Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình Maxwell trong lý thuyết tán xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Tú

SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

CHO PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

TRONG LÝ THUYẾT TÁN XẠ

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 846 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2020

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn

khoa học của TS. Nguyễn Thành Nhân. Các nội dung nghiên cứu và kết quả

tham khảo trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong mục Tài liệu

tham khảo.

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 05 năm 2020

Học viên

Nguyễn Thanh Tú

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy TS. Nguyễn

Thành Nhân, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ để tôi có thể hoàn thành

luận văn này. Tôi xin cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc

và góp ý giúp cho luận văn được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn quý

thầy cô Khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh

đã truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt những năm học vừa

qua, tạo cho tôi một nền tảng vững chắc để thực hiện luận văn. Cuối cùng, tôi

cũng gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể lớp Toán giải tích K28 đã hết

lòng ủng hộ và động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như trong

quá trình thực hiện luận văn này. Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên luận văn

còn nhiều hạn chế và không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận

được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn

thiện hơn. Xin chân thành cám ơn.

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 05 năm 2020

Học viên

Nguyễn Thanh Tú

Một số kí hiệu

R Tập số thực.

Re a

C Tập số phức.

Im a

Phần thực của a.

Ω

Phần ảo của a.

Γ, ∂Ω

Miền bị chặn.

Biên của miền Ω.

Cường độ điện trường.

Sóng tới của trường điện.

Sóng tán xạ của trường điện.

H i

Cường độ từ trường.

H s

Sóng tới của trường từ.

Sóng tán xạ của trường từ.

F+

Giới hạn từ bên ngoài cho trường vectơ hoặc hàm F .

F−

Giới hạn từ bên trong cho trườngvectơ hoặc hàm F .

Hằng số điện môi của môi trường.

Hằng số từ môi của môi trường.

∇·, div

Tính chiral của môi trường.

∇ · a =

Toán tử divergence. Trong tọa độ Descartes,

∂ay ∂y

∂az ∂z

∇×, curl, rot Toán tử vectơ mô tả độ xoáy của trường vectơ. Trong tọa

(cid:19) . (cid:18)∂ax ∂x

độ Descartes, với i, j, k là vectơ đơn vị của các trục x, y, z,

curl a =

−

(cid:19) (cid:19) (cid:19)

∂ay ∂z

∂az ∂x

∂ax ∂y

(cid:98)k. (cid:98)i + (cid:98)j + (cid:18) ∂az ∂y (cid:18) ∂ax ∂z (cid:18) ∂ay ∂x

(= ν(x)) Vectơ pháp tuyến đơn vị tại x ∈ Γ hướng ra ngoài miền Ω.

Số sóng (mang giá trị thực).

Số sóng (mang giá trị phức). κ sẽ có các giá trị k hoặc ik.

Tập hợp các số sóng phức Π := {κ ∈ C : κ (cid:54)= 0, Re κ ≥ 0, Im κ ≥ 0}.

Φκ

Nghiệm cơ bản.

∆u

Trường sóng tán xạ.

∇

Toán tử Laplace của u.

L2(D)

D |u(x)|2 dx(cid:1) 1 2 ,

Toán tử Gradient.

Các hàm có giá trị vô hướng theo cách thông thường, được trang bị chuẩn (cid:107)u(cid:107)L2(D) := (cid:0)(cid:82)(cid:82) với D ⊂ R3 là tập con đo được bất kì có độ đo dương.

C∞ 0

Không gian các hàm trơn có giá compact.

ε0

Độ điện thẩm chân không.

µ0

Độ từ thẩm chân không.

Mật độ điện tích.

Mật độ dòng điện.

Vận tốc ánh sáng.

Tần số góc.

QL, QR Các trường Beltrami.

QL := E + iH và QR := E − iH.

E∞

Toán tử trường sóng xa.

Phổ điện trường của trường sóng xa.

H ∞ S2

Phổ từ trường của trường sóng xa.

Hình cầu đơn vị.

pm n , qm n

Các hệ số Fourier.

Mục lục

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Một số kí hiệu

MỞ ĐẦU 1

1 Phương trình tích phân Lippmann-Schwinger 3

1.1 Bài toán từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Giới thiệu bài toán từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Công thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Bài toán điện trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Giới thiệu bài toán điện trường . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Công thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Phương trình vi tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 19

2.1 Chứng minh sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Chứng minh tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Biểu diễn nghiệm qua chuỗi các hàm cầu điều hòa 32

3.1 Phương trình Maxwell trong hệ vectơ cầu điều hòa . . . . . . . . . 33

3.1.1 Phổ trường sóng xa và toán tử trường sóng xa . . . . . . . 33

3.1.2 Vectơ hàm cầu điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.3 Phương trình Maxwell trên miền achiral . . . . . . . . . . . 41

3.1.4 Bài toán truyền sóng trong quả cầu chiral . . . . . . . . . . 44

3.2 Toán tử trường sóng xa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.1 Chuỗi khai triển của sóng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.2 Trường hợp achiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.3 Trường hợp chiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Kết luận 56

Tài liệu tham khảo 57

MỞ ĐẦU

Phương trình Maxwell là một trong những phương trình có nhiều ứng dụng

trong Vật lý, đặc biệt là trong lý thuyết tán xạ điện từ. Phương trình này nhận

được khá nhiều sự quan tâm của các nhà Toán học. Cho đến nay, nhiều bài

toán xung quanh phương trình này vẫn là các vấn đề mở. Các nghiên cứu về

phương trình này liên quan đến sự tồn tại và duy nhất nghiệm, các tính chất

nghiệm, các phương pháp giải tích và phương pháp số để giải phương trình. Một

trong những kết quả hữu ích gần đây là chứng minh sự tồn tại và duy nhất

nghiệm của phương trình Maxwell bằng cách đưa về phương trình tích phân

Lippmann-Schwinger. Từ đó, thay cho việc nghiên cứu phương trình Maxwell,

các nhà toán học tập trung vào phương trình tích phân Lippmann-Schwinger.

Nghiên cứu về phương trình tích phân này có một số thuận lợi nhất định.

Luận văn tập trung tìm hiểu việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm

của phương trình Maxwell tổng quát bằng cách khảo sát phương trình tích phân

Lippmann-Schwinger, dựa trên các tài liệu tham khảo chính [6], [8], [10], [11],

[15], [16]. Bên cạnh đó, tác giả trình bày lại biểu diễn nghiệm của phương trình

Maxwell thông qua chuỗi các hàm cầu điều hòa trong cả trường hợp achiral và

chiral. Các biểu diễn này sẽ mang lại giá trị cho người nghiên cứu về phương

pháp số giải phương trình Maxwell.

• Trong Chương 1, đầu tiên tác giả giới thiệu một số ký hiệu và kiến thức

Nội dung chính của luận văn được trình bày thành 3 chương:

cơ bản về phương trình Maxwell trong lý thuyết tán xạ điện từ, đồng thời

mô tả hai bài toán tương ứng với quá trình truyền sóng điện trường và

sóng từ trường. Các lớp công thức biến phân tương ứng với hai bài toán

này cũng được đưa ra ngay sau đó. Tiếp theo, tác giả trình bày kết quả

về sự tương đương của các dạng biến phân với phương trình tích phân

• Ở Chương 2, tác giả trình bày các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Lippmann-Schwinger.

của phương trình tích phân Lippmann-Schwinger, từ đó thu được sự tồn

• Chương 3 của luận văn tập trung xây dựng công thức biểu diễn của các đại

tại và duy nhất nghiệm của bài toán ban đầu.

lượng sóng tới, sóng tán xạ thông qua chuỗi các hàm vectơ cầu điều hòa.

Công thức khai triển cụ thể trong trường hợp sóng tới là sóng phẳng trong

cả trường hợp achiral và chiral được đưa ra trong phần cuối cùng của luận

văn.

Chương 1

Phương trình tích phân Lippmann-Schwinger

1.1 Bài toán từ trường

1.1.1 Giới thiệu bài toán từ trường

Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát hệ phương trình Maxwell có dạng

curl H = −ikε(E + βcurl E),

như sau:

curl E = ikµ(H + βcurl H),

(1.1)

Es, H s

Ei, H i

(1.2)

Ω

ε = µ = 1, β = 0

ε(x), µ(x), β(x)

Xây dựng bài toán thuận.

trong miền Rn \ Γ, trong đó Γ ∈ C2 là biên của miền bị chặn Ω ⊂ R3, k > 0 là số sóng, các hàm ε, µ, β ∈ C1(R3 \ Γ) lần lượt đặc trưng cho hằng số điện môi,

hằng số từ môi và tính chiral của môi trường. Lưu ý rằng các đại lượng này

là các hàm phức không phụ thuộc thời gian và sẽ có giá trị là hằng số khi các

vật liệu là đồng nhất. Môi trường được gọi là achiral trong trường hợp β = 0,

và ngược lại gọi là môi trường chiral. Các đại lượng E và H là nghiệm của hệ

phương trình, lần lượt đặc trưng cho sóng điện trường và sóng từ trường.

Quá trình tán xạ sóng điện trường và sóng từ trường xảy ra khi sóng tới

được truyền qua một vật, giả sử được đặt trong môi trường chân không, nghĩa

là ε = µ = 1 và β = 0 nằm bên ngoài miền Ω. Giả sử ε (cid:54)= 0 và µ (cid:54)= 0, đặt qµ := µ−1 và qε := 1 − ε−1. Các đại lượng sóng tới và sóng tán xạ của trường điện và trường từ lần lượt được ký hiệu là Ei, H i, Es, H s. Khi đó sóng toàn phần E, H chính

E = Ei + Es và H = H i + H s.

là sóng tổng hợp của sóng tới và sóng tán xạ, tức là

Bằng cách thay trường điện E trong (1.1) vào trường từ H trong (1.2), ta

thu được phương trình sau

− k2µβ2(cid:17)

curl

curl H

− k2 [curl (µβH) + µβ curl H] − k2µH = 0,

(cid:105) (1.3) (cid:104)(cid:16) 1 ε

trong miền Rn \ Γ. Theo định nghĩa của các hàm tham số ε, µ và β, phương trình

trên biểu thị các phương trình Maxwell dạng achiral bên ngoài Ω và các phương

trình dạng chiral bên trong Ω. Khi đó trường sóng tới H i thỏa mãn phương trình

curl2H i − k2H i = 0,

Maxwell trong chân không, nghĩa là

trong R3. (1.4)

Phân tích sóng tổng hợp trong (1.3) thành sóng tới H i và sóng tán xạ H s, ta

− k2µβ2(cid:17)

được

curl2H i − k2H i − curl

+ k2 (cid:2)curl (cid:0)µβ(H i + H s)(cid:1) + µβ curl(H i + H s)(cid:3) + k2µ(H i + H s) = 0.

(cid:105) curl(H i + H s) (cid:104)(cid:16) 1 ε

curl

− k2µβ2(cid:17)

curl H s(cid:105)

− k2 [curl (µβH s) + µβ curl H s] − k2µH s

Rút gọn biểu thức trên và sử dụng 1.4, ta nhận được

(cid:104)(cid:16) 1 ε

= curl (cid:2)(cid:0)qε + k2µβ2(cid:1) curl H i(cid:3) + k2 (cid:2)curl (cid:0)µβH i(cid:1) + µβ curl H i(cid:3) + k2qµH i,

(1.5)

trong miền R3 \ Γ với qµ = µ − 1 và qε = 1 − ε−1.

Tiếp theo ta xác định các điều kiện truyền sóng. Kí hiệu ν = ν(x) là vectơ

pháp tuyến đơn vị tại x ∈ Γ = ∂Ω hướng ra ngoài miền Ω. Trong phần tiếp theo,

tất cả các phương trình liên quan đến vectơ tiếp tuyến được phát biểu trên Γ.

Ta ký hiệu F+ và F− lần lượt là giới hạn từ bên ngoài và bên trong cho trường

vectơ hoặc hàm F .

Các thành phần tiếp tuyến của E và H liên tục trên các mặt phân cách,

nghĩa là

ν × H+ = ν × H− và

ν × E+ = ν × E−

trên Γ. (1.6)

Điều này dẫn đến các điều kiện truyền sóng trên biên Γ của Ω. Ví dụ tiếp

theo minh họa việc xác định các điều kiện truyền sóng.

Ví dụ 1.1. (Điều kiện truyền sóng trong trường hợp achiral)

Trong môi trường không từ tính achiral (β = 0, µ = 0) các phương trình

curl E = ikH

curl H = −ikεE và

Maxwell (1.1), (1.2) có dạng

trong R3 \ Γ.

Giả sử cho ε như trên, nghĩa là ε = 1 trong R3 \ Ω. Ta có thể viết các điều

curl H− và E+ = −

curl H+

E− = −

1 ik

1 ikε−

kiện liên tục (1.6) theo H dưới dạng các phương trình Maxwell như sau

ν × H+ = ν × H− và

ν × curl H+ =

ν × curl H−.

1 ε−

Khi đó

Đây là các điều kiện truyền sóng cho trường sóng tổng hợp. Do đó điều kiện

truyền cho trường sóng tán xạ H s = H − H i được suy ra từ phép trừ của trường

ν × curl H i = ν × curl H i

ν × H i

+ = ν × curl H i −

− và

+ = ν × H i

sóng tổng hợp cho điều kiện

ta được

ν × H s

ν × curl H s

1 −

+ = ν × H s

− và

− − ν × curl H s

+ = ν ×

curl H i .

1 ε−

(cid:18) (cid:19)

Bây giờ, ta sẽ xác định các điều kiện truyền sóng cho trường hợp chiral. Các

giới hạn của E xuất hiện trong điều kiện liên tục (1.6) có thể được biểu diễn

bằng H theo các phương trình chiral (1.1) và (1.2). Các điều kiện miền bên

− kµβ2(cid:17)

curl H− − ik(µβ)−H−

E+ =

curl H+ và E− = i

ngoài, ta có β = 0 và ε = 1. Từ đó ta suy ra

i k

−

(cid:16) 1 kε

− k2µβ2(cid:17)

ν × H+ = ν × H− và ν × curl H+ = ν ×

curl H− − ν × k2(µβ)−H−

và điều kiện truyền tương ứng là

−

(cid:16)1 ε

− k2µβ2(cid:17)

ν × H+ = ν × H− và ν × curl H+ =

ν × curl H− − k2(µβ)−ν × H−.

hay

−

(cid:16) 1 ε

H s = H − H i:

ν × H s

+ = ν × H s −

Bằng phép trừ ta có được các điều kiện truyền theo trường sóng tán xạ

− k2µβ2(cid:17)

ν × curl H s

− − k2(µβ)−ν × H s

− − ν × curl H s +

và

−

(cid:16)1 ε

= (qε + k2µβ2)−ν × curl H i + k2(µβ)−ν × H i.

(1.7)

Các công thức này có vẻ khá phức tạp. Nhưng để phát triển các công thức biến

phân ta sẽ sử dụng những biểu thức này, chúng xuất hiện trong các tích phân

1.1.2 Công thức biến phân

trên biên khi ta thực hiện tích phân từng phần.

, ε|Ω,

, µ|Ω, β|Ω ∈ L∞(Ω). Về ý tưởng, ta sẽ nhân phương

1 ε|Ω

1 µ|Ω

Giả sử rằng

trình (1.5) với hàm thử và sử dụng tích phân từng phần ta suy ra công thức

M s :=

− k2µβ2(cid:17)

curl H s − k2µβH s,

biến phân cho H s. Đặt:

ms := k2µβ curl H s + k2µH s,

M i := (qε + k2µβ2) curl H i + k2µβH i,

mi := k2qµH i + k2µβ curl H i.

(cid:16)1 ε

Lưu ý rằng M i và mi bị triệt tiêu trong R3 \ Ω. Khi đó điều kiện truyền (1.7)

ν × M s

chỉ còn

− − ν × M s

+ = ν × M i −

trên Γ

curl M s − ms = curl M i + mi.

và phương trình tán xạ (1.5) là

thử ψ ∈ C∞

curl M i · ψ + mi · ψ dx.

curl M s · ψ − ms · ψ dx =

Ω

Trên cả hai vế của phương trình này, ta hình thành tích vô hướng với hàm 0 (B, C3) cho quả cầu B ⊃ Ω bất kỳ. Khi đó tích phân trên B là (cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90)

Ta chia miền lấy tích phân của biểu thức bên trái thành B \ Ω và Ω, và áp

dụng định lý Green dưới dạng

curl v · w − v · curl w dx =

ν · (v × w) ds =

(ν × v) · w ds

∂D

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90)

với lần lượt D = B \ Ω và D = Ω. Khi đó, ta có

M s · curl ψ − ms · ψ dx +

M s · curl ψ − ms · ψ dx

B\Ω

Ω

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90)

(ν × M s

−

(ν × M s

−) · ψ ds

+) · ψ ds + (cid:90) (cid:90)

(cid:90) (cid:90)

M i · curl ψ − mi · ψ dx +

(ν × M i) · ψ ds.

Ω

(cid:90)

Các tích phân trên biên bị triệt tiêu do điều kiện truyền sóng. Tức là

M s · curl ψ − ms · ψ dx =

M i · curl ψ − mi · ψ dx

Ω

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90)

với mọi hàm thử ψ có giá compact. Thay các biểu thức cho M s, ms, M i và mi ta

có dạng biến phân của phương trình tán xạ:

− k2µβ2(cid:17)

curl H s · curl ψ − k2µH s · ψ dx

(cid:90) (cid:90)

− k2

µβ [H s · curl ψ + curl H s · ψ] dx

Ω

(cid:16)1 ε (cid:90) (cid:90)

(qε + k2µβ2) curl H i · curl ψ + k2qµH i · ψ dx

Ω

(cid:90) (cid:90)

+ k2

µβ (cid:2)H i · curl ψ + curl H i · ψ(cid:3) dx (1.8)

Ω

(cid:90) (cid:90)

với mọi ψ có giá compact. Ta xác định các không gian hàm cho H s, H i và ψ sau

khi hình thành điều kiện truyền sóng yếu tương ứng.

1.2 Bài toán điện trường

1.2.1 Giới thiệu bài toán điện trường

Ta có thể thấy rằng các phương trình bậc hai cho E và H là giống nhau

khi ta đổi chỗ ε và µ. Tương tự như trường hợp từ trường, ta có thể xây dựng

bài toán truyền sóng cho trường điện. Ta tóm tắt đưa ra kết quả. Một lần nữa

trường sóng tới Ei là một nghiệm giải tích cho các phương trình Maxwell trong

curl2 Ei − k2Ei = 0

chân không

trong R3

và phương trình cho trường sóng tán xạ Es = E − Ei là

curl

− k2εβ2

curl Es

− k2 [curl (εβEs) + εβ curl Es] − k2εEs

(cid:19) (cid:21)

= curl (cid:2)(cid:0)pµ + k2εβ2(cid:1) curl Ei(cid:3) + k2 (cid:2)curl (cid:0)εβEi(cid:1) + εβ curl Ei(cid:3) + k2pεEi

(cid:20)(cid:18) 1 µ

1 µ

ν × Es

+ = ν × Es −

. Điều kiện truyền là trong R3 \ Γ với pε := ε − 1 và pµ = 1 −

và

ν × curl Es

− k2εβ2

− − k2(εβ)−ν × Es

− − ν × curl Es +

(cid:19)

−

= (pµ + k2εβ2)−ν × curl Ei + k2(εβ)−ν × Ei

(cid:18) 1 µ

trên Γ. Nhắc lại rằng kí hiệu ν là vectơ pháp tuyến đơn vị trên Γ hướng ra bên

1.2.2 Công thức biến phân

ngoài miền Ω.

, ε|Ω,

, µ|Ω, β|Ω ∈

1 ε|Ω

1 µ|Ω

L∞(Ω). Một lần nữa, ta có thể thu được công thức biến phân của phương trình

Tương tự bài toán từ trường, ta cũng giả sử rằng

tán xạ bằng cách nhân với hàm thử và tích phân từng phần,

− k2εβ2

curl Es · curl ψ − k2εEs · ψ dx

(cid:19) (cid:90) (cid:90)

− k2

εβ [Es · curl ψ + curl Es · ψ] dx

Ω

(cid:18) 1 µ (cid:90) (cid:90)

(pµ + k2εβ2) curl Ei · curl ψ + k2pεEi · ψ dx

Ω

(cid:90) (cid:90)

+ k2

εβ (cid:2)Ei · curl ψ + curl Ei · ψ(cid:3) dx (1.9)

Ω

(cid:90) (cid:90)

với mọi ψ có giá compact. Ta đã trình bày hai phương trình biến phân cho

bài toán tán xạ. Ta phải xác định không gian để giải chúng. Định nghĩa đầu

tiên dưới đây giải thích ý nghĩa của toán tử curl yếu trong bài toán này. Định

nghĩa thứ hai đưa ra khái niệm về tính chất hướng ngoại của nghiệm (outgoing

solutions).

Như trong [14], với bất kỳ tập con đo được D ⊂ R3 với độ đo dương, không

gian hàm L2(D) được xác định cho các hàm có giá trị vô hướng theo cách thông

thường, được trang bị chuẩn

|u(x)|2 dx

(cid:107)u(cid:107)L2(D) :=

(cid:19) 1 (cid:18)(cid:90) (cid:90)

Ở đây và trên toàn luận văn, ký hiệu | · | là giá trị tuyệt đối tương ứng với đại

lượng vô hướng và | · | là chuẩn Euclid tương ứng với đại lượng vectơ.

Định nghĩa 1.2. ([11])(Curl yếu) Cho D ⊂ R3 là miền bị chặn.

(a) L2(D, C3) := (cid:8)v = (v1, v2, v3)T (cid:12) (cid:12) vj ∈ L2(D), j = 1, 2, 3(cid:9).

(b) Với v ∈ L2(D, C3), ta nói v ∈ H(curl, D) nếu tồn tại hàm w ∈ L2(D, C3) sao

w · ψ − v · curl ψ dx = 0,

0 (D, C3).

cho (cid:90) (cid:90) với mọi ψ ∈ C∞

Khi đó, ta ký hiệu curl v := w, được gọi là curl yếu của v.

(cid:12) ∀B ⊂ R3 : v|B ∈ H(curl, B)}, trong đó B ký

Hc(curl, R3) :=(cid:8)ψ : R3 → C3 | ∃B ⊂ R3 : supp ψ ⊂ B, ψ|B ∈ H(curl, B)(cid:9).

(d) Không gian hàm thử:

Định nghĩa 1.3. ([11]) (Nghiệm Radiating (Radiating solution))

Một nghiệm (Es, H s) cho các phương trình Maxwell trong R3 \ Ω được gọi là

Es(x) × ˆx + H s(x) = O(|x|−2)

RADIATING nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện bức xạ Silver − M¨uller

khi |x| → ∞ (1.10)

H s(x) × ˆx − Es(x) = O(|x|−2)

hoặc

khi |x| → ∞

đều theo biến ˆx = x/|x|, với x ∈ R3.

Ở đây | · | là chuẩn Euclid. Vì ta sẽ làm việc với một trong các trường nên ta

đưa ra các biểu thức tương đương bằng cách sử dụng trường và curl của nó.

curl2 U − k2U = 0

Mệnh đề 1.4. ([11]) Một nghiệm U cho các phương trình Maxwell có dạng

curl U × ˆx − ikU = O(|x|−2)

được gọi là radiating nếu và chỉ nếu U thỏa mãn một trong hai điều kiện:

khi |x| → ∞

ikU × ˆx + curl U = O(|x|−2)

hoặc

khi |x| → ∞

đều theo biến ˆx = x/|x| trong đó x ∈ R3.

Để chứng minh, ta nhân (1.10) với −ik và dùng curl H s = −ikEs. Điều này

cho ta điều kiện đầu tiên của mệnh đề. Tương tự với điều kiện thứ hai (nhân

điều kiện thứ hai trong định nghĩa với ik và dùng curl H s = −ikEs).

Trong các phần tiếp theo, ta khảo sát sự tồn tại nghiệm của phương trình,

được tập trung vào một trong hai công thức - cụ thể là công thức cho H. Nhưng

đối với kết quả duy nhất và các phần chuẩn bị cho phương pháp Nhân tử hóa,

ta sẽ làm việc với cả điện trường và từ trường và nói về một nghiệm (Es, H s)

cho bài toán truyền sóng. Bổ đề tiếp theo chỉ ra rằng với một nghiệm H s trong

bài toán truyền sóng từ trường cho trước, ta có thể xác định trường điện tương

ứng và ngược lại.

Bổ đề 1.5. ([11]) (Sự tương đương của công thức biến phân)

Hai công thức biến phân là tương đương nhau theo nghĩa sau.

− k2µβ2(cid:17)

−ikEs :=

curl H s−k2µβH s−(qε+k2µβ2) curl H i−k2µβH i (1.11)

(a) Cho H i là trường sóng tới. Nếu H s ∈ Hloc(curl, R3) là một nghiệm radiating của phương trình (1.8) với mọi ψ ∈ Hc(curl, R3) thì Es ∈ Hloc(curl, R3) được xác định bởi

(cid:16)1 ε

− ikEi := curl H i.

là một nghiệm radiating của (1.9) với mọi ψ ∈ Hc(curl, R3) với

(1.12)

(b) Cho Ei là trường sóng tới. Nếu Es ∈ Hloc(curl, R3) là một nghiệm radiating của phương trình (1.9) với mọi ψ ∈ Hc(curl, R3) thì H s ∈ Hloc(curl, R3) được xác định bởi

− k2εβ2

ikH s :=

curl Es − k2εβEs − (pµ + k2εβ2) curl Ei − k2εβEi

(cid:19)

(cid:18) 1 µ

ikH i := curl Ei.

là một nghiệm radiating của (1.8) với mọi ψ ∈ Hc(curl, R3) với

Chứng minh.

(a) Theo định nghĩa của Es phương trình (1.8) chỉ ra rằng curl Es tồn tại địa

phương theo nghĩa yếu và

− ik curl Es = k2µ(β curl H s + H s) + k2µβ curl H i + k2qµH i

(1.13)

−ik curl Es = k2H s ⇔ curl Es = ikH s.

theo nghĩa yếu. Với mọi x /∈ Ω ta có −ikEs = curl H s và

Theo Mệnh đề 1.4, ta dễ dàng kiểm tra được với H s cũng như Es là radiating.

Sử dụng các trường sóng tổng hợp H = H s + H i và E = Es + Ei, phương trình

(1.11) - (1.13) cho ta

curl H

−k2µβ

− ik

     

curl E

1−k2εµβ2 ε k2µβ

k2µ

(1.14)  =     . 

∈ L∞(Ω)

det = k2 µ ε

(1 − k2εµβ2) + k4µ2β2 = k2 µ ε

Định thức của ma trận hệ số là

k2ε

k2εβ

εβ

 và ma trân nghịch đảo được đưa ra bởi   

1 k2

−k2εβ 1−k2εµβ2

−εβ 1−k2εµβ2

k2µ

   =  .

curl H

k2ε

k2εβ

Ta nhân phương trình (1.14) với ma trận nghịch đảo:      

i k

curl E

−k2εβ 1−k2εµβ2

  = −    . 

Đưa vào định nghĩa của curl yếu, ta được

H · curl ψ − curl H · ψ dx = 0

0 (R3, C3),

(cid:90) (cid:90) với mọi ψ ∈ C∞

và sử dụng lại E = Es + Ei với curl2Ei − k2Ei = 0 cho ta phương trình (1.9). (cid:3) Chứng minh tương tự cho mệnh đề (b).

Chúng ta kết thúc phần này với một công thức chính xác của bài toán truyền

sóng từ trường mà ta muốn giải. Đây là sự mở rộng của bài toán truyền sóng từ

trường (1.8) ở hai phương diện:

• Trong đạo hàm của công thức biến phân, ta thấy sự hỗ trợ ở vế phải của

phương trình tán xạ chứa trong Ω. Ta có thể hiểu đây là một dữ liệu đầu

• Số sóng (thực) k2 = ω2ε0µ0 > 0 xuất hiện trong một vài số hạng của phương

vào và cho phép các dữ liệu đầu vào tổng quát hơn (g, h).

trình (1.8). Khi phân tích bài toán truyền sóng trong các phần sau, ta phải

cho phép các giá trị phức tại một số vị trí. Đó là lý do tại sao ta giới thiệu

tham số có giá trị phức κ thay thế số sóng khi cần thiết. (κ sẽ có các giá

trị k hoặc ik.)

Kí hiệu Π := {κ ∈ C : κ (cid:54)= 0, Re κ ≥ 0, Im κ ≥ 0}.

Giả thiết 1.6. ([11]) (Các tham số vật liệu)

Cho Ω ⊂ R3 là miền Lipschitz bị chặn. Ta thừa nhận các hằng số điện môi

1 ε

phức ε và hằng số từ môi phức µ nhưng giả sử tính chiral β nhận giá trị thực. , µ ∈ L∞(R3, C) và β ∈ L∞(R3, R) sao cho ε = 1, µ = 1 và β = 0

Chính xác hơn, trong R3 \ Ω.

Bài toán 1. ([11]) (Bài toán truyền sóng từ yếu)

Cho k > 0 và κ ∈ Π. Cho trước dữ liệu g, h ∈ L2(Ω, C3). Với giả thiết 1.6, xác

định v ∈ Hloc(curl, R3) sao cho v là radiating và thỏa mãn

− k2µβ2(cid:17)

curl v · curl ψ − κ2µv · ψ dx

(cid:90) (cid:90)

−

µβ (cid:2)k2v · curl ψ + κ2curl v · ψ(cid:3) dx

Ω

(cid:16)1 ε (cid:90) (cid:90)

κ2g · ψ + h · curl ψ dx (1.15)

Ω

(cid:90) (cid:90)

với mọi ψ ∈ Hc(curl, R3).

Thêm nữa, ta phát biểu bài toán truyền sóng điện yếu. Trong trường hợp

này ta không cần tổng quát hóa bài toán cho các số sóng phức.

Giả thiết 1.7. ([11]) (Các tham số vật liệu)

Cho Ω ⊂ R3 là miền Lipschitz bị chặn. Ta thừa nhận các hằng số điện môi

phức ε và hằng số từ môi phức µ nhưng giả sử tính chiral β nhận giá trị thực.

∈ L∞(R3, C) và β ∈ L∞(R3, R) sao cho ε = 1, µ = 1 và β = 0

1 µ

Chính xác hơn, ε, trong R3 \ Ω.

Bài toán 2. ([11]) (Bài toán truyền sóng điện yếu)

Cho k > 0 và κ ∈ Π. Cho trước dữ liệu g, h ∈ L2(Ω, C3). Với giả thiết 1.7, xác

định v ∈ Hloc(curl, R3) sao cho v là radiating và thỏa mãn

− k2εβ2

curl v · curl ψ − k2εv · ψ dx

(cid:19) (cid:90) (cid:90)

− k2

εβ [v · curl ψ + curl v · ψ] dx

Ω

(cid:18) 1 µ (cid:90) (cid:90)

k2g · ψ + h · curl ψ dx (1.16)

Ω

(cid:90) (cid:90)

với mọi ψ ∈ Hc(curl, R3)

1.3 Phương trình vi tích phân

Người ta sử dụng phương trình vi tích phân để đưa ra một công thức thay

thế cho bài toán truyền sóng tổng quát ở trên. Mục đích là áp dụng lý thuyết

Fredholm. Vì lý do đó ta giới thiệu các thế vị vectơ nhất định, để dẫn đến

phương trình vi tích phân và chứng minh sự tương đương.

Nghiệm cơ bản cho phương trình vô hướng Helmholtz đóng một vai trò quan

trọng. Nó sẽ là hàm hạt nhân cho các thế vị vectơ của chúng ta.

Định nghĩa 1.8. ([11]) (Nghiệm cơ bản)

∆u + κ2u = 0

Với κ ∈ Π nghiệm cơ bản Φκ của phương trình vô hướng Helmholtz trong R3

x (cid:54)= y.

Φκ(x, y) :=

exp(iκ|x − y|) 4π|x − y|

được xác định bởi

Bổ đề tiếp theo cung cấp các thế vị vectơ cơ bản để giải các phương trình

Maxwell.

Bổ đề 1.9. ([11])

Cho κ ∈ Π.

(a) Với f ∈ L2(Ω, C3), trường vectơ

u(x) = curl

x ∈ R3,

f (y)Φκ(x, y) dy,

Ω

(cid:90) (cid:90)

xác định một hàm trong Hloc(curl, R3) thỏa mãn curl2u − κ2u = curl f theo nghĩa biến phân; tức là,

curl u · curl ψ − κ2u · ψ dx =

f · curl ψ dx

Ω

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90)

với mọi ψ ∈ Hc(curl, R3). Hơn nữa u là radiating và thu hẹp u|Ω của u trên Ω xác định toán tử bị chặn từ L2(Ω, C3) vào H(curl, Ω).

(b) Với f ∈ L2(Ω, C3), trường vectơ

u(x) = (κ2 + ∇ div)

x ∈ R3,

f (y)Φκ(x, y) dy,

Ω

(cid:90) (cid:90)

xác định một hàm trong Hloc(curl, R3) thỏa mãn curl2u−κ2u = κ2f theo nghĩa biến phân; tức là,

curl u · curl ψ − κ2u · ψ dx = κ2

f · ψ dx

Ω

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90)

với mọi ψ ∈ Hc(curl, R3). Hơn nữa u là radiating và thu hẹp u|Ω của u trên Ω xác định toán tử bị chặn từ L2(Ω, C3) vào H(curl, Ω).

Ta sẽ đưa ra một phương trình vi tích phân từ bổ đề trên. Do đó, ta xây

dựng lại bài toán truyền sóng (1.15) sao cho dạng biến phân của phương trình

Maxwell trên toàn không gian xuất hiện ở vế trái.

curl v · curl ψ − κ2v · ψ dx

(cid:90) (cid:90)

= κ2

[qµv + µβ curl v + g] · ψ dx

Ω

(cid:90) (cid:90)

Ω

(cid:90) (cid:90) (cid:2)(qε + k2µβ2) curl v + k2µβv + h(cid:3) · curl ψ dx

với mọi x ∈ Ω.

f = (qε + k2µβ2) curl v + k2µβv + h và f = qµv + µβ curl v + g.

Ta nhận ra các phương trình từ bổ đề trước với lần lượt là

Lưu ý suppf ⊂ Ω trong cả hai trường hợp. Điều chỉnh các thế vị trong bổ đề

trước cho ta phương trình vi tích phân cho v.

v(x) = (κ2 + ∇ div)

[qµv + µβ curl v + g] Φκ(x, ·) dy

Ω

(cid:90) (cid:90)

+ curl

Ω

(cid:90) (cid:90) (cid:2)(qε + k2µβ2) curl v + k2µβv + h(cid:3) Φκ(x, ·) dy (1.17)

với x ∈ Ω. Ta viết gọn

ϕ Φκ(x, ·) dy :=

ϕ(y)Φκ(x, y) dy.

Ω

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90)

Chúng ta phải chỉ ra rằng việc giải phương trình vi tích phân này tương

đương với giải bài toán truyền sóng.

Định lý 1.10. ([11]) (Sự tương đương)

H(curl, Ω) là nghiệm của (1.17).

(a) Cho v ∈ Hloc(curl, R3) là một nghiệm radiating của (1.15). Khi đó v|Ω ∈

(b) Cho v ∈ H(curl, Ω) là một nghiệm của (1.17). Khi đó v có thể được thác triển

thành một nghiệm radiating của (1.15).

Chứng minh.

Trong chứng minh này, tất cả các phương trình vi phân từng phần phải được

hiểu theo nghĩa yếu.

(a) Định nghĩa v1 và v2 bởi

v1(x) := (κ2 + ∇ div)

[qµv + µβ curl v + g] Φκ(x, ·) dy,

Ω

(cid:90) (cid:90)

v2(x) := curl

Ω

(cid:90) (cid:90) (cid:2)(qε + k2µβ2) curl v + k2µβv + h(cid:3) Φκ(x, ·) dy

với x ∈ R3. Từ đó v ∈ Hloc(curl, R3) là một nghiệm yếu của bài toán truyền sóng, các hàm

qµv + µβ curl v + g

(qε + k2µβ2) curl v + k2µβv + h

và

curl2 v1 − κ2v1 = κ2 [qµv + µβ curl v + g]

là khả tích bậc 2 trên Ω và theo Bổ đề 1.9, v1 và v2 lần lượt là các nghiệm radiating trong Hloc(curl, R3) của

curl2 v2 − κ2v2 = curl (cid:2)(qε + k2µβ2) curl v + k2µβv + h(cid:3) .

và

curl2 (v1 + v2) − κ2(v1 + v2) = κ2 [qµv + µβ curl v + g] + curl (cid:2)(qε + k2µβ2) curl v + k2µβv + h(cid:3) = curl2 v − κ2v

Do đó, ta được

trong R3. Do cả v1 + v2 và v đều là nghiệm radiating nên w = v − v1 − v2 là radiating và là nghiệm của phương trình curl2 w − κ2w trong R3. Ta kết luận

rằng w = 0 và do đó v = v1 + v2 thỏa mãn phương trình vi tích phân (1.17).

curl2 ˜v − κ2˜v = κ2 [qµv + µβ curl v + g] + curl (cid:2)(qε + k2µβ2) curl v + k2µβv + h(cid:3) .

(b) Cho v ∈ H(curl, Ω) là một nghiệm của (1.17). Ta khai triển v theo vế phải thành hàm ˜v trên R3. Khi đó ˜v|Ω = v và theo Bổ đề 1.9, ˜v ∈ Hloc(curl, R3) là một nghiệm radiating của

curl2 ˜v − κ2˜v = κ2 [qµ˜v + µβ curl ˜v + g] + curl (cid:2)(qε + k2µβ2) curl ˜v + k2µβ˜v + h(cid:3) .

Trên Ω ta có ˜v = v nên ta có thể viết

(cid:3) Từ đó suy ra ˜v là một nghiệm radiating của (1.15).

Định lý này cho phép chúng ta tập trung vào phương trình vi tích phân khi

nghiên cứu tính giải được của bài toán. Theo cách tương tự, chúng ta có thể xây

dựng một phương trình vi tích phân cho bài toán truyền sóng điện, như sau:

Hệ quả 1.11. ([11])

Phương trình vi phân tích phân tương đương với bài toán truyền sóng điện

trường (Bài toán 2) được hiểu là

v(x) = (k2 + ∇ div)

[pεv + εβ curl v + g] Φk(x, ·) dy,

Ω

(cid:90) (cid:90)

+ curl

Ω

(cid:90) (cid:90) (cid:2)(pµ + k2εβ2) curl v + k2εβv + h(cid:3) Φk(x, ·) dy

với x ∈ Ω.

Chương 2

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Mục tiêu của chúng ta là giải bài toán truyền sóng từ trường (Bài toán 1)

cho κ = k > 0. Trong phần trước ta đã phát triển một công thức tương đương,

cụ thể là phương trình vi phân tích phân Lippmann-Schwinger (1.17)

v(x) = (κ2 + ∇ div)

[qµv + µβ curl v + g] Φκ(x, ·) dy

Ω

(cid:90) (cid:90)

+ curl

Ω

(cid:90) (cid:90) (cid:2)(qε + k2µβ2) curl v + k2µβv + h(cid:3) Φκ(x, ·) dy.

Có ý tưởng từ lý thuyết Fredholm, ta diễn tả phương trình này với các toán

tử được xác định một cách thích hợp để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất

nghiệm của bài toán. Trong phần đầu tiên, chúng ta trình bày lại phương trình

(I − AkTA − BkTB)v = f

vi tích phân như một phương trình toán tử

với vế phải f và chỉ ra rằng I − AkTA − BkTB là một nhiễu compact của một

đẳng cấu. Ở đây, một lần nữa k biểu thị số sóng. Phần thứ hai có hai kết quả về

tính duy nhất: một cho các tham số vật liệu phức và một cho các hàm tham số

trơn. Về tính đầy đủ, phần cuối cùng bàn về bài toán truyền sóng điện trường

(1.9) của chúng ta.

2.1 Chứng minh sự tồn tại nghiệm

Aκ, Bκ về cơ bản là các thế vị vectơ từ Bổ đề 1.9 và hai toán tử phụ TA, TB điều

Như đã đề cập trong phần giới thiệu của phần này, ta xác định hai toán tử

chỉnh các thế vị vectơ cho phương trình vi tích phân của chúng ta. Hàm f bao

gồm các số hạng không phụ thuộc vào v.

Định nghĩa 2.1. ([11])

H(curl, Ω) và TA, TB : H(curl, Ω) → L2(Ω, C3) bởi

Cho k > 0 và κ ∈ Π. Xác định các toán tử tuyến tính Aκ, Bκ : L2(Ω, C3) →

(Aκu)(x) := (κ2 + ∇ div)

u(y) Φκ(x, y) dy,

Ω

(cid:90) (cid:90)

(Bκu)(x) := curl

u(y) Φκ(x, y) dy

Ω

(cid:90) (cid:90)

TAv := qµv + µβ curl v,

TBv := (qε + k2µβ2) curl v + k2µβv

với x ∈ Ω,

và hàm

f (x) := (k2 + ∇ div)

g(y) Φk(x, y) dy + curl

h(y) Φk(x, y) dy

Ω

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90)

với x ∈ Ω.

(I − AkTA − BkTB)v = f.

Với các toán tử này, phương trình (1.17) trên dễ dàng xác định

Trong phần tiếp theo, ta chỉ ra rằng phương trình toán tử này là tổng của

Bik với k > 0 để phân chia phương trình:

(I − AikTA − BikTB)v + (Aik − Ak)TAv + (Bik − Bk)TBv = f.

một đẳng cấu bị chặn và một toán tử compact. Ta sử dụng các toán tử Aik và

Ta chỉ ra rằng phần đầu tiên ở vế trái tương ứng với một phương trình biến

phân cho v nhận một nghiệm duy nhất theo bổ đề Lax-Milgram. Phần thứ hai

đại diện cho các toán tử compact.

Hai bổ đề sơ bộ tiếp theo dẫn đến một kết quả tương đương định chuẩn và

dạng cơ bản của toán tử compact mà ta đang sử dụng: các toán tử tích phân

với các hàm hạt nhân kỳ dị yếu.

(cid:107)v(cid:107)2

L2(Ω,C3)2 = (cid:107)v1(cid:107)2

L2(Ω,C3) + (cid:107)v2(cid:107)2

L2(Ω,C3)

Bổ đề 2.2. ([11]) Cho Ω ⊂ R3 là miền bị chặn và g ∈ L∞(Ω). Với v = (v1, v2) ∈ L2(Ω, C3)2, hai chuẩn (cid:107) · (cid:107)L2(Ω,C3)2 và (cid:107) · (cid:107)g là tương đương với

(cid:107)v(cid:107)2

g := (cid:107)v1 + gv2(cid:107)2

L2(Ω,C3) + (cid:107)v2(cid:107)2

L2(Ω,C3).

và (cid:107) · (cid:107)g được định nghĩa bởi

Chứng minh.

(cid:107)v1 + gv2(cid:107)2 ≤ ((cid:107)v1(cid:107) + (cid:107)g(cid:107)L∞(cid:107)v2(cid:107))2

≤ 2 (cid:0)(cid:107)v1(cid:107)2 + (cid:107)g(cid:107)2 ≤ 2 max{1, (cid:107)g(cid:107)2

L∞(cid:107)v2(cid:107)2(cid:1) L∞} (cid:0)(cid:107)v1(cid:107)2 + (cid:107)v2(cid:107)2(cid:1) .

(cid:107)v1(cid:107)2 + (cid:107)v2(cid:107)2 ≤ ((cid:107)v1(cid:107) + (cid:107)v2(cid:107))2 = ((cid:107)v1 + gv2 − gv2(cid:107) + (cid:107)v2(cid:107))2

≤ ((cid:107)v1 + gv2(cid:107) + (cid:107)gv2(cid:107) + (cid:107)v2(cid:107))2 ≤ 2 (cid:2)(cid:107)v1 + gv2(cid:107)2 + (1 + (cid:107)g(cid:107)L∞)2(cid:107)v2(cid:107)2(cid:3) ≤ 2 (1 + (cid:107)g(cid:107)L∞)2 (cid:0)(cid:107)v1 + gv2(cid:107)2 + (cid:107)v2(cid:107)2(cid:1) .

Ta dùng bất đẳng thức a2 + b2 ≤ (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) với a, b ≥ 0.

(cid:3)

Định nghĩa 2.3. ([11]) (Thế vị "thể tích" (Volume potential))

Cho d = 2 hoặc d = 3 và cho Ω ⊂ Rd là miền bị chặn. Định nghĩa thế vị "thể

tích" cho một hàm hạt nhân G : Ω × Ω → C là

V [G] : L2(Ω) → L2(Ω),

(V [G]ϕ)(x) :=

ϕ(y)G(x, y)dy.

Ω

(cid:90) (cid:90)

α ∈ [0, d) sao cho G liên tục với mọi x, y ∈ Ω với x (cid:54)= y và

|G(x, y)| ≤ M |x − y|−α.

Hạt nhân G được gọi là kỳ dị yếu bậc α nếu tồn tại hằng số dương M và

| · | là kí hiệu chuẩn Euclid trên Rd.

Lưu ý rằng, ở vế trái thì | · | là giá trị tuyệt đối của một số phức và vế phải

α <

Bổ đề 2.4. ([11],[12]) Cho d = 2 hoặc d = 3. Cho G là hạt nhân kỳ dị yếu bậc

d 2

L2(Ω) vào L2(Ω).

. Khi đó thế vị "thể tích" V [G] xác định toán tử tuyến tính compact từ

Như trong chứng minh của Định lý 2.21 trong [12], có thể cho thấy tính

compact của toán tử tích phân V [G] từ (C(Ω), (cid:107) · (cid:107)L2(Ω)) vào (C(Ω), (cid:107) · (cid:107)L2(Ω)). Trong bước thứ hai, tác giả áp dụng kết quả phiếm hàm giải tích sau đây. Kí hiệu không gian định chuẩn (X, (cid:107) · (cid:107)) là khai triển của ˜X. Cho hai không gian

định chuẩn X, Y và toán tử compact A : X → Y . Khi đó toán tử duy nhất ˜A : ˜X → ˜Y sao cho Ax = ˜Ax với x ∈ X và (cid:107)A(cid:107) = (cid:107) ˜A(cid:107) cũng compact. Ta kết luận

rằng V [G] là compact từ L2(Ω) vào L2(Ω).

Các điều kiện theo đó ta đưa ra định lý chính khá tiêu chuẩn và đảm bảo

tính cưỡng bức của dạng nửa song tuyến tính xuất hiện trong chứng minh khi

áp dụng bổ đề Lax-Milgram.

Giả thiết 2.5. ([11]) Cho số sóng k > 0 và M có giá trị thực. Ngoài ra với giả

thiết 1.6, giả sử rằng tồn tại các hằng số dương c1, c2 và c3 ∈ [0, 1) sao cho

Re µ ≥ c1,

≥ c2

≤ c3

1 ε

k2β2 |ε|2|µ|2 Re ε Re µ

và trên Ω.

Hai điều kiện đầu tiên có nghĩa là các tham số vật liệu xuất hiện sẽ được giới

hạn từ 0. Điều kiện thứ ba là đối xứng trong µ và ε và cũng phụ thuộc vào số

sóng k2. Nó được thực hiện khi k2β2 đủ nhỏ hoặc thậm chí β = 0 (trường hợp

achiral).

Định lý 2.6. ([5],[11]) Giả sử có giả thiết 2.5. Khi đó:

(a) Các toán tử TA, TB là bị chặn từ H(curl, Ω) vào L2(Ω, C3).

(b) Các toán tử Ak − Aik và Bk − Bik là compact từ L2(Ω, C3) vào H(curl, Ω).

Chứng minh.

(cid:107)TAv(cid:107)L2 = (cid:107)qµv + µβ curl v(cid:107)L2 ≤ (cid:107)qµ(cid:107)L∞(cid:107)v(cid:107)L2 + (cid:107)µβ(cid:107)L∞(cid:107)curl v(cid:107)L2

≤ max{(cid:107)qµ(cid:107)L∞, (cid:107)µβ(cid:107)L∞}(cid:107)v(cid:107)H(curl,Ω).

(a) TAv = qµv + µβ curl v. Đánh giá trực tiếp cho ta

Tương tự đúng cho TBv = (qε + k2µβ2)curl v + k2µβv.

(b) Ta chứng tỏ tính compact của Ak − Aik:

((Ak − Aik)u) (x) = k2

u(y) Φk(x, y) dy + k2

u(y) Φik(x, y) dy

Ω

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90)

+ ∇ div

u(y) (Φk(x, y) − Φik(x, y)) dy.

Ω

(cid:90) (cid:90)

H(curl, Ω).

Hai tích phân đầu tiên đại diện cho các vectơ ba chiều của các thế vị "thể tích" và xác định một hàm trong H 2(Ω, C3) (đối chiếu [5]). H 2(Ω, C3) được nhúng compact trong H 1(Ω, C3). Do đó, hai tích phân đầu tiên đại diện cho một toán tử compact từ L2(Ω, C3) vào H 1(Ω, C3), hàm ý tính compact từ L2(Ω, C3) vào

Với số hạng thứ ba, ta có

∇ div

∇2

u (Φk(x, ·) − Φik(x, ·)) dy =

x (Φk(x, ·) − Φik(x, ·)) u dy

Ω

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90)

Ω (cid:80)3

(x)

j=1

∂ ∂x1∂xj

(cid:17) (cid:16) (cid:104)  

(x)

j=1

∂ ∂x2∂xj

(cid:16) (cid:104) (cid:17) (cid:80)3

(x)

j=1

∂ ∂x3∂xj

        (cid:16) (cid:104) (cid:17) (cid:80)3 (cid:105) (Φk − Φik) (cid:105) (Φk − Φik) (cid:105) (Φk − Φik)

exp(z) = 1 + z +

+ · · ·

z2 2!

z3 3!

Ta xét các đạo hàm cấp hai của hạt nhân chi tiết hơn. Sử dụng khai triển

−

(Φk − Φik)(x, y) =

e−k|x−y| 4π|x − y|

Ta thấy rằng

(i + 1)k − k2|x − y| +

(1 − i)k3|x − y|2 + · · ·

(i + 1) −

1 6 |x − y| + |x − y|2R(|x − y|)

eik|x−y| 4π|x − y| (cid:16) 1 4π k 4π

k 4π

(cid:17)

∞ (cid:88)

rjzj với các hệ số không đổi rj, j ∈ N0. Ta

j=0

trong đó chuỗi lũy thừa R(z) =

+ [2R(|x − y|) + |x − y|R(cid:48)(|x − y|)](x − y).

∇x [(Φk − Φik)(x, y)] = −

k2 4π

x − y |x − y|

tính gradient

∇2

I +

x [(Φk − Φik)(x, y)] = −

k2 4π|x − y|

4π|x − y|3 (x − y)(x − y)(cid:62)

+ [2R(|x − y|) + |x − y|R(cid:48)(|x − y|)]I

+ [2R(cid:48)(|x − y|) + R(cid:48)(|x − y|)]

(x − y)(x − y)(cid:62)

1 |x − y|

+ R(cid:48)(cid:48)(|x − y|)(x − y)(x − y)(cid:62).

Đạo hàm cấp hai được cho bởi ma trận (3 × 3)

Do đó, các đạo hàm cấp hai của Φk − Φik kỳ dị yếu bậc 1, tạo ra tính compact cho Ak − Aik như toán tử từ L2 vào L2. Vì curl(∇ div (. . .)) = 0 nên ta cũng có tính compact từ L2(Ω, C3) vào H(curl, Ω). Do đó, Ak − Aik compact như toán tử từ L2(Ω, C3) vào H(curl, Ω).

Tính compact của Bk − Bik theo sau tương tự: Bk − Bik đại diện cho một

vectơ ba chiều của các thế vị "thể tích" với hàm hạt nhân là kỳ dị yếu bậc 0 (đối

x|x − y|).

chiếu ∇x|x − y|). Hơn nữa, curl(Bk − Bik) đại diện cho một vectơ ba chiều của các thế vị "thể tích" với hàm hạt nhân là kỳ dị yếu bậc 1 (đối chiếu ∇2

Ta kết luận rằng Bk − Bik là compact từ L2 vào H(curl, Ω).

v − AikTAv − BikTBv = f.

Lấy w = v − f ta được w − AikTAw − BikTBw = AikTAf + BikTBf, hay rõ ràng

w(x) = (−k2 + ∇ div)

[qµ(w + f ) + µβ curl(w + f )] Φik(x, ·) dy

Ω (cid:90) (cid:90)

+ curl

(cid:90) (cid:90)

Ω

(cid:2)(qε + k2µβ2) curl(w + f ) + k2µβ(w + f )(cid:3) Φik(x, ·) dy

với x ∈ Ω. Phương trình này có dạng của (1.17) với κ = ik và các hàm g và h

(trong phương trình vi tích phân) được cho bởi

g := qµf + µβ curl f

h := (qε + k2µβ2) curl f + k2µβf.

và

Do đó, theo Đinh lí 1.10, w có thể được khai triển thành nghiệm radiating

của bài toán

− k2µβ2(cid:17)

curl w − k2µβw

· curl ψ + k2µ[β curl w + w] · ψ dx

(cid:90) (cid:90) (cid:105)

−k2g · ψ + h · curl ψ dx (2.1)

Ω

(cid:104)(cid:16) 1 ε (cid:90) (cid:90)

với mọi ψ ∈ Hc(curl, R3) (với các hàm g và h như trên). Theo định nghĩa, w = AikTAv + BikTBv. Từ dạng này và định nghĩa của Φik, ta kết luận rằng w phân rã theo cấp số nhân khi |x| tiến tới vô cùng. Vậy w ∈ H(curl, R3) và phương trình biến phân đúng với mọi ψ ∈ H(curl, R3). Để áp dụng bổ đề Lax-Milgram, ta định nghĩa dạng nửa song tuyến tính trên H(curl, R3) × H(curl, R3) và dạng tuyến tính liên hợp trên H(curl, R3).

− k2µβ2(cid:17)

a(w, ψ) :=

curl w · curl ψ dx + k2

µw · ψ dx

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90)

+ k2

µβ(curl w · ψ − w · curl ψ)dx,

(cid:16) 1 ε (cid:90) (cid:90)

b(ψ) :=

h · curl ψ − k2g · ψ)dx.

Ω

(cid:90) (cid:90)

Hiển nhiên a và b là bị chặn.

|a(w, ψ)| ≤

+ k2 (cid:107)µβ2(cid:107)L∞

(cid:107)curl w(cid:107)L2 (cid:107)curl ψ(cid:107)L2

(cid:17)

(cid:13) (cid:13) (cid:13)L∞

+ k2 (cid:107)µ(cid:107)L∞ (cid:107)w(cid:107)L2 (cid:107)ψ(cid:107)L2

≤ C((cid:107)curl w(cid:107)L2 + (cid:107)w(cid:107)L2)((cid:107)curl ψ(cid:107)L2 + (cid:107)ψ(cid:107)L2)

≤ 2C(cid:107)w(cid:107)H(curl R3) (cid:107)ψ(cid:107)H(curl R3)

√

|b(ψ)| ≤

2 max{(cid:107)h(cid:107)L2, k2 (cid:107)g(cid:107)L2} (cid:107)ψ(cid:107)H(curl,Ω)

√

(cid:16)(cid:13) 1 (cid:13) (cid:13) ε + k2 (cid:107)µβ(cid:107)L∞ ((cid:107)curl w(cid:107)L2 (cid:107)ψ(cid:107)L2 + (cid:107)w(cid:107)L2 (cid:107)curl ψ(cid:107)L2)

2(cid:112)x2 + y2 với x, y ≥ 0. Ta chứng

Ở đây ta sử dụng bất đẳng thức x + y ≤

tỏ tính cưỡng bức của a:

a(w, w) =

|curl w|2 − k2µβ2|curl w|2 + k2µ|w|2

(cid:90) (cid:90)

(cid:20)1 ε

(cid:21) + k2µβ(curl w · w − w · curl w)

|curl w|2 − k2µβ2|curl w|2 + k2µ|w|2

(cid:90) (cid:90)

(cid:20)1 ε

(cid:21) − 2ik2µβ Im(w · curl w)

|x|2 + 2Im(xy) + |y|2. (Nhắc lại rằng β là giá trị thực.)

Ta lấy phần thực của phương trình này và sử dụng nhị thức |x + iy|2 =

Re a(w, w) =

|curl w|2 − k2Re (µ)β2|curl w|2

(cid:34) (cid:90) (cid:90) (cid:17)

(cid:16)1 ε

+ k2Re (µ)

|w|2 + 2

β Im (w · curl w)

Im µ Re µ

(cid:19) (cid:35) (cid:18)

|curl w|2

|ε|2 − k2 β2 |µ|2

Re µ

2 (cid:35)

+ k2Re (µ)

β curl w

w + i

Im µ Re µ

(cid:19) (cid:90) (cid:90) (cid:34) (cid:18)Re ε

β curl w

w + i

≥ c2(1 − c3)(cid:107)curl w(cid:107)2

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

L2 + k2c1 (cid:32)

β curl w

(cid:107)curl w(cid:107)2

w + i

≥ min (cid:0)c2(1 − c3), k2c1

L2 +

Im µ Re µ

Im µ Re µ (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

(cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:33) (cid:1)

:= min (cid:0)c2(1 − c3), k2c1

(cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13)

(cid:1) (cid:107)w(cid:107)2 β

Imµ Reµ

(I − AikTA − BikTB)v = f.

trong đó (cid:107) · (cid:107)β là chuẩn tương đương với (cid:107) · (cid:107)H(curl,R3) theo Bổ đề 2.2 với v1 = . Bây giờ chúng ta quay trở lại phương trình ban đầu w, v2 = curl w và g = iβ

Với f ∈ H(curl, Ω) đã cho, ta xác định nghiệm (duy nhất) w của (2.1) và định (cid:3) nghĩa v := w|Ω + f. Khi đó v − f = AikTAv − BikTBv.

Với định lý này, tất cả các điều kiện cho định lý thay phiên Fredholm đều

được thỏa mãn. Ta có thể trình bày kết quả tồn tại trong hệ quả tiếp theo.

Hệ quả 2.7. ([11]) Với mọi (g, h) ∈ L2(Ω, C3) × L2(Ω, C3), tồn tại duy nhất một nghiệm radiating v ∈ Hloc(curl, R3) của (1.15) với điều kiện là bài toán thuần nhất chỉ nhận nghiệm tầm thường. Trong trường hợp đó, với tập compact B ⊃ Ω

∀(g, h) ∈ L2(Ω, C3)2.

(cid:107)v(cid:107)H(curl,B) ≤ C(cid:107)(g, h)(cid:107)L2(Ω)2

bất kỳ tồn tại hằng số C > 0 sao cho

Ta điều chỉnh các giả thiết trong 2.5 và đưa ra kết quả tồn tại cho bài toán

truyền sóng điện trường trong hệ quả thứ hai cho định lý trên:

Giả thiết 2.8. ([11]) Cho số sóng k > 0 và M có giá trị thực. Ngoài ra với giả

thiết 1.7, giả sử rằng tồn tại các hằng số dương c1, c2 và c3 ∈ [0, 1) sao cho

≥ c2

≤ c3

Re ε ≥ c1,

1 µ

k2β2 |ε|2|µ|2 Re ε Re µ

và trên Ω.

Hệ quả 2.9. ([11]) Giả sử có giả thiết 2.8. Khi đó, với mọi dữ liệu đầu vào (g, h) ∈ L2(Ω, C3)×L2(Ω, C3), tồn tại duy nhất một nghiệm radiating v ∈ Hloc(curl, R3) của (1.16), với giả sử về sự duy nhất nghiệm. Ngoài ra, ta cũng thu được một

đánh giá tương tự cho v trong hệ quả trên.

2.2 Chứng minh tính duy nhất nghiệm

Kết quả tồn tại dựa trên giả thiết rằng bài toán thuần nhất chỉ nhận nghiệm

tầm thường. Ta đưa ra hai kết quả về tính duy nhất nghiệm.

Định lý 2.10. ([9],[11])

Ta giả sử có giả thiết 2.5 và Im ε > 0, Im µ ≥ 0 hầu khắp nơi trong Ω. Khi

đó, bài toán truyền sóng từ trường thuần nhất (1.15) có không quá một nghiệm

(nghĩa là có duy nhất nghiệm).

Chứng minh.

ψ = φv trong (1.15) trong đó φ ∈ C∞

Giả sử v là một nghiệm của bài toán truyền sóng từ trường thuần nhất, cụ

thể là Bài toán 3 với κ = k và v là nghiệm của (1.15) với g = 0 và h = 0. Tập 0 (R3) là các "mollifier" với φ(x) = 1 nếu

|x| ≤ R và φ(x) = 0 nếu |x| ≥ 2R, R được chọn sao cho |x| < R với mọi x ∈ Ω.

curl v − k2µβv

0 =

· curl v − k2µ[β curl v + v] · v dx

|x|

curl v · curl(φv) − k2v · φv dx

(cid:90) (cid:90) (cid:105) Khi đó, theo công thức Green − k2µβ2(cid:17) (cid:104)(cid:16) 1 ε

(2.2)

|curl v|2 − k2µ|β curl v + v|2 dx −

(curl v × ν) · v ds.

R<|x|<2R 1 ε

|x|

|x|=R

(cid:90) (cid:90) (cid:90)

(curl v × ν) · v ds ≤ 0.

|x|=R

Lấy phần ảo và sử dụng Im ε > 0 và Im µ ≥ 0 cho ta (cid:90)

Từ đây, ta ước lượng

− ikv(x)

curl v(x) ×

ds(x)

x |x|

(cid:90)

|x|=R

|curl v|2 + k2|v|2 ds − 2k Im

(curl v × ν) · v ds

|x|=R

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:90) (cid:90)

≥

|curl v|2 + k2|v|2 ds.

|x|=R

(cid:90)

Như trong chứng minh của Định lý 5.5 trong [9], ta kết luận rằng v triệt tiêu

bên ngoài Ω. Bây giờ, phương trình (2.2) chỉ còn

|curl v|2 − k2µ|β curl v + v|2 dx = 0.

1 ε

Ω

(cid:90) (cid:90)

Lấy phần ảo cho ta curl v = 0 trong Ω và do đó β curl v + v = 0 từ v = 0 trong Ω.

(cid:3)

Hệ quả 2.11. ([11]) Giả sử có giả thiết 2.8, và Im µ > 0, Im ε ≥ 0 hầu khắp nơi

trong Ω. Khi đó, bài toán truyền sóng điện trường thuần nhất (1.16) có không

quá một nghiệm.

Định lý 2.12. ([1],[5],[11],[13])

Giả sử giả thiết 2.5 và 2.8 được thỏa mãn. Giả sử thêm rằng ε, µ, β ∈ C2(R3) và k2εµβ2 (cid:54)= 1 trong R3. Khi đó, cả hai bài toán truyền sóng từ trường thuần nhất

(1.15) và truyền sóng điện trường thuần nhất (1.16) có không quá một nghiệm.

Chứng minh.

Chứng minh này dựa theo tác giả Ammari và Nédélec trong [1] và lập luận

chính là nguyên lý mở rộng duy nhất trong [5]. Giả sử rằng v là một nghiệm của

bài toán truyền sóng từ trường thuần nhất với κ = k; nghĩa là v là radiating và

là nghiệm của (1.15) với g = h = 0. Như trong chứng minh của định lý trước, ta

−ikw :=

curl v − k2µβv.

− k2µβ2(cid:17)

kết luận rằng v triệt tiêu bên ngoài Ω. Xác định hàm w bằng

(cid:16) 1 ε

Theo công thức yếu của bài toán thuần nhất: w ∈ Hloc(curl, R3). Khi đó theo Bổ đề 1.5, w là một nghiệm radiating của bài toán truyền sóng điện trường

−ikcurl w = k2µβ2 curl v + k2µv.

thuần nhất và ta có

k2εµβ

curl v =

1 − k2εµβ2 v − ik µ

curl w = ik

1 − k2εµβ2 v +

ε 1 − k2εµβ2 w, k2εµβ 1 − k2εµβ2 w.

Từ hai phương trình cuối cùng, ta có thể suy ra

Bây giờ, ta tiến hành như trong [1]. Từ hệ này, ta tính curl2 v, curl2 w, div v và div w. Sau đó ta dùng vectơ đơn vị ∆ = ∇ div − curl2 và áp dụng nguyên lý

mở rộng duy nhất từ [5] trong phiên bản của Bổ đề 4.15 trong [13]: Viết gọn

k2εµβ −ikε

M = (mjl)j,l=1,2 :=



1 1 − k2εµβ2

ikµ

k2εµβ

   ∈ C2(R3, C2×2).

Chú ý rằng det M = −k2εµ (cid:54)= 0. Khi đó, các phương trình trên chỉ còn

curl v

   

curl w

  = M   .

Lấy div hai vế, ta thu được

0 = div

   

M    ;

0 = div (m11v + m12w),

0 = div (m21v + m22w).

nghĩa là,

Từ hai phương trình cuối cùng, ta kết luận

div v

M −1(∇M ) ·

   

1 det M

div w

  = −   ;

div v =

(m22∇m11 − m12∇m21) · v +

(m22∇m12 − m12∇m22) · w,

div w =

(−m21∇m11 + m11∇m21) · v +

(−m21∇m12 + m22∇m22) · w.

1 k2εµ 1 k2εµ

nghĩa là,

Vì v triệt tiêu ở bên ngoài Ω nên w cũng triệt tiêu ở bên ngoài Ω, vết ν × v

curl v

và ν × w cũng triệt tiêu trên ∂B với quả cầu B ⊃ Ω bất kỳ. Do đó, với quả cầu B ⊃ Ω bất kỳ: curl v ∈ L2(B, C3), div v ∈ L2(B) và ν × v = 0 trên ∂B. Ta kết luận v ∈ H 1(B, C3). Tương tự đúng cho w. Tính      

curl2 v curl2 w

curl w

  = (∇M ) ×   + M   ;

curl v = ∇m11 × v + ∇m12 × w + m11 curl v + m12 curl w,

curl w = ∇m21 × v + ∇m22 × w + m21 curl v + m22 curl w.

nghĩa là,

∆v

curl v

M −1(∇M )

Cuối cùng, với ∆ = ∇ div − curl2,          

1 det M

∆w

curl w

  = −∇     − (∇M ) ×   + M  

3 (cid:88)

|vj| + |wj| + |∇ vj| + |∇ wj|,

|∆ vj| ≤ c

l=1 3 (cid:88)

|∆ wj| ≤ c

|vj| + |wj| + |∇ vj| + |∇ wj|

l=1

và ∆ v, ∆ w tồn tại trong L2. Có thể suy ra các ước lượng của dạng

với j = 1, 2, 3 hầu khắp nơi trong B và ta có thể áp dụng nguyên lý mở rộng duy

nhất của Bổ đề 4.15 trong [13], điều này cho ta v (và w) triệt tiêu trong B ⊃ Ω. (cid:3) Lập luận tương tự cho bài toán truyền sóng điện trường thuần nhất.

Chương 3

Biểu diễn nghiệm qua chuỗi các hàm cầu điều hòa

Trong tọa độ cầu, có thể đưa ra các chuỗi khai triển cho các nghiệm của các

phương trình Maxwell trong hệ vectơ cầu điều hòa. Ta nghiên cứu sự tán xạ bởi

một quả cầu chiral đồng nhất. Tất cả các thông số vật liệu là giá trị thực. Trong

[3] nghiên cứu một bài toán tương tự: tán xạ bằng cách dẫn một cách hoàn hảo

quả cầu nằm trong môi trường chiral.

Trong phần đầu, ta sẽ giải quyết bài toán truyền sóng thuận. Trước tiên là

nhắc lại các bước chính để suy ra các vectơ cầu điều hòa. Chúng tôi chỉ đưa

ra kết quả, các lập luận có thể tham khảo [5]. Cùng với các hàm cầu Bessel

và Hankel, chúng tạo thành các nghiệm cơ bản cho phương trình Maxwell: các

hàm sóng vectơ. Sau đó ta xử lý bài toán achiral: Bắt đầu với sự biểu diễn bằng

chuỗi của trường sóng tới, ta đưa ra các chuỗi khai triển cho trường sóng tán

xạ và phổ trường sóng xa tùy thuộc vào hệ số của trường sóng tới. Đối với bài

toán truyền sóng chiral, ta sẽ sử dụng khai triển Bohren [4]: Điện trường và từ

trường được phân tách thành tổng các trường Beltrami, thỏa mãn các phương

trình achiral Maxwell cho các số sóng khác nhau. Vì vậy, chúng ta có thể trực

tiếp áp dụng các kết quả achiral cho trường hợp chiral.

Phần thứ hai được dành cho toán tử trường sóng xa. Trong trường hợp hình

cầu, chúng ta có thể biểu thị toán tử trường sóng xa F một cách rõ ràng và tính

toán các giá trị riêng và các hàm riêng.

3.1 Phương trình Maxwell trong hệ vectơ cầu điều

hòa

3.1.1 Phổ trường sóng xa và toán tử trường sóng xa

Trong chương trước ta đã thảo luận về bài toán truyền sóng từ trường. Nhưng

có thể dễ dàng tính toán điện trường từ từ trường là nghiệm cho bài toán truyền

sóng. Vì vậy, trong phần này ta bàn về nghiệm (Es, H s) cho bài toán truyền

sóng. Có thể suy ra dáng điệu tiệm cận của nghiệm ở vô cùng từ nghiệm cơ

bản Φk với sự trợ giúp của các công thức biểu diễn Stratton–Chu. Khi biết các

phổ trường sóng xa, ta chọn các trường sóng tới đặc biệt được xác định bởi các

trường tiếp tuyến biểu thị các vectơ phân cực và xác định ánh xạ toán tử trường

sóng xa từ trường tiếp tuyến đến phổ trường sóng xa.

Các công thức được lấy từ các chứng minh của Định lý 2.5 và 6.8 trong [5].

Bổ đề 3.1. ([11]) (Dáng điệu tiệm cận (Asymptotic behavior) của Φk)

Cho Ω là miền bị chặn với biên Γ

(a) Nghiệm cơ bản Φk có dạng tiệm cận

e−ik ˆx·y + O

|x| → ∞

Φk(x, y) =

eik|x| 4π|x|

(cid:26) (cid:19)(cid:27)

(cid:18) 1 |x|

đều theo mọi hướng ˆx := x/|x| với mọi y ∈ Γ.

(b) Với vectơ hằng số a ∈ C3 bất kì, đạo hàm của (a Φk) có dạng tiệm cận

e−ik ˆx·y(ˆx × a) + O

curlx a Φk(x, y) = ik

(cid:26) (cid:19)(cid:27)

e−ik ˆx·y(ˆx × a × ˆx) + O

eik|x| 4π|x| curlx curlx a Φk(x, y) = k2 eik|x| 4π|x|

(cid:18) 1 |x| (cid:26) (cid:19)(cid:27)

(cid:18) 1 |x|

khi |x| → ∞ đều với mọi y ∈ Γ.

Ta tiếp tục với các công thức Stratton–Chu nổi tiếng. Họ đã mô tả nghiệm

của phương trình Maxwell trên một miền bằng vết của chúng, từ tài liệu [5].

Chứng minh cho dạng yếu có thể được tìm thấy trong sách của Monk [13]. Monk

cũng chỉ ra rằng các vết được xác định rõ: Cho D là miền Lipschitz bị chặn với

pháp tuyến ngoài đơn vị ν, ánh xạ v (cid:55)→ ν × v|∂D với v ∈ (C∞(D))3 có thể được khai triển liên tục thành ánh xạ tuyến tính liên tục từ H(curl, D) đến H − 1 2 (∂D)3

trong Định lý 3.29 của tài liệu [13]. Ta bắt đầu với công thức Stratton–Chu trên

miền bị chặn.

Bổ đề 3.2. ([5],[11],[13]) (Bên trong (Interior) Stratton–Chu)

Giả sử Ω là miền Lipschitz bị chặn. Kí hiệu ν là vectơ pháp tuyến đơn vị cho

biên Γ của Ω hướng ra bên ngoài Ω. Cho E, H ∈ H(curl, Ω) là nghiệm của phương

curl H = −ikE

curl E = ikH.

trình Maxwell trong Ω

và (3.1)

Khi đó ta có công thức Stratton–Chu

−curl

(ν × E)(y) Φk(x, y) ds(y)

(cid:90)

E(x), x ∈ Ω,

curl2

(ν × H)(y) Φk(x, y) ds(y) =

1 ik

x ∈ R3 (cid:114) Ω,

(cid:90)  



và

−curl

(ν × H)(y) Φk(x, y) ds(y)

(cid:90)

H(x), x ∈ Ω,

curl2

−

(ν × E)(y) Φk(x, y) ds(y) =

1 ik

x ∈ R3 (cid:114) Ω.

(cid:90)  



Monk đã lập luận cho E(x) và H(x) (sự đánh giá của E và H tại điểm x ∈ Ω)

2 (Γ). Đối với đạo hàm của phổ trường sóng xa thì có một công

2 (Γ) và H

là có nghĩa. Hơn nữa, các tích phân biên phải được hiểu theo nghĩa ghép đôi giữa H − 1

thức biểu diễn cho các miền bị chặn bên ngoài là cần thiết:

Bổ đề 3.3. ([5],[11],[13]) (Bên ngoài (Exterior) Stratton–Chu)

Giả sử Ω là miền Lipschitz bị chặn có phần bù liên thông. Kí hiệu ν là

vectơ pháp tuyến đơn vị cho biên Γ của Ω hướng ra bên ngoài Ω. Cho Es, H s ∈

Hloc(curl, R3 (cid:114) Ω) là nghiệm radiating của phương trình Maxwell trong R3 (cid:114) Ω

curl H s = −ikEs

curl Es = ikH s.

và

Khi đó ta có công thức Stratton–Chu

curl

(ν × Es)(y) Φk(x, y) ds(y)

(cid:90)

Es(x), x ∈ R3 (cid:114) Ω,

curl2

−

(ν × H s)(y) Φk(x, y) ds(y) =

1 ik

x ∈ Ω,

(cid:90)   (3.2)



và

curl

(ν × H s)(y) Φk(x, y) ds(y)

(cid:90)

H s(x), x ∈ R3 (cid:114) Ω,

curl2

(ν × Es)(y) Φk(x, y) ds(y) =

1 ik

x ∈ Ω.

(cid:90)   (3.3)



Theo các công thức (3.2) và (3.3), sự phụ thuộc của các trường Es và H s

trên x được biểu diễn bằng nghiệm cơ bản. Để xác định dáng điệu tiệm cận, ta

chỉ cần biết vết tiếp tuyến của chúng và dáng điệu tiệm cận của Φk được đưa ra

trong Bổ đề 3.1. Thay bằng định lý 6.8 trong [5] cho trường hợp các hàm trong Hloc(curl, R3):

Định lý 3.4. ([5],[11]) (Phổ trường sóng xa (Far field pattern))

Mọi nghiệm radiating (yếu) Es, H s của bài toán truyền sóng (1.8), (1.9) cho

vật tán xạ Ω với biên Γ có dạng tiệm cận

Es(x) =

E∞(ˆx) + O

|x| −→ ∞,

(cid:26) (cid:19)(cid:27)

H s(x) =

H ∞(ˆx) + O

|x| −→ ∞

eik|x| 4π|x| eik|x| 4π|x|

(cid:26) (cid:19)(cid:27)

(cid:18) 1 |x| (cid:18) 1 |x|

đều theo mọi hướng ˆx = x/|x|. Các hàm E∞ và H ∞ được xác định trên hình cầu đơn vị S2 lần lượt được gọi là phổ điện trường trường sóng xa và từ trường

trường sóng xa thỏa mãn

E∞(ˆx) = ik ˆx ×

(ν × Es)(y)e−ik ˆx·y ds(y) + ik ˆx ×

(ν × H s)(y)e−ik ˆx·y ds(y) × ˆx,

Γ (cid:90)

H ∞(ˆx) = ik ˆx ×

(ν × H s)(y)e−ik ˆx·y ds(y) − ik ˆx ×

(ν × Es)(y)e−ik ˆx·y ds(y) × ˆx

(cid:90) (cid:90)

(3.4)

với ˆx ∈ S2.

Nhận xét 3.5. Từ định lý này, ta thấy được rằng các phổ trường sóng xa là các

E∞(ˆx) = H ∞(ˆx) × ˆx

H ∞(ˆx) = −E∞(ˆx) × ˆx.

hàm giải tích và các trường tiếp tuyến: Chúng lần lượt thỏa mãn E∞(ˆx) · ˆx = 0 và H ∞(ˆx) · ˆx = 0 với mọi ˆx ∈ S2. Hơn nữa, ta dễ dàng thấy rằng với ˆx ∈ S2,

và

Để xác định toán tử trường sóng xa, ta cần chỉ rõ loại trường sóng tới nào

gây ra trường sóng tán xạ và trường sóng xa. Như trường sóng tới, ta xét sóng

Hi(x; d, p) := peik d·x,

Ei(x; d, p) := −(d × p)eik d·x

phẳng có dạng

trong đó các vectơ d ∈ S2 và p ∈ C3 lần lượt là vectơ hướng tới và vectơ hướng

phân cực. Chúng được chọn sao cho d · p = 0 để đảm bảo rằng Hi và Ei tự do

Es cũng phụ thuộc vào d và p và lần lượt ký hiệu là H∞(ˆx; d, p) và E∞(ˆx; d, p).

phân kỳ. Các phổ trường sóng xa H∞ và E∞ của các trường sóng tán xạ Hs và

Bây giờ ta có thể hình thành bài toán ngược. Nhắc lại bài toán thuận: Cho

một sóng tới và một vật chiral với các hàm vật liệu đã biết tính toán trường

sóng tán xạ. Nếu ta biết trường sóng tán xạ, ta có thể dễ dàng tính toán trường

sóng xa tương ứng. Bài toán ngược xác định vật tán xạ cho số liệu trường sóng

xa. Chính xác hơn:

Bài toán 3. ([11]) (Bài toán ngược)

Cho số sóng k > 0 và số liệu H∞(ˆx; d, p) (phổ trường sóng xa), với mọi ˆx, d ∈ S2

và p ∈ C3 với p · d = 0 ta xác định được vật tán xạ Ω.

Đối với việc nghiên cứu bài toán ngược, ta phải diễn đạt nó bằng thuật ngữ

toán học; nghĩa là, ta định nghĩa toán tử mà ánh xạ của một họ các vectơ phân

cực p(d) đặc trưng cho trường sóng tới thành phổ trường sóng xa. Họ các vectơ

phân cực và phổ trường sóng xa đều là các trường tiếp tuyến trên hình cầu đơn

vị.

Định nghĩa 3.6. ([11]) (Toán tử trường sóng xa (Far field operator))

t (S2) ⊂ L2(S2, C3);

Ta biểu diễn không gian con của các trường tiếp tuyến bằng L2

t (S2) := (cid:8)v ∈ L2(S2, C3) : v(ˆx) · ˆx = 0, ˆx ∈ S2(cid:9) . L2

đó là

t (S2) được định nghĩa bởi

t (S2) → L2

Toán tử trường sóng xa F : L2

(Fp)(ˆx) :=

H∞(cid:0)ˆx; d, p(d)(cid:1) ds(d)

(cid:90) với ˆx ∈ S2.

Nhận xét 3.7. ([5],[11])

t (S2), ta có đồng nhất thức

= p(d).

d × p(d) × d = p(d) d · d (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125)=1

(a) Đối với các trường tiếp tuyến p ∈ L2

−d (cid:0)p(d) · d(cid:1) (cid:123)(cid:122) (cid:125) =0

(cid:124)

(b) Phổ trường sóng xa H∞(·; d, p) phụ thuộc tuyến tính vào vectơ phân cực p.

Nó liên tục như là một hàm của d. Xem chứng minh của Định lý 6.32 trong

[5].

đó F compact. Hơn nữa, Fp là phổ trường sóng xa tương ứng với trường

p) với

sóng tới (H i

p, Ei (cid:90)

Ei(cid:0)x; d, p(d)(cid:1) ds(d)

Hi(cid:0)x; d, p(d)(cid:1) ds(d),

H i

p(x) =

(cid:90)

với x ∈ R3.

3.1.2 Vectơ hàm cầu điều hòa

Ta đang tìm các nghiệm của phương trình Maxwell trong các tọa độ cầu. Có

thể xây dựng các nghiệm như vậy(các vectơ hàm cầu) từ các nghiệm của phương

x = (ρ sin θ cos ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cos θ)(cid:62) ∈ R3,

trình Helmholtz. Trong tọa độ cầu (ρ, θ, ϕ) với

trong đó ρ ≥ 0, θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π], phương trình Helmholtz có dạng

sin θ

1 ρ2

∂ ∂ρ

ρ2 ∂u ∂ρ

1 ρ2 sin θ

∂ ∂θ

∂u ∂θ

∂2u ∂ϕ2 + k2u = 0.

1 ρ2 sin2 θ

(cid:19) (cid:18) (cid:18) (cid:19)

u(ρ, θ, ϕ) = u1(ρ)u2(θ, ϕ)

Tách các biến

dẫn đến hàm cầu điều hòa và hàm cầu Bessel. Các hàm cầu điều hòa được cho

P |m| n (cos θ)eimϕ

Y m n (θ, ϕ) :=

bởi

(n − |m|)! (n + |m|)!

(cid:114) 2n + 1 4π

n là kí hiệu của đa thức Legendre

với m = −n, . . . , n và n = 0, 1, 2, . . . Ở đây P m

m 2

m = 0, . . . , n,

n (t) := (1 − t2) P m

dm Pn(t) dtm ,

liên kết

và là nghiệm của phương trình vi phân Legendre liên kết

(1 − t2)f (cid:48)(cid:48)(t) − 2tf (cid:48)(t) +

n(n + 1) −

f (t) = 0.

m2 1 − t2

Pn là đa thức Legendre thỏa mãn phương trình vi phân Legendre

(cid:48)(cid:48)

(cid:48)

(1 − t2)P

n = 0, 1, 2, . . .

n (t) − 2tP

n(t) + n(n + 1)Pn(t) = 0

(cid:26) (cid:27)

Phần tia của phương trình Helmholtz được cho bởi phương trình vi phân cầu

t2f (cid:48)(cid:48)(t) + 2tf (cid:48)(t) + [t2 − n(n + 1)]f (t) = 0

Bessel

n = 0, 1, 2, . . .

∞ (cid:88)

jn(t) :=

(−1)ptn+2p 2pp!1 · 3 · · · (2n + 2p + 1)

p=0

∞ (cid:88)

yn(t) := −

(2n)! 2nn!

(−1)pt2p−n−1 2pp!(−2n + 1)(−2n + 3) · · · (−2n + 2p + 1)

p=0

được thỏa mãn bởi các hàm cầu Bessel và Neumann lần lượt là jn và yn, với

n với

n = 0, 1, 2, . . .

hn := jn + i yn,

Tổ hợp tuyến tính cho hàm cầu Hankel của loại thứ nhất hn = h(1)

Cuối cùng, các hàm sau là các nghiệm của phương trình Helmholtz trong tọa

n (x) = jn(k|x|)Y m um

n (ˆx)

độ cầu: Với n ∈ N0 và −n ≤ m ≤ n

n (x) = hn(k|x|)Y m vm

n (ˆx)

là nghiệm nguyên cho phương trình Helmholtz và

là nghiệm radiating cho phương trình Helmholtz trong R3 \ {0}.

Ta sử dụng chúng để xây dựng các nghiệm như vậy cho các phương trình

curl E = ikH

curl H = −ikE.

Maxwell

và

M m

curl [x um

curl M m

n (x) :=

n (x)] ,

n (x)

1 ik

1 (cid:112)n(n + 1)

Với n ∈ N0 và −n ≤ m ≤ n, các hàm

N m

curl [x vm

curl N m

n (x) :=

n (x)] ,

n (x)

1 ik

1 (cid:112)n(n + 1)

là nghiệm nguyên cho phương trình Maxwell và

là nghiệm radiating cho phương trình Maxwell trong R3 \ {0}.

n và V m

n trên hình cầu đơn vị S2 với

n = 0, 1, 2, . . . và m = −n, . . . , n bởi

Grad Y m

U m

Định nghĩa các điều hòa cầu vectơ U m

n (ˆx),

n (ˆx) := ˆx × U m V m

n (ˆx)

n (ˆx) :=

1 (cid:112)n(n + 1)

với ˆx ∈ S2

n và V m

n là các trường tiếp tuyến trên hình cầu đơn

với bề mặt gradient Grad. U m

M m

n (ˆx),

N m

n (x) = −jn(k|x|)V m n (x) = −hn(k|x|)V m

n (ˆx)

vị. Do đó,

(cid:48)

và

curl M m

U m

jn(k|x|) + k|x|j

n (x) =

n(k|x|)

n (ˆx),

(cid:48)

(cid:105) (cid:104)

curl N m

U m

hn(k|x|) + k|x|h

n (x) =

n (ˆx).

1 |x| 1 |x|

(cid:104) (cid:105) n(k|x|)

ˆx × M m

Các vết tiếp tuyến được cho bởi

n (ˆx),

ˆx × N m

(3.5)

n (x) = jn(k|x|)U m n (x) = hn(k|x|)U m

n (ˆx)

(3.6)

(cid:48)

và

ˆx × curl M m

jn(k|x|) + k|x|j

n (x) =

V m n (ˆx),

(cid:48)

(cid:104) (3.7) (cid:105) n(k|x|)

ˆx × curl N m

hn(k|x|) + k|x|h

n (x) =

V m n (ˆx)

1 |x| 1 |x|

(cid:104) (3.8) (cid:105) n(k|x|)

Cuối cùng, ta có biểu diễn sau cho phổ trường sóng xa: Gọi H s là một nghiệm

radiating cho các phương trình Maxwell được đưa ra dưới dạng chuỗi

H s =

curl N m n .

n N m am

n + bm n

1 ik

(cid:88)

Phổ trường sóng xa được cho bởi

H ∞ =

n U m bm

n − am

n V m n

4π k

in+1

(cid:104) (cid:105) (cid:88) 1

H s(x) =

H ∞(ˆx) + O(|x|−2),

|x| → ∞.

eik|x| 4π|x|

và thỏa mãn

Từ đây đến hết chương này, viết gọn

∞ (cid:88)

n (cid:88)

sm n :=

sm n .

m=−n

n=0

(cid:88)

3.1.3 Phương trình Maxwell trên miền achiral

Ta bắt đầu với các thiết lập của bài toán truyền sóng. Vật cản ngại tán xạ

xuyên qua là quả cầu B = B(0, 1) với bán kính 1 nằm ở gốc tọa độ. Ở bên ngoài

√

k = ω

có chân không. Quả cầu gồm có hằng số vật liệu không hao tổn với ε (cid:54)= ε0 hoặc

ε0µ0,

µ (cid:54)= µ0. Số sóng được cho bởi  

√

κ = ω

εµ,

trong B

trong B. 

Bên ngoài B, quả cầu được chiếu sáng bởi trường sóng tới H i là một nghiệm

curl2 H i − k2H i = 0

của phương trình Maxwell

trong B

Trường sóng tổng hợp H bên trong quả cầu thỏa mãn các phương trình

curl2 H − κ2H = 0

Maxwell cho số sóng κ,

trong B.

Trường sóng tán xạ H s ở bên ngoài B thỏa mãn các phương trình Maxwell

curl2 H s − k2H s = 0

cho số sóng k và điều kiện bức xạ Silver-M¨uller.

radiating. trong B

Trên biên {|x| = 1} các điều kiện truyền sóng được cho bởi tính liên tục của

vết tiếp tuyến (ˆx ∈ S2):

ˆx × curl H i(ˆx) +

ˆx × curl H s(ˆx) =

ˆx × curl H(ˆx).

(3.9)

1 k

ˆx × H i(ˆx) + ˆx × H s(ˆx) = ˆx × H(ˆx), 1 k

1 k

(3.10)

Trong sự thiết lập này, ta có thể khai triển các trường sóng trong chuỗi các

hàm sóng vectơ,

H i(x) =

curl M m

n M m αm

n (x, k)

(cid:88) trong B

H s(x) =

n (x, k) + dm n

n N m cm

n (x, k)

(cid:88) trong B

H(x) =

curl M m

n M m am

n (x, κ) + bm n

n (x, κ)

1 n (x, k) + βm n ik 1 curl N m ik 1 iκ

(cid:88) trong B

n và bm

n , cm

và suy ra các hệ phương trình tuyến tính để xác định các hệ số am n , dm n cho n ∈ N0 và m = −n, . . . , n. Ta tính toán các vết tiếp tuyến của chuỗi với sự thêm vào của các vết tiếp tuyến cho các hàm sóng vectơ (3.5) - (3.8).

ˆx × H i(ˆx) =

n jn(k)U m αm

n (ˆx) +

βm n

n (ˆx),

(cid:88)

ˆx × H s(ˆx) =

n hn(k)U m cm

n (ˆx) +

n (ˆx),

dm n

(cid:88)

ˆx × H(ˆx) =

n jn(κ)U m am

n (ˆx) +

n(k)(cid:3) V m n(k)(cid:3) V m n(κ)(cid:3) V m

n (ˆx)

bm n

1 ik 1 ik 1 iκ

(cid:88) (cid:2)jn(k) + kj(cid:48) (cid:2)hn(k) + kh(cid:48) (cid:2)jn(κ) + κj(cid:48)

và

ˆx × curl H i(ˆx) =

jn(k)U m

αm n

n (ˆx) + βm n

n (ˆx),

(cid:88)

ˆx × curl H s(ˆx) =

hn(k)U m

cm n

n (ˆx),

(cid:88)

ˆx × curl H(ˆx) =

am n

n(k)(cid:3) V m n(k)(cid:3) V m n(κ)(cid:3) V m

n (ˆx) + bm n

n (ˆx).

1 k 1 k 1 k

1 k 1 k 1 κ

1 i 1 n (ˆx) + dm n i 1 jn(κ)U m i

(cid:88) (cid:2)jn(k) + kj(cid:48) (cid:2)hn(k) + kh(cid:48) (cid:2)jn(κ) + κj(cid:48)

! = am

Thay vào các điều kiện truyền (3.9), (3.10) cho ta

dm n

n(k)(cid:3) + βm

n jn(k) n(k)(cid:3) !

= bm n

n(κ)(cid:3)

1 ik

n hn(k) + αm cm 1 (cid:2)jn(k) + kj(cid:48) ik

n jn(κ), 1 iκ

(cid:2)hn(k) + kh(cid:48) (cid:2)jn(κ) + κj(cid:48)

và

cm n

n(k)(cid:3) !

= am n

n(κ)(cid:3) ,

1 k

jn(k)

jn(κ)

1 k hn(k) + βm n

! = bm n

dm n

n(k)(cid:3) + αm n 1 i

(cid:2)hn(k) + kh(cid:48) (cid:2)jn(κ) + κj(cid:48)

1 κ 1 i

(cid:2)jn(k) + kj(cid:48) 1 i

với n ∈ N0 và m = −n, . . . , n. Kết quả của hai hệ tuyến tính có thể được tóm tắt lại như sau

αm n βm n

jn(κ) jn(κ) + j(cid:48)

−hn(k) hn(k) + h(cid:48)

jn(k) jn(k) + j(cid:48)

n(κ) −

n(k)

am n cm n

bm n dm n

1 κ

1 k

      (cid:16) (cid:17)      = 

với định thức

−

hn(k)jn(κ) + hn(k)j(cid:48)

detn(κ) =

n(κ) − h(cid:48)

n(k)jn(κ)

(cid:17)

1 k

(cid:16) 1 κ

và định thức nghịch đảo

− 1

n(k) hn(k)

 

1 detn(κ)

− 1

jn(κ)

n(κ)

k hn(k) − h(cid:48) κ jn(κ) − j(cid:48)

 . 

n βm αm n

1 detn(κ)

− i k2 Re detn(κ)

am n cm n

bm n dm n

Do đó, nghiệm được cho bởi     (cid:16) (cid:17)   = −  

Mệnh đề 3.8. ([11]) detn(κ) (cid:54)= 0.

Chứng minh. Giả sử ngược lại detn(κ) = 0. Khi đó

−

hn(k)jn(κ) + hn(k)j(cid:48)

detn(κ) =

n(κ) − h(cid:48)

n(k)jn(κ)

(cid:17)

−

n(κ) − j(cid:48)

n(k)jn(κ)

(cid:17)

−

+ i

yn(k)jn(κ) + yn(k)j(cid:48)

n(κ) − y(cid:48)

jn(k)jn(κ) + jn(k)j(cid:48) 1 k

1 k 1 k (cid:104)(cid:16) 1 κ

! = 0

(cid:16) 1 κ (cid:16) 1 κ (cid:17) (cid:105) n(k)jn(κ)

−

=⇒

1 k

j(cid:48) n(k) jn(k)

j(cid:48) n(κ) jn(κ)

y(cid:48) n(k) yn(k)

=⇒ 0

! = y(cid:48)

j(cid:48) n(κ) 1 k jn(κ) n(k)jn(k) − j(cid:48)

n(k)yn(k) =

1 k2 (Công thức Wronski)

(cid:17) (cid:17) và (cid:16) 1 κ (cid:16) 1 κ

(cid:3) Mâu thuẫn!

Tóm lược

Cho trường sóng tới

H i(x) =

curl M m

n M m αm

n (x, k) + βm n

n (x, k),

1 ik

(cid:88)

trường sóng tổng hợp bên trong vật tán xạ B được cho bởi

H(x) = −

n (x, κ) +

n M m αm

n curl M m βm

i k2

1 iκ

detn(κ)

(cid:104) (cid:88) 1 (cid:105) n (x, κ)

và trường sóng tán xạ bên ngoài vật tán xạ được cho bởi

H s(x) = −

n N m αm

n (x, k) +

n curl N m βm

1 ik

detn(κ)

(cid:104) (cid:88) Re detn(κ) (cid:105) n (x, k)

Phổ trường sóng xa được cho bởi

H ∞(ˆx) =

[αm

n V m

n (ˆx) − βm

n U m

n (ˆx)] .

4π k

in+1

Re detn(κ) detn(κ)

(cid:88) 1

Ta áp dụng những kết quả này cho các trường Beltrami xuất hiện trong các

3.1.4 Bài toán truyền sóng trong quả cầu chiral

bài toán truyền sóng chiral.

Các thiết lập tương tự như trong mục trước. Nhưng bây giờ, môi trường bên

trong quả cầu là (đồng nhất, không tổn hao và) chiral. Chính xác hơn, cho hằng

số điện môi, hằng số thấm từ và tính chiral được xác định bởi

ε0

µ0

ε =

µ =

β =

εB trong B,

µB trong B,

βB trong B.

trong B trong B trong B      

  

√

k := ω

với hằng số thực εB, µB, βB. Định nghĩa số sóng

ε0µ0

√

κ := ω

εBµB trong B.

trong B  



κ2

curl2 U − 2

Khi đó, các phương trình Maxwell chiral là

1 − κ2β2 β curl U −

1 − κ2β2 U = 0

trong B

với U = E hoặc U = H và các trường xuất hiện trong bài toán truyền sóng của

chúng ta thỏa mãn các phương trình sau

curl2 U i − k2U i = 0 curl2 U s − k2U s = 0

trong B

, radiating,

κ2

curl2 U − 2

1 − κ2β2 β curl U −

1 − κ2β2 U = 0 trong B

trong B

với U = E hoặc U = H.

Đối với các vật liệu đồng nhất, có thể phân tích điện trường, từ trường và sử

dụng các kết quả từ bài toán truyền sóng achiral. Đối chiếu [2]. Đó là phân tích

Bohren [4]. Định nghĩa κL, κR bởi

κ 1 − κβ

κ 1 + κβ

κL :=

κR :=

trong B, trong B,     và

trong B trong B   k

Khi đó:

κLκR =

κ2 1 − κ2β2

trong B.

Đặt QL := E + iH và QR := E − iH. Khi đó QL, QR là các trường Beltrami,

nghĩa là

curl QL = κLQL

curl QR = −κRQR

và

κL và κR:

và chúng thỏa mãn các phương trình Maxwell achiral cho lần lượt các số sóng

curl2 QL − κ2

curl2 QR − κ2

LQL = 0

RQR = 0.

và

Do đó, ta có thể áp dụng kết quả của mục trước cho các trường QL và QR và

H =

E =

suy ra các chuỗi biểu diễn cho các trường E và H, từ đó

(QL + QR)

(QL − QR).

1 2

1 2i

và

Ta bắt đầu với các trường sóng tới H i và Ei:

H i(x) =

curl M m

n M m αm

n (x, k) + βm n

n (x, k),

(cid:88)

curl H i(x) =

curl M m

Ei(x) = −

n (x, k) − αm n

n M m βm

n (x, k).

1 ik

(cid:88)

1 ik 1 ik L := Ei + iH i và Qi

R := Ei − iH i:

Ta giới thiệu các trường sóng tới: Qi

curl M m

(βm

n (x, k),

n + iαm

n )M m

n (x, k) − (αm

n − iβm n )

L(x) =

(cid:88)

curl M m

(βm

n + iβm n )

n (x, k) − (αm

n )M m

n (x, k).

n − iαm

R(x) =

1 ik 1 ik

(cid:88)

Trường sóng tổng hợp QL, QR phía trong B được cho bởi

(βm

QL(x) = −

n (x, κL)

n )M m

n + iαm

i k2

detn(κL) (αm

−

n − iβm

n ) curl M m

n (x, κL),

(βm

QR(x) = −

n − iαm

n )M m

n (x, κR)

1 iκL detn(κL) (cid:88) 1 i k2

detn(κR) (αm

−

n + iβm

n ) curl M m

n (x, κR)

1 iκR detn(κR)

(cid:88) 1

E(x) =

H(x) =

và trường sóng tổng hợp E và H có thể được tính

(QL + QR)

(QL − QR).

1 2i

1 2

và

Lúc này, ta có thể thấy rằng các trường E và H nhận được từ mở rộng của

những hạng tử trong các hàm sóng vectơ cho các số sóng κL và κR.

R có các chuỗi khai triển

L, Qs

Các trường sóng tán xạ Qs

(βm

n + iαm

n )N m

n (x, k)

L(x) = −

detn(κL)

−

(αm

n − iβm

n ) curl N m

n (x, k),

(cid:88) Re detn(κL)

(βm

Re detn(κL) ik detn(κL) n )N m n − iαm

n (x, k)

R(x) = −

detn(κR)

−

(αm

n + iβm

n ) curl N m

n (x, k).

Re detn(κR) ik detn(κR)

(cid:88) Re detn(κR)

Đặt

cL :=

cR :=

Re detn(κL) detn(κL)

Re detn(κR) detn(κR)

và

Khi đó

(αm

cL(βm

n − iβm

n ) curl N m

n (x, k),

n + iαm

n )N m

n (x, k) −

L(x) = −

(cid:88)

(αm

cR(βm

n + iβm

n ) curl N m

n (x, k).

n − iαm

n )N m

n (x, k) −

R(x) = −

cL ik cR ik

(cid:88)

Es(x) = −

Do đó, chuỗi khai triển cho trường điện trường và từ trường là

n + (cL − cR)iαm n

n (x, k)

1 2

(cid:3) N m (cid:88) (cid:2)(cL + cR)βm

n (x, k),

n − (cL − cR)iβm n

1 ik

(cid:3) curl N m (cid:2)(cL + cR)αm

H s(x) = −

− (cid:88) (cid:2)(cL − cR)βm

n (x, k)

n + (cL + cR)iαm n

1 2i

−

(cid:3) N m

n (x, k).

n − (cL + cR)iβm n

1 ik

(cid:3) curl N m (cid:2)(cL − cR)αm

Cuối cùng, phổ trường sóng xa được cho bởi

Q∞

(βm

n + iαm

n )V m

n (ˆx) + (αm

n − iβm

n )U m

n (ˆx)

L (ˆx) =

(cid:104) (cid:105)

Q∞

(βm

n − iαm

n )V m

n (ˆx) + (αm

n + iβm

n )U m

n (ˆx)

R (ˆx) =

4π k 4π k

(cid:105) (cid:104)

(cid:88) cL in+1 (cid:88) cR in+1

E∞(ˆx) =

n + iαm

n )V m

n (ˆx) + (αm

n − iβm

n )U m

4π 2k

n − iαm

n )V m

n (ˆx) + (αm

n + iβm

n )U m

H ∞(ˆx) =

n (ˆx) + (αm

n )V m

n + iαm

n − iβm

n )U m

4π 2ik

−

và

n − iαm

n )V m

n (ˆx) + (αm

n + iβm

n )U m

(cid:104) (βm (cid:104) (βm (cid:104) (βm (cid:104) (βm (cid:105) n (ˆx) (cid:105) n (ˆx) (cid:105) n (ˆx) (cid:105) n (ˆx) (cid:88) cL in+1 cR in+1 (cid:88) cL in+1 cR in+1

3.2 Toán tử trường sóng xa

Trong phần này, ta phát triển một dạng tường minh của toán tử trường sóng

xa F cho trường hợp hình cầu.

B = B(0, 1) chứa đầy vật liệu chiral đồng nhất nằm trong chân không. Ta đã

Các thiết lập giống như trong mục trước. Sự cản trở tán xạ là quả cầu

suy ra một chuỗi biểu diễn của phổ trường sóng xa H ∞ cho trường sóng tới H i

F là sự chồng lên nhau của các phổ trường sóng xa H∞(ˆx; d, p) gây ra bởi sóng

đã cho.

phẳng Hi(x) = p eik d·x. Chúng tôi bắt đầu với chuỗi khai triển của sóng phẳng.

Một khi ta biết các hệ số này, việc biểu diễn phổ trường sóng xa được tìm thấy

trong phần trước trực tiếp mang lại dạng tường minh của F. Một lần nữa, ta

3.2.1 Chuỗi khai triển của sóng phẳng

nghiên cứu trường hợp achiral và trường hợp chiral.

Đầu tiên, ta phải khai triển sóng phẳng thành chuỗi các hàm sóng vectơ M m n

n ; tức là, ta phải xác định các hệ số am

n và bm

n trong chuỗi

và curl M m

curl M m

peik d·x =

n M m am

n (x, k) + bm n

(cid:88)

U m

jn(k|x|) + kj(cid:48)

1 ik n (ˆx) + bm n (−1)jn(k|x|)V m am n

n(k|x|)

n (ˆx)

n (x, k) (cid:20) 1 |x|

1 ik

(cid:21) (cid:88)

với

−am

eik|x| ˆy·d(d × p × d) · V m

n jn(k|x|) =

n (ˆy) ds(ˆy),

(cid:90)

eik|x| ˆy·d(d × p × d) · U m

jn(k|x|) + kj(cid:48)

bm n

n (ˆy) ds(ˆy)

1 ik

(cid:90) (cid:21) n(k|x|) (cid:20) 1 |x|

trong đó ta sử dụng p = d × p × d vì p · d = 0 và |d| = 1.

Trong phần tiếp theo, ta tính toán các hệ số Fourier ở vế phải. Chính xác

hơn, ta tính toán phần phức liên hợp:

e−ik|x| ˆy·d(d × p × d) · V m

n (ˆy) ds(ˆy),

(cid:90)

e−ik|x| ˆy·d(d × p × d) · U m

n (ˆy) ds(ˆy)

(cid:90)

R. Do đó, ta giới thiệu các toán tử C1 và C2 được xác định cho các trường vectơ

Ở đây ta nhận ra phổ trường sóng xa của curl2(cid:2)p Φk(z, |x|ˆy)(cid:3) đối với z = |z|d. Ta sẽ làm việc với công thức Stratton - Chu được áp dụng trên quả cầu có bán kính

tiếp tuyến ϕ:

(C1ϕ)(x) := curl

ϕ(y) Φk(x, y) ds(y),

|x|=R (cid:90)

(C2ϕ)(x) := curl curl

ϕ(y) Φk(x, y) ds(y)

|x|=R

(cid:90)

E trong B(0, R),

Khi đó công thức Stratton–Chu 3.2 và 3.3 là

−C1(ν × E) +

C2(ν × H) =

1 ik

c trong B(0, R)

H trong B(0, R),

 

C2(ν × E) =

−C1(ν × H) −

1 ik

c trong B(0, R)

  

C1(ν × Es) −

C2(ν × H s) =

1 ik

  

H s

c trong B(0, R)

trong B(0, R),

C1(ν × H s) +

C2(ν × Es) =

1 ik

  

trong B(0, R). 

curl M m

n và công

1 ik

curl N m

Ta áp dụng công thức bên trong Stratton–Chu cho M m n ,

c n với x ∈ B(0, R)

1 ik

n ) + C1(ν × M m

n ) = 0,

n ) + C1(ν × N m

n ) = N m n ,

1 k2 C2(ν × curl M m 1 k2 C2(ν × curl N m C2(ν × M m

C2(ν × N m

n ) + C1(ν × curl M m n ) + C1(ν × curl N m

n ) = 0, n ) = curl N m n .

. thức bên ngoài cho N m n ,

Tức là, sử dụng các biểu thức cho vết tiếp tuyến (3.5)–(3.8) được tìm thấy

trong mục đầu và viết tắt jn = jn(kR), hn = hn(kR), yn = yn(kR), . . .

+ C1[jnU m

n ] = 0,

jn + kj(cid:48) n (cid:17)

V m n (cid:105)

+ C1[hnU m

(cid:17) (cid:105)

V m n

n ] = N m n ,

(cid:104)(cid:16) 1 R hn + kh(cid:48) n

+ C2[jnU m

1 k2 C2 1 k2 C2 C1

n ] = 0,

jn + kj(cid:48) n (cid:17)

V m n (cid:105)

+ C2[hnU m

(cid:17) (cid:105)

V m n

n ] = curl N m n .

(cid:104)(cid:16) 1 R (cid:104)(cid:16) 1 R hn + kh(cid:48) n (cid:104)(cid:16) 1 R

Dùng hn = jn + iyn ta kết luận

+ C1[jnU m

n ] = 0,

jn + kj(cid:48) n (cid:17)

V m n (cid:105)

(cid:17) (cid:105)

n ] = N m n ,

V m n (cid:17)

+ iC1[ynU m (cid:105)

+ C2[jnU m

1 k2 C2 1 k2 C2 C1

n ] = 0,

jn + kj(cid:48) n (cid:17)

V m n (cid:105)

iC1

+ iC2[ynU m

(cid:104)(cid:16) 1 R yn + ky(cid:48) n

V m n

n ] = curl N m n .

(cid:104)(cid:16) 1 R (cid:104)(cid:16) 1 R yn + ky(cid:48) n (cid:104)(cid:16) 1 R

n − j(cid:48)

nyn =

n ] = jnN m n .

i k3R2 C2[V m Tính toán tương tự cho phương trình thứ ba và thứ tư cho ta

sau đó trừ cho nhau, đồng thời dùng Công thức Wronski jny(cid:48) Nhân phương trình thứ nhất với iyn = iyn(kR), phương trình thứ hai với jn, 1 k2R2 cho ta

n ] = −

jn + kj(cid:48) n

curl N m n .

i kR2 C2[U m

(cid:105)

(cid:104) 1 R

p · curl N m

jn(kR) + kj(cid:48)

curl2 y

n (ˆy) ds(ˆy) = ik

n(kR)

n (x),

curl2 y

n (ˆy) ds(ˆy) = −ik3jn(kR)p · N m

n (x)

Từ hai phương trình cuối, ta kết luận cho vectơ p ∈ C3: (cid:90) (cid:105) (cid:2)p Φ(x, Rˆy)(cid:3) · U m (cid:104) 1 R (cid:90) (cid:2)p Φ(x, Rˆy)(cid:3) · V m

hay

curl2 y

= ik

p · U m

(cid:90) (cid:2)p Φ(x, Rˆy)(cid:3) · U m

jn(kR) + kj(cid:48)

hn(k|x|) + kh(cid:48)

n(kR)

n (ˆx)

n (ˆy) ds(ˆy) (cid:105) (cid:20) 1 |x|

(3.11) (cid:21) n(k|x|) (cid:104) 1 R

và

curl2 y

n (ˆy) ds(ˆy) = ik3jn(kR)hn(k|x|)p · V m

n (ˆx)

(cid:90) (cid:2)p Φ(x, Rˆy)(cid:3) · V m (3.12)

Các số hạng lần lượt phụ thuộc vào x và |x|, có dáng điệu tiệm cận sau:

eik|x|(ˆx × p × ˆx)e−ikR ˆx·ˆy + O(|x|−2),

curl2 y

eik|x| + O(|x|−2),

hn(k|x|) =

eik|x| + O(|x|−2).

h(cid:48) n(k|x|) =

k2 4π|x| 1 in+1k|x| 1 ink|x|

(cid:2)p Φ(x, Rˆy)(cid:3) =

Do đó, cho |x| → ∞ trong phương trình (3.11) và (3.12) cho ta

e−ikR ˆx·ˆy(ˆx × p × ˆx) · U m

p · U m

jn(kR) + kj(cid:48)

n (ˆy) ds(ˆy) =

n(kR)

n (ˆx),

(cid:90) (cid:105)

e−ikR ˆx·ˆy(ˆx × p × ˆx) · V m

n (ˆx).

n (ˆy) ds(ˆy) =

(cid:90)

(cid:104) 1 i 4π in k R 4π in jn(kR)p · V m

Bây giờ ta có thể quay lại khai triển của sóng phẳng:

peik d·x =

curl M m

n (x, k) + bm n

n M m am

n (x, k)

1 ik

(cid:88)

với

−am

eik|x| ˆy·d(d × p × d) · V m

n jn(k|x|) =

n (ˆy) ds(ˆy),

(cid:90)

eik|x| ˆy·d(d × p × d) · U m

jn(k|x|) + kj(cid:48)

bm n

n (ˆy) ds(ˆy).

1 ik

(cid:90) (cid:21) n(k|x|) (cid:20) 1 |x|

Ta tính toán

e−ik|x| ˆy·d(d × p × d) · V m

eik|x| ˆy·d(d × p × d) · V m

n (ˆy) ds(ˆy)

n (ˆy) ds(ˆy) =

n (d)

S2 4π in jn(k|x|)p · V m

(cid:90) (cid:90)

và

eik|x| ˆy·d(d × p × d) · U m

e−ik|x| ˆy·d(d × p × d) · U m

n (ˆy) ds(ˆy) =

n (ˆy) ds(ˆy)

p · U m

jn(k|x|) + kj(cid:48)

(cid:90) (cid:90)

n (d).

S2 4π in

i k

(cid:21) n(k|x|) (cid:20) 1 |x|

n (d),

am n = −4πinp · V m n = 4πinp · U m bm

n (d).

Do đó

Cuối cùng,

peik x·d = 4π

p · U m

n (d) curl M m

n (x) − p · V m

n (d)M m

n (x)

in (cid:104) 1 ik

(cid:105) (cid:88)

(d × p)eik d·x =

curl (cid:2)peik d·x(cid:3), cụ thể là

1 ik

Như một hệ quả, ta tìm thấy chuỗi khai triển của sóng phẳng có dạng

(d × p)eik x·d =

curl M m

n M m am

n (x, k) + bm n

n (x, k)

1 ik

(cid:88)

n (d),

n (d).

n = −4πinp · U m am n = −4πinp · V m bm

3.2.2 Trường hợp achiral

với

Hi(x; d, p) = p eik x·d. Ta đã tính toán chuỗi khai triển của sóng phẳng như vậy

Đối với bài toán ngược, ta coi sóng phẳng như là trường sóng tới:

p · U m

Hi(x; d, p) = 4π

n (d) curl M m

n (x, k) − inp · V m

n (d)M m

n (x, k).

với hướng tới d và hướng phân cực p,

(cid:88) in ik

Trường sóng tới bị tán xạ bởi một hình cầu B(0, 1) với số sóng κ ở bên trong

và k ở bên ngoài. Phổ trường sóng xa tương ứng H∞(ˆx; d, p) của trường sóng tán

xạ do Hi gây ra được cho bởi chuỗi

p · V m

n (ˆx) + p · U m

n (d)V m

n (d)U m

(4π)2i k

detn(κ)

(cid:104) (cid:88) Re detn(κ) (cid:105) n (ˆx)

Nhắc lại định nghĩa của toán tử trường sóng xa:

p (cid:55)→

H∞(ˆx; θ, p(θ)) ds(θ).

F : L2

t (S2),

t (S2) → L2

(cid:90)

Fp =

n U m n

n + qm

(4π)2i k

detn(κ)

Khi đó (cid:105) (cid:88) Re detn(κ) (cid:104) n V m pm

trong đó các hệ số Fourier

p(θ) · V m

p(θ) · U m

pm n :=

n (θ) ds(θ)

qm n :=

n (θ) ds(θ)

(cid:90) (cid:90) và

t (S2) có khai triển (cid:88)

p =

pm n V m

n + qm

n U m n .

và trường tiếp tuyến p ∈ L2

Cuối cùng, ta có thể xác định một hệ riêng của F. Trong trường hợp achiral,

giá trị riêng của F được cho bởi

n = 0, 1, 2, . . .

λn =

(4π)2 k

detn(κ)

(cid:88) Re detn(κ)

n và V m

n là các hàm riêng.

Chúng có bội số 2n + 1 và các vectơ cầu điều hòa U m

|(φz, V m

|(φz, U m

Bây giờ, chúng ta có thể tính toán chuỗi

n (cid:88)

t (S2)|2

n )L2 |λn|

m=−n

n∈N

(cid:88) (cid:88) (3.13)

φz(ˆx) := −ik(cid:2)(ˆx × z × ˆx) + (ˆx × z)(cid:3)e−ikˆx·z.

Với z ∈ R3, ta chọn

(cid:2)e−ikˆx·z(cid:3) và ta đã biết chuỗi đại diện Khi đó φz = Gradˆx (cid:2)e−ikˆx·z(cid:3) + ˆx × Gradˆx

của e−ikˆx·z từ khai triển Jacobi–Anger, cụ thể

e−ikˆx·z = 4π

(−i)njn(k|z|)Y m

n (ˆz)Y m

n (ˆx).

(cid:88)

Do đó, φz có chuỗi khai triển

φz(ˆx) = 4π

(−i)njn(k|z|)Y m

n (ˆz)(cid:2)Grad Y m

n (ˆx) + ˆx × Grad Y m

n (ˆx)(cid:3).

(cid:88)

U m

Grad Y m

Nhắc lại định nghĩa

n (ˆx) = ˆx × U m V m

n (ˆx) =

n (ˆx)

n (ˆx).

1 (cid:112)n(n + 1)

và

(φz, U m

n )L2

n (ˆz).

t (S2) = (φz, V m

t (S2) = 4π(−i)njn(k|z|)Y m

Các hệ số Fourier của φz được cho bởi

Như trong trường hợp vô hướng (đối chiếu phần 1.5 trong [9])

n (cid:88)

1 + O

|(φz, U m

n )L2

t (S2)|2 = 4π(2n + 1)

(k|z|)2n [(2n + 1)!!]2

(cid:16) (cid:17)(cid:17)

m=−n

(cid:16) 1 n

n (cid:88)

1 + O

|(φz, V m

n )L2

t (S2)|2 = 4π(2n + 1)

(k|z|)2n [(2n + 1)!!]2

và (cid:16) (cid:17)(cid:17)

m=−n

(cid:16) 1 n

Ở đây p!! := 1 · 3 · 5 . . . p cho số lẻ p bất kì. Ta tiếp tục với dáng điệu tiệm cận

của các giá trị riêng

−

λn =

(cid:17)

(4π)2i k

Re detn(κ) detn(κ)

jn(k) hn(k)

−

(cid:17)

1 k 1 k

j(cid:48) n(κ) jn(κ) j(cid:48) n(κ) jn(κ)

j(cid:48) n(k) jn(k) h(cid:48) n(k) hn(k)

jn, hn, j(cid:48)

n và h(cid:48)

n có các dáng điệu tiệm cận sau:

(cid:16) 1 κ (cid:16) 1 κ

1 + O

jn(t) =

j(cid:48) n(t) =

(cid:16) (cid:17)(cid:17) (cid:16) (cid:17)(cid:17)

(cid:16) 1 n

1 + O

hn(t) =

h(cid:48) n(t) =

tn (2n + 1)!! (2n − 1)!! itn+1

(cid:16) (cid:17)(cid:17) (cid:16) (cid:17)(cid:17)

ntn−1 (2n + 1)!! (n + 1)(2n − 1)!! itn+2

(cid:16) 1 n (cid:16) 1 n (cid:16) 1 n

1 λn

Thay vào ta được

1 k

n κ

1 + O

+ (cid:17)

(2n + 1)!!(2n − 1)!! (4π)2k2n

(cid:17) (cid:16) (cid:17)(cid:17)

1 λn

−

1 k

n + 1 k n k

n κ

(cid:16) 1 n (cid:16) 1 − κ (cid:16) 1 κ

Đơn giản phân thức thứ hai ở vế phải ta được

1 k

n κ

= 1 −

+ (cid:17)

κ (n + 1)(k − κ)

−

(cid:17)

1 k

n + 1 k n k

n κ

(cid:16) 1 − κ (cid:16) 1 κ

1 + O

(2n + 1)!!(2n − 1)!! (4π)2k2n

Do đó, (cid:16) (cid:17)(cid:17)

1 λn

(cid:16) 1 n

và

|(φz, V m

|(φz, U m

n (cid:88)

t (S2)|2

1 + O

|z|2n 4π

(cid:16) (cid:17)(cid:17)

n )L2 |λn|

m=−n

(cid:16) 1 n

Ta kết luận rằng chuỗi (3.13) hội tụ nếu và chỉ nếu |z| < 1, nghĩa là z nằm

3.2.3 Trường hợp chiral

trong quả cầu B(0, 1).

Trong trường hợp chiral, ta tìm thấy một dạng tường minh cho F theo cách

t (S2) : p =

n U m pm

n + qm

n V m

n với

(cid:88) tương tự: Cho trường tiếp tuyến p ∈ L2

p(θ) · U m

p(θ) · V m

n (θ) ds(θ)

pm n =

qm n =

(cid:90) (cid:90) và

ta chú ý rằng

p =

n U m pm

n + qm

n V m n

(cid:88)

(pm

n − iqm

n )(U m

n + iV m

n ) + (pm

n + iqm

n )(U m

n − iV m n ).

1 2

(cid:88)

κ 1 − κβ

κ 1 + κβ

xuất hiện và κR = Trong trường hợp chiral, hai hằng số κL =

như là dạng của số sóng cho các trường QL và QR. Ta tính phổ trường sóng xa

H ∞(ˆx) =

n (ˆx)(cid:3)

n )U m

n − iβm

n (ˆx) + (αm

n )V m

4π 2ik

là

−

n + iαm (cid:2)(βm

n (ˆx)(cid:3)

n )U m

n + iβm

n (ˆx) + (αm

n )V m

n − iαm

(cid:88) cL in+1

(cid:2)(βm cR in+1

n (d) và các hằng số

n = 4πinp · U m

n = −4πinp · V m n (d), βm . , cR =

cL =

Re detn(κL) detn(κL)

Re detn(κR) detn(κR)

với các hệ số αm

Như trong trường hợp achiral, ta kết luận

Fp =

cL(pm

n − iqm

n )(U m

n + iV m

n ) − cR(pm

n + iqm

n )(U m

n − iV m n ).

(4π)2i 2k

(cid:88)

n + iV m

n , m = −n, . . . , n, là các hàm riêng cho giá trị

Ta quan sát thấy rằng U m

λn =

(4π)2i k

Re detn(κL) detn(κL)

riêng

n , m = −n, . . . , n, là các hàm riêng cho giá trị riêng

n − iV m

λn = −

(4π)2i k

Re detn(κR) detn(κR)

và U m

với n ∈ N0. Một lần nữa, giá trị riêng có bội số 2n + 1. Sự ước lượng của chuỗi

t (S2)|2

|(φz, ψj)L2 |λj|

j∈N

(cid:88)

cho hàm đặc trưng của vật tán xạ là hoàn toàn tương tự với trường hợp achiral.

KẾT LUẬN

Trong luận văn này, tác giả đã tập trung tìm hiểu sự tồn tại và duy nhất

nghiệm của phương trình Maxwell thông qua một biểu diễn tương đương với

phương trình tích phân Lippmann-Schwinger. Bài toán được khảo sát trên cả

môi trường achiral và chiral. Bên cạnh đó, tác giả còn tìm hiểu và trình bày

lại các biểu diễn dạng chuỗi cho nghiệm của phương trình Maxwell thông qua

hệ cơ sở là các hàm cầu điều hòa. Việc xây dựng chuỗi khai triển trong trường

hợp trường sóng tới là sóng phẳng được đưa ra như một ví dụ. Khai triển này

hỗ trợ rất nhiều cho việc nghiên cứu các phương pháp số để giải phương trình

Maxwell, trong hoàn cảnh rất khó tìm được nghiệm giải tích và dữ liệu đáng tin

cậy để thử kết quả số, ngay cả những trường hợp đơn giản nhất. Các kết quả

tham khảo chủ yếu trong các tài liệu [6], [8], [10], [11], [15], [16].

Mặc dù chưa có kết quả mới, nhưng đóng góp chính của luận văn là tổng hợp

và trình bày lại một cách chi tiết các kết quả liên quan đến sự tồn tại và tính

duy nhất nghiệm của phương trình Maxwell. Đây là một lớp hệ phương trình có

rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết tán xạ nói riêng và trong Vật lý nói chung.

Là lớp phương trình có nhiều ứng dụng, nhưng tác giả nhận ra độ phức tạp của

hệ phương trình này trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Do đó, tác giả

mong rằng luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo bằng tiếng Việt, hữu ích cho

sinh viên, học viên cao học hoặc nghiên cứu sinh dễ tiếp cận hơn khi bước đầu

tìm hiểu về chủ đề này.

Tài liệu tham khảo

[1] H. Ammari and J. C. Nédélec, Time-harmonic fields in chiral media, Meth.

Verf. Math. Phys., 42 (1997), pp. 395–423.

[2] C. Athanasiadis, P. A. Martin, and I. G. Stratis, Electromagnetic scatter-

ing by a homogeneous chiral obstacle: boundary integral equations and low-

chirality approximations, SIAM J. Appl. Math., 59 (1999), pp. 1745–1762.

[3] Nikolaos M. Berketis and C. Athanasiadis, Direct and inverse scattering

problems for spherical electromagnetic waves in chiral media, ArXiv e-

prints, 2008.

[4] Craig F. Bohren, Light scattering by an optically active sphere, Chemical

Physics Letters, 29 (1974), pp. 458 – 462.

[5] David L. Colton and Rainer Kress, Inverse acoustic and electromagnetic

scattering theory, Springer, 2nd ed., 1998.

[6] David L. Colton and Rainer Kress, Inverse Acoustic and Electromagnetic

Scattering Theory, Applied Mathematical Sciences, Volume 93, Third Edi-

tion, 2013.

[7] Andreas Kirsch, The factorization method for Maxwell’s equations, Inverse

Problems, 20 (2004), pp. S117–S134.

[8] Andreas Kirsch and Frank Hettlich, The Mathematical Theory of Maxwell’s

Equations. Expansion integral and variational methods, Applied Mathemat-

ical Sciences, Volume 190, Springer, 2015.

[9] Andreas Kirsch and Natalia Grinberg, The Factorization Method for Inverse

Problems, Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications 36,

Oxford University Press, 2008.

[10] Andreas Kirsch and Peter Monk, An analysis of the coupling of finite-

element and Nystr¨om methods in acoustic scattering, IMA Journal of Nu-

merical Analysis, 14(4), 523-544, 1994.

[11] Sven Heumann, The Factorization Method for Inverse Scattering from Chi-

ral Media, PhD thesis, Karlsruhe Institute of Technology, 2012.

[12] Rainer Kress, Linear integral equations, Springer, 1989.

[13] Peter Monk, Finite Element Methods for Maxwell’s Equations, Oxford Sci-

ence Publications, Oxford, 2003.

[14] William McLean, Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Opera-

tors, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2000.

[15] Jean Claude Nedelec, Acoustic and Electromagnetic Equations, Springer,

New York, 2001.

[16] Gennadi Vainikko, Fast Solvers of the Lippmann-Schwinger Equation, Di-

rect and Inverse Problems of Mathematical Physics, Volume 5 of the series

International Society for Analysis, Applications and Computation, 423-440,

2000.

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình Maxwell trong lý thuyết tán xạ

Nguyễn Thanh Tú

SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

CHO PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

TRONG LÝ THUYẾT TÁN XẠ

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Một số kí hiệu

Mục lục

MỞ ĐẦU

Chương 1

Phương trình tích phân Lippmann-Schwinger

1.1 Bài toán từ trường

Ω

1.2 Bài toán điện trường

1.3 Phương trình vi tích phân

Chương 2

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

2.1 Chứng minh sự tồn tại nghiệm

2.2 Chứng minh tính duy nhất nghiệm

Chương 3

Biểu diễn nghiệm qua chuỗi các hàm cầu điều hòa

3.1 Phương trình Maxwell trong hệ vectơ cầu điều

hòa

3.2 Toán tử trường sóng xa

KẾT LUẬN

Tài liệu tham khảo

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok