid:107))(cid:1)(cid:0)(cid:107)x(cid:107) − (cid:107)y(cid:107)(cid:1) ∀x, y ∈ E;

(iii) (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u (cid:31)•u n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:160)m kh(cid:230)ng ¥m δ(t), kh(cid:230)ng gi£m v(cid:238)i t ≥ 0,

δ(0) = 0 v(cid:160) th(cid:228)a m¢n t‰nh ch§t

(cid:104)A(x) − A(y), x − y(cid:105) ≥ δ(cid:0)(cid:107)x − y(cid:107)(cid:1) ∀x, y ∈ E;

n‚u δ(t) = λt2, λ l(cid:160) h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng, th… A (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) to¡n tß λ-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh;

(iv) bøc n‚u

= +∞ ∀x ∈ E. lim (cid:107)x(cid:107)→+∞ (cid:104)A(x), x(cid:105) (cid:107)x(cid:107)

D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) kh¡i ni»m v(cid:160) t‰nh ch§t cıa to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.6 (xem [17]) To¡n tß A : E → E∗ (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc v(cid:238)i h‹ng sŁ λ hay λ-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc n‚u t(cid:231)n t⁄i h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng λ sao cho

(cid:104)A(x) − A(y), x − y(cid:105) ≥ λ(cid:107)A(x) − A(y)(cid:107)2 ∀x, y ∈ E.

Nh“n x†t 1.2.7 (xem [17, M»nh (cid:31)• 1])

(i) To¡n tß A : E → E∗ (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc khi v(cid:160) ch¿ khi to¡n tß ng(cid:247)æc

cıa n(cid:226) (theo ngh(cid:190)a (cid:31)a tr(cid:224)) l(cid:160) (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh.

(ii) M(cid:229)i to¡n tß λ-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) li¶n t(cid:246)c

Lipschitz v(cid:238)i h‹ng sŁ Lipschitz L = 1/λ.

(iii) M(cid:229)i to¡n tß λ-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc (cid:31)•u l(cid:160) to¡n tß b¡n (cid:31)(cid:226)ng. Th“t v“y, gi£ sß xn (cid:42) x, xn, x ∈ D(A) v(cid:160) A(xn) → y. Tł t‰nh λ-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc cıa to¡n tß A suy ra

λ(cid:107)A(xn) − A(x)(cid:107)2 ≤ (cid:104)A(xn) − A(x), xn − x(cid:105)

= (cid:104)A(xn) − y, xn − x(cid:105) − (cid:104)A(x) − y, xn − x(cid:105) → 0,

khi n → ∞.

Ch(cid:243) (cid:254) 1.2.8 (xem [17, V‰ d(cid:246) 1, V‰ d(cid:246) 2]) To¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc

xu§t hi»n nhi•u trong kh(cid:230)ng gian Hilbert:

l(cid:160) gi¡ tr(cid:224) ri¶ng l(cid:238)n nh§t cıa to¡n tß A. (i) M(cid:229)i to¡n tß tuy‚n t‰nh A : H → H trong kh(cid:230)ng gian Hilbert th(cid:252)c H t(cid:252) li¶n hæp, ho(cid:160)n to(cid:160)n li¶n t(cid:246)c v(cid:160) x¡c (cid:31)(cid:224)nh kh(cid:230)ng ¥m l(cid:160) to¡n tß λ-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc, trong (cid:31)(cid:226) 1 λ

(ii) Ph†p chi‚u m¶tric PC chi‚u kh(cid:230)ng gian Hilbert th(cid:252)c H l¶n t“p con l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng C cıa H v(cid:160) to¡n tß A := I − PC l(cid:160) 1-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc. Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng, c¡c to¡n tß n(cid:160)y kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh trł khi C = H.

(iii) N‚u f : E → R l(cid:160) mºt phi‚m h(cid:160)m l(cid:231)i, kh£ vi li¶n t(cid:246)c theo Fr†chet trong

kh(cid:230)ng gian Banach E v(cid:160) gradient ∇f cıa n(cid:226) l(cid:160) -li¶n t(cid:246)c Lipschitz, th… 1 λ ∇f l(cid:160) to¡n tß λ-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc.

Sau (cid:31)¥y l(cid:160) kh¡i ni»m v• t‰nh kh£ vi cıa to¡n tß A v(cid:238)i t“p x¡c (cid:31)(cid:224)nh D(A)

l(cid:160) t“p m(cid:240).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.9 (xem [5, (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.53, 1.1.54]) To¡n tß A tł (D(A) ⊂ E) v(cid:160)o E∗ (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)

(i) kh£ vi Fr†chet (kh£ vi m⁄nh) t⁄i x ∈ D(A) n‚u t(cid:231)n t⁄i to¡n tß tuy‚n t‰nh li¶n t(cid:246)c A(cid:48)(x) : E → E∗ sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i h ∈ E th(cid:228)a m¢n x + h ∈ D(A) ta c(cid:226)

A(x + h) − A(x) = A(cid:48)(x)h + r(x, h),

(cid:240) (cid:31)¥y (cid:107)r(x, h)(cid:107)/(cid:107)h(cid:107) → 0 khi (cid:107)h(cid:107) → 0. Khi (cid:31)(cid:226) A(cid:48)(x) v(cid:160) A(cid:48)(x)h (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)⁄o h(cid:160)m v(cid:160) vi ph¥n Fr†chet t(cid:247)(cid:236)ng øng cıa to¡n tß A t⁄i x. To¡n tß A (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) kh£ vi Fr†chet n‚u n(cid:226) kh£ vi Fr†chet t⁄i m(cid:229)i x ∈ D(A);

(ii) kh£ vi G¥teaux (kh£ vi y‚u) t⁄i x ∈ D(A) n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i h ∈ E, t ∈ R

th(cid:228)a m¢n x + th ∈ D(A), t(cid:231)n t⁄i gi(cid:238)i h⁄n

= δA(x, h). lim t→0 A(x + th) − A(x) t

N‚u t(cid:231)n t⁄i to¡n tß tuy‚n t‰nh li¶n t(cid:246)c B tł E v(cid:160)o E∗ sao cho δA(x, h) = Bh th… A(cid:48)(x) := B (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)⁄o h(cid:160)m G¥teaux ((cid:31)⁄o h(cid:160)m y‚u) cıa A t⁄i x.

Nh“n x†t 1.2.10 (xem [5, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.55]) Mºt to¡n tß kh£ vi Fr†chet th…

kh£ vi G¥teaux v(cid:160) khi (cid:31)(cid:226) (cid:31)⁄o h(cid:160)m m⁄nh v(cid:160) y‚u tr(cid:242)ng nhau. Ng(cid:247)æc l⁄i n‚u (cid:31)⁄o h(cid:160)m G¥teaux t(cid:231)n t⁄i v(cid:160) li¶n t(cid:246)c trong l¥n c“n cıa x ∈ D(A) th… (cid:31)⁄o h(cid:160)m y‚u tr(cid:242)ng v(cid:238)i (cid:31)⁄o h(cid:160)m m⁄nh t⁄i x.

1.2.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh

Ta x†t b(cid:160)i to¡n (cid:240) d⁄ng ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß trong kh(cid:230)ng gian Banach:

t…m phƒn tß x0 ∈ E th(cid:228)a m¢n

A(x0) := B(x0) − f = 0, f ∈ F, (1.1)

(cid:240) (cid:31)¥y B : E → F l(cid:160) mºt to¡n tß tł kh(cid:230)ng gian Banach E v(cid:160)o kh(cid:230)ng gian Banach F . Kh¡i ni»m b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t ch¿nh (cid:31)(cid:247)æc Hadamard (xem [15]) (cid:31)(cid:247)a ra v(cid:160)o (cid:31)ƒu th‚ k(cid:27) XX nh(cid:247) sau.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.11 (xem [15]) Cho E, F l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian m¶tric. B(cid:160)i to¡n (1.1) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t ch¿nh (well-posed) n‚u c¡c (cid:31)i•u ki»n d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y

(cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n:

(i) B(cid:160)i to¡n (1.1) gi£i (cid:31)(cid:247)æc v(cid:238)i m(cid:229)i f ∈ F .

(ii) B(cid:160)i to¡n (1.1) c(cid:226) nghi»m duy nh§t x ∈ E v(cid:238)i m(cid:229)i f ∈ F .

(iii) Nghi»m x ∈ E ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c v(cid:160)o v‚ ph£i f ∈ F .

N‚u ‰t nh§t mºt trong ba (cid:31)i•u ki»n tr¶n kh(cid:230)ng th(cid:228)a m¢n th… b(cid:160)i to¡n (1.1)

(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh (ill-posed).

Mºt tr(cid:247)(cid:237)ng hæp r§t th(cid:247)(cid:237)ng g(cid:176)p cıa c¡c b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh l(cid:160) ch(cid:243)ng kh(cid:230)ng Œn (cid:31)(cid:224)nh theo ngh(cid:190)a v(cid:238)i thay (cid:31)Œi nh(cid:228) cıa dœ li»u B, f d¤n t(cid:238)i s(cid:252) thay (cid:31)Œi l(cid:238)n cıa nghi»m x ∈ E. Trong c¡c b(cid:160)i to¡n th(cid:252)c t‚, dœ li»u B, f kh(cid:230)ng bi‚t ch‰nh x¡c. Khi (cid:31)(cid:226), ch(cid:243)ng ta cƒn ph£i nghi¶n cøu v(cid:160) thi‚t l“p s(cid:252) ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c cıa nghi»m x§p x¿ v(cid:238)i dœ li»u (cid:31)ƒu v(cid:160)o Bγ, f δ l(cid:160) x§p x¿ cıa B, f . Tuy nhi¶n, (cid:31)¥y l(cid:160) nhi»m v(cid:246) kh(cid:230)ng d„ d(cid:160)ng th(cid:252)c hi»n. Mºt trong c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng

ph¡p gi£i c¡c b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh (cid:31)(cid:226) l(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh.

BŒ (cid:31)• 1.2.12 (xem [18]) Cho E l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian Banach th(cid:252)c, E∗ l(cid:160) kh(cid:230)ng gian (cid:31)Łi ng¤u cıa E, f ∈ E∗ v(cid:160) A : E → E∗ l(cid:160) mºt to¡n tß h-li¶n t(cid:246)c. Khi (cid:31)(cid:226), n‚u t(cid:231)n t⁄i x0 ∈ E th(cid:228)a m¢n b§t (cid:31)ﬂng thøc

(cid:104)A(x) − f, x − x0(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ E,

th… A(x0) = f .

N‚u A l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u tr¶n E th… (cid:31)i•u ki»n tr¶n t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i

(cid:104)A(x0) − f, x − x0(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ E.

BŒ (cid:31)• tr¶n (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) BŒ (cid:31)• Minty, t¶n cıa nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c M(cid:255), ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)¢ chøng minh k‚t qu£ tr¶n trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Hilbert. Sau n(cid:160)y c(cid:244)ng ch‰nh (cid:230)ng v(cid:160) Browder (xem [11]) (cid:31)¢ chøng minh mºt c¡ch (cid:31)ºc l“p

trong kh(cid:230)ng gian Banach. BŒ (cid:31)• n(cid:160)y cho ta mŁi li¶n h» giœa b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n (cid:104)A(x) − f, x − x0(cid:105) ≥ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ E v(cid:238)i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß A(x) = f .

D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) mºt v‰ d(cid:246) v• ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh.

V‰ d(cid:246) 1.2.13 (xem [1]) B(cid:160)i to¡n t…m nghi»m ϕ0(s) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh t‰ch ph¥n Fredholm tuy‚n t‰nh lo⁄i mºt c(cid:226) d⁄ng

(cid:90) 1 (1.2) K(t, s) ϕ0(s) ds = f0(t),

(cid:240) (cid:31)¥y f0(t) l(cid:160) h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c cho tr(cid:247)(cid:238)c trong kh(cid:230)ng gian L2[0, 1]. Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh t‰ch ph¥n Fredholm tuy‚n t‰nh lo⁄i mºt (1.2) l(cid:160) b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh. Th“t v“y, gi£ sß ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.2) c(cid:226) nghi»m ϕ0(s). Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i v‚ ph£i (cid:90) 1 K(t, s) sin(ωs)ds, f1(t) = f0(t) + Ω

ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.2) c(cid:226) nghi»m

ϕ1(s) = ϕ0(s) + Ω sin(ωs).

V(cid:238)i Ω b§t k(cid:253) v(cid:160) ω (cid:31)ı l(cid:238)n th… kho£ng c¡ch giœa hai h(cid:160)m f0 v(cid:160) f1 trong L2[0, 1] l(cid:160)

(cid:21)2 (cid:27) 1 (cid:26) (cid:90) 1 (cid:20) (cid:90) 1 K(t, s) sin(ωs)ds dt , (1.3) dL2[0,1](f0, f1) = |Ω|

c(cid:226) th” l(cid:160)m nh(cid:228) t(cid:242)y (cid:254). Th“t v“y, cho tr(cid:247)(cid:238)c ε > 0, t(cid:231)n t⁄i Kε(t, s) ∈ C 1(D), D := [0, 1] × [0, 1], sao cho

. (cid:107)Kε − K(cid:107)C 1 ≤ ε 2N

H(cid:236)n nœa, do nh¥n Kε(t, s) kh£ vi li¶n t(cid:246)c tr¶n mi•n D, n¶n t(cid:231)n t⁄i Mε > 0, sao cho

2(cid:107)Kε(cid:107)∞ + ≤ Mε (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)∞ ∂Kε ∂s

(chu'n max trong kh(cid:230)ng gian C 1(D)). T‰ch ph¥n tłng phƒn, ta (cid:31)(cid:247)æc (cid:26) (cid:90) 1 (cid:90) 1 cos ωsds = − − (cid:12) (cid:12) Kε(t, s) cos ωs (cid:12) ∂Kε ∂s 1 ω (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Kε(t, s) sin(ωs)ds (cid:12) (cid:12) (cid:27)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

< , ≤ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Mε ω ε 2Ω

. Do (cid:31)(cid:226), khi ω ≥ ω(ε) := 2ΩMε ε

(cid:90) 1 (cid:90) 1 K(t, s) sin(ωs)ds ≤ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Kε(t, s) sin(ωs)ds (cid:12) (cid:12) (cid:90) 1 + (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (Kε(t, s) − K(t, s)) sin(ωs)ds (cid:12) (cid:12)

. ≤ ε Ω

Tł (cid:31)¥y suy ra

∀ε > 0, = ε. ∃ω(ε) : ∀ω > ω(ε), (cid:107)f1 − f0(cid:107) ≤ Ω ε Ω

Nh(cid:247) v“y, khi ω (cid:31)ı l(cid:238)n, f1 r§t gƒn f0, trong khi kho£ng c¡ch giœa hai nghi»m ϕ0(s) v(cid:160) ϕ1(s) trong kh(cid:230)ng gian L2[0, 1] c(cid:226) th” l(cid:160)m l(cid:238)n b§t k(cid:253) v…

2ds

(cid:27) 1 (cid:27) 1 (cid:26) (cid:90) 1 (cid:26) (cid:90) 1 = |N | sin2(ωs)ds dL2[0,1](ϕ0, ϕ1) = (cid:12)x0(s) − x1(s)(cid:12) (cid:12) (cid:12)

0 (cid:18)

(cid:27) 1 (cid:90) 1 (cid:0)1 − cos(2ωs)(cid:1)ds = |Ω|

0 (cid:26)1 2 (cid:26)1 2

1.3 Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u

(cid:19)(cid:27) 1 = |Ω| 1 − ≥ . sin(2ω) 2ω Ω 2

1.3.1 To¡n tß J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u

Cho E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.3.1 (xem [3]) To¡n tß A : E → E (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)

(i) η-J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh n‚u t(cid:231)n t⁄i h‹ng sŁ η > 0 sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ D(A), ta c(cid:226)

(cid:104)Ax − Ay, j(x − y)(cid:105) ≥ η(cid:107)x − y(cid:107)2, j(x − y) ∈ J(x − y);

(ii) α-J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc (hay α-(cid:31)(cid:231)ng bøc j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u) n‚u t(cid:231)n t⁄i h‹ng sŁ α > 0 sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ D(A), ta c(cid:226)

(cid:104)Ax − Ay, j(x − y)(cid:105) ≥ α(cid:107)Ax − Ay(cid:107)2, j(x − y) ∈ J(x − y);

(iii) J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ D(A), ta c(cid:226)

(cid:104)Ax − Ay, j(x − y)(cid:105) ≥ 0, j(x − y) ∈ J(x − y);

(iv) J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i n‚u A l(cid:160) to¡n tß J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) (cid:31)(cid:231) th(cid:224) Gr(A) cıa to¡n tß A kh(cid:230)ng th(cid:252)c s(cid:252) b(cid:224) chøa trong b§t k… mºt (cid:31)(cid:231) th(cid:224) cıa mºt to¡n tß j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u n(cid:160)o kh¡c;

(v) m-J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u n‚u A l(cid:160) to¡n tß J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) R(A + I) = E.

∗ → R+

BŒ (cid:31)• 1.3.2 (xem [3]) N‚u A : E → E l(cid:160) to¡n tß J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) h-li¶n t(cid:246)c v(cid:238)i D(A) = E th… A l(cid:160) to¡n tß J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.3.3 (xem [3]) To¡n tß li¶n t(cid:246)c A : E → E (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u ϕ-(cid:31)•u ng(cid:247)æc (hay (cid:31)(cid:236)n gi£n l(cid:160) J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u (cid:31)•u ng(cid:247)æc), n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:160)m ϕ : R+ × R+ ∗ li¶n t(cid:246)c, t«ng ch(cid:176)t theo bi‚n thø hai v(cid:160) ϕ(s, t) = 0 khi v(cid:160) ch¿ khi t = 0 v(cid:238)i mØi s > 0 cŁ (cid:31)(cid:224)nh, sao cho, v(cid:238)i m(cid:229)i r > 0 v(cid:160) x, y ∈ E, (cid:107)x(cid:107), (cid:107)y(cid:107) ≤ r, ta c(cid:226)

(cid:104)A(x) − A(y), J(x − y)(cid:105) ≥ ϕ(cid:0)r, (cid:107)A(x) − A(y)(cid:107)(cid:1). (1.4)

Nh“n x†t 1.3.4 L(cid:238)p c¡c to¡n tß J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc l(cid:160) l(cid:238)p con th(cid:252)c s(cid:252) cıa l(cid:238)p c¡c to¡n tß J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u (cid:31)•u ng(cid:247)æc.

V‰ d(cid:246) 1.3.5 M(cid:229)i to¡n tß J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc l(cid:160) J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u (cid:31)•u ng(cid:247)æc, do (cid:31)(cid:226) l(cid:160) J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u. Th“t v“y, cho A l(cid:160) to¡n tß J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc v(cid:238)i h‹ng sŁ c, th… A li¶n t(cid:246)c Lipschitz v(cid:238)i h‹ng sŁ Lipschitz c−1 v(cid:160) b§t (cid:31)ﬂng thøc (1.4) th(cid:228)a m¢n v(cid:238)i h(cid:160)m ϕ(s, t) = ct2.

1.3.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.3.6 (xem [5]) Kh(cid:230)ng gian Banach E (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) c(cid:226) t‰nh ch§t x§p x¿ n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:229) c¡c kh(cid:230)ng gian con hœu h⁄n chi•u l(cid:231)ng nhau {En} v(cid:160) c¡c ph†p chi‚u Pn : E → En sao cho (cid:107)Pn(cid:107) = 1 v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0 v(cid:160) ∪nEn tr(cid:242) m“t trong E.

Gi£ sß E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach c(cid:226) t‰nh ch§t x§p x¿, A : E → E l(cid:160) to¡n tß J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:238)i mi•n x¡c (cid:31)(cid:224)nh D(A), J : E → E∗ l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c. Ta x†t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

A(x) = f, f ∈ E. (1.5)

Gi£ sß t“p nghi»m SA cıa (1.5) kh¡c rØng. Ta c(cid:226) k‚t qu£ sau v• t‰nh (cid:31)(cid:176)t ch¿nh cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh hi»u ch¿nh.

BŒ (cid:31)• 1.3.7 (xem [5]) Gi£ sß kh(cid:230)ng gian Banach E c(cid:226) t‰nh x§p x¿, to¡n tß A : E → E l(cid:160) to¡n tß J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) h-li¶n t(cid:246)c v(cid:238)i D(A) = E v(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c J : E → E∗ li¶n t(cid:246)c v(cid:160) li¶n t(cid:246)c y‚u theo d¢y. Khi (cid:31)(cid:226), b(cid:160)i to¡n gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

A(x) + αx = f (1.6)

v(cid:238)i tham sŁ d(cid:247)(cid:236)ng α v(cid:160) f ∈ E l(cid:160) (cid:31)(cid:176)t ch¿nh.

BŒ (cid:31)• 1.3.8 (xem [12, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1]) Cho E l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian Banach th(cid:252)c l(cid:231)i ch(cid:176)t v(cid:160) ph£n x⁄ v(cid:238)i chu'n kh£ vi G¥teaux v(cid:160) A l(cid:160) ¡nh x⁄ m-J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u tr¶n E. Khi (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i mØi α > 0 v(cid:160) f ∈ E cŁ (cid:31)(cid:224)nh cho tr(cid:247)(cid:238)c, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh A(x) + αx = f c(cid:226) nghi»m duy nh§t xα. Ngo(cid:160)i ra, n‚u t“p nghi»m SA cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh A(x) = f kh¡c rØng, th… d¢y {xα} hºi t(cid:246) m⁄nh t(cid:238)i ¯x∗ l(cid:160) nghi»m duy nh§t cıa b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n sau

α − xα(cid:107) ≤ δ/α, trong (cid:31)(cid:226) xδ

(cid:104)¯x∗, j(¯x∗ − x∗)(cid:105) ≥ 0 ∀x∗ ∈ SA.

H(cid:236)n nœa, ta c(cid:226) (cid:31)¡nh gi¡ (cid:107)xδ α l(cid:160) nghi»m duy nh§t cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh A(x) + αx = f δ, v(cid:238)i α > 0 b§t k(cid:253) v(cid:160) f δ ∈ E th(cid:228)a m¢n (cid:107)f δ − f (cid:107) ≤ δ.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

Mºt sŁ ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh to¡n tß

2.1 H» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u

Ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u trong kh(cid:230)ng gian Hilbert H v(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach E. Nºi dung cıa ch(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)æc vi‚t tr¶n c(cid:236) s(cid:240) tŒng hæp ki‚n thøc tł c¡c t(cid:160)i li»u [7] v(cid:160) [16].

2.1.1 H» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p

M(cid:246)c n(cid:160)y tr…nh b(cid:160)y ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß

trong kh(cid:230)ng gian Hilbert th(cid:252)c H:

i = 0, 1, . . . , N, (2.1) Ai(x) = fi,

N (cid:92)

(cid:240) (cid:31)¥y Ai : H → H l(cid:160) c¡c to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, fi ∈ H cho tr(cid:247)(cid:238)c v(cid:160) N ≥ 0. Gi£ thi‚t h» (2.1) c(cid:226) nghi»m, tøc l(cid:160)

i=0

S := (2.2) SAi (cid:54)= ∅,

(cid:240) (cid:31)¥y SAi l(cid:160) t“p nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh thø i cıa h» (2.1). Khi (cid:31)(cid:226), S l(cid:160) t“p con l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng trong H, do (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i duy nh§t phƒn tß x0 ∈ S c(cid:226) x∗-chu'n nh(cid:228) nh§t, ngh(cid:190)a l(cid:160)

(2.3) (cid:107)z − x∗(cid:107), x∗ ∈ H. (cid:107)x0 − x∗(cid:107) = min z∈S

Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (2.1) trong kh(cid:230)ng

gian Hilbert th(cid:252)c H (cid:31)(cid:247)æc m(cid:230) t£ nh(cid:247) sau.

Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p 2.1.1 (Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p) (xem [16]) Cho H l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian Hilbert th(cid:252)c. Gi£ sß z0 ∈ H t(cid:242)y (cid:254) cho tr(cid:247)(cid:238)c, c¡c x§p x¿ ti‚p theo zm (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

N (cid:88)

i=1

(cid:104) (2.4) Ai(zm) + αµ+1 zm+1 = zm − βm (cid:105) , m (zm − x∗) A0(zm) + αµ m

(cid:240) (cid:31)¥y αm l(cid:160) tham sŁ hi»u ch¿nh, βm l(cid:160) tham sŁ l(cid:176)p, µ > 0 l(cid:160) h‹ng sŁ th(cid:252)c t(cid:242)y (cid:254).

(cid:30)” tr…nh b(cid:160)y s(cid:252) hºi t(cid:246) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (2.4), tr(cid:247)(cid:238)c h‚t ta x†t ph(cid:247)(cid:236)ng

N (cid:88)

tr…nh to¡n tß

m (x − x∗) = 0.

i=1

(2.5) Ai(x) + αµ+1 A0(x) + αµ m

S(cid:252) t(cid:231)n t⁄i duy nh§t nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong (cid:31)(cid:224)nh

l(cid:254) sau.

i=0SAi (cid:54)= ∅. Khi (cid:31)(cid:226),

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.2 (xem [16]) Gi£ sß A0 : D(A0) = H → H l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, h-li¶n t(cid:246)c, c¡c to¡n tß Ai : D(Ai) = H → H, i = 1, 2, . . . , N l(cid:160) λi-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc v(cid:160) S := ∩N

(i) V(cid:238)i mØi αm > 0 ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.5) c(cid:226) duy nh§t nghi»m xm.

xm = x0 ∈ S c(cid:226) (ii) N‚u 0 < αm ≤ 1, αm → 0 khi m → +∞ th… lim m→+∞

x∗-chu'n nh(cid:228) nh§t v(cid:160)

(cid:19) , (cid:107)xm+1 − xm(cid:107) = O (cid:18)| αm+1 − αm | αµ+1 m

(cid:240) (cid:31)¥y xm+1 l(cid:160) nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.5) khi αm (cid:31)(cid:247)æc thay b(cid:240)i αm+1.

l(cid:160) h-li¶n t(cid:246)c. V… v“y, v(cid:238)i mØi αm > 0 cŁ (cid:31)(cid:224)nh, to¡n tß

N (cid:80) i=1

Ai l(cid:160) (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, h-li¶n t(cid:246)c, D(A) = H, do v¥y A l(cid:160) to¡n tß l(cid:160) c¡c to¡n tß λi-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc, Chøng minh. (i) Do Ai i = 1, 2, . . . , N n¶n Ai l(cid:160) (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) Li-li¶n t(cid:246)c Lipschitz, v(cid:238)i Li = 1/λi do (cid:31)(cid:226), Ai A := A0 + αµ m

(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i (xem [5]). Do (cid:31)(cid:226), Theo (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.7.4 trong [5] ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.5) c(cid:226) nghi»m. M(cid:176)t kh¡c, do I l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u ch(cid:176)t n¶n A + αµ+1 m I c(cid:244)ng l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u ch(cid:176)t. Do v“y, v(cid:238)i mØi αm > 0 ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.5) c(cid:226) nghi»m duy nh§t xm.

N (cid:88)

(ii) Tł (2.5) v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ S ta c(cid:226)

m (cid:104)xm − x∗, xm − x(cid:105) = 0.

i=1

(cid:104)Ai(xm), xm − x(cid:105) + αµ+1 (cid:104)A0(xm), xm − x(cid:105) + αµ m

Tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tr¶n sß d(cid:246)ng t‰nh ch§t (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u cıa to¡n tß Ai suy ra

(2.6) (cid:104)xm − x∗, x − xm(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ S.

Do (cid:31)(cid:226),

(cid:107)xm − x∗(cid:107) ≤ (cid:107)x − x∗(cid:107) ∀x ∈ S.

(cid:30)i•u n(cid:160)y c(cid:226) ngh(cid:190)a l(cid:160) d¢y {xm} b(cid:224) ch(cid:176)n. Do kh(cid:230)ng gian Hilbert H l(cid:160) kh(cid:230)ng gian ph£n x⁄ n¶n t(cid:231)n t⁄i d¢y con cıa d¢y {xm} hºi t(cid:246) y‚u (cid:31)‚n phƒn tß thuºc H. (cid:30)” (cid:31)(cid:236)n gi£n, ta gi£ sß xm (cid:42) x khi m → +∞. Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n, ta chøng minh x ∈ S0. Th“t v“y, tł (2.5) v(cid:160) c¡c t‰nh ch§t (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u cıa Ai, i = 0, 1, . . . , N ta c(cid:226)

N (cid:88)

(cid:104)A0(x), x − xm(cid:105) ≥ (cid:104)A0(xm), x − xm(cid:105)

m (cid:104)xm − x∗, xm − x(cid:105)

i=1 N (cid:88)

(cid:104)Ai(xm), xm − x(cid:105) + αµ+1 ≥ αµ m

m (cid:104)x − x∗, xm − x(cid:105) ∀x ∈ H.

i=1

(cid:104)Ai(x), xm − x(cid:105) + αµ+1 ≥ αµ m

Tł b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n cho αm → 0 khi m → +∞ ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

(cid:104)A0(x), x − x(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ H.

N (cid:88)

Theo BŒ (cid:31)• 1.2.12 ta suy ra x ∈ S0. Ti‚p theo, ta s‡ chøng minh x ∈ Si, i = 1, 2, . . . , N . Th“t v“y, tł (2.5) v(cid:160) t‰nh ch§t (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u cıa Ai ta c(cid:226)

i=1

(cid:104)Ai(xm), xm−x(cid:105)+αm(cid:104)xm−x∗, xm−x(cid:105) = (cid:104)A0(xm), x−xm(cid:105) ≤ 0, x ∈ S0. 1 αµ m

N (cid:88)

Cho αm → 0 khi m → +∞ ta (cid:31)(cid:247)æc

i=1

(2.7) (cid:104)Ai(x), x − x(cid:105) ≤ 0 ∀x ∈ S0.

N (cid:88)

Gi£ sß (cid:98)x l(cid:160) phƒn tß thuºc Si, i = 1, 2, . . . , N . Tł (2.7) v(cid:160) t‰nh (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u cıa c¡c to¡n tß Ai ta c(cid:226)

i=1

0 = (cid:104)Ai(x), (cid:98)x − x(cid:105) ≥ 0. (cid:104)Ai((cid:98)x), (cid:98)x − x(cid:105) ≥

N (cid:88)

Do (cid:31)(cid:226),

i=1

(cid:104)Ai(x), (cid:98)x − x(cid:105) = 0 = (cid:104)Ai((cid:98)x), (cid:98)x − x(cid:105).

N (cid:88)

V… v“y,

i=1

(cid:104)Ai((cid:98)x) − Ai(x), (cid:98)x − x(cid:105) = 0.

N (cid:88)

Sß d(cid:246)ng t‰nh ch§t λi-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc cıa Ai, i = 1, 2, . . . , N ta c(cid:226)

i=1

0 = (cid:104)Ai((cid:98)x) − Ai(x), (cid:98)x − x(cid:105) ≥ λi(cid:107)Ai((cid:98)x) − Ai(x)(cid:107)2 ≥ 0.

Do v“y,

i = 1, 2, . . . , N.

Ai((cid:98)x) = Ai(x), Tł (cid:31)¥y suy ra, (cid:98)x = x n¶n x ∈ S. Ti‚p t(cid:246)c, tł (2.6) ta c(cid:226)

(cid:104)x − x∗, x − xm(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ S,

cho m → ∞ ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:104)x − x∗, x − ¯x(cid:105) ≥ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ S.

Do S l(cid:160) t“p l(cid:231)i n¶n ta thay x b(cid:240)i (1 − t)x + t¯x, sau (cid:31)(cid:226) chia c£ hai v‚ cho 1 − t v(cid:160) cho t → 1 ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

(cid:104)¯x − x∗, x − ¯x(cid:105) ≥ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ S,

suy ra

(cid:107)¯x − x∗(cid:107) ≤ (cid:107)x − x∗(cid:107) v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ S.

M(cid:176)t kh¡c, do S l(cid:160) t“p l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng trong H n¶n phƒn tß c(cid:226) x∗-chu'n nh(cid:228) nh§t l(cid:160) duy nh§t, n¶n ¯x = x0. M(cid:176)t kh¡c, tł (2.6) v(cid:160) thay x b(cid:240)i x0 ta c(cid:226)

(cid:107)xm − x0(cid:107)2 ≤ (cid:104)x∗ − x0, xm − x0(cid:105),

m→+∞

cho n¶n lim xm = x0.

N (cid:88)

Ti‚p theo, ta gi£ sß xm+1 l(cid:160) nghi»m cıa (2.5) khi αm (cid:31)(cid:247)æc thay b(cid:240)i αm+1. Tł (2.5) suy ra

m+1

i=1

m+1(cid:104)xm+1 − x∗, xm+1 − xm(cid:105) + (cid:104)A0(xm), xm − xm+1(cid:105)

(cid:104)A0(xm+1), xm+1 − xm(cid:105) + αµ (cid:104)Ai(xm+1), xm+1 − xm(cid:105)

m (cid:104)xm − x∗, xm − xm+1(cid:105)

i=1

N (cid:88)

+ αµ+1 N (cid:88) (cid:104)Ai(xm), xm − xm+1(cid:105) + αµ+1 + αµ m

m+1

i=1

+ αµ (cid:104)Ai(xm), xm+1 − xm(cid:105) + αµ (cid:104)Ai(xm), xm − xm+1(cid:105) = 0.

N (cid:88)

Tł b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n v(cid:160) t‰nh (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u cıa Ai, i = 0, 1, . . . , N ta c(cid:226)

m (cid:104)xm − xm+1, xm − xm+1(cid:105)

m+1 − αµ m

i=1

(cid:1) (cid:0)αµ (cid:104)Ai(xm), xm+1 − xm(cid:105) + αµ+1

m+1 − αµ+1

+ (cid:0)αµ+1 (cid:1)(cid:104)xm+1 − x∗, xm+1 − xm(cid:105) ≤ 0.

Suy ra,

N (cid:88)

m |

m+1 − αµ αµ+1 m | αµ+1

| αµ (cid:104)Ai(xm), xm − xm+1(cid:105) (cid:104)xm+1 − xm, xm+1 − xm(cid:105) ≤

i=1 m+1 − αµ+1 m | αµ+1 m

+ (cid:104)xm+1 − x∗, xm − xm+1(cid:105).

Do (cid:31)(cid:226),

N (cid:88)

m |

m+1 − αµ αµ+1 m

m+1 − αµ+1 m | αµ+1 m

i=1

| αµ+1 | αµ (cid:107)Ai(xm)(cid:107) + (cid:107)xm+1 − x∗(cid:107). (cid:107)xm+1 − xm(cid:107) ≤

(cid:30)(cid:176)t

d1 = max (cid:107)Ai(xm)(cid:107), d0 ≥ (cid:107)xm+1 − x∗(cid:107).

m |

m+1 − αµ αµ+1 m

m+1 − αµ+1 m | αµ+1 m

Ta c(cid:226) | αµ | αµ+1 . (cid:107)xm+1 − xm(cid:107) ≤ N d1 + d0

(cid:129)p d(cid:246)ng khai tri”n

am − bm = (a − b)(am−1 + am−2b + · · · + abm−2 + bm−1),

ta c(cid:226) (cid:31)¡nh gi¡

, (cid:107)xm+1 − xm(cid:107) ≤ (cid:102)M | αm+1 − αm | αµ+1 m

(cid:240) (cid:31)¥y (cid:102)M l(cid:160) h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng. V“y ta c(cid:226),

(cid:19) . (cid:107)xm+1 − xm(cid:107) = O (cid:18)| αm+1 − αm | αµ+1 m

(cid:3)

2.1.2 S(cid:252) hºi t(cid:246) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p

S(cid:252) hºi t(cid:246) cıa d¢y l(cid:176)p {zm} x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p 2.1.1 (cid:31)‚n nghi»m x0 ∈ S c(cid:226) x∗-chu'n nh(cid:228) nh§t khi m → +∞ (cid:31)(cid:247)æc chøng minh v(cid:238)i c¡c (cid:31)i•u ki»n (cid:31)(cid:176)t l¶n c¡c to¡n tß Ai v(cid:160) c¡ch ch(cid:229)n d¢y tham sŁ {αm} v(cid:160) {βm} th‰ch hæp. Ta cƒn sß d(cid:246)ng bŒ (cid:31)• sau (cid:31)¥y (cid:31)” chøng minh s(cid:252) hºi t(cid:246) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng

ph¡p ch¿nh l(cid:176)p trong Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p 2.1.1.

BŒ (cid:31)• 2.1.3 (xem [8]) Gi£ sß {um}, {am}, {bm} l(cid:160) c¡c d¢y sŁ th(cid:252)c kh(cid:230)ng ¥m th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n

(i) um+1 ≤ (1 − am)um + bm, 0 ≤ am ≤ 1;

∞ (cid:80) m=1

(ii) = 0. am = +∞, lim m→+∞ bm am

Khi (cid:31)(cid:226), um = 0. lim m→+∞

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.4 (xem [16]) Gi£ sß c¡c d¢y tham sŁ {αm}, {βm} v(cid:160) Ai, i = 0, 1, . . . , N th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n sau:

(i) A0 l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, li¶n t(cid:246)c Lipschitz c¡c to¡n tß Ai, i = 1, 2, . . . , N

l(cid:160) λi-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc;

(ii) 1 ≥ αm (cid:38) 0, βm → 0 khi m → +∞;

(iii) = 0, = 0; lim m→+∞ lim m→+∞ βm αµ+1 m |αm+1 − αm| βmα2(µ+1) m

m = +∞.

∞ (cid:80) m=0

(iv) βmαµ+1

Khi (cid:31)(cid:226), zm = x0 ∈ S c(cid:226) x∗-chu'n nh(cid:228) nh§t. lim m→+∞

Chøng minh. Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ta c(cid:226) (cid:107)zm − x0(cid:107) ≤ (cid:107)zm − xm(cid:107) + (cid:107)xm − x0(cid:107), theo (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.2 sŁ h⁄ng thø hai trong v‚ ph£i cıa b§t (cid:31)ﬂng thøc n(cid:160)y dƒn (cid:31)‚n 0 khi m → +∞. V… v“y, ta ch¿ cƒn chøng minh zm x§p x¿ xm khi m → +∞. Gi£ sß (cid:52)m = (cid:107)zm − xm(cid:107), khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226)

N (cid:88)

(cid:52)m+1 = (cid:107)zm+1 − xm+1(cid:107)

m (zm − x∗)(cid:3)

i=1

= Ai(zm) + αµ+1 zm − xm − βm (cid:2)A0(zm) + αµ (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

N (cid:88)

(2.8) − (xm+1 − xm) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

i=1

≤ zm − xm − βm (cid:2)A0(zm) + αµ Ai(zm) + αµ+1 (cid:13) (cid:13) m (zm − x∗)(cid:3) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

+ (cid:107)xm+1 − xm(cid:107).

N (cid:88)

Ta c(cid:226) c¡c (cid:31)¡nh gi¡ sau

i=1

N (cid:88)

zm − xm − βm (cid:2)A0(zm) + αµ Ai(zm) + αµ+1 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) m (zm − x∗)(cid:3) (cid:13) (cid:13)

Ai(zm) + αµ+1 = (cid:107)zm − xm(cid:107)2 + β2 m (cid:13) (cid:13) A0(zm) + αµ (cid:13) m (cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) m (zm − x∗) (cid:13) (cid:13)

i=1 N (cid:88)

(cid:28)

m (zm − x∗)

i=1

N (cid:88)

− 2βm Ai(zm) + αµ+1 zm − xm, A0(zm) + αµ m (2.9)

i=1

− (cid:2)A0(xm) + αµ Ai(xm) + αµ+1 (cid:29) m (xm − x∗)(cid:3)

N (cid:88)

(cid:1)(cid:107)zm − xm(cid:107)2 ≤ (cid:0)1 − 2βmαµ+1

i=1

. Ai(zm) + αµ+1 + β2 m (cid:13) 2 (cid:13) m (zm − x∗) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) A0(zm) + αµ (cid:13) m (cid:13)

N (cid:88)

Do A0 li¶n t(cid:246)c Lipschitz, Ai l(cid:160) λi-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc n¶n ta c(cid:226)

i=1

N (cid:88)

Ai(zm) + αµ+1 (cid:13) (cid:13) A0(zm) + αµ (cid:13) m (cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) m (zm − x∗) (cid:13) (cid:13)

i=1

= (cid:0)Ai(zm) − Ai(xm)(cid:1) + αµ+1 (cid:13) (cid:13) A0(zm) − A0(xm) + αµ (cid:13) m (cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) m (zm − xm) (cid:13) (cid:13)

≤ c(cid:107)zm − xm(cid:107)2,

(cid:240) (cid:31)¥y c l(cid:160) h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng. Tł (2.8), (2.9) v(cid:160) b§t (cid:31)ﬂng thøc cuŁi c(cid:242)ng ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

m(1 − 2βmαµ+1

m + cβ2 m)

(cid:19) (cid:18) (cid:19)1/2 (cid:52)2 + O . (cid:52)m+1 ≤ (cid:18)| αm+1 − αm | αµ+1 m

B…nh ph(cid:247)(cid:236)ng hai v‚ cıa b§t (cid:31)ﬂng thøc n(cid:160)y, sau (cid:31)(cid:226) ¡p d(cid:246)ng b§t (cid:31)ﬂng thøc

s(cid:236) c§p (xem [8])

(cid:18) (cid:19) 1 + b2, (a + b)2 ≤ (1 + αmβm)a2 + 1 αmβm

ta suy ra

mαµ+2

m + cαmβ3 m

m − 2β2 (cid:19)2

(cid:1) (cid:52)2

(2.10) O . 1 + + (cid:0)1 − 2βmαµ+1 m+1 ≤(cid:52)2 m + αmβm + cβ2 m (cid:19) (cid:18) 1 αmβm (cid:18)| αm+1 − αm | αµ+1 m

m − αmβm − cβ2

C¡c (cid:31)i•u ki»n cıa BŒ (cid:31)• 2.1.3 cho d¢y sŁ {(cid:52)m} (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n v… (2.10) v(cid:160) c¡c (cid:31)i•u ki»n (ii)(cid:21)(iv) cıa (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) v(cid:238)i

mαµ+2 m − cαmβ3 m, (cid:19)2

m + 2β2 (cid:18)| αm+1 − αm | αµ+1 m

(cid:19) . 1 + O bm = am = 2βmαµ+1 (cid:18) 1 αmβm

(cid:3)

Nh“n x†t 2.1.5 (i) C¡c d¢y tham sŁ βm = (1 + m)−1/2 v(cid:160) αm = (1 + m)−p, 0 < 2p < 1/(N + 1) th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n (ii)-(iv) cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.4.

(ii) Khi N = 0, ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (2.4) tr(cid:242)ng v(cid:238)i ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh l(cid:176)p b“c kh(cid:230)ng cıa Bakushinski (xem [9]) gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh A(x) = 0.

2.2 H» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u

2.2.1 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh

Ta x†t h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß trong kh(cid:230)ng gian Banach E:

(2.11) Ai(x) := Bi(x) − fi = 0, xi ∈ E, i = 0, 1, . . . , N,

trong (cid:31)(cid:226), fi ∈ E v(cid:160) Bi : D(Bi) ⊂ E → E (v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) Ai) l(cid:160) c¡c to¡n tß J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u (cid:31)•u ng(cid:247)æc v(cid:238)i h(cid:160)m sŁ ϕi t(cid:247)(cid:236)ng øng. Tuy nhi¶n, kh(cid:230)ng gi£m tŒng qu¡t, ch(cid:243)ng ta gi£ thi‚t c¡c to¡n tß Ai l(cid:160) J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u (cid:31)•u ng(cid:247)æc v(cid:238)i c(cid:242)ng mºt h(cid:160)m sŁ ϕ.

N (cid:88)

BŒ (cid:31)• 2.2.1 (xem [6]) Gi£ sß Ai, i = 1, 2, . . . , N , l(cid:160) c¡c to¡n tß J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u (cid:31)•u ng(cid:247)æc v(cid:238)i c(cid:242)ng h(cid:160)m sŁ ϕ. N‚u h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (2.11) t(cid:247)(cid:236)ng th‰ch th… n(cid:226) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sau

i=1

A(x) := (2.12) Ai(x) = 0.

N (cid:88)

Chøng minh. Hi”n nhi¶n m(cid:229)i nghi»m cıa h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.11) (cid:31)•u l(cid:160) nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.12). Ng(cid:247)æc l⁄i gi£ sß y l(cid:160) nghi»m b§t k… cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.12), tøc l(cid:160)

i=1

Ai(y) = 0.

N (cid:88)

G(cid:229)i z l(cid:160) nghi»m n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) cıa h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.11), tøc l(cid:160) Ai(z) = 0 v(cid:238)i i = 1, 2, . . . , N . Khi (cid:31)(cid:226), (cid:80)N i=1(Ai(y) − Ai(z)) = 0. V… Ai l(cid:160) J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u ϕ-(cid:31)•u ng(cid:247)æc n¶n ta thu (cid:31)(cid:247)æc:

i=1

ϕ(r, (cid:107)Ai(y) − Ai(z)(cid:107)) ≤ (cid:104)Ai(y) − Ai(z), J(y − z)(cid:105) = 0,

trong (cid:31)(cid:226) r = max (cid:107)y(cid:107), (cid:107)z(cid:107). Do (cid:31)(cid:226) ϕ(r, (cid:107)Ai(y) − Ai(z)(cid:107) = 0, tł t‰nh ch§t cıa ϕ suy ra Ai(y) = Ai(z) = 0, i = 1, 2, . . . , N hay y l(cid:160) nghi»m cıa h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.12).

N (cid:88)

Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p 2.2.2 (Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh) (xem [7]) C(cid:242)ng v(cid:238)i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.12) ta x†t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh hi»u ch¿nh sau (cid:31)¥y

i=1

(2.13) A(x) + αnx = Ai(x) + αnx.

BŒ (cid:31)• 2.2.3 (xem [7]) Gi£ sß c¡c (cid:31)i•u ki»n (A1)(cid:21)(A3) d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y

(A1) Ai, i = 1, 2, . . . , N , l(cid:160) c¡c to¡n tß J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u ϕ-(cid:31)•u ng(cid:247)æc v(cid:238)i D(Ai) = E;

(A2) (cid:129)nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c J li¶n t(cid:246)c v(cid:160) li¶n t(cid:246)c y‚u theo d¢y;

(A3) E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach tr(cid:236)n, ph£n x⁄ v(cid:160) c(cid:226) t‰nh ch§t x§p x¿;

ho(cid:176)c (B1)(cid:21)(B2) d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y

(B1) Ai, i = 1, 2, . . . , N , l(cid:160) c¡c to¡n tß m-j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u ϕ-(cid:31)•u ng(cid:247)æc v(cid:238)i D(Ai) = E;

(B2) E l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach tr(cid:236)n (cid:31)•u v(cid:160) l(cid:231)i (cid:31)•u;

(cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n. Khi (cid:31)(cid:226),

(i) V(cid:238)i mØi αn > 0, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.13) c(cid:226) nghi»m duy nh§t x∗ n.

n(cid:107) ≤ 2(cid:107)x(cid:107), trong (cid:31)(cid:226) x l(cid:160) phƒn tß b§t k… trong t“p nghi»m S.

(ii) (cid:107)x∗

n −→ x∗ khi n + ∞, trong (cid:31)(cid:226) x∗ l(cid:160) nghi»m duy nh§t cıa b§t (cid:31)ﬂng thøc bi‚n ph¥n

(iii) x∗

∀x∗ ∈ S.

n − x∗

n+1(cid:107) ≤ 2(cid:107)x∗(cid:107)

(iv) (cid:107)x∗ . (cid:104)x∗, J(x∗ − x∗)(cid:105) ≤ 0, an+1 − an an

n)(cid:107) ≤ ϕ−1

r (6αn(cid:107)x∗(cid:107)2), i = 1, 2, . . . , N , trong (cid:31)(cid:226) r > 0 l(cid:160) mºt sŁ cŁ l(cid:160) h(cid:160)m ng(cid:247)æc cıa ϕ(s, t) øng v(cid:238)i bi‚n

(v) (cid:107)Aix∗

(cid:31)(cid:224)nh th(cid:228)a m¢n r ≥ 2(cid:107)x∗(cid:107) v(cid:160) ϕ−1 s thø hai t khi cŁ (cid:31)(cid:224)nh s > 0.

N (cid:88)

Chøng minh. 1. Gi£ sß (cid:31)i•u ki»n (A1)(cid:21)(A3) th(cid:228)a m¢n. X†t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh hi»u ch¿nh (2.13) v(cid:238)i A := (cid:80)N i=1 Ai. C¡c chøng minh (i)-(iv) (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc ch¿ ra chi ti‚t trong [5]. Ta c(cid:226)

n) − Ai(x∗)) + αnx∗

n = 0.

i=1

(Ai(x∗

N (cid:88)

Do (cid:31)(cid:226)

n) − Ai(x∗), J(x∗

n − x∗)(cid:105) + αn(cid:104)x∗

n, J(x∗

n − x∗)(cid:105) = 0.

i=1

n(cid:107) ≤ 2(cid:107)x∗(cid:107), suy ra (cid:107)x∗

n − x∗(cid:107) ≤ 3(cid:107)x∗(cid:107). Sß d(cid:246)ng t‰nh J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u

(cid:104)Ai(x∗

N (cid:88)

Tł (ii), (cid:107)x∗ (cid:31)•u ng(cid:247)æc cıa Ai, ta thu (cid:31)(cid:247)æc:

n) − Ai(x∗)(cid:107)) ≤ −αn(cid:104)x∗

n, J(x∗

n − x∗)(cid:105) ≤ αn(cid:107)x∗

n(cid:107).(cid:107)x∗

nx∗(cid:107),

i=1

ϕ(R, (cid:107)Ai(x∗

trong (cid:31)(cid:226) r ≥ 2(cid:107)x(cid:107). B§t (cid:31)ﬂng thøc cuŁi d¤n t(cid:238)i (cid:31)¡nh gi¡

n)(cid:107)) ≤ 6αn(cid:107)x∗(cid:107)2.

ϕ(r, (cid:107)Ai(x∗

Do (cid:31)(cid:226)

n)(cid:107) ≤ ϕ−1

r (6αn(cid:107)x∗(cid:107)2).

(cid:107)Ai(x∗

2. Gi£ sß (cid:31)i•u ki»n (B1)-(B2) th(cid:228)a m¢n. Tł t‰nh J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u (cid:31)•u ng(cid:247)æc cıa c¡c to¡n tß Ai, suy ra ch(cid:243)ng li¶n t(cid:246)c v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) b(cid:224) ch(cid:176)n (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng. M(cid:176)t kh¡c Ai, i = 1, 2, . . . , N , l(cid:160) m-J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, D(Ai) = E, E∗ l(cid:231)i (cid:31)•u, n¶n theo (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.15.22 trong [5], to¡n tß A = (cid:80)N i=1 Ai l(cid:160) m-J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u. (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 1.3.8 cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.13), ta thu (cid:31)(cid:247)æc nghi»m hi»u ch¿nh x∗ n hºi t(cid:246) nhanh t(cid:238)i x∗. C¡c k‚t lu“n cÆn l⁄i (cid:31)(cid:247)æc chøng minh t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) phƒn 1.

(cid:3)

2.2.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p song song 'n

B¥y gi(cid:237) ta x†t ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p song song 'n (Implicit Parallel

Iterative Regularization Method) gi£i h» (2.11) nh(cid:247) sau.

Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p 2.2.4 (Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p song song 'n) (xem [7])

Ta ti‚n h(cid:160)nh nh(cid:247) sau:

n) +

(a) Gi£i N ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh hi»u ch¿nh (cid:17) i = 1, 2, . . . , N, (2.14) + γn Ai(xi xi n = γnxn, (cid:16)αn N

trong (cid:31)(cid:226) αn > 0 l(cid:160) tham sŁ hi»u ch¿nh v(cid:160) γn > 0 l(cid:160) tham sŁ song song.

(b) X¡c (cid:31)(cid:224)nh x§p x¿ ti‚p theo l(cid:160) trung b…nh cºng cıa c¡c nghi»m hi»u ch¿nh

N (cid:88)

th(cid:160)nh phƒn xi n

i=1

(2.15) xn+1 = x0 ∈ E. xi n, n = 0, 1, . . . , 1 N

Theo c¡c BŒ (cid:31)• 1.3.8, 2.2.3, t§t c£ c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh trong (2.14) l(cid:160) (cid:31)(cid:176)t ch¿nh v(cid:160) (cid:31)ºc l“p t⁄i mØi b(cid:247)(cid:238)c, do v“y c¡c nghi»m hi»u ch¿nh xi n t(cid:231)n t⁄i duy nh§t v(cid:160) c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc t…m (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i tr¶n c¡c bº xß l(cid:254) song song. Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n, ch(cid:243)ng ta chøng minh t‰nh b(cid:224) ch(cid:176)n cıa d¢y {xn} sinh b(cid:240)i ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (2.14), (2.15).

BŒ (cid:31)• 2.2.5 (xem [7]) N‚u c¡c gi£ thi‚t (A1)(cid:21)(A3) ho(cid:176)c (B1), (B2) th(cid:228)a m¢n th… d¢y {xn} sinh b(cid:240)i (2.14) v(cid:160) (2.15) l(cid:160) b(cid:224) ch(cid:176)n.

n − x∗) = γn(xn − x∗) −

(cid:16) (cid:17) + x∗. (xi Ai(xi + γn Chøng minh. K(cid:254) hi»u x∗ l(cid:160) nghi»m duy nh§t cıa h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.13) (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh trong BŒ (cid:31)• 2.2.3(iii). Theo c¡c BŒ (cid:31)• 1.3.7, 1.3.8, ph(cid:247)(cid:236)ng n. G(cid:229)i B[x∗, r] l(cid:160) tr…nh hi»u ch¿nh (2.14) c(cid:226) nghi»m duy nh§t, k(cid:254) hi»u l(cid:160) xi h…nh cƒu (cid:31)(cid:226)ng t¥m x∗ v(cid:160) b¡n k‰nh r. Ch(cid:229)n r > 0 (cid:31)ı l(cid:238)n sao cho r ≥ (cid:107)x∗(cid:107) v(cid:160) x0 ∈ B[x∗, r]. Ta chøng minh xn ∈ B[x∗, r] v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0 b‹ng quy n⁄p. Hi”n nhi¶n, x0 ∈ B[x∗, r] gi£ sß xn ∈ B[x∗, r] v(cid:238)i n ≥ 0 n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). Tł (2.14) v(cid:160) Ai(x∗) = 0, ta thu (cid:31)(cid:247)æc: (cid:17) n) − Ai(x∗) (cid:16)αn N αn N

Do (cid:31)(cid:226)

n) − Ai(x∗), J(xi

n − x∗, J(xi

n − x∗)(cid:105)

(cid:104)Ai(xi + γn)(cid:104)xi

n − x∗, J(xi

n − x∗)(cid:105) −

n − x∗)(cid:105).

n − x∗)(cid:105) + ( αn N

αn N (cid:104)x∗, J(xi = γn(cid:104)xi

n − x∗(cid:107)2 ≤ (cid:107)xn − x∗(cid:107)(cid:107)xi

n − x∗(cid:107) +

n − x∗(cid:107),

V… to¡n tß Ai l(cid:160) J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u n¶n (cid:17) (cid:107)xi (cid:107)x∗(cid:107)(cid:107)xi + γn (cid:16)αn N αn N

n − x∗(cid:107) ≤ γn(cid:107)xn − x∗(cid:107) +

hay (cid:17) (cid:107)xi (cid:107)x∗(cid:107). + γn (cid:16)αn N αn N

Sß d(cid:246)ng b§t (cid:31)ﬂng thøc (cid:107)xn − x∗(cid:107) ≤ r v(cid:160) (cid:107)x∗(cid:107) ≤ r, ta (cid:31)(cid:247)æc:

n − x∗(cid:107) ≤ γnr +

(cid:17) (cid:107)xi r ≤ ( + γn + γn)r. αn N αn N (cid:16)αn N

n − x∗(cid:107) ≤ 2. Do (cid:31)(cid:226), tł (2.15) ta c(cid:226):

N (cid:88)

(cid:30)i•u n(cid:160)y suy ra (cid:107)xi

n − x∗(cid:107) ≤ r.

i=1

(cid:107)xi (cid:107)xn+1 − x∗(cid:107) ≤ 1 N

Suy ra xn+1 ∈ B[x∗, r]. Theo quy n⁄p, xn ∈ B[x∗, r] v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0, hay d¢y {xn} b(cid:224) ch(cid:176)n.

(cid:3)

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.6 (xem [7]) Gi£ sß c¡c gi£ thi‚t (A1)(cid:21)(A3) ho(cid:176)c (B1), (B2) th(cid:228)a m¢n. Cho {αn} v(cid:160) {γn} l(cid:160) hai d¢y sŁ th(cid:252)c d(cid:247)(cid:236)ng sao cho

(i) αn → 0, γn → +∞ khi n → +∞.

= +∞. (ii) → 0 khi n → +∞, (cid:80)∞ n=1 αn γn

(iii) v(cid:160) → 0 khi n → +∞, trong (cid:31)(cid:226) R ≥ 2||x∗||, R1 = 3R2 2

γ|αn+1 − αn| α2 n hx(τn)ϕ−1 R (R1αn) αn τn = γ−1 n

bøc theo bi‚n t khi cŁ (cid:31)(cid:224)nh s > 0, tøc l(cid:160) ϕ(s, t) t

n l(cid:160) nghi»m duy nh§t cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh hi»u ch¿nh (2.13)

→ +∞ khi t → +∞. Khi (cid:31)(cid:226), d¢y {xn} sinh b(cid:240)i (2.14) v(cid:160) (2.15) hºi H(cid:236)n nœa gi£ sß h(cid:160)m ϕ(s, t) t t(cid:246) m⁄nh t(cid:238)i x∗.

Chøng minh. G(cid:229)i x∗ (cid:30)(cid:176)t

n = xi ei

n − x∗

n, en = xn − x∗ n,

, (cid:15)n = αnτn N

n + τnAi(xi xi

n) + (cid:15)nxi

n = xn,

ta vi‚t l⁄i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.14) nh(cid:247) sau

n = −τnAi(x∗

n)−(cid:15)nx∗ n,

n)(cid:3)+(cid:15)nei

n) − Ai(x∗

n − en

hay (cid:0)ei i = 1, 2, . . . , N. (cid:1)+τn (cid:2)Ai(xi

n) + (cid:15)nx∗

n, J (cid:0)ei

n − en

2 (cid:10)(cid:0)ei (cid:1) , J (cid:0)ei (2.16) ≤ −2 (cid:10)τnAi(x∗ (cid:1)(cid:11) + 2(cid:15)n Tł (cid:31)ﬂng thøc n(cid:160)y, sß d(cid:246)ng t‰nh J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u cıa to¡n tß Ai, ta (cid:31)(cid:247)æc (cid:13) (cid:1)(cid:11) . 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13)ei n

n − en

Tł BŒ (cid:31)• 1.1.10, ta c(cid:226) 2 (cid:10)(cid:0)ei (cid:1) , J (cid:0)ei − (cid:107)en(cid:107)2 . (cid:13) 2 (cid:13) (cid:1)(cid:11) ≥ (cid:13) (cid:13)ei n

Tł b§t (cid:31)ﬂng thøc n(cid:160)y v(cid:160) (2.16), suy ra

n) +

n, J (cid:0)ei x∗

(cid:68) (cid:1)(cid:69) , − (cid:107)en(cid:107)2 ≤ −2τn Ai(x∗ (cid:13) 2 (cid:13) (1 + 2(cid:15)n) (cid:13) (cid:13)ei n αn N

do (cid:31)(cid:226)

N (cid:88)

n) +

n, J (cid:0)ei x∗

i=1

n l(cid:160) nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.13). Sß d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.2.3, ta

i=1 Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng x∗ thu (cid:31)(cid:247)æc

N (cid:88)

(cid:68) (cid:1)(cid:69) . (2.17) Ai(x∗ (1 + 2(cid:15)n) − N (cid:107)en(cid:107)2 ≤ −2τn (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13)ei n αn N

n, J (cid:0)ei x∗

n) +

(cid:1)(cid:69) − (cid:68) Ai(x∗ αn N

i=1 (cid:42) N (cid:88)

N (cid:88)

(cid:43)

n) + αnx∗

n, J (en)

n) +

n, J (cid:0)ei x∗

i=1

= − − Ai(x∗ (cid:68) Ai(x∗ (cid:69) (cid:1) − J (en) αn N

N (cid:88)

n(cid:107)

n)(cid:107) +

(cid:16) (cid:107)x∗ ≤ (cid:107)Ai(x∗ (cid:17) (cid:13) (cid:13)J (cid:0)ei (cid:1) − J (en)(cid:13) (cid:13) αn N

i=1 N (cid:88)

i=1

(cid:18) (cid:19) (cid:16) ≤ + (cid:107)ˆx∗(cid:107) (2.18) 6αn (cid:107)ˆx∗(cid:107)2(cid:17) (cid:13) (cid:13)J (cid:0)ei (cid:1) − J (en)(cid:13) (cid:13) . ϕ−1 R 2αn N

n}, {xn} v(cid:160) xi

Theo c¡c BŒ (cid:31)• 2.2.3 v(cid:160) 2.2.5, c¡c d¢y {x∗

n b(cid:224) ch(cid:176)n, do (cid:31)(cid:226) c¡c n} c(cid:244)ng b(cid:224) ch(cid:176)n, tøc l(cid:160) t(cid:231)n t⁄i h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng C > 0 sao cho

d¢y {en} v(cid:160) {ei

(cid:13) (cid:13) ≤ C. (cid:107)en(cid:107) ≤ C, (cid:13) (cid:13)ei n (cid:13) ≤ C, (cid:13) (cid:13) (cid:13)xi n

Tł BŒ (cid:31)• 1.1.9, ta thu (cid:31)(cid:247)æc

(cid:33) (cid:32) 16L (cid:13) (cid:13) (cid:13) , (2.19) (cid:1) − J (en)(cid:13) (cid:13) (cid:13)J (cid:0)ei (cid:13) ≤ 8ChX (cid:13)xi n − xn C

trong (cid:31)(cid:226) L ∈ (1, 1.7) l(cid:160) h‹ng sŁ Figiel.

Ti‚p theo ta chøng minh

(cid:107)Ai(z)(cid:107) ≤ Ci < +∞ v(cid:238)i m(cid:229)i ||z|| ≤ R0 := C + 2 (cid:107)ˆx∗(cid:107) v(cid:160)i = 1, 2, . . . , N.

b‹ng ph£n chøng.

Th“t v“y, gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i, t(cid:231)n t⁄i mºt d¢y {zn} sao cho ||zn|| ≤ R0 v(cid:160)

(cid:107)Ai(zn) → ∞(cid:107) khi n → ∞. Khi (cid:31)(cid:226), (cid:31)(cid:176)t

tn := (cid:104)Ai(zn) − Ai(0)(cid:107) ≥ (cid:107)Ai(zn)(cid:107) − (cid:107)Ai(0)(cid:107) → ∞ khi n → ∞.

M(cid:176)t kh¡c

ϕ(R0, tn) = ϕ(R0, (cid:107)Ai(zn) − Ai(0)(cid:107)) ≤ (cid:104)Ai(zn) − Ai(0), J(zn − 0)(cid:105)

≤ (cid:107)Ai(zn) − Ai(0)(cid:107)(cid:107)zn(cid:107) ≤ R0tn,

, (cid:31)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i t‰nh bøc cıa h(cid:160)m . (cid:30)(cid:176)t n¶n R0 ≥ R0, t t R0, tn tn

(cid:111) M = sup x . (cid:110)(cid:13) (cid:13) (cid:13)Ai(x) + (cid:13) (cid:13) (cid:13) : (cid:107)x(cid:107) ≤ R0, n = 1, 2, . . . , i = 1, 2, N αn N

Tł (2.14) suy ra

n) + df racαnN xi

n = γn

(cid:1) , i = 1, 2, . . . , N. Ai(xi (cid:0)xn − xi

Do (cid:31)(cid:226)

n(cid:107) ≤

n) +

γn(cid:107)xn − xi xi n (cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤ M (cid:13) (cid:13)Ai(xi (cid:13) αn N

hay

n(cid:107) ≤

= M τn. (cid:107)xn − xi M γn

(2.20) (cid:1) − J (en)(cid:13) (cid:13) ≤ c2hX(k0τn),

. Tł (2.18) v(cid:160) (2.20), ta c(cid:226) trong (cid:31)(cid:226) c2 = 8C, k0 = K‚t hæp v(cid:238)i b§t (cid:31)ﬂng thøc cuŁi v(cid:238)i (2.19) ta (cid:31)(cid:247)æc (cid:13) (cid:13)J (cid:0)ei 16LM C

N (cid:88)

n, J (cid:0)ei x∗

n) +

i=1 (cid:18)

(cid:68) (cid:1)(cid:69) ≤ − Ai(x∗

(cid:19) + (cid:107)ˆx∗(cid:107) + (cid:107)ˆx∗(cid:107) (2.21) N c2 αn N (cid:16) 6αn (cid:107)ˆx∗(cid:107)2(cid:17) hX(k0τn). ϕ−1 R 2αn N 2αn N

N (cid:88)

Tł c(cid:230)ng thøc (2.17) v(cid:160) (2.21), suy ra

i=1

(1 + 2(cid:15)n) ≤ N (cid:107)en(cid:107)2 (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13)ei n

(cid:18) (cid:19) (cid:16) + (cid:107)ˆx∗(cid:107) (2.22) + 2N c2τn 6αn (cid:107)ˆx∗(cid:107)2(cid:17) hX(k0τn). ϕ−1 R 2αn N

(cid:18) (cid:19) a2 + , ta Tł (2.15), BŒ (cid:31)• (2.2.3) v(cid:160) b§t (cid:31)ﬂng thøc (a + b)2 ≤ (1 + (cid:15)n) b2 (cid:15)n

th§y r‹ng

n+1

(cid:107)en+1(cid:107)2 = (cid:13)

n+1

(cid:1)2 (cid:13)xn+1 − x∗ = (cid:0)(cid:107)xn+1 − x∗ (cid:13)x∗ (cid:13) (cid:13)

(cid:19)2 (cid:18) ≤ (cid:107)xn+1 − x∗ (cid:13) 2 (cid:13) n(cid:107) + (cid:13) n − x∗ n(cid:107) + 2 (cid:107)ˆx∗(cid:107)2 αn+1 − αn|| αn

N (cid:88)

(cid:33)2 (cid:32)

i=1

≤ (cid:13) + 2 (cid:107)ˆx∗(cid:107)2 αn+1 − αn|| (cid:13) (cid:13) (cid:13)ei n 1 N αn

i=1 (cid:32)

  (cid:33)1/2 (cid:32) N (cid:88) ≤ + 2 (cid:107)ˆx∗(cid:107)2 |αn+1 − αn| (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13)ei n   αn 1 √ N

N (cid:88)

(cid:33)

n(cid:15)n

i=1

+ 4 (cid:107)ˆx∗(cid:107)2 αn+1 − αn|| . ≤ (1 + (cid:15)n) (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13)ei n 1 N α2

Do (cid:31)(cid:226),

N (cid:88)

i=1

(cid:19)2 . (cid:107)ˆx∗(cid:107)2 ≤ (2.23) (cid:107)en+1(cid:107)2 − 4N (cid:15)n (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13)ei n N (1 + (cid:15)n) (cid:18)αn+1 − αn αn(cid:15)n

Tł (2.22) v(cid:160) (2.23) ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:19)2 (cid:107)ˆx∗(cid:107)2 (cid:107)en+1(cid:107)2 ≤ (cid:107)en(cid:107)2 + 4(1 + (cid:15)n)(cid:15)n (cid:18)αn+1 − αn αn(cid:15)n (cid:18) (cid:19) (cid:16) + + (cid:107)ˆx∗(cid:107) (2.24) 6αn (cid:107)ˆx∗(cid:107)2(cid:17) hX(k0τn). ϕ−1 R 2αn N 1 + (cid:15)n 1 + 2(cid:15)n 2c2(1 + (cid:15)n)τn 1 + 2(cid:15)n

(cid:30)(cid:176)t λn = (cid:107)en(cid:107)2, pn = v(cid:160) bn = b1n + b2n + b3n, trong (cid:31)(cid:226) (cid:15)n 1 + 2(cid:15)

(cid:19)2 (cid:107)ˆx∗(cid:107)2 ; b1n = 4(1 + (cid:15)n) (cid:15)n

(cid:18)αn+1 − αn αn(cid:15)n (cid:16) 6αn (cid:107)ˆx∗(cid:107)2(cid:17) hX(k0τn); b2n = ϕ−1 R

b3n = (cid:107)ˆx∗(cid:107)2 hX(k0τn). 2c2(1 + (cid:15)n)τn 1 + 2(cid:15)n 4c2(1 + (cid:15)n)τnαn N (1 + 2(cid:15)n)

Ta vi‚t l⁄i (2.24) d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng g(cid:229)n h(cid:236)n

λn+1 ≤ (1 − pn)λ + bn.

v(cid:160) Rª r(cid:160)ng λn, bn ≤ 0, p ∈ (0, 1) v(cid:160) pn → 0 khi n → ∞. V… pn = (cid:15)n 1 + 2(cid:15)n

= +∞. (cid:15) → 0 khi n → ∞ n¶n (cid:80) pn = +∞ khi v(cid:160) ch¿ khi (cid:80) (cid:15)n = +∞. (cid:30)i•u (cid:31)(cid:226) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i gi£ thi‚t (cid:80) αn γn

Theo gi£ thi‚t (ii),

(cid:19)2 (cid:107)ˆx∗(cid:107)2 → 0 khi n → ∞. → 0 = 4(1 + (cid:15)n)(1 + 2(cid:15)n) bn1n pn (cid:18)αn+1 − αn αn(cid:15)n

Ta chøng minh

(cid:16) hX(k0τn) ϕ−1 R . = 2c2N (1 + (cid:15)n) b2n pn 6αn (cid:107)ˆx∗(cid:107)2(cid:17) αn

Khi n → +∞. Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n, ta ch¿ ra t(cid:231)n t⁄i c¡c sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng m v(cid:160) n0 sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i n ≤ n0, ta lu(cid:230)n c(cid:226)

hX(τn). hX(k0τn) ≤ 5m k0

Th“t v“y theo BŒ (cid:31)• 1 [14], ta c(cid:226)

sup ≤ 4. 2 ≤ lim τ →0+ ρX(2τ ) ρX(τ )

≤ 5 v(cid:238)i m(cid:229)i τ ≤ τ0. V… τn → 0 khi Do (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i τ0 > 0 sao cho ρX(2τ ) ρX(τ )

n → +∞ n¶n t(cid:231)n t⁄i sŁ n0 sao cho k0τn ≤ τ0 v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ n0. Gi£ sß m l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)ı l(cid:238)n sao cho 2m ≥ k0. Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ n0, ta c(cid:226)

(cid:18) (cid:19) (cid:19) 2 ρX(k0τn) = ρX ≤ 5ρX

(cid:18) (cid:19) (cid:19) 2 = 5ρX k0τn 21 k0τn 21 (cid:18)k0τn 21 (cid:18)k0τn 22 ≤ 52ρX (cid:19) (cid:18) . 2 ≤ . . . ≤ 5mρX k0τn 2m

Tł t‰nh ch§t l(cid:231)i cıa h(cid:160)m ρX v(cid:160)

(cid:19)

ρX(k0τn) ≤ 5mρX ≤ 5mρX(τn). k0 2m ≤ 1, suy ra (cid:18)k0τn 2m

Do (cid:31)(cid:226),

≤ = hX(τn). hX(k0τn) = ρX(k0τn) k0τn 5m k0 ρX(τn) τn 5m k0

R t«ng v(cid:160) R1 :=

Tł b§t (cid:31)ﬂng thøc cuŁi, h(cid:160)m ϕ−1 R2 ≥ 6 (cid:107)ˆx∗(cid:107)2, ta (cid:31)(cid:247)æc 3 2

R (R1αn)hX(τn)

2c2N 5m(1 + (cid:15)n)ϕ−1 ≤ αn b2n pn

→ 0 khi n → +∞. v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ n0. Gi£ thi‚t (iii) chøng t(cid:228) r‹ng b2n pn

CuŁi c(cid:242)ng, v… E tr(cid:236)n n¶n

= 4c2(1 + (cid:15)n) (cid:107)ˆx∗(cid:107)2 hX(k0τn) → 0 b3n pn

→ 0 khi n → +∞. BŒ (cid:31)• 2.2.3 (cid:31)£m b£o r‹ng khi n → +∞. Do (cid:31)(cid:226) bn pn

n(cid:107)2 → 0(n → +∞).

λn = (cid:107)en(cid:107)2 = (cid:107)xn − x∗

n → ˆx∗(n → +∞), do (cid:31)(cid:226)

M(cid:176)t kh¡c, theo BŒ (cid:31)• 2.2.3, x∗

n − ˆx∗(cid:107) ≤ (cid:107)xn − x∗

n(cid:107) + (cid:107)x∗

n − ˆx∗(cid:107) → 0 (n → +∞).

(cid:107)x∗

Nh(cid:247) v“y (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

(cid:3)

D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) v‰ d(cid:246) ch¿ ra c¡c (cid:31)i•u ki»n trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.6 th(cid:228)a m¢n.

√

V‰ d(cid:246) 2.2.7 (xem [7]) Gi£ sß Ai, i = 1, . . . , N l(cid:160) c¡c to¡n tß c-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh ng(cid:247)æc trong kh(cid:230)ng gian Hilbert th(cid:252)c H. Khi (cid:31)(cid:226), c¡c (cid:31)i•u ki»n (A1)(cid:21)(A3) v(cid:160) (B1), (B2) (cid:31)•u th(cid:228)a m¢n. H(cid:236)n nœa, v… ϕ(s, t) = ct2 n¶n h(cid:160)m ϕ(s, t)/t = ct t2 + 1 − 1 ≤ t2/2. Do l(cid:160) bøc. M(cid:176)t kh¡c, trong kh(cid:230)ng gian Hilbert ρE(t) = (cid:31)(cid:226), gi£ thi‚t (iii) cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.6 t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n γnα1/2 n → +∞ khi n → +∞. C(cid:176)p tham sŁ αn = (n + 1)−p, 0 < p < 1/2 v(cid:160) γn = (n + 1)1/2 th(cid:228)a m¢n gi£ thi‚t cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.6.

2.2.3 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p song song hi»n

Ti‚p theo ta nghi¶n cøu ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p song song hi»n (Explicit

Parallel Iterative Regularization Method) gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.11).

Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p 2.2.8 (Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p song song hi»n) (xem [7]) Ch(cid:229)n x0 ∈ E v(cid:160)

(a) T…m (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i c¡c x§p x¿ trung gian zni, i = 1, 2, . . . , N ,

(cid:110) (cid:111) (cid:110) (cid:111) . (2.25) Ai(zn) + Ai(zn) + = zn − τn zni = zn − zn zn αn N αn N 1 γn

(b) X¡c (cid:31)(cid:224)nh x§p x¿ ti‚p theo zn+1 l(cid:160) trung b…nh cºng cıa c¡c x§p x¿ trung

N (cid:88)

gian zni

i=1

(2.26) zni, n = 1, 2, . . . zn+1 = 1 N

BŒ (cid:31)• 2.2.9 (xem [7]) Gi£ sß (cid:31)i•u ki»n (B1), (B2) th(cid:228)a m¢n v(cid:160) h(cid:160)m ϕ(s, t) t

bøc theo bi‚n t v(cid:238)i s > 0 cŁ (cid:31)(cid:224)nh. H(cid:236)n nœa, gi£ sß {αn} v(cid:160) {γn} l(cid:160) c¡c d¢y sŁ d(cid:247)(cid:236)ng sao cho, v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0, αn ≤ 1, γn ≥ 1 v(cid:160)

≤ d2, (2.27) τn ≤ d, ρX(τn) τnαn

trong (cid:31)(cid:226), τn := 1/γn v(cid:160) d ∈ (0, 1) l(cid:160) mºt sŁ cŁ (cid:31)(cid:224)nh. Khi (cid:31)(cid:226), xu§t ph¡t tł (cid:31)i”m b§t k(cid:253) z0 ∈ X, d¢y {zn} x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (2.25), (2.26) l(cid:160) b(cid:224) ch(cid:176)n.

Chøng minh. D„ d(cid:160)ng th§y r‹ng d¢y {zn} x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (2.25) v(cid:160) (2.26) th(cid:228)a m¢n (cid:31)ﬂng thøc

(2.28) {A(zn) + αnzn}, zn+1 = zn − 1 N γn

trong (cid:31)(cid:226) A(z) := (cid:80)N i=1 Ai(z). Theo gi£ thi‚t, c¡c to¡n tß Ai, i = 1, . . . , N , li¶n t(cid:246)c, m-J-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) ϕ-(cid:31)•u ng(cid:247)æc. H(cid:236)n nœa, theo chøng minh cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.6, Ai l(cid:160) b(cid:224) ch(cid:176)n v(cid:238)i mØi i, do (cid:31)(cid:226), to¡n tß A : D(A) = X → X c(cid:244)ng b(cid:224) ch(cid:176)n, li¶n t(cid:246)c v(cid:160) m − J−(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u. Theo BŒ (cid:31)• 2.2.1, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh A(z) = 0 t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.14). Theo [4, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 5.1], d¢y {zn} x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (2.28) b(cid:224) ch(cid:176)n.

(cid:3)

∞ (cid:88)

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.10 (xem [7]) Gi£ sß c¡c (cid:31)i•u ki»n trong BŒ (cid:31)• 2.2.9 th(cid:228)a m¢n. Cho c¡c d¢y sŁ d(cid:247)(cid:236)ng αn → 0, τn := 1/γn → 0 khi n → +∞ sao cho

i=1

→ 0, → 0. → 0, (2.29) αnτn = +∞, τn αn ρX(τn) τnαn |αn − αn+1| τnα2 n

Khi (cid:31)(cid:226), d¢y {zn} x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (2.25) v(cid:160) (2.26) hºi t(cid:246) m⁄nh t(cid:238)i ˆx∗ khi n → ∞.

n l(cid:160) nghi»m duy nh§t cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh hi»u ch¿nh n} b(cid:224) ch(cid:176)n, do (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i h‹ng sŁ ˜d > 0

Chøng minh. G(cid:229)i x∗ (2.13). Tł BŒ (cid:31)• 2.2.3, suy ra d¢y {x∗ sao cho

n − x∗

n+1(cid:107) ≤ ˜d.

(cid:107)x∗

Tł BŒ (cid:31)• 1.1.10, ta c(cid:226)

n+1 − x∗

n − zni)(cid:11)

n+1(cid:107) ≤(cid:107)zni − x∗ + 2 (cid:10)x∗

(cid:107)zni − x∗

n(cid:107)2 + 2 (cid:10)x∗ n+1 − x∗

n, J(x∗

n, J(x∗ n+1 − zni) − J(x∗

n − zni)(cid:11) .

(2.30)

H(cid:236)n nœa, theo BŒ (cid:31)• 1.1.11, ta (cid:31)(cid:247)æc

n(cid:107).(cid:107)x∗

n+1(cid:107) ≤(cid:107)zni − x∗ + 16(cid:107)x∗

(cid:107)zni − x∗

n(cid:107)2 + 2(cid:107)zni − x∗ n+1 − x∗

n(cid:107)2 + c1(n)ρX((cid:107)x∗

n+1 − x∗ n(cid:107) n+1 − x∗

n),

n+1(cid:107) + (cid:107)zni − z∗

(2.31)

trong (cid:31)(cid:226) c1(n) = 8 max{2L, (cid:107)zni − z∗ n(cid:107)}. D(cid:242)ng BŒ (cid:31)• 2.2.9 v(cid:160) t‰nh b(cid:224) ch(cid:176)n cıa to¡n tß Ai, ta k‚t lu“n d¢y {zni} c(cid:244)ng b(cid:224) ch(cid:176)n, do (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i c¡c sŁ d(cid:247)(cid:236)ng c1, k0 sao cho c1(n) ≤ c1 v(cid:160) (cid:107)zni − x∗ n(cid:107) ≤ k0 v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0. Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng, n‚u H l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Hilbert, th… v(cid:238)i m(cid:229)i 0 < τ < ˆτ

(cid:112) 1 + τ 2 − 1 ≥ ˆcτ 2, (2.32) ρX(τ ) ≥ ρH(τ ) =

√ trong (cid:31)(cid:226) ˆc = ( 1 + ˆτ 2 + 1)−1.

B¥y gi(cid:237), l§y tŒng hai v‚ cıa (2.31) v(cid:238)i i = 1, 2 . . . , N , v(cid:160) sß d(cid:246)ng BŒ (cid:31)•

n(cid:107), ta (cid:31)(cid:247)æc

n+1 − x∗

N (cid:88)

1.1.12, b§t (cid:31)ﬂng thøc (2.32) v(cid:238)i ˆτ := ˜d ≥ τ := (cid:107)x∗

n+1(cid:107) ≤

n(cid:107)2+4N k0

i=1

(cid:107)ˆx∗(cid:107) (cid:107)zni − x∗ (cid:107)zni − x∗ |αn+1 − αn| αn

(cid:18) (cid:19) 2 (cid:107)ˆx∗(cid:107) . +N (16ˆc−1 + c1)ρX |αn+1 − αn| αn

N (cid:88)

Tł b§t (cid:31)ﬂng thøc cuŁi v(cid:160) ch(cid:243) (cid:254) r‹ng ρX(τ ) ≤ τ , ta (cid:31)(cid:247)æc

n+1(cid:107)2 ≤

n(cid:107)2 + c3

i=1

, (2.33) (cid:107)zni − x∗ (cid:107)zni − x∗ |αn+1 − αn| αn

n(cid:107)2. Theo BŒ (cid:31)• 1.1.10 v(cid:160)

i=1 (cid:107)zni − x∗

trong (cid:31)(cid:226) c3 = 2N (cid:107)ˆx∗(cid:107)(2k0 + 16ˆc−1 + c1). Ti‚p theo, ta (cid:247)(cid:238)c l(cid:247)æng bi”u thøc (cid:80)N

(2.25), ta c(cid:226)

n(cid:107)2 =

n − τn

(cid:110) (cid:107)zni − x∗

(cid:69) Ai(zn) + (cid:68) (cid:13) (cid:13)zn − x∗ (cid:13) ≤(cid:107)zn − x∗ αn N Ai(zn) + (cid:111)(cid:13) (cid:13) (cid:13) zn, J(zn − x∗ n)

n(cid:107)2 − 2τn + 2 (cid:104)zni − zn, J(zni − x∗

n)(cid:105) .

(2.34) zn αn N n) − J(zn − x∗

Ngo(cid:160)i ra

(2.35) zn (cid:107)zni − zn(cid:107) = τn (cid:13) (cid:13) (cid:13)Ai(zn) + αn N

(cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤ M τn, N zn(cid:107) : i = 1, 2, . . . , N ; n = 1, 2, . . . }. Sß d(cid:246)ng

trong (cid:31)(cid:226) M = sup{(cid:107)Ai(zn) + αn (2.35) v(cid:160) BŒ (cid:31)• 1.1.11, ta (cid:31)(cid:247)æc

n) − J(zn − x∗

n)(cid:105) ≤ 8M 2τ 2

n + c2(n)ρX(M τn),

n(cid:107) + (cid:107)zn − x∗

n(cid:107)} ≤ c2 v(cid:160) ch(cid:243) (cid:254) r‹ng c¡c

(cid:104)zni − zn, J(zni − z∗

n} b(cid:224) ch(cid:176)n. Do (cid:31)(cid:226)

trong (cid:31)(cid:226) c2(n) = 4 max{2L, (cid:107)zni − x∗ d¢y {zni}, {zn} v(cid:160) {x∗

n) − J(zn − x∗

n)(cid:105) ≤ 8M 2τ 2

n + c2ρX(M τn).

(2.36) (cid:104)zni − zn, J(zni − x∗

n l(cid:160) nghi»m cıa (1.22), ta c(cid:226)

M(cid:176)t kh¡c, v… c¡c to¡n tß Ai l(cid:160) J−(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) x∗

N (cid:88)

n), J(zn − x∗

n)(cid:105)

i=1

(cid:69) (cid:68) = (cid:104)Ai(zn) − Ai(x∗ Ai(zn) + zn, J(zn − x∗ n) αn N

n) + αnx∗

n, J(zn − x∗ n)

n(cid:107)2

(cid:43) (cid:42) N (cid:88) + Ai(x∗ + αn(cid:107)zn − x∗

i=1 ≥ αn(cid:107)zn − x∗

n(cid:107)2.

(2.37)

N (cid:88)

Ti‚p t(cid:246)c l§y tŒng hai v‚ cıa c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.34) v(cid:238)i i = 1, 2, . . . , N v(cid:160) sß d(cid:246)ng (2.36), (2.37), ta (cid:31)(cid:247)æc

n(cid:107)2 ≤ N (cid:107)zn −x∗

n(cid:107)2 −2τnαn(cid:107)zn −x∗

n(cid:107)2 +16N M 2τ 2

n +2N c2ρX(M τn).

i=1

(cid:107)zni −x∗

(2.38)

Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng

N (cid:88)

n+1(cid:107)2 ≤

n+1(cid:107)

n+1(cid:107)2.

i=1

(cid:33)2 (cid:32) N (cid:88) ≤ (2.39) (cid:107)zni − x∗ (cid:107)zni − x∗ (cid:107)zn+1 − x2 1 N 2 1 N

Tł (2.33), (2.38), (2.39), ta (cid:31)(cid:247)æc

n(cid:107)2

n+1(cid:107)2 ≤(cid:107)zn − x∗

n(cid:107)2 −

(cid:107)zn − x∗ (cid:107)zn+1 − x∗ 2τnαn N

n + 2c2ρX(M τn) + c3

+ 16M 2τ 2 . (2.40) |αn+1 − αn| αn

n(cid:107)2, pn =

n + 2c2ρX(M τn) + c3 +

, bn = 16M 2τ 2 2τnαn N

, ta vi‚t l⁄i (2.40) nh(cid:247) sau (cid:30)(cid:176)t λn = (cid:107)zn − x∗ |αn+1 − αn| αn

λn+1 ≤ (1 − pn)λn + bn.

B‹ng c¡ch t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) trong chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.6, ta t…m (cid:31)(cid:247)æc c¡c sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng n0 v(cid:160) m sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ n0, ρX(M τn) ≤ 5mρX(τn). Theo n(cid:107)2 → 0 khi n → +∞. BŒ (cid:31)• 1.33 v(cid:160) (2.29), ta k‚t lu“n r‹ng λn = (cid:107)zn − x∗ CuŁi c(cid:242)ng, theo BŒ (cid:31)• 1.23, suy ra

n(cid:107) + (cid:107)x∗

n − ˆx∗(cid:107) → 0.

(cid:107)zn − ˆx∗(cid:107) ≤ (cid:107)zn − x∗

Do (cid:31)(cid:226), d¢y {zn} hºi t(cid:246) m⁄nh t(cid:238)i ˆx∗. (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.10 (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

(cid:3)

Nh“n x†t 2.2.11 C¡c d¢y tham sŁ {αn} v(cid:160) {γn} trong V‰ d(cid:246) 2.2.7 th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.10.

K‚t lu“n

(cid:30)• t(cid:160)i lu“n v«n (cid:31)¢ tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh trong kh(cid:230)ng gian Hilbert v(cid:160) kh(cid:230)ng gian Ba-

nach. C(cid:246) th”:

(1) Tr…nh b(cid:160)y kh¡i ni»m v(cid:160) v‰ d(cid:246) v• ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u trong kh(cid:230)ng gian Banach, v‰ d(cid:246) v• ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh trong kh(cid:230)ng gian Hilbert.

(2) Tr…nh b(cid:160)y ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u

trong kh(cid:230)ng gian Hilbert, s(cid:252) hºi t(cid:246) m⁄nh cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p.

(3) Tr…nh b(cid:160)y ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh, ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p song song

'n, ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ch¿nh l(cid:176)p song song hi»n gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß j-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u trong kh(cid:230)ng gian Banach c(cid:242)ng c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) hºi t(cid:246) m⁄nh.

T(cid:160)i li»u tham kh£o

Ti‚ng Vi»t

[1] Ph⁄m K(cid:253) Anh, Nguy„n B(cid:247)(cid:237)ng (2005), B(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh, NXB

(cid:30)⁄i h(cid:229)c QuŁc gia H(cid:160) Nºi.

[2] Ho(cid:160)ng T(cid:246)y (2003), H(cid:160)m th(cid:252)c v(cid:160) Gi£i t‰ch h(cid:160)m, NXB (cid:30)⁄i h(cid:229)c QuŁc gia

H(cid:160) Nºi.

Ti‚ng Anh

[3] R.P. Agarwal, D. O’Regan, D.R. Sahu (2009), Fixed Point Theory for

Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.

[4] Y.I. Alber, C.E. Chidume, H. Zegeye (2005), "Regularization of non- linear illposed equations with accretive operators", Fixed Point Theory Appl., 2005(1), 11(cid:21)33.

[5] Y.I. Alber, I.P. Ryazantseva (2006), Nonlinear Ill-posed Problems of

Monotone Type, Springer-Verlag, Berlin.

[6] P.K. Anh, C.V. Chung (2011), "Parallel regularized Newton method for nonlinear ill-posed equations", Numer. Algorithms, 58(3), 379(cid:21)398.

[7] P.K. Anh, Ng. Buong, D.V. Hieu (2014), "Parallel methods for regular- izing systems of equations involving accretive operators", Appl. Anal.,

93(10), 2136(cid:21)2157.

[8] A.B. Bakushinskii, A.G. Goncharskii (1989), Ill-Posed Problems: Numer-

ical Methods and Applications, Moscow Univ. Press.

[9] A.B. Bakushinskii, A.G. Goncharskii (1994), Ill-Posed Problem: Theory and Application, Kluwer Academic Publishers Dordrecht, London.

[10] F.E. Browder (1963), "Nonlinear elliptic boundary value problems",

Bull, AMS, 69, 862(cid:21)874.

[11] F. Browder (1966), "Existence and approximation of solution of nonlin- ear variational inequalities", Proc. Nat. Acad. Sci., USA, 56(4), 1080(cid:21)

1086.

[12] Ng. Buong, Ng.T.H. Phuong (2012), "Convergence rates in regulariza-

tion for nonlinear ill-posed equations involving m-accretive mappings in Banach spaces", Appl. Math. Sci., 63, 3109(cid:21)3117.

[13] C.E. Chidume (2009), Geometric properties of Banach spaces and non-

linear iterations, Springer-Verlag.

[14] J. Diestel (1975), Geometry of Banach Spaces - Selected Topics, Lecture

Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin.

[15] J. Hadamard (1932), Le Probl†me de Cauchy et †quations aux d†riv†es

partielles hyperboliques, Paris, Hermann.

[16] T.T. Huong, J.K. Kim, Ng.T.T. Thuy (2018), "Regularization for the

problem of finding a solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach spaces", J. Korean Math. Soc., 55(4), 849(cid:21)875.

[17] F. Liu, M.Z. Nashed (1998), "Regularization of nonlinear ill-posed variatio-nal inequalities and convergence rates", Set-Valued Analysis, 6,

313(cid:21)344.

[18] G.J. Minty (1963), "On a monotonicity method for the solutions of non- linear equations in Banach spaces", Proc. Nat. Acad. Sc. USA, 50, 1038(cid:21)

1041.

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp chỉnh lặp song song giải hệ phương trình toán tử đơn điệu

Nội dung luận văn trình bày một số phương pháp chỉnh lặp song song giải hệ phương trình toán tử đơn điệu. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung luận văn này.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------

TRẦN THANH HUYỀN

PHƯƠNG PHÁP CHỈNH LẶP SONG SONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------

TRẦN THANH HUYỀN

PHƯƠNG PHÁP CHỈNH LẶP SONG SONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy

THÁI NGUYÊN - 2019

M(cid:246)c l(cid:246)c

B£ng k(cid:254) hi»u

M(cid:240) (cid:31)ƒu

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß trong kh(cid:230)ng

gian Banach

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

Mºt sŁ ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh to¡n tß

K‚t lu“n

T(cid:160)i li»u tham kh£o

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok