Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sóng phi tuyến tính chứa số hạng nhớt phi tuyến

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:65

Thêm vào BST

Báo xấu

66
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sóng phi tuyến tính chứa số hạng nhớt phi tuyến gồm có 6 chương tìm hiểu về tồn tại và duy nhất nghiệm yếu toàn cục, tính ổn định của nghiệm yếu phụ thuộc vào dữ kiện đầu vào của bài toán, dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu và một số nội dung khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sóng phi tuyến tính chứa số hạng nhớt phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH PHẠM THANH SƠN PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN TÍNH CHỨA SỐ HẠNG NHỚT PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60. 46. 01 Thành phố Hồ Chí Minh – 2010
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi trân trọng kính gửi đến Thầy TS. Trần Minh Thuyết lời cảm ơn sâu sắc nhất về sự tận tình hướng dẫn, chỉ bảo của thầy đối với tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Qua luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy TS. Nguyễn Thành Long và Cô TS. Lê Thị Phương Ngọc đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tôi. Lòng say mê nghiên cứu khoa học và sự tận tâm của các Thầy và Cô đối với học trò là tâm gương sáng để thế hệ chúng tôi noi theo. Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc Phòng Khoa học Công nghệ ‐Sau đại học, Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn tất chương trình học và hoàn thành luận văn. Qua đây tôi cũng tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các tác giả của các bài báo mà tôi đã tham khảo trong quá trình viết luận văn này. Xin cảm ơn các bạn lớp Cao học Toán Giải Tích khóa 18 và em Ngô Vũ Hoàng Thanh, nhân viên TTBDVH THÀNH TRÍ đã nhiệt tình động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Cuối cùng, lời thân thương nhất tôi muốn giử tới mọi người trong gia đình tôi, những người đã hết lòng lo lắng cho tôi và luôn ở bên tôi trong những lúc tôi gặp khó khăn. Vì kiến thức của bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của bạn bè, đồng nghiệp. PhạmThanh Sơn
DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂM Tập các số tự nhiên Tập các số nguyên Tập các số thực + Tập các số nguyên không âm + Tập các số thực không âm Ω Khoảng (0,1) QT Tích Descartes Ω× (0,T ), ∀T > 0 |γ| = γ1 + γ2 + γ 3 + γ 4 Modun của đa chỉ số γ = (γ1, γ2 , γ 3 , γ 4 ) ∈ 4 + γ ! = γ1 ! γ 2 ! γ 3 ! γ 4 ! Gia thừa của đa chỉ số γ = (γ1, γ2 , γ 3, γ 4 ) ∈ 4 + γ1 γ2 γ3 γ4 ε γ = K K 1 λ λ1 Đơn thức bậc |γ| theo 4 biến ε = (K , K 1, λ, λ1 ) ∈ 2 × 2 + , u(t ) = u(x , t ) Hàm hai biến (x , t ) ut (t ) = u ′(t ) = ∂u ∂t (x , t ) Đạo hàm riêng cấp 1 theo biến t utt (t ) = u ′′(t ) = ∂2u ∂t 2 (x , t ) Đạo hàm riêng cấp 2 theo biến t ux (t ) = ∇u(t ) = ∂u ∂x (x , t ) Đạo hàm riêng cấp 1 theo biến x ∂2u uxx (t ) = Δu(t ) = ∂x 2 (x , t ) Đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x L2, H 1 Để chỉ L2 (0,1), H 1(0,1) 〈.,.〉 Tích vô hướng hoặc tích đối ngẫu trong L2 (0,1) ||.||X Chuẩn trong không gian X ||.|| Chuẩn trong không gian L2 (0,1) ||.||0 Chuẩn sup trên [0,T ] C 0 (Ω) ≡ C (Ω) Không gian các hàm số u : Ω → liên tục trên Ω C m (Ω) Không gian các hàm u ∈ C 0 (Ω) sao cho D iu ∈ C 0 (Ω) với Mọi i = 1,2, …, m C c∞ (Ω) Không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω D(Ω) Không gian các hàm số u : Ω → khả vi vô hạn có giá compact trong Ω 1
Chương 1 TỔNG QUAN 1.1. Giới thiệu bài toán Các bài toán biên về phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán lý thuyết và ứng dụng. Các bài toán này xuất hiện nhiều trong vật lý, hóa học, sinh học, . . ., và do đó là đề tài được quan tâm bởi nhiều nhà toán học, chẳng hạn như trong [1, 2], [4 – 19] và các tài liệu tham khảo trong đó. Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên hỗn hợp phi tuyến sau đây. Tìm hàm u thoả phương trình sóng phi tuyến tính có dạng utt − μ(t )uxx + F (u, ut ) = f (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T , (1.1) liên kết với điều kiện biên biên hỗn hợp phi tuyến ⎧⎪μ(t )u (0, t ) = Y (t ), ⎪⎪ x ⎨ (1.2) ⎪⎪−μ(t )u (1, t ) = K u(1, t ) + λ | u (1, t ) |α−2 u (1, t ), ⎪⎩ x 1 1 t t và điều kiện đầu u(x , 0) = u 0 (x ), ut (x , 0) = u1(x ), (1.3) trong đó F (u, ut ) = Ku + λut , với K , λ, K1, λ1, α là các hằng số cho trước; μ, f , u 0 , u1 là các hàm cho trước thoả các điều kiện sẽ đặt ra sau. Ẩn hàm u(x , t ) và giá trị biên chưa biết Y (t ) thoả mãn bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường sau ⎧ ⎪Y ′′(t ) + γ1Y ′(t ) + γ2Y (t ) = K 0utt (0, t ), 0 < t < T , ⎪ ⎪ ⎨ (1.4) ⎪ ⎪Y (0) = Y0, Y ′(0) = Y1, ⎪ ⎩ trong đó γ1, γ2 , K 0, Y0, Y1 là các hằng số cho trước, với 4 γ2 − γ12 > 0. Từ (1.4), ta biểu diễn Y (t ) theo γ1, γ2 , K 0 , Y0 , Y1, utt (0, t ) và sau đó dùng tích phân từng phần ta thu được t Y (t ) = g(t ) + K 0u(0, t ) + ∫ k (t − s )u(0, s )ds, (1.5) 0 2
trong đó ⎧ ⎪g(t ) = e −γt ⎡⎢(Y0 − K 0u 0 (0)) cos ωt + (−Y0 − γ1 Y1 + γK 0 u 0 (0) − K0 u1(0)) sin ωt ⎤⎥ , ⎪ ⎪ ⎣ ϖ ω ⎦ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪k (t ) = K 0e −γt ⎡⎢⎣−2γ cos ωt + sinωωt (γ 2 − ω 2 )⎤⎥ , ⎪ ⎩ ⎦ (1.6) Do đó bài toán (1.1) – (1.4) được đưa về (1.1) – (1.3), (1.5), (1.6). 1.2. Các kết quả liên quan đến bài toán Những năm gần đây, bài toán (1.1) – (1.3), (1.5), (1.6) và các dạng tương tự với các điều kiện biên khác nhau đã được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều tác giả và thu được một số kết quả, chẳng hạn như: sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu, tính trơn, tính chính qui, tính ổn định, dáng điệu tiệm cận cũng như khai triển tiệm cận của nghiệm, xem [1, 2], [4 – 19] và các tài liệu tham khảo trong đó. Sau đây, chỉ nêu ra vài khía cạnh liên quan đến bài toán khảo sát trong luận văn. Trong trường hợp μ(t ) ≡ 1, các tác giả N.T. An và N.Đ. Triều trong [1] đã xét bài toán (1.1), (1.3) với f (x , t ) = 0, γ1 = 0, γ2 > 0, u 0 = u1 = 0, Y0 = 0, (1.7) trong đó điều kiện biên (1.2) được thay thế bởi ux (0, t ) = Y (t ), u(1, t ) = 0. (1.8) Trong trường hợp này, bài toán (1.1), (1.3), (1.7), (1.8) mô tả dao động của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tựa trên nền cứng. Trong [2], cũng trường hợp μ(t ) ≡ 1, các tác giả M. Bergounioux, N. T. Long, A. P. N. Định, nghiên cứu bài toán (1.1), (1.3), với điều kiện biên (1.2) được thay thế bởi ux (0, t ) = Y (t ), − ux (1, t ) = K 1u(1, t ) + λ1ut (1, t ), (1.9) với các hằng số cho trước λ1 > 0, K 1 ≥ 0. Như vậy, bài toán chúng tôi xét trong luận văn này với điều kiện biên phi tuyến tổng quát hơn (1.9). Bằng sự tổng quát hoá của [2], các tác giả N. T. Long và A. P. N. Định [4], N.T. Long và T. M. Thuyết [6], đã xét bài toán (1.1) – (1.3) với điều kiện biên tại x = 0 có dạng t ux (0, t ) = g(t ) + H (u(0, t )) − ∫ k (t − s )u(0, s )ds, (1.10) 0 3
trong đó g, H , k là các hàm cho trước. N. T. Long, A. P. N. Định, T. N. Diễm [5] nghiên cứu sự tồn tại, tính trơn và khai triển tiệm cận nghiệm của bài toán (1.1) – (1.4) trong trường hợp μ(t ) ≡ 1, ux (0, t ) = Y (t ) , ux (1, t ) = K 1u(1, t ) + λ1ut (1, t ), trong đó Y (t ) xác định bởi (1.4) với utt (0, t ) thay thế bằng utt (1, t ) và γ1 = 0. N. T. Long, L. V. Ut, N. T. T. Truc [9] nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu, tính chính qui theo biến thời gian, tính ổn định và khai triển tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham số (K , λ) của bài toán (1.1), (1.3) với (1.2) được thay thế bằng ⎧⎪u(0, t ) = 0, ⎪⎪ ⎪⎨ t (1.11) ⎪⎪−μ(t )ux (1, t ) = K 1(t )u(1, t ) + λ1(t )u ′(1, t ) − g(t ) − ∫ k (t − s )u(1, s )ds, ⎪⎪⎩ 0 Trong trường hợp này bài toán là mô hình toán học mô tả va chạm của thanh đàn hồi nhớt tuyến tính. 1.3. Bố cục của luận văn Nội dung của luận văn bao gồm các chương sau: Chương 1. Trình bày phần tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn và điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn. Chương 2. Nêu một số kết quả chuẩn bị chẳng hạn như nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về phép nhúng compact giữa các không gian hàm quan trọng. Chương 3. Bằng phương pháp xấp xỉ Faedo - Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm và phương pháp compact yếu, chúng tôi chứng minh bài toán (1.1) – (1.3), (1.5) tồn tại và duy nhất nghiệm yếu toàn cục. Chương 4. Chúng tôi khảo sát tính ổn định của nghiệm yếu phụ thuộc vào dữ kiện đầu vào của bài toán. Chương 5. Nội dung chính của chương này gồm hai phần. Phần 1, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu khi (K , K 1, λ, λ1 ) → 0+. Phần 2, trình bày một khai triển 1 tiệm cận của nghiệm yếu đến cấp N + theo bốn tham số bé K , K 1; λ, λ1. 2 Chương 6. Chúng tôi xét một bài toán cụ thể để minh họa cho phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ bằng cách khai triển tiệm cận đã trình bày ở phần 2 của chương 5. 4
Kết quả thu được ở đây là một sự tổng quát hóa một cách tương đối các kết quả trong [1, 4, 5, 6, 9]. Một phần kết quả liên quan đến sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu, tính ổn định và khai triển tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham số được công bố trong công trình của chúng tôi [16]. Kế đến là Phần kết luận, nhằm tóm tắt kết quả thực hiện trong luận văn và cuối cùng là danh mục các tài liệu tham khảo. 5
Chương 2 CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 2.1. Không gian hàm một chiều Ta có • L2 là không gian Hilbert đối với tích vô hướng 1 〈u, v 〉 = ∫ 0 u(x )v(x )dx , u, v ∈ L2 . (2.1) Chuẩn sinh bởi tích vô hướng trên xác định như sau 1/2 ⎛ 1 ⎞ ||u|| = 〈u, u 〉 = ⎜⎜ ∫ u 2 (x )dx ⎟⎟ , u ∈ L2 . (2.2) ⎝ 0 ⎠ • W 1,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) : ∃g ∈ Lp (Ω) sao cho ∫ uϕ = −∫ gϕ, ∀ϕ ∈ C c1(Ω)} Ω Ω là không gian Sobolev. Trên W 1,p (Ω) trang bị chuẩn ||u||W 1,p (Ω) = ||u||Lp (Ω) + ||u ′||Lp (Ω). (2.3) • H 1 = W 1,2 = {v ∈ L2 : vx ∈ L2 }, là không gian Hilbert đối với tích vô hướng 〈u, v 〉H = 〈u, v 〉 + 〈ux , vx 〉. 1 (2.4) Ta ký hiệu ||v||H = 〈v, v 〉H là chuẩn trong H 1 . 1 1 Ta có định lý sau. Định lý 2.1. ([20, trang 129]) Tồn tại một hằng số K (chỉ phụ thuộc vào |Ω| ≤ +∞ ) sao cho ||u||L∞ (Ω) ≤ K ||u||W 1,p (Ω), ∀u ∈ W 1,p (Ω), ∀ 1 ≤ p ≤ +∞, Hay phép nhúng W 1,p (Ω) ↪ L∞ (Ω) là liên tục với mọi 1 ≤ p ≤ +∞. Hơn nữa, nếu Ω bị chặn ta có i) phép nhúng W 1,p (Ω) ↪C 0 (Ω) là compact với mọi 1 < p ≤ +∞, ii) phép nhúng W 1,p (Ω) ↪ Lq (Ω) là liên tục với mọi 1 ≤ q < +∞. Nếu Ω ≡ (0,1) , thì từ (i) của định lý 2.1 ta suy ra bổ đề sau đây Bổ đề 2.1. Phép nhúng H 1 ↪ C 0 (Ω) là compact và ||v||C 0 (Ω) ≤ 2||v||H , ∀v ∈ H 1. 1 (2.5) 6
Bổ đề 2.2. ([3, trang 5]) Ta đồng nhất L2 với đối ngẫu của nó. Khi đó, ta có bao hàm thức sau H 1 ↪ L2 ≡ (L2 )′ ↪ (H 1 )′ , với các phép nhúng liên tục và chứa trong trù mật. 2.2. Không gian hàm phụ thuộc thời gian Ký hiệu Lp (0,T ; X ), 1 ≤ p ≤ ∞, để chỉ không gian Banach các hàm thực u : (0,T ) → X đo được, sao cho ||u||L (0,T ;X ) < +∞ với p ⎧ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎛ T ⎞ p ⎪⎜⎜ ∫ ||u(t )||Xdt ⎠⎟⎟ , khi 1 ≤ p < +∞, p ||u||L (0,T ;X ) = ⎨⎪⎝ 0 (2.6) p ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ess sup||u(t )||X , khi p = ∞. ⎪ 0
df Định nghĩa 2.2. Cho f ∈ D′(0,T ; X ) . Ta định nghĩa đạo hàm theo nghĩa phân bố dt của f bởi công thức 〈 dfdt , ϕ〉 = −〈 f , ddtϕ 〉, ∀ϕ ∈ D(0,T ) . (2.8) Các tính chất 1/. Cho v ∈ Lp (0,T ; X ) , ta làm tương ứng nó bởi ánh xạ như sau: Tv : D (0,T ) → X , T 〈Tv , ϕ〉 = ∫ 0 v(t ) ϕ(t )dt, ∀ϕ ∈ D(0,T ) . (2.9) Ta có thể nghiệm lại rằng Tv ∈ D (0,T ; X ) . Thật vậy, i) Ánh xạ Tv : D(0,T ) → X là tuyến tính. ii) Ta nghiệm lại ánh xạ Tv : D(0,T ) → X là liên tục. Giả sử {ϕj } ⊂ D(0,T ) , sao cho ϕj → 0 trong D(0,T ) . Ta có T T ||〈Tv , ϕj 〉||X = ∫0 v(t )ϕ j (t )dt X ≤ ∫ ||v(t )ϕ j (t )||Xdt 0 1 1 ⎛ T ⎞p ⎛ T ⎞p ′ ≤ ⎜⎜ ∫ ||v(t )||Xp dt ⎟⎟ ⎜⎜ ∫ |ϕj (t )|p ′dt ⎟⎟ → 0, khi j → +∞. (2.10) ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ Do đó 〈Tv , ϕj 〉 → 0 trong X khi j → +∞ . Vậy Tv ∈ D′(0,T ; X ) . 2/. Ánh xạ v Tv là một đơn ánh, tuyến tính từ Lp (0,T ; X ) vào D′(0,T ; X ) . Do đó, ta có thể đồng nhất Tv = v . Khi đó, ta có kết quả sau. Bổ đề 2.7. Lp (0,T ; X ) ↪ D′(0,T ; X ) với phép nhúng liên tục. 2.4. Đạo hàm trong Lp (0,T ; X ) Do bổ đề 2.7, phần tử f ∈ Lp (0,T ; X ) ta có thể coi f là phần tử của D′(0,T ; X ) . Ta có các kết quả sau. Bổ đề 2.8. (Lions [3, trang 7]). Nếu f ∈ Lp (0,T ; X ) và f ′ ∈ Lp (0,T ; X ), 1 ≤ p ≤ ∞, thì f bằng hầu hết với một hàm liên tục từ [0,T ] → X . 2.5. Bổ đề về tính compact của Lions 8
Cho X 0, X1, X là các không gian Banach và 0 < T < +∞, 1 ≤ pi ≤ +∞ , i = 0,1. X 0 ↪ X ↪ X1 , X 0 , X 1 là phản xạ, (2.11) Phép nhúng X 0 ↪ X là compact, X ↪ X1 liên tục. (2.12) Đặt W (0,T ) = {v ∈ L (0,T ; X 0 ): v ′ ∈ L (0,T ; X1 )} . p0 p1 (2.13) Trên W (0,T ) ta trang bị chuẩn ||v||W (0,T ) = ||v|| p + ||v ′|| p . (2.14) L 0 (0,T ;X 0 ) L 1 (0,T ;X1 ) Khi đó, W (0,T ) là một không gian Banach. Hiển nhiên ta có W (0,T ) ↪ L (0,T ; X ). p0 Ta cũng có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact. Bổ đề 2.9. ([3, trang 57]). Với giả thiết (2.11), (2.12) và nếu 1 < pi < +∞, i = 0,1 , thì phép nhúng W (0,T ) ↪ L (0,T ; X ) là compact. p0 2.6. Bổ đề về sự hội tụ yếu Bổ đề sau đây liên quan đến sự hội tụ yếu trong Lp (Q ) . Bổ đề 2.10. ([3, trang 12). Cho Q là tập mở bị chận của N và gm , g ∈ Lp (Q ), 1 < p < ∞ , sao cho ||gm ||L (Q ) ≤ C và gm → g a.e. trong Q. p Khi đó, gm → g trong Lp (Q ) yếu. 2.7. Một số bất đẳng thức cơ bản 1/. Bất đẳng thức Hölder Cho p, q > 1 thỏa 1 p + q1 = 1. Khi đó ab ≤ εp p ap + ε−q q bq , ∀a, b ≥ 0, ∀ε > 0. 2/. Bất đẳng thức Cauchy 2ab ≤ βa 2 + β1 b 2, ∀a, b ∈ , ∀β > 0. 3/. Bất đẳng thức Hölder cho tích phân 9
Cho p, q ≥ 1 thỏa 1 p + q1 = 1. Khi đó nếu f ∈ Lp (Ω) và g ∈ Lq (Ω) thì ta có fg ∈ L1 (Ω) và ||fg||L (Ω) ≤ ||f ||L (Ω)||g||L (Ω) . 1 p q Nếu p = q = 2 thì ta có |〈 f , g 〉| ≤ ||f || ||g||, ∀f , g ∈ L2 (Ω). 4/. Bất đẳng thức Gronwall (dạng tích phân) Cho ζ là hàm khả tích, không âm trên [0,T ] và thỏa bất đẳng thức t ζ (t ) ≤ C 1 + C 2 ∫ ζ (s )ds, hầu hết t ∈ [0,T ], 0 trong đó C 1, C 2 là các hàm số không âm. Khi đó ζ (t ) ≤ C 1 exp(C 2t ), hầu hết t ∈ [0,T ]. Đặc biệt, nếu C 1 = 0 thì ζ (t ) ≡ 0 hầu hết t ∈ [0,T ]. Chú thích 2.1. Bất đẳng thức Gronwall ở trên còn được gọi là Bổ đề Gronwall. 2.8. Định lý Ascoli-Arzela. Cho A là một tập con của C 0 ([0,T ]; m ). Khi đó A là một tập compact trong C 0 ([0,T ]; m ) nếu và chỉ nếu A thoả các điều kiện sau i) A bị chặn từng điểm, tức là: với mỗi t ∈ [0,T ], tập {f (t ) : f ∈ A} bị chặn m trong . ii) A liên tục đồng bậc, tức là ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀t, t ′ ∈ [0,T ], |t − t ′| < δ ⇒ ||f (t ) − f (t ′)|| m < ε, ∀f ∈ A. 2.9. Định lý Schauder. Cho X là một tập lồi đóng khác trống và bị chặn trong không gian Banach E và U là một ánh xạ compact từ X vào X . Khi đó U có một điểm bất động trong X . 10
Chương 3 SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT NGHIỆM 3.1. Giới thiệu Trong chương này và các chương sau để tiện theo dõi ta gọi bài toán (1.1) – (1.3), (1.5), (1.6) là bài toán (3.1), (3.2) như sau: Tìm hàm u thoả phương trình sóng phi tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến dưới đây: ⎧ ⎪utt − μ(t )uxx + F (u, ut ) = f (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ α−2 ⎨μ(t )ux (0, t ) = Y (t ), − μ(t )ux (1, t ) = K 1u(1, t ) + λ1|ut (1, t )| ut (1, t ), (3.1) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪u(x , 0) = u 0 (x ), ut (x , 0) = u1(x ), ⎪ ⎩ trong đó ⎧⎪F (u, u ) = Ku + λu , ⎪⎪ t t ⎪⎪ ⎨ t (3.2) ⎪⎪ ⎪⎪Y (t ) = g(t ) + K 0u(0, t ) + ∫ k (t − s )u(0, s )ds, ⎪⎩ 0 với K , K 0, K1, λ, λ1, α là các hằng số cho trước; μ, f , g, k, u0, u1 là các hàm cho trước thoả các điều kiện mà ta sẽ đặt ra sau. Định nghĩa 3.1. Ta nói u là nghiệm yếu của bài toán (3.1), (3.2) nếu u ∈ L (0,T ; H 2 ), sao cho ut ∈ L∞ (0,T ; H 1 ), utt ∈ L∞ (0,T ; L2 ), u(0, ⋅) ∈ W 1,∞ (0,T ), ∞ α −1 |ut (1, ⋅)| ut (1, ⋅) ∈ H 1 (0,T ), và u thoả phương trình biến phân sau đây: 2 ⎧⎪〈u (t ), v 〉 + μ(t )〈u (t ), v 〉 + Y (t )v(0) + [K u(1, t ) + λ |u (1, t )|α−2u (1, t )]v(1) ⎪⎪ tt x x 1 1 t t ⎪⎪ ⎪⎪ + 〈Ku(t ) + λut (t ), v 〉 = 〈 f (t ), v 〉, ∀v ∈ H 1 , ⎪⎪ ⎪⎨ t (3.3) ⎪⎪ ⎪⎪Y (t ) = g(t ) + K 0u(0, t ) + ∫ k (t − s )u(0, s )ds, ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎪⎪⎩u(0) = u 0 , ut (0) = u1 . Để chứng minh bài toán (3.1), (3.2) tồn tại duy nhất nghiệm yếu. Chúng tôi, dựa vào phương pháp xấp xỉ Faedo - Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, từ đó trích ra các dãy con hội tụ yếu trong các không gian hàm thích hợp và nhờ một số các 11
phép nhúng compact. Định lý Schauder và Ascoli – Arzela cũng được sử dụng trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm xấp xỉ Faedo - Galerkin. Khó khăn chính trong chương này là điều kiện biên tại đầu x = 1. 3.2. Sự tồn tại duy nhất nghiệm Trước tiên, ta thành lập các giả thiết sau: (H1) (u 0, u1 ) ∈ H 2 × H 1, (H2) f , ft ∈ L1(0,T ; L2 ), (H3) μ ∈ W 2,1(0,T ), μ(t ) ≥ μ0 > 0, ∀t ∈ [0,T ], (H4) g, k ∈ W 2,1(0,T ), (H5) α ≥ 2; K , K 0 , K 1 ≥ 0; λ, λ1 > 0. Khi đó, ta có định lý sau: Định lý 3.1. Cho T > 0. Giả sử (H1) – (H5) đúng. Khi đó, bài toán (3.1), (3.2) tồn tại duy nhất nghiệm yếu u thỏa ⎧ ⎪u ∈ L∞ (0,T ; H 2 ), ut ∈ L∞ (0,T ; H 1 ), utt ∈ L∞ (0,T ; L2 ), ⎪ ⎪ ⎨ (3.4) ⎪ ⎪ α −1 ⎪|ut (1,.)| ut (1,.) ∈ H 1(0,T ), u(0,.) ∈ W 1,∞ (0,T ). 2 ⎪ ⎩ Chú thích 3.1. i) Ta suy ra từ (3.4), rằng nghiệm yếu u của bài toán (3.1), (3.2) thỏa ⎧⎪ ∞ ⎪⎪u ∈ C ([0,T ]; H ) ∩ C ([0,T ]; L ) ∩ L (0,T ; H ), 0 1 1 2 2 ⎪⎪ ⎪u ∈ C 0 ([0,T ]; L2 ) ∩ L∞ (0,T ; H 1 ), u ∈ L∞ (0,T ; L2 ), (3.5) ⎨ t ⎪⎪ tt ⎪⎪ α ⎪⎪|ut (1,.)| −1ut (1,.) ∈ H 1(0,T ), u(0,.) ∈ W 1,∞ (0,T ). 2 ⎪⎩ ii) Hơn nữa, cũng từ (3.4) ta thấy rằng u, ux , ut , uxx , uxt , utt ∈ L∞ (0,T ; L2 ) ⊂ L2 (QT ). Điều này dẫn đến nếu điều kiện đầu của bài toán (3.1), (3.3) thỏa giả thiết (H1) thì bài toán (3.1), (3.2) có nghiệm yếu duy nhất u ∈ H 2 (QT ), mà không nhất thiết cần (u 0, u1 ) ∈ C 2 (Ω) ×C 1(Ω). Chứng minh định lý 3.1. Chứng minh định lý gồm 4 bước. 12
Bước 1. Xấp xỉ Faedo - Galerkin. Chọn cơ sở đặc biệt {w j } của H 2 . Nghiệm yếu xấp xỉ của bài toán (3.1), (3.2) được tìm dưới dạng m um (t ) = ∑ cmj (t )w j , j =1 với, cmj (t ) là nghiệm của hệ phương trình vi phân phi tuyến sau ⎧〈u ′′(t ), w 〉 + μ(t )〈u (t ), w 〉 + Y (t )w (0) ⎪ ⎪ ⎪ m j mx jx m j ⎪ ⎪ ⎪⎪ + [K 1um (1, t ) + λ1 Ψ α (um′ (1, t ))] w j (1) ⎪ ⎪ ⎨ (3.6) ⎪ ⎪ ⎪ + 〈Kum (t ) + λum′ (t ), w j 〉 = 〈 f (t ), w j 〉, j = 1, m, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪u (0) = u , u ′ (0) = u , ⎪ ⎩ m 0m m 1m trong đó ⎧ ⎪ t ⎪ ⎪Ym (t ) = g(t ) + K 0um (0, t ) + ∫ k (t − s )um (0, s ) ds, ⎪ ⎪ ⎨ 0 (3.7) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Ψ α (z ) = |z|α−2z , ⎪ ⎩ và m u 0m = ∑ αmj w j → u 0 mạnh trong H 2 , (3.8) j =1 m u1m = ∑ βmj w j → u1 mạnh trong H 1. (3.9) j =1 Bỏ qua chỉ số m, ta viết lại cm (t ) = (cm 1(t ),..., cmm (t )) dưới dạng c(t ) = (c1(t ),..., cm (t )). Khi đó, hệ phương trình (3.6) - (3.7) được viết lại như sau ⎧⎪ m m ⎪⎪c ′′(t ) + μ(t )∑ c (t )〈w , w 〉 + g(t )w (0) + K ∑ c (t ) w (0)w (0) ⎪⎪ j i =1 i ix jx j 0 i =1 i i j ⎪⎪ ⎪⎪ t m m ⎪⎪ + ∫ k (t − s )∑ ci (s ) wi (0)w j (0)ds + K 1 ∑ ci (t )wi (1)w j (1) ⎪⎪ i =1 i =1 ⎨ 0 (3.10) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎛m ⎞⎟ ⎪⎪ + λ Ψ ⎜ ⎜ ∑ c ′(t )w (1) ⎟ w (1) + Kc j (t ) + λc j′(t ) = 〈 f (t ), w j 〉, ⎪⎪ 1 α⎜ ⎝ i =1 i i ⎠⎟ j ⎪⎪ ⎪⎪c (0) = α , c ′(0)= β , j = 1, m. ⎪⎩ j j j j 13
Ta viết gọn hệ (3.10) dưới dạng ⎧⎪ t ⎪⎪c ′′(t ) = F (t, c(t ), c ′(t )) + k (t − s )F (c(s ))ds, ⎪⎪ j 1j ∫ 2j ⎨ 0 (3.11) ⎪⎪ ⎪⎪c (0) = α , c ′(0)= β , j = 1, m, ⎪⎩ j j j j với F1 j : [0,T ]× 2m → , F2 j : m → , j = 1, m, được xác định như sau: m m F1 j (t, c(t ), c ′(t )) = −μ(t )∑ ci (t )〈wix , w jx 〉 − g(t )w j (0) − K 0 ∑ ci (t )wi (0)w j (0) i =1 i =1 m m m − ⎡K ∑ c (t )w (1) + λ |∑ c ′(t )w (1)|α−2 ∑ c ′(t )w (1)⎤ w (1) ⎢⎣ 1 i i 1 i i i i ⎥⎦ j i =1 i =1 i =1 − Kc j (t ) − λc j′(t ) + 〈 f (t ), w j 〉, j = 1, m, (3.12) m F2 j (c(t )) = −∑ ci (t )wi (0)w j (0), j = 1, m. (3.13) i =1 Sau hai lần lấy tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t , ta đưa hệ (3.11) về hệ phương trình vi tích phân phi tuyến sau t τ c j (t ) = αj + β jt + ∫ d τ ∫ G j [c ](s )ds, 0 ≤ t ≤ T , j = 1, m. (3.14) 0 0 trong đó t G j [c ](t ) = F1 j (t, c(t ), c ′(t )) + ∫ k (t − s )F2 j (c(s ))ds, 0 ≤ t ≤ T . (3.15) 0 Với T > 0 cho trước, ta sử dụng định lý điểm bất động Schauder để chứng minh hệ (3.14) – (3.15) có nghiệm c(t ) = (c1(t ),..., cm (t )) trên khoảng [0,Tm ] ⊂ [0,T ]. Ta có bổ đề sau. Bổ đề 3.1. Cho T > 0 . Giả sử (H1) – (H5) đúng. Khi đó, tồn tại Tm > 0 sao cho hệ (3.14) – (3.15) có nghiệm c(t ) = (c1(t ),..., cm (t )) trên khoảng [0,Tm ] ⊂ [0,T ]. Chứng minh. Với mỗi Tm > 0, ρ > 0 , ta đặt X = C 1([0,Tm ]; m ), S = {c ∈ C 1([0,Tm ]; m ) : ||c||X ≤ ρ}, m trong đó, ||c||X = ||c||0 + ||c ′||0 , ||c||0 = sup |c(t )|1, |c(t )|1 = ∑ |c j (t )|, 0
thì S là tập con lồi đóng và bị chặn trong X . Ta viết lại hệ (3.14) dưới dạng phương trình điểm bất động c(t ) = U [c ](t ), (3.16) trong đó, c = (c1,..., cm ) ∈ X , U [c ](t )=(U 1[c ](t ),...,U m [c ](t )), t τ U j [c ](t ) = αj + β jt +∫ d τ ∫ G j [c ](s )ds, 0 ≤ t ≤ Tm , j = 1, m. 0 0 Khi đó i ) U : X → X liên tục Trước tiên, ta chứng minh toán tử U : X → X xác định. Thật vậy, để chứng minh toán tử U : X → X xác định, ta chỉ cần chứng minh rằng (U j [c ])′ liên tục trên [0,Tm ] . Lấy c = (c1,..., cm ) ∈ X , ta có t (U j [c ](t ))′ = β j + ∫ G j [c ](s )ds 0 Từ (3.12) – (3.13), (3.15) và các giả thiết (H2) – (H4), ta suy ra G j [c ] ∈ L1(0,T ) nên (U j [c ])′ liên tục trên [0,Tm ] . Vậy, toán tử U : X → X xác định. Chứng minh toán tử U : X → X liên tục. Lấy {ck } ⊂ X sao cho ||ck − c||X → 0 trong X . Ta có F1 j (t, ck (t ), ck′ (t )) → F1 j (t, c(t ), c ′(t )) trong L1(0,Tm ), (3.17) F2 j (ck (t )) → F2 j (c(t )) trong C ([0,Tm ]). (3.18) Do đó suy ra được rằng t t ∫ k (t − s )F2 j (ck (s ))ds → ∫ k (t − s )F2 j (c(s ))ds trong C ([0,Tm ]). (3.19) 0 0 Tổ hợp từ (3.17) - (3.19), ta có G j [ck ] → G j [c ] trong L1(0,Tm ), hay, G[ck ] → G[c ] trong L1(0,Tm ; m ). Khi đó, ta có ||G[ck ] − G[c ]||L (0,T ; 1 m ) → 0. 15
Mặt khác, ta lại có t τ U j [ck ](t ) −U j [c ](t ) = ∫ d τ ∫ ⎡⎣⎢G [c j k ](s ) − G j [c ](s )⎤⎥ ds, 0 ≤ t ≤ Tm , j = 1, m, ⎦ 0 0 t (U j [ck ])′ (t ) − (U j [c ])′ (t ) = ∫ ⎡⎣⎢G [c j k ](s ) − G j [c ](s )⎤⎥ ds, 0 ≤ t ≤ Tm , j = 1, m, ⎦ 0 nên U [ck ] −U [c ] ≤ Tm G[ck ] − G[c ] , 0 L1 (0,T ; m ) (U [ck ])′ − (U [c ])′ ≤ G[ck ] − G[c ] . 0 L1 (0,T ; m ) Do đó U [ck ] −U [c ] → 0. X Vậy, U : X → X liên tục. ii ) U : S → S Ta sẽ nghiệm lại rằng với ρ, Tm được chọn thích hợp thì U : S → S Do giả thiết (H4) tồn tại hằng số dương M 0 , độc lập với ρ sao cho | k (t )| ≤ M 0 , ∀t ∈ [0,T ], Mặt khác, từ các giả thiết (H2) - (H5) và các biểu thức (3.12), (3.13) ta suy ra, tồn tại hằng số dương M (ρ) phụ thuộc vào ρ sao cho với |c |1 ≤ ρ, |d |1 ≤ ρ thì | F1 j (t, c, d )| + | F2 j (c)| ≤ M (ρ), ∀t ∈ [0,Tm ], j = 1, m, điều này dẫn đến G j [c ](t ) ≤ (1 + Tm M 0 )M (ρ), với mọi c ∈ S , mọi t ∈ [0,Tm ]. Khi đó, với mọi c ∈ S , ta có U j [c ](t ) ≤ |αj | + |β j |Tm + 21 (Tm2 + Tm3M 0 )M (ρ), và (U j [c ])′ (t ) ≤ |β j | + (Tm + Tm2M 0 )M (ρ), nên || U [c ] ||0 ≤ m [|α|1 + |β|1Tm + m2 (Tm2 + Tm3M 0 )M (ρ)], ||(U [c ])′ ||0 ≤ m[|β|1 + m(Tm + Tm2M 0 )M (ρ)]. Do đó 16
||U [c ]||X ≤ |α|1 + |β|1 + Tm ⎡⎢|β|1 + m(1 + Tm + Tm M 0 + mTm2M 0 )M (ρ)⎤⎥ . ⎣ ⎦ ρ Chọn ρ sao cho |α|1 + |β|1 ≤ . Sau đó chọn Tm sao cho 2 ρ Tm ⎡⎢|β|1 + m(1 + Tm + Tm M 0 + mTm2M 0 )M (ρ)⎤⎥ ≤ . ⎣ ⎦ 2 Khi đó U [c ] ≤ ρ , tức là U [c ] ∈ S . X Vậy, U : S → S . iii ) US compact trong X Với mọi c ∈ S , ta có G j [c ](t ) ≤ (1 + Tm M 0 )M (ρ), suy ra (U [c ])′′ (t ) ≤ m(1 + Tm M 0 )M (ρ) ≡ M ( M độc lập với c ∈ S ). 1 Từ đây ta suy ra các họ {U [c ]}c∈S , {(U [c ])′ }c∈S là liên tục đồng bậc. Vậy áp dụng định lý Ascoli-Arzela thì US compact. Từ i ), ii ), iii ) và định lý điểm bất động Schauder ta suy ra rằng U : S → S có điểm bất động trong S . Điểm bất động này là nghiệm của hệ (3.14). Bổ đề 3.1 được chứng minh Dùng bổ đề 3.1, ta suy ra hệ (3.6) - (3.7) có nghiệm um trên một khoảng [0,Tm ]. Các đánh giá tiên nghiệm dưới đây cho phép ta lấy Tm = T , với mọi m. ′ (t ) và lấy Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm I. Thay (3.7) vào (3.6)1 rồi nhân với cmj tổng theo j, sau đó lấy tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t ta được t Sm (t ) = Sm (0) + 2g(0)u 0m (0) + ∫ μ′(s )||umx (s )||2ds − 2g(t )um (0, t ) 0 t t + 2∫ g ′(s )um (0, s )ds − 2um (0, t )∫ k (t − s )um (0, s )ds 0 0 17
t t s + 2k (0)∫ u (0, s )ds + 2∫ um (0, s )ds ∫ k ′(s − r )um (0, r )dr 2 m 0 0 0 t 7 + 2∫ 〈 f (s ), um′ (s )〉ds = S m (0) + 2g(0)u 0m (0) + ∑I , i (3.20) 0 i =1 trong đó, S m (t ) = ||um′ (t )||2 + μ(t )||umx (t )||2 + K 0um2 (0, t ) + K ||um (t )||2 + K 1um2 (1, t ) t + 2∫ (λ ||um′ (s )||2 + λ1|um′ (1, s )|α ) ds. (3.21) 0 Sử dụng Bổ đề 2.1 và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cùng với bất đẳng thức 1 2ab ≤ εa 2 + b 2 , ∀a, b ∈ , ∀ε > 0, (3.22) ε ta lần lượt đánh giá các tích phân ở vế phải (3.20) như sau Số hạng thứ nhất. Từ (H3) và (3.21) ta suy ra rằng t t t I 1 ≤ ∫ |μ′(s )|.||umx (s )||2ds ≤ 1 μ0 ||μ′||L ∞ (0,T ) ∫ Sm (s )ds ≤ CT ∫ Sm (s )ds, (3.23) 0 0 0 ở đây, CT là hằng số bị chặn chỉ phụ thuộc vào T . Số hạng thứ hai. Từ giả thiết (H4) và (3.21) ta có I 2 ≤ 2 2|g(t )|.||um (t )||H ≤ 2ε ||g||2L 1 ∞ (0,T ) + ε||um (t )||2H 1 ≤ 1ε CT + ε||um (t )||2H , với mọi ε > 0.1 (3.24) Số hạng thứ ba. Từ (H4) và (3.22) với ε = 1, ta được t t I 3 ≤ 2 2 ∫ |g ′(s )|.||um (s )||H ds ≤ 2||g ′||2L (0,T ) + ∫ ||um (s )||2H ds 1 2 1 0 0 t ≤ CT + ∫ ||um (s )||2H ds. 1 (3.25) 0 Số hạng thứ tư. Bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và (3.22) ta có t I 4 ≤ 4||um (t )||H 1 ∫ |k(t − s )|.||u m (s )||H ds 1 0 t ≤ ε||um (t )||2H + 4ε (. ∫ |k (t − s )|.||um (s )||H ds ) 2 1 1 0 18