Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính bền và bị chặn đều cho phương trình non autonomous với biến số lệch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Bình

TÍNH BỀN VÀ BỊ CHẶN ĐỀU CHO PHƯƠNG

TRÌNH NON-AUTONOMOUS VỚI BIẾN SỐ LỆCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Bình

TÍNH BỀN VÀ BỊ CHẶN ĐỀU CHO PHƯƠNG

TRÌNH NON-AUTONOMOUS VỚI BIẾN SỐ LỆCH

60 46 01 02

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số:

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn tập thể quý thầy cô đã tham gia giảng dạy lớp cao

học chuyên ngành giải tích khóa 23 trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí

Minh. Thầy cô đã mang đến cho em những hiểu biết thêm về Toán giải tích và

những kiến thức Toán làm nền tảng cho em có thể thực hiện luận văn này.

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Lê Hoàn Hóa. Thầy là

người tận tâm dạy dỗ chúng em trong suốt hai năm học. Thầy cũng đã hết lòng

hướng dẫn em thực hiện luận văn này.

Em cũng xin cảm ơn các thầy cô trong phòng sau đại học trường Đại Học Sư

Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện và nhiệt tình hỗ trợ chúng em trong

suốt quá trình học tập.

Luận văn chắc hẳn còn có những thiếu sót.

Kính mong nhận được sự góp ý của quý Thầy Cô.

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU

............................................................................................................... 1

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................................... 3

1.1. Một số kí hiệu ................................................................................................... 3

1.2. Phương trình vi phân chậm ............................................................................... 3

1.3. Phương trình Non-autonomous (Hệ Non-autonomous) ................................... 4

1.4. Phương trình Liénard ........................................................................................ 4

1.5. Khái niệm ổn định Lyapunov ........................................................................... 5

1.6. Bổ đề Gronwall ................................................................................................. 7

1.7. Bất đẳng thức Young về tích chập của hai hàm ............................................... 7

1.8. Điều kiện Lipschitz ........................................................................................... 7

1.9. Giải thức compact ............................................................................................. 7

1.10. Hàm tiêu chuẩn ............................................................................................... 8

1.11. Bổ đề Aubin-Lions ......................................................................................... 8

Chương 2. TÍNH BỀN VÀ BỊ CHẶN ĐỀU CHO PHƯƠNG TRÌNH NON-

AUTONOMOUS VỚI BIẾN SỐ LỆCH ......................................... 10

Chương 3. TẬP HÚT CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN

TÍNH NON-AUTONOMOUS CHẬM ............................................ 28

3.1. Phần chuẩn bị .................................................................................................. 31

3.2. Sự tồn tại của một tập hút lùi .......................................................................... 34

3.3. Sự tồn tại của một tập hút đều ........................................................................ 50

3.4. Mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút đều ................................................... 58

KẾT LUẬN ............................................................................................................. 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 60

MỞ ĐẦU

Trong khoa học ứng dụng, một số vấn đề thực tiễn liên quan đến cơ khí, kỹ

thuật, kinh tế, thuyết điều khiển, vật lý, sinh học, y học, năng lượng nguyên tử, lý

thuyết thông tin, … được liên kết với một phương trình bậc hai tuyến tính hoặc phi

tuyến với một biến số lệch. Trong số các phương trình này, phương trình dạng

Liénard với biến số lệch có một vị trí cực kỳ quan trọng. Bởi vì, trên thực tế, nhiều

hệ thống hiện đại có tính chất hiệu ứng sau, nghĩa là các trạng thái sau phụ thuộc

không chỉ vào hiện tại, mà còn phụ thuộc vào quá khứ. Sự hiểu biết về dáng điệu

tiệm cận của hệ động lực là một trong những vấn đề quan trọng nhất của vật lý toán

học và sinh học hiện đại. Vì vậy, sự nghiên cứu các thuộc tính định tính của phương

trình dạng Liénard Non-autonomous với biến số lệch là rất cần thiết, đặc biệt tính

ổn định và bị chặn của các nghiệm của các phương trình loại này.

Mục tiêu của luận văn này là trình bày một số kết quả về tính bền và bị chặn

đều cho phương trình vi phân Non-autonomous với biến số lệch.

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Trình bày một số lý thuyết phương trình vi phân Non-

autonomous, một số kí hiệu, định lý, bổ đề, và bất đẳng thức sẽ được sử dụng trong

luận văn.

Chương 2: Đầu tiên, trình bày điều kiện đủ cho tính bị chặn của nghiệm của

phương trình dạng Liénard với biến số lệch:

'' x (t)

f (x(t))x (t) g (x(t)) g (x(t - (t)))

e(t)

Tiếp theo, xem xét đến hai kết quả có liên quan đến tính ổn định và bị chặn

đều của phương trình dạng Liénard Non-autonomous với biến số lệch r(t):

−

" x (t)

f (t, x(t), x(t

' r(t)), x (t), x (t

−

g (x(t

r(t)))

p(t, x(t), x(t

+ r(t)))x (t) g (x(t)) ' r(t)), x (t), x (t

r(t))).

Ngoài ra, trong chương này còn xét thêm hai ví dụ minh họa cho các lý

thuyết tương ứng.

Chương này sắp xếp lại và làm rõ các chứng minh trong hai bài báo:

Bingwen Liu, Lihong Huang (2008), Boundedness of solutions for a class of

Liénard equation with a deviating argument, ScienceDirect, Applied Mathematics

Letters 21, pp.109-112.

Cemil Tung (2012), Stability and uniform boundedness results for Non-

autonomous Liénard-type equations with a variable deviating argument, Acta

Mathematica Vietnamica, Volume 37, Number 3, pp.311-325.

Chương 3: Đầu tiên, xây dựng các quá trình liên quan đến phương trình:

∈ Ω

+ u(t, x) Au(t, x)

t , t> ,

f (u(t, x)) F(u )(x) g(x, t), x t

∂ ∂ t =

t u( , x)

u (x), x

∈ Ω ,

t θ +

ϕθ

∈ −

, x)

( , x),

( r,0), x

∈ Ω ,

Ω

trong không gian 2 − )xL ( r,0;L (

))

Ω , để cho cặp

Ω thể hiện các

2 L (

2 − )xL ( r,0; L (

))

2 ∈ Ω (u(t), u ) L ( t

trạng thái của hệ. Sau đó khảo sát các trạng thái dài hạn của hệ bằng cách chỉ ra sự

tồn tại của một tập hút lùi và tập hút đều. Ngoài ra, trong chương này có đề cập đến

mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút đều.

Chương này sắp xếp lại và làm rõ các chứng minh trong bài báo:

Cung The Anh, Le Van Hieu (2012), Attractors for Non-autonomous

semilinear parabolic equations with delays, Acta Mathematica Vietnamica, Volume

37, Number 3, pp.357-377.

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Một số kí hiệu

→ u liên tục}.

V |

i. C(U, V) {u : U

→ u liên tục, khả vi k lần}.

kC (U, V) {u : U

V |

→ u là khả tích bậc p trên U,

< ∞ } trong đó

V |

ii. pL (U, V) {u : U

pL (U)

1 p

≤ < ∞ .

p u dx

(1 p

)

L (U,V)

)

( = ∫

∞

< ∞ trong đó

}

pL (U) {u : U =

| u

→  là khả tích bậc p trên U,

L (U)

1 p

p u dx

(1 p

≤ < ∞ ).

L (U)

)

( = ∫

V |

→ u khả tích bậc p trên mỗi tập con compact của U}.

p locL (U, V) {u : U

k,p

∈

≤ ≤ ∞

kí hiệu các không gian Sobolev.

k W (U), H (U),...,(k

, 1 p

)

iii.



∈

kí hiệu các không gian Holder.

β k, C (U), C (U),..., (k

≤ ≤ , 0 p 1)

iv.



v. u là kí hiệu đạo hàm của hàm u.

1.2. Phương trình vi phân chậm

Phương trình vi phân chậm (DDEs) là một loại phương trình vi phân trong

đó đạo hàm của hàm chưa biết tại một thời điểm xác định được cho dựa trên giá trị

của hàm tại thời điềm trước đó. Phương trình vi phân chậm còn được gọi là hệ di

truyền, phương trình với biến số lệch hoặc phương trình vi phân - khác biệt. Chúng

thuộc về lớp các hệ với chức năng hàm, tức là phương trình phương trình đạo hàm

riêng (PDEs) vô hạn chiều, trái ngược với phương trình vi phân thông thường

(ODEs) hữu hạn chiều.

Một dạng tổng quát của phương trình vi phân thời gian chậm của

n x(t) ∈ 

là

với

biểu diễn quỹ đạo của các nghiệm

x(t)

f (t, x(t), x ) t

d dt

= t ≤ t {x( ) : t}

→

trong quá khứ. Trong phương trình này

f :

1 C (

)

×  

,  

 là một toán tử

hàm.

1.3. Phương trình Non-autonomous (Hệ Non-autonomous)

Một hệ Non-autonomous là một phương trình động trên một không gian

phân thớ mịn Q →  .

Không gian phân thớ là một không gian mà xét cục bộ là không gian tích,

nhưng xét trên toàn cục có thể có một cấu trúc topo khác. Cụ thể, sự giống nhau

giữa một không gian E và một không gian tích B × F được định nghĩa bằng việc

dùng một ánh xạ toàn ánh liên tục

π → mà trong các miền nhỏ của E coi như

: E

một phép chiếu từ các miền tương ứng của B × F đến B. Ánh xạ π là phép chiếu

chiếu hay phép nhúng của không gian phân thớ, được coi là một phần của cấu trúc

trong không gian này. Không gian E được gọi là không gian phân thớ toàn phần, B

là không gian cơ sở, và F là thớ.

1.4. Phương trình Liénard

Cho f và g là hai hàm khả vi liên tục trên R, với g là một hàm lẻ và f là một

hàm chẵn. Khi đó, phương trình vi phân cấp hai thông thường có dạng:

f x ( )

g x ( )

= 0

2 d x 2 dt

dx dt

được gọi là phương trình Liénard.

Phương trình có thể được chuyển đổi thành một hệ hai chiều tương đương

với hệ phương trình vi phân thông thường. Ta định nghĩa:

F x

( ) :

x x d ( ) ,

∫

= :

x 1

F x

= :

( ),

x 2

dx dt

)

thì

được gọi là một hệ Liénard.

(

) :

, x x 1 2

− x 2 −

x  1 x  2

( F x 1 ) ( g x 1

  

  

  

  

1.5. Khái niệm ổn định Lyapunov

Xét hệ có mô hình thay đổi theo thời gian, còn gọi là hệ Non-autonomous:

(1.01)

f (x, t),

= x

với

∈  là vectơ gồm n biến trạng thái của hệ, f (x, t) là vectơ của

(x ,..., x ) n

f (x, t)

(f (x, t),...,f (x, t))

n hàm thực

thường được giả thiết là liên tục theo t và

thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương tại lân cận

0x . Kí hiệu số mũ T ở đây

được hiểu là phép chuyển vị của vectơ (hay ma trận). Điều kiện Lipschitz được đưa

ra để đảm bảo rằng hệ phương trình vi phân bậc nhất (1.01) gồm có n phương trình

vi phân:

luôn có nghiệm x(t) duy nhất thỏa điều kiện đầu . Nghiệm này còn gọi là quá trình tự do của hệ. Để nhấn mạnh sự phụ

= x k f (x, t), k=1,2,...,n, k

thuộc của nghiệm x(t) vào điều kiện ban đầu

người ta thường ký hiệu nó

x= x(t ) 0

là

x= x(t ) 0

= f

người ta còn sử dụng thêm ký hiệu ánh xạ

x(t, x , t ) 0 0

f (x,t ) t

(x ) 0

với t bất

Giả thiết tiếp hệ (1.01) là cân bằng tại gốc tọa độ, tức là: f (0, t)

0,=

kì và

là vectơ không của không gian

0 (0,...0)

n .

(1.02)

Giả thiết (1.02) này nói rằng khi không có tác động từ bên ngoài và hệ đang

ở trạng thái không thì nó vẫn sẽ ở yên trạng thái đó.

x(t, x , t ) . Cũng như vậy để nhấn mạnh sự phụ thuộc của x(t) vào hàm f(x,t)

Định nghĩa:

Xét hệ tự trị Non-autonomous cân bằng tại gốc tọa độ 0, tức là thỏa mãn

(1.02), trong đó vectơ hàm

( f x, t được giả thiết liên tục theo t. Khi đó hệ được gọi

)

là:

Ổn định nếu với mọi hằng số dương

ε > và 0

0> cho trước luôn tồn tại

< ε với mọi

(1.03)

0 δ ε ( , t ) 0 > phụ thuộc vào ε và 0t sao cho:

< δ ε ⇒ ( , t ) 0

x(t, x , t ) 0 0

t t> 0

trong đó

là nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.01) thỏa mãn

= x(t) x(t, x , t ) 0 0

điều kiện đầu

= = x x(t ) 0 x(t , x , t ) 0

Ổn định đều nếu nó là ổn định và hằng số

> trong (1.03) là không 0 δ ε ( , t ) 0

phụ thuộc vào 0t , tức là

Ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và thỏa mãn

= . 0

lim x(t, x , t ) 0 →∞ t

Định lý Lasalle:

là hàm nhiều biến, trơn thỏa

Xét hệ (1.01) cân bằng tại gốc. Gọi

( V x, t

)

mãn:

≤ γ

≤ ( x ) V x, t

( x )

với

= δ ε . ( ) δ ε ( , t ) 0

= 0

(

)

( K ∞ ={ γ là hàm đơn điệu tăng / (0)

và

= }, được gọi là hàm hợp thức, cũng như đạo hàm của nó theo thời

γ lim (r) →∞ r

−

gian:

với mọi t

0≥ .

 V(x, t)

≤ − f (x, t) W(x)

bị chặn trên bởi W(x)

∂ V ∂ t

∂ V ∂ x

Khi đó:

i. Hệ được gọi là hệ ổn định nếu

)W x là hàm bán xác định dương, tức là

(

W(x) 0,≥ với mọi x.

ii. Hệ được gọi là hệ ổn định tiệm cận nếu

)W x là hàm xác định dương trong

(

≥ ∀ ∈ và 0, x O

0= . Lân cận O

một lân cận O của gốc, tức là

)W x (

( )W 0

được gọi là miền ổn định. Hàm V(x, t) khi đó được gọi là hàm Lyapunov,

viết tắt là LF. Nếu hệ ổn định tiệm cận với miền ổn định O là toàn bộ không

> ∀ ≠ và

0= thì nó được gọi là ổn

gian trạng thái, tức là W(x)

0, x

( )W 0

định tiệm cận toàn cục (GAS).

, K ∞ γ γ ∈ 1 2

1.6. Bổ đề Gronwall

Nếu f :

+→

 bị chặn trên mỗi đoạn [

]0,T và thỏa mãn:

≤

f (T)

a(T)

b(t)f (t)dt

+ ∫

cho mỗi hàm tăng a(t) và hàm thực dương b(t) thì

∫

≤ f (T) a(T) exp b(t)dt .      

1.7. Bất đẳng thức Young về tích chập của hai hàm

Giả sử hàm f được chứa trong

p L (

q L (

) và g được chứa trong

) và

≤

≤ ∞ . Thì

Dấu * biểu thị tích chập,

pL là không

≤ với 1 p, q, r

f * g

g . q

1/p

biểu thị chuẩn thông thường trong

gian Lebesgue và

pL .

p f (x) dx

� � f p

)

( = ∫

1 p 1 + = + 1, r 1 q

1.8. Điều kiện Lipschitz

Hàm f(x) là thỏa điều kiện Lipschitz trên một đoạn [a, b] nếu có tồn tại một

−

≤

−

hằng số K (phụ thuộc vào f và đoạn [a, b]) sao cho

f (x ) 1

f (x ) 2

K x 1

x 2

(Lưu ý, trong trường hợp tổng quát, K cũng phụ thuộc vào sự lựa chọn chuẩn nhưng

đối với các chuẩn tương đương chỉ có một điều kiện Lipschitz).

1.9. Giải thức compact

Khi nghiên cứu một toán tử không bị chặn A : H

H→ trên một không gian

∈ ρ

(với

Hilbert H, nếu có z

(A)

(A) {

= λ ∈ λ{ là giá trị riêng của A}) sao cho

là một toán tử compact, ta nói rằng A có giải thức compact.

R(z; A)

(A zI)− −

Phổ

(A)σ

của A là một tập hợp con rời rạc của { . Hơn nữa, nếu A tự liên hợp thì

(A)σ

⊂  và có tồn tại một cơ sở trực giao

chính quy

{v } ∈ của vectơ riêng của A với giá trị

i{ }λ không có điểm tụ hữu hạn.

 tương ứng. Ngoài ra

{ } ∈λ

Toán tử compact là toán tử tuyến tính A : X

Y→ (với X, Y là không gian

Banach) thỏa mãn ảnh của một tập bị chặn bất kì trong X là một tập compact tương

đối trong Y.

là tập hợp của tất cả các số phức

Phổ cơ bản của T thường ký hiệu là

)

( ess T

λ sao cho

λ − không phải là một toán tử Fredholm.

I T

Toán tử Fredholm là toán tử mà ảnh của nó là đóng, hạt nhân và đối hạt nhân

của nó là hữu hạn chiều.

Phổ cơ bản là một tập hợp con của phổ σ, và phần bù của nó được gọi là phổ

rời rạc, vì vậy:

discr

ess

ψ ∈

nghĩa là số chiều của không gian {

X | T

}

không và có một

Một số λ thuộc phổ rời rạc nếu nó là một giá trị riêng của số bội hữu hạn, ψ = λψ là hữu hạn nhưng không bằng và µ − λ < ε thì μ và λ bằng µ ∈ σ

(

ε > sao cho sao cho

nhau.

σ = σ (T) (T) (T). σ

1.10. Hàm tiêu chuẩn

Một hàm

: Uϕ →  được gọi là có giá compact nếu có một tập con compact

K của U sao cho

= với mọi x U \ K

(

Các hàm có đạo hàm vô hạn

: Uϕ →  với giá compact được gọi là hàm

tiêu chuẩn. Không gian chứa các hàm tiêu chuẩn trên U kí hiệu là D(U). Đây là một

không gian vectơ thực.

∈

1X là ba không gian Banach với

X ⊆ ⊆ . Giả sử X X 1

1.11. Bổ đề Aubin-Lions Cho 0X , X và

được nhúng compact trong X và X được nhúng liên tục trong

1X ; giả sử rằng

∞ , lấy

0X và

1X là không gian phản xạ. Với 1 p, q<+

= ∈

thì phép nhúng W vào

pL ([0,T];X) cũng

∈

W {u L ([0,T];X ) | u L ([0,T];X )} 0

là compact.

Cho X và Y là hai không gian định chuẩn với chuẩn

và

tương ứng,

giả sử rằng X Y⊆ . Ta nói rằng X là nhúng compact trong Y, viết X

Y⊂⊂ nếu:

với

≤ x C x

i. X là nhúng liên tục trong Y, nghĩa là có hằng số C sao cho

mọi x X∈ ;

ii. Phép nhúng X vào Y là một toán tử compact: mỗi tập bị chặn trong X là tập

compact tương đối trong Y, tức là mỗi dãy trong một tập bị chặn có một dãy

con là Cauchy theo chuẩn

Chương 2. TÍNH BỀN VÀ BỊ CHẶN ĐỀU CHO PHƯƠNG

TRÌNH NON-AUTONOMOUS VỚI BIẾN SỐ LỆCH

Xét phương trình Liénard với biến số lệch:

'' x (t)

f (x(t))x (t) g (x(t)) g (x(t - (t)))

e(t),

(2.01)

≥

với

là một hàm liên tục,

= −∞ ∞ t ,

(

), (t) 0



+ = ∞ [0,

)



2g là các hàm liên tục trên bị chặn trên  và e(t) là một hàm liên tục, bị chặn trên

+ ϕ

và

Khi đó, phương trình (2.01)

Đặt

(x).

(x)

− [f (u) 1]du

∫

dx dt

được chuyển thành hệ sau:

− ϕ

y(t)

(x(t)),

(2.02)

= −

−

− ϕ

−

− t

y(t)

(x(t))

g (x(t

(t)))

e(t).

]

[

g (x(t)) 1

    

dx(t) dt dy(t) dt

f , g và 1

−

Giả sử rằng

. Cho C([ h,0],

)

 là không gian các hàm

∈ t



liên tục

:[ h,0]

= h sup ≥ t (t) 0

f− →  với chuẩn sup . . Các hàm

f∈

hàm liên tục ban đầu

− C([ h,0],

)

 và một số

0y , tồn tại một nghiệm của (2.02)

trên nửa khoảng [0, T) thỏa điều kiện đầu và thỏa (2.02) trên [0, T). Nếu nghiệm

, ϕt và e liên tục, cho g , g , 1

và

còn lại bị chặn thì T = +∞ . Ký hiệu các nghiệm

= f x(t) x(t, , y ) 0

= f y(t) y(t, , y ) 0

Định nghĩa 2.1:

Nghiệm của (2.02) là bị chặn nếu với mỗi

tồn tại

1B 0,>

≤

0> sao cho

x(t,

f y(t, , y ) B

kéo theo

B 1

f+ , y ) 0

với t

+∈  .

∈ − f ( , y ) C([ h,0], )x   và

Chúng ta giả sử rằng điều kiện (

1C ) và (

2C ) thỏa:

≤

(C1) Tồn tại một hằng số d 1> sao cho d | u | sign(u) (u)

với u ∈  .

(C2) Tồn tại hằng số không âm

2q thỏa:

L , L , q và 2

)

(

)

với u ∈  .

(

)

( g u 1

( q , g u 1

− ϕ ≤ + ≤ + + < u L 1, L u 1 L u 2 q , L 1

Định lý 2.1:

Giả sử (C1) và (C2) thỏa. Thì nghiệm của (2.02) bị chặn đều.

Chứng minh

Cho

là nghiệm của (2.02) xác định trên

( x t,

( y t,

( ) y t

( ) x t

= f = , y f , y

)

[

nghiệm bị chặn trên (x(t), y(t)) .

Tính các đạo hàm trên bên phải của

y s theo (2.02) với các điều kiện

( )

( )x s và

(C1) và (C2), ta có:

0,T . Chúng ta có thể giả sử rằng T = +∞ từ những đánh giá mà theo sau một tiền

[

]

= =

s t

= −

≤ −

d x(t)

y(t) ,

sign(x(t)) (x(t))

sign(x(t))y(t))

(2.03)

−

− ϕ

− t

D (| y(s) |) |

sign(y(t)){ y(t)

[g (x(t))

− (x(t))] g (x(t

(t)))

e(t)}

= =

s t

≤ −

− t

y(t) L x(t) L x(t

(t))

e(t) .

(2.04)

q 1

M(t) max{max{ x(s) , y(s) }},

Đặt

−ϕ D (| x(s) |) | sign(x(t)) + (x(t)) y(t)

với y(s)=y(0) và mọi h

− ≤ ≤ h s t

≤

ta có max{ x(t) , y(t)} M(t)

và M(t) không giảm với t

− ≤ ≤ . Hiển nhiên s 0

Bây giờ ta xét hai trường hợp:

h≥ − .

> TH i: Giả sử: M(t) max{ x(t) , y(t)}

(2.05)

với mọi t

0.≥

≡

(2.06)

là hằng số với mọi t

0≥ .

Ta cần có M(t) M(0)

(do

Giả sử ngược lại (2.06) không thỏa. Thì tồn tại

M(t) là hàm không giảm với t

0> sao cho > 1M(t ) M(0)

≤

Ta có max{ x(t) , y(t)} M(0)

với mọi h

h≥ − ).

M(0) max{max{ x(t) , y(t) }}

(do

− ≤ ≤

h t 0

≥

− ≤ ≤ , t 0

β = max{ x( ) , y( )} M(t ) M( )

Từ đó tồn tại

sao cho

β , mâu thuẫn với

(2.05).

≤

Dừ đó max{ x(t) , y(t)} M(t) M(0),

với mọi t

0≥ .

M(t ) max{ x(t ) , y(t )}

β ∈ (0, t ) 1

TH ii: Giả sử có 0t

0≥ sao cho

Đặt

và

M(t ) max{ x(t ) , y(t )}

cùng với (2.03), ta có:

Nếu

x(t ) 0

≤ − +

< −η

(2.07)

D (| x(s) |) |

+ θ .

= ≤ −

s t

d x(t ) 0

y(t ) 0

( d 1)M(t ) 0

M(t ) 0

M(t ) max{ x(t ) , y(t )}

cùng với (2.04), ta có:

Nếu

y(t ) 0

− t

D (| y(s) |) |

y(t ) L x(t ) L x(t

= ≤ −

s t

(t )) 0

q 1

e(t ) 0

η = − + θ= + + + q − min{d 1,1 (L 1 L )} 2 q 1 sup e(t) 1 +∈ t 

≤ + + θ (-1+L 1 L )M(t ) 0

(2.08)

≤ −η + θ . M(t ) 0

Thêm vào đó, nếu

thì từ (2.07) và (2.08) có M(t) giảm ngặt trong

0M(t )

≥ θ η

một lân cận nhỏ

)+ δ . Mâu thuẫn với M(t) là không giảm. Do đó: (t , t 0

(2.09)

Cho

= < max{ x(t ) , y(t ) } M(t ) 0 θ η

t t≥ tương tự trong chứng minh (2.09) ta có:

nếu M(t) max{ x(t) , y(t)}

< max{ x(t) , y(t) } , θ η

M(t) max{ x(t) , y(t)}, t>t

Mặt khác, nếu

ta có thể chọn 0 t

≤ < sao t t

cho:

và M(s) max{ x(s) , y(s)}

với mọi

= < M(t ) max{ x(t ) , y(t ) } θ η

Dùng đối số giống trong chứng minh TH i ta được:

∈ s (t , t] 2

là hằng số với mọi

(2.10)

≤

Thật vậy, ta có max{ x(s) , y(s)} M(s)

và M(s) không giảm với s

∈ s ≡ M(s) M(t ) 2 (t , t]. 2

với mọi

(2.11)

Giả sử M(s) max{ x(s) , y(s)},

t .> 2

Giả sử ngược lại (2.10) không thỏa. Thì tồn tại

h≥ − .

sao cho

t t>

(do M(t) là hàm không giảm với t

Ta có:

≤

với mọi

h≥ − ). > M(t ) M(t ) 2

max{ x(s) , y(s)} M(t ) 2

M(t ) max {max{ x(s) , y(s) }}

− ≤ ≤ h s t

Suy ra

với

− ≤ ≤ (do t h s

}

{

max x(s) , y(s) M(t ) 3

− ≤ ≤ . s h t

≥

max{ x( ) , y( )} M(t ) M( )

Từ đó tồn tại

sao cho

γ , mâu

thuẫn với (2.11).

≤

∈

với mọi

Từ đó có

max{ x(s) , y(s)} M(s) M(t ) 2

[t , t] 2

γ ∈ (t , t ) 2 3

Suy ra

Vậy nghiệm của (2.02) bị chặn đều.

< = = < max{ x(t) , y(t) } M(t) M(t ) max{ x(t ) , y(t ) } θ η

Ví dụ 2.1:

Tất cả các nghiệm và các đạo hàm của họ phương trình Liénard với một biến

số lệch:

−

+ −

−

x ''(t)

+ (3x (t) 3)x '(t)

3 sin x(t) x (t) 2x(t)

x(t

| sin t |) 1

x(t

| sin t |) 1

1 2

1 6

(2.12)

1 2 1e + t

bị chặn.

Chứng minh

Đặt:

(x)

(3u

2)du, y=

2x.

∫

dx dt

Ta có thể chuyển (2.12) thành hệ sau:

= −

(x (t) 2x(t)) y(t)

dx(t) dt

(2.13)

1 2 + 1

= −

−

+ −

−

− +

y(t)

sin x(t)

x(t

| sin t |) 1

x(t

| sin t |) 1 e

    

dy(t) dt

1 6

1 2

Lần lượt kiểm tra tất cả các giả thiết trong định lý 2.1 thỏa. Thật vậy:

+ = f (x(t)) 3x (t) 3,

3 sin x(t) x (t) 2x(t),

= + + g (x(t)) 1

= t (t) 1 2 sin t ,

− t = − = − + − − − g (x(t (t))) g (x(t sin t )) x(t sin t ) 1 x(t sin t ) 1 , 1 6

1 2 .+ 1

Với u ∈  ,

= > sao cho:

Nếu u

0≥ thì tồn tại d

2 1

= e(t) e

= > sao cho:

Nếu u

0< thì tồn tại d

2 1

= ≤ + = + ⇔ − d u 2u u 2u sign(u)(u 2u) u ≥ . 0

Suy ra (C1) thỏa.

Ta có:

− ϕ

−

≤

(u)

sin u u

− 2u u

sin u

+ , 0

g (u) 1

1 2

+ − − ≤

+ ≤

u 1

g (u) 2

1 6

1 + , 6

ta có

Đặt:

= − ≤ − + = + ⇔ − d u 2u (u 2u) sign(u)(u 2u) u ≥ . 0

; L

0; q

L 1

= ⇒ + 1

L 1

1; q 1

1 6

1 2

1 6

Suy ra (C2) thỏa.

Vì vậy, nghiệm của hệ (2.13) bị chặn đều. Điều này có nghĩa tất cả các nghiệm

và đạo hàm của nghiệm của phương trình (2.12) bị chặn.

Từ kết quả ở trên chúng ta có được một số điều kiện đủ cho tính bị chặn của

nghiệm của phương trình dạng Liénard với biến số lệch. Tiếp theo, chúng ta xem

0≥ . L ; L ; q ; q 2

xét hai kết quả có liên quan đến tính ổn định và bị chặn đều của phương trình dạng

Liénard Non-autonomous.

Xét phương trình Liénard Non-autonomous với biến số lệch r(t):

−

" x (t)

f (t, x(t), x(t

' r(t)), x (t), x (t

(2.14)

−

g (x(t

r(t)))

p(t, x(t), x(t

+ r(t)))x (t) g (x(t)) ' r(t)), x (t), x (t

r(t))),

′

≤ γ

≤ β

, r

, 0

< β < , γ và β là

trong đó r(t) liên tục, khả vi và bị chặn;

( ) ≤ 0 r t

( ) t

các hằng số dương và γ sẽ được xác định sau; các dấu phẩy trong phương trình

và p là các hàm

(2.14) biểu thị phép vi phân ứng với

)

+ ,  

[ = ∞ 0,

liên tục trên các miền xác định của chúng lần lượt là

+ ×  và

+ ×    và 4,

∈ t ; f, g , g 1

+ ×  chỉ phụ thuộc vào đối số hiển thị một cách rõ ràng với

Tính liên tục của các hàm

= = . 0 g (0) 1 g (0) 2

phương trình (2.14). Chúng ta xem xét sự ổn định và bị chặn đều của các nghiệm

của phương trình (2.14) tương ứng khi p

0≡ và p

0≠ .

Thay vì phương trình (2.14), chúng ta xem xét hệ sau:

′ x (t)

y(t),

′ y (t)

-f (t, x(t), x(t - r(t)), y(t), y(t - r(t)))y(t) - g (x(t)) - g (x(t))

(2.15)

+−

( )

( ) − r t

( ) r t

)

(

( g x s y s ds p t, x t , x t

)

( ( ) , y t , y t

)

′ 2

(

) ,

−

∫ ( ) r t

thu được từ phương trình (2.14). Trong chương này x(t), y(t) tương ứng được viết

tắt là x và y.

Xét hệ vi phân chậm Non-autonomous:

f, g , g và p là điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của

(2.16)

F :

C+ × →

với

0= và giả sử F có các tập con

( F t ,0

)



 là một ánh xạ liên tục,

đóng bị chặn trong các tập bị chặn của

là không gian Banach của các

C, .

n . (

)

= = + θ ≤ θ ≤ ≥ x(t ), -r 0, t 0, x F(t, x ), x 

hàm liên tục

là quả cầu mở tâm H trong

n f − →  với chuẩn sup;

]

[

> r,0 : r 0, C

. Nếu

và t

0≥ , thì có ít nhất một

HCf∈

HC :

{ = f∈

} H

nghiệm liên tục

− f < (C[ r,0], ) : 

tx (t, )f= f

và α là một hằng số dương. Nếu có một tập hợp con đóng

sao cho nghiệm

)+ α thỏa mãn (2.16) với x(t,t , )f trên t [t , t 0 t> , 0

vẫn còn trong B khi

α = ∞ Hơn nữa, ký hiệu | . | sẽ biểu thị một chuẩn thông dụng

trong

. Giả sử rằng

liên tục} và

= f C(t) { :[t

, t]

− α → f

n với

x max x ≤ ≤ 1 i n

. Rõ ràng, phương trình (2.14)

chỉ f trong trường hợp riêng C(t), và

x max (t) −α≤ ≤ s t

là một trường hợp đặc biệt của (2.16).

B C⊂

Định nghĩa 2.2:

được gọi là một nêm.

Một hàm số dương liên tục

→ ∞ [0,

)

nW : 

Định nghĩa 2.3:

0, s>0

Một hàm liên tục tăng ngặt W :[0,

∞ → ∞ với [0,

)

( ) 0, W s

( ) W 0

là một nêm. (Chúng tôi biểu thị nêm bởi W hoặc

iW với i là một số nguyên).

Định nghĩa 2.4:

∞ × → ∞ được

D là một tập mở trong

) D [0,

)

n với 0 D∈ . Một hàm V :[0,

gọi là xác định dương nếu V (t, 0) = 0 và nếu có một nêm

1W sao cho

≥ V(t, x) W ( x )

, và được gọi là một hàm giảm nếu có một nêm

2W sao cho

≤ V(t, x) W ( x )

Định nghĩa 2.5:

. Đạo hàm của V

Cho V(t; )f là một hàm liên tục xác định với

cùng với các nghiệm của (2.16) được ký hiệu là V và được xác định bởi biểu thức

liên hệ:

+ V(t h, x

(t , )) V(t, x (t , ))

+ t h

 f= V(t, )

lim sup → h 0

f− h

≥ f∈ t 0, C

x (t , )f= f .

0x(t , )f là nghiệm,

Định lý 2.2:

Cho một hàm vô hướng khả vi

x :[ , t]α →  là

≤ 0, W ( x ) V(t, x ),

(với

liên tục và bị chặn bởi D ≤ ∞ . Nếu

1W (r) là

 V(t, x )

0≤

một nêm), và

thì nghiệm không của hệ (2.16) ổn định.

V(t, x ) được xác định với V(t,0)

Định lý 2.3:

Giả sử tồn tại một hàm Lyapunov liên tục V(t, )f xác định với tất cả

thỏa mãn các điều kiện sau:

f ≤

f≤ ) V(t, )

)

(i) a(

f với a(r) CI∈ , số dương r>H, a(r) → ∞ khi r → ∞ và

b(r)

CI (CI chỉ họ các hàm liên tục tăng).

∈



f≤

(ii) V(t, ) 0

Thì các nghiệm của hệ (2.16) bị chặn đều.

Đối với trường hợp p(.)

0= , kết quả chính đầu tiên của chương 2 là định lý

sau đây.

≤ < ∞ f∈ 0 , t C

Định lý 2.4:

Ngoài các giả thiết cơ bản đối với các hàm f,

1g và

2g . Giả sử thêm rằng có

tồn tại hằng số dương 1α và L thỏa các điều kiện sau:

− − f (t, x, x(t r(t)), y, y(t r(t))) ≥ α , 1

' 2

Nếu:

> > ≠ ≤ 0, (x 0), g (x) L. xg (x) 1 0, xg (x) 2

thì nghiệm không của phương trình (2.14) ổn định.

Chứng minh

Định nghĩa hàm Lyapunov:

γ < , α − β 12 (1 ) − β ) L(2

(

)

( ) s g s d

( ) s g s d 1

∫

∫ ∫

∫

( ) r t

+ t s

(2.17)

với λ là số thực dương được xác định sau và e(t) là hàm liên tục trên

)

= + + , exp − 2 + + 1 ( ) s e s d y y θ θ ( ) s d d , V t x y t 1 2 λ −                

[ + = ∞ 0;

và

( ) s < ∞ e s d

∫

Khi đó ta có:



(

)

( ) s g s d

( ) s g s d 1

∫

∫ ∫

( ) r t

+ t s

+ + ≤ exp − 2 + + 1 , . ( ) s e s d y y θ θ ( ) s d d , V t x y t 1 2 λ −                

đối với hệ (2.15) là:

Đạo hàm theo thời gian của hàm Lyapunov

= −

e t

2 ( ) exp

− 2

e s d ( ) s

+ + 1

θ θ d d ( ) s

( ) g s d s

( ) g s d s 1

∫

∫ ∫

dV dt

1 2

λ −

+ t s

r t ( )

  

       

    

−

exp

− 2

e s d ( ) s

t x x t , , (

r t ( )),

y y t ( ,

r t ( ))

(

)

{

} r t ( )

∫

  

  

−

exp

− 2

e s d ( ) s

y s d ( ) s

2 y s ( )

( g x s ( )

)

' 2

{ λ 1

} ' r t ( )

∫

− t r t ( )

  

  

    

≤

Sử dụng giả thiết của định lý 2.4 và bất đẳng thức

, ta được:

  d s .    2 m n + 2 2

−

≤ −

≤

t x x t , , (

r t ( )),

y y t , (

r t ( ))

≤ , (0 r(t)

γ ).

(

)

( ) α λγ −

{

} r t ( )

= V V(t, x , y ) t

≤

( ) s (

)

( ) s y s d

( ) y s d

L y s d

( ( ) g x s

)

( ( ) g x s

)

( ( ) g x s

)

' 2

∫

− ( ) t r t

≤

y s d

r t Ly ( )

y s d ( ) s

( ) s.

∫

1 2

− t r t ( )

Thật vậy:

≤

y y(s)

y 2

2 y (s) 2

⇒

≤

L y(s) ds L(

ds)

∫

y 2

2 y (s) 2

−

r (t )

⇒

≤

L y(s) ds

r(t)Ly

y (s)ds

∫

1 2

−

r (t )

và

−

≤ −

≤

y s d

y s d ( ) s

λ β − ) (1

' r t ( ) s, ( ( )

, 0

β α β 1,

{ λ − 1

} ' r t ( )

∫

− t r t ( )

Từ đó:

∫

≤ − 2 ( ) exp e t e s d ( ) s dV dt  − 2    

( ) g s d

( ) g s d 1

∫

∫ ∫

+ t s

r t ( )

× + + s s + + 1 y y θ θ ( ) s d d 1 2 λ −          

∫

− 1

− + λγ exp − 2 e s d ( ) s y exp − 2 e s d ( ) s y α 1            

∫

2 ∫ L y s d ( ) s

+ exp − 2 e s d ( ) s 2            

− 1

∫

+ γ L y 2 exp e s d ( ) s  − 2    

∫

− t r t ( )

− 1

− λ β − (1 ) exp e s d ( ) s y s d ( ) s  − 2    

(

{ α 1

} ) λ γ 2

∫

−

≤ − − + L y 2 exp e s d ( ) s  − 2    

{ ) ( λ β − 1

}1 L

∫

− t r t ( )

−

. Do đó:

Lấy

( 1

β − ) 1

1 = Lλ 2

− 1

− − y s d 2 exp e s d ( ) s ( ) s.  − 2    

( + − 1

− 1 ) β γ

∫

{

}

Nếu:

( ) α β − 12 1 ( ) β − 2 L

thì đánh giá cuối cùng là:

≤ −

≤

(

)

V t x y , t

dV dt

d dt

với k là môt hằng số dương.

Từ đó ta có nghiệm không của phương trình (2.14) ổn định (xem định lý 2.2).

≤ − − 2 L exp e s d ( ) s y α 1    1  dV dt  − 2    

Nhận xét 2.1:

Định lý 2.4 phát sinh một kết quả mới trong khoa học về sự ổn định của các

nghiệm của một phương trình dạng Liénard Non-autonomous với một biến chậm đã

biết.

, kết quả chính thứ hai của chương này là định

Đối với trường hợp p(.)

0≠

lý sau đây.

Định lý 2.5:

Giả sử tất cả các giả thiết của định lý 2.4 được thỏa. Ngoài ra, giả sử thêm:

,→ ∞

và

với

s → +∞

( ) g s d

( ) g s d 1

∫

và:

−

≤

< ∞ .

( )), r t

, ( y y t

( ) r t

( ) , e s

( ) e s ds

( , ( , p t x x t

)

∫

≤

thì tất cả các nghiệm của phương trình (2.14) bị chặn đều.

Nếu

( ) − α β 12 1 ) ( − β 2 L

Chứng minh

Công cụ thiết yếu để chứng minh định lý này là hàm Lyapunov

được sử dụng trong chứng minh của định lý 2.4. Rõ ràng, từ (2.17) ta có:

V(t, x , y ) , mà t

( ) s g s d

( ) s g s d 1

∫

∫ ∫

∫

( ) r t

+ t s

+ + exp − 2 + + 1 ( ) s e s d y y θ θ ( ) s d d 1 2 λ −                

( ) g s d

( ) g s d 1

∫

∫ ∫

∫

( ) r t

+ t s

  θ θ ( ) s . d d   

Bất đẳng thức trên cho thấy rằng điều kiện (i) của định lý 2.3 thỏa.

≤ ≤ + + , ) s s + + 1 y y ( , V t x y t 1 2 λ −     

của hệ

Với p(.)

0≠ thì đạo hàm theo thời gian của hàm Lyapunov

(2.15) là:

= V V(t, x , y ) t

∫

= − 2 ( ) exp e t e s d ( ) s dV dt  − 2    

( ) g s d

( ) g s d 1

∫

∫ ∫

+ t s

r t ( )

× + + s s + + 1 y y θ θ ( ) s d d 1 2 λ −          

)

(

} 2 y

{

∫

λ − − − − f exp − 2 e s d ( ) s t x x t , , ( r t ( )), y y t , ( r t ( )) r t ( )      

)

( p t x x t , , (

∫

+ − − y exp − 2 e s d ( ) s r t ( )), y y t , ( r t ( ))      

( g x s ( )

)

' 2

{ λ 1

} ' r t ( )

∫

− t r t ( )

  y s d ( ) s .   

≤

Sử dụng các giả thiết của định lý 2.4 và đánh giá

ta có:

m 2

n 2

+ − − y exp − 2 e s d ( ) s y s d ( ) s           

∫

= − 2 ( ) exp e t e s d ( ) s dV dt     − 2 

( ) g s d

( ) g s d 1

∫

∫ ∫

∫

r t ( )

+ t s

× + + s s + + 1 y y θ θ ( ) s d d 1 2 λ −          

∫

− + λγ exp − 2 e s d ( ) s y exp − 2 e s d ( ) s y α 1            

∫

− 1

+ exp e s d ( ) s e t ( ) y  − 2    

∫

− t r t ( )

− 1

+ exp − 2 2 ( ) s e s d L ( ) s y s d                

∫

+ 2 γ L exp e s d ( ) s y  − 2    

) ( λ β − 1

∫

− t r t ( )

− exp e s d ( ) s y s d ( ) s     − 2 

∫

≤ − e t 2 ( ) exp  − 2   e s ds ( )  

∫

∫ ∫

+ t s

r t ( )

× + + y y g s ds ( ) + + 1 g s ds ( ) 1 1 2 λ −        θ θ d ds ( )   

∫

λγ − + exp − 2 e s ds y ( ) exp − 2 e s ds y ( ) α 1            

∫

− 1

+ + exp − 2 e s ds e t ( ) ( ) exp − 2 ( )     2 e s ds e t y ( )        

∫

− t r t ( )

+ + L γ L exp − 2 e s ds ( ) 2 y s ds ( ) 2 exp − 2 e s ds y ( )                      

∫

− t r t ( )

− λ β − (1 ) exp e s ds ( ) y s ds ( )  − 2    

∫

− 1

≤ − + λγ exp − 2 exp − 2 ( ) r s ds y ( ) e s ds y α 1            

∫

− t r t ( )

+ + exp − 2 2 2 exp − 2 ( ) e s ds L ( ) y s ds γ L ( ) e s ds y                      

∫

− t r t ( )

− λ β − (1 ) exp e s ds ( ) y s ds ( )  − 2    

− 1 2 (

{ α 1

} λγ 2 )

∫

≤ − − + L exp e s ds y ( )  − 2    

−

{ λ β − (1

}1 L

∫

− t r t ( )

−

Đặt

1 β , thì:

)

−L (1

− − ) 2 exp e s ds ( ) y s ds ( ) .  − 2    

− 1 2 (

} λγ 2 )

{ α 1

∫

≤ − − + L , ) exp e s ds y ( ) V t x y ( , t d dt  − 2    

thì

Từ đánh giá

trên, nếu

≤ ) 0.

V t x y ( , t

dV dt

d dt

Do đó có thể kết luận rằng tất cả các nghiệm của phương trình (2.14) bị chặn đều

(xem định lý 2.3).

γ < α β − 12 (1 ) β −L ) (2

Nhận xét 2.2:

Phương trình (2.01) là một trường hợp đặc biệt của phương trình (2.14). Các

giả thiết của định lý 2.4 hoàn toàn khác với các giả thiết trong định lý 2.1. Ngoài ra,

phương pháp và cách thức được sử dụng để chứng minh định lý 2.4 cũng khác với

cách được sử dụng trong định lý 2.1 và các giả thiết của định lý 2.4 và định lý 2.5

rất rõ ràng, dễ hiểu và toàn diện, có thể được áp dụng dễ dàng cho mọi phương trình

dạng Liénard Non-autonomous (2.14) tổng quát.

Ví dụ 2.2:

Như một trường hợp đặc biệt của phương trình (2.14), xét phương trình vi

phân không tuyến tính cấp 2 với biến số lệch r(t):

' 2

2 x t (

+ + − + + x x x ( + x t 2) 4 ( r t ( )) x 4 + + + − + + − 1 t x x x t ( r t ( )) 1 r t ( ))      

' 2

2 x t (

(2.18)

mà kết hợp với hệ:

' ,=x y

= + + + − + + − 1 t x x x t ( r t ( )) 1 r t ( ))

2 x t (

2 y t (

−

( ) y s ds

∫

−

2 ( x t

2 ( y t

. ( )) r t

1 ( )) r t

− ( ) t r s

Ta có điều sau:

−

t x x t ( , , (

r t ( )),

y y t , (

r t ( )))

= − + − + y y 4 x x ( 2) + + + − + + − t x y 1 r t ( )) 1 r t ( ))      

2 x t (

2 y t (

x x (

2),

g x 1( )

= + 4 ≥ = 4 , α 1 + + + − + − t x y 1 r t ( )) 1 r t ( )) +

≠

2 x x (

0, (

0),

xg x 1( )

+ → +∞

khi x

.→ ∞

(

2 )

s ds

∫

1 4

Suy ra:

,→ ∞

khi

( ) → +∞

g s ds 1

∫

0,= g 1(0)

≠

0, (

0),

2 ( ) xg x

.→ ∞

khi

sds

2 2= → +∞

∫

Suy ra:

= = x g 4 , (0) 0, g x ( ) 2

khi → ∞ x

( ) → +∞

g s ds

∫

4,=

x 2 ( )

g = = 4 L , x 2 ( )

2 x t (

2 y t (

≤

e t ( ),

1 + t

∞

e s ( )ds=

ds=

< ∞ .

∫

1 + s

π 2

Suy ra:

− − = p t x x t , ( ( , r t ( )), y y t , ( r t ( ))) + + + − + + − 1 t x y r t ( )) 1 r t ( ))

và

( ) ds < ∞ e s

∫

Do đó, tất cả các giả thiết của định lý 2.4 và định lý 2.5 thỏa, tương ứng p

0≡ và 0≠ . Điều đó có nghĩa là tất cả các nghiệm của phương trình (2.18) ổn định và bị

chặn đều, tương ứng p

0≠ .

0≡ và p

< = < < γ β , 0 1. α β − 12 (1 ) − β ) L (2 − 2(1 − (2 β ) β )

Chương 3. TẬP HÚT CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC

NỬA TUYẾN TÍNH NON-AUTONOMOUS CHẬM

Trong chương này, chúng ta xem xét cách chuyển động tiệm cận của nghiệm

một lớp phương trình parabol nửa tuyến tính Non-autonomous với dạng đa thức

không tuyến tính, chậm tổng quát và thời gian phụ thuộc vào các yếu tố bên ngoài.

Sự tồn tại nghiệm yếu cho những phương trình này được chứng minh bằng cách sử

dụng phương pháp Galerkin. Bây giờ, chúng ta xem xét sự ổn định của nghiệm và

sự tồn tại tấp hút của phương trình Non-autonomous dưới đây:

∈ Ω

+ u(t, x) Au(t, x)

t , t> ,

f (u(t, x)) F(u )(x) g(t, x), x t

∂ ∂ t

t u( , x)

u (x), x

∈ Ω ,

(3.01)

t θ +

ϕθ

∈ −

, x)

( , x),

( r,0), x

∈ Ω .

N và các

ký

hiệu

khác

thỏa

Ω là một miền bị chặn trong những

điều

kiện

đây:

ϕ∈ −

(H1) Cho các điều kiện đầu

∈ Ω và

2 L (

)

2 L ( r,0; L (

Ω . ))

(H2)

→ Ω là một toán tử tuyến tính dương tự liên hợp trù mật xác

A : D(A)

)

2 L (

⊂ Ω và có giải thức compact.

định với miền xác định

2 D(A) L (

)

là một hàm số có đạo hàm bậc 1

liên

tục

thỏa:

(H3)

−

≤

p C | u | C

f (u)u C | u | C , p>2,

(3.02)

f : → 

(3.03)

với

≥ − f '(u) C , u ∀ ∈  ,

(H4)

Ω → Ω là Lipschitz địa phương liên tục có giá trị ban

2 − F : L ( r,0;L (

))

)

2 L (

∈ −

0> sao cho với

2 u, v L( r,0; L (

Ω ))

F,ML

đầu, nghĩa là: Cho M 0> bất kì, tồn tại

C ,C ,C ,C là các hằng số dương.

∈

thỏa

là quả cầu đóng

trong

(u(0), u),(v(0), v) B(0, M)

, với B(0, M)

Ω ×

Ω tâm tại 0 và bán kính M, có:

2 L (

2 − ) L ( r,0; L (

))

≤

−

− F(u) F(v)

L ( u(0) v(0)

− u v

1/2 )

F,M

−

Ω

2 L (

r,0;L (

))

(3.04)

∀ ∈ −

xη

Ω

, có

và tồn tại

2 L ( r,0; L (

)),

2 ∈ Ω L (

)

0≥ sao cho k , k , k 2

(3.05)

2 xθ θ ( ) d

∫

−

và . là tích trong và chuẩn trong

Chúng ta kí hiệu lần lượt .,.

2L (

).Ω

∈

Ω

x η ≤ η + + F( ), k k k . 3

2 ;L (

))

(H5)

Ngoại

lực

thỏa:

và

cse

2 g(s) ds



2 g L ( loc

∫

−∞

< +∞

với c là hằng số dương cố định.

cye

2 g(y) dyds

∫ ∫

−∞ −∞

Các giả thiết ở (H5) được sử dụng để chứng minh sự tồn tại của một nghiệm

yếu cho bài toán (3.01) và sự tồn tại của một tập hút lùi cho một quá trình kết hợp

bài toán (3.01). Khi chứng minh sự tồn tại của một tập hút đều, chúng ta cần một

điều kiện mạnh hơn (H5’) của g, đó là g là phép tịnh tiến bị chặn trong

< +∞ ,

2 ;L (

))Ω

. Giả thiết này đảm bảo rằng không gian biểu tượng

, bao



2 locL (

wH (g)

g(s

.) | s

2 ;L (

))Ω

với tôpô yếu, là compact yếu và

đóng cuả tập {

} ∈  trong



2,w locL (

điều này cho phép chúng tôi sử dụng định lý tách của Lu và các tác giả để chứng

minh sự tồn tại và cấu trúc của tập hút đều.

t−

chúng ta biểu thị qua

Cho T > t và

u : (

r,T)

2 L (

)

→ Ω , với mỗi t

[ ,T]t∈

θ∈ −

∑ =

với mọi

( r,0)

tu hàm số xác định trên (-r,0) bởi mối quan hệ

Trong chương này, đầu tiên, chúng ta xây dựng quá trình liên quan đến (3.01) trong

Ω ×

2 − ) L ( r,0;L (

không gian

Ω , để cho cặp

Ω ))

2 L (

2 − ) L ( r,0; L (

))

2 ∈ Ω × (u(t), u ) L ( t

thể hiện các trạng thái của hệ. Sau đó khảo sát các trạng thái dài hạn của hệ bằng

= + u(t θ ) θ tu ( )

cách chỉ ra sự tồn tại của một tập hút lùi và tập hút đều.

→ Ω là một toán tử tuyến tính dương, tự liên hợp, trù mật

Cho

A : D(A)

)

2 L (

∈ Ω và có giải thức compact. A có một phổ

xác định với miền xác định

2 D(A) L (

)

= thỏa mãn:

λ ∞ rời rạc mà chỉ có giá trị riêng dương { }k k 1

khi k

,→ ∞

∞

= hợp thành một cơ sở trực giao của không gian

và hàm riêng tương ứng { }k k 1

≤ ≤ → ∞ 0 ...., , λ λ ≤ 2 λ k

và

Do đó chúng ta có thể xác

Hilbert

2L (

(e ,e ) δ= k jk

)Ω mà

định không gian thương và toán tử:

∞

< ∞

α D(A )

∈ c e H : k k

αλ 2 2 k k

∑

= k 1

  

  

∞

αλ với

= λ Ae e , k=1,2,.... k k

= k 1

Nếu α β>

thì không gian D(A )α là compact được nhúng trong D(A )β .

−

1 2

→ Ω →

với phép nội xạ là trù mật

Trong trường hợp đặc biệt:

1 2 D(A )

) D(A ),

2 L (

và compact.

Lưu ý rằng từ định lý Riesz Representation, ta có:

c e u = ∑α A u = ∑ . c e k k

2 xθ θ ( ) d

∫

= 1

−

điều này cho thấy F là một hàm bị chặn từ

2 L ( r,0; L (

Ω tới ))

2L (

)Ω .

Một số ký hiệu sẽ được sử dụng trong phần này:

2 H L (

= Ω ),

= = x η + + x F( ) x F( ) ≤ | k k k , 3 sup | F( ), η

1 2

1 2 V D(A )

với tích liên hợp

−

là không gian đối ngẫu của V,

1 2 V ' D(A )

−

2 L ( r,0;V)

là không gian Hilbert với chuẩn

2 L H

2 2 L ( r,0;H), L V

= u, v A u, A v ,

2 u(s) ds, X

2 L X

−

= ×

là không gian Hilbert với chuẩn

2 2 M H L , M V L H V

2 V

2 H

(u,

ϕ )

2 X

2 L X

p '

∩

Ω=

∩

'p là

p W L ( ,T; V) L ( ,T, L (

p ' )), W L ( ,T; V ') L ( ,T, L (

Ω với )),

liên hợp của p.

u = ∫

3.1. Phần chuẩn bị

Trong phần này chúng ta nhắc lại một số kết quả về tập hút lùi và tập hút đều

sẽ được sử dụng trong chương 3.

Định nghĩa 3.1.1:

là

Giả sử E là không gian Metric đầy đủ,

, u :

+ = ∞ [0,

)



× × → 



ánh xạ cho trước. Đặt U(t, ) : E

t → với U(t, )x

u(t, x, )

+∈  . Một

t , t∈  , t

thỏa các tính chất sau:

quá trình trên E là một ánh xạ U :



× × → 

U liên tục,

t t =

U( , )

Id,

t∈  ,

t ∀ ≥ ≥ t .

t = U(t, r)U(r, ) U(t, ),

Chúng ta sử dụng bán khoảng cách

dist (. , .) định nghĩa bởi:

= dist (A, B) : supinf d(a, b)

với A, B E.⊂

∈ b B

∈ a A

Định nghĩa 3.1.2:

được gọi là một họ

Lấy Σ là một tập tham số. {U (t, ), t

t σ ∈ Σ ≥ t t ∈ , }, 

các quá trình trong không gian metric đầy đủ E nếu cho mỗi

quá trình. Σ được gọi là không gian biểu tượng và σ ∈ Σ là dấu.

σ ∈ Σ t là một , U (t, ) σ

Định nghĩa 3.1.3:

Cho U(t, )t là một quá trình trong không gian E metric đầy đủ. Một họ các

được gọi là một tập hút lùi trong E đối với U(t, )t nếu mỗi

tập compact {

}t (t) ∈



t∈  thỏa mãn:

t t = U(t, )A( ) A(t)

với t ≥t (bất biến),

−

(3.06)

s)D, A(t))

= 0,

lim dist (U(t, t E →∞ s

với mỗi tập con bị chặn D của E.

Tính chất hút lùi (3.06) xét trạng thái của bài toán tại thời điểm t khi

s− → ∞ .

Định nghĩa 3.1.4:

được gọi là hấp thụ lùi trong E ứng với quá

Một họ các tập {

}t B(t) ∈

(t, B)

≤ t

trình U(t, )t nếu với mỗi tập con bị chặn B của E và mỗi t ∈  tồn tại

t ⊂

t t≤

với mọi

sao cho U(t, )B B(t)

(t, B).

Định lý sau đây cho thấy điều kiện đủ của sự tồn tại của một tập hút lùi trong

Định lý 3.1.1:

Cho U(t, )t là một quá trình hai tham số liên tục trên E. Nếu tồn tại một họ

hấp thụ lùi trong E ứng với quá trình U(t, )t khi đó tồn

các tập compact {

⊂

trong E, và A(t) B(t)

tại một tập hút lùi {

với mọi t ∈  . Hơn nữa:

}t B(t) ∈ }t (t) ∈



−

(t)

U(t, t

s)D

với

A(t)

(t)

 

Λ

s n

⊂ D E

∈ ≥ n 

Định nghĩa 3.1.5:

σ t trong không

Một tập Y được gọi là hút đều đối với một quá trình {

} U (t, )

→

gian E

nếu

khi t

, )B, Y)

sup dist (U(t ∈ t

biệt, một tập đóng

} σ t nếu U (t, )

0A được gọi là một tập hút đều đối với quá trình {

nó được chứa trong một tập đóng hút đều .

Để xây dựng các

tập hút đều,

thay vì

liên kết với quá

trình

U (t, ), t

≥ t t ∈  chúng ta có thể liên kết với một họ các quá trình

,→ ∞ với bất kỳ tập B bị chặn. Đặc

t σ ∈ Σ trong một không gian Banach E. {U (t, )},

Định nghĩa 3.1.6:

Một

tập

là hấp

thụ đều đối với họ các quá

trình

∈

E⊂

, với B(E) là họ các tập bị

}

{

σ t σ∈ Σ nếu với mỗi t∈  và mỗi B B(E)

⊂

U (t, ) |

∀ ≥ t

U (t, )B B 0

chặn của E, tồn tại 0 t

 σ

∈Σ

Một họ các quá trình mà có một tập compact hấp thụ đều gọi là compact đều.

= ≥t t sao cho t ( , B) 0

Định nghĩa 3.1.7:

Một tập đóng A

Σ ⊂ được gọi là một tập hút đều của một họ các quá trình

}

{

σ t σ∈ Σ nếu nó hút đều (tính chất hút) và nó được chứa trong bất kì tập

U (t, ) |

(tính chất cực

đóng, hút đều A ' của họ các quá trình {

} ∈ Σ

σ t σ

tiểu) .

⊂ U (t, ) | : A A '

bao gồm tất cả quỹ đạo bị chặn

} σ t U (t, )

Hạt nhân Kσcủa một quá trình {

đủ của của quá trình U (t, )

σ t .

} ∈  .

{ σ t t u(.) | U (t, )u( )

= = ≤ K ∀ ≥ t tt , u(t), dist(u(t),u(0)) C , u

Tập

được gọi là miền hạt nhân taị t

s, s

{ u(s) : u(.) K

}

∈  .

Định lý tiếp theo cho chúng ta một điều kiện đủ về sự tồn tại và cấu trúc của

một tập hút đều cho họ (liên tục yếu) các quá trình.

= ∈ K (s) σ

Định lý 3.1.2:

Cho Σ là một tập compact yếu và họ các quá trình {

}

σ t σ∈ Σ là

, E× Σ

U (t, ) |

(

)

- liên tục yếu. Nếu {

}

σ t σ∈ Σ có một tập compact

0B hấp thụ đều

thì nó

có

chứa một

compact

trong E. Hơn

tập hút đều AΣ

K (s) s

nữa A

∀ ∈ 

với K (s)σ

là miền hạt nhân tại t = s của hạt nhân Kσ



∈Σ

của quá trình {

} σ t với σ∈ Σ . U (t, )

Σ =

Cho một dấu

là một tập hợp con của một

| h

)

{ σ

} ∈ 

0σ , lấy

( + 0 . h

thỏa mãn phép tịnh tiến đồng nhất

} σ t U (t, )

∈

là

sau đây

với {T(h) | h

0}≥

tt ,

∀ ≥ t

không gian Banach. Nếu quá trình { (

) t t,

( U t h,

)

≥ , h

( T h

σ 0

) σ 0

, h

tương đương với tính hút đều của {

} U (t, )

Σ = Σ ∀ ∈  thì rõ ràng tính σ t , ∈ Σσ .

một họ các toán tử hoạt động trên Σ và thỏa T(h) chất hút đều của {

} σ t U (t, )

Dễ dàng thấy rằng tập hút đều

σ t trùng hợp với tập hút đều AΣ của

0A của {

} U (t, )

họ các quá trình {

} σ t σ U (t, ) | ∈ Σ

U (t, ) |

3.2. Sự tồn tại của một tập hút lùi

Trong phần này, chúng ta chứng minh sự tồn tại của một tập hút lùi trong

HM cho quá trình liên kết bài toán (3.01) khi ngoại lực tăng theo số mũ.

Định nghĩa 3.2.1:

Một hàm u được gọi là một nghiệm yếu của bài toán (3.01) trên khoảng

−

∩

∈

với

2 ∈ u L

* W , u

0 u , u(

= t θ ϕθ ( ) )

( ) ,Tt nếu

( t

) r,T;H W,

( ) t

∂ u ∂ t

1 ϕ 2

ϕ ,

1 2 A u, A

f (u),

r,0

và

( θ∈ −

)

F(u ), t

(

) ϕ , dt

∫

 ∂ u   ∂ t

   

với mọi hàm tiêu chuẩn W∈ϕ

Định lý 3.2.1:

∈

cố định, bài toán (3.01)

Trong điều kiện (H1)- (H5), cho bất kỳ

, T



∈ t

. Hơn nữa, nghiệm

,Tt thỏa mãn: u(t) C([ ,T];H)

có một nghiệm yếu u trên (

)

xác định trên nửa khoảng [ ,

).∞t

(3.01)

quan

toán

như

liên

đến

bài

Do kết quả của định lý 3.2.1, chúng ta có thể định nghĩa quá trình ) t

( U t,

2 H

≥

0 t ϕ ) U(t, )(u ,

(u(t;

0 t ϕ ,(u ,

0 (u ,

∈ ) M , t

0 t ϕ ,(u , )))

với

)), u (. ; t

2 H

là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (3.01) với giá trị ban đầu

u(t)

u(t;

0 t ϕ , u )

0 (u ,

) Mϕ ∈

2 H

M→ : M

Bổ đề 3.2.1:

Theo các giả thiết (H1)-(H5) các toán tử U(.,.) là một quá trình liên tục trên

2 HM .

Chứng minh

Các tính chất tổng quát của quá trình U(.,.) suy ra tính duy nhất nghiệm của

bài toán

(3.01).

Để chứng minh sự liên tục của U(t, )t ta hãy xét hai dữ kiện ban đầu

0 (u ,

0 ϕ ψ ∈ ),(v ,

) M

2 H

và các nghiệm tương ứng u(.), v(.) của nó. Thì w = u -v thỏa

mãn:

−

trong

+ Aw f (u)

)t∈ ∞ . [ ,

f (v) F(u ) F(v ) t t

*W với t

∂ w ∂ t

Nhân phương trình này với w và lấy tích phân trên Ω ta được:

−

w(t)

[f (u(t))

f (v(t))][u(t) v(t)]dx

F(u ) F(v ), w(t)

∫

1 d 2 dt

Ω

Từ điều kiện (3.03) ta có:

−

≥ −

[f (u(t))

f (v(t))][u(t) v(t)]dx

− C [u(t) v(t)] dx

∫

Ω

= −

C [w(t)] dx

C w(t)

(định nghĩa chuẩn trong

2L (

)Ω ).

∫

Ω

Từ bất đẳng thức Cauchy, ta có:

⇒

−

≤

F(u ) F(v ) w(t)

2 w(t)

)

− F(u ) F(v ) t

+ λ 1

1 1 ( λ 2 2 1

⇒

−

≤

F(u ) F(v ) w(t)

w(t)

− F(u ) F(v ) t

+ λ 1

1 λ 4 1

Suy ra:

−

≤

−

≤

F(u ) F(v ), w(t)

F(u ) F(v ) w(t)

w(t)

− F(u ) F(v ) t

λ 1

1 λ 4 1

+ ≥ − ( − F(u ) F(v ) ) 2 F(u ) F(v ) w(t) λ ( 2 w(t) ) 1 1 λ 2 1

, ta có:

Từ điều kiện (3.04) và chú ý rằng

≤ w(t) w(t) λ 1

2 L H

2 L F,M λ 4 1

− ≤ + − + F(u ) F(v ), w(t) − ( u (0) v (0) u v ) w(t)

2 L H

2 L F,M λ 4 1

+ + = ( w(t)) w ) w(t) ,

với

Do đó:

= = − − u (0) v (0) u(t) v(t) w(t)

2 L H

2 L F,M λ 4 1

2 2 t L H

2 L F,M λ 4 1

   

 2C w(t)   

≤ + + w(t) ( w(t) w ) 2C w(t) 3 du dt

∫

−

Lấy tích phân bất đẳng thức trên từ t đến t, ta được:

t 0

≤

w(s) ds

C w(s) ds C

2 θ θ w ( ) d ds

∫ ∫

∫

du ds

−

t 0

⇒

−

≤

2 θ θ

w(t))

t w( )

C w(s) ds C

w(s

) d ds

∫ ∫

∫

−

≤ C w(s) ds C

2 w(s) dsd

∫

∫ ∫

−

− t

≤

(C C r) w(s) ds C r w(s) ds.

∫

t −

Do bổ đề Gronwall ta có:

+ = C w(t) C w (s) ds.

+ (C C r )(t

− t )

∫

− t

Ta viết lại bất đẳng thức cuối như sau:

+ (C C r )(t

t − )

≤

−

ϕ ψ −

(3.07)

− u(t) v(t)

C r 5

2 L H

)

(

Chú ý rằng nếu t

rt≥ + , từ (3.07) ta kết luận ngay rằng :

−

+ θ −

+ θ

u(t

) v(t

2 ) d

2 2 t L H

∫

−

≤

+ −

s) v(t

2 s) d

sup u(t ∈ − s [ r,0]

−

−t

+ (C C r )(t

)

≤

−

ϕ − Ψ

r u

C r 5

2 L H

≤ + ∈ w(t)) t w( ) C r w(s) ds e , t t [ ,T]      

)

∫ (

≤ < +

Tiếp theo, nếu

t , ta suy ra ngay:

−

u(t

− ) v(t

2 θ θ ) d

2 2 t L H

∫

−

+ t

≤

−

u(s) v(s) ds

∫

− t

+ (C C r )(t

− t )

≤

−

ϕ ψ −

r u

(C r 5

2 L H

)

∫ (

Do đó, ta có với mọi t t≥ :

(C C r )( t

t − )

−

≤

−

ϕ ψ −

r u

(C r 5

2 L H

)

(

kết hợp với (3.07) suy ra sự liên tục của U(t, )t .

Bổ đề 3.2.2:

Cho

. Với mỗi

x > 0

p ∈ Ω u L (

), p>2

0x> tồn tại một hằng số dương C( , p)

sao cho:

≥

−

(3.08)

x C( , p).

Ω

p L (

)

2 L (

)

Chứng minh

Sử dụng bất đẳng thức Young’s, ta có:

p − p 2

p 2

≤

2 u dx

2 ( u )

∫

2 p

− p 2 p

Ω

   

   

p − p 2

Ω

| .

Ω

p L (

)

2 p

− p 2 p

Từ

= > x < . Đặt Ω , ta có (3.08). p 2, 1 x C( , p) | | − p 2 p 2 p

Bổ đề 3.2.3:

Dưới các giả thiết (H1)-(H5), nghiệm u của (3.01) thỏa:

−

c(t

t − )

c(t

t ϕ − − r )

(3.09)

2 g(s) ds

2 L H

∫

−∞

với

2M là hằng số dương phụ thuộc t, t.

Chứng minh

Từ (3.01), (3.02) và (3.05) và bất đẳng thức Cauchy. Ta có:

u(t)

λ 2 1

2C u(t) 1

Ω

p L (

)

d dt

≤ + + u(t) e u e 2k re 2 + M e 2

(3.10)

∫ θ θ u ( ) d

−

Bây giờ cho

x > sao cho: 0

0x> bất kỳ, từ bổ đề 3.2.2, tồn tại một số C( , p)

≥

−

u(t)

x C( , p).

2C u(t) 1

Ω

p L (

)

≤ Ω + + + + + | 2k (2k 1) u(t) 2k g(t) . 2C | 0

Do đó:

2 θ θ

2 g(t) M 1

∫

−

≤ + − + + + u(t) (2k 1 2 ) u(t) 2k u ( ) d λx − 1 d dt

. Ta có:

với

(e u(t)

)

ce u(t)

u(t)

d dt

≤

+ + −

2 θ θ

(2k

1 c 2

ct e g(t)

− λx 1

)e u(t) M e 1

ct e u ( ) d t

∫

−

Lấy tích phân từ t tới t ( t ≥ t ), ta có:

t c

x + Ω + = M C(p, | 2k ) 2C | 0

ct e u(t)

2 u(s) ds

t ∫ ) e t

t 0

− ≤ + + − λ −x + e t u( ) (2k 1 c 2 e M 1 c

2 u ( ) d ds

2 g(s) ds.

∫ ∫

∫

t −

Chú ý rằng:

t 0

c(s

θ + )

2 θ θ

≤

2 θ θ u( ) d )ds

u(s

) d ds

∫ ∫

−

≤

2 u(s) dsd

(3.11)

∫ ∫

−

t −

c(r

t + )

≤

2 u(s) ds.

Ω

2 L (

)

∫

Do đó:

+ t

t c

r )

≤

ct e u(t)

2k re 2

2 L H

+ + +

−

+(2k

1 c 2k re

2 u(s) ds

− λx 2 1

t ∫ ) e t

2 g(s) ds.

∫

M 1 c

−∞

θ + θ +2k e e

+ + +

−

1 c 2k re

Bây giờ ta chọn x đủ lớn để

− < từ đó thu được

λx 2 1

(3.09).

Như một hệ quả của bổ đề 3.2.3, chúng ta thu được kết quả sau đây:

Bổ đề 3.2.4:

các tập hấp

Giả sử (H1)-(H5) được thỏa. Khi đó có tồn tại một họ {

} B (t) ∈

thụ lùi, bị chặn trong

HM đối với quá trình U(t, )t liên kết với bài toán (3.01).

Chứng minh

= t t ˆ

Có thể thấy rằng, tồn tại

sao cho với mọi

0 ˆ(t, u ,

ϕ )

thỏa:

−

c(t

t − )

c(t

t ϕ − − r )

ˆt t≤ thì bất đẳng thức sau

2 g(s) ds.

2 L H

∫

−∞

Do đó, từ bổ đề 3.2.3, ta có:

−

+ ≤ e u e e 2k re 2

2 g(s) ds M

∫

−∞

∈ −θ

≤ + u(t) 2e e < +∞ ∀ ≥ , t t ˆ .

Bây giờ, lấy

( r,0) :

θ +

−

c(t

+ θ )

ˆ t rt≥ + , ta có

2 g(s) ds M

∫

−∞

−

+ ≤ + u(t θ ) 2e e

cr 2e e

∫

−∞

Từ đó ta có:

−

2 θ θ

≤ + e g(s) ds M . 2

cr 2re e

∫

−

−∞

Từ đó, suy ra:

≤ + u ( ) d e g(s) ds M r.

2 θ θ

0 t ϕ U(t, )(u , )

∫

2 H

−

= + u(t) u ( ) d

2 g(s) ds

2 H

∫

−∞

D M⊂

bất kì, dễ dàng suy ra:

Khi đó, với tập bị chặn

2 H

⊂

∀ ≤

−

t t ˆ

= U(t, )D B (t) B (0, R (t)),

(t, D)

2 H

Do đó U(t, )t có một họ các tập hấp thụ lùi, bị chặn trong

2 HM .

≤ + + + = 2(1 re )e e (1 r)M R (t). 2

Bổ đề 3.2.5:

Giả sử (H1)-(H5) thỏa. Khi đó, các các nghiệm của bài toán (3.01) thỏa:

−

c(t

t − )

+ −

u(t)

t )

∫ ≤ 2 F(u(t))dx M 1 (t

1 t −

  

    

Ω

−

c(t

− − r

t )

+ −

+ 1 (t

t )

2 L H

1 t −

  

  

−

2 g(s) ds

+ 1

∫

1 t −

  

  

  

−∞

−

+ 1

g(y) dyds ,

∀ ≥ t

t ,

∫ ∫

1 t −

  

  

−∞ −∞

  

trong đó

là nguyên hàm của f.

F(u)

f ( )dx x

= ∫

Chứng minh

sau đó lấy tích phân trên Ω , ta được:

Nhân (3.01) với u(t) u(t)

+ 

∫

Ω

+ + + + u(t) u(t) F(u(t))dx u(t) f (u(t))u(t)dx 1 2  d 1  dt 2    

= + + + − g(t), u(t) .  g(t), u(t)  u(t)  F(u ), u(t) t F(u ), u(t) t

Ta có:

≥

u(t)

1 2

λ 1 2

Từ điều kiện (3.02), có tồn tại

4M , M 0> sao cho:

− ≤

p ≤ 1) F(u) M (| u |

+ 1)

(3.12)

p M (| u | 3

và dùng (3.02) một lần nữa, ta có:

≥

Ω

f (u(t))u(t)dx

− F(u(t))dx (C C ) |

| .

∫

C 1 M

Ω

Từ (3.05) ta có:

u(t)

F(u ), u(t) t

F(u ), t

λ 1 4k

4k 1 λ 1

≤

u(t)

u(t

2 θ θ ) d

∫

2 λ 1 16k

−

2 1

4k 1 λ 1

  

  

≤

u(t)

u(t

2 θ θ ) d

∫

λ 1 4

−

4k k 1 3 λ 1

4k k 1 2 λ 1

Tương tự:

2 θ θ ) d

∫

−

Từ bất đẳng thức Cauchy ta có:

≤

g(t)

g(t), u(t) 

u(t) 

1 2

và

≤

g(t), u(t)

g(t)

u(t)

g(t)

u(t)

λ 1 4

1 4

1 λ 1

≤ + + + u(t  u(t)  F(u ), u(t) t 2k k 1 2 2k k . 1 3 1 2

Đặt:

Ψ = (t)

u(t)

+ ∫ 2 F(u(t))dx,

Ω

min

λ 1 C 1 1 , 2 2 M

  

  

M 2(C C ) |

Ω + |

4k k , 1 3

8k k 1 3 λ 1

4k k , 1 2

8k k 1 2 λ 1

= +

M 1 7

2 λ 1

Từ đánh giá ở trên, ta có:

2 θ θ

∫

−

Do đó:

−

≤ +

−

Ψ +

−

((t

(t))

[1 (c

)(t

)]e

(t) M (t

ct t )e

d dt

γ Ψ + Ψ ≤ + + (t) . (t) M M u ( ) d M g(t) t d dt

2 ∫t θ θ − ) e u ( ) d M (t −

Lấy tích phân từ t đến t và dùng (3.11) ta có:

−

Ψ ≤ +

−

[1 (c

(t)

)(t

(s)ds

ct t )e

5M c

t ∫ )] e t

r )

−

(3.13)

+M (t

)re

u(s) ds M (t

)re +

2 ϕ 2 L H

∫

+ + − t M (t )e g(t) .

+M (t

2 g(s) ds.

t − ∫ t ) e t

và

. Nhân (3.09)

Bây giờ, ta suy ra một vài đánh giá trên

(s)ds

cse

2 u(s) ds

∫

cse Ψ∫

với

cte ta được:

t c

t ϕ + ( r )

ct e u(t)

2 g(s) ds.

2 L H

−∞

Lấy tích phân từ t đến t, ta có:

t c

2 u(s) ds

≤ − (t

2 g(y) dyds.

2k re 2

∫ ∫

∫

(

M c

−∞ −∞

(3.14)

≤ + + e u e 2k re 2 M e 2 + ∫

, ta được:

Từ (3.10) và điều kiện

u(t)

2C u(t) 1

Ω

p L (

)

d dt

≤ u(t) u(t) λ 1

∫ θ θ u ( ) d

−

Do đó:

(e u(t)

)

ct e ( u(t)

)

2C u(t) 1

Ω

p L (

)

d dt

≤ Ω + + + + 2k 2k g(t) . 2C | 0 | 2k u(t) 1 1 λ 1

2 θ θ

ct e g(t)

ct e u ( ) d t

0 ∫

−

Lấy tích phân từ τ đến t, ta có:

≤ Ω + + + + + 2k . 2(C | 0 | k )e 3 (c 2k )e u(t) 1 1 λ 1

ct e u(t)

cs e ( u(s)

Ω

p L (

)

∫

c(r

t + )

− + + e t u( ) )ds 2C u(s) 1

2 g(s) ds,

2 L H

∫ − (M 1) e

∫

−∞

2(C | 0

| k ) 3

+t c

với

= + , M c 2k

2k re 2

Ω + c

Từ (3.14) ta có:

cs e ( u(s)

u(s)

)ds

2C u(s) 1

Ω

p L (

)

∫

c(r

≤

t ϕ )

2k re +

M e 8

2 L H

2 u(s) ds

∫

∫ + g(s) ds M e

−∞

1 λ 1

c(r

+ t )

≤ +

−

[1 M (t

)] e

2k re 2

(

M M 2 c

  

  

ϕ ≤ + + + u(s) ds 2k re e M e 8 1 λ 1

2 g(s) ds M

2 g(y) dyds.

∫

∫ ∫

−∞

−∞ −∞

Từ

≥ Ψ −

Ω

u(t)

2C u(t) 1

(t) 2C | 1

Ω

p L (

)

ta có:

−

t )

t c

c(r

t )

≤

(s)ds

2k re +

∫

(

1 M (t 9 γ

+ + e e 1 λ 1

Ω | + + e M M M 2C | 8 2 1 γ + γ c      

(3.15)

2 g(s) ds

2 g(y) dyds.

∫

∫ ∫

−∞

−∞ −∞

Kết hợp (3.14) và (3.15) với (3.13) ta được:

+ + e e M 9 γ 1 γλ 1

ct t ψ )e

− γ γ ) − ≤ + − + + − (t (t) (t t ) (t t ) M re 6 1 γ + − M c 9 γ M (c 9 γ            

t c

+ γ + γ 2k r(c M ) M r 6 × + − + e u (t t ) 2k r 2 γ − 9 γ   

r )

2 L H

Ω +

2C | 1

+ | cM M M 8

γ c

  

Ω +

−

+ γ γ )

(

2C | 1

cr (M M M re ) 2

) | cM M M (c γ c

 −  t ) e 

−

t )

2 g(s) ds

∫

−∞

1 γλ 1

− γ c γλ 1

  

 M (t  7 

  

  

−

t )

2 g(y) dyds

M re 6

∫ ∫

M 9 γ

γ γ

  

  

−∞ −∞

  

  

Do đó:

+ − γ ) γ 2k r(M re M (c 6 + − ϕ (t t ) e + γ   

−

c(t

t − )

−

− − t

c(t

r )

−

+ M M (t

2 L H

M 11 t − t

 ) e  

  

  

M 14 t − t

−

γ + + − t Ψ ≤ (t) u M (t 10 + − M c 9 γ 1 − γ t ) (t     ) e  

2 g(s) ds

∫

−∞

+ + e M e 17  M 16  t − t   

−

2 g(y) dyds.

∫ ∫

−∞ −∞

+ + e M e 19  M 18  t − t   

Bổ đề 3.2.6:

Giả sử (H1)-(H5) thỏa. Thì quá trình U(t, )t liên kết với (3.01) có một họ

trong không gian

các tập hấp thụ lùi {

2 VM .

} B (t) ∈

Chứng minh

Lấy:

−

2 g(s) ds

2 g(y) dyds

∫

∫ ∫

−∞

−∞ −∞

= t t ˆ

Khi đó, từ bổ đề 3.2.5 có tồn tại

≤ sao cho:

0 ˆ(t, u ,

ϕ )

= + + e e e < +∞ . R (t) 2  2M 1 e  20    

≤ u(t) R (t), 2

cr e R (t), 2

2 ≤θ V

≤

Ω +

(3.16)

| e R (t),

θ u ( ) t

2M u(t) 3

2M | 3

Ω

p L (

)

θ∈ −

u ( ) t

với

. Khi đó, ta có:

( r,0)

ˆ t t≤ − và r

0 t ϕ ) U(t, )(u ,

2 V

2 θ θ V

∫

2 V

−

D M∈

, dễ dàng chứng minh được rằng:

Do đó, với mỗi tập bị chặn

2 V

⊂

U(t, )D B (t) B (0, R (t)),

2 V

t t≤

với mọi

ˆ(t, D)

− . r

= + ≤ + = u(t) u ( ) d (1 re )R (t) R (t). 2

Định lý 3.2.2:

Với các giả thiết (H1)-(H5), quá trình U(t, )t thỏa (3.01) có một tập hút lùi

trong không gian

2 HM .

ˆA A(t) ∈ { }t



Chứng minh

Từ kết quả bổ đề 3.2.1 có U(t, )t là một quá trình liên tục trong

HM . Do đó,

theo định lý 3.1.1 chúng ta cần chứng minh rằng tồn tại một họ các tập compact hấp

thụ lùi trong

HM . Từ bổ đề 3.2.6 ta có U(t, )t có một họ các tập hấp thụ lùi

trong

{

VM . Lấy:

} B (t) ∈

B(t)

U(t, )B (t).

= 

t t ≤

− ˆ(t,B ) r V

Dễ dàng thấy rằng {

}B(t) là tập hấp thụ lùi trong

HM đối với U(t, )t . Bây

}B(t) là tiền compact trong

giờ chúng ta chỉ ra rằng {

HM . Lấy

1Π và

2Π là các

ϕ )

) ϕ ϕ

phép chiếu chính tắc trên

0 u  và

 . Ta

0 1 : (u ,

HM , nghĩa là

0 2 : (u ,

thấy rằng

1B(t)

bị chặn trong V và là một tập tiền compact trong H. Ta cần chứng

minh

là tiền compact trong

2 HL .

2B(t)

∞

. Với một t

rt> + , (3.16) đảm bảo rằng

nu (t

)+θ ,

Lấy { }n

= n 1

θ∈ −

thuộc một tập bị chặn trong

∩ Ω . Nghĩa là

nu thuộc về một tập

( r,0)

p V L (

))

−

∩ Ω . Bằng cách viết lại phương trình (3.01) như

bị chặn trong

2 L (t

p r, t, V L (

))

−

n f (u (t)).

+ u (t) F(u ) g(t) Au (t) 

n t

Ta thấy rằng

nu thuộc một tập bị chặn trong

p '

−

Ω ⊂

−

2 L (t

+ r, t; V ') L (t

p ' r, t; L (

)) L (t

p ' + r, t; V ' L (

Ω . ))

Dùng bổ đề Aubin-Lions ta kết luận rằng

nu thuộc về một tập compact trong

⊂ Π u B(t)

−

là tiền compact trong

2 L (t

2 r, t; L (

))

Ω hoặc tương đương, {

} B(t)

2 HL .

∈ Π u

Nhận xét 3.2.1:

điều kiện của lực lượng

Trong trường hợp p=2, nghĩa là f (u)

du (d

λ 1

và

bên ngoài g được thay đổi như sau

2 g(s) ds

∫

−∞

< +∞

với

2 g(y) dyds

∫ ∫ λ ye

−∞ −∞

< +∞ , 0λ > là giá trị riêng đầu của toán tử A. Dùng đối số 1

ở trên, ta chỉ ra rằng nếu g thỏa mãn các điều kiện trên và

, thì có

tồn tại một tập hút lùi trong không gian

HM đối với U(t, )t .

+ λ + > d k k r 2

3.3. Sự tồn tại của một tập hút đều

Trong phần này, chúng ta xem xét sự tồn tại của một tập hút đều trong

2 HM

cho dãy các quá trình liên kết bài toán (3.01) khi lực lượng bên ngoài là hàm tịnh

tiến bị chặn.

Điều kiện (H5) sẽ được thay thế bằng điều kiện sau:

(H5’) Lực lượng bên ngoài g là một hàm tịnh tiến, bị chặn trong trong

;H)

2 LocL (

+ t 1

∈

< +∞

;H)

nghĩa là

sao cho

2 g(s) ds



2 g L ( Loc

;H)



2 L b

2 L ( b

∫

sup ∈ t 

Ký hiệu

2 bL (

.) | s

}

∈  với topo yếu. Ta thấy

;H) wH (g) là bao đóng của {

là không gian của tất cả các hàm tịnh tiến, bị chặn và g(s wH (g) là compact

∈

g≤

, H)

thì

và

. Do đó, với mỗi

yếu và nếu



2 L ( b

2 L b

2 b

∈ g H (g)

−

− c(t s)

∈ g H (g) : w

∫

−∞

− t k

∞

−

− c(t s)

g (s) ds

∑ ∫

= k 0 t k 1 − −

= e e g (s) ds g (s) ds e

− t k

∞

−

g (s) ds

≤ ∑

∫

= k 0

− − t k 1

∞

−

∑

2 L b

= k 0

≤

2 L b

1 1 e− −

Rõ ràng là (H5’) bao hàm (H5), vì vậy ta có thể dùng tất cả các kết quả đã

thu được trong phần trên. Xét hệ tương ứng của phương trình:

+ u(t) Au(t)

f (u(t)) F(u ) g (t)

(3.17)

∈ −

t θ ϕθ θ

u , u(

( ),

)

( r,0)

 d  dt    t u( )

≤ = g e g 1 − 1 e

và

Giả sử các điều kiện (H2)-(H4) thỏa. Thì với bất kỳ

ϕt∈

0 (u ,

) M ,

2 H

∈  cho trước, định lý 3.2.1 bao hàm sự tồn tại của một nghiệm =

tϕ

yếu duy nhất

của bài toán (3.17).

u(.)

0 ,(u ,

u(. ;

),g ) 0

Do đó chúng ta có thể xác định một quá trình

trong

U (.,.) : M

M→

2 H

không gian

tích với

0 t ϕ ) U (t, )(u ,

(u(t;

0 t ϕ ,(u ,

),g ), u (.,

0 t ϕ ,(u ,

),g )) 0

∀

≥

∈

0 (u ,

∈ ) M , t

2 H

t và họ tương ứng các quá trình {

} U (., .) | g H (g) 0

∈ g H (g)

Bổ đề 3.3.1:

Giả sử rằng (H1)-(H4) và (H5’) thỏa. Thì họ các quá trình

∈

là

-liên tục.

2 (M H (g), M ) w H

2 H

{

} U (., .) | g H (g) 0

Chứng minh

Xét hai nghiệm u và v của (3.17) với dấu

và với giá trị ban

Ψ ∈

0 f (u , ), (v ,

) M

= − thỏa mãn phương trình:

đầu

. Hiệu w u v

2 H

∈ g ,g H (g) 1

−

(3.18)

+ w(t) Aw(t)

f (w(t)) F(u ) F(v ) g (t) g (t).

d dt

và lấy tích trong H của (3.18) và w ta được:

<λ + 1

Chọn 1l

−

w(t)

f w(t)

F(u ) F(v ), w(t)

g (t) g (t), w(t) 1 2

1 d 2 dt

≤

−

F(u ) F(v ) . w(t)

g (t) g (t) . w(t) 1 2

≤

w(t)

− g (t) g (t) 1

(

)

2 L H

l 1 2

F,M 2l 1

1 2l 1

và

2 ≤

−

w(t)

− f

w(t)

+ λ+ 2( 1

l ) w(t) 1

2 g (t) g (t) . 1

(

) +

2 L H

d dt

F,M l 1

1 l 1

Do đó:

≤

+ θ

θ +

w(t)

w(t

2 ) d

2 w(s) ds

2 − g (t) g (t) . 1

−

∫

0> sao cho 1 l

)

(

d dt

F,M l 1

1 l 1

Lấy tích phân từ t đến t ta có:

−

≤

+ θ

θ +

−

w(t)

t w( )

w(s

) d ds

2 w(s) ds

g (s) g (s) ds. 1 2

t −

∫ ∫

∫

)

(

F,M l 1

1 l 1

Suy ra:

≤

2 t +

+ +

−

w(t)

w( )

2 w(s) ds

t (r 1) w(s) ds

g (s) g (s) ds 1 2

t−

∫

)

(

F,M l 1

1 l 1

+ (r 1)L

F,M

2 t +

−

= w( )

2 w(s) ds

g (s) g (s) ds. 1 2

2 L H

∫

F,M l 1

l 1

1 l 1

Chú ý rằng

. Do đó T∀ > t ta có:

∈ g g H (g) 1

−

≤

−

< ∞ ∀ ∈ t t

[ ,T].

g (s) g (s) ds 1 2

∫

Do đó:

+ (r 1)L

F,M

≤

2 t +

−

w(t)

w( )

2 w(s) ds,

g (s) g (s) ds 1 2

2 L H

∫

F,M l 1

1 l 1

l 1

  

  

∀ ∈ t

[ ,T].

Áp dụng bổ đề Gronwall, ta có:

+ (r 1)L

F,M

≤

2 t +

−

− t

w(t)

w( )

g (s) g (s) ds .exp 1

2 L H

∫

F,M l 1

1 l 1

l 1

  

 ) .  

  

  

Cuối cùng:

−

− u(t) v(t)

2 H

2 L H

∈ − s [t

r,t ]

≤

−

f− Ψ

(r 1) u

2 L H

F,M l 1

  

+ (r 1)L

F,M

−

− t

∈ t

[ ,T].

g (s) g (s) ds .exp 1

∫

1 l 1

l 1

  

  

 ) , t  

−

→ nếu 0

0 f− (u , )

0 Ψ → và (v ,

)

Do đó với bất kì t và t , t > t ,

t M

2 H

−

→

g 1

,H)



2 2 L ( loc

≤ + − − u(t) v(t) r. sup u(s) v(s)

Bổ đề 3.3.2:

Giả sử rằng (H1)-(H4) và (H5’) thỏa. Thì có tồn tại một tập hấp thụ đều

∈

bị chặn trong

HM đối với họ các quá trình {

} U (., .) | g H (g) . 0

Chứng minh

Từ bổ đề 3.2.3 ta có:

−

− − t

c(t

− t )

c(t

r )

≤

u(t)

g (s) ds

2k re 2

+ M e 2

2 L H

∫

−

− − t

c(t

− t )

c(t

r )

≤

2k re 2

−

2 L H

2 L b

−∞ 1 − 1 e

∈

= t t

Đặt

. Với

, tồn tại ˆ

> sao cho

(g)

ˆ(D)

2 D B(M ) H

ρ ρ = 1

2 L b

2 1 e− −

t ≥ + ˆ

0 r, (u ,

với mọi

, ta có:

∈ ∈ ) D, g H (g) 0

u(t)

≤ ρ (g), 1

2 θ θρ ≤ ) d

2 L H

∫

−

Do đó, ta có:

≤ +

0 t ϕ ) U (t, )(u ,

u(t)

(1 r)

(g)

(g).

ρ 1

2 ρ H

2 L H

2 H

tạo thành một tập hấp

Điều này nghĩa là quả cầu đóng

B B (0,

(g))ρ H

2 H

∈

thụ đều đối với các ánh xạ {

} U (., .)|g H (g) 0

= + u u(t r (g).

Bổ đề 3.3.3:

Với các giả thiết của bổ đề 3.3.2 có tồn tại một tập hấp thụ đều

2B bị chặn

∈

trong

VM đối với họ các quá trình {

} U (., .)|g H (g) 0

Chứng minh

Lấy

. Ta sử dụng bổ đề Gronwall để chứng minh

0 t ϕ ) u(t) U (t, )(u , g

≤

t ∀ ≥ + + ˆ

u(t)

(g),

r 1.

ρ ρ = 2

∫ 2 F(u(t))dx

Ω

, ta được:

Đầu tiền, nhân phương trình đầu trong (3.17) với u(t)



u(t)

u(t) 

∫ 2 F(u(t))dx

1 d 2 dt

Ω

  

≤

2k k u(t)

u(t) 

1 2

2k k 1 3

g (t) 0

2 L H

1 2

   1 2

1 2

và do đó:

(3.19)

2 L H

∫ 2 F(u(t))dx

Ω

Từ phương trình (3.17), sử dụng (3.02), (3.05) và bất đẳng thức Cauchy, ta có:

u(t)

2C u(t) 1

Ω

p L (

)

d dt

≤

Ω +

θ +

2k u(t)

θ u ( ) d

g (t) 0

−

∫

1 λ 1

≤

Ω +

ρ + 1 1

2k r 2

ρ + 1

g (t) 0

1 λ 1

+ ≤ + + u(t) 4k k u 1 2 4k k 1 3 g (t) 0 d dt      

Lấy tích phân từ t đến t+1 (với

+ t 1

−

+ u(t 1)

u(t)

u(s)

F(u(s))dx ds

Ω

∫

2C 1 M

  

  

≤

Ω +

+ 2(C C ) 0 1

ρ + 1 1

2k r 2

ρ + 1

2 2 0 L b

1 λ 1

≤

Ω +

+ 2(C C ) 0 1

ρ + 1 1

2k r 2

ρ + 1

2 L b

1 λ 1

, từ đó có:

Lấy

ˆ ≥ t + ), ta có: t r

M C≥ 4 1

+ t 1

u(s)

)

(

Ω

∫

∫ 2 F(u(s))dx ds

C 1 M

≤

Ω +

u(t)

+ 2(C C ) 0 1

ρ + 1 1

2k r 2

ρ + 1

2 L b

1 λ 1

≤

Ω + +

(1 2k

+ 2(C C ) 0 1

2k r) 2

ρ + 1

2 L b

1 λ 1

Đặt:

Ω + +

(1 2k

M 2(C C ) 1

2k r) 2

ρ + 1

2 L b

1 λ 1

  

  

C 1

Ta có:

+ t 1

≤

u(s)

I . V

)

(

Ω

∫

∫ 2 F(u(s))dx ds

Do đó, ta có:

+ t 1

≤

(3.20)

4k k u 1 2

4k k 1 3

g (s) 0

4k k r 1 2

ρ + 1

4k k 1 3

I . h

(

)

2 L b

2 L H

∫

Bây giờ, từ (3.19) và (3.20) chúng ta có thể áp dụng bất đẳng thức Gronwall:

≤

= ρ

u(t)

với

Ω

∫ 2 F(u(t))dx

Dùng (3.12), ta được:

u(t)

2M u(t) 3

≤ ρ + 2

Ω 2M , 3

Ω

p L (

)

θ 2M u ( )

θ u ( ) t

≤ ρ + 2

Ω 2M , 3

Ω

p L (

)

≤ ρ + r 2

Ω 2rM , 3

2 V

ˆ t ≥ t + + r 1.

θ ∈ −

với

. Ta đi đến kết luận rằng với bất kỳ tập bị chặn

( r,0)

D M⊂

ta có:

2 V

t ⊂

với t đủ lớn và với mọi

U (t, )D B

+ (1 r)(

≥ t + ˆ + và t 2r 1

ρ+ 2

Ω 2M ) 3

(

)

2 V

∈

{U (t, ) | g H(g)}

có tập hấp thụ đều

Do đó

2 VM .

2B trong

∈ 0g H(g)

Định lý 3.3.1:

Giả sử (H1)-(H4) và (H5’) thỏa. Thì tồn tại một tập hút đều

2 HM

H(g)A trong

∈

. Hơn nữa,

đối với họ quá trình

{U (.,.) | g H (g)} 0

2 HM

H(g)A là compact trong

K (s) s

và

với

∀ ∈ 

H (g) w

0gK là hạt nhân của quá trình

0gU (t, )t .



∈

g H (g) w

Chứng minh

Chúng ta hãy xét tập hợp

2B là một tập hấp thụ đều bị chặn đối với

∈

{U (.,.) | g H (g)} 0

Như trong chứng minh của định lý 3.2.2 chúng ta có thể thấy rằng B là tiền

compact trong

HM . Từ B là tập compact địa phương trong

HM suy ra B , bao đóng

của B trong

HM , là tập compact hấp thụ đều trong

HM đối với

∈

. Định lý 3.1.2 đảm bảo sự tồn tại và cấu trúc của tập hút đều

{U (.,.) | g H (g)} 0

∈

đối với họ quá trình

và

{U (.,.) | g H (g)} 0

wH (g)

K (s) s

∀ ∈  .

H (g) w



∈

g H (g) w

Nhận xét 3.3.1:

bằng cách sử dụng lập luận ở trên ta có

Trong trường hợp

( f u

)

( du d

)

thể thấy rằng nếu

thì có tồn tại một tập hút đều trong không gian

∈

{U (.,.) | g H (g)} 0

HM đối với họ các quá trình

+ λ + > d k k r 2

3.4. Mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút đều

Trong phần này, chúng ta đưa ra mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút đều.

Giả sử rằng ngoại lực g là một hàm tịnh tiến bị chặn. Trong chứng minh định lý

3.2.2 với bất kỳ

quá

trình

tập hút

lùi

0gU (t, )t có một

ˆA

{A (t) : t

}

∈  . Hơn nữa, ta có:

∈ g H (g)

Định lý 3.4.1:

Từ các điều kiện (H1)-(H4) và (H5’), với mỗi

, quá trình

tập hút

lùi

= A (s) K (s),

ˆA

{

{ A (t) : t

} ∈  và

} 0gU (t, )t có một

A (s) A

là tập hút đều của bài toán (3.01),

∀ ∈  với

H (g) w

wH (g)

0gK là



∈

g H (g) w

hạt nhân của quá trình

0gU (t, ).t

Chứng minh

ˆA là hút lùi, và

0gA (s) là compact, ta có:

⊂

∈  .

K (s) A (s), s g

Mặt khác, từ định nghĩa của

ta có:

ˆA

0gK (s) và tính bất biến của

⊂

A (s) K (s), s

∈  .

Từ đó, ta có:

(3.21)

∈  .

K (s) A (s), s g

Tiếp theo, từ (3.21) và định lý 3.3.1 ta có:

A (s), s

∀ ∈  .

K (s) g

H (g) w



∈

g H (g) w

∈ g H (g)

KẾT LUẬN

Trong luận văn em đã trình bày một số kết quả cơ bản về tính bền và bị chặn

đều cho phương trình vi phân Non-autonomous với biến số lệch: điều kiện đủ cho

tính bị chặn của nghiệm phương trình Liénard với biến số lệch; tính ổn định và bị

chặn đều của phương trình trình Liénard Non-autonomous với biến số lệch; sự tồn

tại tập hút lùi và tập hút đều của quá trình liên quan đến phương trình Parabolic nửa

tuyến tính Non-autonomous chậm, mối liên hệ giữa tập hút lùi và tập hút đều, …

Tuy nhiên vì thời gian hạn chế và hiểu biết của em còn hạn hẹp nên nhiều

vấn đề khác liên quan em chưa đề cập đến. Nếu có điều kiện em sẽ tìm hiểu và

nghiên cứu sâu hơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Lê Hoàn Hóa (2010), Định lý điểm bất động và ứng dụng để nghiên cứu sự tồn

tại nghiệm của phương trình, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp cơ sở, Mã số

CS.2008.19.02.

Tiếng Anh

2. Bingwen Liu, Lihong Huang (2008), Boundedness of solutions for a class of

Liénard equation with a deviating argument, ScienceDirect, Applied

Mathematics Letters 21, pp.109-112.

3. Cemil Tung (2012), Stability and uniform boundedness results for Non-

autonomous Liénard-type equations with a variable deviating argument, Acta

Mathematica Vietnamica, Volume 37, Number 3, pp.311-325.

4. Cung The Anh, Le Van Hieu (2012), Attractors for Non-autonomous semilinear

parabolic equations with delays, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 37,

Number 3, pp.357-377.

5. Songsong lu, Hongqing wu, Chengkui Zhong (2005), Attractors for Non-

autonomous 2D Navier-Stokes equations with normal external forces,

Discrete and Continuous dynamical systems, Volume 13, Number 3, pp.701.