ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
MÃ ĐỨC NGHỊ
TÍNH HỮU HẠN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
MÃ ĐỨC NGHỊ
TÍNH HỮU HẠN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60.46.01.04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG
THÁI NGUYÊN - 2015
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, ngày 09 tháng 10 năm 2015
Người viết Luận văn
Mã Đức Nghị
i
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ NGUYỄN VĂN HOÀNG - Giảng viên Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của: Viện Toán học và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học, Sở GD&ĐT Hà Giang, Ban Giám hiệu trường THPT Thông Nguyên, huyện Hoàng Su Phì, Hà Giang đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình.
Thái Nguyên, ngày 09 tháng 10 năm 2015
Người viết Luận văn
Mã Đức Nghị
ii
Mục lục
Lời cảm ơn ii
Mục lục 1
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 4
4 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 1.2 Môđun Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 1.4 Dãy chính quy và độ sâu của môđun . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Tính hữu hạn và ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố
13 liên kết của một số môđun
2.1 Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . 13
2.2 Tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết . . . . . 22
2.3 Tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối
đồng điều địa phương tại bậc d − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1
33 Tài liệu tham khảo
Mở đầu
Cho (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương, I là iđêan của R, và N là R−môđun hữu hạn sinh. Năm 1992, C. Huneke [15] đã đưa ra giả thuyết ”Liệu rằng các môđun H j I (N ) chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết với mọi môđun hữu hạn sinh N và mọi iđêan I?”. Một số câu trả lời khẳng định được đưa ra bởi Huneke-R. Y. Sharp, và G. Lyubeznik cho các vành chính quy địa phương đẳng đặc trưng. Sau đó, A. Singh [23] và M. Katzman [16] đã xây dựng được các ví dụ về môđun hữu hạn sinh có một số môđun đối đồng điều địa phương có vô hạn các iđêan nguyên tố liên kết. Bên cạnh đó, giả thuyết này vẫn đúng trong nhiều trường hợp, chẳng hạn: Trong trường hợp môđun N có chiều nhỏ hơn 4, T. Marley đã chỉ ra rằng AssR(H j I (N )) là tập hữu hạn với mọi j. M.Brodmann-A.Faghani chứng minh rằng AssR(H t I (N )) là tập hữu hạn nếu H j I (N ) là hữu hạn sinh với mọi j < t. Tiếp đó, K. Khashyarmanesh - Sh. Salarian [17] chứng minh được rằng nếu Supp H j I (N ) là tập hữu hạn với mọi j < t thì Ass H t I (N ) là tập hữu hạn. Năm 2005, L.T. Nhàn [22] đã định nghĩa khái niệm dãy chính quy suy rộng, và đặc trưng được số nguyên t nhỏ nhất để Supp H t I (N ) là tập vô hạn, số t đó là độ dài của dãy chính quy suy rộng cực đại của N trong I và Ass(H j I (N ) là hữu hạn. Gần đây N.T. Cường - N.V. Hoàng đã thu được kết quả mới về tính hữu hạn cho tập các iđêan nguyên tố liên kết của một số môđun đối đồng điều địa phương, cụ thể là các định lý sau:
Định lý 1. (Cường - Hoàng [8, Theorem 1.1]) Cho (R, m) là vành địa phương Noether, I là một iđêan của R và N là R-môđun hữu hạn sinh. Cho k ≥ −1 là một số nguyên và r = depthk(I, N ). Nếu r < ∞ và x1, . . . , xr là một N-dãy từ chiều > k trong I, thì với mọi số nguyên j ≤ r, tập hợp AssR(H j I (N ))≥k là hữu hạn. Hơn nữa, với mọi l ≤ r ta có
AssR(H j
AssR(N/(x1, . . . , xj)N )≥k ∩ V (I).
I (N ))≥k =
j≤l
j≤l
2
(cid:91) (cid:91)
Mục tiêu thứ nhất của luận văn là trình bày lại một cách chi tiết chứng minh Định lý 1 của Cường - Hoàng như đã nêu trên và trình bày chi tiết một số hệ quả của nó.
j≤l AssR(H j
Một vấn đề khác đã được M. Brodmann nghiên cứu năm 1979, đó là nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết Ass(N/I nN ) khi n đủ lớn. Tiếp đó bài toán đã được mở rộng và được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học khác, chẳng hạn: L. Melkersson [20], Melkersson - P. Schenzel [21], Cường - Hoàng - P.H. Khánh [9]. Và gần đây Cường - Hoàng [8] và Hoàng - Khánh [14] đã chứng minh được một số kết quả mới về tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương trong một số điều kiện nhất định, đó là các định lý sau:
Định lý 2. (Cường - Hoàng [8, Theorem 1.2]) Cho (R, m) là vành địa phương Noether và I là một iđêan của R. Lấy R = ⊕n≥0Rn là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R0 = R và N = ⊕n≥0Nn là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Với mỗi số nguyên k ≥ −1, gọi r là giá trị ổn định của depthk(I, Nn). Khi đó với mỗi số nguyên l ≤ r tập hợp (cid:83) I (Nn))≥k là ổn đinh với n đủ lớn.
Định lý 3. (Hoàng - Khánh [14]) Cho (R, m) là vành địa phương Noether, I, J là hai iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh. Cho R = ⊕n≥0Rn một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R0 = R và N = ⊕n≥0Nn là một môđun phân bậc hữu hạn sinh. Lấy Ln để kí hiệu cho R−môđun Nn hoặc R−môđun M/J nM. Khi đó với mỗi số nguyên không âm l tập hợp (cid:83) j≥l SuppR(H j I (Ln)) là ổn định với n đủ lớn. Đặc biệt, tập hợp AssR(H d−1 (Ln)) ∪ {m} là ổn định với n I đủ lớn, trong đó d là giá trị ổn định của dim Ln.
3
Mục tiêu thứ hai của luận văn là trình bày lại chi tiết chứng minh cho Định lý 2 và Định lý 3 nêu trên. Luận văn được chia làm hai chương. Chương 1 dành để trình bày những kiến thức chuẩn bị cần thiết bao gồm: iđêan nguyên tố liên kết, môđun Ext, môđun đối đồng điều địa phương, dãy chính quy và độ sâu của môđun, vành và môđun phân bậc. Chương 2 là chương chính của luận văn gồm ba mục tương ứng dành để chứng minh chi tiết cho các định lý: Định lý 1, Định lý 2, và Định lý 3.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này nhằm giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị phục vụ cho chứng
minh các kết quả ở những chương sau. Trong chương này ta luôn giả thiết R
1.1
Iđêan nguyên tố liên kết
là vành giao hoán Noether và M là R−môđun.
Định nghĩa 1.1.1. (Iđêan nguyên tố liên kết) Một iđêan nguyên tố p của R
được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu có một phần tử 0 (cid:54)= x ∈ M sao
cho Ann(x) = p. Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR(M ) hoặc Ass(M ).
Sau đây là một số tính chất của các tập iđêan nguyên tố liên kết.
Mệnh đề 1.1.2. (i) Cho p ∈ Spec(R). Khi đó p ∈ AssR(M ) nếu và chỉ nếu M có một môđun con đẳng cấu với R/p.
(ii) Nếu p là phần tử tối đại của của tập tất cả các iđêan của R có dạng Ann(x) (với 0 (cid:54)= x ∈ M), thì p ∈ AssR(M ). Vì R là vành Noether nên M (cid:54)= 0 khi và chỉ khi AssR(M ) (cid:54)= 0. Hơn nữa, tập ZD(M ) tất cả các ước của không của M là hợp của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M.
AssR M (cid:48) ⊆ AssR M ⊆ AssR M (cid:48) ∪ AssR M (cid:48)(cid:48).
4
(iii) Cho 0 → M (cid:48) → M → M (cid:48)(cid:48) → 0 là dãy khớp các R−môđun. Khi đó
(iv) AssR(M ) ⊆ SuppR(M ) và mỗi phần tử tối thiểu của tập SuppR(M ) đều thuộc vào tập AssR(M )
(v) Nếu M là R−môđun hữu hạn sinh thì AssR(M ) là tập hữu hạn. Hơn nữa AssR(M ) ⊆ V (Ann M ) và mỗi phần tử tối thiểu của V (Ann M ) đều thuộc AssR(M ). Vì thế (cid:112)Ann(M ) là giao các iđêan nguyên tố liên kết của M.
1.2 Môđun Ext
(vi) AssRp(Mp) = {qRp | q ∈ AssR(M ), q ⊆ p}.
... → P2 → P1 → P0 → M → 0
Định nghĩa 1.2.1. Một giải xạ ảnh của R−môđun M là một dãy khớp
của các R−môđun, trong đó Pi là R−môđun xạ ảnh với mọi i.
...
ϕ −→ M → 0
µ2−→ P1
µ1−→ P0
Chú ý 1.2.2. Giải xạ ảnh của một R−môđun M luôn tồn tại. Thật vậy, giả sử Y là một hệ sinh của M, gọi P0 = ⊕y∈Y Ry, với Ry = R là R−môđun tự do trên Y . Khi đó ta có toàn cấu ϕ : P0 → M cho bởi ϕ(ay)y∈Y = Σy∈Y ayy. Đặt K1 = Ker ϕ. Lấy Y1 là hệ sinh của K1 và P1 là R−môđun tự do sinh bởi Y1. Khi đó ta có một toàn cấu tự nhiên f1 : P1 → K1. Đặt µ1 = j1f1, trong đó j1 : K1 (cid:44)→ P0 là phép nhúng tự nhiên từ K1 vào P0. Dễ thấy Im µ1 = Ker ϕ. Đặt K2 = Ker µ1. Bằng lập luận tương tự ta có một toàn cấu f2 : P2 → K2 sao cho K2 là môđun tự do và Im µ2 = Ker µ1 trong đó µ2 = j2f2 với j2 : K2 (cid:44)→ P1 là phép nhúng tự nhiên. Cứ tiếp tục quá trình này ta thu được một dãy khớp
trong đó Pi là môđun tự do. Vì mỗi môđun tự do là xạ ảnh nên mỗi dãy khớp trên là xạ ảnh của M.
Định nghĩa 1.2.3. Cho N là R−môđun. Xét hàm tử Hom(−, N ) là phản biến,
...
µ −→ M → 0.
f2−→ P2
f1−→ P1
f0−→ P0
5
khớp trái. Cho M là R−môđun, lấy giải xạ ảnh của M
f ∗ 2−→ ...
0 → Hom(P0, N )
f ∗ 0−→ Hom(P1, N )
f ∗ 1−→ Hom(P2, N )
R(M, N ) = Ker f ∗
i / Im f ∗
i−1. Môđun này không phụ thuộc vào việc
Tác động hàm tử Hom(−, N ) vào dãy khớp trên ta có phức
Khi đó Exti chọn giải xạ ảnh của M.
Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun Ext.
Mệnh đề 1.2.4.
R(M, N ) = 0 với mọi i (cid:62) 1.
(i) Nếu M là xạ ảnh thì Exti
R(M, N ) ∼= Hom(M, N ).
(ii) Ext0
(iii) Nếu 0 → N (cid:48) → N → N (cid:48)(cid:48) → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu
R(M, N (cid:48)(cid:48)) → Extn+1
R (M, N (cid:48)) với mọi n (cid:62) 0 sao cho ta có dãy khớp dài
0 → Hom(M, N (cid:48)) → Hom(M, N ) → Hom(M, N (cid:48)(cid:48)) → Ext1
R(M, N (cid:48))
→ Ext1
R(M, N ) → Ext1
R(M, N (cid:48)(cid:48)) → Ext2
R(M, N (cid:48)) → ...
nối Extn
(iv) Nếu 0 → N (cid:48) → N → N (cid:48)(cid:48) → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu
R(N (cid:48), M ) → Extn+1
R (N (cid:48)(cid:48), M ) với mọi n (cid:62) 0 sao cho ta có dãy khớp dài
0 → Hom(N (cid:48)(cid:48), M ) → Hom(N, M ) → Hom(N (cid:48), M ) → Ext1
r(N (cid:48)(cid:48), M )
→ Ext1
R(N, M ) → Ext1
R(N (cid:48), M ) → Ext2
R(N (cid:48)(cid:48), M ) → ...
nối Extn
R(M, N ) cũng
Từ Chú ý 1.2.2 và từ Định nghĩa môđun Ext ta có kết quả sau.
Hệ quả 1.2.5. Nếu M, N là môđun hữu hạn sinh trên R thì Exti là hữu hạn sinh với mọi i.
Kết quả sau đây cho ta tính chất giao hoán giữa môđun Ext và hàm tử địa
phương hóa.
S−1(Extn
R(M, N )) ∼= Extn
S−1R(S−1M, S−1N ).
Mệnh đề 1.2.6. Nếu S là tập đóng nhân của R thì
R(M, N ))p ∼= Extn
Rp(Mp, Np) với mọi p ∈ Spec R.
6
Đặc biệt, ta có (Extn
1.3 Môđun đối đồng điều địa phương
Môđun đối đồng điều địa phương được định nghĩa bởi A. Grothendieck (vào
những năm 1960). Ngày nay chúng đã trở thành công cụ quan trọng trong
Hình học đại số, Đại số giao hoán. Trước hết ta giới thiệu về hàm tử I−xoắn.
Định nghĩa 1.3.1. (Hàm tử I−xoắn) Cho I là iđêan của R. Với mỗi R−môđun M, ta định nghĩa ΓI (M ) = (cid:83) n≥0(0 :M I n), dễ thấy nó là môđun con của M. Nếu f : M → N là đồng cấu các R−môđun thì ta có đồng cấu cảm sinh f ∗ : ΓI (M ) → ΓI (N ) cho bởi f ∗(m) = f (m). Khi đó ΓI (−) là một hàm tử hiệp biến, tuyến tính, khớp trái từ phạm trù các R−môđun đến phạm trù các R− môđun. ΓI (−) được gọi là hàm tử I− xoắn.
Bổ đề 1.3.2. Cho I là iđêan của R. Giả sử M là môđun hữu hạn sinh trên R.
Khi đó các phát biểu sau đây là đúng.
ZD(M ) = {a ∈ R | tồn tại 0 (cid:54)= m ∈ M sao cho am = 0}.
(i) ΓI (M ) (cid:54)= 0 nếu và chỉ nếu I ⊆ ZD(M ), trong đó
(ii) Ass(ΓI (M )) = Ass(M ) ∩ V (I) và Ass(M/ΓI (M )) = Ass(M ) \ V (I).
Định nghĩa 1.3.3. i) (Môđun nội xạ) Một R−môđun M được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu f : N → N (cid:48) và mọi đồng cấu g : N → M, luôn tồn tại đồng cấu h : N (cid:48) → M sao cho g = h ◦ f.
0 → M
f2−→ · · ·
µ −→ E0
f0−→ E1
f1−→ E2
ii) (Giải nội xạ) Một giải nội xạ của R−môđun M là một dãy khớp
trong đó Ei là các R−môđun nội xạ với mọi i ≥ 0.
Chú ý 1.3.4. Giải nội xạ của một R−môđun M luôn tồn tại.
Định nghĩa 1.3.5. (Môđun đối đồng điều địa phương) Cho M là R−môđun
0 → M
f2−→ · · ·
µ −→ E0
f0−→ E1
f1−→ E2
7
và I là iđêan của R. Lấy giải nội xạ của M
f ∗ 2−→ · · ·
0 → ΓI (E0)
f ∗ 0−→ ΓI (E1)
f ∗ 1−→ ΓI (E2)
i−1 (với mọi i ≥ 0) được gọi là môđun đối đồng
I (M ) = Ker f ∗
i / Im f ∗ Khi đó H i điều địa phương thứ i của M đối với giá là iđêan I.
Tác động hàm tử I−xoắn vào dãy khớp trên ta được phức
Tiếp theo ta xét một số tính chất.
Mệnh đề 1.3.6. Cho M là một R−môđun. Khi đó các phát biểu sau là đúng.
I (M ).
(i) ΓI (M ) ∼= H 0
I (M ) = 0 với mọi i ≥ 1.
(ii) Nếu M là nội xạ thì H i
(iii) Nếu 0 → M (cid:48) → M → M (cid:48)(cid:48) → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu
(M (cid:48)) với mọi n ≥ 0 sao cho ta có dãy khớp dài
I (M (cid:48)(cid:48)) → H n+1
I
0 → ΓI (M (cid:48)) → ΓI (M ) → ΓI (M (cid:48)(cid:48)) → H 1
I (M (cid:48))
→ H 1
I (M ) → H 1
I (M (cid:48)(cid:48)) → H 2
I (M (cid:48)) → · · ·
nối H n
Kết quả sau đây cho ta tính chất giao hoán giữa đối đồng điều địa phương
S−1I (S−1M ).
và hàm tử địa phương hóa.
I (M ) ∼= H n (Mp) với mọi iđêan nguyên tố p của R.
I (M ))p ∼= H n IRp
I (M ) nếu và chỉ nếu
Mệnh đề 1.3.7. Nếu S là tập đóng nhân của R thì S−1H n Đặc biệt, (H n
(Mp).
IRp
1.4 Dãy chính quy và độ sâu của môđun
Hệ quả 1.3.8. Với mỗi p ∈ Spec(R), ta có p ∈ Ass H n pRp ∈ Ass H n
Trước hết ta giới thiệu khái niệm dãy chính quy.
Định nghĩa 1.4.1. (Dãy chính quy) Cho R là vành giao hoán Noether và M
là R−môđun hữu hạn sinh khác 0. Phần tử a ∈ R được gọi là phần tử M −chính
8
quy nếu a không là ước của 0 trong M (tức là, ax (cid:54)= 0 với mọi 0 (cid:54)= x ∈ M). Một dãy các phần tử a1, . . . , an ∈ R được gọi là một M −dãy chính quy (hay M −dãy) nếu
(1) M/(a1, . . . , an)M (cid:54)= 0 và
(2) ai là phần tử M/(a1, . . . , ai−1)M −chính quy, với mọi i = 1, . . . , n.
Chú ý 1.4.2. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh.
i) Dãy các phần tử (a1, . . . , an) ∈ R được gọi là M −dãy chính quy nghèo nếu nó chỉ thỏa mãn điều kiện (2) trong định nghĩa trên.
ii) Độ dài của một M −dãy là số phần tử của dãy đó. Một M −dãy không có
phần tử nào gọi là M −dãy có độ dài 0.
iii) a ∈ R là phần tử M −chính quy nghèo nếu và chỉ nếu a /∈ p với mọi p ∈ AssR M.
iv) a1, . . . , an ∈ R là M − dãy chính quy khi và chỉ khi M/(a1, . . . , an)M (cid:54)= 0 và ai /∈ p với mọi p ∈ AssR M/(a1, . . . , ai−1)M với i = 1, . . . , n.
Mệnh đề 1.4.3. (xem [19, Định lý 16.1 và Bài tập 6.3]) Giả sử (R, m) là vành
giao hoán địa phương Noether và M là môđun hữu hạn sinh trên R. Khi đó, nếu a1, . . . , ak ∈ m là M −dãy thì
1 , . . . , ank
k cũng là M −dãy với mọi số nguyên dương n1, . . . , nk, và
i) an1
1 , . . . , ank
k )M ) = AssR(M/(a1, . . . , ak)M ).
ii) AssR(M/(an1
Định nghĩa 1.4.4. (M −dãy chính quy tối đại) Cho M là R−môđun hữu hạn sinh khác 0. Lấy I là iđêan của R sao cho M (cid:54)= IM và a1, . . . , an là M −dãy chính quy trong I. Ta nói rằng a1, . . . , an là M −dãy chính quy tối đại trong I nếu không tồn tại phần tử an+1 ∈ I sao cho a1, . . . , an, an+1 là M −dãy chính quy.
R sao cho M (cid:54)= IM. Với mỗi số nguyên dương n cho trước, khi đó các mệnh
Mệnh đề 1.4.5. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh khác 0. Lấy I là iđêan của
đề sau là tương đương:
i) Tồn tại a1, . . . , an ∈ I là một M −dãy.
R(R/I, M ) = 0 với mọi j < n.
9
ii) Extj
Định nghĩa 1.4.6. (Độ sâu của môđun) Cho M là R−môđun hữu hạn sinh
khác 0. Lấy I là iđêan của R sao cho M (cid:54)= IM. Khi đó mọi M −dãy chính
M −dãy chính quy tối đại của M trong I đều có cùng độ dài n, đó là số thỏa
quy trong I đều có thể mở rộng thành M −dãy chính quy tối đại trong I. Các
Extj
R(R/I, M ) (cid:54)= 0.
R(R/I, M ) = 0, ∀j < n và Extn
mãn điều kiện
Ta đặt n = depth(I, M ) và gọi là độ sâu của M trong I. Nếu M = IM thì ta
quy ước depth(I, M ) = ∞.
depth(m, M ) còn được gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depth M.
Trong trường hợp (R, m) là vành địa phương, thì độ sâu của M trong m là
Kết quả sau đây là đặc trưng qua tính không triệt tiêu của môđun đối đồng
điều địa phương và môđun Ext.
Mệnh đề 1.4.7. Giả sử I là iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh.
depth(I, M ) = inf{i | H i
R(R/I, M ) (cid:54)= 0}.
I (M ) (cid:54)= 0} = inf{i | Exti
Khi đó
Tiếp theo ta giới thiệu một số mở rộng của khái niệm dãy chính quy. Đó
là khái niệm dãy lọc chính quy được định nghĩa bởi N.T. Cường - N.V. Trung
- P. Schenzel [11], và khái niệm dãy chính quy suy rộng được định nghĩa bởi
L.T. Nhàn [22].
Định nghĩa 1.4.8. (xem [11]) Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether và M là R−môđun hữu hạn sinh. Một dãy các phần tử x1, . . . , xr của m được gọi là một dãy lọc chính quy của M nếu xi /∈ p với mọi p ∈ Ass(M/(x1, . . . , xi−1)M ) \ {m} với mọi i = 1, . . . , r.
Định nghĩa 1.4.9. (xem [22]) Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether và M là R−môđun hữu hạn sinh. Một dãy các phần tử x1, . . . , xr của m được gọi là một dãy chính quy suy rộng của M nếu xi /∈ p với mọi p ∈ Ass(M/(x1, . . . , xi−1)M ) mà dim(R/p) > 1 với mọi i = 1, . . . , r.
10
Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm chiều của môđun.
Chú ý 1.4.10. Ta gọi một dãy các iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn (trong đó với mọi i ta có pi (cid:54)= pi+1) là một dãy các iđêan nguyên tố có độ dài là n. Ta nói chiều (Krull) của vành R, kí kiệu là dim R, là cận trên của các độ dài của
các dãy iđêan nguyên tố trong R. Khi M là R−môđun, ta nói chiều môđun M,
kí hiệu là dim M, là cận trên của các số n sao cho có một dãy các iđêan nguyên
dim M = sup{dim(R/p) | p ∈ Ass M } = dim(R/ Ann M ).
tố có độ dài n trong tập Supp M. Trong trường hợp M là R−môđun hữu hạn sinh thì Supp M = V (AnnR M ), do đó
Kết quả sau đây chỉ ra rằng chiều của một môđun có thể đặc trưng thông
qua tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương.
Mệnh đề 1.4.11. Cho I là iđêan của R và M (cid:54)= 0 là R−môđun hữu hạn sinh.
Khi đó
I (M ) = 0 với mọi i ≥ dim M.
(i) H i
dim M = sup{i | H i
m(M ) (cid:54)= 0}.
1.5 Vành và môđun phân bậc
(ii) Nếu (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether thì
Định nghĩa 1.5.1. (i) Một vành phân bậc A là một vành giao hoán (A, +, .) thỏa mãn các tính chất A = (cid:76) n≥0 An (tức là, nhóm A là tổng trực tiếp của họ các nhóm con An của nhóm cộng (A, +)), và AnAm ⊆ An+m với mọi n, m ∈ N. Khi đó, mỗi phần tử a ∈ An được gọi là phần tử thuần nhất bậc n. Ta quy ước phần tử 0 có bậc tùy ý.
(ii) Cho A = (cid:76) n≥0 An là vành phân bậc và M là một A−môđun. Ta nói M là A−môđun phân bậc nếu thỏa mãn các điều kiện M = (cid:76) n≥0 Mn (như là các nhóm cộng) và AnMm ⊆ Mn+m với mọi n, m ∈ N. Khi đó, mỗi phần tử x ∈ Mn gọi là phần tử thuần nhất (hay phần tử phân bậc) có bậc là n. Cho N là một
n≥0(Mn ∩ N ).
11
môđun con của A−môđun phân bậc M, khi đó N được gọi là môđun con thuần nhất (hay môđun con phân bậc) của M nếu N = (cid:76)
n≥0 An là vành phân bậc. Khi đó
Chú ý 1.5.2. Giả sử A = (cid:76)
ai = 1ai = aia0 + aia1 + . . . + aian.
i) A0 là một vành con của A. Thật vậy, vì hiển nhiên có (A0, +) là nhóm con của nhóm A và A0A0 ⊆ A0; và ngoài ra nếu 1 = a0 + a1 + . . . + an với ai ∈ Ai thì với mỗi i ta có
1 = a0 + a1 + . . . + an = a0a0 + a1a0 + . . . + ana0
= (a0 + a1 + . . . + an)a0 = 1a0 = a0 ∈ A0.
Do biểu diễn duy nhất của tổng trực tiếp ta suy ra ai = aia0. Do đó
ii) An là A0−môđun với mọi n ≥ 0 (vì A0An ⊆ An).
12
iii) Đặc biệt A có cấu trúc tự nhiên là một A0−đại số (vì có đồng cấu vành f : A0 → (cid:76) n≥0 An = A, a0 (cid:55)−→ a0 + 0 + . . . + 0 + . . .). Nếu tồn tại hữu hạn phần tử a1, . . . , an ∈ A1 sao cho A = A0[a1, ..., an] thì ta nói A là A0−đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh, trong trường hợp này A là ảnh đồng cấu của vành đa thức n biến trên A0. Do đó nếu A0 là vành Noether thì theo Định lí cơ sở Hilbert, ta suy ra vành đa thức trên A0 là vành Noether. Vì thế A là vành Noether.
Chương 2
Tính hữu hạn và ổn định tiệm cận
của tập iđêan nguyên tố liên kết
của một số môđun
Chương này nhằm chứng minh chi tiết các kết quả chính của luận văn (các
Định lý 1, 2 và 3 như đã nêu ở phần Mở đầu). Trong cả chương này, ta luôn
giả thiết (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại duy
nhất là m; cho I, J là hai iđêan của R và M, N là các R−môđun hữu hạn sinh. Hơn nữa, ta giả thiết R = (cid:76) n≥0 Rn là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R0 = (R, m), và giả sử N = (cid:76) n≥0 Nn là R−môđun phân bậc hữu hạn sinh.
Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo [8] và một phần bài
2.1 Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết
báo [14].
S≥k = {p ∈ S | dim(R/p) ≥ k}
Với S là tập con của Spec(R) và với số nguyên k ≥ −1, ta đặt
S>k = {p ∈ S | dim(R/p) > k}.
13
và
> k trong bài báo [4] như sau.
Năm 2008, M. Brodmann-L.T. Nhàn đã định nghĩa khái niệm N −dãy từ chiều
Định nghĩa 2.1.1. (xem [4]) Cho số nguyên k ≥ −1. Một dãy các phần tử x1, . . . , xr ∈ m được gọi là một N −dãy từ chiều > k nếu xi /∈ p với mọi p ∈ AssR(N/(x1, . . . , xi−1)N )>k với mọi i = 1, . . . , r.
depthk(I, N ) = inf{i | dim Supp(H i
I (N )) > k}.
Chú ý 2.1.2. Trong [4], họ cũng chứng minh rằng mọi N-dãy từ chiều > k cực đại trong I đều có cùng độ dài. Độ dài chung đó được kí hiệu là depthk(I, N ) (khi dim(N/IN ) ≤ k thì quy ước depthk(I, N ) = ∞). Theo [4, Lemma 2.4] ta có
Chú ý rằng depth−1(I, N ) chính là độ sâu depth(I, N ) của N trong I; depth0(I, N ) chính là độ sâu lọc f-depth(I, N ) định nghĩa bởi R. L¨u - Z. Tang [18] và depth1(I, N ) chính là độ sâu suy rộng gdepth(I, N ) định nghĩa bởi L.T. Nhàn [22].
Kết quả chính thứ nhất của luận văn này là định lý sau của Cường-Hoàng
trong [8, Theorem 1.1].
Định lý 2.1.3. (Định lý 1) Cho (R, m) là vành Noether địa phương, I là
iđêan của R và N là R−môđun hữu hạn sinh. Cho số nguyên k ≥ −1 và r = depthk(I, N ). Nếu r < ∞ và x1, . . . , xr là một N-dãy từ chiều > k trong iđêan I, thì với mọi số nguyên j ≤ r ta có tập AssR(H j I (N ))≥k là hữu hạn. Hơn nữa, ta có đẳng thức
AssR(H j
AssR(N/(x1, . . . , xj)N )≥k ∩ V (I)
I (N ))≥k =
j≤l
j≤l
(cid:91) (cid:91)
với mọi l ≤ r.
Để chứng minh Định lý 2.1.3 ta cần một số kiến thức chuẩn bị sau đây:
r cũng là N-dãy từ
1 , . . . , xnr
Chú ý 2.1.4. i) Nếu x1, . . . , xr là N-dãy từ chiều > k thì x1/1, . . . , xr/1 là Np−dãy chính quy với mọi p ∈ (Supp N )>k mà p ⊇ (x1, . . . , xr).
14
ii) Nếu x1, . . . , xr là một N-dãy từ chiều > k, thì xn1 chiều > k với mọi n1, . . . , nr ∈ Z+.
1, . . . , xr cũng là N-dãy từ chiều > k với mọi ν ∈ Z+. Ta tiến hành quy nạp theo ν. Giả sử ν > 1 và xν−1 , x2, . . . , xn là 1 N-dãy từ chiều > k. Vì x1 là N-dãy từ chiều > k, nên rõ ràng xν 1 cũng vậy. Lấy i > 1, giả sử tồn tại p ∈ Ass(N/(xν 1, . . . , xi−1)N )>k sao cho xi ∈ p. Khi đó ta cũng có p ∈ (Supp N )>k và p ⊇ (x1, . . . , xi). Suy ra x1/1, . . . , xi/1 là Np−dãy chính quy (theo giả thiết và theo ý trên của chú ý này) và pRp ∈ AssRp(N/(xν 1, . . . , xi−1)N )p. Từ đó theo Mệnh đề 1.4.3 ta suy ra xν 1/1, . . . , xi/1 cũng là Np−dãy chính quy. Do đó xi/1 /∈ pRp, điều này mâu thuẫn với xi ∈ p. Vậy xν 1, x2, . . . , xn là N-dãy từ chiều > k với mọi ν ∈ Z+.
Thực vậy, ta chỉ cần chứng minh xν
depthk(I, N ) = inf{depthk−i(Ip, Np) | p ∈ SuppR(N/IN )≥i}
Bổ đề 2.1.5. ([9, Lemma 2.3]) Cho số nguyên k ≥ −1. Khi đó
với mọi 0 ≤ i ≤ k + 1, ở đây để tiện lợi ta quy ước inf(∅) = ∞.
Tiếp theo ta nhắc lại một số kiến thức về lớp môđun đối đồng điều địa
phương suy rộng được định nghĩa bởi J. Herzog năm 1970 trong [13].
H j
Extj
R(M/I nM, N ).
I (M, N ) = lim −→ n
Extj
I (R, N ) ∼= H j
I (N ) = lim −→n
R(R/I n, N ). Do đó H j (Lưu ý rằng H j I (N ), tức là khái niệm môđun đối đồng điều địa phương suy rộng là một mở rộng của khái niệm
Định nghĩa 2.1.6. (xem [13]) Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ j của hai môđun M và N đối với giá là iđêan I, kí hiệu là H j I (M, N ), xác định bởi công thức
môđun đối đồng điều địa phương).
Sau đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng.
depth(IM , N ) = inf{i | H i
I (M, N ) (cid:54)= 0},
Bổ đề 2.1.7. (xem [1, Proposition 5.5]) Đẳng thức sau là đúng
trong đó IM = AnnR(M/IM ) là iđêan linh hóa tử của R−môđun M/IM.
AssR
15
(cid:0)H r (cid:0)N/(x1, . . . , xr)N(cid:1) ∩ V (IM ). Bổ đề 2.1.8. (xem [6, Theorem 2.4]) Đặt r = depth(IM , N ). Giả sử r < ∞ và x1, . . . , xr là một N −dãy chính quy trong iđêan IM . Khi đó I (M, N )(cid:1) = AssR
R(M, N ) với mọi j ≥ 0.
I (M, N ) ∼= Extj
Bổ đề 2.1.9. (xem [7, Lemma 2.1]) Nếu ΓIM (N ) = N hoặc I ⊆ Ann(M ), thì H j
Áp dụng các tính chất trên, bây giờ ta sẽ phát biểu và chứng minh một kết
quả tổng quát hơn Định lý 1, đó là định lý sau đây cho môđun đối đồng điều
địa phương suy rộng.
Định lý 2.1.10. (Cường-Hoàng [8, Theorem 3.1]) Cho (R, m) là vành Noethe-
rian địa phương, I là iđêan của R và M, N là các R−môđun hữu hạn sinh. Lấy k ≥ −1 là số nguyên và r = depthk(IM , N ). Nếu r < ∞ và x1, . . . , xr là một N-dãy từ chiều > k trong iđêan IM , khi đó với bất kì số nguyên l ≤ r ta luôn có đẳng thức
AssR(H j
AssR(N/(x1, . . . , xj)N )≥k ∩ V (IM ).
I (M, N ))≥k =
j≤l
j≤l
(cid:91) (cid:91)
I (M, N ))≥k là tập hữu hạn với mọi j ≤ r.
j≤l AssR(H j
Do đó AssR(H j
Chứng minh. Lấy l là số nguyên sao cho 0 ≤ l ≤ r. Với mỗi iđêan nguyên tố p ∈ (cid:83) I (M, N ))≥k, ta luôn có số nguyên j0 ≤ l sao cho
I (M, N )) và p /∈ AssR(H j
I (M, N )) với mọi j < j0.
p ∈ AssR(H j0
AssRp((N/(x1, . . . , xj)N )p) = AssRp((N/(x1, . . . , xj)N )p)≥1
Giả sử rằng p /∈ AssR(N/(x1, . . . , xj)N ) với mọi j < j0. Khi đó pRp /∈ AssRp((N/(x1, . . . , xj)N )p), với mọi j < j0. Do đó
AssRp(H j0
I (M, N )p) = AssRp((N/(x1, . . . , xj0)N )p) ∩ V ((IM )p).
16
với mọi j < j0. Từ giả thiết của x1, . . . , xr suy ra x1, . . . , xj0 là N −dãy từ chiều > k. Mặt khác ta lại có p ∈ Supp(N/IM N )≥k. Do đó ta suy ra x1/1, . . . , xj0/1 là một dãy lọc chính quy của Np theo Bổ đề 2.1.5. Từ đó dẫn đến một kết quả mạnh hơn rằng x1/1, . . . , xj0/1 là một dãy chính quy của Np trong (IM )p, và do vậy depth((IM )p, Np) ≥ j0. Lại vì p ∈ AssR(H j0 I (M, N )), nên H j0 I (M, N )p (cid:54)= 0. Do đó depth((IM )p, Np) ≤ j0 theo Bổ đề 2.1.7, và vì vậy ta thu được depth((IM )p, Np) = j0. Điều đó cùng với Bổ đề 2.1.8 dẫn đến
Do đó p ∈ AssR(N/(x1, . . . , xj0)N ) ∩ V (IM ). Suy ra ta đã chứng minh được một bao hàm thức sau
AssR(H j
AssR(N/(x1, . . . , xj)N )≥k ∩ V (IM ).
I (M, N ))≥k ⊆
j≤l
j≤l AssR(N/(x1, . . . , xj)N )≥k ∩ V (IM ), khi đó
j≤l Ngược lại, lấy tùy ý phần tử p ∈ (cid:83) tồn tại số nguyên e ≤ l sao cho
(cid:91) (cid:91)
p ∈ AssR(N/(x1, . . . , xe)N ) và p /∈ AssR(N/(x1, . . . , xj)N ) với mọi j < e.
AssRp((N/(x1, . . . , xj)N )p) = AssRp((N/(x1, . . . , xj)N )p)≥1
Do đó pRp /∈ AssRp((N/(x1, . . . , xj)N )p) với mọi j < e. Khi đó ta có
với mọi j < e. Vì thế x1/1, . . . , xe/1 là một dãy chính quy của Np trong iđêan (IM )p, và do đó depth((IM )p, Np) ≥ e. Lưu ý rằng vì p ∈ AssR(N/(x1, . . . , xe)N ), dẫn đến depth((IM )p, (N/(x1, . . . , xe)N )p) = 0. Từ đó ta suy ra được rằng depth((IM )p, Np) = e. Kéo theo p ∈ AssR(H e I (M, N )) theo Bổ đề 2.1.8. Từ đó suy ra bao hàm sau được chứng minh
AssR(H j
AssR(N/(x1, . . . , xj)N )≥k ∩ V (IM ).
I (M, N ))≥k ⊇
j≤l
j≤l
(cid:91) (cid:91)
Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức sau với mọi 0 ≤ l ≤ r
AssR(H j
AssR(N/(x1, . . . , xj)N )≥k ∩ V (IM ).
I (M, N ))≥k =
j≤l
j≤l
(cid:91) (cid:91)
I (M, N ))≥k với mọi j ≤ r.
Rõ ràng tập ở vế phải là tập hữu hạn, từ đó ta suy ra tính hữu hạn của tập hợp AssR(H j
Chứng minh Định lý 1 (hay Định lý 2.1.3). Định này được suy ra trực
tiếp từ Định lý 2.1.10 bằng cách thay thế M bởi R.
Chú ý 2.1.11. Ở đây, thay vì chứng minh trực tiếp Định lý 1, Cường-Hoàng
đã chuyển sang chứng minh ở dạng tổng quát hơn. Điều đó là vì từ Định lý
17
2.1.10 dẫn đến khá nhiều hệ quả thú vị khác ngoài Định lý 1. Chẳng hạn, kết quả [4, Proposition 2.6] chỉ ra rằng nếu x1, . . . , xr là một N-dãy từ chiều > k hoán vị được (tức là mọi hoán vị của x1, . . . , xr cũng là N −dãy từ chiều > k) thì
1 , . . . , xnr
n1,...,nr∈N AssR(N/(xn1
tập hợp (cid:83) r )N )≥k là một tập hữu hạn. Dưới đây, như một áp dụng của Định lý 2.1.10 ta có thể chứng minh kết quả này mà không cần giả thiết "hoán vị được" của dãy x1, . . . , xr là N −dãy từ chiều > k.
Hệ quả 2.1.12. Cho số nguyên k ≥ −1 và x1, . . . , xr là một N-dãy từ chiều > k (không nhất thiết hoán vị được). Khi đó
AssR(N/(xn1
AssR(N/(x1, . . . , xj)N )≥k
1 , . . . , xnj
j )N )≥k =
j≤r
j≤r
(cid:91) (cid:91)
AssR(N/(xn1
1 , . . . , xnj
j )N )≥k
j≤r
n1,...,nr∈Z+
với mọi n1, . . . , nr ∈ Z+. Đặc biệt, ta suy ra rằng (cid:91) (cid:91)
1 , . . . , xnr
1 , . . . , xni
là một tập hữu hạn.
AssR(N/(xn1
1 , . . . , xni
1 , . . . , xni
i )N )≥k = AssR(N/(xn1
i )N )≥k ∩ V (Ii),
Chứng minh. Lấy n1, . . . , nr là các số nguyên dương, khi đó xn1 r cũng là một N-dãy từ chiều > k theo Chú ý 2.1.4. Với mỗi số nguyên i mà 0 ≤ i ≤ r, ta đặt Ii = (x1, . . . , xi). Vì mọi p ∈ AssR(N/(xn1 i )N ) đều thỏa mãn p ⊇ Ii, nên với bất kì bộ r số nguyên dương n1, . . . , nr ta đều có
Từ đó kết hợp với Định lý 2.1.3 ta suy ra rằng
=
AssR(N/(xn1
(N ))≥k
1 , . . . , xnj
j )N )≥k ∩ V (Ii)
AssR(H j Ii
j≤i
i≤r
j≤i
i≤r (cid:91)
=
AssR(N/(xn1
1 , . . . , xnj
j )N )≥k
j≤r
(cid:17) (cid:17) (cid:91) (cid:16) (cid:91) (cid:91) (cid:16) (cid:91)
với mọi bộ r số nguyên dương n1, . . . , nr. Rõ ràng tập ở vế trái không phụ thuộc vào n1, . . . , nr. Do đó
AssR(N/(xn1
AssR(N/(x1, . . . , xj)N )≥k
1 , . . . , xnj
j )N )≥k =
j≤r
j≤r
(cid:91) (cid:91)
với mọi n1, . . . , nr ∈ Z+. Đặc biệt ta suy ra tính hữu hạn của tập hợp sau đây
AssR(N/(xn1
1 , . . . , xnj
j )N )≥k,
j≤r
n1,...,nr∈Z+
(cid:91) (cid:91)
18
đó là điều cần chứng minh.
Nếu ta thay k = 1 trong Hệ quả 2.1.12, thì ta sẽ thu được hệ quả sau đây.
Hệ quả 2.1.13. Lấy x1, . . . , xr là một dãy chính quy suy rộng của N. Khi đó
AssR(N/(xn1
AssR(N/(x1, . . . , xj)N ) ∪ {m}
1 , . . . , xnj
j )N ) ∪ {m} =
j≤r
j≤r
(cid:91) (cid:91)
với mọi n1, . . . , nr ∈ Z+. Đặc biệt, ta có
AssR(N/(xn1
1 , . . . , xnj
j )N )
j≤r
n1,...,nr∈Z+
(cid:91) (cid:91)
1 , . . . , xnr
n1,...,nr∈Z+ Ass(N/(xn1
là một tập hữu hạn.
Lưu ý một kết quả [22, Theorem 3.1] nói rằng "nếu x1, . . . , xr" là một dãy chính quy suy rộng của N, thì (cid:83) r )N ) là một tập hữu hạn". Như vậy, rõ ràng Hệ quả 2.1.13 chứa đựng cả Theorem 3.1 của [22].
Hệ quả 2.1.14. Lấy k là số nguyên mà k ≥ −1. Đặt r = depthk(Ann(M ), N ). Nếu r < ∞ và x1, . . . , xr là một N-dãy từ chiều > k trong iđêan (cid:112)Ann(M ), khi đó với mọi số nguyên l ≤ r ta có
AssR(Extj
AssR(N/(x1, . . . , xj)N )≥k ∩ V (Ann(M )).
R(M, N ))≥k =
j≤l
j≤l
(cid:91) (cid:91)
Chứng minh. Đặt I = (cid:112)Ann(M ). Khi đó ta thấy
IM = (cid:112)Ann(M/IM ) = (cid:112)Ann(M ) + I
(cid:112)
=
Ann(M ) + (cid:112)Ann(M ) (cid:113)(cid:112)Ann(M ) = = (cid:112)Ann(M ) = I. √
√
IM . Do đó IM =
IM = I. Từ đó kết hợp với Chú ý 2.1.2
(cid:113)
r = depthk(Ann(M ), N ) = depthk((cid:112)Ann(M ), N )
= depthk(I, N ) = depthk(IM , N ).
19
Mặt khác I ⊆ IM ⊆ ta suy ra được
R(M, N ) ∼= H j
Ann(M )(M, N ); trong khi đó
(M, N ) = H j
I (M, N ).
H j Ann(M )(M, N ) ∼= H j√
Ann(M )
Mặt khác rõ ràng x1, . . . , xr là một N-dãy từ chiều > k trong IM . Hơn nữa, theo Bổ đề 2.1.9, ta có Extj
R(M, N ) ∼= H j
I (M, N ). Do đó hệ quả được suy ra từ Định lý 2.1.10.
Suy ra Extj
T j(I t, N ) = AssR(Extj T j(at, N ) = AssR(Extj
s ), N )).
R(R/I t, N )), và R(R/(at1 1 , . . . , ats
Chú ý 2.1.15. Lấy các số nguyên j ≥ 0 và t > 0. Lấy a = (a1, . . . , as) kí hiệu cho dãy các phần tử của R và t = (t1, . . . , ts) là bộ s số nguyên dương. Với mỗi iđêan I của R ta đặt
√
Khi đó ta thu được các quan hệ sau đây giữa các tập hợp nêu trên.
l ≤ r, ta luôn có
Hệ quả 2.1.16. Cho k ≥ −1 là số nguyên, I là một iđêan của R và r = depthk(I, N ). Nếu r < ∞ và x1, . . . , xr là một N-dãy từ chiều > k trong iđêan I, thì với bất kì hệ các phần tử sinh a1, . . . , as của I và bất kì số nguyên
T j(I t, N )≥k =
AssR(N/(x1, . . . , xj)N )≥k ∩ V (I) =
T j(at, N )≥k
j≤l
j≤l
j≤l
t∈Z+ T j(I t, N )≥k và (cid:83)
(cid:91) (cid:91) (cid:91)
AssR(N/(x1, . . . , xi)N )≥k ∩ V (I).
i≤j
√
√
I t =
1 , . . . , ats
s ) với mọi số nguyên dương s ))
1 , . . . , ats
I = (cid:112)(at1 Chứng minh. Vì t, t1, . . . , ts, nên áp dụng Hệ quả 2.1.14 (khi M = R/I t và M = R/(at1 ta thu được rằng
với mọi t ∈ Z+ và mọi t ∈ (Z+)s. Đặc biệt, với mọi số nguyên j ≤ r, ta suy ra rằng các tập hợp (cid:83) t∈(Z+)s T j(at, N )≥k được chứa trong tập hữu hạn (cid:91)
AssR(Extj
AssR(N/(x1, . . . , xj)N )≥k ∩ V (I) và
R(R/I t, N ))≥k =
j≤l
j≤l
(cid:91) (cid:91)
AssR(Extj
AssR(N/(x1, . . . , xj)N )≥k ∩ V (I)
s ), N ))≥k =
1 , . . . , ats
R(R/(at1
j≤l
j≤l
(cid:91) (cid:91)
20
với mọi l ≤ r, và do đó hệ quả được chứng minh.
Chú ý 2.1.17. Kết quả chính của M. Brodmann - L.T. Nhàn trong [4,
I (N )) ≤ k với mọi i < r, thì các tập
Theorems 1.1 và 1.2] nói rằng với số nguyên không âm r đã cho, nếu dim Supp(H i
T j(I t, N )≥k và
T j(at, N )≥k
t∈Z+
t∈(Z+)s
i≤j AssR(Exti
(cid:91) (cid:91)
chứa trong tập hữu hạn (cid:83) R(R/I, N )) với mọi j ≤ r. Hơn nữa, nếu x1, . . . , xr là một N-dãy từ chiều > k hoán vị được và đồng thời là một dãy I-lọc chính quy trong I hoán vị được, thì các tập này được chứa trong tập hữu
hạn sau
AssR(N/(x1, . . . , xj)N )≥k+1 ∪
AssR(N/(x1, . . . , xi)N )k,
i≤j
(cid:91) (*)
AssR(N/(x1, . . . , xi)N )k = {p ∈ AssR(N/(x1, . . . , xi)N ) | dim R/p = k}.
√
(N ) ∼= H j
I (N ) nên dim Supp(H j
I
I
√
√
trong đó
(N )) ≤ k với mọi j < r. Do I, N ) ≥ r, do đó tồn tại N −dãy từ chiều > k là x1, . . . , xr trong I. Vì thế ta áp dụng được Hệ quả 2.1.16 vào tình huống giả thiết
Thực vậy, vì H j √ đó depthk( iđêan
của [4, Theorem 1.1]. Ta thấy rằng đẳng thức trong Hệ quả 2.1.16 không phụ thuộc vào t và t, nên với bất kì j ≤ r ta thấy các tập (cid:83) t∈Z+ T j(I t, N )≥k và (cid:83) t∈(Z+)s T j(at, N )≥k được chứa trong tập hợp hữu hạn sau
AssR(Exti
T i(I, N )≥k =
R(R/I, N ))≥k.
i≤j
i≤j
(cid:91) (cid:91)
21
Điều này chứng tỏ rằng Hệ quả 2.1.16 chứa đựng cả kết quả Định lý 1.1 của [4]. Hơn nữa, lấy p ∈ T j(I t, N )≥k ∪ T j(at, N )≥k với t ∈ Z+, t ∈ (Z+)s và j ≤ r nào đó. Nếu dim(R/p) = k thì p thuộc vào tập (∗) theo Hệ quả 2.1.16. Nếu dim(R/p) ≥ k + 1 thì depth(Ip, Np) = r. Vì thế trong trường hợp này ta có j = r, R(R/I, N ) ∼= H r và do đó p ∈ T r(I, N ). Vì Extr I (R/I, N ) theo Bổ đề 2.1.9, nên ta thu được từ Bổ đề 2.1.8 rằng p ∈ Ass(N/(x1, . . . , xr)N )≥k+1. Vì vậy Hệ quả 2.1.16 cũng bao trùm cả Địnhl ý 1.2 của [4] cho các vành địa phương mà không cần giả thiết rằng x1, . . . , xr đồng thời là N-dãy từ chiều > k hoán vị được và là dãy I-lọc chính quy hoán vị được trong I.
2.2 Tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết
R0 = (R, m), và lấy N = ⊕n≥0Nn là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh.
Cho R = ⊕n≥0Rn là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành
R−môđun M/J nM (với M là R−môđun hữu hạn sinh và J là iđêan của R).
Để thuận lợi trong trình bày, ta dùng Ln để kí hiệu cho R−môđun Nn hoặc
Lưu ý rằng một định lý của M. Brodmann năm 1979 về tính ổn định của
tập iđêan nguyên tố liên kết [2] (có thể xem [20, Theorem 3.1]) phát biểu rằng.
Bổ đề 2.2.1. Tập AssR(Ln) là ổn định khi n đủ lớn.
Dựa vào kết quả này, trong [3, Theorem 2 và Proposition 12], M. Brodmann cũng đã chứng minh rằng số nguyên depth(I, Nn) lấy giá trị là một hằng số khi n đủ lớn. Sau đó trong [9], N.T. Cường-N.V. Hoàng-P.H. Khánh đã chứng
minh tổng quát hóa kết quả thứ hai của M. Brodmann thành kết quả sau đây.
AssR(H j
j≤r1
Bổ đề 2.2.2. ([9, Theorem 1.1]) Cho k ≥ −1 là số nguyên. Khi đó đại lượng depthk(I, Nn) trở thành số không phụ thuộc vào n khi n đủ lớn.
Do có tính chất ở Bổ đề 2.2.2, bây giờ ta có thể đặt rk là giá trị hằng ổn định của depthk(I, Nn) khi n đủ lớn. Khi đó, trong [9], họ cũng chứng minh được rằng tập hợp (cid:83) I (Nn)) ∪ {m} là tập hợp ổn định khi n đủ lớn (trong đó r1 là giá trị ổn định của depth1(I, Nn) khi n đủ lớn). Sau đó, năm 2014, Cường-Hoàng trong [8, Theorem 1.2] đã chứng minh được kết quả tổng
quát sau đây.
j≤l AssR(H j
I (Nn))≥k là ổn định khi n đủ lớn.
Định lý 2.2.3. (Định lý 2) Cho (R, m) là vành địa phương Noether và I là iđêan của R. Lấy R = ⊕n≥0Rn là là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R0 = R và N = ⊕n≥0Nn là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Với mỗi số nguyên k ≥ −1, lấy r là giá trị ổn định của depthk(I, Nn). Khi đó với mỗi số nguyên l ≤ r ta luôn có tập hợp (cid:83)
Để chứng minh định lý trên ta cần thiết lập bổ đề sau.
22
Bổ đề 2.2.4. Cho số nguyên k ≥ −1 và r là giá trị ổn định của depthk(I, Nn)
khi n đủ lớn. Giả sử rằng 1 ≤ r < ∞. Khi đó tồn tại một dãy x1, . . . , xr trong iđêan I mà nó là một Nn-dãy từ chiều > k với mọi n đủ lớn.
Chứng minh. Lấy r ≥ 1 là giá trị ổn định của depthk(I, Nn). Theo Bổ đề 2.2.1 ta có thể chọn x1 ∈ I sao cho x1 /∈ p với mọi p ∈ AssR(Nn)>k và mọi n lớn. Khi đó depthk(I, Nn/x1Nn) = r − 1 với mọi n lớn. Theo giả thiết quy nạp, tồn tại một dãy x2, . . . , xn ∈ I là một Nn/x1Nn-dãy từ chiều > k với mọi n lớn. Vì vậy x1, . . . , xr là dãy thỏa mãn như yêu cầu của bổ đề.
N (định nghĩa bởi L.T. Nhàn trong [22]).
Chú ý 2.2.5. Ta cũng cần nhắc lại rằng: dãy x1, . . . , xr là một N-dãy từ chiều > −1 nếu và chỉ nếu nó là N −dãy chính quy và x1, . . . , xr là một N-dãy từ chiều > 0 nếu và chỉ nếu nó là một dãy lọc chính quy của N (định nghĩa bởi N. T. Cường, N. V. Trung, và P. Schenzel trong [11]). Hơn nữa, x1, . . . , xr là một N-dãy từ chiều > 1 nếu và chỉ nếu nó là một dãy chính quy suy rộng của
Chứng minh Định lý 2.2.3. Định lý này được suy ra ngay tức khắc từ định
j≤l AssR(H j
lý sau đây khi M = R.
j≤l AssR(H j
Định lý 2.2.6. (Cường-Hoàng [8, Theorem 4.4]) Cho (R, m) là vành địa phương Noether, I là một iđêan R và M là R−môđun hữu hạn sinh. Lấy R = ⊕n≥0Rn là là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R0 = (R, m) và N = ⊕n≥0Nn là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Với mỗi số nguyên k ≥ −1, ta lấy r là giá trị ổn định của depthk(IM , Nn) khi n đủ lớn. Khi đó với mỗi số nguyên l ≤ r, ta thu được tập hợp (cid:83) I (M, Nn))≥k là hữu hạn và ổn định khi n đủ lớn.
Chứng minh. Lấy r là giá trị ổn định của depthk(IM , Nn). Ta chỉ cần chứng tỏ rằng với bất kì số nguyên l ≤ r thì tập hợp (cid:83) I (M, Nn))≥k là hữu hạn và ổn định khi n lớn.
Theo Bổ đề 2.2.1 và 2.2.2, ta có thể tìm được một số nguyên t đủ lớn sao cho AssR(Nn/IM Nn) là ổn định và r = depthk(IM , Nn) với mọi n ≥ t. Đặt d = dim(Nt/IM Nt). Ta xét ba trường hợp sau đây.
23
Trường hợp 1. Nếu d < k, thì r = ∞ và do đó ta có điều như mong muốn bởi
AssR(H j
I (M, Nn))≥k = ∅
j≤l
vì (cid:91)
với mọi n ≥ t.
Trường hợp 2. Nếu d = k, thì r = ∞. Từ đó với mọi số nguyên dương n ≥ t ta
có
AssR(H j
I (M, Nn))≥d ⊆ SuppR(Nn/IM Nn)≥d = AssR(Nn/IM Nn)≥d,
j≤l
(cid:91)
X =
AssR(H j
AssR(Nn/IM Nn),
I (M, Nn))≥d ⊆
n≥t
n≥t
j≤l
vì tập AssR(Nn/IM Nn)≥d chỉ chứa các phần tử p cực tiểu mà dim(R/p) = d. Do vậy (cid:91) (cid:91) (cid:91)
vì thế X là tập hữu hạn theo Bổ đề 2.2.1. Như vậy ta có thể lấy t đủ lớn sao
cho với mỗi p ∈ X thì
AssR(H j
I (M, Nn))≥d
j≤l
(cid:91) p ∈
AssR(H j
I (M, Nn))≥d ⊆
I (M, Nn))≥d
j≤l
với vô hạn n ≥ t. Bây giờ với mỗi p ∈ X ta đặt s là giá trị ổn định của depth((IM )p, (Nn)p), khi đó ta có thể viết s = depth((IM )p, (Nn)p) với mọi n ≥ n(p) (trong đó n(p) là số nguyên nào đó thỏa mãn n(p) ≥ t). Suy ra H s I (M, Nn)p (cid:54)= 0 với mọi n ≥ n(p). Hơn nữa, theo định nghĩa của X, dẫn tới bất đẳng thức s ≤ l. Do đó p là một phần tử cực tiểu của SuppR(H s I (M, Nn)), và vì thế (cid:91) p ∈ AssR(H s
với mọi n ≥ n(p). Từ đó ta thấy tập hợp
AssR(H j
I (M, Nn))≥d
j≤l
(cid:91)
là hữu hạn và ổn định với mọi n ≥ max{n(p) | p ∈ X}.
AssR(H 0
I (M, Nn))≥k = AssR(Nn)≥k ∩ V (IM )
24
Trường hợp 3. Giả sử rằng d > k. Khi đó r < ∞. Nếu l = 0, thì ta có
là hữu hạn và ổn định với n lớn theo Bổ đề 2.2.1. Giả sử rằng 1 ≤ l ≤ r. Trong trường hợp này, theo Bổ đề 2.2.4, thì tồn tại một dãy x1, . . . , xr trong iđêan IM mà nó là một Nn−dãy từ chiều > k với mọi n ≥ u (trong đó u là số nguyên nào đó thỏa mãn u ≥ t). Theo Định lý 2.1.10, ta nhận được đẳng thức sau đây
AssR(H j
AssR(Nn/(x1, . . . , xj)Nn)≥k ∩ V (IM )
I (M, Nn))≥k =
j≤l
j≤l
(cid:91) (cid:91)
với mọi n ≥ u. Khi đó ta thu được theo Bổ đề 2.2.1 rằng tập hợp ở vế bên phải
là hữu hạn và ổn định khi n đủ lớn. Và do đó tập hợp sau đây
AssR(H j
I (M, Nn))≥k
j≤l
(cid:91)
là hữu hạn và ổn định với n lớn, đó là điều phải chứng minh.
Phần còn lại của mục này ta xét các hệ quả của Định lý 2.2.6. Bằng cách
thay thế k = −1, 0, 1 trong Định lý 2.2.6, ta nhận được kết quả sau đây đó là
một mở rộng của kết quả [9, Theorem 1.2] cho các môđun đối đồng điều địa
phương suy rộng.
Hệ quả 2.2.7. Cho r, r0 và r1 là các giá trị ổn định của depth(IM , Nn), f-depth(IM , Nn) và gdepth(IM , Nn), tương ứng. Khi đó các phát biểu sau đây là đúng.
I (M, Nn)(cid:1) là hữu hạn và ổn định với n lớn.
(cid:0)H r (i) Tập hợp AssR
AssR(H j
I (M, Nn)) là hữu hạn
j≤l0
(ii) Với mỗi số nguyên l0 ≤ r0 ta có tập hợp (cid:83)
và ổn định với n lớn.
AssR(H j
I (M, Nn)) ∪ {m} là
j≤l1
(iii) Với mỗi số nguyên l1 ≤ r1 ta có tập hợp (cid:83)
hữu hạn và ổn định với n lớn.
I (M, Nn) = 0 với mọi j < r và mọi n lớn, do đó
Chứng minh. (i) Vì H j
AssR(H j
I (M, Nn)(cid:1)
I (M, Nn))≥−1 = AssR
j≤r
25
(cid:91) (cid:0)H r
là hữu hạn và ổn định với n lớn (theo Định lý 2.2.6).
(ii) Kết luận của bài toán được suy ra từ Định lý 2.2.6 và đẳng thức
AssR(H j
AssR(H j
I (M, Nn))≥0 =
I (M, Nn))
j≤l0
j≤l0
(cid:91) (cid:91)
với mọi l0 ≤ r0 và mọi n lớn. (iii) Với mỗi l1 ≤ r1 ta có
AssR(H j
AssR(H j
I (M, Nn))≥1 ∪ {m} =
I (M, Nn)) ∪ {m}
j≤l1
j≤l1
(cid:91) (cid:91)
với mọi n lớn. Do đó kết quả được suy ra từ Định lý 2.2.6.
I (M, Nn) = Extj
√
R(M, Nn) với mọi j ≥ 0 theo Bổ đề 2.1.9. Hơn nữa, trong trường hợp này, theo lập luận tương tự phần IM = I. Do đó Định lý 2.2.6 dẫn chứng minh của Hệ quả 2.1.14, ta có IM = đến hệ quả sau đây ngay lập tức.
j≤l AssR(Extj
Chú ý rằng nếu I = (cid:112)ann(M ) thì H j
Hệ quả 2.2.8. Cho k là số nguyên với k ≥ −1 và r là giá trị ổn định của depthk(ann(M ), Nn). Khi đó với bất kì l ≤ r tập hợp (cid:83) R(M, Nn))≥k là ổn định với n lớn.
T j(I t, Nn) = AssR(Extj T j(at, Nn) = AssR(Extj
s ), Nn)).
1 , . . . , ats
R(R/I t, Nn)), R(R/(at1
Với mỗi số nguyên j ≥ 0, mỗi iđêan I của R, mỗi hệ a = (a1, . . . , as) các phần tử của R, và mỗi bộ s số nguyên không âm t = (t1, . . . , ts) ∈ Ns, như ở mục trước ta đã đặt
Khi đó ta có hệ quả sau.
T j(I t, Nn)≥k và
T j(at, Nn)≥k
j≤l
j≤l
26
Hệ quả 2.2.9. Lấy k ≥ −1 là số nguyên, I là một iđêan của R và r là giá trị ổn định của depthk(I, Nn). Lấy a1, . . . , as là một hệ các phần tử sinh của I và lấy số nguyên l ≤ r. Khi đó với mọi số nguyên dương t, t1, . . . , ts, ta có các tập hợp sau đây (cid:91) (cid:91)
là ổn định với n lớn. Hơn nữa, nếu r < ∞ thì
T j(I t, Nn)≥k =
T j(at, Nn)≥k
j≤l
j≤l
(cid:91) (cid:91)
là ổn định với mọi n lớn.
√
I t =
I = (cid:112)(at1
s ), nên ta có
1 , . . . , ats √
r = depthk(
I, Nn) = depthk(I t, Nn) = depthk((at1
s ), Nn)
1 , . . . , ats
s )) rằng các tập (cid:83)
1 , . . . , ats
j≤l T j(I t, Nn)≥k và (cid:83)
j≤l T j(I t, Nn)≥k = (cid:83)
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.2.2, ta tìm một số nguyên u đủ lớn sao cho r = depthk(I, Nn) với mọi n ≥ u. Lấy t, t1, . . . , ts là các số nguyên dương. Vì √
2.3 Tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun
đối đồng điều địa phương tại bậc d − 1
với mọi n ≥ u. Điều đó cùng với Hệ quả 2.2.8 dẫn đến (bằng cách đặt M = R/I t và M = R/(at1 j≤l T j(at, Nn)≥k là ổn định với n lớn. Bây giờ ta giả sử rằng r < ∞. Khi đó, với bất kì n ≥ u, ta thu được từ Hệ quả 2.1.16 rằng (cid:83) j≤l T j(at, Nn)≥k với mọi số nguyên dương t, t1, . . . , ts. Như vậy chúng là ổn định với mọi n lớn.
Trong mục này ta giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương, I, J là hai iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh. Lấy R = ⊕n≥0Rn là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R0 = (R, m) và N = ⊕n≥0Nn là R−môđun phân bậc hữu hạn sinh. Như ở mục trước để thuận tiện ta kí hiệu Ln để kí hiệu cho R−môđun Nn hoặc R−môđun M/J nM. Theo Bổ đề 2.2.1, ta thấy dim Ln lấy giá trị hằng là d khi n đủ lớn. Ta gọi d là giá trị ổn định của dim Ln khi n đủ lớn. Kết quả chính của mục này là định lý sau đây của N.V. Hoàng - P.H.
Khánh trong bài báo [14].
27
Định lý 2.3.1. (Định lý 3) Cho Ln như đã giới thiệu ở trên. Với mỗi số nguyên không âm l, ta có tập hợp (cid:83) j≥l SuppR(H j I (Ln)) là ổn định khi n lớn. Đặc biệt, ta suy ra rằng tập AssR(H d−1 (Ln)) ∪ {m} là ổn định với n đủ lớn, trong đó d là I giá trị ổn định của dim Ln.
Để chứng minh Định lý 2.3.1, ta cần một số bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.2. Cho M, N là các R−môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R. Nếu SuppR(M ) ⊆ SuppR(N ) thì với bất kì số nguyên không âm l ta có
SuppR(H l
SuppR(H j
I (M )) ⊆
I (N )).
j≥l
(cid:91)
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp giảm dần theo l. Bổ đề là hiển
nhiên đối với l > dim M theo định lý triệt tiêu Grothendieck. Giả sử rằng l ≤ dim M và bổ đề đã đúng với l + 1. Vì SuppR(M ) ⊆ SuppR(N ), nên ta nhận được theo định lý của Gruson [24, Theorem 4.1] rằng tồn tại một dãy
0 = L0 ⊆ L1 ⊆ ... ⊆ Lt = M
(**)
0 → Li−1 → Li → Li/Li−1 → 0
gồm các môđun con của M, trong đó mỗi thương Li/Li−1 là ảnh đồng cấu của tổng trực tiếp của hữu hạn phiên bản của N. Với mỗi i = 1, ..., t, từ dãy khớp
H l
I (Li−1) → H l
I (Li) → H l
I (Li/Li−1).
ta có dãy khớp sau đây
I (Li)) ⊆ SuppR(H l
I (Li−1)) ∪ SuppR(H l
I (Li/Li−1)). Dẫn đến
SuppR(H l
I (M )) ⊆ SuppR(H l
I (Lt−1)) ∪ SuppR(H l
⊆ SuppR(H l
I (Lt−2)) ∪ SuppR(H l
I (Lt/Lt−1)) I (Lt−1/Lt−2)) ∪ SuppR(H l
I (Lt/Lt−1))
...
Do đó SuppR(H l
⊆
SuppR(H l
I (Li/Li−1)).
1≤i≤t
(cid:91)
0 → Ki →
N → Li/Li−1 → 0
k=1
Theo tính chất của dãy (**), với mỗi i ∈ {1, . . . , t} ta có dãy khớp ngắn si(cid:77)
si(cid:77)
N ) → H l
(Ki).
H l I (
I (Li/Li−1) → H l+1
I
k=1
28
(trong đó Ki là R−môđun hữu hạn sinh nào đó, và si là số nguyên dương nào đó). Điều này kéo theo dãy khớp sau đây
N ))
SuppR(H l
I (Li/Li−1)) ⊆ SuppR(H l+1
(Ki)) ∪ SuppR(H l I (
I
si ⊕ k=1
= SuppR(H l+1
(Ki)) ∪ SuppR(H l
I (N )).
I
Do đó
SuppR(Ki) ⊆ SuppR(
N ) = SuppR(N ).
si ⊕ k=1
Chú ý rằng
Vì vậy ta nhận được theo giả thiết quy nạp rằng
(Ki)) ⊆
SuppR(H l+1
SuppR(H j
I
I (N )).
j≥l+1
(cid:91)
SuppR(H j
SuppR(H l
I (Li/Li−1)) ⊆
I (N )),
j≥l
Do đó (cid:91)
SuppR(H l
SuppR(H j
I (M )) ⊆
I (N )).
j≥l
và vì thế (cid:91)
Điều này kết thúc chứng minh của bổ đề.
(N )) ∪ {m}.
(N )) ∪ {m} = AssR(H d−1
SuppR(H d−1
I
I
Bổ đề 2.3.3. Lấy dim N = d. Khi đó
(N )) ∪ {m}.
(N )) ∪ {m} ⊇ AssR(H d−1
SuppR(H d−1
I
I
(N )) là hữu hạn. Do đó
I
(N )) theo Ratliff [19, Theorem 31.2]. Khi
I
(N )) ta nhận được p là phần tử cực tiểu của
Chứng minh. Rõ ràng rằng
I (N )) hoặc p = m. Từ đó dẫn đến
I
(N )) ∪ {m}.
(N )) ⊆ AssR(H d−1
SuppR(H d−1
I
I
Theo [7, Lemma 2.6], ta suy ra tập hợp SuppR(H d−1 dim(R/p) ≤ 1 với mọi p ∈ Supp(H d−1 đó với bất kì p ∈ Supp(H d−1 Supp(H d−1
29
Vì thế bổ đề được chứng minh.
SuppR(Ln) = SuppR(Ln0)
Chứng minh Định lý 2.3.1. Theo Bổ đề 2.2.1, tồn tại số nguyên n0 sao cho
với mọi n ≥ n0. Từ đó kết hợp với Bổ đề 2.3.2 dẫn đến
SuppR(H j
SuppR(H j
I (Ln)) =
I (Ln0))
j≥l
j≥l
(cid:91) (cid:91)
với mọi n ≥ n0. Do đó yêu cầu thứ nhất của định lý được chứng minh.
{m} ∪ AssR(H d−1
I
I
(Ln)) = {m} ∪ SuppR(H d−1 = {m} ∪ (cid:0) (cid:91)
(Ln)) SuppR(H j
I (Ln))(cid:1),
j≥d−1
Đối với yêu cầu thứ hai, ta nhận được từ Bổ đề 2.3.3 rằng
rõ ràng nó là tập ổn định khi n lớn theo yêu cầu thứ nhất. Vậy định lý được
chứng minh.
I (M/J nM )) không ổn định khi n đủ lớn (xem [10, Theorem 3.3, (ii)]). Tuy nhiên, trong [10, Theorem 3.3, (i)], bằng cách áp dụng [9, Theorem 1.1], Cường-Khánh đã chứng minh được rằng tập AssR(H 1 I (Nn)) là ổn định khi n lớn, trong đó Nn là thành phần phân bậc thứ n của R−môđun phân bậc hữu hạn sinh N = (cid:76)
n≥0 Nn.
Nhìn chung tập hợp AssR(H 1
cd(I, M ) = sup{i ∈ Z|H i
I (M ) (cid:54)= 0}.
Phần cuối của mục này, ta xét thêm một số hệ quả của Định lý 2.3.1 cho Nn. Trước hết ta nhắc lại rằng chiều đối đồng điều của M đối với I được định nghĩa bởi
Ta dễ thấy rằng cd(I, M ) ≤ dim M. Trong [12, Theorem 1.4], T. Dibaei và S.
Yassemi đã chứng minh rằng nếu M và N là các R−môđun hữu hạn sinh sao cho SuppR(M ) ⊆ SuppR(N ) thì cd(I, M ) ≤ cd(I, N ). Từ đây và Bổ đề 2.2.1, ta có bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.3.4. cd(I, Nn) lấy giá trị hằng số khi n đủ lớn.
Lấy d là giá trị ổn định của dim Nn. Rõ ràng rằng AssR(H i
I (Nn)) là ổn định I (Nn)) là
30
khi n lớn, với i = 0 hoặc i > d. Theo [10, Theorem 3.3], ta có AssR(H 1
I (Nn)) là ổn định khi n lớn. Hơn nữa AssR(H d−1
I
ổn định khi n lớn. Chú ý rằng H d I (Nn) là Artin. Điều này cùng với Bổ đề 2.3.4 dẫn đến tập AssR(H d (Nn)) ∪ {m} là ổn định khi n lớn theo Định lý 2.3.1. Đặc biệt, trong trường hợp R là vành
I (Nn)) là ổn định với mọi n lớn
có chiều nhỏ thì ta có kết quả sau đây.
I (Nn)) ∪ {m} là ổn định với mọi
Hệ quả 2.3.5. Nếu dim R ≤ 2 thì tập AssR(H i và mọi i.
31
Hệ quả 2.3.6. Nếu dim R ≤ 3 thì tập AssR(H i n lớn và mọi i.
Kết luận
(cid:136) Trình bày lại chi tiết chứng minh của kết quả 1: Cho (R, m) là vành Noether địa phương, I là iđêan của R và N là R−môđun hữu hạn sinh. Lấy số nguyên k ≥ −1 và r = depthk(I, N ). Nếu r < ∞ và x1, . . . , xr là một N −dãy từ chiều > k trong I, thì với mọi số nguyên j ≤ r ta có tập hợp AssR(H j
I (N ))≥k là hữu hạn. Hơn nữa, ta có đẳng thức (cid:91)
Trong luận văn này chúng tôi thu được các kết quả chính sau đây:
AssR(H j
AssR(N/(x1, . . . , xj)N )≥k ∩ V (I)
I (N ))≥k =
j≤l
j≤l
(cid:91)
(cid:136) Trình bày lại chi tiết chứng minh của kết quả 2: Cho (R, m) là vành địa phương Noether và I là iđêan của R. Lấy R = ⊕n≥0Rn là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R0 = (R, m) và N = ⊕n≥0Nn là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Với mỗi số nguyên k ≥ −1, ta lấy r là giá trị ổn định của depthk(I, Nn). Khi đó với mỗi số nguyên l ≤ r, ta có tập hợp (cid:83)
j≤l AssR(H j
I (Nn))≥k là ổn định khi n đủ lớn.
j≥l SuppR(H j
(cid:136) Trình bày lại chi tiết chứng minh kết quả 3: Lấy Ln là R−môđun Nn hoặc R−môđun M/J nM. Khi đó với mỗi số nguyên không âm l, ta có tập (cid:83) I (Ln)) là ổn định khi n lớn. Đặc biệt, ta suy ra rằng tập (Ln)) ∪ {m} là ổn định với n lớn (trong đó d là giá trị ổn định
I
AssR(H d−1 của dim Ln).
32
với mọi l ≤ r.
Tài liệu tham khảo
[1] M. H. Bijan-Zadeh, A common generalization of local cohomology theories,
Glasgow Math. J., 21 (1980), 173-181.
[2] M. Brodmann, Asymptotic stability of AssR(M/I nM ), Proc. Amer. Math.
Soc., 74 (1979), 16-18.
[3] M. Brodmann, The asymptotic nature of the analytic spread, Math. Proc.
Camb. Phil. Soc., 86 (1979), 35-39.
[4] M. Brodmann and L. T. Nhan, A finiteness result for associated primes
of certain Ext-modules, Comm. Algebra, 36 (2008), 1527-1536.
[5] M. Brodmann and R.Y. Sharp, “Local cohomology: an algebraic introduc- tion with geometric applications," Cambridge University Press, (1998).
[6] N. T. Cuong and N. V. Hoang, Some finite properties of generalized local
cohomology modules, East-West J. Math. (2) 7 (2005), 107-115.
[7] N. T. Cuong and N. V. Hoang, On the vanishing and the finiteness of supports of generalized local cohomology modules, Manuscripta Math., (1) 126 (2008), 59-72 .
[8] N. T. Cuong and N. V. Hoang, On the finiteness and stability of certain set of associated prime ideals of local cohomology modules, Communications in Algebra 42 (2014), 1757-1768.
[9] N. T. Cuong, N.V. Hoang and P. H. Khanh, Asymptotic stability of certain sets of associated prime ideals of local cohomology modules, Comm. Algebra, 38 (2010), 4416-4429.
[10] N. T. Cuong and P. H. Khanh, Some asymptotic properties of graded
module, Acta Math. Vietnamica (2) 36 (2011), 183-192.
[11] N. T. Cuong, Schenzel P., N. V. Trung (1978), "Verallgemeinerte Cohen-
33
Macaulay moduln", Math. Nachr., 85, pp. 57-73.
[12] M. T. Dibaei and S. Yassemi, Cohomological Dimension of Complexes,
Comm. Algebra, 32 (2004), 4375-4386.
[13] J. Herzog, Komplexe, Aufl¨osungen und Dualit¨at in der Lokalen Algebra,
Habilitationsschrift, Universit¨at Regensburg, 1970.
[14] N. V. Hoang and P. H. Khanh, On the asymptotic stability of certain sets of prime ideals, East-West J. of Mathematics, Vol. 14, No 1(2012) pp. 20-27.
[15] C. Huneke, Problems on local cohomology, Free resolutions in commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Res. Notes Math., 2 (1992), 93-108.
[16] M. Katzman, An example of an infinite set of associated primes of a local
cohomology module, J. Algebra, 252 (2002), 161-166.
[17] K. Khashyarmanesh and Sh. Salarian, On the associated primes of local
cohomology modules, Comm. Algebra, 27 (1999), 6191 - 6198.
[18] R. L¨u and Z. Tang, The f-depth of an ideal on a module, Math. Proc.
Camb. Phil. Soc., (7) 130 (2001), 1905-1912.
[19] H. Matsumura, "Commutative ring theory", Cambridge Univ. Press,
Cambridge, 1986.
[20] L. Melkersson, On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 107 (1990), 267-271.
[21] L. Melkersson and P. Schenzel, Asymptotic prime ideals related to derived
functions, Proc. Amer. Math. Soc., (4) 117 (1993), 935-938.
[22] L. T. Nhan, On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules, Comm. Algebra, 33 (2005), 793-806.
[23] A. Singh, p−torsion elements in local cohomology modules, Math. Res.
Lett., 7 (2000), 165-176.
[24] W.V. Vasconcelos, Divisor theory in module categories, in: North-Holland
34
Mathematics Studies, Vol. 14 (1974).
