ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
VŨ KHẮC NGHỊ
XẤP XỈ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI
BỞI HÀM GREEN ĐA CỰC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
VŨ KHẮC NGHỊ
XẤP XỈ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI
BỞI HÀM GREEN ĐA CỰC
Ngành: Toán giải tích
Mã số: 8.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng
THÁI NGUYÊN - 2018
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả
nêu trong Luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì
công trình nào khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã
được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, ngày 11 tháng 4 năm 2018
Tác giả
i
Vũ Khắc Nghị
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin trân trọng kính gửi đến PGS.TS. Phạm Hiến Bằng,
người thầy hết lòng vì học trò, tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất.
Thầy là người động viên, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình trong quá trình giảng dạy
cũng như trong quá trình hướng dẫn để em có thể hoàn thành tốt luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy, cô của khoa Toán
trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên; các thầy, cô của khoa Toán trường Đại
học Sư phạm Hà Nội và các thầy, cô của Viện Toán học Việt Nam đã tận tình
giảng dạy để em có được những kiến thức quý báu làm hành trang trong quá
trình học tập và nghiên cứu sau này.
Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô thuộc phòng Đào tạo trường Đại học
Sư phạm Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho em về các thủ tục hành
chính trong suốt quá trình học tập tại trường.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu, đặc biệt là
các thầy, cô trong tổ Toán, trường THPT Phú Bình, tỉnh Thái Nguyên đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi để em yên tâm hoàn thành tốt luận văn này.
Lời cuối cùng, tôi cũng không quên gửi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình
tôi và lời tri ân đến tất cả bạn bè tôi, những người đã luôn ở bên tôi động viên
và giúp tôi vượt qua mọi khó khăn trong quá trình thực hiện luận văn này.
ii
Vũ Khắc Nghị
MỤC LỤC
Lời cam đoan ..................................................................................... i
Lời cảm ơn ........................................................................................ ii
Mục lục .............................................................................................. iii
Mở đầu ............................................................................................. 1
Chƣơng 1. Các kiến thức chuẩn bị ................................................ 3
1.1. Hàm đa điều hòa dưới .......................................................... 3
1.2. Hàm đa điều hòa dưới cực đại ............................................. 4
1.3. Hàm cực trị tương đối .......................................................... 5
1.4. Toán tử Monge-Ampère phức ............................................. 7
1.5. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor ................................. 9
1.6. Hàm Green đa phức ............................................................. 12
19 Chƣơng 2. Xấp xỉ hàm đa điều hòa dƣới bởi hàm Green đa cực
2.1. Xấp xỉ các condenser bởi các hàm chỉnh hình .................... 19
2.2. Xấp xỉ các condenser bởi các hàm Green ........................... 27
2.3. Xấp xỉ của các hàm đa điều hòa dưới bởi các hàm Green
đa cực ................................................................................................ 34
Kết luận ............................................................................................ 38
iii
Tài liệu tham khảo .......................................................................... 39
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết đa thế vị dùng để nghiên cứu các hàm đa điều hòa dưới đối
với giải tích phức nhiều biến có nhiều ứng dụng quan trọng hơn lý thuyết thế
vị đối với giải tích phức một biến, nhưng trong lý thuyết nhiều biến vẫn thiếu
nhiều phương pháp có thể sử dụng được trong trường hợp cổ điển. Tuy nhiên,
nhiều kết quả đẹp đẽ của lý thuyết thế vị vẫn chưa được chứng minh hoặc
không đúng trong lý thuyết đa thế vị. Chẳng hạn, định lý biểu diễn Riesz phát
biểu rằng, thứ nhất, một hàm điều hòa dưới trên một miền tốt là tổng của
một hàm điều hòa dưới với giá trị biên bằng 0 và một hàm điều hòa. Thứ hai,
một hàm điều hòa dưới với giá trị biên bằng 0 là giới hạn của một tổ hợp
tuyến tính với các hệ số dương của các hàm Green trong . Do đó, định
lý quan trọng này cho một mô tả đầy đủ về các hàm như vậy. Phát biểu thứ
nhất không xảy ra đối với các hàm đa điều hòa dưới nếu các hàm điều hòa
được thay thế bởi các hàm đa điều hòa. Đối với phát biểu thứ hai ta gặp một
số trở ngại. Đầu tiên, trong lý thuyết thế vị tổ hợp tuyến tính của các hàm
Green với hệ số dương là điều hòa ngoài các cực của nó. Trong lý thuyết đa
thế vị có sự tương tự của các hàm Green đã được giới thiệu bởi V. P.
Zahariuta trong [8] và được gọi là các hàm Green đa cực. Chúng là các hàm
cực đại, tức là, ngoài các cực, nhưng tổng của các hàm Green
đa cực , nói chung, không bằng 0 ngoài các cực. Trong [6], Poletsky
đã chứng minh rằng trong , các hàm Green đa cực là trù mật trong nón
các hàm đa điều hòa dưới với giá trị biên bằng 0. Trường hợp đặc biệt của
định lý này là xấp xỉ của hàm cực trị tương đối của một tập compact đa
chính qui . Zahariuta [8] đã chỉ ra rằng tồn tại các xấp xỉ với sự hội tụ đều
ngoài . Trong [9] Zahariuta và Skiba đã chỉ ra sự tồn tại xấp xỉ khi .
1
Vấn đề tồn tại của các xấp xỉ nhiều biến đã được đặt ra bởi Zahariuta (xem
[8]). Gần đây, Aytuna, Rashkovskii và Zahariuta đã chứng minh điều đó cho
cặp miền Reinhardt (xem [2]).
Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn: “Xấp xỉ hàm đa điều hòa
dưới bởi hàm Green đa cực” là đề tài nghiên cứu. Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã
và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán xấp xỉ của các hàm đa điều hòa dưới bởi các hàm
Green đa cực.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Trình bày một số tính chất và kết quả cơ sở trong lý thuyết đa thế vị.
+ Trình bày một số kết quả về xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bởi hàm
Green đa cực.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 39 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, được viết chủ yếu
dựa vào các tài liệu [1] và [6].
Chương 1: Trình bày một số tính chất và kết quả cơ sở trong lý thuyết
đa thế vị: hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới cực đại, hàm cực trị
tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford và Taylor, hàm
Green đa phức.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại chi tiết một số
kết quả của Poletsky về xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bởi hàm Green đa cực.
2
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
CHƢƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hòa dƣới
Định nghĩa 1.1.1. Cho là một tập con mở của và là
một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần
liên thông nào của . Hàm được gọi là đa điều hòa dưới nếu với mỗi
và , hàm là điều hòa dưới hoặc trùng trên
mỗi thành phần của tập hợp .
Kí hiệu là lớp tất cả các hàm đa điều hòa dưới trong .
Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hòa dưới:
Mệnh đề 1.1.2. Nếu và hầu khắp nơi trong , thì
.
Mệnh đề 1.1.3. Hàm đa điều hòa dưới thỏa mãn nguyên lý cực trị trong miền
và
bị chặn, tức là nếu là một tập con mở liên thông bị chặn của
, thì hoặc là hằng hoặc với mỗi ,
.
Định lý 1.1.4. Cho là một tập con mở trong . Khi đó
Họ là nón lồi, tức là nếu là các số không âm và
3
, thì .
Nếu là liên thông và là dãy giảm, thì
hoặc .
Nếu , và nếu hội tụ đều tới trên các tập
con compact của , thì .
Định lý 1.1.5. Cho là một tập con mở của .
Cho là các hàm đa điều hòa trong và . Nếu là
lồi, thì là đa điều hòa dưới trong .
Cho , , và trong . Nếu là
lồi và tăng dần, thì là đa điều hòa dưới trong .
Cho , trong , và trong . Nếu
là lồi và , thì .
1.2. Hàm đa điều hòa dƣới cực đại
Định nghĩa 1.2.1. Cho là tập mở và . Ta nói là hàm
đa điều hòa dưới cực đại trên và viết nếu với mọi tập con
mở, compact tương đối và mọi hàm nửa liên tục trên trên ,
và trên thì trên .
Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hòa dưới cực đại:
Mệnh đề 1.2.2. Cho là tập mở và . Khi đó các khẳng
định sau là tương đương:
4
Với mọi tập con mở compact tương đối và mọi hàm ,
nếu với mọi , thì trong G ;
Nếu và với mỗi tồn tại một tập compact sao
cho trong , thì trong .
Nếu , G là một tập con mở compact tương đối của , và
trên thì trong G ;
Nếu , G là một tập con mở compact tương đối của , và
với mỗi , thì trong G ;
là hàm cực đại.
1.3. Hàm cực trị tƣơng đối
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử là một tập con mở của và là tập con của
. Hàm cực trị tương đối đối với trong được định nghĩa là :
( ).
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối:
Mệnh đề 1.3.2. Nếu thì .
Định nghĩa 1.3.3. Miền bị chặn gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một
hàm đa điều hòa dưới âm, liên tục sao cho với
.
Mệnh đề 1.3.4. Nếu là miền siêu lồi và là một tập con compact tương
5
đối của , thì tại điểm bất kỳ ta có .
Mệnh đề 1.3.5. Cho
là tập mở liên thông, và
. Khi đó các
điều kiện sau tương đương :
;
Tồn tại hàm âm sao cho
Mệnh đề 1.3.6. Cho là tập con mở liên thông của . Giả sử
, trong đó với . Nếu với mỗi ,
thì .
Mệnh đề 1.3.7. Cho là tập con siêu lồi của và là một tập con
compact của . Giả thiết rằng là một dãy tăng những tập con mở của
và
sao cho . Khi đó .
Chứng minh. Lấy điểm . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử
rằng . Giả sử là một hàm vét cạn đối với sao cho
trên . Lấy sao cho . Khi đó tồn tại
sao cho tập mở là tập compact tương đối trong . Lấy
và
sao cho trên trên . Khi đó
xác định một hàm đa điều hòa dưới; hơn nữa và . Như vậy
6
. Vì là một phần tử tùy ý của họ , nên ta có
Do đó, ta có với mọi và
nhỏ tùy ý, suy ra điều phải chứng minh.
1.4. Toán tử Monge-Ampère phức
Cho là một miền trong và . Giả sử khi đó
,
trong đó , , . Toán tử:
,
với là yếu tố thể tích trong được gọi là toán tử Monge-Ampère. Toán
tử này có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên
tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact trên
.
Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu là đa điều hòa dưới bị
chặn địa phương trên thì tồn tại dãy sao cho
và hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là:
.
7
Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy như trên, ta ký hiệu:
và gọi là toán tử Monge-Ampère của .
Mệnh đề 1.4.1. Giả sử là dạng lớp trên tập mở
và là dòng với . Khi đó
.
Mệnh đề 1.4.2. Giả sử là dãy các độ đo Radon trên tập mở hội
tụ yếu tới độ đo Radon . Khi đó
Nếu là tập mở thì .
Nếu là tập compact thì .
Nếu compact tương đối trong sao cho thì
.
Mệnh đề 1.4.3. Giả sử là miền bị chặn và
sao cho trên và . Giả sử là dòng
dương, đóng trên . Khi đó
.
8
Đặc biệt, nếu thì .
1.5. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor
Định lý 1.5.1. Giả sử là miền bị chặn và
sao cho . Khi đó
. (1.1)
Chứng minh. Theo giả thiết ta có , nghĩa là với mọi
tồn tại sao cho thì . Hơn nữa khi
thay bởi , thì khi . Nếu bất
đẳng thức (1.1) đúng trên thì cho suy ra (1.1) đúng trên
. Vì vậy có thể giả sử . Vậy
.
Giả sử là các hàm liên tục. Khi đó là tập mở, liên
tục trên và trên . Với , đặt .
Từ giả thiết suy ra hay
với gần biên . Vậy gần biên
và trên . Theo công thức Stokes ta có
, hay
.
9
Vì nên . Vậy ta có
.
Giả sử tùy ý và là miền sao cho . Tồn tại
hai dãy và các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của giảm tới
và sao cho trên với mọi . Có thể coi .
Lấy và giả sử là tập mở sao cho , là các hàm
liên tục trên . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm liên tục trên sao
cho trên . Ta có
.
và vì là tập mở nên Nhưng
,
vì và hội tụ yếu tới .
Từ và suy ra
.
Áp dụng vào các hàm liên tục và ta thu được
10
.
Do đó
.
Hơn nữa
và do là tập compact và nên ta có
.
Do tùy ý nên ta được
.
Từ đó với mọi ta có
.
Nhưng
và
khi . Do đó
11
.
Hệ quả 1.5.2. Giả sử là miền bị chặn và
sao cho , trên . Khi đó
trên .
Hệ quả 1.5.3. Giả sử là miền bị chặn và sao
cho và . Khi đó trên .
1.6. Hàm Green đa phức
Định nghĩa 1.6.1. Giả sử là một miền và . Hàm Green đa
phức của với cực tại được xác định bởi
Mệnh đề 1.6.2. Nếu thì
Chứng minh. Có thể coi Từ định nghĩa, rõ ràng ta có
. Giả sử . Xét hàm
Hàm là hàm điều hòa dưới trên và với mỗi
12
ta có . Từ định nghĩa hàm Green đa phức
có thể thấy bị chặn trong lân cận của . Do đó, dùng định lí khử kì dị
suy ra điều hòa dưới trên . Ta được Vậy
Mệnh đề 1.6.3. Giả sử và là các miền trong và . Khi đó
Nếu thì
Nếu và là tập cực thì
Nếu và thì
Nếu bị chặn thì là hàm điều hòa dưới âm có cực logarit
tại .
Nếu là một ánh xạ chỉnh hình thì
Nếu là bị chặn thì là cực đại trong , nghĩa là
Chứng minh. Suy từ định nghĩa.
13
Dùng định nghĩa và định lí khử kì dị đối với hàm đa điều hòa dưới.
Từ Mệnh đề 1.6.2 và tính chất 1) ta có
và được điều phải chứng minh.
Do là bị chặn và từ tính chất 3) suy ra hàm là hàm đa điều
hòa dưới âm, có cực logarit tại . Vậy . Từ đó hàm
là hàm đa điều hòa dưới âm có cực logarit tại .
Giả sử và là hàm đa điều hòa dưới âm trên có cực logarit tại
. Khi đó và
,
khi . Vậy có cực logarit tại . Do đó Từ đó
sao cho Giả sử và
trên . Đặt
Hàm thuộc lớp xác định . Do đó trên . Vậy hàm
14
là cực đại trên .
Mệnh đề 1.6.4. Nếu là dãy tăng và thì
Chứng minh. Lấy và có thể coi . Ta chứng minh
với mọi . Nếu có mà thì kết quả
là hiển nhiên. Giả sử với mọi . Từ Mệnh đề 1.6.3
dãy giảm và với mọi
Mặt khác và do tính chất 3) của Mệnh đề 1.6.3, có cực logarit tại .
Vậy với mọi .
Mệnh đề 1.6.5. Giả sử sao cho . Khi đó
với mọi và .
Kí hiệu: và
; ta có
Bổ đề 1.6.6. Không gian là trù mật trong .
Chứng minh. Giả sử và Do liên tục đều trên
nên có sao cho với mọi thì .
15
Giả sử và có thể coi . Đặt
Khi đó là hằng số trong một lân cận của 0 và
Như vậy tập là hằng số trong một lân cận của 0 là trù
mật trong . Nhưng dùng tích chập, có thể xấp xỉ mỗi hàm thuộc bởi
những hàm thuộc . Do đó bổ đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.6.7. Giả sử là tập mở và . Khi đó tồn tại
độ đo Borel dương trên sao cho với mỗi dãy giảm
hội tụ điểm tới trên , dãy độ đo Borel dương
hội tụ yếu tới . Khi đó đặt .
Chứng minh. Nếu thì . Vậy
khi . Theo bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg và định lí Banach-
Alaoglu, tập là compact tương đối trong tôpô yếu. Bởi vậy nó
hội tụ yếu trên . Nhưng theo Bổ đề 1.6.6, trù mật trong
nên nó hội tụ yếu trong tới độ đo .
Mệnh đề 1.6.8. Giả sử và . Nếu với
thì , ở đây là độ đo Dirac tại .
Chứng minh. Hàm thuộc và theo Mệnh đề 1.6.7, tồn tại
. Mặt khác , nên
16
. Do đó
.
Nhưng trên mọi hình cầu , hàm cực đại trên
Do đó
.
Từ đó
Vậy .
Định lí 1.6.9. Giả sử là miền bị chặn và . Giả sử
sao cho và
trong , (1.2)
Khi đó
Chứng minh. Thay bằng một lân cận nhỏ hơn của , có thể giả sử
liên tục đến biên của và trên . Lấy sao cho
Khi đó với trên . Do giả thiết (1.2), với mỗi
, sao cho và trên
17
Đặt
Tập là một lân cận compact tương ứng với mỗi trong . Dễ thấy
. Vậy do nguyên lí so sánh ta có
.
Cho ta được kết quả cần chứng minh.
Hệ quả 1.6.10. Giả sử là miền bị chặn, . Khi đó
18
.
CHƢƠNG 2
XẤP XỈ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI
BỞI HÀM GREEN ĐA CỰC
2.1. Xấp xỉ các condenser bởi các hàm chỉnh hình
Định nghĩa 2.1.1. [6] Một tập mở gọi là siêu lồi mạnh nếu tồn tại
một hàm đa điều hòa dưới liên tục trên một lân cận của và
. Hàm được gọi là hàm vét cạn.
Một hàm âm trên có giá trị biên bằng 0 nếu
.
Định nghĩa 2.1.2. [6] Cho là một tập hữu hạn trong . Ta
nói rằng một hàm đa điều hòa dưới là cực đại ngoài và có các cực
logarit tại các điểm của nếu với mỗi đều có một số , gọi là
trọng của tại , và một số sao cho
gần , là bị chặn địa phương trên và trên .
Đối với các hàm như thế toán tử Monge-Ampère vẫn có thể được định
nghĩa hợp lý. Chẳng hạn, nguyên lý so sánh vẫn xảy ra (xem [4, Ch.6]). Ta có
,
và nếu các giá trị biên của là lớn hơn , thì
19
. (2.1)
Ví dụ: Lấy các hàm chỉnh hình trên sao cho có
các không điểm đơn tại các điểm của . Khi đó hàm
là cực đại ngoài và có cực logarit có trọng bằng 1 tại mỗi điểm của .
Định nghĩa 2.1.3. [6] Cho là miền siêu lồi mạnh. Nếu với mỗi cách chọn
các trọng , đều có một hàm đa điều hòa dưới liên tục và cực đại
ngoài , có cực logarit với trọng tại các điểm của và có giá trị biên
bằng 0, thì được gọi là hàm Green đa cực (hay gọi là hàm Green).
Định nghĩa 2.1.4. [6] Một condenser đa chính qui là
một hệ các tập compact đa chính qui
và các số :
liên tục với giá trị biên bằng 0, và là cực đại trên
với mọi . Hàm được gọi là hàm cực trị
tương đối của condenser trong .
Chú ý rằng, không phải mỗi cách chọn các tập và các số đều có thể
nhận được một condenser. Tuy nhiên, nếu là một hàm đa điều hòa dưới liên
tục trên và các tập là đa chính qui thì có hàm cực trị
tương đối liên tục.
Hình cầu bán kính tâm được kí hiệu là , ,
20
là độ đo Lebesgue của .
Cho là một condenser đa chính qui trong
một tập mở siêu lồi mạnh với một hàm vét cạn xác định trên một lân
cận của . Giả sử các tập compact thuộc , với mọi
Lấy và .
Giả sử là các hàm chỉnh hình trên , là một số nguyên
dương và
. (2.2)
Ta nói rằng các hàm và số nguyên xấp xỉ đối với nếu
với mọi đều tồn tại các số , sao cho:
(1)
(2)
(3) Nếu , là hợp của tất cả các thành phần liên thông của
tập hợp , thì .
Đặt . Vì trên , nên . Khi đó ta có .
Tập là nửa giải tích nên có một số hữu hạn các tập
compact có giao với các thành phần liên thông giao nhau trong và đặc biệt
là trong . Vì , nên nó có một lân cận mà không có mặt một thành
phần nào của . Điều đó có nghĩa là là một đa diện giải tích.
Bổ đề 2.1.5. [6] Giả sử là số nguyên và các hàm chỉnh hình trên
21
xấp xỉ đối với . Khi đó tồn tại sao cho đối với các hàm
chỉnh hình trên với chuẩn , các hàm ,
, xấp xỉ đối với và .
Chứng minh. Trước hết, trên với nào đó và mỗi
. Nếu thì .
Lấy đủ bé sao cho , trong đó , với mọi
. Nếu thì với nào đó. Bây giờ ta có
,
trong đó và với . Từ đó ta có
.
Cho là phần trong của hợp các thành phần liên thông của
giao với . Nếu là một trong những thành
phần liên thông của thì nó chứa một điểm của và do đó giao với thành
phần liên thông của . Vì trên , nên phải chứa .
Như vậy . Tương tự ta có . Khi đó tồn tại sao
cho . Chọn đủ bé sao cho với mọi . Khi đó
, và bổ đề được chứng minh.
Bổ đề sau đây chỉ ra sự tồn tại của các xấp xỉ chỉnh hình.
Bổ đề 2.1.6. [6] Với đủ bé và số nguyên bất kì luôn nguyên
22
dương và các hàm chỉnh hình trên xấp xỉ trên đối với .
Chứng minh. Giả sử với . Lấy số thỏa mãn
và đủ lớn sao cho trên . Khi đó
là hàm đa điều hòa dưới trên . Theo Định lý xấp xỉ Bremermann ([7]) tồn
tại một số nguyên dương và các hàm chỉnh hình trên sao cho
trên . Nhưng trên . Do đó trên . Vì
trên và trên , nên trên . Từ
trên , nên trên .
Do bất đẳng thức thứ hai, ta có
.
Từ đó, với , hợp tất cả thành phần liên thông của có giao với
cũng nằm trong . Suy ra và xấp xỉ đối với .
Định lý sau đây xấp xỉ một condenser bất kỳ bởi hàm chỉnh hình.
Định lý 2.1.7. [6] Với đủ bé và số nguyên đủ lớn tùy ý luôn tồn tại
một số nguyên và hàm chỉnh hình trên xấp xỉ một condenser
đa chính qui đối với và hệ phương trình chỉ có một
23
nghiệm đơn trong .
Chứng minh. Giả sử là số nhỏ nhất các hàm chỉnh hình trên
xấp xỉ đối với với nào đó. Lấy một xấp xỉ tùy ý như vậy. Theo Bổ
đề 2.1.5 xấp xỉ đó là ổn định đối với nào đó. Lưu ý rằng không một
hàm nào trong các hàm đã chọn đồng nhất bằng 0. Như trong chứng minh Bổ
đề 4 trong [3], ta có thể tìm các hàm chỉnh hình trên sao cho
và ánh xạ là tầm thường, nghĩa là, nó
có các nghịch ảnh không chiều của các giá trị của mỗi điểm trên . Vì
trên , nên theo Bổ đề 2.1.5 các hàm với
và xấp xỉ đối với và .
Thay các hàm bởi các hàm , nghĩa là . Ta sẽ chứng minh
rằng với số nguyên đủ lớn tồn tại một số sao cho và các hàm ,
xấp xỉ đối với . Phép chứng minh suy ra từ các bước của
Định lí 2 trong [3].
Thật vậy, lấy và sao cho trên với mọi
. Từ đó, trên khi lớn hơn nào đó. Trên ,
ta có
,
trong đó và là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn với
mọi . Lưu ý rằng . Giả sử , sao cho với
24
mọi . Khi đó trên khi .
Ta sẽ chỉ ra rằng . Vì , nên nằm trong
phần trong của . Vì , nên .
Mặt khác nên đạt cực đại trên . Biên của gồm
biên của , trong đó , và biên của , trong đó .
Do tính cực đại của trên , nên ta có trên . Do
đó . Nhưng trên nên suy ra . Từ đó ta
có thể tìm được sao cho
với mọi .
Lấy tập mở sao cho là đa diện giải tích với hệ
, trong đó , nghĩa là,
(xem [3]). Ta cũng lấy tập mở chứa . Đặt . là
một lân cận của . Lân cận này là tập compact tương đối trong . Vì
trên và , nên ta có
trên , với mọi . Theo Định lý 2
của [3], tồn tại đủ lớn sao cho với mọi và mọi ,
25
hợp của và mọi thành phần liên thông của tập
giao với là một đa diện với hệ
.
Nhắc lại rằng , và
trên . Từ đó suy ra
khi
.
Lấy và sao cho với mọi và mọi .
Cho là thành phần liên thông của có giao với .
Ta chỉ ra rằng . Nếu thì
.
Do đó thuộc một trong các thành phần của tập . Nếu thì
với số nào đó. Từ đó ta có
26
,
hoặc . Do đó . Vì , nên các
hàm , xấp xỉ đối với .
Do đó . Ta sẽ chỉ ra rằng các hàm mới có thể được điều chỉnh
sao cho hệ phương trình chỉ có các không điểm đơn.
Giả sử rằng hệ phương trình không có các không
điểm đơn. Ma trận Jacobian không đồng nhất 0, vì nếu không
thì mọi điểm của sẽ nằm ngoài đường cong phức, ở đó là hằng số.
Nhưng trên và trên .
Xấp xỉ của ta là ổn định với một nào đó. Theo Định lý Sard, tồn
tại một điểm sao cho là không suy biến tại tất cả các nghịch
ảnh của điểm đó và với mọi . Đặt . Khi đó hệ phương
trình chỉ có các không điểm đơn trong , và xấp xỉ đối
với và .
2.2. Xấp xỉ các condenser bởi các hàm Green
Bổ đề sau đây sử dụng sự tồn tại xấp xỉ chỉnh hình của các hàm cực trị
tương đối của các condenser đa chính qui để đạt được xấp xỉ một vài loại hàm
cực trị bởi các hàm Green với độ đo Monge-Ampère được điều chỉnh.
Bổ đề 2.2.1. [6] Cho là condenser đa chính qui
trong một miền siêu lồi chặt . Khi đó tồn tại dãy số dương ,
hàm Green trên , và với mỗi , các số hội tụ đến
và các tập mở sao cho
27
,
trên , trên , các cực của nằm trong hợp của
các tập , , và
.
Chứng minh. Với mỗi , ta chọn một dãy tăng các số sao cho
và . Đặt , . Lấy và
. Bây giờ ta sẽ xây dựng một condenser đa chính qui được tạo
thành bởi một họ các tập compact và các số .
Chú ý rằng với mọi . Với mỗi ta chọn một dãy
các hệ các hàm chỉnh hình và các số nguyên xấp xỉ đối với
. Giả sử rằng các hệ chỉ có các nghiệm đơn và
các số đủ nhỏ sao cho
với mọi . Đặt
.
Ta thêm chỉ số vào tất cả các tham số của xấp xỉ sao cho
, và
trên .
28
Lấy các hàm phụ
và .
Khi đó trên ta có và . Vì trên và trên
, nên trên đó ta có
.
Do đó tập chứa và compact trong . Theo
nguyên lý so sánh, ta có
.
Do tính cực đại của trên nên ta nhận được
. (2.3)
Bây giờ ta lấy tập các cực của nằm trong và lập hàm Green
trên với các cực trong với trọng là . Các hàm có các
cực với trọng tương tự trong , và trên . Vì vậy
trên .
Lấy và . Khi đó
trên và trên , vì ở đó .
Vì trên và đạt cực đại trên , nên ta có
29
trên . Theo nguyên lý so sánh, ta có
.
Theo (2.3), ta có
,
Do tính cực đại của và trên , nên ta nhận được
. (2.4)
Vì
,
nên theo (2.3) và (2.4) ta có
. (2.5)
Bây giờ với , đặt và . Với mỗi , xét
hàm Green trên có các cực với trọng tại các cực đó của nằm
trong , . Theo định nghĩa của và (2.4),
.
Mặt khác, ta có
.
30
Theo (2.3) và (2.5),
.
.
Đặt và . Do các bất đẳng thức trên, ta có
Tương tự, ta có
.
Vì trên , nên trên và trên . Bổ đề
được chứng minh.
Định lý 2.2.2. [6] Giả sử dãy các hàm Green trên thỏa mãn các điều
kiện của Bổ đề 2.2.1. Khi đó dãy hội tụ đều đến trên tập
compact trong , . Hơn nữa, nếu là một hàm liên tục
trên thì
.
Chứng minh. Đặt , trong đó là tập mở. Vì trên
31
và trên , nên là tập compact trong .
Đặt . Khi đó hàm được định nghĩa tương tự
trên , , và là hàm đa điều hòa dưới trên . Hơn nữa, theo
(2.3), ta có
.
Đặt
.
Ta có hội tụ đến 1.
Đặt . Vì trên mỗi , do tính cực đại của bên
ngoài của hợp của các , nên nó lớn hơn trên . Do đó, lấy tích phân
từng phần, ta nhận được
Do đó
Giá của nằm trong các biên của , trong đó . Giá của
32
tại . Do đó, từ các bất đẳng thức trên, ta có
.
Do (2.3) và bất đẳng thức tích phân trong Bổ đề 2.2.1, ta có
.
Từ đó
.
Vì vậy,
với mỗi .
Cố định một số và chọn sao cho trên , và
đặt . Chú ý rằng
,
trong đó hằng số chỉ phụ thuộc vào , và là dạng thể tích. Đặt
. Vì trên và trên ,
nên là tập compact trong và . Do tính dưới cộng
tính của toán tử Monge-Ampère và nguyên lý so sánh, ta có
33
hoặc
.
Do đó
.
Đặt . Lấy sao cho khi
, và lấy sao cho với mọi . Nếu
thì
Vì , nên hội tụ đều đến trên . Do đó các hàm hội tụ
đều đến trên tập compact trong , .
Phát biểu cuối cùng của bổ đề được suy trực tiếp từ bất đẳng thức tích phân
trong Bổ đề 2.2.1.
2.3. Xấp xỉ của các hàm đa điều hòa dƣới bởi các hàm Green đa cực
Định lý 2.3.1. [6] Nếu là một miền siêu lồi mạnh với một hàm vét
cạn và là một hàm đa điều hòa dưới âm trên với giá trị biên bằng 0,
thì tồn tại một dãy các hàm Green đa cực đa phức hội tụ đến trong
. Hơn nữa, nếu liên tục trên và , thì
34
.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh định lý đối với một hàm đa điều hòa
dưới liên tục trên với giá trị biên bằng 0, mà đối với nó có một tập mở
sao cho là một siêu phẳng trơn, trên , đạt cực
đại trên , thuộc lớp và là hàm đa điều hòa dưới chặt trong . Khi
đó có hữu hạn cực tiểu địa phương .
Theo Định lí Sard, với mỗi ta có thể tìm được các số
sao cho:
(1) và hàm không suy biến trên , ;
(2) Nếu là một cực tiểu địa phương của và , thì các
thành phần liên thông của tập chứa thuộc một mặt cầu và
.
Theo điều kiện thứ nhất các tập có biên trơn do đó là
các tập đa chính qui. Vì vậy condenser được tạo bởi và ,
, có hàm cực trị tương đối liên tục .
Với mỗi ta lấy một dãy các hàm Green như trong Định lý 2.2.2
và chọn một dãy con hội tụ trong đến một hàm đa điều hòa dưới
hoặc . Nhưng không thể hội tụ đến , và bởi vì hội tụ đều
đến trên tập compact trong , nên trong . Với mỗi
, trên các tập hoặc khắp nơi trừ các tập
35
. Tập hoặc là một mặt trơn hoặc chứa một cực tiểu địa
phương . Trong trường hợp thứ nhất trên . Trong trường
hợp thứ hai thuộc mặt cầu .
Đặt là cận dưới đúng của trên . Khi đó tồn tại một điểm thuộc
, ở đó . Nếu là mặt cầu có tâm tại điểm đó và có bán
kính gấp hai lần bán kính của thì
.
Như vậy
.
Vì hội tụ đều đến , nên hội tụ đến trong và các hàm
hội tụ yếu* đến .
Lấy một tập trù mật đếm được các hàm trong . Khi
đó, tồn tại một dãy hội tụ đến trong và
với mỗi . Định lí được chứng minh cho các hàm có dạng đặc biệt.
Giả sử được xác định trên một lận cận của . Lấy là một hàm
đa điều hòa dưới liên tục trên với giá trị biên bằng 0. Khi đó dãy các hàm
đa điều hòa dưới trên và trên , giảm dần
trên và hội tụ đều đến trên . Đặc biệt, hội tụ yếu* đến
. Do đó để chứng minh định lý cho các hàm liên tục ta chỉ cần chứng
36
minh cho các hàm liên tục mà có thác triển đa điều hòa dưới liên tục đến .
Nếu là một hàm như vậy thì có một dãy giảm dần các hàm đa điều
hòa dưới trên , (xem [4, Định lý 2.9.2]) và hội tụ đều đến
trên . Bổ sung thêm vào , ở đó các số hội tụ đến
0 và trên , ta có thể giả sử rằng các hàm là đa điều hòa
dưới chặt, trên , và chúng vẫn hội tụ đều đến trên .
Chọn một dãy các số hội tụ đến 0 sao cho với mọi , tập
là siêu mặt trơn compact trong . Ta định nghĩa hàm đa điều hòa
dưới : trên , trên , và đạt cực đại trên
. Do đó các hàm hội tụ đều đến . Vì định lý được chứng minh cho
các hàm như vậy, nên định lý được chứng minh cho các hàm đa điều hòa dưới
liên tục. Hàm đa điều hòa dưới trên tùy ý thuộc , và nếu có
các giá trị biên bằng 0 thì nó thuộc .
Đặt , , trên và ngoài .
Khi đó là dãy giảm các hàm trên hội tụ đến . Do đó chúng hội tụ
đến trong . Lại áp dụng Định lý 2.9.2 [4], mỗi được xấp xỉ bởi
một dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới liên tục. Vì trên ,
nên dễ thấy rằng các hàm có thể được sửa đổi để bằng 0 trên và vẫn
hội tụ đến trong . Kết quả trên kéo theo sự tồn tại của các hàm Green
37
hội tụ đến , do đó hội tụ đến trong .
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày:
Tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều
hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử
Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford và Taylor, hàm Green đa phức.
Một số kết quả về xấp xỉ các condenser bởi các hàm chỉnh hình (Định
lý 2.1.7), xấp xỉ các condenser bởi các hàm Green (Định lý 2.2.2), xấp xỉ của
38
các hàm đa điều hòa dưới bởi các hàm Green đa cực (Định lý 2.3.1).
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TIẾNG VIỆT
[1]. Nguyễn Quang Diệu và Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa thế vị ,
Nxb Đại học sư phạm.
TIẾNG ANH
[2]. Aytuna A, Rashkovskii A, and Zahariuta V.P (2002), “Width
asymptotics for a pair of Reinhardt domains”, Ann. Polon. Math., 78,
31-38.
[3]. Bishop E (1961), “Mappings of partially analytic spaces”, Amer. J.
Math., 83, 209-242.
[4]. Klimek M (1991), Pluripotential Theory, Oxford Sci. Publ. MR
93h:32021
[5]. Nivoche S (2001), “Sur une conjecture de Zahariuta et un probl_eme
de Kolmogorov”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 333, 839-843.
[6]. Poletsky E.A (2002), “Approximation of plurisubharmonic functions
by multipole Green functions”, Tran. Amer Math. Soc. Vol 355, No 4,
Pag 1579-1591.
[7]. Sibony N (1975), “Prolongemant de fonctions holomorphes bornees et
metrique de Caratheodory”, Invent. Math., 29, 205-230. MR 52:6029
[8]. Zahariuta V.P (1984), Spaces of analytic functions and maximal
plurisubharmonic functions, Doc. Sci. Thesis.
[9]. Zahariuta V.P, Skiba N.P (1976), “Estimates of n-diameters of some
classes of functions analytic on Riemann surfaces”, Mat. Zametki, 19,
39
899-911; English transl., Math. Notes 19, 525-532. MR 54:7801.
