Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các tính chất phủ né và cấu trúc của các nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hoàng Yến

CÁC TÍNH CHẤT PHỦ-NÉ VÀ CẤU TRÚC

CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hoàng Yến

CÁC TÍNH CHẤT PHỦ-NÉ VÀ CẤU TRÚC CỦA

CÁC NHÓM HỮU HẠN

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS.TS. Mỵ Vinh

Quang khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã dành nhiều

thời gian và công sức tận tình hướng dẫn giúp tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy PGS.TS. Trần Tuấn Nam, TS. Trần

Huyên, PGS.TS. Bùi Xuân Hải, PGS.TS. Bùi Tường Trí và quý thầy cô khoa Toán

đã giảng dạy cho tôi những kiến thức cơ bản về Đại số và Giải tích để từ đó tôi có

thể tự đọc thêm kiến thức và hoàn thành luận văn này.

Bên cạnh đó, tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư

phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban chủ nhiệm khoa Toán và quý Thầy Cô đã giảng

dạy, tạo điều kiện cho chúng tôi hoàn thành khóa học này.

Và để có được kết quả như ngày hôm nay, tôi đã nhận được những lời động

viên, đóng góp ý kiến của bạn bè và người thân.

Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này, khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi

mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc.

Xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Bảng ký hiệu dùng trong luận văn

MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................................... 2

Chương 2. CAP-NHÓM CON CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN .......................... 15

2.1. CAP-nhóm con của nhóm hữu hạn ....................................................... 15

2.2. Một số đặc trưng của nhóm giải được hữu hạn. ................................... 24

KẾT LUẬN .............................................................................................................. 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 42

BẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

H G≤

H G< ⋅

H là nhóm con của G

H là nhóm con tối đại của G

H G<

H là nhóm con thực sự của G

H G

H là nhóm con chuẩn tắc của G

GN H ( )

Cái chuẩn hóa của H trong G

C (

G H )

Z(

)G

Tâm hóa tử của H trong G

)GΦ (

Tâm G

)

p GΟ (

Nhóm con Frattini

p-nhóm con chuẩn tắc tối đại của G

H

Cấp của nhóm H

Aut(

)G

:G M

Nhóm các tự đẳng cấu của G

− 1x Mx

xM

Chỉ số của M trong G

,p p trong P

p p ' , '

Phần bù của

)

p GΟ (

p-nhóm con chuẩn tắc tối đại của G

GH

Lõi của H trong G

H char G H là nhóm con đặc trưng của G

1

MỞ ĐẦU

Lý thuyết nhóm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của Đại

số hiện đại. Bài toán cơ bản của lí thuyết nhóm là mô tả cấu trúc các nhóm với sự

chính xác đến một đẳng cấu, và nghiên cứu các phép biến đổi trên các nhóm. Trên

thực tế, việc mô tả cấu trúc các nhóm là không thể, chính vì thế mà lí thuyết nhóm

vẫn còn được tiếp tục nghiên cứu. Năm 1993, L.M. Ezquerro đã đưa ra một số tiêu

chuẩn của một nhóm hữu hạn G là p-siêu giải được và siêu giải được dựa trên giả

thiết tất cả các nhóm con tối đại của nhóm con Sylow của G có các tính chất phủ và

né. Trong phạm vi luận văn này, dựa theo kết quả của bài báo: “ Cover-avoidance

properties and the structure of finite groups” của Guo Xiuyun và K.P. Shum, tôi sẽ

trình bày một vài tiêu chuẩn của một nhóm hữu hạn giải được dựa trên giả thiết một

số nhóm con tối đại hoặc 2-nhóm con tối đại của nó có tính chất phủ và né. Mục

tiêu chính của luận văn này là nghiên cứu các tính chất cơ bản của các nhóm con có

tính chất phủ - né và những ảnh hưởng của nó lên cấu trúc của một nhóm hữu hạn.

Đặc biệt, là nghiên cứu các nhóm con có tính chất phủ và né trong sự liên hệ với

tính giải được, tính lũy linh của một nhóm hữu hạn. Nội dung chính của luận văn

gồm 2 chương.

Trong chương 1, ta sẽ định nghĩa các khái niệm cơ bản như các nhóm con

đặc trưng, nhóm giải được, nhóm lũy linh,... và chứng minh một số kết quả quan

trọng sẽ được sử dụng trong việc chứng minh các định lí ở chương 2.

Trong chương 2, ta sẽ định nghĩa CAP-nhóm con của một nhóm và tìm hiểu

vài tính chất của nó để thấy sự liên hệ giữa các nhóm con có tính chất phủ và né với

tính giải được, tính lũy linh của một nhóm hữu hạn.

Mặc dù bản thân có nhiều cố gắng nhưng với thời gian và kiến thức có hạn

nên không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong những ý kiến đóng góp, phê

bình của quý Thầy Cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn.

2

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Nhóm con tối đại, 2-nhóm con tối đại, nhóm con tối tiểu

Cho G là nhóm, L G<

<

< . Kí

i) Nhóm con tối đại, 2-nhóm con tối đại

L gọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại M G< sao cho L M G

. hiệu L G< ⋅

K gọi là 2-nhóm con tối đại của G nếu K là nhóm con tối đại của L.

ii) Nhóm con tối tiểu

1L ≠ và không tồn tại N G<

<

< .

1 N L

L gọi là nhóm con tối tiểu của G nếu sao cho

1.2. Định nghĩa nhóm con chuẩn tắc tối đại, tối tiểu

Cho G là nhóm, N G . Khi đó:

N gọi là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G nếu không tồn tại M G sao cho

N M<

.

1N ≠ và không tồn tại K G sao

<

N gọi là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G nếu

< cho 1 K N

.

1.3. Định lí

:G N n= là nguyên tố cùng nhau. Khi đó G chứa các nhóm con cấp m và hai

và Cho N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm hữu hạn G. Giả sử N m=

nhóm con cấp m bất kì liên hợp với nhau trong G [6, Định lí 9.1.2, trang 253].

1.4. Nhóm con Frattini

3

1.4.1. Định nghĩa

Nhóm con Frattini của nhóm G được định nghĩa là giao của tất cả các nhóm

)GΦ (

Φ

con tối đại của G và được kí hiệu là . Nếu nhóm G không có nhóm con tối đại

(

= )G G

thì ta quy ước .

Φ

1.4.2. Mệnh đề

)GΦ (

(

)G G

 .

Cho G là một nhóm. Khi đó, char G, do đó

1.5. Chuẩn hóa tử, tâm hóa tử, lõi

1

. Khi đó, ta định nghĩa: Cho G là nhóm, K G≤

gK

g Kg−=

gọi là nhóm con liên hợp của K trong i) Với mọi g G∈ , nhóm con

g

=

G.

N (

)

g G K

K

G K

gọi là chuẩn hóa tử của K trong G. ii)

{ = ∈

}

=

∀ ∈ gọi là tâm hóa tử của K trong G.

C (

)

g G gk

kg

,

k K

{ = ∈

}

G K

=

=

∀ ∈ gọi là tâm giao hoán của G.

Z(

)

,

G

G

g G xg

gx

x G

iii)

{ = ∈

}

) C ( G

g

iv)

K

K

G

= ∩ ∈ g G

gọi là lõi của K trong G. v)

1.6. Định lí

Cho G là nhóm hữu hạn. Nếu K G và P là p-nhóm con Sylow của K thì

= G K

P

)

N ( G

[6, Định lí 5.2.14, trang 136].

1.7. Nhóm con đặc trưng

1.7.1. Định nghĩa

4

α = )K

(

K

α∈

, K gọi là nhóm con đặc trưng của G nếu Cho G là nhóm, K G≤

K

G .

char

Aut(

)G

với mọi , kí hiệu

H

char

1.7.2. Định lí

G thì H G .

α

∈

≤

i) Nếu

Aut(

G

),

α (

H

)

H

H

char

G .

K

char

thì ii) Với mọi

H và H G thì K G [1, Mệnh đề 8.2, trang 35].

iii) Nếu

=

,x y

− − 1 1 x y xy

1.8. Nhóm con dẫn xuất

,x y G∈ , kí hiệu [

]

,x y được gọi là hoán tử của x và y.

. Cho G là một nhóm và với mỗi

]

Khi đó, [

Nhóm con sinh bởi tập các hoán tử của G được gọi là nhóm con dẫn xuất của

'G .

G và được kí hiệu là

'G là nhóm con chuẩn tắc của G.

1.9. Định lí

'G là nhóm con nhỏ nhất sao cho

'G G là nhóm Abel

i)

'G là nhóm con đặc trưng của G [1, Định lí 2.16 trang 19].

ii)

iii)

1.10. Định nghĩa phần bù

,H K G≤ . K được gọi là phần bù của H trong G nếu

Cho G là nhóm và

H K∩ = .

1

G HK=

và

1.11. Định lí Sylow

1.11.1. Định nghĩa nhóm con Sylow

Cho G là nhóm hữu hạn, p là một số nguyên tố. Khi đó, ta định nghĩa:

i) G được gọi là p- nhóm nếu G có cấp là lũy thừa của p.

5

ii) Nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con của G nếu H là một p-nhóm.

iii) Nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con Sylow của G nếu H là phần tử

tối đại trong tập các p-nhóm con của G theo quan hệ bao hàm.

=

a G p m m p

,

,

1

= . Khi đó:

1.11.2. Định lí Sylow

(

)

Cho p là số nguyên tố, G là nhóm hữu hạn,

i) Mọi p-nhóm con của G đều nằm trong một p-nhóm con Sylow nào đó của G.

≡

Đặc biệt, vì 1 là một p-nhóm con nên các p-nhóm con Sylow luôn tồn tại.

1 mod

p

pn là số các p-nhóm con Sylow thì

pn

. ii) Nếu

iii) Tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau.

1.11.3. Định lí

=

≤

Cho P là một p-nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn G.

H

H

)

)

≤ G P H G

N ( G

thì . i) Nếu N (

ii) Nếu N G thì P N∩ là một p-nhóm con Sylow của N và PN N là một p-

nhóm con Sylow của G N [6, Định lí 1.6.18, trang 41].

<

1.11.4. Định lí

H

H

)

N ( G

. Khi đó, . Cho G là p-nhóm không tầm thường và H G<

Chứng minh

Ta chứng minh qui nạp theo cấp của G.

Giả sử G là nhóm có cấp nhỏ nhất không thỏa mãn mệnh đề.

) 1G ≠ nên

H H G

Z(

)



. Vì H G< và Z(

<

≤

6

H H G

H

Z(

)

)G

H≤

)G

H≤

) N ( G

Z(

)

G G . Z(

)

H

G là nhóm con thực của

thì . Khi đó, Nếu Z( . Do đó, ta giả sử Z(

H

Z(

G

< ) N

(

H

Z(

G

))

G

Z(

G

)

Theo giả thiết qui nạp, ta có . Gọi K là nhóm con của G

H

Z(

G

)

K

Z(

G

)

K

G

H

G

Z(

= ) N

(

Z(

))



G

G

Z(

)

≤

. Vì chứa H sao cho nên H K .

< H K

H

)

N ( G

. Suy ra,

1.11.5. Định lí Cauchy

Cho G là một nhóm, nếu một số nguyên tố p chia hết cấp của G thì G có

chứa một phần tử cấp p.

a

G p m=

Chứng minh

1

,

m p = . Theo định lí Sylow tồn tại p-nhóm

)

Giả sử , trong đó (

con cấp p của G và do đó nhóm này là nhóm cyclic sinh bởi phần tử cấp p.

1.12. Nhóm giải được

}i nN

=

≤

≤

≤

=

Cho G là nhóm . Dãy các nhóm con của G là một họ các nhóm con {

N

N

N

G

1

...

(1)

0

1

n

=

như sau:

− thì dãy (1) được gọi là dãy chuẩn tắc của

i

0,1,...,

n

1

N

i

N + i 1

=

=

với • Nếu

N

N

N

N

G

1



...  

N+ 1i

i

0

1

n

G và được viết lại là . Khi đó, mỗi được gọi là

nhân tử của dãy.

N

N

N+ 1i

i

N+ 1i

i

là nhóm đơn thì được gọi là nhân tử hợp thành • Nếu nhân tử

của G.

N

N

i

N+ 1i

iG N thì

N+ 1i

i

là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu được • Nếu nhân tử

gọi là nhân tử chính của G.

1.12.1. Định nghĩa

7

=

=

=

Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu nó có một dãy chuẩn tắc

i

0,1,...,

n

− . 1

1

N

N

N

G

N



...  

0

1

n

N+ 1i

i

sao cho là nhóm Abel với

Khi đó, dãy trên được gọi là dãy Abel của G. Độ dài dãy Abel ngắn nhất

trong G gọi là độ dài dẫn xuất trong G.

1.12.2. Định lí

Cho G là nhóm giải được, H là nhóm con của G. Khi đó:

i) H là nhóm giải được.

ii) Nếu H G thì G H là nhóm giải được [1, Định lí 8.12, trang 39].

1.12.3. Hệ quả

giải được. Hai nhóm H và K đều giải được khi và chỉ khi H K×

1.12.4. Định lí

Mọi p-nhóm G hữu hạn đều giải được [1, Định lí 8.14, trang 40].

1.12.5. Định lí

Cho G là nhóm hữu hạn giải được. Khi đó mọi nhân tử hợp thành của G có

cấp là số nguyên tố [6, Định lí 5.4.3 trang 148].

1.13. Định nghĩa p-nhóm Abel sơ cấp

Cho p là một số nguyên tố và G là một p-nhóm hữu hạn. Khi đó, G được gọi

là một p-nhóm Abel sơ cấp nếu G là tích trực tiếp của hữu hạn nhóm cyclic cấp p.

Do đó N là một p-nhóm Abel sơ cấp nếu và chỉ nếu N là nhóm Abel thỏa

= ∀ ∈ .

px

x N

1,

điều kiện

1.14. Định lí

8

Nếu G là nhóm hữu hạn giải được thì mọi nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G

đều là p-nhóm con Abel sơ cấp [1, Định lí 11.3, trang 53].

1.15. Nhóm con Hall, p-nhóm con chuẩn tắc tối đại

'p là phần bù của p trong tập

Cho p là tập không rỗng các số nguyên tố và

tất cả các số nguyên tố.

• Một số nguyên dương n được gọi là một p-số nếu các ước nguyên tố của n

thuộc p.

• Một phần tử của G được gọi là p-phần tử nếu cấp của g là một p-số.

• Một nhóm G được gọi là một p-nhóm nếu mọi phần tử của G đều là p-phần

{ }pp =

tử. Trường hợp đặc biệt, khi thì p-nhóm chính là p-nhóm.

• Một nhóm con H của một nhóm G được gọi là một p-nhóm con Hall của G

'p -số.

:G H là một

nếu H là một p-nhóm và

G H H = . Hơn nữa, p-nhóm con Sylow của G là một trường hợp đặc biệt

1

:

,

Trong một nhóm G hữu hạn bất kì, H là một nhóm con Hall của G nếu và chỉ

)

nếu (

của p-nhóm con Hall khi p chỉ chứa một số nguyên tố p.

Trong nhóm G hữu hạn bất kì, giả sử H và K là các p-nhóm con, K G .

Khi đó H K∩ và HK K là các p-nhóm. Do đó HK là p-nhóm. Vì vậy nhóm con

sinh bởi tất cả các p-nhóm con chuẩn tắc của G là p-nhóm. Đây là p-nhóm con

)GpΟ (

chuẩn tắc lớn nhất duy nhất của G, kí hiệu:

)

p GΟ (

Trường hợp đặc biệt p chỉ chứa một số nguyên tố p, là p-nhóm con

chuẩn tắc tối đại của G.

1.16. p-giải được, p-lũy linh, p-phần bù chuẩn tắc, p-đóng, nhóm con

Thompson

9

1.16.1. Định nghĩa

Cho G là nhóm hữu hạn và p là số nguyên tố. Ta định nghĩa:

i) G được gọi là nhóm p-giải được nếu mọi nhân tử hợp thành của G hoặc là p-

'p -nhóm.

nhóm hoặc là

ii) Gọi P là p-nhóm con Sylow của G. Nhóm G được gọi là nhóm p-lũy linh nếu

P N∩ = .

1

và trong G có nhóm con chuẩn tắc N sao cho G PN=

Khi đó N được gọi là p-phần bù chuẩn tắc của G.

)A P là tập các nhóm con Abel của P có cấp

(

iii) Nhóm G được gọi là p-đóng nếu nó có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc.

iv) Với p-nhóm P bất kì, ta kí hiệu

=

∈ A A A P

J P (

)

(

)

J P được gọi là nhóm con Thompson của P.

(

)

tối đại. Khi đó ta định nghĩa

1.16.2. Định lí (Glauberman - Thompson)

J P có một p-phần bù chuẩn tắc thì G cũng có một p-

Cho P là p-nhóm con Sylow của nhóm G hữu hạn, trong đó p là một số

)))

(

G

nguyên tố lẻ. Nếu N (Z(

phần bù chuẩn tắc [4, Định lí 8.3.1, trang 280].

1.16.3. Định lí

Cho số nguyên tố p. Nếu một p-nhóm con Sylow P của nhóm hữu hạn G

nằm trong tâm chuẩn hóa tử của nó thì G là p-lũy linh [6, Định lí 10.1.8, trang 289].

1.16.4. Định lí

Cho p là số nguyên tố nhỏ nhất chia hết cấp của nhóm hữu hạn G. Giả sử G

không là nhóm p-lũy linh. Khi đó các p-nhóm con Sylow của G không là nhóm

3p hoặc 12 [6, Định lí 10.1.9, trang 289].

cyclic. Hơn nữa, G chia hết cho

10

1.17. Nhóm lũy linh

1.17.1. Định nghĩa

=

Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu G có một dãy tâm, tức là G có một

1

= G G

...  

G G  1

0

n

≤

Z

,

∀ = i

0,

n

− . 1

(

)

G G + 1 i

i

G G i

dãy các nhóm con chuẩn tắc sao cho

Nhận xét: Mọi nhóm Abel đều là nhóm lũy linh

1.17.2. Định lí

Mọi nhóm lũy linh đều giải được [1, Mệnh đề 9.14, trang 45].

1.17.3. Định lí

Nếu G là một p-nhóm hữu hạn thì G là nhóm lũy linh.

1.17.4. Định lí

Cho G là nhóm lũy linh. Khi đó:

thì M là nhóm lũy linh. i) Nếu M G≤

ii) Nếu M G thì G M là nhóm lũy linh.

là nhóm lũy linh. iii) Nếu M và N là hai nhóm lũy linh thì M N×

1.17.5. Định lí

Giả sử mọi nhóm con tối đại của nhóm hữu hạn G là nhóm lũy linh nhưng G

không lũy linh. Khi đó:

i) G là nhóm giải được.

m n = G p q

trong đó p và q là hai số nguyên tố khác nhau. ii)

11

iii) Có một p-nhóm con Sylow P duy nhất và một q-nhóm con Sylow Q là nhóm

cyclic. Do đó G QP= và P G [6, Định lí 9.1.9, trang 258].

1.17.6. Định lí

Cho nhóm hữu hạn G không là p-lũy linh nhưng các nhóm con tối đại của G

:G P là lũy thừa số nguyên tố q

p≠ . Hơn nữa mọi nhóm con tối đại của G là

là các nhóm p-lũy linh. Khi đó G có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc P sao cho

nhóm lũy linh [6, Định lí 10.3.3, trang 296].

1.17.7. Định lí

Nếu nhóm hữu hạn G có một nhóm con tối đại lũy linh M có cấp lẻ thì G là

nhóm giải được [6, Định lí 10.4.2, trang 303].

1.17.8. Định lí

Giả sử nhóm hữu hạn G là nhóm không giải được có một nhóm con tối đại

≅

lũy linh M. Gọi T là 2-nhóm con Sylow duy nhất của M và U là 2-phần bù duy nhất

≤ ) Z(

Z(

),

)

Z(

)

U

G G U

× G U U U

và G U là nhóm của M. Khi đó U G , Z(

không giải được nhưng các 2-nhóm con Sylow của G U là các nhóm con tối đại.

) 1G = thì M là 2-nhóm con Sylow của G [7, Định lí 1, trang 183].

Đăc biệt, nếu Z(

1.17.9. Định lí

Cho H là nhóm con tối đại của nhóm G. H là nhóm lũy linh và các 2-nhóm

con Sylow của H có lớp 2≤ . Khi đó, G là nhóm giải được.

1.17.10. Định lí

)GΦ (

Nếu G là một nhóm hữu hạn thì là nhóm con lũy linh của G.

1.18. Nhóm con X-bất biến, nhóm con nguyên thủy

1.18.1. Định nghĩa

12

Cho G và X là hai nhóm. Khi đó ta định nghĩa:

x

∈

=

:x =

U

{ u u U U

}

i) Nhóm con U của G là X-bất biến nếu với mọi x X∈ :

≠

1

⇒ = N M M N N

(

)



G

ii) Nhóm con M của G là nhóm con nguyên thủy nếu M thỏa điều kiện:

1.18.2. Định lí

M N∩ = 1

p

Mp∈ (

)

Cho M là nhóm con nguyên thủy, và N G . Giả sử

≠ . Khi đó:

) 1

p MΟ (

p

Np∈ (

)

và

a)

)

q

Np∈ (

tồn tại duy nhất một q-nhóm con Sylow M-bất biến của b) Với mọi

≥ thì M không là nhóm con tối đại của G.

Np (

)

2

N.

c) Nếu

1.19. Định lí

Nếu G là nhóm hữu hạn, lũy linh thì mọi nhóm Sylow chuẩn tắc trong G.

Chứng minh

<

Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

H

H

)

N ( G

≤

G

H

. Khi đó . Thật vậy: Cho G là nhóm lũy linh và H G<

)

) N ( G

<

≤

Vì G là nhóm lũy linh nên Z(

H H G

Z(

H

)

)G

H≤/

) N ( G

thì . • Nếu Z(

13

)G

H≤

thì ta chứng minh qui nạp theo cấp của G. • Nếu Z(

Z(

< ) N

Z(

)

H

G

H

G

G G . Theo giả thiết qui nạp:

Z(

)

(

)

Z(

)

G

G

Xét nhóm thương

K

Z(

G

< ) N

H

Z(

G

)

(

)

G

Z(

G

)

≤

Gọi K là nhóm con của G sao cho .

H

Z(

G

)

K

Z(

G

)

)

< H K

H



N ( G

. Vì nên H K . Suy ra

Bây giờ ta chứng minh định lí

∈

=

g

P

)

Gọi P là p-nhóm con Sylow của G.

g

P

P g )

).

)

( N N ( G

G

− 1N ( G

N ( G

Với mọi ta có

P

P

)

1g Pg−



N ( G

=

là p-nhóm con Sylow của G và Mặt khác

− 1 g Pg

−≤ g

P g )

P

)

1N ( G

N ( G

−⇒ 1

=

⇒

=

)

)

)

g Pg P

⇒ ∈ g

P

P

P

)

N ( G

( N N ( G

G

N ( G

=

Suy ra

G

P

)

N ( G

Theo bổ đề trên ta có . Vậy P G .

1.20. Định lí

Mọi nhóm con chuẩn tắc tối tiểu K của nhóm hữu hạn G là tích trực tiếp

m= 1,

)

× × ...

iT i (

T m

= K T 1

trong đó là các nhóm con đơn chuẩn tắc tối tiểu của K

liên hợp trong G.

Chứng minh

∀ ∈ của T là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của K.

− 1 x Tx

,

x G

Gọi T là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của K. Khi đó, các nhóm liên hợp

=

S

14

}

{ T 1,..., m T

=

= :

,...,

× × ...

L

 . K

T 1

T 1

T m

T m

là tập tối đại các liên hợp của T thỏa mãn tính chất sau Chọn

Gọi H là nhóm liên hợp của T trong G. Khi đó H là nhóm con chuẩn tắc tối

=

=

× .

tiểu của K. Suy ra H L∩ là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của K. Do đó, hoặc H L≤

,H L HL H L

hoặc

Nhưng do cách chọn S nên H L≤ . Suy ra L chứa tất cả các nhóm liên hợp của T

≠ ≤

trong G. Vậy L G .

× × ...

= = K L T 1

T m

và K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G nên . Vì 1 L K

m= 1,

)

× × ...

iT i (

iT là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu trong

T 1

T m

iT là

, nên Với mọi

nhóm đơn.

15

Chương 2. CAP-NHÓM CON CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN

Trong luận văn này, ta chỉ xét các nhóm hữu hạn.

2.1. CAP-nhóm con của nhóm hữu hạn

2.1.1. Định nghĩa

và H K là nhân tử chính của G . Ta nói: Cho G là nhóm, A G≤

∩ ≤

∩ = ∩ ;

; hay HA KA= (1) A phủ H K nếu H KA≤

hay H A K A (2) A né H K nếu H A K

(3) A gọi là CAP- nhóm con của G nếu A hoặc là phủ hoặc là né mỗi nhân tử

chính của G .

và H K là nhân tử chính của G. Khi đó, nếu A Nhận xét: Cho G là nhóm, A G≤

phủ H K thì A không né H K và ngược lại. Thật vậy, giả sử A phủ và né H K .

∩ = ∩ và H A K A

HA

KA

K

≅

=

≅

Ta có HA KA=

∩ H A

A

A

∩ K A

Mà H nên H K=

Điều này mâu thuẫn vì K H<

G S=

2.1.2. Ví dụ

4

≤

,

,

,

Cho là nhóm đối xứng bậc 4. Khi đó, nhóm G chỉ có một dãy chuẩn

G

≤ 1 V 4

≤ A G 4

A S A D là các CAP-nhóm con của 4

8

3

3

tắc . Dễ thấy .

2.1.3. Tính chất

Cho G là nhóm giải được

G

G

là các CAP-nhóm con của . i) Mọi nhóm con tối đại của

16

G

G

là các CAP-nhóm con của . ii) Mọi nhóm con Hall của

Chứng minh

=

=

và K L là nhân tử chính của G. i) Giả sử M G< ⋅

= thì MK ML G

= thì MK ML M

∩ thì M L K L G L

. • Nếu L M≤/ , hoặc K M≤



∩

=

⇒ ≤

M L K L K L

K M

(!)

∩ M L K L

M K L M L

1

. Do tính tối tiểu của K L và K M≤/ • Nếu L M≤

= ⇒ ∩ ⊂ = ∩

hoặc nên

G

Vậy M là CAP-nhóm con của .

ii) Giả sử H là nhóm con Hall của G và K L là nhân tử chính của G. Vì G là

nhóm giải được nên G L là nhóm giải được. Mặt khác, K L là nhóm con chuẩn tắc

tối tiểu của G L nên theo định lí 1.15, K L là p-nhóm Abel sơ cấp với p là số nguyên tố.

'p -nhóm

Trường hợp 1: H là

∃

+

1

u v tu :

,

pv

t p = , ta có x L∈ . Thật vậy, khi đó ,

Do K L là p-nhóm Abel sơ cấp nên với mọi phần tử x K∈ có cấp là t sao

)

= . 1

p

p

+ tu pv

tu

pv

=

=

=

∀ ∈

x

x

x

.

x

(

x

p v )

∈ (vì L

x K x

:

L

1

= ⇒ ∈ ) x

∩ = ∩ =

cho (

Suy ra H K H L H

Trường hợp 2: H là p-nhóm

k

l

k

l

∩ =

∩ =

=

=

<

H K

p

H L

p

K

p m L ,

.

p m l . (

k

)

Do H là nhóm con Hall nên H là p-nhóm con Sylow của G .

. Suy ra, và Giả sử

=

=

=

=

HL

HK

H m .

H m .

17

H K ∩ H K

H L ∩ H L

và Khi đó,

. Do đó, ta có HK HL=

G

Vậy H là CAP-nhóm con của .

2.1.4. Định nghĩa

=

< ⋅

F

/

{ M M G

} .

Cho G là nhóm và p là số nguyên tố. Đặt

/M M ∈F và M không lũy linh}.

n =F

{

:G M là hợp số}.

/M M ∈F và

c =F

p =

F

(

{

G

/M M ∈F và

GN P M≤ )

op

F

p F

= G

Gp∈ ( p

{ } − ) 2

pcn

p

=

F

F

∩ ∩ F c

F n

ocn

op

=

F

F

∩ ∩ F c

F n

{ với một p-nhóm con Sylow P của }.

Đây là họ các nhóm con của G .

pcn

pcn

=

∈

F

F

2.1.5. Định nghĩa

pcnS

(

G G= )

S

(

G

)

pcn = / 0



. Nếu .

{ M M /

}

ocn

=

∈

F

F

thì

ocnS G G= )

(

ocn S G (

)

ocn = / 0



. Nếu .

{ M M /

}

thì

Nhận xét:

pcnS

(

G và )

ocnS G là các nhóm con đặc trưng của G. Thật vậy:

)

(

18

F

•

pcnS

(

G char G.

)

pcn = / 0

pcn

pcn

ϕ∈

F

∈F

thì hiển nhiên Nếu

pcn = // 0

Aut(

)G

)

Mϕ− 1(

M∀ ∈F

pcn

pcn

pcn

≤

⇒

≤

=

− 1 ϕ

− 1 ϕ

− 1 ϕ

S

(

G

)

(

M

)

S

(

G

)

(

M

)

(

S

(

G

))

Nếu thì và ta có

pcn

∩ ∈ F

M

pcn

pcn

≤

Suy ra

S

G

S

G

ϕ (

(

))

(

)

(

)

pcnS

G char G.

Khi đó, nên theo định lí 1.8.2, ta có

ocnS G char G.

(

)

pcn

Φ

≤

≤

Chứng minh tương tự ta cũng có

ocn G S G S

)

(

)

(

(

G

)

. Với nhóm G bất kì, ta luôn có •

2.1.6. Bổ đề (Schaller [9, Lemma 1.4])

Cho G là nhóm, N G và A là một CAP-nhóm con của G. Khi đó, AN là một

CAP-nhóm con của G.

Chứng minh

≤

≤

Gọi K L là nhân tử chính của G.

1

. thì AN phủ K L vì ANK ANNL ANL • Nếu K NL≤

NK NL ≠ và NK NL là nhân tử chính của G.

→ :p G L G NL

thì • Nếu K NL≤/

Thật vậy, xét toàn cấu chiếu .

g

<

<

− 1(

p M G L )

p M K L )

− 1(

g





sao cho M NK NL . Khi đó và Giả sử M G NL

p M− 1(

= . Suy ra ) 1

1M = .

Do tính tối tiểu của K L nên

19

Vì A là CAP-nhóm con của G nên ta xét các trường hợp sau:

≤

Trường hợp 1: A phủ NK NL .

≤ Khi đó, K NK ANL

. Suy ra, AN phủ K L .

=

=

∩

≤

≤ ∩

∩

Trường hợp 2: A né NK NL .

(

)

(

∩ NK AN

∩ NK A N

) NL A N NL

∩ =

∩ ≤

∩

= . Vậy AN né K L .

AN K NL K L N K

L

(

)

. Suy ra, và Khi đó, A NK A NL

pcn

2.1.7. Bổ đề

≤ N S

G

(

)

. Nếu p là số nguyên tố lớn Cho G là nhóm, N G sao cho

)Np thì hoặc G là nhóm giải được hoặc N là nhóm p-đóng. Trong cả

(

nhất trong

hai trường hợp, N luôn là p- giải được. Đặc biệt, nếu p là số nguyên tố lớn nhất chia

pcnS

(

G thì )

pcnS

(

G là nhóm p-giải được.

)

hết cấp của

Chứng minh

Giả sử G không là nhóm giải được, ta sẽ chứng minh N là nhóm p-đóng.

p = . Bây giờ, ta giả sử p là số nguyên tố lẻ.

2

Dễ thấy, bổ đề đúng với

1P là p-nhóm con Sylow của N.

∈

P Syl G

(

)

Gọi

= ∩ .

p

1P P N

sao cho Khi đó, theo định lí Sylow, tồn tại

1P G thì N là nhóm p-đóng.

Nếu

1P không chuẩn tắc trong G. Khi đó, tồn tại một nhóm con tối đại M của G

≤

=

P

)

Giả sử

= ∩ nên

P

)

N

P

)

∩ ⇒ 

≤ P M 1

N ( G

) N ( G

1P P N

P 1

N ( G

P 1

N ( G

= G N

)

(do ) sao cho

:G M là hợp số.

P 1N ( G

Theo định lí 1.6, ta có . Ta sẽ chứng minh

:G M q= là số nguyên tố. Khi đó, theo định lí Sylow, ta

20

≡

≡

≡

G

P

)

p 1(mod )

)

G M :

p 1(mod )

P

1(mod ) p

Giả sử ngược lại,

: N ( G

: N ( GM

q

= + 1

kp

(1)

có (vì và ).

=

=

G M M

N

N

:

)

)

)

Suy ra

: N ( G

P 1

) N ( G

P 1

) N ( N

P 1

N ( G

P 1

) N ( N

P 1

N ( G

P 1

Mặt khác,

)

= ∩ N

)

N ( N

P 1

N ( G

P 1

q M

)

N=

trong đó

: N ( G

P 1

) N ( N

P 1

Hay

q N

(2)

Suy ra

p> (điều này mâu thuẫn với p là số nguyên tố lớn nhất trong

:G M là hợp số.

)Np ). Vậy

(

Từ (1) và (2) suy ra q

Nếu M là nhóm lũy linh thì theo định lí 1.17.7 ta có M là số chẵn.

G .

2'M

2'M là 2’-nhóm con Hall của M. Theo định lí 1.17.8, ta có

Gọi

2'M nên theo định lí 1.19 ta

ϕ∈

Aut(

P

char

Mặt khác, P là p-nhóm con Sylow của nhóm lũy linh

M . Thật vậy, với mọi

)Pϕ là p-

(

P M

2'

)M 2'

2'

. Khi đó, ta có có

2'M . Do mọi p-nhóm con Sylow đều liên hợp với nhau nên

=

−= 1

g M∈

nhóm con Sylow của

= .

− 1 g Pg

Pϕ (

)

ϕ (

)P

g Pg P

P M

2'

2'

tồn tại sao cho . Vì nên

Theo định lí 1.7.2, ta có P G .

= ∩  (điều này mâu thuẫn với giả thiết

1P không là nhóm con

1P P N G

Do đó

pcn

≤

<

= G N

P M G

)

chuẩn tắc của G). Suy ra, M không lũy linh.

M ∈F

1N ( G

Khi đó, suy ra ). (do N M≤

Điều này vô lí.

21

Vậy N là p-đóng.

2.1.8. Hệ quả

p

Cho p là số nguyên tố lớn nhất chia hết cấp của nhóm G. Nếu mọi nhóm con

F là nhóm lũy linh thì G là nhóm p-giải được.

c∩F

tối đại M của G trong

F

Chứng minh

pcn = / 0

pcnS

(

G G= )

Theo giả thiết ta có nên .

Khi đó, theo định lí 2.1.7 suy ra G là nhóm p-giải được.

2.1.9. Bổ đề

ocnS G là nhóm giải được.

(

)

Với nhóm G bất kì,

Chứng minh

ocnS G ≠ và N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G sao cho

) 1

(

ocn

ocn

ocn

≤

≤

S G N S )

(

G N

Giả sử

N S G

(

)

)

(

. Khi đó, rõ ràng .

Ta sẽ chứng minh qui nạp theo cấp của G. Giả sử điều này đúng với mọi

ocnS

G N là nhóm giải được. Suy ra

ocnS G N là nhóm giải được.

(

)

(

)

nhóm có cấp nhỏ hơn cấp của G. Ta có G N G≤ nên theo giả thiết qui nạp

ocnS G là nhóm giải được.

)

(

Khi đó, nếu N là nhóm giải được thì

Vậy ta giả sử N không là nhóm giải được. Gọi p là số nguyên tố lớn nhất chia

1P là p-nhóm con Sylow của N sao cho

1P P≤ , trong đó P là p-

hết cấp của N và

≤

≤

≤

nhóm con Sylow của G. Khi đó, tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho

P

)))

M

J P là nhóm con Thompson của

)

N ( G

) N ( G

P 1

) N (Z( G

J P ( 1

1(

=

, trong đó

= G N

)

NM

1P . Theo định lí 1.6, ta có

P 1N ( G

.

= +

:G M q= là số nguyên tố thì theo định lí Sylow ta có

22

1q

kp

]

q N . Điều này mâu thuẫn với p là số nguyên tố lớn nhất chia cấp của N. Do đó

:G M là hợp số.

[

]

)))

và Nếu [

N (Z( G

J P ( 1

Nếu M là nhóm lũy linh thì là nhóm lũy linh. Suy ra

)))

p > nên theo định lí 1.16.2 ta

2

N (Z( N

J P ( 1

là nhóm lũy linh. Vì ta có thể giả sử

=

∩ = . Mặt khác, do N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G nên theo

N PK K P ,

1

có N là p-lũy linh. Suy ra, N có nhóm con p-phần bù chuẩn tắc K sao cho

m= 1,

)

× × ...

iT i (

= N T 1

T m

→

=

trong đó là nhóm con đơn chuẩn tắc định lí 1.20 ta có

1,

m

)

p N : i

T i ,( i

= ⇒ = . Suy ra, N P= nên N là p-

K

)

) 1

1

ip K (

p K ( i

T . Do i

iT là nhóm đơn nên

của N. Xét toàn cấu chiếu . Khi đó, vì K N nên

ocn

≤

<

nhóm. Theo định lí 1.12.4, N là nhóm giải được (mâu thuẫn). Vậy M là nhóm không

)

= G N

P M G

M ∈F

1N ( G

lũy linh và do đó . Suy ra (vô lí).

ocnS G là nhóm giải được.

(

)

Vậy

2.1.10. Hệ quả

F là lũy linh thì G

op c∩F

Nếu mọi nhóm con tối đại M của nhóm G trong

là nhóm giải được.

Chứng minh

F là lũy linh nên ta

op c∩F

F

Vì mọi nhóm con tối đại M của nhóm G trong

ocnS G G= )

(

ocn G = / 0 )

(

. Suy ra . có

Theo bổ đề 2.1.9, ta có G là nhóm giải được.

2.1.11. Bổ đề

23

Cho N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu và M là nhóm con tối đại của nhóm G.

M N∩ = thì G là nhóm giải được.

1

Nếu M là nhóm giải được và

Chứng minh

GM .

Xét

1

GM = thì gọi T là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của M. Vì M là nhóm

Nếu

≠ . Mặt khác, với mọi

) 1

1L ≠ là nhóm con chuẩn tắc của M ta luôn có

p MΟ (

≤

=

M

M

giải được nên theo định lí 1.14 ta có T là p-nhóm với p là số nguyên tố. Do đó

L N ( ) G

L N ( ) G

. Vì M là nhóm con tối đại của G nên . Suy ra M là nhóm

con nguyên thủy. Mặt khác, vì M là nhóm con tối đại của G nên theo định lí 1.18.2,

ta có nhóm con chuẩn tắc tối tiểu N của G là r-nhóm. Theo định lí 1.12.4 ta có N là

nhóm giải được.

là nhóm giải được. Suy ra G là nhóm giải được. Do G MN= nên G N M≅

NM M là

GM M là nhóm con tối đại của

GG M và

G

G

GM ≠ thì 1

Nếu

GG M . Lập luận tương tự như trên ta cũng có

GG M là nhóm giải được. Suy ra G là nhóm giải được.

nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của

2.1.12. Hệ quả

G là nhóm giải được khi và chỉ khi tồn tại một nhóm con tối đại M của G sao

cho M là một CAP-nhóm con giải được của G.

Chứng minh

(

)⇒

Nếu G là nhóm giải được thì mọi nhóm con tối đại của G là một CAP-nhóm

)⇐ Giả sử M là nhóm con tối đại giải được của G sao cho M cũng là một

(

con của G và hiển nhiên M là nhóm giải được.

CAP-nhóm con của G.

1

24

GM M là

GM ≠ thì ta chứng minh qui nạp theo cấp của G. Ta có

• Nếu

GG M và

GM M cũng là CAP-nhóm con của

GG M . Do đó, theo giả thiết qui nạp

GG M là nhóm giải được. Suy ra G là nhóm

nhóm con tối đại giải được của

giải được.

1

GM = thì gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G sao cho N M≤/

. • Nếu

1N là nhân tử chính của G, nên

1

N M∩ = . Do

Vì M là CAP-nhóm con của G và

đó theo bổ đề 2.1.11, ta có G là nhóm giải được.

2.2. Một số đặc trưng của nhóm giải được hữu hạn.

2.2.1. Định lí

ocnF

Nhóm G là nhóm giải được khi và chỉ khi mọi nhóm con tối đại M của G

là một CAP-nhóm con của G. trong

ocnF

Chứng minh

Ta chỉ cần chứng minh nếu mọi nhóm con tối đại M của G trong là

một CAP-nhóm con của G thì G là nhóm giải được.

Giả sử kết quả là sai, chọn G là nhóm không giải được sao cho G có cấp nhỏ

F

nhất.

ocnS G G= )

(

ocn = / 0

F

ocnF

Nếu thì . Theo bổ đề 2.1.9, ta có G là nhóm giải được.

ocn ≠ / 0

. Gọi L là nhóm con tối đại của G trong . Bây giờ, ta giả sử

Theo giả thiết, ta có L là CAP-nhóm con của G.

1G là nhân tử chính duy nhất của G. Khi đó, hoặc

G L≤ hoặc

G L∩ ≤ . Cả hai trường hợp đều không thể xảy ra. Vậy G là nhóm

1

Nếu G là nhóm đơn thì

không đơn.

25

nên theo Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Khi đó, G N G<

cách chọn G ta có G N là nhóm giải được. Nếu G có hai nhóm con chuẩn tắc tối

1N và

2N thì

1G N và

2G N là nhóm giải được.

⊕

→ :f G G N

G N

Kerf N

N

tiểu khác là

= ∩ .

1

2

2

1

≅

∩

⊕

≤

Xét đồng cấu tự nhiên . Khi đó

= G Kerf G N

N

(

)

( f G G N G N

)

2

1

1

2

Suy ra

G N G N⊕

2G N là nhóm giải được nên

1G N và

1

2

N∩

G N (

)

Vì .

2

1

Vậy là nhóm giải được. Suy ra G là nhóm giải được (mâu

thuẫn). Do đó, ta giả sử G có duy nhất một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu N. Khi đó,

1N của G ta có hoặc N L≤

vì L là CAP-nhóm con của G nên với nhân tử chính

N L∩ ≤ .

1

ocn

≤

ocnF

hoặc

(

)

N S G

thì . Nếu N L≤ với mọi nhóm con tối đại L của G trong

ocnF

Theo bổ đề 2.1.9, N là nhóm giải được. Suy ra G là nhóm giải được.

≅

sao cho Do đó, ta giả sử tồn tại nhóm con tối đại M của G trong

N M∩ ≤ . Khi đó, M G N

1

là nhóm giải được. Suy ra G là nhóm giải được

(theo bổ đề 2.1.11).

2.2.2. Bổ đề

. Nếu cả U và Cho U và V là các nhóm con Hall của nhóm G sao cho G UV=

V là các CAP-nhóm con của G thì với mọi nhân tử chính L K của G được phủ bởi

U hoặc V.

Chứng minh

Cho p là số nguyên tố lớn nhất chia hết cấp của L K .

26

Khi đó, p U hoặc p V và ta có thể chọn p-nhóm con Sylow P của G sao cho

P U≤

. hoặc P V≤ . Không mất tính tổng quát, ta giả sử P U≤

là nhóm con Vì PK K là p-nhóm con Sylow của G K nên PK K L K∩

không tầm thường của G K . Suy ra K là nhóm con thực sự của PK L∩ .

Do đó, K là nhóm con thực sự của UK L∩ .

. Mặt khác, U là một CAP-nhóm con của G nên L UK≤

Vậy U phủ L K .

2.2.3. Định lí

G H H=

1

2

1H và

2H là các nhóm con Hall của nhóm G sao cho

Cho . Khi

1H và

2H là các CAP-nhóm con giải được

đó, G là nhóm giải được khi và chỉ khi

của G.

(

)⇒ Nếu G là nhóm giải được thì mọi nhóm con Hall của G là CAP-nhóm con giải

Chứng minh

(

)⇐ Giả sử

1H và

2H là các CAP-nhóm con giải được của G và L K là nhân tử

được của G.

1H hoặc

2H .

chính của G. Khi đó theo bổ đề 2.2.2, ta có L K được phủ bởi

1H .

Không mất tính tổng quát, giả sử L K được phủ bởi

L KH≤

1

Suy ra .

∩ là nhóm giải được nên L K là nhóm giải được. Theo định

≅ KH K H H

K

1

1

1

Vì

lí 1.14, ta có nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của L K là nhóm Abel. Mặt khác, vì L K

27

=

=

là nhóm đơn nên L K là nhóm Abel. Suy ra G có một dãy chuẩn tắc

i

n

0,1,...,

− . 1

1

...

= L G

L

  

L 0

L 1

L+ 1i i

n

trong đó là nhóm Abel với

Vậy G là nhóm giải được.

2.2.4. Định lí

Nếu mọi 2-nhóm con tối đại của nhóm G là CAP-nhóm con của G thì G là

nhóm giải được.

Chứng minh

Giả sử mọi 2-nhóm con tối đại của nhóm G là CAP-nhóm con của G.

1G là nhân

Khi đó, G không là nhóm đơn. Thật vậy, nếu G là nhóm đơn thì

tử chính của G. Vì mọi 2-nhóm con tối đại của G là CAP-nhóm con của G nên mọi

2-nhóm con tối đại của G phải là 1. Suy ra, mọi nhóm con tối đại M của G là nhóm

cyclic cấp nguyên tố. Do đó, M là nhóm lũy linh. Mặt khác, ta áp dụng định lí

1.17.9 suy ra G là nhóm giải được.

Nếu G là không là nhóm đơn. Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G.

Giả sử N là nhóm con tối đại của G. Khi đó, mọi nhóm con tối đại của N là

2-nhóm con tối đại của G. Theo giả thiết, ta có mọi nhóm con tối đại của N là

CAP-nhóm con của G. Do đó, mọi nhóm con tối đại của N là 1. Suy ra N là nhóm

giải được.

Mặt khác, do tính tối đại của N nên G N là nhóm cyclic cấp nguyên tố. Suy ra G là

nhóm giải được.

Giả sử N không là nhóm con tối đại của G. Xét nhóm thương G N . Bằng

phương pháp qui nạp, ta có G N là giải được.

≠ thì ta lấy

28

) 1GΦ

(

N

G≤ Φ (

)

. Khi đó theo định lí 1.17.10 và 1.17.2, ta • Nếu

)GΦ (

có là nhóm giải được nên N là nhóm giải được. Do đó G là nhóm giải được.

= . Khi đó, tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho G MN=

(

) 1GΦ

. • Nếu

∩ ≤ . Suy ra, L

N M∩ ≠ thì gọi L là nhóm con tối đại của M sao cho N M L

1

Nếu

N L∩ ≠ và N L≤/ 1

. Điều này mâu thuẫn với giả là 2-nhóm con tối đại của G với

≅

thiết L là CAP-nhóm con của G.

1

N M∩ = và M G N

Do đó, là nhóm giải được. Theo bổ đề 2.1.11, G là

nhóm giải được.

Ta biết rằng mọi nhóm con tối đại của một nhóm giải được là một CAP-

nhóm con, nhưng ví dụ sau chứng tỏ rằng mọi 2-nhóm con tối đại của một nhóm

giải được không nhất thiết là CAP-nhóm con.

2.2.5. Ví dụ

G A= 4

22H =

Cho , nhóm phép thế bậc 4. Gọi H là 2-nhóm con Sylow của G. Khi

đó và H là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Rõ ràng mọi nhóm con tối

tiểu của H là 2-nhóm con tối đại của G nhưng nó không là CAP-nhóm con của G.

2.2.6. Bổ đề

L G và do đó L là CAP-nhóm con của G.

Cho G là nhóm giải được. Khi đó tồn tại 2-nhóm con tối đại L của G sao cho

Chứng minh

M G . Lấy M K là nhân tử chính của G.

Vì G là nhóm giải được, nên tồn tại một nhóm con tối đại M của G sao cho

Nếu M K là số nguyên tố thì K là 2-nhóm con tối đại của G.

M K

pα=

,

29

1α> là số tự nhiên. Xét

trong đó p là số nguyên tố và Giả sử

nhóm thương G K . Nếu G K là p-nhóm thì tồn tại một 2-nhóm con tối đại L K



của G K sao cho L K G K . Do đó, L là 2-nhóm con tối đại của G và L G .

p qα=

Nếu G K không là p-nhóm thì do G M là số nguyên tố (theo định lí 1.12.5) nên

p≠ .

ta giả sử G K , trong đó q là số nguyên tố và q

Φ

Φ

Gọi T K là q-nhóm con Sylow của G K . Khi đó T K q= . Mặt khác, theo mệnh

G K

(

)G K

(



)G K M K 

Φ

đề 1.4.2 ta có nên . Do M K là nhóm con chuẩn

G K

(

) 1 = . Suy ra T K là nhóm con tối đại của G K .

tắc tối tiểu của G K nên

Suy ra K K là 2-nhóm con tối đại của G K .

Vì vậy, K là 2-nhóm con tối đại của G.

2.2.7. Định lí

Nhóm G là nhóm giải được khi và chỉ khi tồn tại một 2-nhóm con tối đại giải

được L của G sao cho L là CAP-nhóm con của G.

(

)⇒ Ta có G là nhóm giải được nên theo bổ đề 2.2.6, tồn tại một 2-nhóm con tối

Chứng minh

(

)⇐ Giả sử L là 2-nhóm con tối đại giải được của G và L là CAP-nhóm con của G.

đại L của G là CAP-nhóm con của G.

1

GG L . Bằng

GL ≠ thì dễ thấy giả thiết của định lí vẫn đúng cho nhóm thương

Nếu

GG L là nhóm giải được và do đó G là nhóm giải được.

phương pháp qui nạp, ta có

1L = . Suy ra G có nhóm

Nếu G là nhóm đơn thì do L là CAP-nhóm con của G nên

con tối đại M cấp nguyên tố và do đó M là nhóm lũy linh. Vì vậy G là nhóm giải

được (theo định lí 1.17.9).

30

1

GL = . Gọi N là nhóm con chuẩn

Bây giờ, ta giả sử G không là nhóm đơn và

L N∩ = . 1

tắc tối tiểu của G và xét nhóm con LN. Vì L là CAP-nhóm con của G nên

Trường hợp 1: LN G= .

= ∩ =

Vì L là 2-nhóm con tối đại của G nên ta có M là nhóm con tối đại của G sao cho

M M G L M N

∩ . )

(

L M< ⋅

. Khi đó

M N

∩ ∩ ≤ ∩ = nên L N L

1

)

M N∩ là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của M. Áp dụng bổ đề 2.1.11, M là nhóm

Mặt khác, M N∩ là nhóm con chuẩn tắc của M và (

≤

= ∩ , ta có

giải được và do đó M N∩ là p-nhóm sơ cấp với p là số nguyên tố.

M

P

)

G P G= )

N ( G

=

≤

thì do tính tối tiểu của N nên Đặt P M N . Nếu N (

N P= . Suy ra, G LN M

G P M= )

thì P là p-nhóm con (mâu thuẫn). Nếu N (

'P là p-nhóm con Sylow của N. Khi đó

<

≤

Sylow của N vì nếu ngược lại, giả sử

'P M≤/

P

P

P

)

G P M> )

'N ( P

) N ( G

, áp dụng định lí 1.11.4, ta có (mâu nên N (

=

=

thuẫn).

P

P

P

)

)

= ∩ nên N ( N

C ( N

G P M= )

. Theo định lí 1.16.3 và P M N Do N (

=

∩ = . Mặt khác, do N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G nên theo

N PK K P ,

1

ta có N là nhóm p-lũy linh. Suy ra, N có nhóm con p-phần bù chuẩn tắc K sao cho

m= 1,

)

× × ...

iT i (

= N T 1

T m

→

=

định lí 1.20 ta có trong đó là nhóm con đơn chuẩn tắc

1,

m

)

p N : i

T i ,( i

= ⇒ = . Suy ra, N P= nên N là p-

)

) 1

K

1

ip K (

p K ( i

T . Do i

iT là nhóm đơn nên

=

≤

=

của N. Xét toàn cấu chiếu . Khi đó, vì K N nên

N P M

< P G

)

N ( G

nhóm. Vì vậy . . Điều này mâu thuẫn với G LN=

. Khi đó LN là nhóm con tối đại của G. Suy ra N là Trường hợp 2: LN G<

nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của LN vì L là 2-nhóm con tối đại của G. Theo bổ đề

2.1.11, ta có LN là nhóm giải được. Mặt khác theo bổ đề 2.1.6, LN là CAP-nhóm

con của G. Do đó theo hệ quả 2.1.12, G là nhóm giải được.

31

2.2.8. Định lí

pcnF

Cho G là nhóm và p là số nguyên tố lớn nhất chia hết cấp của G. Nếu mọi

là CAP-nhóm con của G thì G là p-giải được. nhóm con tối đại M của G trong

F

Chứng minh

pcnS

(

G G= )

pcn = / 0

Nếu thì . Do đó, theo bổ đề 2.1.7 ta có G là p-giải

F

được.

pcn ≠ / 0

1G là nhân tử chính duy nhất của

pcnF

. Nếu G là nhóm đơn thì Giả sử

G L≤ hoặc

G L∩ ≤ . Cả hai trường hợp đều không thể xảy ra. Do đó G không là

1

G. Vì mọi nhóm con tối đại L của G trong là CAP-nhóm con của G nên

nhóm đơn.

Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Ta chứng minh qui nạp theo

cấp của G. Giả sử định lí đúng với mọi nhóm có cấp nhỏ hơn cấp của G.

Xét nhóm thương G N . Theo giả thiết qui nạp G N là nhóm p-giải được.

'p -nhóm thì G là p-giải được. Nếu N không là

'p -nhóm thì với mọi

pcn

Nếu N là

1

L N∩ ≠ do L chứa một p-nhóm con Sylow của G. Mặt khác, L là

L ∈ F

pcn

ta có

N S≤

. Theo bổ đề 2.1.7, ta có CAP-nhóm con của G nên NL L= . Suy ra, ta có

N là p-giải được. Vậy G là p-giải được.

2.2.9. Định lí

Cho p là số nguyên tố chia hết cấp của G và P là p-nhóm con Sylow của G.

Khi đó, G là p-giải được khi và chỉ khi P là CAP-nhóm con của G.

(

)⇒ Giả sử G là nhóm p-giải được và H K là nhân tử chính của G. Khi đó H K

Chứng minh

'p -nhóm.

là p-nhóm hoặc

32

'p -nhóm con Hall của K cũng là

'p -nhóm

vì Nếu H K là p-nhóm thì HP KP=

∩ = ∩ .

'p -nhóm thì H P K P

con Hall của H.

Nếu H K là

Do đó P là CAP-nhóm con của G.

)⇐ Giả sử P là CAP-nhóm con của G. Ta chứng minh qui nạp theo cấp của G.

(

Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Theo giả thiết qui nạp, G N là p-giải

được.

'p -nhóm thì G là p-giải được.

Nếu N là

'p -nhóm thì do P là CAP-nhóm con của G và

1N là nhân

Nếu N không là

tử chính của G nên PN P= .

Suy ra N là p-nhóm. Vậy G là p-giải được.

2.2.10. Hệ quả

Cho plà tập các số nguyên tố và G là nhóm. Khi đó, G là p-giải được khi và

chỉ khi với mọi p p∈ tồn tại một p-nhóm con Sylow P của G sao cho P là CAP-

nhóm con của G.

Chứng minh

G là p-giải được ⇔ G là p-giải được với mọi p p∈ ⇔ Với mọi p p∈ ,

p-nhóm con Sylow P của G là CAP-nhóm con của G (theo định lí 2.2.9).

 4A free

2.2.11. Nhóm

a) Định nghĩa

33

 4A free

nếu không có bất kì nhóm thương của Nhóm G được gọi là nhóm

4A bậc 4.

nhóm con trong G đẳng cấu với nhóm phép thế

b) Tính chất

 4A free

 4A free

Mọi nhóm con của nhóm là nhóm .

Chứng minh

Ta dùng phương pháp phản chứng.

 4A free

Giả sử G là nhóm nhưng tồn tại nhóm con H của G sao cho H

 4A free

không là nhóm . Khi đó, có ít nhất một nhóm thương K L của nhóm con

4A . Mà K cũng là nhóm con của G nên suy ra trong

K trong H đẳng cấu với nhóm

4A (mâu thuẫn).

G có một nhóm thương của nhóm con đẳng cấu với nhóm

2.2.12. Bổ đề

2

P

p≤

Cho p là số nguyên tố nhỏ nhất chia hết cấp của nhóm H và P là p-nhóm

 4A free

và H là thì H là p-lũy linh. con Sylow của H. Nếu

Chứng minh

2

P

p≤

Cho P là p-nhóm con Sylow của H.

nên P là nhóm Abel. Nếu P là nhóm cyclic thì theo định lí 1.16.4 ta Ta có

2

P

p=

có H là p-lũy linh.

và P là p-nhóm Abel sơ cấp. Ta chứng minh qui nạp theo cấp Do đó, giả sử

của H. Gọi L là nhóm con tối đại của H. Khi đó, cấp của p-nhóm con Sylow của L

2p .

không lớn hơn

34

Theo giả thiết qui nạp, L là p-lũy linh. Do đó, ta giả sử H là nhóm không p-

lũy linh tối tiểu (tức là, H là nhóm không p-lũy linh nhưng mọi nhóm con tối đại

của H là p-lũy linh). Theo định lí 1.17.5 và 1.17.6, H có một p-nhóm con Sylow P

duy nhất và một q-nhóm con Sylow Q là nhóm cyclic. Do đó, H PQ= và P H

p

q≠

)

≠

. với q là số nguyên tố (

)

)

P

P đẳng cấu với nhóm con của

C ( HH

C ( HH

t →

Aut(

)P . Thật vậy, ta xét

H

:

Aut(

P

)

→

h

t h P :



P − 1 h ph

p



−

1

∀ ∈ , ta có

h H

− 1h Ph P

∈ ∀ ∈ . Suy ra ht là ánh xạ.

h ph P p P ,

= (do P H ) nên

−

−

−

t

1

1

1

=

=

=

là q-nhóm và Suy ra, 1

t h pp (

')

h pp h

'

h phh p h

'

t h p h p )

(

(

')

−

1

⇒

= ⇒ =

ker

1

= . Suy ra ker

1

ht = . 1

∀ ∈ p

t h

− 1 h ph

p

hh

−

1

1

=

∈

=

. Suy ra ht là đồng cấu.

= hay

P hPh −

− 1h Ph P

∀ ∈ ∃ = , p P x

hph

P p :

h xt ( )

∀ ∈ . Suy ra,

(do )

t ∈ h

Aut(

P

)

−

−

−

−

1

1

1

=

=

=

=

và do đó t là ánh xạ. Vậy ht là đẳng cấu, h H

(

hh

t ') (

p

)

(

hh

')

p hh (

')

h

'

1 h phh

'

h

'

t h p h (

)

t h

(

h

t ' )(

p

)



. Suy ra t là

− 1

t

=

ker

,

)

h H h ph

p

P

C ( H

đồng cấu.

{ t = ∈ h H h

} { = ∈ 1

} = ∀ ∈ = p P

≤

P

P

)

t≅ Im

Aut(

)

HH C (

2

2

=

−

−

Aut(

P

)

(

p

1)(

p

p

)

1

q p + . Suy ra,

Suy ra

p = 2

q< nên

Mặt khác, vì và p

q = 3

1

Φ

=

và

)Q (

qα−

. Khi đó, (do Q là q-nhóm cyclic). Giả sử Q qα=

=

Φ

35

2 p q

12

H

Q = ( )

Φ

≅

Suy ra

H

Q (

)

A 4

Φ

= Φ

Bây giờ, ta sẽ chứng minh .

Φ P Q (

)

Q (

)

)

T H

( Q

Đặt

n = và 1 2

−

1

=

∃ ∈

<

=

là p-nhóm con Sylow chuẩn tắc của T. Suy ra T có , vì P là p-nhóm con Sylow chuẩn tắc của H nên n = . 4 3

X

L T t T L t Kt

:

}

{

Gọi K là 3-nhóm con Sylow của T. Đặt

X

= . 4

n= 3

−

1

∀ ∈

∃ ∈

=

Vì các 3-nhóm con Sylow liên hợp với nhau nên

:

)

ϕ → X

T

K

L X t T L t Kt

:

,

N ( T

−

1

=

. Xét ánh xạ Ta có

∈ t T L t Kt

:

)

L

K



N ( t T

=

với

X

T

K

)

= . 4

: N ( T

Dễ thấy ϕ là song ánh hay

)

K=

)

T K

T K = hay N ( 3

=

. Suy ra, N (

X

,

,

}

{ K K K K , 2

1

3

4

Khi đó là tập cả các 3-nhóm con Sylow của T.

: T

α → như sau: S 4

1

=

Từ đây ta sẽ xây dựng đồng cấu

i ( )

= ⇔ j

α t

− t K t K i

j

tα là một phép

Sα ∈ bởi 4

t

( Với t T∈ bất kì, ta định nghĩa

−

−

−

1

1

=

hoán vị vì phép liên hợp là một tự đẳng cấu)

t

1 gt K gt

)

(

α αα= t

gt

g

i

(

) g K g t i

. Do đó, . Với ,t g T∈ , ta có

α

∈

=

Vậy α là đồng cấu.

)

K=

ker

S

:

= . 1

T K

{ = ∈ t T

} 1

α t

4

α t

≤

nên Mặt khác, vì N (

ImT

Sα≅

4

. Suy ra,

Φ

≅

36

H

Q (

)

A 4

 4A free

(điều này mâu thuẫn với H là ). Do đó,

Vậy H là nhóm p-lũy linh.

2.2.13. Định lí

Cho H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G và p là số nguyên tố nhỏ nhất

chia hết cấp của H. Nếu tất cả các 2-nhóm con tối đại của mỗi p-nhóm con Sylow

 4A free

của H là các CAP-nhóm con của G và G là , thì H là p-lũy linh.

Chứng minh

pα=

Ta sẽ chứng minh qui nạp theo cấp của H. Gọi P là p-nhóm con Sylow của

. Ta xét các trường hợp sau: H với P

2α≤

Trường hợp 1:

Theo bổ đề 2.2.12, ta có H là p-lũy linh.

3α≥

Trường hợp 2:

*P là p- nhóm con

và Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu G sao cho N H≤

*P

P≤ , trong đó P là p- nhóm con Sylow của H.

*

2

≥

Sylow của N sao cho

P

P p

*P sao cho

1P là 2-nhóm

1P của

thì ta có thể lấy nhóm con Nếu

*

2

<

con tối đại của P.

P

P p

1P của P sao cho

*

Nếu thì ta có thể lấy 2-nhóm con tối đại

P

P≤ 1

.

1N là nhân tử chính của G nên

1P là CAP-nhóm con của G và

N P∩ = 1 1

Vì

'p -nhóm.

NP P= . Suy ra N là p-nhóm hoặc

1

1

hoặc

)

37

≠ thì ta xét nhóm thương ) 1

pG

HΟ ' (

p HΟ ' (

)

Nếu . Dễ thấy giả thiết của

pG

HΟ ' (

)

. Do đó, bằng phương pháp qui nạp, ta định lí vẫn đúng cho nhóm thương

pH

HΟ ' (

) 1

= . Khi đó, ta có ) 1

≠ . Gọi N là nhóm con chuẩn tắc

là p-lũy linh và suy ra H là p-lũy linh. có

p HΟ ' (

p HΟ (

≤ Ο

N

(

H

)

Giả sử

p

2p thì theo bổ

tối tiểu của G sao cho . Xét nhóm thương G N .

• Nếu cấp của các p-nhóm con Sylow của H N không lớn hơn

2p thì bằng phương

đề 2.2.12, ta có H N là p-lũy linh.

• Nếu cấp của các p-nhóm con Sylow của H N lớn hơn

pháp qui nạp, ta có H N là p-lũy linh.

N

H≤ Φ (

)

Ο

=

thì N là Bây giờ, gọi T N là p-phần bù chuẩn tắc của H N . Nếu

T N

(

)

'p H N

p-nhóm và . Theo định lí 1.4, tồn tại phần bù K của N trong T sao

'p -nhóm. Nếu h H∈ thì K và

hK liên

K N∩ = . Khi đó, K là

1

−

1

h

x

=

∈

và cho T KN=

K

K

,

∀ ∈ ⇒ x T

hx

K

)

N ( G

=

=

=

hợp trong T (theo định lí 1.3). Suy ra, . Do đó

N

H≤ Φ (

)

H

K

)

H

) K T

) K N

⇒  . K H

N ( G

N ( G

N ( G

. Vì nên

Vậy H là p-lũy linh.

N

H≤ Φ/ (

)

Giả sử . Khi đó, tồn tại nhóm con tối đại M của H sao cho

H NM=

. Nếu N là p-nhóm con Sylow của H thì theo giả thiết mọi 2-nhóm con tối

1

1P của N là CAP-nhóm con của G. Suy ra

P N∩ = hoặc 1

N P≤ 1

đại (điều này

3α≥ ). Vậy N không là p-nhóm con Sylow của H.

không thể xảy ra vì

+

+

−

2

+≠

≠

là p-nhóm con Sylow Gọi P + là p-nhóm con Sylow của M. Khi đó, P N+

P N N

P

∩ ≤ N

pα

. Suy ra . của H và P

38

1P

P

thì ta có thể lấy nhóm con tối đại Nếu P + là nhóm con tối đại của P N+

+ ∩ ≤ . N P 1

+

−

2

≤

P

của P + sao cho

P+ ≤ .

P

pα

1

1P của P N+

Nếu thì ta có 2-nhóm con tối đại sao cho

1N là nhân tử chính của G nên

1

N P∩ = . Do

1P là CAP-nhóm con của G và

1

2

N

p≤

Vì

1

P

N+ ∩ = và

=

. Vì N là p-nhóm con Sylow của T nên theo bổ đề 2.2.12, đó

∩ = trong đó K là p-phần bù chuẩn tắc

T NK N K ,

1

ta có T là p-lũy linh. Suy ra

của T. Rõ ràng, K là p-phần bù chuẩn tắc của H. Vậy H là p-lũy linh.

2.2.14. Nhóm tháp Sylow loại siêu giải được.

Nhóm G được gọi là nhóm tháp Sylow loại siêu giải được nếu G thỏa các

>

>

>

điều kiện sau:

p

...

p 1

p 2

r

là các số nguyên tố chia hết cấp của G. i)

, 1

≤ ≤ k

r



kp -nhóm con Sylow của G.

P P P G 1 2...

k

kP là

trong đó ii)

2.2.15. Hệ quả

 4A free

Cho H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Nếu G là và tất cả các

2-nhóm con tối đại của mọi nhóm con Sylow của H là các CAP-nhóm con của G thì

H là nhóm tháp Sylow loại siêu giải được.

Chứng minh

Ta chứng minh qui nạp theo cấp của H.

Cho p là số nguyên tố nhỏ nhất chia hết cấp của H và P là p-nhóm con Sylow

của H. Khi đó, theo định lí 2.2.13 ta có H là nhóm p-lũy linh.

Gọi N là p-phần bù chuẩn tắc của H. Dễ thấy, tất cả các nhóm con con Sylow

của N cũng là các nhóm con Sylow của H. Do đó, N thỏa mãn giả thiết của định lí

39

nên theo giả thiết qui nạp N là nhóm tháp Sylow loại siêu giải được. Điều này

chứng tỏ H là nhóm tháp Sylow loại siêu giải được.

2.2.16. Định lí

Cho H là nhóm chuẩn tắc của nhóm G và p là số nguyên tố nhỏ nhất chia hết

cấp của H. Nếu tất cả các nhóm con tối đại của mọi p-nhóm con Sylow của H là các

CAP-nhóm con của G thì H là p-lũy linh.

Chứng minh

pα=

Ta sẽ chứng minh qui nạp theo cấp của H. Gọi P là p-nhóm con Sylow của

H với P . Ta xét các trường hợp sau:

2α≤

Trường hợp 1:

Theo bổ đề 2.2.12, ta có H là p-lũy linh.

3α≥

Trường hợp 2:

*P là p- nhóm con

và Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu G sao cho N H≤

*P

P≤ , trong đó P là p- nhóm con Sylow của H.

*

*

1

≤

P

Sylow của N sao cho

P

pα−

P≤ 1

1P của P sao cho

Nếu thì ta có thể lấy nhóm con tối đại .

1N là nhân tử chính của G nên

1P là CAP-nhóm con của G và

'p -nhóm.

NP P= . Suy ra N là p-nhóm hoặc

N P∩ = hoặc 1 1

1

1

)

Vì

≠ thì ta xét nhóm thương ) 1

p HΟ ' (

pG

HΟ ' (

)

Nếu . Dễ thấy giả thiết của

pG

HΟ ' (

)

. Do đó, bằng phương pháp qui nạp, ta định lí vẫn đúng cho nhóm thương

pH

HΟ ' (

là p-lũy linh và suy ra H là p-lũy linh. có

) 1

40

= . Khi đó, ta có ) 1

≠ . Gọi N là nhóm con chuẩn tắc

p HΟ ' (

p HΟ (

≤ Ο

N

(

H

)

Giả sử

p

2p thì theo bổ

tối tiểu của G sao cho . Xét nhóm thương G N .

• Nếu cấp của các p-nhóm con Sylow của H N không lớn hơn

2p thì bằng phương

đề 2.2.12, ta có H N là p-lũy linh.

• Nếu cấp của các p-nhóm con Sylow của H N lớn hơn

pháp qui nạp, ta có H N là p-lũy linh.

N

H≤ Φ (

)

Ο

=

thì N là p- Bây giờ, gọi T N là p-phần bù chuẩn tắc của H N . Nếu

T N

(

)

'p H N

nhóm và . Theo định lí 1.4, tồn tại phần bù K của N trong T sao

'p -nhóm. Nếu h H∈ thì K và

hK liên

K N∩ = . Khi đó, K là

1

−

h

x

1

=

∈

và cho T KN=

K

K

,

∀ ∈ ⇒ x T

hx

K

)

N ( G

=

=

=

hợp trong T (theo định lí 1.3). Suy ra, . Do đó

H

K

)

K H

N

H≤ Φ (

)

H

K T )

K N )

⇒  . Vậy H là

N ( G

N ( G

N ( G

. Vì nên

p-lũy linh.

N

H≤ Φ/ (

)

Giả sử . Khi đó, tồn tại nhóm con tối đại M của H sao cho

H NM=

. Nếu N là p-nhóm con Sylow của H thì theo giả thiết mọi nhóm con tối

1

N P≤ (điều này

1P của N là CAP-nhóm con của G. Suy ra

P N∩ = hoặc 1

1

đại

3α≥ ). Vậy N không là p-nhóm con Sylow của H.

không thể xảy ra vì

+

+

−

2

+≠

≠

là p-nhóm con Sylow Gọi P + là p-nhóm con Sylow của M. Khi đó, P N+

P N N

P

∩ ≤ N

pα

+

− 1

≤

P

. Suy ra . của H và P

P+ ≤ . Vì

P

pα

1

1P của P N+

1N là nhân tử chính của G nên

1P là CAP-nhóm con của G và

N P∩ = . Do đó 1 1

2

N

p≤

thì ta có nhóm con tối đại sao cho Nếu

P

N+ ∩ = và

1

=

. Vì N là p-nhóm con Sylow của T nên theo bổ đề 2.2.12, ta

∩ = trong đó K là p-phần bù chuẩn tắc

T NK N K ,

1

có T là p-lũy linh. Suy ra

của T. Rõ ràng, K là p-phần bù chuẩn tắc của H. Vậy H là p-lũy linh.

41

KẾT LUẬN

Trong luận văn này, tôi đã trình bày một số vấn đề như sau:

• Đưa ra định nghĩa về các CAP-nhóm con cùng với một số tính chất cơ bản

của các nhóm này. Tìm ra một số loại nhóm con của một nhóm hữu hạn giải được

có tính chất phủ và né.

• Đưa ra một số tiêu chuẩn của một hữu hạn giải được dựa trên giả thiết một số

nhóm con tối đại hoặc 2-nhóm con tối đại có các tính chất phủ và né.

Để tiếp cận được các kết quả chính đã kể trên, tôi đã tham khảo và tự chứng

minh một số các kết quả nhỏ dùng vào việc chứng minh các kết chính.

Ngoài ra, còn rất nhiều tính chất và ứng dụng quan trọng khác của các CAP-

nhóm con trong việc nghiên cứu cấu trúc của các nhóm hữu hạn. Tuy nhiên, vì giới

hạn về thời gian và tầm hiểu biết nên tác giả chưa trình bày được.

Rất mong có được những nhận xét từ thầy cô và các bạn để luận văn được

hoàn chỉnh hơn.

42

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Bùi Xuân Hải, Trịnh Thanh Đèo (2002), Đại số hiện đại, Nxb ĐH Quốc gia, Tp.

Hồ Chí Minh.

Tiếng Anh

2. Ezquerro L.M. (1993), A contribution to the theory of finite supersolvable

groups, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 89, pp.161-170.

3. Gillam J.D. (1974), Cover-avoid subgroups in finite solvable groups, J. Algebra,

29, pp.324-329.

4. Gorenstein D. (1968), Finite Groups, Harper and Row Publishers, New York,

Evanston, London.

5. Kurzweil H., Stellmacher Bernd (2004), The Theory of Finite Groups, Springer,

New York.

6. Robinson D. J.S. (1993), A Course in the Theory of Groups, Springer, New York,

Berlin.

7. Rose J. (1977), “On finite insolvable groups with nilpotent maximal subgroups”,

J. Algebra 48, pp.182-196.

8. Shum K.P., Guo Xiuyun (2003), “Cover-avoidance properties and the structure

of finite groups”, Journal of Pure and Applied Algebra 181, pp.297 - 308.

9. Tomkinson M.J. (1976), Cover-avoidance properties in finite soluble groups,

Canad. Math. Bull. 19(2) , pp.213-216.

Tiếng Đức

10. Gaschütz W. (1962), Praefrattini gruppen, A rch. Math. 13, pp.418-426.

11. Huppert B. (1967), Endliche Gruppen, Vol. I, Springer, New York, Berlin.

12. Schaller K.U. (1971), Über Deck–Meide–Untergruppen in endlichen

auflösbaren Gruppen, Ph.D. Thesis, University of Kiel.