ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ LỤA
TÍNH ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI CỦA NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ỨNG DỤNG
Hà Nội - 2019
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ LỤA
TÍNH ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI CỦA NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60460102
Cán bộ hướng dẫn: PGS. TS. NGUYỄN THẠC DŨNG
Hà Nội - 2019
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành đề tài luận văn, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn Nguyễn Thạc Dũng đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình
nghiên cứu luận văn và trực tiếp hướng dẫn em hoàn thiện đề tài luận văn tốt
nghiệp này. Thầy luôn dành thời gian và tâm huyết vào công việc, vì thế thầy
luôn đặt niềm tin vào học trò và không ngừng mong mỏi học trò của mình luôn
tiến bộ, lĩnh hội được nhiều kiến thức.
Em cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán -
Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội
đã giảng dạy và giúp đỡ em có một môi trường học tập tốt trong suốt thời gian
học tập tại trường.
Cuối cùng con xin cảm ơn bố mẹ đã luôn ủng hộ trong việc học tập; cảm
ơn bạn bè, anh chị em và đồng nghiệp đã luôn giúp đỡ, cổ vũ và động viên trong
học tập, công việc cũng như trong quá trình hoàn thiện luận văn.Tôi xin cảm ơn
anh chị và các bạn trong lớp cao học Toán đã nhiệt tình giúp đỡ và động viên
tôi trong suốt quá trình học tập tại lớp.
Hà Nội, ngày 21 tháng 11 năm 2019
Học viên
Nguyễn Thị Lụa
1
Mục lục
LỜI CẢM ƠN 1
LỜI MỞ ĐẦU 3
1 Kiến thức cơ bản 6
1.1 Miền siêu giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Miền giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp K¨ahler . . . . . . . . 7
1.1.4 Miền siêu giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Công thức xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng 16
2.1 Hàm đa điều hòa dưới chặt và miều siêu giả lồi . . . . . . . . . . . 17
2.2 Mối liên hệ giữa các miền siêu giả lồi và các miền lồi . . . . . . . . 19
2.3 Các phản ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
KẾT LUẬN 30
Tài liệu tham khảo 31
2
LỜI MỞ ĐẦU
Cho Dlà một miền trơn, bị chặn, giả lồi trong Cn, u ∈C2(D)là một hàm
giá trị thực và H(u)là ma trận Hessian phức cỡ n×ncủa u. Ta biết rằng ulà đa
điều hòa dưới chặt trong Dnếu H(u)xác định dương trên D. Khi ulà đa điều
hòa dưới chặt trong D, u cảm sinh một metric K¨ahler
g=g[u] =
n
X
i,j=1
∂2u
∂zi∂zj
dzi⊗dzj.(1)
Ta nói rằng metric glà Einstein nếu nó có độ cong Ricci
Rkl=−∂log det[gij]
∂zk∂zl
(2)
thỏa mãn phương trình: Rkl=cgkl với hằng số cnào đó.
Khi c < 0,sau khi chuẩn hóa, ta có thể giả sử c=−(n+ 1). Cheng và Yau
[2] đã chứng minh rằng phương trình Monge-Ampère
(det H(u) = e(n+1)u, z ∈D
u= +∞, z ∈∂D
(3)
có một nghiệm đa điều hòa dưới chặt duy nhất u∈C∞(D). Hơn nữa, metric
K¨ahler
g[u] =
n
X
i,j=1
∂2u
∂zi∂zj
dzi⊗dzj(4)
cảm sinh bởi ulà một metric K¨ahler-Einstein đủ trên D.
Khi Dlà giả lồi chặt, bài toán tồn tại nghiệm và duy nhất nghiệm được
nghiên cứu bởi Fefferman [3]. Feffermann đã xét phương trình dưới dây
(det J(ρ) = 1, z ∈D
ρ= 0, z ∈∂D
(5)
trong đó J(ρ) = −det"ρ∂ρ
(∂ρ)∗H(ρ)#,∂ρ =∂ρ
∂z1
,..., ∂ρ
∂znvà (∂ρ)∗=∂ρ
∂z1
,..., ∂ρ
∂znt.
Phương trình này cũng được gọi là phương trình Feffermann. Fefferman đã tìm
3