BỘ GIÁO DỤC
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ ĐÀO TẠO
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
VŨ THỊ DƯƠNG
VỀ IĐÊAN CẠNH NHỊ THỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội – 2020
BỘ GIÁO DỤC
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ ĐÀO TẠO
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
VŨ THỊ DƯƠNG
VỀ IĐÊAN CẠNH NHỊ THỨC
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 8460104
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Đỗ Trọng Hoàng
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội – 2020
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan những nội dung trong luận văn là do sự tìm hiểu,
nghiên cứu của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Đỗ Trọng
Hoàng. Các kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu
có đều được trích dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được
bảo vệ tại bất kỳ một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa
được công bố trên bất kỳ một phương tiện nào.
Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên.
Hà Nội, ngày 29 tháng 4 năm 2020
Người cam đoan
Vũ Thị Dương
Lời cám ơn
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa Toán học, Học viện
Khoa học và Công nghệ, đến nay luận văn đã được hoàn thành. Trước
tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Đỗ Trọng
Hoàng. Thầy là người đã tận hình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt qua nhiều
khó khăn trong quá trình học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó, tôi xin
gửi lời cảm ơn đến những giảng viên đã giảng dạy, đồng hành cùng mình
tại Khoa Toán học. Tôi xin cảm ơn Trung tâm đào tạo sau đại học -
Viện Toán học và phòng Đào tạo - Học viện Khoa học và Công nghệ đã
luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học cao học tại học
viện.
Hơn nữa, tôi xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể bạn bè, gia đình tôi,
những người đã sát cánh bên tôi trong quãng thời gian qua.
Vũ Thị Dương
Danh mục các kí hiệu
Kí hiệu Trang
5 in(I)
5 ≤lex, ≤glex
5 supp
5 in(f ), lc(f ), lm(f )
9 RemG(f )
10 S(f, g)
U CLN 10
17 Ass(I)
25 JG
36 PS(G)
40 dim S/JG
Mục lục
Lời mở đầu 1
1 Các kiến thức cơ bản 4
1.1 Cơ sở Gr¨obner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Phân tích nguyên sơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Cơ sở Gr¨obner của iđêan cạnh nhị thức 22
2.1 Iđêan cạnh nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Cơ sở Gr¨obner và đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Cơ sở Gr¨obner rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Phân tích nguyên sơ của iđêan cạnh nhị thức 36
3.1 Phân tích nguyên sơ của iđêan cạnh nhị thức . . . . . . . 36
3.2 Iđêan nguyên tố tối tiểu của iđêan cạnh nhị thức . . . . 41
Kết luận 45
Tài liệu tham khảo 46
1
Lời mở đầu
Xu hướng kết hợp đại số giao hoán và tổ hợp bắt nguồn từ công trình
tiên phong của Richard Stanley [1] vào năm 1975. Kể từ đó, nhiều nghiên
cứu về mối quan hệ này được xem xét, trong đó iđêan sinh bởi các nhị
thức hay còn gọi là iđêan nhị thức đóng một vai trò quan trọng. Từ đầu
những năm 1990, iđêan nhị thức đã dần trở thành trào lưu nghiên cứu
rất tích cực từ quan điểm của cả đại số giao hoán và tổ hợp. Chúng còn
xuất hiện trong các lĩnh vực khác nhau của Hình học đại số và Đại số
thống kê.
Một nghiên cứu đầu tiên về các tính chất đại số của iđêan nhị thức,
chẳng hạn như phân tích nguyên sơ và cơ sở Gr¨obner, được đưa ra bởi
David Eisenbud và Bernd Sturmfels [2]. Trong số các iđêan nhị thức,
iđêan cạnh nhị thức gắn kết một cách tự nhiên với một đồ thị đơn tạo
thành một lớp đặc biệt. Lớp iđêan nhị thức này được đưa ra xem xét
và nghiên cứu bởi hai nhóm tác giả độc lập Herzog, Hibi, Hreinsdóttir,
Kahle, Rauh [3], và Ohtani [4].
Iđêan cạnh nhị thức cũng có thể xem như iđêan sinh bởi một số định
thức con cấp hai của ma trận 2×n với hệ số là các biến x1, . . . , xn, y1, . . . , yn
2
sau đây: x1 x2 · · · xn · · · y1 y2 yn
trong vành đa thức S = K[x1, . . . , xn, y1, . . . , yn]. Iđêan cạnh nhị thức có
một tính chất hiếm gặp là iđêan khởi đầu của nó là iđêan không chứa
bình phương (Định lý 2.3.2). Dựa vào một kết quả nổi tiếng gần đây của
Aldo Conca và Matteo Varbaro [5], ta có thể nhận thấy hầu hết các tính
chất và các bất biến đại số của iđêan cạnh nhị thức và iđêan khởi đầu
của nó trùng nhau. Cho nên, việc tìm hiểu cơ sở Gr¨obner của lớp iđêan
này là rất quan trọng. Vấn đề đầu tiên trong luận văn này, chúng tôi
tìm hiểu cơ sở Gr¨obner của nó và đặc trưng đồ thị mà iđêan cạnh nhị
thức có cơ sở Gr¨obner gồm các dạng bậc hai.
Nhìn chung mô tả giải tự do và các dữ liệu số chẳng hạn như các số
Betti phân bậc, chỉ số chính quy và chiều xạ ảnh của một iđêan cạnh
nhị thức là rất khó. Có nhiều giả thuyết về các bất biến này chưa được
giải quyết (xem trong [6]). Thông thường, để làm được điều này, người
ta cần phải hiểu về phân tích nguyên sơ. Luận văn này cũng sẽ tìm hiểu
vấn đề về phân tích nguyên sơ của iđêan cạnh nhị thức và cấu trúc của
các iđêan nguyên tố tối tiểu của nó.
Luận văn được trình bày thành 3 chương. Trong chương 1, chúng
tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản của Đại số giao hoán như cơ sở
Gr¨obner và phân tích nguyên sơ của một iđêan. Chương 2 dành để trình
bày định nghĩa và các tính chất của iđêan cạnh nhị thức. Cơ sở Gr¨obner
và đặc trưng cơ sở Gr¨obner bậc hai cũng được đưa ra trong chương này.
3
Cuối cùng trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu phân tích nguyên sơ
của iđêan cạnh nhị thức, đặc trưng các iđêan nguyên tố tối tiểu cũng
được nghiên cứu.
Trong suốt luận văn này nếu không đề cập gì, ta luôn kí hiệu R :=
K[x1, . . . , xn] là vành đa thức n biến trên trường K.
Chương 1
Các kiến thức cơ bản
Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu cơ sở Gr¨obner và phân tích nguyên
sơ của một iđêan. Nội dung của chương này được tham khảo từ các tài
liệu [7] và [8].
1.1 Cơ sở Gr¨obner
Định nghĩa 1.1.1. Kí hiệu M là tập các đơn thức của vành đa thức
R. Thứ tự từ ≤ là một thứ tự toàn phần trên tập M thỏa mãn các tính
chất sau:
(a) 1 ≤ m, với mọi m ∈ M.
(b) Nếu m1 ≤ m2 thì mm1 ≤ mm2, với m1, m2, m ∈ M.
Từ định nghĩa cho ta thấy rằng trên vành đa thức một biến chỉ có
một thứ tự từ, đó là thứ tự xác định bởi bậc đơn thức.
Cho ≤ là một thứ tự từ. Sau khi đổi chỉ số các biến ta luôn có thể
4
giả thiết x1 > x2 > . . . > xn. Với α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn, ta viết
5
n và deg(xα) := α1 + · · · + αn. Sau đây là một số thứ tự
1 . . . xαn
xα := xα1
từ quan trọng được dùng trong các chương sau.
Định nghĩa 1.1.2. 1. Thứ tự từ điển ≤lex là một thứ tự được xác
định như sau xα ≤lex xβ nếu thành phần đầu tiên khác không kể từ
bên trái của véctơ (α1 − β1, . . . , αn − βn) là một số âm.
2. Thứ tự từ điển phân bậc là thứ tự ≤glex xác định như sau xα ≤glex xβ
nếu deg(xα) < deg(xβ) hoặc deg(xα) = deg(xβ) và thành phần đầu
tiên khác không kể từ bên trái của véctơ (α1 − β1, . . . , αn − βn) là
một số âm.
Ví dụ 1.1.3. Trong vành đa thức hai biến K[x1, x2], ta có
2 ≤lex x1 ≤lex x1x2 ≤lex x2 1.
(1) 1 ≤lex x2 ≤lex x2
2 ≤glex x1x2 ≤glex x2 1.
(2) 1 ≤glex x2 ≤glex x1 ≤glex x2
Định nghĩa 1.1.4. Cho đa thức f = (cid:80) auu, trong đó au ∈ K và u là
đơn thức trong R. Giá của f là tập supp(f ) = {u | au (cid:54)= 0}. Từ khởi
đầu của đa thức f ∈ R, kí hiệu in≤(f ), là từ (số hạng) lớn nhất của đa
thức f đối với thứ tự từ ≤ . Nếu in≤(f ) = axα, trong đó 0 (cid:54)= a ∈ K thì
hệ số đầu của f đối với ≤ kí hiệu là lc≤(f ) = a và đơn thức đầu của f
đối với ≤ kí hiệu là lm≤(f ) = xα..
Nếu thứ tự từ ≤ đã được ngầm hiểu, ta sẽ viết in(f ), lc(f ) và lm(f )
tương ứng thay cho in≤(f ), lc≤(f ) và lm≤(f ).
Ví dụ 1.1.5. Cho f = x2 − y4 với thứ tự từ điển phân bậc ≤glex sao cho
x > y. Lúc đó, in(f ) = −y4; lc(f ) = −1 và lm(f ) = y4.
6
Định nghĩa 1.1.6. Cho I là iđêan của R và ≤ là một thứ tự từ cho
trước. Iđêan khởi đầu của I, kí hiệu in(I), là iđêan của R sinh bởi các
từ khởi đầu của các phần tử của I. Cụ thể là:
in(I) = (in(f )|f ∈ I).
Ví dụ 1.1.7. Cho I = (yz − x2) trong vành đa thức K[x, y, z] với thứ
tự từ từ điển ≤lex sao cho x > y > z. Ta có, in(yz − x2) = −x2 và do đó
in(I) = (x2).
Bổ đề 1.1.8. Cho ≤ là một thứ tự từ và I, J là hai iđêan của R. Ta có
các tính chất sau:
a) Nếu I là iđêan đơn thức thì in(I) = I.
b) Nếu I ⊆ J thì in(I) ⊆ in(J). Hơn nữa, nếu I ⊆ J và in(I) = in(J),
thì I = J.
c) in(I) in(J) ⊆ in(IJ).
d) in(I) + in(J) ⊆ in(I + J).
Định lý sau cho ta một mở rộng thuật toán chia đa thức trong vành
một biến cho vành nhiều biến.
Định lý 1.1.9 (Thuật toán chia). Cho ≤ là thứ tự từ trên vành đa thức
R và các đa thức khác không g1, g2, . . . , gs trong R. Khi đó, với đa thức
0 (cid:54)= f ∈ R, tồn tại f1, . . . , fs ∈ R và f (cid:48) ∈ R, ta có biểu diễn sau:
(1.1) f = f1g1 + f2g2 + . . . + fsgs + f (cid:48)
7
sao cho các điều sau thoả mãn:
1. Nếu f (cid:48) (cid:54)= 0 thì không tồn tại đơn thức u ∈ supp(f (cid:48)) sao cho u ∈
(in(g1), . . . , in(gs)).
2. Nếu fi (cid:54)= 0 thì in(f ) ≥ in(figi), với i = 1, . . . , s.
Chứng minh. Cho I = (in(g1), in(g2), . . . , in(gs)). Nếu không tồn tại đơn
thức u ∈ supp(f ) sao cho u ∈ I, thì ta có thể đặt f (cid:48) = f và f1 = . . . =
fs = 0.
Bây giờ, giả sử đơn thức u ∈ supp(f ) thuộc I và ta viết u0 thay cho
đơn thức lớn nhất đối với < giữa các đơn thức thuộc supp(f ) ∩ I. Bây
giờ, gọi in(gi0) ước của u0 và w0 = u0/ in(gi0). Ta viết lại
0c−1 i0
f = c(cid:48) w0gi0 + h1,
0 là hệ số của u0 trong f và ci0 là hệ số của in(gi0) trong gi0.
trong đó c(cid:48)
Khi đó,
in(w0gi0) = w0 in(gi0) = u0 ≤ in(f )
Nếu h1 = 0 hoặc nếu h1 (cid:54)= 0 và không có đơn thức u ∈ supp(h1) thuộc
0c−1 i0
I, thì f = c(cid:48) w0gi0 + h1 là biểu diễn của f đối với g1, . . . , gs và h1 là
phần dư của f .
Nếu đơn thức u ∈ supp(h1) thuộc I và nếu u1 là đơn thức lớn nhất
trong các đơn thức thuộc supp(h1) ∩ I, thì
u1 < u0
Thật vậy, nếu đơn thức u với u > u0 thuộc supp(h1), thì u phải thuộc
8
supp(f ). Điều này là không xảy ra. Hơn nữa, vì các hệ số của u0 trong
0c−1 i0
f trùng với hệ số trong c(cid:48) w0gi0, suy ra u0 không thể thuộc supp(h1).
Gọi in(gi1) ước của u1 và w1 = u1/ in(gi1). Ta lại viết
0c−1 i0
1c−1 i1
f = c(cid:48) w0gi0 + c(cid:48) w1gi1 + h2
1 là hệ số của u1 trong h1 và ci1 là hệ số của in(gi1) trong gi1.
trong đó c(cid:48)
Khi đó,
in(w1gi1) < in(w0gi0) ≤ in(f ).
Tiếp tục quy trình này ta được một dãy giảm
u0 > u1 > u2 > · · ·
N −1 (cid:88)
Quy trình này sẽ dừng đến bước thứ N . Ta thu được biểu diễn
q=0
f = wqgiq + hN c(cid:48) qc−1 iq
trong đó hN = 0 hoặc trong trường hợp hN (cid:54)= 0, không có đơn thức
u ∈ supp(hN ) thuộc I. Hơn nữa, với mỗi 1 ≤ q ≤ N − 1, ta có
in(wqgiq) < . . . < in(w0gi0) ≤ in(f ).
i=1 figi = (cid:80)N −1
q=0 c(cid:48)
qc−1 iq
Do đó, đặt (cid:80)s wqgiq và f (cid:48) = hN , ta thu được biểu
diễn f = f1g1 + f2g2 + . . . + fsgs + f (cid:48).
Định nghĩa 1.1.10. 1. Vế phải của phương trình (1.1) được gọi là
biểu diễn chuẩn tắc của f đối với g1, . . . , gs.
9
2. Đa thức f (cid:48) được gọi là phần dư của f đối với g1, . . . , gs và được kí
hiệu là RemG(f ).
Ví dụ sau sẽ chỉ ra rằng phần dư RemG(f ) phụ thuộc vào thứ tự của
g1, . . . , gs.
Ví dụ 1.1.11. Cho ≤lex trên K[x, y, z] sao cho x > y > z. Đặt g1 =
x2 − z, g2 = xy − 1 và f = x3 − x2y − x2 − 1. Khi đó,
f = x3 − x2y − x2 − 1
= xg1 + (−x2y − x2 + xz − 1)
= (x − y)g1 + (−x2 + xz − yz − 1)
= (x − y − 1)g1 + (xz − yz − z − 1).
và
f = x3 − x2y − x2 − 1
= xg1 + (−x2y − x2 + xz − 1)
= xg1 − xg2 + (−x2 + xz − x − 1)
= (x − 1)g1 − xg2 + (xz − x − z − 1).
là các biểu diễn chuẩn tắc của f đối với g1, g2 và mỗi xz − yz − z − 1 và
xz − x − z − 1 là các phần dư của f .
Định nghĩa 1.1.12. Cho I là một iđêan của R và ≤ là một thứ tự từ.
Tập hữu hạn các đa thức khác không g1, . . . , gs ∈ I được gọi là một cơ
sở Gr¨obner của I đối với ≤ nếu in(I) = (in(g1), . . . , in(gs)). Hơn nữa,
10
tập {g1, . . . , gs} được gọi là cơ sở Gr¨obner nếu nó là cơ sở Gr¨obner của
iđêan sinh bởi chính các phần tử này.
Nhận xét 1.1.13. Tìm cơ sở Gr¨obner của một iđêan trong vành một
biến K[x] trên trường K là rất đơn giản. Thật vậy, vì vành đa thức K[x]
là vành iđêan chính, nên mọi iđêan I đều sinh bởi một đa thức nào đó.
Giả sử I = (f ) với f ∈ K[x]. Cho nên in(I) = (in(f )). Vì vậy {f } là cơ
sở Gr¨obner của I.
Ví dụ 1.1.14. Trong vành đa thức K[x1, . . . , x7], đặt f = x1x4 − x2x3
và g = x4x7 − x5x6. Gọi I là iđêan sinh bởi f và g. Với thứ tự ≤glex sao
cho x > y, ta có in(f ) = x1x4 và in(g) = x4x7. Tuy nhiên,
h := x1x5x6 − x2x3x7 = x7f − x1g ∈ I
trong khi in(h) = x1x5x6 /∈ (in(f ), in(g)). Vì vậy {f, g} không là cơ sở
Gr¨obner của I.
Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu về một thuật toán tìm cơ sở Gr¨obner
của một iđêan trong R. Để làm được điều này, trước hết ta có định nghĩa
sau:
Định nghĩa 1.1.15. Cho f, g ∈ R là hai đa thức khác 0. Khi đó
f − g S(f, g) = in(g) UCLN(lm(f ), lm(g)) in(f ) UCLN(lm(f ), lm(g))
được gọi là S-đa thức của f và g.
Đa thức S(f, g) phụ thuộc vào việc chọn thứ tự từ. Chẳng hạn,
11
Ví dụ 1.1.16. Cho f = x5y − 4x3y3 + 2x2y2 và g = 3x2y4 − 2x5 + 3xy5
trong vành K[x, y].
1. Với thứ tự từ điển sao cho y ≤lex x, ta có in(f ) = lm(f ) = x5y,
in(g) = −2x5 và lm(g) = x5. Khi đó, S-đa thức của f và g là:
S(f, g) = −2f − yg
= −2(x5y − 4x3y3 + 2x2y2) − y(3x2y4 − 2x5 + 3xy5)
= 8x3y3 − 3x2y5 − 4x2y2 − 3xy6.
2. Với thứ tự từ điển phân bậc sao cho y ≤glex x, ta có in(f ) = lm(f ) =
x5y, in(g) = 3x2y4 và lm(g) = x2y4. Khi đó,
S(f, g) = 3y3f − x3g
= 3y3(x5y − 4x3y3 + 2x2y2) − x3y(3x2y4 − 2x5 + 3xy5)
= −3x4y5 − 12x3y6 + 2x8 + 6x2y5.
Định lý 1.1.17 (Tiêu chuẩn Buchberger). Cho G = {g1, . . . , gs} là hệ
sinh của iđêan I. Khi đó, G là cơ sở Gr¨obner của I khi và chỉ khi với
G−→ 0.
mọi 1 ≤ i (cid:54)= j ≤ s, phần dư của S-đa thức S(gi, gj) đối với g1, . . . , gs
bằng 0, kí hiệu S(gi, gj)
Chứng minh của Định lý trên cho ta một thuật toán tìm cơ sở Gr¨obner
như sau:
Input: I là iđêan tròn R, F tập các phần tử sinh của I.
Output: Cơ sở Gr¨obner G của I.
12
Algorithm 1 Thuật toán Buchberger 1: procedure Buchberger(F ) 2:
3:
4:
5:
6:
7:
:= G
8:
G := F repeat G(cid:48) for {p, q} ⊆ G(cid:48), p (cid:54)= q do s := RemG(S(p, q)) if s (cid:54)= 0 then
9:
G := G ∪ {s}
10:
end if
end for until G = G(cid:48) 11: 12: end procedure
Thuật toán sẽ dừng sau một số hữu hạn bước và kết quả G là cơ sơ
Gr¨obner của I (xem [7, Định ý 11.9]).
Mệnh đề 1.1.18. Cho f và g là các đa thức khác không của R. Nếu
G−→ 0.
in(f ) và in(g) nguyên tố cùng nhau thì S(f, g)
Trở lại Ví dụ 1.1.14, áp dụng thuật toán Buchberger để tìm cơ sở
Gr¨obner của iđêan trong ví dụ đó.
Ví dụ 1.1.19. Xét với thứ tự từ điển phân bậc ≤glex, ta đặt G = {f, g}
với f = x1x4 − x2x3 và g = x4x7 − x5x6. Ta có in(f ) = x1x4 và in(g) =
x4x7. Khi đó,
S(f, g) = x7f − x1g = x1x5x6 − x2x3x7 =: h.
Phần dư của S(f, g) đối với f, g là chính nó. Do đó, bổ sung h vào tập G
để được G = {f, g, h}. Chú ý rằng in(h) = x1x5x6 mà in(g) = x4x7 nên
13
G−→ 0.
in(g) và in(h) nguyên tố cùng nhau. Bởi Mệnh đề 1.1.18, S(g, h)
Mặt khác,
S(f, h) = x5x6f − x4h = x2x3(x4x7 − x5x6) = x2x3g.
Do đó, phần dư của S(f, h) đối với f, g, h bằng 0. Theo tiêu chuẩn
Buchberger suy ra rằng {f, g, h} là cơ sở Gr¨obner của I đối với thứ tự
từ điển phân bậc ≤glex .
1.2 Phân tích nguyên sơ
Trong mục này, ta luôn xét R là vành Noether giao hoán có đơn vị.
Định nghĩa 1.2.1. Một iđêan thực sự I của vành R được gọi là
(1) iđêan nguyên tố nếu với mọi x, y ∈ R mà xy ∈ I thì x ∈ I hoặc
y ∈ I.
(2) iđêan cực đại nếu tồn tại iđêan J của R và I (cid:40) J thì J = R.
Ví dụ 1.2.2. Các iđêan cực đại trong vành các số nguyên Z đều có dạng
pZ, trong đó p là số nguyên tố.
Định nghĩa 1.2.3. Một iđêan thực sự I của vành R được gọi là iđêan
nguyên sơ nếu xy ∈ I và x /∈ I thì yn ∈ I với n nào đó. Nói cách khác,
iđêan thực sự I của vành R được gọi là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi
mọi ước của 0 trong vành thương R/I đều là lũy linh.
Ví dụ 1.2.4. Iđêan mZ trong vành giao hoán Z là nguyên sơ nếu và chỉ
nếu m = 0 hoặc m = pk, trong đó p là số nguyên tố và k ∈ N.
14
√ Mệnh đề 1.2.5. Nếu I là một iđêan nguyên sơ của vành R thì I là
iđêan nguyên tố.
√ √ I và x /∈
√ √ I là iđêan nguyên I. Vậy I, thì tồn tại n ∈ N sao cho xn /∈ I Chứng minh. Nếu xy ∈ và (xy)n ∈ I. Suy ra xnyn ∈ I. Do I là iđêan nguyên sơ nên tồn tại m ∈ N sao cho (yn)m = ynm ∈ I. Do đó y ∈
tố.
Ví dụ 1.2.6. Ngược lại của mệnh đề trên nói chung là không đúng. Thật
vậy, xét vành R = k[x, y, z]/(xy − z2), gọi x, y và z là lớp thương của x, y
và z trong R. Iđêan p = (x, z) là iđêan nguyên tố. Ta có x.y = z2 ∈ p2
nhưng x /∈ p2 và y /∈ p. Do đó, p2 không nguyên sơ.
√ Mệnh đề 1.2.7. Nếu I là iđêan cực đại thì I là iđêan nguyên sơ.
√ √ I. Do I là iđêan cực đại nên Chứng minh. Giả sử xy ∈ I và y /∈ √ √ I + Ry = R. Khi đó, tồn tại m ∈ I và r ∈ R sao cho m + ry = 1. Ta √ lại có, m ∈ I nên mn ∈ I với n ≥ 1 nào đó.
Từ đó, ta thấy rằng 1 = 1n = (m + ry)n = mn + sy, trong đó s ∈ R.
Nhân hai vế đẳng thức trên với x ta được x = xmn + sxy ∈ I. Từ đó ta
suy ra I la iđêan nguyên sơ.
√ Một iđêan nguyên sơ I của vành R mà I = P , ta nói I là iđêan
P -nguyên sơ.
Định lý 1.2.8. Cho Q là iđêan P -nguyên sơ và a ∈ R. Khi đó, các
khẳng định sau luôn đúng:
(a) Nếu a ∈ Q thì (Q : a) = R,
15
(b) Nếu a /∈ Q thì (Q : a) là iđêan P -nguyên sơ,
(c) Nếu a /∈ P thì (Q : a) = Q.
Chứng minh. (a) Với mọi r ∈ R, ta luôn có ar ∈ Q. Do đó, suy ra
r ∈ (Q : a). Vì vậy R = (Q : a).
√ (b) Ta có Q ⊆ (Q : a) nên P =
minh (cid:112) Q ⊆ (cid:112) (Q : a) ⊆ P . Thật vậy, với mọi x ∈ (cid:112) (Q : a). Bây giờ ta chứng (Q : a) thì tồn tại n ∈ N∗
√ Q = P.
sao cho xna ∈ Q. Suy ra (xn)m ∈ Q với m nào đó, và vì vậy x ∈ Do đó, (cid:112) (Q : a) = P .
Mặt khác, (Q : a) là iđêan nguyên sơ. Thật vậy, nếu xy ∈ (Q : a)
và x /∈ (Q : a), thì xa /∈ Q và xya ∈ Q. Vì Q là iđêan nguyên sơ, nên
√ yn ∈ Q với n nào đó. Do đó, y ∈ Q = P .
(c) Ta luôn có Q ⊆ (Q : a). Ngược lại, nếu x ∈ (Q : a) thì xa ∈ Q. Vì
√ a /∈ P = Q nên x ∈ Q. Vì vậy (Q : a) = Q.
i=1 Qi
là P - Mệnh đề 1.2.9. Nếu Q1, . . . , Qm là P -nguyên sơ thì (cid:84)m
nguyên sơ.
Chứng minh. Theo quy nạp, ta chỉ cần chứng minh: giao của hai iđêan
P -nguyên sơ là một iđêan P -nguyên sơ. Thật vậy, giả sử I và J là hai
iđêan P -nguyên sơ. Ta luôn có
√ √ √ I ∩ I ∩ J = J = P.
√ Bây giờ, lấy xy ∈ I ∩ J và x /∈ I ∩ J = P . Khi đó, vì I là iđêan nguyên
sơ, nên y ∈ I. Theo tính đối xứng ta cũng chỉ ra được y ∈ J. Do đó,
y ∈ I ∩ J.
16
Định nghĩa 1.2.10. Cho I là iđêan thực sự của R. Một phân tích
nguyên sơ của iđêan I là một biểu diễn I dưới dạng giao hữu hạn các
m (cid:92)
iđêan nguyên sơ của R, tức là
i=1
I = Qi,
trong đó các Qi là Pi-nguyên sơ. Nếu I có phân tích nguyên sơ thì ta gọi
I là iđêan phân tích được.
m (cid:92)
√ Ngoài ra, nếu tất cả các Qi = Pi đều phân biệt và không Qi nào
i=1
chứa giao của những iđêan còn lại thì phân tích nguyên sơ của I = Qi
được gọi là tối tiểu.
Ví dụ 1.2.11. Trong vành Z, iđêan mZ có phân tích nguyên sơ là
n với pi là số nguyên tố.
1 . . . pαn
Z, nếu m = pα1 Z ∩ . . . ∩ pαn n mZ = pα1 1
i=1 Qi
là một phân tích nguyên sơ tối Mệnh đề 1.2.12. Cho I = (cid:84)m
√ Qi, với tiểu của I trong R và P là iđêan nguyên tố của R. Đặt Pi =
i = 1, . . . , n. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(i) Tồn tại i ∈ {1, . . . , m} sao cho P = Pi.
(ii) Tồn tại a ∈ R sao cho (I : a) là P -nguyên sơ.
(iii) Tồn tại a ∈ R sao cho (cid:112) (I : a) = P .
Hay nói cách khác, Pi là những iđêan nguyên tố xuất hiện trong những √ iđêan I : a và không phụ thuộc vào sự phân tích nguyên sơ của I.
17
Định nghĩa 1.2.13. Iđêan nguyên tố P của R được gọi là iđêan nguyên
tố liên kết của I nếu tồn tại 0 (cid:54)= x ∈ R sao cho
P = (0 :R x) = {a ∈ R | ax = 0, với mọi x ∈ I}.
Tập các iđêan nguyên tố của I kí hiệu là Ass(I).
Tập iđêan nguyên tố liên kết của I không phụ thuộc vào việc chọn
phân tích nguyên sơ tối tiểu của I.
Định lý 1.2.14 (Định lý duy nhất thứ nhất của phân tích nguyên sơ).
n (cid:92)
m (cid:92)
Giả sử I là iđêan phân tích được và
i=1
j=1
I = Qi = Q(cid:48) j,
j =
√ Qi và P (cid:48)
m}.
1, . . . , P (cid:48)
j. Khi đó, n = m và {P1, . . . , Pn} = {P (cid:48)
là hai phân tích nguyên sơ tối tiểu của I, trong đó Pi = (cid:113) Q(cid:48)
n (cid:92)
Chứng minh. Lấy x ∈ R, áp dụng Định lý 1.2.8 ta có
n (cid:92)
i=1
i=1
x /∈Qi
(cid:92) (cid:112) (cid:112) (I : x) = (Qi : x) = (Qi : x) = Pi. (cid:118) (cid:117) (cid:117) (cid:116)
(I : x) là nguyên tố thì (cid:112) (I : x) ∈ {Pi | x /∈ Qi}. Hay nói cách
Nếu (cid:112) khác, (cid:112) (I : x) = Pj với j nào đó sao cho x /∈ Qj. Theo Mệnh đề 1.2.12,
j∈[n]\{i} Qj) \ Qi. Ta có thể thấy nếu y ∈ (Qi : xi) thì yxi ∈ Qi. Suy ra
Pj không phụ thuộc vào việc chọn phân tích nguyên sơ của I. Ngược lại,
i(cid:54)=j Qj) = I nên y ∈ (I : xi). Vì vậy, (Qi : xi) ⊆ (I : xi). Hơn
lấy i ∈ {1, . . . , n}, bởi vì phân tích nguyên sơ tối tiểu nên tồn tại xi ∈ ((cid:84) yxi ∈ Qi∩((cid:84)
18
(cid:112) nữa, ta luôn có (I : xi) ⊆ (Qi : xi). Điều này suy ra (I : xi) = (Qi : xi). Vì vậy (cid:112) (Qi : xi) = Pi nên ta có điều phải chứng minh. (I : xi) =
Định lý 1.2.15 (Định lý duy nhất thứ hai của phân tích nguyên sơ).
n (cid:92)
n (cid:92)
Giả sử I là iđêan phân tích được và
i=1
i=1
I = Qi = Q(cid:48) i,
√ là hai phân tích nguyên sơ tối tiểu của I, trong đó Pi = Qi = (cid:112)Q(cid:48) i.
Khi đó, nếu Pi là iđêan nguyên tố tối tiểu thuộc I với 1 ≤ i ≤ n, thì
Qi = Q(cid:48) i.
Chứng minh. Với n = 1 định lý luôn đúng. Với n > 1, cố định i, ta luôn
tìm được
j∈[n]\{i}
(cid:92) a ∈ Pj \ Pi.
j∈[n]\{i} Pj ⊆ Pi. Điều này suy ra Pj ⊆ Pi
Thật vậy, nếu ngược lại ta có (cid:84)
và mâu thuẩn với giả thiết Pi là iđêan nguyên tố tối tiểu của I.
Với mỗi j ∈ [n] \ {i}, tồn tại hj ∈ N sao cho ahj ∈ Qj. Gọi t số nguyên
n (cid:92)
n (cid:92)
sao cho t ≥ max{hj | j ∈ [n] \ {i}}. Khi đó, at /∈ Pi, và
j=1
j=1
I : at = Qj : at = (cid:0)Qj : at(cid:1) = Qi.
i với mỗi số nguyên t đủ lớn.
Một cách tương tự, ta cũng có (I : at) = Q(cid:48)
Vậy Qi = Q(cid:48) i.
Định nghĩa 1.2.16. Một iđêan thực sự I của vành R được gọi là bất
khả quy nếu nó không phải là giao của hai iđêan chứa nó thật sự. Nói
19
cách khác, iđêan thực sự I của vành R là bất khả quy nếu với mọi iđêan
I1 và I2 sao cho I = I1 ∩ I2 thì I = I1 hoặc I = I2 .
Ví dụ 1.2.17. Cho vành Z, I = pZ là iđêan bất khả quy. Thật vậy, giả sử I = I1 ∩ I2 = aZ ∩ bZ, với a, b ∈ Z. Không mất tính tổng quát ta giả sử a, b > 0 và a (cid:54)= b. Khi đó, pZ ⊆ aZ và pZ ⊆ bZ suy ra a | p và b | p. Vì vậy, (a, b) = (1, p) hoặc (a, b) = (p, 1). Suy ra I1 = pZ hoặc I2 = pZ. Vậy pZ là iđêan bất khả quy của Z.
Mệnh đề 1.2.18. Mọi iđêan bất khả quy là iđêan nguyên sơ.
Chứng minh. Giả sử a, b ∈ R sao cho ab ∈ I và b /∈ I. Ta cần chứng √ minh a ∈ I. Thật vậy, ta có
(I : a) ⊆ (I : a2) ⊆ . . . ⊆ (I : ai) ⊆ . . .
là dãy tăng các iđêan của R. Do R là vành Noether nên tồn tại n ∈ N
sao cho (I : an) = (I : an+i) với mọi i ∈ N.
Ta chứng minh I = (I + Ran) ∩ (I + Rb). Thật vậy, ta luôn có
I ⊆ (I + Ran) ∩ (I + Rb). Ngược lại, lấy bất kì r ∈ (I + Ran) ∩ (I + Rb),
suy ra tồn tại g, h ∈ I và c, d ∈ R sao cho r = g + can = h + db. Do
đó ra = ga + can+1 = ha + dba. Suy ra can+1 = ha + dba − ga ∈ I
vì ab, g, h ∈ I. Điều này suy ra c ∈ (I : an+1) = (I : an). Suy ra
r = g + can ∈ I. Vì vậy (I + Ran) ∩ (I + Rb) ⊆ I.
Do I bất khả quy và I (cid:40) (I + Rb) nên I = I + Ran. Suy ra an ∈ I.
Do đó, I là iđêan nguyên sơ của R.
Theo mệnh đề trên, việc tồn tại phân tích nguyên sơ của một iđêan
20
thực sự trong vành Noether có quy về việc tồn tại một phân tích bất
khả quy của iđêan đó hay không?
Định lý 1.2.19. Mọi iđêan thực sự I trong vành Noether R đều có phân
tích bất khả quy.
Chứng minh. Đặt Ω là tập các iđêan thực sự sao cho nó không có phân
tích thành giao hữu hạn của các iđêan bất khả quy của R. Ta chứng
minh Ω = ∅.
Giả sử phản chứng Ω (cid:54)= ∅. Do R là vành Noether nên tồn tại I là
phần tử cực đại trong Ω theo quan hệ bao hàm. Khi đó, nếu I là iđêan
bất khả quy thì I = I ∩ I. Điều này dẫn đến vô lí vì I ∈ Ω.
Do vậy, I khả quy, tức là I = I1 ∩ I2, trong đó I1, I2 ⊆ R và I (cid:40) I1, I (cid:40) I2. Vì I cực đại trong Ω nên I1, I2 /∈ Ω. Suy ra I1, I2 được biểu diễn
dưới dạng giao hữu hạn các iđêan bất khả quy trong R. Cụ thể:
I1 = Q1 ∩ . . . ∩ Qr
1 ∩ . . . ∩ Q(cid:48) s,
I2 = Q(cid:48)
i là các iđêan bất khả quy. Do đó
trong đó các Qi và Q(cid:48)
1 ∩ . . . ∩ Q(cid:48) r.
I = Q1 ∩ . . . ∩ Qr ∩ Q(cid:48)
Điều này mâu thuẫn với điều kiện I ∈ Ω. Vì vậy, ta kết luận rằng Ω = ∅.
Hay nói cách khác, mọi iđêan thực sự trong vành Noether đều có phân
tích bất khả quy.
Để tìm phân tích nguyên sơ của một iđêan sinh bởi đơn thức, ta có
21
thể vận dụng liên tiếp bổ đề sau:
Bổ đề 1.2.20. Giả sử m, n là hai đơn thức không chứa biến chung và
m1, . . . , mr là các đơn thức. Khi đó
(m1, . . . , mr, mn) = (m1, . . . , mr, m) ∩ (m1, . . . , mr, n) .
Ví dụ 1.2.21. Áp dụng bổ đề trên, ta có thể tìm được phân tích nguyên
sơ của iđêan I = (xy2, x2y, y4) như sau:
I = (x, x2y, y4) ∩ (y2, x2y, y4)
= (x, y4) ∩ (y2, x2y)
= (x, y4) ∩ (y2, x2) ∩ (y2, y)
= (x, y4) ∩ (x2, y2) ∩ (y)
= Q1 ∩ Q2 ∩ Q3,
trong đó Q1 = (x, y4), Q2 = (x2, y2) và Q3 = (y) là các iđêan nguyên sơ √ Q1 = của I. Do đó, các iđêan nguyên tố liên kết của I là P1 = (x, y) = √ √ Q2 và P2 = (y) = Q3. Vì vậy Ass(I) = {(x, y), (y)}.
Chương 2
Cơ sở Gr¨obner của iđêan cạnh nhị
thức
Mục đích của chương này là nghiên cứu bài toán khi nào các phần tử
sinh bậc hai của iđêan cạnh nhị thức lập thành một cơ sở Gr¨obner. Cơ
sở Gr¨obner rút gọn của iđêan cạnh nhị thức cũng được tìm hiểu trong
chương này. Nội dung của chương này được tham khảo từ các tài liệu
[9] và [10].
2.1
Iđêan cạnh nhị thức
Cho G là đồ thị với tập đỉnh V := V (G) và tập cạnh E(G). Một cạnh
e ∈ E(G) nối hai đỉnh x và y được kí hiệu là {x, y}. Trong trường hợp
này, ta nói x và y kề nhau. Trong toàn bộ luận văn này đồ thị được xét
là đồ thị đơn (tức là, đồ thị vô hướng, không có khuyên, và giữa hai đỉnh
có nhiều nhất một cạnh).
Ví dụ 2.1.1. Đồ thị G dưới đây là đơn với tập đỉnh V (G) = {1, . . . , 5}
22
và tập cạnh E(G) = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {4, 5}}.
23
Định nghĩa 2.1.2. Đồ thị đầy đủ kí hiệu Kn là đồ thị đơn mà mỗi đỉnh
của đồ thị được nối với nhau bằng đúng một cạnh.
Ví dụ 2.1.3. Các đồ thị dưới đây lần lượt là các đồ thị đầy đủ K3, K4
và K5.
Cho đồ thị đơn G với tập đỉnh V (G) và tập cạnh E(G), đường đi
độ dài r từ đỉnh i đến đỉnh j là dãy: i = i0, i1, . . . , ir = j trong đó
{is, is+1} ∈ E(G), với s = 0, 1, . . . , r − 1. Đỉnh i được gọi là đỉnh đầu
của đường đi, đỉnh j là đỉnh cuối của đường đi. Đường đi có đỉnh đầu
và đỉnh cuối trùng nhau gọi là chu trình.
Định nghĩa 2.1.4. Một đồ thị gọi là liên thông nếu luôn tìm được một
đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.
24
Ví dụ 2.1.5. Đồ thị trong các Ví dụ 2.1.1 và 2.1.3 là các đồ thị liên
thông. Đồ thị dưới đây không là đồ thị liên thông vì giữa hai đỉnh 1 và
4 không tồn tại một đường đi nào.
Định nghĩa 2.1.6. Đồ thị H = (V (cid:48), E(cid:48)) được gọi là đồ thị con của
G = (V, E) nếu V (cid:48) ⊆ V và E(cid:48) ⊆ E.
Trong trường hợp đồ thị đơn G không liên thông, nó sẽ được phân
tích thành các đồ thị con liên thông độc lập nhau. Mỗi đồ thị con như
vậy được gọi là thành phần liên thông của G.
Ví dụ 2.1.7. Đồ thị không liên thông trong Ví dụ 2.1.5 gồm 2 thành
phần liên thông. Thành phần liên thông thứ nhất là một tam giác với
ba đỉnh 1,2,3. Thành phần liên thông thứ hai là cạnh {4, 5}.
Cho S = K[x1, . . . , xn, y1, . . . , yn] là một vành đa thức trên trường K
với các biến x1, . . . , xn, y1, . . . , yn. Đặt fij := xiyj−xjyi với 1 ≤ i < j ≤ n.
Khi đó, nhị thức fij là định thức con của ma trận
x1 x2 . . . xn . y1 y2 . . . yn
25
Định nghĩa 2.1.8. Cho G là đồ thị đơn với tập đỉnh [n] := {1, . . . , n}.
Iđêan cạnh nhị thức JG của S là iđêan sinh bởi các nhị thức fij sao cho
i < j và {i, j} là cạnh của đồ thị G.
Ví dụ 2.1.9. Với đồ thị G trong Ví dụ 2.1.1, iđêan cạnh nhị thức của đồ
thị G là iđêan sinh bởi các nhị thức x1y2 − x2y1, x1y3 − x3y1, x2y3 − x3y2,
x2y4−x4y2, x3y4−x4y3, và x4y5−x5y4 trong vành K[x1, . . . , x5, y1, . . . , y5].
Định nghĩa 2.1.10. Cho đồ thị đơn G = (V, E) và T ⊆ V . Khi đó, đồ
thị con cảm sinh của G trên T kí hiệu GT là đồ thị có tập đỉnh T và tập
cạnh {{i, j} ∈ E(G) | i, j ∈ T }.
Ví dụ 2.1.11. Cho đồ thị G với tập đỉnh {1, 2, 3, 4} và tập cạnh
{{1, 2}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}};
và đồ thị cảm sinh GT của đồ thị G trên tập đỉnh T = {1, 2, 3} được cho
bởi các hình vẽ sau:
G GT
26
2.2 Cơ sở Gr¨obner và đồ thị đóng
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày cơ sở Gr¨obner của iđêan cạnh nhị
thức trong vành đa thức S = K[x1, . . . , xn, y1, . . . , yn] đối với thứ tự từ
điển ≤lex sao cho x1 > . . . > xn > y1 > . . . > yn.
Định lý 2.2.1. Cho đồ thị G với tập đỉnh [n] và tập cạnh E. Khi đó,
các phát biểu sau là tương đương:
(a) Hệ sinh fij của JG là một cơ sở của Gr¨obner.
(b) Với mỗi i < j < k,
(i) Nếu {i, k} và {j, k} là các cạnh của G, thì {i, j} là cạnh của
G,
(ii) Nếu {i, j} và {i, k} là các cạnh của G, thì {j, k} là cạnh của
G.
Chứng minh. (a) ⇒ (b) Ta sẽ chứng minh khẳng định (ii), còn khẳng
định (i) được chứng minh tương tự. Với i < j < k, giả sử ta có các cạnh
{i, j} và {i, k} ∈ E nhưng {j, k} /∈ E. Khi đó,
S(fik, fij) = (xiyk − xkyi) − (xiyj − xjyi) xiyj xi xiyk xi
= yj (xiyk − xkyi) − yk (xiyj − xjyi)
= yi (xjyk − xkyj) = yifjk.
Theo giả thiết, ta suy ra yifjk = S(fik, fij) ∈ JG. Chú ý rằng in(yifjk) =
yixjyk. Theo Định lý chia đa thức (Định lý 1.1.9) dẫn đến mâu thuẫn.
27
Thật vậy, vì {j, k} /∈ E, do đó không có đơn thức dẫn đầu của hệ sinh
nhị thức của JG là ước của in(yjfjk).
(b) ⇒ (a): Đặt G là tập gồm các phần tử fij với i < j và {i, j} ∈ E.
Ta chứng minh khẳng định này bằng tiêu chuẩn Buchberger (Định lý G−→ 0 với mọi i < j, và k < l. Thật vậy, ta chia 1.1.17) rằng S (fij, fkl)
chứng minh của khẳng định này thành các trường hợp sau:
G−→ 0.
• Trường hợp i (cid:54)= k và j (cid:54)= l: Lúc đó, in(fij) = xiyj và in(fkl) = xkyl
nguyên tố cùng nhau. Theo Mệnh đề 1.1.18, S(fij, fkl)
• Trường hợp i = k và l < j: Theo giả thiết, ta có {j, l} ∈ E(G) nên
G−→ 0.
flj ∈ JG. Do vậy S(fij, fil) = yiflj là biểu diễn chuẩn tắc của S(fij, fil)
G−→ 0.
đối với G. Vì vậy, S(fij, fil)
• Trường hợp j = l và i < k: Tương tự, S(fij, fkj) = xjfik
Định nghĩa 2.2.2. Đồ thị G với tập đỉnh [n] thỏa mãn điều kiện (ii)
của Định lí 2.2.1 được gọi là đồ thị đóng đối với thứ tự ≤.
Đặc trưng cơ sở Gr¨obner gồm các phần tử bậc hai ở Định lý 2.2.1
không chỉ đúng với thứ tự từ điển ≤lex mà còn đúng với thứ tự bất kì.
Định nghĩa 2.2.3. Cho JG là iđêan cạnh nhị thức của G và một thứ
tự từ ≺ bất kì trên vành đa thức S = K[x1, . . . , xn, y1, . . . , yn]. Ta định
nghĩa một đồ thị có hướng G≺ với tập đỉnh V (G≺) = V (G) và tập cạnh
E(G≺) = {(i, j) : xiyj ∈ in≺(JG)}.
28
Mệnh đề 2.2.4. G≺ là đồ thị có hướng không chứa chu trình.
Chứng minh. Ta chứng minh mọi chu trình trong G không là chu trình
có hướng trong G≺. Đặt
{i1, i2, . . . , ir} ⊆ V (G)
là tập đỉnh của một chu trình của G và giả sử (ij, ij+1) ∈ E(G≺) với
j = 1, . . . , r − 1. Ta sẽ chứng minh (ir, i1) /∈ E(G≺).
Thật vậy, với mỗi j = 1, . . . , r − 1, theo giả thiết ta có xijyij+1 ∈
in≺(JG). Do đó, xijyij+1 (cid:31) xij+1yij. Vì ≺ là thứ tự từ nên yi3(xi1yi2) (cid:31)
yi3(xi2yi1) và yi1(xi2yi3) (cid:31) yi1(xi3yi2). Từ đó suy ra yi3(xi1yi2) (cid:31) yi1(xi3yi2)
và vì vậy xi1yi3 (cid:31) xi3yi1.
Với lí luận tương tự, ta có yi4(xi1yi3) (cid:31) yi4(xi3yi1) và xi1yi4 (cid:31) xi4yi1.
Tiếp tục quá trình này với hữu hạn bước, ta nhận được xi1yir (cid:31) xiryi1.
Do đó xiryi1 /∈ in≺(JG). Vì vậy (ir, i1) /∈ E(G≺).
Định lý 2.2.5. Các điều kiện sau là tương đương:
(1) G là đồ thị đóng trên tập đỉnh [n];
(2) JG có cơ sở Gr¨obner gồm các phần tử bậc hai với thứ tự từ ≺ nào
đó trên S.
Chứng minh. (1) =⇒ (2): Theo Định lí 2.2.1, ta biết rằng với thứ tự từ
điển, cơ sở Gr¨obner của JG bao gồm phần tử fij với {i, j} ∈ E(G).
(2) =⇒ (1): Theo Mệnh đề 2.2.4, G≺ là đồ thị có hướng không chứa
chu trình. Do vậy tồn tại
ω : V (G≺) −→ [n]
29
sao cho với mọi cặp (i, j) ∈ E(G≺) thì ω(i) < ω(j). Điều đó có nghĩa ω
tương thích với định hướng của G≺ ([11, Mệnh đề 1.4.3]). Bây giờ chúng
ta chứng minh G là đồ thị đóng đối với ω.
Lấy i1, i2, i3 ∈ V (G≺) sao cho ω(i1) = i, ω(i2) = j, ω(i3) = k và đặt
{i1, i2}, {i1, i3} ∈ E(G). Điều này suy ra, {i, j}, {i, k} là các cạnh của G
đối với ω. Bởi Định lý 2.2.1 (2), ta có hai trường hợp sau
(a) Trường hợp i < j và i < k: Vì ω tương thích với đồ thị có hướng
G≺, nên ta có bất đẳng thức sau
(2.1) xi1yi2 (cid:31) xi2yi1 và xi1yi3 (cid:31) xi3yi1.
Theo giả thiết, S-đa thức
S(fi1i2, fi1i3) = yi1(xi2yi3 − xi3yi2)
tiến về 0. Do đó, tồn tại đơn thức xisyit − xityis ∈ JG mà đơn thức
khởi đầu của nó là ước của đơn thức khởi đầu của yi1fi2i3. Giả sử
in(fi1i2) = xi2yi1. Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức đầu tiên của
(2.1). Lí luận tương tự và bất đẳng thức thứ hai của (2.1), in(fi1i3)
không là ước của in(yi1fi2i3). Do đó fi2i3 ∈ JG và {j, k} là cạnh của
G đối với ω.
(b) Trường hợp i > j và i > k: được chứng minh tương tự như trường
hợp (a).
Từ đó, ta có thể kết luận rằng G là đồ thị đóng.
30
2.3 Cơ sở Gr¨obner rút gọn
Định nghĩa 2.3.1. Cho G là đồ thị đơn trên tập đỉnh [n] và lấy i và j
là hai đỉnh của G sao cho i < j. Một đường đi i = i0, i1, . . . , ir = j từ i
đến j được gọi là chấp nhận được nếu
(i) ik (cid:54)= il, với k (cid:54)= l;
(ii) Với mỗi k = 1, . . . , r − 1, ik < i hoặc ik > j;
(iii) Với bất kì tập con thực sự {j1, . . . , js} của {i1, . . . , ir−1}, dãy i, j1, . . . , js, j
không là một đường đi.
Cho một đường đi chấp nhận được
π : i = i0, i1, . . . , ir = j
từ i tới j, trong đó i < j. Một đơn thức liên kết với đường đi này kí hiệu
ik>j
il là: (cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33) (cid:89) (cid:89) . uπ := xik yil Định lý 2.3.2. Cho G là đồ thị đơn trên tập đỉnh [n] và < là thứ tự từ sao cho x1 > . . . > xn > y1 > . . . > yn. Khi đó, tập các nhị thức i (cid:91) G = {uπfij | π là đường đi chấp nhận được từ i đến j} là cơ cở Gr¨obner rút gọn của JG. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh định lí theo các bước sau: Bước 1: G ⊆ JG. 31 Thật vậy, chứng minh bằng quy nạp theo r rằng với mỗi đường đi chấp nhận được π từ i đến j, với i < j, thì nhị thức uπfij ∈ JG. Gọi π : i = i0, i1, . . . , ir−1, ir = j là đường đi chấp nhận được trong G. Rõ ràng với r = 1 ta luôn có khẳng định đúng. Xét r > 1. Đặt A = {ik : ik < i} và B = {i(cid:96) : il > j}. Khi đó, A (cid:54)= ∅ hoặc B (cid:54)= ∅. Nếu A (cid:54)= ∅ thì ta đặt ik0 := max A. Nếu B (cid:54)= ∅ thì đặt i(cid:96)0 := min B. Giả sử A (cid:54)= ∅. Điều này suy ra mỗi đường đi π1 : ik0, ik0−1, . . . , i1, i0 = i π2 : ik0, ik0+1, . . . , ir−1, ir = j trong G là chấp nhận được. Theo giả thuyết quy nạp, uπ1fik0 ,i, và uπ2fik0,j
thuộc vào JG. Mặt khác, ta có S(uπ1fik0 ,i, uπ2fik0 ,j) = uπfij. Do vậy
uπfij ∈ JG. Khi B (cid:54)= ∅, với lí luận tương tự như trường hợp A (cid:54)= ∅. Bước 2: G là cơ sở Gr¨obner của JG. Theo tiêu chuẩn Buchberger, ta cần ra rằng S(uπfij, uσfk(cid:96)) tiến đến 0, trong đó i < j và k < (cid:96). Ta xét các trường hợp sau: • Trường hợp i = k, j = (cid:96): Ta luôn có S(uπfij, uσfk(cid:96)) = 0. • Trường hợp {i, j} ∩ {k, (cid:96)} = ∅ hoặc i = (cid:96) hoặc k = j: Khi đó, các đơn thức khởi đầu in(fij), in(fk(cid:96)) nguyên tố cùng nhau. Theo Mệnh đề 1.1.18, ta suy ra S(uπfij, uσfk(cid:96)) tiến về 0. • Trường hợp i = k, j (cid:54)= (cid:96) hoặc i (cid:54)= k, j = (cid:96): hai trường hợp này chứng minh tương tự nhau, nên ta xét trường hợp đầu tiên i = k, j (cid:54)= (cid:96). Ta 32 chứng minh S(uπfij, uσfk(cid:96)) tiến đến 0. Giả sử rằng j < (cid:96) và ta tìm một biểu diễn chuẩn tắc của S(uπfij, uσfk(cid:96)) mà phần dư bằng 0. s = (cid:96). Khi đó tồn 1, . . ., i(cid:48) 0, i(cid:48) Lấy π : i = i0, i1,. . ., ir = j and σ : i = i(cid:48) tại các chỉ số a và b sao cho b và {ia+1, . . . , ir} ∩ {i(cid:48) b+1, . . . , i(cid:48) s} = ∅. ia = i(cid:48) Xét đường đi sau b, i(cid:48) b+1, . . . , i(cid:48) s−1, i(cid:48) s = (cid:96) τ : j = ir, ir−1, . . . , ia+1, ia = i(cid:48) từ j đến (cid:96). Để đơn giản kí hiệu, ta viết lại đường đi như sau: τ : j = j0, j1, . . . , jt = (cid:96) Đặt jt(1) = min{jc : fc > j, c = 1, . . . , t} và jt(2) = min{jc : jc > j, c = t(1) + 1, . . . , t}, trong đó 0 = t(0) < t(1) < · · · < t(q − 1) < t(q) = t. Từ đó suy ra j = jt(0) < jt(1) < · · · < jt(q)−1 < jt(q) = (cid:96) và với mỗi 1 ≤ c ≤ t, đường đi τc : jt(c−1), jt(c−1)+1, . . . , jt(c)−1, jt(c) 33 là chấp nhận được. q
(cid:88) Tiếp theo của chứng minh này là chỉ ra rằng c=1 S (uπfij, uσfi(cid:96)) = vτcuτcfjt(c−1)jt(c) là biểu diễn chuẩn tắc của S (uπfij, uσfj(cid:96)) với phần dư bằng 0, trong đó mỗi vτc là đơn thức được định nghĩa như sau: Cho w = yi BCNN(uπ, uσ). Do đó suy ra S (uπfij, uσfj(cid:96)) = −wfj(cid:96). Khi đó, , (i) Nếu c = 1 thì vτ1 = x(cid:96)w
uτ1xjt(1) , (ii) Nếu 1 < c < q thì vτc = xjx(cid:96)w
uτcxjt(c−1)xjt(c) . (iii) Nếu c = q thì vτq = xjw
uτqxjt(q−1) q−1
(cid:88) Bây giờ ta chứng minh c=2 wfj(cid:96) = fjjt(1) + fjt(c−1)jt(c) + fjt(q−1)(cid:96) wx(cid:96)
xjt(1) wxjx(cid:96)
xjt(c−1)xjt(c) wxj
xjt(q−1) là biểu diễn chuẩn tắc của wfj(cid:96) với phần dư bằng 0. Mặt khác, ta chứng minh rằng: (cid:1) (∗) w (xjy(cid:96) − x(cid:96)yj) = (cid:0)xjyjt(1) − xjt(1)yj wx(cid:96)
xjt(1)
q−1
(cid:88) (cid:1) + (cid:0)xjt(c−1)yjt(c) − xjt(c)yjt(c−1) wxjx(cid:96)
xjt(c−1)xjt(c) c=2
wxj
xjt(q−1) (cid:1) + (cid:0)xjt(q−1)y(cid:96) − x(cid:96)yjt(q−1) 34 là biểu diễn chuẩn tắc của w(xjy(cid:96) − x(cid:96)yj) với phần bằng 0. Vì wxjy(cid:96) = xjt(q−2)xjt(q−1) > · · · xjt(q−1)y(cid:96) > wxj
xjt(q−1) > xjt(1)yjt(2) > xjyjt(1), wxjx(cid:96)
xjt(q−2)xjt(q−1)
wxjx(cid:96)
xjt(1)xjt(2) wx(cid:96)
xjt(1) Điều này suy ra rằng, nếu đẳng thức (∗) đúng, thì nó là biểu diễn chuẩn tắc của w(xjy(cid:96) − x(cid:96)yj) với phần dư là 0. Do đó, ta có thể viết lại như sau: q−1
(cid:88) (cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33) c=2 − − x(cid:96)yj + wxjx(cid:96) w (xjy(cid:96) − x(cid:96)yj) = w xjx(cid:96) yjt(1)
xjt(1) yjt(c)
xjt(c) yjt(c−1)
xjt(c−1) (cid:33) (cid:32) . +w xjy(cid:96) − xjx(cid:96) yjt(q−1)
xjt(q−1) Bước 3: Ta chứng minh cơ sở Gr¨obner của G là rút gọn. Lấy uπfij, uσfkl ∈ G mà uπfij (cid:54)= uσfkl trong đó i < j và k < l. Lấy π : i = i0, i1, . . . , ir = j và σ : k = k0, k1, . . . , ks = l. Giả sử uπxiyj chia hết cho uσxkyl hoặc uσxlyk. Khi đó, {i0, i1, . . . , ir} là tập con thực sự của {k0, k1, . . . , ks}. Với i = k và j = l, khi đó {i1, . . . , ir−1} là tập con của {k0, k1, . . . , ks} và k, i1, . . . , ir−1, l là một đường đi chấp nhận được. Điều này mâu thuẫn với σ là đường chấp nhận được. Với i = k và j (cid:54)= l thì uσ chia hết cho yj do đó j < k mâu thuẫn với i < j. Với {i, j} ∩ {k, l} = ∅, uσ chia hết cho xiyj. Do đó i > l và j < k, mâu thuẫn với i < j. 35 Hệ quả 2.3.3. JG là iđêan căn. Chứng minh. Theo Định lí 2.3.2, chúng ta thấy rằng đối với một thứ tự đơn thức phù hợp thì in(JG) là iđêan đơn thức không chứa mũ. Điều này suy ra in(JG) là iđêan căn. Giả sử f k ∈ JG, với số tự nhiên k nào đó. Khi đó, in(f k) = in(f )k ∈ in(JG) và do đó in(f ) ∈ in(JG). Theo định nghĩa của iđêan khởi đầu, tồn tại g ∈ JG với in(g) = in(f ). Khi đó, chọn a ∈ K sao cho in(f − ag) < in(f ). Vì (f − ag)k = f k − gh với đa thức h ∈ S nào đó. Điều này suy ra (f − ag)k ∈ JG. Và vì in(f − ag) < in(f ), chúng ta có thể quy nạp lí luận này để được f − ag ∈ JG. Do vậy f ∈ JG. Mục đích của chương này là nghiên cứu các thành phần nguyên sơ của iđêan cạnh nhị thức và các iđêan nguyên tố tối tiểu của nó. Nội dung của chương này được tham khảo từ tài liệu [10]. Cho G là đồ thị đơn với tập đỉnh [n]. Với mỗi tập con S ⊆ [n], ta kí hiệu G1, . . . , Gc(S) là các thành phần liên thông của đồ thị G \ S. Kí hiệu (cid:101)Gi là đồ thị đầy đủ với tập đỉnh V (Gi). Đặt (cid:101)G1 (cid:101)Gc(S) i∈S (cid:91) , . . . , J ). PS(G) = ( {xi, yi}, J (cid:101)G. Nếu S = ∅ thì P∅(G) = J Ví dụ 3.1.1. Xét đồ thị G được cho dưới đây với tập đỉnh [6] và đặt 36 tập con S = {4} ⊆ [6]. 37 (cid:101)G1 (cid:101)G2 , J ), trong đó Khi đó PS(G) = (x4, y4, J (cid:101)G1 J = (x1y2 − x2y1, x1y3 − x3y1, x2y3 − x3y2), (cid:101)G2 J = (x5y6 − x6y5). Bổ đề 3.1.2. Iđêan PS(G) là iđêan nguyên tố. Chứng minh. Trước hết, ta thu gọn đa thức S theo các biến xuất hiện trong PS(G) để được đa thức S(cid:48) và iđêan nguyên tố P ⊆ S(cid:48) sao cho
S/PS(G) ∼= S(cid:48)/P . Hơn nữa, P có dạng (P1 + . . . + Pc(S))S(cid:48) với Pi = P∅( (cid:101)Gi) ⊆ Si, trong đó Si là đa thức K[xj, yj | j ∈ V (Gi)]. Ta sẽ chứng minh P là iđêan nguyên tố bằng quy nạp theo i. Nếu i = 1, thì P∅(G) hiển nhiên là iđêan nguyên tố. Với i > 1, ta đặt B = T /(P1 + . . . + Pi−1)T , trong đó T là đa thức trên K với các biến của các đa thức S1, . . . , Si−1. Khi đó, B[xj, yj | j ∈ V (Gi)]/PiB[xj, yj | j ∈ V (Gi)] ∼= T [xj, yj | j ∈ V (Gi)]/(P1 + · · · + Pi)T [xj, yj | j ∈ V (Gi)] Điều này suy ra B[xj, yj | j ∈ V (Gi)]/PiB[xj, yj | j ∈ V (Gi)] là miền 38 nguyên và do đó A = T [xj, yj | j ∈ V (Gi)]/(P1 + · · · + Pi)T [xj, yj | j ∈ V (Gi)] cũng là miền nguyên. Cho nên P1 + · · · + Pi là iđêan nguyên tố. Bổ đề 3.1.3. height(PS(G)) = |S| + (n − c(S)). c(S)
(cid:88) Chứng minh. Đặt nj = |V (Gj)|. Khi đó, (cid:101)Gj j=1 c(S)
(cid:88) height(J ) height(PS(G)) = height(∪i∈S{xi, yi}) + j=1 c(S)
(cid:88) = 2|S| + (nj − 1) j=1
= |S| + n − c(S). = |S| + (|S| + nj) − c(S) Định lý 3.1.4. Cho đồ thị đơn G với tập đỉnh [n]. Khi đó S⊆[n] (cid:92) JG = PS(G). Chứng minh. Rõ ràng ta luôn có mỗi iđêan nguyên tố PS(G) ⊇ JG. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng mỗi iđêan nguyên tố tối tiểu chứa JG đều có dạng của PS(G) với S ⊆ [n]. Theo Hệ quả 2.3.3, JG là một iđêan căn và do đó nó là giao của các iđêan nguyên tố tối tiểu của nó nên khẳng định của định lí được chứng minh trong trường hợp này. 39 Gọi P là iđêan nguyên tố tối tiểu của JG. Trước tiên, ta chứng minh xi ∈ P khi và chỉ khi yi ∈ P. Trong phần chứng minh này, ta giả sử rằng đồ thị G liên thông. Thật vậy, nếu G1, . . . , Gr là các thành phần liên thông của G thì mỗi iđêan nguyên tố tối tiểu P của JG có dạng P1 + P2 + . . . + Pr, trong đó mỗi Pi là một iđêan nguyên tối tối tiểu của JGi. Do đó, mỗi Pi có dạng như mong đợi thì P cũng sẽ có dạng như vậy. Lấy T = {xi | i ∈ [n], xi ∈ P, yi /∈ P }. Ta cần chỉ ra T = ∅. Điều này suy ra rằng nếu xi ∈ P thì yi ∈ P. Tương tự ngược lại nếu yi ∈ P suy ra xi ∈ P . Do đó, ta có kết luận xi ∈ P khi và chỉ khi yi ∈ P. (cid:101)G Ta thấy T (cid:54)= {x1, . . . , xn}. Vì JG ⊆ J (cid:32) (x1, . . . , xn) ⊆ P và P không là iđêan nguyên tố tối tiểu của JG. Giả sử T (cid:54)= ∅. Vì T (cid:54)= {x1, . . . , xn} và G liên thông, nên tồn tại {i, j} ∈ E(G) sao cho xi ∈ T nhưng xj /∈ T. Vì xiyj − xjyi ∈ JG ⊆ P và vì xi ∈ P nên suy ra rằng xjyi ∈ P. Hơn nữa, vì P là iđêan nguyên tố nên xj ∈ P hoặc yi ∈ P . Theo định nghĩa của T thì yi /∈ P nên xj ∈ P . Vì xj /∈ T nên yj ∈ P. Lấy G(cid:48) là đồ thị cảm sinh của G với tập đỉnh [n] \ {j}. Khi đó (JG(cid:48), xj, yj) = (JG, xj, yj) ⊆ P. Do đó, P = P/(xj, yj) là iđêan nguyên tố tối tiểu của JG(cid:48) với xi ∈ P nhưng yi /∈ P . Theo giả thuyết quy nạp, P có dạng PS(G(cid:48)) với tập S ⊆ [n] \ {j}. Điều này mâu thuẫn với giả thiết T (cid:54)= ∅. 40 Xét đồ thị đơn G bất kỳ. Ta chỉ ra rằng tồn tại tập S ⊆ [n] sao cho P = (∪i∈S{xi, yi}, P ), trong đó P là iđêan nguyên tố không chứa biến. Đặt G(cid:48) là đồ thị cảm sinh của G trên tập đỉnh [n] \ S. Khi đó, modulo iđêan (∪i∈S{xi, yi}) ta thấy rằng overlineP là một iđêan nguyên tố nhị thức JG(cid:48) không chứa biến nào. Lấy G1, . . . , Gc là các thành phần liên thông của G(cid:48). Ta sẽ chứng minh (cid:101)G1 (cid:101)Gc (cid:102)G(cid:48), . . . , J (cid:102)G(cid:48)). Điều này suy ra P = (∪i∈S{xi, yi}, J , . . . , J P = (J ). Để đơn giản hóa kí hiệu, giả sử P không chứa biến và ta chứng minh (cid:101)G1 (cid:101)Gc , . . . , J P = (J ), trong đó G1, . . . , Gc là các thành phần liên thông của G. Để chứng minh điều này, ta khẳng định rằng nếu {i, j} với i < j là (cid:101)Gc (cid:101)G1 , . . . , J ) ⊆ P . cạnh của (cid:101)Gk với k nào đó thì fij ∈ P . Từ đó ta suy ra (J (cid:101)G1 Vì J , . . . , J là iđêan nguyên tố trong JG và P là iđêan nguyên tố tối (cid:101)Gc
tiểu chứa JG. Do vậy, P = (J (cid:101)Gc (cid:101)G1 , . . . , J ). Lấy i = i0, i1, . . . , ir = j là một đường đi trong Gk từ i đến j. Ta chứng minh bằng quy nạp trên r rằng fij ∈ P. Khẳng định luôn đúng với r = 1. Giả sử với r > 1, theo giả thiết quy nạp thì fi1j ∈ P . Mặt khác, xi1fij = xjfii1 + xifi1j. Suy ra xi1fij ∈ P . Vì P là iđêan nguyên tố và vì xi1 /∈ P nên fij ∈ P. Từ Bổ đề 3.1.3 và Định lý 3.1.4 suy ra hệ quả sau: Hệ quả 3.1.5. Cho đồ thị đơn G với tập đỉnh [n]. Khi đó dim S/JG = max{(n − |S|) + c(S) : S ⊆ [n]}. Đặc biệt, dim S/JG ≥ n + c, trong đó c là số thành phần liên thông của G. 41 Mệnh đề 3.1.6. Cho G là đồ thị đơn với tập đỉnh [n]. Khi đó JG là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi mỗi thành phần liên thông của G là đồ thị đầy đủ. Chứng minh. Lấy G1, . . . , Gr là các thành phần liên thông của G và giả (cid:101)G1 (cid:101)Gr , . . . , J ) là iđêan nguyên sử JG là iđêan nguyên tố. Vì P∅(G) = (J (cid:101)Gr (cid:101)G1 , . . . , J ). tố tối tiểu của JG và JG là iđêan nguyên tố nên JG = (J Mặt khác, JG = (JG1, . . . , JGr). Giả sử G và G(cid:48) là các đồ thị đơn với
V (G) ⊆ V (G(cid:48)). Khi đó, E(G) = E(G(cid:48)) khi và chỉ khi JG = JG(cid:48). Cho G là đồ thị đơn. Mục này sẽ chỉ ra rằng khi nào iđêan PS(G) là iđêan nguyên tố tối tiểu của JG. Mệnh đề 3.2.1. Cho G là đồ thị đơn với tập đỉnh [n], S và T là tập con của [n]. Lấy G1, . . . , Gs là các thành phần liên thông của G[n]\S và H1, . . . , Ht là các thành phần liên thông của G[n]\T . Khi đó, PT (G) ⊆ PS(G) khi và chỉ khi T ⊆ S và với mỗi i = 1, . . . , t ta có V (Hi) \ S ⊆ V (Gj) với j nào đó. Chứng minh. Với U ⊆ [n], kí hiệu LU = (xi, yi : i ∈ U ). Khi đó, PS(G) = (cid:101)G1 (cid:101)H1
, . . . , J , . . . , J , . . . , J (LS, J ) và PT (G) = (LT , J ). Do đó, PT (G) ⊆ PS(G) (cid:101)Gs
khi và chỉ khi T ⊆ S và (LT , J (cid:101)Ht
) = (LS, J (cid:101)Gs (cid:101)H1
, . . . , J (cid:101)G1
, . . . , J , . . . , J ). (cid:101)Ht
) = (LS, J i = (cid:101)H1 (cid:101)Ht (cid:102)H (cid:48)
t (cid:102)H (cid:48)
1 ), trong đó H (cid:48) Ta có thể thấy (LS, J (Hi)[n]\S. Điều này suy ra PT (G) ⊆ PS(G) khi và chỉ khi T ⊆ S và 42 (cid:101)G1 (cid:101)Gs (cid:102)H (cid:48)
t (cid:102)H (cid:48)
1 , . . . , J , . . . , J ). Điều này tương đương với (LT , J ) = (LS, J (cid:101)G1 (cid:101)Gs (cid:102)H (cid:48)
t (cid:102)H (cid:48)
1 , . . . , J , . . . , J (J ) ⊆ (J ). (cid:101)G1 (cid:101)Gs (cid:102)H (cid:48)
t (cid:102)H (cid:48)
1 , . . . , J , . . . , J Vì các phần tử sinh của iđêan (J ) và (J ) không có biến chung nào với xi và yi với i ∈ S. i) = V (Hi) \ S, ta chứng minh khẳng định: Với các tập con Vì V (H (cid:48) A1, . . . , As và B1, . . . , Bt của [n] đôi một rời nhau. Khi đó, (cid:102)A1 (cid:102)As (cid:102)B1 (cid:102)Bt , . . . , J , . . . , J (J ) ⊆ (J ) khi và chỉ khi với mỗi i = 1, . . . , s tồn tại j sao cho Ai ⊆ Bj. Điều này khẳng định rằng các điều kiện trên tập Ai và Bj thỏa mãn, thì ta có bao hàm thức của các iđêan tương ứng. (cid:102)A1 (cid:102)As (cid:102)B1 , . . . , J , . . . , J Ngược lại, giả sử rằng (J ) ⊆ (J ). Không làm mất (cid:102)Bt
j=1 Bj = [n]. Ta xét toàn cấu tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng (cid:83)t χ : S −→ K [{xi, xiz1}i∈B1, . . . , {xi, xizt}i∈Bt] ⊆ K [x1, . . . , xn, z1, . . . , zt] với χ(xi) = xi với mọi i và χ(yi) = xizj với i ∈ Bj và j = 1, . . . , t. Khi (cid:102)B1 (cid:102)Bt , . . . , J đó Ker(χ) = (J ). Bây giờ ta cố định tập Ai và lấy k ∈ Ai. Khi đó k ∈ Bj với k nào đó. Ta khẳng định rằng Ai ⊆ Bj. Thật vậy, lấy l ∈ Ai với l (cid:54)= k và giả sử (cid:102)B1 (cid:102)Bt (cid:102)Ai
xkyl − xlyk ∈ Ker(χ). Vì vậy, 0 = χ(xkyl − xlyk) = xkylzj − xlykzr, mâu , . . . , J ⊆ (J ). Điều này suy ra l ∈ Br với r (cid:54)= j. Vì xkyl − xlyk ∈ J thuẫn. 43 Lấy G1, . . . , Gr là các thành phần liên thông của G. Một khi chúng ta biết iđêan tối tiểu của JGi với mỗi i thì iđêan tối tiểu của JG cũng được i=t Pi, trong biết. Thật vậy, vì các iđêan JGi là iđêan trong các tập biến khác nhau,
do đó các iđêan nguyên tố tối tiểu của JG chính là iđêan (cid:80)r đó Pi là iđêan nguyên tố tối tiểu của JGi. Kết quả sau là một đặc trưng iđêan nguyên tố tối tiểu của JG khi G là đồ thị liên thông. Hệ quả 3.2.2. Cho G là một đồ thị đơn liên thông với tập đỉnh [n] và S ⊆ [n]. Khi đó PS(G) là iđêan nguyên tố tối tiểu của JG khi và chỉ khi S = ∅ hoặc S (cid:54)= ∅ và với mỗi i ∈ S có c(S \ {i}) < c(S). (cid:101)G. Vì P∅G không chứa bất kì một
đơn thức nào nên PSG ⊆ P∅G với mọi S ⊂ [n]. Do đó theo Định lý 3.1.4 Chứng minh. Nếu S = ∅ thì P∅(G) = J thì P∅G là iđêan nguyên tố tối tiểu của JG. Giả sử PS(G) là iđêan nguyên tố tối tiểu của JG. Cố định i ∈ S. Lấy G1, . . . , Gr là các thành phần liên thông của G[n]\S. Ta xét ba trường hợp sau: Trường hợp 1: Giả sử không có cạnh {i, j} của G sao cho j ∈ Gk với k nào đó. Đặt T = S \ {i}. Khi đó, các thành phần liên thông của G[n]\T là G1, . . . , Gr, {i}. Như vậy c(T ) = c(S) + 1. Tuy nhiên, trường hợp này không thể xảy ra. Theo Mệnh đề 3.2.1 suy ra PT (G) ⊆ PS(G). Trường hợp 2: Giả sử tồn tại chính xác một đồ thị Gk, gọi là G1, và tồn tại j ∈ G1 sao cho {i, j} là một cạnh của G. Khi đó, các thành phần 1, G2, . . . , Gr, trong đó V (G(cid:48) 1) = V (G1) ∪ {i}. liên thông của G[n]\T là G(cid:48) Như vậy c(T ) = c(S). Trường hợp này cũng không xảy ra vì theo Mệnh 44 đề 3.2.1 suy ra rằng PT (G) ⊆ PS(G). Trường hợp 3: Giả sử có ít nhất 2 thành phần liên thông, gọi là G1, . . . , Gk (k ≥ 2) và jl ∈ Gl với l = 1, . . . , k sao cho {i, jl} là một cạnh 1, Gk+1, . . . , Gr, của G. Khi đó, các thành phần liên thông của G[n]\T là G(cid:48) 1) = (cid:83)k l=1 V (Gl) ∪ {i}. Do đó, trong trường hợp này c(T ) < trong đó V (G(cid:48) c(S). Ngược lại, giả sử c(S \ {i}) < c(S) với mọi i ∈ S. Giả sử phản chứng rằng PS(G) không là iđêan nguyên tố tối tiểu, tức là tồn tại T ⊆ S với PT (G) ⊆ PS(G). Chọn i ∈ S \ T . Theo giả thiết, c(S \ {i}) < c(S). Theo 1, Gk+1, . . . , Gr là lí luận của ba trường hợp trên, ta có thể giả sử rằng G(cid:48) 1) = ∪k l=1V (Gl)∪{i} các thành phần liên thông của G[n]\{i}, trong đó V (G(cid:48) và k ≥ 2. Điều này suy ra G[n]\T có một thành phần liên thông H chứa 1. Do đó, V (H) \ S chứa các tập V (G1) và V (G2). Cho nên V (H) \ S G(cid:48) không chứa trong V (Gi) nào. Theo Mệnh đề 3.2.1, điều này mâu thuẫn với giả thiết PT (G) ⊆ PS(G). Nhận xét 3.2.3. Điều kiện c(S \ {i}) < c(S) với i ∈ S trong Hệ quả 3.2.2 tương đương với i ∈ S là điểm cắt của đồ thị G([n]\S)∪{i}. Ví dụ 3.2.4. Trở lại Ví dụ 3.1.1, các iđêan nguyên tố tối tiểu của JG là P∅(G), P{4}(G), P{5}(G) và P{2,4}(G). Từ đó, ta có phân tích nguyên sơ của iđêan JG là JG = P∅(G) ∩ P{4}(G) ∩ P{5}(G) ∩ P{2,4}(G). 45 Iđêan cạnh nhị thức nằm trong một mối quan hệ giữa các lĩnh vực đại số và lĩnh vực tổ hợp. Các kết quả của nó hiện nay đang được quan tâm và nghiên cứu rất tích cực. Luận văn này, chúng tôi đã tìm hiểu và tổng hợp những vấn đề sau đây: (1) Nghiên cứu bài toán khi nào các phần tử sinh bậc hai của iđêan cạnh nhị thức lập thành một cơ sở Gr¨obner. (2) Cơ sở Gr¨obner rút gọn của iđêan cạnh nhị thức. (3) Nghiên cứu các thành phần nguyên sơ của iđêan cạnh nhị thức và các iđêan nguyên tố tối tiểu của nó. Vấn đề này còn khá nhiều nghiên cứu lý thú. Nhưng do thời gian và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên trong luận văn này không trách khỏi thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn. 46 [1] Richard P. Stanley, The upper bound conjecture and Cohen–Macaulay rings, Studies in Applied Mathematics 54 (1975), 135–142. [2] David Eisenbud and Bernd Sturmfels, Binomial ideals, Duke Mathe- matical Journal, 84 (1996), no. 1, 1–45. [3] J¨urgen Herzog, Takayuki Hibi, Freyja Hreinsdóttir, Thomas Kahle, and Johannes Rauh, Binomial edge ideals and conditional indepen- dence statements, Advances in Applied Mathematics, 45 (2010), 317– 333. [4] Masahiro Ohtani, Graphs and Ideals generated by some 2-minors, Communications in Algebra, 39 (2011), no. 3, 905–917. [5] Aldo Conca and Matteo Varbaro, Square-free Gr¨obner degenerations, Inventiones Mathematicae (2020). https ://doi. org/10.1007/ s0022 2-020-00958-7. [6] Sara Saeedi Madani, Binomial Edge Ideals: A Survey, in Multigraded Algebras and Applications (V. Ene, E. Miller Eds.) Springer Proceed- ings in Mathematics & Statistics (2018), 83-94. 47 [7] Lê Tuấn Hoa, Đại số máy tính: Cơ sở Gr¨obner, NXB ĐHQG 2003, 290 trang. [8] Michael F. Atiyah and Ian G. Macdonald, Introduction to Commu- tative Algebra, Addison-Wesley (1969). [9] Marilena Crupi, and Giancarlo Rinaldo, Binomial edge ideals with quadratic Gr¨obner bases, Electronic Journal of Combinatorics (2011) 18, P211. [10] J¨urgen Herzog, Takayuki Hibi, and Hidefumi Ohsugi, Binomial ideals, Graduate Texts in Mathematics, 279. Springer, Cham, 2018. [11] J. Bang-Jensen and G. Gutin, Digraphs: Theory, algorithms and Ap- plications, Springer, 2007.Chương 3
Phân tích nguyên sơ của iđêan cạnh
nhị thức
3.1 Phân tích nguyên sơ của iđêan cạnh nhị thức
3.2
Iđêan nguyên tố tối tiểu của iđêan cạnh nhị
thức
Kết luận
Tài liệu tham khảo
