Luận văn: Tối ưu hàm E -lồi

Chia sẻ: Qsczaxewd Qsczaxewd | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:70

Thêm vào BST

Báo xấu

100
lượt xem 26
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sau khi lý thuyết qui hoạch tuyến tính được hoàn thiện vào những năm 50 của thế kỉ trước, với nội dung cơ bản là thuật toán đơn hình của G. B. Dantzig, giải tích lồi đã được xây dựng và đóng vai trò quan trọng trong giải quyết các bài toán tối ưu lồi nói riêng và tối ưu phi tuyến nói chung. Mặc dù cho tới nay, nhiều nghiên cứu về giải tích lồi vẫn còn đang được tiến hành, nhưng có thể nói giải tích lồi đã trở thành lí thuyết hoàn chỉnh vào những năm 70...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Tối ưu hàm E -lồi

Luận văn Tối ưu hàm E -lồi
MỤC LỤC Trang Mục lục……………………………………………………………... 1 Lời nói đầu…………………………………………………………. 2 Chương I. Tập  , E1, E2  -lồi……………………………………... 4 1.1. Tập  , E1, E2  -lồi……………………………………………… 4 1.2 Các ví dụ....................................................................................... 8 1.3 Các tính chất của tập  , E1, E2  -lồi…………………………… 12 Chương II. Hàm  , E1, E3  -lồi…………………………………... 30 2.1 Hàm  , E1, E3  -lồi……………………………………………... 30 2.1.1 Định nghĩa hàm  , E1, E3  -lồi……………………………….. 30 2.1.2 Các ví dụ……………………………………………………… 33 2.1.3 Các tính chất hình học-đại số của hàm  , E1, E2  -lồi……… 36 2.2. Hàm  , E1, E3  -tựa lồi……………………………………….. 49 Chương 3: Tối ưu hàm E -lồi……………………………………... 58 3.1 Bài toán tối ưu một mục tiêu với hàm E -lồi…………………… 58 3.2 Một số kết quả cho bài toán  PE  ………………….................… 59 3.3 Một số kết quả cho bài toán  PE  ………………….................… 63 Kết luận…………………………………………………………… 69 Tài liệu tham khảo………………………………………………… 70 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1
LỜI NÓI ĐẦU Sau khi lý thuyết qui hoạch tuyến tính được hoàn thiện vào những năm 50 của thế kỉ trước, với nội dung cơ bản là thuật toán đơn hình của G. B. Dantzig, giải tích lồi đã được xây dựng và đóng vai trò quan trọng trong giải quyết các bài toán tối ưu lồi nói riêng và tối ưu phi tuyến nói chung. Mặc dù cho tới nay, nhiều nghiên cứu về giải tích lồi vẫn còn đang được tiến hành, nhưng có thể nói giải tích lồi đã trở thành lí thuyết hoàn chỉnh vào những năm 70 của thế kỉ trước với những cuốn sách kinh điển như Convex Analysis của R. T. Rockafellar (1970) và Nonlinear Programming của O. L. Mangasarian (1967),... Mặc dù là công cụ mạnh để giải quyết các bài toán tối ưu phi tuyến, nhiều bài toán thực tế vẫn không thể mô tả bởi các hàm lồi trên các tập lồi. Vì vậy, ngay trong giải tích lồi, các nhà toán học đã cố gắng mở rộng khái niệm hàm lồi. Bằng cách giữ lại một trong các tính chất cơ bản của hàm lồi làm định nghĩa hoặc tính chất cơ bản, lớp các hàm lồi suy rộng (hàm tựa lồi, hàm giả lồi, hàm lồi bất biến,…) đã được nghiên cứu sâu về mặt toán học và được áp dụng hiệu quả trong các bài toán thực tế. Một trong những suy rộng của hàm lồi được một số nhà nghiên cứu quan tâm trong khoảng mười năm trở lại đây là lớp hàm E -lồi do Ebrahim A. Youness đề xuất năm 1999 (xem [14]). Khái niệm hàm E -lồi là mở rộng khá tự nhiên của lớp hàm lồi. Trong luận văn này chúng tôi bước đầu nghiên cứu một lớp hàm mới là lớp hàm  , E1, E3  -lồi trên tập  , E1, E2  -lồi. Khái niệm  , E1, E2  -lồi cho phép thống nhất một số khái niệm trong giải tích E -lồi (tập E -lồi, tập E -lồi mạnh, hàm E -lồi, hàm E -lồi mạnh, hàm semi hàm E -lồi,…). Bố cục luận văn gồm phần Mở đầu, Ba chương và Tài liệu tham khảo. Chương 1: Tập  , E1, E2  -lồi. Chương 2: Hàm  , E1, E3  -lồi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2
Chương 3: Tối ưu hàm E -lồi. Mặc dù những nghiên cứu trong luận văn mới chỉ ở dạng phác thảo, theo cảm nhận của chúng tôi, một số kết quả trong luận văn đã cho phép nhìn lại một số nghiên cứu về lớp hàm E -lồi, vì vậy khái niệm  , E1, E2  -lồi có lẽ cũng đáng được quan tâm. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Tạ Duy Phượng, nhân dịp này em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với Thầy. Em xin cảm ơn các thầy cô của Đại học Thái Nguyên và Viện Toán học đã tận tình giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học. Tôi xin cảm ơn khoa Toán, khoa Sau Đại Học trường ĐHSP Thái Nguyê n và trường Cao đẳng Kinh tế Kĩ thuật Thái Nguyên đã quan tâ m giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện kế hoạch học tập của mình. Xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè đã cổ vũ động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Thái Nguyên, ngày 19.8.2010 Ngô Thị Thu Trang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3
Chương I. TẬP  , E1 , E2  – LỒI 1.1. Tập  , E1, E2  -lồi Ta đã biết, một tập M   n được gọi là lồi nếu  x  (1   ) y  M với mọi x, y  M và  0,1 . Nhằm mở rộng khái niệm tập lồi và hàm lồi với mục đích áp dụng giải bài toán tối ưu, Youness lần đầu tiên (1999, [14]) đã đưa ra khái niệm tập E -lồi. Ta có Định nghĩa 1.1 Cho tập M   n và ánh xạ E :  n  n . Tập M được gọi là E -lồi trên tập E -lồi M (tương ứng với ánh xạ E ) nếu với mọi x, y  M và  0,1 ta có  E ( x)  (1   ) E ( y )  M . (1.1) Rõ ràng, tập lồi là tập E -lồi với E  I là ánh xạ đồng nhất ( I ( x )  x với mọi x   n ). Do đó, khái niệm E -lồi là mở rộng của khái niệm tập lồi. Ta có Mệnh đề 1.1 (Youness, 1999, [14], Proposition 2.2) Nếu M là tập E -lồi thì E ( M )  M . Ta có một số nhận xét sau. Nhận xét 1.1 Tập M lồi (theo nghĩa thông thường) có thể không lồi tương ứng với ánh xạ E nào đó. Nói cách khác, ánh xạ E có thể làm biến dạng tập M (làm mất những tính chất đẹp của tập E ). Ví dụ 1.1 Tập M là hình vuông ABCD được cho bởi: M   x   x1 , x2  : 1  x1  1; 1  x2  1 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4
1 được cho bởi công thức E  x   E  x1 , x2    x1 , x2  . Ánh xạ E :  n  n 2 Khi ấy E  M  là hợp của hai tam giác AOB và COD nên không là tập lồi (Hình 1.1). Tuy nhiên, vì M là tập lồi nên bao hàm thức (1.1) nghiệm đúng với mọi x, y  M và  0,1 . Do đó M là tập E -lồi. Hình 1.1 Nhận xét 1.2 Tập M và ánh xạ E có thể rất đẹp, nhưng (1.1) có thể không được thỏa mãn. Nói cách khác, M không phải là E -lồi. Ví dụ 1.2 Tập M là hình tròn đơn vị B (0,1) tâm tại gốc M   x   x1 , x2  : x12  x2  1 2 được cho bởi công thức E  x   E  x1, x2    2 x1,2 x2  . Ánh xạ E :  n  n Khi ấy E  M  là hình tròn B (0, 2) tâm tại gốc bán kính bằng 2 (Hình 1.2). Do E  M   M nên M không phải là E -lồi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5
Hình 1.2 E. A. Youness và Tarek Emam đã đưa ra khái niệm tập E -lồi mạnh như sau. Định nghĩa 1.2 (Youness-Emam, 2005, [17]) Tập M   được gọi là E -lồi mạnh (tương ứng với ánh xạ E :  n  n ) n nếu với mọi x, y  M ,  0;1 và  0,1 ta có   x  E( x)   (1   )  y  E( y)   M . (1.2) Nhằm thống nhất một cách hợp lí các khái niệm E -lồi và E -lồi mạnh (tương ứng, khái niệm hàm E -lồi và hàm E -lồi mạnh trong Chương 2), chúng tôi đưa ra khái niệm tập  , E1, E2  -lồi sau đây. Định nghĩa 1.3 ([9]) và số    . Tập M được Cho trước tập M   n , hai ánh xạ E1,2 :  n  n gọi là  , E1, E2  -lồi nếu với mọi x, y  M và  0,1 ta có   x  E1 ( x)   (1   )  y  E1 ( y)   E2  M  . (1.3) Nếu bất đẳng thức (1.3) đúng với mọi  0;1 thì ta nói M là tập  E1, E2  - lồi mạnh. Nếu bất đẳng thức (1.3) đúng với   0 thì ta nói M là tập  E1, E2  -lồi . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6
Nhận xét 1.3 Nếu E1  E2  I và   0 thì (1.3) có dạng  x  (1   ) y  M với mọi x, y  M và  0,1 . Vậy tập M là lồi theo nghĩa thông thường khi và chỉ khi nó là  0, I , I  -lồi. Nói cách khác, khái niệm tập  , E1, E2  -lồi là một sự mở rộng của khái niệm tập lồi thông thường. Nhận xét 1.4 là một ánh xạ nào đó và   0 thì (1.3) Nếu E2  I , E1  E với E :  n  n có dạng  E ( x)  (1   ) E ( y )  M với mọi x, y  M và  0,1 . Khi đó M là tập  0, E, I  -lồi khi và chỉ khi nó là tập E -lồi theo Định nghĩa 1.1. Như  , E1, E2  -lồi vậy, khái niệm tập là mở rộng của khái niệm E -lồi của Youness trong [14]. Nhận xét 1.5 Mọi tập bất kỳ đều là  0, E10 , E2  -lồi với E10  x   E2  x   x0 với mọi x  M , 0 0 trong đó x0 là một điểm bất kỳ nào đó của M . Nhận xét 1.6 Youness trong [14] đã định nghĩa tập E -lồi như sau. Định nghĩa 1.4 (Definition 2.1, [14]) A set M   is said to be E -convex iff there is a map E :  n  n n such that 1    E( x)   E ( y)  M , for each x, y  M and 0    1. ( E  x   x0 Theo Nhận xét 1.5, rõ ràng luôn luôn tồn tại ánh xạ E :  n  n với mọi x  M , trong đó x0 là một điểm bất kỳ nào đó của M ), để ta có 1    E( x)   E( y)  M với mọi x, y  M và 0    1. Do đó, theo Nhận xét 1.5 thì mọi tập M đều là E -lồi (với E  E 0 ) theo Định nghĩa 1.4. Vì vậy, Định nghĩa của Youness trong [14] cần được sửa lại như Định nghĩa 1.1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7
Nhận xét 1.7 Nếu tập M  n là  E1, E2  -lồi mạnh (  , E1, E2  -lồi với mọi 0    1 ), với E1  E và E2  I thì M là E -lồi mạnh theo Định nghĩa 1.2. Như vậy, tập  E1, E2  -lồi mạnh M là tập E -lồi mạnh (theo Định nghĩa 1.2) khi E2  I . 1.2 Các ví dụ Ví dụ 1.3 Cho M   x1; x2   2 :1  x1  4;1  x2  4 là một hình vuông trong  2 . E1,2 :  2   2 được xác định theo công thức E1  x    0, x2  ; Cho E2  x    x1  2, x2  với mọi x   x1 , x2    2 ; nghĩa là E1 là phép chiếu (vuông góc) từ  xuống trục tung, còn E2 là một ánh xạ tuyến tính giữ 2 nguyên tọa độ x2 , tọa độ x1 được chuyển dịch sang trái 2 đơn vị ( E2  x    z1, z2  với z1  x1  2; z2  x2 ). Ta có E1  M    x1; x2    2: x1  0;1  x2  4 và E2  M    x1; x2    2: 1  x1  2;1  x2  4 . Vậy E1  M  và E2  M  là các tập lồi theo nghĩa thông thường và E1  M   E2  M  hay  E1 ( x)  (1   ) E1 ( y)  E2  M  với mọi x, y  M và  0,1 . Vậy M là tập  0, E1, E2  -lồi. 1, E1, E2  -lồi. không phải là tập Thật vậy, ta chọn Tuy nhiên, M x   4,1  M và y   4,4   M . Khi ấy E1  x    0,1 ; E1  y    0,4 . Chọn 1  (và   1 đã chọn) ta được 2   x  E1  x    1     y  E1  y     4,5   E2  M  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8
Chứng tỏ M không phải là tập 1, E1, E2  -lồi. 1 và   0 , x   4,1  M và y   4,4   M ta được Chọn   2  5   x  E1  x    1     y  E1  y     0,   M .   2 Chứng tỏ M cũng không phải là tập  0, E1, I  -lồi, tức là M không phải là tập E1 -lồi (khái niệm  0, E1, I  -lồi trùng với khái niệm E1 -lồi). Do đó M cũng không phải là tập E1 -lồi mạnh theo Định nghĩa 1.2. Ví dụ 1.4 Cho   3 M   x, y     x, y   1  0,0   2  2,1  3  0,3 ; 1, 2 , 3  0,  i  1 2   i 1   3   x, y    2  x, y   1  0,0   2  0, 3  3  2, 1 , 1, 2 , 3  0;  i  1.   i 1 Khi ấy tập M là hợp của hai miền tam giác AOB và COD vậy M không phải là tập lồi (Hình 1.3), nhưng là  0, E1, I  -lồi (hay M là E1 -lồi). E1 :  2   2 , E1  x    0, x2  với x   x1, x2  hay E1 là phép chiếu Cho (vuông góc) từ  2 xuống trục tung, E2  I với I  x   x mọi x   2 . Thật vậy, ta có E1  M    x, y    2 , x  0, 3  y  3  M là một tập lồi. Với mọi x, y  M ta có E1  x   E1  M  và E1  y   E1  M  . Chứng tỏ với mọi  0,1 thì   0 x  E1 ( x)   (1   )  0 y  E1 ( y)   E1(M )  M hay M là tập  0, E1, I  -lồi (hay E1 -lồi). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9
Hình 1.3 Ví dụ 1.5 2 x2  x1 4 x1  x2  Cho E1,2 :  2   2 ; E1  x1 , x2     ; E2  x1, x2    x1  2, x2  .  ;  3 3 Nhận xét rằng E1,2 là các ánh xạ tuyến tính. Tập M cho như trong Ví dụ 1.4. Khi đó ta có E2  M  là hợp của hai miền tam giác ABC và ADE (Hình 1.4). Hình 1.4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10
Tập M không là tập lồi (xem Hình 1.3) và cũng không là 1, E1, E2  -lồi. Thật 1 vậy, chọn x   0,3 , y   2, 1 và   thì E1  x   E1  0,3   2,1 và 2 E1  y   E1  2, 1   0, 3 thì ta có  1x  E1 ( x)   (1   ) 1y  E1 ( y)    0,0  E2  M  . Vậy tập M không phải là 1, E1, E2  -lồi. Ví dụ 1.6 Cho E1,2 :  2   2 ; E1  x1, x2   E2  x1, x2    0, x2  . Tập M được cho như sau: M   x1 , x2   2 : x1  1, x2  0   x1 , x2   2 : x1  1, x2  0 . Tập M là hợp của hai tập lồi rời nhau, do đó không phải là tập lồi. Tuy nhiên, E1  M   E2  M     0, x2  , x2    là tập lồi và E1  M   M . Chứng tỏ M không phải là tập E1 -lồi theo nghĩa Youness, nhưng là tập  0, E1, E2  - lồi. Điều này nói lên rằng khái niệm tập  , E1, E2  -lồi “uyển chuyển” hơn khái niệm tập E -lồi. Kết luận Các ví dụ trên chứng tỏ một tập có thể là  , E1, E2  -lồi với   1 và không là  , E1, E2  -lồi với    2 nào đó. Tuơng tự, một tập có thể là  , E1, E2  - lồi với E2 này nhưng không là  , E1, E2  -lồi với E2 khác. Như vậy, một tập có thể không lồi theo nghĩa thông thường, nhưng có thể là  , E1, E2  -lồi với một bộ  , E1, E2  nào đó. Điều này cho phép mở rộng các khái niệm và kết quả của giải tích lồi sang cho giải tích  , E1, E2  -lồi. Tuy nhiên, do các ánh xạ E1 , E2 được chọn tương đối tùy ý, nên ảnh của tập M có thể bị biến dạng mạnh và do đó ảnh của tập lồi có thể bị bóp méo và trở thành tập không lồi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11
theo nghĩa thông thường (mặc dù có thể là E -lồi). Điều này dẫn đến lưu ý rằng, mặc dù về mặt hình thức, khái niệm tập  , E1, E2  -lồi là mở rộng của khái niệm tập lồi, không có nghĩa là, khái niệm tập  , E1, E2  -lồi phản ánh đúng thực chất cấu trúc của tập mà ta đang quan tâm. Dẫu sao nghiên cứu tập M qua ảnh E ( M ) của nó có thể cho phép ta hiểu tốt hơn về tập M . 1.3 Các tính chất của tập  , E1, E2  -lồi và E1,2 :  n  n . Mệnh đề 1.2 dưới đây là mở rộng của Mệnh Cho M   n đề 2.2 trong [14]. Mệnh đề 1.2  E1, E2  -lồi Nếu tập M   tương ứng với các ánh xạ E1 , E2 thì n là E1 (M )  E2  M  . Chứng minh Vì M là tập  E1, E2  -lồi nên với mọi x, y  M ,  0,1 ta có  E1  x   1    E1  y   E2  M  . Lấy   1 thì E1  x   E2  M  với mọi x  M , vậy E1  M   E2  M  . Mệnh đề được chứng minh. Nếu E2  I và E1  E thì Mệnh đề 1.1 là hệ quả của Mệnh đề 1.2. Theo một nghĩa nào đó, Mệnh đề dưới đây là đảo lại của Mệnh đề 1. 2. Mệnh đề 1.3 Giả sử E1 ( M ) hoặc E2 (M ) là tập lồi. Nếu E1 (M )  E2  M  thì M là tập  E1, E2  - lồi. Chứng minh Lấy x, y là hai điểm bất kỳ thuộc M . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12
Trường hợp 1: E1 ( M ) là tập lồi. Khi ấy với mọi  0,1 ta có  E1 ( x)  (1   ) E1 ( y)  E1  M  . Mặt khác, E1 (M )  E2  M  nên  E1 ( x)  (1   ) E1 ( y)  E1  M   E2  M  với mọi  0,1 . Vậy M là tập  E1, E2  -lồi. Trường hợp 2: E2 (M ) là tập lồi. Vì theo giả thiết E1 (M )  E2  M  nên với mọi điểm x, y bất kỳ thuộc M ta luôn có E1 ( x)  E1  M   E2  M  và E1 ( y)  E1  M   E2  M  . Vì E2 (M ) là tập lồi nên  E1 ( x)  (1   ) E1 ( y)  E2  M  . Vậy nếu E1 ( M ) hoặc E2 (M ) là tập lồi thì M là tập  E1, E2  -lồi. Nếu E2  I và E1  E thì ta có Hệ quả 1.1 (Grace-Thangavelu, 2009, [7], Proposition 2.3) Giả sử E ( M ) là tập lồi. Nếu E ( M )  M thì M là E -lồi. Mệnh đề 1.4 Giả sử E1 :  n  là ánh xạ tuyến tính, và E2 :  n  thỏa mãn tính n n chất E2  M1   E2  M 2   E2  M1  M 2  ; M1,2   là các tập  E1, E2  -lồi. n Khi ấy M1  M 2 cũng là  E1, E2  -lồi. Chứng minh Lấy x, y bất kỳ thuộc tập M1  M 2 . Khi đó ta có x  x1  x2 x1  M1; x2  M 2 với và y  y1  y2 y1  M1; y2  M 2 . với Với mọi  0,1 , do E1 là ánh xạ tuyến tính nên E1 ( x)  E1 ( x1  x2 )  E1  x1   E1  x2  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13
và E1 ( y)  E1 ( y1  y2 )  E1  y1   E1  y2  . là tập  E1, E2  -lồi nên Do M1   n  E1 ( x1 )  (1   ) E1 ( y1 )  E2 (M1 ) . là tập  E1, E2  -lồi nên Do M 2   n  E1 ( x2 )  (1   ) E1 ( y2 )  E2 (M 2 ) . Vì E2 có tính chất E2  M1   E2  M 2   E2  M1  M 2  nên ta có  E1 ( x)  (1   ) E1 ( y )    E1  x1   E1  x2    (1   )  E1  y1   E1  y2       E1  x1   (1   ) E1  y1      E1  x2   (1   ) E1  y2    E2  M 1   E2  M 2   E2  M 1  M 2  . Vậy với mọi x, y  M1  M 2 và  0,1 ta có  E1 ( x)  (1   ) E1 ( y)  E2  M1  M 2  . hay M1  M 2 là tập  E1, E2  -lồi. Nhận xét 1.8 Nếu E2 là ánh xạ tuyến tính, tức là E2  t1x1  t2 x2   t1E2  x1   t2 E2  x2  với mọi t1, t2   thì điều kiện E2  M1   E2  M 2   E2  M1  M 2  mặc nhiên thỏa mãn. Nếu E2  I và E1  E thì ta có Hệ quả 1.2 (Younes, 1999, [14], Lemma 2.2) Giả sử E :  n   n là ánh xạ tuyến tính, M1,2   n là các tập E -lồi. Khi ấy M1  M 2 cũng là E -lồi. Mệnh đề 1.4 có thể được tổng quát hóa thành Mệnh đề 1.5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14
Giả sử E1,2 :  n   n là các ánh xạ tuyến tính, các tập M i , i  1, m là m tập M   ti M i là  E1, E2  -lồi.  E1, E2  -lồi. Khi ấy với mọi bộ số thực ti i 1 Chứng minh Lấy x, y bất kỳ thuộc tập M . Khi đó tồn tại các phần tử xi , yi  M i (i  1, m) m m sao cho x   ti xi và y   ti yi . i 1 i 1 Vì E1 là ánh xạ tuyến tính nên ta có     m m  E1  x   1    E1  y    E1   ti xi   1    E1   ti yi   i 1   i 1  = t1E1  x1   ...  tm E1  xm   1    t1E1  y1   ...  1    tm E1  ym  = t1  E1  x1   1    E1  y1    ...  tm  E1  xm   1    E1  ym   .     Vì M i , i  1, m là các tập  E1, E2  -lồi nên với mỗi i ta có  E1  xi   1    E1  yi   E2  M i  Từ đó ta có  E1  x   1    E1  y   t1E2  M1   t2 E2  M 2   ...  tm E2  M m  Vì E2 là ánh xạ tuyến tính nên t1E2  M 1   t2 E2  M 2   ...  tm E2  M m   E2  t1M 1   E2  t2 M 2   ...  E2  t m M m   E2  t1M 1  t2 M 2  ...  tm M m   E2  M  . Suy ra với mọi x, y bất kỳ thuộc tập M ta có  E1  x   1    E1  y   E2  M  . m Vậy theo định nghĩa, M   ti M i là tập  E1, E2  -lồi. i 1 Nếu E2  I và E1  E thì ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15
Hệ quả 1.3 (Grace-Thangavelu, 2009, [6], Proposition 5.1) Giả sử E :  n   n là ánh xạ tuyến tính, các tập M i , i  1, m là E -lồi. Khi ấy m với mọi bộ số thực ti , i  1, m , tập M   ti M i là E -lồi. i 1 Mệnh đề 1.6 Giả sử E :  n   n là ánh xạ tuyến tính, E1 (a)  a với một số thực a   n nào đó và M là tập  E1, E2  -lồi. Khi ấy nếu E2 :  n   n là ánh xạ có tính chất E2  M   a  E2  M  a  thì M  a cũng là tập  E1, E2  -lồi. Chứng minh Lấy x, y bất kỳ thuộc tập M . Khi đó ta có x  a  M  a và y  a  M  a . Vì E1 là ánh xạ tuyến tính nên E1  x  a   E1  x   E1  a  và E1  y  a   E1  y   E1  a  . Do đó với mọi  0,1 ta có  E1  x  a   1    E1  y  a    E1  x  a   1    E1  y  a    E1  x    E1  a   1    E1  y   1    E1  a    E1  x   1    E1  y     a  1    a   =  E1  x   1    E1  y    a   Vì M là tập  E1, E2  -lồi nên  E1  x   1    E1  y   E2  M  . Do đó ta có  E1  x   1    E1  y    a  E2  M   a   Do E2  M   a  E2  M  a  theo giả thiết nên ta có  E1  x  a   1    E1  y  a    E1  x   1    E1  y    a  E2  M   a  E2  M  a  .   Vậy M  a là tập  E1, E2  -lồi. Nếu E2  I và E1  E thì ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16
Hệ quả 1.4 (Grace-Thangavelu, 2009, [6], Proposition 3.1) Giả sử E :  n   n là ánh xạ tuyến tính, E (a)  a với một số thực a   n nào đó và M là tập E -lồi. Khi ấy M  a cũng là tập E -lồi. Nhận xét 1.9 Điều kiện E2  M   a  E2  M  a  nói chung không phải lúc nào cũng đúng. Thí dụ, cho M  0;1   ; a  1 . Khi ấy tập M  a  1;2   . Ánh xạ E2 :    được cho bởi công thức 0, khi x  0; E2 ( x)   1, khi x  0. Khi ấy E2 (M )  0;1 nên E2 (M )  a  1;2 , nhưng E2 (M  a)  0 . Vì vậy điều kiện E2  M   a  E2  M  a  không thỏa mãn. Mệnh đề 1.7  , E 1 , E2  -lồi. M1,2   n Giả sử là các tập Nếu ta có E2  M1  M 2   E2  M1   E2  M 2  thì M1  M 2 cũng là  , E 1 , E2  -lồi. Chứng minh Lấy x1, x2 bất kỳ thuộc tập M1  M 2 . Khi đó ta có x1 , x2  M1 và x1, x2  M 2 Do M 1,2 là các tập  , E 1 , E2  -lồi nên với mọi  0,1 ta có   x1  E1  x1    1     x2  E1  x2    E2  M 1  Và   x1  E1  x1    1     x2  E1  x2    E2  M 2  . Theo giả thiết E2  M1  M 2   E2  M1   E2  M 2  nên ta có   x1  E1  x1    1     x2  E1  x2    E2  M 1   E2  M 2   E2  M 1  M 2  . Vậy M1  M 2 là tập  , E 1 , E2  -lồi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17
Nhận xét 1.10 Ta luôn có f  M1  M 2   f  M1   f  M 2  nhưng dấu bằng có thể không xảy ra. Thí dụ, cho M  M1  M 2 với M1   1;0 và M 2  0;1 . Hàm  x  1, x   1;0;  f :  1,1  1,1 được xác định bởi công thức f ( x)    x  1, x   0;1.  Khi ấy f  M1  M 2    f (0)  1 và f  M1   f  M 2   0;1 . Chứng tỏ f  M1  M 2   f  M1   f  M 2  . Tuy nhiên, nếu E2  I và E1  E thì ta có Hệ quả 1.5 (Younes, 1999, [14], Proposition 2.4) Giả sử M1,2   n là các tập E -lồi thì M1  M 2 cũng là tập E -lồi. Nhận xét 1.11 Chứng minh hoàn toàn tương tự, Mệnh đề 1.7 có thể mở rộng thành Mệnh đề 1.7’ Giả sử M j   n là các tập  , E 1 , E2  -lồi, trong đó j  J là tập chỉ số bất kì. Nếu ta có E2  M1  M 2   E2  M1   E2  M 2  thì M cũng là tập j jJ  , E 1 , E2  -lồi. Nếu E2  I và E1  E thì ta có Hệ quả 1.6 (Syau- Lee, 2005, [11], Theorem 2.1) Giả sử M j   n là các tập E -lồi, trong đó j  J là tập chỉ số bất kì. Khi ấy M cũng là tập E -lồi. j jJ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18
Nhận xét 1.12 Giả sử M1,2   n là các tập  , E1, E2  -lồi. Khi ấy M1  M 2 có thể không phải là  , E1, E2  - lồi. Ví dụ 1.7 (Grace-Thangavelu, 2009, [6], Example 2.1)  2x x x 4x  Cho E1,2 :  2   2 ; E1  x1 , x2    2  1 ; 2  1  và E2  x1, x2    x1, x2  3 3 33 Xét hai tập lồi   3 M1 :  x1 , x2   R 2 :  x, y   1  0,0   2  2,1  3  0,3 ; 1, 2 , 3  0;  i  1 ;   i 1   3 M 2 :  x1 , x2   R :  x, y   1  0,0   2  0, 3  3  2, 1 ; 1, 2 , 3  0;  i  1 . 2   i 1 Nhận xét rằng E1 là ánh xạ tuyến tính, E2 là ánh xạ đồng nhất, tập M1 là miền tam giác AOB và tập M 2 là miền tam giác COD (Hình 1.5). Ta có E1   0,0     0,0  , E1   2,1    0,3 , E1   0,3    2,1 , vậy E1  M1   M1 . Ta cũng có E1   2, 1    0, 3 , E1   0, 3    2, 1 , vậy E1  M 2   M 2 . Do đó M1 và M 2 là hai tập  E1, E2  -lồi. Nhưng M1  M 2 không phải là tập 1  E1, E2  -lồi vì với   ; x   0,3  M1  M 2 và y   2, 1  M1  M 2 thì 2  E1  x   1    E1  y   1; 1  M1  M 2 , hay  E1  x   1    E1  y   1; 1  E2  M1  M 2  .(Hình 1.5) Hình 1.5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19