BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
___________________________
Trần Thanh Hiệp
TÍNH CHẤT FREDHOLM CỦA NỬA NHÓM TIẾN HÓA
Chuyên ngành
: Toán giải tích
Mã số
: 604601
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA
TP.Hồ Chí Minh – Năm 2010
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên trong bản luận văn này, tôi xin trân trọng kính gởi đến Thầy Lê Hoàn Hóa người
đã tận tâm hướng dẫn, chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân
thành và sâu sắc.
Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quý Thầy, Cô trong và ngoài Khoa Toán – Tin học, trường
Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí
Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian học tập và làm việc.
Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô trong Ban Chủ nhiệm Khoa Toán –Tin học, Quý Thầy, Cô
thuộc Phòng Quản lý Khoa học Công nghệ Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ
Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính cho tôi
trong suốt quá trình học tập.
Xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp và các bạn cùng lớp cao học giải tích khóa 18 đã luôn
động viên và quan tâm trong thời gian học tâp và làm luận văn. Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn
chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cô và sự
góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp.
Trần Thanh Hiệp
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng nội dung luận văn này không được sao chép bất kỳ luận văn nào khác
trước đây.
Học viên
Trần Thanh Hiệp
MỞ ĐẦU
Lý thuyết Fredholm (ra đời vào 1903) là lý thuyết về phương trình vi phân. Theo nghĩa hẹp,
nó liên quan đến nghiệm của phương trình tích phân Fredholm. Theo nghĩa rộng, cấu trúc trừu
tượng của lý thuyết Fredholm được thể hiện dưới dạng lý thuyết phổ của toán tử Fredholm và nhân
Fredholm trên không gian Hilbert. Và công cụ để nghiên cứu tính ổn định phổ của phương trình
t , , t
{ ( U t
}, ) t
truyền sóng là lý thuyết lưỡng phân.
˛ ¡ liên kết với phương trình vi phân tuyến tính chỉnh,
t
t
Một họ tiến hoá ‡
không tự sinh trên không gian Banach X với các hệ số toán tử sinh ra ba toán tử
quan trọng xác định trên không gian các hàm nhận giá trị trong X:
=
+
G
( ) A t
=
t
- ; (0.1) (1) toán tử vi phân G,
( tt
(
)
d dt )( ) t
‡ ¡
tE u
U
,
) t t u
t
,
,
t
0
- - ˛ (2) toán tử hàm số Et, ( ; (0.2)
t
(3) toán tử sai phân Dt ,
)
[
(
)
a
+ - t n
,
) 1
,
) 0,1
t
( D x : n
( + x U n n
x n
1
¢
n
t ¢
n
- ˛ . (0.3) - ˛ ˛
Trong khuôn khổ luận văn này, đầu tiên tác giả trình bày một chứng minh của Định lý lưỡng ( )A t . phân trong trường hợp vô hạn chiều mà không có bất kỳ ràng buộc đặc biệt nào của toán tử
Tiếp theo, tác giả trình bày tính chất Fredholm, tính chất phổ và tính đóng của miền giá trị của ba
toán tử nêu trên.
Luận văn được trình bày theo bố cục như sau:
Phần mở đầu giới thiệu tổng quan về các vấn đề chính được nghiên cứu trong luận văn, đồng thời
nêu bố cục của luận văn.
Chương 1 là các kiến thức chuẩn bị cơ bản về lý thuyết Fredholm, nửa nhóm tiến hóa, lưỡng phân
lũy thừa.
Chương 2 được xây dựng gồm hệ thống các Định lý và Bổ đề dùng để chứng minh Định lý lưỡng
phân (Định lý 2.1, Định lý 2.2) trong trường hợp vô hạn chiều mà không có bất kỳ ràng buộc nào
của toán tử A(t).
,
Chương 3 là sự nối tiếp của chương 2, tác giả trình bày tính chất Fredholm, tính chất phổ và tính
tE G Dt . ,
đóng của miền giá trị của các toán tử
Cuối cùng là phần Kết luận và Tài liệu tham khảo.
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Lý thuyết Fredholm
:T X
Yfi
Định nghĩa 1.1
là toán tử tuyến tính bị chặn, T được gọi là Cho X và Y là các không gian Banach, gọi
Fredholm nếu:
; (i) dim Ker T < ¥
=
)
dim
CoKerT
( Y dim / Im
T
(ii) ImT đóng;
.( ). (iii) dim CoK er T < ¥
=
Khi T là ánh xạ Fredholm, chỉ số của T kí hiệu IndT là số nguyên xác định bởi:
Ind
T
dim
KerT co
dim Im
T
-
Tính chất 1.2
Từ định nghĩa trên và từ những kết quả cơ bản của giải tích hàm tuyến tính, tồn tại các phép chiếu
=
liên tục
=
:P X
X
P
Ker
T
:Q Y
Y
Q
Im
T
fi fi , . ; Ker thỏa: Im
=
Do đó,
X K T K P
er
er
=
¯
Y
Im
T
Im
Q
:T X
¯
(
Yfi (
)
Fred
Bổ đề 1.3 Cho là toán tử thỏa ImT chứa một không gian con đầy, đóng thì ImT đóng.
,X Y là không gian các toán tử Ferdholm từ X vào Y và
) Fred X là tập các
(
)
Fred
Bổ đề 1.4 Kí hiệu
,X Y là tập mở của B(X,Y) và chỉ số Fredholm là
toán tử Fredholm xác định trên X. Ta có
hàm hằng trên Fred(X,Y).
:T X
X
fi là toán tử compact, khi đó I T+ là Fredholm. Bổ đề 1.5 Cho
:S Y
Z
:ST X
Zfi
=
+
fi là các toán tử Fredholm. Khi đó, cũng là Fredholm.
:T X )
Yfi (
(
)
Ind
ST
Ind
T
Ind
S
< ¥
=
a
Bổ đề 1.6 Cho ( và ) . Hơn nữa,
(
)
I
( dim W V
W,
V
Định nghĩa 1.7 )W,V trong X được gọi là cặp Fredholm nếu: Cặp Fredholm: cặp không gian con ( ) i)
=
b
+
< ¥
W V+ : đóng )
(
)
W,
co
V
( dim W
V
ii)
iii)
=
a
b
)
)
(
)W,V là )
( ind W,
W,
V
V
V
.
W,
- Chỉ số Fredholm: Chỉ số Fredholm của cặp không gian con ( (
1.2 Họ tiến hoá và nửa nhóm tiến hoá
=
Định nghĩa 1.2.1 Cho X là không gian Banach, L(X) là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn
)
T
} { ( ) T t
( L X
0t
( )0T
( T t
) + = s
( ) ( ) T t T s
I= và
(cid:204) được gọi là nửa nhóm trên X nếu trên X. Họ ‡
t s ‡
0
=T
} { ( ) T t
1M ‡
. với mọi ,
0t
w
t
Nửa nhóm được gọi là bị chặn lũy thừa nếu tồn tại và ω > 0 sao cho ‡
( ) T t
Me
,
t
0
£ " ‡ .
)
( P L X
2P
P=
=T
} { ( ) T t
0t
˛ Định nghĩa 1.2.2 Toán tử được gọi là phép chiếu nếu . Nửa nhóm ‡
)
( P L X
1K ‡
n > 0
˛ được gọi là lưỡng phân lũy thừa nếu tồn tại một phép chiếu và hai hằng số và
sao cho
( )
( ), = T t P PT t
t
0;
n-
t
" ‡ (i)
( ) T t x
Ker
x
,
x
Im
P
t
0
t
£ " ˛ " ‡ (ii) và ;
t
0
( ) T t x
n e
x
,
x KerP
1 K
" ‡ ‡ ˛ (iii) và ;
( ) T t
K P K P
er
t
0
er : er K P
2
=
+
)
( ) : T t X
Xfi
X R=
fi " ‡ (iv) là một đẳng cấu .
,x x 1 2
x 1
x 2
t
t
2
Ví dụ: Trên được trang bị chuẩn ( , ta định nghĩa như sau
( )(
)
(
)
( -=
)
T t
,
" = x
R
,
t
0
x x , 1 2
e x e x , 1 2
x x , 1 2
=T
} { ( ) T t
˛ " ‡ .
0t
=T
} { ( ) T t
Khi đó, nửa nhóm là lưỡng phân lũy thừa. ‡
0t
là nửa nhóm trên X và U X(cid:204) là một không gian con tuyến tính, Định nghĩa 1.2.3 Nếu ‡
( )
T t U U t
,
0
(cid:204) " ‡ U được gọi là T – bất biến nếu .
)
}
{ ( U t
t ,
t , , t
J
t
t
˛ Một họ gồm các toán tử tuyến tính bị chặn trên X được gọi là họ tiến hóa bị ‡
t‡
)
)
t ,
t
x
chặn lũy thừa liên tục mạnh trên J nếu:
w
t
, ánh xạ ( liên tục với mọi t thuộc J
)
w ˛
( te
( ) U t
t ,
t : , t
t J t ,
( ta U t , } < ¥
R
- - ˛ ‡ i) Với mỗi x X˛ { sup ii) , với tùy ý
=
=
t
)
)
(
)
( U t t ,
( I U t ,
t ,
) ( t , U t s U s ,
s
t
(
)
‡ ‡ iii) với mọi t thuộc J.
}
< ¥ p
E
pL R X , 1 ,
t
0
£ Nửa nhóm tiến hóa: { tiến hóa xác định trên không gian hoặc là nửa nhóm ‡
)
(
,
C R X _không gian các hàm liên tục triệt tiêu tại –
0
=
t
¥ , theo qui tắc:
( tt
(
)
(
)( ) t
tE u
U
,
) t t u
,
t
R t ,
0
= -
- - ˛ ‡ .
( ) ( ) A t u t
)( ) Gu t
( ) + u t '
=
Ta định nghĩa toán tử G trên Lp liên kết với nửa nhóm tiến hóa trên như sau: ( với miền xác định:
G dom W
:
} ( ) domA t
1 p
{ ( ) u L u t p
˙ ˛ ˛ . (1.1)
tA
tA
}
Ta gọi G là mở rộng đóng của G.
)
E
{ là nửa nhóm liên tục mạnh trên X, khi đó, nửa nhóm liên hợp (
} *
e
t
0
t
0
trên không gian Nửa nhóm liên hợp: Cho { ‡ ‡
e
=
Banach X* nói chung là không liên tục mạnh. Không gian con:
(
)
X
x X *
*:
tA e
*
x x
*
0 khi
t
˛ - fi fi
{
} 0
e
e
)
(
)
tAe
*
X
X
t
0
)*tAe
t Ae
e của (
˝ " ‡ là không gian con tuyến tính đóng của X* và ( . Thu hẹp xác
e
=
r
l
định một nửa nhóm liên tục mạnh trên X e . Hơn nữa,
(
)
(
)
(
)
s £
X
A
*
X
*
\
A
" ˛ .
Chú ý 1.2.4
)
)
( tA K I e
er
= *
( e tA K I e
er
( K I er
) *tA e
X
0t ‡
e và
m-
- - - (cid:204) Từ định nghĩa của X e suy ra với mỗi ;
m
m
)
(
) =
(
)
( Ker A
*
X
K
er
A
*
K
er
-e A
e và
(cid:204) - với m ˛ £ bất kỳ.
{ ( U t
}, ) t
Lý thuyết lưỡng phân
,R
+ hoặc R, họ tiến hóa R
t
t
được Định nghĩa 1.3.1 Cho X là không gian Banach, J là - ‡
1M ‡
a > nếu 0
J
t
,tP t
t J
t
˛ trên J với hệ số lưỡng phân và , là các gọi là có lưỡng phân lũy thừa { } P ˛
J
=
)
)
( U t
t ,
‡ ˛ , các khẳng định sau thỏa: phép chiếu trên X và mọi t
( t , P PU t t t
(
)
( U t
t ,
i)
),U t t trên
erK Pt ,
erK Pt đến
K P er t
K P . e r t
ii) Thu hẹp: của toán tử , là toán tử khả nghịch từ
1
a
a
t
(
)
(
)
t t
t
t
t
)
)
( U t
Me
,
)
,
Me
Im
P t
K P er t
- - - - - £ £ và . (1.2) iii) Thỏa các ước lượng lưỡng phân sau: ( ( U t
Chương 2
TOÁN TỬ VI PHÂN FREDHOLM VỚI HỆ SỐ KHÔNG BỊ CHẶN
( )A t
Trong chương này, tác giả trình bày một chứng minh của Định lý lưỡng phân trong trường
: Định lý 2.1 và Định hợp vô hạn chiều mà không có bất kỳ ràng buộc đặc biệt nào của toán tử
lý 2.2
R
{ ( U t
}, ) t
t , , t
t
t
˛ Định lý 2.1 Giả sử là một họ tiến hóa bị chặn lũy thừa liên tục mạnh trên không ‡
)
(
)
(
)
[ 1,
,
,
C R X . Khi đó: toán tử G là Fredholm nếu và chỉ nếu tồn tại
0
¥ hoặc trên gian Banach phản xạ X, G là toán tử sinh của nửa nhóm tiến hóa tương ứng xác định trên pL R X p ˛ ,
,a b R˛
, a b£ sao cho hai điều kiện sau thỏa:
)
],a
,b ¥
{ ( U t
}, ) t
}t P -
}t P +
‡ có lưỡng phân lũy thừa {
t
t
t a
t b
- ¥ (i) Họ tiến hóa trên ( và { trên [ . £ ‡
)
( N b a ,
: Ker
Ker
P a
+ P b
)
(
)
( = -
- fi ii) Toán tử nút , định bởi:
( N b a ,
) I P U b a
,
+ b
Ker
P a
- , là toán tử Fredholm.
Hơn nữa, nếu toán tử G là Fredholm thỏa thì
a) dim Ker G = dim Ker N(b,a);
b) codim ImG = codim Im N(b,a); ind G = ind N(b,a).
Định lý 2.2 Với các giả thiết như Định lý 2.1, toán tử G là Fredholm khi và chỉ khi hai điều kiện
{ ( U t
}, ) t
sau đây thỏa:
}t P -
}t P +
t
t
t a
t b
i') Họ tiến hóa trên R - và { trên R + . £ ‡
‡ có lưỡng phân lũy thừa { )
Ker
, ImP 0
+ P 0
- ii') Cặp không gian con ( trong X là Fredholm.
Hơn nữa, nếu toán tử G là Fredholm thì:
=
a
(
)
, Im
+ P 0
- a') dim Ker G
=
b
er K P 0 (
)
K
+ P 0
-
=
erP , Im 0 )
ind
,Im
K P er 0
+ P 0
- b’) codim Im G ( c’) ind G
{
¡
¡
= ˛ ¡
¡
¢
¢
¢
{ t
= ˛ n
} 0 ,
} 0 ,
{ n
n
n
:
:
t
:
+
} = ˛ ¢ 0 , +
=
=
‡ £ ‡ £ - -
{ l
£
T
: t } 1 ;
} 0 , X là không gian Banach; X* là không gian liên hợp; A*, domA, Ker A, Im
=
r
˛ Ta ký hiệu: { = ˛ t l :
(
)
{ l l
)As (
£
A
:
,
l A
( I L X A
) l ,
} : song ánh ,
I
s
˛ - ˛ - A, ,
=
= { l
}
(
{
} )
-£ l :
A
không Fredholm
sup
l l s :
A
( ) fred A
˛ ˛ , và sprad(A) lần lượt là liên hợp,
)
,
miền xác định, nhân, ảnh, tập giá trị chính quy (tập giải), phổ, phổ Fredholm, và bán kính
( L X Y là không gian Banach các toán tử
|YA
phổ của A; là thu hẹp của A trên Y
X(cid:204) ; )L X là (
=
(
)
¡ ,
) X p ,
[ ˛ +¥ 1,
pf
tập các toán tử bị chặn trên X; tuyến tính bị chặn từ X đến Y;
L p
L p
là không gian Banach gồm các hàm từ X vào ¡ sao cho khả
(
(
)
)
X¡ ,
X¢ ,
C 0
pl
¥ là không gian các hàm liên tục triệt tiêu tại – ; là không tích Lebesgue;
p
< ¥
)
(
)
¥
X¢ ,
x n
( nx=x
c 0
= 1
n
(cid:229) gian Banach gồm tất cả các dãy ; là các phần tử trong ¢ sao cho
)
( e ¡ là một trong các không gian
(
)
(
)
)
(
)
X¡ ,
X¡ ,
X¢ ,
¥ không gian các dãy triệt tiêu tại – . Không gian hàm
( e ¢ là một trong các không gian
C 0
pl
e
)
(
)
(
)
(
)
pL (
X¢ ,
X+¡ ,
X+¡ ,
hoặc , không gian dãy hoặc
+¡ là một
pL
C 0
c 0
e
(
(
)
) =¡
¡
C
,
X
+
+
, trong các không gian hoặc ,
0
00
e
e
(
)
(
)
)
[
]
+¡ triệt tiêu tại 0 và ¥ ( (
)
p 0, 2
X+¢ ,
X+¢ ,
là không gian các hàm liên tục trên , không gian
+¢ là một trong các không gian
pl
c 0
[
(
)
)
] Xp ,
0,2
C
] Xp ,
dãy hoặc , là một trong các
( [ per 0,2
]
0,2p
hoặc - là không gian các hàm tuần hoàn chu kỳ
=
d
. Ta dùng hình thức in đậm để ký hiệu cho dãy, chẳng hạn,
(
(
)
(
)
(
)
x
,
X¢ ,
X¢ ,
=e
x n
x X n
pl
c 0
n
nk
¢
¢ ,
n
k
(
(
d
x
˜ =e
x
˜ =e
xd
˛ không gian pL 2p trên đoạn [ ) . Với n ˛ ¢ , trực chuẩn thứ n trong hoặc là ˛ ˛
n
n
nk
¢ bởi
¢
) x k k
) nk k
n„
với thì ta ký hiệu dãy là hệ số Kronecker. Nếu x X˛ ˛ ˛
x=
nx
kx = với k 0
*
^ =
= "
sao cho và .
{ x
}
X(cid:204)
Y
X
* :
x , x
0,
x Y
X(cid:204)
*Y
x
= "
x
=
˛ ˛ Với Y và , ta ký hiệu và
)*
)*
=
{
}
x X x
:
,
0,
X ^
X
X
X ^=
X
X
X
^ = Y *
Y *
2
2
1
1
1
2
˛ ˛ ¯ . Nếu thì ( và ( .
Nếu P là một phép chiếu trên X thì P* cũng là một phép chiếu trên X* với
=
=
=
=
(
)
(
)*
(
)
(
)
P Im *
K P er
Im
P
KerP *
Im
P
K P er
*
=
^ ^ và .
)
X
Im
P K P
er
,P Q là một cặp phép chiếu trên X thì
=
¯ Nếu ( và
X
Im
Q K Q
er
¯ .
Bất kỳ một toán tử A bị chặn trên X có thể được viết dưới dạng toán tử ma trận như sau:
)
P
=
] = Œ
A
[ A Q I Q
(
)
(
I P
PAQ ) I P AQ
( PA I Q ( ) I P A I Q
Ø ø - Ø ø - œ (2.1) Œ œ - - - - º ß Œ œ º ß
Im| QA
|K QA er
ma trận này là ma trận chéo với các phần tử trên đường chéo là và . Nếu A Q P A=
=
) ( A Q Im
Im
P
AQ=
: Im
Q
Im
P
Im| QA
˝ fi Nếu thì ta đồng nhất , ta viết: hoặc AQ PAQ
)
A
| Im
Q
= Œ
A
(
0
|
( PA I Q ) I P A
K Q er
Ø ø - œ . (2.2) - Œ œ º ß
)
(
)
[ 1,
,
¥ Cho toán tử sai phân D xác định trên không gian như sau:
)
(
a
) 1
,
pl Z X p˛ , )1 ( x U n n n
x - n
( D x : n
n Z
n Z
- - ˛ ˛
x
Toán tử liên hợp của D là:
(
)
( x
a
D
*:
( + U n
) x n
*
1,
+
n
n
)1
n
n Z
n Z
- . (2.3) ˛ ˛
=
=
Ta có:
)
{ (
K D er
,
;
:
,
} m n Z n m ,
,
( ) x U n m x n m
n Z
=
=
x
" ˛ ‡ (2.4) ˛
)
) x
x n { (
K D er *
x :
( U n m
,
,
.
n
m
* ; n
n Z
" ˛ ‡ } m n Z n m , (2.5) ˛
=
Với mỗi n Z˛ , ta định nghĩa các không gian con sau:
(
)
{
}
X
:
= KerD x
,
,
n
x k
x n
k Z
=
x
˛ $ ˛ (2.6) ˛
( x
)
x X { x
X
X
* :
= x *, KerD
.
n
,
k
n
k Z
˛ $ ˛ } (2.7) * ˛
X* là không gian liên hợp của X, cho các không gian con:
Y X
X
*
Y *
(cid:204) , (cid:204)
Ta kí hiệu:
=
= "
Y
X
* :
x x ,
0
^ ˛ ˛
=
x
= "
x
{ x {
} x Y }
x X
:
x
,
0
Y *
Y *
^ ˛ ˛
Bổ đề 2.3 Với mọi n ˛ ¢ và m˛ ¢, m n£ , các khẳng định sau thỏa:
< ¥
dim
< ¥ dim * D
d im
K e rD
nX
,*
nX
)
(
)
U n m X ,
X(cid:204)
( U n m ,
|
:
X
Xfi
£ £ và ; (i) d im
n
m
m
n
mX
(ii) , hơn nữa, toán tử khả nghịch;
(
)
)
X(cid:204)
( U n m ,
*|
:
X
X
U n m X , * n
,*
m
,*
n
,*
m
,*
nX
,*
fi , hơn nữa, toán tử khả nghịch; (iii)
< ¥
(
)
(
)
U n m X ,
X
co
dim
X
dim
X
X
m
,*
n
,*
^ = ,* n
n
,*
U n m X , * n
m
< ¥
co
dim
X
dim
X
^ ^ ^ ^ (cid:204) (cid:204) (iv) và ; và
^ = n
n
;
X
X ^
X
X ^
n
n
,*
,*n
n
(cid:204) (cid:204) và . (v)
Chứng minh
,*nX thì D là toán tử Fredholm.
(i) Theo định nghĩa của
KerD
nX và và lấy một dãy (
x
X˛
x
x=
m
m
) x k k Z
˛ (ii) Cố định sao cho . ˛
=
,
) ( x U n m x n m
.
(
KerD
X˛
) U n m x , m
n
) x k k Z
)
nX thì ( U n m ,
|
:
X
Xfi
˛ Từ (2.4), ta có: Vì ( nên theo định nghĩa của . ˛
m
n
mX
)
( U n m ,
|
:
X
Xfi
khả nghịch, ta chỉ cần chứng minh Vì d im nX < ¥ nên để chứng minh toán tử
m
n
mX
là toàn ánh là đủ.
Thật vậy,
KerD
x
X˛
x
x=
m
m
) x k k Z
=
,
˛ Cố định và lấy một dãy ( sao cho . Từ (2.4), ta có: ˛
( ) x U n m x n m
=
)
,
( U n m ,
|
:
X
Xfi
.
x
X˛
x
X˛
) ( x U n m x m
m
n
mX
m
m
m
m
mX
Theo định nghĩa của , ta có . Do đó, với và
là một đẳng cấu.
(iii) Tương tự như (ii) bằng cách sử dụng (2.5)
y X ^
0
( ) U n m ,
Xh ˛ *
y x = với mọi ,
,*mXx ˛
,*nXh ˛
,*m
m
,*
=
)
(
U n m y ,
h ,
( y U n m ,
,
) h *
= . 0
˛ , ta có . Nếu thì (do (iii)) và (iv) Với
(
) U n m y X ^
,
n
,*
(
)
*
˛ Do đó, .
U n m . ,
Tương tự đối với
x
x
x=
KerD
KerD
*
x
X˛
x
x=
,*nXx ˛
n
n
n
) x k k Z
) k k Z
˛ ˛ (v) Cố định và lấy dãy ( và ( sao cho và . Khi ˛ ˛
¥ >
x
=
,
x
x
,
đó, theo (2.4) và (2.5), ta có:
k
k
x , k
+ k
x x k
k
<
k Z
k n
k n
+
=
x
(
)
(cid:229) (cid:229) (cid:229) ˛ ‡
) U k n x ,
,
,
,
x *
n
k
( x U n k k
n
k n
=
x
+
=
x
+
=
)
(
,
,
*
,
x
x x
,
.
(cid:229) (cid:229) ‡
( x U k n n
k
) x , U n k x , k
n
n
n
x , x n
n
k n
k n
k n
< k n
k Z
(cid:229) (cid:229) (cid:229) (cid:229) (cid:229) ‡ ‡ ‡ ˛
x x = . , 0
Do đó, □
X
X ^
' n
n
,*
,*nX ^
nX trong
nY là phần bù
(cid:204) Đặt là phần bù trực tiếp của không gian con hữu hạn chiều ,
,*nX ^
trực tiếp của không gian con hữu hạn chiều trong X. Khi đó, ta có:
¢ .
X
X
^= X X n
¯ = Y n
n
' n
Y n , n
,*
¯ ¯ ˛ (2.8)
(
)
(
)
¢ ,
[ 1,
X¢ ,
pl
c 0
¥ ) X p˛ , hoặc :
=
)
{ (
¢
,
n
X
F
y
:
y
.
n
n
n
,*
¢
n
^ ˛ ˛ Ta định nghĩa không gian con đóng của } (2.9) ˛
|D F là toàn ánh trên F.
Bổ đề 2.4 F là D – bất biến và
y X ^
X ^
,
) 1
X ^
.
D (cid:204)F F Để chứng minh
n
n
,*
y n
1
n
1,*
( y U n n n
n ,*
(cid:204)F
Im D
˛ ˛ - - ˛ - - Nếu và thì theo (iv) của Bổ đề 2.3 và
|D F là toàn ánh, đầu tiên ta chứng minh
x =
x ˛
y
,
0
. Vì D là toán tử Fredholm nên miền giá trị của nó
Ker D
*
=
với mọi dãy . Vì thế, ta chỉ cần đóng. Do đó, ImD là tập hợp các dãy y thỏa
(
x
x ˛
y
F
^y
Ker D
*
) y n n Z
=
˛ chứng minh rằng với mọi dãy và . ˛
(
y
F
y X ^
n
n
,*
) y n n Z
=
=
˛ ˛ Nếu thì theo định nghĩa của F. Và điều khẳng định đã được chứng minh. ˛
(
)
)
(
F
Im
D
x
y
y hay với
x k
( l Z X , p
k Z
) y k k Z
˛ (cid:204) ˛ Tiếp theo, cố định và tìm dãy sao cho D =x ˛ ˛
=
và mọi k N˛ mỗi n Z˛
,
) 1
,
) 1
( U n
1,
n
) + 2
y
x n
+ 1
( = y U n n n
x n
2
+ y n
1
n
k
1
=
=
(
...
,
,
.
) U n n k x
( U n n
) j y
+ n k
n j
=
j
0
- - - - Ø ø - - - º ß thì: ( x U n n n - - - (cid:229) - -
x X ^
n
n
,*
x
˛ Để chứng minh với mỗi n Z˛ .
x
x=
KerD
*
,*nXx ˛
n
|D F toàn ánh trên F, ta cần chứng minh ) và lấy một dãy ( k k Z
x
˛ Cố định sao cho . ˛
(
)
U n n k ,
= x * n
n k
- - .
(
) U n n j y
,
X ^
˛ F nên theo Bổ đề 2.3 (iv), ta có
n j
n
,*
) y k k Z
x
=
- ˛ - Theo (2.5), ta có Vì ( và ˛
( U n n
,
) j y
,
0
n j
n
- . -
Khi đó:
k
1
x
=
+
)
,
x
,
,
x *
( U n n
,
) j y
,
n
n
( x U n n k n k
n
x n j
n
=
j
0
=
x
- - - (cid:229) - -
,
0
0
x n k
n k
n kx -
,
fi fi ¥ ¥ - - khi k fi vì khi k fi .
nx x = . 0
'
□ Do đó,
0,*X ^
0X là phần bù trực tiếp của
0F của F như sau:
=
, xác định không gian con đóng Ta biết
)
0X trong { (
}'
x
F
:
x
.
X
F 0
n
0
0
¢
n
˛ ˛ ˛
D
D=
|
d o m D = F .
0
F xác định trên F với
0
0
˛ F
Gọi
¢
) z n n
=
(
)
(
)
˛ F
, tồn tại duy nhất dãy Bổ đề 2.5 Toán tử ˛
0
0D khả nghịch trên F, nghĩa là với mỗi ( ( D x n
z n
¢
¢ .
¢
) x n n
n
n
sao cho ˛ ˛ ˛
=
Chứng minh
(
=
(
z
F
y
y
F sao cho
) z n n Z
) n n Z
D
z=y
˛ ˛ Theo Bổ đề 2.4, với mỗi thì tồn tại một dãy ˛ ˛
y X ^
n
n
,*
˛ Theo định nghĩa của F, ta có .
=
+
'y X˛
X
y
y
y
'
y
X˛
0
^ = 0,*
' 0
0
0
w
¯ Sử dụng sự phân tích , biểu diễn , với và .
w
=
KerD
y
X X ' 0X , tồn tại dãy (
0
) n n Z
=
w
˛ Theo định nghĩa của sao cho . ˛
x
y
,
n
Z
n
n
n
- ˛ . Đặt:
w
=
(
y X ^
X
X
x
F
n
n
,*
n
n
n
,*
) x n n Z
w
y
^ ˛ ˛ (cid:204) ˛ Vì và (theo Bổ đề 2.3) nên ta suy ra . ˛
x 0
= - y 0
= - = ˛ y 0 0
' y X ' 0
0F˛x
w
. Do đó, .
=
=
KerD
x
D
y
z
) n n Z
˛x
KerD
˛ Nhưng Vì ( . nên ta cũng có D ˛
0F˛x
Để chứng minh tính duy nhất, ta giả sử rằng và .
x
X˛
X˛
x
nX ta có
n
n
0
0
với mọi n Z˛ nên .
x X˛
F 0
0
' 0
) x n n Z
)
,0
˛x
KerD
0n ‡
˛ Theo định nghĩa của Nhưng ( nghĩa là . ˛
= với 0
x 0
=
=
0
0,
Vì nên theo (2.4) ta suy ra .
( = nx U n ( ) x U n x 0 n
Cũng theo (2.4), ta để ý rằng với n<0.
)
( U n 0,
:
X
|
0
0n < . □
x
X˛
n
< , X n 0
n
n
nx = với 0
nX
< ¥
fi , khả nghịch và do đó suy ra
,*nX ^
P n
P ˛ gồm các phép chiếu xác định trên n n Z
n Z
Theo Bổ đề 2.3 (ii), Mệnh đề 2.6 Tồn tại một họ { } , M>1 sao cho sup ˛
a > thỏa: 0
và
> n m‡
0
‡ ‡ (i) Nếu hoặc 0
n m (
(
)
,
,
x X ^
= PU n m x U n m P x n m
m
,*
" ˛ thì ) (2.10)
)
( U n m
,
: Im
Im
P m
Im
P n
mP
a-
fi , ta có: Với thu hẹp
(
)
n m
)
( U n m
,
Me
Im
P m
=
- £ (2.11)
(
)
y X˛
x X ^
,
) ,0
n
> ‡ 0
m
,*m
( U n m P x PU n m
n
' y 0
' 0
' 0
˛ (ii) Nếu và thì với là phần hợp thành của
=
,
) ( y U m x 0,
X
X
X
^ = 0,*
0
' 0
= + y y 0
' y y X 0 0 0
˛ ¯ trong biểu diễn: ứng với tổng trực tiếp .
0
n m
‡ ‡ (iii) Nếu hoặc 0 thì
)
n m‡ > ( U n m
,
:
KerP m
KerP n
mKerP
fi thu hẹp là toán tử khả nghịch và
1
a
(
)
n m
)
)
( ( U n m
,
Me
KerP m
(
n
> ‡ 0
m
- - - £ ;
) ,N n m định bởi
=
(iv) Nếu thì toán tử nút thu gọn
)
(
(
)
( N n m ,
) I P U n m
,
:
n
KerP m
KerP n
KerP m
(
)
KerN n m X= ,
- fi
m
. là toàn ánh với
Chứng minh
0
Gọi T là toán tử tuyến tính đóng trên F có
)
=
a
) 1
( ( U n n
,
I
T
( T x : n
d o m T = F định bởi: )1
x - n
n Z
n Z
- - thỏa . ˛ ˛
l r˛
l
(
) 1
0D )T
I T
)V l (
- - Theo định lý phổ, toán tử ( bị chặn trên F, với .
n
(
)
(
)
Với mỗi l ˛ T, gọi là phép đẳng cự trên F định bởi:
a
x
xl
n
n
n Z
n Z
. ˛ ˛
Khi đó:
1
l
-=
( l
) l
(
)
V
TV
l 1 ,| T
= | 1
)
(
)
- (2.12)
T
T
)Ts (
( s= T s . Do đó, , nghĩa là bất biến.
)
1
( Tr
)Ts (
= ˘TI
˛ Vì theo Bổ đề 2.5 nên .
1
=
1 l
)Ts (
(
)
( l
)
p 2
i
P
T
d
l |
= | 1
- - - với T xác định trên F ứng với phần thuộc đĩa Xét phép chiếu Riesz: (cid:242)
s
= s
l
<
đơn vị:
(
)
(
) { l I
£
T
:|
} | 1
PT Im|
˛
1
l
)
(
F
I T
= domT
Im P
F
0
0
) x n n Z
) x n n Z
- ˛ - ˛ (cid:204) Ta thấy P là toán tử bị chặn trên F và vì ( (2.13) F với mỗi ( ˛ ˛
và l ˛ T.
Hơn nữa, toán tử TP xác định trên F là bị chặn trong khi PT chỉ xác định trên F0, tuy nhiên
TP PT
=
)
)
(cid:201) , nghĩa là:
˛ F .
( TP x n
( PT x n
0
n Z
n Z
) x n n Z
với mọi ( ˛ ˛ ˛
)
( sprad T
(2.14)
< . 1
Im|
P
=
Cũng theo (2.13),
T
d o m T
|
FI
|K P
er
K P e r
0
= s
s
>
và Thu hẹp
)
(
l £
T
|
K P e r } 1
:
T
K P er
)
( ( ( sprad T
)1 - < . 1
˛ là một toán tử xác định trên KerP với ) { l I .
T
| er K P
|K P
er
Đặc biệt, khả nghịch trên KerP và
Lấy a bất kì thỏa:
< < - a
)
)
0
ln max
( sprad T
,
( ( sprad T
{
}1 )
P
| Im
| K P er
1M ‡
-
Do đó, tồn tại thỏa:
k
k
a
k
k
(
)
)
Me a-
Me
,
k Z +
PT Im|
er
K PT |
- - £ £ ˛ và ( . (2.15)
< ¥
,*nX ^
P n
n Z
=
[
]
Tiếp theo ta chứng minh tồn tại một họ các phép chiếu { }P xác định trên và thỏa sup ˛
˛ F , ta có:
) x n n Z
P diag P n n Z
=
)
(
)
( P x n
P x n n
, nghĩa là với mỗi ( ˛ ˛
n Z
n Z
˛ ˛
1
l
( l
)
(
V
PV
P
= với mọi l ˛ T.
)
=
[
{ ( V l
l :
} 1
= nên P là toán tử chéo, nghĩa là
- . ) Thật vậy, từ (2.12) và biểu thức tích phân P ta suy ra
].n
P diag P n Z
Vì P giao hoán với mọi họ ˛
Các toán tử Pn được xác định như sau:
x X ^
) ( P x ˜ e .
,*n
n
nP x như là phần tử thứ n của dãy
=
< ¥
˛ và định nghĩa Cố định
P
P n
n Z
. Chú ý rằng sup ˛
x X ^
x
x=
e
,*m
m
x X˛
˛ ˜ Cố định m Z˛ , lấy tùy ý và đặt .
' 0
0F˛x
0F˛x
=
+
Chú ý rằng và . Nếu thì từ (2.14) suy ra:
)
(
(
1,
x
= x PT
1,
TP U m m P x m
= e + 1 m
) + P U m m x m
+ 1
e + m 1
=
+
(
x X˛
1,
( +U
) m m x 1,
˜ ¯
) U m m P x P + m 1
m
' 0
=
+
+
(
(
(
)
) U n m U n m U m m ,
) 1
1,
,
Do đó, nếu thì .
m>
thì . Nếu n
j
=
Điều này suy ra (2.10)
(
=
T
x
) + U m j m x
,
> n m‡
0
j
0,1,..,
n m
x
x=
e
e F+ 0 m j
m
> ‡
(
) 0,U m x X˛
0
n m
n
= ‡ 0
m
˜ ˛ - ˜ , ta thấy rằng , với hoặc Với
' 0
hoặc và .
Khi đó, (2.15) suy ra (2.11) và (i) trong Mệnh đề 2.6 được chứng minh.
Bổ đề 2.7 Các khẳng định sau thỏa:
0n £
n > . 0
X
X
Im
P
n
K erP n
n
n
(cid:204) (cid:204) với và với (2.16)
Chứng minh
)
)
,
x
X˛
x
x=
x n
( l Z X p
n
n
n Z
=
˛ Theo (2.6) và (2.4), nếu thỏa và ˛
,
‡ ˛ với mọi n m Z . thì tồn tại một dãy ( ( ) x U n m x n m
( P x
Im
P F n N . 0
k
=
=
=
˛ (cid:204) " ˛ ˛
)
)
)
(
)
y n
) n n Z ( T P x n n
y n
( y k n
y U n n k P x- , n
n k n k
n Z
n Z
n k- >
0
n‡
- - Ta thấy: Nếu ( , với thì . ˛ ˛
=
Từ (2.10), ta có: nếu
(
y U n n k P x , n
= n k n k
) PU n n k x , n
n k
- - hoặc 0 ( thì ) - - - .
(
KerD
) U n n k x
,
= n k
x n
) x n n Z
˛ - - Nhưng ( và do đó . Vì vậy, ˛
=
n‡
k> hoặc 0
y
n
P x n
n
với n . (2.17)
k
=
(
)
)
= . 0
y n
( T P x n n
Theo (2.15), ta thấy:
n Z
n Z
l
l
lim k
lim k
p
p
˛ ˛ fi ¥ fi ¥
p
p
p
=
p =
Từ (2.17), ta có:
(
)
y n
y n
y n
P x n n
n Z l
p
n Z
n
0
n
0
‡ (cid:229) (cid:229) (cid:229) . ˛ ˛ £ £
0n £
0
nP x =
K e rP n
n
n
(cid:204) , nghĩa là với .
KerP
) I P x n
) n n Z
- ˛ Vì thế, X ( Để chứng minh ý thứ hai của (2.16), ta chú ý rằng ( . ˛
T
er
=
, tồn tại
)
I
F K P 0
( y k n
y n
k
=
˛ sao cho , với ˛
)
er )
T
y
n
) I P x n n
n Z
n Z
- Vì |K P một dãy( ( khả nghịch trên KerP và bất đẳng thức thứ hai của (2.15) thỏa nên với mỗi k N˛ ) y n n Z ( ( và ˛ ˛
k
=
=
)
(
)
(
(
)
y
T
|
0
n
) I P x n
n
K P er
n Z
n Z
l
( lim lim k
lim k
p
l
p
=
,
n k- >
0
n‡
- - (2.18) ˛ ˛ fi ¥ fi ¥
k
=
Sử dụng đẳng thức và (2.10), ta thấy nếu hoặc nếu 0 nên phần tử thứ n
(
)
(
) ( x U n m x n m (
)
T
y
n
) I P x n n
n Z
n Z
- của dãy bằng ˛ ˛
(
)
(
) U n n k y
,
,
= n k
n
n k
=
- - - - -
) ( I P U n n k x ( ) )(
U n n k ,
I P
n k
x n k
- - - -
(
)
)
I P
( KerU n n k
,
y n k
n k
x n k
- - ˛ - - - - Mặt khác, .
Suy ra:
(
)
I P
0
k> .
y n k
n k
= x n k
- - - - - với n
(2.19)
p
p
p
=
p =
p =
Ta viết:
(
)
(
)
(
)
(
I P
y n
y n k
y n k
n k
x n k
) I P x n n
n Z
n Z
l
l
p
p
> 0
> n k
> n k
n
‡ - - (cid:229) (cid:229) (cid:229) - - - - ˛ ˛
0
X
> K erP n
,
0
) = I P x n n
n
n
- (cid:204) , nghĩa là, .
(
K P er
y n k
) I P x n k
n k
> KerP n k , n k
) y n n Z
+
=
(
I
K
erU
er
,
{ } 0 ,
" > " > n k
,
k
0
˛ - - ˛ - - - - Từ (2.18) suy ra: ( Ta biết ( và do đó . ˛
) n k n K P n
+
Vì thế, ta chỉ cần kiểm tra là đủ.
(
I
),
n > và 0
I
x
x=
e
K e r P
F
x KerU n k n K P er n
n
0
j
=
˛ ˜ ˛ thì dãy . Nếu
(
(
T
x
), + U n j n x
), + U u k n x
kT
=x
0
= . 0
e + n j
˜ , ta có . Do đó, vì Với j N˛
Từ bất đẳng thức trong (2.15), ta suy ra:
a
k
k
k
=
=
0
T
x
1 M e
x
a 1 M e
x
l
l
p
p
- - - ‡
n = và 1
0m = . Chúng ta có thể áp dụng
x X˛
x
Do đó, (2.19) đã được chứng minh và ta đã chứng minh xong kết luận của (2.16) và Bổ đề 2.7.
= ˜ e chỉ khi
0
' 0
) x n n Z
)
x X˛
( 1,0
U
( ) 1,0
x
n m>
0
Để chứng minh (ii) trong Mệnh đề 2.6, trước hết ta xét (2.14) đối với dãy ( và nhận được: ˛
= thì
= P x PU 0
1
' 0
=
(
x X˛
) ,0
) ,0
x
với . Điều này suy ra: nếu
( U n P x PU n 0
n
' 0
n
> ‡ 0
m
với mọi . (2.20)
=
Tiếp theo, ta xét trường hợp :
y
y X˛
x X ^
+ , với
y
X˛
,*m
y 0
' y 0
' 0
' 0
0
0
˛ và đặt và . Cố định
P y =
0
0
0
Ta biết: theo (2.16)
=
+
=
=
(
)
)
)
)
)
,
,0
( U n
,0
,0
Khi đó, từ (2.20), ta kết luận :
( U n m P x U n m
( P y 0 0
' y 0
' P y 0 0
( PU n n
' y 0
.
Để chứng minh (iii) của Mệnh đề (2.10), ta để ý rằng theo bất đẳng thức thứ hai trong (2.15) ta có:
k
a
k
(
)
(
)
(
)
T
Me
| K P er
x n
x n
n Z
n Z F
F
- - £ . ˛ ˛
=
( j T x
j
0,1,...,
k
1
I với KerP F 0
) n n Z
a
˛ - Vì , nên ta có: ˛
k
k
(
)
(
)
T
x
1 M e
x
n
n
n Z
n Z
F
F
- ‡ . ˛ ˛
( +
<
) U n j m x
,
j= -
0m > hoặc
m j+
0
e F+ m j 0
) = e m
˜ ˜ ˛ Đặc biệt: ( j T x nếu và chỉ nếu hoặc m và
( 0,U
) j x X
' 0
- ˛ .
Điều này suy ra:
k
+
(
) a 1 U m k m x M e
,
x
>
- ‡ nếu một trong ba điều kiện sau được thỏa:
m
0 ,
k
Z
,
+
x K P er m
<
=
˛ ˛ a) ;
m
0,
k
0,1, ...,
m x ,
K erP
;m
=
- ˛ b)
I
m
0,
,
+
k Z x X KerP 0
' 0
˛ ˛ c) .
Tiếp theo ta chứng minh (iv) của Mệnh đề 2.6
=
Ta xét toán tử nút:
(
( ) 1,0
N
( ) 1,0 |
K P : er 0
K P er 1
K P er 0
- fi .
{ = ˛
Im
K N er
( ) 1,0
x KerP U
:
( ) 1,0
x
) I P U 1 } P 1
0
= X KerN
( ) 1,0
˛ Ta biết:
0
Ta chứng minh: . Thật vậy:
=
)(
)
( 1,0
U
X
Im
X K N
er
( ) 1,0
0
X 1
P 1
0
(cid:204) ˛ theo Bổ đề 2.3 (ii) và (2.16), điều này suy ra
)
U
( 1,0
x
Im
x
P 1
K P e r 0
˛ ˛ Để chứng minh chiều ngược lại, ta giả sử và .
X
X
X
^ = 0,*
0
' 0
= + . Khi đó: x x 0
' x 0
¯ Sử dụng , phân tích
)
)
)
( 1,0
U
( 1,0
x U
( 1,0
Im
U
( ) 1,0
x
Im
= ' x U 0
x 0
P 1
P 1
- ˛ ˛ vì (theo giả thuyết) và
( ) 1,0
U
Im
x X 0 1
P 1
= -
˛ (cid:204) theo Bổ đề 2.3 (ii) và (2.16).
x
' x K P X er 0
' I vì 0
0
' x 0
x x 0
K P e r 0
˛ ˛ Ngoài ra, và (theo giả thuyết) và
x
X
0
0
K er P 0
˛ (cid:204) theo (2.16).
˛e
er
I và từ (2.15), với k N˛
' x 0
0
K P F 0
˜ Do đó, , ta có:
( 1,0
U
Im
0
x = và do đó
x
x=
) ' x 0
P 1
' 0
0
K N er
( ) 1,0
X(cid:204)
˛ suy ra , chứng tỏ Nhưng theo (2.11), với
0
.
)
y K P x K P I P U
er
( :
) ( = 1,0
x
y
er , 1
0
1
˛ $ ˛ - Tiếp theo ta chứng tỏ rằng với mọi .
( T x
y
I sao cho
= ˜ e .
y
˛e
K P er
KerP F 0
1
1
) x n n Z
) n n Z
˛ ˜ Lấy và tìm ( ˛ ˛
( ) 1,0U
y= với
x 0
x K P X er 0
' I . 0
0
=
˛ Đặc biệt,
(
(
y
( ) 1,0
)1,0N (
erK P đến
e rK P với
) = I P y 1
) I P U 1
x 0
0
1
K N er
( ) 1,0
X=
- - Khi đó, và là toàn ánh từ
0
n
> ‡ 0
m
.
)
)
(
)
(
, ta để ý rằng:
= U n m U n U
( 1,0
) ,1
,
Để hoàn thành chứng minh (iv) trong Mệnh đề 2.6 với ( U m 0, và (2.10) suy ra:
(
)(
)
)
(
)(
) (
)
(
)
,1
( 1,0
0,
( = I P U n m I P , m
n
( ) I P U n n
) I P N 1
I P U 0
)( m I P m
n
> ‡ 0
m
- - - - - - Ø ø Ø ø º ß º ß
trong (iv) Theo (iii), các toán tử trong ngoặc khả nghịch, và trong tường hợp tổng quát
n = và 1
0m = đã được chứng minh ở trên.
suy ra từ trường hợp
*X bởi
¢ , ta định nghĩa một họ tiến hóa bị chặn lũy thừa
k
l k l , ,
{ ( U k l , *
k l
‡ ˛ □ } ) trên Với ‡
x
)
(
(
)
(
)
( x
)
= U k l U l k
,
,
*
a
:
( U k k
,
) x 1
*
D *
k
k
*
k
1
¢
k
¢
k
- - - - U, gọi là toán tử sai phân tương ứng. - ˛ ˛
x
Ta cũng định nghĩa toán tử
#D theo qui tắc: (
)
) x
( x
)
a
:
( + U n
*
1,
n
D #
n
n
+ 1
n
¢
n
¢
n
=
- ˛ ˛
(
)
¢
) X , * ,
q
( 1,
( 1,
1 nếu D xác định trên
l q
,*
l q
pl p ˛ ,
#D xác định trên không gian
1 1 ) + = , p q
˛ ¥ ¥ và
D
D=
*
#
) X , *
D=
khi đó, .
c 0,*
( = ¢ c 0
) # *D
#D xác định trên không gian
. nếu D xác định trên không gian 1l và khi đó, (
D
D=
*
#D xác định trên không gian 1,*l
0c và khi đó,
#
x
(
)
)
a
j
:
( x -
nếu D xác định trên .
k
k
*D được xác định trên cùng một không gian dãy như
#D thì
¢
¢
k
k
1
D jD j- =
và toán tử Nếu ˛ ˛
*
#
.
#D là Fredholm và do đó,
*D là
=
Vì D là Fredholm nếu và chỉ nếu D* là Fredholm nên ta suy ra
in d
D
i n d
D
*
=
Fredholm. Hơn nữa, .
)
} )
) , *
( U l k ,
( U k l *
{ ( U k l , *
*D và
k l
x
- - Áp dụng (2.4) – (2.5) cho và chú ý rằng xác định trên ‡
˛ ¢ từ những không gian dãy tương ứng, ta có:
) k k
) z k k
x
=
=
không gian phản xạ X. Khi đó, với dãy (
)
)
{ (
˛ ¢ và ( }
x :
k
l
,
K D er *
k
k
( x , U k l *
l
¢
k
=
=
‡ , ˛
)
(
)
)
{ (
}
K
er
D
*
z
,
,
:
l
*
k
( z U k l z k l
*
k
¢
k
‡ . (2.21) ˛
X
K ˛ ¢ ta giới thiệu các không gian con
,
Z k
,*
X Z *, k
=
x
(cid:204) (cid:204) Với như sau:
( x
)
{ x
}
Z
X
* :
,
k
,*
l
= x KerD *
k
¢
l
=
˛ $ ˛ , ˛
(
)
{
}
Z
z X
:
z
( Ker D
) = *,
z
z
k
l
*
k
¢
l
˛ $ ˛ (2.22) ˛
Bổ đề 2.8
=¢
kX-=¢
,*
k
,*
k
kX -
và . Với mỗi k ˛ ¢ , ta có
)
Chứng minh
z
z
z=
z l
k
k
l Z
=
=
nếu và chỉ nếu thỏa Theo các biểu thức (2.21) và (2.22), ˛
)
(
(
Z˛ ( ( U l k
k
,
) , *
l
) = * * z U l k
z U k l * l
z k
- - - - " ‡ với dãy ( ) k z k
x
X˛
x
x=
m
m
) x n n Z
=
Theo các biểu thức (2.4) và (2.6), nếu và chỉ nếu . với dãy ( thỏa ˛
,
n m
) ( x U n m x n m
=
=
" ‡ .
z
x
,
n
Z
Z
X -
n
n
k
k
X-=
˛ , do đó: . Đặt -
Z k
,*
k
,*
)
là tương tự. □ Việc chứng minh
} )
}
{ ( U k l , *
{ ( U k l , *
k l
| lZ
k l
^ : một lưỡng phân của họ thu hẹp , Áp dụng Mệnh đề 2.6 cho họ tiến hóa ‡ ‡
k
‡ > l
0
l
l= -
l= -
‡ ‡ với và 0 k giống như Bổ để 2.5 và tính chất toàn ánh của toán tử nút thu gọn tương
)
và m với n m‡ trong ¢ , ta có các ứng với họ thu hẹp này. Sử dụng Bổ đề 2.8 và đặt n
}
{ ( U n m ,
*|
nX
n m
< ¥
^ kết luận sau đối với họ như sau: ‡
,*
nX ^
},*n P
˛ ¢ n
P sup n ¢ n
a
>
Mệnh đề 2.9 Tồn tại một họ { gồm các phép chiếu định nghĩa trên sao cho ˛
M
1,
0
‡ và các hằng số thỏa:
> ‡
n m‡
0
‡ (i) Nếu
=
,
*
x *
,*
x U n m P , n ,*
nXx
^ ˛ thì n m ) ( với mọi . hoặc 0 ( ) P U n m m
*|
: Im
Im
Im
P n
,*
P m
,*
nP
a-
fi ( ) U n m , Với thu hẹp , ta có:
(
)
n m
)
( U n m
,
* |
Me
Im
P n
,*
- £ ;
n
‡ > 0
m
=
^ ˛ (ii) Nếu thì
nXx )
*
0,
V *
U n m P , n
x ,*
) ( P U m m
,*
' 0
'
V
=
= V V
V V
và ( (2.23) ,
( U n
),0 * x
,
X
V ˛ ' 0
0,*X
0
' 0
0
0,*
¯ ˛ với là phần bù của trong sự biểu diễn , tương ứng với
X
X
X
^ = 0
0,*
' 0,*
¯ tổng trực tiếp .
> ‡
)
( U n m ,
*|
n m‡
0
n m
K : erP n
,*
K P er m
,*
nK P er
,*
fi ‡ (iii) Nếu hoặc 0 thì thu hẹp là toán tử khả nghịch
và
1
a
(
)
n m
)
)
( ( U n m
,
* |
Me
K P er n
,*
(
)
n
‡ > 0
m
,N n m được định nghĩa như sau:
- - - £ , (2.24)
*
=
(iv) Nếu
)
(
)
( N n m
,
) I P U n m
* |
,
K P : er n
,*
K P er m
,*
*
m
,*
K P er n
,*
)
( K N n m X= ,
er
- fi thì toán tử nút thu gọn ( (2.25)
*
.n
,*
là toàn ánh với
(v) Các khẳng định sau thỏa:
X
Im
0n ‡
0n < .
n
,*
KerP n
,*
X n ,*
P n ,*
(cid:204) (cid:204) với và với (2.26)
Tính bất biến của phần bù trực tiếp:
^= X X
,*n
Y n
¯ Từ tổng trực tiếp:
=
=
(
)
(
*
X
˛ ¢
X n , ,* n
Y n
n
,*
^ ^ , ta suy ra: ) (2.27)
*X .
dim nX < ¥
,*
,*nX có phần bù trực tiếp trong
X=
Theo Bổ đề 2.3 (i), và do đó
Q Im n ,*
n ,*
Gọi .
)
(
( U n m ,
X
X
*
,
n m
,*nQ là một phép chiếu bị chặn trên *X thỏa ),*
m
,*
n
=
(
)
)
*
*
˝ ‡ Theo Bổ đề 2.3 (iii), ta có: hoặc
U n m Q , n
,*
( Q U n m Q , n
m
,*
,*
. (2.28)
,*nX ^
nY là phần bù trực tiếp tùy ý của của không gian con
=
(
)
)
P Q=
Q Q=
Y¸
( A U n m
,
*
Chú ý rằng có đối chiều hữu hạn trong X
,*m
,*n
)( U n m Y , m
n
và nói chung . Áp dụng công thức (2.2) với và với
= * Im
X
= * Im
X
Q m
,*
K Q er m
,*
Q n ,*
K Q er n ,*
(
)
) U n m Q X *
,
Xfi
( U n m ,
*|
¯ ¯ trong sự phân tích và , ta sẽ đồng nhất thu hẹp
m
,*
n
,*
,*
nX
,*
=
và toán tử . Đây là toán tử khả nghịch, hữu hạn chiều.
(
)
)
(
:n )
*
*
:
( U n m Q , n
Q U n m Q Y , m
* m
Y n
,*
,*
* n ,*
fi . Theo (2.27) và (2.28),
X
0n ‡
n
,*
KerP n
,*
(cid:204) Nếu thì theo (2.26) và do đó (2.24) suy ra:
(
n m
x
) x
x
)
( U n m ,
*
a 1 M e
X
n
,*
- - ‡ " ˛ . (2.29)
1
(
)
n m
(
)
)
*
M e a
n
,*
)
( L X
,
X
n
,*
m
,*
- - - £ Do đó, . ( U n m Q ,
=
Lấy liên hợp (2.28) và sử dụng (2.27), ta kết luận rằng toán tử:
(
)
(
)
:
,
,
* Q U n m Q U n m Q Y n ,* m
* n ,*
* m
,*
Y n
fi (2.30)
khả nghịch, và
1
a
(
)
n m
)
(
)
Me
,
n m
0,
( * Q U n m Q , m
* n ,*
,*
)
( L Y Y , n m
- - - £ ‡ ‡ (2.31)
,*nX ^
nY là phần bù trực tiếp của
) ( ,U n m -
0n ‡
với trong X.
,*nX ^
0Y
Tiếp theo, ta đồng nhất phần bù trực tiếp của trong X, , mà bất biến. Cố định
X
0n ‡
0,*
¯ = Y X 0
=
^ bất kỳ sao cho . Với mỗi
)
}
, 0
y
:
y 0
0
Y 0
W n
˛ , ta định nghĩa { ( U n .
n m‡
0
+¢ , các khẳng định sau thỏa:
‡ trong Bổ đề 2.10 Với mọi
(i) Không gian con Wn đóng;
X
X
^ ¯ ; (ii)
= ,* Wn n ( ) U n m
n m
0
, W W , n m
˝ ‡ ‡ (iii) ;
)
( U n m ,
: W W n
m
| W m
fi (iv) Thu hẹp khả nghịch và
1
(
)
n m
)
)
( ( U n m
,
|
Me a
W m
- - - £ . (2.32)
0
Chứng minh
(i) Các đẳng thức (2.30) và (2.31) với
n
n m‡ = )
(
)
:
,0
y 0
a 1 Y M e 0
y 0
= * Q U n Q y ,0 0,* 0
y 0
* ,* n
* ,* n
- " ˛ £ suy ra : ( Q U n (2.33)
)
( ,0U n
y 0
c y 0
=
=
‡ Do đó, với c >0, và (i) thỏa.
)
I
X ^
( x U n
,0
y X ^
y
Y˛
n
{ } ,* W 0
n
0
n
,*
0
0
( U n
) ,0 *:
X
Xfi
˛ (ii) Để chứng minh , ta giả sử với .
x ˛ là đẳng cấu theo Bổ đề 2.3 (iii), nếu 0
0,*X
n
,*
0,*
Vì thì
x
=
( U n
x ˛ n
nX
,*
0
) x ,0 * n
với .
x
x X ^
,*n
0X
0
x
=
=
x
)
,
,
) x ,0 *
( U n
,0
,
x ,
= . 0
y 0
0
( y U n 0
n
x y 0
n
n
˛ ˛ Vì , với mỗi ta có:
=
=
0
x
y
y X 0
0,*
I và Y 0
0
^ ˛ Do đó, .
x
+
=
=
)
I W X
I
W
X
W
X
{ } 0
n
n
n
,*
n
n
,*
n
n
,*
=
^ ^ ^ ^ ˛ Để chứng minh ( , ta giả sử rằng .
( x U n
) ,0
y
Y˛
y W 0 n
0
0
=
x
=
x
=
)
0
,
x
( U n
,
,0
( U n
˛ Khi đó, với mỗi và , ta có:
n
n
y 0
) x ,0 * , n
y 0
.
(
)
( U n
) x ,0 * n
Y 0
( U n
X
^ ˛ Do đó, .
,*
x ˛ n
) x ˛ ,0 * n
0,*
( U n
nX ),0 *
x = và 0
x = theo Bổ đề 2.3 (iii)
Mặt khác, và theo Bổ đề 2.3 (iii) suy ra .
0
n
n
=
=
Do đó,
)
(
)
) ( U n m x U n
,
,0
x U m y W ,0 m
0
y W 0 n
˛ ˛ Vậy, ta chứng minh xong (ii). ( (iii) Nếu .
=
=
(
X
X
) W *n
n
,*
n
^ ^ (iv) Theo (ii), ta có: ( . thì ),*
)
( U n m
,
* |
:
X
X
n
,*
m
,*
nX
,*
fi Theo (iii), ta đang trong trường hợp khi mà là toán tử liên hợp của toán tử
( ) U n m ,
: W W n
m
| W m
fi .
Theo (2.29) suy ra (2.32) vì các toán tử khả nghịch thì chuẩn của các nghịch đảo là bằng nhau. □
(
X
*
,
n
0
,
) U n m - bất *
,*nY là một phần bù trực tiếp bất kỳ
^= X n
Y n
,*
¯ £ Ta xét tổng trực tiếp , với
=
=
(
)
*X . Ta có thể đồng nhất (
X
X
) ,* *
Y n
n
n
=
x
^ ^ biến của (có đối chiều hữu hạn) trong và định
(
)
}
nX ^ { U
0,
n
*
,
n
Y
0
W n
,*
0
0,*
˛ £ nghĩa .
m n£
0
-¢ , các khẳng định sau thỏa:
£ trong Bổ đề 2.11 Với mọi
,*Wn đóng;
(i) Không gian con
X
X
*
n
^ ¯ ; (ii)
= ,*W n )
( U n m ,
*W Wn
,*
m
,*
˝ (iii) ;
)
( U n m ,
*|
: W n
,*
W m
,*
,*W n
fi (iv) thu hẹp khả nghịch và
1
a
(
)
n m
)
)
( ( U n m
,
* |
Me
W
n
,*
- - - £ .
Chứng minh
Ta có:
X
K erP n
,
0
n
n
(cid:204) £ trong (2.16) và Mệnh đề 2.6 (iii) suy ra :
a
n
(
)
( ) U n 0,
|
:
X
Xfi
) 1
( U
0,
n
|
Me
,
n
0
n
0
X
nX
n
- £ £ khả nghịch với .
X=
n
=
, ta có:
)
)
)
( U n 0,
0,
0,
|
= U n Q Q U n Q n
n
0
nX
x
x
Với mọi phép chiếu bị chặn nQ trên X với Im n Q ( ( . Qua toán tử liên hợp , (2.33), ta kết luận:
(
)
(
)
U
0,
n
*
x c
= Y
X
*.
0,*
0
‡ " ˛
Điều này suy ra (i).
Các chứng minh (ii) – (iv) tương tự như Bổ đề 2.10
)
(
)
,
[ 1,
¥ Định lý 2.12 Cho X là không gian Banach phản xạ, toán tử D là Fredholm trên □ pl Z X p˛ ,
(
)
} )
,
{ ( U n m ,
,
n m Z ,
c Z X , khi đó, họ tiến hóa rời rạc 0
n m
{
}
}
P +
P -
˛ hoặc trên có lưỡng phân lũy thừa ‡
n
n
n
0
n
0
trên Z + và { trên Z - . ‡ £
Chứng minh n > : 0 Với
>
Theo Mệnh đề 2.6 và Bổ đề 2.10 (ii) ta có:
n
0
^= X X n
= ,* W Im n
P K n
erP W , n
n
¯ ¯ ¯ .
là phép chiếu trên X với Gọi nP+
Im
0
+ = Imn P
P n
+ = K P K P n n
> er W , n n
¯ và er (2.34)
(
x
) U n m x ,
> n m‡
0
P+ Im n
P+ Im m
= + ˛
˛ ˛ Với : nếu thì theo (2.10).
y z KerP+
x
y
m
m
=
+
˛ ˛ Nếu với , thì
(
(
)
(
K e rP z W ,m )
) U n m x U n m y U n m z KerP+
,
,
,
n
)
(
)
,
> n m‡
0
˛ theo (2.10) và Bổ đề 2.10 (iii). Điều này suy ra:
+ U n m P , m
( += P U n m n
với .
a
Từ (2.11) ta có:
(
) n m
=
( ) U n m ,
( ) U n m ,
Me
‡ > n m
,
0
| Im
P m
| Im
+ P m
- - £ .
=
)
er
( A U n m
,
|
+ = K P K P er W m m m
+ mK P er
¯ Ma trận biểu diễn (2.2) của toán tử trong và
er
er
+ = K P K P n
+ n
W n
) ( U n m ,
( ) U n m ,
¯ có dạng chéo (theo (2.10) và Bổ đề 2.10 (iii)) với các ma trận con chéo hóa
| W m
| mK P er ( ) U n m ,
khả nghịch và .
| mK P er
( ) U n m ,
Khi đó, toán tử khả nghịch và nghịch đảo của nó thỏa Mệnh đề 2.6 (iii)
| W m
Toán tử thỏa (2.27)
1
a
(
)
n m
)
> n m‡
0
)
( ( U n m
,
|
Me
+ K P er m
n = : 0
- - - £ Do đó, ta có: với .
'
Tiếp theo, ta xét
X ^
X
0,*X ^
erK P 0
0,*
0X là phầ bù trực tiếp của
0X trong
0
K erP 0
(cid:204) (cid:204) Ta biết , và theo (2.16) và theo
Mệnh đề 2.6
Ta ký hiệu:
=% ' I X X KerP 0 0 0
.
X
X
X
x
^ = 0,*
0
' 0
= + với duy nhất x x 0
' x 0
K e r P 0
¯ ˛ , sử dụng sự biểu diễn tổng trực tiếp , ta viết: Với mỗi
x X x X , 0 0
' 0
' 0
= -
˛ ˛ .
x X˛
% .
' x 0
x x KerP 0
0
' 0
0
˛ Khi đó, và do đó
X
erK P , nghĩa là
0X% là phần bù trực tiếp của
0
=% X K P 0er 0
0X trong
0
¯ Do đó, .
( ) 1,0 :
U
Ta chứng minh:
fi% X 0
K P er 1
là một đẳng cấu. (2.35)
)1,0N (
x
K e r P 1
( = -
˛ Thật vậy, nếu thì theo tính toàn ánh của toán tử nút , từ Mệnh đề 2.6 (iv), tồn tại
N
( ) 1,0
y
( ) 1,0
= y
x
y
) I P U 1
K P e r 0
=
˛ thỏa .
=
% để viết X
y
y
+ % y
erK P X 0
0
0
% y X y X , 0 0
% 0
0
0
0
K N er
( ) 1,0
X=
¯ ˛ ˛ Dùng tổng trực tiếp với .
0
=
Vì nên ta có:
)
)
(
)
= x N
( 1,0
= y N
( 1,0
( 1,0
) I P U 1
% y 0
% . y 0
-
P y =%
0
(cid:204)% % y X 0 0
KerP 0
0
0
˛ Vì nên ta có:
(cid:204)% % y X 0 0
' X 0
=
)
)
=%
0
U
( 1,0
( 1,0
P y 0 0
PU 1
% . y 0
( = -
( ) 1,0U
U
( ) 1,0
( ) 1,0
x
˛ Nhưng và (2.20) nên suy ra:
˛% y KerP 0 1
) I P U 1
= % y 0
% y 0
U
( ) 1,0 :
Do đó, và .
fi% X 0
K P er 1
là toàn ánh. Do đó,
U
( ) 1,0
y =%
0
N
( ) 1,0
y =%
0
0
0
(cid:204)% % y X 0 0
KerP 0
K N er
( ) 1,0
X=
˛ Tiếp theo, nếu với , thì .
% y
X˛
y =%
0
0
0
0
0
X
X =%I
{ } 0
Vì nên theo Mệnh đề 2.6, ta có và do đó, vì
0
0
.
trên X như sau: Ta chứng minh xong (2.35) Định nghĩa một phép chiếu 0P+
Im
+ = ImP 0
P X 0 0
% + = ¯ erK P Y X 0 0 0
=
¯ và (2.36)
X
Im
er
X
Im
^ = 0,*
K P er 0
P 0
+ + P K P 0 0
¯ ¯ Sao cho theo (2.8) và theo Mệnh đề 2.6
Theo (2.34), ta biết:
Im
+ = ImP 1
P 1
+ = K P 1
er W er 1
K P 1
=
¯ và .
)(
)
( 1,0
U
X
Im
0
X 1
P 1
(cid:204) Chú ý rằng, theo Bổ đề 2.3 (ii) và (2.16), ta có: .
Cũng như:
)
( )( 1,0 Im
U
P 0
P Im . 1
(cid:204) (2.37)
)
=
( ) 1,0
= x U
U
( ) 1,0
Im
x
= P x PU 0
1
' y 0
P 1
P x 0
˛ Thật vây, theo Mệnh đề 2.6 (ii), ta có: ( 1,0 Nếu thì .
U
( ) 1,0 Im
Im
+ P 0
+ P 1
=
(cid:204) Do đó, .
)(
)
U
( 1,0
Y 0
W 1
1
=
(cid:204) Ta cũng có:
KerP+ theo Bổ đề 2.10 (iii) và )(
K P KerP+
% X
er
)0
1
1
+
(cid:204) theo (2.35).
)(
U
( ) 1,0
( ) 1,0
U
( 1,0
+ P 0
+= P U 1
( U 1, 0 )0 K P er
+ KerP 1
(cid:204) và . Điều này chứng tỏ
Imx
P+
n ‡
2
0
a
˛ Với và , ta có:
(
a
n
) 1
n
=
)
)
)
U
) ( 1,0
x
Im
P+
( U n
,0
x
( U n
) ,1
( U 1,0
x Me
( 1,0
U
x M e
'
x
1
=
+
- - - ˛ £ £ vì .
( U n
) ,0 |
( U n
) ,1 |
U
( ) 1,0 |
0erK P+
+ K P er 0
+ K P er 1
+ K P er 0
+
Thu hẹp là khả nghịch từ . Thật vậy, đến er nK P+
1n ‡ .
( U n
) ,1 |
+ K P : er 1
K P er n
+ K P er 1
fi khả nghịch theo chứng minh về tính lưỡng phân với
( ) 1,0 |
U
:
+ K P er 0
+ K P er 1
+ K P er 0
fi là tổng trực tiếp của hai toán tử:
U
Y fi
U
( ) 1,0 |
% X
:
0
W 1
0
K P er 1
% X
( ) 1,0 | : Y 0
0
fi và .
Toán tử đầu tiên khả nghịch theo Bổ đề 2.10 (iv) và toán tử thứ hai khả nghịch theo (2.35).
1
1
)
( ( U n
( ( U n
)
) , 0 |K P
er
) ,1 |K P
er
+ 0
+ 1
0n £
- - Ước lượng lũy thừa cho suy ra từ ước lượng cho .
0n < :
: Với
Đầu tiên ta xet
Theo Mệnh đề 2.9 và Bổ đề 2.11 (ii), ta có tổng trực tiếp
X
*
n
0
^= X n
= W Im ,* n
P n
,*
< W , ,* n
¯ ¯ .
*X thỏa
,*nR là phép chiếu trên
=
=
Gọi
Im
Im
< n
0
R n ,*
P n
,*
K R er n ,*
K P er n ,*
W , n ,*
¯ và . (2.38)
> ‡
n m
Như trong chứng minh Định lý 2.12 với trường hợp n>0, : với 0 , người ta chứng minh
=
(
)
*
) ( R U n m
,
*
được:
U n m R , n
,*
m
,*
a-
; (2.39)
(
)
n m
)
( U n m
,
* |
Me
Im
R
n
,*
- £ ; (2.40)
)
( U n m ,
*|
K R : er n
,*
K R er m
,*
nK R er
,,*
fi là khả nghịch và Thu hẹp
1
a
(
)
n m
)
(
)
( U n m
,
* |
Me
K R er
n
,*
- - - £ . (2.41)
n = : 0
'
Tiếp theo ta xét
X
0,*X trong
0,*
K P er 0,*
0,*X là phần bù trực tiếp của
0X ^
I
X
KerP
(cid:204) và theo (2.26), . Gọi
=% X 0,*
' 0,*
0,*
=
Đặt: sao cho
X
% X
erK P 0,*
0,*
0,*
¯ .
*X như sau:
0,*R trên
=
Định nghĩa phép chiếu
Im
R
Im
X
,
KerR
% X
0,*
P 0,*
0,*
= 0,*
Y 0,*
0,*
¯ ¯ . (2.42)
n m
‡ ‡ : Bây giờ ta chứng minh (2.39) – (2.41) thỏa với 0
=
=
Từ (2.38), ta có:
Im
R
P KerR
1,*
Im , 1,*
1,*
KerP W 1,*
1,*
¯ - - - - - . (2.43)
Theo Bổ đề 2.3(iii) và (2.26), ta có:
(
(
) 0, 1 *
X
X -
)0,*
1,*
- (cid:204)
(
(
U
) 0, 1 * Im
Im
P-
1,*
U )0,* P
- (cid:204) Như trong (2.37), ta có: .
Thật vậy,
(
) x 0, 1 *
Im
P
1,*
- ˛ - Theo (2.23), nếu .
(
x= 0,*Px (
U
Im
) 0, 1 * Im
R-
1,*
- (cid:204) Do đó, ta có: .
(
(
U
) 0, 1 *
K R er
KerR-
U thì )0,* R )0,*
1,*
- (cid:204) Để chứng tỏ , trước hết, ta thấy rằng:
(
) 0, 1 *:
U
K P- er
fi% X 0,*
1,*
- là đẳng cấu. (2.44)
Chứng minh (2.44) tương tự như (2.35) và dùng toán tử nút thu gọn (2.25).
Bổ đề 2.11 (iii), (iv) suy ra:
(
) 0, 1 *:
U
W
Y 0,*
1,*
- fi - là đẳng cấu.
(
) 0, 1 *: er
K R
U
K R- er
0,*
1,*
- fi Do đó, theo (2.42), (2.43) và (2.44) ta kết luận rằng là đẳng cấu.
(
(
U
) 0, 1 *
R
) 0, 1 *
= 0,*
R U- 1,*
- - Vì vậy, .
> ‡
n m
n m
‡ ‡ Các đánh giá (2.40) – (2.41) với 0 suy ra từ các ước lượng với 0 đã được chứng
0n £
minh trong Mệnh đề 2.9 và Bổ đề 2.10.
Để hoàn tất chứng minh Định lý 2.12 với , ta ký hiệu:
(
n
0
- = P n
R n
£ và thấy rằng:
=
=
)
(
)
(
)
),* *, (
Im
R
K R er
Im
R
*
Im
- = P n
n
,*
n
,*
n
,*
^ ^ và
=
=
(
)
(
)
(
)
K
er
R
*
ImR
K R er
*
- = K P er n
n
,*
n
,*
n
,*
^ . (2.45)
1
a
a
(
)
(
)
n m
n m
)
)
n m )
( U n m
,
|
Me
( ( U n m
,
|
;
Me
Im
P m
K P er m
0n £
‡ ‡ Qua các toán tử chiếu trong (2.40) – (2.41), với 0 , ta có: - - - - - £ £ , - -
=
đã được chứng minh. □
d im er
K D
nX
=
dim
K D dim er *
và Và Định lý 2.12 với Hệ quả 2.13 Nếu D là Fredholm thì với mỗi n ˛ ¢ , ta có: dim
nX ,*
.
=
n‡
Chứng minh
x
X˛
( ), kx U k n x
n
Cố định và đặt với k .
x
X˛
k
k
. Theo Bổ đề 2.3 (ii),
>
P+
{ } k m n ax ,0
x Imk
k
k
˛ Dùng (2.34) và Bổ đề 2.7, với , ta có .
ce a-
k ‡
0
n< thì theo Bổ đề 2.3 (ii), tồn tại duy nhấy
x
X˛
k
k
=
,
£ Do đó, với . Nếu k sao cho
kx ) ( x U n k x k
<
{ min 0,
} n
k
.
, ta có: Sử dụng (2.38) và (2.45) với
=
(
)
(
)
X ^
Im
R
Im
X
P Im k
,*
k
- = K P er k
k
,*
P k
,*
k
a-
k
k
^ ^ (cid:204) (cid:201) vì trong Mệnh đề 2.9.
=
(
cea
x
ce
k < . 0
kx
) U n k x , k
x k
=
,
£ ‡ hoặc với Do đó,
x
X˛
) ( x U k m x k m
n
) x k k Z
Do đó, bắt đầu với một , ta nhận được một dãy ( thỏa với mọi ˛
‡ ˛ .
KerD
k m Z Do đó, (
) x k k Z
˛ và ta có thể định nghĩa tốt một toàn ánh tuyến tính ˛
(
a
K D x er
:
j X : n
n
) x k k Z
fi . ˛
nX . Do đó,
nX và erK D đẳng cấu nhau.
Đây là toàn ánh theo định nghĩa của
K D .
,*nX đẳng cấu với er *
(
)
X¡ ,
dom
u ˛
G - miền xác định của toán tử G xác định trên
Tương tự, □
C 0
) Bổ đề 2.14 Một hàm
(
)
(
)
pL (hoặc trên ) (
I
f L˛
¡ ,
X
X
,
¡ ,
X
¡ ) và tồn tại
p
u L C p 0
u C 0
f C 0
˛ ˛ ˛ nếu và chỉ nếu (hoặc (hoặc ) sao cho
t
=
t
t
)
( ) t
)
( ) u t
( U t
,
u
( U t s
,
f
( ) s ds
,
t
¡ .
t
- " ‡ ˛ (2.46) (cid:242)
f=G u
Nếu (2.46) thỏa thì .
(
)
(
)
¢ ,
) X p˛ ,
[ 1,
X¢ ,
pl
c 0
=
¥ Mệnh đề 2.15 Nếu D Fredholm trên hoặc trên thì toán tử nút rời rạc
(
)
N n m n ,
,
0
m
dim
KerD
dim
) ( KerN n m
,
,
=
)
co
dimIm
= D co
dimIm
( ) N n m ,
ind
D
ind
( N n m ,
‡ ‡ , là Fredholm. Hơn nữa,
(
}
}
và .
P +
P -
n
n
{ } ) U n m ‡ ,
n m
n
0
n
0
và { với nhận được từ Định lý 2.12. Chứng minh Ta xét các lưỡng phân { ‡ £
Để ý rằng:
(
)
(
(
)
(
)
= N n m N n N
,
) ,0
0,0
N m n 0,
,
0
m
( N n
),0 ,
)0, ( N m
,0
n > và 0
m> đều khả
‡ ‡ và các toán tử
=
nghịch.
(
(
)
)0,0
N
ind D
dim
X
dim
X
0
0,*
- Do đó, ta chỉ cần chứng minh là Fredholm và , (xem Hệ quả
)
( Im 0,0N
2.13)
+
cũng đóng. Ta biết rằng ImD đóng và ta muốn chứng tỏ
=
(
y
y
˛e
Im
D
I P x x KerP , 0
0
- - ˛ ˜ thì . Trước hết, ta chứng minh nếu
=
=
)
)0 ) 1
0n ‡
( ( U n 0,
|
x
0
= với
0n < và
( ) nx U n P x+ ,0
0
x n
K P er n
0n < , ta có:
- - Thật vậy: định nghĩa với . Khi đó, với
(
)
)
,
) 1
( U
|
0,
n
1 = x
0
( x U n n n
= x 1 n
K P er 0
0
- - - - . -
n > , ta có:
Tương tự, với
(
)
)
(
,
) 1
U n P x U n P x
,0
,0
0
( x U n n n
= x n
1
+ 0
+ = 0
0
n = , ta có:
- - - - .
Với
1
x
(
(
(
)
) 0, 1
) 0, 1 |
x
x U 0
= x 1
+ P 0
K P er n
- - - - - - - -
=
U (
( ) U 0, 1 ) = I P x P x
x
y
0
+ - = - 0
+ P x 0
- - -
x K P- 0er
˛ với .
y
˛e
Im
D
0
˜ . Do đó,
y KerP+
y
) ( N Im 0,0
y
˛e
Im
D
0
0
= -
)
˛ ˛ ˜ và thì . Tiếp theo, ta chứng minh: nếu
˛x
0
) ,0
n > . 0
D
x
y=
e . Do đó,
( pl Z X ,
( nx U n
x 0
0
˜ Thật vậy, với , ta có: với
Điều này suy ra:
P+
Imx 0
0
˛ .
(
0
1,
-=
n £
1
x U 1
) n x n
- - - Ta cũng có: với .
(
x KerP-
U
) 0, 1
x
KerP-
1
0
1
1
=
˛ - ˛ - - - Do đó, và .
(
y
) 0, 1
x-
x U 0
1
- - Cuối cùng, suy ra rằng:
=
(
(
)
(
(
(
(
P+
y
) = - 0, 1
x
) 0, 1
x
( N Im 0,0
Imx 0
0
) + = I P y 0
) + I P x 0 0
) + I P U 0
1
) + I P U 0
1
˛ - - - - - - - ˛ vì và - -
(
) 0, 1
x
U
KerP-
1
0
)
- ˛ - .
=
( ) jy
) ( N Im 0,0
y
( lim j y
j
˛ Bây giờ, ta giả sử y, với . fi ¥
( ) jy
Im ,
D j N
e 0
(
)
j
˜ ˛ ˛ Theo khẳng định thứ nhất, .
y
y
e
Im
D
= e 0
0
lim j
˜ ˜ ˛ Vì ImD đóng nên . fi ¥
( ) Im 0,0N
KerP+
0
(cid:204) Vì nên ta có:
y KerP+
0
˛ .
)
y
( ) N Im 0,0
( Im 0,0N
˛ Theo khẳng định hai, và do đó đóng.
Tiếp theo ta chứng minh các biểu thức với các số khuyết. Ta có:
=
(
I
K N er
) 0,0
Im
K P er 0
+ P 0
n
- .
(
Imx
P+
x KerN
)0,0
ce a-
),0 , x n
0
0
n
=
˛ ˛ £ ‡ Do đó, nếu , với vì .
ce na < ,
0
nx thì với dãy (
nx
( = nx U n )0, ( x U n x m
) x n n
£ Ngoài ra, với mọi n m‡ và
KerD
< thỏa 0 ) ( x n n Z
˛ . ˛
x
X˛
0
Do đó, .
=
=
(
)
(
)
(
)
(
)
I
Im
R
Im
P
X
Im
X
- = K P er 0
0 ,*
0,*
0 ,*
P 0 ,*
0 ,*
^ ^ ^ ^ ¯ theo (2.45) và (2.42). Mặt khác,
X
Im
X
Im P
X ^
0
+ P 0
0,*
0,*
0
^ (cid:204) (cid:204) (cid:204) Vì theo (2.36) và theo Mệnh đề 2.9 nên ta có:
=
=
(
)
(
)
(
)
I
I
I
K N er
0, 0
Im
X
Im
Im
Im
X
+ P 0
0,*
P 0,*
+ P 0
P 0,*
0
=
(
(
K N er
) 0,0
X=
^ ^ ^ Ø ø (cid:201) . º ß
0
0
Vì thế, và .
=
=
(
dim (
KerN )
) 0,0 (
dim )
)
)
N
*
*
*
X là toán tử xác định từ (
( + K P er 0
- - - Hơn nữa, đến
=
=
(
I P 0 ( )
+ I P 0 )
(
)
* )
I
*
*
K N er
) 0,0 * Im
*
*
K P er 0
) 0,0 * ( K P er 0
P 0
+ K P er 0 ( + Ker P 0
) ( N dim 0,0 *
X=
- - - và .
0,*
Lập luận tương tự, ta chứng minh được . □
Cố định một hàm liên tục tuần hoàn chu kỳ bằng 1 như sau:
1
a
a=
a
=
( ) 0
( ) 1
fi¡
:a
¡ thỏa
= và 0
( ) s ds
0
0
. (cid:242)
(
)
)
(
(
)
S l :
¡ ,
X
¢ ,
X
¢ ,
X
l
¡ ,
X
R L : p
L p
p
p
n
fi fi Ta định nghĩa các toán tử tuyến tính bị chặn ( ) và như sau:
= -
a=
(
( )
)
(
[
Rf
,
)( ) t
x S
( ) t U t n x t , ,
+ , n n
] 1
n
) U n s f s ds 1
n
¢
n
(cid:230) (cid:246) ˛ (cid:231) (cid:247) , ( . (cid:242) - Ł ł ˛
Bổ đề 2.16
G ;
D=y
x thì u
S=G
y với u dom
˛ (i) Nếu
˛x
G thì
=y G với u dom
u
D=y
x với
pl
˛ (ii) Nếu S
)
=x
( ) u n
= G với u dom
u
G thì Rf D=
x với
¢
n
˛ ; ( ; (iii) Nếu f ˛
˛x
G .
x với
= G với u dom
u
pl
˛ (iv) Nếu Rf D= thì f
t
Chứng minh
[
( )
(
)(
)
t
+ , n n
] 1
= u t U t n
,
y
x
) ( U t s S ,
y
( ) s ds
n
n
n
˛ - - với . (i) Định nghĩa (cid:242)
Người ta đã chứng minh được:
(
(
)
I
) u L R X C R X
,
,
S= y .
0
p
˛ và thỏa (2.46) với f
S=G
Do đó, u
y . (
(
)
t =
I
) u L R X C R X
,
,
t
n= + và 1
n
S= y ,
p
0
n
+
a
˛ (ii) Với , ta có: thỏa (2.46) với f
)
)
)
(
( u n
) + = 1
( U n
1,
( ) n u n
+ 1 ( + U n
1,
s
( ) s U s n y ds ,
n
n
=
+
- (cid:242)
( U n
1,
( ( ) ) + n u n U n
,
1,
n Z
.
) n y n
=
- ˛
y
( D y n
) ( ) u n ˛
n Z
t = -
1n
- Do đó, .
n
, ta có: (iii) Vì u và f thỏa (2.46), đặt t n= và
(
( )
( )
(
,
u n U n n
,
) 1
( u n
) 1 ,
n Z
.
n
) = U n s f s ds 1
(
=x
- - - - ˛ (cid:242) -
x , ta định nghĩa:
) x n n Z
t
=
(iv) Với sao cho Rf D= ˛
(
)
( )
(
[
,
U t s f s ds t
,
,
+ , n n
] 1 ,
n Z
.
) ( ) u t U t n x n
n
- ˛ ˛ (cid:242)
(
(
)
I
) u L R X C R X
,
,
f=G u
0
p
˛ và u và f thỏa (2.46). Do đó, . Ta cũng có:
( ) k
k
f
( ) ˛G u=
Im
G sao cho
Bây giờ ta chứng minh ImG đóng nếu và chỉ nếu ImD đóng.
Giả sử ImD đóng, ta xét bất kỳ dãy
(
)
k
=
)
f
f
( L R X
,
p
lim k
˛ . fi ¥
(
( ) k
k
=
Theo Bổ đề 2.16 (iii), ta có:
)
Rf
( D u
) ( ) n
Rf
,
f
.
n Z
fi fi ¥ ˛
Rf
Im
D
f ˛
Im
G theo Bổ đề 2.16 (iv).
=
˛ Vì ImD đóng nên và do đó
( ) k y
( ) kD x
Im
D
˛ sao cho Ngược lại, giả sử ImG đóng và ta xét bất kỳ dãy
( ) lim k y
= ˛ y
l
p
k
. fi ¥
( ) ( ) = k k y G S u
y với S
)ku (
d o m
G .
fi ˛ Theo Bổ đề 2.16 (i), ta có:
S ˛y
Im
G và do đó,
˛y
Im D
Vì ImG đóng nên theo Bổ đề 2.16 (ii).
=
Một ánh xạ tuyến tính B định bởi:
(
)
(
[
( B t U t n x t ,
)( ) x
,
+ , n n
] 1 ,
n Z
=x
n
) x n n Z
˛ ˛ với . ˛
(
(
)
I
) u L R X C R X
,
,
G nếu và chỉ nếu
p
0
˛ ˛ Theo (2.46), u Ker và
)
( ( ) = u t U t
t ,
( ) t u
t t
R
" ‡ ˛ .
( ( B u n
u
G thì
= chứng tỏ rằng B là toàn ánh.
n Z
Ker
=G
dim
KerD
˛ Theo (2.4), B là một toàn ánh từ erK D đến erK G. ) ) Nếu u Ker ˛
=
dim
ˆ L
dim
Do đó, erK D và erK Gđẳng cấu và dim .
p
ˆ l p
=
+
Cuối cùng, ta chứng minh rằng nếu ImG đóng thì vơi các không gian thương
] { =
{ [
}
f
ˆ L
f
: g g
} ˛G Im :
f
L
p
p
=
˛
}
+ y z z
:
} D Im :
y
l
ˆ l p
p
˛ ˛ và { [ ] { = y
ˆ: ˆ R L
p
ˆ l p
=
]
[
]
[ ˆR f
Rf
fi Thật vậy, ta định nghĩa toán tử theo quy tắc:
.
[
h
= + ˛ f g
],
f
g
Im
G
Img ˛
G nên
R g
Im
D
=
˛ ˛ Vì . Theo Bổ đề 2.16 (iii), nếu thì
[
]
+ Rh Rf Rg Rf
]
˛ và ˆR được xác định tốt.
Rf
Im
D
f ˛
Im
G .
˛ và theo Bổ đề 2.16(iv), ta có:
[ ˆ R f = thì 0 ] 0 f = .
=
Nếu Do đó, [
)
y
l
S= -
y . Khi đó,
y n
p
n Z
n
=
a
˛ Vì thế, ˆR là phép nội xạ. ( Cố định và đặt f ˛
(
)
)
(
Rf
,
( ) ( s U s n
,
) 1
y
D
= y ds 1 n
n
n
) y . n
( U n s 1
n
- - - (cid:242) -
=
=
=
+ R f D ] [
]
Rf
y . [ ˆ R f
và ˆR là toàn ánh. Vì vậy, y Khi đó, [ ] y
pL và ˆ
pl đẳng cấu.
t , , t
{ ( U t
}, ) t
Vậy, ˆ
˛ ¡ , là họ tiến hóa lũy thừa bị chặn liên tục mạnh trên không gian
t
t
} )
}
{ ( U n m ,
,
n m ,
˛ ¢ , có lưỡng phân lũy thừa {
Bổ đề 2.17 Giả sử ‡
P +
+¢ và có
n
n m
n
0
}
t , , t
{ ( U t
}, ) t
trên Banach X. Họ tiến hóa rời rạc ‡ ‡
˛ ¡ , có lưỡng phân lũy thừa
P -
-¢ nếu và chỉ nếu họ
n
t
t
n
0
{
}
}
lưỡng phân lũy thừa { trên ‡ £
P +
P -
+¡ và có lưỡng phân lũy thừa {
-¡ tương ứng.
t
t
t
0
t
0
trên trên ‡ £
Chứng minh
(
}
Ta chứng minh trên R + , phần R - , ta lập luận tương tự.
P +
t
{ } ) U n m ‡ ,
n m
0
t
0
+
+
t‡
, ta chỉ cần xây dựng { thỏa Dựa vào các ước lượng lưỡng phân đối với họ ‡ ‡
t
)
)
)
+
( U t
t ,
t
0
+ P t
( U t
,
|
:
K P er t
( += t , P U t t
K P er t
K P er t
t
(
} )
‡ fi và là đẳng cấu với mọi .
,
{ } ) U n m ‡ ,
t
n m
0
t
0
t
< ¥
)
( U t
,
Thật vậy, giả sử điều này đã được chứng minh, khi đó, ước lượng lưỡng phân ổn định lũy thừa cho { ( U t được suy ra trực tiếp từ ước lượng lưỡng phân ổn định cho vì ‡ ‡ ‡
sup t t 0
1
t
} )
{ ( U t
,
. £ - £
t
t
0
Để nhận được ước lượng lưỡng phân không ổn định cho , chú ý rằng nếu ‡ ‡
n
+ ‡ 1
t
n m
1
1
1
1
=
t
)
)
)
)
+
+
mt )
)
)
)
1 0 ( ( t , U m
|
( ( U t
,
( ( U n m
,
( ( U t n
,
| K P er t
K P er t
| + K P er n
| + K P er m
‡ ‡ ‡ ‡ - ‡ thì - - - - . (2.47)
1
1
=
+
+
)
)
)
)
)
)
( ( U t n
,
|
( ( U n
1,
n
( ( U n
1,
t
|
K P er t
| + K P er n
+ K P er n
(
- - . Nhưng
{ } ) U n m ‡ ,
n m
0
+
Sử dụng ước lượng lưỡng phân không ổn định cho ‡
)
[
{
sup
( U n
1,
t
:
n Z t ,
+ , n n
+
˛ ˛ và } ] < ¥ 1 ,
Ta có:
1
)
[
)
( ( U t n ,
|
:
n Z t ,
+ n n ,
] < ¥ 1
sup
+
+ nK P er
- (cid:236) (cid:252) ˛ ˛ (cid:237) (cid:253) . (cid:238) (cid:254)
1
t
)
[
+
)
sup
( ( U m ,
|
:
,
t 1,
] < ¥ 1, m m
m Z m +
er K P t
t
} )
{ ( U t
,
- (cid:236) (cid:252) ˛ ‡ ˛ - (cid:237) (cid:253) . Tương tự, (cid:238) (cid:254)
t
t
0
Từ (2.47) suy ra ước lượng lưỡng phân không ổn định cho . ‡ ‡
[
+ n n ,
) 1
R˛
Z +
t 0
=
=
˛ ˛ và định nghĩa các không gian con Thật vậy, lấy 0t
)
)
)
(
)
( + x X U n :
x
1,
t
P+
Im
)( U t n K P+
er
0
+ 1
n
( X t s
0
( X t u
0
0,
n
˛ ˛ sao cho { với n } và .
(
x K P+ er n
{ } ) U n m ‡ ,
n m
0
˛ với mỗi , ta có: Sử dụng ước lượng lưỡng phân không ổn định cho ‡
+
)
( U n
1,
,
( + U n
) 1 n x M e
xa
1,
) ( t U t n x 0
0
(
)
)
,
- ‡ ‡ .
0
( X t 0 u
( uX t
0
Do đó, là một đẳng cấu và đóng.
)
)
)
:
t
R +
( U t t , 1 0
) + fi : er n U t n K P ( X t u 1
( X t u 0
0
fi ‡ ˛ . cũng là một đẳng cấu với mọi 1 t
+
)
)
I
y KerP+
( U n
1,
( x X t 0
s
( X t 0 u
) t x 0
P+ Im n
+ 1
n
=
)
( x U t n y
˛ ˛ ˛ Nếu thì và tồn tại sao cho
0,
+
+
.
( U n
1,
( ) = n y U n
1,
) t x 0
+ 1
+
+
˛ Khi đó, .
P+ Im n ( U n
( U n
)1, n y
1,
= và 0
y = vì 0
) + n K P : er n
+ K P er + 1 n
)
I
( X t =
) { } 0
fi Do đó, là đẳng cấu.
( X t 0 s
u
0
Do đó, .
)
)
( = X X t 0
s
+
=
+
¯ và phân tích Để chứng minh , ta lấy x X˛
( U n
1,
,
) 1
y s
y u
y s
+ P Im , + 1 n
+ = y KerP + n 1 u
( + X n u
( uX t 0 ) t x 0
+
=
˛ ˛ .
)
( U n
1,
Im
P+
( uX t 0
) t x 0 s
y s
n
+ 1
ux là vectơ duy nhất thuộc
˛ Gọi thỏa .
=
=
( )
0
Im
er
+ P t
+ X t K P , t
s
( ) X t u
tP t+ ,
‡ Các phép chiếu cho ta lưỡng phân cần tìm. □
t , , t
R
t
t
˛ với }, { ( ) t U t là một họ tiến hóa bị chặn lũy thừa liên tục mạnh trên không Định lý 2.18 Giả sử ‡
)
(
(
)
)
(
)
)
[ 1,
[ 1,
,
,
,
C R X , D là toán tử sai phân trên
pl Z X p˛ ,
0
¥ ¥ hoặc trên hoặc trên
(
,
c Z X . Khi đó: Im G đóng nếu và chỉ nếu 0
gian Banach X, G là toán tử sinh của nửa nhóm tiến hóa tương ứng xác định trên pL R X p ˛ , )
(i) Im D: đóng
(ii) Dim Ker G = dim Ker D
(iii) Codim Im G = codim Im D
Đặc biệt, toán tử G là Fredholm nếu và chỉ nếu D Fredholm và ind G = ind D.
=
(
)
(
)
N
0, 0
|
0,P P+
0
+ I P 0
K P er 0
- - - Bổ đề 2.19 ) Nếu ( là cặp phép chiếu trên X thì toán tử nút là toán tử Fredholm từ
)
0erK P-
0,P P+
0
- đến nếu và chỉ nếu cặp không gian con ( là Fredholm trong X. Hơn nữa,
=
(
)
0KerP+ (
)
indN
0,0
, er
+ ind K P K P er 0
0
- và
=
a
= b
(
)
(
)
(
)
(
)
dim
KerN
0, 0
, Im
,
co
dim Im 0,0
N
, Im
K P er 0
+ P 0
K P er 0
+ P 0
- - .
Chứng minh
=
(
(
I
)0,0
N
K N er
) 0,0
Im
K P er 0
+ P 0
- , ta có: . Theo định nghĩa của
)
( N Im 0,0
Im
er
Im
+ + = P K P 0 0
+ P 0
- ¯ Ta chứng minh . Thật vậy:
= -
(
x KerP-
= y N
) 0,0
x
Im
+ x P x KerP 0
+ 0
+ P 0
0
- ˛ ˛ thì và chiều “ (cid:204) ” thỏa. Nếu
x KerP-
Imy
P+
x
= + với y
0
0
=
˛ ˛ và . Khi đó,
)
)
(
(
( N Im 0,0
z
( N Im 0, 0
Im
) + = I P z 0
) + I P x 0
) + + I P z P z 0
+ 0
+ P 0
- - ˛ - ˛ ¯ Để chứng minh chiều ngược lại, ta lấy z ( và .
Ta biết:
+
)
Im
( Im 0,0N
0erK P+
K P er 0
+ P 0
- là không gian con đóng trong khi và chỉ khi là không gian con
đóng trong X và
=
b
(
)
(
)
)
(
(
)
(
) ) =
( dim er
/ Im
N
0, 0
dim
X
/
Im
N
0, 0
Im
, Im
+ K P 0
+ P 0
K P er 0
+ P 0
- ¯ đối với các không gian
thương.
Chứng minh Định lý 2.1 và Định lý 2.2
}
}
Giả sử G là Fredholm, khi đó, D là Fredholm theo Định lý 2.18.
P +
P -
t
t
t
0
t
0
a
= = 0
b .
Theo Định lý 2.12, tồn tại các lưỡng phân rời rạc trên Z + và Z - . Theo Bổ đề 2.17, tồn tại các lưỡng phân { và { . ‡ £
(
)0,0
N
Điều này suy ra (i') trong Định lý 2.2 và do đó, (i) trong Định lý 2.1 với
0a
b
= = .
Theo Mệnh đề 2.12, ta có là Fredholm và sử dụng các biểu thức từ Định lý 2.18, ta suy ra
(ii’) trong Định lý 2.2, theo Bổ đề 5.1, (ii) trong Định lý 2.1 với
c
c¯
Việc chứng minh (i) và (ii) trong Định lý 2.1 suy ra toán tử G là Fredholm thông qua 2 Bổ đề sau:
1
2
Bổ đề 2.20 Giả sử A là toán tử tuyến tính bị chặn xác định trên tổng trực tiếp gồm hai
không gian Banach có ma trận biểu diễn như sau:
0
c
c
(
)
)
(
)
= Œ
A
,
( c c L
,
,
L
A L 11
1
A 21
1
2
A 22
2
A 11 A 21
A
22
Ø ø ˛ ˛ ˛ œ , với . (2.48) º ß
Khi đó, A là Fredholm nếu và chỉ nếu các khẳng định sau thỏa:
Im A đóng và
c o
d im Im
A < ¥
11
1 1
< ¥
(i) ;
Im A đóng và
d im K e r A
2 2
2 2
=
c
(ii) ;
{
}
x
:
,
Im
d i m L < ¥
L 1
x KerA A x 21
11
1
A 22
1
=
+
)
< ¥
c
˛ ˛ ˛ (iii) Nếu thì ;
Im
er
co
d im
L
,
L
L 2
A 22
( A K A 21 11
2
2
2
(cid:204) thì . (iv) Nếu
=
+
d im
K erA
d im
K e rA
d im
L
2 2
1
=
+
Nếu (i) – (iv) thỏa thì
c o
d im Im
A
c o
d im Im
A
c o
d im
L
1 1
2
và .
Theo Định lý 2.18, chỉ cần chứng minh D Fredholm nếu (i) và (ii) trong Định lý 2.1 thỏa. Ta sẽ
chứng minh trong không gian pl . Ta có thể giả thiết rằng:
,a b ˛ ¢ trong Định lý 2.1; } )
{ ( U n m ,
,
n m ,
(1)
˛ ¢ , có lưỡng phân {
}n P-
}n P +
n m
n a
n b
=
(2)Họ tiến hó rời rạc và { ; ‡ £ ‡
)
(
)
(
( N b a
,
) I P U b a
,
|
er aK P-
+ b
K P er a
- - (3)Toán tử nút rời rạc là toán tử Fredholm từ đến
er bK P+
=
c
c
.
(
)
(
(
)
¢ ,
X
¢ I
] b X ;
,
pl
1
2
c = 1
pl
)
[
(
)
¢ I
b
+ ¥ 1,
;
X
¯ - ¥ , và Với A = D, xét sự biểu diễn (2.48) với
c = 2
pl
. Khi đó,
=
=
=
(
)
)
(
)
a
D
;
A
:
x
x
,
x
( + U b
2,
+ b
1
x
,...
+
A 11
D D , b
b
22
+ + D D , b
b
n
b
2
+ 1
b
+ 1
b
(
(
)
¢I
| l
] b X ;
,
‡ + n b
1
p
- - - - ¥
=
(
)
(
)
a
A
:
( + U b
1,
, 0,...
21
D D , b b
x n
) b x b
n b
– – - và . Do đó: £
=
)
(
)
(
)
{ (
}
x
:
x
K D er
,
( + U b
1,
, 0,...
Im
n
L 1
n
b
) b x b
+ D b
n b
n b
- ˛ - ˛ , (2.49) £ £
=
)
)
(
)
( + -
{ (
}
x
L
( + U b
1,
) ( , 0,... :
x
x
KerD
n
2
) b x b
n
+ D Im , b
n
b
1
1
‡ + n b
‡ + n b
n b
- ˛ ˛ . (2.50) £
Ta ký hiệu:
1
= -
(
)
)
( ( U b
+ + 1
+ k b ,
) 1 |
' x + 1 b
+ I P + + 1 b
k
x + + 1 b
k
+ K P er + 1 b
[
)
)
b
+ ¥ 1,
;
X
- - (cid:229) . (2.51)
pl
=
Bổ đề 2.21 Toán tử khả nghịch trái trên và
)
(
)
bD+ { (
( ¢ I }'
Im
x
:
x
+ D b
n
+ I P + 1 b
x b
= + 1
+ 1
b
‡ + n b
1
) 1 -+
- . (2.52)
bD+
bD
+
(
)
)
(
a
:
( U b
0,
2
) ,...
, khả nghịch trái đối với , chú ý rằng: Chứng minh Để xây dựng (
+ T b
x n
x b
+ 1
+ = - D I T b
+ b
‡ + n b
1
=
, với .
+ T b
+ T , b s
+ T , b u
¯ Phân tích: , với:
)
)
)
P+
I
[ + ¥ b
1,
;
X
,b sT+
x Imn
n
x n
( l Z p
‡ + n b
1
˛ ˛ trên không gian con gồm các dãy ( thỏa . là thu hẹp của bT+
)
)
)
I
[ + ¥ b
1,
;
X
,b uT+
bT+
x n
( l Z p
1
‡ + n b
‡ +
˛ là thu hẹp của trên không gian con gồm các dãy ( thỏa
,
1
+ x K P n b er n n
˛ .
,b uT+
Khi đó, khả nghịch trái và nghịch đảo trái của nó là:
1
+
(
)
)
(
)
a
:
1,
n
|
( ( U n
) 1
+ 1
+ T , b u
x n
x n
1
‡ + n b
+ er K P n
‡ + n b
1
- - (cid:230) (cid:246) (cid:231) (cid:247) . Ł ł
(
)
( sprad T
1
1
< , do đó:
- Theo giả thiết lưỡng phân,
)1
(
+ b u ,
), sprad T + < và
b s
1
k
k
=
(
)
(
)
(
)
+ D b
+ T b s ,
+ T b u ,
=
k
k
0
= 1
¥ ¥ - - - (cid:229) (cid:229) .
+
)
) 1
,
,...
+
+ P x + 1 b b
+ 1
' x b
x b
+ 1
2
( + D D b
+ b
) x n n b ‡ +
1
- ánh xạ một dãy ( với dãy ( , Kết quả tính toán cho thấy rằng
xem (2.51).
+
)
Im
D
- , ta nhận được (2.52). Vì
)1
(
= Imb
( + + D D b b
c
c
Sử dụng phân tích:
(
)
I
] = b X ;
,
( pl Z
1
2
- ¥ ¯ , với:
[
(
)
)
A D-=
I
I
,
a
] 1 ;
X
] a b X ;
,
b
c = 1
( pl Z
c = 2
( pl Z
- ¥ - và , xét sự biểu diễn (2.48) với .
=
=
A
D
D
11
a
1
(
)
I
] 1 ;
X
,
a
| ( l Z p
Ta biết: - - - ¥ -
(
)
(
)
a
A D=
D
:
( + U a
1,
,...,
,
) 1
22
,a b
a b ,
x n
x x , a a
+ 1
) a x a
( x U b b b
x b
1
a n b
=
- - - - , với . và £ £
[
)
)
I
...
( X b a
,
X
,
,a bD là tam giác dưới với các đồng nhất trên đường
( pl Z
¯ ¯ - Trong sự biểu diễn: ] a b X ; lần, toán tử
}
chéo, do đó nó khả nghịch.
P -
1aD-
n
n a
1
- Sử dụng lưỡng phân { , chứng minh tương tự như Bổ đề 2.29, ta có khả nghịch phải. £ -
,a bD , nên điều này suy ra rằng
bD-
1aD-
bD-
- Vì và khả nghịch là tam giác dưới với đường chéo chặn
phải.
Điều này và Bổ đề 2.29 suy ra: với sự biểu diễn tam giác (2.48) của D thì các khẳng định (i) và (ii)
đều thỏa. Do đó, D là Fredholm.
d i m L < ¥
co
d im
L < ¥
1
2
1L và
2L trong (2.49) – (2.50).
=
=
Phần còn lại, ta chứng minh và , với
K e r D
d im
L
co
d im
D
c o
d im
L
1
2
Khi điều này được chứng minh thì và .
(
( + U b
1,
) ,0,...
Im
D+
b
d im ) b x b
1L ,
= -
- ˛ Với ta thấy: nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy
(
(
)
)
)
), ‡ + U n b x n b
,
1
I
y
[ + ¥ b
1,
;
X
y n
b
n
( l Z p
‡ + n b
1
˛ sao cho .
P+
x Imb
b
}n P +
n b
=
˛ Sử dụng lưỡng phân { , điều này tương đương với . ‡
)
KerD-
,
b
x n
b
) ( x U n m x n m
n b
˛ £ £ Mặt khác, ( , nghĩa là với mọi m n . £
=
=
,
) ( x U b a x b a
), ( x U a n x a n
Đặc biệt, và với mọi n a£ .
x KerP-
a
}n P -
n a
˛ Sử dụng lưỡng phân { . Do đó: , ta suy ra a £
=
(
)
{
}
dim
dim
) x KerP U b a x :
,
Im
dim
( < ¥ , KerN b a
L 1
a
+ = P b
(
)
Im
- ˛ ˛ .
,N b a , sao cho:
2L , gọi Z là phần bù trực tiếp bất kỳ của
+ =
Với
)
)
)
)
( N b a ,
Im
Z
I
[ + ¥ b
1,
;
X
bK P er
x n
( l Z p
‡ + n b
1
) x n n b ‡ +
1
L 2
[
)
I
+ ¥ 1,
b
;
¯ ˛ Ø ø và gọi ( , với ( , là lớp tương đương trong º ß
( pl Z
) X L / 2
không gian thương .
(
)
Im
D
L
+ P x n
n
+ b
2
‡ + n b
1
Theo Bổ đề 2.29, ta có: ˛ (cid:204) .
=
)
(
(
)
x
) I P x+
n
n
n
‡ + n b
1
‡ + n b
1
L 2
L 2
Ø ø Ø ø - Do đó, ( . º ß º ß
Sử dụng (2.49), theo Bổ đề 2.29, ta suy ra:
(
)
(
)
,
x
,...
Im
D
L
+
' x b
+ 1
+ I P + b
2
b
2
+ b
2
=
- ˛ (cid:204) .
= Ø
(
)
)
(
)
x
, 0,...
y b
+ 1
+ I P + 1 b
x b
+ 1
' x b
+ 1
n
y + 1 b
‡ + n b
1
L 2
L 2
- - Ø ø ø Vì vậy, ( , với . º ß º ß
=
+
)
KerP+
y KerP+
( U b
1,
b
|
+
y + 1 b
er
y + 1 b
+ 1 b
b
b
K P y b b
˛ ˛ Chú ý rằng , và tìm thỏa .
+ =
Sử dụng sự biểu diễn:
)
)
=
+
( N b a ,
Im
Z
y
( N b a ,
Im
y
z
bK P er
by
¯ ˛ , tìm sự biểu diễn duy nhất: , với và z Z˛ .
=
)
)
y
( N b a ,
Im
,
- ˛ ˛ nên tồn tại sao cho . Vì
=
)
( y U b a xa ) 1
x KerP a a ( ( U a n
,
|
xa
x n
}n P -
er K P n
n a
=
- - Sử dụng lưỡng phân { , đặt với n a£ . £
n
=
˛ .
[ )
,
,
b
], a b và
) ( x U n m x n m
x n
( ), nx U n a xa ( ( ¥I l Z p
n b
˛ - £ £ với ] b X ; Định nghĩa ) Khi đó, ( với mọi m n . £
y
x=
x n
b
b
˛ £
=
(
)
) Do đó, ( n b Theo (2.50),
KerD- ( + U b
, 0,...
( ( + U b
) b z
1,
, 0,...
L 2
L 2
Ø ø Ø ø - . ) . và ) b y 1, º ß º ß
Ta có một ánh xạ được định nghĩa tốt:
)
[
)
)
(
)
er
/ Im
( N b a
,
I
b
+ ¥ 1,
/
j
:
x
x
a từ z
+ Z K P b
( pl Z
L 2
n
= º
‡ + n b
1
L
2
@ Ø ø đến thỏa: ß
=
+
(
)
)
z=x
x
( ( U b
) b z
1,
, 0,...
n
‡ + n b
1
L
L 2
2
Ø ø Ø ø , với j . º ß º ß
+
)
( ( U b
) b z
, 0,...
1,
x
L
2
Ø ø Điều này suy ra rằng j là phép chiếu. j cũng là toàn ánh vì nếu z Z˛ z=x = thỏa j thì . º ß
Chương 3
TÍNH CHẤT FREDHOLM CỦA NỬA NHÓM TIẾN HÓA
,
,
tE G Dt . Cụ thể là hai định lý 3.1 và 3.2 sau:
Trong chương này, tác giả trình bày tính chất Fredholm, tính chất phổ và tính đóng của miền giá trị
t
)
}
của các toán tử
( e ¡ , ta có:
E
t
0
t
t
s=
s
Định lý 3.1 Cho { là nửa nhóm tiến hóa (0.2) trên ‡
(
(
E
) { } \ 0
E
) { } \ 0 ,
t
0
fred
(
)
(
)
X¡ ,
X¢ ,
‡ .
1E và G trên
pL
pl
Định lý 3.2 Với các toán tử , các khẳng định sau tương và Dt trên
1
g
đương:
(
) >
E
I
0;
g
(
>G
) 0;
- i)
g
>
(
)
ii)
0.
Dt
t
)
inf [ 0,1
)Tg (
iii) ˛
g
=
(
)
với là biên dưới Kato của toán tử đóng T định bởi:
T
T
( ) T x (
)
dist
x , Ker
T
inf x dom Tx 0
t
)
}
. ˛ „
( e ¡ trong (0.2). Toán tử sinh G của nửa
E
t
0
Đầu tiên, ta xét nửa nhóm tiến hóa { xác định trên ‡
e
e
nhóm tiến hóa này được mô tả như sau:
(
)
(
(
)
) ¡ I
,u f
u
¡ ,
X
¡ , khi đó u dom
G và
f=G u
C 0
t‡
˛ ¡ ,
˛ ˛ ˛ Mệnh đề 3.3 Gọi nếu và chỉ nếu và
t
=
t
với mọi t
)
( ) t
( ) u t
( U t
,
u
) ( U t s f ,
( ) s ds
t
e
(
)
}
- . (3.1) (cid:242)
+¡ định bởi:
t E+
0
t
0
Tiếp theo, ta xét nửa nhóm tiến hóa { trên ‡
(
)
( tt ,
U
) t t u
,
t t
,
(
)( ) t
= (cid:237)
t E u +
t t
0,
0
t
,
(cid:236) - - ‡ (cid:239) (3.2) £ £ (cid:239) (cid:238)
được mô tả như sau. và gọi 0G+
e
(
u dom +
,u f
+
¡ , khi đó
G và
0
0
+ =G 0u f
e
˛ ˛ là toán tử sinh của nó. Tương tự như Mệnh đề 3.3, 0G+ ) Mệnh đề 3.4 Gọi nếu và chỉ nếu
t‡
(
(
)
¡
u
,
X
) ¡ I +
+
˛ ¡ ,
0
C 00
t
= -
)
˛ và với mọi t
( ) u t
( U t s
,
f
( ) s ds
0
. (3.3) (cid:242)
e
(
)
Chú ý: (3.3) suy ra (3.1).
+G xác định trên
+¡ như sau.
e
Ta xét toán tử
(
)
,u f
+
dom +
¡ , khi đó u
G và
G
+ = u
f
e
˛ ˛ nếu và chỉ nếu Định nghĩa 3.5 Gọi
(
(
)
t
¡
u
,
X
) ¡ I +
+
¡ .
+
C 0
+
+
e
=
˛ ‡ ˛ và (3.8) thỏa với mọi t
(
dom
G
{ u
dom
G
( ) = 0
:
u
} 0
+G được xác định tốt và đóng trên
) +¡ ,
+=G G 0u u
+ 0
˛ Toán tử và
e
(
(
)
u dom +
X+¡ ,
G . Hơn nữa,
+G trên
) +¡ =
C 0
0
˛ được liên hệ với toán tử sinh của nửa nhóm với
tiến hóa sau:
)
U
t t
,
t
,
(
)( ) t
= (cid:237)
% t E u +
(cid:236) - - ‡ (cid:239)
t
( tt , ( t
)
U
u
,0
) ( t t u ( ) 0 ,
0
t
.
£ £ (cid:239) (cid:238)
+
=
e
Cuối cùng, ta chú ý rằng:
(
)
)
( )
¡
Ker
G
{ u
( ) ( = t , u t U t
:
t u
t t
} 0
+
K
er
+ =G
{ } 0
˛ " ‡ ‡ (3.4) ,
0
(3.5) ,
X
0X
=
˝ và xác định không gian con
{
= x u
( ) 0 :
X
u Ker
0
+
t
+ t
˛ (3.6) như sau } + G .
)
)
[
{
,
s
,
t
t s ,
) 0,1
} ( ) S t
( W , t
( e ¡ như sau:
˛ ¡ t
=
‡ ˛ ( ) = t s U t Đặt và định nghĩa nhóm dời trên
(
)( ) ( ) S t u s
( u s
),
t
˛ ¡ . , s t
t
)
{
} )
},U t s { ( )
( e ¡ từ các họ tiến hóa
- (3.7)
( W ,t s t
tE t và (
UE là các nửa nhóm tiến hóa trên ) t- =
) t- =
( ) t
(
( ) t
S
G
S
G . Do đó, Định lý 2.18 thỏa nếu toán tử D được thay bởi
và thì Nếu W
t E U
W
U
St
t E S W t
t ˛
(
)0,1
và
} )
{ ( U t s
,
. một toán tử Dt bất kỳ,
+¡ nếu và chỉ nếu toán tử
t
t
0
t s
0
e
(
)
+G là toàn ánh trên
+¡ và không gian con
0X là đầy trong X.
Định lý 3.6 Họ tiến hóa trên có lưỡng phân lũy thừa { } P ‡ ‡ ‡
Sau đây, ta sẽ chứng minh Định lý 3.1
1E I
- Chỉ cần chứng minh toán tử
)
K
er
G
dim
( = ¥ 1 Ker E
I
)Re (
„ (cid:222) - khả nghịch. { } 0 Trước tiên ta chứng minh .
M
M=
k
p t 2 ik
=
Thật vây, với mỗi k Z˛ , ta định nghĩa một toán tử bị chặn trên theo qui tắc:
(
)( ) t
Mu
e
( ) t t u
,
R
p
t
2
i kt
t
˛ .
(
) =
=
M
G
p 2
ik
G . M
M E
e
E M t
0
- " ‡ Khi đó, và
Do đó,
1
(
) =
Ker
G
p 2
ik M Ker
G .
- - (3.8)
-= 1 , u M u k Z k k
˛ „ ˛ .
G và đặt )
ikp 2
}
-G ku Ker Khi đó, Họ các hàm số {
˛ Cố định 0 u Ker ( là một hàm riêng khác không của G ứng với trị riêng 2 ikp .
:ku k Z˛
độc lập tuyến tính vì các hàm riêng khác không ứng với các trị riêng
1
khác nhau của một toán tử tuyến tính là độc lập tuyến tính. Vì
(
)
}
(
) =
E
I
{ lin K
er
:
p 2
G
1
- - ˛ (3.9)
)
k Z ) = ¥
er K ( Ker E
I
I
ku
˛ - - nên ta có: và do đó,
I
„G
0
1
= ¥ 1
- „ . ) { } 0 . Tiếp theo, theo (3.8) và (3.9), ta thấy, nếu
(
ik ( 1 dim Ker E ( 1 er K E ) { } 0
I
K
er
E
I
dim
e
t
t
)
}
- „ (cid:222) - thì er K ) ( Ker E . Do đó, theo chứng minh trên,
E
E
{ Cuối cùng, ta đặt (
}
t
0
t
0
e
p
. ‡ ‡
1
1
2
ik
e
(
)
(
)
(
)
( e
)
)
(
)
)
(
*M
R
R
M
*
-= E M e
*
*
1 E
*
- Vì ( nên và là nửa nhóm đối ngẫu của { (
e
)1
(
) (cid:204)e )( ik M
= *
G
M
*
G
p 2
e .
- -
1
= ¥ 1
Áp dụng Chú ý 1.2.4 với A = G và lập luận như trên ta suy ra:
(
)
E
K
er
) { } 0
I
( Ker E
*
I
dim
u= -
'
Du
- „ (cid:222) - . □
( ) e ¡
(
)
=
+
dom
D M+
= D và
trên Gọi A là toán tử tuyến tính đóng trên X có miền xác định trù mật, ta xét toán tử
I
D
d o m
D
d o m
M
D M với
A
A
A
V
+
V
với miền xác định cực đại. Gọi , ta xét tổng
D M sao cho D là nhân của
A
A
A
xét một toán tử là mở rộng đóng của .
)
V
Bổ đề 3.7
( e ¡ nếu và chỉ nếu
V khả nghịch trên
) ( e ¡ .
A
A
Toán tử là Fredholm trên
V
Chứng minh
A
Trước hết ta chứng minh miền xác định và miền giá trị của là bất biến.
V
} 0
u e
0
u
d o m V
nu n ‡ :
nu
A
A
V
V
(cid:204) - fi ˛ Thật vậy, giả sử , vì D là một nhân của nên tồn tại { D thỏa
0
u A n
e u A
- fi ¥ và . khi n fi
R˛
V
V
, ta có: Vì nhân D bất biến nên với mọi t
( ) S t u
( ) S t u e
0
( ) S t u
( ) e S t u
0
n
A
n
A
V
V=
- fi - fi ¥ và . khi n fi
V
V dom
( ) S t
( ) S t u
( ) S t u n
A
u A
A
A
V
˛ Vì là toán tử đóng nên và .
A
là bất biến. Vậy, miền xác định và miền giá trị của
V=
Hơn nữa, ta có:
)
( )( S t
V Im
t R .
A
Im , A
V
>
˛ (3.10)
K er V
0
A
A
Tiếp theo, ta giả sử rằng . là toán tử Fredholm và d im
u
K e rV
A
˛ , ta có: Với u tùy ý,
( ) S t u K
V er
,
t R .
A
{
˛ ˛
} ( ) S t
t R
c
=
(
)
Do đó, nhóm các toán tử cho bởi (3.7) được xác định tốt trên không gian Banach ˛
V er , .AK
e
=
và đẳng cự.
)
( ) S t
,tB e
t R
( B L X
K V e r
A
s
˛ ˛ Vì hữu hạn chiều nên với .
(
)B iR
{
} ( ) S t
t R
it
x ˛
V
˛ đẳng cự nên và chứa các giá trị riêng của B . Vì ˛
e ux=
R
0
u
K er
( ) S t u 0
0
0
A
„ ˛ Do đó, tồn tại và thỏa .
R˛
, ta có:
,
s R
( u s 0
˛ . Vì vậy, với mọi t ) ( ) x + = it e u s t 0
+
=
s
,
s R
u 0
( ) u s 0
p 2 x
(cid:230) (cid:246) ˛ . Đặc biệt, (cid:231) (cid:247) Ł ł
)
( Re
0u { } 0
ˇ Nhưng khi đó , điều này mâu thuẩn.
AK V = er
e
(
)
R
=
. Do đó,
Y > . 0
Y
Cuối cùng, xét không gian thương và giả sử dim
V Im A {
} ( ) ˆ S t
( )S t
f
ˆ f
- bất biến nên nhóm thương
t R
˛ là xác định tốt trên Y và nếu (lớp tương Vì Im A V ˛
=
+
e
=
+
=
( ) ˆ S t
ˆ f
( ) S t
g
f
e g
f
ˆ f
đương trong Y, thì
inf V Im
g
inf V Im
g
Y
Y
A
A
{
} ( ) ˆ S t
, ˛ ˛
t R
)Re (
đẳng cự trên không gian hữu hạn chiều Y. Kết quả là ˛
V
e
Vì dimY < ¥ nên tồn tại không gian con hữu hạn chiều N của đẳng cấu với Y thỏa:
(
)
R
= Im A N
¯ .
{
} ( ) ˆ S t
f
N
t R
„ ˛ Sử dụng ảnh đẳng cấu của sao cho trên N, ta suy ra rằng tồn tại 0 ˛
+
=
x
f
s
( ) s
f
R
,
p 2 x
V
Y =
{ }0
(cid:230) (cid:246) ˛ . Điều này cũng mâu thuẩn. (cid:231) (cid:247) Ł ł
A
và khả nghịch. □ Do đó,
[
) 0,1
Dt t ˛ ,
đã được định nghĩa trong (0.3),
+ - t
( ( U n n
,
) 1
z
.
KerDt
n
)1
KerD 0
¢
¢
n
˛ ˛ thì Bổ đề 3.8 Với toán tử (i) Nếu ( - ˛ ˛
+
( t
( U
) n n z
,
.
KerDt
KerD 0
¢
) z n n ) z n n
¢
) n n
˛ ˛ (ii) Nếu ( thì ˛ ˛
t ˛
[
)0,1
Chứng minh
=
=
+
t
+ t
(i) Với bất kỳ
)
)
}
x
( U n
,
m
:
x
x
n m Z
K D er t
n
n
m
n Z
+
t
+ - t
" ‡ ˛ , ta có: { ( (3.11) ˛
Ker
,
n
) 1
( + t U n
( ) + - t , n U n n
,
) 1
Dt
( = z U n n
z n
= 1
z n
1
=
+ - t
,
) 1
˛ - - thì . ˛ ) Nếu ( z n n Z
( x U n n n
1
- Nếu thì
x
,
) 1
z
= 1
=
) 1 n + - t
( U n + - t
)
,
,
+ - n 1, ) 1
2
z
) 1 ( U n n
t ( + - t U n
2 n + - t 1, n
z
- - - - -
n
n
2
=
+ - t
- -
z n ( U n n , ( U n n ( U n n
,
) 2 ) 1
z
,
.
n
x n Z n
( U n n = 2 = 1
=
˛ -
) 1
,
z - n
1
D 0Ker
+
+
+
˛ - (ii) Nếu ( và thì ˛
( t
( t
(
)
) n n z
,
,
z
) z n n Z ( D U t
n
1
n
n Z
n Z
=
+
+
- - - ˛ ˛
( z U n n n ( ) U ( t
) t n n z U n ( t
n n , )
)
= ( U
z
,
) 1 ( n n U n n ,
,
) 1
0
) n n z U n
n
1
= n Z
- - - ˛ □
t
t
a
at
at
[
,1
0,
[ ] : 0,1
] 0,1
( ) 0
( ) 1
= với
= với
2 3
1 3
Ø ø Ø ø ˛ ˛ fi Lấy một hàm trơn thỏa và . Với dãy Œ œ Œ œ º ß º ß
(
[
=x
t
+ , n n
] 1 ,
n
¢ thì
) x n n
˛ ˛ ˛
=
a
a
(
(
)
)
¢ xác định hàm Bx thỏa nếu ( ) ( 1
( U t n
)( ) t
) n x
B
x
t
,
t
( ) n U n n
,
1
x
+ n
n
1
=
t
t
Ø ø - - - - . (3.12) - º ß
)
{ ( U t
}, ) t
{
C
sup
( U t
,
: 0
t
} < ¥ 1
‡ bị chặn lũy thừa nên
t
t
£ - £ . Vì họ tiến hóa
[
t
+ , n n
] 1 ,
n
¢ và x X˛
+
=
+
˛ ˛ , ta có: Với
(
)
(
(
)
( U n
1,
) n x
( U n
1,
) ) t U t n x C U t n x U t n x C x ,
,
,
,
£ £ . (3.13)
(
(
)
) eޢ
:B e
¡ là toán tử tuyến tính bị chặn;
Bổ đề 3.9
( i)
K G e r
B K D
e r
:
0
1
fi là một đẳng cấu;
E
) = - I B
BD 0
- (ii) (iii) ( .
(
)( ) x
= B n U n n
,
) 1
n Z
x ,n 1
- ˛ - nên Bx là hàm liên tục. Chứng minh Vì (
(i) được suy ra từ (3.13)
(iii) được suy ra từ tính toán trực tiếp
(
)
)
I
) u L R X C R X
,
,
( ( ) = u t U t
t ,
( ) t u
t t
R
u Ker
G nếu và chỉ nếu
p
0
=
˛ " ‡ ˛ ˛ (ii) Ta nhớ lại Mệnh đề 3.3 rằng: ( và
,
,
n Z
) 1
˛x
e rK D
( x U n n n
x n
1
0
=
- ˛ - và .
)( )
)
[
( B t U t n x t ,
x
,
+ , n n
] 1 ,
n Z
˛x
e rK D
n
0
˛ ˛ nếu và chỉ nếu thì ( Nếu
B
K˛x
er
G .
B =x
0
0=x
Và do đó,
˛x
e rK D
0
Nếu và thì .
B K D
e r
:
K
e r
G là một phép đơn ánh.
0
)
(
)
=x
( u n
fi Do đó,
u K˛
er
G và đặt
n Z
=
=
)( )
)
( ) ( B t U t n u n
x
,
( ) u t
Để chứng tỏ B là toàn ánh, ta lấy . ˛
)
˛x
Khi đó, ( .
( pl Z X ,
Ta kiểm tra .
+ 1
n
p
p
p
=
=
+
(
)
(
)
Điều này suy ra từ (3.13):
( ) u n
x
( U n
1,
) ( ) t U t n u n ,
dt
l
p
n Z l
p
n Z n
+ 1
+ 1
n
n
p
p
p
p
p
p
(cid:229) (cid:242) ˛ ˛
(
C
) ( ) U t n u n ,
= dt C
( ) u t
= dt C u
L
p
n Z
n Z
n
n
£ (cid:229) (cid:229) (cid:242) (cid:242) ˛ ˛
g
g=
Chứng minh Định lý 3.2 (i) (cid:222) (ii):
(
)
1E I
- , ta có: Dùng Bổ đề 3.9 (iii) và đặt
1
1
1
=
(
x
B
x
E
B
) I B
x
D 0
BD 0
l
L
p
p
L
p
- - ‡ -
g
1
1
1
g
)
)
)
( u Ker E
,
.
I
x B
u
( ( B d t B K E
x , er
is
I
L
p
2
B
=
(3.14) - ‡ - ‡ - ˛ -
(
)
u
K
er
G
ikp 2
u u , k
k
k K
˛ - . Theo (3.9), ta có thể giả sử rằng (cid:229) £
(
)
p
k
ikt
2
Sử dụng (3.8) và Bổ đề 3.9 (ii), ta tìm
( ) ˛z k K D 0er (
B
z
-= e
,
( ) t
t R k
,
K
.
ku
(
)
)
)
k
k
k
=
˛ £ thỏa )( ) t
(
)
z
z
K D er
( + U n
) ( n z
1,
k +
( n
0
( = z n
) 1
n
n Z
(
)
k
=
˛ (cid:222) Chú ý rằng: ˛
) ( )
(
[
(
B
z
)( ) t
U t n z ,
,
t
+ n n ,
] 1
k n
˛ và , n Z˛ .
p
Do đó, với C từ (3.13) và dùng (2.35), ta ước lượng (3.14) như sau:
g
p
p
u
x
B x
p C D 0
l
L
p
p
2
C B
(cid:230) (cid:246) ‡ - (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) Ł ł
p
p
+ 1
n
g
)
p
2
ikt
=
a
a
)
(
(
)
(
( U t n
,
) t n x
) t n U n n
,
) 1
x
e
z
dt
1
( + - 1 n
n
( k n
2
C B
n Z
k K
n
p
+ 1
n
Ø ø (cid:230) (cid:246) - - - - - (cid:231) (cid:247) Œ œ (cid:229) (cid:229) - (cid:242) (cid:231) (cid:247) ˛ £ Œ œ Ł ł º ß
g
)
p
kit
2
a
a
)
(
(
)
(
( + U n
1,
n
) t n x
( 1
) t n U n n
,
) 1
e
z
dt
+ - n
x n
( k n
1
C B
2
n Z
k K
n
Ø ø (cid:230) (cid:246) - ‡ - - - - (cid:231) (cid:247) Œ œ (cid:229) (cid:229) - (cid:242) (cid:231) (cid:247) ˛ £ Œ œ Ł ł º ß
a
+
=
t
,1
( ) 1 t
( U n
1,
= với
) ( ) k n z n
( ) k z + n 1
2 3
1/
p
1
Ø ø ˛ Vì và , ta suy ra: Œ œ º ß
g
p
2
ikt
x
( + U n
1,
e
z
dt
C D 0
) n x n
) ( k + n 1
l
p
2
B
n Z
k K
2/3
1/
p
1
(cid:230) (cid:246) - ‡ - (cid:231) (cid:247) (cid:229) (cid:229) (cid:242) (cid:231) (cid:247) ˛ £ Ł ł
g
p
2
ikt
=
(
)
( + U n
1,
e
z
dt
x n
+ 1
x n
+ 1
) n x n
) ( k + n 1
B
2
n Z
k K
2/3
p
1/
p
(cid:230) (cid:246) - - - - (cid:231) (cid:247) (cid:229) (cid:229) (cid:242) (cid:231) (cid:247) ˛ £ Ł ł
1
g
p
(
)
k
ikt
2
=
x
x
z
e
dt
.
D 0
B
2
k K
2/3
l
p
(cid:230) (cid:246) - (cid:231) (cid:247) - - (cid:229) (cid:242) (cid:231) (cid:247) £ Ł ł
(
)
k
p 2
ikt
z
e
t
,1
D 0Ker
2 3
k
1/
p
1
Ø ø - ˛ ˛ (cid:229) với mỗi nên: Vì Œ œ º ß
g
p
(
)
x
dist
x
D K D dt
, er
x
C D 0
0
0
l
p
2
2/3
=
(cid:230) (cid:246) ‡ - (cid:231) (cid:247) (cid:242) Ł ł
x
x y
D 0
p
l
p
inf er y K D 0
B
- - ˛
(
)
x
x
d t is
K D , er 0
D 0
1/
p
p
l
p
B
B g ( ) 1/ 2 3 g ( ) 1/ 2 3
g ( ) 2 3
B
)
( Dg
> 0.
‡ -
0
Do đó,
)
(
ii
) iii :
g
(
) 0 >G
(cid:222) Theo Định lý 2.18, khẳng định (ii) trong Định lý 3.2 được chứng minh xong. (
( ) > . 0Dg
0
t ˛
[
)0,1
Theo Định lý 2.18, suy ra
1/
p
Với mỗi , từ (3.13), ta có:
p
=
t
x
C
+ - t n
,
) 1
C D t
1
( + x U n n
x n
l
p
n Z
1/
p
(cid:230) (cid:246) - (cid:229) - (cid:231) (cid:247) ˛ Ł ł
p
t
t
)
)
( + U n
1,
+ n
+ 1, n
( + t U n
+ - t , n
) 1
1
( + x U n n
x n
n Z
=
+ - t
(
)
( D U n n
,
) 1
(cid:230) (cid:246) ‡ - (cid:229) - (cid:231) (cid:247) ˛ Ł ł
0
x n
1
n Z l
p
- ˛
+ - t
(
(
)
)
is
,
) 1
0
x n
1
K D , er 0
n Z
g
+ - t
‡ - ˛
)
(
g (
) )
( ( D d t U n n ( ) ( U n n
/ 2
,
) 1
z
D 0
x n
1
n Z
l
p
=
‡ - - ˛
(
z
K D 0er
) z n n Z
+
t
+ - t
˛ với . ˛
)
,
n
) n z
,
x n
1
n
+
=
t
+ - t
- -
,
,
( + t U n ) 1
z
x n
n
1
+ - t
Ø ø - - º ß
1 ( ) n U n n )
,
1
z
.
x n
n
1
+
t
£ - Sử dụng (3.13) một lần nữa, ta được: ( U n ( U n ( C U n n -
( ( U n
) n z
,
,
˛ z
K D er t
K D er 0
) n n Z
1/
p
p
˛ nên theo Bổ đề 3.8 (ii), ta có: Vì ˛
g
)
(
t
x
( + U n
+ - t n
,
) 1
( + t U n
) n z
,
C D t
x n
1
n
l
p
g
D 0 C 2 )
(
=
(cid:230) (cid:246) ‡ - (cid:231) (cid:247) (cid:229) - (cid:231) (cid:247) Ł ł
t
x
x
,
( ( + U n
) n z
D t
) n n Z l
p
g
g
)
)
- - ˛
(
)
x
.
is d t
x , er K D t
D t
l
p
D 0 2 C ( D 0 C 2
( D 0 C 2
‡ -
)
( ) i
iii
(cid:222) Khẳng định (iii) trong Định lý 3.2 được chứng minh. ( :
g
=
>
(
)
:u R
X
0
Dt
t
g inf [ ) 0 ,1
(
,
fi Đặt , ta xét hàm tựa compact liên tục và chú ý rằng tập ˛
) pL R X . Ta có:
+ 1
n
p
p
1
=
các hàm số này trù mật trong
(
(
E
) I u
( ) u t U t t ,
) 1
( u t
) 1
dt
L
p
n Z n
p
=
+
( t
)
)
)
.
n
t d
( ( D u t
- - - - (cid:229) (cid:242) ˛ (3.15)
n Z
l
p
t ˛
[
˛y
)0,1
(cid:242) ˛
pl
=
Từ Bổ đề 3.8 (i) và (3.13), với bất kỳ và , ta có:
(
)
d t is
y
K , erD t
l
p
x
inf er K D t
- ˛
1
+ - t
t
)
)
y x ( ( U n n
,
C
) 1
y
) 1
1
1
n
x n
n Z
n Z
x
l
p
- ‡ - - - (3.16) ˛ ˛ ˛
1
+ - t
(
)
( ( + - U n n , )
inf er K D t ( ( C d t U n n
is
,
) 1
y
.
1
K D , er 0
n
n Z
=
+
( t
)
(
)
u
- ‡ - ˛
n Z
+
+
g
, ta có: ˛
( t
)
(
)
)
)
)
n
n
( ( D u t
K D , er t
n Z
n Z
l
p
1
g
+ - t
(
( + -
)
)
n ( ( t d t u is ( ( C d t U n n
is
,
) 1
t u
n
) 1
.
K D , er 0
n Z
‡ Sử dụng (3.16) với y ) ˛ ˛ (3.17) - ‡ ˛
t ˛
=
(
[
( )t
)0,1
x
,
=x
x
K D er 0
) x n n Z
˛ Tiếp theo, ta chứng tỏ rằng với mỗi , ta có thể chọn sao cho ˛
x
[ ) : 0,1
pl
+ - t
(
( t
)
)
,
is
) 1
u
+ - n
) 1
K D , er 0
fi hàm liên tục và thỏa bất đẳng thức sau:
n Z
+ - t
( + - t
)
,
) 1
) 1
( ( d t U n n ( ( U n n
u
n
x
n Z
l
.
p
1 2
˛ (3.18) ‡ - ˛
[ ] : 0,1
u
pl
=
+ - t
( ) t
(
)
u
( ( U n n
,
) 1
t u
+ - n
) 1
fi định bởi: Để chứng minh điều này, ta xét hàm liên tục
n Z
. ˛
[
( ) t t ,
u
] 0,1
e rK D .
0
=
e
>
( ) t u
d t is
0
˛ là các dãy tựa hữu hạn và do đó không thuộc
h > thỏa:
0
t
inf [ ] 0,1
e
Đặt: và lấy Theo cách chọn u , các giá trị )0 ( K D , er ˛
(
( ) t
u
t
)'
u
< pl
10
h
-
- < t
=
t 0,...,
(cid:222)
' . ]0,1 cỡ h .
0
t = là một phân hoạch của đoạn [ } 1n
<
Gọi { t
( t
)
( t
)
(
˛y
K e r D
u
y
d t is
u
,
i
0
i
i
)0 K D er
i
11 10
- Lấy thỏa .
=
Định nghĩa một hàm hằng từng khúc
0x định bởi: ( ) t
)
[ t t
t ,
y
,
i
x 0
i
+ 1
i
t
˛ .
)
[ t t
,
= , i
0,...,
n
1
i
+ 1
i
t
˛ - Khi đó, với , ta có:
( ) t
( ) t
( )
)
(
)
(
)
u
x
t u
u
u
t d t is
0
( + i
i
K D , er 0
e
e
- £ -
+
( ) t
11 10 (
)
u
d t is
K D , er 0
(cid:230) (cid:246) £ (3.19) (cid:231) (cid:247) Ł ł
)
u
.
d t is
K D , er 0
d ˛
(
)0,1
11 + 10 10 10 3 ( ( ) t 2 )1, 2 , với
£
]0,1 , định bởi:
0x trên [
+ t d
=
( ) t
, ta xét hàm x liên tục trên [ Mở rộng u và
x
( ) s ds
x
0
1 d
t
t ˛
[
)0,1
. (cid:242)
+ t d
Sử dụng (3.19), với , ta có:
( ) t
( )
u
( ) t x
t u
x
( ) s ds
0
1 d
t
t d +
+
t d 1
- £ - (cid:242)
( ) t
( ) s
( ) + s ds
( ) s ds
u
x
u
u
0
1 d
d
t
t
£ - - (cid:242) (cid:242)
+ t d
( ) t
(
)
( ) + s K D ds
u
u
( ) s
u
d t is
, er
0
1 d
]
s
sup [ + tt d ,
3 2
t
+ t d
e
<
+
( ) t
(
)
(
)
£ - (cid:242) ˛
u
u
d t is
( ) s K D ds er
,
d t is
,
K D er
0
0
1 d
3 2
3 2
4
t
e
Chọn d sao cho: (cid:242)
<
( ) t
u
( ) s
u
]
sup [ + tt d ,
s
4
- , ta được: và ˛
( ) t
( )
[
(
)
u
( ) t x
2
dist
t u
,
) 0,1
t K D , er 0
g
+
+ - t
- £ ˛ , ta có:
( t
)
)
)
n
( ( U n n
,
) 1
( + - t u n
) 1
( C D u t
x n
n Z
n Z
l
l
p
p
2
g
‡ - ˛ ˛
+ - t
( + t
)
(
)
,
) 1
) 1
( U
, n n U n n
( + - t u n
x n
n Z l
p
2 C g
+
+ - t
=
Ø ø ‡ - º ß ˛
( t
(
(
) 1
) 1
( U
, n n
t u
+ - n
+ t U
) , n n x
) n n Z l
p
g
+
w t
+
=
- ˛
)
(
)
)( t
(
)
2 C (
1 E u
n
n
.
n Z l
2
C
p
w ˛
- (3.20) ˛
)
( 1 Ker E
I
- nên khẳng định (i) trong Định lý 3.2 được chứng minh. □ Vì
KẾT LUẬN
Qua việc hoàn thành luận văn, tác giả đã bắt đầu làm quen với việc nghiên cứu một cách có
hệ thống, có phương pháp và định hướng rõ ràng. Luận văn đã xây dựng đầy đủ các kiến thức chuẩn
bị, hệ thống các bổ đề, định lý để đi đến chứng minh chặc chẽ các định lý lưỡng phân, tính chất
R
{ ( U t
}, ) t
t , , t
t
t
=
( ) u t '
( ) ( ) A t u t .
˛ liên kết với phương trình tuyến tính chỉnh, Fredholm của nửa nhóm tiến hóa ‡
trên không gian Banach X. Nội dung chính của luận văn là chương 2 không tự sinh
và chương 3. Định lý lưỡng phân được chứng minh trong Chương 2. Tính chất Fredholm được trình
bày trong Chương 3. Các kết quả trong luận văn này hoàn toàn mới đối với tác giả, tuy nhiên với sự
hiểu biết hạn chế, tác giả rất mong được học hỏi từ sự đóng góp và chỉ bảo của Quý Thầy Cô trong
và ngoài hội đồng.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Basu, On exponential dichotomy of semigroups, Acta Math. Univ. Comenianae Vol. LXXV,
1(2006), pp. 55 – 61.
[2] K. J. Engel and R. Nagel, One – parameter semigroups for linear evolution equations, Springer
– Verlag, Heidelberg, Berlin, New – York, 1999.
[3]. C. Chicone and Y.Lastushkin, Evolution semigroups in dynamical systems and differential
equations, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 70, American Mathematical Society,
Providence, RI, 1999.
[4] Yuri Latushkin and Yuri Tomilov, Fredholm Differential Operators with Unbounded
Coefficients, Preprint submitted to Elsevier Science, 2003.
[5] Yuri Latushkin and Yuri Tomilov, Fredholm properties of evolution semigroups, Illinois Journal
of Math, 2004.
