BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TPHCM LEÂ DUY THÖÙC
Chuyeân Ngaønh : : Maõ Soá
Toaùn Giaûi Tích 604601
LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC
NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC:
TS. NGUYEÃN CAM
Thaønh Phoá Hoà Chí Minh – Naêm 2006
LÔØI MÔÛ ÑAÀU
Pheùp bieán ñoåi Laplace coù nhieàu aùp duïng quan troïng trong khoa hoïc vaø kyõ thuaät. Baøi
toaùn khoâi phuïc haøm goác töø haøm aûnh trong pheùp bieán ñoåi Laplace ñöôïc nhieàu nhaø
Toaùn hoïc quan taâm khaûo cöùu vaø ñeán nay coù raát nhieàu phöông phaùp ñöôïc ñöa ra.
Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi khaûo saùt moät soá phöông phaùp tính xaáp xæ bieán ñoåi
Laplace ngöôïc thoâng qua coâng thöùc caàu phöông noäi suy. Trong ñoù chuùng toâi ñaõ
chöùng minh söï hoäi tuï cuûa caùc coâng thöùc noäi suy, vaø tính oån ñònh cuûa nghieäm xaáp xæ
thu ñöôïc, cuõng nhö minh hoaï vieäc giaûi soá treân maùy tính thoâng qua moät ví duï cuï theå.
Luaän vaên ñöôïc chia laøm 4 chöông nhö sau :
Chöông 1 : Trình baøy caùc kieán thöùc chuaån bò cho vieäc tính toaùn tích phaân Mellin.
Chöông 2 : Khaûo saùt moät soá phöông phaùp tính tích phaân Mellin baèng coâng thöùc caàu
phöông noäi suy. Sau ñoù laø caùc ñònh lyù veà söï hoäi tuï cuûa quaù trình noäi suy vaø tính oån
ñònh cuûa nghieäm xaáp xæ.
Chöông 3 : Ñöa ra coâng thöùc caàu phöông noäi suy vôùi ñoä chính xaùc cao nhaát.
Chöông 4 : Xaây döïng coâng thöùc tính toaùn cho coâng thöùc caàu phöông noäi suy vôùi heä
soá caân baèng. Cuoái cuøng laø moät ví duï veà giaûi soá treân maùy tính.
LÔØI CAÛM ÔN
Toâi xin baøy toû loøng bieát ôn saâu saéc ñeán TS. Nguyeãn Cam, ngöôøi Thaày ñaõ daïy doã,
dìu daét toâi töø nhöõng naêm ñaàu ñaïi hoïc.
Xin chaân thaønh caûm ôn PGS.TS. Leâ Hoaøn Hoùa, PGS.TS. Nguyeãn Bích Huy,
TS Nguyeãn Thaønh Long, nhöõng ngöôøi Thaày ñaõ quan taâm, giuùp ñôõ vaø truyeàn ñaït cho
toâi nhöõng kieán thöùc neàn taûng trong thôøi gian hoïc ñaïi hoïc vaø cao hoïc.
Xin caûm ôn caùc Thaày trong hoäi ñoàng chaám luaän vaên ñaõ cho nhöõng nhaän xeùt quyù baùu,
caùc Thaày- Coâ ñaõ truyeàn ñaït kieán thöùc trong caùc hoïc phaàn.
Caûm ôn BGH Tröôøng PTTH Maïc Ñónh Chi TPHCM, vaø caùc ñoàng nghieäp ñaõ taïo
ñieàu kieän, ñoäng vieân ñeå toâi hoaøn thaønh khoaù hoïc.
Caûm ôn gia ñình, baïn beø vaø ngöôøi thaân ñaõ hoã trôï, giuùp ñôõ nhieàu maët.
Xin caûm ôn baïn Thuùy Trang, University of Western Australia, ñaõ ñoäng vieân vaø cung
caáp nhieàu taøi lieäu boå ích trong quaù trình laøm luaän vaên.
MUÏC LUÏC
Lôøi môû ñaàu Hình 4.1 Hình 4.2 Hình 4.3 CHÖÔNG I : MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CHUAÅN BÒ
79
80 81 1
CHÖÔNG 2 : MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN MELLIN
BAÈNG COÂNG THÖÙC CAÀU PHÖÔNG NOÄI SUY
2.1. Lyù Thuyeát Toång Quaùt Veà Caùc Phöông Phaùp Noäi Suy
13
2.2 Phöông Phaùp Noäi Suy Vôùi Moác Noäi Suy Caùch Ñeàu.
16
2.3 Phöông Phaùp Noäi Suy Vôùi Moác Noäi Suy Khoâng Caùch Ñeàu
17
2.4. Phöông Phaùp Noäi Suy Söû Duïng Chuoãi Taylor Chaët cuït
23
2.5 Söï Hoäi Tuï Cuûa Quaù Trình Noäi Suy Coâng Thöùc (2.3.7)
24
2.6 Söï Hoäi Tuï Cuûa Quaù Trình Noäi Suy Cuûa (2.1.6)
31
CHÖÔNG 3 : PHÖÔNG PHAÙP SOÁ CUÛA BIEÁN ÑOÅI LAPLACE NGÖÔÏC THOÂNG
QUA COÂNG THÖÙC CAÀU PHÖÔNG VÔÙI ÑOÄ CHÍNH XAÙC CAO NHAÁT
3.1. Lyù thuyeát veà coâng thöùc caàu phöông.
34
3.2 Caùc Ña Thöùc Tröïc Giao Lieân Heä Vôùi Coâng Thöùc Caàu Phöông
43
3.3. Phöông Phaùp Tính Caùc Heä Soá Vaø Caùc Ñieåm Cuûa Coâng Thöùc Caàu Phöông
64
CHÖÔNG 4 : CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍNH BIEÁN ÑOÅI LAPLACE NGÖÔÏC
THOÂNG QUA COÂNG THÖÙC CAÀU PHÖÔNG VÔÙI HEÄ SOÁ CAÂN BAÈNG
4.1. Xaây Döïng Coâng Thöùc Tính Toaùn
72
4.2. Moät Ví Duï Veà Lôøi Giaûi Soá
76
Keát luaän
Taøi lieäu tham khaûo
1
CHÖÔNG I : MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CHUAÅN BÒ
1.1 Ñònh nghóa
vôùi
vôùi soá phöùc
Cho
, 0
pt
−
(1)
p
i
F p (
)
e
f
t dt ( )
= σ + τ , ta ñònh nghóa
+∞ = ∫ 0
.
t F(p) ñöôïc goïi laø bieán ñoåi Laplace cuûa ( )
f
f t ( ) f t khaû tích treân moïi ñoaïn [a,b], (0 ( ) a b ) t ≥ ≤ <
1.2 Ñònh lyù
Neáu F(p) xaùc ñònh taïi
i
i = σ + τ thoaû
= σ + τ thì F(p) xaùc ñònh taïi moïi p
p 0
0
0
.
Re(
p
)
= σ − σ
0≥
p− 0
0
Chöùng minh
−
p u 0
Ñaët
t ( )
f u e ( )
du t (
0)
ϕ
=
≥
t ∫ 0
−
p t 0
Vì
xaùc ñònh neân
)
e
f
t dt ( )
ϕ toàn taïi. Suy ra toàn taïi haèng soá Q
F p ( 0
lim ( ) t t →∞
+∞ = ∫ 0
sao cho:
t ( )
Q t ,
0
ϕ
≤
∀ ≥ .
Xeùt
Re(
p
)
= σ − σ ≥ c (vôùi c >0), vaø a>0, b>0
p− 0
0
Ta coù :
2
(
p p t )
−
−
pt
−
0
f
t e ( )
dt
d
t ( )
e
=
ϕ
a b + ∫ a
a b + ∫ a
a b +
(
p p t )
(
p p t )
−
−
−
−
0
0
=
e
(
p e )
t ( )
t d ( ) t
−
ϕ
ϕ
−
p 0
a
a b + ∫ a
(tích phaân töøng phaàn)
(
)(
)
(
)
(
p p t )
−
a b +
−
−
−
−
p p − 0
p p a 0
0
a b + ∫ a
t
(
)(
)
(
)
(
)
−
a b +
−
−
− σ−σ
p p − 0
p p a 0
0
a b e ). a e ( ). p e t dt ( ) ( ≤ ϕ + − ϕ + − ϕ p 0
a b + ∫ a
ca
ct
)
−
c a b ( +
−
−
Q e . Q e Q p dt e ≤ + + − p 0
a b + ∫ a
a b +
ct
−
ca
ca
−
−
Q e . Qe Q p e dt ≤ + + − p 0
a
ca
ca
( c a
b
)
−
−
−
+
. . Q e . Q e Q p ≤ + + − p 0 c e −
ca
ca
−
−
( ) 2 Qe p e e ≤ − − + p 0
p Qe 2 + ≤ − p e . 0
ca
−
(khi a ñuû lôùn)
pt
−
Vaäy theo ñieàu kieän Cauchy thì
hoäi tuï neân F(p) xaùc ñònh taïi p vôùi
p Q c Q c − p 0 Q (2 e ). ≤ + < ε c
+∞ ∫ 0
.
e f t dt ( )
Re p Re ≥ p 0
3
1.3 Ñònh lyù
Cho F(p) xaùc ñònh taïi
0
0
Rep>
0σ
i = σ + τ thì F(p) laø haøm chính quy treân nöûa maët phaúng p 0
Chöùng minh
vôùi
. Laáy mieàn D ñoùng vaø bò chaën baát kyø chöùa trong nöûa maët
Xeùt p
i = σ + τ
0
phaúng Rep >
, vaø
σ > σ
0σ
Re(
c
p
Toàn taïi c >0, M >0, thoûa :
p
− ≤
−
) 2 p ≥ 0 , p M p D ∀ ∈ 0
⎧ ⎨ ⎩
pt
−
Xeùt daõy
)
e
f
,
,
1,2,3...
=
t dt p D n ( ) ∈
=
nF p (
n ∫ 0
Ta coù Fn laø haøm giaûi tích trong D vì:
)
−
+
pt
(
−
) p h t +
−
F p ( n
F p ( n
(
e
e
)
f
( )t dt
−
=
1 h
lim 0 h →
lim 0 h →
n ∫ 0
pt
(
) h h ) p h t +
−
−
e
e
−
f
t dt ( )
=
h
n lim ∫ 0 0 h →
ht
−
e
1
−
pt
−
e
f
t t ( )
d
t
=
ht
n lim ∫ h 0 0 →
pt
−
e
f
t td ( )
t
n = −∫ 0
Vôùi m, n > 0, m < n ta coù :
pt
pt
pt
−
−
−
)
)
e
f
t dt ( )
e
f
t dt ( )
e
f
t dt ( )
−
=
−
=
F p ( n
F p ( m
n ∫ m
n ∫ 0
m ∫ 0
Theo chöùng minh cuûa ñònh lyù trong muïc 1.2 ta coù:
p D∈ . Khi ñoù
4
pt
cm
−
−
e
f
e
(2
)
t dt Q ( ) ≤
+
M c
n ∫ m
)
)
p D
,
−
< ε ∀ ∈ , khi m ñuû lôùn. Vaäy Fn(p) hoäi tuï ñeàu veà F(p) vaø Fn(p)
F p ( n
F p ( m
giaûi tích, do ñoù
giaûi tích treân D. Hay F(p) chính quy treân nöûa maët phaúng
)F p (
.
Re p > σ
0
1.4 Nhaän xeùt
pt
−
Ñaët
E
f
t d ( )
( P
i
= σ + τ )
{
t hoäi tuï }
∞ / R e = σ ∈ ∫ 0
Vaø
inf E
γ =
+ Neáu
khoâng xaùc ñònh taïi moïi p
)E :(
F p
γ = +∞
= ∅ ⇒
+ Neáu
xaùc ñònh vôùi moïi p
)E R :(
F p
γ = −∞
= ⇒
+ Neáu
:Rγ ∈
- Vôùi σ < thì F(p) khoâng xaùc ñònh
γ
- Vôùi σ > thì F(p) xaùc ñònh vaø F(p) laø haøm chính qui
γ
1.5 Ñònh nghóa
f(t) ñöôïc goïi laø haøm goác neáu thoûa:
1) f(t) xaùc ñònh vôùi
, f(t) = 0 vôùi
t R∀ ∈
t∀ < 0
khaû tích treân moïi ñoaïn höõu haïn.
2)
f
t ( )
pt
−
3)
xaùc ñònh taïi ít nhaát moät p naøo ñoù.
)
F p (
e
f
t dt ( )
+∞ = ∫ 0
Luùc ñoù ta goïi F(p) laø haøm aûnh trong bieán ñoåi Laplace cuûa f.
5
1.6 Ñònh lyù
t
−α
γ ≤ α
f
,
0
t
Cho M 0,≥
Rα ∈ sao cho :
t Me ( ) ≤
∀ ≥ ø, thì ta coù :
(
ñònh nghóa trong 1.4)
γ
Chöùng minh
Ñaët Re p = σ vaø giaû söû σ > thì:
α
pt
−
−
e
f
t dt ( )
f
t e ( ) .
t tσ d
=
∞ ∫ 0
∞ ∫ 0
α
t −σ
M e .
.t e
dt
∞ ≤ ∫ 0
t
(
)
α −σ
dt
≤
<
∞
∞ M e ∫ 0
xaùc ñònh vôùi Re p = σ > α
)F p⇒ (
Vaäy
.
γ ≤ α
1.7 Ñònh lyù
Cho F(p) xaùc ñònh taïi
F p
i
) 0 =
= σ + τ thì lim (
p 0
0
0
p
→∞
( trong nöûa maët phaúng
Re p ≥ σ
) 0
Chöùng minh
. Xeùt A>0, ta coù :
Vì F(p) xaùc ñònh taïi
Re p ≥ σ
0p neân F(p) cuõng xaùc ñònh taïi p coù
0
pt
pt
pt
−
−
−
F p (
)
e
f
t dt ( )
e
f
t dt ( )
e
f
t dt M M ( )
=
=
+
+
≡
1
2
+∞ ∫ A
+∞ ∫ 0
A ∫ 0
6
t
(
) p t
(
)
−
−
−
σ
pt
−
p t 0
p 0
p t 0
σ − 0
vôùi
M
e
f
t dt ( )
e
f
t e ( ).
dt
e
f
t e ( ) .
dt
=
=
≤
2
+∞ ∫ A
+∞ ∫ A
+∞ ∫ A
−
p t 0
1
e
f
t d ( )
t (vì
0( ) t e σ −σ ≤ ).
+∞ ≤ ∫ A
Vì
xaùc ñònh neân vôùi A ñuû lôùn thì
2M < ε .
0(F p )
Ta coù
khaû tích treân ñoaïn [0,A] neân toàn taïi haøm g(t) khaû vi lieân tuïc thoûa :
f
t ( )
t
−σ
0
f
t ( )
g t e ( )
dt
−
<
ε
A ∫ 0
pt
pt
pt
−
−
−
Do ñoù
M
e
f
t dt ( )
e
[
f
t ( )
g t dt ( )]
e
( )
=
=
−
+
g t dt M M ≡
+
1
3
4
A ∫ 0
A ∫ 0
A ∫ 0
t
−σ
t −σ
0
Trong ñoù
M
e
f
t ( )
g t dt ( )
e
f
t ( )
g t dt ( )
≤
−
≤
−
< ε
3
A ∫ 0
A ∫ 0
A
pt
pt
pt
−
−
−
M
e
( ) g t dt
( ) g t e
e
'( ) t g t d
=
= −
+
4
1 p
1 p
A ∫ 0
A ∫ 0
pA
pt
−
−
=
(0)
(
g
). g A e
e
'( ) g t dt
−
+
1 p
1 p
1 p
0 A ∫ 0
A
t
−σ
−σ
0
0
suy ra
M
g
e
(0)
g A e ).
(
g t dt '( )
≤
+
+
4
1 p
A ∫ 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
(L phuï thuoäc A)
.L
≤
1 p
thì
vôùi
3
(
)
p >
F p < ε . Vaäy lim (
F p
) 0
= .
4M < ε vaø do ñoù
p
→∞
L ε
7
1.8 Ñònh nghóa
Cho haøm soá g(t) xaùc ñònh treân R ta goïi g ñöôïc bieåu dieãn bôûi tích phaân Fourier neáu
vôùi moïi t ta coù :
∞
i t τ
i x − τ
e
dxd
( g t
0)
( g t
0)
( ) g t e
+
+
−
=
τ (2)
]
[
1 2
1 π ∫ 2
−∞
∞ ∫ −∞
Phöông trình (2) ñöôïc goïi laø coâng thöùc Fourier
1.9 Ñònh lyù
ct
(vôùi cR∈ ) thoûa maõn :
g t Cho haøm goác f(t) sao cho ( )
t e− ( ).
f
=
i)
hoäi tuï
( )g t dt
∞ ∫ 0
∞
i t τ
i x − τ
ii)
e
dxd
( ) g t
( ) g x e
=
τ
1 π ∫ 2
−∞
∞ ∫ −∞
iii)
f
t ( )
f
t (
0)
f
t (
0)
=
+
+
−
]
[
1 2
c i
+ ∞
pt
(coâng thöùc Mellin)
Thì
f
( ) t
( ). F p e
dp
=
1 π ∫ 2 i
c i
− ∞
Chöùng minh
ct
f
Cho f(t) laø moät haøm goác vaø cR∈ thoaû
) 0,∞ .
t e− khaû tích tuyeät ñoái treân [ ( ).
ct
Ñaët g(t)=
t e− . Giaû söû g(t) thoaû (2) vaø ñeå ñôn giaûn caùch ghi, ta vieát : ( ).
f
g t ( )
g t (
0)
g t (
0)
=
+
+
−
]
[
1 2
Coâng thöùc (2) trôû thaønh :
8
∞
i t τ
i x − τ
e
dxd
g t ( )
g x e ( )
=
τ
1 π ∫ 2
−∞
∞ ∫ −∞
∞
(
i
c t )
τ+
i x − τ
Suy ra
(3)
e
f
dxd
t ( )
g x e ( )
=
τ
1 π ∫ 2
∞ ∫ 0
−∞
pt
−
Vôùi
xaùc ñònh taïi
p c
i
F p (
)
f
t e ( )
dt
= + τ thì do
∞ = ∫ 0
pt
ct
ct
−
−
f
t e ( )
dt
f
e ( ) . t
dt
f neân ( ).
t e− khaû tích tuyeät ñoái treân ñöôøng thaúng
=
∞ ∫ 0
∞ ∫ 0
)
c
i+ τ
(vôùi −∞
< τ < ∞
Ta coù :
(
)
t
c i − + τ
F p (
)
F c (
f
t e ( ).
dt
i
=
∞ ) + τ = ∫ 0
∞
(
(
)
i
c t )
t
τ+
c i − + τ
Vaø (3) cho ta :
f
dxd
e
t ( )
f x e ( )
=
τ
1 π ∫ 2
∞ ∫ −∞
−∞
∞
(
i
c t )
τ+
=
e
F c . (
i d ) + τ
τ
1 π ∫ 2
−∞
Treân ñöôøng thaúng p =
c
thì dp
i+ τ
id= τ , neân ta laïi coù :
c i
+ ∞
pt
(4)
f
( ) t
( ). F p e
dp
=
1 π ∫ 2 i
c i
− ∞
Coâng thöùc (4) ñöôïc goïi laø coâng thöùc Mellin.
1.10 Ñònh lyù
9
pt
−
Xeùt phöông trình
(*)
e
.
f
(
)
t dt F p ( ) =
∞ ∫ 0
Trong ñoù F(p) cho tröôùc coøn f(t) laø haøm goác phaûi tìm, thì ñaây laø baøi toaùn khoâng chænh
theo nghóa Hadamard.
Chöùng minh
Vôùi F(p) khoâng phaûi haøm giaûi tích thì (*) voâ ngieäm. Baây giôø ta xeùt f(t) öùng vôùi haøm
aûnh F(p) vaø f1(t) öùng vôùi haøm aûnh F1(p) sao cho:
n
f
t ( ), 0
+
t ≤ ≤
1 2
n
( ) t
f 1
f
t ( ), t
>
1 2
n
⎧ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ ⎪⎩
thì
d f (
,
)
f
n
=
−
≥ (choïn n khaù lôùn)
f 1
f 1
1 2
pt
pt
−
−
Trong khi:
n ∫ 0
∞ ∫ 0
1 2
pt
−
)
)
0
( F p
n
e
dt
. M
⇒
−
≤
≤
→
( F p 1
1 n
n ∫ 0
pt
(vôùi M=
vaø ta xeùt
e−
p
t> 0,
0 ≥ )
t
sup [ ]0,1 ∈
Vaäy ñaây laø baøi toaùn khoâng chænh theo nghóa Hadamard.
) F p ( ) e ( t ( ) f t dt ( )) n e . dt − = − = F p ( 1 f 1
1.11 Ñònh lyù
10
Cho F(p) giaûi tích trong nöûa maët phaúng Re p > α vaø thoûa :
) 0
= trong nöûa maët phaúng Re p c≥ > α (hoäi tuï ñeàu)
F p i) lim ( p →∞
ii)
hoäi tuï tuyeät ñoái
F p dp )
(
c i + ∞ ∫ c i − ∞
c i
+ ∞
pt
−
Thì F(P) laø haøm aûnh cuûa
f
( ) t
( ). F p e
dp
=
1 π ∫ 2 i
c i
− ∞
pt
−
)
(töùc laø f(t) nhaän F(p) laø bieán ñoåi Laplace:
F p (
)
e
f
t dt ( )
∞ = ∫ 0
Chöùng minh
Laáy p0 thoaû Rep0 > c.
c i
+ ∞
pt
Ta coù :
f
( ) t
( ). F p e
dp
=
1 π ∫ 2 i
c i
− ∞
−
−
pt
p t 0
p t 0
neân
(5)
e
f
e
t dt ( )
(
e F p dp dt )
)
(
=
1 i 2 π
∞ ∫ 0
∞ ∫ 0
c i + ∞ ∫ c i − ∞
Vôùi
thì :
p c
iy dp idy
,
= +
=
ct
pt
c
(
) iy t
+
e
F c (
iy idy )
ie
iyt e F c (
iy dy )
e F p dp (
)
=
+
=
+
∞ ∫ −∞
∞ ∫ −∞
c i+ ∞ ∫ c i − ∞
Ta coù :
(6)
iyte F c (
iy dy )
F c (
iy dy )
+
≤
+
∞ ∫ −∞
∞ ∫ −∞
11
vì
hoäi tuï tuyeät ñoái neân
hoäi tuï vaø do ñoù
F p dp )
(
F c (
iy dy )
+
∞ ∫ −∞
c i + ∞ ∫ c i − ∞
hoäi tuï ñeàu ñoái vôùi t, do ñoù (5) cho ta:
iyte F c (
iy+ )dy
∞ ∫ −∞
(
−
−
p t 0
) p P t 0
(7)
(
dt
dt
e
f
t dt ( )
=
= −
1 i 2 π
1 i 2 π
( F p ) p p − 0
∞ ∫ 0
∞ F p dp e ) ∫ 0
c i + ∞ ∫ c i − ∞
c i + ∞ ∫ c i − ∞
treân cung naøy thì
Xeùt cung ' : (
,Re
) :
p R =
p c >
RC
max
F P (
)
R
0
)
(
= α → khi R → ∞ neân :
R
dp
dp
0
≤
≤
π
→ khi R → ∞
( α p −
( α R −
( ) F p p p − 0
R ) p 0
R ) p 0
∫ C
∫ C
' R
' R
Ta coù vôùi
laø ñöôøng cong kín taïo bôûi ñöôøng thaúng
c
iR c ,
iR
C
−
+
[
]
' ∪ thì R
∼ RC
)
2
dp
dp
dp
π
=
=
+
iF p ( 0
( F p ) p p − 0
( F p ) p p − 0
F p ( ) p− p 0
∫ c iR +
∫ C
' R
∫ ∼ RC
(vì F(p) laø haøm giaûi tích)
neân ta ñöôïc:
dp
0
Cho R → ∞ thì
→
F p ( ) p p − 0
∫ ' RC
2
)
dp
π
=
iF p ( 0
lim R →∞
( F p ) p p − 0
c iR + ∫ c iR −
12
−
p t 0
)
dp
e
f
t dt ( )
⇒
= −
=
F p ( 0
lim R →∞
1 i 2 π
( F p ) p p − 0
∞ ∫ 0
c iR + ∫ c iR −
pt
−
vôùi p thoûa Rep > c.
Ta ñaõ chöùng minh ñöôïc raèng
F p (
)
e
f
t dt ( )
∞ = ∫ 0
13
CHÖÔNG 2
MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN MELLIN
BAÈNG COÂNG THÖÙC CAÀU PHÖÔNG NOÄI SUY
2.1. Lyù Thuyeát Toång Quaùt Veà Caùc Phöông Phaùp Noäi Suy
Ta xeùt phöông phaùp tính tích phaân Mellin :
c i
+ ∞
(2.1.1)
(
f
( ) t
pt e F
) p dp
=
1 π ∫ 2 i
c i
− ∞
baèng caùch thay haøm F(p) bôûi moät haøm khaùc noäi suy F(p) töø moät soá ñieåm.
Ta bieát raèng : lim (
F p
) 0
= . (khi cho Re p → ∞ )
p
→∞
1
neân coù theå giaû söû F(p) ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng:
, (s > 0),
)
)
( F p
p
=
( ϕ
(
)s
p
a
−
trong ñoù haøm
)pϕ (
laø chính quy treân nöûa maët phaúng Re p > α vaø bò chaën treân nöûa
maët phaúng
, tham soá a phaûi thoûa maõn ñieàu kieän
.
Re
(
)
p c≥
c >
α
Re a ≤ α
Nhôø pheùp ñoåi truïc toïa ñoä ta coù theå laáy
c
0a = ≤ α < . Vì vaäy coù theå giaû söû F(p)
coù daïng:
(2.1.2)
)
)
( F p
p
=
( ϕ
1 s p
trong ñoù
)pϕ (
laø chính quy treân Re p > α vaø lieân tuïc treân nöûa maët phaúng Re p ≥ α .
Thay (2.1.2) vaøo (2.1.1) ta coù :
14
c i
+ ∞
s
−
(2.1.3)
f
pt e p
t ( )
p dp )
=
( ϕ
1 π ∫ i 2
c i
− ∞
Ta choïn heä
thoûa ñieàu kieän sau :
)
v pω (
Vôùi
ñöôïc xaùc ñònh ôû treân, vôùi
vaø
)pϕ (
c > α
0ε > thì coù moät toå hôïp tuyeán tính
sao cho trong mieàn
)
p
)
(
p
)
)
pω (
Re p c≥ thì :
( ϕ
−
<
ε .
S p ( n
a v
ω v
v
n ∑ v 0 =
n = ∑ v va 0 =
Ta xeùt tröôøng hôïp
=
bôûi nhöõng ña
)
vp− (v=0,1,…), vaø noäi suy haøm
)pϕ (
v pω (
thöùc theo
.
1 p
Laáy caùc ñieåm
,...,
p naèm trong nöûa maët phaúng Re p > α , ta thieát laäp ña thöùc n
p p 1, 0
noäi suy haøm
:
)pϕ (
nP
1 p
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
(2.1.4)
)
)
)
(
p
) p
( ϕ
=
+
=
+
P n
( r p n
p k
r n
l k
1 p
1 p
n ∑ k 0 =
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ( ϕ ⎟ ⎠
Trong ñoù :
(2.1.5)
l k
1 p
⎛ ⎜ ⎝
k
1 p 1 p k
⎛ ω ⎜ k ⎞ ⎝ = ⎟ ⎛ ⎠ ω ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠
Vôùi :
vaø
n ∏ 1 i =
1 p ⎛ ω⎜ ⎝ = ω = − ω k 1 p 1 p 1 p 1 p i ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ − 1 p ⎞ ⎟ ⎠ 1 p k ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
15
Thay (2.1.4) vaøo tích phaân (2.1.3) ta coù coâng thöùc sau:
s
−
=
(2.1.6)
)
( ) ( ϕ
+
pt e p
A t k
p k
R n
n ∑ k 0 =
n ∑ 0 k =
c i + ∞ ∫ c i − ∞
trong ñoù :
pt
−
=
A t ( ) k
s e p l k
1 p
1 i 2 π
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
c i + ∞ ∫ c i − ∞
(2.1.7)
pt
−
)
(
=
R n
s e p r p dp n
1 i 2 π
c i + ∞ ∫ c i − ∞
⎫ dp⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
ÔÛ phaàn sau ta seõ chöùng minh
(khi
) neân coù theå boû ñi phaàn dö
0
n → ∞
nR →
nR ôû
(2.1.6) ñeå coù coâng thöùc tính xaáp xæ haøm goác töø haøm aûnh :
s
−
(2.1.8)
f
pt e p
)
t ( )
)
(
=
( ϕ
+
≈
( ) ( ϕ
A t k
p k
l k
p k
r p dp ) n
1 p
1 i 2 π
n ∑ k 0 =
n ∑ k 0 =
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
c i + ∞ ∫ c i − ∞
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
theo luõy thöøa cuûa
:
Baây giôø ta tính heä soá
( )
kA t . Khai trieån ña thöùc
kl
1 p
1 p
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
j
p−
=
+
+
... + +
=
l k
a k
a k
j
0
1 p
a k 1 p
a k 2 2 p
a k n n p
n ∑ j 0 =
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
s
j
−
−
Ta coù :
pt e p
dp
=
( ) A t k
a p k j
1 2 i π
n ∑ j 0 =
c i + ∞ ∫ c i − ∞
∞
j
s − −
s − −
j 1 + −
pt e p
dp
p e p
j s t
dp
=
=
a k
a k
1 i 2j π
1 2j i π
n ∑ j 0 =
n ∑ j 0 =
c i + ∫ c i − ∞
c i + ∞ ∫ c i − ∞
(do ñoåi bieán p =pt)
) ( f ( ) t + = ( ϕ l k p k ) r p dp n 1 p 1 2 i π ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦
16
s
1 j + −
=
(2.1.9)
s
j
)
a t n k j ∑ ( = Γ + j 0
(vì
)
p u e x dp
=
)
1 u (
1 i 2 π
Γ
c i + ∞ ∫ c i − ∞
vôùi baát kì nhöõng giaù trò cuûa t.
Söû duïng (2.1.9) ta tính toaùn deã daøng caùc heä soá
kA t ( )
Caùc giaù trò cuûa
phuï thuoäc vaøo vieäc choïn
p . k
jka
2.2 Phöông Phaùp Noäi Suy Vôùi Moác Noäi Suy Caùch Ñeàu.
Ta xeùt tröôøng hôïp caùc
: )α ∞
kp caùch ñeàu nhau treân nöûa ñöôøng thaúng thöïc [ ,
(
h
0,
k
n 0,1,..., )
(
k
1)
h
>
=
= α +
+
kp
Khoâng maát tính toång quaùt ta coù theå giaû söû
1h = .
thì caùc ñieåm
Söû duïng pheùp ñoåi bieán
p
p h '
= α +
kp trôû thaønh caùc soá nguyeân:
.
k
0,1,...,
n)
k= + ( 1
=
kp '
Trong tröôøng hôïp naøy, thay (2.1.9) vaøo (2.1.8) ta coù :
s
1 j + −
(2.2.1)
f
k
k
t ( )
( ) (
1)
≈
ϕ + =
( ϕ
1) +
A t k
j
)
a t k j s ( Γ +
n ∑ 0 k =
⎧ n n ⎪ ∑ ∑ ⎨ ⎪ 0 0 k j = = ⎩
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
Vaø
ñöôïc tính nhö sau:
kl
1 p
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
17
...
...
−
−
−
−
1
1 1
1 p
k
1 +
1 +
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
=
l k
1 p
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
...
...
−
−
−
1 p 1 − 1 1
1
1
2
1
k
1 k 1 k
k
k
k
n
k
⎛ ⎜ ⎝ 1 +
1 p 1 +
⎞ ⎟ 2 ⎠ 1 +
n 1 +
1 +
1 ⎞ ⎟ 1 + ⎠
⎞ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝
⎞⎛ ⎟⎜ ⎠⎝ ⎞⎛ ⎟⎜ ⎠⎝
⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
1 p ⎛ ⎜ ⎝
⎛ ⎜ ⎝
n
(
p
(
k
1)
−
−
=
1)...( k k ( −
2)...( p k p k )( − − 1)...2.1( 1)( 2)...( k − −
p n − − ) n −
1) + n p
n
n k −
(
p
1)
( 1) −
−
−
(2.2.2)
=
!(
( k 1) + )! k n k −
1)( p n p
p n − 1)
2)...( − ( p k − −
2.3 Phöông Phaùp Noäi Suy Vôùi Moác Noäi Suy Khoâng Caùch Ñeàu
2.3.1 Phöông Phaùp
Muïc naøy ta xeùt caùc moác noäi suy khoâng caùch ñeàu vôùi mong muoán thu ñöôïc ñoä chính
xaùc cao hôn.
Theo muïc 2.1 ta ñaõ giaû söû haøm aûnh F(p) ñöôïc bieåu dieãn ôû daïng:
)
)
( F p
p
=
( ϕ
(
)s
1 p a −
Vaø tích phaân (2.1.1) trôû thaønh:
pt
(2.3.1)
f
e
dp
t ( )
=
s
1 i 2 π
(
( p) ϕ p a ) −
c i + ∞ ∫ c i − ∞
Ñeå bieán ñoåi nöûa ñöôøng thaúng [ ,
)α ∞ , trong ñoù nhöõng moác noäi suy ñaõ ñöôïc choïn,
thaønh khoaûng höõu haïn ta duøng pheùp ñoåi bieán:
18
A
x
+
(2.3.2)
p
=
A 2 ) ( − α x 1 −
Vôùi A laø soá thöïc nhoû hôn α .
Pheùp ñoåi bieán treân bieán nöûa truïc [ ,
)α ∞ thaønh ñoaïn [-1,1]. Ñöôøng thaúng Re p = α
bieán thaønh ñöôøng troøn ñôn vò
1
x = vaø nöûa maët phaúng Re p ≥ α bieán thaønh hình troøn
ñôn vò
1
x ≤ . Ñieåm A bieán thaønh taâm x = 0 cuûa ñöôøng troøn ñôn vò. Ñöôøng thaúng laáy
tích phaân Re p c= trong tích phaân (2.3.1) trôû thaønh ñöôøng troøn naèm trong ñöôøng troøn
ñôn vò vaø tieáp xuùc nhau taïi ñieåm x = 1. Baùn kính cuûa ñöôøng troøn naøy seõ phuï thuoäc
vaøo c. Khi c tieán veà α thì baùn kính naøy tieán veà 1. Traùi laïi, neáu c taêng, thì noù seõ giaûm
vaø coù theå trôû thaønh nhoû tuøy yù.
Haøm
trôû thaønh :
)pϕ (
A
x
+
(2.3.3)
p
)
x ( )
( ϕ
= ϕ
= Φ
A 2 ) ( − α x 1 −
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Vì
)pϕ (
laø chính quy treân nöûa maët phaúng Re p > α , neân
( )xΦ chính quy treân hình
troøn
x < . 1
Söû duïng caùc giaù trò cuûa haøm
, ta thieát laäp
(
0,1,2,..., )
( )xΦ taïi nhöõng ñieåm
kn=
kx
ña thöùc noäi suy :
(
1 −
=
(2.3.4)
(
)
(
)
Φ
( ) x Φ ≈
Φ
x k
L x ( ) k
x k
)( )(
)
(
− −
x n −
n ∑ 0 k =
n ∑ k 0 =
x k x k
x x k
x − k 1 + x − k
x )...( − )...( x k
) x n
x k
x )...( x x − 0 )...( x x − k 0
1 +
1 −
Töø (2.3.2) ta coù
x
=
p A − p A 2 + − α
(2.3.5)
neân
p
)
)
( ϕ
≈
) ( ϕ
l p ( k
p k
n ∑ 0 k =
19
A
+
x k
trong ñoù
=
p k
A 2 ) ( − α x 1 − k
− p i ) = = l p ( k L x ( ) k
n ∏ i 0 = i k ≠
Vì
=
− p A − p A 2 − α + p A − k 2 A − α + p i + p i + A − A 2 − α A − 2 A − α p k p i
=
− 2( p A ( 2 ) p A − p A 2 + − α p A − i A 2 + − α p ) − i A + − α A )( p − α 2 )( p + − α i p i
n
neân
(2.3.6)
)
=
l p ( k
) )
( (
2 ) A p + − α ω k k n p A 2 ) ( + − α ω k
p ( p k
,
trong ñoù :
(
)
p
p
)
(
p
)(
p
)...(
p
=
( ω
=
−
−
−
p 0
p 1
ω k
p )n
( ω p −
) p p k
Thay
töø bieåu thöùc (2.3.5) vaøo tích phaân (2.3.1) ta nhaän ñöôïc coâng thöùc
)pϕ (
xaáp xæ f(t) :
pt
f
( ) t
e
dp
=
s
1 2 i π
(
( p) ϕ ) p a −
c i + ∞ ∫ c i − ∞
pt
=
(2.3.7)
) (
)
( ) ( ϕ
A t k
l p ( k
p dp ) k
p k
s
1 ≈ϕ 2 i π
(
)
e p a −
n ∑ k 0 =
n ∑ k 0 =
c i + ∞ ∫ c i − ∞
pt
(2.3.8)
trong ñoù
dp
e
=
( ) A t k
s
1 2 i π
(
( l p ) k ) p a −
c i + ∞ ∫ c i − ∞
Khai trieån ña thöùc
theo luõy thöøa cuûa (
)
p A+ − α 2 ) :
k pω (
n j −
(
p
)
(
p A
=
2 ) + − α
ω k
b k
j
n ∑ 0 j =
− ( A p − k A 2 + − α p A − i A 2 + − α p ) − i A 2 ) + − α p i p k p k 2( p )( A − α k p 2 )( A + − α i
20
j
−
(2.3.9)
neân :
)
(
p A
=
+ −
2 ) α
l p ( k
a k
j
n ∑ 0 j =
n
(
(2.3.10)
trong ñoù
=
kb
a k
j
j
p A k ω k
2 ) − α p ( ) k
Thay (2.3.9) vaøo (2.3.8) ta coù:
pt
(2.3.11)
dp
=
( ) A t k
a k
s
j
1 2 i π
(
)
p A
e j 2 ) ( + − α
p a −
n ∑ j 0 =
c i + ∞ ∫ c i − ∞
Tích phaân naày coù ñöôïc nhôø tra baûng tính.
Cuoái cuøng, ta coù :
s
j 1 + −
(2
) A t
α −
(2.3.12)
e
=
+
j a A ,( +
2 ) ) t − α
F s s ( , 1
A t ( ) k
a k
j
j
)
t ( s Γ +
n ∑ 0 j =
trong ñoù:
z , )
( , α β
=
v z (
z < ∞ )
F 1
v ) v v ) !
( ) Γ β ) ( Γ α
( Γ α + ( Γ β +
∞ ∑ v 0 =
Ñaëc bieät neáu a vaø A ñoái xöùng qua α , töùc laø chuùng ñöôïc lieân heä bôûi
thì :
(
)
α =
A a +
1 2
pt
at
s
e
( 2.3.13)
dp
=
=
A t ( ) k
a k
a k
∑
j
j
s
j
+
j 1 + − e j
s
(
)
1 i 2 π
t Γ
+
(
p
a
)
−
n ∑ j 0 =
c i + ∞ ∫ c i − ∞
Coâng thöùc (2.3.12) vaø (2.3.13) cho pheùp xaùc ñònh heä soá
( )
kA t cuûa coâng thöùc caàu phöông
(2.3.7) vôùi giaù trò t baát kyø.
21
2.3.2 Phöông Phaùp Tính
Döïa Vaøo Caùc Moác Noäi Suy
jka
Trong phaàn naøy ta xeùt caùc ñieåm
laø nghieäm cuûa ña thöùc Chebyshev
(
0,1,...
)
kn=
x k
loaïi 1
cos
n
x
=
+
(
) 1 arccos
nT
x 1( ) +
⎡ ⎣
⎤ ⎦
Caùc giaù trò cuûa
phuï thuoäc vaøo caùch choïn caùc ñieåm
kx vaø caùc tham soá α vaø A.
jka
Baèng pheùp ñoåi bieán
p
(
A
)
'
= α +
− α p , khoâng maát tính toång quaùt ta coù theå giaû söû
giaù trò cuûa
vaø A laàn löôït laø 0 vaø 1.
α
Caùc heä soá
cuûa (2.3.12) hoaëc (2.3.13) ñöôïc tính theo caùch sau:
jka
- Duøng coâng thöùc ñoåi bieán
ñeå tìm
x
=
kL x : ( )
p p
1 1
− +
−
1 −
=
=
L x ( ) k
(
)
(
)
(
x
− −
− −
−
x 1 x 1
( x k
x )( x x − 0 )( x x − 0 k
).....( x )...( x k
x k x k
x )( )( x k
x k 1 + x − k
x )....( − )...( x k
) x n x − n
x k
1 +
1 −
( ) x T 1 n + ′ ) x T 1 n k +
theo luõy thöøa cuûa 1-x
Khai trieån ña thöùc
T n x
1( ) x + x − k
j
( 2.3.14 )
(1
x
)
=
−
c kj
T n x
1 + −
n ∑ 0 = j
( ) x x k
Ta ñöôïc:
j
(1
x
)
−
c kj
j
(1
)
x−
=
=
L x ( ) k
b j k
(
)
n ∑ 0 j =
x k
n ∑ 0 j = ′ T 1 n +
Trong ñoù
=
b kj
)
c kj ′ x+ T 1( n k
22
- Trôû veà bieán soá p, ta tìm khai trieån cuûa
:
(
)
kl p theo luõy thöøa cuûa
1
1 p+
j
j
,
)
(1
=
−
=
=
a kj
l p ( k
b kj
b kj
j
j
p
(
1)
1 +
p p
1 ) 1
− +
p
(
1)
2 +
n ∑ 0 j =
n ∑ 0 j =
n ∑ 0 j =
(2. 3.15 )
j
j
2
=
=
a kj
b kj
(
)
c kj x k
2 ′ T 1 n +
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
Ñeå tính caùc heä soá
ta phaûi bieát caùc heä soá
trong khai trieån cuûa
theo luõy
kja
kjc
T n x
1( ) x + x − k
thöøa cuûa 1-x. moät trong nhöõng caùch tìm nhö sau:
Trong (2.3.14) laáy x = 1 thì
=
c k
0
T 1(1) n + x 1 − k
Töø (2. 3.14 ) ta coù :
j
x
(1
)
−
=
−
c k
c k
0
j
T n x
1 + −
n ∑ j 1 =
( ) x x k
Giaù trò x = 1 laø nghieäm cuûa ña thöùc cuoái, giaûm moät baâïc cuûa ña thöùc ta ñöôïc:
j
1 −
1 −
(1
x
)
(1
x
)
−
−
=
−
c k
c kj
0
n ∑ j 1 =
( ) x x k
⎡ T n 1 + ⎢ x −⎣
⎤ ⎥ ⎦
Laáy x=1 ta ñöôïc:
1 −
(1
x
)
=
−
−
c k
0
x = 1
c k 1
( ) x x k
⎡ T n 1 + ⎢ x −⎣
⎤ ⎥ ⎦
23
Tieáp tuïc quaù trình naøy cho tôùi khi tìm ñöôïc taát caû caùc
, neân tìm ñöôïc caùc
nhôø
jkc
jka
coâng thöùc (2.3.15)
2.4. Phöông Phaùp Noäi Suy Söû Duïng Chuoãi Taylor Chaët cuït
Trong muïc naøy, ta xeùt tröôøng hôïp pheùp noäi suy ñöôïc thöïc hieän vôùi moác noäi suy laø caùc
ñieåm boäi ñôn. Khi ñoù, ña thöùc noäi suy seõ truøng vôùi chuoãi Taylor chaët cuït.
Trôû laïi vôùi vieäc noäi suy haøm
1
( )xΦ chính quy trong hình troøn
x < . Treân ñoaïn [0,1]
choïn moät ñieåm ξ ( ξ <1) thì haøm
( )xΦ chính quy trong hình troøn taâm ξ baùn kính
. Ñeå coù giaù trò xaáp xæ cuûa haøm
1r ≥ − ξ
( )xΦ treân hình troøn naøy ta khai trieån theo
chuoãi Taylor chaët cuït taïi ñieåm ξ :
v
(
x
)
( ) x Φ ≈
( ) v ( ) Φ ξ
− ξ v !
n ∑ 0 v =
Trôû laïi bieán p vaø
, ñeå thuaän tieän ta ñaët:
( )xΦ trôû thaønh
)pϕ (
j
(
p
)
n
( ) j
(
p
)
(
p
)
ψ
=
p A +
2 ) ( − α ϕ
≈
ψ
( ) ζ
− ζ ! j
n ∑ 0 j =
A
ξ
ζ =
A+ ( 1
2 ) − α − ξ
Thay vaøo tích phaân (2.3.1) ta coù:
p
)
( ϕ
pt
( ) j
(2.4.1)
f
t ( )
e
dp
ψ
( ) ζ
=
≈
B t ( ) j
s
1 i 2 π
(
p
a
)
−
n ∑ 0 j =
c i + ∞ ∫ c i − ∞
trong ñoù :
j
(
p
pt
(2.4.2)
e
dp
=
( ) B t j
s
1 2 i π
) − ζ n 2 ) (
)
p
a
− α
−
!( j p A +
c i + ∞ ∫ c i − ∞
24
j
Khai trieån
(
theo luõy thöøa cuûa (
2 )
p − ζ)
p A+
− α thì keát quaû tích phaân ñöôïc cho
trong baûng vaø (2.4.2) ñöôïc tính hoaøn toaøn.
Trong tröôøng hôïp ñaëc bieät haøm
chính quy taïi voâ cöïc, ta coù khai trieån :
)pϕ (
v
−
p
)
( ϕ
a p v
∞ = ∑ 0 v =
Tröôøng hôïp naøy ñeå tính (2.3.1) ta coù coâng thöùc :
dt
pt
f
t ( )
e
≈
a v
s
1 i 2 π
a
v p p (
)
−
∞ ∑ 0 v =
c i + ∞ ∫ c i − ∞
Ñaây laø tích phaân ñöôïc cho trong baûng vôùiù :
s v
1 + −
dt
pt
e
s s ( ,
v at ,
)
=
+
F 1 1
s
v
)
1 i 2 π
t ( s Γ +
v p p (
a
)
−
c i + ∞ ∫ c i − ∞
2.5 Söï Hoäi Tuï Cuûa Quaù Trình Noäi Suy Coâng Thöùc (2.3.7)
Trong phaàn tröôùc chuùng ta ñaõ xem xeùt coâng thöùc caàu phöông noäi suy (2.3.7) cho
pheùp xaáp xæ tích phaân Mellin. Phaàn dö cuûa coâng thöùc naøy laø :
c i
+ ∞
pt
−
(2.5.1)
(
) p dp
( , ) t ϕ =
R n
s e p r n
1 π ∫ 2 i
c i
− ∞
.
trong ñoù
laø sai soá cuûa pheùp noäi suy haøm
)
)pϕ (
nr p (
Quaù trình caàu phöông (2.3.7) laø hoäi tuï neáu phaàn dö naøy hoäi tuï veà 0 khi
n → ∞
25
Töø coâng thöùc (2.5.1) roõ raøng laø quaù trình caàu phöông hoäi tuï neáu pheùp noäi suy laø hoäi
tuï, töùc laø
ï. Do ñoù ta baét ñaàu baèng vieäc khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa
)
)
n→ 0 (
→ ∞
nr p (
pheùp noäi suy.
Trong quaù trình xaây döïng coâng thöùc (2.3.7) ta phaûi noäi suy haøm
treân ñöôøng laáy
( )xΦ
tích phaân theo caùc giaù trò cuûa noù taïi n+1 ñieåm
cuûa ñöôøng kính d
)
(
0,1,...,
kn=
kx
=[-1;1] cuûa hình troøn
1
x ≤ , laø aûnh cuûa nöûa maët phaúng Re p ≥ α qua pheùp ñoåi bieán
A
x
+
p
=
2 ) A ( − α x 1 −
khoâng maát tính toång quaùt ta coù theå giaû söû A =1 vaø
0α = trong coâng thöùc treân.
Khi ñoù
. Ñöôøng thaúng laáy tích phaân
p
p c
)
(
i
=
= + σ − ∞ < σ < ∞ trôû thaønh
1 1
x x
+ −
ñöôøng troøn naèm trong ñöôøng troøn ñôn vò vaø qua caùc ñieåm
x
=
(khi p c= ) vaø x
c c
1 1
− +
=1 (khi p → ∞ ).
Taâm cuûa ñöôøng troøn naøy laø ñieåm :
x
1
=
+
=
1 = −
1 = − ε
1 2
c c
1 1
c
1
c
1
− +
c +
1 +
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Vaø coù baùn kính laø :
r
1
= ε
=
−
=
1 2
c c
1 1
c
1
− +
1 +
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Ñöôøng troøn naøy ñöôïc vieát laïi döôùi daïng :
(1
x − − ε = ε (0 )
1) < ε ≤
Giaû söû caùc moác noäi suy ñöôïc laáy treân ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn naøy vaø coù phaân boá
xaùc ñònh. Ta seõ xaùc ñònh mieàn chính quy cuûa haøm
( )xΦ ñaûm baûo quaù trình noäi suy
hoäi tuï ñeàu treân ñöôøng laáy tích phaân
(1
)
x − − ε = ε .
26
Smirnov V.I. vaø Lebedev N.A. [4] ñaõ chöùng minh caùc keát quaû sau :
2.5.1 Ñònh lyù
Neáu moät haøm
( )xΦ laø chính quy treân moät mieàn ñoùng β bao goàm moät elip vôùi caùc
tieâu ñieåm laø -1,1 caùc nöûa truïc laø
,
, vaø phaàn maët phaúng naèm
b
a =
=
2
2
2 − ε
ε − ε
trong noù thì quaù trình noäi suy vôùi caùc moác noäi suy maø haøm phaân boá giôùi haïn cuûa caùc
ñieåm naøy coù daïng haøm Chebyshev seõ hoäi tuï ñeàu treân elip noùi treân vaø noùi rieâng treân
ñöôøng troøn
x
(1− − )
ε = ε .
Ta chuyeån töø bieán x sang bieán p ñeå coù ñònh lyù sau:
2.5.2 Ñònh lyù
Neáu haøm
cuûa
p
laø chính quy treân nöûa maët phaúng Re
≤
)pϕ (
0p > , treân laân caän
1 R
p = 0, vaø treân laân caän p R≥ cuûa ∞ , thì quaù trình noäi suy (2.3.5) vôùi caùc moác noäi
, trong ñoù caùc ñieåm
suy
=
p k
kx treân ñoaïn [-1,1] coù haøm Chebyshev laø haøm
1 1
+ −
x k x k
phaân boá giôùi haïn cuûa caùc ñieåm, seõ hoäi tuï ñeàu treân ñöôøng thaúng Re p c= , trong ñoù
vaø
c ≥
R≥ .
1R
R 1
Nhaän xeùt: Neáu
ñöôïc laáy ñuû nhoû, ñieàu naøy ñöôïc thöïc hieän khi choïn c ñuû lôùn, thì
ε
elip ñöôïc xaùc ñònh trong ñònh lyù seõ vöôït ra ngoaøi ñöôøng troøn ñôn vò chæ nhöõng ñieåm
laân caän cuûa 1 vaø -1. Vì
1
( )xΦ laø chính quy treân hình troøn
x < neân ñeå thoaû maõn
27
ñònh lyù 2.5.1 ñoøi hoûi phaûi coù tính chính quy cuûa
( )xΦ treân laân caän cuûa nhöõng ñieåm
x=1 vaø x= -1, töùc laø treân laân caän
1
2
2
1
x − ≤ ε ,
x + ≤ε .
2.5.3 Ñònh lyù
Cho
cuûa
laø haøm chính quy treân nöûa maët phaúng Re
p
)pϕ (
0p > , treân laân caän
≤
1 R
p = 0, vaø treân laân caän p R≥ cuûa ∞ , thì quaù trình caàu phöông noäi suy (2.3.7) vôùi caùc
, trong ñoù caùc ñieåm
moác noäi suy
=
kx treân ñoaïn [-1,1] coù haøm Chebyshev
p k
1 1
+ −
x k x k
laø haøm phaân boá giôùi haïn cuûa caùc ñieåm, seõ hoäi tuï ñeán f(t) khi
vôùi moïi giaù trò
n → ∞
, töùc laø:
cuûa t, söï hoäi tuï seõ laø ñeàu theo t treân moïi ñoaïn höõu haïn baát kyø 0
t T
≤ ≤ < ∞
c i
+ ∞
pt
s
−
(2.5.2)
(
)
(
0
e
p
a
( , ) t ϕ =
−
→
) r p dp n
R n
1 π ∫ 2 i
c i
− ∞
khi n
, söï hoäi tuï treân laø ñeàu theo t vôùi 0
t T
→ ∞
≤ ≤ < ∞ , vôùi moïi giaù trò cuûa T.
chöùng minh
Tröôøng hôïp s >1.
Tích phaân beân veá phaûi phuï thuoäc vaøo c vì tính chính quy cuûa haøm ñöôïc laáy tích phaân
vaø söï bò chaën cuûa
trong laân caän cuûa
)
∞ . Noùi rieâng c coù theå ñöôïc laáy lôùn baát
nr p (
. Theo ñònh lyù 2.5.2 ta coù phaàn dö
cuûa quaù trình noäi
kyø. Ta coù theå choïn c
)
R≥
nr p (
suy seõ hoäi tuï ñeàu veà 0 treân ñöôøng laáy tích phaân khi
.
n → ∞
:
)N p (
)
0∀ε > ,
∃
n N ∀ ≥ ⇒
≤ ε .
r p ( n
28
Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán p c
i
= + σ ta coù :
ct
∞
i
s
t σ
−
e
(
c a i
)
( , ) t ϕ =
− + σ
i d ) + σ σ
R n
r c ( n
e 2
π ∫
−∞
Khi ñoù ta coù ñaùnh giaù:
ct
i
s
t σ
−
e
c a i
(
)
t ( , ) ϕ
=
− + σ
i d ) + σ σ
R n
r c ( n
e 2
π
∞ ∫ −∞
ct
i
s
t σ
−
e
c
d
(
)
)
σ
≤
a i − + σ
i + σ
r c ( n
e 2
π
∞ ∫ −∞
ct
∞
i
s
t σ
−
e
c
i
(
)
)
≤
a i − + σ
+
d σ σ
r c ( n
e 2
π ∫
−∞
cT
d
σ
(2.5.3)
(0
)
t T
≤ ε
≤ ≤
e 2
π
∞ ∫ −∞
2
(
)
c a −
+ σ
⎡ ⎣
s 2 2 ⎤ ⎦
Tích phaân cuoái laø hoäi tuï khi s >1. Neân töø (2.5.3) suy ra raèng
tϕ tieán ñeán 0 khi ( , )
nR
.
n → ∞
Tröôøng hôïp 0
1s< ≤
Ta coù :
pt
s
−
pt
s
−
e p a ( ) ( t ( , ) ϕ = − R n r p dp ) n 1 i 2 π
e p a d p = ( ) ( ) ) − ) ∞ +
[
]
c i + ∞ ∫ c i − ∞ c i + ∞ ∫ c i − ∞
r n r p ( n r ( − ∞ n 1 i 2 π
29
pt
s
pt
s
−
−
) = e ( p a ) dp e ( p a ) ) d − + −
[
] ) p (2.5.4)
c i + ∞ ∫ c i − ∞
c i + ∞ ∫ c i − ∞
r p ( n ( r − ∞ n 1 i 2 π ( r ∞ n i 2 π
2
nr ( ∞ i 2 π
1 −
) I = + I 1 1 i 2 π
vaø sai soá noäi suy
)
. Neân
tieán
Ta coù
nr ∞ tieán veà 0 khi n
nr ( ∞ i 2 π
at s e t Γ
veà 0 khi
) ( = → ∞ I 1 I 1 s ( )
Tích phaân thöù hai ñöôïc vieát laïi nhö sau:
c i
+ ∞
pt
s
−
−
(2.5.5)
n → ∞
e p a p dp ( ) ( ) ) t ( , ) ϕ = − R n p r p n r ( − ∞ n
[{1
]}
− ∞
treân ñöôøng laáy tích
Ta seõ chöùng minh
1 π ∫ i 2
) ( ) ( r− ∞ hoäi tuï ñeàu veà 0 khi n → ∞
]
n
c i [ p r p n
phaân
Theo giaû thieát, haøm
Re p c= .
laø chính quy treân laân caän p R≥ cuûa ∞ neân caû sai soá noäi
suy
)pϕ (
)
vaø haøm [
) ) (
]
nr p (
nr− ∞ chính quy treân laân caän naøy. Ngoaøi ra trong laân
nr p (
caän naøy haøm
) ( ) ) ( ) r− ∞ chính quy treân 0
[
r− ∞ ] hoäi tuï veà 0 khi → , neân haøm [
]
n
n
hoäi tuï ñeàu veà 0 khi
r p ( n r p ( n 1 p
mieàn p R≥ . Töø nhaän xeùt trong ñònh lyù 2.5.2 ta bieát raèng
nr p (
)
trong mieàn
treân
( ) ) R> . Xeùt giaù trò cuûa haøm n → ∞
]
p R≥ 1
vôùi 1R
[ p r p n
nr− ∞ (
bieân cuûa mieàn naøy khi
. Sai soá
hoäi tuï ñeàu veà 0 theo p, ngoaøi ra
trong khi
. Neân caû haøm
) n → ∞
0 ) ( ) ( ) ∞ → − ∞ hoäi tuï ñeàu ñeán 0 treân
]
nr
n p (
nr
( nr p [ p r p R= 1
30
bieân cuûa mieàn
. Maët khaùc haøm naøy chính quy treân mieàn ñoùng
, neân
treo nguyeân lyù modul cöïc ñaïi haøm naøy hoäi tuï ñeàu treân mieàn trong cuûa
.
p R≥ 1 p R≥ 1
Neáu
, ta ñaõ chöùng minh ñöôïc haøm
p R≥ 1
( ) ) ( r− ∞ hoäi tuï ñeàu veà 0 treân
]
c R≥ 1
[ p r p n
n
treân ñöôøng laáy tích phaân
thì
Re p c= . Neân haøm naøy hoäi tuï ñeàu ñeán 0 khi n → ∞
.
(
p
)
(
r− ∞ ≤ ε )
]
[ p r n
n
Ta ñaùnh giaù tích phaân (2.5.5)
pt
s
−
1 −
Re p c= , töùc laø vôùi moïi 0ε > toàn taïi N ñoäc laäp vôùi p sao cho vôùi n N≥
e p a p dp ( ) ( ) ) −
[ p r p n
r ( − ∞ n
{
} ]
c i + ∞ ∫ c i − ∞
(2.5.6)
1
pt
s
−
−
1 i 2 π
c i + ∞ ∫ c i − ∞
ct
e p a p dp ( ) ≤ ε − 1 i 2 π
(ñoåi bieán p c
∞ ∫ −∞
2
2
2
s 2
1 2 2 )
d σ i = + σ ) ≤ ε e 2 π ( ) ( c c a − + σ + σ ⎡ ⎣ ⎤ ⎦
vôùi s > 0 baát kyø.
Tích phaân cuoái hoäi tuï vôùi s > 0 neân I2 hoäi tuï veà 0 khi
Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.
n → ∞
2.6 Söï Hoäi Tuï Cuûa Quaù Trình Noäi Suy Cuûa (2.1.6)
31
Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán
thaønh ñöôøng troøn vôùi baùn kính
vôùi taâm taïi ñieåm
. Tia
pα ≤ < ∞ bieán thaønh
p = . Pheùp ñoåi bieán naøy bieán nöûa maët phaúng Re p ≥ α 1 x
ñöôøng kính d1 naèm treân truïc thöïc cuûa ñöôøng troøn naøy. Ñöôøng thaúng laáy tích phaân
1 2α 1 2α
, seõ bieán thaønh ñöôøng troøn naèm trong ñöôøng troøn noùi treân vaø tieáp
xuùc nhau taïi ñieåm x = 0. Neáu c ñöôïc choïn ñuû lôùn thì baùn kính cuûa ñöôøng troøn coù theå
nhoû tuøy yù. Haøm
Re p c= , vôùi c > α
chính quy treân nöûa maët phaúng Re p > α bieán thaønh haøm
.
)pϕ (
Quaù trình noäi suy haøm
( )xΦ chính quy treân ñöôøng troøn x − ≤ 1 2 α 1 2 α
vôùi caùc moác noäi suy naèm treân truïc thöïc Re p > α trôû
thaønh quaù trình noäi suy haøm
)pϕ (
ñöôøng troøn
.
( )xΦ vôùi caùc moác noäi suy naèm treân ñöôøng kính d1 cuûa
x − ≤ 1 2 α 1 2 α
(2.6.1)
n ∑ 0 k =
x ( ) ( ) ( ) x Φ ≈ Φ l k x k
2.6.1 Ñònh lyù
Cho F,B,G laø 3 taäp khoâng roãng caùc ñieåm cuûa maët phaúng phöùc z,
. Ta
ñöôïc thoûa neáu vôùi baát kyø haøm f(z) chính quy treân G,vôùi
F G B G , ⊂ ⊂
noùi raèng ñieàu kieän {
}
caùc moác noäi suy baát kyø
trong moät taäp bò chaën baát
,F B G ,
( )n k
( k 1,2,..., n 1; n 1,2,...) z = + =
32
kyø
, coù moät daõy caùc ña thöùc noäi suy
cuûa haøm f(z) hoäi tuï ñeàu ñeán f(z)
*F ⊂
nP z ( )
.
(khi
) treân moät taäp con baát kyø
*B
F
Giaû söû F vaø G laø hai taäp ñoùng vaø
,
laø hình troøn ñoùng lôùn nhaát chöùa trong
n → ∞ B⊂
G vaø taâm laø
, thì
F G⊂ Kξ
laø taäp lôùn nhaát sao cho ñieàu kieän {
} ,F B G ñöôïc
thoûa.
B , Fξ ∈ Kξ = ∩ F ξ∈
2.6.2 Ñònh lyù
cuûa
Neáu haøm
,
0 thì quaù trình noäi suy trong coâng thöùc (2.6.1) vôùi caùc moác noäi suy
( )x xRe 0 x Φ chính quy treân nöûa maët phaúng > vaø treân laân caän ≤ 1 R
kx
hoaëc caùc moác noäi suy baát kyø trong ñoaïn [0,1] seõ hoäi tuï ñeàu treân mieàn
= k 1 1 +
vaø
. Mieàn B seõ laø mieàn lôùn
B laø giao cuûa hai ñöôøng troøn
( 0,1,... , )n k =
nhaát ñaûm baûo söï hoäi tuï ñeàu cuûa quaù trình noäi suy .
x x 1 ≤ 1 − ≤ + 1 2 1 R R
Chöùng minh
Aùp duïng ñònh lyù 2.6.1.
Ñaët G laø nöûa maët phaúng beân phaûi vaø mieàn
; Taäp F laø ñoaïn [0,1]. Ñeå tìm taäp
B, ta xaây döïng hai hình troøn ñoùng lôùn nhaát chöùa trong G vôùi taâm taïi x=0 vaø x=1. Caùc
x ≤ 1 R
33
hình troøn naøy laø
vaø
. Taäp B caàn tìm laø giao cuûa hai hình troøn
tr
eân.
Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.
öôïc ôû treân cho pheùp tìm hieåu ñònh lyù veà söï hoäi tuï cuûa quaù trình caàu
Keát quaû nhaän ñ
höông (2.1.6). p
x x 1 ≤ 1 − ≤ + 1 2 1 R R
2.6.3 Ñònh lyù.
Neáu haøm
laø chính quy treân nöûa maët phaúng Re
cuûa
∞ , thì quaù trình caàu phöông noäi suy (2.1.6) vôùi caùc moác noäi suy
seõ hoäi tuï neáu c ñöôïc choïn sao cho
, töùc laø :
)pϕ ( 0p > vaø treân laân caän p R≥
1
k= + ,
kp
pt
s
−
khi
( k n 1,2,..., ) = c R≥
c i + ∞ 1 ∫ 2 i − ∞ π c i
Chöùng minh : Hoaøn toaøn töông töï ñònh lyù 2.5.3.
0 e p a ( ) ( t ( , ) ϕ = − → n → ∞ . R n r p dp ) n
34
CHÖÔNG 3
PHÖÔNG PHAÙP SOÁ CUÛA BIEÁN ÑOÅI LAPLACE NGÖÔÏC THOÂNG QUA
COÂNG THÖÙC CAÀU PHÖÔNG VÔÙI ÑOÄ CHÍNH XAÙC CAO NHAÁT
3.1. Lyù thuyeát veà coâng thöùc caàu phöông.
Xeùt tích phaân Mellin
c i
+ ∞
( 3.1.1 )
(
f
( ) t
pt e F
) p dp
=
1 π ∫ 2 i
c i
− ∞
Trong chöông 2 ta ñaõ xaây döïng coâng thöùc caàu phöông noäi suy vôùi caùc ña thöùc noäi suy
caáp n -1 theo
hoaëc
. Ñoä chính xaùc cuûa caùc coâng thöùc caàu phöông noäi
2
1 p
1 p A− − α
suy naøy, vôùi caùc moác noäi suy cho tröôùc trong nöûa maët phaúng Re p > α , nhaän ñöôïc
thoâng qua vieäc choïn caùc heä soá caàu phöông
kA .
Trong chöông naøy, nhaèm gia taêng ñoä chính xaùc, ta seõ khoâng chæ choïn caùc heä soá caàu
phöông maø coøn caû caùc moác noäi suy vaø xaây döïng moät coâng thöùc caàu phöông vôùi ñoä
chính xaùc cao nhaát trong moät lôùp caùc haøm höõu tæ coù daïng ñaëc bieät.
Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán :
t
p = + α thì tích phaân (3.1.1) trôû thaønh: 'p t
′
p
* e F p dp (
α ε + ∞ i ∫ i ε − ∞
e f t ( ) ′ ) 0 > = ′ , ε t 1 i 2 π
35
*( F p
chính quy
*( F p
')
Vì haøm F(p) laø chính quy treân nöûa maët phaúng Re p > α , neân haøm
treân
Re ' 0
p > , vaø do ε laø soá döông baát kyø neân ñeå tính tích phaân Mellin ta chæ caàn
tính tích phaân sau:
i ε + ∞
*
(3.1.2 )
(
J
p e F
) p dp
=
1 π ∫ 2 i
i ε − ∞
Haøm
trôû thaønh haøm aûnh, chính quy treân nöûa maët phaúng Re
*( F p
)
0p > , vaø tieán
ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng:
*( F p
)
veà 0 khi p → ∞ theo nghóa Re p → ∞ . Giaû söû
( 3.1.3 )
)
)
* ( F p
p
=
( ϕ
1 s
p
Trong ñoù s > 0, haøm
chính quy treân nöûa maët phaúng Re
)pϕ (
0p > vaø:
p
)
( ) = ϕ ∞
lim ( ϕ p →∞
Thay (3.1.3) vaøo tích phaân (3.1.2) ta coù :
i ε + ∞
s
−
( 3.1.4 )
p e p
J s ( )
p dp )
=
( ϕ
1 π ∫ i 2
i ε − ∞
Ñeå tính tích phaân naøy ta xaây döïng coâng thöùc caàu phöông theo daïng sau:
( 3.1.5)
J s ( )
)
≈
p k
n ϕ∑ A ( k k 1 =
′ F ( ′ = ) ) + α p t
36
Trong (3.1.5) heä soá
kA vaø caùc ñieåm
kp laø baát kyø. Ta coá gaéng choïn chuùng sao cho
. Moät ñieàu kieän caàn vaø
coâng thöùc (3.1.5) chính xaùc theo ña thöùc caáp 2n-1 cuûa bieán
1 p
ñuû ñeå thöïc hieän ñieàu naøy ñöôïc cho trong ñònh lyù sau ñaây:
3.1.1 Ñònh Lyù
khi vaø chæ khi
Coâng thöùc (3.1.5) chính xaùc vôùi moïi ña thöùc baäc 2n-1 theo bieán
x
=
1 p
hai ñieàu kieän sau ñöôïc thoûa:
1. Coâng thöùc (3.1.5) phaûi ôû daïng noäi suy, töùc laø caùc heä soá
kA coù daïng :
i ε + ∞
p
−
( 3.1.6 )
dp
(
)
=
s e p l k
A k
1 p
1 π ∫ i 2
i ε − ∞
trong ñoù
(
)
(
) /
(
)
=
−
−
l k
1 p
1 p
1 p
1 p
j
j
1 p k
n ∏ 1 j = j k ≠
n ∏ 1 j = j k ≠
2. Vôùi moïi ña thöùc
coù baäc khoâng lôùn hôn n-1, thì ñaúng thöùc sau
Q
1 p
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
ñöôïc thoûa:
i ε + ∞
s
−
( 3.1.7 )
(
)
0
(
) Q
dp
p e p
=
ω n
1 p
1 p
1 π ∫ 2 i
i ε − ∞
trong ñoù
(
)
)
=
ω n
1 p
n 1 −∏ ( p 1 k =
1 p k
Chöùng minh
37
Ñieàu kieän caàn.
Neáu coâng thöùc (3.1.5) chính xaùc vôùi moïi ña thöùc baäc 2n-1 theo bieán
thì noù
x
=
1 p
cuõng chính xaùc vôùi caùc ña thöùc baäc n-1 theo
. Vì vaäy (3.1.5) laø moät coâng thöùc noäi
1 p
suy, neân ñieàu kieän 1) ñöôïc thoûa.
laø ña
thöùc baát kyø baäc khoâng
lôùn hôn n-1. Ta coù
tích
Laáy
Q
1 p
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
laø ña thöùc baäc khoâng lôùn hôn 2n – 1. Vì vaäy ta coù :
Q
ψ
= ω n
1 p
1 p
1 p
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
s
s
−
−
(
)
(
(
)
p e p
dp
p e p
) Q
dp
ψ
=
ω n
1 p
1 p
1 p
1 2 i π
1 2 i π
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
(
(
)
) Q
=
A k
ω n
n ∑ k 1 =
1 p k
1 p k
Toång naøy baèng 0 vì
0
= ñieàu naøy chöùng minh ñaúng thöùc (3.1.7). Neân ñieàu
1 kp
⎛ ω ⎜ n ⎝
⎞ ⎟ ⎠
kieän 2) ñöôïc thoûa.
Ñieàu kieän ñuû.
Laáy
laø moät ña thöùc baát kyø baäc 2n – 1. Chia
cho
, ta ñöôïc :
1 p
1 p
⎛ ψ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ψ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ 1 ω ⎜ n p ⎝
⎞ ⎟ ⎠
(
)
(
)
(
)
)
Q
ψ
=
( + ρ
ω n
1 p
1 p
1 p
1 p
38
baäc khoâng lôùn hôn n – 1. Vì
0
trong ñoù Q vaø ρ laø caùc ña thöùc theo
=
ω n
1 p
1 kp
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
neân ta coù :
( 3.1.8 )
(
)
) (
k
1,2,3..., ) n
ψ
( = ρ
=
1 p k
1 p k
nhö laø toång cuûa hai tích phaân sau:
Ta bieåu dieãn tích phaân cuûa haøm
1 p
⎛ ψ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
s
s
−
−
(
)
(
(
)
p e p
dp
p e p
) Q
dp
ψ
=
ω n
1 p
1 p
1 p
1 2 i π
1 2 i π
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
(3.1.9)
s
−
(
)
p e p
dp
+
ρ
1 p
1 2 i π
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
Tích phaân ñaàu cuûa veá phaûi baèng 0 vì ñieàu kieän tröïc giao (3.1.7). Vì baäc cuûa
1 p
⎛ ρ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
khoâng lôùn hôn n – 1 vaø coâng thöùc (3.1.5) laø moät coâng thöùc noäi suy neân phöông trình
sau phaûi thoûa:
s
−
)
p e p
dp
)
( ρ
=
( ρ
A k
1 p
1 2 i π
n ∑ 1 k =
1 p k
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
Vì vaäy keát hôïp vôùi (3.1.8) vaø (3.1.9) ta coù :
s
−
p e p
dp
(
)
(
)
ψ
=
ψ
A k
1 p
1 i 2 π
n ∑ 1 k =
1 p k
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
39
Neân coâng thöùc (3.1.5) chính xaùc vôùi caùc ña thöùc baát kyø baäc 2n – 1 theo
.
1 p
Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.
Vì vaäy caâu hoûi veà khaû naêng xaây döïng coâng thöùc caàu phöông (3.1.5) chính xaùc theo
baäc n coù tính
caùc ña thöùc baäc 2n – 1 ñöôïc lieân keát vôùi söï toàn taïi cuûa ña thöùc
⎛ 1 ω ⎜ n p ⎝
⎞ ⎟ ⎠
chaát tröïc giao (3.1.7).
3.1.2 Ñònh Lyù
toàn taïi vaø ñieàu kieän (3.1.7) ñònh nghóa noù moät caùch duy nhaát.
Ña thöùc
⎛ 1 ω ⎜ n p ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Chöùng minh
n
n
1 −
daïng:
.
Ta tìm
( ) x
x ( )
x
=
+
... + +
ω n
ω n
a x 1
a n
1 p
⎛ = ω ⎜ n ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Ñieàu kieän tröïc giao (3.1.7) töông ñöông vôùi thoûa heä phöông trình sau:
i ε + ∞
p
s m +
,
(3.1.10)
m
0,1,...,
n
=
1 −
e
dp
x x ( )
0
=
ω n
1 π ∫ i 2
i ε − ∞
40
Vì
neân heä (3.1.10) trôû thaønh :
p u e x dp
=
)
1 ( u
1 2 i π
Γ
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
(3.1.11)
0
+
... + +
=
)
(
(
1)
)
1 n m
s
s
a 1 n m Γ + +
Γ + +
−
na ( s m Γ +
m
0,1,...,
n
=
1 −
Nhaân caùc phöông trình (3.1.11) vôùi
n m
s
(
) 1
Γ + +
− ta ñöôïc:
s s s ( 2) ( 2)( 3)... 0 + + n + − ... + + n + − n + − = a 1 a 2 sa n s 1
(3.1.12)
s s s s ( 1) ( 1)( 2)...( 1) 0 + + n + − ... + + n + − n + − + = a 1 a 2 a n s 1 n + − 1 +
n .........................................................................................
Ñònh thöùc cuûa ma traän heä soá laø :
( s 2 n 3)( s 2 n 4)...( s 1) 0 s n ( 2 ... + + + − + − n + − = + + + − a 1 a 23) a n s 1 n 2 2 + − ⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
1 2 ... [( 2)( 3) ... ] s s s
1 s 1 .... [( 1)( 2) ... ( 1)] s s s s n + − n + − n + − n + − + Δ = n + − n + − .. .............. ... ................................... ... ...............
Ta chöùng minh
khi ñoù heä (3.1.12) coù nghieäm duy nhaát
.
1 2 3 ...[( 2 3)( 2 4)...( 1)] s n s n s n s + − + − + − n + −
,..., n a
2, a a 1
0Δ ≠
41
s n
2
s n
s
2
n
+ −
1 + −
+
Xeùt heä n haøm
3 − ñoäc laäp tuyeán tính treân ñoaïn khoâng roãng
baát kyø. Ta xaây döïng moät phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp n sao cho heä caùc haøm
naøy laäp thaønh moät heä ñaày ñuû caùc nghieäm ñoäc laäp:
,
n
x , x ,..., x
s n
2
s n
s n
+ −
+ −
+ −
y y ... y
2 ' )
n 2 ( ) )
s n
s n
s n
1 + −
1 + −
+ −
x ( x ... ( x
n 1 ( ) )
= 0 = L y ( ) n
s
n
s
n
s
n
2
3
2
3
2
+
−
+
−
+
−
x .......... x ( )' .............. ... ............ x ( ..................
n 3 ( ) )
Neáu ta khai trieån ñònh thöùc treân theo haøng 1, sau ñoù chia 2 veá cuûa phöông trình cho
(n n s 3)
+ + , thì phöông trình cuoái ñöôïc vieát laïi nhö sau:
x
n
( ) n
1)
−
−
(3.1.13)
1 ( y
+
... + +
0 =
n c y n
n n c x y 0
n n c x 1
trong ñoù
laø caùc haèng soá.
n ic
Thaät vaäy, xeùt phaàn buø ñaïi soá cuûa phaàn töû y:
2
2
2
s n
s n
s n
n ( )
+ −
+ −
+ −
x x x ( )' .............. (
s n
s n
n ( )
s n
1 + −
1 + −
1 + −
( x )' ( x )'' ..... ( x )
)
s
n
s
n
s
n
2
3
2
3
2
+
−
+
−
+
−
x ( )' ............ x ( )'' ............... ... ..... x ( .................
n 3 ( ) )
3
4
2
s n
s n
+ −
+ −
theo thöù töï töø caùc coät 1,2,…,n ra ngoaøi ñònh thöùc.
Ta laáy
( x )' ( x )'' ... ( x
s −x
Sau ñoù töø ñònh thöùc môùi nhaän ñöôïc ta ñöa caùc phaàn töû
theo thöù töï töø caùc
x , x ,...,
n n s
(
+ −
. Trong ñoù D laø :
haøng 1,2,…n-1 ra ngoaøi. Khi ñoù ta nhaän ñöôïc ñònh thöùc x
3).
D
1, ,..., n 1 x − x
42
2 ( s 2) M s ... [( 2)...( s 1)] s −
n
1 ( M 1) ... [( s s 1)... ] n + − n + − n + − n + − n + − n + − = c n s s ...............................................
(M kí hieäu cho phaàn töû lieàn tröôùc cuûa phaàn töû beân traùi noù)
Hoaøn toaøn töông töï ta thieát laäp ñöôïc caùc phaàn phuï ñaïi soá cho caùc phaàn töû
( ) n
theo thöù töï baèng :
s 2 n s 3 ( 2 n 3) M ... [( s 2 n 3)...( s 2)] + − + − + − n + −
n n s
n n s
n
3) 1
(
3) 2
(
3)
+ − +
+ − +
+ − +
.
y y ', '',..., y
n c n
n c n
2
( n n n s c x 0
1 −
−
Ñieàu naøy chöùng minh ñöôïc khai trieån (3.1.13) ñuùng.
Phöông trình (3.1.13) laø phöông trình Euler vaø coù hai ñieåm kyø dò laø
x , x ,...,
s n
s n
s
n
2
2
+ −
1 + −
+
Ñònh thöùc Wronski cuûa caùc nghieäm
3 − cuûa phöông trình naøy
0x = vaø x = ∞ .
s n
s
n
2
2
+ −
+
laø:
x
( W x
,...,
3 − = )
s n
s n
s
2
3
+ −
+ −
1 −
x , x ,..., x
s n
s n
s
2
1 + −
+ −
x ( s 2) x ..... [( s 2)... sx ] n + − n + −
(3.1.14)
x ( s x 1) ... [( s s 1)...( 1) x ] n + −
s
n
s
n
s n
2
3
2
4
2
+
−
+
−
+ −
............ n + − ............... ..... + .................
x ( s 2 n 3) x ... [( s 2 n 3)...( s 1) x ] + − + − n + −
43
s n
s n
s
n
2
2
+ −
1 + −
+
Vì caùc nghieäm
3 − cuûa (3.1.13) laø ñoäc laäp tuyeán tính, neân
ñònh thöùc (3.1.14) chæ coù theå trieät tieâu taïi caùc ñieåm kyø dò cuûa phöông trình
x , x ,..., x
0x = vaø
s n
s
n
2
2
+ −
+
Maët khaùc do taïi x = 1 thì :
x = ∞ . Noù khaùc 0 taïi caùc dieåm khaùc.
3 − = Δ .
Vaäy
do ñoù heä (3.1.12) coù nghieäm duy nhaát.
W x ( ,..., x )
.
Ñieàu naøy chöùng minh söï toàn taïi vaø duy nhaát cuûa ña thöùc
⎛ 1 ω ⎜ n p ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.
cuõng
Vì trong (3.1.7) haøm troïng löôïng phuï thuoäc vaøo tham soá s neân ña thöùc
⎛ 1 ω ⎜ n p ⎝
⎞ ⎟ ⎠
. Ñeå hoaøn taát vieäc khaûo saùt khaû naêng xaây döïng
phuï thuoäc s, ta kí hieäu bôûi :
⎛ ( ) 1 s ω ⎜ n p ⎝
⎞ ⎟ ⎠
ta caàn chæ ra raèng moïi
coâng thöùc (3.1.5) chính xaùc theo ña thöùc baäc 2n -1 cuûa
0Δ ≠
vôùi s > 0 baát kyø naèm trong nöûa maët phaúng beân
nghieäm cuûa caùc ña thöùc
⎛ ( ) 1 s ω ⎜ n p ⎝
⎞ ⎟ ⎠
phaûi.
1 p
44
3.2 Caùc Ña Thöùc Tröïc Giao Lieân Heä Vôùi Coâng Thöùc Caàu Phöông
Ñeå nhaän ñöôïc moät bieåu dieãn töôøng minh cho ña thöùc
ta xeùt ña thöùc baäc n
⎛ ( ) 1 s ω ⎜ n p ⎝
⎞ ⎟ ⎠
sau:
n
n
p
n s
1
−
1 + −
n s − − +
p e p
= −
s ( ) P n
n
(3.2.1)
d ) ( 1) e p ( ) ( 1 p dp
n k − 1 −
+ + −
k ( ) n
n ∑ k 0 =
( n n k s 2) s + − = 1)...(2 k p
3.2.1 Ñònh Lyù
ñöôïc ñònh nghóa nhö treân thoaû ñieàu kieän tröïïc giao sau :
Ña thöùc
nP
⎛ ( ) 1 s ⎜ p ⎝
⎞ ⎟ ⎠
s
p
m
−
(
(3.2.2)
=
=
( ) 1 s − e p P ( n p
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
Vaø (3.2.2) töông ñöông vôùi (3.1.7).
dp m 0,1,..., n p 0 ) 1 − )
Chöùng Minh
bôûi khai trieån cuûa noù trong (3.2.1) vaø duøng
Trong tích phaân (3.2.2) ta thay
nP
⎛ ( ) 1 s ⎜ p ⎝
⎞ ⎟ ⎠
tích phaân töøng phaàn ta ñöôïc :
45
s
p
m
−
s − e p P n
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
n
p dp ( ) 1 p
n m
n
1
1 − −
n s − − +
p e p
n
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
n
1 −
i ε + ∞
d ( 1) ( ) p dp = − dp
n
n m
1 − −
n s 1 − − −
p e p
n
1 −
i ε − ∞
n
1 −
d ( 1) ( ) p = − dp
n m
2
1
− −
n s − − +
n ( 1) (
p e p
n
1 −
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
1
n s − − +
coù
Soá haïng ñaàu baèng 0 vì moãi soá haïng sau khi laáy ñaïo haøm cuûa tích
.p e p
(
)
k
−
daïng
vaø vì
bò chaën treân ñöôøng laáy tích phaân neân moãi soá haïng
p e p .
d 1) p ( ) dp − − n m − − dp
pe
naøy tieán veà 0 khi p tieán ra voâ cöïc theo ñöôøng laáy tích phaân.
Vaäy neáu tích phaân töøng phaàn n – m – 1 laàn (3.2.2) ta nhaän ñöôïc :
m
1
+
k ( ≥ ) s
n s 1 − − −
p e p
m
1
+
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
m
i ε + ∞
d ( 1)! ( ) dp ± n m − − = dp
1 n s − − −
p e p
m
i ε − ∞
ñöôïc cho bôûi
Do
d ( 1)! ( ) = ± n m − − dp
nP
(3.2.1) thoûa ñieàu kieän tröïc giao (3.1.7). Vì tính duy nhaát cuûa ña thöùc thoûa ñieàu
kieän naøy neân ta keát luaän raèng ña thöùc
seõ chæ sai khaùc vôùi
nP
⎛ ( ) 1 s ⎜ p ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ( ) 1 s ω ⎜ n p ⎝
⎞ ⎟ ⎠
s n 0, 1 > ≥ neân keát quaû nhaän ñöôïc laø 0. Vaäy ña thöùc ⎛ ( ) 1 s ⎜ p ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
46
:
moät thöøa soá haèng soá baèng vôùi heä soá ñaàu cuûa
nP
n
n
s
n
s
)
)
(
1)(
)...(2
2)
(
(
=
s + −
+
( ) s + − ω n
( ) s P n
1 p
1 p
⎛ ( ) 1 s ⎜ p ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
3.2.2 Ñònh Lyù
,
,
Coâng thöùc lieân heä giöõa ba ña thöùc
nP
nP
nP
( ) s 1 −
( ) s 1 +
(2
n
2)(
n
1)
x ( )
s + −
s + −
( ) s P n 1 +
(3.2.3)
[(2
n
s
)(2
n
1)(2
n
2)
x
(
s
2)(2
n
1)]
x ( )
=
+
s + −
s + −
−
−
s + −
s ( ) P n
n n (2
x ( )
+
+
s ( ) s P ) n 1 −
vôùi
.
x
=
1 p
1 p 1 p ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ( ) 1 s ⎜ p ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ laø: ⎠
Chöùng minh
s ( )
, ñaây laø ña thöùc baäc n + 1 theo
vaø coù theå ñöôïc bieåu dieãn
Xeùt tích
nP
1 p
1 p
1 p
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
döôùi daïng moät toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc ña thöùc :
,
, … ,
:
sP ( ) 0
sP ( ) 1
nP
( ) s 1 +
1 p
1 p
1 p
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
s ( )
(3.2.4)
(
)
(
)
( ) s P n
c P nk k
1 p
1 p
1 p
n 1 + = ∑ 0 k =
47
Laáy tích voâ höôùng hai veá vôùi
theo haøm troïng löôïng
thì caùc heä soá
pe p−s
kP
⎛ ( ) 1 s ⎜ p ⎝
⎞ ⎟ ⎠
cuûa khai trieån naøy coù theå ñöôïc xaùc ñònh bôûi :
s
−
(
(
)
p e p
dp
s ( ) P n
s ( ) ) P k
1 p
1 p
1 p
1 2 i π
(3.2.5)
=
c nk
s
−
[
(
2 )]
p e p
dp
s ( ) P k
1 p
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞ 1 2 i π
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
s ( )
laø moät ña thöùc baäc nhoû hôn n, vaø vì ñieàu kieän tröïc
Neáu
thì
k
1
n< −
kP
1 p
1 p
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
giao (3.1.7) töû soá cuûa (3.2.5) baèng 0, neân trong (3.2.4) chæ coù caùc heä soá
coù theå khaùc 0.
c n n ,
c , n n ,
n nc , ,
+ 1
1 −
s ( )
(3.2.6)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
+
+
s ( ) P n
c n n ,
c P n n n ,
c n n ,
1
1 −
+
s ( ) P 1 n −
s ( ) P n 1 +
1 p
1 p
1 p
1 p
1 p
Ta kyù hieäu
vaø (3.2.6) ñöôïc vieát laïi nhö sau :
x
=
1 p
(3.2.7)
(
)
x ( )
=
+
( ) s a x b P + n n
n
c P n n
x− ( ) 1
nP
x 1( )
( ) s +
Töø bieåu dieãn töôøng minh cuûa
ta seõ tính ñöôïc caùc heä soá
.
,
nP
a b c , n n n
⎛ ( ) 1 s ⎜ p ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Ñoàng nhaát heä soá cuûa
1nx + trong (3.2.7) ta coù :
48
(
n
s n )(
1)...(2
n
s
)
1)(
n
s
)...(2
n
2
s
+
s + +
+
=
s + −
+
+ − ),
a n ( n
Neân
(
n
s n )(
1)(2
n
s
)
+
+
=
a n
2)(2 n
s + − s )...(2 +
s n + − 2) s + −
(2
n
=
+ (
s n
n 1)...(2 s + + s ( n 1)( n + − s n 1) )(2 + − s 1) + −
Ñeå tìm
ta ñoàng nhaát heä soá cuûa
nx trong (3.2.7) :
nb
+
( s n )( n n 1)( − + 1) s + − 1)( n s )...(2 n 3) s + − = − n s + − + s + −
Suy ra :
1)...(2 a n n ( n 1)( n s )...(2 n 2) + s + − + s + − b n ( n
( n 1) = − b n
n (2 s + − s )...(2 ) + ( 2) s n )...(2 + − n s 3)(2 + − 3) s + −
n 1) ( = − + n 2)(2 s + − s n 2) + − s n n n s ( 1)( + + − n s n n s )...(2 1)( + + − n s s n n ) 1)(2 (2 + + − 1) (2 2)(2 s n s n + − + −
Cuoái cuøng
ñöôïc tính baèng caùch ñoàng nhaát heä soá töï do trong (3.2.7) :
nc
n
n
1
+
1 −
( 1) −
=
( 1) −
+
− n ( 1)
b n
c n
= − 2)( 1) n s )...(2 n 1)( + + n s n ( 1)( + + − s n s 1)(2 + + − s n 1) ( + − n s 1)(2 + − + 1) ( s n + − ( 2 s 1)( n + − n s n (2 + − s 2) − s + −
49
Suy ra:
1 = + 1 = − c n b n
(2 n 1)( s 2) s + − − = s 2) 1)( − 1) s n + − s n (2 + − 1) s + −
Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.
= (2 1) n n n (2 s + − (2 s n + − n s (2 2)( + − s n 2)( 1) + − − (2 2)( n n s + − ) s + 2)( s n + −
3.2.3 Ñònh Lyù
( )s
Ña thöùc
, laø moät nghieäm cuûa
x
( ) x ñöôïc ñònh nghóa trong (3.2.1) vôùi
nP
phöông trình vi phaân tuyeán tính heä soá bieán soá :
(3.2.8)
sx
( ) x
(
1)
( ) x
( n n
1)
+
−
−
s + −
( ) 0 x =
2 ( ) '' s x P n
( ) ' s P n
( ) s P n
= 1 p
Chöùng minh
thoûa ñieàu kieän tröïc giao :
Thaät vaäy, ta ñaõ chöùng minh ñöôïc
nP
i ε + ∞
s
p
dp
⎛ ( ) 1 s ⎜ p ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
s − e p P n
i ε − ∞
( ) Q ( ) 0 = 1 p 1 p 1 π ∫ i 2
50
trong ñoù
laø ña thöùc baát kyø coù baäc khoâng lôùn hôn n-1. Thöïc hieän pheùp ñoåi
Q
thì ñieàu kieän naøy trôû thaønh :
bieán
x
=
1 p
2
−
(3.2.9)
1/ e
x s x
x Q x dx ( ) ( )
0
=
( ) s P n
1 π ∫ i 2
C
vôùi taâm taïi ñieåm
.
trong ñoù C laø ñöôøng troøn baùn kính
x =
1 2ε
1 2 ε
Ñeå suy ra phöông trình vi phaân caàn tìm, ta xeùt tích phaân :
k
J
1 / e
x
dx
[
′ x ( )]
=
( ) x s s ′ x P n
1 π ∫ i 2
C
Tích phaân töøng phaàn ta döôïc :
1 /
k
−
k x e
[
1 1 / e
x
( )dx x
J
−
=
( ) x s s ′ x P n
x ( )] C
( ) x s s ′ x P n
k π ∫ i 2
1 i 2 π
C
Soá haïng ñaàu beân veá phaûi trieät tieâu vì neáu ta chuyeån laïi sang bieán p thì bieåu thöùc
seõ tieán veà 0 khi p tieán ra voâ cöïc theo ñöôøng thaúng laáy tích phaân
(
)
p ( ) ' s e P n
1 p
1 k s p +
Re p = ε .
Neáu k = 0 thì
. 0
J =
Neáu k > 0, laáy tích phaân töøng phaàn laàn thöù 2 ta nhaän ñöôïc :
1 p ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
51
k
−
1 1 / e
x s ( ) s x P n
2
k
k
−
1 −
[ J x = − ( )] x C k 2 i π
1 / e
x s x
( ) s P n
C
Soá haïng ñaàu tieân beân veá phaûi trieät tieâu.
k
laø moät ña thöùc baäc k neân theo ñieàu
Ta xeùt soá haïng thöù 2: Vì
k
x
1 k x −
[(
1)
]
s + −
−
kieän tröïc giao (3.2.9) thì soá haïng thöù 2 naøy baèng 0 khi
1) ( )[( x k x x ] dx + s + − − k π ∫ 2 i
chöùng minh raèng
vôùi
k 1, 2,..., n 1 = − . Vaäy ta ñaõ
k
0 k 0,1, 2,..., n 1 J = = − töùc laø:
1 / e
( ) x s s ′ x P n
C
2
1 /
k
−
=
1 / e
x s x
J x dx [ ′ x ( )] = 1 π ∫ i 2
1 / e
( ) s ′ P n
1 ( ) s x s − ′ x P n
( ) s x s ′′ x P n
C
2
−
=
se x x d )] x [ x ( ) x ( ) ( − + + 1 π ∫ i 2
1 / e
x s x
k x x dx ( )]
s ( ) '' 2 x P n
( ) s ′ P n
C
,
Phöông trình cuoái cuøng coù nghóa laø ña thöùc baäc n,
sx
x
[
( ) x
(
1)
(
)]
+
−
( ) '' s 2 x P n
( ) ' s P n
tröïc giao vôùi
k
0,1, 2,...,
n
1
=
− . Töø ñaây suy
kx theo haøm troïng löôïng 1/ e
x s 2 x − vôùi
( )s
ra raèng
chæ sai khaùc
moät thöøa soá
:
x
sx
x
[
(
)
(
1)
(
)]
+
−
( ) x
nP
( ) '' s 2 x P n
( ) ' s P n
nγ
0 sx [ x ( ) ( 1) + − = 1 π ∫ i 2
2 ( ) '' s x P n
( ) ' s P n
( ) s P n
n
x ( ) ( sx 1) x ( ) x ( ) + − = γ
52
Ñeå xaùc ñònh
ta ñoàng nhaát heä soá cuûa
nx trong ñaúng thöùc treân :
nγ
−
n n ( 1)( n 1)...(2 n 2)
+
= γ
n
Suy ra :
hay
sn
( n n
( n n
1) − +
= γ
+ − ) 1 s
γ = n
n
Vaäy ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.
1)...(2 2) ( n 1)...(2 n 2) s + − ( s sn n + − s + − s n + − s + − s + −
3.2.4 Ñònh Lyù
( )s
Ña thöùc
( ) x coù bieåu dieãn tích phaân sau :
nP
n
n s
2
n
+ −
(3.2.10)
t − e dt
=
−
s nP x ( )
∞ ∫ 0
t xt (1 ) ( 1) ( 1) − s n Γ + −
Chöùng minh
Xeùt tích phaân beân veá phaûi :
n
n s
n
t
2
+ −
−
−
∞ ∫ 0
t xt e dt (1 ) ( 1) ( 1) − s n Γ + −
53
n
2
n s
+ −
−
− n k
− t e dt
=
n k k ( )( n
n ∑ 0 = k
∞ ∫ 0
n
2
2
n s k
t
−
− n k
+ − −
−
t xt ) ( 1) − ( 1) ( 1) − s n Γ + −
=
n k k ( ) n
n ∑ 0 = k
∞ ∫ 0
n
−
− n k
x e dt t ( 1) − ( 1) ( 1) − s n Γ + −
=
+
n k k ( ) (2 Γ n
n ∑ 0 = k
( )s
(theo 3.2.1)
=
( ) x
nP
Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.
( )s
Caùc ña thöùc
( ) x coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö caùc heä soá trong khai trieån Taylor
nP
cuûa moät haøm giaûi tích, ñöôïc goïi laø haøm sinh cuûa caùc ña thöùc naøy.
n k x 1) ( 1) − s + − ( 1) ( 1) − s n Γ + −
3.2.5 Ñònh lyù
tx
1)
( 1 4 −
−
s
−
1 2 2 x e
2
( )s
Haøm sinh cuûa
( ) x laø
nP
s
2
−
tx
1)
tx
( 1 4 −
+
1 4 −
Chöùng minh
z
Xeùt haøm
. Haøm naøy giaûi tích trong maët phaúng theo z, ngoaïi tröø taïi ñieåm
e 1 n s z + −
z
vaø
. Theo coâng thöùc tích phaân Cauchy ta coù theå bieåu dieãn
döôùi
0
z = ∞
z =
e n s 1 z + −
daïng:
54
p
z
=
e n s 1 + −
e n s 1 + −
z
p
1 i 2 π
dz −
p
z
∫ l
trong ñoù l laø moät chu tuyeán ñoùng chöùa p vaø naèm trong mieàn giaûi tích cuûa haøm
z
. Vaø ñaïo haøm caáp n cuûa haøm naøy ñöôïc cho bôûi :
e 1 n s z + −
n
p
z
d
dz
(3.2.11)
=
n
n
1
e n s 1 + −
e n s 1 + −
+
! n i 2 π
dp
p
z
(
z
p
)
−
∫ l
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán :
(3.2.12)
z
t
( 1
=
1) − +
p 2
Khi ñoù ñieåm
bieán thaønh ñieåm
z
0
p=
t = . Trong maët phaúng theo t caét boû phaàn
. Trong phaàn coøn laïi xeùt nhaùnh
Re
) 0
1 t− sao cho arg(1
1t >
t− = vôùi Re
1t < .
Chu tuyeán l cuûa tích phaân seõ bieán thaønh chu tuyeán λ chöùa ñieåm t = 0.
Tích phaân (3.2.11) trôû thaønh :
n
p
d
(
)
n
e n s 1 + −
dp
p
( 1
1)
t − +
p 2
e
t
= −
1
n s
n s
n
n
dt p 4 1 − 1
1 + −
1 + −
+
+
! n 2 i π
∫ λ
(
)
( 1
1)
1)
( 1
(
)
t − +
t − −
p 2
p 2
( 1
1)
t − +
n
!
p 2
e
d
= −
2
1
s
t n
−
+
p 4 2
t
( 1
1)
1
(
)
t
t − +
−
−
∫ n s + λ
)
i 2 ( π
p 2
55
( 1
1)
t − +
n
p 2
n
!
e
(3.2.13)
=
s
2
−
dt 1n +
2
t
( 1
1)
1
t
t − +
−
∫ n s 1 + − λ
)
i 4 ( π
( 1) − p 2
Thay (3.2.13) vaøo (3.2.1) ta ñöôïc :
( 1
1)
t − +
n
p 2
e
n
!
n
p
n s
−
1 + −
(
)
( 1)
e
p
= −
s P n
s
2
1
−
dt n +
2
1 p
( 1
1)
1
t
t
t − +
−
∫ n s 1 + − λ
)
4 ( i π
( 1) − p 2
( 1
1)
t − −
n s
2
2
+ −
p 2
2
!
e
n
=
n
s
2
1
−
dt n +
2
( 1
1)
1
p
t t
i π
t − +
−
∫ λ
Hay
n
( 1
1)
t − −
S P n
s
−
p 2 2 e
(3.2.14)
s
2
2
−
∫ λ
Xeùt haøm
( 1
1)
t − −
s
−
p 2 2 e
2
F t ( )
=
s
2
−
( 1
1)
1
t
t − +
−
Haøm naøy giaûi tích taïi ñieåm t = 0 neân trong laân caän ñieåm naøy coù khai trieån Taylor :
n
F t ( )
c t n
∞ = ∑ n 0 =
trong ñoù
p ( ) 2 = dt 1n + 1 i 2 π 1 p n n ! 2 ( 1 1) 1 t t t − + −
56
n ( )
F
dt
dt
=
=
=
c n
( ) F t n 1 +
( ) F t 1 n +
(0) !
n
n
! n !2 i π
1 2 i π
t
t
∫ λ
∫ λ
n
( 1
1)
t − −
(
)
p
s P n
s
−
2
p 2 2 e
=
=
s
2
1 p n 2
1
−
dt n +
1 i 2 π
n
( 1
1)
1
t t
2
!
t − +
−
∫ λ
Vaäy :
( 1
1)
t − −
(
( ) n s p P n
s
−
p 2 2 e
2
1 p
n
) t
=
2
2
s
n
−
t
n
( 1
1)
1
2
!
t − +
−
∞ ∑ 0 n =
pt 4
Ñaët
thì coâng thöùc cuoái ñöôïc vieát laïi nhö sau :
x
⎧ t =⎪⎪ 1 ⎨ 1 ⎪ = p ⎪⎩
1)
tx
( 1 4 −
−
s
−
1 2 2 x e
2
n
s ( ) P n
(3.2.15)
=
2
s
−
n
( ) x t !
tx
tx
1)
( 1 4 −
+
1 4 −
∞ ∑ n 0 =
1)
tx
( 1 4 −
−
s
−
1 2 2 x e
2
( )s
Vaäy haøm sinh cuûa
( ) x laø
nP
s
2
−
tx
1)
tx
( 1 4 −
+
1 4 −
Ñeå hoaøn taát vieäc khaûo saùt khaû naêng xaây döïng coâng thöùc (3.1.5) chính xaùc theo ña
ta caàn chæ ra raèng moïi nghieäm cuûa caùc ña thöùc
hay
thöùc baäc 2n -1 cuûa
1 p
⎛ ( ) 1 s ω ⎜ n p ⎝
⎞ ⎟ ⎠
( )s
nghieäm cuûa
( ) x vôùi s > 0 baát kyø naèm trong nöûa maët phaúng beân phaûi.
nP
57
3.2.6 Ñònh lyù
Taát caû caùc nghieäm cuûa caùc ña thöùc
n
p
d
n
p
n s
−
1 + −
x ( )
(
)
( 1)
e
p
(
)
=
= −
s ( ) P n
s ( ) P n
n
e n s 1 + −
1 p
dp
p
naèm trong nöûa maët phaúng beân phaûi vôùi moïi
2s ≥ , töùc laø caùc phaàn thöïc cuûa caùc
nghieäm laø döông.
Chöùng minh
Vôùi s = 2.
Ta coù caùc boå ñeà sau trong ñaïi soá :
a) Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå phaàn thöïc caùc nghieäm cuûa ña thöùc vôùi heä soá thöïc :
2
n
n
n
1 −
−
x
x
=
+
+
... + +
b0
2
Q x ( ) n
b x n
b n
b n
1 −
−
cuøng daáu laø caùc nghieäm cuûa caùc ña thöùc
2
4
n
n
n
−
−
x
x
f x = ( )
−
+
... −
2
4
b x n
b n
b n
−
−
n
n
3
n
5
1 −
−
−
( )xϕ
x
x
x
=
−
+
... −
b n
b n
3
b n
5
1 −
−
−
laø caùc soá thöïc phaân bieät.
58
b) Neáu taát caû caùc nghieäm cuûa caùc ña thöùc
laø nghieäm thöïc vôùi
F x ( )
f x ( )
x ( )
= λ
+ μϕ
vaø
laø caùc soá thöïc baát kyø, thì caùc nghieäm cuûa caùc ña thöùc
laø caùc
f x vaø
( )
λ
μ
( )xϕ
nghieäm thöïc rôøi nhau.
2 ( )
nP x ñöôïc vieát laïi nhö sau :
2
n
n
n
1 −
−
(3.2.16)
x ( )
x
x
...
=
+
+
+
+
a0
2
a x 1
(2) P n
a x n
a n
a n
1 −
−
Ta phaûi chöùng minh phaàn thöïc cuûa caùc nghieäm cuûa ña thöùc (3.2.16) laø cuøng daáu.
Ñaët :
2
4
n
n
n
−
−
x
x
...
−
+
−
2
4
nQ x = ( )
a x n
a n
a n
−
−
3
5
n
n
n
1 −
−
−
x
x
x
....
=
−
+
−
3
5
R x ( ) n
a n
a n
a n
1 −
−
−
Theo boå ñeà a) ta caàn chöùng minh nghieäm cuûa caùc ña thöùc treân laø nghieäm thöïc vaø rôøi
nhau. Theo boå ñeà b) ta caàn chöùng minh caùc nghieäm cuûa ña thöùc sau laø nghieäm thöïc :
)
n
n
n
2
1 −
−
x ( )
x
x
= λ
− λ
( , λ μ P n
a x n
a + μ n
a n
−
1 − n
3
2 n
4
n
5
−
−
−
x
x
x
....
+ λ
−
a − μ n
3
a n
4
a + μ n
5
−
−
−
Vôùi
λ
vaø μ laø caùc soá thöïc baát kyø.
Töø (3.2.7) ta coù :
(3.2.17)
n
1)
x ( )
x ( )
( ) 2(2 x =
−
+
(2) P n
(2) xP 1 n −
(2) P 2 n −
ôû ñaây P0 = 1, P1(x) = 2x – 1.
Ta tìm coâng thöùc truy hoài cho caùc ña thöùc
. Vieát ña thöùc
döôùi daïng:
) ( ) x
( , nP λ μ
2 ( ) nP x
( )
( )
=
+
+
+
(2) ( ) x P n
A x ( ) n
B x C x D x ( ) n
n
n
trong ñoù :
59
n
n
4
n
8
−
−
x
x
...
=
+
+
+
A x ( ) n
a n
4
a n
8
−
−
a x n n
n
5
n
9
1 −
−
−
x
x
x
=
+
+
B x ( ) n
a n
a n
5
a n
9
−
−
(3.2.18)
1 − n
2
n
6
n
10
−
−
−
x
x
x
=
+
+
C x ( ) n
a n
2
a n
6
a n
10
−
−
−
n
3
n
7
n
−
−
x
x
x
=
+
+
D x ( ) n
a n
3
a n
7
a n
11
−
−
−
⎫ ⎪ ... + ⎪ ⎬ ... + ⎪ ⎪ 1 1 − ... ⎭
Khi ñoù
ñöôïc vieát laïi nhö sau :
) ( ) ( , nP λ μ x
) ( ) x
( )
( )]
( )
( )]
[ = λ
A x C x −
[ + μ
B x D x −
( , λ μ P n
n
n
n
n
Töø (3.2.17) ta coù :
( )
( )
A x C x ( ) +
+
B x D x ( ) +
n
n 2(2
n
x ( )
x ( )]
=
−
+
x D ( ) + n
1 −
x ( )
x ( )
+
n x A 1) [ 1 n − x C ( ) +
n x C ( ) + n +
2
2
2
2
A n
n
1 − B n
B 1 n − x D ( ) + n
−
−
−
−
Keát hôïp vôùi (3.2.18) vaø töông töï cho
vaø
ta ñöôïc :
2 ( ) x
2 1( ) x− nP
2 nP −
n
1)
x ( ) (1)
( ) 2(2 =
−
x C ( ) +
2
1 −
−
n
1)
x ( ) (2)
( ) 2(2 =
−
2
1 −
−
n
1)
xA n xB n xC
x ( )
x ( ) (3)
( ) 2(2 =
−
+
2
1 −
−
n
1)
x ( )
x ( ) (4)
( ) 2(2 =
−
+
A x n B x n C x n D x n
n xD n
n x D ( ) + n A n B n
2
1 −
−
Nhaân phöông trình (1) vaø (3) laàn löôït cho λ vaø −λ . Nhaân phöông trình (2) vaø (4) laàn
löôït cho
vaø
sau ñoù laáy (1)+(2)+(3)+(4) ta ñöôïc :
μ
−μ
( )
( )]
( )
( )]
[ λ
A x C x −
[ + μ
B x D x −
n
n
n
2(2
1)
x ( )]
C
x ( )
x ( )]
n n −
=
x C ( ) −
[ + λ
−
2
2
2(2
n
1)
x ( )]
x ( )
x ( )]
+
−
[ + μ
−
2
2
[ x A λ 1 n − [ x B μ n
1 n − x D ( ) − n
n − D n
A n − B n
1 −
1 −
−
−
Suy ra :
60
( ) ( ) ( )] [ λ A x C x − [ + μ B x D x −
n x ( )]
} x ( )]
1 −
1 −
1 −
n 1) = − [ + μ A n
n 2(2 { [ − λ
n x C ( ) − n 1 − [ B + μ n
2
2
2
2
−
−
−
−
)
)
)
Vaäy
(3.2.19)
x ( )] x D ( ) − n } x ( )] ( )] n { x [ λ x C ( ) − n A n B n x D ( ) − n
( , λ μ P n
( , λ μ xP n 1 −
( , λ μ P n 2 −
)
)
Trong ñoù
,
n 1) x ( ) x ( ) ( ) 2(2 x = − −
( , λ μ P 0
( , λ μ P 1
,
) xμ
) xμ ( )
x ( ) x ( ) 2 x = λ = λ − μ vôùi 0λ ≠
(0, P 0
(0, P 1
Tröôøng hôïp
vaø
laø taàm thöôøng neân khoâng xeùt. Vaäy ta ñaõ coù daõy caùc ña
0μ =
( ) 0 = = −μ vôùi 0λ =
thöùc sau ñaây :
)
)
)
(3.2.20)
0λ =
( , λ μ P n
( , λ μ P 0
( , λ μ x P ( ), n 1 −
)
)
μ
)
μ
(3.2.21)
x ( ),..., x vôùi ( ) 0λ ≠
(0, P n
(0, P 1
(0, μ x P ( ), n 1 −
Trong (3.2.21)
laø moät ña thöùc baäc n-1. Daõy caùc ña thöùc naøy coù caùc tính
(0, ) ( ) nP μ x
chaát sau:
1) Ña thöùc cuoái cuûa daõy laø haèng soá khaùc 0, kyù hieäu laàn löôït laø
vaø
μ trong
x ( ),..., x vôùi ( ) 0λ =
(3.2.20) vaø (3.2.21).
2) Khoâng coù giaù trò naøo cuûa x laøm cho hai ña thöùc keà nhau cuøng trieät tieâu.
)
vaø
) ( )
λ
Thaät vaäy, giaû söû x1 laø nghieäm cuûa
theo (3.2.19) ta coù x1 seõ
( , nPxλ μ
nP λ μ
( , 1 −
laø nghieäm cuûa
, tieáp tuïc quaù trình naøy ta suy ra ñöôïc x1 cuõng laø nghieäm
nP λ μ
) 2 ( ) x
( , −
)
)
cuûa
trong (3.2.20) hoaëc
trong (3.2.21). Ñieàu naøy voâ lyù vì caùc ña
x ( )
( , λ μ P 1
( , P λ μ 0
thöùc naøy laø haèng soá khaùc 0.
( ) x x ( )
61
3) Neáu moät ña thöùc coù giaù trò trieät tieâu taïi giaù trò thöïc x, thì hai ña thöùc keà vôùi
)
noù coù giaù trò khaùc daáu taïi x. Thaät vaäy, töø (3.2.19) neáu
thì :
nP
( , λ μ 1 −
)
)
( ) 0 x =
( , λ μ P n
( , λ μ P n 2 −
Vaäy daõy caùc ña thöùc naøy thieát laäp moät daõy Sturm toång quaùt. Trong ñaïi soá ta bieát
raèng neáu
laø soá laàn ñoåi daáu trong daõy ña thöùc vôùi giaù trò x cho tröôùc vaø r laø soá
x ( ) x ( ) = −
thì ta coù
. Vì daõy
caùc nghieäm thöïc cuûa ña thöùc
( )u x
) ( )
( , nPxλ μ
chöùa caùc ña thöùc vôùi moïi baäc vaø caùc heä soá ñaàu tieân cuøng daáu neân :
) ( )xμ
( , nP λ
vaø
trong (3.2.20) hoaëc
r u u ( ( ≥ −∞ − ∞) )
( , λ μ
caû caùc nghieäm cuûa ña thöùc
) ( )x
laø soá thöïc, vôùi λ vaø μ laø caùc soá thöïc baát kyø vaø
nP
)
caùc nghieäm cuûa ña thöùc
khaùc nhau moät caùch töông hoã vôùi caùc nghieäm cuûa
( ( u ( 1n ) u ∞ = 0 ) u −∞ = n ) −∞ = − trong (3.2.21). Do ñoù taát
( , P λ μ n 1 −
( , λ
μ
.
x
) (
)
nP
Töø ñaây, treân cô sôû cuûa boå ñeà a) vaø b) ta coù theå ruùt ra keát luaän raèng phaàn thöïc cuûa
caùc nghieäm cuûa ña thöùc
laø cuøng daáu. Daáu naøy chæ coù theå laø döông vì caùc heä
(2) ( ) x
nP
soá cuûa
trong
laø aâm. Vaäy ta ñaõ chöùng minh ñöôïc raèng moïi nghieäm cuûa
1nx −
(2) nP ( )x
vôùi s = 2 naèm trong nöûa maët phaûng beân phaûi.
( ) (s
( )x
nP
Baây giôø ta laáy s = 3.
Töø (3.2.1) thì
coù theå nhaän ñöôïc töø
vôùi caùc heä soá
cuûa
(3) ( ) x
(2) ( ) x
(2) ( ) x
nP
nP
ka
nP
)x
. Giaû söû s = 2 ña thöùc
coù daïng (3.2.16) thì vôùi s = 3
ñöôïc nhaân vôùi
(2) (
)x
nP
n 1
(3)
ña thöùc
coù daïng :
( )x
nP
k + + n 1 +
62
n
n
1 −
3 P x ( ) n
1 −
(3.2.22)
n
2
−
x = + a x n a n 2 n n 1 +
2
−
Ta coù boå ñeà sau:
2
3
c) Cho
( ) f z
=
+
+
+
b 0
n ( ) 1
b z 1
n ( ) 2
b z 2
n ( ) 3
b z 3
n
1 −
z
(
)
... + +
+
n n
c n
c zn n
1 −
1 −
laø moät ña thöùc baäc n, vaø taát caû caùc khoâng ñieåm cuûa noù naèm trong hình troøn K; hôn
nöõa :
2
3
g z ( )
=
+
+
+
c 0
n ( ) 1
c z 1
c z 2
c z 3
n
n
n ( ) 3 1 −
)
z
(
... + +
+
c n
n ( ) 2 n n
c z n
1 −
1 −
cuûa
γ
β . Thì moãi khoâng ñieåm
laø moät ña thöùc baäc n vôùi caùc khoâng ñieåm 1
2, β β
,..., n
h(z), laø ña thöùc ñöôïc taïo bôûi f(z) vaø g(z) :
2
3
x + ... + + + a n a x 1 n n 2 1 n n 1 a 01 1 n 2 + 1 n + n 2 1 − 1 n + + + + +
n ( ) 2
n ( ) 3
(3.2.23)
n
n ( ) 1 n n
1 −
1 −
coù daïng
vôùi v laø chæ soá (1
h z ( ) = + + + b c 0 0 b c z 1 1 b c z 3 3 b c z 2 2 1 n − z ( ... + + + b ) n b c z n n c 1 n −
vaø k laø moät dieåm trong K.
vk
Töông töï (3.2.23) ta thieát laäp ña thöùc taïo thaønh bôûi
vaø ña thöùc
(2) ( ) x
nP
n
n
n
2
1 −
−
Q x ( )
x
(
)
x
(
)
x
=
+
+
n n
n n
2
1 −
−
1 n 2 + 1 n +
1 n 2 − 1 n +
(3.2.24)
x
... + +
+
n ( ) 1
n 2 1 n − n n
1 1
n n
2 1
+ +
+ +
ta nhaän ñöôïc
.
(3) ( ) x
nP
v n ) γ = −β ≤ ≤
63
Ta ñaõ coù caùc nghieäm cuûa
naèm trong nöûa maët phaúng beân phaûi, baây giôø ta tìm
(2) ( ) x
nP
caùc nghieäm cuûa
. Ta seõ chöùng minh raèng
coù daïng :
( )Q x
( )Q x
n
1 −
(3.2.25)
(
1)
[(2
1)
( ) Q x
x
n
x
n
=
+
+
+
1] +
1
n
1 +
n
1
Thaät vaäy, caùc heä soá cuûa
. Ta tính caùc heä soá cuûa
C
kx trong (2.2.24) laø
kx
k n
k + + 1 n +
trong (3.2.25) :
[(
1)
(2
1)
]
n
n
C
+
+
+
k C n
k n
1 −
1 − 1 −
1
n
1 +
[(
1)
(2
1)
]
n
n
C
C
=
+
+
+
k n
k n
n k − n
n
k n
1 +
[(
1)(
)
1)
n
(2 k n
=
+
n k −
+
+
1)
C ( n n
n
1
2
n
nk
n
C
=
(
)
+
+
=
k n
1)
k + + n 1 +
1 k n + k C n n n ( +
Vaäy
coù daïng (3.2.25). Töø (3.2.25) suy ra raèng moïi nghieäm cuûa
laø soá aâm :
( )Q x
( )Q x
, vaø
laø nghieäm boäi n – 1. Vaäy caùc nghieäm cuûa
naèm
x
(2) ( ) x
= −
x = − 1
nP
n 1 + n 2 1 +
trong nöûa maët phaúng beân phaûi vaø caùc nghieäm cuûa
laø soá aâm theo boå ñeà c) moïi
( )Q x
nghieäm cuûa
naèm trong nöûa maët phaúng beân phaûi. Hoaøn toaøn töông töï ta
(3 ) ( )x nP
chöùng minh ñöôïc moïi nghieäm cuûa
naèm trong nöûa maët phaúng beân phaûi. Tieáp
(4) ( ) x
nP
tuïc quaù trình treân ta coù ñieàu phaûi chöùng minh.
3.3. Phöông Phaùp Tính Caùc Heä Soá Vaø Caùc Ñieåm Cuûa Coâng Thöùc Caàu Phöông
64
Trong muïc 3.1 ta ñaõ chæ ra caùc heä soá
kA cuûa coâng thöùc caàu phöông vôùi ñoä
chính xaùc cao nhaát cuûa bieán ñoåi Laplace ngöôïc coù giaù trò (3.1.6)
hoaëc vieát laïi nhö sau :
(
)
s P n
1 p
s
−
p e p
dp
=
A k
'
1 2 i π
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
(
)
(
)
−
s P n
1 p
1 p k
1 p k
ñöôïc laáy theo bieán
.
Trong ñoù ñaïo haøm cuûa ña thöùc
x
=
nP
1 p
⎛ ( ) 1 s ⎜ p ⎝
⎞ ⎟ ⎠
( )s
Coâng thöùc truy hoài (3.2.7) cho
( ) x ñöôïc vieát laïi döôùi daïng :
nP
(3.3.2)
( )
x ( )
=
+
+
xP x ( ) n
B P n n
x C P x D P ( ) n n
n n
1
1 −
+
Trong ñoù :
=
B n
n s
(2
n
1)
+
(3.3.3)
C
=
n
(2
n
s
2)
+
= −
D n
s 1 + − )(2 s n + − 2 s − )(2 s n + − n 1)(2
n
(2
n
2)
s + −
s + −
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
(chæ soá s ñöôïc boû qua ñeå dôn giaûn kyù hieäu)
Nhaân hai veá cuûa (3.3.2) vôùi
ta ñöôïc :
nP t ( )
xP x P t ( ) ( )
C P x P t ( ) ( )
=
+
n
n
B P n n
1
+
(3.3.4)
x P t ( ) ( ) n +
D P n n
n n n x P t ( ) ( ) n
1 −
Ñoåi choã caùc bieán x vaø t, sau ñoù laáy (3.3.4) tröø cho phöông trình môùi nhaän ñöôïc ta coù :
65
(
x
t P x P t ( ) ( ) )
t ( )]
−
=
−
n
n
t ( )]
−
B P [ n 1 n + D P [ + n n
P x P ( ) x P t ( ) ( ) n 1 n n + ( ) P x P x P t ( ) ( ) n n n
1 −
1 −
Laøm töông töï cho
ta ñöôïc heä phöông trình sau :
,...,
( ) x
( )
P n
( ) x P , n
2
( ) P x P x , 1
0
1 −
−
(
x
t ( )
[
t ( )
( )]
−
=
−
t P ) n
x P ( ) n
1 −
1 −
1 − [
t ( )
t ( )]
+
P n −
B n D n
P x P ( ) 1 n n − x P ( ) P n n
2
x P t ( ) n x P ( ) n
2
1 − P n
1 −
−
1 −
1 −
−
(
[
( )]
x
t ( )
t ( )
−
=
−
t P ) n
2
x P ( ) n
2
−
−
−
2
[
t ( )
t ( )]
+
P n −
B n D n
P x P ( ) n n 2 − x P P ( ) n n
3
2
2
x P t ( ) n x P ( ) n
2
2 − P n
3
−
−
−
−
−
……………………………………………………………………………
……………………………………
(
x
t P x P t ( ) ( ) )
[
( )]
−
=
−
1
1
[
( )]
B P x P t ( ) ( ) 1 +
P x P t ( ) 1 1 2 D P x P t ( ) ( ) − 0
2 P x P t ( ) 1
1
0
1
x
(
( ) ( ) ) t P x P t
( ) ( ) B P x P t
[
( )]
−
=
−
0
1
0
0
0
( ) P x P t 0
1
Nhaân hai veá cuûa caùc phöông trình treân laàn löôït cho :
2
2
n
2
1 −
−
1 −
−
1,
, ...,
,
... ...
... ...
D n B n
2
D D 1 n n − B B n n
2
3
D D D n B B B 1 n n
2
D 1 B 0
3
−
−
−
−
−
Ta ñöôïc heä phöông trình töông ñöông :
(
x
t ( )
[
t ( )
( )]
−
=
−
t P ) n
x P ( ) n
1 −
1 −
[
t ( )
t ( )]
+
B 1 n − D n
P x P ( ) 1 n n − x P P ( ) n n
2
P n 1 − P − n
x P t ( ) n x P ( ) n
2
1 −
−
1 −
1 −
−
66
1 −
)
(
x
t (
−
t P ) n
2
x P ( ) n
2
−
−
D n B n 2 −
t ( )
t ( )
[
=
−
D n
x P ( ) n
P n
x P ( ) n
2
2
−
−
1 −
2
−
[
t ( )
t ( )]
+
−
3
2
2
3
P n
x P ( ) n
P n
x P ( ) n
−
−
−
−
2
P 1 1 n − − D D 1 n n − B n
−
……………………………………………………………………………
………………………………………………
2
−
(
x
) ( ) ( ) t P x P t
−
1
1
.... ...
D D 1 n n − B B n n
2
3
D 2 B 1
−
−
2
−
[
( )]
=
−
P x P t ( ) ( ) 2
1
P x P t ( ) 1
2
... ...
D D 1 n n − B B n n
2
−
2
−
[
( )]
+
−
P x P t ( ) ( ) 0
1
P x P t ( ) 1
0
... ...
D 2 B 2 3 − D D n n 1 − B B n n
2
D 1 B 1
3
−
−
2
2
−
−
(
[
( )]
x
) ( ) ( ) t P x P t
−
=
−
0
0
( ) ( ) P x P t 1
0
( ) P x P t 0
1
... ...
... ...
D D 1 n n − B B n n
D D 1 n n − B B n n
2
3
D 2 B 0
2
3
D 2 B 1
−
−
−
−
Coäng caùc phöông trình naøy theo veá ta ñöôïc :
(3.3.5)
(
)
[
x
t
t ( )
t ( )]
−
α
=
−
p m m
x P t ( ) ( ) m
B n
P x P ( ) n n
P n
x P ( ) n
1 −
1 −
1 −
1 n − ∑ m 0 =
Trong ñoù :
m
1 −
−
,
0,1,...,
2;
m
n
=
−
α
= 1
α = m
n
1 −
D D D 2 1 n n + ... B B B n n m
2
3
−
−
67
Trong (3.3.5) ñaët
aø nghieäm cuûa ña thöùc
C
hia hai veá
x . ( )
tx =
=
k
trong ñoù kx l
nP
1 p k
ta
coù :
cuûa (3.3.5) cho
−
=
xx −
k
1 p
1 p k
(
)
x k
)
α
=
P x P x ( ( ) m k
m m
B n
1 −
( ) P x P n n x −
1 n − ∑ m 0 =
1 − x k
Nhaân hai veá cho
sau ñoù laáy tích phaân ta ñöôïc :
.pe p−s
(
)
s
p
s
−
x k
p e p
P x P x dp
( )
)
dp
α
=
( m k
m m
− e p B n
1 −
1 i 2 π
1 i 2 π
1 n − ∑ m 0 =
( ) P x P 1 n n − x− x k
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
Ta coù :
i ε + ∞
s
p
dp
)
(
)
0,
1
=
m ∀ ≥
P x ( m k
− e p P m
1 p
1 π ∫ i 2
i ε − ∞
(do ñieàu kieän tröïc giao (3.1.7))
p
s
Vaø
dp
m
)
(
)
,
0
=
=
P x ( m k
− e p P m
)
1 p
1 s (
Γ
1 i 2 π
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
Do ñoù ta coù :
(
)
P n
s
−
(
)
p e P
d
p
α
=
0
B n
p n
x k
1 −
1 −
1 ( ) s
Γ
1 2 i π
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
(
)
−
1 p
1 p 1 p k
Chia hai veá cho
ta ñöôïc :
)
' ( P x k n
(
)
P n
1 p
s
−
(
)
p e P
p d
α
=
0
B n
p n
x k
1 −
1 −
)
Γ
1 2 i π
1 ' ( ( ) s P x k n
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
(
)
)
P
−
' ( n
1 p
1 p k
1 p k
68
α
Vaäy
=
A k
)
)
0 (
B n
s P ( ) n
x P x k k
' ( n
Γ 1 −
1 −
:
Ta caàn phaûi tính
α 0 1nB −
0
=
2 − ...
α B n
D1 ... B B 1 0
2
1 −
D D 1 n n − B B n n 1 −
−
Ta coù :
1 −
= −
n 3)(2
n 4)(
2)
s + − n
1)(2 ( n − (2 s n + −
2)(2 s + −
3) s + − s n + −
D n B n
1 −
;
= −
=
B 0
n 4)(
2)
1 s
1)(2 ( n − (2 s n + −
2) s + − s n + −
Do ñoù :
n
1 −
4)...(2
0
=
( 1) − n
(2
n ( − 4)...(2
s n + − s s n ) (
n 2)(
+ 3)...(1
s + −
1)!(2 +
2)(2 s + −
s + − s n + −
) s s s s ) +
α B n
1 −
n
1 −
=
(
( 1) − s n + −
n 1)!(2 ( − n s 2)( + −
s n 2) + − s s 3)...(1 ) +
n
1 −
(
s 2) ( )
( 1) −
(3.3.7)
=
s + − Γ 1)
n n 1)!(2 − ( s n Γ + −
Thay (3.3.7) vaøo (3.3.6) ta coù :
n
1 −
(3.3.8)
=
A k
− 1)
s
2) )
( 1) n ( − ( n Γ + −
1)!(2 n s + − ' ( ) ( P x P x k n n
k
Ñeå tính caùc ñieåm
kp cuûa coâng thöùc caàu phöông, nhö ñaõ noùi ôû treân chuùng laø caùc
nghieäm cuûa caùc ña thöùc
. Ñeå tính
( ) ( ) s x
kp ta phaûi xaùc ñònh caùc heä soá cuûa
nP
vaø söû duïng phöông phaùp naøo ñoù ñeå tìm nghieäm cuûa chuùng.
( ) ( ) s x
nP
69
Ñieàu naøy gaëp hai khoù khaên : thöù nhaát vôùi moãi giaù trò cuûa tham soá s ta phaûi xaùc ñònh
caùc heä soá cuûa
thoâng qua coâng thöùc truy hoài. Thöù hai vieäc tính toaùn caùc
( ) ( ) s x
nP
nghieäm cuûa caùc ña thöùc
nhôø coâng thöùc Newton seõ laøm giaûm ñoä chính xaùc
( ) ( ) s x
nP
nhaát laø khi n coù giaù trò khaù lôùn.
Ñeå traùnh ñöôïc nhöõng ñieàu naøy ta söû duïng moät phöông phaùp khaùc ñeå tìm caùc ñieåm
ta xaây döïng
( ) ( ) s x
cuûa coâng thöùc caàu phöông. Vôùi caùc nghieäm kx cuûa caùc ña thöùc
nP
moät heä caùc phöông trình ñaïi soá chæ chöùa
kx vaø tham soá s. Xeùt phöông trình vi phaân
coù nghieäm laø caùc ña thöùc
:
( ) ( ) s x
nP
(3.3.9)
x ( )
(
sx
1)
x ( )
n n (
1)
+
−
−
s + −
( ) 0 x =
( ) '' 2 s x P n
( ) ' s P n
( ) s P n
Ta coù nhaän xeùt raèng
s ( ) ' (
) 0
2 x P k n
x ≠ . Thaät vaäy töø (3.2.1) thì soá haïng töï do trong k
khaùc 0 neân
( ) ( ) s x
0
) 0
kx ≠ . Hôn nöõa, töø (3.3.9) neáu
nP
( ) ' ( s P n
x = thì k
. Ñaïo haøm phöông trình (3.3.9) n laàn ta coù :
) 0=
( ) ''s P n
x( k
(4)
n ( )
(
(
) 0,...,
(
) 0, =
=
) 0 =
( ) ''' s P n
x k
( ) s P n
x k
( ) s P n
x k
Ñieàu naøy voâ lyù vì
(
ns ( ) ( ) P n
x ≠ . ) 0 k
roài chia hai veá cho 2
Trong (3.3.9) laáy
x
s ( ) ' (
) 0
x P k n
x ≠ ta ñöôïc : k
x= k
(
)
(3.3.10)
+
−
0 =
(
)
1 2 x k ( )
s x k
( ) ' s P n ( ) '' s P n
x k x k
Ta vieát
döôùi daïng :
( ) ( ) s x
nP
a x (
)...(
x
)
a
=
−
−
−
=
s P x ( ) n
x n
) x m
x x ( 1
x 2
n −∏ ( x m 1 =
thì :
70
( ) ' s P n
n n ∑ ∏ 1 i m = 1 = m i ≠
x ( ) a ( x ) = − x m
( ) ' s P n
n ∏ 1 m = m k ≠
( ) a ( ) = − x k x k x m
( ) '' s P n
j
n n n ∑ ∑ ∏ 1 1 j i = = 1 m = i j m i ≠ , ≠
x ( ) a ( x ) = − x m
( ) '' s P n
,
n n ∑ ∏ 1 j = 1 m = j k m j k ≠ ≠
Suy ra :
( a ( ) ) 2 = − x k x k x m
2 a ( ) − x k x m
,
j
( ) '' s P n ( ) ' s P n
n ∑ 1 j = j k ≠
n n ∑ ∏ 1 j = 1 m = j k m j k ≠ ≠ n ∏ 1 m = m k ≠
Phöông trình (3.3.10) ñöôïc vieát laïi nhö sau :
(3.3.11)
0
+
−
=
(
x
)
2 −
x k
j
s x k
1 2 x k
n ∑ 1 j = j k ≠
trong (3.3.11) ta ñöôïc :
Thay kx bôûi
( ) x k = = ( ) x 2 − ( ) x k x k ) ( a − x m x k
1 kp
71
2 p k
j P k
j
n ∑ 1 j = j k ≠
2 0 + − = sp k ( p ) p p k −
j
j P k
n ∑ 1 j = j k ≠
2 p 0 ⇔ s + − = p k ( p ) −
j
n ∑ 1 j = j k ≠
2(1 ) 0 ⇔ + s + − = p k p p k − p k
j
n ∑ 1 j = j k ≠
2
n
2
(3.3.12)
⇔
1 + −
0=
(
)
2 −
p k
P j
s + − p k
n ∑ j 1 = j k ≠
Töø (3.3.12) thay laàn löôït
ta coù heä phöông trình xaùc ñònh caùc ñieåm
1,2,...,
n
k =
kp
cho coâng thöùc caàu phöông.
2 2( 1) 0, n ⇔ − + s + − = p k p ) ( p k P − k
72
CHÖÔNG 4
CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍNH BIEÁN ÑOÅI LAPLACE NGÖÔÏC THOÂNG QUA
COÂNG THÖÙC CAÀU PHÖÔNG VÔÙI HEÄ SOÁ CAÂN BAÈNG
4.1. Xaây Döïng Coâng Thöùc Tính Toaùn
Giaû söû baøi toaùn tính bieán ñoåi Laplace ngöôïc ñöôïc quy veà baøi toaùn tính tích phaân :
c i
+ ∞
s
−
(4.1.1)
p e p
) p dp
( ϕ
1 π ∫ 2 i
c i
− ∞
Ta xaây döïng coâng thöùc caàu phöông vôùi heä soá caân baèng :
s
−
(4.1.2)
)
)
p e p
( ϕ
≈
( ϕ
p dp C n
p k
1 2 i π
n ∑ 1 k =
c i + ∞ ∫ c i − ∞
Caùc ñaïi löôïng chöa bieát trong (4.1.2) laø caùc soá
vaø
). Ta choïn
1,2...,
n
k =
nC
kp (
. Yeâu caàu naøy töông
chuùng sao cho (4.1.2) chính xaùc theo ña thöùc baäc n theo bieán
1 p
ñöông vôùi coâng thöùc (4.1.2) chính xaùc theo haøm
. Nhaân töû
)p
( ϕ
=
1 k
p
ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän maø (4.1.2) chính xaùc vôùi
( 0,1,2..., )n k =
nC
i ε + ∞
p
s
− e p dp
nC
=
n
1 π ∫ i 2
i ε − ∞
) ( pϕ 1 ≡ :
73
p
s
neân :
(4.1.3)
C
− e p dp
n
1 1 == n i 2 π
1 n s) ( Γ
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
Vôùi giaù trò
vöøa tìm ñöôïc (4.1.2) trôû thaønh :
nC
s
−
(4.1.4)
)
p e p
) p dp
( ϕ
≈
( ϕ
p k
)
1 2 i π
1 ( n s Γ
n ∑ 1 k =
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
vaø ñaët
ta coù heä phöông trình sau :
Chuyeån töø bieán p sang bieán
=
x
=
x k
1 p
1 p k
p
−
1 −
...
s e p p dp
=
+
+
=
x n
x 1
x 2
( ) n s Γ 2 i π
( ) n s Γ ( s 1) Γ +
p
2 −
−
s e p p dp
...
+
=
+
=
2 x n
2 x 1
2 x 2
(4.1.5)
( ) n s Γ 2 i π
n s ( ) Γ s 2) ( Γ +
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞ i ε + ∞ ∫ i ε − ∞ ........................................................................
p
n
−
−
...
s e p p dp
+
+
=
=
n x n
n x 1
n x 2
)
( ) n s Γ 2 i π
n s ( ) Γ n s ( Γ +
i ε + ∞ ∫ i ε − ∞
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
Töø heä naøy ta coù theå nhaän ñöôïc caùc giaù trò cuûa kx neân cuõng nhaän ñöôïc
kp . Nhöng heä
naøy laø phi tuyeán neân coù theå seõ gaëp khoù khaên trong vieäc tìm nghieäm. Chuùng toâi coá
maø nghieäm cuûa noù
gaéng tìm phöông phaùp khaùc ñeå tính kx . Ta giôùi thieäu haøm
n xω ( )
laø caùc soá kx :
x ( )
(
x
)(
x
)...(
x
)
=
−
−
−
ω n
x 1
x 2
x n
Khai trieån ña thöùc naøy theo bieán x :
74
n
n
n
2
1 −
−
x ( )
x
=
+
+
... + +
+
ω n
A x 1
A x 2
n
A x A 1 n −
Ñeå yù raèng caùc heä soá
kA laø caùc haøm ñoái xöùng cuûa caùc nghieäm.
Coäng caùc phöông trình cuûa (4.1.5) theo veá ta coù :
(4.1.6)
S
i (
n 1,2,... )
=
=
=
i
k x i
)
n s ( ) Γ ( s i Γ +
n ∑ k 1 =
Töø tính chaát cuûa caùc ña thöùc ta coù quan heä sau goïi laø quan heä Newton :
0
(4.1.7)
S
3
S 0 S + 1 A S 1 1 + A 2 + + = A = 1 2 + A S 2 1 + 2 A S 1 2 0 = 3 A 3
...............................................
n
n
n
2
1 −
−
Thay (4.1.6) vaøo (4.1.7) ta ñöôïc :
S + + ... + + nA n A S 1 A S 2 ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ 0 = ⎪⎭
0 + = A 1 1 S ( Γ + 1 n s ( ) Γ
0 + = + A 1 A 2 1) 1) 1 s ( Γ + 2 n s ( ) Γ 1 s ( Γ +
(4.1.8)
0 = + + + A 2 A 3 A 1 2) 3) 1) 2) 1 s ( Γ + 3 n s ( ) Γ 1 s ( Γ +
1 s ( Γ + ......................................................................
... + + + + A 1 A 2 s 1 n n s 1) ( 2) ) ( Γ + −
1 −
0 + = A n A n 1) 1 n Γ + − n ( ) n s Γ 1 s ( Γ + 1 s ( Γ + ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
75
Caùc giaù trò cuûa
kA coù theå tìm ñöôïc töø heä naøy. Vì ma traän heä soá coù daïng tam giaùc
k
k
!
neân coù ñònh thöùc laø :
neân
, trong ñoù :
n = −Δ
A k
k
k [ ( )] s Γ k !
n
k sΓ [ ( )]
0 0 ... 0 ( 1) Γ
0 ... 0 1) 2)
... 0 Δ =
.......
... 1) s s s s ( 2) ( 3) ( ( 4) Γ + − Γ + −
Vôùi
vaø
... s 2 n s ( ) Γ 1 s ( 1) Γ + ............ 1 k Γ + − 1 k s s 2) 1) ) ( ( 3) ( 1) ( 1 n s ( ) Γ 1 ( s Γ + 1 s ( 2) Γ + ............ 1 k 1 k Γ + − Γ + − ..... k 1 − n s ( ) Γ 1 s ( Γ + 1 s + 1 ( s Γ + 1 s ( 3) Γ + .............. 1 k Γ + − 1 Γ + k s 3 n s ( ) Γ .......... 1 k 1 k Γ + −
kA ta xaây döïng ñöôïc ña thöùc
. Sau khi tìm caùc nghieäm
n xω ( )
kx cuûa noù, ta xaùc ñònh ñöôïc taát caû caùc ñieåm
cho coâng thöùc caàu phöông (4.1.4).
2 k n ≤ ≤ = − . Tìm ñöôïc taát caû caùc A 1 n s
kp
= 1 kx
76
4.2. Moät Ví Duï Veà Lôøi Giaûi Soá
Trong phaàn naøy, chuùng toâi söû duïng MATLAB ñeå xaây döïng chöông trình tính xaáp xæ
f(t) baèng coâng thöùc caàu phöông noäi suy vôùi moác noäi suy caùch ñeàu (1.2.1). Chöông
trình cho pheùp tính caùc heä soá cuûa ña thöùc xaáp xæ haøm f(t) (haøm goác) khi bieát F(p)
(haøm aûnh) vaø soá khoaûng noäi suy. Sau ñoù veõ ñoà thò cuûa ña thöùc xaáp xæ.
Ñeå minh hoïa, trong chöông trình sau chuùng toâi laáy
maø haøm goác ñöôïc
F p (
)
=
p
1
1 +
t
cho trong baûng laø
.
f
t ( )
e−=
%tinh xap xi f(t)
clc
disp('chuong trinh tinh xap xi f(t)')
disp('nhap vao so khoang noi suy');
n = input(' so khoang noi suy n =' );
%khoi phuc da thuc tu so lk(1/p)
% vong lap tinh akj
Z=zeros(1,(n+1));
for k=0:n
%tinh k giai thua
if (k==0)
kgt=1;
else
77
kgt =1;
for l=1:k
kgt=kgt*l;
end
end
% tinh (n-k) giai thua
if ((n-k)==0)
nkgt=1;
else
nkgt =1;
for m=1:(n-k)
nkgt=nkgt*m;
end
end
A=[1:(n+1)]
A(:,(k+1))=[]
B=poly(A)
E=(((-1)^(n-k))*(k+1)^n)/((kgt)*(nkgt))
M=B*E
X=((k+1)/(k+2))*M %
p
(
p
1) /(
p
2)
( ϕ
1) + =
+
+
Z=Z+X
end
heso=[];
78
for j=0:n
% tinh j giai thua
if (j==0)
jgt=1;
else
jgt =1;
for w=1:j
jgt=jgt*w;
end
end
a=(1/jgt)*Z((j+1))
heso=[heso,a]
end
hsdt=heso(:,(n+1):-1:1)
t=[0:0.1:n+1];
y=exp(-t);
plot(t,polyval(hsdt,t),t,y,'r-')
axis equal
legend('hamxapxi','y=exp(-t)')
Ñoà thò cuûa ña thöùc xaáp xæ vaø haøm goác sau ñaây cho thaáy söï hoäi tuï cuûa phöông phaùp :
KEÁT LUAÄN
Cho ñeán nay, baøi toaùn tính bieán ñoåi Laplace ngöôïc vaãn laø moät baøi toaùn môû. Ngoaøi
caùc phöông phaùp ñaõ nhaän ñöôïc nhieàu söï quan taâm nghieân cöùu nhö söû duïng tính giaûi
tích cuûa haøm aûnh, khai trieån haøm goác döïa vaøo caùc ña thöùc tröïc giao…thì phöông
phaùp soá ñeå tính tích phaân Mellin coù nhieàu aùp duïng trong thöïc tieãn. Trong chöông 2
vaø 3 chuùng toâi thu ñöôïc caùc coâng thöùc xaáp xæ haøm goác nhö sau:
s
−
)
(
f
( ) t
pt e p
)
=
( ϕ
+
≈
( ) ( ϕ
A t k
p k
l k
p k
) r p dp n
1 p
1 2 i π
n ∑ k 0 =
n ∑ 0 k =
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
c i + ∞ ∫ c i − ∞
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
s
j 1 + −
trong ñoù :
kA t = ( )
vaø
s j ) a t n k j ∑ ( = Γ + j 0
n ϕ∑ A ( k k 1 =
n
1 −
trong ñoù :
f t ( ) ) ≈ p k
k
k
Cuoái cuøng laø moät ví duï cuï theå veà giaûi soá trong chöông 4.
= A k − 1) s ( 1) n ( − ( n Γ + − 1)!(2 n 2) ) ( P x P x ) n s + − ' ( n
TAØI LIEÄU THAM KHAÛO
Tieáng Anh 1. Krylov V.I. and Skoblya N.S. (1985), A handbook of Methods of
Approximate Fourier Transfomation and Inversion of The Laplace
Transformation, Mir publisher, Moscow.
2. Krylov V.I. (1962), Approximate Calculation of Integrals, the
Macmillan Company, New York.
3. Krylov V.I., Skoblya N.S., Handbook of Numerical Inversion of
Laplace Transforms, IPST Press, Jerusalem.
4. Smirnov V.I., and Lebedev, N.A. (1964), A Constructive Theory of
functions of a Complex Variable, Nauka, Moscow.
5. Sveshnikov A.G., Tikhonov N.A. (1978), The Theory of Functions
of a Complex Variable, Mir publisher, Moscow.
Tieáng Vieät
1.Ñaëng Ñình Aùng, Traàn Löu Cöôøng, Huyønh Baù Laân,
Nguyeãn vaên Nhaân (2001), Bieán Ñoåi Tích Phaân, NXB Giaùo Duïc.
so khoang noi suy n = 2
1.5
hamxapxi y=exp(−t)
1
0.5
y
0
−0.5
0
0.5
1
2
2.5
3
1.5 t
so khoang noi suy n = 3
2
hamxapxi y=exp(−t)
1.5
1
y
0.5
0
−0.5
−1 0
0.5
1
1.5
2.5
3
3.5
4
2 t
so khoang noi suy n= 4
2
hamxapxi y=exp(−t)
1.5
1
0.5
y
0
−0.5
−1
0.5
1
1.5
2
3
3.5
4
4.5
5
−1.5 0
2.5 t
