Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Xây dựng và sử dụng các bài toán đếm nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

VŨ THỊ BÉ

XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG CÁC BÀI TOÁN ĐẾM

NHẰM RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO

CHO HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

Hà Nội – 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

VŨ THỊ BÉ

XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG CÁC BÀI TOÁN ĐẾM NHẰM

RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 01 11

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TSKH. Vũ Đình Hòa

Hà Nội – 2016

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu,

hội đồng khoa học và các thầy cô giáo đang công tác giảng dạy tại trường Đại

học Giáo Dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận

lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đề tài.

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy

giáo PGS.TSKH. Vũ Đình Hòa – người đã trực tiếp hướng dẫn nhiệt tình chỉ

bảo tác giả trong quá trình nghiên cứu thực hiện đề tài.

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn sự quan tâm tạo điều kiện của Ban

lãnh đạo Sở Giáo Dục – Đào tạo Vĩnh Phúc và Ban giám hiệu, các thầy cô

giáo và các em học sinh trường THPT Thái Hòa – Vĩnh Phúc đã tạo điều kiện

thuận lợi nhất cho tác giả trong quá trình thực hiện đề tài.

Lời cảm ơn chân thành của tác giả cũng xin được dành cho người thân,

gia đình và bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt là lớp Cao học Lý luận và Phương

pháp dạy học (bộ môn Toán) K10 trường Đại học Giáo Dục – Đại học Quốc

gia Hà Nội, vì trong suốt thời gian qua đã cổ vũ, động viên, tiếp thêm sức

mạnh cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mình.

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn chắc chắn không tránh khỏi

những thiếu sót cần được góp ý, sửa đổi. Tác giả mong được lượng thứ và rất

mong những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng

nghiệp để luận văn được hoàn thiện.

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 201

Tác giả

Vũ Thị Bé

DANH MỤC CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

Quy ước về các chữ cái viết tắt trong luận văn

CHỮ VIẾT TẮT VIẾT ĐẦY ĐỦ

GV Giáo viên

HS Học sinh

H Hỏi

Nxb Nhà xuất bản

SGK Sách giáo khoa

SBT Sách bài tập

THPT Trung học phổ thông

MỤC LỤC Lời cảm ơn ......................................................................................................... i Danh mục các chữ cái viết tắt ........................................................................... ii Danh mục các bảng, biểu đồ ............................................................................. v MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2 3. Phạm vi nghiên cứu ....................................................................................... 2 4. Mẫu khảo sát ................................................................................................. 2 5. Vấn đề nghiên cứu......................................................................................... 3 6. Giả thuyết nghiên cứu ................................................................................... 3 7. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 3 8. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 3 9. Đóng góp của luận văn .................................................................................. 4 10. Cầu trúc luận văn ........................................................................................ 4 Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .......................................... 5 1.1. Tư duy ........................................................................................................ 5 1.1.1. Khái niệm về tư duy ................................................................................ 5 1.1.2. Đặc điểm của tư duy ............................................................................... 6 1.1.3. Các thao tác tư duy .................................................................................. 6 1.2. Sáng tạo ...................................................................................................... 6 1.2.1. Khái niệm về sáng tạo ............................................................................. 6 1.2.2. Quá trình sáng tạo ................................................................................... 6 1.3. Tư duy sáng tạo .......................................................................................... 7 1.3.1. Các quan điểm về tư duy sáng tạo .......................................................... 7 1.3.2. Một số thành tố đặc trưng của tư duy sáng tạo ...................................... 8 1.4. Biện pháp bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán ......................................................................................................... 10 1.5. Cách thức xây dựng bài toán để tăng hiệu quả dạy Toán ........................ 10 1.5.1. Nguyên tắc lựa chọn bài tập .................................................................. 10 1.5.2. Nguyên tắc sử dụng hệ thống bài tập .................................................... 11 1.6. Phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo qua bài toán đếm trong tổ hợp ................................................................................................................... 11 1.7. Thực trạng dạy và học bài toán đếm trong tổ hợp ở trường phổ thông ... 12 1.8. Thực trạng rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khi dạy học chủ đề bài toán đếm ở trường phổ thông .......................................................................... 13

iii

Chƣơng 2: XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG CÁC BÀI TOÁN ĐẾM TRONG CHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 BAN CƠ BẢN NHẰM RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH ............................ 15 2.1. Nội dung kiến thức liên quan đến bài toán đếm lớp 11 trung học phổ thông (ban cơ bản) ........................................................................................... 15 2.1.1. Mục tiêu, nhiệm vụ và nội dung kiến thức ........................................... 15 2.1.2. Những chú ý khi dạy và học chủ đề bài toán đếm lớp 11 (ban cơ bản) 16 2.2. Nội dung kiến thức và phương pháp chung giải bài toán đếm trong tổ hợp ......................................................................................................................... 17 2.2.1. Nội dung kiến thức ................................................................................ 17 2.2.2. Phương pháp chung giải bài toán đếm trong tổ hợp ............................. 19 2.3. Xây dựng và sử dụng bài toán đếm nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ........................................................................................................... 20 2.3.1. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua xây dựng và sử dụng bài toán đếm số ................................................................................................ 20 2.3.2. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua xây dựng và sử dụng bài toán sắp xếp người, đồ vật ......................................................................... 43 2.3.3. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua xây dựng và sử dụng một cách sáng tạo bài toán chọn số phương án để thỏa mãn một số điều kiện cho trước .......................................................................................................... 53 2.3.4. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua xây dựng và sử dụng bài toán đếm có liên quan đến hình học .......................................................... 66 Kết luận chương 2 ........................................................................................... 73 Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................... 74 3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm ................................... 74 3.2. Đối tượng thực nghiệm sư phạm .............................................................. 75 3.3. Tiến hành thực nghiệm sư phạm .............................................................. 75 3.4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm ................................................................. 75 3.5. Nội dung thực nghiệm sư phạm ............................................................... 77 3.6. Kết quả thực nghiệm sư phạm ............................................................... 100 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ............................................................. 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 106

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ

Bảng 3.1. Mức độ hứng thú của học sinh ở hai lớp thực nghiệm và đối chứng ....................................................................................................................... 101 Bảng 3.2. Nhận xét của học sinh lớp thực nghiệm về bài giảng ................... 101 Bảng 3.3. Kết quả điểm kiểm tra sau khi dạy thực nghiệm .......................... 102

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Nâng cao chất lượng giáo dục nói chung, chất lượng dạy học môn Toán

nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện

nay. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội

dung và phương pháp dạy học.

Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong

Nghị Quyết Trung ương 4 khóa VII (1-1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóa

VIII (12-1996) và được thể chế hóa trong Luật Giáo dục sửa đổi ban hành

ngày 27/06/2005, điều 2.4 đã ghi rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải

phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với

đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn

luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem

lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Như vậy, rèn luyện khả năng

sáng tạo cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của nhà trường phổ thông.

Toán học là môn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và nghiên cứu

các môn khoa học khác. Toán học có vai trò to lớn trong sự phát triển của các

ngành khoa học kỹ thuật. Vì thế, dạy học môn Toán ở nhà trường phổ thông

giữ vai trò quan trọng trong việc rèn luyện, bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học

sinh.

Từ trước đến nay đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm đến

vấn đề rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. Nhà Toán học nổi tiếng Polya

đã đi sâu nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán

học và cho ra mắt tác phẩm Sáng tạo toán học. Ở nước ta, các giáo sư Hoàng

Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn…cũng đã nghiên cứu về lý luận và thực tiễn việc

phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.

Có thể thấy rằng vấn đề rèn luyện và bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho

học sinh trong giảng dạy bộ môn Toán đã thu hút đươc sự quan tâm chú ý của

nhiều nhà nghiên cứu. Tuy nhiên các tác giả chưa đi sâu khai thác vào nghiên

cứu cụ thể việc rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua việc dạy học chuyên đề

bài toán về phép đếm, xây dựng và sử dụng hệ thống bài toán đếm. Trong khi

đó, trong chương trình Toán phổ thông, tổ hợp và xác suất là một trong những

nội dung quan trọng luôn xuất hiện trong đề thi Trung học phổ thông quốc gia

và đề thi học sinh giỏi. Và các bài toán về phép đếm là cơ sở để giải các bài

toán về tổ hợp và xác suất. Và từ trước đến nay, có nhiều tác giả nghiên cứu

về tổ hợp, xác suất như: Nguyễn Văn Mậu, Vũ Đình Hòa, Phan Huy Khải,

Trần Nam Dũng, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng, … Tuy nhiên, những

nghiên cứu đó mới mang tính định hướng trong nghiên cứu về phương pháp

dạy và học Toán.

Với các lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Xây dựng và sử dụng

các bài toán đếm nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh” trong chương

trình Đại số và Giải tích lớp 11 ban cơ bản nhằm nâng cao chất lượng dạy và

học môn Toán ở nhà trường phổ thông.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo.

Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần rèn luyện tư

duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc xây dựng và sử dụng bài toán đếm

trong chương tổ hợp – xác suất lớp 11 ban cơ bản.

3. Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các bài toán đếm trong sách giáo khoa và sách bài tập Đại

số và Giải tích 11.

Thời gian nghiên cứu: từ tháng 11/2015 đến tháng 11/2016.

4. Mẫu khảo sát

Học sinh các lớp 11A1, 11A2 trường THPT Thái Hòa, Vĩnh Phúc năm

học 2016 – 2017.

5. Vấn đề nghiên cứu

Tư suy sáng tạo và vai trò của tư duy sáng tạo trong học toán là gì?

Xây dựng và sử dụng các bài toán đếm như thế nào để rèn luyện tư suy

sáng tạo cho học sinh?

6. Giả thuyết nghiên cứu

Nếu dạy bài toán đếm lớp 11 theo các biện pháp đề xuất trong luận văn

này thì sẽ rèn luyện tư duy sáng tạo như thế nào cho học sinh.

7. Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm sáng tỏ khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo, các yếu tố đặc trưng của

tư duy sáng tạo.

Xây dựng và khai thác hệ thống bài toán đếm lớp 11 phù hợp với sự

phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.

Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện

thực, tính hiệu quả của đề tài.

8. Phƣơng pháp nghiên cứu

8.1. Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu lý luận dựa vào những tài liệu có sẵn, những văn kiện

Đảng và Nhà nước về các vấn đề liên quan đến Giáo dục như: thực trạng giáo

dục, chương trình đổi mới sách giáo khoa, cách thức vận dụng và đổi mới

phương pháp dạy học hiện nay,…

- Nghiên cứu cơ sở lý luận để làm sáng tỏ vai trò của phương pháp dạy

học phát triển tư duy sáng tạo cho trong chủ để Tổ hợp ở các trường THPT.

- Nghiên cứu chương trình, giáo trình, tài liệu hướng dẫn về tổ hợp –

bài toán đếm để xác định mức độ nội dung và yêu cầu về mặt kiến thức, kỹ

năng giải bài tập mà học sinh cần nắm vững.

8.2. Phương pháp điều tra, quan sát

Dự giờ, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với các đồng nghiệp.

Tham khảo ý kiến của các giáo viên có nhiều kinh nghiệm trong giảng

dạy toán ở bậc trung học phổ thông.

Tiếp thu và nghiên cứu ý kiến của giảng viên hướng dẫn, các chuyên

gia về bộ môn.

Điều tra thực trạng khả năng sáng tạo của học sinh trước và sau giảng

khi thực nghiệm.

8.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Tiến hành dạy thực nghiệm ở các lớp 11A1, 11A2 trường THPT Thái

Hòa, Vĩnh Phúc năm học 2016 – 2017 để xét tính khả thi và hiệu quả của việc

phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học bài toán đếm ở trường phổ thông.

8.4. Phương pháp thống kê toán học

Xử lý các số liệu thu được sau khi điều tra.

9. Đóng góp của luận văn

Trình bày cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo.

Thực trạng dạy học bài toán đếm trong chương tổ hợp – xác suất ở nhà

trường phổ thông.

Đề xuất được phương pháp rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

thông qua việc xây dựng và sử dụng các bài toán đếm trong chương trình toán

lớp 11 ban cơ bản.

Kết quả quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho đồng

nghiệp và cho những ai quan tâm đến dạy học để rèn tư duy sáng tạo và góp

phần hữu ích cho việc giảng dạy bài tập chuyên đề bài toán đếm trong tổ hợp.

10. Cầu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn

được trình bày trong 3 chương như sau:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn.

Chương 2 Xây dựng và sử dụng các bài toán đếm trong chương trình

đại số và giải tích 11 ban cơ bản nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm.

CHƢƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Tƣ duy

1.1.1. Khái niệm về tư duy

Theo từ điển tiếng Việt “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận

thức đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những

hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lý”. [17, tr. 1437]

Theo các tác giả Nguyễn Quang Uẩn, Nguyễn Quang Lũy, Đinh Văn

Vang “Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất,

những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện

tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết”. [16, tr. 79]

Theo một định nghĩa khác, “Tư duy” là danh từ triết học dùng để chỉ

những hoạt động của tinh thần, đem những cảm giác của người ta sửa đổi và

cải tạo thế giới thông qua hoạt động vật chất, làm cho người ta có nhận thức

đúng đắn về sự vật và ứng xử tích cực với nó.

Tư duy bắt nguồn từ hoạt động tâm lý, hoạt động này gắn liền với phản

xạ sinh lý, là hoạt động đặc trưng của hệ thần kinh cao cấp. Hoạt động đó

diễn ra ở các động vật cao cấp, đặc biệt biểu hiện rõ ở thú linh trưởng và ở

người. Nhưng tư duy với tư cách là hoạt động tâm lý bậc cao nhất thì chỉ có ở

con người và là kết quả của quá trình lao động sáng tạo của con người.

Qua phân tích một số quan điểm về tư duy như trên, chúng tôi đã hiểu

về tư duy như sau:

“Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh hiện thực khách quan một cách

gián tiếp, là sự phản ánh những thuộc tính chung và bản chất, tìm ra những

mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng mà ta chưa từng

biết”.

1.1.2. Đặc điểm của tư duy

Với tư cách là một mức độ của hoạt động nhận thức, tư duy có những đặc

điểm sau:

 Tính có vấn đề của tư duy.

 Tính gián tiếp của tư duy.

 Tính trừu tượng và khái quát của tư duy.

 Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ.

 Tính chất lí tính của tư duy.

1.1.3. Các thao tác tư duy

Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ.

Các thao tác trí tuệ cơ bản là:

 Phân tích – tổng hợp.

 So sánh – tương tự.

 Khái quát hóa, đặc biệt hóa và trừu tượng hóa.

1.2. Sáng tạo

1.2.1. Khái niệm về sáng tạo

Theo Bách khoa toàn thư: “Sáng tao là hoạt động của con người trên cơ

sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã

hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người. Sáng tạo là hoạt động có

tính đặc trưng không lặp lại, tính độc đáo và duy nhất”.

Theo từ điển tiếng Việt: “Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết

mới, không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có”. [17, tr.1130]

Như vậy, có thể hiểu một cách ngắn gọn: Sáng tạo là tìm ra cái mới,

cách giải quyết mới không bị gò bó phụ thuộc vào những cái đã có.

1.2.2. Quá trình sáng tạo

Quá trình sáng tạo gồm bốn (04) giai đoạn:

- Giai đoạn chuẩn bị cho công việc ý thức: Là hình thành vấn đề đang

giải quyết và giải quyết bằng các cách khác nhau có huy động thông tin, suy

luận.

- Giai đoạn ấp ủ: Giai đoạn này bắt đầu khi công việc giải quyết vấn đề

bị ngừng lại, còn lại các hoạt động tiềm thức, các hoạt động bổ xung cho vấn

đề được quan tâm.

- Giai đoạn bừng sáng: Giai đoạn ấp ủ kéo dài cho đến giai đoạn bừng

sáng trực giác là một bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức, xuất

hiện đột ngột và kéo theo sự sáng tạo. Đây là giai đoạn quyết định trong quá

trình tìm kiếm lời giải.

- Giai đoạn kiểm chứng: Giai đoạn này cần phải triển khai lập luận

chứng minh lôgic và kiểm tra lời giải nhận được từ trực giác. Giai đoạn này là

cần thiết vì tri thức nhận được bằng trực giác chưa chắc chắn vì nó có thể

đánh lừa việc tìm kết quả.

1.3. Tƣ duy sáng tạo

1.3.1. Các quan điểm về tư duy sáng tạo

Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng

tạo. Theo tâm lý học: “Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoài phạm vi giới

hạn của hiện thực, của vốn kinh nghiệm và tri thức đã có, giúp quá trình giải

quyết nhiệm vụ của tư duy được linh hoạt hiệu quả”.

Theo G.Polya: “Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến

lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra

những tư liệu, phương tiện giải các bài toán khác. Các bài toán vận dụng

những tư liệu, phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu,

muôn vẻ thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao”. [6]

Theo Nguyễn Bá Kim cho rằng: “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính

phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm

về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể

hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi

mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái

cũ”. [12]

Từ các khái niệm về tư duy sáng tạo ta có thể hiểu đó là sự kết hợp đỉnh

cao, hoàn thiện nhất của tư duy tích cực và tư duy độc lập, tạo ra cái mới có

tình giải quyết vấn đề một cách hiệu quả và chất lượng.

Đối với học sinh, có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám

phá, tự tìm cách giải quyết một bài toán mà học sinh đó chưa biết đến hoặc đã

biết nhưng làm theo phương thức khác. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư

duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả

cao, thể hiện tính mới lạ độc đáo, khả thi.

1.3.2. Một số thành tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học về cấu trúc của

tư duy sáng tạo đã đưa ra năm thành tố cơ bản: Tính mềm dẻo, tính nhuần

nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề, tính hoàn thiện.

a. Tính mềm dẻo

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác.

- Suy nghĩ không rập khuân, không áp dụng một cách máy móc

nhữnng kinh nghiệm kiến thức, kỹ năng đã có với hoàn cảnh mới trong đó có

nhiều yếu tố đã thay đổi.

- Nhận ra những vấn đề mới trong điều kiện cũ, nhìn thấy chức năng mới

của đối tượng đã quen biết.

Như vậy, để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh giáo viên có thể cho

các em giải một số bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của

tư duy.

b. Tính nhuần nhuyễn

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện năng lực tạo ra một cách nhanh

chóng sự kết hợp các yếu tố riêng lẻ của tình huống, hoàn cảnh đưa ra giả

thuyết mới và ý tưởng mới. Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng

của ý tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo.

Tính nhuần nhuyễn của tư duy được thể hiện ở hai đặc trưng sau:

- Tính đa dạng của cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải

pháp trên nhiều góc độ và tính huống khác nha. Đứng trước một vấn đề cần

giải quyết người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm ra và đề xuất được

nhiều phương án khác nhau từ đó tìm ra được phương án tối ưu.

- Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau và có cái

nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật hiện tượng chứ không phải cái

nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.

c. Tính độc đáo

Tính độc đáo là khả năng tìm và quyết định phương thức mới.

Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi khả năng:

- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới.

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài

tưởng như không có liên hệ với nhau.

- Khả năng tìm ra những giải pháp mới mặc dù đã biết giải pháp cũ.

d. Tính hoàn thiện

Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành

động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.

e. Tính nhạy cảm vấn đề

Là năng lực phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu lôgic,… từ

đó đưa ra hướng giải quyết, tạo ra cái mới.

Các yêu tố cơ bản cửa tư duy sáng tạo nêu trên biểu hiện khá rõ ở học sinh

đặc biệt là học sinh khá, giỏi. Trong các hoạt động giải toán các em biết linh

hoạt các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng hợp lý quá trình phân tích, tổng hợp,

biết khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa…

1.4. Biện pháp bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo cho học sinh thông qua

dạy học môn Toán

Các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân trong tác

phẩm “Khuyến khích một số các hoạt động trí tuệ của học sinh quan môn

Toán ở trường Trung học cơ sở” đã đưa ra những biện pháp để bồi dưỡng tư

duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học bộ môn Toán như sau:

- Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo đó là tính

mềm dẻo, tình nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề và tính hoàn

thiện.

- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động

trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa…

- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn

luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới.

- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành

thường xuyên trong tất cả các khâu của quá trình dạy học.

1.5. Cách thức xây dựng bài toán để tăng hiệu quả dạy Toán

1.5.1. Nguyên tắc lựa chọn bài tập

Hệ thống bài tập mà giáo viên lựa chọn phải thỏa mãn các yêu cầu sau:

i) Bài tập phải đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp; phạm vi và số

lượng các kiến thức, kĩ năng cần vận dụng từ một đề tài đến nhiều đề

tài,…giúp học sinh hiểu và ghi nhớ được phương pháp giải các loại bài tập

điển hình.

ii) Mỗi bài tập phải là một mắt xích trong hệ thống bài tập, đóng góp một

phần nào đó vào việc củng cố, hoàn thiện và mở rộng kiến thức.

iii) Hệ thống bài tập đa dạng, phong phú bao gồm nhiều thể loại bài tập.

iv) Hệ thống bài tập có tác dụng đối với sự phát triển tư duy, bồi dưỡng

năng lực sáng tạo cho học sinh, có thể phân loại học sinh.

1.5.2. Nguyên tắc sử dụng hệ thống bài tập

Các bài tập lựa chọn có thể sử dụng ở các khâu khác nhau của quá trình

dạy học nêu vấn đề, hình thành kiến thức mới, củng cố, hệ thống hóa, kiểm

tra và đánh giá kiến thức kỹ năng của học sinh.

Trong tiến trình dạy học một kiến thức toán học cụ thể, việc giải hệ

thống bài tập mà giáo viên đã lựa chọn cho học sinh thường bắt đầu bằng

những bài tập định tính hay bài tập tập dượt. Sau đó, học sinh sẽ giải những

bài tập có nội dung phức tạp hơn. Việc giải những bài tập phải vận dụng kiến

thức tổng hợp, những bài tập có nội dung kĩ thuật với dữ kiện không đầy đủ,

những bài tập sáng tạo có thể coi là sự kết thúc việc giải hệ thống bài tập đã

được lựa chọn. Phải chú ý đến việc cá biệt hóa học sinh trong việc giải bài tập

toán học.

1.6. Phƣơng pháp dạy học phát triển tƣ duy sáng tạo qua bài toán

đếm trong tổ hợp

Trong quy tắc đếm, vấn đề ý tưởng giải là rất quan trọng. Các bài toán

đếm đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức nền tảng và khả năng phân tích

lôgic tự nhiên của người học. Điều khó khăn nhất đối với học sinh khi giải bài

toán đếm là tính chất “rời rạc” của các bài toán. Nắm bắt được điều này,

người thầy cần xây dựng được tính hệ thống, tạo được mối liên hệ giữa các

bài tập với nhau, phân tích được mối liên hệ lôgic, tự nhiên giữa các bài tập.

Trong thực tế về tiến trình dạy học, người dạy có thể bắt đầu từ một bài

toán gốc, một ý tưởng gốc. Dựa trên yếu tố người học là trung tâm, vận dụng

các kỹ thuật tạo ra ý tưởng để phân tích, hướng dẫn học sinh tìm tòi, suy nghĩ

tự nhiên để giải quyết bài toán. Người thầy có thể gợi ý cho học sinh theo

hướng quy lạ về quen, tìm mối quan hệ với các bài toán khác đã biết cách

giải, cũng có thể tìm các đảo ngược vấn đề, suy luận ngược từ cuối… Sau khi

giải quyết xong bài toán gốc, người thầy có thể gợi ý cho học sinh thử tìm

cách thay đổi hình thức của bài toán để có thể dẫn đến bài toán mới. Có thể

chỉ đơn giản là phát biểu bài toán theo một cách khác, phát biểu bài toán theo

kiểu chuyển từ mệnh đề thuận sang mệnh đề đảo, đặc biệt hóa bài toán thành

một trường hợp riêng, cũng có thể tìm cách thay đổi dữ kiện bài toán.

Người thầy cũng có thể hướng dẫn học sinh tìm cách tương tự hóa, tổng

quát hóa, khái quát hóa bài toán, hoặc cũng có thể hướng dẫn học sinh

chuyển sang xét các trường hợp khác nhau, khía cạnh khác nhau của bài

toán…Tất nhiên việc xét bài toán trong nhiều trường hợp có thể dẫn đến

những sáng tạo không mong muốn, có thể dẫn đến những bài toán rất dễ, rất

khó, rất xấu hoặc thậm chí là sai, là không giải được. Vì vậy người giáo viên

cần dự kiến trước được những khả năng nào phù hợp với trình độ học sinh,

mức độ yêu cầu, thời lượng học tập trên lớp…để có những điều chỉnh phù

hợp nhất. Trong trường hợp không thể tạo ra được những bài toán mới thì ít

nhất là về hình thức, giáo viên có thể đưa ra những bài toán tiếp theo có thể

khác xa bài toán gốc về hình thức và yêu cầu, hướng dẫn, gợi ý học sinh tìm

mối liên quan.

Cần hiểu được học sinh có mặt mạnh ở điểm nào, còn yếu ở mảng nào,

cần phải bổ sung kiến thức nào, có đủ khả năng tạo ra bài toán mới ít nhất là

về mặt hình thức hay không, có thể tìm ra mối liên hệ giữa bài toán mới với

bài toán đã biết hay chưa. Dựa trên đánh giá chính xác học sinh, giáo viên có

thể yêu cầu học sinh bổ sung thêm kiến thức về mảng nào đó, có thể yêu cầu

học sinh tìm cách phát triển từ một bài toán gốc hay tìm mối liên hệ giữa một

loạt các bài toán với nhau.

1.7. Thực trạng dạy và học bài toán đếm trong tổ hợp ở trƣờng phổ

thông

Đây là phần mảng kiến thức hay và rất gần gũi với thực tế tuy nhiên

muốn hiểu sâu sắc thì giáo viên cần rất nhiều thời gian và công sức. Từ kinh

nghiệm của bản thân, qua trao đổi với đồng nghiệp và học sinh tôi nhận thấy:

Muốn học sinh dễ nhớ công thức và đặc biệt phân biệt được trong

trường hợp nào dùng quy tắc nhân, quy tắc cộng, hoán vị, chỉnh hợp hay tổ

hợp thì phải yêu cầu học sinh hiểu sâu các quy tắc đếm này và có thêm các

mẹo cho học sinh dễ nhớ và đưa ra nhiều bài toán có nội dung thực tế.

Bài tập về bài toán đếm rất rộng và phong phú nên giáo viên cần tìm ra

các mối liên hệ giữa các bài và tạo ra các lớp bài tập một cách hệ thống,

phong phú phù hợp với từng nhóm đối tượng học sinh.

Thời gian học tập trên lớp là không nhiều, trong quá trình giảng dạy

cần phải hướng dẫn thêm cho học sinh cách tự học, tự nghiên cứu thêm tài

liệu.

Khó khăn nhất của học sinh khi học phần này chính là việc phân biệt và

nhận biết khi nào dùng quy tắc nhân, quy tắc cộng, hoán vị, chỉnh hợp và tổ

hợp, khi nào kết hợp các quy tắc đếm để giải được bài toán. Vì vậy đòi hỏi

người giáo viên phải có phương pháp phù hợp.

1.8. Thực trạng rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh khi dạy học

chủ đề bài toán đếm ở trƣờng phổ thông

Hiện nay trên thực tế viêc sử dụng phương pháp dạy học phát triển tư

duy sáng tạo trong tổ hợp nói chung và bài toán đếm nói riêng vẫn còn rất hạn

chế. Các thầy cô giáo vẫn chủ yếu chỉ dừng lại ở phương pháp giảng dạy theo

hướng tổng hợp các bài toán.

Các vấn đề, bài toán được đưa ra còn khá riêng lẻ, ít có tính hệ thống,

ít có khả năng toát lên được đường lối chung, phương pháp chung để giải.

Các bài toán còn mang tính chất độc lập, chưa xâu chuỗi với nhau và chưa

được tiếp nghiên cứu đào sâu thêm sau khi giải hoàn chỉnh bài toán. Hầu hết

bài tập là do giáo viên hệ thống và đưa ra, học sinh chỉ cố gắng làm sao giải

hết số bài tập thầy cô giao, mà không hề nghĩ ra tổng quát hóa bài toán hay

nghiên cứu sâu bài toán để hiểu sâu hơn bản chất của bài toán. Sau khi học

sinh giải xong hoặc được thầy cô chữa xong một bài toán có thể hiểu được bài

toán, nhưng chỉ dừng lại ở mức độ đó mà không hề có tư tưởng hoặc dành

thời gian để nghiên cứu sâu bài toán như: thay đổi cách phát biểu, tương tự

hóa, tổng quát hóa, đặc biệt hóa, sáng tạo các bài toán có ý tưởng tương tự…

Do đó khi học sinh gặp một bài toán về bản chất giống bài toán cũ nhưng khi

được phát biểu khác đi, hỏi cách khác đi, có hình thức thay đổi thì không nhận

ra hoặc rất lúng túng trong việc định hướng lời giải. Điều này đương nhiên

làm cho học sinh vốn đã có tư tưởng sợ bài toán đếm lại càng không dám để

nghiên cứu sâu, tìm tòi và tất yếu hiệu quả học tập về chủ đề bài toán đếm sẽ

không cao và học sinh không có sự sáng tạo.

Tiểu kết chƣơng 1

Xuất phát từ cơ sở lý luận và thực tiễn ở trên tôi kết luận rằng:

Những nội dung và kiến thức toán về bài toán đếm đều lôi cuốn được

cả học sinh và giáo viên vì nó có nội dung rất gần gũi với thực tế, nhiều bài

toán thực tế. Đây là kiến thức quan trọng luôn có trong kỳ thi trung học phổ

thông Quốc gia nên giáo viên rất coi trọng cách dạy, cách truyền thụ sao cho

học sinh nắm bắt được vấn đề một cách tốt nhất, phân biệt được hai quy tắc

đếm, phân biệt được hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để giải bài tập có hiệu quả

nhất.

Để nội dung toán về bài toán đếm thực sự thật hấp dẫn với học sinh thì

chính giáo viên cũng cần có những nghiên cứu sâu hơn về kiến thức này.

Công sức nghiên cứu của giáo viên sẽ được thể hiện thông qua hệ thống bài

tập phong phú, đa dạng, có sáng tạo, dành cho nhiều đối tượng nhận thức theo

mức độ từ dễ đến khó và các bài tập có sự liên hệ với nhau.. Bên cạnh việc

xây dựng hệ thống bài tập thì giáo viên còn phải chỉ ra sử dụng nó như thế

nào cho có hiệu quả nhất và phát huy, rèn luyện được tư duy sáng tạo cho học

sinh.

CHƢƠNG 2

XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG CÁC BÀI TOÁN ĐẾM TRONG CHƢƠNG

TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 BAN CƠ BẢN NHẰM RÈN LUYỆN

TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

2.1. Nội dung kiến thức liên quan đến bài toán đếm lớp 11 trung học

phổ thông (ban cơ bản)

2.1.1. Mục tiêu, nhiệm vụ và nội dung kiến thức

2.1.1.1. Mục tiêu và nhiệm vụ của chủ đề bài toán về tổ hợp – bài toán đếm

lớp 11 (ban cơ bản)

Về kiến thức: Giúp học sinh

- Hiểu được khái niệm quy tắc cộng, quy tắc nhân. Nắm vững hai quy

tắc đếm cơ bản là quy tắc cộng và quy tắc nhân.

- Hiều được các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Đặc biệt thấy rõ

mối liên hệ và sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp. Nhớ công thức tính số

các hoán vị, số các tổ hợp, số các chỉnh hợp.

Về kỹ năng: Giúp học sinh

- Biết vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản vào giải toán tổ hợp. Phân biệt

rõ được khi nào dùng quy tắc cộng, khi nào dùng quy tắc nhân để tránh sự

nhầm lẫn giữa hai quy tắc.

- Biết vận dụng các công thức tính số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp

để giải một số bài toán đếm. Hiểu rõ khi nào dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ

hợp để giải bài toán đếm.

- Học sinh có thể dự đoán được phương pháp để giải một bài toán tổ

hợp.

- Học sinh có thể quy một bài toán có hình thức tương tác khác biệt về

bài toán quen thuộc hơn, đơn giản hơn có cùng bản chất.

- Học sinh có thể tìm cách thay đổi hình thức phát biểu, thay đổi cách

nhìn, tương tự hóa, đặc biệt hóa…một bài toán đã được giải để có được bài

toán mới có thể chỉ đơn giản là mới về mặt hình thức.

2.1.1.2. Nội dung kiến thức tổ hợp liên quan đến bài toán đếm lớp 11 trung

học phổ thông (ban cơ bản)

Kiến thức liên quan đến bài toán đếm trong chương trình lớp 11 trung học phổ

thông ban cơ bản dự kiến thực hiện trong 6 tiết, phân phối cụ thể như sau:

§1. Quy tắc đếm (2 tiết)

Luyện tập (1 tiết)

§2. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp (3 tiết)

Bài đọc thêm. Tính số các Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp

bằng máy tính bỏ túi.

2.1.2. Những chú ý khi dạy và học chủ đề bài toán đếm lớp 11 (ban cơ bản)

2.1.2.1. Những chú ý khi dạy chủ đề bài toán đếm lớp 11 (ban cơ bản)

Đối với giáo viên, khi dạy kiến thức liên quan đến tổ hợp cần chú ý một số

vấn đề sau đây:

- Thực tế giảng dạy cho thấy các bài toán tổ hợp luôn là một dạng toán

khó đối với học sinh. Đặc biệt học sinh rất lúng túng không biết khi nào dùng

quy tắc cộng, quy tắc nhân; không biết khi nào dùng tổ hợp, khi nào dùng

chỉnh hợp. Do đó, khi giảng dạy giáo viên cần cố gắng trình bày nội dung tổ

hợp cho thật sinh động, gần với thực tiễn, tránh hàn lâm. Giáo viên cần đưa ra

nhiều ví dụ về các tình huống khác nhau để học sinh có cơ hội thực hành, bắt

chước.

- Để giúp học sinh có thể tự làm được các bài tập, rèn luyện được tư

duy sáng tạo thông qua làm bài tập tổ hợp thì giáo viên cần xây dựng hệ thống

bài tập sao cho được chọn lọc cẩn thận và đóng vai trò quan trọng trong việc

củng cổ lý thuyết. Bên cạnh việc xây dựng hệ thống bài tập thì vấn đề đặt ra

giáo viên phải dạy và sử dụng hệ thống bài tập đó như thế nào cho phù hợp

với từng đối tượng học sinh, hướng dẫn học sinh làm các bài tập đó thật cần

thẩn. Thông qua đó, giáo viên có thể rèn luyện được tư duy sáng tạo cho học

sinh.

2.1.2.2. Những chú ý khi học chủ đề bài toán đếm lớp 11 (ban cơ bản)

Đối với học sinh, khi học về tổ hợp cần chú ý một số vấn đề sau:

- Nội dung tổ hợp là phần mở đầu của chương “Tổ hợp – Xác suất”.

Các kiến của nó rất cơ bản và liên quan mật thiết tới nội dung xác suất. Nếu

học sinh không nắm vững nội dung tổ hợp thì sẽ ảnh hưởng không tốt đến

việc học nội dung xác suất.

- Khi học nội dung tổ hợp các em cần phân biệt và hiểu rõ về hai quy

tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp được áp dụng khi nào. Tránh sự nhầm

lẫn, lúng túng giữa hai quy tắc đêm, giữa tổ hợp và chỉnh hợp.

- Học sinh muốn nắm vững nội dung tổ hợp thì phải tự mình làm được

các bài tập, tập thay đổi hình thức bài toán, thay đổi dữ kiện bài toán.

2.2. Nội dung kiến thức và phƣơng pháp chung giải bài toán đếm

trong tổ hợp

2.2.1. Nội dung kiến thức

2.2.1.1. Quy tắc đếm

a) Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành

động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực

hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó

có m + n cách thực hiện.

Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.

b) Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp.

Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n

cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.

2.2.1.2. Hoán vị

+ Định nghĩa: Cho tập gồm phần tử .

Mỗi kết quả của sự sắp sếp thứ tự phần tử của tập được gọi là một hoán

vị của phần tử đó.

+ Công thức xác định: Kí hiệu là số các hoán vị của phần tử. Ta có:

+ Chú ý: Quy ước 0! = 1.

+ Hoán vị vòng tròn: Có n vật được sắp xếp vào n vị trí theo một đường tròn

thì số số các hoán vị vòng tròn là:

2.2.1.3. Chỉnh hợp

+ Định nghĩa: Cho tập gồm phần tử

Kết quả của việc lấy phần tử khác nhau từ phần tử của tập và

sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập của

phần tử đã cho.

+ Số các chỉnh hợp:

Kí hiệu là số chỉnh hợp chập k của n phần tử . Ta có:

Chú ý: Khi k = n thì

2.2.1.4. Tổ hợp

+ Định nghĩa: Giả sử tập có n phần tử . Mỗi tập con gồm phần tử

của được gọi là một tổ hợp chập của phần tử đã cho.

+ Số các tổ hợp:

Kí hiệu là số các tổ hợp chập của phần tử .

Khi đó ta có:

2.2.2. Phương pháp chung giải bài toán đếm trong tổ hợp

2.2.2.1. Phương pháp đếm trực tiếp

Tùy theo bài toán chúng ta có thể chia trường hợp hay không chia trường hợp.

Nội dung: Đếm các trường hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

2.2.2.2. Đếm vị trí

+ Chọn vị trí cho số thứ nhất theo yêu cầu bài toán, suy ra số vị trí cho

các số tiếp theo.

+ Sắp xếp các số còn lại.

2.2.2.3. Phương pháp đếm loại trừ

Đếm loại trừ theo ba bước:

+ Bước 1: Đếm số phương án xảy ra bất kì ta có kết quả .

+ Bước 2: Đếm số phương án xảy ra không thỏa mãn yêu cầu bài toán

có kết quả xảy ra.

+ Bước 3: Số phương án đúng là .

Chú ý: Khi phương pháp đếm trực tiếp có nhiều trường hợp quá chúng ta sử

dụng phương pháp đếm loại trừ.

2.2.2.4. Phương pháp lấy trước rồi sắp xếp sau

+ Bước 1: Chọn ra trước cho đủ số lượng và thỏa mãn tính chất mà bài toán

yêu cầu.

+ Bước 2: Sắp xếp.

Chú ý: Áp dụng cho những bài toán có sự sắp xếp, cạnh nhau, có mặt.

2.2.2.5. Phương pháp tạo vách ngăn

+ Bước 1: Sắp xếp đối tượng vào vị trí sẽ tạo ra vách ngăn.

+ Bước 2: Sắp xếp đối tượng khác theo yêu cầu bài toán từ vách ngăn

nói trên.

Nhận xét: Hầu hết các bài toán tổ hợp đều sử dụng một trong các phương

pháp trên để giải quyết, tuy nhiên sự linh hoạt của từng phương pháp tùy

thuộc vào khả năng nhạy bén và sáng tạo của từng học sinh.

- Đối với bài toán mà tập ban đầu có số ta xét trường hợp xem số là

một số có nghĩa ta được kết quả , xét trường hợp số 0 đứng đầu ta có kết

quả , kết quả cần tìm là .

2.3. Xây dựng và sử dụng bài toán đếm nhằm rèn luyện tƣ duy sáng

tạo cho học sinh

Trong quá trình dạy học giáo viên nên đưa ra các bài tập liên quan theo

mức độ từ dễ đến khó. Và ở đây để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

thông qua việc xây dựng và sáng tạo bài toán mới từ bài toán gốc ban đầu, tôi

đã xây dựng bài tập theo hướng tiếp cận mới có sự phân bậc và thay đổi hình

thức bài toán, thay đổi số liệu bài toán theo mức độ khó dần, phù hợp với

nhiều đối tượng học sinh. Với kinh nghiệm ít ỏi của bản thân, học hỏi kinh

nghiệm của đồng nghiệp và từ việc tổng hợp bài tập trong sách giáo khoa và

sách bài tập ban cơ bản tôi đã xây dựng bài toán đếm theo 4 loại được trình

bày dưới đây.

2.3.1. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua xây dựng và sử

dụng bài toán đếm số

Cách giải thông thường cho bài toán đếm số

Bước 1: Gọi số cần tìm là .

Bước 2: Liệt kê các tính chất của số thỏa mãn yêu cầu.

Bước 3: Dựa vào tính chất xem bài toán có chia trường hợp không.

Bước 4: Thứ tự đếm (đếm ưu tiên)

+ Đếm các chữ số có mặt trong tính chất.

+ Đếm chữ số đầu tiên nếu nó chưa được đếm hoặc tập ban đầu có chứa

số 0.

+ Đếm các chữ số còn lại.

Bước 5: Sử dụng quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân.

Chú ý: Đây là phương pháp thông thường, khi dạy chúng ta có thể cho các em

sáng tạo áp dụng nhiều phương pháp khác nhau để lời giải ngắn gọn hơn.

Sáng tạo những bài toán đếm số theo hướng phát triển khó dần từ bài toán

gốc ban đầu và mỗi bài toán đưa ra các cách tiếp cận khác nhau.

Bài tập 1.1. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên gồm 4 chữ số?

Phân tích. Đây là bài toán đơn giản nhất trong số các bài toán đếm lập số tự

nhiên. Học sinh dễ dàng sử dụng quy tắc nhân để giải. Ở bài này các em cần

lưu ý các chữ số có thể giống nhau. Ta có thể trình bày bài toán như sau:

Lời giải. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là .

Để chọn ta phải chọn đồng thời 4 chữ số . Vì có thể trùng

nhau nên ta có:

+ có 9 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân có số cần tìm.

Phát triển. Bây giờ chúng ta sẽ thay đổi đề bài từ lập số tự nhiên có 4 chữ số

thành lập số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Khi này, bài toán sẽ trở nên khó

hơn, học sinh cần phải tư duy và nhận ra rằng số nào đã được chọn thì phải

loại đi không được chọn nữa. Do đó, học sinh không thể áp dụng máy móc bài

1.1 được sẽ dẫn đến kết quả sai, các em cần tư duy rằng tập số sẽ thu hẹp dần

sau mỗi lần chọn xong một số. Khi đó, ta có bài toán sau:

Bài tập 1.2. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

Phân tích. Bài toán này về tương đối nhìn giống bài toán 1.1 nhưng khác ở

chỗ các chữ số phải khác nhau. Học sinh dễ dàng sử dụng quy tắc nhân để

giải. Ở bài này các em cần lưu ý các chữ số phải khác nhau. Các em cần có tư

duy là khi các chữ số khác nhau thì chữ số nào đã được chọn thì phải loại ra.

Lời giải.Cách 1: Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là .

Để chọn ta phải chọn đồng thời 4 chữ số đôi một . Vì

khác nhau nên ta có:

+ có 9 cách chọn.

+ có 8 cách chọn ( vì loại số đã chọn ).

+ có 7 cách chọn ( vì loại số đã chọn ).

+ có 6 cách chọn ( vì loại số đã chọn ).

Vậy theo quy tắc nhân có số cần tìm.

Cách 2: Mỗi số cách lập một số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau từ

tập A chính là một chỉnh hợp chập 4 của 9 (chọn ra 4 số từ 9 số và sắp xếp)

Vậy có số tự nhiên.

Bài tập 1.3. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

Phân tích. Nhìn về tổng thể bài này giống bài 1.2, tuy nhiên các em cần nhận

thấy số này phải là số chẵn nên chữ số cuối cùng phải là một số chẵn. Do đó,

các em cần tư duy sáng tạo trong việc thiết lập thứ tự chọn các chữ số, nếu

các em làm máy móc như bài 1.2 chọn theo thứ tự từ số đầu tiên đến chữ số

cuối cùng thì bài toán sẽ trở nên khó khăn và phức tạp hơn rất nhiều. Vì vậy ở

đây chữ số cuối cùng là đặc biệt nên các em nên ưu tiên chọn chữ số cuối

cùng đầu tiên.

Lời giải

Cách 1: Gọi số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau là .

Để chọn ta phải chọn đồng thời 4 chữ số .

+ có 4 cách chọn ( đó là các chữ số 2, 4, 6, 8).

+ có 8 cách chọn (vì phải loại chữ số đã chọn ).

+ có 7 cách chọn (vì phải loại chữ số đã chọn , ).

+ có 6 cách chọn (vì phải loại chữ số đã chọn , , ).

Vậy theo quy tắc nhân có số cần tìm.

Cách 2: Chữ số hàng đơn vị là số chẵn nên có 4 cách chọn.

Các chữ số còn lại mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của 8.

Vậy có số tự nhiên.

Bài toán tương tự. Cho tập . Hỏi từ tập có thể lập

được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau?

Bài tập 1.4. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn xuất hiện chữ số 3?

Phân tích. Ở bài toán này khó khăn hơn ở bài 1.3 là chữ số 3 phải luôn luôn

có mặt. Vậy ở đâu có hai tính chất đặc biệt là chữ số cuối phải là số chẵn và

phải luôn xuất hiện chữ số 3. Với tư duy sáng tạo học sinh cần phải suy nghĩ

rằng nên thiết lập thứ tự chọn và phương pháp giải như thế nào cho phù hợp.

Lời giải. Gọi số cần tìm là

Cách 1: Đếm loại trừ.

+ Đếm các số chẵn có 4 chữ số khác nhau là:

Chữ số có 4 cách chọn (đó là các chữ số 2, 4, 6, 8).

Chữ số có 8 cách chọn (vì phải loại chữ số đã chọn ).

Chữ số có 7 cách chọn (vì phải loại chữ số đã chọn ). ,

Chữ số có 6 cách chọn (vì phải loại chữ số đã chọn , ). ,

Vậy theo quy tắc nhân có số.

+ Đếm các số chẵn có 4 chữ số mà không có mặt chữ số 3 là:

Chữ số có 4 cách chọn; 3 chữ số còn lại có cách chọn.

Vậy có số.

Vậy các số cần tìm là số.

Cách 2: Đếm vị trí.

+ chẵn nên có 4 cách chọn.

+ Chữ số 3 có 3 cách chọn.

+ 2 chữ số còn lại có 7.6 = 42 cách chọn.

Vậy ta có số cần tìm.

Phát triển. Ta thử thay đổi dữ kiện bài toán, không phải là luôn có mặt chữ số

3 nữa mà là luôn có mặt một số chẵn nào nào đó, chẳng hạn số 4. Khi thay đổi

điều kiện như thế này bài toán sẽ trở nên khó khăn hơn, vì là số chẵn có 4 chữ

số đôi một khác nhau mà lại luôn xuất hiện chữ số 4, số 4 ở đây đặc biệt hơn

vì nó cũng là số chẵn. Khi đó, chúng ta phải nghĩ ngay đến phải xét trường

hợp chữ số hàng đơn vị bằng 4 và khác 4.

Bài tập 1.5. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn xuất hiện chữ số 4?

Phân tích. Với bài toán này học sinh cần có tư duy sáng tạo rằng số 4 là số

chẵn mà đây lập số tự nhiên chẵn nên nếu làm giống bài 1.4 thì sẽ dẫn đến sai

lầm. Do đó cần lưu ý xét trường hợp chữ số hàng đơn vị bằng 4 và chữ số

hàng đơn vị khác 4.

Lời giải

Gọi số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau và luôn xuất hiện chữ số

4 là .

Trường hợp 1: Nếu thì có 1 cách chọn và 3 chữ số còn lại có

cách chọn ( nên không còn chọn vị trí cho số 4 nữa).

Trường hợp 2: khi đó

+ có 3 cách chọn (đó là các chữ số 2, 6, 8).

+ Chữ số 4 có 3 vị trí.

+ 2 chữ số còn lại có cách sắp xếp.

Vậy có: số cần tìm.

Bài tập 1.6. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn xuất hiện chữ số 3

và 4?

Phân tích. Bài toán này so với bài 1.4 và 1.5 thì yêu cầu xuất hiện cả hai số 3

và 4 mà vai trò của hai số này khác nhau. Vậy bài này ta cần chọn vị trí cho

số 3 và số 4 trước, chúng ta sẽ kết hợp cả hai bài 1.5 và 1.4 để giải quyết bài

này. Lập dãy 4 chữ số khác nhau, trong đó có chữ số 3 và 4 và chữ số cuối

chẵn.

Lời giải. Gọi số cần tìm là

Luôn có 3 cách chọn cho vị trí số 3 vì chữ số cuối là chẵn.

Nếu chọn số 4 thì 2 vị trí còn lại có 6.7 = 42 cách chọn.

Nếu không chọn số 4 thì có 3 cách chọn (2, 6, 8); có 2 cách chọn vị trí

cho số 4. Vị trí còn lại có 6 cách chọn.

Do đó, có 3(42 + 3.2.6)=234 số cần tìm.

Phát triển. Trong các bài toán trên, tập ban đầu không chứa số nên bài toán

không khó khăn nhiều, nhưng khi chúng ta thay tập ban đầu bổ sung thêm số

thì khi đó bài toán trở nên khó khăn hơn. Vì số là chữ số đặc biệt nó

không thể đứng đầu khi lập chữ số tự nhiên. Cụ thể, sau đây ta sẽ minh họa

qua hệ thống các bài tập sau đây:

Bài tập 1.7. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên gồm 4 chữ số?

Phân tích. Đây là bài toán đơn giản trong số các bài toán đếm lập số tự nhiên.

Học sinh dễ dàng sử dụng quy tắc nhân để giải. Ở bài này các em cần lưu ý

các chữ số có thể giống nhau nhưng lưu ý ở đây tập ban đầu có chứa số mà

chữ số 0 là số đặc biệt vì số 0 không thể là chữ số đầu tiên.

Lời giải. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là .

Để chọn ta phải chọn đồng thời 4 chữ số . Vì có thể trùng

nhau nên ta có:

+ có 9 cách chọn ( vì phải loại chữ số ).

+ có 10 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân có số cần tìm.

Bài tập 1.8. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

Phân tích. Bài này tương tự bài toán 1.7, tuy nhiên học sinh cần phải nhận

thấy rằng các chữ số là khác nhau, nên khi chọn thì chữ số nào đã được chọn

thì phải loại bỏ đi.

Lời giải. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là .

Để chọn ta phải chọn đồng thời 4 chữ số . Vì đôi một

khác nhau nên ta có:

+ có 9 cách chọn ( vì loại chữ số ).

+ có 9 cách chọn ( vì loại số đã chọn )

+ có 8 cách chọn ( vì loại số đã chọn ).

+ có 7 cách chọn ( vì phải loại chữ số đã chọn ).

Vậy theo quy tắc nhân có số cần tìm.

Bài tập 1.9. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

Phân tích. Bài này tương tự bài toán 1.8, chữ số đầu tiên cũng không được

chọn chữ số . Tuy nhiên, ở bài này các em cần lưu ý chữ số cuối cùng phải

là chữ số lẻ. Học sinh cần sáng tạo trong việc thiết lập thứ tự chọn chữ số, vì

nếu chọn lần lượt từ chữ số đầu đến chữ số cuối sẽ làm bài toán khó khăn

hơn. Học sinh nên chọn theo thứ tự chữ số nào đặc biệt ta nên chọn trước.

Lời giải. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là .

Để chọn ta phải chọn đồng thời 4 chữ số . Vì đôi một

khác nhau nên và là chữ số lẻ nên ta có:

có 5 cách chọn ( đó là các chữ số lẻ ). +

có 8 cách chọn ( vì không lấy chữ số và số đã chọn ) +

+ có 8 cách chọn ( vì loại số đã chọn ).

+ có 7 cách chọn ( vì phải loại chữ số đã chọn ).

Vậy theo quy tắc nhân có số cần tìm.

Bài tập 1.10. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

Phân tích. Thoạt nhìn, ta thấy bài toán này giống bài 1.9, chỉ cần thay số lẻ

thành số chẵn. Tuy nhiên, ở đây học sinh cần tư duy sáng tạo một chút, xét

quan hệ biện chứng giữa số lẻ và số chẵn ta thấy vai trò của các chữ số lẻ là

là như nhau; trong khi đó các chữ số chẵn 0; 2; 4; 6; 8 thì có số 0 là

đặc biệt vì số 0 không thể đứng đầu tiên. Vì vậy nếu bài này làm giống bài 5

thì kết quả sẽ không đúng.

Vậy hướng làm đúng là các em phải xét riêng trường hợp số 0. Khi đó

bài toán sẽ áp dụng cả hai quy tắc đếm.

Lời giải

Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là .

+ Chữ số cuối có 5 cách chọn ( đó là các chữ số ).

Trường hợp 1: khác 0.

Khi đó có 4 cách chọn. ( Sau đó làm tương tự bài ).

+ có 8 cách chọn ( vì không lấy chữ số và số đã chọn )

+ có 8 cách chọn ( vì loại số đã chọn ).

+ có 7 cách chọn ( vì phải loại chữ số đã chọn ).

Vậy theo quy tắc nhân có số.

Trường hợp 2: bằng 0.

Khi đó, phần còn lại phải làm giống bài 1.9.

+ Chữ số a đều tiên có 9 cách chọn.

+ Chữ số b có 8 cách chọn (vì loại chữ số đã chọn a và d).

+ Chữ số c có 7 cách chọn (vì loại chữ số đã chọn a, b, d).

Vậy có số.

Vậy theo quy tắc cộng ta có số cần tìm.

Bài tập 1.11. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau mà luôn xuất hiện chữ số 5?

Phân tích. Ở bài này khó hơn bài 1.10 là số tự nhiên cần tìm phải luôn xuất

hiện chữ số 5. Do đó, ta cần tư duy là vẫn xét hai trường hợp như bài 1.10 tuy

nhiên cần thiết lập ưu tiên thứ tự chọn chữ số đơn vị trước sau đó chọn vị trí

cho số 3, rồi mới đến các số còn lại.

Lời giải

Cách 1. Ta cũng chia hai trường hợp như bài 1.4, tuy nhiên lưu ý phải chọn số

3 cho 1 trong 3 vị trí đầu tiên.

Gọi sô tự nhiên có có 4 chữ số cần tìm là .

+ Chữ số hàng đơn vị có 5 cách chọn (đó là các chữ số 0, 2, 4, 6, 8).

Trường hợp 1: là chữ số 0 thì có 1 cách chọn.

Vì phải luôn xuất hiện chữ số 5 nên ta chọn 1 vị trí trong 3 vị trí , ,

để xếp chữ số 5. Do đó, có 3 cách xếp vị trí cho số 5.

Hai vị trí còn lại có có 8.7 cách.

Vậy theo quy tắc nhân có số.

Trường hợp 2: là các chữ số 2, 4, 6, 8 thì có 4 cách chọn.

+ Nếu ta chọn số 5 vào vị trí thì và c có 8.7 = 56 cách chọn.

+ Nếu ta không chọn số 5 vào vị trí thì có 7 cách chọn (trừ , 5 và 0); có

2 cách chọn 5 vào vị trí b hoặc ; vị trí còn lại có 7 cách chọn nên có 2.7=14

cách chọn và .

Do đó, có số.

Vậy theo quy tắc cộng ta có số cần tìm.

Phân tích. Với tư duy sáng tạo thì ta chưa thể dừng lại bài toán ở đó, vì cách

giải trên ở trường hơp 2 tương đối phức tạp và nhiều trường hợp nhỏ. Vậy ta

luôn phải đặt ra câu hỏi: “Có cách nào hay hơn, ngắn gọn và dễ hiểu hơn

không?...”.

Ta thấy nếu tập ban đầu không chứa số 0 thì bài toán sẽ đơn giản hơn

nhiều. Vì vậy, ta có thể suy nghĩ có thể tìm gián tiếp tập số cần tìm

Cách 2

Bước 1: Lập dãy gồm 4 chữ số khác nhau, trong đó có chữ số 5 và chữ số

cuối chẵn (Đây chính là tập các số có chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau

luôn xuất hiện chữ số 5 và chữ số đầu có thể bằng 0).

Gọi số cần tìm là .

Chữ số có 5 cách chọn là các chữ số 0; 2; 4; 6; 8.

Có 3 cách để chọn 1 vị trí cho chữ số 5(vì phải loại bỏ vị trí đã chọn).

Hai vị trí còn lại có 8.7 = 56 cách chọn.

Do đó, có 5.3.56 = 840 số. (1)

Bước 2: Lập dãy có 3 chữ số đôi một khác nhau, trong đó luôn xuất hiện chữ

số 5 và chữ số cuối chẵn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 (đây chính là số

chẵn có 4 chữ số khác nhau luôn xuất hiện chữ số 5 và chữ số đầu là 0).

Gọi số cần tìm là .

Chữ số có 4 cách chọn là 2; 4; 6; 8.

Có 2 cách chọn vị trí cho chữ số 5, vị trí còn lại có 7 cách chọn (loại bỏ và

5).

Do đó, có số. (2)

Từ (1) và (2), ta có số tự nhiên thảo mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 1.12. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn xuất hiện chữ số

1 và 5?

Phân tích. Về tư tưởng bài này giống bài 1.11, tuy nhiên nó khó hơn ở chỗ là

bài 1.11 chỉ yêu cầu luôn có mặt chữ số 5 còn ở bài này luôn xuất hiện đến 2

chữ số 1 và 5 cùng tính chất là số lẻ. Vì vị trí cuối không thể là số 1 và 5 nên

ta sẽ làm theo 2 cách của bài 1.11.

Lời giải

Cách 1. Gọi sô tự nhiên có có 4 chữ số cần tìm là .

+ Chữ số hàng đơn vị có 5 cách chọn (đó là các chữ số 0, 2, 4, 6, 8).

Trường hợp 1: là chữ số 0 thì có 1 cách chọn.

Vì phải luôn xuất hiện chữ số 1 và 5 nên ta chọn 1 vị trí trong 3 vị trí , ,

để xếp chữ số 5 và có 2 vị trí để xếp chữ số 1.

Vị trí còn lại có 7 cách chọn (trừ số 0; 1 và 5).

Vậy theo quy tắc nhân có số.

Trường hợp 2: là các chữ số 2, 4, 6, 8 thì có 4 cách chọn.

+ Nếu ta chọn số 5 vào vị trí ; có hai cách xếp sắp số 1 vào vị trí hoặc ;

chữ số còn lại có 7 cách chọn.

+ Nếu chọn số 1 vào vị trí ; có hai cách sắp xếp số 5 vào vị trí hoặc ;

chữ số còn lại có 7 cách chọn.

+ Nếu ta không chọn số 5 và 1 vào vị trí a thì a có 6 cách chọn (trừ , 5 và

0); có 2 cách chọn 5 vào vị trí hoặc ; vị trí còn lại phải đặt chữ số 1.

Do đó, có số.

Vậy theo quy tắc cộng ta có số cần tìm.

Cách 2. Bước 1: Lập dãy có 4 chữ số khác nhau, trong đó có chữ số 1 và 5 và

chữ số cuối chẵn.

Gọi số cần tìm là .

+ Có 3 cách chọn vị trí cho số 1 và có 2 cách chọn vị trí cho số 5 (vì không

đứng cuối).

+ Chữ số d có 5 cách chọn là 0; 2; 4; 6; 8.

+ Chữ số còn lại có 7 cách chọn.

Do đó, có 3.2.5.7 = 210 số

- Bước 2: Lập dãy có 3 chữ số khác nhau, trong đó có chữ số 1 và 5 và

chữ sô cuối chẵn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Khi đó, có 2 cách chọn 2 vị trí đầu cho hai số 1 và 5. Vị trí cuối có 4 cách

chọn (đó là 2; 4; 6; 8).

Do đó, có 2.4= 8 số.

Vậy kết quả của bài toán là có 210 – 8 =202 số cần tìm.

Bài tập 1.13. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau mà luôn xuất hiện chữ số 8?

Phân tích. Bài toán này có dạng giống như bài 1.12, chỉ khác là số 8 là số

chẵn. Khi số 8 là số chẵn thì bài toán sẽ trở nên khó khăn hơn, vì số 8 và chữ

số cuối cùng có cùng tính chất là số chẵn. Do đó, chắc chắn ta sẽ có hai cách

làm giống như bài 1.12 tuy nhiên sẽ phải chia làm ba trường hợp vì số 8 đặc

biệt vì nó có tính chất là số chẵn giống tính chất số cuối cùng.

Lời giải

Cách 1. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số cần tìm là .

+ Chữ số có 5 cách chọn là các chữ số 0; 2; 4; 6; 8.

Trường hợp 1: là chữ số 8

Nhận xét: Khi này bài toán trở thành lập số có 3 chữ số đôi một khác nhau từ ;

các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9.

+ Chữ số đầu tiên a có 8 cách chọn (vì loại chữ số 0).

+ Chữ số có 8 cách chọn (vì loại bỏ số 8 và ).

+ Chữ số có 7 cách chọn (vì phải loại bỏ ).

Vậy có số.

Trường hợp 2: là chữ số 0.

+ Có 3 cách để chọn vị trí cho số 8 vào một trong 3 vị trí .

+ Hai vị trí còn lại có 8.7 cách.

Vậy có số.

Trường hợp 3: là các chữ số 2; 4; 6 khi đó có 3 cách chọn.

+ Nếu ta chọn là 8 thì và có 8.7 = 56 cách chọn.

+ Nếu ta không chọn là 8 thì có 7 cách chọn (trừ 0; 8 và ). Có hai cách

chọn chữ số 8 vào vị trí hoặc ; vị trí còn lại có 7 cách chọn.

Do đó, có cách.

Vậy theo quy tắc cộng ta có số cần tìm.

Với tư duy toán học ta thấy có thể suy nghĩ theo hướng bài 1.11 theo

cách làm 2.

Cách 2. Bước 1: Lập dãy có 4 chữ số khác nhau, trong đó có chữ số 8 và chữ

số cuối chẵn (chữ số đầu có thể bằng 0).

Khi đó, chữ số 0 có vai trò giống các chữ số chẵn khác nhưng chữ số 8 thì thì

khác vì phải luôn xuất hiện chữ số 8 mà lại là số chẵn nên ta phải chia 2

trường hợp.

Gọi số cần tìm là .

Trường hợp 1: là chữ số 8. Khi đó, 3 chữ số còn lại có 9.8.7 = 504 cách

chọn.

Trường hợp 2: là chữ số 0; 4; 6; 8 khi đó có 4 cách chọn.

Có 3 cách chọn vị trí cho số 8; hai vị trí còn lại có 8.7= 56 cách chọn.

Do đó, có 4.3.8.7 = 672 số.

Vậy có số. (1)

Bước 2: Lập dãy có ba chữ số khác nhau, trong đó có chữ số 8 và chữ số cuối

chẵn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Trường hợp 1: là chữ số 8 khi đó có 1 cách chọn; hai chữ số còn lại có

8.7 cách chọn.

Trường hợp 2: là các chữ số 2; 4; 6 khi đó có 3 cách chọn; có hai cách

chọn vị trí cho số 8; số còn lại có 7 cách chọn.

Do đó, có số. (2)

Từ (1) và (2), ta có số cần tìm.

Cách 3. Tuy nhiên, với bài này chữ số 8 đặc biệt vì cần lập số tự nhiên chẵn

mà số 8 lại là số chẵn nên ta có thể suy nghĩ theo hướng chọn vị trí cho số 8

trước. Ta thực hiện chia ba trường hợp như sau:

Trường hợp 1: Chữ số chọn 8.

Khi đó, có 4 cách chọn (đó là các chữ số 0; 2; 4; 6); chữ số và có 8.7

cách chọn.

Do đó, có 4.8.7 = 224 số.

Trường hợp 2: Chữ số chọn 8.

Khi đó, có 8 cách chọn (đó là các chữ số khác 8 và 0); và có 8.7 cách

chọn.

Do đó, có 8.7.8 = 448 số.

Trường hợp 3: Chữ số hoặc chọn 8.

Khi đó, có 4 cách chọn là 0; 2; 4; 6.

+ Nếu chọn 0 thì có 8 cách chọn, chữ số còn lại có 7 cách chọn.

+ Nếu không chọn 0 thì có 3 cách chọn; a có 7 cách chọn và chữ số còn

lại có 7 cách chọn.

Do đó, có .

Vậy kết quả bài toán là: số.

Bài tập 1.14. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn xuất hiện chữ số

4 và 8?

Phân tích

Bài này so với bài 1.13 thì bài này yêu cầu xuất hiện thêm số 4, mà số 4 và 8

có vai trò như nhau. Do đó, ta có thể giải bài toán theo một trong 3 cách của

bài 1.13. Tuy nhiên, ta cần suy nghĩ xem cách nào sẽ đơn giản hơn. Vì chỉ lập

số có 4 chữ số mà luôn xuất hiện chữ số 8 và 4 nên ta chọn luôn vị trí cho số 8

và 4 thì bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Chính vì vậy cách 3 sẽ khả quan

hơn.

Trước tiên vẫn lối suy nghĩ như bài 1.12 nên vẫn trình bày theo 3 cách

của bài 1.12.

Lời giải

Cách 1. Gọi số tự nhiên cần tìm là Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số cần tìm là

+ Chữ số d có 5 cách chọn là các chữ số 0; 2; 4; 6; 8.

Trường hợp 1: d là chữ số 8 hoặc 4 khi đó d có 2 cách chọn.

Giả sử d chọn 4.

Khi đó, có 3 cách để chọn 1 vị trí cho số 8.

+ Nếu 8 xếp vào vị trí a thì b và c có 8.7 cách chọn.

+ Nếu 8 không xếp vào vị trí a thì có 2 cách xếp 8 vào b hoặc c; a có 7 cách

chọn (trừ 0; 4; 8) và vị trí cuối cùng có 7 cách chọn.

Do đó, có 2(8.7 + 2.7.7) = 308 số.

Trường hợp 2: d là chữ số 0.

+ Có 3 cách để chọn vị trí cho số 8 vào một trong 3 vị trí a; b; c.

+ Có 2 cách để chọn vị trí cho số 4 vào 2 vị trí con lại.

+ Vị trí còn lại có 7 cách chọn (trừ 0; 4; 8).

Vậy có 3.2.7 = 42 số.

Trường hợp 3: d là các chữ số 2; 6 khi đó d có 3 cách chọn.

+ Nếu a chọn 4 hoặc 8 thì 2 vị trí còn lại có 2.7 cách chọn

+ Nếu a không chọn 4 và 8 thì đơn giản hơn rất nhiều, khi đó b và c có hai

cách sắp xếp cho 4 hoặc 8 còn a có 6 cách chọn.

Do đó, có 2(2.2.7 + 2.6) = 80 số.

Vậy theo quy tắc cộng ta có 308 + 42 + 80 = 430 số cần tìm.

Nhận xét: Cách 1 vẫn làm ra kết quả song bài toán nhiều trường hợp làm

người học rối và khó hiểu. Tuy nhiên, với tư duy sáng tạo thì giáo viên không

nên ép buộc học sinh theo ý mình, nếu các em nghĩ theo hướng này thì giáo

viên nên động viên, khuyến khích các em để các em có lời giản đúng và

hướng dẫn các em làm cách khác ngắn gọn hơn.

Cách 2. Bước 1: Lập dãy có 4 chữ số khác nhau, trong đó có chữ số 4 và 8 và

chữ số cuối chẵn (chữ số đầu có thể bằng 0).Khi đó, chữ số 0 có vai trò giống

các chữ số chẵn khác nhưng chữ số 8 và 4 thì khác vì phải luôn xuất hiện chữ

số 4 và 8 mà lại là số chẵn nên ta phải chia 2 trường hợp.

Gọi số cần tìm là .

Trường hợp 1: d là chữ số 4 hoặc 8 khi đó d có 2 cách chọn.

Giả sử d chọn số 4, thì số 8 có 3 vị trí sắp xếp.

Hai vị trí còn lại có 8.7 = 56 cách.

Do đó, có 2.3.8.7= 336 số

Trường hợp 2: d là chữ số 0; 2; 6 khi đó d có 3 cách chọn.

Có 3.2 cách chọn vị trí cho số 8 và 4; vị trí còn lại có 7 cách chọn.

Do đó, có 3.2.3.7 = 126 số.

Vậy có 336 + 126 = 462 số. (1)

Bước 2: Lập dãy có ba chữ số khác nhau, trong đó có chữ số 8 và 4 và chữ số

cuối chẵn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Trường hợp 1: d là chữ số 8 hoặc 4 khi đó d có 2 cách chọn; hai chữ số còn lại

có 2.7 cách chọn.

Trường hợp 2: d là các chữ số 2; 6 khi đó d có 2 cách chọn; có hai cách chọn

vị trí cho số 4 và 8.

Do đó, có 2.2.7 + 2.2 = 32 số. (2)

Từ (1) và (2), ta có 462 – 32 = 430 số cần tìm.

Nhận xét: Ở cách 2 này, mỗi trường hợp lại chia ra thành nhiều trường hợp

nữa nên bài toán trở nên phức tạp.

Cách 3. Ta chọn vị trí cho số 4 và 8 trước.

Trường hợp 1: Chọn 4 và 8 vào vị trí a và d.

Khi đó, b và c có 8.7 cách chọn.

Do đó, có 2.8.7 = 112 số.

Trường hợp 2: Chọn 4 và 8 vào vị trí a và b hoặc a và c.

Khi đó, d có 3 cách chọn là 0; 2; 6.

Vị trí b hoặc c còn lại có 7 cách chọn.

Do đó, có 2.2.3.7 = 84 số.

Trường hợp 3: Chọn 4 và 8 vào vị trí d và b hoặc d và c.

Khi đó, a có 7 cách chọn (trừ 0; 4; 8).

Vị trí b hoặc c còn lại có 7 cách chọn.

Do đó, có 2.2.7.7 = 196 số.

Trường hợp 4: Chọn 4 và 8 vào vị trí b và c.

Khi đó, d có 3 cách chọn là 0; 2; 6.

+ Nếu d chọn 0 thì a có 7 cách chọn.

+ Nếu d không chọn 0 thì d có 2 cách chọn và a có 6 cách chọn.

Do đó, có 2(7+ 2.6) = 38

Vậy kết quả bài toán là: 112 + 84 + 196 + 38 = 430 số.

Như vậy, rõ ràng cách 3 đơn giản và dễ hiểu hơn 2 cách đầu tuy nhiên

quá dài. Với tư duy sáng tạo, ta thây ý tưởng cách 2 khá hay nhưng ta thực

hiện một cách máy móc nên bài toán trở nên phức tạp. Vậy ta nên đặt ra câu

hỏi: “Có cách nào hay và ngắn gọn hơn không?”. Cụ thể, ta sẽ kết hợp cả cách

2 và 3 để được cách làm thú vị cho bài toán.

Cách 4. Bước 1: Lập dãy 4 chữ số khác nhau, trong đó có chữ số 4 và 8 và

chữ số cuối là chẵn.

Gọi số cần tìm là .

Có 4.3 = 12 cách chọn vị trí cho chữ số 4 và 8.

+ Nếu 4 hoặc 8 xuất hiện ở vị trí d thì 4 và 8 có 2.3 = 6 cách chọn; vị trí còn

lại có 8.7=56 cách chọn.

+ Nếu 4 và 8 không xuất hiện ở vị trí d thì 4 và 8 có 6 cách chọn (vì chọn vị

trí cho số 4 có 3 cách, sau khi chọn vị trí cho số 4 thì có 2 cách chọn vị trí cho

số 8); vị trí d có 3 cách chọn là chữ số 0; 2; 6. Vị trí cuối có 7 cách chọn.

Do đó, có 6.8.7 + 6.3.7 = 462 số.

- Bước 2: Lập dãy có 3 chữ số khác nhau, trong đó có chữ số 4 và 8 và

chữ số cuối chẵn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Có 3.2 = 6 cách chọn vị trí cho số 6 và 8.

+ Nếu 4 và 8 xuất hiện ở vị trí d thì có 4 cách chọn vị trí cho số 4 và 8; vị trí

còn lại có 7 cách chọn.

+ Nếu 4 và 8 không xuất hiện ở vị trí d thì có 2 cách chọn vị trí cho số 4 và 8;

chữ số hàng đơn vị có 2 cách chọn là các chữ số 2 và 6.

Do đó, có 4.7 + 2.2 = 32 số.

Vậy có 462 – 32 = 430 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 1.15. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn xuất hiện chữ số

8 và 1?

Phân tích. Bài này khác bài 1.12 và 1.14 ở chỗ vai trò của số 1 và 8 không

giống nhau. Tuy nhiên vẫn có thể thực hiện như các bài trên nhưng học sinh

cần có tư duy sáng tạo kết hợp cả hai bài để được lời giải đẹp và hoàn chỉnh.

Đối với bài này cái khó hơn là vai trò của số 8 và 1 khác nhau, nhưng số 1

không thể đứng ở cuối nên chúng ta sẽ ưu tiên chọn vị trí cho số 1 trước rồi

chọn vị trí cho số 8. Bài này vẫn có thể trình bày theo 4 cách nhưng ở đây tôi

sẽ trình bày cách ngắn gọn nhất, lời giải được kết hợp dựa vào bài 1.12 và

1.14 (làm theo phương pháp đếm loại trừ).

Lời giải

- Bước 1: Lập dãy 4 chữ số khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số 1; 8

và chữ số cuối chẵn từ tập A.

Gọi số cần tìm là .

Số 1 không thể đứng cuối nên có 3 cách chọn vị trí cho số 1 (trừ vị trí d).

+ Nếu d chọn 8 thì 2 vị trí còn lại có 8.7 cách chọn.

+ Nếu d không chọn 8 thì d có 4 cách chọn (đó là các chữ số 0; 2; 4; 6); chữ

số 8 có 2 cách chọn vị trí; vị trí còn lại có 7 cách chọn.

Do đó, có 3.8.7 + 3.4.2.7 = 336 số.

- Bước 2: Lập dãy 3 chữ số khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số 1 và

8 và chữ số cuối chẵn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Luôn có 2 cách chọn vị trí cho số 1 (vì số 1 lẻ nên không đứng cuối).

+ Nếu d chọn 8 thì vị trí còn lại có 7 cách chọn.

+ Nếu d không chọn 8 thì d có 3 cách chọn là 2; 4; 6 và vị trí còn lại phải là số

Do đó, có 2(7 + 3) = 20 số.

Vậy có 336 – 20 = 316 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phát triển. Chúng ta có thể thay đổi đề bài một cách tổng quát hơn so với các

bài trên, ở các bài toán trên luôn xuất hiện các chữ số cụ thể nhưng giờ chúng

ta sẽ thay đổi đề bài thành luôn có đúng 1 số hoặc 2 số thỏa mãn tính chất nào

đó.

Bài tập 1.16. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn có đúng 1 chữ số

chẵn xuất hiện?

Phân tích. Đối với bài này học sinh không thể máy móc áp dụng cách làm

như bài 1.12 được sẽ dẫn đến sai lầm. Với tư duy sáng tạo, các em cần hiểu

rằng có đúng 1 chữ số chẵn xuất hiện tức là tất cả các chữ số còn lại là số

chẵn. Khi các em phân tích và hiểu được như vậy bài toán sẽ trở nên dễ dàng

hơn rất nhiều.

Lời giải

Vì chỉ có đúng 1 chữ số chẵn nên chắc chắn chữ số cuối cùng là chữ số chẵn

và các chữ số còn lại là lẻ. Do đó, có 4 cách chọn cho chữ số hàng đơn vị là 0;

2; 4; 6; 8. Ba vị trí còn lại là số lẻ chọn từ các chữ số 1; 3; 5; 7; 9 nên có 5.4.3

cách chọn vị trí cho ba số lẻ còn lại.

Vậy có 4.5.4.3= 240 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chú ý. Bài toán trên có thể phát biểu theo cách khác như sau:

Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn có đúng 3 chữ số lẻ xuất

hiện?

Bài tập 1.17. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn có đúng 2 chữ số

chẵn xuất hiện?

Phân tích. Bài toán này sẽ trở nên khó khăn hơn so với bài toán 1.10 vì xuất

hiện đúng 2 số chẵn nên ngoài chữ số chẵn đứng cuối thì còn có 1 chữ số

chẵn nữa, trong tập số chẵn lại có số 0 là số đặc biệt không thể đứng đầu. Do

đó, chúng ta cần linh hoạt và sáng tạo cần phải chia trường hợp và thiết lập

thứ tự chọn cho phù hợp.

Lời giải

- Bước 1: Lập dãy gồm 4 chữ số khác nhau sao cho có đúng 2 số chẵn và

chữ số cuối chẵn từ tập A.

Gọi số tự nhiên cần tìm là .

+ Chữ số d chẵn nên có 5 cách chọn là 0; 2; 4; 6; 8.

+ Có 4.3 cách sắp xếp vị trí cho số chẵn còn lại.

+ Hai vị trí còn lại phải là số lẻ có 5.4 cách chọn từ các chữ số 1; 3; 5; 7; 9.

Do đó, có 5.4.3.5.4 = 1200 số.

- Bước 2: Lập dãy gồm 3 chữ số khác nhau sao cho có đúng 1 chữ số

chẵn và chữ số chẵn từ tập 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

+ Chữ số cuối có 4 cách chọn từ 2; 4; 6; 8.

+ Hai chữ số còn lại là số lẻ nên có cách chọn

Do đó, có 4.20 = 80 số.

Vậy có 1200 – 80 = 1120 số cần tìm.

Chú ý. Bài toán trên có thể phát biểu thành:

Cho tập .

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho

luôn có đúng 2 chữ số lẻ xuất hiện?

Bài tập 1.18. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho chẵn lẻ xen kẽ nhau?

Phân tích. Vì số cần lập là chẵn mà lại số chẵn lẻ xen kẽ nhau nên số đó có

dạng lẻ, chẵn, lẻ và chẵn. Khi này bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều vì

chữ số đầu là chữ số lẻ. Tuy nhiên, học sinh không biết cách phân tích cứ làm

một cách máy móc thì sẽ trở nên khó khăn hơn rất nhiều.

Lời giải. Gọi số cần tìm là .

Chữ số a và c là lẻ nên có 5.4 = 20 cách chọn.

Chữ số b và d là chẵn nên có 5.4 = 20 cách chọn.

Vậy có 20.20 =400 số cần tìm,

Bài tập 1.19. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn đúng 2 số lẻ

đứng cạnh nhau?

Phân tích. Trong bài này điều kiện bài toán trở thu hẹp hơn, không những

xuất hiện 2 số lẻ mà có đúng 2 số lẻ phải đứng kề nhau. Vì vậy, học sinh cần

tư duy sáng tạo khi làm bài này không thể dập khuân máy móc, sau khi chọn

xong 2 số lẻ thì phải nhớ 2 số lẻ thỏa mãn đứng cạnh nhau.

Ta có thể làm như sau:

Lời giải

- Bước 1: Lập dãy 4 chữ số khác nhau có đúng 2 số lẻ đứng cạnh nhau,

chữ số cuối chẵn.

Gọi số cần tìm là .

+ Chữ số d chẵn nên có 5 cách chọn.

+ Có cách chọn ra hai số lẻ và có 2 cách sắp xếp cho 2 số lẻ đó đứng cạnh

nhau (a và b hoặc b và c).

+ Vì có đúng 2 số lẻ đứng cạnh nhau nên số cuối cùng còn lại phải là số chẵn

nên có 4 cách chọn (loại bỏ d).

Do đó, có 5.10.2.4 = 400 số.

- Bước 2: Lập dãy 3 chữ số khác nhau có đúng 2 số lẻ đứng kề nhau và

chữ số cuối chẵn từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

+ Chữ số cuối chẵn nên có 4 cách chọn.

+ Hai vị trí còn lại phải là hai số lẻ nên có 5.4= 20 cách chọn.

Do đó, có 4.20 = 80 số.

Vậy có 400 – 80 = 320 số cần tìm.

Bài tập 1.20. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn có đúng 2 chữ số

chẵn đứng kề nhau?

Phân tích. Vì là số tự nhiên chẵn lại có đúng hai số chẵn đứng kề nhau, có

cùng tính chất với chữ số cuối cùng nên bài toán sẽ trở nên khó khăn hơn so

với bài 1.19. Để có đúng hai số chẵn đứng kề nhau thì ta xảy ra các khả năng

sau: 2 số đầu lẻ và 2 số sau chẵn; số thứ nhất chẵn, số thứ 2 lẻ và hai số cuối

chẵn; 2 số đầu chẵn, số cuối chẵn và số còn lại lẻ. Đến đây, ta thấy bài toán đã

trở nên phức tạp hơn rất nhiều khi thay 2 chữ số lẻ thành 2 chữ số chẵn, vì

chữ số chẵn đặc biệt hơn do chứa số 0 không thể đứng đầu và lại cùng tính

chất chẵn so với chữ số cuối cùng.

Lời giải. Gọi số cần tìm là .

Ta xét ba trường hợp sau:

Trường hợp 1: Số cần tìm có dạng: lẻ, lẻ, chẵn, chẵn.

Chữ số a và b lẻ nên có 5.4 cách chọn.

Chữ số c và d chẵn nên có 5.4 cách chọn.

Do đó, có 5.4.5.4= 400 số.

Trường hợp 2: Số cần tìm có dạng a chẵn, b lẻ, c chẵn, d chẵn.

Khi đó, d có 5 cách chọn.

+ Nếu d chọn 0 thì có 4.3 cách chọn cho chữ số a và c; chữ số b có 5 cách

chọn.

+ Nếu d không chọn 0 thì d có 4 cách chọn; a có 3 cách chọn (trừ 0 và d); c có

3 cách chọn và c có 5 cách chọn.

Do đó, có 4.3.5 + 4.3.3.5 = 240 số.

Trường hợp 3: Số cần tìm có dạng a chẵn, b chẵn, c lẻ, d chẵn.

Tương tự như trường hợp 2 nên có 240 số.

Vậy có 400 + 240 + 240 =880 số cần tìm.

Bài tập tự luyện

Bài tập 1.21. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn xuất hiện chữ số 4?

Bài tập 1.22. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn xuất hiện chữ số 5?

Bài tập 1.23. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn xuất hiện chữ số 4

và 8?

Bài tập 1.24. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn xuất hiện chữ số 5

và 7?

Bài tập 1.25. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn xuất hiện chữ số 8

và 9?

Bài tập 1.26. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn luôn có đúng 2 số lẻ

đứng cạnh nhau?

Bài tập 1.27. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn có đúng 2 số chẵn

đứng cạnh nhau?

Bài tập 1.28. Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho chẵn lẻ xen kẽ nhau.

Tương tự như trên ta có thể tạo ra rất nhiều bài toán tổ hợp khác nhau.

Chẳng hạn, ta có thể thay bài toán bằng cách lập số có 3; 5; 7… chữ số khác

nhau hoặc thay dãy các chữ số ban đầu hoặc có thể thay đổi cách phát biểu,

hoặc có thể thay tính chất của các số trong dữ kiện bài toán để được bài toán

đếm mới.

Tóm lại, để giải một bài toán đếm số trong tổ hợp có rất nhiều cách

làm. Tuy nhiên, ta không nên máy móc, áp dụng cách làm tương tự cho các

bài toán nhìn bên ngoài thấy tương tự nhau. Vì chỉ cần thay đổi một yếu tố thì

bài toán đã hoàn toàn khác biệt. Do đó, với tư duy sáng tạo ta sẽ có những

cách giải ngẵn gọn và hay hơn rất nhiều; đặc biệt với tư duy sáng tạo khi các

em gặp bài toán về bản chất là giống nhau nhưng cách phát biểu hình thức

khác nhau thì các em phải nhận ra; biết đưa bài toán về những bài toán đã

biết; biết vận dụng kiến thức cách giải của bài toán đã biết để giải quyết vấn

đề gặp phải.

2.3.2. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua xây dựng và sử

dụng bài toán sắp xếp người, đồ vật

Chú ý. Một số lưu ý khi giải dạng bài toán sắp xếp đồ vật là:

+ Sắp xếp phần tử giống nhau vào vị trí có 1 cách sắp xếp.

+ Sắp xếp phần tử khác nhau vào vị trí có cách sắp xếp.

+ Sắp xếp phần tử giống nhau vào vị trí có cách

+ Sắp xếp phần tử khác nhau vào vị trí có cách

Dưới đây, tôi sáng tạo bài toán đếm sắp xếp người đồ vật theo hướng

khó dần và xuất phát từ bài toán gốc ban đầu nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo

cho học sinh.

Bài tập 2.1. Có 7 quyển sách giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 7

quyển sách này vào một kệ dài (hay vào 7 vị trí)?

Phân tích

Bài toán này là dạng bài toán sắp xếp đồ vật khá đơn giản. Vì 7 quyển sách là

giống nhau và được xếp vào 7 vị trí do đó dù thay đổi vị trí các quyển sách

cách sắp xếp cũng không thay đổi.

Lời giải

Số cách sắp xếp 7 quyển sách giống nhau vào 7 vị trí khác nhau có duy

nhất 1 cách sắp xếp.

Phát triển. Chúng ta có thể phát triển bài toán trên thành sắp xếp 7 quyển sách

giống nhau nhưng vào 10 vị trí khác nhau. Khi đó, ta sẽ được bài toán tiếp sau

đây.

Bài tập 2.2. Có 7 quyển sách giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 7

quyển sách này vào 10 vị trí khác nhau?

Lời giải. Vì 7 quyển sách là giống nhau nên số cách sắp xếp 7 quyển sách vào

10 vị trí khác nhau là số các tổ hợp chập 7 của 10 vị trí.

Vậy có cách sắp xếp.

Phát triển. Trong hai bài toán trên do các quyển sách là giống nhau nên khi

hoán đổi vị trí các quyển sách thì cũng không thay đổi cách sắp xếp. Vẫn là

bài tập sắp xếp một loại sách, nhưng giờ chúng ta thay đổi thành những quyển

sách này khác nhau. Khi đó, khi thay đổi vị trí của các quyển sách thì sẽ có

cách sắp xếp mới do đó nếu các em áp dụng máy móc sẽ dẫn đến sai lầm.

Chẳng hạn, ta có bài toan như dưới đây.

Bài tập 2.3. Có 7 quyển sách khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 7

quyển sách vào 7 vị trí khác nhau?

Phân tích. Do 7 quyển sách là khác nhau nên số cách sắp xếp vào 7 vị trí

không thể là một cách. Khi ta đã sắp xếp được 1 cách thì chỉ cần hoán đổi vị

trí các quyển sách thì ta đã được một cách sắp xếp mới. Do đó, ta có lời giải

như sau:

Lời giải. Số cách sắp xếp 7 quyển sách khác nhau vào 7 vị trí khác nhau là số

các hoán vị của 7 quyển sách.

Vậy có 7! = 5040 cách sắp xếp.

Bài tập 2.4. Có 7 quyển sách khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 7

quyển sách này vào 10 vị trí khác nhau?

Phân tích. Với bài này các em không thể áp dụng một cách máy móc như bài

2.2 được vì các quyển sách ở đây là khác nhau. Với tư duy sáng tạo, các em

cần phải hiểu so với bài 2.2 thì nó khác ở chỗ các quyển sách là khác nhau,

nên chỉ cần thay hoán đổi 2 quyển sách với nhau ta đã được một cách sắp xếp

mới.

Lời giải. Số cách sắp xếp 7 quyển sách khác nhau vào 10 vị trí là số các chỉnh

hợp chợp 7 của 10.

Vậy có cách sắp xếp.

Phát triển. Trong các bài toán trên chỉ có 1 loại đồ vật nên việc sắp xếp vị trí

trở nên nên giản hơn. Bây giờ, nếu như có đến hai loại đồ vật khác nhau, với

tư duy sáng tạo ta cần suy nghĩ cách sắp xếp cho phù hợp nhất, sắp xếp từng

vị trí cho từng loại đồ vật. Khi đó, chẳng hạn ta xét bài toán dưới đây.

Bài tập 2.5. Có 2 quyển sách toán giống nhau và 5 quyển sách hóa giống

nhau. Sắp xếp các quyển sách trên vào một kệ dài. Hỏi có bao nhiêu cách sắp

xếp sao cho các quyển sách cùng loại nằm gần nhau?

Phân tích. Đối với bài toán này, trước hết ta chọn vị trí cho mỗi loại sách, sau

đó đổi vị trí giữa chúng.

Lời giải. Số cách sắp xếp 2 quyển sách toán giống nhau làm thành 1 nhóm có

1 cách.

+ Số cách sắp xếp 5 quyển sách hóa giống nhau thành 1 nhóm có 1

cách.

+ Có 2! = 2 cách sắp xếp 2 nhóm quyển sách.

Vậy có 2 cách sắp xếp.

Phát triển. Ở bài toán 2.5 thì có hai loại đồ vật, nhưng số các đồ vật của mỗi

loại lại giống hệt nhau. Bây giờ, vẫn là sắp xếp đồ vật nhưng nếu trong hai

loại đồ vật đó mà có một loại các đồ vật lại khác nhau thì bài toán sẽ trở nên

khác. Để minh họa thì chúng ta xét bài tập sau.

Bài tập 2.6. Có 2 quyển sách toán giống nhau và 5 quyển sách hóa khác nhau.

Sắp xếp các quyển sách trên vào một kệ dài. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp

các quyển sách sao cho các quyển sách cùng loại nằm cạnh nhau?

Phân tích. Do 2 quyển sách toán là giống nhau nên không có gì để nói,

nhưng 5 quyển sách hóa là khác nhau nên chúng ta cần phải để ý rằng thay

đổi thứ tự 1 quyển sách ta đã được cách sắp xếp mới.

Lời giải. Số cách sắp xếp 2 quyển sách toán giống nhau làm thành 1 nhóm có

1 cách.

+ Số cách sắp xếp 5 quyển sách hóa khác nhau thành 1 nhóm có 5!

cách.

+ Có 2! = 2 cách sắp xếp 2 nhóm quyển sách.

Vậy có 2.5! = 240 cách sắp xếp.

Bài tập 2.7. Có 2 quyển sách toán khác nhau và 5 quyển sách hóa khác nhau.

Sắp xếp các quyển sách trên vào một kệ dài. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp

các quyển sách sao cho các quyển sách cùng loại nằm kề nhau?

Phân tích. Thoạt nhìn sẽ thấy bài này giống bài 2.5, tuy nhiên với tư duy sáng

tạo học sinh cần phát hiện ra rằng hai quyển sách toán là khác nhau nên có

cách sắp xếp hai quyển sách toán không phải là 1 cách nữa.

Lời giải. Số cách sắp xếp 2 quyển sách toán khác nhau làm thành 1 nhóm có

2 cách.

+ Số cách sắp xếp 5 quyển sách hóa khác nhau thành 1 nhóm có 5!

cách.

+ Có 2! = 2 cách sắp xếp 2 nhóm quyển sách.

Vậy có 2.2.5! = 480 cách sắp xếp.

Bài tập 2.8. Có 2 quyển sách toán khác nhau và 5 quyển sách hóa khác nhau.

Sắp xếp các quyển sách trên vào một kệ dài. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp

các quyển sách sao cho các quyển sách toán không ở cạnh nhau?

Phân tích. So với bài tập 2.6 thì nó khó hơn ở chỗ các quyển sách toán không

nằm cạnh nhau. Vì vậy, học sinh cần tư duy một cách sáng tạo để có thể tìm

ra thứ tự sắp xếp vị trí cho phù hợp. Với bài tập này, ta nên ưu tiên sắp xếp vị

trí cho 5 quyển sách hóa trước sẽ tạo thành các vách ngăn, khi đó chỉ việc sắp

xếp 2 quyển sách toán vào các vách ngăn.

Lời giải. Số cách sắp xếp 5 quyển sách hóa vào 5 vị trí có 5! cách.

+ 5 quyển sách sẽ tạo thành 6 vách ngăn, ta đặt 2 quyển sách toán vào 6

vách ngăn có cách.

Khi đó số cách sắp xếp là: .5! = 3600 cách.

Phát triển. Ở bài tập 2.8 chỉ đơn thuần là sắp xếp vào 1 kệ dài. Bây giờ ta có

thể thay đổi đề bài khác đi một chút, không phải là sắp xếp thành 1 kệ dài

không mà kệ dài này còn chia thành các ngăn, sắp xếp mỗi ngăn để một đồ

vật hay sắp xếp mỗi người ngồi vào 1 ghế. Chẳng hạn, ta minh họa bài toán

sắp xếp đồ vật này thông qua bài tập sau, bài tập trong sách bài tập Đại số và

giải tích 11 ban cơ bản.

Bài tập 2.9. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có An

và Bình vào 10 ghế kê thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao

cho hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau?[17, tr. 62].

Phân tích. Thực ra bài toán này vẫn tương tự như bài tập săp xếp các quyển

sách. Chúng ta có thể hiểu An và Bình như 2 quyển sách toán, còn 8 bạn lại

như 8 quyển sách hóa khác nhau, khi đó bài toán lại trở thành quen thuộc

nhưng chỉ khác là ở đây mỗi quyển sách để vào 1 ngăn hay mỗi người ngồi 1

ghế nên không thể dùng phương pháp vách ngăn được. Cụ thể, ta sẽ có lời

giải như sau

Lời giải

+Bước 1: Số cách sắp xếp10 bạn vào 10 ghế có 10! Cách sắp xếp.

+ Bước 2: Có 2.9 = 18 cách xếp chỗ ngồi cho hai bạn Bình và An ngồi

cạnh nhau, 8 bạn còn lại có 8! cách sắp xếp. Vậy có 19.8! cách sắp xếp 10 bạn

vào 10 ghế sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau.

Vậy có 10! – 19.8! = 72.8! cách.

Phát triển. Ta có thể phát triển bài toán sắp xếp đồ vật trên từ sắp n đồ vật vào

n vị trí thì giờ ta chỉ sắp xếp n đồ vật vào k vị trí . Chắng hạn, ta

minh họa qua các bài toán sau:

Bài tập 2.10. Có 2 quyển sách toán khác nhau và 5 quyển sách hóa khác nhau.

Sắp xếp các quyển sách trên vào một kệ dài gồm 5 ngăn. Hỏi có bao nhiêu

cách sắp xếp sao cho mỗi ngăn chứa ít nhất 1 quyển sách?

Phân tích. Cái khó ở đây mà cần tư duy là có có tới 5 quyển sách mà lại chỉ

có 5 ngăn. Để thỏa mãn mỗi ngăn ít nhất 1 quyển thì trước hết ta cần sắp xếp

mỗi ngăn 1 quyển sách đã rồi còn 2 quyển còn lại tiếp tục chia trường hợp và

sắp xếp.

Lời giải. Chọn ra 5 quyển sách trong 7 quyển sách và sắp xếp vào 5 ngăn ta

có cách.

+ Còn hai quyển sách còn lại xếp vào 5 ngăn ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: 2 quyển sách còn lại chỉ xếp vào 1 ngăn trong 5 ngăn có

5 cách.

Trường hợp 2: 2 quyển sách còn lại mỗi quyển xếp vào 1 ngăn có

cách.

Vậy có tất cả (20 + 5). cách sắp xếp.

Bài tập 2.11. Có 2 quyển sách toán khác nhau và 5 quyển sách hóa khác nhau.

Sắp xếp các quyển sách trên vào một kệ dài gồm 5 ngăn. Hỏi có bao nhiêu

cách sắp xếp sao cho mỗi ngăn chứa ít nhất 1 quyển sách và các quyển sách

toán ở cùng một ngăn?

Phân tích. Nếu chúng ta coi 2 quyên sách toán là 1 thì khi đó bài toán trở

thành sắp xếp 6 quyển sách vào 5 ngăn tương tự như bài 2.9. Tuy nhiên nếu

không tư duy sáng tạo quy lạ về quen thì bài toán sẽ trở nên khó khăn hơn rất

nhiều.

Lời giải. Coi 2 quyển sách toán là 1 quyển sách khi đó trở thành sắp xếp 6

quyển sách vào 5 ngăn.

+ Chọn ra 5 quyển sách từ 6 quyển sách và sắp xếp vào 5 ngăn có 6.5!

cách.

+ Còn 1 quyển còn lại xếp vào 5 ngăn có 5 cách.

Vậy tất cả có 5.6.5! cách sắp xếp.

Bài tập 2.12. Có 2 quyển sách toán khác nhau và 5 quyển sách hóa khác nhau.

Sắp xếp các quyển sách trên vào một kệ dài gồm 5 ngăn. Hỏi có bao nhiêu

cách sắp xếp sao cho mỗi ngăn chứa ít nhất 1 quyển sách và các quyển sách

toán không ở cùng một ngăn?

Phân tích. Mức độ khó ở bài này tăng lên do 2 quyển sách toán không ở cùng

một ngăn. Vì 2 quyển sách toán không thể ở cùng một ngăn nên trước hết ta

phải chọn 2 trong 5 ngăn cho 2 quyển sách toán, sau đó chọn 3 quyển sách

hóa vào 3 ngăn còn lại, cuối cùng còn lại 2 quyên sách hóa sắp xếp vào các

ngăn.

Lời giải. Chọn ra 2 ngăn trong 5 ngăn để sắp xếp 2 quyển sách toán có

cách.

+ Chọn ra 3 quyển sách hóa từ 5 quyển sách hóa để sắp xếp vào 3 vị trí

còn lại có cách.

+ Còn hai quyển sách còn lại xếp vào 5 ngăn ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: 2 quyển sách còn lại chỉ xếp vào 1 ngăn trong 5 ngăn có

5 cách.

Trường hợp 2: 2 quyển sách còn lại mỗi quyển xếp vào 1 ngăn có

cách.

Vậy có 20.60.(5 + 20) = 36000 cách sắp xếp.

Phát triển. Vẫn là bài toán sắp xếp đồ vật vào các ngăn nhưng giờ ta thay đổi

1 chút là số ngăn nhiều hơn số đồ vật cần sắp xếp. Khi này, với tư duy sáng

tạo các em cần nhận ra sự khác biệt và thiết lập thứ tự sắp xếp một cách hợp

lí. Cụ thể, nó sẽ được minh họa qua các bài tập dưới đây.

Bài tập 2.13. Có 2 quyển sách toán khác nhau và 3 quyển sách hóa khác nhau.

Sắp xếp các quyển sách trên vào một kệ dài gồm 8 ngăn. Hỏi có bao nhiêu

cách sắp xếp sao cho mỗi ngăn chứa nhiều nhất 1 quyển sách và giữa chúng

không có ngăn trống?

Phân tích. Trước hết phải xác định được với 8 ngăn thì sẽ có bao nhiêu cách

sắp xếp 5 ngăn gần nhau. Sau đó, với mỗi cách xếp sẽ hoán vị vị trí các quyển

sách sẽ được cách sắp xếp mới.

Lời giải. Số cách sắp xếp các quyển sách sao cho các quyển sách nằm kề

nhau là 4 cách, với mỗi cách lại có 5! cách sắp xếp các quyên sách.

Vậy có 4.5! cách sắp xếp.

Bài tập 2.14. Có 2 quyển sách toán khác nhau và 3 quyển sách hóa khác nhau.

Sắp xếp các quyển sách trên vào một kệ dài gồm 8 ngăn. Hỏi có bao nhiêu

cách sắp xếp sao cho mỗi ngăn chứa nhiều nhất 1 quyển sách sao cho 3 quyển

sách toán cạnh nhau, 2 quyển sách hóa cạnh nhau và giữa hai nhóm có ít nhất

1 ngăn trống?

Phân tích. Chúng ta sẽ quy bài toán này về bài tập 2.13 như sau:

+ Nếu giữa hai nhóm có 1 ngăn trống thì trở thành chọn ra 6 ngăn kề nhau từ

8 ngăn sau đó sắp xếp.

+ Nếu giữa hai nhóm có 2 ngăn trống thì trở thành chọn ra 7 ngăn kề nhau từ

8 ngăn đó.

+ Nếu giữa hai nhóm có 3 ngăn trống trở thành sắp xếp vào 8 ngăn coi 3 ngăn

trống là một nhóm nằm ở giữa.

Lời giải

Trường hợp 1: Nếu giữa hai nhóm sách có 1 ngăn trống .

+ Số cách chọn ra 6 ngăn kề nhau từ 8 ngăn là 3 cách.

+ Số cách sắp xếp 2 quyển sách toán kề nhau là 2! và số cách sắp xếp 3 quyển

sách hóa kề nhau là 3! = 6 cách.

+ Số cách sắp xếp hai nhóm này là 2! = 2 cách.

Vậy có 3.2.6.2 = 72 cách.

Trường hợp 2: Nếu giữa hai nhóm có 2 ngăn trống.

+ Số cách chọn ra 7 ngăn kề nhau từ 8 ngăn là 2 cách.

+ Số cách sắp xếp 2 quyển sách toán kề nhau là 2! và số cách sắp xếp 3 quyển

sách hóa kề nhau là 3! = 6 cách.

+ Số cách sắp xếp hai nhóm này là 2! = 2 cách.

Vậy có 2.2.6.2 = 48 cách.

Trường hợp 3: Nếu giữa hai nhóm có 3 ngăn trống khi đó sẽ có 1 nhóm

ở đầu kệ, 1 nhóm ở cuối kệ nên số cách sắp xếp là 2.6.2= 24 cách.

Như vậy theo quy tắc cộng có 72 + 48 + 24 = 144 cách sắp xếp.

Phát triển. Ở các bài toán trên thì sắp xếp đồ vật vào 1 kệ nằm ngang, giờ ta

thử thay đổi thành bài toán sắp xếp vào 2 kệ đối diện nhau. Khi này, do hai kệ

là đối nhau nên sẽ xuất hiện dạng yêu câu sắp xếp sao cho ngồi đối diện nhau

và thỏa mãn tính chất nào đó. Cụ thể, bài toán sau sẽ minh họa cho dạng toán

này.

Bài tập 2.15. Một bàn dài gồm có 10 ghế, mỗi bên 5 ghế. Người ta muốn sắp

xếp chỗ ngồi cho 10 người khách gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách

sắp xếp nam nữ ngồi đối diện nhau?

Phân tích. Chúng ta cần hiểu nam nữ ngồi đối diện nghĩa là thế nào? Tức là,

cứ 1 bạn nam và 1 bạn nữ ngồi đối diện nhau. Với tư duy sáng tạo, ta thây

không thể áp dụng giống các dạng toán trên được mà cần tư duy một cách linh

hoạt để thiết lập thứ tự chọn và sắp xếp sao cho thích hợp nhất. Thứ nhất, phải

chọn ra các cặp nam nữ, thứ 2 chọn ra cặp ghế đối diện nhau, sau đó lại hoán

vị 2 người ngồi cùng một cặp ghế.

Lời giải. Có 5! = 120 cách chia 5 nam, 5 nữ thành 5 cặp nam – nữ.

+ Có 5! = 120 cách xếp 5 cặp nam – nữ theo thứ tự từ 1 đến 5.

+ Có 2! cách xếp mỗi cặp nam – nữ vào 1 cặp ghế đối diện nhau.

Vậy có cách sắp xếp.

Bài tập 2.16. Một bàn dài gồm có 10 ghế, mỗi bên 5 ghế. Người ta muốn sắp

xếp chỗ ngồi cho 10 người khách gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách

sắp xếp nam nữ ngồi xen kẽ và đối diện nhau?

Lời giải. Ta đánh số ghế như sau:

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

Vì nam, nữ ngồi xen kẽ nhau và đối diện nhau nên nếu các bạn nam

ngồi ghế ghi số lẻ thi các bạn nữ ngồi ghế ghi số chẵn. Với mỗi cách ngồi thì

hai bạn đối diện và hai bạn đối diện xen kẽ có thể đổi chỗ cho nhau.

+ Số cách sắp xếp 5 bạn nam vào 5 ghế lẻ là 5!= 120 cách.

+ Số cách sắp xếp 5 bạn nữ vào 5 ghế còn lại là 5! = 120 cách.

Vậy số cách sắp xếp là 2.120.120 = 28800 cách.

Phát triển. Bây giờ nếu ta thay đổi không phải chỉ sắp xếp vào kệ dài, bàn dài

nữa mà thay bằng bàn tròn.

Bài tập 2.17. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi

vào 10 ghế quanh một bàn tròn mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau?

Bài tập 2.18. Bốn người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa trẻ được xếp

ngồi vào 7 ghế quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho:

a) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà?

b) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông?

Bài tập 2.19. Có 4 bi xanh giống hệt nhau và 3 bi đỏ khác nhau. Sắp xếp 7

viên bi trên vào 1 dãy có 7 ô vuông. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:

a) Các viên bi nằm tùy ý.

b) Các viên bi cùng màu thì nằm cùng một nhóm.

c) Các viên bi khác màu thì nằm xen kẽ.

2.3.3. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua xây dựng và sử

dụng một cách sáng tạo bài toán chọn số phương án để thỏa mãn một số

điều kiện cho trước

Bài toán chọn phương để thỏa mãn một số điều kiện cho trước thường gặp các

dạng toán sau:

Dạng 1. Bài toán chọn tùy ý

Chọn phần tử từ phần tử khác nhau là số tổ hợp chập

của phần tử có cách.

Dạng 2. Bài toán chọn ít nhât, nhiều nhất

Phương pháp: + Chia trường hợp.

+ Nếu quá nhiều trường hợp thì đếm loại trừ (lấy

phần bù).

Dạng 3. Bài toán chọn có mặt đủ loại

Phương pháp: + Đếm loại trừ.

+ Chia trường hợp.

Dạng 4. Bài toán sắp xếp, đem tặng, đem phân công thực hiện các nhiệm vụ

khác nhau

Phương pháp: + Bước 1: Chọn đủ số lượng.

+ Bước 2: Đem sắp xếp.

Dạng 5. Bài toán chọn tên

Phương pháp: +Bước 1: Chọn tên của người có mặt.

+ Bước 2: Chọn tên các thành viên còn lại.

Dạng 6. Bài toán chọn nhiệm vụ

Phương pháp:

+ Bước 1: Chọn các thành viên có chức vụ được chọn từ tập ban đầu.

+ Bước 2: Sau khi chọn xong chức vụ thì chọn các thành viên không có chức

vụ.

Dạng 7. Bài toán chọn tên và có chức vụ

Phương pháp: Chia trường hợp.

Sau đây, tôi sẽ xây dựng theo hướng sáng tạo bài toán chọn số phương

án để thỏa mãn một số điều kiện cho trước theo hương phát triển dần dần,

nâng dần mức khó từ một bài toán gốc ban đầu.

Bài tập 3.1. Trong một nhóm gồm 18 học sinh, trong đó có 11 học sinh lớp 10

và 7 học sinh lớp 11. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh tùy ý?

Phân tích. Đây là bài toán ở mức độ đơn giản nhất của dạng bài toán chọn đồ

vật, chọn người. Học sinh dễ dàng nhận ra chọn ra 5 học sinh tùy ý từ 18 học

sinh là số các tổ hợp chập 5 của 18.

Lời giải. Mỗi cách chọn ra 5 học sinh từ 18 học sinh là một tổ hợp chập 5 của

18 học sinh.

Vậy số cách chọn ra 5 học sinh tùy ý từ 18 học sinh là: cách.

Bài toán tương tự

Bài toán 1. Trong mặt phẳng, cho 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm

nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó

thuộc tập điểm đã cho?

Phân tích. Đây là bài toán đơn giản nhất của dạng toán chọn đồ vật. Hiểu đơn

giản là mỗi tam giác được tạo bởi ba điểm và với ba điểm bất kì chỉ tạo được

duy nhất 1 tam giác. Do đó, bài toán trở thành chọn ra 3 điểm bất kì từ 6

điểm.

Lời giải. Số tam giác mà các đỉnh thuộc tập điểm đã cho là số các tổ hợp chập

3 của 6 điểm.

Vậy có tam giác được tạo thành.

Bài toán 2 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2006). Cho tập A gồm

phần tử . Biết rằng số tập con gồm phần tử của A bằng 20 lần số tập

con gồm phần tử của A.

Phân tích . Đọc thấy có vẻ lạ, nhưng về bản chất vẫn là như bài tập 3.1. Số tập

con gồm phần tử chính là số cách chọn ra 4 phần tử từ n phần tử, số tập con

gồm phần tử thực chất chính là số cách chọn ra 2 phần tử từ phần tử.

Bài toán 3: Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có 4

đỉnh trong 20 điểm là đỉnh của đa giác?

Phát triển. Ta sẽ thay đổi bài toán 3.1 một chút, không chỉ đơn thuần là chọn

ra 5 học sinh tùy ý nữa mà là chọn ra 5 học sinh nhưng phải thỏa mãn thêm

điều kiện chẳng hạn như: đủ cả nam và nữ, có ít nhất 1 nam, có ít nhất 1

nữ,…

Bài tập 3.2. Trong một nhóm gồm 11 học sinh, trong đó có 7 học sinh lớp 10

và 4 học sinh khối 11. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh sao cho có

đúng 1 học sinh khối 11?

Phân tích. Bài này cũng khá là đơn giản, nhưng khó hơn bài 3.1 ở chỗ bài 3.1

chỉ là chọn 5 học sinh tùy ý còn đối với bài này thêm một yêu cầu là có đúng

1 học sinh khối 11. Do đó, học sinh cần tư duy để phân tích đề bài đưa ra cách

làm hay nhất, yêu cầu có đúng 1 học sinh khối 11 tức 4 học sinh còn lại là học

sinh khối 10.

Lời giải. + Số cách chọn ra 1 học sinh từ 4 học sinh khối 11 là 4 cách.

+ Số cách chọn ra 4 học sinh từ 7 học sinh khối 10 là cách.

Vậy số cách chọn ra 5 học sinh sao cho có đúng 1 học sinh khối l1 là

cách.

Bài tập 3.3. Trong một nhóm gồm 11 học sinh, trong đó có 7 học sinh lớp 10

và 4 học sinh khối 11. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh sao cho có ít

nhất 1 học sinh khối 11?

Phân tích. Ở đây bài toán yêu cầu chọn ra 5 học sinh nhưng lại có ít nhất 1

học sinh khối 11. Với tư duy sáng tạo, các em cần nhận thấy đối với bài 3.2

thì dễ dàng hơn vì đề bài yêu cầu rõ ràng có đúng 1 học sinh khối 11 nên chỉ

có duy nhất 1 khả năng xảy ra. Nhưng ở đây, bài toán yêu cầu có ít nhất 1 học

sinh khối 11 tức là trong 5 học sinh được chọn có thể có 1 học sinh khối 11, 2

học sinh khối 11, 3 học sinh khối 11, 4 học sinh khối 11 hoặc 5 học sinh khối

11. Tuy nhiên do chỉ có 4 học sinh khối 11 nên trường hợp chọn được 5 học

sinh khối 11 là không xảy ra. Vậy đối với bài toán này sẽ có 4 trường hợp xảy

ra.

Lời giải. Cách 1. Đếm trực tiếp chia trường hợp

Để chọn được 5 học sinh sao cho có ít nhất 1 học sinh khối 11 xảy ra các khả

năng sau:

+ Chọn được 1 học sinh khối 11 và 4 học sinh khối 10 có cách.

+ Chọn được 2 học sinh khối 11 và 3 học sinh khối 10 có cách.

+ Chọn được 3 học sinh khối 11 và 2 học sinh khối 10 có cách.

+ Chọn được 4 học sinh khối 11 và 1 học sinh khối 10 có cách.

cách chọn ra 5 học sinh thỏa mãn yêu cầu bài Vậy có

toán.

Cách 2. Đếm loại trừ

+ Bước 1: Số cách chọn ra 5 học sinh tùy ý là cách.

+ Bước 2: Số cách chọn ra 5 học sinh sao cho không có học sinh nào

khối 11 là cách.

Vậy số cách chọn ra 5 học sinh mà có ít nhất 1 học sinh khối 11 là

cách.

Bài tập tương tự. Cho hai đường thăng song song và . Trên đường thẳng

ta chọn 11 điểm phân ta chọn 10 điểm phân biệt và trên đường thẳng

biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các điểm nằm trên hai

đường thẳng và ?

Phân tích. Tổng trên hai đường thẳng có 21 điểm, vẫn là tìm số tam giác được

tạo thành từ 21 điểm nhưng lại không thể chọn ra 3 điểm tùy từ 21 điểm được

vì trong 21 điểm có những điểm thẳng hàng nhau. Vậy trong bài này ta cần tư

duy thấy rằng, để ba điểm tạo thành một tam giác thì ba điểm đó không thể

nằm trên cùng một đường thẳng mà phải nằm trên 2 đường thẳng. Hiểu được

như vậy, ta sẽ thấy nó chính là bài 3.2 chẳng qua chỉ khác về hình thức, vẫn là

chọn ra 3 điểm sao cho trong 3 điểm có đủ cả điểm nằm trên đường thẳng

và .

Bài tập 3.4. Trong một nhóm gồm 30 học sinh, trong đó có 20 học sinh lớp 10

và 10 học sinh khối 11. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 9 học sinh sao cho có

đủ cả cả học sinh hai khối?

Phân tích. Về cơ bản bài toán này tương tự như bài toán 3.3 tuy nhiên nếu

học sinh không tư duy sáng tạo vẫn làm theo tư duy bài 3.3 là chia trường hợp

thì khi này bài toán trở nên rất khó khăn vì nó có rất nhiều trường hợp. Nếu tư

duy giải theo cách chia trường hợp thì nhiều trường hợp học sinh sẽ dẫn đến

dối, sợ và hoang mang. Do đó, các em cần tư duy được trong các bài toán mà

chia trường hợp nó quá nhiều thì các em cần nghĩ đến là sẽ phải dúng cách

đếm loại trừ. Vậy với bài này chúng ta sẽ áp dụng cách 2 của bài 3.3 chứ

không áp dụng theo cách 1 và giáo viên không nên khuyến khích học sinh làm

theo cách 1.

Lời giải. Bước 1: Đếm tất cả số cách chọn ra 9 học sinh tùy ý từ 30 học sinh.

+ Số cách chọn ra 9 học sinh từ 30 học sinh là cách.

Bước 2: Đếm tất cả số cách chọn ra 9 học sinh mà không đủ cả hai khối.

+ Số cách chọn ra 9 học sinh từ 20 học sinh khối 10 là cách.

+ Số cách chọn ra 9 học sinh từ 10 học sinh khối 11 là cách.

Vậy số cách chọn ra 9 học sinh đủ cả 2 khối là

cách chọn.

Phát triển. Ở các bài toán trên là bài toán chọn ra số học sinh từ số học của cả

hai khối lớp. Nhưng giờ chúng ta không chọn ra số học sinh nữa mà là chia

nhóm phân công nhiệm vụ cho thỏa mãn một điều kiện nào đó. Vậy mức độ

bài toán này sẽ khó hơn, không phải chỉ chọn một lần mà là chọn 2 lần, 3 lần

liên tiếp. Cụ thể, ta sẽ minh họa qua bài tập dưới đây.

Bài tập 3.5. Trong một đội thanh niên tình nguyện có 15 học sinh, trong đó có

3 học sinh khối 12 và 12 học sinh khối 11. Hỏi có bao nhiêu cách phân công

đội tình nguyện về giúp đỡ ba xã miền núi sao cho mỗi xã có 5 học sinh về

giúp đỡ và có đủ cả học sinh 2 khối?

Phân tích. Nhìn có vẻ giống bài tập 3.4 nhưng ở đây lại khó hơn ở chỗ không

những chọn 4 học sinh đủ cả 2 khối mà còn chia thành 3 nhóm mà mỗi nhóm

gồm 4 học sinh đều thỏa mãn đủ cả 2 khối. Ở đây do có 3 học sinh khối 12 và

12 học sinh khối 11 nên để chia thành 3 nhóm mà mỗi nhóm 5 học sinh có cả

học sinh khối 11 và 12 thì mỗi nhóm sẽ gồm 1 học sinh khối 12 và 4 học sinh

khối 11. Do đó, bài toán được hiểu là chia 15 học sinh thành 3 nhóm sao cho

mỗi nhóm gồm 1 học sinh khối 12 và 4 học sinh khối 11.

Lời giải. + Chọn ra 1 học sinh khối 12 và 4 học sinh khối 11 phân công về

xã thứ nhất có cách.

+ Sau khi phân chọn xong 4 học sinh về xã thứ nhất thì số cách chọn ra

1 học sinh khối 12 và 4 học sinh khối 11 phân công về xã thứ hai có số cách

là .

+ Còn lại duy nhất 1 cách phân công về xã thứ ba vì chỉ còn lại 1 học

sinh khối 12 và 4 học sinh khối 11.

Vậy số cách phân công là cách.

Phát triển. Mở rộng bài tập trên thành chọn số học sinh không phải từ hai

khối nữa mà là từ ba khối học sinh. Khi này, các bài toán sẽ trở nên khó khăn

hơn, cụ thể thông qua các bài tập sau.

Bài tập 3.6. Trong một nhóm gồm 22 học sinh, trong đó có 9 học sinh khối

10, 7 học sinh khối 11 và 6 học sinh khối 12. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 4

học sinh sao cho có đủ cả ba khối lớp?

Phân tích. Đối với bài tập này khá đơn giản vì số học sinh chọn ra chỉ có 4

học sinh đủ cả ba khối lớp nên việc làm trực tiếp chia trường hợp là trở nên

rất đơn giản. Nhưng khó hơn bài 3.5 ở chỗ bài toán này có đến ba khối học

sinh nên việc xét trường hợp sẽ phức tạp hơn.

Lời giải. Đếm trực tiếp.

Đề chọn ra 4 học sinh từ 22 học sinh mà có đủ cả ba khối xảy ra các

trường hợp sau:

+ Chọn được 2 học sinh khối 10, 1 học sinh khối 11 và 1 học sinh khối

12 có cách.

+ Chọn được 1 học sinh khối 10, 2 học sinh khối 11 và 1 học sinh khối

12 có cách.

+ Chọn được 1 học sinh khối 10, 1 học sinh khối 11 và 2 học sinh khối

12 có cách.

Vậy theo quy tắc cộng số cách chọn ra 4 học sinh đủ cả ba khối là

cách chọn.

Bài tập 3.7. Trong một nhóm gồm 22 học sinh, trong đó có 9 học sinh khối

10, 7 học sinh khối 11 và 6 học sinh khối 12. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra

10 học sinh sao cho có đủ cả ba khối lớp?

Phân tích. Đối với bài tập này học sinh không thể máy móc làm theo cách của

bài 3.6 được, vì chọn đến 10 học sinh đủ cả bai khối nên nếu làm trực tiếp thì

sẽ phải chia làm rất nhiều trường hợp khi này học sinh sẽ chán nản. Do đó,

chúng ta sẽ đếm bằng phương pháp loại trừ, đếm số cách chọn ra 10 học sinh

không đủ cả ba khối lớp.

Lời giải. Bước 1: Số cách chọn ra 10 học sinh tùy ý từ 22 học sinh là

cách.

Bước 2: Vì số học sinh mỗi khối ít hơn 10 học sinh nên khi chọn 10

học sinh không đủ cả ba khối sẽ xảy ra các khả năng sau:

+ Chọn được 10 học sinh từ 16 học sinh của khối 10 và 11 có cách.

+ Chọn được 10 học sinh từ 15 học sinh của khối 10 và 12 có cách.

+ Chọn được 10 học sinh từ 13 học sinh của khối 11 và 12 có cách.

Vậy số cách chọn ra 10 học sinh đủ cả ba khối lớp là

cách.

Phát triển. Vẫn là bài toán chọn ra số học sinh sao cho đủ cả ba khối lớp

nhưng khác bài 3.7 ở chỗ số học sinh được chọn ra ít hơn số học sinh của một

trong các khối lớp. Cụ thể ta có bài tập sau.

Bài tập 3.8. Trong một nhóm gồm 22 học sinh, trong đó có 9 học sinh khối

10, 7 học sinh khối 11 và 6 học sinh khối 12. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 8

học sinh có đủ cả ba khối lớp?

Phân tích. Nhìn đề bài không khác gì bài 3.7 nhưng nếu các em tư duy không

sáng tạo áp dụng một cách máy móc sẽ dẫn đến sai lầm. Thứ nhất, bài tập này

chọn ra đến 8 học sinh nếu chia trường hợp trực tiếp cũng sẽ rất nhiều trường

hợp gây chán nản cho học sinh và dễ nhầm lẫn nên không khuyến khích học

sinh suy nghĩ theo hướng này. Thứ hai, nếu áp dụng phương pháp đếm loại

trừ thì các em cần lưu ý rằng số học sinh chọn ra là 8 học sinh ít hơn số học

sinh khối 10 và nhiều hơn số học sinh khối 11 và 12 nên khi làm trường hợp

chọn 8 học sinh gồm khối 10 và một khối còn lại sẽ xảy ra trường hợp trùng

khả năng cả 8 học sinh đều là khối 10. Do đó, các em cần tư duy sáng tao,

phải trừ bỏ đi số cách chọn được 8 học sinh đều là học sinh khối 10.

Lời giải. Bước 1: Số cách chọn ra 8 học sinh tùy ý từ 22 học sinh là

cách.

Bước 2: Chọn ra 8 học sinh mà không đủ cả 3 khối lớp xảy ra các khả năng

+ Chọn được 8 học sinh từ 9 học sinh khối 10 có cách.

+ Chọn được 8 học sinh mà có cả khối 10 và 11 có cách.

+ Chọn được 8 học sinh mà có cả khối 10 và 12 có cách.

+ Chọn được 8 học sinh mà có cả khối 11 và 12 có cách.

Vậy số cách chọn ra 8 học sinh sao cho có đủ cả ba khối lớp là

cách.

Phát triển. Vẫn là bài toán chọn ra số học sinh sao cho đủ cả ba khối nhưng

khi thay đổi số học sinh bài toán sẽ trở nên khác và không thể làm một cách

máy móc được. Bây giờ, chúng ta sẽ thay đổi số học sinh được chọn ít hơn số

học sinh của mỗi khối lớp khi này bài toán trở nên khó khăn hơn so với bài

toán 3.8. Cụ thể ta sẽ minh họa thông qua bài tập dưới đây.

Bài tập 3.9. Trong một nhóm gồm 24 học sinh, trong đó có 9 học sinh khối

10, 8 học sinh khối 11 và 7 học sinh khối 12. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6

học sinh có đủ cả ba khối lớp?

Phân tích. Mới đọc học sinh sẽ thây giống bài 3.8 nhưng nếu không tư duy

sáng tạo thì học sinh sẽ dẫn đến những sai lầm đáng tiếc. Tương tự như bài

3.8 nếu đếm trực tiếp bằng cách chia trường hợp thì sẽ quá nhiều trường hợp.

Thứ hai, nếu làm bằng phép đếm loại trừ thì khi đếm số trường hợp không đủ

cả ba khối thì sẽ khó khăn hơn so với bài 3.8 vì số học sinh ít hơn số học sinh

của mỗi khối. Khi chọn 6 học sinh chỉ có 2 khối cần lưu ý trừ đi khả năng số

học sinh chỉ thuộc một. Vậy rõ ràng bài toán này sẽ khó lời giải phức tạp hơn.

Lời giải. Bước 1: Số cách chọn ra 6 học sinh tùy ý từ 24 học sinh là cách.

Bước 2: Chọn được 6 học sinh không đủ cả ba khối xảy ra các khả năng sau:

+ Chọn được 6 học sinh đều là học sinh khối 10 có cách.

+ Chọn được 6 học sinh đều là học sinh khối 11 có cách.

+ Chọn được 6 học sinh đều là học sinh khối 12 có cách.

+ Chọn được 6 học sinh gồm khối 10 và 11 có cách.

+ Chọn được 6 học sinh gồm khối 11 và 12 có cách.

+ Chọn được 6 học sinh gồm khối 10 và 12 có cách.

Vậy số cách chọn ra 6 học sinh đủ cả ba khối lớp là:

cách.

Bài tập 3.10. Trong một nhóm gồm 22 học sinh, trong đó có 9 học sinh khối

10, 7 học sinh khối 11 và 6 học sinh khối 12. Chọn ra 15 học sinh phân công

mỗi em một nhiệm vụ lao động sao cho có đủ cả ba khối và có ít nhất 5 học

sinh khối 12. Hỏi có bao nhiêu cách phân công nhiệm vụ lao động?

Lời giải. Để chọn ra 15 học sinh mà có ít nhất 5 học sinh khối 12 mà đủ cả ba

khối xảy ra các khả năng sau:

+ Chọn được 5 bạn học sinh lớp 12 và 10 học sinh gồm học sinh khối

10 và 11 có cách.

+ Chọn được 6 học sinh khối 12 và 9 học sinh gồm học sinh khối 10 và

11 có cách.

Vậy số cách chọn ra 15 học sinh và phân công nhiệm vụ lao động là

cách.

Bài tập 3.11. Trong một nhóm gồm 22 học sinh, trong đó có 8 học sinh khối

10 được đánh số từ 1 đến 8, 7 học sinh khối 11 được đánh số từ 1 đến 7 và 6

học sinh khối 12 được đánh số từ 1 đến 6. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3

học sinh vừa khác khối vừa khác số?

Lời giải. + Chọn ra 1 học sinh từ 6 học sinh khối 12 có 6 cách.

+ Chọn ra 1 học sinh từ 7 học sinh khối 11 và khác số với số của học

sinh đã chọn ở khối 12 có 6 cách.

+ Chọn ra 1 học sinh từ 8 học sinh khối 10 và khác số với hai học sinh

đã chọn có 6 cách.

Vậy số cách chọn ra 3 học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán là

cách.

Bài tập 3.12. Trong một nhóm gồm 12 học sinh, trong đó có hai bạn An và

Bình. Chọn ra 7 học sinh từ 12 học sinh để thành lập tổ học tập. Hỏi có bao

nhiêu cách chọn sao cho An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ học

tập?

Lời giải. Bước 1: Chọn ra An hoặc Bình vào tổ học tập có 2 cách.

Bước 2: Chọn 6 thành viên còn lại từ 10 học sinh (trừ đi An và Bình)

có cách chọn.

Vậy số cách thành lập tổ học tập là cách.

Bài tập 3.13. Trong một nhóm có 12 học sinh, trong đó có 2 cặp học sinh là

chị em sinh đôi. Cần chọn ra 5 bạn học sinh tham gia đại hội đoàn trường. Hỏi

có bao nhiêu cách chọn sao cho 5 học sinh được chọn không có 2 học sinh

nào là chị em sinh đôi?

Lời giải. Bước 1: Chọn ra 5 học sinh tùy ý.

+ Số cách chọn ra 5 học sinh tùy ý từ 12 học sinh là .

Bước 1: Đếm số cách chọn ra 5 học sinh mà chứa ít nhất 1 cặp sinh đôi.

+ Nếu chọn được 5 học sinh mà có một cặp sinh đôi thì số cách chọn là

cách.

+ Nếu chọn được 5 học sinh mà có hai cặp sinh đôi thì số cách chọn là

cách.

Vậy số cách chọn ra 5 học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán là

cách.

Bài tập 3.14. Trong một nhóm gồm 22 học sinh. Chọn ra 10 học sinh thành

lập tổ học tập, trong đó có 3 tổ trưởng và 2 tổ phó. Hỏi có bao nhiêu cách lập

một tổ học tập?

Lời giải. Cách 1. Chọn ra rồi phân công nhiệm vụ luôn.

+ Số cách chọn ra 3 tổ trưởng từ 22 học sinh là cách.

+ Số cách chọn ra 2 tổ phó từ 19 học sinh còn lại là cách.

+ Số cách chọn ra 5 thành viên từ 17 học sinh còn lại là cách.

Vậy số cách lập ra tổ học tập là cách lập.

Cách 2. Chọn ra 10 học sinh sau đó mới phân công nhiệm vụ.

+ Số cách chọn ra 10 học sinh từ 22 học sinh là cách.

+ Số cách chọn ra 3 tổ trưởng từ 10 bạn có cách.

+ Số cách chọn ra 2 tổ phó từ 7 bạn còn lại là cách.

Vậy số cách lập ra tổ học tập là cách.

Bài tập 3.15. Trong một nhóm gồm 22 học sinh, trong đó có bạn An. Chọn ra

10 học sinh thành lập tổ học tập, trong đó có 3 tổ trưởng và 2 tổ phó. Hỏi có

bao nhiêu cách lập một tổ học tập sao cho An luôn có mặt trong đội?

Lời giải

Cách 1. Chia trường hợp nếu An là tổ trưởng, tổ phó hoặc thành viên trong

tổ.

Trường hợp 1: Nếu An là tổ trưởng.

+ Số cách chọn 2 tổ trưởng còn lại là cách.

+ Số cách chọn 2 tổ phó từ 19 người còn lại là cách.

+ Số cách chọn 5 thành viên từ 17 người còn lại là cách.

Trường hợp 2: Nếu An là tổ phó.

+ Số cách chọn 3 tổ trưởng từ 21 người còn lại là cách.

+ Số cách chọn 1 tổ phó còn lại từ 18 người là 18 cách.

+ Số cách chọn 5 thành viên từ 17 người còn lại là cách.

Trường hợp 3: Nếu An là thành viên.

+ Số cách chọn 3 tổ trưởng từ 21 người còn lại là cách.

+ Số cách chọn 2 tổ phó còn lại từ 18 người là cách.

+ Số cách chọn 4 thành viên từ 16 người còn lại là cách.

Vậy số cách lập tổ học sinh gồm 10 người trong đó luôn có mặt An là

cách thành lập tổ học tập.

Nhận xét. Với tư duy sáng tạo, học sinh không thể chỉ dừng lại ở cách làm này

mà cần tư duy và tìm ra cách giải quyết ngắn gọn hơn. Chúng ta có thể làm

theo cách chọn ra cho đủ 10 người có mặt An rồi sau đó mới phân công chức

vụ, khi này lời giải sẽ hay và ngắn gọn hơn.

Cách 2. Chọn ra 10 người luôn có mặt An sau đó phân công chức vụ.

+ Lấy ra học sinh An có 1 cách.

+ Lấy ra 9 học sinh không có An có cách.

+ Chọn ra 3 tổ trưởng từ 10 bạn có cách.

+ Chọn ra 2 tổ phó từ 7 bạn còn lại có cách.

Vậy số cách chọn và phân công nhiệm vụ là cách.

Bài tập 3.16. Trong một nhóm gồm 22 học sinh, trong đó có 9 học sinh khối

10, 7 học sinh khối 11 và 6 học sinh khối 12. Chọn ra 10 học sinh thành lập tổ

học tập, trong đó có 3 tổ trưởng và 2 tổ phó. Hỏi có nao nhiêu cách lập một tổ

học tập sao cho có đủ cả ba khối?

Lời giải. Bước 1: Chọn ra 10 học sinh đủ cả ba khối.

- Số cách chọn ra 10 học sinh tùy ý từ 22 học sinh là cách.

- Vì số học sinh mỗi khối ít hơn 10 học sinh nên khi chọn 10 học sinh

không đủ cả ba khối sẽ xảy ra các khả năng sau:

+ Chọn được 10 học sinh từ 16 học sinh của khối 10 và 11 có cách.

+ Chọn được 10 học sinh từ 15 học sinh của khối 10 và 12 có cách.

+ Chọn được 10 học sinh từ 13 học sinh của khối 11 và 12 có cách.

Vậy số cách chọn ra 10 học sinh đủ cả ba khối lớp là

cách.

Bước 2: Phân công nhiệm vụ.

+ Chọn ra 3 tổ trưởng từ 10 bạn có cách.

+ Chọn ra 2 tổ phó từ 7 bạn còn lại có cách.

Vậy số cách chọn và phân công nhiệm vụ là cách.

2.3.4. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua xây dựng và sử

dụng bài toán đếm có liên quan đến hình học

Bài toán đếm liên quan đến hình học cũng rất hay xuất hiện trong các kì

thi như Đại học và học sinh giỏi cấp tỉnh khối 11 và 12. Sau đây tôi sẽ xây

dựng và sử dụng theo hướng sáng tạo bài toán đếm liên quan quan đến hình

học theo hướng phát triển từ bài toán gốc bài đầu phát triển dần lên để được

bài toán mới nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.

Bài tập 4.1. Cho 7 điểm trên mặt phẳng không có 3 điểm nào thẳng hàng.

a) Hỏi có bao nhiêu đường thẳng mà mỗi đường thẳng đi qua 2 trong 7 điểm

nói trên?

b) Hỏi có bao nhiêu tam giác với các đỉnh thuộc 7 điểm đã cho?

Phân tích. Đây là bài toán đơn giản nhất của dạng bài toán đếm liên quan đến

hình học, học sinh dễ dàng có thể làm được. Các em dễ dàng tư duy được

rằng mỗi cặp điểm xác định duy nhất một đường thẳng; 3 điểm không thẳng

hàng xác định duy nhất một tam giác và ngược lại. Bài toán này tuy không

khó nhưng nếu học sinh không tư duy được thì sẽ đến nhầm lẫn rằng cứ 3

điêm không phải tạo được 1 tam giác. Do đó, ta có thể trình bày lời giải như

Lời giải

a) Mỗi cặp điểm không kể thứ tự trong 7 điểm đã cho xác định một đường

thẳng và ngược lại.

Vậy số đường thẳng đi qua 2 trong 7 điểm nói trên là đường thẳng.

b) Mỗi bộ 3 điểm không kể thứ tự trong 7 điểm đã cho xác định một tam giác

và ngược lại.

Vậy số tam giác có đỉnh thuộc 7 đỉnh đã cho là tam giác.

Phát triển. Ở bài toán trên chỉ đơn giản là từ tập 7 điểm không thẳng hàng và

lấy ra 3 điểm tùy ý. Vẫn là bài toán lập tam giác nhưng các điểm không thỏa

mãn ba điểm bất kì không thẳng hàng nữa mà tập điểm gồm 2 tập điểm nằm

trên hai đường thẳng song song.

Bài tập 4.2. Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất có 10

điểm phân biệt, trên đường thẳng thứ 2 có 20 điểm phân biệt. Hỏi có bao

nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho?

Phân tích. Bài toán này khó hơn bài 3.1 ở chỗ không phải cứ chọn ra 3 điểm

bất kì từ tập điểm đã cho là tạo thành tam giác vì có khi 3 điểm được chọn lại

thẳng hàng. Do đó nếu học sinh mà làm theo hướng bài 3.1 sẽ dẫn đến sai

lầm. Tập điểm ở đây gồm những điểm nằm trên hai đường thẳng song song

nên để ba điểm được chọn tạo thành tam giác thì chúng phải nằm trên hai

đường thẳng.

Lời giải. Chọn được 3 điểm trên hai đường thẳng song song để tạo thành

một tam giác xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Chọn được 1 điểm ở đường thẳng thứ nhất, 2 điểm ở đường

thẳng thứ hai có cách.

Trường hợp 2: Chọn được 2 điểm ở đường thẳng thứ nhất, 1 điểm ở đường

thẳng thứ hai có cách.

Vậy số tam giác được tạo thành là tam giác.

Bài tập 4.3. Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất có 10

điểm phân biệt, trên đường thẳng thứ 2 có 20 điểm phân biệt. Hỏi có bao

nhiêu hình thang được tạo bởi các điểm đã cho?

Phân tích. Đối với bài 4.2 chỉ là đếm số tam giác tạo thành, mà tam giác chỉ

có ba đỉnh nên sẽ đơn giản hơn. Đối với bài này đếm số hình thang, mà hình

thang phải thỏa mãn có 4 đỉnh và phải có hai cặp cạnh song song, nên ta sẽ

nghĩ đến phải có hai điểm thuộc đường thẳng thứ nhất và hai điểm thuộc

đường thẳng thứ hai.

Lời giải. Để tạo thành một hình thang ta cần chọn ra hai điểm thuộc đường

thẳng thứ nhất và hai điểm thuộc đường thẳng thứ hai.

+ Số cách chọn ra hai điểm từ 10 điểm thuộc đường thẳng thứ nhất là

cách.

+ Số cách chọn ra hai điểm từ 15 điểm thuộc đường thẳng thứ hai là

cách.

Vậy số hình thang được tạo thành là hình thang.

Phát triển. Bây giờ chúng ta thử mở rộng ra không phải là tam giác tạo mới

các tập điểm nữa mà là tam giác, tứ giác tạo bởi các cặp đường thẳng. Cụ thể,

chúng ta xét bài toán dưới đây.

Bài tập 4.4. Cho hai họ đường thẳng cắt nhau. Họ gồm 10 đường thẳng

song song với họ gồm 15 đường thẳng song.

Hỏi các đường thẳng này tạo được bao nhiêu hình bình hành?

Phân tích. Mỗi hình bình hành được tạo bởi hai cặp đường thẳng song song

cắt nhau. Mà họ gồm 10 đường thẳng song song và họ gồm 15

đường thẳng song. Nên hình bình hành được tạo thành bới 2 đường thẳng

thuộc họ và hai đường thẳng thuộc họ .

Lời giải. Do các đường thẳng thuộc họ song song, các đường thẳng

thuộc họ song song, mà một hình bình hành tạo bởi hai cặp đường thẳng

song song cắt nhau.

+ Chọn ra 2 đường thẳng từ 10 đường thẳng thuộc họ là cách.

+ Chọn ra 2 đường thẳng từ 15 đường thẳng thuộc họ là cách.

Vậy số hình bình hành được tạo thành là hình.

Bài tập 4.5. Cho tam giác , xét tập hợp 4 đường thẳng song song với

, 5 đường thẳng song song với và 6 đường thẳng song song với .

Hỏi các đường thẳng này tạo được:

a) Bao nhiêu tam giác?

b) Bao nhiêu hình thang (không kể hình bình hành)?

c) Bao nhiêu hình bình hành?

Lời giải

a) Để tạo thành 1 tam giác thì cần chọn được 3 đường thẳng đôi một cắt nhau.

Do đó, số tam giác được tạo thành là tam giác.

b) Để tạo thành một hình bình thang (không kể hình bình hành) thì cần chọn

được 2 đường thẳng song song và hai đường thẳng cắt nhau. Do đó, ta có các

khả năng sau:

+ Số hình thang được tạo thành bởi hai đường thẳng song song với ,

1 đường thẳng song song với và một đường thẳng song song với là

hình.

+ Số hình thang được tạo thành bởi một đường thẳng song song với ,

2 đường thẳng song song với và một đường thẳng song song với là

hình.

+ Số hình thang được tạo thành bởi một đường thẳng song song với ,

một đường thẳng song song với và hai đường thẳng song song với là

hình.

Vậy số hình thang không phải là hình bình hành tạo thành là

hình.

c) Để tạo thành một hình bình hành thì cần chọn được 2 cặp đường thẳng

song song. Do đó, ta có các khả năng sau:

+ Số hình bình hành được tạo thành bởi 2 đường thẳng song song với

và 2 đường thẳng song song với là hình.

+ Số hình bình hành được tạo thành bởi 2 đường thẳng song song với

và 2 đường thẳng song song với là hình.

+ Số hình bình hành được tạo thành bởi 2 đường thẳng song song với

và 2 đường thẳng song song với là hình.

Vậy số hình bình hành tạo thành là hình.

Bài tập 4.6. Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có 20 cạnh. Xét các tam

giác mà 3 đỉnh của nó lấy từ đỉnh của (H).

Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của (H)?

Phân tích. Học sinh cần phải hiểu để tạo thành một tam giác cần có ba đỉnh,

nhưng ở đây không chỉ đơn giản là lấy ra 3 đỉnh từ 20 đỉnh mà cần phải thỏa

mãn không có cạnh nào là cạnh của đa giác. Một tam giác không có cạnh nào

là cạnh của đa giác thì phải không có 2 đỉnh nào liền kề nhau, mà để tính trực

tiếp là tương đối khó khăn. Do đó, các em hãy có tư duy sáng tạo xem một

tam giác tạo bởi ba đỉnh của tam giác sẽ xảy ra những khả năng sau: có 1

cạnh là cạnh của đa giác, có hai cạnh là cạnh của đa giác và không có cạnh

nào là cạnh của đa giác. Khi đó, ta thấy đếm số tam giác có 1 cạnh và 2 cạnh

là cạnh của đa giác dễ hơn.

Lời giải. + Đa giác lồi (H) có 20 cạnh nên có 20 đỉnh.

+ Số tam giác có ba đỉnh là đỉnh của đa giác là tam giác.

+ Số tam giác có hai cạnh là cạnh của đa giác là 20 tam giác.

+ Số tam giác có 1 cạnh la cạnh của đa giác là tam giác.

Vậy sô tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác (H) là:

Phát triển. Từ bài tập 4.6 ta sẽ phát triển thành bài toán tổng quát đối với đa

giác cạnh. Khi này cách làm vẫn như bài tập 4.6 tuy nhiên chỉ là sẽ tổng

quát hơn nên đòi hỏi học sinh phải tư duy hơn.

Bài tập 4.7. Trong mặt phẳng cho đa giác lồi (H) có cạnh . Có bao

nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác mà có 3 đỉnh là các

đỉnh của đa giác?

Lời giải. + Đa giác lồi (H) có cạnh nên có đỉnh.

+ Số tam giác có ba đỉnh là đỉnh của đa giác là tam giác.

+ Số tam giác có hai cạnh là cạnh của đa giác là tam giác.

+ Số tam giác có 1 cạnh la cạnh của đa giác là tam giác.

Vậy sô tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác (H) là:

tam giác.

Phát triển. Ở các bài toán trên chủ yếu cho đa giác và tìm số đường chéo, tam

giác tạo thành từ đỉnh đa giác. Bây giờ, chúng ta sẽ tiếp cận bài toán dạng này

theo hướng mới là cho biết trước một vài dữ kiện và yêu cầu tìm số cạnh của

đa giác, hay chính là bài toán ngược lại, tư duy ngược. Cụ thể, tôi thông qua

hai bài toán dưới đây.

Bài tập 4.8. Trong mặt phẳng cho đa giác lồi (H) có cạnh . Xác định

để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh?

Phân tích. Muốn tìm được số cạnh của đa giác, các em cần quy về bài toán

quen là cho đa giác cạnh thì có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo thành từ các

đỉnh của đa giác? Có bao nhiêu đường chéo? Từ đó, các em tư duy sáng tạo

một chút sẽ tìm được mối liên hệ và đưa ra lời giải bài toán. Khi đó, bài toán

quay về giải phương trình biến .

Lời giải. + Đa giác (H) có cạnh nên có đỉnh.

+ Số đoạn thẳng được tạo thành bởi các đỉnh của đa giác là đoạn.

+ Số đường chéo của đa giác là: .

Vậy theo giả thiết số đường chéo gấp đôi số cạnh nên ta có đẳng thức sau:

Vậy là giá trị cần tìm.

Bài tập 4.9. Trong mặt phẳng cho đa giác đều nội

tiếp đường tròn . Biết rằng số tam giác có ba đỉnh trong đỉnh

gấp 20 lần số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong đỉnh

. Tìm ?

Phân tích. Để làm được bài này, các em cần tư duy sáng tạo xem thực hiện

từng bước như thế nào cho phù hợp, thích hợp. Trước tiên chúng ta phải tìm

số tam giác từ . Và nhận thấy cứ hai đường chéo xuyên tâm có một hình

chữ nhật có 4 đỉnh trong điểm nên để tìm được số hình chữ nhật cần phải

tìm số đường chéo đi qua tâm. Vậy số hình chữ nhật

Lời giải. Dễ thấy số tam giác là .

Một đa giác đều đỉnh thì có đường chéo xuyên tâm . Cứ hai

đường chéo xuyên tâm có một hình chữ nhật được tạo thành mà có 4 đỉnh

trong đỉnh của đa giác. Vậy số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong đỉnh đa

giác là hình chữ nhật.

Theo bài ra ta có:

Vậy đa giác đã cho là đa giác đều 8 cạnh.

Kết luận chƣơng 2

Căn cứ vào yêu cầu về nội dung kiến thức của chủ đề bài toán đếm – tổ

hợp toán cơ bản 11 và kỹ năng HS cần đạt được sau khi học xong chương

này, chúng tôi đã xây dựng được một hệ thống bài tập bài toán đếm tương đối

đa dạng và phong phú theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.

Nhằm khắc phục một số sai lầm của HS trong quá trình giải toán tổ

hợp, nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh, chúng tôi đã đã xây dựng

bài toán đếm theo hướng phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh từ bài

toán ban đầu cơ bản và đơn giản nhất phát triển dần lên nâng cao mức độ khó

của bài toán sẽ gây được hứng thú để học sinh chủ động khám phá những điều

mình chưa rõ, tích cực giải quyết bài tập.

Chúng tôi hy vọng tạo được hứng thú và tình yêu toán học cho các em

HS, góp phần mang lại hiệu quat trong đổi mới phương pháp dạy học môn

Toán. Kết quả thực nghiệm việc xây dựng và sử dụng bài toán đếm lớp 11

ban cơ bản đã soạn thảo sẽ được chúng tôi trình bày trong chương thực

nghiệp sư phạm.

CHƢƠNG 3

THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sƣ phạm

3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm

Mục đích của thực nghiệm sư phạm để bước đầu kiểm chứng giả thuyết

khoa học đã đề ra cho đề tài, kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của việc xây

dựng và sử dụng bài tập theo chủ đề Bài toán đếm trong trường Trung học

phổ thông ban cơ bản khi áp dụng vào thực tế giảng dạy và học tập.

So sánh kết quả học tập của HS lớp thực nghiệm và đối chứng sau khi

dạy học.

Quá trình thực nghiệm là cơ sở khách quan để tìm ra ưu nhược điểm

của đề tài, nhằm hoàn thiện đề tài.

3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm

Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm gồm có:

- Xây dựng hệ thống bài tập theo bốn mảng bài toán đếm đã trình bày ở

chương 2.

- Biên soạn tài liệu theo hướng rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo

cho học sinh thông qua dạy học một số tiết học cụ thể. Tài liệu thực nghiệm

được trình bày dưới dạng giáo án bài giảng và một số đề kiểm tra.

- Chọn lớp dạy thực nghiệm và lớp đối chứng; tiến hành dạy thực

nghiệm một số tiết học.

- Trao đổi với giáo viên dạy thực nghiệm về phương pháp và cách tiến

hành thực nghiệm.

- Đánh giá kết quả thực nghiệm theo các góc độ: chất lượng, hiệu quả

và tính khả thi của việc xây dựng và sử dụng hệ thống bài toán đếm theo

hướng rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.

- Phân tích và xử lý kết quả của thực nghiệm.

3.2. Đối tƣợng thực nghiệm sƣ phạm

Tôi thực hiện tiến hành dạy thực nghiệm ở hai lớp 11A1 và 11A2

trường THPT Thái Hòa – Vĩnh Phúc năm học 2016 – 2017. Mỗi lớp có 30

học sinh, chúng tôi chia mỗi lớp làm 2 nhóm, mỗi nhóm 15 học sinh có lực

học ngang nhau sau đó ghép hai nhóm 1 thành lớp thực nghiệm và ghép hai

nhóm 2 thành lớp đối chứng. Khi đó ta được lớp thực nghiệm và đối chứng

mỗi lớp có 30 em học sinh lực học trung bình – khá tương đương nhau và đều

do thầy giáo Vương Thành Nam (Tổ trưởng – Thạc sĩ Toán học) giảng dạy.

3.3. Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm

Trước khi tiến hành thực nghiệm, chúng tôi trao đổi với giáo viên dạy

thực nghiệm về mục đích, nội dung, kế hoạch cụ thể để đi tới thống nhất mục

đích, nội dung và phương pháp dạy các tiết thực nghiệm.

- Thực hiện giảng dạy: Đối với lớp đối chứng tiến hành dạy như bình

thường với giáo án tự soạn của tổ Toán, thuyết trình cung cấp kiến thức và

luyện tập bài tập SGK, sách bài tập. Đối với lớp thực nghiệm dạy theo giáo án

thực nghiệm đã biên soạn theo hướng phát triển tư duy sáng tạo.

- Việc dạy thực nghiệm và đối chứng được tiến hành song song theo

lịch giảng dạy mà chúng tôi đã xin phép nhà trường.

- Trong các tiết dạy thực nghiệm và tiết dạy đối chứng chúng tôi có mời

các GV tổ Toán – Tin trong trường đi dự giờ và nhận xét.

- Tổ chức cho HS hai lớp thực nghiệm và đối chứng kiểm tra cùng một

đề bài và cùng một thầy giáo chấm theo cùng một biểu điểm.

- So sánh kết quả hai bài kiểm tra và rút ra kết luận.

3.4. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm

Do theo phân phối chương trình thì tại thời điểm thực nghiệm các em

học sinh chưa học đến nội dung tổ hợp nên chúng tôi đã xin phép nhà trường

tạo điều kiện cho chúng tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm vào các buổi

chiều sau khi các em hoc xong tiết 3.

Thời gian: Tiến hành thực nghiệm sư phạm trong 8 tiết học; Từ ngày

12/09/2016 đến 8/10/2016 (trong đó có 1 tiết kiểm tra).

Lịch học: Đối với lớp thực nghiệm vào các buổi chiều thứ 2 và 4 hàng

tuần từ 16h20 – 17h05; đối với lớp đối chứng vào các buổi chiều thứ 3 và 5

hàng tuần từ 16h20 – 17h05. Tiến hành kiểm tra sau thực nghiệm vào chiều

thứ bảy ngày 08/10/2016.

Phân phối chương trình cụ thể như sau:

Ngày dạy

STT Nội dung Ghi Lớp thực Lớp đối

chú nghiệm chứng

12/09/2016 13/09/2016 Tiết 21: §1 Quy tắc đếm 1.

14/09/2016 15/09/2016 Tiết 22: §1 Quy tắc đếm (tiếp) 2.

19/09/2016 20/09/2016 Tiết 23: Quy tắc đếm – Luyện tập 3.

21/09/2016 22/09/2016 Tiết 24: §2 Hoán vị - Chỉnh hợp – 4.

Tổ hợp

5. 26/09/2016 27/09/2016 Tiết 25: §2 Hoán vị - Chỉnh hợp –

Tổ hợp (tiếp)

6. 28/09/2016 29/09/2016 Tiết 26: §2 Hoán vị - Chỉnh hợp

– Tổ hợp – Luyện tập

03/10/2016 4/10/2016 Luyện tập 7.

08/10/2016 08/10/2016 Tiến hành kiểm tra. 8.

3.5. Nội dung thực nghiệm sƣ phạm

3.5.1. Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm

Các tiêu chí để đánh giá kết quả thực nghiệm:

- Dựa trên đánh giá nhận xét của các giáo viên trong Tổ Toán trường

Trung học phổ thông Thái Hòa, Vĩnh Phúc tham gia dự giờ các buổi dạy.

- Dựa trên phiếu lấy ý kiến kín của học sinh lớp thực nghiệm.

- Dựa trên kết quả bài kiểm tra sau thời gian giáo viên giảng dạy trên

lớp và thời gian học sinh đọc các tài liệu được giao ở nhà.

Qua các tiết dạy thực nghiệm trên lớp tác giả chỉ có thể trình bày được

một phần trong số các bài toán được xây dựng trong luận văn, một phần tác

giả giao cho các em về nhà tự đọc theo hướng dẫn và một phần được sử dụng

trong bài kiểm tra sau thực nghiệm

3.5.2. Giáo án các tiết mẫu dạy thực nghiệm

Giáo án số 01

Tiết 21 Quy tắc đếm (tiết 1)

I. Mục tiêu

1. Kiến thức

- Hai quy tắc đếm cơ bản: quy tắc cộng và quy tắc nhân.

- Biết áp dụng vào từng bài toán: khi nào dùng quy tắc cộng, khi nào

dùng quy tắc nhân.

2. Kỹ năng

- Sau khi học xong bài này học sinh sử dụng duy tắc đếm thành thạo.

- Có khả năng sáng tạo, linh hoạt khi áp dụng hai quy tắc đếm, có thể

tự xây dựng bài toán mới bằng cách thay đổi ít nhất về mặt hình thức

hay thay đổi dữ kiện đề bài đặc biệt là với bài toán đếm số.

- Làm bài một cách tư duy sáng tạo không dập khuân.

3. Tƣ duy

- Rèn cho HS tư duy logic và tư duy sáng tạo.

4. Thái độ

- Tự giác, tích cực trong học tập.

- HS có hứng thú với bài học và có trách nhiệm hoàn thiện công việc

được giao.

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

1. Chuẩn bị của giáo viên

- Chuẩn bị các câu hỏi gợi mở và hệ thống bài tập.

- Chuẩn bị các hình từ 22 đến 25 trong SGK (sách giáo khoa).

- Chuẩn bị kĩ các tình huống có thể xảy ra trong tiết học.

2. Chuẩn bị của học sinh

- Đọc trước bài hai quy tắc đếm ở nhà, ôn tập lại một số kiến thức về tập

hợp.

III. Phƣơng pháp

Kết hợp các phương pháp: Thuyết trình, gợi mở vấn đáp đặc biệt khi xây

dựng hệ thống ví dụ và bài tập theo hướng phát triển dần từ bài toán gốc ban

đầu.

IV. Tiến trình dạy học

1. Ổn định tổ chức lớp: 1 phút.

2. Đặt vấn đề:

Câu hỏi 1: Có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số

khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3, 4?

GV: Cho HS liệt kê.

Câu hỏi 2: Cho 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Có thể liệt kê được

tất cả các số có 4 chữ số lập từ 10 chữ số trên không?

GV: Ta thấy, rất khó để liệt kê vì nhiều số. Do đó, chúng ta phải có một

quy tắc để đếm số các phần tử của một tập hợp. Và bài ngày hôm nay chúng

ta sẽ làm quen với hai quy tắc đếm cơ bản là quy tắc cộng và quy tắc nhân.

3. Bài mới

Hoạt động 1: Tiếp cận quy tắc cộng

I – Quy tắc cộng

GV: Nêu và thực hiện ví dụ 1. Có sử dụng hình 22

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

H 1: Tổng cộng có bao nhiêu quả Gợi ý trả lời câu hỏi 1

9 quả cầu. cầu?

H 2: Có bao nhiêu cách chọn 1 quả HS: 6 cách chọn.

cầu trắng?

H 3: Khi chọn được 1 quả cầu trắng HS: Công việc kết thúc.

công việc đã kết thúc chưa?

H 4: Có bao nhiêu cách chọn 1 quả HS: 3 cách.

cầu đen?

H 5: Khi chọn được 1 quả cầu đen HS: Đã kết thúc

công việc đã kết thúc chưa?

H 6: Có bao nhiêu cách chọn 1 quả HS: 6 + 3 = 9 cách chọn.

cầu?

Nhận xét. Thực hiện các hành động GV: Giới thiệu quy tắc cộng.

H 7: Khi nào sử dụng quy tắc cộng? không phụ thuộc và độc lập nhau cho

cùng một công việc thì sử dụng quy

tắc cộng.

GV: Thực hiện hoạt động 1 trong SGK – trang 44.

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

H 1: Mỗi quả cầu ứng với số cách HS: Mỗi quả cầu ứng với 1 cách

chọn là bao nhiêu? chọn.

H 2: Tổng số các quả cầu là 9, vậy HS: 9 cách.

tổng số cách chọn là bao nhiêu?

GV: Quy tắc cộng bản chất là quy HS: Viết dưới dạng ký hiệu tập hợp

tắc đếm số phần tử của hai tập hợp

không giao nhau.

Chú ý: Quy tắc cộng có thể mở rộng

cho nhiều hành động.

GV: Nêu và hướng dẫn HS thực hiện ví dụ 2 – SGK.

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

H 1: Có những loại hình vuông nào HS: Có hai loại hình vuông cạnh bằng

trong hình 23? 1 cm và cạnh bằng 2 cm.

H 2: Gọi A là tập hợp các hình HS:

vuông cạnh 1cm và B là tập hợp các

hình vuông cạnh 2cm. Hãy xác định

H 3: Tính số hình vuông? HS: Số hình vuông là:

Hoạt động 2: Tiếp cận quy tắc nhân

II – Quy tắc nhân

GV: Hướng dẫn học sinh thực ví dụ 3, có sử dụng hình 24 – SGK.

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

GV: Hướng dẫn học sinh thực ví dụ

3, có sử dụng hình 24 – SGK.

H 1: Mỗi cách chọn có những hành HS: Mỗi cách chọn có hai hành động:

động nào? Thực hiện độc lập hay liên Quần – áo hoặc áo – quần và được

tiếp? thực hiện liên tiếp.

H 2: Có bao nhiêu cách chọn quần?

H 3: Khi chọn quần xong công việc Đáp: có 3 cách.

đã kết thúc chưa? Đáp: Chưa kết thúc.

H 4: Có bao nhiêu cách chọn áo? Đáp: có 2 cách.

H5: Sau khi chọn xong áo công việc Đáp: Đã kết thúc.

đã kết thúc chưa?

H 6: Có bao nhiêu cách chọn 1 bộ HS: có 2 . 3 = 6 cách chọn.

quần áo?

GV: Giới thiệu quy tắc nhân. HS: Tiếp thu kiến thức.

H 7: Khi nào sử dụng quy tắc nhân? HS: Khi công việc được thực hiện bởi

nhiều hành động liên tiếp nhau.

Lƣu ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng

cho nhiều hành động liên tiếp.

4. Củng cố:

H : Với điều kiện nào ta sử dụng quy tắc cộng? Với điều kiện nào ta sử dụng

quy tắc nhân? So sánh hai quy tắc đếm.

- Làm hoạt động 2 – SGK và ví dụ 4 – SGK.

- Làm các bài tập trong SGK trang 46.

Giáo án số 02

Tiết 22 Quy tắc đếm (tiết 2)

I. Mục tiêu

1. Kiến thức

- Hai quy tắc đếm cơ bản: quy tắc cộng và quy tắc nhân.

- Biết áp dụng vào từng bài toán: khi nào dùng quy tắc cộng, khi nào

dùng quy tắc nhân.

2. Kỹ năng

- Sau khi học xong bài này học sinh sử dụng duy tắc đếm thành thạo.

- Có khả năng sáng tạo, linh hoạt khi áp dụng hai quy tắc đếm, có thể

tự xây dựng bài toán mới bằng cách thay đổi ít nhất về mặt hình thức

hay thay đổi dữ kiện đề bài đặc biệt là với bài toán đếm số.

- Làm bài một cách tư duy sáng tạo không dập khuân.

3. Tƣ duy

- Rèn cho HS tư duy loogic và tư duy sáng tạo.

4. Thái độ

- Tự giác, tích cực trong học tập.

- HS có hứng thú với bài học và có trách nhiệm hoàn thiện công việc

được giao.

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

1. Chuẩn bị của giáo viên

- Chuẩn bị các câu hỏi gợi mở và hệ thống bài tập.

- Chuẩn bị kĩ các tình huống có thể xảy ra trong tiết học.

2. Chuẩn bị của học sinh

- Ôn tập lại hai quy tắc đếm.

III. Phƣơng pháp

Kết hợp các phương pháp: Thuyết trình, gợi mở vấn đáp đặc biệt khi xây

dựng hệ thống ví dụ và bài tập theo hướng phát triển dần từ bài toán gốc ban

đầu.

IV. Tiến trình dạy học

1. Ổn định lớp

2. Kiểm tra bài cũ

H: Em hãy phát biểu hai quy tắc đếm? Phân biệt khi nào sử dụng quy

tắc cộng? Khi nào sử dụng quy tắc nhân?

3. Nội dung bài học

Hoạt động 3: Củng cố quy tắc nhân

GV: Hướng dẫn học sinh thực hiện hoạt động 2 – SGK.

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

H 1: Để đi từ A đến C cần bao nhiêu HS: Hai hành động.

hành động?

H 2: Có bao nhiêu cách đi từ A đến HS: Có 3.4 = 12 cách.

C mà qua B?

GV: Tương tự như hoạt động này HS: Vận dụng làm bài tập 3 – SGK.

các em mở rộng cho ba hành động

liên tiếp như bài tập 3 – SGK – tr 46.

GV: Củng cố cho học sinh mở rộng quy tắc nhân cho nhiều hành động qua

bài toán đếm số.

Hoạt động của GV – HS Nội dung bài học

-GV nêu phương pháp giải Cách giải thông thường cho bài toán đếm số

cho bài toán đếm số hay lập Bước 1: Gọi số cần tìm là:

số tự nhiên. Bước 2: Liệt kê các tính chất của số thỏa

-HS ghi nhận kiến thức. mãn yêu cầu.

Chú ý: Đây là phương pháp Bước 3: Dựa vào tính chất xem bài toán có

thông thường, khi dạy chúng chia trường hợp không.

ta có thể cho các em sáng Bước 4: Thứ tự đếm (đếm ưu tiên)

tạo áp dụng nhiều phương + Đếm các chữ số có mặt trong tính chất.

pháp khác nhau để lời giải + Đếm chữ số đầu tiên nếu nó chưa được đếm

ngắn gọn hơn. hoặc tập ban đầu có chứa số 0.

+ Đếm các chữ số còn lại.

Bước 5: Sử dụng quy tắc cộng hoặc quy tắc

GV nêu bài tập 1 tương tự nhân.

như ví dụ 4 – SGK. Bài 1. Cho tập . Hỏi từ

H: Cần thực hiện bao nhiêu tập có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hành động liên tiếp? 4 chữ số? H: Các chữ số được chọn có Giải. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là thể giống nhau không? . HS: Suy nghĩ trả lời các câu Để chọn ta phải chọn đồng thời 4 chữ số hỏi. . Vì có thể trùng nhau nên ta GV: Nếu bây giờ thay lập số

có: tự nhiên thành lập số điện

+ có 9 cách chọn. thoại, mật khẩu hay biển số

số xe hay lập ra một dãy số + có 9 cách chọn.

cách làm có gì khác không? + có 9 cách chọn.

Em hãy nêu một vài bài toán + có 9 cách chọn.

tương tự? Vậy theo quy tắc nhân có số

GV: Và khi phát triển đề bài cần tìm.

thành lập số tự nhiên có 4 Bài 2. Cho tập . Hỏi từ

chữ số đôi một khác nhau tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có

khi đó có gì khác ? 4 chữ số đôi một khác nhau?

H: Để lập được số tự nhiên Giải. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là

có 4 chữ số cần thực hiện .

mấy hành động? Để chọn ta phải chọn đồng thời 4 chữ số

HS: 4 hành động liên tiếp. . Vì đôi một khác nhau nên ta

H: Có làm tương tự bài tập 1 có: được không? Tại sao? + có 9 cách chọn. HS: Trả lời các câu hỏi và + có 8 cách chọn ( vì loại số đã chọn ). trên cơ sở đó trình bày lời + có 7 cách chọn ( vì loại số đã chọn ). giải. + có 6 cách chọn ( vì loại số đã chọn ). GV: Em hãy phát biểu một Vậy theo quy tắc nhân có số số bài toán tương tự? cần tìm. GV: Phát triển bài toán 2. Bài 3. Cho tập . Hỏi từ H: Số tự nhiên chẵn có tính

tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chất gì? Khi đó thực hiện

chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau? mấy hành động và ưu tiên

Giải. Gọi số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi thực hiện hành động nào

một khác nhau là . trước?

Để chọn ta phải chọn đồng thời 4 chữ số HS: Trên cơ sở trả lời các

. câu hỏi của GV đi đến lời

+ có 4 cách chọn ( đó là các chữ số 2, 4, 6, giải cho bài toán.

8).

GV: Nếu thay số tự nhiên + có 8 cách chọn (vì phải loại chữ số đã

chẵn thành số tự nhiên lẻ thì chọn ).

có gì khác? Từ đó em hãy + có 7 cách chọn (vì phải loại chữ số đã

phát biểu bài toán tương tự. chọn , ).

HS: Phát biểu một số bài + có 6 cách chọn (vì phải loại chữ số đã

toán tương tự. chọn , , ).

Vậy theo quy tắc nhân có số . Hỏi

cần tìm. từ tập A có thể lập được bao

Bài toán tương tự: nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ

1).Cho tập . Hỏi từ tập số đôi một khác nhau?

GV: Tính chất của số tự A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia

nhiên chia hết cho 5? hết cho 5 có 4 chữ số đôi một khác nhau?

HS: Tận cùng là số 0 và 5. 2). Cho tập . Hỏi từ tập

GV: Phát triển bài toán 3 lên A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4

mức độ khó hơn. Chẳng hạn chữ số đôi một khác nhau?

lập số tự nhiên chẵn (lẻ) có 4 Bài 4. Cho tập .

chữ số đôi một khác nhau Hỏi từ tập có thể lập được bao nhiêu số tự nhưng luôn chứa một chữ số nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau sao nào đó. cho luôn xuất hiện chữ số 3? Khi đó, bài toán trở nên khó Giải. Gọi số cần tìm là khăn hơn, thứ tự đếm ưu tiên Cách 1: Đếm loại trừ sẽ như thế nao? + Đếm các số chẵn có 4 chữ số khác nhau là: GV nêu bài toán 4. Chữ số có 4 cách chọn. GV: Khi lập một số tự nhiên Chữ số có 8 cách chọn. chẵn có 4 chữ số đôi một Chữ số có 7 cách chọn. khác nhau sẽ xảy ra hai khả Chữ số có 6 cách chọn. năng xuất hiện chữ số 3 hoặc Vậy theo quy tắc nhân có số. không, với tư duy này các + Đếm các số chẵn có 4 chữ số mà không có

em có cách làm như thế nào? mặt chữ số 3 là:

HS: Đếm loại trừ gồm 2 Có số.

bước: Vậy các số cần tìm là số.

+Đếm các số chẵn có 4 chữ Cách 2: Đếm vị trí

số khác nhau bất kì. + chẵn nên có 4 cách chọn.

+ Đếm các số chẵn có 4 chữ + Chữ số 3 có 3 cách chọn vị trí.

số mà không có mặt chữ số + 2 chữ số còn lại có 7.6 = 42 cách chọn.

3. Vậy ta có số cần tìm.

GV: Còn có cách làm nào Bài toán tƣơng tự:

ngẵn gọn hơn không? Cho tập .

GV: Em hãy xây dựng bài Hỏi từ tập có thể lập được bao nhiêu số tự

toán tương tự? nhiên lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau sao

GV gợi ý: Em có thể xây cho luôn xuất hiện chữ số 6?

dựng bằng cách thay đổi số Bài 5. Cho tập .

lẻ luôn xuất hiện hoặc thây Hỏi từ tập có thể lập được bao nhiêu số tự số tự nhiên chẵn thành lẻ. nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau sao GV: Nêu bài tập 5. cho luôn xuất hiện chữ số 4? H: Ở bài toán này em có thể Giải. Gọi số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một làm giống bài toán 4 không? khác nhau và luôn xuất hiện chữ số 4 là Có điều gì đặc biệt về tính . chất của số tự nhiên cần lập? Trường hợp 1: Nếu thì có 1 cách HS: Chữ số 4 là chữ số chẵn chọn và 3 chữ số còn lại có cách có cùng tính chất với chữ số nên không còn chọn vị trí cho số 4 chọn ( hàng đơn vị, do đó không thể nữa). làm như bài 4. Trường hợp 2: khi đó GV: Chúng ta phải xét + có 3 cách chọn (đó là các chữ số 2, 6, 8). những trường hợp nào? + Chữ số 4 có 3 vị trí. HS: Khi số 4 đứng cuối và + 2 chữ số còn lại có cách sắp xếp.

số 4 không đứng cuối. Vậy có: số cần tìm.

Bài 6. Cho tập .

GV: Nêu bài tập 6 và yêu Hỏi từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự

cầu học sinh về nhà làm dựa nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau sao

trên cở sở các bài toán đã cho luôn xuất hiện chữ số 3 và 4?

được làm.

4. Củng cố - Dặn dò

- Về nhà các em hãy tìm lời giải cho các bài toán tương tự.

- Các em tìm hiểu và đưa ra các bài toán tương tự như đã học nhưng tập

ban đầu có thêm số 0 xem có gì đặc biệt và khác lạ? Từ đó hãy nêu ra hướng

làm để buổi sau chúng ta sẽ trao đổi.

Giáo án số 03

Tiết 23 Luyện tập

I. Mục tiêu

1. Kiến thức

- Hai quy tắc đếm cơ bản: quy tắc cộng và quy tắc nhân.

- Biết áp dụng vào từng bài toán: khi nào dùng quy tắc cộng, khi nào

dùng quy tắc nhân.

2. Kỹ năng

- Sau khi học xong bài này học sinh sử dụng duy tắc đếm thành thạo.

- Có khả năng sáng tạo, linh hoạt khi áp dụng hai quy tắc đếm, có thể

tự xây dựng bài toán mới bằng cách thay đổi ít nhất về mặt hình thức

hay thay đổi dữ kiện đề bài đặc biệt là với bài toán đếm số.

- Làm bài một cách tư duy sáng tạo không dập khuân.

5. Tƣ duy

- Rèn cho HS tư duy loogic và tư duy sáng tạo.

6. Thái độ

- Tự giác, tích cực trong học tập.

- HS có hứng thú với bài học và có trách nhiệm hoàn thiện công việc

được giao.

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

1. Chuẩn bị của giáo viên

- Chuẩn bị các câu hỏi gợi mở và hệ thống bài tập.

- Chuẩn bị kĩ các tình huống có thể xảy ra trong tiết học.

2. Chuẩn bị của học sinh

- Ôn tập lại hai quy tắc đếm.

III. Phƣơng pháp

Kết hợp các phương pháp: Thuyết trình, gợi mở vấn đáp đặc biệt khi xây

dựng hệ thống ví dụ và bài tập theo hướng phát triển dần từ bài toán gốc ban

đầu.

IV. Tiến trình dạy học

1. Ổn định lớp

2. Kiểm tra bài cũ

H: Cho tập .

Hỏi từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một

khác nhau luôn xuất hiện chữ số 3?

H: Buổi trước chúng ta đã tìm hiểu về bài toán đếm số mà tập ban đầu không

chứa số 0. Cô đã giao cho các em về nhà tìm hiểu về bài toán tương tự nhưng

tập ban đầu có số 0. Vậy số 0 có điều gì đặc biệt? Có làm bài toán trở nên khó

khăn hơn không?

HS: Chữ số 0 không thể là chữ số đầu tiên khi lập số tự nhiên.

GV: Vì thế khi làm việc với bài toán tập ban đầu có số 0 chúng ta cần lưu ý

đến sự đặc biệt của số 0 và sau đây chúng ta sẽ củng cố và phát triển bài toán.

3. Nội dung

Hoạt động của GV – HS Nội dung bài học

GV: Nếu bài tập số 1, mở rộng Bài 1. Cho tập .

cho tập ban đầu có số 0. Hỏi từ tập A có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên có 4 chữ số?

H: Số 0 có đặc điểm gì đặc Giải. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là

biệt? .

H: Khi chọn chữ số đầu tiên cần Để chọn ta phải chọn đồng thời 4 chữ số

có điều kiện gì? . Vì có thể trùng nhau

H: Có bao nhiêu hành động? nên ta có:

H: Các chữ số có thể chọn lại + có 9 cách chọn ( vì phải loại chữ số

được không? ).

+ có 10 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân có

số cần tìm.

GV: Phát triển bài toán 1 thành Bài 2. Cho tập .

lập số tự nhiên nhưng các chữ Hỏi từ tập A có thể lập được bao số lại đôi một khác nhau. nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác GV: Cách làm vẫn tương tự bài nhau? 1, tuy nhiên ở đây các chữ số Giải. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là đôi một khác nhau nên chữ số . chọn sau phải trừ bỏ đi chữ số Để chọn ta phải chọn đồng thời 4 chữ số đã được chọn trước đó. . Vì đôi một khác nhau

nên ta có: GV: Bài toán không chỉ đơn + có 9 cách chọn ( vì loại chữ số ). giản như vậy, chúng ta có thể + có 9 cách chọn ( vì loại số đã chọn ) phát triển thành bài toán khó + có 8 cách chọn ( vì loại số đã chọn hơn khi cho nó thỏa mãn thêm

). một số yêu cầu nào đó, chẳng

có 7 cách chọn ( vì phải loại chữ số +

hạn: là số lẻ, là số chẵn, là số đã chọn ).

chia hết cho 5, là số luôn có Vậy theo quy tắc nhân có

mặt một chữ số hay 2 chữ số số cần tìm.

nào đó. . Bài 3. Cho tập

GV nêu bài tập số 3. Hỏi từ tập A lập được bao nhiêu số tự

GV: Nếu chỉ là lập số tự nhiên nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác

lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau?

nhau thì bài toán cũng không có Giải. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là

gì khó khăn lắm, chỉ cần chữ số . cuối là chữ số lẻ. + Chữ số cuối có 5 cách chọn ( đó là các H: ở đây lập số tự nhiên chẵn chữ số ). lại có chữ số cuối là số chẵn Trường hợp 1: khác 0 vậy nếu chúng ta thấy có gì đặc Khi đó có 4 cách chọn. ( Sau đó làm biệt và nên thiết lập thứ tự đếm tương tự bài ). như thế nào? + có 8 cách chọn ( vì không lấy chữ số HS: Chữ số 0 là chữ số chẵn có và số đã chọn ) thể đứng cuối nhưng lại không + có 8 cách chọn ( vì loại số đã chọn thể đứng đầu và các chữ số là ). khác nhau. + có 7 cách chọn ( vì phải loại chữ số đã H: Vậy nên ưu tiên chọn chữ số chọn ). cuối trước hay chữ số đầu

Vậy theo quy tắc nhân có trước?

số. H: Chọn chữ số hàng đơn vị

Trường hợp 2: bằng 0 trước thì cần xét trường hợp

Khi đó, phần còn lại phải làm giống bài không? Nếu không xét thì sao?

1.9.

+ Chữ số a đều tiên có 9 cách chọn.

+ Chữ số b có 8 cách chọn (vì loại chữ số

đã chọn a và d).

+ Chữ số c có 7 cách chọn (vì loại chữ số

đã chọn a, b, d).

Vậy có số.

Vậy theo quy tắc cộng ta có

GV: Nêu bài tập 4 và phân tích. số cần tìm.

Vẫn với tư duy như bài 3, Bài 4. Cho tập .

chúng ta phải xét hai trường Hỏi từ tập A lập được bao nhiêu số tự

hợp. Nhưng ở đây có thêm một nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác

yêu cầu là luôn xuất hiện chữ số nhau sao cho luôn xuất hiện chữ số 5?

3 tuy nhiên chữ số 5 lẻ không Giải

cùng tính chất với chữ số cuối, Cách 1: Làm như hướng bài 3.

do đó ta thiết lập thứ tự ưu tiên Cách 2:

như thế nào cho phù hợp? Bước 1: Lập dãy gồm 4 chữ số khác nhau,

HS: Chọn chữ số cuối trước, trong đó có chữ số 5 và chữ số cuối chẵn.

sau đó chọn vị trí cho số 5, rồi Gọi số cần tìm là .

chọn các chữ số còn lại. Chữ số có 5 cách chọn là các chữ số 0;

GV: Có cách làm nào ngắn gọn 2; 4; 6; 8.

và hay hơn, đỡ phức tạp hơn Có 3 cách để chọn 1 vị trí cho chữ số 5(vì

không? phải loại bỏ vị trí đã chọn).

GV: gợi ý các em đi đến cách Hai vị trí còn lại có 8.7 = 56 cách chọn.

làm ngẵn gọn hơn. Do đó, có 5.3.56 = 840 số. (1)

Bước 1: Lập dãy gồm 4 chữ số Bước 2: Lập dãy có 3 chữ số đôi một khác

khác nhau, trong đó có chữ số 5 nhau, trong đó luôn xuất hiện chữ số 5 và

và chữ số cuối chẵn (Đây chính chữ số cuối chẵn từ các chữ số 1; 2; 3; 4;

là tập các số có chẵn có 4 chữ 5; 6; 7; 8; 9.

số đôi một khác nhau luôn xuất Gọi số cần tìm là . hiện chữ số 5 và chữ số đầu có Chữ số có 4 cách chọn là 2; 4; 6; 8. thể bằng 0). Có 2 cách chọn vị trí cho chữ số 5, vị trí

Bước 2: Lập dãy có 3 chữ số còn lại có 7 cách chọn (loại bỏ và 5).

đôi một khác nhau, trong đó Do đó, có số. (2)

luôn xuất hiện chữ số 5 và chữ Từ (1) và (2), ta có số

số cuối chẵn từ các chữ số 1; 2; tự nhiên thảo mãn yêu cầu bài toán.

3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 (đây chính là Bài 5. Cho tập .

số chẵn có 4 chữ số khác nhau Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ

luôn xuất hiện chữ số 5 và chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn xuất

số đầu là 0). hiện chữ số 8 được lập từ tập A?

GV: Nếu thay luôn xuất hiện Giải:

chữ số lẻ thành chữ số chẵn thì Cách 1

bài toán sẽ khó khăn hơn Cách 2

không? Cách 3. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số cần

HS: Sẽ khó khăn hơn vì số chẵn lập là .

lại có cùng tính chất với chữ số Trường hợp 1: Chữ số chọn 8.

cuối cùng. Khi đó, có 4 cách chọn (đó là các chữ

GV nêu bài tập 5. số 0; 2; 4; 6); chữ số và có 8.7 cách

GV: Đối với bài này theo chọn.

hướng làm bài 4 em có thể làm Do đó, có 4.8.7 = 224 số.

theo cả hai cách tuy nhiên vì số Trường hợp 2: Chữ số chọn 8.

8 có cùng tính chất với chữ số Khi đó, có 8 cách chọn (đó là các chữ số

cuối cùng nên chúng ta thấy khác 8 và 0); và có 8.7 cách chọn.

nếu chọn vị trí cho số 8 trước Do đó, có 8.7.8 = 448 số.

thì lời giải sẽ đơn giản hơn. Trường hợp 3: Chữ số hoặc chọn 8.

Khi đó, có 4 cách chọn là 0; 2; 4; 6.

+ Nếu chọn 0 thì có 8 cách chọn, chữ

số còn lại có 7 cách chọn.

+ Nếu không chọn 0 thì có 3 cách

chọn; a có 7 cách chọn và chữ số còn lại

có 7 cách chọn.

Do đó, có .

Vậy kết quả bài toán là:

số.

4. Củng cố

- Các em xem lại các bài tập đã làm.

- Giao cho học sinh làm các bài tập đã xây dựng trong chương 2 mà

chưa có thời gian cho các em thực hiện trên lớp.

Giáo án số 06

Tiế 26 Luyện tập

I. Mục tiêu

1. Kiến thức

- Củng cố khái niệm, công thức tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

- Phân biệt được các khái niệm, biết khi nào dùng hoán vị, khi nào

dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp.

2. Kỹ năng

- Áp dụng thành thạo hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào bài toán đếm như:

bài toán sắp xếp đồ vật; bài toán chọn, chia nhóm, phân công nhiệm

vụ; bài toán đếm liên quan đến hình học.

- Làm bài một cách tư duy sáng tạo không dập khuân.

7. Tƣ duy

- Rèn cho HS tư duy loogic và tư duy sáng tạo.

8. Thái độ

- Tự giác, tích cực trong học tập.

- HS có hứng thú với bài học và có trách nhiệm hoàn thiện công việc

được giao.

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

1. Chuẩn bị của giáo viên

- Chuẩn bị các câu hỏi gợi mở và hệ thống bài tập.

- Chuẩn bị kĩ các tình huống có thể xảy ra trong tiết học.

2. Chuẩn bị của học sinh

- Ôn tập kiến thức về hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp. Chuẩn bị các bài tập

trong SGK và sách bài tập và phân dạng.

III. Phƣơng pháp

Kết hợp các phương pháp: Thuyết trình, gợi mở vấn đáp đặc biệt khi xây

dựng hệ thống ví dụ và bài tập theo hướng phát triển dần từ bài toán gốc ban

đầu.

IV. Tiến trình dạy học

1. Ổn định lớp

2. Kiểm tra bài cũ

H 1: Phát biểu khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị? Chúng được dùng

khi nào?

H 2: Dựa vào bài tập trong SGK và sách bài tập mà em đã làm và tìm

hiểu ở nhà thì về cơ bản có mấy dạng bài tập được đề cập đến?

3. Nội dung

GV: Trên cơ sở thống kê bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập, chúng

ta sẽ củng cố dạng bài tập đầu tiên đó là: bài tập 2, 3, 4, 5 – SGK – tr54, bài

tập 2.1 đến 2.6 trong Sách bài tập trang 62. Các bài tập này thuộc dạng bài

toán sắp xếp chỗ ngồi, sắp xếp đồ vật.

Hoạt động 1: Củng cố dạng bài tập sắp xếp chỗ ngồi, sắp xếp đồ vật.

Hoạt động của GV – HS Nội dung bài học

GV: Trước hết nêu một số chú ý Chú ý. Một số lưu ý khi giải dạng bài

cho học sinh khi giải dạng bài toán sắp xếp đồ vật là:

toán sắp xếp đồ vật. + Sắp xếp phần tử khác nhau vào vị

HS: Ghi nhận kiến thức. trí có cách sắp xếp.

GV: Vẫn trên tinh thần chữa bài + Sắp xếp phần tử giống nhau vào vị

tập SGK và SBT nhưng chúng trí có cách

tôi xây dựng theo hướng chọn + Sắp xếp phần tử khác nhau vào vị

lọc bài tập phân loại và phát triển trí có cách

từ bài toán dễ nhất chứ không chỉ + Sắp xếp phần tử giống nhau vào vị

là chữa bài tập trong SGK và trí có 1 cách sắp xếp.

SBT. Bài 1. Có 7 quyển sách giống nhau. Hỏi

GV nêu bài tập 1. có bao nhiêu cách sắp xếp 7 quyển sách

GV: Đây là bài toán đơn giản này vào một kệ dài?

nhất. Giải

H: Khi sắp xếp 7 quyển sách Số cách sắp xếp 7 quyển sách

giống nhau vào kệ dài thì thay giống nhau vào 7 vị trí khác nhau có duy

đổi vị trí các quyển sách có ảnh nhất 1 cách sắp xếp.

hưởng gì không? Bài 2. Có 7 quyển sách giống nhau. Hỏi

HS: không. có bao nhiêu cách sắp xếp 7 quyển sách

GV: Áp dụng giải bài tập 2.6 a – này vào 10 vị trí khác nhau?

SBT. Giải

GV: bây giờ thay đổi dữ kiện bài Vì 7 quyển sách là giống nhau nên số

toán thành sắp 7 quyển sách cách sắp xếp 7 quyển sách vào 10 vị trí

giống nhau vào 10 vị trí khác khác nhau là số các tổ hợp chập 7 của 10

nhau. vị trí. Vậy có cách sắp xếp.

GV: Tương tự bài tập 5b – SGK Bài 3. Có 7 quyển sách khác nhau. Hỏi

có bao nhiêu cách sắp xếp 7 quyển sách

vào 7 vị trí khác nhau? GV: Khi các quyển sách khác Giải nhau, thay đổi vị trí các quyển Số cách sắp xếp 7 quyển sách khác sách ta có được cách sắp xếp nhau vào 7 vị trí khác nhau là số các hoán khác không? vị của 7 quyển sách. HS: Có. Vậy có 7! = 5040 cách sắp xếp. GV: Các bài tập tương tự trong Bài 4. Có 7 quyển sách khác nhau. Hỏi

SGK và SBT? có bao nhiêu cách sắp xếp 7 quyển sách

HS: Bài tập 2 – SGK; bài tập 2.1, này vào 10 vị trí khác nhau?

2.6 – SBT. Giải

GV: Chúng ta phát triển bài toán Số cách sắp xếp 7 quyển sách khác nhau

lên thành sắp xếp 7 quyển sách vào 10 vị trí là số các chỉnh hợp chợp 7

nhưng không phải là vào 7 vị trí của 10.

mà là vào 10 vị trí (cũng giống Vậy có cách sắp xếp.

như chọn ra xếp 7 người vào 10 Bài 5. Có 2 quyển sách toán khác nhau

ghế khác nhau). GV nêu bài 4. và 5 quyển sách hóa khác nhau. Sắp xếp

Bài tập tương tự: Bài 3 và 5 – các quyển sách trên vào một kệ dài. Hỏi

SGK; có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách

Phát triển: Ta phát triển bài toán sao cho các quyển sách cùng loại nằm kề

lên thành sắp xếp 2 loại đồ vật nhau?

khác nhau, không phải là một Giải

nữa và còn thỏa mãn thêm điều + Số cách sắp xếp 2 quyển sách

kiện. Khi đó lưu ý khi hoán đổi toán khác nhau làm thành 1 nhóm có 2

vị trí sẽ được một cách sắp xếp cách.

mới. + Số cách sắp xếp 5 quyển sách

GV hướng dẫn học sinh phát hóa khác nhau thành 1 nhóm có 5! cách.

biểu bài toán tương tự: + Có 2! = 2 cách sắp xếp 2 nhóm

Bài tập 2.2, 2.3 – SBT với cách quyển sách.

làm tương tự. Vậy có 2.2.5! = 480 cách sắp xếp.

GV: Phát triển lên bài toán 6, Bài 6. Có 2 quyển sách toán khác nhau

không chỉ sắp xếp vào kệ mà là và 5 quyển sách hóa khác nhau. Sắp xếp

sắp xếp vào các ngăn, cũng các quyển sách trên vào một kệ dài gồm 5

giống như sắp xếp một số người ngăn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao

vào một số phòng nào đó. cho mỗi ngăn chứa ít nhất 1 quyển sách?

GV: Nêu ra các bài toán tương tự Giải

bài 6 cho HS về nhà làm. + Chọn ra 5 quyển sách trong 7

Bài tập tương tự: bài tập 2.10 quyển sách và sắp xếp vào 5 ngăn ta có

đến 2.13 ở trong hệ thống bài tập cách.

đã nêu ở chương 2. + Còn hai quyển sách còn lại xếp

vào 5 ngăn ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: 2 quyển sách còn lại

chỉ xếp vào 1 ngăn trong 5 ngăn có 5

cách.

Trường hợp 2: 2 quyển sách còn lại

mỗi quyển xếp vào 1 ngăn có

cách.

Vậy có tất cả (10 + 5). cách sắp

xếp.

Bài 7. Một bàn dài gồm có 10 ghế, mỗi GV: Chúng ta cần hiểu nam nữ bên 5 ghế. Người ta muốn sắp xếp chỗ ngồi đối diện nghĩa là thế nào? ngồi cho 10 người khách gồm 5 nam và 5 Tức là, cứ 1 bạn nam và 1 bạn nữ nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nam ngồi đối diện nhau. Với tư duy nữ ngồi đối diện nhau? sáng tạo, ta thây không thể áp Giải dụng giống các dạng toán trên + Có 5! = 120 cách chia 5 nam, 5 nữ được mà cần tư duy một cách thành 5 cặp nam – nữ. linh hoạt để thiết lập thứ tự chọn + Có 5! = 120 cách xếp 5 cặp nam – nữ và sắp xếp sao cho thích hợp theo thứ tự từ 1 đến 5. nhất. Thứ nhất, phải chọn ra các + Có 2! cách xếp mỗi cặp nam – nữ vào 1 cặp nam nữ, thứ 2 chọn ra cặp cặp ghế đối diện nhau. ghế đối diện nhau, sau đó lại

Vậy có cách sắp xếp. hoán vị 2 người ngồi cùng một

Bài 8. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ cho cặp ghế.

4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế

GV: Nêu bài tập 8 – Bài 2.14– quanh một bàn tròn mà không có hai bạn

SBT. nữ nào ngồi cạnh nhau?

4. Củng cố

Giao bài tập về nhà cho các em là các bài tập trong hệ thống bài tập đã

xây dựng ở chương 2 mà chưa có thời gian hướng dẫn các em làm.

Các em về nhà nghiên cứu và làm các bài tập tương tự mà giáo viên đã

giao.

3.5.3. Đề kiểm tra sau thực nghiệm

Đề bài (Mỗi câu 2,5 điểm)

Câu 1(Bài tập 1.9). Cho tập .

Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau được lập

từ tập A?

Câu 2 (Bài tập 2.12). Có 2 quyển sách toán khác nhau và 5 quyển sách hóa

khác nhau. Sắp xếp các quyển sách trên vào một kệ dài gồm 5 ngăn. Hỏi có

bao nhiêu cách sắp xếp sao cho mỗi ngăn chứa ít nhất 1 quyển sách và các

quyển sách toán không ở cùng một ngăn?

Câu 3 (Bài tập 3.8). Trong một nhóm gồm 22 học sinh, trong đó có 9 học

sinh khối 10, 7 học sinh khối 11 và 6 học sinh khối 12. Hỏi có bao nhiêu cách

chọn ra 8 học sinh có đủ cả ba khối lớp?

Câu 4 (Bài tập 4.8). Trong mặt phẳng cho đa giác lồi (H) có cạnh .

Xác định để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh?

Đáp án

Câu 1. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là .

Để chọn ta phải chọn đồng thời 4 chữ số . Vì đôi một

khác nhau nên và là chữ số lẻ nên ta có:

có 5 cách chọn ( đó là các chữ số lẻ ). +

có 8 cách chọn ( vì không lấy chữ số và số đã chọn ) +

+ có 8 cách chọn ( vì loại số đã chọn ).

+ có 7 cách chọn ( vì phải loại chữ số đã chọn ).

Vậy theo quy tắc nhân có số cần tìm.

Câu 2. + Chọn ra 2 ngăn trong 5 ngăn để sắp xếp 2 quyển sách toán có

cách.

+ Chọn ra 3 quyển sách hóa từ 5 quyển sách hóa để sắp xếp vào 3 vị trí còn

lại có cách.

+ Còn hai quyển sách còn lại xếp vào 5 ngăn ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: 2 quyển sách còn lại chỉ xếp vào 1 ngăn trong 5 ngăn có

5 cách.

Trường hợp 2: 2 quyển sách còn lại mỗi quyển xếp vào 1 ngăn có

cách.

Vậy có 20.60.(5 + 20) = 36000 cách sắp xếp.

Câu 3. Bước 1: Số cách chọn ra 8 học sinh tùy ý từ 22 học sinh là cách.

Bước 2: Chọn ra 8 học sinh mà không đủ cả 3 khối lớp xảy ra các khả năng

+ Chọn được 8 học sinh từ 9 học sinh khối 10 có cách.

+ Chọn được 8 học sinh mà có cả khối 10 và 11 có cách.

+ Chọn được 8 học sinh mà có cả khối 10 và 12 có cách.

+ Chọn được 8 học sinh mà có cả khối 11 và 12 có cách.

Vậy số cách chọn ra 8 học sinh sao cho có đủ cả ba khối lớp là

cách.

Câu 4. + Đa giác (H) có cạnh nên có đỉnh.

+ Số đoạn thẳng được tạo thành bởi các đỉnh của đa giác là đoạn.

+ Số đường chéo của đa giác là: .

Vậy theo giả thiết số đường chéo gấp đôi số cạnh nên ta có đẳng thức sau:

Vậy là giá trị cần tìm.

3.6. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm

3.6.1. Phân tích định tính kết quả thực nghiệm sư phạm

- Ở lớp thực nghiệm học sinh học tập sôi nổi hơn, hứng thú hơn. Học

sinh ở lớp thực nghiệm tích cực suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho bài toán, tự tin

hơn, bước đầu các em cảm thấy hứng thú, yêu và say mê tổ hợp không còn sợ

tổ hợp. Sự tương tác giữa học sinh trong lớp với nhau và với giáo viên cao

hơn so với lớp đối chứng.

- Học sinh ở lớp thực nghiệm có khả năng quy các bài toán có hình

thức mới, dạng mới hơn về các bài toán quen thuộc đã biết; bên cạnh đó các

em còn có thể sáng tạo ra bài toán mới từ bài toán gốc ban đầu về mảng bài

toán đếm tốt hơn so với lớp đối chứng. Ở lớp đối chứng thậm chí các em còn

chưa đảm bảo được mảng bài tập mà giáo viên đã dạy ở trên lớp.

- Việc nghiên cứu tài liệu và làm bài tập về nhà của học sinh lớp thực

nghiệm cho kết quả tốt hơn học sinh lớp đối chứng.

- Học sinh lớp thực nghiệm có khả năng đọc hiểu và làm bài tập sáng

tạo hơn, biết quy lạ về quen. Trong khi đó học sinh lớp đối chứng lại áp dụng

một cách máy móc, chỉ cần thay đổi hình thức là các em đã cảm thấy lúng

túng và mới mẻ so với những gì đã được học.

3.6.2. Phân tích định lượng kết quả thực nghiệm sư phạm

Sau mỗi buổi học GV phát phiếu lấy ý kiến kín của học sinh để thăm

dò nhận xét đánh giá của các em về bài giảng. Các phiếu nhận xét không yêu

cầu các em ghi tên và được lớp trưởng phát cho. Dưới đây là kết quả so sánh

mức độ hứng thú của học sinh ở hai lớp thực nghiệm và lớp đối chứng sau khi

học xong các buổi học số 02, 03, 06 và 07 với tổng là 120 phiếu thăm dò.

100

Bảng 3.1. Mức độ hứng thú của học sinh ở hai lớp thực nghiệm và đối

chứng

Kết quả Hứng thú Không hứng thú

Lớp Số lượng Số lượng % %

74.2 25.8 31 Thực nghiệm 89

53.3 46.7 56 Đối chứng 64

Tiếp theo là kết quả nhận xét đánh giá của 30 em học sinh ở lớp thực

nghiệm sau khi trả lời 4 câu hỏi thăm dò qua bốn buổi học 02, 03, 06 và 07

với tổng cộng 120 phiếu trả lời.

Bảng 3.2. Nhận xét của học sinh lớp thực nghiệm về bài giảng

Nhận xét của học sinh về bài giảng

Câu hỏi Lựa chọn Số lượng %

60 72 Qua bài giảng này em Trên 70%

hiểu được bao nhiêu 30.8 37 50% đến 70%

phần trăm? 9.2 11 Dưới 50%

62.5 75 Phương pháp này có Tích cực hơn

giúp các em học tập 30 36 Như cũ

tích cực hơn không? 7.5 9 Nhàm chán hơn

55.8 67 Các câu hỏi của thầy Vừa sức

cô đưa ra có vừa sức 22.5 27 Quá khó

với em không? 21.7 26 Quá dễ

57.5 69 Em có thích thầy cô Thích

dạy bằng phương pháp 25 30 Hơi thích

này không? 17.5 21 Không thích

101

Tiếp theo là kết quả điểm bài kiểm tra của 60 em học sinh hai lớp đối

chứng và thực nghiệm trước khi tiến hành dạy thực nghiệm:

Bảng 3.3. Kết quả điểm kiểm tra sau khi dạy thực nghiệm

Kết quả 0 – 2.75 3 – 4.75 5 – 6.75 7 – 7.75 9 – 10

Số Số Số Số Số

lượng lượng lượng lượng lượng Lớp % % % % %

Thực

nghiệm

Đối chứng

Như vậy, nhìn chung, học sinh ở lớp thực nghiệm có kết quả kiểm tra

cao hơn so với lớp đối chứng. Phần đông nhất các em học sinh ở lớp thực

nghiệm có điểm kiểm tra ở mức độ khá từ 7 đến 7.75 điểm, trong khi điểm

của các em ở lớp đối chứng tập trung ở mức độ trung bình từ 5 đến 6.75 điểm.

Tuy nhiên vẫn có một số lượng nhỏ bài kiểm tra đạt dưới điểm trung bình, số

lượng học sinh đạt loại giỏi cũng nhỏ vì do các em ban đầu chủ yếu có học

lực là trung bình và khá.

HS lớp thực nghiệm làm bài có sự sáng tạo hơn, ngắn gọn hơn. HS lớp

đối chứng làm bài dài dòng hơn, trình bày không chặt chẽ và câu số 4 hầu hết

các em đều không làm được.

3.5.2.3. Ý kiến đánh giá của các giáo viên và học sinh tham dự các giờ thực

nghiệm sư phạm

Ý kiến, nhận xét của giáo viên và học sinh được tổng hợp lại thành các ý kiến

chủ yếu sau đây:

- Đa số giáo viên cho rằng: giáo án có chất lượng tốt (80% ý kiến đồng ý),

có nhiều tính mới trong phương pháp dạy học giúp phân loại học sinh và có

tính khả thi, hiệu quả (90% đồng ý với đánh giá này).

102

- Đa số học sinh cho rằng: Giờ học có sự hấp dẫn, lôi cuốn (70% ý kiến đồng

ý), có nhiều tính mới trong phương pháp dạy học giúp học sinh tiếp thu bài tốt

hơn và có tính hiệu quả cao và phát huy được tính sáng tạo cho học.

- Về giáo viên dạy thực nghiệm sư phạm: nhiệt tình hưởng ứng những phương

pháp dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh mà giáo án thực nghiệm

đề ra, nắm được cách phân chia dạng bài cho từng đối tượng học sinh cụ thể,

nắm được cách tạo ra những hoạt động tương thích với nội dung cụ thể nhằm

tạo hứng thú học tập cho các em và giúp các em phát triển tư duy sáng tạo

không áp dụng máy móc..

- Về học sinh tham gia thực nghiệm:

+) Mặc dù trình độ nhận thức của học sinh còn nhiều hạn chế, nhưng

trong các giờ dạy thực nghiệm, các em tích cực tham gia xây dựng bài thông

qua việc thực hiện các hoạt động thành phần phù hợp.

+) Trong mỗi giờ học, vai trò của học sinh được đề cao; mỗi ý kiến của

các em trở thành một thành phần nhỏ trong nội dung bài học nên các em thấy

tự tin, hào hứng, mạnh dạn đưa ra những ý kiến đóng góp xây dựng bài.

+) Sau mỗi bài kiểm tra đã xuất hiện những cuộc tranh luận sôi nổi về

kết quả và phương pháp giải toán.

+) Các học sinh ở lớp thực nghiệm hăng hái, tích cực phát biểu ý kiến

xây dựng bài và đưa ra nhận xét chính xác hơn lớp đối chứng. Các em tỏ ra tự

tin hơn khi gặp những câu hỏi về lí thuyết và các bài toán vận dụng.

+) Nếu học sinh được học thông qua những biện pháp đã đề xuất thì

các em có cơ hội tự khám phá, tự kiến tạo tri thức cho bản thân mình (đa số

học sinh khám phá thành công các kiến thức như dự kiến của tác giả).

Tuy nhiên, khả năng giải quyết vấn đề của học sinh nói chung còn

chậm. Nhiều giáo viên còn e ngại vì thiết kế giáo án theo hướng phân loại

dạng bài tập cho từng nhóm học sinh cụ thể cần đầu tư nhiều và mất thời gian.

Do điều kiện về thời gian, do những khó khăn về việc tổ chức thực nghiệm tại

trường trung học phổ thông, nên việc thử nghiệm chưa được triển khai trên

103

diện rộng với nhiều đối tượng, vì vậy việc đánh giá hiệu quả của nó chưa

mang tính khái quát. Chúng tôi hy vọng rằng sẽ tiếp tục giải quyết những vấn

đề này trong thời gian sắp tới.

Tiểu kết chƣơng 3 Kết quả thực nghiệm sư phạm được đánh giá qua bài kiểm tra sau thực

nghiệm sư phạm và ý kiến, đánh giá từ giáo viên và học sinh. Kết quả cho

thấy: các đề xuất có tính khả thi và hiệu quả. Kiểm định giả thiết cho thấy kết

quả học tập ở lớp thực nghiệm sư phạm tốt hơn lớp đối chứng một cách thực

sự và có ý nghĩa. Việc xây dựng và sử dụng bài toán đếm một cách hợp lý và

sáng tạo đã đem lại hiệu quả cao, có tính khả thi khi áp dụng dạy cho các em

học sinh ôn thi tốt nghiệp, đại học và học sinh giỏi cấp tỉnh, quá trình này

giúp các em phát huy tính sáng tạo, phát triển kỹ năng giải bài tập và khả

năng ứng biến trước những bài tập có cách phát biểu mới lạ.

Như vậy mục đích sư phạm đã được hoàn thành tốt và giả thuyết khoa

học đã đề ra có thể chấp nhận được.

104

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

Qua thời gian thực hiện đề tài, tôi thu được các kết quả chính như sau:

- Bước đầu hệ thống các cơ sở lý luận về rèn luyện tư duy sáng tạo

trong giải toán.

- Bước đầu xác định được các căn cứ để xây dựng và sử dụng bài

toán đếm của chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban

cơ bản) theo hướng rèn luyện tư duy sáng tạo.

Ngoài ra, tôi cũng thu nhận được nhiều kiến thức bổ ích qua các tài liệu

về các lĩnh vực liên quan đến đề tài của luận văn. Tôi mạnh dạn đưa ra một

số ý kiến đề xuất sau :

- Cần tăng thời lượng dành cho nội dung toán tổ hợp ở trường phổ

thông vì đây là nội dung toán học quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực

tế. Việc tăng thời lượng cũng giúp cho giáo viên triển khai tốt hơn kế hoạch

giảng dạy của mình.

- Giáo viên cần mạnh dạn hơn trong việc đổi mới phương pháp giảng

dạy, cần có nhiều tìm tòi, sáng tạo trong việc nghiên cứu nội dung chương

trình cũng như cần chú trọng hơn đến việc rèn luyện tư duy sáng tạo trong

giải toán cho học sinh. Giáo viên cũng cần được bồi dưỡng thường xuyên về

các bài toán nâng cao để có thể dạy học tốt hơn và có thể giúp các em tự tìm

tòi sáng tạo từ bài toán gốc ban đầu chứ không phải theo lối tư duy áp dụng

máy móc.

Do khả năng và thời gian nghiên cứu có hạn nên một số kết quả của

luận văn mới dừng lại ở những kết luận ban đầu, một số vấn đề của luận văn

có thể chưa được phát triển sâu và sai sót. Vì vậy, rất mong được sự quan tâm

của các nhà nghiên cứu giáo dục và các bạn đồng nghiệp để bổ sung tốt hơn

trong đề tài.

105

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2010), Phân phối chương trình môn Toán trung

học phổ thông. Nxb Giáo dục.

2. Nguyễn Hữu Châu (2004), Những vấn đề cơ bản về chương trình và quá

trình dạy học. Nxb Giáo dục.

3. Hoàng Chúng (1969), Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường phổ

thông. Nxb Giáo dục.

4. Đảng cộng sản Việt Nam (2001), Văn kiện Đại hội đại biểu toàn quốc lần

thứ IX. Nxb chính trị quốc gia, Hà nội.

5. Đảng cộng sản Việt Nam (1997), Văn kiện Hội nghị lần thứ 2 Ban chấp

hành Trung Ương khóa VIII. Nxb chính trị quốc gia, Hà Nội.

6. G. Polya (1997), Sáng tạo toán học. Nxb Giáo dục.

7. Trần Văn Hạo (chủ biên), Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết

Yên (2011), Đại số và giải tích 11. Nxb Giáo dục.

8. Trần Văn Hạo (chủ biên), Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết

Yên (2011), Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11. Nxb Giáo dục.

9. Vũ Đình Hòa (2002), Lý thuyết tổ hợp và bài tập ứng dụng.

(Combinationtheory and exercises). Nxb Giáo dục, Hà nội.

10. Bùi Thị Hường (2010), Giáo trình phương pháp dạy học môn Toán ở

trung học phổ thông theo định hướng tích cực. Nxb Giáo dục Việt Nam.

11. Phan Huy Khải (2009), Các bài toán tổ hợp. Nxb Giáo dục Việt Nam.

12. Nguyễn Bá Kim (1994), Phương pháp dạy học môn Toán – Phần II: Dạy

học những nội dung cơ bản. Nxb Giáo dục.

13. Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy học bộ môn Toán. Nxb Đại

học sư phạm.

14. Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hòa, Đặng Huy

Ruận, Đặng Hùng Thắng (2008), Chuyên đề chọn lọc tổ hợp và toán rời rạc.

Nxb Giáo dục.

106

15. Vũ Tuấn (chủ biên), Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ

Viết Yên (2006), Bài tập Đại số và Giải Tích 11. Nxb Giáo Dục.

16. Nguyễn Quang Uẩn (chủ biên), Nguyễn Quang Lũy, Đinh Văn Vang

(2012), Tâm lý học đại cương. Nxb Đại học sư phạm Hà Nội.

17. Viện ngôn ngữ học (2005), Từ điển Tiếng Việt. Nxb Thành phố Hồ Chí

Minh.

107

Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán: Xây dựng và sử dụng các bài toán đếm nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG CÁC BÀI TOÁN ĐẾM

NHẰM RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO

CHO HỌC SINH

XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG CÁC BÀI TOÁN ĐẾM NHẰM

RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

1. Lý do chọn đề tài

2. Mục đích nghiên cứu

3. Phạm vi nghiên cứu

4. Mẫu khảo sát

5. Vấn đề nghiên cứu

6. Giả thuyết nghiên cứu

7. Nhiệm vụ nghiên cứu

8. Phƣơng pháp nghiên cứu

9. Đóng góp của luận văn

10. Cầu trúc luận văn

1.1. Tƣ duy

1.2. Sáng tạo

1.3. Tƣ duy sáng tạo

1.4. Biện pháp bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo cho học sinh thông qua

dạy học môn Toán

1.5. Cách thức xây dựng bài toán để tăng hiệu quả dạy Toán

1.6. Phƣơng pháp dạy học phát triển tƣ duy sáng tạo qua bài toán

đếm trong tổ hợp

1.7. Thực trạng dạy và học bài toán đếm trong tổ hợp ở trƣờng phổ

thông

1.8. Thực trạng rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh khi dạy học

chủ đề bài toán đếm ở trƣờng phổ thông

2.1. Nội dung kiến thức liên quan đến bài toán đếm lớp 11 trung học

phổ thông (ban cơ bản)

2.2. Nội dung kiến thức và phƣơng pháp chung giải bài toán đếm

trong tổ hợp

2.3. Xây dựng và sử dụng bài toán đếm nhằm rèn luyện tƣ duy sáng

tạo cho học sinh

Kết luận chƣơng 2

3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sƣ phạm

3.2. Đối tƣợng thực nghiệm sƣ phạm

3.3. Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm

3.4. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm

3.5. Nội dung thực nghiệm sƣ phạm

3.6. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok