Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về iđêan cạnh nhị thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Xu hướng kết hợp đại số giao hoán và tổ hợp bắt nguồn từ công trình tiên phong của Richard Stanley vào năm 1975. Kể từ đó, nhiều nghiên cứu về mối quan hệ này được xem xét, trong đó iđêan sinh bởi các nhị thức hay còn gọi là iđêan nhị thức đóng một vai trò quan trọng. Từ đầu những năm 1990, iđêan nhị thức đã dần trở thành trào lưu nghiên cứu rất tích cực từ quan điểm của cả đại số giao hoán và tổ hợp. Chúng còn xuất hiện trong các lĩnh vực khác nhau của Hình học đại số và Đại số thống kê. Luận văn sẽ tìm hiểu vấn đề này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về iđêan cạnh nhị thức

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VŨ THỊ DƯƠNG VỀ IĐÊAN CẠNH NHỊ THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2020
BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VŨ THỊ DƯƠNG VỀ IĐÊAN CẠNH NHỊ THỨC Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Đỗ Trọng Hoàng Hà Nội – 2020
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan những nội dung trong luận văn là do sự tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Đỗ Trọng Hoàng. Các kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kỳ một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa được công bố trên bất kỳ một phương tiện nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên. Hà Nội, ngày 29 tháng 4 năm 2020 Người cam đoan Vũ Thị Dương
Lời cám ơn Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa Toán học, Học viện Khoa học và Công nghệ, đến nay luận văn đã được hoàn thành. Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Đỗ Trọng Hoàng. Thầy là người đã tận hình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt qua nhiều khó khăn trong quá trình học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn đến những giảng viên đã giảng dạy, đồng hành cùng mình tại Khoa Toán học. Tôi xin cảm ơn Trung tâm đào tạo sau đại học - Viện Toán học và phòng Đào tạo - Học viện Khoa học và Công nghệ đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học cao học tại học viện. Hơn nữa, tôi xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể bạn bè, gia đình tôi, những người đã sát cánh bên tôi trong quãng thời gian qua. Vũ Thị Dương
Danh mục các kí hiệu Kí hiệu Trang in(I) 5 ≤lex , ≤glex 5 supp 5 in(f ), lc(f ), lm(f ) 5 RemG (f ) 9 S(f, g) 10 U CLN 10 Ass(I) 17 JG 25 PS (G) 36 dim S/JG 40
Mục lục Lời mở đầu 1 1 Các kiến thức cơ bản 4 1.1 Cơ sở Gr¨obner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Phân tích nguyên sơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Cơ sở Gr¨ obner của iđêan cạnh nhị thức 22 2.1 Iđêan cạnh nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Cơ sở Gr¨obner và đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Cơ sở Gr¨obner rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 Phân tích nguyên sơ của iđêan cạnh nhị thức 36 3.1 Phân tích nguyên sơ của iđêan cạnh nhị thức . . . . . . . 36 3.2 Iđêan nguyên tố tối tiểu của iđêan cạnh nhị thức . . . . 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46
1 Lời mở đầu Xu hướng kết hợp đại số giao hoán và tổ hợp bắt nguồn từ công trình tiên phong của Richard Stanley [1] vào năm 1975. Kể từ đó, nhiều nghiên cứu về mối quan hệ này được xem xét, trong đó iđêan sinh bởi các nhị thức hay còn gọi là iđêan nhị thức đóng một vai trò quan trọng. Từ đầu những năm 1990, iđêan nhị thức đã dần trở thành trào lưu nghiên cứu rất tích cực từ quan điểm của cả đại số giao hoán và tổ hợp. Chúng còn xuất hiện trong các lĩnh vực khác nhau của Hình học đại số và Đại số thống kê. Một nghiên cứu đầu tiên về các tính chất đại số của iđêan nhị thức, chẳng hạn như phân tích nguyên sơ và cơ sở Gr¨obner, được đưa ra bởi David Eisenbud và Bernd Sturmfels [2]. Trong số các iđêan nhị thức, iđêan cạnh nhị thức gắn kết một cách tự nhiên với một đồ thị đơn tạo thành một lớp đặc biệt. Lớp iđêan nhị thức này được đưa ra xem xét và nghiên cứu bởi hai nhóm tác giả độc lập Herzog, Hibi, Hreinsdóttir, Kahle, Rauh [3], và Ohtani [4]. Iđêan cạnh nhị thức cũng có thể xem như iđêan sinh bởi một số định thức con cấp hai của ma trận 2×n với hệ số là các biến x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn
2 sau đây:   x1 x2 · · · xn   y1 y 2 · · · yn trong vành đa thức S = K[x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ]. Iđêan cạnh nhị thức có một tính chất hiếm gặp là iđêan khởi đầu của nó là iđêan không chứa bình phương (Định lý 2.3.2). Dựa vào một kết quả nổi tiếng gần đây của Aldo Conca và Matteo Varbaro [5], ta có thể nhận thấy hầu hết các tính chất và các bất biến đại số của iđêan cạnh nhị thức và iđêan khởi đầu của nó trùng nhau. Cho nên, việc tìm hiểu cơ sở Gr¨obner của lớp iđêan này là rất quan trọng. Vấn đề đầu tiên trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu cơ sở Gr¨obner của nó và đặc trưng đồ thị mà iđêan cạnh nhị thức có cơ sở Gr¨obner gồm các dạng bậc hai. Nhìn chung mô tả giải tự do và các dữ liệu số chẳng hạn như các số Betti phân bậc, chỉ số chính quy và chiều xạ ảnh của một iđêan cạnh nhị thức là rất khó. Có nhiều giả thuyết về các bất biến này chưa được giải quyết (xem trong [6]). Thông thường, để làm được điều này, người ta cần phải hiểu về phân tích nguyên sơ. Luận văn này cũng sẽ tìm hiểu vấn đề về phân tích nguyên sơ của iđêan cạnh nhị thức và cấu trúc của các iđêan nguyên tố tối tiểu của nó. Luận văn được trình bày thành 3 chương. Trong chương 1, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản của Đại số giao hoán như cơ sở Gr¨obner và phân tích nguyên sơ của một iđêan. Chương 2 dành để trình bày định nghĩa và các tính chất của iđêan cạnh nhị thức. Cơ sở Gr¨obner và đặc trưng cơ sở Gr¨obner bậc hai cũng được đưa ra trong chương này.
3 Cuối cùng trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu phân tích nguyên sơ của iđêan cạnh nhị thức, đặc trưng các iđêan nguyên tố tối tiểu cũng được nghiên cứu. Trong suốt luận văn này nếu không đề cập gì, ta luôn kí hiệu R := K[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức n biến trên trường K.
Chương 1 Các kiến thức cơ bản Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu cơ sở Gr¨obner và phân tích nguyên sơ của một iđêan. Nội dung của chương này được tham khảo từ các tài liệu [7] và [8]. 1.1 Cơ sở Gr¨ obner Định nghĩa 1.1.1. Kí hiệu M là tập các đơn thức của vành đa thức R. Thứ tự từ ≤ là một thứ tự toàn phần trên tập M thỏa mãn các tính chất sau: (a) 1 ≤ m, với mọi m ∈ M. (b) Nếu m1 ≤ m2 thì mm1 ≤ mm2 , với m1 , m2 , m ∈ M. Từ định nghĩa cho ta thấy rằng trên vành đa thức một biến chỉ có một thứ tự từ, đó là thứ tự xác định bởi bậc đơn thức. Cho ≤ là một thứ tự từ. Sau khi đổi chỉ số các biến ta luôn có thể giả thiết x1 > x2 > . . . > xn . Với α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn , ta viết 4
5 xα := xα1 1 . . . xαnn và deg(xα ) := α1 + · · · + αn . Sau đây là một số thứ tự từ quan trọng được dùng trong các chương sau. Định nghĩa 1.1.2. 1. Thứ tự từ điển ≤lex là một thứ tự được xác định như sau xα ≤lex xβ nếu thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của véctơ (α1 − β1 , . . . , αn − βn ) là một số âm. 2. Thứ tự từ điển phân bậc là thứ tự ≤glex xác định như sau xα ≤glex xβ nếu deg(xα ) < deg(xβ ) hoặc deg(xα ) = deg(xβ ) và thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của véctơ (α1 − β1 , . . . , αn − βn ) là một số âm. Ví dụ 1.1.3. Trong vành đa thức hai biến K[x1 , x2 ], ta có (1) 1 ≤lex x2 ≤lex x22 ≤lex x1 ≤lex x1 x2 ≤lex x21 . (2) 1 ≤glex x2 ≤glex x1 ≤glex x22 ≤glex x1 x2 ≤glex x21 . P Định nghĩa 1.1.4. Cho đa thức f = au u, trong đó au ∈ K và u là đơn thức trong R. Giá của f là tập supp(f ) = {u | au 6= 0}. Từ khởi đầu của đa thức f ∈ R, kí hiệu in≤ (f ), là từ (số hạng) lớn nhất của đa thức f đối với thứ tự từ ≤ . Nếu in≤ (f ) = axα , trong đó 0 6= a ∈ K thì hệ số đầu của f đối với ≤ kí hiệu là lc≤ (f ) = a và đơn thức đầu của f đối với ≤ kí hiệu là lm≤ (f ) = xα .. Nếu thứ tự từ ≤ đã được ngầm hiểu, ta sẽ viết in(f ), lc(f ) và lm(f ) tương ứng thay cho in≤ (f ), lc≤ (f ) và lm≤ (f ). Ví dụ 1.1.5. Cho f = x2 − y 4 với thứ tự từ điển phân bậc ≤glex sao cho x > y. Lúc đó, in(f ) = −y 4 ; lc(f ) = −1 và lm(f ) = y 4 .
6 Định nghĩa 1.1.6. Cho I là iđêan của R và ≤ là một thứ tự từ cho trước. Iđêan khởi đầu của I, kí hiệu in(I), là iđêan của R sinh bởi các từ khởi đầu của các phần tử của I. Cụ thể là: in(I) = (in(f )|f ∈ I). Ví dụ 1.1.7. Cho I = (yz − x2 ) trong vành đa thức K[x, y, z] với thứ tự từ từ điển ≤lex sao cho x > y > z. Ta có, in(yz − x2 ) = −x2 và do đó in(I) = (x2 ). Bổ đề 1.1.8. Cho ≤ là một thứ tự từ và I, J là hai iđêan của R. Ta có các tính chất sau: a) Nếu I là iđêan đơn thức thì in(I) = I. b) Nếu I ⊆ J thì in(I) ⊆ in(J). Hơn nữa, nếu I ⊆ J và in(I) = in(J), thì I = J. c) in(I) in(J) ⊆ in(IJ). d) in(I) + in(J) ⊆ in(I + J). Định lý sau cho ta một mở rộng thuật toán chia đa thức trong vành một biến cho vành nhiều biến. Định lý 1.1.9 (Thuật toán chia). Cho ≤ là thứ tự từ trên vành đa thức R và các đa thức khác không g1 , g2 , . . . , gs trong R. Khi đó, với đa thức 0 6= f ∈ R, tồn tại f1 , . . . , fs ∈ R và f 0 ∈ R, ta có biểu diễn sau: f = f1 g1 + f2 g2 + . . . + fs gs + f 0 (1.1)
7 sao cho các điều sau thoả mãn: 1. Nếu f 0 6= 0 thì không tồn tại đơn thức u ∈ supp(f 0 ) sao cho u ∈ (in(g1 ), . . . , in(gs )). 2. Nếu fi 6= 0 thì in(f ) ≥ in(fi gi ), với i = 1, . . . , s. Chứng minh. Cho I = (in(g1 ), in(g2 ), . . . , in(gs )). Nếu không tồn tại đơn thức u ∈ supp(f ) sao cho u ∈ I, thì ta có thể đặt f 0 = f và f1 = . . . = fs = 0. Bây giờ, giả sử đơn thức u ∈ supp(f ) thuộc I và ta viết u0 thay cho đơn thức lớn nhất đối với < giữa các đơn thức thuộc supp(f ) ∩ I. Bây giờ, gọi in(gi0 ) ước của u0 và w0 = u0 / in(gi0 ). Ta viết lại f = c00 c−1 i0 w0 gi0 + h1 , trong đó c00 là hệ số của u0 trong f và ci0 là hệ số của in(gi0 ) trong gi0 . Khi đó, in(w0 gi0 ) = w0 in(gi0 ) = u0 ≤ in(f ) Nếu h1 = 0 hoặc nếu h1 6= 0 và không có đơn thức u ∈ supp(h1 ) thuộc I, thì f = c00 c−1 i0 w0 gi0 + h1 là biểu diễn của f đối với g1 , . . . , gs và h1 là phần dư của f . Nếu đơn thức u ∈ supp(h1 ) thuộc I và nếu u1 là đơn thức lớn nhất trong các đơn thức thuộc supp(h1 ) ∩ I, thì u1 < u0 Thật vậy, nếu đơn thức u với u > u0 thuộc supp(h1 ), thì u phải thuộc
8 supp(f ). Điều này là không xảy ra. Hơn nữa, vì các hệ số của u0 trong f trùng với hệ số trong c00 c−1 i0 w0 gi0 , suy ra u0 không thể thuộc supp(h1 ). Gọi in(gi1 ) ước của u1 và w1 = u1 / in(gi1 ). Ta lại viết f = c00 c−1 0 −1 i0 w0 gi0 + c1 ci1 w1 gi1 + h2 trong đó c01 là hệ số của u1 trong h1 và ci1 là hệ số của in(gi1 ) trong gi1 . Khi đó, in(w1 gi1 ) < in(w0 gi0 ) ≤ in(f ). Tiếp tục quy trình này ta được một dãy giảm u0 > u1 > u2 > · · · Quy trình này sẽ dừng đến bước thứ N . Ta thu được biểu diễn N X −1 f= c0q c−1 iq wq giq + hN q=0 trong đó hN = 0 hoặc trong trường hợp hN 6= 0, không có đơn thức u ∈ supp(hN ) thuộc I. Hơn nữa, với mỗi 1 ≤ q ≤ N − 1, ta có in(wq giq ) < . . . < in(w0 gi0 ) ≤ in(f ). Ps PN −1 Do đó, đặt i=1 fi gi = q=0 c0q c−1 0 iq wq giq và f = hN , ta thu được biểu diễn f = f1 g1 + f2 g2 + . . . + fs gs + f 0 . Định nghĩa 1.1.10. 1. Vế phải của phương trình (1.1) được gọi là biểu diễn chuẩn tắc của f đối với g1 , . . . , gs .
9 2. Đa thức f 0 được gọi là phần dư của f đối với g1 , . . . , gs và được kí hiệu là RemG (f ). Ví dụ sau sẽ chỉ ra rằng phần dư RemG (f ) phụ thuộc vào thứ tự của g1 , . . . , gs . Ví dụ 1.1.11. Cho ≤lex trên K[x, y, z] sao cho x > y > z. Đặt g1 = x2 − z, g2 = xy − 1 và f = x3 − x2 y − x2 − 1. Khi đó, f = x3 − x2 y − x2 − 1 = xg1 + (−x2 y − x2 + xz − 1) = (x − y)g1 + (−x2 + xz − yz − 1) = (x − y − 1)g1 + (xz − yz − z − 1). và f = x3 − x2 y − x2 − 1 = xg1 + (−x2 y − x2 + xz − 1) = xg1 − xg2 + (−x2 + xz − x − 1) = (x − 1)g1 − xg2 + (xz − x − z − 1). là các biểu diễn chuẩn tắc của f đối với g1 , g2 và mỗi xz − yz − z − 1 và xz − x − z − 1 là các phần dư của f . Định nghĩa 1.1.12. Cho I là một iđêan của R và ≤ là một thứ tự từ. Tập hữu hạn các đa thức khác không g1 , . . . , gs ∈ I được gọi là một cơ obner của I đối với ≤ nếu in(I) = (in(g1 ), . . . , in(gs )). Hơn nữa, sở Gr¨
10 tập {g1 , . . . , gs } được gọi là cơ sở Gr¨obner nếu nó là cơ sở Gr¨obner của iđêan sinh bởi chính các phần tử này. Nhận xét 1.1.13. Tìm cơ sở Gr¨obner của một iđêan trong vành một biến K[x] trên trường K là rất đơn giản. Thật vậy, vì vành đa thức K[x] là vành iđêan chính, nên mọi iđêan I đều sinh bởi một đa thức nào đó. Giả sử I = (f ) với f ∈ K[x]. Cho nên in(I) = (in(f )). Vì vậy {f } là cơ sở Gr¨obner của I. Ví dụ 1.1.14. Trong vành đa thức K[x1 , . . . , x7 ], đặt f = x1 x4 − x2 x3 và g = x4 x7 − x5 x6 . Gọi I là iđêan sinh bởi f và g. Với thứ tự ≤glex sao cho x > y, ta có in(f ) = x1 x4 và in(g) = x4 x7 . Tuy nhiên, h := x1 x5 x6 − x2 x3 x7 = x7 f − x1 g ∈ I trong khi in(h) = x1 x5 x6 ∈ / (in(f ), in(g)). Vì vậy {f, g} không là cơ sở Gr¨obner của I. Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu về một thuật toán tìm cơ sở Gr¨obner của một iđêan trong R. Để làm được điều này, trước hết ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.15. Cho f, g ∈ R là hai đa thức khác 0. Khi đó in(g) in(f ) S(f, g) = f− g UCLN(lm(f ), lm(g)) UCLN(lm(f ), lm(g)) được gọi là S-đa thức của f và g. Đa thức S(f, g) phụ thuộc vào việc chọn thứ tự từ. Chẳng hạn,
11 Ví dụ 1.1.16. Cho f = x5 y − 4x3 y 3 + 2x2 y 2 và g = 3x2 y 4 − 2x5 + 3xy 5 trong vành K[x, y]. 1. Với thứ tự từ điển sao cho y ≤lex x, ta có in(f ) = lm(f ) = x5 y, in(g) = −2x5 và lm(g) = x5 . Khi đó, S-đa thức của f và g là: S(f, g) = −2f − yg = −2(x5 y − 4x3 y 3 + 2x2 y 2 ) − y(3x2 y 4 − 2x5 + 3xy 5 ) = 8x3 y 3 − 3x2 y 5 − 4x2 y 2 − 3xy 6 . 2. Với thứ tự từ điển phân bậc sao cho y ≤glex x, ta có in(f ) = lm(f ) = x5 y, in(g) = 3x2 y 4 và lm(g) = x2 y 4 . Khi đó, S(f, g) = 3y 3 f − x3 g = 3y 3 (x5 y − 4x3 y 3 + 2x2 y 2 ) − x3 y(3x2 y 4 − 2x5 + 3xy 5 ) = −3x4 y 5 − 12x3 y 6 + 2x8 + 6x2 y 5 . Định lý 1.1.17 (Tiêu chuẩn Buchberger). Cho G = {g1 , . . . , gs } là hệ sinh của iđêan I. Khi đó, G là cơ sở Gr¨obner của I khi và chỉ khi với mọi 1 ≤ i 6= j ≤ s, phần dư của S-đa thức S(gi , gj ) đối với g1 , . . . , gs G bằng 0, kí hiệu S(gi , gj ) −→ 0. Chứng minh của Định lý trên cho ta một thuật toán tìm cơ sở Gr¨obner như sau: Input: I là iđêan tròn R, F tập các phần tử sinh của I. Output: Cơ sở Gr¨obner G của I.
12 Algorithm 1 Thuật toán Buchberger 1: procedure Buchberger(F ) 2: G := F 3: repeat 0 4: G := G 0 5: for {p, q} ⊆ G , p 6= q do 6: s := RemG (S(p, q)) 7: if s 6= 0 then 8: G := G ∪ {s} 9: end if 10: end for 11: until G = G0 12: end procedure Thuật toán sẽ dừng sau một số hữu hạn bước và kết quả G là cơ sơ Gr¨obner của I (xem [7, Định ý 11.9]). Mệnh đề 1.1.18. Cho f và g là các đa thức khác không của R. Nếu G in(f ) và in(g) nguyên tố cùng nhau thì S(f, g) −→ 0. Trở lại Ví dụ 1.1.14, áp dụng thuật toán Buchberger để tìm cơ sở Gr¨obner của iđêan trong ví dụ đó. Ví dụ 1.1.19. Xét với thứ tự từ điển phân bậc ≤glex , ta đặt G = {f, g} với f = x1 x4 − x2 x3 và g = x4 x7 − x5 x6 . Ta có in(f ) = x1 x4 và in(g) = x4 x7 . Khi đó, S(f, g) = x7 f − x1 g = x1 x5 x6 − x2 x3 x7 =: h. Phần dư của S(f, g) đối với f, g là chính nó. Do đó, bổ sung h vào tập G để được G = {f, g, h}. Chú ý rằng in(h) = x1 x5 x6 mà in(g) = x4 x7 nên
13 G in(g) và in(h) nguyên tố cùng nhau. Bởi Mệnh đề 1.1.18, S(g, h) −→ 0. Mặt khác, S(f, h) = x5 x6 f − x4 h = x2 x3 (x4 x7 − x5 x6 ) = x2 x3 g. Do đó, phần dư của S(f, h) đối với f, g, h bằng 0. Theo tiêu chuẩn Buchberger suy ra rằng {f, g, h} là cơ sở Gr¨obner của I đối với thứ tự từ điển phân bậc ≤glex . 1.2 Phân tích nguyên sơ Trong mục này, ta luôn xét R là vành Noether giao hoán có đơn vị. Định nghĩa 1.2.1. Một iđêan thực sự I của vành R được gọi là (1) iđêan nguyên tố nếu với mọi x, y ∈ R mà xy ∈ I thì x ∈ I hoặc y ∈ I. (2) iđêan cực đại nếu tồn tại iđêan J của R và I ( J thì J = R. Ví dụ 1.2.2. Các iđêan cực đại trong vành các số nguyên Z đều có dạng pZ, trong đó p là số nguyên tố. Định nghĩa 1.2.3. Một iđêan thực sự I của vành R được gọi là iđêan / I thì y n ∈ I với n nào đó. Nói cách khác, nguyên sơ nếu xy ∈ I và x ∈ iđêan thực sự I của vành R được gọi là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi mọi ước của 0 trong vành thương R/I đều là lũy linh. Ví dụ 1.2.4. Iđêan mZ trong vành giao hoán Z là nguyên sơ nếu và chỉ nếu m = 0 hoặc m = pk , trong đó p là số nguyên tố và k ∈ N.
14 √ Mệnh đề 1.2.5. Nếu I là một iđêan nguyên sơ của vành R thì I là iđêan nguyên tố. √ √ Chứng minh. Nếu xy ∈ I và x ∈ / I, thì tồn tại n ∈ N sao cho xn ∈ /I và (xy)n ∈ I. Suy ra xn y n ∈ I. Do I là iđêan nguyên sơ nên tồn tại √ √ m ∈ N sao cho (y n )m = y nm ∈ I. Do đó y ∈ I. Vậy I là iđêan nguyên tố. Ví dụ 1.2.6. Ngược lại của mệnh đề trên nói chung là không đúng. Thật vậy, xét vành R = k[x, y, z]/(xy − z 2 ), gọi x, y và z là lớp thương của x, y và z trong R. Iđêan p = (x, z) là iđêan nguyên tố. Ta có x.y = z 2 ∈ p2 / p2 và y ∈ nhưng x ∈ / p. Do đó, p2 không nguyên sơ. √ Mệnh đề 1.2.7. Nếu I là iđêan cực đại thì I là iđêan nguyên sơ. √ √ Chứng minh. Giả sử xy ∈ I và y ∈ / I. Do I là iđêan cực đại nên √ √ I + Ry = R. Khi đó, tồn tại m ∈ I và r ∈ R sao cho m + ry = 1. Ta √ lại có, m ∈ I nên mn ∈ I với n ≥ 1 nào đó. Từ đó, ta thấy rằng 1 = 1n = (m + ry)n = mn + sy, trong đó s ∈ R. Nhân hai vế đẳng thức trên với x ta được x = xmn + sxy ∈ I. Từ đó ta suy ra I la iđêan nguyên sơ. √ Một iđêan nguyên sơ I của vành R mà I = P , ta nói I là iđêan P -nguyên sơ. Định lý 1.2.8. Cho Q là iđêan P -nguyên sơ và a ∈ R. Khi đó, các khẳng định sau luôn đúng: (a) Nếu a ∈ Q thì (Q : a) = R,