Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------

LÊ THỊ THANH TÂM

TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH PHI TUYẾN VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------

LÊ THỊ THANH TÂM

TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH PHI TUYẾN

VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành :Toán ứng dụng

Mã số

: 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Nguyễn Thị Thu Thủy

THÁI NGUYÊN - 2016

i

Mục lục

Bảng ký hiệu ii

Mở đầu 1

Chương 1. Phương trình toán tử đặt không chỉnh 3

1.1 Không gian Hilbert . . . . . .

. 1.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3

1.1.2 Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert . . 1.2 Phương trình toán tử đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 16

1.2.1 Khái niệm và ví dụ về bài toán đặt không chỉnh . . 1.2.2 Toán tử hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 18

Chương 2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và tốc độ hội tụ 22

2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh

.

. phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điệu . 2.1.1 Mô tả phương pháp và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 23

2.1.2 Tốc độ hội tụ của phương pháp . . 2.2 Xấp xỉ hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 29

2.2.1 Bài toán xấp xỉ hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2 Tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Kết luận 38

Tài liệu tham khảo 39

ii

Bảng ký hiệu

R tập số thực

H X X ∗ C A dom(A) (cid:104)x, y(cid:105) (cid:107)x(cid:107) xn → x xn (cid:42) x I không gian Hilbert thực không gian Banach không gian đối ngẫu của X tập con đóng lồi của H toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert miền hữu hiệu của toán tử A tích vô hướng của hai vectơ x và y chuẩn của vectơ x xn hội tụ mạnh đến x xn hội tụ yếu đến x ánh xạ đơn vị

1

Mở đầu

Đề tài luận văn nghiên cứu phương trình toán tử dạng:

A(x) = f , (1)

ở đây, A là một toán tử đơn điệu từ không gian Hilbert thực X vào không gian Hilbert thực X, f là phần tử của X. Nếu không có các điều kiện đặc biệt đặt lên toán tử A, chẳng hạn tính đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh, thì bài toán (1) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh. Trong bài toán này, thay cho các dữ kiện chính xác {A, f } thì ta chỉ biết các xấp xỉ {Ah, fδ } của chúng. Giả sử xδ là nghiệm của (1) với f thay bởi fδ (giả thiết rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì fδ → f nhưng với bài toán đặt không chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đến x0-nghiệm chính xác của bài toán. Có rất nhiều phương pháp khác nhau để tìm lời giải cho bài toán này, một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi và hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov.

Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh bài toán đặt không chỉnh (1) trong trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu

trong không gian Hilbert: trình bày sự hội tụ của phương pháp, nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và trình bày ví dụ minh họa.

Nội dung của đề tài được viết trong hai chương. Chương 1 có tiêu đề "Phương trình toán tử đặt không chỉnh" trình bày khái niệm về không gian Hilbert thực

và một số tính chất; giới thiệu về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert và

khái niệm phương trình toán tử đặt không chỉnh trong không gian Hilbert cùng một số ví dụ.

Chương 2 có tiêu đề "Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và tốc độ hội tụ" trình bày về phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh

2

phi tuyến trong trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu; trình bày tốc độ hội tụ của

phương pháp hiệu chỉnh và ví dụ số minh họa.

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác

giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn

và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn.

Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc

tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K8B (khóa 2014–2016); Nhà trường và các phòng chức năng của Trường; Khoa Toán – Tin,

trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác

giả trong suốt thời gian học tập tại trường.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K8B (khóa

2014–2016) đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập, nghiên cứu.

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt

nhất cho tác giả khi học tập và nghiên cứu.

Tác giả

Lê Thị Thanh Tâm

3

Chương 1

Phương trình toán tử đặt không chỉnh

Chương này giới thiệu khái niệm và ví dụ về phương trình toán tử đặt không chỉnh. Cụ thể: Mục 1.1 giới thiệu về không gian Hilbert thực và một số tính chất

của không gian Hilbert; trình bày định nghĩa toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert. Mục 1.2 trình bày khái niệm và ví dụ về bài toán đặt không chỉnh; nêu

khái niệm về toán tử hiệu chỉnh và ví dụ. Các kiến thức của chương này được

viết trên cơ sở tổng hợp các tài liệu [1], [3] và [4].

1.1 Không gian Hilbert

1.1.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.1.1. Một tập X được gọi là không gian tuyến tính trên R nếu với mỗi cặp (x, y) ∈ X × X, một phần tử của X, ta gọi là tổng của x và y, ký hiệu là x + y; với mỗi α ∈ R và x ∈ X, một phần tử của X, gọi là tích của α và x, ký hiệu là αx thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) x + y = y + x với mọi x, y ∈ X (tính chất giao hoán);

(2) (x + y) + z = x + (y + z) với mọi x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp);

(3) tồn tại phần tử không của X, ký hiệu 0, sao cho: x + 0 = 0 + x với mọi

x ∈ X;

(4) với mọi x ∈ X, tồn tại phần tử đối của x, ký hiệu là −x, sao cho x+(−x) = 0

với mọi x ∈ X;

4

(5) 1 · x = x · 1 = x, với mọi x ∈ X (1 là phần tử đơn vị);

(6) α(β x) = (αβ )x, với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ X;

(7) (α + β )x = αx + β x), với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ X;

(8) α(x + y) = αx + αy), với mọi α ∈ R, với mọi x, y ∈ X.

Định nghĩa 1.1.2. Cho H là một không gian tuyến tính trên trường số thực R. Tích vô hướng trên không gian H là một ánh xạ đi từ tích Descartes H × H vào R, ký hiệu là (cid:104)., .(cid:105), thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) (cid:104)x, y(cid:105) = (cid:104)y, x(cid:105) với mọi x, y ∈ H;

(2) (cid:104)x + y, z(cid:105) = (cid:104)x, z(cid:105) + (cid:104)y, z(cid:105) với mọi x, y, z ∈ H;

(3) (cid:104)αx, y(cid:105) = α(cid:104)x, y(cid:105) với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R;

(4) (cid:104)x, x(cid:105) > 0 nếu x (cid:54)= 0 và (cid:104)x, x(cid:105) = 0 nếu x = 0.

Nhận xét 1.1.3. Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy ra

(1) (cid:104)x, αy(cid:105) = α(cid:104)y, x(cid:105) với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R;

(2) (cid:104)x, y + z(cid:105) = (cid:104)x, y(cid:105) + (cid:104)x, z(cid:105) với mọi x, y, z ∈ H.

Định nghĩa 1.1.4. Không gian tuyến tính H cùng với một tích vô hướng trên nó được gọi là một không gian tiền Hilbert.

Định lý 1.1.5. (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau:

|(cid:104)x, y(cid:105)|2 ≤ (cid:104)x, x(cid:105)(cid:104)y, y(cid:105). (1.1)

Chứng minh. Với mọi số thực α và với mọi x, y ∈ H ta có

0 ≤ (cid:104)x − αy, x − αy(cid:105) = (cid:104)x, x(cid:105) − 2α(cid:104)x, y(cid:105) + α 2(cid:104)y, y(cid:105).

Từ đây suy ra

x, y ∈ H. ∆ = |(cid:104)x, y(cid:105)|2 − (cid:104)x, x(cid:105)(cid:104)y, y(cid:105) ≤ 0 với mọi

5

Hay

x, y ∈ H. |(cid:104)x, y(cid:105)|2 ≤ (cid:104)x, x(cid:105)(cid:104)y, y(cid:105) với mọi

(cid:3)

Dấu đẳng thức trong bất đẳng thức (1.1) xảy ra khi và chỉ khi x và y phụ

thuộc tuyến tính.

Định lý 1.1.6. Không gian tiền Hilbert H là một không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn được xác định bởi

x ∈ H. (cid:107)x(cid:107) = (cid:112)(cid:104)x, x(cid:105) với mọi (1.2)

Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng. Chứng minh. Thật vậy, từ điều kiện (4) của Định nghĩa 1.1.2 ta có (cid:107)x(cid:107) > 0 nếu x (cid:54)= 0 và (cid:107)x(cid:107) = 0 nếu x = 0 với x ∈ H. Từ điều kiện (1) và (3) của Định nghĩa 1.1.2, ta suy ra (cid:107)αx(cid:107) = |α|.(cid:107)x(cid:107) với mọi α ∈ R và mọi x ∈ H. Từ bất đẳng thức Schwarz và cách định nghĩa chuẩn, ta có

x, y ∈ H. |(cid:104)x, y(cid:105)| ≤ (cid:107)x(cid:107).(cid:107)y(cid:107) với mọi (1.3)

Từ đó với mọi x, y ∈ H ta có

(cid:104)x + y, x + y(cid:105) = (cid:104)x, x(cid:105) + 2(cid:104)x, y(cid:105) + (cid:104)y, y(cid:105)

≤ (cid:107)x(cid:107)2 + 2(cid:107)x(cid:107).(cid:107)y(cid:107) + (cid:107)y(cid:107)2 = (cid:0)(cid:107)x(cid:107) + (cid:107)y(cid:107)(cid:1)2.

(cid:3) Suy ra (cid:107)x + y(cid:107) ≤ (cid:107)x(cid:107) + (cid:107)y(cid:107) với mọi x, y ∈ H.

Định nghĩa 1.1.7. Nếu H là một không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.2) thì H được gọi là không gian Hilbert thực.

Ví dụ 1.1.8. Không gian

∞ ∑ n=1

(cid:110) (cid:111) l2 = |xn|2 < +∞ x = {xn}n ∈ R :

6

là không gian Hilbert với tích vô hướng

∞ ∑ n=1

(cid:104)x, y(cid:105) = xnyn, x = {xn}n∈N, y = {yn}n∈N ∈ l2

và chuẩn

(cid:107)x(cid:107) = (cid:112)(cid:104)x, x(cid:105) = |xn|2(cid:17) 1 2 . |xn|2 = (cid:16) ∞ ∑ n=1 (cid:115) ∞ ∑ n=1

b (cid:90)

Ví dụ 1.1.9. Không gian L2[a, b] là không gian Hilbert với tích vô hướng

a

(x, y) = x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ L2 [a, b]

a

và chuẩn (cid:33) 1 2 (cid:32) b (cid:90) (cid:107)x(cid:107) = |x(t)|2dt .

(cid:90) b

Ví dụ 1.1.10. Gọi C[a, b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên khoảng đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R. Trong C[a, b], xét tích vô hướng

a

x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b]. (cid:104)x, y(cid:105) =

Không gian C[a, b] với chuẩn

a

(cid:16) (cid:90) b (cid:17) 1 2 (cid:107)x(cid:107) = |x(t)|2dt

là không gian tiền Hilbert, nhưng không phải là không gian Hilbert.

Định lý 1.1.11. Giả sử {xn}n∈N, {yn}n∈N là hai dãy lần lượt hội tụ mạnh đến x0, y0 trong không gian tiền Hilbert thực H. Khi đó,

(cid:104)xn, yn(cid:105) = (cid:104)x0, y0(cid:105). lim n→∞

yn = y0 trong không gian Hilbert H. Chứng minh. Giả sử lim n→∞ xn = x0, lim n→∞

7

Ta sẽ chứng minh

trong R. (cid:104)xn, yn(cid:105) = (cid:104)x0, y0(cid:105) lim n→∞

Thật vậy,

|(cid:104)xn, yn(cid:105) − (cid:104)x0, y0(cid:105)| = |(cid:104)xn, yn(cid:105) + (cid:104)xn, y0(cid:105) − (cid:104)xn, y0(cid:105) − (cid:104)x0, y0(cid:105)|

≤ |(cid:104)xn, yn − y0(cid:105)| + |(cid:104)xn − x0, y0(cid:105)|

≤ (cid:107)xn(cid:107).(cid:107)yn − y0(cid:107) + (cid:107)xn − x0(cid:107).(cid:107)y0(cid:107).

Vì dãy {xn}n∈N hội tụ trong H nên tồn tại một số M > 0 sao cho (cid:107)xn(cid:107) ≤ M với mọi n ∈ N. Do đó,

(cid:104)xn, yn(cid:105) = (cid:104)x0, y0(cid:105). lim n→∞

(cid:3)

Nhận xét 1.1.12. Tích vô hướng là một phiếm hàm song tuyến tính liên tục trên H × H.

Định lý 1.1.13. Với mọi x, y thuộc không gian tiền Hilbert H, ta luôn có đẳng thức hình bình hành sau:

(cid:107)x(cid:107)2 + (cid:107)y(cid:107)2(cid:17) (cid:16) . (cid:107)x + y(cid:107)2 + (cid:107)x − y(cid:107)2 = 2

Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H ta có

(cid:107)x + y(cid:107)2 = (cid:104)x + y, x + y(cid:105) = (cid:107)x(cid:107)2 + (cid:107)y(cid:107)2 + 2(cid:104)x, y(cid:105).

và

(cid:107)x − y(cid:107)2 = (cid:104)x − y, x − y(cid:105) = (cid:107)x(cid:107)2 + (cid:107)y(cid:107)2 − 2(cid:104)x, y(cid:105).

(cid:3) Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức cần chứng minh.

Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véc tơ x − y và x − z ta có hệ quả

sau.

Hệ quả 1.1.14. Cho H là một không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈ H. Khi đó, ta

8

có đẳng thức Apollonius:

(cid:107)x − y(cid:107)2 + (cid:107)x − z(cid:107)2(cid:17) (cid:16) + (cid:107)y − z(cid:107)2. x − 2 = 4 y + z 2 (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

Nhận xét 1.1.15. (Ý nghĩa của đẳng thức hình bình hành)

(1) Đẳng thức trên nói lên một tính chất hình học: Tổng bình phương các cạnh

của hình bình hành bằng tổng bình phương hai đường chéo.

(2) Từ định lý trên ta thấy, muốn đưa được tích vô hướng vào một không gian định chuẩn thì không gian này phải thỏa mãn điều kiện hình bình hành. Ngược lại, nếu H là một không gian định chuẩn trong đó đẳng thức hình bình hành được thỏa mãn với mọi phần tử thuộc H thì trên H sẽ tồn tại một tích vô hướng (cid:104)., .(cid:105) sao cho chuẩn được xác định nhờ tích vô hướng. Điều này được thể hiện qua định lý sau.

Định lý 1.1.16. Giả sử (H, ||.||) là một không gian định chuẩn trên R trong đó đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x, y ∈ H. Nếu đặt

(cid:107)x + y(cid:107)2 − (cid:107)x − y(cid:107)2(cid:17) (cid:16) , (cid:104)x, y(cid:105) = (1.4) 1 4

thì (cid:104)., .(cid:105) là một tích vô hướng trên H và ta có (cid:104)x, x(cid:105) = (cid:107)x(cid:107)2. Chứng minh. Ta chứng minh (cid:104)., .(cid:105) xác định như trên thỏa mãn các điều kiện trong định nghĩa về tích vô hướng. Thật vậy, các điều kiện (1) và (4) trong Định nghĩa 1.1.2 hiển nhiên được thỏa mãn. Đặt

. p(x, y) = (cid:107)x + y(cid:107)2 − (cid:107)x − y(cid:107)2(cid:17) (cid:16) 1 4

Để ý rằng, (cid:104)., .(cid:105) : H × H −→ R là một hàm liên tục và

p(−x, y) = −p(x, y) ∀x, y ∈ H. p(x, 0) = 0,

9

Với mọi x, y, z ∈ H ta có

4 (p(x, z) + p(y, z)) = (cid:107)x + z(cid:107)2 − (cid:107)x − z(cid:107)2 + (cid:107)y + z(cid:107)2 − (cid:107)y − z(cid:107)2

(cid:19) , z . ⇔ p(x, z) + p(y, z) = 2p (1.5) (cid:18)x + y 2

Trong đẳng thức (1.5) lấy y = 0 được

(cid:17) , z . p(x, z) = 2p (1.6) (cid:16) x 2

Như vậy ta có (cid:19) , z = p(x + y, z). 2p (cid:18)x + y 2

Nghĩa là p(x, z) + p(y, z) = p(x + y, z). Vậy điều kiện (2) trong Định nghĩa 1.1.2 được chứng minh. Thay thế x bằng 2x trong (1.6) ta được

2p(x, z) = p(2x, z), ∀x, y, z ∈ H.

Bằng quy nạp ta kiểm tra được

p(nx, z) = np(x, z), ∀n ∈ N

và bằng lập luận như trên ta có

x, z ∈ H. p(rx, z) = rp(x, z), ∀r ∈ Q và

Nhờ tính liên tục của chuẩn ||.|| suy ra hàm p(., z) liên tục, qua giới hạn ta có

a ∈ R. p(ax, z) = ap(x, z), ∀x, z ∈ H và

Vậy p(x, y) là một tích vô hướng trên H và hiển nhiên

(cid:104)x, x(cid:105) = p(x, x) = (cid:107)x(cid:107)2 .

10

(cid:3) Định lý được chứng minh.

n=1 trong không gian Hilbert H được gọi là

Định nghĩa 1.1.17. (i) Dãy {xn}∞

hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu

y ∈ H. (cid:104)xn, y(cid:105) = (cid:104)x, y(cid:105) với mọi lim n→∞

n=1 được gọi là hội tụ mạnh đến x ∈ H nếu

(ii) Dãy {xn}∞

(cid:107)xn − x(cid:107) = 0. lim n→∞

Ký hiệu xn (cid:42) x chỉ sự hội tụ yếu, xn → x chỉ sự hội tụ mạnh của dãy {xn}

đến phần tử x ∈ H.

Chú ý 1.1.18. (1) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ

yếu, nhưng điều ngược lại không đúng.

(2) Mọi không gian Hilbert đều có tính chất Kadec–Klee, tức là nếu dãy {xn} trong không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện (cid:107)xn(cid:107) → (cid:107)x(cid:107) và xn (cid:42) x, thì xn → x khi n → ∞.

Chứng minh. Thật vậy, trong không gian Hilbert nếu xn (cid:42) x0 và (cid:107)xn(cid:107) → (cid:107)x0(cid:107) thì xn → x0. Với mọi x, ta có

(cid:107)xn − x0(cid:107)2 = (cid:104)xn − x0, xn − x0(cid:105)

= (cid:107)xn(cid:107)2 − (cid:104)x0, xn(cid:105) − (cid:104)xn, x0(cid:105) + (cid:107)x0(cid:107)2 .

Từ giả thiết suy ra

(cid:104)x0, xn(cid:105) = (cid:107)x0(cid:107)2. (cid:104)xn, x0(cid:105) = (cid:107)x0(cid:107)2, (cid:107)xn(cid:107)2 = (cid:107)x0(cid:107)2, lim x→∞ lim x→∞ lim x→∞

Do đó

(cid:107)xn − x0(cid:107)2 = (cid:107)x0(cid:107)2. lim x→∞

(cid:3)

11

1.1.2 Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.19. Cho hai không gian tuyến tính X và Y . Một ánh xạ A : X → Y được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu:

(i) A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 với mọi x1, x2 ∈ X;

(ii) A(αx) = αAx với mọi x ∈ X và mọi α ∈ R.

Chú ý 1.1.20. (1) Điều kiện (i) và (ii) trong Định nghĩa 1.1.19 tương đương

với:

A(α1x1 + α2x2 + ... + αkxk) = α1Ax1 + α2Ax2 + ... + αkAxk

với mọi xi ∈ X với mọi αi ∈ R, i = 1, . . . , k.

(2) Nếu Y ≡ X thì ta cũng nói A là toán tử trong X.

Ký hiệu R(A) là miền giá trị của toán tử A, tức là tập hợp các phần tử y ∈ Y sao cho y = Ax với một x ∈ X nào đó. Nếu y1, y2 ∈ R(A) thì α1y1 +α2y2 ∈ R(A) với mọi α1, α2 ∈ R nên R(A) là một không gian con của Y .

Định nghĩa 1.1.21. Một toán tử A từ X vào Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn (giới nội), nghĩa là tồn tại một hằng số dương K sao cho:

(cid:107)Ax(cid:107) ≤ K (cid:107)x(cid:107) ∀x ∈ X.

Định lý 1.1.22. Một toán tử A từ X vào Y được gọi là bị chặn (giới nội) nếu có một hằng số K > 0 sao cho:

(cid:107)Ax(cid:107) ≤ K. (cid:107)Ax(cid:107) (cid:107)x(cid:107) (cid:107)A(cid:107) = sup x(cid:54)=0 = sup (cid:107)x(cid:107)=1

Ký hiệu mặt cầu tâm a bán kính r > 0 trong không gian X là S(a, r), nghĩa là

S(a, r) = {x ∈ X : (cid:107)x − a(cid:107) = r}.

12

Hệ quả 1.1.23. Toán tử tuyến tính A bị chặn (liên tục) nếu tập các trị của nó trên một mặt cầu (tùy ý) bị chặn. Chứng minh. Thật vậy, giả sử (cid:107)Ax(cid:107) ≤ N với mọi x ∈ S(x0, α). Khi đó, với mọi x mà (cid:107)x(cid:107) = 1 thì αx+x0 ∈ S, cho nên A(αx+x0) ≤ N, và do đó (cid:107)αAx + Ax0(cid:107) ≤ N hay α (cid:107)Ax(cid:107) ≤ N + (cid:107)Ax0(cid:107) . Từ đó suy ra

(cid:107)Ax(cid:107) ≤ (N + (cid:107)Ax0(cid:107))/α.

Vậy theo Định lý 1.1.22 ta có:

(cid:107)Ax(cid:107) ≤ K, (cid:107)Ax(cid:107) (cid:107)x(cid:107) sup x(cid:54)=0 = sup (cid:107)x(cid:107)=1

(cid:3) với K = (N + (cid:107)Ax0(cid:107))/α.

(cid:90) 1

Ví dụ 1.1.24. Toán tử A : L2[0, 1] → L2[0, 1] xác định bởi

0

(Ax)(t) = x(s)ds, t ∈ [0, 1]

là toán tử tuyến tính liên tục.

Thật vậy, áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

t

1 (cid:90)

1 (cid:90)

 2 

|x(s)|2ds = (cid:107)x(cid:107)2, ≤ |x(s)| ds x(s)ds ≤  

0

0

0

(cid:13) (cid:13) (cid:90) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

t

1 (cid:90)

với mọi t ∈ [0, 1]. Do đó

dt ≤ (cid:107)x(cid:107)2

0

0

(cid:12) (cid:12) (cid:90) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 (cid:12) (cid:12) x(s)ds (cid:12) (cid:12) (cid:12)

và Ax ∈ L2 [0, 1]. Suy ra, A bị chặn.

Dễ dàng thấy rằng, A là một toán tử tuyến tính. Do đó, A là toán tử tuyến tính (cid:3) liên tục.

13

Ví dụ 1.1.25. Cho X = Rk, Y = Rm, A(ξ1, ξ2, . . . , ξk) = (η1, η2, . . . , ηm) với

k ∑ j=1

i = 1, 2, 3, . . . , m, (1.7) ai jξ j ηi =

trong đó ai j là những hằng số. Ma trận

 

   

. . . a1k ... . . . · · · amk a11 ... am1

là ma trận của toán tử A. Thật vậy, (1.7) là dạng tổng quát của toán tử tuyến tính từ Rk vào Rm. Cho A là toán tử tuyến tính bất kì từ Rk vào Rm. Gọi e1, e2, . . . , ek và f1, f2, . . . , fk là các cơ sở của Rk và Rm sao cho với mọi x = (ξ1, ξ2, . . . , ξk) ∈ Rk, y = (η1, η2, . . . , ηm) ∈ Rm:

k ∑ j=1

x = ξ je j

và

m ∑ i=1

y = ηi fi

với

e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , ek = (0, 0, . . . , 1),

f1 = (1, 0, . . . , 0), f2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , fm = (0, 0, . . . , 1).

Vì A là toán tử tuyến tính nên

k ∑ j=1

Ax = ξ j(Ae j).

Đặt

Ax = (η1, η2, . . . , ηm)

Ae j = (a1 j, a2 j, . . . , am j)

(cid:3) ta có (1.7).

14

Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con của H.

Định nghĩa 1.1.26. Tập C ⊂ H là một tập lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ C và với mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta đều có λ x1 + (1 − λ )x2 ∈ C. Từ định nghĩa trên ta thấy tập /0 là một tập lồi. Định nghĩa 1.1.27. Hàm f : C → R được gọi là:

(i) lồi trên C nếu với mọi λ ∈ [0, 1], với mọi x, y ∈ C thì

f (λ x + (1 − λ ) y) ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y) ;

(ii) lồi chặt trên C nếu với mọi λ ∈ (0, 1), với mọi x, y ∈ C, x (cid:54)= y thì

f (λ x + (1 − λ ) y) < λ f (x) + (1 − λ ) f (y) .

Định nghĩa 1.1.28. Cho C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H, A : C → H là một ánh xạ. Ánh xạ A được gọi là:

(i) L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại hằng số L dương sao cho

(cid:107)A(x) − A(y)(cid:107) ≤ L (cid:107)x − y(cid:107) ∀x, y ∈ C.

Nếu 0 < L < 1 thì A là ánh xạ co, nếu L = 1 thì A là ánh xạ không giãn;

(ii) bị chặn Lipschitz trên C nếu với mỗi tập con bị chặn B của C, A là ánh xạ

liên tục Lipschitz trên B.

Định nghĩa 1.1.29. Cho C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H, A : C → H là một ánh xạ. Ánh xạ A được gọi là:

(i) đơn điệu trên C, nếu

(cid:104)A(x) − A(y), x − y(cid:105) ≥ 0 ∀x, y ∈ C;

(ii) η-đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số η dương sao cho

∀x, y ∈ C; (cid:104)A(x) − A(y), x − y(cid:105) ≥ η (cid:107)x − y(cid:107)2

15

(iii) hemi-liên tục (hemicontinuous) trên C nếu A(x + ty) (cid:42) Ax khi t → 0 với mọi x, y ∈ C và demi-liên tục (demicontinuous) trên C nếu từ xn → x suy ra Axn (cid:42) Ax khi n → ∞;

(iv) bức trên C nếu

x ∈ C. = +∞, (cid:104)Ax, x(cid:105) (cid:107)x(cid:107) lim (cid:107)x(cid:107)→+∞

Sau đây là một kết quả của lý thuyết toán tử đơn điệu được dùng trong

Chương 2.

Bổ đề 1.1.30. Cho X là không gian Banach thực, X ∗ là không gian đối ngẫu của X, f ∈ X ∗ và A : X → X ∗ là một toán tử hemi-liên tục. Khi đó, nếu tồn tại x0 ∈ X thỏa mãn bất đẳng thức:

(cid:104)A(x) − f , x − x0(cid:105) ≥ 0, ∀x ∈ X

thì x0 là nghiệm của phương trình A(x) = f .

Nếu A là một toán tử đơn điệu trên X thì điều kiện trên tương đương với

(cid:104)A(x0) − f , x − x0(cid:105) ≥ 0, ∀x ∈ X.

Bổ đề 1.1.30 gọi là bổ đề Minty, tên một nhà toán học Mỹ, người đã chứng minh kết quả trên trong trường hợp không gian Hilbert. Sau này chính ông và

Browder đã chứng minh một cách độc lập cho không gian Banach.

Với toán tử r : X → Y từ không gian Banach X vào không gian Banach Y , ta sẽ viết r(x) = o((cid:107)x(cid:107)) với x → 0X , nếu r(x)/(cid:107)x(cid:107) → 0 khi x → 0X . Kí hiệu L(X,Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y .

Định nghĩa 1.1.31. Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y . Toán tử A được gọi là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ X, nếu tồn tại T ∈ L(X,Y ) sao cho

A(x + h) = A(x) + T h + r(h).

16

(cid:107)r(h)(cid:107) (cid:107)h(cid:107) = 0. Nếu tồn tại, thì T được gọi là đạo hàm Fréchet của

Trong đó,

lim (cid:107)h(cid:107)→0 A tại x, và ta viết A(cid:48)(x) = T .

1.2 Phương trình toán tử đặt không chỉnh

Trong mục này, ta xét phương trình toán tử

A(x) = f , (1.8)

ở đây, A là một toán tử từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y , f là một phần tử thuộc Y .

1.2.1 Khái niệm và ví dụ về bài toán đặt không chỉnh

Định nghĩa 1.2.1. Bài toán (1.8) được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed) nếu

(i) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;

(ii) nghiệm này duy nhất;

(iii) nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu A và f .

Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán (1.8)

được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed).

Xét phương trình toán tử (1.8) với A là một ma trận vuông cấp M = 6 được

xác định bởi

  1 1 1 1 1

1 1 1.0001 1 1 1 1 1 1 A =

1 1 1 1 1 1.0001 1 1 1 1 1.0001 1                     1 1 1 1 1 1.0001 1 1 1 1.0001

và vế phải

17

(cid:16) (cid:17)T f = ∈ R6. 6 6.0001 6.0001 6.0001 6.0001 6.0001

Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất

(cid:16) (cid:17)T f = ∈ R6. 1 1 1 1 1 1

Nếu

  1 1 1 1 1

1 1 1.0001 1 1 1 1 1 1 A = Ah1 = 1

1 1 1 1 1 1.0001 1 1 1 1 1.0001 1                     1 1 1 1 1 1.0001 1 1 1

và vế phải

(cid:16) (cid:17)T ∈ R6 6 6.0001 6.0001 6.0001 6.0001 6 f = fδ 1 =

thì phương trình có vô số nghiệm.

Nếu

  1

1 1 1 1 1 1

A = Ah2 = 1 1 1.0001 1 1 1 1 1 1 1.0001 1 1 1

1 1 1 1 1.0001 1                     1 1 1 1 1 1 1.0001 1 1 1

và vế phải

(cid:16) (cid:17)T ∈ R6 6 6.0001 6.0001 6.0001 6.0001 6.0001 f = fδ 2 =

thì phương trình vô nghiệm.

Trong bài toán trên nếu có thay đổi nhỏ các thành phần ai j ban đầu đã dẫn

đến thay đổi lớn của nghiệm. Đây là một ví dụ về bài toán đặt không chỉnh.

18

Vì tính không duy nhất của nghiệm của phương trình đặt không chỉnh (1.8)

nên ta cần phải có một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm. Ta sẽ sử dụng nghiệm x0 có x∗-chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm x0 thỏa mãn

A(x0) = f

và

(cid:107)x0 − x∗(cid:107) = min{(cid:107)x − x∗(cid:107) : A(x) = f }.

Phần tử x∗ đóng vai trò như là một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm. Bằng cách chọn x∗, ta có thể có được nghiệm mà ta mong muốn.

1.2.2 Toán tử hiệu chỉnh

Xét phương trình toán tử (1.8) trong trường hợp không biết thông tin về nghiệm chính xác x0. Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f ta biết xấp xỉ fδ thỏa mãn

(1.9) δ → 0. (cid:107) fδ − f0(cid:107) ≤ δ ,

Bài toán đặt ra là dựa vào thông tin về (A, fδ ) và mức sai số δ , tìm một phần tử xδ xấp xỉ nghiệm chính xác x0 của bài toán ban đầu. Rõ ràng, ta không thể xây dựng phần tử xấp xỉ xδ theo quy tắc xδ = A−1 fδ , vì thứ nhất là A−1 có thể không xác định với fδ ∈ Y , thứ hai là A−1 có thể không liên tục, nên A−1 fδ tồn tại cũng chưa chắc đã xấp xỉ A−1 f .

Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số về phải của (1.8). Vì vậy, một điều tự nhiên nảy sinh là có thể xây dựng một phần tử xấp xỉ phụ thuộc vào một tham số nào đó và tham số này được chọn tương thích với δ sao cho khi δ → 0 thì phần tử xấp xỉ này hội tụ nghiệm x0. Ta cũng thấy, nếu được thì từ fδ ∈ Y ta có phần tử xấp xỉ thuộc X. Tức là tồn tại một toán tử nào đó tác động từ không gian Y vào không gian X.

Định nghĩa 1.2.2. Toán tử R( f , α), phụ thuộc tham số α, tác động từ Y vào X được gọi là toán tử hiệu chỉnh cho phương trình (1.8), nếu:

19

(1) Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R( f , α) xác định với mọi

α ∈ (0, α1) và với mọi f ∈ Y : ρY ( f , f0) ≤ δ , δ ∈ (0, δ1);

(2) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α( f , δ ) sao cho ∀ε > 0 ∃δ (ε) ≤ δ1: ∀ f ∈

Y, ρY ( f , f0) ≤ δ ≤ δ1, ⇒ ρY (xα, x0) ≤ ε, ở đây xα ∈ R( f , α( f , δ )).

Chú ý 1.2.3. (1) Định nghĩa này không đòi hỏi tính đơn trị của toán tử R( f , α).

(2) Phần tử xα ∈ R( fδ , α) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của (1.8), ở đây α = α( fδ , δ ) = α(δ ) được gọi là tham số hiệu chỉnh. Cũng dễ dàng nhận thấy, từ định nghĩa trên, nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ kiện ban đầu.

Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào về phải của (1.8)

gồm hai bước:

(a) Tìm toán tử hệu chỉnh R( f , α) và

(b) Xác định giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bài toán

về phần tử fδ và sai số δ .

Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc trên được gọi là phương pháp

hiệu chỉnh. Phương pháp này được sử dụng từ thời Newton cho bài toán cổ điển

(trong mêtric C), khi f (t) chỉ biết gần đúng. Đạo hàm d f (t) dt với tính giá trị z = z tính được dựa vào tỉ sai phân

. R( f , α) = f (t + α) − f (t) α

Nếu thay cho f (t) ta biết xấp xỉ của nó là fδ (t) = f (t) + g(t), ở đây |g(t) ≤ δ | với mọi t, khi đó,

+ . R( fδ , α) = f (t + α) − f (t) α g(t + α) − g(t) α

Cho α → 0

→ z. f (t + α) − f (t) α

20

Số hạng thứ hai được đánh giá bởi

. ≤ g(t + α) − g(t) α 2δ α (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Nếu chọn α sao cho α = , với η(δ ) → 0, khi δ → 0, th 2 = 2η(δ ) → 0. δ α

Vì vậy, với α = α1(δ ) = thì R( fδ , α1(δ ) → z. δ η(δ ) δ η(δ )

Ta xét bài toán cổ điển khác. Đó là bài toán khôi phục hàm số, khi biết hệ số |ϕk(t)| ≤ C0 Fourier của nó. Giả sử ϕk(t) là một hệ trực chuẩn đầy đủ có sup t∈[a,b]

và hệ số Fourier a = (a1, a2, . . . ) của hàm

∞ ∑ k=1

f (t) = akϕk(t)

được cho bởi xấp xỉ bởi c = (c1, c2, . . . ) sao cho

∞ ∑ k=1

(ak − ck)2 ≤ δ 2.

Khi đó, không thể coi

∞ ∑ k=1

˜f (t) = ckϕk(t)

là xấp xỉ của f (t) được. Để tìm giá trị xấp xỉ của f tại điểm t0 nào đó, tức là tìm f (t0), ta dùng phương pháp hiệu chỉnh với

n ∑ k=1

(cid:17) (cid:16) (cid:16) R = (cid:17) , c, α = ckϕk(t0), 1 n 1 n

(cid:105) là phần nguyên của (cid:105) , ở đây δ , n(δ ) → 0, còn (cid:104) n(δ ) δ 2 (cid:104) n(δ ) δ 2

trong đó n = n(δ ) = n(δ ) → ∞. Thật vậy,

∞ ∑ k=1

≤ + . f (t0) − (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ckϕk(t) (cid:12) (cid:12) (cid:12) n(δ ) (cid:12) (cid:12) ∑ (cid:12) (cid:12) k=1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (ak − ck)ϕk(t0) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) akϕk(t0) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ∞ (cid:12) (cid:12) ∑ (cid:12) (cid:12) k=n(δ )+1

21

∞ ∑ k=1 n(δ ) → ∞. Ngoài ra,

Vì chuỗi tiến tới 0, khi akϕk(t0) hội tụ, cho nên phần dư (cid:12) (cid:12) ∞ (cid:12) ∑ (cid:12) (cid:12) k=n(δ )+1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) akϕk(t0) (cid:12) (cid:12)

1 2

n(δ ) ∑ k=1  

2 

≤ |ak − ck| |ϕk(t0)| (cid:12) n(δ ) (cid:12) (cid:12) ∑ (cid:12) (cid:12) k=1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (ak − ck)ϕk(t0) (cid:12) (cid:12)

n(δ ) ∑ k=1

n(δ ) ∑ k=1

≤ |ak − ck|2 |ϕk(t0)|  

(cid:40) (cid:41) 1 2

n(δ ) ∑ k=1

n(δ ) |ak − ck|2 ≤ C0

(cid:21) (cid:113) δ 2 → 0 ≤ C0 n(δ )δ 2 = C0 (cid:115)(cid:20)n(δ ) δ 2

khi δ → 0.

(cid:3)

Chú ý 1.2.4. Trong trường hợp α = δ , định nghĩa về toán tử hiệu chỉnh có dạng đơn giản sau: toán tử R( f , δ ) tác động từ Y vào X là một toán tử hiệu chỉnh, nếu:

(1) Tồn tại một số dương δ1 sao cho toán tử R( f , δ ) xác định với mọi 0 < δ <

δ1 và với mọi f ∈ Y sao cho ρY ( f , f0) ≤ δ ;

(2) Với ε > 0 bất kì, tồn tại δ0 = δ0(ε, fδ ) sao cho ρY ( f , f0) ≤ δ ≤ δ1 ta có

ρX (xδ , x0) ≤ ε, ở đây xδ ∈ R( fδ , δ ).

Nếu R( f , δ ) không phải là đơn ánh, thì xδ là một phần tử bất kì của {R( f , δ )}.

22

Chương 2

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và tốc

độ hội tụ

Chương này trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh trong trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu. Sự hội

tụ của phương pháp hiệu chỉnh, tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được trình bày chi tiết trong nội dung của chương. Các kiến thức của chương này được tổng

hợp từ các tài liệu [1], [2], [4] và [5].

2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không

chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điệu

Chương này nghiên cứu bài toán đặt không chỉnh đã được đề cập ở Chương

1: Tìm phần tử x0 ∈ H sao cho

f ∈ H, (2.1) A(x0) = f ,

trong đó, A là một toán tử phi tuyến trong không gian Hilbert H. Trong toàn bộ chương này, ta luôn giả thiết:

(1) A là toán tử liên tục, tức là mọi dãy bất kỳ {xn} trong không gian Hilbert H hội tụ mạnh tới phần tử x của H kéo theo sự hội tụ mạnh của dãy {A(xn)} tới A (x);

23

(2) A là đơn điệu, tức là

(cid:104)A (x) − A (y) , x − y(cid:105) ≥ 0, ∀x, y ∈ H.

Ký hiệu S0 là tập hợp tất cả các nghiệm của (2.1), giả thiết rằng tập S0 là khác rỗng. Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử x0 ∈ S0 thỏa mãn:

x0 ∈ S0, (cid:107)x0 − x∗(cid:107) = min (cid:107)x − x∗(cid:107) , x ∈ S0,

còn gọi là nghiệm x0 có x∗-chuẩn nhỏ nhất. Giả sử rằng x∗ /∈ S0.

2.1.1 Mô tả phương pháp và sự hội tụ

Ta xét phương trình hiệu chỉnh cho bài toán (2.1) ở dạng:

α) + α(xτ

α − x∗) = fδ

(2.2) Ah(xτ

trong đó Ah và fδ là các xấp xỉ của A và f thỏa mãn các điều kiện sau đây:

h → 0, (2.3) (cid:107)Ah(x) − A(x)(cid:107) ≤ ch,

và

(2.4) δ → 0. (cid:107) fδ − f (cid:107) ≤ δ ,

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của (2.2) và sự hội tụ của phương pháp được

trình bày trong định lý sau đây.

Định lý 2.1.1. Cho Ah : H → H là toán tử đơn điệu bị chặn, hemi-liên tục với mọi h > 0, fδ ∈ H với mọi δ > 0. Giả thiết rằng các điều kiện (2.3) và (2.4) thỏa mãn. Khi đó:

α, τ = τ(h, δ ).

(1) Với mỗi α > 0 phương trình (2.2) có duy nhất nghiệm xτ

24

(2) Ngoài ra nếu

(2.5) → 0 khi α → 0, h + δ α

α} hội tụ đến một phần tử x0 ∈ S0 thỏa mãn

thì dãy nghiệm {xτ

(2.6) (cid:107)x − x∗(cid:107). (cid:107)x0 − x∗(cid:107) = min x∈S0

Chứng minh. (1) Ta thấy Ah + αI là một toán tử đơn điệu hemi-liên tục từ H vào H. Mặt khác, do I là toán tử bức nên với mỗi α > 0 toán tử Ah + αI cũng là một toán tử bức. Thật vậy, ta xét

(cid:104)(Ah + αI)(x), x(cid:105) = (cid:104)Ah(x) + αI(x), x(cid:105)

= (cid:104)Ah(x) − Ah(0) + Ah(0) + αI(x), x − 0(cid:105)

= (cid:104)Ah(x) − Ah(0), x − 0(cid:105) + (cid:104)Ah(0), x − 0(cid:105)

+ α(cid:104)I(x), x − 0(cid:105).

Vì Ah là toán tử đơn điệu nên

(cid:104)Ah(x) − Ah(0), x − 0(cid:105) ≥ 0, ∀x ∈ H.

Mặt khác

α(cid:104)I(x), x − 0(cid:105) = α(cid:104)I(x), x(cid:105) = α(cid:107)x(cid:107)2.

Do đó

(cid:104)(Ah + αI)(x), x(cid:105) ≥ α(cid:107)x(cid:107)2 − (cid:107)Ah(0)(cid:107)(cid:107)x(cid:107).

Từ bất đẳng thức này suy ra

≥ (cid:104)(Ah + αI)(x), x(cid:105) (cid:107)x(cid:107) α(cid:107)x(cid:107)2 − (cid:107)Ah(0)(cid:107)(cid:107)x(cid:107) (cid:107)x(cid:107)

= α(cid:107)x(cid:107) − (cid:107)Ah(0)(cid:107).

25

Suy ra

= +∞. (cid:104)(Ah + αI)(x), x(cid:105) (cid:107)x(cid:107) lim (cid:107)x(cid:107)→+∞

Bây giờ, ta sẽ chỉ ra Ah + αI là toán tử đơn điệu mạnh. Thật vậy, từ tính chất đơn điệu của toán tử Ah và I ta có

(cid:104)(Ah + αI)(x) − (Ah + αI)(y), x − y(cid:105)

= (cid:104)Ah(x) − Ah(y), x − y(cid:105) + α(cid:104)I(x) − I(y), x − y(cid:105) ≥ α(cid:107)x − y(cid:107)2.

α và ta có

Vậy phương trình (2.2), với mỗi α > 0, có duy nhất nghiệm xτ

α) + α(xτ

α − x∗) = fδ .

α} hội tụ đến nghiệm x0 ∈ S0 thỏa

(2.7) Ah(xτ

(2) Bây giờ, ta chứng minh dãy nghiệm {xτ mãn (2.6). Thật vậy, từ (2.1) và (2.7) ta có

α) − A(x) + f − fδ , xτ

α − x(cid:105)

(cid:104)Ah(xτ

α − x(cid:105)

(2.8)

α − x∗) − I(x − x∗), xτ α(cid:105), ∀x ∈ S0.

+ α(cid:104)I(xτ = α(cid:104)I(x − x∗), x − xτ

Do A là toán tử đơn điệu nên từ (2.8) suy ra

α(cid:107)xτ

(2.9)

α − x(cid:107)2 ≤ α(cid:104)I(x − x∗), x − xτ α(cid:105) α) − Ah(x) + Ah(x) α(cid:105).

+ (cid:104)Ah(xτ − A(x) + f0 − fδ , x − xτ

Do A và Ah là các toán tử đơn điệu nên từ bất đẳng thức (2.9) ta nhận được

α − x(cid:107)2 ≤ α(cid:104)I(x − x∗), x − xτ α(cid:105) + (cid:0)ch + δ (cid:1)(cid:107)x − xτ

α(cid:107).

α(cid:107)xτ (2.10)

26

Chia cả hai vế của bất đẳng thức (2.10) cho α ta được

α − x(cid:107)2 ≤ (cid:104)I(x − x0), x − xτ

α(cid:105) +

α(cid:107).

(cid:107)xτ (cid:107)x − xτ (2.11) ch + δ α

α} bị chặn trong không gian Hilbert H. Do đó, α} hội tụ yếu đến một phần tử x1 nào đó của H.

Từ (2.5) và (2.11) suy ra dãy {xτ tồn tại một dãy con của dãy {xτ

α (cid:42) x1, khi

Không giảm tổng quát, ta có thể coi xτ → 0. h + δ α Mặt khác từ (2.7) ta có

α) + αI(xτ

α − x∗) − fδ , x − xτ

α(cid:105) = 0 ∀x ∈ H.

(cid:104)Ah(xτ

Do tính đơn điệu của toán tử Ah + αI nên đẳng thức trên được viết thành

α(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ H.

(2.12) (cid:104)Ah(x) + αI(x − x∗) − fδ , x − xτ

α (cid:42) x1 ta được

→ 0, với xδ Trong bất đẳng thức (2.12) cho α, h + δ α

(cid:104)A(x) − f0, x − x1(cid:105) ≥ 0, ∀x ∈ H.

Theo Bổ đề Milty ta suy ra x1 ∈ S0, tức là x1 là một nghiệm của phương trình (2.1).

, α → Bây giờ ta sẽ chứng minh x1 thỏa mãn (2.6). Thật vậy từ (2.10) cho h + δ α 0 ta được

0 ≤ (cid:107)x − x1(cid:107)2 ≤ (cid:104)I(x − x∗), x − x1(cid:105) ∀x ∈ S0.

Vì S0 là tập lồi, nên tx1 + (1 − t)x ∈ S0 với 0 < t < 1. Do đó,

(cid:104)I[(tx1 + (1 − t)x) − x∗],tx1 + (1 − t)x − x1(cid:105)

= (cid:104)I(tx1 + (1 − t)x − x∗), (1 − t)(x − x1)(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ S0

hay

(1 − t)(cid:104)I(tx1 + (1 − t)x − x∗), x − x1(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ S0.

27

Chia cả hai vế cho (1 − t), rồi cho t → 1 ta nhận được

(cid:104)I(x1 − x∗), x − x1(cid:105) ≥ 0.

Bất đẳng thức này tương đương với

α} hội tụ mạnh (cid:3)

(cid:107)x1 − x∗(cid:107) ≤ (cid:107)x − x∗(cid:107) ∀x ∈ S0.

Do phần tử x1 ∈ S0 thỏa mãn (2.6) là duy nhất, nên cả dãy {xτ đến x1 = x0.

2.1.2 Tốc độ hội tụ của phương pháp

Quy ước viết vô cùng bé: Giả sử đại lượng ρ(h) là một vô cùng bé khi h → 0.

Nếu tồn tại một số α > 0 và hằng số M > 0 sao cho

|ρ(h)| ≤ Mhα

thì ta viết

ρ(h) = O(hα).

Viết như trên có nghĩa là khi h nhỏ thì ρ(h) là một đại lượng nhỏ và khi h → 0 thì ρ(h) tiến đến số 0 không chậm hơn Mhα.

Hệ thức sau đây sẽ được sử dụng khi đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh: cho a, b, c là các số không âm đủ bé, p > q > 0. Nếu ap ≤ baq + c thì ta có

ap = O(cid:0)bp/(p−q) + c(cid:1).

Định lý 2.1.2. Giả sử các điều kiện (2.3) và (2.4) thỏa mãn và x0 là nghiệm thỏa mãn (2.6). Ngoài ra, giả thiết thêm rằng

(i) Ah là khả vi Fréchet trong lân cận của điểm x0;

(ii) Tồn tại một hằng số L > 0 thỏa mãn

h(x0) − A(cid:48)

h(z)(cid:13)

với mọi z ∈ S(x0, τ) (cid:13) (cid:13)A(cid:48) (cid:13) ≤ L (cid:107)x0 − z(cid:107) ,

28

ở đây S(x0, τ) là hình cầu tâm x0, bán kính τ;

(iii) Tồn tại phần tử zh ∈ H thỏa mãn

(cid:48)∗ h (x0)zh;

x0 − x∗ = A

(iv) L||zh|| < 2.

Khi đó với tham số hiệu chỉnh α = O((h + δ )p), 0 < p < 1, thì ta thu được

(cid:32)

α − x0(cid:107) = O((h + δ )η), η = min

(cid:107)xτ (cid:33) . 1 − p, p 2

Chứng minh. Từ phương trình (2.1) và (2.7) suy ra

α) − A(x0) + α(xτ

α − x0) = fδ − f0 + A(xτ

α) − Ah(xτ

α) + α(x∗ − x0).

A(xτ

Vì A là toán tử đơn điệu nên

α − x0(cid:107)2 ≤ (c1h + δ ) (cid:107)xτ

α − x0(cid:107) + α(cid:104)x∗ − x0, xτ

α − x0(cid:105),

α (cid:107)xτ c1 > 0.

Vì Ah khả vi trong lân cận của x0 nên

α) = Ah(x0) − Ah(xτ

α) + τ τ α

A(cid:48) h(x0)(x0 − xτ

với

α(cid:107) ≤ L (cid:107)xτ

α − x0|2 /2.

(cid:107)τ τ

Từ hai bất đẳng thức trên suy ra

α)(cid:105)

α − x0(cid:107) + α(cid:104)zh, A(cid:48) h(x0)(x0 − xτ α − x0|| + α (cid:107)zh(cid:107) (ch (cid:107)x0(cid:107) + δ

α − x0(cid:107)2 ≤ (c1h + δ ) (cid:107)xτ ≤ (c1h + δ )||xτ + α (cid:107)xτ

α − x∗(cid:107) + L (cid:107)xτ

α − x0(cid:107)2 /2).

α (cid:107)xτ

29

Hay

α − x0(cid:107)2 ≤ (c1h + δ + α 2 (cid:107)zh(cid:107)) (cid:107)xτ

α − x0(cid:107)

α(1 − L (cid:107)zh(cid:107) /2) (cid:107)xτ

+ α (cid:107)zh(cid:107) (ch (cid:107)x0(cid:107) + α (cid:107)x∗ − x0(cid:107)).

Từ đây suy ra

α − x0(cid:107) = O((h + δ )η), η = min

(cid:17) (cid:16) (cid:107)xτ . 1 − p, p 2

(cid:3)

2.2 Xấp xỉ hữu hạn chiều

Giả sử Hn là một dãy không gian con hữu hạn chiều của H thỏa mãn

i=1Hi = H

H1 ⊂ H2 ⊂ · · · ⊂ Hn ⊂ · · · ⊂ H, U ∞

và Pn là một phép chiếu từ H lên Hn.

2.2.1 Bài toán xấp xỉ hữu hạn chiều

Ta xét bài toán xấp xỉ hữu hạn chiều:

ατ − xn

ατ) + α(xn

∗) = f n δ

n AhPn, xn

ατ hội tụ tới xτ

∗ = Pnx∗ và fδ n = Pn fδ . Ta thấy Ahn là toán tử đơn điệu và ατ với mỗi α > 0 α-nghiệm của (2.2) khi

(2.13) Ahn(xn

ατ} hội tụ đến xτ

α-nghiệm của

với Ahn = P∗ liên tục, đồng thời phương trình (2.13) có duy nhất nghiệm xn và τ = (h, δ ) > 0. Đồng thời dãy nghiệm xn n → ∞.

Định lý 2.2.1. Với α > 0 tùy ý và fδ ∈ H, dãy {xn bài toán (2.1) khi n → ∞ nếu Pnx → x với mỗi x ∈ H.

30

Chứng minh. Thật vậy, cho x ∈ H là một phần tử tùy ý; f = Ah (x) và

α}, trong đó xn

α là nghiệm của (2.13) với f n = Pα f thay vì f n

δ , hội tụ

Ah (xα) + α (xα − x∗) = f .

Từ dãy {xn đến xα thì:

α − x(cid:107) < ε(cid:14)2.

(cid:107)xn ∀ε > 0 ∃n0 : n > n0

Mặt khác, vì Ah đơn điệu, nên Ah(x) = f chỉ có nghiệm x. Thêm nữa, vì {xα} hội tụ tới x khi α → 0, nên

. ∃α1 > 0, ∀α : 0 < α < α1, (cid:107)xα − x(cid:107) < ε 2

Cuối cùng ta có:

α − x(cid:107) ≤ (cid:107)xn

α − x(cid:107) + (cid:107)xα − x(cid:107) < ε.

(cid:107)Pnx − x(cid:107) ≤ (cid:107)xn

(cid:3)

Định lý 2.2.2. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:

(i) Ah là khả vi Fréchet trong một lân cận của điểm x0;

(ii) Tồn tại một hằng số L > 0 thỏa mãn

h(x0) − A(cid:48)

h(z)(cid:13)

z ∈ S(x0, τ); (cid:13) (cid:13)A(cid:48) (cid:13) ≤ L| (cid:107)x0 − z(cid:107) ,

(iii) Tham số hiệu chỉnh được chọn α = α(n, δ , h) sao cho khi α → 0,

(γhn (cid:107)(I − Pn)x0(cid:107) + L (cid:107)(I − Pn)x0(cid:107)2)/2)/α → 0

với h → 0, δ → 0 và n → ∞, trong đó γhn được xác định bởi

γhn = (cid:13) (cid:13) (cid:48)∗ (cid:13) (cid:13) h (x0) (cid:13)(I − Pn)A (cid:13)

và I là toán tử đơn vị trong H.

31

ατ hội tụ tới x0.

Khi đó, dãy xn

Chứng minh. Từ (2.13) ta có

0) + α(xn

0) = f n

ατ) − Ahn(xn

ατ − xn

δ − Ahn(xn 0) + α(xn ∗ − x0),

Ahn(xn (2.14)

ở đây

xn 0 = Pnx0.

ατ − xn

0, ta thu được

Tác động 2 vế của đẳng thức trên với xn

0)(cid:107)) (cid:107)xn

0(cid:107)2 ≤ (c2h + δ + (cid:107)PnAh(x0) − PnAhn(xn

ατ − xn

ατ − xn 0(cid:107)

α (cid:107)xn

∗, xn

0 − xn

0 − xn

ατ(cid:105),

+ α(cid:104)xn c2 > 0.

Vì

h(x0)(Pnx0 − x0) + τhn

Ah(Pnx0) = Ah(x0) + A(cid:48)

với

(cid:107)τhn(cid:107) ≤ (L (cid:107)(I − Pn)x0(cid:107)2)/2

ta suy ra

ατ − xn

α (cid:107)xn

ατ − xn 0(cid:107)

0(cid:107)2 ≤ (c2h + δ + γhn (cid:107)(I − Pn)(x0)(cid:107) + L (cid:107)(I − Pn)x0(cid:107)2 /2) + (cid:107)xn ∗, xn + α(cid:104)xn

0 − xn

0 − xn

ατ(cid:105).

ατ. Không làm mất tính tổng quát, giả sử

(2.15)

Từ đây suy ra tính bị chặn của dãy xn xn ατ (cid:42) x1 khi τ, α → 0 và n → ∞. Từ (2.13),

ατ) → f0.

Ahn(xn

32

Bởi vì

ατ) − f n

ατ) − f n 0 (cid:107)

0 (cid:107) ≤ (cid:107)An(xn ≤ ch (cid:107)xn

0 (cid:107) .

ατ) − Ahn(xn ατ(cid:107) + (cid:107)Ahn(xn

ατ)(cid:107) + (cid:107)Ahn(xn ατ) − f n

(cid:107)An(xn

n(xn A(cid:48)

ατ) → f0.

nên

Bây giờ từ tính đơn điệu của An kéo theo

ατ), xn − xn

ατ(cid:105) ≥ 0, ∀x ∈ H, xn = Pnx.

(cid:104)An(xn) − An(xn

Từ đây cùng tính chất của Pn ta nhận được

ατ), xn − xn

ατ(cid:105) ≥ 0.

(cid:104)A(xn) − An(xn

Vì A liên tục nên

ατ hội tụ tới α hội tụ tới x0 khi τ/α và α → 0. Do đó, x1 = x0. Sự hội ατ tới x0 được suy ra từ (2.15), tính chất lồi và đóng của tập (cid:3)

(cid:104)A(x) − f0, x − x1(cid:105) ≥ 0, ∀x ∈ H.

Do đó, x1 ∈ S0. Ta cũng suy ra rằng với mỗi α > 0 và τ ≥ 0, dãy xn α khi n → ∞ và dãy xτ xτ tụ mạnh của dãy xn S0.

2.2.2 Tốc độ hội tụ

Đặt

0 ≤ h ≤ h1. γh1n = sup γhn,

ατ.

Bây giờ, ta nghiên cứu tốc độ hội tụ của xn

Định lý 2.2.3. Giả sử Ah là khả vi Fréchet trong lân cận của điểm x0 và thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) Điều kiện (ii) của Định lý (2.2.2)

33

(2)

h(x0)ωh, ωh ∈ H,

x0 − x∗ = A∗

L (cid:107)ωh(cid:107) < 2 (cid:107)(I − Pn)x∗(cid:107) = (cid:107)(I − Pn) fδ (cid:107) = O(γh1n).

Nếu α = max(h2, µ 2, ηnδ ) thì

ατ − x0(cid:107) = O((h + δ )1/4 + γ 1/2 h1n ).

(cid:107)xn

Chứng minh. Ta có

(cid:107)Ah(Pnx0) − fδ (cid:107) ≤ (cid:107)Ah(Pnx0) − Ah(x0)(cid:107) + (cid:107)Ah(x0) − fδ (cid:107)

≤ δ + ch (cid:107)x0(cid:107) + γhn (cid:107)(I − Pn)x0(cid:107) + L (cid:107)(I − Pn)x0(cid:107) /2.

Vì

(cid:107)(I − Pn)x0(cid:107) ≤ (cid:107)(I − Pn)(x0 − x∗)(cid:107) + (cid:107)(I − Pn)x∗(cid:107)

h(x0)(cid:107) (cid:107)ωh(cid:107) + (cid:107)(I − Pn)x∗(cid:107) ,

= (cid:107)(I − Pn)A∗

nên

(cid:107)Ah(Pnx0) − fδ (cid:107) = O(h + δ + γh1n).

Từ (2.14) và tính đơn điệu của Ahn suy ra

0)(cid:107) (cid:107)xn

0(cid:107)2 ≤ α(cid:104)xn

0, xn

ατ − xn

0(cid:107) + α(cid:104)ωh, A(cid:48) 0(cid:107) + α(cid:104)ωh, A(cid:48)

ατ − xn 0(cid:107) 0 − xn hx0(xn ατ)(cid:105) hx0(x0 − xn ατ)(cid:105)

ατ − xn ∗ − xn ≤ O(h + δ + γh1n) (cid:107)xn ≤ O(h + δ + γh1n) (cid:107)xn hx0(xn + α(cid:104)ωh, A(cid:48)

0(cid:105) + (cid:107) fδ − Ahn(xn ατ − xn ατ − xn 0 − x0)(cid:105).

α (cid:107)xn

Bởi vì

h(x0)(xn

ατ − x0)(cid:105) ≤ (cid:107)ωh(cid:107) (cid:107)τ n

ατ(cid:107) + (cid:104)ωh, Ah(xn

ατ) − Ah(x0)(cid:105)

(cid:104)ωh, A(cid:48)

34

với

hn),

0(cid:107)2 /2 + 0(γ 2

ατ(cid:107) ≤ L (cid:107)xn

ατ − x0(cid:107)2 /2 ≤ L (cid:107)xn

ατ − xn

(cid:107)τ n

ατ = Ah(xn τ n

ατ) − Ah(x0)(x0 − xn

ατ)

ở đây

ta có

ατ) − Ah(x0)(cid:105) = α(cid:104)ωh, α(xn

ατ) + fδ n − fδ + fδ

∗ − xn − Ah(x0) + A(x0) − f0(cid:105)

α(cid:104)ωh, Ah(xn

≤ α (cid:107)ωh(cid:107) O(h + α + δ + γhn).

Vì vậy ta nhận được

0(cid:107)2 ≤ O(h + δ + γ 2

ατ − xn

ατ − xn 0(cid:107)

h1n) (cid:107)xn + α (cid:107)ωh(cid:107) O(h + δ + γh1n).

α(1 − L (cid:107)ωh(cid:107) /2) (cid:107)xn

Từ đây kéo theo

ατ − xn

0(cid:107) = O((h + δ )1/4 + γ 1/4 h1n ).

(cid:107)xn

Vì vậy

ατ − x0(cid:107) = O((h + δ )1/4 + γ 1/2 h1n ).

(cid:107)xn

(cid:3)

1 (cid:90)

Ví dụ 2.2.4. Ta xét phương trình tích phân phi tuyến Hammerstein loại I như sau

0

k(t, s)F(x(s))ds = f (t) (2.16)

với

s(1 − t), s − t ≤ 0,   k(t, s) = t(1 − s), s − t > 0, 

35

f (t) ∈ L2[0, 1] và F(t) là hàm không giảm và liên tục thỏa mãn đều kiện sau

|F(t)| ≤ a2 + b2|t|, ∀t ∈ R, a2 + b2 > 0.

1 (cid:90)

Khi đó, toán tử F : L2[0, 1] → L2[0, 1] là toán tử đơn điệu và liên tục từ L2[0, 1] vào L2[0, 1]. Toán tử K cho bởi

0

Kx = k(t, s)x(s)ds

có tập giá trị là {y ∈ H2[0, 1], y(0) = y(1) = 0} và K∗ = K. Khi đó, bài toán (2.16) là bài toán đặt không chỉnh. Chúng ta giả sử rằng nghiệm x(t) của (2.16) được biểu thị bởi x = Kz. Do đó, để tìm x ta phải giải phương trình sau:

A(z) = f ,

với A = KFK là một toán tử đơn điệu và liên tục. Nếu F trơn thì A cũng trơn. Ở đây ta xét trường hợp F không trơn. Do đó ta có thể tìm xấp xỉ của F(t) bởi một dãy hàm trơn, đơn điệu Fh(t).

Giả sử F(t) có một xấp xỉ là Fh(t) thỏa mãn điều kiện kiểu (2.3). Đặt z∗ = 0. Giả sử rằng z ∈ R(K). Khi đó điều kiện (iii) của Định lý 2.2.3 được mô tả bởi công thức

h (Kz0)Kzh.

z0 = KF ∗

Nếu z0 = Ky0 với y0 ∈ R(K) thì điều kiện này thỏa mãn nếu tồn tại uh ∈

R(K) sao cho

h (x0)uh.

h (x0) là toán tử bức trong L2[0, 1] với

y0 = F (cid:48)∗

Bất đẳng thức cuối cùng thỏa mãn nếu F ∗ mọi h > 0. Ta sẽ chỉ ra ví dụ sau. • Cho

0,   t − t0 ≤ 0, F(t) =  c(t − t0), t − t0 > 0, c > 0.

36

Hiển nhiên, F là liên tục và đơn điệu. Nhưng nó không khả vi tại t = t0. Ta có thể xấp xỉ F(t) bới một dãy hàm khả vi, đơn điệu:

  Fh(t) =  t − t0 ≤ 0, 0, c(t − t0)1+h/(1 + h), t − t0 > 0.

Ta có

|Fh(t) − F(t)| ≤ c|t − t0|.

Xét với

x0(t) = (t/5 − t3/3 + t5/5 − t6/15)/24,

(cid:90) 1

và

0

f (t) = k(t, s)F(x0(s))ds.

Suy ra

x0(t) = (t − 2t3 + t4)/12

và

y0(t) = t(1 − t).

Nếu t0 < 0 hoặc t0 > 1, với 1 > x0(t) ≥ 0 ta có

(2.17) uh(t) = x0(t)/(c((x0)(t) − t0).

Nếu t ∈ (0, 1) thì biểu thức (2.17) xác định t với x0(t) (cid:54)= t0. Phương trình x0(t) = t0 có nghiệm thực hữu hạn. Trong trường hợp t0 = 0 hoặc t0 = 1 thì phương trình x0(t) = t0 có nghiệm đơn và h < 1 khi đó uh cũng xác định bởi (2.17). • Xét trường hợp

  c1(t − t0) + d, t − t0 ≤ 0, F(t) =  c2(t − t0) + d, t − t0 > 0,

ở đây

d ∈ R. c2 > c1 > 0,

37

Ta xấp xỉ F(t) bằng Fh(t) theo công thức sau

t /∈ (t0 − h,t0 + h),

Fh(t) =

 F(t),  d + c1(t − t0) + p(t − t0 + h)2 + q(t − t0 + h)3,  t ∈ (t0 − h,t0 + h)

Số p và q có thể tính toán được bởi điều kiện

Fh(t0 + h) = c2h + d

và

F (cid:48) h(t0 + h) = c2.

Với mọi h > 0 thì hàm Fh(t) là khả vi và đơn điệu. Hơn nữa

|Fh(t) − F(t)| ≤ ch.

Mặt khác,

hoặc   c1 c2, t /∈ (t0 − h,t0 + h), Fh(t) =  c1 + (c2 − c1)(t − t0 + h)/4h, t ∈ [t0 − h,t0 + h],

do đó điều kiện (2.17) thỏa mãn.

38

Kết luận

Đề tài luận văn đã trình bày một số vấn đề sau:

(1) Trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian Hilbert; giới thiệu về bài toán đặt không chỉnh và đưa ra ví dụ về phương trình toán tử đặt

không chỉnh;

(2) Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh phương trình toán

tử đặt không chỉnh với toán tử nhiễu có tính chất đơn điệu; trình bày sự hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp;

(3) Trình bày bài toán xấp xỉ hữu hạn chiều, nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ hội

tụ của nghiệm hiệu chỉnh đã được xấp xỉ hữu hạn chiều và ví dụ minh họa.

Việc phát triển các phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử đơn điệu, J-đơn điệu trong không gian Banach là hướng phát triển tiếp theo của đề tài này.

39

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB

Đại học Quốc gia Hà Nội.

[2] Nguyễn Bường (2001), Hiệu chỉnh bài toán phi tuyến bằng phương pháp

toán tử đơn điệu, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

[3] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia

Hà Nội.

Tiếng Anh

[4] Y. Alber and I. Ryazantseva (2006), Nonlinear ill-posed problems of

monotone type, Springer.

[5] Ng. Buong (1995), "Linear and strongly monotone operators in regular-

ization for ill-posed problem", Proc. of NCST Viet Nam, 7, 9–18.