ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————–
NGUYỄN VIỆT HƯNG
TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH VỚI QUÁ KHỨ KHÔNG ÔTÔNÔM
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————–
NGUYỄN VIỆT HƯNG
TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH VỚI QUÁ KHỨ KHÔNG ÔTÔNÔM
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS. TSKH. NGUYỄN THIỆU HUY
THÁI NGUYÊN - 2017
iii
Mục lục
Bảng ký hiệu iv
Lời mở đầu 1
1 Lý thuyết nửa nhóm toán tử
1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh và các tính chất cận tăng . . . 1.2 Ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm . . . . . . . 4 4 13
2 Sự tồn tại và ổn định của nghiệm phương trình trung
16 tính với quá khứ không ôtônôm 16 2.1 Phương trình trung tính với quá khứ không ôtônôm . . . 2.2 Các nửa nhóm tiến hóa với toán tử sai phân và toán tử trễ 18
3 Nhị phân mũ
3.1 Phổ và tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm . . . . . 3.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 24 31
Kết luận 33
Tài liệu tham khảo 34
iv
Bảng ký hiệu
N : tập các số tự nhiên.
R : tập các số thực.
R+ L1,loc(R)
: tập các số thực không âm. := {u : R → R|u ∈ L1(ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ R}, với ω ⊂⊂ R nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong R.
X : không gian Banach.
C := C([−r, 0], X) không gian các hàm liên tục trên [−r, 0],
(cid:107)u(t)(cid:107). r>0, nhận giá trị trong X với chuẩn (cid:107)u(cid:107)C = sup t∈[−r,0]
f (t) = 0} không gian C0(R−, X) := {f : R− → X : f liên tục và lim t→−∞
hàm với chuẩn sup.
1
Lời mở đầu
Vào đầu thế kỉ 20 phương trình trung tính được xem như một trường hợp đặc biệt của phương trình vi phân sai phân.
Ví dụ :
u(cid:48)(cid:48)(t) − u(cid:48)(t − 1) + u(t) = 0, √ 2) = 0, u(cid:48)(t) − u(t − 1) − u(t −
u(cid:48)(t) − 2u(t) + u(cid:48)(t − 1) − 2u(t − 1) = 0,
(xem [3, 4, 5, 23, 36]), hoặc dưới dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n và sai phân cấp m :
F (cid:2)t, u(t), u(t − r1), ..., u(t − rm), u(cid:48)(t), u(cid:48)(t − r1), ..., u(cid:48)(t − rm), ... ..., u(n)(t), u(n)(t − r1), ..., u(n)(t − rm)(cid:3) = 0
với F là hàm của (m + 1)(n + 1) biến.
Để hiểu được nguồn gốc thuật ngữ "trễ", "trung tính" ta xét phương
trình vi phân cấp 1 và sai phân cấp 1
a0u(cid:48)(t) + a1u(cid:48)(t − ω) + b0u(t) + b1u(t − ω) = f (t) với ω > 0 cố định . (1) Nếu a0 = a1 = 0, thì phương trình này gọi là phương trình sai phân. Nó không chứa bất kỳ vi phân nào.
Nếu a0 (cid:54)= 0, a1 = 0, thì phương trình trên gọi là phương trình vi phân sai phân "lùi" hay đơn giản là phương trình vi phân có trễ, vì nó mô tả sự phụ thuộc vào hệ trang thái của nó trong quá khứ.
Nếu a0 = 0, a1 (cid:54)= 0, thì phương trình trên gọi là phương trình vi phân sai phân "tiến" hay phương trình vi phân "tiến", vì nó mô tả sự phụ thuộc vào hệ trạng thái của nó trong tương lai.
2
Cuối cùng nếu a0 (cid:54)= 0, a1 (cid:54)= 0, thì loại phương trình vi phân sai phân này gọi là hỗn tạp, vừa "lùi" vừa "tiến". Vì vậy trong trường hợp này phương trình trên gọi là phương trình vi phân trung tính. Ta tham khảo Bellman and Cooke [3, Chương. 2] cho cả lịch sử của bài toán.
Gần đây Wu and Xia [41] đã chỉ ra rằng hệ tương ứng của phương
(2) F ut = a trình có nhị phân mũ là tương đương với hệ phương trình trung tính ∂2 ∂x2 F ut + Φut ∂ ∂t
được gọi là phương trình đạo hàm riêng trung tính hay phương trình trung tính. Ở đây hàm u thuộc C([−r, 0], X) với r ≥ 0 và không gian Banach X của hàm trên đường tròn đơn vị S1, tức là : X = H 1(S1) hoặc X = C(S1), hàm lịch sử ut được xác định bởi ut(θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] và t ≥ 0. Cuối cùng F và Φ được gọi là toán tử sai phân và toán tử trễ là tuyến tính và bị chặn từ C([−r, 0], X) → X. Có một phương pháp để giải quyết bài toán trên do Hale [21, 22], ông đã chỉ ra sự tồn tại và duy nhất và các tính chất của toán tử nghiệm.
Trong luận văn này chúng tôi đã đưa ra một phương pháp tiếp cận nửa nhóm tuyến tính của phương trình (NPDE). Sau đó chúng tôi đã chỉ ra phương trình (NPDE) là đặt chỉnh và nghiệm của nó là ổn định mũ bằng phương pháp nửa nhóm. Để thực hiện điều đó chúng ta xây dựng phương trình (NPDE) mà ta sẽ nghiên cứu trong luận văn.
F (u(t, ·)) = BF u(t, ·) + Φu(t, ·), t ≥ 0, (3) ∂ ∂t
u(t, s) = u(t, s) + a(s)Au(t, s), t ≥ 0 ≥ s, (4) ∂ ∂t ∂ ∂s
trong đó hàm u(·, ·) lấy giá trị trong không gian Banach X, A là toán tử tuyến tính (không bị chặn) trên X sinh ra nửa nhóm (T (t))t≥0, hàm a(·) ∈ L1,loc(R+) thỏa mãn điều kiện γ1 ≥ a(t) ≥ γ0 > 0 hầu khắp t ≥ 0. Đặt A(s) := −a(s)A. Dựa trên các điều kiện thích hợp của toán tử sai phân F và toán tử trễ Φ ta có thể chứng minh nửa nhóm nghiệm của phương trình này có nhị phân mũ với điều kiện là họ tiến hóa lùi U = (U (t, s))t≤s≤0 = T ((cid:82) s t a(τ )dτ ) sinh bởi A(s) ổn định mũ đều và toán tử B sinh ra nửa nhóm có nhị phân mũ (etB)t≥0 trên X. Hơn nữa, với các điều kiện tính dương của (etB)t≥0, U, F và Φ ta đi chứng minh
3
nửa nhóm nghiệm nói trên là dương và chỉ ra điều kiện đủ để nửa nhóm nghiệm ổn định mũ.
Luận văn được chia làm 3 chương cùng với phần mở đầu, kết luận và
danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về nửa nhóm toán tử,
các định nghĩa và tính chất của nửa nhóm.
Chương 2: Trình bày về sự tồn tại nửa nhóm trung tính, cùng với điều kiện ổn định mũ đều của họ tiến hóa lùi ta xây dựng nửa nhóm liên tục mạnh trên E = C0(R−, X) thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida.
Chương 3: Nghiên cứu tính nhị phân mũ của nửa nhóm trung tính với quá khứ không ôtônôm, khi nửa nhóm (etB)t≥0 có nhị phân mũ. Để chứng minh tính nhị phân mũ của nửa nhóm có nhiễu ta phải chỉ ra tính nhị phân mũ của nửa nhóm không có nhiễu (TB,0(t))t≥0, dựa vào nửa nhóm lũy linh, sự ổn định đều của họ tiến hóa và các tính chất, kết quả của phổ toán tử.
Tác giả muốn gửi lời cảm ơn và biết ơn chân thành của mình tới tất cả những người đã hỗ trợ, giúp đỡ tác giả về chuyên môn, vật chất và tinh thần trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS. TSKH. Nguyễn Thiệu Huy trường Đại học Bách khoa Hà Nội, người đã hướng dẫn, nhận xét và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo của trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, những người đã tham gia trực tiếp trong quá trình giảng dạy lớp Cao học Toán K9Y khóa 2015 – 2017, các phòng ban chức năng, khoa Toán Tin và trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập tại trường. Cuối cùng tác giả xin gửi lời cám ơn đến tập thể lớp K9Y, gia đình bạn bè và đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp này.
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017
Tác giả luận văn
Nguyễn Việt Hưng
4
Chương 1
Lý thuyết nửa nhóm toán tử
1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh và các tính chất cận tăng
Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về nửa nhóm và một số kết quả cần thiết cho chương 2 và chương 3.
Định nghĩa 1.1.1 Họ (T (t))t≥0 ⊂ L(X), X là không gian Banach gọi là nửa nhóm liên tục mạnh nếu:
(i) T (t + s) = T (t).T (s), ∀t, s ≥ 0.
(ii) T (0) = I toán tử đồng nhất.
T (t)x = T (t0)x, ∀x ∈ X, ∀t0 ≥ 0. (iii) lim t→t+ 0
Chú ý 1.1.2
(i) Nếu (T (t))t≥0 ⊂ L(X) thỏa mãn các điều kiện với mọi t, s ∈ R ta
có một nhóm liên tục mạnh.
(ii) Trong trường hợp nửa nhóm tại t0 = 0 xét giới hạn bên phải.
Ví dụ 1.1.3 X là không gian Banach, A ∈ L(X). Khi đó T (t) = etA (t ≥ 0) là nửa nhóm liên tục mạnh.
(tA)n n!
∞ (cid:80) n=0
, t ≥ 0, vì Chứng minh. Ta có T (t) = etA :=
≤ : = 0 < 1. và lim n→∞ = lim n→∞ ||tA)n|| n! tn||A||n n! tn+1||A||n+1 (n + 1)! tn||A||n n! t||A|| n + 1
5
||(tA)n|| n!
∞ (cid:80) n=0
Suy ra chuỗi hội tụ theo Dalambert.
(tA)n n! hội tụ trong L(X) (do hội tụ tuyệt đối −→ hội tụ trong
∞ (cid:80) n=0 L(X)). Ta có T (0) = I (quy ước 00 = I). Xét
∞ (cid:88)
∞ (cid:88)
∞ (cid:88)
Nên
n=0
n=0
n=0
)( ) = T (t)T (s) = ( CnAn tnAn n! snAn n!
trong đó
+ ... + + Cn = tn−1 (n − 1)! s1 1! t0 0! sn n! tn n!
k=0
s0 0! n (cid:88) = tksn−k n! k!(n − k)! 1 n!
(t + s)n. = 1 n!
((t+s)A)n n!
tn||An||
Do đó T (t)T (s) = = T (t + s) nên T (t) = etA là nửa nhóm.
(tA)n n! ⇒ ||T (t) − I|| ≤
n! = et||A|| − 1 −→ 0
∞ (cid:80) n=0 ∞ (cid:80) n=1
∞ (cid:80) n=1
Ta có: T (t) − I =
||T (t) − I|| = 0 nên (T (t))t≥0 liên tục đều nên nó liên tục khi t → 0+ suy ra lim t→0+ mạnh
Bổ đề 1.1.4 X là không gian Banach, F : Kcompact ⊂ R → L(X) .Các mệnh đề sau tương đương:
(i) F liên tục đối với tô pô toán tử mạnh tức là K (cid:51) t → F (t)x ∈ X
liên tục ∀x ∈ X.
(ii) F bị chặn đều trên K tức là: ||F (t)|| ≤ M, ∀t ∈ K và các ánh xạ K (cid:51) t → F (t)x ∈ X liên tục ∀x ∈ X liên tục ∀x ∈ D, D trù mật trong X.
(iii) F liên tục với tô pô hội tụ trên các tập com pact của X, tức là ánh xạ KxC (cid:51) (t, x) → F (t)x ∈ X liên tục đều với mọi tập compact C ⊂ X.
6
Chứng minh. (iii) ⇒ (ii) tầm thường.
(i) ⇒ (ii) Vì ánh xạ t → F (t)x liên tục trên K compact nên với x cố
định, x ∈ X, nó bị chặn ∀x ∈ X {F (t)x : t ∈ K} bị chặn theo Banach - steihau ta có: ||F (t)||, t ∈ K bị chặn trên R : ||F (t)|| ≤ M, ∀t ∈ K.
M , |t − s| < δ M ta có:
(ii) ⇒ (iii) Giả sử ||F (t)|| ≤ M, ∀t ∈ K, ε > 0 cố định, C compact suy i=1(xi + ε ra ∃x1, ..., xn ∈ D sao cho: C ⊂ ∪n M U ), với U = B(0, 1) ⊂ X là hình cầu đơn vị trong X chọn δ > 0 sao cho ||F (t)xi − F (s)xi|| < ε, (i = 1, .....n) và ∀t, s ∈ K : |t − s| < δ x, y ∈ C; t, s ∈ K thỏa mãn ||x − y|| < ε chọn i ∈ {1, ..., n} sao cho ||x − xi|| < ε
||F (t)x−F (s)y|| ≤ ||F (t)(x−xi)||+||(F (t)−F (s))xi||+||F (s)(xi−x)||+
+ ||F (s)(x − y)|| < 4ε
nên ánh xạ (t, x) → F (t)x liên tục đều đối với t ∈ K, x ∈ C.
T (t)x = x, ∀x ∈ X. Mệnh đề 1.1.5 Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 trên không gian Banach. Khi đó các mệnh đề sau tương đương: (a) (T (t))t≥0 là liên tục mạnh. (b) lim t→0+
(c)∃δ > 0, M ≥ 1 và D ⊂ X , D trù mật trong X sao cho
(i) ||T (t)|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ], T (t)x = x, ∀x ∈ D. (ii) lim t→0+
T (tn)x = x, ∀x ∈ X. Vì {tn}n ⊂ [0, +∞), tn → 0. Chứng minh. (a) ⇒ (c.ii) tầm thường. (a) ⇒ (c.i) với δ > 0 bất kỳ x cố định x ∈ X ánh xạ t → T (t)x liên tục trên [0, δ] suy ra {(cid:107)T (t)x(cid:107), t ∈ [0, δ]} bị chặn ∀x ∈ X theo nguyên lý bị chặn đều (Banach- Steihau), nên ||T (t)x|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ], M ≥ 1 (do (cid:107)T (0)(cid:107) = (cid:107)I(cid:107) = 1). (c) ⇒ (b), giả sử {tn}n ⊂ [0, ∞), tn → 0 khi n → ∞. Đặt K = {tn, n ∈ N } ∪ {0}, Kcompact ⊂ R và T (.)(cid:12) (cid:12)K bị chặn (||T (t)|| ≤ M, ∀t ∈ K) và T (.)(cid:12) (cid:12)Kx liên tục ∀x ∈ D, D trù mật trong X. Theo bổ đề 1 ta có lim n→∞
7
(b) ⇒ (a), giả sử t0 > 0 và x ∈ X. Khi đó
(cid:107)T (h)x − x(cid:107) = 0. (cid:107)T (t0 + h)x − T (t0)x(cid:107) ≤ (cid:107)T (t0)(cid:107) lim h→0 lim h→0+
T (t0 + h)x = T (t0)x, nên T (t)x liên tục bên phải tại t = t0. Do đó lim h→0+
Nếu h < 0 ta có
(cid:107)T (t0 + h)x − T (t0)x(cid:107) ≤ (cid:107)T (t0 + h)(cid:107)(cid:107)x − T (−h)x(cid:107)
nên T (t)x liên tục bên trái tại t = t0.
T (t)x = x, ∀x ∈ X nên tồn tại M > 1, δ > 0 sao cho Từ giả thiết lim t→0+
với mọi t ∈ [0, δ] ta có ||T (t)|| ≤ M . (Vì nếu không ∀n = 1 n, tồn tại tn ∈ [0; 1 n] sao cho (cid:107)T (tn)(cid:107) ≥ n. Khi đó tn → ∞ thì (cid:107)T (tn)(cid:107) → +∞, (n → +∞)). Theo Banach-Steihau tồn tại x ∈ X sao cho {(cid:107)T (tn)x(cid:107), n ∈ N } không bị chặn, điều này mâu thuẫn với lim n→∞
δ
t
n+1(cid:107) ≤ (cid:107)T ( t
Đặt n = (cid:2) t0 (cid:3) ta có n ≤ t0
T (t0 + h)x = T (t0)x. Vậy lim h→0 T (tn)x = x. δ < n + 1 suy ra nδ ≤ t0 < (n + 1)δ, t n+1 < δ suy ra (cid:107)T (t)(cid:107) = ∀t ∈ [0, t0], do t ≤ t0 < (n + 1)δ nên n+1)(cid:107)n+1 ≤ M n+1. Do đó (cid:107)T (t0 + h)x − T (t0)x(cid:107) ≤ (cid:107)T (n + 1). M n+1(cid:107)x − T (−h)(cid:107) → 0, với t0 + h ∈ [0; t0], (h < 0) suy ra (cid:107)T (t0 + h)(cid:107) ≤ M n+1(h → 0) nên lim T (t0 + h)x = T (t0) h→0− ⇒ (a).
Mệnh đề 1.1.6 Mọi nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0, tồn tại hằng số ω ∈ R và M ≥ 1 sao cho
||T (t)|| ≤ M eωt
Chứng minh. Chọn M ≥ 1 sao cho ||T (s)|| ≤ M, ∀0 ≤ s ≤ 1 và t ≥ 0 ta viết t = s + n với n ∈ N, 0 ≤ s < 1. Khi đó
(cid:107)T (t)(cid:107) ≤ (cid:107)T (s)(cid:107)(cid:107)T (1)(cid:107)n ≤ M n+1 = M enlnM ≤ M eωt.
ω := lnM với mỗi t ≥ 0.
Bổ đề 1.1.7 Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh và x ∈ X. Ánh xạ qũy đạo ξx : t (cid:55)→ T (t)x ∈ X. Khi đó các tính chất sau tương đương
(a) ξx(.) khả vi trên R+. (b) ξx(.) khả vi bên phải tại t = 0.
8
Định nghĩa 1.1.8 Toán tử A : D(A) ⊆ X → X xác định bởi
x(0) = lim h→0
Ax := ξ. (T (h)x − x) 1 h
1 h(T (h)x − x) tồn tại } đươc gọi là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian Banach X.
trên miền xác định D(A) = {x ∈ X : lim h→0
Định lí 1.1.9 Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 ta có:
(i) A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính.
(ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A)
dtT (t)x = T (t)Ax = AT (t)x, ∀t ≥ 0.
và d
0 T (s)xds ∈ D(A).
(iii) ∀t ≥ 0, x ∈ X ta có (cid:82) t
(iv) ∀t ≥ 0 ta có:
0
(cid:90) t T (t)x − x = A T (s)xds nếu x ∈ X
0
(cid:90) t = T (s)Axds nếu x ∈ D(A).
T (h)x−x h
. Chứng minh. (i) Hiển nhiên do T (t) là toán tử tuyến tính và tính chất của giới hạn Ax = lim h→0
(ii) Lấy x ∈ D(A) từ định nghĩa của A
= T (t)Ax lim h→0+ 1 h T (h)x − x h
(T (h)T (t)x − T (t)x) tồn tại. ⇒ lim h→0+ (T (t + h)x − T (t)x) = T (t) lim h→0+ 1 h
Do vậy T (t)x ∈ D(A) và AT (t)x = T (t)Ax.
9
(iii) x ∈ X, t ≥ 0 ta có :
0
(cid:90) t (cid:90) t [T (h) T (s)xds − T (s)xds]
0 (cid:90) t
0
0 (cid:90) t+h
(cid:90) t T (h + s)xds − T (s)xds =
h (cid:90) t
1 h (cid:90) t T (s)xds − T (s)xds =
0
h
h (cid:90) t+h
1 h 0 (cid:90) t+h (cid:90) h (cid:90) t T (s)xds + T (s)xds − T (s)xds − T (s)xds = 1 h 1 h 1 h
t 1 h
t (cid:90) h
0 (cid:90) h
(cid:90) h = T (s)xds − T (s)xds
0
= T (t + s)xds − T (s)xds 1 h 1 h 1 h 1 h 1 h 1 h
0 (cid:90) h
0
0
(cid:90) h = T (t) T (s)xds − T (s)xds −→ T (t)x − x khi h → 0. 1 h 1 h 1 h
0 T (s)xds ∈ D(A).
Vậy (cid:82) t
h
(iv) Nếu x ∈ D(A), thì hàm s (cid:55)→ T (s) T (h)x−x hội tụ đều trên [0, t]
đến hàm s (cid:55)→ T (s)Ax khi h → 0 do ||T (s)|| ≤ M, ∀s ∈ [0, t]. Vì vậy,
0
0
0
(cid:90) t (cid:90) t (T (h) − I) T (s) (T (h) − I)xds lim h→0+ 1 h 1 h T (s)xds = lim h→0+ (cid:90) t = T (s)Axds.
0 T (s)Axds, ∀x ∈ D(A).
Do đó T (t)x − x = (cid:82) t
Định lí 1.1.10 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh là toán tử đóng với miền xác định trù mật và xác định nửa nhóm một cách duy nhất.
Chứng minh. Giả sử (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên X. Toán tử sinh A là toán tử tuyến tính. Ta chứng minh A là toán tử đóng.
Giả sử {xn}n ⊂ D(A), xn → x, Axn → y ta cần chứng minh x ∈ D(A)
và Ax = y. Thật vậy, theo (iv) của định lí (1.2.7) ta có:
0
(cid:90) t T (t)xn − xn = T (s)Axnds, t > 0.
10
Do T (.)Axn hội tụ đều trên [0, t], (||T (s)|| ≤ M, ∀s ∈ [0, t]) cho n → ∞
0
(cid:90) t ⇒ T (t)x − x = T (s)yds
0
1 t
(cid:90) t ⇒ (T (t)x − x) = T (s)yds. 1 t 1 t
Theo (iii) của định lí (1.2.7) ta có (cid:82) t (cid:82) t 1 0 T (s)xds = x, ∀x ∈ X. 0 T (s)xds ∈ D(A) nên lim t t→0+ Vậy D(A) trù mật trong X.
0 e−λsT (t)xds tồn tại, ∀x ∈ X thì
Định nghĩa 1.1.11 (A,D(A)) là toán tử đóng trong không gian Banach X. Tập các giá trị chính quy của A: ρ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) là song ánh }. Khi đó R(λ, A) := (λI − A)−1, λ ∈ ρ(A) gọi là giải thức của A.
Định lí 1.1.12 Cho(T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X, và lấy hằng số ω ∈ R, M ≥ 1 sao cho (cid:107)T (t)(cid:107) ≤ M eωt, ∀t ≥ 0. Khi đó với toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm (T (t))t≥0 ta có các tính chất sau: (i) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x := (cid:82) ∞ λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ).
Reλ−ω , ∀Reλ > ω.
(ii) Nếu Reλ > ω thì λ ∈ ρ(A) và λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ).
0
e−λsT (s)xds gọi là biểu diễn tích của giải
(iii) ||R(λ, A)|| ≤ M Công thức R(λ, A)x = (cid:82) +∞ thức. Tích phân ở đây là tích phân Rieman suy rộng
0
0
(cid:90) +∞ (cid:90) t e−λsT (s)xds. e−λsT (s)xds = lim t→+∞
Chứng minh. Bằng cách thay nửa nhóm đã cho bằng nửa nhóm điều
11
chỉnh có thể giả thiết λ = 0. Khi đó, x ∈ X tùy ý và h > 0 ta có:
0
0
(cid:90) ∞ T (s)xds R(0)x = T (h) − I h T (h) − I h (cid:90) ∞ (cid:90) ∞ T (s + h)xds − T (s)xds =
0 (cid:90) ∞
0
h (cid:90) h
1 h (cid:90) ∞ T (s)xds − T (s)xds = 1 h 1 h 1 h
0
= − T (s)xds. 1 h
(cid:82) t 0 T (s)xds = R(0)x lim t→+∞
0 T (s)xds = lim t→+∞ Do A là toán tử đóng nên R(0)Ax = AR(0)x = −x. Vì vậy R(0) = (−A)−1.
Cho h → 0+, vế phải → −x, do R(0)x ∈ D(A) nên AR(0)x = −x suy ra AR(0) = −I. Với x ∈ D(A) ta có: A (cid:82) t (cid:82) t 0 T (s)Axds = R(0)Ax, R(0)x ∈ D(A) và lim t→+∞
(ii) và (iii) được suy ra từ (i) với ước lượng:
0
0
0 (cid:90) t
(cid:90) t (cid:90) t (cid:90) t (cid:107) e−λsT (s)ds(cid:107) ≤ |e−λs|(cid:107)T (s)(cid:107)ds ≤ M |e−λs|eωsds
0
1
0 e(ω−Reλ)sds =
ω−Reλ(e(ω−Reλ)t − 1) → 1
ω−Reλ khi
= M e(ω−Reλ)sds.
Vì Reλ > ω nên (cid:82) t t → ∞.
Hệ quả 1.1.13 Toán tử sinh (A,D(A)) của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 thỏa mãn (cid:107)T (t)(cid:107) ≤ M eωt, ∀t ≥ 0, với Reλ > ω, n ∈ N ta có:
R(λ, A)nx = (1.1)
0
dn−1 dλn−1 R(λ, A)x (cid:90) ∞ = sn−1e−λsT (s)ds, ∀x ∈ X (1.2) (−1)n−1 (n − 1)! 1 (n − 1)!
Ta cũng có :
M (cid:107)R(λ, A)n(cid:107) ≤ (1.3) (Reλ − ω)n , ∀n ∈ N, Reλ > ω.
12
Chứng minh. (1.1 ) và (1.2) tương đương
0
(cid:90) ∞ dn−1 dλn−1 R(λ, A)x = (−1)n−1(n − 1)!R(λ, A)nx = (−1)n−1 sn−1e−λsT (s)ds.
Với λ, µ ∈ ρ(A) ta có: (λI − A)R(λ, A) = I ⇒ [λR(λ, A) − AR(λ, A)]R(µ, A) = R(µ, A), tương tự:
[µR(µ, A) − AR(µ, A)]R(λ, A) = R(λ, A)
lại có (λI − A)R(λ, A) = R(λ, A)(λI − A) = I ⇒ AR(λ, A) = R(λ, A)A. Nên R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A) gọi là phương trình
giải thức Hilbert, nên R(λ, A)R(µ, A) giao hoán.
Với λ (cid:54)= µ ta có:
dλR(λ, A) = −R(λ, A)2 nên ( 1.1) đúng với n = 2.
= −R(λ, A)R(µ, A) R(λ, A) − R(µ, A) λ − µ
0
dλR(λ, A)x = d
dλ
e−λsT (s)xds = − (cid:82) +∞ se−λsT (s)xds (cid:82) +∞ 0
cho µ → λ ⇒ d Do d do vậy ( 1.2) đúng với n = 2. Trường hợp tổng quát ta suy ra bằng quy nạp, Giả sử (1.1) đúng với n ta chứng minh (1.1) đúng với n + 1
R(λ, A)n dn dλn R(λ, A)x = (−1)n−1(n − 1)! d dλ
R(λ, A)x
= (−1)n−1(n − 1)!nR(λ, A)n−1 d dλ R(λ, A) = −R(λ, A)2) = (−1)nn!R(λ, A)n+1x (do d dλ
suy ra ( 1.1) đúng với n + 1.
0
0
(cid:90) +∞ dn sn−1e−λsT (s)xds dλn R(λ, A)x = (−1)n−1 d dλ (cid:90) +∞ = (−1)n sne−λsT (s)xds ⇒ ( 1.2) đúng với n + 1.
13
0 (cid:90) ∞
(cid:90) ∞ ||R(λ, A)nx|| = sn−1e−λsT (s)ds|| ||
0
≤ sn−1e(ω−Reλ)sds||x|| 1 (n − 1)! M (n − 1)!
(tích phân từng phần n-1 lần)
M = (Reλ − ω)n ||x||
1.2 Ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm
nên ( 1.3) được chứng minh.
Trong phần này, chúng tôi điểm lại một số khái niệm về ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm liên tục mạnh và đặc trưng phổ cho tính ổn định và nhị phân của nửa nhóm đó. Trước hết, ta nhắc lại khái niệm ổn định mũ đều như sau.
Định nghĩa 1.2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh (A, D(A)) được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại (cid:15) > 0 sao cho
e(cid:15)t(cid:107)T (t)(cid:107) = 0. lim t→∞
Sau đây, ta đưa ra các khái niệm nhị phân mũ của nửa nhóm như sau:
Định nghĩa 1.2.2 Nửa nhóm (T (t))t≥0 trên không gian Banach X được gọi là có nhị phân mũ (hoặc hyperbolic) nếu X có thể viết thành tổng trực tiếp X = Xs ⊕ Xu, các không gian con đóng Xs, Xu bất biến đối với (T (t))t≥0 sao cho hạn chế của (Ts(t))t≥0 trên Xs, và (Tu(t))t≥0 trên Xu thỏa mãn các điều kiện:
1. Nửa nhóm (Ts(t))t≥0 là ổn định mũ đều trên Xs;
2. Nửa nhóm (Tu(t))t≥0 có nghịch đảo và (Tu(−t))t≥0 ổn định mũ đều
trên Xu.
Để xây dựng các đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ đều và nhị phân mũ của nửa nhóm, ta cần đến khái niệm cận phổ của toán tử đóng và cận tăng của nửa nhóm được xác định trong các định nghĩa sau đây.
14
Định nghĩa 1.2.3 Cho A : D(A) ⊂ X → X là toán tử đóng trên không gian Banach X. Khi đó
s(A) := sup{Reλ : λ ∈ σ(A)}
được gọi là cận phổ của A.
Định nghĩa 1.2.4 Cho nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))t≥0 với toán tử sinh (A, D(A)). Khi đó
(cid:26) (cid:27) ω ∈ R : ∃M > 1 sao cho (cid:107)T (t)(cid:107) ≤ M eωt, ∀t ≥ 0 ω0 := ω0(T ) := ω0(A) := inf
được gọi là cận tăng của T .
Nhận xét: Nửa nhóm (T (t))t≥0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi ω0(A) < 0. Tuy nhiên, ta muốn đặc trưng tính ổn định mũ theo phổ của toán tử sinh vì trong thực tế nửa nhóm rất khó xác định tường minh, còn toán tử sinh có thể xác định cụ thể. Để làm điều đó ta cần đến khái niệm "Định lý Ánh Xạ Phổ (Spectral Mapping Theorem - SMT)" sau đây.
Định lí 1.2.5 Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh (A, D(A)) được gọi là thỏa mãn Định lý Ánh Xạ Phổ (SMT) nếu:
(SMT) σ(T (t))\{0} = etσ(A) với t ≥ 0. (1.4)
Ta lưu ý rằng, trong trường hợp tổng quát điều kiện s(A) < 0 không kéo theo tính ổn định mũ của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 sinh bởi A (chẳng hạn xem [32, Ví dụ 1.2.4]). Tuy nhiên, nếu (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh Xạ Phổ thì ta có đặc trưng sau:
(T (t))t≥0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi s(A) < 0. Để đặc trưng cho tính nhị phân mũ ta có định lý sau đây được lấy từ
[12].
Định lí 1.2.6 Đối với nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0, các mệnh đề sau là tương đương:
i (T (t))t≥0 có nhị phân mũ;
ii σ(T (t)) ∩ D = ∅ với một/ mọi t > 0, trong đó D là đường tròn đơn
vị.
15
Trường hợp (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh Xạ Phổ (SMT) và A là toán tử sinh của nó, thì ta có các mệnh đề trên tương đương với
(iii) σ(A) ∩ iR = ∅.
Trong định lý trên, lưu ý rằng giả thiết (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh Xạ Phổ có thể thay bằng giả thiết nhẹ hơn, đó là: σ(A) và σ(T (t)) thỏa mãn σ(T (t)) ⊂ D.etσ(A) := {z.etλ : λ ∈ σ(A), |z| = 1}, ∀t ≥ 0.
Hơn nữa nếu dùng trung bình Cesàro thì ta có đặc trưng sau đây của
tính nhị phân mũ mà không cần dùng đến Định lý Ánh Xạ Phổ.
Định lí 1.2.7 Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X với toán tử sinh A. Khi đó các khẳng định sau là tương đương.
(i) (T (t))t≥0 có nhị phân mũ.
N −1 (cid:88)
n (cid:88)
(ii) iR ⊂ ρ(A) và
n=0
k=−n
k∈Z
(cid:88) R(iω + ik, A)x (C, 1) R(iω + ik, A)x := lim N →∞ 1 N
hội tụ với mọi ω ∈ R và x ∈ X.
Chú ý, định lý này được lấy từ [32, Định lý 2.6.2], trong khi chứng minh chủ yếu do G. Greiner và M. Schwarz [17, Định lý 1.1 và Hệ quả 1.2]. Phiên bản liên tục của định lý trên được chứng minh bởi M. Kaashoek và S. Verduyn Lunel trong [29, Định lý 4.1].
Định lí 1.2.8 Nửa nhóm liên tục mạch (T (t))t≥0 trên dàn Banach X được gọi là dương nếu mỗi toán tử T (t) là dương, tức là:
nếu 0 ≤ f ∈ X thì 0 ≤ T (t)f
16
Chương 2
Sự tồn tại và ổn định của nghiệm
phương trình trung tính với quá
khứ không ôtônôm
2.1 Phương trình trung tính với quá khứ không ôtônôm
∂ ∂tF ut = BF ut + Φut với t ≥ 0, u0(t) = ϕ(t) với t ≤ 0,
Xét phương trình trung tính tuyến tính với toán tử sai phân và toán tử trễ vô hạn có dạng: (2.1)
trong đó u(·) lấy giá trị trong không gian Banach X, B là toán tử tuyến tính trên X (như là toán tử đạo hàm riêng), các toán tử tuyến tính bị chặn F và Φ là toán tử sai phân và toán tử trễ (tương ứng) từ C0(R−, X) vào X, và hàm lịch sử được xác định như sau
∀t ≥ 0, s ≤ 0. ut(s) := u(t + s),
Ta biết rằng (xem [21, 22, 41, 40, 1, 33]), trong trường hợp tồn tại nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ(t))t≥0 trên C0(R−, X) sao cho nghiệm của phương trình (2.1) được cho bởi ut = TB,F,Φ(t)ϕ. Ta xét hàm u : R+ × R− → X được xác định bởi
u(t, s) = [TB,F,Φ(t)f ](s)
17
khi đó ta có đẳng thức
u(t, s) = u(t, s) ∂ ∂t ∂ ∂s
được biết như luật cân bằng giữa tốc độ của quá trình tiến hóa trong quá khứ và trong tương lai [8, trang 39-40]. Tuy nhiên, trong một số ứng dụng trong mô hình sinh học về di truyền học được đưa ra bởi các nhà khoa học đoạt giải Nobel là Jacob và Monod [25] (xem Goodwin [15, 16]), luật cân bằng này có thể không đúng. Brendle và Nagel (xem [6]) đưa ra một ý tưởng để điều khiển sự không cân bằng. Giả sử rằng giá trị của hàm lịch sử thay đổi theo luật tiến hóa (xem [13] với công thức trong không gian Lp). Do đó, sự thay đổi này dẫn đến hệ phương trình trung tính tuyến tính với quá khứ không ôtônôm
F (u(t, ·)) = BF u(t, ·) + Φu(t, ·), t ≥ 0, (2.2)
(u(t, s)) = (u(t, s)) + a(s)Au(t, s), t ≥ 0 ≥ s, (2.3) ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂s u(0, s) = ϕ(s), s ≤ 0.
Ở đây, hàm u(·, ·) lấy giá trị trong không gian Banach X và B là toán tử đạo hàm riêng tuyến tính, toán tử sai phân F và toán tử trễ Φ là các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian C0(R−, X) vào X, A là toán tử tuyến tính (không bị chặn) trên X sinh ra nửa nhóm (T (t))t≥0, hàm a(·) ∈ L1,loc(R+) thỏa mãn điều kiện γ1 ≥ a(t) ≥ γ0 > 0 hầu khắp t ≥ 0. Đặt A(s) := −a(s)A, khi đó toán tử −A(s) của bài toán Cauchy lùi không ôtônôm
dx(t) dt
= −A(t)x(t), t ≤ s ≤ 0, (2.4) x(s) = xs ∈ X,
là đặt chỉnh với cận mũ. Trong trường hợp đặc biệt, tồn tại một họ tiến hóa lùi bị chặn mũ U = (U (t, s))t≤s≤0 được xác định bởi U (t, s) = T ((cid:82) s t a(τ )dτ ) sao cho nghiệm của (2.4) cho bởi x(t) = U (t, s)x(s) với t ≤ s ≤ 0.
Với giả thiết như trong [18, Chương 4] ta giải hệ phương trình (2.2) và (2.3) bằng cách xây dựng nửa nhóm tiến hóa liên tục mạnh trên không gian C0 := C0(R−, X). Nửa nhóm này thu được bằng cách chứng
18
2.2 Các nửa nhóm tiến hóa với toán tử sai phân và
toán tử trễ
minh rằng toán tử tương ứng (xem Định nghĩa 2.2.8) thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida, ta có thể viết toán tử sai phân như sau F = δ0 − Ψ với Ψ là “nhỏ" (xem (2.10)). Ta tham khảo [14, 13, 19, 6] về tính đặt chỉnh của phương trình có trễ (tức là đối với trường hợp Ψ = 0) với quá khứ không ôtônôm. Trong chương này, với điều kiện nêu trên của toán tử sai phân F và toán tử trễ Φ là "nhỏ", ta chứng minh rằng nửa nhóm nghiệm của phương trình này có nhị phân mũ với điều kiện là họ tiến hóa lùi U = (U (t, s))t≤s≤0 sinh ra bởi −A(s) là ổn định mũ và toán tử B sinh ra nửa nhóm có nhị phân mũ trên X. Hơn nữa, với các điều kiện tính dương của (etB)t≥0, Φ, F và U (t, s), t ≤ s ≤ 0, ta chứng minh rằng nửa nhóm nghiệm nói trên là dương. Áp dụng lí thuyết phổ của nửa nhóm dương thu được một tiêu chuẩn phổ cho tính ổn định mũ của nửa nhóm nghiệm đang xét. Kết quả của chúng tôi được chứa trong Định lý 3.1.6, đã mở rộng các kết quả cho trễ và các phương trình trung tính (xem [14, 24, 40, 19, 6]).
Trong phần này, ta nhắc lại việc xây dựng và các kết quả thu được trong [18, Chương 4] về tính đặt chỉnh của hệ phương trình (2.2) và (2.3) cũng như biểu diễn của giải thức của nửa nhóm nghiệm tiến hóa của hệ này. Chúng ta bắt đầu từ họ tiến hóa U trên R− và mở rộng nó trên R để xác định nửa nhóm tiến hóa tương ứng trên C0(R, X). Đối với hầu hết các khái niệm của các nửa nhóm tiến hóa, chúng ta tham khảo các tài liệu [7] hoặc [12, Chương VI.9].
Định lí 2.2.1 Một họ các toán tử tuyến tính bị chặn U = (U (t, s))t≤s≤0 trên không gian Banach X được gọi là một họ tiến hóa lùi (liên tục mạnh, bị chặn) trên R− nếu:
(i) U (t, t) = Id và U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với t ≤ r ≤ s ≤ 0.
(ii) Ánh xạ (t, s) (cid:55)→ U (t, s)x là liên tục với mỗi x ∈ X,
với (t, s) ∈ ∆ := {(t, s) ∈ R2 : t ≤ s ≤ 0}.
19
(iii) Tồn tại các hằng số H ≥ 1 và ω1 ∈ R sao cho
(cid:107)U (t, s)(cid:107) ≤ Heω1(s−t), ∀t ≤ s ≤ 0.
Hằng số
ω(U) := inf{α ∈ R : ∃H ≥ 1 sao cho (cid:107)U (t, s)(cid:107) ≤ Heα(s−t) ∀t ≤ s ≤ 0}
được gọi là cận tăng của U. Trong trường hợp ω(U) < 0, ta nói rằng họ tiến hóa U là ổn định mũ đều.
Khái niệm của họ tiến hóa lùi được nảy sinh khi ta xét các phương trình tiến hóa đặt chỉnh trên nửa đường thẳng âm R− có dạng
du(t) dt
= −A(t)u(t), t ≤ s ≤ 0, (2.5) u(s) = us ∈ X.
Hơn nữa, ta nói rằng bài toán Cauchy lùi (2.5) là đặt chỉnh với cận mũ nếu tồn tại họ tiến hóa lùi bị chặn mũ U = (U (t, s))t≤s≤0, khi đó nghiệm của (2.5) được cho bởi x(t) = U (t, s)x(s) với t ≤ s ≤ 0. Rõ ràng, đối với họ tiến hóa lùi trên R−, ta có kết quả tương tự như trong trường hợp của họ tiến hóa trên R+. Ta tham khảo [14, 13, 35, 6]) về tính đặt chỉnh của phương trình (2.5). Nói cách khác, họ toán tử (−A(t))t≤0 sinh ra họ tiến hóa lùi U. Để sử dụng sau này, ta tóm tắt việc xây dựng các nửa nhóm tiến hóa dịch chuyển trái và vài kết quả sau. Trước hết, họ tiến hóa (U (t, s))t≤s≤0 được mở rộng cho họ tiến hóa lùi trên R bởi
với t ≤ s ≤ 0,
˜U (t, s) := t ≤ 0 ≤ s, với
U (t, s) U (t, 0) U (0, 0) = Id với 0 ≤ t ≤ s.
Định nghĩa 2.2.2 Trên ˜C0 := C0(R, X), ta xác định nửa nhóm dịch chuyển trái ( ˜T (t))t≥0 ứng với ( ˜U (t, s))t≤s bởi
với s ≤ s + t ≤ 0
( ˜T (t) ˜f )(s) := ˜U (s, s+t) ˜f (s+t) = với s ≤ 0 ≤ s + t
với 0 ≤ s ≤ s + t U (s, s + t) ˜f (s + t) U (s, 0) ˜f (s + t) ˜f (s + t)
Ta kí hiệu toán tử sinh của nó là ( ˜G; D( ˜G)).
20
Có thể thấy (xem [19, Bổ đề 2.5]) rằng toán tử ( ˜G; D( ˜G)) là một toán tử địa phương theo nghĩa, nếu ˜u ∈ D( ˜G) và ˜u(s) = 0 với mọi a < s < b, thì [ ˜G˜u](s) = 0 với mọi a < s < b. Khi đó, tính địa phương của ˜G cho phép chúng ta xác định toán tử G trên C0 := C0(R−, X) như sau.
Định nghĩa 2.2.3 Lấy
D(G) := (cid:8) ˜f |R− : ˜f ∈ D( ˜G)(cid:9)
và xác định
[Gf ](t) := [ ˜G ˜f ](t) với t ≤ 0 và f = ˜f |R−.
Ta có sự mô tả của G sau đây được lấy từ Bổ đề 2.5 ở [19].
Bổ đề 2.2.4 Cho u, f ∈ C0 = C0(R−, X) và λ ∈ C. Khi đó u ∈ D(G) và (λ − G)u = f nếu và chỉ nếu u và f thỏa mãn
t
(cid:90) s u(t) = eλ(t−s)U (t, s)u(s)+ eλ(t−ξ)U (t, ξ)f (ξ)dξ với t ≤ s ≤ 0. (2.6)
Ta lưu ý rằng toán tử G được dùng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của họ tiến hóa trên nửa đường thẳng (xem [19, 20, 30]). Toán tử G trở thành toán tử sinh của nửa nhóm nào đó nếu ta hạn chế nó để miền xác định nhỏ hơn, chẳng hạn D := {u ∈ D(G) : [Gu](0) = 0} (xem [20]). Tuy nhiên, với ứng dụng sau này ta xét trường hợp tổng quát và đưa ra giả thiết sau.
Giả thiết 2.2.5 Trên không gian Banach X và C0 := C0(R−, X) ta xét các toán tử sau đây:
(i) (B, D(B)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (etB)t≥0 trên X thỏa mãn (cid:107)etB(cid:107) ≤ M eω2t với các hằng số M ≥ 1 và ω2 ∈ R.
(ii) Toán tử sai phân F : C0 → X và toán tử trễ Φ : C0 → X là tuyến
tính và bị chặn.
Định nghĩa 2.2.6 Trên không gian C0 ta xác định nửa nhóm tiến hóa dịch chuyển trái (TB,0(t))t≥0 cho bởi
U (s, s + t)f (s + t), s + t ≤ 0, [TB,0(t)f ](s) = U (s, 0)e(t+s)Bf (0), s + t ≥ 0,
21
với mọi f ∈ C0.
Dễ dàng thấy rằng (TB,0(t))t≥0 là liên tục mạnh. Ta kí hiệu toán tử sinh của nó là GB,0. Ta có các tính chất của GB,0 và (TB,0(t))t≥0 được lấy từ [19, Mệnh đề 2.8].
Mệnh đề 2.2.7 Các khẳng định sau thỏa mãn
(i) Toán tử sinh của (TB,0(t))t≥0 được cho bởi
D(GB,0) := {f ∈ D(G) : f (0) ∈ D(B) và (G(f ))(0) = Bf (0)},
GB,0f := Gf với f ∈ D(GB,0).
(ii) Tập {λ ∈ ρ(B) : Reλ > ω(U)} ⊂ ρ(GB,0). Hơn nữa, với λ thuộc tập
này, giải thức R(λ, GB,0) được cho bởi
t với f ∈ C0, t ≤ 0.
(cid:90) 0 eλ(t−ξ)U (t, ξ)f (ξ)dξ [R(λ, GB,0)f ](t) = eλtU (t, 0)R(λ, B)f (0) +
(2.7)
(iii) Nửa nhóm (TB,0(t))t≥0 thỏa mãn
(2.8) (cid:107)TB,0(t)(cid:107) ≤ Keωt, t ≥ 0,
với các hằng số K = M H và ω := max{ω1, ω2}, ở đó các hằng số M, H, ω1, ω2 xuất hiện trong Định nghĩa 2.2.1 và Giả thiết 2.2.5.
Sau đây, ta sử dụng toán tử sai phân và toán tử trễ tương ứng F, Φ ∈ L(C0, X) để xác định hạn chế của toán tử G từ Định nghĩa 2.2.2.
Định nghĩa 2.2.8 Toán tử GB,F,Φ được xác định bởi
trên miền xác định GB,F,Φf := Gf
D(GB,F,Φ) := {f ∈ D(G) : F f ∈ D(B) và F (Gf ) = BF f + Φf }.(2.9)
Ta viết F dưới dạng
F ϕ := ϕ(0) − Ψϕ, (2.10) ϕ ∈ C0,
22
với toán tử tuyến tính bị chặn Ψ : C0 → X. Miền xác định của GB,F,Φ được viết
D(GB,F,Φ) = {f ∈ D(G) : f (0) − Ψf ∈ D(B)
và [Gf ](0) = B(f (0) − Ψf ) + Φf + ΨGf }.
Nếu toán tử Ψ là "nhỏ", ta có thể chứng minh rằng R(λ, GB,F,Φ) thỏa mãn ước lượng Hille-Yosida, suy ra GB,F,Φ sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (xem [18, Chương 4]). Tiếp theo, ta nhắc lại kết quả về tính đặt chỉnh của hệ phương trình (2.2) và (2.3) trong định lý sau đây.
Định lí 2.2.9 [18, Định lý 4.2 và Hệ quả 4.3, Hệ quả 4.6] Cho toán tử Ψ thỏa mãn (cid:107)Ψ(cid:107) < 1 H (với hằng số H như trong Định nghĩa 2.2.1), và toán tử eλ : X → C0 được xác định
[eλx](t) := eλtU (t, 0)x với t ≤ 0, x ∈ X và Reλ > ω(U).
1−H(cid:107)Ψ(cid:107) (với các hằng số ω1 và K như
Khi đó, ta có các khẳng định sau:
(i) λ ∈ ρ(GB,F,Φ), ∀λ > ω1 + K(cid:107)Φ(cid:107) trong Mệnh đề 2.2.7), ta có
R(λ, GB,F,Φ)f = eλ[ΨR(λ, GB,F,Φ) + R(λ, B)(ΦR(λ, GB,F,Φ) − Ψ)]f (2.11) +R(λ, GB,0)f với f ∈ C0.
(ii) Toán tử GB,F,Φ sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (TB,F,Φ(t))t≥0 trên
C0.
(iii) Hệ phương trình (2.2) và (2.3) là đặt chỉnh. Một cách chính xác, với mỗi ϕ ∈ D(GB,F,Φ) tồn tại nghiệm cổ điển duy nhất u(t, ·, ϕ) của (2.2) cho bởi
u(t, ·, ϕ) = TB,F,Φ(t)ϕ
thỏa mãn phương trình (2.3) theo nghĩa đủ tốt, tức là nghiệm đó thỏa mãn
s
(cid:90) τ U (s, ξ) + u(t, ξ, ϕ)dξ ∀t ≥ 0 ≥ τ ≥ s u(t, s, ϕ) = U (s, τ )u(t, τ, ϕ) ∂ ∂t
23
là công thức biến thiên hằng số của phương trình (2.3). Hơn nữa, với mỗi dãy (ϕn)n∈N ⊂ D(GB,F,Φ) thỏa mãn limn→∞ ϕn = 0, ta có
u(t, ·, ϕn) = 0 lim n→∞
đều trên mỗi đoạn compact.
24
Chương 3
Nhị phân mũ
3.1 Phổ và tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm
Sau khi thiết lập tính đặt chỉnh của phương trình (2.3), ta xét tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ(t))t≥0. Trước hết ta tính toán phổ của nửa nhóm (TB,0(t))t≥0 trên C0 và toán tử sinh của nó. Điều này sẽ được sử dụng để chứng minh tính nhị phân mũ của nửa nhóm (TB,F,Φ(t))t≥0 với nhiễu nhỏ bởi toán tử trễ Φ. Ta tính (TB,0(t))t≥0 với hạn chế của nó lên không gian con C00 := {f ∈ C0 : f (0) = 0}.
Bổ đề 3.1.1 ([19, Bổ đề 4.1]) Cho nửa nhóm (TB,0(t))t≥0 trên C0 được xác định như trong Định nghĩa 2.2.6 với toán tử sinh GB,0. Kí hiệu (T0(t))t≥0 là hạn chế của (TB,0(t))t≥0 lên không gian con C00 và G0 là toán tử sinh của nó. Khi đó, ta có:
(i)
(3.1) σ(TB,0(t)) ⊆ σ(T0(t)) ∪ σ(etB), t ≥ 0.
(ii)
(3.2) σ(GB,0) ∪ σ(B) = σ(G0) ∪ σ(B).
Trong [30, Hệ quả 2.4] đã chỉ ra rằng nửa nhóm (T0(t))t≥0 thỏa mãn
Định lý Ánh Xạ Phổ. mà hơn nữa, ta có
σ(G0) = {λ ∈ C : Reλ ≤ ω(U)}
và
(3.3) σ(T0(t))\{0} = etσ(G0), ∀t > 0.
25
Theo Bổ đề 3.1.1, ta có định lý sau.
Định lí 3.1.2 [19, Định lý 4.2] Cho toán tử G0 được xác định như trong Bổ đề 3.1.1. Khi đó
t ≥ 0. (3.4) [σ(TB,0)(t) ∪ σ(etB)]\{0} = [etσ(G0) ∪ σ(e{tB)]\{0},
Bổ đề 3.1.3 Nếu nửa nhóm (T (t))t≥0 có toán tử sinh A ổn định mũ thì toán tử −A(t) = a(t)A sinh ra họ tiến hóa lùi T ((cid:82) s t a(τ )dτ ) ổn định mũ đều.
Chứng minh. Do (T (t))t≥0 bị chặn mũ nên tồn tại H ≥ 1, γ > 0 sao cho (cid:107)T (t)(cid:107) ≤ He−γt. Ta có (cid:107)T ((cid:82) s t a(τ )dτ )(cid:107) ≤ He−γγ1t với mọi t ≤ s ≤ 0. Khi đó cận tăng của T ((cid:82) s t a(τ )dτ ) là ω = −γγ1 < 0 nên họ tiến hóa lùi T ((cid:82) s t a(τ )dτ ) ổn định mũ đều. Sử dụng đặc tính phổ cho các nửa nhóm có nhị phân mũ (xem [12, Định lý V.1.15]), ta có hệ quả sau.
Hệ quả 3.1.4 Nếu toán tử (B, D(B)) sinh ra nửa nhóm có nhị phân mũ (etB)t≥0 và nếu nửa nhóm (T (t))t≥0 sinh bởi A ổn định mũ, thì nửa nhóm (TB,0(t))t≥0 cũng có nhị phân mũ.
Chứng minh. Do (T (t))t≥0 ổn định mũ nên theo Bổ đề 3.1.5 U ổn định mũ đều, ta có ω(U) < 0, nên s(G0) < 0 do (3.3). Do đó, σ(G0) ∩ iR = ∅. Do tính nhị phân mũ của (etB)t≥0, ta có
(etσ(G0) ∪ σ(etB)) ∩ eiR = ∅.
Tính nhị phân mũ của (TB,0(t))t≥0 được suy ra từ (3.4) và Định lý V.1.15 trong [12]. Mục đích chính của phần này là chỉ ra tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ(t))t≥0 với các điều kiện (etB)t≥0 có nhị phân mũ và toán tử trễ Φ có chuẩn đủ nhỏ. Vì vậy, ta sử dụng đặc trưng của nhị phân mũ của các nửa nhóm (xem [32, Định lý 2.6.2]).
Bổ đề 3.1.5 Nếu toán tử A sinh ra nửa nhóm ổn định mũ và toán tử (B, D(B)) sinh ra nửa nhóm có nhị phân mũ (etB)t≥0. Khi đó, nếu (cid:107)Ψ(cid:107) < 1/K1 với K1 được xác định trong (3.6), và (cid:107)Φ(cid:107) đủ nhỏ, thì tồn tại một giải mở Σ chứa trục ảo và hàm Hλ là giải tích và bị chặn đều trên Σ sao cho
(3.5) R(λ, GB,F,Φ) = Hλ[R(λ, GB,0) − eλR(λ, B)Ψ] với λ ∈ Σ.
26
Chứng minh. Theo [29, Định lý 4.1] và tính nhị phân mũ của (etB)t≥0
ta có, tồn tại các hằng số dương P1, ν sao cho
(cid:107)R(λ, B)(cid:107) ≤ P1, ∀|Reλ| < ν.
(3.6) Do U ổn định mũ đều nên tồn tại các hằng số ω1 > 0 và K1 > 0 sao cho (cid:107)U (t, s)(cid:107) < K1e−ω1(s−t), ∀t ≤ s ≤ 0.
Cho ω là số thực thỏa mãn 0 < ω < min{ω1, ν}. Đặt
Σ := {λ ∈ C : |Reλ| < ν}
và
(cid:107)R(λ, B)(cid:107). (3.7) P := sup λ∈Σ
Ta kiểm tra rằng với mỗi f ∈ E và λ ∈ Σ phương trình
u = eλ (cid:2)Ψu + R(λ, B)Φu(cid:3) − eλR(λ, B)Ψf + R(λ, GB,0)f
có nghiệm duy nhất u ∈ C0. Thật vậy, gọi Mλ : C0 → C0 là toán tử tuyến tính được xác định Mλ := eλ(Ψ + R(λ, B)Φ) với eλ như trong Định lý 2.2.9. Với λ ∈ Σ ta có
. (cid:107)Mλ(cid:107) ≤ K1((cid:107)Ψ(cid:107) + P (cid:107)Φ(cid:107)) < 1 nếu (cid:107)Φ(cid:107) < 1 − K1(cid:107)Ψ(cid:107) P K1
Do đó, toán tử I − Mλ là khả nghịch, và phương trình
(cid:2)Ψu + R(λ, B)Φu(cid:3) − eλR(λ, B)Ψf + R(λ, GB,0)f có nghiệm duy u = eλ nhất u = (I −Mλ)−1[R(λ, GB,0)f −eλR(λ, B)Ψf ]. Đặt Hλ := (I −Mλ)−1, ta thu được
R(λ, GB,F,Φ) = Hλ[R(λ, GB,0) − eλR(λ, B)Ψ].
∞ (cid:88)
Từ
n=0
(3.8) Hλ = (I − Mλ)−1 = M n λ
∞ (cid:88)
suy ra
n=0 ∞ (cid:88)
(cid:107)Hλ(cid:107) ≤ (cid:107)Mλ(cid:107)n
n=0
≤ [K1((cid:107)Ψ(cid:107) + P (cid:107)Φ(cid:107))]n
= ∀λ ∈ Σ, (cid:107)Φ(cid:107) < . 1 1 − K1((cid:107)Ψ(cid:107) + P (cid:107)Φ(cid:107)) 1 − K1(cid:107)Ψ(cid:107) P K1
27
λ (cid:107) ≤ [K1((cid:107)Ψ(cid:107)+P (cid:107)Φ(cid:107))]n, ∀λ ∈ Σ và chuỗi
∞ (cid:80) n=0 , ta có nếu (cid:107)Φ(cid:107) < 1−K1(cid:107)Ψ(cid:107)
P K1
P K1
Từ (cid:107)M n [K1((cid:107)Ψ(cid:107)+P (cid:107)Φ(cid:107))]n
hội tụ với (cid:107)Φ(cid:107) < 1−K1(cid:107)Ψ(cid:107) thì chuỗi Neumann (3.8) hội tụ đều với mọi λ ∈ Σ. Do đó, cùng với tính giải tích của Mλ, suy ra tính giải tích của Hλ. Sử dụng hệ thức (3.5) và biểu diễn của các giải thức chúng ta thu được tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ(t))t≥0 trong định lý sau đây.
Định lí 3.1.6 Giả sử các giả thiết của Định lý 2.2.9 được thỏa mãn. Nửa nhóm sinh bởi A ổn định mũ và (B, D(B)) là toán tử sinh của C0- nửa nhóm có nhị phân mũ (etB)t≥0 , và chuẩn của toán tử Ψ thỏa mãn (cid:107)Ψ(cid:107) < 1 . Khi đó, nếu chuẩn của toán tử trễ Φ là đủ nhỏ thì nửa nhóm K1 nghiệm (TB,F,Φ(t))t≥0 có nhị phân mũ.
Chứng minh. Theo Hệ quả 3.1.4, nửa nhóm (TB,0(t))t≥0 có nhị phân
N −1 (cid:80) n=0
n (cid:80) k=−n
[R(iω + mũ. Ta chứng minh rằng, nếu (cid:107)Φ(cid:107) đủ nhỏ thì tổng 1 N
N −1 (cid:88)
n (cid:88)
ik, GB,F,Φ)] bị chặn trong L(C0). Thật vậy, theo Bổ đề 3.1.5, ta có
n=0
k=−n
N −1 (cid:88)
n (cid:88)
(cid:2)R(iω + ik, GB,F,Φ)f (cid:3)(s) 1 N
iω+ik + ...)(cid:2)R(iω + ik, GB,0)
n=0
k=−n
= (cid:8)(1 + Miω+ik + M 2 1 N
N −1 (cid:88)
n (cid:88)
− eiω+ikR(iω + ik, B)Ψ(cid:3)f (cid:9)(s)
n=0
N −1 (cid:88)
k=−n n (cid:88)
= (cid:8)(cid:2)R(iω + ik, GB,0) − eiω+ikR(iω + ik, B)Ψ(cid:3)f (cid:9)(s)+ 1 N
n=0
k=−n
+ e(iω+ik)sU (s, 0)(Ψ + R(iω + ik, B)Φ){(cid:2)R(iω + ik, GB,0)
(3.9) 1 N − eiω+ikR(iω + ik, B)Ψ(cid:3)f }(s) + ...
với s ∈ R−.
Chú ý rằng, nửa nhóm(TB,0)t≥0 có nhị phân mũ, nên e−2πiω ∈ ρ(TB,0(2π))
với mọi ω ∈ R. Sử dụng công thức (xem [12, Bổ đề II.1.9])
0
(cid:90) t R(λ, GB,0)(1 − e−λtTB,0(t)) = e−λsTB,0(s)ds, λ ∈ ρ(GB,0)
28
ta thu được
0 (cid:90) 2π
(cid:90) 2π e−(iω+ik)tTB,0(t)(1 − e−2πiωTB,0(2π))−1dt, R(iω + ik, GB,0) =
0
e−(iω+ik)tetB(1 − e2πB)−1dt. R(iω + ik, B) =
N −1 (cid:88)
n (cid:88)
Số hạng đầu của (3.9) được tính như sau
n=0
k=−n
(cid:2)R(iω + ik, GB,0) − eiω+ikR(iω + ik, B)Ψ(cid:3)f 1 N
N −1 (cid:88)
n (cid:88)
0
n=0
k=−n
(cid:90) 2π = e−(iω+ik)t(cid:2)TB,0(t)(1 − e−2πiωTB,0(2π))−1 1 N
− e(iω+ik)etB(1 − e2πB)−1Ψ(cid:3)f dt
N −1 (cid:88)
n (cid:88)
0
n=0
k=−n
(cid:90) 2π e−ikt = (cid:21) e−iωt(cid:2)TB,0(t)(1 − e−2πiωTB,0(2π))−1 (cid:20) 1 N
− e(iω+ik)etB(1 − e2πB)−1Ψ(cid:3)f dt
0
(cid:90) 2π = σN (t)e−iωt(cid:2)TB,0(t)(1 − e−2πiωTB,0(2π))−1
− e(iω+ik)etB(1 − e2πB)−1Ψ(cid:3)f dt,
N −1 (cid:80) n=0
n (cid:80) k=−n
e−ikt. trong đó, σN (t) = 1 N
0
(cid:90) 2π Từ ≥ 0 và (3.10) σN (t) = σN (t)dt = 2π 1 − cos(N t) N (1 − cos t)
N −1 (cid:88)
n (cid:88)
(xem [17, Định lý 1.1]), chuẩn của số hạng đầu trong (3.9) được ước lượng bởi
n=0
k=−n
(cid:2)R(iω + ik, GB,0) − eiω+ikR(iω + ik, B)Ψ(cid:3)f ≤ C1 (cid:107)f (cid:107) 1 N (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
(3.11)
{(cid:107)(1 − e−2πiωTB,0(2π))−1(cid:107) + (cid:107)(1 − e2πB)−1(cid:107)(cid:107)Ψ(cid:107)} với C1 := 2π sup 0≤ω≤1
{(cid:107)TB,0(t)(cid:107) + (cid:107)etB(cid:107)}. × sup 0≤t≤2π
29
N −1 (cid:88)
n (cid:88)
Tiếp theo, ta tính toán số hạng thứ hai của (3.9). Với s ∈ R−, ta có
n=0
k=−n
N −1 (cid:88)
n (cid:88)
M(iω+ik)[(R(iω + ik, GB,0) − eiω+ikR(iω + ik, B)Ψ)f ](s) 1 N
n=0
k=−n
= (cid:20) e(iω+ik)sU (s, 0)(Ψ + R(iω + ik, B)Φ) R(iω + ik, GB,0) 1 N
(cid:21) f (s) − eiω+ikR(iω + ik, B)Ψ
N −1 (cid:88)
n (cid:88)
0
k=−n
(cid:19) (cid:18) (cid:90) 2π e(iω+ik)sU (s, 0) Ψ + e−(iω+ik)τ eτ B(1 − e2πB)−1dτ Φ = 1 N
n=0 (cid:90) 2π
0
(cid:20) e−(iω+ik)t × TB,0(t)(1 − e−2πiωTB,0(2π))−1
f (s)dt (cid:21) − e(iω+ik)etB(1 − e2πB)−1Ψ
N −1 (cid:88)
n (cid:88)
0
n=0
k=−n
(cid:90) 2π = e−ik(t−s) (cid:21) e−iω(t−s)U (s, 0)Ψ (cid:20) 1 N
× f (s)dt (cid:21) (cid:20) TB,0(t)(1 − e−2πiωTB,0(2π))−1 − e(iω+ik)tetB(1 − e2πB)−1Ψ
N −1 (cid:88)
n (cid:88)
0
0
(cid:90) 2π (cid:90) 2π e−ik(t+τ −s) (cid:21) f (s)e−iω(t+τ −s)U (s, 0)eτ B + (cid:20) 1 N
× (1 − e2πB)−1Φ
n=0 k=−n (cid:20) TB,0(t)(1 − e−2πiωTB,0(2π))−1 (cid:21) − e(iω+ik)tetB(1 − e2πB)−1Ψ
f (s)dτ dt
0
(cid:90) 2π = (cid:20) σN (t − s)e−iω(t−s)U (s, 0)Ψ TB,0(t)(1 − e−2πiωTB,0(2π))−1
f (s)dt (cid:21) − e(iω+ik)tetB(1 − e2πB)−1Ψ
0
(cid:90) 2π (cid:90) 2π + σN (t + τ − s)e−iω(t+τ −s)U (s, 0)eτ B(1 − e2πB)−1Φ
0 (cid:21) TB,0(t)(1 − e−2πiωTB,0(2π))−1 − e(iω+ik)tetB(1 − e2πB)−1Ψ
(cid:20) × f (s)dτ dt.
Do đó, sử dụng (3.10), chuẩn của số hạng thứ hai của (3.9) được ước
30
lượng bởi
C1
với C2 := 2π (cid:13) {(cid:107)etB(cid:107)} và C1 như trong (3.11). Bằng (cid:13)(1 − e2πB)−1(cid:13) (cid:0)(cid:107)Ψ(cid:107) + C2K1(cid:107)Φ(cid:107)(cid:1)(cid:107)f (cid:107) (cid:13) sup 0≤t≤2π
quy nạp có thể chỉ ra rằng chuẩn của số hạng thứ n của (3.9) được ước lượng bởi
C1((cid:107)Ψ(cid:107) + C2K1(cid:107)Φ(cid:107))n(cid:107)f (cid:107).
. Hơn nữa, chuỗi (cid:80)∞
N −1 (cid:80) n=0
n=0 C1((cid:107)Ψ(cid:107) + C2K1(cid:107)Φ(cid:107))n hội tụ nếu (cid:107)Φ(cid:107) < 1−(cid:107)Ψ(cid:107) C2K1 n (cid:80) k=−n
R(iω + ik, GB,F,Φ) bị chặn Do đó, đối với các (cid:107)Φ(cid:107) này tổng 1 N
trong L(C0).
R(iω+ik, GB,F,Φ)f Tiếp theo, ta chứng minh tính hội tụ của (C, 1) (cid:80) k∈Z
N −1 (cid:88)
n (cid:88)
với ω ∈ R, f ∈ C0. Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng ý tưởng của [17, Định lý 1.1]. Theo [37, III.4.5], ta chỉ cần chỉ ra tính hội tụ trên một không gian con trù mật là được. Thật vây, từ iR ⊂ ρ(GB,F,Φ) và áp dụng định lý ánh xạ phổ cho phổ dư (xem [12, Định lý IV.3.7]) ta có e−2πiω không thuộc phổ dư Rσ(TB,F,Φ). Suy ra (1 − e−2πiωTB,F,Φ(2π))C0 là một tập con trù mật của C0. Xét f = (1 − e−2πiωTB,F,Φ(2π))g. Khi đó
n=0
k=−n
R(iω + ik, GB,F,Φ)(1 − e−2πiωTB,F,Φ(2π))g) 1 N
N −1 (cid:88)
n (cid:88)
0
n=0
k=−n
(cid:90) 2π = e−(iω+ik)sTB,F,Φ(s)gds. (3.12) 1 N
Nên e−iωTB,F,Φ(.)g là hàm liên tục với hệ số Fourier
0
(cid:90) 2π Qk = e−(iω+ik)sTB,F,Φ(s)gds. 1 2π
Do đó, theo Định lý của Fejer (xem [26, Định lý I.3.1]), tổng trong (3.12) hội tụ khi N → ∞. Áp dụng Định lý 1.2.7 ta có điều cần chứng minh.
Lưu ý: Đối với hệ phương trình (2.2), (2.3) trong trường hợp F ut = u(t). Khi đó, hệ phương trình này trở thành hệ phương trình vi phân có trễ với quá khứ không ôtônôm. Kết quả đạt được về tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm (TB,Φ(t))t≥0 bởi N. T. Huy (xem [19]).
31
3.2 Ví dụ minh họa
Ta minh họa kết quả này bằng ví dụ sau.
Ví dụ 3.2.1 Xét phương trình trung tính
− k = − k + αw(x, t, 0) ∂w(x, t, 0) ∂t ∂w(x, t, −1) ∂t ∂2w(x, t, 0) ∂x2 ∂2w(x, t, −1) ∂x2 (cid:90) 0 − kw(x, t, −1)) + ψ(s)w(x, t, s)ds với 0 ≤ x ≤ π, t ≥ 0,
w(0, t, s) = w(π, t, s) = 0,
−∞ t ≥ 0 ≥ s, ∂2w(x, t, s) ∂x2
= − a(s) , ∀x ∈ [0, π], t ≥ 0 ≥ s ∂w(x, t, s) ∂t ∂w(x, t, s) ∂s
(3.13)
trong đó k và α là các hằng số thực thoả mãn |k| < 1, α > 1 và α (cid:54)= n2 ∀n ∈ N; cho các hàm ψ và ϕ sao cho ψ ∈ L1(R−) và ϕ liên tục, hàm a(·) ∈ L1,loc(R−) thỏa mãn a(·) ≥ γ > 0 với hằng số γ nào đó.
Ta chọn không gian Hilbert X := L2[0, π] và cho B : D(B) ⊂ X → X được xác định bởi B(f ) = f (cid:48)(cid:48) + αf với miền xác định
0 [0, π] := {f ∈ W 2,2[0, π] : f (0) = f (π) = 0}.
D(B) = H 2
Và xác định toán tử sai phân F và toán tử trễ Φ như sau
F : C0(R−, X) → X, F (f ) := f (0) − kf (−1)
−∞
(cid:90) 0 ψ(s)f (s)ds. Φ : C0(R−, X) → X, Φ(f ) :=
Rõ ràng, F và Φ là các toán tử tuyến tính bị chặn. Hơn nữa, (cid:107)Φ(cid:107) ≤ (cid:107)ψ(cid:107)L1.
Đặt A(s) := −a(s)∆, s ≤ 0, trong đó ∆(f ) = f (cid:48)(cid:48) với miền xác định 0 [0, π]. Toán tử −A(s) sinh ra họ tiến hóa lùi (U (r, s))r≤s≤0
D(∆) = H 2 cho bởi
r a(τ )dτ )∆, ∀r ≤ s ≤ 0.
U (r, s) = e((cid:82) s
Ta có
r a(τ )dτ ≤ e−γ(s−r) với mọi r ≤ s ≤ 0.
(cid:107)U (r, s)(cid:107) ≤ e− (cid:82) s
32
Do đó, ta có thể chọn các hằng số H = 1 và ω1 = −γ < 0 với ω1, H như trong Định nghĩa 2.2.1. Do đó, họ tiến hóa lùi (U (r, s))r≤s≤0 ổn định mũ đều. Hệ (3.13) được viết dưới dạng
F u(t, ·) = BF u(t, ·) + Φu(t, ·), t ≥ 0, (3.14)
(u(t, s)) = (u(t, s)) + A(s)u(t, s), t ≥ 0 ≥ s (3.15) ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂s
với u(t, s) = w(·, t, s).
Có thể thấy rằng, B là toán tử sinh của nửa nhóm giải tích (etB)t≥0
(xem [12]).
Từ σ(B) = {−1+α, −4+α, ..., −n2+α, ...} và α (cid:54)= n2 với mọi n ∈ N, suy ra σ(B) ∩ iR = ∅. Do đó, áp dụng Định lý Ánh Xạ Phổ cho các nửa nhóm giải tích chúng ta thu được nửa nhóm (etB)t≥0 có nhị phân mũ. 1 − |k| Định lý 3.1.6 suy ra rằng, nếu (cid:107)ψ(cid:107)L1 < {(cid:107)etB(cid:107)} 2π(cid:107)(1 − e2πB)−1(cid:107) sup 0≤t≤2π
thì nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ(t))t≥0 của hệ phương trình (3.14)và (3.15) cũng có nhị phân mũ.
33
Kết luận
Trong luận văn, nghiên cứu phương trình trung tính với quá khứ không ôtônôm. Bằng phương pháp nửa nhóm ta đã xây dựng nửa nhóm nghiệm liên tục mạnh thỏa mãn bài toán Cauchy cho phương trình này. Sau đó, chúng ta nghiên cứu tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm phương trình trên.
Đóng góp mới của tác giả trong luận văn: Chỉ ra một ví dụ cụ thể thỏa mãn các điều kiện của định lý 3.1.6.
34
Tài liệu tham khảo
[1] M. Adimy, K. Ezzinbi (1998), “A class of linear partial neutral func- tional differential equations with non-dense domain", J. Diff. Equ. 147, 285-332.
[2] A. Ben-Artzi, I. Gohberg (1992), “ Dichotomies of systems and in- vertibility of linear ordinary differential operators". Oper. Theory Adv. Appl. 56, 90-119.
[3] R. Bellman, K.L. Cooke (1963), Differential-Difference Equations,
Academic Press New York, London .
[4] R. Bellman (1949), “On the existence and boundedness of solutions to nonlinear differential-difference equations", Ann. Math. 50, 347- 355.
[5] R.E. Borden (1920), “On the adjoint of a certain mixed equation",
Bull. Amer. Math. Soc. 26, 408-412.
[6] S. Brendle and R. Nagel (2002), “Partial functional differential equa- tions with non-autonomous past", Discrete and Continuous Dynam- ical Systems, 8, 1 - 24.
[7] C. Chicone and Y. Latushkin (1999), Evolution Semigroups in Dy- namical Systems and Differential Equations, American Mathemat- ical Society.
[8] O. Diekmann, S.A. van Gils and S.M. Verduyn Lunel and H.O. Walther (1995), Delay Equations, Springer- Verlag, New York- Heidelberg-Berlin.
[9] R. Datko (1977), “Linear autonomous neutral differential equations
in a Banach space", J. Diff. Eq. 25, 258-274.
35
[10] K.J. Engel, R. Nagel (200), One-parameter Semigroups for Linear
Evolution Equations, Springer.
[11] K.-J. Engel (1999), “Spectral theory and generator property of one- sided coupled operator matrices", Semigroup Forum, 58, 267-295.
[12] K.J. Engel and R. Nagel (2000), One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Graduate Texts in Mathematics 194, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg.
[13] G. Fragnelli and D. Mugnai (2008), “Nonlinear delay equations with nonautonomous past", Discrete and Continuous Dynamical Sys- tems, 21, 1159 - 1183.
[14] G. Fragnelli and G. Nickel (2003), “Partial functional differential equations with nonau- tonomous past in Lp-phase spaces", Differ- ential Integral Equations,16, 327 - 348.
[15] B.C. Goodwin (1963), Temporal Organization in Cells, Academic
Press, New York.
[16] B.C. Goodwin (1965), “Oscillatory behavior of enzymatic control
processes", Advances in Enzyme Regulation, 13, 425 - 439.
[17] G. Greiner, M. Schwarz (1991), “Weak spectral mapping theorems for functional differential equations", J. Diff. Equ. 94, 205-256.
[18] N.T. Huy (2003), Functional partial differential equations and evolution semigroups, PhD Dissertation, University of T¨ubingen, T¨ubingen, Germany.
[19] N.T. Huy (2004), “Resolvents of operators and partial functional differential equations with non-autonomous past", Journal of Math- ematical Analysis and Applications, 289, 301 - 316.
[20] N.T. Huy and R. Nagel (2012), “Exponentially dichotomous gen- erators of evolution bisemigroups on admissible function spaces", Houston Journal of Mathematics, 2, 549 - 569.
[21] J. Hale (1994), “Partial neutral-functional differential equations",
Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 39, 339-344.
36
[22] J. Hale (1994), “Coupled oscillators on a circle. Dynamical phase
transitions", Resenhas 4, 441-457.
[23] J. Hale (1961), Asymptotic behavior of the solutions of differential- difference equations, Tech. Rep. 61-10, Rias, Baltimore, M.d..
[24] J. Hale and S.M. Verduyn Lunel (1993), “Introduction to Functional
Differential Equations", Springer.
[25] F. Jacob and J. Monod (1961), “On the regulation of gene activity", Cold Spring Harbor Symposia on Quantitative Biology, 26, 389 - 401.
[26] Y. Katznelson (1976), An Introduction to Hamonic Analysis, Dover
Publications, Inc. New York.
[27] F. Kappel, K.P. Zhang (1986), “Equivalence of
functional- differential equations of neutral type and abstract Cauchy prob- lems", Monatsh. Math. 101, 115-133.
[28] F. Kappel, K.P. Zhang (1986), “On neutral functional-differential equations with nonatomic difference operator", J. Math. Anal. Appl. 113, 311-343.
[29] M.A. Kaashoek, S.M. Verduyn Lunel (1994, “An integrability con- dition on the resolvent for hyperbolicity of the semigroup", J. Diff. Equ., 112, 374-406.
[30] N.V. Minh, F. R¨abiger and R. Schnaubelt (1998), “Exponential sta- bility, exponential expansiveness and exponential dichotomy of evo- lution equations on the half-line", Integral Equations Operator The- ory, 32, 332 - 353.
[31] R. Nagel (ed.) (1986), One-parameter Semigroups of Positive Oper- ators, Lecture Notes in Mathematics, 1184, Springer-Verlag, Berlin.
[32] J. van Neerven (1996), The Asymptotic Behaviour of Semigroups of Linear Operator. Operator Theory, Advances and Applications 88, Birkh¨auser-Verlag, Basel-Boston-Berlin.
37
[33] R. Nagel and Nguyen Thieu Huy (2003), “Linear neutral partial differential equations: a semigroup approach", International Journal of Mathematics and Mathematical Science, 23, 1433-1446.
[34] A. Pazy (1983), Semigroups of Linear Operators and Application to
Partial Differential Equations , Springer.
[35] R. Schnaubelt (2002), “Well-posedness and asymptotic behaviour of non-autonomous linear evolution equations", Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, 50 , 311 - 338.
[36] E. Schmidt (1911), “Uber eine Klasse linearer funktionaler Differ-
entialgleichungen", Math. Ann., 70, 499-524.
[37] H. H. Schaefer (1981), Topological Vector Spaces, Springer.
[38] M. Schwarz (1989), Lineare Funktionaldifferentialgleichungen und
ihre L¨osunghalbgrupen, PhD Thesis, T¨ubingen.
[39] H.R. Thieme (1998), “Positive perturbations of operator semi- groups: growth bounds, essential compactness, and asynchronous exponential growth", Discrete and Continuous Dynamical Systems, 4, 753 - 764.
[40] J. Wu (1996), Theory and Applications of Partial Functional Dif-
ferential Equations, Springer.
[41] J. Wu, H. Xia (1996), “Self-sustained oscillations in a ring array of
lossless transmission lines", J. Diff. Equ., 124, 247-278.
