BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đoàn Thị Thủy Tiên PHƯƠNG PHÁP TỰA ĐẢO CHO BÀI TOÁN PARABOLIC PHI TUYẾN NGƯỢC THỜI GIAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đoàn Thị Thủy Tiên PHƯƠNG PHÁP TỰA ĐẢO CHO BÀI TOÁN PARABOLIC PHI TUYẾN NGƯỢC THỜI GIAN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số:
60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG
Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CAM ĐOAN
Trong quá trình làm luận văn này, tôi đã tìm và tham khảo ở nhiều sách
vở, các bài báo toán học của các nhà khoa học và luận văn, luận án đã có.
Nhưng tôi xin cam đoan không sao chép và xin chịu mọi trách nhiệm với lời
cam đoan của mình.
Tác giả
Lời cảm ơn
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy – GS.TS
Đặng Đức Trọng, người đã trực tiếp hướng dẫn và luôn tạo điều kiện, giúp đỡ
cho tôi trong suốt thời gian làm luận văn.
Bên cạnh đó, tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô đã hết lòng dạy bảo và
truyền đạt kinh nghiệm trong suốt hai năm qua.
Cảm ơn bạn bè, các bạn học viên cao học Giải tích khóa 23 đã luôn
khuyến khích, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập.
Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, là chỗ dựa
vững chắc giúp tôi học tập và hoàn thành tốt luận văn của mình.
Học viên
Đoàn Thị Thủy Tiên.
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 5
1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn ....................................................... 5
1.2. Không gian Hilbert ............................................................................... 7
1.3. Lý thuyết toán tử ................................................................................ 10
C
0,
;
1.4. Phổ của toán tử ................................................................................... 13
T H ................................................................... 14
[
]
(
)
1.5. Không gian
1.6. Nửa nhóm các toán tử liên tục đều .................................................... 14
1.7. Định nghĩa bài toán không chỉnh ....................................................... 18
1.8. Lược đồ chỉnh hóa ............................................................................. 19
1.9. Bổ đề Gronwall .................................................................................. 22
1.10. Bổ đề: một số bất đẳng thức được sử dụng ...................................... 22
Chương 2. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH ........................................................... 24
2.1. Các định lý quan trọng ....................................................................... 24
2.2. Chứng minh các định lý quan trọng ................................................... 26
Chương 3. ÁP DỤNG .................................................................................... 41
KẾT LUẬN .................................................................................................... 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 48
1
MỞ ĐẦU
Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng xuất hiện trong nhiều
lĩnh vực khác nhau của công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử lý
ảnh,... Đó là những bài toán khi các dữ kiện của quá trình vật lý không đo đạc
được trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ những dữ kiện đo đạc gián tiếp.
Trong đề tài này, ta đề cập đến phương trình parabolic ngược thời gian. Đó là
bài toán cho phương trình parabolic khi điều kiện ban đầu không được biết
mà ta phải xác định nó khi biết điều kiện cuối cùng (đó là lí do tại sao bài toán
này được gọi là ngược thời gian).
Phương trình parabolic ngược thời gian là lĩnh vực được nghiên cứu rất
sôi động thu hút nhiều nhà toán học nổi tiếng trong và ngoài nước bời nó có
nhiều ứng dụng trong khoa học kĩ thuật như: vật lý, cơ học, vật lý địa cầu, xử
lý ảnh, toán tài chính,… Cho đến nay ở nước ngoài đã có hơn 300 công trình
công bố trên các tạp chí quốc tế uy tín, trong đó có sự tham gia của nhiều nhà
toán học nổi tiếng như John, Agmon, Nirenberg, Tikhonov,… Trong nước, có
thể kể đến là hai nhóm nghiên cứu mà dẫn đầu là Đinh Nho Hào và Đặng Đức
Trọng. Ngoài ra, một số nhà toán học có tên tuổi cũng quan tâm hướng nghiên
cứu này như Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường,…
+
=
≤ <
=
f
0
t T
,
( ) Au t
( ) t u t ,
(
)
) ( u T ϕ
(
) 0.1
(
)
tu
Trong bài, ta xét bài toán giá trị cuối sau
)D A của
(
trong đó A là toán tử tự liên hợp xác định trên không gian vectơ con
( )S t
trên H . không gian Hilbert H sao cho A− sinh ra nửa nhóm co compact
1A− compact, ta có một cơ sở riêng trực chuẩn { }pφ của H và giá trị riêng
=
Từ
1A− sao cho
φ p
− 1 A φ p
1 pλ
1 λ p
của . Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng
<
≤
0
...,
= ∞ .
≤ λ λ 2
1
λ p
lim →∞ p
:f
H
2
Hϕ∈ là giá trị cuối đã được xác định và
× → H
Cho là một hàm
)0.1 là bài
Lipschitz. Ta cũng biết rằng bài toán phi tuyến không thuần nhất (
Hϕ∈ , và
−
toán không chỉnh. Thật vậy, lời giải không nhất thiết phải tồn tại
( ) 1 S t
(
)0.1 không ổn định vì
không là họ các toán tử tuyến tính bị chặn. Một
)0.1 là bài toán nhiệt ngược
∈ Ω ×
,
x t ,
T
)
( f x t u , ,
=
( ∈ ∂Ω ×
) T
0,
x t ,
0,
,
0.2
( (
0, (
, )
(
)
=
ϕ
) ) x
,
∈ Ω ,
− ∆ = u ) )
( ) x
tu ( u x t , ( u x t ,
N
N
Ω =
0,
ví dụ cho bài toán (
(
) π
)0.1 tương ứng với
⊂ . Đây là một ví dụ cho bài toán (
2 H L=
Ω và A = −∆ (được liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất)
(
)
N
/2
sin
...sin
với
( ) x
(
)
(
)
φ p
p x 1 1
p x N N
2 π
=
2
N
N
=
∈
=
∈
và có cơ sở riêng và giá trị riêng
pλ =
p
,...,
p
,
x
,...,
x
(
)
(
)
và
N
N
p 1
x 1
p
2
=
p
+ + ...
p
. Ở đây ta kí hiệu
2 N
2 p 1
0
.
f = tuyến tính thuần nhất
Bài toán có một lịch sử lâu dài. Trường hợp
của bài toán này được nghiên cứu bởi khá nhiều tác giả với nhiều cách tiếp
cận khác nhau. Sau công trình tiên phong của Lattès và Lions [9] vào năm
1967, Miller [13], Payne [14, 15] và nhiều tác giả khác, đa số họ đều xấp xỉ
bài toán tuyến tính bằng cách nhiễu toán tử A . Phương pháp của họ gọi là
phương pháp tựa đảo (quasi-reversibility method, gọi tắt là phương pháp QR)
hữu hiệu cho bài toán thuần nhất, tuy nhiên trong trường hợp phi tuyến vẫn
chưa được hoàn tất. Năm 1983, Showalter [16] đưa ra một phương pháp khác
gọi là phương pháp tựa giá trị biên (quasiboundary value, gọi tắt là phương
pháp QBV) để chỉnh hóa bài toán phi tuyến thuần nhất, đưa ra ước lượng ổn
3
định hơn các phương pháp từng có. Năm 1994, Clark và Oppenheimer [4]
chỉnh hóa bài toán tuyến tính bằng cách sử dụng phương pháp QBV. Gần đây,
một số phiên bản khác của phương pháp QBV trong bài toán tuyến tính đã
được đưa ra bởi Denche và Bessila [5] và Hao et al. [6]. Một số phương pháp
chỉnh hóa khác cho bài toán tuyến tính được phát triển bởi Ames và Hughes
[2], Huang et al. [7], Ivanov et al. [8], Lee và Sheen [10], và Mel’nikova et al.
[12].
1T = bởi bài toán
)0.1 với thời gian cuối
Mặc dù đã có nhiều công trình về bài toán ngược trong trường hợp tuyến
t
( − − 1
) ββ AA
+
=
e
,
( ) t
( ) t
′ v β
A v β β
= β ϕ , v
( f v β
)
=
+
tính thuần nhất, nhưng trường hợp phi tuyến thì hiếm hơn. Mới đây, Long và Dinh [11] đã xấp xỉ (
( A I
β − ) 1 A
A β
−
−
trong đó là một toán tử xấp xỉ của A . Tuy nhiên, họ thu
0
t > . Đánh giá này thuộc
t
) ε
( ( 2 ln 1 /
) 1
với mỗi được đánh giá sai số của
t > cố định nhưng không dùng được khi
0
t = . 0
loại logarit tại
Nội dung chính của luận văn là dùng phương pháp QR để chỉnh hóa bài
toán và cải tiến kết quả hội tụ của các phương pháp trước đây, đồng thời
chứng minh phương pháp này có độ ổn định tốt hơn các nghiên cứu trước đó.
)0.1 được xấp xỉ bởi
+
=
≤ <
=
ϕ
B
t
f
t T
0
,
0
.3
)
( ) ε u t
( ε ,
)
( ) ε t u t ,
(
)
( ε u T
)
(
( ) ε A u t ε
(
)
d dt
( ),B tε được định nghĩa theo (
)0.4 và (
)0.5 dưới đây.
Đặc biệt, phương pháp này thật sự hiệu quả khi xét đến bài toán phi tuyến. Bài toán (
∞
=
∈
=
,
,
1,2,...,
v
v
v
p
trong đó Aε và
φ p p
p
∑
p
= 1
ta định Với mỗi v H∈ có khai triển
nghĩa các toán tử như sau
∞
−
λ t p
=
,
S t
e
v
( )( ) v
φ p p
∑
= 1
p
N
−
T
λ p
= −
+
ln
,
0.4
e
v
(
)
( ) A v ε
p
p
∑
( εφ λ p
)
= 1
p
∞
λ p
− t T T
=
∈
+
,
0,
,
0.5
B
T e
v
t
T
t
( ε ,
)( ) v
(
)
[
]
p
p
εφ λ p
∑
)
1 T ( 1
= 1
p
∞
−
T
λ p
− t T T
− t T T
=
+
=
+
,
Q
v
t
e
( ε ,
)( ) v
( A S T
)
( ) v
( ε
)
φ p p
∑
( ε λ p
)
= 1
p
−
1
∈
=
4
ln
T
*,
N
) N N ε
(
λε − 1 ≤ N T
(
)
với sao cho .
Ngoài phần mở đầu giới thiệu về đề tài cũng như nội dung cần đạt được,
luận văn được viết thành ba chương chính:
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Phần này trình bày cơ bản những định nghĩa, ví dụ, định lý về các không
gian tuyến tính định chuẩn, không gian Hilbert, lý thuyết toán tử, đại số
Banach, phổ của toán tử, lý thuyết nửa nhóm,… và các bổ đề là các bất đẳng
thức được sử dụng để chứng minh trong chương 3.
Chương 2. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH
Phần này nêu và chứng minh các định lý quan trọng.
Chương 3. ÁP DỤNG
Phần này đưa ra một ví dụ cụ thể để áp dụng phương pháp đã trình bày.
5
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Đa phần các kết quả dưới đây được tổng hợp từ [1], [3].
1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn
1.1.1. Không gian vectơ
Định nghĩa 1.1.1.1. Kí hiệu K là trường số thực hoặc trường số phức .
× → và một phép nhân vô hướng
X ≠ ∅ , trong đó có một phép cộng X X
X
× → , thỏa mãn các điều kiện
K X
X
x
y
x
,
+ = + y
Một không gian vectơ (hay không gian tuyến tính) trên K là một tập
+
+ = +
+
x
y
x
z
y
z
1)
(
)
(
),
x
xθ+ =
,
Xθ∈ , gọi là phần tử trung hòa sao cho
2)
∀ ∈
− ∈ , gọi là phần tử đối của x sao cho
\
3) Tồn tại
{ } x X θ
x
( + −
) = x θ ,
+
=
x
y
+ λ λ y
x
,
, tồn tại x X 4)
( λ
)
+
+
x
x
,
5)
)
( = λ µ λ µ x
x
6)
( λµ λ µ= x
)
(
),
x=
7)
,
8) Tồn tại phần tử 1 K∈ sao cho 1.x
x y z X∈ , mọi ,
λµ∈ .
K
,
với mọi
Ví dụ.
],C a b tập hợp các hàm thực (hoặc phức) liên tục trên [
[
],a b là không
1.
gian tuyến tính thực (hoặc phức) với phép cộng hàm số và phép nhân
thông thường.
∞
2
2
=
=
< ∞
l
x
,...,
,
6
(
) ,... ,
x x , 1 2
x n
∈ x K i
x i
∑
= 1
i
là không gian tuyến tính 2.
với phép cộng và phép nhân một số theo tọa độ.
1.1.2. Không gian tuyến tính định chuẩn
Định nghĩa 1.1.2.1. Cho X là không gian vectơ trên trường K. Chuẩn trên X là
. : X →
một ánh xạ
≥ ∀ ∈
thỏa mãn các tiên đề chuẩn sau
x
x X
0,
;
x
= ⇔ = , x θ
0
= λ λ
∀ ∈
λ
N1:
x
x
,
x X
,
∈ , K
+
≤
+
∀
∈ .
N2:
x
y
x
y
,
x y X ,
N3:
.
, .X
Định nghĩa 1.1.2.2. Một không gian vectơ X trên K cùng với chuẩn trong
. nó được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn trên K (thường gọi là ) không gian định chuẩn), kí hiệu (
trong không gian định chuẩn X được gọi là Định nghĩa 1.1.2.3. Một dãy { }nx
0ε> , tồn tại
0n (phụ thuộc ε) sao cho với mọi
−
dãy Cauchy nếu với mọi
< . ε
x n
x m
,n m n≥ 0
ta đều có
Định nghĩa 1.1.2.4. Một không gian được gọi là đầy đủ nếu và chỉ nếu mọi
dãy Cauchy đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.2.5. Một không gian định chuẩn đầy đủ gọi là không gian
Banach.
=
Ví dụ.
:
x
( ) x t
],C a b với chuẩn
[
sup ≤ ≤ a t b
∞
2
là không gian Banach. 1.
x
x i
∑
i
= 1
=
1/2
. 2. 2l là không gian Banach với chuẩn
:f X
, .X
7
X→ . Ta
)
là không gian định chuẩn và 1.1.3. Ánh xạ co và nguyên lý điểm bất động Định nghĩa 1.1.3.1. Cho (
f là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại hằng số
k ≥ sao cho với mọi
0
có:
−
≤
−
,x y X∈ ,
k x
y
( ) f x
( f y
)
.
Số k bé nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên được gọi là hệ số Lipschitz
1k < ta nói f là ánh xạ co hệ số k hay đơn giản f là k – co.
của f .
Nếu
X∈ là điểm bất động của f nếu
( f x
x= 0
0x
, .X
. Điểm
là không gian
)0 Định lý 1.1.3.2. (Định lý điểm bất động) Cho (
)
:f X
X→ đều tồn tại điểm bất động duy
Banach. Khi đó mọi ánh xạ co
x= có nghiệm duy nhất.
( ) f x
nhất, nghĩa là phương trình
1.2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.2.1.
Cho X là một không gian vector trên trường số K ( K = hoặc
x y ,
,
)
x y
K = ). Một ánh xạ từ X X×
được gọi là vào K , (
≥
= ⇔ =
x x ,
0;
x x ,
x θ ,
0
một tích vô hướng trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau
=
=
i)
y,
x
x y ,
y x ,
x y ,
+
=
+
x
′ , x y
x y ,
′ , x y
,
( ii) nếu K = ),
λ
λ=
x y ,
x y ,
,
iii)
iv)
∈ .
′ ∈ , x x y X ,
Kλ
,
với mọi
X
, .,.
8
.,. là một tích vô hướng trên X thì cặp (
)
được gọi là Nếu
không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không gian Unita, không gian
với tích vô hướng).
x
x x ,
= x
là Nếu .,. là một tích vô hướng trên X thì ánh xạ
một chuẩn trên X, gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng. Một không
, .,.
X
gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn (với chuẩn sinh bởi
)
là không gian Hilbert. Từ đây về sau ta kí hiệu H là tích vô hướng). Nếu không gian định chuẩn tương ứng đầy đủ thì ta nói (
không gian Hilbert.
2 L X µ (với X là tập đo được Lebesgue bất kì trong
,
Ví dụ.
)
(
n , µ là độ đo Lebesgue) là không gian vector gồm tất cả các hàm đo
2
f
1. Không gian
∈
khả tích Lebesgue. được f từ X vào K sao cho
,
(
) 2 f g L X µ ,
f g ,
f g ,
f g dµ
(
)
= ∫
X
, ánh xạ Với mọi
2 L X µ . Tích vô hướng này sinh ra
,
(
)
2
f
f
là một tích vô hướng trong
2 L X µ là không gian Hilbert.
,
)
(
∫
X
=
1/2
∞
2
2
=
∈
< ∞
l
,...,
.
. chuẩn
) ,... :
x x , 1 2
x n
x k
x k
∑ ,
k
= 1
(
2.
x
x=
y
y=
{ }i
{ }i
∞
, x y
, x y
(
)
x y k
k
= ∑
= 1
k
, , ánh xạ Trong 2l , với
9
∞
2
là một tích vô hướng. Tích vô hướng này sinh ra chuẩn
x
2, .,.
l
x k
)
∑
k
= 1
=
1/2
là không gian Hilbert. .(
],C a b các hàm thực liên tục trên [
[
],a b thì ánh xạ
b
x y ,
x y ,
( ) x t y t dt
( )
(
)
= ∫
a
,
, .,.
3. Trong
[ C a b
]
(
)
không là không gian là một tích vô hướng. Không gian
Hilbert.
≤
∀
x y ,
x y
,
x y X ,
∈ .
Tính chất 1.2.2.
2
2
2
±
=
+
±
x
y
x
y
x y ,
,
x y X ,
∈ .
a) Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:
2
2
2
2
+
+
−
=
+
∀
∈ .
x
y
x
y
y
x
2
x y X ,
,
b) Công thức nhị thức:
∀ )
2Re (
c) Đẳng thức bình hành:
Định nghĩa 1.2.3.
y⊥ ) nếu
Hai vector x, y trong không gian tiền Hilbert X được gọi là trực giao
x y = . ,
0
với nhau (kí hiệu x
= ∀ ∈
M
:
x X x y :
,
y M
0,
{ ⊥ = ∈
}
Cho M X⊂ . Tập
được gọi là phần bù trực giao của M.
Một hệ trực giao trong không gian tiền Hilbert X là một tập con A các
vector khác 0 của X sao cho hai vector khác nhau bất kì của A đều trực
x = với mọi
1
giao với nhau.
Một hệ trực giao A được gọi là hệ trực chuẩn nếu
1
x A∈ . Nói cách khác { }ne
ne = với mọi
*
⊥
≠
là một hệ trực chuẩn nếu
j
)
n ∈ và
e i
( e i j
.
=
10
B
:
∈ x A
x x
là hệ trực Chú ý, nếu A là một hệ trực giao thì hệ
chuẩn, và ta gọi hệ B là trực chuẩn hóa của hệ A.
trong không gian Hilbert H gọi là đầy đủ (hay toàn Hệ trực chuẩn { }ne
⊥ ⇒ =
∀ ∈ n
*,
x
x θ .
e n
vẹn) nếu và chỉ nếu nó có tính chất sau
Một hệ trực chuẩn đầy đủ của không gian Hilbert H được gọi là một
cơ sở trực chuẩn của H.
là một cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert H. Định lý 1.2.4. Cho { }ne
∞
=
∀ ∈
Khi đó
,
x
x H
, x e e n n
∑
= 1
n
∞
2
2
=
∀ ∈
(Khai triển Fourier). a)
,
x
x H
, x e n
∑
= 1
n
(Đẳng thức Parseval). b)
1.3. Lý thuyết toán tử
1.3.1. Toán tử tuyến tính
Giả sử X, Y là các không gian vectơ trên cùng một trường K.
Định nghĩa 1.3.1.1. Một không gian S được gọi là không gian con tuyến tính
X⊂ và S là không gian tuyến tính.
X vào Y nếu miền xác
của X nếu S
( D A
) ⊂
Định nghĩa 1.3.1.2. A là toán tử tuyến tính từ
)D A của nó là không gian con tuyến tính của X và với mọi
(
định
Kα β∈ ,
,
(
)
∈ ,x x D A 1
2
+
=
+
β
)
)
( A x
( α β α x A x 2 1
( A x 1
) 2 .
, mọi
( )A x thường được viết là Ax .
Đối với một toán tử tuyến tính, ảnh
11
X vào Y. Khi đó, A liên tục trên D(A) nếu và chỉ nếu tồn tại
Định lý 1.3.1.3. Cho X, Y là các không gian định chuẩn, A là toán tử tuyến
( D A
) ⊂
∈
tính từ
x D A
(
)
Ax
c x≤
.
( ) 1.1
Y
X
hằng số c sao cho với mọi ta có
=
≤
∀ ∈
Cận dưới đúng của các hằng số c thỏa mãn (1.2) được gọi là chuẩn của A
A
inf
c x
,
x X
{ c Ax :
}
Y
X
=
=
=
A
Ax
Ax
.
( 1.2
)
sup ≠ x 0
sup ≤ x 1
sup = x 1
Ax x
. Do đó và được kí hiệu là A , hay
Một toán tử tuyến tính thỏa mãn (1.1) được gọi là bị chặn. Vì vậy ta có
các kết quả quan trọng:
Định lý 1.3.1.4. Các khẳng định sau tương đương
0
0
0x = , nghĩa là
i) A bị chặn.
x n
→ ⇒ → . Ax n
ii) A liên tục tại
iii) A liên tục với mọi x X∈ .
Định lý 1.3.1.5. Cho X, Y là các không gian định chuẩn và A là toán tử tuyến
tính từ X vào Y. Nếu X hữu hạn chiều thì A liên tục.
,X Y là không gian các toán tử tuyến tính liên tục A từ X
)
,X Y là không gian con tuyến tính của K – không gian vectơ
1.3.2. Không gian các toán tử tuyến tính
Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên cùng một trường số K. Kí hiệu L ( )
(
,X Y là không gian định chuẩn, với chuẩn (1.2).
)
) ,X Y
vào Y. L ( L X Y tất cả các toán tử tuyến tính từ X vào Y. ,
) Bổ đề 1.3.2.1. L ( Định nghĩa 1.3.2.2. Một dãy các toán tử tuyến tính liên tục { }nA ⊂ L ( gọi là hội tụ đến A nếu 0
A− → khi n → ∞ , trong trường hợp đó ta nói
nA
nA hội tụ đều về A.
,X Y là không gian
)
12
Định lý 1.3.2.3. Nếu Y là không gian Banach thì L ( Banach.
1.3.3. Toán tử nghịch đảo
y= , thì A
Định nghĩa 1.3.3.1. Cho X, Y là các không gian định chuẩn và A là toán tử từ
X vào Y. Nếu với y Y∈ tùy ý có không quá một x X∈ sao cho Ax
được gọi là toán tử 1-1. Trong trường hợp này, tương ứng từ Y qua X xác định
1A− . Khi đó ta
một toán tử; toán tử này được gọi là nghịch đảo của A, kí hiệu
AA− = (1 1 1
YI=
là ánh xạ đồng nhất trên Y). nói A là khả nghịch và
)H là không gian các ánh xạ tuyến tính
1.3.4. Toán tử liên hợp
)H
)H là toán tử
Trong phần này, ta kí hiệu L (
*A ∈L (
=
liên tục từ H vào H. Định nghĩa 1.3.4.1. Toán tử liên hợp của A∈L (
,x y H∈ .
, Ax y
* , x A y
*A tồn tại và duy nhất,
sao cho với mọi
)H toán tử liên hợp
Định lý 1.3.4.2. Với mọi A∈L (
(
* * )A
A= và
*A
A=
. hơn nữa
Định nghĩa 1.3.4.3. Toán tử A trong không gian Hilbert H được gọi là tự liên
*A
A= .
hợp nếu
1.3.5. Toán tử compact
Y→ được gọi là compact nếu ảnh
:A X
(
tính Định nghĩa 1.3.5.1. Cho X, Y là các không gian định chuẩn. Toán tử tuyến )A B của hình cầu đơn vị đóng
)A B là tập compact.
(
B trong X là compact tương đối trong Y, nghĩa là
Định lý 1.3.5.2.
Y→ là một dãy các toán tử compact từ không gian
13
:nA X
i) Giả sử
:A X
Y→ bị chặn,
nA hội tụ
Banach X vào không gian Banach Y,
n
−
=
→
A
n
0
(
) → ∞ .
A n
sup ≠ x 0
− A x Ax x
đến A theo chuẩn, nghĩa là
,X Y , B ∈L (
,Y Z và A hoặc B compact thì BA
Khi đó A cũng là toán tử compact. ) ) ii) Nếu A∈L (
compact.
1.4. Phổ của toán tử
Định nghĩa 1.4.1. Đại số Banach là một không gian Banach phức cùng với
phép toán nhân có tính chất kết hợp và phân phối với phép cộng (nhưng
=
=
xy
x
( λ
)
( λ
) x y
( λ y
)
không giao hoán) thỏa mãn
≤
xy
x y
và
,x y ∈, λ∈ .
)X với phép nhân là
với mọi
Ví dụ. Nếu X là không gian Banach thì không gian L ( phép hợp thành các ánh xạ là đại số Banach.
Định nghĩa 1.4.2.
)X nếu
λ
Kλ∈ được gọi là giá trị chính quy đối với A∈L ( − = A
λ .1
A
)X .
− là khả nghịch trong L ( Trong trường hợp ngược lại ta nói λ là giá trị phổ của A.
Số
) S A và
(
)Aσ lần lượt là tập các giá trị chính quy và phổ
(
∪
=
∩
= ∅ .
Kí hiệu
A
,
A
( S A
)
( σ
)
( K S A
)
( σ
)
của A. Rõ ràng
)X nếu
λ −
≠ ∈ sao cho
14
x E
( ) 0 = .
Số λ được gọi là giá trị riêng của ánh xạ tuyến tính A∈L ( x A x tồn tại 0
Khi đó x được gọi là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ.
( λ σ∈
)A
C
0,
Nhận xét 1.4.3. Nếu λ là giá trị riêng của A thì .
[
]
(
) T H ;
0,
;
C
T H bao gồm tất cả các hàm liên tục
1.5. Không gian
[
]
(
)
u
T
H→ với
[ : 0,
]
=
u
< ∞ .
( ) u t
C
0,
[
] T H ;
(
)
max ≤ ≤ t T 0
Định nghĩa 1.5.1. Không gian
1.6. Nửa nhóm các toán tử liên tục đều
.
)X là
Lấy X là không gian Banach phức với chuẩn . Ta kí hiệu L (
đại số Banach tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên X mà chuẩn cũng được
. kí hiệu là .
T
( ). :
)X thỏa mãn phương
+ →
Bài toán 1.6.1. Tìm tất cả các ánh xạ L (
=
s
∀ ≥ t s ,
0,
( ) ( ) T t T s
FE
(
)
=
.
) I
( + T t ( ) 0 T
trình hàm
( ) T t
(
) 0t ≥ các toán tử tuyến tính bị chặn trên không
Định nghĩa 1.6.2. Một họ
gian Banach X được gọi là nửa nhóm (một tham số) trên X nếu nó thỏa mãn
( ) T t
(
)t
∈
)X , ta định nghĩa
k
∞
tA
:
,
(1.3)
e
= ∑
=
là phương trình hàm (FE). Nếu (FE) đúng với mọi ,t s ∈ , ta gọi
0
k
một nhóm (một tham số) trên X. Định nghĩa 1.6.3. Lấy tùy ý toán tử A∈L ( k t A ! k
)X .
tA
15
e
)X , ta định nghĩa (
≥
t
) 0
tA
theo (1.3). Khi đó các với chuỗi hội tụ trong đại số Banach L ( Mệnh đề 1.6.4. Với A∈L (
e
≥
) 0
t
tA
t
là nửa nhóm trên X sao cho i) tính chất sau đây đúng. (
)X , . )
∈ e
+
(L (
là liên tục.
T t
tA = ∈ e
)X , . ) là khả vi và thỏa mãn
( ) :
+
t
ii) Ánh xạ (L (
=
0,
∀ ≥ t
( ) T t
( ) AT t
DE
(
)
=
.
I
d dt ( ) 0 T
phương trình vi phân
T
)X , . ) thỏa mãn (DE)
( ). :
+ →
tA
Ngược lại, mỗi hàm khả vi (L (
e=
)X .
( ) T t
0F
=
đều có dạng với A∈L (
1.
A
( ) T t
d dt
= 0t
Cuối cùng, ta chú ý rằng
Chứng minh.
k
∞
Chứng minh i).
∑
=
k t A k !
0
k
Vì chuỗi hội tụ nên áp dụng công thức tích Cauchy của chuỗi
k
k
k
− n k
∞
∞
∞
n
=
.
∑
∑ .
∑∑
=
=
=
=
k s A k!
!
k t A ! k
k s A ! k
0
0
0
0
k
k
n
k
)
n
n
∞
∞
+
t
(
− n k t A ( − n k )
(
=
=
.
∑
∑
=
=
+ tA sA n!
n ) s A n!
0
0
n
n
=
T
1 Ở phần sau, ta kí hiệu đạo hàm với biến số thực t bởi “ . ”, nghĩa là
.
( ) 0
( ) T t
d dt
=
t
0
vô hạn ta có
tA
16
t
e thỏa mãn phương trình hàm (FE) nên là nửa
tA
Điều này chứng tỏ
t
e liên tục, trước tiên ta cần chú ý rằng từ
nhóm trên X. Để chứng minh
) + t h A
(
tA
tA
hA
−
=
−
e
e
e
e
I
t h ,
∀ ∈ .
),
(
(FE) ta có
k
k
∞
∞
hA
−
=
−
=
e
I
I
∑
∑
=
k h A ! k
k h A ! k
0
= 1
k
k
k
∞
. h A
≤
=
−
1.
e
∑
k h A ! k
= 1
k
tA
Mặt khác
t
e liên tục.
Do đó
Chứng minh ii).
( ).T
−
−
+
I
T
thỏa mãn (DE). Từ phương trình Ta bắt đầu bằng việc chứng minh
( ) T t
=
∀ ∈ , t h
( ) T t
.
) h h
( ) h h
−
T
I
= . Thật vậy, vì
hàm (FE) kéo theo ( T t
A
lim → h 0
( ) h h
A
h
−
I
e
I
−
=
−
A
A
( ) T h h
− h
k
k
∞
∞
−
=
−
=
I
A
∑
∑
=
=
1 h
1 h
k h A k !
k h A k !
k
k
0
2
k
∞
h A .
≤
=
→
→
h
e
h A
− − 1
0 khi
0.
∑
)
(
=
1 h
1 h
k h A k !
k
2
(DE) được chứng minh nếu
( ).T
khả vi và thỏa mãn (DE). Vậy
Chứng minh sự duy nhất.
17
S
( ). :
)X , . ) là một hàm khả vi khác thỏa mãn
+ →
Giả sử có
Q t
: 0,
0
)X , . ) được định
( ) [
] t → (L (
(DE). Khi đó, với (L ( t > cố định hàm
=
−
:
,
s
∀ ∈ s
0,
t
,
( ) Q s
( ) ( T s S t
)
[
]
Q s
nghĩa như sau
≡ . Thật vậy, ta có
( ) 0
d ds
=
−
+
−
s
( ) Q s
( ) ( . T s S t
)
( S t
) ( ) . s T s
d ds
−
−
−
=
s
d ds ( ) ( AT s S t
)
d ds ( AS t
) ( ) s T s
=
=
=
=
là khả vi với đạo hàm
T t Q t Q
t > bất kỳ.
0
( )
0. ( )
( ) 0
( ) S t
Điều này chứng tỏ với mọi
( )T t
là duy nhất. Kết thúc chứng minh mệnh đề 1.6.4. Vậy º
( ) T t
(
) 0t ≥ trên không gian Banach X được
Định nghĩa 1.6.5. Một nửa nhóm
∈
( ) T t
)X
+
gọi là liên tục đều (hay liên tục theo chuẩn) nếu
)X .
L (
t là liên tục với toán tử topo đều trên L ( Định lý 1.6.6. Mọi nửa nhóm liên tục đều
( ) T t
(
) 0t ≥ trên không gian Banach X
tA
=
e
,
t
≥ 0,
( ) T t
)X .
đều có dạng
với mọi toán tử bị chặn A∈L ( Chứng minh.
( ).T
( ).V
+ nên hàm
t
=
≥
t
:
,
0,
( ) T s ds
( ) V t
∫
0
=
liên tục trên được định nghĩa bởi Vì
( ) V t
( ) T t
. Điều này dẫn đến là khả vi với
=
=
=
.
V
T
I
( ) 0
( ) 0
1 ( ) lim V t t→ 0 t
0
t > đủ nhỏ.
18
0
(
V t ≠ , do đó nó khả nghịch với 0
)0
Vì vậy,
t
0
−
−
1
1
=
=
+
( T s
) t ds
( ) T t
( V t
)
( V t
)
(
0
( ) ) V t T t 0
0
∫
0
+
t
t
0
−
−
1
1
=
=
+
−
t
,
( ) V t
( )
( T s ds V t
)
)
( V t
)
( ( V t
)
0
0
0
∫
t
Phương trình hàm (FE) cho ta
t ≥ . Vì vậy,
0
( ).T
+
−
−
T
( T t
( ) T t
( ) T h
( ) 0
=
( ) T t
( ) T t
lim → 0
lim → 0 h
= h
d dt
h
) h h
=
,
0.
T
∀ ≥ t
( ) 0
( ) T t
A T=
là khả vi với đạo hàm với mọi
( )0
( ).T
( )T t
thỏa mãn (DE) và nên theo mệnh đề 1.6.4 ta có duy Vậy
nhất. Định lý được chứng minh. º
1.7. Định nghĩa bài toán không chỉnh
Y→ là
:A X y= được gọi là
1.7.1. Định nghĩa 1.7.1. Cho X, Y là các không gian định chuẩn.
toán tử (tuyến tính hoặc không tuyến tính). Phương trình Ax
chỉnh nếu nó thỏa mãn các tính chất sau
Ax
y= .
Tồn tại nghiệm: Với mỗi y Y∈ , tồn tại (ít nhất một) x X∈ sao cho i)
Ax
y= .
ii) Duy nhất nghiệm: Với mỗi y Y∈ , có không quá một x X∈ để
∀
⊂
→
Ax n (
→ ∞ ⇒ → → ∞ ).
x n (
)
(
)
x n
X Ax , n
x n
iii) Ổn định: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào y, nghĩa là
19
Bài toán mà có (ít nhất) một trong các tính chất trên không được thỏa
mãn gọi là bài toán không chỉnh.
1.7.2. Một ví dụ về bài toán không chỉnh
Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace: tìm một nghiệm u của
2
2
∂
∂
)
)
∆
=
+
=
:
0,
x y ,
0,
(
)
)
( 1.4
)
( u x y ,
)
[ ∈ × ∞
( u x y , 2 ∂ x
( u x y , 2 ∂ y
phương trình Laplace
=
=
∈
,0
,
,0
,
x
( ) g x
( 1.5
)
)
( u x
)
( ) f x
( u x
∂ ∂ y
thỏa mãn điều kiện đầu
=
trong đó f và g là các hàm đã cho. Rõ ràng, nghiệm (duy nhất) của phương
sin
nx
( ) g x
(
)
( ) 0 f x = và
1 n
=
∈
≥
sin
nx
sinh
ny
,
x
,
y
0.
( u x y ,
)
(
)
(
)
1 2 n
trình khi cho là
+
→ ∞
0,
n
,
( ) f x
( ) g x
{
}
sup ∈ x
1 = → n
Vì vậy, ta có
=
→ ∞
→ ∞
sinh
ny
,
n
,
( u x y ,
)
(
)
sup ∈ x
1 2 n
nhưng
0y > . Sai số của dữ liệu tiến về không trong khi sai số của nghiệm u
với mọi
tiến về vô cực! Vì vậy, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu, và do đó
bài toán là không chỉnh.
1.8. Lược đồ chỉnh hóa
Để đơn giản, trong phần này ta giả thiết rằng toán tử compact A là 1-1.
Sự hạn chế này không quá nghiêm trọng vì chúng ta luôn luôn có thể thay thế
20
miền xác định X bởi phần bù trực giao của kerA . Ta giả sử rằng tồn tại y= . Nói cách khác, ta nghiệm x X∈ của phương trình không bị nhiễu Ax
thừa nhận rằng y ∈(A). Tính đơn ánh của A kéo theo nghiệm này là duy
nhất.
Trong thực tế, vế phải y Y∈ không bao giờ được biết chính xác mà chỉ biết
Yδ ∈ sao cho
0δ > . Do đó, ta giả sử rằng đã biết
0δ > và y
−
y
yδ δ ≤ .
( 1.6
)
thông qua sai số
δ Ax
δ= . y
( 1.7
)
Mục đích của chúng ta là giải phương trình với dữ liệu bị nhiễu
Nói chung, (1.7) là không giải được vì ta không thể giả sử rằng dữ liệu đo yδ
nằm trong khoảng (A) của A. Do đó, tốt nhất chúng ta nên xác định một xấp
Xδ ∈ “không quá xấu” với nghiệm chính xác x.
xỉ x
yδ. Nói cách khác, mục đích của chúng ta là xây dựng một xấp xỉ bị chặn phù
Một yêu cầu nữa là nghiệm xấp xỉ xδ phải phụ thuộc liên tục vào dữ liệu
:R Y
X→ của toán tử nghịch đảo (không bị chặn)
X→ .
1 :A−
hợp (A)
→
α
X
,
> 0,
R Y : α
Định nghĩa 1.8.1. Lược đồ chỉnh hóa là một họ các toán tử tuyến tính bị chặn
=
x
∀ ∈ x X ,
R Ax α
lim α→ 0
sao cho
nghĩa là, toán tử R Aα hội tụ từng điểm đến ánh xạ đồng nhất.
:A X
Y→ với dim X = ∞ . Khi đó ta có
Định lý 1.8.2. Cho Rα là một lược đồ chỉnh hóa của toán tử compact
21
)jα thỏa
i) Toán tử Rα là không bị chặn đều, nghĩa là tồn tại dãy (
Rα → ∞ khi j → ∞ .
j
điều kiện
)
R Axα
không hội tụ đều trên tập con bị chặn của X, nghĩa là ii) Dãy (
R Axα
không hội tụ theo chuẩn đến ánh xạ đồng nhất.
c
0α> . Từ
0c > sao cho R
Chứng minh.
α ≤ với mọi
c y
i) Giả sử trái lại, tồn tại
0α>
α−→ 1 A y
0
→ với mọi y ∈(A) và R y
(
)
α ≤
R y α
−
≤
với
1A y
c y
1A− bị
ta kết luận rằng với mọi y ∈(A), nghĩa là
→ là compact, mâu thuẫn
−= 1 I A A X
:
X
chặn. Điều này dẫn đến
I
với dim X = ∞ .
)X . Từ sự compact của R Aα và định lý
α → trong L (
ii) Giả sử R A
1.3.5.2 ta kết luận rằng I compact, mâu thuẫn với giả thiết. º
−
≤ . Ta định nghĩa
y
yδ δ
αδ , x
:
δ α= R y
y= . Khi đó
Ta xét y ∈(A) là dữ liệu chính xác và yδ là dữ liệu nhiễu sao cho
là nghiệm xấp xỉ của nghiệm chính xác x của phương trình Ax
−
−
+
−
≤
x
αδ , x
x
δ R y α
R y α
R y α
−
+
−
≤
y
x
.
δ R y α
R Ax α
sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ được đánh giá như sau
−
≤
δ
+
−
x
αδ , x
x
.
R α
R Ax α
Do đó, ta được
Rα sẽ tiến ra vô cực khi α→ ∞ theo định lý 1.8.2, phần thứ hai sẽ tiến về
Trong đánh giá trên ta thấy sai số gồm hai phần: phần thứ nhất có lượng
22
(
) α α δ=
phụ không theo định nghĩa của sơ đồ chỉnh hóa. Do đó, ta cần chọn
thuộc vào δ để giữ cho tổng sai số là nhỏ nhất có thể. Cụ thể ta có khái niệm
sau
) α α δ=
(
Định nghĩa 1.8.3. Một tham số chỉnh hóa được gọi là chấp nhận
−
∈
−
α δ → và
≤ → khi
0
0δ→ ,
δ y
x
δ y
sup
δ : y
Y Ax ,
0
(
)
R ) ( α δ
{
} δ
được nếu
với mọi x X∈ .
2 1.9. Bổ đề Gronwall1F
>
∈
λ
λ
,
≥ hầu khắp nơi (h.k.n) và
C C ≥ . Giả sử 0
T
0,
1 L
0,
T
,
0
(
)
1
2
ϕ
∈
λϕ∈
≥ h.k.n sao cho
Cho
T
ϕ ,
0
T
)
( 1 0, L
( 1 0, L
)
t
ϕ
≤
+ C C
,
∀ ∈ t
0,
T
.
( ) s ds
(
)
( ) t
( ) λ ϕ s
1
2
∫
0
và
t
≤
ϕ
λ
exp
C
∀ ∈ t
0,
T
.
,
( ) t
( ) s ds
(
)
C 1
2
∫
0
Khi đó ta có
0C = , ta có
0ϕ= .
1
Trường hợp đặc biệt, nếu
−
>
1
∀ x
α ,
0,
( − + 1
<
) ex
x
,
ln
∀ > x
1.
α α < x , )
x (
( 1.8 ( 1.9
) )
1.10. Bổ đề: Một số bất đẳng thức được sử dụng
Chứng minh.
0α> , đặt
1
α α− − x ,
x
x
≥ 0.
( ) f x
( = − + 1
)
Trước tiên ta chứng minh (1.8). Với
Suy ra
2 Xem chứng minh [2, tr.55].
α
1
′
=
+
f
α− − − .
x
( ) x
( α 1
)
α+ 1
α− − 1
+
+
23
≤ . Nhân hai vế với
x
1
1
x
0α>
0x ≥ ta có ( 1
≥ , đẫn đến ( 1
)
)
≤ (
= khi
Với
f
f
0x = ). Do đó hàm số nghịch
( ) 0 x′
( ) 0 x′
= . Suy ra
f<
0
0, +∞ . Hay với
0x > ta có
)
( ) f x
( )0
rồi chuyển vế, ta được
biến trên nửa khoảng [
điều phải chứng minh.
=
−
ln
ex
x
x
≥ 1.
)
(
( ) g x
Ta chứng minh (1.9). Tương tự, đặt
−
x
e
)
=
− = 1
.
( ) ′ g x
( 1 ex
Suy ra
≤ (
= khi
g x′
g x′
1x = ). Do đó hàm số nghịch biến
1x ≥ , ta có
e ex ( ) 0
( ) 0
= . Suy ra điều
1,+∞ . Hay với
0
g<
1x > ta có
)
( ) g x
( )1
Với
trên nửa khoảng [
phải chứng minh. º
24
Chương 2. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH
−
T
< < εϕ
∈
:f
H
2.1. Các định lý chính
0
T Te ,
,
H
× → H
{ min 1, �
}1
và thỏa Định lý 2.1.1. Cho
−
≤
−
t
,
w
f
t v ,
f
wk
v
,
(
)
(
)
mãn
w ,
v H
t∈ ,
k > không phụ thuộc vào
0
)0.3 có
∈ . Khi đó, bài toán (
ε ∈
với
u
C
0,
[
] T H ;
(
)
0,
C
;
nghiệm duy nhất .
)0.3 phụ thuộc liên tục vào ϕ (trong
[
]
) T H ).
(
Định lý 2.1.2. Cho ε thỏa mãn điều kiện của định lý 2.1.1. Khi đó, nghiệm (duy nhất) của bài toán (
)0.3 tương ứng với giá trị cuối ϕ, ω
Nếu u, v là hai nghiệm của bài toán (
−
( − k T t
1
1
− t T T
) ε
− ε
−
≤
ϕ ω −
ln
.
e
Te
( ) u t
( ) v t
(
)
− t T ( T T
)
∈ u C
0,
thì
] T H ;
[
(
)
∞
Định lý 2.1.3. Cho ε thỏa mãn điều kiện của định lý 2.1.1, và )0.1 . Giả sử u có khai triển là một nghiệm của (
( ) u t
( ) u t φ p
p
= ∑
p
= 1
∞
< ∞ ∀ ∈
t
0,
(
] T .
λλ pT 22 e p
( ) 2 u t p
∑
p
= 1
thỏa mãn
−
≤ .
εϕ ϕ ε
ε∈
Cho εϕ là dữ liệu đo sao cho
0,
(
) ,Te
Khi đó, với
ε
( − k T t
− 1
− t T T
≤
+
t ) ε T
− 1 ε
T
Te
∀ ∈ t
T
ln
,
0,
,
(
(
) 2.1
( 1
) M e
( ) ( ) − u t U t
]
(
)
(
)
25
∞
=
M
λλ 22 pT e p
( ) 2 u t p
∑
sup [ ] ∈ T t 0,
p
= 1
trong đó
)0.3 tương ứng với εϕ .
và U ε là nghiệm duy nhất của bài toán (
Ghi chú 2.1.4.
i) Một ưu thế của định lý này là có được sai số tường minh của ước
t = . Đối với bài toán ngược phi tuyến ở [17], sai số
0
lượng tại thời điểm đầu
t = không được đưa ra. Ta có ước lượng sau
0
−
ε
kT
−
≤
+
− 1 ε
u
U
ln
Te
.
( ) 0
( ) 0
( 1
) M Te
(
)
(
) 1
xấp xỉ tại
U
t ε= T C
ii) Trong [17], đánh giá sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ là
( ), ε t
− 1
− 1
t T
=
t ε T
− 1 ε
V
t
D
T
ln
Te
(nếu ta chọn β ε= ). Trong bài này, tốc độ hội tụ có cùng bậc
( ε ,
)
(
)
(
)
= . Do đó, sai số này là sai số tối ưu mà ta biết. Hơn nữa, ta cũng có
0
lim → ε 0
V U
t t
) )
( ε , ( ε ,
U
t
= C
( ε ,
)
)
( lim lim → → ε t 0 0
dạng yếu khác xác định bởi . Chú ý rằng
− 1
− 1
t T
=
=
t ε T
− 1 ε
V
t
D
T
ln
Te
0.
( ε ,
)
(
)
(
)
)
( lim lim → → ε 0 0 t
lim lim → → ε 0 0 t
và
Vì vậy, dễ thấy nếu thời gian t gần đến 0 thì tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ
là rất chậm. Điều này cũng cho thấy rằng phương pháp được trình bày ở đây
có một sự xấp xỉ tốt hơn những phương pháp trước đó. So sánh (2.1) với kết
26
quả đạt được trong [17], ta thấy rằng (2.1) là một ước lượng hữu hiệu. Đây là
một sự cải tiến của nhiều kết quả đã được công bố trước đây.
2.2. Chứng minh các định lý chính
−
T
ε
Để tiện cho việc chứng minh, trước tiên ta xét bổ đề sau.
< ≤ ≤ , ta có s T
0
T Te ,
< <�
{ min 1,
}1
− 1
− t T T
− t T T
≤
ε
− 1 ε
T
Te
ln
;
Bổ đề 2.2.1. Với và 0 t
( ε tQ ,
)
(
)
(
)
− 1
− t s T
− t s T
≤
ε
T
t
T
− 1 ε e
ln
;
(a)
)
( ε ,
( − S T s Q
)
(
)
(
)
≤
(b)
A ε
T ln ; ε
(c)
1 T ( ) tε ≤ ,B 1.
(d)
0λ> ta đặt
=
h
Chứng minh. Trước tiên, với
( ) λ
T
1 ελ − e λ +
.
−
−
λ
λ
T
T
−
−
ε
Te
= −
=
′ h
( ) λ
2
2 .
Te −
−
λ
λ
T
T
+
+
e
e
( ελ
ε )
( ελ
)
λ≤ −
ln
− − ≥ . Biến đổi trực tiếp, ta được
Ta có
0
TTe λ ε
) 0 ≥ thì
( h λ′
1 T
ε T
. Để
− 1 ε
ln
T
(
)
1
=
h
ln
T
(
) − 1 ε
T
− 1 ε
− 1 ε
+
ln
T
T
e
(
)
− 1
− 1 ε
− 1 ε
=
=
ln
.
T
Te
(
)
(
)
− 1 ε
+
ln
T
T
1 (
)
( − 1 ε
) 1
Và
−
1
1
27
Tε< < nên
T
ln
Tε
0
(
) − > .
Mặt khác, vì 0
−
1
1
Do đó, ta có bảng biến thiên
T
ln
− Tε
λ
(
)
+∞ 0
) ( h λ′
+ 0 -
) ( h λ
CĐ
−
− 1
≤
− 1 ε
=
− 1 ε
− 1 ε
h
ln
T
T
ln
Te
.
( ) λ
(
)
(
)
( h T
)
(
) 1
Từ bảng biến thiên, ta có
0λ> , ta có
−
− 1
λ
−
− 1 ε
− 1 ε
<
+
≤
0
Te
T
ln
Te
.
( ελ
)
(
)
(
) 1
Điều này có nghĩa với
−
21 −
2
−
2
λ
−
−
1
1
1
1
+
≤
− ε
− ε
=
ε
− ε
Te
T
ln
Te
T
ln
Te
.
( ελ
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∞
v
Dẫn đến
= ∑ . v φ p p
p
= 1
∞
−
T
λ p
− t T t
+
Cho v H∈ , có khai triển
Q
t
e
v
( ε ,
)( ) v
φ p p
= ∑
( λ ε p
)
p
= 1
. Ta Chứng minh (a). Từ định nghĩa
2
t
T
∞
2
−
T
λ p
− 2 T
=
+
Q
t
e
v
( ε ,
)( ) v
2 p
∑
( ελ p
)
= 1
p
∞
− 2
− T t T
−
T
λ p
=
+
e
v
2 p
∑
( ελ p
)
có
)
= 1
p
2
t
T
∞
− 2
− T t T
2
− 1
− 2 T
ε
− 1 ε
− 1 ε
− 1 ε
≤
=
T
ln
ln
.
Te
v
T
Te
v
2 p
(
)
(
)
∑
(
)
(
)
( (
)
= 1
p
28
− t T T
≤
− 1 ε
− 1 ε
Q
t
T
Te
v
ln
.
( ε ,
)( ) v
(
)
(
)
Hay
− 1
− t T T
− t T T
≤
ε
− 1 ε
T
ln
Te
Do đó
( ε Q t ,
)
(
)
(
)
.
t
T
2
∞
2
−
− T s
T
( − 2
) λ p
λ p
− 2 T
=
+
− S T s Q
t
e
v
e
)
(
( ε ,
)( ) v
2 p
∑
( ελ p
)
p
= 1
s
T
t
s
2
2
2
2
∞
−
−
−
s
T
T
T
2
2
(
) λ p
λ p
λ p
− T
− T
=
+
+
e
e
v
e
2 p
∑
( ελ p
)
( ελ p
)
p
= 1
2
2
s
T
2
2
t
s
∞
−
−
−
2
2
s
T
T
T
(
− T
) λ p
λ p
λ p
λ p
− T
=
+
+
e
T e
e
e
v
2 p
∑
( ελ p
) 1
( ελ p
)
(
)
= 1
p
2
2
2
2
s
T
t
s
∞
−
T
λ p
λ p
− T
− T
=
+
+
T e
e
v
2 p
∑
( ελ p
) 1
( ελ p
)
= 1
p
2
2
t
s
∞
−
T
λ p
− T
≤
+
e
v
2 p
∑
( ελ p
)
= 1
p
t
s
2
2
∞
− T
≤
− 1 ε
− 1 ε
T
Te
v
ln
2 p
)
(
∑
(
)
p
= 1
2
t
2
s
s
t
2
∞
− T
− 1
− T
=
− 1 ε
T
Te
v
ln
.
2 p
(
)
∑
)
(
p
2 ε = 1
Chứng minh (b). Tương tự, ta có
2
t
2
s
2
s
t
2
2
− 1
− T
− T
2 ε
≤
− 1 ε
t
T
n l
Te
.
v
( − S T s Q
)
( ε ,
)( ) v
(
)
(
)
Hay
− 1
− t s T
− t s T
≤
ε
t
T
− 1 ε e
T
ln
.
( − S T s Q
)
( ε ,
)
(
)
(
)
Do đó
29
=
Chứng minh (c). Xét hàm số
∀ > y
ln
0
)
( h y 1
−
Ty
1 + eε y
.
−
Ty
−
Ty
=
+
=
.
e
)
( ′ h y 1
−
)
( ε y
Ty
Ty
1 +
ε y
e
− + ε Te − + ε y e
′
Ty
≤
y
ln
ε− − ≥ . Điều này tương đương với
Ta có
≥ thì 0
Te
0
( h y′
)
1
(
)1 ε− T
1 T
. Để
−
− 1
=
=
− 1 ε
− 1 ε
− 1 ε
− 1 ε
ln
T
ln
ln
T
ln
T
ln
Te
.
h 1
(
)
(
)
(
)
( h T
)
(
)
(
)
(
)1
1 T
−
1
1
Và
Tε< < nên
T
ln
Tε
0
(
) − > .
Mặt khác, vì 0
−
1
1
y
Do đó, ta có bảng biến thiên
T
ln
− Tε
(
)
0 +∞
)
( 1h y′
+ 0 -
) ( 1h y
−
− 1
≤
− 1 ε
=
− 1 ε
− 1 ε
ln
T
ln
T
ln
Te
.
)
( h y 1
(
)
(
)
CĐ
)
(
)
Từ bảng biến thiên, ta có ( h T 1
(
)1
0y > , ta có
−
− 1
λ
−
+
≤
− 1 ε
− 1 ε
ln
Te
ln
T
ln
Te
.
( ελ
)
(
)
(
)
Hay với
(
)1
− 1
<
− 1 ε
− 1 ε
− 1 ε
ln
T
ln
Te
ln
T
.
2.2
(
)
(
)
)
(
(
)
Ta cũng có
(
)
1
<
30
e Teε−
Tε< < nên
ln
Teε− > , dẫn đến
1
(
)1
−
−
− 1 ε
− 1 ε
<
− 1 ε
T
ln
Te
T
1
ln
− 1 Teε
< . Do đó
. Suy ra Thật vậy, vì 0
)2.2 đúng.
(
)
(
)
(
) 1
( Từ (
) 1 )2.2 ta có
N
2
−
T
2
λ p
+
=
e
v
ln
( ) A v ε
2 p
∑
)
( ελ p
1 2 T
p
= 1
N
21 −
−
T
λ p
+
=
e
v
ln
2 p
∑
( ελ p
)
)
1 2 T
p
= 1
∞
N
2
2
2
2
≤
≤
=
− 1 ε
− 1 ε
− 1 ε
T
v
T
v
T
v
ln
ln
ln
.
2 p
2 p
( (
)
(
)
(
)
∑
∑
1 2 T
1 2 T
1 2 T
p
p
= 1
= 1
. Vậy (
2
t
T
∞
∞
2
2
p
− 2 T
=
+
≤
=
B
t
v
v
.
v
( ε ,
)( ) v
λε T λ e p
2 p
2 p
∑
∑
)
( 1
p
= 1
p
= 1
Chứng minh (d). Ta có
( ) tε ≤ ,B 1.
Do đó
Kết thúc chứng minh bổ đề 3.1. º
Chứng minh định lý 2.1.1. Chứng minh được chia thành ba bước.
∈ w C
0,
[
] T H ,
(
)
T
=
−
−
w
F
t Q t ,
,
( ) ε S T s Q t ,
(
)
(
)( )
) ( ε ϕ
) ( ) w s ds .
( f s
∫
t
→
Bước 1. Cho , đặt
F C :
0,
C
0,
[
] T H ;
[
] T H ;
(
)
(
)
. thì
w ,
∈ v C
0,
T
;
H
[
]
(
)
m
m
k
(
)
m
m
−
F
w
− w v
(
)( ) t
( )( ) F v t
(
)2.3
− T t ε
!
C m
≤
=
thì Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng nếu
C
max
C
0,
.
{ T
} ,1
[
]
(
) T H . ;
trong đó và là chuẩn sup trong
31
− 1
− t s T
− t s T
≤
<
ε
− 1 ε
t
− S T s Q
T
Te
ln
4 2.
(
)
)
( ε ,
)
(
(
)
)
(
1 . ε
− 1
− t s T
− t s T
≤
ε
− 1 ε
t
T
Te
ln
Trước tiên, ta có đánh giá
( − S T s Q
)
( ε ,
)
(
)
(
)
Thật vậy, bất đẳng thức có được là
− 1
− t s T
ε
− 1 ε
Te
ln
do bổ đề 2.2.1 (b).
(
)
− t s ( T T
)
1 < . ε
< . Điều này luôn đúng vì
1
Chứng minh
t= thì bất đẳng thức tương đương với
1 ε
0
1ε< < .
− >
< − < ), suy ra
1 0
T − 1 − < . s tε 1
Nếu s
< < ≤ thì s T
t T
T −
s
t
−
−
1
1
1
<
<
Nếu 0 t (vì 0 s
1 TTeε <
Te
Teε−
1
T
ln
− Teε
(
)
−
−
1
1
1
1
T − 1 − < s t
ε
− ε
T − < s t
ε
− ε
Mặt khác, ta cũng có nên , dẫn đến . Do
T
Te
ln
ε T
ln
Te
(
)
(
)
s
t
0
, hay . Khi đó, lũy thừa hai vế với đó
< ta được điều phải chứng minh.
− T
số mũ
)2.4 đúng. Tiếp theo, ta chứng minh (
)2.3 .
Vậy (
1m = , áp dụng bổ đề 2.2.1 (c), tính chất Lipschitz của f và (
)2.4 , ta có
T
−
=
−
−
w
w
F
ds
,
)
( ) s
( )( ) F v t
( ) ε S T s Q t ,
(
(
)( ) t
( ( ) f s v s ,
)
)
( f s
)
(
∫
t
T
≤
−
w
( ) s
( ) v s ds
∫
k ε
t
T
≤
−
w
v ds
∫
k ε
t
=
−
−
≤
−
−
T
t
w
v
v
.
(
)
) wt
k ε
k ( C T ε
Với
)2.3 đúng khi m j= , nghĩa là
Giả sử (
j
j
)
j
j
−
≤
F
w
− w v
.
( )( ) F v t
(
)( ) t
( − k T t ε
C j!
1
m j= + . Thật vậy, sử dụng giả thiết quy
32
)2.3 đúng khi
Ta sẽ chứng minh (
+ 1
+ 1
j
j
−
=
−
F
w
F
F
j F w
(
)( ) t
( )( ) v t
(
)( ) t
)( ) j F F v t
(
T
j
j
=
−
−
,
,
F
w
F
ds
( ) ε , S T s Q t
(
)
(
)( ) s
( )( ) s v
( f s
)
( f s
)
(
)
∫
t
T
j
−
≤
F
s ds
( j F w
)( ) s
( )( ) v
∫
k ε
t
j
T
j
)
≤
− w v
ds
∫
( − k T s ε
k ε
C j!
t
+ 1 j
T
j
j
−
=
− w v
(
) T s ds
∫
k ε
C j
!
t
= s T
+ 1
j
+ 1
j
j
−
(
−
w
v
k ε
− +
C j
T j
!
) s 1
=
= s t
j
+ 1
j
j
+ 1
=
− T t
− w v
(
)
k ε
C + j
(
) 1 !
j
+ 1
+ 1
)
− w v
.
( − k T t ε
jC + j
) 1 !
(
≤
1
m j= + . Do đó, theo nguyên lý quy nạp,
nạp và thực hiện biến đổi như trên ta được
)2.3 đúng khi
w ,
∈ v C
0,
T
;
H
Điều này chứng tỏ (
)2.3 đúng với mọi
[
]
(
)
m
m
→
=
F C :
0,
C
0,
. ta có (
0
[
] T H ;
[
] T H ;
(
)
(
)
m
C m
!
kT ε→∞
Vì , nên tồn tại và lim
0mF là ánh xạ co. Do đó, phương trình
0m sao cho
ε ∈
u
C
0,
một số nguyên dương
0mF
w
w= có nghiệm duy nhất
(
)
[
] T H ;
(
)
.
ε
ε
33
ε= u
0mF
u
ε= u
( F u
)
(
)
ε
ε
0m
=
=
ε u
0mF
. Thật vậy, vì nên Ta khẳng định rằng
F uε cũng là
( ε F u
)
( F u
(
)
( F u
)
)
(
)
( F F
)
(
)
ε
. Hay , suy ra
ε= u
0mF
w
w= . Vì vậy, ta phải có
(
)
( F u
)
ε ∈
u
C
0,
nghiệm của phương trình , nghĩa
w= có nghiệm duy nhất
( F w
)
[
] T H ;
(
)
. là phương trình
( F w
)
w= thì uε cũng là nghiệm của bài toán (
)0.3 .
Bước 2. Nếu uε là nghiệm duy nhất của phương trình tích phân
T
∞
−
T
− s T
(
ε
λ p
) λ p
− t T T
=
+
−
e
e
s ds
∀ ∈ t
T
0,
( ) ε u t
]
[
( f u
)( )
∑
p
( ελ p
)
∫
p
= 1
t
ϕ p
φ p
Thật vậy, ta có khai triển
ε
ε
=
= ϕ ϕφ ,
,
.
p
p
φ , p
( f u
)( ) s
( ( ) , f s u s
)
p
H
H
với
( ) u tε
T
∞
−
−
T
T
− s T
(
ε
λ p
λ p
) λ p
− t T T
=
+
+
−
ln
e
e
e
s ds
( ) ε u t
( f u
)( )
∑
p
( ελ p
)( ελ p
)
∫
d dt
1 T
= 1
p
t
ϕ p
φ p
∞
−
T
− t T
(
λ p
) λ p
− t T T
+
+
e
e
fu
φ p
(
)( ) ε t
∑
p
( ελ p
)
= 1
p
∞
∞
−
T
λ p
λ p
− t T T
=
+
+
+
ln
e
u
T e
fu
ε φ p p
φ p
(
)( ) ε t
∑
∑
p
( ελ p
( ελ p
) 1
1 T
= 1
= 1
p
p
=
+
.
B
t
f
( ε ,
)
( ) ε , t u t
( ) ε A u t ε
) (
)
và tính toán trực tiếp, ta được Lấy đạo hàm của
∞
=
=
( u Tε
)
p p
∑
ϕφ ϕ . = 1
p
Hơn nữa
)0.3 .
Do đó uε là một nghiệm của bài toán (
C
0,
34
)0.3 có không quá một nghiệm trong
[
]
(
) T H . ;
∈ u v C
,
0,
Bước 3. Bài toán (
[
] T H ;
(
)
:g R H
H
Giả sử u, v là hai nghiệm của bài toán (0.3) thỏa mãn .
t
f
.
( ε= B ,
)
( ) t u t ,
× → xác định bởi ( ( ) g t u t ,
)
(
)
Ta kí hiệu
−
≤
−
≤
−
,
,
,
.
u
B
t
t
f
f
t
u
u
v
k
( ε ,
)
( ) t
( ) t
( ) v t
( g t
( ( ) , g t v t
)
(
)
(
)
,u v H∈ ta có )
Do tính chất của hàm f được xác định trong định lý 2.1.1, với
0m > , đặt
−
( m t T
=
e
,
−
( m t T
=
e
v m
=
.
( ) u t m ( ) t ( ) t
, ( ) t
w m
( ) u t m
) ( ) u t ) ( ) v t − v m
Với
−
−
m t T (
)
m t T (
)
+
e
u
u
( ) t
( ) u t
( ) = e t m
m
d dt
−
−
m t T (
)
m t T (
)
=
+
+
me
t
f
)
( ) t u t ,
( ) u t
)
(
)
−
m t T (
)
=
−
+
t
u m
g
d t d ( − e
,
.
( ) t
( ) A u t ε (
( ε B , ) ( ) u t
m
e ( ) A u t ε m
Tính đạo hàm trực tiếp, ta có
−
m t T (
)
−
+
,
.
v
e
( ) t
( ) t
( ) t
( g t
)
v m
( ) = t mv m
A v ε m
d dt
Tương tự
=
−
u
( ) t
( ) t
( ) w t m
m
v m
d dt
−
)
( m t T
−
=
+
−
,
,
.
e
u
v
( ) t
( ) t
( g t
)
( g t
)
d dt ( ) mw t m
d dt ( ) A w t ε m
(
)
Do đó
( )
mw t ta được
2
2
=
−
,
( ) ( ) A w t w t ε
( ) w t m
( ) m w t m
m
m
1 2
d dt
−
)
( m t T
+
−
e
,
u
,
v
,
.
( ) t
( ) t
( g t
)
( g t
)
( ) w t m
(
)
Nhân hai vế với
Sử dụng bổ đề 2.2.1 (c), ta có
≤
≤
,
ln
,
( ) 2
( ) ( ) A w t w t ε
( ) ( ) A w t w t ε
m
m
m
m
w t m
T ε
1 T
35
−
≥ −
,
ln
.
( ) 2
( ) ( ) A w t w t ε
m
m
w t m
T ε
1 T
−
−
m t T (
)
m t T (
)
−
≤
−
,
u
,
v
,
e
,
u
,
v
e
( ) t
( ) t
( ) t
( ) t
( g t
( g t
)
( g t
)
)
( g t
( ) w t m
( ) w t m
)
suy ra
−
m t T (
)
≤
−
ke
m
−
m t T (
)
−
=
k e
u
( ) t ( ) t
) ( ) ( ) v t w t ) ( ) v t
u (
( ) w t m
2
=
,
k w t ( ) m
Mặt khác (
−
)
( m t T
−
≥ −
,
,
,
.
e
u
v
k
( ) t
( ) t
( ) 2 t
( g t
)
( g t
)
( ) w t m
w m
(
)
suy ra
2
2
≥
−
−
.
m
( ) k w t
( ) w t m
m
1 2
d dt
1 T ln T ε
Do đó
[ T∈ 0,
]
t 1
T
2
2
2
−
≥
−
−
2
ln
.
m
dt
)
)
( ) k w t
( w T m
( w t 1 m
m
∫
T ε
1 T
t 1
= +
=
−
m k
Lấy tùy ý . Tính tích phân theo biến t từ 1t đến T , ta được
0
(
)
( u T
)
( v T
) 0 = nên
)1 mw t = .
( mw T
1 T ln T ε
=
≤ ≤ .
Chọn và chú ý rằng
( ) 0
( ) u t
( ) v t
mw t = tương đương với
với mọi 0 t T Vì 1t tùy ý nên
Điều này kết thúc chứng minh bước 3 và vì vậy hoàn thành chứng minh định
lý 2.1.1. º
Chứng minh định lý 2.1.2.
36
)0.3 tương ứng với giá trị cuối ϕ
Ta có u, v là hai nghiệm của bài toán (
T
−
−
,
,
( ) = , u t Q t
( ) ε ϕ
( ) ε , S T s Q t
(
)
( ( ) f s u s ds
)
∫
t
T
−
−
,
( ) = , v t Q t
( ) ε ω
( ) ε , S T s Q t
(
)
( ( ) . f s v s ds
)
∫
t
và ω nên
T
−
−
−
−
−
ds .
( ) ε S T s Q t ,
(
)
( ) u t
( ) = v t Q t ,
) )( ( ε ϕ ω
( ( ) f s u s ,
)
( ( ) f s v s ,
)
)
(
∫
t
Suy ra
T
−
≤
−
+
−
−
ds
( ) ε , S T s Q t
)
(
) )( ( ε ϕ ω , Q t
( ) u t
( ) v t
( ( ) , f s u s
( ( ) , f s v s
)
)
(
)
∫
t
−
1
1
− t T T
− t T T
ε
− ε
≤
ϕ ω −
ln
T
Te
(
)
(
)
T
−
1
1
− t s T
− t s T
ε
− ε
+
−
k
T
ln
Te
( ) u s
( ) v s ds .
)
(
(
)
∫
t
Áp dụng bổ đề 2.2.1 và tính chất Lipschitz của f , ta được
−
1
−
−
1
1
1
1
1
− t T
− t ε T
− ε
−
≤
− ε
− ε
− ϕ ω
ln
ln
T
Te
T
Te
( ) u t
( ) v t
(
)
(
)
(
(
)
)
T
−
1
1
− s T
− s ε T
+
− ε
−
ln
k
T
Te
( ) u s
( ) . v s ds
(
)
(
)
∫
t
Do đó
T
− 1
− 1
− 1
− t T
− t ε T
− 1 ε
−
≤
− 1 ε
− ϕ ω
T
ln
Te
exp
kds
T
ln
Te
( ) u t
( ) v t
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
t
− 1 ε
− 1
( − k T t
− 1
=
) − 1 ε
− 1 ε
− ϕ ω
e
T
ln
Te
.
(
)
(
)
Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có
− 1
− 1
( − k T t
− 1
t T
t ) ε T
− 1 ε
−
≤
ϕ ω −
l n
.
e
T
Te
( ) u t
( ) v t
(
)
(
)
Hay
37
Định lý 2.1.2 được chứng minh. º
T
−
1
1
=
ϕ−
−
−
t
,
( ) u t
( − S T t
)
( S s
)
( ( ) f s u s ds .
)
∫
t
Bổ đề 2.2.2. Nghiệm của bài toán (0.1) có dạng
T
= − ϕ
−
,
( ) − S T t u t
(
)
( )
(
)
( S T s f s u s ds .
)
∫
t
Hay
Chứng minh.
Sử dụng kiến thức về nửa nhóm đã nêu trong mục 1.8 kiến thức chuẩn bị
( )S t
=
s
∀ ≥ , t s
0
( ) ( ) S t S s
=
S
) I
.
( + S t ( ) 0
trên H nên để chứng minh. Ta có A− sinh ra nửa nhóm co compact
−
I
Và
− = A
lim → h 0
( ) S h h
.
t
)
[ T∈ 0,
=
∀ ∈ s
t T ,
.
( ) w s
)
(
( ) − S T s u s
[
]
Khi đó, lấy . Đặt
s
T s,
h
T
[ t T∈ ,
]
[ ∈ −
]
−
−
−
(
)
(
(
)
( ) − S T s u s
=
( ) ) + − w s T h w s − T h
−
−
−
(
)
)
)
=
−
I
( ) u s
(
=
−
−
( S h s
)
( ) u s
( ) + − S h s u s T h − T h ( ) ( ( ) ( − + − S h s u s T h S T h S h s u s − T h ( ) − + − u s T h − T h
′
−
→
−
+
=
,
(
(
( ) Au s
( ) ( ) S T s u s
) − S T h − T h ( ) ( ) S T s f s u s
)
)
Với và , ta có
T→ .
khi h
38
=
−
,
∀ ∈ s
t T ,
( ) ′ w s
( ) ) ( S T s f s u s
)
[
(
)
Và do đó
tτ> ) và cho
tτ→ ta được
T
−
=
−
,
( w T
)
( ) w t
( )
)
(
( S T s f s u s ds .
)
∫
t
Tính tích phân theo biến s từ τ đến T (
T
=
−
ϕ−
Hay
,
( ) − S T t u t
(
)
( )
)
(
( S T s f s u s ds .
)
∫
t
.
Chuyển vế ta được điều phải chứng minh. º
T
= − ϕ
−
,
( )
(
)
( ) − S T t u t
(
)
( S T s f s u s ds .
)
∫
t
Chứng minh định lý 2.1.3. Theo bổ đề 2.2.2 ta có
T
−
=
−
−
,
( ) ε S T t Q t u t Q t , ,
( ) ε ϕ
( )
)
(
( ) ε S T s Q t ,
(
)
( ( ) f s u s ds .
)
∫
t
Suy ra
)0.3 tương ứng với giá trị cuối εϕ nên
T
ε
−
−
= U t Q t ,
,
( )
( ) ε S T s Q t ,
(
)
( )
( ) εε ϕ
( ε f s U s ds .
)
∫
t
−
<
>
Vì U ε là nghiệm của bài toán (
1
x
x
,
x
0
( − + 1
)
α α α (
)
Áp dụng bổ đề 2.2.1 và bất đẳng thức (bất đẳng
ε
ε
≤
−
−
+
−
−
( ) ( ) − u t U t
(
)
( ( ) ) ε S T t Q t u t U t ,
( )
(
)
≤
−
−
+
−
I
( ( ) ) ε S T t Q t u t , ( ( ) ε S T t Q t u t ,
)
)
(
)
( )( ε ϕ ϕ Q t , ε
( ) u t (
)
T
ε
+
−
−
ds
( ) ε S T t Q t ,
(
)
( ( ) f s u s ,
)
( ( ) f s U s ,
)
∫
t
thức (1.8)), ta được
2
∞
λ p
− t T T
≤
+
−
T e
1
)
( ε ϕ ϕ Q t , ε
ελ p
2 u t ( ) p
∑
( − + 1
)
p
= 1
T
− 1
− t s T
+
−
ε
− 1 ε
k
T
Te
ln
( ) ε u t U t ds
( )
(
)
− t s ) T
(
∫
t
2
∞
− 1
λ p
− t T T
− t T T
≤
−
+
ε
− 1 ε
T e
T
Te
1
ln
ε .
2 u t ( ) p
(
)
∑
(
)
t T
= 1
p
ελ p
T
− 1
− 1
− t T T
− T s T
+
−
− 1 ε
− 1 ε
− s ε T
t ε T k
T
Te
T
Te
ln
ln
( ) ε u t U t ds
( )
(
)
(
)
)
(
(
)
∫
t
T
− 1
λ p
− t T T
≤
+
t ε T
− 1 ε
T
Te
ln
2 u t ( ) p
(
)
(
)
∞ 22 ∑ ε λ e p = 1 p
T
− 1
− 1
− t T T
− T s T
+
−
− 1 ε
− s ε T
− 1 ε
t ε T k
T
Te
T
Te
ln
ln
( ) ε u t U t ds .
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
t
1
<
− ε
<
− ε
39
ln
e x
x
x
,
< ∀ > nên với 0 1
Tε< < , ta có
T
(
)
( 0 ln Te
)1
−
1
<
1 ε
− ε
< . Do đó
. Điều này Vì
0
T
ln
Te
1
(
)
− 1
0
t T
≥
− 1 ε
− 1 ε
− 1 ε
− 1 ε
T
Te
T
Te
ln
ln
= , 1
)
(
(
)
)
(
)
(
− 1
− 1
t T
ε
− 1 ε
ε
Te
ln
có nghĩa
≥ (dấu “=” xảy ra khi t T= ). Dẫn đến
)
(
t ( T T
)
T
− 1
λ p
− t T T
≤
t ε T
− 1 ε
T
Te
M
ln
.
( ) 2 u t p
(
)
(
)
∞ 22 ∑ ε λ e p = 1 p
hay
− 1
− 1
−
−
ε
1
1
1
1
t T
t T
≤
+
t ε T
− ε
t ε T
− ε
T
Te
M
T
Te
ln
ln
( ) ( ) − u t U t
(
)
(
)
(
)
(
)
T
− 1
− 1
−
−
1
1
1
1
s T
t T
+
−
− ε
− s ε T
− ε
t ε T k
T
ln
Te
T
ln
Te
( ) ε u t U t ds .
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
t
Vì vậy
Hay
− 1
−
ε
1
1
t T
t T
− ε
− ε
T
Te
ln
( ) ( ) − u t U t
(
)
(
)
T
− 1
−
1
1
s T
≤
−
− ε
− s ε T
M
k
T
Te
+ + 1
ln
( ) ε u s U s ds .
( )
(
)
)
(
∫
t
40
T
− 1
ε
( − k T t
)
− 1
t T
t T
− ε
− 1 ε
≤
+
=
+
ln
.
T
Te
M
kds
M
e
( ) ( ) − u t U t
(
) 1 exp
(
) 1
(
)
(
)
∫
t
Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta được
ε
( − k T t
− 1
− t T T
t ) ε T
− 1 ε
≤
+
ln
.
M
e
T
Te
(
) 1
( ) ( ) − u t U t
(
)
(
)
Do đó
Định lý 2.1.3 được chứng minh. º
41
Chương 3. ÁP DỤNG
2
= −
A
2
∂ ∂ x
=
u
t u ,
,
f
x t ,
T
(
)
u t
xx
=
( ∈ ∂Ω ×
0,
x t ,
0,
) T
,
( (
0, (
, )
ϕ
=
,
∈ Ω .
) ∈ Ω × ) x
− ( u x t , ( , u x T
) )
( ) x
Cho , bài toán (0.2) trở thành
( ) 2 0,πL
=
, A có một cơ sở riêng trực chuẩn Xét trên không gian
n . Thật vậy, ta cần tìm
sin
nx
∈ Cψ
(
)
[ 2 0,
] π
2λ =n
φ n
2 π
và giá trị riêng
π
π
π
−
=
u
x t ,
t u ,
f
( u x t ,
) ψ
( ) x dx
(
) ψ
( ) x dx
(
) ψ
( ) x dx .
xx
∫
∫
∫
d dt
0
0
0
thỏa phương trình
π
π
π =
π =
x
x
+
−
( , u x t
) ψ
( ) − , x dx u x t
(
) ψ
( ) x
( , u x t
) ′ ψ
( ) x
( , u x t
) ′′ ψ
( ) x dx
x
=
=
0
0
x
x
∫
∫
0
0
d dt π
=
f
, t u
(
) ψ
( ) . x dx
∫
0
u
t
0,
0
= nên phương trình chỉ còn
Lấy tích phân từng phần, ta được
(
)
( tπ= u ,
)
π
π
π
π =
x
=
−
t u ,
f
( u x t ,
) ′′ ψ
( ) x dx
(
) ψ
( ) x dx .
( u x t ,
) ψ
( ) − x dx u x t ,
(
) ψ
( ) x
x
=
x
0
∫
∫
∫
d dt
0
0
0
Vì
(3.1)
=
0,
(
3.2
(
)
( ) ) = ψ ψ π 0 ′′ = − ψ λψ .
Chọn ψ thỏa điều kiện
Giải (3.2). Xét phương trình đặc trưng
2
λ= − .
h
0λ= thì
0h = , suy ra
42
+
( ) ψ = x
c x 1
c 2.
Nếu
= cho ta hệ phương trình
0
) ψ ψ π=
(
( ) 0
=
0
= c 0 2 + cπ c 1 2
= . Trường hợp này loại.
0
Từ . Giải hệ này ta
c= 2
= ± − , suy ra λ
0λ< thì h
được 1 c
−
− −
λ x
λ x
ψ
=
+
.
( ) x
c e 1
c e 2
+
=
0
c 1
c 2
= cho ta hệ phương trình
Nếu
0
) ψ ψ π=
( ) 0
(
−
λπ
− −
λπ
+
=
0
c e 1
c e 2
= . Trường hợp này loại.
0
. Giải hệ Từ
c= 2
này ta được 1 c
i λ= ±
0λ> thì h
ψ
=
+
cos
λ x
sin
λ x
.
( ) x
c 1
c 2
(
)
(
)
= cho ta hệ phương trình
, suy ra Nếu
0
) ψ ψ π=
(
( ) 0
3.3
(
)
+
=
sin
0.
c 2
0, (
) λπ
(
) λπ
= c 1 cos c 1
=
Từ
c = , giải hệ (3.3) ta được
nλ= .
n
n
1, 2,...
( λπ π=
)
, hay Cho 2 1
ψ
=
sin
nx
.
( ) x
( ) x
(
)
ψ≡ n
Suy ra
Mặt khác
π
π
2
2
=
=
−
sin
(
) nx dx
( ( 1 cos 2
) ) nx dx
ψ n
∫
∫
1 2
0
0
π
=
nx
( sin 2
)
1 n 2
0
=
.
1 − x 2 π 2
43
=
=
nx
sin
,
)
(
φ n
2 π
ψ n ψ n
2
Do đó, ta có hệ trực chuẩn
nλ = n
. tương ứng với giá trị riêng
π
π
π
+
=
f
t u ,
( u x t ,
) ψ
( ) 2 x dx n u x t ,
(
) ψ
( ) x dx
(
) ψ
( ) x dx .
∫
∫
∫
d dt
0
0
0
Với ψ vừa tìm, phương trình (3.1) tương đương với
Từ đây ta suy ra công thức nghiệm như trong phần chương 2.
−
+
=
∈
×
u
x t ,
0,
(
(
) 0,1 ,
xx
=
=
t
u
u
) t
0,
0,
=
, ) =
∈
e
x
x sin ,
,
( ( u x
( ) f u ( π t , ( ) ϕ x
( [ ∈ [ 0,
) π ] 0,1 , ] π
−
t
= −
u e
x sin
u t ) ) ,1 ( ) f u
Lấy ví dụ cụ thể: Xét bài toán nhiệt ngược
t
−= e
x sin .
( ), u x t
=
−
Nghiệm đúng của phương trình là
ϕ ε
= . εϕ ϕ ε
2
ε ϕ
2
+ 1
ϕ
thì Đặt
Áp dụng phương pháp vừa nêu ta viết được thuật toán để tính sai số giữa
nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ bằng chương trình Matlab như sau.
44
eps = 10^(-1);
%===Cac ham so cho truoc
syms x t p s; uex(x,t) = exp(-1*t)*sin(x); % nghiem chinh xac
%===Dinh nghia cac ham
phi(x) = uex(x,1); % gia tri cuoi phi_norm = eval(sqrt(int(phi^2,x,0,pi))); % tinh chuan phi Phi_p(p,x) = sqrt(2/pi)*sin(p*x); % vecto rieng phi_eps(x) = (1+eps/phi_norm)*phi(x); % dinh nghia phi_epsilon phi_p_eps(p) = vpa(int(phi_eps(x)*Phi_p(p,x),x,0,pi)); %dinh nghia
phi_p_epsilon f = @(u) u - (uex(x,t)); %dinh nghia ham f
uk(x,t) = 0.0*x*t; for k=1:10
uk_1(x,t) = uk(x,t); uk(x,t) = 0*x*t; for p = 1:1 f_p(t) = vpa((int(Phi_p(p,x)*f(uk_1(x,t)),x,0,pi))); uk_p(t) = vpa((eps*p^2+exp(-1*p^2))^(t-1)*(phi_p_eps(p)-
int(exp((s-1)*p^2)*f_p(s),s,t,1))); %exp((1-t)*p^2) uk(x,t) = vpa(uk(x,t) + uk_p(t)*Phi_p(p,x)); end norm = sqrt(int((uk_1(x,0)-uk(x,0))^2,x,0,pi));eval(norm); if (norm < eps/10) break end end error = sqrt(int((uex(x,0)-uk(x,0))^2,x,0,pi)) ezplot (uex(x,0.0),[0,pi]) hold on ezplot (uk(x,0.0),[0,pi]) grid on
clc clear all
− 3
=
=
ε
45
ε− 2 10 ,
10
ta được kết quả như trong bảng sau Sau đó thay lần lượt
ε
−
Sai số
110ε =
−
0.096 698 054 797
210ε =
−
0.011 336 257 251
310ε =
0.001 147 830 285
Dựa vào bảng này ta có thể thấy rõ sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ về nghiệm
t = khi ε càng nhỏ. Sự hội tụ càng rõ qua hình vẽ
0
chính xác tại thời điểm
−
bên dưới.
110ε =
Hình 3.1. Đồ thị biểu diễn nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ tại .
−
46
−
. Hình 3.2. Đồ thị biểu diễn nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ tại 210ε =
Hình 3.3. Đồ thị biểu diễn nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ tại . 310ε =
47
KẾT LUẬN
Luận văn trình bày dựa trên nội dung của bài báo [18]. Tuy nhiên, trong
phần áp dụng chương 3 tôi đưa ra một ví dụ khác với ví dụ đã có trong bài
t = . Luận
0
báo. Ví dụ này xét đến sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tại thời điểm
văn không mở rộng thêm kết quả mới mà chỉ cố gắng làm rõ những phần tác
giả bài báo không chứng minh như các bất đẳng thức dùng trong chứng minh
định lý 2.1.3, công thức nghiệm của bài toán (0.1) mà luận văn trình bày ở
mục 1.13 và bổ đề 2.2.2. Đồng thời, tác giả bài báo cũng mắc phải lỗi đánh
,
( ) t ở bước 3 chứng minh định lý 2.1.1 và luận
( ) u t v m
m
máy trong cách đặt
văn cũng đã sửa lại.
Vì đây là lần đầu tiên tôi làm quen với việc nghiên cứu khoa học một
cách có hệ thống nên khó tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện
hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!
48
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Đậu Thế Cấp (2009), Giải tích hàm, NXB Giáo dục Việt Nam.
Tiếng Anh
[2] K. A. Mes and R. J. Hughes (2005), “Structural stability for ill-posed
probems in Banach space”, Semigroup Forum 70, No. 1, pp. 127-145.
[3] T. Cazenave and A. Haraux (1998), An Introduction to Semilinear
Evolution Equations, Clarendon Press, Oxford.
[4] G. W. Clark and S. F. Oppenheimer (1994), “Quasireversibility methods
for non-well-posed problems”, Electron. J. Differential Equations,
No. 8.
[5] M. Denche and K. Bessila (2005), “A modified quasi-boundary value
method for ill-posed problems”, J. Math. Anal. Appl. 301, No. 2, pp.
419-426.
[6] D. N. Hao, N. V. Duc and H. Sahli (2008), “A non-local boundary value
problem method for parabolic equations backward in time”, J. Math.
Anal. Appl. 345, No. 2, pp. 805-815.
[7] Y. Huang and Q. Zheng (2005), “Regularization for a class of ill-posed
Cauchy problems”, Proc. Amer. Math. Soc. 133, No. 10, pp. 3005-
3012.
[8] V. K. Ivanov, I. V. Mel’nikova and F. M. Filinkov (1995), Operator-
Differential Equations and Ill-Posed Problems (in Russian), Nauka,
Moscow.
[9] R. Lattès and J. L. Lions (1967), Méthode de Quasi-réversibilité et
Applications, Travaux et Recherches Mathematiques 15, Dunod,
Paris.
49
[10] J. Lee and D. Sheen (2006), “A parallel method for backward parabolic
problems based on the Laplace transformation”, SIAM J. Numer. Anal.
44, No. 4, pp. 1466-1486.
[11] N. T. Long and A. P. N. Dinh (1994), “Approximation of a parabolic
non-linear evolution equation backwards in time”, Inverse Problems
10, No. 4, pp. 905-914.
[12] I.V. Mel’nikova, Q. Zheng and J. Zheng (2002), “Regularization of
weakly ill-posed Cauchy problems”, J. Inverse Ill-Posed Probl. 10,
No. 5, pp. 503-511.
[13] K. Miller (1973), “Stabilized quasi-reversibility and other nearly-best-
possible methods for non-well-posed problems”, in: Symposium on
Non-Well-Posed Problems and Logarithmic Convexity (Edinburgh
1972), Lecture Notes in Math. 316, Springer, Berlin, pp. 161-176.
[14] L. E. Payne (1973), “Some general remarks on improperly posed
problems for partial dif-ferential equations”, in: Symposium on Non-
Well-Posed Problems and Logarithmic Convexity (Edinburgh 1972),
Lecture Notes in Math. 316, Springer, Berlin, pp. 1-30.
[15] L. E. Payne (1975), Improperly Posed Problems in Partial Differential
Equations, Regional Conf. Ser. in Appl. Math. 22, Society for
Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia.
[16] R. E. Showalter (1985), “Cauchy problem for hyperparabolic partial
differential equations”, in: Trends in the Theory and Practice of
Nonlinear Analysis (Arlington 1984), North-Holland Math. Stud. 110,
North-Holland, Amsterdam, pp. 421-425.
[17] D. D. Trong and N. H. Tuan (2008), “Stabilized quasi-reversibility
method for a class of nonlinear ill-posed problems”, Electron. J.
Differential Equations, No. 84.
[18] N. H. Tuan (2013), “A new quasi-reversibility method of a parabolic
non-linear evolution equation backwards in time”, Georgian Math. J.
20, pp. 179-194, DOI 10.1515/gmj-2013-0010.
