Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tự tồn tại và tính liên thông của tập nghiệm đối với bài toán tựa cần bằng véctơ suy rộng

(cid:30)(cid:132)I H¯C TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N

TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C S(cid:215) PH(cid:132)M

Nguy„n Minh Hi•n

S(cid:220) T˙N T(cid:132)I V(cid:128) T(cid:157)NH LI(cid:150)N TH˘NG C(cid:213)A T(cid:138)P NGHI(cid:155)M

(cid:30)¨I V˛I B(cid:128)I TO(cid:129)N T(cid:220)A C(cid:133)N B(cid:140)NG V(cid:146)CT(cid:204) SUY R¸NG

LU(cid:138)N V(cid:139)N TH(cid:132)C S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C

Th¡i Nguy¶n - 2019

(cid:30)(cid:132)I H¯C TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N

TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C S(cid:215) PH(cid:132)M

Nguy„n Minh Hi•n

S(cid:220) T˙N T(cid:132)I V(cid:128) T(cid:157)NH LI(cid:150)N TH˘NG C(cid:213)A T(cid:138)P NGHI(cid:155)M

(cid:30)¨I V˛I B(cid:128)I TO(cid:129)N T(cid:220)A C(cid:133)N B(cid:140)NG V(cid:146)CT(cid:204) SUY R¸NG

Ng(cid:160)nh: To¡n gi£i t‰ch

M¢ sŁ: 8460102

LU(cid:138)N V(cid:139)N TH(cid:132)C S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C

Ng(cid:247)(cid:237)i h(cid:247)(cid:238)ng d¤n khoa h(cid:229)c

TS. B(cid:210)I TH(cid:152) H(cid:210)NG

Th¡i Nguy¶n - 2019

L(cid:237)i cam (cid:31)oan

T(cid:230)i xin cam (cid:31)oan r‹ng nºi dung tr…nh b(cid:160)y trong lu“n v«n n(cid:160)y l(cid:160) trung th(cid:252)c

v(cid:160) kh(cid:230)ng tr(cid:242)ng l(cid:176)p v(cid:238)i (cid:31)• t(cid:160)i kh¡c. Ngu(cid:231)n t(cid:160)i li»u sß d(cid:246)ng cho vi»c ho(cid:160)n

th(cid:160)nh lu“n v«n l(cid:160) ngu(cid:231)n t(cid:160)i li»u m(cid:240). C¡c th(cid:230)ng tin, t(cid:160)i li»u trong lu“n v«n

n(cid:160)y (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc ghi rª ngu(cid:231)n gŁc.

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2019

Ng(cid:247)(cid:237)i vi‚t lu“n v«n

Nguy„n Minh Hi•n

X¡c nh“n X¡c nh“n

cıa khoa chuy¶n m(cid:230)n cıa ng(cid:247)(cid:237)i h(cid:247)(cid:238)ng d¤n

TS. B(cid:242)i Th‚ H(cid:242)ng

L(cid:237)i c£m (cid:236)n

Tr(cid:247)(cid:238)c khi tr…nh b(cid:160)y nºi dung ch‰nh cıa lu“n v«n, t(cid:230)i xin b(cid:160)y t(cid:228) lÆng bi‚t

(cid:236)n s¥u s›c t(cid:238)i Thƒy gi¡o - Ti‚n s(cid:190) B(cid:242)i Th‚ H(cid:242)ng, ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)¢ tr(cid:252)c ti‚p h(cid:247)(cid:238)ng

d¤n, gi(cid:243)p (cid:31)(cid:239), ch¿ b£o t“n t…nh, t⁄o m(cid:229)i (cid:31)i•u ki»n thu“n læi gi(cid:243)p t(cid:230)i ho(cid:160)n

th(cid:160)nh lu“n v«n n(cid:160)y.

T(cid:230)i xin tr¥n tr(cid:229)ng c£m (cid:236)n Ban Gi¡m hi»u, khoa To¡n c(cid:242)ng to(cid:160)n th” c¡c

thƒy c(cid:230) gi¡o Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c S(cid:247) ph⁄m - (cid:30)⁄i h(cid:229)c Th¡i Nguy¶n, Vi»n To¡n

h(cid:229)c v(cid:160) Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c S(cid:247) ph⁄m H(cid:160) Nºi (cid:31)¢ truy•n th(cid:246) cho t(cid:230)i nhœng ki‚n

thøc quan tr(cid:229)ng, t⁄o (cid:31)i•u ki»n thu“n læi v(cid:160) cho t(cid:230)i nhœng (cid:254) ki‚n (cid:31)(cid:226)ng g(cid:226)p

qu(cid:254) b¡u trong suŁt qu¡ tr…nh h(cid:229)c t“p v(cid:160) th(cid:252)c hi»n lu“n v«n.

CuŁi c(cid:242)ng, t(cid:230)i xin gßi l(cid:237)i c£m (cid:236)n gia (cid:31)…nh, b⁄n b– (cid:31)¢ quan t¥m gi(cid:243)p (cid:31)(cid:239),

(cid:31)ºng vi¶n t(cid:230)i trong suŁt qu¡ tr…nh l(cid:160)m lu“n v«n.

T(cid:230)i xin ch¥n th(cid:160)nh c£m (cid:236)n!

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2019

Ng(cid:247)(cid:237)i vi‚t lu“n v«n

Nguy„n Minh Hi•n

M(cid:246)c l(cid:246)c

L(cid:237)i cam (cid:31)oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

L(cid:237)i c£m (cid:236)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Danh m(cid:246)c c¡c k(cid:254) hi»u, c¡c chœ vi‚t t›t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

M(cid:240) (cid:31)ƒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1. Ki‚n thøc chu'n b(cid:224) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. T“p l(cid:231)i v(cid:160) mºt sŁ t‰nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Kh(cid:230)ng gian l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Kh¡i ni»m ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Mºt sŁ t‰nh ch§t cıa ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1. N(cid:226)n trong kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.2. T‰nh li¶n t(cid:246)c theo n(cid:226)n cıa ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.3. T‰nh l(cid:231)i theo n(cid:226)n cıa ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2. S(cid:252) t(cid:231)n t⁄i v(cid:160) t‰nh li¶n th(cid:230)ng cıa t“p nghi»m (cid:31)Łi v(cid:238)i

b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng v†ct(cid:236) suy rºng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1. Mºt sŁ ki‚n thøc m(cid:240) (cid:31)ƒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2. S(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3. T‰nh li¶n th(cid:230)ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

K‚t lu“n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

iii

T(cid:160)i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Danh m(cid:246)c c¡c k(cid:254) hi»u, c¡c chœ vi‚t

t›t

R t“p c¡c sŁ th(cid:252)c

t“p sŁ th(cid:252)c kh(cid:230)ng ¥m R+

t“p sŁ th(cid:252)c kh(cid:230)ng d(cid:247)(cid:236)ng R−

Rn kh(cid:230)ng gian v†ct(cid:236) Euclide n− chi•u

t“p c¡c v†ct(cid:236) kh(cid:230)ng ¥m cıa Rn Rn +

t“p c¡c v†ct(cid:236) kh(cid:230)ng d(cid:247)(cid:236)ng cıa Rn Rn −

f : X → Y

¡nh x⁄ tł t“p X v(cid:160)o t“p Y

A := B

A (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b‹ng B

∅

t“p rØng

A ⊆ B

A l(cid:160) t“p con cıa B

A (cid:54)⊆ B

A kh(cid:230)ng l(cid:160) t“p con cıa B

A ∪ B

hæp cıa hai t“p hæp A v(cid:160) B

dom F

mi•n (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) F

gph F

(cid:31)(cid:231) th(cid:224) cıa ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) F

A ∩ B

giao cıa hai t“p hæp A v(cid:160) B

A\B

hi»u cıa hai t“p hæp A v(cid:160) B

A × B

t‰ch Descartes cıa hai t“p hæp A v(cid:160) B

cl A

bao (cid:31)(cid:226)ng t(cid:230)p(cid:230) cıa t“p hæp A

co A

bao l(cid:231)i cıa t“p hæp A

int A

phƒn trong t(cid:230)p(cid:230) cıa t“p hæp A

conv A

bao l(cid:231)i cıa t“p hæp A

(cid:50)

k‚t th(cid:243)c chøng minh

M(cid:240) (cid:31)ƒu

B(cid:160)i to¡n c¥n b‹ng v†ct(cid:236) c(cid:226) nhi•u øng d(cid:246)ng quan tr(cid:229)ng trong v“t l(cid:254), kinh

t‚, khoa h(cid:229)c,... L(cid:254) thuy‚t v• s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i cıa t“p nghi»m (cid:31)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n c¥n

b‹ng v†ct(cid:236) (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc r§t nhi•u nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c nghi¶n cøu d(cid:247)(cid:238)i gi£ thi‚t h(cid:160)m

m(cid:246)c ti¶u l(cid:160) t(cid:252)a l(cid:231)i ho(cid:176)c t(cid:252)a l(cid:231)i theo n(cid:226)n ([2], [3], [4]). N«m 2015, Han v(cid:160)

Huang [4] nghi¶n cøu (cid:31)i•u ki»n v• s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i (cid:31)Łi v(cid:238)i t“p nghi»m hœu hi»u

y‚u v(cid:160) t“p nghi»m hœu hi»u cıa b(cid:160)i to¡n c¥n b‹ng v†ct(cid:236) suy rºng v(cid:238)i gi£

thi‚t h(cid:160)m m(cid:246)c ti¶u l(cid:231)i theo n(cid:226)n. N«m 2016, c¡c t¡c gi£ (cid:31)¢ m(cid:240) rºng k‚t qu£

tr¶n cho l(cid:238)p b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng v†ct(cid:236) suy rºng [6]. Ngo(cid:160)i vi»c nghi¶n

cøu s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n c¥n b‹ng v†ct(cid:236) ng(cid:247)(cid:237)i ta cÆn quan t¥m

nghi¶n cøu t‰nh ch§t cıa t“p nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y. Trong sŁ c¡c t‰nh

ch§t cıa t“p nghi»m th… t‰nh li¶n th(cid:230)ng c(cid:226) vai trÆ r§t quan tr(cid:229)ng, v… n(cid:226)

(cid:31)(cid:247)æc b£o to(cid:160)n khi chuy”n qua ¡nh x⁄ li¶n t(cid:246)c. Ban (cid:31)ƒu, ng(cid:247)(cid:237)i ta nghi¶n

cøu t‰nh li¶n th(cid:230)ng cıa t“p nghi»m hœu hi»u y‚u li¶n quan (cid:31)‚n ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:236)n

tr(cid:224) tł kh(cid:230)ng gian hœu h⁄n chi•u n(cid:160)y sang kh(cid:230)ng gian hœu h⁄n chi•u kh¡c

[4]. Sau (cid:31)(cid:226), c¡c b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc m(cid:240) rºng v(cid:238)i kh(cid:230)ng gian c(cid:226) sŁ chi•u v(cid:230)

h⁄n [8]. N«m 2016, Han v(cid:160) Huang [6] nghi¶n cøu t‰nh li¶n th(cid:230)ng cıa t“p

nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n c¥n b‹ng v†ct(cid:236) suy rºng. Sau (cid:31)(cid:226) c¡c t¡c gi£ (cid:31)¢ m(cid:240)

rºng k‚t qu£ tr¶n cho l(cid:238)p b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng v†ct(cid:236) suy rºng [6].

M(cid:246)c (cid:31)‰ch cıa lu“n v«n nh‹m tr…nh b(cid:160)y mºt c¡ch h» thŁng c¡c k‚t qu£

trong c(cid:230)ng tr…nh [6] v• s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i v(cid:160) t‰nh li¶n th(cid:230)ng cıa t“p nghi»m (cid:31)Łi v(cid:238)i

b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng v†ct(cid:236) suy rºng.

Lu“n v«n g(cid:231)m phƒn m(cid:240) (cid:31)ƒu, hai ch(cid:247)(cid:236)ng nºi dung, phƒn k‚t lu“n v(cid:160) t(cid:160)i li»u

tham kh£o.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1 cıa lu“n v«n tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ ki‚n thøc v• t“p l(cid:231)i, kh(cid:230)ng gian

l(cid:231)i, ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) v(cid:160) mºt sŁ t‰nh ch§t cıa ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224).

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı cho s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m hœu hi»u

m⁄nh, nghi»m hœu hi»u y‚u v(cid:160) nghi»m hœu hi»u cıa b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng

v†ct(cid:236) suy rºng. H(cid:236)n nœa t‰nh li¶n th(cid:230)ng cıa t“p nghi»m (cid:31)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n

t(cid:252)a c¥n b‹ng v†ct(cid:236) suy rºng c(cid:244)ng (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

Ki‚n thøc chu'n b(cid:224)

Gi£i t‰ch (cid:31)a tr(cid:224) (cid:31)(cid:247)æc h…nh th(cid:160)nh tł nhœng n«m 30 cıa th‚ k(cid:27) 20 do ch‰nh

nhu cƒu cıa c¡c v§n (cid:31)• n£y sinh tł th(cid:252)c ti„n v(cid:160) cuºc sŁng. Tł kho£ng 10

n«m tr(cid:240) l⁄i (cid:31)¥y v(cid:238)i c(cid:230)ng c(cid:246) gi£i t‰ch (cid:31)a tr(cid:224), c¡c ng(cid:160)nh to¡n h(cid:229)c nh(cid:247) l(cid:254)

thuy‚t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh vi ph¥n, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng, b§t (cid:31)ﬂng thøc

bi‚n ph¥n v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh suy rºng, l(cid:254) thuy‚t tŁi (cid:247)u, l(cid:254) thuy‚t (cid:31)i•u khi”n,

tŁi (cid:247)u (cid:31)a m(cid:246)c ti¶u, khoa h(cid:229)c qu£n l(cid:254) v(cid:160) to¡n kinh t‚, ... ph¡t tri”n mºt c¡ch

m⁄nh m‡ v(cid:160) c(cid:226) nhi•u øng d(cid:246)ng s¥u s›c. Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i tr…nh

b(cid:160)y mºt sŁ ki‚n thøc v(cid:160) k‚t qu£ quen bi‚t v• gi£i t‰ch (cid:31)a tr(cid:224) (cid:31)(cid:247)æc tr‰ch ra

tł cuŁn s¡ch chuy¶n kh£o v• gi£i t‰ch (cid:31)a tr(cid:224) [1]. C¡c k‚t qu£ cıa ch(cid:247)(cid:236)ng

n(cid:160)y l(cid:160) c(cid:236) s(cid:240) cho vi»c tr…nh b(cid:160)y k‚t qu£ ch‰nh cıa lu“n v«n (cid:240) ch(cid:247)(cid:236)ng 2.

1.1. T“p l(cid:231)i v(cid:160) mºt sŁ t‰nh ch§t

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.1. Gi£ sß X l(cid:160) kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh. T“p A ⊆ X (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) l(cid:231)i n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i x1, x2 ∈ A ta lu(cid:230)n c(cid:226)

λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A v(cid:238)i m(cid:229)i λ ∈ [0, 1].

Quy (cid:247)(cid:238)c. T“p rØng l(cid:160) t“p l(cid:231)i.

M»nh (cid:31)• 1.1.2. Gi£ sß Aα ⊆ X l(cid:160) c¡c t“p l(cid:231)i v(cid:238)i m(cid:229)i α ∈ I, v(cid:238)i I l(cid:160) t“p Aα l(cid:231)i. ch¿ sŁ b§t k…. Khi (cid:31)(cid:226) t“p A = ∩ α∈I

Chøng minh. L§y x, y ∈ A. Khi (cid:31)(cid:226) x, y ∈ Aα, v(cid:238)i m(cid:229)i α ∈ I. Do Aα l(cid:160) l(cid:231)i v(cid:238)i m(cid:229)i α ∈ I n¶n λx + (1 − λ)y ∈ Aα, v(cid:238)i m(cid:229)i λ ∈ [0, 1], α ∈ I. Do (cid:31)(cid:226) λx + (1 − λ)y ∈ A. V“y A l(cid:160) t“p l(cid:231)i.

M»nh (cid:31)• 1.1.3. Gi£ sß Ai ⊆ X l(cid:160) t“p l(cid:231)i v(cid:160) λi ∈ R (i = 1, 2, . . . , m). Khi (cid:31)(cid:226) λ1A1 + λ2A2 + · · · + λmAm l(cid:160) t“p l(cid:231)i.

Chøng minh. (cid:30)(cid:176)t A = λ1A1 + λ2A2 + · · · + λmAm. L§y x, y ∈ A, khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i xi ∈ Ai, yi ∈ Ai, i = 1, 2, . . . , m sao cho x = λ1x1 + λ2x2 + · · · + λmxm, y = λ1y1 + λ2y2 + · · · + λmym.

Ta c(cid:226)

λx + (1 − λ)y = λ(λ1x1 + · · · + λmxm) + (1 − λ)(λ1y1 + · · · + λmym)

= λ1[λx1 + (1 − λ)y1] + · · · + λm[λxm + (1 − λ)ym].

Do Ai l(cid:160) t“p l(cid:231)i n¶n λxi+(1−λ)yi ∈ Ai, v(cid:238)i m(cid:229)i λ ∈ [0, 1], i ∈ {1, 2}, . . . , m. Suy ra λx + (1 − λ)y ∈ A, v(cid:238)i m(cid:229)i λ ∈ [0, 1]. V“y A l(cid:160) t“p l(cid:231)i.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.4. Gi£ sß X l(cid:160) kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh, A l(cid:160) mºt t“p con

cıa X. Khi (cid:31)(cid:226) giao cıa t§t c£ c¡c t“p l(cid:231)i chøa A (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) bao l(cid:231)i cıa

t“p A v(cid:160) k‰ hi»u l(cid:160) co A.

Nh“n x†t. T“p A l(cid:231)i khi v(cid:160) ch¿ khi A chøa t§t c£ c¡c tŒ hæp l(cid:231)i cıa c¡c

phƒn tß trong A.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.5. Gi£ sß A l(cid:160) t“p con cıa kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh X. Khi (cid:31)(cid:226)

co A tr(cid:242)ng v(cid:238)i t“p t§t c£ c¡c tŒ hæp l(cid:231)i cıa t“p A, tøc l(cid:160)

n (cid:88)

(cid:40) n (cid:41) (cid:88)

co A =

.

αixi : xi ∈ A, αi ≥ 0,

αi = 1

i=1

Chøng minh. Ta c(cid:226) co A l(cid:160) t“p l(cid:231)i. V… A ⊂ co A n¶n co A chøa t§t c£ c¡c

tŒ hæp l(cid:231)i cıa A. H(cid:236)n nœa t“p t§t c£ c¡c tŒ hæp l(cid:231)i cıa A l(cid:160) l(cid:231)i v(cid:160) chøa A,

do (cid:31)(cid:226) n(cid:226) chøa co A (v… co A l(cid:160) t“p l(cid:231)i nh(cid:228) nh§t chøa A). V“y co A tr(cid:242)ng v(cid:238)i

t“p t§t c£ c¡c tŒ hæp l(cid:231)i cıa A.

1.2. Kh(cid:230)ng gian l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.1. Gi£ sß X l(cid:160) mºt t“p hæp kh¡c rØng. H(cid:229) τ nhœng t“p

con cıa X (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt t(cid:230)p(cid:230) tr¶n X n‚u

(i) Hai t“p ∅, X (cid:31)•u thuºc h(cid:229) τ ;

(ii) τ k‰n (cid:31)Łi v(cid:238)i ph†p giao hœu h⁄n, tøc l(cid:160) giao cıa mºt sŁ hœu h⁄n t“p

thuºc h(cid:229) τ th… c(cid:244)ng thuºc h(cid:229) τ ;

(iii) τ k‰n (cid:31)Łi v(cid:238)i ph†p hæp b§t k…, tøc l(cid:160) hæp cıa mºt sŁ hœu h⁄n hay

v(cid:230) h⁄n t“p thuºc h(cid:229) τ th… c(cid:244)ng thuºc h(cid:229) τ .

C(cid:176)p (X, τ ) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230). C¡c phƒn tß thuºc X ta g(cid:229)i l(cid:160)

(cid:31)i”m v(cid:160) c¡c t“p thuºc h(cid:229) τ (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) t“p m(cid:240).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.2. Gi£ sß τ, τ (cid:48) l(cid:160) c¡c t(cid:230)p(cid:230) tr¶n X. N‚u τ ⊆ τ (cid:48), ta n(cid:226)i t(cid:230)p(cid:230) τ y‚u h(cid:236)n (th(cid:230) h(cid:236)n) t(cid:230)p(cid:230) τ (cid:48) hay t(cid:230)p(cid:230) τ (cid:48) m⁄nh h(cid:236)n (m(cid:224)n h(cid:236)n) t(cid:230)p(cid:230) τ .

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp kh(cid:230)ng c(cid:226) quan h» (cid:31)(cid:226), ta n(cid:226)i hai t(cid:230)p(cid:230) kh(cid:230)ng so s¡nh (cid:31)(cid:247)æc.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.3. Cho kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) (X, τ ) v(cid:160) A ⊆ X.

(i) T“p con U cıa kh(cid:230)ng gian X (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) l¥n c“n cıa A n‚u U l(cid:160) bao

h(cid:160)m t“p m(cid:240) chøa A;

(ii) L¥n c“n cıa phƒn tß x ∈ X l(cid:160) l¥n c“n cıa t“p con {x}. H(cid:229) t§t c£

c¡c l¥n c“n cıa mºt (cid:31)i”m g(cid:229)i l(cid:160) h» l¥n c“n cıa (cid:31)i”m (cid:31)(cid:226).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.4. Kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) (X, τ ) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Haus-

dorff n‚u (cid:31)Łi v(cid:238)i hai (cid:31)i”m kh¡c nhau t(cid:242)y (cid:254) x, y ∈ X lu(cid:230)n t(cid:231)n t⁄i c¡c l¥n

c“n U cıa x, V cıa y sao cho U ∩ V = ∅.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.5. Cho X l(cid:160) kh(cid:230)ng gian v†ct(cid:236) tr¶n tr(cid:247)(cid:237)ng K.

(i) Mºt t(cid:230)p(cid:230) τ tr¶n X (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng th‰ch v(cid:238)i c§u tr(cid:243)c (cid:31)⁄i sŁ cıa X

n‚u c¡c ph†p to¡n cºng v(cid:160) nh¥n v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng l(cid:160) c¡c ¡nh x⁄ li¶n t(cid:246)c.

(ii) Mºt kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) tuy‚n t‰nh hay kh(cid:230)ng gian v†ct(cid:236) t(cid:230)p(cid:230) tr¶n tr(cid:247)(cid:237)ng K l(cid:160) mºt c(cid:176)p (X, τ ), trong (cid:31)(cid:226) X l(cid:160) kh(cid:230)ng gian v†ct(cid:236) tr¶n tr(cid:247)(cid:237)ng K v(cid:160) τ l(cid:160) mºt t(cid:230)p(cid:230) t(cid:247)(cid:236)ng th‰ch v(cid:238)i c§u tr(cid:243)c (cid:31)⁄i sŁ cıa X.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.6. Kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) tuy‚n t‰nh X (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) kh(cid:230)ng gian

l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng (v(cid:160) t(cid:230)p(cid:230) cıa n(cid:226) l(cid:160) t(cid:230)p(cid:230) l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng), n‚u trong X c(cid:226) mºt

c(cid:236) s(cid:240) l¥n c“n cıa gŁc g(cid:231)m to(cid:160)n t“p l(cid:231)i. H(cid:236)n v“y, n‚u kh(cid:230)ng gian l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a

ph(cid:247)(cid:236)ng X (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Hausdorff th… X (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) kh(cid:230)ng gian

l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff.

V‰ d(cid:246) 1.2.7. Kh(cid:230)ng gian (cid:31)(cid:224)nh chu'n, kh(cid:230)ng gian Hilbert l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian

l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff.

1.3. Kh¡i ni»m ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224)

Gi£ sß X v(cid:160) Y l(cid:160) hai t“p hæp. K‰ hi»u 2X l(cid:160) t“p t§t c£ c¡c t“p con cıa

X.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.3.1. Mºt ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) F tł X v(cid:160)o Y m(cid:160) øng v(cid:238)i mØi phƒn tß x ∈ X cho mºt t“p con cıa Y , (cid:31)(cid:247)æc k(cid:254) hi»u F : X → 2Y .

Th(cid:252)c ch§t, mØi ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) F : X → 2Y (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng b(cid:240)i mºt t“p

con cıa X × Y , k‰ hi»u l(cid:160) gph F v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

gph F := (cid:8)(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)(cid:9).

T“p hæp gph F (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)(cid:231) th(cid:224) cıa F .

Mi•n (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa F , k‰ hi»u dom F , x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

dom F := (cid:8)x ∈ X : F (x) (cid:54)= ∅(cid:9).

V‰ d(cid:246) 1.3.2. X†t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)a thøc v(cid:238)i h» sŁ th(cid:252)c

xn + a1xn−1 + ... + an−1x + an = 0,

Quy t›c cho øng mØi v†ct(cid:236) a = (a1, a2, ..., an) ∈ Rn v(cid:238)i t“p nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tr¶n, k‰ hi»u b(cid:240)i F (a), cho ta mºt ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224)

F : Rn → 2C

tł kh(cid:230)ng gian Euclide Rn v(cid:160)o kh(cid:230)ng gian phøc C.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.3.3. Cho X, Y l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh v(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) F : X → 2Y . Ta n(cid:226)i r‹ng

(i) F c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) l(cid:231)i n‚u F (x) l(cid:160) t“p l(cid:231)i trong Y , v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ X;

(ii) F l(cid:160) ¡nh x⁄ l(cid:231)i n‚u gph F l(cid:160) t“p l(cid:231)i trong X × Y.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.3.4. Cho X, Y l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) v(cid:160) F : X → 2Y l(cid:160)

¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224). Ta n(cid:226)i r‹ng

(i) F c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) (cid:31)(cid:226)ng n‚u F (x) l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng trong Y , v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ X;

(ii) F l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:226)ng n‚u gph F l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng trong X × Y ;

(ii) F l(cid:160) ¡nh x⁄ m(cid:240) n‚u gph F l(cid:160) t“p m(cid:240) trong X × Y ;

(iii) F l(cid:160) ¡nh x⁄ compact n‚u F (X) l(cid:160) t“p compact t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi trong Y .

M»nh (cid:31)• 1.3.5. Gi£ sß X, Y l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) tuy‚n t‰nh v(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) F : X → 2Y . Khi (cid:31)(cid:226)

(i) N‚u F l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:226)ng th… F c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) (cid:31)(cid:226)ng;

(ii) N‚u F l(cid:160) ¡nh x⁄ m(cid:240) th… F c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) m(cid:240);

(iii) N‚u F l(cid:160) ¡nh x⁄ l(cid:231)i th… F c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) l(cid:231)i;

(iv) F l(cid:160) ¡nh x⁄ l(cid:231)i khi v(cid:160) ch¿ khi

(1 − t)F (x) + tF (x(cid:48)) ⊆ F ((1 − t)x + tx(cid:48)) v(cid:238)i m(cid:229)i x, x(cid:48) ∈ X v(cid:160) t ∈ [0, 1]

C¡c v‰ d(cid:246) d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y ch¿ ra r‹ng ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) l(cid:231)i ch(cid:247)a ch›c l(cid:160)

¡nh x⁄ l(cid:231)i v(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) (cid:31)(cid:226)ng ch(cid:247)a ch›c l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:226)ng.

V‰ d(cid:246) 1.3.6. Cho ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) F : N∗ → 2R (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a nh(cid:247) sau

 

co (cid:8)1, 2, ..., n − 1(cid:9), n‚u n ≥ 2,

F (n) =



{0}, n‚u n=1.

Hi”n nhi¶n F l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) l(cid:231)i. Tuy nhi¶n F kh(cid:230)ng l(cid:160) ¡nh x⁄

l(cid:231)i.

V‰ d(cid:246) 1.3.7. X†t ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) F : R → 2R x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

 

F (x) =



[0, 1], n‚u x = 0, R, trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp cÆn l⁄i.

Hi”n nhi¶n ¡nh x⁄ F c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) (cid:31)(cid:226)ng. M(cid:176)t kh¡c ta c(cid:226)

gph F = (cid:8)(x, y) ∈ R2 : y ∈ F (x)(cid:9) = ({0} × [0, 1]) ∪ (R\{0} × R)

l(cid:160) t“p kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:226)ng trong R2 v(cid:160) nh(cid:247) v“y F kh(cid:230)ng l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:226)ng.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.3.8. Cho X, Y l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230). (cid:129)nh x⁄ bao (cid:31)(cid:226)ng cıa F l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) cl F : X → 2Y m(cid:160) (cid:31)(cid:231) th(cid:224) cıa n(cid:226) l(cid:160) bao (cid:31)(cid:226)ng cıa (cid:31)(cid:231) th(cid:224) cıa ¡nh x⁄ F , tøc l(cid:160)

gph(cl F ) = cl(gph F ).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.3.9. Gi£ sß F : X → 2Y l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) tł X v(cid:160)o Y . Ta g(cid:229)i ¡nh x⁄ ng(cid:247)æc cıa F , k(cid:254) hi»u l(cid:160) F −1 : Y → 2X, (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

F −1(y) = (cid:8)x ∈ X : y ∈ F (x)(cid:9), v(cid:238)i y ∈ Y.

Ta n(cid:226)i F −1 l(cid:160) £nh ng(cid:247)æc cıa F .

M(cid:229)i ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) (cid:31)•u c(cid:226) ¡nh x⁄ ng(cid:247)æc, (cid:31)i•u n(cid:160)y kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng (cid:31)Łi v(cid:238)i ¡nh

x⁄ (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224). Ta c(cid:244)ng d„ d(cid:160)ng ki”m tra (cid:31)(cid:247)æc m(cid:229)i ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) c(cid:226) £nh ng(cid:247)æc

t⁄i mØi (cid:31)i”m l(cid:160) m(cid:240) (cid:31)•u l(cid:160) ¡nh x⁄ nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) (cid:31)i•u ng(cid:247)æc l⁄i kh(cid:230)ng

(cid:31)(cid:243)ng.

1.4. Mºt sŁ t‰nh ch§t cıa ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224)

Trong phƒn n(cid:160)y ch(cid:243)ng t(cid:230)i tr…nh b(cid:160)y t‰nh ch§t li¶n t(cid:246)c theo n(cid:226)n cıa ¡nh

x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) v(cid:160) t‰nh l(cid:231)i theo n(cid:226)n cıa ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224). C¡c kh¡i ni»m trong phƒn

n(cid:160)y l(cid:160) s(cid:252) m(cid:240) rºng cıa c¡c kh¡i ni»m v• t‰nh li¶n t(cid:246)c, t‰nh l(cid:231)i cıa ¡nh x⁄

(cid:31)a tr(cid:224). Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n, ta tr…nh b(cid:160)y kh¡i ni»m n(cid:226)n trong kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh.

1.4.1. N(cid:226)n trong kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.4.1. Cho Y l(cid:160) kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh v(cid:160) C l(cid:160) mºt t“p con

kh(cid:230)ng rØng trong Y . Ta n(cid:226)i r‹ng C l(cid:160) n(cid:226)n c(cid:226) (cid:31)¿nh t⁄i gŁc trong Y n‚u

tc ∈ C, v(cid:238)i m(cid:229)i c ∈ C v(cid:160) t > 0.

N‚u C l(cid:160) n(cid:226)n c(cid:226) (cid:31)¿nh t⁄i gŁc th… C + x0 l(cid:160) n(cid:226)n c(cid:226) (cid:31)¿nh t⁄i x0.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.4.2. Cho C l(cid:160) n(cid:226)n trong kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh Y . Ta n(cid:226)i

r‹ng

(i) C l(cid:160) n(cid:226)n l(cid:231)i n‚u C l(cid:160) t“p l(cid:231)i;

(ii) C l(cid:160) n(cid:226)n nh(cid:229)n n‚u l(C) = {0}, trong (cid:31)(cid:226) l(C) = C ∩ (−C).

N(cid:226)n C g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)(cid:226)ng n‚u C l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng trong Y . Ta n(cid:226)i C l(cid:160) n(cid:226)n l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng

nh(cid:229)n n‚u C l(cid:160) n(cid:226)n l(cid:231)i, (cid:31)(cid:226)ng v(cid:160) nh(cid:229)n.

D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) mºt sŁ v‰ d(cid:246) v• n(cid:226)n trong kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh.

V‰ d(cid:246) 1.4.3. 1. Cho Y l(cid:160) kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh. Khi (cid:31)(cid:226) (cid:8)0(cid:9), Y l(cid:160) c¡c n(cid:226)n trong Y v(cid:160) ta g(cid:229)i ch(cid:243)ng l(cid:160) c¡c n(cid:226)n tƒm th(cid:247)(cid:237)ng trong Y .

+ = (cid:8)x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn : xi ≥ 0, i ∈ {1, 2, ..., n}(cid:9) Rn

2. Cho kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh Rn. Khi (cid:31)(cid:226) t“p

l(cid:160) n(cid:226)n l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng nh(cid:229)n trong Rn v(cid:160) ta g(cid:229)i l(cid:160) n(cid:226)n Orthant kh(cid:230)ng ¥m trong Rn. 3. G(cid:229)i C[0, 1] l(cid:160) kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh c¡c h(cid:160)m sŁ x¡c (cid:31)(cid:224)nh v(cid:160) li¶n t(cid:246)c

tr¶n (cid:31)o⁄n [0, 1] v(cid:238)i c¡c ph†p to¡n cºng v(cid:160) nh¥n v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng

(x + y)(t) = x(t) + y(t),

(λx)(t) = λx(t).

Khi (cid:31)(cid:226) t“p

C+[0, 1] = (cid:8)x ∈ C[0, 1] : x(t) ≥ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ [0, 1](cid:9)

l(cid:160) n(cid:226)n l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng nh(cid:229)n trong C[0, 1].

1.4.2. T‰nh li¶n t(cid:246)c theo n(cid:226)n cıa ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224)

Tr(cid:247)(cid:238)c h‚t ta nh›c l⁄i kh¡i ni»m li¶n t(cid:246)c cıa ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224) giœa c¡c kh(cid:230)ng

gian t(cid:230)p(cid:230).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.4.4. Mºt ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224) f : X → Y tł kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) X v(cid:160)o kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) Y (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) li¶n t(cid:246)c t⁄i x0 ∈ X n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i t“p m(cid:240) V trong Y chøa f (x0), t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n m(cid:240) U trong X chøa x0 sao cho f (U ) ⊆ V .

Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp F : X → 2Y l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) tł kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) X v(cid:160)o kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) Y , Berge (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra kh¡i ni»m v• t‰nh nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n

v(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i cıa ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.4.5. (cid:129)nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) F : X → 2Y (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n (d(cid:247)(cid:238)i) t⁄i x0 n‚u v(cid:238)i mØi t“p m(cid:240) V trong Y th(cid:228)a m¢n F (x0) ⊆ V (t(cid:247)(cid:236)ng øng, F (x0) ∩ V (cid:54)= ∅), t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n U cıa x0 trong X sao cho F (x) ⊆ V (t(cid:247)(cid:236)ng øng, F (x) ∩ V (cid:54)= ∅) v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U .

Gi£ sß X, Y l(cid:160) hai kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) tuy‚n t‰nh v(cid:160) C l(cid:160) n(cid:226)n tr¶n Y. Ta

nh›c l⁄i kh¡i ni»m li¶n t(cid:246)c theo n(cid:226)n cıa ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224). Kh¡i ni»m n(cid:160)y l(cid:160)

m(cid:240) rºng kh¡i ni»m cıa Berge v• t‰nh nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n v(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i

cıa ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.4.6. Cho ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) F : X → 2Y .

(i) F (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c tr¶n (d(cid:247)(cid:238)i) t⁄i ¯x ∈ dom F n‚u v(cid:238)i mØi l¥n

c“n V cıa gŁc trong Y , t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n U cıa ¯x trong X sao cho

F (x) ⊆ F (¯x) + V + C

(F (¯x) ⊆ F (x) + V − C,

t(cid:247)(cid:236)ng øng)

v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F .

(ii) N‚u F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c tr¶n v(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i ¯x (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i, th… ta

n(cid:226)i F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c t⁄i ¯x.

(iii) N‚u F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c tr¶n, C- li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c t⁄i m(cid:229)i

(cid:31)i”m trong dom F , ta n(cid:226)i F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c tr¶n, C- li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) C- li¶n

t(cid:246)c trong X.

C¡c kh¡i ni»m nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n v(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i theo ngh(cid:190)a Berge

l(cid:160) ho(cid:160)n to(cid:160)n kh¡c nhau. Do (cid:31)(cid:226) kh¡i ni»m li¶n t(cid:246)c tr¶n theo n(cid:226)n v(cid:160) li¶n t(cid:246)c

d(cid:247)(cid:238)i theo n(cid:226)n c(cid:244)ng ho(cid:160)n to(cid:160)n kh¡c nhau. C¡c v‰ d(cid:246) d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y minh h(cid:229)a cho

(cid:31)i•u khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)(cid:226).

V‰ d(cid:246) 1.4.7. Cho ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) F : R → 2R x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i c(cid:230)ng thøc

  R, n‚u x = 0,

F (x) =



{0}, n‚u x (cid:54)= 0.

Khi (cid:31)(cid:226) d„ d(cid:160)ng ki”m tra (cid:31)(cid:247)æc ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) F l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n t⁄i x0 = 0, nh(cid:247)ng F kh(cid:230)ng nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i x0 = 0.

V‰ d(cid:246) 1.4.8. Cho ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) F : R → 2R x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i c(cid:230)ng thøc

 

F (x) =



{0}, n‚u x = 0, R, trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp cÆn l⁄i.

Khi (cid:31)(cid:226) d„ d(cid:160)ng ki”m tra (cid:31)(cid:247)æc ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) F l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i x0 = 0, nh(cid:247)ng F kh(cid:230)ng nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n t⁄i x0 = 0.

M»nh (cid:31)• sau (cid:31)(cid:247)a ra (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı (cid:31)” ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) li¶n t(cid:246)c theo

n(cid:226)n.

M»nh (cid:31)• 1.4.9. Gi£ sß X l(cid:160) kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230), Y l(cid:160) kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230) tuy‚n t‰nh v(cid:238)i thø t(cid:252) sinh b(cid:240)i n(cid:226)n l(cid:231)i C v(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) F : X → 2Y v(cid:238)i F (x0) l(cid:160) t“p compact trong Y . Khi (cid:31)(cid:226)

(i) F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c tr¶n t⁄i x0 n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i t“p m(cid:240) V , F (x0) ⊆ V + C (cid:31)•u t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n U cıa x0 sao cho F (x) ⊆ V + C, v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F.

(ii) F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i x0 n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u v(cid:238)i mØi y ∈ F (x0) v(cid:160) l¥n c“n V cıa y, t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n U cıa x0 sao cho F (x) ∩ (V + C) (cid:54)= ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F .

(iii) F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i x0 n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i t“p m(cid:240) G th(cid:228)a m¢n F (x0) ∩ (G + C) (cid:54)= ∅, lu(cid:230)n t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n U cıa x0 sao cho F (x) ∩ (G + C) (cid:54)= ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F.

Chøng minh. (i) Gi£ sß F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c tr¶n t⁄i x0. L§y V l(cid:160) t“p m(cid:240) trong Y sao cho F (x0) ⊆ V + C. V… F (x0) compact n¶n t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n V0 cıa 0 sao cho F (x0) + V0 ⊆ V + C. V… F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c tr¶n t⁄i x0 n¶n t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n U cıa x0 sao cho

F (x) ⊆ F (x0) + V0 + C v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F.

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra

F (x) ⊆ V + C + C = V + C v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F.

Ng(cid:247)æc l⁄i, l§y W l(cid:160) l¥n c“n m(cid:240) b§t k(cid:253) cıa 0 trong Y . (cid:30)(cid:176)t V = F (x0) + W . Khi (cid:31)(cid:226) V l(cid:160) t“p m(cid:240) th(cid:228)a m¢n F (x0) ⊆ V + C. Theo gi£ thi‚t, t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n U cıa x0 trong X sao cho F (x) ⊆ V + C v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F. Tł

(cid:31)(cid:226) suy ra

F (x) ⊆ F (x0) + W + C v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F.

(cid:30)i•u n(cid:160)y chøng t(cid:228) F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c tr¶n t⁄i x0. (ii) Gi£ sß F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i x0. L§y y ∈ F (x0) t(cid:242)y (cid:254) v(cid:160) V l(cid:160) l¥n c“n cıa y b§t k(cid:253). (cid:30)(cid:176)t W = y − V . Khi (cid:31)(cid:226) W l(cid:160) l¥n c“n cıa 0 trong Y . V… F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i x0 n¶n t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n U cıa x0 trong X sao cho

F (x0) ⊆ F (x) + W − C v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F.

V… y ∈ F (x0) n¶n y ∈ F (x) + W − C. Ta c(cid:226) th” vi‚t y = y∗ + w − c, (cid:240) (cid:31)¥y y∗ ∈ F (x), w ∈ W v(cid:160) c ∈ C. Tł (cid:31)(cid:226) k†o theo y∗ = y − w + c ∈ V + C. (cid:30)i•u n(cid:160)y chøng t(cid:228) y∗ ∈ F (x) ∩ (V + C). V“y F (x) ∩ (V + C) (cid:54)= ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F.

Ng(cid:247)æc l⁄i, gi£ sß V l(cid:160) l¥n c“n m(cid:240) cıa 0 trong Y . Ta c(cid:226)

(cid:91)

(y + V ).

F (x0) ⊆

y∈F (x0)

n (cid:91)

V… F (x0) compact n¶n t(cid:231)n t⁄i y1, y2, ..., yn ∈ F (x0) sao cho

F (x0) ⊆

(yi + V ).

i=1

V(cid:238)i i ∈ {1, 2, ..., n}, v… yi + V l(cid:160) l¥n c“n cıa yi ∈ F (x0) n¶n t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n Ui cıa x0 sao cho

F (x) ∩ (yi + V + C) (cid:54)= ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ Ui ∩ dom F.

i=1Ui. Khi (cid:31)(cid:226) U l(cid:160) l¥n c“n cıa x0 v(cid:160)

(cid:30)(cid:176)t U = ∩n

F (x) ∩ (yi + V + C) (cid:54)= ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F v(cid:160) i ∈ {1, 2, ..., n}.

Ta chøng minh

F (x0) ⊆ F (x) + V − C v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F.

n (cid:91)

Th“t v“y, l§y y0 ∈ F (x0) t(cid:242)y (cid:254). Tł (cid:31)(cid:226) suy ra

y0 ∈

(yi + V ).

i=1

Do v“y t(cid:231)n t⁄i i0 ∈ {1, 2, ..., n} v(cid:160) v ∈ V sao cho y0 = yi0 + v. M(cid:176)t kh¡c b(cid:240)i F (x) ∩ (yi0 + V + C) (cid:54)= ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F n¶n t(cid:231)n t⁄i y ∈ F (x) v(cid:160) v(cid:48) ∈ V, c ∈ C sao cho y = yi0 + v(cid:48) + c. Tł (cid:31)(cid:226) suy ra y0 = y + v − v(cid:48) − c ∈ F (x) + V − C. V“y F (x0) ⊆ F (x) + V − C v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F . Chøng t(cid:228) F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i x0.

(iii) Gi£ sß F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i x0. L§y G l(cid:160) t“p m(cid:240) b§t k(cid:253) th(cid:228)a m¢n F (x0) ∩ (G + C) (cid:54)= ∅. Tł (cid:31)(cid:226) suy ra t(cid:231)n t⁄i y0 ∈ F (x0) sao cho y0 = g + c, (cid:240) (cid:31)¥y g ∈ G v(cid:160) c ∈ C. V… G l(cid:160) m(cid:240) n¶n t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n m(cid:240) V cıa 0 sao cho g + V ⊆ G. Tł (cid:31)(cid:226) suy ra g + c + V ⊆ G + C hay y0 + V ⊆ G + C. M(cid:176)t kh¡c y0 + V l(cid:160) l¥n c“n cıa y0 n¶n theo (ii), t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n U cıa x0 sao cho F (x) ∩ (y0 + V + C) (cid:54)= ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F . (cid:30)i•u n(cid:160)y k†o theo

F (x) ∩ (G + C) (cid:54)= ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F.

Ng(cid:247)æc l⁄i, l§y y0 ∈ F (x0) v(cid:160) V l(cid:160) l¥n c“n m(cid:240) cıa y0. Tł (cid:31)(cid:226) suy ra y0 ∈ F (x0) ∩ (V + C). Theo gi£ thi‚t, t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n U cıa x0 sao cho F (x) ∩ (V + C) (cid:54)= ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F. Theo (ii) ta suy ra F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i x0.

Nh“n x†t 1.4.10. (i) N‚u C = {0} v(cid:160) F (x0) l(cid:160) t“p compact th… (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

1.4.6 phƒn (i) (cid:240) tr¶n (cid:31)(cid:231)ng nh§t v(cid:238)i (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a v• t‰nh nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n v(cid:160)

nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i cıa Berge. Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp Y l(cid:160) kh(cid:230)ng gian (cid:31)(cid:224)nh chu'n v(cid:160) F vła {0}- li¶n t(cid:246)c tr¶n, vła l(cid:160) {0}- li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i x0 th… F li¶n t(cid:246)c t⁄i x0 theo kho£ng c¡ch Hausdorff.

(ii) N‚u F l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224) th… tł (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a ta th§y t‰nh C- li¶n t(cid:246)c

tr¶n v(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr(cid:242)ng nhau v(cid:160) khi (cid:31)(cid:226) ta n(cid:226)i F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c.

(iii) Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp Y = R, C = R+ v(cid:160) n‚u ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224) F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c t⁄i x0 th… F nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i x0 theo ngh(cid:190)a th(cid:230)ng th(cid:247)(cid:237)ng. N‚u l§y C = R− v(cid:160) F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c t⁄i x0 th… F nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n t⁄i x0.

(iv) Tł m»nh (cid:31)• tr¶n ta c(cid:226) th” n(cid:226)i r‹ng mºt ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c tr¶n t⁄i x0 n‚u F (x) kh(cid:230)ng gi¢n ra qu¡ so v(cid:238)i F (x0) + C khi x gƒn x0 v(cid:160) F l(cid:160) C- li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i x0 n‚u F (x) kh(cid:230)ng b(cid:224) thu l⁄i qu¡ nh(cid:228) so v(cid:238)i F (x0) + C khi x gƒn x0.

1.4.3. T‰nh l(cid:231)i theo n(cid:226)n cıa ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224)

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.4.11. Cho D l(cid:160) t“p kh¡c rØng, l(cid:231)i trong kh(cid:230)ng gian (cid:31)(cid:224)nh

chu'n X, C ⊆ Y l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng, l(cid:231)i, h…nh n(cid:226)n nh(cid:229)n v(cid:238)i phƒn trong kh¡c rØng. (cid:129)nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) Φ : D → 2Y (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)

(i) C- lªm n‚u v(cid:238)i x1, x2 b§t k(cid:253) thuºc D v(cid:160) t ∈ [0, 1] ta c(cid:226)

Φ(tx1 + (1 − t)x2) ⊆ tΦ(x1) + (1 − t)Φ(x2) + C.

(ii) C- lªm nghi¶m ng(cid:176)t n‚u v(cid:238)i x1, x2 b§t k(cid:253) thuºc D m(cid:160) x1 (cid:54)= x2 v(cid:160)

t ∈ [0, 1] ta c(cid:226)

Φ(tx1 + (1 − t)x2) ⊆ tΦ(x1) + (1 − t)Φ(x2) + int C.

(iii) C- l(cid:231)i n‚u v(cid:238)i x1, x2 b§t k(cid:253) thuºc D v(cid:160) t ∈ [0, 1] ta c(cid:226)

tΦ(x1) + (1 − t)Φ(x2) ⊆ Φ(tx1 + (1 − t)x2) + C.

(iv) C- giŁng nh(cid:247) l(cid:231)i n‚u v(cid:238)i x1, x2 b§t k(cid:253) thuºc D v(cid:160) t ∈ [0, 1], t(cid:231)n t⁄i

x3 ∈ D sao cho

tΦ(x1) + (1 − t)Φ(x2) ⊆ Φ(x3) + C.

(v) C- t(cid:252)a l(cid:231)i ch‰nh th(cid:247)(cid:237)ng n‚u v(cid:238)i x1, x2 b§t k(cid:253) thuºc D v(cid:160) t ∈ [0, 1]

ta c(cid:226)

ho(cid:176)c Φ(x1) ⊆ Φ(tx1 + (1 − t)x2) + C,

ho(cid:176)c Φ(x2) ⊆ Φ(tx1 + (1 − t)x2) + C.

(iv) C- t(cid:252)a l(cid:231)i t(cid:252) nhi¶n n‚u v(cid:238)i x1, x2 b§t k(cid:253) thuºc D v(cid:160) t ∈ [0, 1], t(cid:231)n

t⁄i λ ∈ [0, 1] sao cho

λΦ(x1) + (1 − λ)Φ(x2) ⊆ Φ(tx1 + (1 − t)x2) + C.

Nh“n x†t 1.4.12. N‚u Φ l(cid:160) C- l(cid:231)i th… Φ l(cid:160) C- giŁng nh(cid:247) l(cid:231)i.

Nh“n x†t 1.4.13. Hi”n nhi¶n n‚u Φ l(cid:160) C- l(cid:231)i th… Φ l(cid:160) C- t(cid:252)a l(cid:231)i t(cid:252) nhi¶n.

N‚u Φ l(cid:160) C- t(cid:252)a l(cid:231)i ch‰nh th(cid:247)(cid:237)ng th… Φ l(cid:160) C- t(cid:252)a l(cid:231)i t(cid:252) nhi¶n. L(cid:238)p c¡c ¡nh

x⁄ C- t(cid:252)a l(cid:231)i t(cid:252) nhi¶n rºng h(cid:236)n l(cid:238)p c¡c ¡nh x⁄ C- l(cid:231)i v(cid:160) C- t(cid:252)a l(cid:231)i ch‰nh

+ = {(x1, x2) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0},

th(cid:247)(cid:237)ng.

]. (cid:129)nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) Φ : A → 2Y (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i

V‰ d(cid:246) 1.4.14. Gi£ sß Y = R2, C = R2 π X = R v(cid:160) A = [0, 2

Φ(x) = (sin x, 3 − sin x) + BY .

Khi (cid:31)(cid:226) ta th§y Φ kh(cid:230)ng l(cid:160) C- l(cid:231)i hay C- t(cid:252)a l(cid:231)i ch‰nh th(cid:247)(cid:237)ng, m(cid:160) Φ l(cid:160) C-

t(cid:252)a l(cid:231)i t(cid:252) nhi¶n.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

S(cid:252) t(cid:231)n t⁄i v(cid:160) t‰nh li¶n th(cid:230)ng cıa t“p

nghi»m (cid:31)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n

b‹ng v†ct(cid:236) suy rºng

Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) cho s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m

cıa b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng v†ct(cid:236) suy rºng v(cid:160) t‰nh li¶n th(cid:230)ng cıa t“p nghi»m

(cid:31)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y. C¡c k‚t qu£ ch‰nh cıa ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc ch(cid:243)ng t(cid:230)i tr‰ch

d¤n tł c(cid:230)ng tr…nh [6].

2.1. Mºt sŁ ki‚n thøc m(cid:240) (cid:31)ƒu

Trong phƒn n(cid:160)y, n‚u kh(cid:230)ng c(cid:226) tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t, ta k‰ hi»u Λ, W , ∆,

X v(cid:160) Y l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff. Gi£ sß C ⊆ Y l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng, l(cid:231)i, h…nh n(cid:226)n nh(cid:229)n v(cid:238)i phƒn trong kh¡c rØng, R+ := {x ∈ R : x ≥ 0} v(cid:160) P ⊆ ∆ l(cid:160) mºt l(cid:231)i, n(cid:226)n nh(cid:229)n. Ta g(cid:229)i BY l(cid:160) h…nh cƒu (cid:31)(cid:226)ng trong Y , Y ∗ l(cid:160) kh(cid:230)ng gian t(cid:230) p(cid:230) (cid:31)Łi ng¤u cıa Y v(cid:160) C ∗ (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

C ∗ := {f ∈ Y ∗ : f (c) ≥ 0, v(cid:238)i m(cid:229)i c ∈ C}.

K‰ hi»u t(cid:252)a phƒn trong cıa C ∗ l(cid:160) C #, (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

C # := {f ∈ Y ∗ : f (c) > 0, v(cid:238)i m(cid:229)i c ∈ C\{0}}.

G(cid:229)i D l(cid:160) t“p kh¡c rØng cıa Y , khi (cid:31)(cid:226) bao n(cid:226)n cıa D (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

cone D := {td : t ≥ 0, d ∈ D}.

Mºt t“p con l(cid:231)i kh¡c rØng B cıa n(cid:226)n l(cid:231)i C (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) c(cid:236) s(cid:240) cıa C n‚u C = cone B v(cid:160) 0 (cid:54)∈ cl B. Hi”n nhi¶n, C # (cid:54)= ∅ n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u C c(cid:226) c(cid:236) s(cid:240). V(cid:238)i e ∈ int C, ta k‰ hi»u

B∗ := {f ∈ C ∗ : f (e) = 1},

v(cid:160)

B# := {f ∈ C # : f (e) = 1}.

Hi”n nhi¶n, B∗ l(cid:160) c(cid:236) s(cid:240) compact y‚u * cıa C ∗, B# l(cid:160) c(cid:236) s(cid:240) cıa C # v(cid:160) B∗ = cl B#.

Nh“n x†t 2.1.1. Cho f ∈ C #. N‚u f (z) (cid:54)= 0 th… z (cid:54)∈ −C\{0}. Gi£ sß K l(cid:160) mºt t“p con kh¡c rØng cıa X, S : X → 2∆ v(cid:160) F : X ×∆×X → 2Y l(cid:160) c¡c ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224). Ta x†t b(cid:160)i to¡n (GV QEP ): T…m x0 ∈ K sao cho

F (x0, u, y) ∩ (−Ω) = ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x0) v(cid:160) y ∈ K,

trong (cid:31)(cid:226) Ω ∪ {0} l(cid:160) t“p n(cid:226)n trong Y .

N‚u thay F (x, u, y) b(cid:240)i F (x, y) th… b(cid:160)i to¡n (GV QEP ) tr(cid:240) th(cid:160)nh b(cid:160)i

to¡n: T…m x0 ∈ K sao cho

F (x0, y) ∩ (−Ω) = ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i y ∈ K.

B(cid:160)i to¡n n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) b(cid:160)i to¡n c¥n b‹ng v†ct(cid:236) suy rºng (GV EP ). H(cid:236)n

nœa, n‚u thay F (x, y) b(cid:240)i f (y) − f (x), trong (cid:31)(cid:226) f : X → Y l(cid:160) ¡nh x⁄, th… b(cid:160)i to¡n (GV EP ) tr(cid:240) th(cid:160)nh b(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u v†ct(cid:236) (V OP ): T…m x0 ∈ K sao

cho

f (y) − f (x) /∈ −Ω v(cid:238)i m(cid:229)i y ∈ K.

Ta k‰ hi»u G(F, S, K) l(cid:160) t“p t§t c£ c¡c nghi»m hœu hi»u m⁄nh cıa b(cid:160)i to¡n

(GV QEP ), tøc l(cid:160)

G(F, S, K) = {x ∈ K : F (x, u, y) ⊆ C, v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x) v(cid:160) y ∈ K},

W (F, S, K) l(cid:160) t“p t§t c£ c¡c nghi»m hœu hi»u y‚u cıa b(cid:160)i to¡n (GV QEP ),

tøc l(cid:160)

W (F, S, K) = {x ∈ K : F (x, u, y)∩(− int C) = ∅, v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x) v(cid:160) y ∈ K},

v(cid:160) E(F, S, K) l(cid:160) t“p t§t c£ c¡c nghi»m hœu hi»u cıa b(cid:160)i to¡n (GV QEP ),

tøc l(cid:160)

E(F, S, K) = {x ∈ K : F (x, u, y)∩(−C\{0}) = ∅, v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x) v(cid:160) y ∈ K}.

K‰ hi»u WV (f, K) l(cid:160) t“p t§t c£ c¡c nghi»m hœu hi»u y‚u cıa b(cid:160)i to¡n (V OP ), tøc l(cid:160)

WV (f, K) = {x ∈ K : f (y) − f (x) /∈ − int C, v(cid:238)i m(cid:229)i y ∈ K},

v(cid:160) EV (f, K) l(cid:160) t“p t§t c£ c¡c nghi»m hœu hi»u cıa b(cid:160)i to¡n (V OP ), tøc l(cid:160)

EV (f, K) = {x ∈ K : f (y) − f (x) /∈ −C\{0}, v(cid:238)i m(cid:229)i y ∈ K}.

V(cid:238)i f ∈ C ∗, k‰ hi»u Q(f ) l(cid:160) t“p t§t c£ c¡c f - nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n (GV QEP ),

tøc l(cid:160)

Q(f ) = {x ∈ K : f (F (x, u, y)) ⊆ R+, v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x) v(cid:160) y ∈ K}.

n (cid:91)

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.2. Cho K l(cid:160) t“p kh¡c rØng trong kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh X. (cid:129)nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) F : K → 2X (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ¡nh x⁄ KKM n‚u v(cid:238)i mØi t“p hœu h⁄n {y1, y2, ..., yn} trong K ta c(cid:226)

conv({y1, y2, ..., yn}) ⊆

F (yi).

i=1

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.3. (cid:129)nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) Φ : ∆ → 2Y (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) P -C- t«ng n‚u v(cid:238)i u1, u2 ∈ ∆ m(cid:160) u1 − u2 ∈ P ta c(cid:226)

Φ(u1) ⊆ Φ(u2) + C.

Nh“n x†t 2.1.4. Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t, h(cid:160)m f : R → R (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) R+-R+- t«ng n‚u v(cid:238)i u1, u2 ∈ R m(cid:160) u1 ≥ u2 ta c(cid:226) f (u1) ≥ f (u2).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.5. Cho A l(cid:160) mºt t“p hæp trong kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230). T“p A

(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) li¶n th(cid:230)ng n‚u A kh(cid:230)ng th” bi”u di„n d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng hæp cıa hai t“p

m(cid:240) kh(cid:230)ng rØng r(cid:237)i nhau.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.6. Cho A l(cid:160) mºt t“p kh¡c rØng trong kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230).

T“p A (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) li¶n th(cid:230)ng (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng n‚u v(cid:238)i mØi x, y ∈ A t(cid:231)n t⁄i mºt ¡nh

x⁄ li¶n t(cid:246)c f : [0, 1] → A sao cho f (0) = x v(cid:160) f (1) = y.

V‰ d(cid:246) 2.1.7. T“p l(cid:231)i l(cid:160) li¶n th(cid:230)ng (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng.

Nh“n x†t 2.1.8. Mºt t“p li¶n th(cid:230)ng (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng th… li¶n th(cid:230)ng, ng(cid:247)æc l⁄i kh(cid:230)ng

(cid:31)(cid:243)ng.

BŒ (cid:31)• 2.1.9. ([2]) (cid:129)nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) Φ : X → 2Y l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i u0 ∈ X n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u v(cid:238)i mØi d¢y {un} ⊆ X m(cid:160) un → u0 v(cid:160) v(cid:238)i x0 ∈ Φ(u0), t(cid:231)n t⁄i xn ∈ Φ(un), (n = 1, 2, ...) sao cho xn → x0.

BŒ (cid:31)• 2.1.10. ([4]) Cho ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) Φ : X → 2Y . V(cid:238)i mØi u0 ∈ X, Φ(u0) l(cid:160) t“p compact th… Φ l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u v(cid:238)i d¢y {un} ⊆ X b§t k(cid:253) m(cid:160) un → u0 v(cid:160) xn ∈ Φ(un), t(cid:231)n t⁄i x0 ∈ Φ(u0) v(cid:160) mºt d¢y con {xnk} cıa {xn} sao cho xnk → x0.

x∈K

(cid:92) BŒ (cid:31)• 2.1.11. ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) Fan-KKM) Cho K l(cid:160) t“p con kh¡c rØng cıa kh(cid:230)ng gian v†ct(cid:236) t(cid:230)p(cid:230) Hausdorff X v(cid:160) F : K → 2X l(cid:160) mºt ¡nh x⁄ KKM v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) F (x) (cid:54)= ∅. (cid:31)(cid:226)ng. N‚u t(cid:231)n t⁄i x0 ∈ K sao cho F (x0) l(cid:160) t“p compact th…

n (cid:92)

Chøng minh. Ta chøng minh (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) b‹ng ph£n chøng. Gi£ sß t(cid:231)n t⁄i t“p hœu h⁄n {x1, x2, ..., xn} ⊆ K sao cho

F (xi) = ∅.

i=1

(cid:30)(cid:176)t L = span{x1, x2, ..., xn} v(cid:160) d l(cid:160) kho£ng c¡ch tr¶n L t(cid:247)(cid:236)ng th‰ch v(cid:238)i t(cid:230)p(cid:230) c£m sinh tł X. Ta k‰ hi»u ∇ = conv{x1, x2, ..., xn} v(cid:160) G(xi) = F (xi)∩L v(cid:238)i i = 1, 2, ..., n. V(cid:238)i mØi x ∈ ∇, (cid:31)(cid:176)t αi(x) = d(x, G(xi)). V… ∩n i=1F (xi) = ∅

i=1G(xi) = ∅. Do (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i mØi x ∈ ∇, t(cid:231)n t⁄i i sao cho x (cid:54)∈ G(xi). V…

n¶n ∩n G(xi) (cid:31)(cid:226)ng n¶n αi(x) > 0. Ta (cid:31)(cid:176)t

, x ∈ ∇.

µi(x) =

(cid:80)n

αi(x) j=1 αj(x)

j=1 µj(x) = 1 v(cid:238)i m(cid:229)i

n (cid:88)

Khi (cid:31)(cid:226) c¡c h(cid:160)m µi li¶n t(cid:246)c v(cid:160) 0 ≤ µi(x) ≤ 1, (cid:80)n x ∈ ∇. X†t ¡nh x⁄ T : ∇ → ∇ x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

T x =

µi(x)xi.

j=1

Rª r(cid:160)ng T li¶n t(cid:246)c tr¶n ∇ l(cid:160) t“p con l(cid:231)i v(cid:160) compact cıa kh(cid:230)ng gian con hœu

i∈I(¯x)

h⁄n chi•u L. Sß d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng Brouwer, t(cid:231)n t⁄i ¯x ∈ ∇ sao cho T (¯x) = ¯x. (cid:30)(cid:176)t I(¯x) := {i ∈ {1, 2, ..., n} : µi(¯x) > 0}. V… (cid:80) µi(¯x) = 1

n (cid:88)

n¶n I(¯x) (cid:54)= ∅. M(cid:176)t kh¡c ta l⁄i c(cid:226)

(cid:88)

¯x = T (¯x) =

µi(¯x)xi =

µi(¯x)xi.

i=1

i∈I(¯x)

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra

¯x ∈ conv{xi : i ∈ I(¯x)} ⊆ ∪i∈I(¯x)F (xi).

V… µi(¯x) > 0 v(cid:238)i m(cid:229)i i ∈ I(¯x), n¶n ta c(cid:226) ¯x (cid:54)∈ G(xi). V… ¯x ∈ L n¶n ¯x (cid:54)∈ F (xi) v(cid:238)i m(cid:229)i i ∈ I(¯x). Chøng t(cid:228) ¯x (cid:54)∈ ∪i∈I(¯x)F (xi). (cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i ¯x ∈ ∪i∈I(¯x)F (xi).

BŒ (cid:31)• 2.1.12. ([5]) (cid:129)nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) G : X → 2Y l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u v(cid:238)i A ⊆ X ta c(cid:226)

(cid:91) (cid:91)

G(u) ⊆ cl

G(u).

u∈A

u∈cl A

u∈cl A t⁄i d¢y {un} ⊆ A sao cho un → u0. Theo BŒ (cid:31)• 2.1.9, t(cid:231)n t⁄i

Chøng minh. Ta chøng minh (cid:31)i•u ki»n cƒn. V(cid:238)i mØi A ⊆ X, ta l§y x0 ∈ (cid:92) G(u). Khi (cid:31)(cid:226), t(cid:231)n t⁄i u0 ∈ cl A sao cho x0 ∈ G(u0). Tł u0 ∈ cl A, t(cid:231)n

(cid:91)

G(u),

xn ∈ G(un) ⊆

u∈A

(cid:91) (cid:91) (cid:91)

G(u) ⊆ cl

G(u).

G(u). V“y

u∈A

u∈cl A

sao cho xn → x0. Do (cid:31)(cid:226) x0 ∈ cl

(cid:48)

Chøng minh (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı. Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i, t(cid:231)n t⁄i u0 ∈ X sao cho G kh(cid:230)ng l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i u0. Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i x0 ∈ G(u0) v(cid:160) l¥n c“n W0 cıa 0 ∈ Y sao cho v(cid:238)i mØi l¥n c“n U cıa u0, t(cid:231)n t⁄i u(cid:48) ∈ U th(cid:228)a m¢n

) = ∅.

(x0 + W0) ∩ G(u

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra t(cid:231)n t⁄i d¢y {un} ⊆ X v(cid:238)i un → u0 sao cho

(2.1)

(x0 + W0) ∩ G(un) = ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i n ∈ N.

(cid:91)

G(u). Tł (2.1) ta c(cid:226)

u∈cl A

(cid:30)(cid:176)t A := {un : n ∈ N}. Khi (cid:31)(cid:226) x0 ∈

G(u)(cid:1) = ∅.

(x0 + W0) ∩ (cid:0) (cid:91)

u∈A

(cid:91)

G(x). Tł (cid:31)(cid:226) suy ra

x∈A

Do v“y x0 /∈ cl

(cid:91) (cid:91)

G(x).

G(u) (cid:42) cl

x∈A

u∈cl A

(cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i gi£ thi‚t. V“y G l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr¶n X.

BŒ (cid:31)• 2.1.13. ([7]) Gi£ sß A l(cid:160) t“p con kh¡c rØng, li¶n th(cid:230)ng trong X v(cid:160) F : A → 2Y l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) li¶n th(cid:230)ng. Khi (cid:31)(cid:226) F (A) l(cid:160) t“p li¶n th(cid:230)ng.

BŒ (cid:31)• 2.1.14. Gi£ sß A l(cid:160) kh(cid:230)ng gian ti•n compact Hausdorff li¶n th(cid:230)ng

(cid:31)(cid:247)(cid:237)ng v(cid:160) Y l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach. Gi£ sß c¡c (cid:31)i•u ki»n sau x£y ra

(i) F : A → 2Y l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i; (ii) V(cid:238)i mØi x ∈ A, F (x) l(cid:160) t“p kh¡c rØng, (cid:31)(cid:226)ng v(cid:160) l(cid:231)i.

Khi (cid:31)(cid:226) F (A) l(cid:160) t“p li¶n th(cid:230)ng (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng.

Chøng minh. L§y y1, y2 ∈ F (A) v(cid:238)i y1 (cid:54)= y2. Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i x1, x2 ∈ A sao cho y1 ∈ F (x1), y2 ∈ F (x2). Ta x†t 2 tr(cid:247)(cid:237)ng hæp

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1, x1 = x2. Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) y1, y2 ∈ F (x1). (cid:129)nh x⁄ f : [0, 1] →

F (A) (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a nh(cid:247) sau

f (t) = ty2 + (1 − t)y1, t ∈ [0, 1].

D„ th§y f li¶n t(cid:246)c v(cid:160) f (0) = y1, f (1) = y2. Theo t‰nh ch§t l(cid:231)i cıa F (x1) n¶n f : [0, 1] → F (x1) ⊂ F (A) l(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng nŁi tł y1 (cid:31)‚n y2.

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2, x1 (cid:54)= x2. V(cid:238)i y1 ∈ F (x1), ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) G1 : A → 2Y (cid:31)(cid:247)æc

(cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a nh(cid:247) sau

y1, n‚u x = x1,

 

G1(x) =



F (x), n‚u x (cid:54)= x1.

Ta chøng minh G1 l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr¶n A. V(cid:238)i x ∈ A, n‚u x (cid:54)= x1 th… G1(x) = F (x). V… F l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i x v(cid:160) A l(cid:160) Hausdorff n¶n G1 l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i x1. N‚u x = x1 th… G1(x1) = y1. V(cid:238)i l¥n c“n b§t k(cid:253) U (y1) cıa y1, tł y1 ∈ F (x1) v(cid:160) F l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i x1, t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n V (x1) cıa x1 sao cho

(2.2)

F (x) ∩ U (y1) (cid:54)= ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ V (x1).

V(cid:238)i x = x1, G1(x1) = y1, ta c(cid:226)

(2.3)

G1(x1) ∩ U (y1) (cid:54)= ∅.

V(cid:238)i x (cid:54)= x1 v(cid:160) x ∈ V (x1), ta c(cid:226) G1(x) = F (x). Tł (2.2) suy ra

G1(x) ∩ U (y1) (cid:54)= ∅.

N¶n,

G1(x) ∩ U (y1) (cid:54)= ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ V (x1).

V“y G1 l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i x1, do (cid:31)(cid:226) G1 l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr¶n A. Hi”n nhi¶n G1(x) l(cid:231)i, (cid:31)(cid:226)ng v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ A. V(cid:238)i y2 ∈ F (x2), v… x2 (cid:54)= x1, F (x2) = G1(x2) n¶n y2 ∈ G1(x2). (cid:129)nh x⁄ (cid:31)a

tr(cid:224) G2 : A → 2Y (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

y2, n‚u x = x2,

 

G2(x) =



G1(x), n‚u x (cid:54)= x2.

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) chøng minh tr¶n ta c(cid:226) G2(x) l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) G2 l(cid:160) l(cid:231)i, (cid:31)(cid:226)ng v(cid:238)i x ∈ A. Theo (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) l¡t c›t Michael, G2 c(cid:226) l¡t c›t li¶n t(cid:246)c φ : A → Y , trong (cid:31)(cid:226) φ : A → Y l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224) li¶n t(cid:246)c v(cid:238)i φ(x) ∈ G2(x) v(cid:238)i mØi x ∈ A. N‚u x = x1 th… φ(x1) ∈ G2(x1) = G1(x1) = {y1}; khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) φ(x1) = y1. N‚u x = x2 th… φ(x2) ∈ G2(x2) = {y2}; khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) φ(x2) = y2. N‚u x (cid:54)= x1 v(cid:160) x (cid:54)= x2 th… φ(x) ∈ G2(x) = F (x). V… A l(cid:160) t“p li¶n th(cid:230)ng (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng, v(cid:238)i x1, x2 ∈ A, c(cid:226) ¡nh x⁄ g : [0, 1] → F (A) trong (cid:31)(cid:226) g(0) = x2, g(1) = x1. Hi”n nhi¶n, ¡nh x⁄ φ ◦ g l(cid:160) ¡nh x⁄ li¶n t(cid:246)c tł [0, 1] (cid:31)‚n F (A) v(cid:238)i φ ◦ g(0) = y2, φ ◦ g(1) = y1. φ ◦ g : [0, 1] → F (A) l(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng nŁi tł y1 (cid:31)‚n y2. N‚u y1 = y2, do F (x1) l(cid:231)i n¶n f (t) = ty1 + (1 − t)y2 ∈ F (x1) ⊂ F (A). Tł (cid:31)(cid:226) suy ra F (A) l(cid:160) li¶n th(cid:230)ng (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng.

2.2. S(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.1. Cho K l(cid:160) mºt t“p kh¡c rØng, l(cid:231)i v(cid:160) compact trong kh(cid:230)ng

gian l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff X. Gi£ sß c¡c m»nh (cid:31)• sau x£y ra

(i) V(cid:238)i mØi x ∈ K v(cid:160) u ∈ S(x), F (x, u, x) ⊆ C;

(ii) V(cid:238)i mØi y ∈ K, {x ∈ K : F (x, u, y) ⊆ C, v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x)} l(cid:160) t“p

(cid:31)(cid:226)ng;

(iii) V(cid:238)i mØi x ∈ K, S(x) l(cid:160) t“p l(cid:231)i v(cid:160) F (x, ·, ·) l(cid:160) C- t(cid:252)a l(cid:231)i ch‰nh

th(cid:247)(cid:237)ng tr¶n S(x) × K.

Khi (cid:31)(cid:226) G(F, S, K) (cid:54)= ∅.

Chøng minh. V(cid:238)i mØi y ∈ K, (cid:31)(cid:176)t

T (y) = {x ∈ K : F (x, u, y) ⊆ C v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(X)}.

Hi”n nhi¶n y ∈ T (y). Tł gi£ thi‚t ta th§y T (y) l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng v(cid:160) kh¡c rØng trong K. Ta chøng minh T : K → 2K l(cid:160) ¡nh x⁄ KKM . Th“t v“y, gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i, t(cid:231)n t⁄i t“p hœu h⁄n {y1, ..., yn} ⊆ K v(cid:160) y0 ∈ conv({y1, ..., yn})

sao cho

y0 /∈ T (yi), i ∈ {1, 2, ..., n}.

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra t(cid:231)n t⁄i ui ∈ S(y0), i ∈ {1, 2, ..., n} sao cho

(2.4)

F (y0, ui, yi) (cid:42) C, i ∈ {1, 2, ..., n}.

n (cid:88)

Tł y0 ∈ conv({y1, .., yn}) t(cid:231)n t⁄i λi ≥ 0 (i ∈ {1, 2, ..., n}) v(cid:238)i

λi = 1

i=1

n (cid:88)

sao cho y0 =

λiyi. Do S(y0) l(cid:231)i n¶n ta c(cid:226)

i=1

n (cid:88)

λiyi ∈ S(y0).

i=1

n (cid:88)

V… F (y0, ·, ·) l(cid:160) t“p C- t(cid:252)a l(cid:231)i t(cid:252) nhi¶n tr¶n S(y0) × K, n¶n t(cid:231)n t⁄i i0 ∈ {1, 2, ..., n} sao cho

λiui,

λiyi) + C = F (y0,

λiui, y0) + C.

F (y0, ui0, yi0) ⊆ F (y0,

i=1

Tł (cid:31)i•u ki»n tr¶n v(cid:160) gi£ thi‚t (i) suy ra F (y0, ui0, yi0) ⊆ C, m¥u thu¤n v(cid:238)i (2.4). V“y T l(cid:160) ¡nh x⁄ KKM . (cid:92)

T (y) (cid:54)= ∅. V“y G(F, S, K) (cid:54)= ∅.

y∈K

Theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) Fan-KKM ta c(cid:226)

Nh“n x†t 2.2.2. Gi£ sß S(·) l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr¶n K v(cid:160) v(cid:238)i mØi y ∈ K,

F (·, ·, y) l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr¶n K × S(K). Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i mØi y ∈ K,

{x ∈ K : F (x, u, y) ⊆ C v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x)} l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng.

+ = {(x1, x2) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0},

V‰ d(cid:246) d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y minh h(cid:229)a cho (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.1.

V‰ d(cid:246) 2.2.3. Gi£ sß Y = R2, C = R2 X = R v(cid:160) K = [0, π]. (cid:129)nh x⁄ S : X → 2R (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh

S(x) = {u ∈ R : sin x − 2 ≤ u ≤ cos x + 3}, x ∈ X,

v(cid:160) F : X × ∆ × X → 2Y (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh nh(cid:247) sau

F (x, u, y) = (f1(x, u, y), f2(x, u, y)) + BY , v(cid:238)i m(cid:229)i (x, u, y) ∈ X × ∆ × X,

trong (cid:31)(cid:226)

,

f1(x, u, y) = sin x + u2 − 2u − sin y +

.

f2(x, u, y) = x + u2 − 2u − sin y +

5 2 12 5

Ta th§y c¡c (cid:31)i•u ki»n cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.1 (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n. H(cid:236)n nœa, b‹ng ki”m

tra tr(cid:252)c ti‚p ta c(cid:226)

∈ G(F, S, K). V“y G(F, S, K) (cid:54)= ∅.

π 2

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.4. Gi£ sß K l(cid:160) t“p kh¡c rØng, l(cid:231)i v(cid:160) compact trong kh(cid:230)ng gian

l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff X. Gi£ sß c¡c (cid:31)i•u ki»n sau (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n

(i) V(cid:238)i mØi x ∈ K v(cid:160) u ∈ S(x), F (x, u, x) ∩ (− int C) = ∅;

(ii) V(cid:238)i mØi y ∈ K, {x ∈ K : F (x, u, y) ∩ (− int C) = ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈

S(x)} l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng;

(iii) V(cid:238)i mØi x ∈ K, S(x) l(cid:160) t“p l(cid:231)i v(cid:160) F (x, ·, ·) l(cid:160) C- t(cid:252)a l(cid:231)i t(cid:252) nhi¶n

tr¶n S(x) × K.

Khi (cid:31)(cid:226) W (F, S, K) (cid:54)= ∅.

Chøng minh. V(cid:238)i mØi y ∈ K, (cid:31)(cid:176)t

Q(y) = {x ∈ K : F (x, u, y) ∩ (− int C) = ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x)}.

Hi”n nhi¶n y ∈ Q(y). Tł gi£ thi‚t ta th§y Q(y) l(cid:160) t“p con (cid:31)(cid:226)ng, kh¡c rØng cıa K. Ta chøng minh Q : K → 2K l(cid:160) ¡nh x⁄ KKM . Th“t v“y, gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i, t(cid:231)n t⁄i t“p {y1, ..., yn} ⊆ K v(cid:160) y0 ∈ conv({y1, ..., yn}) sao cho

y0 /∈ Q(yi), i ∈ {1, 2, ..., n}.

Do (cid:31)(cid:226), t(cid:231)n t⁄i ui ∈ S(y0) (i ∈ {1, 2, ..., n}) sao cho

F (y0, ui, yi) ∩ (− int C) (cid:54)= ∅, i ∈ {1, 2, ..., n}.

Tł (cid:31)(cid:226) ta th§y t(cid:231)n t⁄i

(2.5)

zi ∈ F (y0, ui, yi), i ∈ {1, 2, ..., n}.

sao cho

(2.6)

zi ∈ − int C, i ∈ {1, 2, ..., n}.

n (cid:88)

V… y0 ∈ conv({y1, ..., yn}) n¶n t(cid:231)n t⁄i λi ≥ 0 (i ∈ {1, 2, ..., n}) v(cid:238)i

λi = 1

i=1

n (cid:88)

sao cho y0 =

λiyi. Do S(y0) l(cid:160) t“p l(cid:231)i n¶n c(cid:226)

λiui ∈ S(y0).

i=1

n (cid:88)

Tł gi£ thi‚t F (y0, ·, ·) l(cid:160) C- t(cid:252)a l(cid:231)i t(cid:252) nhi¶n tr¶n S(y0) × K, t(cid:231)n t⁄i ti ≥

0 (i ∈ {1, 2, ..., n}) v(cid:238)i

ti = 1 sao cho

i=1

n (cid:88)

tiF (y0, ui, yi) ⊆ F (y0,

λiui,

λiyi) + C = F (y0,

λiui, y0) + C.

t=1

i=1

(2.7)

n (cid:88)

Tł (2.5) v(cid:160) (2.7) ta c(cid:226) t(cid:231)n t⁄i

z0 ∈ F (y0,

λiui, y0),

i=1

n (cid:88)

v(cid:160) c0 ∈ C sao cho

(2.8)

tizi = z0 + c0.

i=1

Tł (2.6) v(cid:160) (2.8) ta c(cid:226) z0 ∈ − int C. (cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i gi£ thi‚t (i). (cid:92)

Q(y) (cid:54)= ∅, do v“y W (F, S, K) (cid:54)= ∅.

y∈K

Theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) Fan-KKM

Nh“n x†t 2.2.5. Gi£ sß S(·) l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr¶n K v(cid:160) v(cid:238)i mØi y ∈

K, F (·, ·, y) l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr¶n K × S(K). Khi (cid:31)(cid:226)

{x ∈ K : F (x, u, y) ∩ (− int C) = ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x)}

l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng.

H» qu£ 2.2.6. Gi£ sß K l(cid:160) t“p kh¡c rØng, l(cid:231)i v(cid:160) compact trong kh(cid:230)ng gian l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff X v(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) G : X × ∆ × X → 2R. Gi£ sß c¡c (cid:31)i•u ki»n sau x£y ra

(i) V(cid:238)i mØi x ∈ K v(cid:160) u ∈ S(K), G(x, u, x) ⊆ R+;

(ii) V(cid:238)i mØi y ∈ K, {x ∈ K : G(x, u, y) ⊆ R+ v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x)} l(cid:160) t“p

(cid:31)(cid:226)ng;

(iii) V(cid:238)i mØi x ∈ K, S(x) l(cid:231)i v(cid:160) G(x, ·, ·) l(cid:160) R+- t(cid:252)a l(cid:231)i t(cid:252) nhi¶n tr¶n

S(x) × K. Khi (cid:31)(cid:226), t(cid:231)n t⁄i x0 ∈ K sao cho

G(x0, u, y) ⊆ R+ v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x0) v(cid:160) y ∈ K.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.7. Gi£ sß K l(cid:160) t“p kh¡c rØng, l(cid:231)i v(cid:160) compact trong kh(cid:230)ng gian l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff X, v(cid:160) C # (cid:54)= ∅. Gi£ sß c¡c (cid:31)i•u ki»n sau x£y ra

(i) V(cid:238)i mØi x ∈ K v(cid:160) u ∈ S(x), F (x, u, x) ⊆ C;

(ii) V(cid:238)i mØi y ∈ K, {x ∈ K : F (x, u, y) ⊆ C v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x)} l(cid:160) t“p

(cid:31)(cid:226)ng;

(iii) V(cid:238)i mØi x ∈ K, S(x) l(cid:160) t“p l(cid:231)i v(cid:160) F (x, ·, ·) l(cid:160) C- t(cid:252)a l(cid:231)i t(cid:252) nhi¶n

tr¶n S(x) × K.

Khi (cid:31)(cid:226) E(F, S, K) (cid:54)= ∅.

Chøng minh. Cho ϕ ∈ C #. (cid:129)nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) H : X × ∆ × X → 2R (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a nh(cid:247) sau

(cid:91)

H(x, u, y) = ϕ(F (x, u, y)) =

{ϕ(z)} v(cid:238)i m(cid:229)i (x, u, y) ∈ X×∆×X.

z∈F (x,u,y)

D„ th§y H th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n cıa H» qu£ 2.2.6 n¶n t(cid:231)n t⁄i x0 ∈ K sao

cho

H(x0, u, y) ⊆ R+ v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x0) v(cid:160) y ∈ K.

Tł Nh“n x†t 2.1.1 ta th§y

F (x0, u, y) ∩ (−C \ {0}) = ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x0) v(cid:160) y ∈ K.

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra x0 ∈ E(F, S, K). V“y E(F, S, K) (cid:54)= ∅.

+ = {(x1, x2) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0},

V‰ d(cid:246) d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y minh h(cid:229)a cho (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.4 v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.7.

V‰ d(cid:246) 2.2.8. Gi£ sß Y = R2, C = R2 X = R v(cid:160) K = [0, π]. (cid:129)nh x⁄ S : X → 2Y (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

S(x) = {u ∈ R : cos x − 2 ≤ u ≤ sin x + 1}, x ∈ X

v(cid:160) F : X × ∆ × X → Y (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh nh(cid:247) sau

F (x, u, y) = (f1(x, u, y), f2(x, u, y)) + BY v(cid:238)i m(cid:229)i (x, u, y) ∈ X × ∆ × X,

trong (cid:31)(cid:226),

,

f1(x, u, y) = sin x + u2 − sin y +

3 2

f2(x, u, y) = −2x2 + u2 + u + 2y2 + y + 2.

D„ th§y c¡c (cid:31)i•u ki»n cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.4, 2.2.7 (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n. H(cid:236)n nœa,

∈ E(F, S, K). V“y E(F, S, K) (cid:54)= ∅, k†o

b‹ng ki”m tra tr(cid:252)c ti‚p ta c(cid:226)

π 2

theo W (F, S, K) (cid:54)= ∅.

2.3. T‰nh li¶n th(cid:230)ng

Tł H» qu£ 2.2.6 ta suy ra bŒ (cid:31)• sau.

BŒ (cid:31)• 2.3.1. Gi£ sß K l(cid:160) t“p kh¡c rØng, l(cid:231)i v(cid:160) compact trong kh(cid:230)ng gian l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff X. Gi£ sß f ∈ C ∗ \ {0Y ∗} v(cid:160) c¡c (cid:31)i•u ki»n sau x£y ra

(i) V(cid:238)i mØi x ∈ K v(cid:160) u ∈ S(x), F (x, u, x) ⊆ C;

(ii) V(cid:238)i mØi y ∈ K, {x ∈ K : F (x, u, y) ⊆ C v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x)} l(cid:160) t“p

(cid:31)(cid:226)ng;

(iii) V(cid:238)i mØi x ∈ K, S(x) l(cid:160) t“p l(cid:231)i v(cid:160) F (x, ·, ·) l(cid:160) C- t(cid:252)a l(cid:231)i t(cid:252) nhi¶n

tr¶n S(x) × K.

Khi (cid:31)(cid:226) Q(f ) (cid:54)= ∅.

BŒ (cid:31)• 2.3.2. Gi£ sß K l(cid:160) t“p kh¡c rØng, l(cid:231)i trong kh(cid:230)ng gian l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff X v(cid:160) f ∈ C ∗ \ {0Y ∗}. Gi£ sß c¡c (cid:31)i•u ki»n sau x£y ra

(i) S(·) l(cid:160) P - lªm tr¶n K;

(ii) V(cid:238)i mØi (x, y) ∈ K × K, F (x, ·, y) l(cid:160) P -C- t«ng;

(iii) V(cid:238)i mØi y ∈ K, F (·, ·, y) l(cid:160) C- lªm tr¶n K × S(K).

Khi (cid:31)(cid:226) Q(f ) l(cid:160) t“p l(cid:231)i. H(cid:236)n nœa, G(F, S, K) c(cid:244)ng l(cid:160) t“p l(cid:231)i.

Chøng minh. L§y x1, x2 ∈ Q(f ) v(cid:160) t ∈ [0, 1]. Khi (cid:31)(cid:226)

(2.9)

f (F (xi, u, y)) ⊆ R+ v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(xi) v(cid:160) y ∈ K, i ∈ {1, 2}.

V… S(·) l(cid:160) P - lªm tr¶n K n¶n

S(tx1 + (1 − t)x2) ⊆ tS(x1) + (1 − t)S(x2) + P.

V(cid:238)i mØi ut ∈ S(tx1 + (1 − t)x2), t(cid:231)n t⁄i u1 ∈ S(x1), u2 ∈ S(x2) v(cid:160) p0 ∈ P sao cho ut = tu1 + (1 − t)u2 + p0. Do F (tx1 + (1 − t)x − 2, ·, y) l(cid:160) P -C-

t«ng n¶n ta c(cid:226)

F (tx1+(1−t)x2, tu1+(1−t)u2, y) ⊆ F (tx1+(1−t)x2, tu1+(1−t)u2, y)+C.

(2.10)

H(cid:236)n nœa, do F (·, ·, y) l(cid:160) C- lªm tr¶n K × S(K) n¶n

F (tx1 +(1−t)x2, tu1 +(1−t)u2, y) ⊆ tF (x1, u1, y)+(1−t)F (x2, u2, y)+C.

(2.11)

K‚t hæp (2.9), (2.10), (2.11) v(cid:160) f ∈ C ∗ ta c(cid:226)

f (F (tx1 + (1 − t)x2, ut, y)) ⊆ R+ v(cid:238)i m(cid:229)i ut ∈ S(tx1 + (1 − t)x2) v(cid:160) y ∈ K.

K†o theo tx1 + (1 − t)x2 ∈ Q(f ). V“y G(F, S, K) l(cid:160) t“p l(cid:231)i.

Nh“n x†t 2.3.3. N‚u G(F, S, K) l(cid:160) t“p l(cid:231)i th… G(F, S, K) l(cid:160) t“p li¶n th(cid:230)ng

(cid:31)(cid:247)(cid:237)ng.

BŒ (cid:31)• 2.3.4. Gi£ sß K l(cid:160) t“p kh¡c rØng trong kh(cid:230)ng gian l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng

Hausdorff X, S(·) l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr¶n K v(cid:160) v(cid:238)i mØi y ∈ K, F (·, ·, y)

l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr¶n K × S(K). Khi (cid:31)(cid:226)

(i) N‚u K l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng th… Q(f ) l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng; (ii) N‚u K l(cid:160) t“p compact th… Q(·) l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n C ∗ \ {0Y ∗}, trong

(cid:31)(cid:226) t(cid:230)p(cid:230) tr¶n C ∗ \ {0Y ∗} l(cid:160) t(cid:230)p(cid:230) y‚u *.

Chøng minh. (i) L§y d¢y {xn} ⊆ Q(f ) v(cid:238)i xn → x0. Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226)

(2.12)

f (F (xn, u, y)) ⊆ R+ v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(xn) v(cid:160) y ∈ K.

Theo gi£ thi‚t K l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng n¶n x0 ∈ K. V(cid:238)i u ∈ S(x0) t(cid:242)y (cid:254) v(cid:160) do S(·) l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i x0, theo BŒ (cid:31)• 2.1.9, t(cid:231)n t⁄i un ∈ S(xn) sao cho un → u. V(cid:238)i mØi z ∈ F (x0, u, y), do F (·, ·, y) l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i (x0, u) n¶n theo BŒ (cid:31)• 2.1.9 t(cid:231)n t⁄i zn ∈ F (xn, un, y) sao cho zn → z. Tł (2.12) ta c(cid:226) f (zn) ≥ 0. V… f li¶n t(cid:246)c n¶n f (zn) → f (z). Tł (cid:31)(cid:226) suy ra f (z) ≥ 0. Do

v“y

f (F (x0, u, y)) ⊆ R+ v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x0) v(cid:160) y ∈ K.

Suy ra x0 ∈ Q(f ). V“y Q(f ) l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng. (ii) Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i Q(·) kh(cid:230)ng l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n t⁄i f0 ∈ C ∗ \ {0Y ∗}. Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n W0 cıa Q(f0) v(cid:160) d¢y {fn} v(cid:238)i fn hºi t(cid:246) y‚u v• f0 sao cho Q(fn) (cid:42) W0. Tł (cid:31)(cid:226) suy ra

(2.13)

xn ∈ Q(fn), n = 1, 2, ...

sao cho

(2.14)

xn /∈ W0 v(cid:238)i m(cid:229)i n ∈ N.

D„ th§y r‹ng xn ∈ K. Do K l(cid:160) t“p compact, kh(cid:230)ng m§t t‰nh tŒng qu¡t, gi£ sß xn → x0 ∈ K. Ta chøng minh x0 ∈ Q(f0). Th“t v“y, gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i, t(cid:231)n t⁄i u0 ∈ S(x0) v(cid:160) y0 ∈ K sao cho

f0(F (x0, u0, y0)) (cid:42) R+.

Do (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i z0 ∈ F (x0, u0, y0) sao cho

(2.15)

f0(z0) < 0.

V… S(·) l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i x0 n¶n theo BŒ (cid:31)• 2.1.9, t(cid:231)n t⁄i un ∈ S(xn) sao cho un → u0. M(cid:176)t kh¡c F (·, ·, y0) l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i (x0, u0) n¶n c(cid:244)ng theo BŒ (cid:31)• 2.1.9, t(cid:231)n t⁄i zn ∈ F (xn, un, y0) sao cho zn → z0. Suy ra fn hºi t(cid:246) y‚u v• f0. Tł (cid:31)(cid:226) suy ra fn(zn) → f0(z0). (cid:30)i•u n(cid:160)y k‚t hæp v(cid:238)i (2.15) ta c(cid:226) fn(zn) < 0 v(cid:238)i n (cid:31)ı l(cid:238)n. (cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i (2.13). Do (cid:31)(cid:226) x0 ∈ Q(f0). Suy ra xn → x0 ∈ W0. (cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i (2.14). V“y Q(·) l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n.

BŒ (cid:31)• 2.3.5. Gi£ sß K l(cid:160) t“p kh¡c rØng, l(cid:231)i v(cid:160) compact trong kh(cid:230)ng gian

l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff X. Gi£ sß c¡c (cid:31)i•u ki»n sau x£y ra

(i) S(·) l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) P - lªm tr¶n K v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) kh¡c rØng,

compact;

(ii) V(cid:238)i mØi (x, y) ∈ K × K, F (x, ·, y) l(cid:160) P -C- t«ng;

(iii) V(cid:238)i mØi y ∈ K, F (·, ·, y) l(cid:160) C- lªm nghi¶m ng(cid:176)t tr¶n K × S(K);

(iv) F (·, ·, ·) li¶n t(cid:246)c tr¶n K × S(K) × K v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) kh¡c rØng, compact. Khi (cid:31)(cid:226) Q(·) l(cid:160) li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr¶n C ∗ \ {0Y ∗}, trong (cid:31)(cid:226) t(cid:230)p(cid:230) tr¶n C ∗ \ {0Y ∗} l(cid:160) t(cid:230)p(cid:230) y‚u *.

Chøng minh. Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i Q(·) kh(cid:230)ng l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i t⁄i f0 ∈ C ∗ \ {0Y ∗}. Khi (cid:31)(cid:226), t(cid:231)n t⁄i x0 ∈ Q(f0), mºt l¥n c“n W0 cıa 0 ∈ X v(cid:160) d¢y {fn} v(cid:238)i fn hºi t(cid:246) y‚u v• f0 sao cho

(2.16)

(x0 + W0) ∩ Q(fn) = ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i n ∈ N.

Ta x†t 2 tr(cid:247)(cid:237)ng hæp

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1, Q(f0) l(cid:160) t“p mºt phƒn tß. Ta ch(cid:229)n

(2.17)

xn ∈ Q(fn) v(cid:238)i m(cid:229)i n ∈ N.

Hi”n nhi¶n, xn ∈ K. V… K l(cid:160) t“p compact, kh(cid:230)ng m§t t‰nh tŒng qu¡t, ta gi£ sß xn → x ∈ K. T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) c¡ch chøng minh BŒ (cid:31)• 2.3.4 ta c(cid:226) x ∈ Q(f0). V… Q(f0) l(cid:160) t“p mºt phƒn tß n¶n x = x0 v(cid:160) do v“y xn → x0. (cid:30)i•u n(cid:160)y k‚t hæp v(cid:238)i (2.17) ta (cid:31)(cid:247)æc xn ∈ (x0 + W0) ∩ Q(fn) v(cid:238)i n (cid:31)ı l(cid:238)n.

(cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i (2.16).

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2, Q(f0) l(cid:160) t“p chøa ‰t nh§t hai phƒn tß. Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i

x(cid:48) ∈ Q(f0) m(cid:160) x(cid:48)

(cid:54)= x0. V… x(cid:48), x0 ∈ Q(f0) n¶n

(cid:48)

) v(cid:160) y ∈ K

(2.18)

f0(F (x

, u, y)) ⊆ R+ v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x

v(cid:160)

(2.19)

f0(F (x0, u, y)) ⊆ R+ v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x0) v(cid:160) y ∈ K.

(cid:48)

Do S(·) l(cid:160) P - lªm tr¶n K, v(cid:238)i mØi t ∈ [0, 1] ta c(cid:226)

S(tx

+ (1 − t)x0) ⊆ tS(x

+ (1 − t)S(x0) + P.

(cid:48)

V(cid:238)i mØi ut ∈ S(tx(cid:48) + (1 − t)x0), t(cid:231)n t⁄i u(cid:48) ∈ S(x(cid:48)), u0 ∈ S(x0) v(cid:160) p0 ∈ P sao cho ut = tu(cid:48) + (1 − t)u0 + p0. Theo gi£ thi‚t F (tx(cid:48)) + (1 − t)x0, ·, y) l(cid:160) P -C- t«ng n¶n ta c(cid:226)

F (tx

+ (1 − t)x0, ut, y) ⊆ F (tx

+ (1 − t)x0, tu

+ (1 − t)u0, y) + C. (2.20)

(cid:48)

(cid:30)(cid:176)t x(t) := tx(cid:48) + (1 − t)x0. Khi (cid:31)(cid:226) x(t) ∈ K. Theo gi£ thi‚t F (·, ·, y) l(cid:160) C- lªm nghi¶m ng(cid:176)t tr¶n K × S(K) n¶n

F (x(t), tu

, u

+(1−t)u0, y) ⊆ tF (x

, y)+(1−t)F (x0, u0, y)+int C. (2.21)

D„ th§y, t(cid:231)n t⁄i t0 ∈ [0, 1] sao cho x(t0) ∈ x0 + W0. Tł (2.16) suy ra x(t0) /∈ Q(fn). Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i un ∈ S(x(t0)) v(cid:160) yn ∈ K sao cho

fn(F (x(t0), un, yn) (cid:42) R+.

Do (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i zn ∈ F (x(t0), un, yn) sao cho

(2.22)

fn(zn) < 0 v(cid:238)i m(cid:229)i n ∈ N.

Theo gi£ thi‚t S(x(t0)) v(cid:160) K l(cid:160) compact, kh(cid:230)ng m§t t‰nh tŒng qu¡t, ta gi£ sß un → u ∈ S(x(t0)) v(cid:160) yn → y0 ∈ K. Tł BŒ (cid:31)• 2.1.10 t(cid:231)n t⁄i z0 ∈ F (x(t0), u, y0) v(cid:160) d¢y con {znk} cıa d¢y {zn} sao cho znk → z0. Kh(cid:230)ng m§t t‰nh tŒng qu¡t, ta gi£ sß zn → z0. Tł (cid:31)(cid:226) suy ra fn(zn) → f0(z0). B(cid:240)i

(2.22), ta c(cid:226)

(2.23)

f0(z0) ≤ 0.

M(cid:176)t kh¡c, tł (2.18)-(2.21) ta c(cid:226) f0(z0) > 0. (cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i (2.23).

V“y (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

BŒ (cid:31)• 2.3.6. Gi£ sß v(cid:238)i mØi x ∈ K, F (x, ·, ·) l(cid:160) C- giŁng nh(cid:247) l(cid:231)i tr¶n

S(x) × K. Khi (cid:31)(cid:226)

(cid:91)

Q(f ).

W (F, S, K) =

f ∈B∗

(cid:91) Chøng minh. V(cid:238)i mØi x ∈

Q(f ), t(cid:231)n t⁄i f0 ∈ B∗ sao cho x ∈ Q(f0).

f ∈B∗

Do (cid:31)(cid:226)

(2.24)

f0(F (x, u, y)) ⊆ R+ v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x) v(cid:160) y ∈ K.

Gi£ sß x /∈ W (F, S, K). Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i u0 ∈ S(x), y0 ∈ K sao cho

F (x, u0, y0) ∩ (− int C) (cid:54)= ∅.

Q(f ) ⊆ W (F, S, K).

Tł (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i z0 ∈ F (x, u0, y0) sao cho f0(z0) < 0. (cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i (cid:91) (2.24). Do (cid:31)(cid:226) x ∈ W (F, S, K). V“y

f ∈B∗ Q(f ). Th“t v“y, l§y x ∈ W (F, S, K) t(cid:242)y

f ∈B∗

(cid:91) Ta chøng minh W (F, S, K) ⊆

(cid:254). Khi (cid:31)(cid:226)

F (x, u, y) ∩ (− int C) = ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x) v(cid:160) y ∈ K.

D„ th§y

F (x, S(x), K) + C) ∩ (− int C) = ∅.

V(cid:238)i mØi x ∈ K, do F (x, ·, ·) l(cid:160) C- giŁng nh(cid:247) l(cid:231)i tr¶n S(x) × K n¶n F (x, S(x), K) + C l(cid:160) t“p l(cid:231)i. Theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) t¡ch t“p l(cid:231)i, t(cid:231)n t⁄i g ∈ Y ∗ \ {0}

(cid:48)

sao cho

inf{g(z+c) : u ∈ S(x), y ∈ K, z ∈ F (x, u, y), c ∈ C} ≥ sup{g(c

) : c

∈ −C}.

Do (cid:31)(cid:226) g ∈ C ∗ v(cid:160)

g(F (x, u, y)) ⊆ R+ v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x) v(cid:160) y ∈ K.

V… e ∈ int C v(cid:160) g ∈ C ∗ \ {0} n¶n g(e) > 0. (cid:30)(cid:176)t ψ = . Khi (cid:31)(cid:226) ψ ∈ B∗

g g(e)

v(cid:160)

ψ(F (x, u, y)) ⊆ R+ v(cid:238)i m(cid:229)i u ∈ S(x) v(cid:160) y ∈ K.

f ∈B∗ Q(f ). (cid:30)i•u n(cid:160)y k†o theo

(cid:91) (cid:91)

Q(f ).

f ∈B∗

Do v“y x ∈ Q(ψ) tł (cid:31)(cid:226) suy ra x ∈ (cid:83) Q(f ). V“y W (F, S, K) = W (F, S, K) ⊆

BŒ (cid:31)• 2.3.7. Gi£ sß K l(cid:160) t“p kh¡c rØng, l(cid:231)i v(cid:160) compact trong kh(cid:230)ng gian

l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff X. Gi£ sß c¡c (cid:31)i•u ki»n sau x£y ra

(i) S(·) l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) P - lªm tr¶n K v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) kh¡c rØng,

compact;

(ii) V(cid:238)i mØi (x, y) ∈ K × K, F (x, ·, y) l(cid:160) P -C- t«ng;

(iii) V(cid:238)i mØi y ∈ K, F (·, ·, y) l(cid:160) C- lªm nghi¶m ng(cid:176)t tr¶n K × S(K);

(iv) F (·, ·, ·) li¶n t(cid:246)c tr¶n K × S(K) × K v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) kh¡c rØng, compact;

(v) V(cid:238)i mØi x ∈ K, F (x, ·, ·) l(cid:160) C- giŁng nh(cid:247) l(cid:231)i tr¶n S(K) × K.

Khi (cid:31)(cid:226)

(cid:91) (cid:91) (cid:91)

Q(f ).

Q(f ) ⊆ cl

Q(f ) ⊆ E(F, S, K) ⊆ W (F, S, K) =

f ∈B∗

f ∈B#

Chøng minh. Tł BŒ (cid:31)• 2.3.6, ta c(cid:226)

(cid:91) (cid:91)

Q(f ).

Q(f ) ⊆ E(F, S, K) ⊆ W (F, S, K) =

f ∈B#

B(cid:240)i BŒ (cid:31)• 2.3.5, suy ra Q(·) l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr¶n B∗ = cl B#. (cid:30)i•u n(cid:160)y

v(cid:160) BŒ (cid:31)• 2.1.12 k†o theo

(cid:91) (cid:91)

Q(f ) ⊆ cl

Q(f )

f ∈B∗

f ∈B#

v(cid:160) do v“y

(cid:91) (cid:91) (cid:91)

Q(f ) ⊆ E(F, S, K) ⊆ W (F, S, K) =

Q(f ) ⊆ cl

Q(f ).

f ∈B∗

f ∈B#

Tł Nh“n x†t 2.2.2 v(cid:160) c¡c BŒ (cid:31)• 2.1.13, 2.3.1-2.3.4 v(cid:160) 2.3.6 ta c(cid:226) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254)

d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.8. Gi£ sß K l(cid:160) t“p kh¡c rØng, l(cid:231)i v(cid:160) compact trong kh(cid:230)ng gian

l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff X. Gi£ sß c¡c (cid:31)i•u ki»n sau x£y ra

(i) V(cid:238)i mØi x ∈ K, u ∈ S(x) ta c(cid:226) F (x, u, x) ⊆ C;

(ii) S(·) l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) P - lªm tr¶n K v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) kh¡c rØng,

compact;

(iii) V(cid:238)i mØi (x, y) ∈ K × K, F (x, ·, y) l(cid:160) P -C- t«ng;

(iv) V(cid:238)i mØi y ∈ K, F (·, ·, y) l(cid:160) C- lªm v(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr¶n K ×

S(K);

(v) V(cid:238)i mØi x ∈ K, F (x, ·, ·) l(cid:160) C- t(cid:252)a l(cid:231)i t(cid:252) nhi¶n v(cid:160) l(cid:160) C- giŁng nh(cid:247)

l(cid:231)i tr¶n S(x) × K.

Khi (cid:31)(cid:226) W (F, S, K) l(cid:160) t“p li¶n th(cid:230)ng.

Chøng minh. Theo BŒ (cid:31)• 2.3.2 ta c(cid:226) Q(f ) l(cid:160) t“p l(cid:231)i. Do v“y Q(f ) l(cid:160) t“p

Q(f ) l(cid:160) t“p li¶n th(cid:230)ng.

f ∈B∗

li¶n th(cid:230)ng. Tł BŒ (cid:31)• 2.3.1 v(cid:160) Nh“n x†t 2.2.2 ta th§y Q(f ) (cid:54)= ∅. Theo BŒ (cid:31)• 2.3.4 suy ra Q(·) l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n tr¶n C ∗ \ {0Y ∗}. K‚t hæp BŒ (cid:31)• 2.1.13 (cid:91) v(cid:160) BŒ (cid:31)• 2.3.6 ta c(cid:226) W (F, S, K) =

Nh“n x†t 2.3.9. Tł Nh“n x†t 1.4.12 v(cid:160) 1.4.13 ta th§y, v(cid:238)i mØi x ∈ K, n‚u

F (x, ·, ·) l(cid:160) C- l(cid:231)i tr¶n S(x) × K th… F (x, ·, ·) l(cid:160) C- t(cid:252)a l(cid:231)i t(cid:252) nhi¶n v(cid:160) l(cid:160)

C- giŁng nh(cid:247) l(cid:231)i tr¶n S(x) × K.

Tł (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.8 ta suy ra h» qu£ d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y.

H» qu£ 2.3.10. Gi£ sß K l(cid:160) t“p kh¡c rØng, l(cid:231)i v(cid:160) compact trong kh(cid:230)ng

gian l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff X v(cid:160) f l(cid:160) h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c, C- l(cid:231)i tr¶n K. Khi (cid:31)(cid:226) WV (f, K) l(cid:160) t“p li¶n th(cid:230)ng.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.11. Gi£ sß K l(cid:160) t“p kh¡c rØng, l(cid:231)i v(cid:160) compact trong kh(cid:230)ng

gian l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff X. Gi£ sß c¡c (cid:31)i•u ki»n sau x£y ra

(i) V(cid:238)i mØi x ∈ K v(cid:160) u ∈ S(x) ta c(cid:226) F (x, u, x) ⊆ C;

(ii) S(·) li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) P - lªm tr¶n K v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) kh¡c rØng, compact;

(iii) V(cid:238)i mØi (x, y) ∈ K × K, F (x, ·, y) l(cid:160) P -C- t«ng;

(iv) V(cid:238)i mØi y ∈ K, F (·, ·, y) l(cid:160) C- lªm nghi¶m ng(cid:176)t tr¶n K × S(K);

(v) F (·, ·, ·) li¶n t(cid:246)c tr¶n K × S(K) × K v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) kh¡c rØng, compact;

(vi) V(cid:238)i mØi x ∈ K, F (x, ·, ·) l(cid:160) C- t(cid:252)a l(cid:231)i t(cid:252) nhi¶n v(cid:160) C- giŁng nh(cid:247) l(cid:231)i

tr¶n S(x) × K.

Khi (cid:31)(cid:226) E(F, S, K) l(cid:160) t“p li¶n th(cid:230)ng. H(cid:236)n nœa, W (F, S, K) l(cid:160) t“p li¶n th(cid:230)ng

(cid:31)(cid:247)(cid:237)ng.

Chøng minh. T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) c¡ch chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.8, ta ch¿ cƒn chøng (cid:91) minh

Q(f ) l(cid:160) t“p li¶n th(cid:230)ng. Theo BŒ (cid:31)• 2.3.7, E(F, S, K) l(cid:160) t“p li¶n

f ∈B#

th(cid:230)ng. Tł BŒ (cid:31)• 2.3.5, ta c(cid:226) Q(·) l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr¶n C ∗ \ {0Y ∗}, trong (cid:31)(cid:226) t(cid:230)p(cid:230) tr¶n C ∗ \ {0Y ∗} l(cid:160) t(cid:230)p(cid:230) y‚u *. Do fn → f0 k†o theo fn hºi t(cid:246) y‚u v• f0. V… Q(·) l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr¶n C ∗ \ {0Y ∗}, trong (cid:31)(cid:226) t(cid:230)p(cid:230) tr¶n C ∗ \ {0Y ∗} l(cid:160) t(cid:230)p(cid:230) y‚u * n¶n Q(·) l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr¶n C ∗ \ {0Y ∗}, trong (cid:31)(cid:226) t(cid:230)p(cid:230) tr¶n C ∗ \ {0Y ∗} (cid:31)Łi v(cid:238)i t(cid:230)p(cid:230) sinh b(cid:240)i chu'n. Hi”n nhi¶n B∗ l(cid:160) kh(cid:230)ng gian metric v(cid:160) do v“y B∗ l(cid:160) ti•n compact. Tł B∗ l(cid:160) t“p l(cid:231)i n¶n B∗

l(cid:160) li¶n th(cid:230)ng (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng. Theo BŒ (cid:31)• 2.3.6 ta c(cid:226)

(cid:91)

Q(f ).

W (F, S, K) =

f ∈B∗

K‚t hæp BŒ (cid:31)• 2.3.1-2.3.4, v(cid:238)i mØi f ∈ B∗, Q(f ) l(cid:160) t“p kh¡c rØng, l(cid:231)i, (cid:31)(cid:226)ng. Theo BŒ (cid:31)• 2.3.7 suy ra W (F, S, K) l(cid:160) t“p li¶n th(cid:230)ng (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng.

H» qu£ 2.3.12. Gi£ sß K l(cid:160) t“p kh¡c rØng, l(cid:231)i v(cid:160) compact trong kh(cid:230)ng

gian l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng Hausdorff X, f l(cid:160) h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c v(cid:160) C- l(cid:231)i nghi¶m ng(cid:176)t tr¶n K. Khi (cid:31)(cid:226) EV (f, K) l(cid:160) t“p li¶n th(cid:230)ng v(cid:160) WV (f, K) l(cid:160) t“p li¶n th(cid:230)ng

(cid:31)(cid:247)(cid:237)ng.

+ = {(x1, x2) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}, V‰ d(cid:246) 2.3.13. Cho Y = R2, C = R2 X = R, P = R+ = {x ∈ R : x ≥ 0} v(cid:160) K = [0, π]. (cid:129)nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) S : X → ∆ (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

V‰ d(cid:246) d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y minh h(cid:229)a cho (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.8.

S(x) = {u ∈ R : −2 ≤ u ≤ sin x}, v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ X,

v(cid:160) ¡nh x⁄ F : X × ∆ × X → Y (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh nh(cid:247) sau

F (x, u, y) = (f1(x, u, y), f2(x, u, y)) + BY , v(cid:238)i m(cid:229)i (x, u, y) ∈ X × ∆ × X,

trong (cid:31)(cid:226)

.

f2(x, u, y) = sin x + 2u − sin y +

f1(x, u, y) = −x2 + u + y2 + y + 4, 11 2

D„ th§y c¡c (cid:31)i•u ki»n cıa BŒ (cid:31)• 2.3.1 v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.8 (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n. Theo BŒ (cid:31)• 2.3.1 ta c(cid:226) Q(f ) (cid:54)= 0 v(cid:238)i mØi f ∈ C ∗\{0Y ∗}, k†o theo W (F, S, K) (cid:54)= ∅. H(cid:236)n nœa, tł (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.1 suy ra W (F, S, K) l(cid:160) t“p li¶n th(cid:230)ng.

+ = {(x1, x2) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}, V‰ d(cid:246) 2.3.14. Cho Y = R2, C = R2 X = R, P = R+ = {x ∈ R : x ≥ 0} v(cid:160) K = [0, π]. (cid:129)nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224) S : X → ∆ (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

V‰ d(cid:246) ti‚p theo minh h(cid:229)a cho (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.11.

S(x) = {u ∈ R : 0 ≤ u ≤ 2 + sin x}, v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ X,

v(cid:160) ¡nh x⁄ F : X × ∆ × X → Y (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh nh(cid:247) sau

F (x, u, y) = (f1(x, u, y), f2(x, u, y)) + BY , v(cid:238)i m(cid:229)i (x, u, y) ∈ X × ∆ × X,

trong (cid:31)(cid:226)

(cid:19)

x +

+ 2u + 2y + 6,

y

f1(x, u, y) = −x2 + sin

(cid:18)1 4

1 4

(cid:19)

x +

+ u + y + 5.

y

f2(x, u, y) = −x2 + x +

(cid:18)1 4

1 4

D„ th§y c¡c (cid:31)i•u ki»n cıa BŒ (cid:31)• 2.3.2 v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.11 (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n. Theo BŒ (cid:31)• 2.3.2 ta c(cid:226) Q(f ) v(cid:238)i mØi f ∈ C ∗\{0Y ∗}, (cid:31)i•u n(cid:160)y k†o theo E(F, S, K) (cid:54)= ∅. H(cid:236)n nœa, theo (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.11 ta c(cid:226) E(F, S, K) l(cid:160) t“p li¶n

th(cid:230)ng v(cid:160) W (F, S, K) l(cid:160) t“p li¶n th(cid:230)ng (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng.

K‚t lu“n

Trong lu“n v«n n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)¢ tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ k‚t qu£ ch‰nh sau:

1. Tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) v• s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i nghi»m hœu hi»u m⁄nh ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254)

2.2.1), nghi»m hœu hi»u y‚u ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.4) v(cid:160) nghi»m hœu hi»u ((cid:30)(cid:224)nh

l(cid:254) 2.2.7) cıa b(cid:160)i to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng v†ct(cid:236) suy rºng.

2. Tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ k‚t qu£ v• t‰nh li¶n th(cid:230)ng cıa t“p nghi»m (cid:31)Łi v(cid:238)i b(cid:160)i

to¡n t(cid:252)a c¥n b‹ng v†ct(cid:236) suy rºng ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.8 v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.11).

T(cid:160)i li»u tham kh£o

Ti‚ng Vi»t

[1] Nguy„n (cid:30)(cid:230)ng Y¶n, Gi£i t‰ch (cid:31)a tr(cid:224), Nh(cid:160) xu§t b£n gi¡o d(cid:246)c (2007).

Ti‚ng Anh

[2] Aubin, J.P., Ekeland, I., Applied Nonlinear Analysis. Wiley, New York

(1984).

[3] Gong, X.H.: On the contractibility and connectedness of an efficient

point set. J. Math. Anal. Appl. 264, 465-478 (2001).

[4] Gopfert, A., Riahi, H., Tammer, C., Zalinescu, C., Variational Methods

in Partially Ordered Spaces. Springer, Berlin (2003).

[5] Han, Y., Huang, N.J., Stability of efficient solutions to parametric gen-

eralized vector equilibrium problems (in Chinese). Sci. Sin. Math. 46,

1(cid:21)12 (2016). doi:10.1360/012016-12.

[6] Han, Y., Huang, N.J., Existence and Connectedness of Solutions for

Generalized Vector Quasi (cid:21) Equilibrium Problems, J. Optim. Theory

Appl. 179, 65-85 (2016).

[7] Hiriart-Urruty, J.B., Images of connected sets by semicontinuous mul-

tifunctions. J.Math. Anal. Appl. 111, 407(cid:21)422 (1985).

[8] Hu, Y.D., Ling, C., Connectedness of cone superefficient point sets in

locally convex topological vector spaces. J. Optim. Theory Appl. 107,

433-446 (2000).

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tự tồn tại và tính liên thông của tập nghiệm đối với bài toán tựa cần bằng véctơ suy rộng

Mục đích của luận văn là trình bày một cách có hệ thống các kết quả trong công trình về sự tồn tại và tính liên thông của tập nghiệm đối với bài toán tựa cân bằng vecto suy rộng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

L(cid:237)i cam (cid:31)oan

L(cid:237)i c£m (cid:236)n

M(cid:246)c l(cid:246)c

Danh m(cid:246)c c¡c k(cid:254) hi»u, c¡c chœ vi‚t

t›t

f : X → Y

A := B

A (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b‹ng B

∅

A ⊆ B

A l(cid:160) t“p con cıa B

A (cid:54)⊆ B

A kh(cid:230)ng l(cid:160) t“p con cıa B

A ∪ B

dom F

gph F

A ∩ B

A\B

A × B

cl A

co A

int A

conv A

(cid:50)

M(cid:240) (cid:31)ƒu

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

Ki‚n thøc chu'n b(cid:224)

1.1. T“p l(cid:231)i v(cid:160) mºt sŁ t‰nh ch§t

λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A v(cid:238)i m(cid:229)i λ ∈ [0, 1].

λx + (1 − λ)y = λ(λ1x1 + · · · + λmxm) + (1 − λ)(λ1y1 + · · · + λmym)

= λ1[λx1 + (1 − λ)y1] + · · · + λm[λxm + (1 − λ)ym].

co A tr(cid:242)ng v(cid:238)i t“p t§t c£ c¡c tŒ hæp l(cid:231)i cıa t“p A, tøc l(cid:160)

co A =

.

αixi : xi ∈ A, αi ≥ 0,

αi = 1

1.2. Kh(cid:230)ng gian l(cid:231)i (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng

1.3. Kh¡i ni»m ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224)

X.

gph F := (cid:8)(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)(cid:9).

dom F := (cid:8)x ∈ X : F (x) (cid:54)= ∅(cid:9).

xn + a1xn−1 + ... + an−1x + an = 0,

F : Rn → 2C

(1 − t)F (x) + tF (x(cid:48)) ⊆ F ((1 − t)x + tx(cid:48)) v(cid:238)i m(cid:229)i x, x(cid:48) ∈ X v(cid:160) t ∈ [0, 1]

co (cid:8)1, 2, ..., n − 1(cid:9), n‚u n ≥ 2,

F (n) =

{0}, n‚u n=1.

F (x) =

[0, 1], n‚u x = 0, R, trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp cÆn l⁄i.

gph F = (cid:8)(x, y) ∈ R2 : y ∈ F (x)(cid:9) = ({0} × [0, 1]) ∪ (R\{0} × R)

gph(cl F ) = cl(gph F ).

F −1(y) = (cid:8)x ∈ X : y ∈ F (x)(cid:9), v(cid:238)i y ∈ Y.

1.4. Mºt sŁ t‰nh ch§t cıa ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224)

1.4.1. N(cid:226)n trong kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh

tc ∈ C, v(cid:238)i m(cid:229)i c ∈ C v(cid:160) t > 0.

(x + y)(t) = x(t) + y(t),

(λx)(t) = λx(t).

C+[0, 1] = (cid:8)x ∈ C[0, 1] : x(t) ≥ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ [0, 1](cid:9)

1.4.2. T‰nh li¶n t(cid:246)c theo n(cid:226)n cıa ¡nh x⁄ (cid:31)a tr(cid:224)

F (x) ⊆ F (¯x) + V + C

(F (¯x) ⊆ F (x) + V − C,

F (x) =

{0}, n‚u x (cid:54)= 0.

F (x) =

{0}, n‚u x = 0, R, trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp cÆn l⁄i.

F (x) ⊆ F (x0) + V0 + C v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F.

F (x) ⊆ V + C + C = V + C v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F.

F (x) ⊆ F (x0) + W + C v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F.

F (x0) ⊆ F (x) + W − C v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F.

(y + V ).

F (x0) ⊆

F (x0) ⊆

(yi + V ).

F (x) ∩ (yi + V + C) (cid:54)= ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ Ui ∩ dom F.

F (x) ∩ (yi + V + C) (cid:54)= ∅ v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F v(cid:160) i ∈ {1, 2, ..., n}.

F (x0) ⊆ F (x) + V − C v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ U ∩ dom F.

y0 ∈

(yi + V ).