i
Mục lục
Lời cảm ơn ii
Danh sách ký hiệu iii
Lời mở đầu 1
1 Một số vấn đề cơ bản 2
1.1 Không gian Hilbert và một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi trong không gian Hilbert . . . 5
1.3 Phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình với toán tử đơn điệu . 11
2 Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm
không điểm của toán tử đơn điệu 17
2.1 Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Kết luận 34
Tài liệu tham khảo 35
ii
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Bường, người đã tận
tình chỉ bảo, định hướng, chọn đề tài và truyền đạt kiến thức để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong trường
Đại học Khoa học Thái Nguyên, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Toán - Tin,
đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và học tập.
Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn Trường Cao đẳng Sư phạm Hưng Yên,
tập thể lớp Cao học K7Y, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, góp ý và
cho tôi những nhận xét quý báu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót,
tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các quý thầy cô và các bạn để
luận văn được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 12 năm 2015
Tác giả
Nguyễn Bích Lương
iii
Danh sách ký hiệu
Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định trong
bảng dưới đây:
H
R không gian số thực
X ∗
không gian Hilbert thực
domA miền hữu hiệu của A
D(T )
không gian đối ngẫu của X
R(T )
miền xác định của T
miền ảnh của T
NC(x)
nón pháp tuyến tại điểm x trên tập C
(cid:104)x, y(cid:105)
Fix(S) tập điểm bất động của ánh xạ S
tích vô hướng của hai vectơ x và y
δC(.)
(cid:107)x(cid:107)
hàm chỉ trên C
x := y
x được gán bằng y
∀x
chuẩn của vectơ x xn → x dãy {xn} hội tụ mạnh tới x xn (cid:42) x dãy {xn} hội tụ yếu tới x
∃x
mọi x
tồn tại x
I
∅ tập rỗng
ánh xạ đơn vị
1
Lời mở đầu
Toán tử đơn điệu là một trong những lĩnh vực của giải tích hiện đại đã và
đang được nhiều nhà toán học hàng đầu thế giới nghiên cứu, đặc biệt phải kể
đến như Browder F. E, Rockafellar R. T, Minty G. J. Bên cạnh các kết quả đặc
biệt có ý nghĩa về mặt lý thuyết, toán tử đơn điệu là một trong những công
cụ được sử dụng nhiều và rất có hiệu quả trong lĩnh vực toán ứng dụng chẳng
hạn như bất đẳng thức biến phân. Nó giúp ích cho việc nghiên cứu ánh xạ dưới
gradient và gradient, chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho rất nhiều
các lớp bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu.
Mục đích của luận văn là trình bày một phương pháp hiệu chỉnh cải biên
cho thuật toán điểm gần kề để chứng minh rằng một dãy lặp {xn} hội tụ mạnh đến x∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân (cid:104)F x∗ − u, x∗ − p(cid:105) ≤ 0.
Luận văn được trình bày trong hai chương:
Trong Chương 1 chúng tôi xin trình bày về khái niệm không gian Hilbert,
một số ví dụ minh họa và bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi trong không gian đó.
Thuật toán điểm gần kề, khái niệm bài toán đặt không chỉnh và phương pháp
hiệu chỉnh Tikhonov dựa trên phương trình với toán tử đơn điệu cũng được trình
bày trong chương này.
Chương 2 dành cho việc mô tả phương pháp hiệu chỉnh cải biên thuật toán
điểm gần kề và chứng minh nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân dựa
trên một số kết quả bổ trợ.
2
Chương 1
Một số vấn đề cơ bản
Chương này nhắc lại một số kiến thức của giải tích hàm, giải tích lồi và bài
toán đặt không chỉnh. Không gian Hilbert và một số ví dụ được xét trong mục
1.1. Mục 1.2 nhắc lại bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi trong không gian Hilbert.
Trong mục 1.3 trình bày phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình với toán tử
đơn điệu. Kiến thức trong chương này được tham khảo trong các tài liệu [1],
[2], [3].
1.1 Không gian Hilbert và một số ví dụ
Trong mục này, tôi xin trình bày về khái niệm không gian Hilbert và một số
ví dụ về không gian đó.
Định nghĩa 1.1. Cho H là không gian tuyến tính trên trường R. Một tích vô hướng trong H là một ánh xạ (cid:104)., .(cid:105) : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau
đây:
i. (cid:104)x, y(cid:105) = (cid:104)y, x(cid:105) với mọi x, y ∈ H.
ii. (cid:104)x + y, z(cid:105) = (cid:104)x, z(cid:105) + (cid:104)y, z(cid:105) với mọi x, y, z ∈ H. iii. (cid:104)λx, y(cid:105) = λ (cid:104)x, y(cid:105) với mọi x, y ∈ H; λ ∈ R.
iv. (cid:104)x, x(cid:105) ≥ 0 với mọi x ∈ H và (cid:104)x, x(cid:105) = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Số (cid:104)x, y(cid:105) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y. Cặp (H, (cid:104)·, ·(cid:105)) được
gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không gian Unita).
3
Từ định nghĩa ta thấy rằng tích vô hướng (cid:104)·, ·(cid:105) chính là một dạng song tuyến
tính xác định dương trên H. Khi đó H được gọi là không gian tiền Hilbert thực.
Định lí 1.1. Cho H là không gian tiền Hilbert với x, y ∈ H, ta luôn có bất
|(cid:104)x, y(cid:105)|2 ≤ (cid:104)x, x(cid:105) (cid:104)y, y(cid:105) .
đẳng thức sau
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh. Hiển nhiên bất đẳng thức đúng với y = 0. Giả sử y (cid:54)= 0. Với mọi
(cid:104)x + λy, x + λy(cid:105) ≥ 0
số λ, ta đều có
(cid:104)x, x(cid:105) + λ (cid:104)y, x(cid:105) + λ (cid:104)x, y(cid:105) + |λ|2 (cid:104)y, y(cid:105) ≥ 0.
tức là
(cid:104)x, y(cid:105) (cid:104)y, y(cid:105)
(cid:104)x, x(cid:105) −
≥ 0,
(cid:107)(cid:104)x, y(cid:105)(cid:107)2 (cid:104)y, y(cid:105)
Lấy λ = − , ta được
từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Định lí 1.2. Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó (cid:107)x(cid:107) = (cid:104)x, x(cid:105)1/2, x ∈ H xác định một chuẩn trên H.
Chứng minh. Từ điều kiện d) của Định nghĩa 1.1 suy ra rằng nếu (cid:107)x(cid:107) = 0 thì x = 0. Từ a) và c) suy ra (cid:107)λx(cid:107)2 = (cid:104)λx, λx(cid:105) = |λ|2 (cid:107)x(cid:107)2, từ đó (cid:107)λx(cid:107) = |λ| (cid:107)x(cid:107), với mọi x ∈ H, λ ∈ R.
(cid:107)x + y(cid:107)2 = (cid:104)x + y, x + y(cid:105) = (cid:107)x(cid:107)2 + (cid:104)y, x(cid:105) + (cid:104)x, y(cid:105) + (cid:107)y(cid:107)2
≤ (cid:107)x(cid:107)2 + 2| (cid:104)x, y(cid:105) | + (cid:107)y(cid:107)2
Với mọi x, y ∈ H
4
(vì (cid:104)x, y(cid:105) + (cid:104)y, x(cid:105) = 2Re (cid:104)x, y(cid:105) ≤ 2 |(cid:104)x, y(cid:105)|).
(cid:107)x + y(cid:107)2 ≤ (cid:107)x(cid:107)2 + 2 (cid:107)x(cid:107) (cid:107)y(cid:107) + (cid:107)y(cid:107)2 = ((cid:107)x(cid:107) + (cid:107)y(cid:107))2
Do đó, theo bất đẳng thức Schwarz.
tức là (cid:107)x + y(cid:107) ≤ (cid:107)x(cid:107) + (cid:107)y(cid:107) .
Như vậy, một không gian tiền Hilbert là một không gian tuyến tính định
chuẩn.
Định nghĩa 1.2. Nếu H là một không gian tiền Hilbert và đầy đủ đối với chuẩn
cảm sinh từ tích vô hướng thì được gọi là không gian Hilbert.
i=1 xiyi,
Sau đây là một số ví dụ về không gian Hilbert.
x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn, y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ Rn.
Ví dụ 1.1. Rn là không gian Hilbert thực với tích vô hướng (cid:104)x, y(cid:105) = (cid:80)n trong đó:
Ví dụ 1.2. Xét không gian:
∞ (cid:88)
l2 =
.
x = (xn)n ⊂ K :
|xn|2 < +∞
n=1
(cid:40) (cid:41)
∞ (cid:88)
x =
Ta đã biết l2 là không gian Banach với chuẩn
|xn|2.
n=1
(1.1) (cid:118) (cid:117) (cid:117) (cid:116)
∞ (cid:88)
≤ (cid:107)x(cid:107)2 (cid:107)y(cid:107)2 < +∞.
xnyn
Với x = (xn)n∈R, y = (yn)n∈R ∈ l2, nhờ bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
n=1
n=1 xnyn xác định một tích vô hướng trong l2 và
(cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
Dễ kiểm tra rằng: (cid:104)x, y(cid:105) = (cid:80)∞ nó cảm sinh (1.1). Vậy l2 là một không gian Hilbert.
5
Ví dụ 1.3. Cho (X, A, µ) là một không gian độ đo và E ∈ A. Xét không gian
L2(E, µ) =
f : E → R
|f |2dµ < ∞
(cid:90)
E
1 2
ta đã biết L2(E, µ) là một không gian Banach với chuẩn
.
(cid:107)f (cid:107) =
|f |2 dµ
(cid:90)
E
1
1 2
Hơn nữa, với f, g ∈ L2(E, µ), từ bất đẳng thức H¨older về tích phân, ta có
2
|f g|dµ ≤
|f |2 dµ
|g|2 dµ
< +∞.
(cid:90) (cid:90) (cid:90)
E
E
E
Ta dễ dàng kiểm tra được
(cid:104)f, g(cid:105) =
f gdµ,
E
(cid:90)
xác định một tích vô hướng trong L2(E, µ) và L2(E, µ) là không gian Hilbert
thực.
1.2 Bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi trong không gian
Hilbert
Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức của giải tích lồi như tập lồi, hàm lồi,
dưới vi phân,...
∀x, y ∈ C,
∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
Định nghĩa 1.3. Một tập C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu
∀x ∈ C,
∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.
Định nghĩa 1.4. i. Một tập C ⊆ H được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu
6
ii. C được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu C − x0 là nón có đỉnh tại 0.
∀x, y ∈ C,
∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ C.
iii. Nón C có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu C là một tập lồi, nghĩa là
Cho C ⊂ H là tập lồi khác rỗng và ánh xạ f : C → R ∪ {+∞}. Ta có các
định nghĩa về hàm lồi như sau:
Định nghĩa 1.5. i. Trên đồ thị của hàm f , kí hiệu là epif và được định nghĩa
epif := {(x, r) ∈ C × R : f (x) ≤ r} .
bởi công thức sau:
ii. Miền hữu hiệu của hàm f , kí hiệu domf và được định nghĩa bởi công thức
domf := {x ∈ C : f (x) < +∞} .
sau:
−∞ với mọi x ∈ C.
Định nghĩa 1.6. Hàm f được gọi là chính thường nếu domf (cid:54)= 0 và f (x) >
Định nghĩa 1.7. Hàm f được gọi là
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y),
∀x, y ∈ C,
∀λ ∈ [0, 1].
i. Lồi trên C nếu
f (λx+(1−λ)y) < λf (x)+(1−λ)f (y),
∀x, y ∈ C,
x (cid:54)= y,
∀λ ∈ (0, 1).
ii. Lồi ngặt trên C nếu
λ(1 − λ)α (cid:107)x − y(cid:107)2 .
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) −
1 2
iii. Lồi mạnh trên C với hệ số α > 0 nếu với ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ta có:
iv. Lõm trên C nếu −f là hàm lồi trên C.
7
(cid:104)x∗, x − x(cid:105) ≤ f (x) − f (x),
∀x ∈ H.
Định nghĩa 1.8. Giả sử f là hàm lồi trên H. i. Phiếm hàm x∗ ∈ H được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại x ∈ H nếu
ii. Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x được gọi là dưới vi phân của hàm f
∂f (x) := {x∗ ∈ H : (cid:104)x∗, x − x(cid:105) ≤ f (x) − f (x),
∀x ∈ H} .
tại x, kí hiệu là ∂f (x), một cách tương đương ta có
iii. Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂f (x) (cid:54)= 0.
Định nghĩa 1.9. Cho X, Y ∈ H và F : X → 2Y là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y (được kí hiệu là 2Y ). Khi đó ta nói F là ánh xạ
đa trị từ X vào Y . Như vậy với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập con của Y (F (x)
có thể là tập rỗng).
Định nghĩa 1.10. Ánh xạ đa trị F : H → 2H được gọi là i. Nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊃ F (x), tồn tại lân
F (x(cid:48)) ⊆ V,
∀x ∈ U.
cận mở U của x sao cho
V (cid:54)= ∅, tồn tại lân cận mở U của x sao cho
F (x(cid:48)) ∩ V (cid:54)= ∅,
∀x ∈ U ∩ domF.
ii. Nửa liên tục dưới tại x ∈ domF nếu mọi tập mở V ⊂ H thỏa mãn F (x) ∩
iii. Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) trên H nếu F nửa
liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm
iv. F được gọi là liên tục tại x ∈ domF nếu F đồng thời nửa liên tục trên và
nửa liên tục dưới tại x.
v. Nếu F liên tục tại mọi điểm thuộc H thì F được gọi là liên tục trên H.
8
Dưới đây là một số khái niệm về toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu cực đại
và ví dụ.
(cid:104)u − v, x − y(cid:105) ≥ 0,
∀x, y ∈ domT,
∀u ∈ T x,
∀v ∈ T y.
Định nghĩa 1.11. Toán tử đa trị T : H → 2H được gọi là toán tử đơn điệu nếu
Ví dụ 1.4. .Cho f : H → R ∪ {+∞} là hàm lồi, chính thường. Ánh xạ dưới vi phân ∂f : H → 2H của f là toán tử đơn điệu đa trị trên dom(∂f ).
Ánh xạ đối ngẫu I là toán tử đơn điệu. Trong không gian Lp(Ω), I còn có
tính chất đơn điệu đều và liên tục theo H¨older, vì
(cid:104)I(x) − I(y), x − y(cid:105) ≥ mI (cid:107)x − y(cid:107)s , mI > 0
(cid:107)I(x) − I(y)(cid:107) ≤ c(R) (cid:107)x − y(cid:107)ϑ , 0 < ϑ ≤ 1,
(1.2)
Định nghĩa 1.12. Toán tử đơn điệu T : H → 2H được gọi là cực đại nếu đồ thị của T không là tập con thực sự của đồ thị của bất kì một toán tử đơn điệu nào
khác.
cho bởi công thức: Ví dụ 1.5. Toán tử đa trị:T : R → 2R
T (x) =
[0, 1]
1 nếu x > 0,
−x2
nếu x = 0,
nếu x < 0.
là toán tử đơn điệu cực đại.
T (x) = ∂f (x)
Định lí 1.3. Cho hàm số f : H → R ∪ {+∞} là hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới. Khi đó ánh xạ đa trị T : H → 2H cho bởi công thức
là toán tử đơn điệu cực đại.
9
Tiếp theo chúng tôi phát biểu bài toán cực tiểu hàm lồi và thuật toán điểm
gần kề cho bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại.
f (x).
Bài toán cực tiểu hàm lồi được phát biểu như sau:
Tìm z ∈ H sao cho f (z) = min x∈H
Điểm cực tiểu của bài toán trên chính là không điểm của toán tử đơn điệu
cực đại T = ∂f . Để tìm không điểm của T , Rockafellar R. T. đã phát triển thuật
toán điểm gần kề cho bài toán tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại T
trong không gian Hilbert thực H.
Theo Định lí 1.3 nếu T là dưới vi phân của một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới f : H → R ∪ {+∞} (tức là T = ∂f ) thì T là toán tử đơn điệu
cực đại.
Theo định lí Minty, với mỗi z ∈ H và ck > 0, tồn tại duy nhất u ∈ H sao
z ∈ (I + ckT )(u).
cho
Khi đó, toán tử Pk = (I + ckT )−1 là đơn trị, xác định trên toàn bộ H và Pk là
(cid:107)Pk(z) − Pk(z(cid:48))(cid:107) ≤ (cid:107)z − z(cid:48)(cid:107)
toán tử không giãn, tức là
z ∈ (I + ckT )(z) = z + ckT (z)
khi và chỉ khi
hay 0 ∈ ckT (z). Do đó z là không điểm của ánh xạ T .
Giả sử T là toán tử đơn điệu cực đại, khi đó thuật toán điểm gần kề được
trình bày như sau:
Thuật toán 1.1
Bước 0. Chọn một dãy số dương {ck} thỏa mãn ck > c > 0 với mọi k = 0, 1, ...,
10
tìm z0 ∈ H.
zk+1 := Pk(zk) = (I + ckT )−1(zk)
Bước k (k = 0, 1, ...). Xây dựng điểm zk+1 thông qua công thức
Trong trường hợp tổng quát, một điều rất khó thực hiện được ở Thuật toán 1.1 là việc tính toán chính xác điểm zk+1 = Pk(zk). Thuật toán dưới đây sẽ thay thế cách tính chính xác điểm zk+1 bằng cách tính xấp xỉ với một sai số (cid:15)k mà
thuật toán vẫn đảm bảo được sự hội tụ.
Thuật toán 1.2
Bước 0. Chọn một dãy số dương ck: ck > c > 0 và (cid:15)k > 0 với mọi k = 0, 1, ... sao cho (cid:80)∞ k=1 (cid:15)k < +∞, lấy ω0 ∈ H. Bước k: (k = 0, 1, ...). Chọn điểm ωk+1 thỏa mãn
k=1 (cid:15)k < +∞ chỉ bởi điều kiện (cid:15)k → 0
−x
(cid:13) (cid:13)ωk+1 − xk+1(cid:13) (cid:13) ≤ (cid:15)k+1,
f (x) =
nếu x < 0, với xk+1 := Pk(ωk) = (I + ckT )−1(ωk). Nhận xét. Nếu ta thay thế điều kiện (cid:80)∞ thì thuật toán có thể không hội tụ. Chẳng hạn lấy hàm f : R → R, với
nếu x ≥ 0, 0
(cid:27) (cid:26)
(cid:15)k :=
k=1 (cid:15)k = +∞ và (cid:15)k → 0 khi
2 k
k → ∞. Ta có ánh xạ dưới vi phân của f xác định bởi
với mọi k = 1, 2, ... có tổng (cid:80)∞ và dãy
−1
∂f (x) =
[−1, 0]
nếu x < 0,
0
nếu x = 0,
nếu x > 0.
Khi đó, Pk(z) = z hay 0 ∈ T (z) khi và chỉ khi z ≥ 0. Ta chọn một dãy (cid:8)zk(cid:9)
sao cho
11
,
∀k = 1, 2, ... và zk+1 > zk.
Pk(zk) = zk,
(cid:15)k =
1 k
1 2
(cid:13)zk+1 − zk(cid:13) (cid:13) (cid:13) =
n−1 (cid:88)
zn = z1 +
.
1 k
k=1
Ta có thể tính toán được rằng
Như vậy, dãy {zk} không hội tụ.
Sự hội tụ của thuật toán điểm gần kề được phát biểu qua định lí sau:
Định lí 1.4. Cho T : H → 2H là ánh xạ đơn điệu cực đại. Khi đó, nếu T có không điểm thì dãy điểm {ωk} hội tụ yếu tới ω∗ sao cho 0 ∈ T (ω∗). Nếu T
không có không điểm thì dãy {ωk} không bị chặn.
1.3 Phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình với toán
tử đơn điệu
Trong phần này chúng tôi xét bài toán đặt không chỉnh dạng phương trình
A(x) = f,
f ∈ Y
toán tử
(1.3)
trong đó A là một toán tử (ánh xạ) từ một không gian metric X vào không gian
metric Y nào đó.
Khái niệm về bài toán chỉnh được J. Hadamard đưa ra khi nghiên cứu về ảnh
hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình elliptic cũng như
parabolic.
Việc tìm nghiệm x của bất kì một bài toán nào cũng phải dựa vào dữ kiện
ban đầu f , có nghĩa là x = R(f ). Ta sẽ coi nghiệm cũng như các dữ kiện đó là
những phần tử thuộc không gian X và Y với các độ đo tương ứng là ρX(x1, x2)
và ρY (f1, f2), x1, x2 ∈ X, f1, f2 ∈ Y.
Giả sử đã có một khái niệm thế nào là nghiệm của một bài toán. Khi đó, bài
toán tìm nghiệm x = R(f ) được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ), nếu
12
δ(ε) ta có ρX(x1, x2) ≤ ε, ở đây
x1 = R(f1),
x2 = R(f2),
f1, f2 ∈ Y,
x1, x2 ∈ X
với mỗi số ε > 0 ta có thể tìm được một số δ(ε) > 0, sao cho từ ρY (f1, f2) ≤
Định nghĩa 1.13. Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là
bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian metric (X, Y ), nếu có
1. Với mỗi f ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X;
2. Nghiệm x đó được xác định một cách duy nhất;
3. Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y ).
Trong một thời gian dài người ta cho rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn
ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng quan niệm đó là sai lầm. Trong
tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn diễn ra quá trình làm tròn số.
Chính sự làm tròn đó đã dẫn đến các kết quả sai lệch đáng kể.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, bài toán tìm nghiệm
được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Đôi khi người ta gọi là bài toán đặt không
chính quy hay bài toán thiết lập không đúng đắn.
Cũng cần lưu ý rằng một bài toán có thể thiết lập không đúng đắn trên cặp
không gian metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không gian metric
khác.
Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.3) dữ kiện ban đầu
ở đây chính là toán tử A và vế phải f .
fδ với sai số ρY (fδ, f ) ta cần phải tìm một phần tử xδ ∈ X hội tụ đến nghiệm
Giả sử rằng toán tử A cho trước một cách chính xác, còn vế phải f cho bởi
chính xác x0 của (1.3) khi δ → 0. Phần tử xδ có tính chất như vậy được gọi là
Qδ = {x ∈ X : ρY (A(x), fδ) ≤ δ}
nghiệm xấp xỉ của bài toán đặt không chỉnh trên. Nếu ta kí hiệu
thì nghiệm xấp xỉ của phương trình trên thì phải nằm trong tập Qδ. Nhưng tập
13
Qδ lại quá lớn, tức là có các phần tử cách nhau rất xa. Chính vì vậy, không phải
tất cả các phần tử của Qδ có thể coi là nghiệm xấp xỉ của (1.3) được. Vì lẽ đó,
bài toán đặt ra là phải chọn phần tử nào của Qδ làm nghiệm xấp xỉ cho (1.3).
Muốn thực hiện việc chọn đó cần thiết phải có thêm các thông tin định tính và
định lượng về nghiệm chính xác x0. Việc sử dụng thông tin định lượng dẫn đến
phương pháp tựa nghiệm, còn việc sử dụng thông tin định tính cho ta một hướng
khác trong việc xây dựng thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán đặt không
chỉnh (1.3).
∞ (cid:88)
f1(t) =
ancos(nt)
n=0
, n ≥ 1 và
Ví dụ 1.6. Xét chuỗi Fourier
ε n
c0 = a0. Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng
∞ (cid:88)
f2(t) =
cncos(nt)
n=0
với hệ số (a0, a1, ..., an, ...) ∈ l2 được cho bởi xấp xỉ cn = an +
cũng có hệ số (c0, c1, ..., cn, ...) ∈ l2. Khoảng cách giữa chúng là
2
2
= ε
= ε
.
ε1 =
(cn − an)2
1 n2
π2 6
n=0
n=1
(cid:115) (cid:41) 1 (cid:41) 1 (cid:40) ∞ (cid:88) (cid:40) ∞ (cid:88)
∞ (cid:88)
cos(nt)
f2(t) − f1(t) = ε
1 n
n=1
Do đó, khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ tùy ý. Trong khi đó
có thể làm lớn bao nhiêu cũng được. Ví dụ, tại t = 0 chuỗi trên phân kì. Điều
đó nói lên rằng nếu khoảng cách giữa hai hàm f1 và f2 được xét trong không
gian các hàm với độ đo đều, thì bài toán tính tổng chuỗi Fourier là không ổn
định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ. Tuy nhiên, nếu xét trong không
14
1 2
2
2
gian L2[0, π], thì
∞ (cid:88)
=
dt
[f2(t) − f1(t)]2dt
0
0
(cid:27) 1 (cid:90) π (cid:26)(cid:90) π
n=0
2
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cn − an)cos(nt) (cid:12) (cid:12)
=
(cn − an)2
π 2
.
= ε1
n=1 (cid:114)π 2
(cid:41) 1 (cid:40) ∞ (cid:88)
Như vậy, bài toán lại ổn định, tức là dữ kiện ban đầu an cho bởi xấp xỉ cn với sai
số khá nhỏ, thì các chuỗi Fourier tương ứng ở trên cũng sai khác nhau không
nhiều trong L2[0, π].
Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa trên
toán tử đơn điệu
Cho phương trình toán tử
A(x) = f0,
f0 ∈ X ∗,
(1.4)
trong đó A là toán tử đơn điệu và h - liên tục từ không gian Hilbert X vào X ∗, ở đây X ∗ lồi chặt và có tính ES, tức là X phản xạ và mọi dãy {xn} các phần
tử xn ∈ X hội tụ yếu trong X đến x và (cid:107)xn(cid:107) → (cid:107)x(cid:107) cho ta {xn} hội tụ mạnh
đến phần tử x.
Nếu A không có tính đơn điệu đều, thì bài toán (1.4) nói chung là một bài
toán không chỉnh.
Giả sử (1.4) có nghiệm, tức là f0 ∈ R(A). Ta kí hiệu S0 là tập nghiệm của
phương trình đó. Khi đó S0 là một tập đóng và lồi trong X.
Xét phương trình
A(x) + αU s(x − x0) = fδ, (cid:107)fδ − f0(cid:107) ≤ δ
(1.5)
ở đây x0 là một phần tử bất kì trong X. Phần tử này giúp cho ta tìm một nghiệm
của (1.4) theo ý muốn. Ta có kết quả sau.
15
→ 0 thì (cid:8)xδ α
δ α
(cid:9) hội tụ đến một phần tử x0 ∈ S0 thỏa mãn Định lí 1.5. Với mỗi α > 0 và fδ ∈ X ∗, phương trình (1.4) có duy nhất nghiệm xδ α. Nếu α,
(1.6) (cid:13)x0 − x0(cid:13) (cid:13) (cid:13)x − x0(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) = min x∈S0
Nhờ kết quả này, ta có thể xác định được một toán tử hiệu chỉnh R(f, α),
dựa vào việc giải phương trình (1.5) và một sự phụ thuộc α = α(δ) để nghiệm
của phương trình này hội tụ đến nghiệm của bài toán không chỉnh ban đầu.
Chính vì lẽ đó mà phương trình (1.5) được gọi là phương trình hiệu chỉnh cho
phương trình (1.4).
Bây giờ, xét trường hợp tổng quát hơn, khi cả toán tử và vế phải đều biết
xấp xỉ, tức là, thay cho A ta chỉ biết được xấp xỉ Ah thỏa mãn
(cid:107)Ah(x) − A(x)(cid:107) ≤ hg((cid:107)x(cid:107))
(1.7)
có các tính chất như A (đơn điệu và h - liên tục), ở đây g(t) là một hàm giới nội
(đưa một tập giới nội vào một tập giới nội).
Ta có kết quả sau.
Định lí 1.6. Với mỗi α > 0, h > 0 và fδ ∈ X ∗ phương trình hiệu chỉnh
Ah(x) + αI(x − x0) = fδ
,
→ 0, thì {xη
(1.8)
α} hội tụ đến phần
α, η = (h, δ). Nếu α,
δ α
h α
có duy nhất nghiệm xη
tử x0.
Nếu Ah không có tính chất đơn điệu, thì phương trình (1.8) có thể không có
α dựa vào bài
nghiệm. Do đó, O. A. Liskovets đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh xη
toán bất đẳng thức biến phân: tìm xω ∈ X sao cho
∀x ∈ X, ε > h,
(1.9) (cid:10)Ah(xω) + αU s(xω − x0) − fδ, x − xω (cid:11) + εg((cid:107)xω)(cid:107) (cid:107)x − xω(cid:107) ≥ 0,
16
ở đây ω = ω(h, δ, α, ε). Phần tử xω thỏa mãn (1.9) được gọi là nghiệm hiệu
chỉnh của bài toán (1.4) cho trường hợp Ah không đơn điệu.
Kết luận: Chương 1 trình bày sơ lược về không gian tiền Hilbert, không
gian Hilbert đồng thời đưa ra được một số ví dụ minh họa. Phát biểu bài toán
cực tiểu phiếm hàm lồi và trình bày thuật toán điểm gần kề để giải bài toán
tìm cực tiểu. Khái niệm bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh
Tikhonov dựa trên toán tử đơn điệu cũng được trình bày trong chương này làm
cơ sở cho việc nghiên cứu chương 2.
17
Chương 2
Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm không điểm của toán tử đơn điệu
Chương này là nội dung chính của luận văn trình bày phương pháp hiệu
chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề. Mục 2.1 là một số bổ đề bổ trợ. Mô
tả phương pháp hiệu chỉnh được trình bày trong mục 2.2. Phương pháp hiệu
chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm không điểm của toán tử đơn điệu
được trình bày trong mục 2.3. Những kiến thức trong chương này được tham
khảo trong các tài liệu [4] - [11].
2.1 Một số bổ đề bổ trợ
{xn} trong H, ta viết xn (cid:42) x để chỉ ra rằng dãy {xn} hội tụ yếu tới x, xn → x
Cho H là không gian Hilbert thực với tích (cid:104)·, ·(cid:105) và chuẩn (cid:107)·(cid:107). Cho dãy
nghĩa là {xn} hội tụ mạnh đến x.
Một ánh xạ F được gọi là k - Lipschitz nếu tồn tại một hằng số k dương sao
(cid:107)F x − F y(cid:107) ≤ k (cid:107)x − y(cid:107) ,
∀x, y ∈ H.
cho
F được gọi là η đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số η sao cho
(cid:104)F x − F y, x − y(cid:105) ≥ η (cid:107)x − y(cid:107)2 ,
∀x, y ∈ H.
(2.1)
(2.2)
18
∀x ∈ H.
Cho A là một toán tử tuyến tính giới nội trên H thì tồn tại một hằng số (cid:101)γ > 0 sao cho
(cid:104)Ax, x(cid:105) ≥ (cid:101)γ (cid:107)x(cid:107)2 ,
(2.3)
Một bài toán quan trọng là cực tiểu một phiếm hàm toàn phương trên tập
H:
các điểm bất động của một ánh xạ không giãn trên một không gian Hilbert thực
(cid:104)Ax, x(cid:105) − (cid:104)x, b(cid:105)
,
(cid:27)
min x∈Fix(W )
(2.4) (cid:26)1 2
trong đó b là một điểm bất động trong H và Fix(W ) là tập hợp các điểm bất
động của ánh xạ không giãn W .
Chú ý 2.1. Từ định nghĩa của A lưu ý rằng một toán tử tuyến tính, giới nội, dương và mạnh A là một toán tử (cid:107)A(cid:107) - Lipschitz và (cid:101)γ - đơn điệu mạnh.
Cho T là một toán tử đơn điệu cực đại trên một không gian Hilbert thực H
c là toán tử giải của T , với
sao cho S := T −1(0) (cid:54)= 0. Với c > 0, ta kí hiệu J T
c = (I + cT )−1. J T
(2.5)
c là toán tử không giãn mạnh và do đó
S = Fix(J T
c ) = x ∈ Hx = J T
c x.
Dễ thấy rằng J T
Ta có các bổ đề sau:
x +
1 −
.
Bổ đề 2.1. Cho t, c > 0. Khi đó, với bất kì x ∈ H, (cid:19) (cid:18) (cid:19)
c x = J T J T t
J T c x
t c
(2.6) (cid:18) t c
Để chứng minh kết quả chính, chúng tôi cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.2. Cho F là một toán tử k - Lipschitz và η - đơn điệu mạnh trên không gian Hilbert H với 0 < η ≤ k và 0 < t < η/k2.
Khi đó, S = (I − tF ) : H → H là một toán tử co với hệ số co τt = (cid:112)1 − t(2η − tk2).
19
Bổ đề 2.3. T là một toán tử không giãn mạnh khi và chỉ khi 2T − I là không
giãn.
T : C → C là một ánh xạ không giãn với F ix(T ) (cid:54)= 0, nếu {xn} là một dãy
Bổ đề 2.4. Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập con lồi của H và
trong C hội tụ yếu đến x và nếu (I − T )xn hội tụ mạnh đến y thì (I −T )x = y.
Bổ đề 2.5. Cho {xn} và {zn} là các dãy giới nội trong không gian Banach E
và {γn} là một dãy trong [0,1] thỏa mãn các điều kiện sau đây
sup γn < 1.
0 < lim n→∞
inf γn ≤ lim n→∞
sup((cid:107)zn+1 − zn(cid:107) −
(2.7)
(cid:107)zn − xn(cid:107) = 0.
(cid:107)xn+1 − xn(cid:107)) ≤ 0. Khi đó, lim n→∞
Giả sử rằng xn+1 = γnxn + (1 − γn)zn, n ≥ 0 và lim n→∞
Bổ đề 2.6. Cho {sn} là một dãy các số thực không âm thỏa mãn
sn+1 ≤ (1 − λn)sn + λnδn + γn, n ≥ 0,
n=0 λn = ∞,
sup δn ≤ 0 hoặc (cid:80)∞
n=0 λnδn < ∞,
n=0 γn < ∞.
sn = 0.
(2.8)
trong đó {λn}, {δn} và {γn} thỏa mãn các điều kiện sau: (i) λn ⊂ [0, 1] và (cid:80)∞ (ii) lim n→∞ (iii) γn ≥ 0(n ≥ 0), (cid:80)∞ Khi đó lim n→∞
2.2 Mô tả phương pháp
Cho H là một không gian Hilbert thực và C là một tập con đóng, lồi,
(cid:104)F x∗, v − x∗(cid:105) ≥ 0,
∀v ∈ C.
khác rỗng của H và giả sử F : H → H là một toán tử phi tuyến tính. Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau: tìm một điểm x∗ ∈ C sao cho
(2.9)
20
Năm 1964, Stampacchia [7] đã đưa vào và nghiên cứu bất đẳng thức biến
phân đầu tiên. Bất đẳng thức biến phân bao gồm một số ngành đa dạng như
phương trình vi phân từng phần, điều khiển tối ưu, tối ưu hóa, lập phương trình
toán học, cơ khí và tài chính.
Cho T là một toán tử với miền xác định D(T ) và miền ảnh R(T ) trong H.
(cid:104)u − v, x − y(cid:105) ≥ 0,
Một toán tử đa trị T : H → 2H được gọi là đơn điệu nếu
(2.10)
với bất kì u ∈ T x, v ∈ T y và là đơn điệu cực đại nếu nó là đơn điệu và đồ thị
G(T ) = {(x, y) : x ∈ D(T ), y ∈ T x}
của nó
(2.11)
không nằm trong đồ thị của bất kì toán tử đơn điệu nào khác.
Một trong những bài toán quan trọng của lí thuyết toán tử đơn điệu là tìm
một điểm trong tập không điểm có thể phát biểu như sau: tìm một điểm x sao cho x ∈ T −1(0) trong đó T −1(0) là tập không điểm của toán tử T .
Một số bài toán bao gồm bài toán quy hoạch lồi, bất đẳng thức biến phân
được phát biểu là tìm điểm không của toán tử đơn điệu cực đại. Phương pháp cổ
điển để giải bài toán này là thuật toán điểm gần của Rockafellar [5], xây dựng
một dãy
xn+1 = J T
c (xn + en),
(2.12)
c = (I + cT )−1, với I ở đây c > 0, J T c là ánh xạ đơn vị trên không gian H. Nếu T −1(0) (cid:54)= 0 thì ta biết được rằng dãy được tạo bởi (2.12) hội tụ yếu tới một số điểm trong T −1(0).
là toán tử giải của T được cho bởi J T
Dựa vào phương pháp prox - Tikhonov của Lehdili và Moudafi [4], Xu [10]
xét dạng lặp hiệu chỉnh: với một điểm cố định u ∈ H,
((1 − tn)xn + tnu + en), n ≥ 0,
xn+1 = J T cn
(2.13)
21
trong đó tn ∈ (0, 1) và {en} là một dãy các sai số. Khi đó, dãy lặp hội tụ mạnh
tn = 0,
n=0 (cid:107)tn+1 − tn(cid:107) < ∞,
đến PT −1(0)u, với điều kiện
n=0 (cid:107)cn+1 − cn(cid:107) < ∞, n=0 tn = ∞, (cid:80)∞
n=0 |(cid:107)en(cid:107)| < ∞.
(C1): lim n→∞ (C2): (cid:80)∞ (C3): 0 ≤ c ≤ cn ≤ c, (C4): (cid:80)∞ (C5): (cid:80)∞
n=0 (cid:107)1 − cn/cn+1(cid:107) <
Mới đây, Song và Yang [6] đã loại được một số điều kiện chặt chẽ trong kết
infcn.
quả của Xu [10]. Với điều kiện (C1), (C2), (C4) (hoặc (cid:80)∞ +∞), (C5) và (C3’)
(C3’): 0 < lim n→∞
Họ đã chứng minh rằng các dãy được tạo ra bởi (2.13) hội tụ mạnh tới PT −1(0)u.
1 −
= 0.
Rất gần đây, với các điều kiện (C1), (C3) (hoặc C3’), (C5) và (C4’)
cn cn+1
(C4’): lim n→∞ (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
Wang [8] đã chứng minh sự hội tụ mạnh của các dãy được tạo ra bởi (2.13).
Dễ dàng thấy rằng điều kiện (C3’)và (C4’) yếu hơn so với điều kiện (C3) và
(C4) tương ứng.
Chúng tôi nhắc lại rằng: để đảm bảo sự hội tụ mạnh của dãy lặp {xn}, có ít
nhất một tham số hội tụ về không (tn → 0) trong kết quả của Xu [10], Song và
Yang [6] và Wang [8] vì thế các kết quả trên dẫn đến câu hỏi sau:
Câu hỏi 1: Liệu chúng ta có thể nhận được định lí hội tụ mạnh mà không cần
dãy tham số {tn} hội tụ về không? Câu hỏi 2: Chúng ta có thể nhận được dãy {xn} hội tụ mạnh đến x∗ ∈ T −1(0)
là nghiệm duy nhất của một bất đẳng thức biến phân nào đó?
Dựa vào kết quả trên, chúng ta xem xét phương pháp sau đây: phương pháp
22
zn = (I − tnF )xn + tnu + en,
hiệu chỉnh cho thuật toán điểm gần kề. Cho một điểm tùy ý x0 ∈ H,
xn+1 = J T
c zn, n ≥ 0,
(2.14)
trong đó F là một toán tử k - Lipschitz và η đơn điệu mạnh trên H và u là một
điểm bất động trong H. Nếu không có các dãy tham số {tn} hội tụ bằng không, chúng tôi chứng minh rằng dãy {xn} (2.14) hội tụ mạnh đến x∗ ∈ T −1(0), là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân (cid:104)F x∗ − u, x∗ − p(cid:105) ≤ 0 với mọi p ∈ T −1(0).
2.3 Sự hội tụ của phương pháp
0 < η ≤ k và J T c (cid:112)1 − t(2η − tk2) ∈ (0, 1) và xét ánh xạ Vt trên H được xác định bởi
x ∈ H,
Cho F là một toán tử k - Lipschitz và η - đơn điệu mạnh trên H với là toán tử giải của T . Giả sử t ∈ (0, η/k2) và τt =
Vtx = J T
c [(I − tF )x + tu],
(2.15)
trong đó c > 0 là một hằng số cố định và u ∈ H là một điểm bất động. Dễ thấy
(cid:107)Vtx − Vty(cid:107) = (cid:13)
rằng Vt là một toán tử co. Từ Bổ đề 2.2, ta có
c [(I − tF )x + tu] − J T
c [(I − tF )y + tu](cid:13) (cid:13)
(cid:13)J T
≤ (cid:107)(I − tF )x − (I − tF )y(cid:107)
≤ τt (cid:107)x − y(cid:107) ,
(2.16)
với ∀x, y ∈ H. Do đó, nó có một điểm bất động duy nhất, kí hiệu vt là nghiệm
của phương trình
vt = J T
vt ∈ H.
c [(I − tF )vt + tu],
(2.17)
Định lí 2.1. Với bất kì c > 0 và u ∈ H, cho mạch (net) {vt} được tạo ra bởi
(2.17). Khi đó, cho t → 0 mạch (net) {vt} hội tụ mạnh đến v của S là nghiệm
23
(cid:104)F v∗ − u, v∗ − p(cid:105) ≤ 0,
∀p ∈ S.
duy nhất của bất đẳng thức biến phân
(2.18)
Chứng minh. Đầu tiên chúng ta chứng minh tính duy nhất của nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.18). Giả sử v∗ ∈ S và (cid:101)v ∈ S cả hai đều là nghiệm của (2.18), khi đó
(2.19)
(cid:104)F v∗ − u, v∗ − (cid:101)v(cid:105) ≤ 0, (cid:104)F (cid:101)v − u, (cid:101)v − v∗(cid:105) ≤ 0.
(2.20)
Cộng (2.19) vào (2.20) ta có
(cid:104)F v∗ − F (cid:101)v, v∗ − (cid:101)v(cid:105) ≤ 0.
(2.21)
Tính đơn điệu mạnh của F là v∗ = (cid:101)v và tính duy nhất được chứng minh. Sau đây, chúng tôi sử dụng v∗ ∈ S là nghiệm duy nhất của (2.18). Tiếp theo
chúng tôi chứng minh rằng {vt} là giới nội. Lấy p ∈ S, từ (2.17) và sử dụng Bổ
(cid:107)vt − p(cid:107) = (cid:13)
đề 2.2, ta có:
c [(I − tF )vt + tu] − p(cid:13) (cid:13)
(cid:13)J T
≤ (cid:107)(I − tF )vt − (I − tF )pt(u − F p)(cid:107)
≤ τt (cid:107)vt − p(cid:107) + t (cid:107)u − F p(cid:107) ,
(2.22)
(cid:107)u − F p(cid:107) .
Nên
(cid:107)vt − p(cid:107) ≤
t 1 − τt
(2.23)
=
.
Ta thấy được
lim t→0+
1 η
t 1 − τt
(2.24)
Cho t → ∞, chúng ta có thể giả sử mà không mất tính tổng quát là t <
t 1 − τt
η/k2 − ε, trong đó ε là một số dương nhỏ bất kì. Khi đó mọi t ∈ [0, η/k2 − ε]. Do đó, ta có:
liên tục, với
sup
0,
< +∞.
: t ∈
η k2 − ε
1 − τt
(cid:16) (cid:105)(cid:27) (cid:26) t (2.25)
24
Từ (2.23) và (2.25) chúng ta có {vt} và {F vt} giới nội. Mặt khác, từ (2.17)
ta có
c vt
c [(I − tF )vt + tu] − J T
c vt
(cid:13) (cid:13)vt − J T (cid:13) = (cid:13) (cid:13) (cid:13)J T (cid:13) (cid:13)
≤ (cid:107)(I − tF )vt + tu − vt(cid:107)
≤ t (cid:107)u − F vt(cid:107) → 0 (t → 0).
(2.26)
c [(I − tF )vt + tu] − p(cid:13) 2 (cid:13)
≤ (cid:107)(I − tF )vt − (I − tF )p + t(u − F p)(cid:107)2
≤ τ 2
t (cid:107)vt − p(cid:107)2 + t2 (cid:107)u − F p(cid:107)2
Để chứng minh rằng vt → v∗ với p ∈ S ta sử dụng Bổ đề 2.2, ta có: (cid:107)vt − p(cid:107)2 = (cid:13) (cid:13)J T
+ 2t (cid:104)(U − tF )vt − (I − tF )p, u − F p(cid:105) ≤ τt (cid:107)vt − p(cid:107)2 + t2 (cid:107)u − F p(cid:107)2 + 2t (cid:104)vt − p, u − F p(cid:105)
+ 2t2 (cid:104)F p − F vt, u − F p(cid:105) ≤ τ (cid:107)vt − p(cid:107)2 + t2 (cid:107)u − F p(cid:107)2 + 2t (cid:104)v + t − p, u − F p(cid:105)
+ 2t2k (cid:107)p − vt(cid:107) (cid:107)u − F p(cid:107) ≤ τ (cid:107)vt − p(cid:107)2 + 2t2M + 2t (cid:104)vt − p, u − F p(cid:105) ,
(2.27)
M +
trong đó M = max . Do đó (cid:111) (cid:110) |u − F p|2 , 2k |p − vt| |u − F p|
(cid:107)vt − p(cid:107)2 ≤
(cid:104)vt − p, u − F p(cid:105) .
2t2 1 − τt
(2.28)
2t 1 − τt (cid:18) t2
(cid:19)
= 0. Ngoài ra, nếu vt → p,
t→0
1 − τt
((2t/(1 − τt)) (cid:104)vt − p, u − F p(cid:105)) = 0.
Từ τt = (cid:112)1 − t(2η − tk2), ta có lim
ta có lim t→0
Do đó {vt} là giới nội, chúng ta thấy rằng nếu {tn} là một dãy trong (0, η/k2 − ε] sao cho tn → 0 và vtn → (cid:101)v, khi đó kết hợp với (2.28) ta có vtn → (cid:101)v.
Ngoài ra, từ (2.26) và sử dụng Bổ đề 2.4, ta có (cid:101)v ∈ S. Tiếp theo chúng tôi
chứng minh rằng (cid:101)v là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.18).
25
(cid:107)vt − p(cid:107)2 ≤ (cid:107)(I − tF )vt + tu − p(cid:107)2
Từ (2.17) và p ∈ S, ta có
= (cid:107)vt − p(cid:107)2 + t2 (cid:107)u − F vt(cid:107)2 + 2t (cid:104)vt − p, u − F vt(cid:105) ,
(2.29)
Có nghĩa là
(cid:107)u − F vt(cid:107)2 .
(cid:104)F vt − u, vt − p(cid:105) ≤
t 2
(2.30)
Bây giờ thay thế t trong (2.30) bằng tn và cho n → ∞, ta có:
(cid:104)F (cid:101)v − u, (cid:101)v − p(cid:105) ≤ 0.
(2.31)
Khi đó (cid:101)v ∈ S là một nghiệm của (2.18) và do đó (cid:101)v = v∗ bởi tính duy nhất của v∗. Tóm lại, chúng tôi đã chỉ ra rằng mỗi điểm tụ của mạch {vt} (tại t → 0) bằng v∗. Vì thế. vt → v∗ khi t → 0.
Giả sử F = A trong Định lí 2.1, chúng ta có được kết quả sau.
Hệ quả 2.1. Với bất kì c > 0 và u ∈ H. Cho A là toán tử tuyến tính, giới nội, dương, mạnh với hệ số 0 < (cid:101)γ ≤ (cid:107)A(cid:107). Với mỗi t ∈ (0, (cid:101)γ/ (cid:107)A(cid:107)2), giả sử các mạch {vt} được tạo ra bởi vt = J T c [(I − tA)vt + tu]. Khi đó, cho t → 0 các mạch (net) {vt} hội tụ mạnh đến v∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến
(cid:104)Av∗ − u, v∗ − p(cid:105) ≤ 0,
∀p ∈ S.
phân.
(2.32)
Giả sử F = I và v∗ = Psu trong Định lí 2.1, ta có được kết quả sau.
c [(1 − t)vt + tu]. Khi đó, cho t → 0, {vt} hội tụ mạnh đến hình chiếu của điểm u lên S. Ngoài ra, giới hạn này đạt được đều khi
c > 0.
Hệ quả 2.2. Với c > 0 bất kì và u ∈ H. Cho mỗi t ∈ (0, 1), các mạch (net) {vt} được tạo ra bởi vt = J T
Kết quả tiếp theo cho một định lí hội tụ mạnh trên Thuật toán 2.14 với một
điều kiện yếu hơn trên dãy {tn}.
26
H với S (cid:54)= ∅. Giả sử F là một toán tử k - Lipschitz và η - đơn điệu mạnh với
0 < η ≤ k. Cho {tn} là một dãy trong (0,1), (cn) là một dãy trong (0, ∞) và ε
Định lí 2.2. Cho T là một toán tử tuyến tính cực đại trên một không gian Hilbert
là một số dương nhỏ tùy ý. Giả sử rằng các điều kiện (C1’), (C3’), (C4’), (C5’)
cố định {tn}, (cn), và (en).
(C1’): 0 < tn ≤ η/k2 − ε với mọi n ≥ n0, với số nguyên n0 ≥ 0.
Cho một điểm tùy ý x0 ∈ H, các dãy xn được tạo ra bởi (2.14) sao cho
zn → x∗ ↔ tn(u − F xn) → 0(n → ∞),
(2.33)
(cid:104)F x∗ − u, x∗ − p(cid:105) ≤ 0,
∀p ∈ S.
trong đó x∗ ∈ S là nghiệm của bất đẳng thức biến phân
(2.34)
Chứng minh. Một mặt giả sử rằng tn(u − F xn) → 0 (n → ∞). Chúng tôi
tiến hành các bước sau đây.
Bước 1. Chúng tôi cho rằng {xn} bị giới nội. Thật vậy, lấy p ∈ S, từ (2.14) và
(cid:107)xn+1 − p(cid:107) = (cid:13)
zn − p(cid:13) (cid:13)
(C1’) và sử dụng Bổ đề 2.5, ta có
≤ (cid:107)(I − tnF )xn + tnu + en − p(cid:107)
≤ (cid:107)(I − tnF )xn − (I − tnF )p + tn(u − F p) + en(cid:107)
≤ τtn (cid:107)xn − p(cid:107) + tn(u − F p) + (cid:107)en(cid:107)
(cid:13)J T cn
(cid:107)u − F p(cid:107) + (cid:107)en(cid:107)
+ (1 − τtn)
≤ [1 − (1 − τtn)] (cid:107)xn − p(cid:107) tn 1 − τtn
(2.35)
≤ max
|u − F p|
|xn − p| ,
+ (cid:107)en(cid:107) ,
tn 1 − τtn
(cid:26) (cid:27)
với mọi n ≥ n0, với số nguyên n0 ≥ 0 trong đó
1 − tn(2η − tnk2) ∈ (0, 1).
τtn =
(cid:113)
27
n−1 (cid:88)
(cid:107)xn − p(cid:107) ≤ max {(cid:107)x0 − p(cid:107) (cid:107)u − F p(cid:107) M1} +
(cid:107)ej(cid:107) ,
Tương tự, chúng ta có
j=0
(2.36)
M1 = sup (cid:8)tn/(1 − τtn) : 0 < tn ≤ η/k2 − ε(cid:9) < +∞.
với mọi n ≥ n0, với số nguyên n0 ≥ 0, trong đó
(cid:107)xn+1 − xn(cid:107) = 0.
Vì thế {xn} là giới nội. Chúng ta cũng có được {zn} và {F xn} là giới nội.
Bước 2. Chúng tôi cho rằng lim n→∞
cn và Tn = 2Jn − I.
Trong thực tế, viết Jn = J T
zn
xn+1 = Jnzn =
Khi đó, Jn là không giãn mạnh và Tn là không giãn (xem Bổ đề 2.6) Chú ý là (cid:19)
=
zn +
(cid:18)I + Tn 2
=
xn +
[tn(u − F xn) + en + Tnzn]
=
xn +
yn,
1 2 1 2 1 2
1 Tnzn 2 1 2 1 2
(2.37)
(cid:107)yn+1 − yn(cid:107)
= (cid:107)tn+1(u − F xn+1) + en+1 + Tn+1zn+1 − tn(u − F xn) − en − Tnzn(cid:107)
trong đó yn = tn(u − F xn) + en + Tnzn. Vì thế,
≤ (cid:107)tn+1(u − F xn+1)(cid:107) + (cid:107)tn(u − F xn)(cid:107) + (cid:107)en+1(cid:107)
+ (cid:107)en(cid:107) + (cid:107)Tn+1zn+1 − Tnzn(cid:107) .
(2.38)
Dựa vào đẳng thức toán tử giải ta có
(cid:107)Tn+1x − Tnx(cid:107) = 2 (cid:107)Jn+1x − Jnx(cid:107) (cid:18)
= 2
x +
1 −
Jn+1x
− Jnx
(cid:19) (cid:19)
cn cn+1
1 −
≤ 2
(cid:107)Jn+1x − x(cid:107)
(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (2.39)
≤
1 −
(cid:107)Tn+1x − x(cid:107)
(cid:13) (cid:13) Jn (cid:13) (cid:13) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:18) cn cn+1 (cid:12) cn (cid:12) (cid:12) cn+1 (cid:12) (cid:12) cn (cid:12) (cid:12) cn+1 (cid:12)
28
(cid:107)zn+1 − zn(cid:107)
= (cid:107)(I − tn+1F )xn+1 + tn+1u + en+1 − (I − tnF )xn − tnu − en(cid:107)
với bất kì x ∈ H. Từ (2.14), ta có
≤ (cid:107)xn+1 − xn(cid:107) + (cid:107)tn+1(u − F xn+1)(cid:107) + (cid:107)tn(u − F xn)(cid:107)
+ (cid:107)en+1(cid:107) + (cid:107)en(cid:107) .
(2.40)
(cid:107)Tn+1zn+1 − Tnzn(cid:107) ≤ (cid:107)Tn+1zn+1 − Tnzn+1(cid:107) + (cid:107)Tnzn+1 − Tnzn(cid:107)
≤
1 −
(cid:107)Tn+1zn+1 − zn+1(cid:107) + (cid:107)zn+1 − zn(cid:107)
Từ (2.39) và (2.40) ta có
≤
1 −
(cid:107)Tn+1zn+1 − zn+1(cid:107) + (cid:107)xn+1 − xn(cid:107)
cn cn+1 cn cn+1
+ (cid:107)tn+1(u − F xn+1)(cid:107) + (cid:107)tn(u − F xn)(cid:107)
+ (cid:107)en+1(cid:107) + (cid:107)en(cid:107) .
(2.41) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:107)yn+1 − yn(cid:107) ≤ 2 (cid:107)tn+1(u − F xn+1)(cid:107) + 2 (cid:107)tn(u − F xn)(cid:107)
Thay (2.41) vào (2.38) ta nhận được
1 −
+ M2 + (cid:107)xn+1 − xn(cid:107) ,
+ 2 (cid:107)en+1(cid:107) + 2 (cid:107)en(cid:107) +
(2.42)
cn cn+1
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:107)yn+1 − yn(cid:107) − (cid:107)xn+1 − xn(cid:107) ≤ 2 (cid:107)tn+1(u + F xn+1)(cid:107) + 2 (cid:107)tn(u − F xn)(cid:107)
hay
1 −
M2,
+ 2 (cid:107)en+1(cid:107) + 2 (cid:107)en(cid:107) +
(2.43)
cn cn+1
(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
trong đó M2 = sup {(cid:107)Tn+1zn+1 − zn+1(cid:107) , n ≥ 0}.
Ta nhận thấy tn(u − F xn) → 0, en → 0 và (cid:107)1 − (cn/cn+1)(cid:107) → 0(n → ∞),
suy ra
sup ((cid:107)yn+1 − yn(cid:107) − (cid:107)xn+1 − xn(cid:107)) ≤ 0.
lim n→∞
(cid:107)yn − xn(cid:107) = 0. Do đó
(2.44)
Từ (2.37) và sử dụng Bổ đề 2.5 , ta có lim n→∞
(cid:107)yn − xn(cid:107) = 0.
lim n→∞
(cid:107)xn+1 − xn(cid:107) = lim n→∞
1 2
(2.45)
29
inf cn > 0, có
c xn
Bước 3. Chúng tôi cho rằng lim n→∞ (cid:13) (cid:13) = 0. Do lim n→∞
(cid:13) (cid:13)xn − J T tồn tại α > 0 và một số nguyên N sao cho với mọi n ≥ N, cn ≥ α. Từ Bổ đề
2.5, với mỗi c ∈ (0, α), ta có:
1 −
− J T
xn +
Jnxn
(cid:19) (cid:18) (cid:19)
c xn
c xn
c cn
1 −
≤
Jnxn − xn
(cid:13) (cid:13)Jnxn − J T (cid:13) (cid:13) = (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:18) c cn (cid:18) (cid:19)
c cn
c cn
=
1 −
(cid:107)Jnxn − xn(cid:107)
xn + (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (2.46)
c cn
≤ (cid:107)Jnxn − xn+1(cid:107) + (cid:107)xn+1 − xn(cid:107) .
(cid:13) (cid:13) J T (cid:13) c (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Ta thấy được
(cid:107)Jnxn − xn+1(cid:107) ≤ (cid:107)xn − zn(cid:107) ≤ (cid:107)tn(u − F xn)(cid:107) + (cid:107)en(cid:107) → 0.
(2.47)
Vì vậy, từ (2.46), (2.47) và Bước 2 suy ra
c xn
lim n→∞
(2.48) (cid:13) (cid:13) = 0. (cid:13) (cid:13)Jnxn − J T
c xn+1
Từ (cid:13) (cid:13)xn − J T (cid:13) (cid:13) ≤ (cid:107)xn − xn+1(cid:107) + (cid:107)xn+1 − Jnxn(cid:107) + (cid:13) (cid:13) (cid:13), do đó (cid:13)Jnxn − J T c
c xn
lim n→∞
sup (cid:104)xn − x∗, u − F x∗(cid:105) ≤ 0, trong đó
(2.49) (cid:13) (cid:13)xn − J T (cid:13) (cid:13) = 0.
vt và vt được xác định bởi (2.17). Do {xn} giới nội nên tồn tại một
x∗ = lim t→0
Bước 4. Chúng tôi cho rằng lim n→∞
(cid:104)xnk − x∗, u − F x∗(cid:105)
lim n→∞
sup (cid:104)xn − x∗, u − F x∗(cid:105) = lim k→∞
dãy con {xnk} của {xn} trong đó hội tụ yếu đến ω. Từ Bước 3, ta nhận được J T c (cid:42) ω. Từ Bổ đề 2.4, ta có ω ∈ S. Do đó bằng Định lí 2.1, ta có
= (cid:104)ω − x∗, u − F x∗(cid:105) ≤ 0.
(2.50)
Bước 5. Chúng tôi cho rằng {zn} hội tụ mạnh tới x∗ ∈ S. Từ (2.14), cho
30
(cid:107)xn+1 − x∗(cid:107) = (cid:107)Jnzn − x∗(cid:107)2 ≤ (cid:107)zn − x∗(cid:107)2
một hằng số γ > 0 không đổi, ta có
= (cid:107)(I − tnF )xn + tnu + en − x∗(cid:107) ≤ (cid:107)(I − tnF )xn + tnu − x∗(cid:107)2 + γ (cid:107)en(cid:107) ≤ (cid:107)(I − tnF )xn − (I − tnF )x∗ + tn(u − F x∗)(cid:107)2 + γ (cid:107)en(cid:107) n (cid:107)u − F x∗(cid:107)2 ≤ τtn (cid:107)xn − x∗(cid:107)2 + t2 + 2tn (cid:104)(I − tnF )xn − (I − tnF )x∗, u − F x∗(cid:105) + γ (cid:107)en(cid:107) n (cid:107)u − F x∗(cid:107)2 ≤ τtn (cid:107)xn − x∗(cid:107)2 + t2 + 2tn (cid:104)xn − x∗ − tnF xn + tnu, u − F x∗(cid:105)
2 (cid:104)F x∗ − u, u − F x∗(cid:105) + γ (cid:107)en(cid:107) + 2tn ≤ τtn (cid:107)xn − x∗(cid:107)2 + 2tn (cid:104)xn − x∗, u − F x∗(cid:105) + 3tn (cid:107)tn(u − F xn)(cid:107) (cid:107)u − F x∗(cid:107) + γ (cid:107)en(cid:107) ≤ [1 − (1 − τtn)] (cid:107)xn − x∗(cid:107)2 + (1 − τtn)[2M1 (cid:104)xn − x∗, u − F x∗(cid:105) + 2M1 (cid:107)tn(u − F xn)(cid:107) (cid:107)u − F x∗(cid:107) + γ (cid:107)en(cid:107) ,
(2.51)
δn = 2M1(cid:104)xn − x∗, u − F x∗(cid:105) + 2M1 (cid:107)tn(u − F xn)(cid:107) (cid:107)u − F x∗(cid:107) .
với mọi n ≥ n0, số nguyên n0 ≥ 0. Cho mỗi n ≥ n0, đặt µn = 1 − τtn và
(cid:107)xn+1 − x∗(cid:107)2 ≤ (1 − µn) (cid:107)xn − x∗(cid:107)2 + µnδn + γ (cid:107)en(cid:107) ,
∀n ≥ n0. (2.52)
δn ≤ 0. Do đó, từ Bổ đề 2.6, dãy
Suy ra
(cid:107)zn − x∗(cid:107) = (cid:107)(I − tnF )xn + tnu + en − x∗(cid:107)
Dễ dàng thấy rằng (cid:80)∞ n=1 µn = ∞ và lim n→∞ {xn} hội tụ mạnh đến x∗ ∈ S. Ta nhận thấy
≤ (cid:107)xn − x∗(cid:107) + (cid:107)tn(u − F xn)(cid:107) + (cid:107)en(cid:107) .
(2.53)
31
Do đó, dãy {xn} hội tụ mạnh đến x∗ ∈ S. Mặt khác, giả sử rằng zn → x∗ ∈ S khi n → ∞. Từ (2.14) ta có
(cid:107)xn+1 − x∗(cid:107) = (cid:107)Jnzn − x∗(cid:107) ≤ (cid:107)zn − x∗(cid:107) → 0.
(2.54)
(cid:107)tn(u − F xn)(cid:107) = (cid:107)zn − xn − en(cid:107)
Vì thế
≤ (cid:107)zn − xn(cid:107) + (cid:107)en(cid:107)
≤ (cid:107)zn − x∗(cid:107) + (cid:107)xn − x∗(cid:107) + (cid:107)en(cid:107) → 0.
(2.55)
Giả sử F = I và x∗ = Psu trong Định lí 2.2, ta có kết quả sau.
H với S (cid:54)= ∅. Cho {tn} là một dãy trong (0, 1), {cn} là một dãy trong (0, +∞)
Hệ quả 2.3. Giả sử T là một toán tử đơn điệu cực đại trên không gian Hilbert
và ε là một số dương nhỏ tùy ý. Giả sử rằng các điều kiện (C1"), (C3’), (C4’)
và (C5) thỏa mãn {tn}, {cn} và {en}.
(C1"): 0 < tn ≤ 1 − ε với mọi n ≥ n0, số nguyên n0 ≥ 0. Với một thành
zn = (1 − tn)xn + tnu + en,
phần x0 ∈ H, cho dãy {xn} được tạo bởi
zn, n ≥ 0.
xn+1 = J T cn
(2.56)
Khi đó
zn → Psu ⇔ tn(u − xn) → 0 (n → ∞).
(2.57)
Hệ quả 2.4. ([Wang [8],Theorem 4]). Cho {tn} , {cn} và {en} thỏa mãn (C1),
(C3) (hoặc (C3’)), (C4’) và (C5). Ngoài ra, nếu S (cid:54)= ∅ thì dãy được tạo bởi
tn = 0, dễ thấy rằng tn ≤ η/k2 − ε với mọi n ≥ n0,
(2.13) hội tụ mạnh đến Psu.
Chứng minh. Từ lim n→∞
số nguyên n0 ≥ 0. Không mất tính tổng quát, chúng ta giả thiết rằng 0 ≤
32
tn ≤ η/k2 − ε với mọi n ≥ n0, số nguyên n0 ≥ 0. Nhắc lại các chứng minh
tn(u − xn) → 0. Vì thế tất cả các điều kiện của Hệ quả 2.3 thỏa mãn.
trong Định lí 4 của Wang [8], chúng ta biết rằng {xn} là giới nội. Do đó, ta có
tn)xn + tnu + en. Vì thế
Sử dụng Hệ quả 2.3, ta có {zn} hội tụ mạnh đến Psu ∈ S với zn = (1 −
(cid:107)xn+1 − Psu(cid:107) ≤ (cid:107)zn − Psu(cid:107) → 0.
(2.58)
Chú ý 2.2. Hệ quả 2.3 là tổng quát hơn Định lí 4 của Wang [8].
Ví dụ sau đây được đưa ra để minh họa cho tính hiệu quả của sự khái quát của
chúng tôi.
1 2
=
I và S = 0. Cho dãy {tn} và {en}, tn =
, với mọi n ≥ 0.
1 2
1 2
và en = 0, Ví dụ 2.1. Cho H = R là tập các số thực, u = 0 và cn = Xác định một toán tử đơn điệu cực đại T như sau: T x = 2x, với mọi x ∈ R. Dễ dàng thấy rằng J T cn
với mọi n ≥ 0. Cho một tùy ý x0 ∈ R, cho {xn} được xác định bởi (2.56), đó
zn =
1 2
là
xn+1 =
zn =
xn, n ≥ 0.
xn, 1 2
1 4
(2.59)
=
Quan sát rằng
(cid:107)xn − 0(cid:107).
(cid:107)xn+1 − 0(cid:107) =
1 4
1 4
(2.60) (cid:13) (cid:13) xn − 0 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
∀n ≥ 0.
(cid:19)n+1
(cid:107)xn − 0(cid:107) ,
Do đó, ta có (cid:107)xn+1 − 0(cid:107) =
(cid:18)1 4 Điều này ngụ ý rằng {xn} hội tụ mạnh đến 0 = PS0. Do đó,
(cid:107)tn(u − xn)(cid:107) =
(cid:107)xn(cid:107) → 0 (n → ∞).
1 2
(2.61)
33
≤ 1 − ε, với mọi n ≥ n0, số nguyên n0 ≥ 0,
Hơn nữa, dễ dàng thấy rằng điều đó còn đúng với:
(B1) 0 < tn =
(cid:19)
n=0
1 −
= 0,
1 2 n=0 tn = (cid:80)∞ 1 2
= ∞, (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(B2) (cid:80)∞ (cid:18)1 2
cn cn+1
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
inf cn = n=0 (cid:107)en(cid:107) = (cid:80)∞
> 0 và lim n→∞ n=0 0 = 0 < ∞.
(B3) lim n→∞ (B4) (cid:80)∞
(cid:54)→ 0, các điều kiện tn → 0 của Wang [8], Định lí 4 không thỏa mãn.
Do đó không có nghi ngờ rằng tất cả các điều kiện của Hệ quả 2.3 thỏa mãn.
1 2
Từ tn =
Vì vậy, từ Hệ quả 2.3, chúng ta có được dãy {xn} và {zn} hội tụ mạnh đến 0
nhưng Định lí 4 của Wang [8] không suy ra được {xn} và {zn} trong ví dụ này.
Kết luận: Chương 2 trình bày phương pháp hiệu chỉnh cải biên, chứng minh
định lí hội tụ đến một điểm của bất đẳng thức biến phân và đưa ra ví dụ minh
họa cho tính hội tụ của phương pháp.
34
Kết luận
Luận văn đã trình bày các kết quả về phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho
• Sơ lược về không gian Hilbert và một số kiến thức cơ bản trong giải tích
thuật toán điểm gần kề tìm không điểm của toán tử đơn điệu bao gồm:
• Phát biểu bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi và thuật toán điểm gần kề để giải
lồi.
• Phát biểu bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
bài toán.
• Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm không
để giải phương trình với toán tử đơn điệu.
điểm của toán tử đơn điệu.
35
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại
học Quốc gia Hà Nội
[2] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học và kỹ
thuật Hà Nội.
[3] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà
Nội.
Tiếng Anh
[4] Lehdili N. and Moudafi A. (1996), "Combining the proximal algorithm
and Tikhonov regularization", Optimization, vol.37, No3, pp. 239-252.
[5] Rockafellar R. T. (1976), "Monotone operators and the proximal point al-
gorithm", SIAM Journal on Control and Optimization, vol.14, No5, pp.
877-898.
[6] Song Y. and Yang C. (2009), "A note on a paper a regularization method
for the proximal point algorithm", Journal of Global Optimization, vol.43,
No1, pp. 171-174.
36
[7] Stampacchia G. (1964), "Formes bilineaires coercitives sur les ensem-
bles convexes", Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, vol.258, pp.
4413-4416.
[8] Wang F. H. (2011), "A note on the regularization proximal point algo-
rithm", Journal of Global Optimization, vol.50, No3, pp. 531-535.
[9] Wang S. (2012), "A Modified Regularization Method for the Prox-
imal Point Algorithm", Journal of Applied Mathematics, DOI:
10.1155/2012/567948.
[10] Xu H. K. (2006), "A regularization method for the proximal point algo-
rithm", Journal of Global Optimization, vol.36, No1, pp. 115-125.
[11] Yao Y. H., Noor M. A. and Liou Y. C. (2010), "A new hybrid iterative
algorithm for variational inequalities", Applied Mathematics and Compu-
tation, vol.216, No3, pp. 822-829.
