BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------oOo --------------
CAO TRẦN TỨ HẢI
XÂY DỰNG CÁC L-HÀM p-ADIC
Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS. MỴ VINH QUANG
Thành phố Hồ Chí Minh – 2009
LỜI NÓI ĐẦU
LỜI NÓI ĐẦU
Mặc dù các số p-adic đã được xây dựng hơn một thế kỷ nhưng giải tích p-adic chỉ mới phát triển mạnh mẽ và trở thành một chuyên ngành độc lập trong khoảng 40 năm trở lại đây. Sự phát triển vượt bậc này chính là nhờ việc phát hiện những mối liên quan sâu sắc của giải tích p-adic với những vấn đề lớn của số học và hình học đại số. Chẳng hạn, A.Wiles đã dùng biểu diễn của các L-hàm p-adic của các dạng modula như là một công cụ chủ yếu để chứng minh định lý Fermat lớn nổi tiếng.
Vì vậy việc nghiên cứu các L-hàm, các L-hàm p-adic đóng một vai trò quan trọng và then chốt trong lý thuyết số và chúng tôi đã chọn đề tài “ Xây dựng các L- hàm p-adic”.
Trong luận văn này trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng các L-hàm p-adic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và tính giá trị của các L-hàm p-adic này tại s = 1 và tại các số nguyên s 2. Về bố cục, luận văn được chia làm ba chương. Chương 1. Đại số và giải tích p-adic. Trình bày các bước xây dựng trường số p , nêu một số tính chất đại số và giải tích của trường p-adic, khái niệm p-adic đại số các hàm chỉnh hình p-adic, đại số các hàm phân hình p-adic trên một tập mở nào đó để làm nền tảng cho việc xây dựng L-hàm p-adic.
Chương 2. Hệ số Bernoulli và L-hàm phức. Bao gồm hai §. §1 trình bày về hệ số Bernoulli, đa thức Bernoulli, nêu khái niệm về đặc trưng Dirichlet từ đó định nghĩa hệ số Bernoulli tổng quát, đa thức Bernoulli tổng quát liên kết với các đặc trưng Dirichlet.
B
§2 đưa ra khái niệm hàm zeta và L-hàm phức liên kết với đặc trưng Dirichlet , nêu một số tính chất cơ bản của L-hàm phức như : phương trình đặc trưng của L-
(L
1
),n
hàm phức, thặng dư của tại z = 0, công thức với
1 nz)z(F
,n n
n 1 và giá trị của L-hàm tại s = 1. Từ đó suy ra giá trị các hệ số Bernoulli tổng quát và tính chất của hàm zeta.
Chương 3. Xây dựng L-hàm p-adic. Đây là chương quan trọng nhất của luận văn, trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng các L-hàm p-adic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và giá trị của nó tại s = 1 dựa theoIwasawa, đặc biệt chúng tôi đã tính giá trị L-hàm p-adic tại các điểm nguyên dương bằng cách sử dụng - biến đổi của một hàm số. Cụ thể chương III gồm năm §. §1. Phép nội suy hàm phân hình p-adic. Tìm điều kiện cần, điều kiện đủ để một
p có thể nội suy thành hàm phân hình p-adic.
dãy số p-adic trong
là các số đại số
L(1 n, )
( )
n,B n
p . Một vấn đề đặt ra là có tồn tại hàm phân hình
§2. L-hàm p-adic. Như ta đã biết
, n 0 hay không ? Rất tiếc dãy
f(1 n)
L(1 n, )
p-adic f sao cho trên nên ta xem chúng thuộc n,B n
n,B n
không phải là dãy nội suy p-adic. Vì vậy chúng ta phải chỉnh sửa một
1
n
n
p)p(
b
B
là dãy nội suy p-adic. Do với ,
1
,n
n
n
n
b n n
chút để có được dãy nội suy p-adic. Trong § này chúng tôi chứng minh dãy
L
1(
n ,
)
p
b n n
đó tồn tại hàm phân hình p-adic thoả được gọi là L- hàm p-adic
liên kết với đăc trưng .
§3. Toán tử – biến đổi. Xây dựng – biến đổi và một số tính chất của nó. – biến đổi được xem như là một “công cụ” hữu hiệu để tính giá trị của L – hàm p-adic tại các điểm nguyên dương.
1 ),(L p
. Xây dựng chi tiết cách tính giá trị của L-hàm p- §4. Công thức tính
adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tại s = 1.
§5. Công thức tính giá trị L-ham p-adic tại các điểm nguyên dương. Xây dựng chi tiết cách tính giá trị của L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tại tại các số nguyên s 2.
Do khả năng và trình độ có hạn, trong luận văn này chắc chắn còn nhiều sai sót. Rất mong được sự cảm thông, góp ý chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
Nhân dịp này chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã tận tình truyền thụ kiến thức, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập. Đặc biệt xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Mỵ Vinh Quang đã trực tiếp ra đề tài hướng dẫn và cho những ý kiến quí báu.
Tp.HCM, ngày 01/06/2009 Người thực hiện Cao Trần Tứ Hải
CHƯƠNG 1. ĐẠI SỐ V GIẢI TÍCH p-ADIC. Trong chương ny chng tơi trình by những kiến thức cơ bản nhất về đại số v giải
§1. CÁC TRƯỜNG SỐ p-ADIC.
tích p-adic để phục vụ cho phần chính của luận văn (chương 3).
1.1.1. Trường số p-adic.
\ 0
2
k
đều có thể phân tích được dưới dạng
2
k
k
k
pord (x)
trong đó
Cho trước số nguyên tố p, mọi x x , 1 ước
p,p ,p ,...,p là các số nguyên tố phân biệt và p p p ..p 1 1 1 2 . được gọi là chỉ số p-dic của x, kí hiệu . Ta qui ,..., pord (0) . Với mọi x, y dễ dàng chứng minh được . Khi đó
p
p
p
p
p
ord (x y) min ord (x),ord (y)
ord (xy) ord (x) ord (y) p ánh xạ trên được xác định bởi ord (x) p
p
khi x
0
ord (x) p
p
x
0 khi x= 0
lập thành chuẩn phi Archimade trên , nghĩa là
và
x
0
, x
0, x
x y , x,y
. i) x
ii) xy
.
0 . x y max x , y , x,y
iii)
y
”. thì phi Archimade : “Nếu x Nguyên lý tam giác cân có vai trò hết sức quan trọng trong trường với chuẩn x y max x , y
Chú ý rằng trên trường
với chuẩn trên là không gian định chuẩn không đầy p là sự mở rộng
p của , chuẩn trên
đủ. Ta xây dựng được trường bao đủ
m
n
x
p
... a
0 a
p 1
...
0
a
i
, i - m, ma
m
a p ... a p 1
n
0
p đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng với m
chuẩn trên . Mỗi phần tử trong
p
x
được gọi là biểu diễn p-dic của x, khi đó
p
Trường . có các tính chất đặc trưng sau đây.
p
. p
i)
chứa . ii) trù mật trong đầy đủ.
p
iii)
được gọi là
p
Trường thoả ba tính chất trên được xác đinh duy nhất. Trường
p
không đóng đại số. trường p-adic. Trường
p
p
p
1
Vành : x số x
p
p
vành địa phương với ideal tố đại duy nhất . : x p
được gọi là vành các số nguyên p-adic. Đây là x , , m
p là 1 trù m p 1
* p p compact địa phương. Các tập
tập compact nên
mật trong
/ p
/ p
p
p
p . Tập
*
r
*
cùng với phép nhân lập thành một nhóm gọi
Trường được gọi là trường thặng dư của
p
p với tôpô cảm sinh từ p . F k p
p r x x
p p .
là nhóm giá trị của
,
p , với mỗi
p
n
ta gọi Gọi
p cùng với
p n 1 x n 1
0
p
1 n
là đa thức tối tiểu của . Khi đó ... a x a là bao đóng đại số của x
0a
p . Lúc này p-adic phức
p lại không đầy đủ theo chuẩn trên. Bao đủ của p . Đồng thời ta cũng có
p không compact địa phương.
chuẩn được xác định bởi là không gian định chuẩn phi Archimade chứa
p là không gian p có trị
k F p
*
*
r
x x
p
r
là bao đóng đại số của , nhóm giá trường thặng dư k
n x là dãy Cauchy khi và chỉ
p
p
p
. Dãy
. Nếu
thì tồn tại N > 0 sao cho
x
0
x
0
n 1
n
n
lim x n
khi
x
lim x n x , n N
n
.
b ( mod M )
a,bK, ta nói a quan hệ đồng dư với b theo modulo M nếu a b M a modulo M là một quan hệ tương đương.
n
Cho K là trường với chuẩn phi Archimade, M 0 là số p-dic cho trước. . Kí hiệu . Trên trường với chuẩn phi Archimade, quan hệ đồng dư theo
f(x)=a x +...+a x a
0
, với Tiêu chuẩn Eisenstein : “Cho đa thức
n ,
0,n
1 0 (mod p),
0 (mod p) với 0 i n 1
a , i i
p
na
ia
0 (mod 2p ). Khi đó f(x) bất khả quy trên
p .”
0a
thoả mãn
1.1.2. Căn của đơn vị và đại diện Teichmuller .
n
Căn bậc n của đơn vị trên trường F là nghiệm nào đó của đa thức nx
x
c x ... c x 1
n
p
0
n 1
1 . Tập các căn bậc n của đơn vị lập thành nhóm cyclic cấp n. Căn của đơn vị là một căn bậc n của đơn vị với n là một số nguyên dương nào đó. được gọi là căn nguyên thuỷ bậc n của đơn vị nếu nó là phần tử căn bậc n của đơn vị và không tồn tại số nguyên dương m < n sao cho là căn bậc m của đơn vị, nói cách khác có cấp là n trong nhóm cyclic các căn bậc n của đơn vị hay là phần tử sinh. “Cho đề Hensel Bổ : . Gọi F(x) c
n
là đa thức đạo hàm của F(x).Cho ... nc x c 1 2c 2
x p và F '(a) 0 (mod p)
p
. Khi đó tồn tại duy nhất
p
” F '(x) a sao cho F(a) 0 (mod p) b là nghiệm của đa thức F(x) và b a (mod p)
p , phương trình . Các
Áp dụng bổ đề Hensel, ta suy ra được trên trường
luôn có p nghiệm phân biệt 0
p 1
ia
1
px nghiệm này tương ứng được gọi là các đại diện Teichmuller của 0,1,...,p 1 . Nhận xét rằng các đại diện Teichmuller của 1,2, . . , p -1 là các căn bậc p -1 của đơn vị. Hơn nữa nếu p > 2 thì các đại diện Teichmuller của 2,3, . . . , p -1 không là số hữu tỉ.
0 x i (mod p) a ,a ,...,a thoả
a , tồn tại duy nhất một đại diện Teichmuller
0ia sao cho được gọi là đại diện Teichmuller của a. Khi đó
p . Kí hiệu
(a)
Với mỗi
a a (mod p)
0i và (a)
. Đặt (a)
(ab) (b) (a p)
D 1 q
U =
x
0ia có thể kiểm tra được * p
p
p
x
1
p khi p >2
,
q
2
p khi p=2
với , khi đó U là nhóm nhân các số nguyên p-dic khả nghịch
1 qa , a
. Đặt p
1
nếu p = 2, đặt V là nhóm cyclic gồm tất cả các căn bậc p -1 của đơn vị do đó
a (mod q)
(a)
và D là nhóm con của U chứa tất cả các phần tử dạng
a 1 (mod q)
a 1 q
(a)
(a)
D
a
1
1
p
và a
D . Rõ ràng cách biểu diễn này là duy nhất
(a) V
.
V nếu p > 2. Với mỗi a U , ta dễ dàng chứng minh được diễn thành tích của nên U V D
, khi đó a được biểu . Đặt
và mọi căn đơn vị trong
p
p nên p đại số trên nên đều nằm trong . Nhóm V có thể đồng nhất với nhóm nhân các căn bậc p – 1 của đơn vị trong
p
( nếu p > 2) hoặc là đồng nhất với nhóm nhân căn bậc hai của đơn vị
p
Gọi là trường gồm tất cả các số phức đại số trên . Do
(nếu p = 2). Vì vậy ta có thể xem
(a) ,
p
(a) đại số trên . được gọi là đăc trưng Teichmuller.
trong
(a)
: a
từ
Khi đó ánh xạ Trên trường
n = p –1, nghĩa là căn đơn vị trong
p , nếu p > 2 thì căn bậc n của đơn vị tồn tại khi và chỉ khi p chỉ có thể là các đại diện Teichmuller khác p đóng
không, nếu p = 2 thì căn đơn vị chỉ có thể là 1 hoặc – 1 . Trên trường
§2. CHUỖI LUỸ THỪA HÌNH THỨC p-ADIC.
đại số nên tập căn bậc n của đơn vị gồm n số khác nhau.
1.2.1. Hàm chỉnh hình p-dic.
p , xét chuỗi vô hạn
n , ta
Trên trường con K của trường p-dic đóng đại số
.
0
n
nhận thấy
là số thực được xác định
f(x)
n a x (a
)
n
n
p
n hội tụ khi và chỉ khi lim x n 0
1
n
Ta gọi bán kính hội tụ của
r , phân kỳ nếu x
r . Nếu
r
a x n
n 0
1 nn
lim sup a n
. Chuỗi hội tụ nếu x
sao cho
x
K, x
r
n a x n 0
0
0
n 0
n
hội tụ ( hoặc phân kỳ ) thì chuỗi tồn tại
. r
a x n
n 0
hội tụ ( hoặc phân kỳ ) x K, x
r , nếu
f(x)
K)
n a x (a
n
n
n 0
n 1
Xét chuỗi luỹ thừa , với x cố định thoả x
f '(x)
na x n
n 1 kính hội tụ. Từ đó suy ra hàm f(x) khả vi vô hạn lần. Vì lý do đó ta gọi hàm
, hơn nữa f’ và f có cùng bán f(x) hội tụ thì f(x) có đạo hàm
K)
f(x)
n a x (a
n
n
là hàm chỉnh hình trong quả cầu mở
x K x
r
n 0 KB (0, r) gọi là hàm phân hình trên tập mở đó.
. Thương hai hàm chỉnh hình trên một tập mở nào đó
K . Khi đó K là
p sao cho
p
1.2.2. Đại số Banach các hàm chỉnh hình KP . Gọi K là trường mở rộng hữu hạn của
n
trường compact địa phương với tôpô cảm sinh bởi chuẩn phi Archimade trên K. Gọi K[[x]] là đại số của tất cả các chuỗi hàm luỹ thừa hình thức của x. Với mỗi
A sup a
A A(x)
a x K[[x]]
n
n
n
n 0
A K[[x]] A
KP
. K[[x]]
K[x]
ta định nghĩa . Đặt
P K
, K[x] trù mật trong
Rõ ràng KP là đại số con của K[[x]] và KP .
ta có
1
A
n a x P K
n
n 0
Với và p thoả mãn
n
n
A
na
.
B(0,1)
x
1
p
0 khi n x chỉnh hình trong quả cầu mở B(0,1) chưa hẳn thuộc KP .
n
n
Do đó A chỉnh hình trong quả cầu mở . Nhưng hàm
A(x)
B(x)
a x n
b x n
; A(x),B(x) P K
n 0
n 0
, ta dễ dàng khẳng định
0, A 0
được i) A
A B
. max A , B
A 0 A B .
ii) .
iii) cA
, . )
là đại số Banach trên trường K.
kA
K(P , . ) ,
là dãy Cauchy bất kỳ trong c A , AB Vậy K(P , . ) là đại số định chuẩn trên trường K. 1.2.3. Mệnh đề. ( KP Chứng minh. Giả sử
x , a
K
A
A
khi 0
A (x) k
(k) n a n
(k) n
k
l
(k) n
(l) a n
sup a n
. Ta có
,
k,l
K
a
n
(k) n
n
n 0 (k) 0 . Suy ra a
k
lim a n
n
là dãy Cauchy trong K với n 0 nên
A A(x)
a x K[[x]]
n
kA hội tụ về A trong
n 0 K(P , . ) . Thật vậy,
kA là dãy Cauchy suy ra
đặt ta chứng minh
0 , N
, k,l N
(k) n
(l) a n
0 : sup a n
.
, k N
a
(k) n
n
sup a n
. Đặc biệt với k = N ta có Cho l ta được
a
,
a
max a
, n
n
(N) n
a , a n
(N) n
(N) n
n
mà nên
. Do đó , n
A
A
P . Hơn nữa từ
sup a n a
n
n
K
N
n
N
hay
max , A A , k N
max , A a
, k N
A
kA
(k) n
n
k
lim A k
suy ra nên trong
sup a n KP . Vậy KP là đại số Banach. 1.2.4. Hàm logarithm p-adic.
n 1
n
log(1 x)
x
( 1) n
n 1
Chuỗi hàm luỹ thừa có bán kính hội tụ là 1 trong p .
D
-1 1 khi hàm số
p
log : D xác định bởi p
n
n
log
1)
(
1)
log 1 (
( 1) n
n 1
Đặt
n
logx
x
x
được gọi là hàm logarithm p-adic. Sau đây là các tính chất cơ bản của hàm logarithm p-adic.
e
x trong đó
log e
x, e
x n!
. và
log : D
p
thành log(xy) = logx + logy , x,y D n n Bây giờ ta thác triển hàm logarithm p-adic từ
r
log :
x
x
p với
* p
* mà vẫn đảm bảo tính chỉnh hình. p
p
a
, giả sử
b
x
x
p suy
r =
, (a,b) = 1
p
a b
b
a
là nghiệm nào đó của đa thức . Ta gọi p
p . Khi đó
p
px
x = (x ) x 1 1
1
x = 1
p
1
x x
p
nằm trong quả cầu mở
1x
. Ta có ra
x=x
(x ) x 1
1
p
n
n
. Đặt với 1(x ) là đại diện Teichmuller tổng quát của 1x , B(1,1) = D . Do đó
logx
1)
log x 1
( x 1
( 1) n
n 1
,
* p . Đồng thời hàm này có các tính chất sau :
khi đó logx không phụ thuộc vào cách chọn nghiệm px và là hàm chỉnh hình trên
n
n
x 1 1.
logx
(x 1)
( 1) n
n 1
* ii) log(xy) = logx + logy , x,y p .
n
x
logx
x
i) với
e
log e
x, e
x trong đó
x n!
n n
iii) .
iv) logp = 0.
log :
* p
p
là toàn ánh. v)
CHƯƠNG 2. HỆ SỐ BERNOULLI VÀ L-HÀM PHỨC. Chương này không liên quan gì với p-adic . Chúng tôi trình bày những kiến thức về hệ số Bernoulli, đa thức Bernoulli, nêu khái niệm đặc trưng Dirichlet từ đó định nghĩa hệ số Bernoulli tổng quát, đa thức Bernoulli tổng quát liên kết với các đặc trưng Dirichlet và L-hàm phức liên kết với các đặc trưng Dirichlet. Một vài kết quả mang tính hệ thống về tính chất của L-hàm phức chỉ được nêu ra không chứng minh. Bạn đọc nào quan tâm xin xem [1].
§1. HỆ SỐ BERNOULLI. ĐA THỨC BERNOULLI.
2.1.1. Hệ số Bernoulli.
t
Hệ số Bernoulli thứ k (kí hiệu Bk) l tích của k! với hệ số thứ k trong khai triển
F(t)
t.e t
e
1
Taylor của hm tại t =0.Tức là F(t) được khai triển theo chuỗi hm luỹ
n
thừa của
F(t)
B n
t n!
. (2.1)
n 0 nB là đạo hm cấp n của F(t) tại t = 0, Bn = F(n)(0). R rng cc
nB , n 0 l số
Do đó
1 2
t
t
t
hữu tỉ B0 = 1, B1 = , B3 = , B3 = 0 , . . Ta cĩ
F( t)
t
t F(t)
1 6 te t
t
te t
e
1
e
e
1
1 Khai triển Taylor tại t = 0 hai vế ta được
n
n
.
t
n ( 1) B n
B n
t n!
t n!
n 0
.
n 0 1 2
Suy ra B0 = 1, Bn 0 với n chẵn khc khơng, B1 = , Bn = 0 với n lẻ lớn hơn 1.
(1 x)t
t.e
tx
2.1.2. Đa thức Bernoulli.
F(t,x) F(t).e
t
e
1
, khai triển Taylor hàm F(t,x) theo biến Xt hm hai biến
t tại t = 0, ta được
n
F(t,x)
B (x) n
t n!
n
n
n
n
x
B (x) n
B n
t n!
t n!
t n!
n 0
n 0
n 0
n i
. (2.2)
B (x) n
B x i
n 0 Khi đó Bn(x) được gọi là đa thức Bernoulli thứ n 0. Vì F(t,x) = F(t).etx nn n i
n n i
suy ra với n 0. (2.3)
Vì vậy Bn(x) là đa thức với hệ số hữu tỉ. Do B0 = 1 nn Bn(x) là đa thức đơn hệ bậc
1 6
1 2
n i
, . . v n, hơn thế nữa B0 (x) = 1, B1(x) = x + , B2(x) = x2 + x +
B 0 i
B (0) n
B n
n n i
/ f l nhĩm nhn gồm tất cả lớp cc số nguyn
v ới n 0.
n i 2.1.3. Đặc trưng Dirichlet. 2.1.3.1. Cho f l số nguyn dương,
*
:
*
* từ / f * được gọi là một đặc trưng
*
/ f đến nhóm nhân các số phức khác không Dirichlet theo modulo f. biến đơn vị thnh đơn vị nn (1 f ) = 1.
tố cng nhau với f theo modulo f. Mỗi đồng cấu nhóm
R rng ảnh của chỉ chứa những căn của đơn vị trong , do đó ảnh của chỉ
gồm các số phức đại số trên .
' : xác định bởi
(a f ) khi (a,f)=1
Cho là một đặc trưng Dirichlet theo modulo f. Khi đó ta có thể định nghĩa
'(a)
0 khi (a,f)>1
;
.
Khi đó ' cĩ cc tính chất ; i) '(a f), a '(a) ii) '(a) '(b), a,b '(ab) = iii) khi v chỉ khi (a,f) = 1. 0 '(a) ' : thỏa ba tính chất trên ta cũng xác định được Ngược lại với mỗi ánh xạ
a f
(a f )
'(a),
* . Do
đặc trưng Dirichlet theo modulo f :
:
/ f đó ta có thể xem đặc trưng Dirichlet theo modulo f l nh xạ ba tính chất như trn.
thỏa mn
Cho ’ là một đặc trưng Dirichlet theo modulo n, với n là ước số của f. Khi đó
được xác định ánh xạ :
(a)
'(a) khi (a,f)=1 0 khi (a,f)>1
là đặc trưng Dirichlet theo modulo f. Ta nói đặc trưng được cảm sinh từ đặc trưng ’. Ta gọi đặc trưng Dirichlet theo modulo f là nguyên thủy nếu không tồn tại đặc trưng ’ theo modulo n với n < f sao cho được cảm sinh từ ’. Khi đó f được gọi là conductor của .
p
là đại diện Teichmuller của a. , (a) Cho p l số nguyn tố, a
:
là đặc trưng Dirichlet nguyn thủy Dễ dàng chứng minh được ánh xạ
q
4 khi p = 2 p khi p > 2
với conductor và được gọi là đặc trưng Teichmuller.
Cho 1, 2 là hai đặc trưng nguyn thủy với conductor tương ứng là f1, f2 . Khi đó tồn tại duy nhất một đặc trưng nguyn thủy với conductor f chia hết f1f2 sao cho (a) = 1(a)2(a) , a thoả (a, f1f2)=1. được gọi là đặc trưng tích của 1 và 2, kí hiệu = 1.2. Tập tất cả các đặc trưng Dirichlet nguyên thủy cùng với phép toán nhân ở trên lập thành nhóm Abel với
+ Đặc trưng đơn vị 0 thoả 0(0) = 1, a \{0} được gọi là đặc trưng tầm
thường. 0 có conductor
:
(a)
(a)
. 0f 1 + Đặc trưng nghịch đảo của đặc trưng là đặc trưng liên hợp a .
,
(a)
(N). (aN)
(N)
(N)
. Thật vậy , ta cĩ Nhận xét rằng nếu (N,f) = 1 thì
(N) 0 (vì
(N). (N)
(N). (N) 1 v do đĩ
(a)
(N). (N). (a)
(N). (aN).
Cho đặc trưng nguyên thủy bất kỳ với conductor f = f > 1,
(N,f) = 1) v nn
S
(a)
f , do là đặc trưng không tầm thường nên tồn tại a0 sao cho a 1
xét tổng
/ f
a=1,2,...,f
a=1,2,...,f
a+f
0 a a f
(a ) (a)
(a a) S
nn
(a ).S 0
0
0
(a0) 1, khi đó f a 1
f a 1
kéo theo ((a0) – 1 )S = 0 do đó
S
(a) 0
(2.4)
f a 1 Từ (-1)(-1) = (1) =
1 suy 1, đặt ra (-1) =
0 khi (-1)=1 1 khi (-1)=-1 ( 1)
. ta được ( 1)
2.1.3.2. Bổ đề. Cho là đặc trưng Dirichlet với conductor f > 1, p > 1 là một ước số của f.
1 x.
1
f p
sao cho . Khi đó tồn tại x
Chứng minh. Nếu p = f bổ đề hiển nhiên đúng nên ta chỉ xét p < f. Giả sử phản
1 x.
1
f p
f p
, . Chú ý rằng nếu (a,f) = 1 thì (a, ) =1, chiều chứng x
' :
) 1
0 khi (a,
f p
ngược lại không đúng. Xét ánh xạ xác định bởi
'(a)
(a) khi (a,f) = 1
) 1
f p
1 khi (a,f) > (a,
.
' :
'
f p
là đặc trưng theo modulo , tức là chứng minh Ta chứng minh
. Xét ba trường hợp sau. thoả ba tính chất sau.Chứng minh i), với mỗi x
(a,
)> 1
'(a) 0
'(a
)
f p
f p
. (cid:31) Nếu thì
(a,f) > (a,
) 1
'(a) 1
'(a
)
f p
f p
. (cid:31) Nếu thì
(cid:31) Nếu (a,f) = 1 thì tồn tại
'(a)
(a)
(a) (1 x.
)
(a
(a ax.
fy.
)
)
f p
f p
x,y f p
sao cho ax + fy = 1. Ta có f p
(a
)
'(a
)
f p
f p
.
'(a
)
f p
Tóm lại '(a) , x hay ' thỏa i). ' thỏa ii), iii) là hiển nhiên. Vì
f p
< f. Điều này mâu thuẫn với vậy được cảm sinh từ đặc trưng ' theo modulo
at
tính nguyên thủy của . 2.1.4. Hệ số Bernoulli tổng quát. Đa thức Bernoulli tổng quát. 2.1.4.1. Cho đặc trưng với conductor f = f. Khai triển Taylor của hàm số
F (t)
(a).t.e ft
1
e
f a 1
tại t = 0, ta được
n
B
F (t)
n,
t n!
n 0
n,B được gọi là hệ số Bernoulli tổng quát thứ n 0. Khai triển Taylor của (a x)t
xt
. (2.5)
F (t)e
(a).t.e ft
1
f a 1
n
tại t = 0, ta được hàm số F (t,x)
F (t,x)
B (x)
n,
t n!
e n 0
(2.6)
n,B (x)
xt
được gọi là đa thức Bernoulli tổng quát thứ n 0. Ta có
F (t)e
n
n
n
n
B
x
B (x)
n,
n,
t n!
t n!
t n!
n 0
n 0
n 0
n i
F (t,x)
B (x)
n,
B x i,
n i
n i 0
(2.7) với n 0
( )
( (1), (2),..., (f)) ). Rõ ràng
( ) là trường mở rộng của bởi các số đại số (a) , a = 1,2, . . ,f (nghĩa là số đại số trên nên n,B
là Gọi ( ) =
( ) x
0
.
B n
n,B
0
và
(x) B (x)
n
với n 0. Bây giờ ta xét 0 khi đó
n,B (x) 2.1.4.2. Nếu = 0 (f = 1) thì F(t) = F(t) và F(t,x) = F(t,x) nên n,B
n i
B
B (0)
n,
B 0 i,
n,
n i
n i 0
, n 0
B
0,
1 f
f (a) 0 a 1
và
(f a x)t
(a x)t
( 1) (f a)te
( 1)F (t,x)
F ( t, x)
là đa thức có bậc bé hơn n . Suy ra n,B (x)
ft
e
1
e
1
f a 1
f a 1
n
n
n
( 1)
B (x)
( 1) B ( x) n,
n,
t n!
t n!
n 0
n
là hệ số của nx trong đa thức n,B (x) ( lưu ý Bn(x) là đa thức có bậc bằng n). Xét (a)( t)e ft
n 0 ( 1) B ( x) n,
( 1)B (x) n,
với n 0
n ( 1) B
( 1)B
n,
n,
với n 0 (cho x = 0)
n ( 1) B
( 1) B n,
với n 0
0
0
n, nếu n (mod 2) đồng thời ta cũng có
n,B
n,B
nếu n (mod 2) (Ta sẽ chứng minh điều này dựa vào phương trình đặc trưng của L-hàm ở phần sau).
(a x)t
Suy ra
F (t,x)
(a)te ft
e
1
f a 1
(1
)ft
a f x f
2.1.4.3. Xét
(a)(ft)e ft
1 f
a f x f
1 f
(a)F ft,
e
f a 1
f a 1
n
n
(a)
B (x)
n,
B n
1 f
t n!
a f x (ft) n!
f
1 khai triển Taylor tại t =0, ta được n 0
n
n
B (x)
n,
n (a)f B n
t n!
f
n!
a f x t
n 0 n 0
,
B (x)
n,
n (a)f B n
1 f
a f x f
với n 0 (2.8)
B
n,
n (a)f B n
1 f
a f f
f a 1
f a 1 f 1 f n 0 a 1 f a 1 Thay x = 0 vào ta được
n
, n 0 (2.9)
S
(k)
(a)a
n,
k a 1
k
S
(k) S (k)
a
n,
n
n ), ta có
a 1
(a x)t
(a x f)t
F (t,x) F (t,x f)
(a)te ft
(a)te ft
e
1
e
1
ft
(a x f )t
(a)te
e ft
1 ft
e
1 e
1
f a 1
(a x f)t
2.1.4.4. Với mỗi k 1, đặt , n 0 ( chú ý rằng nếu = 0 thì
(a)te
f a 1 f a 1 f a 1
. F (t,x) F (t,x f)
n
B (x) B (x f)
(a)t
n,
n,
t n!
n n (a x f) t n!
f a 1
n 0
n 0
Khai triển Taylor tại t = 0 hai vế ta được
n
n 1
t
n
B (x) B (x f)
(n 1) (a)(a x f)
n,
n,
t n!
(n 1)!
n 0
f n 0 a 1
n
n
n 1
(a)(a x f)
B (x) B (x f)
n,
n,
t n!
t n!
n 1
f n n 1 a 1
B (x) B (x f) n
(a)(a x f) n 1
n,
n,
f a 1
, n 1
n
Cho n tăng lên 1 đơn vị suy ra
B
(x) B
(x f)
(n 1)
(a)(a x f)
n 1,
n 1,
f a 1
n
, n 0
B
(f) B
(0)
(n 1)
(a)a
n 1,
n 1,
n
Với n = f ,
B
(2f) B
(f)
(n 1)
(a)(a f)
n 1,
n 1,
f a 1 f a 1
Với n = 2f,
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
(kf) B
((k 1)f)
(n 1)
(a) a (k 1)f
n 1,
n 1,
f a 1
(kf) B
(0)
Với n = kf ,
n 1,
n
n
n
Cộng vế theo vế ta được n 1, B
(n 1)
(a)a
(n 1)
(a)(a f)
(n 1)
(a) a (k 1)f
f a 1
f a 1
f a 1
n
n
n
(n 1)
(a)a
(a f)(a f)
....
a (k 1)f a (k 1)f
f a 1
f a 1
f a 1
n
+….+
(n 1)
(a)a
(n 1)S
(kf)
n,
kf a 1
.
S
(kf)
B
(kf) B
(0)
n 1,
n 1,
1 n 1
Suy ra n, Đặc biệt với = 0 ta có
với n,k 0. (2.10)
B (k) B (0)
S (k) n
n 1
n 1
1 n 1
§2. L-HÀM DIRICHLET PHỨC.
với n,k 0. (2.11)
F (z)z n 1
Trong § này chúng tôi trình bày L–hàm Dirichlet phức, hàm zeta và một số tính chất của chúng. Một vài chứng minh liên quan đến giải tích phức như phương trình đặc trưng của L-hàm phức, thặng dư của hàm phưc , . . .không
được chứng minh ở đây. Bạn đọc nào quan tâm xin xem [1]. 2.2.1. Khái niệm hàm zeta và L–hàm.
(s)
(s)
hội tụ đồng thời
1 s
Với mỗi số phức s có Re(s) >1, chuỗi số
n n 1 chỉnh hình trên nữa mặt phẳng phức Re(s) >1. Hàm (s) hàm phân hình trên mặt phẳng phức
1
(s)
q P
1 s
1
).
(s 1) (s) 1
q với P là tập tất cả các số nguyên tố. Hàm (s) được gọi là hàm zeta phức. Hàm này có một cực điểm đơn duy nhất s =1 với thặng dư bằng 1 (nghĩa là lim s 1
s
có thể thác triển thành
L(s, )
(n)n
n 1
0
)
(s)
s
hội tụ Tổng quát hơn, cho là đặc trưng Dirichlet, chuỗi
L(s, )
(q)q
1
0
với Re(s) > 1. Nếu
, L-hàm được biểu diễn bằng tích vô
. tuyệt đối với Re(s) > 1. Khi đó L(s, ) là hàm chỉnh hình trên nữa mặt phẳng phức Re(s) >1 và được gọi là L–hàm phức đối với đặc trưng . Đặc biệt nếu = 0 thì . Hàm L(s, ) có thể được biểu diễn bằng tích vô hạn L(s, 1 q P
s 1
Vì vậy L(s, ) 0 hạn này chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức.
(s)
x e dx
x
0
Với s là số phức cho trước, tích phân suy rộng luôn hội tụ
(n 1)!
(n)
và được gọi là hàm gamma. Bằng qui nạp có thể chứng minh được với n . Hàm gamma có tính chất đặc trưng
(s)
s .
(1 s)sin s
,
) .
s
Tiếp theo là một số tính chất cơ bản của L(s, ) . 2.2.2. Tính chất cơ bản của L(s, 2.2.2.1. Phương trình đặc trưng của L-hàm
L(s, )
)
( ) 2 f
2i
(s)cos
L(1 s, ) (s 2
2 ia f
và
(2.12)
f a 1
(được gọi là tổng Gauss của đặc trưng ( ) (a)e trong đó =
az
).
F (z)
(a)e fz
e
1
f a 1
là hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Khi Kí hiệu , F (z)
F (z)z n 1
L(1 n, ) (s)
đó là thặng dư của hàm tại z = 0 với n 0. Từ khai triển
. (2.13)
L(1 n, )
( )
n,B n
suy ra Taylor hàm F (z)
(n
)
)
2
2.2.2.2. Phương trình đặc trưng của L-hàm chỉ ra rằng nếu n (mod 2), n 1 thì
cos
( 1)
(n 2
n
suy ra
)
. L(n, ) ( ) 2 f 2i L(1 n, ) (n 2 (n)( 1)
n
n
B
2
Thế (2.13) vào ta được
L(n, )
1 ( 1)
n, n!
2i
nên
, ta có
0
(2.14)
0
( ) 2 f , kết hợp với 2.1.4.2 và nếu 0
0
nếu n (mod 2).
n,B nếu n (mod 2) và n,B
, n,B 0
0,B Cho là đặc trưng khác đơn vị với conductor f, người ta chứng minh được công thức
a
Vì L(n, ) 0, n 1
L(1, )
2 i fe
(a)log 1
( ) f
f a 1 (a,f) 1
. (2.15) với f = f ,
CHƯƠNG 3. XY DỰNG L-HÀM p-ADIC.
p của trường số p-dic p . Vấn đề quan trọng đặt ra là xây dựng một hàm p-adic được xem là tương tự p-dic của hàm L(s, ) . Để giải quyết vấn đề này chúng tôi đưa ra một hàm phân hình p-dic lấy giá trị gần giống với giá trị của L(s, ) tại s = 0, -1, -2, . . . gọi là L- pL (s, ) . Một việc hết sức tự nhiên là tính giá trị của L-hàm tại s = 1, 2, hàm p-dic 3, . . . đặc biệt tại s = 1 có một vai trò quan trọng trong lý thuyết số . Trong chương này trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng các L–hàm p- adic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và tính giá trị của các L–hàm p-adic này tại s = 1 và tại các điểm nguyên dương khác .
§1. PHÉP NỘI SUY HÀM PHÂN HÌNH p-DIC.
,n
Với p là số nguyên tố, xét trên trường bao đóng đại số
N
Nội suy hàm phân hình p-dic nghĩa là tìm hàm phân hình f trên một đĩa mở nào nb ,n 0 là dãy số p-dic trong p cho trước. Nếu tìm nb ,n 0 gọi là dãy nb 0 để tồn tại
p
0
1
ia
a p ... a p với N 1
đó sao cho f(n) = nb với được hàm phân hình p-adic thỏa điều kiện như trên thì dãy nội suy p-adic. Trong § này chúng ta tìm điều kiện của dãy hàm nội suy p-adic. Trước hết chúng tôi xin nêu các bổ đề sau. 3.1.1. Bổ đề. +
s
Na
x
x , x được biểu diễn . Đặt a 1
a 0
Cho 0 i N, 0
ord (x !) p
diễn p-dic của x). Khi dó . (3.1)
x 1
, a x 0 ... a ( xs là tổng các chỉ số trong biểu N s x x p 1 Chứng minh. Ta chứng minh bằng qui nạp theo n, với x = 1 hiển nhiên đúng,
ord ((x 1)!)
ord (x!) p
p
x s x p 1
x 1 s p 1
, ta cần chứng minh . Ta có giả sử
ord (x 1)
p
ord ((x 1)!) ord (x!) ord (x 1) p
p
p
x s x p 1
.
Xét hai trường hợp sau.
N
, x+1 có biểu diễn p-dic là
p 1
(a
0
1
0a
x 1
(cid:31) Nếu nên
suy ra
ord ((x 1)!)
s
s
1
p
pord (x 1) 0
và x 1
x
1) a p ... a p x s x p 1
N x 1 s p 1
với 0 j N, x có khai triển p-dic như sau
p 1,a
p 1
.
a ,a ,..,a 2
j
j 1
j
j 1
N
(cid:31) Nếu 0
x (p 1)
(p 1)p ...
(p 1)p
a
... a p
N
j 1
p j 1 N
nên x+1 có khai triển
x 1 (a
1)p
... a p
và j 1
j 1
N
pord (x 1)
s
(a
... a
1)
vì vậy
.. a
N a
... a
1 (p 1)(j 1)
j
N
j 1 a 1
j 1 1 (p 1)(j 1)
a 0 xs
p-dic là x 1
x s
x 1
x
j 1
suy ra
(p 1)(j 1) x 1 s p 1 p 1 ord (x!) ord (x 1)
x s x p 1 pord ((x 1)!)
p
p
.
n p 1
n p 1
3.1.2. Bổ đề.
p
n
!
np p
p , với mỗi n 1 ta có
N
. (3.2) Trong
. Gọi
n
0 a
p, a
0
s
i
N
i
i với a p i
i 0
N , a i 0
n s p 1
n p 1
Chứng minh. Ta biểu diễn
n! = p
p
1 ,
khi đó ( theo công thức (3.1)). Mặt khác do Na
và từ
N
(p 1)
Np
n
0 a
p, i=1,2,..,N
s
i
log n log p
N i 0
. Do nên suy ra
s
(p 1)(N 1)
(p 1)
1
log n log p
đó
1
s p 1
1
log n log p log n log p
p
s p 1p
np
n s p 1
n p 1
n p 1
n! = p
= p
p
np p
. s p 1
3.1.3. Bổ đề.
hội tụ trong lân cận của
0
B A ( )
)
( n
n
với Cho hai chuỗi luỹ thừa hình thức A(x),B(x) K[[x]] p với K là trường mở rộng hữu hạn của p . Giả sử
n
. Khi đó
0
0
\ 0 ,
n
n
p
n
. A x ( ) B x ( ) thoả lim n
A(x) B(x)
c x n
, khi Chứng minh. Gọi , giả sử phản chứng A(x) B(x)
c
n min n
0
n
n 0 ( do giả sử phản chứng nên 0n luôn tồn tại) . 0
n n 1 0
đó ta gọi
A(
) B(
0
c
0
c
i
) i
n n i
i
n
i
0
0
c n i 1 n n 0
n n 1 0
Từ kéo theo . Vì
0 . Mâu thuẫn này đã kết
0nc
n n c n i n n 1 0
nên bị chặn suy ra khi i
thúc chứng minh bổ đề trên.
x
. 3.1.4. Đa thức
n
K x
P K
x n
Với mỗi số tự nhiên n, ta ta gọi đa thức (xem định nghĩa đại số
x(x 1)...(x n 1) n!
x n
nếu Banach KP ở mục 1.2.2) được xác định bới
n > 0 và
1
x 0
x n
. Ta thấy là đa thức bậc n với hệ số của luỹ thừa x cao nhất
1 n!
còn các hệ số khác là số hữu tỉ có mẫu số tối giản chia hết n!. Do đó là
1 n!
x n
n p 1
,
n!
p
n p 1
suy ra hơn nữa theo công thức (3.2) ta có
p
x n
(3.3)
3.1.5. Định lý( Điều kiện cần để một dãy là dãy nội suy p-adic).
n k
n k 0
1 p 1
n
, đặt , r là số thực sao cho ( ) 1 c n b k Cho dãy số p-adic nb n k
C
n
. Khi đó tồn tại duy nhất
0
C r .
,
0,
0
nc
P thoả mãn các tính chất sau :
A x ( )
K
1 p 1
1
p
sao cho
, giả sử p r
r .
1 .
r 1 với
r 1
p
i) A( ) hội tụ với mọi
n
n
n
n k
n
( 1)
c
b , n 0
( 1)
b
c
n
n
n
k
t n!
t n!
t n!
n k
ii) Với mọi n 0, A(n) = nb .
n 0
n 0
n
n
n
n
n
t
b
e
c
b
c
n
n
n
n
t n!
t n!
t n!
t n!
t n!
n 0
n 0
n 0
n 0
n 0
n 0
n
Chứng minh. Ta có n k 0
b
n
c , n 0 k
k
n k 0
.
c
x , a
K
k
deg A (x)
i
A (x) k
(k) n a n
(k) n
k
x i
k i 0
n 0
(k)
( nhận xét rằng Xét
n a
n
n
n p 1
n p 1
1 p 1
n C.r p
c
c p n
n
x n
1 r 1
C
C r. p
nên 0 nếu k < n). Khi đó
k 1
i
(áp dụng (3.3))
A
A
c
C.
k
m
i
max i
m
k
k i
max C. m
x i
1 r 1
khi 0
0 hay
m
A
nên
1 r 1 kA là dãy Cauchy trong m,k trong K(P , . ) , ta chứng minh A(x) là hàm số
k
lim A k
n
suy ra A A k K(P , . ) . Giả sử
A(x)
c
a
i
a x n
n
(k) n
lim a k
x i
i 0
n 0
n
cần tìm. Kí hiệu khi đó . Do
)
A
A
C.
, k
n
0
(k) a n
(k) a n
(n 1) a n
k
n 1
(n 1) na
1 r 1
( vì
n
hay
a
C.
, n 0
A(x) P .
n
sup a n 0 n
K
nên suy ra
1 r 1
1 p 1
1
p
.r
1
r 1
p sao cho
r 1
n
n
(cid:31) Chứng minh i), do đó suy ra
n
n
0 khi n
C
a
.
C.
n
r 1
1 r 1
n
.
A( )
hội tụ. Vậy
a n n 0 Chứng minh
với
A
k
k
lim A k
lim A ( ) A( ) k
1 p 1
1 p 1
1
1
suy ra (cid:31) ii), do
.r
p
n
1
p
.r
r . Với mỗi n cho trước, từ 1
ta suy ra mọi
A(n)
k
lim A (n) k
. Hơn nữa, với k n,
0
c
c
b
A (n) k
i
i
n
n i
n i
n i
k i 0
n i 0
( vì nếu i > n).
A(n) b
n
Vì vậy , n 0.
n
Tính duy nhất của A(x) được suy ra từ bổ đề 3.1.3. §2. L-HÀM p-DIC.
n
n
Cho là đặc trưng Dirichlet với conductor f, là đặc trưng Teichmuller. Dễ dàng chứng minh được là đặc trưng Dirichlet có conductor là q ( với , q đã được xác định trong mục 1.1.2). Với mỗi số nguyên n, là một đặc
n
nên f là ước của
m p f n
với
(a,f)
(a,f ) n
là trường mở rộng của trường
, .
K
( ) p
Gọi
. Vì
, a
(a)
(a) a
(a), a
p
và tập phần tử nên K là mở rộng hữu hạn của p trong
p .
là các số đại số trên nên ta xem
trưng Dirichlet. Conductor nf của n là ước của fq, vì nf q . Do đó nf và f sai khác một thừa số là luỹ thừa của p tức là nf (a) m . Với mọi a , (a, p) = 1, ta có n(a) (a) p bởi tất cả các số chỉ gồm hữu hạn
L(1 n, )
( )
n,B n
Như ta đã biết
p . Một vấn đề đặt ra là có tồn tại hàm phân hình p-adic f sao cho
chúng thuộc
, n 0 hay không ? Rất tiếc dãy
f(1 n)
L(1 n, )
n,B n
n,B n
không
( ,
)
pL s thoả mãn các tính chất sau :
phải là dãy nội suy p-adic. Vì vậy chúng ta phải chỉnh sửa một chút để có được dãy nội suy p-adic. Cụ thể ta có định lý sau. 3.2.1. Định lý (Định lý xây dựng L – hàm p-adic) . Tồn tại duy nhất hàm phân hình p-dic
( ,
)
pL s có thể được khai triển thành chuỗi hàm luỹ thừa
i)
)
n 1) , a
( )
L s ( , p
a s ( n
p
n
a 1 s 1
n
0
0
khi
1 p
(3.4)
a
1
0
0 khi
1
. với
1 p 1
1 p 1
1
Chuỗi hàm luỹ thừa trên hội tụ trong miền
p
q
p
q
B
) 1 1
s-1
p
s
(với chú ý
B
n
n
1
1
ii) Với n , n > 0 ta có
L
n
L
(1
,
)
p p ( )
p p ( )
(1
n ,
)
p
n
n
n
1
1
nn , n
.
Hàm (3.5) pL (s, ) được gọi là L-hàm p-adic đối với đặc trưng . Để chứng minh
định lý này chúng ta cần các bổ đề sau. 3.2.2. Bổ đề.
Cho là đặc trưng Dirichlet với conductor f. Khi đó
)h p f
B n
S n
,
( ,
lim h
1 h p f
. (3.6)
f
0 ,
1
thì Đặc biệt khi
S p (
)h
B n
1 nh
lim p h
. (3.7)
,nS và nS đã được định nghĩa ở mục 2.1.4.4.)
(trong đó
n 1 i
Chứng minh.Ta có
B
(x)
n 1,
B x i,
n 1 i
n 1 i 0
( theo công thức (2.7))
2
n 1 i
B
n 1,
(n 1)B x x n,
B x i,
n 1 i
2
n 1 i
B
(x) B
(0)
n 1,
(n 1)B x x n,
B x i,
n 1 i
n 1 i 0 n 1 i 0
h
. n 1,
h (p f)
n,
n 1,
n 1,
n 1 i
h
( theo công thức Hơn nữa S B (p f) B (0) 1 n 1 (2.10)).
S
(p f) B
h p f
n,
n,
B i,
h p f n 1
1 h p f
n 1 i
n 1 i 0
. Suy ra
B
S
h (p f)
n,
n,
lim h
1 h p f
n
. Cho h ta được
f
,
f n
n
n i
đặc trưng với conductor ,
n
p p ( )
,
( 1)
,
0
c n
b i
n
b n
B n ,
n
n
2
. Khi đó 3.2.3. Bổ đề. Cho 1 là 1
q
f
q
n i 1 .
n i 0 nc
.
Chứng minh . Theo công thức (3.6), ta có
B
S
n,
n,
h (p f ) n
n
n
lim h
1 h p f n
n
,
B
S
h (p f)
(a)a
m p f
n,
n,
nf
n
n
n
lim h
lim h
1 h p f
1 h p f
hp f a 1
nên , vì
n 1
n
b
(p)p
(a)a
n
n
n
1
lim h
1 h p f
hp f a 1
n
n 1
n
(a)a
(p)p
(a)a
n
n
n
lim h
lim h
1 h p f
1 h 1 f
h 1 p f a 1
n 1
n
n
n
(a)a
(a)a
n
n
lim h
lim h
1 h p f
(p)p h 1 f
p
h p f a 1 h p f a 1
p h 1 p f a 1
n
n
n
n
n
(a)a
(a)a
(a)a
n
n
n
lim h
1 h p f
1 h p f
(p)p h p f
h 1 p f a 1
h p f a 1 (a,p) 1
h p f a 1 a p
do đó
n
n
n
n
n
(a)a
(pa)(pa)
(a)a
n
n
n
lim h
1 h p f
1 h p f
(p)p h p f
h 1 p f a 1
h 1 p f a 1
h p f a 1 (a,p) 1
n
n
(a)a
(a)a
n
n
lim h
lim h
1 h p f
1 h q f
hq f a 1 (a,p) 1 n
n
n
hp f a 1 (a,p) 1 n
.
n
n(a)a
n
b
(a) a
n
lim h
1 h q f
Từ suy ra (a) (a) (a) a (a) a
n i
hq f a 1 (a,p) 1
c
( 1)
b
n
i
n i
n i
i
( 1)
(a) a
lim h
1 h q f
n i
n i 0 n i 0
hq f a 1 (a,p) 1
n i
i
( 1)
(a) a
lim h
1 h q f
n i
hq f n i 0 a 1 (a,p) 1
n i
i
(a)
( 1)
a
lim h
1 h q f
n i
n i 0
c
n
(a)
a
1
lim h
lim h
1 h q f
n,h h q f
n
c
(a)
a
1
n,h
n
c
với .
n,h h q f
q 2 q f
n
hq f a 1 (a,p) 1 hq f a 1 (a,p) 1 hq f a 1 (a,p) 1 0 mod c
Ta chứng minh bằng qui nạp theo h 1. Với h = 1, do
a
1 mod q
n,1 qf
q 2 q f
0 mod
nên thoả . Với mỗi a
h
1 a q
a
u q fv
f h 1 h
và
với
. Vì
1 u q f, 0
v < q
a
u mod qf 1
, (a) (u) (a) (u)
nên h (u q fv)
1 (a) a
(u)
u
a
h q f
suy và (a,p) = 1, khi đó a được viết dưới dạng 1 (u) v
n
n
( a
1)
( u
h 1) q f
(u) v 1
i
n i
1
( u
1)
h q f
(u) v
n i
n i 0
i
n i
1
n
(u,p) 1 suy ra ra
( u
1)
h q f
(u) v
1)
( u
n i
n i
.
, ta có
do u
1 q
( u
1)
q n i
p
hi
1
và
(u) v q
h q f
n i 1 Với mỗi i sao cho 1 i n,
i
i
n
n i
n+h-1
1
1)
h q f
(u) v q
i
( u
n i 1
n
n
. Mà n – i + hi = n + (h – 1)i n + h – 1 nên
( a
1)
( u
1) mod q n h 1
n
c
(a)
a
1
n,h 1
h 1q f a 1 (a,p) 1
do đó . Hơn nữa, từ
n
n+h-1
c
(u)
u
n,h 1
1 mod q
h q 1 q f v 0 u 1 (u,p) 1
n+h-1
suy ra
c
q.c
n,h 1
n,h
mod q
n
c
c
, h 1
n,h 1 h 1 f q
n,h h q f
q 2 q f
mod
n
c
.
0 mod
, h 1
n,h h q f
q 2 q f
n
c
n
1
kết hợp với Theo nguyên lý qui nạp
c
2 q f
. q
0 mod
n
nc
c n
lim h
n,h h q f
q 2 q f
suy ra hay .
3.2.4. Chứng minh định lý 3.2.1.
n
n i
c
( 1)
b
b
(p)p
n
i
n
n
n
1
B n 1 n,
i
n i 0
1 p 1
n
1
1
Ta xét , đặt , n 0, theo
2 q f
. q
r
q
p
2 , C= q f
nc
n C.r , n
0 nên theo định lý 3.1.5, tồn tại duy nhất chuỗi hàm luỹ thừa
nc
x
x
. Đặt suy ra mệnh đề 2.2.3 ta có
A (x) K[[x]]
c
c
A (x)
A ( ) hội tụ trong
i
n
i
n
n lim n i 0
n 0
1 p 1
1
, sao cho
A (n) b
(p)p
p
q
p với mọi
n
n
n
và với mọi
B n 1 n, 0
n
0 .
1
0
1
0
0
thì biệt,
1
0
(p)p
B
(1 p )B 0
A (0)
0,
1
1
, nếu thì 0
L (s, )
A (1 s)
0 . Đặt
(p)p
B
A (0)
pL (s, ) là
0,
p
1
1 nếu 1 p 1 s 1
, khi đó
Đặc hàm duy nhất thoả mãn các điều kiện i),ii) .
§3. TOÁN TỬ – BIẾN ĐỔI.
m
n
n k
kx
x
n k
m
( 1)
e
( 1)
k
Trong § này chúng tôi xây dựng toán tử – biến đổi, một công cụ quan trọng để
tính giá trị của L – hàm p-adic tại các điểm nguyên dương. 3.3.1. Các khái niệm. . 3.3.1.1. Kí hiệu Khai triển
(n) md n 1
n k
k
x m!
e
n k 0 m
n
n m 0 k 0 n
n k
m
x
e
d
d
( 1)
k
(n) m
(n) m
1
k
x m!
với . (3.8)
n k 0 với 0 m < n và
1,d
0
d
nd
m 0 (n) d n
(n) m
(n) m
(n) m 1
nd (n 1) m 1
Dễ dàng thấy . Nên
n!
(n) md
n! (3.9)
với mọi m, n. Do đó
3.3.1.2. Anh xạ .
:
bằng quy nạp theo m suy ra được (n) md
p
p
p
x D
1 1
1 p
p 1 p
p
p
p
s
s
n
Với mỗi ,
s
n p
0 khi n
n x 1
x 1
p
n
n
n 0
, xét , ta có , nên chuỗi
D trên hội tụ đều trên
m
m
n
, . Với s = m
m x
n x 1
x 1
n
n
n 0
p m n 0
Nên ta kí hiệu
s
s
.
x
n x 1
n
n 0
. (3.10)
x
Với mỗi x U , ta xét hai trường hợp của số nguyên tố p như sau.
1 q . Ta có
(x) x với (x) là đại diện D nên hàm số
x
x
p
s
s
(cid:31) Nếu p > 2, ta biểu diễn x dưới dạng Teichmuller của x,
U
x
x
n 1
n
n 0
s
. xác định và hội tụ đều trên p
1 p
x
s x
n x 1
n
n 0
xác nên x D suy ra (cid:31) Nếu p = 2, khi đó p
U
.
:
p
p
0 khi x U (x
p
)
p p
s
được xác định bởi định và hội tụ đều trên p Xây dựng ánh xạ
(x,s) =
s
x khi x U, p = 2
p
p nên liên tục.
.
Vì p là tập mở trong U 3.3.1.3. Anh xạ n :
p
. p
n
n i
(s)
(i,s), n
( 1)
0
n
i
n i 0
, ta đặt , (3.11) Với mỗi p s
liên tục với mọi n 0. Do (3.11) nên ta có
:
p
n
p
n
n
n
n
( 1)
(n,s)
(s)
n
t n!
t n!
t n!
n 0
n 0
n 0
n
n
t
e
(n,s)
(s)
n
t n!
t n!
n 0
n 0
rõ ràng
n
n
t
(n,s)
e
(s)
n
t n!
t n!
n 0 n
n
n
(n,s)
(s)
n
t n!
t n!
t n!
n 0 n 0
n 0
n 0
n
(n,s)
(s), n
0
i
i
n
0
(n,s)
(s), n
0
i
i
n i 0 i 0
( vì nếu i > n ).
n i p
p nên
p
x
Mà liên tục trên
(x,s)
(s),
(x,s)
p
p
i
p và p trù mật trong i 0
. (3.12)
p
. p
i 3.3.1.3. Chuẩn của ánh xạ n : Xét hai trường hợp của số nguyên tố p.
mp
n! và
m p 1, ta
1 (mod p) (định lý Fermat nhỏ ) hay
(i,m)
(cid:31) Nếu p > 2, với mỗi số nguyên dương m sao cho mi
i
i
n i
n i
m
. Từ công thức (3.11) suy ra có nếu (i,p) = 1 thì m m
(m)
( 1)
(i,m)
( 1)
i
n
n i
n i
n i 0
n i 0 (i,p) 1
n i
m
,
(m)
( 1)
i
m (mod p )
n
n i
n i 0
n i
m
do đó ,
d
( 1)
i
(n) m
n i m
(m) d
(mod p ) . Hơn nữa theo công thức (3.9), ta có
n!
n i 0 (n) m
n
(n) md
( vì theo công thức (3.8)) ) nên mà
m
n! . Như ta đã biết tập
m p-1 trù mật trong p ,
n(m)
nên
n! , s
n
p
hay vì vậy (s)
(s)
n! , s
n
n
p
max s
p
mp
n! , lâp luận tương
. (3.13)
(cid:31) Nếu p = 2, với mỗi số nguyên dương m sao cho tự ta cũng suy ra được công thức (3.13).
3.3.2. Toán tử biến đổi.
p trong
p , ta gọi KQ là tập tất cả các
Cho K là trường mở rộng hữu hạn của
A(x)
K) sao cho
a x (a
0 . Chú ý
n
n
n
n
lim a .n! n
n 0
A sup a n! , K[x] là đại số con trù mật
chuỗi luỹ thừa hình thức
n
n 1
rằng KQ là đại số Banach với chuẩn
log(1 x)
n x
Q
K
( 1) n
n n 1
1 p 1
. Bây giờ ta xét của KQ và ta có nhận xét rằng
A(x)
p
A( ) hội
K
a x Q , với mọi p n
n
n 0
n p 1
n
sao cho , khi đó
A( )
A . Thật vậy, ta có
a
a .n! ( do theo công
n
a p n
n
n p 1
tụ và
n
n!
p
0 khi n
0 suy ra
A( )
A .
na
K
p
thức (3.2) , ) nên
p
giao hoán trên trường K. Đặt . Rõ ràng KC là một đại số , khi đó . lập thành một chuẩn trên Gọi KC là tập tất cả các hàm liên tục từ f max f(s) s
: Q
C sao cho
K
K
, n
đại số KC , hơn nữa KC là không gian Banach. 3.3.2.1. Định lý (định lý xác định toán tử biến đổi). Tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính liên tục
nx A (
. i) ( ii) . 0 K
s ( )
n s ( , ), n
) = n A , A Q ) nx
1
0, s p
iii) .
C là ánh xạ tuyến tính được xác đinh bởi
: K x
n
A(x)
(A)
a x K x , áp dụng công thức (3.13), ta n
, với mọi
(A)
K m n 0 max a .n!
A , vì
K x trù mật trong
n
n n
max a n
Chứng minh. Gọi m a n n n 0 được
tuyến liên
n thể được mở rộng thành ánh xạ
(A)
A , A Q ,
C thoả
KQ nên có K
K
K
: Q n (x ) =
0 , hơn nữa
, n n
mãn tính rõ tục ràng
n
(s)
i (x )(s)
(s) =
(n,s)
1 x
i
n i
n i
n i 0
n i 0
(theo công thức (3.12)).
A(x)
(A) C là biến đổi của A.
a x Q , ta gọi n
K
A
K
n
n 0
m
n
x
Tính chất duy nhất của là hiển nhiên . Với mỗi
e
d
(n) m
1
x m!
m 0
n
n k
m
với 3.3.2.2. Anh xạ tuyến tính n . Theo công thức (3.8) ta có
d
( 1)
k
(n) m
k
n k 0
n
.
A(x)
a x n
n 0
m
x
x
n
1)
d
a (e n
(n) m
A e
1
x m!
n 0
a n n 0 m 0
m
m
a d
a d
(n) n m
(n) n m
x m!
x m!
m 0 n 0
m m 0 n 0
Cho là phần tử bất kì trong K[[x]] , khi đó
(n) md
n
x
(i)
(vì = 0 nếu n > m)
(A)
(A)
n
n
a d i n
A e
1
x n!
n 0
suy ra với . (3.14)
A(x) Q , theo công thức (3.9) ta có
i! , đồng thời
K
n i 0 (i) nd
(i)
(A)
m ax a .i! .
n
i
m ax a d i n 0 i n
i
Nếu
(A)
n
n(A)
từ
Do đó với mỗi n 0, ta xác định được ánh xạ tuyến tính n KQ
s
: A A . (3.15) n p-1 trù mật trong p nên với mọi p
n
luôn tồn tại
n trong
s trong p . Khi đó dễ dàng
K thoả mãn Vì tập kn
k
khi k
lim n k
n p-1 sao cho thì kn
dãy
kn
đối với chuẩn giá trị tuyệt đối trong thấy được nếu s thông thường trong . Với s bất kỳ ta luôn tìm được một dãy
khi k
n
n p-1 sao cho
s trong p và
kn
k
lim n k
đối
với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường trong . 3.3.2.3. Mệnh đề .
K
kn
, s p
n p-1 đối với chuẩn giá trị
sao cho Cho , với mọi dãy
trong n n k
n lim k k tuyệt đối thông thường trong . Khi đó
k s ( )
A
A ( ) n k
A(x)
.
mx
n
x
m
e
(A)
n
1
x n!
A Q s trong p đối với chuẩn p-dic và lim lim k m (1 x) n x n! n 0
, ta có n
n(A) m . Hơn nữa, theo định lí xác định toán tử - biến đổi (định lý bằng
Chứng minh. Với m 0 cố định, giả sử A e n 0
(m,s) . Bây giờ ta chứng minh
(A)
n A (s)
A (s)
kn
lim k
n
k
(theo công thức (3.14)), suy ra 3.3.2.1) ta có
m p (m
(A)
0
(m,s)
n
A (s)
k
lim k
. (cid:31) Nếu cách xét hai trường hợp của m. U) thì
lim m k (cid:31) Nếu (m,p) = 1, xét hai trương hợp của p.
knm n
1 (mod p) n n
kn
k
k
k
k
( định lý Fermat nhỏ) + Với p > 2, từ
kéo theo
(m)
1
(m)
kn p-1 suy ra
n
m =
s
k
. Vì vậy nên
(A)
m
(m,s)
A (s)
n
k
lim k
lim m k
n
s
k
.
m
(A)
(m,s)
n
k
A(x)
. + Với p = 2, lập luận tương tự ta cũng có được
lim k Do đó mệnh đề đúng với mọi đa thức trong K[x] ( do
lim m k m (1 x) kn,
, m 0. Vì vậy mệnh đề cũng đúng với là các ánh xạ tuyến tính ). Sau đây ta chứng
(A)
A Q . Do K[x] trù mật trong KQ nên với
A (s)
kn
A Q ta có
lim k mỗi K
minh với mọi K
> 0, B
K x sao cho
A B
.
=
(A B)
A B <
(s)
(s)
A
B
B
(s)
(B) < , k > N .
(B) nên tồn tại N > 0 sao cho
B
n
B
n
k
k
.
(theo công thức (3.15)).
(B)
(A B) A B <
n
n
n
k
k
k
Hơn nữa Suy ra A Mà lim (s) k (A)
Do đó, với mọi k > N, ta có
(s)
(A) max
(s)
(s) ,
(s)
(B) ,
(B)
A
n
A
B
B
n
n
n
k
k
k
k
(A)
A Q , s
(s)
(A) với mọi
K
p
n
A
k
n
hay .
A A(x)
a x K[[x]]
n
lim k n 0
n 1
Với , ta định nghĩa các chuỗi A ', DA K[[x]]
A ' A '(x)
,
DA(x)
(1 x)log(1 x)A '(x) . Dễ
na x n
n 1
được xác định
DA là các biến đổi tuyến tính trên K[[x]], A ,
A ', DA
A '
Q K
và thì dàng thấy rằng A hơn nữa nếu
A' và A Q K A (1+x)log(1+x) A
DA
A
s
.
s ( )
s
s . ( )
DA
A
, p
. Khi đó
x
x
d(e
1))
x
x
DA(e
x 1) e .x.A '(e
1)
x
.
1) d(A(e x
dx
1)
d(e n
x
1))
x
(A)
x
n
x n!
d dx
d(A(e dx
n 0
3.3.3. Một vài tính chất cơ bản của – biến đổi. 3.3.3.1. Mệnh đề. Cho K Q Chứng minh. Ta có
n 1
n
x
(theo công thức (3.14))
x
n (A) n
n (A) n
n!
x n!
n 1
n 1
n
x
.
DA(e
1)
(DA)
n
x n!
(A) , n
0 .
n 0 (DA) n
n
n
s đối với chuẩn p-adic
(cũng theo công thức (3.14)) nên Mặt khác
n n p-1 sao cho
kn
k
Chọn dãy trong
lim n k đối với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường. Ap dụng mệnh đề
k
lim n k 3.3.2.3, ta có
(A) = s
(DA)
(s)
(s) .
k n
DA
A
n
k
k
lim k
lim n k Trước khi phát biểu một tính chất cơ bản nữa của - biến đổi ta cần bổ đề sau
và
đây. 3.3.3.2. Bổ đề.
m
n
p
p . Nếu
1 p 1
thì Cho là căn nguyên thuỷ bậc n của đơn vị trên trường
p
, đặc biệt nếu n = p thì
1
1
1
1
.
. Nếu n không là luỹ thừa của
1
khi đó
, nhân xét rằng
p thì 1
1
1 u
u max 1,
. Ta 1
Chứng minh. Đặt u
p 2
xét hai trường hợp sau.
p
u
u
...
0
1 kéo theo p 1
u 1
p p 1
p 2
. Nên (cid:31) Với n = p, ta có
u là nghiệm của đa thức bất khả quy p 1
x
...
x
p p 1
p 1 p 1
1 p 1
1 p 1
(theo tiêu
u
p
1
m
. chuẩn Eisenstein ) do đó
. Nên theo nguyên
n
p
p p 1 p 1 1 , ta dễ dàng thấy
1 1
m
(cid:31) Với , Giả sử
p
n
.
n k
lý quy nạp 1 1 với (cid:31) Với n không là luỹ thừa của p, gọi k là ước số nguyên tố khác p của n sao
v
1 suy ra
1 , 1 là căn nguyên thuỷ bậc k của đơn vị. Đặt nên v 1
v 1
1
1 khi đó 1
k
k 1
2
cho (k,p) = 1. Đặt
v
k.v
v
kv 0
...
.
v
k k k 2 1 < 1, do đó
1
k
k 1
2
2
Giả sử 1 1 khi đó
v
k.v
...
v
v
v
kv
k k 2
k
k 1
2
.
v
k.v
...
kv
kv
0
v
k k 2
nếu n không là luỹ thừa của p.
1
1
. Mâu thuẫn này suy ra Vì vậy
A
(0)
(0) -
. A ( 1)
Q , ta luôn có :
A
3.3.3.3. Mệnh đề.
1 p p 1
Với K A
1 p 1
p
1,
1 ta có
1
p
A
Q ,
A(
K
1) xác định. Do K[[x]] trù mật trong KQ và hai vế với mọi đẳng thức cần chứng minh phụ thuộc tuyến tính vào A nên ta chỉ cần chứng minh
m
m
( theo bổ đề 3.3.3.2), do đó Chứng minh. Với
A(x)
, m
0 là đủ. Ta có
(s)
(1 x)
=
(m,s) suy
1 x
A
A
cho
0 khi m p
ra
(0)
(m,0)
A
1 khi (m,p) = 1
m
.
A(0) -
A(
1) 1
1 p
1 p
1 1 0 khi m p 1-0 = 1 khi (m,p) = 1
p 1
p 1
. Ta lại có
§4. CÔNG THỨC TÍNH
Vậy mệnh đề đã chứng minh xong.
) .
1pL ( ,
pL (s, ) tại s =1, trước hết ta chứng
Để xây dựng công thức tính giá trị của
2 i f
minh các bổ đề sau. 3.4.1. Bổ đề.
e
là căn nguyên thuỷ bậc f của đơn vị, h(x) là đa thức
p
a
a h (
Cho
h z ( ) f
f
z
z
) a
1
f a 1
a
a
a
a
f
b
j(z)
z
z
. thoả deg(h) f – 1. Khi đó
1
) a
) a
h( f z
f a 1
f a 1
f b 1
a
a
b
Chứng minh. Đặt
h(
)
z
f
f a 1
h( f z f b 1 b a
2
f
,...,
,
.
1,2,..,f , ta có
0a
Lúc này bổ đề trên tương đương với j(z) = h(z). Nhận xét rằng h(z), j(z) là các đa thức có bậc f – 1 theo z nên ta chỉ cần chứng minh chúng bằng nhau tại f điểm phân biệt là đủ. Do là căn nguyên thủy bậc f nên f số đôi một khác nhau. Với
a
a
0
a
a
a
a
a
b
b
0
0
0
0
j(
)
h(
)
h(
)
f
f
f a 1
f b 1 b a
f b 1 b a
0
f
b
.
z
1
f z b 1
b
f 1
ta được Hơn nữa lấy đạo hàm hai vế công thức
z
fz
f f a 1b 1 b a
,
f 1
a
a
b
0
0
f.
f b 1 b a
0
a
a
0
0
f 1
f
a
a
a
b
0
0
0
vào ta được thay 0a z
f.
1
f
f
f b 1 b a
0
a
a
0
0
suy ra .
) = h(
), a
0 Cho là đặc trưng Dirichlet với conductor
f . Chúng ta sẽ áp dụng những
1,2,...,f . Vậy bổ đề đã chứng minh xong . f
pL (1, ) . Nếu 0 thì
pL (s, )
a=1,2,...,f
a+f
a=1,2,...,f
Do đó j(
a
N
kết quả trên để tính giá trị của (s) có cực điểm là s = 1, vì vậy ta giả sử 0 và f > 1. Với số nguyên N 1 cố đinh sao / f có thể biểu diễn theo hai cách và cho (N,fp) =1, tập . aN +f
x
x
1 , tổng Gauss
( )
2 i fe
p
f (a) a 1
với , K Gọi
a 1
. Xét hàm số hữu tỉ là trường mở rộng hữu hạn của p trong p sao cho K chứa các số đại số , (a) với a
G(z)
K(z)
(a)z f
1
f a 1
n
at
t
.
t t.e .G(e )
B
F (t)
n,
(a)te ft
t n!
e
1
z n 0
a 1
( xem công thức (2.5)). Đa Ta có
g(z)
(a)z
f a 1
thức có bậc f – 1 nên theo bổ đề 3.3.4.1 ta có
a(b 1)
(b)
a
a
a
g(
f b 1
G(z)
a
g(z) f
) a
f
f
1
z
z
z
f a 1
f a 1
ab
(b)
a
1 f
f b 1 z
f a 1
ab
.
f (b) b 1
ab
ab
b
Ta tính bằng cách xét hai trường hợp sau.
.
(a) ( )
(ab)
(a)
(a)
f (b) b 1
f b 1 . Theo bổ đề 2.1.3.2, tồn tại số nguyên
f (b) b 1 + Nếu d = (a,f) > 1, chú ý rằng (a) 0
+ Nếu (a,f) = 1,
. Từ
c 1 x.
c 1 x.
f d
f d
suy ra với x sao cho (c) 1
d (mod f) a (mod f)
ab (mod f)
(vì a chia hết cho d)
abc .
(c) 1
suy ra (c,f) = 1 nên / f
cd ac abc ab
b f
b 1,2,...,f
bc
f
b 1,2,...,f
ab
ab
abc
ab
(c)
(b)
(bc)
(bc)
f b 1
f b 1
f b 1
f (b) b 1
ab
. Do đó Từ và có thể biểu diễn bằng hai cách
( (c) 1)
(b)
0
f b 1
ab
.
(b)
0
(a) ( )
f b 1
ab
(b)
(a) ( )
Kết hợp cả hai trường hợp trên lại, ta được
f b 1
, a . (3.16)
G(z)
(a) a
( ) f
z
f a 1
. (3.17) Do công thức (3.16) suy ra
3.4.2. Bổ đề.
a ( )
N
N
N N z ( )
1 G z (
)
G z ( )
) ( f
a N
aN
a
. (3.18)
f z a 1 1 Chứng minh. Ta có
z
) , lấy đạo hàm hai vế ta được
a
N 1
'
(z )
Nz
(z
a
(z
'
)
N 1
a
Nz N
aN
)
z
' ' (z
N 1
1
a
Nz N
aN
z
z
N 1
(a)
1
(a)
a
a
(a)Nz N
aN
( ) f
( ) f
( ) f
z
z
z
f a 1
f a 1
f a 1
(a)
N 1
N 1
Nz
(N)
Nz
(N)
N
a
N
(aN) aN
( ) f
( ) f
z
z
f a 1
f a 1
(a)
N
N 1
Nz
(N)G(z ) (theo công thức (3.17)),
a
( ) f
z
f a 1
(a)
(a)
do đó
a
a
(a) a
( ) f
( ) f
( ) f
z
z
z
f a 1
f a 1
N
f 1 a 1 N 1 (N)G(z ) G(z) (lại theo công thức (3.17)).
Nz
suy ra
3.4.3. Định lý.
0
f
N
, số tự nhiên với conductor f Cho là đặc trưng Dirichlet ,
x
x
1
p
n
n
1
x
1 và N thoả (N,pf) = 1, (N) 1,
( )
a a ( )
A x ( )
a ( )
) ( f
( 1) n
f a 1
f a 1 1
n 1
1
na
với
2 i fe
,
s
A(x) Q và p
K
s
s,
) khi p > 2
(N ) N )L ( 1 p
. Khi đó với mọi ta có
(s)
A
s,
) khi p = 2
( 1
s (N )N )L ( 1 p
( 1
.
N L
(0)
(1,
)
A
p
(1 ( )) a (với
),
1, 1 a
f
m N, m f và (N,fp) = 1 nên
Đặc biệt khi s = 0, .
2
1
1m là cấp của với m m m và 1m > 1, 1 2 (p,m ) 1 nên a là căn đơn vị cấp m không là luỹ thừa của p. Do đó, theo bổ 1 đề 3.3.3.2, a
1 suy ra
1
n 1
n!
Chứng minh. Gọi m là cấp của 2m là cấp của a . Vì
(n 1)!
0 khi n
0
( 1) n
na
.
1 A(x) Q . Theo định nghĩa
K
n 1
( x)
DA(x)
(1 x)log(1 x)
(a)
( ) f
f n 1 1 a 1
1
na
Do đó
n 1
x
1
1 e
x
x
DA(e
1) e .x
(a)
a
a
( ) f
1
1
f a 1 1 n 1
1
1
1
x e .x
(a)
x e .x
(a)
a
x
x
a
( ) f
( ) f
1
e
1 e
f a 1 1
f a 1 1
a
1
1
(N 1)x
Nx
x
suy ra
G(e
x ) G(e )
e .x N (N)e
Nx
Nx
x
x
(theo công thức (3.18))
(N)(Nx)e G(e
n
(N)F (Nx) F (x)
n,
x n!
n
x
.
(DA)
n
DA e
1
) e .xG(e ) n (N)N 1 B n 0 x n! n
(DA)
n
(N)N 1 B với n 0. n,
n 0
(theo công thức (3.14)) nên Mà
n
đối
s
s
n p-1
kn
k
lim n k
sao cho , chọn dãy trong Với mỗi p
đối với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường.
k
lim n k Theo mệnh đề 3.3.2.3 và mệnh đề 3.3.3.1, ta có
n
k
với chuẩn p-dic và
s
(s)
(s)
A
DA
1 B n , k
lim (N)N k
.
Ta xét hai trường hợp.
k
k
nên theo định lý Fermat nhỏ ta có
1 (mod p)
(cid:31) Nếu p > 2, do kn p-1 n knN
s
k
k
.
1
(N) N
1
1
n
N =
lim (N)N k
k p
. Do đó n
(vì
B
kn
n , k
lim (N) N k n L (1 n , ) 1
k n
nk
k
(p)p
1
k
suy ra
sL (1 s, )
p
kn p-1
kn ,
n lim B k
s
(s)
s
p
A
(theo định lý 3.2.1) và do Ta lại có
s
) nên ta được 1
(N) N
(s)
L (1 s, ) . Do tính liên tục của A
, L p
A
p
s
Nếu s 0 thì
sL (1 s, ) . L (1 s, ), s
(N) N
(s)
A
p
p
.
(N)N L (1 s, ), s
(s)
A
p
2
(N) N 1 1 (cid:31) Nếu p = 2, lập luận tương tự, ta được 1
s
suy ra .
.
)1
kết hợp với mệnh đề 3.3.3.3 suy ra
(1
(0)
(N))L (1, ) p
A
(1
1)
(N))L (1, ) p
p
1 A( p 1
3.4.4. Tính giá trị pL ( , Cho A là chuỗi hàm luỹ thừa như trong giả thiết của định lí 3.4.3, ta có
A(
1)
L (1, )
p
-1
p(1
p
. (3.19)
,
1
1
ap
p ap
là hoán vị của nhau, suy
1 p ap
ap
là hoán vị của nhau. Nên
(N)) p 1 0 sao cho (N,fp) = 1, ta có , 1
1
1
1 1
. (3.20) Với mỗi a ra
p
1 z
z suy ra
p ap
a
vào công thức Ta thay a z
1
p 1
p 1
(3.21) .
z
vào công thức
z
N z -1 , ta được
1 a
aN
Thay
1
.
a
1
(3.22)
1 1
1
n 1
1 a
1 a
( 1) n
1
1
n 1
1 a
log 1
n
n 1
suy ra Theo bổ đề 3.3.3.2, ta có
A(
1)
(a)
1 a
( ) f
( 1) n
1
(a)log 1
1 a
( ) f
1
a
(a)log
a
( ) f
1
f n 1 1 a 1 f 1 a 1 f 1 a 1
a
nên
(a)log
a
( ) f
1
f a 1
1 Kết hợp với công thức (3.19) suy ra
a
L (1, )
(a)log
.S
p
a
( )
1 (N))
( ) f
p(1
pf(1
(N))
1
p 1
1
a
.
S
(a)log
a
p
1
f a 1
1 1
f a 1
p ap
với , ta biến đổi
S
(a)log
f a 1
1
pa
p ap
a
(a)log
p
(a)log
1 1 1
1
f a 1
f a 1
1
1
(áp dụng công thức (3.21))
ap
a
(a)log
p
(a)log
1
1
f a 1
f a 1
1
1
ap
a
p
(a)log
(ap)log
S
(p)
1
1
f a 1
f a 1
1
(áp dụng công thức (3.20)). Ta tiếp tục tính S bằng cách xét hai trường hợp. (cid:31)
a
( (p) p)
(a)log
1
f a 1
1
a
1
( (p) p)
(a)log
a
1
f a 1 (a,f) 1
aN
1
Nếu (p,f) = 1,
( (p) p)
(a)log
a
1
1
aN
a
(N)
( (p) p)
(aN)log 1
(a)log 1
f a 1 (a,p) 1
f a 1 (a,p) 1
f a 1 (a,p) 1
a
(áp dụng công thức (3.22))
( (p) p)( (N) 1)
(a)log 1
f a 1 (a,p) 1 a
a
a
a
.
log
log 1
log 1
log 1
a
Do
S ( (p) p)( (N) 1)
(a)log 1
f a 1
. suy ra ( vì là căn bậc f của đơn vị )
f p , vì có conductor là f >1 nên theo bổ đề 2.1.3.2,
(cid:31) Nếu (p,f) >1 , khi đó
c ¹ . Từ công thức
(b)
1
b = 1+x.
f p
apb
ap
tồn tại số nguyên với x Î sao cho
ap ( mod f)
b=1+x.
f p
º . Từ suy ra apb với mọi a Î do đó
1
(b)
/ f có thể biểu diễn theo hai cách
a=1,2,...,f
ab f
a=1,2,...,f
c ¹ suy ra (b,f) =1 nên a f
a
và
S 0 ( (p) p)( (N) 1)
f a 1
apb
ap
(ab)log
(a)log
1
1
. . Ta khẳng định (a)log 1
1
ap
Thật vậy, ta có f a 1
(b)
(a)log
1
f a 1
1
ap
.
c ¹ suy ra 1
(b)
(a)log
0
f a 1 1
1 f a 1
a
Vì .
(a)log
0
1
1
1
a
Tương tự ta cũng có
0
(a)log 1
f a 1 f a 1 Tóm lại trong cả hai trường hợp ta đều có
a
và .
S ( (p) p)( (N) 1)
(a)log 1
f a 1
a
,
L (1, )
( (p) p)( (N) 1)
p
(a)log 1
( )
pf(1
(N))
f a 1
a
vì vậy
L (1, )
1
p
(a)log 1
(p) p
( ) f
f a 1
. (3.23)
a
Công thức (3.23) được xem là tương tự p-dic của giá trị của L- hàm phức tại
L(1, )
(a)log 1
( ) f
f a 1
s =1 , .
§5. GIÁ TRỊ CỦA L-HÀM p-ADIC TẠI CÁC ĐIỂM NGUYÊN DƯƠNG.
Trong § trước ta đã tính được
pL (1, ) . Một câu hỏi đặt ra là : “ Có hay không pL (r, ) với số nguyên r ≥ 2 ? “. Sau đây p
pL (r, ) trong
công thức tương tự đối với giá trị của
(p)p
L(r,
)
r 1
r 1
r
trong .
chúng ta khẳng định rằng tồn tại một chuỗi số đại số hội tụ về đồng thời hội tụ về 1 3.5.1. Các khái niệm.
n! x(x 1)...(x n)
n x (n 1)! x(x 1)...(x n)(x n 1)
n 1 x
. Xét Với mỗi n , ta định nghĩa
n! (x 1)...(x n)(x n 1)
,
n! x(x 1)...(x n) n n x 1 x
n 1 x
(3.24) vì vậy
(
1 j )
Bổ đề .
n j x
j
n x
n j 0
với n ≥ 1. (3.25)
j
( 1)
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. với n = 1,
1 x(x 1)
1 x
1 x 1
1 j x j
1 x
1 j 0
j
( 1)
.
n j x j
n x
n j 0
j
j
( 1)
( 1)
n j 1
n j
n 1 j x j
x j
n 1 j 0
n 1 j 0
, ta có Giả sử
j 1
j
( 1)
( 1)
n j 1 (x 1)
(j 1)
n j x j
n x 1
n j 0 n x
n 1 j 1 n 1
log(1 x)
x r 1
.
log(1 x)
x r 1
n
khả vi vô hạn lần tại x = 0. Do đó Với mỗi số nguyên r ≥ 2, hàm
c x r,n
x
n 0
ta có thể khai triển . (3.26)
n
( 1) c
Đặt
A
r,n
n
, (3.27)
A (1 x)
r,n
A (x) r
r,n (r 1)! n 0
r 1
n
. (3.28)
c
(x 1)
r,n
A (x) r
1 (r 1)!
log x x 1
r 1
. Trên trường p-adic phức
Suy ra . (3.29)
1 (r 1)! n 0 ) với số nguyên r ≥ 2. 3.5.2. Giá trị của pL (r, Cho r ≥ 2, là đặc trưng Dirichlet nguyên thuỷ với conductor f, gọi g là p , xét chuỗi conductor của đặc trưng
r 1
pjg a
j ( 1) (1 x)
n j
hàm hình thức
F(x)
(a)
A
-r+1
r,n
pjg a
n j 0
n 0
pg a 1 (a,p) 1
.
pL (1, ) , ta tính
pL (r, ) bằng cách sử dụng “công
Cũng như ý tưởng về cách tính
pjg a 1
F '(x)
(a)
A
j ( 1) (1 x)
-r+1
r,n
n j
n j 0
n 0
n
pg
a 1
(a)
A
(1 x)
-r+1
r,n
1 (1 x)
n 0
pg a 1 (a,p) 1 pg a 1 (a,p) 1
cụ” biến đổi của F. Ta có
pg
(1 x) a 1
-r+1
r
(a)A (1 x)
pg a 1 (a,p) 1
x
x
pgx
. ( theo (3.28))
DF(e
1) xe
-r+1
(a)A e r
e (a 1)x
pg a 1 (a,p) 1
pgx
l og e
r 1
pgx
Suy ra .
A e r
pgx
1 r 1
ax
x
r 1
( theo (3.29) ) Mà
DF(e
1)
.x
(a)xe pgx
1 (r 1)! e r 1 pg x pgx (r 1)! e r 1 pg (r 1)!
1
-r+1 e
1 pg a 1 (a,p) 1
ax
apx
r 1
x
(a)xe pgx
(pa)xe gpx
r 1 pg (r 1)!
1
-r+1 e
-r+1 e
1
pg a 1
g a 1
r 1
(p)
r 1
(x)
(px) x
F
F
-r+1
-r+1
-r+1 p
m
m
(p)
r 1
B
.
B
.
x
m,
m,
-r+1
-r+1
pg (r 1)! r 1 pg (r 1)!
x m!
-r+1 p
(px) m!
m 0
m 0
r 1
m r 1
x
m 1
(p)p
B
.
-r+1
m,
-r+1
1
m!
m 0
r 1
n
n r
nên
(p)p
B
.
-r+1
n r 1,
-r+1
(n r)...(n 1)n 1
pg (r 1)! pg (r 1)!
x n!
n r 1
n
x
.
DF(e
(DF)
1)
n
x n!
n r
Do
(DF)
(p)p
B
n
-r+1
-r+1
nên với n ≥ r -1.
n
s
n 0 r 1 pg (r 1)! s bất kỳ, chọn dãy
(n r)...(n 1)n 1 trong
n r 1, n p-1
p
k
kn
lim n k
sao cho Với
đối với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường.
k
lim n k
đối với chuẩn p-dic và
Vì
B n
r 1,
n -r+1
k
n
r
n
r
k
k
-r+1
k
k
1
(p)p
1
(p)p
n -r+1
-r+1
k
n
B n n
k
r 1, r 1
r 1 k L (r n , )
L (1 (n
r 1), )
k
p
p
k
r 1
(DF)
(n
r 1)...(n
1)n .L (r n , )
n
k
k
p
k
k
k
pg (r 1)!
do đó
(s
r 1)...(s 1)s.L (r
s, )
(s)
(DF)
p
DF
n
k
lim k
.
(s
r 1)...(s 1).L (r
s, )
(s)
s
(s)
p
F
r 1 pg (r 1)! r 1 pg (r 1)!
. (3.30)
.L (r, )
r ( 1) . pg
p
r 1 Đặc biệt F (0) Mặt khác, theo định lí xây dựng toán tử – biến đổi, ta có
j ( 1)
(pjg a,s)
n j
. Mà DF nên F (s)
(s)
(a)
A
F
-r+1
r,n
pjg a
n j 0
n 0
pg a 1 (a,p) 1
j
( 1)
,
(0)
(a)
A
F
-r+1
r,n
n j pjg a
n 0
n j 0
pg a 1 (a,p) 1
j
( 1)
suy ra
(a)
A
-r+1
r,n
1 pg
n j a / pg j
n j 0
n 0
pg a 1 (a,p) 1
.
n
Ap dụng công thức (3.25), ta được
(a)
A
-r+1
r,n
1 pg
a / pg
n 0
pg a 1 (a,p) 1 Từ (3.30), (3.31) suy ra
r
n
. ( 3.31 ) F (0)
L (r, )
(a)
A
p
-r+1
r,n
1 pg
a / pg
n 0
pg a 1 (a,p) 1
. (3.32)
r
n
Một điều khá lý thú là trong mặt phẳng phức , người ta chứng minh được chuỗi
(a)
A
(p)p
L(r,
)
-r+1
r,n
r 1
r 1
r
1 pg
a / pg
n 0
pg a 1 (a,p) 1
. hội tụ về 1
TÀI LIỆU THAM KHẢO. [1]. Borevich,Z.I. and Shafarevich,I.R. (1966), Number Theory, Academic Press, New York and London. [2]. Fresnel,J., Fonctions Zeta p-adiques des corps de nombres abéliens reéls, Acta Arith. [3]. Hu, P.C. and Yang, C.C.(2000), Value distribution theory of p-adic meromorphic functions, HongKong.
[4]. Iwasawa, Kenkichi (1969), On p-adic L-functions, Ann. Math. [5]. Iwasawa, Kenkichi (1972), Lectures on p-adic L-functions, Princeton University of Tokyo Press, Japan. [6]. Koblitz, Neal (1991), p-adic Number, p-adic Analysis and Zeta-Functions, Springer- Verlag. [7]. Kubota, Y, und Leopoldt, H.W. (1964), Eine p-adische Theorie de Zetawerte, Jour. Reine und angew. Math.
