Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ cho học sinh khá, giỏi Trung học cơ sở trong dạy học giải bài tập hình họ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––

TRẦN THỊ LOAN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG KHAI THÁC YẾU TỐ PHỤ CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRUNG HỌC CƠ SỞ TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––

TRẦN THỊ LOAN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG KHAI THÁC YẾU TỐ PHỤ CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRUNG HỌC CƠ SỞ TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC

Ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Anh Tuấn

THÁI NGUYÊN - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là đề tài nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành

với sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn. Các số

liệu, kết quả được trình bày trong luận văn là trung thực. Những kết luận khoa

học của luận văn chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019

Tác giả luận văn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Trần Thị Loan

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Anh

Tuấn, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình

nghiên cứu đề tài.

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giảng viên trường Đại học Sư

phạm Thái Nguyên, khoa Toán, khoa sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi để

tôi hoàn thành luận văn này.

Xin chân thành cảm ơn trường THCS Gia Vân – Ninh Bình, Ban giám

hiệu, giáo viên và các em học sinh đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi trong quá

trình thực hiện đề tài.

Xin gửi lời cảm ơn đến tất cả bạn bè, đồng nghiệp đã luôn động viên, khích

lệ tôi hoàn thành luận văn.

Do thời gian có hạn và năng lực bản thân vẫn còn hạn chế nên luận văn

không tránh khỏi những thiếu sót nhất định, tôi rất mong nhận được những ý kiến

đóng góp của các nhà giáo, các nhà khoa học và các bạn đồng nghiệp để luận

văn được hoàn chỉnh hơn.

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019

Tác giả luận văn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Trần Thị Loan

MỤC LỤC

Trang

Trang bìa phụ

Lời cam đoan ....................................................................................................... i

Lời cảm ơn .......................................................................................................... ii

Mục lục ............................................................................................................... iii

Danh mục các chữ viết tắt ................................................................................ iv

Danh mục các bảng, biểu .................................................................................. v

Danh mục các hình ........................................................................................... vi

MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1

1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1

2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu ....................................................................................... 2

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................... 2

5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 3

6. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 3

7. Cấu trúc luận văn ............................................................................................. 3

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .............................................. 4

1.1. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU .............................................. 4

1.2. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN CHO HỌC SINH

KHÁ, GIỎI THCS ............................................................................................... 5

1.2.1. Vị trí và chức năng của bài tập toán học ................................................... 5

1.2.2. Một số đặc điểm của học sinh khá, giỏi toán ở THCS .............................. 7

1.3. KỸ NĂNG KHAI THÁC YẾU TỐ PHỤ TRONG GIẢI BÀI TẬP HÌNH

HỌC THCS ........................................................................................................ 10

1.3.1. Kỹ năng giải bài tập toán ......................................................................... 10

1.3.2. Phân tích nội dung hình học ở THCS ...................................................... 14

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

1.3.3. Vai trò của việc khai thác yếu tố phụ trong giải bài tập hình học ........... 17

1.3.4. Yêu cầu của việc khai thác yếu tố phụ trong giải bài tập hình học ......... 20

1.3.5. Một số kỹ năng khai thác yếu tố phụ trong giải bài tập hình học ........... 22

1.4. THỰC TRẠNG GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG THCS VÀ VẤN

ĐỀ KHAI THÁC YẾU TỐ PHỤ ...................................................................... 23

1.4.1. Kết quả và đánh giá tình hình GV rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ

cho học sinh ....................................................................................................... 23

1.4.2. Kết quả và đánh giá kỹ năng khai thác yếu tố phụ trong giải toán hình học

của học sinh ....................................................................................................... 25

1.4.3. Đánh giá chung ........................................................................................ 27

1.5. KẾT LUẬN CHUƠNG 1 ........................................................................... 28

Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG KHAI THÁC

YẾU TỐ PHỤ CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRUNG HỌC CƠ SỞ

TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC........................................ 29

2.1. MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG SƯ PHẠM ĐỂ ĐỀ XUẤT CÁC BIỆN PHÁP 29

2.2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG KHAI THÁC YẾU TỐ

PHỤ CHO HS KHÁ, GIỎI THCS TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH

HỌC ................................................................................................................... 30

2.2.1. Biện pháp 1: GV chủ động dạy cho HS một số cách tìm ra yếu tố phụ trong

bài toán hình học ................................................................................................ 30

2.2.2. Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng vẽ và sử dụng điểm phụ ...................... 36

2.2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng vẽ và sử dụng thêm đường phụ ........... 38

2.2.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng vẽ sử dụng yếu tố phụ là tam giác ...... 51

a) Vẽ thêm tam đều ............................................................................................ 51

2.2.5. Biện pháp 5: Rèn luyện kỹ năng vẽ và sử dụng yếu tố phụ là đường tròn .... 52

2.3. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ........................................................................... 55

Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ....................................................... 55

3.1. MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM ................................................................... 56

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

3.2. NỘI DUNG THỰC NGHIỆM.................................................................... 56

3.3. ĐỐI TƯỢNG THỰC NGHIỆM ................................................................. 62

3.4. TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM ..................................................................... 62

3.5. ĐÁNH GIÁ VỀ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM ........................................... 67

3.5.1. Đánh giá định tính ................................................................................... 67

3.5.2. Đánh giá định lượng ................................................................................ 68

3.6. KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ........................................................................... 70

KẾT LUẬN ....................................................................................................... 71

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 72

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viết tắt Viết đầy đủ

DH Dạy học

ĐHSP Đại học sư phạm

Đpcm Điều phải chứng minh

GT Giả thiết

GV Giáo viên

HĐ Hoạt động

HS Học sinh

KL Kết luận

SGK Sách giáo khoa

Tr. Trang

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

THCS Trung học cơ sở

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU

Trang

Bảng 1.1. Kết quả tình hình GV rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ cho

học sinh ....................................................................................................... 24

Bảng 1.2. Kết quả kỹ năng khai thác yếu tố phụ trong giải bài toán hình học của

học sinh ........................................................................................................ 26

Bảng 3.1. Bảng phân phối tần số điểm của bài kiểm tra ................................... 68

Bảng 3.2. Bảng phân phối tần suất điểm của bài kiểm tra ................................ 69

Biểu đồ 3.1. Biểu đồ phân phối tần số điểm của bài kiểm tra ........................... 69

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Biểu đồ 3.2. Biểu đồ phân phối tần suất điểm của bài kiểm tra ........................ 69

DANH MỤC CÁC HÌNH

Trang

Hình 1.1................................................................................................................ 6

Hình 1.2................................................................................................................ 9

Hình 1.3.............................................................................................................. 18

Hình 1.4.............................................................................................................. 18

Hình 1.5.............................................................................................................. 19

Hình 1.6.............................................................................................................. 20

Hình 1.7.............................................................................................................. 21

Hình 1.8.............................................................................................................. 21

Hình 1.9.............................................................................................................. 21

Hình 2.1.............................................................................................................. 31

Hình 2.2.............................................................................................................. 33

Hình 2.3.............................................................................................................. 35

Hình 2.4.............................................................................................................. 36

Hình 2.5.............................................................................................................. 37

Hình 2.7.............................................................................................................. 41

Hình 2.8.............................................................................................................. 43

Hình 2.9.............................................................................................................. 44

Hình 2.10 ........................................................................................................... 46

Hình 2.11 ........................................................................................................... 47

Hình 2.12 ........................................................................................................... 48

Hình 2.13 ........................................................................................................... 49

Hình 2.14 ........................................................................................................... 50

Hình 2.15 ........................................................................................................... 51

Hình 2.16 ........................................................................................................... 53

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Hình 2.17 ........................................................................................................... 54

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Đất nước ta đang từng ngày phát triển với những bước chuyển biến trên

mọi lĩnh vực. Khi khoa học công nghệ và nền kinh tế phát triển mạnh mẽ thì xã

hội càng đòi hỏi con người phải có đầy đủ năng lực và phẩm chất cần thiết để

đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của xã hội. Chính vì vậy giáo dục luôn được đặt

lên hàng đầu trong các chính sách phát triển đất nước – xã hội, nhiệm vụ học tập

ngày càng trở nên quan trọng và cần thiết đối với chúng ta.

Luật giáo dục nước ta quy định: “Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người

Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mĩ và nghề

nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, hình thành

và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất, năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu xã

hội và bảo vệ tổ quốc” [19]. Để thực hiện những mục tiêu của nền giáo dục nước

ta, hiện nay đang có những cải cách mạnh mẽ, một trong những yêu cầu đặt ra là

đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập của HS

dưới sự tổ chức, hướng dẫn của GV. Đặc biệt đối với bộ môn Toán được coi là:

“Môn thể thao của trí tuệ”có vị trí nổi bật trong việc rèn luyện năng lực toán học

và các thao tác tư duy.

Đối với HS khá, giỏi THCS, việc giải bài tập hình học - đặc biệt là với

những bài tập khó - là một hoạt động khá phức tạp và khó khăn. Bên cạnh những

bài tập hình học có thể chỉ sử dụng những dữ kiện của đề bài để vẽ hình và giải

được ngay còn có những bài tập mà chỉ với những dữ kiện đề bài đã cho HS chưa

tìm ra được hướng giải hoặc khó tìm ra lời giải, mặc dù đã vẽ được hình theo đề

bài. Một trong những cách khắc phục khó khăn này là phương pháp phát hiện và

khai thác yếu tố phụ trong hình vẽ, làm cơ sở để các em định hướng suy nghĩ,

tìm ra đường lối giải bài toán. Với những dạng bài tập hình học khó dành cho

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

học sinh khá, giỏi THCS, nhờ khai thác được yếu tố phụ mà các em có thể phát

hiện được những mối liên hệ then chốt nằm "ẩn tàng" giữa các dữ kiện nêu trong

giả thiết và kết luận để giải được bài toán.

Trong thực tế dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở THCS, nói riêng là việc

khai thác yếu tố phụ vẫn còn những khó khăn, hạn chế nhất định cả về phía GV &

HS, cần đến những nghiên cứu cụ thể. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để rèn luyện kỹ

năng khai thác yếu tố phụ cho học sinh khá, giỏi THCS đạt kết quả tốt, góp phần

nâng cao hiệu quả bồi dưỡng học sinh khá, giỏi môn Toán THCS.

Từ những lý do trên và nguyện vọng của bản thân, tôi lựa chọn vấn đề "Rèn

luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ cho học sinh khá, giỏi Trung học cơ sở trong

dạy học giải bài tập hình học” làm đề tài nghiên cứu trong luận văn.

2. Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu các dạng bài tập hình học dành cho học sinh khá,

giỏi THCS, xác định các kỹ năng khai thác yếu tố phụ, đề xuất một số biện pháp

rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ trong dạy học giải bài tập hình học cho

học sinh khá, giỏi THCS, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán hiện nay

ở trường THCS.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu, phân loại những loại yếu tố phụ trong bài tập hình học dành

cho học sinh khá, giỏi THCS.

Xác định những kỹ năng thành phần và hoạt động của HS khi phát hiện

và sử dụng yếu tố phụ trong giải bài tập hình học.

Đề xuất biện pháp dạy học để rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ

trong giải bài tập hình học cho học sinh khá, giỏi THCS.

Thực nghiệm sư phạm

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Việc rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ để

giải một số bài toán hình học ở THCS.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Phạm vi nghiên cứu: Dạy học giải bài tập hình học cho HS khá, giỏi ở THCS

5. Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các

vấn đề liên quan đến đề tài luận văn.

Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ, quan sát, phỏng vấn GV & HS,

phiếu điều tra để tìm hiểu thực trạng tình hình rèn luyện kỹ năng vẽ yếu tố phụ

trong dạy học giải bài tập hình học cho học sinh khá, giỏi ở trường THCS.

Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức kiểm nghiệm tính khả thi và

hiệu quả của giải pháp đề xuất.

Phương pháp thống kê toán học: Xử lý số liệu thống kê để đánh giá kết

quả thực nghiệm sư phạm.

6. Giả thuyết khoa học

Nếu xác định một số kỹ năng chủ yếu ứng với từng loại yếu tố phụ, các

biện pháp sư phạm như trong luận văn thì có thể rèn luyện kỹ năng khai thác yếu

tố phụ cho HS khá, giỏi trong dạy học giải bài tập hình học.

7. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, Tài liệu tham khảo, Phụ lục. Nội dung

luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2. Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ cho

học sinh khá, giỏi THCS trong dạy học giải bài tập hình học

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Trong việc nâng cao chất lượng giáo dục nói chung và chất lượng bộ

môn Toán nói riêng, bên cạnh việc bồi dưỡng kiến thức chuyên môn thì

việc rèn luyện các kỹ năng trong dạy học giải bài tập cho HS là một nhân

tố quan trọng.

Đối với bộ môn Toán thì hình học có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn

song việc hình thành và nhất là việc chứng minh các định lý, giải các bài tập hình

học là vấn đề thường gây ra không ít khó khăn cho HS THCS. Và một trong

những phương pháp thường dùng để giải quyết vấn đề trên là sử dụng yếu tố phụ.

Với những ưu điểm của yếu tố phụ thì việc rèn luyện kỹ năng khai thác

yếu tố phụ cho HS chắc chắn sẽ giúp các em chủ động được cách giải, chủ động

tư duy tìm hướng giải quyết cho các bài toán.

Qua tìm hiểu chúng tôi thấy có một số công trình nghiên cứu liên quan

đến lĩnh vực nghiên cứu của đề tài: “Vận dụng tư tưởng sư phạm của G. Polya

xây dựng nội dung và phương pháp dạy học trên cơ sở các hệ thống bài tập theo

chủ đề nhằm phát huy năng lực sáng tạo của học sinh chuyên toán cấp II” của

tác giả Trần Luận (1996) [15]; “Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm

bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi ở trường

phổ thông THCS Việt nam”của tác giả Tôn Thân (1995) [25]; “Bồi dưỡng các

thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho hoc sinh

trong dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở” của tác giả Nguyễn Thị

Thanh Tâm (2016) [20]; “Vẽ thêm hình phụ để giải một số bài toán về chủ đề

đường tròn hình học 9 góp phần phát triển cho học sinh khả năng phân tích và

tổng hợp, khóa luận tốt nghiệp đại học”của tác giả Lã Thị Vân Anh (2011) [1];

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

“Vẽ thêm hình phụ để giải một số bài toán về chủ đề tứ giác trong môn toán

THCS góp phần phát triển cho học sinh các phẩm chất trí tuệ” của tác giả Lã

Thị Thu Trang (2011) [27].

Như vậy, có thể thấy nghiên cứu việc "Rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố

phụ cho học sinh khá, giỏi Trung học cơ sở trong dạy học giải bài tập hình học”

là một đề tài tuy không mới nhưng có vị trí và vai trò nhất định.

1.2. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN CHO HỌC SINH KHÁ,

GIỎI THCS

1.2.1. Vị trí và chức năng của bài tập toán học

a) Vị trí của bài tập toán học

Theo Nguyễn Bá Kim “Dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với người

học, có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các

bài tập Toán ở hầu hết các học phần là một phương tiện rất có hiệu quả và không

thể thay thế được trong việc giúp người học nắm vững tri thức, phát triển năng

lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Vì vậy,

tổ chức có hiệu quả việc giải bài tập Toán có vai trò quyết định đối với chất lượng

dạy và học toán” [14, tr. 201].

b) Các chức năng của bài tập toán học

Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy

học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác

nhau. Các chức năng đó là:

 Chức năng dạy học

 Chức năng giáo dục

 Chức năng phát triển

 Chức năng kiểm tra

Với chức năng dạy học, bài tập củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kĩ

xảo những vấn đề lý thuyết đã học (khái niệm, định lí, quy tắc,…). Qua đó, người

học hiểu sâu hơn và biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

những tình huống cụ thể.

Với chức năng giáo dục qua việc giải bài tập mà hình thành cho người

học thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất

đạo đức của con người lao động mới (sáng tạo, kỉ luật, cần cù, chịu khó, óc

thẩm mỹ).

Với chức năng phát triển, bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho

người học, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ và hình thành những phẩm

chất tư duy khoa học.

Với chức năng kiểm tra, bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học

toán, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của người học.

Trên thực tế các chức năng trên không bộc lộ riêng lẻ mà nó kết hợp chặt

chẽ thống nhất.

Ví dụ 1.1: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M là trung điểm của CD,

E là giao điểm của MA và BD; F là giao điểm của MB và AC. Chứng minh rằng

EF // AB. A B

E

Bài toán này nhằm củng cố định lý Ta – lét

F đảo, định nghĩa hai tam giác đồng dạng. Điều đó

thể hiện chức năng dạy học.

D M C Khi dạy bài toán này, GV hướng dẫn HS

Hình 1.1 thực hiện phép suy luận xuôi, để thấy được

từ giả thiết đến kết luận cần có điều gì? Dẫn đến

việc sử dụng định lý Ta – lét đảo. Đây chính là chức năng giáo dục.

Ngoài ra, GV có thể giúp HS phát triển bài toán bằng cách đặc biệt hoá

bài toán: ABCD là hình thang cân, tứ giác lồi,.. thì cách làm trên còn đúng nữa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

hay không? (chức năng phát triển)

1.2.2. Một số đặc điểm của học sinh khá, giỏi toán ở THCS

a) Những đặc điểm của học sinh khá, giỏi nói chung

HS khá, giỏi là những HS có suy nghĩ độc lập và tư duy linh hoạt. Suy

nghĩ độc lập xuất phát từ sự không bằng lòng với những hiểu biết hiện có do thầy

hoặc sách truyền lại, đó là động lực đầu tiên thúc đẩy sự tìm tòi. Phẩm chất này sẽ

ngày càng phát triển cùng với sự phát triển của trình độ học vấn, lúc đầu chỉ là

những câu hỏi tự đặt ra trong khi học tập như: “Làm thế này đã chặt chẽ chưa? Đã

ngắn gọn chưa? Liệu còn có cách nào khác không?”. Những học sinh khá, giỏi

thường dễ phát hiện ra những mâu thuẫn giữa hiểu biết đã có với thực tiễn học tập

hay đời sống, vì thế học sinh khá, giỏi thường có những câu hỏi “tại sao?”; “như

thế nào?”. Tư duy linh hoạt được thể hiện ở chỗ đứng trước vấn đề mới mà có thể

giải quyết bằng vốn hiểu biết đã có, các em HS có thể đặc biệt hay khái quát hoá

vấn đề, xét tương tự,… để đưa chúng về dạng quen thuộc

Thêm nữa học sinh khá, giỏi thường có khả năng chú ý, tập trung suy nghĩ

trong một thời gian dài; có khả năng nắm bắt và lý giải những tâm trạng không

diễn tả bằng lời và có thể suy luận ra những điều mà đối với những học sinh bình

thường thì phải giải thích cặn kẽ.

Qua phân tích trên có thể thấy học sinh khá, giỏi có một số đặc điểm như sau:

Có khả năng làm việc độc lập tốt hơn, lâu hơn những HS khác.

Hay hoài nghi và lý sự, ít cho là tất nhiên mà hay hỏi “thế nào?”, “tại sao?”

và thường nhanh chóng nhận ra mâu thuẫn.

Thường thích thú trong các hoạt động trí tuệ. Suy nghĩ nhanh, linh hoạt,

độc đáo.

Thường ghi nhớ về nhiều chủ đề khác nhau và từ đó có thể đưa ra được

những suy đoán, những giả thuyết về các sự kiện.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Có thiên hướng tìm đến sự hoàn thiện.

b) Một số đặc điểm của học sinh khá, giỏi toán ở THCS

Ngoài những đặc điểm của học sinh khá, giỏi nói chung, các em khá, giỏi

về toán còn có những biểu hiện cụ thể như sau:

Học sinh khá, giỏi toán có khuynh hướng hình thức hóa các tài liệu toán

học, ở các em xuất hiện năng lực nhìn thấy trong một biểu thức toán học cụ thể

hay trong một bài toán cấu trúc hình thức của chúng. Chẳng hạn khi học định lý

Pytago a2 + b2 = c2, các em học sinh bình thường chỉ nêu được định lý cho ta

cách tính cạnh của một tam giác vuông nếu biết hai cạnh còn lại. Nhưng đối với

học sinh khá, giỏi còn có thể đưa ra một số nhận xét khác, ví dụ:

Từ công thức trên ta thấy ngay a, b đều nhỏ hơn c.

Nếu a, b, c là các số nguyên thì chỉ cần biết một cạnh sẽ tính được hai cạnh

còn lại”.

Như vậy, các em học sinh khá, giỏi có thể tri giác, đánh giá theo nhiều

cách, nhiều quan điểm khác nhau trước cùng một biểu thức toán học.

Học sinh khá, giỏi toán có thể lĩnh hội nhanh những cái khác biệt, những

cái bất thường. Các em có khả năng khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng

hóa, tương tự hóa tốt. Năng lực này ở các em thường đến ngay sau khi phân

tích một số hiện tượng riêng tách ra từ một loạt các hiện tượng có liên quan

với nhau.

Ví dụ 1.2 [12, tr. 10]: Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ một cát tuyến bất

1

1

1

kì cắt các cạnh BC và CD (hoặc đường thẳng chứa cạnh đó) tại các điểm E và F.

AE2 +

AF2 =

AD2

Chứng minh rằng:

1

1

1

Nhờ khả năng tương tự hóa tốt, các em có thể nhận thấy đẳng thức cần

h2 =

c2

b2 + Do vậy tìm một tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông bằng AE, AF và có

chứng minh gợi nhớ đến công thức:

đường cao bằng AD. Điểm G thuộc DC sao cho GA  AF là điểm cần vẽ thêm.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Bài giải (Xem hình 1.1)

Vẽ đường thẳng qua A vuông góc với AF và cắt DC tại G.

Xét ∆ABE và ∆ADG có:

ABÊ = ADĜ = 90° ; AB = AD (Vì ABCD là hình vuông)

BAÊ = DAĜ (2 góc cùng phụ với DAÊ)

Do đó: ∆ABE = ∆ADG (g.c.g) ⟹ AE = AG (hai cạnh tương ứng)

∆AGF có GAF̂ = 900, AD  GF A B Theo hệ thức về cạnh và đường

1

1

1

E cao tam giác vuông nên ta có:

AG2 +

AF2

AD2 = AE=AG

1

1

1

G D C F Hình 1.2

AD2 =

AE2 +

AF2 (Đpcm)

⟹

Cách ghi nhớ toán học của học sinh khá, giỏi cũng có nhiều nét khác so

với học sinh bình thường. Các em thường ghi nhớ một cách nhanh chóng và vững

chắc các loại toán và cách giải khái quát của chúng, các sơ đồ suy luận chứng

minh. Một số em biết cách sử dụng từ khoá để gợi nhớ và tập trung những chi

tiết nhớ.

Ví dụ: Khi học về công thức tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp, nội

tiếp trong một đa giác đều n cạnh, học sinh trung bình nhớ một cách máy móc

công thức là:

2sin

2tg

a 180° n

a 180° n

R = ; r =

𝑎

Còn đối với học sinh khá, giỏi các em có thể nhớ cách tính, đó là: Xét tam

2

𝑎

180°

, cạnh góc kia là r và giác vuông có cạnh huyền là R, một cạnh góc vuông là

2

𝑛

180°

180°

góc đối diện với cạnh có độ dài là , theo hệ thức lượng trong một tam giác

𝑎 ) =

𝑎 ) =

𝑛

2

𝑛

2

vuông ta có ngay R.sin( và r.tg( . Từ đó, ta có công thức cần sử

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

dụng.

1.3. KỸ NĂNG KHAI THÁC YẾU TỐ PHỤ TRONG GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC THCS

1.3.1. Kỹ năng giải bài tập toán

a) Khái niệm kỹ năng

Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra cho con người thuộc các lĩnh vực lí luận

thực hành hay nhận thức. Để giải quyết được các công việc, con người cần vận

dụng được vốn hiểu biết và kinh nghiệm xử lí các vấn đề gặp phải. Yêu cầu cốt

lõi nằm ở chỗ phải vận dụng chung nhất cho từng trường hợp cụ thể. Trong quá

trình đó, con người dần hình thành cho mình những kỹ năng giải quyết vấn đề

do mình đặt ra.

Từ điển Tiếng Việt khẳng định: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những

kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [31, tr. 426].

Theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học Sư phạm thì: “Kỹ năng

là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp) để giải

quyết một nhiệm vụ mới”. [12, tr.131]

Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng đều nói

rằng kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương

pháp…) để giải quyết một nhiệm vụ mới.

Theo [10, tr.18] trong vận dụng ta thường chú ý đến các đặc điểm của

kỹ năng:

- Kỹ năng là mặt kỹ thuật của một hay một nhóm hành động nhất định.

Khi nói đến kỹ năng là nói đến hành động đúng đắn, thành thạo nhất định, không

có kỹ năng chung chung, tách rời hành động.

- Thành phần của kỹ năng bao gồm: tri thức, kinh nghiệm, quá trình thực

hiện hành động, sự kiểm soát và hiệu chỉnh trực tiếp của ý thức, kết quả của hành

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

động.

- Tiêu chuẩn xác định sự hình thành và mức độ phát triển của kỹ năng là

tính chính xác, tính thành thạo, tính linh hoạt và kết hợp nhịp nhàng, ăn khớp với

các hành động. Hành động còn vụng về sẽ chưa thể trở thành kỹ năng.

Muốn có kỹ năng về hành động nào đó cần phải có:

 Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện,

cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động

 Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó.

 Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đặt ra.

 Có thể hành động có hiệu quả trong các điều kiện khác nhau.

 Có thể bắt chước, rèn luyện để hình thành kỹ năng nhưng phải trải qua

thời gian đủ dài [10, tr.18].

Tuy nhiên thực tiễn giáo dục cho thấy, học sinh gặp rất nhiều khó khăn

trong việc vận dụng những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được vào

giải quyết các nhiệm vụ cụ thể. Cái khó nằm ở chỗ, học sinh không phát hiện

những dấu hiệu bản chất của đối tượng, từ đó phát hiện ra những mối liên hệ bản

chất giữa tri thức đã có với đối tượng đó. Trong trường hợp này, tri thức không

biến thành công cụ của hoạt động nhận thức, và như vậy khối kiến thức mà họ

có là khối kiến thức khô cứng, không gắn với thực tiễn và không biến thành cơ

sở của kỹ năng.

Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những

thuộc tính khác nhau và những thuộc tính bản chất của sự vật. Như vậy để tri

thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn cho các hành động thì cần phải biết lựa

chọn tri thức một cách đúng đắn và hợp lý, nói cách khác, cần lựa chọn tri thức

phản ánh thuộc tính bản chất, phù hợp mục tiêu của hành động.

Trong thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy có rất nhiều học sinh thuộc lý

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

thuyết nhưng không vận dụng được lý thuyết đó vào bài tập, không có lựa chọn

nhất định nào vào bài toán nào cần giải quyết. Nguyên nhân của hiện tượng đó

là do kỹ năng chưa được hình thành.

b) Kỹ năng giải bài tập trong môn toán

Theo Nguyễn Thị Hằng kỹ năng giải bài tập trong môn Toán được quan niệm

là: “Khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải

những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi

đến lời giải của bài toán một cách khoa học” [10, tr.17].

Theo Lăng Thị Thành “ Kỹ năng giải bài tập toán của HS biểu hiện qua

các hoạt động :

- Có tri thức về hành động đó.

- Kỹ năng phân tích, tổng hợp: HS cần có kỹ năng phân tích bài toán,

thiết lập mối liên hệ và phụ thuộc giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm, liên

hệ với những tri thức đã có để tìm ra phương pháp giải đúng đắn, hiệu quả và

nhanh nhất.

- Kỹ năng thực hành: Sau khi đã phát hiện cách giải, HS cần phải tính

toán cẩn thận, chính xác. Sau đó sắp xếp các bước giải và trình bày một cách

khoa học, phải thể hiện từng bước rõ ràng, mạch lạc.

- Kỹ năng vận dụng các quy tắc suy luận logic, các định lý, tính chất, hệ

quả, mệnh đề… Yêu cầu HS vận dụng linh hoạt, chính xác, tránh máy móc.

- Kỹ năng vẽ hình, vẽ đồ thị hàm số.

- Nhóm kỹ năng tư duy: tư duy logic, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo.

- Kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn: Kỹ năng này giúp

HSnắm được bản chất kiến thức đã học, biết vận dụng kiến thức Toán

vào giải quyết các vấn đề trong cuộc sống, gây hứng thú học tập cho HS.

Tránh tình trạng hiểu vấn đề một cách hình thức, xa rời với thực tiễn.

- Kỹ năng tìm ra vấn đề và giải quyết vấn đề .

- Kỹ năng tự học, tự kiểm tra, tự đánh giá lời giải và tránh sai lầm khi giải

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

toán” [24, tr. 14].

c) Vai trò của kỹ năng giải bài tập toán

Trong các mục đích của dạy học môn Toán ở trường phổ thông thì việc

truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn thực

hiện được phải dựa trên mục đích này. Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói

chung, kỹ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối liên

hệ giữa học với hành.

Theo Nguyễn Thị Hằng “Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ

biết học thuộc lòng khái niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay

vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập. Có thể nói, bài tập toán chính

là “mảnh đất” để rèn luyện kỹ năng giải toán. Do đó, để rèn luyện kỹ năng giải

toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường tổ chức cho các em hoạt động giải

toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán)” [10, tr.18].

Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, những cách thường dùng để rèn

luyện kỹ năng giải toán cho học sinh:

Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán.

Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho yếu

tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho học sinh biết

cách phân tích đặc điểm bài toán.

Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến

thức tương ứng.

Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán.

Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách giải

với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức.

Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài

tập, các đối tượng cùng loại.

Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện

kỹ năng đóng một vai trò quan trọng góp phần bồi dưỡng tư duy toán học cho

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

học sinh.

1.3.2. Phân tích nội dung hình học ở THCS

Theo phân phối chương trình môn Toán THCS, chúng tôi đã tìm hiểu

những nội dung về phân môn hình học (phụ lục 03). Trong đó có những chủ đề

nội dung chứa đựng cơ hội khai thác yếu tố phụ như sau:

Chủ đề 1: Đường thẳng, đoạn thẳng

Đây là chủ đề cơ bản xuyên suốt chương trình hình học phổ thông vì từ

những đoạn thẳng, đường thẳng sẽ tạo ra các hình khác nhau. Ở cấp 1 ta đã làm

quen với đoạn thẳng. Rồi đến THCS mới định nghĩa về chúng. Khi giải các bài

toán hình học ta thường sử dụng mối quan hệ giữa các đường thẳng, đoạn thẳng

với nhau.

1. Tìm hoặc chứng minh mối quan hệ giữa các đường thẳng, đoạn thẳng

trong hình học phẳng (cắt nhau, song song, trùng nhau)

Phương pháp thường dùng: Sử dụng các yếu tố về góc, xét các tam giác.

Yếu tố phụ có thể dùng đến: Đuờng thẳng (đoạn thẳng trung gian) qua

việc lấy thêm các điểm đặc biệt trên đuờng thẳng (đoạn thẳng) hoặc tìm các

đường đặc biệt bằng cách qua một điểm kẻ đuờng thẳng vuông góc, song song.

2. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau hoặc tỷ lệ với nhau

Phương pháp thường dùng: Xét các tam giác chứa hai cạnh đó, tính toán

độ dài của chúng.

Yếu tố phụ có thể dùng đến: Ta có thể tạo ra tam giác đều, kẻ thêm đuờng

trung trực, xác định điểm chia trong (chia ngoài) của đoạn thẳng.

Chủ đề 2: Tam giác

Bậc tiểu học, HS đã biết cách vẽ tam giác cũng như tính đuợc chu vi, diện

tích qua những công thức cơ bản. Đến THCS các em đuợc tìm hiểu về các tính

chất của tam giác (bất đẳng thức, tổng ba góc,..) các đường đặc biệt trong tam

giác. Và mối quan hệ đặc biệt giữa các tam giác (bằng nhau, đồng dạng), định

nghĩa và tính chất của tam giác cân, vuông, đều và được mở rộng thêm các cách

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

tính diện tích, chu vi của chúng.

1. Chứng minh hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng với nhau

Phương pháp thường dùng: Tìm mối quan hệ giữa các cạnh, các góc của

hai tam giác.

Yếu tố phụ có thể dùng đến: Tạo ra các đường thẳng song song (để áp

dụng định lý Ta- lét, các góc bằng nhau), tạo ra các đường vuông góc (để áp

dụng định lý Py- ta- go, xuất hiện tam giác vuông).

2. Tính chu vi, diện tích, bán kính đường tròn nội (ngoại) tiếp tam giác.

Phương pháp thường dùng: Tìm các yếu tố liên quan đến công thức tính

các đại lượng trên.

Yếu tố phụ có thể dùng đến: Vẽ đường tròn nội (ngoại tiếp) tam giác.

Thông qua đó tìm ra bán kính đuờng tròn. Kẻ thêm một số đường đặc biệt trong

tam giác.

Chủ đề 3: Tứ giác

Cũng như với chủ đề tam giác, các em HS được làm quen với các hình tứ

giác đặc biệt: Hình thang, hình vuông, hình chữ nhật và tính được chu vi, diện

tích của chúng ở cấp tiểu học. Và được trang bị thêm dấu hiệu nhận biết, định

nghĩa, tính chất về chúng trong chương trình hình học THCS. Và học thêm về

các hình: Hình bình hành, hình thoi, hình lục giác đều,ngũ giác đều,…Mối quan

hệ giữa các tứ giác đó.

Ví dụ: HS có thể nhận xét được hình vuông là hình thoi nhưng hình thoi

chưa chắc đã là hình vuông.

1. Xác định (chứng minh) dạng của tứ giác (hình thang, hình chữ nhật,

hình vuông, hình bình hành, hình thoi)

Phương pháp thường dùng: Dựa vào dấu hiệu nhận biết. Chứng minh (tìm)

hình thoả mãn dấu hiệu nhận biết đó.

Yếu tố phụ có thể dùng đến: Tạo ra các đoạn thẳng tỷ lệ, song song, vuông

góc với nhau.

2. Tính chu vi, diện tích của tứ giác

Phương pháp thường dùng: Tìm các yếu tố liên quan đến công thức tính

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

các đại lượng trên.

Yếu tố phụ có thể dùng đến: Các đường thẳng vuông góc, nối các điểm.

Chủ đề 4: Đường tròn

Đối với THCS, ngoài ôn lại kiến thức về đường tròn: Số pi, bán kính,

đường kính, chu vi và diện tích đã học ở tiểu học. HS sẽ biết đầy đủ về tính chất

của các yếu tố liên quan với đường tròn: dây cung, góc nội tiếp, tiếp tuyến, cung

chứa góc, tiếp tuyến, ... cũng như cách tính giá trị của chúng.

Cách vẽ đường tròn dựa vào các điểm đặc biệt trong tam giác (giao điểm

của 3 đường phân giác, trung trực) hay đường tròn nội (ngoại) tiếp tứ giác.

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp đuợc

Phương pháp thường dùng: Chứng minh 2 góc nội tiếp chắn một cung

bằng nhau, tổng hai góc đối bằng 180°, các điểm cách đều một điểm, …

Yếu tố phụ có thể dùng đến: Qua các điểm đã biết kẻ thêm đường tròn, kẻ

thêm tiếp tuyến, đường kính (tạo ra các góc mới).

2. Tính chu vi, diện tích của đường tròn

Phương pháp thường dùng: Tìm bán kính hoặc đường kính.

Yếu tố phụ có thể dùng đến: Tạo ra yếu tố vuông góc (cho đường kính

vuông góc với dây) từ đó tìm bán kính.

Trong số những dạng toán hình học kể trên, trong luận văn này, chúng tôi

tập trung vào những dạng bài tập sau:

1. Bài toán chứng minh họ các đuờng thẳng đi qua một điểm cố định hay

tiếp xúc với một đuờng tròn cố định;

2. Chứng minh đẳng thức hình học;

3. Tính chu vi và diện tích của tam giác, tứ giác, hình tròn;

4. Tính độ dài của đoạn thẳng, số đo góc;

5. Chứng minh quan hệ bằng nhau giữa các đoạn thẳng, quan hệ vuông

góc, song song giữa các đường thẳng.

Năm dạng bài tập trên đều là những dạng bài tập cơ bản trong chương

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

trình hình học THCS. Có thể dễ dàng bắt gặp trong sách giáo khoa, sách bài tập.

Phù hợp với trình độ nhận thức của HS khá, giỏi hiện nay nên việc áp dụng biện

pháp sư phạm trong năm dạng này sẽ có tính khả thi cao.

1.3.3. Vai trò của việc khai thác yếu tố phụ trong giải bài tập hình học

Trong khi tìm lời giải của bài toán hình học, có bài toán có thể tìm được

nhiều cách giải khác nhau, có bài toán thì chỉ tìm được một số ít cách giải, và có

những bài toán tuy không phải là khó những nếu chỉ sử dụng tường minh những

dữ kiện đề bài cho thì HS sẽ gặp khó khăn.

Khai thác thêm những yếu tố phụ là một con đường hữu ích để giải toán

hình học, giúp cho HS có thể giải được các bài toán mà khi giải bằng các phương

pháp thông thường gặp khó khăn. Đó là những bài toán mà HS chưa thể chuyển

về các bài toán quen thuộc hoặc tách thành những bài toán đã biết.

Do đó, HS phải phân tích và nhìn nhận bài toán dưới những khía cạnh khác

nhau, khai thác dữ kiện tiềm ẩn trong các yếu tố đề bài đã cho để từ đó khéo léo

tìm ra yếu tố phụ hợp lý làm tăng các dữ kiện bài toán để có thể quy lạ về quen,

đơn giản hóa bài toán.

Qua việc vẽ yếu tố phụ giúp việc giải toán trở nên dễ dàng, thuận lợi

hơn, đôi khi còn đưa ra được lời giải độc đáo, ngắn gọn mang tính phát triển bài

toán góp phần phát triển các năng lực tư duy cho HS.

Tóm lại, vai trò của việc khai thác yếu tố phụ trong việc giải bài tập hình

học được thể hiện như sau:

- Giúp giải được một số bài toán hình học mà nếu không vẽ thêm yếu tố

phụ sẽ gặp bất lợi.

- Tìm đuợc các cách giải khác, trình bày lời giải một số bài toán được gọn

hơn.

- Giúp cho việc nghiên cứu sâu bài toán.

Ví dụ 1.3 [21, tr.30]: Cho đường tròn (O, R), AC và BD là hai đường kính.

Xác định vị trí của hai đường kính AC và BD để diện tích tứ giác ABCD lớn

nhất.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Cách 1: (không kẻ thêm đường phụ)

(Xem hình 1.2)

Ta kí hiệu SABCD: Diện tích tứ giác ABCD.

Tứ giác ABCD có OA= OC=R và OB = OD = R nên là hình bình hành

Mà AC = BD = 2R A B

⟹ Tứ giác ABCD là hình chữ nhật

⟹ SABCD = AB.BC O

C

Theo bất đẳng thức Cô- si ta có D AB2 + BC2 ≥ 2.AB.BC

Hình 1.3

Có AB2 + BC2= AC2 = 4R2 (định lý Py- ta- go)

không đổi.

Vậy SABCD lớn nhất khi AB2 = BC2⇔ AB = BC.

Hình chữ nhật ABCD có hai cạnh bên bằng nhau là hình vuông, nên hai

đường chéo vuông góc.

Vậy hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn nhất khi: AB = BC ⇔ AC  BD.

Ở cách làm này, HS sẽ gặp phải khó khăn sau:

Từ công thức tính SABCD HS liên hệ với bất đẳng thức Cô- si. Và khi xét

trường hợp xảy ra dấu “=” thì tiếp tục vận dụng định lý Py- ta- go trong tam giác

vuông. Việc làm này đòi hỏi HS phải linh hoạt, chắc kiến thức. Đồng thời cũng

mất nhiều thời gian.

A B Cách 2: (kẻ thêm đường phụ)

Phân tích bài toán

O H Dễ nhận ra tứ giác ABCD là hình chữ nhật, do

C

D đó SABCD= AB.AD. Mặt khác ∆ABD vuông tại A có

BD không đổi, AH là đường cao, ta có: Hình 1.4

SABCD= AH.2R nên SABCD (max) ⇔ AH (max)

Đường cao AH của ∆ABD là “chìa khóa” để giải bài toán => kẻ đường cao

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

AH.

Lời giải

1 AH.BD. 2

Kẻ AH  BD (H ∈ BD); SABD =

Mà ABCD là hình chữ nhật ⟹ SABCD = 2SABD = AH.BD

Vì AH ≤ AO, DB= 2R nên SABCD ≤ 2R2 (không đổi).

Dấu “=” xảy ra ⇔ AC  BD. Vậy khi hai đường kính AC và BD vuông

góc với nhau thì diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.

Ví dụ này chứng tỏ việc vẽ thêm hình phụ không những đưa ra được lời

giải ngắn gọn hơn mà với việc không cần sử dụng đến bất đẳng thức Cô – Si hay

định lý Py-ta-go làm cho lời giải trở nên đơn giản hơn so với cách giải không kẻ

thêm hình phụ.

Ví dụ 1.4: Cho hình thang ABCD (AB // DC) có đường cao bằng 4cm,

đường chéo BD = 5cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Tính

diện tích hình thang ABCD.

Phân tích (Xem hình 1.3): Với giả thiết hai đường chéo AC và BD vuông

góc với nhau và độ dài BD cho trước.Ta sẽ nghĩ ngay đến công thức SABCD = ½

AC.BD .Nhiệm vụ đặt ra là phải tính AC. Khi thử các cách (xét các tam giác

vuông, xét các tam giác chứa AC,…) đều không thu được kết quả. Đến đây, sẽ

xuất hiện nhu cầu sử dụng yếu tố phụ.

Nhận xét:

Nhận thấy rằng đường phụ BE // AC, E DC

Sẽ giúp ta tính được AC

Bài giải

+ Từ B kẻ BE song song với AC (E DC)

⟹ ABEC là hình bình hành.

Hình 1.5 ⟹ AC = BE

Vì BE // AC; BD ⏊ AC ⟹ BD ⏊ BE

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

∆ DBE vuông tại B có BH là đường cao

= (cm) ⟹

(cm). ⟹ AC = BE =

Vậy

1.3.4. Yêu cầu của việc khai thác yếu tố phụ trong giải bài tập hình học

Việc khai thác yếu tố phụ nhằm đạt được mục đích là tìm cách giải quyết

bài toán; làm cho bài toán trở nên dễ dàng hơn; đưa ra được những lời giải hay,

độc đáo, sáng tạo. Song công việc sáng tạo này không thể tùy tiện mà luôn phải

tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản sau:

 Các phép dựng hình cơ bản

1) Các hình đã cho là dựng được.

2) Đường thẳng đi qua hai điểm dựng được là dựng được.

3) Đường tròn nếu có tâm và bán kính dựng được là dựng được.

4) Giao điểm (nếu có) của hai hình là dựng được.

5) Những điểm tùy ý trên mặt phẳng thuộc hay không thuộc hình đã dựng

được là dựng được.

Mọi phép dựng khác bằng thước và compa đều phải quy về 5 phép dựng

hình cơ bản này.

1) Dựng đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước (Hình 1.6)

Cho trước đọan thẳng a. Dựng đoạn a thẳng AB = a

Cách dựng

d - Dựng một đường thẳng d bất kỳ và . A B trên d lấy điểm A bất kì

- Lấy A làm tâm dựng một cung tròn Hình 1.6

bán kính bằng a.

- Lấy giao điểm B của đường thẳng d với cung tròn tâm A bán kính a.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

- Đoạn thẳng AB là đoạn thẳng cần dựng.

2) Hãy vẽ góc x’O’y’ bằng góc xOy (Hình 1.7)

Cách dựng x Lần lượt lấy điểm A và B A .

trên tia Ox và Oy.

O Vẽ tia O’x’ bất kì. Vẽ cung y . B tròn tâm O’ bán kính OA, cắt tia x'

O’x’ tại A’ A’

Vẽ cung tròn tâm O’ bán

A~

O’ ’

kính OB.

. B’

y' Vẽ cung tròn tâm A’, bán

Hình 1.7 kính AB cắt cung tròn tâm O’ bán

kính OB tại điểm B’. Vẽ tia O’y’ đi qua B. Góc

x’O’y’ là góc cần vẽ.

3) Qua điểm O cho trước, dựng đường

d thẳng d vuông góc với đường thẳng a cho trước

. O (Hình 1.8) a

Cách dựng: A B Dựng đường tròn (O; r).

Dựng giao điểm A, B của (O; r) và a.

I Hình 1.8 Dựng các đường tròn (A; r’) và (B; r’).

Dựng giao điểm I của (A; r’) và (B; r’).

Dựng đường thẳng đi qua O và I. OI chính là đường thẳng d cần dựng

x 4) Dựng tia phân giác Oz của một

B

góc xOy cho trước (Hình 1.9)

/

/

/

/ r

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Cách dựng: r r Dựng đường tròn (O; r) cắt Ox ở B, z D O cắt Oy ở C. r C y Dựng đường tròn (B; r) và (C; r) cắt Hình 1.9 nhau ở D.

Tia OD là tia phân giác của góc xOy

1.3.5. Một số kỹ năng khai thác yếu tố phụ trong giải bài tập hình học

Có 4 loại yếu tố phụ thường được khai thác: Điểm, đường thẳng, tam giác,

đường tròn. Ngoài ra còn có yếu tố phụ là tứ giác. Thực chất nó đã được hàm

chứa trong các yếu tố phụ khác.

Vì mỗi kỹ năng đều gắn liền với từng hoạt động cụ thể, nên trong phạm vi

luận văn này, chúng tôi tiếp cận các kỹ năng khai thác yếu tố phụ trong giải bài

tập hình học bằng cách gọi tên từng kỹ năng thông qua tên hoạt động tương ứng

theo phân loại các yếu tố phụ.

a) Yếu tố phụ: Điểm

1. Kỹ năng 1:Xác định giao điểm của các đường thẳng hoặc đường thẳng

với đường tròn

2. Kỹ năng 2: Vẽ điểm chia trong hoặc chia ngoài của một đoạn thẳng

b) Yếu tố phụ: Đường thẳng

1. Kỹ năng 1: Nối hai điểm cho trước

2. Kỹ năng 2: Dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước từ

một điểm đã cho

3. Kỹ năng 3: Dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước từ

một điểm đã cho

4. Kỹ năng 4: Vẽ thêm đường phân giác

5. Kỹ năng 5: Vẽ thêm đường trung tuyến

6. Kỹ năng 6: Vẽ thêm đường kính

7. Kỹ năng 7: Vẽ thêm tiếp tuyến của đường tròn

8. Kỹ năng 8:Vẽ tiếp tuyến chung hoặc đường nối tâm của hai đường tròn

tiếp xúc nhau

9. Kỹ năng 9: Vẽ thêm dây chung

c) Yếu tố phụ: Tam giác

1. Kỹ năng 1: Vẽ thêm tam giác đều

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

d) Yếu tố phụ: Đường tròn

1. Kỹ năng 1: Vẽ thêm đường tròn dựa vào các điểm đã cho

2. Kỹ năng 2: Vẽ đường tròn nội hoặc ngoại tiếp tam giác, tứ giác

1.4. THỰC TRẠNG GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG THCS VÀ VẤN ĐỀ

KHAI THÁC YẾU TỐ PHỤ

Để nắm được việc rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ cho HS khá,

giỏi THCS trong dạy học giải bài tập hình học vào thực tiễn ở một số trường

THCS của tỉnh Ninh Bình, để đảm bảo tính thực tế và khách quan, tôi đã tiến

hành điều tra thăm dò ở hai đối tượng là 9 GV trực tiếp giảng dạy môn toán và

92 HS có lực học khá, giỏi trong học kỳ 1 năm học 2018- 2019 của hai khối 7, 8

trường THCS Gia Vân, huyện Gia Viễn, tỉnh Ninh Bình.

Cách thức điều tra:

- Quan sát, phỏng vấn HS về những vấn đề: Sự quan tâm, hứng thú; kiến

thức và kỹ năng giải bài tập hình học của HS; những khó khăn, sai sót của HS

trong giải bài tập hình học; hiểu biết và kỹ năng của HS về việc vẽ và sử dụng

yếu tố phụ trong học hình học;

- Quan sát, phỏng vấn GV về những vấn đề: Sự quan tâm chú trọng việc giúp

HS khai thác yếu tố phụ trong DH hình học; GV đánh giá hiểu biết và kỹ năng của

HS về việc vẽ và sử dụng yếu tố phụ trong học hình học; Những khó khăn hạn chế

của GV trong việc khai thác yếu tố phụ khi dạy giải bài tập hình học.

- Sử dụng phiếu điều tra dưới dạng các câu hỏi trắc nghiệm và tự luận đối

với giáo viên (phụ lục 01) và đối với học sinh (phụ lục 02).

1.4.1. Kết quả và đánh giá tình hình GV rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố

phụ cho học sinh

Tổ Toán - Lí trường THCS Gia Vân gồm 9 giáo viên. Các thầy cô đều có

trình độ đạt chuẩn và trên chuẩn, trong đó có một thầy giáo có trình độ thạc sĩ,

hầu hết các thầy cô đều có tâm huyết với nghề, dày dặn kinh nghiệm giảng dạy,

có thâm niên công tác. Sau khi phát phiếu điều tra (phụ lục 01) cho 9 thầy cô, tôi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

thu được kết quả như sau:

Bảng 1.1. Kết quả tình hình GV rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ

cho học sinh

Câu Đáp án Tần số Tần suất (%)

A 2 22,2

B 2 22,2 1 C 5 55,6

D 0 0

A 1 11,1

B 1 11,1 2 C 3 33,3

D 4 44,5

A 3 33,3

3 B 5 55,6

C 1 11,1

A 2 22,2

4 B 4 44,5

C 3 33,3

A 5 55,6 5 B 4 44,4

Chúng tôi đã thu được kết quả như sau:

Câu 1: Trong dạy học giải bài tập hình học thầy (cô) có quan tâm đến việc

rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ cho HS khá, giỏi hay không?

Qua kết quả điều tra cho thấy mức độ quan tâm của các thầy (cô) giáo đối

với vấn đề này chưa được cao. Cụ thể, tỷ lệ phần trăm GV rất quan tâm là 22,2%,

quan tâm là 22,2%, tỷ lệ GV ít quan tâm chiếm tới 55,6%. Tỷ lệ không quan tâm

là 0%.

Câu 2: Trong giảng dạy thầy (cô) có thường xuyên nghiên cứu các biện

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

pháp rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ cho HS khá, giỏi hay không?

Kết quả thu được cho thấy GV thường xuyên nghiên cứu các biện pháp

rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ cho HS chỉ chiếm 11,1%. Thỉnh thoảng

chiếm 11,1%. Ít khi là 33,3% và tỷ lệ GV không nghiên cứu chiếm 44,5%.

Câu 3: Theo thầy (cô) việc rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ có bổ

ích cho HS không?

Hầu hết các thầy cô đều đánh giá cao vai trò của việc rèn luyện kỹ năng

khai thác yếu tố phụ cho HS. 33,3% ý kiến cho rằng việc làm này là rất bổ ích.

Bổ ích chiếm 55,6%. Chỉ có 11,1 % đánh giá là không bổ ích.

Câu 4: Theo thầy (cô) việc rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ phù

hợp với đối tượng nào?

Kết quả cho thấy đã có 22,2% GV cho rằng việc rèn luyện kỹ năng khai

thác yếu tố phụ phù hợp với HS từ trung bình trở lên. 44,5% GV chọn đối tượng

là HS khá, giỏi. 33,3% lại cho rằng chỉ có HS giỏi mới phù hợp.

Câu 5: Theo thầy (cô), trong việc kiểm tra, đánh giá HS đối với môn Toán

hiện nay có nên tăng thêm các bài toán mà việc giải nó cần sử dụng yếu tố phụ

hay không?

55,6% GV đồng ý với cách làm này. Số GV không đồng ý chiếm tỷ lệ còn

lại.

Phần câu hỏi tự luận GV cho biết trong quá trình giảng dạy vẫn chưa chú

trọng việc rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ cho HS khá, giỏi nhiều, thường

chỉ tập trung vào dạy hết lí thuyết, chữa các bài tập trong sách giáo khoa, sách

bài tập, có cho HS làm thêm bài tập bên ngoài .Tuy nhiên, lượng bài tập có sử

dụng yếu tố phụ không nhiều. Nguyên nhân là GV phải đảm bảo chuẩn kiến thức,

kỹ năng, trung thành với SGK, trình độ giữa các HS không đồng đều.

1.4.2. Kết quả và đánh giá kỹ năng khai thác yếu tố phụ trong giải toán hình

học của học sinh

Phiếu điều tra gồm năm câu (phụ lục 02). Tiến hành điều tra 92 HS có lực

học khá, giỏi của khối 7, 8 trong học kỳ 1 năm học 2018 - 2019 của trường THCS

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Gia Vân, huyện Gia Viễn, tỉnh Ninh Bình. Kết quả thu được như sau:

Bảng 1.2. Kết quả kỹ năng khai thác yếu tố phụ trong giải bài toán hình

học của học sinh

Câu Đáp án Tần số Tần suất (%)

A 15 16,3

B 20 21,7 1 C 17 18,5

D 40 43,5

A 60 65,2 2 B 32 34,8

A 10 10,9

3 B 32 34,8

C 50 54,3

A 14 15,2

4 B 55 59,8

C 23 25

Qua điều tra, chúng tôi thu được kết quả

Câu 1: Em có được các thầy cô dạy về các yếu tố phụ trong hình học hay

không?

Kết quả cho thấy các thầy, cô đã có sự chủ động trong việc dạy yếu tố phụ

trong hình học cho HS. Tuy nhiên mức độ thường xuyên chỉ chiếm 16,5%.

Thỉnh thoảng là 21,7%. Tỷ lệ phần trăm của ít khi và không dạy lần lượt chiếm

18,5% và 43,5%.

Câu 2: Em có muốn rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ trong giải bài

tập hình học hay không?

Đa số các em đều mong muốn được rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Tỷ lệ này chiếm tới 65,2%.

Câu 3: Em có thường xuyên sử dụng yếu tố phụ trong giải bài tập hình

học hay không?

Kết quả cho thấy đa số HS vẫn chưa chủ động sử dụng yếu tố phụ trong

giải các bài tập hình học. Cụ thể, 54,3 % HS chọn phương án “không sử dụng”.

Chỉ có 10,9% HS thường xuyên sử dụng và số HS thỉnh thoảng sử dụng chiếm

tỷ lệ còn lại.

Câu 4: Mức độ hứng thú của em khi tiết học có các bài toán mà việc giải

nó cần sử dụng yếu tố phụ?

Có 15,2% HS đánh giá các tiết học có các bài toán mà việc giải nó cần sử

dụng yếu tố phụ rất hứng thú. 59,8% HS cảm thấy hứng thú. Số HS không hứng

thú chiếm 25%. Điều này cho thấy việc đưa yếu tố phụ trong các bài toán hình

học có khả năng thu hút sự chú ý, tập trung của HS.

Với câu hỏi tự luận HS cho biết các em gặp khó khăn trong việc tìm yếu

tố phụ trong các bài tập hình học mà nguyên nhân chủ yếu là chưa biết cách phân

tích giả thiết của bài toán, khó khăn trong việc tìm mối liên hệ giữa giả thiết và

kết luận, chưa nắm được các kỹ năng ứng với mỗi loại yếu tố phụ.

1.4.3. Đánh giá chung

Nhìn chung, một số GV và bộ phận HS khá, giỏi đều đã có sự quan tâm

tới yếu tố phụ trong hình học cũng như nhận thức được lợi ích của chúng. Qua

tài liệu, kinh nghiệm thực tế chuyên môn, trao đổi với đồng nghiệp. Đã có một

số GV nghiên cứu các biện pháp rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ cho HS.

Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy, GV chỉ thỉnh thoảng sử dụng các biện pháp

đó vào rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ cho HS khá, giỏi. Nên chưa đạt

được hiệu quả cao trong việc nâng cao chất lượng HS cũng như kiểm nghiệm

được tính đúng đắn của các biện pháp.

Trong quá trình dạy học giải bài tập hình, GV thường chỉ dạy qua kiến

thức và bài tập trong sách giáo khoa ở mức độ áp dụng kiến thức cơ bản trong

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

bài. Khi giao bài tập mở rộng cho HS khá, giỏi. GV ít khi hướng HS tới nhiều

cách giải khác, và số lượng bài tập đòi hỏi phải vẽ thêm yếu tố phụ để giải

chiếm số lượng ít. Dựa vào đặc điểm các đối tượng HS, đại đa số GV cho rằng

HS khá, giỏi là đối tượng phù hợp để rèn luyện các biện pháp khai thác yếu tố

phụ.

Về phần HS, tuy đa số các em cảm thấy hứng thú khi tiết học có những

bài toán mà việc giải nó cần yếu tố phụ. Nhưng chỉ số ít chủ động sử dụng yếu

tố phụ khi giải bài tập hình. Và tâm lý ngại giải những bài toán có sử dụng yếu

tố phụ diễn ra không chỉ với HS bình thường mà ngay cả với HS có lực học khá,

giỏi. Điều này thường xuất phát từ những vấn đề sau:

Thứ nhất là do các em chưa hiểu hết mục đích, ý nghĩa của việc khai thác

yếu tố phụ nên chưa có định hướng đúng để vẽ;

Thứ hai là HS chưa nắm được các loại yếu tố phụ thường vẽ dẫn đến vẽ

một cách tùy tiện, không giúp ích cho việc chứng minh;

Thứ ba là vẽ thêm yếu tố phụ không tuân theo các phép dựng hình cơ bản

và các bài toán dựng hình cơ bản.

Với tầm quan trọng của kỹ năng khai thác yếu tố phụ trong giải bài tập

hình học đối với HS nên GV cần rèn luyện kỹ năng này cho HS khá, giỏi để nâng

cao chất lượng giáo dục.

1.5. KẾT LUẬN CHUƠNG 1

Trong chương 1 chúng tôi đã làm rõ một số vấn đề về dạy học giải bài tập

toán cho HS khá, giỏi THCS và các căn cứ lý luận về kỹ năng khai thác yếu tố

phụ trong giải bài tập hình học THCS. Qua đó thấy được vai trò, yêu cầu của

việc khai thác yếu tố phụ, tìm ra được cơ hội khai thác yếu tố phụ trong các chủ

đề hình học cơ bản trong chương trình Toán THCS. Đặc biệt, từ thực trạng giải

bài tập hình học và vấn đề khai thác yếu tố phụ đã phần nào thấy được những

khó khăn, thuận lợi của việc rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ cho HS khá,

giỏi trong dạy học giải bài tập hình học. Đó chính là những cơ sở quan trọng giúp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

tôi xây dựng những biện pháp sư phạm.

Chương 2

MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG KHAI THÁC

YẾU TỐ PHỤ CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRUNG HỌC CƠ SỞ

TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC

2.1. MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG SƯ PHẠM ĐỂ ĐỀ XUẤT CÁC BIỆN PHÁP

Với mục đích giúp GV và HS rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ trong

DH giải bài tập Hình học THCS, chúng tôi xây dựng các biện pháp dựa trên

những định hướng sau:

Định hướng 1. Các biện pháp dựa trên sự phân loại các yếu tố phụ

Mỗi loại yếu tố phụ khác nhau sẽ có đặc điểm, tác dụng, cách tạo ra và

khai thác khác nhau. Vì thế việc phân loại yếu tố phụ là rất cần thiết. Từ đó, các

biện pháp rèn luyện phù hợp với mỗi loại yếu tố phụ.

Định hướng 2. Dựa trên những khó khăn, lúng túng của HS khi cần sử

dụng yếu tố phụ

Trong thực tế, HS thường gặp khó khăn do không biết tác dụng của yếu tố

phụ cũng như cách phân tích để tìm ra chúng. Biện pháp sẽ phải khắc phục những

thiếu sót của HS về hiểu biết lẫn kỹ năng khai thác yếu tố phụ trong giải bài tập

hình học.

Định hướng 3. Tôn trọng nội dung chương trình hình học ở THCS

Rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ cho HS khá, giỏi được đặt trong

phạm vi hình học THCS. Nên các biện pháp phải phù hợp với nội dung chương

trình hiện nay, lấy nội dung gốc trong chương trình SGK có bổ sung nâng cao ở

mức độ phù hợp.

Định hướng 4. Dựa trên nguyên tắc phù hợp với đặc điểm của HS khá,

giỏi THCS

Biện pháp rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ tác động đến HS có lực

học khá, giỏi. Mà những đối tuợng này có những đặc trưng riêng. Vì thế các biện

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

pháp phải phù hợp với HS khá, giỏi.

2.2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG KHAI THÁC YẾU TỐ PHỤ CHO

HS KHÁ, GIỎI THCS TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC

2.2.1. Biện pháp 1: GV chủ động dạy cho HS một số cách tìm ra yếu tố phụ

trong bài toán hình học

Một trong những khó khăn đối với HS là đầu tiên các em phải tìm ra

được yếu tố phụ chứa đựng trong bài tập. Tuy nhiên, HS khá, giỏi chỉ quen

với kiến thức và kỹ năng thông thường. Khi gặp bài toán chưa thể đưa về dạng

quen thuộc, mà nếu không biết cách vẽ thêm thì sẽ gặp khó khăn. Vì vậy, trước

hết, GV cần tổ chức những tình huống DH giúp HS tìm ra yếu tố phụ cần khai

thác trong bài toán hình học.

Đối với bài tập hình học ở THCS, có một số cách sau đây để giúp HS xác

định được yếu tố phụ:

2.2.1.1. Nhận diện bài toán và đưa về những dạng các bài toán đã gặp

Các bài toán mà HS chưa thể chuyển về các bài toán quen thuộc hoặc tách

thành những bài toán đã biết thường phải sử dụng yếu tố phụ. Vì vậy, để giải

những bài toán hình học phải kẻ thêm yếu tố phụ ta thường sử dụng phương pháp

là thể hiện các tình huống hình học phù hợp với một định nghĩa, định lý hay bài

toán quen thuộc nào đó. Vì vậy GV có thể hướng dẫn HS nhận diện bài toán và

đưa về những dạng các bài toán đã gặp để giải được những bài tập dạng này.

Những tình huống nghĩ đến và sử dụng cách xác định yếu tố phụ này:

chúng ta sẽ gặp những dấu hiệu quen thuộc, từ những dấu hiệu đó hãy cố gắng

liên hệ với những bài toán đã giải, những định lý, tính chất đã được chứng minh

hoặc ta đã biết cách giải, và sử dụng những kết quả quen thuộc đã biết đó để giải

bài toán mới này.

Cách thức thực hiện hoạt động này: Nhận diện bài toán và dùng thao tác

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

quy lạ về quen.

Ví dụ 2.1: Cho ∆ABC cân tại A. Lấy trên AB kéo dài một đoạn BD= AB.

1 CD. 2

Gọi CE là trung tuyến của tam giác ABC. Chứng minh rằng CE=

Phân tích (Xem hình 2.1):

Từ kết luận của bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD.

Muốn chứng minh một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trong

các cách làm cơ bản là chia đôi đoạn thẳng kia và chuyển về bài toán chứng minh

hai đoạn thẳng bằng nhau.

A

Gọi M là trung điểm của CD ta

có CM = MD, vậy phải chứng minh

CE = CM hoặc CE = DM. E

Chọn CE = DM.Từ sự phân

B C tích tổng hợp ta nối B với M.

/ Ta suy ra nếu chứng minh

M được ∆EBC = ∆MBC thì ta có được /

điều phải chứng minh. D

Hình 2.1

Việc hướng dẫn

HS kẻ đường phụ ta dựa vào sự phân tích trên, ta có thể đưa ra cho học

sinh các câu hỏi gợi mở, ví dụ:

Với M là trung điểm của CD, em nào cho biết CE và CM là các cạnh của

tam giác nào?

Vậy để chứng minh CE = CM ta kẻ thêm đường phụ nào?

Với HS khá, giỏi ta có thể hỏi: Để chứng minh CE= CM ta phải chứng

minh điều gì?

Bài giải:

Gọi M là trung điểm của DC

Xét ∆EBC và ∆MBC có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

BC chung (1)

Vì MD= MC (GT); DB= BA (GT)

AC

AB

⟹ BM là đường trung bình của ∆ADC

2

2 Vì MBĈ = Ĉ (hai góc so le trong)

= = BE (2) ⟹ BM=

Mà Ĉ = B̂ (∆ABC cân)

⟹ MBĈ = B̂ (3)

Từ (1) (2) (3) ⟹ ∆EBC = ∆MBC (c.g.c)

DC

⟹ EC = MC (hai cạnh tương ứng)

2

(Đpcm) Hay EC =

2.2.1.2. Kẻ thêm yếu tố phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối

liên hệ để giải bài toán

Khi giải bài tập hình học, HS thường gặp khó khăn trong việc tìm mối

liên hệ giữa các giả thiết hoặc giữa giả thiết với kết luận. Mà một trong những

mục đích quan trọng của yếu tố phụ là tạo ra sự liên kết tường minh các mối quan

hệ toán học giữa các điều kiện đã cho với điều kiện cần phải tìm. Hay nói cách

khác là kẻ thêm yếu tố phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối liên

hệ để giải toán.

Những tình huống nghĩ đến và sử dụng cách xác định yếu tố phụ này: Khi

xuất hiện sự so sánh giữa các đoạn thẳng, các góc, chu vi, diện tích các hình.

Cách thức thực hiện hoạt động này: Nhận diện bài toán và dùng cách xét

tương tự để tạo ra yếu tố phụ có mối liên hệ với những đại lượng cần so sánh.

Đây chính là đối tượng trung gian “thứ 3” giúp việc giải quyết bài toán trở nên

dễ dàng hơn.

Ví dụ 2.2: Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm cạnh CD và N là

một điểm trên đường chéo AC sao cho BNM̂ = 900. Gọi F là điểm đối xứng của

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

A qua N. Chứng minh rằng FB  AC.

Phân tích (Xem hình 2.2):

Ta thấy BFĈ là 1 góc của ∆BFC đối E B C chiếu với định lý tổng ba góc của một tam

giác. M I O ô F . N

Ta có: FBĈ + BFĈ + BCF̂ = 1800, nhưng ta chưa thể tính được FBĈ + BCF̂ D A Hình 2.2

bằng bao nhiêu độ nên không thể suy ra được số đo góc BFĈ . Vậy không thể vận dụng định lý để chứng minh.

Nhưng bài toán cho ta các giả thiết liên quan đến góc vuông và trung điểm

của đoạn thẳng, ta có thể liên kết các giả thiết đó lại không? Đó là câu hỏi lớn mà

GV nên đặt ra cho HS và hướng dẫn HS có thể tự đặt ra câu hỏi tương tự.

Liệu BF có là đường cao của ∆BNC được không?

Để chứng minh BF là đường cao của ∆BNC ta phải chứng minh BF đi qua

điểm đặc biệt nào trong tam giác? Từ đó, ta suy ra việc chứng minh BF đi qua

trực tâm của ∆BNC.

Do sự phân tích tổng hợp ta đi đến việc dựng NE  BC tại E nhằm tạo ra điểm

O là giao của NE và BF để chứng minh O là trực tâm của ∆BNC.Từ sự phân tích

trên ta có thể dựa vào đó để đưa ra các câu hỏi gợi mở cho HS, chẳng hạn:

Để chứng minh BF vuông góc với AC ta có thể chứng minh BF là đường

gì của ∆BNC?

Để chứng minh BF đi qua trực tâm của ∆BNC thì ta phải có điểm nào?

Ta phải kẻ thêm đường phụ nào để có một điểm là giao của BF với một

đường cao của ∆BNC?

Với NE là đường cao của ∆BNC và NE giao BF tại O. Ta chứng minh I

có tính chất gì ?

Bài giải

Kẻ NE  BC. E∈BC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

NE cắt BF tại O và CO cắt BN tại I. Ta sẽ chứng minh CI  BN

để suy ra O là trực tâm.

Ta có ON  BC; AB  BC

⟹ ON // AB. Mà NA = NF nên ON là đường trung bình của ∆BFA.

⟹ ON // AB // CM và ON=1/2 AB = CM

⟹ ONMC là hình bình hành

⟹ OC // NM hay CI // NM mà NM  BN

⟹ CI  BN

⟹ O là trực tâm của ∆ BCN hay BFAC (Đpcm)

2.2.1.3. Dựa vào biến đổi đại số để xác định yếu tố phụ

Trong hình học có một số định lý, tính chất được biểu hiện dưới dạng các

biểu thức đại số. Trong các bài toán thì những biểu thức này thường tồn tại ẩn

tàng, chưa ở dạng quen thuộc nên chúng ta phải biến đổi để đưa chúng về dạng

quen thuộc. Từ đó xác định được yếu tố phụ phù hợp với biểu thức đại số đó.

Qua đó, HS sử dụng được các định lý, tính chất vào bài toán.

Những tình huống nghĩ đến và sử dụng cách xác định yếu tố phụ này: Đối

với những bài tập mà kết quả cần tìm (hoặc cần chứng minh) liên quan đến đại

lượng, biểu thức, công thức hình học, ta có thể liên tưởng đến và tìm những yếu

tố phụ tạo ra tình huống, đối tượng thỏa mãn điều kiện - giả thiết của định lý,

tính chất,...

Cách thức thực hiện hoạt động này: Dùng các biến đổi tương đuơng trong

đại số để đưa kết quả cần tìm về dạng quen thuộc.

Ví dụ 2.3: Cho ∆ABC có Â = 2B ̂ . Chứng minh rằng BC2 = AC2 + AC.AB

Phân tích (Xem hình 2.3):

Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đến công

thức cần chứng minh?

Câu trả lời đầu tiên sẽ là định lý Py- ta- go vì công thức của nó rất gần với

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

công thức này, ở đây GV cần hướng dẫn học sinh loại bỏ ý định cần sử dụng

định lý Py-ta-go vì không tạo ra góc vuông liên quan đến độ dài ba cạnh luôn

được

Ngoài định lý Py-ta-go còn có cách làm khác không?

Hướng suy nghĩ sẽ chuyển sang định lý Talet và tam giác đồng dạng

Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đưa về tỷ số mà có thể

dùng tam giác đồng dạng.

Đến đây giáo viên có thể yêu cầu học sinh đưa về bài toán quen thuộc của

việc chứng minh hệ thức ab= cd dựa vào tam giác đồng dạng bằng cách tạo ra

/

một đoạn thẳng bằng AB + AC. D Từ đó HS đưa ra hai cách vẽ yếu tố phụ là đặt liên

tiếp cạnh AB một đoạn bằng AC hoặc đặt cạnh AC một A

đoạn bằng AB.

Nên đặt dựa trên điểm nào? Chọn đặt kề cạnh C

nào để vận dụng được giả thiết? B Hình 2.3 Câu trả lời mong đợi là lấy trên tia đối của AC

một đoạn bằng AB.

Bài giải:

Xét ∆ABC và ∆BDC có C ̂ chung (1)

Trên tia đối của AC lấy điểm D sao cho AD = AB. (*) Ta có ∆DAB cân tại A nên D̂ = DBÂ

BAĈ = D̂ + DBÂ (góc ngoài của tam giác)

= 2D̂

Mà BAĈ =2 ABĈ (GT) ⟹ D̂ = ABĈ (2)

AC

BC

Từ (1), (2) ⟹ ∆ABC ∽ ∆ BDC (Trường hợp 3)

BC

DC

= hay AC.DC = BC2 (**) ⟹

Mà AC.DC= AC (DA +AC) = AC.AD + AC2 (***)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Từ (*) (**) (***) ⟹ Đpcm

2.2.2. Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng vẽ và sử dụng điểm phụ

a) Xác định giao điểm của các đường thẳng hoặc của đường thẳng với đường

tròn

Vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng hoặc của đường thẳng với đường

tròn sẽ làm xuất hiện các điểm mới. Từ đó tạo ra tam giác mới, tứ giác mới có

mối liên hệ về góc và cạnh với các tam giác đã có trong hình vẽ. Hoặc tạo ra các

điểm đặc biệt như trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội (ngoại) tiếp tam giác

(tứ giác).

Ta thường dùng cách vẽ này khi giữa hai đối tượng liên quan (đoạn thẳng,

đường thẳng, tam giác, … ) chưa hoặc ít có mối liên hệ về độ dài, về góc. Hay trong

giả thiết xuất hiện những đường đặc biệt của tam giác.

Ví dụ 2.4 [21, tr.5]: Cho hình thang ABCD (AB //CD) có Â = D̂ = 900.

Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng ∆MAD cân.

Phân tích (Xem hình 2.4):

GV: Dự đoán ∆MAD cân tại đâu?

B

A

HS: Cân tại M

GV: Để chứng minh

1 ∆MAD cân tại M ta chứng minh M

điều gì? 2 HS: MA = MD hoặc E

D DAM ̂ = ADM̂ C

Hình 2.4 GV: Từ ADĈ = 900, MA =

MD. Ta liên tưởng đến điều gì?

HS: Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng

nửa cạnh huyền

GV: Để áp dụng định lý trên ta cần tạo ra yếu tố phụ nào?

HS: Điểm E là giao của AM và CD. Ta sẽ có tam giác DAE vuông tại D.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Bài giải:

AM cắt DC tại E. Xét ∆MAB và ∆MCE có: M1̂ = M2̂ (đối đỉnh). MB = MC (GT)

MBÂ = MCÊ (2 góc so le trong do AB // CD).

⟹ ∆CME = ∆BMA (g.c.g) ⟹ MA = ME (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác vuông DAE vuông tại D. Có DM là trung tuyến ứng với cạnh

huyền

⟹ DM = AM = ME hay ∆DMA cân tại M

b) Vẽ điểm chia trong hoặc chia ngoài của đoạn thẳng

Vẽ thêm điểm chia trong hoặc chia ngoài giúp tạo ra những đoạn thẳng tỷ

lệ. Từ đó, xuất hiện thêm yếu tố về góc bằng cách nối các điểm. Tạo ra tam giác

cân, đều hoặc các tam giác đồng dạng hay áp dụng được những hệ quả của định

lý Ta –lét.

Ta thường dùng cách vẽ này khi cần tìm ra mối liên hệ về độ dài của các

đoạn thẳng, độ lớn của các góc.

Ví dụ 2.5: Cho ∆ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia BA lấy D sao cho

BD = ½ BC. Đường thẳng qua D song song với BC cắt AC ở E. Gọi M là điểm

trên đoạn thẳng DE sao cho DM = BD. Chứng minh rằng ADM̂ = 2DAM̂

Phân tích (Xem hình 2.5)

D GV: Hai góc ADM̂ và DAM̂ có mối liên hệ gì

/ với nhau không? M

B HS: Chúng là hai góc của ∆DAM

N ⟹ DAM̂ + ADM̂ + DMÂ = 180° hoặc

DAM̂ + ADM̂ = AMÊ (góc ngoài tam giác)

A

C

E

□ GV: Từ những điều trên rất khó để giải quyết

bài toán. Vậy chúng ta cần tạo thêm yếu tố nào nữa? Hình 2.5

HS: Cần tạo ra một góc trung gian.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

GV: Chú ý đến giả thiết BD = ½ BC; DE//BC để tìm cách vẽ phù hợp.

HS: Gọi N là trung điểm cạnh BC. Ta có BDMN là hình bình hành nên

ADM̂ = BNM̂ .

Bài giải:

Gọi N là trung điểm cạnh BC. ∆ABC vuông tại A, AN là đường trung tuyến

⟹ AN = BN = CN = ½ BC. Mà DM = BD = ½ BC

Do đó BN = BD = DM

Tứ giác BDMN có BN // DM và BN = DM. Nên là hình bình hành

⟹ BD // MN; MN = BD. Do đó ABN̂ = ADM̂

Mà AN = BN ⟹ ∆NAB cân tại N ⟹ ABN̂ = BAN̂ (hai góc đồng vị)

Xét ∆NAM có AN = MN (= BD)

⟹ ∆NAM cân tại N ⟹ MAN ̂ = AMN̂ (1)

Vì AD // MN ⟹ DAM̂ = AMN̂ (hai góc so le trong) (2)

Từ (1) (2) ⟹ MAN ̂ = DAM̂

Vậy ADM̂ = ABN̂ = BAN̂ = DAM̂ + MAN̂ = 2DAM̂ (Đpcm)

2.2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng vẽ và sử dụng thêm đường phụ

a) Nối hai điểm cho trước

Cách này sẽ tạo ra các đoạn thẳng mới, tam giác hoặc các góc mới có mối

liên hệ với các cạnh hoặc các hình đã cho.

Ta thường dùng cách làm này khi giả thiết xuất hiện tỷ số giữa các đoạn

thẳng hoặc giữa hai đoạn thẳng, tam giác cần xét chưa có hoặc có ít mối quan hệ

về độ dài.

Ví dụ 2.6: Cho ∆ABC và một đường thẳng xy không cắt tam giác và xy

1 tổng khoảng cách từ 3 đỉnh của tam giác tới đường thẳng đó. thẳng xy = 3

//BC. Chứng minh rằng: Khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến đường

Phân tích (Xem hình 2.6):

GV: Yêu cầu học sinh làm rõ kết luận bài toán

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

HS: AA’  xy; BB’  xy

CC’  xy; GG’  xy

CC′+AA′+BB′ 3

Chứng minh: GG’ =

A

GV: Các đoạn thẳng trong công thức trên có mối liên hệ như thế nào với

nhau? Liên hệ gì đối với đường

thẳng xy đã cho?

N HS: Chúng song song với G

C

B

E nhau và cùng vuông góc với xy.

GV: Để chứng minh bài

toán ta cần thêm mối liên hệ về x y độ dài. Vậy cần tạo ra một yếu tố N’ B’ A’ C’ E’ G phụ để tạo ra mối liên hệ về độ Hình 2.6

dài giữa chúng. Cụ thể là:

CC′+AA′+BB′ 3

- Yếu tố phụ cần gắn với: tỷ số và độ dài GG’. Trong đó 4

đoạn thẳng có liên quan phải là khoảng cách giữa 4 điểm (gồm có 3 đỉnh và một

trọng tâm của tam giác ABC).

- Bốn khoảng cách đó chính là độ dài của các đường vuông góc kẻ từ điểm

đó đến đường thẳng xy. Điều đó giúp HS nghĩ đến các hình thang

HS: Kẻ các yếu tố phụ là các đường vuông góc với xy

GV: Gợi ý để HS phát hiện yếu tố phụ là đường trung tuyến BG kéo dài,

xác định được yếu tố phụ là các điểm N, điểm E.

HS: Nối một đỉnh nào đó của tam giác ABC với trọng tâm G thì đường

thẳng nối 2 điểm đó phải đi qua trung điểm cạnh đối diện. Giả sử nối B với G thì

BG sẽ đi qua trung điểm N của AC và lấy một điểm E là trung điểm của BG từ

1 BN 3

đó ta có: BE = EG = GN =

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Bài giải:

Kẻ BG cắt AC tại N. Lấy E là trung điểm của BG.

Kẻ EE’  xy; NN’  xy

AA’  xy; BB’  xy; CC’  xy; GG’  xy

Tứ giác BB’G’G là hình thang vì BB’ // GG’ (cùng vuông góc với xy)

Có EE’ // BB’ (cùng vuông góc với xy)

BE = EG ⟹ EE’ là đường trung bình của hình thang BB’G’G.

BB′+GG′ 2

(1) ⟹ EE’ =

Tương tự NN’ là đường trung bình của hình thang AA’C’C

CC′+AA′ 2

(2) ⟹ NN’ =

Ta lại có: GG’  xy; EE’  xy

NN’  xy; EG = NG

⟹ GG’ cũng là đường trung bình của hình thang EE’N’N

EE′+NN′ 2

(3) ⟹ GG’ =

CC′+AA′+BB′ 3

(Đpcm) Từ (1), (2), (3) ⟹ d (G; xy) = GG’ =

b) Dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước từ một điểm đã cho

Kẻ thêm đường song song nhằm làm xuất hiện các góc bằng nhau (ở vị trí

so le trong (ngoài), đồng vị), các góc trong cùng phía bù nhau và đặc biệt là hai

tam giác bằng nhau, đồng dạng với nhau. Dựa vào mối quan hệ giữa song song

và vuông góc ta có thể tạo ra các góc vuông.

Ta thường dùng cách này khi đã có các đường thẳng song song hoặc vuông

góc trong hình vẽ. Hoặc giả thiết có những đoạn thẳng tỷ lệ với nhau.

Ví dụ 2.7: Cho ∆ABC có Â < 900. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng

AB chứa đỉnh C, vẽ tia vuông góc AB tại A, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

= AB. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa đỉnh B, Vẽ tia vuông góc

với AC tại A. Trên tia đó lấy điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh rằng đường

cao AH của ∆AED lại là đường trung tuyến của ∆ABC.

Phân tích (Xem hình 2.7):

GV: AH là đường trung tuyến của ∆ABC ta phải chứng minh điều gì?

HS: AH đi qua trung điểm của BC hay AH cắt BC tại M, Chứng minh MB

= MC

GV: Xét xem có tam giác nào chứa MB và MC bằng nhau không?

HS: Không. Dẫn đến việc vẽ thêm yếu tố phụ

GV: Ta đã có ∆MAC cần tạo ra 1 tam giác mới chứa BM

HS: Qua B kẻ Bx // AC. Bx cắt AM tại Q. Ta có ∆BAQ chứa BM.

Bài giải:

A AH cắt BC tại M

Qua B kẻ Bx // AC,

Bx cắt AM tại Q;

/

D

x BQ //AC,

AC  AE E H ⟹ BQ  AE. C B M

Do: QB  AE; AB  AD

⟹ ABQ̂ = 90° + EAB̂

Ta có : Q

ABQ̂ = AEB̂ + EAB̂ =900 +

Hình 2.7 EAB̂ (1)

DAÊ = BAD̂ + EAB̂ = 900 + EAB̂ (2)

Từ (1) (2) ⟹ ABQ̂ = DAÊ

Xét ∆ABQ và ∆DAE có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

BAQ̂ = ADÊ = 900 - QAD̂

AB = AD (GT)

ABQ̂ = DAÊ

⟹ ∆ABQ = ∆DAE (g.c.g)

⟹AE = BQ (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆BMQ và ∆CMA có

Q̂ = MAĈ (hai góc so le trong);

BQ = AC = AE

MBQ̂ = MCÂ (hai góc so le trong)

⟹ ∆BMQ = ∆CMA (g.c.g) ⟹ MB = MC (hai cạnh tương ứng)

Vậy M là trung điểm của BC, AM là đường trung tuyến ứng với BC của ∆ABC

c) Dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước từ một điểm đã cho

Kẻ đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông hoặc tạo ra hai tam giác

vuông bằng nhau, đồng dạng với nhau. Hoặc nửa tam giác đều, các đường thẳng

song song với nhau.

Ta thường vẽ đường vuông góc khi hình vẽ có các góc với số đo cụ thể

(chẳng hạn góc 300, 600, 450, …) hoặc có đường phân giác,...hoặc bài toán cho

một góc có số đo là 300, 600, 1200, 1500.

Nếu cho góc 300 (hoặc 600), ta kẻ đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác

vuông có một góc bằng 300 hoặc 600.

Nếu cho góc 1200 (hoặc góc 1500), ta thường tính góc kề bù với góc đó rồi

kẻ đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông có chứa góc kề bù.

Ví dụ 2.8 [26, tr.19]: Cho hình vuông ABCD các điểm M, N, P, Q lần lượt

trên các cạnh AB, BC, CD, AD, sao cho MP  NQ. Chứng minh rằng NQ = MP.

Phân tích (Xem hình 2.8):

GV: Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta thường dùng cách nào?

HS: Quy về chứng minh hai tam giác bằng nhau

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

GV: Hai đoạn thẳng trên thuộc những tam giác nào?

HS: Chưa xuất hiện những tam giác chứa chúng

GV: Ta cần tạo ra hai tam giác chứa hai cạnh trên để xét. Đọc kỹ giả thiết

để tìm ra yếu tố phụ có lợi nhất?

HS: Ta vẽ thêm MH  DC tại H và PK  AD tại K sẽ tạo ra nhưng góc

vuông thuận lợi cho việc chứng minh ∆KNQ = ∆HMP, từ đó suy ra NQ = MP

Bài giải:

Vẽ MH  DC tại H, NK  AP tại K.

Tứ giác ABNK là hình chữ nhật (có Â = B̂ = K̂ = 900)

⟹ KN = AB (1)

Tương tự ta có B̂ = Ĉ = Ĥ = 900

⟹ Tứ giác BCHM là hình chữ nhật

⟹ MH = BC (2)

Mà AB = BC (ABCD là hình vuông) (3)

A M B Từ (1) (2) (3) ⟹ KN = MH

Xét ∆KNQ và ∆MHP có K N I Ĥ = K̂ = 900; MH = KN Q

⟹ NK // DC NK ⊥ AD { DC ⊥ AD

Mà MH  DC ⟹ NK  MH C D H P

⟹ KNQ̂ = HMP̂ (cùng phụ MIN̂) Hình 2.8 ⟹ ∆KNQ = ∆HMP (g.c.g) ⟹ NQ = MP

d) Vẽ thêm đường phân giác

Vẽ thêm đường phân giác nhằm làm xuất hiện hai góc bằng nhau, hai tam

giác bằng nhau, tam giác cân, tam giác đều, tâm đường tròn nội (bàng) tiếp tam

giác.

Ta thường dùng cách vẽ này khi muốn gắn hai đối tượng liên quan (đoạn

thẳng, đường thẳng, tam giác,…) vào hai tam giác có mối liên hệ về góc, về cạnh.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Hay phải tìm tỷ số giữa hai cạnh bất kỳ trong tam giác.

Ví dụ 2.9: Cho ∆ABC, Â = 600. Phân giác BD, CE cắt nhau tại O. Chứng

minh rằng ∆DOE cân

Phân tích (Xem hình 2.9):

A GV: Từ Â = 600 ta suy ra được

số đo của những góc nào?

HS (làm ra nháp): BOĈ =120° D

E

1

O1̂ = 60°

2

GV: Dự đoán ∆EOD cân tại O 4 3

điểm nào?

B C HS: Cân tại O. Nên cần chứng F Hình 2.9 minh EO = OD

GV: Bằng cách xét các tam giác chứa hai cạnh trên thì ta có được kết quả

mong muốn không?

HS: Không.

GV: Vậy ta cần tạo ra một đoạn thẳng trung gian.

HS: Ta kẻ tia phân giác OF của tam giác BOC chính là đoạn trung gian để

so sánh OD với OE (sẽ tạo ra 4 góc bằng nhau) sẽ có lợi cho việc giải toán

Bài giải

BOĈ = 180°- (OBĈ + OCB̂ )

𝐵̂ 2

𝐶̂ + 2

) = 180°- (

𝐴̂ = 180° - (90° - 2

)

𝐴̂ 2 ⟹ BOĈ = 120°

= 90° +

O1̂ = 180° - BOĈ (E, O, C thẳng hàng)

= 180° - 120°

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

= 60°

O1̂ = O4̂ = 60° (hai góc đối đỉnh) Vẽ tia phân giác OF của BOĈ (F ∈ BC)

Ta được O1̂ = O2̂ = O3̂ = O4̂ = 60° Xét ∆BOE và ∆BOF có

BO chung

ABÔ = OBF̂ (BO là phân giác của B̂)

O1̂ = O2̂

⟹ ∆BOE = ∆BOF (g. c. g)

⟹ OE = OF (1)

Tương tự ∆COD = ∆COF (g. c. g)

⟹ OD = OF (2)

Từ (1) và (2) ⟹ OD = OF = OE

Hay ∆OED cân tại O.

e) Vẽ thêm đường trung tuyến

Vẽ thêm đường trung tuyến sẽ làm xuất hiện các đoạn thẳng bằng nhau.

Từ trọng tâm suy ra các tỷ số.

Ta thường dùng cách vẽ này khi muốn chứng minh một tam giác là vuông

khi biết trung điểm cạnh huyền hoặc đề bài xuất hiện trung điểm của đoạn thẳng.

Hoặc khi cần chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau.

Ví dụ 2.10: Cho ∆ABC có BC = 2AB. Trên BC lấy điểm N sao cho BN =

¼ BC. Trên tia đối của tia NA lấy điểm D sao cho ND = NA. Chứng minh ∆BCD

vuông

Phân tích (Xem hình 2.10):

GV: Dự đoán tam giác BDC vuông tại đâu?

HS: Vuông tại D

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

GV: Có những cách nào để chứng minh 1 tam giác là vuông?

HS: Dùng định lý Py- ta - go đảo, chứng minh BDĈ = 90° hoặc 2 góc nhọn

phụ nhau. Nhưng những cách trên đều khó thực hiện.

GV: Từ BC = 2AB ta nghĩ đến điều gì?

HS: Trung điểm của BC. Liên tưởng đến A định lý trong tam giác vuông đường trung tuyến

ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền và

M N ngược lại B C

GV: Vậy yếu tố phụ ở đây là gì?

HS: Vẽ thêm yếu tố phụ là đường trung tuyến

D BM và chứng minh DM = ½ BC Hình 2.10 Bài giải:

Kẻ trung tuyến DM (M thuộc cạnh BC)

Xét ∆ABN và ∆DMN có

ANB̂ = DNM̂ (đối đỉnh)

AN = ND (GT)

BN = NM = ¼ BC = ½ BM

⟹ ∆ABN = ∆DMN (c.g.c)

⟹ AB = DM (hai cạnh tương ứng)

⟹ DM = ½ BC

Vậy tam giác BDC vuông tại D

f) Kẻ thêm đường kính

Khi vẽ đường phụ là đường kính của đường tròn làm xuất hiện các góc

vuông (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), đoạn thẳng có độ dài bằng hai bán

kính. Tạo ra quan hệ song song hoặc vuông góc với dây cung thuận lợi cho việc

giải toán. Xuất hiện các góc có đỉnh nằm trong (trên) đường tròn.

Ta thường dùng cách này khi các góc hoặc các dây trên đường tròn chưa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

hoặc có ít mối quan hệ với nhau.

Ví dụ 2.11: Cho ∆ABC. Giả sử các đường phân giác trong và phân giác

ngoài của  của ∆ABC lần lượt cắt đường thẳng BC tại D, E có AD = AE

Chứng minh AB2 + AC2 = 4R2 với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

Phân tích (Xem hình 2.11):

GV: Hệ thức trên cho ta nghĩ đến định lý nào?

HS: Định lý Py – ta – go trong tam

giác vuông

G

GV: Tam giác vuông này thỏa mãn A x

điều kiện nào? O .. ..

HS: Hai cạnh góc vuông lần lượt bằng D D C E AB, AC và có cạnh huyền bằng đường kính B

của đường tròn (O).

F Hình 2.11 GV: Vậy yếu tố phụ cần vẽ ở đây là gì?

HS: Đường kính AG

Bài giải:

Gọi F là giao điểm của AD và đường tròn (O) (F khác A)

Vẽ đường kính AG .

Ta có ABĜ = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Sđ + sđ + sđ + sđ = sđ = 180° (1)

= sđ BAF̂ = FAĈ (AD là đường phân giác) ⟹ sđ (2)

AD, AE là hai tia phân giác của hai góc kề bù BAĈ và CAx̂ nên DAÊ = 900

sđ

+ sđ

∆DAE vuông có AD = AE (GT) nên là tam giác vuông cân

2

⟹ ADÊ = 450 . Mà ADÊ =

+ sđ = 900 (3) ⟹ sđ

Từ (1); (2) và (3) => GB = AC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

∆BAG vuông tại B nên AB2 + BG2 = AG2 (áp dụng định lí Py-ta-go)

Do đó: AB2 + AC2 = (2R)2

Vậy: AB2 + AC2 = 4R2 (Đpcm)

g) Vẽ thêm tiếp tuyến của đường tròn

Vẽ thêm tiếp tuyến của đường tròn làm xuất hiện góc vuông (góc tạo bởi

bán kính và tiếp tuyến), góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.

Ta thường dùng cách này khi cần tìm mối liên hệ giữa bán kính và một cát

tuyến nào đó, hoặc gặp khó khăn khi tính góc nội tiếp đường tròn.

Ví dụ 2.12: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O, R). Qua A vẽ cát tuyến

ABC (B, C thuộc đường tròn (O)). Chứng minh rằng AB.AC = OA2 – R2

Phân tích (Xem hình 2.12):

GV: Từ hệ thức ta nghĩ đến định lý

nào?

HS: Định lý Py – ta – go

GV: Để áp dụng định lý Py – ta – go

ta cần có điều gì?

HS: 1 tam giác vuông. Hình 2.12

GV: Vậy yếu tố phụ ở đây là gì?

HS: Kẻ tiếp tuyến AM. Ta sẽ có tam giác vuông AMO

Bài giải:

Vẽ AM tiếp tuyến của đường tròn (O) (M ∈ (O))

⟹ AMÔ = 900

Xét ∆AMB và ∆ACM có:

MAB̂ chung

AMB̂ = ACM̂ = ½ sđ

AM

AB

⟹ ∆AMB ~∆ACM (Trường hợp 3)

AC

AM ⟹ AB.AC = AM2 (1)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

⟹ =

Xét ∆OAM vuông tại M

OA2 = OM2 + AM2 (Định lý Py - ta -go) (2)

Nên AM2 = OA2 – R2. Từ (1) (2) ⟹ AB.AC = OA2 – R2 (Đpcm)

h) Vẽ tiếp tiếp tuyến chung và đường nối tâm của hai đường tròn tiếp xúc

nhau.

Vẽ tiếp tuyến chung và đường nối tâm của hai đường tròn tiếp xúc nhau

có tác dụng:

Trường hợp hai đường tròn tiếp xúc trong: Cách làm này sẽ tạo ra các góc

nội tiếp bằng nhau.

Trường hợp hai đường tròn tiếp xúc ngoài: Tạo ra các góc vuông

Ta thường dùng cách này khi cần tìm mối liên hệ của các dây cung hoặc

các góc nội tiếp thuộc hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Ví dụ 2.13: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc trong

tại A. Vẽ các dây cung AB, AC của (O), AB và AC lần lượt cắt đường trong (O’)

tại D và E (D # A, E # A). Chứng minh rằng BC // DE.

Phân tích (Xem hình 2.13):

GV: BC// DE suy ra điều gì?

HS: ADÊ = ABĈ (2 góc đồng vị bằng nhau)

GV: Khi chứng minh điều trên ta sẽ gặp khó B D khăn gì?

HS: 2 góc này là 2 góc nội tiếp không cùng A

. . O’ O

thuộc một đường tròn.

E GV: Dẫn đến việc tạo ra một góc trung gian C

để so sánh. Từ giả thiết bài toán hãy tìm ra yếu tố

x Hình 2.13 phụ cần kẻ.

HS: Vẽ đường phụ là tiếp tuyến chung Ax

của (O) và (O’).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Bài giải:

Vẽ tiếp tuyến chung Ax của hai đường tròn (O) và (O’),

tia Ax nằm trên nửa mặt phẳng bởi AC không chứa điểm B.

Xét đường tròn (O’) có xAC ̂ = ADÊ (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và

dây cung)

Xét đường tròn (O) có xAC ̂ = ABĈ (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và

dây cung)

Do đó ADÊ = ABĈ ⟹ BC // DE (hai góc đồng vị bằng nhau)

i) Vẽ thêm dây chung của hai đường tròn cắt nhau

Việc vẽ dây chung của hai đường tròn cắt nhau có những lợi ích sau: Dây

chung hợp với cát tuyến chung của hai đường tròn tạo ra hai góc nội tiếp (của

hai đường tròn) kề bù nhau. Tạo ra tứ giác nội tiếp đường tròn. Từ tính chất đoạn

nối tâm là đường trung trực của dây chung suy ra những đoạn thẳng và góc bằng

nhau.

Ta thường dùng cách này khi tìm mối liên hệ giữa các nội tiếp của hai

đường tròn cắt nhau

Ví dụ 2.14: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Qua A,

B lần lượt kẻ các cát tuyến EAF và GBH.

Chứng minh rằng EG // FH

Phân tích (Xem hình 2.14):

GV: Vì EG // FH tương đương với điều gì? HS: EGB̂ + BHF̂ = 180° (hai góc trong cùng phía bù nhau)

GV: Chứng minh điều trên ta sẽ gặp khó khăn nào?

G

B

HS: Sẽ gặp khó khăn vì 2

H

góc không cùng trên đường tròn?

GV: Vậy chúng ta cần tạo ra

. O

. O’

F

E

A

yếu tố phụ để chúng có mối liên

quan với nhau?

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Hình 2.14

HS: Chính là dây cung AB. Ta sẽ có 2 tứ giác nội tiếp đường tròn.

Điều này cho ta nghĩ đến dây chung AB là yếu tố phụ vẽ thêm có được lời

giải bài toán

Bài giải:

Vẽ dây chung AB của hai đường tròn (O) và (O’) Ta có ABĤ = AEĜ (vì tứ giác ABGE nội tiếp) Tương tư vì tứ giác ABHF nội tiếp) ⟹ ABĜ = AFĤ Mà ABĤ + ABĜ = 180° (hai góc kề bù) Do đó AEĜ + AFĤ = 180°, AEĜ và AFĤ là hai góc trong cùng phía.

⟹ EG // FH

2.2.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng vẽ sử dụng yếu tố phụ là tam giác

a) Vẽ thêm tam đều

Vẽ thêm tam giác đều sẽ làm xuất hiện các cạnh bằng nhau, các góc bằng

nhau, góc có số đo 60°, các tam giác bằng nhau.

Ta thường dùng cách này khi bài toán đã xuất hiện một tam giác cân có số

đo cho trước.

Ví dụ 2.15: Cho ∆ABC (AB = AC) có Â = 700. Gọi D là điểm nằm trong

tam giác sao DBĈ = 50, DCB̂ = 300. Tính số đo BAD ̂ .

Phân tích (Xem hình 2.15): E GV: Dựa vào các góc đã biết ta có thể

tính ngay được BAD ̂ hay không?

A HS: Không. Cần tạo ra yếu tố phụ

GV: Từ giả thiết tam giác ABC (AB =

AC) có Â = 700. Ta có điều gì? D

HS: ABĈ = ACB̂ = 550 mà DBĈ = 50,

C B DCB̂ = 300. Hình 2.15 GV: Xét tổng ABĈ + DBĈ?

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

HS: Tổng 2 góc trên bằng 60°

GV: Gợi cho ta đến loại tam giác nào?

HS: Tam giác đều

GV: Vậy yếu tố phụ ở đây sẽ là gì?

HS: Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tam giác đều BEC

Bài giải:

Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC có chứa điểm A vẽ tam giác

đều BEC

1800−Â 2

∆ABC (AB = AC) có ABĈ = = 55°

CBA ̂ < CBE ̂ (vì 55°< 60°)

Đoạn BA nằm giữa hai đoạn BC, BE. Do đó ABE ̂ = CBE ̂ – CBA ̂

= 60° - 55° = 5°

Xét ∆EBA và ∆ECA có:

EB = EC

EA chung, AB = AC (GT)

⟹ ∆EAB = ∆EAC (c. c. c)

60o 2

BEĈ 2 Xét ∆EAB và ∆BDC có BEA ̂ = DCB ̂ = 30°

= ⟹ BEA ̂ = CEA ̂ = = 30° (hai góc tương ứng)

BE = BC (∆EBC đều)

ABE ̂ = DBC ̂ = 5°

⟹ ∆EAB = ∆CDB (g. c. g)

⟹ BA = BD. Nên ∆BAD cân tại đỉnh B

Mà ABD ̂ = ABC ̂ - DBC ̂ = 55° - 5° =50°

180o− ABD̂ 2

Vậy BAD ̂ = = 65°

2.2.5. Biện pháp 5: Rèn luyện kỹ năng vẽ và sử dụng yếu tố phụ là đường tròn

Việc vẽ thêm đường tròn nói chung sẽ giúp bài toán có thêm những yếu tố

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

mới như: Góc, cạnh, cung.

Ta thường nghĩ đến cách này khi việc tìm mối liên hệ giữa các đoạn thẳng,

góc gặp khó khăn.

Sau đây là hai cách thường dùng để tạo ra yếu tố phụ là đường tròn.

a) Vẽ thêm đường tròn dựa vào các điểm đã cho

Khi cần đến việc xuất hiện yếu tố mới liên quan đến đường tròn, GV gợi

ý hướng dẫn HS tìm ra một vài (lớn hơn hoặc bằng 2) điểm gắn với kết luận cần

có ở bài toán, vẽ đường tròn đi qua các điểm đó, nhờ vậy tạo ra các yếu tố mới

thuận lợi cho việc giải quyết bài toán.

Ví dụ 2.16: Cho đường thẳng xMy vuông góc với AB tại M. Trên tia Mx

lần lượt lấy C và D sao cho MC = MA, MD = MB. Đường tròn đường kính AC

cắt đường tròn đường kính BD tại N (N khác A và M). Chứng minh rằng đường

thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Phân tích (Xem hình 2.16):

GV: Ta phải phân tích mối liên hệ giữa MN và các điểm có trong hình.

HS: Đường tròn đường kính AC cắt đường tròn đường kính BD tại N và M

GV: Điểm N còn có gì đặc biệt?

HS: N, C, B thẳng hàng

GV: Từ đó ta biết được góc nào?

HS: ANĈ =ANB̂ = 90°

GV: Hay là góc ANB̂ nhìn AB

dưới một góc 90°. Vậy yếu tố phụ ở đây

là gì?

HS: Đường tròn đường kính AB

Bài giải:

∆AMC vuông tại M có MA =

MC (GT) nên là tam giác vuông cân Hình 2.16

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

⟹ ACM̂ = 45°

); Ta có ANM̂ = ACM̂ = 45°(hai góc nội tiếp cùng chắn

ANB̂ = ANM̂ + MNB̂ = 90° ⟹ MNB̂ = 90° - ANM̂ = 45°

Do đó N thuộc đường tròn đường kính AB.

Gọi E là giao điểm MN và (E khác N).

Ta có ANM̂ = MNB̂ = 45° ⟹ =

⟹ E cố định.

Vậy MN luôn đi qua một điểm cố định E

b) Vẽ đường tròn nội hoặc ngoại tiếp tam giác, tứ giác

Vẽ đường tròn nội hoặc ngoại tiếp tam giác và tứ giác sẽ xuất hiện mối liên hệ

giữa các góc, cạnh với nhau trong hình. Vì khi đó, các góc trong tam giác (tứ giác) sẽ

là các góc nội tiếp trong đường tròn. Các cạnh là dây cung (đường kính). Bài toán sẽ

có thêm những giả thiết mới thuận lợi cho việc giải toán.

Ví dụ 2.17: Cho ∆ABC cân tại A, có AB = AC = 6cm, BC = 9,6cm. Vẽ AH  BC

tại H. M là điểm trên tia AH sao cho AM = BM. Tính độ dài đoạn thẳng CM.

Phân tích (Xem hình 2.17):

GV: Từ giả thiết có thể tính ra ngay độ dài của CM không?

HS: Không.

GV: Do vậy, cần phải tìm ra tính chất đặc biệt của CM. Qua giả thiết ta

thấy điểm M có quan hệ thế nào với ∆ABC? A

HS: AM = BM ⟹ M thuộc đường trung trực

của BC hay M là tâm đường tròn ngoại tiếp H □ C B / GV: Vậy MC là gì?

M HS: MC là bán kính đường tròn ngoại tiếp

GV: Vây dễ dàng tìm ra yếu tố phụ

HS: Chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác D Hình 2.17 ABC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Bài giải:

Vẽ đường tròn tâm M bán kính AM.

Gọi D là giao điểm AM và đường tròn (M; MA) (D #A)

∆ABC cân tại A, AH là đường cao (GT)

⟹ AH là đường trung trực của đoạn BC

⟹ BM = CM, BH = HC = ½ BC = 4,8cm và AM = BM (GT).

Nên AM = BM = CM

Ta có ABD̂ = 900 (B thuộc đường tròn bán kính AD)

∆HAB vuông tại H ⟹ AH2 + BH2 = AB2 (định lí Pi-ta-go)

AH2 + 4,82 = 62 ⟹AH2 = 3,62. Vậy AH = 3,6cm

Xét ∆BAD vuông tại B, BH là đường cao ⟹AH.AD = AB2

62 3,6

Nên AD = ⟹AD = 10 cm. Vậy CM = ½ AD = 5cm

2.3. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2

Trong chương này chúng tôi đã đưa ra một số định hướng cơ bản khi xây

dựng các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ cho

HS khá, giỏi THCS. Trên cơ sở các định hướng, đề xuất được năm biện pháp sư

phạm: GV chủ động dạy cho HS một số cách tìm ra yếu tố phụ trong bài toán

hình học; Rèn luyện kỹ năng vẽ và sử dụng điểm phụ; Rèn luyện kỹ năng vẽ và

sử dụng đường phụ; Rèn luyện kỹ năng vẽ và sử dụng yếu tố phụ là tam giác;

Rèn luyện kỹ năng vẽ và sử dụng yếu tố phụ là đường tròn.

Để kiểm nghiệm tính hiệu quả và khả thi của các biện pháp sư phạm đã đề

xuất chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm sư phạm. Thực nghiệm sư phạm được

trình bày trong chương 3 của luận văn.

Chương 3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

3.1. MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính

khả thi, tính hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã được đề xuất cũng như kiểm

nghiệm tính đúng đắn của giả thuyết khoa học trong luận văn.

3.2. NỘI DUNG THỰC NGHIỆM

Thực nghiệm để kiểm chứng một số biện pháp dạy học rèn luyện kỹ năng khai

thác yếu tố phụ:

Chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm trong 4 tiết:

Tiết 54: Định lý Ta- lét (lớp 8)

Tiết 55: Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta – lét (lớp 8)

Tiết 57: Tính chất ba đường phân giác trong tam giác (lớp 7)

Tiết 58: Luyện tập (lớp 7)

CHƯƠNG 3: QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC.

CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC

Tiết 58: LUYỆN TẬP

I/ Mục tiêu:

1. Kiến thức:

Củng cố về tính chất ba đường phân giác của tam giác, tính chất đường

phân giác của một góc, tính chất đường phân giác của tam giác cân, tam giác

đều.

2. Kĩ năng:

Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, phân tích và chứng minh bài toán. Chứng minh

một dấu hiệu nhận biết tam giác cân. Rèn kỹ năng vẽ thêm điểm phụ; vẽ thêm

đường phân giác.

3. Thái độ: Cẩn thận, chính xác, khoa học.

II/ Đồ dùng dạy học:

- GV: Bảng phụ ghi đề bài. Thước thẳng, compa, eke, thước hai lề, phấn màu.

- HS: Thước hai lề, compa, eke

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

III/ Phương pháp dạy học: Phương pháp thảo luận nhóm

IV/ Tiến trình lên lớp:

1. Ổn định tổ chức:

2. Khởi động mở bài:

* Kiểm tra bài cũ (3phút)

? Phát biểu tính chất ba đường phân giác của tam giác.

- Vẽ hình minh hoạ. GV đánh giá nhận xét và bổ sung.

3. Hoạt động 1: Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (15phút)

- Mục tiêu: HS tái hiện lại các trường hợp bằng nhau của hai tam giác,

cách chứng minh ba điểm thẳng hàng dựa vào đường phân giác đối với tam giác

đặc biệt

- Đồ dùng: Bảng phụ ghi đề bài 39. Thước thẳng, compa, eke, thước hai

lề, phấn màu.

Tiến hành

HĐ của GV HĐ của HS Ghi bảng

- GV yêu cầu HS - HS đọc yêu cầu bài tập Dạng 1. Đường phân giác đối

đọc yêu cầu bài 39 với tam giác đặc biệt.

tập 39 Bài 39 ( SGK - 73 )

- GV gọi HS ghi - HS ghi GT, KL

GT, KL của bài GT toán

KL - Hướng dẫn:

* Chứng minh: ∆ABC: AB = AC 𝐴1̂ =𝐴2̂ a) ∆ABD = ∆ACD b) DBĈ = DCB̂ + ∆ABD và ∆ACD có:

a) Xét ∆ABD và ∆ACD có:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

? ∆ABD và ∆ACD AB = AC (GT) A1̂ =A2̂ (GT) AD chung có những yếu tố AB = AC (GT) A1̂ =A2̂ (GT) AD chung - Theo chứng minh ý a nào bằng nhau =>∆ABD = ∆ACD (c.g.c) có

DB = DC (cạnh tương b) Từ chứng minh phần a ta

ứng) có:

DB = DC (cạnh tương ứng)

? So sánh DBĈ và DCB̂

=> ∆DBC cân => DBĈ = DCB̂

(tính chất tam giác cân) => ∆ DBC cân tại D => DBĈ = DCB̂ - HS làm việc theo nhóm, báo cáo, nhận xét và cùng đánh giá

? CM: DBĈ = DCB̂ - Cho HS làm bài tập 39 theo nhóm 6 (10 phút) - GV gọi HS nhận xét theo nhóm. - GV nhận xét.

4. Hoạt động 2: Chứng minh một tam giác là tam giác cân (10 phút)

- Mục tiêu: HS chứng minh được một tam giác là tam giác cân

- Đồ dùng: Thước thẳng, compa, eke, thước hai lề, phấn màu.

- Tiến hành:

Dạng 2. Chứng minh

một tam giác là tam giác

- GV gọi HS đọc yêu - HS đọc yêu cầu bài tập cân

cầu bài tập 42 ( đã giao 42 Bài 42 ( SGK - 73 )

về nhà) - HS vẽ hình và ghi GT,

? Vẽ hình và ghi GT, KL của bài toán

KL của bài toán

GT

∆ABC: 𝐴1̂ =𝐴2̂ BD = DC

KL ∆ABC cân

- GV gọi HS lên bảng * Chứng minh: - HS lên bảng trình bày

chứng minh Xét ∆ADB và ∆A’DC: cách chứng minh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

- GV gọi HS nhận xét. - HS nhận xét. AD = AD’ (GT) 𝐷1̂ =𝐷2̂ (đối đỉnh)

- GV nhận xét. - HS lắng nghe. DB = DC (GT)

- GV chốt lại kiến thức =>∆ADB= ∆A’DC

bài học

(c.g.c) =>𝐴1̂=𝐴2̂ Và AB= A’C

Xét ∆CAA’ có: 𝐴2̂ = A’̂ (=𝐴1̂ ) => ∆CAA’ cân nên AC =

A’C

Mà A’C = AB

=> AC = AB => ∆ABC

cân.

Hoạt động 3: Hướng dẫn học sinh làm bài tập làm thêm (15 phút)

Bài toán: Cho ∆ ABC có Â = 60° . Tia phân giác của B̂ cắt AC ở D, tia phân giác

của Ĉ cắt AB ở E. Chứng minh BC = BE + CD

? Vẽ hình và ghi HS vẽ hình và ghi GT,

GT, KL của bài toán KL của bài toán

∆ABC: Â = 60°;

BD phân giác A

của góc B; GT CE là phân giác

của góc C (D∈

AC; E ∈ AB)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

C B KL BC = BE + CD

Giải :

Gọi I là giao điểm của BD và BIĈ = 120°; I1̂= I4 ̂ =60°

CE. Ta có : - Chia BC thành 2 đoạn

? Gọi I là giao điểm và chứng minh 2 đoạn B̂ + Ĉ = 180° - 60° =120°

của BD và CE (yếu đấy lần lượt bằng BE và ⟹ IBM̂ + ICM̂ = 120° : 2

tố phụ) ta có những CD. =60°. Vậy

số đo của góc nào? - Lấy một điểm thuộc BIĈ = 180° - (IBM̂ + ICM̂ )

? Để giải được bài BC thõa mãn một điều

toán ta phải làm gì kiện nào đó, hoặc từ một

điểm thuộc tam giác kẻ = 120° Và I1̂ = I4 ̂ (tính chất của góc ngoài tam giác).

đường đặc biệt cắt BC.

? Để chia đoạn

thẳng thành hai Kẻ tia phân giác của góc BIC, cắt BC ở D. Suy ra I2̂ = I3̂ . Xét ∆BIE và ∆BIM có :

phần. Ta có những - I1̂ = I2̂ = I4 ̂ = I3̂ . Từ đó ta có điều cần IBM̂ = IBE ̂ (GT),

cách nào chứng minh.

BI là cạnh chung, I1̂ = I2̂ = 60° ⟹ ∆BIE = ∆BIM (g.c.g) ? Theo cách 2, gọi

M là giao của tia HS lên bảng trình bày

phân giác của BIĈ cách chứng minh

và BC ta có điều gì ⟹ BE = BM (1)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

- HS nhận xét. Chứng minh tương tự, ta có: - GV gọi HS lên - HS lắng nghe ∆CID = ∆CIM (g.c.g). Suy bảng chứng minh ra CD = CM.(2) - GV gọi HS nhận Từ (1) và (2) suy ra BC = BM xét. Chỉ cần chứng minh EC + CM = BE + CD. - GV nhận xét. = DC

- GV chốt lại kiến

thức bài học

- Nếu lấy một điểm

M thuộc BC sao cho

BM= BE thì ta cần

chứng minh thêm

điều gì?

- Yêu cầu HS về nhà

chứng minh thêm

cách khác.

* Nhận xét: việc kẻ

tia phân giác của

góc BIC (yếu tố

phụ) ta thấy xuất

hiện các cặp góc

bằng nhau. Từ đó

xuất hiện các tam

giác bằng nhau.

6. Tổng kết và hướng dẫn về nhà (2phút)

Làm bài tập: 41, 43 (SGK – 73)

Hướng dẫn: Bài tập 43: Có 4 điểm cách đều ba đường thẳng AB, BC, CA:

Một điểm nằm trong ∆ABC là điểm I (giao điểm ba đường phân giác các

góc trong).

Ba điểm nằm ngoài ∆ABC là D, E, F (giao điểm của hai đường phân giác

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

góc ngoài)

Tiết sau mỗi em cầm một tờ giấy mỏng có một mép là một đoạn thẳng;

Xem lại thế nào là đường trung trực của một đoạn thẳng. Xem lại cách vẽ đường

trung trực của một đoạn thẳng bằng thước và eke.

3.3. ĐỐI TƯỢNG THỰC NGHIỆM

Đợt thực nghiệm sư phạm này đã được tiến hành tại trường THCS Gia

Vân, huyện Gia Viễn, tỉnh Ninh Bình

Lớp thực nghiệm: 7A, gồm 40 HS

Lớp đối chứng: 7B, gồm 36 HS.

Các lớp đối chứng và thực nghiệm được chọn có kết quả học kì 1 là tương

đương nhau thuận lợi cho việc đánh giá kết quả thực nghiệm.

3.4. TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM

Thời gian tiến hành thực nghiệm: từ 25 tháng 3 đến 7 tháng 4 năm 2019.

Được sự đồng ý của ban lãnh đạo nhà trường, tổ Toán và các GV dạy Toán

ở các lớp. Tôi đã đi dự giờ và lắng nghe những góp ý chuyên môn để bổ sung

vào luận văn. Sinh hoạt tổ Toán cùng GV soạn giáo án, rút ra kinh nghiệm. Sau

đó chúng tôi tiến hành dạy thực nghiệm và đối chứng theo lịch công tác của nhà

trường.

Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: Lê Thị Na

Tại lớp thực nghiệm: 7A

- GV thực hiện theo tiến trình giúp cho HS khá, giỏi rèn luyện kỹ năng

khai thác yếu tố phụ trong giải bài toán hình học.

- GV quan sát hoạt động học tập của HS, đánh giá trên hai mặt định tính

và định lượng để nhận định kết quả về việc rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố

phụ của HS.

GV dạy lớp đối chứng: Nguyễn Văn Hưng

Tại lớp đối chứng: 7B

- GV vẫn dạy bình thường, không tiến hành như đối với lớp thực nghiệm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

và quan sát điều tra kết quả học tập của HS ở lớp đối chứng.

Để theo dõi tiến trình thực nghiệm, chúng tôi sử dụng các công cụ sau:

Kiểm tra tự luận: Nhằm đánh giá mức độ lĩnh hội bài học của HS qua các

tiết học. Kiểm tra kiến thức của từng cá nhân của lớp thực nghiệm và lớp đối

chứng thông qua bài kiểm tra tự luận. Nội dung kiểm tra bám sát yêu cầu về

chương trình Toán lớp 7. Tất cả các bài kiểm tra được một người chấm thống

nhất theo thang điểm từ 1 đến 10.

Quan sát trong lớp học: Được sử dụng nhằm mục đích tiếp nhận thông tin

phản hồi của HS về việc rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ trong giải bài

toán hình học. Chúng tôi kiểm tra vở ghi, vở bài tập để có cái nhìn bao quát về

cách học sinh học tập cũng như hiệu quả của các biện pháp sư phạm đưa ra.

Thống kê Toán học: Sau khi chấm bài kiểm tra của HS, chúng ta có thể

tính được các thông số thống kê sau:

Sử dụng phương pháp thống kê Toán học để có cơ sở khoa học nhằm

khẳng định chất lượng của lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng.

Sau khi hoàn thành dạy thực nghiệm và dạy đối chứng chúng tôi cho cả

hai lớp thực nghiệm và đối chứng cùng làm một bài kiểm tra tổng hợp trong thời

gian 45 phút. Nội dung của bài kiểm tra như sau:

Đề kiểm tra

Bài 1 (3 điểm): Cho ∆ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B

và C cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến AB và

AC. Chứng minh AD = AE.

Bài 2 (4 điểm): Cho ∆ABC cân tại A. Các đường trung tuyến BM, CN cắt

nhau tại G. Chứng minh rằng:

a) BM = CN.

b) AG là phân giác của BAĈ .

c) MN // BC.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

d) BC < 4GM

Bài 3 (3 điểm): Cho ∆ABC có Â = 60°. BD và CE là hai đường phân giác

của tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng ID= IE.

Dụng ý kiểm tra: Chúng tôi ra đề dưới hình thức là 100% tự luận vì khi

chấm bài có thể biết được cách HS phân tích để tìm ra yếu tố phụ. Cách trình bày

HS gặp khó khăn ở bước nào để có sự điều chỉnh phù hợp.

Ngoài mục đích kiểm tra khả năng vận dụng kiến thức đã học của học sinh

về tính chất của 3 đường phân giác; chúng tôi nhằm vào kiểm tra khả năng phát

hiện và sử dụng yếu tố phụ của HS vì những bài này nếu không dùng yếu tố phụ

thì HS sẽ không giải được.

Bài 1: Nhằm vào yếu tố phụ (ở mức độ đơn giản) phát hiện và vẽ các đoạn

thẳng nối A với I.

Bài 2: Nhằm vào yếu tố phụ (ở mức độ trung bình) xác định giao điểm của

AG và BC.

Bài 3: Ở cấp độ khó hơn nên hướng HS tìm đến - tạo ra yếu tố phụ là

đường phân giác của góc BIĈ để giải bài toán.

ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM

A

Nội dung Câu Điểm

E D

I

B

C

1

Nối Avới I. Yếu tố phụ là đoạn thẳng AI. 0.5

Vì I là giao điểm của các đường phân giác trong của B và C nên 0.25

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

0.25 AI là phân giác của Â.

Câu Nội dung Điểm

0.25 ⟹ ID = IE (1)

0,25 Vì ∆ADI vuông tại E có DAÎ = 450

1 ⟹ ∆ADI vuông cân

0,5 ⟹ ID = IA

Tương tự ta có ∆AEI vuông cân tại E => IE = AE (2)

Từ (1) (2) ⟹ AD = AE

B

D N G

M

A C

2 Vì BM và CN là hai trung tuyến ứng với hai cạnh bên của tam 0,5

giác cân nên BM = CN a

(Hoặc chứng minh: AMB = ANC (c-g-c) ⟹ MB = CN)

Chứng minh AG là trung tuyến của tam giác ABC. 0,5

b 0,25 Mà ABC cân tại A nên AG là phân giác của góc BAC

0,5 Chứng minh:

c Tương tự 0,5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

0,5 . Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên MN//BC. ⟹

Câu Nội dung Điểm

0,5 Gọi D là giao điểm của AG và BC. Yếu tố phụ là điểm D

Chứng minh được BD < BG 0,25

D ⟹ 2BD < 2BG 0,25

0,25 ⟹ BC < 4GM

A

600

D E I

B C M

3

Vẽ IM là đường phân giác của tam giác IBC. Yếu tố phụ là đoạn 0,5

thẳng IM 0,25

Ta có IBĈ = ½ ABĈ (BI là đường phân giác của tam giác ABC) 0,25

ICB̂ = ½ ACB̂ (CI là đường phân giác của tam giác ABC) 0,25

Nên BIĈ = 1800 – (IBĈ + ICB̂ ) = 1800 – ½ (ABĈ + ACB̂ )

0,25 = 1800 – ½ (1800 – BAĈ ) = 1200

0,25 Do đó EIB̂ = BIM̂ = MIĈ = DIĈ = 600

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

0,25 Xét ∆BEI = ∆BMI có:

Câu Nội dung Điểm

0,25 EBÎ = MBÎ (BD là đường phân giác của tam giác ABC)

0,25 EIB̂ = BIM̂ = 600, BI (cạnh chung). Do đó ∆BEI = ∆BMI(g.c.g)

1 ⟹ IE = IM

Chứng minh tương tự có ID = IM. Vậy ID = IE (= IM)

3.5. ĐÁNH GIÁ VỀ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM

3.5.1. Đánh giá định tính

a) Đối với cá nhân, trong quá trình thực nghiệm tôi thấy:

Ở lớp thực nghiệm có chuyển biến tích cực hơn so với trước thực nghiệm

thể hiện ở các mặt:

Mức độ hiểu bài: HS ở lớp thực nghiệm hiểu bài hơn so với lớp đối chứng,

trong giờ học, các em cũng sôi nổi hơn và tích cực suy nghĩ để giải quyết bài

toán

Dựa vào việc quan sát trên lớp và phân tích kết quả làm bài kiểm tra của

HS chúng tôi thấy rằng khả năng khai thác yếu tố phụ trong các bài tập toán của

HS ở lớp thực nghiệm tốt hơn, các em vận dụng kiến thức cơ bản Toán học tốt

hơn.

Về phần trình bày: Đa số HS lớp thực nghiệm trình bày rõ ràng, mạch lạc

hơn các HS bên lớp đối chứng. Tuy vậy, cả hai lớp vẫn còn những HS trình bày

chưa được tốt, thiếu logic, cách diễn đạt chưa được rõ ràng.

HS nắm được các kỹ năng tương ứng với 4 loại yếu tố phụ: Điểm, đường

thẳng, tam giác, đường tròn. Nhưng khả năng vận dụng chưa được cao, đa số các

em mới chỉ giải được các bài toán dạng này ở mức độ dễ. Chủ yếu các em thực

hiện được các kỹ năng: Nối hai điểm cho trước để tạo thành đoạn thẳng vẽ thêm

các đường đặc biệt trong tam giác (phân giác, trung tuyến, đường cao). Và

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

thường phát hiện được ít yếu tố phụ. Số ít HS (chủ yếu là HS giỏi) nắm được các

cách phân tích để tìm ra nhiều yếu tố phụ trong bài cũng như lựa chọn yếu tố phụ

để giúp bài toán được giải quyết nhanh và hợp lý nhất.

b) Đối với nhận xét, đóng góp của GV thông qua dự giờ góp ý đã đuợc tổng

hợp lại như sau:

- Các câu hỏi trong mỗi giáo án tạo được hứng thú, lôi cuốn HS vào quá

trình tìm hiểu, giải quyết các câu hỏi giúp HS tự lực chiếm lĩnh nội dung học tập,

chủ động đạt được các mục tiêu kiến thức, kĩ năng, kích thích HS tích cực độc

lập tư duy.

- Mức độ khó của các câu hỏi xây dựng trong mỗi giáo án là đúng mực, kiến

thức bao hàm trong các tình huống là vừa sức.

- Sau khi học xong bài, đa số các HS khá, giỏi đều nắm được kiến thức cơ

bản, có kĩ năng khai thác yếu tố phụ trong giải bài tập hình học

- Đa số các GV được tham khảo ý kiến đều nhận xét: “Các biện pháp sư

phạm đã đề ra có tính khả thi”. Các biện pháp này không những giúp HS rèn

luyện đuợc kỹ năng khai thác yếu tố phụ mà còn củng cố kiến thức, bồi duỡng

năng lực tự học của HS.

- Một số GV cũng cho rằng: Hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề ra

còn phụ thuộc vào trình độ chuyên môn, năng lực sư phạm của người GV và

trình độ nhận thức của HS. 3.5.2. Đánh giá định lượng

Sau khi kiểm tra, chúng tôi đã thống kê kết quả bài làm của HS, thu được

các số liệu như sau:

Bảng 3.1. Bảng phân phối tần số điểm của bài kiểm tra

Số bài kiểm tra đạt điểm tương ứng Số Điểm Lớp HS TB 1 2 3 4 6 5 7 8 9 10

7A 40 0 0 0 2 8 10 8 7 3 2 6,6

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

7B 36 0 0 0 6 9 8 6 4 2 1 6,1

Bảng 3.2. Bảng phân phối tần suất điểm của bài kiểm tra

Số % bài kiểm tra đạt điểm tương ứng số Lớp HS 1 4 2 3 5 6 7 8 9 10

7A 40 0 5 0 0 25 20 20 17,5 7,5 5

7B 36 0 0 0 16,7 22,2 25 16,7 11,1 5,6 2,7

12

10

8

6

4

2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Lớp 7A

Lớp 7B

Biểu đồ 3.1. Biểu đồ phân phối tần số điểm của bài kiểm tra

Biểu đồ 3.2. Biểu đồ phân phối tần suất điểm của bài kiểm tra

Từ kết quả trên ta có nhận xét sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Điểm trung bình của lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng.

% số HS có điểm dưới trung bình ở lớp thực nghiệm ít hơn lớp đối chứng.

% số HS có điểm khá giỏi ở lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng.

Mỗi đối tượng học sinh đều có sự tiến bộ.

Nhận xét sơ bộ:

Nhìn chung HS ở lớp thực nghiệm hiểu sâu sắc kiến thức cơ bản, các em

biết trình bày lời giải một cách rõ ràng, khoa học có căn cứ trong bài tự luận.

Điều đó thể hiện tính tích cực của tư duy và thể hiện được năng lực nhận thức

của các em.

3.6. KẾT LUẬN CHƯƠNG 3

Qua quá trình thực nghiệm trên cho thấy, việc vận dụng các biện pháp đã

đề xuất vào việc rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ cho HS khá, giỏi

THCS. Đã thu được những kết quả khả quan góp phần nâng cao chất lượng dạy

và học. Qua đó nhận thấy được việc rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ

trong dạy học giải bài tập hình học cho HS khá, giỏi là cần thiết.

Như vậy, các biện pháp đã đề ra trong luận văn là khả thi, phù hợp với

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

mục tiêu dạy học và phát huy hiệu quả của quá trình dạy và học.

KẾT LUẬN

1. Luận văn đã hệ thống một số vấn đề về yếu tố phụ trong hình học như:

quan niệm, tác dụng và yêu cầu của việc khai thác yêu tố phụ trong phân môn

Hình học ở THCS.

2. Xác định và phân loại yếu tố phụ thành 4 nhóm với 14 yếu tố kỹ năng

3. Trên cơ sở những căn cứ lí luận và thực tiễn đó đã đề xuất được 5 biện

pháp sư phạm để rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ cho học sinh khá, giỏi

THCS trong dạy học giải bài tập toán nhằm nâng cao chất lượng dạy và học.

4. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm các biện pháp sư

phạm nêu trong chương 2. Kết quả từ thực nghiệm cho thấy các biện pháp sư

phạm đã đề xuất là hiệu quả và khả thi.

Như vậy có thể khẳng định rằng mục đích nghiên cứu đã được thực hiện,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

nhiệm vụ nghiên cứu đã hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Lã Thị Vân Anh (2011), Vẽ thêm hình phụ để giải một số bài toán về chủ đề

đường tròn hình học 9 góp phần phát triển cho học sinh khả năng phân tích

và tổng hợp, khóa luận tốt nghiệp đại học, khoa Toán, Trường ĐHSP - Đại

học Thái Nguyên.

2. Nguyễn Quang Cẩn (2005), Tâm lí học đại cương, Nhà xuất bản Đại học Quốc

gia Hà Nội

3. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (chủ biên) và nhiều tác giả khác

(2011), Sách giáo khoa Toán 8, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

4. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (chủ biên) và nhiều tác giả khác

(2015), Sách giáo khoa Toán 9, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam

5. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (chủ biên) và nhiều tác giả khác

(2016), Sách giáo khoa Toán 7, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

6. Hoàng Chúng (1999), Phương pháp dạy học Hình học ở trường THCS, Nhà

xuất bản Giáo dục Việt Nam.

7. Hoàng Chúng (chủ biên), Đinh Nho Chương, Lê Mộng Ngọc (2000), Hình

học 9 (bồi dưỡng học sinh giỏi), Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

8. Nguyễn Bá Đang (2012), Phát triển kỹ năng giải toán hình học phẳng dành

cho bậc THCS, Nhà xuất bản ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh

9. Phạm Gia Đức, Bùi Huy Ngọc, Phạm Đức Quang (2007), Giáo trình Phương

pháp dạy học các nội dung môn Toán, Nhà xuất bản ĐHSP, Hà Nội.

10. Nguyễn Thị Hằng (2017), Rèn luyện kỹ năng giải toán trong dạy học giải bài

tập phương trình đường thẳng cho học sinh lớp 10, luận văn thạc sỹ Toán,

Trường đại học Giáo Dục – Đại học Quốc gia Hà Nội

11. Trần Bá Hoành (2007), Đổi mới phương pháp DH, chương trình và sách

giáo khoa, Nhà xuất bản ĐHSP Hà Nội.

12. Lê Văn Hồng (chủ biên) (2001), Tâm lí học lứa tuổi và tâm lí học sư phạm,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.

13. Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thụy,

Nguyễn Văn Thường (1994), Phương pháp dạy học môn toán- Phần 2: Dạy

học những nội dung cơ bản, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

14. Nguyễn Bá Kim (2017), Phương pháp dạy học môn Toán, Nhà xuất bản

ĐHSP Hà Nội.

15. Trần Luận (1996), Vận dụng tư tưởng sư phạm của G. Polya xây dựng nội

dung và phương pháp dạy học trên cơ sở các hệ thống bài tập theo chủ đề

nhằm phát huy năng lực sáng tạo của học sinh chuyên toán cấp II, Luận án

phó tiến sỹ khoa học giáo dục, Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam.

16. Phan Thị Luyến (2011), Một số nét về Chương trình môn Toán Trung học cơ

sở một số nước và Việt Nam, Kỷ yếu hội thảo quốc gia về giáo dục toán học

ở trường phổ thông, tr.110 - 118.

17. Trần Tuấn Nam, Đàm Văn Nhỉ, Trần Trung Tình, Nguyễn Anh Tuấn (2016),

Hình học sơ cấp, Nhà xuất bản ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh.

18. G. Polya (2010), Sáng tạo toán học, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

19. Luật giáo dục, Quốc hội nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam số

38/2005/QH11 ngày 14 tháng 6 năm 2005.

20. Nguyễn Thị Thanh Tâm (2016), Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận

thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho hoc sinh trong dạy học môn

Toán ở trường trung học cơ sở, Luận án tiến sỹ khoa học giáo dục, Viện

Khoa học Giáo dục Việt Nam.

21. Nguyễn Đức Tấn (2014), Cẩm nang vẽ thêm hình phụ trong giải toán hình

học phẳng, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

22. Nguyễn Đức Tấn (2016), Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình

học 9, Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam.

23. Trần Văn Tấn và nhóm giáo viên chuyên toán ĐHSP Hà Nội (2013), Các

chuyên đề hình học bồi duỡng học sinh giỏi THCS, Nhà xuất bản Giáo Dục

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Việt Nam.

24. Lăng Thị Thành (2015), Rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ, logarit

cho học sinh THPT thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm, luận văn

thạc sỹ giáo dục, Trường ĐHSP - Đại học Thái Nguyên.

25. Tôn Thân (1995), Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một

số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi ở trường phổ thông

THCS Việt nam, Luận án PTS khoa học sư phạm- tâm lý, Viện Khoa học

Giáo dục Việt Nam.

26. Vũ Dương Thụy (Chủ biên), Nguyễn Ngọc Đạm, Toán nâng cao và các

chuyên đề hình học 9 (2015), Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam.

27. Lã Thị Thu Trang (2011), Vẽ thêm hình phụ để giải một số bài toán về chủ

đề tứ giác trong môn toán THCS góp phần phát triển cho học sinh các phẩm

chất trí tuệ, khóa luận tốt nghiệp đại học, khoa Toán, Trường ĐHSP - Đại

học Thái Nguyên.

28. Trần Anh Tuấn, Nguyễn Thanh Tùng (2008), Một số hướng tiếp cận để giải

bài toán cực trị hình học trong chương trình Hình học ở THCS, Tạp chí

Giáo dục số 195, kì 1 - 8/2008 (tr.41-43).

29. Nguyễn Anh Tuấn, Nguyễn Danh Nam, Bùi Thị Hạnh Lâm, Phan Thị

Phương Thảo (2014), Giáo trình Rèn luyện Nghiệp vụ sư phạm môn Toán,

Nhà xuất bản Giáo dục.

30. Nguyễn Anh Tuấn (2015), Giáo trình Lôgic toán và Lịch sử Toán học, Nhà

xuất bản ĐHSP, Hà Nội.

31. Viện ngôn ngữ học (2005), Từ điển Tiếng Việt. Nhà xuất bản Thành phố Hồ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Chí Minh.

PHỤ LỤC

PHỤ LỤC 01 - PHIẾU ĐIỀU TRA GIÁO VIÊN

(Về việc rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ

cho HS khá, giỏi THCS trong dạy học giải bài tập hình học)

Thầy (cô) hãy khoanh vào đáp án mà thầy (cô) cho là đúng nhất và trả lời

câu hỏi:

Câu 1: Trong dạy học giải bài tập hình học thầy (cô) có quan tâm đến việc rèn

luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ cho HS khá, giỏi hay không?

A. Rất quan tâm

B. Quan tâm

C. Ít quan tâm

D. Không quan tâm

Câu 2: Trong giảng dạy thầy (cô) có thường xuyên nghiên cứu các biện pháp rèn

luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ cho học sinh khá, giỏi hay không?

A. Thường xuyên

B. Thỉnh thoảng

C. Ít khi

D. Không

Câu 3: Theo thầy (cô) việc rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ có bổ ích

cho học sinh không?

A. Rất bổ ích

B. Bổ ích

C. Không bổ ích

Câu 4: Theo thầy (cô) việc rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ phù hợp với

đối tuợng HS nào?

A. HS từ trung bình trở lên

B. HS khá, giỏi

C. HS giỏi

Câu 5: Theo thầy (cô), trong việc kiểm tra, đánh giá học sinh đối với môn Toán

hiện nay có nên tăng thêm các bài toán mà việc giải nó cần sử dụng yếu tố phụ

hay không?

A. Nên

B. Không nên

Câu 6: Thầy (cô) hãy chia sẻ những thuận lợi và khó khăn của việc rèn luyện kỹ

năng khai thác yếu tố phụ cho HS khá, giỏi trong dạy học giải bài tập hình học.

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

Xin cảm ơn thầy (cô)!

PHỤ LỤC 02 - PHIẾU ĐIỀU TRA HỌC SINH

(Về kỹ năng khai thác yếu tố phụ trong giải bài tập hình học)

Em hãy khoanh vào đáp án mà em cho là đúng nhất và trả lời câu hỏi:

Câu 1: Em có được các thầy cô dạy về các yếu tố phụ trong hình học hay không?

A. Thường xuyên

B. Thỉnh thoảng

C. Ít khi

D. Không

Câu 2: Em có muốn rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ trong giải bài tập hình

học hay không?

A. Có

B. Không

Câu 3: Em có thường xuyên sử dụng yếu tố phụ trong giải bài tập hình học hay

không?

A. Thường xuyên

B. Thỉnh thoảng

C. Không bao giờ

Câu 4: Mức độ hứng thú của em khi tiết học có các bài toán mà việc giải nó cần

sử dụng yếu tố phụ?

A. Rất hứng thú

B. Hứng thú

C. Không hứng thú

Câu 5: Em đã gặp những khó khăn gì khi rèn luyện kỹ năng khai thác yếu tố phụ

trong giải bài tập hình học?

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

Xin cảm ơn em!

PHỤ LỤC 03: NỘI DUNG HÌNH HỌC THCS

(Theo phân phối chương trình môn Toán THCS)

a) Nội dung hình học lớp 6

1. Điểm. Đường thẳng

2. Ba điểm thẳng hàng

3. Đường thẳng đi qua hai điểm

4. Tia

5. Đoạn thẳng

6. Độ dài đoạn thẳng

7. Khi nào thì AM + MB = AB?

8. Vẽ đoạn thẳng cho biết độ dài

9. Trung điểm của đoạn thẳng

Chương II. Góc

1. Nửa mặt phẳng

2. Góc

3. Số đo góc

4. Vẽ góc cho biết số đo

5. Tia phân giác của góc

6. Thực hành đo góc trên mặt đất

7. Đường tròn

8. Tam giác

b) Nội dung hình học lớp 7

Chương I. Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song

1. Hai góc đối đỉnh

2. Hai đường thẳng vuông góc

3. Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng

4. Hai đường thẳng song song

5. Tiên đề Ơ-clit về đường thẳng song song

6. Từ vuông góc đến song song

7. Định lí

Chương II. Tam giác

1. Tổng ba góc của một tam giác

2. Hai tam giác bằng nhau

3. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)

4. Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

5. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (g.c.g)

6. Tam giác cân

7. Định lí Py-ta-go

8. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Chương III. Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Các đường đồng quy của

tam giác

1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác

4. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

5. Tính chất tia phân giác của một góc

6. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

7. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

8. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

9. Tính chất ba đường cao của tam giác

c) Nội dung hình học lớp 8

Chương I. Tứ giác

1. Tứ giác

2. Hình thang

3. Hình thang cân

4. Đường trung bình của tam giác, của hình thang

5. Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang

6. Đối xứng trục

7. Hình bình hành

8. Đối xứng tâm

9. Hình chữ nhật

10. Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước

11. Hình thoi

12. Hình vuông

Chương II. Đa giác. Diện tích đa giác

1. Đa giác. Đa giác đều

2. Diện tích hình chữ nhật

3. Diện tích tam giác

4. Diện tích hình thang

5. Diện tích hình thoi

6. Diện tích đa giác

Chương III. Tam giác đồng dạng

1. Định lí Ta-lét trong tam giác

2. Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

3. Tính chất đường phân giác của tam giác

4. Khái niệm hai tam giác đồng dạng

5. Trường hợp đồng dạng thứ nhất

6. Trường hợp đồng dạng thứ hai

7. Trường hợp đồng dạng thứ ba

8. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

9. Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng

Chương IV. Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều

1. Hình hộp chữ nhật

2. Thể tích của hình hộp chữ nhật

3. Hình lăng trụ đứng

4. Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng

5. Thể tích của hình lăng trụ đứng

6. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều

7. Diện tích xung quanh của hình chóp đều

8. Thể tích của hình chóp đều

d) Nội dung hình học lớp 9

Chương I. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

3. Bảng lượng giác

4. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

5. Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn

Chương II. Đường tròn

1. Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

2. Đường kính và dây của đường tròn

3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

7. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Chương III. Góc với đường tròn

1. Góc ở tâm. Số đo cung

2. Liên hệ giữa cung và dây

3. Góc nội tiếp

4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

6. Cung chứa góc

7. Tứ giác nội tiếp

8. Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

9. Độ dài đường tròn, cung tròn

10. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

Chương IV. Hình trụ - Hình nón – Hình cầu

1. Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

2. Hình nón – Hình nón cụt – Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón,

hình nón cụt

3. Hình cầu – Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu