ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN NGỌC HÀ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM XẤP XỈ ĐỐI VỚI BÀI TOÁN TRƢỢT CỦA TẤM TRONG MÔI TRƢỜNG CHẤT LỎNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN NGỌC HÀ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM XẤP XỈ ĐỐI VỚI BÀI TOÁN TRƢỢT CỦA TẤM TRONG MÔI TRƢỜNG CHẤT LỎNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60. 46. 01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. VŨ VINH QUANG
THÁI NGUYÊN - 2016
i
LỜI CẢM ƠN
Vũ Vinh Quang, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện và
hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo trong
trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cũng như các thầy cô giáo đã tham
gia giảng dạy khóa cao học 2014 -2016, những người đã đem tâm huyết và sự nhiệt
tình để giảng dạy, trang bị cho chúng em nhiều kiến thức cơ sở.
Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè thân thiết những người
luôn động viên chia sẻ, giúp em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016
Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS.
Tác giả
Trần Ngọc Hà
ii
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... i
MỤC LỤC .......................................................................................................... ii
DANH MỤC CÁC BẢNG .................................................................................. iv
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ .............................................................................. v
MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 1
Chƣơng 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN .................................................... 3
1.1. Không gian các hàm và phương trình song điều hòa ....................................... 3
1.1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn ........................................................... 3
1.1.2. Không gian Sobolev ............................................................................... 4
1.1.3. Phương trình song điều hòa và lý thuyết nghiệm yếu ............................... 5
1.2. Lý thuyết về các sơ đồ lặp ............................................................................. 7
1.2.1. Sơ đồ lặp hai lớp .................................................................................... 7
1.2.2. Định lý về sự hội tụ của phương pháp lặp ................................................ 8
1.3. Lý thuyết về sai phân .................................................................................... 9
1.3.1. Công thức Taylor ................................................................................................ 9
1.3.2. Các phương pháp sai phân và đạo hàm .................................................. 10
1.3.3. Giới thiệu thư viện RC2009 .................................................................. 13
Chƣơng 2. MÔ HÌNH BÀI TOÁN CƠ HỌC VÀ PHƢƠNG PHÁP TÌM
NGHIỆM XẤP XỈ ........................................................................................... 22
2.1. Mô hình bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏng ........................... 22
2.1.1. Mô hình thực tế .................................................................................... 22
2.1.2. Phương trình toán học và hệ điều kiện biên ............................................ 23
2.2. Phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ ............................................................. 28
2.2.1. Xây dựng sơ đồ lặp xác định
2.2.2. Xây dựng sơ đồ lặp xác định
........................................................... 31
........................................................... 32
iii
Chƣơng 3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SỐ ................................... 34
3.1. Kết quả kiểm tra trong trường hợp biết trước nghiệm đúng ........................... 34
3.2. Kết quả xác định nghiệm của bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏng ..... 37
KẾT LUẬN ...................................................................................................... 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 40
PHỤ LỤC ........................................................................................................ 41
iv
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1: Kết quả so sánh giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ ............................. 34 Bảng 3.2: Kết quả so sánh giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ ............................. 36 Bảng 3.3: Kết quả so sánh giữa hai bước lặp liên tiếp ............................................ 37
v
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 3.1: Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ ...................................... 35
Hình 3.2: Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ ................................... 36 Hình 3.3: Đồ thị nghiệm xấp xỉ của bài toán gốc ................................................... 37
1
MỞ ĐẦU
Một số bài toán trong cơ học các môi trường liên tục như các bài toán
nghiên cứu về truyền nhiệt, các bài toán về lý thuyết dao động qua mô hình
hóa đều đưa về các bài toán biên cho phương trình elliptic cấp hai hoặc cấp
bốn (phương trình song điều hòa). Trong trường hợp khi môi trường là thuần
nhất và điều kiện biên bình thường thì việc tìm nghiệm của bài toán có thể
được thực hiện thông qua các phương pháp giải tích như các phương pháp
tách biến, phương pháp hàm Green hoặc các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ
như các phương pháp sai phân hay phương pháp phần tử hữu hạn. Tuy nhiên
khi điều kiện biên của bài toán là dạng đặc biệt (hỗn hợp giữa hàm và đạo
hàm, thiếu điều kiện trên biên hay hỗn hợp mạnh tức là trên một đoạn biên
trơn tồn tại 2 loại điều kiện biên dạng hàm (Dirichlet) và dạng đạo hàm
(Neumann) thì các phương pháp kể trên không thể thực hiện được. Để giải
quyết các bài toán này, người ta thường nghiên cứu theo hướng sau đây: Sử
dụng lý thuyết các toán tử biên để xây dựng các sơ đồ lặp xác định các giá
trị thiếu trên biên, kết hợp với phương pháp phân rã phương trình cấp 4 về
hai phương trình cấp hai. Từ đó áp dụng các phương pháp sai phân để giải
quyết các bài toán con qua đó xây dựng nghiệm của bài toán gốc ban đầu.
Trong trường hợp khi biên là kì dị thì một phương pháp thường áp dụng là
phương pháp chia miền.
Trong các bài toán cơ học điển hình thì bài toán nghiên cứu tấm trượt
đàn hồi trong môi trường chất lỏng là một bài toán đã được các tác giả
Nikolai V. Priezjev, Anton A. Darhuber and Sandra M. Troian đưa ra năm
2005. Đây chính là một bài toán được mô tả của phương trình song điều hòa
với dạng điều kiện biên hết sức phức tạp. Tính chất nghiệm của bài toán cũng
như ý nghĩa thực tế đã được các tác giả đề cập tuy nhiên vấn đề nghiên cứu
phương pháp xác định nghiệm của bài toán chưa được đề cập đến.
2
Xuất phát từ thực tế đó, mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là tìm
hiểu về mô hình toán học của bài toán mô tả chuyển động trượt của tấm đàn
hồi trong môi trường chất lỏng không nén được, nghiên cứu cơ sở của phương
pháp toán tử biên miền để xây dựng các sơ đồ lặp xác định giá trị trên biên
của bài toán song điều hòa đồng thời nghiên cứu cơ sở của phương pháp phân
rã chuyển bài toán đang xét về các bài toán elliptic cấp hai, sử dụng phương
pháp sai phân để xác định nghiệm của bài toán gốc, đánh giá kết quả thực
nghiệm. Các kết quả thực nghiệm được thực hiện trên máy tính điện tử.
3
Chƣơng 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
Nội dung chính của chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về các
không gian hàm, phương trình song điều hòa, lý thuyết về sơ đồ lặp 2 lớp, lý
thuyết về sai phân và đặc biệt là các kết quả xây dựng thư viện giải số bài toán
biên elliptic cấp hai trên miền chữ nhật. Đây là các kiến thức và công cụ quan
trọng sẽ sử dụng để nghiên cứu và thực hiện tính toán trong các chương tiếp sau
của luận văn. Các kết quả này đã được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3, 4].
1.1 Không gian các hàm và phƣơng trình song điều hòa
Định nghĩa 1.1 Cho là một tập khác rỗng, trên ta trang bị một hàm số
thỏa mãn các điều kiện sau
Khi đó ρ được gọi là một metric hay khoảng cách trên . Và cặp
gọi là một không gian metric (đôi khi chỉ kí hiệu là ). Mỗi phần tử
của sẽ được gọi là một điểm, gọi là khoảng cách giữa hai và
điểm trên .
1.1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn
Định nghĩa 1.2 Cho là một không gian tuyến tính, ta đưa vào ánh
xạ kí hiệu là chuẩn thỏa mãn các điều kiện
với mọi
4
Khi đó cặp , trong đó là một không gian tuyến tính, là
một chuẩn trên , gọi là một không gian định chuẩn (hay còn gọi là không
gian tuyến tính định chuẩn).
Cho là một không gian định chuẩn. Xét hàm số
xác định bởi , với . Dễ chứng minh được với định
là một metric trên
nghĩa như trên thì , gọi là metric sinh bởi chuẩn. Như
vậy, không gian định chuẩn là một không gian metric.
1.1.2. Không gian Sobolev
1.1.2.1. Định nghĩa Không gian
Định nghĩa 1.3 Giả sử là một số thực, , là một miền
trong . Không gian Sobolev được định nghĩa như sau:
Trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng.
Với , ta kí hiệu , nghĩa là:
1.1.2.2. Không gian
Định nghĩa 1.4 Với bất kì , không gian Sobolev
được định nghĩa như các bao đóng của (không gian các hàm
khả vi vô hạn có giá compact trong ) tương ứng với chuẩn của .
Không gian được xác định bởi:
5
1.1.2.3. Không gian Sobolev với chỉ số âm và .
Định nghĩa 1.5 Ta kí hiệu là một không gian Banach được
xác định bởi:
với chuẩn:
trong đó là tích năng lượng trên cặp không gian đối ngẫu.
1.1.3. Phương trình song điều hòa và lý thuyết nghiệm yếu
1.1.3.1. Phương trình song điều hòa
Phương trình tổng quát được xét có dạng:
(1.1)
trong đó là biên Lipshitz, là một số dạng toán
tử điều kiện biên đảm bảo điều kiện để bài toán có nghiệm duy nhất, là các
hàm số cho trước. Phương trình (1.1) được gọi là phương trình song điều hòa
tổng quát. Tùy thuộc vào các hệ số c, d, xét hai dạng bài toán cơ bản:
Bài toán biên thứ nhất
(1.2)
6
Bài toán biên thứ hai
(1.3)
1.1.3.2. Khái niệm nghiệm yếu của phương trình
Xét phương trình:
(1.4)
Giả sử và phương trình (1.4) thỏa mãn trong
miền . Khi đó, được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.4).
Lấy hàm bất kì thuộc nhân với hai vế của (1.4) rồi lấy
tích phân ta được:
(1.5)
Áp dụng công thức Green vào (1.5) và kết hợp với điền kiện
ta có :
(1.6)
hay:
Như vậy, nếu là nghiệm của phương trình (1.4) thì có (1.6). Nhưng
nếu thì phương trình (1.4) không có nghiệm cổ điển. Vậy, ta cần
mở rộng khái niệm khi .
7
Định nghĩa 1.6 Giả sử được gọi là nghiệm
yếu của phương trình (1.4) nếu (1.6) được thỏa mãn.
Mệnh đề. Nếu là nghiệm yếu của phương trình (1.4) và
thì là nghiệm cổ điển, tức là .
Chứng minh. Giả sử là nghiệm yếu của phương trình (1.4), tức là
và ta có (1.6) với mọi hàm , kết hợp với điều kiện
ta suy ra:
.
Vì trù mật trong trực giao với mọi
nên trong . Nhưng vì liên tục nên trong
. Vậy là nghiệm cổ điển của phương trình (1.4).
1.2. Lý thuyết về các sơ đồ lặp
1.2.1. Sơ đồ lặp hai lớp
Xét bài toán:
(1.7)
trong đó là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực hữu
hạn chiều . Giả sử là toán tử đối xứng, xác định dương, là
vectơ tùy ý. Trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ bất kì thuộc ,
người ta đưa ra cách xác định nghiệm xấp xỉ của phương trình
(1.7). Các xấp xỉ như vậy được biết như là các cặp giá trị lặp với chỉ số lặp
, bản chất của những phương pháp này là giá trị có thể được
tính thông qua các giá trị lặp trước: Phương pháp lặp được gọi là
8
phương pháp lặp một bước hoặc hai bước nếu xấp xỉ có thể được tính
thông qua một hoặc hai giá trị trước đó. Dạng chính tắc của lược đồ lặp hai lớp là:
(1.8)
Lược đồ lặp (1.8) cho ta xấp xỉ chính xác nghiệm của phương trình
(1.7) với bất kì toán tử và cách chọn tham số . Nếu thì lược
đồ lặp (1.7) được gọi là lược đồ lặp hiện.
(1.9)
Trong trường hợp là hằng số thì lược đồ lặp (1.9) còn gọi là
lược đồ lặp đơn giản.
Nếu thì lược đồ lặp (1.7) được gọi là lược đồ ẩn.
1.2.2. Định lý về sự hội tụ của phương pháp lặp
Lược đồ lặp (1.8) với toán tử , tham số không đổi
còn được gọi là lược đồ lặp dừng, có dạng:
(1.10)
1.2.2.1. Định lý. Nếu là toán tử đối xứng, xác định dương thì:
hay (1.11)
là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.10) trong không gian với
tốc độ hội tụ cấp số nhân. Ta có đánh giá
9
trong đó:
là phần tử đối xứng của toán tử .
Nhận xét. Với cố định, định lý đã đưa ra quy tắc lựa chọn giá
trị để lược đồ lặp hội tụ. Trong trường hợp , điều kiện hội tụ sẽ
được đảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng thỏa mãn:
hay:
Như vậy, lược đồ lặp hội tụ với mỗi .
1.3. Lý thuyết về sai phân
Phương pháp lưới hay còn gọi là phương pháp sai phân được áp dụng
rộng rãi trên nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật. Nội dung chính của nó là đưa
bài toán vi phân đang xét về giải hệ phương trình sai phân (tức là hệ thức
hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của hàm số tại các thời điểm khác nhau)
bằng các phương pháp đại số.
1.3.1. Công thức Taylor
Giả sử là một hàm số xác định và có các đạo hàm riêng theo
các biến đến cấp trong một khoảng chứa các điểm và
, trong đó là các đại lượng đủ nhỏ có thể dương hay âm.
10
Khi đó tương tự như hàm 1 biến số, chúng ta có công thức khai triển
Taylor như sau:
(1.12)
Về mặt ý nghĩa toán học tính toán thì công thức Taylo, giá trị của hàm số
tại điểm sẽ được được tính qua các giá trị hàm và các đạo hàm
riêng các cấp tại điểm . Nếu chúng ta giữ đến số hạng chứa các đạo hàm
cấp m thì kết quả tính toán sẽ đảm bảo sai số xấp xỉ một đại lượng vô cùng bé
là . Sau đây luận văn sẽ đưa ra một số kết quả khi xậy dựng các phương
pháp sai phân dựa trên công thức Taylo.
1.3.2. Các phương pháp sai phân và đạo hàm
1.3.2.1. Lƣới sai phân
Xét bài toán
(1.13)
trong đó , chọn 2 số nguyên
và , đặt gọi là bước lưới theo ,
gọi là bước lưới theo .
Đặt . Mỗi điểm gọi
là một nút lưới ký hiệu là nút . Tập tất cả các nút trong ký hiệu là .
Nút ở trên biên gọi là nút biên; tập tất cả các nút biên ký hiệu là , tập
gọi là một lưới sai phân trên .
11
1.3.2.2. Hàm lƣới:
Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm lưới, giá trị
của hàm lưới tại nút lưới viết tắt là . Mỗi hàm xác
định tại mọi tạo ra hàm lưới u xác định bởi .
1.3.2.3. Bài toán sai phân:
Sử dụng công thức Taylo trong trường hợp 2 biến số, chúng ta thu được
các công thức tính gần đúng các giá trị đạo hàm tại các nút lưới như sau
Đặt
(1.14)
Khi đó chứng tỏ:
Số hạng là một vô cùng bé bậc hai. Ta nói toán tử xấp
xỉ toán tử , điều đó cho phép thay phương trình vi phân bằng phương trình
sai phân:
12
tức là:
(1.15)
đồng thời thay điều kiện biên bằng điều kiện:
(1.16)
Ta được bài toán sai phân hoàn chỉnh: tìm hàm lưới tại các nút
thỏa mãn hệ phương trình sai phân (1.15) với các điều kiện biên (1.16). Như
vậy việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán vi phân với độ chính xác cấp hai
được đưa về việc giải bài toán sai phân (1.15) với điều kiện (1.16) bằng các
phương pháp đại số.
Nhận xét:
Hệ phương trình sai phân (1.15) với điều kiện biên (1.16) hoặc các hệ
điều kiện biên dạng Neumann tương ứng trong miền chữ nhật
thông qua các phép biến đổi sơ cấp sẽ được biểu diễn dưới dạng các hệ
phương trình vectơ 3 điểm dạng
(1.17)
trong trường hợp điều kiện biên là Dirichlet và dạng
(1.18)
trong trường hợp điều kiện biên dạng Neumann trong đó kí hiệu
là các vectơ nghiệm,
là các vectơ vế phải,
là ma trận hệ số của hệ dạng 3 đường chéo trội
13
Nhận xét:
+ Để giải được bài toán (1.17) hoặc (1.18) bằng phương pháp số, điều
quan trọng nhất là ta phải xác định được thuật toán nhanh giải các hệ phương
trình vector ba điểm (1.17), (1.18) là các hệ phương trình đại số tuyến tính.
+ Có nhiều phương pháp khác nhau để giải được các hệ trên. Tuy nhiên
do tính chất đặc biệt của hệ, phương pháp thu gọn khối lượng tính toán của
Samarskij - Nicolaev đề xuất [5, 7] với độ phức tạp tính toán
sẽ được sử dụng để xây dựng thư viện số.
1.3.3. Giới thiệu thư viện RC2009
Để giải bài toán biên elliptic (1.13) các tác giả đã sử dụng phương pháp
sai phân xây dựng lược đồ sai phân cho các bài toán biên, chuyển bài toán vi
phân (1.13) về các bài toán sai phân tương ứng với các hệ phương trình vector
ba điểm. Sau đó áp dụng phương pháp thu gọn khối lượng tính toán giải các
hệ phương trình đại số. Các kết quả đã được công bố trong công trình [2].
a. Bài toán biên Dirichlet
Xét bài toán
(1.19)
Trong đó: là các hằng số, là hình chữ nhật có kích thước hai
cạnh là .
Xuất phát từ phương pháp lưới chia miền thành điểm
lưới, trong đó . Ký hiệu là các bước lưới,
là vector hàm vế phải của phương trình.
14
Từ phương pháp sai phân với độ chính xác chuyển bài toán
vi phân (1.13) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình vector ba điểm.
Trong đó là các vector nghiệm, là các vector cấp là
ma trận hệ số cấp được xác định như sau:
Ma trận có dạng
trong đó
15
Trên cơ sở thuật toán thứ nhất [7] tiến hành cài đặt giải hệ phương trình
trên với ngôn ngữ lựa chọn là Matlab. Thiết kế các hàm
thực hiện thuật toán thu
gọn, trong đó phi là hàm vế phải lần lượt là các vector giá trị
điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann trên các biên trái, phải, dưới, trên của
miền chữ nhật.
Hàm
trả lại ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.19) bắt đầu từ tọa độ đến
.
b. Bài toán biên Neamann
Xét bài toán biên hỗn hợp
(1.20)
Trong đó là toán tử điều kiện biên ( nếu điều kiện biên là
Dirichlet, nếu điều kiện biên là Neumann).
Trường hợp 1: Điều kiện trên cạnh trên của hình chữ nhật là dạng
Neumann
Từ phương pháp sai phân với độ chính xác chuyển bài toán
vi phân (1.13) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình vector ba điểm
.
16
trong đó là các vector nghiệm, là các vector cấp là ma trận
hệ số cấp được xác định như sau:
17
Trong đó:
Trên cơ sở của thuật toán thứ hai áp dụng trong trường hợp đã biết
vector , tiến hành cài đặt giải hệ phương trình vector ba điểm ở trên bằng
cách: Thiết kế hàm
thực hiện thuật toán thu gọn, hàm
trả lại
ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.13) từ tọa độ đến .
Trong trường hợp khi điều kiện biên trên một trong các cạnh còn lại là
dạng Neumann, sử dụng phương pháp biến đổi tọa độ trên cơ sở của hàm
chuẩn xây dựng các hàm trả lại nghiệm
bằng số của các bài toán tương ứng.
Trường hợp 2: Điều kiện biên trên cạnh phải và cạnh trên của hình
chữ nhật là dạng Neumann.
Với độ chính xác chuyển bài toán vi phân (1.13) về bài
toán sai phân tương ứng với hệ phương trình vector ba điểm:
Trong đó là vector nghiệm, là vector cấp là ma trận hệ
số cấp được xác định như sau:
18
19
Trên cơ sở của thuật toán thứ hai áp dụng trong trường hợp đã biết
vector , tiến hành cài đặt giải hệ phương trình vector ba điểm ở trên bằng
cách thiết kế hàm thực
hiện thuật toán thu gọn, hàm
trả lại
ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán . Trong trường hợp khi điệu kiện biên trên
hai cạnh khác nhau là dạng Neumann, sử dụng phương pháp biến đổi tọa độ
trên cơ sở của hàm chuẩn xây dựng các hàm
trả lại nghiệm bằng số của các bài toán
tương ứng.
Trường hợp 3: Điều kiện biên trên ba cạnh của hình chữ nhật là dạng
Neumann
Tương tự như trên, thiết kế hàm RC0003 (phi, b1, b2, b3, b4, 11, 12,
k1, k2, c, N, M, n) thực hiện thuật toán thu gọn khối lượng và xây dựng các
hàm v0111(…), v1110(…), v1101(…), v1011(…) trả lại nghiệm bằng số cho
các bài toán tương ứng.
Trường hợp 4: Điều kiện biên trên tất cả các cạnh của hình chữ nhật
là Neumann
Với độ chính xác chuyển bài toán vi phân (1.13) về bài
toán sai phân tương ứng với hệ phương trình vector ba điểm:
20
Trong đó là vector nghiệm, là vector cấp là ma trận hệ số
cấp được xác định như sau:
21
Trên cơ sở của thuật toán thứ hai áp dụng trong trường hợp tổng quát,
thiết kế hàm thực hiện
thuật toán thu gọn, hàm
trả lại
ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.13)
Qua thực nghiệm tính toán, các hàm thiết kế ở trên đảm bảo độ chính
xác và độ phức tạp tính toán là .
Kết luận
Các kết quả xây dựng thư viện số RC2009 sẽ được sử dụng để cài đặt
tất cả các thuật toán sẽ được trình bày trong các chương sau của luận văn.
22
Chƣơng 2
MÔ HÌNH BÀI TOÁN CƠ HỌC
VÀ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM XẤP XỈ
Nội dung chính của chương 2 sẽ nghiên cứu mô hình của một bài toán
mô tả chuyển động trượt của một tấm trong môi trường chất lỏng, mô hình
này sẽ được mô tả bởi một bài toán song điều hòa với các hệ điều kiện biên
rất phức tạp. Các kết quả lý thuyết được tham khảo trong tài liệu [6].
2.1. Mô hình bài toán trƣợt của tấm trong môi trƣờng chất lỏng
2.1.1. Mô hình thực tế
Chúng ta nghiên cứu chuyển động của chiều dài trượt trong các chất
lưu Newton bị cắt phẳng giới hạn bởi các chất nền với các điều kiện biên
hỗn hợp. Phần phía trên gồm một bề mặt đồng nhất có khả năng trượt hữu
hạn, di chuyển với tốc độ không đổi song song với một phần đứng yên bên
dưới, mà bề mặt của phần bên dưới này khớp với một mảng của các đường
viền đại diện cho các vùng xen kẽ không có biến dạng và có hữu hạn hoặc
không có trơn trượt. Các trường vận tốc và các độ dài trượt được tính toán
bằng các mô phỏng động lực học phân tử và phương trình Stokes cho các
cấu hình dòng chảy hoặc là song song hoặc vuông góc với các đường viền.
Hợp nhất được các kết quả thủy động lực học và động lực học phân tử khi
là đường kính
bình thường hóa chiều rộng của các vùng trượt. Kí hiệu
phân tử (chất dẫn lưu) đặc trưng cho mối tương tác Lennard – Jones, là
kích thước của tấm . Trong mô hình này, giả sử thỏa mãn một tỉ lệ xác
định đồng thời các cấu hình dòng chảy ngang, khả năng tương tác không
đồng đều ở tường thấp tạo ra một bề mặt thô ráp mà các sóng bề mặt ở phạm
vi phân tử làm giảm chiều dài trượt hiệu dụng theo kết quả thủy động lực
23
học. Tính đối xứng tịnh tiến trong các dòng chảy dọc đã loại bỏ ảnh hưởng
của độ nhám ở phạm vi phân tử; tuy nhiên, việc sắp xếp phân tử giảm dần
có
trên các vùng trượt hữu hạn có khả năng thấm nước với các giá trị nhỏ
thể làm tăng giá trị chiều dài trượt hiệu dụng lớn hơn nhiều so với dự đoán
của thủy động lực học.
Hình 2.1. (a) hướng dòng chảy ngang và (b) hướng dòng chảy dọc cho
màng chất lưu bị cắt phẳng trong tế bào có ngăn vách d. Các đường viền đậm
hơn có chiều rộng a biểu thị cho các vùng trượt hữu hạn hoặc không có trượt.
Thành trên di chuyển với tốc độ không đổi U so với các bề mặt đứng yên bên
dưới (z=0). Chu kỳ hình học mẫu tường bên dưới được tính bằng λ.
2.1.2. Phương trình toán học và hệ điều kiện biên
a. Mô hình thủy động lực học
Với giả thiết hằng số Reynolds là rất nhỏ , trong đó
và biểu thị mật độ và độ nhớt của chất lỏng được coi là các hằng số không
đổi, giải thiết rằng lực quản tính là rất nhỏ có thể bỏ qua. Khi đó vận tốc dòng
chảy được xác định bằng phương trình Stokes
24
trong đó trường vận tốc thỏa mãn điều kiện không nén được tức là
và biểu thị khả năng phân bố áp suất mà trong mô hình này, nó
được gây ra bởi các chất nền có mẫu. Áp dụng toán tử laplace vào
phương trình Stokes và chú ý rằng trường áp suất thỏa mãn phương trình
. Khi đó ta thu được trường vận tốc thỏa mãn phương trình
.
Đây chính là phường trình song điều hòa đối với trường vận tốc
b. Cấu hình ngang
Trường vận tốc hai hướng tương ứng với cấu hình ngang trong Hình
2.1 được tính bởi công thức , trong đó
biểu thị hàm dòng chảy thỏa mãn phương trình liên tục .
Vector xoáy , trong đó chỉ có một
nghiệm khác không. Dựa vào những định nghĩa này, ta có:
(2.1)
c. Điều kiện biên
Miền tính toán được phác họa trong Hình. 2(a) được xác định như là
vùng bị giới hạn bởi tường trên và dưới và các đường nét đứt
tương ứng với các mặt phẳng giữa của các đường viền xung
quanh. Các bề mặt tường xác định các giới hạn không bị biến dạng (như các
bề mặt trượt hoàn toàn); các bề mặt sẫm màu biểu thị biên của các bề mặt
trượt hữu hạn hoặc không trượt. Kí hiệu các đạo hàm riêng .
25
Các tường đỉnh và đáy đại diện cho các bề mặt không thể xuyên thủng
trong , hoặc trong phạm vi hàm dòng chảy,
. Tiếp tuyến của trường vận tốc phải thỏa
mãn các điều kiện trượt và biến dạng hỗn hợp tại các thành trên và dưới của tế
bào. BC không biến dạng được biểu diễn bằng
. Các bề mặt trượt được đặc trưng theo
điều kiện trượt Navier:
và .
Giả sử chiều dài trượt Navier không đổi.
Hình 2.2 Miền tính toán và các điều kiện biên được dùng để giải nghiệm
phương trình Stokes tương ứng với các hướng dòng chảy ngang (a) và dọc (b)
trong Hình 2.1. Miền tính toán bao gồm vùng bị giới hạn bởi các tường trên
và dưới và và các đường nét đứt bên và , mà
được đặt ở các mặt phẳng giữa của các vùng không trượt và có trượt hữu hạn.
Các điều kiện biên bên với các trường vô hướng u bắt nguồn từ việc
xem xét tính chất đối xứng. Tường bên dưới gồm một số vô hạn các mặt
26
phẳng đối xứng gương được phân bố tại trung tâm đường viền
với mọi số nguyên . Do bề mặt trên là đồng nhất và bất biến, nên đối xứng
gương cũng được thể hiện bởi bề mặt dưới. Do đó trường vô hướng cũng
cho giả sử đối xứng gương ở trung tâm đường viền sao cho
và với mọi và số nguyên .
Từ phương trình liên tục, ta có phương trình . Do
các tường trên và dưới không thể xuyên thủng tức là
vì vậy ta có điều kiện
.
Phương trình liên tục cần . Cùng với điều kiện
, điều này biểu thị sao cho
và với mọi , trong đó .
Thế hệ thức cuối này và hệ thức vào phương trình
biểu diễn , ta có . Các vùng không có biến dạng ở
tường thấp được giới hạn bởi điều kiện .
Dọc theo các tường đỉnh và đáy, thành phần vô hướng không phụ
thuộc vào tọa độ và do đó, . Kết quả là độ
27
xoáy ở tường đỉnh và đáy giảm xuống và các điều kiện trượt Navier
được viết lại thành
và .
Hệ thức biểu thị rằng hàm
dòng chảy là hàm hằng trong các mặt phẳng và mà giá trị của
nó được biểu thị bằng và . Sự chênh lệch giá trị hàm dòng chảy
giữa các thành đỉnh và đáy được tính bằng thông lượng thể tích trên mỗi đơn
Do đó
vị chiều dài dọc theo trục
(2.2)
Bởi vì hàm dòng chảy chỉ được xác định bởi một hằng số tùy ý, nên
không giảm tổng quát, ta đặt giá trị trong nghiên cứu này bằng 0.
Với các phân tích trên, mô hình tổng quát của bài toán thỏa mãn hệ các
điều kiện biên sau đây:
(2.3)
(2.4)
(2.5)
28
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
Như vậy, mô hình của bài toán trượt của tấm trong môi trường chất
lỏng được đưa về tìm nghiệm của phương trình song điều hòa (2.1) với hệ
điều kiện biên (2.3)- (2.9). Chúng ta có thể thấy đây là một mô hình toán học
với hệ điều kiện biên hết sức phức tạp.
Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của
bài toán này dựa trên việc xây dựng các sơ đồ lặp bằng việc sử dụng lý thuyết
sơ đồ lặp 2 lớp.
2.2. Phƣơng pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ
Xuất phát từ mô hình tổng quát của bài toán trượt các tấm phim trong
môi trường chất lỏng, mô hình toán học của bài toán được biểu diễn bằng bài
toán biên sau đây (xét theo hướng dòng chảy ngang)
29
(2.10)
Hình 2.3
Kí hiệu:
Trong đó: là các hàm cho trước, là hằng số không âm.
là đạo hàm pháp tuyến nên
Có thể thấy rằng mô hình bài toán biên được mô tả trong hình 2.3 là
trường hợp đặc biệt của bài toán song điều hòa với điều kiện biên phức tạp sau
đây:
(2.11)
Trong đó hệ điều kiện biên trên các biên được cho bởi hình 2.4
30
Hình 2.4
Nhận xét:
Nếu đặt
Khi đó nếu xác định được các giá trị của và thì bài toán hoàn
toàn giải được bằng phương pháp phân rã về hai bài toán cấp 2 bằng cách đặt
. Việc giải bài toán được đưa về hai bài toán:
(2.12)
31
(2.13)
Như vậy vấn đề mấu chốt là việc xây dựng phương pháp lặp xác định
và .
2.2.1. Xây dựng sơ đồ lặp xác định
Chúng ta xét điều kiện trên
(2.14)
Hay
Đây chính là phương trình toán tử dạng trong đó:
.
Xuất phát từ cơ sở lý thuyết về các sơ đồ lặp 2 lớp được đưa ra trong
chương1, khi đó có thể được xác định từ sơ đồ lặp sau đây:
(2.15)
Theo lý thuyết, nếu A là toán tử tuyến tính, đối xứng, xác định dương
thì sơ đồ lặp là hội tụ và .
32
Bằng việc sử dụng lý thuyết toán tử trong các không gian hàm, trong
[3] đã chứng minh sơ đồ lặp trên là hội tụ.
2.2.2. Xây dựng sơ đồ lặp xác định
Hoàn toàn tương tự, xét trên , ta có:
Đây cũng là phương trình toán tử dạng . Do đó theo
lý thuyết, hàm cũng được xác định bởi sơ đồ lặp:
(2.16)
Như vậy trên cơ sở của lý thuyết các sơ đồ lặp, nghiệm xấp xỉ của bài
toán tổng quát được xác định bởi sơ đồ lặp sau đây:
Bƣớc 0: Xuất phát từ các giá trị ban đầu
trên , trên
Bƣớc 1: Với giải lần lượt hai bài toán biên cấp hai trên
1. Bài toán với
(2.17)
33
2. Bài toán với
(2.18)
Bƣớc 2: Hiệu chỉnh các giá trị cho bước lặp sau
(2.19)
Nhận xét: + Các bài toán (2.17) - (2.18) đều là các bài toán biên elliptic cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp,do đó việc tìm nghiệm xấp xỉ sẽ luôn luôn xác định được bằng cách sử dụng các hàm v1100(..) trong thư viện RC2009.
+ Sự hội tụ của các sơ đồ lặp (2.19) hoàn toàn phụ thuộc vào cách chọn - theo điều kiện. Về mặt lý thuyết, để đảm bảo điều kiện giá trị các tham số
hội tụ của sơ đồ lặp 2 lớp, ta cần chọn tham số .
Kết luận: Nội dung chính của chương 2 đã nghiên cứu mô hình trượt của tấm trong môi trường chất lỏng với các điều kiện cơ học và vật lý đặc biệt. Mô hình này đã đưa về mô hình toán học của bài toán song điều hòa với các hệ điều kiện biên rất phức tạp. Dựa trên lý thuyết về sơ đồ lặp 2 lớp, luận văn đã xây dựng phương pháp lặp cho bài toán tổng quát. Các kết quả kiểm tra sự hội tụ của sơ đồ lặp sẽ được đưa ra trong chương 3 của luận văn.
34
Chƣơng 3
MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SỐ
Để kiểm tra sự hội tụ cũng như tốc độ hội tụ của thuật toán lặp giải bài
toán cơ học tổng quát, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp sai phân với độ
chính xác cấp hai chuyển các bài toán vi phân (2.17) - (2.18) về
các hệ phương trình vector 3 điểm, sau đó sử dụng các hàm trong thư viện
RC2009 để xác định nghiệm số của các bài toán cấp hai từ đó suy ra nghiệm
của bài toán song điều hòa gốc tổng quát.
Trong phần thực nghiệm, miền luôn được lấy là miền hình chữ nhật
. Lưới chia sai phân .
Trong trường hợp khi biết nghiệm chính xác thì sai số bước lặp được
lấy là trong đó kí hiệu là nghiệm đúng của bài
toán, trong mọi trường hợp, sai số trong tính toán được xác định là
3.1 Kết quả kiểm tra trong trƣờng hợp biết trƣớc nghiệm đúng
Bảng 3.1: Kết quả so sánh giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ
35
Số bƣớc lặp
1 0.0999 3.7651
2 0.0425 0.0577
3 0.0202 0.0233
4 0.0098 0.0104
5 0.0048 0.0050
6 0.0024 0.0024
7 0.0012 0.0012
8 5.10-4 5.10-4
9 3.10-4 2.10-4
10 1.10-4 1.10-4
11 8.10-5 7.10-5
12 4.10-5 3.10-5
13 2.10-5 1.10-5
14 1.10-5 2.10-6
15 9.10-6 1.10-6
Hình 3.1: Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ
36
Bảng 3.2: Kết quả so sánh giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ
Số bước lặp
1 0.1179 1.2121
2 0.0045 0.1136
3 7.810-5 0.0045
4 1.3.10-4 1.0810-4
5 1.357.10-4 5.410-6
6 1.359.10-4 1.710-7
7 1.359.10-4 8.10-9
8 1.359.10-4 3.210-10
9 1.359.10-4 1.510-11
10 1.359.10-4 6.10-13
Hình 3.2: Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ
37
3.2 Kết quả xác định nghiệm của bài toán trƣợt của tấm trong môi
trƣờng chất lỏng
Xuất phát từ kết quả xây dựng sơ đồ lặp giải bài toán tổng quát, bài toán
trượt của tấm trong môi trường chất lỏng thực chất là trường hợp đặc biệt khi
hàm vế phải và đồng thời tất cả các điều kiện biên là dạng thuần nhất tức
là trừ điều kiện biên . Các kết
quả thực nghiệm cũng được xác định từ thuật toán lặp tương ứng.
Bảng 3.3: Kết quả so sánh giữa hai bƣớc lặp liên tiếp
Số bước lặp 1 Số bước lặp 8 20.08 8.2e-11
2 9 0.220 2.1e-12
3 10 0.0026 7.2e-14
4 11 1.510-4 1.0e-14
5 12 1.9e-6 3.5e-16
6 13 1.08e-7 1.0e-16
7 14 2.0e-9 5e-17
Hình 3.3: Đồ thị nghiệm xấp xỉ của bài toán gốc
38
Nhận xét:
1. Sơ đồ lặp là hội tụ với tốc độ hội tụ nhanh, sai số của phương pháp là
tương đương với phù hợp với lý thuyết sai phân với độ chính xác
cấp hai, tham số lặp được lựa chọn trong khoảng trong đó qua thực
nghiệm có thể thấy với việc chọn thì sơ đồ lặp là hội tụ nhanh nhất.
2. Sơ đồ lặp trên vẫn có thể áp dụng được đối với các bài toán biên
tổng quát với các hệ điều kiện biên dạng Dirichlet và Neumann tùy ý trên các
đoạn biên khác nhau. Ví dụ có thể thay các hệ điều kiện biên dạng Neunam
trên các biên bằng dạng Dirichlet…
3. Khi thay điều kiện hoặc
bằng các hệ điều kiện biên dạng tổng quát
thì chúng ta vẫn có thể xây dựng các sơ đồ lặp 2 lớp để xác
định giá trị . Tuy nhiên việc chứng minh sự hội tụ của sơ đồ lặp là
một bài toán khó, hoàn toàn phụ thuộc vào dạng toán tử .
39
KẾT LUẬN
Nội dung chính của luận văn đã nghiên cứu một mô hình của bài toán
trượt của tấm trong môi trường chất lỏng với các điều kiện vật lý và cơ học rất
phức tạp. Các kết quả chính của luận văn gồm có:
1. Trình bày các kiến thức cơ bản liên quan đến các không gian hàm, lý
thuyết về sơ đồ lặp 2 lớp, phương pháp sai phân, phương trình song điều hòa,
thuật toán thu gọn khối lượng tính toán và thư viện số giải bài toán elliptic cấp
hai trên miền hình chữ nhật.
2. Trên cơ sở tài liệu [6], luận văn đã nghiên cứu mô hình tổng quát của
bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏng, xây dựng mô hình toán học
cùng các hệ điều kiện biên của bài toán song điều hòa.
3. Trên cơ sở của lý thuyết các sơ đồ lặp và lý thuyết toán tử, luận văn
đã xây dựng sơ đồ lặp xác định các giá trị biên, từ đó đề xuất sơ đồ lặp tìm
nghiệm xấp xỉ của bài toán trượt của tấm trong trường hợp tổng quát.
4. Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab version 7.0 tiến hành xây dựng
các chương trình tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán dựa trên các sơ đồ lặp, kiểm
tra độ chính xác của thuật toán trên máy tính điện tử.
Hướng phát triển của luận văn là tiếp tục nghiên cứu các mô hình cơ
học và vật lý phức tạp hơn có dạng mô hình bài toán song điều hòa.
40
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu tiếng Việt
1. Tạ Văn Đĩnh (2002), Phương pháp sai phân và phương pháp phần tử
hữu hạn, Nhà xuất bản khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
2. Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Nguyễn Thị Tuyển (2010), “Xây dựng
bộ chương trình RC2009 giải số bài toán biên elliptic với hệ số hằng”, Tạp
chí Khoa học và Công nghệ Đại học Thái Nguyên, T.69(07):56-63.
Tài liệu tiếng Anh
3. Dang Q. A, Le Tung Son (2007), “Interative method for solv-ing a
mixed boundary value problem for biharmonic equation”, Advances in
Deterministic and Stochastic Analysis Eds. N. M. Chuong et al. World
Scientific Publishing C, pp 103 – 113
4. Dang Q. A, Truong Ha Hai, Vu Vinh Quang (2012), “Interative Method
for a Biharmonic Problem with Crack Singgularities”, Applied
Mathematical Sciences, 6(62), pp 3095-3018
5. Marchuk G.I. (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer,
New York.
6. Priezjev Nikolai V., Darhuber Anton A., Troian Sandra M. (2005),
“Slip behavior in liquid flims on surfaces of patterned wettability:
Comparison between continuum and molecular dynamics simulations”,
Microfluidic Reasearch and Engineering Laboratory, Princeton
University
7. Samarskij A. and Nikolaev E. (1989), Numerical methods for Grid
Equations, Birkhauser, Basel.
41
PHỤ LỤC
Các chƣơng trình nguồn giải bài toán trƣợt
trong môi trƣờng chất lỏng
1. Trƣờng hợp biết trƣớc nghiệm đúng
function quang_ha=quang_ha(a,b,n,t,epxilon)
% Chuong trinh giai bai toán truot tam phim trong moi truong chat long
% Ngay lap 5/4/2016
% Da kiem tra chính xac
clc
k1=1;k2=1;
cc=0;
N=2^n;
M=2*N;
p1=1;p2=N+1;p3=2*N+1;p4=3*N+1;
q1=1;q2=N+1;q3=2*N+1;
h=a/M;k=b/N;x10=-a;x20=0-b/2;bb=7;to=1/(bb+0.4);
%==================================Giai mien 2=============
% Buoc 0: Khoi dong cac gia tri ban dau
phi2(1:M+1)=zeros(1,M+1);
phi4(1:N+1)=zeros(1,N+1);
uluu=zeros(M+1,N+1);
for i=0:M
for j=0:N
x1=x10+i*h;
x2=x20+j*k;
phi(i+1,j+1)=vp(x1,x2,k1,k2,cc);% Ham ve phai
ud(i+1,j+1)=u(x1,x2);
end;
end;
thoigian=cputime;saiso=10;count=0;ss=10;
while and(count
for j=0:N
x2=x20+j*k;
b1(j+1)=dh3x(x10,x2);
b2(j+1)=dh3x(x10+a,x2);
end;
% Dieu kien tren canh duoi va tren
for i=0:M
x1=x10+i*h;
if i 42 uluu=u2;
saiso
ss
ss1(count)=saiso;
ss2(count)=ss;
ph02(1:M+1)=-v2(p1:p3,q2);
for i=0:M
x1=x10+i*h;
g4(i+1)=-dh1y(x1,x20+b)+bb*delta(x1,x20+b);
end;
du2=dy(p1,p3,q2,ph02,u2,h,k,1,1,M,-1);
phi2=phi2+to*(g4-du2-bb*phi2);
ph04(1:N+1)=-v2(p2:p3,q1);
for i=N:M
x1=x10+i*h;
g8(i-N+1)=dh1y(x1,x20)-bb*delta(x1,x20);
end;
du4=dy(p2,p3,q1,ph04,u2,h,k,1,1,N,1);
phi4=phi4+to*(-g8+du4-bb*phi4);
end;
%=======================
thoigian=cputime-thoigian
count
X1=linspace(x10,x10+a,M+1);%Khoi tao vector X1
X2=linspace(x20,x20+b,N+1);%Khoi tao vector X2
hold on;
figure(1)
[X,Y]=meshgrid(X1,X2);
mesh(X,Y,u2');
title('Do thi nghiem xap xi')
xlabel('x')
ylabel('y')
hold on;
figure(2)
plot(1:count,ss1');
title('Do thi sai so')
xlabel('buoc lap')
%===================================
function u=u(x1,x2)
u=exp(x1)*sin(x2)+x1^4-x2^4;
function dh1x=dh1x(x1,x2)
dh1x=exp(x1)*sin(x2)+4*x1^3;
function dh2x=dh2x(x1,x2) 43 dh2x=exp(x1)*sin(x2)+12*x1^2;
function dh3x=dh3x(x1,x2)
dh3x=24*x1;
function dh4x=dh4x(x1,x2)
dh4x=24;
function dh1y=dh1y(x1,x2)
dh1y=exp(x1)*cos(x2)-4*x2^3;
function dh2y=dh2y(x1,x2)
dh2y=-exp(x1)*sin(x2)-12*x2^2;
function dh3y=dh3y(x1,x2)
dh3y=-24*x2;
function dh4y=dh4y(x1,x2)
dh4y=-24;
function delta=delta(x1,x2)
delta=dh2x(x1,x2)+dh2y(x1,x2);
function vp=vp(x1,x2,k1,k2,cc)
vp=-k1*dh4x(x1,x2)-k2*dh4y(x1,x2)+cc*delta(x1,x2); 44 function quang_ha_1=quang_ha_1(a,b,n,t,epxilon) % Chuong trinh giai bai toán truot tam phim trong moi truong chat long % Ngay lap 5/4/2016 % Da kiem tra chính xac % Truong hop bai toan goc clc k1=1;k2=1;cc=0; N=2^n;M=2*N; p1=1;p2=N+1;p3=2*N+1;p4=3*N+1; q1=1;q2=N+1;q3=2*N+1; h=a/M;k=b/N;x10=0;x20=0;bb=10;to=1/(2*bb); %==================================Giai mien 2============= % Buoc 0: Khoi dong cac gia tri ban dau phi2=zeros(1,M+1); phi4=zeros(1,N+1); uluu=zeros(M+1,N+1); X1=linspace(x10,x10+a,M+1);%Khoi tao vector X1 X2=linspace(x20,x20+b,N+1);%Khoi tao vector X2 thoigian=cputime;saiso=10;count=0;ss=10; while and(count count=count+1; % Giai bai toan voi v phi=zeros(M+1,N+1); b1=zeros(1,N+1); b2=zeros(1,N+1); % Dieu kien tren canh duoi va tren b3(1:N)=zeros(1,N); b3(N+1:M+1)=phi4(1:N+1); b4=phi2; v2=u1100(phi,b1,b2,b3,b4,a,b,k1,k2,cc,M,N,n,p1,p3,q1,q2); % Giai bai toan voi u % Gia tri ve phai và nghiem dung phi=-v2; % Dieu kien tren canh trai va phai b1=zeros(1,N+1); b2=zeros(1,N+1); b3=zeros(1,M+1); % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M x1=x10+i*h; b4(i+1)=utop(x1,x20+b); end; u2=u1100(phi,b1,b2,b3,b4,a,b,k1,k2,cc,M,N,n,p1,p3,q1,q2); ss=0; for i=0:M for j=0:N if ss ss=abs(u2(i+1,j+1)-uluu(i+1,j+1)); end; end; end; uluu=u2; ss ss1(count)=ss; ph02(1:M+1)=-v2(p1:p3,q2); 45 for i=0:M x1=x10+i*h; g4(i+1)=UL(x1,x20+b); end; du2=dy(p1,p3,q2,ph02,u2,h,k,1,1,M,-1); phi2=phi2+to*(g4-du2-bb*phi2); ph04(1:N+1)=-v2(p2:p3,q1); g8(1:N+1)=zeros(1,N+1); du4=dy(p2,p3,q1,ph04,u2,h,k,1,1,N,1); phi4=phi4+to*(-g8+du4-bb*phi4); end; %======================= thoigian=cputime-thoigian count hold on; figure(1) [X,Y]=meshgrid(X1,X2); mesh(X,Y,u2'); title('Do thi nghiem xap xi') xlabel('x') ylabel('y') hold on; figure(2) plot(1:count,ss1'); title('Do thi sai so') xlabel('buoc lap') %=================================== function utop=utop(x1,x2) utop=exp(x1+x2); function UL=UL(x1,x2)
UL=x1^4+x2^4; 462. Trƣờng hợp không biết trƣớc nghiệm đúng
