Luận văn Thạc sĩ Toán học: Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------

Quản Thị Hoài Thu

TRƯỜNG GIÁ TRỊ CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG PHỨC

BẤT KHẢ QUY CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2020

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------

Quản Thị Hoài Thu

TRƯỜNG GIÁ TRỊ CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG PHỨC

BẤT KHẢ QUY CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 8 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. Phạm Hữu Tiệp

PGS. TS. Đoàn Trung Cường

Hà Nội – 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi của

bản thân dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy Phạm Hữu Tiệp và thầy Đoàn

Trung Cường. Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu

có đều được trích dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ

tại bất kì một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công

bố trên bất kì một phương tiện nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam

đoan.

Hà Nội, tháng 12 năm 2020

Học viên

Quản Thị Hoài Thu

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất của mình đến GS. TSKH.

Phạm Hữu Tiệp và PGS. TS. Đoàn Trung Cường. GS. TSKH. Phạm Hữu Tiệp

là người hướng dẫn tôi tìm ra hướng nghiên cứu, thầy đã dành rất nhiều thời

gian quý báu của mình để hướng dẫn và giảng giải cho tôi. Đồng thời, PGS.

TS. Đoàn Trung Cường là người trực tiếp trao đổi, dẫn dắt và theo sát tôi, thầy

luôn quan tâm và động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Luận văn này

được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của các thầy trong suốt một thời

gian dài.

Hơn nữa, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô thuộc phòng Đại số và lý

thuyết số, Viện Toán học vì những sự góp ý và tạo điều kiện để tôi hoàn thành

luận văn. Đặc biệt, tôi xin cảm ơn PGS. TS. Nguyễn Duy Tân vì những sự giúp

đỡ và chỉ dẫn quý báu của thầy.

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi của cơ

sở đào tạo là Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và

Công nghệ Việt Nam trong quá trình thực hiện luận văn.

Lời cảm ơn cuối cùng tôi xin được gửi đến gia đình, người thân và bạn bè đã

luôn sát cánh, động viên và khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên

cứu.

Hà Nội, tháng 12 năm 2020

Học viên

Quản Thị Hoài Thu

Mục lục

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Mở đầu 5

1 Kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Các biểu diễn và đặc trưng của một nhóm . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Đặc trưng hạn chế và đặc trưng cảm sinh . . . . . . . . . . . . . 17

2 Bảng đặc trưng của một số nhóm hữu hạn 25

2.1 Nhóm tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1. Bảng đặc trưng của nhóm GL(2, q) . . . . . . . . . . . . 27

2.1.2. Bảng đặc trưng của nhóm GL(3, q) . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Nhóm tuyến tính đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.1. Bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q) . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.2. Bảng đặc trưng của nhóm SL(3, q) . . . . . . . . . . . . . 48

3 Trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ 53

3.1 Trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ . . . . . . . . 53

3.2 Chứng minh của Định lý 3.1.8 đối với nhóm tuyến tính đặc biệt . 63

3.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

79 Kết luận

80 Tài liệu tham khảo

DANH MỤC CÁC BẢNG

Số hiệu bảng Tên bảng Trang

2.1 Bảng các lớp liên hợp của GL(2, q) 30

2.2 33 Bảng các lớp liên hợp của P(1,1)

2.3 Bảng đặc trưng của nhóm GL(2, q) 35

2.4 Bảng các lớp liên hợp của GL(3, q) 36

2.5 Bảng đặc trưng của nhóm GL(3, q) 41

2.6 Bảng các lớp liên hợp của SL(2, q), q lẻ 45

2.7 Các đặc trưng của GL(2, q) khi hạn chế 45

xuống SL(2, q)

2.8 Bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q), q lẻ 47

2.9 Bảng các lớp liên hợp của SL(2, q), q 48

chẵn

2.10 Bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q), q 48

chẵn

2.11 Bảng các lớp liên hợp của SL(3, q) 49

2.12 Bảng đặc trưng của nhóm SL(3, q) 51

3.1 Bảng đặc trưng của nhóm GL(2, 4) 76

MỞ ĐẦU

Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn là một lĩnh vực trong Đại số có liên hệ

sâu sắc với nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học. Cho V là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên trường F, biểu diễn của một nhóm G là một đồng cấu

nhóm từ G vào nhóm các tự đẳng cấu của V . Nếu ta cố định một cơ sở của V thì mỗi tự đẳng cấu trên V tương ứng với một ma trận khả nghịch lấy hệ số trên F,

hay ta có tương ứng mỗi phần tử của G với một ma trận khả nghịch. Đặc trưng

của một nhóm được định nghĩa là một ánh xạ tương ứng mỗi phần tử của G với vết của ma trận khả nghịch đó. Nếu ta xét F là trường số phức C thì giá trị của các đặc trưng này nằm trong vành các số nguyên đại số của C. Trường giá trị của một đặc trưng là một mở rộng trên Q bởi các giá trị của đặc trưng. Cho tới

bây giờ, còn rất nhiều bài toán và câu hỏi hấp dẫn liên quan đến các đặc trưng

của một nhóm.

Đối với luận văn này, chúng tôi hướng tới việc tìm hiểu một số tính chất của

trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ của một nhóm hữu hạn. Trước

tiên chúng tôi nghiên cứu cách xây dựng bảng đặc trưng của một số nhóm hữu

hạn như: các nhóm tuyến tính tổng quát GL(2, q), GL(3, q) và các nhóm tuyến

tính đặc biệt SL(2, q), SL(3, q). Tiếp theo chúng tôi tập trung tìm hiểu một số

kết quả về trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ của một nhóm

hữu hạn được công bố trong bài báo "I.M. Isaacs, M.W. Liebeck, G. Navarro,

P.H. Tiep, Fields of values of odd-degree irreducible characters, Advances in

Mathematics 354 (2019), 1-26", đưa ra một số ví dụ tính toán trường giá trị của

các đặc trưng bất khả quy, dựa trên bảng đặc trưng của một số nhóm được tìm

hiểu.

Nội dung của luận văn gồm này gồm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của biểu diễn và

đặc trưng của nhóm hữu hạn để chuẩn bị cho các chương tiếp theo. Một số định

lý quan trọng trong chương này là Định lý Clifford (Định lý 1.2.3) và Định lý

thuận nghịch Frobenius (Định lý 1.2.11) nói về mối quan hệ giữa đặc trưng của

một nhóm với các nhóm con của nó.

Chương 2: Bảng đặc trưng của một số nhóm hữu hạn.

Chương này gồm 2 mục lớn, trình bày cách xây dựng bảng đặc trưng của một

số nhóm hữu hạn. Trong mục thứ nhất, chúng tôi trình bày cách xây dựng bảng

đặc trưng của các nhóm tuyến tính tổng quát: nhóm GL(2, q), nhóm GL(3, q).

Bảng đặc trưng của các nhóm này được xây dựng chủ yếu dựa trên các đặc trưng

cảm sinh từ nhóm con và được dựa theo các kết quả của R. Steinberg. Ở mục

thứ hai, chúng tôi trình bày cách xây dựng bảng đặc trưng của các nhóm tuyến

tính đặc biệt: nhóm SL(2, q), nhóm SL(3, q). Bảng đặc trưng của các nhóm này

được xây dựng chủ yếu dựa trên các đặc trưng hạn chế từ các nhóm GL(2, q),

GL(3, q) và được dựa theo các kết quả của Simpson-Frame.

Chương 3: Trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ.

Trong chương này, chúng tôi tập trung tìm hiểu một số tính chất của trường giá

trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ được nghiên cứu bởi nhóm các nhà Toán

học Isaacs-Liebeck-Navarro-Tiệp. Một trong những kết quả độc đáo về trường

giá trị của các đặc trưng này là Định lý 3.1.4. Ở mục thứ hai, chúng tôi trình bày

chứng minh của Định lý 3.1.8, chỉ xét đối với nhóm tuyến tính đặc biệt. Định lý

3.1.8 cho ta một kết quả quan trọng, là một công cụ được sử dụng trong chứng

minh của Định lý 3.1.4. Trong mục thứ ba, chúng tôi đưa ra một số ví dụ tính

toán trường giá trị của đặc trưng bất khả quy, dựa trên các nhóm đã được tìm

hiểu.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày ngắn gọn một số kiến thức cơ bản về

biểu diễn và đặc trưng của nhóm hữu hạn, các kết quả chính như Bổ đề Schur,

Định lý Clifford và Định lý thuận nghịch Frobenius. Các kiến thức này được sử

dụng cho các chương tiếp theo và được tham khảo theo các tài liệu [1], [2].

Trong luận văn này, ta luôn ký hiệu G là một nhóm hữu hạn.

1.1 Các biểu diễn và đặc trưng của một nhóm

Ký hiệu GL(n, F) là nhóm các ma trận khả nghịch cỡ n × n lấy hệ số trên một trường F. Nếu F là trường hữu hạn chứa q phần tử thì GL(n, F) được ký

hiệu là GL(n, q).

Định nghĩa 1.1.1. Một biểu diễn của nhóm G trên F là một đồng cấu nhóm ρ từ G vào nhóm GL(n, F) với số nguyên n > 1. Số n được gọi là bậc của ρ.

Ví dụ 1.1.2.

1. Cho G là nhóm hữu hạn bất kỳ, đồng cấu nhóm ρ : G → C, g (cid:55)→ 1 là một biểu diễn bậc 1 của nhóm G. Biểu diễn này còn được gọi

là biểu diễn tầm thường của G.

2. Nhóm D8 = (cid:10)a, b | a4 = b2 = 1, b−1ab = a−1(cid:11) có một biểu diễn bậc hai

là ρ : D8 → GL(2, C) thỏa mãn

  

0

1

0 ρ(a) =

    , ρ(b) =  1     .

−1 0

0 −1

Định nghĩa 1.1.3. Cho V là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên F. Khi đó V được gọi là một FG-môđun nếu trên V có một phép nhân G × V →

V, (g, v) (cid:55)→ vg thỏa mãn các điều kiện sau

(1) vg ∈ V ,

(2) v(gh) = (vg)h,

(3) v1 = v,

(4) (λv)g = λ(vg),

(5) (u + v)g = ug + vg.

Trong đó, u, v ∈ V , g, h ∈ G và λ ∈ F.

Ví dụ 1.1.4. 1. Giả sử V là C-không gian véctơ 1 chiều và G là nhóm hữu

hạn bất kỳ. Trên V ta định nghĩa phép nhân

vg := v

với mọi v ∈ V, g ∈ G. V cùng với phép nhân định nghĩa như trên lập thành một CG-môđun.

2. Cho V là C-không gian véctơ 2 chiều với một cơ sở {v1, v2} và nhóm D8 = (cid:10)a, b | a4 = b2 = 1, b−1ab = a−1(cid:11). Trên V định nghĩa phép nhân

v1a := v2, v2a := −v1;

v1b := v1, v2b := −v2.

V cùng với phép nhân định nghĩa như trên lập thành một CD8-môđun.

Từ định nghĩa của FG-môđun, nếu ta xét một ánh xạ trên V xác định bởi

ϕg : v (cid:55)→ vg thì ϕg là một ánh xạ tuyến tính trên V . Khi đó, cố định một cơ sở B của V , ϕg có ma trận biểu diễn tương ứng là ma trận vuông lấy hệ số trên F, ma trận này ta đặt là [g]B. Khi đó, ánh xạ g (cid:55)→ [g]B cũng là một biểu diễn của

nhóm G.

Định nghĩa 1.1.5. Cho V là một FG-môđun. Một không gian véctơ con W của V được gọi là một FG-môđun con của V nếu wg ∈ W với mọi w ∈ W và

g ∈ G.

Định nghĩa 1.1.6. Một FG-môđun V được gọi là bất khả quy nếu V (cid:54)= 0 và V

không có bất kỳ môđun con nào khác ngoại trừ 0 và chính nó.

Nếu FG-môđun V có ít nhất một FG-môđun con khác 0 và khác chính nó

thì V được gọi là khả quy.

Ví dụ 1.1.7. Cho nhóm xyclic C3 = (cid:10)a | a3 = 1(cid:11). Giả sử V là một F-không gian véctơ 3 chiều với một cơ sở {v1, v2, v3}. Xét phép nhân trên V được cho

bởi

v1a = v2, v2a = v3, v3a = v1.

V cùng với phép nhân định nghĩa như trên lập thành một FC3-môđun. V có một FC3-môđun con W sinh bởi v1 + v2 + v3. Hơn nữa, W còn là FC3-môđun bất khả quy vì W có chiều bằng 1.

Định lý 1.1.8 (Định lý Maschke). [2, Định lý 8.1] Cho F = R hoặc C và V là một FG-môđun. Nếu U là một FG-môđun con của V thì tồn tại một FG-môđun

con W của V sao cho V = U ⊕ W .

Định lý Maschke nói chung là không đúng nếu F là trường có đặc số p. Thật vậy, cho nhóm xyclic G = Cp = (cid:104)a | ap = 1(cid:105) và Fp là trường hữu hạn gồm p phần tử. Xét FpG-môđun V với một cơ sở {v1, v2} và

v1aj = v1, v2aj = jv1 + v2,

trong đó 0 ≤ j ≤ p − 1. Rõ ràng, U = (cid:104)v1(cid:105) là một FpG-môđun con của V . Giả sử tồn tại một FpG-môđun con 1 chiều W của V sao cho V = U ⊕ W , giả sử W = (cid:104)λ1v1 + λ2v2(cid:105). Khi đó (λ1v1 + λ2v2)aj = k(λ1v1 + λ2v2) với k ∈ F× p . Mặt khác,

(λ1v1 + λ2v2)aj = (λ1 + λ2j)v1 + λ2v2.

Do đó, kλ2 = λ2 và (k − 1)λ1 − λ2j = 0. Ta suy ra λ2 = 0 hay U = W (mâu

thuẫn).

Nhờ định lý Maschke, một CG-môđun V bất kỳ đều có thể viết được thành

tổng trực tiếp của các CG-môđun con bất khả quy

V = U1 ⊕ U2 ⊕ . . . ⊕ Ur,

trong đó các Ui là các CG-môđun con bất khả quy của V .

Bổ đề Schur cho ta một số kết quả về biểu diễn của nhóm giao hoán.

Bổ đề 1.1.9 (Bổ đề Schur). [2, Bổ đề 9.1] Cho V và W là hai CG-môđun bất

khả quy.

(1) Nếu ϕ : V → W là một CG-đồng cấu thì hoặc ϕ là một CG-đẳng cấu

hoặc ϕ(v) = 0 với mọi v ∈ V .

(2) Nếu ϕ : V → V là một CG-đẳng cấu thì ϕ = λ1V với λ ∈ C nào đó.

Một kết quả quan trọng nhờ Bổ đề Schur được phát biểu như sau.

Mệnh đề 1.1.10. [2, Mệnh đề 9.5] Mọi biểu diễn bất khả quy của nhóm giao

hoán G đều có bậc 1.

Ví dụ 1.1.11. Cho nhóm giao hoán G = Cn1 × Cn2 với Cni, i = 1, 2, là các nhóm xyclic cấp ni sinh bởi gi. Gọi (cid:15)i, i = 1, 2, là các căn nguyên thủy bậc ni của đơn vị trong C. Khi đó, với mọi 0 ≤ j1 ≤ n1 − 1 và 0 ≤ j2 ≤ n2 − 1, ta có

ρj1j2(g1, g2) = (cid:15)j1

1 (cid:15)j2

là các biểu diễn bậc 1 của nhóm G.

Hai phần tử x, y ∈ G được gọi là liên hợp với nhau nếu tồn tại phần tử g ∈ G sao cho y = xg := g−1xg. Tập hợp tất cả các phần tử trong G liên hợp với x

được ký hiệu là

xG := {xg : g ∈ G}

và được gọi là lớp liên hợp của x trong G.

Ví dụ 1.1.12. Giả sử G = S3 là nhóm hoán vị bậc 3. Khi đó S3 có đúng 3 lớp liên hợp là 1G, (1 2)G = {(1 2), (1 3), (2 3)} và (1 2 3)G = {(1 2 3), (1 3 2)}.

Mệnh đề 1.1.13. [2, Định lý 12.8] Số phần tử của lớp liên hợp của x ∈ G là

,

(cid:12) (cid:12)xG(cid:12) (cid:12) =

|G| |CG(x)|

trong đó |CG(x)| là nhóm tâm hóa của phần tử x trong G.

Từ bây giờ, ta luôn giả sử F là trường số phức C.

Định nghĩa 1.1.14. Giả sử G là nhóm hữu hạn và V là một CG-môđun với một cơ sở là B. Khi đó hàm χ : G → C cho bởi

χ(g) = tr[g]B,

được gọi là đặc trưng của nhóm G tương ứng với CG-môđun V . Số chiều của

không gian V được gọi là bậc của đặc trưng χ.

Các đặc trưng có bậc bằng 1 được gọi là đặc trưng tuyến tính. Đặc trưng tương ứng với CG-môđun bất khả quy được gọi là đặc trưng bất khả quy. Tập

hợp tất cả các đặc trưng bất khả quy của một nhóm G được ký hiệu là Irr(G).

Lưu ý rằng giá trị của χ không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở của V nhờ

tính chất của hàm vết. Hơn nữa, giá trị của χ là bằng nhau tại mọi phần tử thuộc cùng một lớp liên hợp. Mặt khác, nếu ρ : G → GL(n, C) là biểu diễn của

nhóm G thì χ(g) = tr(ρ(g)) cũng là một đặc trưng của nhóm G và tương ứng với CG-môđun Cn.

Định nghĩa 1.1.15. Cho χ là một đặc trưng của G. Khi đó hạt nhân của χ được

định nghĩa là

Kerχ := {g ∈ G | χ(g) = χ(1)} .

Nếu ρ là một biểu diễn tương ứng với đặc trưng χ thì Kerρ = Kerχ [2, Định

lý 13.11].

Ví dụ 1.1.16. 1. Cho nhóm xyclic C3 = (cid:10)a | a3 = 1(cid:11). Ánh xạ a (cid:55)→ e2πi/3 là

một đặc trưng tuyến tính của C3.

2. Xét nhóm D8 như trong Ví dụ 1.1.2(2), giá trị của đặc trưng χ tương ứng với biểu diễn ρ trong ví dụ này, trên đại diện của mỗi lớp liên hợp của D8

1 a

χ 2

0 −2

là

Mệnh đề 1.1.17. [2, Mệnh đề 13.15] Giả sử χ là một đặc trưng của nhóm G. Định nghĩa hàm χ : G → C qua phép liên hợp phức như sau

χ(g) := χ(g).

Hàm χ cũng là một đặc trưng của nhóm G. Hơn nữa, χ là bất khả quy khi và

chỉ khi χ là bất khả quy.

Sau đây ta có một số tính chất của đặc trưng của nhóm. Với g ∈ G bất kỳ,

ký hiệu |g| là cấp của phần tử g trong nhóm G.

Mệnh đề 1.1.18. [2, Mệnh đề 13.9] Giả sử χ là một đặc trưng của nhóm G tương ứng với CG-môđun V , giả sử g ∈ G và |g| = m. Khi đó

(1) χ(1) = dimV ,

(2) χ(g) là tổng của các căn đơn vị bậc m,

(3) χ(g−1) = χ(g),

(4) χ(g) là số thực nếu g liên hợp với g−1.

Mệnh đề 1.1.19. [2, Định lý 22.11] Nếu χ là một đặc trưng bất khả quy của G

thì χ(1) | |G|.

Theo Mệnh đề 1.1.18(2), χ(g) nằm trong vành số nguyên đại số của C với

mọi g ∈ G. Hơn nữa, mệnh đề sau cho ta một điều kiện để χ(g) là số nguyên.

Mệnh đề 1.1.20. [2, Hệ quả 22.6] Cho g là một phần tử có cấp bằng n trong G. Giả sử g liên hợp với mọi phần tử gi với 1 ≤ i ≤ n và (i, n) = 1. Khi đó

χ(g) là số nguyên với mọi đặc trưng χ của G.

Nếu χ(g) ∈ Z và g có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố p thì giá trị χ(g)

có liên hệ với bậc của đặc trưng bởi tính chất như sau.

Mệnh đề 1.1.21. [2, Hệ quả 22.27] Cho p là một số nguyên tố. Giả sử g ∈ G

và g có cấp là lũy thừa của p. Khi đó, nếu χ là một đặc trưng của nhóm G sao cho χ(g) ∈ Z thì

χ(g) ≡ χ(1) (mod p).

Khái niệm tích vô hướng của hai đặc trưng cho ta một công cụ quan trọng để

xác định tính bất khả quy của một đặc trưng, mối quan hệ giữa một đặc trưng

bất kỳ với các đặc trưng bất khả quy.

Định nghĩa 1.1.22. Giả sử χ, ψ là các ánh xạ từ G vào C. Khi đó tích vô hướng

của χ, ψ được định nghĩa như sau

(cid:88)

(cid:104)χ, ψ(cid:105) =

χ(g)ψ(g).

1 |G|

g∈G

Để ý, nếu χ, ψ là hai đặc trưng của nhóm G thì ta có

(cid:88)

(cid:104)χ, ψ(cid:105) = (cid:104)ψ, χ(cid:105) =

χ(g)ψ(g−1).

1 |G|

g∈G

Hơn nữa, nếu G có l lớp liên hợp và các đại diện của mỗi lớp liên hợp là

g1, . . . , gl thì

l (cid:88)

(cid:104)χ, ψ(cid:105) =

.

(1.1.1)

χ(gi)ψ(g−1 i ) |CG(gi)|

i=1

Tính trực giao giữa các đặc trưng bất khả quy của một nhóm là một tính chất

thú vị và quan trọng, là cơ sở để ta có các quan hệ trực giao trên một bảng đặc

trưng và là công cụ để xét tính bất khả quy của một đặc trưng. Trước tiên, tính

chất trực giao được phát biểu như sau.

Định lý 1.1.23. [2, Định lý 14.12] Giả sử χ và ψ là hai đặc trưng bất khả quy

phân biệt của nhóm G. Khi đó

(cid:104)χ, χ(cid:105) = 1, (cid:104)χ, ψ(cid:105) = 0.

Mặt khác, nhờ tính trực giao của các đặc trưng bất khả quy, một đặc trưng

bất kỳ của một nhóm luôn viết được thành một tổ hợp tuyến tính của các đặc

trưng bất khả quy với hệ số là các số nguyên không âm.

Định lý 1.1.24. [2, Định lý 14.17] Giả sử Irr(G) = {χ1, . . . , χk} và ψ là một đặc trưng bất kỳ của G. Khi đó ψ có thể được viết thành

ψ = d1χ1 + . . . + dkχk,

k (cid:88)

trong đó d1, . . . , dk là các số nguyên không âm. Hơn nữa,

di = (cid:104)ψ, χi(cid:105) và (cid:104)ψ, ψ(cid:105) =

d2 i .

i=1

Các đặc trưng χi có hệ số di (cid:54)= 0 trong sự phân tích trên được gọi là thành phần bất khả quy của ψ. Dựa vào Định lý 1.1.24, ta có một hệ quả quan trọng

sau, được áp dụng nhiều trong việc tính toán các đặc trưng bất khả quy của một

nhóm.

Hệ quả 1.1.25. [2, Định lý 14.20] Một đặc trưng χ của nhóm G là bất khả quy

khi và chỉ khi (cid:104)χ, χ(cid:105) = 1.

Mặt khác, số lượng các đặc trưng bất khả quy và số các lớp liên hợp của một

nhóm là bằng nhau [2, Định lý 15.3]. Tính chất thú vị này cho ta thông tin về

bảng đặc trưng của một nhóm.

Định nghĩa 1.1.26. Giả sử Irr(G) = {χ1, . . . , χk} và g1, . . . , gk là đại diện của các lớp liên hợp của G. Bảng đặc trưng của nhóm G là một ma trận vuông

cỡ k × k mà giá trị tại mỗi vị trí (i, j) là χi(gj).

Định nghĩa 1.1.27. Trường giá trị của một đặc trưng χ là mở rộng trên Q bởi các giá trị của đặc trưng χ, ký hiệu là Q(χ).

√ −3 2 , bảng đặc trưng của nhóm

2 +

Ví dụ 1.1.28. 1. Cho w = e2πi/3 = −1

C3 = (cid:10)a | a3 = 1(cid:11) là

1 1 1 1 w w2 1 w2 w

χ1 χ2 χ3

√

−3).

Ở đây, trường giá trị của χ2 là Q(χ2) = Q(1, w, w2) = Q(

2. Theo [2, trang 220], bảng đặc trưng của nhóm thay phiên A5 là

(1 2)(3 4)

(1 2 3)

(1 2 3 4 5)

(1 2 3 5 4)

χ1

−1

χ2

−1

χ3

√

−1

χ4

−1

χ5

5 2 √ 5 2

1 2 + 1 2 −

5 2 √ 5 2

1 2 − 1 2 +

Ở đây, trường giá trị của χ4 là

√

(cid:32) (cid:33)

√

3, −1, 0,

+

,

−

5).

= Q(

Q(χ4) = Q

5 2

1 2

5 2

1 2

Trong một bảng đặc trưng, các hàng (hoặc các cột) không hoàn toàn độc lập

với nhau. Một tính chất về mối quan hệ giữa các hàng (hoặc giữa các cột) rất

quan trọng là tính chất trực giao. Quan hệ trực giao này cho ta một công cụ hữu

ích để tính toán giá trị của các đặc trưng của một nhóm, được phát biểu như

trong định lý sau.

Định lý 1.1.29. [2, Định lý 16.4] Cho Irr(G) = {χ1, χ2, . . . , χk} và g1, . . . , gk là đại diện của các lớp liên hợp của nhóm G. Khi đó với bất kỳ r, s ∈ {1, . . . , k},

ta có các quan hệ sau:

k (cid:88)

(1) Quan hệ trực giao theo hàng

= δrs.

χr(gi)χs(gi) |CG(gi)|

i=1

k (cid:88)

(2) Quan hệ trực giao theo cột

χi(gr)χi(gs) = δrs |CG(gs)| .

i=1

Bây giờ, ta nói đến khái niệm đặc trưng hoán vị. Cho nhóm G tác động lên một tập hữu hạn Ω. Xây dựng một không gian véctơ trên C nhận các phần tử

ω ∈ Ω làm cơ sở và ký hiệu không gian véctơ này là CΩ. Các véctơ thuộc CΩ

có dạng

(cid:88)

λωω (λω ∈ C).

ω∈Ω Trên CΩ ta định nghĩa phép nhân

(cid:33) (cid:32) (cid:88) (cid:88)

g =

λωω

λω(ωg).

ω∈Ω

Định nghĩa 1.1.30. C - không gian véctơ CΩ cùng với phép nhân định nghĩa như trên lập thành một CG-môđun và được gọi là môđun hoán vị của G. Đặc trưng tương ứng với CG-môđun hoán vị được gọi là đặc trưng hoán vị.

Giả sử π là đặc trưng hoán vị tương ứng với CG-môđun CΩ. Cố định một

cơ sở {ω ∈ Ω} của CΩ, khi đó giá trị của π tại g ∈ G cho bởi

π(g) = |ﬁxΩ(g)|

trong đó ﬁxΩ(g) = {ω ∈ Ω | ωg = ω}.

1.2 Đặc trưng hạn chế và đặc trưng cảm sinh

Việc tạo ra những biểu diễn và đặc trưng mới của một nhóm là rất quan trọng

trong lý thuyết biểu diễn. Đặc trưng hạn chế và đặc trưng cảm sinh là hai cách

tạo ra đặc trưng mới rất hữu ích cho mục đích này.

Cho H là nhóm con của nhóm G. Nếu V là một CG-môđun thì V cũng là một CH-môđun. Vì các điều kiện (1)-(5) để V là một CH-môđun trong

Định nghĩa 1.1.3 cũng được thỏa mãn với mọi g, h ∈ H. Ký hiệu V ↓ H là CH-môđun tương ứng và V ↓ H được gọi là hạn chế của V lên H.

Định nghĩa 1.2.1. Nếu χ là đặc trưng tương ứng với CG-môđun V thì đặc trưng của nhóm H tương ứng với CH-môđun V ↓ H chính là hạn chế của χ trên các

phần tử của H. Đặc trưng này được gọi là đặc trưng hạn chế của χ xuống H và

ký hiệu χ ↓ H.

Tập hợp tất cả các thành phần bất khả quy có mặt trong sự phân tích của

χ ↓ H được ký hiệu là Irr(χ ↓ H).

Cho N (cid:1) G và θ ∈ Irr(N ). Với g ∈ G, hàm θg : N → C được cho bởi

θg(x) := θ(g−1xg).

Ta dễ dàng chứng minh được hàm θg cũng là một đặc trưng bất khả quy của N

nhờ Hệ quả 1.1.25.

Định nghĩa 1.2.2. Đặc trưng θg được định nghĩa như trên được gọi là đặc trưng

liên hợp với θ.

Từ định nghĩa trên, ta thấy nhóm G tác động liên hợp lên tập Irr(N ). Giả sử

H ≤ G, khi đó θ được gọi là H-bất biến nếu θ bất biến dưới tác động liên hợp

của mọi phần tử thuộc H.

Định lý Clifford dưới đây cho ta một số thông tin về đặc trưng hạn chế của

một nhóm xuống nhóm con chuẩn tắc của nó.

Định lý 1.2.3 (Định lý Clifford). [1, Định lý 6.5] Giả sử N là một nhóm con

chuẩn tắc của G, χ ∈ Irr(G) và θ là một thành phần bất khả quy của χ ↓ N .

Ký hiệu θ1, . . . , θt là các đặc trưng bất khả quy khác nhau của N liên hợp với θ với θ1 = θ. Khi đó

χ ↓ N = e(θ1 + . . . + θt),

với e = (cid:104)χ ↓ N, θ(cid:105).

Định nghĩa 1.2.4. Cho H là một nhóm con của nhóm G. Một đặc trưng ψ ∈

Irr(H) được gọi là mở rộng được lên nhóm G nếu tồn tại χ ∈ Irr(G) sao cho

χ ↓ H = ψ. Đặc trưng χ được gọi là một mở rộng của ψ lên nhóm G.

Sau đây là một số kết quả về đặc trưng mở rộng, các kết quả này sẽ được sử

dụng nhiều trong Chương 3.

Mệnh đề 1.2.5. [1, Hệ quả 11.22] Cho N (cid:1) G sao cho G/N là nhóm xyclic và

θ ∈ Irr(N ) là G-bất biến. Khi đó θ mở rộng được lên nhóm G.

Mệnh đề 1.2.6. [1, Hệ quả 11.29] Cho N (cid:1) G, χ ∈ Irr(G) và θ ∈ Irr(χ ↓ N ).

Khi đó χ(1)/θ(1) là ước của [G : N ].

Mệnh đề 1.2.7. [1, Hệ quả 11.31] Cho N (cid:1) G và θ ∈ Irr(N ) là một đặc trưng

G-bất biến. Giả sử với mọi nhóm con p-Sylow P/N của G/N , p nguyên tố bất

kỳ, ta có θ mở rộng được lên nhóm P . Khi đó θ mở rộng được lên nhóm G.

Định lý 1.2.8. [3, Định lý 5.6] Cho N (cid:1) G, θ ∈ Irr(N ) là đặc trưng G-bất

biến. Khi đó, tồn tại một nhóm H và một toàn cấu π : H → G thỏa mãn

(i) Z = Ker(π) ⊂ Z(H),

(ii) đặt K = π−1(N ) và (cid:98)θ ∈ Irr(K/Z) là đặc trưng tương ứng với θ qua đẳng cấu K/Z → N . Khi đó, (cid:98)θ là H-bất biến và tồn tại một đặc trưng tuyến tính λ ∈ Irr(K) cũng là H-bất biến sao cho λ(cid:98)θ mở rộng lên được nhóm H.

Đặc trưng cảm sinh của một nhóm từ các đặc trưng của nhóm con của nó

cũng là một công cụ để tạo ra các đặc trưng mới. Cụ thể các môđun và đặc trưng

cảm sinh được định nghĩa như sau.

Định nghĩa 1.2.9. Giả sử H là một nhóm con của nhóm G và U là một CH- môđun con của đại số nhóm CH. Nếu xem U là một không gian véctơ con của đại số nhóm CG và xét không gian véctơ con sinh bởi tất cả các phần tử

U (CG) = {ug, u ∈ U, g ∈ G}

trong CG thì không gian véctơ trên có cấu trúc của một CG-môđun và được gọi là CG-môđun cảm sinh từ U . Ký hiệu U ↑ G.

Định nghĩa 1.2.10. Giả sử ψ là đặc trưng tương ứng với CH-môđun U . Khi đó đặc trưng tương ứng với CG-môđun cảm sinh U ↑ G được gọi là đặc trưng

cảm sinh từ ψ và ký hiệu là ψ ↑ G. Ta ký hiệu Irr(G|ψ) là tập hợp tất cả các

thành phần bất khả quy của G có mặt trong sự phân tích của ψ ↑ G.

Quan hệ giữa đặc trưng hạn chế và đặc trưng cảm sinh được mô tả ngắn gọn

trong định lý rất quan trọng sau đây.

Định lý 1.2.11 (Định lý thuận nghịch Frobenius). [2, Định lý 21.16] Giả sử

H ≤ G và χ, ψ lần lượt là các đặc trưng tương ứng với G, H. Khi đó

(cid:104)ψ ↑ G, χ(cid:105)G = (cid:104)ψ, χ ↓ H(cid:105)H .

Giả sử N (cid:1) G, θ ∈ Irr(N ) và χ ∈ Irr(G|θ). Theo Định lý ta có 1.2.11, (cid:104)θ ↑ G, χ(cid:105)G = (cid:104)θ, χ ↓ N (cid:105)N (cid:54)= 0. Khi đó, χ còn được gọi là nằm trên θ và θ được gọi là nằm dưới χ.

Mệnh đề 1.2.12. [2, Hệ quả 21.20] Nếu ψ là một đặc trưng của nhóm con

H ≤ G thì bậc của ψ ↑ G bằng

(ψ ↑ G)(1) =

ψ(1).

|G| |H|

Kết quả sau được xây dựng dựa trên Định lý thuận nghịch Frobenius và được

sử dụng rất nhiều để tính giá trị của các đặc trưng cảm sinh.

Mệnh đề 1.2.13. [2, Mệnh đề 21.13] Cho H ≤ G, ψ là một đặc trưng của

nhóm H và x ∈ G.

(1) Nếu không có phần tử nào của lớp liên hợp xG nằm trong H thì (ψ ↑

G)(x) = 0.

(2) Nếu xG có các phần tử x1, x2, . . . , xm nằm trong nhóm H và các phần tử

x1, x2, . . . , xm đôi một chứa trong các lớp liên hợp khác nhau của H thì

(cid:19)

+ . . . +

.

(ψ ↑ G) (x) = |CG(x)|

(cid:18) ψ(x1) |CH(x1)|

ψ(xm) |CH(xm)|

W như sau

Tiếp theo, ta nói đến cách xây dựng tích hai đặc trưng của một nhóm. Cho V là CG-môđun với một cơ sở là v1, v2, . . . , vm và W là CG-môđun với một cơ sở là w1, w2, . . . , wn. Với mọi 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n và với mọi g ∈ G, ta định nghĩa phép nhân trên V ⊗ C

(vi ⊗ wj)g = vig ⊗ wjg.

W cùng với phép nhân được định nghĩa như trên cũng

Không gian véctơ V ⊗ C là một CG-môđun.

Giả sử χ, ψ lần lượt là đặc trưng của nhóm G tương ứng với các môđun V ,

W . Khi đó giá trị của

W . Đặt χψ là đặc trưng tương ứng với CG-môđun V ⊗ C

χψ được cho như trong mệnh đề sau.

Mệnh đề 1.2.14. [2, Mệnh đề 19.6] (χψ)(g) = χ(g)ψ(g).

Bây giờ, ta sẽ trình bày một số kết quả về đặc trưng cảm sinh của một nhóm. Giả sử N (cid:1) G và θ ∈ Irr(N ). Gọi T là nhóm con ổn định của θ đối với tác

động liên hợp của G lên Irr(N ) (Định nghĩa 1.2.2). Khi đó T là một nhóm con

của G và chứa N .

Định lý 1.2.15. [1, Định lý 6.11] Cho N (cid:1) G và θ ∈ Irr(N ). Khi đó

(a) nếu ψ ∈ Irr(T |θ) thì ψ ↑ G bất khả quy.

(b) Ánh xạ ψ (cid:55)→ ψ ↑ G là song ánh từ Irr(T |θ) vào Irr(G|θ).

Định lý 1.2.16. [1, Định lý 6.16] Cho N (cid:1) G, λ, θ ∈ Irr(N ) là các đặc trưng

G-bất biến. Giả sử λθ bất khả quy và θ mở rộng lên được χ ∈ Irr(G). Khi đó

ánh xạ β (cid:55)→ βχ từ Irr(G|λ) vào Irr(G|λθ) là song ánh.

Hệ quả 1.2.17. [1, Hệ quả 6.17] Cho N (cid:1) G và χ ∈ Irr(G) sao cho χ ↓ N =

θ ∈ Irr(N ). Khi đó ánh xạ β (cid:55)→ βχ từ Irr(G/N ) vào Irr(G|θ) là song ánh.

Cho một nhóm con chuẩn tắc N (cid:1) G. Mỗi biểu diễn ρ của G/N đều tương

ứng với một biểu diễn ˜ρ của G qua đồng cấu pr : G → G/N . Do đó mỗi

đặc trưng χ của G/N đều tương ứng với một đặc trưng ˜χ của G và thỏa mãn

˜χ = χ ◦ pr. Đặc trưng ˜χ xây dựng như vậy được gọi là đặc trưng nâng của χ

lên nhóm G.

Định lý 1.2.18. [2, Định lý 17.3] Giả sử N (cid:1) G. Khi đó ta có tương ứng 1-1

giữa tập các đặc trưng của nhóm G/N và tập các đặc trưng χ của nhóm G

thỏa N ≤ Ker(χ).

Ký hiệu [G, G] là nhóm con hoán tử của G sinh bởi tất cả các phần tử có dạng [a, b] := aba−1b−1 (a, b ∈ G) của nhóm G. Do [G, G] chứa trong hạt

nhân của các đặc trưng tuyến tính nên theo Định lý 1.2.18, ta có một tính chất

về số lượng các đặc trưng tuyến tính của một nhóm được phát biểu như sau.

Định lý 1.2.19. [2, Định lý 17.11] Tất cả các đặc trưng tuyến tính của nhóm G

chính là đặc trưng nâng từ các đặc trưng tuyến tính của nhóm thương G/[G, G].

Do đó, số các đặc trưng tuyến tính của một nhóm G đúng bằng cấp của nhóm

thương G/[G, G].

Mệnh đề 1.2.20. [2, Mệnh đề 17.14] Giả sử χ là một đặc trưng của nhóm G và λ là một đặc trưng tuyến tính của G. Khi đó hàm χλ : G → C cho bởi

χλ(g) := χ(g)λ(g)

là một đặc trưng của G. Hơn nữa, nếu χ là bất khả quy thì χλ cũng bất khả

quy.

Nếu đặc trưng χ trong Mệnh đề 1.2.20 là một đặc trưng tuyến tính thì χλ

cũng là một đặc trưng tuyến tính. Ta thấy rằng tập các đặc trưng tuyến tính của

G lập thành một nhóm với phép nhân hai đặc trưng, phần tử đơn vị là đặc trưng

tầm thường và phần tử nghịch đảo của χ là χ (Mệnh đề 1.1.17).

Giả sử χ là một đặc trưng của nhóm G tương ứng với biểu diễn ρ. Khi đó

ánh xạ detχ : G → C× cho bởi

detχ(g) := det(ρ(g))

là một biểu diễn tuyến tính của G. Đặc trưng tương ứng với biểu diễn tuyến tính

này cũng chính là detχ. Ký hiệu o(χ) là cấp của đặc trưng detχ trong nhóm

các đặc trưng tuyến tính của G.

Mệnh đề 1.2.21. [1, Hệ quả 6.28] Cho N (cid:1) G và giả sử G/N là giải được,

θ ∈ Irr(N ) là một đặc trưng G-bất biến. Giả sử ([G : N ], o(θ)θ(1)) = 1, khi

đó θ mở rộng lên một đặc trưng χ duy nhất của G.

Mệnh đề sau cho ta công cụ để xác định tất cả các đặc trưng bất khả quy của

một tích trực tiếp của hai nhóm khi biết các đặc trưng bất khả quy của các nhóm

thành phần.

Mệnh đề 1.2.22. [2, Mệnh đề 19.18] Cho G là nhóm hữu hạn, H và K là các

nhóm con của G sao cho G = H × K. Giả sử Irr(H) = {χ1, . . . , χa} và Irr(K) = {ψ1, . . . , ψb}. Khi đó, H × K có đúng ab đặc trưng bất khả quy

phân biệt, mỗi đặc trưng này được cho như sau

(χiψj)(h, k) = χi(h)ψj(k),

với 1 ≤ i ≤ a, 1 ≤ j ≤ b.

Mệnh đề 1.2.23. Giả sử G = H × K trong đó H, K là các nhóm con của G

và K là nhóm giao hoán. Khi đó mỗi đặc trưng bất khả quy bất kỳ của G đều

có hạn chế thành một đặc trưng bất khả quy của H.

Chứng minh. Giả sử χ là một đặc trưng bất khả quy của G. Khi đó, χ có thể viết

được thành tích của hai đặc trưng bất khả quy ψ, θ của H và K, χ = ψθ (theo

Mệnh đề 1.2.22). Hơn nữa, do K là nhóm giao hoán nên χ ↓ H = χ(h, 1) =

ψ(h)θ(1) = ψ(h)1 = ψ(h). Vậy χ ↓ H = ψ là đặc trưng bất khả quy của

nhóm H.

Giả sử có nhóm G = HK, trong đó H và K là các nhóm con của G sao cho

với mọi h ∈ H, k ∈ K và hk = kh. Khi đó, xét ánh xạ

ϕ : H × K → HK

(h, k) (cid:55)→ hk.

Do hk = kh với mọi h ∈ H, k ∈ K nên ϕ là một đồng cấu nhóm, hơn nữa còn

là một toàn cấu và Kerϕ (cid:39) H ∩ K. Suy ra HK (cid:39) H × K/H ∩ K hay HK

là thương của nhóm H × K. Do đó, các đặc trưng bất khả quy của HK đều có

thể có được từ các đặc trưng bất khả quy của H × K. Áp dụng Định lý 1.2.18,

mọi đặc trưng bất khả quy của HK cũng có thể viết được thành tích của hai đặc

trưng bất khả quy của nhóm H và nhóm K. Do vậy, ta cũng có bổ đề tương tự

như Mệnh đề 1.2.23.

Bổ đề 1.2.24. [4, Mệnh đề 4.5] Giả sử G = HK thỏa mãn các điều kiện vừa

nêu trên, trong đó K là nhóm giao hoán. Khi đó mỗi đặc trưng bất khả quy của

G đều có hạn chế thành một đặc trưng bất khả quy của H.

Chương 2

Bảng đặc trưng của một số nhóm hữu

hạn

Trong chương này chúng tôi trình bày cách xây dựng bảng đặc trưng của

một số nhóm hữu hạn: các nhóm tuyến tính tổng quát GL(2, q), GL(3, q) và

các nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2, q), SL(3, q). Bảng đặc trưng của các nhóm

này được xây dựng chủ yếu dựa trên một số kết quả về đặc trưng cảm sinh và

đặc trưng hạn chế (Mệnh đề 1.2.13 và Định lý 1.2.3). Tài liệu tham khảo chính

của chương này là [4] và [5].

2.1 Nhóm tuyến tính tổng quát

Trước tiên, ta định nghĩa một số nhóm con quan trọng của nhóm GL(n, q).

Một bộ gồm k số nguyên dương λ = (n1, n2, . . . , nk) được gọi là một phân hoạch của n nếu k ≥ 1 và n = n1 + n2 + . . . + nk.

Định nghĩa 2.1.1. Giả sử λ = (n1, n2, . . . , nk) là một phân hoạch của n.

(1) Nhóm con parabolic Pλ tương ứng với λ của GL(n, q) là nhóm chứa tất

cả các phần tử của GL(n, q) có dạng

 

A11 A12

. . . A1k

,

0 A22 ... ...

. . . A2k ... . . .

                 

0 . . . Akk

trong đó Aii ∈ GL(ni, q) với mọi 1 ≤ i ≤ k.

(2) Nhóm con Levi Lλ của Pλ là nhóm chứa tất cả các phần tử của Pλ có dạng

 

0 . . .

0 A11

.

. . . . . .

0 A22 ... ...

0 ...

                 

0 . . . Akk

Rõ ràng Lλ = GL(n1, q) × . . . × GL(nk, q).

(3) Nhóm con lũy đơn Uλ của Pλ là nhóm chứa tất cả các phần tử của Pλ có

dạng  

. . . A1k

In1 A12

.

0 ...

In2 ...

. . . A2k ... . . .

                 

0 . . . Ink

Ta có thể chứng minh được Uλ (cid:1) Pλ và Pλ/Uλ = Lλ bằng cách xét đồng

cấu nhóm ϕ : Pλ → Lλ, đưa một ma trận thuộc Pλ thành ma trận diag(A11, A22, . . . , Akk) thuộc Lλ.

2.1.1. Bảng đặc trưng của nhóm GL(2, q)

Để xây dựng bảng đặc trưng của nhóm GL(2, q), ta thực hiện các bước sau.

• Phân loại các lớp liên hợp của nhóm GL(2, q) dựa theo dạng chuẩn Jordan

của mỗi phần tử.

• Xây dựng các đặc trưng tuyến tính.

• Xây dựng các đặc trưng hoán vị bằng cách xét tác động của nhóm GL(2, q)

lên tập hợp các điểm thuộc đường thẳng xạ ảnh P1(Fq).

• Xây dựng các đặc trưng cảm sinh từ nhóm con P(1,1) và từ một nhóm con

xyclic cấp q2 − 1 của GL(2, q).

Cụ thể từng bước xây dựng bảng đặc trưng của nhóm GL(2, q) sẽ được trình

bày trong tiết này.

Đầu tiên, ta có |GL(2, q)| = q(q − 1)2(q + 1). Gọi σ là phần tử sinh của

q2 và đặt ρ := σq+1 là một phần tử sinh của F× q . Hai phần tử bất kỳ thuộc cùng một lớp liên hợp trong GL(2, q) khi và chỉ khi chúng đưa được

nhóm nhân F×

về cùng một dạng chuẩn Jordan. Mặt khác mỗi phần tử thuộc GL(2, q) đều đưa

về được một trong các dạng chuẩn Jordan sau

    

ρa

ρa 1

ρa

σa

:

A(a) 1

    , A(a)      , A(a,b)      , A(a)      .

ρa

ρb

σaq

Trong đó,

1 với 1 ≤ a ≤ q − 1. Rõ ràng các phần tử này

• ta có q − 1 lớp liên hợp A(a)

nằm trong tâm của nhóm GL(2, q).

2 với 1 ≤ a ≤ q − 1. Để tính

• Tương tự, ta có q − 1 lớp liên hợp A(a) 

ρa 1

2 , ta giả sử

cấp của nhóm tâm hóa của phần tử M =     ∈ A(a) 

ρa

 

x y

    ∈ CGL(2,q)(M ). Khi đó,

z t

       

ρa 1

x y

ρa 1

        =         ,

z t

ρa

   

ρa 

          

ρa

0 1

x y

ρa

0 1

      +           =           +       ,

ρa

z t

ρa

0 0

0 0 

      

0 1

x y

0 1

        =         ,

0 0

z t

0 0

   

z t

0 x

    =     .

0 0

0 z



x y

Do đó các phần tử thuộc CGL(2,q)(M ) có dạng    , trong đó x ∈ F×  q ,

0 x

y ∈ Fq. Vì vậy (cid:12)

(cid:12)CGL(2,q)(M )(cid:12) (cid:12) = q(q − 1).

2(q − 1)(q − 2) lớp liên hợp A(a,b)

do 1 ≤ a < b ≤ q − 1.Tương tự • Ta có 1

3 như trên, ta cũng tính được cấp của nhóm tâm hóa của mỗi phần tử thuộc A(a,b) 3

là (q − 1)2.

4 = A(aq)

và A(a) là 1 nên số lượng các lớp A(a) 4 • Đối với các lớp liên hợp có dạng A4, vì ta có q2 − q phần tử thuộc Fq2 \ Fq 2(q2 − q). Để tính cấp của 

0

1

4 , ta giả sử

nhóm tâm hóa của phần tử P =     ∈ A(a) 

−σa+aq σa + σaq

 

x y

    ∈ CG(P ). Khi đó

z t

       

0

1 x y

0

1

        =   .      

−σa+aq σa + σaq

z t

−σa+aq σa + σaq

(2.1.1)

Ta có

 

z

t

VT(2.1.1) =     ,

−σa+aqx + (−σa + σaq) z −σa+aqy + (−σa + σaq) t

 

−σa+aqy x + (σa + σaq) y

VP(2.1.1) =     .

−σa+aqt z + (σa + σaq) t

Do VT(2.1.1) = VP(2.1.1) nên z = −σa+aqy, t = x + (σa + σaq) y và

xt − yz = x2 + (σa + σaq) xy + σa+aqy2 = (x + σa) (y + σaq) .

Do σa, σaq không thuộc Fq nên xt − yz (cid:54)= 0. Hay với mọi (x, y) (cid:54)= (0, 0), 

x y

ta đều có det      (cid:54)= 0 và z = −σa+aqy, t = x + (σa + σaq) y. Vậy

(cid:12)CGL(2,q)(P )(cid:12) (cid:12)

z t (cid:12) = q2 − 1.

Các lớp liên hợp của GL(2, q) được cho như trong Bảng 2.1.

Bảng 2.1: Bảng các lớp liên hợp của GL(2, q)

Lớp

Điều kiện tham số

Số lượng

|CGL(2,q)(g)|

Đại diện g (cid:33) (cid:32)

ρa

1 ≤ a ≤ q − 1

q − 1

q(q − 1)2(q + 1)

A(a) 1

ρa

(cid:32)

(cid:33)

ρa

1 ≤ a ≤ q − 1

q − 1

q(q − 1)

A(a) 2

1 ρa

(cid:32)

(cid:33)

ρa

1 ≤ a < b ≤ q − 1

(q − 1)2

A(a,b) 3

1 2(q − 1)(q − 2)

ρb

1 ≤ a ≤ q2 − 1

(cid:32)

(cid:33)

σa

q2 − 1

A(a) 4

2(q2 − q)

σaq

A(a)

a (cid:54)≡ 0(mod q + 1) 4 = A(aq)

Bây giờ, ta xây dựng bảng đặc trưng của nhóm GL(2, q). Đặt (cid:15) := e2πi/q−1,

q , ta có r (cid:55)→ r := (cid:15)a là một đẳng cấu nhóm từ F×

q vào nhóm xyclic sinh bởi (cid:15). Các đặc trưng tuyến tính của GL(2, q) được xác định

với mọi r := ρa ∈ F×

như sau.

với 0 ≤

Mệnh đề 2.1.2. Mỗi đặc trưng tuyến tính của GL(2, q) đặt là χ(m) m ≤ q − 2 được cho bởi

: GL(2, q) → C×

χ(m) 1

.

g (cid:55)→ (cid:0)detg(cid:1)m

(0 ≤ m ≤ q − 2) tại các lớp liên hợp của GL(2, q) là

Giá trị của χ(m)

: (cid:15)2ma, A(a,b)

: (cid:15)ma.

A(a) 1

: (cid:15)2ma, A(a) 2

: (cid:15)m(a+b), A(a) 4

Ngoài ra, theo ký hiệu của Dipper-James [6], các đặc trưng tuyến tính χ(m) của GL(2, q) còn được ký hiệu là S(ρm, (2)) trong đó (2) là một phân hoạch của

n = 2.

Tiếp theo, xem mỗi phần tử thuộc GL(2, q) là một phép biến đổi xạ ảnh trên

 

a b

đường thẳng xạ ảnh P1(Fq). Cụ thể với M =     ∈ GL(2, q), phép biến

c d

đổi xạ ảnh fM được cho bởi

fM : P1(Fq) → P1(Fq)

(x : y) (cid:55)→ (ax + by : cx + dy).

Khi đó, nhóm GL(2, q) tác động lên tập hợp tất cả các điểm nằm trên đường thẳng xạ ảnh P1(Fq) bởi các phép biến đổi xạ ảnh. Tác động này cho ta một biểu diễn hoán vị của nhóm GL(2, q) (Định nghĩa 1.1.30). Gọi ψ là đặc trưng

hoán vị tương ứng với biểu diễn này. Với mọi M ∈ GL(2, q), ψ(M ) bằng số các điểm nằm trên P1(Fq) được giữ cố định bởi fM .

Các điểm thuộc đường thẳng xạ ảnh P1(Fq) là (x : 1), x ∈ Fq và (1 : 0).

1 giữ cố định toàn bộ q + 1 điểm trên đường thẳng xạ ảnh

• Rõ ràng A(a)

P1(Fq).

 

ρa 1

• Xét các phần tử   với 1 ≤ a ≤ q − 1, ta có  

ρa

       

ρax + 1

x + ρ−a

ρa 1

x

        =     =     ,

ρa

1

 

ρa 

  

ρa 1

ρa

=

        =     .

1  1   0

ρa

0

2 giữ cố định duy nhất điểm

 1   0

Do đó các phần tử nằm trong lớp liên hợp A(a) (1 : 0).

• Tương tự, các phần tử nằm trong lớp liên hợp A(a,b) giữ cố định đúng 2

điểm (0 : 1), (1 : 0).

4 không giữ cố định điểm nào trên đường thẳng

• Các phần tử thuộc A(a)

P1(Fq).

Do đó, ta có giá trị của ψ tại các lớp liên hợp của GL(2, q) là

: 0.

A(a) 1

: q + 1, A(a) 2

: 1, A(a,b) 3

: 2, A(a) 4

(cid:69)

= 1. Đặt χq := ψ − χ(0)

1 =: χ(m)

Dựa vào công thức tích vô hướng của hai đặc trưng (Công thức (1.1.1)), ta có (cid:68) ψ, χ(0) 1 , khi đó theo Hệ quả 1.1.25, ta chứng minh 1 được χq là một đặc trưng bất khả quy của GL(2, q). Hơn nữa, áp dụng Mệnh đề 1.2.20, χqχ(m) với 0 ≤ m ≤ q − 2 cũng là các đặc trưng bất khả quy của GL(2, q).

với 0 ≤ m ≤ q − 2 được xây dựng như

Mệnh đề 2.1.3. Các đặc trưng χ(m) q trên là các đặc trưng bất khả quy bậc q của GL(2, q). Giá trị của χ(m) trên mỗi

lớp liên hợp là

: −(cid:15)ma.

A(a) 1

: q(cid:15)2ma, A(a) 2

: 0, A(a,b) 3

: (cid:15)m(a+b), A(a) 4

Chứng minh. Trước tiên, đặc trưng χq được xây dựng như trên là đặc trưng bất

khả quy, vì theo Hệ quả 1.1.25 ta có

+

(cid:104)χq, χq(cid:105) =

q2(q − 1) q(q − 1)2(q + 1)

1/2(q2 − q) q2 − 1

+

=

1/2(q − 1)(q − 2) (q − 1)2 1/2(q2 − q) q2 − 1

=

+

= 1.

q q2 − 1 q q2 − 1

1/2(q − 2) q − 1 q2 − q − 1 q2 − 1

Hơn nữa, χ(m)

(0 ≤ m ≤ q − 2) là các đặc trưng bất khả quy do

:= χqχ(m)

Mệnh đề 1.2.20.

Các đặc trưng bất khả quy χ(m) của GL(2, q) còn được ký hiệu là S(ρm, (1, 1)),

trong đó (1, 1) là một phân hoạch của n = 2 ([6], ký hiệu của Dipper-James).

Khi đó, ta thấy χq = χ(0) được ký hiệu là S(1, (1, 1)) và S(ρm, (1, 1)) = q S(1, (1, 1))S(ρm, (2)), trong đó S(ρm, (2)) là đặc trưng tuyến tính của GL(2, q).

Để xây dựng các đặc trưng bất khả quy tiếp theo của GL(2, q), ta xét nhóm

con parabolic tương ứng với phân hoạch (1, 1) của n = 2,



a11 a12

   

.

P(1,1) =

q , a12 ∈ Fq

    | a11, a22 ∈ F× 

0

 

a22

Tương tự như cách phân loại các lớp liên hợp của GL(2, q), ta cũng phân loại

Bảng 2.2: Bảng các lớp liên hợp của P(1,1)

Lớp Đại diện g Điều kiện tham số

Số lượng

|CP(1,1)(g)|

(cid:32)

(cid:33)

ρa

1 ≤ a ≤ q − 1

q − 1

q(q − 1)2

A(a) 1

ρa

(cid:32)

(cid:33)

ρa

1 ≤ a ≤ q − 1

q − 1

q(q − 1)

A(a) 2

1 ρa

(cid:32)

(cid:33)

ρa

1 ≤ a, b ≤ q − 1

(q − 1)2

A(a,b) 3

1 2(q − 1)(q − 2)

ρb

a (cid:54)= b

(cid:32)

(cid:33)

1 ≤ a, b ≤ q − 1

ρb

(q − 1)2

A(b,a) 3

1 2(q − 1)(q − 2)

a (cid:54)= b

ρa

được các lớp liên hợp của P(1,1) (Bảng 2.2).

Xét nhóm con Levi L(1,1) của nhóm P(1,1), do L(1,1) = GL(1, q) × GL(1, q) nên theo Mệnh đề 1.2.22 các đặc trưng bất khả quy của L(1,1) được cho như sau



ρa

φ(m,k)

    = (cid:15)ma+kb, 

ρb

trong đó 0 ≤ m, k ≤ q − 2. Do P(1,1)/U(1,1) = L(1,1) nên ta có thể nâng φ(m,k) lên thành một đặc trưng bất khả quy của nhóm P(1,1), sau đó cảm sinh đặc trưng này thành một đặc trưng của nhóm GL(2, q). Đặt χ(m,k) là đặc trưng cảm sinh q+1

q+1 được tính dựa vào Mệnh đề 1.2.13 và Bảng 2.2, tính bất khả quy của các đặc trưng này được dựa theo [5, trang 226].

tương ứng với φ(m,k), giá trị của χ(m,k)

tại các lớp liên hợp là Mệnh đề 2.1.4. Các đặc trưng χ(m,k) q+1 với 0 ≤ m < k ≤ q − 2 trong cách xây dựng trên là các đặc trưng bất khả quy bậc q + 1 của GL(2, q). Giá trị của đặc trưng χ(m,k) q+1

: (cid:15)(m+k)a, A(a,b)

: 0.

A(a) 1

: (q + 1)(cid:15)(m+k)a, A(a) 2

: (cid:15)ma+kb + (cid:15)ka+mb, A(a) 4

Theo ký hiệu của Dipper-James [6], ta có φ(m,k) = S(ρm, (1))S(ρk, (1)), trong đó S(ρm, (1)), S(ρk, (1)) là các đặc trưng tuyến tính của GL(1, q). χ(m,k) q+1 là đặc trưng cảm sinh tương ứng với đặc trưng φ(m,k) của nhóm Levi, nên χ(m,k) q+1 ký hiệu là S(ρm, (1)) ◦ S(ρk, (1)).  

σ

Cuối cùng, xét nhóm con xyclic H của GL(2, q) sinh bởi phần tử    ,

σq

nhóm xyclic H có q2 − 1 phần tử. Đặt ι = e2πi/q2−1 ∈ C, xét các đặc trưng

tuyến tính của H cho bởi



σa

ϕ(m)

    = ιma, 

σaq

trong đó 0 ≤ m ≤ q2 − 2. Cảm sinh các đặc trưng ϕ(m) thành đặc trưng của

nhóm GL(2, q) và dùng Mệnh đề 1.2.13 để tính giá trị của các đặc trưng cảm sinh. Giá trị của đặc trưng ϕ(m) ↑ GL(2, q) tại các lớp liên hợp là

: ιma + ιmaq.

A(a) 1

: (q2 − q)ιma(q+1), A(a) 2

: 0, A(a,b) 3

: 0, A(a) 4

q−1 được tính như sau,

Các đặc trưng bất khả quy còn lại của GL(2, q), đặt là χ(m)

q χ(0,m)

dựa vào kết quả của [5, trang 227].

χ(m) q−1 = χ(0)

q+1 − χ(0,m)

q+1 − ψ(m)

q(q−1).

q−1 . Giá trị của đặc trưng χ(m)

q−1 tại các lớp liên hợp là

Mệnh đề 2.1.5. Các đặc trưng χ(m) q−1 được xây dựng như trên là đặc trưng bất khả quy của GL(2, q), trong đó 0 ≤ m ≤ q2 − 2, m (cid:54)≡ 0(mod q + 1) và q−1 = χ(mq) χ(m)

: −ιma(q+1), A(a,b)

: − (ιma + ιmaq) .

A(a) 1

: (q − 1)ιma(q+1), A(a) 2

: 0, A(a) 4

q−1 được ký hiệu là

Theo ký hiệu của Dipper-James [6], các đặc trưng χ(m)

S(σm, (1)). Để ý bậc của σm bằng 2 trên trường Fq do σm ∈ Fq2 \ Fq.

Bảng 2.3 là bảng đặc trưng của nhóm GL(2, q), trong đó (cid:15) = e2πi/q−1,

ι = e2πi/q2−1.

Bảng 2.3: Bảng đặc trưng của nhóm GL(2, q)

χ(m) q

χ(m) 1

χ(m,k) q+1

χ(m) q−1 0 ≤ m ≤ q2 − 2

0 ≤ m ≤ q − 2

0 ≤ m < k ≤ q − 2

q−1

q(cid:15)2ma

m (cid:54)≡ 0 (mod q + 1) χ(m) q−1 = χ(mq) (q − 1)ιma(q+1) −ιma(q+1)

(q + 1)(cid:15)(m+k)a (cid:15)(m+k)a (cid:15)ma+kb + (cid:15)ka+mb

(cid:15)2ma (cid:15)2ma (cid:15)m(a+b) (cid:15)ma

0 (cid:15)m(a+b) −(cid:15)ma

0 − (ιma + ιmaq)

A(a) 1 A(a) 2 A(a,b) 3 A(a) 4

2.1.2. Bảng đặc trưng của nhóm GL(3, q)

Để xây dựng bảng đặc trưng của nhóm GL(3, q) ta cũng thực hiện các bước

xây dựng tương tự như nhóm GL(2, q).

• Phân loại các lớp liên hợp của nhóm GL(3, q).

• Xây dựng các đặc trưng tuyến tính.

• Xây dựng các đặc trưng hoán vị bằng cách xét tác động của nhóm GL(3, q)

lên mặt phẳng xạ ảnh P2(Fq).

• Xét các đặc trưng cảm sinh từ nhóm con P(2,1) và từ một nhóm con xyclic

cấp q3 − 1 của GL(3, q).

Trước tiên, ta có |GL(3, q)| = q3(q − 1)3(q + 1)(q2 + q + 1). Tương tự như

q , F×

nhóm GL(2, q), ta cũng phân loại các lớp liên hợp của GL(3, q) dựa vào dạng

q2 và F×

chuẩn Jordan của mỗi phần tử thuộc GL(3, q). Gọi ρ, σ và τ lần lượt là phần tử q3 sao cho ρ = σq+1 = τ q2+q+1. Khi đó, sinh của các nhóm nhân F×

Bảng 2.4: Bảng các lớp liên hợp của GL(3, q)

Lớp

Đại diện g

Điều kiện tham số

Số lượng

(cid:12) (cid:12)CGL(3,q)(g)(cid:12) (cid:12)





ρa

1 ≤ a ≤ q − 1

q − 1

q3(q − 1)3(q + 1)(q2 + q + 1)

ρa

A(a) 1

 

 

ρa





ρa

1 ≤ a ≤ q − 1

q − 1

q3(q − 1)2

1 ρa

A(a) 2

 

 

ρa





ρa

1 ≤ a ≤ q − 1

q − 1

q2(q − 1)

1 ρa

A(a) 3

 

 

1 ρa





ρa

1 ≤ a, b ≤ q − 1

(q − 1)(q − 2)

q(q − 1)3(q + 1)

ρa

A(a,b) 4

 

 

a (cid:54)= b

ρb





ρa

1 ≤ a, b ≤ q − 1

(q − 1)(q − 2)

q(q − 1)2

1 ρa

A(a,b) 5

 

 

a (cid:54)= b

ρb





ρa

A(a,b,c)

1 ≤ a < b < c ≤ q − 1 1

(q − 1)3

ρb

6 (q − 1)(q − 2)(q − 3)

 

 

ρc





σa

1 ≤ a ≤ q2 − 1 a (cid:54)≡ 0(mod q + 1)

(q − 1)2(q + 1)

σaq

A(a,b) 7

1 2 q(q − 1)2

 

 

ρb





τ a

q3 − 1

τ aq

A(a) 8

1 3 (q3 − q)

 

 

τ aq2

1 ≤ b ≤ q − 1 A(a,b) = A(aq,b) 7 7 1 ≤ a ≤ q3 − 1 a (cid:54)≡ 0(mod q2 + q + 1) 8 = A(aq2) 8 = A(aq) A(a)

các lớp liên hợp của GL(3, q) được phân loại như trong Bảng 2.4.

Bây giờ ta xây dựng bảng đặc trưng của nhóm GL(3, q). Đầu tiên, các đặc

trưng tuyến tính của nhóm GL(3, q) được xác định tương tự như các đặc trưng

tuyến tính của GL(2, q).

Mệnh đề 2.1.6. Với 0 ≤ m ≤ q−2, các đặc trưng tuyến tính χ(m) của GL(3, q)

được cho bởi

: GL(3, q) → C

χ(m) 1

.

g (cid:55)→ (cid:0)detg(cid:1)m

Giá trị của các đặc trưng tuyến tính này được cho trong Bảng 2.5.

Các đặc trưng tuyến tính χ(m) của GL(3, q) còn được ký hiệu là S(ρm, (3)),

trong đó (3) là một phân hoạch của n = 3 [6, Ký hiệu của Dipper-James].

Tiếp theo, xem mỗi phần tử của GL(3, q) là một phép biến đổi xạ ảnh trên  

a b

c

∈ GL(3, q), phép biến

mặt phẳng xạ ảnh P2(Fq). Cụ thể với M =

d e f

           

g h k

đổi xạ ảnh fM được cho bởi

fM : P2(Fq) → P2(Fq)

(x : y : z) (cid:55)→ (ax + by + cz : dx + ey + f z : gx + hy + kz).

1 =: χ(m)

(cid:69)

Khi đó, nhóm GL(3, q) tác động lên tập hợp các điểm của mặt phẳng xạ ảnh P2(Fq) bởi các phép biến đổi xạ ảnh. Tác động này cho ta đặc trưng hoán vị ψq2+q+1 bậc q2 + q + 1 của GL(3, q) (Định nghĩa 1.1.30). Hơn nữa, (cid:68) = 1 (theo Công thức (1.1.1)). Đặt χq2+q := ψq2+q+1 − χ(0) ψq2+q+1, χ(0) 1 , 1 theo Hệ quả 1.1.25 ta chứng minh được χq2+q là bất khả quy. Mặt khác, theo Mệnh đề 1.2.20, χq2+qχ(m) q2+q, 0 ≤ m ≤ q − 2 cũng là các đặc trưng bất khả quy của GL(3, q).

Mệnh đề 2.1.7. Các đặc trưng χ(m) q2+q(0 ≤ m ≤ q − 2) bậc q2 + q được xây dựng như trên là các đặc trưng bất khả quy của GL(3, q). Giá trị của mỗi đặc

trưng tại các lớp liên hợp được cho trong Bảng 2.5.

q2+q được ký hiệu là S(ρm, (2, 1)) với 0 ≤ m ≤ q − 2 và (2, 1) là một phân hoạch của n = 3. Khi

Theo ký hiệu của Dipper-James [6], các đặc trưng χ(m)

đó, χq2+q = χ(0) q2+q được ký hiệu là S(1, (2, 1)) và ta thấy rằng S(ρm, (2, 1)) = S(1, (2, 1))S(ρm, (3)), trong đó S(ρm, (3)) là đặc trưng tuyến tính của GL(3, q). Mặt khác, xét các bộ gồm hai đối tượng hình học trên P2(Fq), mỗi bộ này gồm một điểm và một đường thẳng đi qua điểm đó trong mặt phẳng xạ ảnh P2(Fq). Xét tập hợp tất cả (q + 1)(q2 + q + 1) bộ như vậy trong mặt phẳng xạ ảnh P2(Fq). Khi đó, nhóm GL(3, q) tác động lên tập hợp này bởi các phép biến đổi xạ ảnh. Tác động này cho ta một biểu diễn hoán vị bậc (q+1)(q2+q+1) của

GL(3, q). Đặt ψ(q+1)(q2+q+1) là đặc trưng hoán vị tương ứng với biểu diễn trên, ta có thể tính được giá trị của ψ(q+1)(q2+q+1) trên các lớp liên hợp của GL(3, q) như sau

A(a) 1

: 0.

: (q + 1)(q2 + q + 1), A(a) 2 A(a,b) 5

: 2q + 1, A(a) 3 : 3, A(a,b,c) 6

: 1, A(a,b) 4 : 6, A(a,b) 7

: 3(q + 1), : 0, A(a) 8

Áp dụng Định lý 1.1.24 và Công thức (1.1.1), ta có thể viết ψ(q+1)(q2+q+1)

thành

ψ(q+1)(q2+q+1) = χ(0)

1 + 2χq2+q + χq3,

trong đó χq3 là một đặc trưng của GL(3, q). Theo Hệ quả 1.1.25, ta chứng minh 1 =: χ(m) được χq3 là bất khả quy. Hơn nữa, theo Mệnh đề 1.2.20, ta có χq3χ(m) 0 ≤ m ≤ q − 2 cũng là các đặc trưng bất khả quy của GL(3, q).

Mệnh đề 2.1.8. Các đặc trưng χ(m) , 0 ≤ m ≤ q − 2 được xây dựng như trên q3 là các đặc trưng bất khả quy bậc q3 của GL(3, q). Giá trị của mỗi đặc trưng

này tại các lớp liên hợp của GL(3, q) được cho trong Bảng 2.5.

q3 còn được ký hiệu là S(ρm, (13)),

Tương tự, theo ký hiệu của Dipper-James, χ(m)

trong đó (13) là một phân hoạch của n = 3 và S(ρm, (13)) = S(1, (13))S(ρm, (3)).

Tiếp theo, ta xét nhóm con parabolic của GL(3, q) tương ứng với phân hoạch

(2, 1) của n = 3,

 

A11 A12

   

.

P(2,1) =

  | A11 ∈ GL(2, q), a22 ∈ GL(1, q)  

0

 

a22

(cid:12)P(2,1)

(cid:12) Ta có (cid:12) (cid:12) = q3(q − 1)3(q + 1). Xét nhóm con Levi L(2,1) = GL(2, q) × GL(1, q) của nhóm P(2,1), các đặc trưng bất khả quy của L(2,1) được tính nhờ Mệnh đề 1.2.22. Do P(2,1)/U(2,1) = L(2,1) nên ta có thể nâng các đặc trưng bất khả quy của L(2,1) lên thành các đặc trưng bất khả quy của nhóm P(2,1), sau đó cảm sinh các đặc trưng này thành đặc trưng của nhóm GL(3, q). Giá trị của các

đặc trưng cảm sinh này được tính toán sử dụng Mệnh đề 1.2.13.

Mệnh đề 2.1.9. [5, trang 229]

(1) Với 0 ≤ m, k ≤ q − 2 và m (cid:54)= k, xét các đặc trưng χ(m)

của nhóm 1 φ(k) là q2+q+1 là đặc trưng của GL(3, q) 1 φ(k) bằng cách nêu trên. Khi đó các đặc trưng này

GL(2, q) và các đặc trưng tuyến tính φ(k) của GL(1, q), khi đó χ(m) các đặc trưng của nhóm L(2,1). Ký hiệu χ(m,k) được cảm sinh từ χ(m) là bất khả quy và có bậc q2 + q + 1.

q(q2+q+1) q φ(k) bằng cách nêu trên.

của

q(q2+q+1) là bất khả quy và có bậc q(q2 + q + 1).

(2) Tương tự, với 0 ≤ m, k ≤ q − 2 và m (cid:54)= k, xét các đặc trưng χ(m) GL(2, q) và các đặc trưng tuyến tính φ(k) của GL(1, q). Ký hiệu χ(m,k) là các đặc trưng của GL(3, q) cảm sinh từ χ(m) Các đặc trưng χ(m,k)

(3) Với 0 ≤ m, k, l ≤ q − 2 và m (cid:54)= k (cid:54)= l, xét các đặc trưng χ(m,k) q+1 của GL(2, q) và các đặc trưng tuyến tính φ(l) của GL(1, q). Ký hiệu χ(m,k,l) (q+1)(q2+q+1) là các đặc trưng của GL(3, q) cảm sinh từ χ(m,k) q+1 φ(l) bằng cách nêu trên. Các đặc trưng χ(m,k,l) (q+1)(q2+q+1) là bất khả quy và có bậc (q + 1)(q2 + q + 1).

các đặc trưng χ(m) (4) Với 0 ≤ m ≤ q2 − 2, m (cid:54)≡ 0 (mod q + 1) và 0 ≤ k ≤ q − 2, xét q−1 của nhóm GL(2, q) và các đặc trưng tuyến tính φ(k)

q3−1 là các đặc trưng của GL(3, q) cảm sinh từ q3−1 là bất khả quy và có

của GL(1, q). Ký hiệu χ(m,k) q−1φ(k) bằng cách nêu trên. Các đặc trưng χ(m,k) χ(m) bậc là q3 − 1.



Cuối cùng, xét nhóm con H sinh bởi phần tử của nhóm

τ q

Giá trị của các đặc trưng này được cho trong Bảng 2.5.  τ            

τ q2

GL(3, q), H có cấp bằng q3 − 1. Cảm sinh các đặc trưng tuyến tính của nhóm

con H lên nhóm GL(3, q). Theo Mệnh đề 1.2.13, giá trị của các đặc trưng cảm

sinh này là

A(a) 1

: 0, A(a,b) 4

: 0, A(a) : 0, 3 : ηma + ηmaq + ηmaq2

,

: q3(q − 1)2(q + 1)ηma(q2+q+1), A(a) 2 : 0, A(a) A(a,b) 8 5

: 0, A(a,b,c) 6

: 0, A(a,b) 7

(q−1)2(q+1) và được tính như sau, kết quả này được tham khảo trong [5, trang

trong đó 0 ≤ m ≤ q3 − 2. Các đặc trưng bất khả quy còn lại của GL(3, q) đặt là χ(m)

q3 − χ(0)

q2+q + χ(0)

1 ]χ(0,m) q3−1 .

(q−1)2(q+1) := [χ(0) χ(m)

230]

(q−1)2(q+1). Giá trị của các đặc trưng

(q−1)2(q+1) = χ(mq2)

(q−1)2(q+1) = χ(mq) này được cho trong Bảng 2.5.

Mệnh đề 2.1.10. Các đặc trưng χ(m) (q−1)2(q+1) được xây dựng như trên là các đặc trưng bất khả quy của GL(3, q), trong đó 0 ≤ m ≤ q3 − 2, m (cid:54)≡ 0 (mod q2 + q + 1) và χ(m)

(q−1)2(q+1) của GL(3, q) còn được ký hiệu là S(τ m, (1)), trong đó (1) là phân hoạch của 1. Để ý rằng τ m có bậc bằng 3 trên trường Fq do τ m ∈ Fq3 \ Fq.

Các đặc trưng χ(m)

Bảng 2.5 là bảng đặc trưng của nhóm GL(3, q), trong đó (cid:15), ι và η lần lượt là

các căn nguyên thủy bậc q − 1, q2 − 1 và q3 − 1 của đơn vị trong C.

Bảng 2.5: Bảng đặc trưng của nhóm GL(3, q)

χ(m) 1

χ(m) q3

q3(cid:15)3ma

χ(m) q2+q 0 ≤ m ≤ q − 2 0 ≤ m ≤ q − 2 0 ≤ m ≤ q − 2 (q2 + q)(cid:15)3ma q(cid:15)3ma

0 q(cid:15)m(2a+b)

(cid:80)

0 (q + 1)(cid:15)m(2a+b) (cid:15)m(2a+b) 2(cid:15)m(a+b+c)

χ(m,k) q2+q+1 0 ≤ m, k ≤ q − 2, m (cid:54)= k (q2 + q + 1)(cid:15)(2m+k)a (q + 1)(cid:15)(2m+k)a (cid:15)(2m+k)a (cid:15)2ma+kb + (q + 1)(cid:15)(m+k)a+mb (cid:15)2ma+kb + (cid:15)(m+k)a+mb a,b,c (cid:15)m(a+b)+kc (cid:15)ma+kb

(cid:15)3ma (cid:15)3ma (cid:15)3ma (cid:15)m(2a+b) (cid:15)m(2a+b) (cid:15)m(a+b+c) (cid:15)m(a+b) (cid:15)ma

0 −(cid:15)ma

0 (cid:15)n(a+b+c) −(cid:15)m(a+b) (cid:15)ma

A(a) 1 A(a) 2 A(a) 3 A(a,b) 4 A(a,b) 5 A(a,b,c) 6 A(a,b) 7 A(a) 8

χ(m,k) q3−1

χ(m,k) q(q2+q+1)

χ(m,k,l) (q+1)(q2+q+1)

χ(m) (q−1)2(q+1)

0 ≤ m ≤ q2 − 2

0 ≤ m ≤ q3 − 2

0 ≤ m, k ≤ q − 2

0 ≤ m, k, l ≤ q − 2

m (cid:54)≡ 0 (mod q + 1)

m (cid:54)= 0 (mod q2 + q + 1)

m (cid:54)= k

m (cid:54)= k (cid:54)= l

0 ≤ k ≤ q − 2

χ(m) = χ(mq) = χ(mq2)

(q + 1)(q2 + q + 1)

(q − 1)2(q + 1)

q(q2 + q + 1)(cid:15)(2m+k)a

(q3 − 1)ι(m+k)a(q+1)

A(a) 1

(cid:15)(m+k+l)a

ηma(q2+q+1)

q(cid:15)(2m+k)a

(2q + 1)(cid:15)(m+k+l)a

ι(m+k)a(q+1)

−(q − 1)ηma(q2+q+1)

(cid:15)(m+k+l)a

−ι(m+k)a(q+1)

ηma(q2+q+1)

A(a) 2 A(a) 3

q(cid:15)2ma+kb

(q + 1) (cid:80)

A(a,b) 4

m,k,l (cid:15)(m+k)a+lb (q − 1)ι(ma+kb)(q+1)

+(q + 1)(cid:15)(m+k)a+mb

(cid:80)

−ι(ma+kb)(q+1)

(cid:15)(m+k)a+mb

m,k,l (cid:15)(m+k)a+lb

(cid:80)

m,k,l (cid:15)ma+kb+lc

a,b,c (cid:15)m(a+b)+kc

−(ιma + ιmaq)ιkb(q+1)

−(cid:15)ma+kb

ηma + ηmaq + ηmaq2

A(a,b) 5 A(a,b,c) 6 A(a,b) 7 A(a) 8

trong đó tổng (cid:80)

a,b,c và (cid:80)

m,k,l (cid:15)(m+k)a+lb lấy trên các phép hoán vị cấp 2 của a, b, c và m, k, l,

tổng (cid:80)

m,k,l (cid:15)ma+kb+lc lấy trên tất cả các phép hoán vị của m, k, l.

Ký hiệu của Dipper-James cho các đặc trưng bất khả quy của nhóm GL(n, q)

Phần này được tham khảo theo các tài liệu [6] và [7, trang 6095]. Với mọi đặc

trưng χ ∈ Irr(GL(n, q)), tồn tại duy nhất bộ {(s1, λ1), (s2, λ2), . . . , (sk, λk)}

sai khác nhau thứ tự sao cho

χ = S(s1, λ1) ◦ S(s2, λ2) ◦ . . . ◦ S(sk, λk),

q có bậc di trên Fq, λi là phân hoạch của mi và nếu đặt ni =

i=1 ni = n.

trong đó si ∈ F× midi thì (cid:80)k

Cụ thể, với mọi đặc trưng χ ∈ Irr(GL(n, q)), tồn tại đặc trưng

ψ = S(s1, λ1)S(s2, λ2) . . . S(sk, λk)

của nhóm con Levi

Lχ := GL(n1, q) × GL(n2, q) × . . . × GL(nk, q),

L (ψ).

trong đó S(si, λi) ∈ Irr(GL(ni, q)), si ∈ F× q có bậc di trên Fq và λi là phân hoạch của ni/di, sao cho khi nâng ψ lên thành đặc trưng của nhóm con parabolic Pχ và cảm sinh đặc trưng này thành đặc trưng của GL(n, q) thì đặc trưng thu được là χ. Khi đó χ được gọi là đặc trưng cảm sinh Lusztig của ψ và ký hiệu là RG

Giả sử S(si, λi) là một đặc trưng bất khả quy của GL(ni, q) sao cho si ∈ F× q .

Khi đó λi là phân hoạch của ni và S(si, λi) có thể được viết là

S(si, λi) = S(si, (ni)).S(1, λi).

Trong đó S(si, (ni)) là một đặc trưng tuyến tính của GL(ni, q) và S(1, λi) được gọi là đặc trưng lũy đơn của GL(ni, q). Bậc của của đặc trưng S(1, λ1) được

tính dựa theo [8, mục 13.8] và đặc trưng này chỉ nhận giá trị là các số nguyên.

2.2 Nhóm tuyến tính đặc biệt

2.2.1. Bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q)

Nhóm SL(2, q) là nhóm con của nhóm GL(2, q) chứa các ma trận vuông cỡ

2 × 2 có định thức bằng 1. Do ta có một toàn cấu nhóm cho bởi

ϕ : GL(2, q) → F× q

M (cid:55)→ detM

và Kerϕ = SL(2, q), nên ta có thể tính được |SL(2, q)| = q(q − 1)(q + 1) = q3 − q.

q chứa hai phần

Để ý, nếu q chẵn thì GL(2, q) = SL(2, q) × Z(GL(2, q)). Do đó theo Mệnh

q không chứa phần tử cấp 2.

đề 1.2.23, mỗi đặc trưng bất khả quy của GL(2, q) đều có hạn chế thành một đặc trưng bất khả quy của SL(2, q). Bên cạnh đó, nếu q lẻ thì F× tử cấp 2 là 1, −1. Nếu q chẵn thì F×

Để xây dựng bảng đặc trưng của nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2, q) ta thực

hiện các bước sau.

• Phân loại các lớp liên hợp của nhóm SL(2, q).

• Hạn chế các đặc trưng bất khả quy của nhóm GL(2, q) thành các đặc trưng

của nhóm SL(2, q).

• Xét tính bất khả quy của các đặc trưng mới tạo thành của nhóm SL(2, q).

Cụ thể từng bước xây dựng bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q) sẽ được trình bày

trong tiết này. Và cách xây dựng bảng đặc trưng của nhóm SL(3, q) cũng đi qua

các bước tương tự và được trình bày trong tiết sau.

Bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q), q lẻ

Ta có thể phân loại các lớp liên hợp của nhóm SL(2, q) dựa trên bảng các

lớp liên hợp của GL(2, q) (Bảng 2.1):

2 ) ( q−1 và A 1

1 của GL(2, q), chỉ có 2 lớp A(q−1)

của • Xét các lớp liên hợp A(a)

GL(2, q) nằm trong SL(2, q), đó cũng là hai phần tử I2 và −I2. Ta ký hiệu I2 là A1, tương ứng ký hiệu −I2 là −A1.

• Xét hai lớp liên hợp A(q−1)

( q−1 2 ) và A 2

trong GL(2, q). Lớp liên hợp A(q−1) của GL(2, q) tách ra thành hai lớp liên hợp trong nhóm SL(2, q), mỗi lớp    

1 1

1 ρ

2 ) ( q−1 2

có phần tử đại diện là      . Tương tự, lớp liên hợp A   và 1

1

   của GL(2, q) tách ra thành hai lớp liên hợp trong SL(2, q), mỗi lớp có đại 

−1 −1

−1 −ρ

diện là     và    . Ta ký hiệu 4 lớp liên hợp này lần

−1

lượt là A2, A2(cid:48), −A2 và −A2(cid:48).

• Đối với các lớp liên hợp A(a,b) , GL(2, q) có q−3 2

lớp liên hợp A(a,−a) (cid:1) nằm trong SL(2, q). Các lớp liên hợp này không bị tách

(cid:0)1 ≤ a ≤ q−3 2 ra trong SL(2, q).

4 , GL(2, q) có q−1

4 với a =

• Đối với các lớp liên hợp A(a)

lớp liên hợp A(a) k(q − 1), 1 ≤ k ≤ q và a (cid:54)≡ 0 (mod q + 1), nằm trong SL(2, q).

Bảng 2.6 là bảng các lớp liên hợp của SL(2, q) với q lẻ.

Bây giờ ta xây dựng bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q). Ta có giá trị của các

đặc trưng bất khả quy, hạn chế từ nhóm GL(2, q) xuống nhóm SL(2, q) được

cho trong Bảng 2.7.

Bảng 2.6: Bảng các lớp liên hợp của SL(2, q), q lẻ

Điều kiện tham số

Số lượng

Lớp

(cid:12) (cid:12)CSL(2,q)(g)(cid:12) (cid:12)

Đại diện g (cid:33) (cid:32)

q3 − q

không

(cid:33)

(cid:32)

−1

q3 − q

không

−A1

(cid:32)

−1 (cid:33)

không

(cid:33)

(cid:32)

không

A2(cid:48)

(cid:33)

(cid:32)

−1 −1

không

−A2

−1

(cid:33)

(cid:32)

−1 −ρ

không

−A2(cid:48)

−1

(cid:33)

(cid:32)

ρa

q − 1

A(a) 3

1 ≤ a ≤ q−3 2

q − 3 2

ρ−a

(cid:33)

(cid:32)

σa

q + 1

A(a) 4

q − 1 2

σaq

a (cid:54)= 0 (mod q + 1), A(a)

a = k(q − 1), 1 ≤ a ≤ q2 − 1 4 = A(aq)

Bảng 2.7: Các đặc trưng của GL(2, q) khi hạn chế xuống SL(2, q)

↓ SL(2, q)

χ(m) q

χ(m) 1

χ(m,k) q+1

0 ≤ m ≤ q − 2

0 ≤ m < k ≤ q − 2

q−1

q + 1 (−1)m+k(q + 1)

χ(m) q−1 ↓ SL(2, q) 0 ≤ m ≤ q2 − 2, m (cid:54)≡ 0 (mod q + 1) χ(m) q−1 = χ(mq) q − 1 (−1)m(q − 1)

1 (−1)m+k

−1 (−1)m+1

1 (−1)m+k (cid:15)(m−k)a + (cid:15)(k−m)a

−1

0 −(ιma + ιmaq)

A1 −A1 A2 −A2 A2(cid:48) −A2(cid:48) A(a) 3 A(a) 4

1 không phụ thuộc vào chỉ số m, hơn nữa các đặc trưng này là bất khả quy (theo

Đầu tiên, ta thấy rằng giá trị của χ(m) khi hạn chế xuống SL(2, q) , χ(m) q

Hệ quả 1.1.25).

Mệnh đề 2.2.1. Hai đặc trưng bất khả quy ψ1 và ψq của SL(2, q) là hạn chế của các đặc trưng bất khả quy bậc 1 và bậc q của GL(2, q).

:= χ(m,k)

q+1 ↓ SL(2, q) là bất khả quy

Tiếp theo, ta chứng minh được ψ(m,k) q+1

2 . Thật vậy, theo công thức (1.1.1), ta có

q−3

với m = 1 và 1 ≤ k ≤ q−3

2(cid:88)

(cid:69) (cid:16)

+

=

(cid:15)(k−1)a + (cid:15)(1−k)a(cid:17)2

.

q+1

(cid:68) q+1 , ψ(1,k) ψ(1,k)

(q + 1)2 q3 − q

4 2q

1 q − 1

a=1

q−3

Trong đó

2(cid:88)

(cid:16)

(cid:15)(k−1)a + (cid:15)(1−k)a(cid:17)2

=

(cid:15)2a(k−1) +

(cid:15)2a(1−k) +

2.

a=1

a=1 (cid:15)2 = 0, hơn nữa (cid:80) q−1

a=1 (cid:15) = 0 nên (cid:80) q−1

a=1 (cid:15)2a(1−k) = 0. Do đó = q − 5.

a=1 (cid:15)2a(k−1) = −(cid:15)(q−1)(k−1) = −1 và (cid:80) q−3

2 a=1

Do (cid:80)q−1 (cid:80) q−3 (cid:0)(cid:15)(k−1)a + (cid:15)(1−k)a(cid:1)2

Vậy

(cid:69) (cid:68)

+

=

+

= 1.

=

q+1 , ψ(1,k) ψ(1,k)

q+1

2(q + 1) q(q − 1)

2 q

q − 5 q − 1

4 q − 1

q − 5 q − 1

2 đặc trưng bất khả quy bậc q + 1 của SL(2, q).

q+1 của SL(2, q) là hạn chế của

Như vậy ta đã có q−3 Mệnh đề 2.2.2. Các đặc trưng bất khả quy ψ(m) các đặc trưng χ(1,m)

2 ,0)

(cid:28) (cid:29)

ψ

, ψ

, k = 0 thì Nếu ta cho m =

= 2. Khi đó ψ( q−1

q+1 của GL(2, q) với 1 ≤ m ≤ q−3 2 . ( q−1 2 ,0) q+1

( q−1 q+1

q − 1 2

khả quy và ta có thể tính được các thành phần bất khả quy của nó nhờ Định lý

Clifford (Định lý 1.2.3).

q−1 := χ(m)

q−1 ↓ SL(2, q) là bất thì

Tương tự như vậy, ta cũng chứng minh được ψ(m)

(theo Hệ quả 1.1.25). Mặt khác nếu cho m = q+1 2 (cid:29)

, ψ

ψ

= 2. Do đó ψ

khả quy và ta cũng tính được các thành khả quy với 1 ≤ m ≤ q−1 2 (cid:28) ( q+1 2 ) q−1

( q+1 2 ) q−1

q−1 của SL(2, q) là hạn chế của

2 ,0)

phần bất khả quy của nó nhờ Định lý Clifford. Mệnh đề 2.2.3. Các đặc trưng bất khả quy ψ(m) các đặc trưng χ(m) q−1 của GL(2, q) với 1 ≤ m ≤ q−1 2 .

Gọi ψ q+1 và ψ(cid:48) là hai đặc trưng bất khả quy thành phần của ψ . Khi

( q+1 q+1

q−1 2

đó, hai đặc trưng này có cùng bậc và liên hợp với nhau theo Định lý 1.2.3. Để

ý rằng đối với các lớp liên hợp của GL(2, q) không bị tách ra trong SL(2, q),

q−1 2

giá trị của ψ q+1 và ψ(cid:48) trên các lớp liên hợp này là bằng nhau. Sử dụng quan

hệ trực giao trên một bảng đặc trưng (Định lý 1.1.29) ta có thể tính được giá trị

−1

của mỗi đặc trưng.    

1 1

1 −1

=

Mặt khác, chú ý rằng nếu q ≡ 3(mod4) thì       ∈ A2(cid:48).   1

1

Do đó bảng đặc trưng của SL(2, q) với q ≡ 3 (mod 4) có chứa đặc trưng phức.

Nếu q ≡ 1 (mod 4) thì mỗi phần tử của SL(2, q) và nghịch đảo của nó đều

thuộc cùng một lớp liên hợp. Do đó, các đặc trưng của SL(2, q) trong trường

q−1 2

và ψ(cid:48) là hai

thành phần bất khả quy của ψ . hợp này đều nhận giá trị thực. Tính toán tương tự đối với ψ q−1 ( q+1 2 ) q−1

Bảng 2.8: Bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q), q lẻ

ψ(cid:48)

ψ1 ψq

ψ q+1 2

ψ q−1 2

q+1 2

q−1 2

ψ(m) q+1 1 ≤ m ≤ q−3 2

ψ(m) q−1 1 ≤ m ≤ q−1 2

1 q

q + 1

q − 1

(−1)m+1(q + 1) (−1)m(q − 1)

−A1 1 q

q+1 2 ε q+1 2 √

q−1 2 −ε q−1 2 √

1 0

εq 2 √

(cid:17)

− 1 (cid:16)

(cid:17)

1 (−1)m+1

−1 (−1)m+1

−ε

2 + − 1

−A2 1 0

√

2 + √

√

εq 2 εq 2 √

− 1 (cid:16)

(cid:17)

1 (−1)m+1

−1 (−1)m+1

−ε

2 − − 1

−ε

− 1 2 − (cid:16) − 1 2 − 2 + − 1

εq 2

1 2 + (cid:16) 1 2 + 1 2 − (cid:16) 1 εq 2 − 2 (−1)a

1 2 − (cid:16) 1 2 − 1 2 + (cid:16) 1 εq 2 + 2 (−1)a

1 1 (cid:15)(m−1)a + (cid:15)(1−m)a

1 −1

2 − 0 (−1)a+1

2 + 0 (−1)a+1

0 −(ιma + ιmaq)

A2(cid:48) 1 0 −A2(cid:48) 1 0 A(a) 3 A(a) 4

(cid:40)

q−1 2 =

trong đó ε = (−1)

1, −1,

q ≡ 1 (mod 4) q ≡ 3 (mod 4).

Bảng 2.8 là bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q), q lẻ.

Bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q), q chẵn

Tương tự như cách xây dựng bảng các lớp liên hợp của các nhóm trên, ta

cũng phân loại được các lớp liên hợp của SL(2, q) với q chẵn. Bảng 2.9 là bảng

các lớp liên hợp của SL(2, q), q chẵn. Mặt khác, như đã nhận xét ở phần đầu,

mỗi đặc trưng bất khả quy của GL(2, q) đều hạn chế thành một đặc trưng bất

khả quy của SL(2, q) với q chẵn. Bảng 2.10 là bảng đặc trưng của SL(2, q), q

Bảng 2.9: Bảng các lớp liên hợp của SL(2, q), q chẵn

Điều kiện tham số

Số lượng (cid:12)

(cid:12)CGL(2,q)(g)(cid:12) (cid:12)

Lớp Đại diện g (cid:32) (cid:33)

q3 − q

không

(cid:32)

(cid:33)

1 1

không

(cid:32)

(cid:33)

ρa

q − 1

A(a) 3

1 ≤ a ≤ q−2 2

q − 2 2

ρ−a

(cid:32)

(cid:33)

σa

q(q − 1)

A(a) 4

q 2

σaq

a = k(q − 1), 1 ≤ a ≤ q2 − 1 4 = A(aq) a (cid:54)≡ 0 (mod q + 1), A(a)

Bảng 2.10: Bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q), q chẵn

ψ1 ψq

ψ(n) q+1

ψ(n) q−1

1 ≤ n ≤

q − 2 2

q 2

q + 1

q − 1

−1

1 (cid:15)na + (cid:15)−na

1 −1

0 − (ιna + ιnaq)

A2 A(a) 3 A(a) 4

chẵn.

2.2.2. Bảng đặc trưng của nhóm SL(3, q)

q−1

3 . Nếu q (cid:54)≡ 1 (mod 3) thì

q có ba phần tử cấp 3 sinh bởi ρ

Trước hết, ta có |SL(3, q)| = q3(q − 1)2(q + 1)(q2 + q + 1). Chú ý rằng nếu

q ≡ 1 (mod 3) thì F× F×

q không chứa phần tử cấp 3 nào. Hơn nữa, trong trường hợp q (cid:54)≡ 1 (mod 3), GL(3, q) = SL(3, q) × Z(GL(3, q)). Khi đó, mỗi đặc trưng bất khả quy của

GL(3, q) đều hạn chế thành một đặc trưng bất khả quy của SL(3, q) (theo Mệnh

đề 1.2.23). Trước tiên, các lớp liên hợp của SL(3, q) được phân loại dựa theo

q−1

bảng các lớp liên hợp của GL(3, q), tương tự như nhóm SL(2, q). Ở đây, các lớp A(a) 3 của GL(3, q) mà nằm trong SL(3, q) sẽ bị tách ra thành ba lớp liên hợp khác nhau của SL(3, q). Bảng 2.11 là bảng các lớp liên hợp của SL(3, q), trong

3 nếu q ≡ 1 (mod 3) và w = 1 nếu q (cid:54)≡ 1 (mod 3).

Bảng 2.11: Bảng các lớp liên hợp của SL(3, q)

Đại diện g

Điều kiện tham số

Số lượng

Dạng

|CSL(3,q)(g)|





ωa

0 ≤ a ≤ d − 1

q3(q − 1)2(q + 1)(q2 + q + 1)

ωa

(a) 1

 

 

ωa





ωa

0 ≤ a ≤ d − 1

q3(q − 1)

1 ωa

(a) 2

 

 

ωa





ωa

0 ≤ a ≤ d − 1

dq2

1 ωa

(a) 3

 

 

1 ωa





ωa

0 ≤ a ≤ d − 1

dq2

ρ ωa

 

 

(a) 3(cid:48)

1 ωa





ωa

0 ≤ a ≤ d − 1

dq2

1 ωa

 

 

(a) 3(cid:48)(cid:48)

ρ ωa





ρa

(cid:16)

(cid:17)

0 ≤ a ≤ q − 2, a (cid:54)= 0

q − 1 − d

mod q−1

q(q − 1)2(q + 1)

ρa

(a) 4

 

 

ρ−2a





ρa

(cid:16)

(cid:17)

0 ≤ a ≤ q − 2, a (cid:54)= 0

mod q−1

q − 1 − d

q(q − 1)

1 ρa

(a) 5

 

 

ρ−2a 



ρa

1 ≤ a < b < c ≤ q − 1

(q − 1)2

ρb

(a,b,c) 6

6 (q − 1)(q − 4) + 1 1

3 d

 

 

a + b + c ≡ 0 (mod q − 1)

ρc





σa

q2 − 1

σaq

(a) 7

2 (q2 − q)

 

 

(aq) 7

ρ−a





1 ≤ a ≤ q2 − 1, a (cid:54)= 0 (mod q + 1) (a) 7 = A a = k(q − 1), 1 ≤ k ≤ q2 + q + 1

τ a

(cid:19)

(cid:18)

k (cid:54)≡ 0

mod q2+q+1

τ aq

q2 + q + 1

(a) 8

3 (q2 + q + 1 − d)

  

  

τ aq2

= A

(aq) (a) 8 = A 8

(aq2) 8

(cid:40)

trong đó d =

1, 3,

nếu q (cid:54)≡ 1 (mod 3) nếu q ≡ 1 (mod 3).

đó ω = ρ

Tương tự như nhóm SL(2, q), hạn chế các đặc trưng bất khả quy của GL(3, q)

thành các đặc trưng của SL(3, q). Sau đó áp dụng công thức tích vô hướng (công

thức (1.1.1)) để xác định các đặc trưng khả quy và bất khả quy của SL(3, q). Tuy

nhiên, việc tính toán trên SL(3, q) không đơn giản như tính toán trên SL(2, q).

Do đó, trước khi xây dựng bảng đặc trưng của SL(3, q), ta chứng minh một số

kết quả sau, các kết quả này được dựa theo tài liệu [4].

Định nghĩa 2.2.4. [4, Định nghĩa 4.6] Nhóm con M (3) của nhóm GL(3, q)

được định nghĩa như sau

(cid:110) (cid:1)3(cid:111)

M (3) =

.

A ∈ GL(3, q) | detA ∈ (cid:0)F× q

Dễ dàng chứng minh được nhóm M (3) có các tính chất sau.

Mệnh đề 2.2.5. [4, Bổ đề 4.6]

(1) M (3) (cid:2) GL(3, q),

(2) GL(3, q)/M (3) là một nhóm xyclic cấp 3,

(3) M (3) = SL(3, q).Z(M (3)).

Chứng minh. (1) Dễ dàng chứng minh bằng tiêu chuẩn nhóm con chuẩn tắc.

(2) Xét đồng cấu nhóm ϕ từ GL(3, q) vào nhóm xyclic cấp 3 sinh bởi w



1,

nếu detA = ρ3k;

ϕ(A) =

w,

nếu detA = ρ3k+1;

nếu detA = ρ3k+2.   w2,

Khi đó, ϕ là một toàn cấu nhóm và Kerϕ = M (3).

(3) Rõ ràng SL(3, q).Z(M (3)) ⊆ M (3). Mặt khác, với mọi A = (aij) ∈

M (3), giả sử detA = s3 với s ∈ F×

q . Khi đó A có thể được viết thành

A = (aijs−1).(sI3),

trong đó ma trận (aijs−1) thuộc SL(3, q).

Xét một đặc trưng bất khả quy của GL(3, q), hạn chế đặc trưng này xuống

M (3) sẽ cho ta hoặc một đặc trưng bất khả quy hoặc nó là tổng của 3 đặc trưng

bất khả quy liên hợp (theo Định lý 1.2.3, Mệnh đề 2.2.5(1,2) và 1.2.6). Mặt

khác, theo Mệnh đề 2.2.5 (3) và Mệnh đề 1.2.24, mỗi đặc trưng bất khả quy của

M (3) đều hạn chế thành một đặc trưng bất khả quy của SL(3, q). Do đó, ta có

kết quả sau.

Mệnh đề 2.2.6. [4, Hệ quả 4.8] Giả sử χ ∈ Irr(GL(3, q)), khi đó

(cid:104)χ ↓ SL(3, q), χ ↓ SL(3, q)(cid:105) = 1 hoặc 3.

Các đặc trưng bất khả quy của GL(3, q) khi hạn chế xuống SL(3, q) trở

(q+1)(q2+q+1) với . Chú ý rằng các

3 và χ(m)

thành tổng của 3 đặc trưng bất khả quy liên hợp nhau là: χ(m,k,l) m = k = l = q−1

, 2(q2+q+1) 3

(q−1)2(q+1) với m = q2+q+1 thành phần bất khả quy trong mỗi đặc trưng hạn chế này có cùng bậc và liên hợp

với nhau (theo Định lý 1.2.3). Sử dụng các quan hệ trực giao trên một bảng đặc

trưng (Định lý 1.1.29) và để ý tính chất được phát biểu trong Mệnh đề 1.1.21,

Bảng 2.12: Bảng đặc trưng của nhóm SL(3, q)

ψ1 ψq2+q ψq3

ψ(m) q2+q+1

ψ(m) q(q2+q+1)

ψ(m,k,l) (q+1)(q2+q+1) 1 ≤ m < k < l ≤ q − 1

1 ≤ m ≤ q − 2

1 q2 + q q3

q(q2 + q + 1)wma qwma

(q2 + q + 1)wma (q + 1)wma wma wma wma

m + k + l = 0 (mod q − 1) (q + 1)(q2 + q + 1)w(m+k+l)a (2q + 1)w(m+k+l)a w(m+k+l)a w(m+k+l)a w(m+k+l)a

0 q (q + 1)(cid:15)ma + (cid:15)−2ma (q + 1)(cid:15)ma + q(cid:15)−2ma

1 q + 1

m,k,l (cid:15)(m+k−2l)a

(q + 1) (cid:80) (cid:80)

(cid:80)

(cid:15)ma + (cid:15)−2ma (cid:15)ma + (cid:15)mb + (cid:15)mc (cid:15)ma

(cid:15)ma (cid:15)ma + (cid:15)mb + (cid:15)mc −(cid:15)ma

0 −1

m,k,l (cid:15)(m+k−2l)a m,k,l (cid:15)ma+kb+lc 0

1 −1

A(a) 1 A(a) 2 A(a) 3 A(a) 3(cid:48) A(a) 3(cid:48)(cid:48) A(a) 4 A(a) 5 A(a,b,c) 6 A(a) 7 A(a) 8

ta có thể tính được giá trị của các đặc trưng bất khả quy thành phần. Bảng 2.12 là bảng đặc trưng của SL(3, q), với w = e2πi/3.

ψ(m)

ψx

(cid:48) ψ x

(cid:48)(cid:48) ψ x

ψ(m) q3−1

(q−1)2(q+1)

1 ≤ m ≤ q2 − 1

1 ≤ m ≤ q2 + q + 1 (cid:17)

(cid:16)

mod q2+q+1

m (cid:54)= 0

m (cid:54)= 0 (mod q + 1)

(m) = (mq)

(m) = (mq) = (mq2)

(q3 − 1)wma

(q − 1)2(q + 1)wma

(q+1)(q2+q+1) 3

wma

−(q − 1)wma

−wma

wma

−wma

wma

−wma

wma

2q+1 3 q − q−1 3 − q−1 3 − q−1 3

2q+1 3 − q−1 3 q − q−1 3 − q−1 3

2q+1 3 − q−1 3 − q−1 3 q − q−1 3

q + 1

(q − 1)(cid:15)ma

−(cid:15)ma

wa−b + wb−a wa−b + wb−a wa−b + wb−a

−(ιma + ιmaq)

ηma + ηmaq + ηmaq2

A(a) 1 A(a) 2 A(a) 3 A(a) 3(cid:48) A(a) 3(cid:48)(cid:48) A(a) 4 A(a) 5 A(a,b,c) 6 A(a) 7 A(a) 8

ψy

ψz

ψ(cid:48) y

ψ(cid:48)(cid:48) y

ψ(cid:48) y

ψ(cid:48)(cid:48) y

w2a

(q−1)2(q+1) 3 q−1

3 q−1

wa (q−1)2(q+1) 3 w2a

(cid:1) wa

(cid:1) w2a

wa (q−1)2(q+1) 3 wa 3 wa

w2a (q−1)2(q+1) 3 w2a 3 w2a

(cid:1) wa

(cid:1) w2a

wa (q−1)2(q+1) 3 wa 3 wa 3 wa

w2a (q−1)2(q+1) 3 w2a 3 w2a 3 w2a

(cid:1) wa

(cid:1) w2a

3 wa (cid:0)q − q−1 3 − q−1 3 wa − q−1 3 wa 0

− q−1 (cid:0)q − q−1 3 − q−1 3 wa 0

− q−1 − q−1 (cid:0)q − q−1 3 0

− q−1 (cid:0)q − q−1 3 − q−1 3 w2a 0

(cid:0)q − q−1 3 − q−1 3 w2a − q−1 3 w2a 0

0 wa

0 w2a

0 wa

A(a) 1 A(a) 2 A(a) 3 A(a) 3(cid:48) A(a) 3(cid:48)(cid:48) A(a) 4 A(a) 5 A(a,b,c) 6 A(a) 7 A(a) 8

x, ψ(cid:48)(cid:48) y, ψ(cid:48)(cid:48)

x là các thành phần bất khả quy của χ(m,k,l) y là các thành phần bất khả quy của χ(m)

(q+1)(q2+q+1) ↓ SL(3, q) với m = k = (q−1)2(q+1) ↓ SL(3, q) với m = q2+q+1 .

trong đó ψx, ψ(cid:48) l = q−1 3 , ψy, ψ(cid:48) và ψz, ψ(cid:48) z, ψ(cid:48)(cid:48)

z là các thành phần bất khả quy của χ(m)

(q−1)2(q+1) ↓ SL(3, q) với m = 2(q2+q+1)

Chương 3

Trường giá trị của các đặc trưng bất khả

quy bậc lẻ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất về trường giá trị của

các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ của một nhóm hữu hạn và đưa ra một số ví

dụ tính toán trường giá trị của các đặc trưng trên các nhóm đã được tìm hiểu ở

chương trước. Tài liệu tham khảo chính của chương này là [9] và [10]. Trong

toàn bộ chương ta vẫn luôn ký hiệu G là một nhóm hữu hạn.

3.1 Trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ

Ta bắt đầu với khái niệm đặc trưng p-hữu tỷ.

Định nghĩa 3.1.1. Cho p là một số nguyên tố, một đặc trưng của nhóm G được gọi là p-hữu tỷ nếu Q(χ) nằm trong một trường cyclotomic Qm := Q(e2πi/m) với p (cid:45) m.

Định nghĩa 3.1.2. Nhóm G được gọi là hoàn hảo nếu G = [G, G]. Nếu nhóm

G là hoàn hảo và nhóm thương G/Z(G) là đơn thì G được gọi là nhóm tựa đơn.

Cho n là một số nguyên dương bất kỳ và p là một số nguyên tố. Trong suốt

phần này của luận văn, ta luôn ký hiệu np là lũy thừa lớn nhất của p chia hết n và np(cid:48) là ước lớn nhất của n không chia hết cho p. Khi đó ta có n = npnp(cid:48).

Bổ đề 3.1.3. [2, Bổ đề 22.18] Cho p là một số nguyên tố bất kỳ và một phần tử

g ∈ G. Khi đó tồn tại duy nhất hai phần tử gp, gp(cid:48) ∈ G sao cho

(a) g = gpgp(cid:48) = gp(cid:48)gp;

(b) Cấp của gp là lũy thừa của p;

Định lý sau đây cho thông tin rất thú vị về phần tử sinh của trường giá trị của

các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ. Đây là kết quả chính trong chương này.

Định lý 3.1.4. Cho một đặc trưng bất khả quy bậc lẻ χ và một số nguyên d > 1

không chứa ước chính phương. Khi đó

√

(a) Nếu Q(χ) = Q(

d) thì d ≡ 1 (mod 4);

√

(b) Nếu Q(χ) = Q(

−d) thì d ≡ 3 (mod 4).

Chứng minh của Định lý 3.1.4 được tách thành nhiều bước như sau, ứng với

chứng minh nhiều định lý khác nhau. Trước hết, với mỗi số nguyên d > 1 lẻ,

ký hiệu

1,

nếu d ≡ 1 (mod 4),  

(cid:15)d := (−1)(d−1)/2 =

−1,

nếu d ≡ 3 (mod 4). 

Định lý 3.1.5. Cho một đặc trưng χ của nhóm G và một số nguyên d > 1 không

√

(cid:15)d với (cid:15) = 1 hoặc (cid:15) = −1.

chứa ước chính phương. Đặt γ =

(a) Nếu χ là 2-hữu tỷ và γ ∈ Q(χ) thì d là số lẻ và (cid:15) = (cid:15)d.

(b) Nếu χ không là 2-hữu tỷ và χ là đặc trưng bất khả quy bậc lẻ thì i ∈ Q(χ)

và Q(χ) (cid:54)= Q(γ).

Định lý 3.1.4 là một hệ quả của Định lý 3.1.5. Thật vậy, theo giả thiết của Định lý 3.1.4, Q(χ) = Q(γ) và χ là đặc trưng bất khả quy bậc lẻ nên theo Định

lý 3.1.5(b), đặc trưng χ phải là 2-hữu tỷ. Theo ý (a) của Định lý 3.1.5, ta suy ra

d là lẻ và (cid:15) = (cid:15)d. Nghĩa là d ≡ 1 (mod 4) nếu (cid:15) = −1 và d ≡ 3 (mod 4) nếu (cid:15) = 1. Đây là khẳng định trong Định lý 3.1.4.

Bây giờ ta tập trung chứng minh Định lý 3.1.5. Trong định lý này, khẳng định (b) gồm hai ý cần phải chứng minh là i ∈ Q(χ) và Q(χ) (cid:54)= Q(γ). Khẳng định i ∈ Q(χ) được tách ra thành định lý sau đây.

Định lý 3.1.6. Giả sử χ là một đặc trưng bất khả quy của G có bậc lẻ. Nếu χ không là 2-hữu tỷ thì i ∈ Q(χ).

Khẳng định (a) và ý thứ hai trong khẳng định (b) của Định lý 3.1.5 được

chứng minh sử dụng Định lý 3.1.6 và kết quả sau trong Lý thuyết Galois.

Mệnh đề 3.1.7. [11, Hệ quả 4.5.5] Cho số nguyên m ≥ 1 và số nguyên f không

chứa ước chính phương. Đặt

|f |,

nếu f ≡ 1 (mod 4),  

f (cid:48) =

4|f |,

các trường hợp còn lại. 

√

Khi đó Q(

f ) ⊆ Qm khi và chỉ khi f (cid:48) là ước của m.

Chứng minh khẳng định (a) và ý thứ hai trong khẳng định (b) của Định lý 3.1.5.

√

(a) Ta có γ = (cid:15)d, trong đó (cid:15) = 1 hoặc (cid:15) = −1 và d là số nguyên không chứa ước chính phương. Giả sử χ là 2-hữu tỷ, khi đó Q(χ) ⊆ Qm với m là lẻ. Đặt f ∈ Q(χ) f = (cid:15)d và f (cid:48) được định nghĩa như trong Mệnh đề 3.1.7. Do γ = nên Mệnh đề 3.1.7, ta có f (cid:48) là ước của m. Do m là lẻ nên ta không thể có f (cid:48) = 4|f |. Do đó f (cid:48) = |f | nghĩa là f ≡ 1 (mod 4), hay (cid:15)d ≡ 1 (mod 4).

√

(cid:15)d). Theo Định √

√

d ∈ Q(i

(cid:15)d), nên (cid:15) = −1. Do i ∈ Q(i

d). Vậy

d) nên

√

d), mâu thuẫn vì hai mở rộng trường này có bậc khác nhau

(b) Giả sử χ ∈ Irr(G) không là 2-hữu tỷ và χ(1) là lẻ. Ta cần chứng minh Q(χ) không có dạng Q( (cid:15)d). Giả sử ngược lại, nghĩa là Q(χ) = Q( √ √ lý 3.1.6, i ∈ Q( Q(i, d) = Q(i trên Q.

Như vậy, để chứng minh Định lý 3.1.5, ta còn phải chứng minh Định lý 3.1.6.

Trước hết ta có kết quả sau cho một nhóm tựa đơn hữu hạn.

Định lý 3.1.8. Giả sử G là nhóm tựa đơn hữu hạn, χ ∈ Irr(G) có bậc lẻ và χ

không là 2-hữu tỷ. Khi đó, tồn tại một phần tử g trong nhóm G có cấp là lũy thừa của 2 sao cho i ∈ Q(χ(g)).

Định lý 3.1.8 sẽ được chứng minh trong tiết sau. Trong phần còn lại của tiết

này, ta sẽ chứng minh Định lý 3.1.6 bằng cách sử dụng trước kết luận của Định

lý 3.1.8.

Ta có một số bổ đề kỹ thuật sau.

Bổ đề 3.1.9. Cho N (cid:1) G và giả sử |G/N | lẻ, θ ∈ Irr(N ) là 2-hữu tỷ. Khi đó

với mọi χ ∈ Irr(G|θ), χ là 2-hữu tỷ.

Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo cấp của nhóm G. Gọi T là

nhóm con ổn định hóa của θ bởi tác động liên hợp của nhóm G lên tập Irr(N )

(Định nghĩa 1.2.2). Giả sử T < G. Theo Định lý 1.2.15 về tương ứng Clifford, tồn tại η ∈ Irr(T |θ) sao cho η ↑ G = χ, khi đó Q(χ) ⊂ Q(η). Hơn nữa, áp

dụng giả thiết quy nạp ta có η là 2-hữu tỷ, do đó χ cũng là 2-hữu tỷ.

Bây giờ, giả sử T = G hay θ là G-bất biến và giả sử có nhóm con H sao cho

N ⊆ H < G. Lấy ψ là một thành phần bất khả quy bất kỳ của χ ↓ H, khi đó

ψ ∈ Irr(H|θ). Thật vậy, giả sử (cid:104)θ ↑ H, ψ(cid:105) = (cid:104)θ, ψ ↓ N (cid:105) = 0. Do θ là G-bất

biến nên χ ↓ N = eθ và ta có

0 = e (cid:104)θ ↑ H, ψ(cid:105) = (cid:104)eθ ↑ H, ψ(cid:105) = (cid:104)(χ ↓ N ) ↑ H, ψ(cid:105) = (cid:104)χ ↓ N, ψ ↓ N (cid:105) .

(3.1.1)

Mặt khác, để ý χ ↓ N = (χ ↓ H) ↓ N và ψ là một thành phần bất khả quy của

χ ↓ H, do đó (cid:104)χ ↓ N, ψ ↓ N (cid:105) (cid:54)= 0 (mâu thuẫn).

ψ ψ(x) nên χ(x)

Áp dụng giả thiết quy nạp cho ψ và H là nhóm con thực sự của G, ta có ψ

là 2-hữu tỷ. Khi đó với mọi phần tử x ∈ H, ta có χ(x) = (cid:80) là 2-hữu tỷ.

Như vậy, ta đã chứng minh được định lý đúng với mọi phần tử x nằm trong

một nhóm con thực sự của G và chứa N . Bây giờ ta cần chứng minh định lý

cũng đúng với mọi phần tử x không nằm trong bất kỳ nhóm con thực sự nào của

G và chứa N . Với x có tính chất như trên, ta có thể giả sử G = N (cid:104)x(cid:105) và G/N là

nhóm xyclic. Khi đó theo Mệnh đề 1.2.5, θ mở rộng được lên nhóm G. Hơn nữa,

1 β1χ = β2β−1

nhóm G/N tác động truyền dẫn trên tập Irr(G|θ) bởi phép nhân hai đặc trưng.

Vì với mọi χ1, χ2 ∈ Irr(G|θ), tồn tại β1, β2 ∈ Irr(G/N ) sao cho χ1 = β1χ, χ2 = β2χ (theo Hệ quả 1.2.17). Khi đó χ2 = β2χ = β2β−1 1 χ1 (do G/N là nhóm xyclic nên Irr(G/N ) chỉ gồm các đặc trưng tuyến tính và

chúng lập thành một nhóm).

Giả sử n = |G| và m = |G|2(cid:48), đặt G = Gal(Qn/Qm), khi đó G là 2-nhóm. m| và nếu đặt 2r = n/m thì do

m × Z×

n | và |Gal(Qm/Q)| = |Z× n = Z×

2r. Suy ra

Vì |Gal(Qn/Q)| = |Z× (m, 2) = 1 nên ta có Z×

|Gal(Qn/Qm)| = |Z×

n |/|Z×

m| = |Z×

2r| = 2r−1.

Lấy σ ∈ G bất kỳ. Do θ là 2-hữu tỷ nên θσ = θ. Do đó χ và χσ cùng thuộc

Irr(G|θ). Do G/N tác động truyền dẫn lên Irr(G|θ) nên tồn tại λ ∈ Irr(G/N ) sao cho χσ = λχ.

Do |G/N | lẻ và do λ là đặc trưng tuyến tính của G/N nên λm = 1G. Suy ra Q(λ) ⊂ Qm, do đó λσ = λ. Vì vậy ta có χσm = χλm = χ. Tuy nhiên, do G là 2-nhóm và m lẻ nên σ ∈ (cid:104)σm(cid:105) hay σ giữ cố định χ. Do vậy χ được giữ cố định dưới tác động của mọi phần tử σ ∈ G, hay Q(χ) ⊂ Qm và χ là 2-hữu tỷ.

Bổ đề 3.1.10. Cho N (cid:1) G, λ, θ ∈ Irr(N ) là các đặc trưng G-bất biến. Giả sử

λθ bất khả quy và λθ mở rộng được lên nhóm G. Khi đó, nếu θ mở rộng được

lên nhóm G thì λ cũng mở rộng được lên nhóm G.

Chứng minh. Giả sử θ, λθ mở rộng lên hai đặc trưng lần lượt là χ và ψ của

nhóm G. Áp dụng Định lý 1.2.16, tồn tại β ∈ Irr(G|λ) sao cho βχ = ψ. Khi

đó

ψ(1) = λ(1)θ(1) = β(1)χ(1) = β(1)θ(1).

Do đó λ(1) = β(1). Do β nằm trên λ và λ là G-bất biến nên β ↓ N = λ.

Bổ đề 3.1.11. Cho p là số nguyên tố bất kỳ, N (cid:1) G và λ, θ ∈ Irr(N ) là các đặc

trưng G-bất biến. Giả sử λ tuyến tính và λθ mở rộng được lên nhóm G. Giả sử

χ ∈ Irr(G) có bậc không chia hết cho p và χ nằm trên θ.

(a) Đặt µ = λp(cid:48), khi đó µθ mở rộng được đặc trưng ψ ∈ Irr(G). Hơn nữa,

tồn tại ξ ∈ Irr(G|µ−1) sao cho χ = ψξ.

(b) Nếu G/N là nhóm hoàn hảo và θ là p-hữu tỷ thì ψ là p-hữu tỷ.

Chứng minh. (a) Để chứng minh µθ mở rộng được lên nhóm G, ta áp dụng

Mệnh đề 1.2.7. Trước tiên, giả sử P/N là nhóm con p-Sylow của G/N . Do χ

có bậc không chia hết cho p nên tồn tại τ ∈ Irr(χ ↓ P ) sao cho bậc của τ

không chia hết cho p. Ta sẽ chứng minh rằng τ ↓ N = θ. Do θ là G-bất biến

nên τ ↓ N = eθ và do τ có bậc không chia hết cho p nên θ cũng có bậc không

chia hết cho p. Mặt khác, theo Mệnh đề 1.2.6, τ (1)/θ(1) là ước của |P/N | và

do P/N là p-nhóm nên τ (1)/θ(1) = 1, suy ra τ ↓ N = θ. Ta có λ là đặc trưng

tuyến tính nên λθ cũng là đặc trưng có bậc không chia hết cho p. Do giả thiết

λθ mở rộng được lên nhóm G nên bằng cách lập luận tương tự, ta cũng chứng

minh được λθ mở rộng được lên nhóm P . Khi đó áp dụng Bổ đề 3.1.10, ta suy

ra λ mở rộng được lên nhóm P . Xem λ là một phần tử của nhóm tất cả các đặc

trưng tuyến tính của N . Do λp là một lũy thừa của λ nên λp cũng mở rộng được lên P .

Giả sử Q/N là nhóm con q-Sylow của G/N với q (cid:54)= p. Do λp là phần tử có cấp là lũy thừa của p trong nhóm các đặc trưng tuyến tính của N nên o(λp) = pr. Và do Q/N là q-nhóm nên Q/N giải được. Áp dụng Mệnh đề 1.2.21, ta có λp mở rộng được lên nhóm Q.

Như vậy ta đã chứng minh được λp mở rộng lên được mọi nhóm P (cid:48) ≤ G, với P (cid:48)/N là nhóm con Sylow bất kỳ của G/N . Theo Mệnh đề 1.2.7, ta có λp mở rộng được lên nhóm G. Mặt khác, theo giả thiết λθ = λpλp(cid:48)θ mở rộng được lên nhóm G, nên λp(cid:48)θ = µθ mở rộng được lên đặc trưng ψ ∈ Irr(G) (theo Bổ

đề 3.1.10).

Đặt ϕ = µθ, khi đó ψN = ϕ và θ = µ−1ϕ. Do χ ∈ Irr(G|θ) = Irr(G|µ−1ϕ)

nên theo Định lý 1.2.16, tồn tại ξ ∈ Irr(G|µ−1) sao cho χ = ξψ.

(b) Đặc trưng µ = λp(cid:48) có cấp không chia hết cho p nên λp(cid:48) là p-hữu tỷ. Theo giả thiết, θ cũng là p-hữu tỷ nên ϕ là p-hữu tỷ. Mặt khác, áp dụng Hệ quả 1.2.17,

ta có thể chứng minh được ϕ mở rộng lên duy nhất đặc trưng ψ của G. Thật vậy, giả sử tồn tại ψ(cid:48) (cid:54)= ψ là một đặc trưng mở rộng của ϕ. Khi đó theo Hệ quả 1.2.17, tồn tại β ∈ Irr(G/N ) sao cho βψ = ψ(cid:48). Do ψ(1) = ϕ(1) = ψ(cid:48)(1) =

β(1)ψ(1) nên β phải là đặc trưng tuyến tính của nhóm G/N . Tuy nhiên, do G/N là nhóm hoàn hảo nên theo Định lý 1.2.19, β = 1G, hay ψ = ψ(cid:48). Bây giờ, xét một tự đẳng cấu σ bất kỳ thuộc nhóm Gal(Q(ψ)/Q(ϕ)), ta có ψσ ∈ Irr(G) và ψσ ↓ N = ϕ. Do tính duy nhất của ψ nên ψσ = ψ. Hay ψ được giữ cố định dưới tác động của nhóm Gal(Q(ψ)/Q(ϕ)). Từ đó suy ra Q(ψ) = Q(ϕ) hay ψ

là p-hữu tỷ.

Định lý 3.1.12. Cho N (cid:1) G, giả sử θ ∈ Irr(N ) là một đặc trưng G-bất biến, 2-

hữu tỷ và θ(1) lẻ. Giả sử G/N là nhóm đơn, không giao hoán và χ ∈ Irr(G|θ)

có bậc lẻ. Khi đó, nếu χ không là 2-hữu tỷ thì tồn tại phần tử g có cấp là lũy thừa của 2 sao cho i ∈ Q(χ(g)).

Chứng minh. Theo Định lý 1.2.8, tồn tại một nhóm H và Z ≤ H sao cho

Z ⊂ Z(H) và H/Z = G. Đồng thời, tồn tại nhóm con K ≤ H và một đặc

trưng tuyến tính λ ∈ Irr(K) sao cho K/Z = N , λ là H-bất biến và λθ mở

rộng được lên nhóm H. Ở đây, xem θ là một đặc trưng bất khả quy của K với

Z chứa trong Kerθ, tương tự với χ.

Từ đó, với các giả thiết G/N là nhóm đơn, không giao hoán và θ là 2-hữu

tỷ, áp dụng Bổ đề 3.1.11, nếu µ := λ2(cid:48) thì µθ mở rộng được lên một đặc trưng 2-hữu tỷ ψ ∈ Irr(H). Hơn nữa, tồn tại ξ ∈ Irr(H|µ−1) sao cho χ = ξψ. Để ý,

do χ không là 2-hữu tỷ, mà ψ là 2-hữu tỷ nên ξ không thể là 2-hữu tỷ.

2(cid:48) có cấp là lẻ.

Đặt L := Ker(µ−1), ta sẽ chứng minh K/L là tâm của nhóm H/L. Với mọi kL ∈ K/L, hL ∈ H/L, do µ−1 là H-bất biến nên µ−1(h−1kh) = µ−1(k) và do µ−1 là đặc trưng tuyến tính nên µ−1(k−1h−1kh) = 1, suy ra hLkL = kLhL hay K/L ⊆ Z(H/L). Giả sử Z(H/L) =: M/L, khi đó (M/L)/(K/L) (cid:1) (H/L)/(K/L) ∼= H/K là nhóm đơn. Do đó M/L = K/L hoặc M/L = H/L. Tuy nhiên nếu M/L = H/L thì M = H hay H giao hoán (mâu thuẫn). Do vậy K/L = M/L = Z(H/L). Hơn nữa, ta có K/L có cấp là lẻ vì K/L ∼= Im(µ−1) mà µ−1 = λ−1

Mặt khác, gọi W/L là thành phần cuối cùng trong dãy dẫn xuất của H/L, khi đó W/L là nhóm hoàn hảo. Do W/L(cid:1)H/L và K/L(cid:1)H/L nên KW/L(cid:1) H/L, ta chia thương cả hai vế cho nhóm chuẩn tắc K/L. Khi đó KW/K (cid:1)

H/K, mà H/K là nhóm đơn, không giao hoán nên KW = H hoặc W ⊆ K.

Tuy nhiên, trường hợp thứ hai không thể xảy ra vì W/L là thành phần cuối cùng

trong dãy dẫn xuất của H/L và K/L là nhóm giao hoán. Ta có K ∩ W/L là tâm của nhóm W/L và W/(K ∩ W ) ∼= H/K là nhóm đơn, hơn nữa W/L là nhóm hoàn hảo nên W/L là nhóm tựa đơn.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng ξ ↓ W là đặc trưng bất khả quy của W . Đầu tiên, do µ−1 là H-bất biến nên ξ ↓ K = eµ−1. Suy ra với mọi x ∈ L, ξ(x) = eµ−1(x) = deg ξ. Do đó L ⊆ Kerξ và ξ ∈ Irr(H/L). Lại có

(K/L)(W/L) = H/L. Áp dụng Mệnh đề 1.2.23, ta có ξ ↓ (W/L) là bất khả

quy và ξ ↓ W là đặc trưng nâng của ξ ↓ (W/L) lên W nên ξ ↓ W cũng là bất khả quy. Mặt khác, [H : W ] = [K : (K ∩ W )] do KW/W ∼= K/(K ∩ W ). Mà [K : (K ∩ W )] là ước của [K : L] lẻ nên [H : W ] là lẻ. Bên cạnh đó, nếu

ξ ↓ W là 2-hữu tỷ thì theo Bổ đề 3.1.9, ξ là 2-hữu tỷ (mâu thuẫn). Do đó ξ ↓ W

không là 2-hữu tỷ.

Từ các chứng minh trên, bây giờ ta có thể áp dụng Định lý 3.1.8 cho W/L

là nhóm tựa đơn và ξ ↓ W ∈ Irr(W ) có bậc lẻ và không là 2-hữu tỷ, tồn tại w ∈ W/L có cấp là lũy thừa của 2 sao cho i ∈ Q(ξ(w)). Ta có thể giả sử phần tử w có cấp là lũy thừa của 2 sao cho i ∈ Q(ξ(w)) bởi vì w có thể viết

được thành tích của w2, w2(cid:48) trong đó w2 có cấp là lũy thừa của 2. Khi lấy mod L thì w = w2w2(cid:48) = w2 vì w có cấp là lũy thừa của 2, do đó i ∈ Q(ξ(w)) = Q(ξ(w2)) = Q(ξ(w2)).

Mặt khác, do ψ là 2-hữu tỷ và w có cấp là lũy thừa của 2 nên ψ(w) ∈ Q.

Hơn nữa, ψ có bậc lẻ nên ψ(w) (cid:54)= 0 (theo Mệnh đề 1.1.21). Để ý, χ(w) = ψ(w)ξ(w). Do đó i ∈ Q(χ(w)), ta có thể lấy x ∈ G tương ứng với w ∈ H/Z do H/Z = G và x là phần tử có cấp là lũy thừa của 2 sao cho i ∈ Q(χ(w)) = Q(χ(x)).

Bây giờ ta sẽ chứng minh Định lý 3.1.6, với giả thiết rằng ta đã có Định lý

3.1.8.

Chứng minh của Định lý 3.1.6. Ta sẽ chứng minh định lý bằng quy nạp theo

|G|. Giả sử N là nhóm con chuẩn tắc của G và θ ∈ Irr(χ ↓ N ). Đặt T là nhóm

con ổn định của θ bởi tác động liên hợp của G lên tập Irr(N ). Khi đó, theo Định lý 1.2.15, tồn tại ψ ∈ Irr(T |θ) sao cho ψ ↑ G = χ. Do đó Q(χ) ⊆ Q(ψ).

Mà χ không là 2-hữu tỷ nên ψ cũng không là 2-hữu tỷ. Do χ có bậc lẻ và theo

Hệ quả 1.2.12 ta cũng có [G : T ] là lẻ.

Mặt khác, ta sẽ chứng minh [Q(ψ) : Q(χ)] lẻ. Ngược lại, giả sử tồn tại σ thuộc nhóm Gal(Q(ψ)/Q(χ)) có cấp bằng 2. Khi đó χσ = χ, suy ra θσ và θ

cùng thuộc Irr(χ ↓ N ). Do đó theo Định lý Clifford (Định lý 1.2.3), tồn tại g ∈ G sao cho θg = θσ. Khi đó, với mọi x ∈ N , ta có

σ2(θ(x)) = σ(θ(gxg−1)) = θ(g2xg−2) = θg2

(x).

1 = ψ. Khi đó

Do đó θ = θσ2 = θg2 , suy ra g2 ∈ T . Tuy nhiên, do [G : T ] là lẻ nên g ∈ T . Do đó θσ = θg = θ nên ψ và ψσ cùng thuộc Irr(T |θ). Bây giờ, ta chứng minh σ = 1. Giả sử tồn tại ψ1 ∈ Irr(T |θ) và ψ1 (cid:54)= ψ sao cho ψσ

χ = ψ ↑ G = ψσ 1 ↑ G = (ψ1 ↑ G)σ, suy ra ψ ↑ G = χ = χσ = (ψ1 ↑ G)σ2 = ψ1 ↑ G. Do đó theo Định lý 1.2.15, ψ = ψ1 hay ψ = ψσ, suy ra σ = 1 (mâu thuẫn với cách chọn σ). Do đó [Q(ψ) : Q(χ)] là lẻ. Giả sử T < G, áp dụng giả thiết quy nạp ta có i ∈ Q(ψ), mà [Q(ψ) : Q(χ)] là lẻ nên i ∈ Q(χ).

Bây giờ ta có thể giả sử T = G hay θ ∈ Irr(N ) là G-bất biến với nhóm con chuẩn tắc N bất kỳ của G. Khi đó χ ↓ N = eθ và Q(θ) ⊆ Q(χ). Hơn nữa, nếu

N < G thì ta có thể giả sử θ là 2-hữu tỷ, vì nếu θ không là 2-hữu tỷ thì ta luôn có i ∈ Q(θ) ⊆ Q(χ) (theo giả thiết quy nạp).

Giả sử N là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G. Nếu G/N có cấp là lẻ thì do

θ là 2-hữu tỷ nên χ cũng là 2-hữu tỷ theo Bổ đề 3.1.9 (mâu thuẫn). Do đó G/N

không thể có cấp lẻ.

Nếu G/N là nhóm đơn, không giao hoán thì áp dụng Định lý 3.1.12, ta có

ngay điều phải chứng minh.

Nếu G/N đẳng cấu với nhóm xyclic cấp 2 thì tồn tại nhóm con O2(G) là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất của G sao cho G/N là 2-nhóm. Khi đó ta giả

sử N = O2(G). Do χ có bậc là lẻ nên θ có bậc lẻ. Vì G/N là 2-nhóm nên G/N giải được. Mặt khác, do θ là 2-hữu tỷ nên ta có o(θ) lẻ. Khi đó áp dụng

Mệnh đề 1.2.21, tồn tại duy nhất (cid:98)θ ∈ Irr(G) sao cho θ mở rộng lên (cid:98)θ. Lấy σ ∈ Gal(Q((cid:98)θ)/Q(θ)) bất kỳ, (cid:98)θσ ∈ Irr(G) cũng là một mở rộng của θ. Do tính duy nhất của (cid:98)θ nên (cid:98)θσ = (cid:98)θ hay Q((cid:98)θ) = Q(θ). Do đó, (cid:98)θ là 2-hữu tỷ.

Theo Hệ quả 1.2.17, tồn tại duy nhất λ ∈ Irr(G/N ) sao cho χ = λ(cid:98)θ. Hơn nữa, λ là đặc trưng tuyến tính vì G/N là 2-nhóm và χ(1) lẻ (theo Mệnh đề 1.1.19). Nếu λ(g) ∈ {1, −1} với mọi g ∈ G/N thì Q(χ) = Q((cid:98)θ), mâu thuẫn do χ không là 2-hữu tỷ mà (cid:98)θ là 2-hữu tỷ. Do đó tồn tại phần tử g ∈ G/N có cấp là lũy thừa của 2 sao cho λ(g) = i. Lập luận tương tự như trong chứng minh

của Định lý 3.1.12, ta có thể giả sử tồn tại phần tử g có cấp là lũy thừa của 2 sao

cho λ(g) = i. Mặt khác, do cấp của g là lũy thừa của 2 và (cid:98)θ là đặc trưng 2-hữu tỷ nên (cid:98)θ(g) ∈ Q. Do đó (cid:98)θ(g) ∈ Z. Mà (cid:98)θ có bậc lẻ nên theo Định lý 1.1.21, ta có (cid:98)θ(g) (cid:54)= 0. Vậy ta đã chứng minh được i ∈ Q(χ(g)).

3.2 Chứng minh của Định lý 3.1.8 đối với nhóm tuyến tính

đặc biệt

Định lý 3.1.8 cho nhóm tựa đơn hữu hạn bất kỳ được chứng minh dựa trên

khẳng định đối với hai trường hợp riêng là nhóm SL và E6. Trong tiết này chúng tôi trình bày chứng minh cho trường hợp nhóm tuyến tính đặc biệt G = SL.

Giả sử số nguyên n ≥ 1 không là lũy thừa của 2, xét phân tích 2-adic của n

n = 2m1 + 2m2 + . . . + 2mr,

(3.2.2)

trong đó mi là các số nguyên không âm và m1 > m2 > . . . > mr ≥ 0. Mỗi số 2mi được gọi là thành phần 2-adic của n.

Một phân tích n = n1 + n2 + . . . + nk được gọi là phân tích thực sự (proper

decomposition) của n, nếu phân tích này thỏa mãn các điều kiện sau

(i) k ≥ 1, ni ∈ N, n1 > n2 > . . . > nk ≥ 1,

(ii) mọi thành phần 2-adic của ni với 1 ≤ i ≤ k cũng là thành phần 2-adic

của n và ngược lại.

q và chọn một phần tử sinh ρ của µ. Đặt α := ρ(q−1)2(cid:48) và ký hiệu O2(µ) là nhóm con sinh bởi α. Khi đó O2(µ) là một 2-nhóm. Mặt khác, đặt ˜ρ := e2πi/q−1 và ký hiệu ˜α := ˜ρ(q−1)2(cid:48) , khi đó ˜α là một căn đơn vị bậc (q − 1)2 trong C. Với mọi s ∈ µ, đặt [s] là một lớp tương đương trong Z/(q − 1)Z sao cho ρ[s] = s. Trên bao đóng đại số của Fq, xét ánh xạ

Xét một trường hữu hạn Fq. Ký hiệu nhóm nhân µ := F×

F : Fq → Fq, x (cid:55)→ xq.

Bổ đề 3.2.1. Cho q là lũy thừa của một số nguyên tố lẻ và một số nguyên n ≥ 3 không là lũy thừa của 2. Đặt G := SL(n, q) (cid:1) GL(n, q) =: ˜G. Giả sử χ là một đặc trưng bất khả quy bậc lẻ của SL(n, q). Khi đó

(i) χ mở rộng được lên một đặc trưng ˜χ ∈ Irr( ˜G).

(ii) Đặc trưng ˜χ được viết theo ký hiệu Dipper-James sẽ có dạng

˜χ = S(s1, λ1) ◦ S(s2, λ2) ◦ . . . ◦ S(sk, λk).

Trong đó si ∈ µ, λi là một phân hoạch của ni và n1 + n2 + . . . + nk là một phân tích thực sự của n. Mỗi S(si, λi) là một đặc trưng bất khả quy của GL(ni, q).

(iii) Giả sử χ không là 2-hữu tỷ. Khi đó tồn tại i, j với 1 ≤ i < j ≤ k sao cho

(q − 1)2/2 không là ước của [si] − [sj].

Chứng minh. (i) là kết quả của [13, Bổ đề 10.2] và (ii) là kết quả của [7, Định

lý 2.5].

Ta chứng minh (iii) bằng phản chứng. Giả sử (q − 1)2/2 là ước của [si] − [sj] với mọi 1 ≤ i < j ≤ k. Trước tiên, theo (ii) ta có ˜χ là cảm sinh Lusztig từ đặc

trưng

ψ = S(s1, λ1).S(s2, λ2). . . . .S(sk, λk)

của nhóm con Levi L ˜χ = GL(n1, q) × GL(n2, q) × . . . × GL(nk, q). Ta có 1 , (n)) là một đặc trưng tuyến tính của ˜G, cũng là một ˜χ.S(s−1 1 , (n)) với S(s−1 mở rộng của χ. Vì S(s−1 1 , (n)) nhận giá trị bằng 1 tại mọi phần tử thuộc G. Mặt

khác,

˜χS(s−1

1 , (n)) = ˜χS(ρ−[s1], (n))

= S(1, λ1) ◦ S(ρ[s2]−[s1], λ2) ◦ . . . ◦ S(ρ[sk]−[s1], λk).

Mà (q − 1)2/2 | [si] − [sj] với mọi 1 ≤ i < j ≤ k. Do đó ta có thể chọn ˜χ ∈ Irr( ˜G) sao cho (q − 1)2/2 là ước của [si] với mọi 1 ≤ i ≤ k và χ mở rộng lên ˜χ. Do si có bậc bằng 1 trên Fq (theo (ii)) nên theo ký hiệu của Dipper-James (trang 41), đặc trưng S(si, λi) của GL(ni, q) có thể được viết thành

(3.2.3)

S(si, λi) = S(si, (ni)).S(1, λi),

trong đó S(1, λi) chỉ nhận các giá trị nguyên và S(si, (ni)) là một đặc trưng tuyến tính của GL(ni, q).

Theo giả thiết, (q − 1)2/2 là ước của [si] với mọi 1 ≤ i ≤ k nên S(si, (ni)) chỉ nhận giá trị trong Q(˜ρ(q−1)2/2) mà Q(˜ρ(q−1)2/2) = Q2(q−1)2(cid:48) = Q(q−1)2(cid:48) . Do đó ψ là đặc trưng 2-hữu tỷ. Mặt khác, ˜χ = R ˜G L (ψ) nên ˜χ cũng là đặc trưng 2-hữu tỷ, mà theo giả thiết và khẳng định (i) thì χ = ˜χ ↓ G không là 2-hữu tỷ

(mâu thuẫn).

Ta chấp nhận bổ đề sau, đây là một kết quả của [12, Bổ đề 7.5].

Bổ đề 3.2.2. Cho ˜G = GL(n, q) với n ≥ 1, q là lũy thừa của một số nguyên tố lẻ và δ ∈ O2(µ) bất kỳ, khi đó

(i) tồn tại phần tử hn(δ) có cấp là lũy thừa của 2 thuộc nhóm ˜G sao cho hn(δ) có định thức bằng δ và tất cả các giá trị riêng của hn(δ) đều thuộc F2m1 (với 2m1 là thành phần 2-adic của n trong phân tích 3.2.2).

(ii) Trong trường hợp n = 2m và δ = α, ta chọn được trong các phần tử

hn(α) ở câu (i) một phần tử gn(α) sao cho gn(α) có các giá trị riêng lập thành một F -quỹ đạo

λ, λq, . . . , λqn−1(cid:111) (cid:110)

,

qn) và các giá trị riêng của gn(α)

hơn nữa λ là một phần tử sinh của O2(F× nằm trong Fq2m \ F q2m−1 .

Định lý 3.1.8 cho trường hợp nhóm tuyến tính tổng quát được phát biểu lại

như sau.

Định lý 3.2.3. Cho số nguyên n ≥ 3 không là lũy thừa của 2 và q là lũy thừa của một số nguyên tố lẻ. Giả sử (q − 1)2 = 2a ≥ 4. Khi đó, khẳng định của Định lý 3.1.8 đúng với nhóm SL(n, q).

Chứng minh. Ta vẫn ký hiệu G := SL(n, q) (cid:1) GL(n, q) =: ˜G. Giả sử χ ∈ Irr(G) không là 2-hữu tỷ và χ(1) lẻ. Khi đó theo Bổ đề 3.2.1(i), χ mở rộng

L (ψ),

được lên một đặc trưng ˜χ ∈ Irr( ˜G). Hơn nữa theo Bổ đề 3.2.1(ii), ˜χ = R ˜G trong đó

(3.2.4)

ψ = S(s1, λ1).S(s2, λ2). . . . .S(sk, λk)

là đặc trưng của nhóm Levi

L ˜χ := GL(n1, q) × GL(n2, q) × . . . × GL(nk, q)

và n1 + n2 + . . . + nk là một phân tích thực sự của n, λi là phân hoạch của ni và si ∈ µ với mọi 1 ≤ i ≤ k.

Nhóm ˜G = GL(n, q) tác động lên một Fq ˜G-môđun V và Fq ˜G-môđun ˜V := V ⊗ Fq bởi các phép biến đổi tuyến tính, cả hai không gian này đều có số chiều bằng n. Khi đó L ˜χ ≤ ˜G cũng tác động lên V và ˜V , cho ta FqL ˜χ-môđun V và FqL ˜χ-môđun ˜V . FqL ˜χ-môđun V có duy nhất phân tích bất khả quy là

V = Vn1 ⊕ Vn2 ⊕ . . . ⊕ Vnk,

trong đó Vni, 1 ≤ i ≤ k là các FqL ˜χ-môđun bất khả quy chiều ni, tương tự với FqL-môđun ˜V . Sự phân tích này là duy nhất tương ứng với mỗi nhóm con Levi.

Ta chứng minh định lý trong từng trường hợp. (i) Trường hợp 1: Tồn tại 1 ≤ i0 < j0 ≤ k sao cho 2a−2 (cid:45) ([si0] − [sj0]). Trường hợp 1a: Giả sử thêm rằng 2mr không là thành phần 2-adic của ni0

và nj0. Áp dụng Bổ đề 3.2.2, xét g, g(cid:48) thuộc ˜G như sau

g =(g2m1 (α), . . . , g2mi0 (α), . . . , g2mj0−1 (α), g2mj0 (α−1), g2mj0+1 (α), . . . ,

g2mr−1 (α), h2mr (δ)),

g(cid:48) =(g2m1 (α), . . . , g2mi0−1 (α), g2mi0 (α−1), g2mi0+1 (α), . . . , g2mj0 (α), . . .

g2mr−1 (α), h2mr (δ)).

Trong đó δ ∈ O2(µ) được chọn sao cho g, g(cid:48) ∈ SL(n, q). Ta sẽ chứng minh

√

−1 ∈ Q(χ(g)) ∪ Q(χ(g(cid:48))).

(3.2.5)

m1−1 (cid:88)

Đầu tiên, ta chứng minh g, g(cid:48) cùng nằm trong duy nhất một nhóm con Lx ˜χ với x ∈ ˜G nào đó. Ta chứng minh điều này bằng quy nạp theo r ≥ 3. Trước hết, ta có nhận xét rằng do n = n1 + n2 + . . . + nk với n1 > n2 > . . . > nk ≥ 1 là một phân tích thực sự của n và 2m1 là thành phần 2-adic lớn nhất của n nên 2m1 phải có mặt trong sự phân tích 2-adic của n1 vì

2i < 2m1.

n2 + n3 + . . . + nk ≤

i=0

˜χ duy nhất.

Mặt khác, tập hợp các giá trị riêng của g có duy nhất một F -quỹ đạo có độ dài ˜χ với x ∈ ˜G nào đó, khi đó phần tử g tác tộng dài nhất và bằng 2m1. Giả sử g ∈ Lx ˜χ-môđun ˜V bởi phép biến đổi tuyến tính tương ứng. ˜χ-môđun V và FqLx lên FqLx Tập hợp các giá trị riêng của hình chiếu của g lên thành phần GL(n1, q) của Lx ˜χ lập thành các F -quỹ đạo và trong các F -quỹ đạo này phải có chứa quỹ đạo có độ dài 2m1. F -quỹ đạo này có được từ khối g2m1 (α) của g. Do đó g2m1 (α) chỉ có thể tác động lên duy nhất thành phần FqLx ˜χ-môđun con Vn1 của V và ˜χ-môđun con ˜Vn1 của ˜V . Mặt khác, tồn tại một môđun con U của V tương FqLx ứng với khối g2m1 (α) sao cho môđun con này bất biến dưới tác động của g, nên ta có thể tiếp tục xét trên V /U và áp dụng giả thiết quy nạp với các thành phần 2-adic 2mi, 2 ≤ i ≤ r − 1. Khối h2mr (δ) cuối cùng chỉ có thể tác động bất biến lên một môđun con của V nào đó tương ứng với thành phần GL(ne, q) còn lại cuối cùng. Do đó, ta đã chứng minh được các Fq-môđun V và Fq-môđun ˜V của Lx ˜χ có duy nhất một phân tích bất khả quy bất biến dưới tác động của g, hay g thuộc Lx

Bây giờ, giả sử g nằm trong nhóm con Levi L duy nhất. Hơn nữa, nhờ giả

thiết này ta có

(3.2.6)

C ˜G(g) = CL(g).

. Do đó

Vì nếu có x ∈ C ˜G(g) \ CL(g) thì gx = g ∈ L, suy ra g ∈ Lx−1 L = Lx−1 hay x ∈ N ˜G(L) = L hay x ∈ CL(g) (mâu thuẫn).

Để tiếp tục chứng minh, ta sẽ chấp nhận một số kết quả trong [9]. Do ˜χ = L (ψ) và theo [9, Mệnh đề 9.6], tồn tại các đặc trưng φ ˜G và φL của các nhóm

R ˜G ˜G, L với φ ˜G, φL chỉ nhận các giá trị nguyên sao cho

L (ψ) = (φL.ψ) ↑ ˜G.

(3.2.7)

φ ˜G. ˜χ = φ ˜G.R ˜G

Hơn nữa, sử dụng tính duy nhất của L ta chứng minh được g ˜G chỉ chứa duy nhất lớp liên hợp gL của L. Thật vậy, giả sử có gx ∈ g ˜G ∩ L \ gL với x ∈ ˜G \ L. Do gx ∈ L nên g ∈ Lx−1 = L, suy ra x−1 ∈ NG(L) = L (mâu thuẫn). Theo [9, Hệ quả 9.3] và nhận xét 3.2.6 ta có φ ˜G(g) = |C ˜G(g)|p = |CL(g)|p = φL(g). Áp dụng công thức (1.2.13), ta có

φ ˜G(g)χ(g) = φL(g)ψ(g).

Lập luận tương tự với g(cid:48), ta suy ra

χ(g) = ψ(g), χ(g(cid:48)) = ψ(g(cid:48)).

(3.2.8)

Vì vậy, để chứng minh (3.2.5) ta chỉ cần tính toán trên ψ(g) và ψ(g(cid:48)), ψ được cho trong công thức (3.2.4). Giả sử 2mi0 và 2mj0 là các thành phần 2-adic lần

lượt của ni0 và nj0. Chú ý rằng các đặc trưng S(si, λi) trong công thức của ψ có thể được viết thành dạng (3.2.3), trong đó S(1, λi) chỉ nhận các giá trị nguyên. Mặt khác, do χ có bậc lẻ nên các đặc trưng S(1, λi) có bậc là lẻ (theo Hệ quả 1.2.12). Do g, g(cid:48) là các phần tử có cấp là lũy thừa của 2 nên theo Định lý 1.1.21, giá trị của S(1, λi) tại g, g(cid:48) là số nguyên và khác 0. Hơn nữa do S(si, (ni)) trong phân tích (3.2.3) là đặc trưng tuyến tính nên giá trị của ψ(g) và ψ(g(cid:48)) là

tích của một số nguyên khác 0 với một căn đơn vị có bậc là lũy thừa của 2. Ta

có

= k

˜α2([si0 ]−[sj0 ])(cid:17) (cid:16)

.

= k

(3.2.9)

ψ(g) ψ(g(cid:48))

˜α[si0 ] ˜α−[sj0 ] ˜α−[si0] ˜α[sj0 ]

Trong đó k ∈ Q và k (cid:54)= 0. Để ý 2a−2 (cid:45) ([si0] − [sj0]) và |˜α| = 2a. Do đó giá

trị là tích của một số hữu tỷ với một căn đơn vị có bậc là lũy thừa của

ψ(g) ψ(g(cid:48))

2 và lớn hơn 4. Do đó, giá trị của ψ(g) hoặc của ψ(g(cid:48)) phải là tích của một số

nguyên và một căn đơn vị có bậc là lũy thừa của 2 và lớn hơn 4. Từ đó, theo

nhận xét (3.2.8) ta có khẳng định (3.2.5).

Trường hợp 1b: Giả sử 2mr là thành phần 2-adic của ni0. Khi đó ta xét hai

phần tử g, g(cid:48) như sau

g = (g2m1 (α), g2m2 (α), . . . , g2mr−1 (α), h2mr (δ)) , g(cid:48) = (cid:0)g2m1 (α), . . . , g2mj0−1 (α), g2mj0 (α−1), g2mj0+1 (α), . . . , g2mr−1 (α), h2mr (δα2)(cid:1) .

Trong đó δ ∈ µ được chọn sao cho g, g(cid:48) ∈ SL(n, q). Ta cũng có các lập luận tương tự như trường hợp 1a, đối với khẳng định g, g(cid:48) chỉ nằm trong một nhóm con Lx duy nhất và nhận xét 3.2.8. Tính toán trên g, g(cid:48) của trường hợp này, ta

có

= ˜α2([sj0 ]−[si0]).

ψ(g) ψ(g(cid:48))

Lập luận tương tự ta cũng có điều cần chứng minh (3.2.5).

(ii) Trường hợp 2: Giả sử 2a−2 là ước của [si] − [sj] với mọi 1 ≤ i, j ≤ k. Tương tự như chứng minh của Bổ đề 3.2.1(iii), ta có thể giả sử rằng 2a−2

là ước của [su] với mọi 1 ≤ u ≤ k. Mặt khác, theo Bổ đề 3.2.1(iii) tồn tại i0 < j0 sao cho 2a−1 (cid:45) [si0] − [sj0]. Do đó, ta có thể chia tập hợp chỉ số {m1, m2, . . . , mr} thành hai phần. Cụ thể như sau

{m1, m2, . . . , mr} = {m(cid:48)

1, m(cid:48)

2, . . . , m(cid:48)

s} ∪ {m(cid:48)(cid:48)

1, m(cid:48)(cid:48)

2, . . . , m(cid:48)(cid:48)

t } ,

2 > . . . > m(cid:48)(cid:48)

2 > . . . > m(cid:48)

1 > m(cid:48)(cid:48)

1 > m(cid:48)

s và m(cid:48)(cid:48) t . Trong đó, mỗi tập hợp thỏa điều kiện như sau, xét trên phân tích thực sự n1 + n2 + . . . + nk

với s + t = r, m(cid:48)

1, . . . , 2m(cid:48)

của n

s là thành phần 2-adic của các số ni thỏa 2a−1 (cid:45) [si] và ngược

1, . . . , 2m(cid:48)

s(cid:9),

• 2m(cid:48)

1 , . . . , 2m(cid:48)(cid:48)

lại, các số ni sao cho 2a−1 (cid:45) [si] có các thành phần 2-adic thuộc (cid:8)2m(cid:48)

t là thành phần 2-adic của các số nj sao cho 2a−1 | [sj] và

• 2m(cid:48)(cid:48)

ngược lại.

Khi đó đặt

(cid:89) (cid:89)

GL(nj, q).

GL(ni, q) và L2 =

L1 =

j:2a−1|[sj]

i:2a−1(cid:45)[si]

˜χ = L nên từ bây ˜χ, ta có thể xét trên L và ψ có thể xem là một đặc trưng của L ∼= Ly

˜χ = L.

Đặt L = L1 × L2. Vì có thể chọn phần tử y ∈ ˜G sao cho Ly giờ thay vì xét Ly qua đẳng cấu L ˜χ

Để chứng minh biểu thức (3.2.5) ta sẽ chứng minh tồn tại phần tử g có cấp là lũy thừa của 2 sao cho với mọi phần tử liên hợp gx của g trong L, x ∈ ˜G nào

đó thì

(3.2.10) hình chiếu của gx lên L1 có định thức ≡ α (mod α2).

Thật vậy, với mỗi gx = h1h2 ∈ L (x ∈ ˜G), h1, h2 lần lượt là hình chiếu của gx lên L1, L2. Do gx là phần tử có cấp là lũy thừa của 2 nên các hình chiều của h1 lên các thành phần GL(ni, q) của L1 có định thức bằng αai với ai ∈ Z. Tương tự, ta cũng có các hình chiếu của h2 lên các thành phần GL(nj, q) của L2 có định thức bằng αbj với bj ∈ Z. Khi đó, theo biểu thức (3.2.3) và do g là phần tử có cấp là lũy thừa của 2 nên

ψ(gx) = κ(x)˜αm(x),

trong đó κ(x) là số nguyên khác 0 và

 (cid:88) (cid:88)

m(x) :=

ai (mod 2a−1),

[sj]bj

[si]ai +

j:2a−1|[sj]

i:2a−1(cid:45)[si]

   ≡ 2a−2 (cid:88) i:2a−1(cid:45)[si]

(cid:80)

do 2a−2 | [su] với mọi 1 ≤ u ≤ k và 2a−1 (cid:45) [si]. Giả sử ta đã có khẳng định 3.2.10, nghĩa là

α

i:2a−1(cid:45)[si] ai ≡ α (mod α2)

√

nên m(x) ≡ 2a−2 (mod 2a−1). Hơn nữa, do |˜α| = 2a nên ψ(gx) = κ(x) −1 với mọi gx ∈ L. Do đó, áp dụng biểu thức (3.2.7) và công thức (1.2.13), ta có

√

χ(g) = k

−1 với k là số hữu tỷ khác 0. Vì vậy ta có điều phải chứng minh,

chính là (3.2.5).

Trước khi đi vào chứng minh 3.2.10, ta có một nhận xét rằng, tương tự như

chứng minh của trường hợp 1a, nếu tập các giá trị riêng của các khối g2mi và các khối g2mi chỉ tác động bất biến lên các Fq-môđun con ˜V2mi và Fq-môđun con V2mi duy nhất thì g tác động bất biến lên một phân tích bất khả quy duy nhất của V và ˜V , hay g nằm trong nhóm Levi duy nhất, do đó g ˜G ∩ L = gL. Nói cách khác, thành phần 2-adic 2mi của n chỉ có thể bị lấp bởi F -quỹ đạo có độ dài 2mi thích hợp, quỹ đạo này chính là tập các giá trị riêng của khối g2mi duy nhất. Như vậy, nếu g có các liên hợp gx ∈ L (x /∈ L) thì các môđun V2mi và ˜V2mi có thể được giữ bất biến dưới tác động của ít nhất 2 khối g2mi , nghĩa là thành phần 2-adic 2mi của n có thể bị lấp bởi ít nhất hai F -quỹ đạo có độ dài 2mi.

Trường hợp 2a: Ta vẫn giữ giả thiết của trường hợp 2 và ở đây giả sử thêm

s, t là lẻ. Xét phần tử g = g1g2 ∈ SL(n, q), với

g1 =(g

s−1 (α−1),

s−2 (α), g

2 (α−1), g

3 (α), g

4 (α−1), . . . , g

2m(cid:48)

t−1 (α),

t−2 (α−1), g

2 (α), g

3 (α−1), g

4 (α), . . . , g

2m(cid:48)(cid:48)

1 (α), g 2m(cid:48) s (α)), g2m(cid:48) 1 (α−1), g g2 =(g 2m(cid:48)(cid:48) t (α−1)). g2m(cid:48)(cid:48)

Tương tự như chứng minh trong trường hợp 1a, ta cũng có g nằm trong nhóm

con Lx duy nhất. Rõ ràng detg1 = α.

Trường hợp 2b: Giả sử 2 (cid:45) s và 2 | t. Xét phần tử g = g1g2 ∈ SL(n, q), với

g1, g2 như sau

g1 =(g

2 (α−1), g

3 (α), g

4 (α−1), . . . , g

s−2 (α), g

s−1 (α−1),

2m(cid:48)

3 (α−1), g

4 (α), . . . , g

t−3 (α−1), g

t−2 (α),

2m(cid:48)(cid:48)

g

1 (α), g 2m(cid:48) s (α)), g2m(cid:48) 1 (α−1), g g2 =(g 2 (α), g 2m(cid:48)(cid:48) 2m(cid:48)(cid:48) t−1 (α−1)), g∗ 2).

2m(cid:48)(cid:48)

Trong đó,

m(cid:48)

 

g∗ 2 =

s > m(cid:48)(cid:48) t , s < m(cid:48)(cid:48) t .

t −1(α−1)), m(cid:48)

t , I2m(cid:48)(cid:48) (g2m(cid:48)(cid:48)

t −1(α), g2m(cid:48)(cid:48) t , do 2m(cid:48)(cid:48)

s > m(cid:48)(cid:48)

t là thành phần 2-adic nhỏ nhất nên 2m(cid:48)(cid:48) t của g. Ta dùng lập luận tương tự như trong trường



Trong trường hợp m(cid:48) chỉ có thể bị lấp bởi khối I2m(cid:48)(cid:48) hợp 1a để có g nằm trong nhóm Lx duy nhất và rõ ràng detg1 = α.

s+1, mọi thành phần 2-adic 2mi với mi > m(cid:48)(cid:48)

t ≥ m(cid:48)

t −1 đều được lấp bởi các F -quỹ đạo có độ dài 2mi tương ứng, cũng chính là các tập

Trong trường hợp m(cid:48)(cid:48)

giá trị riêng của các khối g2mi tương ứng.

t − 1 (cid:54)= m(cid:48)

i với mọi 1 ≤ i ≤ s thì thành phần 2-adic 2m(cid:48)(cid:48)

t chỉ có thể t −1, chúng chính là tập t −1(α−1)). Do đó trong trường hợp này

Nếu m(cid:48)(cid:48)

t −1(α), g2m(cid:48)(cid:48)

được lấp bởi hai F -quỹ đạo, mỗi quỹ đạo có độ dài 2m(cid:48)(cid:48) các giá trị riêng của khối (g2m(cid:48)(cid:48)

t − 1 = m(cid:48)

g chỉ thuộc vào một nhóm Lx duy nhất. Tuy nhiên, trong trường hợp m(cid:48)(cid:48) t −1(α±1) có thể bị thay thế bởi khối g

i với 1 ≤ i ≤ s nào đó, khối i (α±1). Và trong mọi trường hợp ta

2m(cid:48)

g2m(cid:48)(cid:48) đều có detg1 ≡ α (mod α2).

Trường hợp 2c: Giả sử 2 | s và 2 (cid:45) t. Ta xét hai phần tử g1, g2 như sau

g1 =(g

s−2 (α−1),

s−3 (α), g

3 (α), g

4 (α−1), . . . , g

2m(cid:48)

g 2m(cid:48)

g2 =(g

t−1 (α),

t−2 (α−1), g

3 (α−1), g

4 (α), . . . , g

2 (α), g

2m(cid:48)(cid:48)

2 (α−1), g 1 (α), g 2m(cid:48) 2m(cid:48) s−1 (α), g∗ 1), 1 (α−1), g 2m(cid:48)(cid:48) t (α−1)). g2m(cid:48)(cid:48)

Trong đó

s−1(α−1)), m(cid:48)

 

(g2m(cid:48)

s−1(α), g2m(cid:48)

g∗ 1 =

m(cid:48)

s > m(cid:48)(cid:48) t , s < m(cid:48)(cid:48) t .

s , I2m(cid:48)



Lập luận tương tự như trường hợp 2b.

t . Xét hai phần tử

s > m(cid:48)(cid:48)

Trường hợp 2d: Giả sử s, t đều là số chẵn và m(cid:48)

g1, g2 như sau

g1 =(g

3 (α), g

4 (α−1), . . . , g

s−3 (α), g

s−2 (α−1),

2m(cid:48)

g 2m(cid:48)

g2 =(g

3 (α−1), g

4 (α), . . . , g

t−3 (α−1), g

t−2 (α),

2m(cid:48)(cid:48)

2 (α−1), g 1 (α), g 2m(cid:48) 2m(cid:48) s−1 (α−1), g(cid:93) 1), 1 (α−1), g 2 (α), g 2m(cid:48)(cid:48) 2m(cid:48)(cid:48) t−1 (α−1)), g∗ 2).

g 2m(cid:48)(cid:48)

2) được định nghĩa như sau

1 (cid:107) g∗



m(cid:48)

t + 1,

s−1(α3)) (cid:107) I

2m(cid:48)(cid:48)

m(cid:48)

s−1(α−1), g2m(cid:48) ((g2m(cid:48) (diag(1, α2) (cid:107) I1),

s > m(cid:48)(cid:48) s = m(cid:48)(cid:48)

t + 1 = 1,

((g

t −1(α), g

t −1(α−1)) (cid:107)

2m(cid:48)(cid:48)

m(cid:48)

 

s = m(cid:48)(cid:48)

t + 1 ≥ 2.

t −1(α), g 2m(cid:48)(cid:48) t −1(α), g

t −1(α), g 2m(cid:48)(cid:48) 2m(cid:48)(cid:48) t −1(α−1))),

2m(cid:48)(cid:48)

Trong đó (g(cid:93)

t là thành phần 2-adic nhỏ nhất

Ta có mọi thành phần 2-adic 2mi > 2m(cid:48) s đều được lấp bởi các F -quỹ đạo là tập các giá trị riêng của các khối g2mi (α±1) thích hợp. Bây giờ ta xét các trường hợp sau.

t + 1, do 2m(cid:48)(cid:48)

s > m(cid:48)(cid:48)

j nào với 1 ≤ j ≤ t sao cho m(cid:48)

j thì hai F -

s−1(α3)

s−1(α−1) và g2m(cid:48)

• Đối với trường hợp m(cid:48)

s. Do đó g thuộc nhóm Levi Lx duy nhất

của n nên thành phần này chỉ có thể được lấp bởi khối I2m(cid:48)(cid:48) t . Nếu không tồn tại m(cid:48)(cid:48) s − 1 = m(cid:48)(cid:48) quỹ đạo có được từ tập các giá trị riêng của hai khối g2m(cid:48) chỉ có thể lấp vào thành phần 2m(cid:48)

j = m(cid:48)

s−1(α−1), g2m(cid:48)

m(cid:48)(cid:48) 2

và detg1 = α.

s và khác

Mặt khác, nếu tồn tại 1 ≤ j ≤ t sao cho m(cid:48)(cid:48) s − 1 thì thành phần 2-adic 2m(cid:48)(cid:48) j có thể được lấp bởi tập các giá trị riêng của một trong ba khối s−1(α3) hoặc g j (α±1). Và tập các giá trị riêng của hai g2m(cid:48) khối còn lại được lấp vào thành phần 2-adic 2m(cid:48) s. Còn đối với các thành phần 2-adic 2mi (j < i < t) còn lại thì các thành phần này được lấp bởi các F -quỹ đạo có độ dài 2mi tương ứng. Tính toán trong mỗi trường hợp, ta đều có det(g1) ≡ α (mod α2).

t + 1, các thành phần 2-adic khác 2m(cid:48)

• Trong trường hợp m(cid:48)

2m(cid:48)(cid:48)

s = m(cid:48)(cid:48) t đều được lấp bởi các F -quỹ đạo thích hợp.

t = 0 thì thành phần 2-adic này có thể được lấp bởi 1 hoặc α2. Các

Nếu m(cid:48)(cid:48)

s còn

t có thể được lấp bởi hai F -quỹ đạo, t −1. Hai quỹ đạo này đến từ tập các giá trị riêng t −1(α−1). Và thành phần 2-adic 2m(cid:48)

t −1(α) hoặc g2m(cid:48)(cid:48)

trường hợp này đều cho ta detg1 = α. t ≥ 1 thì thành phần 2-adic 2m(cid:48)(cid:48)

Nếu m(cid:48)(cid:48) mỗi quỹ đạo có độ dài 2m(cid:48)(cid:48) của các khối g2m(cid:48)(cid:48) lại của n được lấp bởi tập các giá trị riêng của các khối còn lại. Trong các

trường hợp, ta đều nhận được (3.2.10).

3.3 Một số ví dụ

Trong phần này, ta sẽ tính toán một số ví dụ cụ thể về trường giá trị của các

đặc trưng bất khả quy dựa vào bảng đặc trưng của một số nhóm hữu hạn đã

được tìm hiểu ở Chương 2. Số d trong Định lý 3.1.4 sẽ được tính cụ thể trong

các ví dụ này.

Nhóm tuyến tính tổng quát GL(2, q)

Theo bảng đặc trưng của nhóm GL(2, q) (Bảng 2.3), ta có thể có ngay một

nhận xét sau về trường giá trị của các lớp đặc trưng của GL(2, q). Trong đó (cid:15) = e2πi/q−1 và điều kiện của a, b được cho như trong bảng các lớp liên hợp của

GL(2, q) (Bảng 2.1).

χ(m) q

χ(m) 1

χ(m,k) q+1

0 ≤ m ≤ q − 2 0 ≤ m ≤ q − 2

0 ≤ m < k ≤ q − 2

χ(m) q−1 0 ≤ m ≤ q2 − 2 m (cid:54)≡ 0 (mod q + 1)

q + 1

q − 1

Bậc

1 Q((cid:15)m)

q Q((cid:15)m)

Q((cid:15)m+k, (cid:15)ma+kb + (cid:15)mb+ka) Q(ιm(q+1), ιma + ιmaq)

Trường

Ta thấy ngay các đặc trưng tuyến tính và các đặc trưng bất khả quy bậc q

của GL(2, q) có cùng trường giá trị ứng với mỗi m. Bây giờ ta xét trên một số

13 , 0 ≤ m ≤ q − 2 và ) = Q((cid:15)m)

√

và χ(m)

2 và 0 ≤ m ≤ 11. Cụ thể,

2 + i

nhóm tuyến tính GL(n, q) cụ thể. Đối với nhóm GL(2, 2), các đặc trưng bất khả quy của nhóm này đều có trường giá trị là Q. Đối với nhóm GL(2, 13), các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ của GL(2, 13) là χ(m) chúng có cùng trường giá trị ứng với mỗi m. Hơn nữa, ta có Q(χ(m) trong đó (cid:15) = eπi/6 =



√

−3),

nếu 3 (cid:45) m;

√

) =

−1),

nếu m = 3, 9; Q(χ(m) 1

nếu m = 6. Q(  Q(  Q,

√

−3

Đối với nhóm GL(2, 4), ta có bảng đặc trưng của nhóm GL(2, 4) như sau,

2 +

2 và ι = e2πi/15.

Bảng 3.1: Bảng đặc trưng của nhóm GL(2, 4)

χ(m) 1

χ(m) 4

χ(m,k) 5

0 ≤ m ≤ 2 0 ≤ m ≤ 2

0 ≤ m < k ≤ 2

4(cid:15)2ma

χ(m) 3 0 ≤ m ≤ 14, m (cid:54)≡ 0 (mod 5), 3 = χ(4m) χ(m) 3(cid:15)ma −(cid:15)ma

5(cid:15)(m+k)a (cid:15)(m+k)a (cid:15)ma+kb + (cid:15)ka+mb

(cid:15)2ma (cid:15)2ma (cid:15)m(a+b) (cid:15)ma

0 (cid:15)m(a+b) −(cid:15)ma

0 − (ιma + ιmaq)

A(a) 1 A(a) 2 A(a,b) 3 A(a) 4

trong đó (cid:15) = e2πi/3 = −1

Ta có một số nhận xét sau đối với bảng đặc trưng của GL(2, 4).

• Với χ = χ(m) hoặc χ = χ(m) , ta có

Q, nếu m = 0;   Q(χ) =

√

−3), nếu m = 1, 2.



, ta có • Với χ = χ(m,k)

Q, nếu m + k = 3;   Q(χ) =

√

−3),

trong các trường hợp còn lại. 

√

là Q(

5), vì giá trị của đặc trưng χ(3)

3 được cho

• Trường giá trị của χ(3) 3

2 A(a,b) 1 A(a) A(a) −1 3

χ(3) 3

A(1) 4 √ 1 2 −

5 2

A(2) 4 √ 1 2 +

5 2

như sau

3 bằng nhau tại các lớp A(1)

4 , A(6)

;

4 , A(7) 4 .

Trong đó điều kiện của a, b được cho như trong bảng các lớp liên hợp của 4 , A(11) GL(2, q) (Bảng 2.1) và giá trị của χ(3) 4 , A(3) và tại các lớp A(2)

Nhóm tuyến tính tổng quát GL(3, q)

, χ(m) Dựa vào bảng đặc trưng của nhóm GL(3, q) (Bảng 2.5), ta thấy rằng các đặc q3 có cùng một trường giá trị và cùng bằng Q((cid:15)m) trong

trưng χ(m) q2+q và χ(m) đó (cid:15) = e2πi/q−1 và 0 ≤ m ≤ q − 2.

√

Ở đây, ta xét trên nhóm GL(3, 4), các đặc trưng tuyến tính của nhóm GL(3, 4)

) = Q((cid:15)m) trong đó (cid:15) = e2πi/3 = −1

2 +

−3 2

và

có trường giá trị là Q(χ(m) 1 0 ≤ m ≤ 2. Do đó, ta có

√

−3),

nếu m = 1, 2;  

) =

Q(χ(m) 1 Q, nếu m = 0. 

bậc 21 có trường giá

√

Mặt khác, GL(3, 4) cũng có đặc trưng bất khả quy χ(0,1) trị là Q(

−3).

Nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2, q)

Xét bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q), dễ dàng thấy được rằng trường giá trị của ψ1 và ψq đều là Q với mọi giá trị của q (Bảng 2.8, 2.10). Tiếp theo, xét một số đặc trưng bất khả quy bậc lẻ của nhóm SL(2, q) với q lẻ (Bảng 2.8). Ta

có một số nhận xét sau

√

) = Q(ψ(cid:48)

) = Q(

• Q(ψ q−1

−q) với q ≡ 3 (mod 4),

q−1 2

√

) = Q(ψ(cid:48)

) = Q(

q) với q ≡ 1 (mod 4).

q+1 2

• Q(ψ q+1

A1 A2 A(a) 3

A(3) 4

A(6) 4

1 −1

√

3 −1

−

χ(1) 5 χ(1) 3

1 2

5 2

1 2

5 2

Xét một số đặc trưng bất khả quy bậc lẻ của nhóm SL(2, 4).

√

Rõ ràng Q(χ(1)

5). Hơn nữa dễ dàng tính được các

5 ) = Q và Q(χ(1)

3 ) = Q(

đặc trưng bậc 1 và bậc 4 của nhóm SL(2, 4) có trường giá trị là Q.

Nhóm tuyến tính đặc biệt SL(3, q)

Cuối cùng ta xét một số đặc trưng bất khả quy của nhóm SL(3, q) (Bảng

2.12). Ta có một số nhận xét sau

• Q(χ) = Q với χ = ψ1, χ = ψq2+q hoặc χ = ψq3.

q2+q+1

• Q(χ) = Q((cid:15)m) trong đó (cid:15) = e2πi/q−1 và 0 ≤ m ≤ q − 2 với χ = ψ(m)

q(q2+q+1).

hoặc χ = ψ(m)

√

• Trong trường hợp q ≡ 1(mod3), Q(χ) = Q(

−3) với χ là các đặc trưng và Q(χ) = Q với χ là các đặc trưng có bậc (q+1)(q2+q+1)

. có bậc (q−1)2(q+1)

63 của SL(3, 4) có bậc 63, ta có giá trị của đặc

Xét đặc trưng bất khả quy χ(1)

A(a) 1 √

A(a) 2 √

A(a) 3 √

(cid:17)a

(cid:16) −1

(cid:17)a (cid:16) −1

(cid:16) −1

−

χ(1) 63

2 +

−3 2

2 +

−3 2

2 +

−3 2

A(1,2,3) 6

A(a) 8

A(a) 4 √

A(a) 5 √

A(1) 7 √

A(2) 7 √

(cid:17)a

(cid:16) −1

−

χ(1) 63

2 +

−3 2

2 +

−3 2

1 2 −

5 2

1 2 +

5 2

trưng này trên các lớp liên hợp của SL(3, 4) là

Trong đó, điều kiện của a được cho như trong bảng các lớp liên hợp của

√

−3 +

−3,

3(cid:48) , A(a) 3(cid:48)(cid:48) ; tại các lớp liên hợp A(1) 7 . Do đó, trường giá trị của χ(1)

3 , A(a) 7 , A(7)

63 là bằng nhau: tại các lớp liên 7 , A(11) ; và tại các lớp liên hợp 7 √ 5) = Q( 63 là Q(

SL(3, q) (Bảng 2.11). Mặt khác, giá trị của χ(1) hợp A(a) 7 , A(6) 7 , A(3) A(2) √ 5).

KẾT LUẬN CHUNG

Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày một số vấn đề như sau:

- Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về biểu diễn và đặc trưng của nhóm

hữu hạn, một số định lý quan trọng liên quan đến đặc trưng cảm sinh và đặc

trưng hạn chế của một nhóm.

- Trình bày cách xây dựng bảng đặc trưng của một số nhóm hữu hạn: các

nhóm tuyến tính tổng quát GL(2, q), GL(3, q) và các nhóm tuyến tính đặc biệt

SL(2, q), SL(3, q).

- Trình bày một số tính chất về trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy

bậc lẻ và đưa ra một số ví dụ tính toán trường giá trị của các đặc trưng trên một

số nhóm được tìm hiểu.

Tài liệu tham khảo

[1] I.M. Isaacs, Character Theory of Finite Groups, Pure and Applied Mathe-

matics, A Series of Monographs and Textbooks, Academic Press, New York,

1976.

[2] G. James, M. Liebeck, Representations and Characters of Groups, Second

Edition, Cambridge University Press, 2001.

[3] G. Navarro, Character Theory and the McKay Conjecture, Cambridge Uni-

versity Press, 2018.

[4] W.A. Simpson, J.S. Frame, The Character Tables for SL(3, q), SU(3, q2),

PSL(3, q), PSU(3, q2), Can. J. Math. XXV(3) (1973), 486-494.

[5] R. Steinberg, The Representations of GL(3, q), GL(4, q), PGL(3, q) and

PGL(4, q), Can. J. Math. 3 (1951), 225-235.

[6] R. Dipper, G. James, Identification of the Irreducible Modular Representa-

tions of GLn(q), Journal of Algebra 104 (1986), 266-288.

[7] E. Giannelli, A.S. Kleshchev, G. Navarro, P.H. Tiep, Restriction of odd de-

gree characters and natural correspondences, Int. Math. Res. Not. IMRN

(20) (2017), 6089-6118.

[8] R. Carter, Finite Groups of Lie Type: Conjugacy Classes and Complex

Characters, Wiley, Chichester, 1985.

[9] F. Digne, J. Michel, Representations of Finite Groups of Lie Type, London

Mathematical Society Student Texts 21, Cambridge University Press, 1991.

[10] I.M. Isaacs, M.W. Liebeck, G. Navarro, P.H. Tiep, Fields of values of odd-

degree irreducible characters, Advances in Mathematics 354 (2019), 01-26.

[11] S.H. Weintraub, Galois Theory, Universitext, Springer, 2009.

[12] R.M. Guralnick, M.W. Liebeck, E. O’Brien, A. Shalev, P.H. Tiep, Sur- jective word maps and Burnside’s paqb theorem, Invent. Math. 213 (2018),

589-695.

[13] A.A. Schaeffer Fry, J. Taylor, On self-normalising Sylow 2-subgroups in

type A, J. Lie Theory 28 (2018), 139-168.