Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Trò chơi tháp Hà Nội và một số vấn đề toán học liên quan

(cid:30)(cid:132)I H¯C QU¨C GIA H(cid:128) N¸I

TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C KHOA H¯C T(cid:220) NHI(cid:150)N

(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)-

MAO TH(cid:192) THU HI(cid:151)N

TR` CH(cid:204)I TH(cid:129)P H(cid:128) N¸I

V(cid:128) M¸T S¨ V(cid:135)N (cid:30)(cid:151) TO(cid:129)N H¯C LI(cid:150)N QUAN

LU(cid:138)N V(cid:139)N TH(cid:132)C S(cid:158) KHOA H¯C

H(cid:160) Nºi (cid:21) N«m 2012

(cid:30)(cid:132)I H¯C QU¨C GIA H(cid:128) N¸I

TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C KHOA H¯C T(cid:220) NHI(cid:150)N

(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)-

MAO TH(cid:192) THU HI(cid:151)N

TR` CH(cid:204)I TH(cid:129)P H(cid:128) N¸I

V(cid:128) M¸T S¨ V(cid:135)N (cid:30)(cid:151) TO(cid:129)N H¯C LI(cid:150)N QUAN

Chuy¶n ng(cid:160)nh: Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p To¡n s(cid:236) c§p

M¢ sŁ: 60 46 40

LU(cid:138)N V(cid:139)N TH(cid:132)C S(cid:158) KHOA H¯C

NG(cid:215)˝I H(cid:215)˛NG D(cid:136)N KHOA H¯C:

PGS. TS T(cid:132) DUY PH(cid:215)(cid:209)NG

H(cid:160) Nºi (cid:21) N«m 2012

M(cid:246)c l(cid:246)c

M(cid:240) (cid:31)ƒu 5

1 TrÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi 7

7 1.1 L(cid:224)ch sß ph¡t tri”n trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) nºi . . . . . . . . .

8 1.1.1 Truy•n thuy‚t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 1.1.2 L(cid:224)ch sß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 1.2 B(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi, c¡c b(cid:160)i to¡n tŒng qu¡t v(cid:160) c£i bi¶n

24 1.2.1 B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi cŒ (cid:31)i”n . . . . . . . . . . .

24 1.2.2 B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i nhi•u c(cid:229)c . . . . . . .

28 1.2.3 C¡c c£i bi¶n cıa b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi . . . . .

1.3 C¡c c(cid:230)ng c(cid:246) gi£i b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:160) c¡c v§n (cid:31)• li¶n

36 quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 1.3.1 Thu“t gi£i (cid:31)» qui . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 1.3.2 H» (cid:31)‚m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 1.3.3 (cid:30)(cid:231) th(cid:224) H(cid:160) Nºi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 1.3.4 Thu“t to¡n gi£i trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi . . . . . .

1.3.5 B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:160) mºt sŁ v§n (cid:31)• kh¡c li¶n

quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 C¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p gi£i b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi 39

2.1 TrÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:160) thu“t gi£i (cid:31)» qui . . . . . . . . 39

2.2 Gi£i b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi b‹ng bi”u di„n trong h» (cid:31)‚m

c(cid:236) sŁ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 (cid:30)(cid:231) th(cid:224) H(cid:160) Nºi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3.1 (cid:30)(cid:231) th(cid:224) H(cid:160) Nºi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3.2 T(cid:252) (cid:31)ﬂng c§u v(cid:160) (cid:31)Łi xøng . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3.3 T(cid:247)(cid:236)ng øng Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3.4 Gi£i b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi . . . . . . . . . . . . . 65

71 K‚t lu“n

71 T(cid:160)i li»u tham kh£o

M— (cid:30)(cid:134)U

TrÆ ch(cid:236)i (B(cid:160)i to¡n) Th¡p H(cid:160) Nºi (cid:31)(cid:247)æc nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c Edouard Lucas

ph¡t minh v(cid:160) phŒ bi‚n rºng r¢i (cid:240) Paris n«m 1883, l(cid:160) mºt b(cid:160)i to¡n nŒi

ti‚ng th‚ gi(cid:238)i, hi»n nay (cid:31)ang (cid:31)(cid:247)æc nghi¶n cøu v(cid:160) ph¡t tri”n b(cid:240)i r§t nhi•u

nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c v(cid:160) khoa h(cid:229)c m¡y t‰nh, c¡c chuy¶n gia gi¡o d(cid:246)c v(cid:160) y h(cid:229)c,

(cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a v(cid:160)o nhi•u s¡ch v• trÆ ch(cid:236)i to¡n h(cid:229)c v(cid:160) c¡c gi¡o tr…nh tin h(cid:229)c

nh(cid:247) mºt v‰ d(cid:246) (cid:31)i”n h…nh v• thu“t gi£i (cid:31)» qui v(cid:160) l“p tr…nh c«n b£n.

TrÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi kh(cid:230)ng ch¿ th(cid:243) v(cid:224) (cid:240) chØ n(cid:226) mang t¶n H(cid:160) Nºi,

thı (cid:31)(cid:230) cıa Vi»t Nam m(cid:160) cÆn h§p d¤n c¡c nh(cid:160) nghi¶n cøu b(cid:240)i n(cid:226) li¶n

quan (cid:31)‚n nhi•u v§n (cid:31)• cıa To¡n-Tin h(cid:229)c nh(cid:247) gi£i thu“t (cid:31)» qui, h» (cid:31)‚m,

tam gi¡c Pascal, th£m Sierpinski, l(cid:254) thuy‚t (cid:31)(cid:231) th(cid:224) v(cid:160) chu tr…nh Hamilton,

(cid:230)t(cid:230)m¡t hœu h⁄n, (cid:31)º phøc t⁄p t‰nh to¡n,... B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi gæi

(cid:254) cho nhi•u nghi¶n cøu m(cid:238)i trong to¡n h(cid:229)c v(cid:160) khoa h(cid:229)c m¡y t‰nh. Ch¿

t‰nh ri¶ng sŁ b(cid:160)i b¡o nghi¶n cøu v• b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi trong l(cid:190)nh v(cid:252)c

To¡n h(cid:229)c v(cid:160) Tin h(cid:229)c (cid:31)¢ c(cid:226) (cid:31)‚n h(cid:236)n 450 b(cid:160)i v(cid:238)i kho£ng 250 b(cid:160)i v(cid:238)i (cid:31)ƒu

(cid:31)• c(cid:226) c(cid:246)m tł "The Tower of Hanoi", (cid:31)«ng tr¶n gƒn 200 t⁄p ch‰ khoa

h(cid:229)c uy t‰n (xem T(cid:160)i li»u tham kh£o trong [6]). (cid:30)(cid:226) l(cid:160) ch(cid:247)a k” (cid:31)‚n nhœng

b(cid:160)i vi‚t v• sß d(cid:246)ng b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi trong khoa h(cid:229)c gi¡o d(cid:246)c v(cid:160) y

h(cid:229)c ho(cid:176)c nhœng cuŁn s¡ch v• tin h(cid:229)c, trong (cid:31)(cid:226) c(cid:226) tr…nh b(cid:160)y v• trÆ ch(cid:236)i

Th¡p H(cid:160) Nºi.

M(cid:176)c d(cid:242) trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi c(cid:226) m(cid:176)t tr¶n kh¡ nhi•u trang WEB

v(cid:160) gi¡o tr…nh tin h(cid:229)c ti‚ng Vi»t, nh(cid:247)ng sŁ l(cid:247)æng b(cid:160)i vi‚t ti‚ng Vi»t gi(cid:238)i

thi»u v• trÆ ch(cid:236)i v(cid:160) b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi tr¶n c¡c t⁄p ch‰ l(cid:160) r§t ‰t v(cid:160)

cÆn r§t s(cid:236) l(cid:247)æc (xem [1]-[7]) v(cid:160) h…nh nh(cid:247) ch(cid:247)a c(cid:226) b(cid:160)i nghi¶n cøu ti‚ng

Vi»t n(cid:160)o v• b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi. Ch‰nh v… l(cid:254) do (cid:31)(cid:226), lu“n v«n (cid:31)(cid:247)æc x¥y

d(cid:252)ng v(cid:238)i m(cid:246)c (cid:31)‰ch tr…nh b(cid:160)y v• l(cid:224)ch sß ph¡t tri”n trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi

c(cid:242)ng mºt sŁ v§n (cid:31)• to¡n h(cid:229)c li¶n quan.

Lu“n v«n g(cid:231)m Phƒn m(cid:240) (cid:31)ƒu v(cid:160) hai Ch(cid:247)(cid:236)ng nºi dung.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1. TŒng quan v• l(cid:224)ch sß ph¡t tri”n trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2. C¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p gi£i b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1 gi(cid:238)i thi»u tŒng quan v• l(cid:224)ch sß ph¡t tri”n trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160)

Nºi. L(cid:237)i gi£i b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi cho ba c(cid:229)c b‹ng c¡c c(cid:230)ng c(cid:246) kh¡c

nhau (thu“t gi£i (cid:31)» qui, h» (cid:31)‚m c(cid:236) sŁ 2, (cid:31)(cid:231) th(cid:224)) (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2.

Sau h(cid:236)n 100 n«m, trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi (cid:31)¢ c(cid:226) nhœng c£i bi¶n v(cid:160) tŒng

qu¡t h(cid:226)a (trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i nhi•u c(cid:229)c, trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i

c¡c (cid:31)(cid:190)a m(cid:160)u, trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i h⁄n ch‚ h(cid:247)(cid:238)ng chuy”n (cid:31)(cid:190)a, trÆ

ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi song song,...). Nhœng c£i bi¶n v(cid:160) tŒng qu¡t h(cid:226)a n(cid:160)y

d¤n (cid:31)‚n nhœng v§n (cid:31)• to¡n h(cid:229)c th(cid:243) v(cid:224), th“m ch‰ d¤n t(cid:238)i nhi•u b(cid:160)i to¡n

hi»n nay ch(cid:247)a c(cid:226) l(cid:237)i gi£i. Lu“n v«n c(cid:244)ng s(cid:236) l(cid:247)æc gi(cid:238)i thi»u c¡c m(cid:240) rºng

v(cid:160) c£i bi¶n kh¡c nhau cıa b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi.

T¡c gi£ xin b(cid:160)y t(cid:228) lÆng bi‚t (cid:236)n s¥u s›c nh§t t(cid:238)i PGS. TS T⁄ Duy

Ph(cid:247)æng, ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)¢ truy•n th(cid:246) ki‚n thøc v(cid:160) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n t“n t…nh t¡c gi£

(cid:31)” ho(cid:160)n th(cid:160)nh lu“n v«n n(cid:160)y. Xin (cid:31)(cid:247)æc c¡m (cid:236)n Thƒy (cid:31)¢ cung c§p nhi•u

t(cid:160)i li»u (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i cho ph†p sß d(cid:246)ng b£n th£o cuŁn s¡ch cıa Thƒy v• trÆ

ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi.

T¡c gi£ c(cid:244)ng xin ch¥n th(cid:160)nh c£m (cid:236)n c¡c thƒy c(cid:230) gi¡o khoa To¡n -

C(cid:236) - Tin, tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c Khoa h(cid:229)c T(cid:252) nhi¶n - (cid:30)HQG

H(cid:160) Nºi c(cid:242)ng b⁄n b– v(cid:160) ng(cid:247)(cid:237)i th¥n (cid:31)¢ (cid:31)(cid:226)ng g(cid:226)p (cid:254) ki‚n, gi(cid:243)p (cid:31)(cid:239), (cid:31)ºng

vi¶n t¡c gi£ trong qu¡ tr…nh h(cid:229)c t“p, nghi¶n cøu v(cid:160) ho(cid:160)n th(cid:160)nh lu“n v«n.

H(cid:160) Nºi, ng(cid:160)y 25 th¡ng 12 n«m 2011

H(cid:229)c vi¶n: Mao Th(cid:224) Thu Hi•n

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

TrÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi

1.1 L(cid:224)ch sß ph¡t tri”n trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160)

nºi

H…nh 1.1: B…a cuŁn s¡ch gi(cid:238)i thi»u v• trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi cıa E. Lucas

1.1.1 Truy•n thuy‚t

Eduard Lucas, t¡c gi£ cıa trÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi, (cid:31)¢ vi‚t v• mºt truy•n

thuy‚t (cid:135)n (cid:30)º nh(cid:247) sau: D(cid:247)(cid:238)i vÆm cıa tÆa th¡p th(cid:237) thƒn Brahma (thƒn

s¡ng t⁄o) trong th(cid:160)nh Bernares, t⁄i v(cid:224) tr‰ (cid:31)(cid:247)æc coi l(cid:160) trung t¥m th‚ gi(cid:238)i,

khi b›t (cid:31)ƒu s¡ng t⁄o v(cid:244) tr(cid:246), thƒn Brahma (cid:31)¢ (cid:31)(cid:176)t 64 chi‚c (cid:31)(cid:190)a b‹ng

v(cid:160)ng rÆng c(cid:226) kho†t lØ (cid:240) giœa tr¶n mºt trong ba chi‚c c(cid:229)c kim c(cid:247)(cid:236)ng. C¡c

(cid:31)(cid:190)a n(cid:160)y c(cid:226) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng k‰nh nh(cid:228) dƒn tł d(cid:247)(cid:238)i l¶n tr¶n v(cid:160) t⁄o th(cid:160)nh mºt h…nh

n(cid:226)n. C¡c nh(cid:160) tu h(cid:160)nh trong tÆa th¡p li¶n t(cid:246)c suŁt ng(cid:160)y (cid:31)¶m, kh(cid:230)ng m»t

m(cid:228)i, chuy”n 64 (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c (cid:31)ƒu ti¶n sang c(cid:229)c thø ba cıa tÆa th¡p. Khi di

chuy”n c¡c (cid:31)(cid:190)a ph£i tu¥n theo hai qui t›c sau:

1) MØi lƒn ch¿ (cid:31)(cid:247)æc chuy”n mºt (cid:31)(cid:190)a tr¶n c(cid:242)ng cıa mºt c(cid:229)c n(cid:160)o (cid:31)(cid:226).

2) (cid:30)(cid:190)a tr¶n c(cid:242)ng (cid:31)(cid:247)æc chuy”n tł mºt c(cid:229)c sang mºt trong hai c(cid:229)c kh¡c.

Do t‰nh d„ v(cid:239), (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a nh(cid:228).

Khi c(cid:230)ng vi»c ho(cid:160)n th(cid:160)nh, tÆa th¡p s‡ (cid:31)Œ, v(cid:160) l(cid:243)c (cid:31)(cid:226) c(cid:244)ng l(cid:160) th(cid:237)i (cid:31)i”m

k‚t th(cid:243)c cıa v(cid:244) tr(cid:246) v(cid:238)i mºt ti‚ng nŒ khıng khi‚p!

Ch(cid:247)a rª d(cid:252)a tr¶n t(cid:247) li»u n(cid:160)o, gƒn (cid:31)¥y, Z. K¡tai v(cid:160) L. I. Kovacs (cid:31)¢

th¶m: (cid:17) ..., t⁄i (cid:135)n (cid:31)º, d(cid:247)(cid:238)i tri•u (cid:31)⁄i Fo Hi...(cid:17) (in India, in the reign of

Fo Hi, [19], 2009).

1.1.2 L(cid:224)ch sß

D(cid:252)a tr¶n truy•n thuy‚t v• th¡p Brahma (c(cid:226) th” c(cid:244)ng do ch‰nh E.

Lucas ngh(cid:190) ra, xem [21] v(cid:160) c¡c t(cid:247) li»u kh¡c), v(cid:160) c(cid:226) th”, d(cid:252)a theo h…nh

m¤u nhœng ng(cid:230)i th¡p cŒ (cid:31)¢ tłng t(cid:231)n t⁄i trong v(cid:242)ng (cid:31)§t ph“t gi¡o linh

thi¶ng gƒn H(cid:160) Nºi (B›c Ninh?, xem [22]), ho(cid:176)c c(cid:244)ng c(cid:226) th” v… l‰ do n(cid:160)o

(cid:31)(cid:226) kh¡c, nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c nŒi ti‚ng ng(cid:247)(cid:237)i Ph¡p Edouard Lucas (cid:31)¢ phŒ bi‚n

TrÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi (cid:240) Paris n«m 1883 d(cid:247)(cid:238)i t¶n gi£ l(cid:160) gi¡o s(cid:247) N. Claus.

N«m 1884, de Parvile trong [23] (cid:31)¢ ti‚t lº, gi¡o s(cid:247) N. Claus ch‰nh l(cid:160) t¶n

gi£ cıa nh(cid:160) nghi¶n cøu l‰ thuy‚t sŁ nŒi ti‚ng Eduard Lucas.

Tr¶n b…a cıa hºp (cid:31)(cid:252)ng trÆ ch(cid:236)i s£n xu§t n«m 1883 v(cid:160) trong cuŁn s¡ch

L’Arithm†ique Amusante (SŁ h(cid:229)c vui), xu§t b£n t⁄i Paris n«m 1895 (sau

khi ˘ng m§t), ch‰nh Edouard Lucas (cid:31)¢ vi‚t ([21], trang 179): (cid:16). . . la Tour

d’Hanoi, v†ritable casse-t¶te annamite. . . (cid:17) (Th¡p H(cid:160) Nºi, mºt trÆ ch(cid:236)i

tr‰ tu» cıa ng(cid:247)(cid:237)i Annam), nh(cid:247)ng t⁄i sao ˘ng l⁄i g(cid:229)i trÆ ch(cid:236)i n(cid:160)y l(cid:160) trÆ

ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:160) t⁄i sao l⁄i l(cid:160) trÆ ch(cid:236)i tr‰ tu» cıa ng(cid:247)(cid:237)i Annam th…

ch(cid:247)a c(cid:226) c¥u tr£ l(cid:237)i th“t rª r(cid:160)ng.

R§t c(cid:226) th”, theo E. Lucas,

trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi (cid:16)(cid:31)¢ xu§t

hi»n (cid:240) (cid:30)(cid:230)ng (cid:129) tł th‚ k(cid:27) 19

ho(cid:176)c tr(cid:247)(cid:238)c (cid:31)(cid:226). C¡c (cid:31)(cid:190)a (cid:31)(cid:247)æc l(cid:160)m

b‹ng sø (cid:240) Trung QuŁc, Nh“t

B£n v(cid:160) (cid:30)(cid:230)ng Kinh (Tonkin-B›c

K…)(cid:17). Tuy nhi¶n, cho t(cid:238)i nay, c¡c

nh(cid:160) l(cid:224)ch sß v(cid:160) kh£o cŒ c(cid:226) l‡

v¤n ch(cid:247)a t…m th§y c¡c th(cid:247) t(cid:224)ch

vi‚t v• truy•n thuy‚t 64 (cid:31)(cid:190)a v(cid:160)ng

v(cid:238)i ba c(cid:229)c kim c(cid:247)(cid:236)ng t⁄i th¡p

Brahma cıa (cid:135)n (cid:31)º c(cid:244)ng nh(cid:247) c¡c

(cid:31)(cid:190)a sø cıa trÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi

t⁄i Trung QuŁc, Nh“t B£n v(cid:160)

Vi»t Nam. C(cid:226) l‡ c(cid:244)ng ch(cid:247)a ai

nh…n th§y cuŁn s¡ch FER-FER-

TAM-TAM m(cid:160) Lucas (cid:31)¢ nh›c

C¡c hºp (cid:31)(cid:252)ng trÆ ch(cid:236)i t(cid:238)i. Nhœng hºp (cid:31)(cid:252)ng trÆ ch(cid:236)i c(cid:244)

Th¡p H(cid:160) nºi nh§t v¤n l(cid:160) hºp (cid:31)(cid:252)ng c¡c (cid:31)(cid:190)a s£n

xu§t t⁄i Ph¡p n«m 1883 v(cid:160) nhœng n«m sau (cid:31)(cid:226).

Trong [1] vi‚t: (cid:16)nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c (cid:31)‚n th«m Vi»t Nam, ng›m c£nh H(cid:231)

G(cid:247)(cid:236)m v(cid:160) b(cid:224) quy‚n r(cid:244) b(cid:240)i v· (cid:31)(cid:181)p cıa Th¡p R(cid:242)a n¶n (cid:31)¢ (cid:31)(cid:176)t t¶n l(cid:160) B(cid:160)i

to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi(cid:17). Tuy nhi¶n, th¡p R(cid:242)a x¥y n«m 1886, cÆn trÆ ch(cid:236)i

Th¡p H(cid:160) Nºi (cid:31)¢ xu§t hi»n (cid:240) Paris tł n«m 1883, v… v“y gi£ thuy‚t Lucas

(cid:31)¢ g(cid:229)i Th¡p R(cid:242)a l(cid:160) Th¡p H(cid:160) Nºi l(cid:160) kh(cid:230)ng c(cid:226) c(cid:236) s(cid:240).

H…nh 1.2: Th¡p R(cid:242)a H(cid:231) G(cid:247)(cid:236)m v(cid:160) Cºt c(cid:237) H(cid:160) nºi

Mºt gi£ thuy‚t nœa l(cid:160) Cºt c(cid:237) H(cid:160) Nºi (cid:31)¢ gæi (cid:254) cho E. Lucas (cid:31)(cid:176)t t¶n

trÆ ch(cid:236)i cıa m…nh l(cid:160) trÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi: (cid:16)The Flag Tower of Hanoi

may have served as the inspiration for the name(cid:17). Cºt c(cid:237) H(cid:160) Nºi c(cid:226) (cid:31)¡y

g(cid:231)m ba khŁi vu(cid:230)ng x¥y ch(cid:231)ng l¶n nhau. TrÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi (cid:31)(cid:236)n gi£n

nh§t c(cid:244)ng g(cid:231)m ba (cid:31)(cid:190)a trÆn x‚p ch(cid:231)ng l¶n nhau tr¶n mºt cºt. Cºt c(cid:237)

H(cid:160) Nºi x¥y n«m 1805-1812, h(cid:236)n 70 n«m tr(cid:247)(cid:238)c khi trÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi

(cid:31)(cid:247)æc phŒ bi‚n.

N«m 1882 Ph¡p t§n c(cid:230)ng (cid:31)¡nh chi‚m th(cid:160)nh H(cid:160) Nºi lƒn thø hai. (cid:30)•

t(cid:160)i H(cid:160) Nºi v(cid:160) (cid:30)(cid:230)ng D(cid:247)(cid:236)ng l(cid:160) th(cid:237)i s(cid:252) (cid:240) Paris v(cid:160)o nhœng n«m 1882-1883.

N«m 1883 c(cid:244)ng l(cid:160) n«m Ph¡p ph¡t h(cid:160)nh t‰n phi‚u l§y ti•n x¥y d(cid:252)ng Nh(cid:160)

th(cid:237) l(cid:238)n (tr¶n n•n cıa th¡p B¡o Thi¶n v(cid:160) ch(cid:242)a B¡o Thi¶n). Ph£i ch«ng

(cid:31)i•u n(cid:160)y gæi (cid:254) E. Lucas (cid:31)(cid:176)t t¶n cho trÆ ch(cid:236)i cıa m…nh l(cid:160) trÆ ch(cid:236)i Th¡p

H(cid:160) Nºi?

H…nh 1.3: H…nh £nh cıa th¡p B¡o thi¶n

D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) b…a cıa hºp (cid:31)(cid:252)ng trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi s£n xu§t lƒn (cid:31)ƒu

ti¶n t⁄i Paris n«m 1883 v(cid:160) hai t(cid:237) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n qui t›c ch(cid:236)i. (cid:30)¥y l(cid:160) nhœng

t(cid:247) li»u qu‰ v• l(cid:224)ch sß trÆ ch(cid:236)i. D(cid:252)a tr¶n ph¥n t‰ch h…nh v‡ tr¶n hºp (cid:31)(cid:252)ng

trÆ ch(cid:236)i, (cid:16)b(cid:237) th(cid:160)nh cıa th¡p (cid:31)(cid:247)æc m(cid:230) t£ t¿ m¿ (cid:31)‚n tłng chi ti‚t, ng(cid:247)(cid:237)i

n(cid:230)ng d¥n Annam v‡ r§t th(cid:252)c,...(cid:17), c(cid:226) ng(cid:247)(cid:237)i cho r‹ng, th“t s(cid:252) (cid:31)¢ c(cid:226) ng(cid:247)(cid:237)i

b⁄n cıa E. Lucas mang c¡c th(cid:230)ng tin v(cid:160) trÆ ch(cid:236)i n(cid:160)y tł H(cid:160) Nºi v• Paris.

C(cid:244)ng kh(cid:230)ng hﬂn l(cid:160) kh(cid:230)ng c(cid:226) l‰!

H…nh 1.4: B…a cıa hºp (cid:31)(cid:252)ng trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi

Tr¶n t(cid:237) b…a c(cid:226) h…nh th¡p 10 tƒng, c¥y tre, ng(cid:247)(cid:237)i Annam v(cid:160) dÆng chœ:

La Tour d’Hanoi, Veritable casse-t†te Annamite Jeu, rapport† du Tonkin

par le professeur N. Claus (de Siam) du college Mandarin Li-Sou-Stian -

Th¡p H(cid:160) Nºi, TrÆ ch(cid:236)i tr‰ tu» cıa ng(cid:247)(cid:237)i Annam, (cid:31)(cid:247)æc mang v• tł B›c

K… b(cid:240)i gi¡o s(cid:247) N. Claus ((cid:240) Siam), tr(cid:247)(cid:237)ng trung h(cid:229)c Li-Sou-Stian. (N.

Claus de Siam l(cid:160) (cid:31)£o tł cıa E. Lucas d’Amiens, Amiens l(cid:160) qu¶ cıa E.

Lucas. Li-Sou-Sian l(cid:160) (cid:31)£o tł cıa Sant Louis, tr(cid:247)(cid:237)ng trung h(cid:229)c (cid:240) Paris,

n(cid:236)i ˘ng d⁄y h(cid:229)c v(cid:160)o nhœng n«m (cid:31)(cid:226)).

D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) t(cid:237) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n thø nh§t gi(cid:238)i thi»u trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi

(cid:31)(cid:247)æc s£n xu§t lƒn (cid:31)ƒu ti¶n t⁄i Paris v(cid:160) b£n d(cid:224)ch:

TH(cid:129)P H(cid:128) N¸I

TrÆ ch(cid:236)i tr‰ tu» cıa ng(cid:247)(cid:237)i Annam

TrÆ ch(cid:236)i (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)em v• tł (cid:30)(cid:230)ng Kinh

b(cid:240)i Gi¡o s(cid:247) N. CLAUS (DE SIAM)

Tr(cid:247)(cid:237)ng trung h(cid:229)c Li-Sou-Stian!

TrÆ ch(cid:236)i n(cid:160)y lƒn (cid:31)ƒu (cid:31)(cid:247)æc t…m th§y trong cuŁn s¡ch c(cid:226) minh h(cid:229)a

ti‚ng Quan tho⁄i FER-FER-TAM-TAM, s‡ (cid:31)(cid:247)æc xu§t b£n trong t(cid:247)(cid:236)ng

lai gƒn, b(cid:240)i ch‰nh phı b£o hº. Th¡p H(cid:160) Nºi c(cid:226) c¡c (cid:31)(cid:190)a, nh(cid:228) dƒn, c(cid:226) sŁ

l(cid:247)æng thay (cid:31)Œi, m(cid:160) ch(cid:243)ng t(cid:230)i l(cid:160)m b‹ng gØ, c(cid:226) lØ (cid:240) giœa. — Nh“t B£n,

Trung QuŁc, v(cid:160) (cid:240) (cid:30)(cid:230)ng Kinh (Tonkin-B›c K…), ch(cid:243)ng (cid:31)(cid:247)æc l(cid:160)m b‹ng sø.

TrÆ ch(cid:236)i c(cid:226) m(cid:246)c (cid:31)‰ch l(cid:160) d(cid:239) b(cid:228) tłng (cid:31)(cid:190)a, v(cid:160) (cid:31)(cid:176)t v(cid:160)o cºt b¶n c⁄nh,

theo c¡c quy t›c nh§t (cid:31)(cid:224)nh. Vui v(cid:160) bŒ ‰ch, d„ h(cid:229)c v(cid:160) d„ ch(cid:236)i trong th(cid:160)nh

phŁ, ngo(cid:160)i n(cid:230)ng th(cid:230)n, tr¶n chuy‚n du l(cid:224)ch, n(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc t⁄o ra (cid:31)” mang (cid:31)‚n

ki‚n thøc khoa h(cid:229)c, giŁng m(cid:229)i trÆ ch(cid:236)i k(cid:253) th(cid:243) v(cid:160) m(cid:238)i l⁄ cıa gi¡o s(cid:247) N.

CLAUS (cıa SIAM).

Ch(cid:243)ng t(cid:230)i trao gi£i th(cid:247)(cid:240)ng 1000 franc, 100 ngh…n franc, mºt tri»u

franc, v(cid:160) nhi•u h(cid:236)n, cho ai ho(cid:160)n th(cid:160)nh, b‹ng vi»c d(cid:242)ng tay di chuy”n

th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i 64 (cid:31)(cid:190)a, theo quy t›c cıa trÆ ch(cid:236)i. Ch(cid:243)ng t(cid:230)i n(cid:226)i ngay

l(cid:160) cƒn sŁ lƒn di chuy”n l(cid:160):

18 446 744 073 709 551 615, nhi•u h(cid:236)n n«m t(cid:27) th‚ k(cid:27)!

Theo mºt truy•n thuy‚t (cid:135)n (cid:30)º, nhœng ng(cid:247)(cid:237)i cıa th(cid:160)nh Brahma

(cid:31)¢ ti‚p nŁi nhau trong mºt th(cid:237)i gian d(cid:160)i (cid:31)” thay (cid:31)Œi (cid:30)•n Bernares, di

chuy”n 64 (cid:31)(cid:190)a v(cid:160)ng cıa TÆa th¡p Brahma. Khi c(cid:230)ng vi»c ho(cid:160)n th(cid:160)nh,

TÆa th¡p v(cid:160) th(cid:160)nh Brahma s‡ (cid:31)Œ, v(cid:160) l(cid:243)c (cid:31)(cid:226) l(cid:160) th(cid:237)i (cid:31)i”m k‚t th(cid:243)c cıa

v(cid:244) tr(cid:246)!

PARIS, B(cid:141)C KINH, TOKYO v(cid:160) S(cid:128)I G`N

1883

B£n quy•n (cid:31)¢ giœ.

H…nh 1.5: T(cid:237) gi(cid:238)i thi»u trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi

D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) t(cid:237) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n lu“t trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi (cid:31)(cid:247)æc s£n xu§t

lƒn (cid:31)ƒu t⁄i Paris n«m 1883 v(cid:160) b£n d(cid:224)ch:

H…nh 1.6: T(cid:237) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n lu“t trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi

Lu“t ch(cid:236)i v(cid:160) c¡ch ch(cid:236)i trÆ ch(cid:236)i TH(cid:129)P H(cid:128) N¸I

(cid:30)‚ (cid:31)(cid:176)t n‹m ngang; c¡c c(cid:229)c thﬂng (cid:31)øng. C¡c (cid:31)(cid:190)a (cid:31)(cid:176)t theo thø t(cid:252) tł

l(cid:238)n (cid:31)‚n nh(cid:228) tł th§p l¶n cao, t⁄o n¶n mºt tÆa th¡p. TrÆ ch(cid:236)i (cid:31)Æi h(cid:228)i di

chuy”n c¡c (cid:31)(cid:190)a, b‹ng c¡ch (cid:31)(cid:176)t ch(cid:243)ng v(cid:160)o c(cid:229)c b¶n c⁄nh, mØi lƒn chuy”n

mºt (cid:31)(cid:190)a, theo lu“t sau.

I. Sau mØi lƒn chuy”n, c¡c (cid:31)(cid:190)a (cid:31)•u n‹m tr¶n mºt, hai, ho(cid:176)c ba c(cid:229)c, theo

thø t(cid:252) tł l(cid:238)n (cid:31)‚n nh(cid:228), tł th§p (cid:31)‚n cao.

II. (cid:30)(cid:190)a tr¶n c(cid:242)ng cıa mºt trong ba c(cid:229)c (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t v(cid:160)o c(cid:229)c trŁng.

III. (cid:30)(cid:190)a tr¶n c(cid:242)ng cıa mºt trong ba c(cid:229)c (cid:31)(cid:190)a (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t l¶n mºt trong hai

c(cid:229)c kh¡c, n‚u (cid:31)(cid:190)a n(cid:160)y nh(cid:228) h(cid:236)n c¡c (cid:31)(cid:190)a cıa c(cid:229)c (cid:31)(cid:226).

TrÆ ch(cid:236)i c(cid:226) th” d„ d(cid:160)ng t(cid:252) kh¡m ph¡, b‹ng vi»c gi£i quy‚t dƒn tł 3,

4, v(cid:160) 5 (cid:31)(cid:190)a.

TrÆ ch(cid:236)i lu(cid:230)n gi£i (cid:31)(cid:247)æc v(cid:160) (cid:31)Æi h(cid:228)i th(cid:237)i gian ch(cid:236)i l¥u kho£ng g§p (cid:31)(cid:230)i

mØi khi cho th¶m mºt (cid:31)(cid:190)a v(cid:160)o tÆa th¡p. B§t k… ai gi£i (cid:31)(cid:247)æc cho t¡m (cid:31)(cid:190)a,

v‰ d(cid:246), chuy”n c¡c (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c 1 sang c(cid:229)c 2, c(cid:244)ng s‡ bi‚t c¡ch gi£i cho ch‰n

(cid:31)(cid:190)a. Ch¿ cƒn chuy”n t¡m (cid:31)(cid:190)a sang c(cid:229)c 3, r(cid:231)i chuy”n (cid:31)(cid:190)a thø ch‰n sang

c(cid:229)c 2, v(cid:160) mang t¡m (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c 3 v• c(cid:229)c 2. B¥y gi(cid:237), khi th¶m mºt (cid:31)(cid:190)a v(cid:160)o

trÆ ch(cid:236)i, tŒng sŁ di chuy”n t«ng g§p (cid:31)(cid:230)i, cºng v(cid:238)i mºt, so v(cid:238)i tr(cid:247)(cid:238)c.

SŁ (cid:31)(cid:190)a 2 (cid:31)(cid:190)a 3 (cid:31)(cid:190)a 4 (cid:31)(cid:190)a 5 (cid:31)(cid:190)a 6 (cid:31)(cid:190)a 7 (cid:31)(cid:190)a 8 (cid:31)(cid:190)a

SŁ lƒn chuy”n 3 lƒn 7 lƒn 15 lƒn 31 lƒn 63 lƒn 127 lƒn 255 lƒn

V(cid:238)i tŁc (cid:31)º mºt (cid:31)(cid:190)a di chuy”n m§t mºt gi¥y, cƒn bŁn ph(cid:243)t (cid:31)” chuy”n

t¡m (cid:31)(cid:190)a.

C¡c bi‚n th” cıa trÆ ch(cid:236)i:

C(cid:226) th” thay (cid:31)Œi (cid:31)‚n v(cid:230) c(cid:242)ng (cid:31)i•u ki»n cıa b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi nh(cid:247)

sau. Khi b›t (cid:31)ƒu, x‚p c¡c (cid:31)(cid:190)a theo thø t(cid:252) b§t k(cid:253) l¶n mºt, hai, hay c£

ba c(cid:229)c. Sau (cid:31)(cid:226) cƒn x¥y d(cid:252)ng l⁄i tÆa th¡p tr¶n mºt c(cid:229)c (cid:31)(cid:224)nh tr(cid:247)(cid:238)c. V(cid:238)i

64 (cid:31)(cid:190)a, sŁ lƒn di chuy”n l(cid:160) khŒng l(cid:231), sŁ n(cid:160)y d(cid:160)i 50 chœ sŁ. Xem th¶m chi

ti‚t trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:226)i v• Baguenaudier (trÆ ch(cid:236)i th¡o vÆng) (cid:240):

TO(cid:129)N H¯C GI(cid:131)I TR(cid:157)

b(cid:240)i Mr. (cid:146)douard Lucas

gi¡o s(cid:247) to¡n h(cid:229)c cao c§p t⁄i Lyc†e Saint-Louis

Paris, 1883, b(cid:240)i GAUTHER-VILLARS,

m¡y in cıa Acad†mie des Sciences v(cid:160) Ecole Polytechnique

D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) b£n ch(cid:246)p bŁn trang (179-183) vi‚t v• Th¡p H(cid:160) Nºi trong

cuŁn s¡ch SŁ h(cid:229)c vui [22] cıa E.Lucas xu§t b£n n«m 1895.

H…nh 1.7: L(cid:237)i gi(cid:238)i thi»u v• trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) nºi trong cuŁn SŁ h(cid:229)c vui

TrÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi vła (cid:31)(cid:247)æc phŒ bi‚n t⁄i Paris n«m 1883 (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc

(cid:31)(cid:226)n nh“n rºng r¢i v… s(cid:252) (cid:31)(cid:236)n gi£n v(cid:160) h§p d¤n cıa n(cid:226). E. Lucas (cid:31)¢ t(cid:228) ra

r§t kh(cid:230)n kh†o khi ˘ng cho s£n xu§t trÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i 8 (cid:31)(cid:190)a, sŁ

(cid:31)(cid:190)a vła (cid:31)ı (cid:31)” trÆ ch(cid:236)i kh(cid:230)ng qu¡ (cid:31)(cid:236)n gi£n ((cid:31)” chuy”n h‚t 8 (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c

ngu(cid:231)n sang c(cid:229)c (cid:31)‰ch, kh(cid:230)ng nhƒm l¤n, cƒn 255 b(cid:247)(cid:238)c), c(cid:244)ng nh(cid:247) kh(cid:230)ng

qu¡ phøc t⁄p (nh(cid:247) trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 64 (cid:31)(cid:190)a, ph£i m§t 5 t¿ n«m).

E. I. Ignatiev c(cid:226) l‡ l(cid:160) ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)ƒu

ti¶n gi(cid:238)i thi»u trÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi

v(cid:238)i (cid:31)ºc gi£ ng(cid:247)(cid:237)i Nga trong cuŁn s¡ch

Trong v(cid:247)(cid:236)ng quŁc s¡ng t⁄o hay SŁ h(cid:229)c

cho m(cid:229)i ng(cid:247)(cid:237)i xu§t b£n lƒn thø nh§t

n«m 1902 (xem [18]). Kh(cid:230)ng bi‚t v… l‰

do g…, ˘ng (cid:31)¢ g(cid:229)i trÆ ch(cid:236)i n(cid:160)y l(cid:160) (cid:16)b(cid:160)i

to¡n B›c K…(cid:17) ho(cid:176)c (cid:16)chi‚c m(cid:244) Trung

Hoa(cid:17) trong B(cid:160)i to¡n 89: Th¡p H(cid:160) Nºi-

B(cid:160)i to¡n B›c k….

D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) c¡c trang 152-156 cıa

cuŁn s¡ch [18] vi‚t v• trÆ ch(cid:236)i Th¡p

H(cid:160) nºi.

H…nh 1.8: L(cid:237)i gi(cid:238)i thi»u trÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi trong B(cid:160)i to¡n 89:

Th¡p H(cid:160) Nºi - B(cid:160)i to¡n B›c k…

C(cid:226) l‡ W. W. Rouse Ball ([10], 1892) l(cid:160)

ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)ƒu ti¶n gi(cid:238)i thi»u trÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160)

Nºi v(cid:238)i (cid:31)ºc gi£ ti‚ng Anh qua Mathemat-

ical Recreations and Essays, cuŁn s¡ch v•

trÆ ch(cid:236)i to¡n h(cid:229)c.

D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) b£n ch(cid:246)p l(cid:237)i gi(cid:238)i thi»u v•

trÆ ch(cid:236)i trong §n b£n thø s¡u n«m 1914

cıa cuŁn s¡ch n(cid:160)y.

H…nh 1.9: L(cid:237)i gi(cid:238)i thi»u v• trÆ ch(cid:236)i trong

Mathematical Recreations and Essays

N«m 1902-1903 Henry Ernest Dudeney (cid:31)¢ vi‚t hai b(cid:160)i b¡o v• b(cid:160)i

to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i bŁn c(cid:229)c. Trong hai trang (cid:31)ƒu ti¶n cıa cuŁn s¡ch

nŒi ti‚ng The Canterbury Puzzles xu§t b£n t⁄i London n«m 1907 v(cid:160) t⁄i

New York n«m 1908 (xem [11]), ˘ng (cid:31)¢ vi‚t v• b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y trÆ ch(cid:236)i

th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i bŁn c(cid:229)c (d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng c¡c qu¥n c(cid:237) v(cid:160) g(cid:229)i l(cid:160) The Reve’s

puzzle-c¥u (cid:31)Ł cıa Reve).

D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) trang 1 v(cid:160) trang 2 trong cuŁn s¡ch cıa H. E. Dudeney

n(cid:226)i v• The Reve’s puzzle. Trong h…nh v‡ c(cid:226) bŁn chi‚c gh‚ (4 c(cid:229)c), tr¶n

mºt gh‚ c(cid:226) 8 qu¥n c(cid:237) x‚p ch(cid:231)ng l¶n nhau.

H…nh 1.10: L(cid:237)i gi(cid:238)i thi»u v• trÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi trong

The Canterbury Puzzles

Hi»n nay, tr¶n m⁄ng Internet c(cid:226) r§t nhi•u ch(cid:247)(cid:236)ng tr…nh vi‚t tr¶n

nhi•u ng(cid:230)n ngœ kh¡c nhau v(cid:160) r§t nhi•u phƒn m•m hi”n th(cid:224) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n

trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi (v(cid:238)i ba c(cid:229)c ho(cid:176)c nhi•u h(cid:236)n, trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi

c£i bi¶n,...). Ngo(cid:160)i ra, c(cid:226) th” t…m mua trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi l(cid:160)m b‹ng

gØ ho(cid:176)c sø t⁄i c¡c cßa h(cid:160)ng Vi»t Nam ho(cid:176)c n(cid:247)(cid:238)c ngo(cid:160)i (cid:31)” gi£i tr‰.

1.2 B(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi, c¡c b(cid:160)i to¡n

tŒng qu¡t v(cid:160) c£i bi¶n

V(cid:238)i s(cid:252) ph¡t tri”n cıa tin h(cid:229)c v(cid:160) c(cid:230)ng ngh» th(cid:230)ng tin, b(cid:160)i to¡n th¡p

H(cid:160) Nºi l⁄i c(cid:160)ng thu h(cid:243)t s(cid:252) ch(cid:243) (cid:254) cıa c¡c nh(cid:160) nghi¶n cøu to¡n h(cid:229)c v(cid:160)

tin h(cid:229)c. N(cid:226) tr(cid:240) th(cid:160)nh v‰ d(cid:246) (cid:31)i”n h…nh v• thu“t gi£i (cid:31)» qui v(cid:160) l“p tr…nh

c«n b£n.

1.2.1 B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi cŒ (cid:31)i”n

B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi (cŒ (cid:31)i”n) v(cid:238)i ba c(cid:229)c v(cid:160) n (cid:31)(cid:190)a c(cid:226) th” gi£i (cid:31)(cid:247)æc

d„ d(cid:160)ng theo thu“t gi£i (cid:31)» qui (xem 2.1 Ch(cid:247)(cid:236)ng 2). H(cid:236)n nœa, c(cid:226) th” chøng minh (cid:31)(cid:247)æc r‹ng sŁ lƒn chuy”n tŁi (cid:247)u cho b(cid:160)i to¡n ba c(cid:229)c v(cid:238)i n (cid:31)(cid:190)a l(cid:160) 2n − 1. V… l‰ do n(cid:160)y, b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi th(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)(cid:247)æc d(cid:242)ng l(cid:160)m th‰ d(cid:246) kinh (cid:31)i”n v• l“p tr…nh c«n b£n v(cid:160) thu“t gi£i (cid:31)» qui c(cid:244)ng nh(cid:247) minh

h(cid:229)a v• (cid:31)º phøc t⁄p t‰nh to¡n (th(cid:237)i gian m(cid:244)) cıa c¡c b(cid:160)i to¡n, m(cid:176)c d(cid:242)

thu“t gi£i c(cid:226) th” r§t (cid:31)(cid:236)n gi£n v(cid:160) tŁi (cid:247)u.

Tuy (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc ph¡t minh c¡ch (cid:31)¥y 130 n«m, b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi

hi»n nay v¤n r§t h§p d¤n, b(cid:240)i v… ng(cid:160)y c(cid:160)ng c(cid:226) nhi•u m(cid:240) rºng ho(cid:176)c c£i

bi¶n cıa b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y.

1.2.2 B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i nhi•u c(cid:229)c

Mºt m(cid:240) rºng t(cid:252) nhi¶n cıa b(cid:160)i to¡n

Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i ba c(cid:229)c l(cid:160) B(cid:160)i to¡n Th¡p

H(cid:160) Nºi v(cid:238)i bŁn (ho(cid:176)c nhi•u) c(cid:229)c. Ch‰nh

E. Lucas c(cid:244)ng l(cid:160) ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)ƒu ti¶n x†t b(cid:160)i

to¡n v(cid:238)i nhi•u c(cid:229)c v(cid:160)o n«m 1889 (xem

[21]).

Trong hai trang (cid:31)ƒu ti¶n cıa cuŁn s¡ch nŒi ti‚ng The Canterbury

Puzzles (xem [11]), H. E. Dudeney (cid:31)¢ vi‚t v• b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y (v(cid:160) g(cid:229)i l(cid:160)

Reve’s puzzle) v(cid:238)i sŁ c(cid:229)c l(cid:160) 4 v(cid:160) sŁ (cid:31)(cid:190)a l(cid:160) 8, 10 ho(cid:176)c 21, ch¿ c(cid:226) kh¡c l(cid:160)

˘ng (cid:31)¢ thay c¡c (cid:31)(cid:190)a b‹ng c¡c qu¥n c(cid:237). Trong phƒn l(cid:237)i gi£i (trang 131-

132), Dudeney (cid:31)¢ khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (kh(cid:230)ng chøng minh) r‹ng sŁ lƒn chuy”n

cƒn thi‚t t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i 8, 10 ho(cid:176)c 21 (cid:31)(cid:190)a l(cid:160) 33, 49 ho(cid:176)c 321. H(cid:236)n nœa, ˘ng cÆn x†t tr(cid:247)(cid:237)ng hæp v(cid:238)i sŁ (cid:31)(cid:190)a l(cid:160) sŁ tam gi¡c, tøc l(cid:160) c¡c sŁ tk = k(k+1) v(cid:238)i k = 1, 2, ...

l(cid:160) sŁ tam gi¡c thø k v(cid:160) gi£ sß M (n) l(cid:160) sŁ lƒn chuy”n Gi£ sß tk = k(k+1)

tŁi thi”u cƒn thi‚t (cid:31)” chuy”n xong n (cid:31)(cid:190)a. Dudeney tuy¶n bŁ r‹ng:

M4(tk) = 2M4(tk−1) + 2k − 1, M4(1) = 1.

Tł (cid:31)¥y ta c(cid:226) : M4(3) = 5, M4(6) = 17, M4(10) = 49, ... Tuy nhi¶n Dudeney kh(cid:230)ng cho mºt thu“t to¡n n(cid:160)o cho ph†p t…m ra

c¡c sŁ n(cid:160)y, v(cid:160) c(cid:244)ng kh(cid:230)ng c(cid:226) mºt gæi (cid:254) n(cid:160)o cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp sŁ (cid:31)(cid:190)a kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) sŁ tam gi¡c, th‰ d(cid:246) khi n = 8.

H…nh 1.11: L(cid:237)i gi£i b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) nºi v(cid:238)i 4 c(cid:229)c cıa H. E Dudeney

B(cid:160)i to¡n tŒng qu¡t v(cid:238)i p(p > 3) c(cid:229)c, p l(cid:160) sŁ b§t k… v(cid:238)i sŁ (cid:31)(cid:190)a n b§t

k… (cid:31)(cid:247)æc B. Stewart (cid:31)• xu§t n«m 1939 (Problem 3918 trong t⁄p ch‰ The

Americal Mathematical Montly [27]). L(cid:237)i gi£i (cid:31)ºc l“p cıa b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y

(cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc B. M. Stewart [28] v(cid:160) J. S. Frame [14] tr…nh b(cid:160)y c(cid:244)ng trong t⁄p

ch‰ n(cid:160)y n«m 1941. C¡c thu“t to¡n cıa Stewart v(cid:160) Frame c(cid:242)ng v(cid:238)i mºt

sŁ thu“t to¡n c£i bi¶n kh¡c (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chøng minh l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng theo

ngh(cid:190)a sŁ lƒn chuy”n (cid:31)(cid:190)a l(cid:160) b‹ng nhau (xem [19]). V… v“y ng(cid:247)(cid:237)i ta th(cid:247)(cid:237)ng

g(cid:229)i chung thu“t to¡n cıa hai ˘ng ho(cid:176)c c¡c thu“t to¡n t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng l(cid:160)

thu“t to¡n Frame - Stewart.

Thu“t to¡n Frame-Stewart

B. M. Stewart v(cid:160) J. S. Frame (cid:31)• xu§t mºt thu“t to¡n presumably-

optimal solution (l(cid:237)i gi£i gi£ (cid:31)(cid:224)nh tŁi (cid:247)u) cho b(cid:160)i to¡n bŁn c(cid:229)c (ho(cid:176)c

nhi•u h(cid:236)n).

Gi£ sß n l(cid:160) sŁ (cid:31)(cid:190)a v(cid:160) p l(cid:160) sŁ c(cid:229)c (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)¡nh sŁ tł 0 (cid:31)‚n n − 1. (cid:30)” gi£i

b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i p c(cid:229)c, ta th(cid:252)c hi»n c¡c b(cid:247)(cid:238)c sau. B(cid:247)(cid:238)c 1. V(cid:238)i sŁ l, 1 ≤ l ≤ n, chuy”n l (cid:31)(cid:190)a tr¶n c(cid:242)ng tł c(cid:229)c 0 t(cid:238)i c(cid:229)c 1, m§t Sp(l) lƒn chuy”n. (cid:30)(cid:247)æc ph†p sß d(cid:246)ng t§t c£ c¡c c(cid:229)c trong khi chuy”n. B(cid:247)(cid:238)c 2. Giœ nguy¶n c(cid:229)c 1 chøa l (cid:31)(cid:190)a tr¶n c(cid:242)ng. Chuy”n n − l (cid:31)(cid:190)a t(cid:238)i c(cid:229)c (cid:31)‰ch, sß d(cid:246)ng n − 1 c(cid:229)c cÆn l⁄i (v… c(cid:229)c 1 (cid:31)ang (cid:31)(cid:247)æc d(cid:242)ng (cid:31)” chøa l (cid:31)(cid:190)a nh(cid:228) nh§t), m§t Sp−1(n − l) lƒn chuy”n. B(cid:247)(cid:238)c 3. CuŁi c(cid:242)ng, chuy”n l (cid:31)(cid:190)a tr¶n c(cid:242)ng tł c(cid:229)c 1 t(cid:238)i c(cid:229)c (cid:31)‰ch, m§t Sp(l) lƒn chuy”n nœa. (cid:30)(cid:247)æc ph†p sß d(cid:246)ng t§t c£ c¡c (cid:31)(cid:190)a.

Nh(cid:247) v“y, tŒng cºng cƒn 2Sp(l)+Sp−1(n − l) lƒn chuy”n. B(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t ra l(cid:160), cƒn t‰nh sŁ l (cid:31)” tŒng n(cid:160)y l(cid:160) nh(cid:228) nh§t. Thu“t to¡n Frame-Stewart v(cid:238)i c¡ch ch(cid:229)n l nh(cid:247) tr¶n cho ph†p t…m ra

mºt (mºt v(cid:160)i) gi¡ tr(cid:224) i sao cho

(1.1) {2Sp(l) + Sp−1(n − l)}. 2Sp(i) + Sp−1(n − i) = min 1≤l≤n

N(cid:226)i c¡ch kh¡c, c¡c gi¡ tr(cid:224) i th(cid:228)a m¢n (1.1) l(cid:160) sŁ b(cid:247)(cid:238)c tŁi (cid:247)u cƒn thi‚t

trong l(cid:238)p c¡c thu“t to¡n (cid:31)• ngh(cid:224).

B. M. Stewart v(cid:160) J. S. Frame c(cid:244)ng (cid:31)¢ chøng minh r‹ng, n‚u n l(cid:160) sŁ

tam gi¡c n = tk , th… c¡ch ch(cid:229)n tŁi (cid:247)u nh§t cho n l(cid:160) n = k, trong khi (cid:31)(cid:226) n‚u tk−1 < n < tk th… c£ hai gi¡ tr(cid:224) k − 1 v(cid:160) k (cid:31)•u l(cid:160) c¡ch ch(cid:229)n tŁi (cid:247)u cho l . Nh(cid:247) v“y, B. M. Stewart v(cid:160) J. S. Frame (cid:31)¢ (cid:31)• xu§t thu“t to¡n

gi£i cho b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i sŁ c(cid:229)c b§t k…. Thu“t to¡n n(cid:160)y tr(cid:242)ng

v(cid:238)i l(cid:237)i gi£i cıa H. E. Dudeney trong c¡c tr(cid:247)(cid:237)ng hæp ri¶ng n¶u tr¶n. Ta

c(cid:244)ng l(cid:247)u (cid:254) r‹ng, kh¡c v(cid:238)i tr(cid:247)(cid:237)ng hæp b(cid:160)i to¡n v(cid:238)i ba c(cid:229)c, l(cid:237)i gi£i cho

b(cid:160)i to¡n v(cid:238)i bŁn c(cid:229)c c(cid:226) th” l(cid:160) kh(cid:230)ng duy nh§t. H(cid:236)n nœa, nh(cid:247) ta (cid:31)¢ bi‚t, sŁ lƒn chuy”n (cid:31)(cid:190)a cho b(cid:160)i to¡n ba c(cid:229)c l(cid:160) S3(n) = 2n − 1, n¶n S3(n) s‡ t«ng theo h(cid:160)m m(cid:244). Tuy nhi¶n, trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp sŁ c(cid:229)c p > 3, ph¥n t‰ch

thu“t to¡n Frame- Stewart, Stockmeyer 1994 [29] ph¡t hi»n ra r‹ng, (cid:31)º

phøc t⁄p cıa thu“t to¡n l(cid:160) d(cid:247)(cid:238)i m(cid:244).

Otto Dunkel [12], tŒng bi¶n t“p cıa t⁄p ch‰ The Americal Mathe-

matical Montly khi cho (cid:31)«ng hai l(cid:237)i gi£i cıa Frame v(cid:160) Stewart (cid:31)¢ ch¿ ra

r‹ng: Chøng minh t‰nh tŁi (cid:247)u cıa Frame v(cid:160) Stewart ch¿ ¡p d(cid:246)ng (cid:31)(cid:247)æc

cho c¡c thu“t to¡n cıa mºt l(cid:247)æc (cid:31)(cid:231) chung m(cid:230) t£ b(cid:240)i Frame v(cid:160) Stewart

m(cid:160) th(cid:230)i. N(cid:226)i c¡ch kh¡c, Frame v(cid:160) Stewart m(cid:238)i ch¿ chøng minh (cid:31)(cid:247)æc r‹ng trong sŁ t§t c£ c¡c gi¡ tr(cid:224) c(cid:226) th” cıa l theo thu“t to¡n cıa hai ˘ng ph£i c(cid:226) ‰t nh§t mºt gi¡ tr(cid:224) i l(cid:160)m c(cid:252)c ti”u sŁ lƒn chuy”n. Hai (cid:230)ng ch(cid:247)a chøng

minh r‹ng m(cid:229)i thu“t to¡n tŁi (cid:247)u b›t buºc ph£i c(cid:226) d⁄ng tr¶n. V(cid:160) (cid:31)i•u

n(cid:160)y cho t(cid:238)i nay v¤n ch(cid:247)a chøng minh (cid:31)(cid:247)æc. V… v“y l(cid:237)i gi£i cıa Frame

v(cid:160) Stewart cƒn ph£i coi mºt c¡ch (cid:31)(cid:243)ng (cid:31)›n l(cid:160) l(cid:237)i gi£i gi£ (cid:31)(cid:224)nh l(cid:160) tŁi (cid:247)u

(presumed optimal solution), chø ch(cid:247)a chøng minh (cid:31)(cid:247)æc l(cid:160) l(cid:237)i gi£i tŁi

(cid:247)u. Tł 1941 (cid:31)‚n nay, r§t nhi•u ng(cid:247)(cid:237)i kh¡c (cid:31)¢ nghi¶n cøu thu“t to¡n

n(cid:160)y. Gƒn (cid:31)¥y mºt sŁ t¡c gi£ (cid:31)• ngh(cid:224) mºt sŁ thu“t to¡n h(cid:231)i qui t(cid:247)(cid:236)ng

(cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i thu“t to¡n Frame v(cid:160) Stewart (xem [19]). Nh(cid:247)ng t‰nh tŁi (cid:247)u

cıa thu“t to¡n v¤n ch(cid:247)a (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

(cid:30)¥y l(cid:160) mºt v‰ d(cid:246) ti¶u bi”u cho th§y tł mºt b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:236)n gi£n, c(cid:226)

th” gi£i (cid:31)(cid:247)æc, nh(cid:247)ng b‹ng c¡ch n(cid:238)i l(cid:228)ng mºt sŁ r(cid:160)ng buºc cıa n(cid:226) th… l⁄i

tr(cid:240) th(cid:160)nh kh(cid:226) h(cid:236)n r§t nhi•u do xu§t hi»n nhœng v§n (cid:31)• m(cid:238)i (t‰nh duy

nh§t, t‰nh tŁi (cid:247)u cıa nghi»m,. . . ).

Vi»c ch(cid:247)a chøng minh (cid:31)(cid:247)æc l(cid:237)i gi£i cho b(cid:160)i to¡n v(cid:238)i bŁn ho(cid:176)c nhi•u

c(cid:229)c l(cid:160) tŁi (cid:247)u kh(cid:230)ng suy ra r‹ng kh(cid:230)ng t(cid:231)n t⁄i thu“t to¡n t…m (t§t c£)

c¡c nghi»m tŁi (cid:247)u.

M(cid:176)c d(cid:242) ch(cid:247)a chøng minh (cid:31)(cid:247)æc sŁ lƒn chuy”n (cid:31)(cid:190)a tŁi (cid:247)u ch‰nh x¡c l(cid:160)

bao nhi¶u, nh(cid:247)ng thu“t to¡n Frame-Stewart v(cid:160) c¡c c£i bi¶n cıa n(cid:226) c(cid:244)ng

(cid:31)¢ cho "l(cid:237)i gi£i (cid:31)(cid:247)æc gi£ (cid:31)(cid:224)nh l(cid:160) tŁi (cid:247)u" (presumed-optimal solution)

cho ph†p l“p tr…nh gi£i b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i sŁ c(cid:229)c b§t k…. T‰nh tŁi

(cid:247)u cıa thu“t to¡n Frame-Stewart (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc ki”m tra tr¶n m¡y t‰nh cho

sŁ (cid:31)(cid:190)a nh(cid:228) h(cid:236)n 30.

1.2.3 C¡c c£i bi¶n cıa b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi

B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi c(cid:226) kh¡ nhi•u c£i bi¶n r§t th(cid:243) v(cid:224). MØi qui t›c

ch(cid:236)i m(cid:238)i l⁄i l(cid:160)m trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi th¶m phong ph(cid:243) v(cid:160) l⁄i xu§t hi»n

th¶m nhi•u v§n (cid:31)• to¡n h(cid:229)c m(cid:238)i. (cid:30)¥y ch‰nh l(cid:160) nguy¶n nh¥n khi‚n trÆ

ch(cid:236)i n(cid:160)y lu(cid:230)n sŁng (cid:31)ºng, m(cid:238)i m· v(cid:160) h§p d¤n, m(cid:176)c d(cid:242) n(cid:226) (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc ph¡t

minh c¡ch (cid:31)¥y 130 n«m.

D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y ch(cid:243)ng t(cid:230)i s(cid:236) l(cid:247)æc li»t k¶ mºt sŁ c£i bi¶n cıa trÆ ch(cid:236)i Th¡p

H(cid:160) Nºi.

B(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i c§u h…nh ban (cid:31)ƒu b§t k…

B(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i ba c(cid:229)c v(cid:160) n (cid:31)(cid:190)a (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc E. Lucas c£i bi¶n

ngay khi phŒ bi‚n c¡ch ch(cid:236)i v(cid:160)o n«m 1883. (cid:30)(cid:226) l(cid:160) trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi

v(cid:238)i c§u h…nh ban (cid:31)ƒu b§t k… : Ngay khi b›t (cid:31)ƒu ch(cid:236)i (ho(cid:176)c ti‚p t(cid:246)c sau

khi trÆ ch(cid:236)i b(cid:224) gi¡n (cid:31)o⁄n), c(cid:226) th” coi c¡c (cid:31)(cid:190)a (cid:240) v(cid:224) tr‰ b§t k… (kh(cid:230)ng nh§t

thi‚t ph£i t§t c£ c¡c (cid:31)(cid:190)a n‹m tr¶n mºt c(cid:229)c, m(cid:160) c(cid:226) th” (cid:240) tr¶n c¡c c(cid:229)c kh¡c

nhau, mi„n l(cid:160) tu¥n theo qui t›c (cid:31)(cid:190)a (cid:240) tr¶n nh(cid:228), (cid:31)(cid:190)a n‹m d(cid:247)(cid:238)i to). Mºt

ph¥n bŁ c¡c (cid:31)(cid:190)a (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t tr¶n c¡c c(cid:229)c (cid:240) v(cid:224) tr‰ b§t k… th(cid:228)a m¢n nguy¶n

t›c (cid:16)tr¶n nh(cid:228), d(cid:247)(cid:238)i to(cid:17) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt c§u h…nh hæp l».

Tł (cid:31)(cid:226) xu§t hi»n c¡c b(cid:160)i to¡n sau (cid:31)¥y:

1) T…m (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)i tŁi (cid:247)u tł mºt c§u h…nh hæp l» t(cid:238)i mºt c§u h…nh ho(cid:160)n

h£o (t§t c£ c¡c (cid:31)(cid:190)a tr¶n nh(cid:228) d(cid:247)(cid:238)i to c(cid:242)ng n‹m tr¶n mºt c(cid:229)c).

2) L(cid:160)m th‚ n(cid:160)o (cid:31)” x¡c (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)(cid:247)æc c§u h…nh hæp l» (cid:31)ang x†t n‹m tr¶n

(cid:31)(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)i tŁi (cid:247)u (tł mºt c§u h…nh hæp l» ho(cid:160)n h£o tr¶n c(cid:229)c ngu(cid:231)n (cid:31)‚n

mºt c§u h…nh ho(cid:160)n h£o tr¶n c(cid:229)c (cid:31)‰ch).

3) T…m (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)i tŁi (cid:247)u tł mºt c§u h…nh hæp l» n(cid:160)y sang mºt c§u h…nh

hæp l» kh¡c.

L(cid:237)i gi£i c¡c b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong 2.3 Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 nh(cid:237)

c(cid:230)ng c(cid:246) (cid:31)(cid:231) th(cid:224).

B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i nhi•u (cid:31)(cid:190)a giŁng nhau (Multi-disk

Hanoi)

Derick Wood [33] (cid:31)¢ x†t hai c£i bi¶n sau (cid:31)¥y cıa b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160)

Nºi. Trong b(cid:160)i to¡n c£i bi¶n thø nh§t, h⁄n ch‚ th(cid:230)ng th(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n

kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:247)æc n‹m tr¶n (cid:31)(cid:190)a nh(cid:228) h(cid:236)n (cid:31)(cid:247)æc thay b‹ng (cid:31)i•u ki»n: cho ph†p (cid:31)(cid:190)a i c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a j n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u i − j ≤ b v(cid:238)i mºt sŁ nguy¶n cŁ (cid:31)(cid:224)nh b ≤ n − 1 n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). B(cid:160)i to¡n n(cid:160)y tr(cid:240) v• b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi cŒ (cid:31)i”n khi i − j < b v(cid:160) b = 0. Trong c£i bi¶n thø hai, cho ph†p c(cid:226) d

b£n copy cıa mØi (cid:31)(cid:190)a v(cid:160) ¡p d(cid:246)ng c¡c qui t›c chuy”n (cid:31)(cid:190)a nh(cid:247) trong b(cid:160)i

to¡n th¡p H(cid:160) Nºi cŒ (cid:31)i”n. TŒng qu¡t h(cid:226)a cıa hai b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y l(cid:160) b(cid:160)i to¡n: mØi (cid:31)(cid:190)a thø i c(cid:226) di b£n sao (di (cid:31)(cid:190)a giŁng h»t nhau), xem [15], B(cid:160)i t“p 1.12, trang 18, L(cid:237)i gi£i trang 498).

B(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i c¡c h⁄n ch‚ tr¶n chuy”n (cid:31)ºng cıa c¡c

(cid:31)(cid:190)a

Gi£ sß a, b, c t(cid:247)(cid:236)ng øng l(cid:160) c¡c chuy”n (cid:31)ºng

cıa (cid:31)(cid:190)a tr¶n c(cid:242)ng tł c(cid:229)c 1 sang (cid:31)¿nh cıa c(cid:229)c

2, tł c(cid:229)c 2 sang (cid:31)¿nh c(cid:229)c 3 ho(cid:176)c tł c(cid:229)c 3 sang (cid:31)¿nh c(cid:229)c 1 v(cid:160) ¯a, ¯b, ¯c l(cid:160) c¡c chuy”n (cid:31)ºng ng(cid:247)æc l⁄i (ngh(cid:190)a l(cid:160) ¯a l(cid:160) chuy”n (cid:31)ºng cıa (cid:31)(cid:190)a tr¶n c(cid:242)ng

tł c(cid:229)c 2 sang (cid:31)¿nh c(cid:229)c 1).

Trong [25] (cid:31)¢ ch¿ ra ch¿ c(cid:226) 5 kh£ n«ng kh(cid:230)ng (cid:31)ﬂng c§u cıa c¡c chuy”n

(cid:31)ºng:

1) TrÆ ch(cid:236)i (cid:31)ƒy (cid:31)ı (the complete puzzle): sß d(cid:246)ng t§t c£ c¡c chuy”n (cid:31)ºng c(cid:226) th” trong {a, b, c, ¯a, ¯b, ¯c}. 2) TrÆ ch(cid:236)i ba trong mºt dÆng hay trÆ ch(cid:236)i (cid:16)l(cid:247)(cid:237)i(cid:17) (the three-in-a-row

puzzle or lazy puzzle): ch¿ sß d(cid:246)ng c¡c chuy”n (cid:31)ºng{a, b, ¯a, ¯b}. 3) TrÆ ch(cid:236)i xoay vÆng (the cyclic puzzle): ch¿ sß d(cid:246)ng c¡c chuy”n (cid:31)ºng trong a, b, c.

4) TrÆ ch(cid:236)i (cid:31)ƒy (cid:31)ı (the complete puzzle): ch¿ sß d(cid:246)ng c¡c chuy”n (cid:31)ºng trong {a, b, c, ¯a, ¯b}. 5) TrÆ ch(cid:236)i xoay vÆng + + (the cyclic + + puzzle): ch¿ sß d(cid:246)ng c¡c chuy”n (cid:31)ºng trong {a, b, c, ¯a}.

N«m d⁄ng trÆ ch(cid:236)i tr¶n t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i n«m h…nh v‡ d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y.

H…nh 1.12: N«m d⁄ng cıa trÆ ch(cid:236)i khi h⁄n ch‚ chuy”n (cid:31)ºng cıa c¡c (cid:31)(cid:190)a

B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi tr¶n (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thﬂng (Straightline Tower of Hanoi)

C£i bi¶n n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) b(cid:160)i

to¡n th¡p H(cid:160) Nºi theo (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thﬂng

(Straightline Tower of Hanoi), trÆ ch(cid:236)i

ba trong mºt dÆng hay trÆ ch(cid:236)i (cid:16)l(cid:247)(cid:237)i(cid:17)

(lazy puzzle).

Kh(cid:230)ng kh(cid:226) kh«n l›m c(cid:226) th” chøng

minh (cid:31)(cid:247)æc r‹ng sŁ lƒn tŁi thi”u (cid:31)”

chuy”n th¡p tł c(cid:229)c 0 sang c(cid:229)c 2 l(cid:160)

3n − 1. Th“t v“y, g(cid:229)i Tn l(cid:160) sŁ lƒn cƒn chuy”n c¡c (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c ngu(cid:231)n A sang c(cid:229)c (cid:31)‰ch B. Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ta cƒn chuy”n n − 1 (cid:31)(cid:190)a tł A sang B, cƒn Tn−1 lƒn chuy”n. Sau (cid:31)(cid:226) ta ph£i chuy”n (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t tł A sang c(cid:229)c giœa. Ti‚p theo ta l⁄i ph£i chuy”n n − 1 (cid:31)(cid:190)a ng(cid:247)æc l⁄i tł B sang A v(cid:160) chuy”n (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t sang c(cid:229)c B. CuŁi c(cid:242)ng ph£i chuy”n n − 1 (cid:31)(cid:190)a ng(cid:247)æc l⁄i tł A sang B mºt lƒn nœa, m§t Tn−1 lƒn chuy”n. CuŁi c(cid:242)ng ta c(cid:226) :

Tn = 3Tn−1 + 2 v(cid:238)i T1 = 2.

Suy ra : Tn = 3n − 1 lƒn chuy”n. C(cid:230)ng thøc n(cid:160)y c(cid:226) th” d„ d(cid:160)ng chøng minh b‹ng qui n⁄p.

B(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi xoay vÆng (Cyclic Tower of Hanoi)

Atkinson [9] l(cid:160) ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)ƒu ti¶n (1981) nghi¶n cøu b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160)

Nºi xoay vÆng.

Ba chi‚c c(cid:229)c (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t tr¶n ba

(cid:31)¿nh cıa mºt tam gi¡c (cid:31)•u v(cid:160)

c¡c (cid:31)(cid:190)a b(cid:224) h⁄n ch‚ chuy”n (cid:31)ºng

ch¿ theo mºt h(cid:247)(cid:238)ng (theo chi•u

quay cıa kim (cid:31)(cid:231)ng h(cid:231) ho(cid:176)c ng(cid:247)æc l⁄i). Gi£ sß Qn (v(cid:160) Rn ) l(cid:160) sŁ lƒn chuy”n cƒn thi‚t tŁi thi”u (cid:31)” chuy”n n (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c 1 sang c(cid:229)c 2

(tł c(cid:229)c 2 sang c(cid:229)c 1) theo chi•u

kim (cid:31)(cid:231)ng h(cid:231).

X†t n = 1. Hi”n nhi¶n ta c(cid:226)

Q1 = 1 v(cid:160) R1 = 2 . X†t n = 2.

Qui t›c chuy”n th¡p 2 (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c 1 sang c(cid:229)c 2 nh(cid:247) sau:

B(cid:247)(cid:238)c 1 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a 1 (nh(cid:228) nh§t) tł c(cid:229)c 1 sang c(cid:229)c 3 (qua c(cid:229)c 2, 2 lƒn

chuy”n);

B(cid:247)(cid:238)c 2 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a 2 (l(cid:238)n nh§t) tł c(cid:229)c 1 sang c(cid:229)c 2 (m§t 1 lƒn chuy”n);

B(cid:247)(cid:238)c 3 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a 1 (nh(cid:228) nh§t) tł c(cid:229)c 3 sang c(cid:229)c 2 (qua c(cid:229)c 1, 2 lƒn

chuy”n).

V“y Q2 = 5. Qui t›c chuy”n th¡p 2 (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c 2 sang c(cid:229)c 1 nh(cid:247) sau :

B(cid:247)(cid:238)c 1 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a 1 (nh(cid:228) nh§t) tł c(cid:229)c 2 sang c(cid:229)c 1 (qua c(cid:229)c 3, 2 lƒn

chuy”n);

B(cid:247)(cid:238)c 2 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a 2 (l(cid:238)n nh§t) tł c(cid:229)c 2 sang c(cid:229)c 3 (m§t 1 lƒn chuy”n);

B(cid:247)(cid:238)c 3 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a 1 (nh(cid:228) nh§t) tł c(cid:229)c 1 sang c(cid:229)c 2 (m§t 1 lƒn chuy”n).

B(cid:247)(cid:238)c 4 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a 2 (l(cid:238)n nh§t) tł c(cid:229)c 3 sang c(cid:229)c 1 (m§t 1 lƒn chuy”n).

B(cid:247)(cid:238)c 5 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a 1 (nh(cid:228) nh§t) tł c(cid:229)c 2 sang c(cid:229)c 1 (qua c(cid:229)c 3, 2 lƒn

chuy”n).

V“y R2 = 7. X†t n b§t k…. Nh“n x†t r‹ng, sŁ lƒn cƒn thi‚t (cid:31)” chuy”n th¡p k (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c 1 sang c(cid:229)c 2 c(cid:244)ng ch‰nh b‹ng sŁ lƒn cƒn thi‚t (cid:31)” chuy”n th¡p k (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c 2 sang c(cid:229)c 3 v(cid:160) c(cid:244)ng ch‰nh b‹ng cƒn thi‚t (cid:31)” chuy”n th¡p k (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c 3 sang c(cid:229)c 1 v(cid:160) b‹ng Qk.

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252), sŁ lƒn cƒn thi‚t (cid:31)” chuy”n th¡p k (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c 1 sang c(cid:229)c 3 (qua c(cid:229)c 2) c(cid:244)ng ch‰nh b‹ng sŁ lƒn cƒn thi‚t (cid:31)” chuy”n th¡p k (cid:31)(cid:190)a tł

c(cid:229)c 3 sang c(cid:229)c 2 (qua c(cid:229)c 1) v(cid:160) c(cid:244)ng ch‰nh b‹ng cƒn thi‚t (cid:31)” chuy”n th¡p k (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c 2 sang c(cid:229)c 1 (qua c(cid:229)c 3) v(cid:160) b‹ng Rk.

(cid:30)” chuy”n th¡p n (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c 1 sang c(cid:229)c 2 (m§t Qn lƒn chuy”n), tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ta ph£i chuy”n t§t c£, trł (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t, sang c(cid:229)c 3 ((cid:31)i qua c(cid:229)c 2), m§t Rn−1 lƒn chuy”n. Sau (cid:31)(cid:226) chuy”n (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t tł c(cid:229)c 1 sang c(cid:229)c 2. V(cid:160) ti‚p theo chuy”n th¡p n − 1 (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c 3 sang c(cid:229)c 2), m§t Rn−1 lƒn chuy”n nœa. Nh(cid:247) v“y, sŁ lƒn chuy”n th¡p n (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c 1 sang c(cid:229)c 2 l(cid:160): Qn = Rn−1 + 1 + Rn−1 = 2Rn−1 + 1.

(cid:30)” chuy”n th¡p n (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c 2 sang c(cid:229)c 1 (m§t Rn lƒn chuy”n), tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ta ph£i chuy”n t§t c£, trł (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t, sang c(cid:229)c 1 ((cid:31)i qua c(cid:229)c 3), m§t Rn−1 lƒn chuy”n. Sau (cid:31)(cid:226) chuy”n (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t tł c(cid:229)c 2 sang c(cid:229)c 3. Ti‚p theo chuy”n th¡p n − 1 (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c 1 sang c(cid:229)c 2, m§t Qn−1 lƒn chuy”n. Sau (cid:31)(cid:226) chuy”n (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t tł c(cid:229)c 3 sang c(cid:229)c 1. V(cid:160) cuŁi c(cid:242)ng, chuy”n th¡p n − 1 (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c 2 sang c(cid:229)c 1, m§t Rn−1 lƒn chuy”n. Nh(cid:247)

v“y, sŁ lƒn chuy”n th¡p n (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c 2 sang c(cid:229)c 1 l(cid:160):

Rn = Rn−1 + 1 + Qn−1 + 1 + Rn−1 = 2Rn−1 + Qn−1 + 2.

Tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Qn = 2Rn−1 + 1 ta c(cid:226) Qn−1 = 2Rn−2 + 1. Thay v(cid:160)o

ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tr¶n ta (cid:31)(cid:247)æc ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sai ph¥n c§p hai: Rn = 2Rn−1 + Qn−1 + 2 = 2Rn−1 + 2Rn−2 + 3.

Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng λ2 − 2λ − 2 = 0 cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sai ph¥n √ 3 √ thuƒn nh§t c§p hai Rn − 2Rn−1 − 2Rn−2 = 0 c(cid:226) nghi»m l(cid:160) λ = 1 + v(cid:160) λ = 1 − 3.

H(cid:236)n nœa, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh kh(cid:230)ng thuƒn nh§t Rn = 2Rn−1 + 2Rn−2 + 3

c(cid:226) nghi»m ri¶ng Rn = −1. V“y nghi»m tŒng qu¡t cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh n(cid:160)y c(cid:226) d⁄ng √ √ 3)n − 1. 3)n + C1(1 − Rn = C1(1 +

Thay R1 = 2 v(cid:160) R2 = 7, ta (cid:31)(cid:247)æc

√ √   2 = C1(1 + 3) + C2(1 − 3) − 1 √ √ 3)2 − 1  7 = C1(1 + 3)2 + C2(1 −

Suy ra √ √ (1 + (1 − 3)2. C1 = 1 √ 4 3)2 v(cid:160) C2 = − 1 √ 4

V“y √ √ ((1 + 3)n+2 − (1 + 3)n+2) − 1. Rn = 1 √ 4

V(cid:160) √ √ ((1 + 3)n+1 − (1 + 3)n+1) − 1. Qn = 2Rn + 1 = 1 √ 2 3

B(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i c¡c (cid:31)(cid:190)a m(cid:160)u (Colour Towers of Hanoi)

Mºt bi‚n th” kh¡c cıa trÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi l(cid:160) trÆ ch(cid:236)i v(cid:238)i c¡c (cid:31)(cid:190)a

m(cid:160)u, lƒn (cid:31)ƒu ti¶n (cid:31)(cid:247)æc Er nghi¶n cøu trong [13] v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc ph¡t tri”n b(cid:240)i

nhi•u t¡c gi£ kh¡c.

TrÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i ba c(cid:229)c v(cid:160) c¡c (cid:31)(cid:190)a hai m(cid:160)u

Er (1984, [13]) (cid:31)¢ (cid:31)• ngh(cid:224) mºt bi‚n th” cıa trÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:160)

g(cid:229)i l(cid:160) Colour Towers of Hanoi nh(cid:247) sau: C(cid:226) ba c(cid:229)c (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t tr¶n mºt vÆng trÆn v(cid:160) n (cid:31)(cid:190)a v(cid:238)i hai m(cid:160)u (cid:31)en ho(cid:176)c tr›ng. L(cid:243)c (cid:31)ƒu c¡c (cid:31)(cid:190)a (cid:31)(cid:247)æc

ph¥n bŁ ng¤u nhi¶n tr¶n c¡c c(cid:229)c, (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n n‹m d(cid:247)(cid:238)i, (cid:31)(cid:190)a nh(cid:228) n‹m tr¶n.

M(cid:246)c (cid:31)‰ch l(cid:160) ph£i (cid:31)(cid:247)a c¡c (cid:31)(cid:190)a v• mºt c(cid:229)c v(cid:238)i qui t›c sau;

1) Ch¿ (cid:31)(cid:247)æc ph†p chuy”n (cid:31)(cid:190)a n‹m tr¶n c(cid:242)ng.

2) (cid:30)(cid:190)a tr›ng ch¿ (cid:31)(cid:247)æc ph†p chuy”n sang c(cid:229)c l¥n c“n theo chi•u kim (cid:31)(cid:231)ng

h(cid:231) v(cid:160) (cid:31)(cid:190)a (cid:31)en ch¿ (cid:31)(cid:247)æc ph†p chuy”n sang c(cid:229)c l¥n c“n ng(cid:247)æc chi•u kim

(cid:31)(cid:231)ng h(cid:231).

Nh“n x†t r‹ng c¡c gi£ thi‚t c§u h…nh ban (cid:31)ƒu cıa c¡c (cid:31)(cid:190)a l(cid:160) ng¤u

nhi¶n v(cid:160) tŒ hæp hai m(cid:160)u c(cid:244)ng l(cid:160) ng¤u nhi¶n c(cid:226) th” c£n tr(cid:240) chuy”n (cid:31)ºng

cıa mºt sŁ (cid:31)(cid:190)a. N‚u ta th¶m v(cid:160)o (cid:31)Æi h(cid:228)i t…m thu“t to¡n (cid:31)i (cid:31)‚n mºt c§u

h…nh cho tr(cid:247)(cid:238)c b§t k… cıa c¡c (cid:31)ia m(cid:160)u v(cid:160) sŁ lƒn chuy”n l(cid:160) tŁi (cid:247)u th… b(cid:160)i

to¡n tr(cid:240) n¶n phøc t⁄p l¶n r§t nhi•u.

Minsker (cid:31)(cid:247)a ra h⁄n ch‚ c¡c (cid:31)(cid:190)a c(cid:242)ng m(cid:160)u b(cid:224) c§m kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:247)æc g(cid:176)p

nhau (kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t li¶n ti‚p) v(cid:160) g(cid:229)i trÆ ch(cid:236)i n(cid:160)y l(cid:160) th¡p H(cid:160) Nºi cƒu

v(cid:231)ng (the Rainbow Tower of Hanoi problem).

P. K. Stockmeyer v(cid:160) F. Lunnon ( [31]) (cid:31)¢ gi(cid:238)i thi»u mºt sŁ trÆ ch(cid:236)i

th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i c¡c (cid:31)(cid:190)a m(cid:160)u nh(cid:247) sau.

TrÆ ch(cid:236)i 1 : C(cid:226) bŁn c(cid:229)c (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)¡nh sŁ tł 0 (cid:31)‚n 3. L(cid:243)c (cid:31)ƒu ta c(cid:226) (cid:31)(cid:190)a

tr›ng n‹m tr¶n c(cid:229)c 0 v(cid:160) (cid:31)(cid:190)a (cid:31)en n‹m tr¶n c(cid:229)c 2. C(cid:229)c (cid:31)‰ch cıa (cid:31)Łng (cid:31)(cid:190)a

tr›ng l(cid:160) c(cid:229)c 2 v(cid:160) (cid:31)Łng (cid:31)(cid:190)a (cid:31)en l(cid:160) c(cid:229)c 0. N(cid:226)i c¡ch kh¡c, m(cid:246)c (cid:31)‰ch l(cid:160) (cid:31)Œi

chØ hai (cid:31)Łng (cid:31)(cid:190)a nh(cid:237) sß d(cid:246)ng c(cid:229)c 1 v(cid:160) c(cid:229)c 3 nh(cid:247) l(cid:160) nhœng c(cid:229)c trung

gian.

Trong [31], P. K. Stockmeyer v(cid:160) F. Lunnon (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra thu“t to¡n (cid:31)”

gi£i b(cid:160)i to¡n TrÆ ch(cid:236)i 1 v(cid:238)i sŁ lƒn chuy”n l(cid:160) 2n+1 − 1. TrÆ ch(cid:236)i 2: Victor Mascolo (cid:31)¢ nh“n b‹ng ph¡t minh U.S. No 7.566.057

cho trÆ ch(cid:236)i (cÆn (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) trÆ ch(cid:236)i r(cid:242)a-Turtle) sau (cid:31)¥y. TrÆ ch(cid:236)i n(cid:160)y

th(cid:252)c ch§t l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) v(cid:238)i trÆ ch(cid:236)i 1, ngo⁄i trł vi»c c(cid:229)c 1 ch¿ (cid:31)(cid:247)æc ph†p

chøa c¡c (cid:31)(cid:190)a tr›ng, trong khi (cid:31)(cid:226) c(cid:229)c 3 ch¿ (cid:31)(cid:247)æc ph†p chøa c¡c (cid:31)(cid:190)a (cid:31)en.

Nh(cid:247) v“y, c¡c (cid:31)(cid:190)a tr›ng ch¿ c(cid:226) th” sß d(cid:246)ng c(cid:229)c 0, 1 v(cid:160) 2 (cid:31)” chuy”n c¡c

(cid:31)(cid:190)a tr›ng tł c(cid:229)c 0 sang c(cid:229)c 2, v(cid:160) c¡c (cid:31)(cid:190)a (cid:31)en ch¿ c(cid:226) th” sß d(cid:246)ng c¡c c(cid:229)c

2, 3 v(cid:160) 0 (cid:31)” chuy”n c¡c (cid:31)(cid:190)a (cid:31)en tł 2 v• 0.

Kh(cid:230)ng ho(cid:160)n to(cid:160)n hi”n nhi¶n l(cid:160) b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y lu(cid:230)n c(cid:226) l(cid:237)i gi£i. (cid:30)” (cid:31)i

(cid:31)‚n l(cid:237)i gi£i, mºt sŁ b(cid:247)(cid:238)c chuy”n cıa c¡c (cid:31)(cid:190)a tr›ng cƒn ph£i k‚t hæp ch(cid:176)t

ch‡ v(cid:238)i c¡c b(cid:247)(cid:238)c chuy”n cıa c¡c (cid:31)(cid:190)a (cid:31)en.

Trong [31], P. K. Stockmeyer v(cid:160) F. Lunnon (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra thu“t to¡n (cid:31)”

gi£i b(cid:160)i to¡n tr¶n v(cid:238)i sŁ lƒn chuy”n l(cid:160) 3(2n − 1). TrÆ ch(cid:236)i 3: C(cid:226) hai (cid:31)Łng (cid:31)(cid:190)a v(cid:160) 5 c(cid:229)c, t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) trÆ ch(cid:236)i 2 nh(cid:247)ng

th¶m mºt c(cid:229)c 4 c(cid:226) th” chøa c¡c (cid:31)(cid:190)a m(cid:160)u kh¡c nhau. C¡c (cid:31)(cid:190)a tr›ng c(cid:226)

th” sß d(cid:246)ng c¡c c(cid:229)c 0, 1, 2 v(cid:160) 4 (cid:31)” chuy”n tł c(cid:229)c 0 sang c(cid:229)c 2, trong khi

(cid:31)(cid:226) c¡c (cid:31)(cid:190)a (cid:31)en c(cid:226) th” sß d(cid:246)ng c¡c c(cid:229)c 2, 3, 0 v(cid:160) 4 (cid:31)” chuy”n tł c(cid:229)c 2 v•

c(cid:229)c 0.

Trong [31] (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra thu“t to¡n (cid:31)” gi£i trÆ ch(cid:236)i 3 v(cid:238)i sŁ lƒn chuy”n

l(cid:160) :

M4(n) = Rn + 2Rn−1 + 2

v(cid:238)i Rn (cid:31)(cid:247)æc t‰nh theo c(cid:230)ng thøc R(n) = 2R(n − k) + 2k − 1, hay

)2k−1 + 1 R(n) = (k − 1)2k − ( k(k+1) √ v(cid:238)i k = [ 2n].

B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i chuy”n (cid:31)ºng song song (Parallel Moves

of the Tower of Hanoi Problem)

N«m 1992, Wu v(cid:160) Chen (cid:31)¢ m(cid:230) t£ trÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i chuy”n

(cid:31)ºng song song (the parallel Tower of Hanoi problem(cid:17) v(cid:238)i ba c(cid:229)c. TrÆ

ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i chuy”n (cid:31)ºng song song tu¥n theo hai qui t›c:

Qui t›c 1: M(cid:229)i (cid:31)(cid:190)a tr¶n c(cid:242)ng c(cid:226) th” (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i chuy”n tł c(cid:229)c n(cid:160)y sang

c(cid:229)c kh¡c.

Qui t›c 2: Kh(cid:230)ng c(cid:226) (cid:31)(cid:190)a n(cid:160)o l(cid:238)n h(cid:236)n (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t n‹m tr¶n (cid:31)(cid:190)a nh(cid:228) h(cid:236)n.

N«m 1993 Wu v(cid:160) Chen c(cid:244)ng (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra trÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi song

song xoay vÆng (the cyclic parallel Tower of Hanoi problem).

C¡c thu“t to¡n l(cid:176)p truy h(cid:231)i gi£i c¡c b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y c(cid:226) th” xem trong

[32].

1.3 C¡c c(cid:230)ng c(cid:246) gi£i b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi

v(cid:160) c¡c v§n (cid:31)• li¶n quan

1.3.1 Thu“t gi£i (cid:31)» qui

B(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:160) c¡c c£i bi¶n cıa n(cid:226) c(cid:226) th” gi£i (cid:31)(cid:247)æc b‹ng

gi£i thu“t (cid:31)» qui. Thu“t gi£i n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong 2.1 cıa Ch(cid:247)(cid:236)ng

2 cho b(cid:160)i to¡n ba c(cid:229)c.

1.3.2 H» (cid:31)‚m

C(cid:226) th” sß d(cid:246)ng h» (cid:31)‚m (c(cid:236) sŁ 2) (cid:31)” m(cid:230) t£ l(cid:237)i gi£i cıa b(cid:160)i to¡n th¡p

H(cid:160) Nºi. C(cid:230)ng c(cid:246) n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong m(cid:246)c 2.2 Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 cho b(cid:160)i

to¡n ba c(cid:229)c.

1.3.3 (cid:30)(cid:231) th(cid:224) H(cid:160) Nºi

C¡c nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c Andreas M. Hinz [17] v(cid:160) D.G. Poole [24] (cid:31)¢ ph¡t

hi»n ra L(cid:247)æc (cid:31)(cid:231) H(cid:160) Nºi -mºt tam gi¡c c(cid:226) c¡c (cid:31)¿nh t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i c¡c

c¡ch s›p x‚p (cid:31)(cid:190)a trong Th¡p H(cid:160) Nºi, tł (cid:31)(cid:226) t…m ra nhœng li¶n h» l(cid:254) th(cid:243)

giœa Tam gi¡c Pascal v(cid:238)i L(cid:247)æc (cid:31)(cid:231) H(cid:160) Nºi. Li¶n h» n(cid:160)y (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc D.G.

Poole c(cid:230)ng bŁ trong mºt c(cid:230)ng tr…nh mang mºt c¡i t¶n (cid:31)ƒy li¶n t(cid:247)(cid:240)ng:

Pascal bi‚t H(cid:160) Nºi (Pascal knows Hanoi, [24]).

C(cid:226) th” bi”u di„n trÆ ch(cid:236)i d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng mºt (cid:31)(cid:231) th(cid:224) kh(cid:230)ng c(cid:226) h(cid:247)(cid:238)ng (cid:31)(cid:236)n

gi£n. C¡c n(cid:243)t ch‰nh l(cid:160) c¡c ph¥n bŁ cıa c¡c (cid:31)(cid:190)a v(cid:160) c¡c c⁄nh ch‰nh l(cid:160) c¡c

chuy”n (cid:31)ºng. Tł (cid:31)¥y ta c(cid:226) mºt (cid:31)(cid:231) th(cid:224) v(cid:238)i c¡c (cid:31)¿nh (cid:31)(cid:247)æc g¡n nh¢n ho(cid:176)c

kh(cid:230)ng g¡n nh¢n. Sß d(cid:246)ng c(cid:230)ng c(cid:246) (cid:31)(cid:231) th(cid:224), D.G. Pool (cid:31)¢ (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc c¡c k‚t

qu£ l‰ th(cid:243). C¡c k‚t qu£ n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong m(cid:246)c 2.3 Ch(cid:247)(cid:236)ng 2.

1.3.4 Thu“t to¡n gi£i trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi

TrÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:160) c¡c c£i bi¶n cıa n(cid:226) (cid:31)(cid:176)t ra nhœng c¥u h(cid:228)i

kh¡ th(cid:243) v(cid:224): T…m thu“t to¡n tŁi (cid:247)u gi£i b(cid:160)i to¡n trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi,

(cid:31)¡nh gi¡ (cid:31)º phøc t⁄p cıa thu“t to¡n,. . .

Nh(cid:247)ng, th“m ch‰ th(cid:252)c hi»n (cid:31)(cid:247)æc mºt c¡ch kh†o l†o thu“t to¡n cıa

Dijkstra (cid:31)” t…m mºt (ho(cid:176)c t§t c£) c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ng›n nh§t chuy”n (cid:31)(cid:190)a tł

mºt c(cid:229)c n(cid:160)y sang c(cid:229)c kh¡c tr¶n m¡y t‰nh nhanh nh§t hi»n nay, thu“t

to¡n n(cid:160)y v¤n kh(cid:230)ng cho mºt con (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng hœu hi»u t‰nh nghi»m cıa b(cid:160)i

to¡n v(cid:238)i sŁ l(cid:247)æng (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n. Ch(cid:247)(cid:236)ng tr…nh n(cid:160)y (cid:31)(cid:228)i h(cid:228)i nhi•u th(cid:237)i gian v(cid:160)

bº nh(cid:238) l(cid:238)n. Do (cid:31)(cid:226), th“m ch‰ c(cid:226) thu“t to¡n, ta v¤n kh(cid:230)ng th” bi‚t cƒn

bao nhi¶u lƒn chuy”n (cid:31)(cid:190)a m(cid:160) l(cid:237)i gi£i tŁi (cid:247)u (cid:31)Æi h(cid:228)i v(cid:160) c(cid:226) bao nhi¶u l(cid:237)i

gi£i tŁi (cid:247)u cho b(cid:160)i to¡n, th‰ d(cid:246), v(cid:238)i 1000 (cid:31)(cid:190)a v(cid:160) 10 c(cid:229)c. V… v“y, trÆ ch(cid:236)i

th¡p H(cid:160) Nºi li¶n quan v(cid:160) t¡c (cid:31)ºng m⁄nh m‡ (cid:31)‚n l‰ thuy‚t thu“t to¡n v(cid:160)

ngh» thu“t l“p tr…nh.

Mºt thu“t to¡n quan tr(cid:229)ng nh§t trong b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi, l(cid:160)

thu“t to¡n Frame-Sterwart v(cid:160) c¡c c£i bi¶n cıa n(cid:226), (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y

trong [4].

1.3.5 B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:160) mºt sŁ v§n (cid:31)• kh¡c

li¶n quan

C¡c nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c (cid:31)¢ ph¡t hi»n ra r‹ng Th¡p H(cid:160) Nºi c(cid:226) c(cid:242)ng b£n

ch§t v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n t…m (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng Hamilton (Hamilton Path) tr¶n mºt h…nh gi£ ph(cid:247)(cid:236)ng c§p n (n -Hypercube), mºt b(cid:160)i to¡n c(cid:244)ng r§t nŒi ti‚ng. Gƒn

(cid:31)¥y, nhi•u nghi¶n cøu cho th§y mŁi li¶n h» m“t thi‚t cıa b(cid:160)i to¡n th¡p

H(cid:160) Nºi v(cid:238)i c¡c b(cid:160)i to¡n kh¡c: l‰ thuy‚t nh(cid:226)m, c¥y, d¢y (cid:31)ﬂng c§u v(cid:160) d¢y

(cid:230)t(cid:230)m¡t, th£m Sierpinski v(cid:160) fractal,... (cid:30)i•u n(cid:160)y gæi (cid:254) nhi•u nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c

v(cid:160) tin h(cid:229)c c(cid:160)ng quan t¥m h(cid:236)n (cid:31)‚n b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi.

B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi th(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)(cid:247)æc d(cid:242)ng trong nghi¶n cøu t¥m l(cid:254)

v• c¡ch gi£i quy‚t v§n (cid:31)• (problem solving). C(cid:244)ng c(cid:226) nhœng bi‚n th”

kh¡c cıa b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y g(cid:229)i l(cid:160) Th¡p Lu¥n (cid:30)(cid:230)n (Tower of London) d(cid:242)ng

trong chu'n (cid:31)o¡n v(cid:160) (cid:31)i•u tr(cid:224) thƒn kinh t¥m l(cid:254) (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c chøc n«ng

th(cid:252)c h(cid:160)nh. Nhœng v§n (cid:31)• n(cid:160)y kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)• c“p trong lu“n v«n.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

C¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p gi£i b(cid:160)i to¡n

Th¡p H(cid:160) Nºi

2.1 TrÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:160) thu“t gi£i (cid:31)»

qui

Lu“t ch(cid:236)i cıa trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc qui (cid:31)(cid:224)nh rª trong t(cid:237)

h(cid:247)(cid:238)ng d¤n thø hai khi trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi (cid:31)(cid:247)æc phŒ bi‚n lƒn (cid:31)ƒu t⁄i

Paris n«m 1883 v(cid:238)i 8 (cid:31)(cid:190)a (xem Ch(cid:247)(cid:236)ng 1). Trong cuŁn s¡ch cıa minh, E.

Lucas c(cid:244)ng m(cid:230) t£ trÆ ch(cid:236)i g(cid:231)m 8 (cid:31)(cid:190)a ([22], trang 180-181). L(cid:237)i gi£i (cid:31)ƒu

ti¶n cıa b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)«ng tr¶n t⁄p ch‰ to¡n h(cid:229)c trong

b(cid:160)i b¡o cıa Allardice v(cid:160) Fraser (xem [8]). B(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i sŁ

(cid:31)(cid:190)a b§t k… th(cid:247)(cid:237)ng xuy¶n xu§t hi»n nh(cid:247) l(cid:160) mºt b(cid:160)i t“p c(cid:236) b£n trong c¡c

s¡ch v• to¡n r(cid:237)i r⁄c (xem, th‰ d(cid:246), [15]). D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y tr…nh b(cid:160)y thu“t gi£i

(cid:31)» qui cıa b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i ba c(cid:229)c v(cid:160) sŁ (cid:31)(cid:190)a b§t k….

B(cid:160)i to¡n

C(cid:226) n (cid:31)(cid:190)a k‰ch th(cid:247)(cid:238)c nh(cid:228) dƒn x‚p ch(cid:231)ng l¶n nhau tr¶n mºt c(cid:229)c (th(cid:247)(cid:237)ng

(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) c(cid:229)c ngu(cid:231)n, c(cid:229)c A, c(cid:229)c 0), (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n (cid:240) d(cid:247)(cid:238)i, (cid:31)(cid:190)a nh(cid:228) (cid:240) tr¶n. C¡c (cid:31)(cid:190)a th(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)¡nh sŁ tł 1 (cid:31)‚n n theo thø t(cid:252) tł tr¶n xuŁng d(cid:247)(cid:238)i.

Ngo(cid:160)i c(cid:229)c ngu(cid:231)n cÆn c(cid:226) hai c(cid:229)c trŁng kh¡c, (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) c(cid:229)c (cid:31)‰ch v(cid:160) c(cid:229)c

trung gian (th(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)(cid:247)æc g¡n nh¢n l(cid:160) c(cid:229)c B v(cid:160) c(cid:229)c C, c(cid:229)c 1 v(cid:160) c(cid:229)c 2).

H¢y chuy”n c¡c (cid:31)(cid:190)a n(cid:160)y tł c(cid:229)c ngu(cid:231)n sang c(cid:229)c (cid:31)‰ch (mºt trong hai c(cid:229)c

B ho(cid:176)c C) tu¥n theo hai qui t›c sau:

Qui t›c 1 : MØi lƒn ch¿ (cid:31)(cid:247)æc chuy”n mºt (cid:31)(cid:190)a tr¶n c(cid:242)ng tł c(cid:229)c n(cid:160)y sang

c(cid:229)c kh¡c v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc d(cid:242)ng c(cid:229)c thø ba l(cid:160)m c(cid:229)c trung gian.

Qui t›c 2 : Kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:247)æc x‚p (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n n‹m tr¶n (cid:31)(cid:190)a nh(cid:228).

Gi£i

Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ta x†t b(cid:160)i to¡n v(cid:238)i 1, 2, 3 (cid:31)(cid:190)a.

B(cid:160)i to¡n v(cid:238)i 1 (cid:31)(cid:190)a: ch¿ cƒn 1 lƒn chuy”n (H…nh 2.1)

Lƒn 1 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c C.

H…nh 2.1: L(cid:237)i gi£i b(cid:160)i to¡n v(cid:238)i 1 (cid:31)(cid:190)a

B(cid:160)i to¡n v(cid:238)i 2 (cid:31)(cid:190)a: ch¿ cƒn 3 lƒn chuy”n (H…nh 2.2)

Lƒn 1 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c B.

Lƒn 2 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 2 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c C.

Lƒn 3 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c C (l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a sŁ 2).

H…nh 2.2: L(cid:237)i gi£i b(cid:160)i to¡n v(cid:238)i 2 (cid:31)(cid:190)a

B(cid:160)i to¡n v(cid:238)i 3 (cid:31)(cid:190)a: cƒn 7 lƒn chuy”n (H…nh 2.3)

Hai (cid:31)(cid:190)a (cid:31)ƒu l(cid:160)m nh(cid:247) tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2 (cid:31)(cid:190)a (cid:240) tr¶n (ba lƒn chuy”n):

Lƒn 1 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c C.

Lƒn 2 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 2 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c B.

Lƒn 3 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c C sang c(cid:229)c B (l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a sŁ 2). C(cid:229)c C

trŁng.

Lƒn 4 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 3 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c C. C(cid:229)c A trŁng.

L⁄i chuy”n hai (cid:31)(cid:190)a (cid:31)ƒu tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c C (ba lƒn chuy”n):

Lƒn 5 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c A.

Lƒn 6 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 2 tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c C (ch(cid:231)ng l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a sŁ 3).

Lƒn 7 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c C (ch(cid:231)ng l¶n (cid:31)(cid:190)a sŁ 2).

H…nh 2.3: L(cid:237)i gi£i b(cid:160)i to¡n v(cid:238)i 3 (cid:31)(cid:190)a

B(cid:160)i to¡n v(cid:238)i 4 (cid:31)(cid:190)a: cƒn 15 lƒn chuy”n (H…nh 2.4).

Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ta gi£i b(cid:160)i to¡n ba c(cid:229)c (m§t 7 lƒn chuy”n):

H…nh 2.4: L(cid:237)i gi£i b(cid:160)i to¡n v(cid:238)i 4 (cid:31)(cid:190)a

Lƒn 1 (dÆng 2 cºt 1): Chuy”n (cid:31)(cid:190)a tr¶n c(cid:242)ng (sŁ 1) tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c C.

Lƒn 2 (dÆng 3 cºt 1): Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 2 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c B.

Lƒn 3 (dÆng 4 cºt 1): Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c C sang c(cid:229)c B (c(cid:229)c C trŁng).

Lƒn 4 (dÆng 5 cºt 1): Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 3 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c B.

Lƒn 5 (dÆng 6 cºt 1): Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c C sang c(cid:229)c A.

Lƒn 6 (dÆng 7 cºt 1): Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 2 tł c(cid:229)c C sang c(cid:229)c B (c(cid:229)c C trŁng).

Lƒn 7 (dÆng 8 cºt 1): Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c B.

Nh(cid:247) v“y, sau 7 lƒn chuy”n, b(cid:160)i to¡n v(cid:238)i 3 c(cid:229)c v(cid:160) 3 (cid:31)(cid:190)a (cid:31)¢ gi£i xong.

Lƒn 8 (dÆng 1 cºt 2): Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 4 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c C.

Ti‚p theo l⁄i gi£i b(cid:160)i to¡n ba c(cid:229)c: Chuy”n ba (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c

C (m§t th¶m 7 lƒn chuy”n):

Lƒn 9 (dÆng 2 cºt 2): Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c C.

Lƒn 10 (dÆng 3 cºt 2): Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 2 tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c A.

Lƒn 11 (dÆng 4 cºt 2): Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c C sang c(cid:229)c A.

Lƒn 12 (dÆng 5 cºt 2): Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 3 tł c(cid:229)c B sang C (c(cid:229)c B trŁng).

Lƒn 13 (dÆng 6 cºt 2): Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c B.

Lƒn 14 (dÆng 7 cºt 2): Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 2 tł c(cid:229)c A sang C (c(cid:229)c A trŁng).

Lƒn 15 (dÆng 8 cºt 2): Chuy”n (cid:31)(cid:190)a 1 tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c C (c(cid:229)c B trŁng).

TŒng cºng sau 15 lƒn chuy”n c¡c (cid:31)(cid:190)a n‹m tr¶n c(cid:229)c C.

Tł c¡c tr(cid:247)(cid:237)ng hæp ri¶ng tr¶n, ta (cid:31)i t(cid:238)i thu“t gi£i tŒng qu¡t cho b(cid:160)i

to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i ba c(cid:229)c v(cid:160) sŁ (cid:31)(cid:190)a n b§t k… nh(cid:247) sau.

Thu“t to¡n

Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ta gi£i b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi cho ba (cid:31)(cid:190)a:

Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c B; chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 2 tł c(cid:229)c A sang

c(cid:229)c C; chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c C. Khi §y (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 n‹m tr¶n

(cid:31)(cid:190)a sŁ 2. V“y ta (cid:31)¢ c(cid:226) hai (cid:31)(cid:190)a n‹m tr¶n c(cid:229)c C, c(cid:229)c B hi»n th(cid:237)i trŁng.

Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 3 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c B. L(cid:176)p l⁄i ba b(cid:247)(cid:238)c tr¶n (cid:31)” gi£i b(cid:160)i

to¡n cho hai (cid:31)(cid:190)a: chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 v(cid:160) (cid:31)(cid:190)a sŁ 2 cho n‹m l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a sŁ 3

tr¶n c(cid:229)c B.

Ti‚p t(cid:246)c l(cid:160)m nh(cid:247) v“y cho bŁn, n«m,. . . (cid:31)(cid:190)a. MØi lƒn d(cid:252)ng xong th¡p tł (cid:31)(cid:190)a thø k (cid:31)‚n (cid:31)(cid:190)a thø 1 (tr¶n c(cid:229)c B ho(cid:176)c c(cid:229)c C, mºt trong hai c(cid:229)c (cid:31)(cid:226) trŁng), ta chuy”n (cid:31)(cid:190)a thø k + 1 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c trŁng (c(cid:229)c C ho(cid:176)c

c(cid:229)c B), r(cid:231)i l⁄i di chuy”n th¡p (cid:31)¢ d(cid:252)ng l¶n (cid:31)(cid:190)a thø k + 1 (cid:31)” (cid:31)(cid:247)æc th¡p v(cid:238)i k + 1 (cid:31)(cid:190)a.

Nh(cid:247) v“y, khi (cid:31)¢ x¥y d(cid:252)ng xong th¡p thø k th… ta c(cid:244)ng d„ d(cid:160)ng x¥y d(cid:252)ng (cid:31)(cid:247)æc th¡p thø k + 1 sau khi chuy”n (cid:31)(cid:190)a thø k + 1 sang c(cid:229)c trŁng.

Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p tr¶n (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) thu“t gi£i (cid:31)» qui: (cid:30)” ti‚n h(cid:160)nh gi£i b(cid:160)i to¡n v(cid:238)i n + 1 (cid:31)(cid:190)a, ta ¡p d(cid:246)ng l⁄i thu“t gi£i b(cid:160)i to¡n v(cid:238)i n (cid:31)(cid:190)a. To(cid:160)n bº

qu¡ tr…nh l(cid:160) mºt sŁ hœu h⁄n c¡c b(cid:247)(cid:238)c, v… (cid:31)‚n mºt l(cid:243)c n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) thu“t gi£i s‡ (cid:31)(cid:247)æc ¡p d(cid:246)ng cho n = 1 . B(cid:247)(cid:238)c n(cid:160)y ch¿ (cid:31)(cid:236)n gi£n l(cid:160) chuy”n mºt (cid:31)(cid:190)a

duy nh§t tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c B.

Thu“t gi£i (cid:31)» qui b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi.

N‚u n = 1 ho(cid:176)c n = 2 th… b(cid:160)i to¡n gi£i (cid:31)(cid:247)æc ngay. Gi£ sß (cid:31)¢ bi‚t c¡ch gi£i b(cid:160)i to¡n v(cid:238)i n − 1 (cid:31)(cid:190)a. Gi£i b(cid:160)i to¡n cho n

(cid:31)(cid:190)a nh(cid:247) sau: 1. Chuy”n n − 1 (cid:31)(cid:190)a tr¶n c(cid:242)ng tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c B (theo gi£ thi‚t (cid:31)¢

bi‚t c¡ch gi£i). 2. Chuy”n (cid:31)(cid:190)a thø n (d(cid:247)(cid:238)i c(cid:242)ng tr¶n c(cid:229)c A) tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c C (B(cid:160)i

to¡n 1 (cid:31)(cid:190)a). 3. Chuy”n n − 1 (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c C (theo gi£ thi‚t (cid:31)¢ bi‚t c¡ch

gi£i).

Nh(cid:247) v“y, l(cid:237)i gi£i b(cid:160)i to¡n r§t (cid:31)(cid:236)n gi£n: gi£i b(cid:160)i to¡n n (cid:31)(cid:190)a (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a

v• b(cid:160)i to¡n n − 1 (cid:31)(cid:190)a v(cid:160) b(cid:160)i to¡n mºt (cid:31)(cid:190)a.

K‰ hi»u L(n) l(cid:160) sŁ lƒn chuy”n (cid:31)(cid:190)a tŁi (cid:247)u trong b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i n (cid:31)(cid:190)a v(cid:160) ba c(cid:229)c. Khi §y, (cid:31)” chuy”n n (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c C, tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ta ph£i chuy”n n − 1 (cid:31)(cid:190)a tr¶n c(cid:242)ng (c¡c (cid:31)(cid:190)a nh(cid:228)) tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c B, sau (cid:31)(cid:226) chuy”n (cid:31)(cid:190)a thø n tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c C. CuŁi c(cid:242)ng, l⁄i chuy”n n − 1 (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c C. Ta c(cid:226):

L(1) = 1; L(2) = 3; L(n) = L(n − 1) + 1 + L(n − 1) = 2L(n − 1) + 1. Theo qui n⁄p, ta d„ d(cid:160)ng chøng minh (cid:31)(cid:247)æc L(n) = 2n − 1. Theo c(cid:230)ng thøc n(cid:160)y, thu“t to¡n H(cid:160) Nºi l(cid:160) thu“t to¡n c(cid:226) th(cid:237)i gian m(cid:244).. Gi£ sß mØi

lƒn chuy”n 1 (cid:31)(cid:190)a h‚t th(cid:237)i gian 1 gi¥y. N‚u c(cid:226) 64 (cid:31)(cid:190)a th… th(cid:237)i gian chuy”n

h‚t 64 (cid:31)(cid:190)a l(cid:160)

264 − 1 = 18.446.744.073.703.551.615 gi¥y ≈ 5 t¿ n«m.

N‚u sß d(cid:246)ng m¡y t‰nh th(cid:252)c hi»n ch(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)» qui v(cid:238)i tŁc (cid:31)º 1

tri»u ph†p to¡n/gi¥y th… th(cid:237)i gian ch⁄y m¡y l(cid:160):

(264 − 1) : 1000000 ≈ 500000 n«m.

Nh(cid:247) v“y b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi, m(cid:176)c d(cid:242) c(cid:226) thu“t gi£i (cid:31)(cid:236)n gi£n v(cid:160) tŁi

(cid:247)u, nh(cid:247)ng kh(cid:230)ng gi£i (cid:31)(cid:247)æc trong th(cid:237)i gian th(cid:252)c..

Thu“t to¡n (cid:31)» qui gi£i b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi n¶u tr¶n l(cid:160) thu“t to¡n

tŁi (cid:247)u (sŁ lƒn chuy”n (cid:31)(cid:190)a ‰t nh§t). C(cid:226) l‡ kh(cid:230)ng ai ngh(cid:190) (cid:31)‚n vi»c chøng minh (cid:16)(cid:31)i•u hi”n nhi¶n(cid:17) l(cid:160) sŁ L(n) = 2n − 1 l(cid:160) sŁ b(cid:247)(cid:238)c chuy”n tŁi (cid:247)u (‰t nh§t). Ch¿ (cid:31)‚n n«m 1981, Derick Wood [33] m(cid:238)i ch¿ ra r‹ng L(n) = 2n−1 th“t s(cid:252) l(cid:160) sŁ b(cid:247)(cid:238)c chuy”n tŁi (cid:247)u v(cid:160) qui t›c chuy”n tŁi (cid:247)u (nh(cid:247) (cid:31)¢ tr…nh

b(cid:160)y (cid:240) tr¶n) l(cid:160) duy nh§t.

Ta cÆn c(cid:226) th” minh h(cid:229)a l(cid:237)i gi£i b(cid:160)i to¡n theo c¡ch kh¡c nh(cid:247) sau. Cho ba c(cid:229)c v(cid:160) n (cid:31)(cid:190)a. K‰ hi»u d¢y Si = {ak},i = 1, 2, ... l(cid:160) ch¿ sŁ cıa c¡c (cid:31)(cid:190)a cƒn ph£i chuy”n t⁄i b(cid:247)(cid:238)c thø k . D¢y Si = {ak} n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc x¥y d(cid:252)ng theo thu“t gi£i (cid:31)» qui (cid:31)(cid:236)n gi£n b›t (cid:31)ƒu v(cid:238)i S1 = {1} cho mºt (cid:31)(cid:190)a v(cid:160) theo c(cid:230)ng thøc truy h(cid:231)i Sn = {Sn−1, n, Sn−1}.

B£ng d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y ch¿ ra c¡ch x¥y d(cid:252)ng d¢y Sn cho c¡c gi¡ tr(cid:224) n = 1, 2, 3, 4. Ta th§y d¢y sŁ Sn c(cid:226) t‰nh ch§t (cid:31)Łi xøng v(cid:160) l(cid:231)ng nhau. SŁ (cid:240) giœa bao gi(cid:237) c(cid:244)ng l(cid:160) n, ch‰nh l(cid:160) sŁ (cid:31)(cid:190)a. D¢y Sn−1 l⁄i c(cid:226) sŁ (cid:240) giœa ch‰nh l(cid:160) n − 1. C¡c sŁ ai (nh“n gi¡ tr(cid:224) tł 1 (cid:31)‚n n) trong d¢y Sn t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i ch¿ sŁ cıa (cid:31)(cid:190)a (cid:31)(cid:247)æc chuy”n.

n Sn 1 1

2 1,2,1

3 1,2,1,3,1,2,1

4 1,2,1,3,1,2,1,4,1,2,1,3,1,2,1

2.2 Gi£i b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi b‹ng bi”u

di„n trong h» (cid:31)‚m c(cid:236) sŁ 2

B‹ng c¡ch chia cho 2, mºt sŁ t(cid:252) nhi¶n b§t k… c(cid:226) th” bi”u di„n d(cid:247)(cid:238)i

d⁄ng tŒng c¡c l(cid:244)y thła cıa 2 v(cid:238)i c¡c h» sŁ b‹ng 1 ho(cid:176)c 0. Th‰ d(cid:246)

2012 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 24 + 23 + 2 + 1

= 1.210 + 1.29 + 1.28 + 1.27 + 1.26 + 1.24 + 1.23 + 1.21 + 1.20

Nh(cid:247) v“y, n‚u ch(cid:229)n 2 l(cid:160)m c(cid:236) sŁ trong h» (cid:31)‚m c(cid:236) sŁ 2 th… m(cid:229)i sŁ t(cid:252)

nhi¶n (cid:31)•u c(cid:226) th” bi”u di„n d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng h» (cid:31)‚m c(cid:236) sŁ 2 v(cid:238)i c¡c h» sŁ 1 v(cid:160)

0. C¡c h» sŁ trong ph¥n t‰ch sŁ (cid:31)¢ cho d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng l(cid:244)y thła cıa 2 (cid:31)(cid:247)æc

g(cid:229)i l(cid:160) c¡c chœ sŁ cıa n(cid:226) v(cid:160) sŁ (cid:31)¢ cho (cid:31)(cid:247)æc bi”u di„n trong h» (cid:31)‚m theo

v(cid:224) tr‰, t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) trong h» (cid:31)‚m c(cid:236) sŁ 10. Th‰ d(cid:246) (ch¿ sŁ d(cid:247)(cid:238)i bi”u th(cid:224)

c(cid:236) sŁ):

201210 = 111110110112 = 11111011011.

Sau n(cid:160)y, (cid:31)” cho g(cid:229)n, ta s‡ kh(cid:230)ng vi‚t ch¿ sŁ c(cid:236) sŁ 2 d(cid:247)(cid:238)i sŁ (cid:31)¢ cho.

Ta c(cid:226) th” sß d(cid:246)ng h» (cid:31)‚m c(cid:236) sŁ 2 (cid:31)” gi£i b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi cho

ba c(cid:229)c v(cid:238)i n (cid:31)(cid:190)a nh(cid:247) sau.

(cid:30)” d„ hi”u, tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ta xem x†t tr(cid:247)(cid:237)ng hæp b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi

v(cid:238)i ba c(cid:229)c v(cid:160) hai, ba, bŁn (cid:31)(cid:190)a ho(cid:176)c n«m (cid:31)(cid:190)a.

Gi£i b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i hai (cid:31)(cid:190)a nh(cid:237) h» (cid:31)‚m c(cid:236) sŁ 2 B(cid:247)(cid:238)c 0 : Hai (cid:31)(cid:190)a (cid:240) c(cid:229)c A, k‰ hi»u l(cid:160) (00)2. B(cid:247)(cid:238)c 1 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c trŁng B, k‰ hi»u l(cid:160) (01)2. Chœ sŁ 1 (cid:240) cuŁi bi”u th(cid:224) (cid:31)(cid:190)a tr¶n c(cid:242)ng ((cid:31)(cid:190)a sŁ 1) (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chuy”n, (01)2 = 110. B(cid:247)(cid:238)c 2 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 2 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c trŁng C, hi»u l(cid:160) (10)2. Chœ sŁ 1 thø hai bi”u th(cid:224) (cid:31)(cid:190)a thø hai (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chuy”n sang c(cid:229)c C, (10)2 = 210 . Chœ sŁ 1 kh¡c chœ sŁ 0 bi”u th(cid:224) hai (cid:31)(cid:190)a (cid:240) hai c(cid:229)c kh¡c nhau (c(cid:229)c B v(cid:160)

c(cid:229)c C). B(cid:247)(cid:238)c 3 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c C, k‰ hi»u l(cid:160) (11)2.

Chœ sŁ 1 thø hai (b¶n tr¡i) bi”u th(cid:224) (cid:31)(cid:190)a thø hai (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chuy”n. Hai chœ

sŁ 1 bi”u th(cid:224) hai (cid:31)(cid:190)a (cid:240) tr¶n c(cid:242)ng mºt c(cid:229)c ((cid:31)(cid:190)a thø hai ch(cid:231)ng l¶n (cid:31)(cid:190)a thø nh§t, (11)2 = 310 ). Gi£i b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i ba (cid:31)(cid:190)a nh(cid:237) h» (cid:31)‚m c(cid:236) sŁ 2 B(cid:247)(cid:238)c 0 : Ba (cid:31)(cid:190)a (cid:240) c(cid:229)c A, k‰ hi»u l(cid:160) (000)2. B(cid:247)(cid:238)c 1 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c trŁng C, k‰ hi»u l(cid:160) (001)2. Chœ sŁ 1 (cid:240) v(cid:224) tr‰ thø nh§t (tł b¶n ph£i) bi”u th(cid:224) (cid:31)(cid:190)a tr¶n c(cid:242)ng ((cid:31)(cid:190)a sŁ 1) (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chuy”n tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c C, (001)2 = 110. B(cid:247)(cid:238)c 2 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 2 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c trŁng B, k‰ hi»u l(cid:160) (010)2. Chœ sŁ 1 (cid:240) v(cid:224) tr‰ thø hai bi”u th(cid:224) (cid:31)(cid:190)a thø hai (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chuy”n tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c B. Ba chœ sŁ 00, 01, 10 ((cid:240) b¶n ph£i) trong bi”u di„n (000)2, (001)2, (010)2 bi”u th(cid:224) ba (cid:31)(cid:190)a (cid:240) ba c(cid:229)c kh¡c nhau. B(cid:247)(cid:238)c 3 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c C sang c(cid:229)c B, k‰ hi»u l(cid:160) (011)2 . Chœ sŁ 1 (cid:240) v(cid:224) tr‰ thø nh§t (b¶n tr¡i, kh¡c v(cid:238)i chœ sŁ 0 trong (cid:240) b(cid:247)(cid:238)c 2) bi”u th(cid:224) (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chuy”n tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c C, (011)2 = 310. Ba chœ sŁ 0, 1, 1 bi”u th(cid:224) hai (cid:31)(cid:190)a nh(cid:228) (cid:240) tr¶n c(cid:242)ng c(cid:229)c B ((cid:31)(cid:190)a thø hai

ch(cid:231)ng l¶n (cid:31)(cid:190)a thø nh§t), (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n (cid:240) c(cid:229)c kh¡c (c(cid:229)c A). C(cid:229)c C trŁng. B(cid:247)(cid:238)c 4 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 3 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c C, k‰ hi»u l(cid:160) (100)2. Chœ sŁ 1 (cid:240) v(cid:224) tr‰ thø ba (tł b¶n ph£i, kh¡c v(cid:238)i chœ sŁ 0 trong (cid:240) b(cid:247)(cid:238)c 3) bi”u

th(cid:224) (cid:31)(cid:190)a sŁ 3 (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chuy”n. Ba chœ sŁ 1, 0, 0 bi”u th(cid:224) hai (cid:31)(cid:190)a nh(cid:228) (cid:240)

tr¶n c(cid:242)ng mºt c(cid:229)c B v(cid:160) kh(cid:230)ng chuy”n, (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n (cid:240) c(cid:229)c kh¡c (c(cid:229)c C). C(cid:229)c A trŁng, (100)2 = 410. B(cid:247)(cid:238)c 5 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c A, k‰ hi»u l(cid:160) (101)2. Chœ sŁ 1 (cid:240) v(cid:224) tr‰ thø nh§t (ngo(cid:160)i c(cid:242)ng b¶n tr¡i, kh¡c v(cid:238)i chœ sŁ 0 trong (cid:240) b(cid:247)(cid:238)c 4) bi”u th(cid:224) (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chuy”n sang c(cid:229)c thø nh§t, (101)2 = 510. B(cid:247)(cid:238)c 6 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 2 tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c C, k‰ hi»u l(cid:160) (110)2. Chœ sŁ 1 (cid:240) v(cid:224) tr‰ giœa (kh¡c sŁ 0 trong (101)2 (cid:240) B(cid:247)(cid:238)c 5) bi”u th(cid:224) (cid:31)(cid:190)a sŁ 2 (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chuy”n. B(cid:247)(cid:238)c 7 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a 1 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c C (ch(cid:231)ng l¶n (cid:31)(cid:190)a 2), k‰ hi»u l(cid:160) (111)2. K‚t th(cid:243)c. Th¡p m(cid:238)i (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc x¥y tr¶n c(cid:229)c C.

Gi£i b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i bŁn (cid:31)(cid:190)a nh(cid:237) h» (cid:31)‚m c(cid:236) sŁ 2

SŁ lƒn chuy”n cƒn thi‚t trong b(cid:160)i to¡n ba c(cid:229)c v(cid:238)i bŁn (cid:31)(cid:190)a l(cid:160) 24 − 1 = 15. K‰ hi»u c¡c c(cid:229)c l(cid:160) c(cid:229)c A (c(cid:229)c ngu(cid:231)n chøa 4 (cid:31)(cid:190)a), c(cid:229)c B l(cid:160) c(cid:229)c trung

gian v(cid:160) c(cid:229)c C l(cid:160) c(cid:229)c (cid:31)‰ch, c¡c (cid:31)(cid:190)a l(cid:160) 1, 2, 3, 4 theo thø t(cid:252) tł nh(cid:228) (cid:31)‚n

l(cid:238)n. Bi”u th(cid:224) vi tr‰ ban (cid:31)ƒu, khi t§t c£ bŁn (cid:31)(cid:190)a (cid:240) c(cid:229)c A l(cid:160) sŁ (000)2 c(cid:226) bŁn chœ sŁ 0 . B(cid:247)(cid:238)c 1 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c trŁng B, k‰ hi»u l(cid:160) (0001)2. SŁ 1 b¶n tr¡i bi”u th(cid:224) (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tr¶n c(cid:242)ng (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chuy”n (sang c(cid:229)c trŁng

B). B(cid:247)(cid:238)c 2 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 2 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c trŁng C, k‰ hi»u b(cid:240)i (0010)2. SŁ 1 (cid:240) v(cid:224) tr‰ thø hai (t‰nh tł b¶n ph£i) bi”u th(cid:224) (cid:31)(cid:190)a sŁ 2 (cid:31)(cid:247)æc chuy”n

(sang c(cid:229)c trŁng C). Hai chœ sŁ 1 v(cid:160) 0 (cid:240) v(cid:224) tr‰ cuŁi bi”u th(cid:224) hai (cid:31)(cid:190)a (cid:31)(cid:247)æc

(cid:31)(cid:176)t l¶n hai c(cid:229)c kh¡c nhau. B(cid:247)(cid:238)c 3 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c C, k‰ hi»u b(cid:240)i (0011)2. C(cid:229)c B trŁng. SŁ (0010)2 (cid:240) b(cid:247)(cid:238)c tr¶n tr(cid:240) th(cid:160)nh sŁ (0011)2, bi”u th(cid:224) (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chuy”n. Hai sŁ 11 cuŁi c(cid:242)ng bi”u th(cid:224) (cid:31)(cid:190)a 1 (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t ch(cid:231)ng l¶n (cid:31)(cid:190)a sŁ 2

tr¶n c(cid:229)c C. B(cid:247)(cid:238)c 4 : Chuy”n (cid:31)(cid:190)a sŁ 3 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c trŁng B, k‰ hi»u b(cid:240)i (0100)2. SŁ 1 (cid:240) v(cid:224) tr‰ thø ba (kh¡c v(cid:238)i sŁ 0 trong (0011)2 (cid:240) B(cid:247)(cid:238)c 3) bi”u th(cid:224) (cid:31)(cid:190)a sŁ 3 (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chuy”n. Ba sŁ 100 (cid:240) v(cid:224) tr‰ cuŁi c(cid:242)ng bi”u th(cid:224) (cid:31)(cid:190)a sŁ 3 kh(cid:230)ng

n‹m tr¶n c(cid:242)ng c(cid:229)c v(cid:238)i hai (cid:31)(cid:190)a (cid:31)ƒu ti¶n. B(cid:247)(cid:238)c 5 : (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c C sang c(cid:229)c A, k‰ hi»u b(cid:240)i (0101)2. Tł (0100)2 (cid:240) B(cid:247)(cid:238)c 4 th(cid:160)nh (0101)2 bi”u th(cid:224) (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chuy”n. Ba sŁ 101 cuŁi c(cid:242)ng bi”u th(cid:224) ba (cid:31)(cid:190)a nh(cid:228) nh§t (cid:240) tr¶n ba c(cid:229)c kh¡c nhau. B(cid:247)(cid:238)c 6 : (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a sŁ 2 tł c(cid:229)c C sang c(cid:229)c B, k‰ hi»u b(cid:240)i (0110)2. C(cid:229)c C trŁng. Ba sŁ 110 cuŁi c(cid:242)ng bi”u th(cid:224) hai (cid:31)(cid:190)a sŁ ba v(cid:160) sŁ 2 tr¶n c(cid:242)ng mºt

c(cid:229)c. B(cid:247)(cid:238)c 7 : (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c B, k‰ hi»u b(cid:240)i (0111)2. Ba sŁ 111 (cid:240) v(cid:224) tr‰ cuŁi c(cid:242)ng bi”u th(cid:224) ba (cid:31)(cid:190)a tr¶n c(cid:242)ng mºt c(cid:229)c (c(cid:229)c B). Nh(cid:247)

v“y ta (cid:31)¢ gi£i xong b(cid:160)i to¡n ba (cid:31)(cid:190)a.

B(cid:247)(cid:238)c 8 : (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a sŁ 4 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c C, k‰ hi»u b(cid:240)i (1000)2. C(cid:229)c A trŁng. SŁ 1000 bi”u th(cid:224) (cid:31)(cid:190)a sŁ 4 kh(cid:230)ng tr¶n c(cid:242)ng c(cid:229)c v(cid:238)i ba (cid:31)(cid:190)a nh(cid:228). B(cid:247)(cid:238)c 9 : (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c C, k‰ hi»u b(cid:240)i (1001)2. SŁ 1001 bi”u th(cid:224) (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 v(cid:160) (cid:31)(cid:190)a sŁ 4 tr¶n c(cid:242)ng mºt c(cid:229)c. B(cid:247)(cid:238)c 10 : (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a sŁ 2 tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c A, k‰ hi»u b(cid:240)i (1010)2. B(cid:247)(cid:238)c 11 : (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c C sang c(cid:229)c A, k‰ hi»u b(cid:240)i (1011)2. B(cid:247)(cid:238)c 12 : (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a sŁ 3 tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c C, k‰ hi»u b(cid:240)i (1100)2. B(cid:247)(cid:238)c 13 : (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c B, k‰ hi»u b(cid:240)i (1101)2. B(cid:247)(cid:238)c 14 : (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a sŁ 2 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c C, k‰ hi»u b(cid:240)i (1110)2. B(cid:247)(cid:238)c 15 : (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c B sang c(cid:229)c C, k‰ hi»u b(cid:240)i (1111)2. Ba sŁ 111 (cid:240) v(cid:224) tr‰ cuŁi c(cid:242)ng bi”u th(cid:224) ba (cid:31)(cid:190)a c(cid:242)ng n‹m tr¶n mºt c(cid:229)c.

K‚t th(cid:243)c trÆ ch(cid:236)i.

Gi£i b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i n«m (cid:31)(cid:190)a nh(cid:237) h» (cid:31)‚m c(cid:236) sŁ 2 SŁ lƒn chuy”n cƒn thi‚t trong b(cid:160)i to¡n ba c(cid:229)c v(cid:238)i n«m (cid:31)(cid:190)a 25 − 1 = 31. K‰ hi»u c¡c c(cid:229)c l(cid:160) c(cid:229)c A (c(cid:229)c ngu(cid:231)n chøa 5 (cid:31)(cid:190)a), c(cid:229)c B l(cid:160) c(cid:229)c trung gian

v(cid:160) c(cid:229)c C l(cid:160) c(cid:229)c (cid:31)‰ch, c¡c (cid:31)(cid:190)a l(cid:160) 1, 2, 3, 4, 5 theo thø t(cid:252) tł nh(cid:228) (cid:31)‚n l(cid:238)n.

K‚t lu“n

C¡c v‰ d(cid:246) tr¶n (b(cid:160)i to¡n ba c(cid:229)c v(cid:238)i bŁn ho(cid:176)c v(cid:238)i n«m (cid:31)(cid:190)a) cho th§y:

C¡c v(cid:224) tr‰ (cid:31)(cid:190)a c(cid:226) th” ho(cid:160)n to(cid:160)n x¡c (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)(cid:247)æc tr(cid:252)c ti‚p tł bi”u di„n c(cid:236)

sŁ 2 cıa sŁ thø t(cid:252) di chuy”n (vi‚t trong h» (cid:31)‚m c(cid:236) sŁ 2 v(cid:238)i mºt chœ sŁ

cho mØi (cid:31)(cid:190)a), trong (cid:31)(cid:226) c¡c d¢y chœ sŁ 1 v(cid:160) c¡c d¢y chœ sŁ 0 t(cid:247)æng tr(cid:247)ng

cho c¡c d¢y c¡c (cid:31)(cid:190)a li•n nhau tr¶n c(cid:242)ng mºt c(cid:229)c, v(cid:160) mØi khi chœ sŁ c(cid:226)

thay (cid:31)Œi th… (cid:31)(cid:190)a k‚ ti‚p s‡ d(cid:237)i sang tr¡i hay ph£i mºt c(cid:229)c (hay chuy”n

sang c(cid:229)c ngo(cid:160)i c(cid:242)ng ph‰a (cid:31)Łi di»n). Ta c(cid:226) qui t›c sau:

D¢y bit (d¢y chœ sŁ trong c(cid:236) sŁ 2) (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:229)c tł tr¡i sang ph£i, v(cid:160) mØi

bit (mØi chœ sŁ) c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc sß d(cid:246)ng (cid:31)” x¡c (cid:31)(cid:224)nh v(cid:224) tr‰ cıa (cid:31)(cid:190)a t(cid:247)(cid:236)ng

øng.

Bit v(cid:238)i c(cid:242)ng gi¡ tr(cid:224) nh(cid:247) b(cid:247)(cid:238)c tr(cid:247)(cid:238)c c(cid:226) ngh(cid:190)a l(cid:160) (cid:31)(cid:190)a t(cid:247)(cid:236)ng øng (cid:31)(cid:247)æc

x‚p ch(cid:231)ng l¶n (cid:31)¿nh cıa (cid:31)(cid:190)a tr(cid:247)(cid:238)c tr¶n c(cid:242)ng mºt c(cid:229)c.

Bit v(cid:238)i gi¡ tr(cid:224) kh¡c tr(cid:247)(cid:238)c ngh(cid:190)a l(cid:160) (cid:31)(cid:190)a t(cid:247)(cid:236)ng øng c(cid:226) v(cid:224) tr‰ b¶n tr¡i

ho(cid:176)c b¶n ph£i cıa (cid:31)(cid:190)a tr(cid:247)(cid:238)c. (cid:30)” x¡c (cid:31)(cid:224)nh v(cid:224) tr‰ b¶n ph£i hay b¶n tr¡i ta

B(cid:247)(cid:238)c C(cid:236) sŁ 2 Gi£i th‰ch

1 00001 (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c trŁng B.

2 00010 (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a sŁ 1 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c trŁng C.

3 00011 (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a 1 tł c(cid:229)c B l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a 2 cıa C, c(cid:229)c B trŁng.

4 00100 (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a 3 tł c(cid:229)c A l¶n c(cid:229)c trŁng B.

5 00101 (cid:30)(cid:190)a 1 tł C sang A (KH˘NG ch(cid:231)ng l¶n (cid:31)(cid:190)a 3 cıa B).

6 00110 (cid:30)(cid:190)a 2 tł C l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a 3 cıa c(cid:229)c B (c(cid:229)c C trŁng).

7 00111 (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a 1 tł c(cid:229)c A l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a 2 cıa c(cid:229)c B.

8 01000 (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a 4 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c trŁng C.

9 01001 (cid:30)(cid:190)a 1 tł c(cid:229)c B l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a 4 cıa c(cid:229)c C.

10 01010 (cid:30)(cid:190)a 2 tł B sang A (KH˘NG ch(cid:231)ng l¶n (cid:31)(cid:190)a 4 cıa C).

11 01011 (cid:30)(cid:190)a 1 tł c(cid:229)c C l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a 2 cıa c(cid:229)c A.

12 01100 (cid:30)(cid:190)a 3 tł c(cid:229)c B l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a 4 cıa C (c(cid:229)c B trŁng).

13 01101 (cid:30)(cid:190)a 1 tł A sang B (KH˘NG ch(cid:231)ng l¶n (cid:31)(cid:190)a 3 cıa C).

14 01110 (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a 2 tł c(cid:229)c A l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a 3 cıa c(cid:229)c C.

15 01111 (cid:30)(cid:190)a 1 tł c(cid:229)c B l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a 2 cıa C (c(cid:229)c B trŁng).

16 10000 (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a 5 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c trŁng B (c(cid:229)c A trŁng).

ph£i theo qui t›c sau:

1) Gi£ thi‚t c(cid:229)c (cid:31)‰ch n‹m b¶n ph£i v(cid:160) c(cid:229)c ngu(cid:231)n n‹m b¶n tr¡i.

2) C(cid:244)ng gi£ thi‚t "wrapping" (bao b(cid:229)c): c(cid:229)c ph£i (cid:31)(cid:247)æc t‰nh nh(cid:247) l(cid:160) c(cid:229)c

(cid:16)tr¡i(cid:17) cıa c(cid:229)c tr¡i v(cid:160) ng(cid:247)æc l⁄i. 3) Gi£ sß k l(cid:160) sŁ (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t n‹m tr¶n c(cid:242)ng mºt c(cid:229)c nh(cid:247) l(cid:160) (cid:31)(cid:190)a (cid:31)ƒu ti¶n l(cid:238)n nh§t cıa n(cid:226) v(cid:160) th¶m 1 n‚u (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t tr¶n c(cid:229)c tr¡i. N‚u k chﬁn, (cid:31)(cid:190)a s‡ (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t tr¶n mºt c(cid:229)c b¶n tr¡i, n‚u k l·, (cid:31)(cid:190)a (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t l¶n

mºt c(cid:229)c b¶n ph£i.

Chœ sŁ (cid:240) v(cid:224) tr‰ (cid:31)ƒu (b¶n tr¡i) (cid:31)⁄i di»n cho (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t v(cid:160) n‚u l(cid:160)

chœ sŁ 0 th… c(cid:226) ngh(cid:190)a l(cid:160) (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t kh(cid:230)ng d(cid:237)i kh(cid:228)i c(cid:229)c xu§t ph¡t v(cid:160)

ng(cid:247)æc l⁄i. Chœ sŁ 1 tł b¶n ph£i cıa sŁ trong c(cid:236) sŁ 2 bi”u th(cid:224) (cid:31)(cid:190)a (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc

chuy”n. N‚u kh(cid:230)ng c(cid:226) chœ sŁ 1 n(cid:160)o kh¡c trong sŁ (cid:31)¢ cho trong c(cid:236) sŁ 2, tøc l(cid:160) sŁ c(cid:226) d⁄ng (000...01)2 , th… ngh(cid:190)a l(cid:160) (cid:31)(cid:190)a (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chuy”n tł c(cid:229)c A

17 10001 (cid:30)(cid:190)a 1 tł c(cid:229)c C sang A (KH˘NG ch(cid:231)ng l¶n (cid:31)(cid:190)a 5).

18 10010 (cid:30)(cid:190)a 2 tł c(cid:229)c C l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a 5 cıa c(cid:229)c B.

19 10011 (cid:30)(cid:190)a 1 tł c(cid:229)c A l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a 2 cıa B (c(cid:229)c A trŁng).

20 10100 (cid:30)(cid:190)a 3 tł c(cid:229)c C sang A (KH˘NG ch(cid:231)ng l¶n (cid:31)(cid:190)a 5).

21 10101 (cid:30)(cid:190)a 1 tł c(cid:229)c B sang C (KH˘NG ch(cid:231)ng l¶n (cid:31)(cid:190)a 3).

22 10110 (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a 2 tł c(cid:229)c B l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a 3 cıa c(cid:229)c A.

23 10111 (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a 1 tł c(cid:229)c C l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a 2 cıa c(cid:229)c A.

24 11000 (cid:30)(cid:190)a 4 tł c(cid:229)c C l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a 5 cıa c(cid:229)c B (C trŁng).

25 11001 (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a 1 tł c(cid:229)c A l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a 4 cıa c(cid:229)c B.

26 11010 (cid:30)(cid:190)a 2 tł c(cid:229)c A sang c(cid:229)c C (KH˘NG ch(cid:231)ng l¶n 4).

27 11011 (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a 1 tł c(cid:229)c B l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a 2 cıa c(cid:229)c C.

28 11100 (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a 3 tł c(cid:229)c A l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a 4 cıa B (A trŁng).

29 11101 (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a 1 tł c(cid:229)c C sang A (KH˘NG ch(cid:231)ng l¶n 3).

30 11110 (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a 2 tł c(cid:229)c C l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a 3 cıa c(cid:229)c B.

31 11111 (cid:30)(cid:247)a (cid:31)(cid:190)a 1 tł c(cid:229)c A l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a 2 cıa c(cid:229)c B.

sang c(cid:229)c trŁng. Chœ sŁ 1 thø hai tł b¶n ph£i bi”u th(cid:224) v(cid:224) tr‰ cıa c(cid:229)c m(cid:160)

(cid:31)(cid:190)a (cid:31)(cid:247)æc chuy”n (cid:31)‚n. N‚u kh(cid:230)ng c(cid:226) (cid:31)(cid:190)a n(cid:160)o ho(cid:176)c c(cid:226) mºt sŁ chﬁn c¡c chœ

sŁ 0 giœa hai chœ sŁ 1 (hai chœ sŁ 1 (cid:31)ƒu ti¶n tł b¶n ph£i), th… (cid:31)(cid:190)a (cid:31)(cid:247)æc

(cid:31)(cid:176)t l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a to h(cid:236)n n(cid:226). N‚u sŁ chœ sŁ 0 giœa hai chœ sŁ 1 l(cid:160) l· th…

ngh(cid:190)a l(cid:160) (cid:31)(cid:190)a (cid:31)ang chuy”n KH˘NG (cid:31)(cid:176)t l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a to h(cid:236)n (m(cid:160) (cid:31)(cid:176)t (cid:240) c(cid:229)c

kh¡c).

C¡c chœ sŁ 1 v(cid:160) 0 lu¥n phi¶n b¶n d(cid:247)(cid:238)i c¡c chœ sŁ cıa mºt b(cid:247)(cid:238)c

chuy”n cho ph†p bi‚t (cid:31)(cid:247)æc di chuy”n theo mºt chi•u khi n(cid:226) hæp v(cid:238)i chœ

sŁ cıa b(cid:247)(cid:238)c chuy”n t⁄i n(cid:236)i chœ sŁ thay (cid:31)Œi v(cid:160) theo chi•u kia khi n(cid:226) kh(cid:230)ng

hæp v(cid:238)i chœ sŁ cıa b(cid:247)(cid:238)c chuy”n.

Th‰ d(cid:246), v(cid:238)i sŁ (cid:31)(cid:190)a l(cid:160) 8: B(cid:247)(cid:238)c (00000000)2 : (cid:30)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t l(cid:160) 0, do (cid:31)(cid:226) n(cid:226) n‹m tr¶n c(cid:229)c tr¡i (c(cid:229)c ngu(cid:231)n). M(cid:229)i (cid:31)(cid:190)a kh¡c c(cid:244)ng l(cid:160) 0, do (cid:31)(cid:226) ch(cid:243)ng (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a

l(cid:238)n nh§t. V(cid:160) m(cid:229)i (cid:31)(cid:190)a (cid:31)•u n‹m tr¶n tr¶n c(cid:229)c ngu(cid:231)n.

B(cid:247)(cid:238)c (11011000)2 : (cid:30)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t l(cid:160) 1, do (cid:31)(cid:226) n(cid:226) n‹m tr¶n c(cid:229)c ph£i

(c(cid:229)c (cid:31)‰ch). (cid:30)(cid:190)a thø hai c(cid:244)ng l(cid:160) 1, do (cid:31)(cid:226) n(cid:226) n‹m tr¶n (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t, tr¶n

c(cid:229)c ph£i. (cid:30)(cid:190)a thø ba l(cid:160) 0, do (cid:31)(cid:226) n(cid:226) n‹m tr¶n c(cid:229)c kh¡c. B(cid:240)i v… 3 l(cid:160) sŁ l·

n¶n n(cid:226) n‹m tr¶n mºt c(cid:229)c ph‰a b¶n ph£i, ngh(cid:190)a l(cid:160) tr¶n c(cid:229)c tr¡i. (cid:30)(cid:190)a thø

t(cid:247) l(cid:160) 1 n¶n n(cid:226) n‹m tr¶n c(cid:229)c kh¡c. V… 4 l(cid:160) chﬁn n¶n n(cid:226) n‹m tr¶n mºt

c(cid:229)c v• b¶n tr¡i, ngh(cid:190)a l(cid:160) c(cid:229)c ph£i. (cid:30)(cid:190)a thø n«m c(cid:244)ng l(cid:160) 1, do (cid:31)(cid:226) n(cid:226) n‹m

b¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a thø t(cid:247), tr¶n c(cid:229)c ph£i. (cid:30)(cid:190)a thø 6 l(cid:160) 0, do (cid:31)(cid:226) n(cid:226) n‹m tr¶n

c(cid:229)c kh¡c. Do 6 l(cid:160) chﬁn n¶n (cid:31)(cid:190)a n‹m tr¶n c(cid:229)c v• b¶n tr¡i, ngh(cid:190)a l(cid:160) c(cid:229)c

giœa. (cid:30)(cid:190)a thø 7 v(cid:160) (cid:31)(cid:190)a thø 8 c(cid:244)ng l(cid:160) 0, do (cid:31)(cid:226) n(cid:226) n‹m tr¶n (cid:31)(cid:190)a sŁ 6, tr¶n

c(cid:229)c giœa.

B(cid:247)(cid:238)c (11111111)2: (cid:30)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t l(cid:160) 1, do (cid:31)(cid:226) n(cid:226) n‹m tr¶n c(cid:229)c ph£i (c(cid:229)c (cid:31)‰ch). M(cid:229)i (cid:31)(cid:190)a kh¡c c(cid:244)ng l(cid:160) 1, do (cid:31)(cid:226) ch(cid:243)ng (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t l¶n tr¶n (cid:31)(cid:190)a

l(cid:238)n nh§t. V“y m(cid:229)i (cid:31)(cid:190)a n‹m tr¶n c(cid:229)c (cid:31)‰ch v(cid:160) trÆ ch(cid:236)i k‚t th(cid:243)c.

Nh(cid:247) v“y, c(cid:226) th” gi£i b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi nh(cid:237) sß d(cid:246)ng h» (cid:31)‚m c(cid:236)

sŁ 2.

2.3 (cid:30)(cid:231) th(cid:224) H(cid:160) Nºi

2.3.1 (cid:30)(cid:231) th(cid:224) H(cid:160) Nºi

Ng(cid:247)(cid:237)i b›t (cid:31)ƒu ch(cid:236)i TrÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi th(cid:247)(cid:237)ng r§t hay b(cid:224) m›c

lØi trong khi chuy”n c¡c (cid:31)(cid:190)a tł c(cid:229)c ngu(cid:231)n sang c(cid:229)c (cid:31)‰ch (b(cid:247)(cid:238)c chuy”n

sai, l(cid:176)p l⁄i c¡c b(cid:247)(cid:238)c (cid:31)¢ chuy”n,...). (cid:30)i•u n(cid:160)y d¤n (cid:31)‚n l(cid:237)i gi£i kh(cid:230)ng tŁi

(cid:247)u. Quan s¡t n(cid:160)y d¤n (cid:31)‚n mºt lo⁄t nhœng c¥u h(cid:228)i th(cid:243) v(cid:224): C¡c c§u h…nh

n(cid:160)o cıa c¡c (cid:31)(cid:190)a c(cid:226) th” nh“n (cid:31)(cid:247)æc tł c§u h…nh ban (cid:31)ƒu sau mºt sŁ b(cid:247)(cid:238)c

chuy”n hæp l»? C(cid:226) c¡ch n(cid:160)o hœu hi»u (cid:31)” nh“n bi‚t c§u h…nh (cid:31)ang x†t

l(cid:160) mºt trong c¡c c§u h…nh n‹m tr¶n con (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng tŁi (cid:247)u chuy”n c¡c (cid:31)(cid:190)a tł

c(cid:229)c ngu(cid:231)n sang c(cid:229)c (cid:31)‰ch? C(cid:226) thu“t to¡n x¡c (cid:31)(cid:224)nh c¡c b(cid:247)(cid:238)c chuy”n tŁi

(cid:247)u tł mºt c§u h…nh hæp l» b§t k… v• c(cid:229)c (cid:31)‰ch ho(cid:176)c v• mºt c§u h…nh hæp

l» kh¡c?

(cid:30)” gi£i c¡c b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y, ta s‡ sß d(cid:246)ng ng(cid:230)n ngœ (cid:31)(cid:231) th(cid:224). Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p

(cid:31)(cid:231) th(cid:224) gi£i b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi (cid:31)(cid:247)æc nghi¶n cøu t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi c(cid:236) b£n v(cid:160)

chi ti‚t trong [24]. M(cid:246)c n(cid:160)y tr…nh b(cid:160)y nºi dung b(cid:160)i b¡o [24].

(cid:30)¡nh sŁ c¡c c(cid:229)c l(cid:160) 0, 1, 2 (ho(cid:176)c A, B, C) v(cid:160) c¡c (cid:31)(cid:190)a, b›t (cid:31)ƒu tł (cid:31)(cid:190)a nh(cid:228) nh§t, theo thø t(cid:252) l(cid:160) 0, 1, 2,...,n − 1. Mºt c¡ch s›p x‚p c¡c (cid:31)(cid:190)a tr¶n

ba c(cid:229)c (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt c§u h…nh. C§u h…nh (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) hæp l» n‚u kh(cid:230)ng

c(cid:226) (cid:31)(cid:190)a n(cid:160)o n‹m tr¶n (cid:31)(cid:190)a nh(cid:228) h(cid:236)n. Mºt c§u h…nh hæp l» s‡ t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i mºt chuØi n - bit tn−1...t1t0 c(cid:236) sŁ 3, trong (cid:31)(cid:226) ti ∈ {0, 1, 2} v(cid:160) ti = j n‚u (cid:31)(cid:190)a i n‹m tr¶n c(cid:229)c j. (cid:30)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i bit b¶n tr¡i nh§t.

B(cid:240)i v… mºt t“p c¡c (cid:31)(cid:190)a c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t tr¶n c¡c c(cid:229)c ch¿ b(cid:240)i mºt c¡ch n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) v(cid:160) b(cid:240)i v… c(cid:226) t§t c£ 3n chuØi c(cid:236) sŁ 3 n¶n ta c(cid:244)ng c(cid:226) t§t c£ 3n c§u h…nh hæp l» trong b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i n (cid:31)(cid:190)a. T“p t§t c£ c¡c chuØi n - bit c(cid:236) sŁ 3 t⁄o th(cid:160)nh mºt kh(cid:230)ng gian vect(cid:236) Vn tr¶n Z3 v(cid:238)i ph†p to¡n nh¥n v(cid:238)i sŁ th(cid:252)c v(cid:160) ph†p cºng bit modulo 3. Ta s‡ khai th¡c c§u tr(cid:243)c cıa kh(cid:230)ng gian vect(cid:236) n chi•u n(cid:160)y th(cid:230)ng qua (cid:31)(cid:231)ng ph(cid:230)i cıa n(cid:226) v(cid:238)i Zn 3 .

B¥y gi(cid:237), ta x¥y d(cid:252)ng (cid:31)(cid:231) th(cid:224) Hn v(cid:238)i c¡c (cid:31)¿nh (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)¡nh sŁ b(cid:240)i chuØi n - bit c(cid:236) sŁ 3 t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i c¡c c§u h…nh hæp l» trong Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i n (cid:31)(cid:190)a m(cid:160) hai (cid:31)¿nh (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) k• nhau n‚u mºt (cid:31)¿nh c(cid:226) th” nh“n (cid:31)(cid:247)æc tł mºt (cid:31)¿nh kh¡c b(cid:240)i mºt ph†p chuy”n hæp l». (cid:30)(cid:231) th(cid:224) Hn ((cid:31)(cid:247)æc lƒn (cid:31)ƒu ti¶n nghi¶n cøu trong [25]) cÆn (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)(cid:231) th(cid:224) kh(cid:230)ng gian tr⁄ng th¡i.

Ta s‡ g(cid:229)i (cid:31)(cid:231) th(cid:224) n(cid:160)y l(cid:160) (cid:30)(cid:231) th(cid:224) H(cid:160) Nºi (Hanoi graph).

H…nh 2.5: (cid:30)(cid:231) th(cid:224) H(cid:160) nºi H3

Tr(cid:247)(cid:238)c khi kh£o s¡t mºt sŁ t‰nh ch§t cıa (cid:31)(cid:231) th(cid:224) Hn ta cƒn mºt sŁ k‰ hi»u v(cid:160) th(cid:228)a thu“n. Ta s‡ (cid:31)(cid:231)ng nh§t (cid:31)¿nh v(cid:238)i nh¢n cıa n(cid:226). C¡c chuØi h‹ng 00..0, 11...1, v(cid:160) 22...2 v(cid:238)i k - bit (cid:31)(cid:231)ng nh§t s‡ (cid:31)(cid:247)æc k‰ hi»u t(cid:247)(cid:236)ng øng l(cid:160) 0k, 1k v(cid:160) 2k. N‚u k = n th… ta vi‚t (cid:31)(cid:236)n gi£n l(cid:160) 0, 1, 2. Ta c(cid:244)ng s‡ g(cid:229)i c¡c (cid:31)¿nh n(cid:160)y l(cid:160) c¡c (cid:31)¿nh g(cid:226)c. MØi (cid:31)¿nh n(cid:160)y t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i mºt c§u

h…nh ho(cid:160)n h£o cıa Th¡p H(cid:160) Nºi: T§t c£ c¡c (cid:31)(cid:190)a (cid:31)•u n‹m tr¶n mºt c(cid:229)c

theo (cid:31)(cid:243)ng thø t(cid:252). (cid:30)” cho ti»n, th¿nh tho£ng ta c(cid:244)ng b(cid:228) (cid:31)i nhœng sŁ 0

(cid:31)øng (cid:31)‹ng tr(cid:247)(cid:238)c trong chuØi. Th‰ d(cid:246), 00012 ta s‡ vi‚t (cid:31)(cid:236)n gi£n l(cid:160) 12 n‚u ta bi‚t n = 5. V(cid:238)i i ∈ {0, 1, 2} ta s‡ k‰ hi»u [i] l(cid:160) t“p t§t c£ c¡c (cid:31)¿nh/c¡c chuØi m(cid:160) bit (cid:31)ƒu ti¶n (bit (cid:240) v(cid:224) tr‰ tr¡i nh§t) l(cid:160) i. Ngh(cid:190)a l(cid:160), [i] l(cid:160) t“p t§t

c£ c¡c (cid:31)¿nh m(cid:160) c§u h…nh t(cid:247)(cid:236)ng øng cıa Th¡p H(cid:160) Nºi c(cid:226) (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t n‹m tr¶n c(cid:229)c thø i.

H…nh 2.6: C¡c khŁi cıa H3

Ta c(cid:244)ng s‡ k‰ hi»u [0],[1],[2] nh(cid:247) l(cid:160) nhœng khŁi cıa Hn v(cid:160) (cid:31)” cho ti»n, ta s‡ v‡ c¡c khŁi n(cid:160)y theo chi•u kim (cid:31)(cid:231)ng h(cid:231) (xem H…nh 2.6 v(cid:238)i n = 3). Ta th§y r‹ng, mØi khŁi cıa (cid:31)(cid:231) th(cid:224) Hn (cid:31)(cid:231)ng ph(cid:230)i v(cid:238)i Hn−1 v(cid:160) ch¿ c(cid:226) duy nh§t mºt c⁄nh nŁi c¡c khŁi ph¥n bi»t. Th‰ d(cid:246), c⁄nh duy nh§t nŁi khŁi [1] v(cid:160) khŁi [2] l(cid:160) c⁄nh nŁi (cid:31)¿nh 10n−1 v(cid:238)i (cid:31)¿nh 10n−1 (xem H…nh 2.5 cho n = 3 ). (cid:30)i•u n(cid:160)y ph(cid:242) hæp v(cid:238)i th(cid:252)c t‚ l(cid:160) ch¿ c(cid:226) mºt con (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng duy

nh§t chuy”n (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t khi t§t c£ c¡c (cid:31)(cid:190)a nh(cid:228) h(cid:236)n (cid:31)¢ n‹m tr¶n mºt c(cid:229)c kh¡c. Nh“n x†t n(cid:160)y ch¿ ra r‹ng Hn c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc x¥y d(cid:252)ng theo thu“t to¡n h(cid:231)i qui v(cid:160) cho ph†p ch(cid:243)ng ta chøng minh r§t nhi•u t‰nh ch§t c(cid:236)

b£n cıa n(cid:226) nh(cid:237) ph†p qui n⁄p to¡n h(cid:229)c.

Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ta s‡ xem x†t mºt sŁ t‰nh ch§t cıa (cid:31)(cid:231) th(cid:224) kh(cid:230)ng d¡n

nh¢n. Ta nh›c l⁄i r‹ng mºt (cid:31)(cid:231) th(cid:224) l(cid:160) 2-li¶n th(cid:230)ng n‚u t(cid:231)n t⁄i tŁi thi”u

hai (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng kh¡c nhau nŁi hai (cid:31)¿nh kh¡c nhau. (cid:30)(cid:247)(cid:237)ng k‰nh cıa (cid:31)(cid:231) th(cid:224) l(cid:160)

kho£ng c¡ch l(cid:238)n nh§t giœa hai (cid:31)¿nh.

M»nh (cid:31)• 2.3.1. V(cid:238)i m(cid:229)i sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng n, Hn l(cid:160) (cid:31)(cid:231) th(cid:224) Hamilton phﬂng, 2-li¶n th(cid:230)ng b“c 3n v(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng k‰nh dn = 2n − 1 v(cid:238)i (cid:31)(cid:243)ng ba (cid:31)¿nh b“c hai v(cid:160) m(cid:229)i (cid:31)¿nh kh¡c b“c ba.

Do mØi khŁi cıa (cid:31)(cid:231) th(cid:224) Hn (cid:31)(cid:231)ng ph(cid:230)i v(cid:238)i Hn−1 n¶n nhi•u t‰nh ch§t cıa (cid:31)(cid:231) th(cid:224) Hn (cid:31)(cid:247)æc chøng minh nh(cid:237) qui n⁄p. Th‰ d(cid:246), v… Hn−1 l(cid:160) (cid:31)(cid:231) th(cid:224) phﬂng 2-li¶n th(cid:230)ng n¶n mØi khŁi cıa Hn c(cid:244)ng l(cid:160) (cid:31)(cid:231) th(cid:224) phﬂng 2-li¶n th(cid:230)ng. C¡c khŁi n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc nŁi v(cid:238)i nhau b(cid:240)i mºt c⁄nh duy nh§t n¶n Hn l(cid:160) (cid:31)(cid:231) th(cid:224) phﬂng, 2-li¶n th(cid:230)ng.

Nh“n x†t r‹ng (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng k‰nh cıa Hn b‹ng sŁ lƒn chuy”n l(cid:238)n nh§t trong d¢y chuy”n tŁi (cid:247)u giœa hai c§u h…nh hæp l» b§t k… trong Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i n (cid:31)(cid:190)a. (cid:30)¡nh gi¡ tr¶n 2n − 1 (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chøng minh trong [33]. C(cid:230)ng thøc L(n) = 2n − 1 cho th§y (cid:31)¡nh gi¡ tr¶n 2n − 1 l(cid:160) (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc. Do (cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng k‰nh cıa (cid:31)(cid:231) th(cid:224) l(cid:160) dn = 2n − 1.

(cid:30)” chøng minh Hn l(cid:160) (cid:31)(cid:231) th(cid:224) Hamilton, ta cƒn BŒ (cid:31)• sau.

BŒ (cid:31)• 2.3.1. V(cid:238)i m(cid:229)i sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng n, t(cid:231)n t⁄i (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)i Hamilton trong Hn giœa mØi c(cid:176)p (cid:31)¿nh g(cid:226)c ph¥n bi»t.

Chøng minh. Kh(cid:230)ng m§t t‰nh tŒng

qu¡t, ta c(cid:226) th” x†t hai c(cid:176)p (cid:31)¿nh g(cid:226)c

ph¥n bi»t l(cid:160) (cid:31)¿nh 0 v(cid:160) (cid:31)¿nh 1.

V(cid:238)i n = 1, k‚t qu£ l(cid:160) hi”n nhi¶n. Gi£ sß k‚t qu£ (cid:31)(cid:243)ng cho Hn−1 ta x†t (cid:31)(cid:231) th(cid:224) Hn. Do mØi khŁi cıa Hn l(cid:160) mºt b£n sao cıa Hn−1 n¶n theo qui n⁄p, trong khŁi [0], ta c(cid:226) th” t…m (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng Hamilton nŁi 0 = 00n−1 v(cid:238)i

(cid:30)(cid:247)(cid:237)ng Hamilton trong Hn nŁi 0 v(cid:160) 1

01n−1. Trong khŁi [2], ta c(cid:226) th” t…m (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng Hamilton nŁi 21n−1 v(cid:238)i 20n−1 v(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng Hamilton nŁi 10n−1 v(cid:238)i 11n−1 = 1 trong khŁi [1]. Gh†p ba (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng n(cid:160)y l⁄i v(cid:238)i nhau, ta (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng Hamilton cƒn t…m trong (cid:31)(cid:231) th(cid:224) Hn nŁi (cid:31)¿nh v(cid:238)i (cid:31)¿nh 0 v(cid:160) (cid:31)¿nh 1. Ho(cid:160)n to(cid:160)n t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) BŒ (cid:31)•, ta c(cid:226) th” chøng minh (cid:31)(cid:231) th(cid:224) Hn l(cid:160) (cid:31)(cid:231) th(cid:224) Hamilton: Theo BŒ (cid:31)•, trong khŁi [0], ta c(cid:226) th” x¥y d(cid:252)ng (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng Hamilton nŁi 01n−1 v(cid:238)i 02n−1. Trong khŁi [1], ta c(cid:226) th” t…m (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng Hamilton nŁi 12n−1 v(cid:238)i 10n−1 v(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng Hamilton nŁi 20n−1 v(cid:238)i 21n−1 trong khŁi [2]. Gh†p ba (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng n(cid:160)y l⁄i v(cid:238)i nhau, ta (cid:31)(cid:247)æc chu tr…nh Hamil- ton cƒn t…m trong (cid:31)(cid:231) th(cid:224) Hn.

2.3.2 T(cid:252) (cid:31)ﬂng c§u v(cid:160) (cid:31)Łi xøng

(cid:30)(cid:231) th(cid:224) H(cid:160) Nºi Hn c(cid:226) t‰nh ch§t (cid:31)Łi xøng b“c cao (m(cid:160) ta c(cid:226) th” v‡ v(cid:160) m(cid:230) t£ (cid:31)(cid:247)æc). H(cid:236)n nœa, n(cid:226) c(cid:244)ng c(cid:226) t‰nh (cid:31)Łi xøng b“c cao nh(cid:247) l(cid:160) mºt

(cid:31)Łi t(cid:247)æng h…nh h(cid:229)c. Ta c(cid:226) th” m(cid:230) t£ nhœng (cid:31)i•u n(cid:160)y mºt c¡ch hi”n qua

ng(cid:230)n ngœ c¡c (cid:31)¿nh d¡n nh¢n cıa (cid:31)(cid:231) th(cid:224).

C¡c t(cid:252) (cid:31)ﬂng c§u cıa Hn l(cid:160) c¡c song ¡nh b£o to(cid:160)n t‰nh li•n k• cıa (cid:31)(cid:231) th(cid:224) v(cid:160)o ch‰nh n(cid:226). D„ d(cid:160)ng th§y r‹ng ¡nh x⁄ n(cid:160)y ho(cid:160)n to(cid:160)n (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i t¡c (cid:31)ºng cıa n(cid:226) l¶n c¡c (cid:31)¿nh 0 v(cid:160) 1 = 0n−11. B(cid:240)i v… c(cid:226) ba £nh cıa 0 l(cid:160) 0, 1 v(cid:160) 2, v(cid:160) c(cid:226) hai kh£ n«ng £nh cıa 1 cho mØi £nh n(cid:160)y, n¶n ta c(cid:226) t§t c£ 6 t(cid:252) (cid:31)ﬂng c§u ph¥n bi»t cıa Hn. X¡c (cid:31)(cid:224)nh c¡c (cid:31)ﬂng c§u R v(cid:238)i R(0) = 1, R(0n−11) = 1n−12 v(cid:160) F v(cid:238)i F (0) = 0, F (1) = 2, d„ d(cid:160)ng ki”m tra (cid:31)(cid:247)æc RF (cid:54)= F R. Th“t v“y, ta c(cid:226) F R(0) = F (1) = 2, trong khi (cid:31)(cid:226) RF (0) = R(0) = 1. Do (cid:31)(cid:226) nh(cid:226)m c¡c t(cid:252) (cid:31)ﬂng c§u A(Hn) cıa Hn kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) nh(cid:226)m abel v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) A(Hn) ∼= D6 trong (cid:31)(cid:226) D6 l(cid:160) nh(cid:226)m (cid:31)Łi xøng b“c 6.

N‚u ta ¡nh x⁄ Hn l¶n m(cid:176)t phﬂng b‹ng c¡ch v‡ l(cid:247)(cid:238)i c¡c tam gi¡c (cid:31)•u, th… D6 t¡c (cid:31)ºng tr¶n Hn nh(cid:247) l(cid:160) nh(cid:226)m (cid:31)Łi xøng v(cid:238)i R l(cid:160) ph†p quay v(cid:160) F l(cid:160) ph†p ph£n x⁄. Rª r(cid:160)ng h(cid:236)n, n‚u x l(cid:160) (cid:31)¿nh cıa Hn v(cid:160) ta (cid:31)(cid:231)ng nh§t x v(cid:238)i nh¢n cıa n(cid:226), ta th§y r‹ng R(x) = 1 + x v(cid:160) F (x) = 2x (k‚t qu£ cıa

m(cid:229)i ph†p to¡n (cid:31)(cid:247)æc l§y theo ph†p t‰nh bit modulo 3, ho(cid:176)c t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng, l(cid:160) c¡c ph†p to¡n vect(cid:236) tr¶n Z3). Nh“n x†t r‹ng, theo ng(cid:230)n ngœ c§u h…nh trong b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi, R t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i c¡ch d¡n nh¢n quay vÆng cıa ba c(cid:229)c, trong khi (cid:31)(cid:226) F t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i s(cid:252) (cid:31)Œi chØ c¡c nh¢n tr¶n c(cid:229)c

cuŁi v(cid:160) c(cid:229)c trung gian.

(cid:30)(cid:231) th(cid:224) H(cid:160) Nºi l(cid:160) (cid:31)(cid:231) th(cid:224) d⁄ng (cid:16)(cid:31)Łi xøng tłng phƒn(cid:17), do (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) th” d(cid:224)ch chuy”n (cid:31)Łi xøng tr¶n tłng khŁi. B(cid:240)i v… mØi khŁi cıa Hn l(cid:160) mºt b£n sao cıa Hn−1, n¶n ta c(cid:226) th” ¡nh x⁄ mºt khŁi v(cid:160)o mºt khŁi kh¡c nh(cid:237) ph†p d(cid:224)ch chuy”n. Ph†p d(cid:224)ch chuy”n theo chi•u kim (cid:31)(cid:231)ng h(cid:231) nh“n (cid:31)(cid:247)æc nh(cid:237) ¡nh x⁄ T (x) = x + 12n−1, trong khi (cid:31)(cid:226) ¡nh x⁄ ng(cid:247)æc T −1(x) = x + 21n−1 cho chuy”n (cid:31)ºng ng(cid:247)æc kim (cid:31)(cid:231)ng h(cid:231). Ta s‡ chøng minh r‹ng T (v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) T −1 ) l(cid:160) ph†p b£o to(cid:160)n t‰nh gƒn k• tr¶n c¡c khŁi (xem BŒ (cid:31)• 2.3.3 d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y).

Nh(cid:247) v“y, ta (cid:31)¢ c(cid:226) c(cid:230)ng c(cid:246) (cid:31)(cid:231) th(cid:224) bi”u di„n b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi.

Nh(cid:247)ng l(cid:160)m c¡ch n(cid:160)o (cid:31)” gi£i c¡c b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi nh(cid:237) c(cid:230)ng c(cid:246) (cid:31)(cid:231)

th(cid:224) mºt c¡ch hi”n?

2.3.3 T(cid:247)(cid:236)ng øng Lucas

Khi n l(cid:238)n, Stewart (cid:31)¢ nh“n x†t r‹ng Hn tr(cid:240) th(cid:160)nh mºt fractal v(cid:238)i s(cid:252) t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) mºt c¡ch (cid:31)¡ng kinh ng⁄c v(cid:238)i th£m Sierpinski (Sierpi(cid:1)nski

gasket) v(cid:160) tam gi¡c Pascal modulo 2, t§t c£ ch(cid:243)ng (cid:31)•u c(cid:226) sŁ (cid:31)o fractal log2 3

r ≡ 1 (mod 2) (xem H…nh 2.7).

Ta s‡ x¡c (cid:31)(cid:224)nh mºt h(cid:229) (cid:31)(cid:231) th(cid:224) kh¡c nh(cid:247) sau: (cid:30)(cid:231) th(cid:224) Pn c(cid:226) c¡c (cid:31)¿nh t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i h» sŁ l· cıa nh(cid:224) thøc C k r , 0 ≤ n < 2n, 0 ≤ k ≤ r v(cid:238)i (cid:31)¿nh k• (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i sŁ k• (h(cid:160)ng ngang ho(cid:176)c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ch†o) trong tam gi¡c Pascal. (cid:30)¡nh d§u c¡c (cid:31)¿nh v(cid:238)i c(cid:176)p s›p thø t(cid:252) (r, k): (r, k) l(cid:160) (cid:31)¿nh n‚u C k

(cid:30)(cid:231) th(cid:224) Pn (cid:31)(cid:247)æc x¥y d(cid:252)ng mºt c¡ch ki‚n thi‚t tł ba b£n sao cıa Pn−1. Ch(cid:243)ng ta s‡ g(cid:229)i ba b£n sao n(cid:160)y l(cid:160) nhœng khŁi cıa Pn. Mºt c¡ch h…nh thøc, ba khŁi n(cid:160)y l(cid:160) c¡c (cid:31)(cid:231) th(cid:224) con cıa Pn (cid:31)(cid:247)æc t⁄o ra b(cid:240)i t“p c¡c (cid:31)¿nh

H…nh 2.7: Tam gi¡c Pascal v(cid:160) (cid:31)(cid:231) th(cid:224) P3

sau: { (r, k) | 0 ≤ r < 2n−1, 0 ≤ k ≤ r}, { (r, k) | 2n−1 ≤ r < 2n, 2n−1 ≤ k ≤ r}

v(cid:160)

{ (r, k) | 2n−1 ≤ r < 2n, 0 ≤ k ≤ r − 2n−1}.

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) Hn ta s‡ k‰ hi»u ba khŁi n(cid:160)y t(cid:247)(cid:236)ng øng l(cid:160) [0], [1], [2]. M(cid:176)c d(cid:242) ta sß d(cid:246)ng c(cid:242)ng mºt k‰ hi»u n(cid:160)y cho c¡c khŁi cıa c£ hai (cid:31)(cid:231) th(cid:224),

nh(cid:247)ng (cid:254) ngh(cid:190)a cıa mØi k‰ hi»u s‡ rª r(cid:160)ng trong tłng tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c(cid:246) th”. Ta c(cid:244)ng c(cid:226) th” x¡c (cid:31)(cid:224)nh ¡nh x⁄ chuy”n ˆT tr¶n c¡c khŁi cıa Pn. (cid:129)nh x⁄ chuy”n (cid:31)¿nh t(cid:238)i (cid:31)¿nh t(cid:247)(cid:236)ng øng trong khŁi ti‚p sau theo h(cid:247)(cid:238)ng c(cid:242)ng

chi•u kim (cid:31)(cid:231)ng h(cid:231). N(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

ˆT (r, k) = (2.1) n‚u (r, k) ∈ [1]

 (r + 2n−1, k + 2n−1) n‚u (r, k) ∈ [0]  (r, k − 2n−1)  (r − 2n−1, k) n‚u (r, k) ∈ [2].

D„ d(cid:160)ng ki”m tra (cid:31)(cid:247)æc r‹ng, ˆT c(cid:226) ¡nh x⁄ ng(cid:247)æc l(cid:160) ˆT −1 = ˆT 2 v(cid:160) ˆT

l(cid:160) ¡nh x⁄ b£o to(cid:160)n t‰nh gƒn k•.

Tł c¡c (cid:31)(cid:231) th(cid:224) cıa Hn v(cid:160) Pn cho nhœng gi¡ tr(cid:224) nh(cid:228) cıa n v(cid:160) tł nh“n x†t r‹ng, v(cid:238)i m(cid:229)i sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng n, Hn v(cid:160) Pn c(cid:226) 3n (cid:31)¿nh, gæi (cid:254) ta (cid:31)i (cid:31)‚n gi£ thuy‚t r‹ng Hn v(cid:160) Pn l(cid:160) nhœng (cid:31)(cid:231) th(cid:224) (cid:31)(cid:231)ng ph(cid:230)i. Ta s‡ chøng minh (cid:31)i•u n(cid:160)y. Tuy nhi¶n, tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ta (cid:31)(cid:247)a v(cid:160)o mºt sŁ k‰ hi»u sau.

V(cid:238)i i ≥ 0, k‰ hi»u αi l(cid:160) chuØi 12i trong c(cid:236) sŁ 3. Nh(cid:247) v“y, {αi |

i ≥ 0} = {1, 12, 122, 1222, ...}. V(cid:238)i mØi sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng cŁ (cid:31)(cid:224)nh n, (cid:31)(cid:176)t βi ≡ 2n+iαi (mod 3) v(cid:160) β = {βi | 0 ≤ i < n}, tøc l(cid:160)

  {1, 21, 122, ..., 21...1} khi n chﬁn β =

 {2, 12, 211, ..., 21...1} khi n l·.

Nh“n x†t r‹ng β l(cid:160) c(cid:236) s(cid:240) cıa kh(cid:230)ng gian vect(cid:236) Vn.

B¥y gi(cid:237) ch(cid:243)ng ta x¡c (cid:31)(cid:224)nh c¡c ¡nh x⁄ ρ v(cid:160) δ tł Vn v(cid:160)o {1, 2, ..., 2n−1} v(cid:160) ¡nh x⁄ λ tł Vn (cid:31)‚n Vn. B‹ng c¡ch (cid:31)(cid:231)ng nh§t (cid:31)¿nh cıa Hn v(cid:238)i nh¢n cıa n(cid:226) trong Vn, ta c(cid:226) th” coi nhœng ¡nh x⁄ n(cid:160)y l(cid:160) ¡nh x⁄ cıa V (Hn), t“p c¡c (cid:31)¿nh cıa Hn. (cid:30)(cid:243)ng ra ta ph£i vi‚t ρn, δn v(cid:160) λn nh(cid:247)ng (cid:31)” cho g(cid:229)n, ta s‡ ch¿ vi‚t ρ, δ v(cid:160) λ.

n−22n−2 + ... + a2 0. Ta nh“n th§y r‹ng a2 i ≡ 0 (mod 3) khi v(cid:160) ch¿ khi ai = 0 v(cid:160) trong c¡c tr(cid:247)(cid:237)ng hæp kh¡c (ai ∈ {1, 2}) th… a2 i ≡ 1 (mod 3). Do (cid:31)(cid:226) hi»u qu£ cıa vi»c sß d(cid:246)ng ρ ch‰nh l(cid:160) (cid:240) chØ: ta c(cid:226) th” thay th‚ c¡c chuØi trong c(cid:236) sŁ 3

ρ(a) = a2 V(cid:238)i a = an−1βn−1 + ... + a1β1 + a0β0, ai ∈ Z3. X¡c (cid:31)(cid:224)nh n−12n−1 + a2

b(cid:240)i chuØi trong c(cid:236) sŁ 2 (1 v(cid:160) 2 (cid:31)(cid:247)æc thay b(cid:240)i 1, 12 v(cid:160) 21 (cid:31)(cid:247)æc thay b(cid:240)i

10, 122 v(cid:160) 211 (cid:31)(cid:247)æc thay b(cid:240)i 100, v.v.) v(cid:160) khi §y gi¡ tr(cid:224) cıa k‚t qu£ s‡ l(cid:160) c¡c sŁ nguy¶n trong c(cid:236) sŁ 10. (cid:30)” d„ nh(cid:238), ρ(a) cho sŁ dÆng cıa (cid:31)¿nh a trong Hn v(cid:160) t‰nh (cid:31)(cid:247)æc tł dÆng 0 chøa (cid:31)¿nh g(cid:226)c 0.

X¡c (cid:31)(cid:224)nh

n−1βn−1 + a2

n−2βn−2 + ... + a2

0β0.

λ(a) = a2

Nh“n x†t r‹ng λ(a) cho k‚t qu£ l(cid:160) (cid:31)¿nh tr¡i nh§t tr¶n dÆng chøa a. B¥y gi(cid:237) ta x¡c (cid:31)(cid:224)nh δ(a) = ρ(a − λ(a)), trong (cid:31)(cid:226) ph†p thay th‚, (cid:31)” cho ti»n, (cid:31)(cid:247)æc bi‚n (cid:31)Œi trong Vn. N‚u ta ch§t Hn l¶n l(cid:247)(cid:238)i tam gi¡c th… δ(a) s‡ bi”u di„n s(cid:252) (cid:31)Œi chØ cıa a tł (cid:31)¿nh tr¡i nh§t (cid:31)(cid:226).

CuŁi c(cid:242)ng ta x¡c (cid:31)(cid:224)nh ϕ(a) = (ρ(a), δ(a)). Ta c(cid:226) th” chøng minh r‹ng ϕ l(cid:160) song ¡nh, b£o to(cid:160)n t…nh gƒn k• tł Hn v(cid:160)o Pn. N(cid:226)i c¡ch kh¡c, ta c(cid:226) (cid:30)(cid:224)nh l‰ sau.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.1. V(cid:238)i m(cid:229)i sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng n, ϕ : Hn → Pn l(cid:160) (cid:31)(cid:231)ng ph(cid:230)i giœa hai (cid:31)(cid:231) th(cid:224).

Ta s‡ ki‚n gi£i ϕ (c(cid:242)ng v(cid:238)i ngh(cid:224)ch (cid:31)£o cıa n(cid:226)) nh(cid:247) l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng øng

Lucas. Vi»c chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) mang (cid:31)‚n mºt s(cid:252) tr(cid:242)ng hæp th(cid:243) v(cid:224): (cid:30)” nghi¶n cøu Pn, ta s‡ sß d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l‰ Lucas v• c¡c h» sŁ nh(cid:224) thøc (cid:31)(cid:247)æc modulo theo sŁ nguy¶n tŁ, trong khi ch(cid:243)ng ta x¥y d(cid:252)ng Hn d(cid:252)a v(cid:160)o b(cid:160)i to¡n cıa "Gi¡o s(cid:247) Claus", t¶n gi£ cıa Lucas.

BŒ (cid:31)• 2.3.2. ((cid:30)(cid:224)nh l‰ Lucas) Gi£ sß p l(cid:160) sŁ nguy¶n tŁ v(cid:160) gi£ sß

(0 ≤ ri < p), (0 ≤ ki < p).

m (cid:81) i=0

(mod p). Khi §y : C k r = rmpm + rm−1pm−1 + ... + r1p + r0 k = kmpm + km−1pm−1 + ... + k1p + k0 r ≡ C ki ri

Ch(cid:243)ng ta ch¿ quan t¥m tr(cid:247)(cid:237)ng hæp p = 2 do (cid:31)(cid:226) ri, ki ∈ {0, 1} v(cid:238)i m(cid:229)i i. Nh(cid:247) mºt h» qu£ tr(cid:252)c ti‚p, ta th§y r‹ng C k r ≡ 1 (mod 2) n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u ki ≤ ri v(cid:238)i m(cid:229)i i. Nh(cid:247) v“y, ta c(cid:226) mºt k‚t qu£ quen thuºc l(cid:160), v(cid:238)i k b‹ng 2b(r) v(cid:238)i b(r) l(cid:160) sŁ c¡c mØi r cŁ (cid:31)(cid:224)nh, sŁ c¡c h» sŁ l· cıa h» thøc C r sŁ 1 trong bi”u di„n c(cid:236) sŁ 2 cıa r.

(cid:30)” chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) ta cƒn ba BŒ (cid:31)• ph(cid:246) sau.

BŒ (cid:31)• 2.3.3. T l(cid:160) ¡nh x⁄ b£o to(cid:160)n t‰nh li•n k• tr¶n c¡c khŁi.

Chøng minh. X†t a = tn−1tn−2....t1t0. Bit (cid:31)ƒu ti¶n tn−1 t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t v(cid:160) x¡c (cid:31)(cid:224)nh khŁi chøa a. B(cid:240)i v… T (a) = a + 12n−1 n¶n T t¡c (cid:31)ºng nh(cid:247) mºt ph†p quay R−1 tr¶n tn−2...t1t0. Nh(cid:247)ng R−1 l(cid:160) ¡nh x⁄ b£o to(cid:160)n t‰nh li•n k• tr¶n Hn−1 v(cid:160) trong ph⁄m vi khŁi cıa Hn, c¡c (cid:31)¿nh k• c(cid:242)ng c(cid:226) c¡c bit (cid:31)ƒu ti¶n nh(cid:247) nhau. (Trong ng(cid:230)n ngœ c§u h…nh cıa Th¡p H(cid:160) Nºi, T chuy”n (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t theo chi•u kim (cid:31)(cid:231)ng h(cid:231) v(cid:160) t§t c£ c¡c (cid:31)(cid:190)a

kh¡c ng(cid:247)æc chi•u kim (cid:31)(cid:231)ng h(cid:231). Do (cid:31)(cid:226) mºt c§u h…nh c(cid:226) th” nh“n (cid:31)(cid:247)æc tł

mºt c§u h…nh kh¡c b‹ng c¡ch chuy”n mºt (cid:31)(cid:190)a, kh¡c v(cid:238)i (cid:31)(cid:190)a l(cid:238)n nh§t khi

v(cid:160) ch¿ khi (cid:31)i•u t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) c(cid:244)ng (cid:31)(cid:243)ng cho c§u h…nh k‚t qu£ khi ta ¡p d(cid:246)ng ¡nh x⁄ T ). Do (cid:31)(cid:226) T l(cid:160) ¡nh x⁄ b£o to(cid:160)n t‰nh li•n k• tr¶n c¡c khŁi.

Ta n(cid:226)i ¡nh x⁄ σ : Hn → Pn l(cid:160) b£o to(cid:160)n khŁi n‚u a ∈ [i] v(cid:238)i m(cid:229)i

i ∈ {0, 1, 2} trong Hn khi v(cid:160) ch¿ khi σ(a) ∈ [i] trong Pn.

BŒ (cid:31)• 2.3.4. ϕ l(cid:160) ¡nh x⁄ b£o to(cid:160)n khŁi.

n−1 (cid:80) i=0

Chøng minh. Gi£ sß a = aiβi ∈ V (Hn).

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1. a ∈ [0] n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u an−1 = 0. Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y

i 2i ≤ 1 + 2 + 22 + ... + 2n−2 = 2n−1 − 1. a2

n−1 (cid:80) i=0

ρ(a) =

Do (cid:31)(cid:226) theo (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a ϕ(a) = (ρ(a), δ(a)) ∈ [0]. Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2. a ∈ [1] n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u an−1 = 2, do (cid:31)(cid:226) 2n−1 ≤ ρ(a) ≤ 2n−1. Ta c(cid:244)ng c(cid:226) λ(a)n−1 = 22 ≡ 1 (mod 3) v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) (a−λ(a))n−1 = 2−1 = 1. Suy ra δ(a) = ρ(a − λ(a)) ≥ 2n−1 v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) ϕ(a) ∈ [1]. Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 3. a ∈ [2] n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u an−1 = 1, do (cid:31)(cid:226) mºt lƒn nœa ch(cid:243)ng ta c(cid:226) 2n−1 ≤ ρ(a) ≤ 2n − 1. Nh(cid:247)ng (cid:240) (cid:31)¥y λ(a)n−1 = 12 ≡ 1 (mod 3) n¶n (a − λ(a))n−1 = 1 − 1 = 0. Suy ra δ(a) = ρ(a − λ(a)) < 2n−1 v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) ϕ(a) ∈ [2].

Ba khﬂng (cid:31)(cid:224)nh ng(cid:247)æc l⁄i d„ d(cid:160)ng suy ra ngay.

K‚t qu£ n(cid:160)y s‡ (cid:31)(cid:247)æc l(cid:160)m m⁄nh l¶n mºt c¡ch (cid:31)¡ng k” trong (cid:30)(cid:224)nh l‰ cıa ch(cid:243)ng ta, trong (cid:31)(cid:226) ta s‡ chøng minh r‹ng th“t ra ϕ l(cid:160) ¡nh x⁄ b£o to(cid:160)n t‰nh li•n k•. BŒ (cid:31)• sau (cid:31)¥y ch¿ ra r‹ng t(cid:247)(cid:236)ng øng Lucas ϕ l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng hæp v(cid:238)i ¡nh x⁄ chuy”n T v(cid:160) ˆT cıa Hn v(cid:160) Pn, t(cid:247)(cid:236)ng øng. (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a h…nh thøc cıa ˆT (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc cho trong (2.1).

BŒ (cid:31)• 2.3.5. ϕ ◦ T = ˆT ◦ ϕ.

n−1 (cid:80) i=0

Chøng minh. Gi£ sß a = aiβi ∈ V (Hn), ai ∈ Z3.

V(cid:160) gi£ sß a ∈ [0]. Khi §y, theo BŒ (cid:31)• 2.3.4, ϕ(a) ∈ [0] trong Pn v(cid:160) ta c(cid:226) ˆT ◦ ϕ(a) = ˆT (ρ(a), δ(a)) = (ρ(a) + 2n−1, δ(a) + 2n−1).

n−1 (cid:80) i=0

M(cid:176)t kh¡c, an−1 = 0 n¶n a + 12n−1 = a + 2βn−1 = aiβi + 2βn−1.

Do (cid:31)(cid:226)

i 2i = a2

i 2i + 2n−1 = ρ(a) + 2n−1. a2

n−1 (cid:80) i=0

n−2 (cid:80) i=0

ρ(a + 12n−1) =

Ta c(cid:244)ng c(cid:226)

n−1 (cid:80) i=0

n−2 (cid:80) i=0

λ(a + 12n−1) = a2 i βi = a2 i βi + βn−1 = λ(a) + βn−1.

Do (cid:31)(cid:226)

δ(a + 12n−1) = ρ((a + 12n−1) − λ(a + 12n−1))

= ρ((a + 2βn−1) − (λ(a) + βn−1))

= ρ(a − λ(a) + βn−1) = ρ(a − λ(a)) + 2n−1 = δ(a) + 2n−1.

V“y

ϕ ◦ T (a) = ϕ(a + 12n−1)

= (ρ(a + 12n−1), δ(a + 12n−1)) = (ρ(a) + 2n−1, δ(a) + 2n−1) = ˆT ◦ ϕ(a).

Chøng minh ho(cid:160)n to(cid:160)n t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp a ∈ [1] ho(cid:176)c a ∈

[2].

Chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l‰

Gi£ sß β l(cid:160) c(cid:236) s(cid:240) cıa Vn (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh nh(cid:247) tr¶n, v(cid:160) a ∈ V (Hn). Ta

vi‚t

a = an−1βn−1 + an−2βn−2 + .... + a0β0, ai ∈ Z3.

(cid:30)ƒu ti¶n ch(cid:243)ng ta ph£i chøng minh r‹ng ϕ(a) ∈ V (Pn).

Tł (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a λ, ta c(cid:226)

i ≡

(2.2) (mod 3) n‚u ai = λ(a)i = a2

 0  1  2  0  1  1

do (cid:31)(cid:226)

(2.3) n‚u ai = (a − λ(a))i = ai − (λ(a))i =

 0  1  2.  0  1  1

Khi (cid:31)(cid:226), do

n−1.2n−1 + a2

n−2.2n−2 + ... + a2 0

n−1)22n−1+(an−2−a2

n−2)22n−2+...+(a0−a2

0)2

ρ(a) = a2

v(cid:160) δ(a) = ρ(a−λ(a)) = (an−1−a2 n¶n theo (cid:30)(cid:224)nh l‰ Lucas, sß d(cid:246)ng (2.2) v(cid:160) (2.3) ta c(cid:226)

i=0

(cid:1) ≡ (cid:81)n−1 (cid:1) (mod 2) ≡ 1 (mod 2). (cid:0)ρ(a) δ(a) (cid:0) a2 i ai−a2 i

Nh(cid:247) v“y, ϕ(a) = (ρ(a), δ(a)) ∈ V (Pn).

(cid:30)” ch¿ ra r‹ng ϕ l(cid:160) ¡nh x⁄ 1-1, ta l§y a, b ∈ V (Hn), a (cid:54)= b.

n−1 (cid:80) i=0

Gi£ sß a = aiβi, b = biβi.

i 2i b2

i 2i = a2

n−1 (cid:80) i=0

0).

n−1b2

0) = (b2

n−2...a2

N‚u ρ(a) (cid:54)= ρ(b) th… ϕ(a) (cid:54)= ϕ(b) v(cid:160) ta c(cid:226) (cid:31)i•u ph£i chøng minh. Gi£ thi‚t r‹ng ρ(a) = ρ(b). Khi §y

j = 1 v(cid:160) (λ(b))j = b2

j = 0, trong khi (cid:31)(cid:226) (b − λ(b))j = bj − b2

(a2 i = b2

hay, trong bi”u di„n c(cid:236) sŁ 2 cıa ρ(a) v(cid:160) ρ(b) ta c(cid:226) n−2...b2 n−1a2 Tł (cid:31)¥y suy ra a2 i v(cid:238)i m(cid:229)i 1 ≤ i ≤ n − 1. Nh(cid:247) v“y, v(cid:238)i mØi i ho(cid:176)c ai = bi ho(cid:176)c ai = 2bi trong Z3. V… a (cid:54)= b n¶n t(cid:231)n t⁄i mºt ch¿ sŁ j sao cho aj (cid:54)= bj. Do (cid:31)(cid:226), (cid:31)Œi chØ a v(cid:160) b, n‚u cƒn thi‚t, ta c(cid:226) th” gi£ thi‚t r‹ng aj = 1 v(cid:160) bj = 2. V… (λ(a))j = a2 j = 1 n¶n (a − λ(a))j = aj − a2 j = 1. Nh(cid:247)ng ((a − λ(a))j)2 = 0 v(cid:160) ((b − λ(b))j)2 = 1 t(cid:247)(cid:236)ng øng ch‰nh l(cid:160) c¡c bit thø j trong bi”u di„n c(cid:236) sŁ 2 cıa δ(a) v(cid:160) δ(b) n¶n δ(a) (cid:54)= δ(b). V“y ϕ(a) (cid:54)= ϕ(b) hay ϕ l(cid:160) ¡nh x⁄ 1-1.

Do |V (Pn)| = |V (Hn)| = 3n theo nh“n x†t (cid:240) tr¶n n¶n ϕ l(cid:160) to(cid:160)n ¡nh. Nh(cid:247)ng ta c(cid:244)ng c(cid:226) th” chøng minh tr(cid:252)c ti‚p ϕ l(cid:160) to(cid:160)n ¡nh v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) ta

l⁄i nh“n (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)ﬂng thøc tr¶n nh(cid:247) mºt h» qu£.

r ≡ 1 (mod 2)) v(cid:160) gi£ sß

Gi£ sß (r, k) ∈ Pn (ngh(cid:190)a l(cid:160) C k

n−1 (cid:80) i=0

n−1 (cid:80) i=0 v(cid:238)i ri, ki ∈ {0, 1} , 0 ≤ i ≤ n − 1 v(cid:160) theo (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) Lucas,

k = r = ri2i, ki2i

r ≡ 1 (mod 2), 0 ≤ i ≤ n − 1. V(cid:238)i sŁ nguy¶n kh(cid:230)ng ¥m m v(cid:238)i bi”u di„n (mt...m1m0) trong c(cid:236) sŁ 2 ta x¡c (cid:31)(cid:224)nh

C k

t (cid:80) i=0

τ (m) = miβi.

(cid:30)(cid:176)t

n−1 (cid:80) i=0

a = τ (r) + τ (k) = (ri + ki)βi

trong (cid:31)(cid:226), nh(cid:247) th(cid:247)(cid:237)ng l», ph†p cºng (cid:31)(cid:247)æc hi”u theo ngh(cid:190)a cºng bit mod-

ulo 3.

Ta khﬂng (cid:31)(cid:224)nh r‹ng ϕ(a) = (r, k). (cid:30)ƒu ti¶n ta nh“n th§y r‹ng, theo

(cid:30)(cid:224)nh l‰ Lucas,

0   n‚u ri = 0 ki =  0 ho(cid:176)c 1 n‚u ri = 1.

Do (cid:31)(cid:226)

 0  n‚u ri = 0 ai = (ri + ki) =  1 ho(cid:176)c 2 n‚u ri = 1

n¶n

  0 n‚u ri = 0 a2 i =  1 n‚u ri = 1

i = ri. Chøng t(cid:228)

hay a2

i 2i = a2

n−1 (cid:80) i=0

ρ(a) = ri2i = r.

Ti‚p theo, ta nh“n th§y

n−1 (cid:80) i=0

λ(a) = riβi = τ (r). a2 i βi =

Do (cid:31)(cid:226), sß d(cid:246)ng (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa a ta c(cid:226)

ρ(a − λ(a)) = ρ(a − τ (r)) = ρ(τ (k)) = k. (cid:30)ﬂng thøc cuŁi suy ra tł nh“n x†t r‹ng ¡nh x⁄ hæp ρ ◦ τ l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:231)ng nh§t tr¶n t“p {1, 2, ..., 2n − 1}. Tł (cid:31)¥y ta c(cid:226)

ϕ(a) = (ρ(a), δ(a)) = (ρ(a), ρ(a − λ(a))) = (r, k).

Chøng t(cid:228) ϕ l(cid:160) to(cid:160)n ¡nh.

CuŁi c(cid:242)ng, ch(cid:243)ng ta cƒn ph£i chøng minh r‹ng ϕ l(cid:160) ¡nh x⁄ b£o to(cid:160)n t‰nh li•n k•. Ngh(cid:190)a l(cid:160) a li•n k• v(cid:238)i b trong Hn n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u ϕ(a) li•n k• v(cid:238)i ϕ(b) trong Pn. Ta s‡ chøng minh b‹ng qui n⁄p theo n. V(cid:238)i n = 1 khﬂng (cid:31)(cid:224)nh l(cid:160) hi”n nhi¶n. Gi£ thi‚t r‹ng khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i m(cid:229)i n < m. Ta s‡ chøng minh khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i n = m.

Gi£ sß a li•n k• v(cid:238)i b trong Hm. N‚u a v(cid:160) b n‹m trong c(cid:242)ng mºt khŁi th… ch(cid:243)ng l(cid:160) c¡c (cid:31)¿nh li•n k• trong b£n (cid:31)(cid:231)ng ph(cid:230)i cıa Hm−1. C(cid:246) th” h(cid:236)n, ta c(cid:226) T i(a) li•n k• v(cid:238)i T i(b) v(cid:238)i i ∈ {0, 1, 2} n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). Theo gi£ thi‚t qui n⁄p, ϕ(T i(a)) l(cid:160) li•n k• v(cid:238)i ϕ(T i)(b)) trong Pm−1. Theo BŒ (cid:31)• 2.3.5, ta c(cid:226) ˆT i ◦ ϕ(a) li•n k• v(cid:238)i ˆT i ◦ ϕ(a), nh(cid:247)ng do ˆT l(cid:160) ¡nh x⁄ b£o to(cid:160)n t‰nh li•n k•, ta suy ra ϕ(a) li•n k• v(cid:238)i ϕ(b) .

N‚u a v(cid:160) b n‹m trong hai khŁi kh¡c nhau nh(cid:247)ng ch(cid:243)ng li•n k•, th… ch¿ c(cid:226) th” c(cid:226) ba kh£ n«ng sau (cid:31)¥y: (a, b) l(cid:160) (01m−1, 21m−1), (02m−1, 12m−1) ho(cid:176)c (10m−1, 20m−1). Nh(cid:247)ng ta d„ d(cid:160)ng t‰nh tr(cid:252)c ti‚p (cid:31)(cid:247)æc r‹ng {ϕ(a), ϕ(b)} t(cid:247)(cid:236)ng øng l(cid:160)

{(2m−1 − 1, 0), (2m−1, 0)}, {(2m−1 − 1, 2m−1 − 1), (2m−1, 2m−1)}

ho(cid:176)c

{(2m−1 − 1, 2m−1 − 1), (2m − 1, 2m−1)}.

Nh(cid:247) v“y, rª r(cid:160)ng, ϕ(a) li•n k• v(cid:238)i ϕ(b) trong m(cid:229)i tr(cid:247)(cid:237)ng hæp.

B¥y gi(cid:237) ta gi£ sß r‹ng a v(cid:160) b kh(cid:230)ng li•n k•. N‚u ch(cid:243)ng n‹m tr¶n c(cid:242)ng mºt khŁi th…, theo qui n⁄p, t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) (cid:240) tr¶n, ϕ(a) kh(cid:230)ng li•n k• v(cid:238)i ϕ(b). M(cid:176)t kh¡c, n‚u a v(cid:160) b n‹m tr¶n c¡c khŁi kh¡c nhau cıa Hm th… theo BŒ (cid:31)• 3, ϕ(a) v(cid:160) ϕ(b) n‹m tr¶n c¡c khŁi kh¡c nhau cıa Pm .V… ϕ l(cid:160) ¡nh x⁄ 1-1 n¶n {ϕ(a), ϕ(b)} kh(cid:230)ng th” l(cid:160) mºt trong ba c(cid:176)p t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i c¡c c⁄nh nŁi c¡c khŁi. Do (cid:31)(cid:226) ϕ(a) v(cid:160) ϕ(b) c(cid:244)ng kh(cid:230)ng th” li•n

k• trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y.

(cid:30)(cid:224)nh l‰ (cid:31)(cid:247)æc chøng minh ho(cid:160)n to(cid:160)n.

T(cid:247)(cid:236)ng øng Lucas cho ph†p ch(cid:243)ng ta c(cid:226) c¡c th(cid:230)ng tin li¶n quan giœa Hn v(cid:160) Pn. D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) c¡c h» qu£ tr(cid:252)c ti‚p tł chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l‰ tr¶n.

H» qu£ 2.3.1. V(cid:238)i m(cid:229)i sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng n, |V (Pn)| = 3n.

H» qu£ 2.3.2. SŁ c§u h…nh hæp l» trong b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i kho£ng c¡ch tł tr⁄ng th¡i ho(cid:160)n h£o b‹ng r l(cid:160) 2b(r) trong (cid:31)(cid:226) b(r) l(cid:160) sŁ c¡c chœ sŁ 1 trong bi”u di„n c(cid:236) sŁ 2 cıa r.

Chøng minh. (cid:30)i•u n(cid:160)y suy ra tr(cid:252)c ti‚p tł c¡c b…nh lu“n sau (cid:30)(cid:224)nh l‰

Lucas v(cid:160) tł t‰nh ch§t (cid:31)Łi xøng (xem th¶m B(cid:160)i to¡n 1 d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y).

Ta c(cid:226) th” x¡c (cid:31)(cid:224)nh, khi n(cid:160)o th… mºt c§u h…nh (cid:31)¢ cho n‹m tr¶n d¢y

c¡c b(cid:247)(cid:238)c chuy”n duy nh§t giœa c¡c tr⁄ng th¡i ho(cid:160)n h£o. (cid:30)i•u n(cid:160)y c(cid:244)ng ch‰nh l(cid:160) b(cid:160)i to¡n x¡c (cid:31)(cid:224)nh khi n(cid:160)o (cid:31)¿nh (cid:31)¢ cho n‹m tr¶n (cid:16)bi¶n(cid:17) cıa Hn. Sß d(cid:246)ng t(cid:247)(cid:236)ng øng Lucas, b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y gƒn nh(cid:247) l(cid:160) tƒm th(cid:247)(cid:237)ng.

H» qu£ 2.3.3. Trong Hn (cid:31)¿nh a n‹m tr¶n (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ng›n nh§t giœa 0 v(cid:160) 2, 0 v(cid:160) 1, ho(cid:176)c 1 v(cid:160) 2 khi v(cid:160) ch¿ khi, δ(a) = 0, δ(a) = ρ(a) ho(cid:176)c ρ(a) = 2n − 1, t(cid:247)(cid:236)ng øng.

2.3.4 Gi£i b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi

R§t nhi•u b(cid:160)i to¡n trong TrÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi c(cid:226) th” ph¡t bi”u nh(cid:247) l(cid:160) c¡c b(cid:160)i to¡n t…m (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)i ng›n nh§t tr¶n (cid:31)(cid:231) th(cid:224) Hn. C¡c b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y c(cid:226) th” gi£i hi»u qu£ b‹ng c¡ch sß d(cid:246)ng t(cid:247)(cid:236)ng øng Lucas. Ta c(cid:244)ng c(cid:226) th”

sß d(cid:246)ng t‰nh (cid:31)Łi xøng cıa (cid:31)(cid:231) th(cid:224) H(cid:160) Nºi. Trong c¡c b(cid:160)i to¡n d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y, n‚u a v(cid:160) b l(cid:160) c¡c (cid:31)¿nh cıa (cid:31)(cid:231) th(cid:224) G, d(a, b) l(cid:160) kho£ng c¡ch tł a t(cid:238)i b ((cid:31)º d(cid:160)i (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ng›n nh§t tł a t(cid:238)i b trong G).

B(cid:160)i to¡n 1. B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i c§u h…nh b§t k…

B(cid:160)i to¡n t…m sŁ b(cid:247)(cid:238)c chuy”n ‰t nh§t cƒn thi‚t (cid:31)” chuy”n c¡c (cid:31)(cid:190)a tł

mºt c§u h…nh hæp l» b§t k… sang c(cid:229)c (cid:31)‰ch nh(cid:237) sß d(cid:246)ng c¡c qui t›c (cid:31)¢ cho.

Trong m(cid:230) h…nh cıa ch(cid:243)ng ta, (cid:31)i•u n(cid:160)y d¤n t(cid:238)i b(cid:160)i to¡n t…m c¡c kho£ng c¡ch d(a, 0), d(a, 1), ho(cid:176)c d(a, 2) v(cid:238)i a l(cid:160) mºt (cid:31)¿nh b§t k… cıa Hn.

B‹ng qui n⁄p, d„ d(cid:160)ng ch¿ ra r‹ng, trong Pn, m(cid:229)i (cid:31)¿nh kh¡c (cid:31)¿nh (0, 0) l(cid:160) (cid:31)¿nh k• v(cid:238)i (cid:31)¿nh trong h(cid:160)ng ph‰a tr¶n. Tł (cid:31)¥y suy ra r‹ng kho£ng c¡ch (cid:31)‚n (0, 0) tł mºt (cid:31)¿nh b§t k… trong h(cid:160)ng r b‹ng ch‰nh r.

Do (cid:31)(cid:226), sß d(cid:246)ng t(cid:247)(cid:236)ng øng Lucas, ta c(cid:226)

d(a, 0) = ρ(a)

v(cid:238)i m(cid:229)i (cid:31)¿nh a cıa Hn v(cid:160), sß d(cid:246)ng t‰nh (cid:31)Łi xøng, ta c(cid:226)

d(a, 1) = d(a + 2, 0) = ρ(a + 2), v(cid:160) d(a, 2) = d(a + 1, 0) = ρ(a + 1).

Ta c(cid:244)ng nh“n (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ng›n nh§t t(cid:247)(cid:236)ng øng trong mØi tr(cid:247)(cid:237)ng

hæp (ngh(cid:190)a l(cid:160), d¢y c¡c v(cid:224) tr‰ trung gian cıa Th¡p H(cid:160) Nºi giœa c§u h…nh ban (cid:31)ƒu v(cid:160) c§u h…nh (cid:31)‰ch). Ta b›t (cid:31)ƒu tł 0 tr¶n (cid:31)(cid:231) th(cid:224) Hn. Gi£ sß i thay (cid:31)Œi tł n − 1 (cid:31)‚n 0. Ta ki”m tra bi”u di„n c(cid:236) sŁ 2 cıa ρ(a) v(cid:160) δ(a). N‚u chœ sŁ thø i cıa ρ(a) l(cid:160) 1, th… ta bi‚t r‹ng, theo (cid:30)(cid:224)nh l‰ Lucas, chœ sŁ t(cid:247)(cid:236)ng øng cıa δ(a) l(cid:160) 0 ho(cid:176)c l(cid:160) 1: n‚u (cid:31)(cid:226) l(cid:160) sŁ 0 th… chuy”n 2i (cid:31)¿nh sang tr¡i, v(cid:160) n‚u l(cid:160) sŁ 1 th… chuy”n 2i (cid:31)¿nh sang ph£i (c¡c c⁄nh n‹m ngang kh(cid:230)ng sß d(cid:246)ng). Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ng›n nh§t tł 0 (cid:31)‚n a, (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ng(cid:247)æc

cıa n(cid:226) cho nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi tŒng qu¡t.

Th‰ d(cid:246) 1. X†t tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n = 5 v(cid:160) a = 20201. Ta t‰nh

20201 = 21111 + 2111 + 12

do (cid:31)(cid:226), 20201 = β4 + 2β3 + β1.

V… v“y bi”u di„n c(cid:236) sŁ 2 cıa ρ(20201) l(cid:160) 11010. Chuy”n sang h» (cid:31)‚m c(cid:236) sŁ 10, ta c(cid:226) ρ(20201) = 26, ch‰nh l(cid:160) kho£ng c¡ch tł 20201 (cid:31)‚n 00000. Bi”u di„n c(cid:236) sŁ 2 cıa δ(20201) nh“n (cid:31)(cid:247)æc b‹ng c¡ch l§y h» sŁ cıa βi (trong bi”u di„n cıa a) trł (cid:31)i chœ sŁ thø i trong c(cid:236) sŁ 2 cıa ρ(20201) (v(cid:160) sau (cid:31)(cid:226) b…nh ph(cid:247)(cid:236)ng, (cid:31)i•u n(cid:160)y kh(cid:230)ng thay (cid:31)Œi k‚t qu£ v… 02 = 0 v(cid:160) 12 = 1). Do (cid:31)(cid:226) bi”u di„n c(cid:236) sŁ hai cıa δ(20201) l(cid:160) 01000.

(cid:30)(cid:247)(cid:237)ng ng›n nh§t tł 0 (cid:31)‚n a lƒn l(cid:247)æt (cid:31)i qua 16 (cid:31)¿nh tr¡i, 8 (cid:31)¿nh ph£i

v(cid:160) 2 (cid:31)¿nh tr¡i (H…nh 2.8).

Th‰ d(cid:246) 2. Th‰ d(cid:246) d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y tŒng qu¡t h(cid:226)a trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi

H…nh 2.8: (cid:30)(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)i ng›n nh§t tł 0 (cid:31)‚n 20201

th(cid:160)nh trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i c¡c (cid:31)(cid:190)a m(cid:160)u. X†t t“p 3n (cid:31)(cid:190)a m(cid:160)u (cid:31)(cid:228), tr›ng, xanh v(cid:238)i n (cid:31)(cid:190)a mØi m(cid:160)u. L(cid:243)c (cid:31)ƒu t§t c£ c¡c (cid:31)(cid:190)a (cid:31)•u n‹m tr¶n

c(cid:229)c 0. B›t (cid:31)ƒu tł ba (cid:31)(cid:190)a nh(cid:228) nh§t. C¡c (cid:31)(cid:190)a (cid:31)(cid:247)æc t(cid:230) m(cid:160)u thø t(cid:252) l(cid:160): (cid:31)(cid:228),

tr›ng, xanh, (cid:31)(cid:228), tr›ng, xanh, . . . , cho t(cid:238)i (cid:31)(cid:190)a cuŁi c(cid:242)ng m(cid:160)u xanh. Ta

ph£i t…m sŁ b(cid:247)(cid:238)c chuy”n ‰t nh§t (cid:31)” c¡c (cid:31)(cid:190)a m(cid:160)u (cid:31)(cid:228) n‹m hæp l» tr¶n c(cid:229)c

0, m(cid:160)u tr›ng tr¶n c(cid:229)c 1 v(cid:160) m(cid:160)u xanh tr¶n c(cid:229)c 2.

(cid:30)¥y c(cid:244)ng ch‰nh l(cid:160) b(cid:160)i to¡n x¡c (cid:31)(cid:224)nh d(0, a) theo n trong (cid:31)(cid:226) a =

210210...210.

Ta c(cid:226), n‚u n chﬁn th… a = 210210...210 = 2111...111+21...111+...+21,

v(cid:160) n‚u n l· th… a = 210210...210 = 2111...111 + 21...111 + ... + 21 + 2. Do (cid:31)(cid:226) ρ(a) c(cid:226) bi”u di„n trong h» c(cid:236) sŁ 2 l(cid:160) 1010. . . 10 trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n chﬁn v(cid:160) 1010. . . 101 trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n l·. Chuy”n v• c(cid:236) sŁ 10 ta (cid:31)(cid:247)æc:

3(23n − 1) 3(23n+1 − 1) n‚u n l·.

2 + 8 + ... + 23n−1 = 2   n‚u n chﬁn ρ(a) = 1 + 4 + ... + 23n−1 = 1 

Tł (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) l(cid:237)i gi£i b(cid:160)i to¡n.

B(cid:160)i to¡n 2. (cid:30)¡nh gi¡ trung b…nh sŁ b(cid:247)(cid:238)c chuy”n K‰ hi»u En l(cid:160) kho£ng c¡ch trung b…nh tł 0 t(cid:238)i (cid:31)¿nh a v(cid:160) Sn =

(cid:80){d(a, 0) | a ∈ Hn}, ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc c(cid:230)ng thøc truy h(cid:231)i sau (cid:31)¥y:

3n−1 + 2

3n = Sn−1

32n−1,

Sn = 3Sn−1 + 2.3n−1.2n−1. (— (cid:31)¥y sŁ h⁄ng cuŁi xu§t hi»n tł vi»c chuy”n mØi (cid:31)¿nh trong khŁi [1] v(cid:160) [2] 2n−1 (cid:31)¿nh l¶n tr¶n v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) n(cid:226) t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i (cid:31)¿nh trong khŁi [0]) Ta c(cid:226)

En = Sn v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu E0 = 0, d„ d(cid:160)ng chøng minh (cid:31)(cid:247)æc

3(2n − 1).

En = 2

N(cid:226)i c¡ch kh¡c, sŁ trung b…nh c¡c chuy”n (cid:31)ºng (cid:31)Æi h(cid:228)i chuy”n(tŁi (cid:247)u)

c¡c (cid:31)(cid:190)a tł mºt c§u h…nh ch(cid:229)n ng¤u nhi¶n ban (cid:31)ƒu (cid:31)‚n c§u h…nh ho(cid:160)n h£o tr¶n c(cid:229)c (cid:31)‰ch b‹ng 2 3 sŁ chuy”n (cid:31)ºng (cid:31)Æi h(cid:228)i theo nghi»m tŁi (cid:247)u Ln = 2n − 1 trong b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi cŒ (cid:31)i”n.

CŁ (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)¿nh/c§u h…nh a v(cid:160) t‰nh kho£ng c¡ch trung b…nh/sŁ chuy”n (cid:31)ºng An(a) (cid:31)‚n (cid:31)¿nh g(cid:226)c/c§u h…nh ho(cid:160)n h£o ch(cid:229)n ng¤u nhi¶n. Rª r(cid:160)ng

(d(a, 0) + d(a, 1) + d(a, 2)) An(a) =

= (d(a, 0) + d(a + 2, 0) + d(a + 1, 0))

= (ρ(a) + ρ(a + 2) + ρ(a + 1)).

V… 1 = 2 βi v(cid:160) 2 = βi trong Vn n¶n 1 3 1 3 1 3 n−1 (cid:80) i=0

n−1 (cid:80) i=0 An(a) = 1 3(

n−1 (cid:80) i=0

i 2i + a2 Nh(cid:247)ng x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = 2 v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ Z3. Do (cid:31)(cid:226)

(ai + 1)22i + (ai + 2)22i).

3(2n − 1).

n−1 (cid:80) i=0

2i = 2 An(a) = 1 3

Nh(cid:247) v“y, An(a) kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o a, c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc t‰nh kh(cid:230)ng cƒn gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sai ph¥n v(cid:160) b‹ng En.

B(cid:160)i to¡n 3. B(cid:160)i to¡n t…m (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)i ng›n nh§t giœa hai c§u h…nh/hai

(cid:31)¿nh

B(cid:160)i to¡n sau (cid:31)¥y m(cid:240) rºng B(cid:160)i to¡n 1: T…m sŁ b(cid:247)(cid:238)c chuy”n tŁi thi”u

cƒn thi‚t (cid:31)” (cid:31)i tł mºt c§u h…nh hæp l» sang mºt c§u h…nh hæp l» kh¡c

trong b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi. Trong ng(cid:230)n ngœ cıa (cid:31)(cid:231) th(cid:224) H(cid:160) Nºi, n(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc

g(cid:229)i l(cid:160) b(cid:160)i to¡n t…m (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)i ng›n nh§t giœa hai (cid:31)¿nh b§t k…. T§t nhi¶n,

(cid:31)¢ c(cid:226) nhœng thu“t to¡n hœu hi»u gi£i b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y cho (cid:31)(cid:231) th(cid:224) b§t k…, th‰ d(cid:246), thu“t to¡n Dijkstra hay thu“t to¡n Floyd, nh(cid:247)ng do Hn l(cid:160) mºt (cid:31)(cid:231) th(cid:224) kh¡ (cid:31)(cid:176)c th(cid:242) n¶n ta s‡ ch¿ ra c¡ch gi£i (cid:31)(cid:236)n gi£n h(cid:236)n.

Ta sß d(cid:246)ng t(cid:247)(cid:236)ng øng Lucas (cid:31)” gi£i b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y. Gi£ sß a1 v(cid:160) a2 l(cid:160) c¡c (cid:31)¿nh ph¥n bi»t cıa Hn. Kh(cid:230)ng m§t t‰nh tŒng qu¡t, ta c(cid:226) th” ch(cid:229)n ch(cid:243)ng n‹m trong c¡c khŁi kh¡c nhau, th‰ d(cid:246), a1 ∈ [0] v(cid:160) a2 ∈ [1]. Gi£ sß ϕ(a1) = (r1, k1) v(cid:160) ϕ(a2) = (r2, k2). K‰ hi»u d1 = d1(a1, a2) l(cid:160) (cid:31)º d(cid:160)i cıa (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ng›n nh§t tł a1 t(cid:238)i a2 kh(cid:230)ng (cid:31)i qua [2] v(cid:160) d2 = d2(a1, a2) l(cid:160) (cid:31)º d(cid:160)i (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ng›n nh§t tł a1 (cid:31)‚n a2 (cid:31)i qua [2]. Ta c(cid:226)

d1 = d((r1, k1), (2n−1 − 1, 2n−1 − 1)) + d((r2, k2), (2n−1, 2n−1)) + 1

= ((2n−1 − 1 − r1) + (r1 − k1)) + (r2 − 2n−1) + 1

= r2 − k1

v(cid:160)

d2 = d((r1, k1), (2n−1 − 1, 0)) + d((r2, k2), (2n − 1, 2n−1)) + 2n−1 + 1

= ((2n−1 − 1 − r1) + k1) + ((2n − 1 − r2) + (k2 − 2n−1)) + 2n−1 + 1 = 3.2n−1 − 1 − r1 − r2 + k1 + k2.

Nh“n x†t r‹ng (cid:240) (cid:31)¥y ta (cid:31)¢ t‰nh sŁ c¡c (cid:31)¿nh n‹m ngang v(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng

ch†o mØi (cid:31)¿nh hai lƒn (xem H…nh 2.9). Nh(cid:247) v“y, ta th§y r‹ng

d2 ≤ d1 ⇔ r1 + 2r2 ≥ 2k1 + k2 + 3.2n−1 − 1.

Sß d(cid:246)ng t‰nh (cid:31)Łi xøng ho(cid:176)c t‰nh tr(cid:252)c ti‚p, ta c(cid:244)ng c(cid:226) th” nh“n (cid:31)(cid:247)æc

k‚t qu£ t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) cho a1 v(cid:160) a2 trong [0] v(cid:160) [2] ho(cid:176)c trong [1] v(cid:160) [2].

Th‰ d(cid:246) 3. T…m d(011, 102) trong H3.

T(cid:247)(cid:236)ng øng Lucas cho ϕ(011) = (3, 0) v(cid:160) ϕ(102) = (7, 5). Tł (cid:31)¥y, ta t‰nh

(cid:31)(cid:247)æc

d1(011, 102) = 7 − 0 = 7 v(cid:160) d2(011, 102) = 11 − 3 − 7 + 0 + 5 = 6. V“y d(011, 102) = 6 v(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng ng›n nh§t (cid:31)i qua t§t c£ ba khŁi cıa H3 (xem H…nh 2.9).

Nh(cid:247) v“y, (cid:31)(cid:231) th(cid:224) H(cid:160) Nºi t(cid:228) ra r§t hœu hi»u trong nghi¶n cøu kh(cid:230)ng

ch¿ b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi cŒ (cid:31)i”n, m(cid:160) cÆn trong nghi¶n cøu c¡c b(cid:160)i to¡n

H…nh 2.9: (cid:30)(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)i ng›n nh§t giœa hai (cid:31)¿nh b§t k(cid:253)

Th¡p H(cid:160) Nºi suy rºng v(cid:160) c£i bi¶n. R§t nhi•u nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c sß d(cid:246)ng c(cid:230)ng

c(cid:246) n(cid:160)y trong nghi¶n cøu b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi tŒng qu¡t.

K‚t Lu“n

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1 cıa lu“n v«n tr…nh b(cid:160)y kh¡ chi ti‚t l(cid:224)ch sß ph¡t tri”n cıa

b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi. Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 tr…nh b(cid:160)y chi ti‚t c¡c l(cid:237)i gi£i b(cid:160)i to¡n

th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i ba c(cid:229)c (thu“t gi£i (cid:31)» qui, sß d(cid:246)ng h» (cid:31)‚m c(cid:236) sŁ 2, sß

d(cid:246)ng (cid:31)(cid:231) th(cid:224) H(cid:160) Nºi).

Ngo(cid:160)i ra, t¡c gi£ c(cid:244)ng cŁ g›ng v‡ l¶n mºt bøc tranh t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi (cid:31)ƒy

(cid:31)ı v• c¡c m(cid:240) rºng v(cid:160) c£i bi¶n cıa b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi (1.2 Ch(cid:247)(cid:236)ng 1).

Nh‹m (cid:31)(cid:239) rŁi trong bøc tranh to(cid:160)n c£nh, t¡c gi£ kh(cid:230)ng (cid:31)i s¥u chøng minh

h‚t c¡c c(cid:230)ng thøc truy h(cid:231)i trong l(cid:237)i gi£i cıa c¡c b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y, nh(cid:247)ng hy

v(cid:229)ng mºt sŁ chøng minh (cid:31)ƒy (cid:31)ı v(cid:160) chi ti‚t (cho b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi

xoay vÆng,...) c(cid:244)ng (cid:31)¢ l(cid:160)m s¡ng t(cid:228) nhœng m(cid:240) rºng v(cid:160) c£i bi¶n cıa b(cid:160)i

to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi.

M(cid:176)c d(cid:242) cÆn r§t s(cid:236) l(cid:247)æc v(cid:160) ch(cid:247)a bao qu¡t h‚t (cid:31)(cid:247)æc sŁ l(cid:247)æng l(cid:238)n c¡c

b(cid:160)i vi‚t ch¿ ri¶ng v• c(cid:230)ng c(cid:246) (cid:31)(cid:231) th(cid:224) gi£i b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi, hy v(cid:229)ng

lu“n v«n c(cid:244)ng (cid:31)¢ cho mºt bøc tranh t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi rª n†t v• ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p

(cid:31)(cid:231) th(cid:224) gi£i b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi.

Hy v(cid:229)ng lu“n v«n gæi (cid:254) s(cid:252) quan t¥m (cid:31)‚n c¡c v§n (cid:31)• th(cid:243) v(cid:224) cıa b(cid:160)i

to¡n th¡p H(cid:160) Nºi, nh¥n d(cid:224)p 1000 n«m Th«ng Long.

T(cid:160)i li»u tham kh£o

[1] Ph⁄m Tr(cid:160) (cid:133)n, B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi, T⁄p ch‰ To¡n h(cid:229)c v(cid:160) TuŒi

tr·, sŁ 280, th¡ng 10-2000.

[2] Ph⁄m Tr(cid:160) (cid:133)n, B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi-C¡i nh…n tł l(cid:254) thuy‚t (cid:30)º

phøc t⁄p t‰nh to¡n, T⁄p ch‰ Th(cid:230)ng tin To¡n h(cid:229)c, T“p 6, SŁ 2,

th¡ng 8-2002, trang 10-13.

[3] V(cid:244) (cid:30)…nh HÆa, B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi, T⁄p ch‰ To¡n TuŒi th(cid:236) 2, SŁ

68, th¡ng 10-2008.

[4] Nguy„n Th(cid:224) H(cid:231)ng Ph(cid:247)æng, Thu“t to¡n Frame-Stewart gi£i b(cid:160)i to¡n

Th¡p H(cid:160) Nºi tŒng qu¡t, Lu“n v«n Cao h(cid:229)c, (cid:30)⁄i h(cid:229)c S(cid:247) ph⁄m Th¡i

Nguy¶n, 2010.

[5] T⁄ Duy Ph(cid:247)æng, TrÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi-L(cid:224)ch sß v(cid:160) b(cid:160)i to¡n tŒng

qu¡t, T⁄p ch‰ To¡n h(cid:229)c v(cid:160) TuŒi tr·, sŁ 280, th¡ng 1-2010.

[6] T⁄ Duy Ph(cid:247)æng, TrÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi: L(cid:224)ch sß v(cid:160) nhœng v§n (cid:31)•

To¡n-Tin h(cid:229)c li¶n quan, (B£n th£o), 150 trang, 2010.

[7] Nguy„n Xu¥n T§n, B(cid:160)i to¡n (cid:16)Th¡p H(cid:160) Nºi(cid:17)-mºt b(cid:160)i to¡n h(cid:226)c b(cid:243)a

h(cid:236)n mºt tr«m n«m nay, T⁄p ch‰ Th(cid:230)ng tin To¡n h(cid:229)c, T“p 6 SŁ 1,

th¡ng 3, 2002, trang 2-4.

[8] E. Allardie and A. Y. Fraser, La Tour d’Hanoi, Proceeding of the

Edinburgh Mathematical Society 2 (1884), 50-53.

[9] M. Atkinson, The cyclic Towers of Hanoi problem. Information

Processing Letters, Vol. 13, No 3 (1981), 118-119. MR0645457

(83f:68004) .

[10] W. W. Rouse Ball, Mathematical Recreations and Essays, Macmil-

lan and Co., London, Sixth Edition, 1914.

[11] Henry Ernest Dudeney, The Canterbury Puzzles (and other curi-

ous problems), Thomas Nelson and Sons, Ltd., London, 1907; New

York, E. P. Dutton and Company, 1908.

[12] Otto Dunkel, Editorial note concerning advanced problem 3918,

Amer. Math. Monthly 48 (1941), 219

[13] M. C. Er, The Colour Towers of Hanoi: A Generalization, The

Computer Journal, Vol. 27 (1984), No. 1, 80-82.

[14] J. S. Frame, Solution to advanced problem 3918. Amer. Math.

Monthly 48 (1941), 216-217.

[15] Ronal L. Graham, Donal E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete

mathematics: A foundation for computer sciences. Addison-Wesley,

Reading, MA, 1989. Second Edition, 1994.

[16] Andreas M. Hinz, The Tower of Hanoi. Enseign. Math. (2) 35

(1989), 289-321. MR1039949 (91k:05015).

[17] Andreas M. Hinz, Pascal’s Triangle and the Tower of Hanoi, Amer-

ican Mathematical Monthly, Vol. 99 No. 6, p. 538-544, June-July

1992.

[18] E. I. Igratiev, Trong v(cid:247)(cid:236)ng quŁc s¡ng t⁄o hay SŁ h(cid:229)c cho m(cid:229)i ng(cid:247)(cid:237)i,

Quy”n 1, S.-Peterburg, 1914 (T¡i b£n lƒn thø t(cid:247), ti‚ng Nga).

[19] Zolt¡n K¡tai, Lehel Istv¡n Kov¡cs Tower of Hanoi-where program-

ming techniques blend Acta Univ. Sapientiae, Informatica 1, 1

(2009), pp. 89-108.

[20] Sandi Klav(cid:7)zar, Uro(cid:7)s Milutinovi(cid:1)c, and Ciril Petr, On the Frame-

Stewart algorithm for the multi-peg Tower of Hanoi problem,

Discrete Appl. Math. 120 (2002), no. 1-3, 141-157. MR1912864

(2003c:05028).

[21] (cid:146)douard Lucas, Nouveaux jeux scientifiques de M. (cid:146)douard Lucas, La Nature, 17th year, 2nd semester (1889), no. 855 (October 5), 301-303..

[22] (cid:146)douard Lucas, L’Arithm†ique Amusante: Introduction aux

R†cr†ations Mathematicques , Gauthier-Villars, Paris, 1895, pp.

179-183.

[23] Henri de Parville, R†cr†ations math†matiques: La tour d’Hanoi et

la question du Tonkin, La Nature, 12th year, 1st semester, no. 565

(March 29, 1884), 285-286.

[24] David G. Poole, The towers and triangles of Professor Claus (Pas-

cal knows Hanoi), Mathematics Magazine, 67 (1994), 323-344.

[25] A. Sapir, The Towers of Hanoi with Forbidden Moves, The Com-

puter Journal, 47 (1) (2004), 20-24.

[26] R. S. Scorer, P. M. Grundy, and C. A, B. Smith, Some Binary

games, Math. Gaz. 28 (1944), No 280 (July), 96-103.

[27] B. M. Stewart, Advanced problem 3918, Amer. Math. Monthly 46

(1939), 363.

[28] B. M. Stewart, Solution to advanced problem 3918 Amer. Math.

Monthly 48 (1941), 217-219.

[29] Paul K. Stockmeyer, Variations on the four-post Tower of Hanoi

puzzle, Congr. Numer. 102 (1994), 3-12.

[30] Paul K. Stockmeyer, The Tower of Hanoi: A Bibliogra-

phy, http://w.w.w.cs.wm.edu/ pkstoc/hpapers.html, Version 2.2,

22/10/2005.

[31] P.K. Stockmeyer, Fred Lunnon, New Variations on the Tower of

Hanoi, Thirteenth International Conference on Fibonaci Numbers

and Their Applications, July 7-11, 2008, Patras, Greece.

[32] Yu-Kuo Wang, Analysis on an Iterative algorithm of (cid:16)The Tower

of Hanoi problem(cid:17) with Parallel Moves, M. Sc. Thesis, Institute of

Computer Science and Information Engineering, Chung Hoa Uni-

versity, 1999.

[33] Derick Wood, Towers of Brahma and Hanoi Revisited, J. Recr.

Math. 14(1981), No 1, 17-24. MR 0629340 (82i:68031).

Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Trò chơi tháp Hà Nội và một số vấn đề toán học liên quan

(cid:30)(cid:132)I H¯C QU¨C GIA H(cid:128) N¸I

TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C KHOA H¯C T(cid:220) NHI(cid:150)N

(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)-

TR` CH(cid:204)I TH(cid:129)P H(cid:128) N¸I

V(cid:128) M¸T S¨ V(cid:135)N (cid:30)(cid:151) TO(cid:129)N H¯C LI(cid:150)N QUAN

LU(cid:138)N V(cid:139)N TH(cid:132)C S(cid:158) KHOA H¯C

(cid:30)(cid:132)I H¯C QU¨C GIA H(cid:128) N¸I

TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C KHOA H¯C T(cid:220) NHI(cid:150)N

(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)-

TR` CH(cid:204)I TH(cid:129)P H(cid:128) N¸I

V(cid:128) M¸T S¨ V(cid:135)N (cid:30)(cid:151) TO(cid:129)N H¯C LI(cid:150)N QUAN

LU(cid:138)N V(cid:139)N TH(cid:132)C S(cid:158) KHOA H¯C

M(cid:246)c l(cid:246)c

M— (cid:30)(cid:134)U

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

TrÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi

1.1 L(cid:224)ch sß ph¡t tri”n trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160)

nºi

1.1.1 Truy•n thuy‚t

1.1.2 L(cid:224)ch sß

1.2 B(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi, c¡c b(cid:160)i to¡n

tŒng qu¡t v(cid:160) c£i bi¶n

1.2.1 B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi cŒ (cid:31)i”n

1.2.2 B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:238)i nhi•u c(cid:229)c

1.2.3 C¡c c£i bi¶n cıa b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi

1.3 C¡c c(cid:230)ng c(cid:246) gi£i b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi

v(cid:160) c¡c v§n (cid:31)• li¶n quan

1.3.1 Thu“t gi£i (cid:31)» qui

1.3.2 H» (cid:31)‚m

1.3.3 (cid:30)(cid:231) th(cid:224) H(cid:160) Nºi

1.3.4 Thu“t to¡n gi£i trÆ ch(cid:236)i Th¡p H(cid:160) Nºi

1.3.5 B(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:160) mºt sŁ v§n (cid:31)• kh¡c

li¶n quan

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

C¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p gi£i b(cid:160)i to¡n

Th¡p H(cid:160) Nºi

2.1 TrÆ ch(cid:236)i th¡p H(cid:160) Nºi v(cid:160) thu“t gi£i (cid:31)»

qui

2.2 Gi£i b(cid:160)i to¡n th¡p H(cid:160) Nºi b‹ng bi”u

di„n trong h» (cid:31)‚m c(cid:236) sŁ 2

2.3 (cid:30)(cid:231) th(cid:224) H(cid:160) Nºi

2.3.1 (cid:30)(cid:231) th(cid:224) H(cid:160) Nºi

2.3.2 T(cid:252) (cid:31)ﬂng c§u v(cid:160) (cid:31)Łi xøng

2.3.3 T(cid:247)(cid:236)ng øng Lucas

2.3.4 Gi£i b(cid:160)i to¡n Th¡p H(cid:160) Nºi

K‚t Lu“n

T(cid:160)i li»u tham kh£o

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok