1
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHẠM PHÚC LONG
VỀ NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ
LAGRANGE
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ
Thái Nguyên- Năm 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
MỤC LỤC
Mở đầu: ................................................................................................... 2
Chương I. NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN
TỐI ƯU TRƠN.
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị .................................................................5
1.1.1 Khả vi Gateaux và khả vi Frechet .................................................5
1.1.2 Định lý Hahn-Banach, bổ đề về linh hóa tử ..................................9
1.1.3 Định lý Ljusternik, định lý hàm ẩn .............................................10
1.2 Điều kiện cần đủ cho bài toán tối ưu trơn ......................................12
1.2.1 Phát biểu bài toán ........................................................................12
1.2.2 Trường hợp hữu hạn chiều ..........................................................17
1.2.3 Trường hợp tổng quát .................................................................27
Chương II. NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN
TỐI ƯU LỒI.
2.1 Một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi ........................................31
2.1.1 Tập lồi .........................................................................................31
2.1.2 Hàm lồi .......................................................................................32
2.1.3 Tập Affine ...................................................................................34
2.1.3 Các định lý tách ...........................................................................35
2.1.4 Dưới vi phân của hàm lồi ............................................................36
2.1.6 Định lý cơ bản về dưới vi phân của tổng các hàm lồi ...................38
2.2 Điều kiện cần đủ cho bài toán tối ưu lồi .........................................43
2.2.1 Bài toán không có ràng buộc .......................................................44
2.2.2 Bài toán với ràng buộc đẳng thức ................................................44
2.2.3 Bài toán với ràng buộc bất đẳng thức ..........................................47
KẾT LUẬN ..............................................................................................55
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................56
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
MỞ ĐẦU
Trong cuộc sống, ai cũng mong muốn công việc hàng ngày của mình
được hoàn thành một cách tốt nhất. Ai cũng tự đặt ra hai câu hỏi chính:
Làm thế nào để công việc hoàn thành tốt nhất, và khi tốt nhất thì được cái
gì? Như vậy, chẳng qua mọi người cũng phải giải các bài toán tối ưu của
mình theo một nghĩa nào đó. Một vấn đề quan trọng nhất đặt ra cho mỗi
bài toán tối ưu là: Với điều kiện nào, bài toán có nghiệm, và nếu có nghiệm
điều gì sẽ xảy ra. Tất nhiên, điều kiện càng đơn giản thì việc tìm nghiệm
càng dễ. Biết được điều gì xảy ra nếu có lời giải, thì việc tìm ra lời giải
càng dễ dàng hơn.
Ta biết trong bài toán tối ưu có hai đối tượng quan trọng: Tập chấp nhận
được (hay tập ràng buộc) và Hàm mục tiêu xác định trên tập đó. Vậy thì
khi xét đến điều kiện để tồn tại nghiệm tối ưu, ta phải quan tâm tới các
điều kiện, tính chất của hai đối tượng ấy. Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm
và tìm ra phương pháp giải nghiệm, người ta thường phân loại các bài toán
theo cấu trúc của tập chấp nhận được và tính chất hàm mục tiêu của bài
toán. Trong luận văn này, tác giả đề cập tới hai loại bài toán chính sau:
1. Bài toán tối ưu trơn với ràng buộc đẳng thức.
Cụ thể:
Cho X,Ylà các không gian Banach, hàm fxác định trên X, ánh xạ
F:X−→Y. Bài toán:
f(x)−→ inf
F(x) = 0.
được gọi là bài toán tối ưu trơn với ràng buộc đẳng thức nếu hàm f
và ánh xạ Fthỏa mãn tính trơn.
2. Bài toán tối ưu lồi.
Cụ thể:
Cho Xlà không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, A⊂Xlà một
tập lồi đóng không rỗng. f,gi:X−→R=R∪{±∞}và hj:X−→R
là những hàm affine. Bài toán quy hoạch lồi tổng quát cho dưới dạng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
sau:
min f(x)
x∈A
gi(x)≤0(i=1,2,...,m)
hj(x) = 0(j=1,2,...,p).
Trong giải tích cổ điển, ta đã biết định lý Weierstrass nổi tiếng: “ Một
hàm số liên tục trên tập compact luôn đạt cực đại và cực tiểu”. Những mở
rộng hay biến dạng khác nhau của định lý này chỉ ra nhiều điều kiện đủ
cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu. Khi hàm số khả vi, một điểm
là nghiệm tối ưu của bài toán không có ràng buộc, thì đạo hàm của nó tại
điểm này phải bằng không. Đó là điều kiện cần tối ưu. Khẳng định này
vẫn còn đúng cho hàm lồi với đạo hàm được thay bằng dưới vi phân. Với
ý tưởng như vậy, khi nghiên cứu một bài toán tối ưu có ràng buộc, người
ta tìm cách đưa nó về một bài toán không có ràng buộc hoặc chỉ có những
ràng buộc tương đối đơn giản. Có thể thấy điều đó trong các công trình
nghiên cứu của Lagrange về tính biến phân từ cuối thế kỷ XVIII. Đó là:
•Xây dựng hàm Lagrange cho bài toán tối ưu.
•Tìm các điều kiện để hàm Lagrange đạt cực trị.
Chính việc áp dụng rộng rãi nguyên lý nhân tử Lagrange trong các bài toán
tối ưu đã khiến tác giả chọn đề tài nghiên cứu này.
Luận văn trình bày hệ thống và chi tiết một số điều kiện tối ưu cho các
bài toán tối ưu trơn, và bài toán tối ưu lồi được trình bày từ các tài liệu
chuyên đề chính [1−4], và có tham khảo thêm các tài liệu [5−7]. Các
điều kiện này được thể hiện thông qua các nhân tử Lagrange. Luận văn bao
gồm: Phần mở đầu, hai chương và phần tài liệu tham khảo.
Chương I: Dành để trình bày các kết quả về điều kiện cần đủ của bài
toán tối ưu trơn. Đầu tiên chúng ta nhắc lại một số kiến thức về khả vi
Gateaux, khả vi Frechet, định lý Ljusternik, định lý hàm ẩn, sau đó trình
bày điều kiện cần cấp một và điều kiện cần đủ cấp hai thông qua sự tồn tại
của vi phân cấp hai và nhân tử Lagrange.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
Chương II: Dành để trình bày các kết quả về điều kiện cần đủ của bài
toán tối ưu lồi. Tác giả trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi,
định lý Moreau-Rockafellar, và định lý cổ điển Kuhn-Tucker về điều kiện
cần và đủ của bài toán tối ưu lồi thông qua sự tồn tại của nhân tử Lagrange
tương ứng với dưới vi phân tại điểm đó.
Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Trương
Xuân Đức Hà, người đã trực tiếp giúp đỡ và chỉ bảo tận tình tác giả trong
suốt quá trình học tập, nghiên cứu và viết bản luận văn này. Tác giả cũng
bày tỏ tình cảm của mình trước sự giúp đỡ, động viên của gia đình, bạn bè,
và tập thể học viên cao học Toán K16-ĐHSPTN.
Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc
chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sự
góp ý của thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, tháng 8, năm 2010.
Phạm Phúc Long
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn