Luận văn Thạc sỹ Khoa học: Nghiên cứu didactic toán về mối liên hệ giữa phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ trong dạy học hình học ở lớp 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

—oOo—

VÕ HOÀNG NGHIÊN CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA "PHƢƠNG PHÁP VECTƠ" VÀ "PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ" TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở LỚP 12

Chuyên ngành :LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

Mã số :60.14.10

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

TP. HỒ CHÍ MINH - 2002

Lời Cảm Ơn

Trước hết, cho tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô LÊ THỊ HOÀI CHÂU, khoa

Toán - Tin học Trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh. Cô là người đã bỏ nhiều công

sức và thời gian để dìu dắt, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

Tôi xin cảm ơn Phòng KHCN.SĐH và Trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã

tạo điều kiện cho tôi hoàn thành chương trình và các thủ tục bảo vệ luận văn.

Cho tôi gửi lời cảm ơn đến các Bà : CLAUDE COMITI, ANNIE BESSOT, Thầy LÊ

VĂN TIẾN, Thầy ĐOÀN HỮU HẢI đã nhiệt tình giảng dạy và góp ý giúp tôi hoàn thành luận

văn.

Tôi xin cảm ơn các anh, chị, em và các bạn trong lớp Didactic khóa 11 đã động viên

giúp đỡ tôi trong quá trình làm luận văn. Đặc biệt, cho tôi gửi lời cảm ơn đến anh HOÀNG

HỮU VINH, em TÔ THỊ THANH HÀ, những người thân yêu đã luôn động viên, giúp đỡ tôi đi

đến kết quả cuối cùng.

MỤC LỤC

Chƣơng I - NHỮNG VẤN ĐỀ ĐẶT RA ................................................................................. 1

I. Mở đầu - hệ câu hỏi xuất phát ........................................................................................... 1

II. Khung lý thuyết tham chiếu : ............................................................................................ 4

1. Quan hệ thể chế:............................................................................................................. 4

2. Tổ chức toán học : (Praxéologie mathématique) .......................................................... 6

III. Phƣơng pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn ................................................................ 8

1. Nghiên cứu quan hệ thể chế ........................................................................................... 8

2. Nghiên cứu thực nghiệm ................................................................................................ 8

CHƢƠNG II - NGHIÊN CỨU CHƢƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA TỪ QUAN ĐIỂM CỦA LÝ THUYẾT NHÂN CHỦNG HỌC ................................................................. 10

Mở đầu ................................................................................................................................. 10

I. Phân tích chƣơng trình học ở PTTH ................................................................................. 11

I.1 Chƣơng trình hình học PTTH năm 1989 .................................................................... 11

I.2 Chƣơng trình hình học PTTH chỉnh lí hợp nhất năm 1999 ........................................ 13

II. Vectơ với tƣ cách là công cụ trong SGK hình học 10 ..................................................... 15

II.1. Công cụ vectơ với việc trình bày các nội dung Hình học giảng dạy ở lớp 10. ........ 16

II.2. Các tổ chức toán học liên quan đến phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong Hình học 10 : .......................................................................................................... 19

III. Phƣơng pháp Vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong hình học 12..................................... 24

III.1.Phân tích lý thuyết: Mối liên hệ giữa phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ. 24

III.1.1.Chƣơng I: Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng. ............................................. 25

III.1.2 Chƣơng II: Phƣơng pháp tọa độ trong không gian. .......................................... 29

III.2. Phân tích phần bài tập trong hình học lớp 12 ......................................................... 32

III.2.1 Các kiểu nhiệm vụ nhằm vận dụng trực tiếp các công thức, định nghĩa : ........ 34

III.2.2. Các kiểu nhiệm vụ sử dụng phƣơng pháp vectơ, phƣơng pháp tọa độ để giải toán ............................................................................................................................... 38

CHƢƠNG III : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .................................................................. 49

Mở đầu ................................................................................................................................. 49

I. Hai bài toán thực nghiệm : ............................................................................................... 50

1. Đề bài: .......................................................................................................................... 50

2. Các kiến thức liên quan : ............................................................................................. 50

3. Các biến Didactic ; ....................................................................................................... 51

II. / Phân tích A PRIORI bài toán ........................................................................................ 52

A. Bài toán 1 .................................................................................................................... 52

B. Bài toán 2 : .................................................................................................................. 56

III./ Phân tích A POSTERIORI .......................................................................................... 60

A. Bài toán 1 : .................................................................................................................. 60

B. Bài toán 2 : .................................................................................................................. 61

KẾT LUẬN .............................................................................................................................. 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................... 65

Chƣơng I : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

Chƣơng I - NHỮNG VẤN ĐỀ ĐẶT RA

I. Mở đầu - hệ câu hỏi xuất phát

Hình học sơ cấp có đối tƣợng nghiên cứu là các hình hình học. Ngƣời ta có thể tiếp

cận Hình học sơ cấp ít nhất bằng ba phƣơng pháp khác nhau : phƣơng pháp tổng hợp, phƣơng

pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ.

Phƣơng pháp tổng hợp là phƣơng pháp nghiên cứu hình học trên cơ sở một hệ tiên đề.

Ở đây các hình hình học đƣợc mô tả, biểu diễn bằng các hình vẽ. Hình vẽ có một vai trò quan

trọng vì nó là điểm tựa trực giác cho quá trình tìm tòi và thực hiện lời giải bài toán. Thế

nhƣng, trong nhiều tình huống, một hình vẽ không thể biểu diễn tất cả các trƣờng hợp của

một hình hình học và vì thế lời giải bài toán có thể rất cồng kềnh, ngƣời ta phải xét nhiều

hình vẽ khác nhau.

Phƣơng pháp giải tích : "Với phương pháp này, thông qua trung gian là một hệ tọa

độ, người ta thay thế các đối tượng hình học và quan hệ hình học bằng các đối tượng đại số

và quan hệ đại số. Nói cách khác, người ta dịch các tính chất hình học thành những biểu thức

và phương trình đại số, chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số và làm việc thuần túy

trong lĩnh vực đại số. Ở đây, tính toán đại số là hạt nhân của lời giải bài toán ". (Lê Thị Hoài

Châu, 1997). Nhƣ thế phƣơng pháp tọa độ cho phép đại số hóa hình học để tận dụng các kỹ

thuật của đại số vào nghiên cứu Hình học.

Phƣơng pháp vectơ là phƣơng pháp giải toán hình học bằng cách sử dụng vectơ. ở

đây, với việc định hƣớng các thực thể hình học, ngƣời ta đã xây dựng đƣợc các phép toán đại

số trên chúng và từ đó cũng đại số hóa hình học. Nhƣng, không nhƣ phƣơng pháp giải tích,

với phƣơng pháp vectơ ngƣời ta vẫn ở lại trong phạm vi

Chƣơng I : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

hình học, và do đó có thể khai thác phƣơng diện trực giác trong khi vẫn tận dụng đƣợc những

phƣơng tiện của đại số.

Ngoài ra, nhƣ tác giả Lê Thị Hoài Châu (1997) đã nói : "Vì vectơ có thể được biểu

diễn qua tọa độ, nên tồn tại một phương pháp thứ tư (lưỡng tính), mà chúng tôi gọi là

phương pháp vectơ - tọa độ. Ở đây, người ta đặt vectơ vào một hệ tọa độ, và thực hiện các

phép toán vectơ qua tọa độ của chúng ".

Chúng tôi sẽ dùng thuật ngữ "Phƣơng pháp tọa độ" để chỉ cách nghiên cứu hình học

bằng phƣơng pháp giải tích hoặc phƣơng pháp vectơ - tọa độ.

'Trong lịch sử toán, Hình học giải tích ra đời trƣớc khi xuất hiện ý tƣởng xây dựng

một hệ thống tính toán đại số trong nội tại hình học, ý tƣởng dẫn đến sự hình thành nên lý

thuyết vectơ vào nửa sau thế kỷ 19 [...]. Thế nhƣng, xét về mặt toán học thuần túy thì bƣớc

chuyển từ hình học tổng hợp sang hình học vectơ không dựa vào hình học giải tích. Ngƣời ta

có thể xây dựng Hình học giải tích và Hình học vectơ theo những cách thức hoàn toàn độc

lập với nhau.

Nhƣ vậy, không có gì bắt buộc phải tôn trọng trật tự niên đại trong dạy học : Phƣơng

pháp giải tích không phải một cái cầu buộc phải qua để chuyển từ phƣơng pháp tổng hợp

sang phƣơng pháp vectơ và ngƣợc lại".

(Lê Thị Hoài Châu, 1997, tr. 113 - 116).

Từ những phân tích trên, tác giả Lê Thị Hoài Châu đã chỉ ra ba con đƣờng có thể đi

theo để đƣa vào các phƣơng pháp tiếp cận hình học sơ cấp. Đó là :

* Phƣơng pháp tổng hợp → phƣơng pháp giải tích→ phƣơng pháp vectơ.

* Phƣơng pháp tổng hợp → phƣơng pháp vectơ → phƣơng pháp giải tích

Chƣơng I : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

* Ngoài ra, nhƣ đã nói ở trên, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ liên thông

với nhau qua trung gian là phƣơng pháp vectơ - tọa độ. Vì thế, việc dạy học hình học còn có

thể đƣợc tiến hành theo con đƣờng thứ ba là : phƣơng pháp tổng hợp sau đó phƣơng pháp

vectơ và phƣơng pháp tọa độ đƣợc tiến hành song song.

"Mặc dù cả ba con đƣờng trên đều dẫn đến một hình học đƣợc đại số hóa, nhƣng bản

chất của chúng khác nhau. Xét về phƣơng diện sƣ phạm, thì bắt đầu bằng phƣơng pháp vectơ

hay phƣơng pháp tọa độ sẽ tạo ra những điều kiện khác nhau cho việc học tập" (Lê Thị Hoài

Châu, 1997).

Ở Việt Nam con đƣờng đƣợc lựa chọn là :

Phƣơng pháp tổng hợp → Phƣơng pháp vectơ → Phƣơng pháp tọa độ

Vấn đề đặt ra là sự lựa chọn đó có ảnh hƣởng gì đến việc học tập phƣơng pháp vectơ

và phƣơng pháp tọa độ. Nói cách khác, sự lựa chọn của thể chế dạy học ở Việt Nam sẽ tạo ra

những thuận lợi hay khó khăn nào cho việc học tập hình học của học sinh.

Để trả lời cho các câu hỏi trên, trƣớc hết ta phải vạch rõ mối liên hệ giữa hai phƣơng

pháp này trong dạy học Hình học 12 sau đó tìm hiểu khả năng của học sinh trong việc sử

dụng phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ để giải toán.

Những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi muốn tìm các yếu tố cho phép trả lời là:

H1: Trong thể chế dạy học hình học ở bậc PTTH của Việt Nam, phương pháp tọa độ

được đưa vào như thế nào ? Vectơ đóng vai trò gì đối với việc xây dựng các kiến thức cơ sở

cho phương pháp tọa độ ?

H2: Liệu học sinh có khả năng huy động các kiến thức về phương pháp vec tơ và

phương pháp tọa độ để giải toán hình học hay không ?

Chƣơng I : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

Trả lời đƣợc các câu hỏi này, chúng tôi sẽ hiểu đầy đủ hơn ảnh hƣởng của sự lựa chọn

thể chế đối với việc học tập hình học, từ đó tìm cách cải tiến hoạt động dạy và học tạo điều

kiện thuận lợi cho việc chiếm lĩnh phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ của học sinh.

Công cụ lý thuyết của Didactic giúp chúng tôi thực hiện các công việc của đề tài là

một số yếu tố của lý thuyết nhân chủng học, trong đó "quan hệ của thể chế đối với một tri

thức" và "tổ chức toán học" là hai khái niệm quan trọng đối với nghiên cứu của chúng tôi.

Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày sơ lƣợc các khái niệm của lý thuyết

Didactic mà chúng tôi dựa vào để phân tích quan hệ của thể chế (dạy học hình học ở lớp 12)

đối với phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ. II. Khung lý thuyết tham chiếu :

1. Quan hệ thể chế:

Theo Chevallard (1989):

"Một tri thức không tồn tại "lơ lửng" trong một xã hội rỗng : Mọi tri thức đều xuất

hiện ở một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định, nhƣ là đƣợc cắm sâu vào một

hoặc nhiều thể chế".

Cụ thể hơn, mọi tri thức đều là tri thức của một thể chế và một tri thức có thể sống

trong nhiều thể chế khác nhau. Để có thể sống trong một thể chế nào đó thì tri thức đƣợc nói

đến phải tuân thủ theo một số ràng buộc của thể chế này. Điều đó kéo theo việc là một tri

thức có thể bị biến đổi theo thể chế, nếu không, nó không tồn tại trong thể chế đó.

Chƣơng I : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

Lý thuyết nhân chủng học về các tri thức chủ yếu dựa trên ba thuật ngữ: các đối tƣợng

O; các cá nhân X và các thể chế I. Trong phạm vi của lý thuyết này, một đối tƣợng tri thức O

đƣợc coi là tồn tại ngay khi một cá nhân hay một thế chế nhận biết nó nhƣ đã tồn tại. Chính

xác hơn, ngƣời ta nói rằng đối tƣợng O tồn tại đối với một thể chế I nếu nhƣ tồn tại một quan

hệ thể chế R(I, O) từ I đến O và đối tƣợng O tồn tại đối với một cá thể X nếu tồn tại một quan

hệ cá nhân R(X, O) từ X đến O.

Trong một thể chế nhất định, quan hệ thể chế đối với một tri thức gắn liền với vị trí

của các thành tố trong thể chế. Nếu là thể chế dạy học, ngƣời ta phải xem xét đến ít nhất là :

quan hệ thể chế đối với thầy giáo và quan hệ thể chế đối với học sinh. Quan hệ thể chế đối

với thầy giáo xác định cái mà thể chế đòi hỏi ngƣời thầy giáo phải thực hiện. Cũng thế quan

hệ thể chế đối với học sinh xác định mà thể chế đòi hỏi ngƣời học sinh thực hiện.

Trong một thể chế dạy học, cái đƣợc thua của việc dạy học là một tri thức. Ý định của

thể chế là làm thay đổi quan hệ cá nhân của học sinh với tri thức này để nó trở nên phù hợp

với quan hệ thể chế. Điều này dẫn đến chỗ phải thiết lập một sự phân định, trong bất kì một

thể chế dạy học nào, ở một thời điểm nhất định, giữa những đối tƣợng thật sự là cái đƣợc thua

của việc dạy học với những đối tƣợng khác (đã từng có ích và bây giờ không còn ích lợi nữa,

hay những đối tƣợng không hề là cái đƣợc thua của việc dạy học nhƣng nó hiện diện ở đó).

Theo quan điểm này, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế chiếm giữ một vai trò rất quan

trọng trong các thể chế dạy học. Điều này Chevallard cũng đã chỉ rõ :

"Vấn đề trung tâm của việc dạy học là nghiên cứu quan hệ thể chế, những điều kiện

và những hiệu quả của nó. Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân là vấn đề cơ bản về mặt

thực tiễn, và là thứ yếu về mặt khoa học luận của việc dạy học. " (Chevallard 1989 b, 93).

Chƣơng I : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

Quan hệ thể chế I đối với tri thức O cho biết O xuất hiện ở đâu và nhƣ thế nào trong I,

O hoạt động nhƣ thế nào và giữ vai trò gì trong I...

Đến đây, một vấn đề mới đƣợc đặt ra, đó là cần phải xây dựng một phƣơng pháp phân

tích các thực tiễn của thể chế. Những phát triển mới đây của quá trình lý thuyết hóa nhằm giải

quyết vấn đề này, trong đó khái niệm chìa khóa đƣợc đƣa vào bởi Chevallard là khái niệm

'Tổ chức toán học" (Praxéologie mathématique) và tổ chức didactic (Praxéologie didactique).

Ở đây, để phân tích sách giáo khoa, chúng tôi sẽ phải sử dụng khái niệm "tổ chức toán học".

2. Tổ chức toán học : (Praxéologie mathématique)

Các hoạt động toán học là trƣờng hợp đặc biệt của hoạt động xã hội, chúng đƣợc các

nhà nghiên cứu mô hình hóa. Ta hiểu : Mô hình là một giả thuyết của nhà nghiên cứu cho

phép mô tả và giải thích thực tế. Cơ sở của mô hình hóa dựa vào hai định đề cơ bản sau :

Đinh đề 1 : Mọi thực tế thể chế đều có thể phân tích được, theo những quan điểm

khác nhau và bằng những cách khác nhau, thành hệ thống các nhiệm vụ xác định.

Định đề 2 : Việc thực hiện mỗi kiểu nhiệm vụ là kết quả của việc áp dụng một kỹ

thuật.

Theo Chevallard một "tổ chức toán học" là một bộ tứ đƣợc hình thành từ:

1) Các kiểu nhiệm vụ T - hiện diện trong một thể chế nào đó.

2) Kỹ thuật τ cho phép thực hiện các nhiệm vụ t của cùng một kiểu nhiệm vụ T.

3) Công nghệ θ : văn bản lý giải cho kỹ thuật τ

4) Lý thuyết : công nghệ của công nghệ θ

Chƣơng I : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

Sự xuất hiện một praxéologie liên quan đến tri thức O cho phép thiết lập mối quan hệ

mà thể chế duy trì đối với O : "Quan hệ thể chế với một đối tƣợng, đối với một vị trí nhất

định của thể chế, đƣợc định hình và đào luyện bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà các cá thể

giữ vị trí này phải thực hiện bằng những kỹ thuật đã đƣợc xác định. Nhƣ vậy, việc thực hiện

những nhiệm vụ khác nhau mà một cá thể thƣờng xuyên gặp dẫn đến thực hiện suốt đời trong

những thể chế khác nhau mà nó là chủ thể lần lƣợt hoặc đồng thời. Điều này sẽ làm hé lộ ra

mối quan hệ cá nhân của nó với đối tƣợng đƣợc xét (Bosch et Chevallard, 1999, 85).

Cách tiếp cận chƣơng tình và sách giáo khoa (SGK) theo quan điểm của lý thuyết

nhân chủng học sẽ cho phép ta thấy đƣợc quan hệ của thể chế I đối với tri thức O : O xuất

hiện ở đâu, nhƣ thế nào ? O có vai trò gì và O hoạt động nhƣ thế nào trong I ? v.v. Nó cũng

giúp chúng ta hiểu đƣợc cái mà thể chế đòi hỏi ở mỗi cá nhân (giáo viên và học sinh),hình

dung đƣợc quan hệ của học sinh đối với tri thức O.

Cụ thể hơn, cách tiếp cận này sẽ giúp ta vạch rõ sự lựa chọn thể chế và những điều

kiện, những ràng buộc, những ảnh hƣởng của sự lựa chọn đó đối với việc xây dựng hoặc làm

thay đổi quan hệ cá nhân của học sinh đối với tri thức O.

Đặt trong khuôn khổ của lý thuyết nhân chủng học, những câu hỏi nghiên cứu của

chúng tôi có thể diễn đạt nhƣ sau :

- Trong chương trình và SGK hình học lớp 10 và lớp 12 phương pháp tọa độ được

xây dựng như thế nào? Phương pháp tọa độ có quan hệ gì với phương pháp vectơ ?.

- Liên quan đến phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ học sinh được yêu cầu

thực hiện những kiểu nhiệm vụ nào ? Kiểu nhiệm vụ nào được gặp thường xuyên ?

Chƣơng I : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

- Sự lựa chọn của thể chế dạy học hình học ở Việt Nam sẽ có ảnh hưởng như thế

nào đến khả năng sử dụng phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ của học sinh.

III. Phƣơng pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn

1. Nghiên cứu quan hệ thể chế

Để trả lời cho những câu hỏi trên, trƣớc hết chúng tôi phải nghiên cứu quan hệ thể chế

đối với phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ. Nghiên cứu thể chế sẽ đƣợc tiến hành qua

việc phân tích chƣơng trình và SGK hình học lớp 10 và 12. Nghiên cứu này cần phải chỉ rõ

phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ đƣợc đƣa vào chƣơng trình và SGK nhƣ thế nào.

Trong sự lựa chọn của các tác giả chƣơng trình và SGK chúng có mối quan hệ gì ? Ngƣời ta

yêu cầu học sinh sử dụng chúng ở mức độ nào ?

Chúng tôi sẽ cố gắng chỉ ra sự nối khớp của các kiến thức về phƣơng pháp vectơ và

phƣơng pháp tọa độ ở lớp 10 và lớp 12, xem xét ảnh hƣởng của các phần đã có ở lớp 10 đối

với việc học tập hình học ở lớp 12. Chúng tôi cũng sẽ chỉ ra các kiểu nhiệm vụ toán học liên

quan đến phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong dạy học hình học ở lớp l0 và lớp

12.

Nghiên cứu quan hệ thể chế này sẽ là nội dung của chƣơng II. 2. Nghiên cứu thực nghiệm

Trên cơ sở nghiên cứu quan hệ thể chế chúng tôi sẽ có thể đƣa ra những giả thuyết về

việc học tập phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ của học sinh lớp 12. Để kiểm chứng

tính thỏa đáng của giả thuyết này chúng tôi cần phải trở về với thực tế dạy học. Nghiên cứu

thực nghiệm sẽ cho phép hợp thức (hay loại bỏ) các giả thuyết đƣa ra sẽ là nội dung của

chƣơng III.

Chƣơng I : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

Nghiên cứu này sẽ giúp chúng tôi vạch rõ quan hệ cá nhân của học sinh đối với

phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ. Chúng tôi sẽ cố gắng tìm trong quan hệ thể chế

những yếu tố cho phép giải thích quan hệ cá nhân này, vì hiển nhiên là quan hệ cá nhân, đối

với một tri thức, không thể hoàn toàn độc lập với quan hệ thể chế.

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

CHƢƠNG II - NGHIÊN CỨU CHƢƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA

TỪ QUAN ĐIỂM CỦA LÝ THUYẾT NHÂN CHỦNG HỌC

Mở đầu

Trong phạm vi lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi tiến hành phân tích chƣơng trình

và SGK hình học đƣợc dùng trong các trƣờng PTTH Việt Nam. về SGK, chúng tôi phân tích

sách hình học 10 và hình học 12. Chúng tôi chọn bộ sách giáo khoa đã đƣợc thống nhất dùng

trên toàn quốc kể từ năm học 2000-2001. Sách hình học 10 của tác giả Văn Nhƣ Cƣơng và

Phan Văn Viện, còn sách hình học 12 là của Văn Nhƣ Cƣơng và Tạ Mân.

Mục đích của chƣơng này là chỉ rõ vai trò của vecơ đối với việc xây dựng các kiến

thức cơ sở của phƣơng pháp tọa độ trong hình học 12. Để thực hiện công việc này, trƣớc hết

chúng tôi tiến hành phân tích nội dung và cấu trúc của chƣơng trình hình học quy định cho

bậc PTTH. Phân tích này sẽ chỉ rõ phƣơng pháp vectơ, phƣơng pháp tọa độ xuất hiện ở đâu

trong chƣơng trình, chúng có vai trò gì và hoạt động nhƣ thế nào.

Sau đó chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa, cụ thể là chỉ ra sách giáo khoa thể hiện

các nội dung quy định trong chƣơng trình nhƣ thế nào ? Các nội dung liên quan đến phƣơng

pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ đƣợc đƣa vào bằng cách nào ? Mức độ yêu cầu khi sử

dụng chúng là gì. Chúng tôi phân tích lý thuyết và bài tập. Phân tích lý thuyết cần vạch rõ vai

trò của vectơ trong việc xây dựng các kiến thức của phƣơng pháp tọa độ. Phân tích phần bài

tập sẽ chỉ ra các tổ chức toán học liên quan đến việc sử dụng phƣơng pháp vectơ, phƣơng

pháp tọa độ để giải toán. Công việc này nhằm làm sáng tỏ quan hệ thể chế. Cụ thể là chỉ ra

đƣợc sự lựa chọn ở lớp 12. Hơn nữa, việc chỉ ra các mục đích yêu cầu, các tổ chức toán học

giúp chúng tôi cách thức lựa chọn và xây dựng các bài toán thực nghiệm cũng nhƣ cho phép

chúng tôi giải thích các kết quả của thực nghiệm.

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

I. Phân tích chƣơng trình học ở PTTH

I.1 Chƣơng trình hình học PTTH năm 1989

Cuộc cải cách giáo dục bắt đầu thực hiện vào năm 1990 đã làm biến đổi sâu sắc

chƣơng trình hình học PTTH với việc đƣa vào phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ. Để

chuẩn bị cho cuộc cải cách đó, năm 1989 chƣơng trình mới đƣợc ban hành. Sau mƣời năm

thực hiện, từ những ghi nhận về thực tế giảng dạy và học tập ngƣời ta đã chỉnh lý chƣơng

trình 1989. Về cơ bản, chƣơng trình chỉnh lý năm 1999 không có gì thay đổi lớn so với

chƣơng trình cũ. Vì thế, trong phần này, trƣớc hết chúng tôi sẽ phân tích chƣơng trình 1989,

sau đó xem xét chƣơng trình mới để chỉ rõ những thay đổi đã đƣợc đƣa ra.

Theo chƣơng trình 1989 việc học hình học ở bậc PTTH đƣợc chia làm 3 giai đoạn :

Giai đoan 1 : (Hình học 10)

Ở giai đoạn này, học sinh đƣợc một khái niệm mới, vectơ, sau đó là các phép toán

vectơ. Hiển nhiên, trƣớc hết vectơ đƣợc nghiên cứu với tƣ cách là đối tƣợng toán học. Tiếp

đến, vectơ đƣợc sử dụng làm công cụ để nghiên cứu các hệ thức lƣợng, các phép dời hình và

phép đồng dạng. Nhờ sử dụng vectơ mà các định lý, các công thức ở những chƣơng này đƣợc

chứng minh một cách gọn gàng hơn nhiều so với phép chứng minh bằng phƣơng pháp tổng

hợp. Chẳng hạn vectơ đƣợc dùng để chứng minh định lý hàm số cosin, định lý hàm số sin

trong tam giác; các công thức về diện tích, độ dài trung tuyến của tam giác,v.v. Vectơ còn

đƣợc dùng để xây dựng khái niệm phƣơng tích của một điểm đối với một đƣờng tròn và

chứng minh một số tính chất của phép dời hình, phép vị tự.

Nhƣ vậy, ở giai đoạn này bƣớc đầu học sinh đƣợc làm quen với một phƣơng pháp

mới để nghiên cứu hình học : phƣơng pháp vectơ. Mục đích đƣa vectơ vào

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

giảng dạy nhằm cung cấp một công cụ mới để nghiên cứu hình học đã đƣợc nói rõ : Việc đƣa

vectơ vào giảng dạy là "một thay đổi cơ bản của chương trình. Một công cụ mới - công cụ

vectơ- được đề cập đến ở đây. Đó là công cụ để xây dựng một phương pháp toán học mới,

phương pháp vectơ, một trong những phương pháp cơ bản của toán học " (Văn Nhƣ Cƣơng,

1990, tr.4)

Mục đích của việc dạy học vectơ đã đƣợc các tác giả chƣơng trình chỉ rõ là "đưa vào

một phương pháp mới [...]. Phương pháp này là mới vì ở THCS học sinh chỉ có phương pháp

tổng hợp để nghiên cứu các hình hình học " (Nguyễn Gia cốc -1990,tr. 1)

Giai đoạn 2 (Hình học 11)

Giai đoạn này dành cho việc nghiên cứu hình học không gian. Ở đây, ngƣời ta giới

thiệu hình học không gian trên cơ sở một hệ tiêu đề. Cùng với việc nghiên cứu quan hệ song

song, quan hệ vuông góc của đƣờng thẳng, mặt phẳng, ngƣời ta xem xét một số hình hình học

nhƣ hình đa diện, hình tròn xoay, các công thức về diện tích, thể tích các vật thể.

Tóm lại, ở giai đoạn này ngƣời ta sử dụng phƣơng pháp tổng hợp để nghiên cứu hình

học không gian.

Giai đoạn 3 (Hình học 12)

Ở giai đoan này, ngƣời ta đƣa vào phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng; phƣơng pháp

vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong không gian.

Phần phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng đƣợc dành cho việc nghiên cứu các nội

dung liên quan đến đƣờng thẳng, đƣờng tròn, elip, hypebol, parabol.

Các kiến thức về vectơ trong mặt phẳng đƣợc mở rộng vào không gian. Cụ thể, ngƣời

ta đƣa vào khái niệm vectơ, các phép toán vectơ, rồi hệ tọa độ Đêcac vuông góc và tọa độ của

vectơ.

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

Nhƣ chúng tôi đã nói trong phần mở đầu, sự lựa chọn của các tác giả chƣơng trình là

lấy phƣơng pháp vectơ - tọa độ làm cái cầu để đƣa vào phƣơng pháp giải tích trên cơ sở các

kiến thức về vectơ.

Nhƣ thế, với khái niệm tọa độ của vectơ, ngƣời ta chuyển các phép toán vectơ đƣợc

định nghĩa bằng những phép dựng hình học trƣớc đây thành phép toán trên các tọa độ (các

số) của chúng, để rồi xây dựng phƣơng pháp tọa độ. Chẳng hạn, thông qua các khái niệm

vectơ chỉ phƣơng, vectơ pháp tuyến,... ngƣời ta lập đƣợc phƣơng tình tổng quát cũng nhƣ

phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng và mặt phẳng. Điều này chứng tỏ vectơ và công cụ

vectơ đóng một vai trò quan trọng trong chƣơng trình.

I.2 Chƣơng trình hình học PTTH chỉnh lí hợp nhất năm 1999

Về cơ bản, so với chƣơng trình 1989 thì chƣơng trình năm 1999 không có gì thay đổi.

Tuy nhiên, chƣơng trình lần này, nhƣ quan điểm của Bộ Giáo Dục và Đào tạo, có giảm tải.

Cụ thể là :

"Không thay đổi chƣơng trình cải cách giáo dục năm 1989. Giảm tải, nghĩa là giảm

nhẹ mức độ yêu cầu, đồng thời giản lƣợc những nội dung quá phức tạp hoặc xét thấy không

cần thiết"

(Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy Toán 10 - tr.5)

Đối với lớp 10, chƣơng trình 1989 yêu cầu học sinh phải "nắm vững các phép toán

vectơ và vận dụng vào việc chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác, trong đường tròn "

(SGV - Trần Văn Hạo, 1990, tr.54). Trong chƣơng trình 1999 cũng giống nhƣ chƣơng trình

1989, ở đây, Hình học 12 cũng gồm có 3 phần cơ bản là phƣơng pháp tọa độ trong mặt

phẳng; vectơ trong không gian và phƣơng pháp tọa độ trong không gian.

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

Chƣơng I, đƣợc dành cho việc nghiên cứu các nội dung liên quan đến đƣờng thẳng,

đƣờng tròn, elip, hypebol, parabol bằng phƣơng pháp tọa độ. Nhƣ thế, ở đây học sinh đƣợc

tiếp cận một phƣơng pháp mới: phƣơng pháp tọa độ. Sau đó, vectơ và các phép toán vectơ

đƣợc mở rộng vào không gian Euclide 3 chiều, làm cơ sở cho việc trình bày phƣơng pháp tọa

độ trong không gian. Hình học không gian đã đƣợc nghiên cứu ở lớp 11 bằng phƣơng pháp

tổng hợp, đến lớp 12 đƣợc nghiên cứu bằng phƣơng pháp mới là phƣơng pháp tọa độ. Các

nội dung chính của phần này liên quan đến đƣờng thẳng trong không gian, mặt phẳng và mặt

cầu.

Cụ thể, ngƣời ta đƣa vào phƣơng trình đƣờng thẳng, phƣơng trình mặt phẳng, phƣơng

trình mặt cầu, vị trí tƣơng đối của các đƣờng thẳng, các mặt phẳng, một số công thức tính

khoảng cách và góc.

Theo chúng tôi, ngƣời ta đã cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản làm cơ sở

cho phƣơng pháp tọa độ. Thế nhƣng, sử dụng phƣơng pháp này để nghiên cứu hình học nhƣ

thế nào (cụ thể hơn là để giải những dạng toán nào) thì chƣơng trình chƣa xác định một cách

rõ ràng.

Nhƣ vậy, về cơ cấu, ta thấy các chƣơng trình 1989 và 1999 hầu nhƣ giống nhau. Cùng

nội dung, cùng thứ tự trình bày các vấn đề. Cụ thể, hình học lớp 10 nghiên cứu vectơ, các

phép toán vectơ, rồi hệ thức lƣợng trong tam giác, đƣờng tròn và cuối cùng là phép biến hình.

Lớp 11 hoàn toàn dành cho nghiên cứu Hình học không gian bằng phƣơng pháp tổng hợp. Ở

Hình học lớp 12, ngƣời ta đƣa vào phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian.

Giống nhƣ ở chƣơng trình 1989, trong chƣơng trình năm 1999, ngƣời ta cũng lấy các

kiến thức về vectơ làm cơ sở để đƣa vào phƣơng pháp tọa độ. Hơn thế, phƣơng pháp vectơ

đƣợc sử dụng khá hiệu quả trong việc xây dựng các khái niệm, chứng minh các hệ thức lƣợng

cũng nhƣ một số tính chất của các phép biến hình.

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

Tuy nhiên, yêu cầu sử dụng vectơ để giải toán đã đƣợc giảm nhẹ trong chƣơng trình

mới. Vấn đề này đã đƣợc giải thích trong tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy nhƣ sau : Trong

chƣơng trình cũ có đặt vấn đề dùng "phƣơng pháp vectơ" để nghiên cứu hình học bên cạnh

phƣơng pháp tiên đề và phƣơng pháp tọa độ. "Phương pháp vectơ, như chúng ta đã biết, tỏ ra

khá hiệu lực trong khá nhiều bài toán, liên quan đến các vấn đề như: ba điểm thẳng hàng,

bốn điểm đồng phẳng, hai đường thẳng song song hoặc vuông góc, trọng tâm tam giác, tâm

tỉ cự của hệ điểm ... Tuy nhiên để có thể áp dụng phương pháp đó một cách thành thạo là

chuyện không đơn giản, và kinh nghiệm 10 năm vừa qua cho thấy đa số học sinh rất khó

khăn trong việc tiếp thu và sử dụng phương pháp đó " (Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy Toán 12

- Tr. 73).

Vấn đề đặt ra là chƣơng trình 1999 đƣợc thể hiện trong SGK nhƣ thế nào ? Trong

phần tiếp theo chúng tôi sẽ tiến hành phân tích SGK nhằm làm sáng tỏ vấn đề trên.

II. Vectơ với tƣ cách là công cụ trong SGK hình học 10

Chúng tôi sẽ xem xét ở đây cuốn SGK Hình học 10 của tác giả Văn Nhƣ Cƣơng -

Phan Văn Viện. Đây là cuốn SGK đƣợc viết theo chƣơng trình 1999 và kể từ năm 2000 đã

đƣợc dùng trong tất cả các trƣờng PTTH Việt Nam (không giống giai đoạn 1990 - 2000, tồn

tại ba bộ SGK toán PTTH, kể từ năm 2000, cả nƣớc dùng chung một bộ sách).

Với SGK này chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu vai trò của vectơ trong việc xây dựng

các nội dung hình học đƣợc đƣa vào chƣơng trình, tức là xét vectơ với tƣ cách là công cụ để

xây dựng, chứng minh các công thức, định lí đƣợc đề cập đến trong Hình học 10. Mặt khác,

chúng tôi cũng sẽ chỉ ra các tổ chức toán học liên quan đến phƣơng pháp vectơ và phƣơng

pháp tọa độ có mặt trong SGK.

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

II.1. Công cụ vectơ với việc trình bày các nội dung Hình học giảng dạy ở lớp 10.

Về vấn đề này, tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy Toán 10 có ghi : "Phƣơng pháp véctơ

đƣợc dùng để [...] chứng minh các hệ thức lƣợng cũng nhƣ tính chất của các phép dời hình và

phép đồng dạng. Có thể nói rằng công cụ vectơ đƣợc áp dụng khá triệt để trong chƣơng trình

lớp 10" (Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy Toán 10, Tr. 12, 13).

Nhằm mục đích này, ngay trong chƣơng I, ngƣời ta đã đƣa vào một số kiến thức cơ sở

của phƣơng pháp tọa độ. Các nội dung đƣợc đề cập gồm : khái niệm trục, hệ trục tọa độ

Đềcác vuông góc. Tọa độ của điểm, của vectơ đối với trục và hệ trục. Ở đây, vectơ đƣợc biểu

diễn thông qua tọa độ của nó, các phép toán vectơ đƣợc thực hiện trên tọa độ các vectơ.

Ví dụ : Cho ⃗ = (a1; a2 ), ⃗ = (b1 ; b2) thì:

⃗⃗ + ⃗ = (a1 + b1 ; a1 + b2);

....

k ⃗⃗ = (ka1 ; ka2);

độ dài vectơ ⃗⃗ là | ⃗⃗ | = √

Trong chƣơng II, SGK đƣa vào khái niệm tích vô hƣớng của hai vectơ. Với khái niệm

này, ngƣời ta có công thức tính độ dài một đoạn thẳng qua bình phƣơng vô hƣớng của vectơ;

các tính chất của tích vô hƣớng, các hằng đẳng thức về tích vô hƣớng; công thức về hình

chiếu; biểu thức tọa độ của tích vô hƣớng và điều kiện để hai vectơ vuông góc. Các kiến thức

này, đến lƣợt chúng sẽ là công cụ để xây dựng và chứng minh các công thức, định lý của

phần còn lại trong chƣơng II và chƣơng III. Chẳng hạn, để chứng minh hai đƣờng thẳng

vuông góc ngƣời ta dùng tích vô hƣớng. AB CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ (ví dụ 2 - SGK Hình học 10 -

trang 43).

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

Việc chứng minh định lý cosin trong tam giác dựa vào kiến thức về bình phƣơng vô

hƣớng, tích vô hƣớng, quy tắc ba điểm của vectơ, tức là : ⃗⃗⃗ = | ⃗ |

⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ - ⃗⃗⃗⃗⃗ mọi điểm A, B, O. Cụ thể SGK trang 45, chứng minh định lý cosin:

Vì ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ - ⃗⃗⃗⃗⃗ nên

⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ - 2 ⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗

= AC2 + AB2 - 2AC.AB.cosA.

Vậy a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA.

Hoặc để xây dựng công thức tính độ dài trung tuyến khi biết độ dài ba cạnh của tam

giác, ngƣời ta cũng sử dụng vectơ là công cụ để thực hiện :

Ta có : b2 + c2 = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗

= ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) + ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

= 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

( vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ = 2

Trong phần hệ thức lƣợng trong đƣờng tròn, việc đƣa vào khái niệm phƣơng tích của

một điểm đối với một đƣờng tròn đƣợc xây dựng dựa vào tích vô hƣớng của hai vectơ.

Trong chƣơng III, để xây dựng và chứng minh tính chất của một số phép dời hình,

công cụ vectơ tỏ ra hiệu quả hơn nhiều so với phƣơng pháp tổng hợp. Sách

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

giáo khoa triệt để lợi dụng lợi thế này của vectơ. Chẳng hạn để chứng minh tính bảo toàn

khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ qua phép đối xứng trục, nếu dùng phƣơng pháp tổng hợp ta

phải chỉ ra rất nhiều trƣờng hợp khác nhau. Nhƣng việc sử dụng vectơ mang tính chất khái

quát và gọn gàng hơn nhiều (không cần phân chia trƣờng hợp). Rõ ràng công cụ vectơ ở đây

tỏ ra rất hiệu quả.

Ví dụ : Tính chất bảo toàn khoảng cách của phép đối xứng trục đƣợc trình bày nhƣ

sau (Hình học 10 - trang 67)

Đinh lý : Nếu phép đối xứng trục d biến hai điểm bất kỳ M, N thành hai điểm M',N'

thì MN = M'N'.

Chứng minh:

Giả sử d là trục đối xứng

I, J là trung điểm MM' và NN'

Khi đó I, J nằm trên d. Ta có :

 MN2= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2

= ( ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ )2 + ⃗⃗ ( vì MI IJ và NJ IJ)

⃗⃗⃗⃗⃗ )2  M’N’2 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗ +

= ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ )2 + ⃗⃗⃗

Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = - ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗ = - ⃗⃗⃗⃗ nên ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ )2 = ( ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ )2

từ đó suy ra MN2 = hay MN = M’N’

Ngoài ra, vectơ còn đƣờng dùng để định nghĩa phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến,

phép vị tự.

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

Nhƣ vậy, trong SGK Hình học 10, tính công cụ của vectơ thể hiện khá rõ qua việc xây

dựng các phần của lý thuyết. Phần tiếp theo chúng tôi sẽ chỉ ra vai trò của vectơ trong các tổ

chức toán học ở Hình học 10.

II.2. Các tổ chức toán học liên quan đến phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ

trong Hình học 10 :

Ở đây chúng tôi sử dụng khái niệm tổ chức toán học để xem xét khía cạnh công cụ

của vectơ đƣợc khai thác nhƣ thế nào trong SGK Hình học 10. Chúng tôi sẽ vạch rõ các tổ

chức toán học liên quan đến việc sử dụng vectơ đƣợc đƣa vào SGK. Các bài tập chúng tôi sử

dụng ở đây là các bài tập nằm trong chƣơng I (HH10) và các bài tập trong §3 chƣơng II.

Ngoài ra còn có các bài tập làm thêm ở chƣơng I và chƣơng II có mặt trong sách bài tập Hình

học 10. Chúng tôi tách các bài tập thành hai loại. Loại thứ nhất là những tổ chức toán học

nhằm củng cố các công thức, định nghĩa đã học liên quan đến phƣơng diện đối tƣợng của

vectơ. Nói một cách cụ thể, những kiểu nhiệm vụ thuộc các tổ chức toán học này đƣợc đƣa ra

nhằm giúp học sinh hiểu khái niệm vectơ, phƣơng, hƣớng của vectơ, cách dựng một vectơ

bằng một vectơ cho trƣớc, và rèn luyện kỹ năng biến đổi các biểu thức vectơ, xét sự bằng

nhau giữa các vectơ... Loại thứ hai liến quan đến phƣơng diện công cụ của vectơ, tức là sử

dụng phƣơng pháp vectơ, phƣơng pháp tọa độ để giải toán. Nói chính xác thì đó là phƣơng

pháp vectơ - tọa độ, nhƣng vì theo cách dùng từ của chúng tôi, phƣơng pháp tọa độ gồm cả

phƣơng pháp vectơ - tọa độ và phƣơng pháp giải tích nên ở đây chúng tôi có thể nói là

phƣơng pháp tọa độ.

Các kiểu nhiệm vụ thuộc loại thứ nhất:

T1 : Chứng minh một đẳng thức vectơ (9 bài). Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này ta sử

dụng các phép biến đổi vectơ, kết hợp các tính chất của phép toán liên quan vectơ, qui tắc 3

điểm, qui tắc hình bình hành.

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

Ví dụ : Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng :

⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗

T2 : Xác định một điểm thỏa mãn một điều kiện cho trƣớc (6 bài). Để giải quyết các

bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ này ta vận dụng các phép toán cộng, trừ vectơ, phép nhân vectơ

với một số và các tính chất của chúng.

Ví dụ : Cho ∆ABC. Xác định điểm M sao cho: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗

T3 :Tính tích vô hƣớng. Kiểu này chỉ có 1 bài trong SGK Hình học 10 và chỉ cần

dùng định nghĩa tích vô hƣớng để tính.

Ví dụ : Cho ∆ABC vuông tại A, AB = a; BC = 2a. Tính ⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗

Các kiểu nhiệm vụ sử dụng vectơ để giải toán :

T4 : Chứng minh hai điểm trùng nhau (3 bài). Phƣơng pháp giải : Để chứng minh

A≡B ta chỉ ra ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + Ví dụ : Chứng minh ∆ABC và ∆A'B'C có cùng trọng tâm khi và chỉ khi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗

T5 : Chứng minh ba đƣờng thẳng đồng qui; đƣờng thẳng đi qua điểm cố định (1 bài).

Kiến thức cần thiết để giải là hai vectơ cùng phƣơng.

Ví dụ : Cho ∆ABC và điểm M tùy ý. Gọi A', B,' C' lần lƣợt đối xứng của M qua các

trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB.

a) Chứng minh rằng AA', BB', CC' đồng qui tại một điểm N.

b) Chứng minh rằng khi M di động, MN luôn đi qua trọng tâm G của ∆ABC.

T6 : Chứng minh sự vuông góc (2 bài) : Sử dụng phép biến đổi vectơ và tích vô

hƣớng của hai vectơ để chứng minh 2 đƣờng thẳng vuông góc.

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

Ví dụ: Cho ∆ABC có góc A nhọn. Ở miền ngoài ∆ABC vẽ các tam giác vuông cân

đỉnh A là ABD và ACE. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh rằng AI DE.

Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến phƣơng pháp vectơ - tọa độ :

• Kiểu nhiệm vụ liên quan đến phƣơng diện đối tƣợng của vectơ:

T7 : Viết tọa độ của một vectơ đã đƣợc biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của 2 vectơ

đơn vị trên hai trục (1 bài). Để giải quyết nhiệm vụ này ta cần sử dụng kết quả : ⃗ = (x;y)

⃗ = x + y

- 5 ; ⃗ = 3 ....

Ví dụ : Viết tọa độ của các vectơ ⃗ =

T8 : Tìm tọa độ của một vectơ (1 bài). Ở đây ta cần dùng công thức tọa độ của các

phép toán vectơ.

Ví dụ : Cho 2 vectơ ⃗ = (1; -2) ; ⃗ = (0;3) Tìm tọa độ vectơ = 2 ⃗ - 3 ⃗

T9 : Tìm tọa độ của một điểm thỏa mãn điều kiện cho trƣớc (5 bài). Dùng định nghĩa,

kết hợp các tính chất của các hình đã biết để tìm tọa độ của một điểm.

Ví dụ : Cho A (0, 4); B(4; 6); C (6; 2). Tìm tọa độ của D sao cho ABCD là hình

vuông.

• Kiểu nhiệm vụ liên quan đến phƣơng diện công cụ của vectơ

T10 :Chứng minh ba điểm thẳng hàng và tìm tỉ số của điểm chia đoạn thẳng (2 bài).

Kiến thức cần thiết để giải là 2 vectơ cùng phƣơng. Phép toán trên tọa độ của vectơ.

Ví dụ : Cho A (-1; 1); B (1; 3); C (-2; 0). Chứng minh A, B, C thẳng hàng, tìm tỉ số

mà điểm A chia đoạn thẳng BC.

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

T11 :Tính độ dài đoạn thẳng (2 bài). Kiến thức cần thiết: độ dài AB là độ dài của

vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗

Ví dụ : Cho A (4; 6); B (5; 1); C (1; -3). Tính chu vi tam giác ABC.

T12 :Chứng minh hai vectơ vuông góc (1 bài). Sử dụng tích vô hƣớng và biểu thức

tọa độ của nó.

Ví dụ : Cho điểm A (1; 1); B (2; 4); C (10; -2). Chứng minh rằng ∆ABC vuông tại A.

T13 :Tính cosin của góc trong tam giác (1 bài). Để giải quyết nhiệm vụ này ta tính

tích vô hƣớng của 2 vectơ sau đó chia cho tích độ dài của chúng.

Ví dụ : Cho điểm A (1; 1); B (2; 4); C (10; -2). Tính cosin B và cosin C.

Các kiểu nhiệm vụ này đƣợc tổng hợp theo bảng thống kê sau :

Kiểu nhiệm vụ Số bài tập Kiểu nhiệm vụ Số bài tập

T1 9 T8 1

T2 6 T9 5

T3 1 T10 2

T4 3 T11 2

T5 1 T12 1

T6 2 T13 1

T7 1 Tổng 35

* Nhận xét:

13 kiểu nhiệm vụ chúng tôi nêu ra đƣợc gặp ở 35 bài, trong đó kiểu nhiệm vụ T1

(chứng minh một đẳng thức vectơ) là nhiều nhất. Điều đó cho thấy việc sử dụng

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

vectơ để giải toán không đƣợc xem là một mục đích quan trọng. Chủ yếu ngƣời ta quan tâm

đến các công thức, định lí cơ bản. Một số kiểu sử dụng vectơ để giải toán xuất hiện rất ít.

Kiểu nhiệm vụ T5 (chứng minh ba đƣờng thẳng đồng qui, đƣờng thẳng đi qua một điểm cố

định). Chỉ có một bài và nó đƣợc đƣa vào ở phần bài tập làm thêm, mà trong thực tế thì các

bài tập trong phần làm thêm không đƣợc xem là bài tập bắt buộc, chỉ dành cho học sinh khá

tham khảo.

Kiểu nhiệm vụ T6 (chứng minh sự vuông góc của hai đƣờng thẳng): Kiểu nhiệm vụ

này chỉ xuất hiện ở một ví dụ và một bài tập làm thêm, kỹ thuật mong muốn đƣợc sử dụng ở

đây là chứng minh tích vô hƣớng của hai vectơ (chỉ phƣơng) bằng 0. Để có đƣợc điều đó sẽ

phải biến đổi các biểu thức vectơ có chứa tích vô hƣớng.

Kiểu nhiệm vụ liên quan đến phƣơng pháp vectơ - tọa độ không nhiều, chỉ có 13 bài.

Ở các bài tập này chủ yếu ngƣời ta yêu cầu học sinh sử dụng trực tiếp định nghĩa, công thức,

chƣa thực sự rèn kỹ năng giải toán bằng phƣơng pháp tọa độ. Điều đó có thể thấy rõ ở chỗ

hầu hết (13/13) các bài toán phát biểu ở dạng ngôn ngữ tọa độ. Số bài toán phát biểu bằng

ngôn ngữ hình học không có.

Ở đây, chúng tôi cũng lƣu ý rằng, so với SGK 1990 thì SGK lần này trình bày đã khác

nhiều. Trƣớc đây, sau mỗi bài học, SGK thƣờng đƣa ra một phần gọi là "cách giải một số

dạng toán thƣờng gặp" và trong mỗi dạng toán đó, SGK trình bày thành 2 phần : phƣơng

pháp giải toán và các ví dụ minh họa. SGK năm 2000 không trình bày tƣờng minh các kỹ

thuật giải nhƣ vậy. Mặt khác, trong SGK năm 1990 số lƣợng bài tập nhiều hơn và có nhiều

bài tập khó hơn.

Tóm lại, trong hình học lớp 10, vectơ đƣợc vận dụng khá triệt để, nhằm trình bày và

chứng minh các vấn đề của chƣơng hệ thức lƣợng và phép biến hình.

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

Tuy nhiên trong phần bài tập, thì ngƣời ta lại không coi trọng yêu cầu sử dụng vectơ

(có hay không có tọa độ) để giải toán. Hầu hết các bài toán chỉ nhằm vận dụng trực tiếp các

định nghĩa, công thức, định lí. Rất ít bài toán đƣợc phát biểu bằng ngôn ngữ hình học mà có

thể giải đƣợc dễ dàng bằng cách sử dụng công cụ vectơ.

III. Phƣơng pháp Vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong hình học 12

Với SGK lớp 12, chúng tôi cũng xét những vấn đề tƣơng tự nhƣ SGK Hình học 10. Ở

đây, chúng tôi sẽ phân tích một cách chi tiết vai trò của vectơ với việc xây dựng các kiến thức

cơ sở của phƣơng pháp tọa độ. Việc phân tích các tổ chức toán học trong SGK Hình học lớp

12 cũng sẽ đƣợc thực hiện cụ thể và chi tiết. ứng với mỗi kiểu nhiệm vụ, chúng tôi sẽ thống

kê số lƣợng câu bài tập, xét xem các kiến thức cần thiết để giải quyết kiểu nhiệm vụ đó đã

đƣợc đƣa vào ở đây nhƣ thế nào. Các ví dụ minh họa cho mỗi kiểu nhiệm vụ cũng sẽ đƣợc

giới thiệu.

III.1.Phân tích lý thuyết: Mối liên hệ giữa phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ.

Trƣớc hết, nhƣ trên đã nói, SGK Hình học 10 đã đƣa vào một số kiến thức đầu tiên

làm cơ sở cho việc xây dựng phƣơng pháp tọa độ. Tuy nhiên, ở lớp này sử dụng phƣơng pháp

tọa độ chƣa đƣợc coi là một yêu cầu quan trọng đối với học sinh. Các phần còn lại của

phƣơng pháp tọa độ sẽ đƣợc học ở lớp 12, nhƣ chƣơng trình cũng đã chỉ rõ : "Nội dung

chương trình Hình học 12 là phương pháp tọa độ trên mặt phẳng và trong không gian. Việc

trình bày Hình học theo tinh thần của phương pháp tiên đề đã được tiến hành từ lớp 6 đến

lớp 11. Phương pháp tọa độ được bắt đầu ở lớp 10 nhưng chỉ mới giới thiệu tọa độ của vectơ

và của điểm, và các công thức liên quan mà thôi " (Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy Toán 12 -

trang 71).

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

SGK Hình học 12 thể hiện khá rõ tinh thần này. Trƣớc hết, chúng tôi nhắc lại rằng:

thuật ngữ phƣơng pháp tọa độ dùng để chỉ phƣơng pháp vectơ - tọa độ và phƣơng pháp giải

tích. Đó là phƣơng pháp sử dụng hệ tọa độ làm trung gian để chuyển các bài toán hình học

thành bài toán đại số.

SGK Hình học 12 gồm có hai chƣơng, ở đây chúng tôi lần lƣợt phân tích các nội dung

của hai chƣơng này. Ở mỗi chƣơng chúng tôi sẽ phải chỉ ra các yêu cầu đối với học sinh khi

sử dụng phƣơng pháp vectơ, phƣơng pháp tọa độ để giải toán.

III.1.1.Chương I: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Ở chƣơng này, trƣớc hết ngƣời ta nhắc lại một số công thức định lý mà học sinh đã

đƣợc học ở Hình học 10, không trình bày lại các chứng minh. Các nội dung đó là : khái niệm

trục, tọa độ của vectơ và của điểm đối với trục. Khái niệm hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc,

tọa độ của vectơ, của điểm đối với hệ trục, tọa độ của điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số

cho trƣớc.

Về định nghĩa tọa độ của vectơ đối với trục, sách định nghĩa dựa vào điều kiện cùng phƣơng

của hai vectơ. Để đƣa vào khái niệm tọa độ của một vectơ đối với hệ trục, ngƣời ta dựa vào

định lý về sự phân tích duy nhất của một vectơ theo cơ sở và . Ngoài ra sách giáo khoa còn

nhắc lại công thức tính tọa độ của điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k≠1

⃗ = (a1; a2) và ⃗ = ( b1; b2)).

)và biểu thức tọa độ của tích vô hƣớng ( ⃗ . ⃗ = a1b1 + a2b2 với (xM = và yM =

Mục đích của việc nhắc lại này là cho học sinh ôn tập các kiến thức đã đƣợc học ở lớp

10. Học sinh học những kiến thức này đã từ khá lâu và sau một thời gian dài không sử dụng,

nên có thể quên. Cũng vì vậy mà sách giáo viên có yêu cầu "giáo viên cần đi chậm và thực

hành nhiều trên lớp bằng các ví dụ cụ thể ".

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

Trong phần dƣới chúng tôi sẽ tiến hành xem xét các nội dung mới đƣợc đề cập trong

chƣơng I và phân tích cách thức đƣa vào từng nội dung đó.

a. Những vấn đề liên quan đến đƣờng thẳng.

Ngƣời ta dựa vào các kiến thức về vectơ để đƣa vào những vấn đề liên quan đến

đƣờng thẳng nhƣ phƣơng trình tổng quát, phƣơng trình tham số... Muốn thế đầu tiên phải dựa

vào khái niệm vectơ chỉ phƣơng và vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng. Với các khái niệm đó,

ta thấy điểm M thuộc đƣờng thẳng ∆ đi qua M0 (x0; y0) và có vectơ pháp tuyến ⃗ = (A;B) nếu

và chỉ nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗ = 0 .Từ đẳng thức này ngƣời ta thiết lập ra đƣợc phƣơng trình tổng quát

của đƣờng thẳng. Cũng nhƣ thế, M thuộc đƣờng thẳng ∆ đi qua M0 (x0; y0) có vectơ chỉ

phƣơng ⃗ = (a; b) nếu và chỉ nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k . ⃗ từ đó lập đƣợc phƣơng trình tham số và

phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng.

Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng đƣợc xét theo số nghiệm của một hệ phƣơng

trình tuyến tính (chính là các phƣơng trình tổng quát của các đƣờng thẳng đã cho). Ở đây

ngƣời ta không cần lấy vectơ là vai trò trung gian nữa. Thậm chí, dựa vào định thức thành lập

từ các hệ số của phƣơng trình ngƣời ta có thể biết đƣợc vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng.

Nói cách khác, ngƣời ta đã hoàn toàn chuyển sang phạm vi của phƣơng pháp giải tích.

Công thức tính góc giữa hai đƣờng thẳng và khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng

thẳng lại đƣợc xây dựng nhờ vào các kiến thức vectơ. Chẳng hạn, để lập công thức tính

khoảng cách từ một điểm M0 (x0;y0) đến đƣờng thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 ngƣời ta làm nhƣ

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

Khoảng cách từ M0 đến A là độ dài đoạn thẳng

M0H (H là hình chiếu vuông góc của M0 lên A). Do ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

cùng phƣơng với vectơ pháp tuyến ⃗ nên Do ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = t ⃗

Vì vậy:

M0H = | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |t ⃗ | = | t | . | ⃗ |

Đến đây ta đi tính |t | thì sẽ có công thức để tính M0H.

Việc tính góc giữa hai đƣờng thẳng đƣợc đƣa về việc tính cosin của nó thông qua tích

vô hƣớng dƣới dạng tọa độ của hai vectơ pháp tuyến hoặc hai vectơ chỉ phƣơng của hai

đƣờng thẳng đó.

b. Các đƣờng bậc hai:

SGK đƣa vào các đƣờng bậc hai là đƣờng tròn, elip, hypebol, parabol. Phƣơng trình

của chúng đƣợc thiết lập mà không cần có sự can thiệp trực tiếp của vectơ, vì ở đây ngƣời ta

dựa vào công thức tính khoảng cách giữa hai điểm (tất nhiên, trƣớc đây công thức này đã

đƣợc chứng minh nhờ vào bình phƣơng vô hƣớng của vectơ).

Điều đáng lƣu ý là trong chƣơng I có nhiều vấn đề lý thuyết đƣa ra nhƣng có rất ít các

ví dụ, chỉ có 4 ví dụ kèm theo, đó là :

- Một ví dụ về việc sử dụng phƣơng trình chùm đƣờng thẳng để viết phƣơng trình

đƣờng thẳng.

- Một ví dụ về viết phƣơng trình đƣờng phân giác của các góc hợp bởi 2 đƣờng thẳng

cắt nhau.

- Một ví dụ viết phƣơng trình của đƣờng conic dựa vào định nghĩa conic một cách

tổng quát.

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

- Một ví dụ tìm tâm, bán kính đƣờng tròn khi có phƣơng trình của nó.

Nhƣ vậy có hai ví dụ cho các đƣờng bậc hai và hai ví dụ cho phần phƣơng trình

đƣờng thẳng. Đối với các đƣờng bậc hai, vấn đề xác định tâm, bán kính của đƣờng tròn khi

đã cho phƣơng trình của nó, hoặc dựa vào định nghĩa đƣờng conic để viết phƣơng trình của

nó.

Chúng ta hãy xem xét 2 ví dụ trong phần đƣờng thẳng .

Ví dụ 1 : (Hình học 12 - trang 15) : Các cạnh của tam giác ABC có phương trình: AB

= 2x + 3y - 5 = 0; BC: x - 2y + 1 = 0; CA : -3x + 4y -1 = 0.

Viết phương trình đường cao AH của tam giác đó.

SGK đƣa ra lời giải nhƣ sau :

Đƣờng cao AH thuộc chùm đƣờng thẳng tâm A là giao điểm của hai đƣờng thẳng AB

và CA, nên AH có phƣơng trình: λ(2x+3y-5)+ μ(-3x+4y-l) = 0.

Ta cần xác định λ và μ để AH vuông góc với BC. Một vectơ pháp tuyến của AH là

⃗ = (2 - 3 ; 3 + 4 ) còn một vectơ pháp tuyến của BC là ⃗⃗⃗ = (1; -2) Ta phải có ⃗ . ⃗⃗⃗ =0

hay 2λ - 3μ - 2(3λ + 4μ ) = 0

⇔ -4λ-11μ = 0

Ta có thể lấy λ = 11; μ = - 4. Suy ra AH có phƣơng trình: 34x+17y- 51=0

Ví dụ 2 : (trang 19) Giả sử hai đƣờng thẳng cắt nhau :

∆1 :A1 x + B2 y+ C1 = 0

∆1: A2 x + B2y + C2 = 0

Viết phƣơng trình phân giác của các góc tạo bởi ∆ và ∆'.

Bài giải (SGK)

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

Điểm M (x; y) nằm trên phân giác khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến ∆1 và đến ∆2

bằng nhau, hay là :

| |

√

| |

√

= Từ đó phƣơng trình hai đƣờng phân giác là :

Nhƣ vậy, phần lý thuyết chƣơng I, chủ yếu dành cho việc thiết lập phƣơng trình

đƣờng thẳng và các đƣờng bậc hai. Nhƣ ta đã thấy, SGK thiên về việc cung cấp cho học sinh

một số công thức, còn ví dụ vận dụng phƣơng pháp vectơ - tọa độ, phƣơng pháp giải tích

đƣợc đƣa ra rất ít.

III.1.2 Chương II: Phương pháp tọa độ trong không gian.

Các nội dung chủ yếu đƣợc trình bày trong SGK là vectơ các phép toán vectơ trong

không gian, sau đó là phần hệ tọa độ cùng các nội dung liên quan đƣờng thẳng, mặt phẳng và

mặt cầu.

Mở đầu là việc đƣa vào khái niệm vectơ trong không gian và các phép toán vectơ.

Khái niệm vectơ và các phép toán trên đó đƣợc định nghĩa hoàn toàn giống nhƣ ở lớp 10, tức

là khái niệm vectơ và các phép toán (cộng các vectơ, trừ hai vectơ, phép nhân vectơ với một

số, tích vô hƣớng của hai vectơ) đƣợc định nghĩa nhƣ trong mặt phẳng.

Sau đó, tƣơng tự nhƣ trong mặt phẳng, để định nghĩa khái niệm tọa độ của một vectơ

ngƣời ta đƣa vào định lí về sự phân tích duy nhất của một vectơ theo cơ sở.

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

Định lí: Nếu ba vectơ ⃗ , ⃗ , không đồng phẳng thì với mọi vectơ ⃗ ta đều có sự phân

tích duy nhất là ⃗ = k ⃗ + l ⃗⃗⃗ + m (k, l, m ∈ R).

Đến đây, các khái niệm hệ trục tọa độ, tọa độ của vectơ, của điểm đối với hệ trục...

đƣợc xây dựng hoàn toàn tƣơng tự trong mặt phẳng. Ví dụ các phép toán cộng các vectơ,

phép trừ hai vectơ dựa vào tọa độ, biểu thức tọa độ của tích vô hƣớng...

Trong phần vectơ trong không gian, SGK đã đƣa ra 4 ví dụ điển hình nhằm ôn lại các

kiến thức đã có trong mặt phảng áp dụng vào không gian.

Ví dụ thứ nhất : (trang 53) G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗

+ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ nhằm chuyển một điều kiện hình học thành một điều kiện về vectơ, hay chính xác

hơn là chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ vectơ.

Ví dụ thứ hai : (trang 54) Liên quan đến một bài toán phát biểu ở dạng hình học tổng

hợp, nhƣng có thể giải đƣợc phƣơng pháp vectơ (chứng minh sự vuông góc của hai đƣờng

thẳng bằng cách tính tích vô hƣớng bằng 0).

Tƣơng tự nhƣ vậy ở ví dụ thứ 3 vấn đề cũng là dùng vectơ để giải toán hình học.

Ví dụ 4 giải quyết bài toán chứng minh 3 vectơ đồng phẩn (ở đây ngƣời ta chứng

minh một vectơ đƣợc biểu thị tuyến tính qua 2 vectơ còn lại).

Nhƣ vậy, phƣơng pháp vectơ đã đƣợc dùng để giải vài bài toán hình học không gian

để giải các bài toán hình học không gian. Tuy nhiên phƣơng pháp này không đƣợc xem là nội

dung quan trọng của chƣơng trình : "Chúng ta sẽ không đi sâu vào vấn đề vận dụng vectơ để

giải các bài toán hình học, tuy nhiên các bài tập trong mục này sẽ giúp cho học sinh vận

dụng các kiến thức về vectơ vào một số bài toán quen thuộc ". (Tài liệu hướng dẫn giảng dạy

toán 12 - trang 84)

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

So với các bộ SGK trƣớc năm 2000, SGK này có đƣa vào một khái niệm mới, đó là

khái niệm tích có hƣớng (tích vectơ) của hai vectơ.

Cho ⃗ = (x1; y1; z1 ) ; ⃗ (x2; y2; z2 ) Tích có hƣớng của hai vectơ ⃗ và ⃗ là một vectơ

có tọa độ là :

Các công thức về khoảng cách giữa hai điểm, góc giữa hai vectơ cũng đƣợc thiết lập

nhƣ trong mặt phẳng, tức là đƣợc tính thông qua tọa độ các vectơ.

Các vấn đề liên quan đến đƣờng thẳng và mặt phẳng: Ngƣời ta sử dụng phƣơng

pháp vectơ - tọa độ để xây dựng phƣơng trình của mặt phẳng và đƣờng thẳng. Cụ thể là điểm

M thuộc mặt phẳng (α) đi qua điểm M0 (x0; y0; z0) có vectơ pháp tuyến là ⃗ = (A; B; C) khi

và chỉ khi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗ = 0 Từ đẳng thức này này ta có phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng, Về

đƣờng thẳng, ngƣời ta cũng dựa vào kiến thức về hai vectơ cùng phƣơng để lập nên phƣơng

trình tham số, từ đó suy ra phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng trong không gian. Cụ thể,

điểm M thuộc đƣờng thẳng ∆ qua M0 (X0; Y0) có vectơ chỉ phƣơng ⃗ = (a; b; c) khi và chỉ

khi vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phƣơng với ⃗ hay ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k ⃗ từ đây lập đƣợc phƣơng trình tham số

của đƣờng thẳng.

Vấn đề xét vị trí tƣơng đối giữa hai mặt phẳng dựa vào việc xét tỉ lệ các hệ số trong

phƣơng trình tổng quát của chúng. Cũng nhƣ trong mặt phẳng, khi một phƣơng trình đƣờng

thẳng, mặt phẳng đã đƣợc thiết lập thì ngƣời ta chỉ cần dựa vào đó để giải các bài toán liên

quan đến chúng. Phƣơng pháp vectơ bị "lãng quên ", đọng lại sẽ là những công thức của hình

học giải tích.

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng đƣợc tìm theo cách

tƣơng tự nhƣ trong mặt phẳng. Các công thức tính góc cũng đƣợc xây dựng thông qua trung

gian là vectơ.

Vấn đề phƣơng trình mặt cầu, vị trí tƣơng đối của mặt phẳng và mặt cầu không cần

vai trò trung gian của vectơ.

Nhƣ vậy, phần lớn các công thức đƣợc đề cập trong chƣơng II đều đƣợc xây dựng nhờ

vào các kiến thức vectơ.

Kết luận :

Qua việc phân tích các nội dung lý thuyết đƣợc trình bày trong SGK lớp 10 và lớp 12,

chúng tôi có thể kết luận đƣợc rằng : phƣơng pháp vectơ đƣợc đƣa vào ở lớp 10, và chủ yếu

đƣợc sử dụng để xây dựng các kiến thức của các chƣơng còn lại của Hình học 10. Sau đó

phƣơng pháp vectơ trong không gian có đề cập ở Hình học 12, nhƣng ở đây ngƣời ta cũng chỉ

dừng lại việc sử dụng chúng để xây dựng các kiến thức cơ sở của phƣơng pháp tọa độ trong

không gian.

Khái niệm tích có hƣớng là một khái niệm của phƣơng pháp vectơ tọa độ. Đến lƣợt

nó, nó là công cụ khá hữu hiệu để giải quyết các bài toán: Xét vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng

thẳng trong không gian và các công thức tính diện tích tam giác, thể tích hình hộp, hình

chóp...

III.2. Phân tích phần bài tập trong hình học lớp 12

Mục đích của phần này là chúng tôi tiến hành phân tích các kiểu nhiệm vụ chính đƣợc

đƣa vào trong phần bài tập của sách giáo khoa và phần làm thêm trong sách bài tập Hình học

12.

Trong các bài tập, mỗi bài có thể có nhiều câu nhỏ a, b,... và có thể mỗi câu nhỏ nhƣ

thế còn có các ý nhỏ. Trên cơ sở thống kê toàn bộ bài tập có trong phần lý thuyết cũng nhƣ

trong SGK và sách bài tập hình học 12. Chúng tôi có tất cả

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

395 câu nhỏ và phân chia chúng thành 20 kiểu nhiệm vụ chủ yếu khác nhau. Đối với mỗi

kiểu nhiệm vụ chúng tôi sẽ thống kê số lƣợng câu bài tập, các kiến thức cần thiết để giải và

cuối cùng là ví dụ minh họa.

Trong phần này chúng tôi phân các kiểu nhiệm vụ ra thành hai loại:

Loại một : Từ kiểu nhiệm vụ T1 đến kiểu nhiệm vụ T8 : các kiểu nhiệm vụ này dùng

để nhằm vận dụng trực tiếp các công thức, định nghĩa. Chúng là nền tảng cơ sở cho việc sử

dụng phƣơng pháp tọa độ sau này.

Loại hai: Các kiểu nhiệm vụ còn lại. Các kiểu nhiệm vụ này là dùng phƣơng pháp

vectơ và phƣơng pháp tọa độ để nghiến cứu hình học.

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

III.2.1 Các kiểu nhiệm vụ nhằm vận dụng trực tiếp các công thức, định nghĩa :

Kiến thức cần thiết để giải quyết bài toán Ví dụ minh họa Kiểu nhiệm vụ VD BT SGK

Số lƣợng bài tập BT làm thêm 11 59 3 ♦ Tọa độ của vectơ : -Tìm tọa độ vectơ ⃗⃗⃗ =2 ⃗ + ⃗ - 4 với T1: Tìm tọa độ của một vectơ,

một điểm

- Cho M (x; y). Tìm M1 đối xứng với

♦ Tọa độ của điểm : M qua Ox.

Tọa độ của M là tọa độ của vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - Cho ∆ABC có A (xA; yA; zA); B (xB;

G là trọng tâm yB; zB); C(xC;yC; zC ) Tìm tọa độ trong

Tọa độ của một điểm là nghiệm của hệ phƣơng tâm G của ∆ABC.

trình 3 ẩn số. - Cho A (2; -1; 7); B (4; 5; -2). Tìm

tọa độ điểm M là giao điểm của

đƣờng thẳng AB và mặt phang Oyz.

- Tìm giao điểm của đƣờng thẳng x =

2t; y = 1 - t; z= 3 + t với mặt phẳng x

+ y + z-10 = 0.

4 68 3 ♦ Đƣờng thẳng trong mặt phẳng :

T2 : Viết phƣơng trình của đƣờng thẳng

+ Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng qua một điểm và có vectơ pháp tuyến đã biết. + Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng đi qua một điểm và có vectơ chỉ phƣơng đã biết. ♦ Đƣờng thẳng trong không gian : + Biết một điểm đi qua và một vectơ chỉ phƣơng. + Biết hai mặt phẳng nhận nó làm giao tuyến.

: Viết phƣơng

trình

1 3

T3 đƣờng tròn

- Viết phƣơng ƣình tổng quát các đƣờng cao của ∆ABC với A (4; 5); B (-6; -1) và C (1; 1). - Viết phƣơng trình tham số đƣờng thẳng d : + d đi qua A (1; 5) và B (-2; 9) + d qua A (4; 3; 1) và song song với đƣờng thẳng - Viết phƣơng tình tổng quát của đƣờng thẳng d là hình chiếu của đƣờng thẳng ∆ lên mặt phẳng (α): - Viết phƣơng trình đƣờng tròn qua điểm M(2; 1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ. - Viết phƣơng trình đƣờng tròn đi qua 3 điểm A, B, C và xác định tâm bán kính của nó, với A(6;-2;3) B (0; 1;6);C(2; 0;-1).

0 ♦ Phƣơng trình đƣờng tròn trong mặt phẳng biết tọa độ tâm và bán kính. ♦ Phƣơng trình đƣờng tròn trong không gian biết phƣơng trình của mặt phẳng và phƣơng trình mặt cầu giao nhau.

T4 : Viết phƣơng trình chính tắc của các đƣờng conic (Elip, Hypebol, Parabol)

) nằm trên elip.

0 10 0 ♦ Viết phƣơng trình chính tắc của elip cần biết tiêu điểm và tâm sai hoặc tiêu điểm, độ dài một trục ♦ Viết phƣơng trình chính tắc của Hypebol cần biết tiêu điểm và tâm sai hoặc tiêu điểm, độ dài một trục ♦ Phƣơng trình parabol cần biết dạng chính tắc và tham số tiêu.

- Viết phƣơng trình chính tắc của Elip có một tiêu điểm F1 (-√ ; 0) và điểm M ( 1; √ - Viết phƣơng trình chính tắc của Hypebol có tiêu cự bằng 2√ và một tiệm cận là y = - Viết phƣơng trình của Parabol có tiêu điểm F (0; 1) và đƣờng chuẩn y = - 1.

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

1 7 0 ♦ Sử dụng định nghĩa về Conic : - Viết phƣơng trình các đƣờng Conic sau : T5 : Dùng định nghĩa,

viết phƣơng trình các Viết phƣơng trình cônic cần biết tâm sai, a) Tiêu điểm F (0; 3) và đƣờng chuẩn y = 0, tâm sai

đƣờng conic tiêu điểm và phƣơng trình đƣờng chuẩn. e = 1 2

b) Tiêu điểm F (2; 3) đƣờng chuẩn y = 0, tâm sai e = l

c) Tiêu điểm F (1; 1) đƣờng chuẩn x + y - 1 = 0 và tâm sai

e = √ .

7 21 3 ♦ Viết phƣơng trình tổng quát của mặt - Viết phƣơng trình mặt phẳng (a) qua M (1; 3; -2) và song T6 : Viết phƣơng trình

tổng quát của một phẳng cần biết một điểm trên nó và tọa độ song với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0.

mặt phang của một vectơ pháp tuyến. - Viết phƣơng trình mặt phẳng (ABC) biết A (-1;2;3); (2;-4;

3); C (4; 5; 6).

- Viết phƣơng trình mặt phẳng chứa đƣờng thẳng :

và song song với đƣờng thẳng

x= 2 - t; y = 1 + 2t; z = 5 + 2t.

0 3 0 ♦ Viết phƣơng trình mặt cầu cần biết tọa độ - Viết phƣơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A T7 : Viết phƣơng trình

mặt cầu tâm và bán kính. (6; -2; 3); B (0; 1; 6); c (2; 0; -1); D (4;1;0).

2 9 6 ♦ Trong mặt phẳng : Muốn tính góc giữa 2 - Trong mặt phẳng không có bài toán kiểu này T8: Tính góc

đƣờng thẳng cần biết phƣơng trình tổng

quát của chúng

♦ Trong không gian :

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

+ Tính góc giữa hai đƣờng thẳng ta cần có - Tính góc giữa hai đƣờng thẳng d và d' :

tọa độ vectơ chỉ phƣơng của chúng

+ Tính góc φ giữa 2 mặt phẳng (α) và (α') ta

cần có tọa độ của hai vectơ pháp tuyến của - Sách không có kiểu bài tập này.

chúng. - Tính góc giữa đƣờng thẳng d và mặt phẳng (α):

+ Tính góc φ giữa đƣờng thẳng d và mặt

phẳng (α) ta cần có tọa độ của vectơ chỉ

phƣơng của đƣờng thẳng và tọa độ vectơ

pháp tuyến của mặt phẳng

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

III.2.2. Các kiểu nhiệm vụ sử dụng phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ để giải toán

0 5 0 Cần biết phƣơng trình tổng quát của T9 : Xét vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng trong mặt phẳng hai đƣờng thẳng

1 11 T10: Xét vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng trong không gian 0 Cần có tọa độ 2 vectơ chỉ phƣơng của chúng và biết tọa độ hai điểm lần lƣợt nằm trên chúng.

1 7 0 Cần biết phƣơng trình tổng quát của T11: Xét vị trí tƣơng đối giữa hai mặt phẳng chúng

- Xét vị trí tƣơng đối giữa các cặp đƣờng thẳng sau: ♦ Xét vị trí tƣơng đối giữa các cặp đƣờng thẳng sau: - Xét vị trí tƣơng đối giữa cặp mặt phẳng sau: (α): x + 2y + z + 3 = 0 và 2x - y + 4z - 2 = 0 - Cho hai mặt phẳng có phƣơng trình: 2x - my + 3z-6 + m = 0 và (m+3)x - 2y + (5m+l)z - 10 = 0 với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng ấy song song với nhau? Trùng nhau? cắt nhau? - Xét vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng d và mặt 0 8 1 Cần biết phƣơng trình tổng quát của T12: Xét vị trí mặt

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng phẳng tọa độ vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng và một điểm nằm trên nó.

0 4 T13 : Vị trí tƣơng đối giữa mặt phẳng và mặt cầu 1 Công thức tính khoảng cách từ một điểm (tâm mặt cầu) đến mặt phẳng.

0 12 1 Các công thức tính khoảng cách T14 Tính khoảng cách

phẳng (a) và ( ): 3x - 3y + 2z - 5 = 0 - Với giá trị nào của k thì đƣờng thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng Oyz, với ∆ : - Xét vị trí tƣơng đối giữa mặt phẳng (α) và mặt cầu (S): (α): x + 2y - 2z + 1 = 0 (S): x2 + y2 + z2 - 6x + 2y - 2x + 10 = 0 - Tính khoảng cách từ M (4; -5) đến đƣờng thẳng (∆): 3x - 4y + 8 = 0 - Sách không có bài tập tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. - Tính khoảng cách từ điểm M đến đƣờng thẳng A trong các trƣờng hợp sau : - Tính khoáng cách giữa 2 đƣờng thẳng sau:

T15: Tìm quĩ tích

♦ Bài toán tìm quỹ tích sử dụng kết quả trên tính toán vectơ: - AB2 = ⃗⃗⃗⃗⃗ - ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ G là trọng tâm ∆ABC

0 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

T16: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ , hoặc chứng minh bốn điểm đồng phẳng

0 Hai vectơ vuông góc khi tích vô hƣớng của chúng

T17 : Chứng minh sự vuông góc

bằng 0

- Tính khoảng cách giữa 2 đƣờng thẳng : - Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm ∆BCD và o là trung điểm đoạn thẳng AG. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho 3MA2 + MB2 + MC2 + MD2 =k2 (k2 là số không đổi). - Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A (1; 0; 0); A'(-l; 0; 0). Gọi A là đƣờng thẳng qua A và song song với Oz, ∆' là đƣờng thẳng qua A' và song song với Oy. Tìm quỹ tích các điểm M nằm trong mặt phẳng Oxy cách đểu ∆ và ∆'. - Cho tứ diện ABCD; p, Q lần lƣợt là trung điểm của AB, CD. Hai điểm M, N lần lƣợt chia hai đoạn thẳng BC và AD theo cùng tỉ số k. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q nằm trên cùng một mặt phẳng. - Xét sự đồng phẳng của bộ ba các vectơ sau : - Cho hình lập phƣơng ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm các cạnh AD và BB'. Chứng minh rằng MN A'C.

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng

0 1 0 T18 : Chứng minh sự song song đồng phẳng

0 1 0 Sử dụng phƣơng pháp vectơ A B ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ T19 : Chứng minh hai điểm trùng nhau Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của CD và DD'; G và G' lần lƣợt là trọng tâm của tứ diện A'D'MN và BCC'D. Chứng minh đƣờng thẳng GG' song song với mặt phẳng (ABB'A') Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' có cùng trọng tâm khi và chỉ khi:

2 4 0 T20: Chứng minh đẳng thức vectơ G là trọng tâm tứ diện ABCD thì : với mọi điểm M - AB2 = ⃗⃗⃗⃗⃗ - Các phép toán vectơ

Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD và o là trung điểm đoạn thẳng AG. a) Chứng minh: b) Chứng minh với một điếm M bất kì, ta có: 3MA2+MB2+MC2+MD2=6MO2+30A2+OB2+ OC2+O D2

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

* Nhận xét về các kiểu nhiệm vụ :

Trong 395 câu nhỏ thì có 28 (7,1%) câu nằm trong phần các ví dụ minh họa ở lý

thuyết còn lại 367 câu nằm trong phần bài tập. Trong 20 kiểu nhiệm vụ chúng tôi chỉ lấy ra

316 câu để phân tích.

• Kiểu nhiệm vụ T1 (Tìm tọa độ của vectơ, của điểm) có 73 câu trong đó có 3 câu đƣa

ra qua các ví dụ và 70 nằm trong phần bài tập. Chúng tôi nhận thấy dạng toán tìm tọa độ của

một điểm chiếm tỉ lệ cao hơn dạng toán tìm tọa độ của vectơ (58 so với 15). Việc tìm tọa độ

của một điểm đƣợc thể hiện khá nhiều dạng nhƣ: Giao điểm của hai đƣờng thẳng; hình chiếu

của điểm cho trƣớc lên đƣờng thẳng, mặt phẳng cho trƣớc, tâm đƣờng tròn, mặt cầu; điểm đối

xứng của một điểm cho trƣớc qua một đƣờng thẳng cho trƣớc; điểm cách đều các điểm, các

đƣờng cho trƣớc, tìm đỉnh của hình bình hành... Mục đích của kiểu nhiệm vụ này trƣớc hết là

củng cố định nghĩa về tọa độ của một vectơ và các phép toán tính theo tọa độ của các vectơ.

Sau đó là cho phép xác định tọa độ của một điểm khi biết một số điều kiện nào đó. Mục đích

là củng cố các kiến thức này để sau này áp dụng vào giải các bài toán hình học.

• Kiểu nhiệm vụ T2 (Viết phƣơng trình đƣờng thẳng)

Nội dung này cũng đƣợc thể hiện khá phong phú. Các dạng của kiểu này là: Viết

phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua hai điểm; đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với

một đƣờng thẳng cho trƣớc. Viết phƣơng trình tiếp tuyến với đƣờng tròn, conic; phƣơng trình

đƣờng chuẩn của conic; phƣơng trình trung tuyến, phân giác của tam giác... Nhiệm vụ này

đƣợc lặp đi lặp lại khá nhiều lần, kể cả trong mặt phẳng lẫn không gian. Mục đích là để học

sinh biết vận dụng cách viết phƣơng trình đƣờng thẳng, tạo tiền đề cơ bản cho việc sử dụng

về sau.

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

• Kiểu nhiệm vụ T3 (Viết phƣơng trình đƣờng tròn) : Chỉ có 4 câu liên quan việc lập

phƣơng trình đƣờng tròn trong đó có một bài viết đƣờng tròn trong không gian là giao của

một mặt cầu với mặt phẳng. Mục đích là cho học sinh biết cách lập phƣơng trình của đƣờng

tròn khi biết các yếu tố về tâm và bán kính hoặc tìm các yếu tố liên quan đến tâm và bán kính

đƣờng tròn.

• Kiểu nhiệm vụ T4 (Viết phƣơng trình chính tắc của conic) có tất cả 10 câu. Áp dụng

công thức về phƣơng trình chính tắc của conic để viết.

• Kiểu nhiệm vụ T5 : (Viết phƣơng trình Conic bằng cách sử dụng định nghĩa) có 8

câu. Mục đích cho học sinh biết cách lập các phƣơng trình của conic dựa vào định nghĩa.

• Kiểu nhiệm vụ T6 (Viết phƣơng trình mặt phẳng) có 31 câu và có nhiều dạng thể

hiện nhƣ : viết phƣơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng; phƣơng trình mặt

phẳng chứa một đƣờng thẳng song song với một đƣờng thẳng; mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu...

Mục đích cho học sinh sử dụng phƣơng pháp viết phƣơng trình mặt phẳng một cách hình học

để phục vụ cho việc giải toán hình học bằng phƣơng pháp tọa độ sau này.

• Kiểu nhiệm vụ T7 : (Viết phƣơng trình mặt cầu) chỉ có 3 câu. Để giải quyết kiểu

nhiệm vụ này ta chỉ áp dụng định nghĩa phƣơng trình của mặt cầu.

• Kiểu nhiệm vụ T8: (Tính góc) có 17 câu trong đó có 2 câu trong 2 ví dụ (cả 2 ví dụ

này đều nằm trong chƣơng 2: Phƣơng pháp tọa độ trong không gian. Một ví dụ sử dụng

phƣơng pháp vectơ và một ví dụ sử dụng kiến thức của phƣơng pháp vectơ - tọa độ). 15 câu

còn lại chỉ việc sử dụng các công thức có sẵn. Nhằm cho học sinh rèn luyện, áp dụng các

công thức, định nghĩa.

• Kiểu nhiệm vụ T9 : (Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng trong mặt phẳng). Kiểu

nhiệm vụ này đƣợc giải quyết nhờ vào việc giải và biện luận hệ

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

hai phƣơng trình bậc nhất hai ẩn số. Kiểu nhiệm vụ này thuộc phạm vi áp dụng phƣơng pháp

giải tích để giải toán, nhƣng ở đây ngƣời ta đã cho sẵn các phƣơng trình của đƣờng thẳng.

• Kiểu nhiệm vụ T10 : (Xét vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng trong không gian) có

12 câu, giải quyết kiểu nhiệm vụ này nhờ vào khái niệm tích có hƣớng của hai vecvơ. Mục

đích cho học sinh biện luận vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng trong không gian thông qua

phƣơng trình của chúng. Đây là kiểu nhiệm vụ sử dụng phƣơng pháp giải tích để giải toán.

• Kiểu nhiệm vụ T11 : (Xét vị trí tƣơng đối giữa hai mặt phẳng), có 8 câu, mục đích

của kiểu nhiệm vụ này là dựa vào phƣơng trình tổng quát của hai mặt phẳng để biện luận vị

trí tƣơng đối, làm cơ sở cho việc sử dụng phƣơng pháp giải tích sau này.

• Kiểu nhiệm vụ T12 : (Xét vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng) có 9 câu,

để giải quyết chúng ngƣời ta cần dựa vào tích vô hƣớng của hai vectơ, điểm thuộc mặt phẳng.

Mục đích là củng cố về phƣơng pháp xét vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng khi

đã có phƣơng trình của chúng. Kiểu nhiệm vụ này cũng làm cơ sở tiền đề cho việc sử dụng

phƣơng pháp giải tích sau này.

• Kiểu nhiệm vụ T13: (Xét vị trí tƣơng đối giữa mặt phẳng và mặt cầu) có 5 câu. Giải

quyết kiểu nhiệm vụ này cần đến công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt

phẳng.

• Kiểu nhiệm vụ T14 : (Tính khoảng cách) Kiểu này có tất cả 13 câu. Chỉ có một bài

trong ví dụ trong phần khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng trong mặt phẳng.

Nhƣng thực chất là để viết phƣơng trình đƣờng thẳng (phƣơng trình đƣờng phân giác của góc

tạo bởi hai đƣờng thẳng). Các bài tập

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

kiểu này chỉ có trong chƣơng 2. Mục đích đầu tiên là áp dụng các công thức để tính khoảng

cách từ một điểm (đã biết tọa độ) đến một đƣờng thẳng hoặc mặt phẳng (đã có phƣơng trình

tổng quát), hoặc khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau trong không gian. Với kiểu

nhiệm vụ này là cơ sở để áp dụng vào việc giải các bài toán hình học tổng hợp bằng phƣơng

pháp tọa độ.

• Kiểu nhiệm vụ T15: (Bài toán quỹ tích) Kiểu này có 22 câu, chúng không có mặt

trong các ví dụ. Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng có 16 câu; phần vectơ trong không gian

có 2 câu và phƣơng pháp tọa độ trong không gian có 4 câu. Mục đích là sử dụng định nghĩa

các hình hình học để tìm các điểm trên đó thỏa mãn điều kiện định nghĩa hoặc sử dụng tọa độ

để tìm mối liên hệ giữa các tọa độ của chúng lập nên phƣơng trình của đƣờng hoặc mặt (trong

mặt phẳng hoặc trong không gian).

• Kiểu nhiệm vụ T16 : (Chứng minh ba vectơ đồng phẳng) có 8 câu. Nhƣng có đến 4

câu sử dụng điều kiện đồng phẳng của ba vectơ bằng cách dùng tính chất của tích có hƣớng

và tích vô hƣớng. Mục đích là sử dụng việc biểu diễn một vectơ theo hai vectơ khác vectơ

không, không cùng phƣơng hoặc sử dụng định nghĩa tích có hƣớng của hai vectơ để chứng

minh các vectơ đồng phẳng. Kiểu nhiệm vụ này cũng làm cơ sở cho việc áp dụng phƣơng

pháp tọa độ giải toán sau này.

• Kiểu nhiệm vụ T17 (Chứng minh vuông góc) Có 5 câu và tất cả nằm trong chƣơng 2,

trong đó sử dụng vectơ là 3 câu; 2 câu còn lại là bài toán chọn hệ trục tọa độ để giải bài toán

đƣợc phát biểu ở dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp. Kiểu nhiệm vụ này thuộc cả hai phƣơng

pháp. Với phƣơng pháp vectơ ngƣời ta sử dụng việc biến đổi vectơ và xét tích vô hƣớng của

chúng bằng không. Còn đối với phƣơng pháp tọa độ ngƣời ta xét trên tọa độ và sử dụng

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

điều kiện vuông góc và biểu thức tọa độ của tích vô hƣớng. Nó đƣợc sử dụng để giải các bài

toán hình học bằng phƣơng pháp tọa độ.

• Kiểu nhiệm vụ T18 : (Chứng minh song song) Kiểu này chỉ có một câu và chứng

minh đƣờng thẳng song song mặt phẳng bằng phƣơng pháp vectơ. Ngƣời ta sử dụng phƣơng

pháp vectơ để chứng minh một đƣờng thẳng song song với mặt phẳng (trong không gian).

• Kiểu nhiệm vụ T19 : Chứng minh hai điểm trùng nhau. Kiểu này cùng chỉ có một bài

và sử dụng phƣơng pháp vectơ để giải. Mục đích sử dụng phƣơng pháp vectơ trong không

gian để giải bài toán hình học.

• Kiểu nhiệm vụ T20 : Chứng minh một đẳng thức vectơ. Kiểu nhiệm vụ này nhằm sử

dụng công cụ vectơ để giải một số bài toán hình học không gian.

Qua việc phân tích, đánh giá trên, chúng tôi rút ra các kết luận sau đây:

Thứ nhất, các kiểu nhiệm vụ trong Hình học 12 chủ yếu tập trung vào các bài toán

giải bằng phƣơng pháp tọa độ.

Thứ hai, các bài toán sử dụng vectơ để giải là rất ít. Chỉ có một số ít bài ở phần vectơ

trong không gian. Phần này chỉ minh họa một số kiến thức vectơ áp dụng từ mặt phẳng vào

không gian mà thôi.

Thứ ba, việc chọn hệ trục tọa độ để giải các bài toán hình học tổng hợp cũng rất ít.

Trong chƣơng I chỉ có 3 bài, đó là việc chọn hệ trục để xây dựng phƣơng trình chính tắc của

ba đƣờng Conic. Còn trong chƣơng II chỉ có ba bài (SGK không có ví dụ).

Nhƣ vậy, ở SGK hình học lớp 12 chủ yếu ngƣời ta sử dụng phƣơng pháp vectơ nhƣ là

công cụ để xây dựng phƣơng pháp giải tích thông qua cầu nối trung gian là phƣơng pháp

vectơ - tọa độ. Hầu hết các bài tập đều đƣợc phát biểu ở dƣới dạng ngôn ngữ tọa độ.

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

Điều đó, cho phép chúng tôi trả lời các giải thích của chƣơng trình và sách giáo khoa.

Trong tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy Toán 12, các tác giả đã chỉ rõ :

• Chƣơng trình hình học 12 gồm phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng và phƣơng

pháp tọa độ trong không gian.

• "Việc đại số hóa hình học (tức là nghiên cứu Hình học bằng phương pháp tọa độ) là

rất cần thiết và có lợi. Nó làm cho người học đỡ khó khăn hơn nhiều. Học sinh lớp 12 sẽ thấy

học Hình học nhẹ nhàng hơn ở các lớp trước" (TL HDGD Toán 12 - trang 71).

• "[...] Việc áp dụng vectơ để giải các bài toán Hình học không được chú trọng

nhiều". (TL HDGD Toán 12 - trang 74).

Qua việc phân tích chƣơng trình và SGK cho phép chúng tôi làm rõ những điểm cơ

bản trong mối quan hệ thể chế với đối tƣợng là phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ

trong hình học ở PTTH (đặc biệt là ở hình học 12). Sau đây là các điểm cơ bản đó của mối

quan hệ này :

Phƣơng pháp vectơ bắt đầu xuất hiện ở lớp 10. Ở đó - phƣơng pháp vectơ trong mặt

phẳng - chúng đƣợc sử dụng để xây dựng, chứng minh một số công thức, định lý của phần

tiếp theo trong hình học 10. Sang đến lớp 12, phƣơng pháp vectơ (trong không gian) xuất

hiện trƣớc khi xây dựng các kiến thức cơ sở của phƣơng pháp tọa độ trong không gian. Mục

đích của ngƣời ta là đƣa các kiến thức về phƣơng pháp vectơ trong không gian để xây dựng

nên phƣơng pháp tọa độ trong không gian, ở đây chúng đƣợc thể hiện thông qua một vai trò

trung gian của phƣơng pháp vectơ - tọa độ.

Phƣơng pháp tọa độ cũng bắt đầu xuất hiện, nhƣng nhƣ phần đầu chúng tôi đã gọi đó

là phƣơng pháp vectơ - tọa độ. ở đó ngƣời ta bắt đầu giới thiệu những kiến thức cơ sở cho

phƣơng pháp tọa độ. Phần này đƣợc nghiên cứu

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

trong toàn bộ hình học 12. Ở hình học 12, ngƣời ta nghiên cứu phƣơng pháp tọa độ một cách

có hệ thống đó là phƣơng pháp tọa độ trong mặt phang và phƣơng pháp tọa độ trong không

gian. Theo phân tích của chúng tôi, các kiến thức đƣa vào ở SGK chỉ là những kiến thức ban

đầu, chủ yếu là củng cố để làm nền tảng cho phƣơng pháp tọa độ. ở mỗi nội dung trong hình

học 12, hầu hết kiến thức của nó đƣợc xây dựng thông qua bƣớc đệm là phƣơng pháp vectơ -

tọa độ. Trong sách giáo viên và các phần giải thích của chƣơng trình, mặt dù đã nói đến

phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ nhƣng thực chất chúng đƣợc đề cập rất ít trong

SGK.

Từ đây chúng tôi đƣa ra giả thuyết nghiên cứu của đề tài.

* Giả thuyết nghiên cứu :

"Phƣơng pháp tọa độ lấn át phƣơng pháp vectơ đến mức học sinh không huy

động đƣợc các kiến thức vectơ để giải toán, ngay cả khi gặp các bài toán mà phƣơng

pháp tọa độ "đắt giá" hơn nhiều so với phƣơng pháp vectơ".

Thuật ngữ "đắt giá" đƣợc chúng tôi dùng ở đây với ý nghĩa là: Trong khi phƣơng

pháp vectơ cho phép giải quyết bài toán một cách ngắn gọn thì phƣơng pháp tọa độ đòi hỏi

phải có nhiều tính toán dài dòng hơn.

Phần tiếp theo trong nghiên cứu của chúng tôi là tiến hành kiểm chứng, tức là hợp

thức hóa hoặc bác bỏ giả thuyết ở trên. Để làm đƣợc việc này, chúng tôi tiến hành xây dựng

một số bài toán thực nghiệm. Trong phần này, chúng tôi đi phân tích các bài toán, sau đó đƣa

ra thực nghiệm và kết luận. Phần nghiên cứu trong chƣơng III sẽ thể hiện công việc này.

Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

CHƢƠNG III : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

Mở đầu

Để kiểm chứng tính chân thật của giả thuyết đƣợc hình thành từ sự phân tích chƣơng

trình và sách giáo khoa theo quan điểm của lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi phải quay về

với thực tiễn dạy học. Vấn đề là phải xây dựng một thực nghiệm cho phép kiểm chứng hay

bác bỏ giả thuyết đã đƣợc đƣa ra. Với thực nghiệm này, chúng tôi muốn tìm hiểu xem học

sinh lớp 12 biết sử dụng phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ để giải toán ở mức độ

nào. Cụ thể hơn, chúng tôi xem học sinh ƣu tiên sử dụng phƣơng pháp nào để giải toán và

mức độ thành công của họ. Chúng tôi sẽ cố gắng vạch ra ảnh hƣởng của thể chế đối với việc

học hình học của học sinh lớp 12.

Các bài toán mà chúng tôi chọn làm thực nghiệm sẽ giải đƣợc bằng nhiều cách khác

nhau. Chúng tôi chọn các bài toán này vì ngôn ngữ phát biểu của bài toán không liên quan

đến vectơ hay tọa độ, nhƣng có thể dùng vectơ hoặc tọa độ để giải. Ở đây, phƣơng pháp

vectơ giải bài toán ngắn gọn hơn, súc tích hơn so với phƣơng pháp tọa độ. Chúng tôi xem xét

học sinh có sự lựa chọn và ƣu tiên nhƣ thế nào đối với các phƣơng pháp trên khi đứng trƣớc

một bài toán phát biểu ở dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp.

Đối tƣợng thực nghiệm của chúng tôi là học sinh lớp 12 (gồm 2 lớp) ở trƣờng PTTH

Lƣơng Văn Can - Quận 8 - TP.HCM. Thực nghiệm đƣợc tiến hành khi học sinh 12 đã học

xong chƣơng trình. Các bài toán thực nghiệm đƣợc chúng tôi cho học sinh làm việc cá nhân.

Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

I. Hai bài toán thực nghiệm :

1. Đề bài:

Bài toán 1 : Cho hình thang ABCD vuông tại A và B. Đáy lớn AD bằng 3 lần đáy nhỏ BC. Trên

cạnh AB lấy điểm N sao cho .Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BD. Chứng = BN AB BC AD minh rằng hai đƣờng thẳng AM và CN song song với nhau.

Yêu cầu : Giải bài toán ít nhất bằng 3 cách khác nhau.

Bài toán 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là điểm đối xứng của A qua B. Trên cạnh AC

lấy điểm E sao cho AE = AC, Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm 2 5 D, G, E thẳng hàng.

Yêu cầu : Giải bài toán ít nhất bằng ba cách khác nhau. 2. Các kiến thức liên quan :

Bài toán 1 :

Hai đƣờng thẳng song song Hai vectơ cùng phƣơng Định lý Talét

Hệ trục tọa độ, phƣơng trình đƣờng thẳng, hệ số góc của đƣờng thẳng

Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành.

Bài toán 2 :

Đƣờng trung bình của tam giác

Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

Định lý Talet

Hai vectơ cùng phƣơng, phép cộng các vectơ, quy tắc ba điểm. Phƣơng trình đƣờng

thẳng.

3. Các biến Didactic ;

Bài toán 1 :

a/ Cho hình thang vuông chứ không cho hình thang tùy ý. Điều này tạo điều kiện

thuận lợi cho việc chọn hệ trục tọa độ. Bởi vì, khi muốn chọn hệ trục tọa độ để giải bài toán

bằng phƣơng pháp tọa độ thì phải có yếu tố hệ trục tọa độ vuông góc.

b/ Yêu cầu giải bài toán ít nhất bằng ba cách khác nhau. Yêu cầu này tạo ra sự lựa

chọn các cách giải. Mục đích xem xét học sinh ƣu tiên chọn phƣơng pháp nào để giải bài

toán: phƣơng pháp tổng hợp, phƣơng pháp vectơ, phƣơng pháp tọa độ ?

c/ Phát biểu bài toán : chứng minh hai đƣờng thẳng song song chứ không phải xét vị

trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng. Nếu đặt ra yêu cầu xét vị trí giữa hai đƣờng thẳng sẽ tạo

điều kiện cho học sinh dễ dàng hơn, dễ ƣu tiên cho phƣơng pháp tọa độ vì trong quá trình học

ở lớp 12, học sinh đã gặp các bài toán ở dạng này.

Bài toán 2 :

a/ Cho tam giác vuông, mục đích là tạo điều kiện dễ dàng cho việc chọn hệ trục tọa độ

để giải bài toán.

b/ Đề bài yêu cầu : Chứng minh ba điểm thẳng hàng, khác với việc yêu cầu chứng

minh điểm thuộc đƣờng thẳng. Vì trong trƣờng hợp thứ hai, học sinh có điều kiện nghĩ đến

phƣơng pháp tọa độ do trong quá trình học ở lớp 12 có các bài tập ở dạng này.

Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

II. / Phân tích A PRIORI bài toán

A. Bài toán 1

Những chiến lƣợc có thể

1. Chiến lƣợc "tổng hợp" : chúng tôi gọi chiến lƣợc tổng hợp là chiến lƣợc mà học

sinh chỉ sử dụng các kiến thức của hình học tổng hợp để giải bài toán.

S1: (Chiến lƣợc "tỉ lệ")

= Lấy A' đối xứng với A qua M thì tứ giác ABA'D là Vì AD = 3BC nên = BN AB 1 3 BC AD hình chữ nhật nên A'B = AD suy ra :

= BN AB BC A'B

Theo định lý Talet ta có NC//AA' hay NC//AM.

S2 : (Chiến lƣợc "tam giác đồng dạng")

Ta có vì

Suy ra

Mặt khác AM là trung tuyến của tam giác vuông ABD nên BM = AM

=> AABM cân tại M, do đó

(1) và (2) cho ta

Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

tức là cặp góc đồng vị bằng nhau

Vậy CN//AM

S3 (Chiến lƣợc "so sánh góc")

Kéo dài NC cắt đƣờng thẳng AD tại C'

thì ta có ∆NBC ~ ∆NAC'

mặt khác ta có:

Do vậy

hay NC//AM

S4 (chiến lƣợc "hình bình hành")

Từ C kẻ CH AD tại H và cắt AM tại L

thì AH = BC; CH = AB

mặt khác ∆BNC ~ ∆ABD =>

=> BN = LH

=> CL = NA

(vì NA = AB - BN; CL = CH - LH)

hơn nữa CL//NA

Suy ra tứ giác NALC là hình bình hành => NC // AL hay NC // AM

Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

2. Chiến lƣợc "vectơ" :

S5: Ta có

Suy ra :

Do đó

mà theo qui tắc hình bình hành

nên

vì A, M, C không thẳng hàng nên NC//AM

3. Chiến lƣợc " vectơ - tọa độ " :

S6 : Chọn hệ trục tọa độ nhƣ sau :

Chọn A là gốc tọa độ, A(0;0) trục Ox trùng với AD, trục Oy trùng với AB và gọi

B(0;b), D(d;0) (b≠0; d≠0)

Khi đó

Ta có

Suy ra Vậy AM//CN

4. Các chiến lƣợc "tọa độ " : Chọn hệ tọa độ nhƣ trên.

S7 : (Tìm hệ số góc đƣờng thẳng)

Hệ số góc của đƣờng thẳng AM là :

Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

và hệ số góc của đƣờng thẳng CN là :

=> k1 = k2 vậy AM//CN

S8 (Viết phƣơng trình đƣờng thẳng)

Viết phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng (AM)

Đƣờng thẳng (AM) đi qua A(0;0) có một vectơ chỉ phƣơng là

=> một vectơ pháp tuyến

=> phƣơng trình tổng quát của (AM) là

-b(x-0) + d(y-0) = 0

bx - dy = 0

Viết phƣơng trình đƣờng thẳng CN.

Đƣờng thẳng CN qua điểm và có một vectơ chỉ phƣơng là

=> một vectơ pháp tuyến là

=> Phƣơng trình tổng quát (CN) là :

Xét 2 đƣờng thẳng (AM) và (CN)

Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

(AM): bx - dy = 0

(CN):

Ta có :

Vậy AM//CN B. Bài toán 2 :

Những chiến lƣợc có thể

1. Chiến lƣợc " tổng hợp " :

S1 : (Chiếnlƣợc "tỉ lệ")

Gọi M là trung điểm BC và N, P, Q là các điểm nhƣ hình vẽ (AN=NE=EP=PQ=QC)

Trong ∆ADE ta có NB là đƣờng trung bình nên NB//DE (1)

Mặt khác, P là trung điểm NC nên MP là đƣờng trung bình của ∆BNC => MP//BN (2)

Từ (1) và (2) ta có MP//DE (3)

Ngoài ra xét AAMP thì ta có

Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

Từ (3) và (4) cho ta : D, G, E thẳng hàng.

S2: (Chiến lƣợc "dùng góc")

Xét AAEG ta có

và ADG:

mà

=> D, G, E thẳng hàng.

2. Chiến lƣợc “vectơ”:

S3 : (Chiến lƣợc "vectơ cùng phƣơng")

Cách 1:

Để chứng minh D, G, E thẳng hàng ta có thể CM : (k∈R)

Ta có :

và

Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

Từ (l) và (2) ta đƣợc

Vậy D, G, E thẳng hàng

Cách 2 : Ta có

và

mặt khác trong tam giác AMP thì

(1) và (2) suy ra

hay

cùng phƣơng => G, D, E thẳng hàng

3. Chiến lƣợc " vectơ - tọa độ '' :

Chọn hệ trục tọa độ góc A(0;0) trục hoành trùng với AC, trục tung trùng với AB. Đặt

Suy ra

S4: Ta có:

thẳng hàng

4. Chiến lƣợc "tọa độ " :

S5 : Viết phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng (DE)

Đƣờng thẳng (DE) qua điểm D(0;2b) có một vectơ chỉ phƣơng là :

Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

một vectơ pháp tuyến

=> phƣơng trình tổng quát (DE) là 5b(x - 0) + c(y - 2b) = 0

<=> 5bx + cy - 2bc = 0 (*)

thay tọa độ điểm vào vế trái của (*)

ta có

tức là tọa độ G thỏa mãn phƣơng trình của đƣờng thẳng DE => G ∈ (DE)

Vậy D, G, E thẳng hàng.

S6 : Sau khi chọn hệ trục tọa độ và có tọa độ D, G, E

Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (DE) nhƣ trên (S5)

Phƣơng trình đƣờng thẳng (DE) : 5bx + cy - 2bc = 0 (1)

Viết phƣơng tình đƣờng thẳng (GE)

(GE) qua có một vectơ chỉ phƣơng

nên một vectơ pháp tuyến là

=> Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng (GE):

<=> 5bx + cy - 2bc = 0 (2)

từ (1) và (2) cho ta hai đƣờng thẳng (GE), (DE) trùng nhau

=> D, G, E thẳng hàng.

Võ Hoàng Võ Hoàng Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra

III./ Phân tích A POSTERIORI

A. Bài toán 1 :

Bài toán này đƣợc đƣa cho 89 học sinh làm và thu đƣợc kết quả cho bởi bảng sau :

Tọa đô Tổng hợp Vectơ Chiến lƣợc Vectơ - tọa độ Giải tích

Số Đúng Sai Đúng Sai Đúng Sai Đúng Sai Chƣa cho kết quả lƣợng Chƣa cho kết quả 6 Chƣa cho kết quả 3 Chƣa cho kết quả 5 44 21 17 13 0 22 0 5 0

Tổng cộng có 89 bài làm thì có 136 lời giải, trong đó : Chiến lƣợc tổng hợp: 82; vectơ

: 19; vectơ - tọa độ : 25; giải tích : 10.

Số học sinh chỉ giải bằng phƣơng pháp tổng hợp : 48

Số học sinh có giải bằng phƣơng pháp vectơ : 6

Số học sinh có giải bằng phƣơng pháp tọa độ : 22

Số học sinh có giải bằng cả 2 phƣơng pháp (phƣơng pháp tọa độ + phƣơng pháp

vectơ): 13

Qua kết quả này cho thấy :

♦ Chiến lƣợc chủ đạo mà học sinh sử dụng là chiến lƣợc tổng hợp 82/136 - gần

60,2%. Tuy nhiên, tỉ lệ thành công của phƣơng pháp tổng hợp cũng chỉ hơn một nửa (44 so

với 38 bài làm sai hoặc chƣa cho kết quả). Điều này cũng cho chúng ta thấy, ảnh hƣởng của

Hình học ở lớp dƣới đối với học sinh còn khá lớn. Bởi vì lời phát biểu bài toán không liên

quan đến vectơ và cũng nhƣ tọa độ.

Có 35 lời giải sử dụng phƣơng pháp tọa độ (25,7%) trong khi đó chỉ có 19 lời giải

dùng phƣơng pháp vectơ (13,9%). Hơn nữa tỉ lệ thành công của phƣơng pháp tọa độ cũng cao

hơn so với phƣơng pháp vectơ (71% so với 68%).

Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

Điều này cho thấy rằng học sinh sử dụng phƣơng pháp tọa độ dễ dẫn đến thành công hơn so

với phƣơng pháp vectơ. Hơn nữa, mức độ thƣờng xuyên sử dụng phƣơng pháp tọa độ cũng

lớn hơn so với phƣơng pháp vectơ.

B. Bài toán 2 :

Có 112 bài kết quả cho bởi bảng sau :

Tọa độ Tổng hợp Vectơ Chiến lƣơc Vectơ - toa độ Giải tích

Số Đúng Sai Đúng Sai Đúng Sai Đúng Sai

lƣợng Chƣa cho kết quả 39 Chƣa cho kết quả 29 Chƣa cho kết quả 1 47 10 16 18 9 1 2 0 Chƣa cho kết quả 2

Tổng cộng có 174 lời giải, trong đó phƣơng pháp tổng hợp là 96; phƣơng pháp vectơ

là 63; phƣơng pháp vectơ - tọa độ là 11; phƣơng pháp giải tích là 4.

Số học sinh chỉ giải bằng phƣơng pháp tổng hợp : 42

Số học sinh có giải bằng phƣơng pháp vectơ : 55

Số học sinh có giải bằng phƣơng pháp tọa độ : 7

Số học sinh có giải bằng cả 2 phƣơng pháp (phƣơng pháp vectơ + phƣơng pháp tọa

độ): 8

Qua bảng này cho thấy :

♦ Phƣơng pháp giải chủ đạo là phƣơng pháp tổng hợp, tuy nhiên mức độ thành công

của phƣơng pháp này rất thấp, chƣa đến 50% (47 so với 49). Kết quả này có thể do bài toán

phát biểu ở dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp mà không liên quan gì đến phƣơng pháp vectơ

hay phƣơng pháp tọa độ. Hơn nữa, trong chƣơng trình hình học 12 không có bài tập kiểu này.

♦ Ở bài toán này, việc có nhiều lời giải dùng phƣơng pháp vectơ nhiều hơn so với

phƣơng pháp tọa độ (63 so với 15) là ảnh hƣởng của đề bài. Tuy nhiên tỉ lệ thành công của

phƣơng pháp vectơ thấp hơn rất nhiều so với phƣơng pháp tọa độ (25,4% so với 73,3%).

Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

♦ Liên hệ với các kiểu bài toán đƣợc đƣa ra trong Sách giáo khoa Hình học 12, kiểu

bài toán phát biểu bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp mà đƣợc yêu cầu giải bằng phƣơng pháp

vectơ hoặc phƣơng pháp tọa độ hầu nhƣ rất ít. Do vậy học sinh khó khăn khi tìm lời giải.

Khi học sinh đƣợc yêu cầu giải bài toán bằng ba cách khác nhau, thì trong các bài giải

của họ chúng tôi thấy :

Hầu hết là giải bài toán bằng phƣơng pháp tổng hợp đầu tiên (cách 1), sau đó cách 2

cũng là phƣơng pháp tổng hợp, nếu không nghĩ đến đƣợc phƣơng pháp tổng hợp nữa thì họ

giải bằng phƣơng pháp tọa độ. Cuối cùng họ mới giải bài toán bằng phƣơng pháp vectơ.

Nhƣng các sai lầm của họ trong việc sử dụng vectơ là rất phổ biến.

Tóm lại, qua phân tích lời giải của hai bài toán thực nghiệm đã cho phép chúng tôi

phần nào vạch rõ tính thỏa đáng của giả thuyết đƣa ra. Nhƣng phân tích chƣơng trình và SGK

đã chỉ ra : hầu nhƣ các phần lý thuyết cũng nhƣ các kiểu nhiệm vụ đƣợc đề cập trong SGK

đều tập trung vào vấn đề phƣơng pháp tọa độ. Hơn nữa, yêu cầu sử dụng phƣơng pháp vectơ

để giải toán không phải là một trọng tâm của SGK. Do vậy, công cụ vectơ chƣa thật sự sẵn

sàng đƣợc sử dụng, và nếu có thì cũng kém hiệu quả.

Thực nghiệm trên, phần nào cũng chỉ ra đƣợc rằng học sinh thành công hơn khi sử

dụng phƣơng pháp tọa độ để giải toán. Điều này phần nào phản ánh mối quan hệ thể chế dạy

học hình học ở trƣờng PTTH đối với đối tƣợng là phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ.

Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

KẾT LUẬN

Việc nghiên cứu chƣơng trình và SGK từ quan điểm của lý thuyết nhân chủng học

cho phép chúng tôi khẳng định, trong thể chế dạy học hình học ở Việt Nam, phƣơng pháp

vectơ và phƣơng pháp tọa độ đã đƣợc đƣa vào giảng dạy. Tuy nhiên, phƣơng pháp vectơ

thƣờng chỉ xuất hiện với vai trò công cụ, để xây dựng các kiến thức tiếp theo trong phần lý

thuyết của hình học lớp 10 cũng nhƣ các kiến thức của phƣơng pháp tọa độ trong hình học

12. Việc áp dụng phƣơng pháp vectơ vào giải toán không đƣợc coi trọng. Mặt khác, nghiên

cứu này cũng cho chúng tôi thấy đƣợc mối liên hệ giữa phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp

tọa độ trong dạy học hình học ở lớp 12. Phƣơng pháp vectơ là cơ sở để đƣa vào phƣơng pháp

giải tích thông qua trung gian là phƣơng pháp vectơ-tọa độ.

Nghiên cứu thực nghiệm cho phép chúng tôi khẳng định tính thỏa đáng của giả thuyết

đƣa ra. Quan hệ chính thức mà thể chế duy trì đối với một tri thức cần dạy có ảnh hƣởng lớn

đến sự hình thành quan hệ cá nhân của học sinh đối với tri thức đó.

Việc nghiên cứu của chúng tôi cho phép chỉ ra rằng phƣơng pháp vectơ và phƣơng

pháp tọa độ cần đƣợc đƣa vào một cách rõ ràng hơn và chi tiết hơn nữa. Đặc biệt là các kiểu

nhiệm vụ toán học liên quan đến việc sử dụng vectơ cũng nhƣ chọn hệ tọa độ để giải toán cần

đƣợc thêm vào SGK với số lƣợng nhiều hơn và tƣờng minh hơn.

Từ đó hƣớng nghiên cứu mới đƣợc mở ra của chúng tôi có thể là thực hiện một

nghiên cứu về thể chế hóa đối với giáo viên giảng dạy toán ở PTTH. Nghiên cứu này đƣợc

nghiên cứu trên đối tƣợng là các giáo viên. Mục đích là xem xét các giáo viên khi thực hiện

giảng dạy họ đã tiến hành cụ thể hóa các nội dung của chƣơng trình và SGK ở mức độ nào,

chúng có tác động nhƣ thế nào đối với việc học tập của học sinh về phƣơng pháp vectơ và

phƣơng pháp

Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng

tọa độ Từ đó có thể xây dựng hệ thống các kiến thức trong dạy học nhằm giúp việc giảng dạy

cũng nhƣ học tập đạt hiệu quả hơn.

Đây là kết quả đầu tiên của chúng tôi. Đồng thời là bƣớc đầu bƣớc vào con đƣờng

nghiên cứu khoa học Didactic Toán, bản thân chúng tôi thấy còn những hạn chế nhất định.

Hy vọng trong hƣớng nghiên cứu mới chúng tôi sẽ thực hiện đƣợc nhiều kết quả tốt đẹp hơn.

Võ Hoàng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. BESSOT.A, COMITI. C, (2000 - 2001)., Lý thuyết nhân chủng hoc ... Bài giảng trong

chương trình Thạc Sĩ ve Didactique Toán.

2. ĐOÀN HỮU HẢI (2001)., L'enseignement de la geometrie dans l'espace au début du lýcée

dans ses liens avec la géométrie plane. Une étude comparative entre deux institutions

: la classe de Seconde en France et la classe 11 au Viet Nam. Thèse de doctorat,

Université Joseph Fourier Grenoble, France.

3. LÊ KHẮC BẢO - NGUYỄN MỘNG HY- TRẦN ĐỨC HUYÊN (1992) Sách Giáo viên

Hình hoc 12- NXB Giáo Dục.

4. LÊ KHẮC BẢO (1982) - Hình học Giải tích - ĐHSP - NXB Giáo Dục

5. LÊ KHẮC BẢO - NGUYỄN MỘNG HY- TRẦN ĐỨC HUYÊN (1997) -Bài tập Hinh học

12 (in lần thứ 6) - NXB Giáo Dục.

6. LÊ THỊ HOÀI CHÂU (1997)., E'tude didactique et épistémologique sur l'enseignement du

vecteur dans deux institutions : la classe de Dixième au Việt Nam et la classe de

Seconde en France., Thèse de doctorat, Universite Joseph Fourier Grenoble, France.

7. LÊ VĂN TIẾN (2001) : E'tude didactique des liens entre fonctions et équations dans

l'enseigement des mathématiques au lycée en France et au Viet Nam., Thèse de

doctorat, Univerité Joseph Fourier Grenoble, France.

8. NGUYỄN GIA CỐC (1996) : Ôn luyện giải toán hình học bằng phương pháp vector -

NXB Đà Nẵng.

9. NGUYỄN BÁ KIM - VŨ DƢƠNG THỤY (1992) Phương pháp dạy học môn Toán - NXB

Giáo Dục.

10. NGUYỄN MỘNG HY (2001) Các bài toán về phương pháp vectơ và phương pháp tọa

độ - NXB Giáo Dục.

11. NGUYỄN MỘNG HY-CAM DUY LỄ (l998)-Sách giáo viên (tái bản lần 1)

- NXB Giáo Dục

12. NGUYỄN GIA CỐC (1997) - Sách giáo khoa hình hoc 12 (in lần thứ 6) NXB Giáo Dục.

13. NGUYỄN VĂN LỘC (1997) Quy trình giải các bài toán Hình họcc bằng phương pháp

vecta - NXB Giáo Dục.

Võ Hoàng

14. TRẦN VĂN HẠO - CAM DUY LỄ (1997) Sách giáo viên Toán 10 - NXB Giáo Dục.

15. TRẦN VĂN HẠO - VŨ THIỆN CĂN - CAM DUY LỄ (1997) Sách giáo khoa hình học

10 (in lần thứ 7) - NXB Giáo Dục.

16. TRẦN VĂN HẠO - PHAN TƢƠNG DẦN (1998) - Sách giáo viên (tái bản lần 1)-NXB

Giáo Dục

17. TRẦN VĂN HẠO - LÊ KHẮC BẢO - NGUYỄN MỘNG HY - TRẦN ĐỨC HUYÊN

(1997) Sách giáo khoa hình học 12 (in lần thứ 6) - NXB Giáo Dục.

18. VĂN NHƢ CƢƠNG chủ biên (1996) Hình học 10 - Ban KHTN - NXB Giáo Dục

19. VĂN NHƢ CƢƠNG (1994) Hình học 10 (sách giáo viên) NXB Giáo Dục.

20. VĂN NHƢ CƢƠNG - NGÔ THÚC LANH (2000) Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 12

- NXB Giáo Dục.

21. VĂN NHƢ CƢƠNG - PHAN VĂN VIỆN (2000) Sách giáo khoa Hình học 10 - NXB

Giáo Dục.

22. VĂN NHƢ CƢƠNG - PHAN VĂN VIỆN (2000) Sách bài tập Hình học 10 -NXB Giáo

Dục.

23. VĂN NHƢ CƢƠNG - TẠ MÂN (2000) Sách giáo khoa Hình học 12 - NXB Giáo Dục.

24. VĂN NHƢ CƢƠNG - TẠ MÂN (2000) Sách bài tập Hình học 12 - NXB Giáo Dục.

25. VĂN NHƢ CƢƠNG - TRẦN VĂN HẠO (2001) Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 10 -

NXB Giáo Dục.

26. VĂN NHƢ CƢƠNG - TRẦN VĂN HẠO - NGÔ THÚC LANH (2000) - Tài liệu hướng

dẫn giảng dạy Toán 11 - NXB Giáo Dục.

Võ Hoàng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

_oOo_

VÕ HOÀNG

NGHIÊM CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA

"PHƢƠNG PHÁP VECTƠ" VÀ "PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ"

TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở LỚP 12

BẢNG TÓM TẮT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành :LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

Mã số :60.14.10

TP. HỒ CHÍ MINH – 2002

Võ Hoàng

Công trình đƣợc hoàn thành tại: Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm TP. Hồ Chí Minh

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Phản biện 1:....................................................................................................

Phản biện 2:...................................................................................................

Luận văn sẽ đƣợc bảo vệ trƣớc Hội đồng chấm luận văn họp tại:....................

....................................................................................................................

Vào hồi:.................. giờ................ ngày.............. tháng............ năm 2002

Có thể tìm hiểu luận văn tại thƣ viện ĐH Sƣ Phạm TP. Hồ Chí Minh.

Võ Hoàng

MỤC LỤC CHƢƠNG I : NHỮNG VẤN ĐỀ ĐẶT RA ........................................................................ 1

I. Mở đầu - Hệ câu hỏi xuất phát: .................................................................................. 1

II. Khung lý thuyết tham chiếu : ...................................................................................... 2

1. Quan hệ thể chế:....................................................................................................... 2

2. Tổ chức toán học : (Praxéologie mathématique) ................................................... 3

III. Phƣơng Pháp Nghiên Cứu Và Cấu Trúc Của Luận Vãn ........................................... 4

1. Nghiên cứu quan hệ thể chế ..................................................................................... 4

2. Nghiên cứu thực nghiệm .......................................................................................... 5

CHƢƠNG II : NGHIÊN CỨU CHƢƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA TỪ QUAN ĐIỂM CỦA LÝ THUYẾT NHÂN CHỦNG HỌC ............................................................. 6

Mở đầu ............................................................................................................................. 6

I. Phân tích chƣơng trình hình học PTTH : ...................................................................... 6

I.1 Chƣơng trình hình học PTTH 1989 ........................................................................ 6

I.2 Chƣơng trình hình học PTTH 1999 : ...................................................................... 6

II. Vectơ với tƣ cách là công cụ trong hình học 10 : ....................................................... 7

II.1. Vectơ với việc trình bày các nội dung hình học 10 : ............................................ 7

II.2. Các tổ chức toán học liên quan đến phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong hình học 10: ........................................................................................................ 7

III. Phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong hình học 12 : ............................... 8

III. 1 Mối liên hệ giữa phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ : .......................... 8

III.2. Phân tích phần bài tập trong hình học 12: ......................................................... 11

CHƢƠNG III : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ............................................................ 16

Mở đầu ........................................................................................................................... 16

I. Hai bài toán thực nghiệm : ......................................................................................... 16

II. Phân tích a priori bài toán ......................................................................................... 17

A. Bài toán 1 .............................................................................................................. 17

B. Bài toán 2 .............................................................................................................. 18

III. Phân tích a posteriori ............................................................................................... 18

A. Bài toán 1: ............................................................................................................. 18

B. Bài toán 2 : ............................................................................................................ 19

KẾT LUẬN ........................................................................................................................ 21

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

CHƢƠNG I : NHỮNG VẤN ĐỀ ĐẶT RA

I. Mở đầu - Hệ câu hỏi xuất phát:

Chúng ta biết hình học có thể tiếp cận bằng nhiều phƣơng pháp khác nhau, trong

đó có phƣơng pháp tổng hợp, phƣơng pháp vectơ, phƣơng pháp tọa độ.

Phƣơng pháp tổng hợp là phƣơng pháp nghiên cứu hình học trên cơ sở một hệ tiên

đề.

Phƣơng pháp giải tích : với phƣơng pháp này thông qua trung gian là một hệ tọa

độ, ngƣời ta thay thế các đối tƣợng hình học và quan hệ hình học bằng các đối tƣợng đại

số và quan hệ đại số.

Phƣơng pháp vectơ là phƣớng pháp vận dụng vectơ để giải các bài toán hình học.

Với việc định hƣớng các thực thể hình học, ngƣời ta xây dựng các phép toán dại số trên

chúng và từ đố cũng đại số hóa hình học. Nhƣng không nhƣ phƣơng pháp giải tích, với

phƣơng pháp vectơ ngƣời ta vẫn ở lại trong phạm vi hình học, do vậy có thể khai thác

phƣờng diện trực giác trong khi vẫn tận dụng đƣợc những phƣơng tiện của đại số.

Ngoài ra, nhƣ tác giả Lê Thị Hoài Châu (1997) đã nói: "Vì vectơ có thể đƣợc biểu

diễn qua tọa độ nên tồn tại một phƣơng pháp thứ tƣ (lƣỡng tính), mà chúng tôi gọi là

phƣơng pháp vectơ - tọa độ. Ở đây, ngƣời ta đặt vectơ vào một hệ tọa độ, và thực hiện các

phép toán vectơ qua tọa độ của chúng".

Từ đó, tác giả Lê Thị Hoài Châu chỉ ra có thể tiếp cận hình học sơ cấp bằng ba con

đƣờng sau đây :

* Phƣơng pháp tổng hợp → Phƣơng pháp giải tích → Phƣơng pháp vectơ

* Phƣơng pháp tổng hợp sau đó phƣơng đó phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp

tọa độ đƣợc tiến hành song song.

Xét về phƣơng diện sƣ phạm thì việc bắt đầu bằng phƣơng pháp vectơ hay phƣơng

pháp giải tích sẽ tạo ra những điều kiện khác nhau cho học tập.

Ở Việt Nam, con đƣờng đƣợc lựa chọn là :

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

Phƣơng pháp tổng hợp → Phƣơng pháp vectơ→ Phƣơng pháp tọa độ

Mục đích của chúng tôi là thực hiện một nghiên cứu Didactic về mối liên hệ giữa

phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ ƣơng dạy học hình học ở lđp 12.

Những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi muốn đi ủm các yếu tố cho phép trả lời là :

H1: Trong thể chế dạy học hình học ở bậc PTTH của Việt Nam, phương pháp tọa

độ được đưa vào như thế nào ? Vectơ đóng vai trò gì đối với việc xây dụng các kiến thức

cơ sỏ cho phương pháp tọa độ ?

H2 : Liệu học sinh có khả năng huy động các kiến thức về phương pháp vectơ và

phương pháp tọa độ để giải toán hình học hay không ? II. Khung lý thuyết tham chiếu :

Để trả lời cho các câu hỏi H1 và H2 chúng tôi phải dựa vào một số lý thuyết của

Didactic Toán đố là một số yếu tố của lý thuyết nhân chủng học. Trong đó "quan hệ thể

chế" và "tổ chức toán học" là hai cơ sở quan trọng của chúng tôi.

1. Quan hệ thể chế:

Lý thuyết nhân chủng học về các tri thức chủ yếu dựa trên ba thuật ngữ: các đối

tƣợng O; các cá nhân X và các thể chế I. Trong phạm vi của lý thuyết này, một đối tƣợng

tri thức O đƣợc coi là tồn tại ngay khi một cá nhân hay một thể chế nhận biết nó nhƣ đã

tồn tại. Chính xác hơn, ngƣời ta nói rằng đối tƣợng O tồn tại đối với một thể chế I nếu nhƣ

tồn tại một quan hệ thể chế R(I, O) từ I đến O và đối tƣợng O tồn tại đối với một cá thể X

nếu tồn tại một quan hệ cá nhân R(X, O) từ X đến O.

Trong một thể chế nhất định, quan hệ thể chế đối với một trí thức gắn liền với vị

trí của các thành tố trong thể chế. Nếu là thể chế dạy học, ngƣời ta phải xem xét đến ít

nhất là : quan hệ thể chế đối với thầy giáo và quan hệ thể chế đối với học sinh. Quan hệ

thể chế đối với thầy giáo xác định cái mà thể chế đòi hỏi ngƣời thầy giáo phải thực hiện.

Cũng thế quan hệ thể chế đối với học sinh xác định mà thể chế đòi hỏi ngƣời học sinh

thực hiện.

Trong một thể chế dạy học, cái đƣợc thua của việc dạy học là một tri thức. Ý định

của thể chế là làm thay đổi quan hệ cá nhân của học sinh với

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

tri thức này để nó trtở nên phù hợp với quan hệ thể chế. Điều này dẫn đến chỗ phải thiết

lập một sự phân định, trong bất kì một thể chế dạy học nào, ở một thời điểm nhất định,

giữa những đối tƣợng thật sự là cái đƣợc thua của việc dạy học với những đối tƣợng khác

(đã từng có ích và bây giờ không còn ích lợi nữa, hay những đối tƣợng không hề là cái

đƣợc thua của việc dạy học nhƣng nó hiện diện ở đó). Theo quan điểm này, việc nghiên

cứu mối quan hệ thể chế chiếm giữ một vai trò rất quan trọng trong các thể chế dạy học.

Điều này Chevallard cũng đã chỉ rõ :

"Vấn đề trung tâm của việc dạy học là nghiên cứu quan hệ thể chế, những điều

kiện và những hiệu quả của nó. Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân là vấn đề cơ bản về

mặt thực tiễn, và là thứ yếu về mặt khoa học luận của việc dạy học." (Chevallard 1989 b,

93).

Quan hệ thể chế I đối với tri thức o cho biết o xuất hiện ở đâu và nhƣ thế nào trong

I, o hoạt động nhƣ thế nào và giữ vai trò gì trong I...

2. Tổ chức toán học : (Praxéologie mathématique)

Theo Chevallard một "tổ chức toán học" là một bộ tứ đƣợc hình thành từ:

1) Các kiểu nhiệm vụ T - hiện diện ƣong một thể chế nào đó.

2) Kỹ thuật cho phép thực hiện các nhiệm vụ t của cùng một kiểu nhiệm vụ T.

3) Công nghệ : văn bản lý giải cho kỹ thuật

4) Lý thuyết : công nghệ của công nghệ

Sự xuất hiện một praxéologie liên quan đến tri thức o cho phép thiết lập mối quan

hệ mà thể chế duy trì đối với O : "Quan hệ thể chế với một đối tƣợng, đối với một vị trí

nhất định cùa thể chế, đƣợc định hình và đào luyện bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà

các cá thể giữ vị trí này phải thực hiện bằng những kỹ thuật đã đƣợc xác định. Nhƣ vậy,

việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà một cá thể thƣờng xuyên gặp dẫn đến thực

hiện suốt đời trong những thể chế khác nhau mà nó là chủ thể lần lƣợt hoặc đồng thời.

Điều này sẽ làm hé lộ ra mối quan hệ cá nhân của nó với đối tƣợng đƣợc xét (Bosch et

Chevallard, 1999, 85).

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

Cách tiếp cận chƣơng trình và sách giáo khoa (SGK) theo quan điểm của lý thuyết

nhân chủng học sẽ cho phép ta thấy đƣợc quan hệ của thể chế I đối với tri thức O : O xuất

hiện ở đâu, nhƣ thế nào ? O có vai trò gì và O hoạt động nhƣ thế nào trong I ? v.v. Nó

cũng giúp chúng ta hiểu đƣợc cái mà thể chế đòi hỏi ở mỗi cá nhân (giáo viên và học

sinh), hình dung đƣợc quan hệ của học sinh đối với tri thức O.

Cụ thể hơn, cách tiếp cận này sẽ giúp ta vạch rõ sự lựa chọn thể chế và những điều

kiện, những ràng buộc, những ảnh hƣởng của sự lựa chọn đố đối với việc xây dựng hoặc

làm thay đổi quan hệ cá nhân của học sinh đối với tri thức O.

Đặt trong khuôn khổ của lý thuyết nhân chủng học, những câu hỏi nghiên cứu của

chúng tôi có thể diễn đạt nhƣ sau :

- Trong chương trình và SGK hình học lớp 10 và lớp 12 phương pháp tọa độ

được xây dựng như thế nào ? Phương pháp tọa độ có quan hệ gì với phương pháp

vectơ ?.

- Liên quan đến phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ học sinh được yêu

cầu thực hiện những kiểu nhiệm vụ nào ? Kiểu nhiệm vụ nào được gặp thường xuyên

- Sự lựa chọn của thể chế dạy học hình học ở Việt Nam sẽ có ảnh hưởng như

thế nào đến khả năng sử dụng phương pháp vectơ và phương pháp toạ độ của học

sinh.

III. Phƣơng Pháp Nghiên Cứu Và Cấu Trúc Của Luận Vãn

1. Nghiên cứu quan hệ thể chế

Để trả lời cho những câu hỏi trên, trƣớc hết chúng tôi phải nghiên cứu quan hệ thể

chế đối với phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ. Nghiên cứu thể chế sẽ đƣợc tiến

hành qua việc phân tích chƣơng trình và SGK hình học lớp 10 và 12. Nghiên cứu này cần

phải chỉ rõ phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ đƣợc đƣa vào chƣơng trình và SGK

nhƣ thế nào. Trong sự lựa chọn của các tác giả chƣơng trình và SGK chúng có mối quan

hệ gì ? Ngƣời ta yêu cầu học sinh sử dụng chúng ở mức độ nào ?

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

Chúng tôi sẽ cố gắng chỉ ra sự nối khớp của các kiến thức về phƣơng pháp vectơ

và phƣơng pháp tọa độ ở lớp 10 và lớp 12, xem xét ảnh hƣởng của các phần đã cố ở lớp

10 đối với việc học tập hình học ở lớp 12. Chúng tôi cũng sẽ chỉ ra các kiểu nhiệm vụ

toán học liên quan đến phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong dạy học hình học

ỏ lớp 10 và lớp 12.

Nghiên cứu quan hệ thể chế này sẽ là nội dung của chƣơng II. 2. Nghiên cứu thực nghiệm

Trên cơ sở nghiên cứu quan hệ thể chế chúng tôi sẽ có thể đƣa ra những giả thuyết

về việc học tập phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ của học sinh lớp 12. Để kiểm

chứng tính thỏa đáng của giả thuyết này chúng tôi cần phải trỏ về với thực tế dạy học.

Nghiên cứu thực nghiệm sẽ cho phép hợp thức (hay loại bỏ) các giả thuyết đƣa ra sẽ là nội

dung của chƣơng III.

Nghiên cứu này sẽ giúp chúng tôi vạch rõ quan hệ cá nhân của học sinh đối với

phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ. Chúng tôi sẽ cố gắng tìm trong quan hệ thể

chế những yếu tố cho phép giải thích quan hệ cá nhân này, vì hiển nhiên là quan hệ cá

nhân, đối với một tri thức, không thể hoàn toàn độc lập với quan hệ thể chế.

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

CHƢƠNG II : NGHIÊN CỨU CHƢƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA

TỪ QUAN ĐIỂM CỦA LÝ THUYẾT NHÂN CHỦNG HỌC

Mở đầu

Mục đích của chƣơng này là chỉ rõ vai trò của vectơ đối với việc xây dựng các

kiến thức cơ sở của phƣơng pháp tọa độ trong hình học 12. Mặt khác cũng chỉ ra các tổ

chức toán học có mặt trong hình học 10 và hình học 12.

I. Phân tích chƣơng trình hình học PTTH :

I.1 Chƣơng trình hình học PTTH 1989

Theo chƣơng trình này, hình học ở PTTH chia thành 3 giai đoạn :

- Giai đoan 1 (hình học 10) : giai đoạn này học sinh làm quen với phƣơng pháp

mới để nghiên cứu hình học đố là phƣơng pháp vectơ.

- Giai đoạn 2 (hình học 11) : ở giai đoạn này ngƣời ta sử dụng phƣơng pháp tổng

hợp để nghiên cứu hình học không gian.

- Giai đoạn 3 (hình học 12) : giai đoạn này dành cho việc nghiên cứu phƣơng pháp

tọa độ trong mặt phẳng và phƣơng pháp tọa độ trong không gian bên cạnh nghiên cứu

phƣơng pháp vectơ trong không gian.

I.2 Chƣơng trình hình học PTTH 1999 :

Về cơ cấu, ta thấy các chƣơng trình 1989 và 1999 hầu nhƣ giống nhau. Cùng nội

dung, cùng thứ tự trình bày các vấn đề. Cụ thể, hình học lớp 10 nghiên cứu vectơ, các

phép toán vectơ, rồi hệ thức lƣợng trong tam giác, đƣờng tròn và cuối cùng là phép biến

hình. Lớp 11 hoàn toàn dành cho nghiên cứu Hình học không gian bằng phƣơng pháp

tổng hợp. Ở Hình học lớp 12, ngƣời ta đƣa vào phƣơng pháp tọa độ trong mặt phảng và

trong không gian.

Giống nhƣ ở chƣơng trình 1989, trong chƣơng tình năm 1999, ngƣời ta cũng lấy

các kiến thức về vectơ làm cơ sở để đƣa vào phƣơng pháp tọa độ. Hơn thế, phƣơng pháp

vectơ đƣợc sử dụng khá hiệu quả trong việc xây dựng các khái niệm, chứng minh các hệ

thức lƣợng cũng nhƣ một số tính chất của các phép biến hình.

Tuy nhiên, yêu cầu sử dụng vectơ để giải toán đã đƣợc giảm nhẹ trong chƣơng

trình mới. Vấn đề này đã đƣợc giải thích trong tài liệu hƣớng dẫn

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

giảng dạy nhƣ sau : Trong chƣơng trình cũ cố đặt vấn dề dừng "phƣơng pháp vectơ" để

nghiên cứu hình học bên cạnh phƣơng pháp tiên đề và phƣơng pháp tọa độ. "Phƣơng pháp

vectơ, nhƣ chứng ta đã biết, tỏ ra khá hiệu lực trong khá nhiều bài toán, liên quan đến các

vấn đề nhƣ: ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng, hai đƣờng thẳng song song hoặc

vuông góc, trọng tâm tam giác, tâm tì cự của hệ điểm... Tuy nhiên để có thể áp dụng

phƣơng pháp đó một cách thành thạo là chuyện không đơn giản, và kinh nghiệm 10 năm

vừa qua cho thấy đa số học sinh rất khó khăn trong việc tiếp thu và sử dụng phƣơng pháp

đó" (Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy Toán 12 - Tr. 73).

II. Vectơ với tƣ cách là công cụ trong hình học 10 :

II.1. Vectơ với việc trình bày các nội dung hình học 10 :

Ở đây, vectơ trƣớc hết đƣợc nghiên cứu nhƣ là đối tƣợng dạy học. Sau đó, nó đƣợc

sử dụng nhƣ là công cụ để xây dựng các phần tiếp theo của hình học 10 nhƣ: xây dựng tọa

độ; xây dựng và chứng minh một số công thức, định lý ƣong phần hệ thức lƣợng (trong

tam giác và trong đƣờng tròn) cũng nhƣ các phép biến hình.

II.2. Các tổ chức toán học liên quan đến phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa

độ trong hình học 10:

T1: Chứng minh một đẳng thức vectơ.

T2 : Xác định một điểm thỏa mãn một diều kiện cho trƣớc.

T3: Tính tích vô hƣớng.

T4 : Chúng minh hai điểm trùng nhau.

T5 : Chứng minh ba đƣờng thẳng đổng quy, đƣờng thẳng đi qua một điểm cố định.

T6 : Chứng minh sự vuông góc.

T7 : Viết tọa độ của một vectơ đã đƣợc biểu diễn thành một tổ hợp tuyến tính của

hai vectơ đơn vị trên hai trục.

T8 : Tìm tọa độ của một vectơ.

T9 : Tìm tọa độ của một điểm.

T10: Chứng minh ba điểm thẳng hàng và tìm tỉ số của điểm chia đoạn thẳng.

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

T11: Tính độ dài đoạn thẳng.

T12: Chứng minh hai vectơ vuông góc.

T13: Tính cosin của góc ƣong tam giác.

Trong hình học lớp 10, vectơ đƣợc vận dụng khá triệt để nhằm trình bày và chứng

minh các vấn đề của chƣơng hệ thức lƣợng và phép biến hình.

Tuy nhiên trong phần bài tập, thì ngƣời ta lại không coi trọng yêu cầu sử dụng

vectơ (cố tọa độ hay không có tọa độ) để giải toán. Hầu hết các bài toán chỉ nhầm vận

dụng trực tiếp các định nghĩa, công thức, định lý. Rất ít bài toán đƣợc phát biểu bằng ngôn

ngữ hình học mà cố thể giải đƣợc dễ dàng bằng công cụ vectơ hay tọa độ.

III. Phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong hình học 12 :

III. 1 Mối liên hệ giữa phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ :

III. 1.1. Chƣơng I: Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Ở chƣơng này, trƣớc hết ngƣời ta nhắc lại một số công thức định lý mà học sinh đã

đƣợc học ở Hình học 10, không bình bày lại các chứng minh. Các nội dung đó là : khái

niệm trục, tọa độ của vectơ và của điểm đối với trục. Khái niệm hệ trục tọa độ Đêcac

vuông góc, tọa độ của vectơ, của điểm đối với hệ trục, tọa độ của điểm M chia đoạn thẳng

AB theo tỉ số cho trƣớc.

và yM =

Về định nghĩa toa độ của vectơ đối với trục, sách định nghĩa dựa vào điều kiện cùng phƣơng của hai vectơ. Để đƣa vào khái niệm tọa độ của một vectơ đối với hệ trục, ngƣời ta dựa vào định lý về sự phân tích duy nhất của một vectơ theo cơ sở i và j. Ngoài ra sách giáo khoa còn nhắc lại công thức tính tọa độ của điểm M chia đoạn thẳng AB theo ) và biểu thức tọa độ của tích vô hƣớng ( ⃗ . ⃗ = tỷ số k ≠ 1 (xM = a1b1 + a2b2 với ⃗ = (a1; a2) và ⃗ = (b1; b2)).

Mục đích của việc nhắc lại này là cho học sinh ôn tập các kiến thức đã đƣợc học ở

lớp 10. Học sinh học những kiến thức này đã từ khá lâu và sau một thời gian dài không sử

dụng, nên có thể quên. Cũng vì vậy mà sách giáo viên có yêu cầu "giáo viên cần đi chậm

và thực hành dụ cụ thể".

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

Trong phần dƣới chúng tôi sẽ tiến hành xem xét các nội dung mới đƣợc đề cập

trong chƣởng I và phân tích cách thức đƣa vào từng nội dung đố.

a. Những vấn đề liên quan đến đƣờng thẳng.

Ngƣời ta dựa vào các kiến thức về vectơ để đƣa vào những vấn đề liên quan đến

đƣờng thẳng nhƣ phƣơng trình tổng quát, phƣơng trình tham số... Muốn thế đầu tiên phải

dựa vào khái niệm vectơ chỉ phƣơng và vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng. Với các khái

niệm đố, ta thấy điểm M thuộc đƣờng thẳng đi qua M0 (x0; y0) và có vectơ pháp tuyến ⃗ = (A ; B) nếu và chỉ nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗ = 0. Từ đẳng thức này ngƣời ta thiết lập ra đƣợc phƣơng

trình tổng quát của đƣờng thẳng. Cũng nhƣ thế, M thuộc đƣờng thẳng ∆ đi qua M0 (x0 ;y0) có vectơ chỉ ⃗ = (a ;b) nếu và chỉ nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k . ⃗ , từ đó lập đƣợc phƣơng trình tham số

và phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng.

Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng đƣợc xét meo số nghiệm của một hệ phƣơng

bình tuyến tính (chính là các phƣơng trình tổng quát của các dƣờng thẳng đã cho). Ở đây

ngƣời ta không cần lấy vectơ là vai trò trung gian nữa. Thậm chí, dựa vào định thức thành

lập từ các hệ số của phƣơng bình ngƣời ta có thể biết đƣợc vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng

thẳng. Nối cách khác, ngƣời ta đã hoàn toàn chuyển sang phạm vi của phƣơng pháp giải

tích.

Công thức tính góc giữa hai dƣờng thẳng và khoảng cách từ một điểm đến một

đƣờng thẳng lại đƣợc xây dựng nhờ vào các kiến mức vectơ. Chẳng hạn, để lập công thức

tính khoảng cách từ một điểm M0 (x0; y0) đến đƣờng thẳng :Ax + By + C = 0 ngƣời ta

làm nhƣ sau :

Khoảng cách từ Mo đến là độ dài đoạn thẳng M0H (H là hình chiếu vuông góc của M0 lên ). Do ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phƣơng với vectơ pháp tuyến ⃗ nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = t ⃗

Vì vậy:

Đến đây ta đi tính | t | thì sẽ có công thức để tính M0H.

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

Việc tính gốc giữa hai đƣờng thẳng đƣợc đƣa về việc tính cosin của nó thông qua

tích vô hƣớng dƣới dạng tọa độ của hai vectơ pháp tuyến hoặc hai vectơ chỉ phƣơng của

hai đƣờng thẳng đó.

b. Các đƣờng bậc hai:

SGK đƣa vào các đƣờng bậc hai là đƣờng tròn, elip, hypebol, parabol. Phƣơng

trình của chúng đƣợc thiết lập mà không cần có sự can thiệp ' trực tiếp của vectơ, vì ở đây

ngƣời ta dựa vào công thức tính khoảng cách giữa hai điểm (tất nhiên, nƣớc đây công

thức này đã đƣợc chứng minh nhờ vào bình phƣơng vô hƣớng của vectơ).

Điều đáng lƣu ý là trong chƣơng I có nhiều vấn đề lý thuyết đƣa ra nhƣng cố rất ít

các ví dụ, chỉ có 4 ví dụ kèm theo, đó là :

- Một ví dụ về việc sử dụng phƣơng trình chùm đƣờng thẳng để viết phƣơng trình

đƣờng thẳng.

- Một ví dụ về viết phƣơng trình đƣờng phân giác của các gốc hợp bởi 2 đƣờng

thẳng cắt nhau.

- Một ví dụ viết phƣơng trình của đƣờng conic dựa vào định nghĩa conic một cách

tổng quát.

- Một ví dụ tìm tâm, bán kính đƣờng tròn khi có phƣơng trình của nó.

Nhƣ vậy có hai ví dụ cho các đƣờng bậc hai và hai ví dụ cho phần phƣơng trình

đƣờng thẳng. Đối với các đƣờng bậc hai, vấn đề xác định tâm, bán kính của đƣờng tròn

khi đã cho phƣơng trình của nó, hoặc dựa vào định nghĩa đƣờng conic để viết phƣơng

trình của nó.

Chúng ta hãy xem xét 2 ví dụ trong phần đƣờng thẳng .

Ví dụ 1 : (Hình học 12 - trang 15) : Các cạnh của tam giác ABC có phương trình:

AB = 2x + 3y - 5 = 0; BC: x- 2y + 1 = 0; CA : -3x + 4y- 1=0. Viết phương trình đường

cao AH của tam giác đó.

SGK đƣa ra lời giải nhƣ sau:

Đƣờng cao AH thuộc chùm đƣờng thẳng tâm A là giao điểm của hai đƣờng thẳng

AB và CA, nên AH có phƣơng trinh: (2x+3y-5)+ (-3x+4y-l)=0.

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

Ta cần xác định và để AH vuông gốc với BC. Một vectơ pháp tuyến của AH là ⃗ = (2 - 3 ; 3 + 4 ) còn một vectơ pháp tuyến của BC là ⃗⃗⃗ = (1; -2). Ta phải có ⃗ . ⃗⃗⃗ = 0 hay 2 - 3 -2 (3 + 4 )=0

- 4 - 11 = 0

Ta có thể lấy = 11; = - 4. Suy ra AH có phƣơng trình 34x+17y- 51=0

Ví dụ 2 : (trang 19) Giả sử hai đƣờng tháng cắt nhau :

∆1.:A1x + B2y + C1 = 0

∆2: A2x +B2y + C2 = 0

Viết phƣơng trình phân giác của các góc tạo bởi ∆và ∆'. Bài giải (SGK)

Điểm M (x; y) nằm trên phân giác khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến ∆1 và đến

∆2 bằng nhau, hay là :

Từ đó phƣơng trình hai đƣờng phân giác là :

Nhƣ vậy, phần lý thuyết chƣớng I, chủ yếu dành cho việc thiết lập phƣơng trình

đƣờng thẳng và các đƣờng bậc hai. Nhƣ ta đã mấy, SGK thiên về việc cung cấp cho học

sinh một số công mức, còn ví dụ vận dụng phƣơng pháp vectơ - tọa độ, phƣơng pháp giải

tích đƣợc dƣa ra rất ít.

III.2. Phân tích phần bài tập trong hình học 12:

III.2. 1 Các kiểu nhiệm vụ nhằm vận dụng trực tiếp các công thức, định nghĩa :

T1: Tìm tọa độ của một vectơ, một điểm (73 câu)

T2 : Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (75 câu)

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

T3 : Viết phƣơng trình đƣờng tròn (4 câu)

T4: Viết phƣơng trình chính tắc của các đƣờng conic (10 câu)

T5 : Dùng định nghĩa viết phƣơng trình của đƣờng conic (8 câu)

T6 : Viết phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng (31 câu)

T7 : Viết phƣơng trình mặt cầu (3 câu)

T8: Tính góc (17 câu)

III.2.2 Các kiểu nhiệm vụ sử dụng phƣơng pháp vectơ, phƣơng pháp tọa độ để

giải toán :

T9 : Xét vị bí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng trong mặt phẳng (5 câu)

T10 :Xét vị trí tƣơng đấi giữa hai đƣờng thẳng trong không gian (12 câu)

T11: Xét vị trí tƣơng đối giữa hai mặt phảng (8 câu)

T12: Xét vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng (9 câu)

T13 :Xét vị trí tƣơng đối giữa mặt phẳng và mặt cầu (5 câu)

T14 : Tính khoảng cách (13 câu)

T15 : Tìm quỹ tích (22 câu)

T16 : Xét sự đồng phẳng của ba vectơ, chứng minh bốn điểm đồng phẳng (8 câu)

T17 : Chứng minh sự vuông góc (5 câu)

TI8 : Chứng minh sự song song (1 câu)

T19 : Chứng minh hai điểm trùng nhau (1 câu)

T20 : Chứng minh một đẳng thức vectơ (6 câu)

Qua việc phân tích và nhận xét về các kiểu nhiệm vụ, chúng tôi rút ra các kết luận

sau đây:

Thứ nhất, các kiểu nhiệm vụ trong Hình học 12 chủ yếu tập trung vào các bài toán

giải bằng phƣơng pháp tọa độ.

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

Thứ hai, các bài toán sử dụng vectơ để giải là rất ít. Chỉ có một số ít bài ở phần

vectơ trong không gian. Phần này chỉ minh họa một số kiến thức vectơ áp dụng từ mặt

phẳng vào không gian mà thôi.

Thứ ba, việc chọn hệ trục tọa độ để giải các bài toán hình học tổng hợp cũng rít ít.

Trong chƣơng I chỉ có 3 bài, đó là việc chọn hệ trục để xây dựng phƣơng trình chính tắc

của ba đƣờng Conic. Còn trong chƣơng II chỉ có ba bài (SGK không có ví dụ).

Nhƣ vậy, ở SGK hình học lớp 12 chủ yếu ngƣời ta sử dụng phƣơng pháp vectơ

nhƣ là công cụ để xây dựng phƣơng pháp giải tích thông qua cầu nối trung gian là phƣơng

pháp vectơ - tọa độ. Hầu hết các bài tập đều đƣợc phát biểu ở dƣới dạng ngôn ngữ tọa độ.

Điều đó, cho phép chúng tôi trả lời các giải thích của chƣơng trình và sách giáo

khoa. Trong tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy Toán 12, các tác giả đã chỉ rõ :

• Chƣơng trình hình học 12 gồm phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng và phƣơng

pháp tọa độ trong không gian.

• "Việc đại số hóa hình học (tức là nghiên cứu Hình học bằng phương pháp tọa

độ) là rất cần thiết và có lợi. Nó làm cho người học đỡ khó khăn hơn nhiều. Học sinh lớp

12 sẽ thấy học Hình học nhẹ nhàng hơn ở các lớp trước " (TL HDGD Toán 12 - trang 71).

• "[...] Việc áp dụng vectơ đề giải các bài toán Hình học không được chú trọng

nhiều ". (TL HDGD Toán 12 - trang 74).

Qua việc phân tích chƣơng trình và SGK cho phép chúng tôi làm rõ những điểm

cơ bản trong mối quan hệ thể chế với đếi tƣợng là phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa

độ trong hình học ở PTTH (đặc biệt là ở hình học 12). Sau đây là các điểm cơ bản đó của

mối quan hệ này :

Phƣơng pháp vectơ bắt đầu xuất hiện ở lớp 10. Ở đó - phƣơng pháp vectơ trong

mặt phẳng - chúng đƣợc sử dụng để xây dựng, chứng minh một số công thức, định lý của

phần tiếp theo trong hình học 10. Sang đến lớp 12, phƣơng pháp vectơ (trong không gian)

xuất hiện trƣớc khi xây dựng các kiến thức cơ sở của phƣơng pháp tọa độ trong không

gian. Mục đích của ngƣời ta là đƣa các kiến thức về phƣơng pháp vectơ trong không gian

để xây dựng nên phƣơng pháp tọa độ

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

trong không gian, ở đây chúng đƣợc thể hiện thông qua một vai trò trung gian của phƣơng

pháp vectơ - tọa độ.

Phƣơng pháp tọa độ cũng bất đầu xuất hiện, nhƣng nhƣ phần đầu chúng tôi đã gọi

đố là phƣơng pháp vectơ - tọa độ. Ở đó ngƣời ta bất đầu giới thiệu những kiến thức cơ sở

cho phƣơng pháp tọa độ. Phần này dƣợc nghiên cứu trong toàn bộ hình học 12. ở hình học

12, ngƣời ta nghiên cứu phƣơng pháp tọa độ một cách có hệ thống đố là phƣơng pháp tọa

độ trong mặt phẳng và phƣơng pháp tọa độ trong không gian. Theo phân tích của chúng

tôi, các kiến thức dƣa vào ở SGK chỉ là những kiến thức ban đầu, chủ yếu là củng cế để

làm nền tảng cho phƣơng pháp tọa độ. Ở mỗi nội dung trong hình học 12, hầu hết kiến

thức của nó đƣợc xây dựng thông qua bƣớc đệm là phƣơng pháp vectơ - tọa độ. Trong

sách giáo viên và các phần giải thích của chƣơng tình, mặt dù đã nói đến phƣơng pháp

vectơ và phƣơng pháp tọa độ nhƣng thực chất chúng đƣợc đề cập rất ít trong SGK.

Từ đây chúng tôi đƣa ra giả thuyết nghiên cứu của đề tài.

* Giả thuyết nghiên cứu:

"Phƣơng pháp tọa độ lân át phƣơng pháp vectơ đến mức học sinh không huy

động đƣợc các kiến thức vectơ để giải toán, ngay cả khỉ gặp các bài toán mà phƣơng

pháp tọa độ "đắt giá " hơn nhiêu so với phƣơng pháp vectơ".

Thuật ngữ "đắt giá " đƣợc chúng tôi dừng ở đây với ý nghĩa là: Trong khi

phƣơng pháp vectơ cho phép giải quyết bài toán một cách ngấn gọn thì phƣơng pháp tọa

độ đòi hỏi phải cố nhiều tính toán dài dòng hơn.

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

CHƢƠNG III : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

Mở đầu

Để kiểm chứng tính chân thật của giả thuyết đƣợc hình thành từ sự phân tích

chƣơng trình và sách giáo khoa theo quan điểm của lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi

phải quay về với thực tiễn dạy học. Vấn đề là phải xây dựng một thực nghiệm cho phép

kiểm chứng hay bác bỏ giả thuyết đã đƣợc đƣa ra. Với thực nghiệm này, chúng tôi muốn

tìm hiểu xem học sinh lớp 12 biết sử dụng phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ để

giải toán ở mức độ nào. Cụ thể hơn, chúng tôi xem học sinh ƣu tiên sử dụng phƣơng pháp

nào để giải toán và mức độ thành công của họ. Chúng tôi sẽ cố gắng vạch ra ảnh hƣởng

của thể chế đi với việc học hình học của học sinh lớp 12.

Các bài toán mà chúng tôi chọn làm thực nghiệm sẽ giải dƣợc bằng nhiều cách

khác nhau. Chúng tôi chọn các bài toán này vì ngôn ngữ phát biểu của bài toán không liên

quan đến vectơ hay tọa độ, nhƣng có thể dùng vectơ hoặc tọa độ để giải. Ở đây; phƣơng

pháp vectơ giải bài toán ngắn gọn hơn, súc tích hơn so với phƣơng pháp tọa độ. Chúng tôi

xem xét học sinh có sự lựa chọn và ƣu tiên nhƣ thế nào đối với các phƣơng pháp trên khi

đứng trƣớc một bài toán phát biểu ở dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp.

I. Hai bài toán thực nghiệm :

1. Đề bài: Bài toán 1: Cho hình thang ABCD vuông tại A và B. Đáy lớn AD bằng 3 lần đáy

nhỏ BC. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho . Gọi M là trung điểm của đoạn = BN AB BC AD

thẳng ĐD. Chứng minh Tằng hai đƣờng thẳng AM và CN song song vđi nhau. Yêu cầu : Giải bài toán ít nhất bằng 3 cách khác nhau.

Bài toán 2 : Cho tam giác ABC vủông tại A. Gọi D là điểm đối xứng của A qua B.

Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng

minh rằng ba điểm D, G, E thẳng hàng.

Yêu cầu : Giải bài toán ít nhất bằng ba cách khác nhau.

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

2. Các kiến thức liên quan :

3. Các biến Didactic :

Bài toán 1:

a/ Cho hình thang vuông chứ không cho hình thang tùy ý. Điều này tạo điều kiện

thuận lợi cho việc chọn hệ trục tọa độ. Bởi vì, khi muốn chọn hệ trục tọa độ để giải bài

toán bằng phƣơng pháp tọa độ thì phải có yếu tố hệ trục tọa độ vuông gốc.

b/ Yêu cầu giải bài toán ít nhất bằng ba cách khác nhau. Yêu cầu này tạo ra sự lựa

chọn các cách giải. Mục đích xem xét học sinh ƣu tiên chọn phƣơng pháp nào để giải bài

toán : phƣơng pháp tổng hợp, phƣơng pháp vectơ, phƣơng pháp tọa độ ?

c/ Phát biểu bài toán : chứng minh hai đƣờng thẳng song song chứ không phải xét

vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng. Nếu đặt ra yêu cầu xét vị trí giữa hai đƣờng thẳng

sẽ tạo điều kiện cho học sinh dễ dàng hơn, dễ ƣu tiên cho phƣơng pháp tọa độ vì trong quá

bình học ở lớp 12, học sinh đã gặp các bài toán ở dạng này.

Bài toán 2:

a/ Cho tam giác vuông, mục đích là tạo điều kiện dễ dàng cho việc chọn hệ trục

tọa độ để giải bài toán.

b/ Đề bài yêu cầu : Chứng minh ba điểm thẳng hàng, khác với việc yêu cầu chứng

minh điểm thuộc đƣờng thẳng. Vì trong trƣờng hợp thứ hai, học sinh có điều kiện nghĩ

đến phƣơng pháp tọa độ do trong quá trình học ở lớp 12 có các bài tập ở dạng này.

II. Phân tích a priori bài toán

A. Bài toán 1

Những chiến lƣợc có thể

1. Chiến lƣợc "tổng hợp " : có 4 chiến lƣợc nhỏ

2. Chiến lƣợc "vectơ" : có 1 chiến lƣợc

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

3. Chiến lƣợc "vectơ - tọa độ ": có 1 chiến lƣợc

4. Các chiến lƣợc "tọa độ " : có 2 chiến lƣợc B. Bài toán 2

Những chiến lƣợc có thể

1. Chiến lƣợc "tổng hợp ": có 2 chiến lƣợc

2. Chiến lƣợc "vectơ" : có 1 chiến lƣợc

3. Chiến lƣợc "vectơ - tọa độ " : có 1 chiến lƣợc

4. Chiến lƣợc "tọa độ " : có 2 chiến lƣợc III. Phân tích a posteriori

Bài toán này dƣợc đƣa cho 89 học sinh làm và thu đƣợc kết quả cho bài bảng sau:

A. Bài toán 1:

Tọa độ Tổng hợp Vectơ Chiến lƣợc Vectơ - tọa độ Giải tích

Đúng Sai Đúng Sai Đúng Sai Đúng Sai Chƣa cho kết Số lƣợng

Chƣa cho kết quả 6 Chƣa cho kết quả 3 Chƣa cho kết quả 5 44 21 17 13 0 22 0 5 0

Qua kết quả này cho thấy :

♦ Chiến lƣợc chủ đạo mà học sinh sử dụng là chiến lƣợc tổng hợp 82/136 -gần

60,2%. Tuy nhiên, tỉ lệ thành công của phƣơng pháp tổng hợp cũng chỉ hơn một nửa (44

so với 38 bài làm sai hoặc chƣa cho kết quả). Điều này cũng cho chúng ta thấy, ảnh hƣởng

của Hình học ở lớp dƣới đối với học sinh còn khá lớn. Bởi vì lời phát biểu bài toán không

liên quan đến vectơ và cũng nhƣ tọa độ.

Có 35 lời giải sử dụng phƣơng pháp tọa độ (25,7%) trong khi đó chỉ có 19 lời giải

dùng phƣơng pháp vectơ (13,9%). Hơn nữa tỉ lệ thành công của phƣơng

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

pháp tọa độ cũng cao hơn so với phƣơng pháp vectơ (71% so vđi 68%). Điều này cho thấy

rằng học sinh sử dụng phƣơng pháp tọa độ dễ dẫn đến thành công hơn so với phƣơng

pháp vectơ. Hơn nữa, mức độ thƣờng xuyên sử dụng phƣơng pháp tọa độ cũng lớn hơn so

với phƣờng pháp vectơ.

Có 112 bài kết quả cho bởi bảng sau:

B. Bài toán 2 :

Chiến Tọa độ Tổng hợp Vectơ Véc tơ - tọa độ Giải tích lƣợc

Số Đùng Sai Đúng Sai Đùng Sai Đúng Sai

lƣợng Chua cho kết quả 39 Chia cho kết quả 29 Chua cho kết quả 1 47 10 16 18 9 1 2 0 Chua cho kết quả 2

Qua bảng này cho thấy :

♦ Phƣơng pháp giải chủ đạo là phƣơng pháp tổng hợp, tuy nhiên mức độ thành

công của phƣơng pháp này rất thấp, chƣa đến 50% (47 so vđi 49). Kết quả này có thể do

bài toán phát biểu ở dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp mà không liên quan gi đến phƣơng

pháp vectơ hay phƣơng pháp tọa độ. Hơn nữa, trong chƣơng trình hình hoe 12 không cố

bài tập kiểu này.

♦ Ở bài toán này, việc cố nhiều lời giải dùng phƣơng pháp vectơ nhiều hơn so với

phƣơng pháp tọa độ (63 so với 15) là ảnh hƣởng của đề bài. Tuy nhiên, tỉ lệ thành cổng

của phƣơng pháp vectơ thấp hơn rất nhiều so với phƣơng pháp tọa độ (25,4% so với

73,3%).

♦ Liên hệ vđi các kiểu bài toán đƣợc đƣa ra trong Sách giáo khoa Hình học 12,

kiểu bài toán phát biểu bằng ngổn ngữ hình học tổng hợp mà đƣợc yêu cầu giải bằng

phƣơng pháp vectơ hoặc phƣơng pháp tọa độ hầu nhƣ rất ít. Do vậy học sinh khó khăn khi

tìm lời giải.

Khi học sinh đƣợc yêu cầu giải bài toán bằng ba cách khác nhau, thì trong - các

bài giải của họ chúng tôi thấy :

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

Hầu hết là giải bài toán bằng phƣơng pháp tổng hợp đầu tiên (cách 1), sau đó cách

2 cũng là phƣơng pháp tổng hợp, nếu không nghĩ đến đƣợc phƣơng pháp tổng hợp nữa thì

họ giải bằng phƣơng pháp tọa độ. Cuối cùng họ mới giải bài toán bằng phƣơng pháp

vectơ. Nhƣng các sai lầm của họ trong việc sử dụng vectơ là rất phổ biến.

Tóm lại, qua phân tích lời giải của hai bài toán thực nghiệm đã cho phép chúng tôi

phần nào vạch rõ tính thỏa đáng của giả thuyết đƣa ra. Nhƣng phân tích chƣơng tình và

SGK đã chỉ ra : hầu nhƣ các phần lý thuyết cũng nhƣ các kiểu nhiệm vụ đƣợc đề cập

trong SGK đều tập trung vào vấn đề phƣơng pháp tọa độ. Hơn nữa, yêu cầu sử dụng

phƣơng pháp vectơ để giải toán không phải là một trọng tâm của SGK. Do vậy, công cụ

vectơ chƣa thật sự sẩn sàng dƣợc sử dụng, và nếu có thì cũng kém hiệu quả.

Thực nghiệm trên, phần nào cũng chỉ ra đƣợc rằng học sinh thành công hơn khi sử

dụng phƣơng pháp tọa độ dể giải toán. Điều này phần nào phản ánh mối quan hệ thể chế

dạy học hình học ở trƣờng PTTH đối với đối tƣợng là phƣơng pháp tọa độ và phƣơng

pháp vectơ.

Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng

KẾT LUẬN

Việc nghiên cứu chƣơng trình và SGK từ quan điểm của lý thuyết nhân chủng học

cho phép chúng tôi khẳng định, trong thể chế dạy học hình học ở Việt Nam, phƣơng pháp

vectơ và phƣơng pháp tọa độ đã đƣợc đƣa vào giảng dạy. Tuy nhiên, phƣơng pháp vectơ

thƣờng chỉ xuất hiện với vai trò công cụ, để xây dựng các kiến thức tiếp theo trong phần

lý thuyết của hình học lớp 10 cũng nhƣ các kiến thức của phƣơng pháp tọa độ trong hình

học 12. Việc áp dụng phƣơng pháp vectơ vào giải toán không đƣợc coi trọng. Mặt khác,

nghiên cứu này cũng cho chúng tôi thấy đƣợc mối liên hệ giữa phƣơng pháp vectơ và

phƣơng pháp tọa độ trong dạy học hình học ỏ lớp 12. Phƣơng pháp vectơ là cơ sở để đƣa

vào phƣơng pháp giải tích thông qua trung gian là phƣơng pháp vectơ - tọa độ.

Nghiên cứu thực nghiệm cho phép chúng tôi khẳng định tính thỏa đáng của giả

thuyết đƣa ra. Quan hệ chính thức mà thể chế duy trì đối với một tri thức cần dạy có ảnh

hƣởng lớn đến sự hình thành quan hệ cá nhân của học sinh đối với tri thức đó.

Việc nghiên cứu của chúng tôi cho phép chỉ ra rằng phƣơng pháp vectơ và phƣơng

pháp tọa độ cần đƣợc đƣa vào mộc cách rô ràng hơn và chi tiết hơn nữa. Đặc biệt là các

kiểu nhiệm vụ toán học liên quan đến việc sử dụng vectơ cũng nhƣ chọn hệ tọa độ để giải

toán cần đƣợc diêm vào SGK với số lƣợng nhiều hơn và tƣờng minh hơn.

Từ đó hƣớng nghiên cứu mới đƣợc mở ra của chúng tôi có thể là thực hiện một

nghiên cứu về thể chế hóa đối với giáo viên giảng dạy toán ỏ PTTH. Nghiên cứu này

đƣợc nghiên cứu trên đối tƣợng là các giáo viên. Mục đích là xem xét các giáo viên khi

thực hiện giảng dạy họ đã tiến hành cụ thể hóa các nội dung của chƣơng tình và SGK ở

mức độ nào, chúng có tác động nhƣ thế nào đối với việc học tập của học sinh về phƣơng

pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ. Từ đó có thể xây dựng hệ thống các kiến thức trong

dạy học nhằm giúp việc giảng dạy cũng nhƣ học tập đạt hiệu quả hơn.

Đây là kết quả đầu tiên của chúng tôi. Đồng thời là bƣớc đầu bƣớc vào con đƣờng

nghiên cứu khoa học Didactic Toán, bản thân chúng tỏi thấy còn những hạn chế nhất

định. Hy vọng trong hƣớng nghiên cứu mới chúng tôi sẽ thực hiện đƣợc nhiều kết quả tốt

đẹp hơn.

Luận văn Thạc sỹ Khoa học: Nghiên cứu didactic toán về mối liên hệ giữa phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ trong dạy học hình học ở lớp 12

Lời Cảm Ơn

Chƣơng I - NHỮNG VẤN ĐỀ ĐẶT RA

I. Mở đầu - hệ câu hỏi xuất phát

III. Phƣơng pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn

CHƢƠNG II - NGHIÊN CỨU CHƢƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA

TỪ QUAN ĐIỂM CỦA LÝ THUYẾT NHÂN CHỦNG HỌC

Mở đầu

I. Phân tích chƣơng trình học ở PTTH

II. Vectơ với tƣ cách là công cụ trong SGK hình học 10

III. Phƣơng pháp Vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong hình học 12

CHƢƠNG III : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

Mở đầu

I. Hai bài toán thực nghiệm :

II. / Phân tích A PRIORI bài toán

III./ Phân tích A POSTERIORI

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGHIÊM CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA

"PHƢƠNG PHÁP VECTƠ" VÀ "PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ"

TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở LỚP 12

CHƢƠNG I : NHỮNG VẤN ĐỀ ĐẶT RA

I. Mở đầu - Hệ câu hỏi xuất phát:

III. Phƣơng Pháp Nghiên Cứu Và Cấu Trúc Của Luận Vãn

CHƢƠNG II : NGHIÊN CỨU CHƢƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA

TỪ QUAN ĐIỂM CỦA LÝ THUYẾT NHÂN CHỦNG HỌC

Mở đầu

I. Phân tích chƣơng trình hình học PTTH :

II. Vectơ với tƣ cách là công cụ trong hình học 10 :

III. Phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong hình học 12 :

Mở đầu

I. Hai bài toán thực nghiệm :

II. Phân tích a priori bài toán

KẾT LUẬN

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok