ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
SOMVANG SISOUPHET
SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRONG
KHÔNG GIAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
SOMVANG SISOUPHET
SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT
TOÀN CỤC ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRONG
KHÔNG GIAN
Chuyên ngành: Giải Tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Thị Thủy
THÁI NGUYÊN - 2017
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là luận văn cao học của riêng tôi. Các tài liệu trong
luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình
nào khác.
Tác giả
Somvang Sisouphet
i
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Thị Thủy. Nhân dịp này em
xin cảm ơn Cô về sự hướng dẫn nhiệt tình và sự truyền thụ những kinh nghiệm
trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các
thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học
và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn gia đình cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện
giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy rất
mong được sự góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn
này được hoàn chỉnh hơn.
Thái Nguyên, tháng……năm 2017
Tác giả luận văn
Somvang Sisouphet
ii
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii
MỤC LỤC............................................................................................................ iii
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích của luận văn ..................................................................................... 2
3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 2
4. Bố cục của luận văn ......................................................................................... 2
Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................. 3
1.1. Một số khái niệm .......................................................................................... 3
1.2. Một số khái niệm xét tính chất của tập hút toàn cục .................................. 10
1.3. Một số bất đẳng thức thường dùng ............................................................. 16
Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC
ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH
TRONG KHÔNG GIAN
...................................................................... 18
2.1. Đặt bài toán ................................................................................................. 18
2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu ....................................................... 20
2.3 Sự tồn tại và tính trơn của tập hút toàn cục ................................................ 23
2.3.1 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong ............................................... 27
2.3.2 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong ............................................... 33
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 38
iii
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Các phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến xuất hiện nhiều trong
các quá trình của vật lí, hóa học và sinh học. Chẳng hạn các quá trình truyền
nhiệt và khuếch tán, quá trình truyền sóng trong cơ học chất lỏng, các phản ứng
hóa học, các mô hình quần thể trong sinh học… việc nghiên cứu những phương
trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ. Chính vì vậy nó
đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhà khoa học trên thế giới. Các vấn đề
đặt ra là nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán (sự tồn tại duy nhất nghiệm, sự
phụ thuộc liên tục của nghiệm theo dữ kiện đã cho) và các tính chất định tính của
nghiệm (tính trơn, dáng điệu tiệm cận của nghiệm,…).
Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, việc nghiên cứu dáng điệu
tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng là rất quan trọng vì nó cho phép ta
hiểu và dự đoán xu thế phát triển của hệ động lực trong tương lai, từ đó ta có thể
có những điều chỉnh thích hợp để đặt được kết quả mong muốn. Về mặt toán
học, điều này làm nảy sinh một hướng nghiên cứu mới, được phát triển mạnh mẽ
trong ba thập kỉ gần đây đó là lí thuyết các hệ động lực tiến hoá vô hạn chiều. Lí
thuyết này nằm ở giao của 3 chuyên ngành là lý thuyết hệ động lực, lý thuyết
phương trình vi phân đạo hàm riêng và lý thuyết phương trình vi phân thường.
Lí thuyết cơ bản của bài toán này là nghiên cứu sự tồn tại và tính chất cơ bản của
tập hút, chẳng hạn đánh giá số chiều fractal hoặc số chiều Hausdorff, sự phụ
thuộc liên tục của tập hút theo tham biến, tính trơn của tập hút. Tập hút toàn cục
cổ điển là một tập compact, bất biến, hút tất cả các quĩ đạo của hệ và chứa đựng
nhiều thông tin về dáng tiệm cận của hệ. Cụ thể với mỗi quĩ đạo cho trước của
hệ và một khoảng thời gian T tùy ý, ta đều tìm được một quỹ đạo nằm trên tập
hút toàn cục mà dáng điệu khi thời gian đủ lớn của hai qũy đạo này sai khác đủ
nhỏ trên một khoảng có độ dài T. Hơn nữa, trong nhiều trường hợp tập hút toàn
cục có số chiều fractal hữu hạn và khi đó ta có thể quy việc nghiên cứu dáng điệu
1
tiệm cận của một nghiệm bất kì về nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm
trên tập hút toàn cục, tức là qui việc nghiên cứu một hệ động lực vô hạn chiều về
nghiên cứu hệ động lực hữu hạn chiều trên tập hút toàn cục.
Với những lí do ở trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “ Sự tồn tại và tính trơn
của tập hút toàn cục đối với bài toán parabolic suy biến nửa tuyến tính trong
không gian ’’ làm nội dung nghiên cứu.
2. Mục đích của luận văn
Mục đích của luận văn là trình bày định lý về sự tồn tại và tính trơn của
tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi bài toán parabolic suy biến nửa tuyến
tính trong không gian .
3. Phương pháp nghiên cứu
Để chứng minh sự tồn tại tập hút và tính trơn của tập hút, chúng tôi sử
dụng các phương pháp của lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, nói riêng là phương
pháp đánh giá phần đuôi của nghiệm.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 38 trang trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi trình bày các
khái niệm về không gian hàm, toán tử được sử dụng trong Chương 2; kết quả
tổng quát về tập hút toàn cục, một số kiến thức bổ trợ khác.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Sự tồn tại và tính trơn của tập
hút toàn cục đối với bài toán parabolic suy biến nửa tuyến tính trong không gian
.
2
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, ta sẽ nhắc lại một số kiến thức quan trọng làm nền tảng
để nghiên cứu chương sau. Đó là các kiến thức về không gian hàm, kết quả tổng
quát về tập hút toàn cục và một số khái niệm xét tính chất của tập hút toàn cục.
Các nội dung trong chương được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo [4], [5], [6],
[7], [9].
1.1. Một số khái niệm
Định nghĩa 1.1.1. (không gian metric)
Cho là một tập khác rỗng, trên ta trang bị một hàm số
thỏa mãn các điều kiện sau
1)
2)
3)
Khi đó được gọi là một metric hay khoảng cách trên . Cặp gọi
là không gian metric. Mỗi phần tử của sẽ được gọi là một điểm, gọi là
khoảng cách giữa hai điểm và của .
Ta thường gọi điều kiện 1 là tiên đề đồng nhất, điều kiện 2 là tiên đề đối
xứng, điều kiện 3 là tiên đề tam giác.
Ví dụ: Một tập bất kỳ của đường thẳng , với khoảng cách thông thường
(độ dài đoạn nối và ), là một không gian metric.
Định nghĩa 1.1.2. (Không gian metric đầy đủ) Giả sử là một không gian
metric. Dãy các phần tử của được gọi là một dãy Cauchy (hay dãy cơ
bản) nếu
3
nghĩa là, với mọi , tồn tại một số , sao cho với mọi ta luôn có
Không gian metric gọi là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy các
phần tử của đều hội tụ.
là đủ: Thật vậy, nếu là một dãy
Ví dụ: không gian
cơ bản trong thì với mỗi dãy số
Vậy mỗi dãy số
có một giới hạn nào đó. Đặt ta sẽ có và vì
các tọa độ của hội tụ tới các tọa độ tướng ứng của nên
Định nghĩa 1.1.3. Một tập hợp E gọi là không gian tuyến tính định chuẩn trên
trường K (K là trường số thực hoặc phức) nếu:
i.) E là không gian tuyến tính trên trường K
ii.) Mỗi phần tử đặt tương ứng được với một số thực gọi là chuẩn của
u và kí hiệu là thỏa mãn các tiên đề:
Một không gian như vậy sẽ trở thành một không gian metric nếu đưa vào
khoảng cách giữa hai phần tử và :
4
Sự hội tụ của dãy các phần tử của E tới phần tử được xác
định như sau: khi , kí hiệu .
Định nghĩa 1.1.4. Một tập được gọi là trù mật khắp nơi trong E nếu với một
phần tử bất kì tồn tại một dãy sao cho .
Nếu trong E tồn tại một tập hợp đếm được trù mật khắp nơi thì không
gian E được gọi là khả vi.
Định nghĩa 1.1.5. Nếu đối với mỗi dãy bất kì thuộc không gian E, sao
cho khi , đều hội tụ trong E thì E được gọi là không
gian đầy.
Định nghĩa 1.1.6. Không gian tuyến tính định chuẩn đầy được gọi là không gian
Banach.
Định nghĩa 1.1.7. (Không gian Hilbert)
Cho không gian vectơ trên trường số hoặc . Một ánh xạ
từ vào , nếu nó thỏa được gọi là tích vô hướng trên
mãn các điều kiện sau:
, (a)
nếu (b)
(c)
(d)
Nếu là một tích vô hướng trên thì ánh xạ là một chuẩn
trên gọi là chuẩn sinh bởi của tích vô hướng.
5
Nếu là tích vô hướng trên thì cặp gọi là một không gian
tiền Hilbert (hay không gian Unita, không gian với tích vô hướng). Sự hội tụ.
khái niệm tập mở,…, trong luôn được gắn với chuẩn sinh bởi .
Nếu không gian định chuẩn tương ứng đầy đủ thì ta nói là không
gian Hilbert.
Vì một không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn, nên một khái
niệm và sự kiện về không gian định chuẩn đều áp dụng cho nó. Nói riêng một
không gian tiền Hilbert có thể đủ hay không đủ. Một không gian tiền Hilbert
đủ gọi là một không gian Hilbert.
Ví dụ: Không gian
chiều
với tích vô hướng xác định bởi:
trong đó
và
là
không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.1.8.
hàm khả tích Lebesgue bậc trên là không gian Banach bao gồm tất cả các với chuẩn được định nghĩa như sau:
Chú ý rằng là không gian Banach phản xạ khi
Định nghĩa 1.1.9. là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được
và bị chặn hầu khắp trên với chuẩn:
.
Định nghĩa 1.1.10. là không gian các hàm khả vi liên tục vô hạn trên
miền . Được xác định bằng
6
là không gian các hàm khả vi liên tục cấp vô hạn trên miền với giá
compact.
trong lân cận của biên
Định nghĩa 1.1.11. ( Đạo hàm suy rộng )
hàm gọi là đạo hàm suy rộng cấp của hàm .
Nếu với ). (
Nếu
:
Định nghĩa 1.1.12. (Không gian Sobolev)
là không gian bao gồm tất cả các hàm sao cho
tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp thuộc và được trang bị
chuẩn
(1.1)
ta kiểm tra được là một không gian Banach với và là không
gian Hilbert với . Không gian với chuẩn (1.1) được gọi là không
gian Sobolev.
7
Định nghĩa 1.1.13. Giả sử là hàm đo được Lebesgue, không âm và
thỏa mãn các điều kiện sau:
khi miền bị chặn,
và với lim với mọi
, và khi miền không bị chặn,
thỏa mãn điều kiện và lim với .
Khi đó ta định nghĩa không gian là bổ sung đủ của không gian
đối với chuẩn
là không gian Hilbert với tích vô hướng:
là không gian đối ngẫu của . Giả sử , và
Số mũ là số mũ tới hạn trong phép nhúng Sobolev liên quan đến không gian
Bổ đề 1.1.14. Giả sử rằng là miền bị chặn trên , và thỏa mãn
điều kiền . Khi đó:
(i) phép nhúng là liên tục; ↪
(ii) phép nhúng là compact nếu ↪
8
Bổ đề 1.1.15. Giả sử rằng là miền không bị chặn trên , và thỏa
mãn điều kiện Khi đó:
(i) phép nhúng ↪ là liên tục với mọi
(ii) phép nhúng . ↪ là compact nếu
Định nghĩa 1.1.16. Ta định nghĩa không gian Sobolev có trọng là bao
đóng của không gian với chuẩn
là một không gian Hilbert với tích vô hướng tương ứng là
Kết quả sau suy ra trực tiếp từ định nghĩa của không gian , và
phép nhúng khi thảo mãn ↪
là một miền bị chặn trong , và Mệnh đề 1.1.17. Giả sử thỏa
mãn . Khi đó phép nhúng là tiên tục. ↪
Chứng minh. Với bất kì hàm ta có
.
Mặt khác ta có
9
ở đó là hằng số vậy ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.1.18. là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm
liên tục từ vào với chuẩn
Mệnh đề 1.1.19. là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm
sao cho
1.2. Một số khái niệm xét tính chất của tập hút toàn cục
Giả sử là một không gian Banach, ta có các định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.2.1. Một nửa nhóm (liên tục) trên là một họ các ánh xạ
thỏa mãn:
là phép đồng nhất, (i)
(ii)
(iii) liên tục đối với
Định nghĩa 1.2.2. Tập được gọi là bất biến dương nếu
Tập được gọi là bất biến âm nếu
Tập được gọi là bất biến nếu
Định nghĩa 1.2.3. Nửa nhóm gọi là tiêu hao điểm (tiêu hao bị chặn) nếu
tồn tại một tập bị chặn hút các điểm (hút các tập bị chặn) của X.
10
Nếu là tiêu hao bị chặn thì tồn tại một tập sao cho với mọi tập bị
chặn , tồn tại sao cho như Tập
vậy gọi là một tập hấp thụ đối với nửa nhóm
Dễ thấy một nửa nhóm tiêu hao bị chặn thì tiêu hao điểm. Điều ngược lại
nói chung không đúng, nhưng nó đúng đối với các nửa nhóm trong không gian
hữu hạn chiều.
là một không gian Banach. Nửa nhóm Định nghĩa 1.2.4. Giả sử
gọi là có thể biểu diễn dưới dạng compact tiệm cận nếu với mọi
lllllllllllllllllll (1.2)
ở đó và thỏa mãn các tính chất sau:
1) Với bất kì tập bị chặn
khi ;
2) Với bất kì tập bị chặn trong tồn tại sao cho tập hợp
(1.3)
Là compact trong , ở đây là bao đóng của tập .
Một hệ động lực gọi là compact nếu nó là compact tiệm cận và ta có thể
lấy trong biểu diễn (1.2). Rõ ràng rằng bất kì hệ động lực tiêu hao hữu
hạn chiều nào cũng là compact.
Dễ dàng thấy rằng điều kiện (1.3) được thỏa mãn nếu tồn tại một tập
compact sao cho với bất kì tập bị chặn tồn tại sao cho trong
Nói riêng, một hệ tiêu hao là compact nếu nó có một
tập hấp thụ compact.
11
là compact tiệm cận nếu tồn tại một tập compact Bổ đề 1.2.5. Nửa nhóm
K sao cho
dist
với mọi tập B bị chặn trong X.
Chứng minh. Vì và , tồn tại phần tử là tập compact nên với mọi
sao cho
Do đó nếu đặt dễ thấy sự phân tích (1.2) thỏa mãn tất
cả các yêu cầu trong định nghĩa của tính compact tiệm cận.
Chú ý. Nếu là một không gian Banach lồi đều và nửa nhóm có
một tập hấp thụ bị chặn , thì ba điều kiện sau là tương đương:
i) Nửa nhóm là compact tiệm cận;
ii) Nửa nhóm thuộc lớp , tức là với mọi dãy bị chặn trong và
mọi dãy là compact tương đối trong
iii) Tồn tại một tập compact sao cho
Dist khi
Định nghĩa 1.2.6. Một tập con khác rỗng của gọi là một tập hút toàn cục
đối với nửa nhóm nếu:
là một tập đóng và bị chặn; 1)
là bất biến, tức là với mọi 2)
hút mọi tập con bị chặn của , tức là 3)
dist ,
12
ở đó dist là nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập con
E và F của X.
Các tính chất sau đây của tập hút toàn cục là hệ quả trực tiếp của định nghĩa.
. Khi đó: Mệnh đề 1.2.7. Giả sử có tập hút toàn cục
1) Nếu B là một tập con bị chặn bất biến của X thì (tính cực đại);
2) Nếu B là một tập con đóng hút các tập bị chặn của X thì (tính cực tiểu);
3) là duy nhất.
. Khi đó mọi quĩ đạo Định lí 1.2.8. Giả sử nửa nhóm có tập hút toàn cục
đầy đủ bị chặn (nói riêng là các điểm dừng và các quĩ đạo tuần hoàn, nếu có)
đều nằm trên . Hơn nữa, nếu là đơn ánh trên thì là hợp của tất cả
các quĩ đạo đầy đủ bị chặn.
có tập hút toàn cục . Cho trước Định lí 1.2.9. Giả sử hệ động lực
một quĩ đạo , một sai số và một khoảng thời gian
Khi đó tồn tại một thời điểm và một điểm sao cho
với mọi
Để xấp xỉ quĩ đạo đã chọn trong một khoảng thời gian dài hơn, ta phải dùng
nhiều quĩ đạo trên tập hút toàn cục . Mệnh đề sau đây là hệ quả trực tiếp của
Định lí 1.2.9.
Hệ quả 1.2.10. Cho trước một quĩ đạo tồn tại một dãy các sai số
với với khi một dãy tăng các thời điểm
và một dãy các điểm với sao cho
với mọi
Hơn nữa, bước nhảy dần tới 0 khi .
13
Định lí 1.2.11. Giả sử . là nửa nhóm liên tục trên không gian Banach
Giả sử là một tập hấp thụ bị chặn là tiêu hao và compact tiệm cận. Nếu
của là một tập compact khác rỗng và là tập hút toàn cục đối
với thì . Hơn nữa, tập hút toàn cục là liên thông trong .
Hệ quả 1.2.12. Nếu nửa nhóm là tiêu hao và là một tập hấp thụ compact
thì . Mệnh đề có một tập hút toàn cục compact liên thông
1.2.13. Giả sử là một nửa nhóm trên có một tập và giả sử
hấp thụ bị chặn trong và bất kì tập con bị chặn khi đó với bất kì
, tồn tại hai hằng số dương và
sao cho:
mes
với mọi và trong đó mes(e) kí hiểu độ đo Lebesgue của và
.
Định nghĩa 1.2.14. Giả sử X là một không gian Banach. Nửa nhóm
trên X được gọi là liên tục mạnh - yêu trên X nếu với bất kì
ta có trong X. và
Kết quả sau thường dùng để chứng minh một nửa nhóm là liên tục mạnh - yếu.
Bổ đề 1.2.15. Giả sử X,Y là hai không gian Banach và
là các không gian đối ngẫu tương ứng. Ta cũng giả sử rằng X là một không gian con trù mật
của , phép chiếu là là liên tục và liên hợp của nó
phép chiếu trù mật. Giả sử là một nửa nhóm trên tương ứng và
và giả sử . Khi đó là liên tục là liên tục hoặc liên tục yếu trên
14
mạnh - yếu trên biến các tập con compact của nếu và chỉ nếu
thành các tập con bị chặn của
Định nghĩa 1.2.16. Nửa nhóm được gọi là thỏa mãn điều kiện trong
nếu và chỉ nếu với bất kì tập bị chặn của và bất kì , tồn tại một
hằng số dương và một không gian con hữu hạn chiều của , sao cho
bị chặn và tập
với bất kì và ,
trong đó là phép chiếu tắc.
Các định lí sau thường dùng để chứng minh tính trơn của tập hút toàn cục,
tức là chứng minh sự tồn tại của tập hút toàn cục trong các không gian “trơn
hơn” không gian chứa điều kiện ban đầu.
Định lí 1.2.17. Giả sử là một nửa nhóm liên tục mạnh-yếu trên ,
liên tục hoặc liên tục yếu trên và có một tập hút toàn cục trong với
. Khi đó có tập hút toàn cục trong nếu và chỉ nếu:
(i) có một tập hấp thụ bị chặn trong ;
(ii) với bất kì và bất kì một tập con bị chặn B của , tồn tại các hằng
số dương và sao cho
, (1.4)
với bất kì và .
15
Định lí 1.2.18. Giả sử X là không gian Banach và là một nửa nhóm liên
tục mạnh - yếu trên X . Khi đó có một tập hút toàn cục trong nếu các
điều kiện sau thỏa mãn:
có một tập hấp thụ bị chặn trong X, (i)
(ii) thỏa mãn điều kiện (C) trong X,
Bổ đề 1.2.19. Giả sử , trong đó ↪ ↪ là ba không gian Banach
với là phản xạ và phép nhúng trong là dãy bị là compact. Giả sử
chặn trong và bị chặn trong p>1. Khi đó tồn tại
một dãy con của hội tụ mạnh trong
là dãy trong thỏa mãn: Bổ đề 1.2.20. Giả sử là tập mở bị chặn trong
Nếu và h.k.n trong thì trong .
1.3. Một số bất đẳng thức thường dùng
Bổ đề 1.3.1. (Bất đẳng thức Holder)
Giả sử là một miền trong Nếu và là hai số liên hợp, tức là
và thì với mọi , và
. Bổ
16
đề 1.3.2. (Bất đẳng thức Young) Cho và là hai số liên hợp. Khi
đó:
Đặc biệt, nếu thì ta có bất đẳng thức Cauchy
Bổ đề 1.3.3. (Bất đẳng thức Gronwall)
Giả sử là một hàm liên tục tuyệt đối trên và thỏa mãn
với hầu khắp
trong đó và là các hàm khả tích trên . Khi đó
với ở đó
.
Nói riêng, nếu là các hằng số và và
, thì
Bổ đề 1.3.4. (Bất đẳng thức Gronwall đều)
Nếu là ba hàm dương thỏa mãn ,
trong đó
.
Khi đó
.
17
Chương 2
SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI
BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH
TRONG KHÔNG GIAN
Trong Chương này, chúng tôi trình bày bài toán trên không gian ,
Khi đó các phép nhúng không còn compact, do đó không còn là
nửa nhóm compact nữa và điều đó gây ra những khó khăn lớn khi nghiên cứu.
trong chương này chúng tôi trình bày định lý về sự tồn tại của tập hút toàn cục
của nửa nhóm sinh bởi bài toán trong các không gian . Các nội
dung trong chương được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [8], [10],
[11].
2.1. Đặt bài toán
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán parabolic suy biến sau
trên không gian ,
(2.1)
trong đó . Để nghiên cứu Bài toán (2.1), ta giả sử các điều
kiện sau:
là hàm liên tục thỏa mãn
(2.2)
(2.3)
(2.4)
trong đó là các hằng số dương, và
18
là các hàm không âm. Kí hiệu với
khi đó ta giả sử F thỏa mãn:
(2.5)
trong đó là các hằng số dương, và là các hàm
không âm;
là hàm đo được không âm thỏa mãn , và với mọi
inf với mọi và thỏa mãn một trong hai điều kiện
sau:
i) tồn tại sao cho ;
ii) tồn tại sao cho trong đó
cho ở điều kiện (F);
trong Chú ý rằng hạn chế về dáng điệu tại vô cùng của
điều kiện (xem Chương 1) được thay thế bằng tính khả tích địa phương
bậc cao hơn của . Ví dụ đơn giản của hàm thỏa mãn điều kiện nhưng
không thỏa mãn là (trường hợp không suy biến) hoặc
. với
Bây giờ ta định nghĩa các không gian Sobolev có trọng liên quan đến bài toán.
Giả sử , ta định nghĩa không gian là bổ sung đủ của đối
với chuẩn
19
Chú ý rằng trong trường hợp compact, tức là hoặc được thỏa mãn,
do . Từ đây các không gian năng lượng ↪
tự nhiên đối với Bài toán (2.1) là không gian và đối ngẫu của nó là
.
Mục đích chính của chương này là chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục trong
không gian đối với nửa nhóm sinh bởi Bài toán (2.1).
2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu
Ta định nghĩa nghiệm yếu của Bài toán (2.1).
được gọi là một nghiệm Định nghĩa 2.2.1. Hàm
yếu của Bài toán (2.1) trên nếu
và thỏa mãn:
, (2.6)
với mọi hàm thử
Định lí 2.2.2. Giả sử các điều kiện - - được thỏa mãn. Khi đó, Bài
toán (2.1) có duy nhất một nghiệm yếu u trên (0,T) với mọi và
Hơn nữa, ánh xạ là liên tục trên
Chứng minh. Ta chứng minh tương tự như Định lí 2.2.3 trong [2], chỉ khác
phần qua giới hạn của số hạng phi tuyến vì ở đây ta không thể dùng Bổ
20
đề compact Aubin-Lions như trong trường hợp miền bị chặn. với mỗi ta
kí hiệu
Trong đó là kí hiệu của chuẩn Euclid trong . Với mỗi số nguyên
ta kí hiệu
là nghiệm của bài toán
trong đó là cơ sở Hilbert trong
sao cho span là trù mật trong .
Tương tự chứng minh Định lí 2.2.3 trong [2], ta có:
bị chặn trong
(2.7)
bị chặn trong với mọi .
Khi đó, tồn tại một dãy con sao cho
trong ,
trong
trong (2.8)
trong (2.9)
21
với mọi Do đó, (2.8) thỏa mãn
-div -div in
Ta sẽ chứng minh tương tự như trong [8] Lí luận như ở
[8,tr.75] ta thu được
với mọi (2.10)
Giả sử là hàm thỏa mãn
Với mỗi và ta định nghĩa
, (2.11)
Ta thu được từ (2.7), với mọi là bị chặn trong dãy
với mọi
hơn nữa, ta có
Mặt khác, từ (2.10) ta có với mọi
.
Hơn nữa, do là tập bị chặn nên nhúng compact vào
Khi đó, do Bổ đề compact trong [10], ta có
là compact tương đối trong
22
và do đó, với mọi , ta có với mọi
(2.12) là tiền compact trong
Do đó, từ (2.12) và (2.8) tồn tại một dãy con sao cho
in khi ,
Khi đó, do là liên tục,
hầu khắp trong ,
và do là bị chặn trên , từ Bổ đề 2.5.2 trong [2], ta có
. trong
Từ tính duy nhất của giới hạn, ta có
hầu khắp trong và vì vậy, từ
, ta có
hầu khắp trong . (2.13)
Khi đó, từ (2.13) và (2.9) ta có
trong (2.14)
Do đó, u là nghiệm yếu của Bài toán (2.1). Tính duy nhất và phụ thuộc liên
tục của nghiệm vào điều kiện ban đầu được chứng minh.
2.3 Sự tồn tại và tính trơn của tập hút toàn cục
Từ Định lí 2.2.2, ta có thể định nghĩa nửa nhóm
,
trong đó là nghiệm yếu duy nhất của Bài toán (2.1) với điều kiện
ban đầu là .
Ta chứng minh sự tồn tại tập hấp thụ của trong .
23
Bổ đề 2.3.1. Giả sử các điều kiện được thỏa mãn. Khi đó nửa
nhóm sinh bởi Bài toán (2.1) có một tập hấp thụ bị chặn trong
, sao cho với mọi
, nghĩa là, tồn tại một hằng số dương
tập con bị chặn B trong , tồn tại số , sao cho với mọi
, , ta có:
.
Chứng minh. Nhân vô hướng phương trình đầu tiên của (2.1) với trong
ta có
(2.15)
Từ (2.2), ta có
. (2.16)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế phải của (2.15) ta có
. (2.17)
Từ (2.15),(2.16)-(2.17) ta thu được
(2.18)
Do đó, ta có:
(2.19)
Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta thu được
. (2.20)
Từ (2.20) suy ra sự tồn tại của tập hấp thụ bị chặn trong : Tồn tại một hằng
số và thời điểm sao cho nghiệm , thỏa mãn
24
với mọi .
Lấy tích phân (2.18) trên (t, t+1), , và từ (2.5), ta có
. (2.21)
Nhân (2.1) với và lấy tích phân trên , ta có
(2.22)
Do đó,
(2.23)
Kết hợp (2.21), (2.23), và sử dụng bất đẳng thức Gronwall đều, ta có
(2.24)
Sử dụng (2.5), ta có điều phải chứng minh.
Ta chứng minh ước lượng đạo hàm của nghiệm.
Bổ đề 2.3.2. Giả sử các điều kiện được thỏa mãn. Khi đó với
mọi tập bị chặn B trong tồn tại một hằng số sao cho,
với mọi và
25
và trong đó là hằng số dương không phụ thuộc vào B.
Chứng minh. Đạo hàm phương trình đầu tiên của (2.1) theo thời gian và kí
hiệu , ta có
.
Nhân vô hướng đẳng thức trên với trong , ta có
. (2.25)
Sử dụng (2.4), từ (2.25) ta có
. (2.26)
Mặt khác, lấy tích phân (2.22) từ tới và từ (2.24), ta có
. (2.27)
Với đủ lớn. kết hợp (2.26) với (2.27), và sử dụng bất đẳng thức Gronwall đều
ta có
.
Định lí được chứng minh.
Bổ đề 2.3.3. Giả sử các điều kiện
nhóm có một tập hấp thụ bị chặn trong được thỏa mãn. Khi đó nửa nghĩa là, tồn tại
một hằng số , sao cho với mọi tập con bị chặn tồn tại
sao cho
, . với mọi
Chứng minh. Lấy là hàm thử, ta có
26
Do đó, từ (2.2) và bất đẳng thức Cauchy, ta có
.
Dùng bất đẳng thức Cauchy lần nữa, ta có
Do đó, từ Bổ đề 2.3.2, tồn tại sao cho
với mọi
trong đó chỉ phụ thuộc vào .
2.3.1 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong
Bổ đề 2.3.4. Giả sử các điều kiện được thỏa mãn. Khi đó với
mọi và mọi tập con bị chặn , tồn tại và
và sao cho với mọi
trong đó là nghiệm yếu của Bài toán (2.1) với điều kiện ban đầu
Chứng minh. Ta sử dụng kĩ thuật hàm cắt để chứng minh các ước lượng đuôi
của nghiệm. Giả sử và là một hàm trơn thỏa mãn với
với với .
Khi đó tồn tại hằng số C sao cho với mọi . Nhân vô hướng
27
(2.1) với trong , ta có
(2.28)
Đối với vế phải của (2.28) ta có
. (2.29)
Ta lại có
(2.30)
Đối với số hạng thứ hai của vế trái trong (2.28), ta có
. (2.31)
28
Từ (2.28) - (2.31) ta có
(2.32)
Ta lại có
(2.33)
trong đó C không phụ thuộc vào . Ta chỉ còn đánh giá
Trường hợp1: thỏa mãn điều kiện i) trong . Ta có với mọi ,
Do đó, từ Bổ đề 2.3.2, ta có với mọi và ,
(2.34)
29
.
Trường hợp2: thỏa mãn điều kiện ii) trong .
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:
(2.35)
Do đó, từ Bổ đề 2.3.3, ta có với mọi và ,
. (2.36)
Từ (2.32), (2.34), và (2.36) ta có
(2.37)
Nhân (2.37) với và lấy tích phân trên , ta thu được
30
(2.38)
Chú ý rằng với cho trước, tồn tại sao cho với mọi
(2.39)
Từ tồn tại sao cho với mọi
(2.40)
Mặt khác, từ tồn tại sao cho với mọi
(2.41)
Đối với số hạng cuối của vế phải trong (2.38), từ Bổ đề 2.3.1 tồn tại
sao cho với mọi
Do đó, tồn tại sao cho với mọi và ,
. (2.42)
khi đó từ (2.38)-(2.42), với mọi và ta có Lấy
31
Với mọi và
.
Bổ đề được chứng minh.
Bây giờ ta chứng minh tính compact tiệm của trong .
Bổ đề 2.3.5. Giả sử các điều kiện được thỏa mãn. Khi đó
là compact tiệm cận trong , nghĩa là, với mọi dãy bị chặn
và mọi dãy có một dãy compact
hội tụ trong .
Chứng minh. Ta dùng các đánh giá đuôi của nghiệm để chứng minh tính
compact tiệm cận của nghĩa là chứng minh với mọi
dãy có một phủ hữu hạn bao gồm các hình cầu có bán kính nhỏ hơn
. Lấy cho trước, kí hiệu
and .
Khi đó từ Bổ đề 2.3.4, với mọi cho trước, tồn tại và
sao cho với
Từ sao cho với mọi và do đó tồn tại
ta có, với mọi ,
. (2.43)
32
Giả sử là hàm thỏa mãn với bất kì và
với với
Đặt khi đó thuộc . Từ Bổ đề 2.3.1,
tồn tại và sao cho với mọi ,
(2.44)
Do phép nhúng là compact (xem ↪
Bổ đề 1.1.15), dãy là tiền compact trong Nói riêng, dãy
là tiền compact trong Do đó, với mọi cho trước,
có một phủ hữu hạn trong các hình cầu có bán kính nhỏ hơn
, cùng với (2.43) ta có có một phủ trong các hình cầu có bán
kính nhỏ hơn , và vì vậy là tiền compact trong .
Ta chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm trong .
Định lí 2.3.6. Giả sử các điều kiện được thỏa mãn. Khi đó nửa
nhóm sinh bởi Bài toán (2.1) có một tập hút toàn cục trong .
Chứng minh. Kí hiệu:
trong đó là hằng số dương trong chứng minh của Bổ đề 2.3.1. khi đó B là tập
hấp thụ bị chặn của . Hơn nữa, là compact tiệm cận trong
trong do Bổ đề 2.3.5. Vì vậy, ta có sự tồn tại tập hút toàn cục của
trong .
2.3.2 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong
33
Trước tiên, từ Bổ đề 2.3.1, ta có biến các tập compact trong
thành các tập bị chặn trong . Do đó,
từ Bổ đề 1.2.15 ta có là liên tục mạnh - yếu trong .
Để chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục trong ta sử dụng bổ đề
sau mà việc chứng minh hoàn toàn tương tự như Định lí 5.5 trong [11].
là nửa nhóm liên tục mạnh - yếu trên , liên Bổ đề 2.3.7. Giả sử
tục hoặc liên tục yếu trên , và có một tập hút toàn cục trên . Khi
đó có một tập hút toàn cục trên nếu và chỉ nếu
có một tập hấp thụ bị chặn trên ;
với mọi , tồn tại các hằng số và mọi tập con bị chặn B của
dương và sao cho
(2.45)
với mọi và
Định lí 2.3.8. Giả sử các điều kiện được thỏa mãn. Khi đó nửa
nhóm sinh bởi Bài toán (2.1) có một tập hút toàn cục trong
Chứng minh. Ta chỉ cần chỉ ra rằng thỏa mãn điều kiện (ii) trong
Bổ đề 2.3.7. Lấy M đủ lớn sao cho trong
và kí hiệu
34
trước tiên, với cho trước, tồn tại sao cho với mọi với
ta có
(2.46)
ta có Trong
(2.47)
(2.48) Và
Nhân phương trình đầu tiên của (2.1) với và từ (2.47), (2.48), ta có
.
Do đó
Từ bất đẳng thức Gronwall, ta có với mọi và
(2.49)
Tương tự như trên, thay bằng , trong đó
35
Ta có tồn tại và sao cho với mọi và mọi , ta
thu được
(2.50)
Lấy và ta có
với và .
Từ (2.49) và (2.50), ta có
.
Định lí được chứng minh.
36
KẾT LUẬN
Trong luận văn này chúng tôi đã trình bày một số kiến thức về các không
gian đặc biệt, tập hút toàn cục và một số phương pháp chứng minh sự tồn tại
nghiệm của bài toán parabolic. Trong chương 2 đã xét bài toán (2.1) và trình bày
được sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu, sự tồn tại và tính trơn của tập hút
toàn cục, sự tồn tại tập hút toàn cục trong và sự toàn tại tập hút toàn cục
trong .
Bên cạnh các kết quả đã đặt được trong luận văn, một số vấn đề mở liên
quan cần được trình bày tiếp là: Trình bày các tính chất của tập hút trong trường
hợp phương trình không duy nhất nghiệm, chẳng hạn tính trơn và đánh giá số
chiều fractal. Đây là vấn đề khó và đòi hỏi cách tiếp cận hoàn toàn mới so với
trường hợp duy nhất nghiệm.
37
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Anh C.T. , Binh N.D. and Thuy L.T. (2010), “On the global attac-tors for
a class of semilinear degenerate parabolic,equations”, Anh. Pol. Math. 98,
No I. 71-89.
[2] Anh C.T. and Thuy L.T. (2012), “Notes on global attractors for a class of
semilinear degenerate parabolic equations on ”, Bull. Pol. Acad. Math.
[3] Anh C.T. (2010), “Pullback attractors for non-autonomous parabolic
equations involving Grushin operators”, Electron. J. Differential Equa-
tions, No. 11, 14 pp.
[4] Caldiroli P.C and Musina R. (2000), “On a variational degenerate elliptic
problem”, Nonlinear Diff. Equ. Appl. 7, 187-199.
[5] Hoàng Tụy (2005), “Hàm thực và giải tích hàm (giải tích hiện đại)”, NXB
Đại học quốc gia Hà Nội.
[6] Lions J.-L. (1969), “Quelques Mesthodes de Resssolution des Problemes
aux Limites Non Lineaires” , Dunod, Paris.
[7] Robinson J.C. (2001), “Infinite-Dimensional Dynamical Systems”, Cam-
bridge University Press.
[8] Rosa R. (1998), “The global attractor for the 2D Navier-Stokes flow on
some unbounded domains”, Nonlinear Anal. 32, 71-85.
[9] Temam R. (1997), “Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanic
and Physics”, 2nd edition, Springer-Verlag.
[10] Temam R. (1995), “Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional
Analysis”, 2nd edtion, Philadelphia.
[11] Zhong C.K., Yang M.H. and Sun C. (2006), “The existence of global
attarctors for the norm-to-weak continuous semigroup and application to
the nonlinear reaction-diffusion equations”, J. Differential Equations, 15,
367-399.
38
