ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG HÀ MY

TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG HÀ MY

TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH

Ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 84. 601. 04

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN THỊ DUNG

THÁI NGUYÊN - 2019

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Thị Dung, các kết quả nghiên cứu là hoàn

toàn trung thực và không trùng lặp với các luận văn trước đây. Các thông tin, tài

liệu trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc.

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2019

Học viên

HOÀNG HÀ MY

Xác nhận Xác nhận

của khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học

i

PGS. TS. NGUYỄN THỊ DUNG

Lời cảm ơn

Luận văn "Tập iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa iđêan cạnh" được thực

hiện tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự

hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy của PGS. TS. Nguyễn Thị Dung. Tôi xin bảy tỏ lòng

biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học

Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán cùng các thầy cô khoa Toán đã tham gia

giảng dạy và tạo điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu.

Nhân dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã

động viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập.

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2019

Học viên

ii

HOÀNG HÀ MY

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mở đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Đồ thị và iđêan cạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Bao đóng nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh 16

2.1 Matching và Factor-critical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Sự bảo toàn của tập iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . 20

2.3 Bao đóng nguyên và các tập ổn định . . . . . . . . . . . . . . . 37

iii

Tài liệu tham khảo 43

Mở đầu

Cho R = K[x1, . . . , xn] là vành đa thức n biến trên trường K và G = (V, E) là đồ thị với tập đỉnh V = V (G) = {x1, . . . , xn} và tập cạnh E = E(G). Ta luôn giả thiết rằng đồ thị G không có đỉnh cô lập, nghĩa là tất cả các đỉnh của G đều nằm trong ít nhất một cạnh. Iđêan cạnh của G, kí hiệu bởi I = IG, là iđêan của R sinh bởi tập các đơn thức không chứa bình phương xix j sao cho {xi, x j} ∈ E.

Một vấn đề được nhiều người quan tâm là tìm tập iđêan nguyên tố liên kết của

lũy thừa của iđêan cạnh, nghĩa là tập

Ass(R/Ik) = {p ⊂ R | p là iđêan nguyên tố và p = (Ik : c) với c ∈ R}, k ≥ 1.

Ta đã biết rằng vì I là iđêan đơn thức trong vành đa thức R nên các iđêan nguyên

tố liên kết cũng là iđêan đơn thức sinh bởi tập con của tập các biến. Các iđêan

nguyên tố liên kết với I tương ứng với tập các phủ đỉnh tối thiểu của đồ thị G và

1

Min(R/I) = Ass(R/I), trong đó Min(R/I) là tập các iđêan nguyên tố tối thiểu của I. Đối với iđêan cạnh, ta luôn có Ass(R/I) ⊂ Ass(R/Ik) với mọi số nguyên k. Trong trường hợp dấu bằng xảy ra với mọi k thì I được gọi là xoắn tự do chuẩn tắc. Trong [1], M. Brodmann đã chứng minh rằng tập Ass(R/Ik) là ổn định với k đủ lớn, nghĩa là tồn tại số nguyên dương N1 sao cho Ass(R/Ik) = Ass(R/IN1), với mọi k ≥ N1, và số N1 nhỏ nhất thỏa mãn tính chất trên được gọi là chỉ số ổn định của I. Mặc dù người ta đã chứng minh rằng Ass(R/Ik) là ổn định với k đủ lớn, nhưng dáng điệu của Ass(R/Ik) với k nhỏ thì lại thất thường. Hơn nữa việc tìm tập ổn định Ass(R/IN1) là rất phức tạp bởi một điều là các iđêan nguyên tố p liên kết với lũy thừa nhỏ hơn của I lại không nhất thiết liên kết với lũy thừa lớn hơn của I. Đối với iđêan I, nếu p ∈ Ass(R/Ik) kéo theo p ∈ Ass(R/Ik+1) với mọi k ≥ 1 thì ta nói rằng Ass(R/Ik) tạo thành dãy tăng. Tuy nhiên, rất ít lớp iđêan thỏa mãn điều kiện này.

Kí hiệu Ik là bao đóng nguyên của Ik. Iđêan I được gọi là chuẩn tắc nếu Ik = Ik với mọi k ≥ 1. Theo trên, rất ít lớp iđêan I sao cho Ass(R/Ik) thỏa mãn điều kiện dãy tăng. Tuy nhiên, điều kiện này là đúng cho bao đóng nguyên, nghĩa là nếu I là iđêan trên vành giao hoán Noether R, ta có Ass(R/Ik) ⊆ Ass(R/Ik+1) với k đủ lớn (xem Ratliff [11]), nghĩa là tồn tại số nguyên dương N2 sao cho Ass(R/Ik) ⊆ Ass(R/IN2) với mọi k (cid:62) N2. Nhiều tính chất đẹp của tập Ass(R/IN2) được nghiên cứu trong [5].

Mục đích của luận văn là trình bày lại một số kết quả về tập các iđêan nguyên

tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh được viết bởi J. Martinez-Bernal, S. Morey

và R. Villarreal trong bài báo [9]. Trong bài báo này bằng lý thuyết matching và

tối ưu tổ hợp, họ đã chứng minh được hai kết quả chính:

- Tập các iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh tạo thành một

dãy tăng.

- Nhìn chung trong vành giao hoán Noether, Ass(R/IN2) ⊂ Ass(R/IN1), nhưng với iđêan cạnh thì các tập ổn định này là như nhau, nghĩa là Ass(R/Ik) = Ass(R/Ik) với k ≥ max{N1, N2}.

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo thì nội dung chính của

luận văn gồm hai chương:

Chương 1 là phần Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, ta nhắc lại một số

kiến thức về tập iđêan nguyên tố liên kết, iđêan đơn thức, đồ thị và iđêan cạnh và

bao đóng nguyên.

Chương 2 cũng là phần nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả

chính trong bài báo [9] về iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh.

Ở chương này, ta tìm hiểu ba phần: Matching và Factor-critical, sự bảo toàn của

tập iđêan nguyên tố liên kết, bao đóng nguyên và các tập ổn định.

2

Phần kết luận của luận văn tổng kết một số công việc đã thực hiện.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết

Cho R là một vành giao hoán, Noether, I là một iđêan của R. Các kiến thức ở

mục này được viết dựa theo [8] và [12].

Định nghĩa 1.1.1. ([12, Định lý 3.52], [12, Định nghĩa 4.1], [12, Bổ đề 4.5])

(i) Giả sử I (cid:54)= R. Khi đó tập Var(I) các iđêan nguyên tố p của R chứa I luôn có

ít nhất một phần tử tối thiểu theo quan hệ bao hàm được gọi là iđêan nguyên tố

tối thiểu của I. Tập tất cả các iđêan nguyên tố tối thiểu của I được ký hiệu là

Min(R/I).

(ii) Cho q là iđêan của R. Ta nói q là nguyên sơ nếu q (cid:54)= R và nếu ab ∈ q, a /∈ q √ thì kéo theo b ∈ q với mọi a, b ∈ R.

√ (iii) Giả sử q là nguyên sơ. Khi đó p := q là iđêan nguyên tố của R và ta gọi q là

p-nguyên sơ. Hơn nữa p là iđêan nguyên tố nhỏ nhất của R chứa q, nghĩa là mọi

iđêan nguyên tố p của R mà chứa q thì đều chứa p. Vì thế p là iđêan nguyên tố tối

thiểu duy nhất của q.

Một phân tích I = q1 ∩ . . . ∩ qn, trong đó qi là pi-nguyên sơ, được gọi là một phân tích nguyên sơ của I. Phân tích nguyên sơ này của I được gọi là phân tích nguyên sơ thu gọn nếu mỗi qi là không thừa (tức là không thể bỏ đi bất cứ qi nào trong phân tích trên) và các pi là đôi một phân biệt.

3

Ví dụ 1.1.2. Trong vành các số nguyên Z, các iđêan nguyên sơ là và chỉ là các iđêan có dạng mZ với m là lũy thừa của một số nguyên tố.

Nếu q1, q2 là hai iđêan p-nguyên sơ của R thì q1 ∩ q2 cũng là iđêan p-nguyên sơ của R. Vì thế từ mỗi phân tích nguyên sơ của I ta có thể đưa phân tích đó về

thu gọn bằng cách bỏ đi những thành phần nguyên sơ thừa và ghép những thành

phần nguyên sơ có căn bằng nhau.

Hệ quả 1.1.3. ([12, Hệ quả 4.18], Định lý duy nhất thứ nhất) Giả sử

1 ∩ . . . ∩ q(cid:48) m

i là

n}.

I = q1 ∩ . . . ∩ qn = q(cid:48)

1, . . . , p(cid:48)

là hai phân tích nguyên sơ thu gọn của I, trong đó qi là pi-nguyên sơ và q(cid:48) i-nguyên sơ. Khi đó n = m và {p1, . . . , pn} = {p(cid:48) p(cid:48)

Giả sử I = q1 ∩ . . . ∩ qn là phân tích nguyên sơ thu gọn của I, qi là pi-nguyên sơ. Theo hệ quả trên, tập {p1, . . . , pn} là xác định duy nhất (không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ thu gọn của I) và được gọi là tập các iđêan nguyên tố liên

kết của I, ký hiệu bởi Ass(R/I) (xem [12, Định nghĩa 4.19]).

Nhìn chung các thành phần nguyên sơ qi không xác định duy nhất, nhưng nếu

pi là tối thiểu thì qi là duy nhất.

Định lý 1.1.4. ([12, Định lý 4.29], Định lý duy nhất thứ hai) Giả sử

1 ∩ . . . ∩ q(cid:48) n

i là

I = q1 ∩ . . . ∩ qn = q(cid:48)

là hai phân tích nguyên sơ thu gọn của I, trong đó qi là pi-nguyên sơ và q(cid:48) i-nguyên sơ. Khi đó nếu pi tối thiểu trong tập {p1, . . . , pn} thì qi = q(cid:48) p(cid:48) i.

Theo định lý trên, các thành phần nguyên sơ qi ứng với iđêan nguyên tố liên kết tối thiểu pi là xác định duy nhất, ta gọi chúng là các thành phần nguyên sơ cô lập, còn lại được gọi là thành phần nguyên sơ nhúng của I. Nghĩa là ta có thể mô

tả lại phân tích nguyên sơ của I như sau:

I = q1 ∩ . . . ∩ qt ∩ Q1 ∩ . . . ∩ Qs,

√ √ trong đó qi ∈ Min(R/I), với i = 1, . . . ,t được xác định duy nhất và Q j với

j = 1, . . . , s là các iđêan nguyên tố nhúng.

Ví dụ 1.1.5. Cho vành R = K[x, y, z] và I = (x2, y2, xyz) là iđêan của R. Khi đó ta có phân tích nguyên sơ của I

4

I = (x2, y2, x) ∩ (x2, y2, y) ∩ (x2, y2, z) = (x, y2) ∩ (x2, y) ∩ (x2, y2, z),

1 = q1 ∩ q2 = (x2, xy, x2y2, y2) = (x2, xy, y2). Khi đó

√ trong đó đặt q1 = (x, y2), q2 = (x2, y), q3 = (x2, y2, z). Ta có √ q2 = (x, y) = p2, √

3 = (x, y, z) = p3. Rõ ràng q(cid:48) q(cid:48)

1 ∩ q(cid:48)

q1 = (x, y) = p1, q3 = (x, y, z) = p3 và các qi là các pi-nguyên sơ, với i = 1, 2, 3. q(cid:48) Đặt q(cid:48) 1 = (x, y) = p1. Suy ra I = q(cid:48) 1 ∩ q3 là phân tích nguyên sơ thu gọn của I và tập iđêan nguyên tố liên kết Ass(R/I) = {p1, p3} là xác định duy nhất. Mặt khác, vì p1 ⊂ p3 nên trong tập Ass(R/I) thì p1 là iđêan nguyên tố cô lập, p3 là iđêan nguyên tố nhúng. Do đó q(cid:48) 1 xác định duy nhất còn q3 chưa chắc đã xác định duy nhất. Thật vậy, tồn tại iđêan 3 = (x2, y2, z2, xyz) sao cho q(cid:48) q(cid:48) 3 = I mà 3 là p3-nguyên sơ và q3 (cid:40) q(cid:48) 3.

Kết quả sau đây cho ta thấy iđêan nguyên tố liên kết được bảo toàn qua địa

phương hóa.

Định lý 1.1.6. [8, Định lý 6.2] Giả sử S ⊂ R là tập nhân đóng và N là một RS- môđun. Xem Spec(RS) là một tập con của Spec(R), ta có AssR(N) = AssRS(N). Nếu R là Noether thì với R-môđun M ta có Ass(MS) = Ass(M) ∩ Spec(RS).

Từ các kết quả trên, ta thấy rằng một iđêan nguyên tố p của R là iđêan nguyên

tố liên kết của I nếu tồn tại phần tử c ∈ R sao cho p = (I : c) = {r ∈ R | rc ∈ I}

(xem [12, Định lý 4.17]). Vì thế

Ass(R/Ik) = {p ⊆ R | p ∈ Spec R và tồn tại c ∈ R sao cho p = (Ik : c)}.

5

Nhìn chung, ta luôn có Min(R/I) ⊆ Ass(R/Ik). Nếu trường hợp dấu bằng xảy ra với mọi k thì I là xoắn tự do chuẩn tắc. Trong [1], Brodmann đã chỉ ra rằng nếu R là vành Noether và I là iđêan của R thì tập Ass(R/Ik) là ổn định khi k đủ lớn. Nghĩa là tồn tại số nguyên dương N1 sao cho Ass(R/Ik) = Ass(R/IN1) với mọi k (cid:62) N1. Số N1 nhỏ nhất thỏa mãn tính chất trên là chỉ số ổn định của I. Mặc dù biết rằng tập Ass(R/Ik) là ổn định khi k đủ lớn, nhưng dáng điệu của nó khi k đủ nhỏ vẫn ít được biết đến. Việc tìm chỉ số N1 hoặc xác định tập ổn định Ass(R/IN1) là phức tạp bởi một iđêan nguyên tố p liên kết với lũy thừa nhỏ hơn của I thì không nhất thiết lại liên kết với lũy thừa lớn hơn của I. Khi một iđêan I sao cho p ∈ Ass(R/Ik) kéo theo p ∈ Ass(R/Ik+1) với mọi k (cid:62) 1 thì tập Ass(R/Ik) thỏa mãn điều kiện dãy tăng. Mặc dù được coi là rất đẹp nhưng ít lớp iđêan thỏa

mãn các tính chất này, người ta mới chỉ nghiên cứu cho một số trường hợp đặc biệt. Chẳng hạn, nếu I là iđêan sinh bởi dãy chính quy thì Min(R/I) = Ass(R/Ik) với mọi k, hoặc nếu I là iđêan cạnh thì tập Ass(R/Ik) thỏa mãn điều kiện dãy tăng (xem [2], [9],...)

1.1.1 Iđêan đơn thức

1 . . . xan

Bây giờ ta nhắc lại một số kiến thức về phân tích nguyên sơ và tập iđêan nguyên tố liên kết của iđêan đơn thức. Giả sử R = K[x1, . . . , xn] là một vành đa thức trên trường K. Các kí hiệu và kiến thức ở phần này được viết dựa theo [10] và [14]. Với mỗi đơn thức trong R, ta đặt xa = xa1 n với a ∈ Nn. Giá của đơn thức xa trong R được định nghĩa là supp(xa) = {xi | ai > 0}.

Định nghĩa 1.1.7. [14, Định nghĩa 5.1.1] Một iđêan của R được gọi là iđêan đơn thức nếu có tập A ∈ Nn sao cho I được sinh bởi tập {xa | a ∈ A }.

Ví dụ 1.1.8. Đặt R = K[x, y].

(i) Iđêan I = (x2, x3y, y3)R là một iđêan đơn thức.

(ii) Iđêan J = (x5 − y3, x5) là một iđêan đơn thức vì J = (x5, y3).

n)R.

1 · · · x0

(iii) Iđêan 0 và R là các iđêan đơn thức vì 0 = ( /0)R và R = (1R)R = (x0

Sau đây ta quan tâm đến khái niệm iđêan nguyên sơ và phân tích nguyên sơ

của một iđêan đơn thức.

Mệnh đề 1.1.9. [14, Mệnh đề 5.1.8] Cho q là iđêan đơn thức của R. Khi đó q là

nguyên sơ khi và chỉ khi sau khi hoán vị các biến thì q có dạng

r , xb1, . . . , xbs),

1 , . . . , xar

q = (xa1

i=1 supp(xbi) ⊂ {x1, . . . , xr}.

aq n , sau đó áp dụng đẳng thức

trong đó ai ≥ 1 và ∪s

Cho I là iđêan đơn thức của R và giả sử I = ( f1, . . . , fq)R là hệ sinh đơn thức tối thiểu của I. Bằng cách chứng minh quy nạp theo số biến xuất hiện trong ∪q i=1 supp( fi) và sau khi hoán vị các đơn thức sinh fi để 0 (cid:54) a1 (cid:54) . . . (cid:54) aq với aq (cid:62) 1, sao cho fi chia hết bởi x

aq n ) ∩ (I : x

aq n )

6

I = (I, x

aq n ) sinh bởi các đơn thức có ít hơn n biến, người ta có thể

với chú ý rằng (I : x

chứng minh mệnh đề sau:

√ √ Mệnh đề 1.1.10. [14, Mệnh đề 5.1.10] Nếu I là iđêan đơn thức của R thì I có phân tích nguyên sơ thu gọn là I = q1 ∩ . . . ∩ qr, trong đó qi là iđêan đơn thức nguyên sơ với mọi i và q j nếu i (cid:54)= j. qi (cid:54)=

Nói cách khác, mọi iđêan đơn thức I trong vành đa thức R đều có phân tích

nguyên sơ

I = q1 ∩ . . . ∩ qm,

trong đó qi được sinh bởi lũy thừa của các biến với mọi i (xem [14, Hệ quả 5.1.13]). Ta đã biết rằng thậm chí đối với iđêan đơn thức I, phân tích nguyên sơ

thu gọn của I cũng không là duy nhất. Các phần tử được xác định duy nhất trong

một phân tích như vậy cũng là những thành phần nguyên sơ ứng với iđêan nguyên

tố tối thiểu.

Mệnh đề sau đây cho ta tập iđêan nguyên tố liên kết Ass(R/I) của iđêan đơn

thức I trong vành đa thức R.

Định lý 1.1.11. [14, Định lý 5.1.3] Nếu I ⊂ R là iđêan đơn thức của R thì mọi

iđêan nguyên tố liên kết p của I là iđêan sinh bởi tập con của tập các biến, nghĩa là p = (xi1, . . . , xik), với 1 (cid:54) i1 < . . . < ik (cid:54) n. Ví dụ 1.1.12. (i) Cho I = (x2, xy) là iđêan của R = K[x, y]. Khi đó ta có hai phân tích nguyên sơ thu gọn tối thiểu của I là

I = (x) ∩ (x2, xy, y2) = (x) ∩ (x2, y).

(ii) Cho I = (yz2, x2z, x3y2) là iđêan của R = K[x, y, z]. Khi đó theo Mệnh đề 1.1.10, ta có

I = (I : x3) ∩ (I, x3) = (z, y2) ∩ (x3, zx2, z2y).

Đặt J = (x3, zx2, z2y). Tiếp tục áp dụng Mệnh đề 1.1.10, ta lại có

J = (J : z2) ∩ (J, z2) = (x2, y) ∩ (z2, x3, x2z).

Vì thế ta có phân tích nguyên sơ của I là

7

I = (z, y2) ∩ (x2, y) ∩ (z2, x3, x2z).

Đối với iđêan đơn thức I, người ta quan tâm nhiều hơn đến việc phân tích I

thành giao của các iđêan bất khả quy. Nhắc lại rằng một iđêan đơn thức J ⊆ R là m-bất khả quy nếu và chỉ nếu J (cid:54)= R và nếu có hai iđêan đơn thức J1, J2 sao cho J = J1 ∩ J2, thì hoặc J1 = J hoặc J2 = J. Một cách quy nạp, nếu J là m-bất khả quy và J1, . . . , Jn là các iđêan đơn thức (với n (cid:62) 2) sao cho J = ∩n i=1Ji thì tồn tại chỉ số i sao cho J = Ji. Chú ý rằng nếu R là vành đa thức với hệ số trên một trường K thì khái niệm m-bất khả quy cũng trùng với khái niệm bất khả quy (xem

[10, Định lý 3.2.4]).

Định lý 1.1.13. [10, Định lý 3.1.3] Cho J là một iđêan đơn thức khác không

tk )R.

t1 , . . . , xek

r (cid:92)

của R. Iđêan J là bất khả quy nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên dương k,t1, . . . ,tk, e1, . . . , ek sao cho 1 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tk ≤ n và J = (xe1

i=1

Mọi iđêan đơn thức J của R đều có phân tích bất khả quy, nghĩa là J = qi

với qi là bất khả quy với mọi i = 1, . . . , n và phân tích đó là thu gọn nếu không tồn tại chỉ số j nào sao cho J = ∩i(cid:54)= jqi. Kết quả sau cho ta thấy rằng phân tích bất khả quy thu gọn là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các nhân tử.

Định lý 1.1.14. [10, Định lý 3.3.8] Cho J là iđêan đơn thức của R với các phân

k (cid:92)

h (cid:92)

tích bất khả quy thu gọn

j=1

i=1 Khi đó k = h và tồn tại hoán vị σ ∈ Sk sao cho Jt = Iσt , với mọi t = 1, . . . , k.

J = Ji = I j.

1.1.2 Đồ thị và iđêan cạnh

Trong mục này, cho V = {v1, . . . , vn} là tập hữu hạn các đỉnh và R = K[x1, . . . , xn] là vành đa thức n biến trên trường K. Các kí hiệu và kiến thức trong phần này

được viết dựa theo [4], [10] và [15].

8

Một đồ thị G là một cặp G = (V, E), trong đó V = V (G) = {v1, . . . , vn} được gọi là tập đỉnh và E = E(G) ⊆ {viv j | vi, v j ∈ V } được gọi là tập cạnh của G. Bậc của đỉnh v trong đồ thị G, kí hiệu dG(v), là số cạnh của G chứa v. Nếu G là đồ thị đơn thì dG(v) là số đỉnh lân cận của v trong G. Đỉnh bậc không được gọi là đỉnh cô lập. Đỉnh bậc một được gọi là lá. Một cây là một đồ thị liên thông

mà không có vòng tròn. Vì vậy mỗi cây chứa ít nhất hai lá. Rõ ràng rằng mỗi đồ

thị liên thông G có chứa một cây. Đường P = (V, E) là một đồ thị khác rỗng với V = {v0, v1, . . . , vk} và E = {v0v1, v1v2, . . . , vk−1vk}, trong đó các vi là phân biệt. Số cạnh của một đường gọi là độ dài của đường đó, đường có độ dài k kí hiệu là Pk. Nếu P = v0 . . . vk−1 là một đường và k ≥ 3 thì đồ thị C := P + vk−1v0 được gọi chu trình. Độ dài của chu trình là số cạnh (hoặc số đỉnh) của nó, chu trình có độ dài k kí hiệu là Ck. Chu trình có độ dài lẻ được gọi là chu trình lẻ. Đồ thị G được gọi là rẽ nhánh nếu tập đỉnh V được chia thành hai tập A và B sao cho mỗi cạnh

của đồ thị có một đỉnh thuộc A và đỉnh còn lại thuộc B (nghĩa là các đỉnh trong

cùng một tập không được nối với nhau). Khái niệm ngược lại với đồ thị rẽ nhánh

là đồ thị không rẽ nhánh.

Định nghĩa 1.1.15. Cho G = (V, E) là đồ thị với tập đỉnh V = {v1, . . . , vn} và R = K[x1, . . . , xn] là vành đa thức n biến trên trường K. Khi đó ta định nghĩa

IG = ({xix j | {vi, v j} ∈ E})R

là iđêan sinh bởi các cạnh của G và gọi là iđêan cạnh của G.

Từ định nghĩa ta thấy iđêan cạnh IG là iđêan không chứa bình phương, nghĩa là iđêan sinh bởi các đơn thức có số mũ của các biến thuộc tập {0, 1}. Nhiều khi

để tiện cho việc ký hiệu, người ta thường viết các đỉnh của V trùng với các biến

của vành đa thức.

Ví dụ 1.1.16. Cho vành R = K[x1, x2, x3, x4, x5] và các đồ thị G1, G2 như Hình 1.1. Khi đó ta có các iđêan cạnh tương ứng là

IG1 = (x1x2, x1x4, x2x3, x2x4, x3x4)R IG2 = (x1x2, x1x5, x2x3, x3x4, x3x5, x4x5)R.

Cho G = (V, E) là đồ thị với tập đỉnh V = {x1, . . . , xn} và R = K[x1, . . . , xn] là

vành đa thức với hệ số trên trường K. Với mỗi V (cid:48) ⊆ V , ta định nghĩa

PV (cid:48) = ({xi | xi ∈ V (cid:48)})R

9

là iđêan của R sinh bởi V (cid:48). Tập phủ đỉnh của G là tập V (cid:48) ⊆ V sao cho mỗi cạnh {xi, x j} ∈ E, ta có xi ∈ V (cid:48) hoặc x j ∈ V (cid:48). Tập phủ đỉnh V (cid:48) được gọi là tối thiểu nếu nó không thực sự chứa bất kì tập phủ đỉnh nào khác của G.

Hình 1.1: Đồ thị của iđêan cạnh

Chú ý rằng đối với iđêan cạnh, phân tích bất khả quy chính là phân tích nguyên

sơ. Vì thế người ta quan tâm đến phân tích bất khả quy của iđêan cạnh dưới dạng

phủ đỉnh của đồ thị như sau.

Định lý 1.1.17. [10, Định lý 4.3.8] Cho G = (V, E) là đồ thị và IG là iđêan cạnh của G. Khi đó IG có phân tích bất khả quy

V (cid:48)tối thiểu

PV (cid:48) = (cid:92) PV (cid:48), IG = (cid:92) V (cid:48)

trong đó giao thứ nhất là giao của các iđêan sinh bởi tất cả các tập phủ đỉnh của

G, giao thứ hai là giao của các iđêan sinh bởi tất cả các tập phủ đỉnh tối thiểu

của G và là giao thu gọn.

Ví dụ 1.1.18. Cho R = K[x1, x2, x3, x4]. Tìm phân tích bất khả quy của iđêan cạnh

I = (x1x2, x1x3, x1x4, x2x3, x2x4).

Trước hết, ta vẽ đồ thị G với tập đỉnh V = {x1, x2, x3, x4} sao cho I = IG là iđêan cạnh của đồ thị, như Hình 1.2.

Sau đó, ta tìm được các tập phủ đỉnh tối thiểu là

V1 = {x1, x2},V2 = {x1, x3, x4}.

Vì thế, theo Định lý 1.1.17, ta có phân tích bất khả quy thu gọn của iđêan I là

10

I = IG = (x1, x2) ∩ (x1, x3, x4).

Hình 1.2: Phân tích bất khả quy của iđêan cạnh

n , ma := (xai i

1 . . . xan

Ký hiệu m := (x1, . . . , xn) là iđêan cực đại duy nhất của R, J ⊂ R là iđêan đơn thức, [[R]] là tập tất cả các đơn thức của R, tập đỉnh V = {x1, . . . , xn}, trùng với tập các biến và µ(J) là số phần tử sinh tối thiểu của J. Với mỗi véctơ khác không a = (a1, . . . , an) ∈ Nn, đặt xa = xa1 | ai > 0, i = 1, . . . , n)R và supp(a) = supp(xa) := {xi | ai > 0}. Với mọi tập con S ⊂ V , đặt 1S là véctơ đặc trưng, nghĩa là tọa độ thứ i là 1 nếu xi ∈ S và bằng 0 nếu ngược lại. Ví dụ ta có 1V = (1, . . . , 1).

Định nghĩa 1.1.19. Một đơn thức M ∈ [[R]] được gọi là phần tử J-góc nếu M /∈ J nhưng x1M, . . . , xnM ∈ J. Tập hợp các phần tử góc của J trong [[R]] được ký hiệu bởi CR(J).

Kết quả sau cho ta một công cụ hữu hiệu để tìm phân tích bất khả quy của một

iđêan đơn thức (Xem [10], Định lý 6.3.5, Định lý 7.5.3 và Định lý 7.5.5). Ký hiệu

irr(J) là tập các iđêan bất khả quy của iđêan đơn thức J. Nhắc lại rằng mọi iđêan bất khả quy trong vành R đều có dạng mb với b ∈ Nn là véc tơ khác 0.

Định lý 1.1.20. Cho J ⊂ R là iđêan đơn thức của R.

t(R/J) (cid:92)

(i) Giả sử rad(J) = m. Cho CR(J) = {xbj | bj ∈ Nn, j = 1, . . . ,t(R/J)} là tập

j=1

các phần tử góc của J. Khi đó J = mbj+1V là phân tích bất khả quy duy nhất

của J.

11

(ii) Giả sử rằng rad(J) (cid:54)= m và J = (xbj | bj ∈ Nn, j = 1, . . . , µ(J))R. Cho m là một số nguyên bằng hoặc lớn hơn các tọa độ của véc tơ bj. Ta đặt iđêan J(cid:48) := J + m(m+1)1V và CR(J(cid:48)) = {xcj | cj ∈ Nd, j = 1, . . . ,t(R/J(cid:48))} là tập các phần

t(R/J(cid:48)) (cid:92)

j=1

tử góc của J(cid:48). Khi đó J = (cid:94) mcj+1V là phân tích bất khả quy duy nhất của

(cid:94) mcj+1V thu được từ mcj+1V bằng cách bỏ đi các đơn thức có dạng

d

, . . . , xm+1 từ các phần tử sinh của nó. J, trong đó xm+1 1

Giả sử mb := (xbi i

| bi > 0, i = 1, . . . , d)R, trong đó b = (b1, . . . , bn) ∈ Nn \ {0} là iđêan trong phân tích bất khả quy của Ik G. Ta liên kết mb với U = {xi | bi ≥ 1}, Z = {xi | bi = 0} và a = (a1, . . . , an) ∈ Nn định nghĩa bởi ai = bi − 1 nếu bi ≥ 2 và ai = 0 nếu 0 ≤ bi ≤ 1. Với các ký hiệu và các tập U, Z như trên sao cho U ∪ Z = V . Ta có kết quả sau (xem [7]).

G).

Hệ quả 1.1.21. Cho k, m ∈ N sao cho m ≥ k và a = (a1, . . . , an) ∈ Nn sao cho supp(a) ⊂ U. Các mệnh đề sau là tương đương:

G + m(m+1)1V . Ik

(i) Iđêan ma+1U ∈ irr(Ik (ii) ai < k với mọi i = 1, . . . , n và đơn thức xaxm1Z là phần tử góc của

G và với mọi u ∈ U ta có

(iii) ai < k với mọi i = 1, . . . , n và ta có xaxm1Z /∈ Ik

uxaxm1Z ∈ Ik G.

Rõ ràng rằng nếu I = IG là iđêan cạnh thì ta có: các iđêan nguyên tố liên kết của I là các iđêan đơn thức nguyên tố sinh bởi tập con của tập các biến; các

iđêan nguyên tố liên kết trong tập Ass(R/I) tương ứng với các tập phủ đỉnh tối thiểu của đồ thị G; Min(R/I) = Ass(R/I) và Ass(R/I) ⊆ Ass(R/Ik), với mọi số nguyên dương k, nghĩa là IG là xoắn tự do chuẩn tắc. Hơn nữa chỉ số dừng N1 = 1 nếu và chỉ nếu G là đồ thị rẽ nhánh (xem [13, Định lý 5.9]). Một kết quả khác

trong [2, Hệ quả 4.3] cũng chỉ ra rằng nếu G là đồ thị liên thông không rẽ nhánh

12

với n đỉnh, s lá và chu trình lẻ nhỏ nhất của G có độ dài là 2k + 1 thì chỉ số dừng N1 (cid:54) n − k − s. Một kết quả nữa về iđêan cạnh sẽ được chứng minh trong chương 2 là nếu I là iđêan cạnh thì tập Ass(R/Ik) ⊆ Ass(R/Ik+1), nghĩa là tập iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh thỏa mãn điều kiện dãy tăng.

1.2 Bao đóng nguyên

Giả sử R là một vành giao hoán Noether và I là iđêan của R. Mục này sẽ giới

thiệu khái niệm bao đóng nguyên của iđêan và tập iđêan nguyên tố liên kết của

bao đóng nguyên. Các kết quả trong phần này được viết theo [3] và [14].

Định nghĩa 1.2.1. [3, Định nghĩa 2.1.1] Cho I là iđêan của R. Một phần tử r ∈ R được gọi là nguyên trên I nếu tồn tại một số nguyên n và các phần tử ai ∈ Ii, i = 1, . . . , n thỏa mãn

rn + a1rn−1 + a2rn−2 + . . . + an−1r + an = 0.

Đẳng thức trên được gọi là đẳng thức độc lập nguyên của r trên I (bậc n). Tập

tất cả các phần tử nguyên trên I, kí hiệu I, được gọi là bao đóng nguyên của I.

Nếu I = I thì I được gọi là đóng nguyên. Nếu I ⊆ J là iđêan thì ta nói rằng J là nguyên trên I nếu J ⊆ I. Nếu I là iđêan sao cho với mọi số nguyên dương n, In là bao đóng nguyên thì I được gọi là chuẩn tắc.

Ví dụ 1.2.2. Với phần tử tùy ý x, y ∈ R, phần tử xy thuộc bao đóng nguyên (x2, y2) của iđêan (x2, y2). Cụ thể là nếu ta chọn

n = 2, a1 = 0 ∈ (x2, y2), a2 = −x2y2 ∈ (x2, y2)2

thì ta có (xy)2 + a1(xy) + a2 = 0 là phương trình độc lập nguyên của xy trên (x2, y2).

Tương tự, với số nguyên không âm bất kì i ≤ d, ta có xiyd−i ∈ (xd, yd).

Nhận xét 1.2.3. (i) I ⊆ I.

(ii) Nếu I ⊆ J là iđêan, khi đó I ⊆ J, mỗi đẳng thức độc lập nguyên của r trên I

cũng là đẳng thức độc lập nguyên của r trên J.

√ (iii) I ⊆ I.

(iv) Giao của các bao đóng nguyên là một bao đóng nguyên.

Nếu R là vành đa thức và I là iđêan đơn thức thì việc tính bao đóng nguyên trở

13

nên đơn giản hơn nhờ những mô tả sau.

Mệnh đề 1.2.4. [14, Mệnh đề 7.3.3] Cho R = K[x1, . . . , xn] là vành đa thức trên trường K và I là iđêan đơn thức của R. Khi đó I là một iđêan đơn thức và

I = (xα | ∃m ≥ 1 để xmα ∈ Im).

+, với Q+ là Mô tả hình học của bao đóng nguyên [14, tr. 234] Giả sử a ∈ Qn tập các số hữu tỷ không âm. Ta định nghĩa góc trên bên phải (hoặc trần trên) của

(cid:100)α(cid:101) là

  (cid:100)α(cid:101)i =  αi nếu αi ∈ N, (cid:98)αi(cid:99) + 1 nếu αi /∈ N,

với (cid:98)αi(cid:99) là phần nguyên của αi. Giả sử ai = (ai1, . . . , ain) ∈ Nn và conv(a1, . . . , ar) là bao lồi của nó,

(cid:41)

r ∑ i=1

λiai | λi = 1, λi ∈ Q+ conv(a1, . . . , ar) = (cid:40) r ∑ i=1

là tập tất cả các tổ hợp lồi của a1, . . . , ar.

Mệnh đề 1.2.5. [14, Mệnh đề 7.3.4] Cho R = K[x1, . . . , xn] là vành đa thức trên trường K. Nếu I ⊂ R là iđêan sinh bởi các đơn thức xa1, . . . , xar thì bao đóng nguyên của I là (cid:16)(cid:110) (cid:111)(cid:17) I = . x(cid:100)α(cid:101) | α ∈ conv(a1, . . . , ar)

Khi đó I được sinh bởi các đơn thức có bậc cao nhất là d + n − 1, với d là bậc cao nhất của xa1, . . . , xar.

Hệ quả 1.2.6. [14, Hệ quả 7.3.5] Cho I là iđêan của R = K[x1, . . . , xn] sinh bởi các đơn thức xa1, . . . , xar. Khi đó bao đóng nguyên I của I được sinh bởi các đơn thức có bậc cao nhất là d + n − 1, trong đó d là số lớn nhất trong các bậc của các đơn thức xa1, . . . , xar.

Ví dụ 1.2.7. Giả sử I = (x3, y4) ⊂ K[x, y]. Bao đóng nguyên I của I được sinh bởi các đơn thức x3, y4, xy3, xy4, x2y2, x2y3, x3y, x3y2 và được biểu diễn trên Hình 1.3, mỗi đơn thức là một chấm đen trên hình.

14

I = (cid:0)x3, y4, xy3, xy4, x2y2, x2y3, x3y, x3y2(cid:1) = (cid:0)x3, y4, xy3, x2y2(cid:1) .

Hình 1.3: Bao đóng nguyên của I

15

Như đã trình bày ở Mục 1.1, rất ít lớp iđêan I sao cho Ass(R/Ik) thỏa mãn điều kiện dãy tăng. Tuy nhiên, điều kiện này là đúng cho bao đóng nguyên, nghĩa là nếu I là iđêan trên vành giao hoán Noether R, ta có Ass(R/Ik) ⊆ Ass(R/Ik+1) với k đủ lớn (xem Ratliff [11]), nghĩa là tồn tại số nguyên dương N2 sao cho Ass(R/Ik) ⊆ Ass(R/IN2) với mọi k (cid:62) N2. Nhiều tính chất đẹp của tập Ass(R/IN2) được nghiên cứu trong [5]. Đối với iđêan cạnh IG, nếu G là đồ thị chứa duy nhất một chu trình thì tập Ass(R/Ik) tạo thành một dãy tăng.

Chương 2

Iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh

Trong chương này luôn kí hiệu R = K[x1, . . . , xn] là vành đa thức trên trường K và G = (V, E) là đồ thị với tập đỉnh là V = {x1, . . . , xn} và tập cạnh là Evới giả thiết G không có đỉnh cô lập. Chương này sẽ trình bày lại một số kết quả

về tập các iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh được viết bởi J.

Martinez-Bernal, S. Morey and R. Villarreal trong bài báo số [9].

2.1 Matching và Factor-critical

Định nghĩa 2.1.1. Một matching M của đồ thị G là một tập con của E mà hai

cạnh bất kì của M không có đỉnh chung. Một matching có k cạnh được gọi là k−matching. Ta kí hiệu M k G = {M | M là k-matching của G}. Matching cực đại của G là matching chứa nhiều cạnh nhất có thể. Số matching của G, kí hiệu ν(G),

là số cạnh trong một matching cực đại của G. Một matching được gọi là perfect

matching nếu nó phủ tất cả các đỉnh của đồ thị G. Đồ thị G được gọi là matching

critical nếu với mọi x ∈ V thì ν(G) = ν(G − x). Đồ thị G được gọi là factor-

critical nếu G − u có perfect matching với mọi u ∈ V .

Ví dụ 2.1.2. (i) Xét đồ thị G1 cho ở Hình 2.1. Tập hợp các matching của G1 là

{(12, 34), (12, 35), (12, 45), (23, 45), (23, 15), (34, 15)}.

16

Mỗi matching trên là 2- matching và là matching cực đại nên ν(G1) = 2. Đồ thị G1 là factor-critical vì với mọi i = 1, . . . , 5 thì G1 − i có perfect matching.

Hình 2.1: Đồ thị G1

Hình 2.2: Đồ thị G1 − i

• G1 − 1 có perfect matching là {(23, 45)}.

• G1 − 2 có perfect matching là {(15, 34)}.

• G1 − 3 có perfect matching là {(12, 45)}.

• G1 − 4 có perfect matching là {(12, 35), (15, 23)}.

• G1 − 5 có perfect matching là {(12, 34)}.

Hình 2.3: Đồ thị G2

17

(ii) Xét đồ thị G2 cho ở Hình 2.3.

Tập hợp các matching của G2 là

{(12, 34), (12, 35), (12, 45), (15, 23), (15, 34), (23, 45), (25, 34)}.

Hình 2.4: Đồ thị G2 − i

• G2 − 1 có perfect matching là {(23, 45), (25, 34)}.

• G2 − 2 có perfect matching là {(15, 34)}.

• G2 − 3 có perfect matching là {(12, 45)}.

• G2 − 4 có perfect matching là {(12, 35), (15, 23)}.

• G2 − 5 có perfect matching là {(12, 34)}.

Mỗi matching trên là 2- matching và là matching cực đại nên ν(G2) = 2. Đồ thị G2 là factor-critical vì với mọi i = 1, . . . , 5 thì G2 − i có perfect matching.

Hình 2.5: Đồ thị G3

18

(iii) Xét đồ thị G3 cho ở Hình 2.5.

Tập hợp các matching cực đại của G3 là

{(12, 34, 56), (12, 34, 57), (12, 34, 67), (12, 37, 56),

(12, 47, 56), (17, 34, 56), (27, 34, 56)}.

Hình 2.6: Đồ thị G3 − i

• G3 − 1 có perfect matching là {(27, 34, 56)}.

• G3 − 2 có perfect matching là {(17, 34, 56)}.

• G3 − 3 có perfect matching là {(12, 47, 56)}.

• G3 − 4 có perfect matching là {(12, 37, 56)}.

• G3 − 5 có perfect matching là {(12, 34, 67)}.

• G3 − 6 có perfect matching là {(12, 34, 57)}.

• G3 − 7 có perfect matching là {(12, 34, 56)}.

Do đó ν(G3) = 3. Đồ thị G3 là factor-critical vì với mọi i = 1, . . . , 7 thì G3 − i có perfect matching.

Nhận xét 2.1.3. (i) Bất kì đồ thị G nào có perfect matching đều phải có số đỉnh

là chẵn và mỗi đỉnh của G đều thuộc cạnh của perfect matching.

19

(ii) Đồ thị factor-critical phải có số đỉnh là lẻ.

2.2 Sự bảo toàn của tập iđêan nguyên tố liên kết

Trong mục này, ta đặc trưng những đồ thị có perfect matching và chỉ ra rằng

tập các iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh có dạng một dãy

1 . . . xan

cq q , trong đó c = (ci) ∈ Nq. Chú ý rằng tập N bao gồm cả số 0.

tăng.

Cho G là đồ thị với tập đỉnh V = {x1, . . . , xn} và I = IG ⊂ R là iđêan cạnh của nó. Ký hiệu F = { f1, . . . , fq} là tập tất cả các đơn thức xix j sao cho {xi, x j} ∈ E. Để ngắn gọn, ta đặt xa = xa1 n và |a| = a1 + a2 + . . . + an, trong đó a = (ai) ∈ Nn và fc = f c1 1 . . . f

i và thay tập cạnh E bởi tập

Định nghĩa 2.2.1. Sự nhân bản đỉnh xi của đồ thị G là mở rộng tập đỉnh V của nó bằng một đỉnh mới x(cid:48)

i}|xi ∈ e ∈ E}.

E ∪ {(e {xi}) ∪ {x(cid:48)

Sự xóa đi xi, kí hiệu G\{xi}, là đồ thị tạo thành từ G bởi bỏ đi đỉnh xi và tất cả các cạnh chứa đỉnh xi. Đồ thị thu được từ G bởi một dãy các lần xóa đi và nhân bản của các đỉnh được gọi là song song hóa của G.

Không khó để kiểm tra được hai phép toán trên là giao hoán. Cho a = (ai) là vectơ trong Nn, ta kí hiệu Ga là đồ thị thu được từ G bằng cách liên tiếp xóa đi các đỉnh xi với ai = 0 và nhân bản ai − 1 lần các đỉnh xi nếu ai ≥ 1.

Hình 2.7: Đồ thị G

i = xi với i = 1, 2. Khi đó song song hóa Ga là đồ thị rẽ nhánh đầy đủ với 2, x3 i là một đỉnh, tức là

2, x2

1, x2

1, x3

2}. Chú ý rằng xk

1} và V2 = {x1

Ví dụ 2.2.2. Cho G là đồ thị như Hình 2.7 và a = (3, 3).

20

Ta đặt x1 hai nhánh V1 = {x1 k là chỉ số chứ không phải số mũ.

Hình 2.8: Đồ thị G(3,1) (nhân bản x1)

Hình 2.9: Đồ thị G(3,3) (nhân bản x1 và x2)

Cho đồ thị G, vành con cạnh của G là vành con K[G] = K[xix j | {xi, x j} ∈ E].

Bổ đề 2.2.3. Cho G là đồ thị, tập đỉnh V = {x1, . . . , xn} và a = (a1, . . . , an) ∈ Nn. Khi đó Ga có perfect matching nếu và chỉ nếu xa ∈ K[G].

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử ai ≥ 1 với mọi i, vì nếu a có thành phần bằng 0 thì ta có thể dùng đồ thị con cảm sinh trên tập đỉnh V = {xi | ai > 0}. Tập đỉnh của Ga là

i , . . . , xai

n, . . . , xan n }

1, . . . , xa1

i , . . . , x1

1 , . . . , x1

V a = V (Ga) = {x1

và tập cạnh của Ga là

i , x

k j j } | i (cid:54)= j, ki ≤ ai, k j ≤ a j, {xi, x j} ∈ E}.

Ea = E(Ga) = {{xki

Ta có thể coi xa như một đa tập sắp thứ tự

1 . . . xan

n = (x1 . . . x1) (cid:125)

xa = xa1 (cid:124) . . . (xn . . . xn) (cid:125) (cid:124) (cid:123)(cid:122) an (cid:123)(cid:122) a1

trong tập đỉnh V , nghĩa là ta có thể đồng nhất đơn thức xa với đa tập

Va = {x1, . . . , x1 , . . . , xn, . . . , xn } (cid:124) (cid:125) (cid:125) (cid:124) (cid:123)(cid:122) an (cid:123)(cid:122) a1

21

trên V mà mỗi biến được xác định một cách duy nhất bởi một số nguyên thuộc tập {1, . . . , |a|}. Số nguyên này là vị trí, từ trái sang phải, của xi trong Va. Ta có song ánh

1

↓ 2 . . . a1 a1 + 1 . . . a1 + a2 ↓ ↓ . . . . . . ↓ ↓ . . . a1 + . . . + an−1 + 1 . . . a1 + . . . + an . . . . . . ↓ ↓

. . . . . . . . .

. . . . . . ↓ . . . . . .

. . . . . . . . . xn ↓ x1 n xn ↓ xan n . x2 ↓ x1 2 x2 ↓ xa2 2 . . . x1 ↓ . . . xa1 1

x1 x1 ↓ 1 x2 x1 1 Do đó nếu Ga có perfect matching thì perfect matching cảm sinh một sự phân tích thành các thừa số của xa trong đó mỗi thừa số tương ứng với một cạnh của G, nghĩa là xa ∈ K[G]. Ngược lại, nếu xa ∈ K[G] ta có thể phân tích xa thành tích của các đơn thức tương ứng với các cạnh của G và sự phân tích này cảm sinh ra một perfect matching của Ga.

Chú ý rằng quá trình chuyển từ tập đỉnh V thành tập V a và đa tập Va được dùng trong bổ đề trên cũng có thể được dùng để xem xét các đơn thức nói chung như là

các đơn thức không chứa bình phương trong vành đa thức với phép cộng các biến và quá trình này được gọi là cực hóa. Mỗi bản sao của xi được gọi là bóng của i. Ngược lại, mỗi đơn thức không chứa bình phương M trong vành K[V a] được xem như một đơn thức trong vành K[V ] bằng cách đặt mỗi lũy thừa của xi thành một số của bóng của xi mà chia hết M. Quá trình này được gọi là phân cực.

Cho cạnh f = {xi, x j} của G, ta kí hiệu G f hoặc G{xi,x j} là đồ thị thu được từ G bởi sự nhân bản liên tiếp các đỉnh xi và x j, G f := G1+ei+e j, trong đó ei là phần tử đơn vị thứ i trong Rn và 1 = (1, . . . , 1).

Hình 2.10: Đồ thị G

22

Ví dụ 2.2.4. Cho đồ thị G ở Hình 2.10, các đỉnh được ghi nhãn bằng i thay vì xi.

Hình 2.11: Đồ thị G(2,1,1,1,1,1,1)

Hình 2.12: Đồ thị G(2,2,1,1,1,1,1)

Sự nhân bản các đỉnh x1, x2 của G được biểu diễn trong Hình 2.11và Hình 2.12.

Số khuyết của G, kí hiệu là def(G), được định nghĩa bởi def(G) = |V | − 2ν(G).

Do đó def(G) là số đỉnh còn lại sau khi đã bỏ đi các đỉnh được phủ bởi mỗi

G\Ik+1 G

matching cực đại.

k j j } của Ga.

Bổ đề 2.2.5. Cho G là đồ thị và a ∈ Nn và c ∈ Nq. Khi đó (a) xa = xδ fc, trong đó |δ | = def(Ga) và |c| = ν(Ga). (b) xa thuộc Ik khi và chỉ khi k = ν(Ga). (c) (Ga) f = (Ga){xi,x j} với mỗi cạnh f = {xki i , x

Chứng minh. (a) Ta có xa được coi như một đa tập sắp thứ tự

1 . . . xan

. xa = xa1

n = x1 . . . x1 (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) a1

. . . xn . . . xn (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) an

n, . . . , xan

n } như sau

1, . . . , xa1

1 , . . . , x1

} vào tập V a = {x1 , . . . , xn, . . . , xn (cid:125) (cid:124) Sử dụng song ánh đã được dùng trong chứng minh của Bổ đề 2.2.3 từ tập Va = {x1, . . . , x1 (cid:125) (cid:124) (cid:123)(cid:122) an (cid:123)(cid:122) a1

. . .

↓ . . .

i , x

. . . xn . . . ↓ . . . . . . x1 n xn ↓ . . . xan n . x1 x1 ↓ 1 x2 x1 1 x2 ↓ . . . x1 2 . . . x1 ↓ . . . xa1 1 . . . x2 ↓ . . . xa2 2

t

k j j } ∈ Ea là số cạnh trong matching cực đại của Ga và số đỉnh xkt

i , x

23

là một đỉnh chứ không phải lũy thừa của biến. Ta chia các đỉnh k j j } ∈ Ea t không thuộc matching cực đại nào. Mà số các là số trong đó các xai i trong V a thành 2 phần: một phần gồm các đỉnh tạo thành các cạnh {xki và một phần gồm các đỉnh xkt cạnh {xki

khuyết của Ga. Nên ta có thể viết

1 . . . xa1

xa = x1

n . . . xan 1 . . . x1 n k j (xki j )∏(xkt i x t ).

ki≤ai,k j≤a j

= ∏

Vậy xa = xδ fc.

G\Ik+1 G

(b) Ta có xa ∈ Ik nếu và chỉ nếu

= h1 . . . hk

. . . xn . . . xn (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) an xa = x1 . . . x1 (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) a1

i và x

l }. Khi đó {xki

l } thuộc Ea, suy ra e = {yi, xkl

k j j } ∈ Ea, nếu và chỉ nếu k = ν(Ga). i , x (c) Ta chứng minh bao hàm thức E((Ga) f ) ⊂ E((Ga){xi,x j}). Lấy yi và y j là bản k j sao tương ứng của xki j . Ta cũng kí hiệu bản sao của xi và x j tương ứng là yi và y j. Tập đỉnh chung của (Ga) f và (Ga){xi,x j} là V a ∪ {yi, y j}. Lấy e là một cạnh của (Ga) f . Nếu e = {yi, y j} hoặc e ∩ {yi, y j} = /0, khi đó hiển nhiên e là một cạnh của (Ga){xi,x j}. Do đó, ta có thể giả sử rằng e = {yi, xkl i , xkl l } ∈ Ea, vì vậy {xi, xl} ∈ E. Do đó {xi, xkl l } là một cạnh của (Ga){xi,x j}. Bằng lập luận tương tự, ta cũng chứng minh được bao hàm thức ngược lại.

được phân tích thành đúng k cạnh hi = {xki

Ví dụ 2.2.6. Cho đồ thị G ở Hình 2.13.

1x2

2x3. Tập đỉnh

Hình 2.13: Đồ thị G

Hình 2.14: Đồ thị G(2,2,1)

(a) Chọn a = (2, 2, 1), ta có đồ thị Ga ở Hình 2.14. Ta có xa = x2

của Ga là

1, x2

1, x1

2, x2

2, x3}.

24

V a = {x1

2x3 = x1 f1 f3. Vì vậy

1x2

2x3 = x1 f1 f2. Vì vậy

1x2

2x3 = x3(x1x2)2 = x1 f 2 1 .

1x2

Đặt f1 = x1x2, f2 = x1x3, f3 = x2x3. Ta thấy |c| = ν(Ga) = 2 và |V a| = 5. Theo định nghĩa về số khuyết ta có def(Ga) = |V a| − 2ν(Ga) = 1. Suy ra |δ | = 1. Trường hợp 1: Nếu δ = (1, 0, 0) thì xδ = x1. Do đó x2 xa = xδ f c với δ = (1, 0, 0) và c = (1, 0, 1). Trường hợp 2: Nếu δ = (0, 1, 0) thì xδ = x2. Do đó x2 xa = xδ f c với δ = (0, 1, 0) và c = (1, 1, 0). Trường hợp 3: Nếu δ = (0, 0, 1) thì xδ = x3. Do đó x2 Vì vậy xa = xδ f c với δ = (0, 0, 1) và c = (2, 0, 0).

Hình 2.15: Đồ thị Ga với a = (2, 3, 1)

Vậy xa = xδ f c với |δ | = 1 và |c| = 2. (b) Chọn a = (2, 3, 1). Đồ thị Ga được biểu diễn ở Hình 2.15.

Nhìn trên đồ thị ta thấy k = ν(Ga) = 3. Mặt khác

1x3

2x3 = (x1x2)(x1x2)(x2x3).

G. Vậy

G và xa /∈ I4

xa = x2

G\I4 G.

Vì xa phân tích được thành tích của đúng 3 cạnh nên xa ∈ I3 xa ∈ I3

1, x2

2}, gọi y1, y2 lần lượt là bản

(c) Chọn a = (2, 2, 1). Giả sử lấy cạnh f = {x1

1, x2

2, và y1, y2 cũng tương ứng là bản sao của x1, x2. Ta có

sao của x1

2}, {y1, x2

2}, {y1, x3}, {y2, x1

1}, {y2, x2

1}, {y1, y2}, {y2, x3}}.

2}, {y1, x2

2}, {y1, x3}, {y2, x1

1}, {y2, x2

1}, {y1, y2}, {y2, x3}}.

E((Ga) f ) = E(Ga)∪{{y1, x1

25

E((Ga){x1,x2}) = E(Ga)∪{{y1, x1 Suy ra E((Ga) f ) = E((Ga){x1,x2}).

Định lý 2.2.7. (Berge, [4, Định lý 3.1.14]) Cho G là đồ thị. Khi đó

def(G) = max{c0(G\S) − |S| | S ⊂ V },

trong đó c0(G) là số thành phần lẻ (thành phần có số đỉnh lẻ) của G.

Chứng minh. Lấy bất kì tập S ⊂ V và giả sử M là matching cực đại trong G. Đặt G1, . . . , Gk là các thành phần lẻ của G\S, khi đó k = c0(G\S). Trong các thành phần này, ta có thể đánh số lại sao cho G1, . . . , Gi là các thành phần chứa 1 điểm không bị phủ bởi M. (Chú ý rằng nếu def(G) = 0, nghĩa là nếu G có

perfect matching, thì định lý hiển nhiên đúng). Như vậy đối với mỗi thành phần Gi+1, . . . , Gk, có ít nhất một đường nối từ thành phần S đến M trong G. Do đó k − i ≤ |S|. Mặt khác, def(G) ≥ i vì mỗi thành phần G1, . . . , Gi chứa 1 điểm không bị phủ. Vì vậy def(G) ≥ i ≥ k − |S| = c0(G\S) − |S|.

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo |V | rằng tồn tại một tập S sao cho đẳng thức xảy ra, nghĩa là def(G) = c0(G\S) − |S|. Kiểm tra đẳng thức trên với các đồ thị có số đỉnh nhỏ là tầm thường. Giả sử G là đồ thị bất kì và định lý đúng với tất

cả các đồ thị có số đỉnh ít hơn V . Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Giả sử có một điểm v ∈ V sao cho ν(G − v) < ν(G). Khi đó

ν(G − v) = ν(G) − 1 và

def(G − v) = |V − {v}| − 2ν(G − v) = |V | − 1 − 2(ν(G) − 1)

= |V | − 2ν(G) + 1 = def(G) + 1.

Theo giả thiết quy nạp, tồn tại tập S(cid:48) ⊂ V (G − v) sao cho

def(G) + 1 = c0(G − v\S(cid:48)) − |S(cid:48)|.

Tập hợp S = S(cid:48) ∪ {v}, ta được def(G) + 1 = c0(G\S) − |S| + 1, tức là

def(G) = c0(G\S) − |S|.

Trường hợp 2: Giả sử rằng ν(G − v) = ν(G) với mọi v ∈ V . Kí hiệu các thành phần của G là H1, . . . , Hr. Với Hi cố định, chọn 1 điểm v ∈ V (Hi). Khi đó

ν(G) = ν(H1) + . . . + ν(Hr) = ν(G − v)

26

= ν(H1) + . . . + ν(Hi−1) + ν(Hi − v) + ν(Hi+1) + . . . + ν(Hr)

Do đó ν(Hi) = ν(Hi − v).

Vì v là một điểm bất kì trong Hi, nên theo Định nghĩa 2.1.1 về factor-critical, mỗi Hi là factor-critical nên số đỉnh của Hi là lẻ, do đó def(Hi) = 1. Nhưng vì

r ∑ i=1

def(G) = def(Hi) = r = c0(G\ /0) và do đó nếu ta chọn S = /0 thì đẳng thức xảy

ra và định lý được chứng minh.

Kết quả sau đây cho ta mối liên hệ giữa số khuyết và số matching của đồ thị G

với đồ thị nhân bản G f của nó, với mọi f ∈ E.

k = H f

Định lý 2.2.8. Cho G là đồ thị. Khi đó def(G f ) = δ với mọi f ∈ E khi và chỉ khi def(G) = δ và ν(G f ) = ν(G) + 1 với mọi f ∈ E.

Chứng minh. Giả sử def(G f ) = δ với mọi f ∈ E. Nhìn chung với mọi f ∈ E ta luôn có def(G) ≥ def(G f ). Ta chứng minh def(G) = def(G f ) bằng phản chứng. Giả sử def(G) > δ . Khi đó, theo Định lý 2.2.7, có S ⊂ V sao cho c0(G\S) − |S| > δ . Ta đặt r = c0(G\S) và s = |S|. Giả sử H1, . . . , Hr là các thành phần lẻ của G\S. Trường hợp 1: |V (Hk)| ≥ 2 với 1 ≤ k ≤ r. Chọn cạnh f = {xi, x j} của Hk. k thu được từ Hk bằng cách nhân bản các đỉnh xi và x j, k . Thành phần liên thông lẻ của G f \S là H1, H2, . . . , Hk−1, H(cid:48) k,

Xét song song hóa H(cid:48) nghĩa là H(cid:48) Hk+1, . . . , Hr. Do đó

c0(G f \S) − |S| > δ = def(G f ).

Điều này mâu thuẫn với Định lý 2.2.7 của Berge khi áp dụng cho G f .

Trường hợp 2: |V (Hk)| = 1 với 1 ≤ k ≤ r. Chú ý trong trường hợp này S (cid:54)= /0 vì G không có đỉnh cô lập. Chọn f = {xi, x j} ∈ E với {xi} = V (H1) và x j ∈ S. Cho yi và y j tương ứng là bản sao của xi và x j. Thành phần lẻ của G f \(S ∪ {y j}) là H1, . . . , Hr, {yi}. Do đó

c0(G f \(S ∪ {y j})) − |S ∪ {y j}| = c0(G\S) − |S| > δ = def(G f ).

Điều này lại mâu thuẫn với Định lý 2.2.7 của Berge khi được áp dụng cho G f .

Do đó cả hai trường hợp đều có def(G) = def(G f ) với mọi f ∈ E. Như là một

hệ quả ta có ν(G f ) = ν(G) + 1 với mọi f ∈ E.

27

Ngược lại, giả sử def(G) = δ và ν(G f ) = ν(G) + 1 với mọi f ∈ E. Theo định

nghĩa def(G) = |V | − 2ν(G), ta có

def(G f ) = |V (G f )| − 2ν(G f ) = |V | + 2 − 2(ν(G) + 1) = |V | − 2ν(G) = δ .

Vì vậy def(G f ) = δ với mọi f ∈ E.

Kết quả của Định lý 2.2.8 phụ thuộc vào số khuyết của G f là hằng số với mọi f hay không. Nhìn chung, số khuyết của G và G f không nhất thiết phải bằng nhau.

Ví dụ 2.2.9. Xét đồ thị G ở Hình 2.16, trong đó các đỉnh được đặt nhãn là i thay

Hình 2.16: def(G) = 2

Hình 2.17: def(G(1,1,2,2,1,1)) = 0

cho các xi. Sự nhân bản các đỉnh 3, 4 của G được biểu diễn trong Hình 2.17.

Ta có |V | = 6, ν(G) = 2 suy ra def(G) = 2. Đặt

f1 = {1, 3}, f2 = {2, 3}, f3 = {3, 4}, f4 = {4, 5}, f5 = {4, 6}.

• Ta có ν(G f1) = ν(G(2,1,2,1,1,1)) = 3 = ν(G) + 1.

• Ta có ν(G f2) = ν(G(1,2,2,1,1,1)) = 3 = ν(G) + 1.

• Ta có ν(G f3) = ν(G(1,1,2,2,1,1)) = 4 (cid:54)= ν(G) + 1.

• Ta có ν(G f4) = ν(G(1,1,1,2,2,1)) = 3 = ν(G) + 1.

• Ta có ν(G f5) = ν(G(1,1,1,2,1,2)) = 3 = ν(G) + 1.

Ta xét các đồ thị nhân bản G fi với i = 1, . . . , 5.

Vì tồn tại f3 ∈ E mà ν(G f3) (cid:54)= ν(G) + 1, không thỏa mãn Định lý 2.2.8 nên def(G f ) < def(G).

Ta đưa ra đặc trưng sau của perfect matching thông qua đồ thị nhân bản của

28

các cạnh.

Hệ quả 2.2.10. Cho G là một đồ thị. Khi đó G có perfect matching khi và chỉ khi G f có perfect matching với mọi cạnh f của G.

Chứng minh. Giả sử rằng G có perfect matching. Cho f1, . . . , fn/2 là một tập các cạnh của G mà tạo thành một perfect matching của V , trong đó n là số đỉnh của G. Nếu f = {xi, x j} là cạnh bất kì của G và yi, y j tương ứng là bản sao của các đỉnh xi, x j. Khi đó rõ ràng f1, . . . , fn/2, {yi, y j} tạo thành một perfect matching của V (G f ). Ngược lại, nếu G f có perfect matching với mọi f ∈ E, thì def(G f ) = 0 với mọi f ∈ E. Vì vậy, theo Định lý 2.2.8, ta được def(G) = 0, do đó G có perfect

matching.

Bổ đề sau đóng một vai trò quan trọng trong chứng minh định lý chính. Chứng

minh của bổ đề sử dụng kết quả tổ hợp trước đó về matching để chứng minh đẳng

thức đại số.

G với

G

: IG) = Ik

G. Lấy xa ∈ (Ik+1

G : IG) đều nằm trong Ik

G

Bổ đề 2.2.11. Cho IG là iđêan cạnh của đồ thị G. Khi đó (Ik+1 k ≥ 1.

k j j } ∈ Ea ta có

i , x

ki i ,x

k j j } = (Ga){xi,x j},

Chứng minh. Giả sử F = { f1, . . . , fq} là tập các đơn thức xix j sao cho {xi, x j} ∈ E. cq Cho trước c = (ci) ∈ Nq, ta đặt f c = f c1 1 . . . f q . Ta đã biết rằng iđêan chia của hai iđêan đơn thức cũng là iđêan đơn thức. Đặc biệt, (Ik+1 G : IG) là một iđêan đơn thức. G ⊂ (Ik+1 Hiển nhiên Ik : IG). Để chứng minh bao hàm thức ngược lại ta chỉ cần G chứng minh mỗi đơn thức thuộc (Ik+1 G : IG). Khi đó fixa ∈ Ik+1 với i = 1, . . . , q. Ta có thể giả sử rằng fixa /∈ Ik+2, vì nếu ngược G như điều cần chứng minh. Vì vậy xa+ei+e j ∈ Ik+1\Ik+2 với mọi lại thì xa ∈ Ik ei + e j sao cho {xi, x j} ∈ E. Vì vậy, theo Bổ đề 2.2.5(b), ν(Ga+ei+e j) = k + 1 với mọi {xi, x j} ∈ E, nghĩa là đồ thị (Ga){xi,x j} có matching cực đại là k + 1 với mọi cạnh {xi, x j} ∈ E. Với kí hiệu đã được sử dụng ở Bổ đề 2.2.3, với mọi cạnh {xki

(Ga){x

theo Bổ đề 2.2.5(c). Khi đó, (Ga) f có matching cực đại có k + 1 cạnh với mọi cạnh f của Ga. Áp dụng định nghĩa về số khuyết ta có

29

def((Ga) f ) = (|a| + 2) − 2(k + 1) = |a| − 2k

với mọi cạnh f của Ga. Vì vậy, theo Định lý 2.2.8, def(Ga) = |a| − 2k. Sử dụng Bổ đề 2.2.5(a), ta có thể viết xa = xδ fc, trong đó |δ | = def(Ga) và |c| = ν(Ga). Lấy bậc trong đẳng thức xa = xδ f c ta được |a| = |δ | + 2|c| = (|a| − 2k) + 2|c|, nghĩa là |c| = k. Vậy xa ∈ Ik.

Mệnh đề 2.2.12. Giả sử I = IG là iđêan cạnh của đồ thị G và m = (x1, . . . , xn). Nếu m ∈ Ass(R/Ik) thì m ∈ Ass(R/Ik+1).

Chứng minh. Vì m là iđêan nguyên tố liên kết của R/Ik. Khi đó tồn tại xa /∈ Ik sao cho mxa ⊂ Ik. Theo Bổ đề 2.2.11 tồn tại cạnh {xi, x j} của G sao cho xix jxa /∈ Ik+1. Khi đó, xl(xix jxa) ∈ Ik+1 với l = 1, . . . , n, nghĩa là m là iđêan nguyên tố liên kết của R/Ik+1.

Để mở rộng kết quả này của iđêan cực đại cho một iđêan nguyên tố liên kết

1 ) và p2 ∈ Ass(S2/Ik2

bất kì, ta sẽ dùng phương pháp địa phương hóa. Ta nhắc lại kết quả sau.

Bổ đề 2.2.13. [2, Bổ đề 2.1] Cho I là iđêan đơn thức không chứa bình phương trong S = K[x1, . . . , xm, xm+1, . . . , xr] sao cho I = I1S + I2S, trong đó I1 ⊂ S1, và I2 ⊂ S2 với S1 = K[x1, . . . , xm], và S2 = K[xm+1, . . . , xr]. Khi đó p ∈ Ass(S/Ik) khi và chỉ khi p = p1S + p2S, trong đó p1 ∈ Ass(S1/Ik1 2 ) với (k1 − 1) + (k2 − 1) = k − 1.

Định lý sau đây là kết quả chính của chương này nói rằng tập các iđêan nguyên

tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh tạo thành một dãy tăng.

Định lý 2.2.14. Cho G là đồ thị và I = IG là iđêan cạnh của nó. Khi đó

Ass(R/Ik) ⊂ Ass(R/Ik+1)

với mọi k, tức là tập các iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của I có dạng một

dãy tăng.

30

Chứng minh. Nhắc lại rằng ta đang giả sử G không có đỉnh cô lập. Cho p là một iđêan nguyên tố liên kết của R/Ik và m = (x1, . . . , xn) là iđêan cực đại của R. Để đơn giản kí hiệu, ta có thể giả sử rằng p = (x1, . . . , xr) với r < n. Khi đó, tập C = {x1, . . . , xr} là tập phủ đỉnh của G, theo Định lý 1.1.17. Theo Mệnh đề 2.2.12, ta có thể giả sử rằng p (cid:40) m. Ta viết Ip = (I2, I1)p, trong đó I2 là iđêan của R sinh

bởi tất cả các đơn thức không chứa bình phương bậc hai xix j mà ảnh của nó dưới ánh xạ chính tắc R → Rp là phần tử sinh tối thiểu của Ip, và I1 là iđêan nguyên tố của R được sinh bởi tất cả các biến xi mà ảnh của nó là phần tử sinh tối thiểu của Ip, mà tương ứng với các đỉnh cô lập của đồ thị liên kết với Ip. Các phần tử sinh tối thiểu của I2 và I1 nằm trong S = K[x1, . . . , xr], và hai tập các biến tương ứng xuất hiện trong tập các phần tử sinh tối thiểu của I1 và I2 là rời nhau và hợp của chúng là tập C = {x1, . . . , xr}. Nếu I2 = (0) thì p là iđêan nguyên tố tối thiểu của I do đó nó là một iđêan nguyên tố liên kết của R/Ik+1 (vì theo giả thiết p là iđêan nguyên tố liên kết của R/Ik). Vì thế, ta có thể giả sử rằng I2 (cid:54)= (0). Ta đã biết rằng địa phương hóa bảo toàn iđêan nguyên tố liên kết, nghĩa là p ∈ Ass(R/Ik), khi và chỉ khi pRp ∈ Ass(Rp/(IpRp)k) (xem Định lý 1.1.6). Vì thế, p ∈ Ass(R/Ik), khi và chỉ khi p ∈ Ass(R/(I1, I2)k) khi và chỉ khi p ∈ Ass(S/(I1, I2)k). Theo Mệnh đề 2.2.12 và Bổ đề 2.2.13, p là iđêan nguyên tố liên kết của S/(I1, I2)k+1. Vì vậy, ta có thể lập luận ngược trở lại để kết luận rằng p là một iđêan nguyên tố liên kết của R/Ik+1.

Hệ quả 2.2.15. Cho I là iđêan đơn thức không chứa bình phương và (Ik+1 : I) = Ik với k ≥ 1. Khi đó tập các iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của I có dạng một

dãy tăng.

Chứng minh. Như trong Mệnh đề 2.2.12, đầu tiên ta chứng minh rằng m ∈ Ass(R/Ik) suy ra m ∈ Ass(R/Ik+1). Giả sử rằng m ∈ Ass(R/Ik), khi đó tồn tại một đơn thức xa /∈ Ik sao cho xixa ∈ Ik+1 với mọi i. Theo giả thiết, xa /∈ (Ik+1 : I), vì vậy tồn tại một đơn thức sinh không chứa bình phương e của I với exa /∈ Ik+1. Nhưng xiexa = e(xixa) ∈ Ik+1 với mọi i, do đó m ∈ Ass(R/Ik+1).

p

Nhắc lại rằng vì I hữu hạn sinh nên ta có (Ik+1 : I)p = (Ik+1

: Ip) = Ik (Ik+1 p

: Ip). Do đó p. Lấy p ∈ Ass(R/Ik). Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp địa phương hóa, như trong chứng minh của Định lý 2.2.14, và áp dụng Bổ đề 2.2.13 cho iđêan không chứa bình phương bất kì ta được p ∈ Ass(R/Ik+1). Vậy tập các iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của I có dạng một dãy tăng.

31

Một câu hỏi được đặt ra là liệu tập Ass(R/Ik) có dạng một dãy tăng với mọi iđêan không chứa bình phương I không? Hệ quả 2.2.15 đưa ra một câu trả lời cho

câu hỏi này với một số lớp iđêan không chứa bình phương. Tuy nhiên câu trả lời

này sẽ không thỏa mãn với mọi iđêan không chứa bình phương. Xét ví dụ sau.

Ví dụ 2.2.16. Cho R = Q[a, b, c, d, e, f ] và I là iđêan đơn thức không chứa bình phương

I = (abe, acd, ab f , ac f , ade, bcd, bce, bd f , ce f , de f ).

Khi đó Ass(R/Ik) tạo thành 1 dãy tăng với chỉ số ổn định của I là 3, trong khi (I2 : I) = I và (I3 : I) (cid:54)= I2.

R::=QQ[a,b,c,d,e,f];

I := Ideal(abe,acd,abf,acf,ade,bcd,bce,bdf,cef,def);

IrreducibleDecom_Frobby5(I);

CoCoAServer: computing Cpu Time = 0

[Ideal(c, e, f), Ideal(d, e, f), Ideal(b, d, f), Ideal(b, c, d),

Ideal(b, c, e), Ideal(a, d, e), Ideal(a, c, d), Ideal(a, c, f),

Ideal(a, b, e), Ideal(a, b, f)]

L:=I^2:I;

L;

Ideal(abe, acd, abf, acf, ade, bcd, bce, bdf, cef, def)

M:= I^3:I;

M;

Ideal(a^2b^2e^2, a^2bcde, a^2b^2ef, a^2bcef, a^2bde^2,

ab^2cde, ab^2ce^2, ab^2def, abce^2f, abde^2f, a^2c^2d^2,

a^2bcdf, a^2c^2df, a^2cd^2e, abc^2d^2, abc^2de, abcd^2f,

ac^2def, acd^2ef, a^2b^2f^2, a^2bcf^2, a^2bdef, ab^2cdf,

ab^2cef, ab^2df^2, abcef^2, abdef^2, a^2c^2f^2, a^2cdef,

abc^2df, abc^2ef, abcdf^2, ac^2ef^2, acdef^2, a^2d^2e^2,

abcd^2e, abcde^2, abd^2ef, acde^2f, ad^2e^2f, b^2c^2d^2,

b^2c^2de, b^2cd^2f, bc^2def, bcd^2ef, b^2c^2e^2, b^2cdef,

bc^2e^2f, bcde^2f, b^2d^2f^2, bcdef^2, bd^2ef^2, c^2e^2f^2,

cde^2f^2, d^2e^2f^2, abcdef)

M:I^2;

32

Sử dụng CoCoA, ta được kết quả sau

Ideal(1)

I^2:M;

Ideal(f, e, d, c, b, a)

J:=I*I;

IrreducibleDecom_Frobby5(J);

-- CoCoAServer: computing Cpu Time = 0.062

[Ideal(a, b, e^2), Ideal(a, b, f^2), Ideal(a, c, d^2),

Ideal(a, c, f^2), Ideal(a, c^2, d), Ideal(a, d, e^2),

Ideal(a, b^2, f), Ideal(a, c^2, f), Ideal(a, b^2, e),

Ideal(a, d^2, e), Ideal(a^2, b^2, c^2, d^2, e^2, f^2),

Ideal(b^2, d, f), Ideal(d, e^2, f), Ideal(a^2, c, f),

Ideal(c, e^2, f), Ideal(a^2, c, d), Ideal(b^2, c, d),

Ideal(c^2, e, f), Ideal(d^2, e, f), Ideal(a^2, d, e),

Ideal(d, e, f^2), Ideal(b^2, c, e), Ideal(c, e, f^2),

Ideal(b, c, d^2), Ideal(b, c, e^2), Ideal(b, c^2, d),

Ideal(b, d, f^2), Ideal(a^2, b, f), Ideal(b, d^2, f),

Ideal(a^2, b, e), Ideal(b, c^2, e)]

K:=J*I;

IrreducibleDecom_Frobby5(K);

-- CoCoAServer: computing Cpu Time = 0.281

[Ideal(a^3,b^3,c^2,d^2,e^3,f),Ideal(a^3,b^3,c^2,d,e^3,f^2),

Ideal(b^3,d,f),Ideal(d,e^3,f),Ideal(a^3,b^3,c,d^2,e^3,f^2),

Ideal(a^3,c,f),Ideal(c,e^3,f),Ideal(a^3,c,d),Ideal(b^3,c,d),

Ideal(a^3,b^3,c^2,d^2,e,f^3),Ideal(a^3,b^3,c^2,d,e^2,f^3),

Ideal(a^3,d,e),Ideal(d,e,f^3),Ideal(a^3,b^3,c,d^2,e^2,f^3),

Ideal(b^3,c,e),Ideal(c,e,f^3),Ideal(c^3,e,f),Ideal(d^3,e,f),

Ideal(c^2,e,f^2),Ideal(d^2,e,f^2),Ideal(c^2,e^2,f),

Ideal(d^2,e^2,f),Ideal(c,e^2,f^2),Ideal(d,e^2,f^2),

Ideal(a^3,b^3,c^2,d^2,e^2,f^2),Ideal(a^3,b^2,c^3,d^3,e^2,f),

Ideal(a^3,b,c^3,d^3,e^2,f^2),Ideal(a^3,b,f),Ideal(b,d^3,f),

Ideal(b,d^3,f), Ideal(a^3, b^2, c^3, d^3, e, f^2),

33

Ideal(a^3, b, e), Ideal(b, c^3, e), Ideal(b^2, d, f^2),

Ideal(b^2, d^2, f), Ideal(b, d^2, f^2),

Ideal(a^3,b^2,c^3,d^2,e^2,f^2),Ideal(a^3,b^2,c^3,d,e^2,f^3),

Ideal(a^3,b,c^3,d^2,e^2,f^3),Ideal(b,c^3,d),

Ideal(b,d,f^3),Ideal(a^3,b^2,c^3,d^2,e,f^3),

Ideal(b,c^2,d^2),Ideal(b^2,c,d^2),Ideal(b^2,c^2,d),

Ideal(b^2,c^2,d^2,e^2,f^2),Ideal(a^3,b^2,c^2,d^2,e^2,f^3),

Ideal(a^3,b^2,c^2,d^2,e^3,f^2),Ideal(b^2,c,e^2),

Ideal(b^2, c^2, e), Ideal(b, c^2, e^2),

Ideal(a^3,b^2,c^2,d^3,e^2,f^2),Ideal(a^3,b^2,c,d^3,e^3,f^2),

Ideal(a^3, b, c^2, d^3, e^3, f^2), Ideal(b, c, d^3),

Ideal(b, c, e^3), Ideal(a^3, b^2, c^2, d^3, e^3, f),

Ideal(a^2,b^3,c^3,d^3,e^2,f),Ideal(a,b^3,c^3,d^3,e^2,f^2),

Ideal(a, b^3, f), Ideal(a, c^3, f),

Ideal(a^2, b^3, c^3, d^3, e, f^2), Ideal(a, b^3, e),

Ideal(a, d^3, e), Ideal(a^2, d, e^2), Ideal(a^2, d^2, e),

Ideal(a, d^2, e^2), Ideal(a^2, b^3, c^3, d^2, e^2, f^2),

Ideal(a^2,b^3,c^3,d,e^3,f^2),Ideal(a,b^3,c^3,d^2,e^3,f^2),

Ideal(a,c^3,d),Ideal(a,d,e^3),Ideal(a^2,b^3,c^3,d^2,e^3,f),

Ideal(a, c^2, d^2), Ideal(a^2, c, d^2), Ideal(a^2, c^2, d),

Ideal(a^2,c^2,d^2,e^2,f^2),Ideal(a^2,b^3,c^2,d^2,e^2,f^3),

Ideal(a^2, b^3, c^2, d^2, e^3, f^2), Ideal(a^2, c, f^2),

Ideal(a^2, c^2, f), Ideal(a, c^2, f^2),

Ideal(a^2,b^3,c^2,d^3,e^2,f^2),Ideal(a^2,b^3,c,d^3,e^2,f^3),

Ideal(a, b^3, c^2, d^3, e^2, f^3), Ideal(a, c, d^3),

Ideal(a, c, f^3), Ideal(a^2, b^3, c^2, d^3, e, f^3),

Ideal(a, b^2, e^2), Ideal(a^2, b, e^2), Ideal(a^2, b^2, e),

Ideal(a^2,b^2,d^2,e^2,f^2),Ideal(a^2,b^2,c^3,d^2,e^2,f^3),

Ideal(a^2,b^2,c^3,d^3,e^2,f^2),Ideal(a^2,b^2,c^2,d^3,e^2,f^3),

Ideal(a^2,b^2,c^2,d^2,e^2),Ideal(a^2,b^2,c^2,e^2,f^2),

Ideal(a^2, b^2, f), Ideal(a, b^2, f^2), Ideal(a^2, b, f^2),

34

Ideal(a^2,b^2,c^3,d^2,e^3,f^2),Ideal(a^2,b^2,c^2,d^2,f^2),

Ideal(a^2,b^2,c^2,d^3,e^3,f^2),Ideal(a^2,b,c^3,d^2,e^3,f^3),

Ideal(a, b^2, c^3, d^2, e^3, f^3), Ideal(a, b, e^3),

Ideal(a, b, f^3), Ideal(a^2, b^2, c^3, d, e^3, f^3),

Ideal(a^2,b^2,c,d^3,e^3,f^3),Ideal(a,b^2,c^2,d^3,e^3,f^3),

Ideal(a^2,b,c^2,d^3,e^3,f^3), Ideal(a^2,b^2,c^2,d^2,e^3,f^3)]

Nhìn vào kết quả trên, ta có một số kết luận sau.

1. Iđêan I thỏa mãn (I2 : I) = I. Ta đặt M := (I3 : I) và ta thấy (M : I2) = (1),

trong khi (I2 : M) = (a, b, c, d, e, f ) (cid:54)= (1). Do đó (I3 : I) (cid:54)= I2.

2. Các tập iđêan nguyên tố liên kết

Ass(R/I) ={p1, . . . , p10} với p1 = (c, e, f ), p2 = (d, e, f ), p3 = (b, d, f ),

p4 = (b, c, d), p5 = (b, c, e), p6 = (a, d, e), p7 = (a, c, d),

p8 = (a, c, f ), p9 = (a, b, e), p10 = (a, b, f ).

Ass(R/I2) ={p1, . . . , p10} ∪ (a, b, c, d, e, f ). Ass(R/I3) ={p1, . . . , p10} ∪ (a, b, c, d, e, f ) ∪ (b, c, d, e, f ) ∪ (a, c, d, e, f )

∪ (a, b, d, e, f ) ∪ (a, b, c, e, f ) ∪ (a, b, c, d, f ) ∪ (a, b, c, d, e).

Từ đó dễ thấy Ass(R/I) ⊂ Ass(R/I2) ⊂ Ass(R/I3). Vậy tập các iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của I có dạng một dãy tăng.

3. Ta sẽ chứng minh chỉ số ổn định của I bằng 3, nghĩa là Ass(R/I3) = Ass(R/Ik) với k (cid:62) 4. Thật vậy, vì tập các iđêan nguyên tố liên kết tạo thành một dãy tăng nên dễ thấy rằng Ass(R/I3) ⊆ Ass(R/Ik). Bao hàm thức ngược lại, ta lấy một iđêan nguyên tố liên kết bất kỳ p ∈ Ass(R/Ik) và chứng minh nó thuộc Ass(R/I3). Rõ ràng rằng Ass(R/I3) đã chứa tất cả các iđêan nguyên tố liên kết p1, . . . , p10 sinh bởi 3, 5 và 6 phần tử . Ta chỉ cần chứng minh các iđêan sinh bởi 4 phần tử đều không thuộc Ass(R/Ik) với k ≥ 4.

35

Thật vậy, chẳng hạn ta lấy p = (c, d, e, f ) và giả sử p ∈ Ass(R/Ik) với k ≥ 4, nghĩa là p là căn của iđêan bất khả quy nào đó của irr(Ik). Theo Định lý 1.1.20 và Hệ quả 1.1.21, ma+1U ∈ irr(Ik) nếu và chỉ nếu ai < k với mọi i = 1, . . . , n và xaxm1Z là phần tử góc của Ik + m(m+1)1V , nếu và chỉ nếu

(1) xaxm1Z /∈ Ik và (2) với mỗi u ∈ U ta có uxaxm1Z ∈ Ik, trong đó m ≥ k, supp(xa) ∈ U = {c, d, e, f } và Z = {a, b} là tập phần bù của U trong V . Vì với mỗi u ∈ U ta có uxa ∈ Ik nên ta có uxa = g1 . . . gkN, trong đó gi là các cạnh và N là đơn thức nào đó. Nếu u chia hết N thì ta có thể giản ước u ở hai vế và ta có xa ∈ Ik, mâu thuẫn với định nghĩa phần tử góc. Do đó u chia hết gi nào đó và ta lại giản ước hai vế cho u để có xa ∈ Ik−1. Vì các phần tử sinh của I chứa trong {c, d, e, f } là ce f và de f , do đó ta có thể viết xa = M(ce f )l(de f )m với l + m = k − 1, trong đó M là đơn thức có support thuộc U. Nhưng lại có uxa = uM(ce f )l(de f )m ∈ Ik với u ∈ U, nên uxa = uM(ce f )l(de f )m = h1 . . . hkN(cid:48), trong đó hi là các cạnh có support thuộc U và N(cid:48) là đơn thức cũng có support thuộc U. Do đó hoặc hi = ce f hoặc hi = de f . Vì thế uM(ce f )l(de f )m = (ce f )h(de f ) jN(cid:48)với h + j = k. Do đó uMcldm(e f )k−1 = chd j(e f )kN(cid:48), suy ra e f chia hết uM. Nếu ta lấy u = c thì M chia hết cho e f . Nếu lấy u = e thì eMcldm(e f )k−1 = chd j(e f )kN(cid:48). Nếu l < h thì ta có eMdm(e f )k−1 = ch−ld j(e f )kN(cid:48). Do đó c chia hết M. Vì vậy ce f chia hết M, kéo theo M(ce f )l(de f )m ∈ Ik, mâu thuẫn. Lập luận tương tự cho m < j ta cũng có mâu thuẫn. Vậy cuối cùng ta có l ≥ h và m ≥ j, dẫn

đến k − 1 = l + m ≥ h + j = k, mâu thuẫn. Vậy các iđêan nguyên tố liên kết sinh bởi 4 phần tử không thuộc tập Ass(R/Ik) với k ≥ 4 hay tập chỉ số dừng của tập Ass(R/Ik) là 3.

Hệ quả 2.2.17. Cho I = IG là iđêan cạnh của đồ thị G, khi đó Ass(Ik−1/Ik) có dạng một dãy tăng với k ≥ 1.

36

Chứng minh. Giả sử p ∈ Ass(R/Ik). Khi đó p = (Ik : c) với đơn thức c ∈ R. Vì p là iđêan đơn thức nguyên tố sinh bởi tập con của tập các biến, nên nếu xc ∈ Ik với x ∈ p thì c ∈ Ik−1 và do đó p ∈ Ass(Ik−1/Ik). Suy ra Ass(Ik−1/Ik) = Ass(R/Ik). Tương tự Ass(Ik/Ik+1) = Ass(R/Ik+1). Mà Ass(R/Ik) có dạng một dãy tăng, tức là Ass(R/Ik) ⊂ Ass(R/Ik+1), theo Định lý 2.2.14. Vậy Ass(Ik−1/Ik) ⊂ Ass(Ik/Ik+1).

2.3 Bao đóng nguyên và các tập ổn định

Cho R là vành giao hoán, Noether và I là iđêan của R. Như đã đề cập ở Chương

1, tập iđêan liên kết của bao đóng nguyên của lũy thừa của I cũng có dạng một dãy tăng và ổn định. Để so sánh các tập ổn định của hai chuỗi Ass(R/Ik) và Ass(R/Ik), ta nhắc lại các định nghĩa và bổ đề sau.

Định nghĩa 2.3.1. Cho I = (xv1, . . . , xvq) là iđêan đơn thức của R. Đại số Rees của I, kí hiệu R[It], là một vành con đơn thức

R[It] = R[xv1t, . . . , xvqt] ⊂ R[t].

Vành F(I) = R[It]/mR[It] được gọi là vành thớ đặc biệt của I. Chiều Krull của

F(I), kí hiệu là (cid:96)(I), được gọi là độ trải giải tích của I.

Bổ đề 2.3.2. [14, Mệnh đề 7.1.17, Bài tập 7.4.10] Cho I = (xv1, . . . , xvq) là iđêan đơn thức và A là ma trận với các vectơ cột v1, . . . , vq. Nếu deg(xvi) = d với mọi i thì

F(I) (cid:39) K[xv1t, . . . , xvqt] (cid:39) K[xv1, . . . , xvq]

(cid:96)(I) = dim K[xv1, . . . , xvq] = rank(A).

Địa phương hóa sẽ cho phép ta quy về trường hợp iđêan cực đại, nghĩa là ta

chứng minh kết quả mà đặc trưng cho trường hợp m nằm trong các tập ổn định của Ass(R/Ik) và Ass(R/Ik).

G) với k nào đó.

G) với t nào đó.

Mệnh đề 2.3.3. Cho G là một đồ thị. Các điều kiện sau là tương đương:

(a) m ∈ Ass(R/Ik (b) Thành phần liên thông của G là đồ thị không rẽ nhánh. (c) m ∈ Ass(R/It (d) rank(A) = n, trong đó A là ma trận tới của G và n = |V |.

G) khi và chỉ khi rank(A) = n.

37

Chứng minh. (c) ⇔ (d) Theo [5, Định lý 3], ta có m ∈ Ass(R/It G) khi và chỉ khi (cid:96)(I) = ht(m) = n (vì độ trải giải tích của m bằng rank A). Từ Bổ đề 2.3.2 ta lại có rank(A) = (cid:96)(I). Vậy m ∈ Ass(R/It

(b) ⇔ (d) Theo [14, Bổ đề 8.3.2], rank(A) = n − c0 (trong đó c0 là số thành phần liên thông rẽ nhánh). Ta có G là đồ thị không rẽ nhánh khi và chỉ khi c0 = 0, tương đương rank(A) = n.

(a) ⇔ (b) Giả sử rằng G1, . . . , Gr là các thành phần liên thông của G. Ta đặt Si = K[V (Gi)] và mi = (V (Gi)). Giả sử rằng m = (m1, . . . , mr) là iđêan nguyên tố liên kết của R/Ik G với k nào đó. Khi đó, theo Bổ đề 2.2.13, có số nguyên dương ki sao cho mi là iđêan nguyên tố liên kết của Si/Iki . Do vậy, Gi là không rẽ nhánh Gi với mọi i vì iđêan cạnh của đồ thị rẽ nhánh là xoắn tự do chuẩn tắc. Do đó ta đã

)

chứng minh được (a) suy ra (b). Cuối cùng ta chứng minh (b) suy ra (a). Giả sử rằng Gi là không rẽ nhánh với mọi i. Khi đó theo [2, Hệ quả 3.4], mi ∈ Ass(Si/Iki Gi với ki (cid:29) 0. Khi đó lại theo Bổ đề 2.2.13 ta có m là iđêan nguyên tố liên kết của R/Ik với k nào đó.

Bổ đề 2.3.4. Cho L1, L2 là iđêan đơn thức với các tập biến rời nhau. Nếu L1, L2 sinh bởi đơn thức có bậc tương ứng là d1 và d2 thì (cid:96)(L1 + L2) = (cid:96)(L1) + (cid:96)(L2).

Chứng minh. Ta đặt L = L1 +L2. Giả sử g1, . . . , gr và h1, . . . , hs là tập sinh tối thiểu tương ứng của L1 và L2 gồm các đơn thức. Theo giả thiết, L1 và L2 ở trong vành đa thức tương ứng K[x] và K[y], trong đó x = {x1, . . . , xq} và y = {y1, . . . , ym}. Ta đặt R = K[x, y]. Vành sợi đặc biệt của L có thể viết được là

F(L) (cid:39) K[x, y, u1, . . . , ur, z1, . . . , zs]/(x, y, J),

trong đó J là iđêan biểu diễn của đại số Rees R[Lt] và u1, . . . , ur, z1, . . . , zs là một tập biến mới. Iđêan J là hạt nhân của ánh xạ

K[x, y, u1, . . . , ur, z1, . . . , zs] → R[Lt],

xi (cid:55)→ xi, y j (cid:55)→ y j, ui (cid:55)→ git, z j (cid:55)→ h jt.

Vì J là iđêan toric, nên tập sinh của J gồm nhị thức có dạng

xαyβ uγzδ − xα (cid:48) yβ (cid:48) uγ (cid:48) zδ (cid:48)

yβ (cid:48) gγ (cid:48) hδ (cid:48) t|γ (cid:48)|+|δ (cid:48)|. Từ phương trình này, ta được

sao cho xαyβ gγhδ t|γ|+|δ | = xα (cid:48) xαgγ = xα (cid:48) hδ (cid:48) gγ (cid:48) , yβ hδ = yβ (cid:48) và t|γ|+|δ | = t|γ (cid:48)|+|δ (cid:48)|. Do đó

38

|α| + d1|γ| = |α (cid:48)| + d1|γ (cid:48)|, |β | + d2|δ | = |β (cid:48)| + d2|δ (cid:48)|, |γ| + |δ | = |γ (cid:48)| + |δ (cid:48)|.

yβ (cid:48) ) = 0. Giả sử rằng

Ta khẳng định rằng deg(xαyβ ) = 0 khi và chỉ khi deg(xα (cid:48) deg(xαyβ ) = 0 nghĩa là α = β = 0. Từ đẳng thức đầu tiên, ta có

|α (cid:48)| = d1(|γ| − |γ (cid:48)|).

Từ đẳng thức thứ hai và thứ ba ta được

|β (cid:48)| + d2|δ (cid:48)| = d2|δ | = d2(|γ (cid:48)| + |δ (cid:48)| − |γ|) ⇒ |β (cid:48)| = d2(|γ (cid:48)| − |γ|).

Với |α (cid:48)| ≥ 0 và |β (cid:48)| ≥ 0, ta được γ − γ (cid:48) = 0. Do đó α (cid:48) = β (cid:48) = 0 hay khẳng định được chứng minh. Vì vậy ta có biểu diễn đơn giản hơn cho vành sợi đặc biệt của

L

(2.3.1) F(L) (cid:39) K[u1, . . . , ur, z1, . . . , zs]/P (cid:39) K[g1t, . . . , grt, h1t, . . . , hst],

trong đó P là iđêan toric của K[g1t, . . . , grt, h1t, . . . , hst]. Giả sử A1, A2 lần lượt là ma trận mà các cột của nó là vectơ lũy thừa của các đơn thức tương ứng g1t, . . . , grt và h1t, . . . , hst và A là ma trận mà các cột của nó là vectơ lũy thừa của các đơn thức g1t, . . . , grt, h1t, . . . , hst. Tập các biến x và y là rời nhau. Do đó rank(A) = rank(A1) + rank(A2). Vì

F(L1) = K[g1t, . . . , grt],

F(L2) = K[h1t, . . . , hst],

F(L) (cid:39) K[g1t, . . . , grt, h1t, . . . , hst],

nên theo Bổ đề 2.3.2 ta có (cid:96)(L1) = rank(A1), (cid:96)(L2) = rank(A2), (cid:96)(L) = rank(A). Vì vậy theo Công thức 2.3.1 ta được (cid:96)(L) = (cid:96)(L1) + (cid:96)(L2).

Để phục vụ cho việc chứng minh định lý chính của mục này, ta nhắc lại kết

quả sau trong [6, Mệnh đề 3.4] và [11, Định lý 2.8]

Mệnh đề 2.3.5. Cho I là iđêan trong vành Noether R. Khi đó

(a) Ass(R/Ik) ⊆ Ass(R/Ik+1), tức là các tập Ass(R/Ik) có dạng một dãy tăng. (b) Ass(R/I) ⊆ Ass(R/I).

Ta thấy rằng các tập Ass(R/Ii) và Ass(R/Ii) là ổn định với i đủ lớn. Kết quả tiếp theo chỉ ra rằng đối với iđêan cạnh, các tập ổn định tương ứng của chúng là

39

bằng nhau.

Định lý 2.3.6. Cho IG là iđêan cạnh của đồ thị G. Khi đó tồn tại số nguyên dương N sao cho

G) = Ass(R/Ik

G) với k ≥ N.

G). Bây

G) ⊆ Ass(R/Ik

Ass(R/Ik

G) ⊆ Ass(R/Ik

G). G ) = Ass(R/Ik

G) với G ) = Ass(R/Ik G)

Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.3.5(b), ta luôn có Ass(R/Ik giờ ta đi chứng minh bao hàm thức ngược lại Ass(R/Ik

G).

Theo [1], tồn tại một số nguyên dương N1 sao cho Ass(R/IN1 k ≥ N1 và theo [11], tồn tại số nguyên dương N2 sao cho Ass(R/IN2 với k ≥ N2. Đặt N = max{N1, N2} và giả sử rằng k ≥ N. Lấy p ∈ Ass(R/Ik

G) với chỉ số i nào đó. G) có dạng một dãy tăng (theo Mệnh đề

Trường hợp 1: p = m. Theo Mệnh đề 2.3.3, p ∈ Ass(R/Ii G) vì các tập Ass(R/I j

1 ) và p2 ∈ Ass(S2/Ik2

Do đó p ∈ Ass(R/Ik 2.3.5(a)).

Trường hợp 2: p = (x1, . . . , xr) (cid:40) m. Giả sử I1, I2 và S như trong chứng minh của Định lý 2.2.14 và Xi là tập các biến xuất hiện trong tập sinh tối thiểu của Ii. Chú ý rằng p = (X1, X2). Vì p là một iđêan nguyên tố liên kết của S/(I1 + I2)k nên áp dụng Bổ đề 2.2.13 với I1S + I2S, trong đó ta coi Ii là một iđêan của Si = K[Xi], ta có thể viết p = p1S + p2S, trong đó p1 ∈ Ass(S1/Ik1 2 ) với (k1 − 1) + (k2 − 1) = k − 1. Chú ý rằng pi = (Xi). Do đó, áp dụng Mệnh đề 2.3.3 với đồ thị G2 liên kết với I2, ta được hạng của ma trận liên thông AG2 của G2 là |X2|. Mặt khác độ trải giải tích của I2 bằng chiều Krull của vành con cạnh K[G2] và bằng hạng của AG2 (theo Bổ đề 2.3.2) nên

(cid:96)(I2) = dim K[G2] = rank(AG2) = |X2|.

Vì I1 sinh bởi |X1| biến, nên ta có (cid:96)(I1) = |X1|. Theo Bổ đề 2.3.4,

p = Rp/Ii

(cid:96)(I1 + I2) = (cid:96)(I1) + (cid:96)(I2) = |X1| + |X2| = ht(p).

G).

Vì vậy, sử dụng [5, Định lý 3], vì (cid:96)(I1 + I2) = ht(p) nên ta có thể kết luận rằng p ∈ S/(I1 + I2)i với i (cid:29) 0. Vì thế ta có pRp ∈ Rp/(I1 + I2)i p. Vì vậy, theo [8, Hệ quả, trang 38] và tính chất bao đóng nguyên của iđêan giao hoán với địa phương hóa, ta được p ∈ R/Ik. Suy ra p ∈ Ass(R/Ik

G) ⊆ Ass(R/Ik

G).

Vậy Ass(R/Ik

G) = Ass(R/IG) với i ≥ 1.

40

Hệ quả 2.3.7. Cho G là đồ thị và IG là iđêan cạnh của nó. Khi đó IG là xoắn tự do chuẩn tắc khi và chỉ khi Ass(R/Ii

G với i ≥ 1.

G = Ii ⇐) Theo Định lý 2.2.14, Ass(R/IG) ⊆ Ass(R/Ii

G) với i ≥ 1 nên ta chỉ cần G) ⊆ Ass(R/IG) với i ≥ 1. Giả sử p là một iđêan nguyên G và N là chỉ số ổn định của IG. Khi đó, theo Định lý 2.2.14, p G . Vì vậy, theo Định lý 2.3.6, p là iđêan G với k (cid:29) 0. Do đó theo giả thiết p là iđêan nguyên tố

Chứng minh. ⇒) Chiều này được suy ra ngay từ chú ý rằng IG chuẩn tắc, nghĩa là Ii

chứng minh rằng Ass(R/Ii tố liên kết của R/Ii là một iđêan nguyên tố liên kết của R/IN nguyên tố liên kết của R/Ik liên kết của I.

Ví dụ tiếp theo được tính toán sử dụng phiên bản 1.4 của Macaulay2. Phiên

bản này cho phép sử dụng Normaliz bên trong Macaulay2 để tính toán bao đóng

nguyên của iđêan đơn thức và sự chuẩn hóa của đại số Rees của iđêan đơn thức. Ví dụ 2.3.8 chỉ ra rằng mặc dù các tập ổn định của Ass(R/Ii) và Ass(R/Ii) là bằng nhau nhưng chúng không nhất thiết đạt được cùng một lũy thừa.

Hình 2.18: Đồ thị G với iđêan cạnh I không chuẩn tắc

Ví dụ 2.3.8. Cho R = Q[x1, . . . , x9] và I là iđêan cạnh của đồ thị ở Hình 2.18. Chú ý rằng ví dụ được tính mà không sử dụng Định lý 2.3.6

Sử dụng Macaulay2 cùng với kết quả đã được tính trong [2, Hệ quả 4.3] là chỉ số ổn định của I lớn nhất là 8 và tập ổn định của Ass(R/Ii) chứa trong tập ổn định của Ass(R/Ii), ta được

Ii = Ii, i = 1, 2, 3, I4 = I4 + (xa), I5 = I5 + I(xa),

trong đó xa = x1x2x3x4x5x6x7x8x9,

41

Ass(R/Ii) = Ass(R/Ii) với i (cid:54)= 4 và Ass(R/I4) (cid:40) Ass(R/I4),

Ass(R/I) (cid:40) Ass(R/I2) (cid:40) Ass(R/I3) (cid:40) Ass(R/I4) = Ass(R/Ii) với i ≥ 4,

42

Ass(R/I3) (cid:40) Ass(R/I4) (cid:40) Ass(R/I5) = Ass(R/Ii) với i ≥ 5.

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày và chứng minh chi tiết các kết quả trong bài báo Asso-

ciated primes of powers of edge ideals của J. Martinez-Bernal, S. Morey và R.

Villarreal. Các vấn đề chính được trình bày như sau:

1. Trình bày lại một số kiến thức về tập iđêan nguyên tố liên kết, iđêan đơn

thức, đồ thị và iđêan cạnh.

2. Nhắc lại một số tính chất của bao đóng nguyên.

3. Nhắc lại định nghĩa và lấy một số ví dụ về Matching và Factor-critical.

4. Trình bày lại các chứng minh về kết quả chính thứ nhất của bài báo về tập

iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh tạo thành một dãy tăng.

5. Trình bày lại các chứng minh về kết quả chính thứ hai của bài báo nói rằng

43

đối với iđêan cạnh thì tập Ass(R/Ik) = Ass(R/Ik) với k đủ lớn.

Tài liệu tham khảo

[1] M. Brodmann (1979), "Asymptotic Stability of Ass(M/InM)", Pro. Amer. Math.

Soc., 74, 16-18.

[2] J. Chen, S. Morey and A. Sung (2002), "The stable set of associated primes of the

ideal of a graph", Rocky Mountain J. Math, 32, 71-89.

[3] C. Huneke and I. Swanson (2006), Integral Closure of Ideals, Rings, and Mod-

ules, London Math. Soc., Lecture Note Series 336 , Cambridge University Press,

Cambridge.

[4] L. Lovasz and M. D. Plummer (1986), Matching theory, Annals of Discrete Math-

ematics 29, Elsevier Science B.V., Amsterdam.

[5] S. McAdam (1980), Asymptotic prime divisors and analytic spreads , Proc. Amer.

Math. Soc. (80), 555–559.

[6] S. McAdam (1983), Asymptotic prime divisors , Lecture Notes in Mathematics

103, Springer-Verlag, New York.

[7] M. Morales and N. T. Dung, "Irreducible decomposition of powers of edge ideals",

preprint.

[8] H. Matsumura (1986), Commutative Ring Theory , Cambridge University Press.

[9] J. Martinez-Bernal, S. Morey and R. Villarreal (2012), "Associated primes of

powers of edge ideals", Collect. Math. (63) , 361-374.

44

[10] W. F. Moore, M. Rogers and S. Sather-Wagstaff (2018), Monomial ideals and their

decompositions, Springer.

[11] L. J. Ratliff, Jr. (1984), "On asymptotic prime divisors", Pacific J. Math. (111),

no. 2, 395–413.

[12] R. Y. Sharp (1990), Step in Commutative Algebra, Cambridge University Press.

[13] A. Simis, W. V. Vasconcelos and R. H. Villarreal (1994), "On the ideal theory of

graphs", J. Algebra, 167, 389–416.

[14] R. Villarreal (2001), Monomial Algebras, Monographs and Textbooks in Pure and

Applied Mathematics 238, Marcel Dekker, Inc., New York.

[15] Q. R. Yu and G. Liu (2010), Graph Factors and Matching Extensions, Springer.

45