ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
HOÀNG THỊ DUNG
TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
HOÀNG THỊ DUNG
TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2015
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không
trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực
hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ
rõ nguồn gốc.
Thái nguyên, ngày 21 tháng 6 năm 2015
Người viết Luận văn
i
Hoàng Thị Dung
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ NGUYỄN VĂN
HOÀNG giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Nhân
dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi cách đọc tài
liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời
gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của: Viện Toán học và
Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt
qua những khó khăn trong học tập.
Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa
Sau đại học, Sở GD - ĐT Cao Bằng, Ban Giám hiệu và Tổ Toán-Tin Trường THPT
Chuyên Cao Bằng đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi
có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình.
Thái nguyên, ngày 21 tháng 6 năm 2015
Người viết Luận văn
ii
Hoàng Thị Dung
Mục lục
Lời cảm ơn ii
Mục lục iii
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Vành và môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . .
1.2 Biểu diễn thứ cấp của môđun Artin . . . . . . . . . 6 . . . . . . . . . . .
1.3 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . .
1.4 Dãy chính quy và độ sâu của môđun . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . .
1.5 Đối ngẫu Matlis và một số tính chất . . . . . . . . 14 . . . . . . . . . . .
2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin 17
2.1 Khái niệm đối dãy từ chiều > s và một số tính chất 17 . . . . . . . . . . .
2.2 Chứng minh Định lý 1. . . . . . . . . . . . . . . . 26 . . . . . . . . . . .
3 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin 30
3.1 Môđun Cohen-Macaulay, vành catenary, thớ hình thức, và dãy chặt từ
chiều > s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 . . . . . . . . . . .
3.2 Chứng minh Định lý 2. . . . . . . . . . . . . . . . 32 . . . . . . . . . . .
Kết luận 40
iii
Tài liệu tham khảo 41
Mở đầu
Trong suốt luận văn này, giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noerther địa phương với
iđêan cực đại duy nhất là m. Giả thiết A là một R−môđun Artin và M là một R−môđun
hữu hạn sinh có chiều dim M = d. Kí hiệu AssR M là tập các iđêan nguyên tố liên kết
của M. Tập tất cả các iđêan nguyên tố gắn kết của A được kí hiệu là AttR A (theo I. G.
Macdonald [7]).
Với mỗi iđêan I là của R, ta biết rằng tập AssR(M/InM) và AttR(0 :A In) không phụ
n≥0 AssR(M/InM) và (cid:83)
thuộc vào n khi n đủ lớn (xem bài báo của M. Brodmann [1, 12]), và vì thế các tập
n≥0 AttR(0 :A In) là các tập hữu hạn. Tuy nhiên điều này k )M) và AttR(0 :A (xn1
k )), trong
1 , . . . , xnk
1 , . . . , xnk đó (x1, . . . , xk) là một dãy các phần tử của R với n1, . . . , nk là các số nguyên dương. Chẳng
hợp (cid:83) không còn đúng cho các tập AssR(M/(xn1
hạn, lấy (R, m) là vành Cohen-Macaulay chiều 5 (được xây dựng bởi M. Katzman [6,
n≥0 AssR(R/(xn, yn)R) là vô hạn, và vì thế tập (cid:83)
(x,y)(R) là một tập vô n≥0 AttR(0 :A (xn, yn)R)
Corrollary 1.3]) sao cho có các phần tử x, y ∈ m thõa mãn AssR(H2 hạn. Khi đó tập (cid:83)
cũng là vô hạn, ở đây A = E(R/m) là bao nội xạ của R/m đó là R−môđun Artin.
Cho s ≥ −1 là số nguyên. Với mỗi tập con T của Spec(R), ta kí hiệu Ts (tương ứng,
T≥s, T>s) là tập gồm tất cả p ∈ T sao cho dim(R/p) = s (tương ứng, dim(R/p) ≥ s,
dim(R/p) > s). Theo Brodmann-Nhàn [2], một dãy (x1, . . . , xk) các phần tử của R được
gọi là M−dãy từ chiều > s nếu xi /∈ p với mọi p ∈ AssR(M/(x1, . . . , xi−1)M)>s với
mọi i = 1, . . . , k. Nếu mọi hoán vị của dãy x1, . . . , xk cũng là M−dãy từ chiều > s thì
k )M)≥s là tập hữu hạn
1 , . . . , xnk
n1,...,nk
(x1, . . . , xk) được gọi là M−dãy từ chiều > s hoán vị được. Chú ý rằng nếu (x1, . . . , xk) là M−dãy từ chiều > s hoán vị được thì (cid:83) (AssR M/(xn1
1
(xem [2, Proposition 2.6]). Từ đó một câu hỏi được L. T. Nhàn-N. V. Hoàng [9] đặt ra là
k )R))≥s,
n1,...,nk
k )M))≥s
k )R))>s và (cid:83)
1 , . . . , xnk 1 , . . . , xnk
1 , . . . , xnk
n1,...,nk
n1,...,nk
m(M) (xn1
tìm điều kiện của dãy (x1, . . . , xk) để các tập hợp (cid:83) (cid:83) (AttR(Hi (AttR(0 :A (xn1 m(M/(xn1 (AttR(0 :Hi
là các tập hợp hữu hạn. Năm 2014, trong một bài báo chung của Nhàn-Hoàng (xem [9]),
họ đã trả lời khẳng định cho câu hỏi trên, cụ thể là các định lý sau.
n1,...,nk
Định lí 1. Giả sử (x1, . . . , xk) là một A− đối dãy từ chiều > s. Khi đó tập (AttR(0 :A (xn1 (AttR(0 :A
k )R))>s không phụ thuộc vào cách chọn của n1, . . . , nk và tập (cid:83) k )R))≥s là hữu hạn.
1 , . . . , xnk 1 , . . . , xnk
(xn1
Định lí 2. Giả sử R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là Cohen-
Macaulay. Lấy (x1, . . . , xk) là M− dãy chặt từ chiều > s. Khi đó ta có
m(M/(xn1
k )R))>s là độc lập với
k )M))>s và (AttR(0 :Hi
1 , . . . , xnk
m(M) (xn1
1 , . . . , xnk n1, . . . , nk với mọi i ≥ 0.
(i) (AttR Hi
m(M/(x1, . . . , xk)M))>s = (AttR(0 :Hi+k
m (M) (x1, . . . , xk)R))>s với mọi i ≥ 0.
(ii) (AttR Hi
k )R))≥s và tập hợp
1 , . . . , xnk
m(M) (xn1
(cid:83)
(AttR(0 :Hi
k )M))≥s là hữu hạn.
n1,...,nk 1 , . . . , xnk
n1,...,nk
(AttR(Hi (iii) Với mỗi i ≥ 0, tập hợp (cid:83) m(M/(xn1
Mục đích chính của luận văn này là trình bày chi tiết lại các kết quả như đã nêu trên
trong bài báo [9]: L. T. Nhan and N. V. Hoang (2014), “A finiteness result for attached
primes of Artinian local cohomology modules”, Journal of Algebra and Its Applications,
Vol. 13, 1350063 (14 pages). Bên cạnh đó để việc trình bày có hệ thống và rõ ràng hơn,
luận văn cũng bổ sung một số kiến thức từ các tài liệu như sách Commutative Ring
Theory (của H. Matsumura [8]), và một số bài giảng của GS.TSKH Nguyễn Tự Cường,
PGS.TS Lê Thanh Nhàn, TS. Nguyễn Văn Hoàng về đại số giao hoán và đại số đồng
điều.
Luận văn được chia làm 3 chương. Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở cần thiết
được dùng để chứng minh các kết quả ở các chương sau. Một số kiến thức được trình
bày ở đây là: Vành và môđun Artin, biểu diễn thứ cấp của môđun Artin, môđun đối đồng
điều địa phương, dãy chính quy và độ sâu của môđun, đối ngẫu Matlis và một số tính
2
chất. Trong phần đầu của Chương 2, chúng tôi giới thiệu khái niệm đối dãy từ chiều > s
và một số tính chất. Phần sau của chương dành để trình bày chứng minh chi tiết cho Định
lý 1. Chương 3 sẽ chứng minh chi tiết cho Định lý 2. Trong đó, trước mỗi phần chứng
3
minh, chúng tôi có đưa ra một vài tính chất có liên quan khi cần thiết.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này nhằm đưa ra một số kiến thức chuẩn bị giúp cho việc trình bày có hệ
thống và những kiến thức đó thực cần thiết phục vụ cho chứng minh các kết quả ở những
chương sau. Chương này ta luôn giả thiết R là vành giao hoán có đơn vị. Kiến thức ở
chương này được trích từ một số sách [3], [7], [8].
1.1 Vành và môđun Artin
Định nghĩa 1.1.1. (Vành và môđun Artin) Cho R là vành giao hoán và A là R− môđun.
Khi đó A được gọi là môđun Artin nếu mỗi dãy giảm các môđun con của A đều dừng,
nghĩa là nếu
A0 ⊇ A1 ⊇ . . . ⊇ An ⊇ . . .
là một dãy giảm dần các môđun con của A thì tồn tại k ∈ N sao cho Ak = An với mọi n ≥ k.
Vành R được gọi là vành Artin nếu nó là một R− môđun Artin, tức là mọi dãy giảm các
iđêan của R đều dừng.
Mệnh đề sau cho ta một điều kiện tương đương với định nghĩa môđun Artin.
Mệnh đề 1.1.2. Cho R là vành giao hoán và A là một R− môđun. Khi đó các điều kiện
4
sau là tương đương
(i) A là môđun Artin.
(ii) Mỗi tập khác rỗng các môđun con của A đều có phần tử cực tiểu.
Để đề cập đến một vài tính chất của môđun Artin, sau đây ta sẽ nhắc lại khái niệm độ
dài của môđun.
Định nghĩa 1.1.3. Cho R là vành giao hoán khác không và M là một R− môđun.
(i) Một dãy M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn = M các môđun con của M được gọi là một xích.
(ii) Xích 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn = M được gọi là một dãy hợp thành của M nếu
Mi+1/Mi là các môđun đơn với mọi i = 0, 1, . . . , n −1, tức là Mi+1/Mi có đúng hai môđun
con là 0 và chính nó.
(iii) Độ dài của M, kí hiệu là (cid:96)R(M), là cận trên đúng của các độ dài của các xích có
dạng 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn = M, trong đó Mi (cid:54)= Mi+1 với mọi i = 0, 1, . . . , n − 1.
Một R− môđun M được gọi là có độ dài hữu hạn nếu M có ít nhất một dãy hợp thành.
Trong trường hợp này các dãy hợp thành của M có cùng độ dài và khi đó độ dài của M
chính là độ dài của một dãy hợp thành nào đó của M. Hơn thế nữa mỗi dãy tăng hoặc
giảm thực sự các môđun con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của dãy hợp
thành.
Định lý 1.1.4. Ta có các phát biểu sau là đúng.
(i) Nếu R là vành Artin thì mọi iđêan nguyên tố của R đều tối đại.
(ii) Nếu R là vành Artin thì R có hữu hạn iđêan tối đại.
Định nghĩa 1.1.5. (Chiều Krull) Cho R là một vành giao hoán, một dãy giảm thực sự
5
các iđêan nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃ · · · ⊃ pn của vành R được gọi là một xích nguyên tố có độ
dài n. Cận trên của độ dài tất cả các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của
R, hay chiều của vành R, kí hiệu là dim R.
Định nghĩa 1.1.6. (Độ cao của iđêan) Cho R là một vành giao hoán và p là iđêan nguyên
tố của R. Chiều dài lớn nhất của mọi dãy giảm thực sự các iđêan nguyên tố p = p0 ⊃
p1 ⊃ · · · ⊃ pr xuất phát từ p, được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht(p). Cho I là một iđêan
của R. Độ cao của I, kí hiệu là ht(I), được cho bởi ht(I) = inf{ht(p) | p ∈ Var(I)} trong
đó Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I.
Định nghĩa 1.1.7. (Chiều của môđun - xem [8, Trang 31]) Cho R là một vành giao
hoán và M là một R− môđun. Khi đó, chiều của M, kí hiệu là dim M được xác định
bởi dim M = dim(R/ Ann(M)), trong đó Ann(M) = {a ∈ R | aM = 0}. Nếu M là môđun
không thì ta quy ước dim M = −1.
Mệnh đề 1.1.8. R (cid:54)= 0 là vành Artin nếu và chỉ nếu R là vành Noerther và dim R = 0.
Bổ đề 1.1.9. Cho (R, m) là vành địa phương. Cho A là R− môđun. Các phát biểu sau là
đúng.
(i) (cid:96)(A) < ∞ khi và chỉ khi A vừa là Noether vừa là Artin.
(ii) Cho (cid:96)(A) = n < ∞ là môđun có độ dài hữu hạn. Khi đó mnA = 0.
1.2 Biểu diễn thứ cấp của môđun Artin
Lý thuyết biểu diễn thứ cấp được đưa ra bởi I.G.Macdonald [7] được xem như là đối
ngẫu với lý thuyết phân tích nguyên sơ quen biết cho các môđun Noether. Dưới đây là
6
một số kiến thức cơ bản về lý thuyết này (được trích từ [7]).
Định nghĩa 1.2.1. Cho S là một R− môđun. Ta nói S là môđun thứ cấp nếu S (cid:54)= 0, và
với mỗi x ∈ R ta có xS = S hoặc tồn tại n ∈ N sao cho xnS = 0. Trong trường hợp này ta
có p = Rad(AnnR(A)) là iđêan nguyên tố của R. Khi đó, ta gọi S là môđun p−thứ cấp.
Định nghĩa 1.2.2. Cho A là R− môđun. Một biểu diễn thứ cấp của A là một biểu diễn
A thành tổng của hữu hạn các môđun con thứ cấp của A. Một biểu diễn thứ cấp A =
A1 + · · · + At của A (trong đó Ai là pi− thứ cấp với mọi i = 1, . . . ,t) được gọi là tối giản
khi nó thỏa mãn hai điều kiện sau
(i) p1, . . . , pt là t iđêan nguyên tố khác nhau đôi một của R.
1=i(cid:54)= j Ai với mọi j = 1, . . . ,t
(ii) A j (cid:42) ∑t
Ta nói một R− môđun A là biểu diễn được nếu nó có một biểu diễn thứ cấp nào đó. Ta
dễ thấy nếu R− môđun A biểu diễn được thì nó luôn có một biểu diễn thứ cấp tối giản.
Định nghĩa 1.2.3. Cho A là một R− môđun biểu diễn được và A = A1 + · · · + At với
Ai là pi− thứ cấp (1 ≤ i ≤ t) là một biểu diễn thứ cấp tối giản của A. Khi đó, tập hợp
{p1, . . . , pt} được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của A, kí hiệu là Att(A) hoặc
AttR A. Mỗi phần tử của tập AttR A được gọi là iđêan nguyên tố gắn kết của A.
Mệnh đề 1.2.4. Nếu R− môđun A là biểu diễn được thì tập AttR A chỉ phụ thuộc vào
A mà không phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A. Cho p là iđêan
nguyên tố của R, khi đó các khẳng định sau là tương đương
(i) p ∈ AttR A.
(ii) A có môđun thương là p− thứ cấp.
7
(iii) A có môđun thương Q sao cho Rad(Q) = p.
(iv) A có môđun thương Q sao cho p là phần tử tối thiểu trong tập các iđêan nguyên
tố chứa AnnR(Q).
(v) A có môđun thương Q sao cho AnnR(Q) = p.
Mệnh đề 1.2.5. (xem [7]) Cho R là vành giao hoán Noether, A là R− môđun biểu diễn
được. Khi đó các phát biểu sau đây là đúng.
(i) AttR A = /0 khi và chỉ khi A = 0.
(ii) AttR A = {m} khi và chỉ khi A (cid:54)= 0 và (cid:96)R(A) < ∞.
(iii) Nếu 0 → A(cid:48) → A → A(cid:48)(cid:48) → 0 là dãy khớp các R− môđun Artin thì
AttR A(cid:48)(cid:48) ⊆ AttR A ⊆ AttR A(cid:48) ∪ AttR A(cid:48)(cid:48).
(iv) min AttR A = min Var (AnnR A). Đặc biệt, ta có
dim (R/AnnR A) = max {dim (R/p) | p ∈ AttR A}.
Mệnh đề 1.2.6. Cho A là một R− môđun Artin. Khi đó A là môđun biểu diễn được và
AttR A là tập hữu hạn.
Mệnh đề 1.2.7. Cho A là R− môđun Artin và x ∈ R. Khi đó các phát biểu sau là đúng
p∈AttR A p.
(i) xA = A nếu và chỉ nếu x ∈ R\ (cid:83)
p∈AttR A p.
(ii) (cid:112)Ann(A) = (cid:84)
Định nghĩa 1.2.8. (Tôpô m - adic) Cho (R, m) là vành Noether địa phương. Khi đó, một
dãy (xn) ⊆ R được gọi là một dãy Cauchy theo tôpô m− adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước,
8
tồn tại số tự nhiên n0 sao cho xn − xm ∈ mk với mọi n, m ≥ n0. Dãy (xn) được gọi là hội tụ
về 0 nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại số n0 sao cho xn ∈ mk với mọi n ≥ n0. Ta trang
bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Hai dãy Cauchy (xn), (yn) được
gọi là tương đương nếu dãy (xn − yn) có giới hạn 0. Kí hiệu (cid:98)R là tập các lớp tương đương.
Chú ý rằng quy tắc cộng (xn) + (yn) = (xn + yn) và quy tắc nhân (xn)(yn) = (xnyn) không
phụ thuộc vào cách chọn các đại diện của các lớp tương đương. Vì thế nó là các phép
toán trên (cid:98)R và cùng với hai phép toán này, (cid:98)R làm thành một vành Noether địa phương với
iđêan tối đại duy nhất là m (cid:98)R. Vành (cid:98)R vừa xây dựng được gọi là vành đầy đủ theo tôpô
m− adic của R.
Một dãy (zn) ⊆ M được gọi là dãy Cauchy theo tôpô m− adic nếu với mỗi k ∈ N cho
trước, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho zn − zm ∈ mkM với mọi n, m ≥ n0. Từ khái niệm dãy
Cauchy như trên, tương tự ta định nghĩa được khái niệm môđun đầy đủ theo tôpô m−
adic trên vành (cid:98)R. Môđun này được kí hiệu là (cid:98)M.
Chú ý 1.2.9. Kí hiệu (cid:98)R là vành đầy đủ theo tôpô m− adic. Cho u ∈ A và cho x = [(xn)] ∈
(cid:98)R, trong đó xn ∈ R. Khi đó (u) = {au | a ∈ R} là một môđun con của A, do đó nó là
môđun Artin. Chú ý rằng (u) là hữu hạn sinh. Vì thế (u) vừa là môđun Artin, vừa là
môđun Noether. Do đó (u) là môđun có độ dài hữu hạn. Vì thế tồn tại số tự nhiên k sao
cho mku = 0. Vì (xn) là dãy Cauchy, nên tồn tại số tự nhiên n0 sao cho xn − xm ∈ mk với
mọi m, n ≥ n0. Do đó ta có (xn − xm)u = 0 với mọi m, n ≥ n0. Suy ra xnu không đổi khi
n ≥ n0. Do đó ta có thể định nghĩa xu = xnu với n ≥ n0. Dễ kiểm tra được đây là một
phép nhân với vô hướng trên A. Do đó A có cấu trúc (cid:98)R− môđun. Với cấu trúc này, một
9
tập con của A là một R− môđun con của A nếu và chỉ nếu nó là (cid:98)R− môđun con của A.
Vì thế dàn môđun con của A xét như (cid:98)R− môđun chính là dàn môđun con của A xét như
R− môđun. Do đó A là một (cid:98)R− môđun Artin.
Ta có thể đồng nhất R như một vành con của (cid:98)R bằng cách coi mỗi phần tử a ∈ R là
lớp tương đương của dãy hằng (an) trong (cid:98)R, trong đó an = a với mọi n.
(cid:98)R (cid:98)M}.
Chú ý rằng với mỗi R− môđun hữu hạn sinh M ta có AssR M = {p ∩ R | (cid:98)p ∈ Ass
Dưới đây là kết quả tương ứng cho các iđêan nguyên tố gắn kết.
(cid:98)R A}.
Mệnh đề 1.2.10. (xem [3, 8.2.4 và 8.2.5]) AttR A = { (cid:98)p ∩ R | (cid:98)p ∈ Att
1.3 Môđun đối đồng điều địa phương
Đối đồng điều địa phương được giới thiệu bởi A. Grothendieck vào những năm 1960.
Ngày nay đối đồng điều địa phương đã trở thành công cụ không thể thiếu trong Hình học
đại số, Đại số giao hoán. Trước hết ta giới thiệu khái niệm hàm tử I− xoắn.
Định nghĩa 1.3.1. (Hàm tử I− xoắn) Cho I là iđêan của R. Với mỗi R− môđun M, ta
định nghĩa
n≥0
ΓI(M) = (cid:91) (0 :M In).
Nếu f : M → N là đồng cấu các R− môđun thì ta có đồng cấu cảm sinh f ∗ : ΓI(M) →
ΓI(N) cho bởi f ∗(m) = f (m). Khi đó ΓI(−) là một hàm tử hiệp biến, tuyến tính, khớp
trái từ phạm trù các R− môđun đến phạm trù các R− môđun. ΓI(−) được gọi là hàm tử
I− xoắn.
Định nghĩa 1.3.2. (Môđun nội xạ) Một R− môđun M được gọi là nội xạ nếu với mọi
10
đơn cấu f : N → N(cid:48) và mọi đồng cấu g : N → M, thì tồn tại R− đồng cấu h : N(cid:48) → M sao
cho g = h ◦ f .
f2−→ · · ·
Định nghĩa 1.3.3. (Giải nội xạ) Một giải nội xạ của R− môđun M là một dãy khớp
µ −→ E0
f0−→ E1
f1−→ E2
0 → M
trong đó Ei là các R− môđun nội xạ với mọi i ≥ 0.
Chú ý 1.3.4. Giải nội xạ của một môđun M luôn tồn tại.
Định nghĩa 1.3.5. (Môđun đối đồng điều địa phương) Cho M là R− môđun và I là iđêan
f2−→ · · ·
của R. Cho giải nội xạ của M
µ −→ E0
f0−→ E1
f1−→ E2
0 → M
f ∗ 2−→ · · ·
Tác động hàm tử I− xoắn vào dãy khớp trên ta được phức
f ∗ 0−→ ΓI(E1)
f ∗ 1−→ ΓI(E2)
0 → ΓI(E0)
i / Im f ∗
I(M) = Ker f ∗
i−1 (với mọi i ≥ 0) là môđun đối đồng điều thứ i của phức
Khi đó Hi
và được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với iđêan I.
Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa phương.
Mệnh đề 1.3.6. Cho M là một R− môđun.
I(M) = 0 với mọi i ≥ 1.
(a) Nếu M là nội xạ thì Hi
I (M).
(b) ΓI(M) ∼= H0
11
(c) Nếu 0 → M(cid:48) → M → M(cid:48)(cid:48) → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu nối
I (M(cid:48)(cid:48)) → Hn+1 Hn
I
(M(cid:48)) với mọi n ≥ 0 sao cho ta có dãy khớp dài
I (M(cid:48))
0 → ΓI(M(cid:48)) → ΓI(M) → ΓI(M(cid:48)(cid:48)) → H1
I (M) → H1
I (M(cid:48)(cid:48)) → H2
I (M(cid:48)) → · · ·
→ H1
Kết quả sau đây cho ta tính chất giao hoán giữa đối đồng điều địa phương và hàm tử
địa phương hóa.
Mệnh đề 1.3.7. Nếu S là tập đóng nhân của R và S−1 là hàm tử địa phương hóa thì
I (M))p
I (M) ∼= Hn
S−1I(S−1M). Đặc biệt, (Hn
S−1Hn (Mp) với mọi iđêan nguyên tố p ∼= Hn IRp
của R.
Từ mệnh đề trên ta có kết quả sau.
I (M) nếu và chỉ nếu pRp ∈ Ass Hn IRp
Mệnh đề 1.3.8. Với mỗi p ∈ Spec R, ta có p ∈ Ass Hn (Mp).
Tiếp theo ta xét thêm một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa
phương.
Mệnh đề 1.3.9. Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether, M là R− môđun hữu
m(M) là môđun Artin với mọi i.
hạn sinh. Khi đó Hi
Định lý 1.3.10. (Định lí triệt tiêu Grothendieck) Cho R là vành giao hoán Noether, I là
I(M) = 0 với mọi i > dim(M).
iđêan của R và M là R− môđun. Khi đó Hi
Mệnh đề 1.3.11. Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether, I là iđêan của R,
I (M) là môđun Artin.
M là R− môđun hữu hạn sinh khác 0 có chiều bằng n. Khi đó Hn
1.4 Dãy chính quy và độ sâu của môđun
12
Trước hết ta nhắc lại khái niệm dãy chính quy cho một môđun M trên vành R tùy ý.
Định nghĩa 1.4.1. (M− dãy chính quy) Cho R là vành giao hoán Noether và M là R−
môđun hữu hạn sinh khác 0. Phần tử a ∈ R được gọi là phần tử M−chính quy nếu a
không là ước của 0 trong M (tức là nếu có x ∈ M mà ax = 0 thì suy ra x = 0). Một dãy
các phần tử a1, . . . , an ∈ R được gọi là M− dãy chính quy nếu
(i) M/(a1, . . . , an)M (cid:54)= 0 và
(ii) ai là phần tử M/(a1, . . . , ai−1)M− chính quy, với mọi i = 1, . . . , n.
Dãy các phần tử (a1, . . . , an) ∈ R được gọi là M- dãy chính quy nghèo nếu nó chỉ thỏa
mãn điều kiện (ii) trong định nghĩa trên.
Độ dài của M− dãy là số phần tử của dãy đó. Một M− dãy không có phần tử nào gọi
là M− dãy có độ dài 0.
Chú ý 1.4.2. Giả sử M là môđun hữu hạn sinh trên R. Khi đó
(i) a ∈ R là phần tử M− chính quy nếu và chỉ nếu a /∈ p với mọi p ∈ AssR M.
(ii) a1, . . . , an ∈ R là M− dãy chính quy khi và chỉ khi M/(a1, . . . , an)M (cid:54)= 0 và ai /∈
p, ∀p ∈ AssR M/(a1, . . . , ai−1)M với i = 1, . . . , n.
Mệnh đề 1.4.3. (xem [8, Định lý 16.1 và Bài tập 6.3]) Cho (R, m) là vành địa phương,
M là R− môđun hữu hạn sinh và (a1, . . . , ak) ∈ m là M− dãy chính quy thì
k ) là M− chính quy với mọi số nguyên dương n1, . . . , nk.
1 , . . . , ank
(i) (an1
k )M) = AssR(M/(a1, . . . , ak)M).
1 , . . . , ank
(ii) AssR(M/(an1
Định nghĩa 1.4.4. (M− dãy chính quy tối đại) Cho R là vành giao hoán Noether và M
là R− môđun hữu hạn sinh khác 0. Lấy I là iđêan của R sao cho M (cid:54)= IM và a1, . . . , an
13
là M− dãy chính quy trong I. Ta nói rằng a1, . . . , an là M− dãy chính quy tối đại trong I
nếu không tồn tại phần tử an+1 ∈ I sao cho a1, . . . , an, an+1 là M− dãy chính quy có độ
dài n + 1.
Định nghĩa 1.4.5. (Độ sâu của môđun) Cho R là vành giao hoán Noether và M là R−
môđun hữu hạn sinh khác 0. Lấy I là iđêan của R sao cho M (cid:54)= IM. Khi đó mọi dãy chính
quy của M trong I đều có thể mở rộng thành dãy chính quy tối đại trong I và các dãy
chính quy tối đại của M trong I có cùng độ dài. Độ dài chung này được gọi là độ sâu của
M trong I. Kí hiệu là depth(I, M). Nếu M = IM thì ta quy ước depth(I, M) = ∞
Nhận xét: Nếu R là vành địa phương với iđêan cực đại m. Khi đó mọi M−dãy chính
quy a1, . . . , an phải có các phần tử thuộc m, đơn giản vì M (cid:54)= (a1, . . . , an)M. Chú ý ta có
M (cid:54)= mM khi M (cid:54)= 0 theo Bổ đề Nakayama. Do đó dãy các phần tử của R là M− dãy
chính quy khi và chỉ khi nó là M− dãy chính quy trong m. Trong trường hợp này, độ sâu
của M trong m gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depth M.
Kết quả sau đây là đặc trưng qua tính không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa
phương.
Mệnh đề 1.4.6. Giả sử I là iđêan của R và M là hữu hạn sinh. Khi đó
I(M) (cid:54)= 0}.
depth(I, M) = inf{i | Hi
1.5 Đối ngẫu Matlis và một số tính chất
Cho A là R− môđun Artin khác không trên vành địa phương (R, m). Khi đó, theo chú
ý 1.2.9 A có cấu trúc tự nhiên của (cid:98)R− môđun Artin. Do có cấu trúc đặc biệt như vậy
14
nên người ta có thể chuyển việc nghiên cứu môđun Artin trên một vành giao hoán bất kì
về việc nghiên cứu trên vành địa phương. Hơn nữa, việc nghiên cứu cấu trúc của môđun
Artin trong một số trường hợp có thể chuyển về nghiên cứu trên môđun Noether nhờ lý
thuyết đối ngẫu Matlis. Dưới đây là một số tính chất của đối ngẫu Matlis hay được sử
dụng trong luận văn (trích từ tài liệu [3]).
Cho (R, m) là vành địa phương, đầy đủ. Đặt E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng
dư R/m của R. Xét hàm tử D(−) = HomR(−, E(R/m) từ phạm trù các R− môđun và
R− đồng cấu vào chính nó. Vì E(R/m) là môđun nội xạ nên D(−) là hàm tử khớp. Với
mỗi R− môđun K, ta sẽ gọi D(K) là đối ngẫu Matlis của K. Ta kí hiệu (cid:98)R và (cid:98)K là đầy đủ
của R và K đối với tô pô m− adic. Một vành R gọi là đầy đủ nếu (cid:98)R = R. Khi đó ta có các
kết quả sau
Mệnh đề 1.5.1. Giả sử (R, m) là vành giao hoán địa phương, Noether, đầy đủ. Khi đó
(i) Nếu N là R− môđun Noether thì D(N) là R− môđun Artin.
(ii) Nếu A là R− môđun Artin thì D(A) là R− môđun Noether.
(iii) Nếu M là hữu hạn sinh thì D(M) là R− môđun Artin.
(iv) Trong trường hợp khi R không nhất thiết đầy đủ, ta luôn có D(L) là (cid:98)R - môđun
hữu hạn sinh với mọi R− môđun Artin L.
Mệnh đề 1.5.2. Cho (R, m) là vành Noether địa phương đầy đủ, N là R− môđun Noether,
A là R− môđun Artin và j, a ∈ N, j > 0. Khi đó
(i) D(IaN/Ia+ jN) ∼= (0 :D(N) Ia+ j)/(0 :D(N) Ia).
(ii) D((0 :A Ia+ j)/(0 :A Ia)) ∼= IaD(A)/Ia+ jD(A).
15
(iii) AttR(0 :A Ia) = AssR D(A)/IaD(A).
Mệnh đề 1.5.3. Cho R là vành địa phương, đầy đủ. Khi đó
(i) Nếu N là R− môđun Noether thì AttR(D(N)) = AssR(N).
16
(ii) Nếu A là R− môđun Artin thì AssR(D(A)) = AttR(A).
Chương 2
Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin
Trong chương này, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noerther địa phương với
iđêan cực đại duy nhất là m. Cho A là một R− môđun Artin và M là một R− môđun hữu
hạn sinh có dim M = d. Kiến thức được trình bày trong chương này dựa vào bài báo [9].
2.1 Khái niệm đối dãy từ chiều > s và một số tính chất
Với mỗi tập con S của Spec(R) và mỗi s ∈ Z (mà s ≥ −1), ta kí hiệu
S>s = {p ∈ S | dim(R/p) > s}, và S≥s = {p ∈ S | dim(R/p) ≥ s}.
Trước hết ta giới thiệu khái niệm đối dãy từ chiều > s cho các môđun Artin.
Định nghĩa 2.1.1. Một dãy các phần tử (x1, . . . , xk) trong m được gọi là A− đối dãy từ
chiều >s nếu xi /∈ p với mọi p ∈ (AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R))>s với mọi i = 1, . . . , k.
Rõ ràng rằng một A− đối dãy từ chiều > −1 chính là một A− đối dãy đã được định
nghĩa bởi A. Ooishi trong [10].
Sau đây ta trình bày thêm một số tính chất về các iđêan nguyên tố gắn kết của các
17
môđun Artin với một số điều kiện nhất định.
Bổ đề 2.1.2. Các phát biểu sau là đúng.
(i) Nếu x ∈ m sao cho x /∈ p với mọi p ∈ (AttR A)>s thì dim (R/ AnnR(A/xA)) ≤ s.
(ii) dim (R/ AnnR A) ≤ s nếu và chỉ nếu (AttR A)>s = /0. Trong trường hợp này, với bất
kì môđun con B của A ta luôn có (AttR B)s ⊆ (AttR A)s.
Chứng minh. (i) Lấy A = A1 + · · · + At là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A, trong đó
Ai là pi− thứ cấp với mọi i = 1, . . . ,t. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng
tồn tại số nguyên r mà 0 ≤ r ≤ t sao cho dim (R/pi) > s với mọi i ≤ r và dim (R/pi) ≤ s
với mọi i > r. Như vậy từ giả thiết suy ra rằng phần tử x ∈ m thỏa mãn x /∈ pi với mọi
1 ≤ i ≤ r. Từ đó suy ra xAi = Ai với mọi i ≤ r. Do đó ta có
A/xA = (trong đó B = Ar+1 + . . . + At)
=
. ∼= (A1 + · · · + Ar) + B (A1 + · · · + Ar) + xB (A1 + · · · + Ar + xB) + B (A1 + · · · + Ar + xB) B B ∩ (A1 + · · · + Ar + xB)
Kết hợp với Mệnh đề 1.2.5(iv) ta có
{dim(R/pi)} ≤ s. dim(R/ AnnR(A/xA) ≤ dim(R/ AnnR B) = max i>r
(lưu ý rằng AttR B = {pr+1, . . . , pt}).
(ii) Theo Mệnh đề 1.2.5(iv) ta có
dim (R/AnnR A) = max {dim (R/p) | p ∈ AttR A}.
Do đó
18
dim (R/ AnnR A) ≤ s nếu và chỉ nếu (AttR A)>s = /0.
Lấy B là một môđun con của A và lấy p ∈ (AttR B)s. Theo Mệnh đề 1.2.5(iv) ta có
min AttR B = min Var(AnnR B). Do đó p ⊇ AnnR B. Mà AnnR B ⊇ AnnR A. Cho nên p ⊇
AnnR A. Lại vì dim (R/p) = s và dim (R/ AnnR A) ≤ s, nên ta được p ∈ min Var (AnnR A).
f −→ A
Mà min AttR A = min Var(AnnR A). Từ đó p ∈ (AttR A)s. Vậy (AttR B)s ⊆ (AttR A)s.
g −→ B h−→ Q là một dãy khớp của các R− môđun Artin. Giả sử
Bổ đề 2.1.3. Cho P
rằng dim (R/ AnnR P) ≤ s và dim (R/ AnnR Q) ≤ s. Khi đó
(AttR A)>s = (AttR B)>s và (AttR A)s ⊆ (AttR B)s ∪ (AttR P)s.
Chứng minh. Lấy B = B1 + · · · + Bt là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của B, với Bi là pi−
thứ cấp. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử tồn tại một số nguyên r mà 0 ≤ r ≤ t
sao cho dim (R/pi) > s với mọi i ≤ r và dim (R/pi) ≤ s với mọi i > r. Vì Im h ∼= B/ Ker h
nên theo Mệnh đề 1.2.5(iii), ta có
AttR(Im h) = AttR(B/ Ker h) ⊆ AttR B = {p1, . . . , pt}.
Vì Im h ⊆ Q nên dim (R/ AnnR Im h) ≤ dim (R/ AnnR Q) ≤ s. Theo Mệnh đề 1.2.5(iv)
ta thấy rằng dim (R/p) ≤ s với mọi p ∈ AttR Im h. Những điều này lại kéo theo rằng
i>r pi.
AttR(Im h) ⊆ {pr+1, . . . , pt}. Lưu ý AttR(Br+1 +· · ·+Bt) = {pr+1, . . . , pt}. Đặt p = (cid:84)
Vì p là hữu hạn sinh, nên tồn tại n ∈ N sao cho pn ∑i>r Bi = 0 và pn(Im h) = 0. Do đó
19
0 = pn(Im h) = pn(B/ Ker h). Suy ra pnB ⊆ Ker h. Rõ ràng dim (R/p) ≤ s. Từ đó ta có
p (cid:42) pi với mọi i ≤ r. Dẫn đến pBi = Bi với mọi i ≤ r. Suy ra
i>r
Bi) pnB = pn(B1 + · · · + Br + ∑
i>r
Bi = pnB1 + . . . + pnBr + pn ∑
= pnB1 + . . . + pnBr
= B1 + · · · + Br.
Đặt B(cid:48) = B1 + · · · + Br. Khi đó B(cid:48) = pnB ⊆ Ker h = Im g. Như vậy ta có môđun thương
Im g/B(cid:48). Chú ý rằng AttR B(cid:48) = {p1, . . . , pr} và AttR(B/B(cid:48)) = {pr+1, . . . , pt}. Suy ra ta có
dim(R/ AnnR(B/B(cid:48))) ≤ s theo Mệnh đề 1.2.5(iv), và có dim(R/ AnnR(Im g/B(cid:48))) ≤ s (do
Im g/B(cid:48) là môđun con của B/B(cid:48)). Từ đó theo Bổ đề 2.1.2(ii) và Mệnh đề 1.2.5(iii) ta có
(AttR(Im g/B(cid:48)))>s = /0 và
(AttR(Im g/B(cid:48)))s ⊆ (AttR(B/B(cid:48)))s ⊆ (AttR B)s.
Áp dụng Bổ đề 2.1.2(ii) và Mệnh đề 1.2.5(iii) cho dãy khớp
0 → B(cid:48) → Im g → Im g/B(cid:48) → 0
ta có
(AttR Im g)>s ⊆ (AttR(Im g/B(cid:48)))>s ∪ (AttR B(cid:48))>s
(1) = (AttR B(cid:48))>s = (AttR B)>s và
(2) (AttR Im g)s ⊆ (AttR(Im g/B(cid:48)))s ∪ (AttR B(cid:48))s ⊆ (AttR B)s.
20
(lưu ý rằng (AttR(Im g/B(cid:48)))>s = /0 và (AttR B(cid:48))s = /0).
Vì B/ Im g ∼= Im h ⊆ Q, nên dim(R/ AnnR(B/ Im g)) ≤ s. Từ đó theo Bổ đề 2.1.2(ii) ta có
(AttR(B/ Im g))>s = /0.
Do đó từ dãy khớp 0 → Im g → B → B/ Im g → 0 ta suy ra
(AttR B)>s ⊆ (AttR(B/ Im g))>s ∪ (AttR Im g)>s = (AttR Im g)>s.
Từ đó kết hợp với (1) ta được (AttR B)>s = (AttR Im g)>s. Bởi vì Ker g ∼= P/ Ker f và
dim(R/ AnnR P) ≤ s nên ta được theo Bổ đề 2.1.2(ii) rằng (AttR Ker g)>s = /0. Suy ra
(AttR A)>s ⊆ (AttR(A/ Ker g))>s ∪ (AttR(Ker g))>s
= (AttR(A/ Ker g))>s ⊆ (AttR(A))>s.
Cho nên
(AttR A)>s = (AttR(A/ Ker g))>s = (AttR Im g)>s.
Dẫn đến (AttR A)>s = (AttR B)>s.
Đối với khẳng định cuối, ta xét dãy khớp
0 → P/ Ker f → A → Im g → 0
Theo Mệnh đề 1.2.5(ii) ta có
(AttR A)s ⊆ (AttR(P/ Ker f ))s ∪ (AttR Im g)s
⊆ (AttR P)s ∪ (AttR Im g)s.
Vì vậy theo (2) ta suy ra rằng (AttR A)s ⊆ (AttR P)s ∪ (AttR B)s.
21
Bổ đề 2.1.4. Lấy 0 −→ A(cid:48) −→ A −→ A(cid:48)(cid:48) −→ 0 là dãy khớp các R− môđun Artin với
dim (R/ AnnR A(cid:48)) ≤ s. Khi đó với bất kì dãy các phần tử (x1, . . . , xk) của R ta có
(AttR(0 :A (x1, . . . , xk)R))>s = (AttR(0 :A(cid:48)(cid:48) (x1, . . . , xk)R))>s;
(AttR(0 :A (x1, . . . , xk)R))s ⊆ (AttR(0 :A(cid:48)(cid:48) (x1, . . . , xk)R))s ∪ (AttR A(cid:48))s.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo k. Lấy k = 1 và x1 ∈ R là một phần tử
x1
x1
x1
tùy ý của R ta có biểu đồ giao hoán
(cid:121) (cid:121)
0 −−−→ A(cid:48) −−−→ A −−−→ A(cid:48)(cid:48) −−−→ 0 (cid:121) 0 −−−→ A(cid:48) −−−→ A −−−→ A(cid:48)(cid:48) −−−→ 0
Theo Bổ đề con Rắn, từ biểu đồ trên ta có dãy khớp Ker − Coker
f −→ 0 :A(cid:48)(cid:48) x1 → A(cid:48)/x1A(cid:48).
0 → 0 :A(cid:48) x1 → 0 :A x1
Vì dim (R/ AnnR A(cid:48)) ≤ s theo giả thiết, ta có
dim (R/ AnnR(0 :A(cid:48) x1) ≤ s và dim (R/ AnnR(A(cid:48)/x1A(cid:48))) ≤ s.
Do đó, theo Bổ đề 2.1.3 ta có
(AttR(0 :A x1))>s = (AttR(0 :A(cid:48)(cid:48) x1))>s,
(AttR(0 :A x1))s ⊆ (AttR(0 :A(cid:48)(cid:48) x1))s ∪ (AttR(0 :A(cid:48) x1))s.
Vì dim (R/ AnnR A(cid:48)) ≤ s, nên ta thu được theo Bổ đề 2.1.2(ii) rằng
(AttR(0 :A(cid:48) x1))s ⊆ (AttR A(cid:48))s.
Từ đó
22
(AttR(0 :A x1))s ⊆ (AttR(0 :A(cid:48)(cid:48) x1))s ∪ (AttR A(cid:48))s,
nên trường hợp k = 1 được chứng minh. Giả sử k > 1. Từ dãy khớp Ker − Coker ở trên,
ta thu được hai dãy khớp
0 → 0 :A(cid:48) x1 → 0 :A x1 → Im f → 0,
0 → Im f → 0 :A(cid:48)(cid:48) x1 → A(cid:48)/x1A(cid:48).
Vì dim (R/ AnnR(0 :A(cid:48) x1)) ≤ s, nên theo giả thiết quy nạp ta thu được từ dãy khớp thứ
nhất rằng
(AttR(0 :A (x1, . . . , xk)R))>s = (AttR(0 :0:Ax1 (x2, . . . , xk)R))>s
= (AttR(0 :Im f (x2, . . . , xk)R))>s,
(3) (AttR(0 :A (x1, . . . , xk)R))s ⊆ (AttR(0 :Im f (x2, . . . , xk)R))s
∪ (Att(0 :A(cid:48) x1))s.
Vì (AttR(0 :A(cid:48) x1))s ⊆ (AttR A(cid:48))s theo Bổ đề 2.1.2(ii), nên ta có
(4) (AttR(0 :A (x1, . . . , xk)R))s ⊆ (AttR(0 :Im f (x2, . . . , xk)R))s ∪ (AttR A(cid:48))s.
Tiếp theo ta áp dụng hàm tử khớp trái Hom (R/(x2, . . . , xk)R; −) vào dãy khớp thứ hai,
khi đó ta thu được dãy khớp
0 → Hom (R/(x2, . . . , xk)R; Im f ) → Hom (R/(x2, . . . , xk)R; 0 :A(cid:48)(cid:48) x1)
→ Hom (R/(x2, . . . , xk)R; A(cid:48)/x1A(cid:48)).
Mà HomR(R/I, M) ∼= (0 :M I) nên từ dãy khớp trên ta có dãy khớp
0 → (0 :Im f (x2, . . . , xk)R) → (0 :A(cid:48)(cid:48) (x1, . . . , xk)R) → (0 :A(cid:48)/x1A(cid:48) (x2, . . . , xk)R).
23
Theo giả thiết, ta có dim (R/ AnnR(0 :A(cid:48)/x1A(cid:48) (x2, . . . , xk)R)) ≤ s. Do đó, bằng việc sử
dụng Bổ đề 2.1.3 cho dãy khớp này, ta thu được rằng
(Att(0 :Im f (x2, . . . , xk)R))>s = (Att(0 :A(cid:48)(cid:48) (x1, . . . , xk)R))>s,
(Att(0 :Im f (x2, . . . , xk)R))s ⊆ (Att(0 :A(cid:48)(cid:48) (x1, . . . , xk)R))s.
Kết hợp với (3) và(4) ta có
(AttR(0 :A (x1, . . . , xk)R))>s = (AttR(0 :A(cid:48)(cid:48) (x1, . . . , xk)R))>s;
(AttR(0 :A (x1, . . . , xk)R))s ⊆ (AttR(0 :A(cid:48)(cid:48) (x1, . . . , xk)R))s ∪ (AttR A(cid:48))s.
Bổ đề 2.1.5. Một dãy (x1, . . . , xk) các phần tử của m là một A− đối dãy từ chiều > s
(cid:98)R A)
(cid:98)p− dãy chính quy nghèo với mọi (cid:98)p ∈ Var(Ann
nếu và chỉ nếu ( ¯x1, . . . , ¯xk) là một D(A)
(cid:98)p với mọi i = 1, . . . , k.
thỏa mãn dim (R/(cid:98)p ∩ R) > s. Ở đây, ¯xi là ảnh của xi trong (cid:98)R
Chứng minh. Lấy (x1, . . . , xk) là một A− đối dãy từ chiều > s. Giả sử rằng tồn tại iđêan
(cid:98)R A) thỏa mãn dim (R/(cid:98)p ∩ R) > s sao cho ( ¯x1, . . . , ¯xk) không là
nguyên tố (cid:98)p ∈ Var(Ann
(cid:98)p− dãy chính quy nghèo. Khi đó tồn tại một số nguyên j ∈ {1, . . . , k} và tồn
một D(A)
(cid:98)p) sao cho ¯x j ∈ (cid:98)q (cid:98)R (cid:98)p.
(cid:98)p/(x1, . . . , x j−1)D(A)
(cid:98)p ∈ Ass (cid:98)R (cid:98)p
(D(A) tại iđêan nguyên tố liên kết (cid:98)q (cid:98)R
(cid:98)R(D(A)/(x1, . . . , x j−1)D(A)) và (cid:98)q ⊆ (cid:98)p. Chú ý rằng theo Mệnh đề
Từ đó dẫn đến (cid:98)q ∈ Ass
1.5.2 ta có
D(A)/(x1, . . . , x j−1)D(A) ∼= D(0 :A (x1, . . . , x j−1)R).
(cid:98)R D(0 :A (x1, . . . , x j−1)R) = Att
(cid:98)R(0 :A (x1, . . . , x j−1)R) theo Mệnh đề 1.5.3.
Khi đó (cid:98)q ∈ Ass
Đặt q = (cid:98)q ∩ R. Theo Mệnh đề 1.2.10, ta có q ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , x j−1)R). Bởi vì (cid:98)q ⊆ (cid:98)p
(cid:98)p nên x j ∈ (cid:98)q mà x j ∈ R cho nên ta có x j ∈ (cid:98)q ∩ R = q. Rõ ràng rằng dim (R/q) ≥
24
và ¯x j ∈ (cid:98)q (cid:98)R
dim (R/(cid:98)p ∩ R) > s. Do đó (x1, . . . , xk) không là một A− đối dãy từ chiều > s, đây là điều
mâu thuẫn.
(cid:98)p− dãy chính quy nghèo với mọi (cid:98)p ∈ Var(Ann
(cid:98)R A)
Ngược lại, cho ( ¯x1, . . . , ¯xk) là một D(A)
thỏa mãn dim (R/(cid:98)p ∩ R) > s. Giả sử rằng (x1, . . . , xk) không là A− đối dãy từ chiều > s.
Khi đó tồn tại j ∈ {1, . . . , k} sao cho x j ∈ p với p ∈ (AttR(0 :A (x1. . . . , x j−1)R))>s nào
(cid:98)R(0 :A (x1, . . . , x j−1)R) sao cho (cid:98)p ∩ R = p. Do đó
đó. Theo Mệnh đề 1.2.10 tồn tại (cid:98)p ∈ Att
(cid:98)R(D(A)/(x1, . . . , x j−1)D(A)) theo Mệnh đề 1.5.2 và Mệnh đề 1.5.3. Từ đó
ta có (cid:98)p ∈ Ass
(cid:98)p/(x1, . . . , x j−1)D(A)
(cid:98)p).
(cid:98)p ∈ Ass (cid:98)R (cid:98)p
(D(A) ¯x j ∈ (cid:98)p (cid:98)R
Do đó theo định nghĩa thì ( ¯x1, . . . , ¯xk) không là một dãy chính quy nghèo của (D(A)) (cid:98)p
với dim (R/(cid:98)p ∩ R) = dim(R/p) > s, điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vì vậy ta có điều phải
chứng minh.
k ) cũng là
1 , . . . , xnk
Hệ quả 2.1.6. Nếu (x1, . . . , xk) là một A− đối dãy từ chiều > s thì (xn1
A− đối dãy từ chiều > s với mọi số nguyên dương n1, . . . , nk.
Chứng minh. Lấy (x1, . . . , xk) là một A− đối dãy từ chiều > s. Lấy n1, . . . , nk là các
(cid:98)p dãy chính quy nghèo
số nguyên dương. Theo Bổ đề 2.1.5 ( ¯x1, . . . , ¯xk) là một D(A)
(cid:98)R A) thỏa mãn dim (R/(cid:98)p ∩ R) > s. Khi đó theo Mệnh đề 1.4.3
với mọi (cid:98)p ∈ Var(Ann
k ) cũng là một D(A)
1 , . . . , ¯xnk
(cid:98)p−dãy chính quy nghèo với mọi (cid:98)p ∈ Var(Ann
(cid:98)R A) thỏa
k ) là một A− đối dãy từ
1 , . . . , xnk
( ¯xn1
mãn dim (R/(cid:98)p ∩ R) > s. Lại theo Bổ đề 2.1.5, ta có (xn1
25
chiều > s.
2.2 Chứng minh Định lý 1.
Mục này dành để chứng minh kết quả chính thứ nhất trong luận văn. Để tiện cho việc
theo dõi ta phát biểu lại định lý đó dưới đây.
Định lý 2.2.1. Giả sử (x1, . . . , xk) là một A− đối dãy từ chiều > s. Khi đó tập (AttR(0 :A
k )R))≥s là
k )R))>s độc lập với n1, . . . , nk và tập (cid:83)
1 , . . . , xnk
1 , . . . , xnk
n1,...,nk
(xn1 (AttR(0 :A (xn1
hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử rằng (x1, . . . , xk) là một A− đối dãy từ chiều > s. Lấy các số nguyên
k ) là một A− đối dãy từ chiều > s theo Hệ quả
1 , . . . , xnk
dương n1, . . . , nk. Khi đó (xn1
1 , . . . , xnk
k )R))>s. Theo Mệnh đề 1.2.10, tồn tại
1 , . . . , xnk
k )R) sao cho (cid:98)p ∩ R = p. Từ đó kết hợp với Mệnh đề 1.5.3 ta thấy
2.1.6. Bây giờ ta lấy p ∈ (AttR (0 :A (xn1
(cid:98)R(0 :A (xn1
k )D(A)). Do đó ta có
1 , . . . , xnk
(cid:98)p ∈ Att
(cid:98)R(D(A)/(xn1
rằng (cid:98)p ∈ Ass
k )D(A)
1 , . . . , xnk
(cid:98)p).
(cid:98)p/(xn1
(cid:98)p ∈ Ass (cid:98)R (cid:98)p
(D(A) (cid:98)p (cid:98)R
(cid:98)p. Suy ra ( ¯x1, . . . , ¯xk) là một D(A)
(cid:98)p− dãy chính quy theo Bổ
Chú ý rằng ¯x1, . . . , ¯xk ∈ (cid:98)p (cid:98)R
đề 2.1.5. Do đó theo Mệnh đề 1.4.3 (ii) ta có
k )D(A)
1 , . . . , xnk
(cid:98)p/(x1, . . . , xk)D(A)
(cid:98)p).
(cid:98)p/(xn1
(cid:98)p) = Ass (cid:98)R (cid:98)p
(cid:98)R (cid:98)p
(D(A) (D(A) Ass
(cid:98)p/(x1, . . . , xk)D(A)
(cid:98)p). Theo Mệnh đề 1.5.3
(cid:98)p ∈ Ass (cid:98)R (cid:98)p
(D(A) Vì thế (cid:98)p (cid:98)R
(cid:98)R(D(A)/(x1, . . . , xk)D(A) = Att
(cid:98)R(0 :A (x1, . . . , xk)R).
(cid:98)p ∈ Ass
Dẫn đến p = (cid:98)p ∩ R ∈ (AttR(0 :A (x1, . . . , xk)R))>s theo Mệnh đề 1.2.10. Do đó
k )R))>s ⊆ (AttR(0 :A (x1, . . . , xk)R))>s.
1 , . . . , xnk
26
(AttR(0 :A (xn1
Hoàn toàn tương tự, ta có thể chỉ ra được rằng
k )R))>s.
1 , . . . , xnk
(AttR(0 :A (x1, . . . , xk)R))>s ⊆ (AttR(0 :A (xn1
k )R))>s không
1 , . . . , xnk
Như vậy, các khẳng định trên suy ra rằng tập hợp (AttR(0 :A (xn1
phụ thuộc vào n1, . . . , nk.
k )R))≥s là tập
1 , . . . , xnk
n1,...,nk AttR(0 :A (xn1
Theo kết quả trên đây, để chứng minh ((cid:83)
k )R))s là tập hữu hạn. Ta sẽ
1 , . . . , xnk
n1,...,nk
hữu hạn, ta chỉ cần chỉ ra (cid:83) (AttR(0 :A (xn1
k )R))s bằng cách chỉ ra
1 , . . . , xnk
n1,...,nk
chứng minh tính hữu hạn của tập (cid:83) (AttR(0 :A (xn1
(cid:91)
k (cid:91)
rằng
k )R))s ⊆
1 , . . . , xnk
i=0
n1,...,nk
(AttR(0 :A (xn1 AttR(0 :A (x1, . . . , xi)R).
k )R))s sao cho
1 , . . . , xnk
Lấy n1, . . . , nk là các số nguyên và lấy p ∈ (AttR(0 :A (xn1
1 , . . . , xnk
p /∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xi)R), ∀i = 0, . . . , k − 1.
k )R) sao cho (cid:98)p ∩ R = p. Theo Mệnh
(cid:98)R(0 :A (xn1
Theo Mệnh đề 1.2.10 tồn tại (cid:98)p ∈ Att
k ))
k )R) = Ass
1 , . . . , xnk
1 , . . . , xnk
đề 1.5.2 và theo Mệnh đề 1.5.3 nên ta có
(cid:98)R(D(0 :A ((xn1
(cid:98)R(0 :A (xn1
(cid:98)p ∈ Att
k )D(A)).
1 , . . . , xnk
(cid:98)R(D(A)/(xn1
= Ass
k )D(A)
1 , . . . , xnk
(cid:98)p/(xn1
(cid:98)p). Ta yêu cầu rằng dãy ( ¯x1, . . . , ¯xk) là một
(cid:98)p ∈ Ass (cid:98)R (cid:98)p
(D(A) Do đó (cid:98)p (cid:98)R
(cid:98)p−dãy chính quy. Thật vậy, lấy i ∈ {1, . . . , k} và lấy
D(A)
(cid:98)p/(x1, . . . , xi−1)D(A)
(cid:98)p).
(cid:98)p ∈ Ass (cid:98)R (cid:98)p
(D(A) (cid:98)q (cid:98)R
Khi đó (cid:98)q ⊆ (cid:98)p và theo Mệnh đề 1.5.3 ta có
(cid:98)R(D(A)/(x1, . . . , xi−1)D(A)) = Att
(cid:98)R(0 :A (x1, . . . , xi−1)R).
27
(cid:98)q ∈ Ass
Đặt q = (cid:98)q ∩ R. Theo Mệnh đề 1.2.10 ta có q ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R). Vì (cid:98)q ⊆ (cid:98)p,
ta được q ⊆ p. Bởi vì p /∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R), ta thu được rằng q (cid:54)= p. Do đó
dim (R/q) > dim (R/p) = s. Vì xi là (0 :A (x1, . . . , xi−1)R)− đối dãy từ chiều > s theo giả
(cid:98)p. Do đó ( ¯x1, . . . , ¯xk) là một D(A)
(cid:98)p−
thiết, nên ta có xi /∈ q. Do vậy xi /∈ (cid:98)q và vì thế ¯xi /∈ (cid:98)q (cid:98)R
dãy chính quy, như vậy yêu cầu đã được chứng minh.
Theo yêu cầu vừa rồi, ta dễ thấy rằng
k )D(A)
1 , . . . , xnk
(cid:98)p/(x1, . . . , xk)D(A)
(cid:98)p).
(cid:98)p/(xn1
(cid:98)p ∈ Ass (cid:98)R (cid:98)p
(cid:98)p) = Ass (cid:98)R (cid:98)p
(D(A) (D(A) (cid:98)p (cid:98)R
(cid:98)R(D(A)/(x1, . . . , xk)D(A)), và do vậy (cid:98)p ∈ Att
(cid:98)R(0 :A (x1, . . . , xk)R) theo
Do đó (cid:98)p ∈ Ass
Mệnh đề 1.5.3. Từ đó suy ra p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xk)R) theo Mệnh đề 1.2.10. Dẫn đến
1 , . . . , xnk
k )R))s ⊆ AttR(0 :A (x1, . . . , xk)R) k (cid:91)
(AttR(0 :A (xn1
k )R))s ⊆
1 , . . . , xnk
i=0
(AttR(0 :A (xn1 AttR(0 :A (x1, . . . , xi)R). ⇒ (cid:91) n1,...,nk
k )R))≥s là hữu hạn.
1 , . . . , xnk
n1,...,nk AttR(0 :A (xn1
Vậy ((cid:83)
Tính chất dưới đây được suy ra ngay từ Định lý 1.
Hệ quả 2.2.2. Giả sử rằng s ∈ {−1, 0, 1}. Lấy (x1, . . . , xk) là một A− đối dãy từ chiều
k )R) là hữu hạn.
1 , . . . , xnk
n1,...,nk AttR (0 :A (xn1
> s. Khi đó tập ((cid:83)
Brodmann - Nhan [2, Proposition 2.6] đã chứng minh rằng nếu (x1, . . . , xk) là một
k )M))≥s là một tập
1 , . . . , xnk
n1,...,nk AssR(M/(xn1
M− dãy từ chiều > s hoán vị được thì ((cid:83)
hữu hạn. Bằng cách sử dụng Định lý 1, ta thu lại được kết quả này dưới một giả thuyết
28
yếu hơn, ở đó tính chất ”hoán vị được” của dãy có thể được loại bỏ.
Hệ quả 2.2.3. Giả sử rằng (x1, . . . , xk) là một M− dãy từ chiều > s. Khi đó tập hợp
1 , . . . , xnk
n1,...,nk AssR (M/(xn1
k )M))≥s là hữu hạn.
((cid:83)
Chứng minh. Vì M là hữu hạn sinh nên theo Mệnh đề 1.5.1, ta có D(M/(x1, . . . , xi−1)M)
là Artin. Theo [11, Theorem 2.3] ta có
AssR (M/(x1, . . . , xi−1)M) = AttR D(M/(x1, . . . , xi−1)M)
= AttR (0 :D(M) (x1, . . . , xk)R)
với mọi số nguyên i = 1, . . . , k. Do đó (x1, . . . , xk) là D(M)− đối dãy từ chiều > s. Theo
k )R))≥s là một tập hợp hữu hạn. Do đó
1 , . . . , xnk
n1,...,nk AttR (0 :D(M) (xn1
Định lý 1 ta có ((cid:83)
k )M))≥s là một tập hợp hữu hạn. Lại theo [11, Theorem
1 , . . . , xnk
n1,...,nk AttR(D(M/(xn1
((cid:83)
k )M))≥s là hữu hạn.
1 , . . . , xnk
n1,...,nk AssR(M/(xn1
29
2.3] lần nữa, ta được tập ((cid:83)
Chương 3
Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin
Trong chương này, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noerther địa phương với
iđêan cực đại duy nhất là m. Cho A là một R− môđun Artin và M là một R− môđun hữu
hạn sinh có dim M = d. Để chứng minh Định lý 2 ta cần nhắc lại một số kiến thức chuẩn
bị dưới đây.
3.1 Môđun Cohen-Macaulay, vành catenary, thớ hình thức, và dãy chặt
từ chiều > s
Định nghĩa 3.1.1 (Môđun Cohen - Macaulay). Cho (R, m) là một vành địa phương
Noether và M là một R− môđun hữu hạn sinh. Ta nói M là môđun Cohen - Macaulay
nếu M = 0 hoặc (M (cid:54)= 0 và depth(M) = dim(M)). Vành R được gọi là vành Cohen -
Macaulay nếu bản thân nó là R− môđun Cohen - Macaulay.
Định nghĩa 3.1.2. (Dãy nguyên tố bão hòa) Cho p ⊂ q là các iđêan nguyên tố của R.
Một dãy các iđêan nguyên tố p = p0 ⊂ . . . ⊂ pn = q sao cho pi (cid:54)= pi+1 với mọi i, được gọi
là dãy nguyên tố bão hòa giữa p và q nếu với mọi i không tồn tại một iđêan nguyên tố
30
nào chen giữa pi và pi+1.
Định nghĩa 3.1.3. Vành R được gọi là catenary nếu với bất kì hai iđêan nguyên tố
p, q của R, với q ⊂ p, luôn tồn tại một dãy bão hòa các iđêan nguyên tố bắt đầu từ p và
kết thúc ở q, đồng thời mọi dãy như vậy đều có cùng độ dài (hữu hạn).
Định nghĩa 3.1.4. Vành R được gọi là catenary phổ dụng nếu R là vành Noether và mọi
R− đại số hữu hạn đều là catenary.
Định nghĩa 3.1.5 (Khái niệm thớ). (i) Cho f : A → B là một đồng cấu vành, và lấy
ánh xạ a f : Spec(B) → Spec(A), β (cid:55)−→ a f (β ) = f −1(β ) (với β ∈ Spec(B)). Cho p ∈
Spec(A), khi đó ta dễ thấy có một song ánh giữa (a f )−1(p) và X = Spec(S−1(B/pB)) =
A k(p)) (trong đó S = A\p và k(p) = Ap/pAp). Ta gọi X là thớ của f tại p.
Spec(B (cid:78)
(ii) Cho (R, m) là vành địa phương, và f : R → (cid:98)R là đồng cấu chính tắc (với (cid:98)R là đầy đủ
m− adic của R). Khi đó các thớ của f tại các iđêan nguyên tố của R được gọi là các thớ
hình thức của R.
Định nghĩa 3.1.6. Một dãy (x1, . . . , xk) ⊆ m được gọi là một M− dãy chặt từ chiều > s
m(M/(x1, . . . , x j−1)M))>s và mọi j = 1, . . . , k.
i=0(AttR Hi
nếu x j /∈ p với mọi p ∈ (cid:83)d
m(N))>s với bất kì R− môđun hữu hạn sinh
i=0 (AttR Hi
Chú ý rằng (AssR N)>s ⊆ (cid:83)dim N
N (xem [3, 11.3.9]). Do đó mỗi M− dãy chặt từ chiều > s là một M− dãy từ chiều > s
theo định nghĩa trong [2]. Hơn nữa, các M− dãy chặt từ chiều > 0 chính xác là f − dãy
31
chặt theo nghĩa của Cường, Morales và Nhàn trong [5].
3.2 Chứng minh Định lý 2.
Từ giờ trở đi ta giả sử R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là
Cohen - Macaulay. Để chứng minh Định lý 2 ta cần một số kết quả bổ trợ.
m(M))) ≤ i với mọi số nguyên i ≥ 0.
Bổ đề 3.2.1. dim (R/ AnnR(Hi
Chứng minh. Vì R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là Cohen -
m(M)) với
R(M) = CosR (Hi
Macaulay, nên khi đó theo [4, Proposition 2.5] ta có Psuppi
mọi số nguyên i ≥ 0 (trong đó
CosR(A) = {p ∈ Spec(R) | HomR(Rp, A) (cid:54)= 0}
(cid:91)
theo [4, p. 226]). Chú ý rằng cũng theo [4] ta có
m(M) =
p∈AttR (Hi
m(M))
(cid:91)
Var(p) CosR Hi
p∈min AttR (Hi
m(M))
= Var(p),
mà
m(M) = min(AnnR (Hi
m(M))),
min AttR (Hi
(cid:91)
cho nên ta có
m(M) =
p∈min AttR (Hi
m(M))
(cid:91)
Var(p) CosR Hi
p∈min AnnR (Hi
m(M))
= Var(p)
m(M)).
= Var(AnnR Hi
m(M)). Mặt khác theo định nghĩa của tập
R(M) = Var(AnnR Hi
32
Kết hợp lại ta có Psuppi
R(M) ta có
Psuppi
R(M) = {p ∈ SuppR M | Hi−dim (R/p)
pRp
Psuppi (Mp) (cid:54)= 0}.
Suy ra
m(M)) = {p ∈ SuppR M | Hi−dim (R/p)
pRp
(Mp) (cid:54)= 0}. Var(AnnR Hi
m(M)), khi đó theo trên ta có Hi−dim (R/p)
pRp
(Mp) (cid:54)= 0. Do Từ đó, lấy tùy ý p ∈ Var(AnnR Hi
m(M))) ≤ i. Điều phải chứng minh.
đó dim (R/p) ≤ i. Vì thế dim (R/ AnnR(Hi
Bổ đề 3.2.2. Lấy (x1, . . . , xk) là một M− dãy chặt từ chiều > s. Đặt M0 = M và Mt =
M/(x1, . . . , xt)M với t = 1, . . . , k. Khi đó với mọi i = 1, . . . , d ta có
m(Mk))>s = (AttR(0 :Hi+k
m (M) (x1, . . . , xk)R))>s,
(AttR Hi
m(Mk))s ⊆ (AttR(0 :Hi+k
m (M) (x1, . . . , xk)R))s
k−1 (cid:91)
(AttR Hi
m (Mk− j−1))s.
j=0
∪ (AttR Hi+ j
(cid:83)d
m(Mt−1)>s với mọi t = 1, . . . , k. Mặt khác ta có
i=0(AttR Hi
d (cid:91)
Chứng minh. Vì (x1, . . . , xk) là một M− dãy chặt từ chiều > s nên xt /∈ p với mọi p ∈
m(Mt−1))
i=0
AttR(Hi AssR Mt−1 ⊆
theo [3, 11.3.9]. Do đó xt /∈ p với mọi p ∈ (AssR Mt−1)>s với mọi t = 1, . . . , k. Cho nên
m(0 :Mt−1 xt) = 0 với mọi i > s.
dim (0 :Mt−1 xt) ≤ s, và vì thế theo Định lý 1.3.10, ta có Hi
Từ dãy khớp
0 → (0 :Mt−1 xt) → Mt−1 → Mt−1/(0 :Mt−1 xt) → 0
ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương
m(Mt−1) → Hi
m(Mt−1/(0 :Mt−1 xt)) → Hi+1
m (0 :Mt−1 xt) → · · ·
33
· · · → Hi
m(0 :Mt−1 xt) = 0 với mọi i > s nên ta có phép đẳng cấu
m(Mt−1) ∼= Hi Hi
m(Mt−1/(0 :Mt−1 xt)) với mọi i > s.
Vì Hi
xt−→ Mt−1 → Mt → 0
Lại từ dãy khớp
0 → Mt−1/(0 :Mt−1 xt)
ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương
m(Mt−1) → Hi
m(Mt) → Hi+1
m (Mt−1/(0 :Mt−1 xt)) → · · ·
· · · → Hi
Áp dụng đẳng cấu trên ta có hai dãy khớp
m(Mt−1) → Hs Hs
m(Mt) → (0 :Hs+1
m (Mt−1) xt) → 0,
(5)
m(Mt−1)/xt Hi
m(Mt−1) → Hi
m(Mt) → (0 :Hi+1
m (Mt−1) xt) → 0
0 → Hi (6)
với mọi i > s. Ta chia làm hai trường hợp.
Trường hợp 1: Lấy i ≥ s. Khi đó theo Mệnh đề 1.2.5 (iii) ta có
m(Mt−1)/xtHi
m(Mt−1))s ⊆ (AttR Hi
m(Mt−1))s.
(AttR Hi
m(Mt−1)))>s nên từ Bổ đề 2.1.2 (i) ta có
Vì xt /∈ p với mọi p ∈ (AttR(Hi
m(Mt−1)/xtHi
m(Mt−1))) ≤ s.
dim (R/ AnnR (Hi
m(Mt−1)) ≤ s. Từ đó ta có thể áp dụng
Hơn nữa, theo Bổ đề 3.2.1 ta có dim R/ AnnR Hs
Bổ đề 2.1.3 cho các dãy khớp (5) và (6) với t = k và ta có
m(Mk))>s = (AttR (0 :Hi+1
m (Mk−1) xk))>s;
(AttR Hi
m(Mk−1))s,
m(Mk))s ⊆ (AttR (0 :Hi+1
m (Mk−1) xk))s ∪ (AttR Hi
34
(AttR Hi
với mọi i ≥ s. Vì i + 1 > s, áp dụng Bổ đề 2.1.4 cho mọi dãy khớp trong (6) với t =
k − 1, . . . , 1 tương ứng với dãy phần tử (xt+1, . . . , xk) và ta thu được
m (Mk−1) xk))>s =(AttR (0 :Hi+2
m (Mk−2) (xk−1, xk)R))>s
(AttR(0 :Hi+1
m (Mk−3) (xk−2, xk−1, xk))R)>s
=(AttR (0 :Hi+3
...
m (M) (x1, . . . , xk)R))>s.
=(AttR (0 :Hi+k
m(Mk))>s = (AttR(0 :Hi+k
m (M) (x1, . . . , xk)R))>s. Vì i + 1 > s, ta có thể áp
Do đó (AttR Hi
dụng lại Bổ đề 2.1.4 cho tất cả dãy khớp trong (6) với t = k − 1, . . . , 1 tương ứng với dãy
phần tử (xk+1, . . . , xk) ta có
m (Mk−1) xkR))s
m (Mk−2)))s
(AttR(0 :Hi+1
m (Mk−2) (xk−1, xk)R))s ∪ (AttR(Hi+1
⊆(AttR(0 :Hi+2
k−1 (cid:91)
...
m (Mk− j−1))s.
m (M) (x1, . . . , xk)R))s ∪
j=1
(AttR Hi+ j ⊆(AttR(0 :Hi+k
k−1 (cid:91)
Vì vậy
m (Mk− j−1))s,
m(Mk)))s ⊆ (AttR (0 :Hi+k
m (M) (x1, . . . , xk)R))s ∪
j=0
(AttR Hi+ j (AttR (Hi
như điều ta mong muốn.
m(Mk))) ≤ i < s. Do
Trường hợp 2: Lấy i < s. Theo Bổ đề 3.2.1 ta có dim (R/ AnnR(Hi
m(Mk)))≥s = /0. Vì thế bao hàm cuối của bổ đề là
đó theo Bổ đề 2.1.2(ii) ta có (AttR(Hi
m (M) (x1, . . . , xk)R))>s = /0. Nếu i + k ≤ s thì
đúng. Bây giờ ta chứng minh (AttR(0 :Hi+k
m (M) (x1, . . . , xk)R))>s = /0 theo Bổ đề 2.1.2 và 3.2.1. Từ đó ta giả sử rằng tồn
35
(AttR(0 :Hi+k
m(Mh)))>s = /0 theo Bổ đề
tại số nguyên h > 0 sao cho i + k = s + h. Chú ý rằng (AttR(Hs
m(Mh)))>s = /0.
2.1.3 và 3.2.1. Do đó từ Trường hợp 1 dẫn đến
m (M) (x1, . . . , xh)R))>s = (AttR(Hs
(AttR(0 :Hs+h
m (M) (x1, . . . , xh)R).
m (M) (x1, . . . , xk)R) ⊆ (0 :Hs+h
Vì i < s nên ta có k > h. Do vậy (0 :Hi+k
Điều đó kết hợp với Bổ đề 2.1.2(ii) ta thu được
m (M) (x1, . . . , xk)R))>s = (AttR(0 :Hs+h
m (M) (x1, . . . , xk)R))>s = /0,
(AttR(0 :Hi+k
như vậy bổ đề được chứng minh.
Hệ quả 3.2.3. Một dãy (x1, . . . , xk) các phần tử của m là một M− dãy chặt từ chiều > s
m(M)− đối dãy từ chiều > s với mọi i = 0, . . . , d.
nếu và chỉ nếu nó là một Hi
Chứng minh. Giả sử (x1, . . . , xk) là một M− dãy chặt từ chiều > s. Lấy i ≥ 0 là số nguyên
m(M) (x1, . . . , x j)R))>s. Ta cần chứng tỏ
và lấy j ∈ {1, . . . , k}. Giả sử rằng p ∈ (AttR (0 :Hi
m (M/(x1, . . . , x j)M))>s
rằng x j+1 /∈ p. Nếu i ≥ j thì
m(M) (x1, . . . , x j)R))>s = (AttR Hi− j
(AttR(0 :Hi
m (M/(x1, . . . , x j)M))>s, và vì thế x j+1 /∈ p. Giả sử
theo Bổ đề 3.2.2. Do đó p ∈ (AttR Hi− j
m(M/(x1, . . . , xi)M))>s ⊆ {m}.
i < j. Khi đó theo Mệnh đề 1.2.5(ii) và Bổ đề 3.2.2 ta có
m(M) (x1, . . . , xi)R))>s = (AttR H0
(AttR(0 :Hi
m(M/(x1, . . . , xi)M))>s = /0 thì (AttR(0 :Hi
m(M) (x1, . . . , xi)R))>s = /0. Vì i < j,
Nếu (AttR H0
m(M) (x1, . . . , x j)R))>s = /0, đây là điều
ta nhận được từ Bổ đề 2.1.2(ii) rằng p ∈ (AttR(0 :Hi
mâu thuẫn. Như vậy
m(M/(x1, . . . , xi)M))>s = {m}.
36
(AttR H0
m(M/(x1, . . . , xi)M))>s, thì dim(R/p) = dim(R/m) = 0 > s.
Từ đó nếu lấy p ∈ (AttR H0
Suy ra s = −1 và xi+1 không là một phần tử M/(x1, . . . , xi)M−chính quy chặt từ chiều
m(M)−đối dãy từ chiều > s với
> −1, đó là điều mâu thuẫn. Vì thế (x1, . . . , xk) là một Hi
mọi i = 0, . . . , d.
Bây giờ ta chứng minh điều ngược lại bằng quy nạp theo k. Trường hợp k = 1 được
suy ra ngay lập tức từ định nghĩa của M− dãy chặt từ chiều > s. Lấy k > 1. Rõ ràng rằng
m(M)− đối dãy từ chiều > s với mọi i = 0, . . . , d. Do đó ta nhận
(x1, . . . , xk−1) là một Hi
được từ giả thiết quy nạp rằng (x1, . . . , xk−1) là một M− dãy chặt từ chiều > s. Từ đó kết
hợp với Bổ đề 3.2.2 ta được
m(M/(x1, . . . , xk−1)M)))>s = (AttR(0 :Hi+k−1
(M) (x1, . . . , xk−1)R))>s
m
(AttR(Hi
với mọi i ≥ 0. Do đó theo giả thiết ta có xk /∈ p với mọi
m(M/(x1, . . . , xk−1)M))>s
p ∈ (AttR(Hi
với i ≥ 0. Vì thế ta được (x1, . . . , xk) là một M− dãy chặt từ chiều > s, đó là điều phải
chứng minh.
Từ các Hệ quả 2.1.6 và 3.2.3 ta có kết quả sau đây.
k ) cũng
1 , . . . , xnk
Hệ quả 3.2.4. Nếu (x1, . . . , xk) là một M− dãy chặt từ chiều > s thì (xn1
là một M− dãy chặt từ chiều > s với mọi số nguyên dương n1, . . . , nk.
Dưới đây ta phát biểu lại Định lý 2 và đưa ra chứng minh.
Định lý 3.2.5. Giả sử R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là Cohen
37
- Macaulay. Lấy (x1, . . . , xk) là M− dãy chặt từ chiều > s. Khi đó ta có
m(M/(xn1
k )M))>s và (AttR(0 :Hi
k )R))>s là
1 , . . . , xnk
1 , . . . , xnk
m(M) (xn1
(i) Các tập hợp (AttR Hi
độc lập với n1, . . . , nk với mọi i ≥ 0;
m(M/(x1, . . . , xk)M))>s = (AttR(0 :Hi+k
m (M) (x1, . . . , xk)R))>s với mọi i ≥ 0;
(ii) (AttR Hi
(cid:91)
(cid:91)
(iii) Các tập hợp
m(M/(xn1
k )M))≥s
k )R))≥s và
1 , . . . , xnk
1 , . . . , xnk
m(M) (xn1
n1,...,nk
n1,...,nk
(AttR(Hi (AttR(0 :Hi
là hữu hạn với mọi i ≥ 0.
k ) là một M−
1 , . . . , xnk
Chứng minh. (i) Lấy n1, . . . , nk là các số nguyên dương. Khi đó (xn1
dãy chặt từ chiều > s theo Hệ quả 3.2.4. Khi đó theo Hệ quả 3.2.3 ta thu được (x1, . . . , xk)
m(M)− đối dãy từ chiều > s với mọi i = 0, . . . , d. Do đó từ Định lý 1 ta có
là một Hi
k )R))>s không phụ thuộc vào n1, . . . , nk với mọi i ≥ 0. Theo
1 , . . . , xnk
m(M) (xn1
(AttR(0 :Hi
Bổ đề 3.2.2, ta có đẳng thức
m(M/(xn1
k )R))>s.
1 , . . . , xnk
1 , . . . , xnk
k )M))>s = (AttR(0 :Hi+k
m (M) (xn1
(AttR Hi
m(M/(xn1
k )M))>s độc lập với n1, . . . , nk với mọi i ≥ 0.
1 , . . . , xnk
Do đó (AttR Hi
(ii) được suy ra bởi Bổ đề 3.2.2.
m(M)− đối dãy từ chiều > s, nên kết
(iii) Lấy i ∈ {0, 1, . . . , d}. Vì (x1, . . . , xk) là một Hi
(cid:91)
hợp với Định lý 1 ta có
k )R))>s
1 , . . . , xnk
m(M) (xn1
n1,...,nk
AttR(0 :Hi
(cid:91)
là một tập hữu hạn. Từ khẳng định (i) ta thu được rằng
m(M/(xn1
k )M))>s
1 , . . . , xnk
n1,...,nk
38
(AttR Hi
(cid:91)
là tập hữu hạn. Do đó ta chỉ cần chứng tỏ rằng
m(M/(xn1
k )M))s
1 , . . . , xnk
n1,...,nk
(AttR Hi
là một tập hợp hữu hạn. Ta chứng minh điều đó bằng quy nạp theo k. Lấy k = 1 và đặt
x = x1. Khi đó xn là một M− dãy chặt từ chiều > s theo Hệ quả 3.2.4. Từ đó kết hợp với
Bổ đề 3.2.2 ta suy ra rằng
m(M))s.
m(M/xnM))s ⊆ (AttR(0 :Hi+1
m (M) xn))s ∪ (AttR Hi
(AttR Hi
n(AttR Hi
m(M/xnM))s là
n(AttR(0 :Hi+1
m (M) xn))s là tập hữu hạn, nên ta thu được (cid:83)
Vì (cid:83)
tập hữu hạn, do vậy kết quả là đúng với k = 1. Giả sử k > 1. Lấy các số nguyên dương
k ) là một M− dãy chặt từ
1 , . . . , xnk
n1, . . . , nk tùy ý, khi đó theo Hệ quả 3.2.4 ta được (xn1
m(M/(xn1
k )M))s được
1 , . . . , xnk
chiều > s. Từ đó theo Bổ đề 3.2.2 ta suy ra rằng (AttR Hi
k−1 (cid:91)
chứa trong tập
m (M/(xn1
k )R))s ∪
1 , . . . , x
1 , . . . , xnk
nk− j−1 k− j−1)M))s.
m (M) (xn1
j=0
(AttR Hi+ j (AttR(0 :Hi+k
Vì k − j − 1 ≤ k − 1 với mọi j = 0, . . . , k − 1, nên ta có theo giả thiết quy nạp rằng tập
k−1 (cid:91)
(cid:91)
hợp
m (M/(xn1
1 , . . . , x
nk− j−1 k− j−1)M))s
j=0
n1,...,nk− j−1 là hữu hạn. Hơn nữa tập hợp (cid:83)
k )R))s là hữu hạn theo
1 , . . . , xnk
n1,...,nk
(AttR Hi+ j
m (M) (xn1
(AttR(0 :Hi+k
m(M/(xn1
k )M))s là một tập hữu hạn. Định lý
1 , . . . , xnk
n1,...,nk
Định lý 1. Vì thế (cid:83) (AttR Hi
được chứng minh.
39
Kêt quả sau đây là một hệ quả trực tiếp của Định lý 2.
Hệ quả 3.2.6. Giả sử s ∈ {−1, 0, 1}. Lấy (x1, . . . , xk) là một M− dãy chặt từ chiều > s.
k )R) và
1 , . . . , xnk
n1,...,nk AttR(0 :Hi
m(M) (xn1
(cid:83)
m(M/(xn1
k )M) là hữu hạn.
1 , . . . , xnk
n1,...,nk AttR Hi
40
Khi đó với mỗi số nguyên i ≥ 0, các tập hợp (cid:83)
Kết luận
Tóm lại, luận văn này đã trình bày và chứng minh chi tiết các kết quả chính trong bài
báo “A finiteness result for attached primes of Artinian local cohomology modules” của
L.T. Nhàn và N. V. Hoàng đăng trên tạp chí Journal of Algebra and Its Applications năm
2014. Kết quả chính của luận văn gồm những nội dung sau:
1. Hệ thống lại một số kiến thức cơ sở cần thiết được dùng để chứng minh các kết quả
chính của luận văn: môđun Artin, lý thuyết biểu diễn thứ cấp, tập Att của môđun
Artin, môđun đối đồng điều địa phương, dãy chính quy và độ sâu của môđun, đối
ngẫu Matlis, vành Cohen - Macaulay, vành catenary, thớ hình thức, đối dãy từ chiều
> s, khái niệm dãy chặt từ chiều > s.
2. Chứng minh được: Giả sử (x1, . . . , xk) là một A− đối dãy từ chiều > s. Khi đó tập
1 , . . . , xnk (AttR(0 :A (xn1
k )R))≥s là hữu hạn.
k )R))>s không phụ thuộc vào sự lựa chọn của n1, . . . , nk và tập 1 , . . . , xnk
n1,...,nk
(AttR(0 :A (xn1 (cid:83)
m(M/(xn1
k )R))>s là
k )M))>s và (AttR(0 :Hi
3. Chứng minh được: Giả sử R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó
m(M) (xn1
1 , . . . , xnk
m (M) (x1, ..., xk)R))>s với mọi i ≥ 0. m(M) (xn1 k )R))≥s và tập hợp
1 , . . . , xnk độc lập với n1, . . . , nk với mọi i ≥ 0. (ii) (AttR Hi (iii) Với mỗi i ≥ 0, tập hợp (cid:83) (cid:83)
là Cohen - Macaulay. Lấy (x1, . . . , xk) là M− dãy chặt từ chiều > s. Khi đó 1 , . . . , xnk (i) các tập (AttR Hi
m(M/(xn1
m(M/(x1, ..., xk)M))>s = (AttR(0 :Hi+k (AttR(0 :Hi n1,...,nk k )M))≥s là hữu hạn.
1 , . . . , xnk
n1,...,nk
41
(AttR(Hi
Tài liệu tham khảo
[1] M.Brodmann (1979), “Asymptotic stability of AssR(M/InM)”, Proc. Amer. Math.
Soc., 74, 16 -18.
[2] M. Brodmann and L. T. Nhan (2008), “A finiteness result for associated primes of
certain Ext-modules”, Comm. Algebra, 36, 1527-1536.
[3] M. Brodmann and R. Y. Sharp (1998), “Local Cohomology: An Algebraic Intro-
duction with Geometric Applications”, Cambridge University Press.
[4] M. Brodmann and R. Y. Sharp (2002), “On the dimension and multiplicity of local
cohomology modules”, Nagoya Math. J., 167, 217-233.
[5] N. T. Cuong, M. Morales and L. T. Nhan (2004), “The finiteness of certain sets
of attached prime ideals and the length of generalized fractions”, J. Pure Appl.
Algebra, 189, 109-121.
[6] M. Katzman (2002), “An example of an infinite set of associated primes of a local
cohomology module”, J. Algebra, 252, 161-166.
[7] I. G. Macdonald (1973), “Secondary representation of modules over a commutative
ring”, Sympos. Math, 11, 23-43.
[8] H. Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press.
[9] L. T. Nhan and N. V. Hoang (2014), “A finiteness result for attached primes of
Artinian local cohomology modules”, Journal of Algebra and Its Applications, 13,
1350063 (14 pages).
[10] A. Ooishi (1976), “Matlis duality and the width of a module”, Hiroshima Math. J.,
42
6, 573-587.
[11] R. Y. Sharp (1975), “Some results on the vanishing of local cohomology modules”,
Proc. London Math. Soc., 30, 177-195.
[12] R. Y. Sharp (1986), “Asymptotic behaviour of certain sets of attached prime ideals”,
43
J. London Math. Soc., 34, 212-218.
