ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ LỤA
TÍNH ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2019
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ LỤA
TÍNH ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60460102
Cán bộ hướng dẫn: PGS. TS. NGUYỄN THẠC DŨNG
Hà Nội - 2019
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành đề tài luận văn, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Nguyễn Thạc Dũng đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn và trực tiếp hướng dẫn em hoàn thiện đề tài luận văn tốt nghiệp này. Thầy luôn dành thời gian và tâm huyết vào công việc, vì thế thầy luôn đặt niềm tin vào học trò và không ngừng mong mỏi học trò của mình luôn tiến bộ, lĩnh hội được nhiều kiến thức.
Em cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy và giúp đỡ em có một môi trường học tập tốt trong suốt thời gian học tập tại trường.
Cuối cùng con xin cảm ơn bố mẹ đã luôn ủng hộ trong việc học tập; cảm ơn bạn bè, anh chị em và đồng nghiệp đã luôn giúp đỡ, cổ vũ và động viên trong học tập, công việc cũng như trong quá trình hoàn thiện luận văn.Tôi xin cảm ơn anh chị và các bạn trong lớp cao học Toán đã nhiệt tình giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập tại lớp.
Hà Nội, ngày 21 tháng 11 năm 2019 Học viên
Nguyễn Thị Lụa
1
Mục lục
LỜI CẢM ƠN
1
LỜI MỞ ĐẦU
3
1 Kiến thức cơ bản
1.1 Miền siêu giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Miền giả lồi 1.1.3 Toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp K¨ahler . . . . . . . . 1.1.4 Miền siêu giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 6 6 7 7 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Công thức xấp xỉ
2 Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
16 2.1 Hàm đa điều hòa dưới chặt và miều siêu giả lồi . . . . . . . . . . . 17 2.2 Mối liên hệ giữa các miền siêu giả lồi và các miền lồi . . . . . . . . 19 2.3 Các phản ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
KẾT LUẬN
30
Tài liệu tham khảo
31
2
LỜI MỞ ĐẦU
Cho D là một miền trơn, bị chặn, giả lồi trong Cn, u ∈ C2(D) là một hàm giá trị thực và H(u) là ma trận Hessian phức cỡ n × n của u. Ta biết rằng u là đa điều hòa dưới chặt trong D nếu H(u) xác định dương trên D. Khi u là đa điều hòa dưới chặt trong D, u cảm sinh một metric K¨ahler
n (cid:88)
(1)
i,j=1
Ta nói rằng metric g là Einstein nếu nó có độ cong Ricci
(2)
g = g[u] = dzi ⊗ dzj. ∂2u ∂zi∂zj
thỏa mãn phương trình: Rkl = cgkl với hằng số c nào đó.
Khi c < 0, sau khi chuẩn hóa, ta có thể giả sử c = −(n + 1). Cheng và Yau
[2] đã chứng minh rằng phương trình Monge-Ampère (cid:40)
Rkl = − ∂ log det[gij] ∂zk∂zl
det H(u) = e(n+1)u,
(3)
z ∈ D
có một nghiệm đa điều hòa dưới chặt duy nhất u ∈ C∞(D). Hơn nữa, metric K¨ahler
n (cid:88)
u = +∞, z ∈ ∂D
(4)
i,j=1
cảm sinh bởi u là một metric K¨ahler-Einstein đủ trên D.
Khi D là giả lồi chặt, bài toán tồn tại nghiệm và duy nhất nghiệm được
nghiên cứu bởi Fefferman [3]. Feffermann đã xét phương trình dưới dây
(cid:40)
g[u] = dzi ⊗ dzj ∂2u ∂zi∂zj
det J(ρ) = 1,
(5)
z ∈ D
(cid:35)
(cid:34)
(cid:19)
(cid:19)t
ρ = 0, z ∈ ∂D
trong đó J(ρ) = −det
và (∂ρ)∗ =
.
(cid:18) ∂ρ ∂z1
(cid:18) ∂ρ ∂z1
Phương trình này cũng được gọi là phương trình Feffermann. Fefferman đã tìm
ρ , ∂ρ = , . . . , , . . . , ∂ρ ∂zn ∂ρ ∂zn ∂ρ (∂ρ)∗ H(ρ)
3
được một nghiệm ρ < 0 trên D sao cho u = − log(−ρ) là đa điều hòa dưới chặt trong D. Tác giả chứng minh tính duy nhất và đưa ra công thức nghiệm xấp xỉ cho (5).
Nếu quan hệ giữa ρ và u được cho bởi
MỤC LỤC
(6)
thì (3) và (5) là trùng nhau. Hơn nữa, có thể chứng minh rằng (xem [8])
det H(u) = J(ρ)e(n+1)u.
(7)
Khi D là miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt, Cheng và Yau [2] đã chứng minh rằng ρ ∈ Cn+3/2(D). Trên thực tế, người ta có ρ ∈ Cn+2−(cid:15)(D) với (cid:15) > 0 đủ nhỏ. Điều khẳng định này được suy ra từ một công thức mở rộng tiệm cận cho ρ thu được bởi Lee và Melrose [6]:
(cid:32)
(cid:33)
∞ (cid:88)
ρ(z) = −e−u(z), z ∈ D
(8)
j=1
trong đó r ∈ C∞(D) là hàm xác định bất kì cho D, aj ∈ C∞(D) và a0(z) > 0 trên ∂D.
Nhiều nghiên cứu [8, 9, 13, 14] chứng tỏ rằng bài toán dưới đây rất thú vị
và quan trọng.
Bài toán 0.1. Giả sử D là miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt trong Cn. Cho ρ là nghiệm của phương trình Fefferman (5) sao cho u = −log(−ρ) là đa điều hòa dưới chặt trong D. Vậy bổ sung điều kiện nào trên D thì ta có ρ là đa điều hòa dưới chặt trong D.
Bằng cách giới thiệu khái niệm miền siêu giả lồi trong bài báo [7], Song Ying Li đã đưa ra một đặc trưng hóa cho các miền D trong Cn sao cho câu trả lời của bài toán trên là đúng. Ngoài ra, tác giả cũng nghiên cứu giá trị cực đại cho giá trị riêng "nhỏ nhất" ("bottom of the spectrum") trên các miền này.
Mục tiêu chính của luận văn là trình bày lại các kêt quả trong bài báo nói trên của Li. Luận văn bao gồm hai chương. Trong chương một, chúng tôi giới thiệu lại các khái niệm miền giả lồi, hàm xác định, toán tử Laplace-Beltrami. Đặc biệt, chúng tôi giới thiệu khái niệm miền siêu giả lồi và chứng minh một kết quả xấp xỉ cho hàm xác định. Kết quả này sẽ được dùng trong chương hai để chứng minh các kết quả chính. Như đã nói ở trên, chương hai sẽ tập trung vào phân tích các kết quả chính của Li. Cụ thể, trong Định lý 2.2 chúng tôi chỉ ra rằng trên các miền siêu giả lồi thì lời giải của Bài toán 0.1 là luôn tồn tại. Kết
4
ρ(z) = r(z) , a0(z) + aj(rn+1log(−r))j
quả chính cuối cùng trong luận văn là Định lý 2.1 đưa ra các mối liên hệ giữa các khái niệm miền siêu giả lồi và miền lồi.
Do hạn chế về kiến thức cơ bản nên bản luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy phản biện và bạn đọc để nâng cao và trau dồi kiến thức của mình. Các thảo luận góp ý và trau đổi được tác giả cảm ơn và trân trọng.
5
MỤC LỤC
Chương 1
Kiến thức cơ bản
1.1 Miền siêu giả lồi
1.1.1 Hàm đa điều hòa dưới
Trong phần này ta sẽ đưa ra một số tính chất cơ bản của hàm đa điều hòa dưới. Trước hết ta sẽ nhắc lại một vài định nghĩa và định lý cho hàm đa điều hòa dưới, chứng minh của định lý ta có thể xem Kenzo Adachi ([4], phần 1.2. Đặc trưng của tính giả lồi).
Định nghĩa 1.1. Giả sử Ω là tập con mở trong Cn, u : Ω → R. Hàm u được gọi là đa điều hòa dưới nếu
(i) u là nửa liên tục trên trong Ω, tức là với mọi c ∈ R : {z ∈ Ω : u(z) < c} là
tập mở.
(ii) Với bất kì z ∈ Ω và ω ∈ Cn thì u(z + ζω) là điều hòa dưới trên {ζ ∈ C :
Ta chú ý một vài tính chất cơ bản của hàm đa điều hòa dưới sau đây.
Định lý 1.1. Cho Ω ⊂ Cn, u : Ω → R, u ∈ C2(Ω). Khi đó,
z + ζω ∈ Ω}.
(i) u là đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu
n (cid:80) j,k=1
∀z ∈ Ω, (z)ωjωk ≥ 0, ∂2u ∂zj∂zk
ω = (ω1, . . . , ωn) ∈ Cn.
(ii) u là đa điều hòa dưới chặt nếu và chỉ nếu
n (cid:80) j,k=1
∀z ∈ Ω, (z)ωjωk > 0, ∂2u ∂zj∂zk
ω = (ω1, . . . , ωn) ∈ Cn.
6
Chương 1. Kiến thức cơ bản
(cid:33)
(cid:32)
(cid:33)
|ω|4 4
. Cả hai ma trận trên đều là
Ví dụ 1.1. Xét không gian phức C2, cho u(z, ω) = |z|2+|ω|2 và v(z, ω) = |z|2+ với (z, ω) ∈ C2. Khi đó, u là hàm đa diều hòa dưới chặt còn v là hàm đa điều hòa dưới. Thật vậy, u, v là các hàm trơn và ma trận Hessian phức của u và v lần lượt là (cid:32) 1 0 0 |ω|2
ma trận Hermit. Ma trận Hu là xác định dương chặt và ma trận Hv là xác định dương.
1 0 = I2 và Hv(z, ω) = Hu(z, ω) = 0 1
1.1.2 Miền giả lồi
Cho Ω ⊂ Cn là tập mở. Ta nói rằng Ω có biên lớp Ck (k ≥ 2) nếu tồn tại
một lân cận U của ∂Ω và một hàm r xác định lớp Ck trên U sao cho
• Ω ∩ U = {z ∈ U : r(z) < 0}.
n (cid:80) j=1
Định nghĩa 1.2. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Cn (n ≥ 2), Ω có biên trơn, D là biên của Ω và r là một hàm xác định trên D. Khi đó D gọi là miền giả lồi tại p ∈ ∂Ω nếu dạng Levi
n (cid:88)
• dr (cid:54)= 0 trên ∂Ω, ta có dr(z) = (z)dxj với mọi z ∈ ∂Ω. ∂r ∂xj
i,j=1
Lp(r, ω) = (p)ωiωj ≥ 0 ∂2r ∂zi∂zj
p
với mọi ω ∈ T (1,0) dương với mọi ω (cid:54)= 0.
Ví dụ 1.2. Xét không gian phức C2 và hình cầu đơn vị B2 = {(z, ω) ∈ C2 : |z|2 + |ω|2 < 1}. Khi đó, B2 là miền giả lồi chặt. Thật vậy, ta có thể chọn hàm xác định của ∂B2 là hàm r(z, ω) = |z|2 + |ω|2 − 1. Hàm này là hàm đa điều hòa dưới chặt tại mọi điểm (z, ω) ∈ ∂B2.
(∂Ω). Ω được gọi là miền giả lồi chặt nếu L(r, ω) là xác định
1.1.3 Toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp K¨ahler
Giả sử M là một đa tạp Riemann định hướng, n chiều và Ωp(M ) là không gian p-dạng trên M, đặt d : Ωp(M ) −→ Ωp+1(M ) là toán tử vi phân thông thường, p ≥ 0. Giả sử rằng ds2 = (cid:80) gijdxi ⊗ dxj là một metric Riemann trên T ∗M ⊗ T ∗M, i,j
7
Chương 1. Kiến thức cơ bản
(cid:88)
gij là ma trận thực cấp n và xác định dương chặt. Khi đó ds2 chứa một metric Riemann trên T ∗M ⊗ T ∗M xác định bởi
i,j
trong đó (gij) là ma trận nghịch đảo của (gij).
Giả sử d∗ là toán tử liên hợp của d trên (cid:76)n
p=0 Ωp(M ) tương ứng với metric
dS2 = ⊗ gij ∂ ∂xi ∂ ∂xj
(cid:80) i,j
gijdxi ⊗ dxj nghĩa là
và
(cid:90)
d∗ : Ωp(M ) −→ Ωp−1(M )
M
mọi α ∈ Ωp−1M, β ∈ ΩpM, trong đó ∗ là toán tử Hogde.
Định nghĩa 1.3. Toán tử Hogde-Laplace trên ΩpM là
(dα, β) = (α, d∗β) = (cid:104)dα, β(cid:105)ds2
Toán tử Hogde-Laplace được liên hệ với toán tử Laplace-Beltrami như sau:
Với mọi hàm trơn f ta có thể định nghĩa gradient của nó là
(cid:52)H = −(dd∗ + d∗d) : Ωp(M ) −→ Ωp(M ).
trong đó g = det(gij), khi đó với mọi trường vecto X ta có
(cid:53)f =: grad f =: gij ∂f ∂xi ∂f ∂xj
được định nghĩa
Mặt khác, toán tử div tác động lên một trường vecto Z = Zi ∂ ∂xi là
(cid:104)grad f, X(cid:105) = X(f ) = df (X).
Định nghĩa 1.4. Toán tử Laplace-Beltrami trên Ωp(M ) là
√ divZ =: gZj). 1 g ∂ ∂xj (
Khi đó, chúng ta biết rằng trên không gian các hàm khả vi trên M ta có
(cid:52)f = −div(grad f )
(cid:19)
(cid:52) = −(cid:52)H. Dễ dàng nhận thấy rằng
(cid:18)√
Vì (gij) là xác định dương nên − (cid:52) f là một toán tử elliptic.
8
∂2 (cid:52)f = − = −gij 1 √ g ∂ ∂xj ggij ∂f ∂xi ∂xi∂xj f + · · ·
Chương 1. Kiến thức cơ bản
Định nghĩa 1.5. Giả sử M là một đa tạp phức với tọa độ địa phương z = (z1, · · · , zn). Một metric Hermit trên M được xác định bởi
trong đó hjk(z) là ma trận Hermit, xác định dương phụ thuộc vào z. Ngoài ra, các thành phần hjk(z) là các hàm trơn. Dạng vi phân song bậc (1, 1) xác định bởi
hjk(z)dzj ⊗ dzk
được gọi là dạng K¨ahler của metric Hermit.
Định nghĩa 1.6. Một metric Hermit hjk(z) được gọi là một metric K¨ahler nếu với mọi z tồn tại một lân cận U của z và một hàm F : U −→ R với
hjk(z)dzj ∧ dzk i 2
Giả sử hjk(z) là một metric K¨ahler trên một đa tạp phức M. Do mỗi metric Hermit đều cảm sinh một metric Riemann nên ta có thể định nghĩa toán tử Laplace-Beltrami tương ứng với metric Riemann (cid:104)v, ω(cid:105)R,h. Trong metric này, toán tử Laplace-Beltrami có dạng
(cid:19)
hjk(z)dzj ∧ dzk = ∂∂F , ∂∂F được gọi là dạng K¨ahler, F gọi là thế vị K¨ahler. i 2
(cid:18) hhij ∂ ∂zi
trong đó h = det(hjk).
(cid:52) = −4 = −4hij , 1 h ∂ ∂zi ∂2 ∂zi∂zj
1.1.4 Miền siêu giả lồi
Trong phần này, ta giới thiệu khái niệm của miền siêu giả lồi.
Định nghĩa 1.7. Cho D là một miền trơn, bị chặn trong Cn. Ta nói rằng D là siêu giả lồi chặt (siêu giả lồi) nếu có một hàm xác định đa điều hòa dưới chặt r ∈ C4(D) sao cho L2[r] > 0 (L2[r] ≥ 0) trên ∂D. Trong đó
(1.1)
r| (cid:101)(cid:53) log J(r)|2,
|∂r|2 r L2[r] =: 1 + − |∂r|2 n(n + 1) (cid:101)(cid:52) log J(r) − 2Re R log J(r) n + 1
với (cid:101)(cid:52) =
n (cid:80) j=1
n (cid:80) i,j=1
aij[r] , R = , aij[r] | (cid:102)(cid:53)f |2 = ∂2 ∂zi∂zj rj ∂ ∂zj ∂f ∂zi ∂f ∂zj
và ri =
n (cid:80) i,j=1 n (cid:80) j=1
9
[rij]t = H(r)−1, aij =: rij − , 1 ≤ i, j ≤ n. rijrj, rirj −r + |∂r|2 r
Chương 1. Kiến thức cơ bản
Định nghĩa 1.8. Cho D là một miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt trong Cn, r ∈ C∞(D) là một hàm xác định trên D sao cho u = − log(−r) là hàm đa điều hòa dưới chặt. Ta nói rằng metric K¨ahler g[u] cảm sinh bởi u là siêu tiệm cận Einstein nếu
(i) Độ cong Ricci Rij ≥ −(n + 1)gij trên D.
(ii) J(r) = 1 + O(r2).
Giả sử J là toán tử Fefferman thì
(cid:35)
(cid:34)
(cid:19)
(cid:19)t
r J(r) = −det ∂r (∂r)∗ H(r)
và
(cid:18) ∂r ∂z1
(cid:18) ∂r ∂z1
(cid:21)
, . . . , (∂r)∗ = , . . . , = (r1, . . . , rn) ∈ Cn, ∂r ∂zn ∂r ∂zn
.
trong đó ∂r = (cid:20) ∂2r ∂zi∂zj
H(r) =
(cid:19)
= (∂r)∗ = (uze−u)t ∂r ∂z
(cid:0)uzie−u(cid:1) = uzizj e−u + (−u)zj uzie−u = uije−u − uiuje−u
Vì r = −e−u(z), z ∈ D nên ta có ∂(−e−u) ∂z (cid:18) ∂r ∂zi
= = = uze−u, ∂ ∂zj ∂r = ∂2r ∂zi∂zj ∂ ∂zj
Khi đó,
= (uij − uiuj)e−u
· · ·
· · · J(r) = −det −e−u u1e−u ...
une−u (u1n − u1un)e−u ... (unn − unun)e−u u1e−u (u11 − u1u1)e−u ... · · · une−u (un1 − unu1)e−u · · ·
−un −u1
...
...
· · · · · · u1n − u1un = e−(n+1)udet
Nhân hàng đầu với −ui rồi cộng vào hàng i + 1, i = 2, n, ta sẽ được
· · · · · · unn − unun 1 u1 u11 − u1u1 ... un un1 − unu1
J(r) = e−(n+1)udet
· · · u1n ... · · · · · · unn
10
u11 ... un1 = e−(n+1)udet H(u).
Chương 1. Kiến thức cơ bản
1.2 Công thức xấp xỉ
Cho D là một miền bị chặn trong Cn với biên trơn và r ∈ C2(D) là một hàm xác định của D, giá trị thực và âm trên D. Khi đó toán tử Fefferman tác động lên r được định nghĩa bởi
(cid:35)
(cid:34)
(1.2)
trong đó
(cid:19)
r J(r) = −det ∂r (∂r)∗ H(r)
(cid:19)t
∂r = , . . . , = (r1, . . . , rn) ∈ Cn, ∂r ∂zn
(cid:18) ∂r ∂z1 (cid:18) ∂r ∂z1
(cid:21)
và H(r) =
là ma trận Hessian phức cỡ n × n của r.
(cid:20) ∂2r ∂zi∂zj
Giả sử rằng H(r) = [rij] là khả nghịch, một cách đặc biệt giả sử nó là xác
định dương, thì ta sử dụng kí hiệu [rij]t =: H(r)−1 và
n (cid:88)
(∂r)∗ = , . . . , ∂r ∂zn
(1.3)
r =
i,j=1
Ta dễ dàng tính được
|∂r|2 rijrirj.
(cid:21)
(cid:19)
(cid:18)
J(r) = −det[rH(r) − (∂r)∗(∂r)] (cid:20) H(r) − = (−r)det
1 − = (−r)det H(r) (∂r)∗(∂r) r |∂r|2 r r
(1.4)
r).
Nhận xét 1.1. Khi H(r) không xác định dương trên ∂D, ta có thể thay r bởi
= det H(r)(−r + |∂r|2
(1.5)
Khi đó r[a] là xác định dương với a đủ lớn và
r[a] := r(z) + r2. a 2
(1.6)
1 J(r) =
xác định cho miền D, và nhận giá trị âm sao cho
(1 + ar)n det H(r[a])(−r + (1 + 2ar)|∂r|r[a]). Xuyên suốt trong luận văn này, ta sẽ luôn giả sử rằng r(z) ∈ C∞(D) là hàm
(1.7)
11
(cid:96)(r) = − log(−r)
Chương 1. Kiến thức cơ bản
là đa điều hòa dưới chặt trong D. Bằng tính toán trực tiếp ở phần 1.4 chương 1 và xem các bài báo [2, 8, 9, 10], ta nhận được
det H((cid:96)(r)) = J(r)e(n+1)(cid:96)(r).
(1.8)
Từ đó, ta có kết luận sau
(i) u := (cid:96)(r) là đa điều hòa dưới chặt trên D nếu và chỉ nếu J(r) > 0 trên D.
(ii) J(r) = 1 nếu và chỉ nếu det H(u) = e(n+1)u với u := (cid:96)(r).
Ta sẽ khẳng định và chứng minh các công thức xấp xỉ dưới đây.
Định lý 1.2. Cho D là một miền trơn, bị chặn giả lồi trong Cn. Cho r(z) là hàm trơn xác định âm trên D sao cho (cid:96)(r) là đa điều hòa dưới chặt trong D. Cho
−1
n+1 e−B(z)
(1.9)
với
ρ1(z) = r(z)J(r)
(1.10)
Khi đó
(1.11)
. B(z) = B[r](z) = tr(H((cid:96)(r)))−1H(log(J(r))) 2n(n + 1)
Hơn nữa, nếu J(r) = 1 + O(r2) thì ρ1 = r + O(r3) và
(1.12)
J(ρ1)(z) = 1 + O(r2).
Chứng minh. Trước hết, ta chọn a ≥ 0 đủ lớn để r[a] là đa điều hòa dưới chặt. Từ định nghĩa của r[a] và tính toán trực tiếp, ta có
(cid:20)
J(ρ1) = 1 + O(r3).
(cid:21) (∂r)∗(∂r)
(1.13)
Vì vậy, ta có thể viết
H((cid:96)(r)) = H(r[a]) + . 1 (−r)(1 + ar) 1 + 2ar (−r)
với B0(z) ∈ C∞(D). Tính toán trực tiếp, từ công thức trên, ta nhận được
(cid:18)
(cid:19)
B(z) = (−r)B0(z)
(1.14)
H(r) + H(B) =(−r)H(B0) − B0 (∂r)∗∂r −r
12
− (∂r)∗(∂B0) − (∂B)∗(∂r). + B0 (∂r)∗∂r −r
Chương 1. Kiến thức cơ bản
Với mỗi z = z0 cố định, bằng cách sử dụng phép quay phức (nếu cần), ta có thể giả sử rằng
(z0) = 0 với 1 ≤ j ≤ n − 1 và H(r)(z0) là đường chéo, khi đó ∂r ∂zj
tr(H((cid:96)(r)))−1H(B) = −nB(z) + (−r)B0 + O(r2)
(1.15)
Mặt khác, ta tính được
= −(n − 1)B + O(r2).
(cid:17)
(cid:16)
J(ρ1)(z)e(n+1)(cid:96)(ρ1) = detH((cid:96)(ρ1))
(cid:105)(cid:17)
H((cid:96)(r)) + = det
(cid:105)(cid:17)
H(log J) + H(B) = det H((cid:96)(r))det
Chú ý rằng, e(n+1)(cid:96)(ρ1) = e(n+1)BJ(r)e(n+1)(cid:96)(r), từ đó ta có
(cid:105)(cid:17)
(cid:16)
H(log J) + H(B) = J(r)e(n+1)(cid:96)(r)det 1 H(log J) + H(B) n + 1 In + H((cid:96)(r)))−1 (cid:104) 1 (cid:16) n + 1 In + H((cid:96)(r)))−1 (cid:104) 1 (cid:16) n + 1
(cid:20)
(cid:21)(cid:21)(cid:21)
H(log J) + H(B) J(ρ1)(z) = e−(n+1)Bdet
1 + tr H((cid:96)(r))−1 = e−(n+1)B H(log J) + H(B) + O(r2) In + H((cid:96)(r))−1 (cid:104) 1 n + 1 (cid:20) 1 (cid:20) n + 1
= e−(n+1)B[1 + 2nB + trH((cid:96)(r))−1H(B)] + O(r2) = e−(n+1)B[1 + 2nB − (n − 1)B + O(r2)] + O(r2)
Khi J(r) = 1 + Ar2 với A trơn trên D, dễ dàng chứng minh B = B1r2 với B1 trơn trên D gồm ∂D. Dễ dàng thấy rằng ρ1[r] = r + O(r3) và J(ρ1[r]) = 1 + O(r3). (cid:4)
Mệnh đề 1.1. Cho D là một miền trơn bị chặn giả lồi chặt trong Cn. Cho u là nghiệm đa điều hòa dưới của phương trình
(cid:40)
= 1 + B2 + O(r2) = 1 + O(r2). (n + 1)2 2
và ρ(z) = −e−u.
det H(u) = e(n+1)u, z ∈ D
Khi đó, với bất kỳ hàm xác định trơn r của D sao cho (cid:96)(r) là đa điều hòa dưới chặt trong D, ta có
(cid:18)
(cid:19)
−n
u = +∞, z ∈ ∂D
n+1 det
det H(ρ) = J(r) H(r) − [∂ir∂j log J + ∂i log J(r)∂jr] n + 1
trên ∂D, trong đó B(z) = B[r](z) như trong công thức (1.10).
13
− [∂ir∂jB(z) + ∂iB∂jr] (1.16)
Chương 1. Kiến thức cơ bản
Chứng minh. Đặt
−1
n+1 e−B.
(1.17)
Định lý 1.2 suy ra rằng ρ(z) = ρ1(z) + O(r(z)3). Bằng tính toán trực tiếp, ta nhận được
ρ1(z) := ρ1[r] := r(z)J(r)
(1.18)
det H(ρ) = det H(ρ1),
Bởi vì B(z) = (−r)B0(z), ta dễ dàng thấy rằng
−1
−1 n+1 − r(z)J(r)
n+1 B(z) + O(r(z)3)
(1.19)
z ∈ ∂D.
và
(cid:17)
(cid:16)
ρ1(z) = r(z)J(r)
−1 n+1 − r(z)J(r)
−1 n+1 B(z)
(1.20)
det H(ρ1) = det H
Với bất kì z ∈ ∂D, bởi (1.20), ta có
−1
(cid:16)
(cid:17)
r(z)J(r) z ∈ ∂D. ,
−1 n+1 ) − J(r)
det H(ρ1)(z) =det
n+1 [∂ir∂jB + ∂iB∂jr]
(cid:18)
−(n+2) n+1
H(rJ(r)
−1 n+1 H(r) −
(cid:19)
−1
J(r) J(r) =det [∂ir∂jJ(r) + ∂iJ(r)∂jr] n + 1
(1.21)
n+1 [∂ir∂jB + ∂iB∂jr]
(cid:18)
−n
− J(r)
n+1 det
=J(r) H(r) − [∂ir∂j log J + ∂i log J(r)∂jr]
Đó là điều phải chứng minh.
(cid:4) Với mỗi j = 1, 2, cho trước các miền Dj ⊂ Cn, gọi uDj là hàm thế vị cho
metric K¨ahler - Einstein của Dj và cho
1 n + 1 (cid:19) . − [∂ir∂jB + ∂iB∂jr]
(1.22)
Khi đó, ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2. Cho φ : D1 → D2 là ánh xạ trơn song chỉnh hình. Khi đó
ρDj (z) = −e−uDj (z), j = 1, 2.
−2 n+1 .
(1.23)
Đặc biệt, nếu det φ(cid:48)(z) là hằng số c thì
2
ρD1(z) = ρD2(φ(z))|detφ(cid:48)(z)|
n+1 det H(ρD2)(φ(z)).
(1.24)
14
det H(ρD1)(z) = |c|
Chương 1. Kiến thức cơ bản
Chứng minh. Vì uDj là hàm thế vị cho metric K¨ahler - Einstein của Dj nên uDj là nghiệm đa điều hòa dưới duy nhất cho phương trình Monge-Ampère
(cid:40)
detH(u) = e(n+1)u,
z ∈ Dj
Do φ : D1 → D2 là song chỉnh hình, ta có
u = ∞, z ∈ ∂Dj.
(1.25)
và
−2 n+1 .
uD1(z) = uD2(φ(z)) + log |det φ(cid:48)(z)|2, z ∈ D1, 1 n + 1
(1.26)
Đặc biệt, khi det φ(cid:48)(z) = c, ta có
−2n
det H(ρD1)(z) = |c|
n+1 det H(ρD2)(φ(z))|c|2
2
ρD1(z) = ρD2(φ(z))|det φ(cid:48)(z)|
n+1 det H(ρD2)(φ(z)).
(cid:4)
Đó là điều phải chứng minh.
Chúng ta cũng cần công thức đổi biến chỉnh hình sau đây.
Bổ đề 1.1. Cho z0 ∈ ∂D, và δ0 > 0 nào đó, nếu z = φ(w) : B(0, δ0) → B(z0, 1) là ánh xạ chỉnh hình một - một với φ(0) = z0 và r(z) = (cid:101)r(w) thì
2 n+1
= |c|
(1.27)
1 n+1
(cid:101)r(w) J((cid:101)r(w))
Hơn nữa, nếu |detφ(cid:48)(z)|2 là một hằng số trên B(0, δ0) thì
(cid:33)
(cid:32)
2 n+1 = det H
e−B((cid:101)r(w)). ρ1(φ(w)) = |detφ(cid:48)(w)|
(1.28)
1 n+1
(cid:101)r J((cid:101)r)
(cid:4)
Chứng minh. Bổ đề được suy ra từ Định lý 1.2 và Mệnh đề 1.1.
15
e−B((cid:101)r)(0) . det H(ρ1)(z0)|det φ(cid:48)(0)|
Chương 2
Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
Kết quả chính đầu tiên trong chương này là để chứng minh rằng nghiệm của phương trình Fefferman trên một miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt D trong Cn là đa điều hòa dưới trong D nếu và chỉ nếu D là miền siêu giả lồi (xem Định lý 2.2). Mục tiêu chính thứ hai của chương này là chứng minh đưa ra các một liên hệ giữa các miền siêu giả lồi và các miền lồi như trong định lý sau đây.
Định lý 2.1. Cho D là một miền trơn, bị chặn trong Cn. Khi đó,
(i) Với n = 1, D là siêu giả lồi chặt (siêu giả lồi) nếu và chỉ nếu D là lồi chặt
(lồi).
(ii) Với n > 1, nếu D là lồi và nếu có một hàm xác định đa điều hòa dưới chặt
(cid:105)
(cid:104)
r ∈ C4(D) sao cho
(cid:101)∆rkl − aiq[r]rpjrijkrpql − ((cid:101)∆rk)((cid:101)∆rl)
thì D là siêu giả lồi chặt.
(iii) Tính lồi không suy ra tính siêu giả lồi và tính siêu giả lồi không suy ra tính
lồi.
Chứng minh của Định lý 2.1 sẽ được trình bày trong hai tiểu mục. Trong mục "Mối liên hệ giữa các miền siêu giả lồi và các miền lồi", chúng tôi trình bày chứng minh phần (i) và (ii). Trong mục "Các phản ví dụ", chứng minh của (iii) được giới thiệu thông qua các phản ví dụ.
n − 1 + akl[r] − 2Re rk (cid:101)∆rk > 0 |∂r|2 n
16
Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
2.1 Hàm đa điều hòa dưới chặt và miều siêu giả lồi
Kết quả đầu tiên của luận văn sẽ chứng minh rằng nghiệm của phương trình Fefferman trên một miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt D trong Cn là đa điều hòa dưới trong D nếu và chỉ nếu D là miền siêu giả lồi.
Định lý 2.2. Cho D là một miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt trong Cn. Cho (cid:101)ρ ∈ C4(D) là một hàm xác định của D sao cho (cid:101)u = − log(−(cid:101)ρ) là đa điều hòa dưới chặt. Nếu metric K¨ahler g[(cid:101)u] cảm sinh bởi (cid:101)u là siêu tiệm cận Einstein thì hai khẳng định sau là đúng:
(i) (cid:101)ρ là đa điều hòa dưới chặt trên D nếu và chỉ nếu D là siêu giả lồi chặt.
Đặc biệt, nếu (cid:101)ρ = ρ(z) là nghiệm của phương trình Fefferman
(cid:40)
det J(ρ) = 1,
z ∈ D
thì ρ là đa điều hòa dưới chặt trong D khi D là siêu giả lồi chặt.
(ii) Nếu D là siêu giả lồi thì λ1(∆g[(cid:101)u]) = n2, trong đó
n (cid:88)
ρ = 0, z ∈ ∂D
i,j=1
Chứng minh. Lấy r ∈ C∞(D) là hàm xác định đa điều hòa dưới chặt bất kì cho miền D. Đặt
−1
n+1 e−B(z),
(2.1)
∆g = −4 gij . ∂2 ∂zi∂zj
trong đó,
ρ1(z) = r(z)J(r)
(2.2)
Theo Định lý 1.2, ta có
(2.3)
. B(z) = tr(H((cid:96)(r)))−1H(log J(r)) 2n(n + 1)
(2.4)
det H(ρ)(z) = det H(ρ1)(z) trên ∂D.
Bởi Mệnh đề 1.1 và
(cid:1)−1
J(ρ1) = 1 + O(r(z)2). Gọi ρ = ρD là nghiệm của phương trình Fefferman sao cho (cid:96)(ρ) là đa điều hòa dưới chặt trong D. Khi đó
(cid:105) H(log J(r))
(cid:104)(cid:0)H(r) + (cid:32)
(cid:33)
n (cid:88)
B(z) = tr (z) (−r) 2n(n + 1) rirj −r
i,j=1
17
= rij − = −B0(z)r, (−r) 2n(n + 1) ∂2 log J(r) ∂zi∂zj rirj −r + |∂r|2 r
Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
trong đó
n (cid:88)
(2.5)
i,j=1
Do đó, với z0 ∈ ∂D, ta có
(2.6)
1 B0(z) = = aij[r] 1 2n(n + 1) 2n(n + 1) (cid:101)∆r log J(r). ∂2 log J(r) ∂zi∂zj
Đặt
n (cid:88)
n (cid:88)
∂jB(z0) = −B0(z0)∂jr(z0), ∂jB(z0) = −B0(z0)∂jr(z0) với 1 ≤ j ≤ n.
(2.7)
j=1
j=1
và
(cid:33)
(cid:32)
n (cid:88)
R = , R = , rj = rijri ri = rijrj, rj ∂ ∂zj rj ∂ ∂zj
i,j=1 n (cid:88)
rij − |(cid:102)∇rf |2 =: ∂if ∂jf rirj −r + |∂r|2 r
i,j=1
Khi đó, dễ dàng thấy rằng | (cid:101)∇rr|2 = 0 trên ∂D. Vì vậy, bởi (1.21) ta có
−n
(cid:16)
(cid:17)
. = rij∂if ∂jf − |Rf |2 −r + |∂r|2 r
n+1 det
det H(ρ1)(z) = J(r)
Mặt khác, Bổ đề 3.1 trong [8] nói rằng
det(In − A∗B − B∗A) = |1 − (cid:104)A, B(cid:105)|2 − |A|2 |B|2
với A = (A1, . . . , An), B = (B1, . . . , Bn). Do vậy, tại z = z0 ∈ ∂D, ta nhận được
(cid:18)
2(cid:19)
n
H(r) − . [∂ir∂j log J + ∂i log J(r)∂jr] − [∂ir∂jB + ∂iB∂jr] 1 n + 1
det H(ρ)(z0)J(r)
n+1 (z0) = det H(r)
(cid:19)(cid:19)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:19) (cid:19)
(cid:18) ∂j log J(r) n + 1 (cid:19) (cid:18)∂j log J(r)
n (cid:88)
1 − rij ∂ir − B0∂jr
(cid:18)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:18)∂i log J(r) n + 1
2
rij − B0∂ir − |∂r|2 r − B0∂jr n + 1
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
i,j=1 (cid:18)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:19)
n (cid:88)
1 − =det H(r) + B0|∂r|2 r R log J(r) n + 1
r 2Re B0 R log J(r)
r|B0|2
(cid:19)
i,j=1 (cid:18)
rij + |∂r|2 − |∂r|4 − |∂r|2 r ∂i log J(r)∂j log J(r) (n + 1)2 n + 1
(cid:18)
1 + 2B0|∂r|2 − 2Re − =det H(r) R log J(r) n + 1 |∂r|2 r (n + 1)2 |(cid:102)(cid:53)r log J(r)|2
(cid:19)
1 + =det H(r) |∂r|2 n(n + 1) (cid:101)(cid:52) log J(r) − 2Re R log J(r) n + 1
18
− > 0. |∂r|2 r (n + 1)2 |(cid:102)(cid:53)r log J(r)|2
Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
Bây giờ, giả sử rằng D là siêu giả lồi chặt, khi đó theo định nghĩa của miền siêu giả lồi chặt, tồn tại hàm đa điều hòa dưới chặt r ∈ C4(D) sao cho bất đẳng thức trên đúng trên ∂D. Ngược lại, giả sử (cid:101)ρ là hàm trơn xác định trên D sao cho metric K¨ahler cảm sinh bởi (cid:101)u = − log(−(cid:101)ρ) là siêu tiệm cận Einstein thì detH((cid:101)ρ) = detH(ρ) > 0 trên ∂D. Theo Bổ đề 2 trong [14], ta có detH(ρ) đạt cực tiểu trên D tại một điểm nào đó trong ∂D. Vì vậy, detH((cid:101)ρ) > 0 trên D và chứng minh (i) của Định lí 2.2 được hoàn thành.
Phần (ii) của Định lý 2.2 là hệ quả của phần (i) và kết quả trong [13] và (cid:4)
[14].
2.2 Mối liên hệ giữa các miền siêu giả lồi và các
miền lồi
Như đã nói ở phần mở đầu chương, trong mục này, chúng ta sẽ chứng minh các khẳng định (i) và (ii) của Định lý 2.1. Trước khi trình bày chứng minh, ta nhắc lại một số ký hiệu và khái niệm
(2.8)
r),
log J(r) = log det H(r) + log(−r + |∂r|2
(2.9)
= −rk + ∂k(rij)rirj + rijrikrj + rijrirkj ∂(−r + |∂r|2 r) ∂zk
và
= −riqrpjrpqkrirj + rijrikrj = −rqrprpqk + ririk
(cid:32)
(cid:33)
(2.10)
= ∂ log J ∂zk ∂ log det H(r) + log(−r + |∂r|2 r) ∂zk
ta có
(2.11)
, = rij − rijk + rirj −r + |∂r|2 r ririk −r + |∂r|2 r
Do đó
(cid:18)
n
rik. R log J(r)(z0) = rk (cid:101)∆rk + rirk |∂r|2 r
det H(ρ)(z0)J(r)
n+1 (z0) = det H(r)
(2.12)
(cid:19) 2Re rkririk (n + 1)|∂r|2 + (cid:101)E(r)
19
1 − ,
Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
trong đó
(cid:19)(cid:21)
(2.13)
(cid:101)E(r) =:
(cid:20) (cid:101)∆ log J(r) −
(cid:18)rk (cid:101)∆rk |∂r|2 r
Mệnh đề dưới đây đưa ra chứng minh của khẳng định (i) trong Định lý 2.1.
Mệnh đề 2.1. Cho D là một miền trơn, bị chặn trong không gian phức C. Khi đó D là siêu giả lồi (chặt) nếu và chỉ nếu D là lồi (chặt).
Chứng minh. Cho r là hàm trơn xác định điều hòa dưới chặt trên D ⊂ C. Theo (2.12) và (2.13), ta có a11[r] = 0 và (cid:101)E(r) = 0 trên ∂D. Vì vậy, D là siêu giả lồi chặt nếu và chỉ nếu
(cid:18)
(cid:19)
. − 2nRe |∂r|2 n(n + 1) n| (cid:101)(cid:53) log J(r)|2 n + 1
Re
(2.14)
(cid:18)
Tại mỗi điểm z = z0 ∈ ∂D bất kỳ cho trước, bằng cách sử dụng phép quay (nếu cần), ta có thể giả sử rằng rn(z0) = r1(z0) > 0. Do đó,
(2.15)
1 − Sr(z) :=det H(r) 2 n + 1 rkririk |∂r|2 r (cid:19) > 0 trên ∂D. =det H(r) 1 − Re rkririk |∂r|2 r
là dương với mọi z0 ∈ ∂D nếu và chỉ nếu ∂D là lồi chặt; và không âm với mọi (cid:4) z0 ∈ ∂D nếu và chỉ nếu ∂D là lồi. Bây giờ ta đánh giá (cid:101)E(r).
Mệnh đề 2.2. Với kí hiệu trên, z ∈ ∂D, ta có
(cid:34)
(cid:35)
Sr(z0) = r11 − Re r11(z0)
(cid:101)E(r) ≥
(cid:101)∆rkl − aiq[r]rpjrijkrpql − ((cid:101)∆rk)((cid:101)∆rl) − n
(2.16)
và
(cid:20)
(cid:21)
− |∂r|2akl[r] n(n + 1) 2Re rk (cid:101)∆rk (n + 1) ririkrjrjl |∂r|4 r
(2.17)
(cid:101)E(r) ≤
(cid:101)∆rkl + aiq[r]rprjrijkrpql + 2aiq[r]
Chứng minh. Ta sử dụng hai đồng nhất thức sau
− . |∂r|2akl n(n + 1) rikrql |∂r|2 2Re rk (cid:101)∆rk (n + 1)
(ri)l = (riqrq)l = rq(riq)l + riqrql = −ritrsqrstlrq + riqrql
20
= −ritrsrstl + riqrql
Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
và
Theo (2.9) và (2.10), với z ∈ ∂D, ta có
(cid:32)
(cid:32)
(cid:33)
(cid:33)
(rj)l = (rpjrp)l = −rqrijriql + δjl.
rij − = rij − rijkl + rijk ∂ ∂zl ∂2 log J(r) ∂zk∂zl rirj −r + |∂r|2 r
+ ∂ ∂zl
(cid:19)
rirj |∂r|2 r ririk (−r + |∂r|2 r) =(cid:101)∆rkl − rijkriqrpjrpql
(cid:18)∂(−r + |∂r|2 r) ∂zl
+
r)2 (rijkrirj − ririk) (ri(rj)l + rj(ri)l) +
− 1 |∂r|2 (ririkl + rik(ri)l) 1 (|∂r|2 rijk |∂r|2 r
=(cid:101)∆rkl − rijkriqrpjrpql
+
−
r)2 (rijkrirj − ririk)(−rqrprpql + rqrql) (cid:0)rj(−ritrsrstl + riqrql) + ri(−rqrpjrpql + δjl)(cid:1) (cid:0)ririkl + rik(−ritrsrstl + riqrql)(cid:1)
+ 1 (|∂r|2 rijk |∂r|2 r 1 |∂r|2
=(cid:101)∆rkl − riqrpjrijkrpql − 1 (|∂r|2
r)2 (rijkrirj − ririk)(rqrprpql − rqrql) rjriqrqlrilk −
ri + rilk |∂r|2 r
1 |∂r|2 r (cid:1) + (rprjriq + rirqrpj)rpqlrijk − (cid:0)ririkl − ritrsrstlrik + riqrqlrik 1 |∂r|2 r 1 |∂r|2
=(cid:101)∆rkl − riqrpjrijkrpql − rijkrpql rirjrprq |∂r|4 r
+ (rirjrijkrqrql + rprqrpqlririk)
(cid:18)
(cid:19)
+ (rprjriq + rirqrpj)rpqlrijk
21
riq − − (rirpjrpkrijl + rjriqrqlrijk) + rqlrik, 1 |∂r|2 r rirq |∂r|2 r 1 |∂r|4 r 1 |∂r|2 r 1 |∂r|2 r
Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
do đó
(cid:33)
(cid:18)
(cid:19) (cid:32)
(cid:32)
(cid:32)
(cid:33)
(cid:33)
(cid:18)
(cid:19)
riq − rpj − rijkrpql =(cid:101)∆rkl − ∂2 log J(r) ∂zk∂zl rirq |∂r|2 r rprj |∂r|2 r
− ri rpj − riq − rqlrijk rpkrijl + rj 1 |∂r|2 r rirq |∂r|2 r
(cid:18)
Với mỗi z ∈ ∂D, ta có
(cid:16)
rprj |∂r|2 r (cid:19) + riq − rqlrik. rirq |∂r|2 r 1 |∂r|2 r
(cid:101)∆ log J(r)(z) ≥akl[r](cid:101)∆rkl − akl[r]aiq[r]apj[r]rijkrpql aiq[r] (cid:17) |∂r|2 r =akl (cid:101)∆rkl − akl[r]aiq[r]rpjrijkrpql
và
(cid:101)∆ log J(r)(z) ≤ akl (cid:101)∆rkl + 2akl[r]aiq[r]
− akl[r] + rjrijkrprpql + rkirql akl[r]aiq[r]rqlrik 1 |∂r|2 r
Hơn nữa,
(cid:33)
(cid:18)
(cid:19) (cid:32)
rikrql |∂r|2 + akl[r]aiq[r]rprjrijkrpql.
(cid:101)∆rk +
(cid:101)∆rl +
(cid:21)
| (cid:101)(cid:53) log J(r)|2 = akl[r] ririk |∂r|2 r
(cid:20) ((cid:101)∆rk)((cid:101)∆rl) + ((cid:101)∆rk)
(cid:101)∆rl +
= akl[r] . + rjrjl |∂r|2 r (cid:32) rjrjl (cid:33) |∂r|2 r ririk |∂r|2 r rjrjl |∂r|2 r
(cid:21) .
(cid:20)n + 1 n
Do đó
(cid:101)∆ log J(r) −
≤ akl[r] ((cid:101)∆rk)((cid:101)∆rl) + (n + 1) ririk |∂r|2 r rjrjl |∂r|2 r ririk |∂r|2 r
(cid:33)
(cid:32)
n n + 1
(cid:19)
(cid:101)∆rkl − aiq[r]rpjrijkrpql
Vì vậy
(cid:34)
(cid:35)
| (cid:101)(cid:53) log J|2 (cid:18) . ≥ akl[r] − akl[r] ((cid:101)∆rk)((cid:101)∆rl) + n ririk |∂r|2 r rjrjl |∂r|2 r
(cid:101)E(r) ≥
(cid:101)∆rkl − aiq[r]rpjrijkrpql − ((cid:101)∆rk)((cid:101)∆rl) − n
22
− |∂r|2akl[r] n(n + 1) 2Re rk (cid:101)∆rk n + 1 ririk |∂r|2 r rjrjl |∂r|2 r
Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
và
(cid:21)
(cid:101)E(r) ≤
(cid:20) (cid:101)∆rkl + aiqrprjrijkrpql + 2aiq[r]
(cid:4)
Do vậy, chứng minh của mệnh đề đã hoàn thành. Sử dụng mệnh đề trên, ta nhận được hệ quả sau đây và thực chất là chứng
minh cho khẳng định (ii) trong Định lý 2.1.
Hệ quả 2.1. Cho D là miền lồi trơn, bị chặn trong Cn. Nếu có một hàm xác định đa điều hòa dưới r ∈ C4(D) sao cho
(cid:17)
(cid:16)
. − |∂r|2akl[r] n(n + 1) rikrql |∂r|2 2Rerk (cid:101)∆rk n + 1
(cid:101)∆rkl − aiq[r]rpjrijkrpql − ((cid:101)∆rk)((cid:101)∆rl)
(2.18)
thì D là siêu giả lồi chặt.
Chứng minh. Nếu ∂D là lồi thì với bất kì hàm xác định đa điều hòa dưới chặt r ∈ C4(D), ta có
+ − > 0 trên ∂D n − 1 n + 1 |∂r|2akl[r] n(n + 1) 2Re rk (cid:101)∆rk n + 1
Re
trên ∂D.
(2.19)
Vì
(cid:101)E(r) +
− 2 n + 1 2 n + 1 rkririk |∂r|2 − akl[r]ririkrjrjl (n + 1)|∂r|2 r
akl[r]ririkrjrjl = |∂r|2akl[r] n(n + 1)
× (cid:0) 1 n + 1 (cid:101)∆rkl − aiq[r]rpjrijkrpql − ((cid:101)∆rk)((cid:101)∆rl)(cid:1) − 2Re rk (cid:101)∆rk n + 1
và 1 −
, bởi (2.12), (2.18) và (2.19) ta có detH(ρ) > 0 trên ∂D. Điều (cid:4)
này suy ra ρ là đa điều hòa dưới chặt trên D bởi Bổ đề 2 trong [14].
= 2 n + 1 n − 1 n + 1
2.3 Các phản ví dụ
Trong phần này, ta xét hai ví dụ trong C2 để chứng minh phần (iii) của Định lý 2.1. Để chứng minh tính lồi chặt không suy ra tính siêu giả lồi, ta sẽ xây dựng một phản ví dụ như dưới đây. Với δ = 4−12, ta chọn hàm
(cid:40)
δ−t , nếu t < δ
(2.20)
nếu t ≥ δ.
Đặt
(2.21)
e− δ g(t) := gδ(t) := 0,
23
r(z) = −2Re z2 + |z|2 − 8|z1|4g(|z1|2), z = (z1, z2) ∈ C2.
Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
Ví dụ 2.1. Lấy D = {z ∈ C : r(z) < 0}. Khi đó
(i) D là lồi chặt.
(ii) Nếu ρD là nghiệm của phương trình Fefferman, thì ρD không là đa điều hòa
dưới trong D.
Chú ý là theo Định lý 2.2 phần (i) miền D không là siêu giả lồi, bởi vì nếu
D là siêu giả lồi thì ρ là đa điều hòa dưới. Chứng minh. Ta dễ dàng tính được
=4|z1|2x1g(|z1|2) + |z1|4g(cid:48)(|z1|2)2x1,
=4|z1|2y1g(|z1|2) + |z1|4g(cid:48)(|z1|2)2y1,
1g(cid:48)(|z1|2) + 2|z1|4g(cid:48)(|z1|2) + 4(|z1|2 + 2x2
1)g(|z1|2)
=16|z1|2x2 ∂|z1|4g(|z1|2) ∂x1 ∂|z1|4g(|z1|2) ∂y1 ∂2|z1|4g(|z1|2) ∂x2 1
+ 4|z1|4g(cid:48)(cid:48)(|z1|2)x2 1,
1g(cid:48)(|z1|2) + 2|z1|4g(cid:48)(|z1|2) + 4(|z1|2 + 2y2
1)g(|z1|2)
=16|z1|2y2 ∂2|z1|4g(|z1|2) ∂y2 1
= ∂2(|z1|4g(|z1|2)) ∂x1∂y1 + 4|z1|4g(cid:48)(cid:48)(|z1|2)y2 1, ∂(4|z1|2x1g(|z1|2) + |z1|4g(cid:48)(|z1|2)2x1) ∂y1
ngoài ra, ta cũng tính được
(cid:20)
(cid:21)
=8x1y1g(|z1|2) + 16|z1|2x1y1g(cid:48)(|z1|2) + 4|z1|4x1y1g(cid:48)(cid:48)(|z1|2);
(cid:20) 11δ4 (δ − t)4
20t2|g(cid:48)(t)| + 12tg(t) + 4t3|g(cid:48)(cid:48)(t)| = 4tg(t) 3 + 5 t2(δ2 + 2δ(δ − t)) (δ − t)4 tδ (δ − t)2 + (cid:21) ≤ 4tg(t)
Mặt khác, ta có
≤ 47δ ≤ 4−5.
1 4
< , 1 4
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
và
24
, < 1 4 18|z1|4|g(cid:48)(|z1|2)| + 12|z1|2g(|z1|2) + 4|z1|6|g(cid:48)(cid:48)(|z1|2)| ≤ (cid:12) ∂(|z1|4g(|z1|2)) (cid:12) (cid:12) ∂x2 (cid:12) 1 (cid:12) ∂(|z1|4g(|z1|2)) (cid:12) (cid:12) ∂y2 (cid:12) 1
Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Do đó, D2r(z) = 2In + D2(|z1|4g(|z1|2)) là xác định dương trên R4. Vì vậy, D là lồi chặt. Hơn nữa, H(r)(0) = I2. Vậy nên
detH(ρD)(0) < 0.
Tại z = 0, ta có
< . 1 2 ∂(|z1|4g(|z1|2)) ∂x1∂y1
Bởi (2.10), ta suy ra rằng
1 ≤ i, j, k ≤ 2. = −1, rkj(0) = rijk(0) = 0, ∂r ∂z2
ta có
(0) = 0 với 1 ≤ j ≤ 2. Theo (2.13) và (2.17), ∂ log J(r) ∂zj
Do đó,
e−1. r1111(0) = −32e−1, (cid:101)E(r)(0) = r1111 = − |∂r|2 6 32 6
detH(ρD)J(r)2/3 = 1 −
(cid:4)
− < 0. 32 6e
Để chứng minh rằng tính siêu giả lồi không suy ra tính lồi, ta có phản ví
dụ sau.
Ví dụ 2.2. Cho n ≥ 2, α =
và 0 < C ≤
, ta lấy
2 3 Suy ra ρD không là đa điều hòa dưới trong D.
n (cid:88)
n (cid:88)
21 20 (9 − 8α)(1 + α) 256
j=1
j=1
và đặt
r(z) = |z|2 + 2Rezn + αRe |zj|4 z2 j + C
Khi đó D là siêu giả lồi, nhưng D không lồi.
D = {z ∈ Cn : r(z) < 0}.
là các vectơ
và
Chứng minh. Tại điểm z = (0, 0, . . . , 0) ∈ ∂D, ta có
tiếp xúc trên ∂D với 1 ≤ j ≤ n − 1. Chú ý rằng
, ∂ ∂yn ∂ ∂xj ∂ ∂yj
25
= 2 − 2α = −2(α − 1) < 0, ∂2r ∂y2 n
Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
ta có thể dễ dàng chứng minh rằng hàm ∂D không lồi tại z = 0. Do đó, ∂D không lồi. Tuy nhiên,
trong đó Diag(|z1|2, . . . , |zn|2) là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo lần lượt là |z1|2, . . . , |zn|2. Khi đó
H(r) = In + 4CDiag(|z1|2, . . . , |zn|2),
j )δij.
Với mỗi i, ta tính được
n (cid:88)
= (α + 2Cz2 = 4Cδklδkjzj, (z) = 4Cδijδklδik, ∂2r ∂zi∂zj ∂2r ∂zi∂zj∂zk∂zl ∂3r ∂zk∂zl∂zj
r = riri =
i=1
và trên ∂D, ta có
(cid:18)
(cid:19) ∂2
n (cid:88)
= ri = |∂r|2 ri 1 + 4C|zi|2 , |ri|2 1 + 4C|zi|2
(cid:101)∆ =
i,j=1
Chú ý rằng nếu z ∈ D thì
n (cid:88)
(cid:88)
n (cid:88)
. δij 1 + 4C|zj|2 − ∂zi∂zj rirj (1 + 4C|zi|2)(1 + 4C|zj|2)|∂r|2 r
j + y2
j )2 < 0.
j=1
j=1
Điều này suy ra rằng
(2.22)
(x2 2xn + (1 + α) x2 j + (1 − α) y2 j + C
n < 0 ⇔ −
Do đó
2xn + (1 + α)x2 < xn < 0. 2 1 + α
(2.23)
và C|zk|4 − (α − 1)|zk|2 <
n >
Ta sẽ chứng minh rằng
. 2xn + (1 + α)x2 −1 1 + α 1 1 + α
nếu 0 < C ≤
(2.24)
Thật vậy, giả sử ngược lại, 4C|zk|2 ≥
, 1 < α < . 4C|zk|2 ≤ 1 8 (9 − 8α)(1 + α) 256 9 8
do vậy
. Khi đó, C|zk|4 − (α − 1)|zk|2 < 1 8 1 1 + α
26
. |zk|2 < 8 (1 + α)(9 − 8α)
Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
Điều này là mẫu thuẫn với điều điện 4C|zk|2 ≥
đúng. Chú ý rằng
. Vì vậy, khẳng định là 1 8
với mọi 1 ≤ k ≤ n. Do đó, ta có
(cid:32)
(cid:32)
(cid:33)
(cid:33)
(cid:1) =
akl[r]rl = 0
k)(α + 2Cz2 l )
(cid:0)ririkrjrjl
(cid:32)
(cid:33)
(cid:18)
(cid:19)
rkl − rkl − rkrl(α + 2Cz2 rkrl |∂r|2 rkrl |∂r|2
(cid:18)
(cid:19)
= rkl − α + 2C rkrl rkrl |∂r|2 z2 k − 2α|zk|2 1 + 4C|zk|2
(cid:32)
l − 2α|zl|2 z2 1 + 4C|zl|2 (cid:33)
α + 2C ×
(cid:33)
= rkl − rkrlα2
k − 2α|zk|2 1 + 4C|zk|2
(cid:33)
(cid:32)
rkrl |∂r|2 (cid:32) rkrl rkl − + 4CαRe |∂r|2 rkrl z2
+ 4C2 rkl − rkrl rkrl |∂r|2 (z2 l − 2α|zl|2) k − 2α|zk|2)(z2 (1 + 4C|zk|2)(1 + 4C|zl|2)
≤ rkk|rk|2 4C2(2α + 1)2|zk|4 (1 + 4C|zk|2)2
(cid:32)
(cid:32)
(cid:33)
(cid:33)
(cid:32)
(cid:33)2
|∂r|2, ≤ (2α + 1)2 256
(cid:101)∆|zk|2 = 4C
(cid:101)∆rkl = 4C
(cid:33)
(cid:32)
rkl − rkk − rkk − , rkrl |∂r|2 rkrk |∂r|2 r rkrk |∂r|2 r
(cid:101)∆rk = 4C
và
rk(cid:101)k − zk rkrk |∂r|2
Do đó bởi (2.22)
27
rk = (1 + 2C|zk|2)zk + 2αzk.
Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
(cid:32)
(cid:33)
Re rk (cid:101)∆rk = 4CRe
(cid:32)
rkk − rkzk
rkrk |∂r|2 (cid:33)
≤ 4C rkk − rkk(1 + 2α + 2C|zk|2)|zk|2 rkrk |∂r|2
(cid:32)
(cid:32)
(cid:33)
(cid:33) (cid:32)
(cid:33)
= , ≤ 2α + 1 8 4C|zk|2(1 + 2α + 2C|zk|2) (1 + 4C|zk|2)2 (cid:32) (cid:33)
(cid:101)∆rk (cid:101)∆rl = 16C2
(cid:33)
(cid:33) (cid:32)
(cid:32)
rkl − rkl − rkk − rll − zkzl rkrl |∂r|2 rkrl |∂r|2 rlrl |∂r|2 rkrk |∂r|2
(cid:32)
(cid:33)2
rkk − rll − ≤ 16C2rklzkzl rkrk |∂r|2 rlrl |∂r|2
và
(cid:32)
(cid:32)
(cid:33)2
(cid:33) (cid:18)
(cid:19)
≤ 4C rkk − rkrk |∂r|2 4C|zk|2 1 + 4C|zk|2
(cid:33)2
(cid:32)
riq − rkl − rkl − rlkzkδikδjkzlδplδql rpjrijkrpql = 16C2 rkrl |∂r|2 rirq |∂r|2 rkrl |∂r|2
(cid:32)
(cid:33)2
rkk rkk − = 16C2|zk|2 rkrk |∂r|2
Do đó, từ (2.19) ta có
28
= 4C rkk − . rkrk |∂r|2 4C|zk|2 1 + 4C|zk|2
Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
(cid:32)
(cid:32)
(cid:33)
(cid:33) (cid:18)
(cid:19)
(cid:101)∆rkl −
(cid:32)
(cid:33)2
rkl − rkl − riq − rpjrijkrpql rkrl |∂r|2 rkrl |∂r|2 rirq |∂r|2
(cid:32)
(cid:33)2
(cid:32)
(cid:33)2
− 4C rkk − rkrk |∂r|2 4C|zk|2 1 + 4C|zk|2
(cid:32)
(cid:33)2
− 4C =4C rkk − rkk − rkrk |∂r|2 rkrk |∂r|2 4C|zk|2 1 + 4C|zk|2
(cid:33)2
(cid:19) (cid:32)
(cid:18)
− 4C rkk − rkrk |∂r|2 4C|zk|2 1 + 4C|zk|2
Do đó
≥ 0. =4C 1 − 2 rkk − rkrk |∂r|2 4C|zk|2 1 + 4C|zk|2
(cid:101)E(r) ≥ −
và
− ak(cid:101)l[r] − 2Re rk (cid:101)∆rk n + 1 ririkrjrjl (n + 1)|∂r|2 ≥ − 1 + 2α 4(n + 1) (2α + 1)2 256(n + 1)
Re
Re
1 − − − 2 n + 1 rirkrik |∂r|2 + (cid:101)E(r) ≥ 1 − 2 n + 1 1 + 2α 4(n + 1) (2α + 1)2 256(n + 1)
Re
riir2 − − = 1 − riri(α + 2Cz2 j ) |∂r|2 i rii(α + 2Cz2 i ) |∂r|2 1 + 2α 4(n + 1) (2α + 1)2 256(n + 1)
≥ 1 − − − (2α + 1)2 256(n + 1)
> 1 − − 1 + 2α 4(n + 1) 10 256(n + 1)
nếu n ≥ 2 và α ≤
≥ 1 − − > 0 2 n + 1 2α n + 1 10α + 1 4(n + 1) 1 23 25 24
. Do đó, theo (1.1) trong Định nghĩa 1.7 và (2.12) và (2.13), (cid:4)
29
21 20 D là siêu giả lồi chặt.
KẾT LUẬN
Luận văn này trình bày lại các kết quả chính sau đây trong bài báo [7].
• Chứng minh rằng nghiệm của phương trình Fefferman trên một miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt D trong Cn là đa điều hòa dưới trong D nếu và chỉ nếu D là miền siêu giả lồi.
• Luận văn đưa ra một bài điều kiện cần và đủ để các miền siêu giả lồi là miền lồi. Bên cạnh đó, luận văn cũng chỉ ra rằng các khái niệm này là không tương đương bằng cách xây dựng các phản ví dụ miền lồi nhưng không siêu giả lồi và ngược lại D là siêu giả lồi nhưng không lồi.
30
Tài liệu tham khảo
[1] S. Y. Cheng, Eigenvalue comparison theorems and its geometric application,
Math. Z., 143, 289–297 (1975)
[2] S. Y. Cheng and S. T. Yau, On the existence of a complex K¨ahler metric on noncompact complex manifolds and the regularity of Fefferman’s equation, Comm. Pure Appl. Math. 33, 507–544 (1980).
[3] C. Fefferman, Monge-Ampère equations, the Bergman kernel, and geometry
of pseudoconvex domains, Ann. Math. 103, 395–416 (1976)
[4] Kenzo Adachi, Several complex variables and integral formular, Nagasaki
University, Japan , (2007)
[5] L. Hormander, An introduction to Complex Analysis in several Variables,
D. Van Nostrand, Princeton, (1966)
[6] J. M. Lee and R. Melrose, Boundary behavior of the complex Monge-Ampère
equation, Acta Math. 148, 159–192 (1982)
[7] S. Y. Li, Plurisubharmonicity for the solution of the Fefferman equation and
applications, Bull. Math. Sci. (2016) 6: 287-309
[8] S. Y. Li, On the K¨ahler manifolds with the largest infimum of spectrum of Laplace-Beltrami operators and sharp lower bound of Ricci or holomorphic bisectional curvatures, Comm. Anal. Geom. 18, 555– 578 (2010)
[9] S. Y. Li, Characterization for balls by potential function of K¨ahler-Einstein metrics for domains in Cn, Comm. Anal. Geom. 13(2), 461–478 (2005)
[10] S. Y. Li, On the existence and regularity of Dirichlet problem for complex Monge-Ampère equations on weakly pseudoconvex domains, Calc. Var. PDEs 20, 119–132 (2004)
31
[11] S. Y. Li, Characterization for a class of pseudoconvex domains whose bound- aries having positive constant pseudo scalar curvature, Comm. Anal. Geom. 17, 17–35 (2009)
[12] S. Y. Li and H. S. Luk, An explicit formula Webster pseudo Ricci curvature and its applications for characterizing balls in Cn+1, Comm. Anal. Geom. 14, 673–701 (2006)
[13] S. Y. Li and M. A Tran, Infimum of the spectrum of Laplace-Beltrami oper- ator on a bounded pseudoconvex domain with a K¨ahler metric of Bergman type, Comm. Anal. Geom. 18, 375–394 (2010)
[14] S. Y. Li and X. D. Wang, Bottom of spectrum of K¨ahler manifolds with strongly pseudoconvex boundary, Int. Math. Res. Notices IMRN. 2012(19), 4351–4371 (2012)
32
TÀI LIỆU THAM KHẢO
