BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Phạm Nguyễn Phương Duy
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH
MONGE-AMPÈRE PHỨC VÀ LÝ THUYẾT ĐA
THẾ VỊ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh - 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Phạm Nguyễn Phương Duy
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH
MONGE-AMPÈRE PHỨC VÀ LÝ THUYẾT ĐA
THẾ VỊ
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG
Thành phố Hồ Chí Minh - 2013
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc đến Thầy TS. Nguyễn Văn
Đông, người đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời
gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp cho luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Khoa Toán – Tin của trường Đại học
Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu
cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Phòng Sau đại học của trường Đại
học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành chương
trình học tập và thực hiện luận văn này.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã động viên, tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn.
Phạm Nguyễn Phương Duy
1
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1: DÒNG DƯƠNG VÀ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI .......................... 5
1.1. Dạng dương ................................................................................................................. 5
1.2. Dòng.............................................................................................................................. 9
1.3. Dòng liên kết với hàm đa điều hòa dưới ................................................................. 13
1.4. Công cụ làm việc với dòng........................................................................................ 15
1.5. Dung lượng tương đối và sự hội tụ của dòng ......................................................... 17
1.6. Nguyên lý so sánh ...................................................................................................... 24
1.7. Hàm cực trị tương đối ............................................................................................. 26
1.8. Tập hợp nhỏ ............................................................................................................... 29
CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH MONGE- AMPÈRE .................................................................................................................... 32
2.1. Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge Ampère phức với dữ liệu liên tục. ..................................................................................................................................... 32
2.2. Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge Ampere phức với nghiệm là hàm đa điều hòa dưới bị chặn. ................................................................................................ 40
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE CHO HÀM KHÔNG BỊ CHẶN ......................................................................................................................... 54
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ................................................................................... 66
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 67
2
MỞ ĐẦU
Một nhánh trong giải tích phức nhiều biến phát triển mạnh mẽ trong vòng 30 năm trở
lại đây là lý thuyết đa thế vị. Nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này được người ta biết
đến từ khá sớm trước những năm 80 của thế kỉ trước, chẳng hạn như Định lí Josefson về sự
n . Tuy
tương đương giữa tính đa cực địa phương và đa cực toàn thể của một tập trong
nhiên sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết này cùng với việc tìm thấy những ứng dụng vào
các lĩnh vực khác nhau của toán học như: giải tích phức nhiều biến, động lực học phức, giải
tích hyperbolic, hình học vi phân phức, phương trình vi phân đạo hàm riêng phức…chỉ thực
sự từ những năm 80 của thế kỉ trước trở lại đây. Các kết quả đặc sắc của E.Berford và
B.A.Taylor năm 1982 là việc xây dựng thành công toán tử Monge – Ampère phức cho lớp
hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, tìm ra nghiệm đa điều hòa dưới của bài toán
Dirichlet cho phương trình Monge – Ampère phức và đưa ra khái niệm dung lượng của một
n . Có thể xem đây như là một công cụ hữu hiệu cho việc
tập Borel trong một tập mở trong
phát triển lý thuyết đa thế vị cho đến nay. Trong những năm gần đây bài toán Dirichlet đối
n
cdd u
dµ= ,
với phương trình Monge-Ampère phức
(
)
u ϕ= trên biên
được giải với một lớp rộng rãi các độ đo khác nhau. Việc đưa ra các điều kiện để phương
trình có nghiệm liên tục cũng như mô tả các độ đo này để phương trình có các nghiệm thuộc
lớp rộng hơn các hàm đa điều hòa dưới được sự quan tâm của các nhà toán học trên thế giới.
Với mong muốn tìm hiểu một số kết quả của lý thuyết đa thế vị và phương trình Monge –
Ampère phức nên tôi chọn nội dung “Một số tính chất của phương trình Monge – Ampère
phức và lý thuyết đa thế vị” làm đề tài luận văn của mình. Nội dung chính của luận văn này
trình bày về sự tồn tại các nghiệm yếu của phương trình Monge-Ampère phức bằng cách áp
dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị. Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1. Dòng dương và hàm đa điều hòa dưới: Giới thiệu các khái niệm và định lý cơ
bản của lý thuyết đa thế vị.
Chương 2. Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampère: Mục đích chính là
đưa ra sự mô tả về các độ đo Borel không âm ở vế phải của phương trình Monge Ampère
phức sinh ra các nghiệm đa điều hòa dưới thỏa các đòi hỏi về tính liên tục, tính bị chặn.
3
Chương 3. Phương trình Monge-Ampère cho hàm không bị chặn. Chỉ ra sự tồn tại
nghiệm của phương trình Monge Ampère phức cho lớp các hàm đa điều hòa dưới không bị
chặn trong miền siêu lồi.
4
CHƯƠNG 1: DÒNG DƯƠNG VÀ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI
Chương này trình bày một số khái niệm và định lý cơ bản của lý thuyết đa thế vị. Mục 1.1,
1.2 trình bày các tính chất cơ bản của dòng dương. Mục 1.3 giới thiệu các dòng liên kết với
các hàm đa điều hòa dưới. Mục 1.4 giới thiệu một số công cụ được sử dụng khi làm việc với
dòng như định lý Stokes, bất đẳng thức Schwarz, nguyên lý địa phương hóa, đặc biệt là bất
đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg. Mục 1.5 trình bày các khái niệm dung lượng tương đối
và hội tụ theo dung lượng. Nội dung cơ bản trong mục này là các định lý hội tụ 1.5.5,
1.5.10. Mục 1.6 trình bày một trong công cụ hiệu quả nhất trong lý thuyết đa thế vị là
Nguyên lý so sánh. Khái niệm và một số tính chất cơ bản của hàm cực trị tương đối được
trình bày trong mục 1.7. Mục 1.8 được dành cho việc trình bày về các tập nhỏ như tập đa
cực, tập không đáng kể và mối liên hệ giữa các tập này, định lý Josefson cũng được trình
bày trong mục này.
Nội dung của chương 1 được trích trong các tài liệu tham khảo [LG], [BT1], [BT2], [X],
[De], [D-H], [KO], [KLi], [Ho].
1.1. Dạng dương
,p p xác định trên một
)
)
,p pC ∞ Ω là tập hợp tất cả các dạng vi phân trơn song bậc ( (
) (
n
Kí hiệu
Ω ⊂ . Ta kí hiệu dạng ω bất kỳ trong
) ( ) ,p pC ∞ Ω bởi (
p
ω
=
∧
i
dz
dz
,
ω ' JK
J
K
∑
=
=
J
p K p
,
=
∧
∧ ∧ ...
,
dz
dz
dz
dz
tập mở
JKω là hàm thuộc lớp C ∞ trong Ω ,
J
j
j 1
j 2
p
=
=
=
∧
K
k
,
J
j
dz
dz
dz
∧ ∧ ...
dz
trong đó
p
k 1,...,
1,..., j
p
J
j
(
)
)
(
j 1
j 2
p
'∑ là tổng lấy theo các đa chỉ số
<
<
< < ...
k
< < ...
k
j
, và
j 2
2
p
;p
k 1
. Ta gọi ω dạng Hec-mit nếuω ω= . sao cho 1 j
Ω có biểu diễn
)
,p pCω ∞∈ (
) (
p
∧
∧
∧
=
∧ ∧ ...
Khi
iω ω ω ω ω 2
1
1
2
∧ ω ω p
p
,
Ω thì ω được gọi là một dạng dương sơ cấp.
)
j Cω ∞∈ ( 1,0
) (
dz
dz±
dz
idz±
trong đó
lω có dạng
j
k
k
j
( hoặc )
5
)
p p với hệ số hằng được sinh ra bởi các ,
Mệnh đề 1.1.1. Không gian các dạng song bậc (
dz
dz∧
dạng dương sơ cấp.
k
j
là tổ hợp tuyến tính của các dạng dương sơ cấp. Chứng minh. Ta chỉ cần biểu diễn
4
∧
=
+
∧
+
dz
dz
s i dz (
s i dz
)
(
dz
s i dz
)
Thật vậy,
j
k
k
j
k
j
∑
1 4
s
= 1
n
'
:
'
f Ω → Ω là ánh xạ chỉnh
Ω ⊂ và
.
*f ω là dạng dương sơ cấp.
Mệnh đề 1.1.2. Nếu ω là dạng dương sơ cấp trên
=
f
f
,...,
) :
Ω → Ω với '
hình thì dạng kéo ngược (pull-back)
n
f 1(
:jf Ω → là ánh xạ chỉnh hình.
n
=
∈
Ω
α
(
')
Chứng minh. Giả sử
a dz j
j
∞ ( )1,0
∑
= 1
j
n
=
=
* α
f
a
a df j
j
j
∑
k
j
j
= 1
∂ f j ∂ ω k
∑ ∑
ω d k
n
=
=
* α
f
a
a d f j
j
j
∑
= 1
k
j
j
∂ f j ∂ ω k
∑ ∑
ω d k
*
=
* α
∧
f
∧ α α ( )
f
f
. Khi đó: Giả sử
) * α
(
∧
=
∧ ∧ ...
Do đó
p iω ω ω 1
1
∧ ω ω p
p
Ω
')
Như vậy nếu
jω ∞∈
(1,0) (
p
* ω
=
∧
∧
f
i
f
f
∧ ∧ ...
f
f
* ω 1
* ω 1
* ω p
* ω p
(
)
(
)
thì với
*f ω là dạng dương sơ cấp.
và do đó,
)1,1 trên
n :
n
n
2
=
∧
=
∧
z
dz
dz
dx
dy
j
j
j
j
∑
∑
i β= ∂∂ 2
i 2
1
1
Ta thường sử dụng dạng (Kahler) chính tắc (
6
n .
nV
1 n β= ! n
Khi đó là dạng thể tích trong
,p p
ω ∞∈ (
)
−
−
n p n p ,
α ∞ ∈ (
)
được gọi là dạng dương nếu với mọi dạng dương sơ cấp Định nghĩa 1.1.3. Dạng
n ∧ = ω α β
f
ta có
f ≥ 0
với
Mệnh đề 1.1.4.
,p p là dương khi và chỉ khi thu hẹp của nó trên một đa tạp con giải
1) Dạng kéo ngược của một dạng dương trên một ánh xạ song chỉnh hình thì dương.
)
2) Một dạng song bậc (
tích phức p chiều tùy ý (tương đương: không gian con giải tích p chiều tùy ý) bằng với
'
:
'Ω .
dạng thể tích của một đa tạp con nhân với một hàm không âm.
Chứng minh. 1) Cho
)
f Ω → Ω là ánh xạ song chỉnh hình và cho ω là dạng dương trên Ω thì dạng kéo ngược của nó (
)1 * f α−
,p pCα ∞∈ (
) (
cũng là dạng Với một dạng dương sơ cấp
2
−
1
∧ =
∧
=
n β
=
n β
ω α *
*
*
det
'
f
f
f
f
g
g
f
(
)
)
(
( ω
) α *
dương sơ cấp. Do đó với hàm không âm g nào đó
α − n p =
∧
∧
∧ ∧ ...
i
dz
dz
dz
dz
2) Từ 1) ta có thể quy chứng minh về việc kiểm tra điều kiện của định nghĩa trong trường
0
+ 1
+ 1
p
p
n
n
=
=
z
z z :
= = ...
và không gian con hợp dạng dương sơ cấp
,p p bằng
)
p
n
A 0
+ 1
0A của dạng ω song bậc (
{
} 0
p
∧
∧
=
∧ ∧ ...
dz
dz
2
gV
p i gdz 1
dz 1
p
p
p
=
2n
. Nhưng nếu thu hẹp trên
ω α∧ 0
ngV
n
=
n β
=
∧ ∧ =
∧
∧
∧ ∧ ...
dz
d z
. thì
V n
dz 1
d z 1
n
n
i 2
1 ! n
1 ! n
β β ... n
( Lưu ý rằng ).
Mệnh đề 1.1.5
7
α
=
∧
dz
dz
)1,1
α jk
j
k
)jkα là dạng ma trận Héc – mit
∑
i 2
1) Dạng ( là dương nếu và chỉ nếu (
,p p dương thì α ω∧ là dạng dương.
(nửa xác định) dương.
)
2) Hơn nữa, nếu ω là dạng (
−
−
n
p
p n ,
Chứng minh.1) Đầu tiên ta nhận xét rằng nếu αlà dạng dương thì nó là dạng Hec-mit. Thật
)
α γ α γ α γ ∧ = ∧ = ∧
n
n− 1,
− . Do đó α α= .
) 1
ta có vậy, với bất kì dạng dương sơ cấpγ song bậc (
Theo Mệnh đề 1.1.1 điều này đúng cho mọi dạng (
→
,...,
:
(
)
L λ λω λω λω , 1 n
2
=
∧
α
d
Nếu ta xét tham số hóa của một đường thẳng phức
α ωω λ λ d k
jk
j
∑
i 2
. thì * L
n
n
=
∈
Ω
=
∧
C
(
)
∧ ∧ ...
∧ ∧ ...
dz
dz
∧ ∧ ...
dz
Sử dụng Mệnh đề 1.1.3 ta được tương đương mong muốn khi ω thay đổi.
γ −
γ j
a dz jk
k
γ 1
n
1
M dz k 1
k
+ 1
n
k
− 1
1,0
∑
∑
k
= 1
k
= 1
n
− 1
n
=
∧ = ∧
∧
∧
∧
M
det
a
...
i
thì , (
(
) 1,...,
k
st
α γ α γ γ 1
1
− 1
− 1
γ n
γ n
M M dV n
k
k
α jk
= ∑
= s = 1,..., t
− n 1 ≠ n t k ,
= 1
k
và )
)jkα tại điểm cho
2) Ta có thể áp dụng phép biến đổi tọa độ Unita để chéo hóa ma trận (
0z sao cho
=
∧
≥
,
0
z
i
dz
dz
trước
( α
)0
α jj
j
j
α jj
∑
T
1
B P
.
jk
( P P δ= jk
)
( ) Pα−=
− 1
− 1
=
=
PBP
PB P (
)T
(Giả sử P là ma trận Unita, tức là sao cho là ma trận đường chéo.
α jk
)
. Từ đó (
8
0
0
0
=
=
,
P
B
P jl
(
)
b 1 0 ..
b 2 ..
0 ..
0 ..
0
0
0
b n
α
=
∧
=
lk
dz
dz
ta có Giả sử
α jk
j
k
b l
P dz jl
j
P dz lk
j
jk
P B P l
jl
∑
∑
∑
∑
( ) α = ∑
i 2
i 2
l
, )
α ω γ
∧ ∧ =
∧
∧
∧
idz
dz
α ω jj
j
j
(
) γ
∑
Khi đó với bất kì dạng dương sơ cấp γ
Do những dạng trong dấu ngoặc là dương sơ cấp ta có vế phải là không âm vì là tổng của
các số hạng không âm.
1.2. Dòng
Vì các hàm đa điều hòa dưới nói chung là không trơn, ta cần nghiên cứu dạng với hệ số
)
Ω là không gian các dạng thử song bậc (
)
,p q trên Ω trang bị tô pô Schwartz.
,p qD (
) (
∞
n
phân bố được gọi là dòng. Đặc biệt chúng ta quan tâm nghiên cứu các dòng dương. Ký hiệu
.Ω Với
j
Ω ⊂ là tập mở, { Ω
=
} 1
j
=
∈ Ω
≤
ϕ
β ϕ
β
0
D
x
sup
x ( ) :
,
k I J , ,
k ≥ xét các hệ nửa chuẩn
là dãy tăng các tập mở, compact tương đối, vét cạn (Cho
j
I J ,
,
p qD (
Ω
) (
) Ω là j
{
}
k
,
j
=
:
k
0,1,..
. Khi đó
Ω là giới
)
,p qD (
) (
Ω
k
,
j
}
. Tô pô trên
,
p qD (
) Ω . j
o
j
j ϕ
∧
0 ϕ
∧
dz
d z
dz
d z
hạn quy nạp chặt họ tô pô xác định trên không gian Frèchet với tô pô xác định bởi hệ { ) (
) Ω ,
) Ω ,
I
J
I
J
p qDϕ ∈
,
}
p qDϕ ⊂
,
(
) (
(
) (
∑ j ϕ= I J , , I J
∑ 0 ϕ= I J , , I J
0
Ω
jϕ ϕ→ trong
, thì Như vậy nếu {
)
,p qD (
) (
⊂
supp
K
, supp
K
1
,
⊂ với mọi
I J j ≥ . ,
khi
j ϕ I J ,
0 ϕ I J ,
β
2n
D
1) Tồn tại tập compact K ⊂ Ω sao cho
β +∈
β j ϕ I J ,
0 ϕ→ D I J ,
)
đều trên K khi j → ∞ với mọi I, J và 2)
Ω là không gian các dạng (
, )p q có hệ số liên tục trên Ω có giá compact, tô
0 p qD (
, ) (
Ký hiệu
pô trên nó cũng được xác định tương tự)
9
Ω được gọi là
)
,p qD (
) (
−
n
− p n q
,
,p q ) trên Ω . Tập hợp tất cả các
Định nghĩa 1.2.1. Mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian
)
)
(
(
)) '
(tương đương: song chiều ( dòng song bậc (
Ω . Những phần tử thuộc
Ω được gọi là dòng
)
0 p qD ( , )
,
' p qD (
) (
−
n
− p n q
,
dòng như thế được kí kiệu là
)
cấp 0. Dòng song bậc (n, n) là một phân bố trên Ω . Dòng song bậc (n, song bậc (
T D∈
0
,
n) cấp 0 là một độ đo Borel chính quy trên Ω .
T ω ≥ với mọi ω là dạng thử dương sơ cấp tùy ý thì T được
)
Ω nếu ta có (
)
,
' p q (
) (
Khi
+
dz∧
dz
∪ = ' J
J
n
J
J
'
gọi là dòng dương.
{ 1, 2,...,
} n
'J là đa chỉ số tăng duy nhất JKα là dạng bù của ,
K
J
và Với một tập các đa chỉ số được sắp thứ tự tăng J ta kí hiệu = . Khi đó, ta kí hiệu sao cho
α λ=
∧
dz
dz
nghĩa là
JK
J
'
K
'
∧
∧
dz
dz
,
K
= Vα JK n
J
T D∈
trong đó λ được chọn sao cho .
Ω với một dạng vi phân mà có có hệ
)
,
' p q (
) (
Nhận xét rằng ta có thể đồng nhất một dòng
=
∧
T
dz
'
số là phân bố (hàm suy rộng)
T dz JK
J
K
∑
= − J n p , = − K n q
.
JKT được xác định bởi
T
Hệ số
(
( ) = Tφ ,
)
JK
φα , JK
.
:
'
Cũng như trong trường hợp dạng vi phân, tính chất dương của dòng không bị ảnh hướng
f Ω → Ω là ánh xạ song chỉnh hình và
'T là
=
T
f T * '
bởi phép biến đổi tọa độ song chỉnh hình. Cho
'Ω . Khi đó kéo ngược
'T theo f được xác định bởi
=
T
T
f
',
(
) ω ,
(
(
) ) ω− 1 *
Ω
T D∈
dòng dương trên của
)
,
' p p (
) (
cũng dương. Cho ta đặt
10
=
ω , '
T f
ω , * '
(
)
(
)
f T *
*f T là ảnh trực tiếp của T . Khi đó với T là dương thì ảnh trực tiếp của nó
*f T cũng
và gọi
dương. Khẳng định trên được suy ra một cách trực tiếp từ tính chất kéo ngược của dạng
dương sơ cấp là dạng dương sơ cấp.
∧
T
= :
T
(
) ωφ ,
(
) ∧ ω φ ,
Ta cũng có thể định nghĩa tích ngoài của một dòng T và một dạng trơn ω là
với φ là dạng thử tùy ý.
)1,1 dương thì T ω∧ cũng dương. Đặc biệt, với một dòng
−
−
n
p n ,
p
Nếu T là dương và ω là dạng (
(
)
)
,p p dương và một dạng ω dương sơ cấp song bậc (
ta có dòng T ω∧ là một
độ đo Radon không âm.
= −
DT
T D ,
) φ
) φ ,
(
(
Ta lấy vi phân của dòng theo công thức
∂ ϕ
∂
∂ = ϕ
∧
∧
J
:
dz
dz
d z
Ω xác định bởi
với D là toán tử vi phân cấp một.
) Ω →
)
k
I
q
p q ,
D (
) (
D + ( p 1,
) (
∑ ∑
I J , ∂ z
I J ,
≤ ≤ 1
k n
k
∂ ϕ
∂
∂ = ϕ
∧
∧
J
:
d z
dz
d z
Ω xác định bởi
( Cho
) Ω →
)
k
I
p q ,
D + ( p q , 1
) (
D (
) (
∑ ∑
∂
I J ,
≤ ≤ 1
k n
I J , z
k
∧
J
dz
d z
với
I
I J ,
∑ ϕ ϕ= I J ,
,p q trong Ω thì
.
)
p q
+ + 1
p q
+ + 1
= −
= −
T
T
∂ T
( 1)
T
,
,
∂ T
( 1)
T
,
= ∂ + ∂ .
) φ ,
(
) ∂ φ
(
(
) φ ,
(
) ∂ và dT φ
:cd
cdd T
= ∂∂ và i T 2
Nếu T là một dòng song bậc (
) i= ∂ − ∂ . Như vậy
(
=
c dd T
T dd ,
Ω . Do đó
cdd T là dòng song bậc (p+1,q+1).)
Ta thường sử dụng toán tử
)
− −
(
) ϕ ,
(
) c ϕ
n p
1,
n q
− − 1
∈ Dϕ (
) (
với
11
Mệnh đề 1.2.2. Tác động của một dòng dương có thể được mở rộng liên tục đến không gian
Ω . )
0 p qD (
, ) (
các dạng có giá compact với hệ số liên tục
=
∧
T
'
dz
T dz JK
J
K
∑
=
=
J
p K p
,
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh rằng nếu
JKT là độ đo Radon. Ta biểu diễn
JKα được giới thiệu ở trên trong một cơ sở
)jω gồm các dạng dương sơ cấp với hệ số hằng (xem Mệnh đề 1.1.1) (
α JK
ω c sJK s
= ∑
thì tất cả các
=
=
=
∧
,
,
T
g
, T g
, T g
T
g
Khi đó với hàm thử tùy ý g ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
JK
α JK
c sJK
ω s
c sJK
ω s
∑
∑
.
JKT là tổ hợp tuyến tính của độ đo không âm Radon.
Do đó
T
'
T
Cho một dòng T với hệ số độ đo ta có thể xác định một chuẩn
JK
= ∑
E
E
=
=
J
p K q
,
,
JKT trên tập compact E .
JK ET
,p p bất đẳng thức
trong đó là biến phân toàn phần của
)
,S T song bậc (
S T≤
Với hai dòng
có nghĩa là T S− là một dòng dương.
n p
≤
T
E
C T β − ∧∫
E
∈
Mệnh đề 1.2.3. Tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc vào chiều của không gian sao cho
) Ω .
T D −
−
,
' n p n p (
) (
với dòng dương
Chứng minh. Trong phần chứng minh trước ta có biểu diễn
12
=
∧
T
JK
c T ω sJK s
∑
,
sω là dạng dương sơ cấp với hệ số hằng và
sJKc
sω là tích
trong đó chỉ phụ thuộc vào n . Vì
)1,1 ta quy việc chứng minh về ước lượng hiển nhiên sau: Với dạng
)1,1 ω có hệ số hằng cho trước ta có thể tìm được (
1C sao cho
ngoài của các dạng (
1Cω β≤
.
Thường thì rất thuận tiện khi làm việc với các dạng trơn và khi đó chứng minh các mệnh đề
về dòng ta sử dụng xấp xỉ của một dòng cho trước bằng các dạng trơn. Để làm điều này ta
JKT
có thể áp dụng sự chính quy hóa chuẩn bằng cách nhân chập nhân trơn với mỗi hệ số
ρ ∞∈
của dòng T .
)
n ), trong
( 0C B
ρ
=
jz
dVρ =
1
T
Cho hàm không âm, bất biến với phép quay ( B là quả cầu đơn vị trong
( 2 n ρ= j :
)
( ) j z
j
∗ T ρ I J j ,
)
I J ,
∫
đó với . Khi . Ta định nghĩa dãy chính quy hóa (
) ,T ω . Nếu
,jT ω hội tụ về (
jT
T→ theo nghĩa dòng , tức là với dạng thử tùy ý ω dãy (
)
đó
không phát biểu khác đi khái niệm hội tụ áp dụng cho dãy các dòng được hiểu theo nghĩa
này.
1.3. Dòng liên kết với hàm đa điều hòa dưới
u PSH∈
cdd u là
(
) Ω thì
) PSH Ω . Nếu
(
2
2
n
=
c dd u
4
Kí hiệu tập hợp các hàm đa điều hòa dưới trong Ω là
)1,1 . (
dz d z j
k
i 2
= 1
j k ,
∂ u ∂ ∂∑ z z
j
k
∂ u ∂ ∂ z z j
k
trong đó là đạo hàm theo nghĩa dòng dương đóng (
cdd u với điều kiện rằng các hàm đa điều hòa
phân bố của u)
Ta có thể định nghĩa tích ngoài của các dòng
∩
∈
u PSH L∞
Ω và một dòng dương đóng T trên Ω . Khi đó dòng
dưới là bị chặn địa phương. Thật vậy, mệnh đề sau nói lên điều đó
(
)
loc
∧ =
∧ =
c dd u T
c dd u T
:
:
uT và
Mệnh đề 1.3.1. Cho
( c dd uT
)
( c dd uT
)
cũng được xác định tốt. Hơn nữa, dòng đồng
thời đóng và dương.
13
Chứng minh. Khẳng định có tính chất địa phương, nên ta có thể chính quy hóa u bởi dãy
ju . Vì các hệ số phân bố của T là độ đo phức nên từ định lý
→
giảm các hàm trơn bị chặn đều
( c dd uT
)
ju T hội tụ yếu đến uT . Do đó
j
( c dd u T
)
=
c dd u
T
∧ và do đó
cdd u T∧ là giới hạn của các dòng dương đóng
ju trơn ta có
j
j
( c dd u T
)
c dd u
T∧ .
j
hội tụ bị chặn Lebesgue ta suy ra . Do
∧
c dd u
∧ ∧ ...
c dd u
Bằng cách này, sử dụng quy nạp, ta có thể xác định dòng dương đóng
c dd u 1
2
N
∈
u
PSH L∞ ∩
Ω . Đồng thời ta cũng có thể xác định
,
(
)
j
loc
∧
c du d u T
∧
với
nếu u là hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương và T là dòng dương đóng. Để có điều
u ≥ (do 0
2u là hàm đa điều hòa dưới) và sử dụng đồng nhất thức
c
2
∧ =
∧
∧ −
c du d u T
c dd u
T udd u T
∧
( 1/ 2
)
này ta có thể giả sử rằng
n
n− 1,
− và v là một hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương thì
(
) 1
∧ =
∧
∧
c du d v T
c ∧ dv d u T
Khi đó vế phải được xác định tốt theo mệnh đề (1.3.1) trên. Hơn nữa, nếu T song bậc
c
c
c
∧
∧
∧
∧ − T du d u T dv d v T
( 1/ 2
)
( d u v
) + ∧
( d u v
) + ∧ −
.
được xác định tốt và bằng với
Điều này suy ra từ mệnh đề 1.4.2 bên dưới.
2C được cho bởi
Toán tử Monge-Ampère Μ tác động một hàm đa điều hòa dưới trơn u trên
2
n
Μ
=
n = : 4 !det n
c dd u
công thức sau
( ) u
dV n
(
)
∂ u ∂ ∂ z z j
k
,
ở đây lũy thừa ở vế phải được lấy đối với tích ngoài.
14
1.4. Công cụ làm việc với dòng
n
1C và T là một
Ω ⊂ là miền với biên thuộc lớp
Định lý 1.4.1. (Định lý Stokes). Cho
1C trong một lân cận của ∂Ω . Khi
1n − xác định trong lân cận của Ω , thuộc lớp
dòng bậc 2
=
T
dT
∫
∫
∂Ω
Ω
đó
jT của T . Cố định hàm thử χ
Chứng minh. Chúng ta chứng minh cho các chính quy hóa
=
−
S
T
( 1
) + Tχ χ
j
j
trong Ω biết nó bằng 1 trong một lân cận của tập hợp mà trong đó T không trơn. Đặt
T= trong một lân cận của ∂Ω và ta có thể áp dụng định lý Stoke cơ bản cho
jS
jS
Khi đó
=
→
=
S
dS
dT
T
j
j
∫
∫
∫
∫
∂Ω
∂Ω
Ω
Ω
n
n− 1,
,u v là hàm đa
được
) − và 1
Mệnh đề 1.4.2. Nếu T là dòng dương đóng trong Ω song bậc (
∧ =
∧
∧
c du d v T
c ∧ dv d u T
c du d v∧
c dv d u∧
v i v
u
điều hòa dưới bị chặn địa phương thì
cùng bằng với i u và Chứng minh. Với hàm trơn u và v đẳng thức được suy ra từ điều là các phần của song bậc )1,1 của ( ∂ ∧ ∂ + ∂ ∧ ∂ . Trong trường hợp tổng quát
n
n− 1,
− trong Ω và
ta sử dụng sự chính quy hóa.
) 1
,u v là tổ hợp tuyến tính của các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương thì
∧ ≤
∧
∧
∧
∧
∧
c du d v T
c du d u T
c dv d v T
∫
∫
∫
Ω
Ω
Ω
1/2
1/2
1.4.3. Bất đẳng thức Schwarz. Nếu T là một dòng dương song bậc (
=
∧
∧
c du d u T
(
), u v
∫
Ω
Chứng minh. Ta chỉ cần nhận xét rằng dạng
15
c
∧ du d u
u
i u 2
= ∂ ∧ ∂ là dạng dương sơ cấp.
là xác định dương vì
1.4.4. Nguyên lý địa phương hóa. Nếu ta chứng minh sự hội tụ yếu hoặc ước lượng địa
phương của một họ các hàm đa điều hòa dưới bị chặn đều địa phương thì không mất tính
tổng quát ta có thể giả sử rằng các hàm đó thì xác định trong một quả cầu và tất cả bằng
),jB a r . Cố định một (
nhau trên một lân cận nào đó của biên.
Chứng minh. Cho một tập compact K . Ta phủ K bởi các quả cầu
su của các hàm từ họ các hàm đã cho lên quả cầu
=
,
t
1
,
> , sao cho quả cầu này chứa trong miền chúng ta xét. Vì
su là bị chặn đều ta
j
( B B a tr
)
0
trong chúng và xét thu hẹp
có thể giả sử
su trên
su < và tìm một hàm đa điều hòa dưới vét cạn h của B sao cho nó nhỏ ),jB a r . Để kiểm tra ước lượng theo yêu cầu ta bây giờ có thể làm việc (
=
max
hơn bất kì
(
)
h s
u h , s
su trên
sh bằng với
),jB a r và bằng với h trong lân cận nào đó (
, ở đây với
của biên B .
U⊂⊂ ⊂⊂ Ω thì với một
=
,
,
1.4.5 Bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg (CLN). Nếu K
Ω bất đẳng thức sau đúng
( C C K U
)
∧
∧
≤
c dd u
c dd u
T
C u
u
T
∧ ∧ ...
...
hằng số
k
k
0
c dd u 1
0
u 1
U
U
U
U
K
∈
PSH L∞ ∩
,
Ω . Hơn nữa
(
)
ju
∧
≤
Ω
c dd u
c dd u
u
u
∧ ∧ ...
,
...
với bất kì dòng dương đóng T và bất kì tập các
)
( C K
c dd u 1
2
u 1
k
2
k
Ω
Ω
Ω
1 L
(
)
K
,
∧
≤
Ω
u
∧ ∧ ...
c dd u
,
u
...
u
và
( C K
)
0
c dd u 1
0
k
u 1
k
Ω
Ω
Ω
1 L
(
)
K
.
Chứng minh. Lấy một hàm thử không âm φ trong U mà bằng 1trong K và không vượt quá
n
− − j
1,
n
j
− − ta được:
(
) 1
j
j
∧
≤
φ
β
=
c φ
β
c dd u
T
c dd u
∧ ∧ T
∧ ∧ T
0
C 1
0
1
0
K
∫
∫ C u dd
U
≤
U C u
T
0
U
U
1 ở những nơi khác. Áp dụng Mệnh đề 1.4.2 và hai lần định lý Stokes cho dòng T song bậc
16
1C và đạo hàm cấp hai của φ. Lặp lại chứng minh này cho ta
trong đó C phụ thuộc vào
⊂
− ≤
≤
=
= K K
⊂ ⊂ ...
K
0,
1, 2,...,
j
k
khẳng định đầu tiên. Để có được bất đẳng thức thứ hai ta áp dụng nguyên lý địa phương hóa
⊂ Ω
0
K 1
k
ju
Ω
:
,...,
h h−
1
h
h=
. Cố định các tập compact và giả sử rằng 1
≥ trên
h k
h h , 1
j
1jK − và
j
và các hàm đa điều hòa dưới trơn trên sao cho trên
jKΩ \
− n k
∧
∧
β
c dd u
∧ ∧ ...
c dd u
k
c dd u 1
2
∫
K
c
− n k
−
∧
∧
β
≤
c dd u
∧ ∧ ...
c dd u
(
k
) h h dd u 1 1
2
∫
K 1
c
− n k
β
−
−
∧
∧
∧
=
h
c dd u
∧ ∧ ...
c dd u
(
(
)
k
) u dd 1
h 1
c dd u 3
2
∫
K 1
c
− n k
−
∧
∧
∧
β
≤
c dd u
∧ ∧ ...
c dd u
(
k
) u dd h 1 1
c dd u 3
2
∫
K 1
c
− n k
β
−
∧
∧
≤
c dd u
∧ ∧ ...
c dd u
(
) h h dd h 2 1
2
k
∫
K
2
. Sau đó sử dụng định lý Stoke và Mệnh đề 1.4.2 ta được
− n k
∧
∧
β
c dd u
c dd u
∧ ∧ ...
c dd u 1
2
k
∫
K
c
− n k
≤
−
∧
∧
β
≤
n β
C
− u
∧ ∧ ...
(
(
)
) u dd h 1
c dd h 2
k
c dd h k
k
∫
∫
Ω
Cứ tiếp tục như trên ta được
1u và
ku ). Để
Xem lại Mệnh đề 1.2.3 ước lượng này cho khẳng định thứ hai (nếu ta đổi chỗ
có khẳng định thứ ba ta sử dụng nguyên lý địa phương hóa và sau đó lấy tích phân từng
k
c
− n k
c
− n k
∧
∧
β
≤
∧
β
∧ ∧ ...
c dd u
c dd u
phần và lặp lại như trên ta được:
u dd u 1
0
2
0
k
( u dd h
)
∫
∫
Ω
K
.
1.5. Dung lượng tương đối và sự hội tụ của dòng
Trong lý thuyết đa thế vị, cũng như trong lý thuyết thế vị cổ điển, các dung lượng đóng vai
trò quan trọng. Đặc biệt chúng giúp ta quyết định khi nào sự hội tụ của các hàm đa điều hòa
dưới là đủ “tốt”.
Định nghĩa 1.5.1.
17
n
∈
c dd u
u PSH
u
,
sup
:
Ω − ≤ < , 1
0
( cap E
) Ω =
(
)
)
(
∫
E
−
−
, n k n k
được gọi là dung lượng tương đối của tập Borel E (đối với Ω )
)
k
∧
Ω − ≤ <
∈ T u PSH
u
c dd u
,
sup
:
0
(
) , 1
) Ω =
( cap E T
(
)
∫
E
,
: Ta sẽ xét các hàm tập hợp gắn với dòng dương đóng T song bậc (
( cap E
) Ω ≥ ∫ C V n E
Theo bất đẳng thức CLN các đại lượng này là hữu hạn. Hơn nữa, với
hằng số C phụ thuộc chiều của không gian và đường kính của Ω . Một số tính chất khác
được liệt kê ở mệnh đề sau.
jE của miền bị chặn Ω ta có
,
,
Ω nếu
Mệnh đề 1.5.2. Cho tập con Borel
) Ω ≤
( cap E
)
( cap E 1
2
E 1
E⊂ . 2
,
1)
Ω nếu dãy tăng đến E ,
( cap E
) Ω ≥
,j
( cap E
)
lim →∞ j
Ω
,
E
2)
E= ∪ .
( cap E
) Ω ≤
,j
j
( cap E
)
∑
với 3)
Trong mệnh đề tiếp theo ta ước lượng dung lượng tương đối của một tập mức dưới của một
U⊂⊂ ⊂⊂ Ω . Khi đó tồn tại hằng số C phụ thuộc vào các tập hợp
hàm đa điều hòa dưới âm.
∈
Ω
u PSH
u
< 0
Mệnh đề 1.5.3. Cho K
(
),
u
,
này sao cho với bất kỳ
} ∩ < − Ω ≤ j
{ u
( cap K
)
1 ( L U
)
C j
.
cap với C cũng phụ thuộc T .
T
v PSH∈
0v
Ω với 1
− ≤ < . Do bất đẳng thức CLN
Bất đẳng thức cũng đúng cho
)
(
n
n
≤
≤
c dd v
u
(
)
( c u dd v
)
1 ( L U
)
∫
1 j
C j
K
∫ { ∩ <− K u
} j
Chứng minh. Cố định
18
Dựa vào định nghĩa dung lượng tương đối ta có điều phải chứng minh. Chứng minh tương
cap . T
tự cho
ju các hàm xác định trên Ω được gọi là hội tụ theo dung lượng
0
Định nghĩa 1.5.4. Một dãy
t > và K ⊂⊂ Ω
u u
0
t
,
j
{ ∩ −
}
) > Ω = .
( cap K
lim →∞ j
đến u nếu với bất kỳ
cap . T
Tương tự ta có định nghĩa sự hội tụ theo dung lượng đối với
∞
u
Toán tử Monge-Ampère liên tục đối với các dãy hội tụ theo kiểu này.
j k
=
j
=
u
PSH L∞ ∩
k
1, 2,...,
n
là dãy bị chặn đều địa phương các hàm đa điều Định lý 1.5.5. (Định lý hội tụ). Cho { } 1
(
)
Ω theo dung lượng capβ khi
j k
→ ∈ u k
loc
=
1, 2,...,
k
n
j → ∞ với
và cho hòa dưới trên Ω với
→
∧ ∧ ...
∧ ∧ ...
c dd u
c dd u
j c dd u 1
c dd u 1
j n
n
. Khi đó
cap β∧ thì
T
∧ ∧ ...
c dd u
∧ → T
∧ ∧ ...
c dd u
∧ T
c j dd u 1
c dd u 1
j N
N
∈
trong tôpô yếu của các dòng. Nếu dãy hội tụ theo dung lượng
) Ω .
T D −
−
,
' n N n N (
) (
với dòng dương
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh khẳng định đầu tiên, các phần còn lại chứng minh tương tự.
−
Không mất tính tổng quát ta giả sử tất cả các hàm đa điều hòa dưới có liên quan lấy giá trị
−
∧ ∧ ...
∧ ∧ ...
c dd v
c dd u
c dd u 1
N
N
=
∧
∧
−
∧
c dd u
∧ ∧ ...
c dd u
u
c dd v
∧ ∧ ...
c dd v
c dd u 1
2
j
− 1
j
j
N
j
+ 1
( c dd v
)
c dd v 1 ∑
j
thuộc [ 1;0) . Sử dụng đồng nhất thức
u→ theo dung lượng capβ và dòng dương
ju
∈
PSH
∧ ∧ ...
Ta quy chứng minh về việc chứng minh nếu
< thì 0
(
), 1 Ω − ≤
j v s
j v s
jT có biểu diễn
j c dd v 1
c j dd v − 1 n
−
u
T
∧ → 0
j
j
( c dd u
)
đóng , với
19
= ∩ K
u
− > u
t
Kφ= ⊂⊂ Ω . Với
t > đặt 0
( ) E t j
j
}
{
Cố định hàm thử φ trong Ω với supp .
jT biểu diễn như trên ta có
n
− 1
n
− 1
c
∧ ≤ β
∧ ≤ β
−
Ω
,
T
dd
n
( ) z
(
) 1
)
( cap Eβ
j
j v s
(
)
∑
∫
∫
E
E
Chú ý rằng với
−
∧
≤
−
∧
φ
c φ
c φ
u
T
u
t dd
T
j
j
j
∧ + T j
(
) u dd
)
( c dd u
j K
∫
K
∫ ( ) E t j
n
− 1
≤
−
Ω
c φ
dd
n
,
,
(
) 1
(
)
tcap K β
j
( ( ) cap E t β
) Ω +
(
)
Bất đẳng thức này cùng với định lý Stokes cho ước lượng
,
Ω gần 0.
j
( ( ) cap E t β
)
Ta có thể làm vế phải nhỏ tùy ý khi cố định t đủ nhỏ và sau đó chọn j sao cho
cap
n n cap
Kết luận của định lý đúng nếu sự hội tụ theo dung lượng capβ được thay thế bởi sự
β ≤
hội tụ theo dung lượng cap vì theo định nghĩa . Đặc biệt, như mệnh đề sau đây
∈
∩
∈
PSH L∞ ∩
u PSH L∞
u↓ trong Ω hội tụ tới
Ω theo
chỉ ra, với dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới ta có sự hội tụ của các dòng tương ứng.
(
)
(
) Ω với
ju
ju
Mệnh đề 1.5.6. Dãy
dung lượng. Vì thế, với các dãy giảm kết luận của định lý 1.5.5 đúng.
ju
Chứng minh. Áp dụng nguyên lý địa phương hóa ta có thể giả sử Ω là một quả cầu và
\ EΩ nào đó của ∂Ω . Ta cũng có thể giả
∩
∈
Ω
− <
∞ v PSH L
1
v
0
< trên E . Cố định
< < và ước lượng
tạo thành một dãy hằng số trong lân cận cố định
(
), 0
ju
n
=
=
−
I
I
u
sử rằng 1
( ) v
0
0
j
(
)( c u dd v
)
∫
E
u
t
− > ∩ Ω . Theo E ,
.
j
}
( { tcap u
)
Nhận xét rằng cận trên đúng trên tất cả v như trên vượt quá
định lý Stokes và bất đẳng thức Schwarz ta có
20
− n k
k
n k
− − 1
k
−
∧
= −
−
∧
∧
∧
= :
u
c dd u
u
c d v
c dd u
c dd u
I
j
j
k
(
)
( d u
)( c u dd v
)
(
)
(
)
(
)
∫
∫
E
E
n k
− − 1
k
n k
− − 1
k
≤
−
−
∧
∧
∧
∧
×
u
c dd v
c dd u
c ∧ dv d v
c dd v
c dd u
j
j
( d u
( ) c u d u
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
∫
E
E
1/2
+
≥
c ∧ dv d v
( c dd v
)2 1
Khi đó với số hạng cuối cùng ta thấy
n k
− − 1
k
n
2
∧
∧
≤
c ∧ dv d v
c dd v
c dd u
n cap E
,
C
Do đó như trong chứng minh trước ta có ước lượng sau
(
) Ω =
(
)
(
)
∫
E
.
n k
k
− − 1
−
∧
−
∧
∧
u
u
c dd v
c dd u
j
j
( d u
)
( c d u
)
(
)
(
)
∫
E
n k
− − 1
k
−
∧
−
∧
∧
= −
u
u
u
c dd v
c dd u
j
j
)
(
)
( c dd u
(
)
(
)
∫
E
n k
− − 1
k
+ 1
−
∧
∧
≤
u
u
c dd v
c dd u
j
(
)
(
)
(
)
∫
E
Hơn nữa
≤
I
k
1/2 CI + 1 k
Như vậy ta đã chứng minh
n
n
c
≤
−
I
C
'
u
= :
0
j
ε j
(
)( u dd u
)
∫
1/2
Do đó
jε tiến tới 0 khi j tiến tới ∞ . Do vậy
ε j
E
u
t
,
j
( { cap u
) } − > ∩ Ω ≤
t
Dãy
∈
u
PSH L∞ ∩
khẳng định được chứng minh.
Ω là ánh xạ
(
)
loc
j
Hệ quả 1.5.7. Với
21
→
∧
u
c dd u
c dd u
,...,
∧ ∧ ...
(
)
u u , 1
2
c dd u 1
2
k
k
thì đối xứng.
Chứng minh. Hệ quả đúng cho hàm trơn và hàm đa điều hòa dưới tùy ý là giới hạn của một
dãy các hàm đa điều hòa dưới trơn. Do đó sự đối xứng suy ra từ định lý hội tụ.
,
\UΩ
εΩ < và sao cho hạn chế của u trên
Định lý 1.5.8. Với hàm đa điều hòa dưới u xác định trong Ω và một số dương ε ta có thể
( cap U
)
0M > sao cho
liên tục. tìm một tập mở U ⊂ Ω với
Chứng minh. Cố định tập compact K ⊂ Ω . Theo Mệnh đề 1.5.4 ta có thể tìm
/ 2ε . Ta xét dãy chính quy hóa
{ = ∩ < − u M
}
1U K
ju
max
,u M−
nhỏ hơn dung lượng tương đối của tập
(
)
1k > tồn tại
)
( j k sao cho
,
ε − 2 k
giảm đến . Ta đã biết dãy hội tụ theo dung lượng. Do đó với số nguyên tùy ý
( cap U
) Ω <
k
> +
\
U
= ∩ K
,
K U∪ nên u liên tục
k
:k
( j k
)
j ku (
)
{ u
}1 u k −
trong đó . Dãy hội tụ đều đến u trên
U
K⊂
trên đó. Để có khẳng định của định lý ta chỉ cần lấy một dãy vét cạn các tập compact
jK ↑ Ω và áp dụng phần đầu tiên của chứng minh ta tìm được
j
j
,
ε − 2 j
với
K U là liên tục. Khi đó u là liên tục trên phần bù
j
\j
j
( cap U
) Ω <
U
và hạn chế của u trên
U= ∪ . Tính chất dưới cộng tính của cap và ước lượng của dung lượng của
jU cho
j
,
( cap U
)
εΩ <
của
,jT T là
u PSH∈
cdd ϕ (ϕ∈ A ,) và giả sử
T→ . Khi đó với
Ω tùy ý:
Hệ quả 1.5.9. Cho A là họ bị chặn đều các hàm đa điều hòa dưới trên Ω . Giả sử
(
)
jT
uT→
juT
tích ngoài của các dòng
0ε> cố định ta có thể tìm được một hàm liên tục v sao cho dung lượng
Chứng minh. Với
} v≠
≤
max
,
C ε .
nhỏ hơn ε. Khi đó với bất kỳ tập compact K ta có tương đối của tập { u
(
) − u v T
(
) − u v T
j
(
)
K
K
(C= const chỉ phụ thuộc K)
22
vT→ . Để hoàn thành chứng minh ta kết hợp hai điều này
jT có hệ số là độ đo ta có
jvT
Vì
∞
u
với bất đẳng thức tam giác.
j k
=
j
=
u
PSH L∞ ∩
k
1, 2,...,
N
;
là dãy bị chặn đều địa phương Định lý 1.5.10. (Định lý hội tụ của dãy tăng). Cho { } 1
Ω hầu khắp
(
)
j k
↑ ∈ u k
loc
=
k
1, 2,...,
N
và cho các hàm đa điều hòa dưới trên Ω với
→
∧ ∧ ...
c dd u
∧ ∧ ...
c dd u
. Khi đó nơi khi j → ∞ với
j c dd u 1
c dd u 1
j N
N
.
=
→
T
∧ ∧ ...
c dd u
∧ ∧ ...
c dd u
= T
j
j c dd u 1
j N
c dd u 1
N
v↑ ta có
Chứng minh. Ta sử dụng phương pháp quy nạp trên N . Giả sử N n<
jv
vT→
jv T j
Chỉ cần chỉ ra rằng với các hàm đa điều hòa dưới
c
c
∧
→
c dd v
∧ ∧ ...
c dd u
∧ ∧ ...
c dd u
j
j c dd u 1
j N
∧ dd v dd u 1
N
Khi đó theo định lý Stokes
BΩ = và tất cả các hàm đa điều hòa dưới có
h PSH∈
Ω trong một lân cận của B∂ . Do Hệ quả 1.5.9 ta được
Áp dụng nguyên lý địa phương hóa ta giả sử
(
)
≤
=
lim
lim
vT
vT
liên quan bằng với
v T j
j
j
.
∧ ≥
∧
α
Từ bất đẳng thức này ta hoàn thành chứng minh khi ta chứng minh được rằng
j
∫ v T lim j B
∫ vTα B
−
−
n N n N ,
,
)
=
T
tùy ý. Bất đẳng thức cuối cùng thu được với dạng dương sơ cấp α song bậc (
c dd u 1
∧ S 1
bằng cách sử dụng Hệ quả 1.5.9 và định lý Stokes với
23
∧
∧ ≥ α
α
lim
→∞
lim j
v T j
j
v T s
j
∫
∫
B
B
c
=
∧ = α
α
v T s
v dd u s 1
∧ ∧ S 1
∫
∫
B
B
=
∧ ∧ →
∧ ∧ =
∧
α
α
α
vT
c u dd v s 1
S 1
c u dd v 1
S 1
∫
∫
∫
B
B
B
trong đó sự hội tụ của dòng cuối cùng (với s → ∞ ) suy ra từ giả thiết quy nạp.
1.6. Nguyên lý so sánh
Nguyên lý so sánh là một trong công cụ hiệu quả nhất trong lý thuyết đa thế vị. Nó khai thác
cdd u với u là hàm đa điều hòa dưới
đầy đủ tính dương của
n . Với
ζ
∩
∈
Ω
0
,u v PSH L∞
≥ với bất kỳ z ∈ ∂Ω ta có
Định lý 1.6.1. (Nguyên lý so sánh). Cho Ω là tập con mở bị chặn của
→
lim ζ
)(
)
(
)
( − z u v
n
n
c dd v
c dd u
(
)
(
)
∫
∫
≤ { } < u v
{ } < u v
=
E
,u v C ∞∈
thỏa mãn
< ⊂⊂ Ω có biên trơn. Đặt
{ u
} v
=
+
v u
1/
k
và Chứng minh. Xét trường hợp
( max ,
)
kv
n
n
− 1
n
− 1
n
=
∧
=
∧
=
c d u
c dd u
c dd u
theo định lý Stokes ta được
c dd v k
c d v k
c dd v k
)
(
(
)
(
)
)
(
∫
∫
∫
∫
E
∂ E
E
∂ E
= + u
k
1/
(1.1)
kv
trong lân cận của E∂ . do
v↓ trên E với bất kỳ tập compact K E⊂ và
kv
φ
φ
, 0
≤ ≤ với 1
1φ= trên K
)
( ∞∈ C E 0
n
n
n
n
=
=
≤
c dd v
c dd v
lim
lim
Hơn nữa, áp dụng Mệnh đề 1.5.6 cho
c dd v k
c dd v k
)
(
(
)
( φ
)
( φ
)
∫
∫
∫
∫
K
E
.
n
n
≤
c dd v
lim
c dd v k
(
)
)
(
∫
∫
E
E
Do đó
Kết hợp điều này với (1.1) ta có điều phải chứng minh.
24
u
,
1
ε δ> 0,
0
v < , cố định
> , và tìm một tập mở U sao
=
=
ε< ,
u
\UΩ
Trong trường hợp tổng quát giả sử
v↓ và
( cap U
)
u v , 0
v 0
0u và
0v là hàm liên tục nào đó. Cho
kv
<
−
<
−
= :
= :
u↓
cho trên với
( ) δ
{ u
} δ
( ) δ
{ u
} δ
E 0
0
v 0
E k
k
v k
ku
⊂⊂
⊂⊂
\
\
E
U
và ta có
( ) δ
( ) 0
( 0 2
E k
E 0
( ) δ∪ kE
và . Theo định lý Sard ta có thể giả sử (thay là chính quy hóa sao cho với ) δ \ U U
0δ ≥ ta có
(
)
kE δ là trơn. Vì với bất kỳ
E
\
\
U E ,
= :
< − v
đổi δ nếu cần) biên của
( ) δ
( ) δ
( ) δ
{ u
} δ
= U E 0
,
n
n
=
c dd v
c dd v
(
)
(
)
∫
∫
\ U
E
\ U
(
) δ 2
(
) δ 2
E 0
n
n
≤
≤
+
ε
lim
lim
c dd v k
c dd v k
(
)
(
)
∪
U
∫ ) ( δ
∫ ( ) δ
E k
E k
n
n
n
≤
+
≤
+
+ ≤ ε
c dd u
c dd u
c dd u
lim
ε 2
ε 2
k
(
)
(
)
(
)
∪
E
U
∫ ( ) δ
∫ ( ) 0
∫ ( ) 0
E k
E 0
Ta có thể áp dụng phần đầu của chứng minh để suy ra
,ε δ tiến đến 0.
n
n
≤
c dd u
c dd v
Suy ra điều phải chứng minh nếu ta cho
)
(
)
n
n
=
ζ
c dd u
c dd v
− u v
0
kéo theo v u≤ . Hệ quả 1.6.2. Với giả thiết của định lý 1.6.1 bất đẳng thức (
= với z ∈ ∂Ω thì u
v= .
(
)(
)
)
(
)
lim ζ → z
=
< −
E
và Nếu (
0ε> tập
{ u
} v ε
Chứng minh. Giả sử trái lại rằng với khác rỗng và cố định hàm đa
điều hòa dưới âm ngặt ρ sao cho ρ ε> − trong Ω . Sau đó, sử dụng Định lý 1.6.1 ta gặp
n
n
n
c
≤
+
≤
c dd v
dd
v
c dd u
(
) ρ
(
)
(
)
(
)
∫
∫
∫
< +
< +
< +
{ u v
} ρ
{ u v
} ρ
{ u v
} ρ
mâu thuẩn với giả thiết do
Phần thứ hai suy ra từ phần thứ nhất.
∩
∈
u v PSH L∞ ,
Tiếp theo ta ước lượng độ đo Monge-Ampère của cực đại của hai hàm đa điều hòa dưới.
Ω . Khi đó
(
)
n . Giả sử
loc
n
n
n
c
≥
+
dd
max
u v ,
c dd u
c dd v
Định lý 1.6.3. Cho Ω là tập con mở của
(
)
)
(
)
)
χ { ≥ u v
} (
χ { < u v
} (
,
25
Eχ là ký hiệu hàm đặc trưng của tập E.
K
trong đó
u < cố 1,
{ ⊂ ≥ u
} v
=
=
ε< ,
u
\UΩ
. Giả sử Chứng minh. Ta chỉ cần ước lượng trên tập compact tùy ý
0ε> và lấy tập mở U sao cho
( cap U
)
, u v 0
v 0
0,u v là hàm liên 0
<
+
u
t
t
= :
,
0
< v u
t
định trên với
> ta có
+ trên
}
\tV U . Vì thế,
tV
{ v 0
0
ju giảm về u và
j
tục nào đó. Với dãy
n
n
n
≤
≤
+
c dd u
lim
c dd u
lim
c dd u
ε 2
→∞
→∞
j
j
j
j
)
(
(
)
(
)
∫
∫
∫
∪ V U
K
t
\ V U t
n
n
c
c
+
+
≤
+
=
dd
max
u
t v ,
ε 2
dd
max
+ u t v
,
ε 2
lim
→∞
(
)
j
j
(
)
)
(
)
(
∫
∫
\ V U t
\ V U t
≥
theo định lý hội tụ
} \ v U
\tV U giảm về { u
Do khi t tiến đến 0. Ước lượng còn lại cũng được suy ra bằng cách
áp dụng định lý hội tụ.
1.7. Hàm cực trị tương đối
∈
u PSH
C
)
(
) Ω ∩ Ω sao cho
(
0
u = trên ∂Ω .
n
Một miền Ω được gọi là siêu lồi nếu tồn tại hàm khác không
Ω ⊂ ta định nghĩa hàm cực trị tương đối
Định nghĩa 1.7.1. Cho E là tập con của miền
=
∈
Ω
<
≤ −
u
u
sup
:
u
0, à
v u
1 trên
E
(
)
Ω =
{ u PSH
}
,
E
E
bởi công thức
PSH∈
(
) Ω .
* Eu
Do bổ đề Choquet Eu là giới hạn của dãy các hàm đa điều hòa dưới tăng. Do đó
u
u≤
Mệnh đề 1.7.2.
E 1
E⊂ thì 2
E 1
E 2
≤
u
u
i) Nếu .
E ⊂ Ω ⊂ Ω thì
2
1
E
,
E
,
Ω 1
Ω 2
lim
u
u=
K↓
ii) Nếu .
jK
* K
* jK
jK là tập compact trong Ω thì (
)*
, với . iii) Nếu
26
∈
Ω
=
1
u PSH
u
0
U
< − + 1
≤ với
u ≤ − trên K . Lấy
0ε> tập mở
Chứng minh. i) ii) và bất đẳng thức “ ≤ ” trong iii) hiển nhiên. Chứng minh bất đẳng thức
(
),
{ u
} ε
ε
u
uε− ≤
ngược lại ta xét
Uε⊂
jK
* jK
ε− ≤
lim
u
u
u như thế ta được
K
* K
chứa K . Do đó, với j đủ lớn và . Lấy cận trên đúng của tất cả các hàm
j
. Cho ε dần về 0 ta có điều phải chứng minh.
*
u
u=
Kết quả tiếp theo chứng tỏ rằng đối với các tập compact cận trên đúng trong định
cap xác định như
* E
nghĩa của dung lượng tương đối đạt được khi . Dung lượng ngoài
Ω
⊂
*
,
inf{
,
,
E U U
,
sau
( cap E Ω =
)
( cap U
)
mở}
n
,
* cap E
c dd u
(
E
(
)*
) Ω = ∫
Ω
Định lý 1.7.3. Cho tập compact tương đối E trong miền siêu lồi Ω ta có
E↓ là một dãy các tập compact thì
jE
,
,
cap E *
,
( cap E
) Ω =
(
) Ω .
j
( cap E
) Ω =
lim →∞ j
Nếu
ju ≥ − với 1
u=
Chứng minh. Áp dụng bổ đề Choquet ta có thể tìm được một dãy tăng
u lim j
* E
)*
(
n
≤
≤
u
v
u
0
c dd v
. Sử dụng nghiệm của bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampère
= trên một quả cầu cố
j
j
* E
jv sao cho
j
)
n
E
\
0
c dd u
(định lý 2.6 sau đây) ta tìm được và (
⊂ Ω . Áp dụng Định lý 1.5.9 cho dãy
= trên
),B z r và vì
(
( ), B z r
E
)*
jv ta có (
n
n
*
1
c dd u
0
c dd u
= trên
\ EΩ . Do
định
E
E
)*
)*
Eu = − trong int E ta kết luận (
có giá là E∂ . vậy (
h < − 1
∈
0
v PSH
h u≤
Bây giờ, giả sử E E= và cố định một hàm vét cạn đa điều hòa dưới h trên Ω với
Ω − ≤ < và v
(
), 1
ju như trên sao cho
j
. Lấy tùy ý trên E . Khi đó ta chọn dãy
0ε> đủ nhỏ đặt
=
−
max
h
u
với
( − , 1 2
) vε
j
j
(
) ε
.
27
ε
\
h
u=
− trên E và
'Ω Ω trong đó
'Ω ⊂⊂ Ω . Hơn nữa,
( = − 1 2
) vε
jh
j
j
'
0
≤ và với ε đủ nhỏ ta có
E ⊂ Ω . Các tính chất đó cùng với việc
'Ω có thể được
jhε− + ≤ 1
Nhận xét rằng trên
n
n
n
n
n
=
≤
=
c dd v
c dd h
c dd h
c dd u
chọn với biên trơn để áp dụng định lý Stokes ta nhận được
( − 1 2
j
j
j
)
)
)
)
(
(
(
) ( ε
∫
∫
∫
∫
Ω
Ω
E
'
'
E
.
n
n
n
n
n
≤
≤
=
c dd v
c dd u
c dd u
c dd u
lim
Từ định lý 1.5.9 ta có
( − 1 2
j
* E
* E
)
)
)
(
(
(
) ( ε
)
∫
∫
∫
∫
Ω
Ω
E
E
'
'
,
n
n
=
,
c dd u
c dd u
ở đây đẳng thức cuối cùng suy ra từ phần đầu tiên của chứng minh. Do đó
( cap E
) Ω =
* E
* E
)
)
(
(
∫
∫
Ω
E
(1.2)
lim
,
,
,
* cap E
( cap E
) Ω =
(
) Ω ,
j
( cap E
) Ω =
⊂
E
int
E
Do Định lý 1.5.9 và Mệnh đề 1.7.2 ta có
jE với
j
. với đẳng thức thứ hai có được bằng cách lấy
Để nhận được phần đầu của khẳng định trong định lý cho trường hợp E tùy ý ta chú ý rằng
n
,
( cap V
c dd u V
(
)*
) Ω = ∫
Ω
*
với tập compact tương đối, mở V ta có
jK dãy vét cạn các tập compact
jKu với
Điều này được suy ra từ Định lý 1.5.5 áp dụng cho
n
n
≤
=
Ω
,
c dd u
của V . Bây giờ nếu E V⊂ thì theo Định lý 1.6.1
( cap V
)
* E
* c dd u V
(
)
)
(
∫
∫
Ω
Ω
.
n
≤
Ω
c dd u
cap E *
,
Do đó
(
)
* E
)
(
∫
Ω
.
28
=
V
jt ↓ tập 1
j
j
ju và chọn h như trên. Với
{ t u j
}1 < − . Khi
u↑
Với bất đẳng thức ngược lại ta xét
t u j
j
* u≤ V
* E
jV giảm,
E V⊂ và j
j
* u jV
n
n
=
c dd u
lim
. Do đó hầu khắp nơi và theo Định lý 1.5.9 đó
* E
c * dd u V
(
)
j
)
(
∫
∫
Ω
Ω
1.8. Tập hợp nhỏ
n được gọi là tập đa cực nếu với z E∈ tùy ý tồn tại
∈
E V
Định nghĩa 1.8.1. Một tập E trong
)
( v PSH V
{ ∩ ⊂ = −∞ . v
}
E
v PSH∈
sao cho một lân cận V của z và
v⊂ = −∞ với
{
}
(
)n ta gọi E tập đa cực toàn cục. Tuy nhiên, khái niệm này
Nếu
dư thừa do Định lý Josefson được chứng minh bên dưới nói rằng với bất kỳ tập con đa cực
n thì đa cực toàn cục.
n
trong
Ω ⊂ được gọi là tập bỏ qua được
=
∈
E
u
u
u u
PSH
Định nghĩa 1.8.2. Một tập con E của một tập mở
}*
{ ⊂ < u
(
) Ω .
sup ,s
s
E
, trong đó (tập không đáng kể) nếu
v⊂ = −∞ với
{
}
su ở đây có thể chọn là họ đếm được theo hệ quả Choquet. Nếu
=
E
v PSH∈
sup
u
/ v j
Ω thì E là tập bỏ qua được do
Họ
}*
{ ⊂ < u u
(
)
∈ j
với . Ta sẽ thấy chiều
ngược lại vẫn đúng và tập bỏ qua được là tập đa cực.
∈
E
0
v PSH
Mệnh đề 1.8.3. Trong một miền siêu lồi Ω các điều kiện sau là tương đương:
v⊂ = −∞ với
Ω < . v
}
{
(
),
0
1)
Eu Ω = .
,
0
*
cap E Ω = . ,
2) *
)
(
v uε ≤
3)
2→ Nếu 1) thỏa thì với bất kỳ
0ε> ta có
)
( ) 1
)
E
Eu = bên 0
*
0
v = −∞ mà nó có phần trong khác rỗng. Vì vậy
Chứng minh. . Do đó
}
Eu = .
<
− 2 j
2
1→ Ta chọn
ngoài tập {
)
)
u dV j n
(
)
ju như trong chứng minh Định lý 1.7.3 cùng với tính chất
∫
Ω
v
u
.
j
= ∑ là đa điều hòa dưới trong Ω và bằng −∞ trên E .
Khi đó
29
(2) ↔ (3) là do định lý 1.8.3 và hệ quả 1.6.2
Một trong các kết quả quan trọng trong lý thuyết đa thế vị được sử dụng sử dụng rộng rãi
trong xấp xỉ đa thức, động lực phức và nhiều nơi khác, là chỉ ra sự giống nhau của tập bỏ
qua được và tập đa cực.
Định lý 1.8.4. (Bedoford-Taylor). Tập bỏ qua được là tập đa cực.
=
*
0
,
u
Chứng minh. Theo mệnh đề 1.8.3 ta chỉ cần chứng minh rằng một tập bỏ qua được E thỏa
) cap E Ω = . Cho
(
ju là dãy trong định nghĩa tập bỏ qua được và
u sup j
,
:
0ε> và tập
. Cố định mãn
( dist z
) ∂Ω >
ε
{ Ω = ∈ Ω z
} ε
ju chọn tập mở U
,
. Sử dụng tính tựa liên tục của
εΩ < và tất cả
t<
( cap U
)
ju liên tục trên phần bù của U trong Ω . Với số hữu tỷ s
sao cho
≤ < ≤
\
U u z : ( )
s
t
u
đặt
stK
{ = ∈ Ω z ε
} z *( )
.
εΩ ∩
) \E U
K K=
0
,
có biểu diễn như là hợp (đếm được) các tập compact như thế. Như vậy Khi đó (
) cap K Ω = với
(
st
n
∈
0
h PSH C
− ≤ < và 0h
ta chỉ cần chỉ ra rằng . Lâp luận phản chứng, ta giả sử đẳng thức
) ∩ Ω với 1
(
(
) c dd h >
∫
K
h=
. Áp dụng nguyên lý địa này sai và tồn tại
ju
=
= v u
*
h
v
u
+ và h
+ . Khi đó bởi theo định lý Stokes và Mệnh đề
phương hóa ta có thể giả sử h là hàm vét kiệt và với j tùy ý ta có bên ngoài tập con
j
j
compact của Ω . Đặt
− 1
n
− − 1
n
n
k
n k
c
−
−
=
−
∧
∧
h
c dd v
c dd v
c dd v
c dd v
(
j
j
(
) v v dd h j
)
(
)
(
)
(
)
∑
∫
∫
) (
=
0
k
n
n
≥
>
> . 0
− v v
c dd h
s
c dd h
const
( ≥ − t
)
j
(
)(
)
)
(
∫
∫
K
K
1.4.2 ta có
h PSH∈
Mâu thuẩn với Định lý 1.5.9 và Hệ quả 1.5.8.
n tồn tại
(
)n
E
h⊂ = −∞ .
{
}
Định lý 1.8.5.(Josefson). Với bất kỳ tập con đa cực E của với
30
⊂
∈
E
,
E
v
,
E= ∪ trong đó
j
j
j
j
j
j
( B a r j
)
)
( ( PSH B a r
)
Chứng minh. Do định nghĩa và nào đó
( j k trong đó mỗi số nguyên
)
jv = −∞ trên
⊂
=
B
r
,
ta có
B k
)
( 0, exp 2k
( j k
)
( j k
)
(
)
jE . Cố định một dãy các số nguyên dương )
( B a
<
=
∈
0
− ≤ 1
u
0;
u
1
u
. Bởi Mệnh đề 1.7.2 và 1.8.3 lặp lại vô hạn lần và sao cho
= − trên
* Eu
k
( PSH B + k
)1
k
k
j kE (
)
+ 1
( ), j k Bk
k
−< 2
. Do đó ta tìm được với và
u dV k n
∫
B k
tr
ên
B k
=
−
− k , 2 log
z
2
max
tr
ên
\
( ) h z k
( ) u z k
B k
B k
+ 1
)
−
n
−
z
tr
2
ên
\
B k
+ 1
( ) u z k ( k 2 log
=
h
PSH
k> âm và chuỗi hội tụ theo cách
. Đặt
j
kB các số hạng
,jh j
(
)n do trên
∈∑ h
E
Khi đó
}
{
h⊂ = −∞ .
ku . Hơn nữa, vô hạn số hạng của chuỗi bằng -1 trên
j kE . Do đó
(
)
<
+
z
chọn
( ) h z
( log 1
)
. Chú ý.
31
CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
MONGE-AMPÈRE
(Nội dung chương này được trích từ [KO].)
Mục đích chính của mục 2.1 là chỉ ra sự tồn tại nghiệm đa điều hòa dưới liên tục trong bao
0
fdVµ=
đóng Ω của một miền giả lồi ngặt của bài toán Dirichlet với điều kiện biên liên tục và vế
f ≥ liên tục trong Ω . Nội
phải của phương trình Monge Ampère phức là d ,
dung chính của mục này là định lý 2.6. Định lý chỉ ra rằng bao trên của họ các nghiệm dưới
đa điều hòa dưới là nghiệm của bài toán Dirichlet.
Mục 2.2 tổng quát hóa Định lý 2.6 bằng cách làm yếu các hạn chế vế phải của phương
trình Monge Ampère phức ở trong mục 2.1 . Nội dung chính của mục này là chỉ ra sự tồn tại
nghiệm đa điều hòa dưới bị chặn trong Ω với vế phải phương trình thuộc lớp các độ đo
Borel không âm liên kết với một hàm chấp nhận được.
2.1. Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge Ampère phức với dữ liệu liên
tục.
Trong suốt phần này ta sẽ làm việc trong một miền giả lồi ngặt Ω . Mục đích chính là tìm
∈
u PSH C
( ∩ Ω
)
cdd u
fdV=
nghiệm cho bài toán Dirichlet sau
(
)n
=
ϕ
'
z
ϕ ,
∈ ∂Ω ∈ ∂Ω , C
( u z
)
( ) z
)
(
lim → z z '
(*)
với hàm f không âm tùy ý và liên tục trong bao đóng của Ω . Nghiệm như thế luôn tồn tại
duy nhất theo Hệ quả 1.6.2
Ký hiệu là nón các ma trận Hec-mit không âm n n× và định nghĩa trên một hàm cộng
1/
n
=
det
A ,
A
∈
( F A
)
𝒞 tính trên thuần nhất 𝒞
𝒞 Ta cũng xét không gian M các độ đo trên Ω nhận giá trị trong và đặt
𝒞 32
F
E
F
E
( µ
)
j
( µ
)
(
)
= ∑ inf
j
,
}jE của E thành hữu hạn các
trong đó cận dưới đúng được lấy trên tất cả các phân hoạch {
tập Borel rời nhau.
Bổ đề 2.1.
≥
µ=
F
F
+ µ ν F
a) Fµ là độ đo vô hướng.
t > và 0
( F t
(
) + µ ν
) tFµ
=
F
F
µ ν + F
với . b)
(
) µ ν +
−
≤
nếu µ và ν kỳ dị với nhau. c)
− trong đó . kí hiệu biến phân toàn phần của độ đo.
) F µ ν µ ν
(
E
d)
( µ
)
ν= ∫ hd
E
và thì e) Nếu ν là độ đo không âm, h là hàm nhận giá trị trong
ν
F
E
( ) F h d
( µ
)
= ∫
E
µ
≥
F
lim
F
𝒞 .
jµ các độ đo nhận giá trị trong
µ j
≥
F
F
hội tụ yếu đến µ thì . f) Nếu dãy
) ∗ µ ρ
(
g) Nếu ρ là hàm thử thì 𝒞 ∗ . µ ρ
=
−
F
E
F
E
(
j
j
)( ∗ µ ρ
)
)
−
≥
E
j
( ( ( ) ∫ ρ µ z ( ( ) ρ µ z
) ( ) { } z dV z ) ( ) { } z dV z
∫
Chứng minh. g). Do bất đẳng thức Jensen
≥
ρ
−
F
E
F
E
(
( ) z
j
j
)( ∗ µ ρ
)
( µ
) ( ) { } z dV z
(
)
∑
∑
∫
j
j
ρ
−
=
≥
E
F
E
( ∗ µ ρ
)
( ) z F
Lấy tổng theo j
( µ
) ( ) { } z dV z
∫
Với hàm đa điều hòa dưới u ta định nghĩa
33
2
n
1/
=
φ
n
F
4
) !
(
( ) u
∂ u ∂ ∂ z z j
k
n
n φ=
c dd u
.
( ) u dV
)
. Toán tử φ có các tính chất sau: Nhận xét rằng với u trơn ta có (
≥
+
φ
φ
tu
φ= t
+ u v
Mệnh đề 2.2.
t > và 0
( φ
)
( ) u
( φ
)
( ) u
( ) v
≥
∗
φ ρ φ
u
∗ . ρ
a) với .
)
( ) u
(
b) Nếu ρ là hàm thử thì
ju hội tụ yếu đến u và
)juφ (
φ
u
c) Nếu dãy các hàm đa điều hòa dưới hội tụ yếu thì
( ) u
j
)
( φ≥ lim
φ=
.
)
( ) u
( εφ lim u
≥
max
min
,
, u v
d) Với chính quy hóa của u ta có .
(
)
( ) v
( φ
)
( ( ) φ φ u
)
. e)
Chứng minh. Ba khẳng định đầu tiên suy ra từ Bổ đề 2.1. Đối với d) nhận xét rằng theo b)
≥
≥
∗
φ
φ
= ρ φ
lim
lim
và c) ) ta có
( ) u
)
( ) u
( ) u
( φ
u ε
ε
.
u
v
u↓ và
v↓ . Chuyển qua dãy con, ta giả sử tất cả
Khẳng định e) đúng với u và v trơn (xem định lý 1.6.3). Tổng quát, xét chính quy hóa
ju
jv
j
j
u v , j
j
(
( φ
)
( φ ,
)
)
( φ , max
)
u
v
min
và
j
j
)
( φ ,
)
( ( φ
)
≥
≥
max
u v ,
u
v
(
)
( φ
)
u v , j
j
j
j
)
)
( φ lim max
j
j
≥
∗
∗
( ( φ ≥
∗
=
lim min
,
lim min
min
,
( ( ) u
( ) v
( ) v
( ) v
.
) ( ) φ , ( ( ) φ φ u
)
( ( ) φ φ u
)
) ρ φ , j
ρ j
ρ j
lim min )
( φ
j
j
hội tụ yếu. Sau đó áp dụng b) và c) ta có
1 n
φ
≥
S
v PSH
Ω ∩ Ω C
:
f dV v
,
(
)
( ) v
(
)
= ∈
ϕ∂Ω ≤
Bây giờ ta quay lại với Bài toán Dirichlet (*). Ta định nghĩa họ nghiệm dưới:
và bao trên của nó
34
=
u
v
sup S
.
0
,
Hàm này là nghiệm của bài toán Dirichlet. Nhận xét rằng S khác rỗng vì nếu ρ là hàm đa
2C , vét cạn đối với Ω thì với hằng số
A B > đủ lớn ta có
max
,u v
S∈
B S
ρ− ∈ . Hơn nữa, với A
,u v S∈ ta có
(
)
điều hòa dưới ngặt, thuộc lớp
=
1 nf
u
v
(định lý 1.6.3).
sup S
là liên tục và thuộc S . Hơn nữa, nếu và ϕ là Lipschitz Mệnh đề 2.3. Bao trên
thì u cũng Lipschitz.
=
ρ ϕ
≥
A
Chứng minh. Đầu tiên giả sử rằng dữ liệu biên ϕ là trơn và mở rộng nó tới hàm trơn trong
+ ∈ và S
( φ
0v
1 ) 0 max n f dV v
bao đóng của Ω . Với ρ như trên và A đủ lớn ta có .
u
h
≤ ≤ ,
0v
Khi đó với h điều hòa trong Ω và bằng với ϕ trên biên
>
z
.
Khi đó ta có u liên tục trên ∂Ω .
0ε> và một tập compact K ⊂ Ω . Lấy
K∈ Lấy v S∈ với
− và ε
( v z
)
( u z
)
0
0
0
v≤ . Để chứng minh sự liên tục của u trên K ta sẽ chứng minh rằng với a nhỏ hàm
0v
0δ > sao cho với bất kỳ ω∈ ∂Ω
( v a + sát với biên cũng thuộc S . Ta có thể tìm được
).
−
−
−
< và
< nếu z ω δ
< .
( ( ) h z ϕ ω ε
)
( ) ( z ϕ ω ε
)
0v
δ ε=
/ M
Cố định
(Nhận xét rằng nếu ϕ và ov Lipschitz với hằng số Lipschitz M thì ta có thể chọn
−
( ( ) < v z ϕ ω ε
)
). Do đó
− <
<
+ z a
+ ε
( + v z a
)
( ε ϕ
)
( ) v z
với z như thế. Vì vậy, nếu a δ< và z a+ ∈ ∂Ω thì
Suy ra
35
+ ∉ Ω
khi z a
( ) v z
( ) v z 1
+
−
∈ Ω
max
,
khi
z+a
( ( ) v z v z a
)
(
) ε 2
=
1 nf
. xác định tốt và 1v ϕ= trên ∂Ω . Giả sử ω kí hiệu mô đun của tính liên tục của
1 n
≥
+
.
a
f
.
a
)
(
)
( ( φ + v
)
Vì
1 n
1 n
+
f
,
f
a
.
Sử dụng Mệnh đề 2.2e ta có
( φ
(
)
) ≥ 1 min v
+
.
v 2
) ( a vω= 0
v 1
≥
+
≥
1 n f dV
( φ
)
( φ
)
)
) ( ( ω φ a
v 2
v 1
v 0
Vì vậy với
∈ và S
( ω−
v 2
) a v 0
−
≥
−
−
>
−
a
z
a
( v z
)
( u z
)
( − ε ω 2
0
v 2
0
0
) a v 0
Do đó
−
−
>
>
) ε 3
ε 4
( ( v z
)
( ω ( u z
) a v 0 )
0
0
1 nf
(2.1)
)aω tỉ lệ với a và do đó
(
δ có thể chọn để tỉ lệ với ε.
với a đủ nhỏ. Vậy u liên tục. Hơn nữa, nếu là Lipschitz thì
S∈ tăng (đều) đến u . Ta giả sử
ju
)juφ (
S∈ .
Theo bổ đề Choquet tồn tại hội tụ và sử dụng
Mệnh đề 2.2 c) có kết luận u
jϕ và nhận xét rằng bao
ju
Nếu ϕ không trơn thì ta xấp xỉ nó bởi dãy giảm các hàm trơn
tương ứng là hội tụ đều. Hàm giới hạn thuộc S do Mệnh đề 2.2c. Nó là hàm cận dưới lớn
ju và do đó nó là bao mà ta cần tìm.
nhất của dãy
∈
1 nf
Mệnh đề 2.4. Bao trên có đạo hàm bậc hai bị chặn với giả thiết bổ sung: Ω là quả cầu
1,1C .
( 1,1 C B
)
đơn vị B , và ϕ thuộc lớp
36
+
+
−
−
( u z h
)
( u z h
)
( ) u z 2
Chứng minh. Trong chứng minh ta cần ước lượng biểu thức
h
= − a
z a z ,
Vì biểu thức trên không xác định trên toàn bộ B trước tiên ta thay thế phép tịnh tiến bởi
aT và
aT− trong đó với mỗi z đã cho ta có
. vectơ h và h− với tự các đẳng cấu
2
−
+
−
−
a
a
(
)
(
)
( ) P z a
( ) z P z a
=
=
,
( ) T z a
( ) P z a
, z a a 2
1 −
1
z a ,
a
Ánh xạ được định nghĩa như sau
n . Khi đó, tính toán
2
ψ
,
,
(
) a z a
trong đó .,. kí hiệu tích Hec-mit trong
2
= +
det
1 2 ,
T
( ) z
( ) T z a (
= − + z h )
' a
( + z a O a
)
0,1
∈ g C
B
(2.2)
aT . Do đó với
'aT kí hiệu Jacobi của
(
)
2
−
−
≤
0,1
a
tùy ý, với ψ là hàm trơn bị chặn nào đó và
( g z h
)
c g 1
( ) g T z a
C
B
(
)
, (2.3)
n
2/
2
det
= + 1
( ) z
(
)
' aT
( + , z a O a
)
4 n
Do đó, bởi (2.2)
2
1 n
1 n
=
+
f
f
,
( ) z
(
)
( ) T z a
ψ 1
( + a z O a
)
−
= −
a z ,
a z ,
Do giả thiết và (2.3),
(
)
(
)
ψ 1
ψ 1
2c
(theo khai triển Taylor), ta có thể kết luận rằng với hằng số trong đó
2
n
n
2/
2/
1 n
1 n
1 n
+
≥
−
det
T
'
det
T
'
2
f
f
f
bất đẳng thức sau đúng
(
)
(
)
−
T −
a
T a
a
a
c a 2
(2.4) ,
2c
Mặt khác, từ giả thiết và áp dụng (2.3) với g ϕ= ta có với hằng số lớn
37
2
+
ϕ
ϕ
+ ≤ ϕ− T 2
T a
a
c a 2
(2.5) .
=
+
Ta xét
( ) z
(
)( ) z
u T −
v a
u T a
a
1 n
2 n
=
f
det
T
'
.
)
(
)
( φ
T a
u T a
a
Với quy tắc hợp thành ta có . Từ đây, Mệnh đề 2.2 a) và (2.4)
2
≥
−
dV
1 2 n f
( φ
)
av
c a 3
ta có
4c sao cho
2
2
=
−
+
−
1
z
∈ , S
( ) v z
( ) z
c a 2
c 4
( 1
)
)
(
1 v 2 a
Do đó (từ 2.5) tồn tại hằng số
2
≥
+
−
và vì vậy v u≤ . Khi đó
( ) 2 u z
(
)( ) z
u T −
c a 5
u T a
a
.
u= (là ánh xạ Lipschitz theo mệnh đề 2.3) ta được
2
≥
+
−
−
( ) 2u z
( + u z h
)
( u z h
)
c a 6
Áp dụng (2.3) với g
2
≥
+
+
−
−
)
)
( ) 2u z ε
( u z h ε
( u z h ε
c a 7
2D uε là bị chặn trên đều địa phương (bởi
Ta chính quy hóa bất đẳng thức này (trên một quả cầu nhỏ hơn) được ước lượng
)
c K trên một tập compact K ) . Vì uε là hàm đa điều hòa dưới ta cũng có (
2
2
+
ih
≥ và 0
(
)2
2 D u h D u . ε
. ε
2
2
≥ −
≥ −
ih
(
)
( c K
)
2 D u h . ε
2 D u . ε
Bây giờ, cố định ε và cho a dần về 0 ta kết luận
Suy ra đạo hàm bậc hai của u bị chặn địa phương.
38
≤
∈
ϕ∈
1 nf
0
1,1C
∂ B
1,1C B và nghiệm
(
)
( 1,1 C B
)
(
)
và Định lý 2.5. Giả sử . Khi đó bao u thuộc
của bài toán Dirichlet (*) nằm trong quả cầu đơn vị.
1,1
u C∈
1 n f dV
Chứng minh. Tính trơn của u được thể hiện trong Mệnh đề 2.4. Ta cũng biết rằng
( )uφ bằng với
( ) φ ≥ u
n
2
n
1/
n
4
det
(
) !
∂ u ∂ ∂ z z j
k
1/
. Với mật độ của
tại điểm tùy ý mà đạo hàm cấp hai tồn tại.
0z mà tại đó đạo hàm
Lý luận phản chứng, giả sử rằng bất đẳng thức nghiêm ngặt tại điểm
cấp hai xác định.
0z có dạng
+
=
+ ℜ
+
h
Khai triển Taylor của u tại
( u z
)
( u z
)
( ) + P h H h
( )
0
0
( o h
)2
,
2
=
trong đó P là đa thức phức (nên Pℜ là hàm đa điều hòa dưới ) và
( ) H h
h h j k
∂ u ∂ ∂∑ z z
, j k
j
k
.
1t < đủ gần 1, và các số dương r và δ nào
Vì H là xác định dương nghiêm ngặt ta có với
+ ℜ +
<
+
−
=
δ
h
,
h
r
,
)
( u z
( u z
)
)( ) P tH h
(
0
0
đó
∉ khi z B z r
,
0
( ) v z
+ ℜ +
−
+
max
z
∈ khi z B z r
,
( (
) )
( ( ) u z u z ,
)
)( P tH z
(
)
) δ
0
0
0
( ) u z = (
≤
và hàm
( u z
)
− .
0
) ( v z δ 0
thuộc S . Khi đó ta gặp mâu thuẩn
Định lý 2.6. Bao trên u là nghiệm của bài toán Dirichlet (*) trong miền giả lồi nghiêm
ngặt tùy ý.
39
BΩ = ta xấp xỉ đều f và ϕ lần lượt bởi các hàm trơn
jf
Chứng minh. Trong trường hợp
jϕ . Áp dụng Định lý 2.5 ta được nghiệm
ju của (*) ứng với tập
jf ,
jϕ . Từ nguyên lý so
n
n
→
u→
c dd u
c dd u
và
ju
j
)
(
)
cdd u
fdV=
do Định lý hội tụ. Do đó u là sánh ta có đều trong B và vì thế (
)n
cdd u
fdV=
(xem mệnh đề 2.3). Cố định nghiệm (*). Với Ω tổng quát ta cần chứng minh (
0B ,
0B ⊂ Ω và kí hiệu 1u là nghiệm của bài toán Dirichlet (
)n
u= trên
trong một quả cầu
1u
0B∂
1u trong
0B và bằng u nơi khác trong Ω , thuộc S . Do đó
v u≤ . Khi đó, do nguyên lý so sánh,
u≥ trong
1u
0B , ta kết luận
1u và u bằng nhau trong
0B
cdd u
fdV=
. Khi đó v , bằng
)n
. Điều này chứng tỏ ( trong Ω vì định lý đúng cho bất kỳ quả cầu trong Ω .
2.2. Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge Ampere phức với nghiệm là
hàm đa điều hòa dưới bị chặn.
h :
Trong mục này chúng ta tổng quát hóa Định lý 2.6 bằng cách làm yếu các hạn chế vế phải
)
( + → ∞ , 1
là chấp nhận được nếu nó của phương trình. Ta gọi một hàm liên tục tăng
∞
−
/ n
< ∞
1 xh
dx
( ) x
) 1
(
∫
1
0
a
,b> 1
thỏa
> và 1
x > 0
≤
x
và nếu với ta có
( h ax
)
( ) bh x
x> 0
với
=
=
≤
Ω
A,h
K
F cap K ,
Ta định nghĩa họ các độ đo Borel không âm trong Ω gắn với một hàm chấp nhận được h và một hằng số dương A như sau:
( ) F x
)
)
)
(
(
(
)
{ ( µ µ :
1/ n
Ax ( h x−
)
ψ
, với và tập compact K ⊂ Ω tùy ý}
sao cho
:ψ +
+→
( )x x
=
≥
≤
f
: f
0
,
)
( 1 ∈ Ω L
)
(
( ψ L c 0
) f dV c 0
∫ ψ Ω
Với một hàm tăng ra ∞ khi x → ∞ ta định nghĩa
40
n
c
ϕ
= ∈
∈
∩
=
∂Ω
P
A,h,
u PSH
A,h
, u
trên
(
)
)
(
(
)
) ψ ϕ ,c ; 0
( ψ L c 0
)
( Ω ∩ Ω C
) ( : dd u
và
{
}
n
+
+
t
log
t
t
Đặt
( ) ψ = t
( 1
)
( 1
)
h
( h log
)
(
)
,
ψ hL
A,h
⊂
(
)
(
)
c 0
với h chấp nhận được. Đầu tiên ta chứng minh rằng
. ∞ các nghiệm bài toán Dirichlet
h
f
với A dương. Khi đó, ước lượng tiên nghiệm với chuẩn
(
)A,h
( cψ∈ L
)0
đối với các độ đo thuộc sẽ được chỉ ra, dẫn đến rằng với phương trình
(*) có nghiệm.
n
∈
∂Ω
≤
u PSH
,u
0
1
,
c dd u
Ta bỏ qua chứng minh chi tiết của bổ đề sau. Có thể xem chứng minh trong [KO].
= trên
2α< tùy ý độ
(
)
(
)
( Ω ∩ Ω C
)
∫
<
c exp
sπα− 2
Bổ đề 2.7. Giả sử . Khi đó với
V Ω của tập
(
{ u
} s
(
)
)s
Ω = s :
đo Lebesgue bị chặn trên bởi , trong đó c không
k
≤
+
const.
x
phụ thuộc vào u .
( ) h x
( 1
)
0
c > tùy ý, tồn tại
0A > sao cho
với k < ∞ nào đó Bổ đề 2.8. Với hàm chấp nhận được h tùy ý thỏa mãn
ψ hL
A,h
⊂
và với 0
(
)
(
)
c 0
h
f
.
0A > nào đó,
( cψ∈ L
)0
Chứng minh. Ta sẽ kiểm tra rằng với tùy ý và tập compact chính
− 1
−
1/ n
≤
Ω
Ω
fdV Acap K ,
h cap K ,
quy K ⊂ Ω tùy ý bất đẳng thức sau đúng
(
)
(
)
(
)
∫
)
(
K
(2.6)
n
Đầu tiên, ta nhận xét rằng (2.6) được suy ra từ
) v h v fdV A≤
(
∫
K
, (2.7)
41
−
1/ n
=
Ω
v
cap
K ,
u
v PSH∈
Ω có dạng
(
(
)
)
K
trong đó với Ku là hàm cực trị tương đối của K
n
n
≥
≥
A
) ( v h v fdV
) ( v h v fdV
∫
∫
Ω
K
/ n
− 1
≥
Ω
Ω
h cap K ,
fdV
( − 1 cap K ,
)
(
)
)
(
∫
)
(
K
đối với Ω . Thật vậy, từ (2.7) ta có
n
=
+
=
+
+
r
log
r
r
Điều này chứng tỏ ta có (2.6). Để chứng minh (2.7) ta sử dụng bất đẳng thức Young áp
( 1
)
( ) G r
( 1
)
( 1
)
( h log
)
(
)
( g log
)
)
− 1
≤
+
+
−
f
dt
( ) z
( 1
( ) t
( g log
) ) r dr
( exp g
)
( ( ) g v z
)
1
( ) f x ∫
( ( ) g v z ∫
0
0
≤
+
f
f
( ) z
( ) s e g' s ds
( 1
)
( ( ) z g log
)
( ) v z + ∫
0
( ) v z
+
f
e
và nghịch đảo nó. Khi đó dụng cho
( ) z
(
)
ψ≤ h
( ( ) g v z
)
.
(
) f dV
∫ ψ h Ω
n
( ) v z
≤
+
f
e
dV
( ) v z
( ) z dV c 0
( ( ) g v z
)
( ( ) h v z
)
∫
∫
Ω
Ω
Do tích phân bị chặn bởi 0c , lấy tích phân trên Ω bất đẳng thức ở trên ta được
Việc còn lại là tìm một cận đều (độc lập với v ) của số hạng cuối cùng. Sử dụng Bổ đề 2.7
∞
( ) v z
( ) v z
e
dV
e
dV
( ( ) g v z
)
( ( ) g v z
)
= ∑
∫
∫
=
s
0
Ω
v
s
{ − − < <− 1
} s
∞
∞
n
n
s
( − 1 2
) π
≤
+
+
< −
≤
+
+
s
c
s
+ 1 e
( h s
) 1
(
) 1
( h s
) 1
} s
(
) 1
( { + 1 s e V v
)
∑
∑
=
=
s
0
s
0
∞
+ n k
s
( − 1 2
) π
≤
+
+
≤
< ∞
s
+ 1 e
const.
.
( ) 1
(
) 1
∑
s
= 1
c h
và giả thiết bổ sung trên h
42
∈
∩
∈
v PSH C
u PSH L∞
) ( ∩ Ω và
(
) Ω .
n ,
Bổ đề 2.9. Cho Ω là một miền giả lồi ngặt trong
−
/ n
n
− 1
≤
Ω
Ω
c dd u
h
Giả sử rằng với số dương A nào đó và một hàm chấp nhận được h thỏa mãn bất đẳng thức sau
( Acap K ,
)
( cap K ,
)
(
)
)
(
(
) 1
∫
K
=
− <
,
} v
{ u s
( ) U s :
∈
s
+ S ,S D
với tập compact K tùy ý. Nếu khác rỗng và compact tương đối trong Ω
[
]
+
D
với thì
) ( cap U S D ,
(
( κ≤
) ) Ω ,
(2.8)
∞
−
−
−
1
1
1
/ n
/ n
/ n
/ n
κ
=
+
− 1 y h
s
trong đó
( ) s
( ) 1 c n A
(
) y dy h
(
)
∫
−
1 / n
s
,
( ) c n chỉ phụ thuộc vào n .
và hằng số
n
=
Ω
c dd u
( ) ( ) a s : cap U s ,
( ) , b s
(
)
(
)
= ∫ ( ) U s
Chứng minh. Ta kí hiệu
≤
< < +
t
S D s
+ với 0 t
− .
Khi đó
( ) nt a s
( b s
)
ω = :
u s
t
(2.9)
( ) ⊂ K U s
(
) − − và tập
1 t
=
<
+
V :
u
v
K
, hàm đa điều hòa dưới Thật vậy, xét tập compact chính quy
1 t
ω
, trong đó Ku là kí hiệu các hàm cực trị tương đối của K đối với Ω . Đầu
( ⊂ ⊂ K V U s
) + . t
+
∈ ⊂
− < s
− − ≤ t
s
u
tiên ta kiểm tra kết luận
( ) z K U s
( ) u z
( ) v z
( ) ω = z
( ) u z
( ) z
( ) v z
(
)
K
1 t
1 t
+
≤
− − ≤ t
s
u
. Khi đó và vì thế có Lấy
( ) z
( ) v z
( ) v z
( ) u z
(
)
K
1 t
1 t
1 t
nghĩa là z V∈ . Mặt khác nếu z V∈ thì do đó Ku âm.
Áp dụng nguyên lý so sánh và Định lí 1.7.3 ta có
43
n
n
n
c
c
+
≤
+
≤
dd
u
v
dd
u
v
dd
( cap K ,
) Ω ≤
K
K
(
) c ω
∫
∫
∫
1 t
1 t
K
V
V
n
n
−
−
n
n
≤
≤
=
+
t
dd
c ω u
t
dd
c ω u
t
)
( − n t b s
(
)
)
(
∫
∫
V
)
( + U s t
Điều này suy ra (2.9).
s ,s ,...,s , đặt 0s : S= và
N
1
=
≤
( ) s : sup s : a s
j
+
t
( ) lim da t −→ s 1j
=
2
j
1, 2,..,
N
Tiếp theo ta định nghĩa một dãy tăng 0
d< < . Khi đó dãy này tăng và
≥
)
)
( a s
Với , ở đây d là số cố định sao cho 1
2
j
( da s − j
<
s
. (2.10)
−
s −>
1js − với mọi
1j
j
− 1
j
2
( a s
)
( da s
)
≥
(Nhận xét rằng nếu tùy ý ta có thì do định nghĩa của
( ) a s
js .)
( da s −
)2j
≤ +
S D
. Đặc biệt, điều này đúng cho
≤
( + a S D
)
t
( ) lim da t +→ s N
S D
. Khi đó Số nguyên N được chọn lớn nhất thỏa mãn Ns
+ ≤ +
1Ns
∈
+
t
(Ngược lại ta có ). Từ bất đẳng thức cuối cùng, giả thiết và (2.9) dẫn đến rằng
(
)
s ,S D N
−
1
/ n
n
−
1
+
≤
≤
− S D t
(
)
( ) a t
( + b S D
)
) + Aa S D h
(
( + a S D
)
)
(
−
1
/ n
−
1
≤
( ) Ada t h
( + a S D
)
)
(
với ta có
−
1
/ n
1
/ n
−
1
/ n
−
+
≤
S D s
Ad
h
Do đó
(
)
( + a S D
)
N
)
(
≤
<
< < +
s'
S D
s
S− . Xét hai số S
. (2.11)
( ) a s
( da s'
)
t : s
s'
= − . Khi đó theo giả thiết và (2.9) ta có
sao cho và đặt Bây giờ ta ước lượng Ns
44
−
1
/ n
−
−
n
1
≤
≤
( a s'
)
( ) − n t b s
( ) At a s h
( ) a s
)
(
−
1
/ n
−
−
n
1
≤
) ( Adt a s' h
( ) a s
)
(
.
1
/ n
≤
t
Ad
Do đó
(
)
)
( ( ) h a s 1
− 1
/ n
− 1
/ n
s
s'
,
s→ + ta được
s +→ − và
1j
j
( ) h x : 1
( h x
)
=
1
/ n
−
≤
s
Ad
. Cho trong đó
(
)
= t : s j
j
+ 1
j
j
+ 1
)
( ( h a s 1
)
−
x
− 1
/ n
x / n
=
h
d
.
( )
1
( = h x : h d 2
)
(
)
ta có Sử dụng bất đẳng thức này, (2.10) và tính tăng của hàm
N
N
− 1
− 1
/ n
1
≤
Ad
t
(
)
j
j
+ 1
( h log a s d 2
)
(
)
∑
∑
=
=
j
j
0
0
+
j
2
)
N
− 1
/ n
1
≤
+
Ad
2
)
(
)
(
)
N
( ) h x dx 2
( h log a s d 2
( log a s d ∑ ∫
=
j
0
j
)
( log a s d
+
)
d
/ n
1
≤
+
+
Ad
2
)
(
)
( )
(
)
d
( h x dx h log a S D 2
2
( log a S D ∫
)
( log a S d
x / n
y
d −=
ước lượng như sau
+
+
)
)
d
d
− 1
/ n
−
x / n
=
dx
( ) h x dx 2
( h d
)
( log a S D ∫
( log a S D ∫
)
)
( log a S d
( log a S d
− 1 / n
( a S
− 1
/ n
− 1
=
y
dy
( h y
)
)
(
) ∫
− 1 / n
n ln d
( + a S D
)
Đổi biến suy ra
− / n 1
( a S
− 1
/ n
− 1
1
/ n
− 1
/ n
/ n
+
+
− ≤ S
Ad
s
1 yh
y
dy
2
Cuối cùng ta có
(
)
(
)
)
N
( ( h a S D
)
− / n 1
n 2 ln d
( a S
) ∫ )
.
45
∈
PSH
C
Kết hợp với (2.11) ta có bất đẳng thức cần tìm.
)
(
n . Giả sử
ju
) ( Ω ∩ Ω là dãy
u PSH∈
Ω và với j tùy ý
Định lí 2.10. Cho Ω là một miền giả lồi ngặt trong
(
)
−
lim
u
→∂Ω
z
j
(
)( ) 0 ≥ u z
bị chặn đều hội tụ yếu tới
=
c dd u
j
f dV j
(
)n
ψ
∈
∩
A,h
Giả sử có thêm giả thiết
u→ đều
(
)
( L cψ
jf
)0
ju
( )x x
với , trong đó tăng tới ∞ khi x tiến tới ∞ . Khi đó
=
a
,
trong Ω .
Ω là dung lượng tương đối của tập
( ) δ
(
) δ 2
j
j
( cap E
)
+
≤
δ 2
E
Chứng minh. Kí hiệu
(
(
)2jE δ compact. Ta kí hiệu
j
j
jv là hàm cực trị
) { = δ 2 u
} u
. Theo giả thiết thì tập
(
)2jE δ . Theo Định lí 1.7.3
n
c dd v
j
( ) δ= a j
(
)
E
∫ ( )2j δ
=
≤
+ −
V
tương đối của tập
j
uδ v j
{ u
} δ
E
⊂ ⊂ V
E
) δ
( ) δ
( 2j
j
thì Ta thấy, với
n
n
c
≤
+
≤
a
dd
u
c dd u
Áp dụng nguyên lý so sánh ta được
( ) n δ δ
j
j
j
( δ v
)
)
(
∫
E
V
) δ
∫ ( 2j
f dV j
E
≤ ∫ ( ) δ
j
(2.12)
0M > tùy ý và
(
)0
+ = u : max u,
≤
− u u
Do đó với ta có
( ) n δ δ
j
j
f dV j
)
(
+
∫
Ω
(2.13) a
46
=
+
− u u
− u u
j
f dV j
j
f dV j
(
)
(
)
+
+
∫
∫
> f M j
≤ f M j
{
}
{
}
≤
−
+
−
dV
j
j
( max u u
)
)
(
+
+
∫
∫ f dV M u u j
Ω
Ω
> f M j
{
}
≤
−
−
+
dV
j
f dV M u u j
j
(
)
)
(
( max u u
)
+
∫
Ω
ψ+
M ( M
)
∫ ψ Ω
Ω
ψ
0ε> . Theo Bổ đề
( )x x
0
0
ω∈
Với bất đẳng thức cuối cùng ta sử dụng giả thiết tăng. Cố định
c > sao cho
uω≥ trên
(
)A,h
v = , tồn tại 1
1cω≥ − với mọi
∂Ω . Vì vậy, theo giả thiết
−
j
( max u u
)
(
) f dV j
+
Ω
∫ ψ Ω
trước, áp dụng với và
M ( Mψ
)
M đủ lớn. Ta chọn M để số hạng thứ nhất của (2.13) nhỏ hơn
là bị chặn đều. Sử dụng các giả thiết trên ψ ta có thể làm nhỏ một cách tùy ý khi lấy
u→
ju
ε 2
j
với j tùy ý. Vì
1L Ω số hạng còn lại nhỏ hơn
(
)
j> 0
ε 2
1n
j
trong với . Vì vậy
(
) ja δ εδ− − ≤
j> 0
với .
(
)3jE δ khác rỗng. Sau đó, áp dụng Bổ đề 2.9 ta được
≤
≤
>
, j
(
ja
j 0
(
)1 ) ) δ κ δ κ εδ− − n
(
0
Giả sử phản chứng rằng
= , bất đẳng thức cuối cùng thì gặp mâu thuẩn nếu ta
( ) lim sκ → 0 s
j
Theo giả thiết trên h ta có
(
)3jE δ rỗng với
j> 0
. Điều này cùng với Bổ đề Hartog suy ra sự hội lấy ε đủ nhỏ. Do đó
ju .
P
A,h,
tụ đều của dãy
(
) ,c ;ψ ϕ 0
ε>
∈
∩
A,h
thì liên tục đồng bậc. Định lí 2.11. Với ψ như trong định lí trên, tập
(
)
( L cψ
,u 0 j
)0
z ,ω j j
1
−
−
P
z
jω − <
A,h,
Chứng minh. Bằng phản chứng, giả sử rằng với và hai dãy
> . Do đó
(
) ,c ;ψ ϕ 0
j
j
j
j
( u z j
)
) u ω ε j
(
các điểm trong Ω ta có và bị chặn
47
z ,ω hội tụ về z ∈ Ω và j k
j k
kju hội tụ trong chuẩn
∈
u PSH
C
1L về
Ω ∩ Ω . Theo Định lí 2.10,
(
)
kju hội tụ đều. Do đó, với k đủ lớn ta có các
(
)
đều (theo Bổ đề 2.9), ta có thể lấy các dãy
−
( ) u z
( u z
)
kj
ε < , 4
u
( ) u z
) ( ω − kj
ε < , 4
−
u
z
jk
jk
)
( u z
(
)
j k
ε < , 4
u
jk
( ω− u jk
)
)
( ω j k
ε < . 4
bất đẳng thức sau
−
u
z
< ,
jk
jk
) u ω ε jk
(
(
)
j k
Kết hợp các bất đẳng thức trên lại ta được
h
f
Điều này mâu thuẩn với cách chọn dãy. Ta có điều phải chứng minh.
( cψ∈ L
)0
=
+ . Khi đó, do Bổ đề 2.8, với
0A > ta có
tùy ý, bài toán Dirichlet (*) có nghiệm. Định lí 2.12. Với
( )
( )
(
) 1
h x min h x ,x 1
⊂
ψ hL
ψ h L 1
⊂
Chứng minh. Đặt
(
)
(
)
(
)
c 0
c 0
A,h 1
h
.
1L . Dãy
( cψ∈ L
jf
)0
ju nghiệm của (*) với
jf thay cho f (thu được trong Định lí 2.6) bị chặn đều theo Bổ đề 2.9. Từ định lí trên ta có
tiến đến f trong Lấy một dãy các hàm liên tục
ju hội tụ đều đến hàm đa điều hòa dưới
thể kết luận rằng, sau khi chuyển qua một dãy con,
cdd u
fdV=
liên lục u . Do định lí hội tụ ta có
)n
(
Xét bài toán Dirichlet trong một miền giả lồi ngặt mà ta giải tìm các nghiệm là các hàm đa
điều hòa dưới bị chặn
48
∩
∈
u PSH L∞
(
) Ω
cdd u
dµ=
(
)n
u
z
,
∈ ∂Ω
( ) z
) ( = ζ ϕ
lim → ζ z
(**)
Định lí 2.13. Nếu tồn tại nghiệm dưới của bài toán Dirichlet (**) thì bài toán giải được.
Chứng minh. Đầu tiên ta đưa ra thêm một vài giả thiết mà kết quả của nó không ảnh hưởng
đến tính tổng quát của chứng minh. Ta chỉ cần xét µlà độ đo có giá compact. Khi đó, với
jχµ, trong đó
1
jχ ↑ trên Ω . Do là nghiệm dưới các nghiệm sẽ
jχ là dãy không giảm của các hàm chặt cụt
độ đo có giá không compact µcho trước ta có thể tìm các nghiệm tương ứng
bị chặn dưới (dựa vào nguyên lý so sánh) và chúng giảm về nghiệm µ theo định lí hội tụ.
Tiếp theo, nghiệm dưới v được cho bởi giả thiết có thể thay đổi trở thành hàm được xác
( ζ
) 0 = với z ∈ ∂Ω tùy ý. Hơn nữa, sử dụng phương
lim v → ζ z
υ = d :
c dd v
định trong một lân cận của Ω , và
(
)n
=
c dd v
compact trong Ω . Với v ta có thể xác định dãy chính quy pháp quét ta có giá
j
j
g dV j
vω ↓ trong bao đóng của Ω . Giả sử (
)n
∈
0
PSH
dd
. Theo Định lí 2.6 tồn tại
(
)
v ω− j j
jv
g dV j
jv = trên ∂Ω và sao cho (
)n c ω = j
) ( Ω ∩ Ω , C
v→ đều trên mỗi tập compact mà trên
. Vì đạt giá trị lớn
jω dần đều về 0 trên biên. Suy ra
jv
nhất trên ∂Ω và
d
µ υ= hd ,
h
0
1
≤ ≤ . Áp dụng Định lí 2.12 ta giải được bài
đó hạn chế của v liên tục. Do đó nó hội tụ theo dung lượng.
Theo định lí Radon-Nikodym
PSH C
j
( ∩ Ω
)
n
j
) =
∈ ∂Ω
ϕ
= hg dV j ( ) z , z
∈ u ( c dd u ( ) u z j
=
u
toán Dirichlet sau
u lim sup j
(
)*
1L Ω .
)
ju hội tụ trong (
Khi đó, ta thấy hàm thỏa phương trình (**). Chuyển qua dãy con ta giả sử
49
a > 0
n
=
≥
=
0
c dd u
Bổ đề 2.14. Hàm u được xác định như trên là nghiệm bài toán Dirichlet (**) khi với tùy ý và K ⊂ Ω tùy ý ta có
( ) E a :
j
j
j
{ − u u
} a
(
)
lim →∞ j
∩
∫ ) E a K
(
j
j s sao cho
trong đó . (2.14)
n
<
≥
1
c dd u
/ s,
j
Chứng minh. Thật vậy, nếu (2.14) thỏa thì với s tùy ý ta có thể tìm được ( )
( ) j s
j
(
)
∫
E
( 1
) ∩ / s K
j
c
−
dd
c dd u
,u
/ s
1
.
/ s , do đó bất
) int K \ E
)
s
ρ = s
n ) ρ =
j s
( ) j s
( ) ( 1
( ) j s
(
)n
( : max u
)
c
dd ρ lớn hơn hoặc bằng dµ trên int K . Mặt
s
)
{ đẳng thức trên suy ra mọi điểm tụ của (
Đặt trên ( . Khi đó (
}n uρ → đều trên tập compact E tùy ý sao
sρ và Bổ đề Hartog
s
khác, theo định nghĩa của
sρ hội tụ đến u theo dung lượng. Áp dụng Định lí
|Eu liên tục. Vì vậy theo Định lí 1.5.8
n
c
dd
c dd u
cho
s
n ) ρ →
(
)
cdd u
dµ≥
, và hơn nữa 1.5.6 ta được (
)n
(2.15) (
ju
s
j suρ = ( )
Để có bất đẳng thức ngược lại ta chú ý rằng trên một lân cận của ∂Ω vì tất cả
(và do đó u) bị chặn trên bởi nghiệm của phương trình Monge-Ampère thuần nhất với cùng
n
c
=
dd
c dd u
dữ liệu biên, và nghiệm này liên tục trên bao đóng của Ω . Do đó, theo định lí Stokes ta có
ρ s
)
(
( ) j s
)n
(
∫
∫
∫
Ω
Ω
Ω
. Theo cách xây dựng, tích phân bên phải hội tụ về dµ , vì thế các
độ đo trong (2.15) phải bằng nhau. Như vậy ta chứng minh được bổ đề 2.14.
ju không thỏa mãn giả thiết của Bổ đề 2.14, và vì vậy, sau khi chuyển
Bổ đề 2.15. Giả sử
1L ) ta có
ju hội tụ trong
n
>
>
>
0
c dd u
j
A , A 0
0
00 ,a
(
)
∫ ( E a j
)0
>
>
0
0
0
> sao cho
qua dãy con (mà nó không thay đổi u vì
a m
, A m
,k 1
Khi đó tồn tại
50
− n m
m
∧
>
c dd v
j
> > k
j
c dd v k
A , m
k 1
)
(
)
(
)
∫ ( E a j
m
0m = , (2.16) thì đúng. Ta giả sử (2.16)
(2.16) .
1m + .
Chứng minh. Ta dùng phương pháp quy nạp. Với
0C > sao cho
đúng với m cố định nào đó ( m n< ) và ta chứng minh nó thì đúng cho
Theo bất đẳng thức CLN, tồn tại
≤∫ T C
Ω
c
c
dd u . Thật vậy, ta có thể mở rộng các hàm có
, (2.17)
dd v hoặc j
j
với các dòng T là tích ngoài của
liên quan lên một miền rộng hơn một chút và áp dụng các bất đẳng thức CLN. Ta cũng giả
n m
− − 1
m
=
∧
ε
c dd v
,
0
sử các hàm đó có L∞ chuẩn bị chặn bởi 1.
( T T j,k ,m
)
j
c dd v k
)
(
)
a A m m + C 4 4
∈
. Với cố định, ta chọn Kí hiệu là dòng (
một tập mở U sao cho
( cap U ,
) Ω <
ε + 12n
− <
0
\UΩ . Nhận xét rằng, giả sử 1
< , ta có
,
v ,u j
j
n
n
+
≤
2
và cả u và v liên tục trên
( cap U ,
) Ω <
j
v k
( c dd v
)
(
)
∫
ε 2
U
k
k>
. (2.18)
0
jv bằng
ju trong bất đẳng thức trên. Khi đó với
Hơn nữa ta có thể thay ta có
v ε≤ + ,
kv
u ε≤ + ,
ku
(2.19)
\UΩ . Thật vậy, các bất đẳng thức đúng trong một lân cận của ∂Ω vì tất cả
ju (tương
trên
jv ) bị chặn trên bởi hàm cực đại trong Ω với biên ϕ (tương ứng 0). Trên phần còn lại
ứng
\UΩ ta có (2.19) bởi Bổ đề Hartogs. Đặt
=
−
∧
J '
T
của
(
) j,k :
j
(
) c u u dd v j
∫
Ω
,
51
=
−
∧
T ,
j
> > k
k
) ( J j,k :
0
(
) c u u dd v j k
∫
Ω
−
=
−
−
∧
J '
j,k
v
T
)
(
)
( J j,k
j
j
)
( c v dd u u k
(
)
∫
Ω
=
−
−
−
−
∧
v
∧ + T
v
T
j
j
j
j
( c v dd u u k
)
)
)
(
( c v dd u u k
)
(
∫
∫
Ω
U
\U
−
<
k>
v
Lấy tích phân từng phần ta được
\UΩ với
v→ đều ngoài U nên ta có thể tìm được 1 k
0
jv
j
v k
ε 2 C
j
k
> > . Khi đó, sử dụng (2.17) và (2.18), ta kết luận rằng mỗi tích phân của vế phải
k 1
Do sao cho trên
,j k như thế. Vì thế,
ε 2
−
≤ ≤ ε
J '
j,k
, j
k
không vượt quá với
(
)
( J j,k
)
> > k 1
a A m m 4
(2.20)
≥
∧
J '
j,k
c dd v
∧ − T
c dd v
∧ − T
c dd v
T
(
)
a m
j
j
j
∫
∫
ε Ω
\U
U
)
∫ ( E a j
m
≥
−
c dd v
∧ − T
C
C
( ε
) + ≥ 1
( ε
) + ≥ 1
a m
j
a A m m
a A 3 m m 4
)
∫ ( E a j
m
j
> > k
k
> . Kết hợp với (2.20) ta được
Sử dụng giả thiết quy nạp, (2.17), (2.18), và (2.19) ta có
2
k 1
≥
, j
> > k
k
với
( J j,k
)
2
a A m m 2
0
d > ta có thể ước lượng
J j,k như sau
(2.21)
(
)
≤
∧ +
∧
∧ − T
c dd v
T
( J j,k
)
c dd v k
j
∫
∫
c ∫ T d dd v k Ω
U
< −
u d
j
{ u
}
≤
∧ +
Cố định
T dC
c dd v k
∫
< −
u d
j
{ u
}
.
+ = = : d
a m
1
a A m m C 4
Đặt trong công thức cuối cùng và kết hợp nó với (2.21) ta được
52
∧ ≥ T
j
> > k
k
2
c dd v k
= : A , + 1 m
∫
a A m m 4
( E a j
m
)1 +
1m + . Bổ đề 2.15 được chứng minh.
,
Vậy (2.16) đúng với
k
Bây giờ, ta chứng minh Định lí 2.13 bằng phản chứng. Giả sử ta có giả thiết của Bổ đề
k> sao cho
1
n
2.15. Sau đó sử dụng khẳng định của nó với m n= , ta có thể cố định
k> .
c dd v k
A> n
(
)
)
∫ ( E a n j
≤
0
nếu j
kM > nào đó, từ bất đẳng thức cuối cùng ta
c dd v k
M dV k
)n
với Vì theo cách xây dựng (
n
≥
>
>
M
,
j
k
có
)
− 1 k
c dd v k
( ( V E a j n
)
(
)
A n M
k
)
∫ ( E a n j
1
u→ trong
,
ju
locL .
Điều này mâu thuẩn với
53
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE CHO HÀM
KHÔNG BỊ CHẶN
(Nội dung chương này được trích từ [KO])
∧
c dd u
∧ ∧ ...
c dd u
Với các hàm đa điều hòa dưới bị chặn từ mệnh đề 1.3.1 ta đa có định nghĩa của
c dd u 1
2
k
.
2
− 1
n
1 2
=
(
u z ( )
log
')
z
Đối với các hàm đa điều hòa dưới không bị chặn, định nghĩa trở nên phức tạp hơn.
z − với ' 1)
( = −
)
∈ × là hàm đa điều hòa dưới
z 1
1( , z z
c
=
=
L
Ví dụ hàm (
r > . 0
{
} 0
z z 1:
(
n ) dd u = ∞
∫
B
(0, )\
r L
với và trong lân cận điểm gốc nhưng
cdd u hữu hạn địa phương và là hàm liên tục đối với các dãy các
)n
Tuy nhiên, toán tử Monge-Ampère có thể được định nghĩa trên các lớp hàm đa điều hòa
dưới nào đó theo cách là (
< ∞
∈
cdd u
0
u PSH
(
C
)
u = trên ∂Ω và
hàm đa điều hòa dưới đơn điệu. Trong suốt chương này ta ký hiệu Ω là miền siêu lồi. Tập
)n
(
) Ω ∩ Ω sao cho
(
∫
Ω
được ký hiệu là . hợp các hàm
p
ju ∈
n
n
p
< ∞
↓
< ∞
c dd u
u
u
− u
c dd u
ℰ với nếu tồn tại Định nghĩa 3.1. Ta nói một hàm đa điều hòa dưới u thuộc vào
j
j
j
j
ju điều kiện như trên ngoại trừ
(
(
)
) (
)
∫
∫
sup j
, sup j
Ω
Ω
p .
và . Dãy
⊂
⊂
điều kiện cuối cùng thì u thuộc vào
với q
p> .
⊂ p
, p q
p
1p ≥
Ta có
,u v ∈ và
+ p j
+ n p
− n j
+ n p
(
) ( /
)
(
) ( /
)
j
− n j
n
n
p
p
p
∧
≤
−
−
− u
c dd u
c dd v
u
c dd u
v
c dd v
)
(
(
(
( C j p ,
) (
)
(
)
) (
)
) (
)
∫
∫
∫
Ω
Ω
Ω
=
+
−
−
C j p = ,
1
j
p
Định lý 3.2. Với
(
)
( C j p ,
)
( p p
)( j n
) ( /
) 1
1p = và
với nếu nơi khác.
Chứng minh. Giả sử
54
j
− n j
∧
< ∞
c dd u
c dd v
)
(
)
(
∫
Ω
j
− n j
p
=
−
∧
x
log
u
c dd u
c dd v
,
(
j
) (
)
(
)
∫
Ω
− n j
j
p
=
−
∧
y
log
v
c dd u
c dd v
(
j
) (
)
(
)
∫
Ω
và kí hiệu
j
n j
j
n j
− − 1
− − 1
p
p
x
c
c
j
= −
∧
∧
∧
=
e
∧ dv d
− u
c dd u
c dd v
vdd
− u
c dd u
c dd v
)
(
(
)
)
(
(
)
(
)
) (
∫
∫
j
n j
j
n j
− − 1
+ 1
− − 1
−
p
p
2
− 1
c
=
−
∧
∧
−
∧
+
v
− u
∧ du d u
c dd u
c dd v
v
− u
c dd u
c dd v
p
)
(
)(
( p p
) 1
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
∫
∫
j
n j
+ 1
− − 1
p
− 1
Áp dụng công thức tích phân từng phần và bất đẳng thức Holder ta có
−
∧
≤
v
− u
c dd u
c dd v
p
)
(
)(
)
)
(
(
∫
p
p
p
(
)1 / −
− 1
j
n j
j
− n j
+ 1
− − 1
+ 1
p
p
p
− 1
−
∧
∧
×
≤
v
− u
c dd u
c dd v
− u
c dd u
c dd v
p
p
(
)
) (
(
)
(
)
) (
(
)
)
(
∫
∫
1/
Lấy
1
p
≤
+
+
log
x
x
y
p
j
j
+ 1
n j
− − 1
p
1
≤
+
+
y
y
p
log
j
j
+ 1
x n j
− − 1
− p − p
1 p 1 p
logarit hai vế ta được hệ bất đẳng thức
T
T
≤
,
,...,
log
p
Kí hiệu ma trận của hệ bởi
)
( 1,1,...,1 ,
)
( A x y 0 0
x y , n
n
=
= −
=
=
=
a
1,
a
p
/
p a ,
1/
p
A
a
j
1,..., 2 ;
n k
1,..., 2
n
2
(3.1)
+ có hệ số
( = − 1
)
+
jj
j
,
j
2
j n j ,2
− + 1
jk
(
),
=
j
1,..., 2
n
n× 2n
trong đó
1C − rút gọn nó về
với . Bỏ trong A hai cột cuối cùng ta được ma trận cấp 2 kí hiệu bởi C. Sau
khi chỉ ra rằng C có nghịch đảo với hệ số không âm ta sẽ nhân hệ với
T
T
=
,
,...,
,
y
,...,
,
)
(
)
( C x y 0 0
x n
− 1
n
− 1
b c , 0 0
b n
− 1
c n
− 1
dạng hình thang dòng. Để nghịch đảo C xét hệ phương trình
x y như là tổ hợp tuyến tính theo
,j
j
jb và
jc với hệ số không âm. Tính tương tự
n× 2n
1C A−
và tính toán
thấy rằng bằng với ma trận phức đơn vị cấp 2 bổ sung với hai cột cuối cùng cho
55
T
=
,...,
A
a
= + p
j
)
A − n 1
j
j a 11
j 22
( 1 p n A + 0
( a= kl
)j
=
a
n
j
= − . Nhân (3.1) với
1C − ta được
j a 12
j 21
+
−
p
j
)
(
−
+
≤
x
y
p
log
j
x n
n
+ j p + p n
− j n + p n
+
−
p
j
)
(
−
+
≤
y
p
y
log
j
x n
n
− j n + p n
)( j n − p 1 )( j n − p 1
trong đó là ma trận cấp 2 2× và bởi với
+ j p + p n 1p > và chuyển qua giới hạn đối với
1p = .
Điều này cho khẳng định với
Để thoát khỏi giả thiết bổ sung từ đầu của chứng minh ta áp dụng lập luận trên cho các
j
jΩ . Như vậy các tích phân
u v của u và v trên miền nhỏ hơn một chút ,j
,
chính quy hóa
u v , j
j
jΩ .
trong khẳng định là giới hạn của các tích phân tương ứng với
p và
p là nón lồi.
p và
p là đóng đối với phép lấy maximum của một số hữu hạn các hàm.
u PSH∈
Hai kết quả sau có được từ Định lý 3.2
Ω là giới hạn của một dãy giảm
(
)
ju ∈
n
p
=
< ∞
a
− u
c dd u
sup
c dd u
j
j
j
j
(
)
) (
Định lý 3.3. Giả sử sao cho
)n
∫
Ω
. Khi đó ( hội tụ yếu đến một độ đo dµ mà nó không
ju thỏa mãn điều kiện ở trên. Do đó ta có thể xác định
cdd u
dµ= .
(
)n
1χ = . Ta sử dụng kí hiệu
phụ thuộc vào cách chọn
−
= : max , v
k
Chứng minh. Lấy một hàm thử không âm χ với
)
(
kv [
u
u=
.
j
} k> − ta có
[ j k
Vì trên { ju
56
n
n
n
n
−
≤
+
c dd u
c dd u
c dd u
c dd u
j
j
(
)
(
)
[ j k
[ j k
(
)
(
)
∫
∫
χ
χ
≤−
k
j
{ u
n
n
−
p
p
≤
+
k
k
c dd u
c dd u
j
(
)
[ j k
(
} )
∫
≤−
k
j
{ u
}
p
n
n
p
−
−
p
p
≤
≤
k
− u
c dd u
c dd u
ak
2
j
j
(
) (
)
[ j k
[ j k
( + − u
)
(
)
∫
c dd u
j
)n
n
−
p
−
≤
2
ak
thì Do đó, theo Định lý hội tụ, nếu dµlà giới hạn yếu của một dãy (
k
c dd u [
(
)
∫
χ µ d
,
∈
↑
u
,
u
u
Điều này cho ta khẳng định của định lý.
j
p
j
u ∈ và p
n
n
=
c dd u
c dd u
j
(
)
(
)
lim →∞ j
Định lý 3.4. Với ta có
1p ≥ và
u v ∈ thì ,
Chứng minh. Sử dụng ước lượng từ chứng minh trên và Định lý 1.5.10.
p
n
n
≤
c dd v
c dd u
Định lý 3.5. (Nguyên lý so sánh). Nếu
(
)
(
)
∫
∫
{ } < u v
{ } < u v
,
u v ∈ ta có thể tìm được
εΩ < và
.
( cap U
)
0,
0U với
p
n
n
+
<
ε
c dd u
c dd v
j
j
)
(
)
(
∫
U
0
↓
u
u v ,
v
Chứng minh. Sử dụng tính chất
u v liên tục và
↓ . Sau đó xem
j
j
0U như U ta có thể lặp lại
,j
j
với bất kỳ j , trong đó
n
n
≤
c dd u
c dd v
chứng minh ở Định lý 1.6.1.
1p ≥ ,
p
)
(
)
u v ∈ và ( ,
Hệ quả 3.6. Nếu thì v u≤ trên Ω .
Định lý 3.7. Cho µ là độ đo dương với khối lượng tổng hữu hạn trong Ω . Khi đó tồn tại
u ∈ thỏa p
duy nhất
57
cdd u
dµ=
)n
(
p
p n n p +
−
µ
≤
A
− u
c dd u
nếu và chỉ nếu với số dương A nào đó bất đẳng thức sau đúng
p ) u d
(
(
) (
)
∫
∫
, (3.2)
)
(
với bất kì u ∈ .
u PSH∈
Chứng minh. Trước hết ta cần chứng minh một số bổ đề sau
(
) Ω với
ju ∈
n
p
−
< ∞
u
c dd u
j
j
(
) (
)
∫
sup j
Ω
Bổ đề 3.8. Nếu là dãy hội tụ hầu khắp nơi đến
n
=
− u u
c dd u
0
và
j
j
(
)
∫
lim →∞ j
,
n
n
=
c dd u
c dd u
thì
j
)
(
)
(
∫
lim →∞ j
.
uρ → theo dung lượng ta cần sử dụng
Chứng minh. Chứng minh của Bổ đề 2.14 có thể được áp dụng nếu ta kiểm tra được tính
sρ là bị chặn đều. Vì thế, để bảo đảm rằng rằng
s
chất
n
p
−
< ∞
u
c dd u
j
j
(
) (
)
∫
sup j
Ω
giả thiết
n
c
=
dd
0
ρ s
(
)
∫
lim sup →∞ k
s
<−
k
}
{ ρ s
để kết luận rằng
,u v ∈ và v u≤ thì
Để có điều này ta cần mệnh đề sau.
1
Mệnh đề 3.9. Nếu
58
n
n
c
c
−
≤
−
(
(
)( v dd v
)
)
)( u dd u
∫
∫
.
Chứng minh. Sử dụng lặp lại bất đẳng thức được suy ra từ công thức tích phân từng phần ta
− n k
k
− n k
k
c
c
−
∧
≤
−
∧
c dd v
(
(
)
)
(
)
(
)( u dd u
)
∫
n k
k
− − 1
+ 1
c
−
∧
c dd v
(
)
c dd v (
)( v dd u )( u dd u
)
∫ ∫ =
v u=
có
u ρ= s
( ) j s
n
n
n
c
c
≤
−
≤
dd
dd
− u
c dd u
k
(
ρ s
ρ s
ρ s
(
)
)(
)
( ) j s
( ) j s
(
)
(
) .
∫
∫
∫
<−
k
}
{ ρ s
>
p
n
/
n
Áp dụng bất đẳng thức này cho và ta được ước lượng mong muốn
− và giả sử
(
) 1
n
= < ∞ a
c dd u
u PSH∈
Bổ đề 3.10. Cho µ là độ đo không âm với giá compact thỏa (3.2) với
Ω . Khi đó
(
)
j
(
)
∫
ju ∈
sup j
Ω
µ
=
u d
ud
µ .
∫ lim j
∫
j
µ
µ
≤
ud
hội tụ hầu khắp nơi đến là dãy với
∫
∫
j
µ
=
µ
µ
≥
µ
u d
ud
, nên ta chỉ còn phải chứng minh Chứng minh. Từ lập luận về độ đo ta có lim j u d
u d j
u d j
∫
∫
∫ lim j
∫
j
lim j
lim j
µ
,
supp
. Chuyển qua dãy con ta giả sử . Đặt
( E j k
j
jku là hàm cực trị tương đối của tập hơp này. Do giả
) { = u
} < − ∩ k
và kí hiệu
p + n p
n
µ
≤
d
A
c dd u
.
jk
(
)
∫
∫
( E j k ,
)
( E j k ,
)
thiết
n
n
n
n
n
≤
≤
k
c dd u
2
c dd u
2
a
jk
j
(
)
(
)
∫
∫
<
( , E j k
)
u
ku
j
jk
{ 2
}
Theo Nguyên lý so sánh (Định lý 3.5)
n
− np + n p
p + n p
µ
≤
d
A
2
a
k
(
)
∫
( , E j k
)
Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được
59
>
>
q
= :
1
p
n
/
n
− ta có
(
) 1
np +
p
n
s
+ 1
∞
∞
n
p + n p
−
=
−
≤
µ
µ
A
2
a
= :
c k
(
) u d j
(
) u d j
(
)
qs
∑
∑
∫
∫
k
s
+ 1
s
2 2
= s k
= s k
,2
u
< ≤− 2 j
( E j
)
{ − 2
}
−
=
0
. Do đó áp dụng ước lượng ở trên ta có Vì
j
) u dµ
(
∫
lim sup →∞ k
j
k
,2
( E j
)
−
≤
+
µ
µ
d
2k
Dẫn đến
c k
) u d j
(
∫
∫
Ω
Ω
< ∞
và .
sup j
(
) − ju dµ
∫
µ
=
µ
u d [ k
∫ lim j k u d [
∫
→∞
j
. Có những đánh giá đó ta chỉ cần phải chứng tỏ rằng Do đó
2L dµ , vì vậy ,
(
)
ju bị chặn đều. Khi đó dãy cũng bị chặn trong
k
∈
v
−= 1 k :
hoặc chỉ là giả sử rằng
( ) 2 v L dµ
) 2L dµ . Lấy
(
v k
j
→∑ u
1
v→
dµ- hầu khắp nơi. Từ sự hội tụ hầu khắp nơi của
chuyển qua dãy con ta có thể tìm được với trong
kv ta cũng có
skv
sup
u→
↓ khi u
> s t
kv
ra một dãy con của
)*
skv
s
ju đến u ta được
t → ∞ . Khi đó
=
=
=
=
=
µ
µ
µ
µ
µ
µ
vd
d
ud
lim
.
j
u d j
u d j
v d k
v k
s
s
∫
∫
∫
∫
∫
lim j
lim →∞ s
∫ lim sup →∞ t > s t
*
>
p
hầu khắp nơi đối với độ đo Lebesgue. Vì vậy (
n −
n
1
Chứng minh Định lý 3.7. Trường hợp . Như trong phần chứng minh Định lý 2.13
ta chỉ cần chứng minh với µ có giá compact. Với µ như thế ta xác định một dãy chính quy
jΒ có được
jµ . Giả sử 0I kí hiệu một hình lập phương đơn vị chứa Ω và xét dãy
hóa con
0I vào thành
I
khi chia
0I . Không có gì hạn chế khi giả sử rằng với mỗi j ta có
I B
j
23 sn các hình lập phương mở bằng nhau, rời nhau từng đôi ,nhưng bao ) 0 ( µ ∈∪ ∂ =
đóng của chúng phủ
= :
= :
z
. Đặt
∈ ∈ , I B
( ) z
µ j
f dV f , j
j
j
∩ Ω ∩ Ω
( µ I ( V I
) )
nếu
60
I∈ ∂ ta đặt
( ) 0 z = ).
jf
( với z
Ω ∩ Ω C
)
(
)
(
n
j
f dV j
∈ ∂Ω
z
PSH ) c = dd u ( ) 0 , =
∈ u j ( u z j
−
1
1
=
=
n − 3 j
0,
c
r
Do Định lý 2.12 ta có thể giải bài toán Dirichlet sau
jr
ju bị chặn trên
locL . Đặt
j
j
(
)
)
( V B
⊂
I
,
z
I B
Đầu tiên ta chứng minh rằng và . Khi đó
j
∈ ∈ ta có j
( B z r
)
≤
≤
. Do tính điều hòa dưới với
c
( ) u z j
j
u dV c u dV j
j
j
∫
∫
I
( B z r , j
)
.
≤
≤
≤
µ
u
( ) c V I
u d j
j
f dV c j
j
u dV j
f dV j
j
u d j
µ j
∫
∫
∫
∫
∫
sup I
I
I
I
I
I
−
≤
−
µ
const
Do đó, theo định lý Fubini
µ j
(
) u d j
(
) u d j
∫
∫ .
u
u=
và tích phân cuối cùng bị chặn đều theo chứng minh Như vậy
j
u
trên. Áp dụng ước lượng này và Định lý 3.2 với và một hàm đa điều hòa dưới ngặt v
j L 1
cố định nào đó ta kết luận rằng là bị chặn trên mọi tập con compact của Ω . Vì vậy,
ju
n
n
→
c dd u
c dd u
bằng cách chuyển qua dãy con, ta có thể xét hội tụ đến u hầu khắp nơi theo dV .
j
)
(
)
. Để có điều này ta sẽ định nghĩa “số hạng Tiếp theo ta chứng minh rằng (
=
+
−
+
lỗi” như sau
v
c
dV
( ) z
( u z
) ω
) ω
j
j
( u z j
∫
B
r 0, j
(
)
sup
,
r c được giới thiệu ở trên. Đặt ,j
j
= u : j
u≤ j k
k
)*
(
ta ước lượng số hạng này như sau: với
61
≤
+
−
+
+
+
−
+
v
c
) ω
)
( ) z
( u z
) ω
) ω
) ω ω dV
(
j
j
( u z j
( u z j
( u z j
∫
B
r
0,
j
(
)
≤
+
−
+
+
+
−
+
c
c
c
dV ]
) ω ω dV
)
(
) ω ω dV
(
)
) ω
( u z
) ω
( ) ω
j
( u z [ j
j
( u z j
j
( u z j
∫
∫
∫
B
r
B
r
B
r
0,
0,
0,
j
j
j
(
)
(
)
)
≤
+
−
+
+
+
−
c
z
dV ]
.
u
) ω
( u z
) ω
)
( (
j
( u z [ j
( ) u z j
j
∫
j
sup ( 0, r B
)
0,
B
r
j
(
)
0
( ) z →
jv
0
hầu khắp nơi theo dV . Do Từ định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue ta kết luận rằng
v dµ= j
∫
. đó, do Bổ đề 3.10 ta có lim j
n
=
−
− u u
c dd u
j
j
u u f dV j
j
(
)
∑
∫
∫
∈ I B I j
µ
µ
≤
−
≤
=
→
0
d
u u dV j
v d j
j
∑
∑
∫
∫
∫ . const v d
∈ I B
∈ I B
1 ( ) V I
1 ( ) c V I
j
j
j
I
∫ µ I
I
Bây giờ, do Định lý Fubini ta có
n
n
=
=
c dd u
c dd u
dµ .
j
(
)
(
)
lim →∞ j
k≥
Ta vừa kiểm tra rằng giả thiết của Bổ đề 3.8 thỏa mãn và do đó
u ∈ . Nếu ta kí hiệu
}
kχ là hàm đặc trưng của tập { u
p
Cuối cùng ta cần chứng minh thì
dχ µ≥ k
k
c dd u [
(
)n
=
∈ ∂Ω
0,
z
. Áp dụng Định lý 2.13 ta có một hàm đa điều hòa dưới bị do Định lý 1.6.3
( ) ω
v k
kv với
c dd v k
dχ µ= k
)n
lim → ω z
n
n
n
p
p
p
p + n p
−
≤
−
≤
−
c dd u
A
chặn . Theo giả thiết và (
(
(
(
v k
c dd v k
v k
v k
c dd v k
) (
)
)
) (
)
) (
∫
∫
∫
)
(
, (3.3)
n
p
+ n p n
−
≤
A
Vì thế
(
v k
c dd v k
) (
)
∫
=
u
(3.4)
v lim k
∈ . p
1p ≥ .
Do đó
>
q
n
/
n
− , một tập compact chứa suppμ và một hằng số C thỏa mãn
Trường hợp
(
) 1
Cố định
62
n n p
> C C
0,
,
( K+
) Ω ,
) q cap
(
)0,C ( q
q + n q
n
q
ν
=
≥
⊂
−
≤
−
∈
M
0, suppν
K
,
C
u
c dd u
,
u
(
q ) u d
(
) (
)
∫
∫
)
(
ν
có từ Định lý 3.2. Xét tập hợp các độ đo trong đó
0 Mν ∈ nào đó
n
q
q + n q
ν
ν
=
≥
⊂
=
−
≤
+
∈
N
0, suppν
1,
C
1/
− u
c dd u
,
u
(
q ) u d
( 1/
)
(
D 1
D 2
) (
)
∫ K d ,
∫
∫
và tập N liên kết với
)
(
ν
=
∈
sup
νν , d
M
D 2
0
D 1
{
}
∫
dν= ∫
−
+
∈
N
trong đó và . Khi đó với Mν∈
( 1/ D D 1 2
D 1
) ν ν d 0
∫
) (
ν D 2
.
= − ν µ ν
∈
fd
f
Nν∈ và
Có thể kiểm tra rằng N là tập compact yếu* và lồi của các độ đo xác suất. Do một kiểu của
( ) 1 L dν
s
cap E Ω > ,
0
sao cho là không âm và Định lý Radon-Nikodym tồn tại
(
)
n
c dd u
M∈ . Do đó tồn tại một độ đo trong N mà nó không triệt tiêu trên E . Vì
sν trực
E
)*
(
trực giao với N . Nếu E K⊂ và thì theo Định lý 3.2 và (3.4) ta có
sν = và 0
fdµ ν=
c dd u
giao với N và do (3.2) nên µ có khối lượng 0 trên các tập đa cực và ta kết luận
q
k
k
f dν= k
u ∈ với (
)n
=
min
f k ,
. Do phần đầu tiên của chứng minh ta có thể tìm được ,
(
)
kf
ku giảm và lý luận giống như lý luận dẫn đến (3.3) ta chỉ ra
=
u
trong đó . Dãy
u lim k
p .
thuộc rằng
p n Acap K
,
( µ ≤ K
)
(
) Ω ,
p
A> 1,
0
> nào đó và với bất kì tập compact chính quy K ⊂ Ω thì tồn tại
u ∈ sao cho
Hệ quả 3.11. Nếu µ là độ đo không âm có giá compact trong Ω thỏa mãn
1
cdd u
dµ= .
(
)n
với
Chứng minh. Như trong chứng minh Bổ đề 3.10 đầu tiên ta chứng minh
63
− np + n p
µ
≤
d
const k .
∫ ), ( E j k
µ
,
supp
,
( E j k
ju là dãy được xây dựng như trong chứng minh trên)
j
) { = u
} < − ∩ k
và (trong đó
−
< ∞
và khi đó
j
(
) u dµ
∫
sup j
.
n
n
=
→
u
c dd u
c dd u
Có được điều này ta có thể tiếp tục như trong chứng minh Định lý 3.7 để chứng minh rằng
u lim sup j
j
∈ . 1
)*
(
(
)
(
)
d
A h ,
µ∈
và
(
)
với h chấp Định lý 3.12. Bài toán Dirichlet (*) có nghiệm liên tục với bất kì
Ω = ∪ . Kí hiệu
nhận được.
jK
jχ là hàm
jK của tập copmpact trong
Chứng minh. Cố định dãy vét cạn
jK . Ta có thể kiểm tra
jdχ µthỏa mãn giả thiết của Hệ quả 3.11 (chẳng hạn)
c dd u
n= . Do đó ta có
đặc trưng của
jkχ là hàm đặc
1
j
dχ µ= j
)n
∩
≥ −
K
k
. Tương tự, kí hiệu với p thỏa mãn (
jku ∈ thỏa
1
j
j
{ u
ju ∈ }
=
c dd u
jk
dχ µ . jk
(
)n
ta có thể tìm được trưng của
jku bị chặn bởi lập luận trong chứng minh Định lý 3.7. Vì họ các độ đo jk dχ µ
Bây giờ, hàm
B< ,
jku
=
=
u
u
u
thỏa giả thiết Bổ đề 2.9 với cùng hàm h và cùng hệ số A , theo Bổ đề 2.9 ta có một cận đều
j
jk
lim k
lim j u j
đối với tất cả các nghiệm này. Đặc biệt bị chặn và vì thế cũng bị chặn
cdd u
dµ= .
(
)n
(giới hạn tồn tại vì dãy là đơn điệu theo nguyên lý so sánh). Từ Định lý hội tụ ta suy ra
1 . Trong trường hợp tổng quát, xem
n
0
= + v u uφ
)
Các giá trị biên của u là 0 (xem định nghĩa của
cdd uφ = với dữ liệu biên φcho trước. Hàm v là
, trong đó uφ là hàm thỏa mãn(
64
nghiệm dưới của bài toán Dirichlet trong khẳng định của Định lý 2.13. Áp dụng Định lý
2.13 ta có nghiệm mong muốn.
Cuối cùng ta cần chứng minh u là liên tục. Để làm điều này ta sẽ áp dụng Bổ đề 2.9 một lần
0δ > ta có thể tìm được một tập compact K ⊂ Ω sao
nữa. Vì ϕ là liên tục nên với bất kì
u δ< + trên K∂
ju
ju là chính quy hóa với u . Khi đó dung lượng của tập
> +
{ ju
}2 u δ
cho , trong đó
v u=
tiến tới 0 khi j tiến tới vô hạn (xem mệnh đề 1.5.6) . Do đó với j đủ lớn vế
j
> +
dẫn đến một mâu thuẩn trừ khi tập phải trong (2.8) nhỏ hơn δ khi áp dụng với
{ ju
}2 u δ
là rỗng.
65
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Quá trình nghiên cứu đề tài giúp tôi tìm hiểu bước đầu về lý thuyết đa thế vị phức,
đặc biệt một số phương pháp của lý thuyết thế vị phức chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương
trình Monge Ampère phức.
Đề tài có thể được tiếp tục nghiên cứu theo các hướng sau
+ Mối liên hệ giữa hàm cực trị Siciak và dung lượng tương ứng. Nó đóng vai trò
quan trọng trong nghiên cứu phương trình Monge-Ampère phức.
+ Phương trình Monge Ampere phức trên một đa tạp compact Kahler.
+ Một số áp dụng của toán tử Monge-Ampère vào bài toán liên quan đến các hàm đa
điều hòa dưới.
66
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[Blo] Blocki Z. (1998), The complex Monge-Ampère operator in pluripotential theory,
Jagiellonian University, Poland.
[BT1] Bedford E., Taylor B. A. (1976), The Dirichlet problem for a complex Monge-
Ampère equation, Invent Math37, pp 1-44.
[BT2] Bedford E., Taylor B. A. (1982), A new capacity for plurisubharmonic functions,
Acta Math 149, pp 1-41.
[De] Demailly J. P. (2007), Complex analytic and differential geometry, Université de
Grenoble I Institut Fourier, France.
[D-H] N.Q.Diệu và L.Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa thế vị, Nxb Đại học Sư phạm Hà
nội.
[Ho] Hormander L. (1990), An introduction to complex analysis in several variables,
North-Holland Math. Lib, Holland.
[Kli] Klimek M. (1991), Pluripotential theory, Clarendon Press, Oxford.
[KO] Kolodziej (2005), “The complex Monge – Ampère Equation and Pluripotential
Theory”, Memoirs of Amer.Math.Soc., (840).
[LG] Lelong P., Gruman L. (1986), Entire functions of several complex variables,
Springer-Verlag, Berlin.
[X] Y.Xing, Continuity of the complex Monge Ampere operator, Proc of Amer. Math.
124 (1996), 457-467.
67
