Luận văn Thạc sĩ Vật lí: Hiện tượng truyền năng lượng cộng hưởng trong một hệ trụ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Diên Thông

HIỆN TƯỢNG TRUYỀN NĂNG LƯỢNG CỘNG HƯỞNG TRONG MỘT HỆ TRỤ

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Diên Thông

HIỆN TƯỢNG TRUYỀN NĂNG LƯỢNG CỘNG HƯỞNG TRONG MỘT HỆ TRỤ

Chuyên ngành: Vật lí nguyên tử

Mã số: 60 44 01 06

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS HỒ TRUNG DŨNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi,

các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung

thực, được các tác giả cho phép sử dụng và chưa từng

được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

LỜI CÁM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo hướng dẫn TS Hồ Trung

Dũng. Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận

văn. Nhân dịp này tôi xin gửi lời cám ơn của mình tới toàn thể các Thầy cô giáo trong khoa

Vật lý trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong

suốt quá trình học tập tại khoa.

Tôi cũng xin chân thành cám ơn các Thầy cô ở Viện Vật lý Thành phố Hồ Chí Minh đã

giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi hoàn thành tốt luận văn.

Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp Vật lý nguyên tử khóa 22 đã nhiệt tình giúp

đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp.

Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình và người thân đã tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành

tốt quá trình học tập.

TP Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 09 năm 2013

Học viên

Phạm Diên Thông

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ 1

LỜI CÁM ƠN .............................................................................................................. 2

MỤC LỤC .................................................................................................................... 3

MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 4

1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................................. 4

2. Mục tiêu nghiên cứu ....................................................................................................... 5

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................................. 5

4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................... 5

CHƯƠNG 1: TRUYỀN NĂNG LƯỢNG CỘNG HƯỞNG TRONG MÔI TRƯỜNG CÓ PHÂN TÁN VÀ HẤP THỤ .............................................................. 7

1.1. Lượng tử hóa trường điện từ trong môi trường có phân tán và hấp thụ. .............. 7

1.2. Tốc độ truyền năng lượng ........................................................................................... 9

CHƯƠNG 2: HÀM GREEN CHO KHỐI TRỤ ĐIỆN MÔI VÔ HẠN ............... 13

2.1. Hàm Green cho khối trụ vô hạn ............................................................................... 13

2.2. Các hệ số phản xạ....................................................................................................... 15

CHƯƠNG 3: TỐC ĐỘ TRUYỀN NĂNG LƯỢNG ĐỐI VỚI HỆ TRỤ HAI LỚP17

3.1. Công thức tường minh cho tốc độ truyền năng lượng ........................................... 17

3.1.1. Hai phân tử cùng đặt trên đường thẳng song song với trục Oz bên ngoài khối trụ.18

3.1.2. Các phân tử đặt vòng quanh khối trụ nằm trong mặt phẳng Oxy. ......................... 20

3.1.3. Các phân tử nằm trên đường thẳng vuông góc với trục Oz................................... 21

3.2. Các cực của hàm Green............................................................................................. 22

3.3. Phương pháp lấy tích phân ....................................................................................... 24

CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN ........................................................... 27

4.1. Các phân tử nằm trong mặt phẳng Oxy .................................................................. 27

4.2. Các phân tử nằm trên đường thẳng song song với trục Oz. .................................. 30

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 35

PHỤ LỤC ................................................................................................................... 37

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Vấn đề truyền năng lượng giữa hai nguyên tử hoặc phân tử là một vấn đề rất được quan

tâm đối với vật lý học cũng như các ngành khoa học hiện đại. Sự truyền năng lượng cộng

hưởng (resonance energy transfer-RET) giữa hai nguyên tử hoặc phân tử là một trong các

cơ chế chính mà thông qua đó ta có thể kích thích hệ nguyên tử hoặc phân tử. Nó đóng một

vai trò quan trọng trong sinh học (quang hợp), quang tử nano (LEDs, nano laser), máy tính

lượng tử [13]. Do đó việc nghiên cứu cơ chế và các yếu tố ảnh hưởng đến RET đã được rất

nhiều nhà khoa học quan tâm.

Bắt đầu từ năm 1946 với công trình đầu tiên của Purcell [14], người ta đã biết tốc độ

phân rã trạng thái và dịch chuyển mức năng lượng của một hệ phân tử có thể thay đổi khi ta

đặt nó trong một môi trường phù hợp. Giống như tốc độ rã tự phát và dịch chuyển mức năng

lượng, hiệu ứng truyền năng lượng giữa hai phân tử cũng chịu ảnh hưởng của môi trường

xung quanh [5]. Trước đây, hiện tượng truyền năng lượng cộng hưởng được mô tả qua hai

R λ<< , xây dựng

lý thuyết khác nhau, lý thuyết truyền bức xạ ở khoảng cách ngắn khi

R λ>> [1], ở đây R là

bởi Förster [7] và lý thuyết truyền bức xạ ở khoảng cách dài khi

khoảng cách giữa hai phân tử hoặc nguyên tử và λ là bước sóng của phân tử cho. Quá trình

truyền năng lượng ở khoảng cách ngắn là vấn đề được quan tâm đặc biệt, bởi vì ở khoảng

cách lớn hơn bước sóng, các quá trình khác có thể cạnh tranh thành công với RET trong

việc giành lấy kích thích của phân tử cho (bức xạ tự phát, những va chạm của phân tử trong

môi trường…).

Thực tế là RET có thể được thay đổi bằng cách đặt các cặp phân tử trong môi trường

điện môi phù hợp từ đó tăng cường sự truyền năng lượng cộng hưởng qua khoảng cách dài.

Về bản chất RET là quá trình lượng tử. Trong [5], một sơ đồ lượng tử cho RET trong sự

hiện diện của môi trường có tán xạ và hấp thụ được xây dựng dựa trên sơ đồ lượng tử hóa

trong công trình [4] và lý thuyết nhiễu loạn. Rất nhiều tính toán lý thuyết cũng như kiểm

chứng thực nghiệm đã được thực hiện cho các hệ cụ thể như mặt phẳng điện môi [5], quả

cầu điện môi [3, 6, 9], sợi nano [11], khối trụ [13],… Các công trình gần đây hơn khảo sát

ảnh hưởng của các cấu trúc nano kim loại [15], các phần tử hữu cơ metalloporplyzin [8], các

chuỗi DNA đúp [2], graphene [10 ] lên RET.

Đặc biệt vấn đề truyền năng lượng cộng hưởng giữa hai phân tử đặt trong một hệ trụ rất

được quan tâm. Như đã biết hệ trụ là một mô hình rất gần với thực tế mà điển hình là sợi

dây nano và nó thường xuyên được sử dụng trong các tinh thể hai chiều. Sử dụng sơ đồ của

[5], trong [13] các tác giả đã khảo sát RET trong hệ trụ. Nếu phân tử cho và phân tử nhận

được đặt gần một hình trụ, tốc độ truyền năng lượng có thể được tăng cường hay bị ức chế

so với giá trị trong chân không. Trường hợp hằng số điện môi thực đã được khảo sát và cho

thấy tốc độ truyền năng lượng có thể tăng cao từ một vài lần cho tới khoảng 10 lần. Mặt

610 lần [13].

khác, với mô hình Drude – Lorentz sự tăng lên đó có thể lên đến

Hệ trụ có hai dạng cộng hưởng: các cộng hưởng sóng dẫn (guided waves) truyền dọc

theo trục z (trục của hình trụ) và các cộng hưởng whispering gallery truyền dọc theo rìa

khối trụ. Trong công trình [13] các tác giả giả định phân tử cho và phân tử nhận nằm trong

cùng một mặt phẳng Oxy. Trong luận văn này chúng tôi sẽ xem xét ảnh hưởng của cộng

hưởng sóng dẫn bằng cách đặt phân tử cho và phân tử nhận trên một đường thẳng song song

với trục z . Khối trụ là một hệ hình học hai lớp. Bài toán cũng có thể mở rộng cho hệ ống

nanocarbon có cấu hình ba lớp.

2. Mục tiêu nghiên cứu

- Xem xét ảnh hưởng của cộng hưởng sóng dẫn (guided waves) lên hiệu ứng truyền

năng lượng trong một khối trụ.

- Sự phụ thuộc của tốc độ truyền năng lượng (tăng hoặc giảm) vào các yếu tố như

khoảng cách giữa các phân tử, hàm điện môi, bán kính của hình trụ…

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu:

Hiện tượng truyền năng lượng cộng hưởng trong hệ trụ và những tính chất của nó.

Phạm vi nghiên cứu: •

Mô hình cho phép hằng số điện môi phụ thuộc tần số (tán sắc và hấp phụ). Tương

tác vật chất – trường điện từ là tuyến tính.

4. Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập các bài báo, sách có liên quan đến đề tài luận văn.

- Viết chương trình (Fortran) tính số chi tiết hàm Green cho hình trụ.

- Trên cơ sở chương trình trên viết chương trình tính toán hiệu ứng truyền năng lượng

dựa trên các công thức rút ra từ lý thuyết nhiễu loạn bậc hai [5].

- Phân tích ý nghĩa vật lý của kết quả số.

- Để thuận tiện trong việc trình bày, chúng tôi quy ước các ký hiệu toán học được in đậm

là vectơ còn các ký hiệu vừa in đậm vừa in nghiêng là ma trận.

CHƯƠNG 1: TRUYỀN NĂNG LƯỢNG CỘNG HƯỞNG TRONG

MÔI TRƯỜNG CÓ PHÂN TÁN VÀ HẤP THỤ

1.1. Lượng tử hóa trường điện từ trong môi trường có phân tán và hấp thụ.

Về bản chất quá trình truyền năng lượng giữa các phân tử là một quá trình cơ học lượng

tử. Do đó, yêu cầu nhất thiết là chúng ta phải lượng tử hóa trường điện từ. Trong miền tần

số, các toán tử điện trường ˆE và toán tử từ trường ˆB được thể hiện qua hệ phương trình

∇

Maxwell lượng tử [13].

ˆ E r ( ,

ω )

ˆ B r ( ,

) ,

ω c

∇

= −

(1.1)

ˆ ( , B r

ω )

ε ω r ( , )

j r ( ,

) ,

ω c

1 ˆ c

∇

(1.2)

(1.3)

ˆ ( , 0,ω⋅ ) B r

∇

⋅

(1.4)

ε ω ω ρ ω r [ ( ,

r ( ,

)]

ˆ E r ( ,

)

) .

ε ωr ) ( ,

)ρ ωr

Trong hệ phương trình trên thì và là hàm điện môi của môi trường, còn ˆ ( ,

ˆ( , )ωj r

là toán tử mật độ điện tích và toán tử dòng điện tích. Từ hệ phương trình trên ta có

thể rút ra được phương trình Helmholtz cho toán tử điện trường. Để tìm phương trình cho

∇

toán tử ˆE , ta loại ˆB bằng cách viết lại phương trình (1.1) dưới dạng như sau

ˆ B r ( ,

= − iω )

ˆ E r ( ,

) .

c ω

(1.5)

∇ ∇

× ×

−

Thế (1.5) vào (1.2) ta thu được phương trình Helmholtz cho toán tử điện trường

(1.6)

ˆ E r ( ,

ω )

ˆ ε ω ω E r ) ( , )

r ( ,

ˆ j r ( ,

) .

2 ω 2

ω 2

Phương trình vi phân này được giải bằng phương pháp hàm Green, khi đó ta thu được

)ωE r

có dạng biểu thức của toán tử điện trường ˆ ( ,

(1.7)

ˆ ( , E r

ω )

3 d sG

r s ( , ,

ˆ ω ω j s ) ( ,

) ,

ω 2

∫

G ωr s ( , , )

∇ ∇

× ×

−

trong đó hàm Green là nghiệm của phương trình

(1.8)

r s ( , ,

ω )

ε ω r ( , G )

r s ( , ,

ω δ = r (

)

s

)

2 ω 2

δ −r (

và thỏa điều kiện biên tại vô cực. Trong phương trình (1.8) I là toán tử đơn vị,

s là )

∞

hàm delta Dirac. Các toán tử điện trường và từ trường được định nghĩa như sau

(1.9)

ˆ E r ( )

ˆ dω ω E r ( ,

) H.c. ,

∫ 0

1 π 2

∞

(1.10)

ˆ B r ( )

ˆ dω ω B r ( ,

) H.c. ,

∫ 0

1 π 2

với H.c. chỉ phần liên hợp.

Với dạng của các biểu thức định nghĩa như trên thì các toán tử ˆ ( )E r và ˆ ( )B r sẽ thỏa

mãn các hệ thức giao hoán

ˆ E

[

(1.11)

r ( ),

r (

′ )]

[

r ( ),

r (

′ = )] 0 ,

ˆ E i

ˆ B i

ˆ B k

−

[

′ )]

= − i

′ ) ,

(1.12)

( ), r

( r

δ ( r

r

ˆ E i

ˆ B k

 ikl

 c

∂ ∂ x l

trong đó ikl là tensor Levi – Civita.

Khi không có dòng ngoài, ˆj là dòng nhiễu cần thiết để mô tả hấp thụ của vật chất. Toán

)ωf r

)ωj r

= ω ω

ε ω ω

như sau được thể hiện qua toán tử vectơ trường cơ sở ˆ( , tử mật độ dòng nhiễu ˆ( ,

(1.13)

ˆ j r ( ,

)

ˆ f r ) ( ,

′′ r ( ,

) ,



''ε là phần ảo của hằng số điện môi:

với .

ε ω ε ω ε ω r '( , )

r ''( ,

r ( ,

)

)ωf r

trong phương trình (1.13) thỏa mãn các hệ thức giao hoán Toán tử trường ˆ( ,

bosonic

[

(1.14)

r ( ,

ω ),

r (

′ ′ ω )] ,

[

r ( ,

ω ),

r (

′ ′ = ω )] 0 , ,

ˆ f i

ˆ f k

ˆ f i

+ ˆ f k

−

(1.15)

r

[

r ( ,

r (

′ ′ ω δ δ ω ω δ r ) ( , (

′ )]

′ ) .

ˆ f i

+ ˆ fω ), k

)ωE r

thông qua toán tử trường Bây giờ ta có thể biểu diễn toán tử điện trường ˆ ( ,

ˆ( , )ωf r

ε ω ω

bằng cách thế phương trình (1.13) vào phương trình (1.7)

(1.16)

ˆ ( , E r

ω )

3 d sG

r s ( , ,

) 2

ˆ f s ) ( ,

′′ s ( ,

) .



2 ω 2

∫

∞

Tiếp tục thế phương trình (1.16) vào phương trình (1.9) ta được

ω d

3 d s

(1.17)

ˆ ( ) E r

′′ ε ω s G ( , )

r s ( , ,

ˆ ω ω f s ) ( ,

) H.c. .

2 ω 2

∫

∫ 0

 π

Như vậy chúng ta đã có được biểu thức của toán tử điện trường. Đây là cơ sở để ta thiết

lập Hamilton của hệ phân tử trong trường điện từ, từ đó tính toán tốc độ truyền năng lượng

giữa hai phân tử.

1.2. Tốc độ truyền năng lượng

Để tính toán tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng giữa hai phân tử trước hết ta cần xây

dựng Hamilton của hệ hai phân tử đó. Xét hai phân tử A và B với các vectơ tọa độ tương

)A B . Các

(

ứng là Ar và Br . Ở cùng một thời điểm, ta xem mỗi phân tử giống như một hệ hai mức với

)b〉 và trạng thái kích thích là | a′〉 (|

)b′〉 cho phân tử

trạng thái cơ bản | a〉 (|

phân tử này dao động bức xạ với các tần số khác nhau giữa trạng thái cơ bản và trạng thái

)

µ µ . (

)

ω ω′ ( a a

′ b b

′ a a

′ b b

kích thích. Tần số và phần tử ma trận lưỡng cực tương ứng là và

Chúng ta sẽ sử dụng các Hamilton đa cực để mô tả tương tác của hệ với trường điện từ.

Trong mô tả này thì tương tác Coulomb giữa hai phân tử được bỏ qua. Thay vào đó chúng

tương tác với nhau thông qua trường bức xạ. Toán tử Hamilton tổng quát của hệ có thể viết

như sau

ˆ ˆ = H H

ˆ H

rad

int

mol

(1.18)

radH là Hamilton đặc trưng cho mật độ năng lượng của

Trong phương trình (1.18) thì ˆ

∞

trường điện từ trong sự hiện diện của vật chất

(1.19)

ˆ f

3 d r

dω ω ω ω r ( ,

ˆ f r ) ( ,

) .



ˆ radH

= ∫

∫

Số hạng thứ nhất trong phương trình (1.18) mô tả năng lượng của hệ phân tử và có dạng

ˆ H

= 



mol

+ ω σ σ ω σ σ B

′ a a

+ B

+ A

(1.20)

Aσ+ và

Aσ là các toán tử Pauli đảo trạng thái của phân tử A và tương tự cho phân tử

B . Số hạng cuối cùng trong (1.18) là Hamilton mô tả tương tác giữa hai phân tử với trường

ở đây

−

điện từ

)

) ,

ˆ H = − int

µ ˆ A

(1.21)

ˆ E r . ( A

µ ˆ B

ˆ E r . ( B

µ và tương ứng cho

µ µ = ˆ A ′ a a

+ σ A

σ A

* ′ a a

ở đây các toán tử lưỡng cực của phân tử A có dạng

phân tử B . Toán tử điện trường ˆ ( )E r được cho bởi phương trình (1.17).

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét quá trình truyền năng lượng giữa hai phân tử A và B . Giả

sử ban đầu hệ ở trạng thái | i〉 tương ứng với phân tử A ở trạng thái kích thích, phân tử B ở

trạng thái cơ bản và trường điện từ trong trạng thái chân không. Ta biểu diễn trạng thái của

〉 = |

a b′ ,

| 0 .

hệ dưới dạng

〉⊗ 〉 (1.22) . Sau khi có sự truyền năng lượng từ phân

a aω′

Trong trạng thái này hệ có năng lượng

tử A cho phân tử B hệ chuyển về trạng thái cuối | f 〉 tương ứng với phân tử A ở trạng thái

b bω′

〉 = |

a b′ ,

| 0 .

〉⊗ 〉 (1.23)

cơ bản còn phân tử B ở trạng thái kích thích. Lúc này hệ có năng lượng là

〈

〉

−

ˆ f T i | |

2 |

(

) ,

Tốc độ truyền năng lượng của hai phân tử được cho bởi phương trình

δ ω ω′ ′ b b a a

π 2 2

 trong đó ˆT là toán tử truyền có dạng

(1.24)

ˆ ˆ = T H

ˆ H

int

−

1 ˆ E H iη 0

(1.25)

Trong phương trình (1.25) số hạng đầu tiên của ˆT không đóng góp cho tốc độ truyền năng lượng giữa hai phân tử. Ở số hạng thứ hai trong (1.25) η là một hằng số dương vô

〈

〉 =

〈

〉〈 α α

〉

cùng nhỏ. Do đó yếu tố ma trận của tương tác là

ˆ H

ˆ f T i | |

ˆ f H |

int

−

1 ˆ + E H i

∑ 〉 α |

(1.26)

với |α〉 là một tập hợp đầy đủ các trạng thái chuyển tiếp. Các trạng thái trung gian này có

hai loại là

〉 ⊗

〉 = |

a b ,

(1.27)

ω+ s ( ,

〉 ) | 0 ,

α I

ˆ f i

〉 = |

′ ′ 〉 ⊗ a b ,

(1.28)

ω+ s ( ,

〉 ) | 0 .

α II

ˆ f i

〈

〉 như sau

ˆ| f T i |

〈

〉 = −

Theo kết quả phụ lục [13], ta thu được yếu tố ma trận

ω ,

ˆ| | f T i

′ b b

(1.29)

( , r r B A

′ a a

* µ ) ′ a a

2 ω ′ a a 2 c

Như vậy ta có biểu thức của tốc độ truyền năng lượng giữa trạng thái đầu và trạng thái

−

ω ,

(

) .

cuối như sau

′ b b

(1.30)

( , r r B A

′ a a

* µ ) ′ a a

δ ω ω ′ a a

′ b b

2 ωπ 2 ′ a a 2 2 c



'a và

'b là trạng thái kích thích. Sử

Chúng ta đã kí hiệu a và b là trạng thái cơ bản,

dụng gần đúng Born-Oppenheimer, khi đó yếu tố ma trận chuyển có dạng

= dµ ′ a a

A a av ′

(1.31)

Ad là yếu tố ma trận của toán tử dipole, trong khi

a av ′ là tích phân che phủ giữa hai

ở đây

'a , tương tự cho phân tử B . Như vậy tổng tốc độ truyền năng lượng thu

trạng thái a và

−

2 | |

2 |

(

) .

được từ phương trình (1.30) cho tất cả các trạng thái đầu và trạng thái cuối là

d

ω ) , d

p p ′ a b

v v ′ ′ b b a a

(1.32)

( , r r B A

δ ω ω ′ a a

′ b b

π 2 2

2 ω ′ a a 2 c



∑ ∑ ′ ′ , , a a b b

   

   

'a trong trạng thái kích

ap ′ là ký hiệu của mật độ xác suất trung bình của mức

Ở đây

bp là ký hiệu của mật độ xác suất trung bình của mức b trong trạng

thích của phân tử A và

thái cơ bản của phân tử B . Phương trình (1.32) có thể viết lại như sau

(

)

) ,



em d wω ωσ ωσ ω ( A

abs B

= ∫

(1.33)

2 |

với

d

ω ) , d

ω ( ) w 

(1.34)

( , r r B A

π 2 2

ω 2



22   

  

−

và

2 |

(

) ,

′

em σ A

p a

v ′ a a

δ ω ω ′ a a

∑ ′ , a a

−

(1.35)

2 |

(

) .

abs σ B

p v | b

′ b b

δ ω ω ′ b b

∑ ′ b b ,

(1.36)

abs

Bσ có thể xem như là phổ phát xạ của phân tử A và phổ hấp thụ của

Aσ và

Ở đây

phân tử B trong trạng thái cân bằng. Nếu hàm Green là một hàm biến đổi chậm theo tần số

wω ω w ( ( )  

so với phổ phát xạ và phổ hấp thụ, ta có thể thay và viết lại biểu thức (1.33)

như sau

)

(

)

) .

em dω ωσ ωσ ω = ( ( w w  A

abs B

∫

(1.37)

Biểu thức này cho thấy sự chồng chập phổ phát xạ và phổ hấp thụ của phân tử cho và

phân tử nhận xuất hiện trong lý thuyết của Förster.

Bây giờ, ta sẽ chuẩn hóa tốc độ truyền năng lượng giữa hai phân tử khi đặt gần một vật

Γ =

thể vĩ mô bằng cách chia cho giá trị tốc độ truyền trong không gian tự do

(1.38)

d | d |

ω d ) , A ω d ) ,

2 | 2 |

w  w  0

G B G 0

r r ( , A B r r ( , B A

ωr r ) ,

0 (

là hàm Green trong không gian tự do. Đây là công thức tổng quát, có trong đó

giá trị cho tất cả các cấu hình hình học của vật thể vĩ mô và cho phép xem xét đầy đủ tán sắc

và hấp thụ của môi trường. Trong chương tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày hàm Green cho

khối trụ.

CHƯƠNG 2: HÀM GREEN CHO KHỐI TRỤ ĐIỆN MÔI VÔ HẠN

2.1. Hàm Green cho khối trụ vô hạn

Từ những tính toán ở phần trước, để tính toán tốc độ truyền năng lượng giữa hai phân tử

ta cần biết hàm Green. Hàm Green cho hệ trụ trải dài tới vô hạn và có N lớp đã được tính

trong [12]. Ở đây ta sẽ trình bày tóm tắt kết quả của [12], đồng thời viết hàm Green ở dạng

tường minh để chuẩn bị cho các bước tính toán số tiếp theo. Giả sử phân tử cho được đặt ở

1, 2,...

)

1, 2,...

)

, lớp s ( và phân tử nhận được đặt ở lớp f (

Hình 2.1. Cấu trúc hình học của khối trụ nhiều lớp.

hàm Green cho hình trụ gồm nhiều lớp phải thỏa mãn những điều kiện biên sau đây

ˆ r

= × ˆ r

G + f ( 1)

(

+ 1)

∇ × ×

(2.1)

(2.2)

ˆ r

1 µ f

+ 1

1 µ f

−

1, 2,...

1) .

trong đó là bán kính của những lớp của khối trụ (

fsG chúng ta sử dụng phương pháp tổ hợp các sóng.

Để tìm được dạng của hàm Green

Hàm Green sẽ được tách thành hai phần gồm hàm Green không biên (hệ vật chất đồng nhất

esG .

0eG và hàm Green tán xạ

chiều không gian)

(2.3)

r r ( ,

′ )

r r ( ,

′ ) .

G 0

s fs ′ + Gδ ) f es

0eG có dạng

+∞

∞

)

Hàm Green không biên

  rr

' r

= −

)

( , ' r r

G 0

∑∫ dh

i π 8

−∞

δ − ( r 2 k s

0 δ − n 2 η s

−

(

)

( ) h

− + ) h

( ) h

(2.4)

M

N

' N

M

e o

η n s

e o

η n s

(1) e η n s o

−

(

)

( ) h

− + ) h

( ) h

M

N

' N

e o

η n s

e o

η n s

(1) e η n s o

  ×   

+∞

∞

)

Thành phần mô tả tán xạ do sự có mặt của hệ trụ có dạng

, ( ' r r

fs es

∑∫ dh

i π 8

−∞

0 δ − n 2 η s

−

− + −

−

)

(

)

(

)

M

N δ f

1 δ s

N δ s

fs ) C 1 H

fs ) C' 1 H

′ e o

η n s

(1) ′ e η n s o

 ( ) (1 h  

  

(1) e η n o f

  

−

− + −

−

+ − (1

)

(

)

(

)

N

N δ f

1 δ s

N δ s

fs ) C 1 V

fs ) C' 1 V

η n s

′ e o

(1) ′ e η n s o

 ( ) (1 h  

  

(1) e η n f o

−

− + −

−

+ − ( 1

)

(

)

(

)

) C

) C'

N

M

N δ f

1 δ s

N δ s

fs 2 H

′ e o

η n s

(1) ′ e η n s o

 ( ) (1 h  

  

(1) o η n e f

−

− + −

−

+ − (1

)

(

)

(

)

) C

) C'

M

N

N δ f

1 δ s

N δ s

fs 2 V

′ e o

η n s

(1 ) ′ e η n o s

 ( ) (1 h  

  

(1) o η n e f

−

− + −

−

+ − (1

)

(

)

M

(

)

M

1 δ f

1 δ s

N δ s

fs ) C 3 H

f s ) C' 3 H

e o

′ e o

η n f

η n s

(1) ′ e η n s o

 ( ) (1 h  

  

−

− + −

−

+ − (1

)

(

)

(

)

N

1 δ f

1 δ s

N δ s

fs ) C 3 V

fs ) C' 3 V

e o

η n f

′ e o

η n s

(1) ′ e η n o s

 ( ) (1 h  

  

−

− + −

−

+ − (1

)

(

)

(

)

) C

) C'

N

M

1 δ f

1 δ s

N δ s

fs 4 H

o e

η n f

′ e o

η n s

(1) ′ e η n s o

 ( ) (1 h  

  

−

− + −

−

+ − (1

)

) C

(2.5)

M

N

(

)

(

)

) C'

N

1 δ f

1 δ s

N δ s

fs 4 V

o e

η n f

′ e o

η n s

) (1 ′ e η n o s

 ( ) (1 h  

  

}

trong đó s và f là thứ tự của các lớp chứa phân tử cho và phân tử nhận. Chỉ số trên N

...

fs fs C C , 1 H 1 V

sδ là số lớp của khối trụ. Các hệ số

trong được xác định từ các điều kiện biên

(2.1) và (2.2) và được cho trong [12] dưới dạng nghiệm của các phương trình hồi quy.

N

Trong biểu thức của hàm Green ở công thức (2.5) là các hàm cơ sở của

M và fnη

e o

fnη

sóng trụ, chúng có dạng như sau

ihz

)

(

M

ˆ z

( ) h

φ ) n e

(1) n

η ( f

cos in s

 ∇ = × 

 

(1) e η n f o

)

∂ H

)

(1) n

η ( f

(1) n

ihz

ˆ φ

−

(

( 2.6)

φ ˆ r ) n

(

φ n )



cos si n

sin os c

η ( f ∂ r

   

   

ihz

cos sin

(1) n

(1) e η n f o

2 f

1 = ∇ ) ( H r φ ) n e ( ) h ˆ z N η ( f  ×    + h n

(1) n

z ih

cos sin

o s c sin

sin cos

(1) n

2 f

(2.7) ) ∂ H r 1 = ( ) ( ) ) ( . H r H r φ ) n e  φ ) n r  z  η ( f  2 φ η + φ n f η ( f η ( f ∂ r ihn r + h n        

(1) (

rη là hàm Hankel loại 1. Trị riêng

)

fη và hằng

Trong các công thức (2.6) và (2.7)

fk ở lớp f có dạng

−

2 f

2 η f

số truyền

2 f

ω µ ε f

(2.8)

fε là độ từ thẩm và hằng số điện môi ở lớp thứ f .

fµ và

trong đó

2.2. Các hệ số phản xạ

Để tính toán số, ta cần biết dạng tường minh của các hệ số phản xạ C trong (2.5). Chúng

, H V

)

là nghiệm của các phương trình hồi quy, với các phân cực TE và TM được kí hiệu bởi H và

C

F

C

A + 1 1

A 2

s δ f

( ff

( , H V fs

) f

) s

( , H V F ( ) + 1 f

( (

, H V ) + 1 f

 

 

 

 

(2.9)



N f

1 s

N f

N s

fs C  1 H V ,



fs C'  1 H V ,





N f

1 s

N f

N s

H V ,

fs  2



fs  2



ở đây các ma trận cho hệ số C là

C

;



 H V , fs



1 f

1 s

1 f

N s

H V ,

fs C  3



fs C'  3



1 f

1 s

1 f

N s

H V ,

 1  1  1  1

   

 1  1  1  1

 1  1  1  1

   

fs  4



fs  4



  1     1     1     1  

           

(2.10)

các ma trận hằng

, ; (2.11)

A 1

A 2

1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

     

     

     

     

∂

a j m

(1) n

)

ζ j

(1) n

a j m

)

( η

)

 

 

 

 



( η n ∂ a m

( η ∂ a m

ρ j

(1) n

a j m

và các ma trận F cho bởi

F

H jm

∂

a j m

τ j

a j m

) )

a m ( η ( η

) )

ζτ j j

a j m

)

( η

 

 

 

 

(1) n ∂ a m

(1) n a m

( ζ η J j n a m ( ρ η J j n ( η n ∂ a m

τ ρ j j

(1) n

a j m

( ζτ η J j n a m ( τ ρ η J j n

)

( η

)

     =       

           

∂

a j m

(1) n

a j m

)

ζ j

(1) n

a j m

( η

)

 

 

 

 

( η ∂ a m

( η n ∂ a m

a j m

ρ j

(1) n

a j m

(2.12)

F

V jm

∂

a j m

τ j

a j m

) )

a m ( η ( η

) )

ζτ j j

a j m

( η

)

 

 

 



(1) n ∂ a m

(1) n a m

( ζ η J j n a m ( ρ η J j n ( η n ∂ a m

τ ρ j j

(1) n

a j m

( η

)

( ζτ η J j n a m ( τ ρ η J j n

)

     =   τ j     

           

(2.13)

− là chỉ số của các lớp và bán kính của khối trụ tương ứng

1, 2,...

và với

với lớp đó và

ρ = j

τ j

ζ = j

ihn k

ε j µ j

)2 ( η j jk

, , . (2.14)

Trong (2.12) và (2.13) dấu phía trên dành cho hàm chẵn và dấu phía dưới dành cho hàm

lẻ. Các phương trình (2.5) cho hàm Green và (2.9) cho các hệ số phản xạ là các phương

trình tổng quát cho hệ trụ có số lớp bất kỳ. Trong phần phụ lục và trong chương sau chúng

tôi trình bày chi tiết trường hợp hệ trụ hai và ba lớp.

CHƯƠNG 3: TỐC ĐỘ TRUYỀN NĂNG LƯỢNG ĐỐI VỚI HỆ TRỤ

HAI LỚP

3.1. Công thức tường minh cho tốc độ truyền năng lượng

s= = , là lớp bên ngoài khối trụ. Từ (2.5) hàm Green tán xạ trong trường hợp này có

Chúng ta xét trường hợp phân tử cho và phân tử nhận được đặt cùng ở lớp thứ nhất

+∞

)

dạng

r r ( ,

′ = )

11 es

∫ −∞

i π 8

∞ ∑ = n 0

0 δ − n 2 η 1

−

M

N

h ( )

(

− + )

h ( )

(

)

11 ′ C 1 H

11 ′ h C 1 V

η n 1

(1) e o

(1) ′ e o

(1) e o

(1) ′ e o

  

h C

M

N

M

h ( )

(

− + )

h ( )

(

11 ′ 2 H

11 ′ 2 V

η n 1

(1) o e

(1) ′ e o

(1) o e

(1) ′ e o

 −  h ) . 

(3.1)

Đối với hàm Green trong chân không, ta có thể viết trong hệ tọa độ trụ hoặc trong hệ tọa

+∞

∞

)

độ Đề các. Hàm Green trong chân không trong hệ tọa độ trụ có dạng

  rr

r

= −

)

( , r r '

G 0

∑∫ dh

i π 8

−∞

− δ ( r 2 k s

0 − δ n 2 η s

−

(

)

M

N

M

( ) h

− + ) h

( ) h

N '

e o

η n s

e o

η n s

(1) e η n s o

−

(

)

M

N

( ) h

− + ) h

( ) h

N '

e o

η n s

e o

η n s

(1) e η n s o

  ×   

(3.2)

ikR

−

)

Và trong hệ tọa độ Đề các có dạng

r r ( , '

k π 4

⊗ R R 2 R

1 3 k R

i 2 k R

⊗ R R 2 R

1 kR

  

  

  

  

  

  

  

(3.3)

với

= − R r r .

Đối với một phân tử bất kỳ, mômen lưỡng cực của phân tử có thể định hướng theo các

phương khác nhau. Trong trường hợp của bài toán đang xét ta giả định phân tử cho và phân

tử nhận cùng có mômen lưỡng cực định hướng theo phương Oz .

N

Khi cho các phân tử định hướng theo trục z thì chỉ các số hạng của

M và fnη

e o

fnη

M không chứa

e o

fnη

chứa ˆz mới đóng góp vào tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng. Do

thành phần ˆz (xem (2.6)), chỉ có số hạng thứ hai trong (3.1) có đóng góp

+∞

−

N

r r ( ,

(

) .

11 es

) 11 ′ C 1 V

∫ −∞

 

′ ) 

i π 8

η n 1

(1) e o

(1) ′ e o

∞ ∑ = 0 n

0 − δ n 2 η 1

(3.4)

3.1.1. Hai phân tử cùng đặt trên đường thẳng song song với trục Oz bên ngoài

khối trụ.

= . Vậy tọa độ của hai phân tử lúc

Az = ,

Bφ φ=

R= B

Để cho đơn giản ta chọn ,

, 0, 0)

(

, 0,

)

AR=r (

này lần lượt là và như trong hình 3.1 Thành phần zz của hàm

+∞

)

Green tán xạ lúc này có dạng

( , r r A B

) ′ C V 1

11 G es

∫ −∞

 

 

i π 8

∞ ∑ = n 0

0 δ − n 2 η 1

1 2 k 1

−

2 h R

(

φ n )

(1) n

εµ 1 1

cos n si

(1) n

εµ 1 1

2 h R B

cos sin

)

(

  2 φ η n )   1  

 2 η  1 

  

∑ o e ,

+∞

−

0 δ n

(1) n

′ C ) V 1

( η 1

)

∫ −∞

 

 

i π 8

∞ ∑ = n 0

+ ∞

−

(

) .

cos( h

0 δ n

′ ) C 1 V

(1) n

( η 1

)

∫ 0

 

 

i π 4

∞ ∑ = n 0

2 η 1 2 k 1 2 η 1 2 k 1

(3.5)

r RA

Hình 3.1. Các phân tử đặt cạnh khối trụ trên đường thẳng song song với trục Oz.

1VC′ trong công thức ( 3.5). Sử dụng công thức (10) trong

Bây giờ ta cần xác định hệ số

1VC′ có dạng là

′ = − C 1 V

A D

phụ lục ta thu được hệ số

(3.6)

−

)

= A H

) R J

η ( 1

η ( 2

(1) n

2 n

ihn k

2 η 2 k

ε ε 2 µ µ 2

2 η 1 k 1

ihn k 1

  

  

)

∂ J

−

trong đó A và D lần lượt có dạng như sau

)

η ( 1

η ( 2

η ( 2 n ∂ R

η ( 1 n ∂ R

2 ε η 2 1 µ k 1 2

2 ε η 1 2 µ k 1

  

  

)

∂ J

∂ H

−

)

η ( 1

η ( 2

(1) n

η ( 2 n ∂ R

(1) η ( 1 n ∂ R

2 ε η 1 1 µ k 1 1

2 ε η 2 2 µ k 2

  

  

−

)

(1) n

2 n

η ( 1

η ( 2

 

 

ihn k

2 η 2 k

ε ε 2 µ µ 2

2 η 1 k 1

ihn k 1

  

  

)

(1) n

η ( 1

 

η ( n 2 ∂ R

    

2 ε ε η 1 2 µ µ k 1 2

  

  

 ∂ J   

(3.7)

∂ H

∂ R J )

)

−

R J )

)

(1) n

η ( 1

η ( 2

(1) η ( n 1 ∂ R

η ( n 2 ∂ R

2 2 η η 2 1 k k 1

ε 1 µ 1

ε 2 µ 2

   

   

   

   

   

   

∂ H

)

(1) n

η ( 2

 

(1) η ( n 1 ∂ R

2 ε ε η 2 1 µ µ k 2 1

  

  

2     

      

ε µ=

(3.8)

= và ở lớp

1 1

Ta sẽ tính toán cho trường hợp khối trụ nằm trong chân không với

1µ = .

2ε và có

thứ hai là khối trụ có hằng số điện môi

Trong quá trình tính toán số, ta sẽ chuyển các đại lượng về dạng không thứ nguyên như

−

η i

εµ i i

η i

h k

ω A c

2 ω A 2 c

c ω A

h ω / A

  

  

= ⇒ =

λ π

⇒ ⇒ và

R R λ=

η i

πη 2 i

ω π 2 A λ c A

c ω A

ω π 2 c η A i ω c A

η =

. Vì do đó

η 1 . Ak

ở đây

Như vậy sau khi đưa về dạng không thứ nguyên ta thu được hàm Green tán xạ có dạng

∞

+∞

−

là

)

[

)] cos(2

) .

πη 1

11 es

(3.9)

( , r r A B

0 δ n

2 ′ η C ) 1 1 V

(1) n

∑

∫

 

 

k A π 4

Để tính tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng theo công thức (1.34) ta cần biết đóng

Aik R

−

góp của hàm Green trong chân không. Từ công thức (3.3) ta có

)

[

G 0

(3.10)

] r r ( , A B z z

k A π 4

1 3 k R A

i 2 k R A

  

  

R z=

. với

3.1.2. Các phân tử đặt vòng quanh khối trụ nằm trong mặt phẳng Oxy.

, 0, 0)

= , 0

Khi ta đặt hai phân tử A và B đặt trong mặt phẳng Oxy, để bài toán đơn giản ta chọn

AR=r (

Aφ = . Vậy tọa độ của hai phân tử lúc này lần lượt là

(

, 0)

và

=r B

BR φ ,

như trong hình 3.2

B y

Bφ

R A x

O R RA

Hình 3.2. Các phân tử nằm trên mặt phẳng Oxy.

Hàm Green tán xạ lúc này có dạng

+∞

)

11 es

r r ( , A B

) ′ C V 1

∫ −∞

 

 

z z

i π 8

∞ ∑ = n 0

0 − δ n 2 η 1

1 2 k 1

−

2 h R

(

)

(1) n

2 h R B

φ n B

εµ 1 1

cos sin

εµ 1 1

cos sin

)

(

 2 η  1 

  2 φ η n )   1  

  

∑ e o ,

+∞

−

)

(1) n

R B

φ n B

0 δ n

′ C ) V 1

( η 1

)

( η 1

)

∫ −∞

   

 

 

i π 8

∞ ∑ = n 0

+∞

−

cos(

) .

(1) n

R B

φ n B

0 δ n

(1) n

′ C ) V 1

( η 1

)

( η 1

∫ 0

 

   

 

i π 4

∞ ∑ = n 0

2 η 1 2 k 1 2 η 1 2 k 1

(3.11)

Aik R

−

Hàm Green chân không suy từ (3.3) có dạng

)

[

G 0

(3.12)

] r r ( , A B z z

k A π 4

1 k R A

i 2 k R A

1 3 k R A

  

  

−

cos

2 A

2 R B

R R φ B

A B

với .

3.1.3. Các phân tử nằm trên đường thẳng vuông góc với trục Oz.

Khi ta đặt hai phân tử A và B trên đường thẳng vuông góc với trục Oz. Khi đó để bài

= như hình 3.3. Vậy tọa độ của hai phân tử lúc

= , 0

Aφ φ=

toán đơn giản ta chọn

, 0, 0)

R=r

(

, 0, 0)

AR=r (

R≠ B

này lần lượt là và . , A R

dB dA

r RA

Hình 3.3. Các phân tử nằm trên đường thẳng vuông góc với trục Oz.

+∞

)

11 es

Hàm Green tán xạ lúc này có dạng

r r ( , A B

) ′ C V 1

∫ −∞

 

 

z z

i π 8

∞ ∑ = n 0

0 − δ n 2 η 1

1 2 k 1

−

2 h R

)

(

(1) n

2 h R B

φ n B

εµ 1 1

cos sin

εµ 1 1

cos sin

)

(

  2 φ η n )   1  

  

 2 η  1 

∑ e o ,

+∞

−

(1) n

R B

0 δ n

′ C ) V 1

( η 1

)

( η 1

)

∫ −∞

 

   

 

i π 8

∞ ∑ = n 0

+∞

−

(

(1) n

R B

′ C ) V 1

0 δ n

( η 1

)

( η 1

)

∫ 0

 

   

 

i π 4

∞ ∑ = n 0

2 η 1 2 k 1 2 η 1 2 k 1

(3.13)

Aik R

−

Hàm Green trong chân không có dạng

)

[

G 0

(3.14)

] , ( r r A B z z

k A π 4

1 k R A

i 2 k R A

1 3 k R A

  

  

−

= R R B

. với

3.2. Các cực của hàm Green

Trong việc tính toán giải tích những vị trí xảy ra cộng hưởng cộng hưởng được thể hiện

)(f h là phần dưới dấu tích phân của hàm Green (3.9)

)(f h , với hàm

qua giá trị của hàm

(

= ) Re

)

[

)] cos(2

)

0 δ n

2 η C' 1 V 1

(1) n

η ( 1

∞ −∑ (2 i = 0 n

(3.15)

trong đó chúng tôi lựa chọn lấy phần thực đó vẽ hình.

Hàm Green cho khối trụ có các cực nằm trên nửa trên của mặt phẳng phức của h [8].

≤

Các cực này tương ứng với các cộng hưởng whispering gallery modes (WGM) khi

Re( )h

ε 1

ε 2

ε≤ 1

và các guided modes khi . Các cực này gây khó khăn rất

lớn cho tính toán số. Để minh họa cho sự tồn tại của chúng, trên hình 3.4 và hình 3.5 chúng

f h như là hàm của h cho trường hợp các phân tử đặt trên đường thẳng song song ( )

tôi vẽ

trục Oz.

λ= 1.0 A

, khoảng cách của các Hình 3.4. Vị trí các cộng hưởng ứng với bán kính khối trụ

1.05

λ A

, hằng số điện môi ε =2.0. phân tử với trục Oz là

λ= 4.0 A

Hình 3.5. Vị trí các cộng hưởng ứng với bán kính khối trụ , khoảng cách của các

λ= 4.2 A

phân tử với trục Oz là , hằng số điện môi ε =2.0.

= 2.0 1.44

ε< 2

λ ta chỉ quan sát thấy một vạch cộng hưởng WGM.

. Trong Ta thấy các vạch cộng hưởng rất sắc và đều nằm ở vùng

hình 3.4 với kích thước khối trụ =1.0 A

λ trong hình 3.5) số vạch cộng hưởng tăng cho cả

Khi kích thước khối trụ tăng ( =4.0 A

WGM và guided modes (so sánh hình 3.4 và 3.5).

3.3. Phương pháp lấy tích phân

Có thể thấy từ phương trình (3.10) ở phần trên, việc tính toán tốc độ truyền năng lượng

∞

+∞

dẫn đến việc tính các tích phân có dạng

)

[

)] cos(2

) .

0 δ n

(1) n

2 η C' V 1 1

η ( 1

−∑ i (2

∫

(3.16)

Tại vị trí các cực của hàm Green, việc tính số tích phân trên gặp khó khăn. Do hàm

Green là một hàm giải tích trong mặt phẳng phức [13], ta sẽ áp dụng phương pháp lấy tích

phân theo định lý Cauchy.

Do hàm Green tại vô cực tiến tới không và các cực của hàm Green nằm tại nửa trên của

mặt phẳng phức, ta sẽ thay tích phân theo trục thực của h bằng một tích phân chứa cung

vòng để tránh các vạch cộng hưởng. Khi đó tích phân (3.16) sẽ được tách thành hai phần.

Một tích phân đường theo đường cong mà ta chọn vòng qua các vị trí cộng hưởng và một

tích phân được lấy theo phương pháp bình thường trừ đi phần đã vòng qua các cộng hưởng.

Ta có thể chọn đường cong với các hình dạng khác nhau [13] nhưng để đơn giản ta

chọn đường cong có dạng elip.

Giả sử ta có elip có bán trục lớn là a, bán trục nhỏ là b trong không gian h có trục

)R θ và θ như hình 3.6.

(

hoành là phần thực của h và trục tung là phần ảo của h ,

Im(h)

b a

Re(h) R(θ)

Hình 3.6. Hệ tọa độ cực trong mặt phẳng phức của h.

Ta có phương trình elip như sau

θ ( )

ab 2

θ ( cos ) b

θ ( sin ) a

(3.17)

= Imy

Tiến hành đổi biến lấy tích phân theo đường elip, các bước như sau.

( ) h

, Đặt

( x R θ θ

)cos

( y R θ θ

)sin

, . (3.18) với

→

Tích phân cần chuyển đối với phần ảo có dạng (phần thực cũng chuyển đổi tương tự)

d h

( ) f h

(

)

(

)

∫

. (3.19)

(

)

( ) h

= h R

Trong mặt phẳng phức, h có thể được biểu diễn

( θ θ cos

)

( ) θ θ sin

. (3.20)

Tích phân (3.19) được viết lại như

θ d

( ) f h

(

)

∫

ds θ d

, (3.21)

θ d

dx 2 θ d

dy 2 θ d

trong đó . (3.22)

−

′= R

Từ (3.18) suy ra

( θ θ cos

)

( ) θ θ sin

dx θ d

′= R

, (3.23)

( ) θ θ sin

( θ θ cos

)

dy θ d

, (3.24)

từ đó dẫn ra

′

θ ( )

Rθ + ( )

, (3.25)

trong đó kí hiệu “ ' ” là phép lấy đạo hàm theo q .

−

θ θ

sin cos

)

(

′

= −

Từ (3.17) ta có

( ) θ

3 2

2 θ

cos

sin

(

) θ

(3.26)

′

Cuối cùng, từ (3.19) và (3.21) ta có

d h

θ d

( ) θ

(

)

( ) f h

(

)

∫

. (3.27)

′

Tương tự cho phần thực ta có

d h

θ d

( ) θ

) ( θ

)

(

( ) f h

(

)

∫

. (3.28)

2ε

Im( h )

Re( h )

Hình 3.7. Đường cong lấy tích phân.

CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN

4.1. Các phân tử nằm trong mặt phẳng Oxy

Trước tiên ta kiểm tra độ tin cậy của tính toán số bằng cách phục hồi kết quả của [13]

cho trường hợp hai phân tử nằm trong cùng một mặt cắt Oxy của khối trụ. Đồng thời ta cũng

khảo sát sự phụ thuộc của tốc độ truyền năng lượng vào khoảng cách của nguồn tới bề mặt

2.0.

)

(

Aε ω =

có tán sắc và hấp thụ

0.2

, 0.5

λ A

λ λ , 1.0 A

và độ hấp thụ của vật chất. Trong hình 4.1 là kết quả của [13] cho hằng số điện môi không Tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng đã chuẩn hóa Γ giữa hai phân tử được vẽ cho bốn trường hợp khác nhau của bán kính hình trụ,

0.22

(b) 0.55

và 2.0 Aλ . Trong tất cả các trường hợp phân tử cho là ở nơi có đánh

λ A

,Aλ

dấu “x” bên ngoài hình trụ, với khoảng cách tới tâm ( )a

việc tăng lên hoặc giảm xuống của tốc độ truyền do sự hiện diện của hình trụ.

ε =

0.22

2.0

) a R 1.05

1.0

2.0

λ A Rλ , A

Rλ 0.5 , A

λ 2.2 . A

λ A

Rλ 0.2 , A ) và ( d R

Cả hai

Hình 4.1. Tốc độ truyền năng lượng chuẩn hóa với giá trị trong không gian tự do giữa hai với ( phân tử gần hình trụ điện môi có ( ) ( ) Rλ λ = , c R b R 0.55 , A A phân tử có mômen lưỡng cực hướng theo trục z.

(a) (b)

ε = =

2.0 0.55

0.22

0.2

0.5

λ A

( ) b R 2.2

1.05

1.0

2.0

, và (

Rλ , A Rλ , A

Rλ , A

λ A

. Cả hai phân tử có

Hình 4.2. Đồ thị biểu diễn tốc độ truyền năng lượng chuẩn hóa với giá trị trong với không gian tự do giữa hai phân tử đặt gần hình trụ điện môi có ) ( λ Rλ , a R , A A ) ( ) d R c R A mômen lưỡng cực hướng theo trục z.

Trên hình 4.2 là các kết quả tính số của chúng tôi (Fortran) với tích phân tính theo

đường vòng như trình bày trong mục 3.3. Cách lấy đường vòng này khác với đường vòng

trong [13] gồm một bán kính và một cung tròn. Trục tung là tốc độ truyền năng lượng cộng

hưởng đã chuẩn hóa. Trục hoành là góc giữa bán kính vectơ của hai phân tử A và B. Kết quả

phù hợp tốt trong các trường hợp (a), (b), (c). Trường hợp (d) có sai lệch nhỏ: giá trị cực đại

của Γ ở hình 4.1(d) lớn hơn 10, trong khi trong hình 4.2(d) là nhỏ hơn 9. Các đỉnh tương

ứng với vị trí của các WGM. Khi các phân tử nằm rất gần nhau (đường liền ứng với

2ϕ π

0ϕ và

Γ → ). Đó là vì khi các phân tử nằm rất gần nhau, ảnh hưởng của khối

, ) tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng tiến về giá trị trong

không gian tự do (

trụ trở nên không đáng kể. Các đường cong khác nhau trong hình 4.2 là cho các khoảng

BR khác nhau, tăng cường tốc độ

cách khác nhau từ phân tử nhận tới khối trụ. Cho các

truyền năng lượng cộng hưởng có thể chuyển thành ức chế và ngược lại. Đây là hệ quả của

phân bố không đồng đều trong không gian của các WGM.

Trong hình 4.3 chúng tôi khảo sát sự phụ thuộc của tốc độ truyền năng lượng cộng

hưởng vào hấp thụ của vật chất thể hiện qua phần ảo của hằng số điện môi. Ta thấy tốc độ

truyền giảm khi độ hấp thụ tăng nhưng cấu trúc các đỉnh cộng hưởng hầu như không đổi. Ta

ϕ π= trong hình vẽ.

cũng thấy ảnh hưởng của hấp thụ là lớn nhất khi hai phân tử xa nhau nhất, tương ứng với

(a) (b)

0.22

0.2

''ε

(

λ A

R B =

) a R = 1.05

1.0

2.2

2.0

với

R ) d R

λ A

R B

ε = ( ) b R , = R B

λ A

. Cả hai phân tử có

Hình 4.3. Đồ thị biểu diễn tốc độ truyền năng lượng chuẩn hóa với giá trị trong không và các giá trị khác nhau gian tự do giữa hai phân tử đặt gần hình trụ điện môi có ' 2.0 = λ = λ 0.55 , R 0.5 , của A B A và ( ( ) = c R mômen lưỡng cực hướng theo trục z.

4.2. Các phân tử nằm trên đường thẳng song song với trục Oz.

Sự phụ thuộc của tốc độ truyền năng lượng vào bán kính khối trụ và khoảng cách •

của các phân tử và bề mặt khối trụ.

Tiếp theo ta khảo sát trường hợp các phân tử đặt trên đường thẳng song song với trục

của khối trụ. Trong trường hợp này các guided mode đóng vai trò quan trọng hơn các

WGM. Hình 4.4 trình bày tốc độ truyền năng lượng đã chuẩn hóa Γ như hàm của khoảng

Γ → , tốc độ truyền

cách giữa hai phân tử. Trước tiên ta thấy khi khoảng cách này rất bé

năng lượng cộng hưởng tiến về giá trị trong không gian tự do. Nói cách khác, các phân tử

không “nhìn thấy” khối trụ. Khi khoảng cách tăng, ảnh hưởng của khối trụ cũng tăng. Các

1Γ < . Từ đồ thị ta có thể thấy tồn tại những khoảng cách khi hiệu ứng truyền năng lượng

mode tham gia tương tác giao thoa dẫn đến sự thay đổi của Γ . Khi giao thoa là triệt tiêu

Γ → ). Hiện tượng ức chế hoàn toàn chỉ xảy ra

cộng hưởng bị triệt tiêu gần như hoàn toàn (

1Γ > và hiệu ứng truyền

ở những cực tiểu đầu tiên của Γ . Khi giao thoa là tăng cường,

năng lượng cộng hưởng diễn ra nhanh hơn so với trong không gian tự do. Các đỉnh của Γ

tương ứng với trường hợp các phân tử cộng hưởng tốt với các mode của khối trụ.

Ta thấy Γ có xu hướng tăng (mặc dù dao động) khi khoảng cách phân tử tăng. Điều này

không có nghĩa là giá trị tuyệt đối của tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng có xu hướng

tăng tuyệt đối mà là tăng tương đối so với giá trị trong không gian tự do. Tuy các giá trị cực

trong hình 4.3 cho phân tử nằm trong mặt đại maxΓ trong hình 4.4 tương đương với maxΓ

có thể tăng lớn hơn nữa. Điều này là do kích thước phẳng Oxy (WGM), các giá trị của maxΓ

khối trụ là có giới hạn theo các phương trong mặt cắt trong khi vô hạn theo phương trục.

Tuy nhiên Γ không thể tăng tới vô hạn. Khi khoảng cách các phân tử ngày một lớn, vai trò

của hấp thụ của vật chất cũng sẽ tăng lên và làm giảm Γ . Ta sẽ khảo sát ảnh hưởng của hấp

thụ vật chất trong phần tiếp theo.

Khi khoảng cách giữa các phân tử và bề mặt tăng (đường gạch và đường chấm trong

giảm và cấu trúc các đỉnh giao hình 4.4) ảnh hưởng của khối trụ lên Γ giảm, dẫn tới maxΓ

thoa không rõ ràng. Trên hình (4.5) chúng tôi khảo sát sự phụ thuộc của Γ vào kích thước

khối trụ. Kết quả cho thấy khi kích thước khối trụ thay đổi, vị trí và cường độ các đỉnh cộng

hưởng cũng thay đổi.

Hình 4.4. Sự thay đổi của tốc độ truyền năng lượng khi ta thay đổi khoảng cách giữa các

λ= 0.2

ε= 0,

2.0

R= B

. Với bán kính khối trụ . phân tử và bề mặt trụ A R

Hình 4.5. Sự thay đổi của tốc độ truyền năng lượng khi ta thay đổi bán kính khối trụ.

,Aλ

ε= 0,

2.0

R= B

Khoảng cách từ phân tử đến bề mặt khối trụ được giữ không đổi bằng 0.5

và

• Sự phụ thuộc của tốc độ truyền năng lượng vào độ hấp thụ của vật chất.

Ở trường hợp này chúng ta sẽ xem xét khối trụ có hằng số điện môi là một số phức,

2.0

''i

với . Các kết quả khảo sát được thể hiện qua đồ thị sau

Hình 4.6. Sự phụ thuộc của tốc độ truyền vào độ hấp thụ của môi trường "ε . Ứng với bán

λ= 0.2

0.3

= . 0

R B

zλ , A

kính khối trụ khoảng cách giữa các phân tử và khối trụ

''ε từ 0 đến

310− đường cong hầu như không đổi ở cách

− 1

Từ hình 4.6 ta thấy khi thay đổi

= '' 10

''ε tăng tới

(đường nét gạch) sự khoảng cách z B có giá trị từ 0 tới 3.5 Aλ . Khi

thay đổi trở nên rõ ràng. Ảnh hưởng của sự hấp thụ vật chất đáng kể hơn ở khoảng cách xa

hơn so với khoảng cách gần. Như vậy Γ không thể tăng liên tục khi khoảng cách tăng, mà

sớm muộn sẽ giảm do ảnh hưởng của sự hấp thụ vật chất. Ta cũng có thể thấy tăng hấp thụ

− 3

vật chất có xu hướng làm giảm tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng nhưng không làm thay

= '' 10

110− sử dụng trong

đổi đáng kể vị trí các đỉnh của Γ . Chú ý rằng các các giá trị và

hình vẽ là tương đối lớn so với các vật liệu điện môi thông dụng.

KẾT LUẬN

Trong luận văn này chúng tôi khảo sát hiệu ứng truyền năng lượng cộng hưởng giữa hai

phân tử đặt gần một khối trụ, tập trung vào trường hợp các phân tử đặt bên ngoài khối trụ,

trên một đường thẳng song song với trục hình trụ. Sử dụng các công thức rút ra từ lý thuyết

lượng tử áp dụng được cho vật chất có cả tán sắc và hấp thụ, chúng tôi đã rút ra các biểu

thức giải tích cho tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng thể hiện qua hàm Green và sau đó

sử dụng tính toán số để nhận được các kết quả vật lý. Độ tin cậy của chương trình tính số

được kiểm nghiệm bằng cách phục hồi lại kết quả của các tác giả khác cho trường hợp các

phân tử nằm trong mặt phẳng là mặt cắt của hình trụ.

Kết quả cho thấy khi khoảng cách giữa các phân tử càng xa ảnh hưởng của khối trụ

càng rõ nét (so với trường hợp không gian tự do). Tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng có

thể tăng ít nhất một bậc nhờ sự có mặt của khối trụ. Ngược lại, cũng có thể quan sát thấy

hiện tượng ức chế hoàn toàn hiệu ứng truyền năng lượng cộng hưởng tại khoảng cách phù

hợp do hiệu ứng giao thoa triệt tiêu. Chúng tôi đã khảo sát ảnh hưởng của hấp thụ vật chất

lên tốc độ truyền năng lượng cộng hưởng. Việc tính đến hấp thụ vật chất giúp bài toán trở

nên thực tế và đặc biệt quan trọng ở các khoảng cách xa giữa phân tử cho và phân tử nhận.

Các tính toán trên có thể mở rộng và hoàn thiện theo nhiều hướng khác nhau. Ví dụ như

tính đến các hướng khác của mômen lưỡng cực phân tử. Các hướng khác nhau có mức độ

tương tác khác nhau với các guided mode vì vậy có thể ảnh hưởng đáng kể tới tốc độ truyền

năng lượng cộng hưởng. Các công thức trình bày trong phần phụ lục là bước chuẩn bị cho

các tính toán số cho trường hợp hai phân tử cho và nhận cùng nằm bên trong khối trụ, một

phân tử nằm bên trong và phân tử còn lại nằm bên ngoài. Các công thức cho hệ ba lớp có

thể được sử dụng cho các tính toán cho hệ carbonnanotube.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Avery J. S. (1966), “Resonance energy transfer and spontaneous photon

emission”, Proceedings of the Physical Society, 88(1).

2. Blum C., Zijlstra N., Lagendijk A., Wubs M., Mosk A. P., Subramaniam V.,

Vos W. L. (2012), “Nanophotonic Control of Förter Resonance Energy

Transfer Efficiency”, Physical Review Letters, 109(203601).

3. Druger S. D., Arnold S. and Forlan L. M. (1987), “Theory of enhanced energy

transfer between molecules embedded in spherical dielectric particles”,

Journal of Chemical Physics, 87(2649).

4. H. T. Dung, Knöll L. and Welsch D.-G. (1998), “Three-dimensional quantization

of the electromagnetic field in dispersive and absorbing inhomogeneous

dielectrics”, Physical Review A, 57(3931).

5. H. T. Dung, Knöll L. and Welsch D.-G. (2002), “Intermolecular energy transfer in

the presence of dispersing and absorbing media”, Physical Review A,

65(043813).

6. Fujiwara H., Sasaki K. and Masuhara H. (2005), “ Enhancement of Förster energy

transfer within a microspherical cavity”, A European Journal of Chemical

Physics and Physical Chemistry, 6(2410).

7. Förster T. (1948), “Intermolecular Energy Migration and Fluorescence”, Annals

of Physics, 2(55).

8. Thanopulos I., Paspalakis E., Yannopapas V. (2012), “Plasmon-induced

enhancement of nolinear optical rectification in organic materials”, Physical

Review B, 85(035111).

9. Klimov V. V. and Letokhov V. S. (1998), “Resonance interaction between two

atomic dipoles separated by the surface of a dielectric nanosphere”,

Physical Review A, 58(3235).

10. Kirill A. V., Tigran V. S. (2012), “Long-range plasmon-assisted energy transfer

over doped graphene”, Physical Review B, 86(245432).

11. Le Kien F., Gupta S. D., Nayak K. P. and Hakuta K. (2005), “Nanofiber- mediated radiative transfer between two distant atoms”, Physical Review A, 72(063815).

12. Li L.-W., Leong M.-S., Yeo T. –S. and Kooi P.-S (2000) , “Electromagnentic Dyadic Green’s Function in spectral domain for multilayered cylinders”, Journal of Electromagnetic Waves and Aplication, 14(961).

13. Marocico C. A. and Knoester J. (2009), “Intermolecular resonance energy

transfer in the presence of a dielectric cylinder”, Physical Review A,

79(053816).

14. Purcell E. M. (1946), “Spontaneous emission probabilities at radio frequencies”,

Physical Review, 69(674).

15. Vitaliy N. P. and Tigran V. S. (2011), “ Resonance energy tranfer near metal

nanostructures mediated by surface plasmons”, Physical Review B,

83(085427).

PHỤ LỤC

CÁC PHƯƠNG TRÌNH XÁC ĐỊNH HỆ SỐ PHẢN XẠ CHO HỆ TRỤ HAI VÀ

BA LỚP

−

H V ,

)

H V ,

)

Ta đưa vào các ma trận chuyển

(1)

T

F

( f

H V , ij ) (

(

H V ( , + f 1)

) f

( ff

=  τ 

 

=  

 

 

 

× 4 4

− 1

)H V ,

H V , ( ) f+F ( 1) f

( fT

là ma trận nghịch đảo của ma trận và là ma trận 4 4× . với

F (

H V ( , + f 1)

) f

 

 

H V ,

)

−

Khi đó chúng ta có thể viết lại phương trình (2.8) dưới dạng như sau

C

T

C

, H V + f (

s δ f

A 2

s δ f

A (2) 1 1 . +

( f

( H V , fs

 

 

H V ,

)

H V ,

)

(

)H V ,

Như vậy, vấn đề bây giờ là chúng ta phải giải N phương trình ma trận thu được từ hệ

NsC

( 1

( 2

thức (2.16) để tìm các hệ số , ,... . Đối với một khối trụ nhiều lớp thì có

thể có ba trường hợp là: điểm nguồn ở lớp ngoài cùng, điểm nguồn ở lớp trung gian và điểm

nguồn ở lớp trong cùng. Từ phương trình (2) chúng ta thu được hệ thức truy hồi khi điểm

)

H V ,

)

H V ,

)

...

nguồn ở vị trí bất kỳ là

C

T

( T s

( T 1

H V ( , . C s 1

H V ( , fs

( f

H V , − 1

H V ( ,  T  − s 1

−

− − s

+ − (1

u f ) (

− − (1

u f ) (

)

N δ s

1 δ s

(3)

A 2

A 1

 

u x = nếu ( ) 1

0x ≥ và

u x = nếu ( ) 0

0x < .

ở đây hàm

Bằng cách đặt f N= trong phương trình (3), ta thu được phương trình ma trận cho các

hệ số ở lớp đầu tiên và lớp trong cùng. Giải các phương trình ma trận này ta thu được các hệ

số cho lớp đầu tiên và lớp trong cùng. Bây giờ ta định nghĩa ma trận chuyển có dạng như

)

H V ,

)

...

(4)

T (

K H V ,

)

K H V ( ij

( T K

H V , − 1

( T N

H V , − 2

H V , + 1

τ  

 

(  T  N

   

 

(  T  K

   

 

× 4 4

Khi chúng ta xét lớp đầu tiên thì các hệ số có thể thu được từ phương trình ma trận sau

)

, H V

−

)

1 δ s

1 s ) C 1( , H V

N δ s

1 s ′ ) C 1( , H V

)

, H V

−

) C

1 s 2(

)

1 δ s

, H V

N δ s

1 s ′ , 2( H V

   

   

)

−

1 δ s

)

) 0 0

  

      

)

, H V

−

)

N δ s

−

)

0 (1 0

τ 1( 12 τ 1( 22 τ ( s H V 12 τ ( s H V 22 τ ( s 14 τ ( s H V 24

τ  1(  11  =  τ 1(     21 τ  ( s H V  11 ×   ( s H V τ    21 τ ( s H V  13  τ ( s H V   23

      

   .    

(5)

)

, H V

−

) C

Ns 3(

)

′ 3(

)

1 δ s

, H V

N δ s

Ns , H V

1 s C 1( , H V

1 s ′ C 1( , H V

)

, H V

−

) C

Ns 4(

)

1 s 2(

)

1 δ s

, H V

N δ s

Ns ′ 4( , H V

, H V

1 s ′ , 2( H V

   

   

   

   

   

)

−

1 δ s

−

Tương tự ta cũng thu được các hệ số ứng với lớp cuối cùng như sau

)

V ,

)

) 0 0

  

)

−

)

N δ s

)

0 (1 0

  

τ 1( 32 τ 1( 42 τ ( s H V 32 τ ( s H 42 τ s H V ( 34 τ s H V ( 44

τ 1(  31  τ 1(   41 τ ( s H V  31  ( s H V τ   41 τ s H V (  33 +  τ s H V (   43

             

(6)

Thay các hệ số trong phương trình (5) và (6) vào phương trình (3) ta thu được các hệ số

của hàm Green tán xạ.

1. Áp dụng đối với khối trụ hai lớp

s = , khi đó hàm Green có

1.1. Điểm nguồn nằm bên ngoài khối trụ

Khi điểm nguồn được đặt ở vị trí bên ngoài của khối trụ (

thể được viết dưới dạng như sau:

f = 1

∞

+∞

)

′ = )

với trường hợp

( , r r

11 es

∑

∫

−∞

i π 8

0 δ − n 2 η 1

−

(

− + )

(

)

( ) h

(7)

N

M

N

11 ′ C 1 H

11 ′ h C 1 V

η n 1

(1) e o

(1) ′ e o

(1) e o

(1) ′ e o

  

(

− + )

( ) h

h C

( ) h

N

M

N

11 ′ 2 H

11 ′ 2 V

η n 1

(1) o e

(1) ′ e o

(1) o e

(1) ′ e o

 −  ) . h 

f = ta có

Tương tự đối với trường hợp

∞

+∞

)

r r ( ,

′ = )

21 es

∑

∫

−∞

i π 8

0 − δ n 2 η 1

−

(8)

N

h ( )

(

− + )

h ( )

(

)

M

N

21 ′ C 3 H

21 ′ h C 3 V

η n 1

e o

η n 1

(1) ′ e o

  

h C

N

h ( )

(

− + )

h ( )

(

M

21 ′ 4 H

21 ′ 4 V

η n 1

o e

η n 1

(1) ′ e o

 −  h ) . 

1s = như sau

)

H V ,

)

H V ,

)

...

Áp dụng phương trình (2.17), ta thu được hệ thức truy hồi cho trường hợp

C

A . (9)

( T 1

( 11

( f

H V , 1

H V ( , f − 1

 T 

 

 

 

f = trong phương trình (9) các hệ thức truy hồi sẽ được thỏa mãn bởi các hệ số ma trận ở vùng bên trong và bên ngoài của khối trụ. Các hệ số chưa biết ở vùng bên ngoài có thể được thể hiện thông qua phương trình ma trận có dạng như sau

− 1

H V ,

)

H V ,

)

H V ,

)

11 ′ H V 1( ,

)

= −

Bằng cách đặt

H V ,

)

H V ,

)

H V ,

)

11 ′ 2(

H V ,

)

   

τ 1(  11  τ 1(   21

τ 1( 12 τ 1( 22

τ 1(  13  τ 1(   23

   

   

   

. (10)

Sử dụng các hệ số trong phương trình (10), ta có thể viết các hệ số cho vùng bên trong

H V ,

)

H V ,

)

H V ,

)

N 1 ′ H V 3( ,

)

11 ′ H V 1( ,

)

= −

khối trụ như sau

H V ,

)

H V ,

)

H V ,

)

N 1 ′ H V 4( ,

)

11 ′ 2(

H V ,

)

   

τ 1(  31  τ 1(   41

τ 1( 32 τ 1( 42

τ 1(  33  τ 1(   43

   

   

   

   

   

. (11)

Như vậy, tất cả các hệ số của hàm Green tán xạ đối với khối trụ hai lớp khi điểm nguồn

nằm bên ngoài hình trụ đã thu được.

1.2. Điểm nguồn nằm bên trong khối trụ

Khi điểm nguồn nằm bên trong khối trụ thì hàm Green sẽ có dạng như sau:

f = 1

∞

+∞

)

với trường hợp

r r ( ,

′ = )

12 es

∑

∫

−∞

i π 8

0 − δ n 2 η 2

−

N

M

N

h ( )

(

− + )

h ( )

(

)

12 C H 1

12 h C V 1

′ e o

η n 2

(1) e o

η n 1

  

(12)

N

M

N

h C

(

h ( )

(

− + )

h ( )

12 H 2

12 V 2

′ e o

η n 2

) (1 o e

(1) o e

η n 1

 −  h ) . 

f = 2

Với trường hợp

+∞

)

r r ( ,

′ = )

22 es

∫ −∞

i π 8

∞ ∑ n 0

0 − δ n 2 η 2

−

(13)

M

N

h ( )

(

− + )

h ( )

(

)

22 C H 3

22 h C V 3

′ e o

e o

′ e o

e o

η n 2

 

M

N

M

h C

h ( )

(

− + )

h ( )

(

22 H 4

22 V 4

′ e o

o e

′ e o

o e

η n 2

 −  h ) .

− 1

)

Tương tự ta có phương trình truy hồi có dạng

H V ( , fN

)

= − (14) − u f N ( ) . C A 1

(1) T H V , (

H V ( , ). C N 1

f ( )  T  H V , (

 

Do đó, các hệ số của hàm Green tán xạ có thể thu được từ phương trình (14) bằng cách

− 1

)

, H V

12 1(

)

, H V

vào phương trình. Kết quả là đối với lớp đầu tiên ta thu được đặt f N=

)

, H V

  1   0  

12 2(

)

, H V

   

τ 1(  11  τ 1(   21

τ 1( 12 τ 1( 22

   

   

(15)

− 1

H V ,

)

H V ,

)

22 3(

H V ,

)

12 C 1(

H V ,

)

Bằng cách áp dụng các hệ số của lớp đầu tiên trong phương trình (15) ta có thể thu được

H V ,

)

H V ,

)

τ 1( 32 τ 1( 42

22 4(

H V ,

)

12 2(

H V ,

)

τ 1(  31 =  τ 1(   41

   

   

   

   

   

(16)

2. Áp dụng đối với khối trụ ba lớp

Trong trường hợp khối trụ là một môi trường ba lớp, hàm Green và các hệ số của nó có thể thu được bằng cách cho 3N = , tương ứng với thứ tự của các lớp. Tương tự như ví dụ trên, các kết quả thu được là cho tất cả các mode.

2.1. Điểm nguồn ở lớp đầu tiên

s = , hàm Green có thể viết dưới dạng là:

f = 1

Khi điểm nguồn được đặt ở lớp thứ nhất (

+∞

)

′ = )

với trường hợp

( , r r

11 es

∫ −∞

i π 8

∞ ∑ = 0 n

0 δ − n 2 η 1

−

h ( )

(

− + )

h ( )

(

)

(17)

N

M

N

1 1 ′ C M 1 H

11 ′ h C 1 V

η n 1

(1) e o

(1) ′ e o

(1) e o

(1) ′ e o

  

h C

N

M

N

h ( )

(

− + )

h ( )

(

11 ′ H 2

1 1 ′ M V 2

η n 1

(1) o e

) (1 ′ e o

(1) o e

(1) ′ e o

 −  h ) . 

f = 2

+∞

)

′ = )

Với

( , r r

21 es

∫ −∞

i π 8

∞ ∑ = 0 n

0 δ − n 2 η 1

−

(

− + )

(

)

( ) h

M

N

21 ′ C 1 H

21 ′ h C 1 V

η n 2

η n 1

η n 2

η n 1

(1) e o

(1) ′ e o

(1) e o

(1) ′ e o

  

−

(

− + )

(

)

( ) h

h C

( ) h

(18)

M

N

M

21 ′ 2 H

21 ′ 2 V

η n 2

η n 1

η n 2

(1) o e

−

( ) h

M

(

− + )

(

)

( ) h

N

21 ′ C 3 H

21 ′ h C 3 V

η n 2

η n 1

(1) e o

(1) ′ e o (1 ) ′ e o

η n 1

η n 2

(1) ′ e o (1) ′ e o

(1) e o

(

− + )

( ) h

h C

N

M

N

M

21 ′ 4 H

21 ′ 4 V

η n 2

η n 1

η n 2

η n 1

(1) o e

( 1) ′ e o

(1) o e

(1) ′ e o

 −  ) . h 

f = 3

∞

+∞

)

Với

r r ( ,

′ = )

31 es

∑

∫

−∞

i π 8

0 − δ n 2 η 1

−

M

N

h ( )

(

− + )

h ( )

(

)

3 1 ′ C 3 H

31 ′ h C 3 V

(1) e o

(1) ′ e o

(1) e o

(1) ′ e o

η n 3

η n 1

η n 3

η n 1

  

h C

(19)

N

M

N

h ( )

(

− + )

h ( )

(

31 ′ 4 H

1 3 ′ M 4 V

(1) o e

) (1 ′ e o

(1) o e

(1) ′ e o

η n 3

η n 1

η n 3

η n 1

 −  h ) . 

H V ,

)

H V ,

)

H V ,

)

H V ,

)

H V ,

)

H V ,

)

H V ,

)

H V ,

)

Từ phương trình (4) ta có

(1) H V ,

(20)

T (

)

H V ,

)

H V ,

)

H V ,

)

H V ,

)

H V ,

)

H V ,

)

H V ,

)

H V ,

)

1( τ 12 1( τ 22 1( τ 32 1( τ 42

1( τ 13 1( τ 23 1( τ 33 1( τ 43

1( τ 14 1( τ 24 1( τ 34 1( τ 44

1( τ  11  1( τ  21  1( τ 31  1( τ  41

     

)

H V , ( 2(11)

H V , ( 2(12)

H V , ( 2(13)

H V , ( 2(14)

)

H V , ( 2(21)

H V , ( 2(22)

H V , ( 2(23)

H V , ( 2(24)

và

(21)

(2) T H V ( ,

)

H V , ( 2(31)

H V , ( 2(32)

H V , ( 2(33)

H V , ( 2(34)

)

H V , ( 2(41)

H V , ( 2(42)

H V , ( 2(43)

H V , ( 2(44)

       

       

H V ,

)

Các yếu tố ma trận trong phương trình (20) được biểu diễn như sau

1( 11

H V , ( 1(11)

H V , ( 2(11)

H V , ( 1(21)

H V ( , 2(12)

H V , ( 1(31)

H V , ( 2(13)

H V , ( 1(41)

H V , ( 2(14)

(22a)

H V ,

)

τ 1( 12

H V , ( 1(12)

H V , ( 2(11)

H V , ( 1(22)

H V ( , 2(12)

H V , ( 1(32)

H V , ( 2(13)

H V , ( 1(42)

H V , ( 2(14)

)

, H V

(22b)

τ 1( 13

, ( H V 1(13)

, ( H V 2(11)

, ( H V 1(23)

( , H V 2(12)

, ( H V 1(33)

, ( H V 2(13)

, ( H V 1(43)

, ( H V 2(14)

)

H V ,

)

(22c)

τ 1( 14

H V , ( 1(14)

H V , ( 2(11)

H V , ( 1(24)

H V , ( 2(12)

H V , ( 1(34)

H V , ( 2(13)

H V , ( 1(44)

H V , ( 2(14)

)

, H V

(22d)

τ 1( 21

, ( H V 1(11)

, ( H V 2(21)

, ( H V 1(21)

( , H V 2(22)

, ( H V 1(31)

, ( H V 2(23)

, ( H V 1(41)

, ( H V 2(24)

)

, H V

(22e)

τ 1( 22

, ( H V 1(12)

, ( H V 2(21)

, ( H V 1(22)

, ( H V 2(22)

, ( H V 1(32)

, ( H V 2(23)

, ( H V 1(42)

( , H V 2(24)

)

H V ,

)

(22f)

τ 1( 23

H V , ( 1(13)

H V , ( 2(21)

H V , ( 1(23)

H V , ( 2(22)

H V , ( 1(33)

H V , ( 2(23)

H V , ( 1(43)

H V ( , 2(24)

)

, H V

(22g)

τ 1( 24

, ( H V 1(14)

, ( H V 2(21)

, ( H V 1(24)

, ( H V 2(22)

, ( H V 1(34)

, ( H V 2(23)

, ( H V 1(44)

( , H V 2(24)

)

, H V

(22h)

τ 1( 31

, ( H V 1(11)

, ( H V 2(31)

, ( H V 1(21)

, ( H V 2(32)

, ( H V 1(31)

, ( H V 2(33)

, ( H V 1(41)

( , H V 2(34)

)

, H V

(22i)

τ 1( 32

, ( H V 1(12)

, ( H V 2(31)

, ( H V 1(22)

, ( H V 2(32)

, ( H V 1(32)

, ( H V 2(33)

, ( H V 1(42)

( , H V 2(34)

)

, H V

(22j)

1( 33

, ( H V 1(13)

, ( H V 2(31)

, ( H V 1(23)

, ( H V 2(32)

, ( H V 1(33)

, ( H V 2(33)

, ( H V 1(43)

, ( H V 2(34)

)

, H V

(22k)

1( 34

, ( H V 1(14)

, ( H V 2(31)

, ( H V 1(24)

, ( H V 2(32)

, ( H V 1(34)

, ( H V 2(33)

, ( H V 1(44)

( , H V 2(34)

)

, H V

(22l)

1( 41

, ( H V 1(11)

, ( H V 2(41)

, ( H V 1(21)

, ( H V 2(42)

, ( H V 1(31)

, ( H V 2(43)

, ( H V 1(41)

( , H V 2(44)

)

H V ,

)

(22m)

1( 42

H V , ( 1(12)

H V , ( 2(41)

H V , ( 1(22)

H V , ( 2(42)

H V , ( 1(32)

H V , ( 2(43)

H V , ( 1(42)

H V ( , 2(44)

)

, H V

(22n)

1( 43

, ( H V 1(13)

, ( H V 2(41)

, ( H V 1(23)

, ( H V 2(42)

, ( H V 1(33)

, ( H V 2(43)

, ( H V 1(43)

( , H V 2(44)

H V ,

)

(22o)

1( 44

H V , ( 1(14)

H V , ( 2(41)

H V , ( 1(24)

H V ( , 2(42)

H V , ( 1(34)

H V , ( 2(43)

H V , ( 1(44)

H V , ( 2(44)

(22p)

H V ,

)

H V ,

)

Các hệ số của hàm Green tán xạ được cho bởi các hệ thức

11 ′ H VC 1( ,

)

1( 12

τ τ , H V ) 1( − 13

1( 22

( τ τ , H V ) 1( 23

)

1 D 3

H V ,

)

H V ,

)

(23a)

11 ′ H VC 1( ,

)

1( 21

τ τ , H V ) 1( − 23

1( 11

( τ τ , H V ) 1( 13

)

1 D 3

)

(23b)

′ C 1(

21 H V ,

)

11 ′ C ( H V ,

)

11 ′ 2(

H V ,

)

H V , ( 1(11)

H V , ( 1(12)

H V ( , 1(13)

)

(23c)

21 ′ 2(

H V ,

)

11 ′ C ( H V ,

)

11 ′ 2(

H V ,

)

H V , ( 1(21)

H V , ( 1(22)

H V ( , 1(23)

(23d)

)

21 ′ H V 3( ,

)

11 ′ C H V ( ,

)

11 ′ 2(

H V ,

)

H V , ( 1(31)

H V , ( 1(32)

H V ( , 1(33)

)

(23e)

21 ′ 4(

H V ,

)

11 ′ C ( H V ,

)

11 ′ 2(

H V ,

)

H V , ( 1(41)

H V , ( 1(42)

H V ( , 1(43)

H V ,

)

H V ,

)

H V ,

)

(23f)

τ =

τ +

31 ′ H V 3( ,

)

11 ′ C H V 1( ,

)

11 ′ 2(

H V ,

)

1( 31

1( 32

1( 33

H V ,

)

H V ,

)

H V ,

)

(23g)

τ =

τ +

31 ′ 4(

H V ,

)

11 ′ C H V 1( ,

)

11 ′ 2(

H V ,

)

1( 41

1( 42

1( 43

(23h)

H V ,

)

H V ,

)

ở đây

D τ τ

) 1( 22

1( 11

τ τ ) 1( , H V − 21

1( 12

(24)

2.2. Nguồn nằm ở lớp giữa

f = 1

Trong trường hợp này hàm Green có dạng:

+∞

)

với

r r ( ,

′ = )

12 es

∫ −∞

i π 8

∞ ∑ = n 0

0 − δ n 2 η 2

−

M

(

− + )

(

)

12 ′ h C H 1

′ e o

η n 2

1) ( e o

) (1 ′ e o

η n 1

η n 2

  

 12 h C ( )  H 1 

  

−

N

(

− + )

(

)

12 ′ h C V 1

′ e o

η n 2

(1) e o

(1) ′ e o

η n 1

η n 2

  

−

)

N

M

h C

(

− + )

(

2 H

1 2

12 ′ H 2

′ e o

η n 2

(1) o e

(1) ′ e o

η n 1

η n 2

 12 h C ( )  V 1   h C ( )  

−

M

N

h C

(

− + )

(

)

12 ′ V 2

12 V 2

′ e o

η n 2

(1) o e

(1) ′ e o

η n 1

η n 2

  

 h C ( )  

     

(25)

∞

+∞

)

Với f =2

r r ( ,

′ = )

22 es

∑

∫

−∞

i π 8

0 − δ n 2 η 2

−

M

(

− + )

(

)

22 ′ h C 1 H

η n 2

′ e o

η n 2

1) ( e o

(1 ) ′ e o

  

 22 h C ( )  1 H 

  

−

N

(

− + )

(

)

22 ′ h C 1 V

η n 2

′ e o

η n 2

(1) e o

(1) ′ e o

  

−

h C

N

M

(

− + )

(

)

2 2 2 H

22 ′ 2 H

η n 2

′ e o

η n 2

(1) o e

(1) ′ e o

 22 h C ( )  1 V   h C ( )  

  

−

M

N

(

− + )

h C

(

)

22 2 V

22 ′ 2 V

η n 2

′ e o

η n 2

(1) o e

(1) ′ e o

 h C ( )  

  

−

M

(

− + )

(

)

22 ′ h C 3 H

η n 2

′ e o

e o

η n 2

(1) ′ e o

 22 h C ( )  3 H 

  

−

N

(

− + )

(

)

22 ′ h C 3 V

η n 2

e o

′ e o

η n 2

(1) ′ e o

 22 h C ( )  3 V 

  

−

N

M

(

− + )

h C

M

(

)

22 4 H

22 ′ 4 H

η n 2

o e

′ e o

(1) ′ e no η 2

 h C ( )  

  

−

M

N

(

− + )

h C

(

22 4 V

2 2 ′ 4 V

η n 2

′ e o

o e

η n 2

(1) ′ e o

 h C ( )  

 ) .  

(26)

+∞

)

Với f =3

r r ( ,

′ = )

32 es

∫ −∞

i π 8

∞ ∑ = 0 n

0 − δ n 2 η 2

−

M

(

− + )

(

)

32 ′ h C 3 H

η n 3

η n 2

e o

′ e o

  

η n 2

(1) ′ e o

 32 h C ( )  3 H 

  

−

N

(

− + )

(

)

32 ′ h C 3 V

η n 3

η n 2

e o

′ e o

η n 2

(1) ′ e o

  

−

h C

N

M

(

− + )

(

)

32 4 H

3 2 ′ 4 H

η n 3

η n 2

o e

′ e o

η n 2

( 1) ′ e o

 32 h C ( )  3 V   h C ( )  

  

−

(

− + )

h C

(

)

M

N

32 4 V

32 ′ 4 V

η n 2

η n 3

′ e o

o e

η n 2

(1) ′ e o

 h C ( )  

  

  

(27)

Tiếp tục áp dụng kết quả của phương trình (5) và (6) ta thu được các hệ số cho hàm

Green như sau

)

, H V

= −

τ −

)

12 H VC 1( ,

1( 12

1( 22

, ( H V 2(21)

( , H V 2(11)

( τ

)

1 D 3

H V ,

)

H V ,

)

(28a)

12 ′ H VC 1( ,

)

τ 1( − 22

H V , ( 2(23)

H V ( , 2(13)

( τ 1( 12

)

1 D 3

H V ,

)

H V ,

)

= −

(28b)

12 2(

H V ,

)

τ 1( − 11

H V , ( 2(11)

H V ( , 2(21)

)

( τ 1( 21

1 D 3

H V ,

)

H V ,

)

(28c)

12 ′ 2(

H V ,

)

τ 1( − 1 1

H V , ( 2(13)

H V ( , 2(23)

)

( τ 1( 21

1 D 3

)

−

(28d)

22 C 1(

H V ,

)

12 C 1(

H V ,

)

12 2(

H V ,

)

H V , ( 1(11)

H V , ( 1(12)

H V , ( 1(11)

)

(28e)

22 C 1(

)

12 ′ 2(

)

, H V

12 ′ C 1( , H V

, H V

, ( H V 1(11)

, ( H V 1(12)

)

(28f)

22 2(

H V ,

)

12 C 1(

H V ,

)

12 2(

H V ,

)

H V , ( 1(21)

H V , ( 1(22)

)

(28g)

22 ′ 2(

H V ,

)

12 ′ C H V 1( ,

)

12 ′ 2(

H V ,

)

H V , ( 1(21)

H V , ( 1(22)

)

(28h)

22 3(

H V ,

)

12 C 1(

H V ,

)

12 2(

H V ,

)

H V , ( 1(31)

H V , ( 1(32)

)

(28i)

22 ′ H V 3( ,

)

12 ′ C H V 1( ,

)

12 ′ 2(

H V ,

)

H V , ( 1(31)

H V , ( 1(32)

)

(28j)

22 4(

H V ,

)

12 C 1(

H V ,

)

12 2(

H V ,

)

H V , ( 1(41)

H V , ( 1(42)

)

(28k)

22 ′ 4(

H V ,

)

12 ′ C 1( H V ,

)

12 ′ 2(

H V ,

)

H V , ( 1(41)

H V ( , 1(42)

H V ,

)

H V ,

)

−

(28l)

τ =

τ +

32 3(

H V ,

)

12 C 1(

H V ,

)

12 2(

H V ,

)

1( 31

1( 32

H V , ( 2(31)

H V ,

)

H V ,

)

(28m)

τ =

τ +

32 ′ H V , 3(

)

12 ′ C 1( H V ,

)

12 ′ 2(

H V ,

)

1( 31

1( 32

H V , ( 2(33)

H V ,

)

H V ,

)

−

(28n)

32 4(

H V ,

)

12 C 1(

H V ,

)

12 2(

H V ,

)

τ 1( = 41

τ 1( + 42

H V , ( ) R 2(41) ,

H V ,

)

H V ,

)

(28o)

32 ′ 4(

H V ,

)

12 ′ C 1( H V ,

)

12 ′ 2(

H V ,

)

τ 1( = 41

τ 1( + 42

H V , ( 2(43)

(28p)

2.3. Nguồn nằm ở lớp trong cùng

Khi điểm nguồn nằm ở lớp trong cùng của khối trụ ba lớp, hàm Green có dạng như sau:

với f = 1

+∞

)

r r ( ,

′ = )

13 es

∫ −∞

i π 8

∞ ∑ = 0 n

0 − δ n 2 η 3

−

M

N

h ( )

(

− + )

h ( )

(

)

3 1 ′ C M 1 H

13 ′ h C 1 V

η n 1

η n 3

η n 1

η n 3

(1) e o

(1) ′ e o

(1) e o

(1) ′ e o

  

h C

M

N

h ( )

(

− + )

h ( )

(

13 ′ 2 H

3 1 ′ M 2 V

η n 1

η n 3

η n 1

η n 3

(1) o e

(1 ) ′ e o

(1) o e

(1) ′ e o

 −  h ) . 

(29)

+∞

)

Với f = 2

r r ( ,

′ = )

23 es

∫ −∞

i π 8

∞ ∑ = 0 n

0 − δ n 2 η 3

−

M

N

h ( )

(

− + )

h ( )

(

)

23 C 1 H

23 h C 1 V

η n 2

η n 3

η n 2

(1) e o

(1) ′ e o

(1) e o

  

−

h C

N

M

N

h ( )

(

− + )

h ( )

(

)

21 2 H

21 2 V

η n 2

η n 3

η n 2

(1) o e

−

M

N

h ( )

(

)

(

)

( ) h

2 1 C 3 H

21 C 3 V

η n 2

η n 3

) (1 e o

) (1 ′ e o (1) ′ e o

η n 3

η n 2

(1) ′ e o (1) ′ e o

(1) e o

N

M

N

(

− + )

(

( ) h

h C

( ) h

2 1 4 H

21 4 V

η n 2

η n 3

η n 2

(1) o e

(1) ′ e o

(1) o e

 −  ) . h 

(30)

∞

+∞

)

′ = )

Với f = 3

( , r r

3 3 es

∑

∫

−∞

0 − δ n 2 η 3

−

(

− + )

(

)

( ) h

M

N

33 ′ h C 3 V

η n 3

e o

′ e o

e o

i π 8  ′ 33 C  3 H

(

− + )

(

( ) h

h C

( ) h

N

M

N

3 3 ′ 4 H

33 ′ 4 V

η n 3

′ e o

o e

′ e o

 −  ) . h

( 31)

H V ,

)

Các hệ số là

13 H VC 1( ,

)

1 τ= 1( 22 D 3

)

, H V

(32a)

13 2(

)

, H V

1 τ= − 1( 21 D 3

)

(32b)

23 C 1(

H V ,

)

13 C 1(

H V ,

)

13 2(

H V ,

)

H V , ( 1(11)

H V , ( 1(12)

(32c)

)

23 2(

H V ,

)

13 C 1(

H V ,

)

13 2(

H V ,

)

H V , ( 1(21)

H V , ( 1(22)

)

(32d)

23 3(

H V ,

)

13 C 1(

H V ,

)

13 2(

H V ,

)

H V , ( 1(31)

H V , ( 1(32)

)

(32e)

23 4(

H V ,

)

13 C 1(

H V ,

)

13 2(

H V ,

)

H V , ( 1(41)

H V , ( 1(42)

H V ,

)

H V ,

)

− (32g)

τ =

τ +

1 ,

33 3(

H V ,

)

13 C 1(

H V ,

)

13 2(

H V ,

)

1( 31

1( 32

H V ,

)

H V ,

)

(32f)

τ =

τ +

33 4(

H V ,

)

13 C 1(

H V ,

)

13 2(

H V ,

)

1( 41

1( 42

(32h)